Topografia para Estudantes de Arquitetura, Engenharia e Geologia by Irineu Da Silva Sauro

TOPOGRAFIA para estudantes de Arquitetura, Engenharia e Geologia

UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOS

Reitor

Pe. Marcelo Fernandes de Aquino, SJ

Vice-reitor

Pe. JosÃ© Ivo Follmann, SJ

Editora Unisinos Diretor

Pe. Pedro Gilberto Gomes, SJ Conselho Editorial Alfredo Culleton Carlos Alberto Gianotti Pe. Luis Fernando Rodrigues, SJ Pe. Pedro Gilberto Gomes, SJ Vicente de Paulo Barreto

TOPOGRAFIA para estudantes de Arquitetura, Engenharia e Geologia

Adriane Brill Thum Carlos Augusto Uchôa da Silva Diego Alfonso Erba (org.) Genival Correa de Souza Maurício Roberto Veronez Rodrigo Figueiredo Leandro Tule Cesar Barcelos Maia

EDITORA UNISINOS

2009

Topografia

2003 Direitos de publicação e comercialização cedidos à Editora da Universidade do Vale do Rio dos Sinos Editora Unisinos Coleção Manual Universitário ISBN 85-7431 -191 -X Impressão, 2003 1a Reimpressão, 2005 2a Reimpressão, 2007 3a Reimpressão, 2009 Revisão Rui Bender Editoração Dos autores Capa Carlos Augusto Uchôa da Silva

A reprodução, ainda que parcial, por qualquer meio, das páginas que compõem este livro, para uso não-individual, mesmo para fins didáticos, sem autorização escrita do editor, é ilícita e se constitui numa contrafação danosa à cultura, Foi feito o depósito legal.

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SUMÁRIO INTRODUÇÃO

I - GENERALIDADES

1.1.

Forma e dimensão da Terra

1.2.

Sistemas de Coordenadas

1.2.1.

Coordenadas Geodésicas

1.2.2.

Coordenadas UTM

1.2.3.

Coordenadas Retangulares e Polares

1.2.4.

Relação entre Sistemas de Coordenadas

1.3.

Referências Bibliográficas

II - DISTÂNCIAS

2.1.

Distância Oblíqua, Horizontal e Esférica

2.2.

Relação entre Distâncias e Limitações da Topografia

2.3.

Métodos de Obtenção das Distâncias

2.3.1.

Medição Direta de Distâncias

2.3.2.

Medição Indireta de Distâncias com Instrumentos Ópticos Mecânicos

2.3.3.

Medição Eletrônica de Distância

2.3.3.1.

Princípios e Métodos de Medições com Ondas Eletromagnéticas

2.3.3.2.

Ondas Portadoras Utilizadas

2.3.3.3.

Acessórios para Medição Eletrônica de Distâncias

2.3.4.

Erros Sistemáticos em Medições com MED

2.3.5.

Precisão

2.4.

Referências Bibliográficas

III - ÂNGULOS

3.1.

Ângulos Horizontais

3.2.

Rumo e Azimute

3.2.1.

Azimute

3.2.2.

Rumo

3.2.2.1.

Aviventação de Rumos

3.2.2.2.

Conversão Rumo Magnético <=> Rumo Verdadeiro

Topografia para Estudantes de Engenharia, Arquitetura e Geologia

3.2.3.

Relações RUMO / AZIMUTE

3.3.

Ângulos Verticais

3.4.

Referências Bibliográficas

IV - TEODOLITOS E ESTAÇÕES TOTAIS

4.1.

Teodolito

4.2.

Sistema de Leitura Angular em um Teodolito Ótico-Mecânico

4.3.

Erros Instrumentais de um Teodolito

4.3.1.

Erro de Horizontalidade do Eixo Secundário

4.3.2.

Erro de Colimação Horizontal

4.3.3.

Erro de Verticalidade do Eixo Principal

4.3.4.

Erro de Excentricidade dos Círculos

4.3.5.

Erros de Graduação dos Círculos

4.3.6.

Erros do Índice do Círculo Vertical - Colimação Vertical

4.4.

Teodolitos Eletrônicos

4.4.1.

Princípios da Medição Eletrônica de Ângulos

4.4.2.

Sensor Eletrônico e Compensador de Inclinação

4.4.3.

Correções das Medidas dos Ângulos Lidos com um Teodolito Eletrônico

4.5.

As Estações Totais

4.6.

Referências Bibliográficas

V - LEVANTAMENTOS PLANIMÉTRICOS

5.1.

Fundamentos do Levantamento Topográfico Planimétrico

5.2.

O Levantamento Topográfico Segundo a NBR 13133

5.3.

Métodos de Levantamento de Pontos

5.3.1.

Irradiação

5.3.2.

Estação Livre

5.3.3.

Interseção

5.3.4.

Bilateração

5.4.

Poligonação

5.4.1.

Poligonais Abertas

5.4.2.

Poligonais Apoiadas

5.4.3.

Poligonais Fechadas

5.4.4.

Erro de Fechamento Angular e Linear das Poligonais

5.4.5.

Cálculo de Poligonais e Distribuição dos Erros

Topografia para Estudantes de Engenharia, Arquitetura e Geologia

5.4.6.

Tolerâncias para o Fechamento de Poligonais

5.5.

Avaliação de Áreas

5.5.1.

Divisão em Figuras Geométricas Simples

5.5.2.

Offsets a Partir de um Alinhamento de Referência

5.5.3.

Cálculo Analítico da Área a Partir das Coordenadas Cartesianas dos Vértices

5.5.4.

Planímetro Polar

5.6.

Automação dos Levantamentos

5.6.1.

O Registro Eletrônico dos Dados de Campo

5.6.2.

Funções Internas de uma Estação Total

5.6.3.

Automação de Cálculos e desenhos

5.7.

Referências Bibliográficas

VI - LEVANTAMENTOS ALTIMÉTRICOS

6.1.

Superfícies de Referência

6.2.

Nivelamentos

6.2.1.

Nivelamento Geométrico

6.2.2.

Nivelamento Trigonométrico

6.3.

Erros nos Nivelamentos

6.4.

Técnicas de Nivelamento

6.5.

Declividade

6.6.

Instrumentos Topográficos para Nivelamento

6.6.1.

Níveis LASER

6.6.2.

Miras

6.7.

Referências Bibliográficas

VII - LEVANTAMENTOS PLANIALTIMÉTRICOS

7.1.

Posicionamento a partir de dois Ângulos e uma Distância

7.2.

Posicionamento a partir de três Ângulos

7.3.

Determinação a partir de três Distâncias e três Pontos Conhecidos

7.4

Referências Bibliográficas

VIII - DESENHO TOPOGRÁFICO

8.1.

Escala

8.2.

Mapa, Carta e Planta

8.3.

O Traçado de Alinhamentos

Topografia para Estudantes de Engenharia, Arquitetura e Geologia

8.4.

Curvas de Nível

8.5.

Perfis Topográficos

8.6.

Elementos de um Documento Cartográfico

8.6.1.

O Formato das Folhas

8.6.2

Texto

8.6.3.

Convenções Topográficas

8.6.4.

Legenda

8.7.

Memorial Descritivo

8.8.

Desenho Assistido por Computador - CAD (Computer Aided Design)

8.8.1.

Organização do CAD para Desenhar

8.8.2.

A Plotagem

8.9.

Referências Bibliográficas

IX - DIVISÃO E DEMARCAÇÃO DE TERRAS

9.1.

Aspectos a Considerar na Divisão de Terras

9.2.

Procedimentos de Divisão

9.2.1

Cálculo de Área por Processos Geométricos

9.3.

Exemplo de Cálculo

9.4

Diferentes Casos de Divisão de Áreas

9.5.

Cálculo de Área Pertencente a cada Condômino

9.6.

Aspectos Jurídicos

9.7.

Referências Bibliográficas

Anexo I

Exemplo de Memorial Descritivo

Anexo II

Exemplo de Memorial Descritivo

Anexo III Conceitos e Termos Utilizados em Demarcação, Divisão e Loteamento de Áreas (glossário)

Anexo IV Sugestão de alguns cuidados e atitudes que devem ser tomados

X - O S ERROS NA TOPOGRAFIA

10.1.

Erro Verdadeiro e Erro Residual

10.2.

Resolução, Precisão e Exatidão

10.3.

O Desvio-padrão como Indicador de Precisão

10.4.

Os Equipamentos de Medição e suas Precisões

10.4.1.

Precisão na Medição de Distâncias

10.4.2.

Precisão na Medição de Ângulos

10.4.3.

Precisão na Medição com Níveis

Topografia para Estudantes de Engenharia, Arquitetura e Geologia

10.4.4.

Precisão nas Medições com Estação Total

10.4.5.

Instrumental Auxiliar

10.5.

Referências Bibliográficas

ANEXO A - LINEARIZAÇÃO DE EQUAÇÕES

Introdução Conhecer o território é, desde tempos imemoriais, uma prioridade do homem. A necessidade de explorar e descobrir, movida pela curiosidade natural da espécie e pelos anseios de conquista, acabou provocando uma acelerada evolução das técnicas e dos instrumentos envolvidos no processo de representação do espaço físico. Nos primórdios, as medições eram efetuadas com “os pés no chão”, utilizando instrumentos ópticomecânicos e aplicando métodos que permitiam descrever o território em forma de mapas, tomando como base medidas lineares e angulares obtidas a campo. Com a descoberta da fotografia e o desenvolvimento do avião, surge a possibilidade de elaborar os documentos cartográficos a partir de medidas confiáveis obtidas no gabinete, diretamente sobre as aerofotografias. Mais recentemente, a possibilidade de obter dados a partir de satélites artificiais, sejam eles de posição ou de imagens obtidas mediante sensores digitais, tem revolucionado métodos e instrumentos de mensuração. A incorporação definitiva da eletrônica nos equipamentos e da proliferação de aplicativos utilizados para o processamento de dados provenientes de diferentes fontes permitiram integrar a Topografia, a Fotogrametria, a Geodésia. e o Sensoriamento Remoto com maior facilidade e confiabilidade, tornando o processo de geração de cartografia mais eficiente. Nesse ambiente de mudança, surgem novos paradigmas e um contexto de trabalho que exige uma postura diferente por parte dos profissionais das áreas de mensuração, tanto daqueles que exercem atividades no mercado quanto daqueles que têm a missão de formar novos profissionais. Estes fatos levaram a elaborar o presente livro, o qual não tem a pretensão de se tornar referência, mas criar um elemento de estudo e consulta permanente para estudantes universitários dos cursos de Arquitetura, Engenharia e Geologia. Os autores, professores de Topografia de diferentes instituições públicas e privadas brasileiras, abordaram os diferentes assuntos com estilo próprio, utilizando uma linguagem simples e de fácil compreensão para os acadêmicos. São apresentados métodos e instrumentos disponíveis tanto para levantamentos quanto para o processamento dos dados, a representação cartográfica e a locação de projetos. Mantendo o foco nos estudantes, fica a expectativa de gerar novas obras referentes às demais áreas da mensuração. Sabendo que todo trabalho é perfectível, as contribuições e observações serão bem recebidas.

Diego Alfonso Erba

I – GENERALIDADES Uma das primeiras inquietudes do homem foi conhecer o espaço no qual desenvolveria suas atividades. Determinar as formas e dimensões da Terra, bem como representá-la graficamente, foi uma necessidade, particularmente, a partir da conquista de novos territórios. Ao longo dos anos, a evolução tecnológica tem atingido todas as áreas do conhecimento, e com particular ênfase as disciplinas envolvidas com a Mensuração. Isto é do interesse de profissionais da arquitetura, geologia, engenharia, agrimensura, cartografia, agronomia e tantas outras atividades profissionais que utilizam o mapeamento para desenvolver a maioria de seus projetos. Muito antes de existirem a fotografia e as imagens de satélite, as primeiras medições eram realizadas por métodos rudimentares, utilizando instrumentos simples, mantendo sempre o objetivo de descrever a realidade física da área levantada mediante desenhos efetuados em um plano de representação. Descrever lugares foi, então, uma das principais preocupações do homem, e esta necessidade abriu espaço para a criação e o desenvolvimento de uma nova área de estudo: a TOPOGRAFIA. Etimologicamente, a palavra é formada pela conjunção dos termos gregos topos e graphein.

Além da Topografia, pode-se destacar três outras ciências diretamente ligadas aos processos de levantamento e representação de parte da superfície terrestre: a Cartografia, a Geodésia e a Fotogrametria. Define-se Cartografia como o conjunto de estudos e observações científicas, artísticas e técnicas que, a partir de resultados de observações diretas ou da exploração de documentos, elabora cartas, planos e outros modos de expressão, assim como a sua utilização. A carta, vista como um meio de transcrição gráfica dos fenômenos geográficos, constitui o objeto principal da Cartografia. O objetivo primordial é, portanto, a pesquisa de métodos, processos de elaboração e utilização de cartas, além do estudo exaustivo de seu conteúdo (ASSOCIAÇÃO CARTOGRÁFICA INTERNACIONAL, 1996 apud SILVA et al., 2001). A Geodésia (do grego geo = terra, daiein = dividir) é uma ciência que tem por finalidade a determinação da forma e as dimensões da Terra. A ciência geodésica compreende o estudo das operações ou medições, assim como os métodos de cálculos aplicados para determinar a forma e as dimensões da Terra e o seu campo gravitacional (SILVA et al., 2001).

I-1

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Capítulo I – Generalidades

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A Fotogrametria pode ser definida como a ciência, arte e tecnologia de obter informações confiáveis a partir de fotogramas aéreos ou terrestres. Divide-se em duas áreas de especialização: métrica e interpretativa. A fotogrametria métrica tem uma grande importância para área de mensuração, pois permite a determinação de distâncias, elevações, volumes etc; além de elaborar documentos cartográficos a partir de medidas realizadas nos fotogramas. A fotogrametria interpretativa tem por objetivo proporcionar o reconhecimento de alguns padrões de objetos (formas, comprimentos, tonalidades, texturas etc.), baseados em imagens fotográficas (WOLF & BRINKER, 1994). Finalmente, a Topografia é definida como a ciência aplicada que tem como objetivo estudar e desenvolver métodos e instrumentos destinados a levantar e processar dados do terreno, a partir dos quais seja possível representar graficamente a realidade física em um documento cartográfico. Na definição, podemos ver que há dois processos interdependentes, que constituem o fundamento dos trabalhos topográficos: o primeiro deles envolve questões métricas de medição e cálculo e o segundo, as questões de representação; surgindo, assim, duas áreas de estudo: a TOPOMETRIA e a TOPOLOGIA. Na Topometria estudam-se os diferentes métodos e instrumentos disponíveis para a obtenção das posições de pontos topográficos, bem como os métodos de processamento e ajustamento das medições. Os pontos topográficos são aqueles que conformam o terreno ou a área de estudo sobre a qual será desenvolvido algum projeto. O estudo da Topometria divide-se em: Planimetria e Altimetria. A Planimetria tem por objetivo determinar as posições relativas dos pontos topográficos no plano de projeção, segundo um sistema de referência previamente estipulado (coordenadas x, y); a Altimetria estuda métodos e instrumentos destinados a quantificar as distâncias verticais (coordenada z) dos pontos. Existem ainda métodos e instrumentos que permitem medir simultaneamente as três coordenadas dos pontos topográficos, que constituem a área denominada Planialtimetria. Para a representação da superfície física, a Topografia utiliza um plano sobre o qual cada ponto topográfico é ortogonalmente projetado. Este plano não tem existência física real, é uma abstração definida pelo topógrafo para poder representar as três dimensões espaciais do terreno. Podemos pensar que o plano corresponde à folha de papel utilizada para o desenho. Conforme ilustração da Figura 1.1, os pontos topográficos estão distribuídos espacialmente ao longo da superfície terrestre e suas posições podem ser determinadas a partir de coordenadas. Há casos em que o conhecimento das posições dos pontos topográficos no plano de representação (A´, B´, C´ e D´) satisfaz as necessidades dos técnicos. Um exemplo é o mapeamento dos limites das parcelas territoriais que compõem o cadastro imobiliário de uma prefeitura. Porém, a maioria dos projetos de engenharia, tais como obras viárias, aeroportos, complexos habitacionais, canalizações, dutos etc., exige que sejam determinadas as posições espaciais (x, y, z) dos pontos topográficos (Figura 1.1).

I-2

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Capítulo I - Generalidades

Figura 1.1 - Representação do terreno no plano topográfico

A necessidade de efetuar uma série de convenções que permitam representar de forma clara e compreensível o terreno fez surgir a Topologia, área específica da Topografia que tem como principal objetivo estudar as formas do relevo, estabelecendo modelos que o representem. Este conceito está intimamente relacionado ao Desenho Topográfico, o qual se ocupa de transferir para a planta todos os detalhes obtidos nos trabalhos topométricos. Em termos operacionais, o estudo topológico da área a ser levantada deve preceder os trabalhos de campo, pois “entender o terreno” é fundamental para otimizar as tarefas de mensuração e conseguir objetividade na escolha dos pontos topográficos. Na organização do estudo da Topografia, ainda há necessidade de diferenciar duas tarefas importantes que o profissional executa com objetivos diferentes: o levantamento e a locação. O levantamento consiste na aplicação de métodos planimétricos, altimétricos ou planialtimétricos, com o objetivo de obter a posição de pontos topográficos que pertencem à área em estudo. Como mostra a Figura 1.1, os pontos que compõem o terreno delimitado por um polígono são infinitos e sua distribuição é contínua no espaço. Há a necessidade, então, de definir uma série de convenções que permitam, a partir da determinação das posições de alguns pontos topográficos, obter as posições dos demais, respeitando sempre os parâmetros de exatidão e de detalhamento estipulados para cada tipo de projeto. A locação é o processo pelo qual é materializado no terreno o projeto que foi desenvolvido sobre a planta topográfica obtida no levantamento (Figura 1.2).

I-3

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Capítulo I - Generalidades

Figura 1.2 - Processo topográfico e aplicações dos documentos

Todas as considerações realizadas até aqui acerca da Topografia são rigorosamente aplicáveis sempre e quando as deformações decorrentes da projeção da superfície curva da Terra sobre um plano sejam desprezíveis. Sabendo que o objeto de estudo da Topografia são porções da superfície terrestre, cabe perguntar: até onde vai o campo de trabalho da Topografia? Ou, em outras palavras, até onde é válido utilizar um plano para representar a superfície do planeta Terra? As respostas a estes questionamentos encontram-se no Capítulo II.

1.1 - Forma e dimensão da Terra A superfície da Terra é visivelmente irregular devido à presença de montanhas, depressões, vales, cerros e tantas outras formas de relevo. Porém, essas irregularidades são insignificantes se comparadas com as dimensões do planeta, pois os aproximadamente 20 km que separam o ponto mais alto (monte Everest no Himalaia com quase 9 km de altitude) da profundidade máxima (fossa abissal de Marianas, no Oceano Pacífico, com 11 km) correspondem a menos de 0,3% do raio considerado médio da “esfera” terrestre. Isto se comprova ao observar uma fotografia do planeta, pois “olhando de longe” a superfície terrestre parece lisa e, à primeira vista, esférica. A Figura 1.3 ilustra a situação. Figura 1.3 - A Terra como uma esfera

I-4

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Capítulo I - Generalidades

Para definir a forma do planeta, foi convencionado efetuar o prolongamento dos mares em calma, sob os continentes. A superfície resultante recebeu o nome de Geóide. Contrariamente ao que se imagina, esta superfície não é regular. O Geóide é gerado por um líquido em repouso, e portanto perpendicular à direção da vertical em cada ponto topográfico, e as variações de intensidade e direção da gravidade implicam imperfeições dessa superfície, tal como mostra a Figura 1.4. As irregularidades do Geóide não seguem uma lei matemática, sendo, portanto, impossível determinar uma fórmula que o descreva com exatidão. Assim, foi necessário efetuar

inúmeros

estudos

para

encontrar

ente

matemático que se aproximasse dele e, conseqüentemente, pudesse ser utilizado como sistema de referência. Devido à complexidade de modelar matematicamente o Geóide, os geodesitas concluíram que a forma física da Terra pode ser modelada por um Elipsóide de Revolução. O Elipsóide é uma superfície de revolução gerada a partir da rotação de uma elipse em torno de um de seus dois

Figura 1.4 - Geóide mundial da NASA

semi-eixos (o maior ou o menor) e fica determinado quando

(Silva et al, 2001)

seus parâmetros são conhecidos. A Figura 1.5 ilustra um Elipsóide de Revolução. Esses parâmetros provêm da elipse que o gerou, sendo eles: a = semi-eixo maior, b = semi-eixo menor e α = achatamento = O Elipsóide terrestre definido como global, e que mais se aproxima do Geóide, é geocêntrico e formado pela rotação da elipse em torno do eixo que passa pelos pólos Norte e Sul geográficos (Figura 1.5).

Figura 1.5 - Elipsóide

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Capítulo I - Generalidades

As diferenças existentes entre o Geóide e o Elipsóide têm peculiaridades em cada continente, em cada país, em cada porção da Terra. Desta maneira, existem diferentes elipsóides, os quais são posicionados para atender as necessidades de cada local, recebendo o nome Elipsóides Locais. O centro geométrico do Elipsóide Local (C.G.E) não coincide com o Centro de Massa da Terra - CMT. Já o Elipsóide Global é utilizado no posicionamento de pontos por satélites (Global Positioning System - GPS) e o seu centro geométrico coincide com o CMT. A Figura 1.6 ilustra as três superfícies: o Geóide, o Elipsóide Local e o Elipsóide Global.

Figura 1.6 - Posicionamento relativo do Geóide, do Elipsóide Local e do Elipsóide Global Assim, cada país, de acordo com a sua conveniência, adota um elipsóide próprio para elaboração de seus produtos cartográficos. No caso do Brasil, o elipsóide adotado oficialmente pelo órgão que rege as atividades de Cartografia e Geodésia é o chamado Elipsóide de Referência Internacional SAD-69 (South American Datum). Este elipsóide foi adotado como referência no Brasil desde 1979 e antes dessa data foi utilizado o chamado Elipsóide de Referência Internacional de Hayford. A Tabela 1.1 ilustra os parâmetros definidores de alguns elipsóides utilizados no mundo, inclusive o SAD-69 e o Hayford.

Tabela 1.1 - Parâmetros definidores de alguns elipsóides Elipsóide

BESSEL (1841)

6.377.397,155

6.356.078,963

1/299,1528128

CLARKE (1858)

6.378.249,145

6.356.514,870

1/293,465

HELMERT (1907)

6.378.200,000

6.356.818,170

1/298,30

HAYFORD (1909)

6.378.388,000

6.356.911,946

1/297,00

SAD-69

6.378.160,000

6.356.774,719

1/298,25

WGS-84 (1984)

6.378.137,000

6.356.752,314

1/298,257223563

Fonte: SEGANTINE, 1999. I-6

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Capítulo I - Generalidades

De acordo com o exposto até aqui, há três superfícies de interesse da Topografia: a Física - aquela na qual o homem desenvolve suas atividades e constitui o objeto a ser descrito pela Topografia; o Geóide superfície equipotencial de fundamental importância para os levantamentos altimétricos de grandes áreas; e o Elipsóide - que possui parâmetros conhecidos e se aproxima muito do Geóide. Estas duas últimas poderiam ser utilizadas como referência para determinar o posicionamento espacial dos pontos topográficos. A Figura 1.7 ilustra as principais superfícies utilizadas na mensuração.

Figura I.7 - Superfícies utilizadas na mensuração

1.2 -Sistemas de Coordenadas Determinar as posições de pontos topográficos é a função da Topografia. Para que todos esses pontos tenham uma relação espacial, ou plana, é necessário definir um sistema de coordenadas. Coordenadas são valores lineares ou angulares que indicam a posição ocupada por um ponto em um sistema de referência.

1.2.1 - Coordenadas Geodésicas O posicionamento de pontos sobre o Elipsóide se realiza mediante o sistema de Coordenadas Geodésicas, as quais correspondem a ângulos diedros, que têm como referência meridianos e paralelos. Os meridianos são seções elípticas que surgem da interseção de planos que contêm o eixo de rotação da Terra com o Elipsóide. Os paralelos são círculos resultantes da interseção de planos perpendiculares ao eixo de rotação com o Elipsóide. A Latitude Geodésica (ϕ) corresponde ao ângulo formado entre a normal do observador e o plano do Equador. A sua variação é de 0o a 90° no hemisfério norte e de 0o a -90° no hemisfério sul, tendo como origem o círculo máximo do Equador. A Longitude Geodésica (λ) corresponde ao ângulo diedro formado entre o meridiano de Greenwich e o meridiano do observador. A sua variação é de 0o a 180° a leste do citado meridiano e de 0o a -180° a oeste do mesmo. Assim, por cada ponto P da superfície terrestre passam um meridiano e um paralelo, os quais definem seu posicionamento. A Figura 1.8 ilustra a Latitude e a Longitude Geodésica de um determinado ponto P sobre a superfície do Elipsóide.

I-7

Topografia para Estudantes de Engenharia, Arquitetura e Geologia

Capítulo I - Generalidades

Figura 1.8 - Coordenadas Geodésicas

A terceira coordenada de P é dada pela distância vertical desde a superfície terrestre até a superfície de referência (Elipsóide) e denomina-se Altura Geométrica (h).

1.2.2 - Coordenadas UTM O Sistema de projeção Universal Transversal de Mercator (UTM) é resultado da modificação da projeção Transversa de Mercator (TM), que também é conhecida como projeção de Gauss Krüger. Esta projeção foi idealizada pelo belga Gerard Krämer (Mercator) a partir de modificações efetuadas na projeção Gauss, o sistema UTM e utiliza como superfície de projeção 60 cilindros transversos e secantes à superfície de referência (Figura 1.9). Cada cilindro é responsável pela representação de 6o de amplitude contada

longitude,

partir

anti-

meridiano de Greenwich. O primeiro fuso UTM situa-se de forma intermediária entre os meridianos 180° e 174° W, ou seja, 177°. A Figura 1.10 ilustra a divisão dos fusos UTM em relação ao território brasileiro.

I-8

Figura 1.9 - Cilindro secante ao Elipsóide de Referência

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Capítulo I - Generalidades

Figura 1.10 - Divisão dos fusos UTM no território brasileiro Fonte: Adaptada de SILVA et al., 1999

Observa-se que os Meridianos Centrais estão localizados nas longitudes múltiplas de 6o, acrescidas de 3o. Sobre este meridiano, as distâncias apresentam-se deformadas segundo o coeficiente de deformação K0 = 0,9996. Portanto, as distâncias no terreno serão reduzidas nessa região, à medida que se afasta do MC, para direita ou para esquerda. Esse coeficiente aumenta até atingir o valor K0=l, sobre as linhas de secância do cilindro com o Elipsóide, onde não ocorrem deformações lineares. Afastando-se dos meridianos de secância, o coeficiente aumenta até atingir o valor máximo, próximo a 1,001 nos meridianos limites do fuso, onde as distâncias no terreno serão ampliadas. Este valor K0= 1,001 é calculado para as imediações da linha do Equador, sendo que em quaisquer outras latitudes ele tende a diminuir. Cada um dos 60 cilindros possui seu próprio sistema de referência, tendo como origem a interseção das linhas do Equador com o Meridiano Central de cada fuso. As abcissas no sistema UTM denominam-se coordenadas E (leste) e assumem o valor 500.000,00 m no MC (convencionalmente atribuído). À direita de MC, as coordenadas são crescentes (> 500.000,00 m), e à esquerda, decrescentes (< 500.000,00 m). Quanto às ordenadas, atribui-se a denominação N (norte). Partem do Equador para o norte com valores crescentes a partir de 0,00 m e para o sul com valores decrescentes a partir de 10.000.000,00 m. Observa-se que um ponto p de coordenadas E = Ep e N = Np pode ser representado em qualquer um dos 60 cilindros, de tal forma que, além da informação de suas coordenadas (E, N), é necessário também informar o número do fuso ou o valor do Meridiano Central (Figura 1.11).

I-9

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Meridiano Extremo K = 1,001 E = 166.000 m

Meridiano de Secância K=1

E = 320.000 m

Capítulo I - Generalidades

Meridiano Central K = 0,9996 E = 500.000 m

Meridiano de Secância K=1 E = 680.000 m

Meridiano Extremo K = 1.001 E = 834.000 m

Figura 1.11 - Deformações no sistema UTM

Um fuso UTM representa os paralelos como linhas retas horizontais e os meridianos como arcos, com concavidade voltada para o MC. Este último é o único meridiano representado como uma linha reta. A malha de coordenadas UTM é definida por linhas verticais e horizontais, que se interceptam segundo ângulos retos. Então, na superposição dos reticulados, apenas o MC coincide com um dos eixos coordenados UTM. O ângulo formado entre uma linha paralela ao MC e uma linha N-S (transformada de meridiano), dá-se o nome de Convergência Meridiana, representada pela letra gama (λ) e ilustrada na Figura 1.12. Devido à convergência dos meridianos perto dos pólos, o sistema UTM se limita a representar regiões compreendidas entre as latitudes de 80° N e 80° S.

Figura 1.12 - Convergência meridiana

1.2.3 - Coordenadas Retangulares e Polares É a Cartografia, por meio do estudo das projeções, que se ocupa de transformar Coordenadas Geográficas em Coordenadas Planas. No caso da Topografia, que trabalha com áreas reduzidas, as

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Capítulo I - Generalidades

coordenadas dos pontos topográficos podem ser calculadas diretamente em relação a um sistema de Coordenadas Planas como o sistema retangular ou polar, desconsiderando-se a curvatura terrestre. No sistema de Coordenadas Retangulares (também chamadas de Coordenadas Cartesianas), a posição de cada ponto “P” fica perfeitamente identificada mediante um par de números que indicam as distâncias de suas projeções em cada eixo (xp e yp) até a origem “0” do sistema. No sistema de Coordenadas Polares, utilizam-se também duas dimensões para posicionar um ponto no plano, porém, neste caso, uma delas é angular e a outra linear (α, d0P). A Figura 1.13 ilustra o problema.

Figura 1.13 - Sistema de Coordenadas Retangulares e Polares

1.2.4 - Relação entre os sistemas de coordenadas Tal como se pode observar na Figura 1.13, funções trigonométricas simples permitem relacionar os dois sistemas de Coordenadas Planas. Sendo o triângulo OPyp retângulo, é possível determinar as Coordenadas Retangulares em função das polares mediante as relações (1.1), (1.2). De forma similar, é possível obter Coordenadas Polares em função das retangulares a partir das equações (1.3) e (1.4).

xp = d0p ·sen(α)

[1.1]

[1.2]

[1.3]

[1.4]

Estas relações são de grande utilidade quando se realizam os cálculos topométricos. I-11

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Capítulo I - Generalidades

1.3 - Referências Bibliográficas SEGANTINE, P. C. L. (1999). GPS - Sistema de Posicionamento Global. Setor Gráfico da Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo. 3a edição, São Carlos - SP. 181 p. SILVA, I., ERWES, H., SEGANTINE, P. C. L. (1999). Apostila do IV Curso de Atualização em Topografia e GPS (segundo a NBR 13.133). Apostila não publicada, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. SELVA, I., ERWES, H., SEGANTINE, P. C. L. (2001). Introdução à Geomática. Setor Gráfico da Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, São Carlos - SP. l00p. WOLF, PAUL R., BRINKER, RUSSEL C. (1994). Elementary Surveying. 9th. Edition, Harper Collins College Publishers, New York, NY. 760p.

I-12

II - DISTÂNCIAS Tule César Barcellos

A NBR 13.133/1994, no item 3.12, define Levantamento Topográfico como sendo o conjunto de métodos e processos que, através de medições de ângulos horizontais e verticais, de distâncias horizontais, verticais e inclinadas, com instrumental adequado à exatidão pretendida ... Vê-se, então, que, para que possamos atingir os objetivos da Topografia, será necessário ter os conceitos básicos de medição de distâncias e de ângulos.

2.1 - Distância Oblíqua Horizontal e Esférica Na mensuração, as medições são realizadas na superfície física da Terra, mas esta não serve como sistema de referência (Datum) para calcular uma posição. Uma alternativa é considerar a superfície de nível, formada pela posição média dos oceanos, assumindo ela livre de todas as forças internas, tais como marés, correntes, ventos. Esta superfície é chamada Geóide e é a superfície equipotencial ao nível médio do mar, onde os instrumentos instalados estão com seu eixo vertical na direção da força da gravidade daquele ponto. Entretanto, o Geóide também é uma superfície irregular, devido a variações na distribuição de massa da Terra, e não pode ser usado para posição e locação matemática de pontos. Na verdade, os pontos levantados na superfície física da Terra são freqüentemente reduzidos à sua posição equivalente no Geóide por projeção ao longo dos seus vetores de gravidade, linha de prumo, em um plano ortogonal considerado horizontal (Figura 2.1), de acordo com as alturas medidas acima ou abaixo do Geóide. Como a maioria dos levantamentos na engenharia são realizados em áreas de extensões reduzidas, a superfície de referência pode ser um plano tangente ao Geóide ou paralelo a este, ou seja, horizontal. Em outras palavras, a curvatura da Terra é ignorada e todos os pontos na superfície física são ortogonalmente projetados em um plano horizontal, como ilustrado na Figura 2.1. De acordo com a NBR 13133/94, o plano horizontal local é normal à vertical do ponto da superfície terrestre, considerado como de origem do levantamento, sendo seu referencial altimétrico referido ao datum vertical brasileiro. A importância do referencial altimétrico está na necessidade de reduções das distâncias obtidas na superfície terrestre em uma outra superfície. Os levantamentos topográficos planimétricos, como mencionado anteriormente, têm por objetivo determinar as posições relativas dos pontos que fazem parte da área levantada a um plano horizontal local. Esta representação no plano horizontal de projeção dá-se mediante o cálculo das coordenadas absolutas x e y e posterior representação.

II-1

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Capítulo II - Distâncias

Seja qual for o sistema de coordenadas adotado para o levantamento (polares ou retangulares), sempre haverá necessidade de determinar distâncias entre pontos, sendo, portanto, necessário estudar métodos e instrumentos que permitam obter essas dimensões lineares.

Paralela a Vertical do lugar em P

Distância Espacial

Vertical do lugar em P (vetor gravidade)

Vertical do lugar em Q (vetor gravidade) Superfície terrestre

Superfície geoidal Distância horizontal

Figura 2.1 - Representação do levantamento na superfície terrestre e plano de referência.

O primeiro conceito que surge ao falar de distância entre pontos é o Alinhamento. O alinhamento entre dois pontos P e Q é a linha que resulta da interseção do terreno com o plano vertical normal, definido pelas retas verticais que passam por P e Q (Figura 2.2).

Figura 2.2 - Distância inclinada e horizontal Assim, pode-se ver que há três distâncias que caracterizam o afastamento entre os pontos P e Q. A primeira corresponde à superfície física da Terra (aquela em que se percorre se fosse a pé de P a Q). A segunda é a distância oblíqua D' entre P e Q; e a terceira, que interessa particularmente à Topografia para a representação gráfica e para o cálculo que é a distância D entre as projeções dos pontos sobre o plano, denominada distância horizontal PQ (ou Q P ) .

II-2

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Capítulo II - Distâncias

Daqui para frente, quando se fala em distância entre dois pontos, estar-se-à fazendo menção implícita à distância plana (ou horizontal) entre os mesmos. A situação representada pela Figura 2.2 é válida para pontos suficientemente próximos. A NBR 13.133/94 (Execução de Levantamentos Topográficos) prescreve uma dimensão máxima de 80 km a partir da origem para o plano topográfico local, de maneira a manter os erros relativos, decorrentes da desconsideração da curvatura da Terra, menor que 1/35.000 nessa mesma dimensão. Sendo a forma da terra curva, adotando uma esfera como superfície de referência ( s 0), haverá duas superfícies concêntricas sobre as quais podem ser determinadas as distâncias entre P e Q (sP e sQ respectivamente), Figura 2.3.

Figura 2.3 - Distância esférica Da Figura 2.3, podemos deduzir que: [2.1] Para um ponto situado numa altura H qualquer, resulta:

[2.2] Segundo SILVA et al. (1999), para cálculos práticos pode-se operar com valores em ppm (partes por milhão), adotando a altitude média para a região de cálculo. Tem-se assim que a redução e o comprimento do arco ao nível do mar podem ser dados, partindo das equações anteriores, pelas fórmulas [2.3] e [2.4]: [2.3] [2.4]

II-3

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Capítulo II - Distâncias

Para verificar o acréscimo da distância ao nível do mar em uma altitude qualquer, pode-se utilizar a equação 2.2. A Tabela 2.1 apresenta a variação das distâncias, em relação à variação das altitudes, para diversos valores de H, considerando o raio da Terra Ro =6378,8 km.

Tabela 2.1 - Variação na distância nas diferentes alturas H (m)

1000

Variação (m) 2000 5000

5000

0,78

1,57

3,92

7,84

2000

0,31

0,63

1,57

3,14

1000

0,16

0,31

0,78

1,57

500

0,08

0,16

0,39

0,78

0,00

10000

A Tabela 2.1 mostra que à medida que a altitude dos pontos considerados aumenta, a distância esférica entre eles também aumenta, a qual também fica evidente na Figura 2.3.

2.2 - Relação entre distâncias e limitações da Topografia De acordo com a definição, a Topografia tem como objetivo representar a superfície física da Terra e todos os detalhes existentes, adotando um plano como referência. Conhecendo a forma real da Terra, cabe a pergunta: qual é a extensão máxima dos levantamentos topográficos, de maneira tal que não sejam significativas as diferenças entre a superfície curva da Terra e o plano de referência utilizado para a projeção? Para elucidar esta questão, é necessário analisar a situação representada pela Figura 2.4, na qual estão representados os pontos p e q pertencentes à superfície terrestre e suas respectivas projeções ortogonais sobre o plano horizontal, P e Q, além da projeção cônica de Q (Q') que passa por P. s

P S

Q P

CP Q'

HP P0

s0 Q0

H=0

c Figura 2.4 - Relacionamento entre arco (distâncias esférica), tangente (distância horizontal) e corda II-4

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Capítulo II - Distâncias

Considerando a superfície terrestre como esférica, as equações podem ser escritas como a seguir, segundo SILVA (1999): arco PQ':

sP = (R0 + H P ) · γ ( γ em radianos)

corda PQ' :

c P = 2(R0 + H P ) · sin(γ/2)

tangente PQ:

s = (R0+Hp) · tag(γ)

[2.5]

[ 2. 6]

[2.7]

Considerando o raio terrestre R0 =6378,8 km e utilizando as equações anteriores, a diferença entre a corda e o arco e a diferença entre a tangente e o arco em um alinhamento nas diversas alturas são demonstrados na Tabela 2.2.

Tabela 2.2 - Diferença entre corda e arco e diferença entre tangente e arco em um alinhamento

sP (m) 1000 2000 5000 10000

CP - sP (m) -0,002 -0,009 -0,01 -1,03

s - sP (m) 0,008 0,06 1,00 8,20

Verifica-se que até 10 Km de afastamento entre os pontos topográficos extremos a diferença é negligenciável. Assim, pode-se afirmar que é lícito considerar como plana a superfície terrestre até aproximadamente 20 Km. A Figura 2.5 mostra de forma clara as distorções que podem ocorrer entre as distâncias nas diferentes superfícies. Nos alinhamentos P-A e B-Q, maiores distorções do que no alinhamento A-B, dado a posição do plano horizontal adotado. P

Distância horizontal

Superfície terrestre

Distancia esférica

Superfície esférica Entre A e P e entre B e Q maior distorção

Entre A e B menor distorção

Figura 2.5 - Relacionamento entre plano horizontal e esférico Adaptado de MAIA, 2001. II-5

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Capítulo II - Distâncias

À mesma conclusão se chega efetuando uma análise com relação à escala de representação (veja LOCH & CORDINI, 1995).

2.3 - Métodos de obtenção das distâncias Atualmente, existem várias alternativas que permitem determinar distâncias entre pontos. De acordo com o instrumental utilizado e o método aplicado, diz-se que a medição de distâncias é direta, indireta ou eletrônica.

2.3.1 - Medição direta de distâncias A medição direta de distâncias se dá mediante a comparação do comprimento do alinhamento com uma medida-padrão conhecida, geralmente uma trena. As trenas de uso freqüente na Topografia possuem comprimentos de 20 m a 50 m e podem ser de fibra de vidro, aço carbono comum, aço inox ou aço invar. As precisões e erros admissíveis para levantamentos com trena são encontrados em JORDAN (1944). Normalmente, as distâncias a serem medidas variam de metros até quilômetros, o que implica a necessidade de efetuar várias trenadas para percorrer todo o alinhamento. Para ter certeza de que se está medindo sobre a linha que une os pontos inicial e final, é necessário materializar esse alinhamento mediante instrumentos auxiliares como balizas e fichas (Figura 2.6).

1 - Balizas 2 - Fichas 3 - Trenas 4 - Prumos

Figura 2.6 - Equipamentos de medição direta

A Figura 2.7 mostra o alinhamento PQ, cujo extremos foram materializados por piquetes. Para materializar as verticais que passam pelos pontos extremos utilizam-se as balizas, que é uma haste reta cilíndrica de metal de comprimento variável, com ponta aguda, para que possa ser cravada no solo ou para centrar no alvo com maior precisão. Para os pontos intermediários, no caso de alinhamentos maiores do que o comprimento da trena, utilizam-se também as balizas orientando-as a olho (ou a teodolito), tomando direção das duas balizas extremas, colocando as demais no mesmo alinhamento e junto à medida desejada II-6

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Capítulo II - Distâncias

na trena (geralmente valores de comprimento nominal da trena: 20 m, 30m ou 50m). A operação de medida do alinhamento PQ é descrita iniciando na condição a) seguindo até a condição e) da Figura 2.7.

Afastamento

Perspectiva

Piquete

Alinhamento

Piquete

Baliza

Fichas

Baliza

Vista superior

Figura 2.7 - Alinhamento visual das balizas Para evitar erros grosseiros na contagem das trenadas, utilizam-se as fichas (Figura 2.6), que são hastes de ferro de 5 mm de diâmetro e 50 cm de comprimento aproximadamente e que no extremo superior apresentam um anel que facilita o transporte, cravadas junto à baliza no ponto onde se efetuou a medida com trena. Um jogo de fichas composto de algumas unidades permite controlar perfeitamente o levantamento, pois ao término das mesmas percorre-se uma distância igual ao número de fichas vezes o comprimento da trena. No caso de alinhamentos diferentes dos múltiplos do comprimento da trena, soma-se ainda a parte residual dada pela última medida. Esse prolongamento visual do alinhamento e as sucessivas trenadas acarretam erros que influenciam na medição e que, portanto, devem ser minimizados. Por mais cuidado que se tenha, nem sempre o ponto sobre o qual é colocada a baliza está no alinhamento, medindo-se uma distância d1 entre o ponto ré e o ponto vante, em vez da distância d, que seria correta (Figura 2.8). Neste caso, acontece um desvio horizontal do alinhamento.

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Capítulo II - Distâncias

Afastamento Afastamento Afastamento.

Ficha

Figura 2.8 - Erro de desvio horizontal da trena Se o terreno for irregular (o qual ocorre na ampla maioria dos casos), será necessário efetuar as medições escalonadas, de forma a obter a distância horizontal entre os pontos topográficos. Um dos erros que se produz neste caso é o desvio vertical da trena, medindo-se d 2 em vez de d . É importante notar que, como no caso do desvio horizontal, o desvio vertical também pode ser em qualquer sentido, implicando, porém, um erro na distância, de forma a mantê-la sempre maior do que a real (Figura 2.9).

Figura 2.9 - Erro de desvio vertical da trena II-8

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Capítulo II - Distâncias

Outro cuidado a tomar na medição de distâncias com uso de balizas é a manutenção da verticalidade das mesmas no ato da medição, pois, não sendo assim, a distância medida d 3 pode ser maior ou menor do que a distância d , dependendo da inclinação em cada uma das balizas (Figura 2.10). Baliza inclinada Baliza vertical

Trena horizontal

Alinhamento Vista lateral

Figura 2.10 - Deslocamento da linha vertical da baliza Ainda no sentido vertical, o próprio peso da trena descreve uma curva, provocando o erro de catenária ao medir d 4 em vez de d (Figura 2.11).

Trena horizontal

Alinhamento

Vista lateral

Figura 2.11 - Erro de catenária A força aplicada para esticar a trena (e diminuir o efeito da catenária) ocasiona uma deformação da mesma, a qual se traduz em um erro de tensão, e deve ser levado em conta nos levantamentos de precisão. As trenas saem da fábrica calibradas para uma determinada variação de temperatura; se o levantamento for realizado fora desses padrões, ocorrerá o erro de temperatura.

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Capítulo II - Distâncias

Em terrenos acidentados, a medida direta das distâncias oferece dificuldades e exige inúmeras precauções, tomando a tarefa incômoda, demorada e principalmente eivada de erros.

2.3.2 - Medição indireta de distâncias com instrumentos ópticos mecânicos Os instrumentos de medição indireta de distância se dividem em três grupos: óticos, mecânicos e eletrônicos. Os medidores de distância indireta óticos e mecânicos são denominados taquímetros ou taqueômetros, enquanto os medidores de distância indireta eletrônicos são denominados de distanciômetros. Dentro deste grupo, o método mais utilizado é o estadimétrico. A estadimetria tem como objetivo a medida indireta de distâncias com o uso de instrumentos óticos convencionais (teodolitos óticos mecânicos e níveis). Rapidez e exatidão são as grandes vantagens que os levantamentos taqueométricos apresentam em relação aos processos de medição direta de distância, visto que todas as medidas são realizadas pelo próprio operador do instrumento. Por outro lado, o operador é dependente de um auxiliar treinado no uso e instalação da estádia, denominada também de mira ou régua. Este, por sua vez, tem que instalar a mira corretamente sobre o ponto, mantê-la sempre na vertical e sem movimentos durante a leitura dos fios estadimétricos. Este método se baseia no princípio estadimétrico apresentado na Figura 2.13.

Régua Fio estadimétrico superior (fs)

Nível

Fio médio Fio estadimétrico inferior (fi) S = diferença de leituras na régua f = distância focal d = distância a determinar s = afastamento dos fios estadimétricos Figura 2.13 Adaptado de ESPARTEL, 1960. Da relação dos triângulos semelhantes

fiOfs e FI O FS resulta: [2.8]

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Capítulo II - Distâncias

Para facilitar os cálculos topográficos, o fabricante do instrumento faz com que a relação entre a distância focal ( f ) da ocular e o afastamento dos fios do retículo ( s ) seja:

[2.9] Finalmente:

[2.10] substituindo vem:

[2.11] Para determinar as leitura F I e F S , utiliza-se uma régua centimetrada normalmente de 3 ou 4 m de comprimento, na qual os metros, decímetros e centímetros são lidos de forma direta e estimando-se os milímetros, tal como mostra a Figura 2.14. Indicador dos metros Indicador dos decímetros

2.263 mm

Indicador dos centímetros

Exemplo de leitura Figura 2.14 - Sistema de leitura na mira

No caso de efetuar a medição da distância entre dois pontos topográficos utilizando uma visada inclinada, a fórmula deve ser modificada em função do ângulo vertical. A situação de campo está representada na Figura 2.15, sem levar em conta a refração do ar, a qual mostra a disposição dos instrumentos utilizados para a medição.

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Capítulo II - Distâncias

Figura 2.15 - Leitura inclinada da mira Usando a equação (2.11), a distância d' é como a seguir:

d'= A1Bl∙100

[ 2. 12]

A1B1 = (FS - FI)∙cos α

[2.13]

d = d'∙cosα

[2.14]

Da figura 2.15 tem-se:

Então, a distância entre o ponto estação e o ponto visado é:

d = 100 ∙ (FS - FI)∙cos2 α

[2.15]

Se, em vez de medir o ângulo de altura (de inclinação), for medido o ângulo zenital, a fórmula resulta:

d = 100∙(FS - FI)∙sen 2 z

[2.16]

Para levantamentos que exijam maior precisão, com uso de teodolitos e trena, pode-se medir a distância inclinada d' reduzindo-a em distância horizontal d a partir do ângulo vertical Z lido (Figura 2.12).

Figura 2.12 - Visada inclinada com uso do teodolito e trena II-12

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Capítulo II - Distâncias

Nas medições de poligonais topográficas de precisão (destinadas a projetos de loteamentos, entre outros) com estaqueamento prévio, reduzindo ao horizonte a distância inclinada com o ângulo vertical determinado por teodolito, com medidas a ré e a vante e adotando o valor médio, pode-se chegar a uma precisão de 1:5.000 a 1:10.000 (Schofield, 1993). A precisão conseguida nas melhores condições técnicas realizando as devidas correções se pode chegar a 1:50.000 com trena de aço (Schofield, 1993), o que é suficiente até para medidas de bases topográficas e montagem industrial. Nem sempre é simples ou possível medir a distância inclinada d' por isso foi criado um instrumento que permite determinar essa dimensão sem utilizar a trena e será descrito no item 2.3.3.

2.3.3 - Medição eletrônica de distância Embasados na teoria eletromagnética, surgiram os Medidores Eletrônicos de Distâncias (MED), instrumentos que permitem medir distâncias utilizando como unidade básica de medida a metade do comprimento de uma onda utilizada como portadora. Como os instrumentos eletrônicos utilizam uma variedade de comprimentos de onda, a maneira de propagação difere entre si. Na Tabela 2.3, apresenta-se a classificação das ondas eletromagnéticas de acordo com suas freqüências.

Tabela 2.3 - Espectro de frequências das ondas eletromagnéticas Frequência (Hz) 30 300 3k 30 k 300 k 3M 30 M 300 M 3G 30 G 300 G 3T 30 T 300 T 3.1015 3.1016

Espectro de frequência das ondas eletromagnéticas Comprimento de Onda (λ) Faixa 10.000 km 1.000 km VLF Very Low Frequency 100 km 10 km 1 km LF Low Frequency 100 m MF Mean Frequency 10 m HF High Frequency 1m VHF Very High Frequency 10 cm UHF Ultra High Frequency 1 cm SHF Super High Frequency 1 mm EHF Extremily High Frequency 100 μ Infravermelho 10 μ Luz 1μ Ultravioleta o 1.000 A o 100 A Raios X e Raios γ

Utilização

Rádio Rádio e Televisão Microondas

3.1021 1ϰ Adaptada de DOUBEK, 1974. No vácuo, todas as ondas eletromagnéticas propagam-se na mesma velocidade. Esta velocidade, em alguns casos denominada celeridade ( c ) , é uma constante da física e foi objeto de estudo em inúmeras

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Capítulo II - Distâncias

experiências. A primeira determinação do valor de c foi feita pelo astrônomo Roemer em 1676, sendo seguida por muitas outras, como indicado na Tabela 2.4. Tabela 2.4: Valores determinados para a celeridade ANO

OBSERVADOR

MÉTODO

1676 1725 1849 1862 1882 1950 1958

Roemer Bradley Fizeau Foucault Michelson Bergstrand Froome

Astronômico Astronômico Roda dentada Espelho rotativo Espelho rotativo Célula de Kerr Interferometria

VELOCIDADE

PRECISÃO

(km/s) 214.300 295.000 305.300 298.600 299.910 299.793 299.792,5

(km/s) ± 5000 ± 500 ± 500 ± 50 ±2 ± 0,1

Adaptada de DOUBEK, 1974.

Segundo as pesquisas mais recentes, c = 299.792,457 km/s com uma incerteza da ordem de ± 2 a 3 m/s, ou seja, com um erro relativo da ordem de 1.10-8. Na atmosfera terrestre, a velocidade de propagação das ondas é diminuída, e devido às implicações que isso traz na mensuração, será tratada em capítulo específico. Os MED utilizam as ondas de alta frequência e com sinal direto para a determinação da distância. Sendo assim, esses equipamentos estão limitados a 100 km de alcance, de acordo com o comprimento de onda utilizado (normalmente microondas), e podem cair diante do relevo existente na direção do ponto de visada. Como se trata de medições eletrônicas baseadas em ondas eletromagnéticas e estas se propagam no vácuo, a velocidade da luz a distância é dada pela medida do tempo que uma onda eletromagnética leva para percorrer duas vezes a distância a determinar (Figura 2.16).

Figura 2.16 - Transmissão e recepção de sinal eletromagnético Um emissor estacionado em P envia uma onda eletromagnética em direção ao refletor instalado em

Q, o qual reflete e devolve a onda para ser captada pelo emissor em P. Assim, se a velocidade v de

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Capítulo II - Distâncias

propagação da onda eletromagnética for conhecida e o tempo de propagação t for medido, a distância d pode ser calculada pela equação 2.17. [2.17]

Entretanto, ocorre que a velocidade de propagação de uma onda eletromagnética é igual a aproximadamente 300.000 km/s, e um erro de ± 1 nanossegundo (10-9s) sobre o tempo de propagação da onda acarreta um erro de 15 cm na medida da distância. Portanto, esse princípio de medição do tempo não pode por isso ser aplicado dessa forma simples para a mensuração. Para a medida de distâncias em mensuração, utiliza-se o método de comparações de fase ou a medida da defasagem entre a onda emitida e a onda de retomo. Dessa maneira, uma onda eletromagnética de alta frequência, denominada onda portadora, é modulada em amplitude com um sinal de comprimento de onda muito maior e emitida de maneira contínua. Modular uma onda significa modificar a amplitude, a frequência ou a fase de uma onda de alta frequência em função do sinal de baixa frequência de uma onda auxiliar. Estes princípios serão melhor detalhados no item 2.3.3.1 Princípios e métodos de medições com

Ondas Eletromagnéticas. Entre a celeridade ( c ) , o comprimento (λ) e a frequência (f) de uma onda existem as seguintes relações: [2.18]

Para que o comprimento do sinal tenha um valor inteiro e prático para a medição de distâncias, é necessário modular a portadora com uma frequência de 14,985 MHz, para que seja λ = 20 m. Para simplificar a apresentação, os valores adotados serão aproximados e valem:

c = v = 300.000 km/s

índice de refração atmosférica = 1, o que dá: f = 15 MHz para λ = 20 m

2.3.3.1 - Princípios e métodos de medições com Ondas Eletromagnéticas Atualmente, existe uma grande variedade de instrumentos MED disponíveis no mercado e há basicamente dois métodos de medição de comprimento de ondas: método do pulso e método de diferença de fase; este último é considerado o mais popular (SCHOFIELD, 1993). No denominado método do pulso, um curto e intensivo pulso de radiação é emitido pelo transmissor ao refletor, que reflete o sinal de volta, em um caminho paralelo, até o receptor (Figura 2.17). A distância é calculada pela velocidade do sinal multiplicado pelo tempo que este fez para completar o percurso.

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Transmissor

Capítulo II - Distâncias

Refletor

Figura 2.17 - Princípio da técnica do contador de pulso (Timed-pulse) para medidor de distâncias Fonte: SCHOFIELD, 1993.

Pode-se deduzir que: [2.19] [ 2. 20]

Sendo:

t: tempo de propagação da onda entre o transmissor e o refletor, considerando o caminho de ida e volta do sinal;

c: velocidade da luz no meio em que se propaga; d: distância entre o instrumento e o alvo.

Esta técnica surgiu em instrumentos hidrográficos, usando microondas. Mas, com o passar dos anos, tornou-se disponível para os sistemas que utilizam sistemas laser de propagação de ondas eletromagnéticas. A determinação da distância pelo Método da Diferença de Fase é aplicada na maioria dos instrumentos que usam infravermelho, luz visível ou microondas. A diferença de fase entre os sinais transmitidos e recebidos pelo MED é uma parte fracional do comprimento total da onda modulada, e portanto esse valor é menor que o comprimento da onda. Os instrumentos eletrônicos possuem, além dos dispositivos para emissão e recepção das ondas eletromagnéticas, um dispositivo para medir a diferença de fase entre as mesmas. A comparação da fase entre os dois sinais é difícil de ser realizada quando as frequências dos sinais são da ordem de algumas dezenas de MHz (ruído eletrônico, refração do ar). Assim, para evitar esse problema e aumentar a precisão, antes da medição da fase, transformam-se os sinais de modulação para uma frequência muito mais baixa (entre 1,5 e 150 KHz), porém sem mudar a fase. Seja, por exemplo, um aparelho cuja frequência de medida fina é de 15 MHZ. Se a frequência para a medida de defasagem for reduzida a 1.5 KHZ pelo processo de mistura de frequências e o contador a impulsos trabalhar também a uma frequência de 15 MHZ, ter-se-ão 10.000 impulsos para uma unidade de medida (diferença de fase igual a 2π). Contudo, o valor de 20 m é equivalente a duas vezes o comprimento

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Capítulo II - Distâncias

da distância (ida e volta do sinal), porém todos os instrumentos têm medida efetiva de meio comprimento de onda (PRICE & UREN, 1989). Assim, um pulso contado seria equivalente a 1 mm. Nestas condições, a resolução desse instrumento será de 1 mm, pois uma medida efetiva correspondente a 10 m (λ/2), representada por um pulso, é, portanto, discriminada por 10.000 impulsos, correspondendo a 1 mm. A Figura 2.18 representa graficamente a medida da distância PQ. Sinal transmitido

Figura 2.18 - Determinação de distâncias usando MED, por caminho duplo, método da diferença de fase Adaptado de KENNIE et al., 1993.

[2.21]

Sendo: M: é o número inteiro de comprimento de onda (neste caso igual a 2); Δλ: é a parte fracional do comprimento de onda. Como o sinal é refletido de volta ao instrumento (transmissor), a distância entre os pontos é dada por: [2.22]

Sendo:

N: é o número inteiro de revoluções do vetor OA (4 neste caso); Δλ': é a parte fracional dada pelo ângulo de fase. Na Figura 2.18, tem-se que

; substituindo esta expressão em [2.22], obtém-se:

[2.23]

II-17

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Capítulo II - Distâncias

[2.24] A diferença de fase Δλ pode ser medida por métodos analógicos ou digitais. A Figura 2.19 ilustra a medida digital de diferença de fase Δλ.

Figura 2.19 - Esquema de um medidor digital de fase Fonte; SCHOFIELD, 1993. Para. resolver a ambiguidade N, pode-se utilizar um comprimento de onda maior do que duas vezes a distância, tomando N igual a zero, e medir apenas a diferença de fase ou introduzir método de determinar

N, variando a frequência com valores pequenos, de forma a manter o valor de N constante na equação 2.24 para cada uma das frequências utilizadas. Exemplos são demonstrados no item 233.2 Ondas

Portadoras Utilizadas. De acordo com o exposto, pode-se idealizar uma equação que descreve a situação de maneira mais adequada. [2.25] Sendo: C é a velocidade do sinal eletromagnético (EM) no vácuo; f é a frequência modulada (assumida sem erros);

na é o índice de refração da atmosfera; k2 é o erro de zero do instrumento, ou constante aditiva; k3 é o erro cíclico do instrumento. Os erros do instrumento mencionados nas equações anteriores serão melhor detalhados no item 2.3.4

Erros Sistemáticos em Medições com MED.

II-18

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Capítulo II - Distâncias

2.3.3.2 - Ondas Portadoras Utilizadas Dependendo da frequência da onda portadora, podemos ter um maior ou menor alcance e, paralelamente, limitações de precisão das medidas. As frequências podem ser agrupadas em três classes, que dão origem a três tipos de equipamentos: a) Microondas, com comprimento de onda 1 < λ < 10 cm; b) Luz visível, com comprimento de onda médio de 0,5 μm; c) Infravermelho, com comprimento de onda entre 0,72 μm < λ < 0,94 μm. Os equipamentos descritos nos itens b e c estão inclusos no LASER (Light Amplification by

Stimulation Emission of Radiaiton), que, segundo PRICE & UREN (1989), se estende do infravermelho, passando pela luz visível, até a região do ultravioleta. Ainda existe a possibilidade do uso de ondas de rádio com comprimento entre 150 m < λ < 2 km. Estes tipos são usados principalmente na navegação. Os instrumentos que utilizam microondas usam o percurso direto devido ao curto comprimento de onda. Como o sinal é direto, o alcance do instrumento é limitado para linhas de visada com distâncias menores do que 100 km. Podem ser utilizadas em satélites artificiais ou em aeronaves, mas estes são casos especiais. O equipamento pode ser operado durante o dia e a noite, mesmo com fraca visibilidade, uma vez que a pontaria não é crítica. As medições são bastante afetadas pelas condições atmosféricas. Os instrumentos com microondas utilizam a modulação em frequência da onda portadora e geram diversas frequências para resolver a ambiguidade. A frequência mais alta define o limite de precisão. Como é possível medir 1/1.000 partes do ciclo, temos uma resolução do comprimento da onda entre 1 mm e 1 cm. Nas medições de distâncias com tais equipamentos, os erros instrumentais estão mais presentes e com maior peso em linhas bases curtas. Todavia, em bases longas, as condições atmosféricas têm maior influência. Esses instrumentos foram concebidos para medidas geodésicas, em bases de triangulações, poligonações de precisão ou trilateração de lados curtos, com necessidades de precisão da ordem de 1/10.000 a 1/20.000. Os instrumentos microondas são chamados MED ativos, em que o sinal que retoma é gerado por um segundo instrumento. O sinal é transmitido pela estação principal, chamada Master, até um segundo instrumento, dito remoto, instalado no ponto final da linha, que o retransmite a estação Master. O sinal refletido é enfraquecido durante o percurso de retomo. Desse modo, o sinal é amplificado (dentro da estação Master) e comparado em fase com a onda transmitida. A diferença de fase entre os dois sinais, segundo BURNSIDE (1991), é obtido usando um ponto de zero aproximado, em que a diferença de fase entre os dois sinais é levada a zero, ao introduzir uma diferença de fase adicional usando as seguintes maneiras: Um circuito de indutância - atraso de linha; Um circuito eletromecânico - discriminador de fase. A solução da equação da distância (Equação 2.24) não pode ser resolvida por uma simples medição devido à não-resolução da ambiguidade ( N ) . Para a solução da ambiguidade, é necessário introduzir II-19

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Capítulo II - Distâncias

sucessivas mudanças de comprimento de onda ( λ ). Nos instrumentos que utilizam microondas, a solução da mencionada equação é obtida por medição de Δλ, usando cinco valores de comprimento de onda ( λ ) , que é incrementado progressivamente por um fator de 10, e esta operação de troca é feita manualmente. O exemplo na Tabela 2.5 ilustra esse princípio.

Tabela 2.5 - Princípio de resolução da distância por mudança de comprimento de onda

,1243

6,124

200

100

76,12

2.000

1.000

376,1

20.000

10.000

2376,0

Distância = 2.376,1243 m Fonte: KENNIE et al. 1993.

Tabela 2.6 Características técnicas dos instrumentos que utilizam microondas Nome

Tellurometer MRA-101

Comprimento da onda portadora 3 cm feixe 20°

Tellurometer MRA-4

Alcance min máx

Sistema de leitura

Precisão

Peso

Observações

Medidor de nulo com 100 divisões e vernier Medidor de nulo 3 dígitos

±(1,5 cm + 3 ppm)

12,5 kg

±(3 mm + 3 ppm)

8 kg

Medida em um tubo de raios catódicos Trabalha nas temperaturas 55° até +55° Trabalha nas temperaturas 55° até +55° Similar ao MRA-3

100 m

50 km

9 mm feixe 2°

50 km

Tellurometer MRA-7

18 mm feixe 6o a 23°

20 m

50 km

Medidor de nulo 3 dígitos

±(15 mm + 3 ppm)

4,65 kg

Cubic Eletrotape DM-20 Wild Distomat DI 50 Tellurometer MRB-2 Hydrodist

30 cm feixe 6o

10 m

50 km

Medidor de nulo 3 dígitos

±(1 cm + 3.10-5 m)

15 kg

3 cm feixe 6o

100 m

50 km

Semi-automático 7 dígitos (cm)

±(2 cm + 0,5.10-5 m)

25 kg

40 km

TRC com 100 divisões

±1,5 m

Tellurometer CA 1000

10 cm feixe 20°

feixe 6o a 20°

50 m

60 km

Fonte: DOUBEK, 1984 e BURNISIDE 1991.

II-20

15 kg ±(15 mm + 5 ppm)

1,7 kg

Medida automática de fase Antena pode ficar 5 m separada do instrumento Trabalha nas temperaturas 50° até 50°

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Capítulo II - Distâncias

A Figura 2.20 mostra instrumentos que medem distâncias com a tecnologia descrita.

MRA-7

MRA 101

Figura 2.20 - Telurômetros

Os instrumentos que usam luz visível como portadora (por exemplo, o geodímetro) tem um comprimento de onda da ordem de 5600 a (isto é, 0,56 x 10~6 m). O modo de propagação é na forma de raio direto, reflexões são incomuns, devido ao fato de que na natureza não se encontram muitas superfícies que produzem fortes reflexões para esse tipo de onda. Por outro lado, durante parte do dia, sempre há a possibilidade de entrada de luz no sistema ótico, aumentando o ruído, que reduz a sensibilidade do instrumento no processo de medição. O feixe de luz é altamente colimado, com uma divergência de apenas frações dè grau, razão pela qual o receptor ótico tem um diâmetro bastante pequeno, e portanto pequeno ângulo de recepção. Devido à pequena divergência do feixe, o alinhamento de visada toma-se crítico. O alcance é, em geral, menor do que os instrumentos que usam microondas, sendo que à noite o alcance é maior e as condições atmosféricas, tais como chuviscos ou neblina, diminuem consideravelmente o alcance. O índice de refração é pouco afetado pelas condições atmosféricas para o curto comprimento de onda usado, e a umidade relativa causa pequena influência nesses instrumentos, o que não ocorre com os instrumentos com microondas. Por essas razões, o erro externo é considerado com um valor da ordem de 1 ppm (parte por milhão). 11-21

Capítulo II - Distâncias

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Em geral, os instrumentos eletroóticos são mais apropriados para medir distâncias curtas, obtendo-se alta precisão, sendo o erro de zero o fator mais importante de limitação de sua precisão. Alguns dos modelos dessa categoria utilizam a freqüência básica f x = 29 970 0 0 0 MHz, com índice de refração igual a 1,0003086, de forma a obter um comprimento de onda igual a 10 m ( 2 / 2 = 5 m). Para resolver a ambigüidade em distâncias na faixa de 2.000 m, duas outras freqüências são usadas, e estas são relacionadas à primeira como a seguir de acordo com BURNSIDE 1991: f 2 = 3 0 0 4 4 9 2 0 M tfz = 4 0 1 /4 0 0 - /1 e / 3 = 31 4 6 8 5 0 0 MHz = 2 1 / 2 0 - [ 2 . 2 6 ] / 3 - f { = / , /2 0 com 2 / 2 = 100m e f 2

= /, /4 0 0 com 2 / 2 = 2.000;?z

[2.27]

Neste caso, a ambigüidade N { é igual à ambigüidade A 3 para distâncias menores do que 100 m, ou seja, 20 vezes 2 / 2. Igualando as equações da distância para as duas freqüências e reduzindo, tem-se: d = [21(AJ3 - A ^ )] + Ad x

[2.28]

Sendo: d

distância do alinhamento;

A dx

distância dada pela diferença de fase da freqüência

Ad 3

distância dada pela diferença de fase da freqüência / 3.

;

O s valores entre colchetes são múltiplos de 5, desprezando os pequenos erros que podem ocorrer. Para resolver a ambigüidade em uma distância maior do que 100 m, é necessário uma freqüência que produza um comprimento de onda maior do que a distância a determinar e encontrar a quantidade de comprimentos de 100 m que ocorrem nesse intervalo. Utilizando a freqüência que produz meio comprimento de onda igual 2 km e fazendo a mesma operação anterior, tem-se: d = [401(A d 2 - Ad , )] + Ad x

[2.29]

Sendo: d

distância do alinhamento;

Ad l

distância dada pela diferença de fase da freqüência /, ;

Ad 3

distância dada pela diferença de fase da freqüência / 3.

Este último valor encontrado serve apenas para determinar a quantidade de 100 m que ocorre na distância medida, porque os pequenos erros do processo de medição são multiplicados por um alto fator e o resultado toma-se pouco confiável pela baixa precisão. Diante do exposto, a distância é estimada pela quantidade de 100 m presentes na distância, dada pelo maior comprimento de onda, mais a parte da distância encontrada através da onda de menor comprimento. Para distâncias maiores, os fabricantes alteram as freqüências, de forma a atingir a distância a ser medida. Alguns modelos têm alcance até 50 km. O uso desses instrumentos é bastante amplo, sendo que na engenharia eles têm sido usados na abertura de túneis ou minas, barragens, pontes, instalação de máquinas, no levantamento de bases de triangulação, poligonais de precisão ou trilateração de lados curtos. Porém, equipamentos que usam esse 11-22

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Capítulo II - Distâncias

tipo de onda para longo alcance foram abandonados por ser de difícil modulação; apenas são fabricados para alcance em tomo de 300 m. Existem numerosos equipamentos que usam essa tecnologia (Tabela 2.7).

Tabela 2,7 - Características técnicas dos instrumentos que utilizam luz visível

AGA 8

Comprimento da onda portadora 632,8 nm

AGA 6BL

632,8 nm

25 km

AGA 600

632,8 nm

40 km

• Kem Mekometer 5000 COM-RAD Geomensor 204 Georan I Two-Color Terrameter LDM 2 Leica Disto Pro

632,8 nm

20 m

8 km

480 nm

10 m

5 km

Medidor de nulo leitura 8 dígitos

30 km

Medidor de nulo

Nome

514 nm 458 nm 632,8 nm 441,4 nm 635 nm

Alcance min máx 60 km

Sistema de leitura

Precisão

Peso

Medidor de nulo leitura digital Medidor de nulo leitura digital Medidor de nulo leitura digital Leitura automática 8 dígitos

±(5 mm + 1

23 kg

±(0,1 mm ±0,1 ppm) ±0,5 ppm ±0,5 ppm

PPm)

±(5 mm + 1 ppm) ±(5 mm + 1 ppm) ±(0,2 mm + 0.1 ppm)

20 km 0.3 m

100 m

±0,1 mm ou ±0,1 ppm ±1,5 mm

Leitura automática unidade visualizada lmm

16 kg 15 kg 11 kg

0,67 kg

Á Ficmra 2.21 apresenta exemplos desses instrumentos.

Kern ME 5000 Leica DISTO PRO

SEVILLA, 2001

Geodimeter AGA 6À

Terrameter (PRICE and UREN, 1989)

Figura 2.21 - Distanciômetros que utilizam luz visível

Os instrumentos que usam radiação infravermelha como portadora têm comprimento de onda em tomo de 0,9 jim. Nessa região do espectro, a atmosfera tem uma grande absorção com exceção da região 0,72 - 0,94 pm, que é chamada de “janela do I.V.”. Isto implica o uso dessa região para todos os equipamentos, para evitar a perda por dispersão. Em condições de alta umidade e alta temperatura, o vapor d’água presente na atmosfera causa mais absorção. Com o feixe estreito e o curto comprimento de onda

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C apítulo II - Distâncias

usado, existem poucos problemas com ondas refletidas. Assim, a pontaria é crítica, pois o feixe de luz é de lÁ do grau, sendo a precisão da ordem de milímetros, O processo de modulação da freqüência é usado nesses instrumentos para que se possa usar como unidade de medida um comprimento de onda em tomo de 10 m e transmitir o sinal na atmosfera de forma eficiente. À primeira vista podería, se pensar em diminuir o comprimento da onda para que se possa utilizar antenas de transmissão, já que as mesmas devem ter o tamanho da ordem de 10/L (comprimento da onda de medição). Porém, sabe-se que não é recomendado esse procedimento de diminuição do comprimento de onda pela dificuldade de resolver a ambigüidade para uma medida longa, onde os ciclos são muito próximos e o processo de medição de fase é extremamente instável para altas freqüências. Assim sendo, as antenas seriam muito grandes, já que o comprimento de onda X é em tomo de 10 m, inviabilizando seu uso no processo de medição topográfica. O tipo.de modulação utilizado nos instrumentos infravermelhos com sistemas eletroóticos, segundo PRICE & UREN (1989), é a modulação em amplitude na qual a onda de medição é usada para variar a onda portadora (Figura 2.22). O raio infravermelho pode ser controlado usando pequenos componentes, tais como lentes, de modo que um raio transmitido pelo instrumento seja altamente colimado.

Onda de medição

' Íiii!i!lilliJl!!ltlli|ll)l{l||!!l!ii1li)!!í!iíl!!IÍ!)!i.! ?*«»', • ■ jli • r- '!■I-

X ..... T

liiífi í 1

: üÜdiaLÜii;/ «:ÍU

Onda portadora

..........1 1 2

A Diodo GaAs gerando luz infravermelho com fluxo de corrente direta

Onda portadora modulada pela onda da medição

Adição dos resultados do oscilador na modulação por amplitude da luz infravermelho

Figura 2.22 « Modulação por amplitude do diodo GaAs. Adaptado de PRICE & UREN, 1989.

O diodo de arseniato de gálio (GaAs) é a fonte de onda utilizada na maioria dos instrumentos dessa categoria, sendo que sua principal vantagem é que a saída pode ser modulada diretamente em intensidade. A saída de radiação é sempre linearmente relacionada a estimulada corrente aplicada e o tempo de resposta é, na verdade, muito pequeno. A precisão de um medidor de distâncias é diretamente dependente da qualidade do oscilador (contador de freqüência). Alguma diferença na freqüência fixada resultará em um erro ppm proporcional. Para o instrumento DI-160G/TC-1600, por exemplo, o raio de luz infravermelho transmitido é modulado com a freqüência de 50 MHz, o que resulta em um comprimento de onda de 6 m e uma resolução de ambigüidade de 3 m ( / i / 2 ) . O sinal HF recebido é misturado com 49.993.896 Hz no receptor, caindo a 11-24

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Capítulo lí - Distâncias

um sinal LF resultante de 6104 Hz, igual à diferença das duas freqüências. Este sinal é obtido com a mesma diferença de fase do sinal HF, relacionado à freqüência de referência do instrumento, no caso 50 MHz (Figura 2.23). O sinal de baixa freqüência facilita a medição do comprimento de onda pelos componentes eletrônicos pelo fato de ser mais estável. De acordo com a Figura 2.23,. 16 vezes por período a.forma.senoidal do sinal LF é digitada.em um conversor AD em configuração com um circuito de controle. A posição real de fase é avaliada matematicamente e convertida em uma distância fina. ADC 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000

500

Figura 2.23- Representação do sinal misturado no receptor Fonte: MANUAL DE SERVIÇO Dl 1600/ TC 1600.

Uma resolução de 3 m é obtida com a medição fina; assim a medição grosseira tem que ter uma acurácia de ±1,5 m (metade da resolução da ambigüidade) no mínimo. De maneira a executar uma medição grosseira, as três freqüências podem ser selecionadas: J 96 m

1.562.500

í 3 Km

48.170

6 Km

24.319

X/2 = 96 m A /2 = 3072 m X/2

=6.104

Contudo somente duas, f 96nl e f 6Km , são usadas para obter a acurácia da medição. Da mesma forma como durante a medição fina, o raio de luz infravermelho é modulado pela freqüência de referência de 50 MHz. Porém, a freqüência grosseira modula a freqüência de referência por 180° em fase. O raio infravermelho transmitido é modulado com este sinal HF. O sinal HF recebido é também misturado no receptor com 49.993.896 Hz, mas esta freqüência gerada pela mistura é modulada em fase com a freqüência locada de 191 Hz, a partir da freqüência grosseira transmitida. O produto da mistura é um sinal LF de 6104 Hz, modulado em amplitude com bandas de 191 Hz. A curva da modulação em amplitude tem a forma triangular com 191 Hz. Da mesma forma como durante a medida fina, os períodos do sinal de baixa freqüência de 6104 Hz são digitalizados em 32 períodos. A posição real de fase do sinal de 191 Hz de forma triangular é avaliada matematicamente e convertida em distância grosseira (ZEISK, 1990). 11-25

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Capítulo II - Distâncias

Cada uma das três medições, a fina e as grosseiras de 96 m e 6 km, são produzidas por meio de um processo de medição interno, que primeiramente avalia a rotação de fase interna. Esta rotação de fase interna é devido a várias influências físicas e eletrônicas como temperatura, resposta de freqüência, ação e tolerâncias de componentes tão bem como dos parâmetros óticos. As distâncias brutas encontradas pelas medições externas são corrigidas pela distância medida por meio da rotação de fase, avaliada pelo procedimento de medição interna e que representa assim o 0 (Zero) de referência do instrumento. Para as Estações Totais de última geração são incorporados dois distanciômetros de medição coaxiais: um para distâncias com uso do refletor e outro sem o uso do refletor. Ambos operam no princípio da medição de fase, descrito anteriormente. O raio laser infravermelho para a medição com o uso de refletores (prismas) tem um comprimento de onda de 780 nm, mede distâncias de cerca de 3.000 m com um único prisma, com acurácia de 2 mm + 2 ppm. A luz visível do raio laser vermelho tem um comprimento de onda de 670 nm e mede distâncias até 80 m com uma acurácia de 3 mm + 2 ppm, sem uso do refletor. Essa combinação de dois distanciômetros em uma única Estação Total oferece grandes vantagens onde, os pontos a serem medidos alternam entre pontos de fácil e difícil acesso, e inacessíveis, como em controles de estruturas metálicas, determinação de comprimento de condutos e outros. Para.prevenir a saturação do receptor, causada por um forte sinal de retomo (distância próxima), o raio infravermelho pode ser atenuado variavelmente por meio de um disco de filtro, que é posicionado por um motor <e controlado por um processador por meio de uma interface. Dois filtros cobrem o disco e atenuam os sinais transmitidos e recebidos, cada um 50% de toda a atenuação; No fim da trilha do disco, uma parada mecânica limita o movimento do motor do disco. Um detector de posição é usado para uma rápida configuração da amplitude dos sinais recebidos e também para o sistema antibumerangue, de maneira a fixar a atenuação desejada. O detector de posição é uma barreira de luz consistindo de um IR-Diodo (LED) e um fotodiodo. A luz ilumina o fotodiodo através de um diafragma em forma de cunha, que é locado na borda da circunferência do disco de filtro, conforme Figura 2.24, e a corrente causada por essa luz é convertida em corrente contínua a uma magnitude proporcional à posição real no disco de filtro. Por meio de um conversor AD a voltagem é lida pela CPU. Essa barreira de luz é variável de instrumento para instrumento.

11-26

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Capítulo II - Distâncias

LED

1111

Figura 2.24 - Esquema do sistema de filtro Fonte: Manual de serviço Dl 1600/DI2002 (ZEISK, 1990).

Quando-o sistema de filtro é inicializado, a CPU lê os valores limites e aloca a faixa de atenuação para uma área de posição de 0-255 (Figura 2.25). Esta padronização é feita de forma a compensar as tolerâncias da barreira de luz se um dos valores-limite desviar por mais do que ±7 de 0 a 255, e è feita automaticamente sendo seus valores escritos em uma EPROM do microprocessador. Logo em seguida, é verificada a acurácia do local de posição do filtro, comparando alguma posição preestabelecida com a real; a diferença deve ser ±6 ou menor. Se esta é maior, o motor e barreira de luz devem ser inicializados novamente. Valores, d o ' c o n ve rso r AD

Posição d o filtro

Figura 2.25 - Esquema da posição de filtro Manual de serviço Dl 1600/DI2002 (1990).

Quando um sinal percorre mais do que uma vez o percurso entre o transmissor ótico, refletor e receptor ótico, este é chamado de sinal bumerangue e pode ser adicionado ao sinal de medição, resultando em um erro de distância. Para limitar o sinal bumerangue, o raio infravermelho é atenuado por um filtro graduado, que é selecionado de acordo com o nível de ruído e o sinal é reduzido possivelmente pelo mesmo

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C apítulo l í - Distâncias

fator de nível de ruído. Para os modelos Dl 1600 e Dl 2002, o sistema antibumerangue é ativado na faixa de 0 a 100 m. Os sistemas antibumerangues são ineficazes contra reflexos dos componentes óticos dos teodolitos. Especialmente tipos mais antigos, que não são equipados com filtros de absorção, podem produzir fortes reflexos. Se tal problema é detectado, é recomendado cobrir a objetiva do teodolito durante a medição de distâncias. As menores distâncias e a maior imprecisão de pontaria no prisma proporcionarão uma maior probabilidade de ocorrer o efeito bumerangue.

Tabela 2.8 - Características técnicas dos equipamentos que utilizam o infravermelho Comprimento da onda portadora 0,960 pm

Nome

Kem DM502 Sokkisha REDl AGA Geodimeter 140 . Nikon ND-21F

Alcance max.

Sistema de leitura

Precisão

Peso

2 km

Sistema digital de 6 dígitos Sistema digital de 7 dígitos Sistema digital de 8 dígitos

±(5 mm + 5 PPm) ±(5 mm + 5 ppm) ±(5 mm + 5 ppm)

1,3 kg 3,5 kg 20,5 kg

2,0 km 0,910 pm

4,0 km

0,950 pm

2 km

1 a

Zeiss Jena EOK-2000

0,910 pm

Zeiss Eldi-4

0,860 pm

4 km

Wild Distomat Dl-10 Leica Dl-1600

0,875 pm

2 km

0,850 pm

7 km

Leica DI-2002

0,850 pm

7 km

Leica DI-3000

0,865 pm

14 km

Leica DIOR-3002S

0,865 pm e laser classe 2 (Disto)

6 km. 300 m (sem prisma)

11-28

Sistema digital ±(5 mm + 5 1,9 cristal líquido 7 ppm) kg dígitos Leitura ±(1 cm + 12 kg automática de 6 1,5.10‘5 m) dígitos Leitura ±(5 mm + 5 0,8 automática de 7 ppm) kg dígitos Leitura ±1 cm 20 kg automática 4 : dígitos Sistema digital 0,6 ±(3 mm + 2 cristal líquido 8 ppm) kg dígitos Sistema digital ±( 1 mm + 1 0,6 cristal líquido 8 ppm) kg dígitos Sistema digital ±(5 mm + 1 1,7 kg cristal líquido 8 ppm) dígitos (±3 mm + 5 Sistema digital ppm) cristal líquido 8 ±5-10 mm dígitos

Observações

Trabalha nas temperaturas 20° até +50° . Trabalha.nas temperaturas 20° até +50°

Trabalha nas temperaturas 20° até +60 Trabalha nas temperaturas 25° até +50° Trabalha nas temperaturas 20° até +50° temperaturas 20° até +50° temperaturas 20° até +50°

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Capítulo II - Distâncias

A Figura 2.26 mostra equipamentos que utilizam esta tecnologia.

Leica Dl 2002

Leica DIOR 3002S

Wild Dl 10

lii W VlV Zeiss EOK 2000

Sokkisha RED 1

HP 3800 B Nikon ND-21F Figura 2.26 - Distancíômeíros que utilizam o infravermelho

2,3,3.3 -

Acessórios para medição eletrônica de distâncias

Para a medida da distância com uso de distanciômetro, é necessário que um refletor esteja instalado na outra extremidade do alinhamento, exceto para distâncias curtas e distanciômetros de última geração. Um refletor é composto de vários prismas de vidro, normalmente com três faces perpendiculares duas a duas e que têm função de refletir a onda emitida pelo instrumento. À quantidade de prismas em um refletor depende do comprimento da distância a determinar e da intensidade do raio emitido.,As distâncias máximas alcançadas pelos instrumentos e a quantidade de prismas necessários para a medição estão indicadas no manual do fabricante que acompanha cada instrumento. Em geral, a capacidade de medição da distância por instrumentos eletrônicos diante das dificuldades, mencionadas anteriormente, varia entre 500 m e 2000 m.

11-29

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Capítulo II - Distâncias

A Figura 2.27 mostra alguns modelos de refletores.

Leica GPH1 Leica GRZ 4 360°

Prisma ADS109

CST Miniprisma

Prisma Topcon Prisma Sokkisha Figura 2.27 - Refletores

Prisma CST

Prisma Kern

O perfeito funcionamento de um refletor depende de alguns cuidadas especiais que devem ser dispensados a eles. A poeira, marcas de gordura, impressões digitais, gotas de água e outras sujeiras diminuem a capacidade de reflexão dos prismas. Uma forte diferença de temperatura entre os prismas e o a r ; em tomo do .refletor pode produzir uma curvatura côncava ou convexa sobre a face do prisma, que é plana quando a temperatura é equilibrada, e produz nessas condições divergência do sinal recebido pelo prisma, o que diminui a sua capacidade de reflexão. Outro acessório dos aparelhos para medida eletrônica de distâncias são as baterias de corrente contínua de 32 volts, secas, de cádmio-níquel. Os tipos de baterias utilizadas (Figura 2.28) variam desde as minibaterias (0,5Kg) até grandes baterias (5Kg). Com carga plena, uma minibateria permite medir uma centena de vezes uma distância. As baterias atuais podem ser recarregadas milhares de vezes e possuem uma duração de carga de. 12 a 15 horas. Para operarem eficientemente, as baterias devem ser descarregadas primeiramente e depois recarregadas até sua capacidade máxima, sempre em um período adequado anterior ao trabalho.

11-30

Topografia para Estudantes de Engenharia, Arquitetura e Geologia

C apítulo II - Distâncias

Batería Leica GEB 71

Batería interna Leica Figura 2.28 - Baterias

2.3.4 -

Erros Sistemáticos em Medições com MED Os erros que afetam os MED são de natureza randômica e sistemática e podem ser evitados ou

fortemente reduzidos por meio de boas técnicas de medição. Porém, se alguns erros sistemáticos permanecem, há o processo de calibraçao com o propósito de avaliá-los e corrigi-los. Segundo" KENNIE et al. (1993), são várias as fontes de erros sistemáticos que podem afetar os . instrumentos MED, incluindo aqueles causados pelo operador do instrumento, a atmosfera e o instrumento mal ajustado. Para diminuir as influências dos erros do operador do instrumento, é importante; - regular com precisão o centro com o eixo principal do instrumento verificando, o prumo ótico do teodolito (se o MED é montado no teodolito) ou por um prumo ótico integral; - fazer uma pontaria de forma cuidadosa ao ponto da posição do alvo refletor. É importante pelo fato das facilidades para a redução automática da distância inclinada; a não-observância do ponto do alvo a ser colimado pode evidenciar erros na leitura do ângulo vertical; - verificar as configurações automáticas de valores da correção (umidade, pressão, temperatura e outros). É essencial entrar com esses valores corretos para prevalecer as condições em que os instrumentos estão sendo usados. Normalmente, o efeito da atmosfera é definido pela mudança no índice de refração (n), onde n é definido como;

c n~— v

[2.30]

Sendo; c é a velocidade das ondas eletromagnéticas no vácuo (c=299.792,5 km/s); v é a velocidade média (atmosfera).

O valor de n é normalmente próximo da unidade e é assumido por muitos instrumentos MED como sendo igual a 1,000320. No espectro de onda eletromagnética de luz visível e infravermelha, n é calculado usando a fórmula de Barrei e Sears;

n-3i

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(n, - l ) =

C apítulo II - Distâncias

(ns- l ) -

273

[2.31]

2 7 3 + f 760

273 + /

Sendo: {n,

-l )x 10’6 287,604 +

1,6288

0,0136

[2.32]

nt índice de refração corrente; ns índice de refração do ar a 0o C e 760 mmHg de pressão, contendo 0,03% de C02; t temperatura durante a observação (° C); P pressão durante a observação (mmHg); E pressão do vapor de água (mmHg); À0 comprimento de onda do sinal no vácuo.

Tabela 2.9 - Precisões em medições da temperatura, pressão e umidade entre os diversos MED para obter um 1 ppm de precisão no índice de refração Precisões das medidas Onda Portadora T " P Umidade (°C) (mm Hg) (mmHg) Microondas 0,8 ±2,9 ±0,17 Luz visível/infravermelho ± 2,7 ±20 1,0 Fonte: KENNIE et al. (1993).

Qs.-..dispositivos MED, como outros instrumentos topográficos, requerem cuidados no uso e uma regular calibração para fornecer segurança e acurácia às medições. Porém, ainda podem acontecer erros, de natureza não-instrumentais, que é a instalação do MED no teodolito de forma a deixá-lo não-paralelo ao eixo da luneta e conseqüentemente não-paralelo à linha de visada. Entretanto apenas serão comentados os erros sistemáticos mais comuns causados pelo instrumento mal ajustado, que são: erro de escala ( kt ) ou constante de multiplicação, erro de índice ( k2); erro cíclico ( k3). O erro de escala ( k{) ou constante de multiplicação ocorre se a freqüência modulada dos instrumentos MED não corresponde exatamente o valor da freqüência projetada para o instrumento. É um erro linear proporcional à distância a ser medida e pode surgir de fontes internas ou externas. Este erro pode ser freqüentemente expresso em partes por milhão (ppm) da distância medida. Se o oscilador não gera a freqüência de medida requerida, então o erro de escala poderá ser introduzido. Os osciladores controlados por um cristal são influenciados pelas condições de temperatura ambiente e estão expostos a um processo de envelhecimento lento. Devem ser calibrados anualmente, sempre que possível. Os instrumentos que trabalham com alcance mais longo, como os equipamentos de microondas, têm maiores riscos de apresentar esses tipos de erros do que os equipamentos de alcance curto, tais como os instrumentos infravermelhos (IR).

11-32

Topografia para Estudantes de Engenharia, Arquitetura e Geologia

Capítulo l í - Distâncias

A temperatura característica do oscilador de quartzo referente é expressa por uma função polinomial, conforme Figura 2.29. Esses coeficientes são armazenados em uma EPROM do microprocessador em alguns instrumentos fabricados em tomo de 1990.

Figura 2.29 - Gráfico demonstrando a tem peratura em função da freqüência Fonte: MANUAL DE SERVIÇO Dl 1600/TC 1600 (1990).

A medição da temperatura do quartzo e o cálculo da freqüência real são realizados por conta do instrumento, quando a distância é estimada. Assim a freqüência do sinal HF transmitido altera com a temperatura interior do instrumento e pode ser comparada à calculada usando informações armazenadas nos instrumentos em funções específicas. Os desvios permitidos devem ser: ± 5 ppm

±250 Hz

±2ppm

±100 Hz

± 1 ppm

± 50 Hz 5

Com o’exposto acima toma-se desnecessário preocupar-se com a constante de. multiplicação, que é usada para definir a freqüência de referência, já que os desvios são testados pelo próprio instrumento. ■

O contador de freqüência usado para verificação tem que ter, na verdade, uma precisão que não pode

ser menor do que 1x 10~7 Hz. Esta estabilidade e precisão requerida são somente obtidas com contadores de freqüência equipados com quartzo estabilizado a altas temperaturas. O desvio de freqüência de tais contadores é especificado em 1 ppm/ano, que é justamente o envelhecimento. Portanto, o contador de freqüência tem que ser calibrado anualmente. Segundo SILVA et al.(1999), erro de zero ou de índice é também chamado de erro de constante de Adição. Este erro representa a diferença entre a distância medida pelo instrumento MED entre os dois pontos e a distância conhecida dos mesmos, sem erros de escala, cíclico e atmosférico. É causado quando o centro interno de medida do instrumento e o refletor não coincidem com o centro físico do instrumento/refletor, que é colocado verticalmente sobre o ponto a ser medido. A constante de adição varia de acordo com a combinação instrumento/prisma. Na maioria dos casos, ela é igual a zero. Tal como o nome indica, os erros cíclicos ( k 3) são erros periódicos e podem ter um efeito sistemático, particularineníe em pequenas distâncias. É caracterizado por ser uma função periódica do comprimento de onda medido e a diferença de fase entre medida e sinal de referência. Esse efeito é cíclico sobre o comprimento de onda modulada. n-33

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;

C apítulo II - D istâncias

Estes são os menores das três fontes de erros instrumental e são causados por “contaminação” eletrônica interna entre o transmissor e o receptor (circuito elétrico). O efeito dessa fonte de erro é reduzido pelos fabricantes de instrumentos por isolantes elétricos e proteção dos componentes dentro do equipamento.

2.3.5 -

Precisão A precisão indica qual o desvio das medidas em relação ao valor real e não pode ser confundida com

resolução, que é o menor valor que o instrumento pode ler. A precisão que se obtém com um distanciômetro depende principalmente dos seguintes parâmetros: - resolução do indicador de fase (capacidade do aparelho em medir a defasagem); - frequência da medida fina; - estabilidade da frequência da medida fina. A diferença de fase pode ser determinada com um erro relativo compreendido entre 1:100 e 1:10.000, e ás unidades de medidas finas utilizadas em mensuração variam entre 3 m e 30 m. Um aparelho cuja freqüência de medida fma é de 15MHZ (unidade da medida X - 1 0 m) e que mede a defasagem com um erro de ± 0.0005 permite, portanto, a obtenção de uma precisão teórica de ± 5mm sobre uma medida de distância. ’;:V ■ Os equipamentos comuns, disponíveis no mercado, possuem alcances5até 14 Km e precisão variando entre 5mm ± 5ppm a 3mm ± 2ppm. Incluiem-se neste grupo, por exemplo, os distanciômetros Dl 1001 e Dl 1600 da empresa Leica (Tabela 2.8), Os equipamentos de alta precisão, como, por exemplo, o distanciômetro Dl 2002, da empresa Leica, possuem resolução de 0,1 mm e precisão de lmm ± lppm. A mais recente inovação ocorreu com a introdução, no mercado, dos distanciômetros eletrônicos para medir sem refletor. Trata-se do DISTOMAT DIOR 3002S, da empresa Wild, que alcança até 300 m com uma precisão de ± 5 a 10 mm.

2A -

Referencias Bibliográficas

ABNT, Associação Brasileira de Normas Técnicas: NBR13133 - Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994. BURNSIDE, C.D. (1991). Electromagnetic Distance Measurement, 3a edição, BSP Profissional Books. CARDÃO, Celso - TOPOGRAFIA CARL ZEISS JENA, catálogo de instrumentos geodésicos. DAVIS - FOOTE - KELLY - TRATADO DE TOPOGRAFIA DOMÉNECH, Francisco Valdés - TOPOGRAFIA

11-34

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Capítulo II - Distâncias

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n-35

III - ÂNGULOS Carlos Augusto Uchôa da Silva

A medição de ângulos não é um assunto “novo”. Há muito tempo, o homem começou a se preocupar com isso e tentar se orientar por meio de métodos bastante rudimentares. A história mostra que por volta dò ano 4000 a.C., egípcios e árabes, quando da tentativa de elaborar um calendário, perceberam que “o Sol girava em torno da Terra”. Ainda segundo eles, o Sol percorria uma parte da órbita a cada dia; então, um arco de circunferência de sua órbita era igual a um dia. A este arco fez-se corresponder um ângulo cujo vértice era o centro da Terra e cujos lados passavam pelas extremidades de tal arco. Assim, esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau ou ângulo de um grau. Os babilônios já empregavam por volta do ano 1700 a.C. sistemas decimais e frações sexagesimais. O sistema de frações sexagesimais foi transferido à Grécia e depois para o restante da Europa. Como se pode perceber, o hábito de dizer que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência é uma tradição muito antiga e permanece até hoje, ainda que se saiba que a Terra gira em torno do Sol e não vice-versa, como acreditavam. Há diversas unidades nas quais se pode expressar um ângulo, tais como grado e radiano, entretanto, o grau, apesar de ser uma unidade sexadecimal, ainda é a unidade mais utilizada no Brasil. A necessidade de atender aos objetivos da Planimetria e da Altimetria toma necessário efetuarem-se medições angulares nos planos horizontal e vertical. Assim, surgem as definições de ângulos horizontais e verticais , respectivamente. Com o teodolito medem-se tanto os ângulos horizontais quanto os verticais. Atualmente é comum que teodolitos e estações totais com eletrônica cada vez mais sofisticada possibilitem ao operador optar por qual tipo de ângulo vertical deva ser utilizado durante uma determinada medição e se a direção positiva do ângulo horizontal é horário ou anti-horário. Existem

atualmente

instrumentos

com

diversas

precisões

diferentes

que

variam

entre

0,5", 1", 3", 5", 10” e 20" , apesar de a leitura mínima também chamada de resolução angular ser via de regra igual a 1".

3.1 -

Â ngulos horizontais A partir de dois alinhamentos definem-se dois planos verticais, que passam pelas extremidades

desses alinhamentos. Um ângulo horizontal é um ângulo diedro entre esses dois planos verticais. Convencionalmente, o sentido horário é adotado como positivo. Existem diversas maneiras de medir ângulos horizontais, cada uma delas com aplicações e precisões finais diferentes. III- 1

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Capítulo III - Ângulos

Há diversos métodos para medir ângulos horizontais; dentre eles pode-se citar: simples, duplo, medidas compensadas e repetição. A medida simples de um ângulo implica somente a execução de duas leituras no círculo graduado. Assim, para determinar o ângulo horizontal PSQ (Figura 3.1), será suficiente estacionar o teodolito em 5, apontar para o ponto P, anotar a leitura (Lp) na caderneta de campo, apontar para Q, anotar a leitura (Lq) e, finalmente, calcular o ângulo pela diferença de leituras:

a - Lq - Lp

Zênite

Figura 3.1 - Representação esquemática da definição de ângulos horizontais I

É importante salientar que, no momento das leituras, o zero do círculo graduado pode encontrar-se ' em qualquer posição (Figura 3.2). Entretanto, alguns profissionais têm o hábito de zerar a leitura no primeiro 'ponto, de maneira que a segunda leitura corresponda diretamente ao ângulo. Porém, este método se aplica 1apenas em levantamentos expeditos que não requeiram grande precisão e que não se preocupem com os erros I instrumentais. iV *• III-2

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Capítulo III - Ângulos

180-' Figura 3.2 - Leituras com o círculo horizontal zerado e em uma posição qualquer Exemplificando:7 Com acerto do zero em P:

Em qualquer parte do limbo:

LP = 00° 00’ 00” Lq = 35°20* 10” a = Lq - LP = 35° 20’ 10”

LP = 40° 10’ 00” Lq = 75° 30’ 10” a = Lq -L P= 35° 20’ 10”

A medição simples de ângulos apresenta como problema a incerteza de ter,efetuado corretamente as o

leituras e/ou as anotações, pois um erro grosseiro não podería ser detectado. Para contornar essa situação, pode-se,efetuar uma medida dupla do ângulo (Figura 3.3), O método consiste em-efetuar-duas-leituras nos mesmos alinhamentos, de acordo com a sequência: - zerar a leitura angular e apontar para P ; - com a alidade solta e o limbo fixo à base, visar Q e anotar a leitura; - fixar o limbo à alidade e girar o aparelho até visar novamente P (a leitura permanecerá constante); - soltar a alidade e o limbo (que ficará fixo à base) e apontar para Q ; - a leitura em Q corresponde a duas vezes o ângulo a .

Ângulo Simples

Ângulo Duplo

Figura 3.3 - Leituras feitas por medição simples e medição dupla, respectivamente

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Capítulo III - Ângulos

Exemplificando: Ângulo simples:

Ângulo duplo:

LP1 = 00° 00’ 00”

Lp2 = 35° 20’ 10”

LQ1 = 35° 20’ 10”

Lq2 = 70° 40’ 20”

oc = Lq - LP = 35° 20? 10”

a = LQ2/2= 35o20’ 107

Note-se que esse procedimento de medição angular só é possível, em determinados tipos de instrumentos; usualmente os modernos teodolitos eletrônicos e estações totais não mais possibilitam o controle sobre o movimento geral do instrumento, o que inviabiliza esse procedimento. Devido a erros do operador e/ou instrumento, geralmente a 2a leitura não é exatamente o dobro da Ia. Quando o ângulo a for maior do que 180° , sua medida deverá ser:

+ 180° . Em muitos equipamentos

eletrônicos não é mais possível fazer esse tipo de medição em função da ausência de controle pelo usuário sobre o movimento geral do instrumento. Assim, utiliza-se como alternativa o método das direções, o qual foi desenvolvido em função da ocorrência de erros instrumentais que afetam as leituras e conseqüentemente a determinação dos ângulos; isto exigiu o desenvolvimento de um método que permitisse minimizar as influências da excentricidade do círculo graduado, colimação e inclinação do.eixo secundário, embora tal •método ;não elimine os erros propriamente ditos. Também conhecido como método de Medidas Compensadas ou, ainda Método de Bessel, ele preconiza que sejam realizadas leituras angulares em duas partes.opostas do círculo: graduado, denominandoas Posição Direta (PD) e Posição Inversa (PI); maiores detalhes podem ser obtidos na NBR 13.133 (Figura 3.4). O reconhecimento em qual posição está o instrumento é bastante simples e basta observar que o teodoliio ou a estação total está em P D , quando seu círculo vertical se encontra à esquerda do operador, e em P I , quando o círculo vertical está à direita do operador, Para passar da PD para a P / , é necessário girar 180° a aiidade e virar a luneta. Assim, efetuam-se quatro leituras, duas em cada posição. O ângulo é obtido a partir da seguinte formulação:

a — LD q — L°p (Posição Direta) Cí — L q —L p (Posição Inversa)

Somando-se membro a membro e reagrupando-se:

(Lq + í/e )--(A +Llp)

III-4

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Capítulo III - Ângulos

Exemplificando: P e

: ..

'• ' MX :. ; ® 2io°r; \ E

<>,

250'’. 15'40"

•: -ri 90* \ -“ri / "7

.... ^i&o°

Posição Direta

Posição In v e rsa

Figura 3.4 - Método das direções com pares de leituras feitas em posições direta e inversa

LP = 10°15'20"

L q = 70°15'20"

Lp = 190° 1530" 200°30'50"

L q = 250°15'40" 320°31'00"

320°3 r00"-200°30'50" a =■ => a = 60°00'05"

O método de repetição responde à mesma seqüência de operações que a medida dupla, porém,i ao invés de dois, sao realizados n apontamentos. Assim, para determinar o ângulo, procede-se da seguinte maneira:

a - fc,-4 )+ (4 -4 )+ .

+fe

=> a = •

L"p 1

Devido à utilização neste método de diferentes partes do círculo graduado na determinação do ângulo, toma-se possível minimizar as influências dos erros de graduação do círculo horizontal.

3.2 -

Rumo e A zim ute A medição de ângulos nos levantamentos topográficos é fundamental, por meio dela é possível

dèterminar as formas das áreas levantadas e verificar se as medições estão dentro dos padrões de tolerância exigidos por norma ou especificados pelo contratante para as diferentes atividades. Mesmo para leigos em mensuração, quando se fala em “estar sem rumo”, entende-se como falta de orientação, sem direção conhecida. A definição de rumo e azimute vem preencher essa lacuna.

III - 5

Topografia para Estudantes de Engenharia, Arquitetura e Geologia

Capítulo ÍII - Ângulos

Em termos matemáticos, a medição de ângulos e distâncias permite, em princípio, obter os posicionamentos relativos de pontos segundo um sistema de referência, somente atribuindo ou determinando a coordenada inicial para o ponto de saída. Porém, a Topografia, que se preocupa com as questões métricas, tem também por objetivo posicionar geograficamente a área levantada. Ao falar de posicionamento geográfico, o primeiro conceito que surge é o de NORTE. Apesar de existirem diversos tipos de norte, três deles - o Norte Magnético, o Norte Geográfico e o Norte da Quadrícula - serão mais explorados. Inicialmente serão estudados os conceitos de Norte Magnético e Geográfico, que estão relacionados respectivamente aos pólos magnéticos e geográficos do planeta. Entendam-se Norte Geográfico e Norte Verdadeiro como sinônimos. G Norte da quadrícula será abordado no capítulo referente ao desenho topográfico, pois está relacionado com a planificação do levantamento topográfico. Desde a época dos primeiros navegadores, o homem utiliza o campo magnético da Terra para se orientar. A bússola é um instrumento de orientação que desde a Antigíiidade auxilia o homem na tarefa de se posicionar. É composta basicamente de uma agulha imantada, cujas pontas indicam a direção do meridiano

magnético que passa por sua posição, ou seja, as extremidades da agulha apontam para o Norte e o Sul magnéticos e não para os pólos geográficos. As posições dos pólos magnéticos terrestres, diferentes dos pólos geográficos, estão em constante mudança, variando temporalmente em função do local. No Brasil, cabe ao Observatório Nacional a avaliação periódica para que sejam confeccionadas as Cartas Magnéticas, que são atualizadas a cada cinco anos. Segundo BARRETO (2000), "a oscilação nas cargas magnéticas é provocada pelos metais pesados (níquel e ferro) presentes no núcleo do planeta. Girando junto com a Terra, eles atuam como gigantescos imãs influenciados pela atividade solar e pelo movimento das massas fluidas internas5’. No Brasil, pode-se verificar que as oscilações magnéticas do campo produzem alterações nas cartas. Em 1890, o Equador magnético, que se move constantemente, atravessava o Brasil na cidade de Caravelas, no litoral sul da Bahia. Em 2000, eie passava próximo da cidade de São Luís-MA.

3.2 A -

Az im u te Os azimutes recebem a denominação de magnéticos ou geográficos de acordo com o pólo a partir do

qual são medidos. O Azimute de um alinhamento é o ângulo horizontal formado entre ele e a direção do Norte, medido a partir do Norte em sentido horário. Assim, o Azimute varia de 0o a 360° . Caso seja medido a partir da direção do Norte Magnético, ele será um Azimute Magnético mas, e se a referência for Norte Geográfico ele será um Azimute Geográfico ou Azimute Verdadeiro. Para posicionar uma figura plana em relação ao Norte Magnético (Figura 3.5), basta determinar um ângulo que qualquer um de seus lados forma com a direção do Norte Magnético, o que pode ser conseguido facilmente utilizando um instrumento dotado de bússola (declinatória).

III - 6

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Capítulo III - Ângulos

A determinação da direção do Norte Geográfico, que é fixo, não é tão direta quanto a do Magnético, necessitando de equipamentos específicos como o giroscópio, frequentemente utilizado em topografia subterrânea, GPS ou ainda por meio do uso de observações astronômicas, ou seja, sem equipamentos e/ou técnicas específicas é impossível determinar a direção exata do Norte Geográfico e, por esse motivo, muitos levantamentos ainda hoje têm como ponto de partida a direção do Norte Magnético. O que ainda deve persistir por algum tempo. NM

Nesta abordagem serão considerados apenas os azimutes planos, ou seja, serão desconsideradas a curvatura da Terra e todas as suas influências no seu azimute. Além disso, o azimute de um alinhamento depende do sentido. O Cálculo do Azimute no sentido contrário ou Contra-Azimute é feito obedecendo a seguinte relação: Se Az <180°, então o Contra-Azimute será Az + 180°. Se Az > 180°, então o ContraAzimute será Az - 180° . Na figura 3.5, o A z ED, desenhado em vermelho, é o Contra-Azimute do A zDE .

Exemplificando:

A zDE ^ A zed A z d e = 315°00f00" A z £•£> =

3.2.2-

-1 8 0 °

A zed = 135°00'00"

Rumo Para fomecer orientação aos alinhamentos de um levantamento topográfico, também podem ser

utilizados, além dos Azimutes, os Rumos.

IÍI - 7

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Capítulo III - Ângulos

O Rumo de um alinhamento é o ângulo horizontal formado entre a direção do alinhamento e as direções Norte ou Sul, no sentido horário ou anti-horário, variando de 0o a 90°, que SEMPRE necessita da indicação do quadrante no qual se situa o alinhamento. Isto se deve ao fato de que uma mesma grandeza angular pode se repetir em todos os quadrantes. Pode-se ver um exemplo na figura 3.6.

N R ,D A = B7 5 03 0 '4 0 " A’ £ R BC =

1 0 a20

R CD = 3 6 ° 4 0 '0 0 "-7W/ R n c = 4 5°00'10" N W Dt R E D = 45 °00,1

S Figura 3.6 - Representação do sentido de medição dos Rumos, com indicação de alinhamentos em diferentes quadrantes Há de se notar que os quadrantes do círculo topográfico não coincidem com os quadrantes do círculo trigonométrico. A Figura 3.7 representa um exemplo de um levantamento topográfico planimétrico, onde os Rumos foram utilizados como orientação para a planificação dos alinhamentos.A

Figura 3.7 - Levantamento planimétrico onde estão indicados os Rumos dos Alinhamentos Observações: A Figura 3.7 deixa bem evidente que, em função de propriedades geométricas, os Rumos de um alinhamento de ida ou de volta têm o mesmo módulo e orientações em quadrantes opostos. Assim,

\Rde \ = ji?£Dj, mas os seus quadrantes são opostos, respectivamente, NW e SE . III-8

Topografia para Estudantes de Engenharia, Arquitetura e Geologia

3.2,2A

Capítulo III - Ângulos

Aviventação de Rumos

Em várias situações é necessário realizar a aviventação de Rumos, dentre as quais podemos citar: realizar um novo levantamento tomando como ponto de partida um ponto cujas coordenadas tenham sido obtidas a partir de um levantamento cuja orientação foi o Norte Magnético terrestre; materializar no campo um determinado ponto a partir de um antigo levantamento topográfico cuja orientação foi o Norte Magnético terrestre; desenhar em uma planta pontos levantados com ângulos magnéticos em épocas distintas e outros. A posição dos pólos magnéticos da Terra é variável. Assim, para orientar-se a partir de uma posição variável, é necessário que se conheça essa variação no tempo, a fim de se possa corrigir os deslocamentos angulares em relação a uma determinada época. Este processo é conhecido como Aviventação de Rumos. Em levantamentos onde não se dispunha de nenhum meio confiável para determinar a direção do Norte Geográfico e se tenha utilizado como orientação a direção do Norte Magnético, é necessário aviventar os Rumos dos alinhamentos depois de passado um período de tempo para que não se incorra em erros grosseiros de posicionamento. Denomina-se de declinação magnética o ângulo formado entre as direções do Norte Magnético e Norte Geográfico ou Verdadeiro. Como a direção do Norte Magnético sofre mudanças constantes e a direção do Norte Geográfico é fixa, a declinação magnética também varia temporalmente com o local. Convencionalmente, declinação magnética a Oeste é negativa e a Lestexé positiva. A Aviventação de Rumos nada mais é do que aplicar a variação temporal da declinaçãò'magnética a todos os alinhamentos de um levantamento, a fim de determinar rumos ou azimutes corrigidos em uma determinada época. Isto é feito com o auxílio da carta magnética do Brasil/Declinação que é produzida e atualizada periodicamente pelo Observatório Nacional (ON). A carta magnética do Brasil/Declinação 2000,0 possui dois tipos de curvas de interesse para a Topografia, as curvas isogônicas e isopóricas. As curvas, isogônicas são uma representação linear dos pontos no território nacional que possuem a mesma declinação magnética à época da medição. As curvas isopóricas são uma representação linear dos pontos no território nacional que possuem igual variação anual da declinação magnética. No caso mais geral, para que sejam feitos os cálculos da aviventação, toma-se necessário fazer uma 'í interpolação nas cartas. Este processo depende da qualidade da carta impressa e também da acuidade com que são tomados os pontos para interpolar nas mesmas. Este processo inexato de correção de rumos abre diversas possibilidades para eventuais erros grosseiros. Um fator importante quando do cálculo da variação temporal da declinação magnética é a contagem do tempo. Como não existe o ano zero, a contagem é feita da seguinte forma: primeiro de janeiro de 1985 equivale a 1984,00 anos, ou seja, o ano de 1984 está completo em primeiro de janeiro de 1985. Primeiro de julho de 2001 equivale ao ano de 2000 completo adicionado de seis meses inteiros (metade do ano), ou seja: 2000,50 anos.

III-9

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Capítulo III - Ângulos

Exemplificando:

^ abí9185) = 49°20'30"(iV£'). É o Rumo Magnético de um determinado alinhamento AB, medido em primeiro de janeiro de 1985, e deseja-se representar o alinhamento AB numa planta elaborada em primeiro de julho de 2001. Sabe-se que a variação anual da declinação magnética local é de T30"W . Qual será o

R ab em 01/07/2001? 01/07/2001

=> 2000,50

01/01/1985

=>1984,00 a diferença em anos entre essas duas datas é de 16,50 anos.

"Wultiplicada m por 16,50 anos, a variação total

Como a variação anual é de 730

de 2°03'45"W . Assim, somando algebricamente a variação da declinação magnética total ao ^^^(01/01/1985) > teremos: 49o2030"(A/E)+ 2°03'45"{W)

=> ^ fi(0,/07/2001) = 51°24’15"(/V£)

s Figura 3.8 - Aviventação de Rumos em função da variação temporal da Declinação Magnética

III- 10

Figura 3.9 - Carta Magnética do Brasil 2000.0/ DECLINAÇÃO - cedida pelo Observatório Nacional. As curvas isogônicas estão desenhadas em vermelho e as curvas isopóricas em azul. Documento foi modelado por Constantino de Mello Motta a partir de dados observados e processados por Ronaldo Marins de Carvalho e Elisabeth da Cunha Lima, sob a coordenação de Luiz Muniz Barreto, e gentilmente cedido pelo Observatório Nacional.

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5.2.2.2

Capítulo III - Ângulos

Conversão Rumo Magnético <=>Rumo Verdadeiro Como citado anteriormente, a diferença entre as duas direções magnética e geográfica é um ângulo

chamado de Declinação Magnética, que pode ser obtido por meio de interpolação na Carta Isogônica publicada pelo ON. Portanto, para converter Rumos Magnéticos em Rumos Geográficos ou Verdadeiros, basta somar algebricamente a Declinação Magnética local atualizada para uma determinada data.

Exemplificando; Ainda utilizando o exemplo anterior e sabendo que a Declinação Magnética quando da medição em 1985 era de

\9°W , deseja-se determinar qual o rumo geográfico em 01 /07/2001.

Considerando do calculo anterior que a variação total no período da Declinação Magnética foi de 2°03'45"1V , então a Declinação Magnética em 01/07/2000 é de; \9°W + 2°03'45"W = 21 °03'45”Wr . Para se converter Rumo Magnético em Rumo Verdadeiro:

RV pq

=RM pq±D M

RV pq= 5 1 o2415"(/VE)-21°03'45"1¥

Figura 3.10 - Conversão Rumo/Azimute em função da Declinação Magnética

3.2.3-

Relações /R O M U

AZIMUTE

As relações matemáticas entre Rumos e Azimutes são facilmente compreendidas por meio de uma análise gráfica, como pode ser visto na Figura 3.11.

III- 12

=> RVPQ = 30°

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Capítulo III - Ângulos

No I quadrante (NE), Rumo e Azimute de um alinhamento têm o mesmo módulo, pois têm a mesma origem e sentido;. No II quadrante (SE), Rumo e Azimute de um alinhamento têm origem e sentido opostos e, como são ângulos suplementares, sua soma é de 180°; No III quadrante (SW), Rumo e Azimute de um alinhamento têm origens opostas e mesmo sentido. Assim, o Azimute é 180° maior que o Rumo; No IV quadrante (NW), Rumo e Azimute de um alinhamento têm a mesma origem e sentidos opostos. Como são ângulos replementares, sua soma é de 360°.

3.3 - Â ngulos Verticais O círculo graduado do instrumento de medição pode apresentar três posições com origem na contagem de ângulos verticais. Quando a origem (zero) estiver na posição do zênite, diz-se que o zero é Zenital (Figura 3.12) e o ângulo vertical é denominado de ângulo zenital (z), que é o mais usual nos equipamentos atualmente utilizados no Brasil. Quando a origem estiver na posição horizontal, diz-se que o zero é horizontal e o ângulo vertical é denominado de ângulo de altura (h) ou de elevação, ou ainda de inclinação. Finalmente, se o zero estiver no nadir, diz-se que o zero é nadiral e o ângulo vertical é denominado de ângulo nadiral (q).

III- 13

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Capítulo III - Ângulos

Zênitc

Zcnitc

00'

Zeniíal

de altura

Nadiral

Figura 3.12 - Tipos de ângulos verticais A simples identificação da posição da origem na medição de ângulos verticais contribui de forma significativa para que se evitem erros grosseiros nas leituras, tal como confundir Z com h , por exemplo. Se há necessidade da execução de levantamentos de alta precisão angular, recomenda-se que sempre se façam leituras nas posições'direta {l?p) e inversa {l!P\ para que sejam minimizados os efeitos dos erros instrumentais. Exemplificando: Utilizando um instrumento com o zero zenital, pode-se calcular o ângulo zenital a partir de leituras em posição direta e inversa com o seguinte procedimento:

z _ L£-Z/ p +360 q 2 L°p = 70°00'00" 4 = 2 9 0 °0 0 '1 0 " 7 _ (70°00'00"-290o00'10"+360°) — 2

Z = 69°59’05"

Se por necessidade ou comodidade deseja-se trabalhar o ângulo vertical de altura, pode-se calcular h em função de Z e vice-versa de forma direta, já que são ângulos complementares; neste caso:

h= 9 0 °-69°59'05"

= 20°00'05" III -14

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Capítulo III - Ângulos

No caso do ponto visado estar abaixo do horizonte do instrumento, h será negativo e pode-se calcular Z como mostrado a seguir:

LD P = 125°00'10" L'p = 235°00'00" (l25°00'10''-235°00'00") + 360°

2 h = 90°-125°00'05"

3.4 -

Z = 125°00'05"

h = -35°00'05"

R eferências B ibliográficas

ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1994). NBR 13133 - Execução de levantamento topográfico - procedimento. Rio de Janeiro. BARRETO, L.M. (2000). Cartas Magnéticas. Observatório http://www.fubralcom.br/FUBRAcesso/Clipping/FNotClipping22.htm#3. Novembro 2001.

Nacional.

JORDAN. D.W. (1944). Tratado General de Topografia, Tomo I - Planimetria. Editora Gustavo Gili, S.A. Barcelona. MOFFIT, F.H.; HARRY, B (1975).lSurveying, SixthJEdition. Harper & Row, Publishers. New York. ESPARTEL, L. (1960) Curso de Topografia, 8a edição. Editora Globo. Rio de Janeiro. ESPARTEL, L.; LÜDERITZ, J. (1983) Caderneta de Campo, 13a edição. Editora Globo. Rio de Janeiro.

III-15

IV - TEODOLITOS E ESTAÇÕES TOTAIS Tule César Barcellos

4.1 -

Teodolito O teodolito, algumas vezes chamado de transite, é usado para medir ângulos horizontais e verticais.

É considerado um instrumento universal, pois é empregado na medição de ângulos nos levantamentos topográficos, geodésicos e astronômicos. O termo teodolito, segundo historiadores, provém da palavra árabe ali-idcida = braço-índice. Ao passar para o inglês, incrementou-se o artigo The ficando the alhidada, para se transformar definitivamente em theodoite. Na literatura inglesa, há menção do uso do teodolito já em 1570, o que leva a supor que foram os ingleses os principais idealizadores do instrumento. Durante a primeira metade do século XIX, ele foi modificado pelos.alemães e, a partir do século XX, completamente modernizado e utilizado em larga escala nos trabalhos de engenharia em geral (SELVA, 1993). Em seus princípios gerais, o teodolito geodésico ou astronômico não difere do topográfico senão pela maior precisão de seus elementos, como os micfroscópios micrométricos, a grandeza dos círculos, a semsibilidade dos níveis, a potência das lunetas. e outros (ESPARTEL, 1960). Os teodolitos diferem muito quanto à estrutura, à forma, aos processos de leitura e manuseio, porém mantém os mesmos princípios geométricos. Os materiais que são empregados nos componentes do instrumento estão mudando e o de senvolvimento tecnológico tem melhorado a acurácia e a estabilidade dos instrumentos e permite que estes sejam cada vez menores, mais leves e mais fáceis de usar. Sua estrutura básica é ilustrada na Figura 4.1. Círculo vertical

Figura 4.1 - Estrutura básica de um teodolito Adaptada de KAHMEN and FAIG 1988.

IV- 1

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Capítulo IV - Teodolitos e Estações Totais

O teodolito consiste de uma base fixa e uma parte superior que rotaciona em tomo do denominado eixo principal (ep), Esta parte superior possui montantes que sustentam a luneta, a qual gira em tomo do eixo secundário (es), que deve ser perpendicular ao eixo principal. O eixo rotacional da parte superior do instrumento deve estar coincidente com o centro de graduação do círculo horizontal e centro de rotação da luneta. Os montantes são equipados com dispositivos de leitura dos círculos horizontais e verticais. A base pode ser nivelada com a ajuda de parafusos calantes (geralmente 3) e do prato de nível, que contém os níveis de bolha cilíndricos ou tubulares. A Figura 4.2 ilustra alguns dos principais componentes de funcionamento de um teodolito analógico.

Figura 4.2 - Teodolito Wild T2 Fonte: Leica.

Onde:

1. objetiva do prumo ótico

13. objetiva do microscópio de leitura dos

2. espelho de iluminação do círculo horizontal 3. ponto de suporte para encaixe na caixa de transporte

círculos horizontal e vertical 14. objetiva da luneta 15. parafuso seletor de visualização do círculo

4. parafuso de ajuste do nível do círculo vertical

vertical e horizontal

5. parafuso de chamada do movimento vertical

16. nível do prato

6. prisma em forma de unha do nível do círculo

17. parafuso

vertical 7. parafuso de fixação

chamada

movimento

horizontal (lado oposto está o parafuso de da luneta

(círculo

vertical)

fixação) 18. parafuso de giro do círculo horizontal

8. .espalho de iluminação do círculo vertical

19. nível esférico da base

9. mira externa para alinhamento do alvo

20. parafuso de Fixação da parte superior do

10. nível tubular o círculo vertical

teodolito na base

11. parafuso micrométrico

21. calante

12. parafuso de focagem

22. placa flexível de ligação do instrumento 23. com o tripé

IV-2

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42 -

Capítulo IV - Teodolitos e Estações Totais

Sistema de leitura angular em um teodolito ótico-mecânico Existem numerosos sistemas de leitura angular desenvolvidos para os teodolitos ótico-mecânico. Na

Figura 4.3 são apresentados alguns exemplos de leituras de ângulos que correspondem a teodolitos de diferentes marcas.

Teodolito Kern Kl-S Leitura vertical: 78° 35’ 42” horizontal horário: 68° 21548” horizontal anti-horário: 291° 38' 12”

Kem DKM-2A Leitura Vertical 85° 35’ 14” Para a leitura horizontal deve ser ajustado o micrômetro

Teodolito Zeiss THE O 020 B

Teodolito Wild TI Leitura Vertical 87° 27’ 09'’ Leitura vertical 138° 07' 00” Para a leitura horizontal deve ser ajustado o Leitura horizontal 262° 08’ 20” micrômetro Figura 4.3 - Leituras angulares em teodolitos ótico-mecânicos Fonte: de catálogos dos fabricantes.

IV - 3

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4.3-

Capítulo IV - Teodolitos e Estações Totais

Erros Instrumentais de um Teodolito Os teodolitos são instrumentos construídos sob rígido controle de qualidade, contudo há

alguns erros inevitáveis de ajustamento que permanecem após sua construção e determinam as precisões das leituras. Esses instrumentos, quando novos, têm suas precisões garantidas pelo fabricante e estão descritas na documentação que os acompanha. O

uso continuado do instrumento produz, com o tempo, erros de ajustamento que devem ser

periodicamente monitorados e, quando detectados, corrigidos. Basicamente os erros instrumentais podem ser classificados em erros de eixo e de excentricidgde^dos círculos. Segundo MOREIRA (1998), os eixos de um teodolito devem satisfazer as seguintes condições (Figura 4.4): - o eixo secundário (es) deve ser perpendicular ao eixo principal (ep); - o eixo de visada ou de colimação (ec) deve ser perpendicular ao eixo secundário (es); - o eixo principal deve estar vertical (ep) após a calagem; - os três eixos devem ser concorrentes em um mesmo ponto, o qual é o vértice do ângulo medido. ep i

Figura 4.4 - Eixos do teodolito Fonte: Sokkia.

Além disso, o centro do círculo horizontal deve coincidir com o eixo principal e o centro do círculo vertical deve coincidir com o eixo secundário; quando as condições apontadas não são completamente satisfeitas, surgem os erros de instrumentais, os quais não podem ser desprezados nas medidas angulares.

As influências desses erros podem ser eliminadas pela medida dos ângulos nas duas posições da luneta, tomando-se a média (reiteração). O erro propriamente se elimina mediante uma correta calibração. IV-4

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43 A -

Capítulo IV - Teodolitos e Estações Totais

Erro de Horizontalidade do Eixo Secundário Segundo MOREIRA (1998), se o eixo secundário de um teodolito não for perpendicular ao eixo

principal, quando este último estiver vertical, tem-se então o erro de horizontalidade do eixo secundário, também conhecido como erro de basculamento. Neste caso, o eixo de colimação descreverá um plano inclinado durante o basculamento da luneta, de acordo com a Figura 4.5.

Figuras4.5 - Erro de horizontalidade do eixo secundário Adaptado°de MOREIRA 1998. Para visada OP , o erro da direção horizontal é o arco IE = s i . Tem-se, então:

sins. sin \//

sinjS

[4.1]

sin

sin \jf sin i

sin

n [4.2]

substituindo, vem:

sine.= sin i ■tgj3

[4.3]

Como os ângulos../ e si são pequenos, faz-se:

£, =i • tg/3 ou i =

[4.4]

IV - 5

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C ap ítu lo IV - Teodolitos e Estações Totais

4.3.2 - Erro de Colimação Horizontal Segundo COOPER (1987), se a linha de colimação é inclinada em um ângulo c à normal do eixo secundário, a mesma descreve um cone em tomo do citado eixo, produzindo assim um erro de colimação (Figura 4.6).

Figura 4.6 - Erro de colimação horizontal Adaptada de MOREIRA 1998.

De acordo com MOREIRA (1998), o erro de colimação horizontal é dado como a seguir: sinsç_ _ sin — \2 J

sin c (n A sin - - P

U H)

[4.5]

sinc ■ sins, = ■ sin r * - p \

2 J

sinc

sins.

cos f3

Como sc e

[4.7]

csão pequenos, tem-se: £■„ = C-

COS/?

IV-6

[4.6]

sc = c sec J3 ou

c=■ sec p

[4.8]

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4.3.3 -

Capítulo IV - Teodolitos e Estações Totais

Errode Verticalidade do Eixo Principal

A origem do erro ( v ) vem da concepção de que o círculo horizontal permanece horizontal, enquanto que o eixo vertical é inclinado em relação à vertical (COOPER, 1987). A inclinação do eixo secundário varia de + v a - v , segundo a orientação da visada.

Figura 4.7 - Erro de verticalidade do eixo principal Adaptada de MOREIRA 1998.

Para visada OP , o erro da direção horizontal é o arco IE =

sinsy_ siny/

sin/3 . ( n'] sin —

u; sin y/ sin v

Tem-se então:

[4.9]

siny n p s .i nf -----

[4.10]

substituindo, vem:

sinev = sin v • Como os ângulos v e

■tgj3

[4.11]

são pequenos, faz-se:

s v = v ■sin y ■tgfi

v = ------ -----sin y •tgJ3

[4.12]

4.3.4 - Erro de Excentricidade dos Círculos Os erros de excentricidade se produzem quando os círculos graduados não se encontram centralizados nos seus eixos correspondentes. No caso do círculo horizontal, ele se encontra IV - 7

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Capítulo IV - Teodolitos e Estações Totais

deslocado lateralmente em relação ao eixo principal, a tempo que o círculo vertical está deslocado em relação ao eixo secundário. Caso isto ocorra, tem-se uma excentricidade (Figura 4.8).

Figura 4.8 - Erro de excentricidade dos círculos Adaptada de MOREIRA 1998.

Considerando os ângulos

e A , somando os ângulos de cada triângulo, temos:

cl + (32

+ A = 180° e

+A +

= 180°

[4.13]

Substituindo, vem: a-

a = /?2 - /?,

£-

a - d - jB2 -

[4.14]

Assim: [4.15]

Considerando que os ângulos /?, e /?, são pequenos, pode-se dizer que: sin/?, = A = —sin[a + y ) e

—\siny-

sin /?, s /?, = —sin^ r

[4.16] sin(a + /)] [4.17]

Na prática, não se conhecem a excentricidade e nem a orientação da linha dos centros AC. Por isso não é possível avaliar a grandeza do erro de um ângulo medido. Segundo MOREIRA (1998), a solução para o problema consiste em eliminar a influência do erro, lendo-se a medida em dois índices de pontos diametralmente opostos do círculo, e calcular a média dos dois valores. A Figura 4.9 mostra essa situação. IV-8

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Capítulo IV - Teodolitos e Estações Totais

Figura 4.9 - Leituras angulares em dois pontos diametralmente opostos Adaptada de MOREIRA 1998.

Assim, tem-se: a'

—

4.3.5 -

-i--------

cca——1---

= du

a'+a"■

[4.18]

Erros de Graduação dos Círculos

Os erros de graduação dos círculos são acarretados pela imprecisão dos traços, que constituem a graduação dos mesmos. Segundo MOREIRA (1998), são eles: - erros

:acidents são erros existentes no posicionamento de cada traço individualmente;

são indiferentemente positivos e negativos;; - erros sistemáticos: são erros que ocorrem devido à imperfeição da máquina de gravar os traços; eles podem ser negativos ou positivos em regiões distintas do círculo. Segundo JORDAN (1944), as influências desses erros de graduação sobre as medidas angulares podem ser atenuadas fazendo, para cada ponto visado, leituras em partes distintas da graduação do círculo, calculando a média dos resultados. Para diminuir as influências dos erros sistemáticos, é necessário repartir as medidas regularmente sobre toda a porção da graduação.

4.3.6 - Erros do índice do Círculo Vertical - Colimação Vertical Para MOREIRA (1998), o erro do índice do círculo vertical é o erro de colimação do círculo vertical em relação ao horizonte ou ao zênite. Se o instrumento estiver isento do erro do índice do círculo vertical, a leitura do ângulo zenital deve ser igual a 90° 00’ 00”, na posição I (posição direta IV-9

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Capítulo IV - Teodolitos e Estações Totais

da luneta), sempre que a luneta estiver orientada no horizonte. Esta condição deve ser verificada nos seguintes passos: visar um ponto bem definido em posição I da luneta e ler o valor do ângulo do círculo vertical. Repetir a mesma operação na posição II (posição indireta) da luneta. A soma das duas leituras deve ser igual a 360° 00’ 00”. Uma eventual diferença corresponderá ao duplo valor do índice vertical. A eliminação da influência do erro do índice vertical é dada pela média das duas leituras do círculo vertical nas duas posições da luneta. 4.4 -

Teodolitos Eletrônicos Segundo SILVA (1993), na década de 1970, a área de levantamentos topográficos sofreu

profundas modificações com o aparecimento dos teodolitos eletrônicos (Figura 4.10). Os teodolitos eletrônicos possuem as mesmas características construtivas que os teodolitos ótico-mecânicos e a maior mudança ocorreu no sistema de leitura de ângulos, o qual passou a ser eletrônico, e no sistema de calagem, em que é usado um sensor eletrônico de inclinação.

Figura 4.10 - Teodolito ótico-mecânico e teodolito eletrônico respectivamente (Wild, Leica)

4.4.1 - Princípios da Medição Eletrônica de Ângulos Para CINTRA (1995), os principais componentes físicos de um sistema de medição eletrônica de ângulos são: - um círculo de cristal com regiões claras e escuras (transparentes e opacas), codificadas por meio de um processo de fotolitografia; - fotodiodos detectores de luz, que atravessam esse círculo graduado.

I V - 10

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Capítulo IV - Teodolitos e Estações Totais

Existem basicamente dois princípios de codificação, e medição: o absoluto, que fornece o valor angular para cada posição do círculo, e o incrementai, que fornece o valor com relação a uma posição inicial. Para entender o princípio de funcionamento do modelo incrementai, pode-se pensâr, de maneira simplificada, num círculo de vidro com uma série de traços opacos e transparentes igualmente espaçados. Colocando uma fonte de luz de num lado. do círculo e um fotodetector no outro, é possível “contar” o número de pulsos (“claro/escuro”) que ocorrem quando o teodolito é girado, de uma posição a outra, para medir o ângulo (Figuras 4.11 e 4.12). Este número de pulsos pode ser convertido e mostrado de forma digital em um visor.

Figura 4.11 - Sistema de leitura angular incrementai usando comparador de fase Fonte: KAHMEN & FAIG, 1988.

max.

1 2

Figura 4.12 - Sistema de leitura angular incrementai usando interpolação matemática Fonte: KAHMEN & FAIG, 1988.

I V - 11

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Capítulo IV - Teodolitos e Estações Totais

No modelo absoluto, pode-se pensar em trilhas opacas dispostas concentricamente não mais na direção radial, conforme a Figura 4.13. O limite do número de trilhas vem dado agora pelo raio e não pelo perímetro. Associando o valor 0 (zero) quando a luz não atravessa e 1 (um) quando isto ocorre e dispondo uma série de diodos de forma radial, podemos associar cada posição do círculo a um código binário de zeros e alguns numa determinada seqüência; esse é manipulado e mostrado na forma decimal.

Figura 4.13 - Sistema de leitura angular absoluto Fonte: COOPER, 1987.

A leitura do círculo de vidrò de graduação com códigos é realizada ótico-eletronicamente, conforme Figura 4.14, usando o sistema absoluto de leiturq do círculo.

1 - Câmera CCD 2 - Círculo horizontal 3 - Desvio no prisma 4 - Iluminador (LED) Figura 4.14 - Princípio de leitura ótico-eletrônica do círculo de vidro Adaptada de ZEISK 1999.

!V - 12

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Capítulo IV - Teodolitos e Estações Totais

No sistema da LEICA, ao contrário dos principais sistemas de medidas de ângulo absoluto, onde as posições têm que ser decodificadas por várias linhas paralelas, o círculo transporta apenas uma linha de graduação, com códigos que contêm todas as informações posicionais e são lidos por meio de uma câmera CCD e um conversor de 8 bit A/D, para fornecer a posição aproximada com uma precisão em torno de 1 segundo. A medida fina é realizada por um algoritmo apropriado que encontra o meio-termo entre as posições de centro de cada linha de código projetada na série, que é capturada pela câmera. Um mínimo de 10 linhas de códigos devem ser capturadas para determinar a posição. Entretanto, uma simples medida envolve cerca de 60 linhas de código, fornecendo a precisão de interpolação, a redundância e a reprodutibilidade. O

valor da direção horizontal é obtido por leituras nas duas posições do círculo, de maneira a

eliminar a influência da excentricidade. Posteriormente, esse erro é corrigido por parâmetros em função do ângulo vertical lido, antes de apresentar os valores em um visor. Os parâmetros são: o último erro de colimação, referente ao nivelamento e à verticalidade dos eixos armazenados no instrumento; bem como a componente momentânea da falta de verticalidade do eixo principal, transverso à linha de sinal. ' O ângulo vertitaí é corrigido por todos os erros de índice armazenado e pela componente do erro de verticalidade do eixo principal na direção da linha de sinal. Um sensor de verificação da verticalidade do eixo principal monitora as duas componentes do desvio do eixo principal. O princípio do sensor é mostrado na Figura 4.15.

1 - Retículo no prisma 2 - Superfície líquida 3 - Desvio no prisma 4 - Lentes de imagear 5 - Imagem do retículo 6 - Camera CCD 7 - Iluminador (LED)

3 Figura 4.15 - Esquema do sensor de verificação do nivelamento e verticalidade dos eixos Adaptada de ZEISK 1999.

r v - 13

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Capítulo IV - Teodolitos e Estações Totais

De acordo com ZEISK (1999), o retículo (1) localizado no prisma é iluminado por um LED (7) e é imageado (5) na câmera CCD (6) por meio de lentes de imagear (4) após a dupla reflexão na superfície líquida (2). O modelo de linha triangular dos retículos possibilita capturar as duas componentes do desvio do eixo principal por meio de somente um receptor unidirecional. O desvio longitudinal jaltera o espaço entre as linhas diferentemente orientadas; desvio transversal altera o centro da linha-padrão ao longo da câmera CCD, Este arranjo capacita o sensor de desvio ser produzido tão pequeno que pode ser locado centralizadamente sobre o eixo vertical e o espelho líquido de nível apenas sairia da posição de horizontalidade momentaneamente, sempre durante uma rotação rápida da alidade.

4,4.2 - Sensor Eletrônico e Compensador de Inclinação *

E um dos dispositivos que não aparecem nos teodolitos ótico-mecânicos e que foi incorporado aos teodolitos eletrônicos com o objetivo de garantir a compensação automática das inclinações residuais do eixo principal. O sensor eletrônico de inclinação agiliza o levantamento e aumenta a precisão, pois corrige diretamente uma visada'simples de ângulos verticais,, sem ter que conjugar pares de leituras nas posições, direta e inversa (KENNIE and PETRIE, 1993). Segundo CINTRA (1995), o sistema é baseado na reflexão de uma luz sobre uma superfície líquida, que permanece sempre horizqntal e por isso pode ser usada como referencial. Uma luz geratla em A é refletida na superfície líquida B e, após atravessar alguns componentes óticos, atinge um fotodiodo C. O valor da corrente induzida neste permite determinar a posição da luz em relação ao ponto zero Z em um quadrante, bem como o deslocamento em relação a esse ponto central, ou seja, a inclinação do teodolito na direção do eixo de colimação e na sua perpendicular.

1-4 quadrantes 2

z ' fr 4

3lJ

+ ponto de incidên cia de luz direção da ■ luneta ,____ > direção do eixo de inclinação

Figura 4.16 - Detalhe do sensor de inclinação que permite a horizontalização automática Adaptada de KENNIE and PETRIE 1993.

IV- 14

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Capítulo IV - Teodolitos e Estações Totais

A resolução de um compensador desse tipo, segundo MOREIRA (1998), é da ordem de 1 ü m e permite detectar um defeito de calagem do instrumento na ordem de 1”.

4.4.3 - Correções das Medidas dos Ângulos Lidos com um Teodolito Eletrônico Estes aparelhos possuem a capacidade de corrigir automaticamente os erfòs instrumentais por meio de processadores eletrônicos e de compensadores mecânico-eletrônicos. Segundo SILVA (1999), em certos instrumentos os erros de índice vertical e de colimação horizontal são compensados por meio da calibração do instrumento, a qual pode ser feita pelo próprio usuário mediante leituras nas posições direta e inversa da luneta para um alvo bem definido. Os erros calculados por meio da calibração são armazenados no instrumento e compensados durante as medições de campo. O erro de verticalidade do eixo principal é compensado automaticamente por meio do compensador eletrônico para os dois eixos do teodolito.

4.5 -

As Estações Totais Nos levantamentos topográficos destinados a estudos da engenharia, freqüentemente

determinam-se ângulos e distâncias para que se possa representar as áreas de interesse. O os ângulos podem ser determinados por meio do teodolito e as distâncias por dispositivos de me°dição eletrônica, e as operações para obtê-los simultaneamente: são facilitadas .ao acoplar o dispositivo de medição eletrônica de distâncias (MED) a um teodolito.ótico-mecânico ou eletrônico (Figura 4.17).

Figura 4.17: Ilustração de um dispositivo de medição (MED) acoplado a um teodolito Sabendo das vantagens de medir ângulos e distâncias simultaneamente, foi desenvolvida uma nova geração de instrumentos de medições topográficas, que conjuga os teodolitos eletrônicos

IV- 15

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Capítulo IV - Teodolitos e Estações Totais

com os dispositivos de medição eletrônica de distâncias, incorporando suas características e dando origem às Estações Totais (Figura 4.18).

Figura 4.18: Estação Total da série de compensadores eletrônicos e prumos laser

A medição de ângulos nas Estações Totais tem as mesmas características das medições realizadas em teodolitos eletrônicos. A medição de distâncias segue o princípio dos MED, onde a luz infravermelha,-modulada em intensidade, é projetada em um prisma refletor posicionado no ponto final a ser medida a distância. Maiores detalhes podem ser encontrados no Capítulo II. A aplicação de novas tecnologias e a implementação dos anseios dos usuários de todas as partes do mundo trouxeram apreciável desenvolvimento no conceito de operação e funcionalidade das Estações Totais, as quais se torparam menores, mais leves e com procedimentos de medição mais rápidos. Os sistemas de medição de ângulos, de distância sem refletor, o reconhecimento automático do alvo e o prumo laser com o “spot” de iluminação ajustável às condições ambientais são todos componentes disponíveis nesses instrumentos.

4.6 -

Referências Bibliográficas

CINTRA, J.P. (1995). Teodolitos Eletrônicos, Congresso Brasileiro de Cartografia, 17. EPUSP - Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. COOPER, M.A.R. (1987). Modem Theodolites and leveis, 2a edição, The City University, London —BSP Professional Books. ESPARTEL, L. (1960). Curso de topografia, Editora Globo. JORDAN, D.W. (1944). Tratado General de Topografia V. I. Barcelona, Editorial Gustavo Gili, S.A. KAHMEN, H., FAIG, W. (1988). Surveying, Walter de Gruyter - Berlim - New York.

I V - 16

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Capítulo IV - Teodolitos e Estações Totais

KENNIE, T.J.M, PETREE, G. (1993). Engineering Surveying Techonology, Ia edição, Blackie Academic & Professional - USA, Halsted Press. MOREIRA, A.P. (1998). Métodos de cálculos de coordenadas tridimensionais para controle de obras de engenharia, Escola de Engenharia de São Carlos - São Carlos - SP, tese de doutorado. SERVICE MANUAL DU600/TC1600 (1990), General Description Doc Code SML 556.904. SILVA, I. (1993). Instrumentos topográficos modernos - topografia moderna, Congresso Brasileiro de Cartografia, 16; Rio de Janeiro. SILVA, I., ERWES, H. (1999). Apostila do IV Curso de Atualização em Topografia e GPS (segundo a NBR 13.133). Apostila não publicada, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. ZEISK, K. (1999). A new generation of Total Station from Leica Geosystem - Tpsl 100 Professional Series, Leica Geosystems AG, Heerbrugg, Switzerland.

I V -17

V - LEVANTAMENTOS PLANIMETRICOS Geniva! Corrêa de Souza

levantamento topográfico é a operação fundamental da Topografia. Por meio dele se obtem, no

campo, as informações necessárias para a adequada representação de uma determinada área da superfície terrestre. Neste capítulo, estudaremos os levantamentos topográficosplanimétricos, ou seja, nos ocuparemos apenas com qs procedimentos para determinar a posição de pontos no “plano topográfico”, sem preocuparnos com as altitudes desses pontos.

5.1 - F u n d a m e n to s do le v a n ta m e n to topográfico pla nim étrico A finalidade básica do levantamento topográfico é obter informações que permitam descrever geometricamente determinada região da superfície terrestre. As informações obtidas no campo deverão ser capazes de possibilitar a fiel representação da área levantada, mostrando a disposição espacial dos seus elementos constituintes.

As formas de representação mais utilizadas são os desenhos em papel como plantas e mapas e, atualmente, os desenhos na tela de um computador, sendo que as unidades gráficas utilizadas nessa representação são o ponto, segmentos de reta e polígonos. A escala utilizada determina quais elementos podem ser representados por cada uma das unidades gráficas. Vejamos o caso de uma planta topográfica de uma quadra residencial de uma cidade. É muito provável que, em uma escala que permita a análise e a manipulação adequada das informações contidas na planta, os postes, por exemplo, sejam representados por um ponto, as guias de passeio sejam representadas por segmentos de reta e os edifícios por polígonos (ver Figura 5.2). Considerando que os segmentos de reta são, na realidade, definidos por dois pontos e as características geométricas de um polígono são definidas pelos seus vértices, que também são representados por pontos, pode-se dizer que os levantamentos topográficos constituem-se fundamentalmente da determinação de coordenadas de pontos na superfície da Terra, isto é, no âmbito estrito das operações de campo, constitui-se de uma sequência sistematizada de medições de ângulos e distâncias, de modo a obter as coordenadas dos pontos de interesse, de acordo com as finalidades de cada levantamento. Cabe ao topógrafo identificar no campo quais pontos são importantes na definição dos elementos de interesse. As Figuras 5.1 e 5.2 ilustram claramente esse fato, mostrando o conjunto de pontos iniciais que deu origem aos polígonos, segmentos de retas e pontos utilizados para representar os elementos de interesse, neste caso edificações, guias de passeio e postes de iluminação.

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

Figura 5.1 - Pontos levantados

HD1FÍCAÇÒFS GUIA DE PA551:10 POSTE DE ILUMINAÇÃO PÚBLICA

Figura 5.2 - Representação dos elementos de Interesse a partir dos pontos levantados i

i Determinar a posição (coordenadas) de um ponto na superfície terrestre significa relacioná-lo (referenciá-lo) a um outro ponto de posição conhecida. É preciso sempre lembrar que a posição de um ponto ! é expressa por meio das suas coordenadas em um determinado sistema de referência e/ou representação V-2

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

previamente estabelecido. A maneira mais comum de obter a posição de um ponto no campo é medir a direção (azimute ou rumo) e o comprimento do segmento de reta, que une o ponto do qual se deseja conhecer a posição ao ponto conhecido (estação). A Figura 5.3 ilustra esse procedimento. A posição relativa do ponto “B” pode ser conhecida medindo o ângulo

entre segmento de reta, que une os pontos A e B, e uma

direção de referência, e a distância D entre eles. Esta operação pode ser considerada a operação fundamental dos levantamentos topográficos. Outros procedimentos de campo podem ser utilizados. As direções observadas no campo em relação a uma referência qualquer serão posteriormente referidas a um sistema de coordenadas por meio de procedimentos de cálculo adequado. A prática mais comum é efetuar o levantamento utilizando o sistema polar, isto é, medindo ângulos e distâncias no campo, transformá-las posteriormente para um sistema de coordenadas retangulares. A Figura 5.4 ilustra a obtenção dos dados de "campo e a transformação para um sistema de coordenadas retangulares. Assim, a obtenção das coordenadas de um ponto é feita a partir de um outro ponto que serve de referência. Um conjunto de pontos de coordenadas conhecidas forma uma rede de referência que pode variar de alguns poucos pontos de abrangência local até grandes redes que abrangem países e continentes. Um sistema de referência ideal deve ser materializado por uma rede de abrangência global para apoiar subsistemas cada vez menores até o nível de rede local. Os levantamentos topográficos devem estar sempre “amarrados” a uma rede de referência. O procedimento mais utilizado consiste em implantar uma “poligonal local de apoio” para o levantamento de detalhes, que deverá estar amarrada a uma rede de referência de abrangência maior. Ao longo dá História da Topografia, sempre foi comum o estabelecimento de sistemas arbitrários para apoiar os levantamentos topográficos. Tal procedimento sempre foi justificado pela dificuldade em “amarrar” os levantamentos à rede de referência geodésica brasileira, uma vez que quase sempre era necessário o transporte de coordenadas por longas distâncias, elevando os custos dos levantamentos. Com o aparecimento do sistema GPS, tomou-se mais fácil o transporte de coordenadas, não se justificando sistemas arbitrários para apoiar levantamentos. O assunto “redes de referência” é dos mais importantes e vastos da Topografia, mas não será tratado com profundidade neste livro. Procurou-se aqui apenas apresentar o seu conceito e sua relação com os levantamentos topográficos.

5.2 -

O le va nt a m en to topográfico segundo a NB R 13133 A Associação Brasileira de Normas Técnicas publicou em maio de 1994 (validade a partir de

30.06.1994) a NBR 13133, que fixa as condições para a execução de levantamentos topográficos. Até então o Brasil não possuía um instrumento normativo para servir de base na especificação, execução e fiscalização dos levantamentos topográficos em geral. A NBR 13133 veio suprir essa lacuna. Assim, é necessário que todo profissional relacionado a esse campo de atividade conheça as prescrições desse importante documento e o tenha como objeto de consulta permanente.

V-3

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

A NBR 13,133, no item 3.12, define levantamento topográfico como sendo o conjunto de métodos e processos que, por meio de medições de ângulos horizontais e verticais, de distâncias horizontais,,verticais e inclinadas, com instrumental adequado à exatidão pretendida, primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno, determinando suas coordenadas topográficas. A esses pontos se relacionam os pontos de detalhes, visando à sua exata representação planimétrica numa escala predeterminada e à sua representação altimétrica por meio de curvas de nível, com equidistância também predeterminada e/ou pontos cotados. A norma especifica que os levantamentos topográficos devem cumprir, no mínimo, as seguintes fases : a - planejamento, seleção de métodos e aparelhagem; b - apoio topográfico; c - levantamento de detalhes; d - cálculos e ajustes; e - original topográfico; f-desenho topográfico final; g - relatório técnico. 0Uma questão importante enfatizada pela norma diz respeito ao apoio, topográfico. O ideal é que todo levantamento topográfico, para qualquer finalidade, esteja “amarrado” ao Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) por dois pontos comuns, garantindo assim o posicionamento e a orientação do levantamento segundo um sistema global de referência. Não havendo pontos do SGB na área do levantamento, deve-se transportar para ela coordenadas de pontos próximos. Até há bem pouco tempo, o transporte de coordenadas só podia ser feito utilizando métodos geodésicos convencionais, que demandavam alta especialização e tempo, aumentando muito o custo dos levantamentos. Em vista disso, a norma aceita, em casos especiais e quando a finalidade do levantamento permitir, o estabelecimento de sistemas de referência arbitrários, podendo estar orientados, inclusive, para o Norte Magnético. Entretanto, como falamos anteriormente, o aparecimento do GPS modificou drasticamente essa situação, tomando fácil e de baixo custo o transporte de coordenadas, não se justificando mais nos dias de hoje, , a não ser em casos excepcionais, a execução de levantamentos apoiados em sistemas de referência arbitrários,

5.3 - Métodos de l e v a n ta m e n to de pontos Descreve-se, neste item, os métodos mais utilizados na determinação das coordenadas de um ponto topográfico a partir de um ou mais pontos conhecidos.

5.3.2- Irradiação A irradiação é o procedimento mais utilizado para “amarrar” pontos de detalhes a um sistema de referência por meio da medição de uma direção e uma distância. V-4

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Capítulo V - Levantamentos Pianimétricos

Como vimos, para que todos os pontos levantados estejam no mesmo sistema de referência, será necessário efetuar o cálculo das coordenadas de um ponto a partir de outro. Na Figura 5.3 pode-se ver que, se conhecemos as coordenadas do ponto A = (XA YA), será suficiente medir no campo a distância AB (D Ab) e o azimute AB (AZab) para que se possa calcular as coordenadas do ponto B = (XB; YB). Denominamos AX como sendo a diferença de abcissas entre os pontos e AY é a diferença de ordenadas. Estas diferenças representam as projeções do alinhamento sobre os eixos cartesianos. ■ Da Figura 5.3 se deduz que :

A Ya b = Y b - Y á

[5.1]

Sabendo que o triângulo formado pelo alinhamento e suas projeções AX e Ay é retângulo, pode-se afirmar que: AB= D AB.sen{ A Z AB) à Y AB= D AB.cos(AZAB)

[5.2]

Igualando as expressões [5.1] e [5.2], resulta : X b ~ % a ~ ^ ab •sen( A Z ^ ) ^ > X B = X A + D AB.stn( A Z AB) yb

~ Ya

= D ab. cos( A Z ab)=>Y b = Y a

[5.3]

A fórmula mostra que é possível determinar as coordenadas de um ponto a partir de outro, medindo a distância entre eles e o azimute do alinhamento. Por outro lado, se conhecemos as coordenadas dos pontos, é possível calcular a distância entre eles e o azimute do alinhamento, que eles formam. V-5

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Capítulo Y -* Levantamentos Planimétricos

A distância entre dois pontos A (XA, YB) e B (XA, YB) será:

D AB= ^ X a - X A)2 +(YB - Y A)2

[5.4]

O cálculo do azimute de um alinhamento dado pelas coordenadas de dois pontos requer, entretanto, um pouco mais de atenção, como veremos a seguir. Convém lembrar que analiticamente uma reta fica definida quando são dadas as coordenadas de dois de seus pontos, não sendo, pois, necessária a indicação de um sentido (orientação) entre esses pontos. Um alinhamento topográfico, porém, é um segmento orientado, necessitando, pois, além das coordenadas de dois pontos (origem e extremo), a indicação do sentido (orientação) entre esses pontos. Assim, o alinhamento AB tem sentido oposto ao alinhamento BA. Acompanhando ainda a Fig. 5.3, o azimute do alinhamento (AB) é o ângulo AZab, e o azimute do alinhamento oposto (BA) é o ângulo AZba, ambos contados no sentido horário, e diferem de 180°. Ex.: Se azimute de AB (AZab) = 50° 00’00” , então azimute de BA (AZba) = 50° 00’00” + 180° = 230° 00’000” Se (BA) = 230° 00’00” (AB) = 230° 00’00” + 180° = 410° 00’00” Como os ângulos devem sempre variar de 0o a 360°, ao ângulo (AB) deve ser diminuída uma volta completa: 410° 00’00” - 360° 00’00” - 50°00’00” A fórmula que permite calcular o azimute de um alinhamento AB é: f ■X AZ AB = arctan Xj. V y b [A

[5.5]

Para um mesmo valor da tangente existem dois ângulos correspondentes. Se positivo, o ângulo será do I ou III quadrantes trigonométricos; se negativo, será do II ou IV quadrantes trigonométricos (diferença de 180°). Notar que o numerador e o denominador da Fórmula [5.5] podem ser positivos ou negativos. Para evitar erros de interpretação do ângulo (a) fornecido pela calculadora eletrônica, é útil acompanhar a tabela 5.1.

V-6

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

Tabela 5.1 Quadrante I NE II SE

in sw

AXab + + -

AYab +

IV NW

5.3.2-

(AB) a a + 180° a + 180° a + 360°

Estação L ivre Existem casos nos quais é impossível estacionar o instrumento sobre um ponto de coordenadas

conhecidas, a partir do qual se pretende determinar as coordenadas de outro. Neste caso, pode-se utilizar o método da Estação Livre, ou seja, deve-se estacionar o aparelho no ponto que se deseja determinar as coordenadas e efetuar as visadas para outros dois pontos de coordenadas conhecidas. Além de efetuar a leitura do ângulo (a), é necessário medir a distância (Dea) que vai do ponto conhecido ao novo ponto (Figura 5.4).

Y=N

Figura 5.4 Dados : A = (XA, Yb) B = (Xb ,Yb)

Mede-se a distância D ea e o ângulo a Determina-se

V-7

£ = (X E; Y E)

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

Cálculos: 1 - Determinar o azimute AZab. Utilizar a equação [5.5]. 2 - Determinar a distância DAB. Usar a equação [5.4]. 3 - Determinar (AZae):

sen a __ seny D AB

—»

y = arcsen

D EA

r D EA.sen a \ K

^ AB

[5.6]

)

Sendo que: j3 = m ° - ( a + r ) A ^ ae = A Z ab + /3

X E — X A + D AE,sen(AZ AE)

YE =YA + p AE.cos{AZAE)[5‘7]

5.3.3-

I n te r s eç ã o Há casos nos quais existem limitações para determinar distâncias. Uma maneira de contornar esse

problema é efetuar uma interseção de visadas a partir de dois pontos de coordenadas conhecidas, conforme mostra a Figura 5.5. V-N

V-8

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

Dados :A = ( X A;Y a) B = (X B: Y B)

Medir : AZap e AZBp

Determinar: P = ( X P. Y P)

Y P

I X ^ Y ^ A Z ^ - I X b - Y ^ s í AZ^)] tg{AZBP) - t g { A Z AP) • *

X P = X B + (YP - Y B).tg(AZBP)

Como se vê, a abcissa do ponto P (XP) pode ser calculada tanto a partir do ponto Â quanto do ponto B. E recomendável efetuar,o cálculo a partir dos dois pontos, para verificar se ambos os resultados são iguais.

5.3.4-

Bilateração

A bilateração é um método que, como seu próprio nome sugere, tem como base a medição de duas distâncias desde o ponto de coordenadas desconhecidas até dois pontos conhecidos, para determinar as coordenadas.do primeiro.

Y=N

V-9

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

Dados : A = (X A, Y A) B = ( X b Y b)

Medir :

DAp e DBp

Determinar: P = (XP, YP)

Cálculos: 1- determinar a distância DAB. 2- calcular os ângulos a e b . cosa -

COS P

D AB + D AP

D Bp

[5.10]

2.Dab-Dap

= B ^ . +D bp_ 2.Dab.Dbp

[5.11]

3 - Azimutes : AZAp —AZ ab - a [5.12]

A Z bp = AZ BA + /?

Atenção!!! Dependendo da posição do ponto (P) em relação aos pontos de coordenadas conhecidas (A e B), ás fórmulas para o cálculo dos azimutes se alteram. Veja, por exemplo, o caso do ponto Pi na Figura 5.6. As fórmulas para o cálculo dos azimutes serão: AZ apí

AZ ab "T(X\ [5 131

A Z ^A Z u -fr

É necessário, portanto, fazer um bom croqui na hora do levantamento para evitar enganos. 4 - Coordenadas de P : As coordenadas do ponto P podem ser calculadas a partir do ponto A [5.14] ou a partir do ponto B [5.15). Ambos os resultados devem ser iguais.

xp= X A+DAP.sen(AZAP) X p =Y a + D ap.cos( A Z ap)1 '

X p=

]

X B+ D BP.sen( AZ BP)

Yp —Yg + D gP,cos{ AZ gP^

[5 . 15]

V-10

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

5.4 - Po li gon açã o Uma poligonal constitui-se de uma série de alinhamentos consecutivos, dos quais a extensão e a direção são medidas no.campo. O ato de estabelecer no campo os vértices de poligonais e realizar as medidas necessárias é conhecido como poligonação e tem sido o método mais utilizado para implantar um “arcabouço” de apoio para os levantamentos topográficos. A partir dos vértices da poligonal são levantados os pontos de detalhes necessários para a completa descrição da área. As poligonais são classificadas em três tipos básicos, de acordo com a sua conformação geométrica e ligação com poligonais de ordem superior: poligonais abertas, poligonais apoiadas e poligonais fechadas.

5.4.1- Pol igo na is abertas São poligonais que não retomam ao ponto de partida e que começam e/ou terminam em um ponto de coordenadas não-conhecidas (Figura 5.7) São geométrica e matematicamente abertas. Este tipo de poligonal deve ser evitado porque não permite a verificação dos ângulos e distâncias medidos, não existindo, portanto, a possibilidade de checar eventuais erros nos levantamentos.

5.4.2- Poligonais apoiadas São poligonais que começam em um ponto de coordenadas conhecidas e terminam em outro ponto de coordenadas também conhecidas. São geometricamente abertas, porém matematicamente fechadas, permitindo assim a verificação dos ângulos e distâncias medidos, embora necessitem de pontos preexistentes. A Figura 5.8 apresenta uma poligonal apoiada em duas bases implantadas com GPS.

V-ll

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Capítulo V - Levantamentos Pianimétricos

B D 2

Figura 5.8 - Poligonal apoiada

5.4.3- Poligonais f e c h a d a s Começam e terminam em um mesmo ponto, formando uma figura fechada (Figura 5.9). São geométrica e matematicamente fechadas e por isso permitem a verificação das medidas de ângulos e distâncias efetuadas, mesmo que implantadas isoladamente, isto é, sem qualquer ligação com pontos de coordenadas conhecidas.

-• AZ

4 Figura 5.9 - Poligonal fechada

V-12

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5.4.4-

Capítulo V - Levantamentos Pianimétricos

Erro de f e c h a m e n t o a ng ula r e linear das pol ig on ais As poligonais fechadas e apoiadas permitem a verificação das medidas angulares, uma vez que as

condições de fechamento angular para essas poligonais são conhecidas. Da geometria pode-se demonstrar as seguintes igualdades:

= ][>

2)180°

[5.16]

= (» +2)180°

[5.17] [5.18]

T j a h = A z jin - A z ini

= ±360°

[5.19]

onde: y "'ai

=Soma dos ângulos internos de uma poligonal fechada. “ Soma dos ângulos externos de uma poligonal fechada.

=Soma dos ângulos horários de uma poligonal aberta. Azin =Azimute inicial de uma poligonal apoiada. A Zfin

=Azimute final de uma poligonal apoiada. =Soma algébrica das deflexões. As deflexões à direita recebem o sinal (+) e as deflexões à esquerda o

sinal(-). Na prática, as condições acima quase sempre não são atendidas, existindo uma pequena diferença chamada de erro de fechamento angular, ocasionado pelo acúmulo de erros aleatórios nas medidas angulares. A tolerância para o erro varia de acordo .com as precisões requeridas em cada levantamento e são regulamentadas pela NBR 13133. Na seção 5.4.6, trataremos das tolerâncias angulares para cada classe de poligonal estabelecidas pela norma. Definidas as direções (azimutes ou rumos) dos alinhamentos, a verificação das medidas de distâncias

Z ax, =0 /=!

[5.20]

IM* > II O

nas poligonais fechadas e apoiadas é feita com base nas seguintes condições:

[5.21]

ÊAX, = x „ /»!

x„„

[5.22]

y/ ,°Ay1 i = y1 fm - Y1 Itu- . i=1

V-13

[5.23]

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Capítulo V - Levantamentos Pianimétricos

Onde: n é a soma das projeções no eixo leste-oeste do levantamento. Tal como foi demonstrado, o AX de /=] cada lado da poligonal é calculado multiplicando o comprimento, do alinhamento pelo seno do seu azimute (Equação 5.2). n Z a y; é a soma das projeções no eixo norte-sul do levantamento. De forma similar, AY é calculado multiplicando o comprimento do alinhamento pelo cosseno do seu azimute. X ini = coordenada X ( eixo leste-oeste do levantamento) do ponto de apoio inicial. Yini = coordenada Y ( eixo norte-sul do levantamento) do ponto de apoio inicial. X j-in = coordenada X ( eixo leste-oeste do levantamento) do ponto de apoio final. YJln = coordenada Y ( eixo norte-sul do levantamento) do ponto de apoio final.

Assim como no caso das medidas angulares, as condições acima quase sempre não serão atendidas por pequenas diferenças, gerando um erro nas direção leste-oeste ( £X ) e um erro na direção norte-sul ( sY ). A tolerância para o erro varia de acordo com as precisões requeridas em cada levantamento e são regulamentadas pelaNBR 13133. O erro de fechamento linear (sL) é definido como: £L = 4 eX T T s y '2

[5.24]

A precisão relativa (Pr) é expressa pela razão entre o erro linear (sL) e comprimento total da poligonal (P): [5.25] A NBR 13133 introduz o conceito de erro de fechamento transversal (função do erro angular) e erro de fechamento longitudinal (função do erro linear) para poligonais apoiadas que possuem desenvolvimento retilíneo.

5.4.5-

Cálculo de poligonais e distribuição dos erros Nesta seção, apresentar-se-ão, por meio de exemplos, todos os passos necessários para os cálculos de

poligonais a partir dos dados de campo. Desta forma, o leitor poderá entender melhor e fixar os conceitos apresentados na seção anterior. Será observada a sequência de passos normalmente utilizada para o cálculo de poligonais. A Tabela 5.2 apresenta os dados de campo da poligonal fechada da Figura 5.9.

V-14

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

Tabela 5.2 - Dados de campo de uma poligonal fechada Estação 1 9 Z

3 A

Ponto visado

J—......

...

a r - i . '; = a a = s

Angulo medido

Distância

5 (ré) 1 1 o° DA’ 1 I 1 Z UG 1 J 2 (vante) 1 I C O O / j i 0 rr> / j Z4 ó j 3 2 oZUZ n o 0 Uj ID 4 3 C£° q /v 1 A” JO JU 1 U 5 4 QQ / t A ’ ZU OA” y j ° 4U 1 Azimute 1-2 = 211° 58*50”

147,048 110,404 72,373 186,593 105,441

Para os ângulos.internos, a condição de fechamento angular é: ^ a i = (n - 2)180°. Assim, para uma poligonal de 5 lados, a soma dos ângulos internos será

<2/ = (5 - 2).180°~ 540° . Neste exemplo, a soma

dos ângulos medidos é 540° 00*25” e 0 erro de fechamento angular será: 540° 00’25” - 540° 00*00” = 0° 00*25” Este erro deve ser comparado com a tolerância em função da classe de poligonal e, atendidas as exigências, pode então/ser distribuído. O erro deve ser distribuído em parcelas iguais para o número total de ângulos medidos, devendo-se considerar que a correção sempre terá sinal contrário ao sinal do erro. Neste exemplo, ele deve ser subtraído de cada observação, uma vez que a soma. dos ângulos medidos (540° 00*25”) é maior do que o valor esperado (540° 00*00”). A correção angular Ca de cada medida será:

Os ângulos corrigidos são apresentados na Tabela.5.3. Tabela 5.3 - Ângulos corrigidos Estação 1 2

■3 4 5

V-15

Ponto visado 5 íré) 2 (vante) 1 3 2 4 3 5 4 1

Ângulo corrigido 112°00’ 10” 75° 24’ 30” 202° 05’00” 56°50’05” 93°40’15”

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Capítulo V - Levantamentos Plani métricos

Os azimutes (Az) dos lados da poligonal são calculados a partir de um azimute inicial que pode ser obtido a partir da rede de referência geodésica ou determinado no campo, quando esta não existir. Neste exemplo, o azimute do lado 1-2 é conhecido. Pode-se então calcular os azimutes dos outros lados em função do azimute 1-2 e dos ângulos internos medidos: = Aij +180° ± Ai[5.26]

Azí+1 Azi+i = Azimute a ser calculado (vante). Azj - Azimute conhecido. Aj = ângulo horário medido.

Se o resultado da expressão for negativo, deve-se somar 360°, e se for maior que 360°, deve-se subtrair 360°. O sinal (+) deve ser usado quando o ângulo entre os alinhamentos for medido no sentido horário, a partir do alinhamento à ré; caso contrário, usa-se o sinal (-). No exemplo tem-se: Az( 23) = 2 1 1°58'50"+180° + 75024'3O"-36O° = 107°23'20" ;Az(34) = 107°23'20"+180° + 202°05'00"—360° = 129°28'20" ■ Az(45) = 129°28'20"+180° +56°5O'O5''-36O0 =6°18'25" Az(51) = 6°18'25"+180° +93°40'15"= 279°58'40" Az(12) = 279°58'40"+180° + 112°00'10"-360 = 211°58'50" Cálculo das projeções parciais ()X e )Y): AX; =

d.sen

A i^ c o s A ,

[5271

onde: dj= Comprimento do alinhamento de ordem i. Azj = Azimute do alinhamento de ordem i.

Tabela 5,4 - Cálculo das projeções parciais Lado 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1

Azimute 21 l ü58’50” 107ü23’20” . 129ü28’20” 6°18’25” 279u58’40”

Distâncias . 147,058 110,404 72,372 186,583 105,451

Projeções AX

-77,887 105,358 55,866 20,497 -103,856 -0,021

-124,739 -32,995 -46,007 185,454 18,271 -0,016

V-16

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O erros são: O erro linear

sX = 0- ,021 m

Capítulo y - Levantamentos Planimétricos

-0,016 m

eL = *\(-0,021) 2+ (-0,016)2 = 0,026 m

A precisão relativa Pr =

0,0262

621,868

23685

24000

( Lê-se 1 para 24000)

A distribuição do erro linear nas projeções é feita proporcionalmente ao comprimento dos lados da poligonal, isto é: c (x

, ) = c í A ) XÍ i

[5.28]

[5.29]

CO',) = = ^ x / ,

Onde: C ( X .) = Ajuste na projeção X, correspondente ao lado de ordem i. C(Yi) = Ajuste na projeção Y, correspondente ao lado de ordem i. sX - Erro total nas projeções X. sY = Erro total nas projeções Y. // = Lado de ordem i. P = Perímetro da poligonal. No nosso exemplo temos:

C (X.) = 621,868

-( ~0,Q2i)

X 147,058

£ 0,005»?

C(Yl) =:- ~T L i.62 ) x 147 058 g 0,004/72 621,868

As outras correções são calculadas da mesma maneira e devem ser somadas algebricamente a cada projeção. A soma dos valores corrigidos de X e Y deve ser igual a zero, podendo ocorrer pequenas diferenças resultantes de aproximações que devem ser eliminadas por meio da revisão de uma das correções. O resultado final da compensação encontra-se na Tabela 5.5.

VAI

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

Tabela 5.5 - Distribuição do erro linear Projeções (m)

Correções (m)

Projeções Corrigidas(m)

-77,887 105,358 55,866 20,497 -103,856

-124,739 -32,995 -46,007 185,454 18,271

0,005 0,004 0,0025 0,006 0,0035 0,021

0.004 .0,003 0,002 ;o,oo5 0,002 0,016

-77,882 105,362 55,869 20,503 -103,852 0,000

-124,735 -32,992 -46,005 185,459 18,273 0,000

* ^

As coordenadas definitivas de cada ponto sãõ calculadas a partir de uma coordenada inicial, que pode ser arbitrada, embora o ideal seja que a poligonal seja amarrada a um sistema de referência geral. Neste exemplo, atribuem-se os valores X = 1000,000 e Y = 1000,000 para o ponto 1. X , = X W +AX,

[5.30]

Y, =¥>_,+AY, A Tabela 5.6 apresenta as coordenadas finais. Tabela 5.6 - coordenadas finais Estação Projeções corrigidas 1 ? 3. 4 5 1

-77,882 105,362 55,869 20,503 -103,852

-124,735 -32,992 -46,005 185,459 18,273

Coordenadas Finais X 1000,000 922,118 1027,480 1083,349 1103,852 1000,000

Y 1000,000 875,265 842,273 196,26% 981,727 1000,000

A seqüência de cálculo de poligonal, mostrada nas seções anteriores, pode ser reunida numa planilha única, conforme mostrado na Tabela 5.7.i

i i V-l 8

Tabela 5.7 - Planilha de cálculo de poligonais Projeções PE

Âng. Medido

Âng. Corrigido

Azímiiie

Correções

Coordenadas Finais

Distância AX

1000,000

1000,00

112°00’ 15”

112°00’ 10”

21 lu58’50” 147,058

-77,887

-124,739

0,005

0,004

922,118

875,265

75° 24’ 35”

75° 24’ 30”

107u23’20”

105,358

-32,995

0,004

0,003

1027,480

842,273

202° 05’05”

202°05’00”

129(,28’20” 72,372

55,866

-46,007

0,0025

0,002

1083,349

796,268

56°50’ 10”

56° 50’05”

6°I8’25”

186,583

20,497

185.454

0,006

0,005

1103,852

981,727

93° 40’20”

93" 40’ 15”

279(>58’40”

105,451

-103,856

18,271

0,0035

0,002

1000,000

1000,00

E=540° 00’25 >a=0° 00’25” Erro de fechamento linear (>L) ^

Precisão relativa

110,404

P=621,868 >X =-0,021 >Y =-0,016 E=0,021 sL

= -/(-0,02!) 2+ (-0,016)2

= 0,026

0,0262

621,868

23685

24000

Pr = -------- = ------- = -------

E=0,016 (- 0 ,021)

C(AT:) = ----------- */r621,868 C(Yi ) =

-(-0,016) 621,868

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5.4.6-

Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

Tolerâncias para o f e c h a m e n t o de poligonais O estabelecimento das tolerâncias para o fechamento de poligonais pela NBR 13133 leva em

consideração o tipo de poligonal, classificadas em: Tipo 1 - Poligonais apoiadas e fechadas numa só direção e num só. ponto; Tipo 2 - Poligonais apoiadas e fechadas em direções e pontos distintos com desenvolvimento curvo; Tipo 3 - Poligonais apoiadas e fechadas em direções e pontos distintos com desenvolvimento retilíneo. De acordo com a norma, devido à diversidade de erros inerentes às poligonais (medições de ângulos e lados e estacionamento dos instrumentos de medição) e à difícil determinação da propagação de erros, são aceitáveis para as poligonais dos tipos 1 e 2 os métodos de compensação que consistem em efetuar primeiramente uma distribuição dos erros angulares e, em seguida, fazer uma distribuição dos erros lineares, conforme vimos nas seções 5.5.4 e 5.5.5. As tolerâncias neste caso são:

Ta < a +b * ÍN

[5.31]

Tp <c + d j L ( K m j

[5.32]

onde: Ta = tolerância para o erro de fechamento angular. T = tolerância para o erro de fechamento linear. a = erro médio angular (azimute) da rede de apoio multiplicado por V2 . Este valor fornece o erro de azimute propagado pelos dois pontos de apoio da poligonal. Para poligonais fechadas (tipo 1) a = 0. b = coeficiente que expressa a tolerância para o erro de medição dos ângulos da poligonal. c = erro médio de posição dos pontos de apoio multiplicado por V2 . Este valor fornece o erro de posição propagado pelos dois pontos de apoio da poligonal. Para poligonais fechadas (tipo 1) c = 0. d = coeficiente que expressa a tolerância para o erro de fechamento linear em m/km de desenvolvimento da poligonal, somente aplicável às poligonais dos tipos 1 e 2. N = número de vértices. L= extensão da poligonal em Km.

A Tabela 5.8 mostra os valores dos coeficientes b (poligonais dos tipos 1, 2 e 3) e d (poligonais 1 e 2) para as diferentes classes de poligonal, de acordo com a NBR 13133.

V-20

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

Tabela 5.8 - Tolerâncias para poligonais do tipo 1 e 2 Classe da Poligonal

b (seg)

d (m)

ip iip

6” 15” 20” 40”

0,30 0,42 0,56

m p IV P

0 ,1 0

Nas poligonais do tipo 3, normalmente empregadas em redes básicas urbanas e em projetos viários, o desenvolvimento retilíneo permite a avaliação dos erros de fechamento transversal (função do erro angular) e de fechamento longitudinal (função do erro .linear). Neste caso, podem ser aplicados quaisquer métodos de ajustamento. Não trataremos aqui de métodos de ajustamento de poligonais por fugir do escopo deste livro. O leitor deverá buscar literatura específica sobre o assunto. Segundo a NBR 13133, os valores dos fechamentos transversal e longitudinal são obtidos ligando o ponto de partida ao ponto de chegada da poligonal. O erro de fechamento longitudinal que está nessa reta é o segmento entre o ponto de chegada e a interseção de perpendicular baixada sobre ela a partir do ponto real de chegada. O erro de fechamento transversal é o segmento da perpendicular baixada do ponto real de chegada até a sua interseção com a reta que une os pontos de partida e de chegada (Figura 5.10). Estes erros são componentes do erro de fechamento linear e destacam a qualidade das medições angulares e de.distâncias-de uma poligonal, enquanto os erros de fechamento linear em coordenadas são apenas indicadores da divergência linear no sistema de coordenadas cartesianas x e y. Estes erros podem ser obtidos gráfica ou analiticamente.

Figura 5.10 - Erros transversal e longitudinal em poligonal do tipo 3

V-21

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Capítulo V - Levantamentos Pianimétricos

Apresenta-se a seguir uma metodologia de cálculo analítico dos erros transversal e longitudinal com base nos valores das coordenadas do ponto de chegada (PC) e do ponto real de chegada (PRC): Quatro situações distintas podem ocorrer de acordo com a posição relativa desses dois pontos ( figura 5.11). Situação 1 (Figura 5.11a): AX(+) A7(+) AZp =

AZp- 90"

[5.33]

a = AZp - AZc

[5.34]

Tr = D.cosa

[5.35]

Lg = D. sen a

[5.36]

Situação 2 (Figura 5.1 lb): '

AX(+) A F (-) AZp

- AZpc - 90"

a = AZc - AZp

[5.37]

Tr=

b.cosa

Lg = D. sen a Situaçao 3 (Figura 5.11c): À X ( -) A7(+) AZp = AZpc + 90"

[5.38]

a = AZc - AZp T r-D .cosa Lg = D. sen a Situação 4 (Figura 5.1 ld): Á X (-) m -) AZp

=AZpc + 90"

a = AZp - AZc Tr = D. cos a Lg = D. sen a onde:

Tr = Erro transversal. Lg = Erro longitudinal. V-22

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

ÀX = Diferença entre a coordenada X do ponto real de chegada e o ponto de chegada da poligonal. AY = Diferença entre a coodenada Y do ponto real de chegada e o ponto de chegada da poligonal. AZp = Azimute da perpendicular à linha que une o ponto de partida ao ponto de chegada da poligonal; Esta perpendicular passa pelo ponto1real de chegada. AZc = Azimute da linha que une o ponto real de chegada ao ponto de chegada. É calculado com base nas suas coordenadas. AZpc = Azimute da linha que une o ponto de partida ao ponto de chegada.

Figura 5.11 - Elementos para o cálculo dos erros transversal e longitudinal

As tolerâncias estabelecidas pela NBR 13133 para os erros longitudinal e transversal são os seguintes:

Tt < c + eL{km)~JN - 1 T,

[5.39] <c

onde: Tt = tolerância para o erro de fechamento transversal. Tt = tolerância para o erro de fechamento longitudinal. c = erro médio de posição dos pontos de apoio de ordem superior multiplicado por V2 (por serem dois os pontos de apoio).

V-23

fJUjKm

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

e = coeficiente que expressa a tolerância para o erro transversal acarretado pelo erra da medição angular de um lado médio poligonal. / = coeficiente que expressa a tolerância para o erro longitudinal acarretado pelo erro da medição linear de um lado médio poligonal, N = Número de vértices da poligonal, incluindo os de partida e de chegada. L = Extensão da poligonal (soma dos lados). . Os valores para os coeficientes “ e ” e

estabelecidos pela norma de acordo com as classes de

poligonais, estão apresentados na Tabela 5.9.

Tabela 5.9 - Tolerâncias para poligonais do tipo 3 Classe da Poligonal ip iip iii p rv p

b (seg) 6 15 20 40

e (m) 0,02 0,04 0,06 0,11

f(m) 0,04 0,12 0,15 0,17

5.5 « Avaliação de áreas A avaliação de áreas é uma parte muito importante da Topografia. Na engenharia em geral, geografia, cartografia, agricultura e várias outras áreas, grande parte dos procedimentos relativos a estudos, projetos, dimensionamento, avaliações e análises diversas dependem do cálculo de áreas. Na Topografia quase sempre trabalhamos com pequenas partes da superfície terrestre e a área a ser calculada é sempre a sua projeção no plano topográfico. Existem vários métodos para determinar áreas, e para fins de classificação, podem ser agrupados de diversas maneiras, de acordo com os critérios utilizados pelos diferentes autores. Aqui os dividiremos em dois grandes grupos: o primeiro, no qual as medidas utilizadas no cálculo da área são obtidas diretamente no campo (métodos não-gráficos) e o segundo, onde as medidas utilizadas no cálculo são obtidas graficamente por meio do desenho em escala da parcela da qual se deseja conhecer a área (métodos gráficos). É necessário salientar, que embora as medidas sejam obtidas graficamente em plantas e mapas, elas dependem originalmente dos dados de campo. A importância da distinção entre os métodos não-gráficos e métodos gráficos reside no fato de que os primeiros são normalmente mais precisos por utilizar medidas de campo, enquanto os métodos gráficos dependem da precisão de plantas e mapas (escala) e como as medidas são obtidas nos mapas. Descrevem-se a seguir os principais métodos de avaliação de áreas:

5.5.1- Divisão em fi g u r a s geométricas simples Consiste em dividir ã parcela da qual se pretende conhecer a'área em figuras geométricas simples, tais como triângulos, retângulos ou trapézios, cujas áreas podem ser facilmente calculadas por meio de V-24

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

relações conhecidas. A soma das áreas de cada uma das figuras fornece a área total. A parcela mostrada na Figura 5.12, por exemplo, foi dividida em triângulos (S, a S5e S9) e em trapézios (S6 a S8). A área total pode ser calculada somando as áreas de cada triângulo e de cada trapézio individualmente. No cálculo da área dos triângulos pode-se utilizar a equação: 5 = onde:

-Js( -

õ)(s -

s = (a + b + c ) / 2 a,b,c =lados do triângulo.

As medidas dos lados de cada triângulo podem ser obtidas diretamente no campo ou mesmo graficamente., a partir do desenho (planta) da parcela em uma determinada escala, sendo que a precisão alcançada dependerá dos erros inerentes a cada processo, isto é, da precisão das medidas obtidas no campo ou da precisão da escala da planta. O cálculo das áreas S óa Sg pode ser efetuado medindo as bases e alturas de cada trapézio. O leitor deve estar atento ao fato de que as figuras contíguas á limites irregulares, como é o caso das áreas S 5 a S9 na Figura 5.12, são aproximações de figuras geométricas simples, acarretando, portanto, imprecisões no valor da área. O cálculo de área por divisão em figuras geométricas simples foi muito utilizado no passado devido à simplicidade de cálculo, mas caiu em desuso depois do aparecimento das calculadoras eletrônicas e dos computadores. Atualmente utiliza-se quase sempre 0 método analítico, a partir das coordenadas cartesianas dos vértices da parcela.

Figura 5.12 - Divisão em figuras geométricas simples

V-25

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

5.5.2- Offsets a pa rtir de um a li n h a m e n to de referência Este método pode ser útil no cálculo de áreas de parcelas com limites irregulares, que ocorrem com muita frequência como áreas extrapoligonais nos levantamentos topográficos, normalmente nos limites de estradas, rios etc. Consiste em dividir a parcela em trapézios, utilizando um alinhamento de referencia a partir do qual são medidos “offsets”1 que se constituirão nas bases dos trapézios. A distância entre os “offsets” pode ser fixa (Figura 5.13) ou variável (Figura 5.14). Quanto menor a distância entre “offsets”, maior será a precisão obtida. O procedimento de cálculo para o caso de distâncias iguais entre os “offsets” é apresentado a seguir. Seja a figura 5.15. A área extrapoligonal l-A-B-2 pode ser calculada pela fórmula[5.42]. ÁREA =

h f-

... + C ) 2

[5.42]

Figura 5.13 - Cálculo de área extrapoligonal com offsets igualmente espaçados

Esta fórmula é conhecida na literatura como fórmula dos trapézios ou fórmula de Bezout. Existem outras fórmulas utilizadas no cálculo de áreas extrapoligonais, tais como as de Simpson e Poncelet. As deduções dessas fórmulas podem ser obtidas na referência [10] (ver referências bibliográficas). No caso de afastamentos diferentes entre os “offsets” (Fig. 5.16), a fórmula para o cálculo da área será: ÁREA = ~ [h 0(b0 Jr b l) Jr h ](bl +b2) + ... + hn_x(bn_}) +bn)]

[5.43]

Figura 5.14 - Cálculo de área extrapoligonal com espaçamento variável entre offsets ' 1 A expressão de língua inglesa “offset” é usada aqui para representar o afastamento de um ponto em relação a um determinado alinhamento de I rpforênrin ....

V-26

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

5.5.3- Cálculo analítico da área a parti r das coordenadas cartesianas dos vértices Neste caso, é necessário conhecer as coordenadas de todos os vértices definidores da área a ser calculada. O método analítico pode ser usado em qualquer situação e a fórmula utilizada para o cálculo da área pode ser facilmente deduzida, como veremos a seguir. A figura 5.15 apresenta um polígono de coordenadas X e Y dos vértices, conhecidos, do qual se calcula a área.

Iâentificam-se facilmente os trapézios (122* 1'*), (233’2’),(155’l ’),(5 4 4’5’) e (433’4’). A área do polígono ( Ai?£A(12345)) pode ser calculada por: A /? £ A ( 12345)

—AREAq22*y) +

A/^£4^233*2‘)

—AREAq5$p) —ÁREAfjm^ —ÁREA^^y^)

Expressando a área de cada trapézio em função das coordenadas dos vértices, temos: ÁREA(12345)

“(X2

-Xi) 4-42121(^3 _ X2) _ 2 i í l L ( X3 - x 4) .

V-i+Vj

(*4 -*5)-

- U5 - x , )

ou Á R E \ 12345)

^ ( * 2 -* )+ ^ (* 3

x1) + ^ ( x 4 - x 3) + V4+.V5 o5

í) + ^ ( x , - x 5)

Generalizando para um polígono de n lados, temos: ÁREA = ^

(*2 - x ,) + ^

(*3 - *2) +... +

(Xn - ^

(xx - x n )

ou ÁREA = --[()'| + y 2)(-n -^ i) + ()’2 +}’3)U3 --í2) +- + (>’n-i + y j ( x«--í„-i) + (>’n + >’i)(-*i -*„)]

[5.44]

A expressão [5.44] é conhecida como fórmula de Gauss e calcula a área de qualquer polígono a partir das coordenadas cartesianas dos seus “n” vértices.

V-27

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

O cálculo analítico de área pode ser sistematizado em folha apropriada. A repetição do procedimento com a inversão nos eixos permite conferir a exatidão nos cálculos, uma vez que o valor encontradorserá o mesmo exceto o sinal algébrico, que ficará invertido. Um exemplo é dado a seguir na Tabela 5.10.

Tabela 5.10 - Cálculo analítico de área Ponto

137,69

206,88

257,17

AX IY

261,88

119,48

468,76

56007,44

394,86

55,00

446,13

225,50

188,96

487,38

92095,32

703,30

-36,38

21717,30 —j~ -25*586,05

. 4

324,11

165,42

-122,02

390,92

-47700,10 770,24

-60,08

-46276,02

234,29

54,57

-89,82

219,99

-19759,50 558,40

-110,85

-61898,64

137,69

206,88

-96,6

261,45

-25256,10 371,98

152,310

56656,274

AREA =

55387,14

AY IX

-55387,14

55387,14 / 2

-55387,14 / 2

27693,57

Se desenvolvermos a equação (neste exemplo para n = 5), chegaremos à equação [5.45]:

2(AREA) = X 2Y]

+ X 3Y2 - X 2Y3 + X4K3 - X3Y4 + X5y4 - X4T5 + X }Y5 - X SY}

[5.45]

A equação acima é facilmente memorizada e o cálculo da área efetuado de maneira simples por meio do seguinte dispositivo prático: dispõem-se as coordenadas dos pontos em duas colunas X e Y, como apresentado na Figura 5.16. As coordenadas do primeiro ponto devem ser repetidas no final. Os produtos indicados pelas setas ascendentes (linha contínua) recebem o sinal

( + ) e os indicados pelas setas

descendentes (linha tracejada) recebem o sinal ( - ). A soma algébrica dos produtos ascendentes e descendentes dividida por 2 fornecerá a área do polígono. X

(+)

(-)

Figura 5.16 -Dispositivo prático para o cálculo analítico de área V-28

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Capítulo V - Levantamentos Píanimétricos

Utilizando esse dispositivo prático, o cálculo da área do polígono do exemplo ficará da seguinte forma:

Tabela 5.11 - Cálculo analítico de área pelo método simplificado PONTO

X (m)

Y (m)

Xn.Y(n-l) ( + )

1 2 3 4 5 1

137,69 257,17. 446,13 324,11 234,29 137,69

206,88 261,88 225,5 165,42 54,57 206,88

53203,33 116832,52 73086,81 38756,25 7513,74.

E -

AREA

Xn.Y(n+l) ( - ) -36058,26 -57991,84 -73798,82 -17686,68 -48469,92

289392.65 -234005.52 (289392.65+ (-234005.52)) / 2 = 27693.57 m2

5.5.4- Pl a ní m et r o polar Um método muito comum de avaliar áreas a partir de plantas é o do planímetro polar, um instrumento desenvolvido por Amsler em 1854. O planímetro constitui-se das seguintes partes (Figura 5.17): braço polar de comprimento “ a ” (raio), que gira centrado em um pólo na sua extremidade; pólo de fixação (P) destinado a fixar o braço polar no papel;0 braço traçador, articulado em “ j ” com o braço polar, de comprimento “ b pólo traçador (T), na extremidade do braço traçador, serve de guia para percorrer os limites da figura plana, cuja áreá se deseja medir; roda medidora ou roda integrante (r), situada a uma distância do ponto de articulação entre os braços polar e traçador; Dispositivo de registro do número de voltas da roda medidora. Pode avaliar até um milésimo de volta.

Figura. 5.17 - Planímetro polar

V-29

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Capítulo V - Levantamentos Pianimétrieos

O método do planímetro polar utiliza medidas de plantas ou mapas obtidas e processadas por meio de um dispositivo mecânico para fornecer a área e por isso é classificado por diferentes autores como sendo um método mecânico, Com o pólo P fixo ao papel e percorrendo a linha de perímetro da figura com o pólo traçador, é registrado o número de voltas da roda medidora, a partir do qual pode-se deduzir a área da figura. O pólo fixador pode ficar fora ou dentro da área a ser avaliada. A forma mais comum de utilizar o planímetro é fixar o pólo “P” fora da área a ser medida. Deve-se anotar a leitura inicial e então percorrer a linha de perímetro utilizando o pólo traçador como guia. A diferença entre as leituras final e inicial fornece o número de voltas com aproximação de até um milésimo de volta. Quando a área é muito grande para ser medida com o pólo fixador fora dos seus limites, pode-se subdividi-la em áreas menores, facilitando a medição. Pode-se ainda colocar o pólo fixador dentro da área a ser avaliada (Figuras, 5.18 e 5.19). Neste caso, é necessário conhecer quanto mede o círculo fundamental do planímetro. O círculo fundamental é o círculo descrito pelo pólo traçador quando os braços polar e traçador formam um ângulo de 90 graus. Nesta situação, a roda medidora descreve um movimento “normal” ao seu sentido de giro, sendo, portanto, arrastada sobre o papel, não sendo registrada nenhuma leitura. A leitura correspondente ao círculo fundamental é fornecida com o instrumento. Quando a área a ser8medida é maior do que o círculo fundamental, deve-se somar a leitura registrada pelo planímetro à leitura correspondente ao círculo fundamental, obtendo-se assim o número de voltas que será utilizado para o cálculo,da área. Caso contrário, quando a área a ser medida é menor que o círculo fundamental, deve-se subtrair a leitura registrada da leitura correspondente, ao círculo fundamental. O leitor que deseja conhecer detalhadamente os fundamentos do funcionamento do planímetro poderá consultar as referências [3] e[7] listadas no final deste capítulo.

Figura 5.18 - Póio Fixador dentro da área. Área maior que o círculo fundamental.

Figura 5.19 - Pólo fixador dentro da área. Área menor que o círculo fundamental.

Existem outros métodos de avaliação de áreas, dentre os quais podemos citar: transformações geométricas para polígonos equivalentes, métodos das quadrículas, balança de precisão, feixe de paralelas e V-30

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

outros. São métodos que ficaram em desuso depois do aparecimento das calculadoras e microcomputadores e por isso não serão estudados neste livro.

5.6 - A u t o m a ç ã o dos le vantamentos Apoiados no desenvolvimento da eletrônica e da computação nas últimas décadas, surgiram os equipamentos eletrônicos para medir ângulos e distâncias, proporcionando um grande avanço nas tecnologias de obtenção e processamento dos dados de campo. O emprego dos distanciômetros eletrônicos viabilizou a medição de maiores distâncias com grande precisão. O aparecimento das estações totais, reunindo num único equipamento um "teodolito eletrônico e um distanciômetro eletrônico”, é considerado um marco extremamente significativo em toda a história da Topografia. A utilização desses equipamentos, aliados à automação de cálculos e desenhos, permite uma alta qualidade e produtividade nos levantamentos topográficos. Neste item, descreveremos alguns pontos relacionadas à automação dos levantamentos.

5.6.1-

O Registro Eletrônico dos Dados de Campo A anotação dos dados de campo sempre se constituiu numa fonte de erros grosseiros, além de

contribuir, para a fadiga do operador, influenciando a produtividade tanto no campo como nos trabalhos de gabinete. kOs equipamentos eletrônicos permitiram um ganho significativo em termos de produtividade e qualidade ao permitir o registro eletrônico dos dados de campo. Atualmente existem três formas de registro eletrônico:, no primeiro, os dados são armazenados no próprio equipamento por: meio de uma memória interna própria ou removível, como cartões de memória do tipo PCMCIA (Personal Computer Memory Card International Association). Os cartões de memória PCMCIA funcionam como uma expansão de memória, tendo capacidade variável, como 512Kb, 2 ou 4 Mb etc. São de pequeno tamanho, facilitando o seu armazenamento e uso (Figura 5.20).

Figura 5.20 - Cartões do tipo PCMCIA usados em Estações Totais marca Topcom Fonte: Catálogo Topcon.

V-31

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

No segundo caso, coletores externos são conectados ao equipamento e ainda é possível conectar computadores portáteis diretamente ao equipamento. No último caso, os dados observados são transferidos diretamente do equipamento de medição para o computador por meio de um cabo serial. A Figura 5.21 ilustra a transferência de dados de uma estação total para o micro.

Figura 5.21 - Transferência de dados da estação para o micro Fonte: Leica

5:6.2- Funçõ es internas de uma Estação Total

Os programas internos das estações totais possibilitam uma alta produtividade nos trabalhos de campo. As funções mais comuns da maioria das estações totais, que permitem ao usuário realizar determinados tipos de cálculo diretamente no campo, são:

Estação livre - visando pelo menos dois pontos de coordenadas conhecidas, a estação calcula a coordenada do ponto ocupado. Na Figura 5.22, visando os pontos 1 e 2, de coordenadas conhecidas, a estação total fornecerá as coordenadas do ponto E.

Figura 5.22 - Estação livre

V-32

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•

Capítulo V -Levantamentos PIanimétricos

E stação conhecida - a estação total é inicializada em um determinado sistema de referência diretamente no campo por meio da medida de um ponto a ré (A) ou pela orientação a partir de um azimute dado. Desta forma, à medida que o levantamento vai sendo realizado, a estação fornece imediatamente as coordenadas dos pontos.

C á lc u lo

de á r e a s - calcula a área a partir dos pontos levantados no campo ou armazenados na

memória do instrumento. Conforme se vê na Figura 5.23, a área do polígono A,B,C,D é fornecida prontamente pela estação total.

F ig u r a 5.2 3 - c á lc u lo d e á r e a s

® Determinação de elevações rem otas - é utilizado na determinação da altitude de um ponto inacessível ao prisma. Visam-se o prisma e, em seguida, pontos do objeto na mesma vertical do prisma, medindo os ângulos verticais.

•

L ocação

- permite a locação de pontos no campo a partir da medida de ângulos e distâncias ou

coordenadas. O instrumento calcula, com base na posição do prisma, o deslocamento necessário para atingir a posição desejada. Como mostra a Figura 5.24, a partir da visada no ponto T , a estação total fornece os valores do deslocamento necessários para chegar ao ponto 1.

V-33

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Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

Figura 5.24 - Locação

Poligonais - calcula poligonais diretamente no campo. As coordenadas de cada ponto são calculadas com base nas coordenadas do ponto anterior e das medidas efetuadas. No caso de poligonais fechadas ou apoiadas, calcula os erros de fechamento e faz o ajustamento das coordenadas.

Altura do ponto ocupado - determina a altura do ponto:ocupado em função da altura de um ou mais pontos conhecidos;

5 .6 .3 ’ A u to m a çã o de cá lcu lo s e d esen h o s Os softwares para Topografia existentes no mercado permitem a realização de cálculos e desenhos a partir dos dados de campo. Normaímente são divididos em módulos, cada qual responsável por um tipo de tarefa, embora possa existir uma interdependência entre eles. Embora seja uma particularidade de cada um, os programas de Topografia geralmente apresentam os seguintes módulos: móduio básico - responsável pelos cálculos de poligonais e transformações entre sistemas geodésicos e conversões de coordenadas topográficas, UTM, e geográficas; •

m ódulo de desenho - permite a geração e edição de desenhos a partir dos dados de campo processados. Os programas podem possuir CAD próprios ou utilizar CADs externos, como o AutoCad, por exemplo;

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•

Capítulo V - Levantamentos Planimétricos

a p li c a t i v o s - s ã o m ó d u lo s d e d ic a d o s à ta refa s e s p e c íf ic a s e v a ria m e m ca d a p ro g ra m a . M u ito s p ro g ra m a s p o s s u e m a p lic a tiv o s d e s tin a d o s a o s tra b a lh o s q u e e x ig e m c á lc u lo d e v o lu m e s a partir d e s e ç õ e s tr a n sv e r sa is e q u e o fe r e c e m fe rra m en ta s para a c r ia ç ã o d e tra ça d o s h o r iz o n ta is e v e r tic a is p ara a p lic a ç ã o e m r o d o v ia s, fe r r o v ia s, a r m a m e n to s, c a n a is e tc.

Os dados de campo podem ser introduzidos de forma manual, digitando as medições, ou a partir da transferência direta entre o instrumento de medida ou coletor de dados e o programa.

5.7 - R e fe rê n c ia s b ib lio g rá fic a s ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1994). NBR 13133, Execução de levantamento topográfico - procedimento. Rio de Janeiro. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1998). NBR 14166, Rede de referência cadastral municipal - procedimento. Rio de Janeiro. DOMENGUES, F. A. A. (1979). Topografia e Astronomia de Posição para Engenheiros e Arquitetos. São Paulo. Editora McGraw-Hill do Brasil. ESPARTEL, L. (1960). Curso de topografia. Rio de Janeiro. Globo. HERUBTN, C. A. (1 9 9 1 ).PR1NCIPLES OF SURVEY1NG. NEW JERSEY. PRENTICE HALL. KAHM ÈN, H.; FAIG, W. (1988). SURVEY1NG. BERLIN.NEW YORK. DE GRUYTER. SCHOFIELD, W. (1993). Engineering surveying - Oxford. Butterworth-Heineman Ltd. SOUZA, G. C, (2001). Análise de Metodologias no Levantamento de Dados Espaciais para Cadastro Urbano.Sã.o Carlos. 110 p. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidáde de Sãò Paulo. VEIGA, L. A. K. (2000). Sistema para mapeamento automatizado em' campo: conceitos, metodologia e implantação de um protótipo. São Paulo. 118 p. Tese (Doutorado) - Escola Politécnica, Universidade de São Paulo. WOLF, P. R.; BRINKER, R. C. (1994). Elementary surveying. New York. Harper Collins College Publishers.

V-35

VI - LEVANTAMENTOS ALTIMÉTRICOS Diego Alfonspj Erba Maurício Roberto Veronez Adriane Brill Thum

O desenvolvimento de projetos de engenharia inicia com o estudo detalhado da área onde a obra será implantada. Assim, o profissional precisa conhecer, além da posição de cada um dos elementos existentes sobre a superfície do terreno, as variações que o relevo apresenta. Somente-a partir da interpretação correta do relevo é possível compreender como se movimentam as águas na superfície terrestre e, conseqüentemente, quais serão as intervenções que necessariamente deverão ser feitas para implantar a obra. Como foi visto no Capítulo I, a área da Topografia que se ocupa de estudar e desenvolver métodos e instrumentos destinados a determinar distâncias verticais entre pontos topográficos é a Altimetria. As distâncias verticais são obtidas em relação a uma superfície de referência denominada datum, a qual pode assumir diferentes formas. Como vemos na Figura 6.1, para compreender as variações do relevo, é suficiente .conhecer as diferenças de nível (ÀZ) existentes entre os pontos topográficos que compõem a área levantada, as quais independem da posição do datum.

V I- 1

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6.1 -

Capítulo VI - Levantamentos Altimétricos

Superfícies de referência A superfície utilizada para referenciar as diferenças de nível pode ser plana ou curva e a escolha

depende do tamanho da área levantada. A Figura 6.2 mostra que, quando os pontos de interesse (A e B) se encontram próximos, a distância vertical que existe entre eles pode ser medida tomando como referência o datum curvo ou o datum plano, sem que existam diferenças significativas nos valores obtidos.

Assim, apesar da curvatura que apresenta a superfície terrestre, ao trabalhar em áreas que se * . . . . ° ® encontram dentro dos limites aceitos pela Topografia, é possível adotar um plano horizontal (datum plano) como referência, sem que essa simplificação influencie negativamente o levantamento. O plano horizontal utilizado como referência será sempre perpendicular à linha vertical definida pelo fio do prumo, colocado, aproximadamente, no centro da área levantada (Figura 6.1). Sendo que essa direção é diferente ao longo do nosso planeta, recebe o nome de vertical do lugar em cada ponto em que é determinada. Na linguagem topográfica, ao adotar um plano horizontal como referência para o levantamento altimétrico, as distâncias verticais existentes entre esse plano e o ponto em questão denominam-se cotas (como a cota do ponto A (CA) da Figura 6.3). Ao trabalhar em grandes áreas, a curvatura terrestre começa a fazer sentir sua influência e o datum plano deixa de ser apropriado. Na Figura 6.3, vemos que, se fosse adotado um plano como referência de nível, a cota do ponto B seria menor do que a cota do ponto A. Isto poderia acarretar um erro de interpretação: por exemplo, se chovesse nessa área, a água se deslocaria de A para B, que, evidentemente, não é verdadeiro. Esse erro seria decorrente da adoção equivocada da superfície de referência. Em casos como esse, é necessário utilizar como superfície de referência o Geóide. Somente assim a distância vertical entre os pontos A e B é verdadeira e representa o relevo na sua verdadeira magnitude. As distâncias verticais entre os pontos topográficos, medidas em relação ao Geóide, denominam-se altitudes (como a altitude do ponto A (HA) da Figura 6.3).

V I -2

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Capítulo VI - Levantamemòs. Akimétricos

Vertical em A

Figura 6.3

Independentemente da superfície de referência que se adote, os levantamentos altimétricos se realizam sempre a partir de um ponto RN, o qual recebe essa denominação por ser considerado referência de nível. A cota e/ou altitude do RN é sempre conhecida devido a um dos seguintes motivos: foi determinada por algum dos órgãos encarregados de executar o mapeamento oficial do país ou por algum profissional responsável pelo levantamento. Neste último caso, ao arbitrar uma cota ao ponto RN, o profissional está a definir a ■posição do plano datum. A.Figura 6.4 mostra a situação quando, a cota do RN foi arbitrada em lOOm.

62 -

Nivelamentos Todo levantamento topográfico altimétrico que tenha como objetivo determinar as distâncias

verticais dos pontos topográficos relativas a uma superfície de referência, pressupondo conhecidas as posições planimétricas dos mesmos, denomina-se nivelamento. Existem vários métodos que permitem efetuar nivelamentos, com particularidades no que se refere ao uso de instrumentos específicos e na obtenção de precisões.

V I-3

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Capítulo VI - Levantamentos Altimétricos

Na construção civil, é usual utilizar uma mangueira transparente com água para a locação de pequenas obras e determinação de diferenças de nível entre pontos muito próximos. Uma linha em nível (horizontal) pode ser conseguida com o princípio hidrostático dos vasos comunicantes, Existe também o Nivelamento Barométrico (praticamente em desuso para tarefas de Topografia), que se baseia no seguinte princípio físico: quanto maior a altitude, menor a pressão. Assim, de posse de um aparelho que meça essas diferenças de pressão (barômetro), é possível quantificar as diferenças de nível. Porém a maior parte dos levantamentos topográficos altimétricos exige uma precisão mais apurada das obtidas com os equipamentos antes mencionados. Assim, foram desenvolvidos instrumentos especiais com o intuito de melhorar a precisão das medições de cotas e altitudes. Os métodos mais utilizados nos levantamentos altimétricos são classificados em: Nivelamento Geométrico e Nivelamento Trigonométrico. Existe também o nivelamento realizado com GPS, o qual não será abordado neste contexto.

6.2.1

Nivelamento Geométrico A NBR 13.133 define Nivelamento Geométrico (ou Direto) como aquele que realiza a medida da

diferença de nível entre pontos topográficos por intermédio de leituras correspondentes a visadas horizontais’, obtidas com um nível, em miras colocadas verticalmente nos referidos pontos. O Nivelamento Geométrico pode ser simples ou composto, sendo que este último pode ainda ser aberto ou fechado. A Figura 6.5 representa a situação de campo de um Nivelamento Geométrico Simples - NGS, o qual se caracteriza por uma única estação do nível.

Pela própria definição de diferença de cotas entre dois pontos, resulta: AC rna = C a - C rn

VI-4

[6.1]

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Capítulo VI - Levantamentos Altimétricos

Ao analisar a Figura 6.5, percebe-se que a citada diferença de cotas entre os pontos RN e A pode ser calculada a partir das leituras: ÀCrna = Lrn- La

[6.2]

Igualando as expressões [6.1] e [6.2] e reagrupando, resulta: CA = Lrn + Crn- La

[6.3]

Nota-se que a cota do ponto A é função das leituras efetuadas nas miras colocadas nos pontos visados RN

(L rn )

( L A)

e da cota do ponto RN

(C rN)

e que, portanto, sempre será necessário conhecer a

cota de um ponto para poder calcular a cota de outro. A Figura 6.5 mostra que, ao determinar a cota dos pontos, não importa qual é a cota do plano de visada (CPV = CRN- L rn), pois a mesma influirá exatamente da mesma forma ambas as leituras. O NGS é eficiente quando os pontos topográficos podem ser levantados desde uma única estação, tomando como referência o RN. Porém, na maioria das situações, isto não acontece, principalmente, porque as distâncias entre o RN e os pontos topográficos são tão grandes, que não é possível fazer as leituras nas miras com precisão e/ou porque a diferença de nível entre os pontos é maior do que o comprimento da mira (4m). Em qualquer uma dessas duas situações, é necessário efetuar trocas de estação, surgindo, assim, o método dé:Nivelamento Geométrico Composto - NGC. • ^ » o O Nivelamento Geométrico Composto - NGC, como seu nome indica, é uma composição de dois ou mais NGS. Neste caso, o instrumento e as miras se deslocam ao longo de um percurso e, em cada estação, são efetuadas pelo menos duas leituras: uma no ponto ré e outra no ponto vante.

Figura 6.6

V I-5

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Capítulo VI - Levantamentos Altimétricos

A Figura 6.6 mostra um.NGC e a disposição sequencial do nível e 'das miras. Percebe-se que, na estação Ej, o ponto RN é ré e o ponto A é vante. Já na E2, o ponto A passa a ser ré e o B, vante e assim sucessivamente. Isto significa que em pontos como A, B, C e D (denominados pontos de passagem"ou pontos de enlace) sempre será necessário efetuar uma leitura ré e outra leitura vante, concatenando os nivelamentos simples e transportando a cota do RN até o ponto desejado.

Nâ Figura 6.7, podemos ver que a diferença de cotas entre o ponto de saída (RN) e de chegada (E) pode ser calculada como a soma das diferenças de cotas existentes entre cada par de pontos nivelados em cada estação. AC rne ==*ACrna + ACab + ACbc + ACcd + ACde

[6.4]

Substituindo os valores das diferenças de cotas parciais, têm-se as igualdades [6.5] e [6.6]. A C rne- C A - C rn + C b - C A +.Cc - Cg + C d - Q : + Cg - C D

[6.5]

ACrne = LrnR—LaV+ LaR—LBV+ L bR—LcV+ LcR—LdV+ LqR- L eV

[6.6]

Finalmente, ao igualar as expressões [6.5] e [6.6], a diferença de cotas entre o ponto de saída e o ponto de chegada pode ser calculada por meio do somatório de todas as leituras ré (Z LR ), menos o somatório de todas as leituras vante (Z LRV). ACrne= Z L r - E Lv

[6.7]

Os nivelamentos podem ser de poligonal aberta ou de poligonal fechada. Os problemas apontados para os levantamentos planimétricos de poligonal aberta persistem quando se aplica o método de poligonal aberta nos nivelamentos, pois a falta de controle pode fazer com que passem despercebidos os erros (inclusive grosseiros). VI -6

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Capítulo VI - Levantamentos Altimétricos

Para contornar este problema, é necessário efetuar o fechamento do nivelamento, o qual pode ser feito de duas maneiras: partindo de um RN conhecido e chegando a outro RN conhecido ou voltando ao RN de saída. Para acompanhar o raciocínio deste último caso, consideremos que o último ponto nivelado na Figura 6.7 seja novamente o RN (em vez de um ponto qualquer E). A fórmula [6.7] deveria ser igual 0. ACrn rn = Z LR - Z Lv = 0

[6.8]

A Fórmula [6.8] mostra que: independentemente do número de pontos nivelados, ao terminar o levantamento deveriamos ter: I LR = I Lv. Na prática, a probabilidade de que isso aconteça é mínima devido aos inevitáveis erros que ocorrem, tanto por falta de cuidados ou inexperiência do operador, quanto por desajustes do instrumento. Denominando RN’ como ponto de chegada, o erro de fechamento (e) pode ser quantificado como a diferença dos somatórios das leituras ré e vante. á Crn rn'

=s - Z Lr - Z Lv

[6.9]

Se este erro for menor que a tolerância exigida pela norma técnica brasileira, diz-se que o erro é admissível e procede-se à compensação, efetuando a distribuição homogênea nas leituras (ré ou vante) ou diretamente nas cotas. A Tabela 6.1 apresenta as tolerâncias de fechamentos admitidas para cada tipo de nivelamento.

Tabela 6.1 - Tolerâncias de fechamento de nivelamentos D e s e n v o lv im e n to C la sse

Metodologia

Nivelamento geométrico a ser executado com nível classe 3, utilizando miras dobráveis, centimétricas, devidamente aferidas, providas IN de prumo esférico, leitura a ré e vante dos três Geométrico fios, visadas equidistantes com diferença máxima de lOm, ida e volta em horários distintos e com Ponto de Segurança (OS a cada km, no máximo Nivelamento geométrico a ser executado com nível classe 2, utilizando miras dobráveis, centimétricas, devidamente aferidas, providas II N de prumo esférico, leitura do fio médio, ida e Geométrico volta ou circuito fechado, com Ponto de Segurança (OS) a cada dois km. no máximo Nivelamento trigonométrico a ser realizado por meio de medidas de distâncias executadas com medidor eletrônico de distância classe 1, III N Trigonométric leituras recíprocas de distâncias (vante e ré) em urria única série, ou medidas de distâncias 0 executadas à trena de aço devidamente aferida, com controle estadimétrico de erro grosseiro, leituras do ângulo vertical conjugadas, direta e inversa, em uma série direta e inversa, com teodolitos classe 2 ou estação total classe 2. Nivelamento taqueométrico a ser realizado por meio de leitura dos três fios sobre miras centimétricas, devidamente aferidas, providas IV N de prumo esférico, leitura vante e ré, leitura Taqueométrico do ângulo vertical simples, com correção de PZ ou de índice obtida no início e no fim da jornada de trabalho, por leituras conjugadas, direta e inversa, com teodolito classe 1.

T o le r â n c ia

Extensão máxima

Lance max,

Lance min.

Número de máximo fe c h a m e n to de lances

10 km

80 m

15 m

\2mm>4k

10 km

80 m

15 m

20mm.~Jk

’ Principal

10 km

500 m

40 m

0,15m.Vf

Secundária

5 km

300 m

30 m

0,20 m .4k

Principal

5 km

150 m

30 m

0,30m.*Jk

Secundária

2km

150 m

30 m

0,40m.Vf

Linha Seção

Fonte: NBR 13.133 de Levantamentos Topográficos

VI - 7

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Capítulo VI - Levantamentos Altimétrícos

6.2.2 - Nivelamento Trigonométrico O Nivelamento Trigonométrico (NT) é aquele em que se realiza a medida da diferença de nível entre pontos topográficos por intermédio de leituras correspondentes a visadas inclinadas, realizadas com teodolito ou estação total, por meio de medidas de distâncias e ângulos verticais.

F ig u r a 6.8

onde: i é a altura d o in stru m en to , L m = le itu ra d o fio m é d io , L i = leitu ra d o f io in ferio r , L s = leitu ra d o fio su p erio r a = â n g u lo d e altura.

De acordo com as deduções realizadas no Capítulo II, a distância entre o aparelho e a mira pode ser calculada como d = 100.(Ls - Li).cos2a (nos casos em que o ângulo vertical lido for de altura). Paralelamente, a Figura 6.8 permite deduzir que: i + d. tg a = Lm + N .

[6.10]

Substituindo o valor de d para o caso de leitura de ângulos de altura, resulta: i + 100.(Ls - Li).cos2a. tg a = Lm + N

[6.11]

Finalmente, simplificando as fórmulas'trigonométricas e reagrupando, resulta: N = ACea = i - Lm + (Ls - L i). 50 . sen (2 a)

V I -8

[6.12]

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6.3 -

Capítulo VI - Levantamentos Altimétricos

Erros nos nivelamentos No caso do nivelamento geométrico, um erro bastante comum é a inclinação do eixo de colimação

(ec). Este erro sistemático é corrigido nas revisões periódicas do instrumento, mas, no campo, a sua influência pode ser facilmente eliminada estacionando o nível equidistante das miras. Como mostra a Figura 6.9, o erro continuará existindo, porém não terá nenhuma incidência na determinação das cotas, pois: ele afeta da mesma forma as leituras ré e vante. Estacionar o nível equidistante das'miras não significa que o mesmo deva necessariamente estar no alinhamento definido pelos pontos nivelados.

Os 'instrumentos utilizados para levantamentos topográficos, sejam eles. mecânicos ou eletrônicos, 0

possuem componentes óticas que permitem visualizar claramente os alvos de interesse. Os raios visuais que “partem do instrumento” e vão até os pontos visados (ao contrário do.que se imagina) não seguem uma linha reta. Eles sofrem um desvio ao passar de forma oblíqua pela atmosfera e acabam descrevendo uma linha curva. Este fenômeno físico é denominado de refração atmosférica e influencia as leituras nas miras e conseqüentemente a determinação das cotas. Tal como mostra a Figura 6.10, no caso do nivelamento geométrico, a influência da refração pode ser eliminada mediante a mesma técnica utilizada para eliminar a influência do erro de inclinação.

Quando há impossibilidade de estacionar o nível eqüidistante das miras, é aconselhável efetuar visadas recíprocas para eliminar a influência da refração e da curvatura terrestre. VI - 9

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Capítulo VI - Levantamentos Altimétricos

Na prática, o nível é colocado na estação Ej a uma distância d de um dos pontos topográficos de interesse (Figura 6.11-a), efetuando as leituras em ambas as miras. A seguir, o nível é transportado para a estação E2, localizada a uma distância d do outro ponto topográfico de interesse, efetuando-se novamente as leituras em ambas as miras (Figura 6.11-b).

Finalmente, a diferença de cotas entre os pontos visados se calcula por meio da média aritmética entre as diferenças obtidas a partir de cada estação. •As .análises realizadas até aqui são válidas para nivelamentos realizados em'“áreas pequenas”, pois, nesses casos, adotamos um plano como superfície de referência. Porém, por ser a Terra curva, é necessário 0 o estudar a influência que esse fato tem na determinação das cotas dos pontos topográficos. foi demonstrado, a superfície que define a forma da Terra .(Geóide) não possui fórmula matemática:conhecida. Por essa razão, a forma do planeta é simplificada por uma superfície elipsoidàf ou ainda esférica,' 0 que permite efetuar deduções matemáticas. Considerando o caso do NG, podemos vér na Figura 6.12 que quanto mais distantes os pontos topográficos de interesse, maior será a influência da refração (c).

F ig u r a 6 .1 2

VI- 10

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Capítulo VI - Levantamentos Altimétricos

A n a lis a n d o o triân gu lo retâ n g u lo d e fin id o p e lo “cen tro d e m a s s a da T erra” (O ) e o s p o n to s A e

B (O A B ) , p o d e m o s e sc r e v e r a ig u ald a d e: R 2 + A B 2 = ^j(R + c )2

[6.13]

Desenvolvendo o segundo membro, reagrupando e desprezando c2 (por ser muito pequeno), resulta: A B 2 = 2.R.c

[6.14]

Isolando a influência da curvatura:

" AB2 c = -----2.R

[6.15]

O efeito da refração em nivelamentos trigonométricos pode ser quantificado a partir da Lei de Biot, que estabelece: a trajetória de um raio visual é aproximadamente um arco de circunferência com raio (R) de 13 a 18 vezes maior do que o raio da Terra (Pimentel Cintra, 1997). Adotando um raio (R’) 15 vezes maior do que o raio do nosso planeta, a fórmula [6.15] resulta [6.16]:

A B 2 __ J_ AB^_ _

AB^

7 ~ 2.R' “ 15 2.R ~ * 2./?

sendo k = 0,067

[6.16]

' ...Assim, o efeito conjunto da curvatura e da refração é dado pela fórmula [6.17]:. A

A R 2 CR = c - r - ( l - k ) —— 2.R

[6.17]

. Vejamos, na prática, a influência da curvatura terrestre e da refração atmosférica mediante um exemplo..•■•■Na Figura 6.13, observa-se que, se o objeto visado (extremo B da torre) está próximo do instrumento (A), a diferença de altura Ah pode ser calculada de forma simples por trigonometria ([6.18]).

Levando em conta a curvatura terrestre (Figura 6.14), o ângulo de altura medido não será o p, mas o

P\ e na fórmula de cálculo da diferença de altura é necessário somar a correção deduzida em [6.15].

V I - 11

Topografia para Estudantes de Engenharia, Arquitetura e Geologia

Capítulo VI - Levantamentos Altimétricos

Ah = AB.tgjB'+

AB2 2.R

[6.19]

Finalmente, introduzindo a influência da refração que sofre o eixo de colimação ao visar o alvo B, percebe-se na Figura 6,15 que a observação a partir de A apontará para B’ e o angulo lido difere 8 em relação à linha reta. Assim, introduzindo a influência conjunta da curvatura e da refração deduzida em [6.17], a fórmula resulta [6.20]:

Ah = AB.tgP'+

1-fc A B 1 2R "

[ 6 . 20]

6.4 - Técnicas de nivelamento Independente do método e dos equipamentos que se utilizem, as técnicas de nivelamento que se aplicam podem ser enquadradas em lineares ou de área. No primeiro grupo, o levantamento se realiza ao longo e nas proximidades de um determinado alinhamento, com a finalidade de desenhar perfis longitudinais e transversais (seções). Normalmente, o alinhamento já se encontra materializado no terreno e é definido por vértices de coordenadas planimétricas conhecidas. Se o levantamento se realiza exatamente sobre a linha, a VI- 12

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. Capítulo VI - Levantamentos Altimétricos

i única preocupação do profissional será medir as distâncias entre os pontos nivelados. Esta condição não é obrigatória, pois as diferenças de nível também podem ser medidas a partir de estações localizadas fora do alinhamento, como a E2 da Figura 6.16, que representa um nivelamento longitudinal realizado pelo método de NGC.

Há projetos, como os de estradas, nos quais conhecer os desníveis e as declividades ao longo do eixo é insuficiente. Nesses casos, é necessário também entender o comportamento do relevo numa faixa próxima a do alinhamento principal. Então se realizam levantamentos transversais, os quais permitirão gerar as seções (Figura 6.17).

Vista em planta

Nas técnicas para levantamento altimétrico de áreas, é necessário definir um sistema de referência planimétrico para posicionar cada ponto levantado, o que pode ser feito antes de começar o nivelamento ou V I - 13

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Capítulo VI - Levantamentos Altimétricos

durante a execução do mesmo. No primeiro caso, materializa-se previamente uma quadrícula regular (Figura 6.18) e procede-se à medição da cota e/ou altitude de cada vértice. Esta técnica tem aplicação na sistematização de terrenos, pois os piquetes que ficam em cada ponto são utilizados para efetuar os cortes e os aterros necessários na área. v is ta e m p la n ta

\ \

\ \ \

;;T 35

1n"1f i 37 i

Figura 6.18 F in a lm e n te , o s n iv e la m e n to s p o r irra d ia çã o (F ig u ra 6 .1 9 ) tê m c o m o o b j e t iv o le v a n ta r áreas p ara a g e r a ç ã o d e m o d e lo s n u m é r ic o s d o terren o, a partir d o s q u a is p o s s a m s e r tra ça d a s c u r v a s d e n ív e l e p e r fis. A t é c n ic a to m a c o m o b a s e e s t a ç õ e s c o n c a te n a d a s,. cu ja s c o o r d e n a d a s p la n im é tr ic a s sã o d e te r m in a d a s à m e d id a q u e a v a n ç a o n iv e la m e n to .

Figura 6.19

VI- 14

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Capítulo VI - Levantamentos Altimétricos

6.5 - Declividade Na maioria dos projetos de engenharia, não é suficiente conhecer apenas os desníveis do terreno, mas sim com que intensidade ocorrem as mudanças altimétricas. A declividade é a variável que quantifica a “velocidade” com que o terreno sobe (aclive) ou desce (declive) entre dois pontos quaisquer A e B e pode ser calculada segundo a fórmula [6.21], Determinar as . declividades é extremamente importante em projetos de estradas, hidrologia aplicada, obras de saneamento, monitoramento do uso e ocupação do solo urbano, detecção de áreas com possíveis problemas de desabamentos etc. n

u ab

— “ ,

[ 6.21] d AB

A declividade é adimensional, mas pode ser expressada em % ([6.22]) ou em graus ( [6.23]). Da b =

^ x 100

[ 6 .22]

1AB

D ab = arctg

[6.23] \ d AB j

A declividade pode ser referenciada em diferentes trechos de um perfil (Figura 6.20) ou em plantas por meio de manchas pintadas com cores que representam sua intensidade (Figura 6.21).

------ jyr-"

3 / / \

/ \

— -

/ \

-ij

frJ

K V

£* 1

hy?

i 0

Ví.0

1: íi

J ____________ ___________ ------------------ ------------------ ------------------ l___________ ________ _ J ___________j ___________ i___________ JL

Figura 6.20

V I - 15

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Capítulo VI ~ Levantamentos Altimétricos

6778900

Declívidode {%) Coior Percent

6778700

<.482300

482500

12,1

■

2 7 .8

21,9

■

3 6 .3

1-9

482700

F ig u r a 6 .21

6.6 -

Instrumentos topográficos para nivelamento Corno aconteceu com todos os grupos de instrumentos topográficos, as diferentes necessidades e a

evolução tecnológica levaram ao desenvolvimento de uma ampla variedade de níveis. As diferenças se emcontram na estrutura física do aparelho, na precisão que pode ser obtida e na velocidade que pode ser alcançada no levan

a ep - V

tamento. Os teodolitos e as Estações Totais já foram profun damente descritos no Capítulo IV e, portanto, vamos nos de ter nos níveis e nas miras utilizados para nivelamentos geo métricos. Os níveis possuem alguns componentes similares aos teodolitos, más a principal diferença é que não possuem eixo secundário, não sendo possível girar a luneta em semtido vertical. Isso garante que o plano de visada definido pelo eixo

F ig u ra 6.22

de colimação (ec), ao girar o nível em tomo do eixo principal (ep), permaneça na horizontal (Figura 6.22). O níveis ótico-mecânicos modernos (Figura 6.23) apresentam como principal característica um dispositivo de compensação automática que garante, dentro de determinados limites, a horizontalidade do eixo de colimação. Nos equipamentos da geração anterior, era necessário corrigir o nível tubular antes de cada leitura, o qual ocasionava um grande acréscimo no tempo de trabalho no campo, além de aumentar a V I - 16

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Capítulo VI - Levantamentos Altimétricos

probabilidade de cometer erros grosseiros. Os automáticos são níveis de manuseio simples. A grande maioria permite fazer leituras angulares (precisão de Io a 30’) e trabaíha com miras centimetradas (Figura 6.28). Embora haja equipamentos com lentes poderosas, não se aconselha fazer visadas de mais de 70m.

Leica Serie NA 700

Sokkia Serie B20

Nikon AC-2S

Topcon AT-24A

Figura 6.23 - Níveis automáticos

Há casos, como, por exemplo, o monitoramento de prédios, a instalação de maquinarias (topografia industrial) etc, nos quais a precisão atingida com os níveis automáticos é insuficiente. Para poder executar de forma eficiente essas tarefas, foram desenvolvidos os níveis de alta e altíssima precisão (Figura 6.24), que permitem estimar centésimo de milímetro nas leituras efetuadas em miras de grande estabilidade (INVAR). Figura 6.24

Wild N3

Zeiss NI007

Figura 6.24 - Níveis de altíssima e alta precisão

V I - 17

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Capítulo YI - Levantamentos Altimétricos

Mais recentemente, foram desenvolvidos os níveis' digitais, os quais têm uma estrutura totalmente diferente a dos ótico-mecânicos e a operação é mais rápida e segura, (Figura 6.25).

Ldca NA2G02

Topcon DL-101

Zeiss DINI22

Sokkia SDL - 30

Figura 6.25 - Níveis eletrônicos

O sistema de leitura das distâncias horizontais (entre o instrumento e a mira) e verticais (diferenças de nível) se baseia num tratamento de imagens. Ao apontar para a mira graduada com o código de barras (Figura 6.28), o instrumento faz a varredura da porção que está ‘‘enxergando” e compara com os padrões que ela tem armazenados na sua memória. Estima-se que um levantamento altimétrico completo (campo e gabinete) é realizado na metade do tempo, utilizando esse tipo de equipamento. Este fato se deve à nãonecessidade de fazer anotações, o que poderia acarretar erros grosseiros. A memória de armazenamento de dados pode ser fixa ou utilizar cartões removíveis.

6.6.1 - Níveis LASER Este tipo de instrumento é um dos mais peculiares, se comparado com o resto dos utilizados na Topografia, devido ao fato de não possuir um sistema ótico para efetuar os apontamentos. Ao contrário dos outros níveis, o operador realiza as leituras em uma escala graduada da própria mira. No momento em que um alarme soa, é indicado que o raio LASER definiu um plano horizontal do nivelamento e atingiu o detetor (Figura 6.26). As principais aplicações ocorrem na agricultura e na construção civil. No primeiro caso, são utilizados com múltiplas vantagens para a sistematização de terrenos (nestes casos, o detetor pode se acoplado diretamente à máquina que realiza o movimento de terra). VI- 18

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Capítulo VI - Levantamentos Altimétricos

Figura 6.26 - Nível LASER e detector

Já na construção civil, a tecnologia LASER é utilizada em instrumentos especialmente desenvolvidos para marcação de prumo, nível, esquadro e/ou alinhamento de paredes e pilares, os quais utilizam um feixe visível (Figura 6.27).

Topcon RL-VH3C

Pacific Laser Systems

LaicaLB9

Figura 6.27

6.6.2

Miras

A mira é o acessório sobre o qual se efetuam as leituras. Aquelas utilizadas com equipamentos ótico-mecânicos têm uma estrutura que se assemelha a uma régua, motivo pelo qual também recebe essa denominação. Vários são os tipos de miras que podem ser utilizados e a escolha depende do instrumento e do método de levantamento a ser aplicado. As mais comuns são as miras centimetradas (Figura 6.28), as quais permitem determinar diferenças de nível e distâncias pelo método estadimétrico. Para conseguir as altas precisões dos níveis utilizados para monitoramento, utilizam-se miras especiais de aço INVAR, que garante estabilidade.

VI - 19

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Capítulo VI - Levantamentos Altimétricos

Com o advento dos equipamentos eletrônicos, as miras continuam sendo identificadas por esse nome, embora não apresentem uma escala numérica graduada. Como foi explicado, os níveis digitais realizam automaticamente as leituras sobre miras denominadas “binárias”, por apresentar um código de barras com linhas pretas e brancas.

Centimetrada

Aço INVAR

Código de Barras

Figura 6.28 - Miras

6.7 -

Referências hibliográfias

ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1994). NBR 13133 - Execução de levantamento topográfico - procedimento. Rio de Janeiro. CINTRA, J.P. (1997). Notas de Aula. Apostila publicada pela EPUSP - Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. ESPARTEL, L.; LÜDERITZ, J. (1983).Caderneta de Campo, 13a edição. Editora Globo. Rio de Janeiro. GARCIA, G.; PIEDADE, G. (1944). Topografia aplicada às ciências agrárias. Editora Nobel. São Paulo. SILVA, I.; ERWES, H.; SEGANTINE, P. C. L. (2001). Introdução à Geomática. Setor Gráfico da Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, São Carlos - SP. lOOp.

VI -20

VII - LEVANTAMENTOS PLANIALTIMETRICOS Rodrigo Figueiredo Leandro

Muitas vezes, na engenharia, é preciso que se conheçam as coordenadas tridimensionais de um determinado ponto. Neste capítulo serão abordadas algumas técnicas para a obtenção simultânea dessas coordenadas. Nos processos de cálculo, parte-se sempre de um ou mais pontos com coordenadas já conhecidas e de observações que os relacionem com os não-conhecidos. Como o problema envolve sempre três incógnitas [X, Y e Z], é necessário que sejam observadas pelo menos três grandezas, sejam elas distâncias ou ângulos. As possibilidades de combinação de observações aqui descritas são: - Dois ângulos [um ângulo vertical e um horizontal] e uma distância a partir de um ponto conhecido; -Três ângulos [um ângulo vertical e dois horizontais] a partir de dois pontos conhecidos; -Três distâncias a partir de três pontos conhecidos.

7.2 -

» 9 Posicionamento a partir de dois ângulos e uma distância Como foi demonstrado no Capítulo I, é possível determinaras coordenadas de um ponto topográfico

a partir de outro conhecido. No caso do posicionamento espacial, é.necessário também determinar a coordenada z desse ponto. Seja um ponto de coordenadas desconhecidas P0[x0, yO, zO] e outro com coordenadas conhecidas, PI[xl, yl, zl]. Digamos que foi realizada uma visada a partir de Pl, visando PO [Figura 7.1].

VII- 1

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Capítulo VII - Levantamentos Planialtimétricos

De acordo com a Figura 7.2, visualizando a projeção no plano xy, teremos:

onde: a = azimute do alinhamento P1-P0; DH = distância horizontal entre PI ePO. Para a determinação do azimute do alinhamento, é necessário que se tenha uma direção de referência ou um segundo ponto de coordenadas conhecidas. Pode-se então estabelecer as seguintes relações? xO = x \ + sen(a) • yO = yl + cos(a) •

DH [7.2]

Para a determinação de zO e DH será utilizado outro planp, aqui chamado de plano y. O plano y é o plano paralelo ao eixo z e que contém os pontos PI e PO (Figura 7.3).

VII-2

Topografia para Estuc* -^ ^ 5 cle Engenharia, Arquitetura e Geologia

Capítulo VII - Levantamentos Planialtimétricos

Analisando o plano y, teremos:

f PO Á

Zêr íite ái

. - ■’

u >r

. . . . . . . pi

P lano xy ............

W .

DH Figura 7.4 - Elementos do plano y onde: D = distância inclinada entre os dois pontos; DH = distância horizontal entre os dois pontos; DN = diferença de nível entre os dois pontos; p = ângulo vertical [zenital] do alinhamento.

Pode-se então determinar DH: (/?)

[7.3]

De acordo com a Figura 7.4, zO será dado por:

zO = d + DN

[7.4]

DN - D-cos(jB)

[7.5]

Sendo que:

Portanto, substituindo [3] em [1] e [2] e substituindo novámente [5] em [4], teremos:

xQ = xl + D ■sen

■ )a(

yO= yl + D ■cos(a) ■cos(/?) zO=

zl + D-cos(/3)

[7.6] [7.7] [7-8]

vn-3

Topografia para Estudantes de Engenharia, Arquitetura e Geologia

7.2 -

Capítulo VII - Levantan

rentos Planialtimétricos

Posicionamento a partir de três ângulos

Seja um ponto de coordenadas desconhecidas POfxO, yO, zO] e dois pontos com coordenadas t. conhecidas, P l[xl, yl, zl] e P2[x2, y2, z2j. Digamos que foram realizadas visadas de PI e P2 até PO (Figura 7.5, V

Visualizando a projeção no plano xy, teremos:

Figura 7.6 - Projeção no plano xy onde: a i = azimute do alinhamento PI -PO a2 = azimute do alinhamento P2-P0 Dl = distância horizontal entre PI e PO D2 = distância horizontal entre P2 e PO

VII-4

Topografia para Estudantes de Engenharia, Arquitetura e Geologia

Capítulo V íí - Levantamentos Planialtimétricos

Uma vez que as coordenadas de PI e P2 são conhecidas, os azimutes podem ser obtidos caso esses pontos sejam intervisíveis, fazendo uma visada entre eles. Caso contrário, é necessário no mínimo um terceiro ponto conhecido, que sirva de referência para a obtenção das direções. Lembremos que, para esse tipo de determinação, o cálculo de xO e yO depende exclusivamente dos ângulos horizontais, enquanto de zO depende do ângulo vertical e da distância horizontal entre os pontos. Estabelecendo uma relação entre as coordenadas de PI e PO, teremos: xO = xl + sen(al) • D l

[7.9]

yO = yl + cos(czl) • D l

[7.10]

Multiplicando [10] por ta n ( a l) : yO •tg (al) = yl • tan(orl) + sen(al) •Dl

[7.11]

xO - yO ■tan (al) = xl - yl • tan(orl)

[7.12]

Fazendo [9]-[11]:

Se aplicarmos o mesmo procedimento para o ponto 2, teremos: xO - yO ■tan(cr2) = x2 - y2 • tan(a2)

[7.13]

Então temos o sistema de equações: xO - yO • tan(orl) = xl - yl • tan(al)

[7.14]

xO - yO • tan(cr2) = x2 ~ y2 • tan(a2)

[7.15]

Fazendo [15]-[14]:

yO ■tan(al) - >0- tan(«2) = yl • tan(orl) - y l ■tan(«2) + x 2 - x

(tan(orl) - tan(a2)) • yO = (x2

[7.16]

-xl) + ( yl • tan(or2) - y2 • tan(o

,0 = (*2 ~ *1) + (yl • tan(#2) - y2 • tan(arl)) y (tan(al) - tan(«2))

Com a equação [18] pode-se então determinar o valor de yO. Para calcular xO, basta substituir o valor encontrado na equação [14] ou [15], como segue:

xO = xl - yl • tan(al) + yO ■tan(al)

[7.19]

ou xO = x2 - y2 • tan(«2) + yO • tan(or2)

[7.20]

VII-5

Topografia para Estudantes de Engenharia, Arquitetura e Geologia

Capítulo V I I - Levantamentos Planialtimétricos

Uma vez conhecidos xO e yO, é possível calcülar yO, que depende do ângulo vertical e da distância horizontal entre os pontos. Digamos que o ângulo vertical do alinhamento P2-P0 é conhecido. Neste caso, temos a situação ilustrada na Figura 7.7.

Figura 7.7 - Representação do plano y

Semelhantemente ao caso anterior, o plano y é o plano paralelo ao eixo z e que, neste caso, contém os pontos P2 e PO. Analisando o plano y, temos a seguinte situação:

za PO .cm“

zO-

À DN

é :!

zl PI

Plano xy DH Figura 7.8 - Elementos do plano y

onde: D = distância inclinada entre os dois pontos, DH - distância horizontal entre os dois pontos, DN = diferença de nível entre os dois pontos e (3 = ângulo vertical [zenital] do alinhamento.

VII - 6

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Capítulo VII - Levantamentos Planialtimétricos

Sendo assim, podemos estabelecer a seguinte relação:

zO z2 + DN

[7.21]

DH tan(/?)

[7.22]

Sendo que:

DN =

e DH = ^(xO - x2)2 + (,v0 - y 2)2

[7.23]

Portanto: a .q

+à f . - r t + l y O - M L tan (/?)

[7.24]

Este procedimento [cálculo de zO] pode ser executado com qualquer um dos pontos de referência, dependendo de qual ângulo vertical é conhecido. Caso tenhamos os ângulos verticais dos dois alinhamentos, pode-se calcular zO em relação a PI e a P2 e então fazer a média dos resultados.

7.3 -

Determinação a partir de três distâncias e três pontos conhecidos

Aqui analisaremos a determinação das coordenadas de um ponto a partir de três pontos conhecidos, cujas distâncias até o ponto desconhecido foram medidas. Sejam três pontos de coordenadas conhecidas, P l[xl,yl,zl], P2[x2,y2,z2] e P3[x3,y3,z3], e um desconhecido, P0[xp,yp,zp]. Digamos que foram medidas as distâncias entre os três pontos de referência e PO. Esta situação pode ser visualizada na Figura 7.9.

Figura 7.9 - Visada de três pontos conhecidos [Pl, P2 e P3] para um desconhecido [PO]

VII - 1

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Capítulo VII - Levantamentos Planialtimétricos

onde Di, D2 e D3 são as distâncias espaciais entre os pontos de referência e o ponto desconhecido. Sendo assim, podemos estabelecer as seguintes relações:

A D2

= i - x l) 2 + ( y p - y l ) 2 + ( z p - z l ) 2

[7.25]

=^](x■x2)2 + ( y p - y 2 ) 2

+ (z

[7.26]

Di = ' j ( x p - -x3)2 + ( y p - y 3 ) 2

3pz(+)2

[7.27]

Desta forma, temos um sistema de três equações e três incógnitas. Porém as equações não são lineares, sendo preciso então que sejam transformadas em equações do primeiro grau [O processo de linearização de equações é explicado no anexo A deste livro]. Após isso, pode-se resolver normalmente o sistema linear. Substituem-se então as incógnitas xp, yp e zp por: xp = xp0 + Àx

[7.28]

yp = ypo+ *y

[7.29]

[7.30]

Onde xp0) ypo e zp0 são as coordenadas aproximadas para 0 ponto PO. Cabe a quem for executar esse procedimento escolher convenientemente esses valores. Para cada um dos três pontos conhecidos, sabemos que a distância é uma função ffxp, yp, zp]. Portanto, sabe-se que, para transformar essa função em uma função linear, teremos, para cada ponto i = 1,2 e 3:

Di = f i ( x p , yp,zp) = f

(

x p õxp0

,y p0, zpQ) +— —

, ^fj(.XpQ,y p 0,ZpQ) Ay [ Sfi(xp Q,y p 0,ZpQ) õypQ

[7.31]

õzp0

Calculando os termos desta equação para cada ponto, teremos:

ft (xPo. yPo•ZPo) = V (*Po- *1)2 +

V II-8

(yp -

[7.32] 2 + (tPo - ri )2 = aí

f 2(xp0,y p 0, zp0) = y](xp0 - x 2 )2 + (yp 0 - y 2 )2 + (zp0 - z2 )2

[7.33]

/s (xPo. yPo’ZPo) = yl(xpo-

[7.34]

2 + (j /?0 - y3)2 + (z/70 ~ z3)2

ZP-

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Capítulo VII - Levantamentos Píanialtimétricos

9fi(.xp0,yp 0,zp0) = x\ dxp0 a\

[7.35]

- x2 ~ xp° _ <t2

[7-36]

QfjíxPoiyPotZPo) = *3 - xp0 _ dxp0 a3

[7.37]

âxp0

9f\(xp0,y p 0,zp 0) _ y l - y/?o _

ffiaO P o.y/yçP o) =

õyPo

[7.38]

~ yio = c2

[7.39]

«2

ffaOPo.yPo.ÇPo) = y3 - y ^ 0 = c3

ôy^o

[7.40]

«3

^T^PoOgoojgo) = zI-Z P q = á l ÕZp0 fll

[7.41]

(*Po. yPo. ZPo) ,_ z2 - zp0 = d2 dzp0 ci2

[7.42]

Õf3(.XPo,yPo,ZP0) = z 3 - z/20 ôzp0

[7.43]

Calculados os valores de todos os elementos, teremos o sistema linear de três equações para três incógnitas [Ax, Ay, Az]: D, = D2 = D3

a\ +bl ■Ax + cl • Ay +

d l • Az

[7.44]

[7.45]

a2 + b2-Ax+ c2 -À y + d 2 - a3+

b3 ■Ax + c3 ■Ay + d 3

• Az

[7.46]

Resolvido o sistema, ca!culam-se os valores e xp, yp, e zp por meio das equações [7.28], [7.29] e [7.30],

7.4. Referências Bibliográficas:

ANDERSON, J.M.; MIKHAIL, E.M. (1998).

Surveyng:Theory and practice. 7th

McGraw-Hill. BRINKER, R.C.; WOLF, P.R. (1994).Elementary Surveying, 9a edição, New York: HaperCollins. vn-9

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Capítulo VII - Levantamentos Planialtimétricos

BRINKER, R.C.; TAYLOR, W.C. (1961).

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Company. 62 lp. CINTRA, J.P. (1989). Sistema UTM - Noções de Geodésia e Cartografia. São Paulo, EPUSP-PTR. ELFICK, M., FRYER, J., BRINKER, R.,WOLF, P. (1994). Elementary surveying, 8a edição - HarperCollins Publishers ltd, Uk. MCCORMAC, Jack (1995). “Surveying”. Prentice Hall. Thjrd Edition. ISBN 0-13-031162-6. MENDONÇA, Francisco J. B. (1992). “Introdução à teoria dos erros”. Apostila editada pelo Depto. de Engenharia Cartográfica - DeCart, Universidade Federal do Pernambuco. MOFFIT, F.H., BOUCHARD, H. (1987). Surveying, 8a edição, Harper & Row, New York. MOREIRA, A.P. (1998). Métodos de cálculos de coordenadas tridimensionais para controle de obras de engenharia. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. São Carlos. 1998. MUELLER, I.L, RAMSAYER, K.H. (1979). Introduction to surveying - Fredrick Ungar Publishing Co/New York. RAPP, R.H. (1989). Geometric Geodesy, part I, Departament of Geodetic Science and Surveying, Ohio Stáíe University. SCHOFIELD, W. (1993). Engineering1surveying: Theory and examination problems for Students. 4th ed. London: Butterworth-Heinemann Ltd. TORGE, W. (1991). Geodesy. 2nd ed. Berlin-New York: Walter de Gruyter. VANICEK, P.; KRAKIWSKY, E.J. (1986), Geodesy: The concepts.

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Oxford: North-Holland Publishing Company, 697p. WOLF, R. P., BRINKER, R. C. (1994). Elementary surveying, 9a edição, HarperCollins College Publishers, New York.

V I I - 10

VIII - DESENHO TOPOGRÁFICO Carlos Augusto Uchôatiá Silva A insaciável necessidade humana de conhecer e descrever de forma detalhada total ou parcialmente a Terra com suas formas e grandezas resultou no surgimento da Astronomia, da Geodésia, da Fotogrametria, do Sensoriamento Remoto, do Posicionamento por Satélites e da Topografia, Os dados obtidos por intermédio dessas ciências contribuem para que, como produto final, sejam geradas figuras representativas em dimensão e posição da superfície terrestre ou de parte dela. A figura em questão é denominada de mapa, carta ou planta de uma determinada região e sua execução leva ao desenho cartográfico, do qual o desenho topográfico faz parte. O próprio substantivo “Topografia” traz consigo a idéia e a necessidade de descrever, e nada melhor do que usar a linguagem cartográfica para efetuar a descrição da área levantada. O esboço ou “croqui” que acompanha de forma inseparável quase todos os levantamentos topográficos é um recurso fundamental. Seja .qual for o tipo de medição que se execute, nunca se deve desprezar um esboço bem feito do objeto medido. Isto acontece de forma tão natural, que muitos profissionais chegam a afirmar que: sem um bom “croqui” não se pode fazer um levantamento topográfico confiável. Mesmo desconsiderando o exagero de tal afirmação, os que labutam na Topografia sabem que também é verdade que um esboço bem feito é fonte, permanente de consulta e elucidação durante a fase de cálculo, ajustamento e representação gráfica do levantamento. O croqui funciona como a memória gráfica da atividade executada. Atualmente, além da forma tradicional, existem também diversos recursos, tais como o uso de cadernetas eletrônicas, o uso de bibliotecas digitais, palmtops e laptops, que de diversas formas podem desempenhar o mesmo papel do esboço tradicional. A intenção deste capítulo é, em primeira instância, fazer com que a Topografia seja compreendida de forma ampla, de tal sorte que levantamentos topográficos possam ser expressos graficamente com a maior fidelidade e inteligibilidade possíveis. Não se pretende aqui entrar na seara da Engenharia Cartográfica, mas na interface desta com a Engenharia Civil. Assim sendo, não se pode prescindir do bom entendimento de conceitos cartográficos básicos. “Croqui é um esboço gráfico sem escala definida, em breves traços, que facilita a identificação de detalhes” - ABNT - NBR 13133 (1994). A mesma norma define desenho topográfico como “peça gráfica ' realizada a partir do original topográfico, sobre base transparente, dimensionalmente estável (poliéster ou similar), quadriculada previamente, em formato definido nas NBR 8196, NBR 8402, NBR 8403, NBR 10068, NBR 10126, NBR 10582 e NBR 10647, com área útil adequada à representação do levantamento topográfico, comportando, ainda, moldura e indicadores segundo modelo definido pela destinação do levantamento”. VIII - 1

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Capítulo VIII - Desenho Topográfico

Todas as normas citadas anteriormente se preocupam com as nuances do desenho, tais como: o emprego de escalas, caracteres para escrita, tipo e largura de linhas, leiaute e dimensões de folhas, apresentação de folhas e terminologia para o desenho técnico. O conceito de desenho topográfico tende a ampliar-se bastante em função do aprimoramento de recursos computacionais, de hardware e software, que vão desde o aumento da capacidade de memória e velocidade do processamento computacional até o desenvolvimento de poderosos aplicativos de processamento de dados topográficos, edição e desenho. Os procedimentos básicos do desenho topográfico necessitam de conhecimentos de Topografia e Geometria. Enquanto a Cartografia remete-se a diferentes sistemas de projeção, o desenho topográfico quase sempre utiliza a projeção cotada exata.

8.1 - Escala Em mensuração o termo escala é utilizado com ou sem a adição de adjetivos que lhe conferem significados diversos. No contexto da Topografia, escala é conceituada como a relação entre as dimensões dos elementos representados graficamente e suas correspondentes dimensões na natureza. Assim, a escala pode ser indicada por meio de uma relação matemática entre medidas. No exemplo apresentado na Figura 8.1, a escala numérica indica que para cada 1 m de desenho ter-se-ão 500 m em tamanho real. Existe ainda um problema a ser contornado: se, por exemplo, for feita uma cópia.xerográfica ampliada ou reduzida à relação de 1/500 descrita na escala numérica, perde a validade. Uma possibilidade de solucioná-lo é utilizar uma representação gráfica da escala numérica sob a forma de dupla linha graduada, onde se .acham representadas distâncias do terreno. Ou seja, cada valor medido na planta de igual comprimento ao da escala gráfica terá o mesmo valor, ainda que se reduza ou amplie a imagem. Desde que seja feito de forma homogênea, isto é, mesmas deformações na horizontal e vertical do papel.

Figura 8.1 - Representação das escalas numérica e gráfica

VIII - 2

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Capítulo VIII - Desenho Topográfico

Exemplificando: Em uma planta topográfica mediu-se o comprimento de um alinhamento de 45 cm e a indicação numérica da escala do desenho é de 1:10.000. Qual a medida em metros deste alinhamento em tamanho real?

Resolução: Inicialmente deve-se fazer uma conversão de unidades. O alinhamento foi medido em centímetros, logo ele possui 0,45 m. Deve-se aprender a interpretar um valor de escala indicado. Neste exemplo, 1:10.000. Isto significa que cada metro de desenho representa 10 quilômetros em tamanho real. Assim, para determinar quanto mede em tamanho real 0,45 m, basta fazer uma regra de três simples: 1m

=> 10000 m

0,45 m => x

_ Então,

0,45.10000 x = --------------- —4500 m 1

Finalmente, um alinhamento que no desenho mede 45 cm na escala de 1:10,000, em tamanho real mede 4500 m. A notação de escala numérica pode ser representada por maneiras tais como: 1 :10.00Q ou 1/10.000... Entretanto, todas as notações indicam a relação de dependência entre as dimensões do desenho D

(numerador) e.reais (denominador).

. . .• Exemplificando: A situação inversa seria descobrir, por exemplo, quantos centímetros são necessários para representar uma cerca de 1 m de comprimento na escala 1/500?

Resolução: Sabe-se que: 1m => 500 m . Assim,

1m 500 m

, onde: 0,002 m <=> 1 m . Ou seja, um metro em

escala real é representado graficamente por dois milímetros na escala 1/500.

A NBR 8196, que versa sobre o emprego de escalas em desenho técnico, afirma que a escala a ser adotada em um determinado desenho depende do grau de complexidade do desenho e da finalidade dessa representação. Uma restrição é que a escala selecionada deve ser suficientemente grande para permitir uma interpretação fácil e clara das informações representadas. A escala e o .tamanho do elemento em questão definem o formato da folha para o desenho.

VIII - 3

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Capítulo VIII - Desenho Topográfico

8.2 - M a p a , Carta e Planta Já definido o significado de escala e as formas mais utilizadas de representá-la, cabe agora discorrer acerca do uso de alguns termos e definições que, segundo alguns autores, dependem dentre outras coisas da escala na qual estão representados, tais como mapa, carta e planta. A palavra mapa tem origem africana e carta, origem egípcia, mas em ambos o significado refere-se ao material no qual a comunicação gráfica se manifestava. No Brasil, os dois significados se confundem e os conceitos de mapa e carta estão intimamente ligados à escala na qual estão representados (LOCH; CORDINI, 1995). Freqüentemente ocorre uma confusão nas definições de planta topográfica com carta ou mapa topográfico. Apesar-de ambos serem representações gráficas, a escala é a grande diferença. Cartas ou mapas são feitos em escalas pequena ou média. Isto significa que se pode representar completamente a Terra ou grande parte dela, motivo pelo qual não pode ser desconsiderada a curvatura da Terra. Já a planta, que é um sinônimo de plano, representa uma região de dimensões reduzidas, na qual a curvatura da Terra pode ser negligenciada. De acordo com FONSECA (1977), mapa é uma representação de grande extensão do terreno, país ou continente, desenhada, por motivos óbvios, em escalas pequenas, como, por exemplo, “o mapa do Brasil”, e relaciona-se mais com o desenho cartográfico. Ayearta representa regiões menores do que os mapas, podendo, contudo, abranger até-dèzenas de O © graus geográficos. Desenhada em escalas médias (exemplo: “Carta do estado do Pará”), refere-se tanto ao desenho cartográfico quanto ao desenho topográfico. Já a planta abrange regiões ainda menores, contendo distâncias inferiores a um grau, o que representa áreas menores , que um quadrado corrí 10 km de lado; exemplo: planta do distrito de Icoaraci-Belém-Pará. Assim, o desenho é topográfico, já que a área representada pode ser considerada plana, sem que se incorra em erros consideráveis. Percebe-se que não existe consenso sobre os limites em termos de escala e definições para mapa e carta no Brasil, apesar de a NBR 13133/1994 não fazer distinção alguma entre mapa e carta, tratando-os como sinônimos e não fixando limites em termos de escala. Afirma que um mapa ou carta pode constituir-se numa representação básica de detalhes terrestres, destacando ou generalizando detalhes específicos em escalas pequenas e médias, respectivamente. Em relação à planta, a NBR13133 /1994 define-a como a representação gráfica de uma parte limitada da superfície terrestre, projetada sobre um plano horizontal local, em escalas maiores do que 1:10.000, utilizada para fins específicos, onde se desconsidera a curvatura terrestre e possuindo um erro máximo admissível de graficismo na elaboração do desenho topográfico de 0,2 mm, Õ que equivale a duas vezes a acuidade visual humana. A planta topográfica pode ainda carregar alguns adjetivos de acordo com a forma como é representada. Diz-se que uma planta é analógica quando é representada por meio de uma ou mais grandezas físicas, variando de maneira contínua, Um exemplo pode ser uma distância medida com um escalímetro sobre uma planta executada em papel ou poliéster. VIII - 4

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Capítulo VIII - Desenho Topográfico

Já a planta topográfica digital é uma representação gráfica de parte da superfície terrestre, que utiliza um conjunto de dígitos, ao invés de marcas numa escala, para mostrar informações numéricas. Além disso, pode variar de maneira discreta ou contínua diferente do analógico. Como exemplo pode-se pensar numa planta topográfica analógica que foi convertida para a forma digital por meio de um scanner ótico ou num arquivo vetorial construído através de uma mesa digitalizadora. Obviamente, a qualquer momento, uma planta digital pode ser impressa em papel ou poliéster, de forma a se obter uma planta topográfica análógica.

83 -

O traçado de alin ham entos Os alinhamentos relacionados ao levantamento topográfico, sejam eles parte de uma poligonal e/ou

irradiações, podem ser traçados de acordo com a conveniência e objetivos do desenho a partir dos dados coletados em campo, supostamente calculados e ajustados. Quer seja o desenho executado pelas técnicas convencionais ou assistido por computador, existem duas formas diferentes para execução do traçado: coordenadas plano-retanguíares e coordenadas polares planas (FONSECA, 1977). As coordenadas plano-retangulares ou simplesmente coordenadas planas referem-se a um sistema de coordenadas em um plano horizontal, que descreve a posição de pontos a partir de distâncias perpendiculares a dois eixos ortogonais, em regra formados por um meridiano e um paralelo. Um exemplo didático do desenho por meio de coordenadas planas pode ser visto na Figura 8.2.

Figura 8.2 - Desenho por meio de coordenadas planas As coordenadas polares planas são de entendimento mais direto, uma vez que podem ser representadas graficamente da mesma forma como são medidos os alinhamentos no campo. É um sistema de coordenadas em que os pontos estão sobre um plano horizontal e suas posições são definidas pela distância a

VIII - 5

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Capítulo VIII ~ Desenho Topográfico

que se encontra de um ponto já determinado e pela direção a partir de onde deve ser contada essa distância. Na Figura 8.3 é apresentado um exemplo didático da forma de desenho por meio de coordenadas polares.

Figura 8.3 - Desenho por meio de coordenadas polares

8.4 -

Curvas de níve l Erri 1777, o matemático inglês Charles Hutton criou uma representação do relevo chamada de curva

de nível, que é a linha imaginária que une todos os pontos do terreno que-possuem a mesma altitude, acima ou abaixo de uma superfície de referência, conhecida geralmente como nível médio do mar. A curva de nível também pode ser chamada de curva altimétrica (OLIVEIRA, 1983). FONSECA (1977) conceitua de uma forma mais prática, afirmando que curva de nível é a interseção do solo com um plano horizontal de altitude ou cota conhecida. Um exemplo que pode ser utilizado está representado na Figura 8.4. Para facilitar a leitura das plantas, pode-se representar algumas curvas de nível com um traço mais grosso, como, por exemplo, as curvas com terminações em zero. Assim, as curvas terminadas em cinco, por exemplo, seriam desenhadas com o traço fino. As curvas de nível podem ainda apresentar-se fechadas, como no caso da Figura 8.4, ou abertas, como representação de um relevo que ultrapassa os limites representados no desenho. Apesar da Figura 8,4 ilustrar apenas o caso de elevação, a representação de uma depressão lhe é similar em tudo, com exceção apenas no sentido de crescimento das cotas, que é exatamente o inverso do que ocorre com as elevações. O aumento da proximidade das curvas indica que o terreno representado por elas aumentou de declividade; assim percebe-se que o terreno é mais ou menos íngreme, dependendo da proximidade das curvas que o representam. VIII - 6

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Capítulo VIII - Desenho Topográfico

Figura 8.4 - Planta de curvas de nível

Uma planta topográfica pode ser classificada como planimétrica ou planialtimétrica de acordo com os dados nela representados. A planimétrica-é a planta que representa a projeção de seus pontos em um plano horizontal. Nela são desconsideradas as diferenças de nível que possam existir entre os pontos topográficos. Já na planialtimétrica, a superfície topográfica é representada da mesma forma que na planimétrica, diferenciandose apenas por conter convenções específicas para evidenciar as diferenças de nível entre os pontos representados (curvas de nível ou pontos cotados).

8.5 -

P e r fis T o p o g r á fic o s Pode-se afirmar que o perfil topográfico é a projeção vertical do terreno e permite a visualização ao

longo dos alinhamentos de uma poligonal. Uma forma clara de visualizar o perfil topográfico é imaginar que os alinhamentos de uma poligonal são representados pelos planos verticais que os contêm, formando uma superfície poliédrica. O perfil é a interseção dessa superfície com o solo; a Figura 8,5 pode ajudar a entender melhor essa definição. VIII - 7

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Capítulo VIII - Desenho Topográfico

Os elementos necessários à construção do perfil são as distâncias entre as estações da poligonal ou estacas do levantamento e suas respectivas cotas ou altitudes, geralmente obtidas por meio de nivelamento. Os perfis são bastante úteis em engenharia devido a seu caráter informativo, que vêm completar as informações retiradas da carta e permitem estudos relativos ao lançamento de estradas, canais, linhas de transmissão e outros.O traçado de perfis topográficos segue dois princípios: - Apesar do perfil topográfico ser üma curva irregular, função das irregularidades do terreno, ele é sempre representado por segmentos, de reta entre as estacas da poligonal, delineando-se então como uma linha quebrada; - Desenha-se então essa linha segundo um plano único. Há uma classificação dos perfis de acordo com o sentido em que é desenhado e, tal como as poligonais, também pode ser chamado de principal ou secundário. Além disso, existe um perfil chamado de seção transversal, que é feito em direções perpendiculares à poligonal principal com objetivos específicos.

VIII - 8

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Capítulo VIII - Desenho Topográfico,

Geralmente os perfis longitudinais são desenhados com escala vertical dez vezes maior do que a horizontal com o objetivo de acentuar o relevo, uma vez que as alturas geralmente são pequenas em relação ao desenvolvimento. Este procedimento inviabiliza que sejam tomadas medidas diretas de inclinações, grandezas lineares e angulares sobre o perfil. Para evitar o cálculo constante, essas grandezas são determinadas previamente e escritas para cada trecho no perfil, que por comodidade é desenhado em papel mílimetrado. As escalas usualmente utilizadas para traçado de perfis são: V: 1/100 e H: 1/1000 (longitudinais e seções transversais); V: 1/200 e H: 1/2000 (longitudinais e seções transversais); V: 1/500 e H: 1/5000 (longitudinais). Convencionalmente costuma-se desenhar o perfil estaqueando os alinhamentos da poligonal. Este hábito de medir distâncias utilizando estacas (geralmente de 20 em 20 metros) é bastante útil para identificação de pontos específicos nos trechos de uma poligonal, sendo muito utilizado quando da fase de exploração para projeto de estradas e sua posterior locação, por exemplo.

E le m e n to s de u m D o c u m e n to Cartográfico

8 .6 -

A ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) define em diversas normas as características dos itens relacionados ao desenho técnico e conseqüentemente .para o desenho topográfico. A NBR 10582 *

determina as condições ideais para a localização e disposição do espaço para desenho, espaço para texto e legenda.

8 .6 .1 *■ O fo r m a to das fo l h a s A NBR 10068, que se refere ao leiaute e dimensões das folhas de desenho, padroniza as características dimensionais das folhas em branco e pré-impressas a serem aplicadas em todos os desenhos técnicos. O bom senso orienta que, se resguardada a clareza do desenho, o original deve ser executado no menor formato possível. Além disso, o desenho pode ser executado tanto na horizontal quanto na vertical. A folha deve conter espaço para o desenho, texto e legenda, como pode ser visto nos exemplos da Figura 8.6.

VIII - 9

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Capítulo VIII - Desenho Topográfico

O formato básico utilizado intemacionaimente para folhas utilizadas em desenhos técnicos é o retângulo de lados 841 mm x 1189 mm , com área de 1 m 2, que está demonstrado na Figura 8.7, ou seja, se mantém a mesma relação que existe entre o lado de um quadrado e sua diagonal:

y = x\'2 x = 841 mm y = 1189 mm /

Figura 8.7 - Formato básico AO, origem dos formatos “A”

X (m m )

AO Al A2 A3 A4 A5 A6

y (tn m )

841 1189 594 841 420 594 297 420 210 297 148,5 210 105 148,5

Figura 8.8 - Série de Formatos “A”

É recomendável que se escolham formatos nos quais a largura ou o comprimento seja múltiplo ou submúltiplo do formato-padrão, caso seja necessário utilizar um formato especial.

8.6.2 - Texto As informações úteis ao completo entendimento do desenho devem ser colocadas no espaço destinado ao texto, que está devidamente ilustrado na Figura 8.6 e deve conter as seguintes informações: - Explanação: símbolos especiais (convenções), designação, abreviaturas e tipos de.dimensões; - Instrução: lista de material, local de montagem e número de peças; - Referências: refere-se a outros desenhos e/ou documentos.

VIII- 10

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Capítulo VIII - Desenho Topográfico

8.6.3 * C onv en çõ es To pogr áfi ca s Geralmente a representação das dimensões reais de diversos elementos e detalhes naturais é um problema cuja solução passa pelo uso adequado de convenções que tentem caracterizá-los o melhor possível por meio de símbolos e cores. Os símbolos mais utilizados em desenho topográfico, tais como: limites, cursos d’água, acidentes hidrográficos e outros, podem ser consultados na Figura 8.9. CURVAS DE NIVEL

CERCA DE ARAME

ESTRADA PAVIMENTADA CERCA DE MADEIRA \ V OU TAPUME

-----^

---------

TELEFONE

CORREIO

—

7 /

CAMINHO

(sf MARCO j

M /C ARVORE ISOLADA

VÉRTICES GEODÉS1COS A P ORDEM

A A CERCA MISTA

MATO/CULTURA

PINO

CERCA VIVA

GUIA

111 III ^IIIEEIII^

ESTAÇÃO DF. LEVANTAMENTO • ^ PI0UETr

____ / / _______/ / ______

------------------------------ |

PEDRA/ROCHA

TELEFONE/CORREIO

"JüS

2 3ORDEM

«S 3

34ORDEM

v é r t ic e s " POLIGONAL PRINCIPAL

........ r í o T r íb e i r ã o ' CÓRREGO / FI.LETE

-<•>- POLIGONAL SLODNDÁRIA -<j>- POLIGONAL A U X IL IA R

GUIA REBAIXADA

RN OFICIAL

ALAMBRADO OU GRADÍL

-X X -

ESTRADA DE FERRO

,x x ____

Ia ORDEM

□

2JORDEM

□

3aORDEM S mm T k

TTTTT <i - L I - 1-.L.

BOCA-DE-LOBO E DOCA DE LEÃO

EIXO

A LA G A D O COM V E G E T A Ç Ã O (brejo)

ESCADA (sobe)

H----- — \----------t

ALAGADO

12 mm -0 -

20 mm C k

PONTO COTADO U) • 725.12

LAGOA/REPRESA

725*12 ..............UJ.......................... ALINHAMENTO INDEFINIDO

P° C ° DF' VISITA O rv (NÃO IDENTIFICADO)

P O N T O D H L>I VISA NÃ O M A TERIA LIZA D O

O ívs (t:\sao roi O AP íÁGUAS PLUVIAIS)

O TL(TGUiFONls)

CANALETA CAN ••O.CiOrr.

O r;!.(i-:!.t-n<r;c!DAn!-:}

CONSTRUÇÃO ALVENARIA HIDRANTE / REGISTRO TORRE DE ALTA TENSÃO O MD(MiDRANTFi O RG(REGISTRO [VÂGlWi

£l5 0,50n

HZb

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CONSTRUÇÃO LAJEOU DE MADEIRA COBERTURA

TU BO

CAIXA DE INSPEÇÃO □

Cl (TELEFONE)

□

CE (ELETRICIDADE)

VALETA

PONTE

V-..... X “

“V

□ CX (NAOIDENTIFICADO) MURO

POSTE/LUM INÁRIA

MURO DEARRIM O JUL

(BASE)

J_L.

-O -

(PÜSIh)

-0 -

(LUMINÁRIA)

PLACAS DF. SINALIZAÇÃO O

PL(PLACA)

SM [SEMÁFORO)

TALUDE

: PONTO DE SONDAGEM

AREIA

(TOPO)

Figura 8.9 - Convenções baseadas da NBR 13133 (1994) VIII - 11

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Capítulo VIII - Desenho Topográfico

Relevantes também são as cores utilizadas nos traçados. As mais comuns são: Preto: legendas, estradas e limites de culturas; Verde: Parques e jardins; Terra de sèna queimada: Curvas de nível e cotas do terreno; Carmim: Alvenaria e cotas; Azul: limites d’água.

8.6.4 - Legenda A legenda, devido à sua posição estratégica na folha, possibilita a aquisição rápida de informações acerca do desenho, mesmo que ele esteja dobrado. De acordo com a NBR 10582 (1988), a legenda é utilizada para fornecer informação, indicação e identificação ao desenho e deve conter: - Designação da Empresa; - Nome do projetista, desenhista ou outro responsável pelo conteúdo do desenho; - Local, data e assinatura; - Nome e localização do projeto; - Conteúdo do desenho; -Escala; - Numero do desenho; - Designação de revisão; - Indicação do método de projeção; - Unidades utilizadas no desenho.

Deve posicionar-se dentro do quadro de desenho e conter todas as informações que identifiquem o desenho. Sempre posicionada no canto inferior esquerdo quer esteja a folha posicionada na horizontal, quer na vertical. Nos formatos A4, A3 e A2, a legenda deve possuir 178'mm de comprimento e 175 mm nos formatos AO e A l. Um exemplo de legenda está ilustrado na Figura 8.10.

VIII -12

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Capítulo VIII - Desenho Topográfico

| C o n se lh o do F o rn in h o Ltd a |

Ip o lh a

j R e s p o n s . T é c n ic o :

1 O

J J

A s s in a tu ra :

C R EA :

Irineu

L o c a i:

D a ta :

Rua Q u a lq u e r. n° 0

0 3 /0 4 /2 0 0 2

Escala:

1/1000

P ro je to :

L e v a n ta m e n to P la n ia ltim é tric o do lo te do F o rn in h o : D a tu m : Revisão:, U TM .zo n a 23 S A D 1969 P ro je ç ã o

Figura 8.10 - Exemplo de legenda

8.7 -

M e m o r ia l D esc ri tivo Como o próprio nome já indica, trata-se de documento escrito indispensável, que faz parte do

processo topográfico, descrevendo detalhadamente todo o levantamento. Possui informações relativas a procedimentos adotados, equipamentos utilizados com suas respectivas precisões, a nomeação utilizada para os vértices e pontos notáveis levantados; impreterivelmente deve conter também as seguintes informações:

- Nome da obra ou propriedade em questão; - Data de execução do levantamento; - Localização: a melhor possível, incluindo município e estado; - Nome completo do proprietário e/ou responsável técnico da obra; - Quantidade de lotes envolvidos no levantamento com suas respectivas áreas; - Coordenadas dos pontos levantados, georeferenciadas ao Sistema Geodésico Brasileiro, ou seja, SAD-69 (South American Datum 1969), que utiliza elipsóide (ou elipsóide de revolução, que é a figura matemática utilizada como aproximação da forma da terra) da AGI-1967 (Associação Geodésica Internacional); - Especificações técnicas dos equipamentos utilizados, tais como teodolitos, estações totais e receptores GPS, por exemplo. Adicionalmente também devem ser descritos softwares utilizados para processamento dos dados, especificando-se fabricante ou desenvolvimento e versão utilizada; - Descrição, situação e localização de monumentações, caso tenham sido implantadas; - Limites e confrontações. Devem ser descritos todos os limites naturais, tais como cursos d’água, elevações e/ou depressões e outros, além do nome dos proprietários legais de todos os lotes confrontantes da propriedade em questão;

VIII- 13

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Capítulo VIII - Desenho Topográfico

- Rumos, azimutes verdadeiros e distâncias entre os pontos dos alinhamentos definidores dos limites do levantamento topográfico; - Nome completo e assinatura do responsável técnico pelo levantamento, bem como sua habilitação legal comprovada por meio de seu registro no CREA( Conselho Regional de Engenharia)

8.8 -

D ese nho a ssi st id o p o r comp uta dor - CAD (C o m p u te r A id e d D esig n ) Em 1981, após o lançamento do primeiro computador pessoal pela IBM, ocorreram diversas

mudanças na forma como um engenheiro mede, projeta, calcula e desenha. Comparativamente ao que se tem hoje em termos de sistemas operacionais, velocidade de processamento e capacidade de memória, aquilo era a pré-história do CAD; apesar disso, esta não era a sensação que se tinha naquele momento. A velocidade das mudanças e os avanços das últimas décadas trazem um sentimento de que o que hoje é novidade amanhã já será no mínimo menos eficiente e talvez completamente obsoleto. Os avanços ocorreram de forma tão veloz, que nem mesmo houve tempo para perceber que aquele primeiro computador pessoal era um divisor de águas na história da engenharia. Os engenheiros que se formam atualmente ganharam uma poderosa e eficaz ferramenta de trabalho, que impossibilitou conhecer as dificuldades e prazeres de projetar e desenhar com equipamentos que por décadas foram fundamentais para a engenharia e arquitetura, tais como, as canetas nanquim aranhas e réguas de normógrafo, curvas francesas, réguas flexíveis, poliéster e papel vegetal, as famigeradas lâminas e borrachas de areia para eventual correção e pranchetas. Hoje, o mercado exige que se utilizem sistemas computacionais, pois com eles pode-se reduzir os custos e aumentar e melhorar a produção. O CAD não é apenas uma troca da prancheta de desenho .pelo computador e todos os seus periféricos, onde é automatizado o trabalho do desenhista. A vantagem principal desses sistemas pode ser resumida como um aumento geral da eficiência. Resumidamente, um sistema CAD composto de um software CAD utilizado em um computador, que possua um traçador gráfico (plotter) para impressão, além de um monitor, teclado e mouse. O mouse e o teclado tomam o lugar do lápis e da caneta nanquim; com um cursor manipulado pelo mouse e visualizado no monitor toma-se possível por meio do programa executar qualquer tipo de desenho, tais como a criação de pontos, linhas, curvas e polígonos de quaisquer formas, assim como a inserção de texto, cotagem, medidas de distâncias, ângulos e ajustes de qualquer desses desenhos. Particularmente, para desenho topográfico pode-se utilizar as funções de geometria de coordenadas, que possibilitam sua edição planimétrica. Por meio de um programa CAD pode-se analisar diversas alternativas de concepção. Os eventuais defeitos ou modificações são corrigidos quase que instantaneamente. A visualização da planta digital na tela do computador possibilita diversas análises em relação às diferentes fases do processo de engenharia. Existem atualmente no mercado diversos programas que unem as ferramentas do CAD a rotinas de cálculos específicos, possibilitando que não apenas o desenho, mas também o cálculo e a edição do desenho sejam possíveis. São frequentemente denominados de programas topográficos.

VIII -14

Topografia para Estudantes de Engenharia, Arquitetura e Geologia

Capítulo VIII - Desenho Topográfico

Muitas vezes, os próprios equipamentos topográficos já permitem a gravação e transferência automática para um programa de processamento e desenho do levantamento.

8.8.1 - O r g a n iz a ç ã o do C A D p a r a d e s e n h a r É óbvio que existem diversos programas desenvolvidos em diferentes linguagens de programação, por diferentes empresas e com objetivos específicos diferentes, mas todos possuem características de um CAD. Hoje é praticamente inconcebível que se desenvolva um projeto ou desenho técnico sem que se utilize um programa CAD. Assim, todos os desenhos e plantas topográficas também são realizados por meio dele. Ao se criar um desenho em um programa CAD, deve-se inicialmente estar atento ao planejamento do desenho para conseguir organização e rapidez. Sem o planejamento adequado, os desenhos podem ficar fora dos padrões exigidos pelas normas, além de dificultar o trabalho em equipe de partes de um projeto desenvolvido por pessoas diferentes. A organização do desenho pressupõe a configuração de estilos de texto e dimensionamento, criar camadas, cada uma com o seu tipo de linha, adaptar o desenho a um determinado formato de papel para ploiagem, ativar algumas funções e barras de ferramentas mais adequadas ao tipo de desenho a ser realizado.

§.<5.2 - Á p lo ia g e m Apesar de relegada rotineiramente a um item sem muita importância nos cursos de CAD, a plotagem é um assunto muito importante para o desenho. Afinal, as plantas plotadas é que são utilizadas nas obras e hão plantas digitais em telas de computadores. Assim, o formato-padrão da folha, a escala do desenho, a espessura, características as e cores das linhas, legenda, quadrículas, indicação de norte, enfim tudo deve obedecer às mesmas normas brasileiras relativas ao desenho técnico. Algumas perguntas básicas em relação às dimensões do desenho sempre aparecem, tais como: - Que unidades utilizar? Pode-se ajustar para conveniência do desenhista todas as unidades de trabalho, tais como angulares e lineares. - Em qual escala desenhar? Na verdade, o desenho é feito em uma determinada área que considera unidades de desenho; quando da impressão, a escala pode ser ajustada a um determinado formato escolhido pelo desenhista ou ainda especificar uma escala e ajustar um formato de papel específico para a escala adotada. - As cores e espessuras das linhas do desenho? Os atributos das linhas, polilinhas e outros objetos gráficos podem ser escolhidos antes do início da impressão, pois a característica de trabalhar com “layers” dos programas CAD possibilita que o desenho seja construído em diversas camadas e habilitá-las ou não, atribuindo cor e espessura para cada camada. - Deve-se desenhar com as medidas exatas ou já na escala do papel, como é feito na prancheta? Exatarnente como na prancheta, o desenho é feito em unidades de desenho, mas utilizando o conjunto de unidades escolhidas no início do desenho. O nível de zoom nada tem a ver com o tamanho ou as dimensões VIII- 15

Topografia para Estudantes de Engenharia, Arquitetura e Geologia

Capítulo VIII - Desenho Topográfico

da plotagem do desenho, apesar de as unidades utilizadas pelo traçador gráfico utilizarem as mesmas unidades especificadas para o desenho. O zoom é apenas uma facilidade de visualização em tela do desenho executado (aproximação ou afastamento).

Apesar do grande número de usuários de programas CAD, são raros os que dominam perfeitamente as técnicas de como passar o desènho do computador para o papel. Muitas vezes, o usuário consegue imprimir, na escala correta, sem eritender claramente o que está acontecendo, a ponto de não conseguir repetir a impressão em outro computador que não esteja com as mesmas configurações. Como o objetivo deste capítulo não é capacitar o leitor a utilizar um CAD, o que, aliás, necessitaria de um curso específico, além do fato de existirem diversos programas diferentes com essa finalidade, recomenda-se que o desenhista CAD iniciante faça um curso específico ou procure conhecer e exercitar bastante no programa que irá utilizar para que sejam utilizados todos os seus recursos e possibilidades.

8.9 - R e f e r ê n c ia s Bi blio grá fic as ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1994). NBR 13133 - Execução de levantamento topográfico - procedimento. Rio de Janeiro. ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1999). NBR 8196 - Desenho Técriico Emprego de escalas. Rio de Janeiro. • ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1988). NBR 10582 - Apresentação da Folha para Desenho Técnico. Rio de Janeiro. ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1987). NBR 10068 - Folha de Desenho - Leiaute e Dimensões. Rio de Janeiro. FONSECA, R. S. (1977). Elementos de Desenho Topográfico. Belo Horizonte, McGraw-Hill do Brasil. LOCH, C.; CORDINI, J. (1995). Topografia Contemporânea - Planimetria. Florianópolis, DAFUSC. OLIVEIRA, C. (1983). Dicionário Cartográfico. 2. ed. Rio de Janeiro, IBGE.

V I I I - 16

IX - DIVISÃO E DEMARCAÇÃO DE TERRAS Adriane BrilI Thum Maurício Roberto Veronez Diego Alfonso Erba

A Agrimensura é uma das mais velhas artes praticadas pelo homem. Os registros históricos indicam que esta ciência iniciou no Egito, quando Heródoto (1400 a.C.) determinou que fosse feita a divisão das terras às margens do Nilo em glebas, com a finalidade de lançamento de impostos. Como as enchentes anuais nesse rio arrebatavam porções dessas glebas, foram indicados agrimensores para restabelecer os limites. Os pensadores gregos desenvolveram, então, a Ciência da Geometria, em conseqíiência desse trabalho. Como podemos perceber, a divisão e a demarcação surgiram na antigüidade, evoluiram com a agricultura e permaneceram até hoje como uma parte muito importante da Topografia. Existem vários conceitos para demarcação de áreas. Conforme Comastri & Gripp Junior (1990), é a operação pericial que tem por fim reconhecer as terras e benfeitorias do imóvel, para que sejam classificadas e avaliadas. A classificação consiste em separar a terra em glebas, de acordo com a sua qualidade e finalidade, bem como dividir benfeitorias, conforme sua utilidade. A divisão e a demarcação de terras têm por objetivo dividir uma superfície dada em partes inferiores (parcelas, quinhões, terrenos), equivalentes ou não entre si, sendo que a soma dos mesmos coincide com a área total que foi dividida; ocorre em diferentes situações, entre as quais: separação de casais, dissociação de uma sociedade, divisão de propriedade comum, desmembramento, herança deixada pelo proprietário, condomínio etc. Para calcular (ou dividir) uma área do terreno, é necessário conhecer seus limites. Antes de iniciar uma divisão, é aconselhável realizar um levantamento topográfico atualizado da área, considerando o valor das terras e dos imóveis existentes. A divisão de áreas pode ser amigável (extrajudicial), quando as partes concordam com a divisão, ou judicial, quando houver diferenças entre as partes ou, por exemplo, houver menores de idade ou incapazes envolvidos no processo. Neste último caso, a ação também é conhecida como jurisdição voluntária, quando as partes envolvidas não estão em comum acordo com a divisão e recorrem ao poder judiciário para resolver a questão.

9.1 -

A spectos a c o n s id e r a r na d iv isão de te rr a s O

procedimento de divisão de terras compreende três aspectos: o geométrico, o jurídico e o

econômico.

IX- 1

Topografia para Estudantes de Engenharia, Arquitetura e Geologia

Capítulo IX - Divisão.e Demarcação de Terras

A questão geométrica se refere ao conhecimento das formas e dimensões da parcela territorial e está, portanto, intimamente ligada à Topografia. Para poder efetuar

projeto de divisão,

imprescindível, contar com. uma planta detalhada da parcela,

bem como com a planilha de coordenadas ou de ângulos, distâncias e o azimute de pelo menos um alinhamento que permite calcular as coordenadas dos pontos topográficos que a compõem. Caso contrário, é necessário fazer o levantamento da área. Do ponto de vista topográfico, o processo de divisão começa com a aplicação dos métodos tradicionais de levantamento, cálculo e representação e termina com a materialização das linhas que delimitam as novas parcelas, passando pelo cálculo dos elementos de locação (coordenadas de pontos, ângulos e/ou distâncias). Os aspectos jurídicos se referem basicamente ao preparo que o profissional dever ter para interpretar um título de propriedade, identificando suas partes em detalhe na descrição do imóvel. No estudo econômico, o engenheiro deve analisar as diferentes variáveis que conformam o valor do imóvel. Dividir uma propriedade em áreas iguais nem sempre é o mais justo devido a que as.realidades físicas e de infra-estrutura normalmente são desuniformes. Particularmente nas parcelas rurais, a heterogeneidade está representada pelo uso potencial da, terra (aptidões agrícolas, banhados, reflorestamentos, áreas de preservação, mata nativa, água, barragens, açudes etc). O papel do profissional é fundamental na hora de avaliar o potencial de cada setor para poder entrar com essa variável na hora de decidir acerca da disposição das novas divisas. No caso de haver heterogeneidade de valor, a área das parcelas provavelmente será inversamente,proporcional ao valor das terras; logo, quem receber terras mais valorizadas terá área menor e quem receber terras com valor inferior receberá área maior. Na área urbana, o problema é similar. Ao realizar, por exemplo, um loteamento, as formas e dimensões dos lotes poderão variar de acordo com o relevo do terreno, á distância até a rua, a calçada mais próxima, a rede de água, de esgoto, a iluminação e outros serviços - o que se traduzirá em valores diferentes nos imóveis. O projeto de loteamento urbano deverá considerar todas as variáveis em termos de economia e funcionalidade, abrangendo desde o traçado inicial das ruas e avenidas, passando pela análise dos formatos ideais dos quarteirões e lotes (comparação econômica), largura e declividade de vias e entroncamentos, a posição do lote em relação ao relevo e nível de renda, sempre respeitando a legislação. Algumas recomendações que podem ser seguidas para agilizar o processo de divisão são as seguintes: - os lotes ou quinhões instituídos devem ser um todo completo e independentes entre si; - quando possível, evitar condições de servidão entre os condôminos, isto é, evitar que estradas, rios etc; pertençam a somente um dos condôminos; - não sendo possível o atendimento do item acima, deve-se determinar (em folha de pagamento), o direito de alguns condôminos usarem a servidão (acertando o pagamento por isso). - todas as benfeitorias da propriedade devem ser distribuídas igual ou proporcionalmente aos herdeiros; IX-2

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Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

- tentar evitar ângulos agudos e diferenças grandes entre lados e/ou dimensões do polígono da partilha para que todos tenham boa conformação; - melhor usar linhas divisórias paralelas do que divergentes (tentar evitar áreas no formato de triângulo). Evidentemente, cada caso tem suas peculiaridades e no contexto serão abordadas as questões geométricas gerais e de interpretação de títulos da propriedade.

9.2 -

P ro c e d im e n to s de d iv isão O limite da parcela territorial é um polígono com n vértices, que possui uma área determinada. Dividir

essa parcela implicará obter as coordenadas de novos vértices, os quais conformarão os polígonos de limites. As novas parcelas farão parte da área maior e a soma das suas áreas deve ser coincidente com a área total. Tal como foi apresentado no Capítulo V, a divisão de polígonos topográficos pode ser efetuada seguindo métodos gráficos, mecânicos ou analíticos. Os elementos necessários para a locação das divisas no campo são determinados na planta, juntamente com as medidas de distâncias e rumos (azimute ou ângulos), ou seja, as coordenadas polares. Toda planta está em uma escala (escala de redução) e a mesma deve ser considerada na determinação dos comprimentos reais das linhas divisórias.(com duas casas decimais) e com o auxílio do transferidor deve-se determinar os ângulos (azimute e/ou rumo), transportando-os em seguida para o terreno,

O método gráfico é pouco

utilizado, devido à sua baixa precisão. Hoje, com os recursos de computação gráfica, as tarefas ficaram muito facilitadas. Também as calculadoras programáveis auxiliam muito na determinação analítica de qualquer levantamento topográfico. A divisão de área pelo método analítico é bastante simples e consiste na aplicação da fórmula de Gauss e da equação da reta. Nas fórmulas, as coordenadas são dos vértices conhecidos e as incógnitas são as coordenadas dos vértices que desejamos determinar. A informática tem auxiliado muito o trabalho dos topógrafos, especialmente em projetos de loteamento e parcelamento de glebas. Nos aplicativos modernos, é possível realizar a divisão de polígonos de forma semi-automática, sendo suficiente indicar um ponto de partida, de uma planilha de qualquer alinhamento ou de um azimute e distância (dependendo do programa), tendo a vantagem de, após a divisão concluída, poder gerar o memorial descritivo da nova área. Alguns dos novos vértices pertencerão aos alinhamentos do polígono da área maior e a determinação de suas coordenadas deve ser obtida por interseção das retas definidas pelos vértices existentes.

9.2.1 -

C á lc u lo de á re a p o r p ro cesso s g eo m étric o s Uma forma de determinar as áreas dos polígonos que surgem da divisão é separar o polígono original

em figuras geométricas simples (triângulos, retângulos, trapézios etc.).

IX - 3

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[b * rí) \ b*c) b * h, a do triângulo: S - ---------1 e a do trapézio: S = -2 * h , sen 2 2

A área do retângulo é: S = b=

Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

base; c = òase menor e h = altura.

Se possuir uma área e conseguir dividir a mesma em triângulos, calcula-se o semiperímetro do triângulo e posteriormente a área dó mesmo, utilizando as fórmulas abaixo. s _ (fl + fc + c) 2 a

- «X5 -

- c)

Onde! S - semiperímetro a,b,c - lados do triângulo A = área do triângulo 0 valor dos lados correspondentes às figuras geométricas utilizados no cálculo pode ser tomado diretamente no campo ou medidas no desenho; logo a precisão do método vai depender da precisão dos dados utilizados no cálculo. Nos casos em que os limites são irregulares, particularmente cursos d’água, estradas e qualquer outro elemento que não siga alinhamentos retilíneos, o polígono pode ser dividido em trapézios e toma-se como referência um alinhamentp a partir do qual9são realizados os offsets (veja Capítulo V). Outra forma de calcular áreas extrapoligonais é aplicando as fórmulas de Simpson [9.1] e de Poncelet [9,2].'

S = i [ d ( £ + 2 / + 4P)]

[9.1]

Onde: d = altura do trapézio E = soma das ordenadas extremas 1 = soma das ordenadas ímpares P = soma das ordenadas pares

Se ocorrer que as ordenadas extremas são nulas, a fórmula de Simpson será: • S = i[ r f ( 2 /+ 4 P ) ]

- Fórmula de Poncelet S = d 2P +

Onde: d = altura do trapézio P = soma das ordenadas pares IX - 4

[9.2]

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Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

E = soma das ordenadas extremas E’ ~ soma da segunda e da penúltima ordenadas

Calculo de área por Gauss Finalmente, outra forma de determinar áreas a partir das coordenadas dos vértices dos polígonos é por meio do método de Gauss, o qual propõe montar uma matriz e multiplicar abcissas por ordenadas e viceversa (Fórmula [9.3]).

2 * Área = {[(*,*

l X 2 * Y j X 3 *Y4 X*4 « Y j X ^ Y ^ ] - [fr * X 2)(y 2 * X 2jfc * X 4\ ya * X 5XY5

Pode-se, ainda, determinar a área pelo método da compensação, pelas fórmulas dos segmentos parabólicos e outros.

9.3 -

E x em p lo de cálcu lo

A Tabela 9.1 apresenta as coordenadas dos vértices de um polígono. Será calculada a área total e dividida em duas novas parcelas iguais, partindo do vértice 2.

Tabela 9.1 - Dados correspondentes ao exercício resolvido Pontos i 2 3 4 5

Coordenada X ( m ) 58,500 406,000 760,000 1.000,000 311,000

Coordenada Y ( m ) 439,650 216,000 380,000 1.000,000 1.250,000

IX - 5

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Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

439,650

406,000

216,000

760,000

. 380,000

1.000,000

311,000

1.250,000

58,500

439,650

2 * A = 3.313.647,150 - (l. 106.782,900) 3.313.647,150 - ( l . 106.782,900)

2 A = 603.432,125m2

2 - Divisão da área, neste caso em duas partes iguais: Área = 603.432,125m2 50% =

603.432,125m2

301.716,0625m 2

3 - Cálculo da equação da reta com as incógnitas X e Y do ponto P. O ponto P será o ponto de interseção com a reta 4-5 e dará o alinhamento para a divisão.

y,- y4 • ( x , - x 4) lYp - YJ4 =

xs-x<

IX-6

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Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

7 -1.000,00 = k 250’000 - t-OOQ.QQQ „ (x _ LOOo,ooo) p

311,000-1.000,000

V 71

-1 .000,000 - -0,362844702467 * ( x p -1.000.000)

Y„

=-0,362844702467 X„ +362,844702467 + 1.000,000

Yp= -0,362844702467X ^+1.362,844702467

—

(Equação 1)

4 - Cálculo da área, por matriz, utilizando as incógnitas X e Y do ponto P:

406.000 w 216,000 760.000 y> 380,000 2*301.716,0625 =

i .ooo,oooyi .000,000

406.000 x 216,000

Yp - 544.160

~ l;0 0 0 X p - 4 0 6

2 16Xp +1.0007, +914.280

2*301.716,0625 = 216X , +1.000y, + 914.280-1 .0 0 0 X , - 4 0 6 7 , -5 4 4 .1 6 0 603.432,125 = -7 8 4 X , + 5947, +370.120

*(-l)

594 Yp= 7 8 4 X ,-3 7 0 .1 2 0 + 603.432,125 Yp= 1,31986531987X , +392,781355219 -----► Equação 2

5 - Igualando as equações 1 e 2:

- 0,362844702467 X - 0,362844702467

p+1.362,844702467 = 1,3198653 m i X p + 392,781355219 X -p1,31986531987X, = 392,781355219 -1.362,844702467

-1 ,6 8 2 7 1002234X, =-970,063347251 X

-970,063347251

- 1,68271002234 ~

IX - 7

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Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

=576,488720203/ra

-6 - Substituir o valor de

na equação 1; (Pode-se substituir também o valor do X^_ na equação 2 )

Equação 1: Yp = -0,362844702467

X p+1.362,844702467

Valor de Xp:

Xp=576,488720203m .

Substituindo temos que: Yp = -0,362844702467 * (576,488720203)+1.362,844702467 Yp

=-209,175878158 +1.362,844702467 Yp= 1.153,6688243 lm

7 - Realizando a verificação das coordenadas do ponto P pela substituição dos valores encontrados para Xp, na equação da reta: Yp -1 .0 0 0 = -0,362844702467 v■

* ( X -pl.OOO)

1.153,66882431-1.000 = -0,362844702467 *(576,488720203^1.000) 153,66882431 = -209,175878158 + 362,844702467 153,66882431= 153,66882431 Outra maneira de verificar se as coordenadas do ponto P (Xp, Yp) estão corretas é fazer o cálculo da (s) área(s) dividida(s). X 2w F2 406.000 \ / 216,000 *30*3 X 4\A/ yJ-a 4Y ^ v A y a p\ / xp

760.000 \ />380,000 2 * A = 1.000,000( A .000,000 576,489 \ A. 153,669

x/\ y2

406,000 7X2 16,000

2*A= 154280 + 760000 +1153669 +124521,624 - (164160 + 380000 + 576489 + 468389,614) 2* A 2

= « L g M l .3 0 1 ,7 1 6 ,0Q5m2

A partir do resultado exposto no item anterior, verifica-se que os valores apresentados para o ponto P são verdadeiros. Coordenadas do ponto P para divisão da área proposta em duas partes iguais:

IX-8

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Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

X p= 576,488720203m Yp=1.153,6688243 Im Com as coordenadas conhecidas podemos determinar qualquer informação necessária, como distâncias, ângulos, azimutes, rumos, coordenadas de pontos intermediários, ou seja, se possuímos coordenadas retangulares, podemos determinar as polares e vice-versa. Abáixo vamos demonstrar alguns exemplos: - distância entre os vértices (vamos demonstrar o cálculo da distância entre os vértices 4 e 5). D 4i i = J ( X 5 - X 4)2 +{Y5 - Y j D 45 = 7 (3 1 1 -1 0 0 0 )2 + (1250 - 1000)2 Z?45 - 732,954m Os valores das demais distâncias são: D l2 = 413,250m D 2<3 = 390,144m DiA

— 6 64,83

D as —732,954m

D 31 = 848,48 lm

- Rumos tgR '■

Pr ojeçâoX Pr ojeçãoY Pr

tgR2,3

oj.23

Pr oj.Y.2,3 (7 6 0 -4 0 6 )

tgR2,3 = arct8 R23

(3 8 0 -2 1 6 )

354 =arctg 164

R 2 3 = 65 08 34 É necessário observar o sinal das projeções. No caso, as projeções são positivas, logo, estão no primeiro quadrante. Se nós possuímos o rumo de um alinhamento, determinamos o azimute por meio do í rumo conforme o capítulo II (medidas angulares), Azimute2 Z = 65° 08 34 . i R l2 = 5 7 ° 14 05 SE

A zitl =122° 45’55"

t IX - 9

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Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

R2 3 = 65° 08' 34" NE

Az, 3 = 65° 08' 34"

RiA =21° 09' 41" NE

Az 3i4 = 21 °09 41

R45 = 7 0 ° 03 25” NW

Az45 = 289°5 6 3 5 ”

P 5!

Az5i1 -1 9 7 ° 18 27”

=17° 18 24” SW

- Ângulos internos No vértice 1, temos o ângulo interno formado pelos alinhamentos 5,1 e 1,2. Para determinar o valor angular de ct], temos:

cci= 180° - ( p i5 +

2)= 180° -(l7 °1 8 24 +57°14'05 )= 105°27 '3l"

Assim, os demais ângulos podem ser determinados, usando os valores dos azimutes ou dos rumos. a 2 = 360° - A z2J + Az2,3 = 360° - 302°45'55" + 65°0834" = 122°2239" a 3 = 360° -

A z 3í2+ Az34 = 360° - 245°08'34" + 21°09'4l" = 136°0Í07"

= Az4 5 —Az4 3 = 289°56 35 -2 0 1 °0 9 41 = 88°46'54" = A z5i1- A zJi4 =197°18'24" -109°56'35" = 8 7 02 l'4 9 ’ É possível, ainda, determinar o ponto médio de cada alinhamento (coordenadas do ponto médio entre os vértices). Ponto médio 1,2: Xm 1,2

_ (X, 0

+ X 2)(_58,500 + 406) = 232,250/n ^

y „ 3 , , í í ± t i . ( 4 W 5 0 ± 2 1 6 )= 2 2

As coordenadas do ponto médio dos demais alinhamentos são: P m ,, = (583,000;298,000) PmlA = (880,000;690,000) Pm45 =(655,500;1.125,000) Pm5I =(184,750;844,825) Se a divisão partir de um ponto que se localiza a alguns metros de algum vértice, podemos determinar as coordenadas do ponto, utilizando Rumo ou Azimute e a distância desejada. Por exemplo: dividir uma área em duas partes, sendo que a divisa vai partir de um ponto Q, localizado a 20 metros do vértice 1, sobre o alinhamentoo?). Para encontrar as coordenadas do ponto Q, basta conhecer o Az(i,2)e a distância (no caso 20 m).

I X - 10

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=X, +

Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

SenAzh2* D, 2 = 58,500 + Senl22°45'55" * 20 - 75,3179m

}; = r, + CosAzl2 * D i 2 = 439,650 + C<wl22°45'55’ * 20 = 428,8260™ Assim, como esse exemplo, podemos escolher outras distâncias sobre outros alinhamentos e calcular a divisão da área em quantas partes for necessário. Na Figura 9.1, podemos observar os ângulos, distâncias e a localização dos pontos médios de cada alinhamento.

9.4 -

D ife re n te s casos de d iv isão de á re a s Os casos de divisão que se apresentam na vida profissional são os mais variados. A Figura 9.2

apresenta as principais situações.

IX- 11

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Linha divisóriapor ângulo determinado

9.5 -

Capítulo IX - Divisão c Demarcação de Terras

áreas iguais

C álcu lo de á r e a p e rte n c e n te a c a d a co n d ô m in o Na medição e partilha de terras, devemos considerar se as terras possuem o mesmo valor ou não e

qual a situação de direito (valor de título) de cada condômino. Vejamos algumas situações de áreas e direitos dos condôminos, a partir dos exemplos abaixo, a) Terrenos heterogêneos e condôminos com direito ao mesmo valor em título Se um imóvel de 170 hectares foi classificado em duas glebas, uma de 70 Ha, considerada de primeira, avaliada èm R$ 3.000,00 o hectare, e outra de 100 Ha, avaliada em R$ 1.500,00 o hectare, totalizando R$ 360.000,00 o valor do imóvel. O imóvel deverá ser partilhado entre os condôminos A, B e C, onde cada condômino tem o direito ao mesmo valor em título: Condômino A, B e C deverão ;receber áreas com valor equivalente a R$ 120.000,00. Neste caso, ficou acertado entre o profissional e os condôminos que: - o condômino A receberá sua área situada da gleba de melhor qualidade; - o condômino B fica com parte na área de boa qualidade e parte da outra; o condômino C fica com a área restante, que tem qualidade inferior, conforme mostra o cálculo.

I X - 12

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. . . _ „ - , T„ _ ,c Capítulo IX - Divisão e Demarcaçao de terras

Cálculo da área do primeiro condômino (A) 70 hectares.................... 210.000,00 A .................... 120.000,00

„ 70 * 120.000,00 „orr A = --------------------= 40 210 .000,00

O condômino B recebe 30 Ha de boa qualidade, que equivalem a R$ 90.000,00, mais 20 Ha da terra de qualidade inferior, totalizando os R$120.000,00, conforme mostra o cálculo abaixo. Área de melhor qualidade: 70 hectares.....................210.000,00 30 hectares.....................

30.210.000,00 70 Restante da área (qualidade inferior) 100 hectares.................... 150.000,00 B......................... 30.000,00

100.3Q.Mp.00 150.000. 00 O condômino C vai receber os outros 80 hectares.de terra de qualidade inferior, como segue. » ® 100 hectares .............. 150.000,00 C....... ..................120.000,00

iM .i2Q .qpo.pq 150.000. 00

b) Terrenos homogêneos e condôminos com direito ao mesmo valor em título Se os terrenos são homogêneos e os condôminos possuem o direito do mesmo valor em títulos, é simplesmente dividir a área total pelo número de condôminos, como segue o exemplo: um imóvel de 273 hectares, no valor de R$ 2.300,00 o hectare, totalizando R$ 627.900,00 o valor do imóvel que deverá ser dividido entre três condôminos (A, B e C), tendo cada um direito a R$ 209.300,00 em terra. Esta divisão é sobre a planta existente, ou seja, a área existente na escritura. Veja o cálculo: 273 hectares....................627.900,00 X....................... 209.300,00 X

273 * 209.300,00 627.900,00

= 91 Ha Condôminos A B C Total

Área (ha) 91,00 91,00 91,00 273,00

Valor Total (R$) 209.300,00 209.300,00 209.300,00 627.900,00 IX- 13

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Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

Se acaso for medida novamente a área e for constatada uma sobra de área, a mesma deverá ser dividida entre os condôminos. Por exemplo: Na área pertencente aos condôminos A, B, C foi constatada uma área de 279 ha, logo, 6 Ha a mais, ou seja, em valor de R$ 13.800,00. No caso, cada condômino vai receber 2 Ha mais (6 Ha/3 = 2Ha), o que equivale ao valor de R$ 4.600,00 para cada condômino (R$ 13.800,00/3 = R$ 4,600,00), como pode ser visto abaixo.

Condôminos A B C Total

Área (ha) 91,00 + 2,00 =93,00 91,00 + 2,00 =93,00 91,00 + 2,00 =93,00 273,00 + 6,00 = 279,00

Valor Total (RS) 213.900,00 213.900,00 213.900,00 641.700,00 .

Obs: R$ 2300,00/Ha. Observe a maneira de encontrar a área de cada condômino (regra de três). 279 Ha........ ........................ R$ 641.700,00 X .......... ..........•.............R$213.900,00 X= 93 Ha .Também, pode ser utilizado um fator de correção para chegar à quantidade de

área de cada

condômino: .... 641.700.00 627.900.00

1,021978022

O valor corrigido do título de cada condômino é igual ao fator de correção multiplicado pelo -valor correspondente a cada condômino, ou seja: 1,021978022 * R $209300 = R $213.900,00 Se-ocorrer o contrário, faltar área, o procedimento!é o mesmo. A quantidade que faltar será distribuída pelos condôminos, procedendo-se ao cálculo de forma semelhante à acima descrita. Por isso a importância de um levantamento, ou seja, ter dados atuais e precisos da área a ser dividida.

c) Condôminos com direito a títulos diferentes Se os condôminos possuírem direitos a títulos de valores diferentes, deve-se aplicar a seguinte fórmula:

V Onde: A= área a ser calculada para cada condômino; V = valor total do imóvel; S = área total do imóvel a ser dividido; T = valor do título do condômino. I X - 14

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Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

Exemplo: Temos os condôminos A e B , que possuem títulos diferentes em uma partilha de 60 ha, avaliada em R$ 120.000,00. Condômino A - R$ 80.000,00 e Condômino B - R$ 40.000,00. Área pertencente ao condômino A: , 60*80.000,00 , Arr A = -------------------- = 40 Ha 120.000,00

Área pertencente ao condômino B: 60*40.000,00 120.000,00

- 20Ha

d) Propriedade com benfeitorias e condôminos com direito a títulos de diferentes valores Se houver uma área com 40 Ha, sendo a terra avaliada em R$100.000,00 e as benfeitorias avaliadas em R$ 20.000,00, logo a propriedade é avaliada em R$ 120.000,00. A mesma pertence a três condôminos com valores diferentes em títulos de propriedade (condômino A = R$ 30.000,00; B= R$ 30.000,00 e C= R$ 60,000,00). A apuração dos títulos fica a seguinte: - Condômino A - R$ 25.000,00 em terras e R$ 5.000,00 em benfeitorias = R$ 30.000,00 - Condômino B - R$ 25.000,00 em terras e R$ 5.000,00 em benfeitorias = R$ 30.000,00 - Condômino C - R$ 50.000,00 em terras e R$ 10.000,00 em benfeitorias = R$ 60.000,00 Concluídos o levantamento e a divisão, o profissional deverá apresentar a planta do imóvel com suas respectivas divisas, juntamente.com uma cópia da caderneta de campo e um memorial descritivo para ser registrado em cartório pelas partes interessadas. Em áreas pequenas não há necessidade de levar em consideração a curvatura da terra; a questão é resolvida pela topografia mesmo, porém em se tratando de grandes extensões de terras (superfície de vários municípios, de um estado ou país), devemos considerar a curvatura e utilizar ciências mais avançadas, como a Astronomia de Posição e a Geodésia. Atualmente, para registrar uma propriedade rural, é necessário que a mesma esteja amarrada a marcos geodésicos, ou seja, possuir coordenadas levantadas com GPS (Global Positioning System).

9,6 -

A spectos J u ríd ic o s Os aspectos jurídicos envolvidos na questão da divisão de terras não se referem somente a litígios, os

quais normalmente exigem uma perícia. Saber interpretar os títulos de propriedade que correspondem às parcelas a serem levantadas e/ou divididas é de fundamental importância. Temos leis e artigos específicos que tratam do assunto (desmembramento de áreas), entre os quais podemos citar os Artigos 415 a 453 do Código do Processo Civil Brasileiro (conforme anexo), Lei N°6.766, de 19 de dezembro de 1979, Lei N° 8.617, de 4 de janeiro de 1993, Lei N° 9.785, de 29 de janeiro de 1999, entre outras. IX- 15

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Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

A lei 10.267 de 28 de agosto 2001 trata do Cadastro Nacional de Imóveis Rurais, a qual exige que todos os imóveis rurais possuam coordenadas georreferenciadas ao Sistema Geodésico Brasileiro. Considerar, ainda, a legislação ambiental e o código florestal. Fazem parte de uma escritura: Natureza do Ato: especifica o motivo pelo qual a escritura foi elaborada (compra-venda, doação etc.); Cabeçalho: constam o lugar e a data em que foi elaborada a escritura; Partes: pessoas (físicas ou jurídicas) que compareceram ao ato;

Descrição do imóvel: constam aqui a localização (município e distrito, se for rural, e cidade e ruas, se fo^ urbano), medidas (normalmente só constam as lineares, o que prejudica o trabalho do profissional parà definir a forma da parcela) e lindeiros. Conforme a lei 10.267/2001, a identificação do imóvel será: “ .... a partir de memorial descritivo, assinado por profissional habilitado e com a devida Anotação de Responsabilidade Técnica - ART, contendo as coordenadas dos vértices definidores dos limites dos imóveis rurais, georreferenciadas ao Sistema Geodésico Brasileiro e com precisão posicionai a ser fixada pelo INCRA (0,5 m)....”

Especificações: (se precisar, especificar algo). Inscrição Dominial: existem muitos softwares que, a partir dos dados de campo e dos cálculos realizados, criam um memorial descritivo automaticamente. Espeqficaçõés dò ENCRA A Norma Técnica para Levantamentos Topográficos (ENCRA/2001) apresenta algumas descrições e especificações (conforme tabela 1 e 2) para poligonais geodésicas de apoio à demarcação (controle imediato), que tem por finalidade proporcionar pontos de controle para levantamentos de imóveis rurais, fornecendo coordenadas a partir das^ quais serão feitas operações topográficas de demarcação e/ou levantamento, a serem desenvolvidas na região dos serviços. Deverão partir e chegar em pontos distintos, com acurácia definida nas classes PI e P2 (norma técnica). Tabela 1 - Poligonais geodésicas de apoio à demarcação (controle imediato)/ INCRA 2001 Espaçamento entre estações - Geral - Extensão máxima da poligonal

5-10 Km 50 Km

Medição angular horizontal Método Intrumento (leitura direta) N° de séries N° de posições por série Limite dè rejeição N° mínimo de posição após rejeição

das direções <1,0” 1 4 CE e 4 CD 5,0” 3 CE e 3CD

Medições dos lados - N° mínimo de séries de leitura recíproca IX- 16

;

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Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

- Intervalo mínimo entre recíprocas

20 minutos

- Diferença máxima entre as séries

lOmm

- Diferença máxima entre leituras recíprocas de uma mesma série

20mm

Controle de refração atmosférica - Leitura estimativa da temperatura - Leitura estimada da pressão atmosférica - Leituras recíprocas e simultâneas dos ângulos verticais com medição dos

0,2°C “ • 0,2 mm Hg sim

lados Controle azimutal - Espaçamento entre os lados de controle

12-15

Pontos de Laplace - N° de séries - N° de posições por série - Valor máximo do erro-padrão do azimute para a direção de controle - Erro de fechamento máximo em azimute para direção de controle

1 4 CE e 4 CD 3,0” 8”/ geração

Medição angular vertical - N° de posições recíprocas e simultâneas

2 CE e 2 Cd .

- Valor máximo da diferença em relação à média

10”

- N°de lados entre pontos de altitudes conhecidas

1 5 -2 0

- Valor máximo do erro de fechamento

1Omm/Km

Fechamento em coordenadas - Valor máximo para o erro-padrão em coordenadas após a compensação em azimute (L - comprimento em Km)

0,8 m Vl

Valor máximo do erro-padrão relativo, aceitável entre duas estações de referências após ajustamento

1/5.000

Já para as poligonais para fins topográficos de demarcação, com a finalidade de proporcionar o levantamento de imóveis rurais, demarcando-o segundo anteprojeto de parcelamento ou limites respeitados pelos confrontantes, se for o caso, fornecendo coordenadas dos vértices e das divisas, permitindo a sua caracterização. Deverão partir e chegar em pontos distintos com acurácia definida nas classes PI ou P2 (norma técnica). O comprimento dos lados das poligonais deverá ser o mais constante possível, evitando o estabelecimento de lados muito curtos e muito longos. Para lances menores do que 50 m deverão ser utilizadas trenas de boa qualidade com aferição prévia, evitando distâncias menores do que 10 m. No caso de ^ utilização de medidores eletrônicos de distância, este deverá possuir acerácea melhor do que ± 10 mm.

IX- 17

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Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

Tabela 2: Poligonais para fins topográficos (demarcação)/ INCRA 2001

Taqueométrica

Eletrônica

- Espaçamento entre estações

Até 150 m

Até 500 m

- Comprimento máximo do desenvolvimento

15 Km

- Método

das direções

Instrumento (leitura direta)

< 20”

< 10

- N° de séries

1 (CE e CD)

- N° de posições p/ série

1 (FI, FM. FS)

2 leituras válidas

Desenvolvimento

Medição angular horizontal

Medições dos lados - N° mínimo de séries de leituras recíprocas Controle Azimutal - N° máximo e lados sem controle

■

- Erro de fechamento máximo em azimute para direções de controle

Medição angülar vertical N°de série

20”

20 mm/Km

- Valor máximo da diferença de lados entre pontos de altitudes conhecidas -N° máximo de lados entre pontos de altitudes conhecidas - Valor máximo do erro de fechamento altimétrico

Fechamentos: - Angular

1Wn onde N é o número W N onde N é o de lados

número de lados

- Linear (coordenadas) Valor máximo para erro relativo em coordenadas após a compensação em azimute

1/1000 1/2000

No caso de loteamentos urbanos, é preciso consultar a Lei Municipal. Cada município tem ou * deveria ter uma legislação própria, na qual encontram-se todas as disposições sobre o parcelamento dos solos. As leis municipais, na maioria, são separadas em capítulos e tratam: das Disposições Preliminares; dos IX -18

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Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

Procedimentos para a Realização do Parcelamento do Solo (dos loteamentos, dos desmembramentos, do fracionámento, do loteamento para a formação de sítios de recreio, dos loteamentos industriais, dos condomínios por unidades autônomas que se constituírem em casas térreas assobradadas, dos loteamentos populares, dos loteamentos com construção de unidades habitacionais, dos reloteamentos); das Especificações Técnicas (do armamento dos quarteirões, dos lotes, das áreas verdes, de recreação e de uso institucional); das Infrações e Penalidades; das Disposições Gerais e Finais.

9.7 -

R e fe rê n c ia s b ib lio g rá fic a s

BORGES, Alberto de Campos. Topografia Aplicada à Engenharia Civil. Volume 2, São Paulo. Ed. Edgard Blücher, 1992. CARDÃQ,, Celso. Topografia. 3a ed. Belo Horizonte, Edições Arquitetura e Engenharia, 1963. 465p. CÓDIGO CÍVEL BRASILEIRO. São Paulo, Editora Saraiva S. A., 1978. COMASTRÍ, José Anibal & GRIPP JUNIOR, Joel. Topografia Aplicada: Medição, Divisão e Demarcação. Viçosa, UFV, Imprensa Universitária, 1990. 203p. DOMINGUES, Felipe Augusto Aranha. Topografia e astronomia de posição: para Engenheiros e Arquitetos. São Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 1979. 403p. ESPARTEL, Lelis. Curso de Topografia. Porto Alegre, Editora Globo, 1980. 654p. GONZAGA, Vair. Divisão e demarcação de terras, 2 .ed São Paulo, Editora LED, 1998 LIMA, Oscar de Oliveira. Divisões, demarcações, tapumes. Belo Horizonte, Imprensa Oficial do Estado de Minas Gerais, 1947. 274p. MORETTI, Ricardo de Souza. Loteamentos, São Paulo: IPT, 1985. Norma Técnica para Levantamentos Topográficos. Ministério do Desenvolvimento Agrário - MDA; INCRA. Julho de 2001, A MIRA, Ágrimensura e Cartografia. Ano VIII, N° 81. Julho de 1998. www.planalto.gov.br/ccivil_03/ Leis/LEIS_2001/LI0267.htm - 22k

IX- 19

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Capítulo IX —Divisão e Demarcação de Terras

Anexo I - Exemplo de Memorial Descritivo

Memorial Descritivo

O presente memorial descritivo tem por finalidade descrever e caracterizar a propriedade de Pedro de Almeida Barbosa, sito na localidade denominada Morro Agudo, no município de Dom Feliciano-RS, com área superficial de 154.457,87m2, amarrado do Sistema Geodésico Brasileiro. Imóvel: com área superficial de 154.000,00m2, sem benfeitorias, sito na localidade denominada Morro Agudo, no município de Dom Feliciano - RS, frente ao Norte, formada pelo vértice 1(E 999.125,124m; N 125.541,147m) e 4(E 999.001,457m; N 125.101,477m), limita-se com a Estrada Municipal, na extensão de 259,00 metros; ao Leste, formada pelo vértice l(E999.125,124m; N 125.541,147m) e 2(E 999.045,447m; N 125.154,774m), limita-se com a propriedade José de Barros, na extensão de 412,44 metros; ao Sul, formada pelo vértice 2(E 999.045,447m; N 125.154,774m) e 3(E 999.124,871m; N 125.887,597m), limita-se com o Arroio Teixeira, na extensão de 324,12 metros; ao Oeste, formada pelo vértice 3(E 999.124,87lm; N 125.887,597m) e 4(E 999.001,457m; N 125.101,477m), limita-se com a propriedade de Joaquim Ramos, na extensão de 357,12 metros. Sendo, o que deveria constar o presente memorial descritivo vai assinado pelo proprietário e pelo responsável técnico.

São Leopoldo, 11. de Junho de 2002.

proprietário

responsável técnico

IX-20

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Capítulo IX ~ Divisão e Demarcação de Terras

Anexo II - Exemplo de Memorial Descritivo

Memorial Descritivo Imóvel: Morro do Sol

Área: 14,4975

Lote :42

Perímetro(m): 1763,85

Município: São José

U.F: Paraná

Inicia-se a descrição deste perímetro no marco M-0246, de coordenadas geográficas, latitude 24° 03,50.33545”,S ejongitude 50°16’38.52344”W e coordenadas N 7.338.491,614 e 573.464,906 MC 51 WGr., Datum SAD-69, situado na bifurcação de duas estradas Municipais, deste segue por estrada Municipal, confrontando com a mesma, com distância de-233,15 m até o ponto E-3055; deste segue por linha seca confrontando com a estrada Municipal, confrontando com a mesma, com a distância de 233,15 m até o ponto E-3055; deste segue por linha seca confrontando com a estrada Municipal com o azimute de 168° 01’13” e distância de 20,80 m até o marco M-0136; deste segue por linha seca, confrontando com o lote 43 com o azimute de I90°56,50” e a distância de 184,12 m até o marco M-0100; deste segue pelo rio das Pontas a montante, confrontando com o lote 21 com a distância de 189,84 m até o marco M-0102; deste segue pelo rio das Pontas, cruzando a estrada Municipal, confrontando com reserva R-6 com distância de 248,51 m até o marco M-Q104; deste segue por linha seca, confrontando com lote 39 com o azimute de 346 09’06”e a distância de 316,82m até o marco M-015; deste segue pela estrada Municipal, confrontando com a mesma com a distância de 591,41 m até o marco M-0246; ponto inicial da descrição do perímetro. OBS: foram deduzidos 0,4654 ha referente a área de estrada. São José, 25 de junho de 2003.

Responsável Técnico

Confere

Visto

IX - 21

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Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

Anexo í í l - Conceitos e termos utilizados em demarcação, divisão e loteamènto de áreas (glossário)

Adjudicação: Transferência de propriedade móvel ou imóvel, praticada por meio de ato judicial, de uma pessoa (física ou jurídica) para outra, passando a ter o adquirente de qualquer dessas propriedades os direitos de domínio e posse sobre o bem. Cartório de Registro de Imóveis: Também intitulado de Serventia Registraria; é o local onde se oficializam os atos de "registros” e "averbações", regulariza-se, consigna-se, declara-se, estabelece-se, anota-se, e se responsabiliza pelo arquivamento de todos os documentos apresentados à serventia, que por determinação legal ficam arquivados. Certificado de Inscrição de Cadastro Rur^l - CCIR : Documento hábil para toda e qualquer transação do imóvel rural conforme a Lei. Desmembramento: É a divisão de glebas em lotes, com aproveitamento do sistema viário existente, desde que não implique a abertura de novas vias de logradouros públicos, nem no prolongamento, modificação ou ampliação das já existentes. Discriminação: Ato ou ação de discriminar, ou seja, em termos do Direito Agrário, ato ou ação de extremar as terras públicas, separand'o-as daquelas de domínio privado. Domínio Direto: É aquele pertencente ao senhorio, ao proprietário do imóvel, sob o instituto da enfiteuse. Domínio Pleno: E o domínio total. A soma do domínio útil com o domínio direto.

■, ■•

Domínio Útil: E o aproveitamento e gozo do bem aforado.- Direito atribuído ao enfiteuta de se utilizar daquele imóvel podendo extrair dele seus frutos, vantagens e rendimentos econômicos Estatuto da.Terra: Assim se denomina a Lei 4.504, de .30 de novembro de 1964, que regula os direitos.e obrigações concernentes aos bens imóveis rurais, para os fins de execução da reforma agrária e promoção da política agrícola no Brasil. Expropriado: Pessoa física ou jurídica, da qual o imóvel rural foi retirado por força de ação expropriatória. Faixa de Fronteira: A faixa interna de 150 Km ao longo das fronteiras do Brasil (Lei n° 6,634/79). Gleba: Tem várias acepções, a saber: - imóvel rural; - parte do imóvel loteado; - subdivisão de área de atuação do Projeto Integrado de Colonização, com fins administrativos, em função do desenvolvimento dos trabalhos de colonização e exploração econômica dos seus lotes e parcelas. Imóvel Rural: E o prédio rústico, de uma área contínua, qualquer que seja sua localização, que se destina à exploração extrativa, agrícola, pecuária ou agroindustrial, ou através de planos públicos de valorização, quer através de iniciativa privada (Art. 4o, item I, do Estatuto da Terra). Imposto Territorial Rural - ITR: O fato gerador está definido no Código Tributário Nacional (Lei n° 5.172, Art. 29). E o imposto que incide sobre o imóvel rural que se destina à exploração agrícola, extrativa vegetal ou agroindustrial e que, independentemente de localização, tiver área superior a l(Um) hectar (Art. 6o da lei n° 5.868/72). As normas gerais para fixação do ITR estão fixadas nos artigos 49 e 50 do Estatuto da Terra, com a nova redação dada pela Lei n° 6.746, de 10/12/79. IX -22

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Indivisibilidade de Imóvei Rural:

Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

Consiste em não poder o imóvel rural ser dividido em áreas de

dimensão inferior à constitutiva do módulo da propriedade rural (Art. 65 do Estatuto da Terra). Legitimação de Posse: Consiste terra de

fornecimento

de uma licença

de ocupação a ocupante de

pública que a tenha tomado produtiva com o seu trabalho e de sua família; em área continua até 100 ha, desde que não seja proprietário de imóvel rural e comprove morada permanente

e cultura efetiva; pelo prazo mínimo de histórico da

terra nua,

satisfeito

1 ano. A licença de ocupação tem o lote, pelo valor

os requisitos

de moradia permanente

e cultura efetiva

comprovada a sua capacidade para desenvolver a área ocupada. Logradouro: Espaço livre impedido de alienação, destinado à circulação pública de veículos e (ou) pessoas, reconhecido pelo Município, o qual lhe dá uma denominação. Ex.: ruas, avenidas, travessas etc. Lote: Parte de terra demarcada, que juntamente com outras contínuas, num mesmo plano e obedecendo a uma medição mínima estabelecida por lei federal, estadual ou municipal, constituem o loteamento. É unidade imobiliária autônoma e independente. Loteamento: Processo de urbanização que consiste na divisão de glebas em lotes, objetivando a edificação, com a abertura de logradouros públicos, novas vias de circulação, modificação ou ampliação das vias já existentes, ou seja, necessita-se criar toda uma infra-estrutura, custeada pelo loteador. Matrícula: Grande inovação da Lei n°6.015/73, veio a substituir os livros de Transcrições e Inscrições, onde eram feitos anteriormente de forma manuscrita os atos de "registros e averbações". Com o advento da citada lei os registros e averbações passaram a ser feitos exclusivamente nas matrículas, em ordem cronológica e de forma narrativa. Módulo Fiscal:

É a área expressa em hectares, fixado pelo INCRA para cada município e utilizada para

efeito de tributação, que leva em conta o tipo predominante no município, renda obtida e conceito de propriedade familiar (Art. 50, Parágrafo 2o, do Estatuto da Terra, com as alterações introduzidas pela Lei n° 6.746/79). Módulo Rural: É a área fixada para cada região e tipo de exploração como máximo para uma propriedade familiar (Art. 4o, item III, do Estatuto da Terra). Posse: Direito de usar e gozar de bens com o objetivo de tirar destes, vantagem, serventia ou lucro econômico, no entanto sem dispor desses bens. Ex.: inquilino. Posseiro: É o titular de posse exercida sobre terras públicas. Tem, no Direito Público, o sentido de possuidor do Direito Privado. Posse Legitímável: É a posse sobre a porção de terras devolutas possível de reconhecimento. Propriedade: Direito de gozar, usar e dispor de bens e de reavê-los do poder de quem quer que injustamente os possua. Protocolo: Indicação de todos os títulos apresentados diariamente para ser registrados ou averbados. Número de ordem que determina a quantidade e qualidade dos atos a serem praticados. Reforma Agrária : Conjunto de medidas que visam promover melhor distribuição de terra, mediante modificação no regime de sua posse e uso, a fim de atender aos princípios da justiça social e ao aumento de produtividade (Art. Io, Parágrafo Io do Estatuto da Terra). IX -23

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Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

Registro de Propriedade: Matrícula, a rigor, não se confunde com registro. Matricula-se o imóvel. Registra-se o título que transfere a sua propriedade a outrem. Remanescente: Restante; aquilo que sobra. Ex.: Após a venda de parte do terreno, o que resta é o terreno remanescente. Terras Bevolutas: Espécie

de terras públicas abrangentes daquelas que, à época

a Lei n° 601, de

18/9/1850, eram incultas, não aproveitadas, não apossadas, não habilitadas. São terras que, não sendo próprias nem aplicadas a algum uso público, não se incorporam ao domínio privado na forma e condições previstas no art. 5o, do decreto-lei n° 9.760, de 5/9/1946. Terras Públicas: São as que se encontram no patrimônio da União, Estados e Municípios, sejam ou não destinadas a fins ou uso público. Terreno De M arinha: É o que vai até uma profundidade de 33 metros, medidos horizontalmente, para, a parte da terra, da posição da linha da preamar média de 1832. Transcrição E Inscrição: Em tais livros eram feitos os registros de compra e venda e averbações pertinentes ao imóvel. Transcrição: Denominação usada anteriormente à Lei n°6.015/73, que significa "Registro", o qual era praticado nos chamados livros de transcrições e depois da citada lei passou ser feita em "Matrículas". Usucapião: Uma das formas de aquisição do imóvel pela posse pacífica, pública, sem contestação e de maneira contínua, durante um determinado tempo, sem depender de título, porém com fé. Típica aquisição de um imóvel abandonado, na qual ninguém aparece para reclamar direitos sobre a propriedade desse.

IX-24

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Capítulo IX - Divisão e Demarcação de Terras

Anexo IV: Sugestão de alguns cuidados e atitudes que devem ser tomados para:

- Instruir seu processo de usucapião ou de retificação da propriedade rural. Fazemos o levantamento topográfico e elaboramos a planta e o memorial descritivo para o registro cartorial. - Dividir a propriedade entre herdeiros. É preciso mapeá-la, quantificar as áreas agrícolas, de matas, pastos, rios e benfeitorias e propor uma divisão que seja justa. - Desmembrar glebas. Fazemos a medição, planta e memorial descritivo da gleba de terra que você escolheu. - Construção de imóveis em terrenos em declives. Você precisa de um bom levantamento planialtimétrico eoiu estudo dos perfis do terreno, projeto para instalação de platôs, estudo do movimento de terra, demarcação exata dos cortes e aterros que a terraplenagem realizará, acompanhamento da tratorização etc. - Loteamentos rurais ou urbanos. Você precisa de levantamentos topográficos, projeto de armamentos, quadras, lotes, sistema de drenagem de águas pluviais, áreas verdes, demarcação de todo o serviço de • terraplenagem, nivelamentos etc.

ii I X -25

X - OS ERROS NA TOPOGRAFIA Rodrigo Figueiredo Leandro

Sempre que se realiza a observação de uma grandeza, seja ela um ângulo ou uma distância, obtém-se um resultado que possui uma imprecisão, inerente ao ato de medir. Esta imprecisão.é. denominada de “erro de observação”. Pode-se afirmar que toda medida possui um determinado erro, e é' preciso utilizar um * # tratamento adequado para tal durante os processos de cálculo, quaisquer que sejam eles. Esses erros são provenientes de diversos fatores, tais como a falha humana, imperfeições dos instrumentos e condições meteorológicas sob as quais se realizam as medições, e podem ser classificados em três grupos: ® Erros grosseiros © Erros sistemáticos «

Erros acidentais P

Os erros grosseiros, também chamados de faltas, podem ser causados por desatenção do observador ou por mau funcionamento do instrumento de medição. A troca acidental de dígitos durante a leitura e/ou anotação de uma medida é um grande exemplo deste tipo de ocorrência. Geralmente esse tipo de erro é caracterizado por um valor alto, o que faz com que seja possívelVem grande parte dos casos, identificá-lo. Porém, às vezes, é preciso recorrer a testes estatísticos para que se justifique a rejeição de uma observação que possua esse tipo de falha. De qualquer forma, é necessário que o observador se cerque de todas as precauções possíveis para evitar ao máximo a ocorrência dos erros grosseiros. Os erros sistemáticos são geralmente causados por falta de calibração do instrumento, pela nãoutilização ou utilização inadequada dos modelos matemáticos que descrevem as condições físicas sob as quais as observações são realizadas ou ainda devido a alguma falha sistemática do observador (por exemplo, o observador pode ter tendência a fazer leituras angulares com o valor da medida adicionado de alguns segundos, ou vice-versa). Devido à sua natureza, os erros sistemáticos tendem a se acumular com o aumento do número de observações. Como possuem causas conhecidas, é possível eliminar seus efeitos (por meio de determinadas técnicas de observação) ou determiná-los durante o processamento das informações (mediante a utilização de modelos matemáticos).

X- 1

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Capítulo X - Erros na Topografia

Mesmo quando os erros grosseiros foram evitados e os efeitos dos erros sistemáticos foram eliminados ou determinados matematicamente, as medidas observadas contêm ainda discrepâncias em relação ao valor verdadeiro, permanecendo portanto inconsistentes. Essas discrepâncias ocorrem devido aos erros acidentais, também chamados de erros aleatórios. Como o próprio nome diz, os erros acidentais ocorrem de maneira aleatória, de forma que é impossível vinculá-los a uma causa específica, impossibilitando a eliminação ou determinação de seus efeitos. O erro acidental se comporta como uma variável aleatória que possui uma distribuição normal, o que permite-nos dizer que, quanto maior o número de observações efetuadas, maior será a tendência dos erros se anularem.

10.1 - Erro Verdadeiro e Erro Residual Como já foi visto, toda observação de uma grandeza contém erros, Existem casos em que não se conhece o valor real da grandeza, sendo possível analisar estes erros apenas em relação a um valor médio, julgado o valor mais confiável. Neste caso chamamos a diferença entre o valor de cada observação e o valor médio de erro residual.

Valor Médio = observação + erro residual

Quando o valor real da grandeza é conhecido, pode-se fazer uma análise dos erros em relação ao valor verdadeiro. Neste caso chamamos a diferença entre o valor de cada observação e o valor real de erro verdadeiro. Valor Real = observação + erro verdadeiro

Exemplo: Seja o conjunto abaixo de medições de uma determinada distância. Determinar os erros residuais e os erros verdadeiros, considerando que o valor real da distância é 203,44 m.

Valor da Observação (m) 203.45 203,44 203,41 203,40 203.46

X-2

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Capítulo X - Erros na Topografia

Determinação do valor médio:

Valor Médio

203,45 + 203,44 + 203,41 + 203,40 + 203,46 5

203,43 m

Determinação dos erros: Valor da Observação (m)

Erro Residual (m)

Erro Verdadeiro (m)

203,45

0,02

0,01

. 203,44

0,01

0,00 * o

203,41

-0,02

-0,03

203,40

-0,03

-0,04

203,46

0,03

0,02

102 - Resolução, Precisão e Exatidão Tratando-se de Topografia, muitas vezes fala-se em precisão, exatidão e resolução como sinônimos, quando na verdade são três conceitos distintos. É importante que o aluno tenha pleno conhecimento de seus significados, para que, ao longo da vida profissional, não cometa enganos ao designar ou interpretar essas grandezas. A resolução é a menor parte que pode ser identificada quando está se fazendo a leitura de uma medida. Na Figura 10.1, por exemplo, o alvo 1 possui uma resolução de 20 unidades, ou seja, está dividido de 20 em 20 unidades. O alvo 2 possui uma resolução de 10 unidades, pois está dividido em intervalos de 10 unidades.

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Capítulo X - Erros na Topografia

A precisão é o grau de requinte, ou confiabilidade, de um procedimento para determinação de uma grandeza qualquer. A precisão está ligada à confiabilidade do processo de medição, e não da medida. Por exemplo, é possível que uma série de observações tenha uma precisão alta, pois fornece medidas com desvio muito baixo entre si,, porém resulta em um valor muito diferente do valor verdadeiro. A precisão de uma série de observações geralmente é representada pelo desvio-padrão em relação ao valor médio. A exatidão ou acurácia é o grau de requinte, ou confiabilidade, do valor determinado para uma grandeza por meio de um procedimento qualquer. Está ligada à confiabilidade da medida obtida, e não do processo de medição utilizado. A exatidão de uma medida é obtida comparando-a com o valor verdadeiro, independentemente da precisão do processo de medição. A exatidão de uma série de observações geralmente é representada pelo desvio-padrão em relação ao valor real. Tomemos como exemplo três atiradores que tentam acertar um mesmo alvo no seu centro, mas conseguem resultados distintos, como mostra a Figura 10.2:

O atirador 1 não consegue realizar disparos com boa precisão, pois acerta o alvo em pontos distantes uns dos outros. Este atirador também não possui boa acerácea em seus tiros, pois acerta o alvo em pontos distantes do centro. O atirador 2 consegue realizar disparos com boa precisão, pois, ao contrário do primeiro atirador, atinge pontos no alvo muito próximos entre si. Entretanto este atirador também não consegue uma boa acurácia, já que acerta pontos distantes do centro do alvo. O atirador 3 realiza disparos com boa acurácia e precisão, pois os lugares em que acerta, além de muito próximos entre si, estão próximos do centro do alvo. Note que, apesar das marcações do alvo servirem de referência para essa avaliação, elas não influemno resultado, ou seja, a precisão e a resolução são funções apenas do comportamento do conjunto de

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Capítulo X - Erros na Topografia

disparos. Na Topografia ocorre de maneira similar, ou seja, a precisão e a resolução de uma medida são funções apenas do comportamento de um conjunto de observações, e não da resolução do instrumento.

10,3 - O Desvio-padrão como indicador de Precisão Usualmente utiliza-se o desvio padrão como parâmetro de precisão em Topografia. É importante enfatizar que o desvio-padrão pode ser calculado em relação ao valor real ou valor médio, sendo que para cada caso são utilizadas equações diferentes. O desvio-padrão geralmente é representado pela letra grega cr. O desvio-padrão em relação a um valor médio é calculado, com a seguinte equação:

n ? £ e 2, /=1

G= ±

lí n -1 onde: cr = desvio-padrão er = erro residual n = número de observações

O desvio-padrão em relação a um valor real é calculado com a seguinte equação:

n 1 £e % i=l

± i

onde: cr = desvio-padrão ev = erro verdadeiro n - número de observações

10A - Os Equipamentos de Medição e suas Preciso es Os equipamentos de mensuração executam suas medições com uma determinada precisão. Tanto nas medidas de ângulos como de distância, é importante que se conheça qual é a precisão do aparelho, para que posteriormente se faça um tratamento adequado dos erros instrumentais. Geralmente os fabricantes informam qual é a precisão de seus instrumentos, mas é necessário tomar precauções para que se confunda a precisão com a resolução do aparelho.

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Capítulo X - Erros na Topografia

Os valores para precisão de aparelhos são obtidos por meio da repetibilidade de medições, ou seja, o desvio-padrão esperado para um conjunto de observações é um valor próximo do valor da precisão do instrumento, E importante que se conheça a precisão do aparelho, pois se num processo de medições os desvios forem muito maiores do que o seu valor, é provável que esteja ocorrendo algum tipo de erro grosseiro.

10,4.1 -

Precisão na Medição de Distâncias

De acordo com a NBR 13133, o desvio-padrão (ou a precisão) das distâncias medidas pelos medidores eletrônicos de distâncias, fornecido pelos fabricantes, deve ser resultante de duas componentes. Uma constante e outra variável, sendo esta última um número de milionésimas partes da unidade de medida observada. Assim, a precisão da medição de distância é composta por uma componente fixa, que independe da medida, e uma outra parte que depende da medida, sendo apresentada da seguinte forma:

a = ± (A m m + B ppm) onde: A = erro independente da distância, em mm; B = erro dependente da distância, em partes por milhão (ou mm/km)

Os MED são classificados pela norma de acordo com o desvio-padrão da medição da distância (Tabela 10,1), Tabela 10.1 Classes de MED

Desvio-padrão (precisão) linear

Precisão baixa

+ (10 mm 4- 10 ppm)

Precisão média

± (5 mm + 5 ppm)

Precisão alta

± (3 mm 4* 2 ppm)

Exemplo: Determinar a precisão de uma medida de distância realizada por um distanciômetro de precisão (5 mm + 5 ppm), cujo valor obtido foi 412,32 m.

a = 54-5 x 0,41232 = 5 + 2,06 cr = ±7 mm

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10.4.2 -

Capítulo X - Erros na Topografia

Precisão na Medição de Ângulos

A precisão dos aparelhos para a medição de ângulos é representada apenas por um valor absoluto, que independe do valor da medida, e é geral mente expresso em segundos. Os teodolitos são classificados pela norma de acordo com o desvio-padrão de uma direção observada em duas posições da luneta (Tabela 10.2).

Tabela 10.2 Classes de teodolitos

Desvio-padrão (precisão) angular

Precisão baixg.

< ± 30”

Precisão média

< ± 07”

Precisão alta

< ± 02”

Caso o fabricante não forneça a precisão angular do teodolito (ou estação total), esta deve ser determinada por entidades oficiais e/ou universidades, em bases apropriadas.

Exemplo: A precisão angular de um aparelho é de 5”. Qual será a precisão de uma medida de 32° 45’ 25” realizada pòr esse instrumento?

Como a precisão angular não depende da medida, a precisão será de 5”.

10.4.3 - . Precisão na Medição com Níveis A precisão dos níveis para a medição de diferenças de nível é representada apenas por um valor absoluto, que não depende do valor da diferença de nível,- mas depende da extensão da linha de levantamento. Seu valor é geralmente expresso em milímetros por quilômetro. É importante observar que este valor é válido para nivelamento e contranivelamento, portanto cada quilômetro equivale a dois quilômetros de nivelamento simples. Os níveis são classificados pela norma de acordo com o desvio-padrão de 1 km de duplo nivelamento (Tabela 2-9). Tabela 10.3

X-7

Classes de níveis

Desvio-padrão (precisão)

Precisão baixa

> ± 10 mm/krn

Precisão média

< ± 1 0 mm/krn

Precisão alta

< ± 3 mm/krn

Precisão muito alta

< ± 1 mm/km

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Capítulo X - Erros na Topografia

Exemplo: A precisão de um determinado nível é de 10 mm/krn. Qual é a precisão instrumental esperada para um nivelamento simples com extensão de 5 km?

10 mm/km para nivelamento e contranivelamento equivalem a 5 mm/km para nivelamento simples. 5 km x 5 mm / km = 25 mm A precisão instrumental esperada é de 25 mm.

10.4.4 -

Precisão nas Medições com Estação Total

As estações totais são classificadas pela norma de maneira similar aos teodolitos e aos MED, conforme a tabela 4-9.

Ciasses de estações totais

Desvio-padrão (precisão) angular

Desvio-padrão (precisão) linear

Precisão baixa

< + 30”

± (5 mm +-10 ppm)

Precisão média

< ± 07”

± (5 mm + 5 ppm)

Precisão alta

< ± 02”

± (3 mm + 3 ppm)

Esses instrumentos devem ser calibrados, no máximo, a cada dois anos, por meio de testes realizados em entidades oficiais e/ou universidades, sob bases multipilares, de concreto, estáveis, com | centragem forçada e com expedição do certificado de calibração.

10.4.5 -

Instrumental Auxiliar

É previsto pela norma a utilização dos seguintes instrumentos auxiliares para a execução de operações topográficas: balizas, prumos esféricos, trenas, miras, prismas, termômetro, barômetro, psicômetro, dinamômetro, sapatas e pára-sol. Todos estes instrumentos devem estar sempre sendo verificados quanto à sua calibração, principalmente antes de serviços de longa duração. Ao utilizar esses instrumentos, devem ser tomados alguns cuidados, tais como: •

verificar sempre se a ponteira da baliza é coincidente com o ponto topográfico;

manter o máximo possível a bolha do prumo esférico na posição ideal (centro do prumo), de forma a coincidir a baliza, mira ou bastão com a vertical local;

quando utilizada a trena, verificá-la comparando-a com outra aferida (padrão) e executar as correções necessárias às medidas;

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Capítulo X - Erros na Topografia

© a mira adequada para o transporte de cotas, nivelamento de linhas e seções é de madeira, do tipo dobrável, devendo esta ser aferida sempre que possível. É também recomendável para esses fins a mira de invar (liga de aço com coeficiente de dilatação muito pequeno e constante); ® quando utilizados prismas para medições eletrônicas, verificar sempre os coeficientes para a correção das medidas de distâncias; •

no transporte de altitude ou de cota, deve ser utilizada a sapata, possuindo esta o peso adequado à sua utilização;

•

verificar as condições meteorológicas locais (temperatura,, pressão...), para que sejam efetuadas as devidas correções das medidas de distâncias.

Na tentativa

minimizar

valor

desses

erros,

utilizam-se

geralmente

observações

superabundantes, ou seja, faz-se um número de observações maior do que o necessário para a determinação de uma certa grandeza. Sendo assim, é preciso fazer um ajustamento das observações para chegar a um único resultado, considerada a melhor solução.

10.5. Referências bilbio gráficas:

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1994). NBR 13A33: Execução de levantamento topográfico: Rio de Janeiro. DRACUP, Joseph F. (1996). Some notes on adjustments, and accuracies directed to managers. Surveying and Land Information Systems, v.56, n.l, p. 13-26. GEMAEL, C. (1994).Introdução ao Ajustamento de. Observações; aplicações geodésicas, editora da Universidade Federal do Paraná - UFPR, Curitiba - PR. HAZAY, I. (1970). Adjusting Calculations in Surveying, Akadémiai Kiadó, Budapest. MIKAEL, E.M.; ACKERMANN, F. (1976). Observation and least squares; IEP__A Dun-Donnelley Publisher, New York. MIKAIL, E.M.; GRACDE, G. (1981). Analysis and adjustament of survey measurements; Van Nostrand Reinold, New York. PACDLÉO NETTO, Nicola (1989). “Aplicações da teoria dos erros na topografia”. Apostila editada pelo PTR - Depto. de Eng3 de Transportes da EPUSP.

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Capítulo X - Erros na Topografia

SPIEGEL, M.R. (1993). Estatística. Trad. João Consentino. 3.ed> São Paulo: Makron Books. 643p. VUÕLO, J.H. (1992). Fundamentos da teoria de erros. led. São Paulo: Edgard Bliicher. 225p.

X - 10

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ANEXO - Linearização de equações

ANEXO A - LINEARIZAÇÃO DE EQUAÇÕES Rodrigo Figueiredo Leandro

Muitas vezes, o engenheiro se depara com situações em que, para resolver um problema, é necessário determinar o valor de diversas grandezas. Geralmente se faz isto por meio de modelos matemáticos, dos quais nem todos são representados por equações lineares, apesar de algumas aplicações matemáticas exigirem isso. Um exemplo é o sistema linear de equações, que é um conjunto de n equações lineares e n incógnitas, cujo resultado será o conjunto de valores para as n incógnitas, que satisfará todas as n equações. A única maneira de utilizar equações não-lineares dentro de um sistema linear é linearizando-as. O objetivo deste capítulo é demonstrar para o leitor como transformar uma função não-linear em uma linear, a fim de utilizá-la em casos em que são necessárias equações do primeiro grau.

A Derivada Neste item serão feitas algumas considerações a respeito da derivada de uma função, ficando a cargo do leitor pesquisar mais sobre o assunto em livros que tratem especificamente de cálculo diferencial. Seja uma função hipotética y = f(x), cuja curva está demonstrada abaixo.

Seja um ponto P (xp, yp), pertencente a esta curva. Aplicando um acréscimo infinitesimal Ax à abscissa xp, o ponto se desloca para a posição de P \ causando consequentemente uma variação (positiva ou negativa) Ày na ordenada yp. Temos então que: yp + Ay = f(xp + Ax)

Anexo - 1

[1]

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ANEXO - Linearizaçâo de equações

A derivada de y em relação a x é a função que nos dá o limite do quociente da variação (Áy) da função pelo acréscimo infinitesimal (Ax) correspondente. Ou seja:

Ay Derivada de y - Lim — Av-»0 A derivada de uma função em relação a uma variável nos dá o valor da variação linear (Ay), sofrida pela função devido a um acréscimo (Ax) unitário na abscissa (x). Graficamente representa a reta tangente à curva em um determinado ponto. No caso de uma função (y) possuir apenas uma variável (x), a sua derivada (chamada de derivada dy total) é expressa da seguinte forma: — . dx Caso uma função (y) possua mais de uma variável (x]? x2,

xn), suas derivadas parciais em

relação a cada uma dessas variáveis são expressas da seguinte forma:

õy mdy

ôy '

dx2 dx3

dxj »

’dxn «

O Processo de Linearizaçâo Seja uma função não-linear y = f(x). Digamos que é necessária a sua utilização em uma aplicação matemática que exige que as equações sejam lineares. A única maneira de possibilitar isso é fazendo uma linearizaçâo da função. Para uma função não-linear, como visto no item anterior, para intervalos infinitesimais pode-se admitir uma variação linear. Então se adota um valor provisório para a variável x, julgado infinitamente próximo do valor real. Sendo assim, teremos: x —;c0 + Ax

[2]

y = f ( x ) = f ( x 0 +Ax)

[3]

y = f ( x 0) + Ay

[4]

Onde x0 representa o valor provisório da variável x e Ax representa o acréscimo infinitesimal necessário para obter o valor real da mesma. Relacionando o valor de Ay com a derivada de y em relação a x, teremos: ifc .iV dx

[5]

Anexo - 2

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ANEXO - Linearização de equações

[6] E finalmente substituindo [6] em [4], teremos:

Graficamente podemos representar essa equação da seguinte maneira:

No caso de funções de mais de uma variável (xh x2, x3,..., xn), a derivada total é substituída pela somatória das derivadas parciais, ficando a equação [7] agora da seguinte maneira:

^ "\

0) +

■

• ÀXj 4y d

(

•*+

■A x *

dxi

+ .

• • +

x J

,s C y

õy \ dx2

•A x 9 + • • •

[8 ]

Na equação [8], o primeiro termo representa o valor da função para um determinado ponto, enquanto os demais termos representam os desvios deste valor em função da variação de cada variável. Convém lembrar que é necessário estipular valores provisórios, que sejam próximos o suficiente do real para que essas aproximações sejam admitidas, ou seja, para que a tangente da curva se confunda com a própria curva.

Exemplo 1: Seja a função y = x2. Deseja-se determinar o valor de y para x = 7,1, utilizando uma equação linear. Neste exemplo adotaremos x0 - 7.

Anexo - 3

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ANEXO - Lincarizaçfio de equações

Como a função possui apenas uma variável, teremos uma equação do tipo: f , \ dy . y 5s-y(*0) + ~ ,A x Kdxo j dy Derivada de y: -----= 2 àx o

x 0 =2 -7 = 14

y(x0) - 7 2= 4 9 Substituindo na equação teremos: y = 49 + 14 -Ax Ax = 7,1—7 = 0,1 >•(7,1) = 4 9 + 14-0,1 = 50,4 Se tivéssemos utilizado a equação original, teríamos: .y(7,l) = 7 ,l2 =50,41

Exemplo 2: #

Seja a função y ~ x l + Deseja-se determinar a função linear, que poderia ser utilizada do lugar desta em um sistema linear de equações. Sendo assim, é necessário que tenhamos uma equação da forma: o

y = y ( - \ 0,x 10,x.i0 , x ^ ) +

V.d+i.0 j

■Ax, +

dy ^

•Àx3 +

A x,+

d+2,0 y

Va % > y

A 1Ax4

V a -D.o y

Digamos que foram escolhidas como valores provisórios dexL0,x 20,x3 0 <? x40 as constantes a,b,c e d, respectivamente. Então cada termo pode ser determinado: y (* I.O 1 * 2 .0 >*3.0 > * 4 ,0 ) = *1.0 ‘ + + 2 ,0*7 + *3.0 + ^ 4 .0 3 =

+ ^

= 2-x,_0 = 2 -a

vK oy

^ A dy

= 3 •

10=

3 •b

Vd+2.oy

A i r.-.XM - -i

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{

_ANEXO - Uneari‘/.aç5o de equações

\ CX>.0J / „ \ cv

: 5 •a'4Q = 5 •

Vav->o y ■ Substituindo na equação, teremos:

Anexo - 5

(a2 +i>3 +C + Í/3) + (2-a)-A jc, + (3-b)-A x2 + (c)- Ajc3 +(5 -d1)-A x4