Радица Каровић • Сузана Ивановић • Душан Мијајловић
МАТЕМАТИКА 5
Ed
uk a
pr om
o
Збирка задатака за пети разред основне школе
Радица Каровић • Сузана Ивановић • Душан Мијајловић
МАТЕМАТИКА 5
Збирка задатака за пети разред основне школе
ГЛАВНИ УРЕДНИК Проф. др Бошко Влаховић ОДГОВОРНИ УРЕДНИК Доц. др Наташа Филиповић
ДИЗАЈН И ГРАФИЧКА ПРИПРЕМА ЗЕМАРТ а�еље за �изајн ЛЕКТУРА И КОРЕКТУРА Едвард Јукић
pr om
o
РЕЦЕНЗЕНТИ Александар Брзаковић, наставник математике, ОШ „Иво Лола Рибар”, Сомбор Др Весна Врцељ Каћански, професор математике Слободан Павловић, професор математике
uk a
ИЗДАВАЧ Едука д.о.о. Београд Ул. Змаја од Ноћаја бр. 10/1 Тел./факс: 011 3287 277, 3286 443, 2629 903 Сајт: http://www.eduka.rs; имејл: eduka@eduka.rs
Ed
ЗА ИЗДАВАЧА Проф. др Бошко Влаховић, директор
ШТАМПА _______________ ИЗДАЊЕ _______________ ТИРАЖ _______________
САДРЖАЈ 8
Предговор ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Ed
uk a
pr om
o
Природни бројеви и дељивост – први део (подсетник) Природни бројеви – Увод Скуп, Венов дијаграм, празан скуп, представљање скупова Бројевна полуправа, упоређивање бројева. Скупови N и N0 Подскуп скупа, једнакост скупова Операције са скуповима (пресек, унија и разлика скупова) Примена скуповних операција у реалним ситуацијама Рачунске операције у скупу N0. Бројевни изрази Придруживање и зависност величина Једначине и неједначине у скупу N0 Тест Тест Тест РЕШЕЊА ЗАДАТАКА Природни бројеви – Увод Скуп, Венов дијаграм, празан скуп, представљање скупова Бројевна полуправа, упоређивање бројева. Скупови N и N0 Подскуп скупа, једнакост скупова Операције са скуповима (пресек, унија и разлика скупова) Примена скуповних операција у реалним ситуацијама Рачунске операције у скупу N0. Бројевни изрази Придруживање и зависност величина Једначине и неједначине у скупу N0 Тест Тест Тест
10 11 11 13 14 15 19 21 23 25 28 28 29 30 30 32 32 33 36 36 37 38 40 40 40
ОСНОВНИ ПОЈМОВИ ГЕОМЕТРИЈЕ Основни појмови геометрије (подсетник) Тачка, права и раван Међусобни положај правих у равни. Делови равни Мерење дужи. Једнакост дужи Кружница и круг Централна симетрија Вектори и транслација
42 43 45 47 49 52 54
pr om
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – други део
57 58 59
o
Тест Тест Тест РЕШЕЊА ЗАДАТАКА Основни појмови геометрије (подсетник) Тачка, права и раван Међусобни положај правих у равни. Делови равни Мерење дужи. Једнакост дужи Кружница и круг Централна симетрија Вектори и транслација Тест Тест Тест
Ed
uk a
Природни бројеви и дељивост – други део (подсетник) Дељење у скупу N0 Дељивост збира, разлике и производа Дељивост декадним јединицама и бројевима: 2, 3, 4, 5, 9, 25 Прости и сложени бројеви Заједнички делиоци бројева. Највећи заједнички делилац бројева Заједнички садржаоци бројева.Најмањи заједнички садржалац бројева Тест Тест Тест РЕШЕЊА ЗАДАТАКА Природни бројеви и дељивост – други део (подсетник) Дељење у скупу N0 Дељивост збира, разлике и производа Дељивост декадним јединицама и бројевима: 2, 3, 4, 5, 9, 25 Прости и сложени бројеви Заједнички делиоци бројева. Највећи заједнички делилац бројева Заједнички садржаоци бројева.Најмањи заједнички садржалац бројева Тест Тест Тест
60 60 61 63 63 65 66 68 68 68
70 71 72 74 77 79 81 84 84 85 86 86 86 87 88 89 90 92 92 92
РАЗЛОМЦИ – први део Разломци – први део (подсетник) Појам разломка. Врсте разломака Проширивање и скраћивање разломака
94 95 99
o
102 103 104 106 107 109 110 111
pr om
Децимални запис разломка Приказивање разломака на бројевној полуправој p Упоређивање разломака облика q Упоређивање разломака у децималном запису Приближна вредност броја. Заокругљивање бројева Тест Тест Тест РЕШЕЊА ЗАДАТАКА Разломци – први део (подсетник) Појам разломка. Врсте разломака Проширивање и скраћивање разломака Децимални запис разломка Приказивање разломака на бројевној полуправој p Упоређивање разломака облика q Упоређивање разломака у децималном запису Приближна вредност броја. Заокругљивање бројева Тест Тест Тест УГАО
Ed
uk a
Угао (подсетник) Појам и елементи угла Централни угао и упоређивање углова Конструктивно сабирање и одузимање углова Врсте углова Мерење углова Угао између две праве Углови са паралелним крацима Тест Тест Тест РЕШЕЊА ЗАДАТАКА Угао (подсетник) Појам и елементи угла Централни угао и упоређивање углова Конструктивно сабирање и одузимање углова Врсте углова Мерење углова Угао између две праве Углови са паралелним крацима Тест
112 112 114 116 116 117 118 119 120 120 120
122 123 124 126 128 130 133 135 137 138 139 140 140 141 142 144 144 146 147 148 5
148 148
Тест Тест РАЗЛОМЦИ – други део
Ed
uk a
pr om
o
Разломци – други део (подсетник) p Сабирање и одузимање разломака облика q Сабирање и одузимање разломака у децималном запису Једначине са сабирањем и одузимањем разломака Неједначине са сабирањем и одузимањем разломака p Множење и дељење разломака облика q Множење и дељење разломака у децималном запису Једначине са множењем и дељењем разломака Неједначине са множењем и дељењем разломака Тест Тест Тест РЕШЕЊА ЗАДАТАКА Разломци – други део (подсетник) p Сабирање и одузимање разломака облика q Сабирање и одузимање разломака у децималном запису Једначине са сабирањем и одузимањем разломака Неједначине са сабирањем и одузимањем разломака p Множење и дељење разломака облика q Множење и дељење разломака у децималном запису Једначине са множењем и дељењем разломака Неједначине са множењем и дељењем разломака Тест Тест Тест
150 151 156 159 161 163 167 169 171 174 174 175 176 176 178 179 180 182 184 185 186 188 188 188
ОСНА СИМЕТРИЈА
Осна симетрија (подсетник) Појам осне симетрије Појам осносиметричне фигуре Симетрала дужи Симетрала угла Тест Тест Тест РЕШЕЊА ЗАДАТАКА Осна симетрија (подсетник) Појам осне симетрије 6
190 191 198 201 204 207 208 209 210 210
Појам осносиметричне фигуре Симетрала дужи Симетрала угла Тест Тест Тест
216 219 227 233 233 234
236 237 239 241 244 244 245 246 246 247 247 249 249 249
Ed
uk a
pr om
Разломци – трећи део (подсетник) Проценат Аритметичка средина Размера Тест Тест Тест РЕШЕЊА ЗАДАТАКА Разломци – трећи део (подсетник) Проценат Аритметичка средина Размера Тест Тест Тест
o
РАЗЛОМЦИ – трећи део
7
ПРЕДГОВОР
Ed
uk a
pr om
o
Драги учениче / драга ученице, Подсећамо те на нашу намеру да пажљивим избором задатака развијамо твоју снагу мишљења. Вештином да правиш логичке закључке најбоље ћеш овладати ако покушаш да самостално урадиш што више задатака који су дати у збирци која је пред тобом. На почетку сваке теме налазе се примери помоћу којих ћеш се подсетити појмова које ћеш користити у решавању задатака. Задаци су постављани тако да те поступно воде од једноставнијих ка сложенијим захтевима. За једноставније захтеве (задаци означени са ) довољно је да познајеш основне појмове и поступке и зато је важно да их све пажљиво урадиш. Затим следе задаци за чије решавање је потребно да повежеш појмове који су обрађени у уџбенику (задаци означени са ). На крају су задаци који се решавају сложенијим поступцима и који ти посебно помажу да уочаваш чињенице и повезујеш их (задаци означени са ). Надамо се да ћеш проблемски задатак прихватити као изазов у коме ћеш проверити стечено знање и вештине за које верујемо да их усвајаш. На крају сваке теме припремили смо тестове помоћу којих можеш проверити своје знање по нивоима. Срећно!
Ау�ори
8
Ed
uk a
pr om
o
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
9
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
�о�се�ник
uk a
pr om
o
Мали Петар је на мору. Он се на плажи игра у песку и броји каменчиће: 1, 2, 3, ... , 58, 59, 60, ... Затим се окреће ка старијем брату Филипу и пита га: „Да ли постоји број који је већи од милион?” Филип му је одговорио: „Ма који број да замислиш или запишеш, увек постоје бројеви који су већи од броја који си замислио или записао.” Како је приметио да Петру није баш јасно шта му је одговорио, Филип је наставио: „Када почињеш да бројиш каменчиће, листове на дрвету, људе или све остало, користиш природне бројеве. Почињеш бројем 1, то је најмањи број од свих природних бројева. Сваки следећи број је за један већи од претходног броја, тако да највећи природан број не постоји.”
Ed
Ана воли да чита, а њена сестра Лана да рачуна. Оне имају млађег брата Марка. Марко је приметио да обе његове сестре користе књиге за своје активности, али да знакови у њиховим књигама нису исти. Тражио је објашњење. Ана му је одговорила: „Знакови у мојим књигама зову се слова. Укупно их има 30 и она чине скуп слова азбуке. Уз помоћ слова пишу се речи и реченице. Тако настају приче и романи.” Затим је на ред дошло и Ланино објашњење: „У мојим књигама јављају се знакови који се зову цифре. Има их 10. Уз помоћ цифара пишу се бројеви. Бројева има бесконачно много и они чине скуп природнх бројева. Најмањи природан број је 1. Највећи природан број не постоји. Уз помоћ бројева пишу се задаци и збирке задатака.” Марко је слушао, а онда сам закључио: „Слова и бројеви су два различита скупа јер немају ништа заједничко. Сада ми је јасно – исти је случај кад споменем скуп воћа и скуп поврћа, или скуп животиња и скуп цветова на ливади.”
10
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
pr om
1. Запиши цифрама број записан речима: а) шест стотина петнаест; б) педесет хиљада дванаест; в) три милиона седам; г) два милиона две хиљаде два. 2. Запиши речима број записан цифрама: а) 1 001; в) 8 088 346; б) 202 022; г) 15 005 005. 3. Запиши број који је претходник броја: а) 123; в) 12 312; б) 1 231; г) 123 123. 4. Запиши број који је следбеник броја: а) 530; в) 53 004; б) 5 299; г) 530 044.
11. Запиши скуп који има 5 елемената, а чији су елементи: а) градови Србије; б) реке у Србији; в) планине у Србији. 12. Дати су скупови А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и B = {2, 4, 6, 7, 8}. Заокружи слова испред тачних тврђења: а) 2 ∈ А; б) 5 ∈ B; в) 4 � А; г) 2 ∈ B; д) 7 � А; ђ) 8 ∈ B; е) 1 ∈ А; ж) 7 � В. 13. Запиши скуп чији су елементи природни бројеви који су: а) мањи од 9; б) мањи или једнаки од 8; в) већи од 4, а мањи од 11; г) мањи од 10, а већи од 7; д) већи или једнаки од 5, а мањи или једнаки од 6. 14. Запиши скуп чији су елементи природни бројеви који су: а) бројеви треће десетице; б) бројеви пете десетице; в) парни бројеви друге десетице; г) непарни бројеви осме десетице; д) троцифрени бројеви мањи од 102. 15. Запиши набрајањем елемената скуп који је дат Веновим дијаграмом. а) б)
o
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ – УВОД
uk a
5. Запиши најмањи и највећи број: а) четврте десетице; б) пете стотине; в) треће хиљаде; г) друге десетохиљаде. 6. Одреди све претходнике највећег броја друге десетице, као и све његове следбенике који нису већи од 40.
Ed
7. Користећи сваку од цифара: 0, 2, 1, 7, 3, само једанпут напиши најмањи и највећи број. 8. Који је то број који има 18 јединица, 18 десетица и 18 стотина?
СКУП, ВЕНОВ ДИЈАГРАМ, ПРАЗАН СКУП, ПРЕДСТАВЉАЊЕ СКУПОВА 9. Колико елемената има скуп А = {1, 2, 3, 4, 5}? 10. Запиши скуп чији су елементи: а) бројеви 5, 10, 15; б) прва четири слова азбуке; в) слова речи ШКОЛА.
2
1
4
5
M
16. Запиши елементе скупова А и B приказаних Веновим дијаграмом на слици:
А 11
1
111
11111 1111
B 222 22
2
0
11
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
o
21. Запиши елементе скупа М ако је: а) М = {x | x ∈ 𝑵, x < 12}; б) М = {x | x ∈ 𝑵, x ≤ 11}; в) М = {x | x ∈ 𝑵, 1 < x < 12}; г) М = {x | x ∈ 𝑵, 19 ≤ x ≤ 21}. Колико елемената има скуп М? 22. а) Колико елемената има скуп P = {x | x ∈ 𝑵, x < 1}? Како се назива такав скуп? Како га обележавамо? б) Колико елемената има скуп P = {x | x ∈ 𝑵0, x < 1}? 23. На Веновом дијаграму су приказани скупови А и B. Одреди њихове елементе. A
pr om
17. Нацртај Венов дијаграм за скуп А ако је: а) А = {10, 100, 101}; б) А = {1, 11, 111}. 18. Представи Веновим дијаграмом скуп А ако су његови елементи: а) двоцифрени природни бројеви записани једнаким цифрама; б) двоцифрени природни бројеви у чијем запису се користи цифра 0. 19. На столу се налази новчаник. Ленка је отворила новчаник како би пребројала колико новца има у новчанику. Видела је да је новчаник празан. Ако је Ленкин новчаник модел скупа новчића, колико елемената има тај скуп? Како се назива тај скуп? Како се такав скуп записује математичким симболима?
uk a
4
Ed
20. Ленка је затим празан новчаник ставила у своју торбицу и пошла код баке да потражи мало новца. Ако је Ленкина торбица модел скупа предмета који се у њој налазе, колико елемената има скуп „Ленкина торбица”? Представити скуп „Ленкина торбица” математичким симболима.
10 7
B 5
6 8
1
9
24. Скупови U, V и Т дати су Веновим дијаграмом као на слици. а) Запиши скупове дате Веновим дијаграмом, набрајањем елемената. б) На линији упиши одговарајући знак ∈ или � тако да тврђење буде тачно: 2 ........... V ; 12 ........... Т; 9 ........... V ; 3 ........... U; 11 ........... Т; 10 ........... V: U 1 T 3 18 6 4
17
10
5
12
2
9
V
25. Елементи скупа М су природни бројеви већи од 25, а мањи или једнаки од 35. Запиши скуп М: а) набрајањем елемената; б) истицањем заједничког својства елемената скупа; в) Веновим дијаграмом. 12
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Ed
uk a
o
pr om
26. Набрајањем елемената запиши скуп А који чине: а) двоцифрени бројеви чији је збир цифара 8; б) троцифрени бројеви чији је збир цифара 2; в) двоцифрени бројеви чији је збир цифара већи од 10; г) двоцифрени бројеви чији је производ цифара 7; д) троцифрени бројеви чији је производ цифара 5. 27. Запиши скуп B описујући његове елементе: а) B = {1, 3, 5, 7, 9}; б) B = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}; в) B = {234, 243, 324, 342, 423, 432}; г) B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. 28. Запиши елементе скупа C, а затим скуп C представи Веновим дијаграмом ако је скуп C: а) скуп природних бројева који су делиоци броја 36; б) скуп природних бројева који је решење неједначине c + 125 < 136; в) скуп парних природних бројева који су мањи од 78 и који се пишу цифрама 1, 4, 6; г) скуп природних бројева седме десетице, који је решење неједначине 3 ∙ c ≤ 19 0. 29. Истицањем заједничког својства елемената, тј. описујући елементе, запиши скуп D који је приказан Веновим дијаграмом: a) D 9 18 45 27 36
30. Запиши елементе датог скупа P набрајањем елемената, а затим нацртај одговарајући Венов дијаграм: а) P = {p | p ∈ 𝑵, p + 2 < 12}; б) P = {p | p ∈ 𝑵, p + 15 ≤ 29 }; в) P = {p | p ∈ 𝑵, 10 ≤ p + 2 < 18}. 31. Одреди елементе скупа P, ако је: а) А = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {11, 22, 33, 44, 55}, P = {p | p ∈ 𝑵, p = b – a, a ∈ A, b ∈ B}; б) А = {2, 3, 5, 7, 9}, B = {b | b ∈ 𝑵, 8 ≤ b + 2 < 12}, P = {p | p ∈ 𝑵, p = a ∙ b, a ∈ A, b ∈ B}; в) А = {a | a ∈ 𝑵, 8 ≤ a + 1 < 13}, B = {b | b ∈ 𝑵, b + 2 ∈ A}, P = {p | p ∈ 𝑵, p – 8 ∈ B}.
б)
D
10
28 в)
D 15
5
46
10
25
19
37
20
30
БРОЈЕВНА ПОЛУПРАВА, УПОРЕЂИВАЊЕ БРОЈЕВА. СКУПОВИ N И N0
32. Јединична дуж на бројевној полуправој је дужине 1 cm. Представи на бројевној полуправој све природне бројеве који су мањи од 5. 33. Јединична дуж на бројевној полуправој има дужину 1 cm. На бројевној полуправој представи све природне бројеве који су већи од броја 3, а нису већи од броја 8. 34. На бројевној полуправој чија је јединична дуж дужине 1 cm представи најмањи паран природан број, а затим представи све његове претходнике који су такође природни бројеви. 35. Упореди дате природне бројеве: а) 505 и 405; в) 2 986 и 2 896; б) 1 309 и 1 390; г) 33 303 и 33 033. 36. Дате бројеве поређај од најмањег до највећег: 707, 770, 1 117, 107, 1 770, 1 007.
13
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
г) B
S;
д) S
B;
ПОДСКУП СКУПА, ЈЕДНАКОСТ СКУПОВА
Ed
uk a
39. Дат је скуп А = {6, 8, 11, 12, 18, 19, 22, 24, 30, 44, 45}. Запиши скуп B коме припадају: а) сви парни бројеви из скупа А; б) сви непарни бројеви скупа А који су већи од 10; в) сви бројеви скупа А који се записују истим цифрама. Које тврђење је тачно: А ⊂ B или B ⊂ А? 40. На слици је приказан Венов дијаграм за скупове А и B. A B 3 0 2 4 5 1 6 Одреди: а) елементе скупа А; б) елементе скупа B; в) елементе који припадају скупу B, а не припадају скупу А; г) елементе који припадају скупу А, а не припадају скупу B; д) Које тврђење је тачно: А ⊂ B или B ⊂ А? 14
ђ) B
A
А. S
3
2
B
pr om
38. Користећи сваку од цифара: 0, 2, 1, 7, 3 само једанпут, од датих цифара напиши: а) скуп свих троцифрених парних природних бројева; б) скуп свих двоцифрених непарних природних бројева; в) скуп свих петоцифрених бројева чија је цифра јединице 3, а цифра десетице 7.
o
37. Упореди следеће бројеве, при чему може бити било која цифра: а) 612 85 и 613 5; б) 99 994 и 99 98; в) 12 3 и 2 31; г) 22 2 и 55 55.
41. Дати су скупови S и R. Однос између та два скупа запиши тако што ћеш да користиш симболе ⊂ и ⊄. Оба скупа прикажи на истом Веновом дијаграму. а) S = {21, 24, 42}, R = {11, 12, 21, 24, 40, 42}; б) S = {121, 124, 242, 344}, R = {121, 344}; в) S = {2, 12, 122, 222, 322}, R = {2}. 42. Скупови А, B и S представљени су Веновим дијаграмом. У празне квадратиће упиши одговарајуће симболе ⊂ и ⊄ тако да добијеш тачан запис: а) А B; б) А S; в) S А;
1
0
5
7
6
4
43. Дати су скупови А и B. а) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 2, 5}; б) А = {11, 21, 31, 41, 51}, B = {11, 22, 51}; в) А = {1, 2, 3}, B = {2}. Утврди да ли је B ⊂ А. 44. Да ли су једнаки скупови: а) А = {1, 2, 3}, B = {1, 1, 2, 3, 3}; б) А = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 3, 2, 1}; в) А = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 5, 1}? Образложи одговор. 45. Који од наведених скупова су једнаки: а) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 12, 345, 6}; б) C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, D = {4, 3, 2, 1, 56}; в) E = {10, 20, 30, 40, 50, 60}, F = {20, 30, 50, 10, 40, 60}? 46. Скуп А чине све цифре, а скуп B сви једноцифрени природни бројеви. Да ли су та два скупа једнака? 47. Одреди све подскупове скупа М = {a, b, c}. 48. Одреди све двочлане подскупове скупа L = {К, О, К, А}.
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
o
60. Одреди све елементе скупа A = {{4, 3, 2, 1}}. 61. Одреди све подскупове скупа A = {{4, 3, 2, 1}}. 62. Колико елемената има скуп A = {1, {1}, {2, 3}}? 63. Одреди све подскупове скупа A = {1, {1}, {2, 3}}. 64. Дати су скупови A и B. Колико елемената има сваки од њих? Напиши све елементе и све њихове подскупове, ако је: а) A = ∅, B = {∅}; б) A = {∅, 1}, B = {{∅}}.
Ed
uk a
pr om
49. Дати су скупови А и B. а) А = {a | a ∈ 𝑵, a < 12}, B = {b | b ∈ 𝑵, b ≤ 8}; б) А = {a | a ∈ 𝑵, 1 < a < 12}, B = {b | b ∈ 𝑵, 9 ≤ b ≤ 21}. Утврди да ли је B ⊂ А. 50. Дат је скуп слова S = {М, Л, Е, К, А, Р}. Наведи бар три подскупа скупа S чији су елементи слова неке речи која има смисла. 51. Колико елемената има скуп речи R = {КОКА, МАЦА, КУЦА}? 52. Колико подскупова има скуп речи R = {КОКА, МАЦА, КУЦА}? 53. Елементи скупа К су сви двоцифрени бројеви који су мањи од 40 и који су без остатка дељиви са 8. Елементи скупа L су сви бројеви друге десетице чији је збир цифара 7. Да ли је К ⊂ L или је L ⊂ К? 54. У скуповима А = {М, x, Л, Е, К, О} и B = {y, О, Е, К, М} одреди x и y тако да је А = B. 55. а) Одреди и запиши све елементе скупа Т = {М, А, М, А}; б) Одреди и запиши све подскупове скупа Z = {В, А, В, А}. 56. Одреди два надскупа скупа А = {5, 4, 3, 2, 1} тако да један од њих има: а) 9 елемената; б) бесконачно много елемената. 57. Скуп А је скуп цифара којима је записан број 111 222 333, скуп B је скуп цифара којим је записан број 12 321. Заокружи слово испред тачног исказа: а) скуп А је подскуп скупа B; б) скуп B је подскуп скупа А; в) скупови А и B су једнаки. 58. Који су од наведених исказа тачни: а) 2 ⊂ {2, 4, 6, 8, 10}; б) ∅ ⊂ {2, 4, 6, 8, 10}; в) {2} ∈ {2, 4, 6, 8, 10}; г) {4, 6, 8} ⊂ {2, 4, 6, 8, 10}.
59. Дати су скупови: M = {0}, N = {0, 0}, K = {0, 0, 0, 0, 0}. а) Колико елемената има скуп K? б) Који од датих скупова има најмање елемената? в) Одреди све подскупове скупа N.
ОПЕРАЦИЈЕ СА СКУПОВИМА (ПРЕСЕК, УНИЈА И РАЗЛИКА СКУПОВА)
65. На којој слици је представљен пресек, а на којој унија скупова A и B? 1) 2) A
B
3)
A
B
A
B
4)
A
B
66. На слици су дати Венови дијаграми за скупове A и B. У квадратиће упиши одговарајући знак за скуповну операцију: а) б) A
B А
B
A
B А
B 15
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
г)
A
A
B
B
A
3 б)
A
в)
7
1
4 6
г) 8
𝐴 ∩ 𝐵;
б) 2
д) 6
𝐴 ∩ 𝐵;
𝐴 ∩ 𝐵;
𝐴 ∩ 𝐵;
в) 5 𝐴 ∩ 𝐵; ђ) 4 𝐴 ∩ 𝐵. 71. Одреди скуп 𝐴 ∪ 𝐵 ако је: a) А = {2, 4, 6}, B = {2, 3, 4}; б) А = {1, 2, 5, 6}, B = {2, 3, 5, 8}; в) А = {2, 3, 3, 5, 8, 8}, B = {2, 3, 3, 3, 6}; г) А = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10}; д) А = {0, 1, 11, 110}, B = {1, 11, 1110, 0}; ђ) А = {0, 1, 2}, B = ∅. 72. Одреди скуп 𝐴 ∪ 𝐵 ако је: a) А = {2, 4, 6, 8}, B = {2, 4, 6}; б) А = {2, 4}, B = {2, 3, 4, 8}; в) А = {2, 4, 4, 6, 8, 8}, B = {2, 4, 6}; г) А = {2, 4, 6, 6, 8, 8}, B = {2, 2, 2, 4}; д) А = {0, 22, 222}, B = {222, 22, 0}; ђ) А = ∅, B = ∅. 73. На слици су приказани Венови дијаграми скупова А и B. Одреди скупове А, B, 𝐴∪𝐵.
5
4 8
2
A 7
3
5
6
6
B 9
1 3
4
B
б)
8
2
A
3 A 1
в)
1) Како се називају скупови чији је пресек празан скуп? 2) На основу Веновог дијаграма на слици под в) напиши одговарајућу релацију за скупове А и B. 16
а)
5
Ed
1
2
0
B
uk a
а)
а) 1
pr om
А B B A 67. За дате скупове А и B одреди скуп 𝐴 ∩ 𝐵 ако је: a) А = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5}; б) А = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 3, 4, 8}; в) А = {1, 3, 3, 5, 7, 7}, B = {2, 2, 2, 3, 4}; г) А = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10}; д) А = {0, 3, 33, 333}, B = {2, 33, 3330, 7}; ђ) А = {0, 3, 5}, B = ∅. 68. Одреди скуп 𝐴 ∩ 𝐵 ако је: a) А = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 3, 5}; б) А = {2, 4}, B = {2, 3, 4, 8}; в) А = {1, 3, 3, 5, 7, 7}, B = {1, 3, 5}; г) А = {1, 3, 5, 5, 7, 7}, B = {1, 1, 1, 3}; д) А = {0, 3, 33, 333}, B = {333, 33, 0, 3}; ђ) А = ∅; B = ∅. 69. На слици су приказани Венови дијаграми скупова А и B. Одреди скупове А, B, 𝐴 ∩ 𝐵.
70. Знацима ∈ или � попуни празна места тако да релације буду тачне, ако је А = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {1, 8, 6, 7, 5}.
o
в)
7
4
4
A 0
5
1 2
3 1
B
6
B
2
5
6 B 2
4
3
74. Дати су скупови А = {2, 3, 4, 6} и B = {1, 8, 6, 7, 0}. Који од записа је тачан? a) 1 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵; г) 8 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵; б) 9 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵; д) 6 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵; в) 23 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵; ђ) 0 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵.
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
A
3 б)
A
в)
5
7
1
4 6
3
B
5
A
7
5
6
4 8
2 6
Ed
1
2
0
uk a
а)
B
9
1
3
4
80. Скупове А и B представи на истом Веновом дијаграму, а затим одреди 𝐴\𝐵 и B\A. a) А = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 3, 5}; б) А = {0, 6}, B = {0, 1, 4, 5, 6}; в) А = {1, 1, 1, 2, 8, 8}, B = {1, 2, 8}; г) А = {1, 3, 4, 4, 6, 6}, B = {4, 4, 4, 6}; д) А = {0, 7, 979, 97}, B = {979, 97, 0, 9}; ђ) А = ∅; B = ∅. 81. Дат је Венов дијаграм за скупове C и D. Поред сваког записа напиши Т ако је запис тачан или Н ако је запис нетачан. 10 C D 6
4
0 2
8
3
o
1
9
pr om
75. Дати су скупови А = {10, 11, 12, 13} и B = {12, 13, 15, 16}. За дате скупове одреди скупове 𝐴\𝐵 и B\A. Да ли важи једнакост 𝐴\𝐵 = B\A? 76. За дате скупове А и B одреди скупове 𝐴\𝐵 и B\A ако је: a) А = {1, 3, 6}, B = {2, 3, 1}; б) А = {1, 3, 6, 8}, B = {2, 3, 6, 8}; в) А = {2, 3, 3, 5, 8}, B = {1, 2, 2, 3, 5}; г) А = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10}; д) А = {0, 7, 77, 777}, B = {0, 77, 7 770, 7}; ђ) А = {0, 2, 8}, B = ∅. 77. Одреди скупове 𝐴\𝐵 и B\A ако је: a) А = {1, 2, 5, 7, 8}, B = {1, 2, 5}; б) А = {0, 5}, B = {0, 3, 4, 5, 6}; в) А = {1, 4, 4, 5, 6, 6}, B = {1, 4, 6}; г) А = {1, 3, 4, 4, 6, 6}, B = {3, 3, 3, 6}; д) А = {0, 9, 999, 99}, B = {999, 99, 0, 9}; ђ) А = ∅, B = ∅. 78. На слици су приказани Венови дијаграми скупова А и B. Одреди скупове 𝐴\𝐵 и B\A.
7
5
г) 0 ∈ C ∩ D; а) 2 ∈ C\D; д) 5 ∈ D\C; б) 0 ∈ C ∪ D; в) 10 ∈ C ∩ D; ђ) 6 ∈ C ∪ D. 82. Попуни Венов дијаграм скупова M и N ако важи: M ∩ N = {1, 3, 5}, M\N = {0, 6}, N\M = {2, 4, 7}. Затим одреди елементе скупова M и N. M
N
B
2
79. Дати су скупови: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {0, 1, 2, 5, 9, 10}. а) Скупове А и B прикажи на истом Веновом дијаграму. б) Црвеном бојом обоји скуп 𝐴\𝐵, а жутом бојом скуп B\A. в) Одреди елементе скупова 𝐴\𝐵 и B\A.
83. Одреди скупове P ∩ Q и P ∪ Q ако је: a) P = {x | x ∈ 𝑵, x < 12} и Q = {x | x ∈ 𝑵, 9 ≤ x ≤ 11}; б) P = {x | x ∈ 𝑵, x > 10} и Q = {x | x ∈ 𝑵, 15 > x ≥ 9}. 84. Одреди скупове P ∩ Q и P ∪ Q ако је: a) P = {x | x ∈ 𝑵, x ≤ 120} и Q = {x | x ∈ 𝑵, 125 ≤ x}; б) P = {x | x ∈ 𝑵, x > 101} и Q = {x | x ∈ 𝑵, 101 > x}.
17
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
a) A ∩ B; б) C ∩ B; в) A ∩ C; д) C\B; ђ) A\C. г) A\B; 93. На основу Веновог дијаграма запиши елементе скупова A, B, C. Затим одреди скупове: a) A ∩ B; б) C ∩ B; в) A\B; д) C\B; ђ) A\C. г) A ∩ C; A
2
7
1
4
8
3
A
6
1
C
o
5
B
B
2
3 5
4
C
94. На основу Веновог дијаграма из задатка 93. одреди скупове: a) A ∪ B ∪ C; г) (A ∩ C) ∪ B; д) (C\B) ∩ A; б) A ∩ B ∩ C; в) (A\B)\C; ђ) (A ∪ C)\B. 95. Дати су скупови A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 4, 6}, C = {1, 3, 5, 6, 7}. Прикажи их на истом Веновом дијаграму, а затим одреди скупове: a) A\(B \C); г) (A ∪ B)\C; б) (A\B)\C; д) (A\C) ∩ (C\B); в) (A ∩ B)\C; ђ) C\(A ∩ B). 96. Одреди скуп са најмањим бројем елемената тако да је: a) A ∪ {1, 2, 5} = {0, 1, 2, 4, 5}; б) {1, 3, 5} ∪ A = {1, 3, 5}. 97. Скуп M има 10 елемената, а скуп N има 6 елемената. Када ће број елемената у скупу M\N бити највећи, а када ће бити најмањи?
Ed
uk a
pr om
85. Дати су скупови C и D тако да је: a) C = {c | c ∈ 𝑵, 1 < c < 12}, D = {d | d ∈ 𝑵, 9 ≤ d ≤ 21}; б) C = {c | c ∈ 𝑵, 11 ≤ c < 12}, D = {d | d ∈ 𝑵, 11 < d ≤ 12}; в) C = {c | c ∈ 𝑵, 11 ≤ c < 20}, D = {d | d ∈ 𝑵, 20 < d ≤ 28}. Одреди елементе скупова C и D, а затим одреди елементе скупова: C ∪ D, D ∩ C, C\D и D\C. 86. На истом Веновом дијаграму прикажи скупове A и B ако знаш да је скуп А скуп бројева прве десетице који у свом називу садрже слова d, а скуп B скуп бројева који у свом називу садрже слово a. Затим одреди скупове A\B и B\A. 87. Скуп А чине сви двоцифрени бројеви чији је збир цифара 8, а скуп B сви двоцифрени бројеви чији је производ цифара 8. Одреди скупове A и B, а затим одреди скупове A ∪ B, A ∩ B. 88. Дати су следећи скупови: A = {x | x ∈ 𝑵, x је непаран број друге десетице}, B = {x | x ∈ 𝑵, x је паран број друге десетице}, C = {x | x ∈ 𝑵, x је број друге десетице}, D = {x | x ∈ 𝑵, 11 ≤ x < 21}. а) Који су од датих скупова дисјунктни? б) Који су од датих скупова једнаки? 89. Ако је скуп А петочлан, а његов подскуп B трочлан, колико елемената има скуп A ∪ B, A ∩ B, A\B и B\A? 90. Када ће за пресек скупова A и B важити једнакост: a) A ∩ B = A; б) A ∩ B = B; в) A ∩ B = ∅? 91. Када ће за разлику скупова A и B важити једнакост: a) A\B = A; б) A\B = B; в) A\B = ∅? 92. На основу Веновог дијаграма запиши елементе скупова A, B, C. Затим одреди скупове: B C A 6 1 3 4 7 2 5 18
98. Одреди вредност променљивих p и q тако да је: a) {2, 7, 4, 5} \ {2, p, 3, 5} = {7}; б) {p, q, 5} \ {8, 2, 7} = {4, 5}. 99. Дати су скупови A, B, C, такви да је: A = {x | x ∈ 𝑵, x + 5 ≤ 10}; B = {x | x ∈ 𝑵, x ∙ x < 16}; C = {x | x ∈ 𝑵, x ∙ 5 ≤ 10}. Скупове A, B, C прикажи на истом Веновом дијаграму, а затим одреди:
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
B
г) A
B
C
C
104. На Веновом дијаграму прикажи скупове A, B и C, а затим осенчи скупове: a) (A ∪ B)\C; б) (A ∪ C)\(B ∩ C); в) (A ∪ B ∪ C)\(A ∩ B ∩ C). 105. Одреди скупове A и B ако је: a) A\B = {2, 3}, A ∩ B = {4, 5}, A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6}; б) A\B = {1, 2}, B\A = {4, 5}, A ∩ B = {0, 3, 6}. 106. Одреди скупове A, B, C ако је: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 8}, A ∩ B = {1, 2}, B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 6, 9}, A ∩ C = ∅, B ∩ C = ∅. 107. Одреди елементе скупа P ако је: A ∩ B ∩ P = {3, 4}, A ∪ B ∪ P = {1, 2, 3, 4, 5}, B\P = {2, 5}, A\P = ∅. 108. Одреди све скупове M за које важи: a) M ∪ {5, 6, 7, 8, 9 , 10} = {5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11} и M ∩ {6, 7, 8} = {7, 8}; б) M ∪ {0, 2, 4} = {0, 1, 2, 3, 4}.
A в)
B
A
B
A
Ed
A
A
г)
B
д)
uk a
pr om
A B; A C; B C; C A. 101. Дати су скупови M, N, P тако да је: M = {x | x ∈ 𝑵0, x + x ≤ 4}, N = {x | x ∈ 𝑵, x ∙ x < 12}, P = {x | x ∈ 𝑵0, 0 ≤ x ≤ 6}. Скупове M, N, P прикажи на истом Веновом дијаграму, а затим одреди скупове: a) M ∩ N ∩ P; в) (M ∪ N)\P; б) M ∪ N ∪ P; г) M\(N ∪ P). 102. Користећи скуповне операције, изрази осенчене делове скупова A и B: a) б)
в) A
o
a) A ∪ B ∪ C; г) (A ∩ C) ∪ B; б) A ∩ B ∩ C; д) (A\B) ∩ C; в) (A\B)\C; ђ) (B ∪ C)\A. 100. На истом Веновом дијаграму прикажи скупове: A = {a | a ∈ 𝑵, a – 1 ≤ 2}, B = {b | b ∈ 𝑵, b < 10 и b је дељиво са 4}, C = {c | c ∈ 𝑵, c = a ∙ b}. а) Који од датих скупова су дисјунктни? б) У празан квадратић упиши симбол ⊂ или ⊄ тако да искази буду тачни:
B
ђ)
B
A
B
103. Користећи скуповне операције, изрази осенчене делове скупова A, B и C: а) б) A A B B
C
ПРИМЕНА СКУПОВНИХ ОПЕРАЦИЈА У РЕАЛНИМ СИТУАЦИЈАМА
109. У једном одељењу петог разреда 7 ученика похађа само математичку секцију, 8 ученика пева само у хору, а 10 ученика похађа и математичку секцију и пева у хору. На тај начин ангажовани су сви ученици тог одељења. а) Колико ученика има у том одељењу? б) Колико ученика тог одељења похађа математичку секцију? в) Колико ученика из тог одељења пева у хору?
C 19
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
o
Ако је број ученика тог одељења 32, а 4 ученика тренирају и кошарку и рукомет, колико ученика тог одељења тренира кошарку, а колико тренира рукомет? 117. У извиђачком кампу је било 24-оро деце. Пасуљ не воли да једе 6 ученика, а 5 ученика не воли да једе грашак. Колико ученика воли пасуљ, а колико грашак ако 1 ученик не воли ни пасуљ ни грашак? 118. У једном насељу 280 породица чува псе, 160 чува мачке, док 230 гаји папагаје. Псе и мачке чува 50 породица, папагаје и мачке 60, псе и папагаје чува 100 породица, а сва три кућна љубимца чува 30 породица. Колико породица живи у том насељу ако свака породица чува макар по једног од ових кућних љубимаца? 119. Одређени број деце која летују у кампу на Тари воле да пију сок од вишње, сок од малине и сок од јабуке. При томе, 3 ученика пију само сок од малине, 6 пију све три врсте сока, 5 само сок од вишње, 10 пију сок од малине и сок од јабуке, 8 пију сок од вишње и сок од малине, 12 пију сок од вишње и сок од јабуке, а 7 само сок од јабуке. а) Колико је деце летовало у кампу на Тари? б) Који сок од три наведене врсте воћа је био најомиљенији међу децом? 120. На једном рођендану било је 100 деце, од којих је 60-оро имало и паметни сат и фитнеснаруквице, а без тога је било 10-оро деце. Остала деца су имала или паметни сат или фитнеснаруквицу. Колико је било деце са паметним сатом, а колико са фитнес- наруквицом, ако је број деце само са фитнес-наруквицом 4 пута већи од броја деце само са паметним сатом? 121. Од 50 учесника међународног Фестивала дечјих хорова само Младен зна енглески, немачки и бугарски језик, док Димитрије и Никола не знају ниједан од ова три језика. Само енглески и немачки знају 10 учесника фестивала, само немачки и бугарски знају 5 учесника, док само енглески и бугарски знају 20 учесника. Енглески знају 35 учесника, а само бугарски 2 учесника.
Ed
uk a
pr om
110. У једном одељењу петог разреда 15 девојчица бави се спортом и то: 11 гимнастиком, а 10 тренира тенис. Колико девојчица тренира и гимнастику и тенис? 111. Чланови Асоцијације младих на територији града истраживали су ангажовање омладине у различитим акцијама. Од 132 испитаника њих 122 су чланови Удружења за заштиту народне баштине и културе, док су њих 120 чланови Удружења за заштиту животиња. Колики је број оних који су чланови оба удружења? 112. За математички камп ове године пријавило се 50 ученика петог разреда. У слободно време 25 ученика се пријавило да игра кошарку, 20 фудбал, а њих 6-оро се пријавило да игра и кошарку и фудбал. Остали ученици би да сликају у слободно време. Колико ученика ће слободно време провести у сликању? 113. На утакмици се налази 120 навијача. Кокице једе њих 65, кикирики 45, а 25 пије само воду. Колико је особа јело и кокице и кикирики? 114. У једној школи 150 ученика похађа пети разред. На летњем распусту 68 ученика је летовало на мору, 45 на планини, а 12 ученика је летовало и на мору и на планини. Остали ученици су распуст провели код својих кућа или код рођака на селу. Колико ученика је распуст провело кући или на селу?
115. Сви ученици једног одељења, њих 30, данас су радили тест из математике или из историје. Од 20 ученика који су радили тест из историје, 17 није радило тест из математике. Колико ученика је радило тест: а) из оба предмета; б) само из математике; в) само из једног предмета (математика или историја)? 116. Сви ученици једног одељења учлањени су у рукометну или кошаркашку секцију. Само у кошаркашку секцију учлањено је 6 пута више ученика него што је само у рукометној. 20
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
РАЧУНСКЕ ОПЕРАЦИЈЕ У СКУПУ N0. БРОЈЕВНИ ИЗРАЗИ
Ed
uk a
pr om
122. Одреди збирове: а) 110 + 73; г) 228 + 1267; б) 59 + 873; д) 1 002 + 3 769; в) 673 + 839; ђ) 989 + 49 998. 123. Одреди разлике: а) 610 – 98; г) 1 228 – 567; б) 959 – 73; д) 3 002 – 1 769; в) 673 – 339; ђ) 45 989 – 9 998. 124. Одреди производе: а) 65 ∙ 10; в) 673 ∙ 39 ; д) 3 002 ∙ 178; б) 9 5∙ 13; г) 1 228 ∙ 7; ђ) 45 9 89 ∙ 22. 125. Одреди количнике: а) 650 : 10; в) 975 : 39; д) 9 256 : 178; б) 91 : 13; г) 1 652 : 7; ђ) 39 732 : 33. 126. Одреди збир: а) два сабирка ако је један непосредни претходник броја 699, а други непосредни следбеник броја 2 314; б) три сабирка ако је један непосредни следбеник броја 9 999, други сабирак је за 5 већи од првог сабирка, а за 10 мањи од трећег сабирка; в) четири сабирка ако је први најмањи број друге хиљаде, други је најмањи број треће хиљаде, а трећи и четврти сабирци су једнаки и они су једнаки броју 555. 127. Одреди разлику ако је: а) умањеник непосредни претходник броја 1 000, а други непосредни следбеник броја 998; б) умањеник непосредни следбеник броја 9 999, а умањилац непосредни претходник броја 4 999; в) умањеник једнак броју 54 786, а умањилац три пута мањи од умањеника.
128. Одреди производ ако је: а) један чинилац непосредни претходник броја 11, а други непосредни следбеник броја 771; б) један чинилац је непосредни следбеник броја 9 999, а други чинилац је непосредни претходник броја 999; в) један чинилац је број 848, а други чинилац је једнак збиру цифара првог чиниоца. 129. Којој десетици припада количник бројева: а) 147 и 7; б) 1 296 и 36; в) 15 000 и 500; г) 72 800 и 3 640? 130. Израчунај на најлакши начин: а) 400 – 198; б) 324 + 700 + 176; в) збир свих бројева друге десетице; г) 29 ∙ 120; д) 7 ∙ 19 1 + 7 ∙ 9 ; ђ) 139 ∙ 256 – 246 ∙ 139 . 131. Израчунај: а) 150 – 80 + 70; б) 120 – 20 ∙ 5; в) 57 + 120 : 4; г) 160 – 60 : 2. 132. Израчунај: а) 20 + 20 ∙ (61 – 50); б) 350 – (100 – 50) ∙ 7; в) 85 ∙ 4 – 4 ∙ 5 + 6 ∙ 6; г) 600 – 120 : 4 + 3. 133. Израчунај: а) 252 – 52 : 2 + 50; б) 252 – 52 : (2 + 50); в) (252 – 52) : 2 + 50; г) 252 – (52 : 2 + 50).
o
Колико учесника говори: а) само немачки језик; б) бугарски језик; в) само два, од три наведена језика?
134. Aко је 2 832 – 708 = 2 124, израчунај: а) (2 832 – 124) – 708; б) 2 832 – (708 – 126); в) (2 832 + 108) – (708 + 108); г) (2 832 – 108) – (708 – 108). 21
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
o
б) разлику броја 8 975 и непосредног следбеника броја 102. 145. Израчунај: а) производ броја 177 и непосредног претходника броја 101; б) количник броја 13 376 и четвртине броја 32. 146. Од броја 1866 одузми број који је три пута већи од броја 122. Напиши одговарајући израз и израчунај његову бројевну вредност. 147. Трострукој вредности броја 528 додај петину броја 725. Напиши одговарајући израз и израчунај његову бројевну вредност. 148. Од највећег шестоцифреног броја одузми збир количника и производа бројева 4 444 и 11. Напиши одговарајући израз и израчунај његову бројевну вредност. 149. Одреди збир производа бројева 116 и 8 и количника бројева 984 и 3. 150. Одреди разлику количника бројева 3456 и 9 и збира бројева 119 и 265. 151. Разлику бројева 12 211 и 998 умањи за троструки количник бројеве 846 и 18. Напиши одговарајући израз и израчунај његову бројевну вредност.
Ed
uk a
pr om
135. Ако је 2 832 : 4 = 708, израчунај: а) (2 832 : 3) : 4; б) 2 832 : (4 ∙ 3); в) (2 832 ∙ 8) : (4 ∙ 4); г) (2 832 : 2) : (4 : 2). 136. Израчунај вредност бројевног израза: а) 3 268 : 4 + (525 – 102 ∙ 3) – 36 : (25 – 16); б) 1 119 + 5 ∙ (222 + 2 222 : 22) – 1 119 ∙ ∙ (69 – 23 ∙ 3); в) (6 066 – (125 ∙ 8 + 2 500 : 5) ∙ 4 + 34) : 25. 137. Збир бројева 348 и 12 652 умањи за производ бројева 106 и 35. Напиши одговарајући израз и израчунај његову бројевну вредност. 138. Производу бројева 156 и 16 додај разлику бројева 156 и 16. Напиши одговарајући израз и израчунај његову бројевну вредност. 139. Који је број за 999 мањи од количника бројева 37 071 и 9? 140. Количник је 89, делилац 96, а остатак је најмањи број друге десетице. Колики је дељеник? 141. Поређај по величини, од најмање до највеће вредности израза А, B, C и D ако је: А = 3 535 : 35 – 44 : 22, B = 685 ∙ (324 – 36 ∙ 9), C = (50 – 20 + 30 + 30) : 5, D = (116 : 58) ∙ 58 – 3 000 : 1 000. 142. Како се промени збир два броја ако: а) само један сабирак увећамо за 200; б) само један сабирак смањимо за 100; в) оба сабирка увећамо за 60; г) један сабирак увећамо за 30, а други смањимо за 70? 143. Разлика два броја је 100. Колика ће бити разлика та два броја ако: а) умањеник смањимо за 20; б) умањилац увећамо за 10; в) и умањеник и умањилац смањимо за 30; г) и умањеник и умањилац повећамо за 40? 144. Израчунај: а) збир броја 2 458 и броја који је за 125 већи од броја 775; 22
152. Постави заграде тако да израз 720 : 8 + 4 ∙ 3 – 2 има: а) најмању; б) највећу вредност. 153. Постави заграде тако да једнакост буде тачна: а) 16 ∙ 6 : 3 + 5 + 5 ∙ 6 = 142; б) 16 ∙ 6 : 3 + 5 + 5 ∙ 6 = 42; в) 16 ∙ 6 : 3 + 5 + 5 ∙ 6 = 92. 154. Младен и Марко иду у куповину. Мајка им је рекла да купе 2 kg печења, 2 kg сира, 1 kg kајмака, 3 kg пршуте, 5 сока од боровнице и већу кутију сладоледа. У новчанику имају 2 000 динара и 100 евра. Ако се за 1 евро у мењачници добија 120 динара, колико најмање евра треба да размене у мењачници? (Мењачница поседује апоене од: 10, 20, 50, 100 евра).
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део 800 динара
1 kg кајмака
800 динара
2 kg сира
500 динара
1 kg пршуте
1 200 динара
1 већа кутија сладоледа
400 динара
1 сока од боровнице
100 динара
155. Доврши уписивање бројева у празно поље тако да производ свака три узастопна броја буде једнак 20. 4
1
160. Напиши израз који представља број који је: а) за 5 већи од броја а; б) за 5 мањи од броја а; в) 5 пута већи од броја а; г) 5 пута мањи од броја а. 161. Напиши израз који представља количник петоструке вредности броја x и збира бројева 17 и 33. Одреди бројевне вредности тог израза за x = 250. 162. Израчунај: а) 120 + а : 5, ако је а = 125; б) 205 – а ∙ 8, ако је а = 25. 163. Израчунај вредност израза: a) 3x – x : 6, за x = 120; б) 4 ∙ (x – x : 4), за x = 144; в) 5 ∙ (x + x ∙ 7) : (8 ∙ x – 400 : x), за x = 10.
Ed
uk a
pr om
156. Три дечака за три дана направе три кућице за птице. Колико ће кућица за птице направити 6 дечака за 6 дана? 157. Суму од 560 динара Петар је платио новчаницама од 10 или од 20 динара. Дао је 37 новчаница. Колико је Петар дао новчаница од 10, а колико од 20 динара? 158. Дати су бројеви: 1 500, 600, 320, 10 и 2. а) Користећи све дате бројеве, основне рачунске операције и заграде, састави израз чија ће вредност бити једнака броју 1 770. б) Користећи све дате бројеве, основне рачунске операције и заграде, састави израз чија ће вредност бити једнака броју 418. в) Користећи све дате бројеве, основне рачунске операције и заграде, састави израз чија ће вредност бити једнака броју 1 502. 159. Дати су бројеви: 3 300, 900, 7 и 100. Осмисли текст задатка на основу којег ћеш саставити бројевни израз користећи све дате бројеве, основне рачунске операције и заграде, а чија ће вредност бити једнака броју 500.
ПРИДРУЖИВАЊЕ И ЗАВИСНОСТ ВЕЛИЧИНА
o
1 kg печења
164. Попуни табелу: а) 𝑥
3∙𝑥
26
126 1 260 12 600 126 000
62
620 6 200 62 000 620 000
3∙𝑥+5
б)
𝑥
𝑥∶2
𝑥 ∶ 2 − 28
165. Образуј табеле вредности израза 5x + 3 и 3x – 2 ако x припада другој десетици. 166. Вредностима променљиве p ∈ {50, 60, 70, 80, 9 0, 100, 110} придружи вредности q по формули q = 33 ∙ p – 255. Придруживање прикажи табелом. 167. Ако је a ∈ {55, 66, 77, 88, 9 9 , 1 111, 2 222}, прикажи табелом вредност израза: а) 2а; б) 11 000 – 2а; в) 7 777 + 2а; г) а : 11 + 2а. 23
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
35
7
30
6
40
8
45
9
50
10
km
y
uk a
Прикажи то исто придруживање табелом. 169. Попуни табелу придруживања. На основу података из попуњене табеле нацртај дијаграм придруживања. 5
3 ∙ y + 25
55
555
5 555
55 555
Ed
170. Стубичастим дијаграмом је приказан успех ученика из математике на крају школске године у једном одељењу петог разреда. 12 број ученика
9 6 3 0
24
1
2
3 4 оцена
5
28 21
пређени пут
5
pr om
25
На основу дијаграма одговори на питања: а) Колико ученика има закључну петицу из математике? б) Колико ученика има у том одељењу петог разреда? в) Која је оцена највише заступљена у том одељењу? 171. Борис је кренуо на излет бициклом. Он за један сат прелази 7 km. На линијском дијаграму приказана је зависност пута који је Борис прешао у километрима (km) од времена изрженог у сатима (h). На основу дијаграма одговори на питања: а) Колико километара је Борис прешао за 3 сата? б) Ако је Борис прешао 35 km, колико дуго је возио бицикл?
o
167. Ако је a ∈ {55, 66, 77, 88, 9 9 , 1 111, 2 222}, прикажи табелом вредност израза: а) 2а; б) 11 000 – 2а; в) 7 777 + 2а; г) а : 11 + 2а. 168. Вредностима дате променљиве x ∈ {25, 30, 35, 40, 45, 50} придружене су вредности које су 5 пута мање од вредности променљиве x. Придруживање је приказано дијаграмом као на слици.
14 7 0
1
2 3 време
4
h
172. У изразу 300 – 3 ∙ x, где је x природан број прве стотине, одреди x тако да вредност израза буде 0. 173. Одреди вредност израза: a) (a – b) : c + d ако је a = 138, b = 57, c = 3, d = 119; б) a – b : c + d ако је a = 138, b = 57, c = 3, d = 119; в) a – (b : c + d) ако је a = 138, b = 57, c = 3, d = 119.
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
5
15
15
30
10
60
20
75
25
45
x
1
y
2
6
3
11
4
16
5
21
26
Ed
uk a
Правило тог придруживања је: а) y = 3x + 5; б) y = 5x + 1; в) y = 6x – 3. Заокружи слово испред тачног одговора. 177. Правило P придруживања гласи „следбеник броја n увећан за 1”. Попуни таблицу за дате вредности n. n
127
P
333
576
998
1 033
178. Напиши израз за: а) следбеник броја 3n; б) претходник броја 3n + 1; в) претходник броја чији је следбеник n + 3; г) следбеник броја чији је претходник n. 179. Придруживање је дато табелом. Одреди правило придруживања. x
1 9
2
19
3
29
4
39
5x – 4
1
6
pr om
Одреди формулу по којој је извршено придруживање. 176. Придруживање је дато табелом: x
180. У изразу 300 – 3 ∙ x, где је x број друге десетице, одреди x тако да вредност израза буде што је могуће: а) већа; б) мања. 181. За које вредности променљиве a ∈ {2, 3, 4, 5, 6} израз 100 – a ∙ (a + 10) има: а) највећу вредност; б) најмању вредност? 182. Правило придруживања дато је у табели формулом 5x – 4. На основу тог правила допуни празна места у табели.
5
49
...
3
o
174. Напиши израз који представља количник четвороструке вредности броја a и разлике бројева b и c. Одреди бројевну вредност тог израза за a = 3 ∙ b ∙ c ако је b = 15, c = 6. 175. На слици је приказан дијаграм придруживања.
31
10
66
ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ У СКУПУ N0
183. Реши једначину у скупу 𝑵𝟎: а) 1 347 + x = 2 458; б) x + 667 = 3 336; в) x – 1 458 = 780; г) 3 257 – x = 1 845. 184. Реши једначину у скупу 𝑵𝟎: a) 13 ∙ x = 1 586; б) x : 67 = 98; в) x ∙ 88 = 2 288; г) 4 356 : x = 18. 185. Који број треба сабрати са бројем 7 248 да би се добио број 8 001? 186. Од ког броја треба одузети број 346 да би се добио број 1 257? 187. Којим бројем треба помножити број 122 да би се добио број 12 322? 188. Који број подељен бројем 45 даје број 202? 189. Одреди вредност променљиве a за коју је: a) a + 250 = 500; б) а – 250 = 500; в) a ∙ 250 = 500; г) a : 250 = 500. 25
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
o
г) један сабирак повећа за 444, а други смањи за 180. 201. Ако је a – b = 20 202, како треба: а) променити умањеник да би се разлика увећала за 101; б) променити умањилац да би се разлика увећала за 101? 202. Ако је a – b = 30 303, како треба: а) променити умањеник да би се разлика смањила за 303; б) променити умањилац да би се разлика смањила за 303? 203. Производ два броја је 1 280. Израчунај производ ако се: а) један чинилац смањи 8 пута; б) један чинилац повећа 5 пута; в) један чинилац повећа 4 пута, а други повећа 25 пута; г) један чинилац повећа 4 пута, а други смањи 80 пута; 204. Попуни табелу.
pr om
190. Заокружи слова испред неједнакости које су тачне: a) 14 ∙ 6 > 54; б) 126 : 9 < 606; в) 8 + 2 ∙ 79 > 19 2 – 189 ; г) 256 : 16 + 225 < 15 ∙ 15. 191. Реши неједначину у скупу 𝑵𝟎: a) 886 + x < 1 606; б) x + 204 > 1 254; в) x – 207 > 1 001; г) 543 – x > 175. 192. Које природне бројеве можеш да додаш броју 12 да добијени збир буде већи од броја 30? 193. Које природне бројеве можеш да поделиш са 12 да добијени количник буде мањи од 44?
Ed
uk a
194. Реши једначину: a) 885 + 5 ∙ x = 1 580; б) x : 6 – 238 = 98; в) x ∙ 3 + 1 515 = 2 289 ; г) 4 365 – x : 7 = 18. 195. Реши једначину: a) 5 ∙ (x + 211) = 1 580; б) (x + 188) : 6 = 111; в) (x – 345) ∙ 3 = 2 289 ; г) (1 277 – x) : 4 = 108. 196. Који број треба сабрати са бројем 325 да би се добио збир бројева 1 200 и 120? 197. Који број треба одузети од броја 765 да би се добила разлика бројева 1 333 и 1 222? 198. Којим бројем треба помножити производ бројева 201 и 11 да би се добио број 22 110? 199. Који број треба поделити са количником бројева 256 и 16 да би се добио број 160? 200. Збир два броја је 1 280. Израчунај збир ако се: а) један сабирак смањи за 88; б) један сабирак повећа за 155; в) један сабирак смањи за 422, а други смањи за 25; 26
x
x ∙ 21 + 5
1
2
3
4
5
Затим на основу табеле одговори на задата питања. а) За коју вредност променљиве x jе вредност израза x ∙ 21 + 5 једнака 68? б) За коју вредност променљиве x је вредност израза x ∙ 21 + 5 већа од 68? 205. Попуни табелу. x
x ∙ 11 – 110
10
11
12
13
14
Затим на основу табеле одговори на задата питања. а) За коју вредност променљиве x jе вредност израза x ∙ 11 – 110 већа или једнака 0? б) За коју вредност променљиве x је вредност израза x ∙ 11 – 110 већа од 20?
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Проблемски задатак
o
Одреди скупове A и B за које важи да је: A ∩ B = A ∪ B = A\B = B\A.
Ed
uk a
pr om
206. Збир четири узастопна природна броја једнак је 666. Одреди те бројеве. 207. Збир четири узастопна парна броја је 900. Одреди те бројеве. 208. Ако саберемо три узастопна непарна броја, добијамо највећи троцифрени број. Одреди те непарне бројеве. 209. Марија је корисник једног мобилног оператера. Она има такав пакет коришћења услуга тог оператера, да у оквиру тарифе коју плаћа има 500 бесплатних порука. Марија зна да је потрошила мање од 200 порука. а) Напиши неједначину која описује колико порука је Марији још остало да потроши, при чему ћеш са x означити број тих порука. б) Колико је најмање, а колико највише порука могло да остане Марији? 210. Када од броја 2 222 одузмеш неки број умањен за 222, добијаш број који је већи од 1 111. Одреди скуп таквих бројева.
27
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
ТЕСТ 1. Дати су скупови: 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {1, 3, 5, 7, 9}. Заокружи слова испред тачних тврђења: a) 5 ∈ A; б) 6 ∈ A; в) 4 � A; г) 7 ∈ B; д) 2 � B. 2. Ако је 𝐴 = {1, 2, 2, 3, 4, 4} и B = {1, 3, 3, 4, 5, 6}, одреди: а) колико елемената има сваки од датих скупова; б) елементе скупова: A ∩ B, A ∪ B, A\B и B\A.
3. Попуни Венов дијаграм скупова M и N ако важи: M ∩ N = {1}, M\N = {0, 3}, N\M = {2, 4, 5}. Затим одреди елементе скупова M и N. N
pr om
o
M
4. Одреди збир два сабирка ако је један непосредни претходник броја 1 001, а други непосредни следбеник броја 999.
uk a
5. Који број треба помножити са 101 да би се добио број 1 111?
ТЕСТ
Ed
1. Дати су скупови A и B, такви да је: A = {a| a ∈ N, 5 < a ≤ 11}, B = {b | b ∈ N, 9 ≤ b ≤ 16}. Одреди елементе скупова A и B, а затим: а) одреди елементе скупова: A ∪ B, A ∩ B, A\B и B\A; б) скупове А и B прикажи на истом Веновом дијаграму. 2. Скуп S задат је на следећи начин: S = {T, A, T, A}. а) Наброј елементе скупа S. Колико елемената има скуп S? б) Напиши све подскупове скупа S. Колико подскупова има скуп S? 3. У једном кампу било је 100 деце. Њих 70-оро воли фудбал, 55-оро кошарку, док 25-оро деце не воли ни фудбал ни кошарку. Колико деце из овог кампа воли и фудбал и кошарку? 4. За колико је вредност израза M = 30 + 30 ∙ (60 – 60 : 6) већа од вредности израза N = (30 + 30 ∙ 60 – 60) : 6? 5. Реши неједначину у скупу 𝑵𝟎: 28
x ∙ 6 + 18 ≤ 24.
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
ТЕСТ 1. Одреди скупове A, B и B\A ако је: A\B = {2, 4, 5}, A ∩ B = {1, 3},
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
2. Користећи скуповне операције, изрази осенчене делове скупова A, B и C:
A
C
o
B
pr om
3. У једном кампу за математичке радионице пријавило се 20 ученика. Половина од њих воли да решава ребусе, троје магичне квадрате, четворо воли да решава укрштенице и ребусе, само ребусе и магичне квадрате не воли да решава нико, двоје воле да решавају сва три, док четворо воли да решава само укрштенице. Испоставило се да је само двоје деце волело да решава само по две од три наведене „главоломке”. Да ли је било деце која нису која нису волела да решавају ни једну од ове три наведене „главоломке”?
uk a
4. Колико је 5 ∙ x + 5 ∙ y ако је збир бројева x и y једнак 500?
Ed
5. Ако од броја 501 одузмеш непознат број, затим ту разлику помножиш првим следбеником броја 999 добићеш број 22 000. О ком броју је реч?
29
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
РЕШЕЊА ЗАДАТАКА
pr om
1. а) 615; в) 3 000 007; б) 50 012; г) 2 002 002. 2. а) хиљаду један; б) двеста две хиљаде двадесет два; в) осам милиона осамдесет осам хиљада три стотине четрдесет шест; г) петнаест милиона пет хиљада пет. 3. а) 122; в) 12 311; б) 1 230; г) 123 122. 4. а) 531; в) 53 005; б) 5 300; г) 530 045.
12. Тачна тврђења су: а), г), д), ђ), е). 13. а) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; б) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; в) {5, 6, 7, 8, 9, 10}; г) {9, 8}; д) {5, 6}. 14. а) {21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30}; б) {41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50}; в) {12, 14, 16, 18, 20}; г) {71, 73, 75, 77, 79}; д) {100, 101}. 15. а) {1, 2, 4, 5}; б) {М}. 16. A = {1, 11, 111, 1 111, 11 111}, B = {0}. а) Скуп A има пет елемената, скуп B има један елемент. б) Није празан скуп јер садржи број 0. в) То су елементи: 2, 22, 222. 17. a) А б) А 1 10
o
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ – УВОД
uk a
5. а) 31, 40; в) 2 001, 3 000; б) 401, 500; г) 10 001, 20 000. 6. Највећи број друге десетице је број 20. Сви његови претходници су: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Сви следбеници броја 20 који нису већи од 40 су: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40. Претходника има 19, а следбеника који нису већи од 40 има 20. Дакле, више има следбеника.
Ed
7. највећи: 73 210, најмањи: 10 237. 8. 1 998.
СКУП, ВЕНОВ ДИЈАГРАМ, ПРАЗАН СКУП, ПРЕДСТАВЉАЊЕ СКУПОВА
101
18. a)
100
А 55
б)
11
А 50
11
10
66
60
22
20
111 33
77
30
70
88
80
44
40
99
90
19. Овај скуп нема елемената. Овакав скуп 9. Скуп A има пет елемената. називамо празан скуп, означавамо га са ∅. 10. a) {5, 10, 15}; б) {а, б, в, г}; в) {Ш, К, О, Л, А}. 20. Скуп „Ленкина торбица” има један 11. a) Једно од могућих решења је: елемент. {Ниш, Београд, Нови Сад, Пирот, Крушевац}; „Ленкина торбица” = {новчаник}. б) Једно од могућих решења је: {Дунав, Сава, Нишава, Тиса, Велика Морава}; в) Једно од могућих решења је: {Стара планина, Фрушка гора, Копаоник, Златибор, Тара}. 30
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
C
1
2
5
3
4
6
7
в) C = {14, 16, 44, 46, 64, 66}; C
14
16
46
г) C = {61, 62, 63}. C 61
uk a
Ed
26. a) A = {17, 71, 26, 62, 35, 53, 44, 80}; б) A = {101, 110, 200}; в) A = {29, 38, 39, 47, 48, 49, 56, 57, 58, 59, 65, 66, 67, 68, 69, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99}; г) A = {17, 71}; д) A = {115, 151, 511}. 27. a) B = {x | x ∈ 𝑵, x је непаран број прве десетице}; б) B = {x | x ∈ 𝑵, x је двоцифрени број који се завршава цифром 0}; в) B = {x | x ∈ 𝑵, x је троцифрени број који се може написати цифрама 2, 3, 4, али да се цифре не понављају}; г) B = {x | x ∈ 𝑵, x је делилац броја 12}. 28. a) C = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}; C
6
1
9
2
12
3
18
4
36
9
8
44
10
66
64
63
o
62
pr om
21. a) M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} скуп има 11 елемената; б) M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} скуп има 11 елемената; в) M = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} скуп има 10 елемената; г) M = {19, 20, 21} скуп има 3 елемента. 22. а) Скуп P нема ниједан елемент. Овакав скуп називамо празан скуп. P = ∅. б) P = {0}. Овај скуп има један елемент. 23. A = {4, 6, 7, 8, 10}, B = {1, 5, 6, 8, 9}. 24. a) U = {1, 2, 3, 5, 6}, V = {2, 5, 9, 10, 12}, T = {4, 5, 6, 10, 17, 18}; б) 2 ∈ V , 12 ∉ T, 9 ∈ V , 3 ∈ U, 11 ∉ T, 10 ∈ V . 25. a) M = {26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35}; б) M = {x| x ∈ N, 25 < x ≤ 35}; в) M 27 28 26 29 31 30 35 34 33 32
б) C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
29. a) D = {d | d ∈ 𝑵, d је садржалац броја 9 који је мањи од 50}; б) D = {d | d ∈ 𝑵, 10 ≤ d ≤ 46, сваки наредни елемент је за 9 већи од претходног}; в) D = {d | d ∈ 𝑵, d је садржалац броја 5 који је мањи или једнак од 30}. 30. a) P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; P
1
2
4
3
5
6
7
9
8
б) P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}; P
6 5 2 9 12 3 1 11 8 4 13 7 14
10
в) P = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}. P
8
10
9
11
12
13
14
15
31. a) P = {6, 7, 8, 9, 10, 17, 18, 19, 20, 21, 28, 29, 30, 31, 32, 39, 40, 41, 42, 43, 50, 51, 52, 53, 54}; 31
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
б) B = {6, 7, 8, 9}, P = {12, 14, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 35, 40, 42, 45, 49, 54, 56, 63, 72, 81}; в) A = {7, 8, 9, 10, 11}, B = {5, 6, 7, 8, 9}, P = {13, 14, 15, 16, 17}.
БРОЈЕВНА ПОЛУПРАВА, УПОРЕЂИВАЊЕ БРОЈЕВА. СКУПОВИ N И N0
33. 1 cm
1
2
3
R
S
21
24
42
11
12
40
S
б) R ⊂ S, S ⊄ R; R
121
344
в) R ⊂ S, S ⊄ R. S
4
242
R
2
122
322
12
222
42. a) A ⊄ B; б) A ⊂ S; в) S ⊄ A; г) B ⊂ S; д) S ⊄ B; ђ) B ⊄ A. 43. a) B ⊂ A; б) B ⊄ A; в) B ⊂ A. 44. а) A = B, јер имају исте елементе (исти елементи представљају један елемент скупа); б) A = B, јер имају исте елементе (приликом навођења елемената скупа, редослед навођења елемената није битан); в) нису, 5 � A, 5 ∈ B. 45. Скупови E и F су једнаки. 46. Нису једнаки јер 0 ∈ A, 0 � B. 47. ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, M. 48. {K, O}, {K, A}, {O, A}.
pr om
8 4 5 6 7 34. Најмањи паран природан број је број 2. Његов претходник је број 1. 1 cm
124
o
32. 1 cm
41. a) S ⊂ R, R ⊄ S;
uk a
1 2 35. a) 504 > 405; б) 1 309 < 1 390; в) 2 986 > 2 896; г) 33 303 > 33 033. 36. 107, 707, 770, 1 007, 1 117, 1 770. 37. а) 612 85 < 613 5; б) 99 994 > 99 98; в) 12 3 > 2 31; г) 22 2 > 55 55.
Ed
38. a) {102, 120, 130, 132, 170, 172, 210, 230, 270, 302, 310, 312, 320, 370, 372, 702, 710, 712, 720, 730, 732}; б) {13, 17, 21, 23, 27, 31, 37, 71, 73}; в) {10 273, 12 073, 20 173, 21 073}.
ПОДСКУП СКУПА, ЈЕДНАКОСТ СКУПОВА 39. a) B = {6, 8, 12, 22, 24, 30, 44}; б) B = {11, 19, 45}; в) B = {11, 22, 44}, B ⊂ A. 40. a) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; б) B = {0, 1, 2}; в) ∅; г) {3, 4, 5, 6}; д) B ⊂ A. 32
49. а) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B ⊂ A; б) A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}, B = {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21}, B ⊄ A. 50. {Л, Е, К, А, Р}, {Р, А, К}, {Л, Е, К}, {Р, Е, К, А}. 51. Скуп R има 3 елемента. 52. Скуп R има 8 подскупова. (види 47. зад.) 53. K = {16, 24, 32}, L = {16}, L ⊂ K. 54. y = Л, x ∈ {М, Л, Е, К, О}. 55. а) елементи скупа T су: M, A; б) ∅, {A}, {B}, {A, B}. 56. a) B = {1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20, 25}; б) C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}. 57. Тачан је исказ в). 58. Тачни су: б), г).
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
60. Само један елемент: {4, 3, 2, 1}. 61. ∅, A. 62. Скуп А има 3 елемента. 63. Подскупови су: ∅, {1}, {{1}}, {{2, 3}}, {1, {1}}, {1, {2, 3}}, {{1}, {2, 3}}, A. 64. а) А нема елемената, подскупови: ∅, B има 1 елемент, подскупови: ∅, B; б) A има 2 елемента, подскупови: ∅, {∅}, {1}, A, B има 1 елемент, подскупови: ∅, B.
pr om
ОПЕРАЦИЈЕ СА СКУПОВИМА (ПРЕСЕК, УНИЈА И РАЗЛИКА СКУПОВА)
71. a) A ∪ B = {2, 3, 4, 6}; б) A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 6, 8}; в) A ∪ B = {2, 3, 5, 6, 8}; г) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; д) A ∪ B = {0, 1, 11, 110, 1 110}; ђ) A ∪ B = {0, 1, 2}. 72. a) A ∪ B = {2, 4, 6, 8} = A; б) A ∪ B = {2, 3, 4, 8} = B; в) A ∪ B = {2, 4, 6, 8} = A; г) A ∪ B = {2, 4, 6, 8} = A; д) A ∪ B = {0, 22, 222} = A = B; ђ) A ∪ B = ∅. 73. a) A = {1, 2, 3, 4, 7}, B = {1, 2, 5, 6}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; б) A = {1, 3, 4}, B = {2, 5, 6}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; в) A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2}, A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4}. 74. Тачни су: а), г), д), ђ). 75. A\B = {10, 11}, B\A = {15, 16}. Не важи. 76. a) A\B = {6}, B\A = {2}; б) A\B = {1}, B\A = {2}; в) A\B = {8}, B\A = {1}; г) A\B = {1, 3, 5, 7, 9}, B\A = {2, 4, 6, 8, 10}; д) A\B = {777}, B\A = {7 770}; ђ) A\B = {0, 2, 8}, B\A = ∅. 77. a) A\B = {7, 8}, B\A = ∅; б) A\B = ∅, B\A = {3, 4, 6}; в) A\B = {5}, B\A = ∅; г) A\B = {1, 4}, B\A = ∅; д) A\B = ∅, B\A = ∅; ђ) A\B = ∅, B\A = ∅. 78. a) A\B = {0, 2, 3}, B\A = {1, 5}; б) A\B = {1, 3, 5, 7}, B\A = {2, 4, 6, 8}; в) A\B = {1, 2, 3, 4, 8}, B\A = ∅. 79. a) A B 4 0 3 1 9 2 6 5 7 10 8
o
59. а) Скуп К има 1 елемент. б) Ниједан, сви имају по један елемент. в) ∅, {0}.
Ed
uk a
65. Пресек на слици 3, а унија на слици 1. 66. a) A ∩ B; б) A ∪ B; в) A\B; г) B\A. 67. a) A ∩ B = {3, 5}; б) A ∩ B = {3}; в) A ∩ B = {3}; г) A ∩ B = ∅; д) A ∩ B = {33}; ђ) A ∩ B = ∅. 68. a) A ∩ B = {1, 3, 5} = B; б) A ∩ B = {2, 4} = A; в) A ∩ B = {1, 3, 5} = B; г) A ∩ B = {1, 3} = B; д) A ∩ B = A = B; ђ) A ∩ B = ∅. 69. a) A = {0, 2, 3, 4, 6}, B = {1, 4, 5, 6}, A ∩ B = {4, 6}; б) A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 4, 6, 8}, A ∩ B = ∅; в) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {5, 6, 7, 9}, A ∩ B = {5, 6, 7, 9}. 1) Називају се дисјунктни скупови. 2) B ⊂ A. 70. a) 1 ∈ A ∩ B; б) 2 � A ∩ B; в) 5 ∈ A ∩ B; г) 8 � A ∩ B; д) 6 � A ∩ B; ђ) 4 � A ∩ B.
33
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
б) A
B
в) A\B = {3, 4, 6, 7, 8}, B\A = {0, 9, 10}. 80. a) A\B = {7, 9}, B\A = ∅; B
7
5
б) A\B = ∅, B\A = {1, 4, 5}; A
0
B
6
5
в) A\B = ∅, B\A = ∅; A
1
г) A\B = {1, 3}, B\A = ∅; A
4 B
2
B
6
1
Ed
4
1
uk a
8
9
д) A\B = {7}, B\A = {9}; А
7
0
97 979
ђ) A\B = ∅, B\A = ∅. A
3
Б
9 B
81. a) Н; б) Т; в) Н; г) Т; д) Т; ђ) Т.
34
83. а) P = {1, 2, 3, ..., 11}, Q = {9, 10, 11}, P ∩ Q = {9, 10, 11}, P ∪ Q = {1, 2, 3, ..., 11}; б) P = {11, 12, 13, ...}, Q = {9, 10, 11, 12, 13, 14}, P ∩ Q = {11, 12, 13, 14}, P ∪ Q = {9, 10, 11, 12, ...}. 84. a) P = {1, 2, 3, ..., 119, 120}, Q = {125, 126, 127, ...}, P ∩ Q = ∅, P ∪ Q = {1, 2, 3, ..., 119, 120, 125, 126, 127, ...}; б) P = {102, 103, 104, ...}, Q = {1, 2, 3, ..., 99, 100}, P ∩ Q = ∅, P ∪ Q = {1, 2, 3, ..., 99, 100, 102, 103, 104, ...}. 85. a) C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}, D = {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21}, C ∪ D = {2, 3, 4, ..., 10, 11, 12, ..., 20, 21}, D ∩ C = {9, 10, 11}, C\D = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, D\C = {12, 13, 14, ..., 21}; б) C = {11}, D = {12}, C ∪ D = {11, 12}, D ∩ C = ∅, C\D = {11}, D\C = {12}; в) C = {11, 12, 13, ..., 18, 19}, D = {21, 22, 23, ..., 27, 28}, C ∪ D = {11, 12, 13, ..., 19, 21, 22, 23, ..., 28}, D ∩ C = ∅, C\D = {11, 12, 13, ..., 19}, D\C = {21, 22, 23, ..., 28}. 86. A = {1, 2, 7, 9, 10}, B = {1, 2, 7, 8}. A\B = {9, 10}, B\A = {8}.
o
3
1
pr om
A
82. M = {0, 1, 3, 5, 6}, N = {0, 1, 3, 4, 5, 7}. M N 2 0 1 4 3 6 5 7
A
9
10
2
7
B
1
8
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
95. a) A\(B\C) = {1, 2, 3, 5}; A б) (A\B)\C = {2}; в) (A ∩ B)\C = {4}; 2 г) (A ∪ B)\C = {2, 4};
uk a
Ed
B
д) (A\C) ∩ (C\B) = ∅; ђ) C\(A ∩ B) = {5, 6, 7}.
5
4
1 3
6
7
C 96. a) A = {0, 4}; б) A = ∅. 97. Највећи број елемената је када су M и N дисјунктни, а најмањи када је N ⊂ M.
o
98. a) p = 4; б) p = 4, q ∈ {2, 7, 8} или q = 4, p ∈ {2, 7, 8}. 99. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 2}. A
pr om
87. A = {17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80}, B = {18, 24, 42, 81}, A ∩ B = ∅, A ∪ B = {17, 18, 24, 26, 35, 42, 44, 53, 62, 71, 80, 81}. 88. A = {11, 13, 15, 17, 19}, B = {12, 14, 16, 18, 20}, C = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, D = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, a) Дисјунктни су A и B; б) једнаки су C и D. 89. A ∪ B има 5 елемената, A ∩ B има 3 елемента, A\B има 2 елемента, B\A нема елемената. 90. а) ако је A ⊆ B; б) ако је B ⊆ A; в) ако су A и B дисјунктни. 91. а) ако су A и B дисјунктни; б) никад; в) ако је A ⊆ B. 92. A = {1, 2, 4}, B = {1, 2, 3, 5}, C = {3, 6, 7}. a) A ∩ B = {1, 2}; б) C ∩ B = {3}; в) A ∩ C = ∅; г) A\B = {4}; д) C\B = {6, 7}; ђ) A\C = {1, 2, 4}. 93. a) A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 3, 4, 6}, C = {2, 3, 4, 7, 8}. 1) A ∩ B = {1, 4}; 2) C ∩ B = {3, 4}; 3) A\B = {2, 5}; 4) A ∩ C = {2, 4}; 5) C\B = {2, 7, 8}; 6) A\C = {1, 5}. б) A = {1, 2, 3}, B = {3, 4}, C = {2, 4, 5}. 1) A ∩ B = {3}; 2) C ∩ B = {4}; 3) A\B = {1, 2}; 4) A ∩ C = {2}; 5) C\B = {2, 5}; 6) A\C = {1, 3}. 94. 1) a) A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; б) A ∩ B ∩ C = {4}; в) (A\B)\C = {5}; г) (A ∩ C) ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}; д) (C\B) ∩ A = {2}; ђ) (A ∪ C)\B = {2, 5, 7, 8}. 2) a) A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5}; б) A ∩ B ∩ C = ∅; в) (A\B)\C = {1}; г) (A ∩ C) ∪ B = {2, 3, 4}; д) (C\B) ∩ A = {2}; ђ) (A ∪ C)\B = {1, 2, 5}.
4
1
B C
5
3
2
a) A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5} = A; б) A ∩ B ∩ C = {1, 2} = C; в) (A\B)\C = {4, 5}; г) (A ∩ C) ∪ B = {1, 2, 3} = B; д) (A\B) ∩ C = ∅; ђ) (B ∪ C)\A = ∅. 100. A = {1, 2, 3}, B = {4, 8}, C = {4, 8, 12, 16, 24}. C A B 1 4 24 16 3 8 2 12 a) Дисјунктни су: A и B, A и C; б) A ⊄ B, A ⊄ C, B ⊂ C. 101. M = {0, 1, 2}, N = {1, 2, 3}, P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. a) M ∩ N ∩ P = {1, 2}; б) M ∪ N ∪ P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; в) (M ∪ N)\ P = ∅; г) M\(N ∪ P) = ∅. P
M
4
0
5
1 2
6
3
N 35
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
ПРИМЕНА СКУПОВНИХ ОПЕРАЦИЈА У РЕАЛНИМ СИТУАЦИЈАМА 109. а) У одељењу је 25 ученика; б) математику похађа 17 ученика; в) у хору пева 18 ученика. 110. 6 девојчица тренира и гимнастику и тенис. 111. У оба удружења је њих 110. 112. Њих 11 ће сликати. 113. Њих 15 је јело и кокице и кикирики. 114. Код куће или на селу је провело њих 49.
o
102. a) (A\B) ∪ (B\A); б) A ∪ B; в) A ∪ B; г) A ∩ B; д) A\B; ђ) A\B. 103. a) C\(A ∪ B); б) (A ∩ B)\C; в) (A ∪ B ∪ C)\(A ∩ B ∩ C); г) (A ∪ B ∪ C)\(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). 104. a) б) A B A B
C
pr om
в)
C
A
B
uk a
C
Ed
105. a) A = {2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6}; б) A = {0, 1, 2, 3, 6}, B = {0, 3, 4, 5, 6}. 106. A = {1, 2, 8}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {6, 9}. 107. P = {1, 3, 4}. 108. a) M = {7, 8, 11}, M = {7, 8, 11, 5}, M = {7, 8, 11, 9}, M = {7, 8, 11, 10}, M = {7, 8, 11, 5, 9}, M = {7, 8, 11, 5, 10}, M = {7, 8, 11, 9, 10}, M = {7, 8, 11, 5, 9, 10}; б) M = {1, 3}, M = {1, 3, 0}, M = {1, 3, 2}, M = {1, 3, 4}, M = {1, 3, 0, 2}, M = {1, 3, 0, 4}, M = {1, 3, 2, 4}, M = {1, 3, 0, 2, 4}.
36
115. а) Оба теста су радила 3 ученика; б) само математику је радило 10 ученика; в) само један предмет је радило 27 ученика. 116. Кошарку тренира 28, а рукомет 8 уче-ника. 117. Пасуљ воли 17, а грашак 18 ученика. 118. У насељу живи 490 породица. 119. а) У кампу је било 33 детета; б) Најомиљенији је био сок од јабуке. 120. Са паметним сатом је било 66-оро деце, а са фитнес наруквицом 84 детета. 121. а) Само немачки говори њих 6-оро; б) бугарски говори њих 28; в) само два, од три наведена језика, говори 35 ученика.
РАЧУНСКЕ ОПЕРАЦИЈЕ У СКУПУ N0. БРОЈЕВНИ ИЗРАЗИ 122. a) 183; б) 932; г) 1 495; д) 4 771; 123. a) 512; б) 886; г) 661; д) 1 233; 124. а) 650; б) 1 235; г) 8 596; д) 534 356; 125. а) 65; б) 7; г) 236; д) 52; 126. а) 3 013; б) 30 020; 127. а) 0; б) 5 002;
в) 1 512; ђ) 50 987. в) 334; ђ) 35 991. в) 26 247; ђ) 1 011 758. в) 25; ђ) 1 204. в) 4 112. в) 36 524.
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
4
5
1
4
5
1
4
5
1
4
156. Направиће 12 кућица. 157. Петар је дао 18 новчаница од 10, а 19 новчаница од 20 динара. 158. а) 1 500 – 600 : (10 + 2) + 320 =1 770; б) (1 500 – 320) : 10 + 600 : 2 = 418; в) 1 500 + 600 : (320 – 10 ∙ 2) = 1 502. 159. Збир бројева 3 300 и 900 подели са 7 па добијени израз умањи за 100.
ПРИДРУЖИВАЊЕ И ЗАВИСНОСТ ВЕЛИЧИНА
160. а) а + 5; б) а – 5; в) а ∙ 5; г) а : 5. 161. 5 ∙ x : (17 + 33). Вредност израза је 25. 162. а) 145; б) 5. 163. а) 340; б) 432; в) 10. 164. а)
Ed
uk a
pr om
134. а) 2 000; б) 2 250; в) 2 124; г) 2 124. 135. а) 236; б) 236; в) 1 416; г) 708. 136. а) 1 032; б) 2 734; в) 4. 137. (348 + 12 652) – 106 ∙ 35 = 9 29 0. 138. 156 ∙ 16 + (156 – 16) = 2 636. 139. 3 120. 140. Дељеник је 8 555. 141. A = 99, B = 0, C = 18, D = 113, B < C < A < D. 142. а) Збир се повећа за 200; б) збир се смањи за 100; в) збир се повећа за 120; г) збир се смањи за 40. 143. а) Разлика ће бити 80; б) разлика ће бити 90; в) разлика ће бити 100; г) разлика ће бити 100. 144. а) 3 358; б) 8 872. 145. а) 17 700; б) 1 672. 146. 1 866 – 3 ∙ 122 = 1 500. 147. 3 ∙ 528 + 725 : 5 = 1 729 . 148. 9 9 9 9 9 9 – (4 444 : 11 + 4 444 ∙ 11) = = 950 711. 149. 116 ∙ 8 + 9 84 : 3 = 1 256. 150. 3 456 : 9 – (119 + 265) = 0. 151. (12 211 – 9 9 8) – 3 ∙ (846 : 18) = = 11 072.
155.
o
128. а) 7 720; б) 9 980 000; в) 16 960. 129. а) трећој; б) четвртој; в) трећој; г) другој десетици. 130. а) 202; б) 1 200; в) 155; г) 3 480; д) 1 400; ђ) 1 390. 131. а) 140; б) 20; в) 87; г) 130. 132. а) 220; б) 0; в) 356; г) 573. 133. а) 276; б) 251; в) 150; г) 176.
152. а) 720 : ((8 + 4) ∙ 3) – 2; б) (720 : 8 + 4) ∙ 3 – 2. 153. а) 16 ∙ (6 : 3 + 5) + 5 ∙ 6 = 142; б) 16 ∙ 6 : (3 + 5) + 5 ∙ 6 = 42; в) 16 ∙ 6 : 3 + (5 + 5) ∙ 6 = 9 2. 154. Потребно је да размене 50 евра.
𝑥
26
126 1 260 12 600 126 000
3∙𝑥+5
83
383 3 785 37 805 378 005
𝑥∙3
б)
78
378 3 780 37 800 378 000
𝑥
62
620 6 200 62 000 620 000
𝑥 ∶ 2 − 28
3
282 3 072 30 972 309 972
𝑥∶2
165.
x 5x + 3 x
5x + 3 x
3x – 2 x
3x – 2
31
310 3 100 31 000 310 000
11
12
13
14
15
83
88
93
98
103
40
43
58 16 11 31 16 46
63 17 12 34 17 49
68 18 13 37 18 52
73 19 14 19 55
78 20 15 20 58
37
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
177. p
50
33p – 255
1 395
p
90
33p – 255
2 715
167.
a
55
60
70
1 725
80
2 055
100
2 385
110
3 045
3 375
66
77
88
2a
110
132
154
176
7 777 + 2a
7 887
7 931
7 953
a
115
7 909
2a
99
198
1 111
2 222
8 778
6 556
11 000 – 2a 10 890 10 868 10 846 10 824
11 000 – 2a 10 802 7 777 + 2a
7 975
168. x
207
2 323
30
35
40
6
y
5
5
40
7
4 646
8
45 9
184
50 10
55
555
5 555
55 555
190 1 690 16 690 166 690
40
Ed
3 ∙ y + 25
4 444 12 221
5
169.
2 222 999
25
x:5
161
uk a
a : 11 + 2a
138
55
555
5 555
55 555
190
1 690
16 690
166 690
170. а) 6 ученика; б) 30 ученика; в) четворка. 171. a) 21 km; б) 5 сати. 172. x = 100. 173. a) 146; б) 238; в) 0. 174. 4a : (b – c). Вредност израза је 120. 175. 3 ∙ x, x ∈ {5, 10, 15, 20, 25}. 176. Тачан одговор је под б). 38
P
127 129
178. a) 3n + 1; 179. 10 ∙ x – 1. 180. a) x = 11; 181. a) a = 2; 182. x
5x – 4
1 1
333
576
б) 3n;
в) n + 1;
335
2 6
998
578
1 000
б) x = 20. б) a = 6. 3
11
7
31
1 033 1 035
г) n + 2.
10 46
14 66
ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ У СКУПУ N0
pr om
a : 11 + 2a
n
o
166.
183. a) x = 1 111; б) x = 2 669; в) x = 2 238; г) x = 1 412. 184. a) x = 122; б) x = 6 566; в) x = 26; г) x = 242. 185. 753. 186. 1 603. 187. 101. 188. 9 090. 189. a) a = 250; б) a = 750; в) a = 2; г) a = 125 000. 190. Тачне су: а), б), в). 191. a) x < 720, x ∈ {0, 1, 2, ..., 719 }; б) x > 1 050, x ∈ {1 051, 1 052, 1 053, ...}; в) x > 1 208, x ∈ {1 209 , 1 210, 1 211, ...}; г) x < 368, x ∈ {0, 1, 2, ..., 367}. 192. То су бројеви: 19, 20, 21, ... 193. То су бројеви мањи од 528, а дељиви са 12. Тражени бројеви су: 12, 24, 36, ..., 504, 516. 194. a) x = 139; б) x = 2 016; в) x = 258; г) x = 30 429. 195. a) x = 105; б) x = 478; в) x = 1 108; г) x = 845. 196. Тражени број је 995. 197. Треба одузети број 654. 198. Тражени број је 10.
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
199. Тражени број је 2 560. 200. a) 1 192; б) 1 435; в) 833; г) 1 544. 201. а) Умањеник треба повећати за 101; б) умањилац треба смањити за 101. 202. а) Умањеник треба смањити за 303; б) умањилац треба повећати за 303. 203. a) 160; б) 6 400; в) 128 000; г) 64. 204. а) за x = 3; б) за x ∈ {4, 5}. 1
2
3
4
5
x ∙ 21 + 5
26
47
68
89
110
x
10
11
12
13
14
x ∙ 11 – 110
0
11
22
33
44
pr om
205. а) за x ∈ {10, 11, 12, 13, 14}; б) за x ∈ {12, 13, 14}.
Тражени скупови су: A = B = ∅.
o
x
Проблемски задатак
Ed
uk a
206. Тражени бројеви су: 165, 166, 167, 168. 207. Тражени бројеви су: 222, 224, 226, 228. 208. Тражени бројеви су: 331, 333, 335. 209. a) 500 – x < 200; б) најмање 301, а највише 499 порука. 210. x ≥ 222, x < 1 333, x ∈ {222, 223, 224, ..., 1 332}.
39
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
ТЕСТ
ТЕСТ
1. Тачна су тврђења: а), г), д). 2. а) Скуп A има 4 елемента, а скуп B има 5 елемената; б) A ∩ B = {1, 3, 4}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A\B = {2}, B\A = {5, 6}. 3. M = {0, 1, 3}, N = {1, 2, 4, 5}.
4. 2 000. 5. 11.
1
3
5
ТЕСТ
N
4
o
0
2
pr om
M
Ed
uk a
1. A = {6, 7, 8, 9, 10, 11}, B = {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}, a) A ∪ B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13,14,15,16}, A ∩ B = {9, 10, 11}, A\B = {6, 7, 8}, B\A = {12, 13, 14, 15, 16}; б) A B 12 6 9 14 15 10 7 16 11 8 13
2. a) Елементи су: T, A. Скуп S има 2 елемента. б) Подскупови: ∅, {T}, {A}, S. Скуп S има 4 подскупа. 3. 50-оро деце из кампа воли и фудбал и кошарку. 4. Вредност израза M је за 1 235 већа од N. 5. x ≤ 1, x ∈ {0, 1}.
40
1. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3}, B\A = ∅. 2. (A ∩ B ∩ C) ∪ (B\(A ∪ C)). 3. 5 ученика из математичког кампа нису волела да решавају ни једну од три наведене „главоломке”. 4. 2 500. 5. Тражени број је 479.