Matemáticas 4º ESO Opción B
Matemáticas 4º ESO (Opción B)
Colegio Santa María del Carmen Alicante Profesora: Victoria Alfosea 1
Matemรกticas 4ยบ ESO Opciรณn B
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Matemáticas 4º ESO Opción B
Índice de contenidos
Introducción .........................................................................................................................3 Objetivos generales de Matemáticas para la ESO ..............................................................4 Criterios de evaluación para Cuarto de ESO, opción B .......................................................5 Competencias básicas.........................................................................................................6 Metodología .........................................................................................................................8 Índice de unidades y temporalización ..................................................................................9 Criterios de calificación ......................................................................................................10 Unidad 1: Trigonometría básica .....................................................................................11 Unidad 2: Resolución de triángulos................................................................................27 Unidad 3: Vectores.........................................................................................................43 Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos .......................................................................61 Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales .....................................................89 Unidad 6: Inecuaciones................................................................................................107 Unidad 7: Límites de sucesiones .................................................................................133 Unidad 8: Estudio de las funciones ..............................................................................151 Unidad 9: Tipos de funciones.......................................................................................181 Unidad 10: Cálculo de derivadas .................................................................................199 Unidad 11: Combinatoria..............................................................................................215 Apéndice: Lenguaje matemático ..................................................................................241
Introducción El material que tienes en las manos es una guía didáctica para el seguimiento del curso. A través de las explicaciones teóricas, sus numerosos ejercicios, más otros que te propondremos durante el curso, queremos conseguir que esta guía te sirva de ayuda, no sólo para comprender los fundamentos de las Matemáticas, sino que pretendemos que te llegue a interesar esta materia tanto como a tus profesores, e incluso, consigas quererla tanto como la queremos nosotros. Aquí encontrarás los objetivos, contenidos, criterios de evaluación (acordes a la Ley Orgánica de Educación 2/2006, de 3 de mayo, y que se concretan en el REAL DECRETO, BOE, 1631/2006, de 29 de diciembre, en el DECRETO 112/2007. DOGV, de 20 de julio), así como su contribución a la adquisición de las competencias básicas (o aprendizajes que se consideran imprescindibles), la metodología empleada y la temporalización de las unidades didácticas que necesitas conocer para el correcto aprovechamiento del curso que ahora comienzas. Te rogamos que sepas disculpar los posibles errores que pudieras encontrar en esta guía, y que no dudes en comunicárnoslos a los profesores para que podamos mejorarla en futuras versiones. Profesores de 4º de ESO
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Objetivos generales de Matemáticas para la ESO La enseñanza de las Matemáticas en esta etapa tendrá como objetivo el desarrollo de las siguientes capacidades: 1. Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al lenguaje y modos de argumentación las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto en los procesos matemáticos o científicos como en los distintos ámbitos de la actividad humana, con el fin de comunicarse de manera clara, concisa y precisa. 2. Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas matemáticas adquiridas a situaciones de la vida diaria. 3. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos matemáticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y analizar los resultados utilizando los recursos más apropiados. 4. Detectar los aspectos de la realidad que sean cuantificables y que permitan interpretarla mejor: utilizar técnicas de recogida de la información y procedimientos de medida, realizar el análisis de los datos mediante el uso de distintas clases de números y la selección de los cálculos apropiados, todo ello de la forma más adecuada, según la situación planteada. 5. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos, cálculos, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras fuentes de información, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos elementos matemáticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los mensajes. 6. Identificar las formas planas o espaciales que se presentan en la vida diaria y analizar las propiedades y relaciones geométricas entre ellas; adquirir una sensibilidad progresiva ante la belleza que generan. 7. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenadores, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el aprendizaje. 8. Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de acuerdo con modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de soluciones. 9. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la identificación y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en función del análisis de los resultados y de su carácter exacto o aproximado. 10. Manifestar una actitud positiva muy preferible a la actitud negativa ante la resolución de problemas y mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito y adquirir un nivel de autoestima adecuado, que les permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, estéticos y utilitarios de las Matemáticas. 4
Matemáticas 4º ESO Opción B 11. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van adquiriendo desde las distintas materias de modo que puedan emplearse de forma creativa, analítica y crítica. 12. Valorar las Matemáticas como parte integrante de nuestra cultura: tanto desde un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual y aplicar las competencias matemáticas adquiridas para analizar y valorar fenómenos sociales como la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad entre los sexos o la convivencia pacífica.
Criterios de evaluación para Cuarto de ESO, opción B 1. Planificar y utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización. 2. Expresar verbalmente con precisión y rigor, razonamientos, relaciones cuantitativas e informaciones que incorporen elementos matemáticos, valorando la utilidad y simplicidad del lenguaje matemático. 3. Utilizar los distintos tipos de números y operaciones, junto con sus propiedades, para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria y otras materias del ámbito académico. 4. Calcular el valor de expresiones numéricas de números racionales (basadas en las cuatro operaciones elementales y las potencias de exponente entero que contengan, como máximo, tres operaciones encadenadas y un paréntesis), aplicar correctamente las reglas de prioridad y hacer un uso adecuado de signos y paréntesis. 5. Simplificar expresiones numéricas irracionales sencillas (que contengan una o dos raíces cuadradas) y utilizar convenientemente la calculadora científica en las operaciones con números reales, expresados en forma decimal o en notación científica y aplicar las reglas y las técnicas de aproximación adecuadas a cada caso; valorar los errores cometidos. 6. Dividir polinomios y utilizar la regla de Ruffini y las identidades notables en la factorización de polinomios. 7. Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita e interpretar gráficamente los resultados. 8. Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado o de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 9. Utilizar instrumentos, fórmulas y técnicas apropiadas para obtener medidas directas, y para las indirectas en situaciones reales. 10. Utilizar las unidades angulares del sistema métrico sexagesimal, y las relaciones y razones de la trigonometría elemental para resolver problemas trigonométricos de contexto real, con la ayuda, si es preciso, de la calculadora científica. 11. Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica plana para representar, describir y analizar formas y configuraciones geométricas sencillas.
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Matemáticas 4º ESO Opción B 12. Identificar relaciones cuantitativas en una situación, determinar el tipo de función que puede representarlas y aproximar e interpretar la tasa de variación a partir de una gráfica, de datos numéricos o mediante el estudio de los coeficientes de la expresión algebraica. 13. Representar gráficamente e interpretar las funciones constantes, lineales, afines o cuadráticas por medio de sus elementos característicos (pendiente de la recta, puntos de corte con los ejes, vértice y eje de simetría de la parábola) y las funciones exponenciales y de proporcionalidad inversa sencillas por medio de tablas de valores significativas, con la ayuda, si es preciso, de la calculadora científica. 14. Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos, así como los parámetros estadísticos más usuales en distribuciones unidimensionales y valorar cualitativamente la representatividad de las muestras utilizadas. 15. Determinar e interpretar el espacio muestral y los sucesos asociados a un experimento aleatorio, simple o compuesto; utilizar la Ley de Laplace, los diagramas de árbol, las tablas de contingencia u otras técnicas combinatorias para calcular probabilidades simples o compuestas. 16. Aplicar los conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver diferentes situaciones y problemas de la vida cotidiana.
Competencias básicas En el marco de la propuesta realizada por la Unión Europea, se han identificado ocho competencias básicas: 1. Competencia en comunicación lingüística. 2. Competencia matemática. 3. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. 4. Tratamiento de la información y competencia digital. 5. Competencia social y ciudadana. 6. Competencia cultural y artística. 7. Competencia para aprender a aprender. 8. Autonomía e iniciativa personal. Puede entenderse que todo el currículo de la materia contribuye a la adquisición de la competencia matemática, puesto que la capacidad para utilizar distintas formas de pensamiento matemático, con objeto de interpretar y describir la realidad y actuar sobre ella, forma parte del propio objeto de aprendizaje. Todos los bloques de contenidos están orientados a aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación matemática y expresarse y comunicarse en el lenguaje matemático, utilizando las herramientas adecuadas, e integrando el conocimiento matemático con otros tipos de conocimiento para obtener conclusiones, reducir la incertidumbre y para enfrentarse a situaciones cotidianas de diferente grado de complejidad. Conviene señalar que no todas las formas de enseñar Matemáticas contribuyen por igual a la adquisición de la competencia matemática: el énfasis en la funcionalidad de los aprendizajes, su utilidad para comprender el mundo que nos rodea o la misma selección de estrategias para la resolución de un problema, determinan la posibilidad real de aplicar las Matemáticas a diferentes campos de conocimiento o a distintas situaciones de la vida cotidiana.
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Matemáticas 4º ESO Opción B La discriminación de formas, relaciones y estructuras geométricas, especialmente con el desarrollo de la visión espacial y la capacidad para transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio contribuye a profundizar la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. La modelización constituye otro referente en esta misma dirección. Elaborar modelos exige identificar y seleccionar las características relevantes de una situación real, representarla simbólicamente y determinar pautas de comportamiento, regularidades e invariantes, a partir de las que poder hacer predicciones sobre la evolución, la precisión y las limitaciones del modelo. Por su parte, la incorporación de herramientas tecnológicas como recurso didáctico para el aprendizaje y para la resolución de problemas, contribuye a mejorar el tratamiento de la información y competencia digital de los estudiantes, del mismo modo que la utilización de los lenguajes gráfico y estadístico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de comunicación. No menos importante resulta la interacción entre los distintos tipos de lenguaje: natural, numérico, gráfico, geométrico y algebraico como forma de ligar el tratamiento de la información con la experiencia de las alumnas y alumnos. Las Matemáticas contribuyen a la competencia en comunicación lingüística ya que son concebidas como un área de expresión que utiliza continuamente la expresión oral y escrita en la formulación y expresión de las ideas. Por ello, en todas las relaciones de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, y en particular en la resolución de problemas, adquiere especial importancia la expresión tanto oral como escrita de los procesos realizados y de los razonamientos seguidos, puesto que ayudan a formalizar el pensamiento. El propio lenguaje matemático es, en sí mismo, un vehículo de comunicación de ideas que destaca por la precisión en sus términos y por su gran capacidad para transmitir conjeturas gracias a un léxico propio de carácter sintético, simbólico y abstracto. Las Matemáticas contribuyen a la competencia cultural y artística porque el mismo conocimiento matemático es expresión universal de la cultura, siendo, en particular, la geometría parte integral de la expresión artística de la humanidad al ofrecer medios para describir y comprender el mundo que nos rodea y apreciar la belleza de las estructuras que ha creado. Cultivar la sensibilidad y la creatividad, el pensamiento divergente, la autonomía y el apasionamiento estético son objetivos de esta materia. Los propios procesos de resolución de problemas contribuyen de forma especial a fomentar la autonomía e iniciativa personal porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. También, las técnicas heurísticas que desarrolla constituyen modelos generales de tratamiento de la información y de razonamiento y consolida la adquisición de destrezas involucradas en la competencia de aprender a aprender tales como la autonomía, la perseverancia, la sistematización, la reflexión crítica y la habilidad para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo. La aportación a la competencia social y ciudadana desde la consideración de la utilización de las matemáticas para describir fenómenos sociales. Las matemáticas, fundamentalmente a través del análisis funcional y de la estadística, aportan criterios científicos para predecir y tomar decisiones. También se contribuye a esta competencia enfocando los errores cometidos en los procesos de resolución de problemas con espíritu constructivo, lo que permite de paso valorar los puntos de vista ajenos en plano de igualdad con los propios como formas alternativas de abordar una situación.
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Metodología
En la primera sesión de cada unidad didáctica, los profesores trataremos de motivar al alumnado sobre la materia de la que se trate, evaluando los conocimientos previos mediante preguntas orales, ejemplos, curiosidades... Según la naturaleza del tema, se optará por dar o no el esquema de la unidad en las primeras sesiones o al final del tema (para fijar conceptos y aclarar ideas). En general, los profesores explicamos los contenidos nuevos del tema en la pizarra y, al final de cada sesión se pide al alumnado que realice varios ejercicios (tanto de la parte explicada como de contenidos anteriores) para que pueda practicar. Al día siguiente, se comentan las soluciones, se resuelven dudas, y se hacen en la pizarra los ejercicios que han presentado mayor dificultad. El día previo a la realización de la prueba escrita, se intenta repasar (si hay tiempo) los conceptos y procedimientos más importantes vistos en clase. En la última sesión, se realiza una prueba escrita de los contenidos explicados. Para conseguir los objetivos propuestos en cada unidad: − los profesores proponemos numerosos ejercicios (en la pizarra) que el alumno debe realizar para la correcta asimilación de los mismos. Aquellos ejercicios que no formen parte de este dossier, se responden en la libreta del alumno. − se pregunta al alumnado (casi a diario, y al azar) sobre conceptos y procedimientos del tema o de temas anteriores. − es habitual la realización de ejercicios que han aparecido en exámenes anteriores (con muy buena acogida por parte de los alumnos). − siempre que haya tiempo, se suelen hacer “simularos” de exámenes que no tienen carácter evaluador, pero que permite al alumnado tener una idea mucho más clara de lo que se les va a pedir. Eventualmente se propondrán a los alumnos exposiciones voluntarias de una parte de alguna unidad didáctica, nueva o de repaso, para que sea el alumno quien la explique al resto de compañeros. Estas exposiciones son siempre individuales. El alumno podrá contar con cualquier material de apoyo que requiera: libros, apuntes, transparencias, video proyector... La elección de los alumnos para la realización de estas exposiciones siempre quedará a criterio del profesor. Las preguntas que realizan los alumnos son muy valoradas por parte de los profesores, así como el esfuerzo, el interés, trabajo en este dossier...
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Índice de unidades y temporalización
Primera evaluación (del 15 de septiembre al 5 de diciembre): Unidad 1: Trigonometría básica .....................................................(10 sesiones) Unidad 2: Resolución de triángulos ..............................................(11 sesiones) Unidad 3: Vectores ..........................................................................(8 sesiones)
Segunda evaluación (del 9 de diciembre al 2 de marzo): Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos .....................................(9 sesiones) Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales ...................(8 sesiones) Unidad 6: Inecuaciones ..................................................................(10 sesiones)
Tercera evaluación (del 3 de marzo al 25 de mayo): Unidad 7: Límites de sucesiones....................................................(9 sesiones) Unidad 8: Estudio de las Funciones...............................................(8 sesiones) Unidad 9: Tipo de funciones ...........................................................(8 sesiones) Unidad 10: Cálculo de derivadas ....................................................(7 sesiones) Unidad 11: Combinatoria.................................................................(8 sesiones)
El número de sesiones es un dato aproximado, ya que depende de numerosos factores. En cada evaluación hay más sesiones de las programadas aquí. Se pretenderá comenzar las unidades de la segunda y tercera evaluación antes de su comienzo oficial, así conseguiremos avanzar materia a la vez que evitaremos la coincidencia de exámenes al final de las evaluaciones.
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Criterios de calificación Por encima de la rigidez de los porcentajes, estará siempre presente la flexibilidad de la evaluación acorde con las características y necesidades concretas que cada alumno presente.
Evaluación inicial Durante las primeras sesiones del curso se realiza una prueba-diagnóstico inicial con los contenidos del curso anterior. Una calificación de Apto en esta prueba permitirá superar la materia caso de que estuviera pendiente del curso anterior.
Evaluaciones trimestrales: − Ocasionalmente, y no a todos los alumnos, podrá hacerse un seguimiento del trabajo diario (mirar la libreta de clase) que puede llegar a determinar el aprobado o no de la materia. ( ± 5 %) − Interés demostrado por el alumno a través de preguntas en clase, exposición de trabajos, corrección de actividades, etc.: 10 % − Pruebas escritas tras cada Unidad Didáctica: 90 % − Exposiciones voluntarias en clase (+ 1 punto). Desde que acaba la 3ª evaluación hasta el comienzo de la evaluación final, y siempre que las circunstancias del horario lo permitan, es decir, que se disponga de horas suficientes, se adelantará materia, que será evaluable (si hay suficientes horas lectivas) en la evaluación final a través de una prueba escrita.
Evaluación final: Se calculará la media aritmética de las tres evaluaciones. El alumno-a recuperará los exámenes suspendidos, pero, en todo momento, los profesores favoreceremos el avance progresivo del alumno o alumna. Cada alumno o alumna podrá subir la calificación final, si la global está aprobada a la nota inmediatamente superior, siempre y cuando la calificación numérica de la global tenga las décimas superiores a 5. Si el alumno-a no consigue el Apto, tiene una nueva oportunidad de aprobar la asignatura en la convocatoria de septiembre, en este caso, con TODA la asignatura y previa entrega de los trabajos previstos para las vacaciones de verano. En todo momento, y en especial a la hora de la evaluación final se tendrá en cuenta de que los mínimos exigidos en esta opción son más altos que los de la opción A.
Recuperar la materia pendiente: El alumno o alumna dispone de dos oportunidades durante el curso para superar la materia si la tuviera pendiente de 3º de ESO: 1. Aprobando la prueba inicial (con contenidos de 3º de ESO) que se realiza en durante las primeras sesiones de curso. 2. Aprobando, al menos, una evaluación en el presente curso. El alumno,a deberá tener siempre presente que no podrá examinarse en la prueba final de junio de 4º de ESO si no tiene previamente aprobada la asignatura correspondiente del año anterior. Si se diera esta situación, el alumno,a deberá superar el(los) examen(es) del curso(s) anterior(es) antes de poderse examinar del curso actual. Esto será válido para las convocatorias de junio y septiembre. 10
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Unidad 1: Trigonometría básica
[La elegancia de los teoremas geométricos es]
directamente proporcional al número de ideas que en ellos vemos, e inversamente proporcional al esfuerzo requerido para comprenderlos.
George Polya (matemático húngaro, 1887 – 1985)
Unidad 1: Trigonometría básica 11
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Unidad 1: Trigonometría básica
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Unidad 1: Trigonometría básica
Índice de la unidad
Unidad 1: Trigonometría básica.....................................................................................15 1.1 Introducción .........................................................................................................15 1.2 Medida de ángulos...............................................................................................15 1.3 Razones trigonométricas .....................................................................................16 1.4 Uso de la calculadora...........................................................................................17 1.5 Relaciones trigonométricas fundamentales .........................................................18 1.6 Ángulos notables .................................................................................................19 1.6.1 Reglas nemotécnicas ....................................................................................20 1.7 Ampliación del concepto de ángulo .....................................................................20 1.7.1 Ángulos mayores de 360º..............................................................................20 1.7.2 Esfera goniométrica.......................................................................................20 1.7.3 Signo de las razones trigonométricas............................................................21 1.7.4 Razones trigonométricas (directas) de un ángulo cualquiera........................21 1.7.5 Ángulos situados en distintos cuadrantes con razones iguales.....................22 1.8 Resolución de problemas.....................................................................................23 Objetivos: en esta unidad aprenderás a ... − Utilizar, indistintamente, grados y radianes en las operaciones − Realizar cálculos trigonométricos − Calcular distancias y ángulos en triángulos rectángulos − Usar la terminología específica de la trigonometría − Utilizar con soltura la calculadora con operaciones trigonométricas
Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad: − Utilizar tanto el sistema sexagesimal como el radián para expresar la medida de los ángulos y efectuar operaciones con ellos, con y sin calculadora (C1, C2, C3 y C4). − Analizar las relaciones que existen entre los lados y los ángulos en los triángulos rectángulos y expresarlas mediante las razones trigonométricas para aplicarlas a la resolución de los problemas de triángulos (C1, C2, C7 y C8) − Desarrollo del pensamiento científico para interpretar la información que se recibe con la trigonometría es la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3). − Aplicar destrezas que permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación y expresarse matemáticamente cuando se tratan conceptos trigonométricos (C1 y C2). − Cultivar la sensibilidad, la creatividad y el apasionamiento estético son objetivos de algunos de los apartados de esta unidad (C6).
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Unidad 1: Trigonometría básica
Criterios de evaluación − Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo − Calcula las razones trigonométricas de un ángulo del cual se conoce una cualquiera de ellas − Obtiene las razones trigonométricas de un ángulo con ayuda de las de otro que pertenece al primer cuadrante − Aplica las relaciones fundamentales para la resolución de problemas − Aplica el cálculo de razones trigonométricas a la resolución de problemas relacionados con las matemáticas, las otras ciencias o la vida cotidiana
Contenidos conceptuales
− Grados, minutos y segundos como unidades de medida angular. Radianes − Relación entre los grados sexagesimales y los radianes − Seno, coseno y tangente de un ángulo agudo − Cosecante, secante y cotangente de un ángulo agudo − Relaciones fundamentales − Ampliación del concepto de ángulo: mayores que 360°. Esfera goniométrica − Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera − Ángulos suplementarios y opuestos: razones
Contenidos procedimentales − Expresión de la medida de un ángulo en radianes (grados sexagesimales) cuando se conoce su medida en grados sexagesimales (radianes) − Cálculo de las razones trigonométricas ángulos agudos de un triáng. rectángulo − Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo utilizando la calculadora científica − Cálculo del valor de un ángulo mediante la calculadora científica y conociendo una de sus razones trigonométricas − Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo conociendo una de ellas − Expresión de un ángulo mayor que 360° como suma de un número entero de vueltas completas y un ángulo menor que 360°
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Unidad 1: Trigonometría básica
Unidad 1: Trigonometría básica Utilizada, básicamente, para el cálculo de distancias, la trigonometría es un conjunto de fórmulas que nos permitirán resolver muchos problemas con aparente difícil solución (altura de una cometa, altura de las pirámides, distancias entre estrellas... )
1.1 Introducción Como ya sabes metría es un sufijo que significa medida o medición. También conoces que tri es un prefijo que significa tres. Pero quizá no conozcas que gono significa ángulo (polígono, octógono). Así pues, la trigonometría es el estudio (medidas) de los elementos de un triángulo.
1.2 Medida de ángulos Se utilizan fundamentalmente dos unidades: el grado sexagesimal, y el radián. En este curso utilizaremos la primera, por ser más sencilla y conocida, pero ten en cuenta, en el Bachillerato se utilizarán, preferentemente, los radianes. Grado sexagesimal Es el arco que se obtienen al dividir la circunferencia en 360 partes. Un grado tiene 60 minutos y un minuto tiene 60 segundos. Radián Es el arco que se obtiene al dividir la circunferencia entre su radio.
longitud 2π r = = 2π rad radio r Relación entre ambas unidades Una circunferencia tiene 2π rad , es decir:
2π rad = 360º , o bien π rad = 180º , o bien Ejemplo: ¿cuántos radianes son 200° ? 200° = 200°
π rad 180º
π 2
=
rad = 90º
10π rad ≅ 3'49rad 9
Ejercicio 1 Obtén los radianes correspondientes a los siguientes grados:
a ) 180° = b) 305° = c) 45° = 15
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Unidad 1: Trigonometría básica
Ejercicio 2 Obtén los grados correspondientes a los siguientes radianes:
a ) π rad = b)
1 rad = 2
c) 1rad =
1.3 Razones trigonométricas
β
α Dado el triángulo rectángulo superior se definen las razones trigonométricas del ángulo
sen α =
cateto opuesto a = hipotenusa c tg α =
cos α =
α
:
cateto contiguo b = hipotenusa c
cateto opuesto a = cateto contiguo b
Ejercicio 3 Determina tú las razones trigonométricas del mismo triángulo, pero referidas al ángulo
¿Extraes alguna conclusión?
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β
:
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Unidad 1: Trigonometría básica
Para cada una de las razones trigonométricas anteriores existe su correspondiente razón inversa:
cosec α =
1 hipotenusa = sen α cateto opuesto cotg α =
sec α =
1 hipotenusa = cos α cateto contiguo
1 cateto contiguo = tg α cateto opuesto
Ten en cuenta que las razones trigonométricas son adimensionales: no tienen unidades.
Ejercicio 4 Halla las tres razones trigonométricas principales del siguiente triángulo (ángulos
α y β ):
Mira de nuevo el triángulo del ejercicio 4. Imagina que uno de los lados del triángulo fuera desconocido, ¿cómo lo solucionarías? Existe una alterativa, que pasa por utilizar sólo las razones trigonométricas, pero, para ello, es necesario utilizar la calculadora científica.
1.4 Uso de la calculadora Es fundamental que, para todos los cálculos que realicemos durante esta unidad y la siguiente, en la pantalla de tu calculadora aparezca el acrónimo: DEG, que corresponde con la abreviatura anglosajona de degree (grados); existen otras dos formas: RAD, para los radianes, y GRAD, para grados centesimales (en un ángulo recto hay 100º). Debes localizar las teclas sen (o sin si está en inglés), cos, y tg (o tan). En general, y con la opción Shift (o INV, o 2º operador) podrás acceder a las inversas, es decir: sen-1, cos-1 y tg-1 que sirven, como veremos después, para obtener los ángulos. Te ofrecemos unos resultados “redondos“ para que puedas comprobar tus operaciones:
sen 30º = 0 '5 ; tg 45º = 1 ; cos 60º = 0 '5 ; sen 90º = 1 ¿Y si tenemos, por ejemplo
sen α =
1 = 0 '5 , podremos averiguar que α = 30° ? 2 17
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Unidad 1: Trigonometría básica
Debes utilizar la función inversa que decíamos antes:
Si
sen α =
1 = 0 '5 , entonces α = arcsen 0 '5 = 30° , que se lee: “alfa es el arco 2
cuyo seno es 0’5”
Ejercicio 5 Con ayuda de la calculadora obtén los ángulos pedidos:
a ) sen α = 0 '5 → α =
3 2
b)
cos β =
c)
tg γ = 1 → γ =
d ) sen ω =
→
2 2
β=
→ ω=
1.5 Relaciones trigonométricas fundamentales Vamos a ver tres de ellas. Si continúas tus estudios de Bachillerato en alguna modalidad de Ciencias, verás algunas más, y las correspondientes demostraciones:
I. sen
2
α + cos 2 α = 1
II. tg α =
sen α cos α
Ejercicio 6 Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas:
a ) sen x ⋅
1 = tg x
b) sen 3 x + sen x ⋅ cos 2 x = c)
sec x = cosec x ⋅ tg x
cos 2 x d) = 1 − sen x
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(Pista: intenta que el numerador se “parezca” al denominador)
III. 1 + tg
2
α=
1 cos 2 α
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Unidad 1: Trigonometría básica
Ejercicio 7 Simplifica al máximo esta expresión:
( sen α + cos α ) + ( sen α − cos α ) 2
2
=
1.6 Ángulos notables Se trata de unos ángulos especiales que requieren un tratamiento diferenciado. Son ángulos notables: 0°, 30º , 45º , 60° y 90° Teniendo en cuenta que el seno es la ordenada y el coseno es la abscisa, se deduce fácilmente que sen 0° = 0 y que cos 90° = 0 . Para obtener (sin calculadora) las razones de 30º , en una escuadra y un cartabón:
45º y 60° nos vamos a apoyar
Ejercicio 8 Procedimiento para obtener las razones fundamentales de 30º y 60° (sin calculadora):
Ejercicio 9 Procedimiento para obtener las razones fundamentales de 45º (sin calculadora):
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Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 1: Trigonometría básica
1.6.1 Reglas nemotécnicas A fin de recordar las razones trigonométricas de los ángulos notables podemos utilizar las siguientes reglas: ángulo seno
0° 0 2
30° 1 2
45° 2 2
60° 3 2
90° 4 2
0°
30°
45°
60°
90° 0 2
0 4
1 3
Ejercicio 10 Completa tú las casillas vacías: ángulo coseno
tangente
1.7 Ampliación del concepto de ángulo Hasta ahora nos hemos limitado a ángulo comprendidos entre 0 y 90º. ¿Cuánto vale el seno de 100º? ¿y el de 750º? ¿están acotados los valores? ¿existen los ángulos negativos? Responderemos a estas y otras cuestiones en los siguientes apartados.
1.7.1 Ángulos mayores de 360º Para calcular las razones trigonométricas de ángulos mayores que 360º, se divide entre 360º y se toma el resto de la división. Ejemplo: ¿sen 750° ? ;
750 30 1 = 2+ ; sen 750° = sen 30° = 360 360 2
1.7.2 Esfera goniométrica Llamaremos esfera goniométrica a la de radio unidad. Al ser el radio 1, el seno de ordenada.
α
El coseno de
α es AB, es decir, la
α es OA, es decir, la abscisa.
Por semejanza de triángulos, la tangente de
20
α es CD.
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Unidad 1: Trigonometría básica
1.7.3 Signo de las razones trigonométricas Según en qué cuadrante de la circunferencia se encuentre el ángulo, el seno y el coseno tendrán un signo u otro:
Ejercicio 11 Estudia los signos de la tangente: ¿Qué signos tendrán las otras tres razones trigonométricas?
1.7.4 Razones trigonométricas (directas) de un ángulo cualquiera Observa el siguiente dibujo:
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Unidad 1: Trigonometría básica
1.7.5 Ángulos situados en distintos cuadrantes con razones iguales Ángulos suplementarios (suman 180º):
Tienen igual el seno:
sen α = sen (180º −α )
Las restante razones son iguales pero de signo contrario:
cos α = − cos (180º −α ) ; tg α = − tg (180º −α )
Ángulos que difieren en 180º:
Tienen igual la tangente:
tg α = tg (180º +α )
Las restante razones son iguales pero de signo contrario:
sen α = − sen (180º +α ) ; cos α = − cos (180º +α )
Ángulos opuestos:
Tienen igual el coseno:
cos α = cos ( −α )
(los ángulos que se miden en el sentido de las agujas del reloj son negativos). Las restante razones son iguales pero de signo contrario:
sen α = − sen ( −α ) ; tg α = − tg ( −α )
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Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 1: Trigonometría básica
Ejercicio 12 Obtén, sin calculadora, el seno y el coseno de los ángulos: 120°, 210° y 300°
El ángulo auxiliar α es de 60º. Las razones de trigonométricas de 120º son las mismas que las de α con los signos correspondientes.
3 2 −1 cos120° = − cos 60° = 2
sen120° = sen 60° =
1.8 Resolución de problemas Ejercicio 13 Obtén el valor de la hipotenusa y los dos ángulos agudos del siguiente triángulo:
Ejercicio 14 Dado el siguiente triángulo obtén (sin utilizar Pitágoras) los lados y ángulos que faltan.
27º 15 m
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Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 1: Trigonometría básica
Ejercicio 15 Completa la tabla. Utiliza la teclas de memoria de la calculadora para obtener cálculos lo más exactos posibles.
α
74º
sen α cos α
tg α
0’94 1’28
cosec α sec α
cotg α
Ejercicio 16 Halla la medida del ángulo que forman la diagonal de un cubo y la diagonal de una de las caras, si las dos parten de un mismo vértice. (Solución: α ≅ 35° 16 ' )
Ejercicio 17 Los catetos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 m. Halla la altura correspondiente a la hipotenusa:
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Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 1: Trigonometría básica
Ejercicio 18 Calcula la altura de una torre sabiendo que la sombra que proyecta es de 108 metros cuando el Sol está elevado un ángulo de 50º sobre el horizonte. (Solución: 128’71 m)
Ejercicio 19 Calcula la altura de un árbol sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30º, y si nos acercamos 10 metros, la observamos bajo un ángulo de 60º:
Ejercicio 20 Comprueba las siguientes identidades notables:
a)
1 + tg α = sen α + cos α sec α
b)
1 = sen 2 α 2 1 + cotg α
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Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 1: Trigonometría básica
Ejercicio 21 Jaime está volando una cometa. Ha soltado 9 m de cuerda y ésta forma 60º con el suelo. ¿A qué altura vuela la cometa?
Ejercicio 22 Halla razonadamente a qué altura vuela el avión de la figura: (no supongas que en el avión hay un ángulo recto)
En las siguientes direcciones puedes encontrar más información y ejercicios de trigonometría: http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2001/razonestri/index.htm http://usuarios.lycos.es/arquillos/trirel5.pdf http://platea.pntic.mec.es/~mzapata/tutor_ma/trig.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Razones_trigonometricas/Indice_ra zones_trigonometricas.htm Actividad con el JClic: http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=3115 (muy interesante)
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Unidad 2: Resolución de triángulos
Los teoremas han de ser nobles, sorprendentes, elegantes, intrigantes, rigurosos, creativos ... y, sobre todo, comprensibles.
H. Zeeman (físico)
Unidad 2: Resolución de triángulos 27
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 2: Resolución de triángulos
Dirección muy interesante:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0058-02/ed99-0058-02.html
Al final del tema encontrarás otras direcciones de Internet que, seguro, te ayudarán a ampliar conocimientos y a practicar lo aprendido en esta unidad.
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Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 2: Resolución de triángulos
Índice de la unidad
Unidad 2: Resolución de triángulos ...............................................................................31 2.1 Teorema de la altura ............................................................................................31 2.2 Teorema del cateto ..............................................................................................32 2.3 Teorema generalizado de Pitágoras ....................................................................34 2.4 Teorema del seno ................................................................................................35 2.5 Teorema del coseno ............................................................................................36 2.6 Resolución de problemas.....................................................................................37
Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...
− Resolver cualquier triángulo: obtener distancias y ángulos − Calcular áreas de triángulos − Aplicar teoremas nuevos basados en la trigonometría − Utilizar con soltura la calculadora en cálculos trigonométricos
Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:
− Saber representar, plantear y resolver problemas de geometría haciendo uso de los teoremas relativos a los triángulos y de los instrumentos de medida y cálculo adecuados. (C1, C2, C3, C4, C6, C8) − Desarrollo del pensamiento científico para interpretar la información que se recibe con la trigonometría es la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3). − Aplicar destrezas que permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación y expresarse matemáticamente cuando se tratan conceptos trigonométricos (C1 y C2). − Cultivar la sensibilidad, la creatividad y el apasionamiento estético son objetivos de algunos de los apartados de esta unidad (C6). − Las técnicas de trabajo que los alumnos deben aplicar, así como su responsabilidad, perseverancia, creatividad y autocrítica en el momento de realizarlo, llevan a las competencias para aprender a aprender (C7), y a la autonomía e iniciativa personales (C8). − Utilizar las nuevas tecnologías para efectuar representaciones precisas de las figuras y cuerpos geométricos (C2, C4, C8).
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Unidad 2: Resolución de triángulos
Criterios de evaluación
− Resuelve triángulos (rectángulos o no) mediante la utilización de los teoremas vistos − Calcula áreas de triángulos y figuras poligonales previamente trianguladas mediante la aplicación de las herramientas trigonométricas apropiadas a cada caso − Calcula distancias geométricas y resolver situaciones topográficas mediante la resolución de triángulos cualesquiera
Contenidos conceptuales
− Resolución de un triángulo − Teorema de la altura − Teorema del cateto − Teorema generalizado de Pitágoras − Teorema del seno − Teorema del coseno − Radio y apotema de un polígono regular − Fórmula básica para calcular el área de un triángulo
Contenidos procedimentales
− Resolución de triángulos rectángulos: conocidos dos lados, conocidos un lado y un ángulo agudo − Obtención de razones trigonométricas mediante la calculadora. − Cálculo de distancias: lados, apotemas, radios... − Obtención de razones trigonométricas en triángulos cualesquiera − Cálculo del área de un triángulo conocidas la base y la altura correspondientes − Cálculo del área de un triángulo conocidos sus lados
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Unidad 2: Resolución de triángulos
Unidad 2: Resolución de triángulos Con los conocimientos aprendidos en el tema anterior más una serie de teoremas que veremos en esta unidad, podremos resolver cualquier triángulo, es decir, sin ninguna restricción, averiguaremos cualquier distancia o ángulo de cualquier triángulo.
NOTA 1: Durante toda la unidad utilizaremos la siguiente nomenclatura: los 3 ángulos de cualquier triángulo los representaremos por las letras griegas α, β y γ, o con las letras mayúsculas A, B y C en los vértices, y las longitudes de los lados opuestos a cada uno de los ángulos las representaremos con las letras minúsculas a, b y c.
NOTA 2: Para conseguir la máxima precisión y exactitud en los cálculos, es muy importante que no sustituyamos ningún dato hasta el final de cada ejercicio. Así, siguiendo el mismo criterio del redondeo visto en cursos anteriores, conseguiremos tener todos las mismas soluciones y nos permitirá comparar nuestros resultados. NOTA 3: Por resolver un triángulo entendemos averiguar el resto de elementos, ya sean ángulos, lados, apotemas... que no conozcamos.
2.1 Teorema de la altura Válido exclusivamente para triángulos rectángulos. El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
h2 = m ⋅ n
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Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 2: Resolución de triángulos
2.2 Teorema del cateto Válido exclusivamente para triángulos rectángulos. El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la misma.
a 2 = mb ; c 2 = nb
Ejercicio 1 En las siguientes figuras, calcula las medidas de los segmentos desconocidos indicados por letras (ambos triángulos son rectángulos en A):
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Unidad 2: Resolución de triángulos
Ejercicio 2 Un triángulo rectángulo tiene por catetos 3 cm y 4 cm. Halla la hipotenusa, las proyecciones y la altura sobre la hipotenusa:
Ejercicio 3 En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 16 cm y 25 cm. Calcula la hipotenusa, la altura sobre la hipotenusa y los catetos:
Ejercicio 4 Una circunferencia tiene 50 cm de radio. Una cuerda perpendicular al diámetro lo divide en dos segmentos, uno de los cuales mide 20 cm. Calcula la medida de la cuerda.
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Unidad 2: Resolución de triángulos
2.3 Teorema generalizado de Pitágoras Válido para cualquier tipo de triángulo (rectángulo o no). Observa los siguientes dibujos:
El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro lado sobre él.
El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro lado sobre él.
a 2 = b 2 + c 2 − 2cm
a 2 = b 2 + c 2 + 2cm
Ejercicio 5 Demuestra estos teoremas utilizando tus conocimientos de álgebra y el teorema de Pitágoras:
Ejercicio 6
b = 6 '6 cm y las proyecciones de los lados b y a sobre c miden: m = 4 '6 cm y n = 13'4 cm . Calcula el lado a: En un triángulo cualquiera, se tienen los siguientes datos:
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Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 2: Resolución de triángulos
2.4 Teorema del seno Para triángulos no rectángulos. Se cumple que:
sen α sen β sen γ = = a b c o también puede adoptar esta otra forma equivalente:
a b c = = sen α sen β sen γ
Ejercicio resuelto Resuelve el triángulo: Fíjate que sólo el dibujo ya ofrece varias pistas: el lado a deberá ser menor que el lado b, y ambos deben ser menores que 10; α también debe ser menor de 45º.
Relacionamos el ángulo de 100º con el lado de 10, y el ángulo de 45º con el lado desconocido b. Aplicando el teorema del seno:
sen 100º sen 45º = ; en esta ecuación todo es conocido menos el lado b que despe10 b jamos:
b = 10
sen 45º ; sustituyendo: b = 7 '18 . Como α + 100º +45º = 180º , tenemos que sen 100º
α = 35º Por último, para obtener el lado a volvemos a aplicar el teorema del seno relacionando este lado con su ángulo opuesto, y el lado que mide 10 con el ángulo de 100º:
sen 35º sen 100º sen 35º = ; despejamos: a = 10 ; con lo que a = 5'82 sen 100º 10 a Ejercicio 7 En el ejercicio anterior, y una vez hallado el lado b, ¿por qué no lo hemos escogido junto con el ángulo de 45º para resolver el ejercicio?
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Unidad 2: Resolución de triángulos
Ejercicio 8 Resuelve el triángulo del que conocemos C = 30º , b = 25 cm , c = 18 cm :
2.5 Teorema del coseno Para triángulos no rectángulos. Se cumple que:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos α
Intercambiando adecuadamente ángulos y lados, obtenemos los otros dos teoremas análogos al anterior:
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos β y c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos γ
Ejercicio 9 Dos amigos parten de un mismo punto A, siguiendo direcciones que forman entre sí un ángulo de 35º. Después de caminar 10 km y 8 km, respectivamente, ¿cuál es la distancia que los separa?
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Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 2: Resolución de triángulos
2.6 Resolución de problemas Ya has comprobado que existen bastantes teoremas entorno a los triángulos. Te aconsejamos que, a la hora de resolver un ejercicio, y nada más empezar, determines si el triángulo a estudiar es rectángulo o no, ya que esto simplificará mucho los cálculos. Si por los datos del ejercicio, no es posible determinar ningún ángulo recto, aunque lo parezca visualmente, no lo supongas tú, y aplica los teoremas para triángulos cualesquiera. Ten en cuenta que un triángulo rectángulo, aunque admita cualquier teorema de los aquí expuestos, tiene (al menos para este curso) sus teoremas específicos: teorema de Pitágoras, de la altura, del cateto y la definición de razones trigonométricas (estudiadas en el tema anterior); por otro lado, si el triángulo es cualquiera, deberás utilizar: el teorema del seno, del coseno o el generalizado de Pitágoras. Otro dato que puede ayudarte es que, para cualquier triángulo, conociendo tres datos, entre lados y ángulos (a excepción de los tres ángulos), podremos conseguir sólo con la aplicación de los teoremas del seno y el coseno, todos los demás elementos. Por último, no olvides que, para cualquier triángulo, la suma de sus ángulos siempre suma 180º (o π radianes).
Ejercicio 10 Completa: Datos
Teorema...
Para triángulos rectángulos: Dos de los tres lados Ambas proyecciones sobre la hipotenusa Proyección e hipotenusa Un lado y un ángulo agudo cualquiera Lado y su proyección Altura sobre la hipotenusa y una proyección Hipotenusa y un lado Para triángulos cualesquiera: Dos lados y el ángulo que forman Dos lados y otro ángulo Dos lados y la proyección de uno sobre el otro Dos ángulos y un lado Tres lados
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Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 2: Resolución de triángulos
Ejercicio 11 Resuelve el triángulo del que se conoce a = 20 m , B = 45° , C = 30º :
Ejercicio 12 En un triángulo se conocen los lados a = 2 cm , c = 2 3 cm y el ángulo C = 60º . Calcula el ángulo A y el lado b:
Ejercicio 13 Uno de los lados de un triángulo es el doble que el otro, y el ángulo comprendido es de 60º. Calcula los otros dos ángulos: (Pista: piensa en un objeto de uso común que tiene esas características)
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Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 2: Resolución de triángulos
Ejercicio 14 En un triángulo ABC, calcula el valor de la proyección del lado b = 4 cm sobre el lado
c = 8 cm . El tercer lado mide a = 6 cm .
Ejercicio 15 Calcula el radio y la apotema de un octógono regular de lado 10 cm: Pista: ¿conoces algún ángulo?
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Matemรกticas 4ยบ ESO Opciรณn B
Unidad 2: Resoluciรณn de triรกngulos
Ejercicio 16 Calcula el รกrea del triรกngulo siguiente sabiendo que a = 1 m , B = 30ยบ y C = 45ยบ : (Recuerda la definiciรณn de altura)
Ejercicio 17 Al comienzo de este apartado de resoluciรณn de problemas, hemos dicho que, con sรณlo tres datos y con los teoremas del seno y el coseno, se puede averiguar el resto de elementos de cualquier triรกngulo. ยฟCuรกntos datos se necesitarรกn para el caso de los triรกngulos rectรกngulos?
Ejercicio 18 En un triรกngulo rectรกngulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 8 cm y 4โ 5 cm. Calcula la medida de los catetos y el รกrea del triรกngulo (no utilices el teorema de Pitรกgoras):
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Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 2: Resolución de triángulos
Ejercicio 19 En un triángulo isósceles, el ángulo desigual es de 32º y el perímetro es 100 cm. Halla sus tres lados.
Ejercicio 20 Calcula el área de un trapecio isósceles sabiendo que sus lados iguales miden 30 cm cada uno, que la base mayor mide 70 cm y que el ángulo que forma dicha base con cada uno de los lados iguales es de 33º. (Sin Pitágoras). (área del trapecio: A =
( B + b) h) 2
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Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 2: Resolución de triángulos
Ejercicio 21 Calcula x:
Ejercicio 22 Un edificio y un árbol tienen 12 y 4 m de altura respectivamente y sus pies están situados a 20 m de distancia. ¿En qué punto situado entre los pies del árbol y del edificio se debe colocar un recipiente con comida para que los pájaros que están en la copa del árbol y los que están en la cima del edificio lo tengan a igual distancia? (Puedes utilizar cualquier teorema)
Más información en: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Resolucion_triangulos_oblicuangul os/Resolucion_TO_indice.htm http://descartes.cnice.mec.es/aplicaciones_geometria.php#Trigonometría
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Unidad 3: Vectores
No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real. Nikolay Lobachevsky (científico ruso, 1792 – 1830)
Unidad 3: Vectores 43
Matemรกticas 4ยบ ESO Opciรณn B
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Unidad 3: Vectores
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 3: Vectores
Índice de la unidad
Unidad 3: Vectores ........................................................................................................47 3.1 Vectores...............................................................................................................47 3.1.1 Características de un vector..........................................................................47 3.2 Componentes de un vector ..................................................................................49 3.3 Operaciones con vectores ...................................................................................51 3.3.1 Suma de vectores..........................................................................................51 3.3.2 Resta de vectores..........................................................................................52 3.3.3 Producto de un escalar por un vector............................................................52 3.3.4 Producto escalar de vectores. Ángulo entre dos vectores.............................54 3.3.5 Producto vectorial..........................................................................................58 3.3.6 Resumen de los productos............................................................................60 3.4 Direcciones web...................................................................................................60
Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...
− Conocer los vectores: partes, formas de representación − Operar con vectores algebraica y gráficamente − Nuevas operaciones específicas de los vectores − Dominar su terminología específica
Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:
− Desarrollo del pensamiento científico para interpretar la información que se recibe es la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3). − Utilizar los vectores para expresar cantidades de magnitudes físicas vectoriales del mundo que nos rodea, como las fuerzas, velocidades… (C1, C2, C3). − Reconocer la utilidad de las representaciones vectoriales y saber interpretarlas en múltiples aspectos de nuestra vida diaria: señales de tráfico, mapas meteorológicos, diagramas de flujo, etc. (C1, C2, C3, C4, C5).
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Unidad 3: Vectores
Criterios de evaluación
− Efectúa operaciones con vectores interpretando los resultados − Opera con vectores dados en coordenadas − Utiliza el producto escalar para el cálculo de módulos y ángulos de vectores − Aplica el cálculo vectorial a la resolución de problemas − Obtiene el ángulo que forman dos vectores
Contenidos conceptuales
− Vector fijo en el plano: módulo, dirección y sentido − Punto de aplicación − Vectores equipolentes − Vector libre en el plano − Componentes de un vector. Coordenadas cartesianas de un punto − Operaciones con vectores: suma, resta y producto de un número real por un vector − Operaciones de forma analítica y gráfica − Producto escalar − Producto vectorial: regla de la mano derecha − Ángulo de dos vectores
Contenidos procedimentales
− Representación gráfica de vectores − Determinación gráfica de la suma, resta y producto por un número real de dos vectores libres − Expresión de un vector como suma de otros dos − Cálculo del producto escalar de dos vectores dados por sus coordenadas cartesianas − Cálculo del módulo y el ángulo de un vector dado por sus coordenadas cartesianas − Cálculo del producto vectorial aplicando la regla de la mano derecha − Cálculo del ángulo de dos vectores mediante la fórmula del producto escalar
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Unidad 3: Vectores
Unidad 3: Vectores Existen muchas magnitudes (altura, masa, longitud) que se determinan con un número: son las llamadas magnitudes escalares. Pero hay otras (fuerza, velocidad, aceleración) que, para que queden bien expresadas, no basta con dar un número. Son las llamadas magnitudes vectoriales. En este tema aprenderemos las formas de representación de los vectores y a operar con ellos.
3.1 Vectores Vector: es un segmento orientado. Lo representaremos por AB , donde A en el origen y B es el extremo, o por
v. B
v A
3.1.1 Características de un vector Módulo: es la longitud del vector. Se representa en entre barras,
v.
Dirección: es la recta que lo contiene. Sentido: es que va del origen al extremo del vector. Otro parámetro utilizado es el punto de aplicación del vector: Todos los vectores que ves en la figura de la derecha tienen igual módulo, dirección y sentido, pero distinto punto de aplicación. Este tipo de vectores se denominan vectores equipolentes. Mientras no se diga lo contrario, el punto de aplicación de un vector no será determinante, es decir, podremos mover libremente cada vector si lo creemos necesario, sin importarnos dónde empieza o acaba. Consideraremos, por tanto, que un vector es libre. El curso que viene profundizarás más en estos y otros conceptos: base, cambio de base, base canónica...
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Unidad 3: Vectores
Ejercicio 1 a) Dibuja dos vectores con distinto módu- b) Dibuja dos vectores con distinto módulo, misma dirección y mismo sentido que lo, misma dirección y sentido contrarios el vector dado: que el vector dado:
c) Dibuja dos vectores con el mismo mó- d) Dibuja dos vectores con el mismo módulo y distinta dirección que el vector da- dulo, mismo sentido y distinto punto de do: aplicación que el vector dado:
Ejercicio 2 a) ¿El módulo de un vector, puede ser un número real negativo? b) ¿Existe algún vector sin dirección ni sentido? c) ¿Cuándo dos vectores son equipolentes? d) Dos vectores de distinta dirección, ¿pueden ser opuestos? e) ¿Cuándo un vector es nulo? f) El módulo de un vector ¿siempre es un número real positivo?
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Unidad 3: Vectores
3.2 Componentes de un vector Observa el vector de la figura y las coordenadas cartesianas de los puntos origen y extremo del mismo: Las coordenadas del origen del vector (es
( −2, 2 ) , y las del extremo (punto B) son: ( 5, 4 ) . decir, el punto A) son:
Así, a través de sus coordenadas, queda determinado inequívocamente el vector
AB , aunque existe otra forma más sencilla de manejar esto; el vector AB tiene de componentes ( 7, 2 ) . Puede verse como los catetos en un triángulo rectángulo donde el vector es la hipotenusa. Gráficamente, y partiendo del origen del vector, hemos de “avanzar” 7 unidades y “subir” 2 para alcanzar el extremo, por tanto: v = ( 7, 2 ) .
Si no disponemos del vector dibujado, deberemos recurrir a la expresión analítica. Es sencillo pasar de coordenadas a componentes; sólo hay que restar las coordenadas correspondientes del extremo y del origen. Ejemplo: dadas las coordenadas A = ( −2, 2 ) , y B = ( 5, 4 ) , determina las componentes del vector AB :
AB = ( 5 − ( −2 ) , 4 − 2 ) = ( 7, 2 ) Ejercicio 3 Conociendo los puntos A = ( 2, 3 ) , B = (1, − 1) y C = ( −2, 4 ) , calcula las componentes de los vectores:
a)
AB =
b)
AC =
c ) CA = d)
BA =
e) CB = ¿Cuáles de los vectores anteriores son opuestos?
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Unidad 3: Vectores
Ejercicio 4 Halla, gráfica y analíticamente, las componentes de los vectores AB y CD :
Si nos fijamos en cómo se construye fácilmente un triángulo rectángulo a partir de un vector, deduciremos, apoyándonos en el teorema de Pitágoras, cómo obtener su módulo.
Ejercicio 5 Halla el módulo de los siguientes vectores: a = (1, 2 ) y b = ( 6, − 8 )
Ejercicio 6 Dado el vector v = ( 5, 12 ) , obtén el módulo del vector.
¿podríamos averiguar la dirección, es decir, el ángulo que forma el vector con la horizontal?
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Unidad 3: Vectores
Ejercicio 7 Dados los siguientes vectores: u = ( 3, 0 ) , v = ( 2, 1) , w = ( 2, 2 ) y x = ( 2 '5, 2 ) , ¿cuál tiene mayor módulo?
Ejercicio 8 Halla las componentes del vector v sabiendo que su módulo es 5 y el ángulo que forma con la horizontal (eje de abscisas) es 30° :
3.3 Operaciones con vectores La mayoría de las operaciones pueden realizarse de forma analítica (basándonos en las componentes de los vectores) o de forma gráfica.
3.3.1 Suma de vectores Analíticamente: sólo hay que sumar las componentes correspondientes de los vectores: Ejemplo: dados los vectores u = ( 3, 4 ) y v = ( −4, − 1) , obtén su suma:
(
)
Sea s el vector suma: s = 3 + ( −4 ) , 4 + ( −1) = ( −1, 3 ) Gráficamente: trasladamos (sólo cambia el punto de aplicación, conservándose, por tanto, módulo, dirección y sentido) el segundo vector de manera que coincida su origen con el extremo del segundo.
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Unidad 3: Vectores
La suma es el vector que tiene como origen el origen del primero y como extremo el extremo del segundo.
Ejercicio 9 ¿Es posible que la suma de dos vectores no nulos sea el vector nulo?
3.3.2 Resta de vectores Es similar a la operación anterior. Analíticamente, cambiaremos la suma por una resta, y gráficamente, obtendremos el vector opuesto (mismo módulo y dirección, y sentido contrario) del segundo sumando y realizaremos la suma con este nuevo vector de la manera ya conocida.
3.3.3 Producto de un escalar por un vector En el ámbito de los vectores, a los números reales se les denominan escalares. Analíticamente: sólo hay que multiplicar el escalar por cada una de las componentes del vector: Ejemplo: dado el vector v = ( 8, − 1) , obtén 2v Sea r el vector resultado: r = 2v = 2 ( 8, −1) = (16, −2 )
Gráficamente: multiplicaremos el módulo tantas veces como indique el escalar. La dirección se conserva. Si el escalar es positivo, conservaremos el sentido; si es negativo, pondremos el sentido contrario.
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Unidad 3: Vectores
Ejercicio 10 Representa los vectores u = ( 3, 5 ) , v = ( −1, 1) y w = ( 2, − 3 ) y realiza gráficamente las siguientes operaciones: a ) u + v , b ) v + w , c ) v − w , a)
b)
c)
d)
d) u + w − v
Ejercicio 11 Dados los vectores u = (1, − 3 ) , v = ( 4, − 2 ) y w = (1, 1) calcula analíticamente las componentes de los siguientes vectores:
a) u + v =
b)
c) u + v − w =
d ) 2v − u =
e)
w + 3u =
w−v =
f ) u + w − 5v =
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Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 3: Vectores
3.3.4 Producto escalar de vectores. Ángulo entre dos vectores Primera definición El producto escalar de dos vectores u y guiente modo:
v se designa por u ⋅ v y se obtiene del si-
( )
u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos u , v El producto escalar es conmutativo.
Pese a lo que parezca, el resultado de esta operación es un número real, y, por tanto, el resultado podrá ser positivo, negativo o nulo.
Ejercicio 12 Atendiendo a la definición, ¿en qué casos el producto escalar de dos vectores es nulo?
Ejercicio 13 ¿Podemos obtener el producto escalar de un vector por sí mismo?
Ejercicio 14 Calcula el producto escalar de los vectores u y
v sabiendo que u = 2 , v = 3 y que
forman un ángulo de 30° .
Ejercicio 15 Sabemos que u = 3 y que u = −2v . Calcula u ⋅ v . (Pista: dibuja los vectores)
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Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 3: Vectores
Ejercicio 16 Se sabe que el producto escalar de dos vectores no nulos es cero; ¿qué se puede decir de las direcciones de los vectores?
Segunda definición Si los vectores u y
v vienen expresados por sus componentes, es decir, u = ( x1 , y1 ) e
v = ( x2 , y2 ) , el producto escalar se define de la siguiente forma:
u ⋅ v = x1 ⋅ x2 + y1 ⋅ y2
(¡Ojo! se parece a una suma, pero no lo es)
Ejercicio resuelto Dados los vectores u = ( 2, − 1) , v = ( 7, 3) y w = ( −2, 4) , halla las siguientes operaciones: a)
( )
u ⋅ v ; b) u v ⋅ w ; c) u ⋅ v + v ⋅ w
a) u ⋅ v = ( 2, − 1) ⋅ ( 7, 3) = 2 ⋅ 7 + ( −1) ⋅ 3 = 14 − 3 = 11
(
)
b) u ⋅ v + w = ( 2, − 1) ⎡⎣( 7, 3) + ( −2, 4) ⎤⎦ = ( 2, −1) ⋅ ( 5, 7 ) = 10 + ( −7 ) = 3 c) u ⋅ v + u ⋅ w = 11 + ⎡⎣2 ⋅ ( −2) + ( −1) ⋅ 4⎤⎦ = 11 + ( −4 − 4) = 11 − 8 = 3 Los apartados b) y c) prueban (no demuestran) la propiedad distributiva del producto respeto de la suma. Recuerda que disponemos de dos definiciones para el cálculo del producto escalar de dos vectores. Habrás de decidir tú cuál de ellas es la más adecuada, dependiendo de los datos que tengas.
Ejercicio 17 Dados los vectores u = (1, 3) , v = ( −1,1) y w = ( 6, 0 ) , calcula los productos escalares:
a) u ⋅ v = b) u ⋅ w = c) v ⋅ w = (Sigue → ) 55
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Unidad 3: Vectores
(Continuación)
d) v ⋅u = e) w ⋅ u = ¿Qué conclusión puede sacarse de los apartados a) y d) o de los apartados b) y e)?
El producto escalar cumple, entre otras, las siguientes propiedades: Conmutativa: u ⋅ v = v ⋅ u
( )
( )
Asociativa: u ⋅ v ⋅ w = u ⋅ v ⋅ w
(
)
Distributiva del producto respecto a la suma: u ⋅ v + w = u ⋅ v + u ⋅ w Dicho de otro modo, los vectores (en lo referente al producto escalar) se comportan como los números reales frente al producto.
Ejercicio 18 Sean u y v dos vectores de módulos 2 y 4, respectivamente, y de producto escalar -3. Calcula los siguientes productos escalares:
(
)
a) u ⋅ 2u − v =
b)
(3u − v)
2
=
Ejercicio 19 Determina el valor de a para que los vectores u = ( a, − 2) y culares:
56
v = ( 2a, 9 ) sean perpendi-
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Unidad 3: Vectores
Gracias a las definiciones del producto escalar podemos averiguar cuál es el ángulo que forman dos vectores.
( )
De la primera definición podemos deducir que: cos u , v =
u ⋅v u⋅v
; es decir, necesita-
mos el producto escalar (numerador) y los módulos de los vectores (denominador). Así conseguiremos obtener el coseno del ángulo que forman ambos vectores, y de ahí, a través de la operación inversa (que ya conoces) podremos obtener el ángulo. Respecto al denominador, podremos obtener los módulos a través del teorema de Pitágoras; y respecto al numerador, recuerda que teníamos otra definición de producto escalar que utilizaba sólo las componentes de los vectores:
u ⋅ v = u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2 , siendo ( u1 , u2 ) y ( v1 , v2 ) las componentes de los vectores u y v respectivamente.
Por tanto, la fórmula inicial queda así:
( )
cos u , v =
u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2 u⋅v
Ejercicio resuelto Dados los vectores u = ( 4, − 1) , v = ( 5, 2) , obtén el ángulo que forman: En primer lugar obtenemos el numerador, es decir, el producto escalar apoyándonos en la segunda definición:
u ⋅ v = 4 ⋅ 5 + ( −1) ⋅ 2 = 20 − 2 = 18 En segundo lugar, obtenemos los módulos de los vectores:
u = 42 + ( −1) = 17 ; 2
v = 52 + 22 = 29
En tercer lugar, obtenemos el coseno del ángulo que forman:
( )
cos u , v =
18 18 = ; con el fin de conservar la máxima precisión en los 17 ⋅ 29 493
cálculos, conservaremos el valor del coseno en forma de fracción simplificada. Finalmente, a través de la operación inversa obtenemos el arco cuyo coseno vale el valor hallado en el paso anterior:
u, v = arccos
18 = 35'84° 493
Este tipo de operaciones pueden comprobarse dibujando los vectores, y averiguando el ángulo con ayuda de un transportador. 57
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Unidad 3: Vectores
Ejercicio 20 Halla el ángulo formado por los vectores u = ( −5,12) y v = ( 8, − 6 ) :
Ejercicio 21 Determina el ángulo que forman los vectores u = (1, 3) y v = ( 2, − 4) :
Ejercicio 22 Igual que el ejercicio anterior para u = (1, 0 ) , v = (1,1) : (no utilices la calculadora)
3.3.5 Producto vectorial En esta ocasión, el resultado del producto de dos vectores no es un escalar, como en el caso anterior, sino un vector. Es imprescindible, por tanto, indicar el módulo, dirección y sentido del vector resultante. Para distinguir este producto vectorial del producto escalar anterior, cambiaremos el punto por un aspa: 58
u×v = w .
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Unidad 3: Vectores
Es posible que en otra bibliografía o en Internet encuentres otros símbolos que signifiquen lo mismo, como por ejemplo:
u∧v = w.
Calculemos por tanto, las características principales del vector resultante Módulo:
w:
( )
w = u ⋅ v ⋅ sen u , v
Dirección: siempre será perpendicular al plano que formen los dos vectores. Sentido: para obtenerlo, seguiremos la denominada “regla de la mano derecha”: si con los cuatro dedos de la mano derecha (sin contar el pulgar) marcamos el ángulo del primer vector hacia el segundo, el dedo pulgar marcará el sentido del vector resultante. Otro truco similar es determinar el avance de un tornillo cuando “giramos el destornillador” del primer vector al segundo.
Atención: el producto vectorial no es conmutativo.
Ejercicio 23 Calcula el producto vectorial de los vectores u = ( 5, 0 ) y v = ( −3, 4) :
Ejercicio 24 Calcula el producto vectorial de los vectores u = (1, 3) y v = ( 2, − 4) : (obtén los datos que necesites de la actividad 21)
59
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Unidad 3: Vectores
3.3.6 Resumen de los productos Tipo de producto Producto de un escalar por un vector Producto escalar de vectores Producto vectorial
Ámbito
×V → V V×V → V×V → V
( n ⋅ v = w) ( u ⋅ v = n) ( u × v = w)
Ejercicio 25
u , v , w tres vectores y a un número real: ¿tiene sentido la expresión ( u ⋅ v ) ⋅ w ? Sean
¿y esta expresión v ⋅ w + a ?
¿y esta:
u + ( v ⋅ w) ?
¿y a − v × w ?
¿y estas dos:
(w − v )× w y
w − ( v × w) ?
3.4 Direcciones web En estos enlaces podrás encontrar algunos ejercicios extras y otros ejemplos que te ayudarán a reforzar los contenidos tratados en esta unidad. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Vectores_en_el_plano/Vectores_indice.htm
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/vectores_emm/Vectores1.htm http://personal1.iddeo.es/romeroa/vectores/default.htm http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2002/vectores/index.html http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/vectores.htm http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/indice/indice.htm
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Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
Un matemático es un ciego en una habitación oscura que busca un gato negro que no está allí.
Charles Darwin (científico inglés, 1809 - 1882)
Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos 61
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Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
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Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
Índice de la unidad
Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos ......................................................................65 4.1 Potencias (repaso) ...............................................................................................65 4.1.1 Propiedades de las potencias .......................................................................66 4.1.2 Notación científica .........................................................................................68 4.2 Raíces..................................................................................................................72 4.2.1 Racionalización .............................................................................................76 4.3 Logaritmos ...........................................................................................................79 4.3.1 ¿Cómo obtener el logaritmo de un número? .................................................79 4.3.2 Uso de la calculadora ....................................................................................83 4.3.3 Propiedades ..................................................................................................84 4.3.4 Expresiones algebraicas y expresiones logarítmicas ....................................86
Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...
− Operar con cualquier tipo de potencia (repaso) − Realizar operaciones con números expresados en Notación Científica (repaso) − Operar con raíces (repaso) − Racionalizar denominadores (repaso) − Obtener el logaritmo de un número − Expresar cualquier número como cualquier potencia − Operar con logaritmos − Convertir expresiones logarítmicas en expresiones algebraicas y viceversa
Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:
− Utilizar la notación científica para abordar problemas y ejemplos en los que aparezcan contenidos asociados a la ciencia y al mundo físico (C2 y C3). − Interiorizar las propiedades de potencias y radicales, y utilizarlas para desenvolverse adecuadamente con autonomía e iniciativa personal en los diversos ámbitos de la vida y el conocimiento (C2, C7 y C8). − Comprobar la simplificación de cálculos que supone el uso de las propiedades de los logaritmos, tomando ejemplos de actividades con contenidos propios del ámbito de las ciencias experimentales (C2 y C3).
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Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
Criterios de evaluación
− Opera con potencias de exponente entero y racional, haciendo uso de las propiedades adecuadas para cada caso − Opera con números expresados en notación científica − Simplifica expresiones radicales incluyendo, en su caso, la racionalización de las mismas − Calcula logaritmos de números mediante la aplicación de la definición y con la calculadora − Opera con expresiones logarítmicas mediante la aplicación de las correspondientes propiedades − Utiliza potencias o logaritmos para resolver problemas reales − Convierte expresiones logarítmicas en expresiones algebraicas y viceversa
Contenidos conceptuales
− Potencias de cualquier exponente: propiedades − Notación científica: operaciones − Raíces de cualquier índice: propiedades − Racionalización: casos − Logaritmo de un número − Propiedades de los logaritmos − Expresión “tomar logaritmos” y “tomar antilogaritmos”
Contenidos procedimentales
− Utilización de las propiedades de las potencias para realizar cálculos − Operar con radicales, racionalizando las expresiones obtenidas cuando sea necesario − Cálculo del logaritmo de un número mediante la aplicación de la definición y en diferentes bases − Cálculo del logaritmo de un número en cualquier base utilizando la calculadora − Reducción de expresiones numéricas en las que aparecen logaritmos − Paso de una expresión algebraica a otra logarítmica y viceversa
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Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos Son tres operaciones básicas para el resto del curso. Haremos un repaso de los contenidos que ya sabes de potencias y raíces, y aprenderemos una nueva operación sobre los números reales: los logaritmos.
4.1 Potencias (repaso) La mejor manera de repasar conceptos es resolver ejercicios que nos recuerden las propiedades de las potencias. Recuerda que tanto bases como exponentes pueden ser naturales, enteros o fraccionarios.
Ejercicio 1 Calcular el valor de las siguientes potencias de exponente natural:
a) 32 = d)
(− 4)2 =
b)
(− 5)3 =
c ) 05 =
e)
(− 1)3 =
⎛2⎞ f) ⎜ ⎟ = ⎝3⎠
2
h) − (− 2) =
g ) − 42 =
3
Ejercicio 2 Calcular el valor de las siguientes potencias de exponente entero (negativo):
a) 2−3 = d)
(− 3)−3 =
g ) − 4 −2 =
b)
(− 5)−3 =
c)
(− 3)−2 =
e)
(− 2)−4 =
f)
1 = 3−4
h)
(− 4)−2 =
−2
⎛ 1⎞ i) ⎜ − ⎟ = ⎝ 2⎠
Ejercicio 3 Determina cuales de las siguientes expresiones son verdaderas y cuales falsas: a) a ⋅ a = a m
n
m+n
d) (a ) = (a ) m n
g)
−n
a =a
n m
1 n
n n ( ) b) a + b = a + b
n
−n ( ) e) a = − a
n
am ⎛ a ⎞ =⎜ ⎟ n b ⎝b⎠ h)
m−n
( ) f) (a ⋅ a ) : a m⋅n = am c) a
m
(a i)
m
n
n
p
)
= a m ⋅n − p
⋅ b n = (ab )
mn
Nota: sólo hay tres correctas
65
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
4.1.1 Propiedades de las potencias m veces
1.
a = a ⋅ a ⋅ a ⋅…a 0 Caso particular: a = 1, ∀a ≠ 0 m
m
a⎞ am ⎛ 2. ⎜ ⎟ = m b ⎝b⎠ 1 a −m = m a
(con (con
b ≠ 0)
a ≠ 0)
2 5 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32 Ejemplo: 130 = 1 2
3⎞ 32 ⎛ Ejemplo: ⎜ ⎟ = 2 4 ⎝4⎠ 1 5 −3 = 3 5
−m
−5
a −m b m 1−5 35 ⎛1⎞ 5 Ejemplo: = −m = m (a ∧ b ≠ 0 ) ⎜ ⎟ = −5 = 5 = 3 b a 3 1 ⎝ 3⎠ 1 1 a m = −m (a ≠ 0 ) 210 = −10 a 2
⎛a⎞ 3. ⎜ ⎟ ⎝b⎠
m n
( a ≥ 0 ∧ n > 1)
a = n am 4.
a
m − n
= n a −m = n
( a ≥ 0 ∧ n > 1)
1 1 = m n a am
2 7
5 = 7 52 Ejemplo:
3
am ⋅ an = am+n 5.
m
n
⎛a⎞ ⎛a⎞ ⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝b⎠ ⎝b⎠ ⎝b⎠
7.
m+ n
am = a m−n , (a ≠ 0 ) n a
(a )
m n
2 5
=
1 5
32
3 2 ⋅ 35 = 3 2 + 5 = 3 7 , (b ≠ 0 )
Ejemplo: ⎛ 2 ⎞
= a m⋅n
7
4
⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝5⎠ ⎝5⎠
a m : a n = a m−n , (a ≠ 0 ) 6.
−
5 3 : 5 7 = 5 3− 7 = 5 − 4 Ejemplo:
Ejemplo:
7+ 4
11
211 ⎛2⎞ = ⎜ ⎟ = 11 5 ⎝5⎠ 1 = 4 5
115 = 115−3 = 112 3 11
[(− 2) ] = (− 2) 4 5
20
= 2 20
8.
(a ⋅ b)m = a m ⋅ b m
Ejemplo:
[2 ⋅ (− 3)]4 = 2 4 ⋅ (− 3)4 = 2 4 ⋅ 34
9.
n
a ⋅ n b = n a ⋅b
Ejemplo:
5
5
2
5
3
2
n
a n a = 10. n b b (a ≥ 0, b > 0 ∧ n > 0)
Ejemplo:
49 49 7 = = 36 36 6
an ⋅ b = a ⋅ n b
Ejemplo:
20 = 2 2 ⋅ 5 = 2 5
11.
n
12.
n m
66
a = n⋅m a
Ejemplo:
3
5 5
2 ⋅ 2 = 2 ⋅2 = 2 = 2 3
56 = 3⋅2 56 = 5
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Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
Ejercicio 4 Ordena de menor a mayor los números A, B y C:
A = (− 2) − (+ 1) + (− 1) 3
2
B = (− 1) − 3 − 8 + (− 1) 5
C = (− 2) − (+ 2) + (− 1) 2
2
3
Ejercicio 5 Resuelve cada actividad:
a)
⎛ 3⎞ 3 1 ⎛ −9⎞ −1 ⎜1 − ⎟ : − + (− 3) : ⎜ ⎟ − (2) = 8 ⎝ 4⎠ ⎝ 2 ⎠
b)
1 9 −1 20 + : (− 2) + 3 − 1 + = 4 8
c)
−1 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 27 ⎞ ⎛ + 1⎟⎟ = ⎜ − 2 + ⎟ : ⎜ − ⎟ − ⎜⎜ − 2 4 8 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ejercicio 6 Simplifica:
1253 ⋅ 39 ⋅ 27 −2 ⋅ 95 = 15-10 ⋅ 2516
67
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
Ejercicio 7 Simplifica:
( ) (2ab ) ⋅ a
a − 2 b ⋅ 6a 2 b 2 3
5
−2
=
Ejercicio 8 Expresa el resultado de las siguientes operaciones en forma de potencia:
a)
[(− 3) ⋅ 9] : (- 3)
b)
(− 4)3 ⋅ (− 4)5 ⋅16 =
5
2
2
3
=
−3
⎛1⎞ ⎛1⎞ 1 c) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ = ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 16
d)
32 4 ⋅ 253 ⋅ 3−2 ⋅ 27 2 = 15 ⋅ 2 20 ⋅ 9 2
e)
10 4 ⋅ 7 −1 ⋅ 32 = 7 − 2 ⋅ 2 2 ⋅ 53 ⋅ 6 2
4.1.2 Notación científica Es un caso particular de potencias de exponente entero, y se utiliza (en cualquier materia de ciencias, sobre todo en Física) para designar números muy grandes o muy pequeños (distancias entre astros, masa de partículas atómicas...)
68
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos Notación ordinaria
Distancia Tierra-Sol Edad del Sol Masa de la Tierra
Notación científica
= 150 000 000 km
= 1'5 ⋅ 108 km
= 5 000 000 000 años = 5 980 000 000 000
= 5 ⋅109 años
000 000 000 000 kg
= 5'98 ⋅10 24 kg
Año luz (longitud que recorre la luz en un año)
= 9 460 000 000 000 km
= 9'46 ⋅1012 km
Longitud del paramecio
= 0'000 025 m
= 2'5 ⋅10 −5 m
Longitud de onda de la luz visible al ojo humano
de 0'000 000 4 m hasta 0'000 000 7 m
de 4 ⋅ 10 −7 m
Peso de una molécula de agua Masa de un protón
= 0 '000 000 000 000 000 000 000 029 g = 0'000 000 000 000 000
000 000 000 000 169 kg
hasta 7 ⋅10 −7 m = 2'9 ⋅10 −23 g = 1'69 ⋅10 −28 kg
Ejercicio 9 Indica si las siguientes expresiones son verdaderas (V) o falsas (F):
a) 34 : 100 = 3'4 b) 3'1 ⋅10−3 > 3'1 ⋅10−4 c)
(1'2 ⋅10 ) < (0'11⋅10 ) −2 2
−1 2
d ) 0'567 : 10 = 5'67
(
)
(
e) 8 ⋅ 2 ⋅10 −3 = 2 ⋅ 8 ⋅ 10 −3
)
f ) 1234 ⋅10−5 = 0 '001234 ⋅10 Ejercicio 10 Haz esta operación con la calculadora y comprueba que obtienes la misma solución
5 ⋅ 10 2 ⋅ 2'4 ⋅ 10 −3 = 1'2 Atención: la tecla EXP ya tiene incluido la base 10. No debes escribir 5 x 10 EXP 2, ya que estarás escribiendo 5000, en vez de 500. Debes teclear: 5 EXP 2 x 2’4 EXP -3 =
69
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
Para las multiplicaciones y divisiones de números expresados en notación científica sólo deberemos aplicar las mismas propiedades que para las potencias Ejercicio resuelto Resuelve la siguiente operación usando notación científica:
2'2 ⋅10 −3 ⋅1'5 ⋅10 −6
Agrupamos los decimales y las potencias por otro y operamos:
2 ' 2 ⋅10−3 ⋅1'5 ⋅10−6 = 2 ' 2 ⋅1'5 ⋅10−3 ⋅10−6 = 3'3 ⋅10−9 Como el resultado está expresado en notación científica hemos acabado el ejercicio. Ejercicio resuelto Resuelve la siguiente operación usando notación científica:
5 ⋅ 105 + 9'2 ⋅107
Al tratarse de una suma (o resta) debemos conseguir que los exponentes de las potencias de 10 sean iguales entre sí (podemos subir el 5 al 7, bajar el 7 al 5 o, incluso, igualar ambas potencias a 6). Una vez conseguido (la parte decimal se verá afectada) podremos extraer factor común. Se decide igualar los exponentes a 5; para ello, operamos sobre el segundo sumando: debemos conseguir que el exponente 7 se convierta en 5, entonces multiplicamos por
10 −2 y para que el ejercicio no cambie también multiplicaremos por 10 2
5 ⋅105 + 9'2 ⋅107 = 5 ⋅105 + 9'2 ⋅107 ⋅10−2 ⋅102 ; ahora, operamos las potencias del 7 y del -2 para conseguir el 5, y la otra potencia restante se opera con la parte decimal del número: 5 ⋅10 + 9'2 ⋅10 ⋅10 = 5 ⋅10 extraemos factor común y operamos: 5
5
2
5
+ 920 ⋅105 ; ya tenemos las potencias iguales:
(5 + 920) ⋅105 = 925 ⋅105 ; por último, y muy importante, dejamos el resultado en nota-
ción científica:
5 ⋅105 + 9 '2 ⋅107 = 9 '25 ⋅107 Ejercicio 11 Resuelve utilizando notación científica:
a ) 4'3 ⋅10 −2 ⋅ 5 ⋅ 106 = b) 3'4 ⋅ 107 : 8'1 ⋅ 10 −6 =
c)
70
(5 ⋅10 ) : (2 ⋅10 ) = 4
−2
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
(Continuación)
d)
(9'6 ⋅10
e)
(1'2 ⋅10
−5
−2
)(
)
⋅ 5 ⋅10 4 : 4'8 ⋅10 −2 =
)(
)
⋅ 2'2 ⋅ 105 : 2 ⋅ 10 −3 ⋅ 8 ⋅ 10 −4 =
f ) 2 ⋅10 −5 ⋅ 3 ⋅10 4 ⋅ 4 ⋅103 = g ) 2'2 ⋅10 −3 ⋅ 1'5 ⋅ 10 −6 = h) 5' 2 ⋅107 + 2 '3 ⋅105 =
i ) 2 '3 ⋅104 − 1'2 ⋅106 =
j ) 2 ' 4 ⋅106 − 4 ⋅104 − 3'6 ⋅105 =
k ) 8' 2 ⋅105 − 5 ⋅103 − 1'5 ⋅104 =
Ejercicio 12 Responde utilizando notación científica: a) Una molécula de agua pesa agua?
2'9 ⋅ 10 −23 g . ¿Cuánto pesarán cien mil moléculas de
71
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
(Continuación)
36'6 ⋅ 106 hab y una superficie de 50'4 ⋅10 4 km 2 . 2 ¿Cuál será la densidad de población española? Densidad = hab / km b) España tiene una población de
(
)
2'5 ⋅ 10 4 veces más grande −5 que el original. ¿A qué tamaño se verá una partícula de polvo que mide 5 ⋅10 m ? c) Un microscopio permite observar un objeto a un tamaño
4.2 Raíces Al igual que con las potencias, aquí también repasaremos conceptos resolviendo ejercicios. Las potencias de exponente fraccionario y las raíces son una misma cosa: m n
a = n am Ejercicio 13 Calcula:
a)
4 = 9
b)
25 = 36
c)
81 = 4
d)
1'44 =
0'125 =
f)
− 81 = 64 x 3 y 6 = m 6 n12
e)
3
4
g)
i)
72
3
3
0'027 =
h)
3
27 m3 n 6 = 125a 6b 9
j)
4
16a 4b8 = 81
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
(Continuación)
k) m)
4
6
ñ)
4
p)
4
16 = 81
l)
64 =
n)
3
−1 =
−1 =
o)
3
27 5 =
1 = (0'000 1)5
q)
3
(27m n )
5
0'000 01 =
3 6 5
=
Conseguir que dos (o más) raíces tengan el mismo índice nos permitirá compararlas y ordenarlas, multiplicarlas y dividirlas; para ello, sólo hay que aplicar esta propiedad: n
a m = n⋅k a m⋅k
Ejercicio resuelto Calcula las siguientes operaciones:
a)
3
3
5
3
2 ⋅ 3 15 = 6 23 ⋅ 6 152 =
b)
6 3
2 ⋅ 32 = 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 2 = 2 = 22 = 4 3
3
5
6
3
6
23 ⋅152
Ejercicio 14 Calcula los siguientes operaciones:
a)
3
3 ⋅3 9 = 1 2
b)
2 ⋅8 =
c)
2 ⋅5 3 =
d)
32 : 2 =
73
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
(Continuación) 3
e)
81 = 3 9
f)
15 : 3 =
g)
x = x
h)
3 ⋅ 3 32 ⋅ 4 33 =
i)
23 ⋅ 4 22 ⋅ 8 32 =
Mira, de nuevo, la propiedad 11. Se puede extraer factores de una raíz e introducirlos; así podremos: agrupar raíces, simplificarlas...
Ejercicio 15 Extrae factores:
a)
8=
b)
18 =
c)
32 =
d)
50 =
e)
98 =
f)
128 =
g)
162 =
h)
200 =
Ejercicio 16 Introduce factores:
a) 2 ⋅ 2 =
b) 7 2 ⋅ 3 =
c) 2 ⋅ 3 5 =
d ) 22 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 =
e) 7 2 ⋅ 7 7 =
f ) 10 ⋅ 3 5 ⋅ 2 =
74
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
No se pueden sumar ni restar raíces:
a + b ≠ a + b , pero sí pueden agruparse:
3 a+ a =4 a Deberemos conseguir, para ello, que los radicales sean los mismos (mismo índice y mismo radicando); y para conseguirlo, podremos introducir o extraer factores, igualar índices...
Ejercicio 17 Opera:
5 + 45 − 80 + 180 =
a)
b) 2 8 − 18 + 5 2 − 50 =
75 = 49
c)
48 +
d)
8 − 2 18 + 32 =
e)
6
27 + 4 4 − 6 8 =
f ) 2 27 − 3 48 +
g)
2 18 + = 3 75
h)
27 1 12 − = 2 2 50
1 75 = 5
75
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Ejercicio 18 Simplifica: (mira la propiedad número 12) 3
a)
8=
b)
3 =
c)
2 3=
d)
x =
e)
x −1 =
f)
x x x = 5
g)
x =
a 3 a2 ⋅
h) i)
3
3
3
a =
a a 6 ⋅ 3 a 3 a3 =
4.2.1 Racionalización Recuerda que es el proceso por el cual se eliminan las raíces de los denominadores. Cada caso depende del tipo de raíz que haya en el denominador:
− Caso I) Raíz cuadrada: se multiplica numerador y denominador por la misma raíz del denominador
15 15 5 15 ⋅ 5 15 ⋅ 5 = ⋅ = = = 3⋅ 5 2 5 5 5 5 5
( )
− Caso II) Raíz de índice mayor que dos:
6 7
76
23
=
6 7
23
⋅
7
24
7
24
=
6 ⋅ 7 24 7
27
6 ⋅ 7 24 = = 3 ⋅ 7 24 2
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− Caso III) Suma o diferencia:
( )(
) )
(
)
(
)
3+ 7 12 ⋅ 3 + 7 12 ⋅ 3 + 7 12 12 = ⋅ = = = 6⋅ 3+ 7 2 2 9 7 − 3− 7 3− 7 3+ 7 3 − 7
(
( )
(
)
Ejercicio 19 Racionaliza los denominadores y ten en cuenta que todos los radicandos indicados con letras son números enteros y positivos. Fíjate en las soluciones.
a)
3a = a
b)
2 = 3
c)
d)
e)
2
3
=
ab
a a2
6 3
Solución:
ab 3 a 3
3 a
Solución:
Solución:
a 2b 2
6
=
a2 − b2 = a −b
3
Solución:
Solución:
a5 a
( a + b) a − b
77
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f)
g)
h)
m2 3
m
5
=
2
5 4+ 5
=
i)
−2 = 3− 5
j)
5 = 7+ 2
k)
l)
78
b− b = b −1
3 3− 3
3
Solución:
=
2+ 2
Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
=
Solución:
m
2 −1
Solución:
4 5 −5 11
Solución:
3+ 5
Solución:
7− 2
Solución:
Solución:
b
18 + 6 3 2
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Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
4.3 Logaritmos Son mucho más sencillos de lo que los alumnos suelen creer. Podrían explicarse en otros cursos inferiores de ESO. Los siguientes ejemplos están resueltos: intenta averiguar cuál es la operación que se realiza:
a) log 2 8 = 3
Se lee “el logaritmo en base dos de ocho es tres”
b) log 5 125 = 3
c) log 7 49 = 2
d ) log10 10 000 = log 104 = 4
e) log 3 81 = 4
Observa el ejemplo d), cuando la base es 10, no podremos nada (igual que obviamos el índice 2 en las raíces cuadradas).
Ejercicio 20 Resuelve:
a) log 100 =
b) log 100 000 =
c) log 0'1 =
d ) log 0'000 001 =
e) log 10−27 =
f ) log 10
g ) log 6 36 =
h) log8 8π =
i) log3 311 =
j ) log 2 0'5 =
2
=
Hasta aquí hemos obtenido los logaritmos “a ojo”. ¿Y si queremos calcular log 4 2 ?
4.3.1 ¿Cómo obtener el logaritmo de un número? Algunos logaritmos, como los anteriores, se pueden obtener sin calculadora (otros no, pero los veremos más adelante). Sólo debes responder a una pregunta: ¿A qué número tengo que elevar la base para obtener el número? Fíjate en el ejemplo a) de los primeros logaritmos: ¿a qué número, x, tengo que elevar el 2 para obtener 8? Dicho de otra forma:
2x = 8 , ¿cuánto vale x? Es decir, un logaritmo sólo es un exponente
Esta forma de expresar el logaritmo nos lleva a una definición importante:
log a N = x ⇔
ax = N
Fórmula que nos permitirá resolver logaritmos no tan sencillos como los anteriores. 79
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Ejercicio resuelto Resuelve los siguientes logaritmos:
1 a ) log 3 ; Igualamos a x el logaritmo y aplicamos la definición: 3 1 1 log 3 = x ⇔ 3 x = Tratamos de igualar las bases: 3 3 1 1 3 x = = 3−1 ⇒ x = −1 ; por tanto: log 3 = −1 3 3 b) log 1 0 '001 ; Igualamos a x el logaritmo y aplicamos la definición: 10 x
⎛ 1 ⎞ log 1 0 '001 = x ⇔ ⎜ ⎟ = 0 '001 Tratamos de igualar las bases: 10 ⎝ ⎠ 10 1 = 10 −3 ⇒ 10 − x = 10 −3 ⇒ x = 3 ; por tanto, log 1 0 '001 = 3 x 10 10
Ejercicio 21 Resuelve:
a ) log 4 2
b) log 10
c) log 2 8
d ) log3 3 3
80
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(Continuación)
e) log13 1
f ) log 2 0 '125
g ) log 5 0 ' 2
h ) log 1 27 3
i ) log 1 3
1 81
j ) log 1
1000
10
Hasta ahora, apoyándonos en la definición, hemos obtenido los logaritmos en diferentes bases de varios números. Otra forma de exprimir esa fórmula es obtener las bases conociendo el número y el logaritmo. Ejercicio resuelto Halla la base en la cual el logaritmo de 10 000 es 2: Nos están preguntando:
log x 10 000 = 2 ; aplicamos la definición: x 2 = 10 000 = 10 4 ;
Debemos operar en la parte derecha y conseguir que el exponente sea 2:
x 2 = (10 2 ) ⇒ x = 10 2 ; la base es 100. 2
81
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Ejercicio 22 a) Halla la base en la cual el logaritmo de 16 es 2:
b) Halla la base en la cual el logaritmo de 125 es 3:
c) Halla la base en la cual el logaritmo de 729 es 3:
d) Halla la base en la cual el logaritmo de 27 es -3:
Hallar el número conociendo la base y el logaritmo resulta muy sencillo ya que sólo hay que resolver la potencia: Por ejemplo:
log 2 x = 3 ⇒
23 = 8 ⇒
x=8
Ejercicio 23 Calcula el valor de x en las siguientes igualdades:
a ) log x = −3
b) log x 0 '5 = 4
c ) log 1 32 = x 2
82
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Hay tres consecuencias inmediatas de la definición:
4.3.2 Uso de la calculadora Sólo encontrarás dos logaritmos: en base 10,
log ; y en base e, ln o Ln .
Para obtener un logaritmo en cualquier otra base deberás dividir el logaritmo en base 10 del número entre el logaritmo en base 10 de la base:
log a N =
log N log a
Puedes comprobar esta fórmula con algún logaritmo sencillo. Ejemplo:
log 2 8 =
log 8 =3 log 2
Ejercicio 24 Comprueba con la calculadora las soluciones de los ejercicios 20 y 21 (Este espacio es para que escribas las primeras operaciones. Tras tres o cuatro ejercicios se consigue mecanizar el proceso y ya no necesitarás hacerlo)
83
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4.3.3 Propiedades Son tres, y, como todas las propiedades, resultan muy útiles para resolver problemas. Logaritmo de un producto... puede ponerse como la suma de los logaritmos de los factores:
log a M ⋅ N = log a M + log a N Ejercicio 25 Aplicando propiedades (de momento sólo conoces una), obtén:
log 40 + log 25 =
Ejercicio 26 Simplifica la expresión
log
(
( x + 1) − 1) + log ( ( x + 1) + 1)
Solución:
log x
Logaritmo de un cociente... puede ponerse como una resta entre el logaritmo del numerador y el del denominador:
log a Ejercicio 27 Aplicando propiedades obtén:
log 80 − log 8 =
84
M = log a M − log a N N
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Ejercicio 28 Sabiendo que
log x − log y = 1 , encuentra la relación que existe entre x e y:
Logaritmo de una potencia... puede ponerse como el producto del exponente por el logaritmo de la base:
log a M N = N ⋅ log a M Ejercicio 29 Aplicando propiedades obtén:
log 4 4 = Ejercicio 30 Sabiendo que
log 2 = 0 '3 , calcula:
a ) log 8 = b) log 5 =
c ) log 125 =
d ) log 0 '64 =
Ejercicio 31 Sabiendo que
log 5 = 0 '69 , calcula:
a ) log 500 = b) log 0 '5 =
85
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Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
Ejercicio 32 Opera (sin calculadora):
a ) log 2 + log 5 = b) log 40 + log 5 − log 20 =
c)
( log 25 + log 4 ) ⋅ log 5 1000 =
Ejercicio 33 Simplifica las siguientes expresiones:
a) 2 log a 5 + log a 4 − log a 10 = 1 ⎛1 ⎞ b) log a 12 − ⎜ log a 9 + log a 8 ⎟ = 3 ⎝2 ⎠ c) log x 4 − log x3 = d ) 1 + log 2 = e) 3 − log 2 = f ) log x3 + 2 log x =
4.3.4 Expresiones algebraicas y expresiones logarítmicas Si los logaritmos de dos números en la misma base son iguales, entonces los números también son iguales.
Ejercicio 34 Expresa la propiedad anterior con una expresión matemática:
86
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Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
Es decir, dada una expresión logarítmica (donde aparezcan logaritmos), si conseguimos expresarla como la parte izquierda de esta propiedad, podremos pasar a una expresión algebraica (sin logaritmos), y viceversa. Cuando se aplica esta propiedad en el sentido de izquierda a derecha se dice “tomando antilogaritmos” o “quitando logaritmos”; cuando se aplica de derecha a izquierda se dice “tomando logaritmos”. Estas expresiones deben aparecen en los ejercicios (exámenes) cuando las apliques. Ejercicio resuelto Convierte esta expresión en algebraica:
log V = log 4 + log π + 3log r − log 3 ; debemos agrupar los logaritmos de la parte derecha ara obtener sólo un logaritmo:
log V = log 4π + log r 3 − log 3; 4π r 3 log V = log ; 3 V =
Quitando logaritmos:
4π r 3 , expresión algebraica que nos da el volumen de una esfera. 3
Ejercicio 35 Pasa a forma algebraica las siguientes expresiones:
a ) log A = 2 log x − 3log y + 2 log 5
b) log B = log ( x + y ) + log ( x − y )
c ) log C = 3log x − log 32 − log
x 2
87
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Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos
Ejercicio 36 Pasa a forma logarítmica las siguientes expresiones:
a)
A = x2 y3 z 4
b) B =
a 3b 4 c2
c) C =
3
mn 2 ñ5o
Podrás encontrar más información y ejercicios en: http://www.logaritmos.tk http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/logaritmos/logaritmos.htm http://usuarios.lycos.es/mislogaritmos/ http://www.videosdematematicas.com/Formularios%20pdf/Matematicas/Logaritmo%20p otencias%20raices.pdf http://videosdematematicas.110mb.com/Algebra/10%20Logaritmos/index.htm
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Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
La búsqueda de la verdad es más preciosa que su posesión
Albert Einstein (físico estadounidense de origen alemán, 1879 - 1955)
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Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Ecuación extraída de:
http://usuarios.lycos.es/mislogaritmos/index.htm
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Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Índice de la unidad
Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.....................................................93 5.1 Ecuaciones logarítmicas ......................................................................................93 5.2 Ecuaciones exponenciales...................................................................................97 5.2.1 Igualar bases .................................................................................................97 5.2.2 Sacar factor común .......................................................................................98 5.2.3 Cambio de variable......................................................................................100 5.2.4 Tomar logaritmos.........................................................................................101 5.3 Sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales .....................................103
Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...
− Resolver ecuaciones logarítmicas − Resolver ecuaciones exponenciales − Resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas − Resolver sistemas de ecuaciones exponenciales
Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:
− Adquirir un método autónomo de trabajo en la resolución de actividades y problemas relacionados con las ecuaciones y sistemas (C2, C7, C8). − Reconocer, con espíritu constructivo, los errores cometidos al plantear o resolver problemas de ecuaciones o sistemas (C2, C5).
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Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Criterios de evaluación
− Resuelve ecuaciones logarítmicas de primer grado o mayor − Resuelve ecuaciones exponenciales − Resuelve sistemas de ecuaciones logarítmicas − Resuelve sistemas de ecuaciones exponenciales
Contenidos conceptuales
− Ecuaciones logarítmicas − Sistemas de ecuaciones logarítmicas − Ecuaciones exponenciales − Sistemas de ecuaciones exponenciales − Cambio de variable
Contenidos procedimentales
− Resolución de ecuaciones logarítmicas − Conversión de expresiones logarítmica e algebraicas y viceversa − Resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas − Resolución de ecuaciones exponenciales mediante la aplicación de logaritmos, igualación de bases, sacando factor común o por cambio de variable − Resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales − Utilización del cambio de variable para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas
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Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales Tras conocer cómo se resuelven los logaritmos, avanzamos con la resolución de ecuaciones que tengan la(s) incógnita(s) dentro de un logaritmo o en un exponente. Aprenderemos a identificar las distintas clases que existen y aplicaremos su método particular para resolverlas. Ampliaremos la unidad con el estudio de los sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales.
5.1 Ecuaciones logarítmicas Son ecuaciones que tienen al menos una incógnita dentro de un logaritmo. Básicamente utilizaremos las herramientas aprendidas en el tema anterior: − propiedades de los logaritmos − quitar logaritmos Ejercicio resuelto Resuelve: 5 ⋅ log x = log 27 + 6 ⋅ log x 3
2
Lo primero que hacemos es fijarnos en los exponentes de las incógnitas. Al aplicar la tercera propiedad de los logaritmos, evitamos esos exponentes “tan elevados”.
15 ⋅ log x = 3log 3 + 12 ⋅ log x Siempre fijándonos en las incógnitas, vemos que ambas están en miembros distintos y que pueden agruparse (son del mismo grado):
15 ⋅ log x − 12 ⋅ log x = 3 log 3 Se opera:
3 ⋅ log x = 3 log 3 ; Se simplifica toda el ecuación por 3: log x = log 3 ; finalmente, qui-
tando logaritmos: x = 3 Consejos para la resolución de este tipo de ecuaciones: - No pierdas nunca de vista que el objetivo es ir agrupando las incógnitas en una sola (caso de que halla más de una), para conseguir despejarla. - Con frecuencia resulta muy útil quitar los logaritmos, para resolver así, una ecuación algebraica; recuerda cómo debes disponer los logaritmos para conseguirlo. - En ocasiones deberás “hacer el logaritmo al revés”, es decir, dado un número (sin logaritmo) deberás ponerlo como el logaritmo de otro. Por ejemplo: 4 = log104 . - Como en el caso de las ecuaciones con raíces, es imprescindible comprobar las soluciones. Recuerda que no existen los logaritmos de números negativos.
93
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Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
El logaritmo que suele aparecer en las ecuaciones logarítmicas es el decimal o el neperiano y, normalmente, siempre la misma base en toda la ecuación.
Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas (se deja el doble de espacio para que hagas las comprobaciones):
a) 2 log x − log ( x + 6 ) = 0
b) log ( x + 1) − log x = 1
c) log ( x + 6 ) = 1 + log ( x − 3)
(Sigue → ) 94
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(Continuación)
d ) log ( 3x + 5) − log ( 2 x + 1) = 1 − log 5
e) log ( x − 1) − log 5 + x − log 5 − x = 0
f ) log 2 + log (11 − x 2 ) = 2 log ( 5 − x )
(Sigue → ) 95
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Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
(Continuación)
g ) log ( 3 − x 2 ) = log 2 + log x
h) 2 log x − log ( x 2 − 6 ) = 1
1 i ) log ( 5 x + 4 ) − log 2 = log ( x + 4 ) 2
Ejercicio 2 Despeja en valor de x en
96
log x − log y = log ( x − y )
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5.2 Ecuaciones exponenciales Son ecuaciones que tienen al menos una incógnita en un exponente. Ejemplos:
2 x = 8 (Ecuación 1) 3 x +1 = 81 (Ecuación 2) 3 ⋅ 5 x = 75 (Ecuación 3) 3 x + 4 + 2 ⋅ 3 x −1 = 2205 (Ecuación 4) 5 x = 10 (Ecuación 5) 3 x + 2 + 3 x +1 + 3 x + 3 x −1 = 120 (Ecuación 6) 6 x − 9 ⋅ 6 − x + 8 = 0 (Ecuación 7) La primera y segunda ecuación pueden resolverse a simple vista: x = 3 para ambas ecuaciones; pero no siempre va a ser así. Afortunadamente existen cuatro formas (ayudas) de resolver estas ecuaciones:
− − − −
Igualar las bases (Ecuaciones 1, 2 y 3) Sacar factor común (Ecuaciones 4 y 6) Hacer un cambio de variable (Ecuación 7) Tomar logaritmos (Ecuación 5)
A la hora de resolver una ecuación exponencial deberás tener presente esta lista, y comprobar, con un simple vistazo, qué forma se adecua mejor a la ecuación dada.
5.2.1 Igualar bases Aplicando propiedades de potencias, deberemos obtener una igualdad de potencias con la misma base; así, podremos igualar los exponentes y resolver la ecuación polinómica resultante. Ejercicio resuelto Resuelve la siguiente ecuación exponencial: 4
2 x +1
= 0 '53 x +5
Es fácil comprobar que ambas bases son potencias de 2. Operaremos en ambos miembros hasta conseguir que las bases sean iguales. Después, igualaremos los exponentes que es donde están las incógnitas.
(2 )
2 2 x +1
⎛ 5⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠
3 x +5
; 2
4 x+2
⎛1⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠
3 x +5
; 2
4 x+2
= ( 2 −1 )
3 x +5
; 2
4 x+2
= 2 −3 x −5 ; si las bases
son iguales, también lo son los exponentes: 4 x + 2 = −3 x − 5 ; obtenemos una ecuación de primer grado cuya solución es: x = −1 2
Comprobación: 4
2( −1) +1
3( −1) + 5
= 0 '5
1 ⎛1⎞ ; 4 = 0 '5 ; 2 = ⎜ ⎟ ; la solución es correcta. 2 ⎝2⎠ −1
2
97
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Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Ejercicio 3 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a ) 3 ⋅ 5 x = 75
(Ecuación 3 anterior)
b) 252 x − 2 = 5
c ) 7 −3 x −10 − 7 5 x + 6 = 0
d ) 32 7 x −11 = 45 x +10
e) 25−2 x − 2 = 1
f ) 27 4 x + 9 = 818 x − 7
g ) 9 −2 x − 2 − 1 = 0
5.2.2 Sacar factor común Este segundo método y el anterior son los más utilizados en el cálculo de ecuaciones exponenciales. Sólo podrá aplicarse si la potencia (o parte de ella) cuyo exponente contenga la incógnita, es común en todos los términos de un miembro de la ecuación. Para extraer factor común, es muy probable que necesites deshacer las sumas o restas que haya en los exponentes. Fíjate en estos ejemplos en ambos sentidos: 2 ⋅ 2 = 2 x
98
3
x+ 3
;
2 x −1 = 2 x ⋅ 2 −1 = 2 x ⋅
1 2
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Ejercicio resuelto Resuelve la siguiente ecuación exponencial:
3 x + 4 + 2 ⋅ 3 x −1 = 2205
Para extraer factor común preparamos la ecuación:
(Ecuación 4 anterior)
3 x ⋅ 34 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 3−1 = 2205 ;
3x ( 34 + 2 ⋅ 3−1 ) = 2205 ; dentro del paréntesis no debe quedar ninguna incógnita.
5 ⎛ 4 2⎞ x ⎛3 +2⎞ Operamos dentro del paréntesis: 3 ⎜ 3 + ⎟ = 2205 ; 3 ⎜ ⎟ = 2205 ; 3 3⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 2205 ⋅ 3 3x = = 27 ; obtenemos una ecuación mucho más sencilla que resolvemos 245 x 3 como el caso anterior: 3 = 3 ; x = 3 x
Comprobación:
33+ 4 + 2 ⋅ 33−1 = 2205 ; 37 + 2 ⋅ 32 = 2187 + 18 = 2205 la solución es correcta. Ejercicio 4 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a ) 2 x +1 + 2 x = 3
b) 3− x +1 + 3− x + 2 = 324
c) 3x + 2 + 3x +1 + 3x + 3x −1 = 120
(Ecuación 6 anterior)
d ) 33 x − 2 + 33 x = 10
e) 4− x −1 − 4− x − 2 + 4 − x −1 = 112
99
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5.2.3 Cambio de variable Ya conoces este método, lo utilizábamos al resolver ecuaciones bicuadradas. En esta ocasión cambiaremos por otra letra (por costumbre se utiliza la t) la potencia que lleve la incógnita. Es posible que, a la hora de deshacer el cambio, debamos utilizar las propiedades, ya conocidas, de los logaritmos. Ejercicio resuelto Resuelve la siguiente ecuación exponencial: 6 − 9 ⋅ 6 x
−x
+8 = 0
(Ecuación 7 anterior)
x
Si multiplicamos toda la ecuación por 6 conseguiremos eliminar el exponente negativo. x x 0 6 x ⋅ 6 x − 9 ⋅ 6 x ⋅ 6 − x + 6 x ⋅ 8 = 0 ⋅ 6 x ; ( 6 ) − 9 ⋅ 6 + 6 ⋅ 8 = 0 ; se reordenan los térmi2
( )
nos 6
x 2
+ 8 ⋅ 6 x − 9 = 0 y se hace un cambo de variable: 6 x = t ;
t 2 + 8t − 9 = 0 ; ecuación de segundo grado cuyas soluciones son t1 = 1 y t2 = −9 . ⎧⎪6 x = t , pero t1 = 1, 6 x = 1; 6 x = 60 ; x = 0 Ahora deshacemos el cambio: ⎨ x x ⎪⎩6 = t , pero t2 = −9, 6 = −9 solución no válida Comprobación:
60 − 9 ⋅ 6−0 + 8 = 0 ; 1 − 9 ⋅1 + 8 = 0 ; 9 + 9 = 0 ; la solución es correcta Ejercicio 5 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a ) 52 x − 6 ⋅ 5 x + 5 = 0
b) 42 x − 6 ⋅ 22 x + 8 = 0
(Sigue → ) 100
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(Continuación)
c) 712 x − 8 ⋅ 7 6 x + 7 = 0
d ) 64 x +1 − 7 ⋅ 62 x + 1 = 0
5.2.4 Tomar logaritmos Este cuarto y último método se utilizará cuando no sean aplicables ninguno de los anteriores; se trata del último recurso y, en general, será necesario utilizar la calculadora. Ejercicio resuelto Resuelve la siguiente ecuación exponencial: 5
2 x −1
= 7 3− x
Las bases son diferentes y son números primos, por lo que desechamos la idea de igualarlas; el cambio de variable y sacar factor común tampoco parecen que puedan ofrecernos alguna ventaja de resolución, por lo que recurrimos a tomar logaritmos. Tomamos logaritmos en base 5 (en base 7 también valdría) en ambos miembros de la igualdad: log 5 5
2 x −1
= log 5 7 3− x ; y aplicamos la propiedad del logaritmo de una poten-
cia: ( 2 x − 1) log 5 5 = ( 3 − x ) log 5 7 ; el primer logaritmo se resuelve de forma inmediata; y el segundo, sólo representa un número (que si fuera necesario, obtendríamos con la calculadora):
2 x − 1 = 3log 5 7 − x log 5 7 ; despejamos la incógnita. Para ello agrupamos las x, por ejemplo, en el lado derecho, y sacamos factor común: 2 x + x log 5 7 = 3log 5 7 + 1 ; x ( 2 + log 5 7 ) = 3log 5 7 + 1 ; finalmente: x =
1 + 3log 5 7 . En este caso, la compro2 + log 5 7
bación no resulta sencilla de hacer. Puedes comprobar los resultados con la calculadora.
101
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Ejercicio 6 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a ) 5 x = 10
(Ecuación 5)
b) 25 x + 3 = 1000
Ejercicio 7 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales (ahora no están incluidas en ningún apartado); deberás deducir cuál es el método de resolución que mejor se adecua a cada ecuación:
a ) 5−3 x +1 + 5−3 x = 6
b) 10
c) 3
3 x −1 2 x +1
2( x +1)
d ) 5x
2
−3 x
= 100
− 18 ⋅ 3x + 9 = 0
= 800
(Sigue → ) 102
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Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
(Continuación)
e ) 2 −8 x + 2 − 3 ⋅ 2 −4 x − 1 = 0
f ) 0 ' 4 x −1 = 6 ' 256 x −5
g ) 2 2 x +1 − 2 2 x + 2 = −4
5.3 Sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales En general, los sistemas de ecuaciones logarítmicas (donde una o más ecuaciones son de este tipo) se resolverán pasando estas ecuaciones a algebraicas con las propiedades que ya conocemos, y resolviendo el sistema resultante con alguno de los métodos tradicionales: sustitución, reducción o igualación. En alguna ocasión podrán resolverse haciendo algún cambio de variable. Ejercicio resuelto
x + y = 70 ⎫ ⎬ Resuelve el siguiente sistema: log x + log y = 3 ⎭ La primera ecuación es algebraica y la segunda logarítmica. Intentaremos “quitar logaritmos” en la segunda ecuación:
x + y = 70 x + y = 70 ⎫ ⎪⎫ x + y = 70 ⎫ ⎬⇒ ⎬⇒ ⎬ obtenemos un sislog x + log y = 3 ⎭ log ( xy ) = log1000 ⎪⎭ xy = 1000 ⎭ tema no lineal que resolvemos por sustitución:
x = 70 − y ⎫⎪ x = 70 − y ⎫ ⇒ ⎬ ⎬ Operando en la ecuación: 70 y − y 2 = 1000 xy = 1000 ⎭ ( 70 − y ) y = 1000 ⎪⎭ Resolviendo: y1 = 20; x1 = 50 ; y2 = 50; x2 = 20 103
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Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Respecto a los sistemas de ecuaciones exponenciales, también utilizaremos el cambio de variable como método más general.
Ejercicio 8 Resuelve los siguientes sistemas:
a)
3 x + 2 y = 64 ⎫ ⎬ log x − log y = 1 ⎭
b)
x − y = 9⎫ ⎬ log x + log y = 1 ⎭
c)
log x + log y = 3⎫ ⎬ log x − log y = 1 ⎭
d)
2 log x − 3log y = 7 ⎫ ⎬ log x + log y = 1 ⎭
(Sigue → ) 104
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Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
(Continuación)
log x + 5 log y = 7 ⎫ ⎪ e) x ⎬ log = 1 ⎪ y ⎭
f)
2 log x + log y = 5 ⎫⎪ ⎬ log ( xy ) = 4 ⎪⎭
2 x + 5 y = 9 ⎫⎪ g) ⎬ 2 x + 2 + 5 y +1 = 41⎪⎭
h)
⎫⎪ ⎬ 2 x +1 + 8 ⋅ 3 y = 712 ⎪⎭ 2 x − 3 y −1 = 5
(Sigue → ) 105
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Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
(Continuación)
2 x + 5 y = 9 ⎪⎫ i) ⎬ 2 x + 2 − 5 y +1 = −9 ⎪⎭
Puede resultarte muy útil consultar la información de las siguientes direcciones: http://www.logaritmos.tk http://descartes.cnice.mec.es/4b_eso/Ecuaciones_Exponenciales/inicio.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/ecuac_sistemas_exp_log/index.htm http://descartes.cnice.mec.es/Bach_HCS_1/Ecuaciones_exponenciales_y_logaritmicas/ Indice_ecuaciones.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Ecuaciones_exponenciales_logarit micas/Indice_ecuaciones.htm http://lubrin.org/mat/spip.php?rubrique27
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Unidad 6: Inecuaciones
No hay enigmas. Si un problema puede plantearse, también puede resolverse. Ludwig Wittgenstein (filósofo austriaco, 1889-1951)
Unidad 6: Inecuaciones 107
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Unidad 6: Inecuaciones
Imagen extraída de: http://perso.wanadoo.es/arnadelo/algebra.html
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Unidad 6: Inecuaciones
Índice de la unidad
Unidad 6: Inecuaciones ...............................................................................................111 6.0 Conocimientos previos.......................................................................................111 6.1 Semejanzas con las ecuaciones:.......................................................................111 6.2 Diferencias con las ecuaciones:.........................................................................111 6.3 Inecuaciones de primer grado............................................................................112 6.3.1 Resolución algebraica .................................................................................112 6.3.2 Resolución gráfica .......................................................................................116 6.4 Inecuaciones de segundo o mayor grado ..........................................................121 6.4.1 Resolución algebraica .................................................................................121 6.4.2 Resolución gráfica .......................................................................................122 6.5 Sistemas de inecuaciones con una incógnita ....................................................125 6.6 Resolución de inecuaciones por factorización ...................................................126 6.7 ¿Una demostración falsa? .................................................................................131 6.8 Direcciones web.................................................................................................131
Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...
− Diferenciar ecuaciones de inecuaciones − Resolver inecuaciones de primer y segundo grado, tanto de forma algebraica como gráfica − Resolver inecuaciones por factorización − Resolver sistemas de inecuaciones
Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:
− Emplear el lenguaje matemático (en concreto, nociones básicas de teoría de conjuntos) como instrumento de representación e interpretación de la realidad (C1 y C2). − Resumir y sintetizar los contenidos de la unidad de manera clara y precisa para desarrollar el sentido crítico y el sentido de la responsabilidad, y para iniciarse en el aprendizaje de manera eficaz y autónoma (C2, C7 y C8).
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Unidad 6: Inecuaciones
Criterios de evaluación
− Resuelve inecuaciones de primer grado mediante la obtención de inecuaciones equivalentes al sumar o restar expresiones algebraicas a los miembros de la inecuación, o al multiplicar o dividir por números positivos o negativos conservando o cambiando, según los casos, el sentido de la desigualdad − Resuelve inecuaciones de segundo grado mediante la aplicación de las reglas generales y el estudio de los signos de los factores, obtenidos en la descomposición del correspondiente polinomio de segundo grado, y de su producto − Resuelve, utilizando este mismo método, inecuaciones que pueden reducirse a productos y cocientes de binomios de primer grado − Resuelve inecuaciones por representación gráfica
Contenidos conceptuales
− − − − − − − −
Relación de orden en el conjunto de los números reales Propiedades de las desigualdades relacionadas con la suma y el producto Inecuación Soluciones de una inecuación Inecuaciones equivalentes Inecuación de primer grado con una incógnita Inecuación de segundo grado con una incógnita Inecuaciones que pueden reducirse a productos y cocientes de binomios de primer grado − Sistemas de inecuaciones − Solución gráfica
Contenidos procedimentales
− Obtención de desigualdades con el mismo (y diferente) sentido mediante la suma o resta de cualquier número o el producto o división de un número positivo (negativo) en ambos miembros − Obtención de inecuaciones equivalentes mediante la suma o resta de expresiones algebraicas o producto o cociente de números positivos en ambos miembros − Obtención de inecuaciones equivalentes mediante el producto o cociente de números negativos en ambos miembros y cambiando el sentido de la desigualdad − Resolución de inecuaciones de primer y segundo grado − Resolución de inecuaciones que pueden reducirse a productos y cocientes de binomios de primer grado − Resolución de inecuaciones por representación gráfica − Resolución de sistemas de inecuaciones
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Unidad 6: Inecuaciones
Unidad 6: Inecuaciones Son muy parecidas a las ecuaciones que ya conoces, salvo por tres diferencias que veremos al comenzar el tema. Resolvemos inecuaciones de 1er y 2º grado analítica y gráficamente, y sistemas de inecuaciones.
6.0 Conocimientos previos Debes recordar como expresábamos ciertos intervalos y semirrectas de tres maneras distintas. Ejemplos:
( 0, 3'5]
0 < x ≤ 3'5
Intervalo semiabierto o abierto por la izquierda y cerrado por la derecha
El mismo intervalo utilizando relaciones de desigualdad
( −1, ∞ )
−1 < x
Semirrecta
La misma semirrecta utilizando relaciones de desigualdad
El mismo intervalo utilizando, ahora, una representación gráfica
La misma semirrecta utilizando una representación gráfica
6.1 Semejanzas con las ecuaciones: − En ambas expresiones tratamos de averiguar qué números hacen cierta la igualdad o desigualdad. − Debemos despejar la incógnita y reducir el resto de la expresión hasta averiguar su valor. − Las reglas de la suma (o resta) y multiplicación (o división) por un número positivo para conseguir expresiones equivalentes son las mismas para ecuaciones que para inecuaciones. − En las inecuaciones existen, al igual que en las ecuaciones, grados en los polinomios que la forman.
6.2 Diferencias con las ecuaciones: − Utilización de un signo diferente al tradicional “igual” (=) de las ecuaciones: o signo < : se lee “menor que” o “menor estricto que” o signo > : se lee “mayor que” o “mayor estricto que” o signo ≤ : se lee “menor o igual que ” o signo ≥ : se lee “mayor o igual que” o signo ≠ : se lee “distinto” o “no igual que” − Número de soluciones: en las ecuaciones siempre hay (cuando existen) un número finito de soluciones (una si la ecuación es de 1er grado, dos si es de 2º grado, etc.); en las inecuaciones, pueden haber infinitas soluciones. − Cambio de orientación del signo cuando multiplicamos o dividimos la inecuación por un número negativo. 111
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Unidad 6: Inecuaciones
6.3 Inecuaciones de primer grado En este tipo de inecuaciones la incógnita estará elevada a 1. Las inecuaciones en las que la relación entre los dos miembros es ≠ (distinto) puedes considerarlas ya como resueltas: debes obtener las soluciones de la ecuación (con el signo =), y las soluciones de la inecuación serán el resto de valores reales (que son los que no hacen cierta la ecuación). Ejercicio resuelto Resuelve la siguiente inecuación: x + x − 2 ≠ 0 2
Las soluciones de la ecuación son x = −2 y x = 1 , por tanto, las soluciones de la inecuación son todos los valores reales excepto el -2 y el 1, es decir:
− {−2, 1} .
Ejercicio 1 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x 2 + 2 x + 2 ≠ 0
b)
x2 − 9 ≠ 0
c) x − 12 ≠ 13 − x
d)
x2 ≠ 5x
Para el resto de desigualdades, estudiaremos dos formas de resolución: algebraica y gráfica.
6.3.1 Resolución algebraica Teniendo en cuenta lo dicho en los apartados 3.1 y 3.2, la resolución de inecuaciones es prácticamente igual que para las ecuaciones, salvo el caso de tener que multiplicar o dividir la inecuación por un número negativo (habitualmente por -1), en cuyo caso deberemos invertir el signo de la desigualdad. Mira el siguiente ejemplo:
− x > 4 ; para tener la incógnita positiva, multiplicaos por -1 en ambos miembros: x < −4 112
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Unidad 6: Inecuaciones
Ejercicio resuelto Resuelve la siguiente inecuación: x − 1 ≥ 5 x + 3 Operamos como si se tratara de una ecuación: −4 ≥ 4x ;
−4 ≥ x ; −1 ≥ x ó x ≤ −1 4
Observa como en el 2º paso, hemos dividido ambas partes por 4, que al tratarse de un número positivo, no afecta al signo de la inecuación. Una forma muy útil de “comprender” la solución de cualquier ecuación es utilizar una representación gráfica:
Comprobación: En el caso de las inecuaciones no podemos comprobar los resultados con todos los números, para este caso, menores que -1, así que escogeremos un número al azar que cumpla esa condición, por ejemplo, el -2: Para x = −2 ;
−2 − 1 ≥ 5 ( −2 ) + 3 ; −3 ≥ −10 + 3 ; −3 ≥ −7 , sí es correcto.
Ejercicio 2 Resuelve y representa sobre una recta las siguientes inecuaciones:
a) 3x − 1 < 2 x + 3
b) 2 x − ( x − 1) + 3 < 3 x − 6
c)
x x−2 x−5 + ≥ 2 6 3
(Sigue → ) 113
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Unidad 6: Inecuaciones
(Continuación)
d ) 2 ( x + 1) − 3 ( x − 2 ) ≥ x − 4 x
e)
x x +1 + < x−2 2 7
f)
x x x − < 2x − 4 3 6
g)
2x 3 + x 2x − 2 − ≤ 4+ 6 4 3
h)
x − 1 2 x − 3 −4 + x x − 5 + ≤ + 10 6 15 30
i)
3x + 2 5x + 1 ≥− −2 3
(Sigue → ) 114
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Unidad 6: Inecuaciones
(Continuación)
j)
x −1 x + 5 x − 5 < + 4 36 9
k ) 3x ( x − 1) > 3x 2 + x + 4
Ejercicio 3 En una cesta hay 18 manzanas, algunas de las cuales (no necesariamente todas) se van a distribuir, sin partirlas, en dos bolsas, de modo que en la segunda bolsa haya 3 manzanas más que en la primera. ¿Cuántas manzanas puede haber en cada bolsa?
Ejercicio 4 Si la suma de tres números naturales consecutivos no llega a 100, ¿entre qué valores pueden estar estos números?
115
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Unidad 6: Inecuaciones
6.3.2 Resolución gráfica Resolveremos, mediante este método, inecuaciones de primer grado pero con una o dos incógnitas. Comenzaremos con una incógnita. Vamos a resolver el mismo ejemplo que utilizamos en la resolución algebraica (obviamente, deberemos obtener la misma solución utilizando el método gráfico). Conocimientos previos: necesitarás recordar cómo se dibujan rectas en un sistema de coordenadas; básicamente, había dos maneras de hacerlo: dando valores en una tabla, o a través de la pendiente y la ordenada en el origen. Ejercicio resuelto Resuelve, gráficamente, la siguiente inecuación: x − 1 ≥ 5 x + 3 Deberemos tratar cada miembro de la desigualdad como una recta que deberemos representar. Una vez dibujadas ambas rectas, se mirará la desigualdad, y se determinarán (visualmente) cuando (para qué valores de x) una de ellas es mayor o menor, es decir, está por encima o por debajo, (según el signo de la desigualdad) que la otra. El primer miembro de la desigualdad será la recta y1 , y el segundo miembro será la recta
y2 . Se dan valores para representar las rectas:
x
y1
x
y2
-2
-3
-1
-2
0
-1
0
3
3
2
La desigualdad de la inecuación indica que la primera recta be ser mayor o igual que la segunda. Mirando la gráfica vemos que cuando la x es -1 ó menor, la recta de trazo continuo está por encima de la recta de puntos.
]
Por tanto, la solución de la inecuación es ( −∞, − 1 o bien, x ≤ −1 .
116
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Unidad 6: Inecuaciones
Ejercicio 5 Resuelve, gráficamente, las siguientes inecuaciones:
a) 2 x ≤ 3 − x
b) 2 − x > − x
c) − 2 x − 1 < 4 x − 1
117
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Unidad 6: Inecuaciones
También podemos resolver inecuaciones de primer grado con dos incógnitas de forma gráfica. Ejemplo de inecuación de primer grado con dos incógnitas: y < 2 x − 1 . Si fuera ecuación, ¿cuántas soluciones tendría?
Veamos cómo se resuelve. Ejercicio resuelto Resuelve la siguiente inecuación representando la solución: y < −2 x − 1 Se representa la línea recta y = −2 x − 1 . Una recta divide a un plano en dos semiplanos. Se trata de averiguar cuál de los semiplano es la solución del ejercicio. Para ello, elegiremos un par de puntos cualesquiera de uno de los semiplanos: si verifican la inecuación, será en semiplano solución; y si no, será el otro. En nuestro caso elegimos el punto
( 0, 0 )
y
comprobamos que no verifica la inecuación:
0 < −2 ⋅ 0 − 1 ; por lo tanto, la solución de la inecuación es el semiplano representado en gris en la siguiente figura:
118
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Unidad 6: Inecuaciones
Ejercicio 6 Resuelve, gráficamente, las siguientes inecuaciones:
a)
y ≤ −3 x + 1
b)
2x 5 y + ≥ −1 3 4
c) 3 ( y − 2 x ) < 6
119
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Unidad 6: Inecuaciones
Ejercicio 7 Halla el valor del lado de un cuadrado y de un triángulo equilátero para que la suma de sus perímetros sea superior a 100 cm.
Ejercicio 8 Un CD cuesta 5 euros y un Mini-CD, 3 euros. ¿Cuántos CD y Mini-CD podemos comprar con 20 euros? (Este problema no tiene sentido con variables negativas; dibuja los ejes de manera que sólo aparezca el primer cuadrante)
120
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Unidad 6: Inecuaciones
6.4 Inecuaciones de segundo o mayor grado Al igual que ocurría con las inecuaciones de primer grado, aquí también pueden resolverse de forma algebraica y de forma gráfica. Utilizaremos el mismo ejemplo en ambos procedimientos.
6.4.1 Resolución algebraica El método consiste en: - pasar la inecuación a forma de ecuación (simplemente cambiando la desigualdad existente por el signo igual) - resolver la ecuación de 2º grado - situar las soluciones en la recta real (esto originará varios intervalos, según el número de soluciones que haya); - decidir (en base a los signos) qué intervalo(s) es(son) la solución de la inecuación. Ejercicio resuelto Resuelve la siguiente inecuación: x + 2 x − 1 > 2 x + 3 2
2 Resolvemos la ecuación de segundo grado: x − 4 = 0 ; Soluciones: x = ±2 .
Situamos las dos soluciones en la recta real:
Al haber dos soluciones, la recta real queda dividida en tres intervalos. Elegimos, por ejemplo, el cero para hacer la comprobación: 0 + 2 ⋅ 0 − 1 > 2 ⋅ 0 + 3 2
−1 > 3 ; al no cumplirse la inecuación, podemos determinar ya las soluciones:
Solución: ( −∞, − 2 ) ∪ ( 2, + ∞ )
Ejercicio 9 Resuelve, gráficamente, las siguientes inecuaciones:
a) x 2 − 5 x < −6
(Sigue → ) 121
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Unidad 6: Inecuaciones
(Continuación)
b) x 2 − 2 x − 3 ≥ 0
c) 2 x 2 + 6 ≤ x 2 + x
d ) x 2 − 3x + 2 ≤ 0
e)
( 2 x − 5)
2
> 72 + ( x − 4 )
2
f ) x3 − 6 x 2 + 5 x > 0
6.4.2 Resolución gráfica Con este método resolveremos sólo las inecuaciones de segundo grado. Al igual que hemos hecho anteriormente, nos olvidaremos momentáneamente de la desigualdad, tratando la inecuación como ecuación. Dibujaremos la parábola correspondiente (procedimiento visto el curso pasado). Finalmente, volveremos a la inecuación, donde determinaremos, a partir de la gráfica, los valores de x que provocan que la gráfica sea positiva (esté por encima) o negativa (esté por debajo) del eje de abscisas. 122
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Unidad 6: Inecuaciones
Ejercicio resuelto Resuelve gráficamente la siguiente inecuación:
x2 − 2x − 3 < 0
Tratamos la inecuación como ecuación y representamos la parábola resultante:
x 2 − 2 x − 3 = 0 Vamos a recordar los pasos necesarios para dibujar la parábola. −b 1. Cálculo del vértice: aplicamos la fórmula V x = ; 2a 2 = 1 ; V y = 12 − 2 ⋅1 − 3 = −4 ; V = (1, − 4 ) Vx = 2 ⋅1 2. Puntos de corte con los ejes:
0 = x 2 − 2 x − 3 , ecuación de segundo grado que tiene como soluciones x1 = −1; x2 = 3 ;
PCEX (y=0): En este caso
Por tanto, la parábola corta al eje X en los puntos PCEY (x=0): En este caso
(− 1, 0 ) y (3, 0)
y = 0 2 − 2 ⋅ 0 − 3 = −3
La parábola corta al eje Y en el punto
(0, − 3)
3. Se calculan puntos cercanos al vértice x 1 0 2 -1 3 -2 4
y -4 -3 -3 0 0 5 5
Volvemos a la inecuación original: ¿cuándo la gráfica es menor que cero? es decir, ¿cuándo está por debajo del eje de abscisas? Mirando la gráfica deducimos fácilmente que la solución de la inecuación es:
(1, 3)
, o bien,
(1 < x < 3) 123
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Ejercicio 10 Resuelve gráficamente las siguientes inecuaciones:
a) − x 2 + 4 x − 3 ≥ 0
b) x 2 + 6 x + 5 < 0
c) x 2 + 2 x + 2 < 0
124
Unidad 6: Inecuaciones
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Unidad 6: Inecuaciones
6.5 Sistemas de inecuaciones con una incógnita No llegan a ser verdaderos sistemas en tanto que sólo hay una incógnita. Para resolver este tipo de inecuaciones debes proceder como si fueran dos inecuaciones independientes; la solución del sistema serán aquellos valores que satisfagan ambas inecuaciones. De entre las tres formas de representar las soluciones de los intervalos, puede resultarte más útil utilizar la forma gráfica, ya que es la mejor para determinar las soluciones comunes a dos intervalos; recuerda los ejercicios que hacíamos el curso pasado donde obteníamos zonas comunes a dos intervalos dados.
Ejercicio 11 Resuelve los siguientes sistemas de dos inecuaciones con una incógnita:
3x + 6 > 0
⎫ ⎪ a) x ⎬ −2 x + 7 ≥ − 3⎪ 2 ⎭
b)
3x − 6 < 5 x + 2
⎪⎫ ⎬ 3 x − 2 ( x + 3) ≤ x + 6 (1 − x ) ⎪⎭
125
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Unidad 6: Inecuaciones
6.6 Resolución de inecuaciones por factorización La factorización y la regla de los signos nos permiten resolver muchas inecuaciones, sobretodo las inecuaciones racionales. El proceso es casi idéntico al que empleamos en la resolución algebraica de inecuaciones de segundo grado. Considera la siguiente inecuación de tercer grado: Ejercicio resuelto Resuelve la siguiente inecuación por factorización:
x3 + 3x 2 − 6 x − 8 ≥ 0 Factorizamos:
( x + 4 )( x + 1)( x − 2 ) ≥ 0 ; y representamos en la recta real las solu-
ciones:
Con las tres soluciones obtenidas queda dividida la recta real en cuatro intervalos. Para x = −4 , x = −1 ó x = 2 , la inecuación se anula (vale cero). Pero nos interesan los valores que hagan que la inecuación sea mayor o igual que cero. Para ello, deberemos escoger un número cualquiera de cada intervalo, que no sea ninguna de sus raíces, y comprobaremos si cumple o no la desigualdad.
para x = −5 → ( −1)( −4 )( −7 ) ≥ 0 NO para x = −2 → 2 ⋅ ( −1) ⋅ ( −4 ) ≥ 0 SÍ para x = 0 → 4 ⋅1( −2 ) ≥ 0 NO para x = 3 → 7 ⋅ 4 ⋅1 ≥ 0 SÍ Por tanto, la solución de la inecuación es:
es decir:
126
[ −4, − 1] ∪ [ 2, ∞ )
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Unidad 6: Inecuaciones
Ejercicio resuelto Resuelve la siguiente inecuación por factorización:
x+2 < 0 ; En este caso, tanto el numerador como el denominador ya están factorizax −1 dos (si no, lo haríamos). De igual modo, también aquí hay que poner las soluciones en le recta real, pero reservaremos una línea para cada factor, más una para el resultado. Como tenemos dos factores, necesitaremos tres líneas. Numerador Denominador Solución
Elegiremos para cada factor, y al igual que en el caso anterior, un número (distinto de la solución) y analizaremos el signo que adquiere la inecuación.
para x = 0 → el resultado es positivo ⎫ ⎬ Numerador para x = −3 → el resultado es negativo ⎭ para x = 0 → el resultado es negativo ⎫ ⎬ Denominador para x = 2 → el resultado es positivo ⎭ Pasamos esta información al gráfico:
La regla de los signos de la división son las mismas que para el producto, por tanto, ya podemos determinar los signos del resultado de la división:
Mirando la inecuación, nos interesan los valores negativos, por tanto, la solución es:
( −2, 1)
127
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Unidad 6: Inecuaciones
Ejercicio 12 Resuelve las siguientes inecuaciones por factorización:
a)
x−2 ≥0 x−4
b)
3x − 6 <0 x +1
c) x 2 − x − 6 < 0
d)
− x2 + 5x − 6 ≥0 5− x
(Sigue → ) 128
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Unidad 6: Inecuaciones
(Continuación)
e)
x2 − 9 ≤0 x +1
f ) x3 − 6 x 2 + 5 x > 0
g)
2x +1 ≥0 x−2
h)
x−3 ≥0 x2 −1
(Sigue → )
129
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Unidad 6: Inecuaciones
(Continuación)
i)
3x + 2 ≤2 x−4
j)
x 2 − 3x + 2 <0 x+2
k)
x2 + 1 ≤0 x+3
Ejercicio 13 El consejo administrador de una sociedad anónima es tal que si descontamos al presidente y al vicepresidente, el cuadrado del número de miembros restantes es inferior a 16. ¿Cuántos miembros constituyen el consejo administrador?
130
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 6: Inecuaciones
6.7 ¿Una demostración falsa? Partimos de esta hipótesis:
x <1
Tomamos logaritmos en ambos lados de la desigualdad:
ln x < ln1
es decir,
ln x < 0
dividimos todo por ln x
ln x 0 < ln x ln x
es decir,
1 < 0 ???
El fallo está en ...
6.8 Direcciones web http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/20/matematicas-20.html http://personal.redestb.es/javfuetub/algebra/inecua.htm http://descartes.cnice.mec.es/4b_eso/Inecuaciones/inecindex.html http://www.cnice.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/Ecuaciones_sistemas_inecuaciones/inecuaci.html
131
Matemรกticas 4ยบ ESO Opciรณn B
132
Unidad 6: Inecuaciones
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Unidad 7: Límites de sucesiones
Las series divergentes son, en general, una invención diabólica y es vergonzoso que se pretenda fundar sobre ellas demostración alguna.
Augustin-Louis Cauchy (matemático francés, 1789 - 1857)
Unidad 7: Límites de sucesiones 133
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Unidad 7: Límites de sucesiones
http://perso.wanadoo.es/arnadelo/funcion.html
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Unidad 7: Límites de sucesiones
Índice de la unidad
Unidad 7: Límites de sucesiones.................................................................................137 7.0 Límites de sucesiones vs límites de funciones ..................................................137 7.1 Sucesiones convergentes y divergentes............................................................137 7.1.1 Sucesiones convergentes ...........................................................................138 7.1.2 Sucesiones divergentes ..............................................................................138 7.1.3 Sucesiones sin límite...................................................................................139 7.2 Límite de una sucesión ......................................................................................139 7.3 Operaciones con −∞ y +∞ .............................................................................142 7.4 Propiedades de los límites .................................................................................142 7.5 Indeterminaciones..............................................................................................143 7.5.1 ¿Cómo resolverlas? ....................................................................................144 7.5.2 Ejercicios .....................................................................................................145 7.6 El número e........................................................................................................147 7.7 Cálculo de límites...............................................................................................148
Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...
− Diferenciar las sucesiones convergentes de las divergentes − Operar con
−∞
y
+∞
− Calcular límites − Resolver indeterminaciones
Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:
− Distinguir si una función tiene por límite un número real o, en cambio, su límite es infinito (C7).
135
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 7: Límites de sucesiones
Criterios de evaluación
− Calcula el límite de sucesiones mediante la aplicación de las reglas que rigen las operaciones con los símbolos +∞ y −∞ , las operaciones con límites y las técnicas, en el caso de cocientes de polinomios, que permiten deshacer la indeterminación
∞ ∞
− Calcula el límite de sucesiones cuyo término general es de la forma ( bn ) n y en c
∞ los que aparece la indeterminación 1
− Resuelve ciertas indeterminaciones a la hora de calcular límites
Contenidos conceptuales
− Sucesiones convergentes y divergentes − Límite de una sucesión convergente − Los símbolos +∞ y −∞ . Operaciones − Propiedades de los límites − Operaciones con límites de sucesiones − Indeterminación − El número e
Contenidos procedimentales
− Obtención, con ayuda de la calculadora, del límite de una sucesión mediante el cálculo de los términos que sean necesarios − Cálculo del límite de sucesiones mediante la aplicación de las propiedades de los límites, las operaciones con los símbolos +∞ y −∞ , y la aplicación de las herramientas, en el caso de cociente de polinomios, que permiten deshacer la indeterminación
∞ ∞
− Aplicación de las propiedades de los límites − Obtención de los suficientes términos que permitan observar el crecimiento y la acotación de la sucesión
n 1⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ . ⎝ n⎠
− Cálculo de límites de sucesiones de la forma ( bn ) n y en los que aparezca la inc
⎛0⎞ ∞ determinación 1 , ⎜ ⎟ , ( ∞ − ∞ ) ... ⎝0⎠
136
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 7: Límites de sucesiones
Unidad 7: Límites de sucesiones Ahora nos dedicaremos, una vez que ya hemos estudiado las series, a determinar hacia donde van, si tienden a un número real, o si, por el contrario, se alejan hacia el infinito... Toda esta información te será de mucha utilidad para las próximas dos unidades, que están dedicadas a las funciones.
7.0 Límites de sucesiones vs límites de funciones Para dar continuidad al tema de sucesiones que acabamos de ver, realizaremos el estudio, tal y como se ha dicho en el preámbulo, de hacia dónde tienden las sucesiones, pero es muy importante destacar que, con sólo un cambio de letra (la n por la x), se puede realizar el mismo estudio de límites pero referido a las funciones.
n 2 + 3n lim 2 n →∞ n − n + 4
x 2 + 3x lim 2 x →∞ x − x + 4
Límite de una sucesión
Límite de una función
Otra diferencia es que, para las primeras, querremos saber qué le ocurre a la sucesión cuando “la n” es muy grande (o muy pequeña), es decir, realizaremos el estudio cuando “ene tiende a infinito o a menos infinito”; por contra, en el caso de las funciones, y relacionado con el tema del cálculo de derivadas que veremos en la unidad 11, también se realiza el estudio cuando la variable tienda a un número real, y se llamará límite de una función en un punto.
7.1 Sucesiones convergentes y divergentes Vamos a ver esta distinción con unos ejemplos. “Estudiemos” estas cuatro sucesiones imaginándonos que términos tendrán cuando la n sea muy grande (tienda al infinito):
Sucesión
n =1 n = 2 n = 3
n=4
0 '5 0 '3
0 ' 25
…
0 '1
…
0 '01
…
9
16
…
102
…
104
…
−9
−16
…
−10 2
…
−10 4
…
1 n
1
bn = n 2
1
cn = − n 2
−1 −4
an =
4
n = 10
Límite cuando n tiende a
n = 100
∞
n2 0 '5 0 '8 0 '9 0 '941… … 0 '99009… … 0 '9999… … dn = 2 n +1
137
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 7: Límites de sucesiones
Tenemos cuatro ejemplos de sucesiones cuyos límites son todos distintos. Las suce-
an y d n se llaman sucesiones convergentes, puesto que tienden a un número concreto, 0 y 1, respectivamente. Las sucesiones bn y cn se llaman divergentes ya
siones
que tienden a más o menos infinito.
7.1.1 Sucesiones convergentes Son aquellas que tienden a un número concreto, por ejemplo, la sucesión an = de al valor cero; observa su gráfica:
7.1.2 Sucesiones divergentes Son sucesiones que tienden a
138
−∞
y
2 +∞ . Ejemplo: an = n + 1
1 , tienn
Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo:
Unidad 7: Límites de sucesiones
an = − n 2 + 1
7.1.3 Sucesiones sin límite Son sucesiones que no tienden a ningún valor fijo. Ejemplo:
an = ( −1) ⋅ n 2 n
Las funciones seno y coseno son de este tipo. No existen los límites de estas sucesiones cuando n tiende a infinito (o menos infinito):
lim cos n = ∃
n →±∞
7.2 Límite de una sucesión A la hora de obtener un límite es fundamental que nos fijemos en los valores que va a tomar la n. No es lo mismo que la variable tienda a más infinito o a menos infinito. Después veremos otros casos cuando la variable (n o x) tiendan a un número real. 139
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 7: Límites de sucesiones
En general, resolveremos dos tipos de límites: aquellos que se solucionan de forma intuitiva (como los de la primera tabla de la sección anterior) y aquellos que presentan un resultado indeterminado, aplicando los procedimientos necesarios para resolverlos. Estos últimos los veremos en el apartado 8.5. Límites de funciones polinómicas: nos fijamos en el término de mayor grado; si es positivo, el límite es +∞ ; y si es negativo, el límite es −∞ . Límites de funciones racionales: nos fijaremos en los términos de mayor grado del numerador y del denominador; si el grado del numerador es mayor que el del denominador, el límite es +∞ ; si ocurre lo contrario, el límite es 0; por último, si los grados coinciden, el límite será el cociente de los coeficientes de estos términos.
Ejercicio 1 Calcula los siguientes límites:
a ) lim ( 7 + n ) = n →∞
1⎞ ⎛ b) lim ⎜ 7 − ⎟ = n →∞ n⎠ ⎝
c ) lim ( 7 − n 2 ) = n →∞
1 ⎞ ⎛ d ) lim ⎜ 6 − 3 ⎟ = n →∞ n ⎠ ⎝
e) lim 7 n = n →∞
⎛3 ⎞ f ) lim ⎜ ⋅ n ⎟ = n →∞ n ⎝ ⎠ n
⎛1⎞ g ) lim ⎜ ⎟ = n →∞ 3 ⎝ ⎠
h) lim 3n = n →∞
i ) lim ⎡⎣ −5n3 ( n 2 − 100 ) ⎤⎦ = n →∞
j ) lim ( 2n3 ) = −2
n →∞
k ) lim ( 23 + 10− n ) = n →∞
l ) lim ( 8n −2 − 7 n −3 − 500 ) = n →∞
140
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 7: Límites de sucesiones
Ejercicio 2 Estudia hacia qué tenderán las siguientes sucesiones cuando la n es muy grande:
a ) an =
n n5
n2 + 1 b ) an = 5 n
c ) an = n 7 + n 5 n 8 − 4 n 3 − 5n 2 d ) an = 1000 + n 2 e ) an = − 2 n
Ejercicio 3 Calcula:
2 n 2 − 5n + 7 = n →∞ 3n 2
a ) lim
5n 4 − 2 n 3 + n 2 − n + 1 b) lim = n →∞ 3n3 + 2n 2 − n + 3 3n 2 − 1 c ) lim 3 = n →∞ 4 n + 2
d)
( n + 1) lim
e)
( n + 1) − ( n − 1) lim
f)
( n + 1) + ( n − 1) lim
n →∞
2
=
2n 2
2
n →∞
=
5n + 3 2
n →∞
2
5n + 3
2
=
n + 10 = n →∞ n
g ) lim
141
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 7: Límites de sucesiones
7.3 Operaciones con −∞ y +∞ Es posible, en bastantes casos, efectuar operaciones entre estos elementos y los números reales.
a + ( ±∞ ) = ±∞
a ⋅ ( ±∞ ) = ±∞
±∞ = ±∞ a
Sin embargo, hay casos donde no resulta tan fácil averiguar el resultado de otras operaciones. Por ejemplo:
∞ , ∞
∞ ⋅ 0,
∞ − ∞, 1∞ ,
∞ 0 ...
Estas operaciones se tratan en el apartado 8.5.
Ejercicio 4
1 tiene por límite 0, y la sucesión bn = 2n + 1 tiende a +∞ . Estu4n dia si la sucesión cn = an ⋅ bn es convergente:
La sucesión
an =
7.4 Propiedades de los límites Son muy sencillas e intuitivas, y, en parte, ya las hemos utilizado:
lim ( kan ) = k ⋅ lim an n→ x
lim ( an ± bn ) = lim an ± lim bn
n→ x
n→ x
lim ( an ⋅ bn ) = lim an ⋅ lim bn n→ x
n→ x
(
)
n→ x
⎛a lim ⎜ n n→ x b ⎝ n
n→ x
an ⎞ lim n→ x = , con lim bn ≠ 0 ⎟ n→ x b lim ⎠ n→ x n
lim bn
lim an bn = lim an n→x n→ x
n→ x
Ejercicio 5 Calcula el límite de las siguientes sucesiones aplicando propiedades:
2⎞ ⎛ a ) lim ⎜ 3 + ⎟ = n →∞ n⎠ ⎝ 4n 2 − 1 b) lim = n →∞ 3n 2 142
n→ x
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Unidad 7: Límites de sucesiones
7.5 Indeterminaciones A la hora de resolver un límite, debes tener en cuenta las posibles indeterminaciones que puedan aparecer; por ejemplo:
3n 4 ⎛∞⎞ = lim 5 ⎜ ⎟ n →∞ n + n 2 ⎝∞⎠ Este “resultado” está indeterminado, no podemos determinar la solución, pero de forma temporal; una vez que un límite presenta una indeterminación (veremos que hay varios casos) deberemos resolverla. En este curso, aprenderemos a resolver unos pocos tipos de indeterminaciones, y el resto, aprenderás a resolverlas en Bachillerato. Los siguientes resultados son indeterminaciones:
Estos NO son indeterminaciones:
⎧∞ − ∞ ⎪0 ⋅ ∞ ⎪0 ⎪ ⎪0 ⎪∞ ⎨ ⎪∞ ⎪∞ 0 ⎪ 0 ⎪0 ⎪⎩1∞
⎧∞ + ∞ → ∞ ⎪0 ∞ → 0 ⎪ ⎪0 ⎪ →0 ⎪∞ ⎪⎪ 1 →0 ⎨∞ ⎪∞ ⎪ →∞ ⎪1 ⎪a ⎪ → ±∞ ⎪0 ⎪⎩a ∞ → ∞
Atención: si bien resulta evidente que el símbolo ∞ indica un número muy grande, ya no lo es tanto que los números cero y uno que aparecen en estas expresiones no son exactamente estos números, sino números muy cercanos (infinitamente) a ellos. Los números 0 ' 999 999 y 1' 000 001 están muy cercanos al 1, y estos números elevados a un número muy grande resulta una indeterminación. 143
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Unidad 7: Límites de sucesiones
7.5.1 ¿Cómo resolverlas? ⎛∞⎞ Tipo ⎜ ⎟ : Se divide numerador y denominador por la mayor potencia de n que haya ⎝∞⎠ en el denominador. Ejercicio resuelto
n 4 + n 2 − 4n Calcular lim : n →∞ 3n 4 − 2 n + 7 Al sustituir las n por números grandes se observa que tanto el numerador como el denominador tienden a infinito:
n 4 + n 2 − 4n ⎛ ∞ ⎞ lim 4 = ⎜ ⎟ ; que es, como hemos visto antes, un resultado indeterminan →∞ 3n − 2 n + 7 ⎝∞⎠ do, o, más frecuentemente diremos, una indeterminación. Para resolverla dividimos numerador y denominador por
n4 :
n 4 n 2 4n 1 4 1+ 2 − 3 + 4− 4 4 2 4 n + n − 4n n = lim n n = 1+ 0 − 0 = 1 lim 4 = lim n 4 n n →∞ 3n − 2 n + 7 n →∞ 3n 2n 7 n →∞ 3 − 2 + 7 3 − 0 + 0 3 − + n3 n 4 n4 n4 n4 Tipo (1∞ ) : Se utiliza una propiedad muy importante (que demostrarás, probablemente, en los próximos cursos): lim bn ( an −1)
lim ( an ) n = e n→∞ b
n →∞
Ejercicio resuelto n
⎛ 1⎞ Calcular lim ⎜1 − ⎟ : n →∞ ⎝ n⎠ Al sustituir las n por números grandes se observa que a 1 debemos quitarle una cantidad cada vez más pequeña, por tanto, en el infinito, la base será 1 y estará elevada a un número “muy grande”; por tanto, este límite es una indeterminación: n
⎛ 1⎞ lim ⎜ 1 − ⎟ = (1∞ ) ; para resolverla aplicamos la propiedad anterior: n →∞ ⎝ n⎠ n
⎛
1
⎞
⎛ 1⎞
lim n ⎜ 1− −1⎟ lim n ⎜ − ⎟ lim −1 1 ⎛ 1⎞ lim ⎜ 1 − ⎟ = e n→∞ ⎝ n ⎠ = e n→∞ ⎝ n ⎠ = e n→∞ = e −1 = n →∞ e ⎝ n⎠
144
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Unidad 7: Límites de sucesiones
⎛0⎞ Tipo ⎜ ⎟ : Se debe operar (factorizar polinomios, sacar factor común, multiplicar y divi⎝0⎠ dir por el conjugado de una expresión con raíces...), con el fin de que la indeterminación desaparezca. Esta indeterminación suele darse con mayor frecuencia cuando la variable tiende a un número real. Para calcular el límite, sólo debemos sustituir la variable por ese número y operar. Ya que este tipo de límites tiene más sentido cuando se trata de funciones y no se sucesiones, cambiaremos la variable n por la x. Ejercicio resuelto Calcular lim x→2
x 3 − 6 x 2 + x + 14 : x3 − x 2 − 4
Al sustituir las x por el número real 2 se observa que tanto el numerador como el denominador tienden a cero:
x 3 − 6 x 2 + x + 14 8 − 24 + 2 + 14 ⎛ 0 ⎞ lim = = ⎜ ⎟ ; para deshacer la indeterminación facx→2 8−4−4 x3 − x 2 − 4 ⎝0⎠ torizamos numerador y denominador por Ruffini:
( x − 2) ( x2 − 4x − 7 ) x 3 − 6 x 2 + x + 14 x 2 − 4 x − 7 −11 lim = lim = lim 2 = 3 2 x→2 x→2 x→2 x + x + 2 x3 − x 2 − 4 8 x − 2 x − x − 4 ( )( ) Tipo ( ∞ − ∞ ) : Se multiplica y divide por la expresión conjugada.
7.5.2 Ejercicios Ejercicio 6 Estos límites presentan una indeterminación; averíguala y resuélvela: n
1 ⎞ ⎛ a ) lim ⎜ 1 + ⎟ = n →∞ ⎝ n+7⎠
b) lim
n →∞
2n n + 3n − 2 2
=
(Sigue → ) 145
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(Continuación)
c ) lim n + 1 − n = n →∞
d ) lim ( n 2 − n ) = n →∞
n + 9n 2 + 2 e) lim = n →∞ 3n − 3
⎛n+4⎞ f ) lim ⎜ ⎟ n →∞ n + 3 ⎝ ⎠
n+2
=
g ) lim n 2 + n − n = n →∞
⎛ 5n − 4 ⎞ h) lim ⎜ ⎟ n →∞ 5n + 2 ⎝ ⎠
146
n +1 3
=
Unidad 7: Límites de sucesiones
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 7: Límites de sucesiones
7.6 El número e Estudiamos el límite de la siguiente sucesión (muy usada en aplicaciones matemáticas):
⎛ lim ⎜1 + n→∞ ⎝
n
1⎞ ⎟ [1] n⎠ ∞
Se trata, como ya hemos visto de una expresión indeterminada: 1 . Para resolver la indeterminación podemos (con ayuda de la calculadora) hallar varios valores de la expresión para intentar averiguar hacia donde tiende la sucesión: 1
⎛ 1⎞ ⎛ a1 = ⎜1 + ⎟ = 1 ; a2 = ⎜1 + ⎝ ⎝ 1⎠
2
3
1⎞ ⎛ 1⎞ 2 ⎟ = (1'5) = 2'25 ; a3 = ⎜ 1 + ⎟ = 2 '37037 2⎠ ⎝ 3⎠
a4 = 2'4414 ; a5 = 2'44832 Va creciendo, pero muy lentamente; no parece que vaya a llegar a 3. Probemos con n grandes:
a100 = 2'70481 ; a1000 = 2'71692 ; a10 000 = 2 '71815 ... a100 000 = 2 '71826 A este número irracional se le conoce como e, y podéis obtener un valor con más prex
cisión utilizando la tecla e de la calculadora científica. Aquí tienes el número e con varios decimales: 2’7182818284590452353602874713527...
Por tanto, si en un límite nos aparece la expresión [1] podremos sustituirlo por el número e. 147
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 7: Límites de sucesiones
Ejercicio resuelto 2n
⎛ 1⎞ ⎜1 + ⎟ : Calcular lim n →∞ n⎠ ⎝ Operamos en el argumento para intentar obtener la definición del número e. En el exponente hay un producto; podemos expresar la base como una potencia de potencia:
⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ n →∞ ⎝ n⎠
2n
2
⎡⎛ 1 ⎞ n ⎤ = lim ⎢⎜1 + ⎟ ⎥ = lim e 2 = e 2 n →∞ n →∞ ⎣⎢⎝ n ⎠ ⎦⎥
Ejercicio 7 Calcula los siguientes límites:
⎛ 1⎞ a ) lim ⎜ 1 + ⎟ n →∞ ⎝ n⎠
⎛ 1⎞ b) lim ⎜ 1 + ⎟ n →∞ ⎝ n⎠
n +3
=
−2 n
=
7.7 Cálculo de límites Ejercicio 8 Calcula los siguientes límites:
a ) lim ( x 2 − 5 x + 3) = x →1
b)
lim ( x 7 − 8 x 2 + 3 x ) =
x →+∞
(Sigue → ) 148
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 7: Límites de sucesiones
(Continuación)
c)
lim ( x 2 + 3 x3 + 1) =
x →−∞
3x 4 = d ) lim 3 x →0 x + x 2
x3 − 1 e) lim 2 = x →1 x − 1
x 2 − 25 f ) lim 2 = x →5 x − 5 x
g)
lim
x→ 5
h) lim x →1
x− 5 = x2 − 5
x+3 −2 = x −1
⎛ 4x +1 ⎞ i ) lim ⎜ ⎟ = x →+∞ ⎝ 2x ⎠ x
149
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 7: Límites de sucesiones
Ejercicio 9 Calcula los siguientes límites:
a ) lim x →3
x +1 = x −1
x +1 = x →∞ x − 1
b) lim
x2 −1 c) lim = x →1 x − 1
x = x →0 1 − 1 − x
d ) lim
x2 + x e) lim = x →∞ x
f ) lim x →3
x+6 −3 = x−3
Para más información puedes consultar esta página web: http://usuarios.lycos.es/arquillos/limsuces.htm http://descartes.cnice.mec.es/Bach_HCS_1/Limite_en_un_punto_continuidad/limites_en_el_infinito.htm
150
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
Las matemáticas no solamente poseen la verdad, sino la suprema belleza, una belleza fría y austera, como la de la escultura, sin atractivo para la parte más débil de nuestra naturaleza ... Bertrand Russell (filósofo inglés, 1872-1970)
Unidad 8: Estudio de las funciones 151
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones Programa: Funcions i gràfics
Actividad realizada con el JClic: http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=3459
Direcciones útiles para este tema: descartes.cnice.mec.es/experiencias/exper_estudio_grafico_funcion/exper_estudio_grafico_funcion.htm
juntadeandalucia.es/averroes/iesbajoguadalquivir/mat/cuartob/Geo_analitica/index.htm
clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=1365
152
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Unidad 8: Estudio de las funciones
Índice de la unidad
Unidad 8: Estudio de las funciones .............................................................................155 8.1. Repaso: conceptos fundamentales en el estudio de funciones ........................155 8.1.1 Funciones definida a trozos.........................................................................158 8.2 Funciones acotadas ...........................................................................................161 8.3 Simetrías............................................................................................................163 8.3.1 Función par .................................................................................................164 8.3.2 Función impar..............................................................................................164 8.4 Funciones periódicas .........................................................................................166 8.5 Operaciones con funciones................................................................................167 8.5.1 Suma, resta, producto y cociente de funciones ...........................................167 8.5.2 Composición de funciones ..........................................................................169 8.6 Función recíproca ..............................................................................................172 8.7 Ejemplo de aplicación: recuento de manchas en el Sol .....................................180
Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...
− Dominar los conceptos relativos al estudio de funciones − Realizar un estudio pormenorizado de cualquier función dada en forma gráfica o por su expresión analítica − Realizar operaciones con funciones − Obtener gráficas a partir de una tabla de datos o una expresión funcional y sacar conclusiones
Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:
− Procesar la información que aparece en los enunciados e interpretar la información aparecida en una gráfica (C1 y C2). − Desarrollar estrategias personales para interpretar de forma crítica la información recogida a través de gráficas en los distintos medios de comunicación (C2, C7 y C8). − Valorar la importancia de las funciones y gráficas en la resolución de problemas relacionados con la vida cotidiana y otras áreas del conocimiento (C1, C2 y C3). − Reconocimiento del grafo de una función a partir de la expresión analítica de la misma (C2).
153
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
Criterios de evaluación
− Estudia los elementos fundamentales de una función, como dominio, crecimiento, simetría, acotación, periodicidad, etc., a través de su expresión algebraica o su representación gráfica, e interpretar los resultados obtenidos en cada caso. − Dadas dos funciones, es capaz de operar con ellas e interpretar los resultados que se obtienen. − Halla la función recíproca de una función dada. − Transcribe una información a su expresión funcional y extrae conclusiones a partir del análisis matemático de sus propiedades.
Contenidos conceptuales
− Función: elementos − Caracterización de las funciones: dominio y recorrido; continuidad; crecimiento y decrecimiento; máximos y mínimos, absolutos y relativos; puntos de corte; simetría; periodicidad, acotación. − Funciones definidas a trozos − Funciones simétricas: funciones pares e impares, tipos de simetría − Funciones periódicas: período − Funciones acotadas: cota superior e inferior − Funciones recíprocas, propiedades − Función identidad − Operaciones algebraicas con funciones − Composición de funciones
Contenidos procedimentales
− Cálculo del dominio y recorrido, puntos de corte... de funciones − Reconocimiento de las propiedades de una función a través de sus expresiones algebraica y gráfica − Construcción de tablas de valores a partir de la expresión algebraica de una función − Reconocimiento de la simetría, periodicidad y cotas de funciones − Cálculo y construcción gráfica de la función recíproca de una función − Operaciones con funciones, también en las funciones definidas a trozos − Cálculo de las funciones compuestas de dos dadas
154
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
Unidad 8: Estudio de las funciones Esta unidad en una ampliación de los conceptos aprendidos en 3º de ESO. Todo lo que aprendas aquí te será muy útil para el Bachillerato, ya que se trata de un bloque de mucha importancia y al que se suele dedicar mucho tiempo y esfuerzo.
8.1. Repaso: conceptos fundamentales en el estudio de funciones Dominio, recorrido, puntos de corte con los ejes, crecimiento y decrecimiento, puntos máximos y mínimos, continuidad, simetrías y periodicidad son conceptos que debes recordar. Podíamos determinar todos estos conceptos a partir de la función dada de forma gráfica, pero los tres primeros (dominio, recorrido y puntos de corte), además, los podíamos determinar con la función dada con la fórmula. Lo mejor para recordar todas estas características de las funciones es hacer un ejemplo práctico:
Ejercicio 1 Estudia la gráfica siguiente:
Dominio
Puntos máximos y mínimos
Recorrido
Continuidad
Puntos de corte con los ejes
Simetrías
Crecimiento
Periodicidad
155
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
Ejercicio 2 Dada las siguientes funciones, calcula los puntos de corte con los ejes:
( x − 1)( x + 2 ) ( x + 1)
a)
f ( x) =
b)
f (x ) =
c)
f (x ) = x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6
d)
f ( x ) = (x − 1)( x + 1)(x − 3)
2 x−3
Ejercicio 3 Calcula el dominio de las siguientes funciones:
a)
f (x ) =
b)
g (x ) =
156
(x − 1)(x + 3)
3 x2 − 4
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
Ejercicio 4 Halla el dominio de la función :
f (x ) = x − 4 + 6 − x
Ejercicio 5 Completa:
Dom f(x)
Rec f(x)
Puntos de corte Eje X
Puntos de corte Eje Y
¿Continua?
y = x2
y=
1 x
y=5 y = x+3 y = x3 y=
1 x−2
y = cos x y=
x−2
y = x2 − 4 y=
1 3− x
y=0 y = ex
157
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
Ejercicio 6 Estudia la gráfica siguiente:
Dominio
Puntos máximos y mínimos
Recorrido
Continuidad
Puntos de corte con los ejes
Simetrías
Crecimiento
Periodicidad
8.1.1 Funciones definida a trozos Son funciones que están compuestas por trozos de otras funciones. Suelen presentar discontinuidades, y tienen el aspecto siguiente:
⎧... ⎪ f ( x ) = ⎨... ⎪... ⎩
si ? < x ≤ ? si ? < x < ? si ? ≤ x < ?
El objetivo de este tema no es el dibujo de funciones definidas a trozos (que lo trataremos en el tema 10), pero es importante que las conozcas ya que se trata de un tipo de función bastante habitual, y, además, aparece en algunos de los ejercicios de esta unidad. A modo de ejemplo dibujaremos la siguiente función para que podamos analizar algunas de sus características más relevantes. 158
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
Ejercicio resuelto
⎧− 2 x − 4 si x ≤ −4 ⎪ ( ) = f x si − 4 < x < 0 ⎨2 Dibuja y analiza la siguiente función: ⎪x2 si x ≥ 0 ⎩ Para empezar podemos obtener algunas características de la función: − está compuesta por tres trozos − el primero es una recta de pendiente negativa − el segundo es un trozo constante (pendiente 0) − el tercero es una parábola (la más sencilla; pasa por el (0, 0 ) ) − recorrido: el valor más bajo de la y es el 0. Y tanto la recta como la parábola
[
producen valores positivos de la y infinitos; por tanto, Rec f ( x ) = 0, ∞ ) .
− dominio: está definida para todo ℜ (¿para qué valores de x está definida la función?), Dom f ( x ) = ℜ .
A la hora de dibujar sólo nos deberemos fijar en cada trozo y olvidar el resto. Hay que poner especial cuidado en los extremos, indicando con un punto grueso o un hueco cuando exista dicho punto o no. Una vez dibujada ya podemos terminar nuestro análisis de la función: Confirmamos los resultados del dominio y recorrido que antes dijimos. Puntos de corte con los ejes: existe un único punto de corte, el (0, 0 ) . La función es decreciente en (− ∞, − 4 ) ; constante en (− 4, 0 ) ; y crece en todos los demás puntos del dominio. Carece de puntos máximos y mínimos. Es una función discontinua. No presenta ninguna simetría. Tampoco es periódica.
159
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
Ejercicio 7
⎧2 x + 4 si x ≤ −1 ( ) = f x ⎨ Estudia la función siguiente: si x ≥ 2 ⎩4 Análisis previo de los tro- Dominio zos que componen la función: Recorrido Puntos de corte con los ejes Puntos máximos y mínimos Continuidad
Ejercicio 8 Obtén la gráfica de la función anterior y completa el análisis: Crecimiento
Simetría
Periodicidad
Ejercicio 9 Estudia la continuidad de la función:
⎧ x 2 + 1 si x < −3 ⎪ f ( x ) = ⎨3 x + 4 si − 3 ≤ x < 0 ⎪− x si x ≥ 0 ⎩
160
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
8.2 Funciones acotadas Ejercicio 10 En estas tres funciones, ¿pueden las gráficas llegar tan arriba o tan abajo como queramos, o, por el contrario, no pueden superar un cierto valor, por arriba o por debajo?
A la hora de calcular la posible acotación de una función ocurre igual que con el recorrido: si la función está dibujada, sólo debemos mirar la gráfica y comprobar las cotas; si ni lo está, deberemos “imaginar” qué valores máximos y mínimos va a alcanzar la función.
Ejercicio 11 Determina las posibles cotas de las siguiente funciones:
f (x ) =
x
f (x ) = ln x
f (x ) = x 3
f (x ) = − x 2 + 3
161
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
Ejercicio 12 Calcula el dominio, recorrido y la posible acotación de: forma puede escribirse
f ( x ) = x + x . ¿De qué otra
f?
Ejercicio 13 Estudia la posible acotación y los máximos y mínimos, absolutos y relativos de la función:
f ( x ) = x 2 − 1 . Ayúdate de la gráfica de f para encontrar las respuesta.
()
(Pista: la parábola g x = x − 1 tiene el mismo aspecto que la parábola por excelencia pero desplazada una unidad hacia abajo)
162
2
h( x ) = x 2
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Unidad 8: Estudio de las funciones
8.3 Simetrías El curso pasado aprendimos a determinar si una función dada de forma gráfica era o no simétrica. Se trataba de un procedimiento visual y que pasaba, evidentemente, por tener la función dibujada. Pero no siempre ha de ser así. En este apartado vamos a aprender a determinar la posible simetría de una función sin necesidad de que esté expresada de forma gráfica; la fórmula, y unas cuantas operaciones sencillas que tienen que ver con el signo de la función, nos permitirán averiguar si la función es o no simétrica. Además, si podemos averiguar si la función es simétrica respecto de un punto o una recta, será más fácil dibujarla. Vamos a tratar dos tipos de simetría:
− simetría respecto del eje Y (eje de ordenadas o eje vertical). A las funciones que tienen este tipo de simetría se es llama funciones pares. Ejemplos:
f (x ) = − x 2 + 3
g (x ) =
3 x2 − 4
− simetría respecto del origen de coordenadas. A las funciones que tienen este tipo de simetría se es llama funciones impares. Ejemplos:
f (x ) =
x2 + 3 x
g (x ) = x 3 163
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
8.3.1 Función par Una función es par (tiene simetría respecto del eje Y) si cumple que:
f ( x ) = f (− x ) para todo x del dominio 8.3.2 Función impar Una función es impar (tiene simetría respecto del origen de coordenadas) si cumple que:
f (− x ) = − f ( x ) para todo x del dominio Ejercicio resuelto Determina la posible simetría de la función siguiente: 1. Calculamos
f (x ) = 2 x 3 + x
f (− x ) . Si f ( x ) = f (− x ) (es decir, si comparamos la función que
vamos a obtener con la original, y coinciden) entonces la función es PAR.
f (− x ) = 2(− x ) + (− x ) = −2 x 3 − x ; Claramente 2 x 3 + x ≠ −2 x 3 − x , es decir, 3
f ( x ) ≠ f (− x ) ; la función f no es par, no tiene simetría con el eje de ordenadas. Probemos con la otra simetría: 2. Calculamos
(
− f ( x ) . Si f (− x ) = − f ( x ) entonces la función es IMPAR.
)
− f (x ) = − 2 x 3 + x = −2 x 3 − x ; Resulta que, en esta ocasión, f (− x ) = − f ( x ) , es decir, la función en IMPAR; la función es simétrica respecto del origen de coordenadas.
Ejercicio 14 Determina la posible simetría de las siguientes funciones:
a)
f (x ) = x 4
b)
f (x ) =
1 x (Sigue → )
164
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
(Continuación)
c)
f (x ) = x3
d)
f (x ) = x
e)
f ( x ) = 3x 4 − 7 x 2
f)
f (x ) = x3 + 1
g)
f (x ) = 2 x 4 + x
h)
f (x ) =
i)
f (x ) = − x 2 + 3
j)
f (x ) =
k)
f (x ) = x 2 x3
l)
f ( x ) = x 3 − x 2 + 3x
1 x2
6 +3 x
165
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
Ejercicio 15 Averigua si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F): Si el dominio de puede ser par
f son sólo los números positivos, entonces f no
Cualquier función tiene que ser necesariamente par o impar Una función puede ser creciente y decreciente a la vez Una función puede ser a la vez periódica y simétrica Cualquier función tiene que tener en su dominio al menos un máximo y un mínimo absolutos Si
f (x ) = ax es decreciente, entonces g ( x ) = −ax es creciente
8.4 Funciones periódicas Existen muchos fenómenos en la naturaleza que se repite con un cierto período: − la posición de las agujas de un reloj − las posiciones por las que pasa un péndulo − la altura a la que se encuentra un vagón de una noria de feria que se mueva a velocidad constante Una función
f ( x ) es periódica de período T si se cumple que f (x ) = f ( x + T )
Ejercicio 16 ¿Sabrías interpretar esa definición? Apóyate en el ejemplo de la función coseno y averigua su período (recuerda que se mide en radianes):
166
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Unidad 8: Estudio de las funciones
8.5 Operaciones con funciones 8.5.1 Suma, resta, producto y cociente de funciones Este tipo de operaciones son muy sencillas: simplemente deberemos “unir” las funciones a tratar mediante la operación indicada. Ejercicio resuelto Dadas las funciones
f (x ) =
x +1 2 y g ( x ) = x , realiza las operaciones que se indican: x
x + 1 2 ( x + 1) + x x3 + x + 1 a) ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) = +x = = x x x 3
x + 1 2 ( x + 1) − x − x3 + x + 1 b) ( f − g )( x ) = f ( x ) − g ( x ) = −x = = x x x 3
x + 1 x3 − x − 1 c) ( g − f )( x ) = g ( x ) − f ( x ) = x − = x x 2
d)
( f ⋅ g )( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) =
x +1 2 ⋅ x = ( x + 1) x = x 2 + x x
x +1 f ( x) x +1 2 x +1 e) ( f g )( x ) = :x = 3 = x2 = g ( x) x x x g ( x) x2 x3 2 x +1 = =x : = f ) ( g f )( x ) = f ( x) x +1 x x +1 x g) 7 ⋅ f ( x) = 7 ⋅
x +1 7x + 7 = x x
23 + 2 + 1 11 h) ( f + g )( 2 ) = = 2 2 i)
( f + g )(0) ; El cero no pertenece al dominio de la función; no se puede calcular.
03 0 j ) ( g / f )( 0 ) = = = 0 0 +1 1 167
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Ejercicio 17 Calcula los dominios de las funciones anteriores:
a) b) c) d) e)
f) g)
Ejercicio 18 Sean
f ( x ) = 2x 2 y g ( x ) = 4 x + 1 . Calcula:
a) 4 f ( x ) = b)
( f + g )(x ) =
c)
( f ⋅ g )(x ) =
d ) 5 g (3) = e)
168
( f + g )(− 3) =
Unidad 8: Estudio de las funciones
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
Ejercicio 19
⎧ x 2 + 1 si x ≤ 0 Sean f ( x ) = ⎨ si x > 0 ⎩x
a)
( f + g )(0) =
b)
( f ⋅ g )(x) =
c)
( f − g )(4) =
⎧− x 2 y g (x) = ⎨ ⎩2
si x ≤ 0 si x > 0
. Calcula:
8.5.2 Composición de funciones La composición sí es una operación “novedosa”. Se simboliza con un círculo pequeño y tiene una peculiaridad: se lee al revés.
(f
g )( x ) Se debe leer así: “ge compuesto con efe”
Para realizar la composición es muy importante fijarse en los argumentos de las funciones. Ejemplos:
f (x ) g ( x + 1) h(− 3) f ( g ( x )) Si
(f
f El argumento de g El argumento de h El argumento de f El argumento de
f ( x ) y g ( x ) , la composición de g con f , ( f
x es x + 1 es
es el -3 es la función
g
g )( x ) , actúa de la siguiente forma:
g )( x ) = f ( g ( x )) , dicho de otro modo, el argumento de f es la función g .
Ejercicio resuelto Dadas las funciones
f ( x ) = x + 1 y g (x ) = x 2 , obtén las composiciones que se indican:
a)
(f
g )( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( x 2 ) = x 2 + 1
b)
(g
f )( x ) = g ( f ( x ) ) = g ( x + 1) = ( x + 1)
c)
(f
f )( x ) = f ( f ( x ) ) = f ( x + 1) = x + 1 + 1 = x + 2
d)
(g
g )( x ) = g ( g ( x ) ) = g ( x 2 ) = ( x 2 ) = x 4
2
2
169
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Unidad 8: Estudio de las funciones
Ejercicio 20 A la vista de los ejercicios anteriores ¿a qué conclusiones puedes llegar?
Ejercicio 21 Dadas las funciones can:
a)
(f
g )( x ) =
b)
(g
f )( x ) =
c)
(f
f )( x ) =
d)
(g
g )( x ) =
e)
(f
g )(2) =
f)
(g
g )(− 3) =
170
f ( x ) = 2 x + 1 y g (x ) = x 3 , obtén las composiciones que se indi-
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
Ejercicio 22 Dadas las funciones indican:
a)
(f
g )( x ) =
b)
(g
f )( x ) =
c)
(f
f )( x ) =
d)
(g
g )( x ) =
f ( x ) = x 2 + 3 y g (x ) = sen x , obtén las composiciones que se
Ejercicio 23 Dadas las funciones f ( x ) =
a)
3 2 y g ( x ) = x − 4 , calcula el dominio de: x
( f + g )(x ) =
⎛g⎞ b) ⎜⎜ ⎟⎟( x ) = ⎝f⎠
⎛f⎞ c) ⎜⎜ ⎟⎟( x ) = ⎝g⎠
d)
(f
g )( x ) =
e)
(g
f )( x ) =
171
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Unidad 8: Estudio de las funciones
8.6 Función recíproca Observa estos ejemplos:
( x) = x = ( x) = x
f (x ) = x
g (x ) = x 2
h( x ) = x 2 =
f (x ) = 3 x
g (x ) = x3
h( x ) = 3 x 3
f ( x ) = ln x f (x ) = 2 x f (x ) = 2 x + 5
g (x ) = e x 1 g (x ) = x 2 x−5 g (x ) = 2
2
3
3
h( x ) = ln e x = eln x = x 1 1 h( x ) = 2 x = 2 x = x 2 2 ⎛ x −5⎞ h ( x) = 2⎜ ⎟+5 = x −5+5 = x ⎝ 2 ⎠
Ejercicio 24 ¿Qué tienen de particular las funciones
h( x ) anteriores?
Ejercicio 25 ¿Cómo es cada función
f ( x ) respecto de cada función g ( x ) anterior?
Podemos decir que cada función cada función
g ( x ) anterior es la función recíproca (o inversa) de
f ( x ) correspondiente, o al revés.
Hay una función que tiene nombre propio:
i(x ) = x ; se trata de la función identidad.
Otra forma, por tanto, de definir la función recíproca es: de
f ( x ) si ( f g )( x ) = ( g f )( x ) = i( x ) .
A partir de ahora, la función recíproca de 172
g ( x ) es la función recíproca
f ( x ) se escribirá f −1 ( x ) .
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
En todo este apartado veremos cómo calcular la función recíproca
f −1 ( x ) de una dada
f ( x ) , pero, antes vamos a hablar un poco más de la función identidad.
Ejercicio 26 ¿Qué ocurre si componemos una función cualquiera con la función identidad? Pon un ejemplo. ¿Es conmutativa la composición en este caso?
Ejercicio 27 ¿Qué aspecto tiene la función identidad? Haz una breve tabla de valores
(
Antes hemos dicho que f f gráfico de la función identidad.
−1
)(x) = ( f
−1
)
f ( x ) = i( x ) , y ya conocemos el aspecto
Ejercicio 28 ¿Qué ocurre con las gráficas de
f y f −1 al hacer una composición?
173
Matemáticas 4º ESO Opción B
x
f −1 ( x ) = x 2
(f
f −1 ( x ) = x
f (x ) = 3 x
f −1 ( x ) = x 3
(f
f −1 ( x ) = x
f (x ) = ln x
f −1 ( x ) = e x
(f
f −1 ( x ) = x
f (x ) = 2 x
f −1 (x ) =
1 x 2
(f
f −1 ( x ) = x
x−5 2
(f
f −1 ( x ) = x
f (x ) =
f (x ) = 2 x + 5 174
Unidad 8: Estudio de las funciones
f −1 ( x ) =
)
)
)
)
)
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
Forma de obtener la función recíproca de una dada: 1. Sustituir f ( x ) por y 2. Intercambiar la x por la y 3. Despejar la y
Ejercicio resuelto
f (x ) = 2 x + 5 :
Obtén la función recíproca de 1. Sustituir
f ( x ) por y: y = 2 x + 5
2. Intercambiar la x por la y:
x = 2 y + 5;
3. Despejar la y:
x − 5 = 2 y;
x −5 = y; 2
f −1 ( x ) =
x−5 2
Ejercicio 29 Calcula la función recíproca de las siguientes funciones:
a)
f (x ) = 3x − 1
b)
f (x ) = x − 5
175
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
Ejercicio 30 Calcula la función recíproca de las siguientes funciones:
a)
f (x ) = 5x + 3
b)
f (x ) = x − 1
c)
f (x ) =
d)
f (x ) = 2 x − 3
e)
f (x ) = 3x 3
f)
f (x ) =
g)
x2 + x f (x ) = ; 2
176
x +2 2
5 x −1
Pista: a la hora de despejar, piensa que la fórmula de resolución de ecuaciones de 2º grado sirve para dejar la x
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
Ejercicio 31 Calcula la función recíproca de
f (x ) =
5 y calcula los dominios de las dos funciox−4
nes:
Ejercicio 32 Comprueba que la función inversa de la función inversa es la propia función, es decir,
( (x ))
si: f
−1
−1
= f (x )
a)
f (x ) = 3x 2
b)
f (x ) = 2 x − 1
177
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
Ejercicio 33 Calcula la función recíproca de
f (x ) =
x+4 −1 y el dominio de f ( x ) y f ( x ) : 2x − 5
Ejercicio 34 Dadas las funciones
a)
f −1 ( x ) =
b)
g −1 ( x ) =
c)
(f
+ g )(1) =
d)
(f
g )( x ) =
e)
(f
f (x ) =
2 2 y g ( x ) = x , calcula: x −1
g )(2 ) =
Ejercicio 35 Sea
f −1
178
f ( x ) = 3 x 2 . Calcula f −1 y comprueba que la composición de f con f −1 y de con f dan lugar a la función identidad:
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
Ejercicio 36 Para practicar más este último tipo de ejercicio puedes hacer las composiciones de cada función con su inversa de los ejercicios 29 al 34 (ambos inclusive)
Ejercicio 37
⎧2 x + 1 si x < 0 −1 ( ) f x = ⎨ 2 Sea . Calcula f : si x ≥ 0 ⎩x
179
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 8: Estudio de las funciones
8.7 Ejemplo de aplicación: recuento de manchas en el Sol El estudio de las funciones de estas dos imágenes genera varias conclusiones, ¡encuéntralas!
180
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 9: Tipos de funciones
La mayor deficiencia de la raza humana es nuestra incapacidad para comprender la función exponencial. Albert A. Bartlett (físico)
Unidad 9: Tipos de funciones 181
Matemรกticas 4ยบ ESO Opciรณn B
Unidad 9: Tipos de funciones
Actividad realizada con el JClic muy recomendada para esta unidad:
http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=1306
182
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 9: Tipos de funciones
Índice de la unidad
Unidad 9: Tipos de funciones ......................................................................................185 9.1 Funciones polinómicas.......................................................................................185 9.1.1 Funciones de grado mayor que dos ............................................................185 9.2 Funciones racionales .........................................................................................186 9.2.1 Asíntotas de una función .............................................................................186 9.2.2 Funciones de proporcionalidad inversa: hipérbolas.....................................189 9.3 Funciones irracionales .......................................................................................190 9.4 Funciones definidas a trozos .............................................................................191 9.5 Funciones exponenciales...................................................................................192 9.6 Funciones logarítmicas ......................................................................................196 9.7 Funciones trigonométricas .................................................................................197 9.8 Dibujo de funciones por traslación .....................................................................197
Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...
− Identificar varios tipos de funciones dadas en forma gráfica o a través de la expresión analítica − Determinar varias características propias de cada una de estas funciones − Dibujar funciones por traslación de otras ya dibujadas − Entender el tipo de crecimiento logarítmico y exponencial
Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:
− Valorar la importancia de las funciones, en especial, las exponenciales y logarítmicas en otras ciencias y, en particular, en la interacción con el mundo físico (media terremotos, crecimiento exponencial bacterias...) (C2 y C3).
183
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 9: Tipos de funciones
Criterios de evaluación
− Reconoce las funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas a través de sus expresiones analíticas − Elabora gráficas de cualquier función estudiada − Estudia algunos de sus elementos fundamentales, como el dominio, recorrido, continuidad, crecimiento..., e interpreta gráficamente los resultados obtenidos − Obtiene gráficas de parábolas por traslación − Calcula las asíntotas de una función dada
Contenidos conceptuales
− Función lineal − Función cuadrática: parábola. − Funciones definidas a trozos − Función polinómica − Función racional. Función de proporcionalidad inversa: hipérbola − Asíntotas de una función: horizontales, verticales y oblicuas − Función exponencial − Función logarítmica − Relación entre ambos tipos de funciones − Funciones trigonométricas
Contenidos procedimentales
− − − − − − − −
− −
184
Obtención de funciones a partir de otras parábolas por traslación Estudio de las características de las funciones de proporcionalidad inversa Reconocimiento de las propiedades de las funciones racionales Construcción de tablas de valores a partir de la expresión algebraica de una función polinómica o racional Elaboración de gráficas a partir de la expresión algebraica de una función Elaboración de gráficas definidas a trozos Cálculo de las asíntotas de una función Obtención de información a la vista de la gráfica de una función y formulación de conjeturas sobre el comportamiento de un fenómeno representado por su gráfica Construcción de gráficas exponenciales y logarítmicas a partir de las expresiones algebraicas y la elaboración de las correspondientes tablas de valores Elaboración por simetría de la gráfica de una función logarítmica a partir de su recíproca exponencial
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 9: Tipos de funciones
Unidad 9: Tipos de funciones Con los conocimientos aprendidos en el tema anterior ya podemos asimilar mejor las características de varias funciones que te resultarán muy útiles para tus futuros estudios en el Bachillerato. Conoceremos las funciones más importantes y aprenderemos a dibujar las más sencillas.
9.1 Funciones polinómicas Son de este tipo las rectas (función polinómica de grado uno) y las parábolas (de grado dos). Ambas funciones han sido ya estudiadas el curso pasado.
9.1.1 Funciones de grado mayor que dos Existen algunas diferencias entre estas funciones polinómicas según su grado sea par o impar.
Ejercicio 1 A la vista de las gráficas siguientes, anota las características más relevantes que observes:
185
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 9: Tipos de funciones
Ejercicio 2 A la vista de las gráficas siguientes, anota las características más relevantes que observes:
9.2 Funciones racionales Son las que vienen definidas por un conciente de polinomios: f ( x ) =
P ( x) Q ( x)
Ya estudiamos en el tema anterior el dominio (y el recorrido y los puntos de corte para las más fáciles) de este tipo de funciones.
9.2.1 Asíntotas de una función Es habitual que las gráficas de las funciones racionales (y también en otro tipo de funciones) presenten un comportamiento asintótico: los valores de la función se acercan “mucho” a una recta, que recibe el nombre de asíntota. Estas rectas pueden ser horizontales, verticales y oblicuas.
186
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 9: Tipos de funciones
Ejemplos de asíntotas:
Ejemplo de función con una asíntota horizontal: la recta y = 0
Ejemplo de función con una asíntota horizontal: la recta y = −2
Ejemplo de función con tres asíntotas verticales (y una horizontal): las rectas x = −2 ; x = 1 ; x = 3
Ejemplo de función con una asíntota oblicua (y una vertical): la recta y = x − 1
187
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 9: Tipos de funciones
Una función f ( x ) tiene una asíntota horizontal y = h si existe alguno de los límites:
lim f ( x ) = h o bien lim f ( x ) = h x →∞ x →−∞ Ejercicio 3 Halla las asíntotas horizontales de las siguientes funciones:
a)
y=
5 x−3
b)
y=
2x 3x − 1
Una función f ( x ) tiene una asíntota vertical x = k si existe alguno de los límites:
lim f ( x ) = ±∞ ; x→k
lim f ( x ) = ±∞ ;
x→k −
lim f ( x ) = ±∞
x→k +
El número k es cada una de las raíces del denominador (valores que lo hagan cero).
Ejercicio 4 Halla las asíntotas verticales de las siguientes funciones:
a)
y=
2x + 1 x + 6x − 7
b)
y=
2x − 7 x + x 2 − 12 x
2
3
Una función f ( x ) tiene una asíntota oblicua y = mx + n cuando la función tienda a esta recta cuando x tienda a más o menos infinito.
188
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 9: Tipos de funciones
Una función racional tiene una asíntota oblicua si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador. La asíntota oblicua será el cociente que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador.
Ejercicio 5 Halla las asíntotas oblicuas de las siguientes funciones:
−2 x 3 + 3 x 2 x2 − 1
a)
y=
b)
x4 y= 2 x +1
Anota en este recuadro una serie de características de las asíntotas de funciones racionales:
9.2.2 Funciones de proporcionalidad inversa: hipérbolas k Es la función de la forma: f ( x ) = , siendo k una constante. x En contra de lo que pueda parecer, este tipo de funciones son mucho más sencillas de dibujar que, por ejemplo, una parábola. Se trata de funciones que dibujaremos con ayuda de una tabla, es decir, dando valores.
189
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 9: Tipos de funciones
Anota en este recuadro las características principales de esta función:
Ejercicio 6 Representa la gráfica de las funciones:
f ( x) =
2 x
f ( x) =
−3 x
9.3 Funciones irracionales Ya estudiamos en el tema anterior el dominio (y el recorrido y los puntos de corte para las más fáciles) de este tipo de funciones. Particularidad con las raíces de índice par: sólo tomaremos la solución positiva de la raíz. 190
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 9: Tipos de funciones
Ejercicio 7 Determina las características observables de este tipo de funciones: f ( x ) =
x
9.4 Funciones definidas a trozos Son aquellas en las que su expresión analítica no es única, sino que depende del valor de la variable independiente. Ya las vimos en el tema anterior. Recordamos su aspecto:
si x ≤ ... ⎧.......... ⎪ f ( x ) = ⎨................. si ... < x ≤ ... ⎪.............. si x > ... ⎩ Se debes prestar especial atención en los valores de las x válidas para cada trozo de función. Al estar compuestas por “trozos” de otras funciones, no hay ninguna característica especial que señalar, salvo que suelen presentar saltos.
191
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 9: Tipos de funciones
9.5 Funciones exponenciales Son aquellas en las que la variable independiente aparece en el exponente. En la unidad 2 de este dossier ya estudiamos las expresiones analíticas de estas funciones, y aprendimos algunas de sus características. Repasaremos los conceptos ya aprendidos y aprenderemos otros nuevos:
y = ax
Ejercicio 8 Escribe las características que observes
Ejercicio 9 ¿Cuál es la función del ejemplo?
Ejercicio 10 ¿Cómo conseguíamos cambiar los exponentes negativos a positivos?
y = a−x
192
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 9: Tipos de funciones
Por tanto, todo el estudio que hagamos sobre funciones exponenciales tendrán exponentes positivos.
Ejercicio 11 Características generales de las funciones exponenciales
Ejercicio 12 Determina qué función representa cada gráfica fijándote en el punto (1,a), siendo a la base de cada exponencial:
193
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 9: Tipos de funciones
Ejemplo resuelto Dada la función f ( x ) = 2 construye una tabla de valores y dibuja su gráfica. x
Se trata de una función exponencial. Si damos valores enteros entre -3 hasta 2 se obtiene:
x
y = f ( x)
−3
f ( −3 ) = 2 − 3 =
0
1 1 = = 0 '125 23 8 1 f ( −2 ) = 2 −2 = = 0 ' 25 4 1 f ( −1) = 2 −1 = = 0 '5 2 f ( 0 ) = 20 = 1
1
f (1) = 21 = 2
2
f ( 2 ) = 22 = 4
−2 −1
194
Representado los puntos obtenidos, podemos dibujar la gráfica:
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 9: Tipos de funciones
Ejercicio 13 Dadas las siguientes funciones, construye sus tablas de valores y dibuja las gráficas.
a)
f ( x ) = 2 x +1
b)
f ( x ) = 2 x −1
c)
f ( x ) = 3− x
195
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 9: Tipos de funciones
9.6 Funciones logarítmicas Son aquellas en las que en su expresión analítica la variable independiente está afectada por un logaritmo. Ejemplos: y = log 2 x; ; y = 1 + ln
x ... 2
y = log a x
Ejercicio 14 Escribe las características que observes
Ejercicio 15 ¿Cuál es la función del ejemplo?
Ejercicio 16 Características generales de las funciones logarítmicas:
196
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 9: Tipos de funciones
Al igual que ocurre con las funciones exponenciales, de proporcionalidad inversa, etc. también estas se representan dando valores.
9.7 Funciones trigonométricas Son las que llevan la variable independiente afectada por razones trigonométricas. Ejemplos: y = sen x ; y = cos
x ; y = 1 + cos x ... 2
En la portada de este dossier tienes representadas las gráficas de las funciones: seno y coseno: y = sen x; y = cos x y sus inversas cosecante y secante: y = cosec x; y = sec x
9.8 Dibujo de funciones por traslación Basándonos en una función dada, resulta sencillo dibujar otras por el procedimiento de traslación:
Ejercicio 17 Observa las siguientes funciones y determina cuál es su expresión algebraica:
Podemos decir que en el ejercicio anterior hemos trasladado la función de forma vertical; existe la traslación horizontal (y la oblicua, aunque no la veremos en este curso).
197
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 9: Tipos de funciones
Ejercicio 18 Observa las siguientes funciones y determina cuál es su expresión algebraica:
Ejemplo de función logarítmica: el crecimiento humano
Direcciones interesantes sobre tipos de funciones: http://descartes.cnice.mec.es/4b_eso/ac_maximos/index.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Lista_de_funciones_matem%C3%A1ticas http://descartes.cnice.mec.es/4a_eso/Representacion_interpretacion_graficas/index.htm http://descartes.cnice.mec.es/4a_eso/Funcion_cuadratica_parabola/index.htm http://descartes.cnice.mec.es/4b_eso/Traslacion_dilatacion_funciones/index.htm http://descartes.cnice.mec.es/Bach_HCS_1/Funciones_formas_de_expresar/index.htm http://descartes.cnice.mec.es/Bach_CNST_1/Asintotas/index.htm http://descartes.cnice.mec.es/Bach_CNST_1/Funcion_exponencial/Indice_funcion_exponencial.htm http://descartes.cnice.mec.es/Bach_CNST_1/Funcion_logaritmica/Indice_funcion_log.htm http://descartes.cnice.mec.es/Bach_CNST_1/representar_curvas/index_curvas.htm http://descartes.cnice.mec.es/Bach_CNST_1/Familia_de_funciones_tipos_operaciones/index.htm http://descartes.cnice.mec.es/indice_ud.php
198
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 10: Cálculo de derivadas
Sólo hay dos cosas que se necesita saber en la vida: primera, no le digas a la gente todo lo que sabes. M. Stueben y D. Sandford
Unidad 10: Cálculo de derivadas 199
Matemรกticas 4ยบ ESO Opciรณn B
Unidad 10: Cรกlculo de derivadas
Actividad realizada con el JClic muy recomendada para esta unidad:
http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=1306
200
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 10: Cálculo de derivadas
Índice de la unidad
Unidad 10: Cálculo de derivadas.................................................................................203 10.1 Introducción .....................................................................................................203 10.2 Interpretación geométrica de la derivada en un punto .....................................204 10.3 Aplicación del cálculo de derivadas .................................................................206 10.3.1 Pasos para obtener los máximos y mínimos de un función.......................206 10.3.2 Continuidad y derivación ...........................................................................209 10.4 Derivadas de operaciones con funciones ........................................................209 10.5 Cálculo de derivadas: reglas de derivación......................................................212 10.6 Integrales .........................................................................................................214
Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...
− Dar un significado geométrico a la derivada de una función − Averiguar más característica de función utilizando el cálculo de derivadas − Obtener derivadas de funciones sencillas
Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:
− Valorar la importancia de las derivadas, en especial, en el estudio de funciones (C2 y C3). − Desarrollo del pensamiento científico para interpretar la información que se recibe es la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3).
201
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 10: Cálculo de derivadas
Criterios de evaluación
− Calcula la derivada de una función en un punto − Interpreta el significado geométrico de una derivada en un punto − Determina la función derivada de una función dada mediante la aplicación de las reglas de derivación
Contenidos conceptuales
− Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica − Aplicación de la derivada: cálculo de máximos y mínimos de una función − Función derivada de una función dada − Derivadas sucesivas − Reglas de derivación − Integral
Contenidos procedimentales
− Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto − Cálculo de la función derivada de una función elemental − Reconocimiento de las propiedades de la derivada y aplicación de las mismas: cálculo de máximos y mínimos de funciones dadas por su fórmula. − Construcción de la tabla de derivadas de las funciones elementales − Resolución de alguna integral sencilla como proceso contrario a la derivación
202
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 10: Cálculo de derivadas
Unidad 10: Cálculo de derivadas En los dos temas anteriores hemos analizado muchos aspectos de las funciones; sin embargo, existen otros (puntos de cambio de curvatura, localizar máximos y mínimos sin tener la gráfica dibujada, etc. ) que requieren el cálculo de derivadas. Vamos a reducir el proceso de derivación (que aquí lo veremos de forma meramente introductoria) a la aplicación de un conjunto de reglas para obtener una nueva función.
10.1 Introducción Dada una función cualquiera
y = f ( x ) , su función derivada se escribe así: y '= f ' ( x ) .
Vamos a intentar deducir sólo con ejemplos resueltos (igual que hicimos con los logaritmos) cómo se derivan las funciones polinómicas: Función
Derivada
y = x3
y ' = 3x 2
y = x8 − 2 x3
y ' = 8x7 − 6 x2
x2 y= 2
y' = x
y=
1 x2
y = x −2 ;
y ' = ( −2 ) x −2−1 =
−2 x3
Ejercicio 1 Obtén a derivada de las siguientes funciones:
a)
y = 100 x − 123
y' =
b)
y = x3 + 2 x
y' =
c)
y = 4 x3 + 12 x + 8
y' =
x3 x 2 d ) y = + + 14 x − 4 3 2 −1 e) y = 3 x
y' = y' =
203
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 10: Cálculo de derivadas
Al igual que hemos calculado la primera derivada, podemos continuar con el mismo procedimiento y obtener las derivadas sucesivas de una función: Ejemplo: f ( x ) = x + 3 x − 4 x − 3 ; f ' ( x ) = 4 x + 6 x − 4 ; f '' ( x ) = 12 x + 6 4
2
3
2
f ''' ( x ) = 24 x ; f IV ( x ) = 24 ; f V ( x ) = 0 Ejercicio 2 Obtén todas las derivadas sucesivas de la siguiente función:
f ( x ) = x5 − 2 x3 + x − 9
10.2 Interpretación geométrica de la derivada en un punto En los ejemplos anteriores hemos derivado unas cuantas funciones polinómicas. También sabemos determinar el valor de la función en un punto concreto (siempre que pertenezca a su dominio, claro está). Ejemplos: Función
Valor de la función en un punto
f ( x) = x +1
Para x = 0
→
f ( 0 ) = 02 + 1 = 1
f ( x ) = 5 x 2 − 15 x
Para x = 2
→
f ( 2 ) = 5 ⋅ 22 − 15 ⋅ 2 = 20 − 30 = −10
f ( x ) = cos x
Para x =
2
π 2
→
π ⎛π ⎞ f ⎜ ⎟ = cos = 0 2 ⎝2⎠
Con la funciones derivadas, también podemos determinar el valor de la función (derivada) en un punto. Ejemplos (derivamos las tres funciones anteriores): Función
Valor de la función en un punto
f '( x) = 2x
Para x = 0
→
f ' ( 0) = 2 ⋅ 0 = 0
f ' ( x ) = 10 x − 15
Para x = 2
→
f ' ( 2 ) = 10 ⋅ 2 − 15 = 5
f ' ( x ) = − sen x (*)
Para x =
→
π ⎛π ⎞ f ' ⎜ ⎟ = − sen = −1 2 ⎝2⎠
π 2
(*) Mira la tala de derivadas (apartado 11.5 para ver cómo se deriva el coseno) IMPORTANTE: El valor de la primera derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente que pasa por ese punto. Si la recta tangente en un punto de una función tiene pendiente positiva, la función es creciente; si la pendiente es negativa, la función será decreciente en ese punto; y, por último, si la pendiente es cero, la función ni crece ni decrece (podrá ser un punto de una recta constante, un máximo, un mínimo o un punto de inflexión). 204
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 10: Cálculo de derivadas La gráfica de la izquierda corresponde con la función: f ( x ) = x − 3 x + 2 3
Hallamos la derivada: f ' ( x ) = 3 x − 3 2
Observa el signo de la derivada en tres puntos, y compáralos con el crecimiento o decrecimiento de la función:
f ' ( −2 ) = 3 ( −2 ) − 3 = 9 > 0 2
La función crece en x = −2
f ' ( 0 ) = 3 ⋅ 02 − 3 = −3 < 0 La función decrece en x = 0 f ' (1) = 3 ⋅12 − 3 = 0 La función no crece ni decrece en x = 1
Ejercicio 3 Estudia el crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
a)
f ( x) =
2 ; para x = −1 , x = 1 y x = 2 x
¿Observas alguna característica concreta referida al signo de la función derivada?
b)
f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x ; para x = 0 , x = 2 y x = 4
205
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 10: Cálculo de derivadas
10.3 Aplicación del cálculo de derivadas Recuerda el estudio de la funciones. A la hora de determinar el dominio o los puntos de corte de una función podíamos optar por hacerlo a través de la gráfica de la función o mediante su fórmula.
y = x3 − 6x 2 + 9x
Si, por el contrario, pretendíamos estudiar su crecimiento, continuidad, máximos y mínimos, etc., estábamos obligados a realizar el estudio sólo con la función dibujada, ya que no teníamos herramientas para hacerlo de forma analítica. Ahora, gracias al cálculo de derivadas, podemos averiguar los máximos y mínimos de una función sin necesidad de tenerla dibujada (que será lo más probable en los próximos cursos), y podremos, por ejemplo, determinar si en un punto, la función crece, decrece o permanece constante.
10.3.1 Pasos para obtener los máximos y mínimos de un función 1. Se calcula la primera y segunda derivada de la función dada. 2. Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante (las soluciones obtenidas son candidatos a formar parte de un punto máximo o mínimo). 3. Cada solución obtenida se sustituye en la derivada segunda y se estudia su signo: a. si y ' ' > 0
se trata de un mínimo
b. si y ' ' < 0
se trata de un máximo
(fíjate bien en las condiciones; van al revés de lo que sería lo más “lógico”) c. si y ' ' = 0 inflexión.
no es ni máximo ni mínimo; pudiera ser un punto de
4. Se calcula la ordenada para obtener el punto (hasta ahora sólo habíamos obtenido la abscisa) sustituyendo el valor de la x en la función original.
206
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 10: Cálculo de derivadas
Ejercicio resuelto Determina los máximos y mínimos de la siguiente función: f ( x ) = x − 6 x + 9 x 3
2
1. Obtenemos la primera y segunda derivada:
f ' ( x ) = 3 x 2 − 12 x + 9 ;
f '' ( x ) = 6 x − 12
2. Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante:
3 x 2 − 12 x + 9 = 0 → x 2 − 4 x + 3 = 0 →
x1 = 1 ;
x2 = 3
Por tanto x1 = 1 y x2 = 3 son candidatos a ser puntos máximos o mínimos o ninguna de las dos cosas. Para decidirlo recurrimos a la derivada segunda. 3. Sustituimos los puntos candidatos en la derivada segunda, y estudiamos el signo de la función:
f '' (1) = 6 ⋅1 − 12 = −6
−6 < 0 : En x1 = 1 hay un máximo de la función
f '' ( 3) = 6 ⋅ 3 − 12 = 6
6 > 0 : En x1 = 3 hay un mínimo de la función
4. Por último se calcula la ordenada que corresponde a cada uno de los puntos anteriores (abscisas) sustituyéndolos en la función:
f (1) = 13 − 6 ⋅12 + 9 ⋅1 = 1 − 6 + 9 = 4
Punto máximo: (1, 4 )
f ( 3) = 33 − 6 ⋅ 32 + 9 ⋅ 3 = 27 − 54 + 27 = 0
Punto mínimo: ( 3, 0 )
Aquí puedes ver la gráfica dibujada que confirma la información obtenida.
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Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 10: Cálculo de derivadas
Ejercicio 4 Calcula los máximos y mínimos de las siguientes funciones:
a)
f ( x ) = x3 − 3x + 2
b)
f ( x ) = x 3 + 9 x 2 + 24 x + 3
c)
f ( x ) = x3 − 3 x
208
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 10: Cálculo de derivadas
10.3.2 Continuidad y derivación Existe una interesante relación entre ambos conceptos: Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto.
Si la función es continua no tiene por qué ser derivable.
Ejercicio 5 Observa la siguiente gráfica, que corresponde con la función y = x − 2 con dominio
]
de definición: Dom y = ( −∞, 4 ∪ ( 5, ∞ ) , y determina alguna conclusión relacionada con la continuidad y la derivación:
10.4 Derivadas de operaciones con funciones Recuerda cómo derivábamos las primeras funciones polinómicas. Si teníamos una suma o resta de polinomios, derivábamos cada monomio por separado: Ejemplo: f ( x ) = 2 x + 7 x 3
→
f ' ( x ) = 6 x2 + 7 ;
Si las funciones, en vez de sumadas o restadas, están multiplicando, ¿cómo se derivan? ¿y si están dividiéndose? En este apartado se exponen las propiedades que, junto con la lista de derivadas de la siguiente sección, nos permitirán derivar cualquier función. Abreviaremos f ( x ) con f , y f ' ( x ) con f ' .
209
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 10: Cálculo de derivadas
Derivada del producto de un número La derivada del producto de un número por una función es igual al número por la derivada de la función:
(
(a ⋅ f ) ' = a ⋅ f ' ;
Ejemplo: 3 ⋅ x
7
) ' = 3 ⋅ ( x ) ' = 3 ⋅ ( 7 x ) = 21x 7
6
6
Derivada de la suma o diferencia de funciones La derivada de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las derivadas de dichas funciones:
(f
(
± g ) ' = f '± g ' ;
Ejemplo: x + x 3
2
) ' = ( x ) '+ ( x ) ' = 3x 3
2
2
+ 2x
Derivada del producto de dos funciones La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar, más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda función:
( f ⋅ g)' =
f '⋅ g + f ⋅ g ' ;
(Para el ejemplo utilizaremos la derivada del seno, que es el coseno. En el siguiente apartado tienes una tabla con las derivadas de las funciones más importantes)
(
) ( ) '⋅ sen x + x ⋅ ( sen x ) ' = 4 x
Ejemplo: x ⋅ sen x ' = x 4
4
4
3
sen x + x 4 cos x
Derivada del cociente de dos funciones La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, dividido por el cuadrado del denominador:
⎛ f ⎞ f '⋅ g − f ⋅ g ' ⎜ ⎟' = g2 ⎝g⎠ 4 4 ⎛ x 4 ⎞ ( x ) '⋅ sen x − x ⋅ ( sen x ) ' 4 x 3 sen x − x 4 cos x = ⎟' = Ejemplo: ⎜ 2 x sen sen 2 x ( sen x ) ⎝ ⎠
Derivada de la función compuesta (más conocida como la regla de la cadena) Si h ( x ) = ( g
f )( x ) = g ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ , h ' ( x ) = ( g f ) ' ( x ) = g ' ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ ⋅ f ' ( x )
( ) ; f ( x) = x
Ejemplo: h ( x ) = sen x
4
h ' ( x ) = cos x 4 ⋅ 4 x 3 = 4 x3 cos x 4
210
4
; g ( x ) = sen ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ ; por tanto:
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Unidad 10: Cálculo de derivadas
Ejercicio 6 Deriva, utilizando las propiedades anteriores las siguientes funciones:
a)
f ( x ) = 3x2 − 5 x + 1
b)
f ( x) =
6 x3
c)
f ( x) =
2x +1 x2
d)
f ( x) =
sen x x3
e)
f ( x ) = 3 x2
f)
f ( x ) = 3sen x
g)
f ( x ) = 3 x sen x
h)
f ( x ) = ( sen x )
i)
f ( x ) = sen ( x 2 )
2
211
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 10: Cálculo de derivadas
10.5 Cálculo de derivadas: reglas de derivación Existen una regla de derivación para cada tipo de función: constantes, exponenciales, trigonométricas...
I Tipo potencial
Función
☺ Ejemplo:
y=x y = f ( x) a y= x=x
II Tipo exponencial
1 2
Ejemplo:
y' = a x ⋅ Ln a
y = a f ( x)
y' = a f ( x ) ⋅ Ln a ⋅ f ' ( x)
y = ex
y' = e x y' = 5 x +1 ⋅ Ln 5 ⋅ 2 x
2
III Tipo logarítmico
2
Función
Ejemplo:
Derivada
1 1 x Ln a f ' (x ) 1 y' = f (x ) Ln a 1 y' = x
y' =
y = log a x
☺
Derivada
y = ax
y = 5 x +1
y = log a f (x )
y = Ln x Función
y = sen x ☺ y = sen f ( x) y = cos x ☺ y = cos f ( x) Ejemplo: sen x y = tg x = cos x
☺ Funciones más importantes 212
y ' = ax y ' = a ⋅ f ( x) a −1 ⋅ f ' ( x) 1 y' = 2 x
Función
☺
IV Tipo trigonométrico
Derivada a −1
a
Derivada
y ' = cos x y ' = cos f ( x) ⋅ f ' ( x) y ' = − sen x y ' = − sen f ( x) ⋅ f ' ( x) 1 y '= cos 2 x
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Unidad 10: Cálculo de derivadas
Ejercicio 7 (con solución) 1
y = sen x 3
y ' = cos x 3 ⋅ 3 x 2 = 3 x 2 ⋅ cos x 3
2
y = sen 3 x = ( sen x )
3
y=
1 (2 x + 5)2
y' =
4
y = x − 3x
y' =
5
y = tg 4 x
y' =
6
y = tg 2 x
y ' = 2 tg x ⋅ ( tg x ) ' =
7
y = ln 3x
y' =
1 x
8
y = 1− x
y' =
−1 2 1− x
9
y = log3 (4 x + 1)
y' =
4 1 4 = 4 x + 1 ln 3 ln 3(4 x + 1)
10
y = ln 2 x 3 + 5 x
y' =
6x2 + 5 2 x3 + 5x
11
y = cos (4 x − 1)
2
(
)
3
y ' = 3 ( sen x ) ⋅ cos x = 3 ⋅ sen 2 x ⋅ cos x 2
−4 (2 x + 5)3 2x − 3 2 x 2 − 3x
4 cos2 4 x 2 tg x cos 2 x
y ' = − sen ( 4 x − 1) ⋅ 4 = −4 ⋅ sen ( 4 x − 1)
213
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 10: Cálculo de derivadas
Ejercicio 8 Deriva:
a)
y = cos x3
b)
y = ln a 6
c)
y = e x ⋅ cos ( 3x + 2 )
d)
y = 2 x3 + 8
10.6 Integrales El cálculo integral no está en el currículo de 4º de ESO, lo verás en Bachillerato; no obstante, no queremos dejar pasar la ocasión para decirte que derivar e integrar son procesos contrarios, y que, por tanto, una vez aprendido el primero, es fácil aprender el segundo. Sólo te vemos a mostrar algunos ejemplos de cálculo de integrales, que, como en el caso de las derivadas, también tienen una tabla que facilita el cálculo de las mismas.
∫ 4 dx = 4 x
∫ 7 x dx =
Ya que
7 x2 2
∫e
x
dx = e x
∫ cos x dx = sen x
7 x2 2 x2 + 5x Ya que f ( x ) = x + 5 es la derivada de g ( x ) = 2 Ya que f ( x ) = 7 x es la derivada de g ( x ) =
x2 ∫ ( x + 5) dx = 2 + 5 x
∫ (8 x + 2 ) dx = 4 x
f ( x ) = 4 es la derivada de g ( x ) = 4 x
2
+ 2x
Ya que
f ( x ) = 8 x + 2 es la derivada de g ( x ) = 4 x 2 + 2 x
Ya que
f ( x ) = e x es la derivada de g ( x ) = e x
Ya que
f ( x ) = cos x es la derivada de g ( x ) = sen x
Intenta encontrar el procedimiento seguido y resuelve tú otras nuevas.
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Matemรกticas 4ยบ ESO Opciรณn B
Unidad 11: Combinatoria
Hay tres clases de matemรกticos: los que saben contar, y los que no saben.
(Atribuido a Enrico Bombieri, matemรกtico italiano, ganador de la medalla Fields en 1974)
Unidad 11: Combinatoria 215
Matemรกticas 4ยบ ESO Opciรณn B
216
Unidad 11: Combinatoria
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 11: Combinatoria
Índice de la unidad
Unidad 11: Combinatoria .............................................................................................219 11.1 Introducción .....................................................................................................219 11.2 Diagrama en árbol ...........................................................................................219 11.3 Orden, grupos y repetición...............................................................................221 11.4 Permutaciones .................................................................................................222 11.5 Variaciones ......................................................................................................224 11.5.1 Variaciones sin repetición..........................................................................224 11.5.2 Con repetición ...........................................................................................225 11.6 Combinaciones ................................................................................................226 11.6.1 Propiedades ..............................................................................................226 11.7 Esquema para resolver los ejercicios...............................................................228 11.8 Ejercicios de la unidad .....................................................................................229 11.9 Triángulo de Tartaglia y binomio de Newton....................................................236
Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...
− Contar los elementos de varios conjuntos mediante diferentes técnicas − Utilizar el diagrama en árbol. − Adquirir métodos y herramientas para resolver problemas del cálculo de probabilidades − Estudiar los diferentes casos que se pueden presentar a la hora de contar el número de elementos que intervienen en un cierto conjunto: orden en que aparecen los elementos y posible repetición − Utilizar el vocabulario y notación propios de la combinatoria − Conocer las propiedades de los números combinatorios − Conocer la fórmula general del binomio de Newton Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:
− Desarrollar estrategias personales para decidir de forma autónoma la técnica de recuento más eficaz en función de las condiciones del problema (C2, C7 y C8). − Conocer y manejar correctamente el lenguaje de la combinatoria, distinguiendo entre variaciones, combinaciones y permutaciones (C1, C2) − Utilizar la combinatoria para resolver problemas en ámbitos de la vida y del conocimiento muy diversos, valorando la importancia de estas técnicas como herramienta útil para desenvolverse adecuadamente en dichos ámbitos (C2, C3 y C8). − Adquirir un método autónomo de análisis ordenado y sistemático para resolver problemas de contar (C2, C7, C8). − Identificar situaciones de recuento presentes en la vida cotidiana y analizar críticamente las funciones que desempeñan (C2, C3, C4, C5, C8)
217
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 11: Combinatoria
Criterios de evaluación
− Resuelve situaciones relacionadas con el recuento de diferentes posibilidades mediante la utilización, según convenga, del diagrama en árbol, variaciones ordinarias, variaciones con repetición, combinaciones ordinarias o permutaciones ordinarias − Resuelve situaciones de tipo algebraico en las que intervengan los números factoriales, así como las combinaciones, variaciones y permutaciones
Contenidos conceptuales
− Diagrama en árbol. Principio de la multiplicación − Factorial de un número natural − Permutaciones − Variaciones con y sin repetición − Combinaciones − Números combinatorios − Triángulo de Tartaglia − Fórmula general de la potencia de un binomio: binomio de Newton
Contenidos procedimentales
− Construcción de diagramas en árbol para expresar los posibles resultados en situaciones de recuento − Identificación de las diferentes situaciones de recuento − Distinción en las situaciones de recuento en las que interviene o no el orden y la repetición de elementos − Diferenciación entre combinaciones, variaciones y permutaciones en base al orden, grupos y posible repetición de los elementos − Uso del vocabulario y notación propios de la combinatoria − Cálculos algebraicos y numéricos en los que intervienen los números factoriales, combinaciones, variaciones y permutaciones
218
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 11: Combinatoria
Unidad 11: Combinatoria ¿De cuántas formas se pueden sentar cinco personas en una fila de butacas de un cine?, ¿de cuántas formas puede quedar la clasificación final de la liga de fútbol?, ¿cuántos resultados diferentes hay si lanzamos dos dados? ¿y un dado y una moneda?, ¿entre cuántos menús podremos elegir si hay tres primeros platos, cuatro segundos y tres postres?, ¿cuántas quinielas deberemos rellenar para acertar el pleno al 15?, ¿resulta más fácil jugar a la bonoloto? Podrás contestar a todas estas preguntas cuando acabes este tema.
11.1 Introducción A lo largo de esta unidad aprenderemos a contar el número de elementos (equipos, banderas, números, etc.) basándonos en cuatro técnicas: el diagrama en árbol (que ya conoces) y tres (una tiene una variación, por lo que podríamos decir que son cuatro) nuevas fórmulas que conocerás a continuación. Para la elección de una u otra de estas fórmulas, nos basaremos en los elementos que intervengan: si se pueden o no formar grupos, si importa o influye el orden de los elementos que escojamos y si se pueden repetir elementos dentro de un grupo.
11.2 Diagrama en árbol Es una técnica que ya hemos empleado en otras ocasiones (recuerda cómo descomponíamos números “redondos” en sus factores primos.
Ejercicio 1 Lanzamos al aire tres veces seguidas una moneda y vamos anotando los resultados. No tendiendo en cuenta la posibilidad de que la moneda caiga de canto, ¿cuántos resultados distintos podrá haber?: (cara: C; cruz: +)
Si no necesitamos precisar los resultados, sino sólo saber el número de resultados distintos, no haremos el diagrama en árbol, sino que aplicaremos el principio de multiplicación: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 resultados. 219
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 11: Combinatoria
Ejercicio 2 Realiza un diagrama en árbol y halla el número de “palabras” (tengan o no sentido) de 2 letras, que se puedan formar con TILA: a) Sin repetición
b) Con repetición
Ejercicio 3 Utiliza un diagrama en árbol para construir “palabras” (tengan o no sentido) de 4 letras, sin que se repita ninguna, que se puedan formar a partir de la palabra LADO:
a) ¿Cuántas palabras se pueden formar? b) ¿Cuántas de ellas empiezan con la letra A? c) ¿En cuántas están la A y la O juntas, sin importar el orden en que aparecen?
220
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Unidad 11: Combinatoria
Ejercicio 4 Realiza un diagrama en árbol con las sumas distintas de dos cifras que se puedan efectuar con los números 2, 5, 7 y 8:
11.3 Orden, grupos y repetición La aplicación de cualquiera de las técnicas que vienen a continuación depende de si existe (o importa) el orden de los elementos, de si intervienen todos los elementos cada vez o de si hay grupos, y de la posible repetición de los elementos. Orden: deberás decidir, en base a las características del enunciado del problema, si cambiar el orden de los elemento en un grupo supone obtener un grupo distinto o no. Por ejemplo: si nos piden contar cuántas banderas de dos colores distintos puedes hacer con varios botes de pintura, ¿una bandera con una franja horizontal azul arriba y otra debajo blanca, es la misma si la franja blanca está arriba y la azul debajo? Claramente constituirían dos banderas diferentes, por lo que el orden (en este caso de los colores) sí importa. Debemos contestar correctamente a 4 preguntas en un examen que tiene 7 para poder aprobar; ¿influye el orden en el que elijamos las preguntas? En este caso el orden no importa. Grupos: esta es la característica que más claramente se observa en los enunciados de los problemas. A parte del número que indique la cantidad de elementos que debamos estudiar, si existen grupos, deberá existir otro número más. ¿De cuántas formas se pueden repartir 40 cartas (primer número que indica los elementos) entre 5 compañeros (segundo número que india que hay grupos) de mesa? ¿De cuántas maneras se pueden sentar 55 personas en un autobús de 55 plazas? Aquí sólo existe un número, y no hay grupos. En las fórmulas que verás a continuación, la letra m hará referencia al conjunto total de elementos, y la n, al número de elementos de cada grupo. Repetición: suele venir más o menos claramente indicado en el enunciado. Por ejemplo: ¿cuántas banderas de 3 colores diferentes puedes hacer con 6 colores distintos?; ¿cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los cinco primeros números naturales? (en este ejemplo no se especifica nada sobre la repetición de números, por lo que debemos suponer que sí pueden repetirse, y que, por ejemplo, el 112 es un número válido). 221
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Ejercicio 5 En los siguientes experimentos, indica en cuales influye el orden en el resultado final y si se puede o no repetir un resultado individual: Influye el orden
Se pueden repetir
Sacar el premio de la lotería nacional utilizando cinco bombos Otorgar las medallas de oro, plata y bronce en una competición de natación en la que intervienen 8 nadadores Formar grupos de trabajo de 5 personas en una clase de 30 alumnos Repartir las fichas del dominó Nombrar delegado y subdelegado en una clase de 25 alumnos Un padre reparte (uno a uno) 12 chicles y 8 trozos de regaliz entre sus 4 hijos Nombrar los 10 miembros de un jurado entre un grupo de 1000 personas Formar números de dos cifras con los dígitos {1, 2, 3, 4} Pintar una bandera con tres franjas horizontales de colores distintos
11.4 Permutaciones La fórmula que utilizaremos es:
Pm = m ! Que, como ves, utiliza la operación del factorial que ya hemos utilizado en alguna otra ocasión. Te recordamos que el factorial de un número se consigue multiplicando ese número por el anterior y por el anterior a este último hasta llegar a 1:
m ! = m ⋅ ( m − 1) ⋅ ( m − 2 ) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 0! = 1 ;
1! = 1 ;
4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 24 ; 5! = 120 ; 8! = 40 320 ; 222
2! = 2 ⋅1 = 2 ;
3! = 3 ⋅ 2 ⋅1 = 6 ;
6! = 720 ;
7! = 5 040 ;
9! = 362 880 ; 10! = 3 628 800 ; 11! = 39 916 800
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Unidad 11: Combinatoria
Como ves, es una operación que hace crecer los números muy rápidamente. A lo largo del tema, utilizaremos mucho números expresados de forma factorial, y es conveniente que aprendas a simplificar con ellos. Mira el siguiente ejemplo: Ejercicio resuelto Obtén, sin ayuda de la calculadora, el resultado de la siguiente operación:
20! 17!⋅19
20
20! 20 ⋅19 ⋅18 ⋅17! 2 ⋅10 ⋅ 19 ⋅18 ⋅ 17! = 10 ⋅18 = 180 = = 17!⋅19 ⋅ 2 17!⋅19 ⋅ 2 17! ⋅ 19 ⋅ 2
Ejercicio 6 Resuelve sin operar demasiado:
a)
b)
200! = 198!⋅ 2 c)
3!⋅ 5! = 6!⋅ 2!
12!⋅ 7! = 9!⋅10!
Ejercicio 7 Une con flechas:
6! 4!
5! 6!
8! 5!⋅ 3!
n! ( n − 1)!
( n + 2 )! n!
( m − 1)!n ! m !( n − 1) !
56
1 6
30
n m
( n + 2 )( n + 1)
n
223
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Unidad 11: Combinatoria
Utilizaremos las permutaciones que aquellos problemas donde no intervengan grupos, importando, sólo, el orden de los elementos.
Ejercicio 8 ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en un banco de 5 plazas?
Ejercicio 9 ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6, sin repetir ninguna?
11.5 Variaciones Las variaciones pueden ser de dos tipos: variaciones ordinarias, o simplemente variaciones, y variaciones con repetición (cada una tiene su fórmula correspondiente). Ya se comentó en el apartado 10.3 en qué consistía la repetición o no de los elementos. Las variaciones se utilizarán en aquellos problemas donde se hagan grupos e importe el orden en la elección de los elementos.
11.5.1 Variaciones sin repetición Su fórmula es esta:
Vm ,n = m ⋅ ( m − 1) ⋅ ( m − 2)... o también Vm ,n = n veces
En general utilizaremos la primera de las fórmulas. Ejercicio resuelto Calcula las siguientes variaciones:
a ) V6, 4 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3
V6, 4 = 360
b) V6,3 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4
V6,3 = 120
c ) V6 , 2 = 6 ⋅ 5
V6, 2 = 30
224
m! ( m − n)!
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Unidad 11: Combinatoria
Ejercicio 10 Calcula las siguientes operaciones:
a ) V5,3 = b) V7,2 = c ) V8,1 = d ) V6,5 =
Cuando veíamos las permutaciones, no había ningún problema en identificar la m que aparece en su fórmula ( Pm = m ! ), puesto que al haber sólo un dato numérico en los ejercicios (por no haber grupos), ese, forzosamente, debía corresponder con la m. Sin embargo, tanto en variaciones como en combinaciones (que veremos a continuación), intervienen dos letras (m y n) en sus fórmulas (ya explicamos su significado en el apartado 10.3).
Ejercicio 11 ¿De cuántas formas se puede nombrar al presidente, vicepresidente y secretario de una asociación que tiene 200 miembros?
11.5.2 Con repetición Su fórmula es esta:
VRm ,n = m n Como ves, se trata de una simple potencia.
Ejercicio 12 Calcula las siguientes operaciones:
a ) VR5,3 =
d ) VR6,5 =
b) VR7,2 =
e) VR0,2 =
c ) VR8,1 =
f ) VR3,0 = 225
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Unidad 11: Combinatoria
Ejercicio 13 ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar en los que sólo intervengan el 1, el 3, el 5, el 7 ó el 9?
11.6 Combinaciones Fórmula:
Vm ,n ⎛m⎞ m! Cm , n = ⎜ ⎟ = = C o también m,n Pn ⎝ n ⎠ ( m − n ) !⋅ n ! Ejercicio 14 Calcula las siguientes operaciones:
a ) C5,3 =
c ) C8,1 =
b) C7,2 =
d ) C8,7 =
(¿encuentras alguna similitud entre los apartados c) y d) anteriores?)
11.6.1 Propiedades Existen unas pocas que pueden simplificarnos algunos cálculos:
⎛m⎞ I ) Cm ,1 = m ; o también ⎜ ⎟ = m ⎝1⎠ ⎛m⎞ III ) Cm ,0 = 1 ; o también ⎜ ⎟ = 1 ⎝0⎠
⎛m⎞ II ) Cm ,m = 1 ; o también ⎜ ⎟ = 1 ⎝m⎠ ⎛m⎞ ⎛ m ⎞ IV ) Cm , n = Cm , m − n ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝m− p⎠
⎛ m ⎞ ⎛ m ⎞ ⎛ m + 1⎞ V ) Cm ,n + Cm ,n +1 = Cm +1, n +1 o también ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟=⎜ ⎟ + n n 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ n +1 ⎠
(Hablaremos de estas propiedades con el triángulo de Tartaglia)
Principalmente, es la IV propiedad la que más ahorro de trabajo nos puede proporcionar; por ejemplo,
226
C8,1 = C8, 7 ; C8, 2 = C8, 6 ; C8,3 = C8,5 .
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Unidad 11: Combinatoria
Ejercicio 15 Utilizando las propiedades anteriores, calcula estas operaciones:
a ) C8,1 =
e) C8,5 =
b) C8,2 =
f ) C8,6 =
c ) C8,3 =
g ) C8,7 =
d ) C8,4 =
h) C8,8 =
Utilizaremos combinaciones cuando existan grupos, no importe el orden en el que escojamos los elementos y no esté permitida la repetición de elementos:
Ejercicio 16 ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 asignaturas optativas de entre 5?
Para comprobar tu solución (y puesto que son pocos casos), puedes rellenar la siguiente tabla; cada columna indica una elección posible: Diseño y Prensa Música Tecnología Cultura clásica Plástica
227
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Ejercicio 17 El profesor de Historia ha anunciado un examen en el que entran 7 temas, y ha dicho que pedirá que se desarrollen 3 de ellos. ¿Cuántos tipos de examen puede poner?
Ejercicio 18 ¿Cuántas rectas se pueden formar con 10 puntos (no alineados tres o más de ellos) situados en un plano?
11.7 Esquema para resolver los ejercicios Te ofrecemos un resumen con todo lo visto hasta ahora, y que te servirá para saber, en cada caso, qué fórmula utilizar (en la segunda página de la unidad encontrarás otro esquema). ¿Hay grupos?
Permutaciones Pm = m !
No
¿Importa el orden?
SÍ
¿Se pueden repetir?
No
Ordenar 5 motos en un taller
No
Reparto del podium en una carrera
SÍ
Formar números de 3 cifras con el 2, 4, 6 y 8
No
Repartir las fichas del dominó
Variaciones Vm,n = m ⋅ ( m − 1) ⋅ ( m − 2 ) ... n veces
SÍ
SÍ
VRm ,n = mn
Combinaciones Cm,n
228
m! = ( m − n )!⋅ n !
SÍ
Ejemplo
No
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Unidad 11: Combinatoria
A la hora de hacer este tipo de ejercicios de combinatoria, deberás contestar a estas tres preguntas: ¿Entran todos los elementos en cada agrupación? ¿Influye el orden de colocación de los elementos? ¿Pueden repetirse los elementos? Dos recomendaciones antes de pasar a las actividades: − lee cada enunciado un mínimo de tres o cuatro veces para comprender bien el problema − no olvides las unidades
11.8 Ejercicios de la unidad Ejercicio 19 ¿De cuantos modos se pueden repartir tres premios distintos entre Juan, Pilar, María, Alicia y Pedro, de manera que ninguno de ellos reciba dos o más premios?
Ejercicio 20 ¿Cuántos grupos de cuatro cartas distintas se pueden hacer con una baraja española?
229
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Ejercicio 21 En una vuelta ciclista participan 14 equipos, cada uno con 9 corredores. ¿De cuántas maneras puede resultar el podium final por equipos?
¿Y por corredores?
Ejercicio 22 En un restaurante, la carta ofrece elegir entre seis entrantes, cuatro platos fuertes y cinco postres. ¿Cuántos menús diferentes pueden elaborarse?
Ejercicio 23 Un entrenador de baloncesto dispone de 10 jugadores en plantilla, ¿de cuántas formas puede organizarse el equipo inicial?
230
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Ejercicio 24 Disponemos de cinco bolas de colores diferentes: azul, blanco, negro, rojo y verde, y de otras tantas cajas con los mismos colores. Se introduce al azar una bola en cada caja. ¿De cuántas formas posibles se pueden meter las bolas en las cajas?
¿En cuántos casos la bola azul estará dentro de la caja azul?
Ejercicio 25 En la liga de fútbol de primera división hay 20 equipos: a) ¿Cuántas clasificaciones finales pueden darse?
b) Si para la liga de campeones se clasifican los cuatro primeros equipos, ¿cuántos posibles cuartetos de equipos pueden clasificarse?
c) Si para la copa de la UEFA se clasifican los equipos 5º y 6º, ¿cuántos pares de equipos pueden clasificarse?
d) ¿Cuántas jornadas se disputan a lo largo de la liga?
231
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Unidad 11: Combinatoria
Ejercicio 26 En el sistema binario de numeración (utilizado por los ordenadores), donde las únicas cifras válidas son el 0 y el 1, ¿cuántos números de 8 cifras existen? (el primer número será 0000 0000, y el último será 1111 1111; un número intermedio cualquiera puede ser: 1001 0111)
Ejercicio 27 Un equipo de fútbol de primera división tiene 3 porteros, 7 defensas, 5 centrocampistas y 6 delanteros. En cada partido juegan uno, cuatro, tres y tres por cada línea, respectivamente. ¿Cuántas alineaciones distintas podrá hacer el entrenador si no acostumbra a cambiar a los jugadores de sus líneas habituales?
Ejercicio 28 Cuatro amigos juegan un torneo de ajedrez. Aquel jugador que empieza a jugar con las piezas blancas, siempre cuenta con ventaja; sin embargo, y para este ejercicio, nosotros no lo vamos a suponer. ¿De cuántas formas pueden quedar clasificados?
Si juegan todos contra todos, ¿cuántas partidas se realizarán?
232
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Unidad 11: Combinatoria
Ejercicio 29 ¿Cuántas aleaciones distintas se pueden formar con 8 metales diferentes? Cada aleación debe estar formada por dos o más metales. (Pista: hay una propiedad que hemos dicho en un apartado anterior que te simplificará los cálculos)
Ejercicio 30 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) Vx , 2 − C x , 2 = 190
b) Vx ,4 = 20 ⋅ Vx ,2
c) VRx ,4 − 13 ⋅ VRx ,2 = −36
d ) 12 ⋅ Px + 5 Px +1 = Px + 2
233
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Unidad 11: Combinatoria
Ejercicio 31 A continuación tienes 17 ejercicios variados. Pueden servirte para que evalúes tu propio conocimiento sobre las técnicas que has aprendido en este tema: 1. ¿Es posible hallar las V3,4? ¿Y las VR3,4? 2. Contesta V o F a las siguientes afirmaciones: a) b) c) d)
En las VR no influye el orden: En las V sí influye el orden En las P influye el orden: En las C influye el orden:
3. Con 8 elementos queremos hacer variaciones. a) ¿Podemos hacer V de más de 8 elementos? b) ¿Podemos hacer V de menos de 8 elementos? c) ¿Cómo se llama si V de los 8 elementos?
4. Con 8 personas, pensamos formar todos los grupos posibles de 2 ó 6 personas. ¿De cuál de los dos maneras hay más grupos, de dos o de seis personas?
5. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, secretario y tesorero de un club de baloncesto sabiendo que hay 12 posibles candidatos?
6. ¿Cuántas apuestas(columnas) habrá que rellenar para acertar seguro una quiniela de 14?
7. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9 sin que se repita ninguna cifra? (NOTA: hay que descontar los que empiezan por 0)
8. Con las letras de la palabra DISCO, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por O?
(Sigue → )
234
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Unidad 11: Combinatoria
(Continuación) 9. En un festival de canciones han llegado a la fase final 10 cantantes. ¿De cuántas formas se pueden adjudicar los premios 1º, 2º y 3º?
10. ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol, teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar ninguna posición distinta de la portería?
11. ¿De cuantas formas se pueden colocar 10 cantores si dos de ellos tienen que estar siempre en los extremos?
12. Con las cifras 1,2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras se pueden formar? ¿cuántos son pares?
13. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las 9 butacas que quedan en el cine entre las 12 personas que aún están en la cola?
14. Con las cifras 6,7, 8 y 9 ¿cuántos números de seis cifras se pueden formar? ¿Cuántos termina en 6? ¿Cuántos son múltiplos de 2?
15. En un programa de radio de una emisora intervienen 4 locutores. Si esa cadena de radio dispone de 20 locutores, ¿de cuántas formas distintas (con locutores distintos) se puede presentar este programa?
16. A una reunión asisten 17 personas y se saludan entre ellos ¿cuántos saludos se han dado?
17. En una unidad militar hay 6 capitanes y 10 tenientes. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un grupo de 3 capitanes y 7 tenientes?
235
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Unidad 11: Combinatoria
11.9 Triángulo de Tartaglia y binomio de Newton Cuando una combinación se expresa así, se le llama número combinatorio, y se
⎛ m ⎞ lee “m sobre n”. ⎜ ⎟ ⎝n⎠
A Nicolo Fontana (1499 – 1557), conocido como Tartaglia (tartamudo, debido a una herida que sufrió de niño), se le atribuye esta disposición de los números combinatorios:
⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝1⎠ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠ ⎛ 5⎞ ⎛5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 5⎠ Ejercicio 32 Completa el triángulo
1 1 1 1 ___ 1 1 ___ ___ 1 1 ___ ___ ___ 1 1 ___ ___ ___ ___ 1
236
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 11: Combinatoria
Observa lo siguiente: a) Los números combinatorios de los lados (extremos de la izquierda y la derecha) son siempre 1 (propiedad II y III de las combinaciones). b) Los números combinatorios segundo y penúltimo de cada fila coinciden con m, o también puede verse como que coincide con el número de la fila, comenzando por la fila cero en el vértice superior del triángulo (propiedad I) c) En cada fila, los números equidistantes de los extremos son siempre iguales (propiedad IV), lo que confiere al triángulo una simetría vertical. d) Cada número combinatorio es igual a la suma de los dos que tiene encima (propiedad V)
Ejercicio 33 Continúa el triángulo hasta la décima fila.
Isaac Newton (1642-1727), científico y matemático inglés, pasa por ser una de las mentes más lúcidas que jamás hayan existido. ¿Existe una fórmula general que permita averiguar el desarrollo de una potencia cual-
(
)n
quiera de un binomio, a + b ? Cuando el exponente es 2, 3 ó 4 podemos hacer los cálculos directamente, pero si el exponente es más grande, necesitamos alguna técnica de cálculo que nos ayude. Observa los desarrollos para n = 2, 3 y 4:
(a + b )1 =
a+b
(a + b )2 =
a 2 + 2ab + b 2
(a + b )3 = (a + b )2 ⋅ (a + b ) =
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a + b )4 = (a + b )3 ⋅ (a + b ) =
a 4 + 4a 3b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
Observa: 1. El número de términos de cada desarrollo es uno más que el exponente 2. Los términos de los extremos siempre son el primer sumando y el segundo elevados al exponente original 3. En cada desarrollo, los exponentes del primer sumando del binomio comienzan con el exponente original, y van decreciendo en cada nuevo término hasta llegar a cero; con los exponentes del segundo sumando ocurre lo contrario 4. Los coeficientes de cada desarrollo son los números de la fila correspondiente del triángulo de Tartaglia 237
Matemáticas 4º ESO Opción B La fórmula general del desarrollo de
(a + b)
n
Unidad 11: Combinatoria
(a + b)
⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ = ⎜ ⎟ a n + ⎜ ⎟ a n −1b + ⎜ ⎟ a n − 2b 2 + ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝2⎠
n
se conoce como binomio de Newton:
⎛n⎞ + ⎜ ⎟ a n−k bk + ⎝k ⎠
⎛ n ⎞ n −1 ⎛ n ⎞ n +⎜ ⎟ ab + ⎜ ⎟ b ⎝ n − 1⎠ ⎝n⎠
Los números combinatorios que aparecen en el desarrollo son los números que forman la fila n + 1 en el triángulo de Tartaglia. Cuando el binomio a desarrollar sea de la forma
(a − b)
−b en el anterior desarrollo, así, las potencias pares de tivo, y las impares, negativo.
n
, bastará con cambiar
b por
−b provocarán que sea posi-
Ejemplos:
( 2a + b ) (x − y)
5
3
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛3⎞ ⎛ 3⎞ 3 2 = ⎜ ⎟ ( 2a ) + ⎜ ⎟ ( 2a ) b + ⎜ ⎟ 2ab 2 + ⎜ ⎟ b 3 = 8a 3 + 12a 2b + 6ab 2 + b3 ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝2⎠ ⎝ 3⎠
⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎛5⎞ 2 3 4 5 = ⎜ ⎟ x5 + ⎜ ⎟ x 4 ( − y ) + ⎜ ⎟ x3 ( − y ) + ⎜ ⎟ x 2 ( − y ) + ⎜ ⎟ x ( − y ) + ⎜ ⎟ ( − y ) = ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠ ⎝5⎠
= x 5 − 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 − 10 x 2 y 3 + 5 xy 4 − y 5
Ejercicio 34 Obtén el desarrollo de:
a)
( x + 1)
b)
(a − b)
c)
( x − 3y)
d)
(
238
6
3
=
=
5
=
x+ y
)
4
=
Matemáticas 4º ESO Opción B
Unidad 11: Combinatoria
Ejercicio 35 Calcula de forma rápida:
⎛ 50 ⎞ a) ⎜ ⎟ = ⎝ 49 ⎠
⎛ 1000 ⎞ b) ⎜ ⎟= 998 ⎝ ⎠
⎛ 500 ⎞ c) ⎜ ⎟= 499 ⎝ ⎠
⎛ 70 ⎞ d) ⎜ ⎟ = ⎝ 67 ⎠
Ejercicio 36 Resuelve la siguiente ecuación:
⎛ 15 ⎞ ⎛ 15 ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ ⎝ 2x − 6 ⎠
Direcciones interesantes: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Combinatoria/indice.htm http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/ http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/practica/index.html
239
Matemรกticas 4ยบ ESO Opciรณn B
240
Unidad 11: Combinatoria
Matemáticas 4º ESO Opción B
Apéndice
Apéndice: Lenguaje matemático 241
Matemáticas 4º ESO Opción B
Apéndice
Como sabes, cada disciplina que puedas estudiar (Medicina, Farmacia, Periodismo, Derecho, Arquitectura, Ingeniería…) dispone de un vocabulario específico. Como cabe esperar, las Matemáticas cuentan con su propio lenguaje. Es muy posible que, cuando comiences el próximo curso de Bachillerato, los profesores de ciencias utilicen símbolos “extraños” que, sin duda, irán introduciendo y explicando paulatinamente. No está demás, sin embargo, que aquí te mostremos los más importantes, y así comiences a familiarizarte con ellos (algunos, incluso, han aparecido ya en este libro).
Ejercicio 1 Completa Símbolos
Comentario
∀
∃, ∃ ∈, ∉ ⊂, ⊆, ⊄
⇒
⇔ ∑
∩, ∪ ∨, ∧ ∅
⎢⎡ ⎤⎥ , ⎣⎢ ⎦⎥
Ejercicio 2 Determina si son verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes afirmaciones:
a) ∀ x ∈ , ∃ y ∈
b) Si u , v ∈
y≥x
u ≥ v ⇒∃x∈
u≥x≥ y (Sigue → )
242
Matemáticas 4º ESO Opción B
Apéndice
c ) Siendo x , y ∈ , entonces: xy ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0
d ) Siendo x ∈ , entonces: x 2 ≤ 1 ⇒ x ∈ [ 0,1]
Ejercicio 3 Escribe, utilizando el lenguaje matemático, las siguientes afirmaciones: Para todo número real, existe un número entero mayor que él
Dado un número real, su cuadrado es un número real positivo
Dados dos números reales positivos, con el primero mayor que el segundo, entonces el cuadrado del primero es mayor que el cuadrado del segundo
Existe un número real cuyo cuadrado es un número entero positivo
243