Algebra Intermedia 2 by Moisés Soto

INDICE Algebra Intermedia II Unidad 1- Problemas de álgebra y geometría plana. 1.1– Solución de problemas asociados con álgebra y ángulos. Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante. Problemas que involucran ángulos opuestos por el vértice, alternos externos e internos, complementarios y suplementarios.

1.2- Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Tales. Resolución de problemas con triángulos semejantes. Aplicación del teorema de Tales para resolver problemas.

1.3- Solución de problemas asociados con álgebra y el teorema de Pitágoras. Resolución de problemas con triángulos rectángulos. Aplicación del teorema de Pitágoras para resolver problemas.

1.4- Solución de problemas asociados con álgebra y áreas. Calculo de área de figuras planas. Resolución de problemas que involucren cálculo de áreas y que se puedan resolver mediante el álgebra.

1.5- Solución de problemas asociados con álgebra y volúmenes. Calculo de volumen de polígonos regulares. Resolución de problemas que involucren el cálculo de volumen y que se puedan resolver mediante el álgebra.

Unidad 2- Problemas de álgebra y trigonometría. 2.1- Solución de problemas algebraicos que involucren distancias y ángulos en triángulos rectángulos. Definición de ángulos de depresión y elevación. Resolución de problemas que involucren triángulos rectángulos.

2.2- Solución de problemas algebraicos que involucren distancias y ángulos en triángulos oblicuángulos. Resolución de problemas que involucren triángulos oblicuángulos.

Unidad 3- Problemas de álgebra y geometría analítica. 3.1- Resolución de problemas que involucren el cálculo de la distancia entre dos puntos. 3.2- Resolución de problemas que involucren el cálculo del punto medio y la división de un segmento en una razón dada. 3.3- Resolución de problemas que involucren la determinación de la ecuación de la recta en sus formas punto- pendiente y pendiente ordenada al origen. 3.4- Resolución de problemas que involucren las ecuaciones de la circunferencia y la recta.

Bibliografía.

UNIDAD

1 P.1.1 – Solución de problemas asociados con álgebra y ángulos. P.1.2 – Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Tales. P.1.3 – Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras. P.1.4 – Solución de problemas asociados con álgebra y áreas. P.1.5 – Solución de problemas asociados con álgebra y volúmenes.

PRESENTACIÓN: En esta unidad se plantearán problemas tipo y de aplicación, que requieran procedimientos algebraicos para calcular ángulos, resolver situaciones que requieran los teoremas de Tales y de Pitágoras y calcular áreas y volúmenes, procurando que sean problemas y ejercicios que te sean familiares o que se te presenten en la vida cotidiana. En esta unidad utilizarás conceptos, teoremas, leyes y procedimientos de álgebra, que involucren contenidos de Geometría Plana, con la intención de que desarrolles tu capacidad creativa y te involucres junto con tus compañeros, con entusiasmo y esmero, en la solución de diversos problemas.

Lectura para comentar. No se sorprenda, amigo mío, prosiguió el inteligente persa, de que quiera turbantes en formas geométricas. La geometría está en todas partes. Fíjese en las formas regulares y perfectas que presentan muchos cuerpos. Las flores, las hojas e incontables animales revelan simetrías admirables que deslumbran nuestro espíritu. La geometría, repito, existe en todas partes: en el disco solar, en las hojas, en el arco iris, en la mariposa, en el diamante, en la estrella del mar y hasta en un diminuto grano de arena. Hay, en fin, una infinita variedad de formas geométricas extendidas por la naturaleza. La sangre que circula por las venas del camello no escapa tampoco a los rigurosos principios geométricos, ya que sus glóbulos presentan la singularidad de tener forma elíptica; la piedra que se tira al chacal importuno dibuja en el aire una curva perfecta, denominada parábola; la abeja construye sus panales con las formas de prismas hexagonales y adopta esa forma geométrica, creo yo, para obtener su casa con la mayor economía posible de material. La geometría existe, como dijo el filósofo, en todas partes. Es preciso, sin embargo, tener ojos para verla, inteligencia para comprenderla y alma para admirarla. El rudo campesino ve las formas geométricas, pero no las entiende; otros las entienden, pero no las admiran; el artista, en fin, ve a la perfección las figuras, comprende la belleza, y admira el Orden y la Armonía. Dios fue el gran geómetra. Geometrizó el cielo y la Tierra. Y siempre discurriendo, con entusiasmo, sobre la multitud de bellezas que encierra la geometría, fue Beremiz caminando por la extensa y polvorienta carretera que va de la plaza de los mercaderes al puente de la victoria. Yo lo acompañaba en silencio, embebido en sus curiosas enseñanzas.

¡Hola! Bienvenido a este curso de álgebra intermedia II. Como te diste cuenta, iniciamos con una lectura muy interesante, que nos sugiere la importancia que tiene la geometría.

Con apoyo de tu profesor, forma equipos de 5 o 6 integrantes y realiza la siguiente actividad.  Comenta esta lectura con tus compañeros durante 10 minutos.  Elige a alguno de los integrantes como secretario para que anote 3 preguntas relacionadas con este tema.  Anota las preguntas en el pizarrón.  Tu maestro, una vez que estén anotadas todas las preguntas, pedirá que alguien del grupo conteste alguna pregunta y todos tendrán el derecho de hacer algún comentario en relación a la respuesta de tu compañero o bien para ampliar el comentario y hacerlo más interesante.

Recuerda, tu maestro será el moderador, y tendrá la autoridad para ceder la palabra a quienes levanten previamente la mano. Estarás entonces en un foro de diálogo, hazlo con responsabilidad.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

P.1.1. Solución de problemas asociados con álgebra y ángulos Lo que debes recordar o conocer: Antes de que inicies el estudio de este tema es necesario recordar algunos conceptos que ya vistes en el curso anterior de Geometría Plana. Analízalos con atención.

El ángulo. Si se tienen dos semirrectas partiendo de un punto en común, obtendremos una figura en forma de abertura llamada ángulo. A ese punto común se le llama vértice.

Los ángulos se pueden representar mediante una letra mayúscula situada en el vértice, mediante una letra griega dentro del ángulo, o bien, a través de tres letras mayúsculas; donde la letra de en medio indica la letra asignada al vértice. Desde la antigüedad, culturas como la de los caldeos, ya consideraban a la circunferencia dividida en 360 partes iguales, lo que para el sistema sexagesimal actual significa dividir a una circunferencia en 360 grados. (360°) Esto es muy importante por que nos permite poder clasificar a los ángulos de acuerdo a la medida en grados de su abertura. Algunos de ellos son: Ángulo agudo: ángulo menor a 90° Ángulo recto: es el que mide 90° Ángulo obtuso: ángulo mayor que 90° y menor que 180° Ángulo convexo: es aquel ángulo que mide menos de 180°, mientras que un ángulo cóncavo tiene un ángulo mayor de 180°.

P. 1. 1. - Solución de problemas asociados con álgebra y ángulo

Pág.

Ángulos adyacentes: son dos ángulos que se encuentran compartiendo un lado común y ambos pertenecen a la misma recta.

Ángulo llano: es un ángulo que mide 180°, por lo que también se les conocen como lineal. Ángulos complementarios: son dos o más ángulos que juntos suman 90° Así el complementario de un ángulo de 42C° será un ángulo de 48° El complementario de un ángulo de 27°47´ es un ángulo de 62°13´, ya que juntos sumarán 90°. Ángulos suplementarios: son dos o más ángulos que juntos suman 180° Dos ángulos adyacentes son suplementarios.

Los ángulos A y B son complementarios.

C y D son ángulos suplementarios.

Cuando una recta secante intersecta a dos rectas paralelas, se forman ocho ángulos, como lo muestra la figura. L3

Los ángulos en lados opuestos por la recta L3 se llaman ángulos alternos, siendo alternos internos entre sí los ángulos 3 y 6; así como los ángulos 5 y 4.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Los ángulos alternos externos corresponden a los pares de ángulos 1 y 8, y los ángulos 7 y 2. La característica de los ángulos alternos es que estos son iguales entre sí. Por lo tanto, ángulos como el 1 y 8 son iguales. Ángulos opuestos por el vértice: son dos ángulos que comparten un mismo vértice, de tal manera que los lados de uno de ellos, son la prolongación de los lados del otro. La característica más importante de estos ángulos es que: “dos ángulos opuestos por un vértice son iguales”. Teorema que frecuentemente vamos a aplicar. En la gráfica anterior podemos ver ángulos opuestos por el vértice, tenemos que los pares: 1 y 4, 3 y 2, 5 y 8 y los ángulos 7 y 6, son este tipo de ángulos. Otros teoremas que también te serán de utilidad son los relacionados con los triángulos: 1.- “Cada ángulo de un triángulo, es suplemento de los otros dos”. Esto significa que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo será de 180C°. Así conocidos dos de los ángulos, el tercero será el suplementario. En la figura, el ∠ B mide 180 – 32 – 116 = 32°.

2.- El ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él. Así para calcular el ángulo A: ∠ A = 95 + 35 = 130°.

3.- Un triángulo cualquiera, siempre tiene por lo menos dos ángulos agudos.

Después de este breve repaso, iniciaremos analizando algunos ejercicios que servirán para ejemplificar la aplicación de procedimientos algebraicos en el cálculo de ángulos.

P. 1. 1. - Solución de problemas asociados con álgebra y ángulo

Pág.

 Ejemplos resueltos: resueltos Ejemplos

1.- Una vía de ferrocarril atraviesa oblicuamente a una carretera, como lo muestra la figura, el topógrafo que bromea con su auxiliar le dice “el ángulo A mide 8 unidades más que el doble de la edad de mi hijo y el ángulo B, 4 unidades menos que el triple de su edad”, ¿Que inclinación tiene la vía del ferrocarril en relación con la carretera? ¿Cuántos años tiene el hijo del topógrafo?

Datos: Edad del hijo del topógrafo: x Ángulo A: 2x + 8 Ángulo B: 3x – 4 Procedimiento: Como el ∠A y el ∠ B son opuestos por el vértice: ambos son iguales. 2x + 8 = 3x – 4 3x – 2x = 8 + 4 x = 12 Solución: edad del hijo del topógrafo es de 12 años, los ángulos miden cada uno 32° 2.- Si dos ángulos son complementarios y el ángulo mayor es ocho veces mayor que el ángulo menor ¿Qué medida tienen los ángulos? Datos: Ángulo menor = x Ángulo mayor = 8x Como ∠A + ∠ B = 90°, entonces: x + 8x = 90° 9x = 90 x = 10° Solución: los dos ángulos complementarios son: 10° y 80°.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

3.- Si la medida de un ángulo es 50° más que la medida de su complemento. ¿Cuál es la medida de los ángulos. Datos: Ángulo menor = x Ángulo mayor = x + 50 x + 50° Procedimiento: x + x + 50 = 90 2x = 90 – 50 x x = 20 Solución: Los ángulos son 70° y 20°

4.- La medida de un ángulo es un tercio de la medida de su suplemento. Hallar la medida de los ángulos. x

x 3

180

4 x 180 3 180 3 x 4 x 135

x 3

Solución: Los ángulos son 135° y 45°

5.- Dos ángulos opuestos por el vértice miden respectivamente 4x – 10 y 20 + x. ¿Cuál es la medida de los ángulos? 4x – 10 = 20 + x 4x – x = 20 + 10 3x = 30 x = 10 Solución: Los ángulos son iguales y miden 30° cada uno.

4x – 10

P. 1. 1. - Solución de problemas asociados con álgebra y ángulo

20 + x

Pág.

6.- Sea “x” un ángulo. Si sumamos a este ángulo otro que mide la mitad de su valor, un ángulo que es suplementario a los dos medirá el triple de ambos. Determina el valor del ángulo “x” y de los dos ángulos restantes. x x 3( x ) 180 2 2 x 3 2( x 3x x 180 2 2 2 x x 6 x 3 x 360 12 x 360 x 30

Datos: Ángulo A = x x Ángulo B = 2 Ángulo Complementario: 3 x

x 2

Solución: los ángulos miden 30° , 15° y 135°

7.- Encontrar el valor de los ángulos A, B, y C en el paralelogramo mostrado: B 3x – 20 x

75° C

A Procedimiento: 3x – 20 + x = 180 4x = 180 + 20 x = 50° Solución: ∠A = 50° (por ser opuesto por el vértice al ángulo x) ∠ B = 3x – 20 ∠ C + 75° = 130 (por ser correspondiente a B) ∠ B = 130° ∠ C = 55°

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Ejercicios a resolver Para verificar si has comprendido el tema, realiza los siguientes ejercicios relacionados con cálculo de ángulos. Ejercicio 1.- Un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es 3° mayor que el doble del otro ángulo agudo. ¿Cuáles son las medidas de ambos ángulos?

Ejercicio 2.- La medida de un ángulo es una cuarta parte de la medida de su complemento. Hallar la medida de los ángulos. Ejercicio 3.- Dos ángulos complementarios miden respectivamente 4b – 10 b + 20. Encuentra la medida de los ángulos.

Ejercicio 4.- Dos ángulos alternos externos miden respectivamente 5x – 17 2x + 28. Determina el valor de “x” y el valor del ángulo.

Ejercicio 5.- Tres ángulos son suplementarios, el mayor de ellos tiene 5° más que el mediano y el mediano mide el triple que el ángulo menor. ¿Cuánto mide cada ángulo? Ejercicio 6.- Sea el cuadrilátero ABCD un paralelogramo. Calcular el valor del ángulo “x”, y con ello determinar los ángulos A, B y C

A 15°

4x + 40

P. 1. 1. - Solución de problemas asociados con álgebra y ángulo

Pág.

Ejercicio 7.- Calcula el valor del ángulo A y del ángulo B, mostrados en el siguiente esquema.

3x + 10 B

A x

Ejercicio 8.- En la oficina de un contador se diseño una ventana con cierta inclinación para protegerse del calor, como se muestra en la figura. Encuentra el ángulo de inclinación del ángulo A.

Ejercicio 9.- Dos ángulos opuestos por el vértice miden respectivamente: 3x + 9. Calcular el valor de la variable y de cada ángulo.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

5x – 17 y

Pág.

RETOS PARA CAMPEONES 1.- Se tienen varios polígonos, como lo muestra la figura, donde ABC es un triángulo equilátero, CDF es triángulo isósceles y ACDE es un rectángulo. Calcular la medida del ángulo BCF, si la medida del ángulo CDF = 35º.

2.- Calcular la medida del ángulo x del siguiente octágono irregular:

P. 1. 1. - Solución de problemas asociados con álgebra y ángulo

Pág.

P.1.2 Solución de problemas asociados con Álgebra y Teorema de Tales Lo que debes recordar o conocer: Tales de Mileto Nació Tales en la ciudad Jonia de Mileto, a orillas del mar Egeo, aproximadamente en el año 624 a.C. Conoció a Pitágoras quién le recomendó viajar a Egipto, ahí aprendió geometría, y donde se dice, midió la altura de las pirámides a partir de su sombra. Tales de Mileto fue uno de los siete grandes sabios griegos de la antigüedad, considerado como uno de los fundadores de la geometría. A el se debe la demostración de teoremas geométricos utilizando el razonamiento lógico. Tales ofrece por primera vez una explicación de las cosas rechazando todo recurso mágico, y dando prioridad a la causa y efecto. Así por ejemplo, la predicción del eclipse que tuvo lugar en el año 585 a.C., le valió gran renombre. Tales demostró teoremas muy importantes, de los cuales podemos mencionar los siguientes: “Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales” “Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto” Pero el más famoso de todos es el que lleva su nombre: “Si en un triángulo trazamos una paralela a uno de sus lados, de tal manera que corte a los otros dos, los puntos de corte determinan segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las longitudes de dichos lados”.

AC AE

AB AD

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Este teorema puede ser considerado un caso particular de los triángulos semejantes, de los cuales se puede enunciar lo siguiente: Dos triángulos son semejantes si: 1.- Son iguales cada uno de sus tres ángulos homólogos. 2.- Si dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos comprendidos por ellos son congruentes. 3.- Si sus lados correspondientes son proporcionales. También el teorema de Tales puede ser enunciado mediante el siguiente esquema: Las dos rectas E y F concurren en O Las rectas AB y CD son paralelas e intersectan a las rectas E y F, A y C son dos puntos de E B y D son dos puntos de F Entonces:

OC OA

OD OB

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

Ejemplos resueltos: 1.- Un cable tensor desde el suelo sujeta a dos postes de la parte superior. Se sabe que el poste mayor mide 4 pies más que el triple de lo que mide el menor. Ambos están separados entre sí 15 pies, y 6 pies más adelante se encuentra el gancho que sujeta al cable tensor. ¿Cuánto miden de altura ambos postes?

3x 4 21 x 6 18x 24 21x 21x 18x 3x x

3x + 4

24 8 15

Solución: poste menor mide 8 pies, el mayor 24 pies. Con el teorema de Pitágoras podrás calcular la medida del cable.

2.- Se tiene un triángulo ABC, el cual es dividido por una recta paralela a la base, como lo muestra la figura, determinar la medida de los lados indicados.

x 3 x 3 5 x 2 x 3x 5 x 15 x2

2 x 15 0

( x 5)( x 3) x 5

0 x +3

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

3.- Dos personas se encuentran de pie observando un espectáculo al aire libre, la primera persona se encuentra a 4.2 metros de diferencia de altura que la segunda, aunque ambas tienen la misma estatura. Si ese momento la primera persona proyecta una sombra de 2.7 metros y la segunda persona, una sombra de 1.2 m, ¿Qué estatura tienen cada una? Solución: Se encuentran en diferentes graderías, pero ambas tienen la misma estatura “x” x 1 .2

4 .2 2 .7 1 .2 ( 4 .2 ) x 2 .7 x 1.86

La estatura de la persona es de 1.86 m

4.- Una persona para protegerse del sol, decide estar debajo de un poste de luz, en ese momento observa que su sombra alcanza una longitud de 3 m. Si ella sabe que el poste mide 8.5 m. y que su estatura es de 1.7 m ¿Qué longitud mide la sombra que arroja el poste? Solución: 1.7 8.5 3 x 1.7 x 8.5(3) 25.5 x 1 .7 x 15

La sombra del poste es de 1.5 m.

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

Ejercicios a resolver: Para verificar si has comprendido el tema, realiza los siguientes ejercicios relacionados con teorema de Tales. Ejercicio 1.- Se tiene una jardinera triangular la cual se quiere dividir a través de una pared paralela a su base, la cual medirá 5 metros, para sembrar bugambilias. ¿Cuál será el área disponible para sembrar estas bugambilias?

Bugambilias

Pasto

Ejercicio 2.- Una maqueta de una pirámide de base cuadrada fue truncada en su parte superior. Determina la longitud del lado faltante y calcula el área total de material que se ocuparía para terminar de construir la pirámide completa.

Ejercicio 3.- En la antigüedad los griegos consideraban a la dorada proporción como la forma más atractiva que debe tener un rectángulo, determinada por la razón 8 a 5. Si la longitud de una pared rectangular es 4 unidades menos que el doble de su ancho, ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que se cumpla en esta pared la dorada proporción?

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Ejercicio 4.- Calcula el valor de la variable “x” en la siguiente figura.

x+2

Ejercicio 5.- Dos monumentos se encuentran separados entre sí 6 metros. El más alto mide lo mismo que la sombra que en ese momento proyecta el monumento menor, el cual mide 3 m de alto. ¿Cuál es la altura del monumento mayor?

Ejercicio 6.- José el jardinero necesita medir la palmera más alta de la escuela, como no tiene escalera, inteligentemente decide medir la sombra que proyecta, así como la sombra de una pequeña palmera que se encuentra a un lado. La sombra de la palmera mayor mide 8.5 metros y la palmera menor, de 1.5 m de altura, proyecta una sombra de 2.5 m. ¿Cuánto mide la palmera mayor?

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

Ejercicio 7.- Determina el valor de la variable “a” en el siguiente esquema:

3a – 2

Ejercicio 8.- Un muro de concreto de 4 m de altura proyecta una sombra muy larga. En ese momento, José, cuya estatura es de 1.8 m, se coloca de tal manera que hace coincidir su sombra con la sombra del muro, ¿A que distancia del muro se encuentra José? Ejercicio 9.- Determina el valor de la variable “x” en el siguiente triángulo, considerando que la recta DE es paralela al lado BC.

Ejercicio 10.- Calcula el valor de la variable “x” para el siguiente triángulo, cuya recta MN es paralela al lado BC.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Un caso interesante es cuando se traza la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, obteniéndose triángulos rectángulos semejantes entre sí y semejantes al triángulo dado. De esta situación se obtienen las siguientes relaciones de semejanza.

1.-

AB AC

AC AD

2.-

AB BC

BC BD

3.-

AC CD

BC BD

Ejemplos resueltos: 1.- Encontrar el valor del cateto BC en el siguiente triángulo rectángulo. Solución: Calculando primeramente el valor de DB: AB AC AC AD 16 x 20 20 16 256 16x 400 16 x 400 256 144 x 16 x 9 Calculando BC: Calculando altura CD AB BC AC BC BC BD CD BD 16 x BC 20 15 CD 9 BC x 20(9) 15CD (16 9)(9) BC 2 180 BC 225 CD 15 BC 15 CD 12

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

2.- Un puente peatonal de 20 m de longitud, es soportado por unas columnas como lo muestra la figura. Calcula la altura de las columnas y la longitud de las paredes laterales. Solución: De la figura podemos observar que se dan triángulos semejantes que cumplen con las siguientes relaciones: 1.- Para calcular la distancia “x” del puente: AB AC AC AD 20 8 8 x 20 x 64 x 3 .2 2.- Para calcular la pared lateral BC:

AB BC BC BD 20 BC BC 20 x BC 2 20(20 3.2) BC 2

336

BC 18.33

3.- Para calcular la altura de las columnas: AC BC CD BD 8 18.33 CD (20 3.2) 8(16.8) CD (18.33) CD BC

134.4 18.33 7.33

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

RETOS PARA CAMPEONES 3.- Tres localidades se encuentran localizadas a lo largo de una costa, a una separación de la primera a la última de 10 km. La localidad intermedia está en línea perpendicular a una isla. Si la distancia de isla a la tercera localidad es de 60 Km. ¿Qué distancia existe de la isla a las otras dos localidades?

4.- En la siguiente figura CD = 80, CE = 64 y AB = 25. Calcular AD, DE, AE y BC.

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

P.1.3 Solución de problemas asociados con Álgebra y teorema de Pitágoras Lo que debes recordar o conocer: Pitágoras de Samos Sus padres, lo primero que hacen en cuanto tienen oportunidad, es llevar a su hijo a la ciudad de Delfos, donde se pronostica de él: “Este hijo será útil a la humanidad actual y a la de todos los tiempos”. Al cumplir un año, el niño es llevado al templo de Adonai para que reciba las bendiciones de los dioses de manos del sumo sacerdote. Ese día tan especial, el pequeño Pitágoras está abrazado a su padre. Su madre se cubre del abrasador sol bajo la benigna sombra de un enorme cedro, aquí de nueva cuenta el sacerdote insiste: “¡Oh orgullosos padres de Jonia, su hijo será grande por su sabiduría!, sin embargo, deben ser conscientes de que los griegos son dueños de una de las ciencias de los dioses, pero la verdadera, la de Dios, está solamente en Egipto”. Con el paso de los años, Pitágoras es admirado por quienes lo rodean, ya que es un niño apuesto, tierno, mesurado, juicioso, justo, observador y de una inteligencia sumamente brillante. Al cumplir los 18 años ya domina las lecciones de física, y habla abiertamente con Tales y Anaximandro de Mileto, maestros que le abren nuevos horizontes de conocimiento, hasta que llega a la insatisfacción porque ya no puede aprender con ellos. Pitágoras, por Marco Antonio Gómez Pérez, Grupo Editorial Tomo

Pitágoras nació en la isla de Samos, aproximadamente en el año 582 a.C. Siendo muy joven viajo a Mesopotamia y Egipto. Tras regresar a Samos fundó su escuela, regida por reglas muy estrictas de conducta. Sus estudiantes pertenecían a todas las razas, religiones y estratos económicos y sociales.

El concepto básico de los pitagóricos era el número, que consideraban el principio del todo. Es famoso el teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa: a 2 b 2 c 2 Se han elaborado más de trescientas demostraciones del teorema de Pitágoras, demostrando lo útil y apasionante que es este teorema, aplicable no solo en matemáticas sino en la mayoría de las ciencias. Aquí solo te muestro algunas:

Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

A través de las diferentes demostraciones que se han realizado del Teorema de Pitágoras se ha llegado a la conclusión de que si construimos figuras semejantes sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, se cumple que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las construidas sobre los catetos. Una de las demostraciones interesantes sobre el teorema de Pitágoras es la de James Abraham Garfield, estadounidense, (1831-1881), quien fuera presidente de su país. Observando la figura completa nos damos cuenta que es un trapecio de altura (a + b) y de bases a y b. calculando su área tenemos: A A

(a b)(a b) 2 2 a 2ab b 2 2

Por otro lado, desglosando las figuras, tenemos tres triángulos rectángulos con área total de: ab ab c 2 c2 A ab 2 2 2 2 Si igualamos simplificamos:

ambas

2ab b 2 2

2ab b 2

expresiones

c2 ab 2 c2 2 ab 2 2ab c 2

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Ejemplos resueltos: 1.- La oficina de Julián tiene forma rectangular y mide de perímetro 14 metros, y de diagonal 5 metros ¿Cuál es la longitud y ancho de la oficina? Solución: Como el perímetro mide 14 m, significa que si al lado ancho le llamamos “x”, el largo medirá 7 – x, por ser la mitad del perímetro. Utilizando el teorema de Pitágoras: x 2 (7 x ) 2 5 2

49 14 x

2 x 2 14 x 24

x 2 7 x 12 0 ( x 3)( x 4) 0 x 3 x 4 Solución: el ancho de la oficina es 3 metros y su longitud es de 4 metros. 2.- Se va a construir una tapa de concreto para una fosa, cuyo ancho es dos metros más que la profundidad. Se sabe que la diagonal que se forma en su interior es de 10 m. ¿Cuál es el volumen de la fosa si su largo es de 10 m? Solución:

( x 2) 2

10 2

4x 4 x 2

2x 2

4 x 96

100 0

x 2 2 x 48 0 ( x 8)( x 6) 0 x 8 x 6 La profundidad de la fosa es de 6 metros, por lo que su ancho es 8 m. Como su longitud es 10 m, entonces el volumen de la fosa es V = 6(8)(10) = 480 m 3

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

3.- Dos postes separados entre sí a una distancia de 20 m, con una altura de 10m y 6 m respectivamente, están siendo sujetos por una misma ancla y con dos cables de idéntica dimensión. Determinar la distancia a la que se encuentra el ancla de cada poste. (Considera que el ancla es colineal a los dos postes) Solución: De acuerdo a la figura planteada, las cuerdas son la hipotenusa de los dos triángulos rectángulos formados, por lo que podemos utilizar el teorema de Pitágoras. Para el triángulo mayor: h 2 102 (20 x) 2

100 400 40x x 2

500 40x x 2

Para el triángulo menor: h2 72 x2

49 x 2

Como ambas cuerdas son iguales, es decir h 2 h 2 , podemos igualar las dos ecuaciones: 500 40x x 2 49 x 2

40x

49 500

40x 451 451 x 40 x 11.27 El ancla se encuentra a 11.27 metros del poste menor y a 8.73 metros del poste mayor.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

4.- La puerta de un almacén mide de largo 40 cm. más que el doble de ancho, y tiene una diagonal de 8168 pulgadas. Calcula las dimensiones de la puerta. Solución: a 2 (2a 40) 2 ( 56500) 2

4a 2 160a 1600 56500

5a 2 160a 54900 0 Dividiendo entre 5 y factorizando o utilizando la fórmula general: a 2 32a 10980 0 (a 122)(a 90) 0 a 122 a 90 La puerta mide de ancho 90 cm. y de largo (2a +40) es decir 220 cm.

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

Ejercicios a resolver: Para verificar si has comprendido el tema, realiza los siguientes ejercicios relacionados con teorema de Pitágoras. Ejercicio 1.- La longitud del colchón de mi cama es un pie mayor que el doble de su anchura. Si la diagonal mide 58 pies. ¿Cuáles son sus dimensiones? Ejercicio 2.- Para construir el marco de una pintura se utilizó 98 pulgadas de madera en su perímetro. Si la diagonal de la pintura mide 35 pulgadas, determina sus dimensiones largo y ancho.

Ejercicio 3.- Se coloca una rampa para bicicletas en una pared vertical de un almacén de 3m de altura. La distancia del pie de la rampa a la pared es de 2 m y la distancia de separación en esquina superior de la rampa a la pared es de 1 m. Calcula la longitud de la rampa.

Ejercicio 4.- Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, si ésta mide 1 cm más que un cateto y 2 cm más que el otro. Ejercicio 5.- En una gran ventisca un poste de telefonía de 7 m se rompió de tal manera que no cae totalmente al suelo, sino que queda colgando del punto de ruptura, y su extremo superior toca el suelo a 2 m de la base del poste. ¿A que altura se rompió? Ejercicio 6.- Un cable tensor de 12 metros de longitud que llega a la parte superior de una antena de televisión, se encuentra sujeta al piso, a una separación de 2.5 metros del pie de la antena. Calcular su altura.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Ejercicio 7.- ¿Cuál era la altura del árbol antes de que se rompiera, si se sabe que la parte del árbol que cuelga es el doble que el tronco que queda vertical?

Ejercicio 8.- La base de un triángulo isósceles mide 24 cm, y los lados iguales 20 cm. Hallar la altura del triángulo. Ejercicio 9.- ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si su diagonal es de 28.29 cm? Ejercicio 10.- Calcula la medida del lado de un triángulo equilátero cuya altura mide 3 3 Ejercicio 11.- Un terreno rectangular tiene 6 metros más largo que ancho. Si su diagonal tiene 174 pies de largo. ¿Cuáles son las dimensiones de ese terreno?

Ejercicio 12.- La diagonal de un pared rectangular es de 1 m más que el largo, mientras que la altura de la pared es de 5 metros. Calcula las dimensiones de la pared.

Ejercicio 13.- Determinar la altura que alcanza una escalera de 6 metros de longitud, si se encuentra a 1.2 m de separación el pie da la escalera de la pared.

Ejercicio 14.- En un rombo la diagonal mayor mide 36 cm y la diagonal menor 22 cm. Calcular el perímetro de este polígono.

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

Ejercicio 15.- Para apoyar a los discapacitados se construyó una rampa con una inclinación tal que, por cada metro horizontal alcanza una altura de 10 cm. Si la distancia del inicio de la rampa hasta el edificio es de 5 metros. ¿Cuánto mide la rampa?

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

RETOS PARA CAMPEONES 1.- Un jardinero decide fraccionar su patio trasero, el cual es un cuadrado de 10 m de lado, para colocar banquetas a los lados del césped; trazando dos líneas de dos de los vértices a los puntos medios de su lado opuesto, si la sección no sombreada será césped, ¿Cuánto medirá el área de banqueta?

1.- Realiza la demostración del teorema de Pitágoras mediante la utilización de cada una de las figuras mostradas, (o ambas a la vez).

Figura 1.-

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Figura 2.-

Pág.

P.1.4 Solución de problemas asociados con Álgebra y cálculo de áreas ¡OTRA MANERA DE RESOLVERLO! Descripción del problema Un carpintero desea construir un mueble para estantería, el cual es indispensable que tenga dos áreas cuadradas, donde el cuadrado mayor mida por lado, una unidad menos que el doble del largo del cuadrado menor. El área total del mueble será de 121 pies cuadrados.

Vamos a resolver el problema siguiendo las siguientes indicaciones: Plantea la forma de calcular el área del cuadrado mayor. Resuelve y simplifica la expresión resultante __________________ Plantea la forma de calcular el área del cuadrado menor. __________________ Plantea la forma de calcular el área de cada uno de los rectángulos. Resuelve y simplifica las expresiones resultantes _________________ Suma todos los términos algebraicos del cuadrado mayor, del cuadrado menor y de ambos rectángulos hasta que obtengas una ecuación de la forma Ax 2 Bx C 0 . ________________________ La suma de las áreas de las cuatro secciones es de 121 pies. Iguala la expresión anterior a este número. ______________________ Factoriza la ecuación cuadrática y obtendrás la solución. Resuelve el mismo ejercicio de otra manera aplicando tu creatividad. Coméntalo con tus compañeros y tu maestro.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Iniciamos el estudio de este capítulo con un ejercicio donde se tiene la necesidad de aplicar el álgebra para calcular dimensiones largo y ancho de rectángulos, siendo conocida el área de esta figura. Pon mucha atención en este ejemplo:

Ejemplos resueltos: 1.- El señor Gastélum tiene un local para venta de ropa que mide 4 m por 6 m, y decide aumentar al lado corto el doble de lo que aumentará al lado largo. Sus posibilidades económicas son de tener un local de 64 m2 de área ya terminado. ¿Cuáles serán las nuevas dimensiones de largo y ancho? SOLUCIÓN: Datos: Área = 64 m2 Lado largo actual = 6 m Lado ancho actual = 4 m x = Lado aumentado al lado corto. 2x = Lado aumentado al lado largo. Área = (lado largo) (lado ancho) Ecuación (6 + x) (4 + 2x) = 64 Procedimiento (6 + x) (4 + 2x) = 64 24 4 x 12 x 2 x 2 64 2 x 2 16 x 40

x 2 8 x 20 0 ( x 10)( x 2) 0 x 10 x 2

Como es una ecuación cuadrática que tiene dos posibles soluciones, en este caso particular el valor de x que satisface al problema es x = 2. Por lo que las nuevas dimensiones serán: largo = 8 m. y ancho = 8 m. Recuerda que en todo tipo de problemas debes seguir pasos básicos como: leer y comprender bien el problema, anotar los datos que nos arroja el enunciado, identificar las variables, para en base a ello, escribir ecuaciones que pudieran ser resueltas por un procedimiento algebraico, y finalmente verificar el resultado. Tienes a continuación otro ejemplo para que lo analices, pon atención en la factorización de la ecuación cuadrática, recuerda que también lo puedes resolver mediante la fórmula general.

Solución de problemas asociados con álgebra y cálculo de áreas

Pág.

2.- Un editor de libros de historietas decide cambiar el tamaño de la portada para darle una nueva imagen, pero por motivo de costos desea conservar los 240 cm2 de área. Se le ocurre entonces aumentar la anchura en 3 cm y la longitud disminuirla 4 cm. ¿Cuáles son las dimensiones de la portada original? SOLUCIÓN: Datos: Área = 240 m2 X = lado ancho L = lado largo =

240 x

Nuevas dimensiones: Ancho = x+3 240 Largo = -4 x Ecuación 240 240 = (x+3) ( - 4) x Procedimiento: 240 4) x 720 240 240 4 x 12 x 720 12 4x x 720 x(12 4x ) x 12 x 4 x 2 720 240

( x 3)(

(12x

4x2

720) / 4

180

x 2 3 x 180 0 ( x 15)( x 12) 0 x x

15 12

El lado largo de la figura original es de 15 cm y el lado ancho de 12 cm.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Terminemos con otro ejemplo resuelto: 3.- El espacio para mi escritorio, que tiene forma de cuadrado, es muy pequeño, por lo que he decidido aumentarle seis pies a cada lado, y de esta forma el área se cuadruplica. ¿Qué dimensiones tiene actualmente? Datos: Lado = x Área actual = x 2 Nuevas dimensiones: Lado = x + 6 (aumenta 6 pies) Área nueva = 4x 2 (se hace 4 veces mayor) Resolución: ( x 6)( x 6) 4 x 2 x 2 12 x 36 4 x 2 4x 2

x 2 12 x 36 0

3 x 2 12 x 36 0 Es una ecuación cuadrática que se puede simplificar dividiéndola entre 3, para facilitar su factorización: x 2 4 x 12 0

( x 6)( x 2) x x

6 2

Solución: Actualmente el espacio de trabajo mide 6 pies de lado.

Solución de problemas asociados con álgebra y cálculo de áreas

Pág.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Ejercicios a resolver: Para verificar si has comprendido el tema, realiza los siguientes ejercicios relacionados con cálculo de áreas.

Ejercicio 1.- La habitación de mi casa es tres metros más larga que ancha y tiene un área de 40 metros cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones de la habitación? Ejercicio 2.- Se quiere sacar una ampliación de una fotografía, la cual tendrá de largo 2 pulgadas más que la anchura. Si su área es 24 pulgadas cuadradas. ¿Cuál será su longitud y su anchura? Ejercicio 3.- Un contratista debe ampliar un piso hasta tener una superficie de 104 m2 , actualmente el piso mide 13 m de largo por 8 m de ancho, y debe aumentar la misma cantidad de metros a lo largo y a lo ancho. ¿Cuántos metros aumentará a cada lado? ¿Cuáles serán las nuevas dimensiones del piso? Ejercicio 4.- Se tiene un área de recreo y caminata cuyo largo mide 240 m y ancho 150 m. Se quiere diseñar un andador de adoquín alrededor de un área verde rectangular de 22 000 m2 . Para efecto de diseñar bancas y áreas de descanso, el andador del frente medirá el doble de ancho que los otros tres lados del andador. ¿Cuántos metros cuadrados de adoquín se necesita comprar? Ejercicio 5.- Dos hermanos se repartirán un terreno que su padre les dejó como herencia, el Lic. Juárez les indica la forma de repartición que se acordó en el testamento. “El terreno mide de fondo el doble de lo que tiene de frente, y este se dividirá en dos partes de tal forma que la primer parte medirá 30 m a partir de la pared del frente y en forma paralela. La parte trasera del terreno medirá 3500 m 2 . La primer parte se entregará a José y la segunda a Matías. Calcule las dimensiones del terreno. ¿Cuál es el área que le tocará a José?

Solución de problemas asociados con álgebra y cálculo de áreas

Pág.

Ejercicio 6.- Si una pieza cuadrada de tapiz requiere 5 m más de longitud para cubrir una pared rectangular de 84 m2 . ¿Cuál es el área de la pieza adicional que debe comprarse? Ejercicio 7.- El área de un rectángulo es de x 2 1 cm 2 . Si la longitud es de x + 1 cm y el ancho de 5 cm ¿Qué área tiene el rectángulo?

Ejercicio 8.- Se quiere construir una base en forma de rombo para una estatua, cada lado mide 4 metros (como lo muestra la figura), con un adoquín de color rojo al igual que la plataforma circular, mientras que la plataforma cuadrada será con adoquín de color blanco. ¿Cuál es el área que le corresponde al área de piso rojo?

Ejercicio 9.- Por cuestión de espacio el tío Samuel decidió ampliar el corral de sus gallinas, el cual originalmente era un rectángulo de 96 m 2 . Para ello aumentó el largo 10 m. y el ancho en 14 m., quedando un corral de forma cuadrada. ¿Qué dimensiones tiene el nuevo corral?

Ejercicio 10.- Calcula el área sombreada de la figura, si el cuadrado inscrito tiene 8 cm de diagonal.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Ejercicio 11.- Hallar el área de un cuadrado que tiene un perímetro P = 20x +12y Ejercicio 12.- Hallar el área sombreada diagonal del rectángulo es de x + 5.

mostrada en la figura, considerando que la

Solución de problemas asociados con álgebra y cálculo de áreas

Pág.

Área de triángulos: Ejemplos resueltos: 1.- El área de un jardín en forma triangular es 30 m 2 . Determina la base y la altura del triángulo si esta última excede a la primera por 4 m.

Solución: Datos: Base = x Altura = x + 4 Área = (base) (altura) Área = 30 m 2 Procedimiento. xx 4 A 2 30(2) x 2 4 x x2

4 x 60

( x 10)( x 6) x 10

x 6 El jardín tiene una base de 6 m y una altura de 10 m.

2.- El terreno donde se construirá un monumento tiene forma de triángulo rectángulo, donde su lado más corto es 2 unidades menor que el mediano y 4 unidades menor que la hipotenusa. ¿Cuales son las dimensiones del terreno?, ¿Cuál es el área del terreno? Datos: Altura (lado mayor) = x +2 Base (lado menor) = x Hipotenusa = x + 4 Ecuación (teorema de Pitágoras) 2 2 x2 x 2 x 4 Procedimiento x2

x 2

x2 2x x

x2 2

x 4

4x 4 2

x 6 x 2

4 x 8 x 12

4 x 12

8 x 16 0

6 2

Área del terreno A= 6(8)= 48 m 2 .

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Ejercicios a resolver: Para verificar si has comprendido el tema, realiza los siguientes ejercicios relacionados con cálculo de áreas. Ejercicio 1.- Calcular las dimensiones de un triángulo rectángulo si su área es de 84 unidades cuadradas y uno de los catetos es 3 unidades más que el triple del otro cateto. Ejercicio 2.- Un terreno rectangular de 192 m 2 es dividido en dos partes iguales mediante su diagonal, la cual mide 4 unidades mayor que el lado largo y 8 unidades mayor que el lado corto. Calcula las dimensiones largo y ancho del triángulo. Ejercicio 3.- El área de una mesa triangular es de 30 pies cuadrados. Calcula la dimensión largo y ancho, si la primera excede a la última en 7 pies. Ejercicio 4.- Hallar el área de un triángulo equilátero de perímetro P = 12x Ejercicio 5.- Hallar el área sombreada, alrededor del triángulo, cuya altura es h

x . 2

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

RETOS PARA CAMPEONES 7.- Se tiene un tronco de madera circular al cual se le harán cortes para que la sección que se obtenga sea un cuadrado. ¿Cuál es el lado d?

D 8.- Si el área de un triángulo rectángulo isósceles es 9 y su hipotenusa es tangente al círculo. ¿Cuánto mide el área del círculo?

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

P.1.4 Solución de problemas asociados con Álgebra y cálculo de volúmenes Ejemplos resueltos 1.- El ancho de una cisterna mide una unidad mayor que su altura y de largo cuatro veces mayor que su altura. La diagonal que va de la esquina inferior a la esquina superior es de 13 metros. Determina las dimensiones de la cisterna y su volumen. Solución: Altura = x Ancho = x + 1 Largo = 4x Para calcular la diagonal de un prisma se utiliza la expresión D a 2 b 2 c 2 , donde a = ancho, b = largo y c = altura, D = diagonal = 13 Resolviendo: 13 x 2 ( x 1) 2 (4 x) 2

132

169 18x 2 18x 9x

2x 2

2a 1 16x 2

2x 1

2 x 168 0 x 84 0

b 2 4ac , donde a = 9, b = 1 y c = -84 2a Tenemos como resultado x = 3 (altura), por lo tanto ancho = 4 y largo = 12 El volumen es V = (largo)(ancho)(altura)= 3(4)(12)= 144 m 3

Utilizando la fórmula general x

2.- El volumen de un cilindro de 2 cm de radio es de 20 cm 3 . Si tenemos un cono con la misma altura que el cilindro anterior, pero con el doble de radio, ¿Cuál será su volumen? Solución: Volumen del cilindro volumen del cono r 2h V r 2h V 3 V ( 2) 2 h (4) 2 (5) V 20 4 h 3 20 V 26.67 h 4 h 5 El volumen del cono circular es de V = 26.67 cm 3 .

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

3.- Calcular el volumen de un prisma rectangular si su área total es de 108 cm 2 , el área de su base es de 12 cm 2 , su altura es tres unidades mayor que el ancho de la base y dos unidades mayor que el largo. Datos: Área total= 108 cm 2 = 2ab + 2bc + 2ac Área de la base= 12 cm 2 = ab Para manejar una sola variable, las variables a y b se despejan en función de c (altura): a=c–3 b=c–2 Solución: 2ab 2bc 2ac 108 2(12) 2(c 2)(c) 2(c 3)(c) 108

24 2c 2

2c 2

6c 108

(4c 2

10c 84 0) 2

2c 2

5c 42 0

(2c 7)(c 6) 0 7 c 2 c 6 Como c = 6, la altura del ortoedro será de 6 cm, y como es tres unidades mayor que el ancho y dos unidades mayor que la longitud de la base, entonces la base medirá 3 y 4 cm respectivamente. El volumen es V = 3(4)(6) = 72 cm 3 4.- El volumen de una caja es de h 3 5h 2 6h cm 3 , si su altura es h, su ancho dos unidades mayor que la altura y el largo de la base 6 cm, ¿Cuál es el volumen de la pirámide? Solución h 3 5h 2 6h h(h 2)(6) h(h 2 5h 6) h(h 2)(6) h(h 3)(h 2) h(h 2)(6) h 3 6 h 6 3 h 3 La altura es h = 3, por lo que ancho = 5 y el largo de la base es 6 cm. Volumen de la caja es: V = 6(5)(3) = 90 cm 3

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Ejercicios a resolver: Para verificar si has comprendido el tema, realiza los siguientes ejercicios relacionados con ecuaciones de la recta y la circunferencia. Ejercicio 1.- El volumen de una estufa es de 24 420 pl 3 y el área que ocupa la base es de 660 pl 2 . Calcular la altura de la estufa. Ejercicio 2.- El área total de una caja de zapatos sin la tapa es de 196 pl 2 y el área de su base es de 60 pl 2 . Calcular el volumen de la caja, si la altura es una unidad menor que su ancho y 1/3 de su longitud.

Ejercicio 3.- Un prisma rectangular tiene como largo el doble que el ancho; el ancho el doble que la altura. Si su diagonal mide 2 21 cm, ¿Cuál es el volumen de la caja? Ejercicio 4.- Si la diagonal de un cubo es 12 , ¿Cuál es su volumen? Recuerda que la diagonal se calcula con D a2 b2 c2 Ejercicio 5.- Con una cartulina de 200 cm 2 , cuyo largo mide el doble de la altura, se formó un cilindro de diámetro 6.38 cm. Calcula el volumen del cilindro.

Ejercicio 6.- El líquido contenido en un bote cilíndrico 90 cm 3 , se vaciará en un cono circular que tiene el mismo diámetro que el cilindro, pero solo ¾ partes de su altura. Determina el volumen del líquido que ocupará el cono.

Ejercicio 7.- una pirámide de base cuadrada tiene un volumen de h3 4h 2 12h cm 3 , la medida del lado de la base “a” mide 2 unidades mayor que la altura ¿Cuál es el volumen de la pirámide?

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

Ejercicio 8.- Hallar el volumen de un cilindro formado de una lámina cuadrada, que tiene una diagonal igual a 788768 cm. Ejercicio 9.- Determinar el volumen de un cono circular, si tiene el mismo diámetro que una esfera de volumen V = 36 3 y la altura del cilindro es el radio de dicha esfera.

Ejercicio 10.- Hallar el volumen de un cubo cuya diagonal AB = a 2 3 .

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

UNIDAD

2 1 P.2.1 – Solución de problemas algebraicos, que involucren distancias y ángulos (de elevación y depresión) en triángulos rectángulos. P.1.2 – Solución de problemas asociados con álgebra, que involucren distancias y ángulos en triángulos oblicuángulos.

PRESENTACIÓN: En esta unidad se plantearán problemas que se relacionen directamente con la resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos, mediante el uso de la Trigonometría, algunos de ellos serán problemas tipo, es decir, resolviendo directamente el triángulo, calculando algunos de sus catetos, la hipotenusa o ángulos faltantes, y otros serán de aplicación, procurando mostrarte problemas y ejercicios que te sean familiares o que se observen en nuestro contorno. En esta unidad utilizarás conceptos de Trigonometría, la distinción de ángulos de elevación y ángulos de depresión, las razones trigonométricas resultantes de las funciones seno, coseno y tangente en triángulos rectángulos y la aplicación de ley de senos y ley de cosenos en triángulos oblicuángulos. Sin olvidar, que en todo el curso, los pasos para plantear y resolver problemas son fundamentales.

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

Lectura para comentar. Adela levantó la vista a las preguntas. Había respondido sólo a dos. Eso era un cuatro. Miró en dirección a Nico, que estaba a su lado, y también a Luc, detrás de Nico. Los dos tenían la misma cara de angustia, de dolor de estómago recalcitrante, de mareo intenso, tez pálida, congestión ocular, cara de espasmo, como si aquello no pudiera ir con ellos. Contemplaban sus exámenes absortos. Tal vez esperaban un milagro. En las novelas policíacas siempre aparecía una pista de última hora, un dato perdido que conducía directamente al culpable. En los libros de fantasía, el mago de turno o el héroe de siempre lo solucionaba todo cuando más perdido parecía. Sólo en la vida real, y más aún en la dura realidad de las matemáticas, si no se sabía resolver un problema, no se sabía y punto. Adela suspiró. Dejó de contemplar a sus dos amigos y levantó la cabeza. Se encontró con los ojos de Felipe Romero, su profesor. Eso la hizo palidecer. Si pudiera resolver un problema más. Sólo uno. Leyó el enunciado de los problemas. O estaba en blanco o no lo entendía o lo intentaba y se perdía… Su único y lejano consuelo era que incluso Einstein había sido malo en matemáticas. Pasaron los minutos finales. Se pusieron de pie los últimos, caminaron hasta el escritorio y depositaron sus exámenes encima del montón de hojas escritas. Rehuyeron los ojos del maestro, pero sintieron su mirada fija en sus cuerpos. Como tres almas en pena salieron del colegio y echaron a andar hacia sus casas, los tres, Adela, Luc y Nico, en el mismo barrio y en la misma dirección. Lucía el sol, pero los nubarrones de su ánimo eran lo suficientemente espesos como para no dejarles ver nada. El que hubiese inventado las matemáticas tenía que ser por fuerza un amargado, un viejo cascarrabias sin nada de provecho que hacer, uno que odiase a la humanidad entera, y más aún a los niños, por que, a ver: ¿Quiénes estudiaban matemáticas, los mayores? ¡Ah, no, los niños y sólo los jóvenes! ¡Para fastidiar! Estaban pensando esto mismo los tres, cuando vieron el coche de Felipe Romero, circulando a velocidad muy reducida y con él asomado a la ventanilla. Parecía como si los buscara. Y al verlos detuvo su vehículo. - Hola- dijeron los tres expectantes. –Pasaba por aquí y los he visto, así que… Era mentira, los estaba buscando. ¿Cómo fallaron el tercer problema, Santo Dios?, No me digan que no lo sabían resolver. -Si no lo hicimos es que no lo sabíamos- se defendió Adela. ¿Lo intentaron? –Si- dijeron los tres a la vez. ¡Pues no puedo creerlo! ¡Ya sé que me dirán que se quedaron en blanco, pero…! ¡Por todos los planetas, es increíble! ¡Vimos eso en clase hace dos semanas! No era lo mismo. ¡Sí era lo mismo, Luc! –Gritó el profesor-. Con otras palabras, otra clase de pregunta y problema, pero la misma resolución.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

-Somos burros- bajó la cabeza Nico. ¡No son burros! ¡Lo que pasa es que se de dejan llevar por el pánico, invadir por el miedo, abrumar por el odio hacia las matemáticas y pierden la perspectiva! ¿Qué perspectiva? –Comenzó a protestar Luc. -¡Qué las matemáticas son un juego! Les formulan un problema y como no lo entienden al momento…, se acabó. ¿Qué pasa? ¿Tan difícil es estudiar un poco? Si lo vieran como el juego que es, les acabaría gustando. ¿Qué les digo siempre? -Que entender la pregunta ya es tener el cincuenta y uno por ciento de la resolución del problema –exhaló Adela. -¡Exacto! Hay preguntas con trampa y preguntas sencillas, preguntas que ya te dan la respuesta y preguntas que parecen tan complicadas que con sólo eliminar lo que sobra ya te dejan el problema igualmente resuelto. Pero hay que esforzarse un mínimo, leer el enunciado despacio y luego ir de lo sencillo, lo práctico. Un ejemplo: un caracol, una tortuga y una liebre hacen una carrera. Cuando los tres han recorrido un kilómetro ¿Quién ha avanzado más? -La liebre- dijo Nico sin pensarlo dos veces. El profesor lo miró con intención. -Si han recorrido los tres un kilómetro…, es lo mismo. Nadie ha hablado del tiempo que han tardado- recapacitó Adela. -Exacto. ¿Lo ven? Y casi estoy por darles una segunda oportunidad. ¿Lo haría? –saltó Adela. -Otro fin de semana estudiando para nada –se abatió Nico. -Mejor un fin de semana que todo el verano. Le dijo Luc. -No vale la pena, pero gracias -insistió Nico. Felipe Romero se levantó, dio media vuelta y se alejó de allí en dirección de su coche, dejándolos absolutamente planchados, conciente de que aceptarían una segunda oportunidad. “El asesinato del profesor de matemáticas”. Jordi Sierra I. Fabra, México: SEP, 2003

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

P.2.1 Solución de problemas asociados con Álgebra y triángulos rectángulos. Lo que debes recordar o conocer: Trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos y los lados de un triángulo cualquiera y las relaciones existentes entre ellos. Proviene de vocablos griegos: trígono, triángulo; y metría, medida. Las funciones trigonométricas tuvieron su origen en las frecuentes mediciones de terrenos que efectuaban los egipcios por las inundaciones que provocaba el río Nilo, así como la necesidad que tenían los antiguos griegos de realizar mediciones indirectas de las distancias y ángulos de la “esfera celeste”. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en la navegación, la geodesia y la astronomía, determinando principalmente distancias inaccesibles, muy lejanas o que no podían medirse directamente. En la actualidad se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en las ramas de la ingeniería. Las funciones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente, aunque para la resolución de triángulos rectángulos, que es el tema a desarrollar, utilizaremos con mayor frecuencia las funciones seno, coseno y tangente. Consideraremos al triángulo rectángulo, aquel que tiene un ángulo recto o de 90 º, dos catetos y una hipotenusa. Siendo cateto opuesto, el cateto que se encuentra frente al ángulo agudo de referencia; el cateto adyacente, aquel que junto a la hipotenusa forma el ángulo de referencia; la hipotenusa siempre será el mayor de los lados. A través de las funciones trigonométricas, si conocemos un cateto o la hipotenusa y un ángulo agudo en el triángulo rectángulo, podemos encontrar el lado faltante o los ángulos que se requieran.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Con estos catetos y la hipotenusa se pueden hacer combinaciones para tener las siguientes relaciones bรกsicas:

cat.opuesto hipotenusa cat.adyacente hipotenusa cat.opuesto cat.adyacente

sen cos tan

Veamos algunos ejemplos: Resolver los siguientes triรกngulos rectรกngulos: 1.- Un triรกngulo con ฮฒ = 63 ยบ, cateto adyacente b = 25; encontrar cateto adyacente a, y la hipotenusa. adyacente 25 cos 63 opuesto a sen63 hipotenusa h hipotenusa 25 25 h sen63 (25) a cos 63 a 22.27 h 55.06

2.- Un triรกngulo con ฮฑ = 72 ยบ, cateto opuesto a = 22, encontrar cateto adyacente b. tan 72 b b

opuesto adyacente

22 b

22 tan 72 7.15

Soluciรณn de problemas asociados con รกlgebra y teorema de Pitรกgoras

Pรกg.

3.- Un triángulo con catetos a = 8, b = 6; encontrar hipotenusa y los ángulos agudos.

tan A

op ady

8 1.3333 6

A tan 1 1.3333 A 53.13 tan B

op ady

sen53.13

op hip

8 h

8 sen53.13 h 10 h

6 8

B tan 1 .75 B 36.87

Ahora veremos unos ejemplos donde se apliquen estas funciones trigonométricas en situaciones que al plantearse el problema, se genera un triángulo rectángulo.

Ejemplos resueltos: 1.- Un globo aerostático de propaganda es sujetado por dos cuerdas con inclinación de 35 º y 45 º con respecto a la horizontal, y por una tercera cuerda perpendicular al suelo. Las dos primeras cuerdas están a 10 m de separación entre sí. Calcular la medida de cada una de las cuerdas. Solución: a tan 45 a tan 35 70 x x a 1 a tan 35 ( x) 70 x a 0.7002x a 70 x Igualando ambas ecuaciones:

70 x 0.7002x 70 1.7002x x 41.17

a 41.17 tan 35 (41.17)

28.83

tan 35

La longitud de las otras cuerdas es: 28.83 28.83 sen35 cos 45 b c 28.83 28.83 b c sen35 cos 45 b 50.26 c 40.77 La longitud de las tres cuerdas son 28.83 m, 50.26 m y 40.77 m.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

2.- Encontrar la altura a la que se encuentra una cruz sobre una iglesia y la altura de ella, si se mide desde un punto de observación a 9 m, un ángulo de 52º al pie de la cruz y 58º a la parte superior de la misma. Datos: y tan 52 9 x y tan 58 9 Solución:

x tan 52 (9) 9 tan 58 (9) x tan 52 (9) tan 58

tan 58 (9) tan 52 (9)

x 14.4 11.52 x

2.88m Altura de la cruz = 2.88 m y= tan 52 º(9) = 11.52 m (altura al pie de la cruz)

3.- ¿Qué ángulo de elevación tiene el sol, si una palmera de 5.5 m de altura proyecta una sombra de 12 m sobre la arena? Solución: 5.5 tan 12 24.62

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

Ejercicios a resolver: Para verificar si has comprendido el tema, realiza los siguientes ejercicios relacionados con solución de problemas que involucren distancias y ángulos en triángulos rectángulos. Ejercicio 1.- Determinar la altura de un águila que es observado por un ratón a un ángulo de elevación de 28 º y se encuentra a 80 m de éste.

Ejercicio 2.- Mi nieto Carlitos está volando un cometa con un ángulo de elevación de 32 º, encontrándose el cometa a una distancia de 25 m de él. Si al soltarle 5 m más de cuerda, conservando su mismo ángulo de inclinación, ¿Cuánto más recorrerá el cometa en la horizontal?

Ejercicio 3.- Una antena de televisión de 20 m de altura es sujeta por dos cables tensores con ángulos de inclinación de 23 º y 35 º respectivamente. ¿Qué distancia separa a ambos cables? Ejercicio 4.- Desde la altura de una torre de vigilancia, a 5 m sobre el nivel de la playa, un salvavidas observa en el mar a un nadador, a un ángulo de depresión de 6 º. Calcula la distancia a que se encuentra el nadador en relación a la torre de vigilancia. Ejercicio 5.- El Sr. Robles colocó una escalera a 2 m de distancia del muro de una vivienda y con un ángulo de elevación de 60 º para subir a la azotea. Al día siguiente colocó una escalera, 1 m más larga que la anterior. ¿A qué ángulo de inclinación el Sr. Robles colocó la segunda escalera? Ejercicio 6.- Calcular la altura que tiene un tanque cisterna, el cual se encuentra sobre una torre metálica, si desde un punto de observación a 15 m de distancia se mide un ángulo de elevación de 24 º al pie del tanque y 32 º a la parte superior del mismo.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Ejercicio 7.- Desde la ventana de un hotel se ve una estatua que está a 60 m de distancia. El ángulo de elevación del extremo superior de la estatua hacia la ventana es de 16 º y el ángulo de elevación de la base de la estatua a la misma ventana es de 21 º. ¿Qué altura tiene la estatua? Ejercicio 8.- Después de caminar por una ladera durante algunas horas, me encuentro con un letrero que dice: “los últimos 250 m, usted ha ascendido 25 m”, ¿qué ángulo de elevación tiene esta ladera? Ejercicio 9.- Desde un punto de observación, un topógrafo mide un ángulo de elevación de 40 º hacia un edificio, posteriormente se aleja de ese punto retirándose 30 m, tomando una nueva lectura de 33 º. ¿Qué altura tiene el edificio?

Ejercicio 10.- ¿Cuántos metros recorre un ciclista si tuvo que subir una cuesta de 2 º de inclinación y una señal en el camino indica que ha subido 25 metros? Ejercicio 11.- ¿Qué perímetro tiene un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio?

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

P.2.2 Solución de problemas asociados con Álgebra y triángulos oblicuángulos Lo que debes recordar o conocer: Hablar de triángulos oblicuángulos es hablar de triángulos que no tienen un ángulo de 90 grados en su interior, es decir, no son rectángulos. Los triángulos oblicuángulos pueden ser Acutángulos si tienen sus tres ángulos agudos, o pueden ser Obtusángulos si tienen un ángulo mayor de 90 grados y dos ángulos agudos. Para la resolución de triángulos oblicuángulos pueden utilizarse dos leyes muy importantes: Ley de Senos y ley de Cosenos dependiendo de los datos conocidos, que mínimo para resolver estos triángulos ocupamos tres datos, y siempre uno de ellos será un lado. La ley de senos es útil cuando se conocen dos ángulos y uno de los lados opuestos a uno de los ángulos conocidos. Esta ley expresa que en todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

a senA

b senB

c senC

Observa que para facilidad en los cálculos se acostumbra nombrar a los lados con una letra minúscula igual a la mayúscula de su vértice opuesto. Como no todos los problemas se pueden resolver por ley de senos, si se te dan dos lados y el ángulo entre estos dos lados, utilizaremos ley de cosenos que se expresa: “El cuadrado del lado faltante es igual a la suma de los cuadrados de los lados conocidos menos el doble producto de ambos lados y el coseno del ángulo que se forma entre ellos”

b 2 c 2 2bcCosA

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Iniciaremos con unos ejemplos que ilustren la utilización de ley de senos y ley de cosenos en triángulos oblicuángulos, y posteriormente algunas aplicaciones. 1.- Se tiene un triángulo con b = 18, c = 12, y un ángulo A = 116 º, calcular el lado a y los ángulos B y C. Por ley de cosenos: a 2 122 182 2(12)(18) cos116 a2

144 324 432(cos116 )

468 189.37

657.37

25.63

Por ley de senos podemos calcular senB sen116 18 25.63 sen116 (18) senB 25.63 1 B sen 0.6312 B 39.14

El ángulo C = 180 – 116 – 39.14 = 24.86 º 2.- Si se tiene un triángulo con a = 13, b = 15, c = 17, ¿Cuáles son sus ángulos interiores? Por ley de cosenos: por ley de senos: b2

c2 a2 cos A 2bc 2 15 17 2 132 cos A 2(15)(17) cos A 0.6764 A cos 1 0.6764 A 47.43

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

Ejemplos resueltos: 1.- Un puente peatonal es construido con una estructura metálica, como lo muestra la figura. Con los datos suministrados, calcula la longitud del puente.

Solución: Primeramente con la ley de senos calcularemos los ángulos faltantes en el triángulo. sen102 senA 22 10 sen102 (10) senA 22 senA .4446 A 26.39 El otro ángulo interior será: B = 180 – 26.39 – 102 = 51.61 º. Resultando un triángulo con las siguientes medidas: Por ley de cosenos calculamos el lado “a”: a 2 102 222 2(10)(22)Cos51.61 a2

100 484 440(0.6210)

584 273.24

310.76

a 17.62

El ángulo C = 90 º – 26.39 º = 63.31 º. Por la función seno en el triángulo rectángulo podemos calcular L, el cual es la mitad de la longitud del puente: L sen63.61 17.62 L sen63.61 (17.62)

L 15.78 Por lo que la longitud del puente es: 15.78 (2) = 31.56 m.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

2.- Una lámpara de alumbrado público, en el momento que el sol tiene un ángulo de elevación de 50 º proyecta una sombra de 8 m de longitud, y tiene las dimensiones que muestra la figura. Calcula la longitud del brazo de la lámpara que se indica. Trazamos un recta para formar un triángulo rectángulo y calcular ángulo A: 6.48 tan A 8 tan A 0.81

A tan 1 0.81 A 39 Por lo que B = 180 – 90 – 39 = 51 º En el triángulo oblicuángulo se forman los ángulos C y D, donde C = 180 – 59 – 51 = 70 º El ángulo D = 50 – 39 = 11 º Y por lo tanto el ángulo E = 180 – 70 – 11 = 99 º Podemos calcular la hipotenusa h, que es un lado del triángulo oblicuángulo. 8 cos 39 h 8 h cos 39 h 10.29 Por la ley de senos podemos calcular la longitud x del problema: sen11 sen99 x 10.29 sen11 (10.29) x( sen99 ) sen11 (10.29) x sen99 x 1.98 La longitud del brazo de la lámpara es de 1.98 m.

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

UNIDAD

3 P.3.1 – Resolución de problemas algebraicos, que involucren el cálculo de la distancia entre dos puntos. P.3.2 – Solución de problemas asociados con álgebra, que involucren el cálculo del punto medio y la división de un segmento en una razón dada. P.3.3 – Resolución de problemas algebraicos, que involucren la determinación de la ecuación de la recta en sus formas pendiente al origen y punto pendiente. P.3.4 – Solución de problemas asociados con álgebra, y donde se requiera la ecuación de la circunferencia. P.3.4 – Resolución de problemas algebraicos, que involucren la ecuación de la circunferencia y la recta.

PRESENTACIÓN: En esta unidad se plantearán problemas que se relacionen directamente con la Geometría Analítica, algunos de ellos serán problemas tipo, referentes a las ecuaciones de la recta, otros relacionados con las ecuaciones de la circunferencia, y finalmente, problemas en que se relacionen ecuaciones de la recta y la circunferencia. En esta unidad utilizarás conceptos relacionados con la recta, tal como el punto medio, la pendiente, la distancia entre dos puntos, la división de un segmento en una razón dada y sus ecuaciones.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

P.3.1 Solución de problemas asociados con Álgebra y distancia entre dos puntos. Lo que debes recordar o conocer: Una de las ramas de las matemáticas de gran importancia es la Geometría Analítica, la cual se encarga de estudiar figuras o lugares geométricos mediante análisis matemáticos y algebraicos. Permitiendo representar estas figuras geométricas mediante ecuaciones o inecuaciones con dos incógnitas. A través de la Geometría Analítica se une el álgebra y la geometría plana, como resultado de asociar coordenadas y figuras geométricas, y de analizar relaciones espaciales. Es imposible estudiar un curso de geometría analítica sin darle la debida importancia al sistema de ejes coordenados. Cuando pretendemos resolver un problema geométrico a través de esta disciplina, tenemos que recurrir a un sistema de ejes coordenados que consta de dos rectas perpendiculares entre sí, una recta vertical llamada eje Y o de las ordenadas, y un eje horizontal llamado eje X o de las absisas, siendo su punto de intersección el punto (0,0), llamado origen. Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, donde a cada punto P del plano coordenado le corresponde un único par de coordenadas (x,y), llamado par ordenado.

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

El sistema coordenado es llamado también sistema cartesiano en honor a Rene Descartes, que junto con Pierre Fermat, tiene crédito en la creación de la Geometría Analítica y que además sentarían las bases para el desarrollo del Cálculo integral y diferencial que hoy conocemos. Rene Descartes introdujo las bases del sistema de ejes coordenados en su obra “La Geometría”, publicada en 1637, en la cual se tiene la posibilidad de representar en forma gráfica las ecuaciones algebraicas.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. Para poder determinar la formula de la distancia entre dos puntos es de gran utilidad el teorema de Pitágoras, el cual nos dice que “La suma de los catetos al cuadrado es igual al cuadrado de la hipotenusa”, como se muestra en el siguiente esquema.

Del teorema de Pitágoras: 2 2 2 AB BC AC donde : d AB AC x 2 x1 BC

sustituyendo d2

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Ejemplos resueltos: 1.- Calcular la distancia que existe entre los puntos A (2,3) y B (-2,-5)

5 3

64 16

d d

x1 2 2

80 8.94

2.- Demostrar que los puntos (0,-4), (2,4) y (-3, -1) son los vértices de un triangulo rectángulo. Recuerda que la suma de los catetos al cuadrado debe ser igual a la hipotenusa al cuadrado, para que sea un triangulo rectángulo. dAB

dAB

64 4

dAB

dAC

9 9

dAC

dCB

25 25

dCB

dAB 68 68

2 2

dAC 18

2 0

dCB 50

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

Ejercicio x.- Tres centros comerciales se encuentran ubicados en A(1,7), B(8,6) y C(7,-1). ¿Qué ubicación debe tener una gasolinera, ubicada entre A y C, para que la distancia a los tres centros comerciales sea la misma?, ¿Qué distancia se tendrá que recorrer para llegar de cada punto hacia la gasolinera? Solución: Como los tres puntos forman un triángulo isósceles, para que la distancia sea la misma el punto G de la gasolinera tiene que estar en el punto medio. Punto medio entre A y C: x

2 1 7 x 4 2 El punto medio G es (4,3)

2 7 ( 1) 2

Distancia del punto B(8,6) al punto G(4,3)

8 4

d d

16 9

y2 6 3

Distancia del punto A(1,7) al punto G(4,3)

1 4

d d

9 16

y2 7 3

distancia del punto C(7,-1) a G(4,3)

7 4

d d

9 16

y2 1 3

La distancia que se recorre de cada centro comercial es de 5 km.

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Ejercicios a resolver: Para verificar si has comprendido el tema, realiza los siguientes ejercicios relacionados con cálculo de la distancia entre dos puntos. Ejercicio 1.- Calcular la distancia que existe entre los puntos A (-1,1) y B (5,-2) Ejercicio 2.- Muestra que los puntos (-2,-1), (5,-2) y (2,2) son los vértices de un triangulo isósceles. Ejercicio 3.- Demuestra que los puntos (-1,5), (-3,-2) y (4,-4) son los vértices de un triangulo rectángulo. Ejercicio 4.- Muestra que los puntos (-2,5), (5,3), (3,-4) y (-4,-2) son los vértices de un cuadrado. Ejercicio 5.- Calcular la distancia que existe entre los puntos (-3,-3) y (3,3) Ejercicio 6.- Calcular la distancia entre los puntos (4,3) y (6,3) Ejercicio 7.- Calcular la distancia entre los puntos (1/3, 3/4) y (13/3, 17/4) Ejercicio 8.- Demuestra que los puntos (-2,1), (1,5), (10,7) y (7,3) son los vértices de un paralelogramo. Ejercicio 9.- Dos de los vértices de un triangulo equilátero son los puntos A(-1,1) y B(3,1). Encuentra las coordenadas del tercer vértice. Ejercicio 10.- Demostrar que (6,5), (2,-1) y (3,7) son vértices de un triangulo rectángulo. Ejercicio 11.- Un centro deportivo está ubicado a la mitad de distancia de dos colonias cuyas coordenadas son: A(2,-2) y B(-8,4). Calcula la distancia que tiene que recorrer un habitante de otra colonia, ubicada en el punto C(5,3), al centro deportivo.

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

P.3.2 Solución de problemas asociados con punto medio y división de un segmento de recta Lo que debes recordar o conocer: DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA: Una razón es una comparación por cociente entre dos números, donde el divisor debe ser necesariamente distinto de cero, representado como a/b que se lee “a es a b” La razón de dos segmentos es el cociente de sus medidas con la misma unidad. Por ejemplo, si queremos dividir un segmento AB en una razón 3/5, tenemos que dividir el segmento AB en 3 + 5 = 8 partes iguales, donde la distancia de A a P es 3 unidades y la distancia de P a B es de 5, donde P es el punto que divide al segmento en la razón dada. AP 3 Esto lo podemos representar como , donde r = 3/5 PB 5 En el caso de segmentos dirigidos cuando P esta colocado dentro del segmento AB la razón es positiva y cuando P queda situado en la prolongación del segmento AB hacia delante o hacia atrás, la razón será negativa. Podemos encontrar las coordenadas de un punto P que divide un segmento en una razón dada

x x1 x2 x

AP PB x

r x2

rx2

x rx x1 r x

rx2

x1 rx2 1 r

De la misma manera se encuentra el valor de la ordenada para el punto P. y1 ry2 y 1 r

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Ejemplos resueltos: 1.- Sean P1 6,6 y P2 1,1 los puntos extremos de un segmento. Determinar las coordenadas del punto P x, y que divide al segmento en la razón r = 3/2 y1 ry 2 x1 rx2 y x 1 r 1 r 3 3 6 1 6 1 2 2 y x 3 3 1 1 2 2 y 3 15 x 2 3 5 2 La coordenada del punto será P(3,3) 2.- Uno de los extremos de un segmento de recta es P1 3,5 y el punto que lo divide en la 9 razón r = 1/3 es P ,4 . Determinar las coordenadas del punto que se encuentra en el 2 extremo P2 . y 1 r y1 y2 x1 rx2 r x 1 1 r 41 5 despejando 3 y2 1 x 1 r x1 x2 3 r 4 9 1 4 5 1 3 3 2 3 y2 x2 1 1 3 3 1 18 6 y2 3 x2 1 1 3 3 y2 1 x2 9 El punto extremo es (1,9)

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

Ejercicios a resolver: Para verificar si has comprendido el tema, realiza los siguientes ejercicios relacionados con la división de un segmento en una razón dada. Ejercicio 1.- Si el punto A( 3,15 ) y el punto B( 13,0 ) son los extremos de un segmento, calcular el punto P, que lo divide en la razón r = 2/3 Ejercicio 2.- Si A(-4,2 ) y B( 4,6 ) son los puntos extremos del segmento dirigido AB, calcular las coordenadas del punto P( x,y ) que divide este segmento en la razón r = -3. Ejercicio 3.- Si el punto A( 2,4 ) es un extremo del segmento AB y el punto P( 14,-12 ) es un punto externo que divide al segmento en la razón r = -2 . Hallar las coordenadas del punto B. Ejercicio 4.- Calcular las coordenadas del punto P( x,y ) que divide al segmento definido por el punto A( 5,4 ) y B( -1,-2 ) en la razón r = 1/2 . Ejercicio 5.- Encontrar las coordenadas del punto P( x,y ) que divide al segmento dirigido AB en la razón r = 2/3 , siendo A( 7,4 ) y B( -2,1 ). Ejercicio 6.- Los extremos de un cable están determinados por los puntos A(3,-1) y B(9,7). ¿En que puntos debo de hacer dos cortes para que el cable quede dividido en tres partes iguales?

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO. Es considerado como un caso especial de la división de un segmento, donde la razón es 1/1, es decir que ambos segmentos son iguales. Una fórmula muy sencilla pero a la vez muy importante que nos permitirá calcular las coordenadas del punto medio de un segmento es: x1 x 2 x 2 y1 y 2 y 2 Donde, P x, y es el punto medio acotado por P1 x1 , y1 y P2 x2 , y 2

Ejemplos resueltos: 1.- Hallar el punto medio del segmento definido por los puntos (-6,9) y (8,3) 6 8 x 2 x 1

y y

9 3 2 6

El punto medio P (x, y) será P (1,6)

2.- Las temperaturas registradas en los meses de mayo y agosto fueron respectivamente: Mes Mayo Agosto Grados centígrados (ºC) 35 45 Grados Fahrenheit (ºF) 95 113 Determina la temperatura promedio en ambas escalas. Solución: En el mes de Mayo se registró el par de temperaturas (35 ºC , 95 ºF) y en el mes de Agosto el par (45 ºC , 113 ºF), utilizando las fórmulas de un punto medio tenemos:

113 95 45 35 y 2 2 y 104 F x 40 C Por lo que la temperatura promedio registrada es (40 ºC , 104 ºF) x

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

Ejercicios a resolver: Para verificar si has comprendido el tema, realiza los siguientes ejercicios relacionados con el cálculo de un punto medio. Ejercicios 1.-: Calcular las coordenadas del punto medio en cada caso: a).- A(8,3) y B(-2,-6) b).- A(-2,-4) y B(4,-6) c).- A(3,-7) y B(5,1) d).- A(1/2,7/3) y B(18/5, 9/2) e).- A(-6,9) y (-2-6) Ejercicio 2.- Encontrar la coordenada del centro de una circunferencia que tiene como diámetro los puntos A(4,-1) y B(-2,5) y determina la longitud del radio. Ejercicio 3.- Un segmento de recta tiene como longitud 5 unidades y como uno de sus extremos el punto P(3,-2). Si la absisa del otro extremo es 6, hallar su ordenada y el punto medio del segmento. Ejercicio x.- Las coordenadas (-2,1), (5,2) y (2,-3) corresponden a los puntos medios de la ubicación de tres ciudades. ¿Qué ubicación tienen las ciudades?

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

P.3.3 Solución de problemas asociados con Álgebra y ecuación de la recta Lo que debes recordar o conocer: La representación gráfica de una ecuación de primer grado con dos variables es una recta, quedando determinada si se conocen dos de sus condiciones; las cuales pueden ser, su pendiente y uno de sus puntos, dos de sus puntos, los puntos de intersección con los ejes, etc. Esto determina que se puedan expresar distintas formas de la ecuación de una recta.  Ecuación general de la recta: Ax + By + C = 0; con A y B diferentes de cero.  Ecuación en la forma punto – pendiente: y

m( x x1 )

 Ecuación de la recta en la forma pendiente - ordenada al origen: y = mx + b  Ecuación simétrica o intersección con los ejes:

x a

y b

y 2 y1 ( x x1 ) x 2 x1 Las ecuaciones de la recta que estudiaremos en este curso son: ecuación punto – pendiente y ecuación pendiente – ordenada al origen. En ambos casos es necesario conocer el concepto de la pendiente m. La pendiente de una recta puede ser entendida como la tangente del ángulo de inclinación de la misma, es decir, m tan . La pendiente m es positiva cuando θ < 90º; la pendiente m de la recta será negativa cuando el ángulo θ > 90º,

 Ecuación dos puntos: y

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

Para efecto de este curso, analizaremos y resolveremos ejercicios donde se apliquen procedimientos algebraicos y ecuaciones de la recta en su forma pendiente- ordenada al origen y la forma punto – pendiente.

Ejemplos resueltos: 1.- Un automóvil tiene 8 años de uso y su valor actual es de 34, 000 pesos, pero hace tres años su valor era de 40,000 pesos. Si el valor del automóvil varía directamente con el tiempo, determina la ecuación que relaciona valor-tiempo transcurrido y calcula el valor del automóvil cuando era nuevo. Solución: Como el valor del automóvil se deprecia linealmente con el tiempo, esto nos indica que la pendiente de la ecuación resultará negativa. Y su ecuación será de la forma y = mx + b. Para calcular la pendiente m, es necesario pensar en dos pares ordenados: (8,34 000) y (5,40 000) y 2 y1 40000 34000 2000 x 2 x1 5 8 Por lo que el automóvil se deprecia 2000 pesos por año. m

Con un punto y su pendiente podemos calcular la ecuación: y y1 m( x x1 ) y – 40000 = -2000(x - 5) y – 4000 = -2000x + 10000 2000x + y -5000 = 0 (ecuación general) y = -2000x + 5000 (ecuación pendiente – ordenada al origen)

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

2.- Un técnico en aire acondicionado cobra 50 pesos por visitar al cliente a domicilio y revisar el aparato, pero además cobra 200 pesos por cada hora completa que dure dando el servicio, o de manera proporcional si dura minutos. Determina la ecuación que utiliza el técnico para cobrar y calcula cuánto tiempo se tardó dando el servicio si en total cobró 410 pesos Solución: Empezamos considerando a la ecuación de la forma y = mx + b Como b representa una cantidad constante, en este caso b será 50 pesos que siempre el técnico cobrará por ir a domicilio. 200 pesos es la cantidad que determina la variación del costo de acuerdo al tiempo transcurrido (representado por la variable x) La ecuación queda: y = 200x + 50 Como el costo total fue de 410 pesos, entonces necesitamos conocer el valor de x (tiempo): 410 = 200x + 50 410 – 50 = 200x x = 360/200 x = 1.80 horas, o 1 hora, 48 minutos 3.- En un café Internet se tiene registrado el costo de mantenimiento de unas impresoras, de acuerdo a este registro, los costos se dan en forma lineal como lo muestra la tabla. Considera el técnico desde su compra registrar 7 dólares de mantenimiento (por el costo de las tintas). Determina la ecuación correspondiente y calcula cuál será el costo de mantenimiento para una impresora a los seis años de uso. Edad de la impresora (años) Costo de mantenimiento (dólar)

0 7

1 7.4

2 7.8

6 X

Solución: El costo de inicio es de 7 dólares, este es el valor de b Se toman dos puntos cualesquiera, (1,7.4) y (2,7.8) para calcular m y 2 y1 7.8 7.4 4 2 m .4 x 2 x1 2 1 10 5

2 x 7 5 De esta ecuación se puede predecir el costo de mantenimiento a 7 años: 2 y (6) 7 5 y = 11 dólares La ecuación es y

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

Ejercicios a resolver: Para verificar si has comprendido el tema, realiza los siguientes ejercicios relacionados con ecuaciones de la recta. Ejercicio 1.- Un centro de venta de pizzas cobra 80 pesos por una pizza de peperoni grande, además 2 pesos por cada ingrediente extra. Determina la ecuación. La familia Pérez pagó por los ingredientes extras una octava parte de lo que cuesta la pizza sola. ¿Cuánto pagó en total? Ejercicio 2.- Un transportista de material pétreo cobra 95 pesos por cada metro cúbico más un flete de 8 pesos por cada kilómetro que recorra en la entrega del material, o en forma proporcional en metros. Determina la ecuación si su camión tiene una capacidad de 6 metros cúbicos. Una constructora que compró material pétreo le pagó en total por 5 viajes completos 791 pesos, ¿A que distancia se encuentra la construcción de la venta de materiales? Ejercicio 3.- Una empresa de acuerdo a sus registros considera que sus copiadoras, de inicio tendrán un mantenimiento de 5 dólares, y a partir de ahí un costo mayor de mantenimiento a medida que pasen los días. El primer año tuvo un costo de mantenimiento de 40 dólares y el segundo año un costo de mantenimiento de 70 dólares a) Determina la ecuación. b) ¿Cuál será el costo de mantenimiento a los 7 años?

Ejercicio 4.- La oficina de Agricultura tiene registrado las medidas de precipitación pluvial y el rendimiento de trigo correspondiente, como lo muestra la siguiente tabla: Precipitación pluvial (plg) Rendimiento (bushel)

1 1.35

2 2.60

3 3.85

10 X

Determina la ecuación de la recta que define la relación precipitación - rendimiento. ¿Cuál será el rendimiento para una precipitación pluvial de 10 plg? Ejercicio 5.- Durante el año pasado se registraron las siguientes temperaturas, anotando la máxima de cada mes de la temporada de calor. Encuentra la ecuación de la recta que establece la relación existente de grados Fahrenheit en función de los grados centígrados. mes Grados centígrados (ºC) Grados Fahrenheit (ºF)

Mayo 35 95

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Junio 40 104

Julio 38 100.4

Agosto 45 113

Pág.

Ejercicio 6.- La renta telefónica mensual es de 150 pesos; si pagamos 6 pesos por minuto en llamadas de larga distancia. a) Determinar la ecuación del gasto mensual telefónico. b) ¿Cuánto paga el usuario si consume 75 minutos al mes. Ejercicio 7.- Un plano inclinado se determina con la ecuación 4x – ky -8 = 0. a) Hallar el valor de k para que el plano tenga una pendiente igual a 3. b) Determinar la ecuación pendiente – ordenada al origen. Ejercicio 8.- Una carretera tiene como ecuación 3kx + 5y + k – 2 = 0. a) Determinar el valor de k para que la carretera pase por el punto (-1,4). b) Determinar su ecuación pendiente – ordenada al origen. Ejercicio 9.- El ingeniero de producción, en su informe anual, estimó que la compañía trabaja con gastos de mantenimiento de 300 pesos diarios al no haber producción; y 900 pesos cuando su producción es de 80 cuadernos. Determinar la ecuación que relacione a estas cantidades considerando que existe una relación lineal.

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

P.3.4 Solución de problemas asociados con Álgebra y ecuación de la circunferencia Lo que debes recordar o conocer: La ecuación general de la circunferencia es Ax 2 Con sus casos particulares:

Ejemplos: 2 x y 2 36 0

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

By 2

0 , donde A

10x 6 y 18

Pág.

Ejemplos resueltos: 1.- Hallar la ecuación y el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia al punto C (0,0) es siempre igual a 5. Nota: una circunferencia es un lugar geométrico donde todos sus puntos están a una misma distancia del punto fijo llamado centro, y apoyándonos en el trazo de su grafica y con el teorema de Pitágoras, podemos encontrar su ecuación.

25 0

2.- Un tubo metálico de 4 pulgadas por 4 pulgadas (4”x4”), será soldado a una placa circular cuyo diámetro mide 2” más que la diagonal de la sección del tubo metálico. Determinar la ecuación de la placa circular. Solución: La diagonal de la sección es: d 42 42 d

32 2 Si colocamos a la circunferencia en el orígen tendremos: x2 y2 r 2 r

32 2

32 4 8

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

P.3.5 Solución de problemas asociados con Álgebra y ecuaciones de la circunferencia y la recta Ejemplos resueltos: 1.- Se colocará un aspersor que cubra exactamente los vértices de un jardín rectangular de 4m de ancho y 5m de largo. Calcular la ecuación de la diagonal del rectángulo. Calcular la ecuación de la circunferencia. Solución: Ecuación de la recta: x y 1 a b x y 1 5 4 4 x 5 y 20 4 x 5 y 20 0 Se calcula el punto medio (x,y), que es el centro de la circunferencia (h,k). x y

5 0 2 4 0 2

5 2

5 2 ) 2

Se calcula el radio r

25 4

41 4

5 C (h, k ) ( ,2) 2

(4 2) 2

Ecuación de la circunferencia: 5 2 41 2 (x ) ( y 2) 2 ( ) 2 4 25 41 ( x 2 5x y2 4y 4 )4 4 4 4 x 2 20x 25 4 y 2 16 y 16 41

4x 2

4y2

20x 16 y 0

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

Ejercicios a resolver: Para verificar si has comprendido el tema, realiza los siguientes ejercicios relacionados con ecuaciones de la recta y la circunferencia. Ejercicio 1.- ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro está definido por la recta x + y - 6 = 0, considerando que con los ejes x y y forma un triángulo inscrito con un área A = 36 cm 2 ? Ejercicio 2.-

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.

SOLUCIÓN A LOS RETOS PARA CAMPEONES 1.- Se tienen varios polígonos, como lo muestra la figura, donde ABC es un triángulo equilátero, CDF es triángulo isósceles y ACDE es un rectángulo. Calcular la medida del ángulo BCF, si la medida del ángulo CDF = 35º. Resolución:

Si observamos alrededor del vértice C, nos damos cuenta que llega el ángulo ACD, el cual por ser un ángulo recto mide 90 º. El ángulo ACB por ser de un triángulo equilátero mide igual que los otros dos ángulos interiores, y por lo tanto cada uno mide 60 º. Como el triángulo CDF es isósceles, el ángulo CDF mide = 35º, entonces DFC = 35 º y por ser ángulos suplementarios: DCF = 110 º. Los cuatro ángulos que llegan al vértice C deben sumar 360 º, por lo que el ángulo BCF se calcula como: BCF = 360 – 90 – 60 – 110 BCF = 100 º.

2.- Calcular la medida del ángulo x del siguiente octágono irregular: Resolución: Como es un octágono, la suma de los ángulos interiores la podemos calcular mediante la expresión: (n – 2)(180 º). Donde n = número de lados. (8 – 2)(180 º) = 1080 º Sumando todos los ángulos interiores tenemos la ecuación: 90 + 55 + 4x + (360 – x) + 110 + x + x + (180 – 70) = 1080 725 + 5x = 1080 5x = 1080 – 725 5x = 355 x = 71 º

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

SOLUCIÓN A LOS RETOS PARA CAMPEONES 3.- Tres localidades se encuentran localizadas a lo largo de una costa, a una separación de la primera a la última de 10 km. La localidad intermedia está en línea perpendicular a una isla. Si la distancia de isla a la tercera localidad es de 60 Km. ¿Qué distancia existe de la isla a las otras dos localidades? Solución: Calculando la distancia de D a B AB BC BC BD 10 60 60 BD 60 BD 10 BD 6 Calculando la distancia de AC:

AB AC AC AD 10 AC AC 4 2 AC 40 AC

Calculando la distancia CD: AC CB CD BD 40 60 CD 6 CD 60 6 40

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

6 40 40 6 60 60 12 4.89 6

6 4 6

Pág.

SOLUCIÓN A LOS RETOS PARA CAMPEONES 4.- En la siguiente figura CD = 80, CE = 64 y AB = 25. Calcular AD, DE, AE y BC. Solución: Determinar el valor de AC: AC CD CD CE AC 80 80 64 AC 100

Como AC = 100 entonces AE = 100 – 64 = 36. Podemos calcular AD:

Calculando DE:

AC AD AD AE 100 AD AD 36 AD 2 100(36)

AD DE 60 DE 80DE

3600 60

CD CE 80 64 60(64) 3840 80 48

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Calculando BC:

BC CD AB DE BC 80 75 48 48BC 80(75) 6000 BC 48 BC 125

Pág.

Soluciรณn de problemas asociados con รกlgebra y teorema de Pitรกgoras

Pรกg.

SOLUCIÓN A LOS RETOS PARA CAMPEONES 5.- Realiza la demostración del teorema de Pitágoras mediante la utilización de cada una de las figuras mostradas, (o ambas a la vez).

Figura 1.-

Figura 2.-

Solución: (utilizando ambas figuras) Si calculamos el área total de la figura 1 tenemos: 2 A a b

A a2

2ab b 2

Calculando el área total de la figura 2: 4ab A c2 2 2 A c 2ab Igualando ambas expresiones: a 2 2ab b 2 c 2 2ab

Unidad 1: Problemas de álgebra y geometría plana

Pág.

SOLUCIÓN A LOS RETOS PARA CAMPEONES 6.- Un jardinero decide fraccionar su patio trasero, el cual es un cuadrado de 10 m de lado, para colocar banquetas a los lados del césped; trazando dos líneas desde dos de los vértices a los puntos medios de su lado opuesto, si la sección no sombreada será césped, ¿Cuánto medirá el área de banqueta? Resolución. Por teorema de Pitágoras podemos calcular la hipotenusa AE. h 102 5 2

Por lo que el segmento AO medirá 75 x Por teorema de Tales, considerando que los triángulos AOC y ACE son triángulos semejantes: 10 5 75 x x

10x 5( 75 x) 10x 5 75 5 x 15x 5 75 x x

5 75 15 25 3 15

5 3 3

Y calculando el segmento OC: 52 (OC ) 2 OC

5 3 3 25 50 3

2.88 El área del triángulo AOC es:

(OC ) 2 75 9 16.67

( 75 x)(4.08) 2 ( 75 2.88)(4.08) A 2 A 11.79 A

4.08

Área de la banqueta es de 11.79 m 2

Solución de problemas asociados con álgebra y teorema de Pitágoras

Pág.