Cálculo diferencial rené jiménez by ivan_mancia

CALCULODIFERENCIAL.ai

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GRÁFICAS

TRIGONOMETRíA

(x, y) 1

θ x

x 2 + y2 = 1 y senθ = = y 1 x cos θ = = x 1 sen 2 θ + cos 2 θ = 1

Derivadas de funciones algebraicas

90 180 270 360

cos θ ctg θ = sen θ 1 csc θ = sen θ csc 2 θ = 1 + ctg 2 θ cos θ = sen ( 90º −θ

sen θ cos θ 1 sec θ = cos θ tan θ =

90 180 270

90 180 270 360

cot x csc x

90 180 270

h→ 0

d c=0 dx

d d cf x = c f x dx dx

d ⎡ f ( x + g ( x − h ( x ⎤ = f ⬘( x + g⬘( x − h⬘( x ⎦ dx ⎣

d ⎡ f ( x ⋅ g ( x ⎤ = f ( x g⬘( x + g ( x f ⬘( x ⎦ dx ⎣

) tan θ = ctg ( 90º −θ )

) = lím f ( x − h) − f ( x )

0 90 180 270

sec x

sen θ = cos ( 90º −θ

)

df ( x

tan x

sec θ = 1 + tan θ 2

cos x

sen x

Identidades trigonométricas

sen 2 θ + cos 2 θ = 1

FÓRMULAS MATEMÁTICAS

()

) )

)

d x=1 dx

d n d v = nv n−1 v dx dx

)

() () () () () () ()

g x f ' x − f x g' x d f x = 2 dx g x ⎡g x ⎤ ⎣ ⎦

DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS FÓRMULAS DE SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS

) sen ( x − y ) = sen x cos y − cos x sen y cos ( x + y ) = cos x cos y − sen x sen y cos ( x − y ) = cos x cos y + sen x sen y sen ( x + y = sen x cos y + cos x sen y

(

)

(

)

cos 2 x = cos x − sen x = 2 cos − 1 = 1 − 2 sen x 2 tan x tan 2 x = sen 2 x = 2 sen x cos x 1 − tan 2 x 2

Fórmulas de medio ángulo

1 − cos 2 x sen 2 x = 2

cos 2 x =

1 + cos 2 x 2

log a e d u

d 1 d ln u = u dx u dx

d dx

au = au ln a

d dx

eu = eu

d dx

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

a c

C 5.

b 6.

log a u =

d d sen u = cos u u dx dx

d d cos u = − sen u u dx dx

u 4.

d d ctg u = − csc 2 u u dx dx

2bc a + c 2 − b2

2 ac a 2 + b2 − c 2 cosC = 2 ab

b2 + c 2 − a 2 2

cos B =

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES

Ley de cósenos. El coseno de un ángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados que lo forman menos el cuadrado del lado opuesto, todo dividido entre dos veces el producto de los lados que lo forman

cos A =

FÓRMULAS DE ÁNGULOS DOBLES 2

a b c = = sen A sen B sen C

tan x + tan y tan x − tan y tan x + y = tan x − y = 1 − tan x tan y 1 + tan x tan y

Ley de senos. Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos

d dx d dx

tan u = sec 2 u

d dx

sec u = sec u tan u

d dx

d d csc u = − csc uctgu u dx dx

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 1.

d 1 arcsen u = u dx 1 − u2

d 1 d arccos u = − u 2 dx 1 − u dx

INTEGRALES

∫ dx = x + C

∫ cdu = c ∫ du

d 1 d arctan u = u dx 1 + u 2 dx d 1 d arcctg u = − u dx 1 + u 2 dx

∫ (du + dv − dw ) = ∫ du + ∫ dv − ∫ dw

n ∫ u du =

d 1 d arc sec u = u 2 dx u u − 1 dx

∫

d 1 d arc csc u = − u 2 dx dx u u −1

Las funciones anteriores también se escriben así: sen −1u , cos −1 u , tan −1 u , ctg −1u , sec −1 u , etcétera. Geometría

Triángulo

Círculo r

1 bh 2

P = 2π r A = π r2

r 1 2 A= r θ 2 s = θ r rad

( )

y = cos x ⇒ x = cos −1 y

∫ e du = e

y = tan x ⇒ x = tan −1 y;

y = ctg x ⇒ x = cgt −1 y

y = sec x ⇒ x = sec −1 y;

y = csc x ⇒ x = csc −1 y

19.

∫u

19a.

∫a

20.

21.

∫ ∫

du 2

− a2

1 u arctan + C a a

1 u−a ln +C 2a u + a

du 1 a+u ln = +C − u2 2a a − u du

a −u 2

du u ±a 2

= arcsen

∫ sen udu = − cos u + C

∫ cos udu = sen u + C

10.

∫ sec

11.

2 ∫ csc udu = − ctg u + C

12.

∫ sec u tan udu = sec u + C

13.

∫ csc uctgudu = − csc u + C

14.

∫ tan udu = ln sec u + C

22.

∫

a2 − u 2 du =

23.

∫

u 2 ± a2 du =

16.

∫ sec udu = ln sec u + tan u + C

17.

∫ csc udu = ln csc u − ctg u + C

(

)

u 2 a2 u a − u 2 + arcsen + C a 2 2 u 2

u2 ± a2 ±

a2 2

(

)

ln u + u 2 ± a2 + C

INTEGRACIÓN POR PARTES

∫ udv = uv − ∫ vdu

udu = tan u + C

∫ ctg udu = ln sen u + C

u +C a

= ln u + u 2 ± a2 + C

15.

∫u

∫ a du = ln a + C

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

y = sen x ⇒ x = sen −1 y;

n≠1

du = ln u + C u

b A=

Sector de círculo

u n +1 + C, n+1

18.

Geometría

Esfera

Cilindro

Cono

h r

r A = 4π r 2 V=

V = π r2h

4 π r3 3

1 π r2h 3

Formulario elaborado por: René Jiménez

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C Ă L C U L O

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D I F E R E N C I A L

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Este título cambia de acuerdo a los T1

•

C Á L C U L O D I F E R E N C I A L

René Jiménez Colegio de Bachilleres

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JIMÉNEZ, RENÉ Cálculo diferencial PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008 ISBN: 978-970-26-1019-9 Área: Matemáticas Formato: 19 × 23.5 cm

Páginas: 152

Editor:

Enrique Quintanar Duarte e-mail: enrique.quintanar@pearsoned.com Editora de desarrollo: Claudia Celia Martínez Amigón Supervisor de Producción: Rodrigo Romero Villalobos

PRIMERA EDICIÓN, 2008 D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco No. 500 – 5° piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-1019-2 ISBN 13: 978-970-26-1019-9 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 10 09 08 07

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A g r a d e c i m i e n t o

Ser maestro es una gran responsabilidad, sin duda dejamos huella en nuestros alumnos y usted profesor René, dejó esa inquietud en mí: el gusto por las matemáticas; y por ello, me decidí a estudiar ingeniería. Al igual que usted, hoy me dedico a la docencia; Dios nos pone en el camino en donde Él nos necesita y por eso, le doy las gracias por haberlo puesto en el mío. Gracias por ser un buen maestro, por preocuparse por allegar a sus alumnos de los conocimientos necesarios para continuar con su camino. Ex alumna del Colegio de Bachilleres plantel núm. 1 y Tecnológico de Chihuahua Ing. Lucía Guadalupe Muñoz Calderón Coordinadora académica ESFER Salesianos

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C o n t e n i d o

INTRODUC C IÓN

UNIDAD 1

1 2 3 4 6 6 8 9 12

U NIDA D 2

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LÍM ITES Y CON T IN U ID AD Introducción Presentación preliminar Límites y continuidad Límite de una variable Límite de una función. Límites laterales Teoremas fundamentales de los límites Límites de funciones polinomiales Límites de funciones racionales Cálculo de límites de funciones especiales (límites infinitos, funciones exponenciales, trigonométricas, etc.,) Continuidad Teorema del valor intermedio Teorema del valor extremo R AZ ÓN D E CAMB IO Y L A D ERIVAD A La derivada como razón de cambio Interpretación geométrica de la derivada Diferenciabilidad La velocidad como una razón de cambio Reglas para derivar Regla de la cadena Regla para derivar un producto

20 26 31 32 35 36 38 41 43 48 55 59

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x • Contenido Regla para derivar un cociente Derivadas de funciones trigonométricas Derivadas de funciones trigonométricas inversas Derivadas de funciones exponenciales Derivadas de funciones logarítmicas Derivadas de funciones implícitas Ecuaciones de la tangente y de la normal UNIDAD 3

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M ÁX IM OS Y M ÍN IM OS REL AT IV OS Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo Funciones crecientes y decrecientes Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada Derivadas de orden superior Aceleración Concavidad y punto de inflexión Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada Trazado de curvas Más aplicaciones de la derivada

63 70 80 85 90 95 97 105 106 116 118 123 125 128 129 131 134

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P r ó l o g o

Aunque este libro fue pensado y diseñado para un curso básico de cálculo diferencial, cumple, además, con todas las prerrogativas del plan de estudios del Bachillerato general. Es un texto de matemáticas en el que se privilegia el valor y la comprensión de los conceptos, esencia de toda asignatura. Es importante mencionar que los temas se tratan de acuerdo con cuatro aspectos fundamentales en las matemáticas: el algebraico, el numérico, el geométrico y el verbal o descriptivo. El material se divide en tres grandes áreas del cálculo diferencial: los límites, la derivada y las aplicaciones de ésta. Los límites como un antecedente fundamental en la comprensión de la derivada, la derivada como una razón de cambio de un proceso o un fenómeno natural y la importancia de las aplicaciones para resolver problemas que se presentan en los diversos campos del conocimiento. A continuación, se mencionan algunas características relevantes: • • •

• •

Los temas se abordan de una forma clara y precisa para una mejor comprensión. La estructura didáctica tiene como propósito facilitar la tarea de los estudiantes y apoyar el trabajo docente. El rigor matemático que se aplica no representa ningún obstáculo para que el estudiante que se inicia en el estudio del Cálculo pueda acercarse enteramente a éste y comprender del todo los teoremas, justificaciones y métodos empleados. Donde ha sido necesario se han incluido ilustraciones que permiten visualizar, reflexionar y resolver mejor los ejemplos y ejercicios propuestos. Se ha procurado equilibrar la teoría del Cálculo con sus aplicaciones a fin de que el estudiante constate la importancia que tiene el Cálculo en la solución de problemas.

Finalmente, quiero agradecer a todas aquellas personas que me animaron y apoyaron para que este proyecto fuese posible, especialmente quiero mencionar a mis compañeros profesores y alumnos, porque es de ellos de quien más he aprendido. Y a quienes dediquen un poco de su tiempo a la lectura y reflexión del Cálculo: gracias. René Jiménez

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U N I D A D

1 L Í M I T E S

C O N T I N U I D A D

Introducción

Presentación preliminar

Límites y continuidad

Límite de una variable

Límite de una función. Límites laterales

Teoremas fundamentales de los límites

Límites de funciones polinomiales

Límites de funciones racionales

Cálculo de límites de funciones especiales (límites infinitos, funciones exponenciales, trigonométricas, etc.)

Continuidad

Teorema del valor intermedio

Teorema del valor extremo

32 1

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2 • UNIDAD 1

Límites y continuidad

N T R O D U C C I Ó N ¿Qué es el cálculo? Para los romanos en tiempos del Imperio el calculus era una pequeña piedra utilizada para contar y para apostar; en la actualidad, significa lo mismo en el lenguaje coloquial médico. Siglos más tarde, calculare significaba calcular, contar o resolver. En la era moderna, en todos los campos del conocimiento la palabra cálculo denota una reformulación de las matemáticas elementales potenciadas con el concepto de límites; en otras palabras, el cálculo toma las ideas fundamentales de la matemática elemental y las extrapola a situaciones más generales. Veamos algunos ejemplos en la tabla siguiente.

Matemática elemental

Cálculo

Pendiente de una recta y=mx+b

Pendiente de una curva y=f(x)

Recta tangente a una circunferencia

Recta tangente a una curva más general

Velocidad media

Velocidad instantánea

Cálculo

Movimiento a lo largo de una recta con velocidad constante

Movimiento a lo largo de una curva con velocidad variable

Volumen de un sólido rectangular

Volumen de un sólido limitado por una superficie curva

Aceleración instantánea

Aceleración media

Área de una región limitada por segmentos rectilíneos

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Matemática elemental

Área de una región limitada por curvas

Longitud de un segmento de recta

Longitud de una curva

Suma de una colección finita de números

Suma de una colección infinita de números

a1 + a 2 + ... + a

a1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + an + ⋅⋅ ⋅

Área de la superficie de un cilindro

Área de la superficie de un sólido más general

Plano tangente a una esfera

Plano tangente a una superficie más general

Centro de una esfera

Centro de gravedad de un sólido más general

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Presentación preliminar

R E S E N T A C I Ó N

•

P R E L I M I N A R

El concepto de límite ha sido parte fundamental en el desarrollo del cálculo y, en términos generales, de toda la estructura matemática; para comprenderlo será necesario abrir nuestra mente y hacer uso del razonamiento. Por ejemplo, al estirar un cable hasta romperlo, se dice que éste sobrepasó su límite de resistencia; si no hubiera fuerza de fricción, un péndulo seguiría oscilando y su movimiento no tendría fin; un globo se revienta cuando alcanza el límite de su capacidad, etcétera.

A1 A5 A2 A3

Hace por lo menos 2 500 años que surgió el cálculo; los antiguos griegos hallaban áreas mediante el “método del agotamiento”. Esta técnica consistía en dividir el área A de un polígono en varios triángulos, y luego sumar las áreas de estos triángulos. La figura 1 nos muestra el método.

A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5

Figura 1

Sin lugar a dudas, era mucho más difícil obtener el área de una figura curva. En este caso, el método del agotamiento consistía en inscribir y circunscribir polígonos en torno a la figura y a continuación hacer que el número de lados de los polígonos aumentara. La figura 2 nos muestra el método en el caso de un círculo, con polígonos regulares inscritos.

Figura 2

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4 • UNIDAD 1

Límites y continuidad

Llamemos A el área del círculo y An el área del polígono inscrito con n lados. Al aumentar n de manera indefinida, parece que An se aproxima cada vez más al área del círculo. Decimos que el área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos inscritos y escribimos A = lím An n→∞

Es conveniente aclarar que los griegos no aplicaron explícitamente los límites.

Í M I T E S

C O N T I N U I D A D

Para comprender mejor el concepto de límite en matemáticas, analicemos el siguiente experimento. El triángulo de la figura 1 es equilátero y las figuras sucesivas son réplicas de éste, sólo que trazamos a partir de los puntos medios triángulos equiláteros invertidos, pero aumentamos cada vez más el número de ellos. El resultado es el triángulo de Sierpinski, un ejemplo de fractal. Supongamos que A = 1 y enseguida calculemos el valor de a1 , a2 , y a3 etcétera:

? a2 =

= 1 4

? a3 =

a2 A=1

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Si siguiéramos trazando triángulos de manera indefinida y en la última figura sumamos todas las áreas sombreadas a1 con todas las áreas a2 y así sucesivamente hasta an en donde n es un número muy grande, es decir que n tiende hacia el infinito n → ∞ en lenguaje simbólico esta idea se escribe así;

(

∞

∑a n =1

)

= a1 + a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an

y se lee ‘’la suma de todas las a subíndice n desde n = 1 hasta n = ∞. Con todo esto sería pertinente formular las siguientes preguntas.

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Límites y continuidad

(

•

)

1. ¿Hacia dónde tiende el valor de an cuando n tiende al infinito n → ∞ ?

Respuesta

∞

2. ¿Cuál es el valor aproximado de

∑a n =1

= a1 + a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an?

Respuesta

3. ¿Cuál es el límite del valor de la diferencia A −

∞

∑a n =1

Respuesta

Por cierto, esta última idea se escribe de la siguiente manera; n

lím A − ∑ ak n→∞

k =1

y se lee “el límite del valor absoluto de la diferencia A − ∑ ak cuando n tiende al k =1 infinito”. Analiza la tabla siguiente para confirmar tus respuestas a las preguntas 1, 2 y 3 anteriores.

1 4

1 1 1 ⋅ = 4 4 16

1 64

1 256

1 1024

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22 n

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6 • UNIDAD 1

Límites y continuidad

Todo lo antes dicho nos enseña que: 1. Cuando n tiende al infinito, an tiende a casi cero como límite, esto se escribe así:

lím an = 0 n→∞

pero evidentemente an nunca llega a ser cero. ∞

2. Cuando n tiende al infinito,

∑a

n =1

decir:

= a1 + a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an tiende a 1 como límite, es

lím ∑ ak = lím (a1 + a2 + ⋅⋅⋅ + an ) = 1 n→∞

n→∞

k =1

3. Cuando n tiende al infinito, A −

∞

∑a n =1

tiende a cero como límite, es decir:

lím A − ∑ ak = 0 n→∞

Í M I T E

D E

U N A

k =1

VA R I A B L E

En general, si A es el área del triángulo inicial y ∑ an es la suma de las áreas de los pequeñísimos triángulos que se forman cuando n → ∞ es fácil concluir que la diferencia A − ∑ an llega a ser menor que cualquier número positivo pensado de antemano y se llama límite de una variable.

L L

Í M I T E

D E

Í M I T E S

U N A

F U N C I Ó N

L A T E R A L E S

()

Para calcular y comprender el límite de una función, consideremos la función f x definida por la ecuación: f ( x) =

x3 − 1 , x−1

x≠1

es claro que x ≠ 1 porque la función no está definida para este valor. Enseguida investigaremos valores de la función cuando x esté muy próximo a 1 por la izquierda y

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Límite de una función. Límites laterales

•

por la derecha, es decir, menores y mayores que 1 pero lo más cercanos posible a éste. A esto se le conoce como límite por la izquierda y límite por la derecha de f x y se representan de la siguiente manera

()

Límite por la izquierda

Límite por la derecha

)

lím f ( x = L1 , x < a

x→ a−

)

lím f ( x = L2 , x > a

x→ a+

()

Cuando L1 y L2 coinciden, se dice que el límite de f x cuando x tiende hacia a es L, y sólo se escribe así:

)

lím f ( x = L x→ a

En la tabla siguiente ilustramos lo que esto significa. Para una total comprensión te sugerimos que calcules los valores de f x para los valores dados de x:

()

x se acerca mucho a 1 por la derecha

x se acerca mucho a 1 por la izquierda x

–2

–0.5

0.9

0.99

0.999

1.001

1.01

1.1

1.5

f(x) hacia dónde se acerca f(x) ?

hacia dónde se acerca f(x) ?

()

Al comparar ambos lados vemos que f x se aproxima a 3 a medida que x se aproxima a 1 por la izquierda o por la derecha. Lo que nos enseña este experimento es que cuando el límite por la izquierda es igual que el límite por la derecha se dice que el límite existe, es decir, en notación simbólica.

)

lím f ( x = 3

x→1−

)

f (x = 3 lím f ( x = 3, por lo tanto, escribimos lím x→1

x→1+

)

Para comprender la solución algebraica de este ejemplo conviene recordar que una resta y una suma de cubos se factorizan respectivamente de la siguiente manera:

( )( = ( a + b) ( a

) − ab + b )

a3 − b3 = a − b a2 + ab + b2 a 3 + b3

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8 • UNIDAD 1

Límites y continuidad

Si utilizamos una técnica algebraica, el límite anterior puede calcularse de la siguiente manera:

f ( x) =

lím x→1

(

= lím x + x + 1 x →1

x≠1

(x − 1)(x 2 + x + 1) x3 − 1 = lím x→1 x −1 x −1 2

x3 − 1 , x−1

6 5

)

4 3

= 12 + 1 + 1 = 3

El experimento se puede apreciar gráficamente en la ilustración mostrada a la derecha. El espacio vacío de f x cuando x = 1 significa que la función no está definida en ese punto.

()

x –3

–2

–1

En general, el análisis anterior nos conduce a la siguiente definición: Si f ( x) se aproxima de manera arbitraria a un número L cuando x se aproxima a a por la izquierda y por la derecha, decimos que el límite f ( x) cuando x tiende a a es L y escribiremos: lím f ( x) = L

x →a

()

Debemos observar que no es necesario que f x esté definido cuando x = a para que exista el límite, lo que importa es cómo está definida f cerca de a

E O R E M A S

D E

L O S

F U N D A M E N T A L E S

L Í M I T E S

Reglas básicas de los límites f ( x) = L1 y que lím g ( x) = L2. Entonces, Suponer que lím x→ a x→ a 1. lím ⎡⎣ c ⋅ f ( x)⎤⎦ = c ⋅ lím x→ a x→ a

f ( x) = c ⋅ L1

x) = L1 ± L2 2. lím ⎡⎣ f ( x) ± g ( x)⎤⎦ = lím f ( x) ± lím g (x x→ a x→ a x→ a

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Límites de funciones polinomiales

•

3. lím ⎡⎣ f ( x) ⋅ g ( x)⎤⎦ = lím f ( x) ⋅ lím g (x x) = L1 ⋅ L2 x→ a x→ a x→ a 4. lím x→ a

f ( x) L f ( x) lím = x→ a = 1; L2 g ( x) lím g ( x)

L2 ≠ 0

x→ a

( )

()

5. lím f x = f a x→ a

Las reglas anteriores pueden expresarse como sigue: 1. El límite de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada

por el límite de la función. 2. El límite de la suma o diferencia de dos funciones es la suma o diferencia de los

límites. 3. El límite de un producto es el producto de los límites. 4. El límite de un cociente es el cociente de los límites. 5. El límite de f x cuando x tiende hacia a es f a .

()

Í M I T E S

D E

F U N C I O N E S

P O L I N O M I A L E S

()

Veamos cómo es el comportamiento de la función f x = x 2 − x + 2 para valores muy cercanos a 2, e investiguemos si ésta tiende a un límite. La tabla adjunta nos muestra los cálculos para valores de x cercanos a 2, pero no iguales a 2.

f(x)=x2–x+2

f(x) tiende a 4

x tiende a 2 por la izquierda

f (x)

x tiende a 2 por la derecha

f (x)

1.5 1.8 1.9 1.95 1.99 1.995 1.999

2.750000 3.440000 3.710000 3.852500 3.970100 3.985025 3.997001

2.5 2.2 2.1 2.05 2.01 2.005 2.001

5.750000 4.640000 4.310000 4.152500 4.030100 4.015025 4.003001

Cuando x tiende a 2

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10 • U N I D A D 1

Límites y continuidad

()

A partir de la tabla y de la gráfica de f x que se muestran en la figura anterior es fácil darse cuenta de que cuando x se acerca a 2 por la izquierda o por la derecha, f x se aproxima al 4 como límite.

()

Solución analítica

()

De manera algebraica y si utilizamos la regla 5, el límite de f x = x 2 − x + 2 cuando x tiende a 2 puede expresarse y calcularse de la siguiente manera:

)

(

)

lím x 2 − x + 2 = f ( 2 = 2 2 − 2 + 2 = 4 x→ 2

Observa que cuando una función está definida para un valor específico de x en su gráfica el punto ⎡ x, f x ⎤ marca con un círculo relleno. ⎣ ⎦

()

EJERCICIOS Calcula los siguientes límites tabulando los valores de la función cerca del punto que se indica y verifica tus resultados mediante la regla 5. Marca el límite con un punto.

(

)

1. lím x 2 − 2 = x→ 2

Izquierda

f(x)=x2–2

f (x)

Derecha x

1.5

2.5

1.9

2.2

1.95

2.05

1.99

2.01

1.995

2.005

1.999

2.001

f (x)

Cuando x tiende a 2, ¿hacia dónde tiende f(x)?

Ca lculo 1.indd 10

7/18/07 12:05:17 AM

Límites de funciones polinominales

(

•

)

2. lím x + 2 = x→−3

Izquierda x

(

f(x)

Derecha x

)

3. lím x 2 − x − 2 = x→1

R. Izquierda x

(

f(x)

−2

Derecha x

f(x)

)

4. lím x 3 − x + 2 = x→ 0

Izquierda x

Ca lculo 1.indd 11

f(x)

Derecha x

f(x)

7/18/07 12:05:18 AM

12 • U N I D A D 1

Í M I T E S

Límites y continuidad

D E

F U N C I O N E S

Solución analítica Ejemplo 1. Calcular lím

3 x→− 2

R A C I O N A L E S

2x + 3 mediante la regla 5. 3x − 4 y

Solución:

lím

3 x→− 2

⎛ 3⎞ 2x + 3 = f ⎜ − ⎟ , porque f está 3x − 4 ⎝ 2⎠ f(x) tiende a 0

3 entonces 2

definida en x = −

3 – 2

x tiende a – 2

) )

2 x + 3 2 ( − 23 + 3 =0 = 3 3 ( − 23 − 4 x→− 3 x − 4 lím

6x − 3 Ejemplo 2. Hallar lím mediante x→−1 2 x − 4 la regla 5.

Una función racional es de la forma p x ( ) q ((x )) ; q ( x ) ≠ 0

r x =

Solución: lím

x→−1

lím

x→−1

6x − 3 = f ( −1 2x − 4

)

donde p y q son polinomios

) )

6 x − 3 6 ( −1 − 3 3 = = 2 x − 4 2 ( −1 − 4 2

Ejemplo 3. Encuentra el valor de lím x→1

()

x −1 x2 − 1

Solución: Observa que la función f x =

x−1

no está definida para x = 1 sin embargo, x2 − 1 recuerda que la definición de límite nos dice que se consideren valores cercanos a 1 por la izquierda y por la derecha y si en ambos casos el límite es el mismo, entonces éste existe. Con base en los valores de las tablas adjuntas conjeturamos que;

Ca lculo 1.indd 12

7/18/07 12:05:18 AM

Límites de funciones racionales

•

f(x)

x <1

x −1 lím 2 = 0.5 x→1 x − 1 0.5 x

x >1

f(x)

0.5

0.666667

1.5

0.40000

0.9

0.526316

1.1

0.476190

0.99

0.502513

1.01

0.497512

0.999

0.500250

1.001

0.499750

0.9999

0.500025

1.0001

0.499975

Solución analítica: lím x→1

x −1 x −1 = lím x 2 − 1 x→1 ( x + 1 ( x − 1

)

= lím x→1

)

Recuerda que la diferencia de dos cuadrados se factoriza así:

1 1 1 = = = 0.5 x+1 1+1 2

(

)(

a 2 − b2 = a + b a − b

)

x 2 − x − 12 x→−3 x+3

Ejemplo 4. Encuentra el valor de lím

Solución: Como x no está definida para –3 entonces, si se observa la expresión, es fácil darse cuenta de que el numerador puede factorizarse y obtener el límite

)

(x + 3 (x − 4 x 2 − x − 12 = lím x→−3 x →− 3 x+3 x+3 lím

= lím ( x − 4 x→−3

)

= −3 − 4 = −7

Un trinomio como x 2 − x − 12 es de la forma x 2 + bx + c y puede factorizarse al multiplicar los binomios x + m x + n donde

(

)(

)

m+n= b mn = c

Ca lculo 1.indd 13

7/18/07 12:05:19 AM

14 • U N I D A D 1

Límites y continuidad

Por lo tanto, en x 2 − x − 12; b = −1; c = −12; luego, dos números que sumados resulten –1 y multiplicados –12; son 3 y –4 que son m y n respectivamente.

(

)(

x 2 − x − 12 = x + 3 x − 4

)

EJERCICIOS Calcula los siguientes límites graficando y tabulando donde se te indica.

1. lím

x→−1

x −1 x − 2x + 1

R. −

Izquierda x < –1

f(x)

1 2

Derecha x >–1

f(x)

x2 − 1 x→−1 x + 1

2. lím

Izquierda x < –3

Ca lculo 1.indd 14

f(x)

Derecha x >–3

f(x)

7/18/07 12:05:20 AM

Límites de funciones racionales

x2 − 1 x→−2 x + 1

•

R. − 3

3. lím

Graﬁca la función en computadora y pégala aquí.

x2 − 4 x→−2 x + 2

4. lím

Graﬁca la función en computadora y pégala aquí.

x2 − 9 x→−3 x + 3

R. − 6

5. lím

Izquierda x < –3

Ca lculo 1.indd 15

f(x)

Derecha x >–3

f(x)

7/18/07 12:05:20 AM

16 • U N I D A D 1

Límites y continuidad

x2 + 5x − 4 x→−1 x 2 − 3 x − 4

6. lím

Graﬁca la función en computadora y pégala aquí.

x2 + 4 x + 3 x→−3 x+3

7. lím

R. − 2

Graﬁca la función en computadora y pégala aquí.

8. lím x→ 2

x2 − 4 x 4 − 16 Graﬁca la función en computadora y pégala aquí.

Ca lculo 1.indd 16

7/18/07 12:05:20 AM

Límites de funciones racionales

x2 + 6 x + 9 x→−3 x2 − 9

9. lím

•

R. 0

Graﬁca la función en computadora y pégala aquí.

x 2 + x − 12 x→−4 x 2 + 6 x + 8

10. lím

Graﬁca la función en computadora y pégala aquí.

Cálculo de límites de funciones que se tienen que racionalizar EJEMPLO 1. Determinar lím x→1

x −1 x −1

Solución: Si utilizamos la regla 5 de los teoremas de límites es evidente que x no está definida para 1, pero para evitar la indeterminación se racionaliza el numerador de la siguiente manera:

lím x→1

x −1 x −1 = lím x → 1 x −1 x −1 = lím x→1

= lím x→1

Ca lculo 1.indd 17

x +1

x +1 x −1

( x − 1) ( 1

x +1

x +1 1

)

1 +1

1 2

7/18/07 12:05:21 AM

18 • U N I D A D 1

Límites y continuidad

Racionalización. Es el proceso mediante el cual transformamos una fracción que tiene un numerador o denominador irracional en una fracción equivalente con numerador o denominador racional según convenga. Este proceso se lleva a cabo con tan sólo multiplicar la fracción por la unidad. 1

2 2

Cuando la cantidad que se va a racionalizar es un binomio, se multiplica y divide por su conjugado. x −1 x +1 x −1 = = x − 1 x + 1 (x − 1 x −1

)(

EJEMPLO 2. Calcular lím

x→0

)

1 x +1

y bosquejar su gráfica.

x+1 −1

Solución: Como la función no está definida para x = 0 racionalizamos el denominador lím x→ 0

x x+1 −1

= lím x→ 0

= lím

x +1−1 x

(

x→0

= lím

(

x→ 0

()

(

La gráfica de f x =

x +1+1

x+1 +1 x+1−1

x→0

lím

x +1+1

x+1 +1

) )

)

x+1 +1 = 0+1 +1 = 2 x

se muestra en la figura y puede obtenerse con un x+1 −1 programa para graficar o bien si se tabulan los valores en su ecuación.

Ca lculo 1.indd 18

7/18/07 12:05:21 AM

Límites de funciones racionales

•

EJERCICIOS Probar cada uno de los siguientes límites.

1. lím x→ 4

x −2 1 = x−4 4

2. lím

x− 2 1 = x−2 2 2

3. lím

x+1 −1 1 = x 2

x→ 2

x→ 0

Ca lculo 1.indd 19

7/18/07 12:05:21 AM

20 • U N I D A D 1

Límites y continuidad

4. lím x→ 0

Á L C U L O

x 1− x −1

D E

= −2

L Í M I T E S

D E

F U N C I O N E S

E S P E C I A L E S EJEMPLO 1. Determinar lím x→0

1 mediante tabulación y gráfica x

y f(x)

– 0.100000

– 10

x>0 0+

– 0.010000

– 100

0.000001

1000000

– 0.001000

– 1000

0.000010

100000

– 0.000100

– 10000

0.000100

10000

– 0.000010

– 100000

0.001000

1000

– 0.000001 -

– 1000000

0.010000

100

–⬁

0.100000

x<0

()

f(x) +⬁

1 tiende hacia −∞ por la izquierda y hacia +∞ por la x 1 derecha, de modo que los valores de f x tienden a un número; por lo tanto, lím x→0 x no existe. El símbolo ∞ significa que estamos hablando de un número muy grande respecto de otro. Conforme x → 0; f x =

Ca lculo 1.indd 20

()

7/18/07 12:05:22 AM

Cálculo de límites de funciones especiales

EJEMPLO 2. Encuentra lím x→0

1 x2

y x

Solución: Con la tabla y la gráfica es fácil conjeturar que lím x→0

1 x2

y= 1 2 x

no existe x

⫾1 ⫾0.5 ⫾0.2 ⫾0.1 ⫾0.05 ⫾0.01 ⫾0.001

•

1 __ x2

1 4 25 100 400 10 000 1 000 000

⎛ 3 cos 5 x ⎞ x + EJEMPLO 3. Encuentra lím x→ 0 ⎜ 10 000 ⎟⎠ ⎝ Solución: Mediante la regla 5 es fácil encontrar la solución

)

cos 5 ( 0 ⎛ 1 cos 5 x ⎞ lím ⎜ x 3 + = 03 + = = 0.0001 ⎟ x→ 0 ⎝ 10 000 ⎠ 10 000 10 000 2 x 2 − 3x + 4 2 = x→∞ 3 x 2 − 2 x − 5 3

EJEMPLO 4. Encuentra lím Si usamos la regla 5

2 x 2 − 3x + 4 =∞ x→∞ 3 x 2 − 2 x − 5

lím

Entonces, para evitar la indeterminación se divide cada término del numerador y del denominador entre la potencia más grande de x que es x 2. Aquí te decimos cómo: 2 x 2 3x 4 − 2+ 2 2 2 x − 3x + 4 x lím 2 = lím x 2 x x→∞ 3 x − 2 x − 5 x→∞ 3 x 2x 5 − 2 − 2 x2 x x 2

3 + x = lím x→∞ 2 3− − x 2−

Ca lculo 1.indd 21

4 x2 = 2 5 3 2 x

7/18/07 12:05:22 AM

22 • U N I D A D 1

Límites y continuidad

EJEMPLO 5. Probar que si, f ( x) = 2 x 2 − 4 x entonces lím h→ 0

( ) f ( x + h) = 2 ( x + h)

f ( x + h) − f ( x ) = 4x − 4 h

Primero busquemos f x + h ;

(

−4 x+h

)

= 2 x 2 + 4 xh + 2 h 2 − 4 x − 4 h

() ( ) f ( x + h) − f ( x ) = 2 x

Enseguida restamos f x de f x + h ;

(

+ 4 xh + 2 h 2 − 4 x − 4 h − 2 x 2 − 4 x

= 4 xh + 2 h − 4 h

)

= h(4 x + 2 h − 4) por lo tanto, lím h→ 0

)

h (4 x + 2h − 4 f ( x + h) − f ( x ) = lím ( 4 x + 2 h − 4 = 4 x − 4 = lím h→ 0 h→ 0 h h

)

EJERCICIOS

1. Determinar lím

x→∞

1 por medio de tabulación y gráfica x y

f(x)

Ca lculo 1.indd 22

7/18/07 12:05:23 AM

Cálculo de límites de funciones especiales

2. Encuentra lím x→1

( x − 1)

3x ⎞

3. Hallar lím ⎜ sen Recuerda que π = 180 0 x→π ⎝ 2 ⎟⎠

4. Hallar lím x→0

Ca lculo 1.indd 23

por medio de tabulación y gráfica

⎛

•

f(x)

R. − 1

sen x sen x Recuerda que π = 180 0. Sugerencia: sustituye tan x por . tan x cos x

7/18/07 12:05:23 AM

24 • U N I D A D 1

Límites y continuidad

5. Hallar lím x→π

sen x sen x . Sugerencia: sustituye tan x por tan x cos x

⎛

1⎞

6. Por medio de tabulación encuentra lím ⎜ 1 + ⎟ x→∞ ⎝ x⎠

1 x (1+ ––) x

1 (1+ ––) x

2.00000

5 10 100 1,000

(0,1)

10,000 100,000 1,000,000

10,000,000

7. Investiga por medio de tabulación y gráfica si existe lím x→0

x x

. y

f(x)

Ca lculo 1.indd 24

7/18/07 12:05:24 AM

Cálculo de límites de funciones especiales

8. Demostrar que lím

3x 3 + 2 x 2 − 5 3 = 5 x 3 − 3x + 2 5

9. Demostrar que lím

3x 2 + 2 x − 5 3 = 2 x 2 − 3x + 2 2

x→∞

Ejercicios 10-12. Determina para cada función, lím h→ 0

10.

Ca lculo 1.indd 25

()

f x = 3x − 2

)

f (x + h − f (x

•

)

7/18/07 12:05:24 AM

26 • U N I D A D 1

Límites y continuidad

()

11.

f x = x2 − 2 x + 3

12.

f x =

()

3 2x − 3

−

( 2x − 3)

O N T I N U I D A D En matemáticas, el término continuidad significa lo mismo que en el lenguaje cotidiano. Decir que una función f es continua en x = a debe de entenderse como que su gráfica no sufre interrupción en a que ni se rompe ni tiene saltos o huecos. Por ejemplo, en la figura siguiente se muestran tres valores de x en los que la función no es continua. En los demás puntos del intervalo (A, B) la gráfica no se interrumpe y decimos que la función es continua en ellos. Por lo tanto, definamos la continuidad de una función f como sigue:

Ca lculo 1.indd 26

7/18/07 12:05:24 AM

Continuidad

•

Continuidad en un punto: Una función se dice continua en a si se verifican las siguientes condiciones 1. f (a) está definido.

y f(x) no está definido

2. lím f ( x) existe. x →a

f(x) tiene un salto

3. lím f ( x) = f (a). x →a

lím f(x) no coincide A

Continuidad en un intervalo abierto: Una función f se dice continua en un intervalo A,B si es continua en todo número del intervalo.

( )

Los fenómenos físicos suelen ser continuos. Por ejemplo, la velocidad de un móvil o la estatura de una persona varían de forma continua con el tiempo, pero en realidad se presentan discontinuidades como en las corrientes eléctricas o en el desplazamiento de la luz. EJEMPLO 1. Verificar si la función f ( x) =

1 es continua en el intervalo 0 < x < 1 x

Solución:

()

f x está definida en el intervalo

lím f ( x) existe en el intervalo

x →a

lím f ( x) = f (a) en el intervalo

x →a

Si trazamos la gráfica vemos que la función cumple las condiciones de continuidad en el intervalo 0 < x < 1. Es importante observar que la función en x = 0 no está definida y como vimos antes el límite ahí no existe cuando x tiende a cero; por lo tanto, la función en ese punto no es continua. Indica en qué punto son discontinuas y dibuja su gráfica.

Ca lculo 1.indd 27

7/18/07 12:05:25 AM

28 • U N I D A D 1

Límites y continuidad

EJEMPLO 2. Determina si cada una de las siguientes funciones son continuas; en caso contrario escribe los puntos de discontinuidad a) f ( x) =

x2 − 1 x−1

b) g ( x) =

1 x2

c) h( x) = ⎡ ⎡⎣ x ⎤⎦ ⎤ ⎣ ⎦

a) Solución: En la ecuación de la función es evidente que no esté definida para f 1 ; por lo tanto, no es continua en el punto 1, 2 . Aquí te mostramos su gráfica.

()

( )

b) Solución: En este caso la ecuación de la función tampoco está definida para f 0 y además lím f ( x no existe; por lo tanto, x→ 0 la función no es continua en x = 0 .

()

)

c) Solución: La función h( x) = ⎡ ⎡⎣ x ⎤⎦ ⎤ se llama mayor entero y tiene ⎣ ⎦ discontinuidades en todos los enteros porque lím ⎡⎣ ⎡⎣ x ⎤⎦ ⎤⎦ x→ n no existe; por lo tanto, la función no es continua si n es un entero.

EJEMPLO 3. Con la ayuda de la gráfica adjunta determina cada uno de los límites siguientes a) lím− f ( x x→ 2

Ca lculo 1.indd 28

)

b) lím+ f ( x x→ 2

)

c) lím f ( x x→ 2

)

7/18/07 12:05:26 AM

Continuidad

•

Solución:

)

a) lím− f ( x = 2 x→ 2

)

b) lím+ f ( x = 1 x→ 2

)

c) lím f ( x = −2 x→ 2

EJERCICIOS

1. Usa la gráfica y escribe los puntos de discontinuidad de cada una de ellas (si los hay). a) f ( x) = −

b) f ( x) =

x2 − 1 x

c) f ( x) =

x2 − 1 x+1

d) En f ( x) =

1 − x 2 escribe su intervalo de conti-

nuidad. y

–1

Ca lculo 1.indd 29

7/18/07 12:05:27 AM

30 • U N I D A D 1

Límites y continuidad

2. Determina si cada una de las siguientes funciones son continuas; en caso con-

trario indica en qué punto son discontinuas. Dibuja su gráfica. a) f ( x) =

1 − x2 1+ x

b) g ( x) =

1 x−1

3. En un lote de estacionamiento se cobran $30

por la primera hora (o fracción) y $15 por cada hora (o fracción) subsiguiente, hasta un máximo de $90. Grafica el costo de estacionar un automóvil, como función del tiempo que permanezca aquí.

c) h( x) = ⎡ ⎡ x ⎤ ⎤

⎣⎣ ⎦⎦

Costo

90 60 30

tiempo

4. Con ayuda de las gráficas adjuntas determina cada uno de los límites pedidos

( )

a) lím f x = x→ 2−

( )

x →−1−

b) lím f x = x → 2+

( )

c) lím f x = x→2

Ca lculo 1.indd 30

( )

a) lím f x =

( )

b) lím f x = x

2 y=f (x)

x →−1+

( )

c) lím f x = x →−1

–1 y=f (x)

7/18/07 12:05:27 AM

Teorema del valor intermedio

E O R E M A

D E L

VA L O R

•

I N T E R M E D I O

Una función continua sobre un intervalo no se salta, ni deja huecos, ni se interrumpe en ningún valor y como consecuencia, su gráfica es una curva de un sólo trazo. Éste es el fundamento del teorema de los valores intermedios.

()

Teorema del valor intermedio. Si y = f x es una función continua sobre el intervalo ⎡⎣ a, b ⎤⎦ y N es cualquier número estrictamente entre f a y f b Entonces,

()

() por necesidad, existirá un número c entre ( a, b) que cumpla que f ( c ) = N y

y=f (x) f (b)

f (b)

f(c)=N

f(a)

y=f (x)

a c1

Este teorema afirma que una función continua toma todos los valores intermedios entre los valores de la función f a y f b Observa que el valor N se puede tomar una sola vez como en la gráfica de la izquierda o varias veces como en la gráfica de la derecha. Un uso de este teorema es hallar las raíces de ecuaciones, pero debido al desarrollo tecnológico de las calculadoras y las computadoras graficadoras, ya casi no se utiliza; sin embargo, el teorema del valor intermedio desempeña una función importante en estas máquinas ya que una computadora cuando grafica, calcula un número finito de puntos de la gráfica y hace aparecer los píxeles que contienen estos puntos calculados. Supone que la función es continua y toma todos los valores intermedios entre dos puntos consecutivos. Luego, la computadora une los píxeles al hacer aparecer los píxeles intermedios.

()

EJEMPLO. Aplica el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz de la ecuación x 3 − 3 x + 1 = 0 en el intervalo 0, 1 .

( )

Ca lculo 1.indd 31

7/18/07 12:05:28 AM

32 • U N I D A D 1

Límites y continuidad

Solución: Estamos buscando un valor de c que este entre 0 y 1 que sea solución de x 3 − 3 x + 1 = 0 es decir que f c = 0. Por lo tanto, en el teorema anterior a = 0 b = 1 y N = 0 .

()

() () f (1) = (1) − 3 (1) + 1 = −1 < 0 f 0 = 03 − 3 0 + 1 = 1 > 0

x=0.347

()

Esto significa que N = 0 es un número entre f 0 y f 1 , es decir que la ecuación tiene por lo menos una raíz en el intervalo 0, 1 y si aplicamos de nuevo el teorema para precisar más el valor de la raíz tenemos, por ejemplo, que:

( )

y f ( 0.4 ) = ( 0.4 ) − 3 ( 0.4 ) + 1 = −0.136 < 0 ( ) ( ) ( ) f ( 0.34 ) = ( 0.34 ) − 3 ( 0.34 ) + 1 = 0.0193 > 0 y f ( 0.35 ) = ( 0.35 ) − 3 ( 0.35 ) + 1 = −0.007 < 0 Significa que una raíz debe estar en el intervalo ( 0.34, 0.35 ), de hecho, una compu3

f 0.3 = 0.3 − 3 0.3 + 1 = 0.127 > 0

tadora nos da el valor 0.3473. Vea la gráfica.

E O R E M A

D E L

VA L O R

E X T R E M O

Hasta ahora hemos visto que las funciones pueden crecer o disminuir de valor en función de su gráfica. En el teorema siguiente se dan las condiciones que nos garantizan que una función tenga valores extremos.

()

Teorema del valor extremo. Si y = f x es una función continua y está acotada en el intervalo ⎡⎣ a, b ⎤⎦ , entonces f x alcanza un valor máximo M y un valor mínimo m en el intervalo.

()

M m a

Ca lculo 1.indd 32

7/18/07 12:05:29 AM

Teorema del valor extremo

•

Es conveniente observar que cuando se omite cualquiera de las dos condiciones; continuidad o intervalo cerrado la función no tiene que poseer valores extremos.

x Esta función tiene un mínimo de f(1)=1 pero no tiene valor máximo, no es continua.

x Esta función no tiene ni mínimo ni máximo, es continua pero no tiene cerrado el intervalo.

La primera función de la figura anterior, está definida en el intervalo cerrado ⎡⎣1, 5 ⎤⎦ pero falla la continuidad, fíjate que no tiene máximo, la función toma valores arbitrarios cerca de 7 pero nunca alcanza dicho valor. La gráfica de la derecha en la misma figura tiene continuidad en el intervalo abierto 0, 4 pero no tiene valor máximo ni mínimo. Por ahora quisimos adelantarnos sólo sobre las condiciones que debe tener una función para poseer valores extremos. Sin embargo, en secciones posteriores abordaremos este teorema con más calma y profundidad, así como su utilidad práctica.

( )

Ca lculo 1.indd 33

7/18/07 12:05:30 AM

Ca lculo 1.indd 34

7/18/07 12:05:30 AM

U N I D A D

2 R A Z Ó N

Ca lculo 2a.indd 35

D E

C A M B I O

L A

D E R I V A D A

La derivada como razón de cambio

Interpretación geométrica de la derivada

Diferenciabilidad

La velocidad como una razón de cambio

Reglas para derivar

Regla de la cadena

Regla para derivar un producto

Regla para derivar un cociente

Derivadas de funciones trigonométricas

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Derivadas de funciones exponenciales

Derivadas de funciones logarítmicas

Derivadas de funciones implícitas

Ecuaciones de la tangente y de la normal

7/18/07 12:06:35 AM

36 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

D E R I V A D A

C O M O

R A Z Ó N

D E

C A M B I O

Si, en y = f ( x) calculamos: lím

∆x→ 0

f ( x + h) − f ( x ) h

lo que estamos encontrando por definición es la derivada de la función y = f ( x). dy Por convención y para fines prácticos emplearemos el símbolo para denotar dx dicho límite. f ( x + h) − f ( x ) dy lím = ∆x ; →0 h dx y se lee “la derivada de y con respecto a x”. Es importante aclarar que dicha expresión no debe verse como una fracción sino como lo que es: “un límite” o un operador diferencial que nos está indicando una razón de cambio de una variable dependiente, con respecto de otra independiente, x. df ( x) Algunos otros símbolos para indicar la derivada son: y', f '( x), , Dx dx Por lo tanto, decimos que si y = f ( x) su derivada es

EJEMPLO Si, f ( x) = x 2 − 2 x hallar su derivada Primero encontramos f ( x + h) f ( x + h) = ( x + h)2 − 2( x + h) = x 2 + 2 xh + h 2 − 2 x − 2 h luego restamos f ( x)

)

f ( x + h) − f ( x = x 2 + 2 xh + h 2 − 2 x − 2 h − x2

+ 2x 2 xh + h

− 2h

dividimos entre h; por lo tanto, f ( x + h) − f ( x) 2 xh + h 2 − 2 h = h h h(2 x + h − 2) = h = 2x + h − 2

Ca lculo 2a.indd 36

7/18/07 12:06:36 AM

La derivada como razón de cambio

•

por último calculamos el límite que estamos buscando y es precisamente la derivada lím h→ 0

f ( x + h) − f ( x ) = lím ( 2 x + h − 2 , entonces h→ 0 h

)

df ( x) = 2 x − 2 , que se lee “la derivada de f ( x) con respecto a x es 2 x − 2”. dx

EJERCICIOS En cada una de las funciones siguientes encuentra su derivada.

1. f ( x) = 2 − 3 x

3. s = t 3 − 12

Ca lculo 2a.indd 37

−3

2. f ( x) = 1 − x 2

3t 2

4. y =

x−4

7/18/07 12:06:37 AM

38 • U N I D A D 2

5. f ( x) =

1 x−1

6. f ( x) =

Razón de cambio y la derivada

x+1

N T E R P R E T A C I Ó N

D E

L A

−

2 7. y = ( x − 2)

( x − 1)

2x − 4

G E O M É T R I C A

D E R I V A D A

La línea tangente El concepto de límite proporciona el modo de alcanzar la mejor descripción de línea tangente. En la figura sea P un punto fijo y Q un punto móvil próximo a P. Observa que la recta secante que pasa por P y Q, tiene como posición límite la recta tangente en P cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva.

Ca lculo 2a.indd 38

7/18/07 12:06:37 AM

Interpretación geométrica de la derivada

También vemos que la pendiente de la secante es ms e c =

•

f ( x + h) − f ( x ) . h

recta secante Q(x+h, f(x+h)) posición límite

posición límite P(x, f(x))

P(x, f(x))

recta secante

Q(x-h, f(x-h))

h x

x-h x

x+h

En consecuencia, la línea tangente es la recta que pasa por P con pendiente mt a n que satisface mt a n = lím ( ms e c ) = lím h→ 0

h→ 0

f ( x + h) − f ( x) df ( x) = h dx

Definición. Se dice que la derivada de una función y = f ( x) desde el punto de vista geométrico es la pendiente de la recta tangente a f ( x) en un punto dado P ( x, y): dy =m dx

EJEMPLO Encuentra la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la f ( x) = x 2 − 1 en el punto P(2,3). y

Primero calcula: f ( x + h) − f ( x) ( x + h)2 − 1 − ( x 2 − 1) = h h x 2 + 2 xh + ( h)2 − 1 − x 2 + 1 = h =

Ca lculo 2a.indd 39

h(2 x + h) = 2x + h h

P(2, 3)

x y =4x-5

7/18/07 12:06:37 AM

40 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

luego, mt a n = lím

∆x→ 0

f ( x + h) − f ( x) = lím (2 x + h) = 2 x ∆x→ 0 h

por lo tanto, mt a n = 2 x en cualquier punto; mtan = 2(2) = 4 en x = 2.

(

)

Recordemos que la ecuación de una recta está dada por y − y1 = m x − x1 por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es: y − 3 = 4( x − 2) y = 4x − 8 + 3 y = 4x − 5

Ejercicio 1. Encuentra la pendiente de la tangente a la curva y = − x 2 + 2 x + 2 en el punto donde x = 2 y

P (2, 2)

2x + y − 6 = 0

Ejercicio 2. Halla la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la función f ( x) = 1 − x 2 en el punto P(2, –3). Traza la gráfica.

Ca lculo 2a.indd 40

7/18/07 12:06:38 AM

Diferenciabilidad

•

Ejercicio 3. Encuentra la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la función f ( x) = x 3 + 1 en el punto P(1, 2). Traza la recta tangente y marca el punto de tangencia.

3x − y − 1 = 0

()

1 Ejercicio 4. Encuentra los puntos de la función f x = donde su pendiente es x –1/4. Traza las rectas tangentes en dichos puntos.

I F E R E N C I A B I L I D A D

Tanto la continuidad como la diferenciabilidad son propiedades deseables para una función y el teorema siguiente muestra cómo se relacionan entre sí.

)

Si f es diferenciable en a o en todo un intervalo ( a, b entonces, f es continua en a y en el intervalo a, b .

( )

Ca lculo 2a.indd 41

7/18/07 12:06:39 AM

42 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

()

¿Cómo saber cuándo y dónde se puede derivar una función y = f x ? La interpretación geométrica de la derivada nos da la respuesta, ya que si una función f en algún punto no tiene tangente debido a que f tiene esquinas o retorcimientos o no es continua, evidentemente en esos espacios la función no es diferenciable. y

recta tangente

Una esquina, pendiente infinita

Un cambio de concavidad

Una discontinuidad

Otra manera de verificar la diferenciabilidad es a través de una calculadora graficadora.

Una función no diferenciable, en a con el acercamiento se ve mejor la esquina o el punto agudo que no se puede eliminar recta tangente a

Una función diferenciable, en a el acercamiento nos muestra que la gráfica se endereza y adquiere más y más la apariencia de una recta

Ca lculo 2a.indd 42

7/18/07 12:06:39 AM

La velocidad como una razón de cambio

D E

V E L O C I D A D

C O M O

U N A

•

R A Z Ó N

C A M B I O

Ds s

Velocidad media. El móvil representado por un automóvil en la parte superior tiene un desplazamiento inicial s0 y cambia a un desplazamiento final s en un tiempo ∆t ; en consecuencia, su velocidad promedio es: vmed =

∆s s − s0 = ∆t ∆t

Los experimentos demuestran que un cuerpo que cae libremente desde el reposo se

()

desplaza s(t ) = 4.9t 2 metros en t segundos. De manera que cae 4.9 1

()

1 segundo y 4.9 2

= 4.9 metros en

= 19.6 metros en los 2 primeros segundos, y así sucesivamente:

()

s 1 = 4.9 1

= 4.9 ;

()

s 2 = 4.9 2

= 19.6

(

)

Es decir, en el intervalo de tiempo ∆t = (2 − 1)seg se desplazó ∆s = 19.6 − 4.9 m; entonces, la velocidad promedio de caída es: vmed =

∆s (19.6 − 4.9)m = = 14.7 m / seg ∆t (2 − 1)seg

Velocidad instantánea. Pero si en el ejemplo anterior quisiéramos medir la velocidad v en un instante t cualquiera ( ∆t → 0) lo que estaríamos midiendo sería una velocidad ∆s instantánea o verdadera por la precisión; ésta sería el límite de la relación cuando ∆t el tiempo tiende a cero. Por lo tanto, y por la definición de derivada, la velocidad instantánea sería: v = lím

∆t → 0

Ca lculo 2a.indd 43

∆s s(t + ∆t ) − s(t ) = lím ∆t ∆t →0 ∆t

o bien

ds dt

7/18/07 12:06:40 AM

44 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

Se dice entonces que la velocidad instantánea de un móvil es también la derivada

de su desplazamiento con respecto al tiempo: v=

ds dt

Por ejemplo, si quisiéramos saber la velocidad de caída de un objeto en el preciso instante de 1.2 segundos tendríamos que calcular: v =

ds s(t + ∆t ) − s(t ) = lím dt ∆t →0 ∆t 4.9(t + ∆t )2 − 4.9t 2 ∆t → 0 ∆t

v = lím

4.9[t 2 + 2t ∆t + ( ∆t )2 − t 2 ] ∆t → 0 ∆t

= lím

∆t → 0

4.9 ∆t (2t + ∆t ) = lím ( 4.9 ( 2t + ∆t = ( 4.9 ( 2t = 9.8t ∆t → 0 ∆t

)

) )

v = 9.8t ⇒ v(1.2) = (9.8)(1.2) = 11.76 m / seg Otras razones de cambio Es importante aclarar que la derivada mide cualquier cambio con respecto al tiempo, y que en ese sentido la vamos a estudiar a lo largo de todo el curso; es decir, la derivada significa una razón de cambio de un fenómeno natural, social, económico, la velocidad de un móvil, la rapidez con que actúa un medicamento, etcétera. Los físicos se interesan por ejemplo, en la razón de cambio del trabajo con respecto al tiempo (potencia), los químicos en una reacción química estudian la llamada velocidad de reacción. Un fabricante de acero se interesa en la razón de cambio del costo de producir x toneladas de acero por día (costo marginal), un biólogo se ocupa de la razón de cambio de la población de una colonia de bacterias con respecto al tiempo, etcétera. Todas estas razones de cambio implican un significado de la interpretación geométrica de la derivada o interpretación de pendientes de tangentes no sólo en el sentido geométrico, sino que al mismo tiempo resolvemos situaciones que se presentan en los diferentes campos del conocimiento de la ciencia y la ingeniería en donde intervienen las razones de cambio.

EJEMPLO Una empresa productora de acero produce x toneladas de este material a un costo de C=f x .

()

Ca lculo 2a.indd 44

7/18/07 12:06:41 AM

La velocidad como una razón de cambio

( )

•

a) ¿Qué significa f ⬘ x ? ¿Cuáles son sus unidades?

(

)

b) ¿Qué significado tiene f⬘ 500 = 100 ?

Solución a)

)

f ⬘( x significa la razón de cambio instantánea de C con respecto a x es decir, la razón de cambio del costo de producción con respecto al número de toneladas de acero producidas. Los economistas llaman a esta razón de cambio costo marginal. Como

)

f ⬘( x =

dC dx

)

y C está expresada en dólares y x en toneladas, las unidades de f ⬘( x son dólares por tonelada.

(

)

b) La proposición f⬘ 500 = 100 significa que, después de fabricar 500 toneladas

de acero, la razón a la cual aumenta el costo de producción es de 100 dólares por tonelada.

EJERCICIOS Resolver cada una de las siguientes situaciones considerando la derivada como una razón de cambio. 1. a) Hallar la velocidad instantánea de un cuerpo que cae, partiendo del reposo,

en el instante t = 5.3 segundos. b) ¿Cuánto tardará el cuerpo en alcanzar una velocidad instantánea de

65 m / seg ? v = 51.94 m / seg

v = 9.8 t

t = 6.63seg

Ca lculo 2a.indd 45

7/18/07 12:06:41 AM

46 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

2. El consumo de combustible (medido en galones por hora) de un automóvil que

viaja a una velocidad de v millas por hora es c = f(v).

()

a) ¿Cuál es el significado de f⬘ v ? ¿Cuáles son sus unidades?

( )

b) ¿Qué significa f⬘ 20 = −0.5?

3. Suponer que un cuerpo cae desde el reposo s = 16t 2 pies en t segundos. a) ¿Qué distancia caerá entre t = 3 y t = 4? b) ¿Cuál será su velocidad media en el intervalo 3 ≤ t ≤ 4 ? c) Encuentra la velocidad instantánea en t = 3.

Ca lculo 2a.indd 46

7/18/07 12:06:42 AM

La velocidad como una razón de cambio

4. Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa C (t ) =

gramos después de t horas. a) ¿Cuánto creció durante el intervalo 2 ≤ t ≤ 2.01?

•

1 2 t +1 2

R. 0.02005 gr

b) ¿Cuál fue su crecimiento medio durante el intervalo 2 ≤ t ≤ 2.01?

R. 2 gr / hr c) ¿Cuál fue su razón de crecimiento instantáneo cuando t = 2?

R. 2 gr / hr

5. Un negocio está prosperando de tal modo que su beneficio total después de t

años es G(t ) = 1000 t 2 . a) ¿Cuánto producirá el negocio durante el tercer año, es decir, entre

t = 2 y t = 3? b) ¿Cuál es su tasa promedio de utilidad (utilidad promedio marginal) durante

el primer semestre del tercer año (entre t = 2 y t = 2.5)? c) ¿Cuál es la tasa instantánea de utilidad (utilidad marginal) para t = 2?

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7/18/07 12:06:42 AM

48 • U N I D A D 2

E G L A S

Razón de cambio y la derivada

P A R A

D E R I V A R

Calcular la derivada de una función a partir de su definición es un proceso tedioso y que demanda mucho tiempo. Ésa es la razón por la que se han desarrollado instrumentos (teóricos y tecnológicos) que permiten acortar el largo camino que hemos visto hasta aquí. Recuerda que la derivada de una función f ( x) nos produce otra función. Este proceso lo podemos esquematizar de la siguiente manera:

Operación y =f(x)

f´(x)

de derivar

Regla 1. La derivada de una función constante f ( x) = c es cero. Cuando una función f ( x) no tiene cambios su pendiente es cero. d(c) =0 dx m=0

y=c

EJEMPLO Si y = −5 ⇒

dy d(−5) = dx dx dy =0 dx

Regla 2. La derivada de la función identidad f ( x) = x es 1. La razón de cambio es 1 a 1. d( x) =1 dx

m=1

y=x

Ca lculo 2a.indd 48

7/18/07 12:06:43 AM

Reglas para derivar

•

Para demostrar la regla número 3 es conveniente recordar que:

( a + b)

= a n + na n−1b +

n( n − 1) n− 2 2 a b + ⋅ ⋅ ⋅ + nabn−1 + bn 2

Regla 3. Si f ( x) = x n, entonces su derivada es,

d( x n ) = nx n−1 . Es decir, dx

df ( x) ( x + h) n − x n = lím h→0 dx h df ( x dx

x n + nx n−1 h + lím

h→ 0

= lím

h [ nx n−1 +

h→ 0

n( n − 1) n− 2 2 x ( h) + ⋅ ⋅⋅ + nx( h)n−1 + ( h 2 h

n( n − 1) n− 2 x h + ⋅⋅⋅ + nx( h)n− 2 + ( h 2 h

)

n −1

]

)

− xn

= nx n −1

Dentro del paréntesis todos los términos tienen como límite cero excepto uno, el que no tiene como factor a h.

EJEMPLOS 1)

d( x 3 ) = 3x 2 dx

n = 3,

n−1=2

d( x −5 ) 5 = −5 x −6 = − 6 dx x

n = −5,

n − 1 = −6

d( x) 2 3 12 d x3 = = x dx dx 2

3 , 2

n−1=

1 2

Regla 4. Regla del múltiplo constante. Si c es una constante y f ( x) una función, entonces: d d cf ( x) = c f ( x) dx dx La justificación se deja como ejercicio.

Ca lculo 2a.indd 49

7/18/07 12:06:44 AM

50 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

Regla 5. Regla de la suma. Si u, v y w son funciones de x entonces: d du dv dw (u + v − w ) = + − dx dx dx dx Justifica la regla como un ejercicio de tarea.

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) − 3 ( 4 x ) + 10 ( 3 x ) − 5 ( 2 x ) + 2 (1) − 0

()

d 7 d 7 d 4 d 3 d 2 d d 8 x − 3 x 4 + 10 x 3 − 5 x 2 + 2 x − 8 = x −3 x + 10 x −5 x +2 x − dx dx dx dx dx dx dx = 7x6

= 7 x 6 − 12 x 3 + 30 x 2 − 10 x + 2 5) Encuentra los puntos de la curva y = x 4 − 6 x 2 + 4 donde la recta tangente sea hori-

zontal. Solución Aquí buscamos los puntos de la gráfica en donde la derivada sea cero porque se tienen tangentes horizontales.

( )

dy = 4 x 3 − 6 2 x + 0 = 4 x 3 − 12 x dx

(

)

4 x 3 − 12 x = 4 x x 2 − 3 = 0 Al resolver la ecuación anterior tenemos valores para x igual a 0,

(

)

nos darían los puntos − 3 , −5 ,

( 0, 4 ) ,

(

3 , −5

)

3 , − 3 que

EJERCICIOS Encuentra la derivada de cada una de las siguientes funciones.

Ca lculo 2a.indd 50

7/18/07 12:06:44 AM

Reglas para derivar

1. y = 2 x 3

3. y =

−2 x

5. y = 3 − 2 x + π x 2 −

Ca lculo 2a.indd 51

− 2 + 2π x +

2 x

6 x2

8 x

•

2. y = π x 2

4. y =

4 5x5

6. f ( x) =

x 5 . Reescribe

x5 = x

5 3

8 x5

7/18/07 12:06:45 AM

52 • U N I D A D 2

7. y =

Razón de cambio y la derivada

3 x3

−

1 3

8. y = − x 4 + 3 x 2 − 6 x + 2 x − 1

9. y = 11 x 3 − 2 x + 3 x 3 − 4

10. y = −5 x 6 + 3 x 5 − 19

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11. y = 3 x 7 + 3 x 2 − 21

33 x 2 − 2 +

1 3

R. 21 x 6 + 6 x

7/18/07 12:06:45 AM

12. y = 3 x −5 + 2 x −3

14. y =

1 + 2x 2x

13. y =

15. y =

2 1 − x x2

1 2x

−

Reglas para derivar

•

2 2

−

1 x

−

3 2x

2 x3

4 x5

3 2 16. Encuentra todos los puntos de la gráfica de y = x − x donde la tangente sea horizontal. Gra-

fica las tangentes horizontales.

Ca lculo 2a.indd 53

7/18/07 12:06:45 AM

54 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

17. Halla los puntos de la gráfica de y =

1 3 x + x 2 − x donde la tangente tenga pendiente 1. 3 R. x1 ≈ 0.7320; x2 ≈ −2.7320

18. Un viajero espacial se mueve de izquierda a derecha a lo largo de la curva y = x Cuando apague sus máquinas, se alejará a lo largo de la línea tangente en el punto donde esté en ese momento. ¿En qué punto deberá apagar las máquinas para alcanzar el punto (4, 15)? 2

19. Una mosca camina de izquierda a derecha a lo largo de la curva y = 7 − x 2. Una araña espera

en el punto (4, 0). Encuentra la distancia entre el insecto y el arácnido cuando se ven por primera vez. (Vea la figura). R. d = 45

6 5 4 3 2 1 –3 –2 –1

Ca lculo 2a.indd 54

–1

araña 1 2

7/18/07 12:06:46 AM

Regla de la cadena

•

20. La altura s en pies de una pelota sobre el piso a los t segundos está dada por

s = −16t 2 + 40t + 100. a) ¿Cuál es la velocidad instantánea cuando t = 2? b) ¿Cuándo es cero la velocidad instantánea? 2

s = −16t + 40 t + 100

21. Una bola rueda hacia abajo en un largo plano inclinado de modo que su distancia s al punto

de partida después de t segundos es de s = 4.5t 2 + 2t pies. ¿Cuándo alcanzará la velocidad instantánea de 30 pies por segundo?

E G L A

D E

L A

C A D E N A

Regla 6. Si y = f (u) y u = g ( x) tenemos que, du n du = nu n−1 dx dx Demostración Supongamos que y = u n entonces,

Ca lculo 2a.indd 55

dy d n = u = nu n−1 de acuerdo con la regla 3. du du

7/18/07 12:06:46 AM

56 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

Ahora bien, estarás de acuerdo en que: dy dy du d ⎡ n ⎤ du = ⋅ = u ⋅ dx du dx du ⎣ ⎦ dx dy du Por lo tanto, = nu n−1 . Por cierto, este proceso también se conoce como regla de dx la cadena. dx

EJEMPLOS 2 3 1) Encuentra la derivada de y = (3 − x ) .

Solución Hagamos n = 3 y u = 3 − x 2 ⇒ y = u3

du = −2 x; por lo tanto: dx

(

)( )

dy du = 3u 2 = 3 3 − x 2 −2 x dx dx 2 dy = −6 x 3 − x 2 dx

(

al derivar y sustituir u y

)

2) Encuentra la derivada de y =

3 x −5

si hacemos que u = 3 − x 2, du dx

al simplificar.

Solución 2 Hagamos n = − 12 y u = x − 5 ⇒

= 3u

−

du = 2 x ; por lo tanto: dx

si hacemos que u = x 2 − 5

u ⎡ 1 −3 du ⎤ 3 dy = 3 ⎢− u 2 ⎥ = − x2 − 5 2 dx dx ⎥⎦ ⎢⎣ 2

(

dy =− dx

) (2x) −

(

x2 − 5

)

al derivar y sustituir u y

du dx

al simplificar. 3

EJERCICIOS Calcula la derivada de las siguientes funciones.

Ca lculo 2a.indd 56

7/18/07 12:06:47 AM

Regla de la cadena

1. y =

2 x3 − 3

(

Reescribe la función como y = 2 x 3 − 3

(

)

1 2

4. y =

)(

)

5x − 3

x2 − 2 x + 1

6. y =

x −4

5 3

dy 9 x2 =− dx x3 − 4

(

Ca lculo 2a.indd 57

)

2 x3 − 3

ds = (10t − 25 t 2 − 5t + 2 dt

5. f ( x) =

3x 2

dy = dx

3. s = t 2 − 5t + 2

)

(

2. y = 3 − 7 x

•

)

7/18/07 12:06:47 AM

58 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

4 7. y = −3 2 − 9 x

8. s =

dy = dx

9. y = −

27 4

(2 − 9x)

10. y =

x +1

dy = dx

1 t2 − 2

2 x

(

1 x +1

)

x+ x

11. Un automóvil se deprecia de acuerdo con la fórmula V =

7500

, donde t = 0 re1 + 0.4t + 0.1t 2 presenta en (años) el momento de la compra. ¿A qué razón se deprecia el automóvil 2 años después de su compra? dV = 1239.66 dt

Ca lculo 2a.indd 58

7/18/07 12:06:47 AM

Regla para derivar un producto

E G L A

P A R A

D E R I V A R

U N

•

P R O D U C T O

Regla 7. La derivada del producto de dos funciones derivables f ( x) y g ( x) viene dada por:

)

d ⎡ f ( x g ( x ⎤ = f ( x g⬘( x + g ( x f ⬘( x ⎦ dx ⎣

)

Demostración

)

f (x + h g (x + h − f (x g (x d ⎡ f ( x g ( x ⎤ = lím ⎦ h→ 0 dx ⎣ h f ( x + h) g ( x + h ) − f ( x + h g ( x + f ( x + h g ( x = lím h→ 0 h ⎡ g (x + h − g (x f (x + h − f (x = lím ⎢ f ( x + h + g (x h→ 0 h h ⎢⎣

)

= lím f ( x + ∆h ⋅ lím h→ 0

)

g (x + h − g (x

h→ 0

)

− f (x g (x

)

) ⎤⎥ ⎥⎦

) + g ( x ) lím f ( x + h) − f ( x ) ∆ x →0

)

= f ( x g⬘( x + g ( x f ⬘( x ) Sugerencia. Es conveniente memorizar la regla del producto de la siguiente manera: La primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función.

EJEMPLOS

(

1) Encuentra la derivada de y = x x 2 + 1

)

Solución Primero hacemos f ( x) = x , entonces f ⬘( x) = 1, luego, g ( x) = x 2 + 1

Ca lculo 2b.indd 59

g⬘( x) = 2 x

7/18/07 12:07:33 AM

60 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

Aplicamos la regla del producto:

( ) (

)( )

dy = x 2 x + x2 + 1 1 dx = 2 x2 + x2 + 1 = 3x 2 + 1

(

2) Encuentra la derivada de y = x − 2

)

3 − x2

Solución Hagamos f ( x) = x − 2 entonces f ' ( x) = 1; luego,

(

g ( x) = 3 − x 2

)

1 2

)

1 2

(

) ( −2 x )

(

)

1 3 − x2 2 x g⬘( x = − 3 − x2

g⬘( x) =

−

1 2

Ahora aplicamos la regla 7: ⎡ ⎢ dy x = ( x − 2 ⎢− dx ⎢ 3 − x2 ⎣

)

(

)

⎤ ⎥ + 3 − x2 1 ⎥ 2 ⎥ ⎦

(

⎡ ⎤ ⎢ − x2 + 2 x ⎥ =⎢ + 3 − x2 1 ⎥ ⎢ 3 − x2 2 ⎥ ⎣ ⎦

(

)

( (3 − x )

− x2 + 2 x + 3 − x2 1 2 2

)

1 2

) = −x

1 2

) (1) (

− x2 + 2 x + 3 − x2

)

1 1 + 2 2

1 2 2

(3 − x ) + 2 x + 3 − x2 1 2 2

(3 − x )

3 + 2 x − 2 x2 1 2 2

(3 − x )

EJERCICIOS En los ejercicios siguientes encuentra la derivada mediante las reglas tratadas en esta sección.

Ca lculo 2b.indd 60

7/18/07 12:07:35 AM

Regla para derivar un producto

1. y = ( x 2 + 2)(3 x 3 − 2)

•

dy = 15 x 4 + 18 x 2 − 4 x dx

2 2 2. y = (5 x + 2)(3 x − 2 x + 7)

3. y = ( x 4 + 2)( x 3 − 2 x 2 + 1)

Ca lculo 2b.indd 61

dy = 7 x 6 − 12 x 5 + 4 x 3 + 6 x 2 − 8 x dx

7/18/07 12:07:35 AM

62 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

4. y = ( x 2 − 2)2 1 + x

5. y = x 2

x2 + 3

dy 8 x 3 + 18 x = 2 dx 3 3 x2 + 3

(

)

6. y = ( x 4 − 1)( x 2 + 1)

Ca lculo 2b.indd 62

7/18/07 12:07:35 AM

Regla para derivar un cociente

E G L A

dy 5 x 2 + 1 = dx 2 x

7. y = ( x 2 + 1) x

•

P A R A

D E R I V A R

U N

C O C I E N T E

Regla 8. Sean f ( x) y f ( x) dos funciones derivables y g ( x) ≠ 0 Entonces,

)

d ⎡ f ( x) ⎤ g ( x f ⬘( x − f ( x g⬘( x = dx ⎢⎣ g ( x) ⎥⎦ g2 (x

)

Demostración

) − f ( x) g ( x + h) g ( x ) d ⎡ f ( x) ⎤ = lím f (x + h

dx ⎢⎣ g ( x) ⎥⎦

h→ 0

h g ( x ) f ( x + h ) − f ( x ) g ( x + h) 1 ⋅ = lím h→ 0 h g (x g (x + h

)

1 = lím g ( x) f ( x + h) − g ( x) f ( x) + f ( x)g ( x) − f ( x)g ( x + h) ⋅ h→ 0 h g (x g (x + h

)

⎡ 1 = lím ⎡ g ( x) f ( x + h) − f ( x) − f ( x) g ( x + h) − g ( x) ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ h→ 0 h h ⎣ ⎦ ⎢⎣ g ( x g ( x + h = ⎡⎣ g ( x) f ⬘( x) − f ( x)g⬘( x)⎤⎦

)

Ca lculo 2b.indd 63

)

⎤ ⎥ ⎥⎦

)

g ( x) f ⬘( x) − f ( x)g⬘( x) g 2 ( x)

7/18/07 12:07:35 AM

64 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

Sugerencia. Memoriza la regla del cociente de la siguiente manera: La derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el denominador al cuadrado.

EJEMPLOS 1) Encuentra la derivada de y =

3x + 5 3 − 2x

Solución En primer término hagamos f ( x) = 3 x + 5, entonces f ⬘( x) = 3; luego: 1

1 − 1 y g⬘( x) = (3 − 2 x) 2 ( −2) 2 1 g (x ⬘ = − 1 ( 3 − 2 x) 2

g ( x) = 3 − 2 x = ( 3 − 2 x) 2

)

Aplicamos la regla 8, ⎡ 1 ⎢ (3 − 2 x) (3) − (3 x + 5) ⎢ − 1 ⎢ ( 3 − 2 x) 2 dy ⎣ = 2 1⎤ dx ⎡ ⎢ 3 − 2x 2 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ 1 2

(

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

)

Para resolver la fracción resultante de la derivada multiplicamos y dividimos por 1

( 3 − 2 x) 2 . 1

(3)(3 − 2 x) 2 + dy = dx

3x + 5

1 ⎡ ( 3 − 2 x) 2 ⎢ 3 − 2 x ⎢ 3 − 2x ⎢ ⎢⎣ 3 − 2 x

( (

) )

1 2 1 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

3(3 − 2 x) + 3 x + 5 3

( 3 − 2 x) 2

Ca lculo 2b.indd 64

7/18/07 12:07:36 AM

Regla para derivar un cociente

•

9 − 6 x + 3x + 5 3

( 3 − 2 x) 2 =

14 − 3 x 3

( 3 − 2 x) 2 1

2) Halla la derivada de y =

a + bx (a + bx) 2 = . 1 a − bx 2 (a − bx)

Solución 1

En primer término hagamos f ( x) = (a + bx) 2 ; entonces, f ⬘( x) =

1 ( a + bx 2

1 2

) ( b) −

(

2 a + bx 1

)

1 2

1 ( a − bx 2

1 a − bx 2 −b

1 2

) ( −b)

g ( x) = (a − bx) 2 ; entonces, g⬘( x) =

−

(

) ( −b)

(

)

2 a − bx

−

1 2

Aplicamos la regla 8,

( dy = dx

Ca lculo 2b.indd 65

a − bx

)

1 2

⋅

(

2 a + bx

)

(

− a + bx

⎡ ⎢ a − bx ⎢⎣

(

)

1 2

⎤ ⎥ ⎥⎦

)

1 2

⋅

−b

(

2 a − bx

)

1 2

7/18/07 12:07:36 AM

66 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

Para resolver la fracción resultante multiplicamos y dividimos por 2(a + bx) 2

( a − bx )

1 2

) dy 2 ( a + bx ) = b ( a − bx

1 2 1 2

) + 2 ( a − bx ) b ( a + bx

1 2 1 2

a − bx

b(a − bx) + b ( a + bx 2 ( a − bx

3 2

) ( a + bx )

1 2

2 ab

(

2 a − bx

) ( a + bx )

)= =

⎡ ⎢ 2 ( a + bx ⎢ ⎢⎣ 2 ( a + bx

1 2

) ( a − bx ) ) ( a − bx ) 1 2

⎤ ⎥ 1 ⎥ 2 ⎥ ⎦ 1 2

ab − b2 x + ab + b2 x 2 ( a − bx

3 2

) ( a + bx )

1 2

ab 3

( a − bx ) ( a + bx )

EJERCICIOS

1. y =

Ca lculo 2b.indd 66

3x − 2 5 − 3x

dy 9 = dx ( 5 − 3 x

)

7/18/07 12:07:37 AM

Regla para derivar un cociente

2. y =

3. y =

4. y =

Ca lculo 2b.indd 67

•

3 + 2x 2 + 3x 2

3x 3 − 2 x +3 2

dy 3 x 4 + 27 x 2 + 4 x = 2 dx x2 + 3

(

)

2 x 2 − 3x + 3 2 − 3x

7/18/07 12:07:37 AM

68 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

5. y =

x 2 + 3x − 1 x2 + 2 x − 3

6. f ( x) =

dy x2 + 4 x + 7 =− 2 dx x2 + 2 x − 3

(

)

c2 − x2 c2 + x2

7. La curva y =

se llama bruja de María Agnesi. Encuentra y grafica la x +1 ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto 1, 12 . x + 2y − 2 = 0

Ca lculo 2b.indd 68

( )

7/18/07 12:07:37 AM

Regla para derivar un cociente

8. ¿En qué puntos tiene tangente horizontal la gráfica de f ( x) =

9. La curva y =

•

x2 ? x−1

se llama serpentina. Encuentra y grafica la ecuación de x +1 la recta tangente a esta curva en el punto 2, 0.4 . 3 x + 25 y − 16 = 0 2

10. La función f (t ) =

(

)

t2 − t + 1

mide el porcentaje del nivel normal de oxígeno en t2 + 1 un estanque, donde t es el tiempo en semanas contado desde que el desecho orgánico se arroja en él. Encuentra la razón de cambio de f con respecto a t cuando t = 2.

Ca lculo 2b.indd 69

7/18/07 12:07:37 AM

70 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

11. Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y crece en número

de acuerdo con la ecuación P = 500 +

2000t

con t medido en horas. Encuen50 + t 2 tra la razón de crecimiento de la población cuando t = 2. dP ≈ 32 bacterias/hora dt

E R I V A D A S

D E

F U N C I O N E S

T R I G O N O M É T R I C A S

Reglas para derivar funciones trigonométricas 1.

d du sen u = cos u dx dx

d du cos u = − sen u dx dx

d du tan u = sec 2 u dx dx

d du ct gu = − csc 2 u dx dx

d du sec u = sec u tan u dx dx

d du csc u = − csc uctgu dx dx

Derivar cada una de las funciones propuestas a continuación: Antes de abordar la deducción de las reglas para derivar las funciones trigonométricas analiza la tabla mostrada a continuación para comprobar que: lím h→ 0

1-cos h

1.0

0.5

0.1

1 − cos h =0 h

lím h→ 0

0.01

– 0.01

sen h =1 h – 0.1

– 0.5

–1

0.45970

0.24483

0.04996

0.00500

– 0.0050 – 0.04996 – 0.24483 – 0.4597

0.84147

0.95885

0.99833

0.99998

h sen h h

Ca lculo 2b.indd 70

0.99833

0.95885

0.84147

7/18/07 12:07:38 AM

Derivadas de funciones trigonométricas

•

Regla 1. La derivada de sen x es cos x d sen x = cos x dx Recordemos una vez más la definición de derivada: ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

sen x cos h + cos x sen h

)

sen ( x + h − sen x sen x coss h + cos x sen h − sen x d sen x = lím = lím h → 0 h → 0 dx h h ⎛ 1 − cos h sen h ⎞ = lím ⎜ − sen x + cos x h→ 0 ⎝ h h ⎟⎠ ⎡ ⎡ sen h ⎤ 1 − cos h ⎤ + cos x ⎢ lím = − sen x ⎢ lím ⎥ h→ 0 h → 0 h h ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣

)

= ( − sen x) ( 0 + (cos x) (1 = cos x Pero si y = sen(u) y u = f ( x) entonces se presenta otra vez la regla de la cadena.

Como

dy dy dy du = cos u, tenemos que por lo tanto, = ⋅ du dx du dx d du sen u = cos u dx dx

EJEMPLOS

(

1) Derivar y = sen 2 x + 1

)

Solución Hagamos u = 2 x + 1 entonces

du = 2 luego dx

) )

dy = cos ( 2 x + 1 ( 2 = 2 cos ( 2 x + 1 dx

)

2) Derivar y = cos x 2

Ca lculo 2b.indd 71

7/18/07 12:07:38 AM

72 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

Solución Hagamos u = x 2, entonces

du = 2 x , luego dx

)

dy = ( − sen x 2 ) ( 2 x = −2 x sen x 2 dx Nota: La deducción de la regla se sugiere como tarea.

EJERCICIOS Derivar cada una de las siguientes funciones.

(

1. y = sen 2 x − 3

)

(

dy = 2 cos 2 x − 3 dx

)

3. y = 4 cos x − 2 sen x

)

(

)

4. y = cos 2 − 5 x

dy = −2 ( 2 sen x + cos x dx

Ca lculo 2b.indd 72

(

2. y = cos 2 − 5x

)

7/18/07 12:07:39 AM

Derivadas de funciones trigonométricas

5. y = cos 2 x

7. y = x 2 sen 2 x

9. y = sen x cos x

Ca lculo 2b.indd 73

dy = −2 cos x sen x dx

dy = 2 x ( x cos 2 x + sen 2 x dx

)

dy = cos 2 x − sen 2 x dx

•

6. ¿Por qué vale cero la derivada de

y = cos 2 x + sen 2 x ?

8. s =

sen t t

10. v =

sen u cos u

7/18/07 12:07:39 AM

74 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

3) Demostrar que:

d tan u = sec 2 u dx Solución Derivamos tan u como un cociente mediante la identidad tan u =

sen u cos u

d d sen u tan u = dx dx cos u ⎫ ⎬ ⎭ identidad de tan u

⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞ cos u ⎜ sen u⎟ − sen u ⎜ cos u⎟ ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠ = 2 cos u du du cos u cos u − sen u ( − sen u dx dx = cos 2 u

)

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

sen 2 u + cos 2 u du dx cos 2 u

= sec 2 u

du dx

4) Una rueda de la fortuna de 30 pies de radio gira en sentido contrario a las manecillas

del reloj, a una velocidad angular de ω = 2 rad / seg ¿Con qué velocidad se eleva verticalmente un asiento en el borde cuando está 15 pies arriba de la línea horizontal que pasa por el centro de la rueda? Recuerda que la velocidad angular ω es el desplazamiento angular θ entre el tiempo t.

Solución θ Como ω = , entonces θ = ω t = 2t t Luego, en el triángulo de la figura: x = 30 cos 2t

y = 30 sen2t

(x, 15)

15 sen ω = sen 2t = = 0.5, por lo tanto, 2t = 30 º. 30

Ca lculo 2b.indd 74

7/18/07 12:07:39 AM

Derivadas de funciones trigonométricas

•

La velocidad tangencial de la silla en el punto P tiene dos componentes: uno hodx dy y otro vertical vy = por cierto, éste último es el que nos interesa rizontal vx = dt dt calcular. vy =

)

dy d = ( 30 sen 2t = 60 cos 2t = 60 ( cos 30 º = 51.996 pies / seg dx dx

5) Se aplica una fuerza en el extremo de un resorte horizontal y éste se desplaza hacia

la derecha 4 cm mas allá de su posición natural o de reposo, enseguida se deja en libertad en el instante t = 0, tal como se muestra en la figura. Su posición en el instante t es:

()

x = f t = 4 cos t . dx , b) halla la posición y la dt 2π velocidad del extremo del resorte en el instante t = y c) las gráficas de posición 3 y velocidad de la vibración en un periodo de 2π .

a) Encuentra la velocidad v en el instante t, es decir, v =

Solución

4 cm

Equilibrio

a) La velocidad en el instante t es:

–4

)

dx d = ( 4 cos t = −4 sen t dt dt

b) La posición y la velocidad en t =

2π son respectivamente: 3

2π = 4 cos 120˚ = −2 3

Recordemos que,

s = 4 cos

2π v = −4 sen = −3.4641 3

x F = fuerza

π rad = 180˚ Por lo tanto: 2π 3

Ca lculo 2b.indd 75

rad = 120˚

7/18/07 12:07:40 AM

76 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

c) Gráficas de posición y velocidad en un

periodo de 2π :

Las gráficas nos enseñan que la oscilación del resorte ocurre desde −4 el punto más bajo hasta el punto más alto, es decir, 4; además de ilustrarnos la relación entre posición y velocidad.

2π

-4

MÁS

EJERCICIOS:

11. Derivar y = x 2 tan x

12. Demostrar que

d ctg x = − csc 2 x dx

dy = x 2 sec 2 x + 2 x tan x dx

13. Derivar y = x sen 2 x

(

14. Derivar y = sen 3 x 2 + 3

)

dy = 2 x sen x cos x + sen 2 x dx

Ca lculo 2b.indd 76

7/18/07 12:07:41 AM

Derivadas de funciones trigonométricas

2 15. Derivar y = x sen x + 2 x cos x − 2 sen x

()

16. Derivar f θ =

•

θ 1 − sen θ

dy = x 2 cos x dx

17. Derivar y =

sen x 1 − cos x

18. Derivar y =

1 + csc x 1 − csc x

dy 1 =− dx 1 − cos x

Ca lculo 2b.indd 77

7/18/07 12:07:41 AM

78 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

19. Observa y analiza la rueda-pistón de la figura. La rueda tiene 1 pie de radio y gira en sentido

contrario a las manecillas del reloj 2 rad / seg La varilla de conexión tiene 5 pies de longitud. Cuando t = 0 el punto P está en (1,0). Encuentra: a) Las coordenadas de P en el instante t. Q

b) La velocidad de Q en el momento t.

P (1,0)

a) P ( cos 2t , sen 2t

)

b) vy = 2 cos 2t

20. Una masa en un resorte vibra de modo horizontal sobre una superficie lisa, en un movimiento

()

armónico simple. Su ecuación de movimiento es x t = 8 sent. Encuentra: a) la velocidad y la aceleración en el instante t, y b) la posición y la velocidad de la masa en el instante t =

2π . 3

Equilibrio

F 0

Ca lculo 2b.indd 78

7/18/07 12:07:41 AM

Derivadas de funciones trigonométricas

•

21. Una escalera de 10 pies de largo está apoyada sobre una pared vertical. Sea θ el ángulo entre

la parte superior de la escalera y la pared, y x la distancia entre el extremo inferior de aquélla y la pared. Si el extremo inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared, ¿con qué rapiπ dez cambia x con respecto a θ cuando θ = ? 3

dx = 5 pies / rad dθ

22. Un bloque con peso W es arrastrado a lo largo de un plano horizontal por una fuerza que actúa

a lo largo de una cuerda sujeta al propio objeto. Si la cuerda forma un ángulo ϑ con el plano, entonces, la magnitud de la fuerza es: F=

µW µ sen θ + cos θ

donde µ es una constante llamada coeficiente de fricción. W

a) Encuentra la razón de cambio de F con respecto a θ . b) ¿Cuándo es igual a cero esta razón de cambio? c) Si W = 50 libras y µ = 0.6 dibuja la gráfica de F como función de θ mediante una calcula-

dora graficadora.

Ca lculo 2b.indd 79

7/18/07 12:07:42 AM

80 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

E R I V A D A S

D E

F U N C I O N E S

T R I G O N O M É T R I C A S

I N V E R S A S

Definición: Cuando hablamos de las inversas de las funciones trigonométricas básicas es necesario aclarar que nos estamos refiriendo a los ángulos cuyas funciones trigonométricas son seno, coseno, tangente, etcétera, por ejemplo si: y = sen x entonces, x = sen −1 y , lo cual significa que x es el ángulo cuyo seno es y. Es importante mencionar que para obtener las inversas de las funciones trigonométricas se restringe el dominio y el rango se mantiene lo más grande posible, según la función de que se trate.

y = arc sen x

y = sen x 1

–π

–1

1 −π

Dominio restringido

y = cos

y = arc cos x

–π

–1 Dominio restringido

Ca lculo 2c.indd 80

–1

7/18/07 12:08:27 AM

Derivadas de funciones trignométricas inversas

y = tan x

y = arc tan x π 2

–π

•

–1

–1 π 2 Dominio restringido

A continuación, presentamos algunas derivadas de las funciones trigonométricas inversas:

d 1 du sen −1 u = 2 dx 1 − u dx

d 1 du cos −1 u = − 2 dx dx 1−u

d 1 du tan −1 u = dx 1 + u 2 dx

d 1 du ctg −1 u = − dx 1 + u 2 dx

d 1 du sec −1 u = 2 dx u u − 1 dx

d 1 du csc −1 u = − 2 dx u u − 1 dx

Demostración de la regla 1: d 1 du sen −1 u = 2 dx dx 1−u Si y = sen −1 u ⇒ u = sen y , luego du = cos y dy

Ca lculo 2c.indd 81

dy 1 = du cos y

7/18/07 12:08:29 AM

82 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

()

Como y = f u y sen 2 y + cos 2 y = 1 , tenemos que: dy dy du 1 du 1 du 1 du = ⋅ = = = dx du dx cos y dx 1 − sen 2 y dx 1 − u 2 dx Demostración de la regla 3: d 1 du . tan −1 u = dx 1 + u 2 dx Si y = arctan u ⇒ u = tan y, luego, du dy 1 = sec 2 y y = dy du sec 2 y

()

Como y = f u y sec 2 y = 1 + tan 2 y, se tiene que: dy dy du 1 du 1 du 1 du = ⋅ = = = 2 2 dx du dx sec y dx 1 + tan y dx 1 + u 2 dx

EJEMPLOS 1) Derivar

y = tan −1 2 x 2 Hagamos u = 2 x 2 ; entonces,

du = 4 x , y mediante la regla 3 se tiene que: dx

1 dy = dx 1 + 2 x 2

( )

( 4 x ) = 1 +44xx

2) Derivar

y = sec −1

Ca lculo 2c.indd 82

a x

7/18/07 12:08:29 AM

Derivadas de funciones trignométricas inversas

•

a du a Hagamos u = = ax −1 ; entonces, = − ax −2 = − 2 y mediante la regla 5 se tiene x dx x que: dy = dx

1 2

a ⎛ a⎞ −1 x ⎜⎝ x ⎟⎠

dy = dx

⎛ a⎞ ⎜⎝ − x 2 ⎟⎠ =

1 2

a −1 x2

⎛ 1⎞ ⎜⎝ − x ⎟⎠

⎛ 1⎞ ⎜− ⎟ a2 − x 2 ⎝ x ⎠ 1

x2 dy =− dx

⎛ 1⎞ 1 ⎜ ⎟=− 2 2 2 ⎝ x⎠ a − x2 a −x x 1

3) Derivar

y = x sen −1 ( 2 x

)

Esta función se debe derivar como un producto.

()

) ( )

)

Hagamos f x = x ; f ' x = 1; g ( x = sen −1 ( 2 x g ' x =

⎡ dy 1 = x ⎢⎢ dx ⎢⎣ 1 − ( 2 x dy ⎡ 2 x =⎢ dx ⎢⎣ 1 − 4 x 2

)

( )

1 − 2x

; luego 2

⎤ ( 2 ⎥⎥ + sen −1 ( 2 x (1 ⎥⎦

)

⎤ −1 ⎥ + sen ( 2 x ⎥⎦

) )

)

EJERCICIOS Encuentra la derivada de y con respecto a x en cada una de las funciones siguientes.

Ca lculo 2c.indd 83

7/18/07 12:08:30 AM

84 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

dy 3 =− dx 1 − 9 x2

−1 1. y = cos 3 x

–1 3. y = xcsc 3 x

5. y =

Ca lculo 2c.indd 84

1 dy = csc −1 3 x − dx 9 x2 − 1

a2 − x 2 + a sen −1

x a

2. y = cot −1 ax 2

4. y = tan –1

a x

dy = dx

a− x a+ x

7/18/07 12:08:30 AM

Derivadas de funciones exponenciales

E R I V A D A S

D E

•

F U N C I O N E S

E X P O N E N C I A L E S

Derivada de la función exponencial a u La derivada de la función exponencial y = au, donde u = f ( x) es: d u du a = au ln a dx dx Demostración y = au Al obtener el logaritmo en ambos lados de la función: ln y = ln au Al aplicar las propiedades de los logaritmos: ln y = u ln a Al derivar de manera implícita con respecto a x 1 dy du = ln a y dx dx dy du du = y ln a = au ln a dx dx dx Derivada de la función exponencial e u La derivada de la función exponencial y = eu , donde u = f ( x) es: d u du e = eu dx dx

Ca lculo 2c.indd 85

y=e x

(0, 1)

7/18/07 12:08:30 AM

86 โ ข U N I D A D 2

Razรณn de cambio y la derivada

Demostraciรณn Si en la fรณrmula de la derivada de au sustituimos a por e, lo que tenemos es: d u du e = eu ln e dx dx pero como ln e = 1, resulta que: d u du e = eu dx dx EJEMPLOS 1) Derivar

y = e 2 x+ 3

Hagamos u = 2 x + 3 entonces,

du = 2, y dx

()

dy = e 2 x+ 3 2 dx dy = 2e 2 x + 3 dx 2) Hallar la derivada de

y = 3e x

Hagamos u = x 3 ; entonces,

du = 3 x 2, y dx

( )

3 dy = 3e x 3 x 2 dx 3 dy = 9 x2ex dx

3) Derivar

y = 10 5 x

Ca lculo 2c.indd 86

7/18/07 12:08:31 AM

Derivadas de funciones exponenciales

Tenemos que u = 5 x ; entonces,

•

du = 5, la derivada de y = 10 5 x es: dx dy = 10 5 x ln10 ( 5 dx

)

dy = ( 5 10 5 x ln10 dx 4) Encontrar la derivada de:

5 2e 4 x

Si rescribimos la función, tenemos que y =

5 −4 x du e ; luego, u = −4 x y = −4 2 dx

( )

dy 5 −4 x = e −4 dx 2 10 dy = −10e −4 x = − 4 x dx e

5) Derivar

s = et Al reescribir la expresión: t

s = e2,

t u= , 2

du 1 = dt 2

t ⎛ 1⎞ ds = e2 ⎜ ⎟ dt ⎝ 2⎠ t

ds 1 2 = e dt 2

6) Derivar

(

)

y = 3x − 1 e2 x

Ca lculo 2c.indd 87

7/18/07 12:08:31 AM

88 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

Solución Al derivar como un producto tenemos que:

(

) ()

(

)

()

dy = 3x − 1 e2 x 2 + e2 x 3 dx

“La primera por la derivada de la segunda más la segunda por la derivada de la primera”.

dy = 6 x − 2 e 2 x + 3e 2 x dx dy = e2 x 6 x − 2 + 3 = 6 x + 1 e2 x dx

(

) (

)

EJERCICIOS Derivar las siguientes funciones exponenciales.

dy = 2e 2 x + 3 dx

1. y = e 2 x+ 3

3. y = e x

Ca lculo 2c.indd 88

−x

(

)

2 dy = 2 x − 1 ex −x dx

x +1

2. y = e

4. y = e x

7/18/07 12:08:32 AM

Derivadas de funciones exponenciales

dy 1 ln x = e dx x

5. y = e ln x

7. y = e

+ ex

9. y = e 3sen x

Ca lculo 2c.indd 89

1 dy = e dx 2 x

ex 2

dy = 3 cos xe 3 sen x dx

6. y = e x

â&#x20AC;¢

ln x

8. y = e x +

1 ex

10. y = e x cos x

7/18/07 12:08:32 AM

90 • U N I D A D 2

11. y =

Razón de cambio y la derivada

ex − e− x ex + e− x

dy 4 = x dx e + e− x

(

E R I V A D A S

D E

F U N C I O N E S

)

L O G A R Í T M I C A S

Cuando estudiamos las funciones exponenciales, mencionamos que e = 2.71828181 es un número irracional que aparece de manera natural en fenómenos físicos, biológicos, sociales económicos, etcétera, y que se define como: x

⎛ 1⎞ e = lím ⎜ 1 + ⎟ = lím (1 + x x→∞ ⎝ x →0 x⎠

)

1 x

= 2.71828181

Derivada de loga u La derivada del logaritmo de base a de u con respecto a x es: log a e du d log a u = ⋅ dx u dx

Propiedades de los logaritmos

( )

1. log ab = log a + log b

Demostración

()

2. log

Si y = log a u y u = f x , entonces:

(

y + ∆y = log a u + ∆u

)

∆y = log a ( u + ∆u − log a u = log a

Ca lculo 2c.indd 90

a = log a − log b b

n 3. log a = n log a

u + ∆u (recuerda las propiedades de los logaritmos). u

7/18/07 12:08:32 AM

Derivadas de funciones logarítmicas

•

Luego, si multiplicamos el segundo miembro de la igualdad por 1, pero escrito como ∆u u ⋅ , tenemos: u ∆u ∆y = log a

u + ∆u ∆u u ⋅ y si dividimos entre ∆x : u u ∆u u

⎛ u + ∆u ⎞ ∆u ∆u ∆y u u + ∆u ∆u (otra propiedad de los logaritmos). = log a ⋅ = log a ⎜ ⋅ ∆x ∆x u u∆x u∆x ⎝ u ⎟⎠ u

⎛ u + ∆u ⎞ ∆u 1 ∆u ∆y = log a ⎜ ⋅ ⋅ ∆x u ∆x ⎝ u ⎟⎠ u ⎤ ⎡ ⎛ ∆y ∆u ⎞ ∆u ⎥ 1 ∆u ⎢ lím lím ⎢ log a ⎜ 1 + ⋅ = ∆x→ ⎟ ⎥ u ∆lím ∆x→ 0 ∆x 0 x → 0 ∆x u ⎠ ⎥ ⎝ ⎢ ⎣ ⎦ dy log a e du = ⋅ . dx u dx

EJEMPLOS 1) Derivar

( )

y = log 3 x Hagamos u = 3 x ; luego,

du =3 dx

entonces:

()

log e dy log e 3 = = 3x dx x 2) Hallar la derivada de

(

y = log 2 − 3 x Hagamos u = 2 − 3 x ; luego,

)

du = −3 dx

entonces:

( )

log e −3 log e dy = −3 = 2 − 3x dx 2 − 3 x

Ca lculo 2c.indd 91

7/18/07 12:08:33 AM

92 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

Derivada de la función logaritmo natural

La derivada de y = ln u es:

y=lnx

d 1 du ln u = dx u dx

(1, 0)

Demostración Recordemos que: log e u = ln u Luego, si recurrimos a la derivada de los logaritmos de base a: log e e du 1 du d log e u = = dx u dx u dx d 1 du ln u = dx u dx

EJEMPLOS 1) Derivar

(

y = ln 2 − 3 x Hagamos u = 2 − 3 x ⇒

)

du = −3; luego, dx

( )

1 3 dy = −3 = − 2 − 3x dx 2 − 3 x

2) Derivar

y = x ln x Aquí debemos derivar como producto, entonces hagamos:

)

f ( x = x;

Ca lculo 2c.indd 92

)

f ⬘( x = 1

)

g ( x = ln x; luego, g⬘( x =

1 x

7/18/07 12:08:33 AM

Derivadas de funciones logarítmicas

•

Por lo tanto: ⎛ 1⎞ dy = x ⎜ ⎟ + ln x 1 = 1 + ln x dx ⎝ x⎠

()

3) Derivar

f ( x) = ln 3 1 − x 2 Primero aplicamos las propiedades de los logaritmos:

(

f ( x) = ln 3 1 − x 2 = ln 1 − x 2

)

1 3

)

(

1 = ln 1 − x 2 , al aplicar log a n = n log a . 3

Esta última expresión es más sencilla de derivar: ⎤ dy 1 ⎡ 1 = ⎢ −2 x ⎥ 2 dx 3 ⎣ 1 − x ⎦

( )

dy 1 ⎡ −2 x ⎤ = ⎢ ⎥ dx 3 ⎣ 1 − x 2 ⎦ dy 2x =− dx 3 1 − x2

(

)

EJERCICIOS Encontrar la derivada en las funciones siguientes.

(

1. y = ln l − x 2

Ca lculo 2c.indd 93

)

dy 2x =− dx 1 − x2

4 2. y = ln x − 4 x

7/18/07 12:08:34 AM

94 • U N I D A D 2

(

3. y = ln x

5. y =

dy 3 2 = ln x dx x

dy 1 − 2 ln x = dx x3

ln x x2

7. y = ln

Ca lculo 2c.indd 94

)

Razón de cambio y la derivada

x−1 x+1

dy 1 = dx ( x − 1 ( x + 1

)

(

4. y = ln x x 2 − 1

(

6. y = ln sen x

8. y = ln

)

sen x − 1 sen x + 2

7/18/07 12:08:34 AM

Derivadas de funciones implícitas

(

9. y = ln x +

10. y =

x2 − 1

)

dy = dx

•

1 x2 − 1

x 2 3x − 2

( x − 1)

E R I V A D A S

D E

F U N C I O N E S

I M P L Í C I T A S

Hasta aquí, hemos estudiado casi todas las funciones que se pueden describir al expresar de forma explícita una variable en términos de otra. Sin embargo, a veces las funciones están definidas de manera implícita, es decir, alguna de sus variables no está despejada. Vea la tabla siguiente para comprenderlo mejor. Función implícita xy = 2

Ca lculo 2c.indd 95

Función explícita y=

2 x

Derivada dy 2 =− 2 dx x

7/18/07 12:08:35 AM

96 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

El ejemplo nos enseña que es relativamente fácil despejar y de la función implícita para así, obtener su derivada. Pero sabemos que a veces en ciertas funciones, no se puede despejar la y o es muy difícil hacerlo; entonces hay que preguntarse si dichas funciones se pueden derivar de manera implícita. La respuesta es sí, y es necesario hacerlo término a término considerando que la ecuación determina a y como función de x.

EJEMPLOS 1) Derivar x 2 + y2 = 25.

Al derivar término a término tenemos que:

( )

d 2 d 2 d 25 x + y = dx dx dx dy 2x + 2y =0 dx dy 2y = −2 x dx

x + y = 25

dy 2x x =− =− dx 2y y 0

x 2

y = 2 5 −x

Comprobación del ejemplo 1. y 2

y =− 25 −x

Si en el ejemplo 1 hacemos explícita la función, entonces: 0

y = 25 − x 2

(

dy 1 = 25 − x 2 dx 2

−1 2

) ( −2 x ) = −

x 1 2 2

( 25 − x )

Pero si en el denominador sustituimos tado que en el ejemplo 1.

=−

x 25 − x 2

25 − x 2 por y, obtenemos el mismo resul-

dy x =− dx y

Ca lculo 2c.indd 96

7/18/07 12:08:35 AM

Ecuaciones de la tangente y de la normal

E Y

C U A C I O N E S D E

L A

D E

L A

•

T A N G E N T E

N O R M A L

EJEMPLOS 1) Con relación al ejemplo 1, encuentra la ecuación de las rectas tangente y normal a

( )

la curva x 2 + y2 = 25 en el punto 3, 4 . Solución dy x Como la derivada de la función es = − , tenemos que la pendiente en dx y el punto 3, 4 es

( )

m=−

Tangente (3,4) Normal

x 3 =− y 4

( )

Por lo tanto, la ecuación de la tangente al círculo en 3, 4 es:

(

)

y − 4 = − 43 x − 3 o 3 x + 4 y = 25

( )

La recta normal es la perpendicular a la recta tangente en el punto 3, 4 ; luego, su ecuación es: y−4 =

(

)

4 x − 3 o 4 x − 3y = 0 3

Recta normal. Recta perpendicular a otra. Condiciones de perpendicularidad. Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes m1 y m2 son recíprocas y de signo contrario. m1 = −

Ca lculo 2c.indd 97

1 m2

7/18/07 12:08:35 AM

98 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

2) Calcular

dy la ecuación sen y = x dx

d dx sen y = dx dx dy cos y =1 dx

–1

sen y=x

dy 1 = dx cos y

3 2 3) Derivar x − xy + y = 9

⎛ ⎞ dy x + y (1 ⎟ dy + 2y =0 3x 2 − ⎜ dx dx ⎜ ⎟ ⎝ derivada del producto xy⎠

)

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

3x 2 − x

)

dy dy − y (1 + 2 y =0 dx dx

)

dy ( − x + 2 y = y − 3x 2 dx

al igualar a cero.

al transponer términos.

dy y − 3 x 2 = dx 2 y − x

EJERCICIOS Hallar

Ca lculo 2c.indd 98

dy de forma implícita. dx

7/18/07 12:08:36 AM

Ecuaciones de la tangente y de la normal

1. x 2 − y2 = 16

dy x = dx y

2. x 2 − y3 = 0

x+ y=9

dy y =− dx x

4. x 2 + y2 = 2

3 5. y − y = x

Ca lculo 2c.indd 99

dy 1 = 2 dx 3 y − 1

•

y = x − 2y

7/18/07 12:08:36 AM

100 • U N I D A D 2

7. x 2 y + y2 x = −2

11.

Ca lculo 2c.indd 100

( x + y)

= x 3 + y3

xy = x − 2 y

Razón de cambio y la derivada

dy 2 xy + y2 =− 2 dx x + 2 xy

dy 2 x − 5 y = dx 5 x − 8 y

8. y2 =

x2 − 9 x2 + 9

3 3 10. x y − y = x

12. sen x cos y = 1

7/18/07 12:08:37 AM

Ecuaciones de la tangente y de la normal

dy ye xy =− dx 1 + xe xy

13. e xy + y = 3

•

101

14. xe y − 3 x + ln y = 4

Aplicaciones

EJEMPLOS 1) Se deja caer una roca sobre un estanque en reposo y, al hacerlo, produce ondas circu-

lares concéntricas. El radio de la onda exterior crece al ritmo constante de 1 pies / seg. Cuando su radio es de 3 pies, ¿a qué ritmo está creciendo el área A de la zona perturbada? Área de la onda: A = π r 2; Solución En estos casos, la variable independiente es el tiempo t, de manera que hay que derivar la variable A con respecto al tiempo. Crecimiento del radio:

Crecimiento del área:

dr = 1 pies / seg , cuando r = 3. dt

( )

dA d dr π r 2 = 2π r ; luego, si r = 3 , entonces: = dt dt dt

( )( )

dA pies 2 = 2π 3 1 = 6π dt seg

Ca lculo 2c.indd 101

7/18/07 12:08:37 AM

102 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

2) Suponer que la escalera de la figura se está deslizando sobre el piso a razón de 3

pies / seg. ¿A qué velocidad se desliza la parte superior de la escalera en el momento dy en que la base está a 8 pies del muro? Es decir, ¿cuál es el valor de cuando dt dx = 3 y x = 8? dt Solución El teorema de Pitágoras nos da la relación: x 2 + y2 = 10 2 , de donde y = 100 − x 2

10 y

Si derivamos x 2 + y2 = 10 2 con respecto al tiempo,

dx dy + 2y =0 dt dt

al despejar

dy 2 x dx x dx . =− =− dt 2 y dt y dt

al sustituir

dy x dy =− dt 100 − x 2 dx =−

8 100 − 8 2

( 3) = 4 pies / seg.

EJERCICIOS Resolver los siguientes problemas.

Ca lculo 2c.indd 102

7/18/07 12:08:37 AM

Ecuaciones de la tangente y de la normal

•

103

1. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal al círculo x 2 + y2 = 9 el

( )

punto 2, 5 . La recta normal en un punto es la perpendicular a la recta tangente en dicho punto. (2, 5 ) r=3

2 3 2 2. La curva y = x + 3 x se llama cúbica de Tschirnhausen. Encuentra y dibuja

( )

las ecuaciones de la tangente y la normal en el punto 1, 2 . y

(1, 2)

3. Se bombea aire en un globo esférico a razón de 4.5 pulgadas cúbicas por minuto.

Hallar la razón de cambio del radio cuando éste es de 2 pulgadas.

Ca lculo 2c.indd 103

7/18/07 12:08:38 AM

104 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada

4. Sobre un montón cónico cae arena a razón de 10 pies cúbicos por minuto. El

diámetro de la base del cono es de alrededor el doble de su altura. ¿A qué ritmo está cambiando la altura del montón cuando su altura es de 15 pies?

h = altura

r= radio

5. Un aeroplano que viaja a 390 pies por segundo a una altitud de 5 000 pies vuela

directamente sobre un observador como se muestra en la figura. a) Encuentra una ecuación que relacione a x y r. b) Halla el valor de x cuando r es 13 000. c) ¿A qué velocidad está cambiando la distancia entre el aeroplano y el ob-

servador cuando el aeroplano está a 13 000 pies del observador? Es decir, dr dx ¿cuánto vale cuando = 390 y r = 13000? dt dt

5000 r

Observador

Ca lculo 2c.indd 104

7/18/07 12:08:38 AM

U N I D A D

3 M Á X I M O S

M Í N I M O S

R E L A T I V O S

Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo

106

Funciones crecientes y decrecientes

116

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada

118

Derivadas de orden superior

123

Aceleración

125

Concavidad y punto de inflexión

128

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada

129

Trazado de curvas

131

Más aplicaciones de la derivada

134

105

106 • U N I D A D 3

Máximos y mínimos relativos

P L I C A C I O N E S

V A L O R

D E

M Á X I M O

L A

D E R I V A D A

V A L O R

M Í N I M O

Algunas de las aplicaciones más importantes del cálculo diferencial se presentan cuando queremos encontrar la mejor manera de hacer algo. Esta situación se puede resumir como la determinación del valor máximo o mínimo de una función. Para comprender mejor el tema de máximos y mínimos consideremos la siguiente situación: Tenemos un rectángulo que tiene 100 cm de perímetro (figura mostrada) y queremos expresar su área A como función de x. También deseamos calcular la base y la altura que nos da la figura de mayor área. Veamos lo que tenemos que hacer: Si el perímetro es 100 cm, entonces: 2 x + 2 y = 100 x + y = 50 y = 50 − x

A=xy

al despejar y

El área del rectángulo es:

x A = xy

(

A = x 50 − x A = 50 x − x 2

)

al sustituir el valor de y al simplificar.

Con la ecuación del área A = 50 x − x 2 completa la siguiente tabla y grafica los valores obtenidos para el área. ¿Qué nos enseña la gráfica?

10 20 30 40 50 60

800

Que la función área es una parábola, que dy existe un valor máximo para A y que = m es dx igual a cero en donde A es máxima. Por lo tanto: dA = 50 − 2 x dx 50 − 2 x = 0 x = 25 cm y = 50 − x y = 25 cm

700 600 500 400 300 200 100

Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo

Conclusión. La base y la altura del rectángulo deben medir 25 cm para obtener el rectángulo de mayor área. Asimismo, se concluye que una parábola con concavidad hacia arriba tiene un valor mínimo y que su derivada en ese punto también es cero.

EJEMPLOS 1) Determina si la parábola y = x 2 − 2 x − 2 tiene un

valor máximo o mínimo. Primero hay que obtener la derivada de y = x 2 − 2 x − 2. dy = 2x − 2 dx

x m=0

A partir de la gráfica es evidente que hay un punto mínimo; por lo tanto, 2x − 2 = 0 x=

2 =1 2

⇒

()

y = 1 − 2 1 − 2 = −3

(

)

Esto significa que la función tiene un valor mínimo en el punto P 1, −3 y no tiene máximo.

2) Se desea elaborar una caja abierta con una pieza cuadrada de material de 4 pulgadas

de lado, cortando cuadraditos iguales de cada esquina y doblando por las líneas de puntos de la figura. Hallar el volumen máximo que puede lograrse con una caja así. x El volumen de la caja es el área de la base por la altura: 4-2x 2 V = 4 − 2 x x = 16 x − 16 x 2 + 4 x 3

(

)

Luego, al derivar obtenemos:

x x

4-2x

dV = 16 − 32 x + 12 x 2 dx x

16 − 32 x + 12 x 2 = 0 si el volumen es máximo o mínimo. 4 − 8 x + 3 x 2 = 0 al sacar cuarta a la ecuación.

4-2x 4-2x

•

107

108 • U N I D A D 3

Máximos y mínimos relativos

8 ± 64 − 48 8 ± 4 = al utilizar la fórmula general. 6 6

De donde x1 =

8+4 =2 6

Pmáx (0.66, 4.74)

x2 =

8−4 2 = . 6 3

3 2 1

La solución factible es x2 = 3 , porque x1 = 2 partiría la pieza cuadrada en cuatro partes iguales. 2

Gráfica de la función volumen

3) Desde la superficie de la Tierra, se lanza un proyectil hacia arriba con una veloci-

(

)

dad inicial de 160 pies / seg s = 160t − 16t 2 . Las gráficas de posición, velocidad y aceleración se muestran abajo. Hallar: a) La velocidad del proyectil en un tiempo t, b) el tiempo para alcanzar la altura

máxima, c) la altura máxima que alcanza el proyectil. Solución a) Primero calculemos la derivada de la función, que repre-

senta la velocidad del proyectil en cualquier tiempo. v=

ds = 160 − 32t . dt

b) Sabemos que cuando alcance su altura máxima v = 0 , por

tanto, 160 − 32t = 0 en el punto más alto, luego, al despejar t: −160 = 5 seg es el tiempo para llegar al punto −32 más alto. t=

Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo

)

La máxima altura es pues, smáx = 160 ( 5 − 16 ( 5

)

400

200

300

100

200

–32

100

EJERCICIOS Resuelve los siguientes problemas. 1. Encuentra dos números positivos de manera tal que la suma del doble de uno

más el otro, sea mínima, si el producto de dichos números es 288.

R. 12 y 24

2. Halla dos números, cuya diferencia sea 50, de modo que su producto sea mí-

nimo.

109

= 400 pies.

•

110 • U N I D A D 3

Máximos y mínimos relativos

3. Un granjero dispone de 200 pies de valla para delimitar dos corrales adyacentes rectangulares

(figura mostrada). ¿Qué dimensiones debe elegir para que el área encerrada sea máxima? R. 50 * 33.3 pies

y x

4. Diseña un envase cilíndrico con capacidad de 300 cm 3 de forma que la cantidad de material usado

en su construcción sea mínima. (Calcula las dimensiones).

A= π r2 r

A=2 π rh

2πr Material necesario

Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo

•

111

5. Se supone que la tos humana incrementa el flujo del aire hacia los pulmones y, al hacerlo, despla-

za partículas que bloquean la tráquea. La velocidad del aire a través de una tráquea con un radio r0 es de alrededor de V ( r = cr 2 ( r0 − r , para una constante c. Calcula el radio que maximice la velocidad del aire de la traquea.

)

6. Se lanza un proyectil hacia arriba a una velocidad inicial de 49 m / s

un edificio de 30 m. Encuentra: a) b) c) d)

2 r. 3

( s = 30 + 49t − 4.9t ) desde 2

La altura máxima que alcanza el proyectil. El tiempo para alcanzar esa altura. La velocidad en un tiempo t . Las gráficas de posición, velocidad y aceleración.

30 m

112 • U N I D A D 3

Máximos y mínimos relativos

Aplicaciones a la economía Antes de abordar los ejemplos de la aplicación de la derivada en la economía definamos los siguientes conceptos.

)

Función de costo C ( x . Es el costo de producir x unidades de cierto producto.

()

Costo marginal. Es la razón de cambio de C x con respecto a x, es decir, la deri-

)

vada C⬘( x de la función costo.

Costo promedio. Es el costo por unidad cuando se producen x unidades:

()

c x =

()

C x x

Función de ingreso total. Es la venta de x unidades al precio por unidad o función de demanda p x , entonces el ingreso total es:

()

R x = xp x

)

Función de ingreso marginal. Es la derivada R⬘( x de la función de ingreso.

)

Utilidad total P ( x . Si se venden x unidades de un producto, la utilidad total se obtiene mediante la expresión:

() () ()

P x = R x −C x

)

Función de utilidad marginal. Es la derivada P⬘( x de la función de utilidad total.

EJEMPLOS 1) Una compañía estima que el costo en dólares de producir x artículos es:

()

C x = 2600 + 2 x + 0.001 x 2 a) Encuentra el costo, el costo promedio y el costo marginal de producir 1000

artículos. b) ¿A qué nivel de producción el costo promedio será el más bajo y cuál será el

costo promedio mínimo?

Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo

Solución a) El costo de producir 1000 artículos es:

(

)

(

)

(

C 1000 = 2600 + 2 1000 + 0.001 1000

()

La función de costo promedio es c x = 1000 artículos se puede calcular así:

(

)

c 1000 =

(

C 1000 1000

)

= 5600 dólares.

( ) = 2600 + 2 + 0.001x , pero para

C x x

) = 5600 = 5.6 dólares por artículo. 1000

()

La función de costo marginal es la derivada de C x = 2600 + 2 x + 0.001 x 2, es decir:

)

C⬘( x = 2 + 0.002 x

)

Por lo tanto, C⬘(1000 = 2 + 0.002 (1000 = 4 dólares por artículo. b) Para minimizar el costo promedio, será necesario derivar el costo promedio:

()

c x =

2600 + 2 + 0.001 x x

Enseguida igualar a cero y resolver para x :

)

c⬘( x = − −

2600 x2

2600 + 0.001 x2

+ 0.001 = 0

al igualar a cero 2600 ≈ 1612 0.001

al despejar x

Por lo tanto, el costo promedio mínimo es:

(

)

c 1612 =

(

)

2600 + 2 + 0.001 1612 = 5.22 dólares por artículo. 1612

•

113

114 • U N I D A D 3

Máximos y mínimos relativos

2) Encuentra el nivel de producción que maximizará la utilidad para una compañía

mediante funciones de costo y demanda.

)

C ( x = 84 + 1.26 x − 0.01 x 2 + 0.00007 x 3

()

p x = 3.5 − 0.01 x

Solución P(x)

La función de ingreso es:

()

() (

)

R x = xp x = x 3.5 − 0.01 x = 3.5 x − 0.01 x 2

De modo que la función de utilidad es:

103

() () ()

P x = R x − C x = 2.24 x − 0.00007 x 3 − 84

P(x)= 2.24 x − 0.00007 x − 84

Luego, la utilidad marginal es la derivada de la función de utilidad:

)

P⬘( x = 2.24 − 0.00021 x 2 2.24 − 0.00021 x 2 = 0

⇒

x ≈ 103

al igualar a cero y resolver para x.

Lo que significa que un nivel de producción de 103 unidades maximiza la utilidad.

EJERCICIOS

()

1. El costo promedio de producir x unidades de un artículo es c x = 21.4 − 0.002 x.

Encuentra el costo marginal para un nivel de producción de 1000 unidades. ¿Qué implica tu respuesta?

17.4 $ / unidad

Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo

2. Una compañía estima que el costo en dólares de producir x artículos es:

()

C x = 1600 + 8 x + 0.01 x 2 Encuentra: a) El costo, el costo promedio y el costo marginal de producir 1000 unidades. b) El nivel de producción que minimizará el costo promedio. c) El costo promedio mínimo.

3. Para las funciones de costo y demanda dadas, encuentra el nivel de producción

que maximizará la utilidad.

()

C x = 680 + 4 x − 0.01 x 2

()

p x = 12 − x / 500

333 unidades

4. Para las funciones de costo y demanda dadas, encuentra el nivel de producción

que maximizará la utilidad.

()

C x = 1000 + 28 x − 0.01 x 2 + 0.002 x 3

()

p x = 90 − 0.02 x

•

115

116 • U N I D A D 3

Máximos y mínimos relativos

Más de máximos y mínimos Hemos estudiado sólo la aplicación de la derivada para funciones que, por su naturaleza, tienen máximos y mínimos relativos, y en donde la derivada siempre es horizontal y, por lo tanto, igual a cero. Sin embargo, ahora hay que preguntarnos si existen métodos más exhaustivos que garanticen cómo encontrar los máximos o mínimos de una función, porque ocurre que hay funciones con valores extremos en donde la derivada no es cero o bien que la derivada en un punto de una gráfica es igual a cero y no un valor máximo o mínimo.

Si f(x)=x3, entonces f´(0)=0, pero f no tiene máximo ni mínimo

Si f(x)=|x|, entonces f(0)=0 es un valor mínimo, pero en ese punto la derivada no existe

Esta función tiene un valor máximo, pero la derivada no existe en ese punto

Definición. Una función f posee un máximo local (o máximo relativo) en un valor crítico c, si f c ≥ f x cuando x está cerca de c. De la misma manera, f tiene un

() () mínimo local en c, si f ( c ) ≤ f ( x ), cuando x está cerca de c.

¿Cómo encontrar un primer método para analizar los máximos y mínimos relativos en la gráfica de una función y = f ( x)?

U N C I O N E S

C R E C I E N T E S

D E C R E C I E N T E S

Comencemos por analizar si las funciones son crecientes o decrecientes y observemos cómo es la pendiente o derivada en cada punto de las gráficas.

Funciones crecientes y decrecientes

m siempre es negativa

m siempre es positiva

Función creciente. Es cuando x crece y también lo hace y. Su pendiente o derivada siempre es positiva.

Función decreciente. Es cuando x crece y decrece y. Su pendiente o derivada siempre es negativa.

Ahora bien, si complementamos los conceptos de funciones creciente y decreciente de las gráficas anteriores al analizar la concavidad de una curva, veremos pues que una curva cóncava hacia abajo, sin lugar a dudas tiene un valor máximo y su derivada cambia de positiva a negativa, es decir, decrece y que en una curva cóncava hacia arriba tiene un mínimo y la derivada cambia de negativa a positiva, es decir, crece. Esta idea nos da la pauta para encontrar un criterio que garantice cómo encontrar los valores extremos de una función. Función cóncava hacia abajo

Función cóncava hacia arriba

m =0

m positiva

m negativa Valor máximo

m positiva

m negativa m =0 Valor mínimo

Una función tiene un máximo relativo cuando su pendiente es cero y su derivada pasa de ser positiva a ser negativa haciendo el recorrido de izquierda a derecha.

Una función tiene un mínimo relativo cuando su pendiente es cero y su derivada pasa de ser negativa a ser positiva haciendo el recorrido de izquierda a derecha.

Con todo lo antes dicho y el análisis de las ilustraciones anteriores ya estamos en condiciones de formular el primer método para calcular los máximos y mínimos relativos de una función y = f ( x).

•

117

118 • U N I D A D 3

Máximos y mínimos relativos

Á L C U L O

C O N

E L

D E

M Á X I M O S

C R I T E R I O

D E

L A

M Í N I M O S P R I M E R A

D E R I V A D A

Criterio de la primera derivada para calcular los máximos y mínimos relativos de una función. 1. Calcular la derivada de y = f ( x). 2. Igualar a cero la derivada de y = f ( x) y resolver la ecuación, estas soluciones se

llaman valores críticos. dy un valor antes y uno después de cada valor crítico sin dx omitir alguno de ellos: a) Si la derivada de y = f ( x) cambia de (+) a (−) se trata de un máximo. b) Si la derivada de y = f ( x) cambia de (−) a (+) se trata de un mínimo. c) Si no hay cambio de signo no es ni máximo ni mínimo.

3. Analizar el signo de

4. Graficar.

EJEMPLOS 1) Calcular los máximos y mínimos de la función y = x 3 − 6 x 2 + 9 x . Graficar

Primero calculamos la derivada de la función dy = 3 x 2 − 12 x + 9 dx

Máx (1, 4)

3 2 1

igualamos a cero la derivada de la función 3 x 2 − 12 x + 9 = 0

4 Mín (3, 0)

al factorizar y resolver la ecuación, tenemos que

(

)(

)

3 x − 3 x − 1 = 0,

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada

entonces los valores críticos son: x1 = 1 ⇒ y1 = 4

x2 = 3 ⇒ y2 = 0

Análisis del valor crítico x1 = 1

) )

Si x < 1, por ejemplo 0.9 ⇒

dy = 3( − ( − = + dx

x > 1, por ejemplo 1.1 ⇒

dy = 3( − (+ = − dx

) )

( )

Como la derivada cambia de positiva a negativa concluimos que en el punto 1, 4 hay un máximo relativo. Análisis del valor crítico x2 = 3 .

) )

Si x < 3, por ejemplo 2.9 ⇒

dy = 3( − (+ = − dx

Si x > 3, por ejemplo 3.1 ⇒

dy = 3(+ (+ = +. dx

) )

( )

Como la derivada cambia de negativa a positiva concluimos que en el punto 3, 0 hay un mínimo relativo.

2) Calcular los máximos y mínimos de la función y = sen x en el intervalo ⎡ 0, 2π ⎤ .

⎣

Graficar Primero calculamos la derivada de la función dy = cos x dx igualamos a cero la derivada de la función y resolvemos para x cos x = 0, entonces x1 =

π 3 = 90º y x2 = π = 270º, etcétera. 2 2

⎦

•

119

120 • U N I D A D 3

Máximos y mínimos relativos

Análisis del valor crítico x1 =

π = 90 º 2

Si x <

π dy , entonces =+ 2 dx

Si x >

π dy , entonces = −. 2 dx

⎛π ⎞ Como la derivada cambia de positiva a negativa concluimos que en el punto ⎜ , 1⎟ ⎝2 ⎠ hay un máximo relativo. Análisis del valor crítico x2 =

3π = 270 º 2

Si x <

3π dy , entonces =− 2 dx

Si x >

3π dy , entonces = +. 2 dx

Como la derivada cambia de negativa a positiva concluimos que en el punto ⎛ 3π ⎞ , −1⎟ hay un mínimo relativo. Por ultimo, verificamos mediante una gráfica. ⎜ ⎝ 2 ⎠ y 1

π 2

–1

3π 2

2π x

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada

EJERCICIOS 1. Calcular los máximos y mínimos de la función y = 2 x 2 − x 4.

–2

–1

4 2. Comprobar que la función y = x − 4 x tiene un sólo valor extremo, y que es un

(

)

mínimo en 1, −3 .

y = x − 4x

•

121

122 • U N I D A D 3

Máximos y mínimos relativos

4 3 2 3. Hallar los máximos y mínimos de y = 3 x − 4 x − 12 x . Enseguida te mostramos

la gráfica como referente. y

y = 3x − 4x −12x

( ) Máx. ( 0, 0 ) Mín. ( 2, −32 ) Mín. −1, −5

2 4. Determinar los máximos y mínimos de y = x +

2 . x

x 2

y=x +

2 x

Derivadas de orden superior

E R I V A D A S

D E

O R D E N

S U P E R I O R

Hemos visto que, la derivada de una función de x, es también otra función de x. Si ocurre que esta nueva función es derivable; en este caso la derivada de la primera derivada se llamará segunda derivada. De forma semejante, la derivada de la segunda derivada se denomina tercera derivada, y así, de forma sucesiva hasta la enésima derivada. Ejemplo: Si y = 5 x 3 ⇒

dy = 15 x 2 y dx

d ⎛ dy ⎞ ⎜ ⎟ = 30 x, ettcétera dx ⎝ dx ⎠

Símbolos para indicar las derivadas sucesivas:

)

dy , significa la primera derivada de y con respecto a x dx

)

d2 y , significa la segunda derivada de y con respecto a x dx 2

)

d3 y , significa la tercera derivada de y con respecto a x dx 3

y⬘ = f ⬘( x = y⬙ = f ⬙(x =

y ⬙⬘ = f ⬙⬘( x =

)

y IV = f IV ( x =

d4 y , significa la cuarta derivada de y con respecto a x etcétera. dx 4

EJEMPLO 1) Derivar y = 2 x 2 − 5 x + 2 hasta la segunda derivada

dy = 4x − 5 dx

Primera derivada

dy =4 dx

Segunda derivada

•

123

124 • U N I D A D 3

Máximos y mínimos relativos

EJERCICIOS 1. Hallar la tercera derivada de:

(

y = x4 + 5x − 4

y= x−2

3. Hallar la segunda derivada de:

(

)(

y= x−3 x+3

2. Hallar la segunda derivada de:

)

4. Hallar la segunda derivada de:

y = 3− x

Aceleración

5. En la figura se muestran las gráficas de f, f⬘ y f ⬙. Identifica cada curva y explica

tus elecciones.

C E L E R A C I Ó N

Sabemos que la aceleración media de un móvil es la relación del cambio de velocidad ∆v entre el tiempo transcurrido. En símbolos esto se expresa así: amed = ; por lo tanto, ∆t la aceleración instantánea será el límite de dicha relación cuando el tiempo tienda a cero. a = lím ∆ t →0

∆v dv = ∆t dt

ds d ⎛ ds ⎞ d 2 s ⇒ a = ⎜ ⎟ = 2 , es decir, la segunda derivada del despladt dt ⎝ dt ⎠ dt zamiento con respecto a t es la aceleración del móvil. La derivada de la aceleración es la tercera derivada de la posición de un móvil y se conoce como tirón y, de hecho, debe su nombre a que un gran tirón o jalón implica un cambio súbito en la aceleración. Pero como v =

•

125

126 • U N I D A D 3

Máximos y mínimos relativos

EJEMPLO 1)

Desde lo alto de un edificio de 160 pies de altura, se arroja una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies / seg . a) ¿Cuándo alcanza la altura máxima? b) ¿Cuál es la altura máxima? c)

¿Cuándo llega al piso?

d) ¿Con qué velocidad llega al piso? e)

160 pies

¿Cuál es la aceleración al momento t = 2?

Solución ¿Qué sabemos? Que s0 = 160 pies, v0 = 64 pies / seg, a = −32 pies / seg 2 y que la posición en cualquier tiempo es: s = s0 + vt +

gt 2 = 160 + 64t − 16t 2 2

Por lo tanto, v=

ds = 64 − 32t dt

¿Qué queremos saber? a) Que la pelota alcanza su altura máxima cuando v = 0, luego,

−32t + 64 = 0 , de donde t = 2 seg .

()

b) Cuando t = 2 seg, s = −16 2 + 64 2 + 160 = 224 pies.

s = 0, cuando la pelota golpea el suelo, es decir; −16t 2 + 64t + 160 = 0

Aceleración

Al dividir entre 16, t =

4 ± 16 + 40 = ± 5.74 2

Sólo t = 5.74 segundos tiene sentido, no hay tiempo negativo.

(

)

d) Cuando t = 5.74 segundos, v = −32 5.74 + 64 = −119.73 m / seg. e)

La aceleración siempre es −32 pies / s 2 .

EJERCICIO 1. Un punto se mueve a lo largo de un eje horizontal de tal forma que su posición

en el momento t está dada por: s = t 3 − 12t 2 + 36t − 30 pies / seg a) b) c) d)

¿Cuándo es igual a cero su velocidad? ¿Cuándo es positiva la velocidad? ¿Cuándo el punto se mueve a la izquierda? ¿Cuándo es negativa la aceleración?

Sugerencia: Grafica en una computadora las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración.

•

127

128 • U N I D A D 3

Máximos y mínimos relativos

O N C AV I D A D

P U N T O

D E

I N F L E X I Ó N

Concavidad de una curva. Cuando recorremos una curva de izquierda a derecha y la tangente de ésta en cada punto gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, se dice que la curva es cóncava hacia arriba; si gira en sentido opuesto, la gráfica es cóncava hacia abajo. Luego, es evidente que la derivada de una función con concavidad hacia arriba es creciente, por lo tanto, su segunda derivada es positiva. Por otro lado, si la concavidad es hacia abajo, la primera derivada es decreciente y su segunda derivada es negativa. Por último, un cambio de concavidad se encuentra en un punto llamado punto de inflexión. Los diagramas siguientes nos ayudarán a comprender mejor todo esto. Función cóncava hacia arriba

Gráfica de la primera derivada

f´(x)

f (x)

f"(x)> 0 valor mínimo f ⬘ (x) es creciente, luego f ⬙ (x) positiva y la función tiene un mínimo

f ⬘ (x) es creciente, luego f ⬙ (x) es positiva

Función cóncava hacia abajo

Gráfica de la primera derivada

f´(x)

f (x)

valor máximo

f ⬘ (x) es decreciente, luego f ⬙ (x) negativa y la función tiene un mínimo

f"(x)< 0

f ⬘ (x) es decreciente, luego f ⬙ (x) es positiva

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada

Punto de inflexión. El significado de este punto es que la razón de cambio de la función alcanza su valor máximo precisamente en ese punto. y

Punto de inflexión

Concavidad hacia arriba

Á L C U L O

E L

D E

C R I T E R I O

M Á X I M O S D E

L A

Concavidad hacia abajo

M Í N I M O S

S E G U N D A

C O N

D E R I V A D A

Si analizamos y sintetizamos estas ilustraciones podemos concluir un segundo método para calcular los máximos y mínimos de una función y = f x .

()

1. Calcular la primera derivada. 2. Encontrar los valores críticos. 3. Hallar la segunda derivada. 4. Evaluar la segunda derivada en cada uno de los valores críticos para conocer el

signo de ésta:

) f ⬙ ( x) f ⬙ ( x)

Si f ⬙ ( x es negativa, la función tiene un máximo.

5. Graficar

es positiva, la función tiene un mínimo. es cero o no existe, por lo general, es un punto de inflexión.

•

129

130 • U N I D A D 3

Máximos y mínimos relativos

EJEMPLOS 1) Hallar los valores máximos y mínimos de f ( x) =

1 3 x − x 2 − 3x + 4. 3

Solución

()

Al derivar f x tenemos:

)

f ⬘( x = x 2 − 2 x − 3 Luego, x

x − 2 x − 3 = 0 en un máximo o mínimo. 2

Al resolver la ecuación los valores críticos son: x1 = −1 y x2 = 3 Calculamos la segunda derivada:

)

f ⬙( x = 2x − 2

)

Evaluamos f ⬙ ( x en x1 = −1 y x2 = 3

)

f ⬙ ( −1 = 2 ( −1 − 2 = −4, es negativa, por lo tanto, hay un máximo ≈ 5.67 en x = −1 .

)

f ⬙ ( 3 = 2 ( 3 − 2 = 4 , es positiva, por lo tanto, hay un mínimo = −5 en x = 3 .

4 3 2) Analiza la curva y = x − 4 x y verifica la concavidad, puntos de inflexión y máximos

y mínimos locales.

Trazado de curvas

Solución Obtenemos la primera derivada y los valores críticos

y 4

(

dy = 4 x 3 − 12 x 2 = 4 x 2 x − 3 dx

(

y = x − 4x

)

x Puntos de inflexión

)

4 x 2 x − 3 = 0 , de donde x1 = 0

(2,−16)

y x2 = 3 .

(3,−27)

La segunda derivada es d2 y dx

(

)

= 12 x 2 − 24 x = 12 x x − 2 .

)

Si evaluamos la segunda derivada en x2 = 3; y⬙ = 12 ( 3 ( 3 − 2 = 36 > 0 significa que en el punto 3, −27 es un mínimo local. Observa también que la segunda derivada en x = 0 y x = 2 es igual a cero, por lo tanto, allí hay dos puntos de inflexión porque las concavidades de la gráfica se comportan de la siguiente manera:

(

)

Intervalo

f ⬙ ( x = 12 x ( x − 2

x<3 0<x<2 x>2

positiva negativa positiva

R A Z A D O

D E

)

Concavidad hacia arriba hacia abajo hacia arriba

C U R V A S

Con el mínimo local, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión se puede graficar la curva.

•

131

132 • U N I D A D 3

Máximos y mínimos relativos

EJERCICIOS 1. Halla los máximos y mínimos f ( x) = x 3 − 3 x + 4. Grafica.

2. Analiza la curva f ( x) = x 4 + x 3 y verifica la concavidad, puntos de inflexión, y

máximos y mínimos locales.

Trazado de curvas

3. Analiza la curva f ( x) = 5 x 2 − 3 x − x 3 + 4 y verifica la concavidad, puntos de

inflexión, y máximos y mínimos locales.

4. Analiza la curva f ( x) = 5 x 2 − 3 x − x 3 + 4 y verifica la concavidad, puntos de

inflexión, y máximos y mínimos locales.

•

133

A P L I C A C I O N E S

D E

L A

D E R I V A D A

1. El área del papel de un tríptico debe tener 600 cm2, con márgenes inferior y

laterales de 2 cm y superior de 4 cm. Determina las dimensiones del papel que permitan el área impresa mayor.

res a

Á S

Ár ea

Máximos y mínimos relativos

im p

134 • U N I D A D 3

2. Hay que construir una caja abierta rectangular con base cuadrada que contenga

6400 cm3 a un costo de $1.00 por cm2 para la base y $0.50 por cm2 para el área lateral. ¿Cuáles son las dimensiones que producen el costo mínimo para construir la caja?

6400 cm3

x x

Más aplicaciones de la derivada

3. Se desea construir un envase cilíndrico vertical con tapa, el costo de las paredes

del cilindro $1.25 el cm2 y el de la tapa $2.00 cm2. ¿Cuáles son las dimensiones que producen el costo mínimo para construir el envase?

radio

•

135