Математика 6, збирка задатака за шести разред основне школе by Izdavačka kuća Eduka

Радица Каровић • Сузана Ивановић • Душан Мијајловић

МАТЕМАТИКА 6

uk a

pr om

Збирка задатака за шести разред основне школе

Радица Каровић • Сузана Ивановић • Душан Мијајловић

МАТЕМАТИКА 6

Збирка задатака за шести разред основне школе ГЛАВНИ УРЕДНИК Др Бошко Влаховић

ОДГОВОРНИ УРЕДНИК Др Наташа Филиповић

uk a

ДИЗАЈН И ГРАФИЧКА ПРИПРЕМА ЗЕМАРТ а�еље за �изајн

pr om

РЕЦЕНЗЕНТИ Др Марјан Матејић, ванредни професор на Катедри за математику, Електронски факултет у Нишу Љиљана Рајчић, наставник математике, ОШ „Иво Андрић”, Београд Ненад Вићентијевић, м астер математичар, ОШ „Дринка Павловић”, Куршумлија Ивана Крупниковић, наставник математике, ОШ „Јован Поповић”, Крушевац

ЛЕКТУРА И КОРЕКТУРА Биљана Никић

ИЗДАВАЧ Едука д.о.о. Београд Ул. Змаја од Ноћаја бр. 10/1 Тел./факс: 011 3287 277, 3286 443, 2629 903 Сајт: http://www.eduka.rs; имејл: eduka@eduka.rs ЗА ИЗДАВАЧА Др Бошко Влаховић, директор ШТАМПА _____________________________ Издање бр.:_______________

Тираж: ____________________

САДРЖАЈ ПРЕДГОВОР ................................................................................................................................................................... 6 ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

ТРОУГАО

uk a

pr om

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ – подсетник ................................................................................................................................. 8 СКУП ЦЕЛИХ БРОЈЕВА ............................................................................................................................................. 9 БРОЈЕВНА ПРАВА. СУПРОТНИ БРОЈЕВИ. АПСОЛУТНА ВРЕДНОСТ ЦЕЛОГ БРОЈА ................. 11 УПОРЕЂИВАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА ................................................................................................................... 14 САБИРАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА. СВОЈСТВА САБИРАЊА ЦЕЛИХ БРОЈЕВА ...................................... 16 ОДУЗИМАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА ......................................................................................................................... 19 МНОЖЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА. СВОЈСТВА МНОЖЕЊА ЦЕЛИХ БРОЈЕВА ....................................... 23 ДЕЉЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА .................................................................................................................................. 28 ИЗРАЗИ СА ЦЕЛИМ БРОЈЕВИМА ..................................................................................................................... 31 КАД ЗНАШ МАТЕМАТИКУ, СВЕ ЈЕ ЛАКО! ................................................................................................... 34 ТЕСТ .......................................................................................................................................................................... 35 ТЕСТ ...................................................................................................................................................................... 35 ТЕСТ ................................................................................................................................................................. 35 РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ............................................................................................................................................ 36

ТРОУГАО – подсетник ........................................................................................................................................... 52 ПОЈАМ ТРОУГЛА. ЕЛЕМЕНТИ ТРОУГЛА ..................................................................................................... 53 НЕЈЕДНАКОСТ ТРОУГЛА ..................................................................................................................................... 55 УГЛОВИ ТРОУГЛА ................................................................................................................................................... 57 ОДНОС СТРАНИЦА И УГЛОВА У ТРОУГЛУ .................................................................................................. 60 КОНСТРУКЦИЈЕ НЕКИХ УГЛОВА ..................................................................................................................... 64 ОСНОВНЕ КОНСТРУКЦИЈЕ ТРОУГЛОВА ...................................................................................................... 65 ПОДУДАРНОСТ ТРОУГЛОВА. СТАВОВИ ПОДУДАРНОСТИ ................................................................. 66 ОПИСАНА И УПИСАНА КРУЖНИЦА ТРОУГЛА ......................................................................................... 72 ТРИ ПРАСЕТА И МАГИЧНИ ТРОУГАО ........................................................................................................... 74 ТЕСТ........................................................................................................................................................................... 76 ТЕСТ ...................................................................................................................................................................... 76 ТЕСТ ................................................................................................................................................................. 77 РЕШЕЊА ЗАДАТАКА............................................................................................................................................ 78

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

ЧЕТВОРОУГАО

uk a

pr om

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ – подсетник ........................................................................................................... 98 ПОЈАМ РАЦИОНАЛНОГ БРОЈА. СКУП 𝑸 ........................................................................................................ 99 РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ НА БРОЈЕВНОЈ ПРАВОЈ ................................................................................... 102 УПОРЕЂИВАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА .............................................................................................. 103 САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА ...................................................................... 106 ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ У СКУПУ 𝑸 ...................... 111 МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА .............................................................................. 115 ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ У СКУПУ 𝑸................................ 120 ПРАВОУГЛИ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ У РАВНИ ................................................................................... 124 ПРИКАЗИВАЊЕ ЗАВИСНОСТИ МЕЂУ ВЕЛИЧИНАМА ....................................................................... 128 ПРОЦЕНТИ, РАЗМЕРЕ И ПРОПОРЦИЈЕ ...................................................................................................... 132 ДИРЕКТНА И ОБРНУТА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ ДИРЕКТНА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ ............................................................................................................. 136 ОБРНУТА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ ................................................................................................................. 140 РИБАР РАША И ЗЛАТНА РИБИЦА ................................................................................................................. 143 ТЕСТ......................................................................................................................................................................... 144 ТЕСТ ................................................................................................................................................................... 144 ТЕСТ ............................................................................................................................................................... 144 РЕШЕЊА ЗАДАТАКА .......................................................................................................................................... 145

ЧЕТВОРОУГАО – подсетник ............................................................................................................................. 178 ПОЈАМ И ЕЛЕМЕНТИ ЧЕТВОРОУГЛА .......................................................................................................... 179 УГЛОВИ ЧЕТВОРОУГЛА ...................................................................................................................................... 181 ПАРАЛЕЛОГРАМ .................................................................................................................................................... 184 ПРАВОУГАОНИК, РОМБ И КВАДРАТ ............................................................................................................ 185 КОНСТРУКЦИЈА ПАРАЛЕЛОГРАМА ............................................................................................................. 187 ВЕКТОРИ ................................................................................................................................................................... 188 ТРАПЕЗ. ЕЛЕМЕНТИ И ОСОБИНЕ ТРАПЕЗА ............................................................................................. 191 КОНСТРУКЦИЈА ТРАПЕЗА ................................................................................................................................ 194 ДЕЛТОИД ................................................................................................................................................................... 195 ДОБРО СЕ ДОБРИМ ВРАЋА ............................................................................................................................... 197 ТЕСТ......................................................................................................................................................................... 198 ТЕСТ ................................................................................................................................................................... 198 ТЕСТ ............................................................................................................................................................... 199 РЕШЕЊА ЗАДАТАКА........................................................................................................................................... 200

ПОВРШИНА ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

uk a

pr om

ПОВРШИНА ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА – подсетник ......................................................................... 218 ПОЈАМ ПОВРШИНЕ, ЈЕДНАКОСТ ПОВРШИНА ....................................................................................... 219 ПОВРШИНА ПРАВОУГАОНИКА И КВАДРАТА .......................................................................................... 221 ПОВРШИНА ПАРАЛЕЛОГРАМА ...................................................................................................................... 224 ПОВРШИНА ТРОУГЛА ......................................................................................................................................... 226 ПОВРШИНА ТРАПЕЗА ......................................................................................................................................... 229 ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГЛА С НОРМАЛИМ ДИЈАГОНАЛАМА ........................................................ 231 ПОВРШИНА ПРОИЗВОЉНОГ ЧЕТВОРОУГЛА .......................................................................................... 232 БАЈКА О ПРИНЦЕЗИ И ОБУЋАРУ .................................................................................................................. 234 ТЕСТ......................................................................................................................................................................... 235 ТЕСТ ................................................................................................................................................................... 235 ТЕСТ ............................................................................................................................................................... 236 РЕШЕЊА ЗАДАТАКА .......................................................................................................................................... 237

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

ПРЕДГОВОР Драги учениче / драга ученице,

Подсећамо те на нашу намеру да пажљивим избором задатака развијамо твоју снагу мишљења. Вештином да правиш логичке закључке најбоље ћеш овладати ако покушаш да самостално урадиш што више задатака који су дати у збирци која је пред тобом.

pr om

На почетку сваке теме путем примера подсетићеш се појмова које ћеш користити у решавању задатака. Задаци су постављани тако да те поступно воде од једноставнијих ка сложенијим захтевима.

За једноставније захтеве (задаци означени са ) довољно је да познајеш основне појмове и поступке и зато је важно да их све пажљиво урадиш. Затим, следе задаци за чије решавање је потребно да повежеш појмове који су обрађени у уџбенику (задаци означени са ).

uk a

На крају су задаци који се решавају сложенијим поступцима и који ти посебно помажу да уочаваш чињенице и повезујеш их (задаци означени са ). Надамо се да ћеш проблемски задатак прихватити као изазов у коме ћеш проверити стечено знање и вештине за које верујемо да их усвајаш.

На крају сваке теме, припремили смо тестове помоћу којих можеш проверити своје знање по нивоима. Срећно!

uk a

pr om

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

  �о�се�ник 

pr om

Немања је са родитељима на мору. Тренутно је у Дубровнику, где измерена температура у 13 часова износи +39℃. „Благо пингвинима, они живе на Антарктику, тамо је баш хладно!”, уздахнуо је Немања. „Није толико хладно као на Арктику. Најнижа температура измерена на Арктику 2010. године била је −94℃, што је апсолутно најнижа измерена температура ваздуха на Земљи”, рече Немањин отац. „Шта значи минус степени, плус степени?”, питао је Немања оца. „Температура је у плусу ако је изнад 0℃, а у минусу ако је испод 0℃”, кратко му је одговорио отац.

uk a

 Док су Немања и његов отац причали о пингвинима, Немањин брат Сава је лежао на лежаљци испод сунцобрана и читао књигу о подморницама. Затим је узвикнуо: „Људи, како је то нестварно – подморница може да зарони у море на дубини од око 5 000 метара, док путнички авион лети 12 000 метара изнад мора! Немања, колико метара су удаљени авион и подморница? Ако израчунаш, купићу ти сладолед!” Помозите Немањи да добије сладолед од брата!

 Немањина мајка се није укључивала у разговор који је Немања водио са братом и оцем. Сачекала је моменат и задовољно рекла: „Управо ми је стигла порука из банке. Уплаћена ми је плата, тако да више нисам у минусу!” „Колико си у плусу? Шта каже твој телефон?”, упитао је Сава мајку. Немања је знатижељно погледао у брата. Није му било јасно шта то значи „бити у плусу, или бити у минусу”. Сава му је објаснио овако: „У плусу си кад потрошиш мање него што зарадиш. Мама је била у минусу, јер је потрошила више него што је зарадила! Тако ти је то са ЦЕЛИМ бројевима!” Немања је слегао раменима, јер му и даље није било баш сасвим јасно. „Битно је да сам ја данас у плусу са сладоледом – јутрос три кугле, сада још две.” Сава се само насмејао и рекао брату. „То нема везе са плусом и минусом. Али, још си ти мали. Целе бројеве учићеш у шестом разреду!” 8

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

1. Дат је скуп 𝑀 = {−72, 20, 11, 0, −445, −8 001}. а) Одреди подскуп 𝑃 скупа 𝑀 , ако скупу 𝑃 припадају природни бројеви; б) Одреди подскуп S скупa 𝑀 , ако скупу S припадају негативни цели бројеви; в) Да ли у скупу M постоји неки број који није елемент ни скупа 𝑃, ни скупа S?

6. У Нишу је у току једног фебруарског дана измерена температура по сатима износила: а) у 11 сати била је 1 степен испод нуле; б) у 18 сати измерено је 0 °С; в) у 8 сати била је 6 степени испод нуле; г) у 13 часова била је највиша и износила је 5 степени изнад нуле. Напиши целе бројеве који одговарају датим реченицама.

pr om

2. Дати су бројеви: −13, −7, −1, 0, 2, 5, 11, 20. а) Који су од датих бројева елементи скупа 𝑁 ? б) Који су од датих бројева елементи скупа 𝑁 0? в) Који су од датих бројева мањи од 0? г) Који су од датих бројева елементи скупа 𝑍 ?

в) Путнички авион лети на висини од 12 000 метара. г) Подморница зарања у море на дубини од 5 000 m. д) Петра је добила од брата 500 динара. ђ) Немања је на излету изгубио новчаницу од 1000 динара.

СКУП ЦЕЛИХ БРОЈЕВА

3. У празна поља упиши Т ако је исказ тачан или Н ако је исказ нетачан. а) −3 ∈ 𝑁 б) 15 ∉ 𝑍 − в) −13 ∈ 𝑍 е) 350 ∈ 𝑍

д) −144 ∉ 𝑁 0

ђ) 0 ∉ 𝑍 +

uk a

г) 0 ∈ 𝑁

ж) −11 ∈ 𝑍 −

4. Попуни табелу користећи симболе ∈ и ∉, као што је започето. 𝑁 0

𝑍 −

𝑍 +

𝑁

17 −4 0 22 −100 −8

∈

∉

∈

𝑍

∈

5. Напиши целе бројеве који одговарају датим реченицама: а) На Копаонику измерена температура 7. јануара 2020. године у 13 часова износила је десет степени испод нуле. б) Тог истог дана измерена температура у Солуну износила је шест степени изнад нуле.

7. Дат је скуп 𝐴 = {15, 28, 0, 104, 2 083}. а) Одреди скуп 𝐵 чији ће елементи бити следбеници бројева из скупа 𝐴 . б) Одреди скуп 𝐶 чији ће елементи бити преходници бројева из скупа 𝐴 .

8. Дат је скуп 𝑀 = {−15, −28, 0, −104, −2 083}. а) Одреди скуп 𝑆 чији ће елементи бити следбеници бројева из скупа 𝑀 . б) Одреди скуп 𝑃 чији ће елементи бити преходници бројева из скупа 𝑀 .

9. Напиши целе бројеве који одговарају следећим реченицама: а) у понедељак на Марковом текућем рачуну било 10 000 динара; б) у уторак је Марко био у минусу 20 000 динара на свом текућем рачуну; в) у среду је Марко био у плусу 30 000 динара на свом текућем рачуну; г) у четвртак и петак на Марковом рачуну било је 50 000 динара. 10. Младен је кренуо са родитељима на одмор. Испланирали су да проведу седам дана на Златибору. Младен располаже са џепарцем од 2 000 динара. Испланирао је да сваког дана потроши 300 динара на игрице. Да ли ће Младен моћи да испуни 9

свој финансијски план? Образложи одговор. 11. Заокружи слово испред исказа који је тачан. Ненегативан број је број који: а) није ни позитиван ни негативан; б) већи је од нуле или једнак је нули; в) већи је од нуле.

17. Дат је скуп 𝑀 ={−18, −27, 39, −24, 12, 0, 32, 52}. а) Одреди скупове 𝐴 и 𝐵, 𝐴 ={𝑥 ∈ 𝑀 ⎸𝑥 је ненегативан цео број}, 𝐵={𝑥 ∈ 𝑀 ⎸𝑥 је непозитиван цео број}. б) Колико елемената садржи скуп 𝐴 ∩ 𝐵?

18. Запиши све целе бројеве који се записују цифрама 1, 3 и 5, тако да се свака цифра у запису користи само једном, а бројеви буду: а) двоцифрени позитивни; б) двоцифрени негативни; в) троцифрени.

pr om

12. Заокружи слова испред исказа који су тачни. Непозитиван број је број који: а) мањи је од нуле; б) елемент је скупа 𝑁 0; в) мањи је или једнак нули; г) елемент је скупа 𝑍 − ⋃ {0}; д) није ни позитиван ни негативан број.

16. У празна поља упиши целе бројеве, поштујући правило по коме је започет низ. а) 2, 5, 8, 11, , , б) 6, 4, 2, , , в) −1, −2, −3, , , г) −30, −20, −10, , , д) −12, −7, −2, , ,

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

13. У празна поља упиши Т ако је исказ тачан или Н ако је исказ нетачан. а) 𝑁 0 ⊂ 𝑁 г) 𝑍 + ⊃ 𝑍 − б) 𝑍 + ⊃ 𝑁 0 д) 𝑍 +⊂ 𝑍 ђ) 𝑍 + ⊂ 𝑁 0

uk a

в) 𝑁 ⊂ 𝑍

14. Заокружи слова испред исказа који су тачни: а) Нула је природан број. б) Нула није ни позитиван ни негативан број. в) Нула је цео број. г) Нула је елемент скупа ненегативних целих бројева. д) Нула је елемент скупа негативних целих бројева.

15. У празно поље упиши симбол: ⊂ или ⊄, тако да исказ буде тачан. а) {−5, −4, −3} 𝑍 − б) {10, 0, 12, 20, 200} 𝑁 в) {−10, −20, −30, 0} 𝑍 − ⋃ {0} г) {13, −28, 0, 281} 𝑍 д) {−1, 3, −5, 7, 9} 𝑍 + ⋃ {0} 10

19. Попуни празна поља тако да искази буду тачни. а) 𝑍 +\ 𝑁 = г) 𝑍 − ∪ 𝑁 0= б) 𝑍 \ 𝑁 0 = д) 𝑍 + ∩ 𝑁 0= в) 𝑍 +\ 𝑍 − = ђ) 𝑍 + ∩ 𝑍 − =

20. Попуни празна поља тако да се добију тачни искази. а) 𝑍 \ {0} = ∪ б) 𝑍 − ∪ 𝑍 += \ − в) 𝑍 \ 𝑁 0= ∩ г) 𝑍 ∩ 𝑍 = \ д) ∪ ∪ = 𝑍 ђ) 𝑍 \ ( ∪ )={0}

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

28. Напиши 4 узастопна цела броја, тако БРОЈЕВНА ПРАВА. да су: СУПРОТНИ БРОЈЕВИ. а) сви позитивни; б) сви ненегативни; АПСОЛУТНА в) сви негативни; ВРЕДНОСТ ЦЕЛОГ г) 2 ненегативна и 2 негативна. БРОЈА 29. За колико јединичних дужи треба

22. На бројевној правој одреди тачке: 𝐴 (−3), 𝐵(−1), 𝐶 (0), 𝐷(4), 𝐸(+7).

1 A

pr om

23. На бројевној правој уцртане су тачке 𝐴 , 𝐵, 𝐶 , 𝐷, 𝐸 и 𝐹. Којим целим бројевима одговарају уцртане тачке?

30. На бројевној правој дата је тачка 𝑀 (−1). Одреди координату: а) тачке 𝑃 која је од тачке 𝑀 удаљена 3 јединичне дужи и налази се лево од тачке 𝑀 ; б) тачке 𝑅 која је од тачке 𝑀 удаљена 5 јединичних дужи и налази се десно од тачке 𝑀 ; в) тачке 𝑆 која је од тачке 𝑀 удаљена 2 јединичне дужи. Колико има таквих тачака?

21. Нацртај бројевну праву и на њој означи бројеве: 3, 0, 9, −2, −1, 5, −8.

померити тачку 𝑇(2), на бројевној правој да би се после померања поклопила са тачком: а) 𝐴 (−2); б) 𝐵(+6); в) 𝐶 (−10); г) 𝐷(0)?

B C

uk a

24. Представи на бројевној правој бројеве −4 и 5. а) Који се цели бројеви налазе између бројева −4 и 5? б) Који се природни бројеви налазе између бројева −4 и 5? в) Који се негативни цели бројеви налазе између бројева −4 и 5?

25. Напиши број који се на бројевној правој налази: а) 4 јединичне дужи десно од 0; б) 3 јединичне дужи лево од 0; в) 2 јединичне дужи десно од 2; г) 3 јединичне дужи лево од −2; д) 3 јединичне дужи десно од −1. 26. Који се број на бројевној правој налази: а) 33 јединичне дужи десно од 33; б) 33 јединичне дужи лево од 33; в) 33 јединичне дужи десно од −10; г) 33 јединичне дужи лево од −10?

27. Напиши пет узастопних целих бројева који се на бројевној правој налазе: а) лево од броја −10; б) десно од броја −3; в) лево од броја 4; г) десно од броја 11.

31. Одреди координате тачака које су за: а) 2; б) 5; в) 10; јединичних дужи удаљене од координатног почетка. 32. Које су тачке централносиметричне тачкама: а) 𝐴 (+2); б) 𝐵(−4); в) 𝐶 (17); г) 𝐷(−10); у односу на координатни почетак?

33. Одреди супротне бројеве следећим целим бројевима: а) −8; б) 24; в) −105; г) 1 330; д) 0; ђ) −33. 34. Напиши 4 пара супротних целих бројева.

35. Попуни празна поља у табели, тако да у свакој колони буду парови супротних целих бројева: х –х

–3

–5

–19 –24

100 –555 11

36. Одреди број који је супротан: а) броју 111; б) најмањем природном броју друге десетице; в) највећем троцифреном броју; г) најмањем простом броју четврте десетице; д) целом броју који се налази између бројева −1 и 1.

38. Допуни реченице тако да се добије исказ који је тачан: а) ако је 𝑝 = 5, онда је −𝑝 =_______; б) ако је 𝑞 = −7, онда је −𝑞 =_______; в) ако је −𝑥 = −8, онда је 𝑥 =_______; г) ако је −𝑦 = 28, онда је 𝑦 =_______.

uk a

39. Одреди апсолутне вредности бројева: +11; −5; −28; 0; +222; −375; 2 023.

40. Дат је скуп 𝐴 ={28, −5, −60, 4, −4, 60, 12, −28, 15}. Издвој парове бројева који су елементи скупа 𝐴 са једнаким апсолутним вредностима. 41. Одреди бројеве чија је апсолутна вредност: а) 3; б) 54; в) 89; г) 0; д) −12; ђ) –(−101). 42. Попуни празна поља у табели: х

–х

|𝑥 |

|–𝑥 | –|𝑥 |

–|–𝑥 |

–14

–69

–х

|𝑥 |

–56

+24

–8

200

1 002

–2 023

44. Напиши четири позитивна и четири негативна цела броја која имају апсолутну вредност већу од 5, а мању од 10. 45. Колико јединичних дужи на бројевној правој су удаљене тачке чије су апсолутне вредности једнаке броју: а) 3; б) 10; в) 96; г) 200; д) 250; ђ) 500?

46. На бројевној правој дате су тачке 𝐴 (−7) и 𝐵(+4). Ако је растојање између те две тачке 33 cm, колика је дужина јединичне дужи?

pr om

37. У празно поље упиши цео број тако да једнакост буде тачна. а) −(+4) = д) −(−(+4)) = б) −(−4) = ђ) −(−(−4)) = в) −(−155) = е) −(−(−155)) = г) −(+155) = ж) −(−(+155)) =

43. Попуни табелу:

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

47. Одреди координату средишта дужи 𝑃𝑄 ако је: а) 𝑃(−7) и 𝑄(+7); б) 𝑃(−5) и 𝑄(+11); в) 𝑃(+25) и 𝑄(−1); г) 𝑃(+17) и 𝑄(−23). 48. Израчунај: а) −(+12); г) −(−48); б) −(−(+12)); д) −(−(−48)); в) −(−(−(+12))); ђ) −(−(−(−48))). 49. Израчунај: а) −|+12|; б) −|−(+12)|; в) −|−(−(+12))|;

г) −|−48|; д) −|−(−48)|; ђ) −|−(−(−48))|.

50. Израчунај вредност израза: а) |−10| + |+10|; в) |−20| − |+10|; б) |−10| − |+10|; г) |−20| − |−10|.

51. Израчунај вредност израза: а) |−24| ∶ 12 + 30 − |−5|; б) 100 + |−5| ∙ |−8| − |−10| ∙ |−4|; в) |−21| − |−7| ∙ |−2|+ 3 ∙ |−15|; г) |−77| ∶ |+11| − |33| ∙ 0 + 21 ∙ |−2|.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

59. Ако је 𝑥 =−105, 𝑦 =−35 и 𝑧=−5, израчунај вредност израза: а) 2 ∙ |𝑥 | − |𝑦 | ∶ |𝑧|; б) |𝑥 | − 10 ∙ |𝑦 | ∶ |𝑧|; в) ||𝑥 | − |𝑦 | ∶ |𝑧||; г) −||𝑥 | + |𝑦 | ∙ |𝑧||.

52. Израчунај: а) |18 − 16| + |−2| + |12|; б) |−2| ∙ 100 − |17 − 13| ∙ |−50|; в) |5| ∙ |−5| − |16 − 10| ∶ |9 − 6|; г) |4 − 4| ∙ |32 − 22| + |25 − 15 ∶ 3|.

60. Ако је 𝑝 =−2, израчунај 𝑞 тако да важи: а) 𝑞 = −|13−|𝑝 ||; б) 𝑞 = −|13−|−𝑝 ||; в) 𝑞 = −(13−|−𝑝 |); г) 𝑞 =−|−(−13)+|𝑝 ||.

53. Израчунај вредност израза: а) −(−(−(−28))) ∶ |−4|; б) |−(−102)| ∶ (−(−3)); в) −(−|−350|) ∶ |−(−5) + 2|; г) −(−(−(−8))) ∙ |−(−20)|; д) −(−|+100 − 40|) − |−(−8) + 3 ∙ 10|.

61. Попуни табелу: |𝑥 | + 5 |𝑥 | – 5

–14

–9

108

62. Валентина је замислила један цео број. О том броју имаш следеће податке; 1) налази се између бројева −3 и 3; 2) није једнак 0; 3) од 0 је удаљен 2 јединичне дужи; 4) он је ненегативан цео број. Који је број Валентина замислила?

pr om

54. У празно поље ушиши  ако је исказ тачан или  ако је исказ нетачан. а) |10|=10 б) |−10|= −10 в) |−10|= −(−10) г) −|−10|= −10 д) −|−10|= +10

–10

|𝑥 |

uk a

55. У празно поље упиши T ако је исказ тачан или Н ако је исказ нетачан: а) |9 − 9| + |9| + |−9| = 18 б) |32 + 32| ∶ |−(−(−8))| = −8 в) |9 − 9| + |−29|−|+29| = 0 г) |32 − 32| ∶ |−(−(−8))| = −8 д) |32 − 9| ∶ |−(−|23|)| = 1

56. а) Који позитиван цео број има апсолутну вредност једнаку 29? б) Да ли постоји негативан цео број чија је апсолутна вредност једнака броју 29? в) Како се називају бројеви који имају једнаке апсолутне вредности? 57. Одреди све целе бројеве 𝑥 , који задовољавају једнакост: а) |𝑥 |=5; г) |𝑥 |=|−54|; б) |𝑥 |=39; д) |𝑥 |=|−(−96)|; в) |𝑥 |=0; ђ) |𝑥 |=−17.

58. Ако је 𝑎=−36, 𝑏=−4 и 𝑐=3, израчунај вредност израза: а) |𝑎| + |𝑏| + |𝑐|; б) |𝑎| − |𝑏| − |𝑐|; в) |𝑎| ∶ |𝑏| + |𝑐|; г) |𝑎| − |𝑏| ∙ |𝑐|.

63. Марко је замолио Сару да му каже шифру за интернет. Сара му је одговорила да шифра за интернет садржи четири цифре 𝑥 ,𝑦 ,𝑝 и 𝑞 и да су оне решења једначина: 𝑥 = −(−|−5|); 𝑦 = |−(−(−4))|; 𝑝 = 8 − |−20| : (−(−10)); 𝑞 = |−(−7) + 1|. Ако шифра за интернет одговара броју pqyx одреди тај број. 64. Ако је 𝑥 цео број већи од 0, упрости изразе: а) |𝑥 | + |−𝑥 |; в) |𝑥 |−|−𝑥 |; б) |−𝑥 |+|𝑥 |; г) |−𝑥 |−|𝑥 |. Да ли би се добио исти резултат, ако би 𝑥 био цео број мањи од 0?

65. Ако је 𝑦 цео ненегативан број, упрости изразе: а) 6 ∙ |𝑦 |+2|−𝑦 |; б) 6 ∙ |−𝑦 |−2|−𝑦 |; в) −(|−6| ∙ |−𝑦 |+2|−𝑦 |); г) −(|−6| ∙ |𝑦 |−2|−𝑦 |). Да ли би се добио исти резултат, ако би 𝑦 био негативан цео број? 13

66. Број 𝑝 је цео позитиван број. Израчунај број 𝑞 за који важи: а) 𝑞 = 10 ∙ |𝑝 | ∶ |−10|; б) 𝑞 = 10 ∙|𝑝 | ∶ |−5|; в) 𝑞 = |−10| ∙ |𝑝 | ∶ |−𝑝 |; г) 𝑞 = |0| ∶ (|−𝑝 | + |𝑝 |). 67. Заокружи слова испред тачних једнакости, ако је 𝑝 ненегативан цео број. а) −(−𝑝 ) = −|−𝑝 |; б) |−𝑝 | = 𝑝 ; в) |−𝑝 | = |𝑝 |; г) −|𝑝 | = −𝑝 . Које би једнакости биле тачне, ако би број 𝑝 био негативан цео број?

68. Одреди подскуп скупа целих бројева 𝑥 , за које важи: а) |𝑥 | < 5; б) |𝑥 | > 5; в) |𝑥 | ≥ 0; г) |𝑥 | < 0; д) |𝑥 | > −6; ђ) |𝑥 | ≤ −6.

73. На линији упиши знак < или >, тако да исказ буде тачан: а) −2 _____−5; г) 15 _____−13; б) −16 _____−26; д) −100 _____+100; в) −10_____ 0 ; ђ) 12 ______ 0.

74. У квадратић упиши знак <, > или = тако да бројеви буду правило упоређени: а) −5 |−5|; б) −12 −|−12|; в) −8 −(−8); г) |−10| |10|; д) −|−(−7)| −(−(−7)); ђ) |−5| |−11|.

75. Дате целе бројеве поређај од најмањег до највећег: а) 21, 144, 0, 1, 108, 33; б) −21, −144, 0, −1, −108, −33; в) −18, 15, −10, 0, −101, 92.

pr om

69. Одреди све парове целих бројева 𝑚 и 𝑛 за које важи: а) 3 + |𝑚| ∙ |𝑛| = 4; б) |𝑚| ∙ |𝑛| + 2 = 8; в) 12 − |𝑚| ∙ |𝑛| = 4; г) |𝑚| ∙ |𝑛| − 5 = 5.

УПОРЕЂИВАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

uk a

70. Дати су скупови: 𝐴 = {𝑎 ⎸𝑎 ∈ 𝑍 и |𝑎| ≤ 4}, 𝐵 = {𝑏 ⎸𝑏 ∈ 𝑍 и |𝑏| ≥ 3}, 𝐶 = {𝑐 ⎸𝑐 ∈ 𝑍 и |𝑐| < 2}. a) Одреди елементе датих скупова. б) Одреди елементе скупа 𝐶 \(𝐴 ∩ 𝐵).

71. Израчунај збир производа и количника апсолутних вредности бројева −342 и −6. 72. Одреди супротан број најмањег троцифреног броја. Затим његову апсолутну вредност умањи за количник апсолутних вредности бројева −200 и −8. Који си број добио? Одреди збир свих делиоца добијеног броја.

76. Дат је скуп 𝐴 ={−5, 88, −92, 1, 62, −2023}. Одреди скуп 𝐵 чији су елементи бројеви супротни бројевима из скупа 𝐴 . a) Који је број из скупа 𝐴 најмањи? б) Који је број из скупа 𝐵 највећи? в) Упореди апсолутну вредност највећег броја скупа 𝐴 и најмањег броја скупа 𝐵. 77. Дати су цели бројеви: 85, −4, 17, −85, −33, −17, 4. а) Поређај дате бројеве у растућем поретку. б) Који од датих бројева имају исту апсолутну вредност?

78. Поређај у опадајућем поретку апсолутне вредности целих бројева: −42, 12, −9, 0, 110, 18, −33, −1. 79. На линији испред датог целог броја запиши његов претходник: а) ______ , −11; г) ______ , 12; б) ______ , −339; д) ______ , 0; в) ______ , −6; ђ) ______ , 1.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

80. На линији поред датог целог броја запиши његов следбеник: а) −11, ______; г) 12, ______; б) −339, ______; д) 0, _______; в) −6, ______; ђ) −1, _____.

87. Нека је број 𝑥 негативан цео број, такав да задовољава дату неједнакост. Набрајањем елемената напиши скуп решења. а) 0 ≤ 𝑥 < 8; б) −4 ≤ 𝑥 < 2; в) 𝑥 < −10; г) −2023 ≤ 𝑥 < 0; д) 𝑥 > −6; ђ) 𝑥 ≥ 0.

82. Допуни следећи низ целих бројева тако да бројеви буду записани у растућем поретку: а) −4, _____, _____, −1, _____ ,_____, 2; б) −101, −100, _____, _____, −97, _____, _____, −94; в) −3, −2, _____, 0, _____, 2, _____, 4.

89. Уместо ∗ стави одговарајуће цифре, тако да добијена неједнакост буде тачна: а) −9∗ < −97; г) −135 ≥ −13∗; б) −1∗1 > –150; д) |−54| > |5∗|; в) −636 ≤ –6∗6; ђ) |52| ≤ |−∗2|.

88. На датој линији упиши одговарајући цео број тако да исказ буде тачан. а) Следбеник броја 100 је уједно претходник броја ______. б) Претходник броја 80 је уједно следбеник броја ______. в) Следбеник броја −100 је уједно претходнк броја ______. г) Претходник броја −80 је уједно следбеник броја ______.

pr om

81. Дат је скуп 𝐵={−24, 2023, 14, 0, −32}. а) Који бројеви из скупа 𝐵 су једнаки својој апсолутној вредности? б) Који бројеви из скупа 𝐵 су мањи од своје апсолутне вредности? в) Да ли у скупу 𝐵 има бројева који су већи од своје апсолутне вредности? Образложи одговор.

uk a

83. Одреди све целе бројеве 𝑧, за које важи неједнакост: а) 4 < 𝑧 ≤ 11; г) −3 ≤ 𝑧 ≤ 6; б) 3 ≤ 𝑧 < 9; д) −10 < 𝑧 < 4; в) −5 < 𝑧 < 5; ђ) −1 ≤ 𝑧 < 0.

84. Одреди све целе бројеве који имају: а) апсолутну вредност једнаку броју 5; б) апсолутну вредност мању од 5.

85. Запиши три позитивна и три негативна цела броја чија је апсолутна вредност већа од 5. 86. Допуни реченицу тако да тврђење буде тачно: а) Најмањи цео број чија је апсолутна вредност једнака 5 једнак је ____________; б) Најмањи цео број чија је апсолутна вредност мања од 5 једнак је ____________; в) Највећи негативан цео број чија је апсолутна вредност већа од 5 једнак је ____________.

90. Запиши све целе бројеве за које важи: а) 0 < |𝑥| ≤ 2; г) −5 ≤ |𝑥| ≤−1; д) 7< |𝑥| ≤ 10; б) −1 < |𝑥| ≤ 0; в) −1 < |𝑥| < 0; ђ) |𝑥| < 5.

91. За број 𝑦 знамо да је цео број и да задовољава записану неједнакост: а) 𝑦 ≥ 0 __________________________; б) −8 ≤ 𝑦 < 0 _____________________; в) 0 < 𝑦 ≤ 29 ______________________. На датој линији поред исказа запиши да ли је 𝑦 позитиван број, негативан број или ненегативан број.

92. Нека су бројеви 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑 цели бројеви, задати на следећи начин: −𝑎 = −(−(−3)); 𝑏 = −|−4|; −𝑐 = |−(−5)|; 𝑑 = −(−|−6|). Поређај по величини од најмањег до највећег бројеве 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑.

93. Дати су скупови: 𝐴 = {𝑎 ⎸𝑎 ∈ 𝑍 и |𝑎| ≤ 4}, 𝐵 = {𝑏 ⎸𝑏 ∈ 𝑍+ и |𝑏| < 5}, 𝐶 = {𝑐 ⎸𝑐 ∈ 𝑍− и 1 ≤ |𝑐| ≤3}. а) Одреди елементе скупова 𝐴, 𝐵 и 𝐶. б) Одреди елементе скупа 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶.

94. Нека су 𝑎 и 𝑏 цели бројеви. Ако је |𝑎|=|𝑏|, да ли увек важи једнакост 𝑎 = 𝑏? Образложи одговор.

95. Ако су 𝑚 и 𝑛 цели бројеви за које важи да је |𝑚| > |𝑛|, да ли увек важи неједнакост 𝑚 > 𝑛? Образложи одговор. 96. Ако су 𝑚 и 𝑛 цели бројеви за које важи да је |𝑚| < |𝑛|, да ли увек важи неједнакост 𝑚 > 𝑛? Образложи одговор. 97. Одреди целе бројеве 𝑚 и 𝑛, за које важи да је: 𝑚 > 𝑛, |𝑚| < |𝑛|, |𝑚| ≤ 2 и |𝑛| ≤ 2.

в) г) д) ђ)

+(+5) –4

+(–6)

–4 +(–4)

–5

–1

–6

99. Одреди све целе бројеве 𝑎 и 𝑏 за које важи: а) |𝑎| + |𝑏| = 5; б) |𝑎| + |𝑏| < 5.

uk a

100. Одреди све целе бројеве 𝑎 и 𝑏 за које важи: а) |𝑎| ∙ |𝑏| = 3; б) |𝑎| ∙ |𝑏| < 3.

САБИРАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА. СВОЈСТВА САБИРАЊА ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 101. На слици испод текста приказано је сабирање два цела броја. Запиши одговарајућу једнакост којом је приказано то сабирање.

+(+5)

–1

–1 +(+6)

1 2

0 0

1 6

+(–6)

pr om

98. За које целе бројеве 𝑧 важи да је: а) −𝑧 > 0; д) |−𝑧| > 0; б) –𝑧 < 0; ђ) −|−𝑧| < 0; в) |−𝑧| < 0; е) −|−𝑧| > 0; г) |−𝑧| = 0; ж) |𝑧| + |−𝑧| < 0?

б)

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

102. Прикажи на бројевној правој следећа сабирања: а) +5+(+1); б) +2+(−1); в) −5+(+1); г) −5+(−1); д) +5+(−5); ђ) −5+(+5). 103. Израчунај збир: а) б) 1) +12 + (+8); 1) +12 + (−8); 2) −12 + (−8); 2) −12 + 8; 3) +72 + 18; 3) −72 + (+18); 4) −72 + (−18); 4) 72 + (−18).

104. Одреди збир датих целих бројева. Затим то сабирање прикажи графички на бројевној правој: а) −2 и +6; г) −4 и −3; б) −7 и −1; д) +9 и −8; в) +1 и −5; ђ) −4 и +4.

105. Одреди збир датих целих бројева, па то сабирање прикажи на бројевној правој. а) –(−8) и −7; б) –(+6) и –(−10); в) –(−2) и –(−3); г) –(−9) и –(+4); д) –(+6) и –(−6); ђ) –(−5) и –(+5). 106. Израчунај: а) (+11)+(−16);

б) (−27)+(+25);

г) +26+(−10); ђ) −118+(+118).

107. Израчунај следеће збирове, па заокружи слово испред збира чија је вредност једнака −19. а) −12+(+7); б) −12+(−7); в) 12+(+7); г) 12+(−7).

108. Заокружи слова испред збира чија је вредност једнака 0. а) −10+(−10); в) 10+(−10); б) −10+(+10); г) 10+(+10). 109. Попуни табелe тако што ћеш сабирати дате целе бројеве:

𝑏 𝑎+𝑏

𝑎

1 336 −336

−1 336 +336

2 023

−2 023 +835

−2 022 +1 000

+65

−948

–948 +52

3 366 −365

–3 366 −2 000 −365 +2 000

+7 500

𝑎 𝑏 𝑎+𝑏

305 −428

𝑏 𝑎+𝑏

−750

–308

+308

113. Који од датих израза имају једнаке бројевне вредности? 𝐴 = 25 + (−5) + (−10), 𝐵 = (−36) + 20 + (+15), 𝐶 = −110 + 60 + (−50), 𝐷 = −72 + (+12) + (+60), 𝐸 = |130| + (−131), 𝐹 = |−150| + (−150), 𝐺 = 9 + |−1|, 𝐻 = −(|−99| + |−1|). 114. Попуни празна поља у мрежи. а) –4

+258

110. У празан квадратић напиши један од знакова: плус (+) или минус (−), тако да искази буду тачни: а) (−12) + (+11) = 1; б) (−19) + (+27) = 8; в) (+28) + (−58) = 30; г) (−36) + 0 = 36; д) (−2022) + (−1) = 2 023.

111. Уместо ∗ упиши један од знакова: плус (+) или минус (−), тако да једнакости буду тачне: а) (∗10) + (∗19) = −9; б) (∗2)+(∗18)=+16;

−52

−258

г) (∗21)+(∗9)=−30;

112. Израчунај збир: а) +6 + 3 + (−5); б) −5 + 2 + (−8); в) −8 + 7 + (−5); г) −9 + (−6) + (−10); д) −11 + (−9) + (−30); ђ) −39 + 19 + (+20).

pr om

𝑎

205 +16

uk a

𝑎 𝑏 𝑎+𝑏

в) (∗14) + (∗8) = −6; д) (∗16) + (∗24) = +40.

в) (−135)+132; д) 421+(−153);

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

б) –6

–7

–3

–11

+ +

–8

–9

+ +

115. У празан квадратић упиши знак <,> или =, тако да исказ буде тачан. а) −117 + (−22) 100+(−222); б) −33 + 999 −999 + 33; в) −203 + (+203) +160 + (−160).

116. У празан квадратић упиши одговарајући број тако да добијени исказ буде тачан: а) −31+ = −41; б) −31+ = −8; 17

г) −31+ = −32; ђ) −31+ = +16; ж) +(−12) = 12; и) +(−100) = −100; к) +(−34) = 0;

117. Попуни дату табелу. 𝑎 𝑏

–8 +3

𝑎

–12

𝑎+𝑏 𝑏 𝑎+𝑏

–11

+10

–2

–12

–27

–1

+12

–17

–1

–36 +36

–17

118. Попуни празна поља у мрежи. +

–5

+10

+300

–24

uk a

305

119. Ако је 𝑥 = −9 и 𝑦 = −5, израчунај вредност израза и попуни дате табеле: а) б) 𝑥 + 𝑦 − (𝑥 + 𝑦 ) 𝑥 + (−𝑦 ) −(𝑥 + (−𝑦 )) −𝑥 + 𝑦

−𝑥 + (−𝑦 )

− (−𝑥 + 𝑦 )

− (−𝑥 + (−𝑦 ))

120. Ако је 𝑚 = 30 и 𝑛 = −40, израчунај: а) 𝑚 + 𝑛; б) −𝑚 + 𝑛; в) 𝑚 + (−𝑛); г) |𝑚| + |𝑛|; д) −|𝑚| + |𝑛|; ђ) |𝑚 + 𝑛|; е) −|𝑚 + 𝑛|; ж) −|–𝑚 + (−𝑛)|; з) |𝑚 + 𝑛| + |−𝑚 + 𝑛|.

121. Шта је веће: |𝑝 + 𝑞 | или |𝑝 | + |𝑞 |, ако је: а) 𝑝 = 7 и 𝑞 = −13; б) 𝑝 = −7 и 𝑞 = −13; 18

в) 𝑝 = −7 и 𝑞 = +13; г) 𝑝 =7 и 𝑞 = 13?

122. Броју 52 додај збир бројева −71 и −19. Запиши израз, па израчунај вредност тог бројевног израза. 123. Збриру бројева −361 и 48 додај збир бројева −401 и 505. Запиши израз, па израчунај вредност тог бројевног израза.

124. Збиру бројева −78 и −22 додај број који је супротан броју −100. Запиши израз, па израчунај вредност тако добијеног бројевног израза. 125. Апсолутној вредности збира бројева −58 и 17 додај збир апсолутних вредности бројева −41 и −35. Запиши одговарајући бројевни израз, па израчунај његову бројевну вредност.

pr om

в) −31+ = 13; д) −31+ = −31; е) −31+ = 0; з) +(+18) = −50; ј) +(+28) = +98; л) +(+80) = 0.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

126. Који број је за 66 већи од збира бројева −300 и 450?

127. Који од бројева из скупа 𝐴 = {−6, 8, 0, 11, −7, 3, −3} треба ставити уместо ∗ у изразу −11+ ∗, тако да добијена вредност збира буде: а) једнака 0; б) најмања могућа; в) највећа могућа? 128. Ако је 𝑎 = −(−10) + |−25 + 8| и 𝑏 = 1 + |−𝑎|, израчунај вредност следећег израза: а) –𝑎 + |𝑏 + 2|; б) –𝑎 + |𝑏| + 2; в) |–𝑎 + 2| + |−𝑏|; г) |–𝑎 + 𝑏| + |−𝑎| + |−𝑏|; д) −|𝑎| + |−𝑏|; ђ) 2 + |−𝑏 + 𝑎|. 129. Применом закона комутативности и асоцијативности израчунај дати збир целих бројева: а) −8 + 12 + (−2); б) 17 + (−5) + 23; в) −20 + (+18) + (−30); г) −11 + 14 + (−9) + 16; д) 35 + (−106) + 24 + (−4); ђ) (−33) + (−28) + 101 + (−17).

138. Дати су бројеви: 𝑥 = −(−(−2)); 𝑦 = −|−|−12||; 𝑧 = |−(−15)|. Одреди број 𝑝 , ако је 𝑝 = −|−|𝑥 + 𝑦 + 𝑧|| + 1.

ОДУЗИМАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 139. На слици испод текста приказано је одузимање два цела броја. Запиши одговарајућу једнакост којом је приказано то одузимање.

pr om

131. Израчунај збир свих целих бројева који се налазе између: а) 2 и 13; г) −15 и −8; б) −2 и −13; д) −4 и 0; в) −1 и 5; ђ) −9 и +9.

|𝐴 | + |𝐵| + 𝐶 | + |𝐷|.

|𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷|

130. Користећи својства сабирања израчунај вредност бројевног израза: а) +6 + 2 + (−7) + (+7) + (−2) + (−6); б) −13 + (−16) + (+5) + 16 + (−5) + (+13); в) −18 + (−14) + (−12) + 18 + 14 + 12; г) (+3) + (−20) + 8 + 17 + (−12) + 4; д) –(+101) + |−96| + 500 + 101 + (−96) − 501; ђ) −2 023 + 25 +|−30 + 5| + |−2 023| + (−50) + |−50|.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

132. Израчунај вредност израза: |−10 + 𝑥 − 2|, ако је −𝑥 ∈ {1, 5, −7, −12, −20}.

uk a

133. Израчунај збир свих целих бројева 𝑥 скупа 𝐴 који је задат на следећи начин: а) 𝐴 = {𝑥 ⎸𝑥 ∈ 𝑍 и −105 ≤ 𝑥 ≤ +105}; б) 𝐴 = {𝑥 ⎸𝑥 ∈ 𝑍 и −105 ≤ 𝑥 < +105}; в) 𝐴 = {𝑥 ⎸𝑥 ∈ 𝑍 и −105 < 𝑥 ≤ +105}; г) 𝐴 = {𝑥 ⎸𝑥 ∈ 𝑍 и −105 < 𝑥 < +105}.

134. Одреди збир свих елемената скупа 𝐴 који је задат на следећи начин: а) 𝐴 = {𝑎 ⎸𝑎 ∈ 𝑍 , |𝑎| < 5 и 𝑎 > −10}; б) 𝐴 = {𝑎 ⎸𝑎 ∈ 𝑍 , |𝑎| > 5 и −8 < 𝑎 ≤ 5}; в) 𝐴 = {𝑎 ⎸𝑎 ∈ 𝑍 , |𝑎| ≤ 4 и 𝑎 ≥ 0}; г) 𝐴 = {𝑎 ⎸𝑎 ∈ 𝑍 , |𝑎| < 6 и −3 < 𝑎 ≤ 5}.

135. Одреди седам узастопних целих бројева таквих да њихов збир буде једнак: а) 0; б) 7; в) 14; г) −14; д) −21; ђ) −7; е) 5. 136. Израчунај вредност израза: а) –(−33 + 23) + |−13 − 33| + (|−8| + (−8)); б) –|−33 + 23| + |−15 + 5| + (−|17| + |−17|); в) (−38 + (−12)) + ||−38| + |−12|| + (−(−8)).

137. Дати су бројеви 𝐴 , 𝐵, 𝐶 и 𝐷, такви да је: 𝐴 = −(−18) + (−8), 𝐵 = 13 + (−𝐴 ), 𝐶 = |−𝐴 + 𝐵|, 𝐷 = −(𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ). У празно поље упиши знак <,> или =, тако да исказ буде тачан

б) в) г)

д) ђ)

–1

–6

–(+4)

–(+5)

–5

–4

–3

–2

–1

–(–5)

–(+6) –3

–1

–6

–2

–1

–(–4)

–5

–4

–3

–2

–1

–(–7) –4

–3

–2

–1

140. На бројевној правој прикажи следећа одузимања: а) (+5) − (+1); г) +5 − (+5); б) −5 − (−1); д) +5 − (−5); в) −5 − (−5); ђ) −5 − (+5). 19

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

141. Израчунај разлику: а) б) 1) +12 − (+8); 1) +12 − (−8); 2) −12 − (−8); 2) −12 − 8; 3) +72 − 12; 3) +72 − (−12); 4) −72 − (−12); 4) −72 − (+12).

147. Попуни табеле тако што ћеш одузимати дате целе бројеве. 𝑎 205 305 1 236 −1 236

𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 𝑏−𝑎

−415

−114

−116

2 023 −2 023 −2 022 +2 000

875 +65

−338 −54

3336 −336

0 128

−101 +101

0 −128

pr om

143. Одреди разлику датих целих бројева, па то одузимање прикажи на бројевној правој. а) –(−7) и −1; б) –(+6) и –(−1); в) –(−2) и –(−3); г) –(−5) и –(+4); д) –(+6) и –(+1); ђ) –(−8) и –(−11).

𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 𝑏−𝑎

142. Одреди разлику датих целих бројева. Затим то одузимање прикажи графички на бројевној правој: а) −2 и +6; г) −4 и −3; б) −7 и −1; д) +3 и −2; в) +1 и −5; ђ) −4 и +4.

𝑏 𝑎−𝑏 𝑏−𝑎

uk a

144. Израчунај разлику датих целих бројева: а) (+11) − (−16); б) (−27) − (−25); в) (−135) − 132; г) +26 − (−10); д) 421 − (−121); ђ) −118 − (−118).

145. Израчунај следеће разлике, па заокружи слово испред разлике чија је вредност једнака −15. а) −12 − (−3); б) −12−(+3); в) 12 − (+3); г) 12 − (−3).

146. Заокружи слово испред разлике чија је вредност једнака 0. а) −10 − (+10); б) −10 − (−10); в) 10 − (−10); г) −10 − |−10|. 20

148. У празан квадратић напиши знак плус (+) или минус (−), тако да једнакости буду тачне: а) (−13) − (−11) = 2; б) (−18) − (+22) = 40; в) (+28) − (−54) = 82; г) (−72) − 0 = 72; д) (−2022) − (−1) = 2 021; ђ) 0 − (+2023) = 2 023; е) 0 − (−2023) = 2 023.

149. Уместо ∗ упиши знак плус (+) или минус (−), тако да једнакости буду тачне: а) (∗11) − (∗8) = −3; б) (∗3) − (∗16) = +13; в) (∗15) − (∗7) = −22; г) (∗22) − (∗18) = +40; д) (∗101) − (∗100) = −201; ђ) (∗101) − (∗100) = −1; е) (∗101) − (∗100) = +1. 150. Израчунај разлику: а) −6 − 3 − (−5); б) −5 − 2 − (+8); в) −8 − 7 − (−4); г) −9 − (+6) − (+10); д) −12 − (+9) − (−31); ђ) −49 − 50 − 101. 151. Који од датих израза имају једнаке бројевне вредности? 𝐴 = 25 − (−5) − (−10),

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

154. Ако је 𝑝 = −8 и 𝑞 = −3, израчунај вредност израза и попуни дате табеле: а) б) −(𝑝 − 𝑞 ) 𝑝 − 𝑞 −(𝑝 − (−𝑞 )) 𝑝 − (−𝑞 )

𝐵 = −26 − 20 − (+14), 𝐶 = −100 − 120 − (−220), 𝐷 = −63 − (−13) − 50, 𝐸 = −99 − |1|, 𝐹 = |+11| − |−11|, 𝐺 = |−39 − 1|, 𝐻 = −|30| − |−30|.

152. Попуни празна поља у мрежи. а) +5

–

+11

–

– –

б) –3

–5

–

–2

–

–11

–

uk a

–

153. Попуни празна поља у мрежи. а) +1

–9

–10

–

–5

–

б) –14

–

–4

–

+1 –

– –

155. Ако је 𝑥 = 200 и 𝑦 = −300, израчунај: а) 𝑥 − 𝑦 ; б) –𝑥 − 𝑦 ; в) 𝑥 − (−𝑦 ); г) |𝑥 | − |𝑦 |; д) −|𝑥 | − |𝑦 |; ђ) |𝑥 − 𝑦 |; е) – |𝑥 − 𝑦 |; ж) − |−𝑥 − (+𝑦 )|; з) |𝑥 − 𝑦 | − |−𝑥 − 𝑦 |.

–

−(−𝑝 − (−𝑞 ))

−𝑝 − (−𝑞 )

pr om

−(−𝑝 − 𝑞 )

−𝑝 − 𝑞

–17

156. Шта је веће: |𝑎 − 𝑏| или |𝑎| − |𝑏|, ако је: а) 𝑎 = 9 и 𝑏 = −15; б) 𝑎 = −9 и 𝑏 = −15; в) 𝑎 = −9 и 𝑏 = +15; г) 𝑎 = 9 и 𝑏 = 15?

157. Израчунај вредност бројевног израза: а) (−4 − 15) − (−10 − 1); б) (14 − 16) − (24 − 11); в) (−33 − (−35)) − (−18 − (−8)); г) (−100 − 204) − (−300 − 4). 158. Израчунај вредност израза: а) 𝑎 − 𝑏 − 𝑐; в) –𝑎 − (−𝑏) − 𝑐; б)−𝑎 − 𝑏 − (−𝑐); г) 𝑎 − (−𝑏) − (−𝑐); ако је: 𝑎 = −12 − (−8 − 4), 𝑏=−5 − (13 − 12), 𝑐 = 𝑎 − 𝑏.

159. Којим од бројева из скупа 𝐵 = {−7, 17, 0, 13, −6, −5, 5} треба заменити ∗ у изразу −14 − ∗, тако да добијена вредност разлике буде: а) једнака 0; б) најмања могућа; в) највећа могућа?

160. Ако је 𝑚=−(−15)−|–25+8| и 𝑛=12−|−𝑚| израчунај вредности следећих израза: а) –𝑚−|𝑛−2|; б) –𝑚−|𝑛|−2; в) |–𝑚−2|−|𝑛|; г) |𝑚−𝑛|−|−𝑚|−|−𝑛|; 21

д) −|𝑚|−|−𝑛|; ђ) 2−|−𝑛−𝑚|.

161. Од броја 42 одузети разлику бројева −72 и −29 (−72 је умањеник). Запиши израз, па израчунај вредност тог бројевног израза.

162. Од разлике бројева −261 и −131 (−261 је умањеник) одузети разлику бројева 100 и −49 (100 је умањеник). Запиши израз, па израчунај вредност тог бројевног израза.

170. Покажи да је дати квадрат магичан, тј. да је збир по свакој вертикали, хоризонтали и дијагонали исти. а) б) 1

−4

−6

−2

−1 0

pr om

163. Од разлике бројева −450 и −150 (−450 је умањеник) одузми број који је супротан броју −1 110. Запиши израз, па израчунај вредност тако добијеног бројевног израза.

169. Ако је 𝑝 + 𝑞 = −5 колико је: а) (𝑝 − 11) + 𝑞; б) (𝑝 − (−3)) + 𝑞; в) 𝑝 + (𝑞 − (+8)); г) 𝑝 + (𝑞 − 4); д) (𝑝 − 3) + (𝑞 − 7); ђ) (𝑝 − (+2)) + (𝑞 − (+4)); е) (𝑝 − (−8)) + (𝑞 − 8); ж) (𝑝 − 17) + (𝑞 − (+17))?

164. Од апсолутне вредности разлике бројева −68 и −19 (−68 је умањеник) одузми разлику апсолутних вредности датих бројева (|−68| је умањеник). Запиши одговарајући бројевни израз, па израчунај његову вредност.

uk a

165. Који број је за 77 мањи од разлике бројева −300 и 550 (−300 је умањеник)?

166. Разлику бројева −21 и −11 (−21 је умањеник) умањи за највећи негативан цео број. Запиши израз, па израчунај вредност тог бројевног израза.

167. Од највећег негативног целог броја одузми разлику бројева 𝑎 и 𝑏, ako je: 𝑎 = −15 − |−7 + 17|, 𝑏 = |−15−|−7 + 17||. Kоји резултат се добија?

168. Шта је веће и за колико: а) разлика бројева 30 и 10 (30 је умањеник) или разлика истих бројева (10 је умањеник); б) разлика бројева −30 и −10 (−30 је умањеник) или разлика истих бројева (−10 је умањеник); в) разлика бројева −50 и 50 (−50 је умањеник) или разлика истих бројева (50 је умањеник)? 22

−3

−4

−1

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

−5

−2

−3

171. Попуни празна места у датом квадрату, тако да он буде магичан. а) б) –6 –8 –1

–5 –7

–4

–3

172. а) Поређај по величини од најмањег до највећег целе бројеве 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑, ако је: 𝑎 = −5 − (−3), 𝑏 = − (−5 − (−3)), 𝑐 = − (−5) − (−3), 𝑑 = − (+5) − (+3). б) За колико је највећи од датих бројева већи од најмањег датог целог броја? 173. Дат је скуп 𝑀 = {𝑥| 𝑥 ∈ 𝑍 и −4 ≤ 𝑥 < 5}. Одреди целе бројеве 𝑥1 и 𝑥2 из скупа 𝑀 тако да вредност: а) разлике 𝑥1 − 𝑥2 буде највећа; б) разлике 𝑥1 − 𝑥2 буде најмања; в) разлике 𝑥1 − 𝑥2 буде 0.

175. Одреди бројевну вредност израза |𝑥 | − |−𝑥 − 5| − 5, ако је: а) 𝑥 = −10; б) |𝑥 | = 4 и 𝑥 > 0; в) |𝑥 | = 4 и 𝑥 < 0; г) –𝑥 негативан број и |𝑥 | = 3; д) –𝑥 позитиван број и |𝑥 | = 5.

uk a

177. Ако је 𝑝 − 𝑞 =100, колико је: а) (𝑝 − 90) − 𝑞 ; б) 𝑝 − (𝑞 + 90); в) (𝑝 − 90) − (𝑞 − 90); г) (𝑝 + 90) − (𝑞 + 90)?

182. Ако је 𝑥 = −3, 𝑦 = +1, 𝑧 = −8, поређај по величини од најмањег до највећег апсолутне вредности израза 𝑀 , 𝑁 и 𝑅, ако је: 𝑀 = 5 − (−𝑥 − 𝑦 ) + 𝑧, 𝑁 = −𝑥 − 𝑦 − 𝑧, 𝑅 = 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 12.

МНОЖЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА. СВОЈСТВА МНОЖЕЊА ЦЕЛИХ БРОЈЕВА

pr om

176. Нека су 𝑝 и 𝑞 цели бројеви, за које важи да је |𝑝 | = 15 и |𝑞 | = 12. Израчунај вредност израза: а) 𝑝 − 𝑞 ; б) |𝑝 − 𝑞 |; в) 𝑝 − |𝑞 |; г) |𝑝 | − 𝑞 ; д) |𝑝 | − |𝑞 |; ђ) –(𝑝 − 𝑞 ). Колико решења има задатак?

181. Да ли постоје цели бројеви 𝑝 и 𝑞 , за које важи да је: а) 𝑝 − 𝑞 = 𝑞 − 𝑝 ; б) 𝑝 − 𝑞 = 𝑝 + 𝑞 ?

174. Нека је скуп 𝐴 = {𝑎| 𝑎 ∈ 𝑍 и −9 ≤ 𝑎 ≤ 9}. Одреди целе бројеве 𝑎1 и 𝑎2 из скупа 𝐴 тако да вредност разлике: а) 𝑎1 − 𝑎2 буде једнака целом броју −18; б) 𝑎1 − 𝑎2 буде једнака броју +18; в) 𝑎1 − 𝑎2 буде једнака 0; г) |𝑎1|−|𝑎2| буде једнака 0.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

178. Нека су 𝑝 и 𝑞 цели бројеви за које важи |𝑝 − 𝑞 | = 4, |𝑝 | = 6. Одреди све могуће вредности за бројеве 𝑝 и 𝑞 . 179. Ако је 𝑚 = 2, 𝑛 = −4, 𝑥 = −11, 𝑦 = −15, израчунај вредност израза: а) ||𝑚| − |𝑛|| − ||𝑥 | − |𝑦 ||; б) |–𝑚 − 𝑛| − |−𝑥 − (−𝑦 )|; в) –|(𝑚 − 𝑛) − (𝑥 − 𝑦 )|; г) −|−|𝑚 − 𝑛||−|−|𝑥 − 𝑦 ||.

180. Нека су 𝑎,𝑏 и 𝑐 цели бројеви за које важи да је 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 = −1. а) Израчунај на најлакши начин бројевну вредност следећих ираза: 𝐴 = −1 − (𝑎 − 𝑏 − 𝑐); 𝐵 = 5 − (𝑎 − 𝑏 − 𝑐) − 5; 𝐶 = 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − 9. б) Затим израчунај: −𝐴 −(−𝐵)−(−𝐶 ).

183. Следеће збирове напиши у облику производа. Затим израчунај њихову вредност: а) 3 + 3 + 3 + 3 + 3; б) (−4) + (−4) + (−4); в) (−5) + (−5) + (−5) + (−5); г) (−2) + (−2) + (−2) + (−2) + (−2); д) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1; ђ) (−1) + (−1) + (−1).

184. Заокружи слова испред неједнакости које су тачне: а) 5 ∙ (−3) > 0; б) −1333 ∙ (−11) > 0; в) −5 ∙ 888 < 0; г) (−10) ∙ (−2) < 0; д) −536 ∙ 2 < 0; ђ) (−101) ∙ (−202) > 0. 185. Израчунај производе: а) 11 ∙ 5; б) 11 ∙ (−5); в) (−11) ∙ 5; г) (−11) ∙ (−5); д) −11 ∙ 1; ђ) −11 ∙ (−1); е) 11 ∙ (−1); ж) +11 ∙ 0; з) −11 ∙ 0.

186. Помножи целе бројеве: а) −4 ∙ 21; б) −18 ∙ (−3); в) −103 ∙ (−5); г) 14 ∙ (−20); д) −8 ∙ (−6); ђ) −20 ∙ (+13); е) −53 ∙ (+2); ж) (−15) ∙ (−15).

187. Израчунај производе датих целих бројева: а) (−7) ∙ (+1); б) (−77) ∙ (−1); в) (+7) ∙ (−1); г) (−39) ∙ 0; д) 0 ∙ (−127); ђ) +2023 ∙ 0.

𝑎 ∙ (−𝑏)

б)

−𝑎 ∙ 𝑏 (−𝑎) ∙ (−𝑏) −(𝑎 ∙ 𝑏) 𝑎 𝑏

𝑎∙𝑏

𝑎 ∙ (−𝑏)

−42

113 0

−𝑎 ∙ 𝑏 (−𝑎) ∙ (−𝑏) −(𝑎 ∙ 𝑏)

pr om

188. У празан квадратић упиши знак >,< или =, тако да једнакости и неједнакости буду тачне: а) −3 ∙ (+5) 0; б) 2 ∙ (−104) 0; в) −88 ∙ (−223) 0; г) 0 ∙ (−323) 0; д) −818 ∙ 1 0; ђ) +201 ∙ 0 0.

192. Попуни дате табеле. а) 𝑎 −4 +7 +10 𝑏 −3 −2 +5 𝑎∙𝑏

189. Уместо ∗ упиши знак плус (+) или минус (−), тако да једнакости буду тачне: а) 3 ∙ (∗5) = −15; б) (−2) ∙ (∗13) = +26; в) (−5) ∙ (−6) = ∗30; г) (+12)∙(−8)= ∗96.

uk a

190. У празан квадратић упиши одговарајући број, тако да добијена једнакост буде тачна: а) (−31) ∙ = 0; б) (−74) ∙ = −148; в) (+138) ∙ = +1380; г) 22 ∙ = −110; д) (−8) ∙ = +112.

191. У празно поље упиши , ако је исказ тачан, или  ако је исказ нетачан: а) (−2) ∙ (−15) = −30 б) (−3) ∙ (+12) = −312 в) (+4) ∙ (−4) = 0 г) (+17) ∙ (−5) = −85 д) (−3) ∙ 0 = −3 ђ) (−55) ∙ (−2) = +110

в)

−56 +6

−9

−11

−9

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

𝑎 𝑏

𝑎∙𝑏

𝑎 ∙ (−𝑏)

−28 0

−1

−111

−280

−1

–8

−𝑎 ∙ 𝑏 (−𝑎) ∙ (−𝑏) −(𝑎 ∙ 𝑏)

193. Попуни табеле. а) 𝑎 −31 +7 +10 𝑏 −4 −22 –9 𝑎∙𝑏

б)

𝑏∙𝑎

𝑎 𝑏 𝑐

𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 (𝑎 ∙𝑐 ) ∙ 𝑏

−2 −3 –5

+25 +4 –2

−53

–33

100

–5 +1

−8 –3

𝑎 𝑏 𝑐

𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 (𝑎 ∙𝑐 ) ∙ 𝑏

−25 −5 6

–8

–10 –1

2 023 –2 023 –1 +1

−1 0

194. Израчунај производе: а) (−2) ∙ 20 ∙ 20; б) 2 ∙ (−20) ∙ (−20); в) −2 ∙ (−20) ∙ (−20); г) 2 ∙ 20 ∙ (−20); д) 2 ∙ (−20) ∙ 20; ђ) (−2) ∙ 20 ∙ (−20).

𝑎 𝑏

–3

𝑎∙𝑏

–30

𝑏 𝑎∙𝑏

–3 +3

𝑎

–1 7

+24 –2

–9

–4

–16

–1

+32 –48 –1 –8 0

–1 –1

200. Израчунај вредности израза: а) 6 ∙ 2 + (−3) ∙ (−1); б) −1 ∙ (−4) − (−6) ∙ (−2); в) 3 ∙ (−4) + (−2) ∙ (−5); г) 8 ∙ (−8) − 65 ∙ (−1); д) 4 ∙ (−25) − 100 ∙ (−1); ђ) 6 ∙ (−15) − 0 ∙ (−808).

pr om

195. У празан квадратић упиши знак >,< или =, тако да једнакости и неједнакости буду тачне: а) (−7) ∙ (−222) ∙ (−5) 0; б) −19 ∙ (+312) ∙ (−58) 0; в) (−2) ∙ (−6) ∙ (−97) ∙ (−10) 0; г) (−118) ∙ (+88) ∙ 0 ∙ (−3) 0.

199. Попуни табеле.

в)

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

uk a

196. У празан квадратић упиши знак >,< или =, тако да једнакости и неједнакости буду тачне: а) (−117) ∙ (−222) (+117) ∙ (−222); б) (−14) ∙ (−324) (+14) ∙ (+324); в) 58 ∙ (−132) (−132) ∙ (−58); г) −17 ∙ (−2) ∙ 0 ∙ (−1) −1 ∙ 2 ∙ 0 ∙ 17.

197. Петар је на тесту решавао задатке са множењем целих бројева. Његови одговори били су следећи: а) −10 ∙ (+5) = −50; б) −11 ∙ (+11) = 0; в) 8 ∙ (−9) = −72; г) −10 ∙ 6 = −60; д) (+2) ∙ (+3) ∙ (−1) ∙ 0 ∙ 1 = 0. Ако је за сваки тачан одговор добио по 3 поена, а за сваки нетачан одговор одузет му је по 1 поен, колико је поена Петар сакупио на тесту? 198. Који од датих израза имају једнаке вредности: 𝐴 = −2 ∙ (−5) + 5 ∙ (−1), 𝐵 = (−1) ∙ (−8) − (−4+3), 𝐶 = (−4) ∙ (+3) − (−3+6), 𝐷 = −(−9 − 1) − (−(−5))?

201. Израчунај вредности израза: а) −10 ∙ 4 + (−2) ∙ (−5) + (−6) ∙ 7; б) −1 ∙ (−5) + (−9) ∙ 11 − (−11) ∙ 5; в) 7 ∙ (−7) − 8 ∙ 9 + (−3) ∙ (−6); г) 21 ∙ (−2) − 6 ∙ (−6) − 13 ∙ 5.

202. Дат је скуп 𝐴 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑍 и −35 ≤ 𝑥 ≤ 35}. Израчунај: а) производ 𝑃 свих елемената скупа 𝐴 ; б) збир 𝑍 свих елемената скупа 𝐴 . Шта је веће 𝑃 или 𝑍 ? 203. Који број се добија када се број −5 помножи са: а) њему супротним бројем; б) његовим претходником; в) његовим следбеником; г) бројем који је 5 пута мањи од њега? 204. Који је број 3 пута: а) мањи од броја −12; б) већи од броја −12?

205. Апсолутна вредност производа позитивног целог броја 𝑝 и броја −10 је број: а) 10 пута већи од броја 𝑝 ; б) 10 пута мањи од броја 𝑝 ; 25

в) за 10 већи од броја 𝑝 ; г) за 10 мањи од броја 𝑝 . Заокружи слово испред тачног одговора. 206. Уместо ∗ напиши одговарајући цео број, тако да једнакост буде тачна: а) |∗| ∙ 1 = 2; б) −1 ∙ |∗| = 2; в) −|∗| ∙ 1 = −2; г) 2 ∙ |∗| = 0; д) −|∗| ∙ (−2) = 4; ђ) −|∗| ∙ (−2) = −4.

212. У празан квадратић упиши одговарајући знак <,> или =, тако да тврђење буде тачно: а) –6 ∙ 6 (–6) ∙ (–6); б) 6 ∙ 6 (−6) ∙ (−6); (−6) ∙ 6; в) 6 ∙ (–6) г) –(–6) ∙ (–6) –(–(–36)); д) |−6| ∙ |−6| |+6| ∙ |+6|.

213. Супротан број броја −9 помножи са апсолутном вредношћу производа бројева −5 и −2. Постави израз и израчунај његову бројевну вредност.

pr om

207. Нека су 𝑥 и 𝑦 цели бројеви. У празан квадратић упиши знак <, > или =, тако да исказ буде тачан: а) Ако је 𝑥 0, онда је −3 ∙ 𝑥 < 0. б) Ако је 𝑥 0, онда је −8 ∙ 𝑥 = 0. в) Ако је 𝑥 0, онда је −7 ∙ 𝑥 > 0. г) Ако је 𝑥 0 и 𝑦 <0, онда је 𝑥 ∙ 𝑦 > 0. д) Ако је 𝑥 0 и 𝑦 >0, онда је 𝑥 ∙ 𝑦 = 0. ђ) Ако је 𝑥 𝑦 , онда је −5 ∙ (𝑥 − 𝑦 ) > 0.

211. Израчунај: а) –5 ∙ 5; б) –7 ∙ 7; в) –10 ∙ 10; г) –15 ∙ 15; д) –20 ∙ 20.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

uk a

208. Дату реченицу допуни тако што ћеш на празну линију уписати реч позитиван или негативан тако да исказ буде тачан: а) Производ 7 негативних целих бројева је ______________ број.

б) Производ 18 негативних целих бројева је ______________ број. в) Производ 10 негативних и 10 позитивних целих бројева је ______________ број. г) Производ 13 негативних и 13 позитивних целих бројева је __________ број. д) Производ 2023 негативна и једног позитивног броја је _____________ број. 209. Запиши и израчунај квадрате следећих целих бројева: а) 9; б) −6; в) −10; г) 0; д) −1; ђ) +1.

210. Запиши све бројеве који помножени самим собом има вредност: а) 49; б) 1; в) 81; г) 100; д) 36; ђ) −81. 26

214. Збир бројева −19 и −1 помножи са њиховом разликом. Постави израз, па израчунај његову бројевну вредност.

215. Који број се добија када се производ свих негативних целих бројева који су већи од −6 одузиме од броја −100? 216. Број −5 умањи за производ свих позитивних целих бројева који су мањи од броја 6. Постави израз, па израчунај његову бројевну вредност.

217. Производу бројева −(−(−1)) и |−|−20|| додај апсолутну вредност производа тих бројева. Постави израз, па израчунај бројевну вредност израза. 218. Изречунај бројевну вредност израза за дате вредности променљивих: а) −3 ∙ (𝑥 − 𝑦 ), ако је 𝑥 = −3, 𝑦 = +5; б) 5 ∙ (−𝑥 + 𝑦 ), ако је 𝑥 = −1, 𝑦 = 4; в) (−𝑥 − 𝑦 ) ∙ (−10), ако је 𝑥 = 9, 𝑦 = −3; г) (−3𝑥 + 𝑦 ) ∙ (2𝑥 − 1), ако је 𝑥 = |−10|, 𝑦 = |−5|. 219. Израчунај вредност израза: а) (–5) ∙ (–5) ∙ 3 ∙ 3 –(–7) ∙ (–7) ∙ 2 ∙ 2; б) –2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 + (–5) ∙ (–5) ∙ (–1 ∙ 1); в) (–2) ∙ (–2) ∙ (–2 ∙ 2) – (–4 ∙ 4) ∙ (–1) ∙ (–1); г) –10 ∙ 10 ∙ 2 ∙ 2 + (–6 ∙ 6) ∙ 3 ∙ 3.

220. Примењујући законе комутативности и асоцијативности, израчунај производе: а) (−5) ∙ (+49) ∙ (+2) ∙ (−1); б) (−20) ∙ 4 ∙ (−5) ∙ (−25); в) (−2) ∙ (−7) ∙ (−5) ∙ 10; г) (−1) ∙ (−25) ∙ (+4) ∙ (−40) ∙ (−5); д) (−1) ∙ (−8) ∙ (+125) ∙ 10. 221. Ако је 303 ∙ 12 ∙ 9 = 32 724, без множења израчунај производе: а) (−303) ∙ 12 ∙ (−9); б) (−303) ∙ (−12) ∙ (−9); в) 303 ∙ (−12) ∙ (−9); г) 303 ∙ (−12) ∙ (+9); д) –(−303) ∙ 12 ∙ (−(−9)).

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

226. Производ три различита цела броја износи −21. Који су то бројеви? Наведи сва могућа решења. 227. Производ четири различита цела броја износи −15. Који су то бројеви? Наведи сва могућа решења. 228. Производ четири различита цела броја износи +15. Који су то бројеви? Колико задатак има решења?

pr om

222. Не вршећи множење, у празан квадратић упиши одговарајући цео број, тако да једнакост буде тачна: а) −15 ∙ (−2) = −2 ∙ ; = −6 ∙ 10; б) 10 ∙ в) −8 ∙ = 0 ∙ (−100).

229. Ако је 𝑥 ∙ 𝑦 = −11, израчунај: а) −3 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ; б) 𝑥 ∙ 2 ∙ 𝑦 ; в) −4 ∙ 𝑥 ∙ (−3) ∙ 𝑦 ; г) 𝑦 ∙ (−8) ∙ 𝑥 ; д) 10 ∙ 𝑦 ∙ (−1) ∙ 𝑥 ; ђ) (−𝑥 ) ∙ (−2) ∙ (−𝑦 ).

uk a

223. Не вршећи множење, у празан квадратић упиши одговарајући цео број, тако да једнакост буде тачна: а) (−8∙4) ∙ (−10) = (−8 ∙ (−10)) ∙ ; б) (−3 ∙ (−5)) ∙ 20 = −3 ∙ ( ∙(−5); в) (45∙ ) ∙ (−10) = (−10 ∙ (−2)) ∙ 45.

224. Користећи дистрибутивност множења према сабирању у скупу 𝑍 , израчунај вредности израза: а) 3 ∙ (−15) + 3 ∙ (−8); б) −5 ∙ 14 + 9 ∙ (−5); в) −10 ∙ (−11) + 6 ∙ (−11); г) (−2) ∙ 17 − 8 ∙ (−2); д) 12 ∙ (−3) + 8 ∙ (−3) − (−3) ∙ (−14); ђ) −6 ∙ 18 + (−6) ∙ 32 − 6 ∙ (−50).

225. Упрости израз, па израчунај његову бројевну вредност за 𝑥 =−7. а) −5 ∙ 𝑥 + 3 ∙ 𝑥 ; б) 14 ∙ 𝑥 − 11 ∙ 𝑥 + 𝑥 ; в) 𝑥 ∙ 12 − 𝑥 ∙ 15 + 2 ∙ 𝑥 ; г) −81 ∙ 𝑥 − 9 ∙ 𝑥 + 𝑥 ∙ 60; д) −38 ∙ 𝑥 − (−42 ∙ 𝑥 ) −𝑥 .

230. Ако је (−𝑥 ) ∙ 𝑦 = −10, израчунај: а) 5 ∙ (−𝑥 ) ∙ 𝑦 ; б) (−𝑥 ) ∙ 3 ∙ 𝑦 ; в) −4 ∙ 𝑥 ∙ (−𝑦 ); г) 7 ∙ (−𝑥 ) ∙ (−𝑦 ); д) (−1) ∙ (−𝑥 ) ∙ 𝑦 ; ђ) (−1) ∙ (−𝑥 ) ∙ (−2) ∙ 𝑦 . 231. Ако је 𝑥 + 𝑦 = −1, израчунај: а) 4 ∙ 𝑥 + 4 ∙ 𝑦 ; б) −6 ∙ 𝑥 + (−6) ∙ 𝑦 ; в) 𝑥 ∙ (−8) + 𝑦 ∙ (−8); г) −5 ∙ 𝑥 − 5 ∙ 𝑦 ; д) 11 ∙ (−𝑥 ) + 11 ∙ (−𝑦 ); ђ) 12 ∙ (−𝑥 ) + 𝑦 ∙ (−12).

232. Дати су изрази: 𝐴 = (−59) ∙ (−58) ∙ (−57)∙…∙(−3) ∙ (−2) ∙ (−1), 𝐵 = (−57) ∙ (−56) ∙ (−55)∙…∙(−2) ∙ (−1) ∙ 0 ∙ 1 ∙ 2. Који израз има већу вредност?

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

ДЕЉЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА

238. Попуни празна места у табелама: а) 𝑎 –60 60 10 𝑏 –2 –5 –3 𝑎∙𝑏

–20

233. Заокружи слова испред тачних неједнакости: а) −2025 ∶ 5 > 0; б) −2025 ∶ (−5) < 0; в) −393 ∶ (−3) > 0; г) 1248 ∶ (−4) < 0; д) 3036 ∶ (−6) > 0; ђ) −1000 ∶ (−250) > 0.

б)

235. Израчунај количнике: а) 24 ∶ 1; б) 24 ∶ (−1); г) (−24) ∶ (−1); д) 0 ∶ 24;

239. У празан квадратић упиши знак <, > или =, тако да (не)једнакост буде тачна: а) (−336) ∶ (−6) 0; б) (−2024) ∶ (+4) 0; в) 1551 ∶ (−3) 0; г) (+360) ∶ (+9) 0; д) (−490) ∶ (−7) 0; ђ) 0 ∶ (+250) 0; е) 0 ∶ (−1111) 0.

uk a

237. Ако је 𝑥 = −40, попуни табеле: а) 𝑥 ∶ 1 −200 ∶ 𝑥 𝑥 ∶ (−1) (−𝑥 ) : (−𝑥 ) −200 ∶ (−𝑥 )

б)

0 ∶ 𝑥 0 ∶ (−𝑥 ) 200 ∶ 𝑥

𝑥 ∶ 20

−𝑥 ∶ (−10) −𝑥 ∶ 𝑥

|𝑥 | ∶ 1 |𝑥 | ∶ |−1|

|200| ∶ |𝑥 | |−200| ∶ |𝑥 |

0 ∶ |𝑥 |

−|𝑥 | : (−(−2))

|𝑥 | ∶ |𝑥 |

|−𝑥 | ∶ |−10|

𝑎∙𝑏

𝑎∶𝑏

–9

–1

50 –10

–8

–4 –48

17 0

–11

в) (−24) ∶ 1; ђ) 0∶(−24).

236. Број −300 подели редом бројевима: −1, −2, −3, −4, −5, −6, −10, −25, −100. Затим, добијене резултате провери множењем.

𝑥 ∶ 𝑥

𝑎 𝑏

–10

pr om

234. Израчунај количнике: а) (+16) ∶ (+2); д) (−28) ∶ (−7); б) (+16) ∶ (−2); ђ) (−28) ∶ (+7); в) (−16) ∶ (+2); е) (+28) ∶ (+7); г) (−16) ∶ (−2); ж) (+28) ∶ (−7).

𝑎∶𝑏

240. Који од датих израза имају једнаке бројевне вредности: 𝐴 = (−24) ∶ (−12) + 1; 𝐵 = −111 ∶ 3 + 2; 𝐶 = −(−16) ∶ (−16) + 1; 𝐷 = 888 ∶ (−111) −2; 𝐸 = (−12) ∶ 6 + 5; 𝐹 = (−5) ∙ (−2) −10; 𝐺 = −80 ∶ (+10) −2; 𝐻 = (+7) ∙ (−4) + (−14 ∶ 2)?

241. Уместо ∗ упиши знак плус (+) или минус (−), тако да једнакост буде тачна: а) (−24) ∶ (∗6) = −4; б) (−18) ∶ (∗3) = +6; в) (+30) ∶ (∗10) = −3; г) (∗100) ∶ (−10) = +10; д) (∗36) ∶ (−9) = −4; ђ) (∗72) ∶ (+36) = −2. 242. У празан квадратић упиши одговарајући цео број, тако да добијена једнакост буде тачна: а) : (−33) = 0; б) −225 ∶ = −15;

г) 0 ∶ = 0; ђ) : (−20) = −12.

243. Поређај по величини од најмањег до највећег целе бројеве 𝑝 , 𝑞 , 𝑟 и 𝑠 ако је: 𝑝 = −(−90) ∶ (−5), 𝑞 = −|−90| ∶ (−5), 𝑟 = −((−90) ∶ (−45)), 𝑠 = −(|−90| ∶ (−45)). Затим упореди количнике 𝑝 ∶ 𝑞 и 𝑟 ∶ 𝑠 тако што ћеш у празан квадратић уписати један од знакова <, > или =. 𝑝 ∶ 𝑞 𝑟 ∶ 𝑠.

244. Попуни празна поља у мрежи: + 1 000

–10

–2

– 2 000

–10

–5

б)

uk a

247. Одреди збир свих целих бројева који су делиоци броја: а) 1; б) 5; в) −12; г) +2; д) −18; ђ) +36. 248. Израчунај вредност израза: а) (−32 ∶ (−4)) ∶ 2; б) (−32) ∶ ((−4) ∶ 2); в) 108 ∶ ((−18) ∶ (−2)); г) (108 ∶ (−18)) ∶ (−2); д) (0 ∶ (−27)) ∶ (+3); ђ) 0 ∶ ((−27) ∶ (+3)).

pr om

а)

246. Одреди збир свих природних бројева који су делиоци броја: а) −1; б) −5; в) 12; г) −2; д) 18; ђ) −36.

в) :11 = −13; д) −105 ∶ = +7;

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

245. У празан квадратић упиши знак <, > или =, тако да (не)једнакост буде тачна: а) (−180) ∶ (−9) (−180) ∶ (+9); б) (−169) ∶ (−13) (+169) ∶ (+13); в) 324 ∶ (−18) −(324 ∶ (−18)); г) −(−(−225 ∶ (−15))) −|225 ∶ 15|; д) −(−108 ∶ (−36)) −(−27 ∶ (−9)).

249. Израчунај аритметичку средину бројева: а) (−24) и (+24); б) (−24) и (+12); в) −16, −20, −18; г) −128, +28, 0, −100.

250. Количник бројева −120 и 4 (−120 је дељеник) увећај за количник бројева 70 и −5 (70 је дељеник). Запиши израз, па израчунај вредност тако добијеног бројевног израза.

251. Количник бројева −24 и −12 (−24 је дељеник) умањи за количник бројева −24 и +12 (−24 је дељеник). Запиши израз, па израчунај вредност тако добијеног бројевног израза.

252. Који број се добија када од количника бројева −12 и њему супротног броја (−12 је дељеник) одузмеш број −(−|−12|)? Запиши израз, па израчунај вредност тако добијеног бројевног израза. 253. Петар је на тесту из математике решавао следећи задатак: „Количник бројева 10 и 2 (10 је дељеник) увећај 5 пута.” Петар је написао 10 ∶ 2 ∙ 5 = 1. Да ли је Петар тачно решио задатак? Образложи одговор. 29

254. Који број се добија када се број −20 подели са: а) њему супротним бројем; б) бројем који је 5 пута већи од броја −20; в) са апсолутном вредношћу његовог најмањег позитивног делиоца; г) збиром бројева: −10 + (−9) + (−8) + 2 ∙ (4 + 2) + 5?

260. На основу задатка 259 на линије упиши одговарајуће целе бројеве, тако да једнакости буду тачне: а) (−18 + 24) ∶ (−6) = −18 ∶ _____ + ____ ∶ (−6); б) (−8 + 32) ∶ 2 = −8 ∶ ____ + 32 ∶ ____; в) (−42 + 42) ∶ 21 = −42 ∶____ + 42 ∶ ____; г) (−111 + 36) ∶ (−3) = ____ ∶ (−3) + ____ ∶ (−3). 261. Израчунај: а) 190 − 70 ∶ (−5) + 4; б) (190 − 70) ∶ (−5) + 4; в) 190 − (70 ∶ (−5) + 4); г) 190 − 70 ∶ (−5 + 4).

262. У изразима додај заграде, тако да резултат буде тачан: а) 24 − 24 ∶ 8 = 0; б) 25 − 50 ∶ (−5) = 5; в) −16 ∶ 4 − 2 = −8; г) 18 ∶ (−6) − 3 = −2.

pr om

255. Апсолутна вредност количника позитивног целог парног броја 𝑝 и броја −2 је: а) 2 пута мања од броја 𝑝 ; б) 2 пута већа од броја 𝑝 ; в) за 2 мања од броја 𝑝 ; г) за 2 већа од броја 𝑝 . Заокружи слово испред тачног одговора.

знак <, > или = тако да исказ буде тачан: 𝐴 𝐵.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

uk a

256. Уместо ∗ стави одговарајући цео број, тако да исказ буде тачан: а) |∗| ∶ 1 = 2; б) −10 ∶ |∗| = 2; в) −|∗| ∶ (−1) = −2; г) 0 ∶ |∗| = 0; д) −|∗| ∶ (−2) = 4; ђ) −|∗| ∶ (+2) = −4.

–1 728

258. Ако је 𝑎 : 𝑏 = −2, израчунај колико је: а) (–𝑎) ∶ 𝑏; г) 0 ∶ (𝑎 ∶ 𝑏); б) 𝑎 ∶ (−𝑏); д) |𝑎| ∶ |𝑏|; в) (–𝑎)(−𝑏); ђ) |𝑎 ∶ 𝑏|.

259. Дати су изрази: 𝐴 = (−36 + 54) ∶ (−6); 𝐵 = (−36) ∶ (−6) + 54 : (−6). а) Израчунај њихову бројевну вредност. б) Упореди њихове бројевне вредности, тако што ћеш у празан квадратић уписати 30

257. Нека су 𝑥 и 𝑦 цели бројеви. У празан квадратић упиши знак <, > или =, тако да исказ буде тачан: а) Ако је 𝑥 0, онда је 𝑥 ∶ (−1) = 0; б) Ако је 𝑥 цео број дељив са 3 и 𝑥 0, онда је 𝑥 ∶ (−3) > 0; в) Ако је 𝑥 цео број дељив са 10 и 𝑥 0, онда је 𝑥 ∶ 10 < 0; г) Ако је 𝑥 0 и 𝑦 паран цео број, онда је 𝑥 ∶ 𝑦 = 0.

263. Попуни празна поља у мрежи: а) :

–2

: б)

504

–24

–3

270. Израчунај вредност израза: а) 32 ∶ (4 − 12); б) −32 ∶ (−25 + 29); в) (72 − 12) ∶ (−15); г) (−72 + 12) ∶ (−4); д) (−64 + 64) ∶ (−10); ђ) (−111 + 11) ∶ (+100); е) (2023 − 23) ∶ (−200); ж) (−33 + 38) ∶ (−1). 271. Израчунај вредност израза: а) (−16) ∙ (+4) + (−2); б) (+4) ∙ (−3) − (+5); в) (−27) ∙ (+2) − (−8); г) (−25) ∙ (−5) − (−7); д) (−16) ∶ (+4) + (−2); ђ) (+4) ∶ (−1) − (+5); е) (−27) ∶ (+3) − (−8); ж) (−25) ∶ (−5) − (−7).

pr om

265. Ако је 𝑥 ∙ 𝑦 = −120, израчунај бројевну вредност израза: а) −3𝑥 ∙ (−2𝑦 ); б) (𝑥 ∶ (−6)) ∙ 𝑦 ; в) 𝑥 ∙ (𝑦 ∶ (−4)); г) (𝑥 ∙ (−2)) ∙ (𝑦 ∙ (−2)).

ИЗРАЗИ СА ЦЕЛИМ БРОЈЕВИМА

264. Дати су изрази: 𝐴 = −7 + 7 ∶ 7 − 7 ∶ 7 + (−9) ∶ 9 + (−10); 𝐵 = (10 + 10 ∶ (−10)) ∶ (−1); 𝐶 = 9 − 9 ∶ (−8 + (9 ∶ (−9))) + (−34) ∶ (−2). Заокружи слово испред исказа који је нетачан: а) 𝐴 ∶ 𝐵 је природан број; б) −𝐶 ∙(𝐴 ∶ 𝐵) је позитиван цео број; в) 𝐶 ∶ 𝐵 је негативан цео број; г) (𝐴 ∙ 𝐵) ∶ 𝐶 је природан број прве десетице.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

266. Ако је 𝑥 ∶ 𝑦 = −120, израчунај: а) −3𝑥 ∶ (−2𝑦 ); б) (𝑥 ∶ (−6)) ∶ 𝑦 ; в) 𝑥 ∶ (𝑦 ∶ (−4)); г) (𝑥 ∙ (−2)) ∶ (𝑦 ∙ (−2)).

uk a

267. Ако је 𝑎 + 𝑏 = −48, израчунај бројевну вредност израза: а) 𝑎 ∶ (−8) + 𝑏 ∶ (−8); б) 𝑎 ∶ 12 + 𝑏 ∶ 12; в) –𝑎 ∶ 3 − 𝑏 ∶ 3; г) –𝑎 ∶ (−6) + 𝑏 ∶ 6; д) –𝑎 ∶ (−16) − 𝑏 ∶ (−16).

268. Одреди вредност променљиве 𝑝 у изразу тако да резултат буде цео број: а) 5 ∶ (𝑝 − 2); б) −3 ∶ (𝑝 + 8); в) −10 ∶ (𝑝 + 10); г) −13 ∶ (|𝑝 | + 13); д) 7 ∶ (|𝑝 | − 7); ђ) (−1 − |𝑝 |) ∶ 𝑝 .

269. На колико начина се број −25 може представити као количник једног двоцифреног и једног једноцифреног броја?

272. Израчунај вредност израза: а) 18 ∙ (−2) + 15 ∶ 5; б) −9 ∙ (−3) − 49 ∶ 7; в) −33 ∶ (−11) + 30 ∙ (−2); г) −64 ∶ 4 + 9 ∙(−10); д) −55 ∙ (−2) − (−8) ∙ (−3); ђ) −110 ∶ (−11) − (+5) ∙ (−4); е) 72 ∶ (−12) − (−30) ∶ 15; ж) −26 ∙ (−1) + 999 ∶ (−9). 273. Израчунај вредност израза: а) (−10 − 26) ∶(−3 ∙ (−2)); б) (−13 + 48) ∶ (−6 − 1); в) (−12 − 18) ∙ (−32 ∶ (−4)); г) (56 − 44) ∙ (−56 + 52); д) (−17 + 6) ∶ (−18 + 7). 274. Израчунај вредност израза: а) 10 − 10 ∶ (−3 + 8); б) −31 + (7 − 22) ∶ (−3); в) −12 + 12 ∶ (−4 − 8); г) 33 − 30 ∶ (−2 ∙ 5 + 20); д) −24 − 14 ∶ (+ 5 − (−9)). 31

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

275. Израчунај вредност израза: а) |−49| ∶ (−7) + |−18| ∶ |−3|; б) |−15| ∶ 5 + 120 ∶ |−60|; в) |−6 − (−18)| ∙ (−5) + 35 : (−7); г) |−4| ∙ |−3| + |−180| ∶ (−30); д) |−56| ∶ |−8|−|−999 ∶ 333| ∙ (−1).

283. Ако је 𝑎 = −1, 𝑏 = −10, 𝑐 = −5, израчунај вредност израза: а) 𝑏 ∶ 𝑎 + 𝑐; в) (𝑏 + 𝑐) ∶ 𝑎; б) 𝑏 ∶ 𝑐 + 𝑎; г) (−𝑏 −𝑐 ) ∶ (−𝑎).

284. Израчунај вредност израза 12 ∙ 𝑥 − 4 ∙ 𝑦 + 𝑧 ∶ 3, aкo je: а) 𝑥 = 4, 𝑦 = 2, 𝑧 = −3; б) 𝑥 = −1, 𝑦 = −2, 𝑧 = 6; в) 𝑥 = −10, 𝑦 = −20, 𝑧 = −30.

pr om

277. Израчунај вредност израза: (−6 + 𝑥) ∙ (𝑥 − 4), ако је: а) 𝑥 = 0; б) 𝑥 = 6; в) 𝑥 = 4; г) 𝑥 = 14; д) 𝑥 = −5 ђ) 𝑥 = −10.

285. Запиши израз, па израчунај његову бројевну вредност: а) производ броја 5 и њему супротног броја увећај за производ броја 12 и њему супротног броја; б) збир бројева –9 и –5 помножи са збиром бројева 9 и 5; в) производ броја 8 и њему супротног броја умањи за производ броја –7 и њему супротног броја; г) разлику бројева –11 и 3 помножи са збиром бројева –11 и 3.

276. Израчунај: а) (−32 + 18) ∙ (−10) − 20; б) (−32 + 18) ∙ (−10 − 20); в) −32 + 18 ∙ (−10) − 20; г) −32 + 18 ∙ (−10 − 20).

278. Израчунај вредност израза 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝐷, ако је: 𝐴 = −1 ∙ (9 − 11); 𝐵 = −6 ∙ (−10) ∶ (−12); 𝐶 = 25 + 50 ∶ (−2); 𝐷 = −14 − 35 ∶ (−7). а) Који изрази имају вредност мању од 0? б) Који израз има вредност 0? в) Који израз има вредност већу од 0?

uk a

279. Ако је 𝑎 = −5, израчунај: а) 2 ∙ 𝑎; г) 𝑎 ∶ (−𝑎); б) 𝑎 ∙ 𝑎 + 𝑎; д) 𝑎 ∶ (−𝑎) − 𝑎 ∙ 𝑎; в) 3 ∙ 𝑎 + 𝑎 ∙ 𝑎; ђ) –𝑎 ∶ 𝑎 + 𝑎 ∙ 𝑎.

286. Ако је 𝑀 = ((–8) ∙ (–8)) ∶ 32 и 𝑁 = 125 ∶ ((–5) ∙ (–5)) израчунај: а) (−𝑀) ∙ (−𝑀) − (−𝑁) ∙ (−𝑁); б) 𝑀 − 𝑁 ∙ (−11); в) (𝑀 – 𝑁) ∙ (𝑀 – 𝑁)∶ (−3); г) (2𝑁 + 3𝑀) ∶ (−2 − 𝑀); д) −5𝑀 − 4𝑁 ∶ (𝑀 ∙ 𝑀).

280. За колико је вредност израза 𝐴 = (−9 ∶ 3) ∙ (−4 + 1) већа од вредности израза 𝐵 = (−8 ∙ 3) ∶ (−5 − 1)? 281. Који број добијаш када број −25: а) сабереш са његовом супротном вредношћу; б) одузмеш од његове супротне вредности; в) помножиш са његовом супротном вредношћу; г) поделиш са његовом супротном вредношћу? 282. Израчунај вредност израза: а) (5 ∙ 𝑥 − 6 ∙ 𝑦) ∶ (−𝑥); б) (5 ∙ 𝑥 − 6 ∙ 𝑦) ∶ (−𝑦); ако је 𝑥 = −4, 𝑦 = −2. 32

287. Ако је 𝑚 = −12, израчунај вредност израза: а) 3𝑚 ∙ 𝑚− 2𝑚 + 5; б) 𝑚 ∙ 𝑚 ∶ (−72) + 5𝑚 − 10; в) −𝑚 ∙ 𝑚 ∶ (−4) + 36 ∶ (−𝑚); г) (−5𝑚 − 𝑚 ∶ 4) ∶ (−21). 288. Ако је 𝑏 = −3, покажи да је тачна једнакост: а) (3𝑏 – 1) ∙ (3𝑏 – 1) = 9𝑏 ∙ 𝑏 – 6𝑏 + 1; б) (2𝑏 + 1) ∙ (2𝑏 + 1) = 4𝑏 ∙ 𝑏 + 4𝑏 + 1.

289. Запиши израз који одговара датом тексту. Затим, одреди за колико се његова вројевна вредност разликује од 0. а) Производ бројева 6 и количника бројева

290. Апсолутна вредност негативног броја 𝑥 је 2, а негативног броја 𝑦 је 1. Одреди вредност израза (3𝑥+2𝑦)∙(𝑥−𝑦).

298. Одреди цео број 𝑚 за који ће бројевна вредност датих израза бити једнака нули: б) 3 ∶ |𝑚|. а) 3 ∙ |𝑚|; 299. Одреди вредност израза: а) |𝑎| + 𝑎; б) |𝑎| − 𝑎; у зависности од 𝑎, ако је 𝑎 ∈ 𝑍.

300. Ако је 𝑎 произвољан цео број да ли израз |𝑎| + 1 може бити негативан цео број? Образложи свој одговор.

301. Нека су бројеви 𝑝 и 𝑞 цели бројеви. За које вредности 𝑝 и 𝑞 ће важити исказ 𝑝 + 𝑞 < 𝑝 − 𝑞? Образложи одговор.

pr om

291. Збир бројева −4 и −18 подели целим бројем који претходи разлици бројева 0 и −3 (0 је умањеник). Запиши израз, па израчунај његову бројевну вредност.

б) негативан цео број; в) цео број једнак 0.

420 и −12, одузми од броја −27. б) Разлику двоструке вредности броја −9 и броја који је следбеник броја −9, помножи бројем −5 (следбеник броја −9 је умањилац). в) Разлику бројева −30 и −46 подели бројем који је супротан збиру бројева −104 и 100 (−30 је умањеник).

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

292. Број 72 подели разликом бројева −5 и −41 (−5 је умањеник). Добијени количник одузми од броја 120. Постави израз, затим одреди његову бројевну вредност.

uk a

293. Производ целих бројева мањих од броја −1 и не мањих од броја −5 умањи за количник бројева −44 и 4. Постави израз и одреди његову бројевну вредност.

294. Упрости израз, па израчунај његову бројевну бредност за 𝑥 = −5: а) 6 − (−𝑥 −(−6) − (−13 − 𝑥 − (−1 + 𝑥))); б) −5 − (−𝑥 − 5 − (−6) − (−12 − (−4 − 𝑥) − (−𝑥 + 1))); в) |− 2 − (−𝑥 + 1)|−|−3 − (7 + 𝑥)|−|5 − (−2)|.

302. Нека су 𝑎 и 𝑏 цели бројеви. Ако је |𝑎| = |𝑏|, да ли увек важи да је 𝑎 = 𝑏? 303. Нека је број 𝑎 цеo број. За које вредности 𝑎 ће важити: а) |𝑎 + 3| = |𝑎 − 1|; б) |𝑎 + 3| < |𝑎 − 1|; в) |𝑎 + 3| >|𝑎 − 1|?

304. Нека су 𝑚 и 𝑛 цели бројеви. За које вредности 𝑚 и 𝑛 ће израз |𝑚| + |𝑛| бити: а) једнак са |𝑚 + 𝑛|; б) мањи од |𝑚 + 𝑛|; в) већи од |𝑚 + 𝑛|? Образложи свој одговор.

295. Одреди вредност израза: (3𝑥 + 2𝑦) ∙ (𝑥 − 𝑦), ако је: а) |𝑥| = 5, 𝑦 = −1; б) 𝑥 = −1, |𝑦| = 5.

296. Одреди скуп свих целих бројева 𝑝, тако да израз 10 − |𝑝| буде: а) позитиван цео број; б) негативан цео број; в) цео број једнак 0. 297. Одреди скуп свих целих бројева 𝑞, тако да израз −1 − |𝑞| буде: а) позитиван цео број;

КАД ЗНАШ МАТЕМАТИКУ, СВЕ ЈЕ ЛАКО!

uk a

pr om

Некада давно, у прелепом и мирном краљевству живели су један краљи његова краљица. Били су то јако добри људи. Али, деце нису имали. Сви становници њиховог краљевства били су срећни што имају тако хуманог краља и племениту краљицу. Захваљујући њиховој доброти, Бог им је ипак подарио прелепу девојчицу, којој су дали име Милица. У част принцезиног рођења приређена је свечаност, на коју је позвано цело краљевство. Позвано је и тринаест вила из краљевства, дванаест добрих вила и тринаеста вила Суђеница. Свака од дванаест вила подарила је принцези по једну од особина: здравље, лепоту, доброту, мудрост, вредноћу, сналажљивост, упорност, леп глас, топао осмех, чаробан поглед, плаве очи и златну косу. Тринаеста вила била је задужена да одреди принцезину судбину. Виле су имале почасно место у свечаној дворани. Ипак, тринаеста вила је била страшно увређена јер је њој била намењена тек тринаеста столица. Кад је на њу дошао ред да девојчицу дарује лепом судбином, она је објавила да ће се краљева кћи, када напуни шеснаест година убости на трн црвене руже и да ће од тог убода заспати дубоким сном. Сан ће бити толико дубок, да ће из сна моћи да је пробуди једино младић који зна да реши математички задатак, и то не било који. Само онај задатак, који му у том тренутку постави тринаеста вила. И тек онда, настаде очај за краља и краљицу. Одмах су заповедили да се униште све црвене руже у краљевству и да стража буде непрекидно уз девојчицу. Ипак, од судбине се не може побећи. Милица је расла у срећи и љубави својих родитеља. Али, баш тог дана, када је напунила шеснаест година, пожелела је да обиђе оближњи врт. Неуморна стража одвела је

Милицу у врт. Нико није ни слутио да је тамо остала једина црвена ружа у целом краљевству. И баш тада, Милица је видела ту црвену ружу, потрчала да је убере и десило се чудо. Милица се убола на трн црвене руже и заспала дубоким сном. Милицу су пренели у дворац и ставили у мирисну постељу. Неутешни родитељи, сетили су се тада проклетства зле виле. Послали су гласнике по целом свету да се јаве мудри младићи који ће моћи да реше задтак тринаесте виле. Долазили су младићи из разних крајева света. Многи су чак остајали месецима и годинама, неуморно писали, брисали, рачунали. А онда се појавио ОН. Вила Суђеница га је са подсмехом погледала, јер је био некако превише углађен. Поставила му је овакав задатак: „Дато је 2 023 бројева, од којих је сваки једнак 3 или –3. Могу ли се они распоредити у две групе тако да збирови бројева у свакој таквој групи буду једнаки?” „Не, не могу се распоредити!” – одговорио је ОН као из пушке. „Образложи одговор”, рекла је вила. „Ево ти образложења! Кад знаш математику, све је лако!”, рече младић и пољуби лепу Милицу. Принцеза се тада пробудила из вишегодишњег сна и уз благослов својих родитеља удала се за паметног младића.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Можеш ли ти да образложиш решење задатка?

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

ТЕСТ 1. Напиши све целе бројеве који се налазе између бројева −6 и 3.

2. Поређај по величини од најмањег до највећег следеће целе бројеве: 19, −5, −13, 0, −25, 8, 16. 3. Израчунај: а) |−9| − |17| + |12| − |−4|; б) −9 − 17 + 12 − (−4).

4. У празно поље упиши знак <,> или =, тако да (не)једнакост буде тачна: а) −1 345 ∙ (−108) ∙ 0 0; в) (−108) ∙ (−504) ∙ 19 0; 0;

г) −1 001 ∙ 2 071 ∙ |−52|

5. Израчунај вредност израза: −5 + (−4) ∙ 10 − 36 ∶ (−4).

pr om

ТЕСТ

б) 1 247 ∙ (−329)

1. Ако је 𝑎 = −24, 𝑏 = −(−6) и 𝑐 = |−𝑎 − 𝑏|, колико је 𝑎 − 𝑐 ∶ 𝑏?

2. а) Поређај по величини од најмањег до највећег целе бројеве 𝐴 , 𝐵, 𝐶 и 𝐷 ако је: 𝐴 = −6 − (−4); 𝐵 = −(−6 − (−4)); 𝐶 = − (−6) − (−4); 𝐷 = − (+6) − (+3). б) За колико је највећи од датих бројева већи од најмањег датог целог броја?

uk a

3. У празно поље упиши знак <, > или =, тако да (не)једнакост буде тачна: 0; в) 25 + 50 ∶ (−2) 0; а) −1 ∙ (9 − 11)

б) −6 ∙ (−10) ∶ (−12)

г) −14 − 35 ∶ (−7)

4. Разлику бројева −30 и −46 (−30 је умањеник) подели бројем који је супротан броју −4. Запиши израз, па израчунај његову бројевну вредност.

5. За колико је вредност израза 𝐴 = (−12 ∶ 3) ∙ (−5 + 1) већа од вредности израза 𝐵 = (−9 ∙ 3) ∶ (−2 − 1)?

ТЕСТ

1. Дати су бројеви: 𝑎 = −(−(−5)), 𝑏 = −|−|10||, 𝑐 = |−(−25)|. Одреди број 𝑀 ако је 𝑀 = −|−|𝑎 + 𝑏 − 𝑐|| + 40. 2. Ако је 𝑝 − 𝑞 = 200, колико је: а) (𝑝 + 80) − (𝑞 + 80); б) (𝑝 − 80) − (𝑞 − 80)? 3. Ако је −𝑥 ∙ 𝑦 = −20, израчунај: а) 3 ∙ (−𝑥 ) ∙ 𝑦 ; б) −1 ∙ (−𝑥 ) ∙ (−5) ∙ 𝑦 .

4. Ако је 𝑥 ∶ 𝑦 = −120, израчунај: а) (𝑥 ∶ (−12)) ∶ 𝑦 ; б) (𝑥 ∙ (−4)) ∶ (𝑦 ∙ 4).

5. Апсолутна вредност негативног броја 𝑎 је 4, а апсолутна вредност негативног броја 𝑏 је 2. Израчунај вредност израза −|(3𝑎 + 2𝑏) ∶ (𝑎 − 𝑏)| + 8. 35

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ – подсетник

 Авион и подморница су удаљени 17 000 m.

СКУП ЦЕЛИХ БРОЈЕВА

3. а) Н; б) Т; в) Т; г) Н; д) Т; ђ) Т; е) Т; ж) Т. ∈ ∉ ∈ ∈ ∉ ∉

𝑍

∉ ∈ ∉ ∉ ∈ ∈

∈ ∉ ∉ ∈ ∉ ∉

𝑍

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

uk a

∈ ∉ ∉ ∈ ∉ ∉

𝑍

−

17 −4 0 22 −100 −8

𝑁 0

5. а) −10; б) 6; в) 12 000; г) −5 000; д) 500; ђ) −1 000. 6. а) –1; б) 0; в) –6; г) +5.

7. а) 𝐵 = {16, 29, 1, 105, 2 084}; б) 𝐶 = {14, 27, −1, 103, 2 082}.

8. а) 𝑆 = {−14, −27, 1, −103, −2 082}; б) 𝑃 = {−16, −29, −1, −105, −2 084}. 9. а) 10 000; г) 50 000.

б) –20 000;

в) 30 000;

10. Младен ће на игрице потрошити 7 ∙ 300 = 2100 динара, а има 2000 динара, тако да неће моћи да реализује план. 36

13. а) Н; б) Н; в) Т; г) Н; д) Т; ђ) Т. 15. а) ⊂; б) ⊄; в) ⊂; г) ⊂; д) ⊄.

16. У празна поља треба редом уписивати а) 14, 17, 20; б) 0, −2, −4; в) −4, −5, −6; г) 0, 10, 20; д) 3, 8, 13. 17. а) 𝐴 = {39, 12, 0, 32, 52}; 𝐵 = {−18, −27, −24, 0}; б) Скуп 𝐴 ∩ 𝐵 садржи само један елемент, а то је 0.

pr om

2. а) Елементи скупа 𝑁 су 2, 5, 11, 20; б) Елементи скупа 𝑁 0 су 0, 2, 5, 11, 20; в) Мањи од 0 су −1, −7,− 13; г) Сви наведени бројеви су из скупа 𝑍 . 𝑁

12. Треба заокружити: в, г.

14. Треба заокружити: б, в, г.

1. а) 𝑃 = {20, 11}; б) S = {−72, −445, −8 001}; в) Постоји, то је број 0.

11. Треба заокружити: б.

18. а) 13, 15, 31, 35, 51, 53; б) −13, −15, −31, −35, −51, −53; в) 135, 153, 315, 351, 513, 531, −135, −153, −315, −351, −513, −531. 19. а) ∅; б) 𝑍 −; в) 𝑍 +; г) 𝑍 ; д) 𝑍 +; ђ) ∅.

20. a) 𝑍 −∪𝑍 +; б) 𝑍 \{0}; в) 𝑍 ∩ 𝑍 −; г) 𝑍 \𝑁 0; д) 𝑍 +∪𝑍 −∪{0}; ђ) 𝑍 +∪𝑍 −.

БРОЈЕВНА ПРАВА. СУПРОТНИ БРОЈЕВИ. АПСОЛУТНА ВРЕДНОСТ ЦЕЛОГ БРОЈА

21. x –8

–2 –1 0

22.

–4 –3 –2 –1 0 1

2 3 4

5 6 7

x 8

23. 𝐴(2), 𝐵(4), 𝐶(5), 𝐷(−1), 𝐸(−3), 𝐹(−5)

24.

–5 –4 –3 –2 –1 0 1

2 3 4

5 6 7

26. а) налази се број 66; б) налази се број 0; в) налази се број 23; г) налази се број −43.

uk a

27. а) Једно од могућих решења: −11, −12, −13, −14, −15; б) Једно од могућих решења: −1, 0, 1, 2, 3; в) Једно од могућих решења: −123, −124, −125, −126, −127; г) Једно од могућих решења: 14, 15, 16, 17, 18. 28. а) Једно од могућих решења: 5, 6, 7, 8; б) Нека од могућих решења: 0, 1, 2, 3 или 152, 153, 154, 155. в) Једно од могућих решења: −12, −11, −10, −9 г) −2, −1, 0, 1. 29. а) за 4 јединичне дужи; б) за 4 јединичне дужи; в) за 12 јединичних дужи; г) за 2 јединичне дужи.

30. а) 𝑃(−4); б) 𝑅(4); в) 𝑆(−3) или 𝑆(1), има две тачке.

31. а) 𝐴1(−2), 𝐴2(2); б) 𝐵1(−5), 𝐵2(5); в) 𝐶1(−10), 𝐶2(10).

33. а) 8; б) −24; в) 105; г) −1330; д) 0; ђ) 33.

34. 3, −3; −14, 14; 129, −129; −576, 576. Задатак има више решења. 35. х –х

–3 3

–5 5

19 24 100 –555 –19 –24 –100 555

36. Тражени супротни бројеви су: а) −111; б) −11; в) −999; г) −31; д) 0.

pr om

25. а) налази се број 4; б) налази се број −3; в) налази се број 4; г) налази се број −5; д) налази се број 2.

32. То су тачке које имају следеће координате: а) 𝐴1(−2); б) 𝐵1(4); в) 𝐶1(−17); г) 𝐷1(10).

a) Између се налазе −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4; б) Природни бројеви су 1, 2, 3, 4; в) Цели бројеви су −3, −2, −1.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

37. а) −4; б) 4; в) 155; г) −155; д) 4; ђ) −4; е) −155; ж) 155. 38. а) −5; б) 7; в) 8; г) −28.

39. 11; 5; 28; 0; 222; 375; 2 023. 40. 28,−28; −60,60; 4,−4.

41. То су бојеви: а) −3 и 3; б) −54 и 54; в) −89 и 89; г) 0; д) не постоје такви бројеви; ђ) −101 и 101. 42.

х –х

–|𝑥|

−5

–|–𝑥|

−5

43.

|𝑥|

|–𝑥|

–14

−5

|𝑥|

–х

+7 –7 7

–69

−28

−14

−28

−14 –56 56 56

–24

+24 24

−1 002

−69

−1 002

200

2 023

−69 8

–8 8

1 002

−28

44. Позитивни: 6, 7, 8 и 9. Негативни: −6, −7, −8 и −9.

0 0

1 002 1 002

−1 002

–200 –2 023 200

2 023

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

45. Удаљене су: а) 6; б) 20; в) 192; г) 400; д) 500; ђ) 1 000 јединичних дужи. 46. 33 : (4 − (−7)) = 33 : 11 = 3 Јединична дужина је 3 cm.

65. а) 8𝑦; б) 4𝑦; в) −8𝑦; г) −4𝑦. Не би се добио исти резултат.

48. а) −12; б) 12; в) −12; г) 48; д) −48; ђ) 48. 49. а) −12; б) −12; в) −12; г) −48; д) −48; ђ) −48. 50. а) 20; б) 0; в) 10; г)10.

52. а) 16; б) 0; в) 23; г) 20.

53. а) 7; б) 34; в) 50; г) 160; д) 22. 54. а) Т; б) Н; в) Т; г) Т; д) Н.

uk a

55. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

56. а) 29; б) Постоји, то је број −29; в) Називају се супротни бројеви.

57. а) 𝑥 ∈ {5, −5}; б) 𝑥 ∈ {39, −39}; в) 𝑥 = 0; г) 𝑥 ∈ {54, −54}; д) 𝑥 ∈ {96, −96}; ђ) 𝑥 ∈ ∅. 58. а) 43; б) 29; в) 12; г) 24. 59. а) 203; б) 35; в) 98; г) −280.

60. а) 𝑞 = −11; б) 𝑞 = −11; в) 𝑞 = −11; г) 𝑞 = −15. 61.

х |𝑥| + 5 |𝑥| – 5

–10

–14

10 15

14 19

35 40

–9 9

14 4

5 5

10 0

108 108

113

103

62. Валентина је замислила број 2. 63. 𝑥 = 5; 𝑦 = 4; 𝑝 = 6; 𝑞 = 8. Шифра је: 𝑝𝑞𝑦𝑥 = 6 845. 38

67. Тачне једнакости су: б), в) и г). За 𝑝 = 0 све једнакости су тачне. Ако је 𝑝 негативан цео број, онда су тачне: а) и в). 68. а) 𝑥 ∈ {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}; б) 𝑥 ∈ {…, −8, −7, −6, 6, 7, 8,…}; в) 𝑥∈𝑍; г) 𝑥∈∅; д) 𝑥∈𝑍; ђ 𝑥∈∅.

pr om

51. а) 27; б) 100; в) 52; г) 49.

66. а) 𝑞 = 𝑝; б) 𝑞 = 2𝑝; в) 𝑞 = 10; г) 𝑞=0.

47. Координате средишта су: а) 0; б) 3; в) 12; г) −3.

|𝑥|

64. а) 2𝑥; б) 2𝑥; в) 0; г) 0. За а) и б) не би, а за в) и г) би се добио исти резултат.

69. а) 𝑚 ∈ {−1, 1}, 𝑛 ∈ {−1, 1}; б) (𝑚, 𝑛): (1, 6); (1, −6);(−1, 6);(−1, −6); (𝑚, 𝑛): (2, 3); (2, −3); (−2, 3); (−2, −3); (𝑛, 𝑚): (1, 6); (1, −6); (−1, 6); (−1, −6); (𝑛, 𝑚): (2, 3); (2, −3); (−2, 3); (−2, −3); в) (𝑚, 𝑛): (1, 8); (1, −8); (−1, 8); (−1, −8); (𝑚, 𝑛): (2, 4); (2, −4); (−2, 4); (−2, −4); (𝑛,𝑚): (1, 8); (1, −8); (−1, 8); (−1, −8); (𝑛,𝑚): (2, 4); (2, −4); (−2, 4); (−2, −4); г) (𝑚,𝑛): (1, 10); (1, −10); (−1, 10); (−1, −10); (𝑚,𝑛): (2, 5); (2, −5); (−2, 5); (−2, −5); (𝑛,𝑚): (1, 10); (1, −10); (−1, 10); (−1, −10); (𝑛,𝑚): (2, 5); (2, −5); (−2, 5); (−2, −5). 70. а) 𝐴 = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}, 𝐵 = {…, −5, −4, −3, 3, 4, 5,…}, 𝐶 = {−1, 0, 1}; б) 𝐶\(𝐴∩𝐵) = {−1, 0, 1}.

71. |−342| ∙ |−6| + |−342| : |−6| = 2109.

72. −100; |−100| − |−200| : |−8| = 75 Добија се број 75, а збир његових делиоца је: 1 + 3 + 5 + 15 + 25 + 75 = 124.

УПОРЕЂИВАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА

85. Једно од решења: 6, 158, 234; −8, −79, −5 432.

86. а) број −5; б) број −4; в) број −6.

73. а) >; б) >; в) <; г) >; д) <; ђ) >. 74. а) <; б) =; в) <; г) =; д) =; ђ) <.

77. a) −85 < −33 < −17 < −4 < 4 < 17 < 85; б) 85 и −85; −4 и 4; 17 и −17.

78. |110| >|−42|>|−33|>|18|>|12|>|−9|>|−1|>|0|. 79. а) −12; б) −340; в) −7; г) 11; д) −1; ђ) 0.

uk a

80. а) −10; б) −338; в) −5; г) 13; д) 1; ђ) 0.

81. а) Својој апсолутној вредности су једнаки: 2 023,14 и 0. б) Од своје апсолутне вредности су мањи: −24 и −32. в) Нема, сваки цео број је мањи од своје апсолутне вредности или јој је једнак. 82. На линијама треба редом уписати: а) −3, −2, 0, 1; б) −99, −98, −96, −95; в) −1, 1, 3.

83. а) 𝑧 ∈ {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}; б) 𝑧 ∈ {3, 4, 5, 6, 7, 8}; в) 𝑧 ∈ {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}; г) 𝑧 ∈ {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; д) 𝑧 ∈ {−9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}; ђ) 𝑧 ∈ {−1}. 84. а) 5 и −5; б) −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4.

89. а) ∗∈ {8, 9}; б) ∗∈ {0, 1, 2, 3, 4}; в) ∗∈ {0, 1, 2, 3}; г) ∗∈ {6, 7, 8, 9}; д) ∗∈ {0,1, 2, 3}; ђ) ∗∈ {5, 6, 7, 8, 9}.

90. а) 𝑥 ∈ {−2, −1, 1, 2}; б) 𝑥 ∈ {0}; в) 𝑥 ∈ ∅; г) 𝑥 ∈ ∅; д) 𝑥 ∈ {−10, −9, −8, 8, 9, 10}; ђ) 𝑥 ∈ {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}.

pr om

76. 𝐵 = {5, −88, 92, −1, −62, 2 023} а) У скупу 𝐴 је најмањи −2 023. б) У скупу 𝐵 је наjвећи 2 023. в) |88| = |–88|.

88. а) 102; б) 78; в) −98; г) −82.

75. а) 0 < 1 < 21 < 33 < 108 < 144; б) −144 < −108 < −33 < −21 < −1 < 0; в) −101 < −18 < −10 < 0 < 15 < 92.

87. а) 𝑥 ∈ ∅; б) 𝑥 ∈ {−4, −3, −2, −1}; в) 𝑥 ∈ {−11, −12, −13,…}; г) 𝑥 ∈ {−2 023, −2 022,…, −3, −2, −1}; д) 𝑥 ∈ {−5, −4, −3, −2, −1}; ђ) 𝑥 ∈ ∅.

91. а) 𝑦 је ненегативан број; б) 𝑦 је негативан број; в) 𝑦 је позитиван број.

92. 𝑎 = 3; 𝑏 = −4; 𝑐 = −5; 𝑑 = 6; 𝑐 < 𝑏 < 𝑎 < 𝑑 . 93. а) 𝐴 = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} 𝐵 = {1, 2, 3, 4} 𝐶 = {−3, −2, −1}; б) 𝐴 ∩ 𝐵∩ 𝐶 = ∅.

94. Не важи увек. На пример: 𝑎 = −5, 𝑏 = 5. 95. Не важи увек. На пример: 𝑚 = −10, 𝑛 = 3. 96. Не важи увек. На пример: 𝑚 = 4, 𝑛 = −12.

97. 𝑚 = 1, 𝑛 = −2; 𝑚 = 0, 𝑛 = −2; 𝑚 = 0, 𝑛 = −1; 𝑚 = −1, 𝑛 = −2. 98. а) 𝑧∈ 𝑍 −; б) 𝑧∈ 𝑍 +; в) 𝑧∈ ∅; г) 𝑧∈ {0}; д) 𝑧∈ 𝑍 \{0}; ђ) 𝑧∈ 𝑍 \{0}; е) 𝑧∈ ∅; ж) 𝑧∈ ∅.

99. a) 𝑎 ∈ {5, −5}, 𝑏 = 0; 𝑎 ∈ {4, −4}, 𝑏 ∈ {1, −1}; 𝑎 ∈ {3, −3}, 𝑏 ∈ {2, −2}; 𝑎 ∈ {2, −2}, 𝑏 ∈ {3, −3}; 𝑎 ∈ {1, −1}, 𝑏 ∈ {4, −4}; 39

𝑎 = 0, 𝑏 ∈ {5, −5}. б) 𝑎 ∈ {4, −4}, 𝑏 = 0; 𝑎 ∈ {3, −3}, 𝑏 ∈ {1, 0, −1}; 𝑎 ∈ {2, −2}, 𝑏 ∈ {2, 1, 0, −1, −2}; 𝑎 ∈ {1, −1}, 𝑏 ∈ {3, 2, 1, 0, −1, −2, −3}; 𝑎 = 0, 𝑏 ∈ {4, 3, 2, 1, 0, −1, −2, −3, −4}. 100. а) 𝑎 ∈ {3, −3}, 𝑏 ∈ {1, −1}; 𝑎 ∈ {1, −1}, 𝑏 ∈ {3, −3}. б) 𝑎 ∈ {2, −2}, 𝑏 ∈ {1, 0, −1}; 𝑎 ∈ {1, −1}, 𝑏 ∈ {2, 1, 0, −1, −2}; 𝑎 = 0, 𝑏 ∈ 𝑍 ; 𝑏 = 0, 𝑎 ∈ 𝑍 .

104. а) +4; б) −8; в) −4; г) −7; д) +1; ђ) 0.

б) в) г)

д)

102.

б) в) г) д) ђ)

–1

–5

+(+1)

–1

–6

–1

–6

–5

б)

в)

–4

–3

–2

–1

г)

д)

ђ)

–1

+(–1)

–4

–5

–4

–3 –2 +(–5) 2 3 +(+5)

–3

–1

+(–1)

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

–6

–5

–4

–3

–2

–1

+(–5)

+(–3)

–2

–1

–8

–7

–6

–5

–6

–5

–4

–3

–4

–3

–2

–1

–2

–1

+(–8) +(+4)

105. а) +1; б) +4; в) +5; г) +5; д) 0; ђ) 0.

+(+1)

+(–1)

ђ)

б) −4 + (+5) = 1; г) −1 + (−4) = −5; ђ) 0 + (−6) = −6.

uk a

101. а) 1 + (+5) = 6; в) 2 + (−6) = −4; д) 0 + (+6) = 6;

–2

+(+6)

pr om

САБИРАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА. СВОЈСТВА САБИРАЊА ЦЕЛИХ БРОЈЕВА

103. а) 1) 20; 2) −20; 3) 90; 4) −90; б) 1) 4; 2) −4; 3) −54; 4) 54.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

+(–7) 4

+(+10)

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–2

–1

6 1

+(+3)

–3

–2 –1 +(–5)

–6

–5

–4

–2

–1

+(+6)

+(–4)

106. а) −5; б) −2; в) −3; г) 16; д) 268; ђ) 0.

107. а) −5; б) −19; в) 19; г) 5. Треба заокружити б).

б) –6

108. а) −20; б) 0; в) 0; г) 20. Треба заокружити: б) и в).

𝑏 𝑎+𝑏

𝑎 𝑏 𝑎+𝑏 𝑎

𝑏 𝑎+𝑏

–13

305 −428 –123

1 336 −336 1 000

−1 336 +336 −1 000

−2 022 +1 000 1 −1023

+65 900

−52 −1 000

2 023

−2 023 +835

–948 +52 –896

3 366 −365 3 001

–3 366 −2 000 −365 +2 000 −3 731 0

−750 6 750

–308 −308

+308 308

+7 500

−258

+258 0

uk a

110. а) −; б) +; в) −; г) −; д) −.

−948

111. Редом треба уписивати следеће знакове: а) +, −; б) −, +; в) −, +; г) −, −; д) +, +.

2 +

–9

–3 +

–12

–14

–11

–60

–9

–17

–32

116. а) −10; б) 23; в) 44; г) −1; д) 0; ђ) 47; е) 31; ж) 24; з) −68; и) 0; ј) 70; к) 34; л) −80. 117. 𝑎 𝑏

𝑎+𝑏 𝑎

𝑏 𝑎+𝑏

118.

–8 +3 –5

–11 +21

–10

–27 +27

0 –12

–10 –1

0 –17

–17

–1

+1 0

305

–310

+320

+300

+10

–12

–5

Ed +

–15

115. а) <; б) >; в) =.

113. Једнаке вредности имају: 𝐴 и 𝐺; 𝐵 и 𝐸; 𝐶 и 𝐻; 𝐷 и 𝐹. –4

–28

112. а) 4; б) −11; в) −6; г) −25; д) −50; ђ) 0. 114. а)

–8

𝑎

205 +16 221

pr om

109. 𝑎 𝑏 𝑎+𝑏

–7

119. а) 𝑥 + 𝑦 𝑥 + (−𝑦 ) −𝑥 + 𝑦

−𝑥 + (−𝑦 )

120. а) −10; д) 10; з) 80.

−14 −4 4 14

+8 –2

+10 +

+72 –36 +36 –36

+12 –24

+620

+630

+635

б)

б) −70; ђ) 10;

− (𝑥 + 𝑦 ) −(𝑥 + (−𝑦 ))

14 4 −4

− (−𝑥 + 𝑦 )

− (−𝑥 + (−𝑦 )) −14 в) 70; г) 70; е) −10; ж) −10; 41

121. а) |𝑝 + 𝑞 | < |𝑝 | + |𝑞 |; в) |𝑝 + 𝑞 | < |𝑝 | + |𝑞 |;

б) |𝑝 + 𝑞 | = |𝑝 | + |𝑞 |; г) |𝑝 + 𝑞 | = |𝑝 | + |𝑞 |.

122. 52 + (−71 + (−19)) = −38.

123. (−361 + 48) + (−401 + 505) = −209. 124. (−78 + (−22)) + (−(−100)) = 0.

125. |−58 + 17| + (|−41| + |−35|) = 117. 126. (−300 + 450) + 66 = 216. Тражени број је 216.

г) 56;

д) 1;

ђ) 3.

129. а) 2; б) 35; в) −32; г) 10; д) −51; ђ) 23. 130. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0; д) −1; ђ) 50.

uk a

131. а) 75 б) −75; в) 10; г) −69; д) −6; ђ) 0.

132. 𝑥 = −1, |−10 + 𝑥 − 2| = 13; 𝑥 = −5, |−10 + 𝑥 − 2| = 17; 𝑥 = 7, |−10 + 𝑥 − 2| = 5; 𝑥 = 12, |−10 + 𝑥 − 2| = 0; 𝑥 = 20, |−10 + 𝑥 − 2| = 8.

133. а) 0; б) −105; в) 105; г) 0.

134. а) 𝐴 = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}, збир је 0; б) 𝐴 = {−7, −6}, збир је −13; в) 𝐴 = {0, 1, 2, 3, 4}, збир је 10; г) 𝐴 = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, збир је 12. 135. а) −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3; б) −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4; в) −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5; г) −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1; д) −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0; ђ) −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2; е) Не постоје такви бројеви. 42

138. 𝑥 = −2, 𝑦 = −12, 𝑧 = 15; 𝑝 = 0.

ОДУЗИМАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 139. а) 6 − (+4) = 2; б) −1 − (+5) = −6; в) 3 − (+6) = −3; г) 1 − (−5) = 6; д) −5 − (−4) = −1; ђ) −4 − (−7) = 3.

pr om

128. 𝑎 = 27; 𝑏 = 28; а) 3; б) −3; в) 53;

137. 𝐴 = 10, 𝐵 = 3, 𝐶 = 7, 𝐷 = −20. У празно поље треба уписати < (0 < 40).

127. а) 11; б) −7; в) 11.

136. а) 56; б) 0; в) 8.

140. a)

б)

в) г) д)

–(+1)

–8

–7

–6

–3

–2

–1

–6

–5

–4

–5 –4 –(–5)

–1

–3

–2

–1

–2

–1

–(–1)

–3

–2

–(+5) 2

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

ђ)

–(+5)

–(–5)

141. а) 1) 4; 2) −4; 3) 60; 4) −60; б) 1) 20; 2) −20; 3) 84; 4) –84.

142. а) −8; б) −6; в) 6; г) −1; д) 5; ђ) −8.

–8

–7

–6

–(+6) –5

–4

–3

–2

–1

–7

–6

–8

–7

–6

–10

–9

–8

–7

г)

д) ђ)

–5 –(–5)

–4

–3

–2

–1

–5

–4

–3

–2

–1

–6

–5

–4

–3

–2

–1

–(–2) –(+4)

–(–3)

𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 𝑏−𝑎

143. а) 8; б) −7; в) −1; г) 9; д) −5; ђ) −3. a)

б)

8 9 –(+1)

–(–4)

д)

–8

–3

144. а) 27; г) 36;

–2

–1

–7

б) −2; д) 542;

–(–1)

–6

–(+11)

–5

–4

в) −267; ђ) 0.

145. а) −9; б) −15; в) 9; г) 15. Треба заокружити б).

146. а) −20; б) 0; в) 20; г) –20. Треба заокружити б).

−1 236

875 +65 810 –810

−338 −54 −284 284

16 189 −189

−415 720 −720

−114 −116 1 350 –1 120 −1 350 1 120

3 336 −336 3 672 −3 672

0 −128 128 −128

0 128 −128 128

2 023 −2 023 −2 022 +2 000 4 045 −4 023 −4 045 4 023

151. Једнаке вредности имају: 𝐴 и 𝐺; 𝐵 и 𝐻; 𝐶 и 𝐹; 𝐷 и 𝐸. 152. а)

–

–2

–3

−101 +101 −202 202

150. а) −4; б) −15; в) −11; г) −25; д) 10; ђ) −200.

+5 –

–5 4

1 236

149. Редом треба уписивати следеће знакове: а) −, −; б) −, −; в) −, +; г) +, −; д) −, +; ђ) −, −; е) +, +.

–1

–(+3)

305

148. а) −; б) −; в) +; г) −; д) −; ђ) −; е) +.

uk a

–2

г)

–4

–8 –7 –6 –5

в)

ђ)

–(–1)

𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 𝑏−𝑎

205

–8

в)

147. 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 𝑏−𝑎

–(–1)

pr om

б)

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

б) –3

–

–17 –5 –

+2 –

–

+11

–9

–

–3 –

–2 –

–

–11

–12

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

153.

а)

–10

–5

–

–5

–

–6

–

160. 𝑚 = −2, 𝑛 = 10. а) −6; б) −10; в) −10; г) 0; д) −12; ђ) −6. 161. 42 − (−72 − (−29)) = 85.

–9

162. (−261 − (−131)) − (100 − (−49)) = − 279.

163. (−450 − (−150)) − (−(−1 110)) = − 1 410.

–16

–

164. |−68 − (−19)| − (|−68| − |−19|) = −98.

–4

–

–5

−𝑝 − 𝑞

–5

−5 −11 11 5

б)

−(𝑝 − 𝑞 ) −(𝑝 − (−𝑞 )) −(−𝑝 − 𝑞 )

−(−𝑝 − (−𝑞 ))

−𝑝 − (−𝑞 )

–

–17

167. 𝑎 = −25, 𝑏 = 25, −1 − (𝑎 − 𝑏) = − 1 − (−50) = 49; −1 − (𝑏 − 𝑎) = − 1 − (+50) = −51.

uk a

154. а) 𝑝 − 𝑞 𝑝 − (−𝑞 )

–

–11

–

–10

pr om

б) –14

165. (−300 − 550) − 77 = −927. Тражени број је −927. 166. (−21 − (−11)) − (−1) = −9.

5 11 −11 −5

155. а) 500; б) 100; в) −100; г) −100; д) −500; ђ) 500; е) −500; ж) −100; з) 400. 156. а) |9 − (−15)| = 24, |9| − |−15| = −6; |𝑎 − 𝑏| > |𝑎| − |𝑏|; слично се раде примери: б), в) и г). б) |𝑎 − 𝑏| > |𝑎| − |𝑏|; в) |𝑎 − 𝑏| > |𝑎| − |𝑏|; г) |𝑎 − 𝑏| > |𝑎| − |𝑏|. 157. а) −8; б) −15; в) 12; г) 0. 158. 𝑎 = 0, 𝑏 = −6, 𝑐 = 6. а) 0; б) 12; в) −12; г) 0.

159. а) Не постоји такав број у скупу 𝐵; б) 17; в) −7. 44

168. а) 30 − 10 = 20; 10 − 30 = −20, разлика кад је умањеник 30 је већа за 40; б) −30 − (−10) = −20; −10 − (−30) = 20, разлика када је умањеник −10 већа је за 40; в) −50 − 50 = −100; 50 − (−50) = 100, разлика када је умањник 50 већа је за 200. 169. а) −16; б) −2; в) −13; г) −9; д) −15; ђ) −11; е) −5; ж) −39.

170. а) Вредност збирова по вертикали, хоризонтали и дијагонали је −6. б) Вредност збирова по вертикали, хоризонтали и дијагонали је 0. 171. а) –6

–8 –1

−9

–5

−10

−4

−5

−2

–7

б)

–4

−9

172. а) 𝑎 = −2; 𝑏 = 2; 𝑐 = 8; 𝑑 = −8; 𝑑 < 𝑎 < 𝑏 < 𝑐; б) Већи је за 16.

−8

−1 –3

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

МНОЖЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА. СВОЈСТВА МНОЖЕЊА ЦЕЛИХ БРОЈЕВА

173. а) 𝑥 1 = 4, 𝑥 2 = −4; б) 𝑥 1 = −4, 𝑥 2 = 4; в) 𝑥 1 = 𝑥 2.

174. а) 𝑎1 = −9, 𝑎2 = 9; б) 𝑎1 = 9, 𝑎2 = −9; в) 𝑎1 = 𝑎2; г) 𝑎1 ∈ 𝐴 , 𝑎2 ∈ {𝑎1, −𝑎1}.

183. а) 5 ∙ 3; б) 3 ∙ (−4); в) 4 ∙ (−5); г) 5 ∙ (−2); д) 6 ∙ 1; ђ) 3 ∙ (−1).

175. а) |−10| − |−(−10) − 5| − 5 = 0; б) 𝑥 = 4, |4| − |−4 − 5| − 5 = −10; в) 𝑥 = −4, |−4| − |−(−4) − 5| − 5 = −2; г) 𝑥 = 3,|3| − |−3 − 5| − 5 = −10; д) 𝑥 = −5,|−5| − |−(−5) − 5| − 5 = 0.

184. Треба заокружити: б), в), д), ђ).

177. а) 10; б) 10;

в) 100;

г) 100.

uk a

178. 𝑝 = −6, 𝑞 ∈ {−2, −10}; 𝑝 = 6, 𝑞 ∈ {2, 10}. 179. а) −2; б) −2; в) −2; г) −10.

180. а) 𝐴 = 0; 𝐵 = 1; 𝐶 = −10; −𝐴 − (−𝐵) − (−𝐶 ) = −9. 181. а) Постоје, 𝑝 = 𝑞 ; б) Постоје, 𝑝 ∈ 𝑍 , 𝑞 = 0.

186. а) −84; б) +54; в) +515; г) −280; д) +48; ђ) −260; е) −106; ж) +225.

pr om

176. 𝑝 ∈ {−15, 15}, 𝑞 ∈ {−12, 12}, а) Задатак има 4 решења: −3, −27, 27, 3; б) Задатак има 2 решења: 3, 27; в) Задатак има 2 решења: −27, 3; г) Задатак има 2 решења: 27, 3; д) Задатак има једно решење: 3; ђ) Задатак има 4 решења: 3, 27, −27, −3.

185. а) 55; б) −55; в) −55; г) 55; д) −11; ђ) 11; е) −11; ж) 0; з) 0.

187. а) −7; б) 77; в) −7; г) 0; д) 0; ђ) 0. 188. а) <; б) <; в) >; г) =; д) <; ђ) =. 189. а) −; б) −; в) +; г) −.

190. а) 0; б) 2; в) 10; г) −5; д) −14.

191. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; ђ) . 192. а)

𝑎 𝑏

𝑎∙𝑏

182. 𝑀 = −5; 𝑁 = 10; 𝑅 = 0; |𝑅| < |𝑀 | < |𝑁 |. б)

−4 −3 12

𝑎 ∙ (−𝑏)

−12

𝑎 𝑏

+10

−50

−2 −14

+5 50

−9

−11 99

−99 −99

−𝑎 ∙ 𝑏 −12 (−𝑎) ∙ (−𝑏) 12 −(𝑎 ∙ 𝑏) −12

14 −14 14

−50 50 −50

−42 0

0 0

+6 +9 −336 −81

𝑎∙𝑏

𝑎 ∙ (−𝑏)

−𝑎 ∙ 𝑏 (−𝑎) ∙ (−𝑏) −(𝑎 ∙ 𝑏)

0 0 0

113 0

0 0 0

−56

336

99 −99

−9

336 81 −336 −81 336 81

в)

𝑎 𝑏

−28

−𝑎 ∙ 𝑏 (−𝑎) ∙ (−𝑏) −(𝑎 ∙ 𝑏)

0 0 0

−111 280 111 −280 −111 280

1 −1 1

𝑎 𝑏

+10

–8

−64

–5 +1

−8 3

𝑎 ∙ (−𝑏)

193. а)

−31

−280

−1

−111

280

−111 +1 111 −280

−4 −22 –9 𝑎 ∙ 𝑏 124 −154 −90 𝑎 𝑏 𝑐

𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐)

в)

−2

+25

–33

−30

−200

165

−3 –5

+4 –2

(𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 (𝑎 ∙𝑐 ) ∙ 𝑏

−30 −30

−200 −200

𝑎 𝑏

−25

–8

(𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 (𝑎 ∙𝑐 ) ∙ 𝑏

750 750

𝑐

100

2 400

165 165

2 400 2 400

2 023

–2 023

−5 6

750

–10 –1

–1 +1

−80 –2 023 −80 –2 023 −80 –2 023

𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐)

−53 +8 0 −64

uk a

б)

𝑏 ∙ 𝑎 124 −154 −90

+1 −1

−1 0 0

0 0

194. а) −800; б) 800; в)−800; г) −800; д) −800; ђ) 800. 195. а) <; б) >; в) >; г) =. 196. а) >; б) =; в) <; г) =.

197. а) 3 п; б) −1 п; в) 3 п; г) 3 п; д) 3 п. Петар је сакупио 11 поена. 198. 𝐴 = 5; 𝐵 = 9; 𝐶 = −15; 𝐷 = 5, Једнаке вредности имају: 𝐴 и 𝐷. 46

𝑎 ∙ 𝑏 𝑎

𝑏 𝑎 ∙ 𝑏

–3 10

–1 7

–1 –3 +3

+24 –2

–30

–7 –9

–4 –8

3 –1 –16

–8

–7

+32 –48 –1

–48

72 72

0 0

36 0

–1 –1 1

200. а) 15; б) −8; в) −2; г) 1; д) 0; ђ) −90. 201. а) −72; б) −39; в) −103; г) −71. 202. 𝑃 = 0; 𝑍 = 0; 𝑃 = 𝑍.

pr om

𝑎 ∙ 𝑏

0 0

−1

199. 𝑎 𝑏

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

203. а) −5 ∙ 5 =−25; б) −5 ∙ (−6) = 30; в) −5 ∙ (−4) = 20; г) −5 ∙ (−5 ∙ 5) = 125. 204. а) −36, јер је 3 ∙ (−12) = −36; б) −4, јер је 3 ∙ (−4) = −12. 205. Треба заокружити а).

206. а) ∗ ∈ {2, −2}; б) ∗ ∈ ∅; в) ∗ ∈ {2, −2}; г) ∗ = 0; д) ∗ ∈ {2, −2}; ђ) ∗ ∈ ∅. 207. а) >; б) =; в) <; г) <; д) =; ђ) <.

208. а) негативан; б) позитиван; в) позитиван; г) негативан; д) негативан.

209. а) 92 = 9 ∙ 9 = 81; б) 36; в) 100; г) 0; д) 1; ђ) 1. 210. а) 7, −7 (72 = 49, (−7)2 = 49); б) 1, −1; в) 9, −9; г) 10, −10; д) 6, −6; ђ) Не постоје такви бројеви. 211. а) −25; б) −49; в) −100; г) −225; д) −400. 212. а) <; б) =; в) =; г) =; д) =.

213. (−(−9)) ∙ |−5 ∙ (−2)| = 90.

214. Задатак има два решења:

1) (−19 + (−1)) ∙ (−19 − (−1)) = 360; 2) (−19 + (−1)) ∙ (−1 − (−19)) = −360. 215. −100 − (−5 ∙ (−4) ∙ (−3) ∙ (−2) ∙ (−1)) = −100 − (−120) = 20.

221. а) 32 724; б) −32 724; в) 32 724; г) −32 724; д) 32 724. 222. а) −15; б) −6; в) 0.

235. а) 24; б) −24; в) −24; г) 24; д) 0; ђ) 0.

236. Редом се добијају количници: 300, јер је −300 ∶ (−1) = 300; 150; 100; 75; 60; 50; 30; 12; 3. 237. а)

𝑥 ∶ 1 −40 𝑥 ∶ (−1) 40

pr om

218. а) 24; б) 25; в) 60; г) −475.

234. а) 8; б) −8; в) −8; г) 8; д) 4; ђ) −4; е) 4; ж) −4.

217. −(−(−1)) ∙ |−|−20|| + |−(−(−1)) ∙ |−|−20||| = −20 + 20 = 0.

220. а) 490; б) −10 000; в) −700; г) 20 000; д) 10 000.

ДЕЉЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 233. Треба заокружити: в), г), ђ).

216. −5 −(1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5) = −125.

219. а) 29; б) −61; в) 0; г) −724.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

uk a

223. а) 4; б) 20; в) −2. 224. а) 3 ∙ (−15 + (−8)) = 3 ∙ (−23) = −69; б) −115; в) 44; г) −18; д) −102; ђ) 0.

𝑥 ∶ 𝑥

б)

225. а) 14; б) −28; в) 7; г) 210; д) −21.

226. −1, 3, 7; −3, 1, 7; −7, 1, 3; −1, −3, −7. 227. −1, 1, 3, 5; −1, 1, −3, −5.

228. −1, 1, −3, 5; −1, 1, 3, −5.

229. а) 33; б) −22; в) −132; г) 88; д) 110; ђ) 22. 230. а) −50; б) −30; в) 40; г) 70; д) 10; ђ) −20. 231. а) −4; б) 6; в) 8; г) 5; д) 11; ђ) 12.

232. Израз 𝐴 је негативан, јер представља производ 59 негативних бројева, израз 𝐵 = 0, па израз 𝐵 има већу вредност.

0 ∶ 𝑥 0 ∶ (−𝑥 ) 200 ∶ 𝑥

5 1

𝑥 ∶ 20

−2

−200 ∶ (−𝑥 ) −5

0 −5

−𝑥 ∶ (−10) −𝑥 ∶ 𝑥

−4 −1

|𝑥 | ∶ 1 |𝑥 | ∶ |−1|

40 40

0 ∶ |𝑥 |

−|𝑥 | : (−(−2)) −20

−12 –2

|𝑥 | ∶ |𝑥 |

238. а)

𝑎 𝑏

–60

𝑎 𝑏

–9

–5 𝑎 ∙ 𝑏 300

б)

−200 ∶ 𝑥 (−𝑥 ) : (−𝑥 )

𝑎∶𝑏

𝑎∙𝑏

–1 9

𝑎∶𝑏

|200| ∶ |𝑥 | |−200| ∶ |𝑥 |

5 5

|−𝑥 | ∶ |−10|

24 6

50 –5

−6 −360 –10 12

–4 −250 –48 –10

−3

10 –2

–3 −72 –20 −8 0

17 0 0

–5 0

–11 0 0

239. а) >; б) <; в) <; г) >; д) >; ђ) =; е) =. 47

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

241. а) +; б) −; в) −; г) −; д) +; ђ) −.

242. а) 0; б) 15; в) −143; г) У квадратић можемо уписати било који цео број различит од 0; д) −15; ђ) 240. 243. 𝑝 = −18; 𝑞 = 18; 𝑟 = −2; 𝑠 = 2; 𝑝 < 𝑟 < 𝑠 < 𝑞 ; 𝑝 ∶ 𝑞 = 𝑟 ∶𝑠 (−1 = −1). 244.

–100

–10

–20

–2

–1

–5

–1

200

–10

100

–2

– 50

245. а) >; б) =; в) <; г) >; д) =.

246. а) 1; б) 1 + 5 = 6; в) 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28; г) 1 + 2 = 3; д) 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 39; ђ) 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 + 36 = 91. 247. Слично као у задатку 246: а) −1 + 1 = 0; б) −5 + (−1) + 1 + 5 = 0; в) 0; г) 0; д) 0; ђ) 0. 248. а) 4; б) 16; в) 12; г) 3; д) 0; ђ) 0. 48

252. (−12 ∶ 12) − (−(−|−12|)) = −13.

253. Петар није тачно решио задатак. Требало је вредност количника да увећа 5 пута: 10 ∶ 2 ∙ 5 = 5 ∙ 5 = 25. 254. а) −20 ∶ 20 = –1; б) −20 ∶ (−20 ∶ 5) = 5; в) −20 ∶ |1| = −20; г) −20 ∶ (−10) = 2.

255. Треба заокуржити б). (На пример: |6 ∶ (−2)| = 12. )

uk a

– 2 000

251. (−24 ∶ (−12)) − (−24 : (+12)) = 4.

256. а) ∗ ∈ {2, −2}; б) ∗ ∈ ∅; в) ∗ ∈ ∅; г) ∗ ∈ 𝑍 \{0}; д) ∗ ∈ {8, −8}; ђ) ∗ ∈ {8, −8}.

б)

250. (−120 ∶ 4) + (70 ∶ (−5)) = −44.

pr om

а) + 1000

249. а) 0; б) −6; в) −18; г) −50.

240. Једнаке вредности имају: 𝐴 и 𝐸; 𝐵 и 𝐻; 𝐶 и 𝐹; 𝐷 и 𝐺.

257. а) =; б) <; в) <; г) =.

258. а) 2; б) 2; в) −2; г) 0; д) 2; ђ) 2. 259. а) 𝐴 = −3; 𝐵 = −3;

б) 𝐴 = 𝐵.

260. На линијама редом треба уписати следеће бројеве: а) −6; 24; б) 2; 2; в) 21; 21; г) −111; 36. 261. а) 208; б) −20; в) 200; г) 260. 262. а) (24 − 24) ∶ 8 = 0; б) (25 − 50) ∶ (−5) = 5; в) −16 ∶ (4 − 2) = −8; г) 18 ∶ ((−6)−3) = −2.

а)

–1 728

–72

–18

–3

–2

270. а) −4; б) −8; в) −4; г) 15; д) 0; ђ) −1; е) −10; ж) −5.

–2

271. а) −66; б) −17; в) −46; г) 132; д) −6; ђ) −9; е) −1; ж) 12.

504

–24

272. а) −33; б) 20; в) −57; г) −106; д) 86; ђ) 30; е) −4; ж) −85. –21

–3

273. а) −6; б) −5; в) −240; г) −48; д) 1. 274. а) 8; б) −26; в) −13; г) 30; д) −25.

pr om

б)

ИЗРАЗИ СА ЦЕЛИМ БРОЈЕВИМА

263.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

uk a

264. 𝐴 = −18; 𝐵 = −9; 𝐶 = 27; Треба заокружити б).

265. а) −720; б) 20; в) 30; г) −480.

266. а) −180; б) 20; в) 480; г) −120. 267. а) 6; б) −4; в) 16; г) −8; д) −3.

268. а) 𝑝 ∈ {1, 3, −3, 7}; б) 𝑝 ∈ {−5, −11, −9, −7}; в) 𝑝 ∈ {0, −9, −11, −8, −12, −5, −15, –20}. г) 𝑝 = 0; д) 𝑝 ∈ {0, 6, −6, 8, −8, 14, –14}; ђ) 𝑝 ∈ {1, −1}.

269. Може се представити на 6 начина: −25 ∶ 1; 25 ∶ (−1); −50 ∶ 2; 50 ∶ (−2); −75 ∶ 3; 75 ∶ (−3).

275. а) −1; б) 5; в) −65; г) 6; д) 10.

276. а) 120; б) 420; в) −232; г) −572. 277. а) 24; б) 0; в) 0; г) 80; д) 224. 278. 𝐴 = 2; 𝐵 = −5; 𝐶 = 0; 𝐷 = −9; а) 𝐵 и 𝐷; б) 𝐶 ; в) 𝐴 .

279. а) −10; б) 20; в) 10; г) −1; д) −26; ђ) 24. 280. 𝐴 = 9; 𝐵 = 4; 𝐴 је веће за 5. 281. а) 0; б) 50; в) −625; г) −1. 282. а) 2; б) 4.

283. а) 5; б) 1; в) 15; г) 15. 284. а) 39; б) −2; в) −50.

285. а) 5 ∙ (–5) + 12 ∙ (–12) = –169; б) (–9 + (–5)) ∙ (9 + 5) = –196; в) 8 ∙ (–8) – (–7) ∙ 7 = –15; г) (–11 – 3) ∙ (–11 + 3) = 112. 286. 𝑀 = 2; 𝑁 = 5; а) −21; б) 57; в) −3; г) −4; д) −15.

287. а) 461; б) −72; в) 39; г) −3. 288. а) 100 = 100; б) 25 = 25.

289. а) −27 − (6 ∙ (420 ∶ (−12))) = 183, разликује се за 183; б) (2 ∙ (−9) − (−8)) ∙ (−5) = 50, разликује се за 50; в) (−30 − (−46)) ∶ (−(−104 + 100)) = 4, разликује се за 4. 290. 𝑥 = −2; 𝑦 = −1; вредност израза је 8. 291. (−4 + (−18)) ∶ ((0 − (−3)) − 1) = −11. 292. 120 − (72 ∶ (−5 − (−41))) = 118. 294. а) 6 − (𝑥 + 18) = −7; б) −5 − (−3𝑥 + 10) = −30; в) |𝑥 − 3| − |−𝑥 − 10| − |7| = −4.

304. а) Биће једнак кад год су 𝑚 и 𝑛 истог знака или бар један једнак нули; б) Никад неће бити мањи; в) Кад год су 𝑚 и 𝑛 различитог знака.

КАД ЗНАШ МАТЕМАТИКУ, СВЕ ЈЕ ЛАКО!

pr om

293. −2 ∙ (−3) ∙ (−4) ∙ (−5) − (−44) ∶ 4 = 131.

303. а) 𝑎 = −1, тада је |𝑎 + 3| = |𝑎 − 1|; б) 𝑎 < −1, тада је |𝑎 + 3| < |𝑎 − 1|; в) 𝑎 > −1, тада је |𝑎 + 3| > |𝑎 − 1|.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

uk a

295. а) 𝑥 = 5, 𝑦 = −1; 78; 𝑥 = −5, 𝑦 = −1; 68; б) 𝑥 = −1, 𝑦 = 5; −42; 𝑥 = −1, 𝑦 = −5; −52.

Број 2 023 је непаран број, па се непаран број сабирака од којих је један 3 или −3 не може распоредити у две групе тако да збирови буду исти. У једној групи ће увек бити паран број сабирака, а у другој групи непаран број сабирака.

296. а) 𝑝 ∈ {−9, −8, −7,…, 7, 8, 9}; б) 𝑝 ∈ {… −13, −12, −11, 11, 12, 13,…}; в) 𝑝 ∈ {−10, 10}.

297. а) 𝑞 ∈ ∅; б) 𝑞 ∈ 𝑍 ; в) 𝑞 ∈ ∅.

298. а) 𝑚 = 0; б) Не постоји такав број 𝑚. 299. a) 𝑎 > 0, тада је израз једнак 2𝑎; 𝑎 ≤ 0, тада је израз једнак 0; б) 𝑎 ≥ 0, тада је израз једнак 0; 𝑎 < 0, тада је израз једнак −2𝑎.

300. Не може, јер је |𝑎| ≥ 0, па ће вредност израза увек бити позитивна. 301. Исказ ће важити ако је 𝑝 ≥ 0 и 𝑞 < 0 или ако је 𝑝 < 0, 𝑞 < 0 и 𝑝 < 𝑞 .

302. Не важи, кад год су 𝑎 и b супротни бројеви. На пример: 𝑎 = −3, 𝑏 = 3. 50

ТЕСТ

1. −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1 и 2. 2. −25 < −13 < −5 < 0 < 8 < 16 < 19. 3. а) 0; б) −10. 4. а) =; б) <; в) >; г) <. 5. −36. ТЕСТ

1. −27. 2. а) 𝐷 < 𝐴 < 𝐵 < 𝐶 ; б) 𝐶 − 𝐷 = 19. 3. а) >; б) <; в) =; г) <. 4. (−30 − (−46)) ∶ (−(−4)) = 4. 5. 𝐴 − 𝐵 = 7. ТЕСТ

1. 𝑀 = 0; 2. а) 200; б) 200. 3. а) −60; б) −100. 4. а) 10; б) 120. 5. 0.

uk a

Ed o

pr om

ТРОУГАО

ТРОУГАО   �о�се�ник   „Шта ти је то тако занимљиво за читање, па не испушташ ту књигу од јутрос?”, питао је отац Саву.

pr om

„Читам о Бермудском троуглу”, одговорио је Сава не дигавши ни поглед. Немања је значајно погледао брата. Желео је и он да зна какав је то троугао и како изгледа. Учитељица им никада није поменула да тако нешто постоји, а камоли да им нацрта на табли. „Саво, хајде молим те нацртај ми тај Бермудски троугао!”, нестрпљиво је наступио Немања.

uk a

Сава је одложио књигу и почео да прича Немањи: „Бермудски троугао познат је као Ђавољи троугао. Налази се у Атлантском океану. Темена тог троугла су у граду Мајами (Флорида), на острву Бермуда и у Порторику. У том троуглу је нестала неколицина летилица и пловила. Неки људи сматрају да узрок ових нестанака није могла бити проста људска грешка или случај, него је то дело виших сила, ванземаљаца и слично. Зато је Бермудски троугао честа тема научне и друге фантастике. Е во, Немања, погледај и слику!”

Флорида

Бермудски троугао

Мексички залив

 Немања је био задовољан братовљевим објашњењем. Зато је решио да он покаже Сави како изгледа магични троугао. „Е во, Саво, то је магични троугао! Није ђавољи! Знаш ли, зашто га зову магични? Ако тачно одговориш добићеш од мене један сладолед!” Помозите Сави да добије сладолед од брата!

6 2

5 4

ТРОУГАО

3. Троуглу са слике обележи оне елементе ПОЈАМ ТРОУГЛА. који недостају: ЕЛЕМЕНТИ ТРОУГЛА b a A 1. Заокружи слова испод цртежа на којима је приказана троугаона линија:

𝛾

𝛼

в)

г)

ђ)

2. Датим троугловима са слике обележи темена:

б)

г)

в)

д)

г)

uk a

д)

𝛽

C 𝛾1 𝛾

pr om b

в)

б)

4. На слици је приказан троугао Δ𝐴𝐵𝐶. На основу дате слике, допуни реченице.

б)

𝛼

𝛼 1

𝛽 𝛽1 B

а) Тачке 𝐴, 𝐵 и 𝐶 су ___________ троугла. б) Странице датог троугла су дужи: 𝐴𝐵 = 𝑐, _________________________. в) Унутрашњи углови датог троугла су: ∡𝐵𝐴𝐶 = 𝛼 , _______________________. г) Спољашњи углови датог троугла су: 𝛼 1, ____________. д) Основни елементи троугла Δ𝐴𝐵𝐶 су: ____ _______________________________. 5. На слици је приказан троугао Δ𝑃𝑄𝑅 . Према подацима са слике одреди и запиши: R

P Q а) Наспрамна страница темену 𝑃 је _____. б) Наспрамна страница углу ∡𝑄𝑃𝑅 је _______. в) Наспрам странице 𝑃𝑄 је угао _______. г) Наспрам странице 𝑃𝑅 је угао _______. 53

ТРОУГАО

6. На слици је приказан троугао Δ𝑀𝑁𝑃. Одреди и запиши који су углови у датом троуглу: а) налегли на страницу 𝑀𝑁; P

б) мера унутрашњег угла ∡𝐸 је 120°, а дужине страница износе: 𝐷𝐸 = 4 cm и 𝐸𝐹 = 2,5 cm; в) дужина странице 𝐷𝐸 = 5 cm, а мере углова који су налегли на дату страницу су ∡𝐷 = 45° и ∡Е = 55°. 10. Запиши све троуглове које уочаваш на слици: E D D C A

B E

uk a

8. Одреди пресек приказаних троуглова на датој слици:

б)

pr om

7. На слици је приказан троугао Δ𝐴𝐵𝐶. Спољашњу област троугла обој жутом бојом, а унутрашњу област зеленом бојом. Троугаону линију подељбај црвеном бојицом. C

в)

H A

M N б) налегли на страницу 𝑃𝑀; в) налегли на страницу 𝑁𝑃.

B C в) F

G B

б)

C B

г)

д)

C ђ)

11. Запиши све троуглове које уочаваш на слици: C R H

E г)

д) е)

ђ)

9. Нацртај троугао Δ𝐷𝐸𝐹 тако да за њега важи: а) мера унутрашњег угла ∡𝐷 је 90°, а странице 𝐷𝐸 и 𝐷𝐹 су дужине 3 cm; 54

a) I

F G

U C

D V в)

T б)

12. Нацртај произвољан троугао Δ𝑃𝑄𝑅 код кога су сви унутрашњи углови оштри. Конструиши све три његове висине и одреди њихову тачку пресека. 13. Нацртај произвољан троугао Δ𝑀𝑁𝑆 чији је један унутрашњи угао прав. Конструиши све три његове висине и одреди њихову тачку пресека.

𝐻 има на датој слици? C hc

B1 A

14. Нацртај произвољан троугао Δ𝐴𝐵𝐶 чији је један унутрашњи угао туп. Конструиши све три негове висине и одреди њихову тачку пресека.

ТРОУГАО

ha H

19. Израчунај обим троугла ако је дужина његових страница: а) 6 cm, 7,5 cm и 9 cm; б) 0,25 m, 0,48 m и 0,63 m; в) 21 mm, 21 mm и 3 2 mm.

15. Колико различитих троуглова је одређено са 5 тачака, од којих су: а) тачно 3 тачке колинеарне; б) 4 тачке колинеарне?

pr om

20. Троугао Δ𝑀𝑁𝑃 има обим 0,74 m. Израчунај дужину основице 𝑀𝑁 тог троугла ако су друге две његове странице једнаких дужина, тј. 𝑀𝑃 = 𝑁𝑃 = 0,21 m.

16. Колико троуглова је одређено датим тачкама на слици? D b F E E C D

S D

б)

22. Троугао Δ𝐴𝐵𝐶 има све три странице једнаких дужина. Ако је његов обим 222 cm, израчунај дужину његових страница.

uk a

21. Троугао Δ𝑃𝑄𝑅 има све три странице једнаких дужина, по 0,3 6 m. Израчунај обим троугла Δ𝑃𝑄𝑅 .

в)

17. Нацртај конвексан четвороугао 𝐴𝐵𝐶𝐷. Подели га помоћу: а) једне праве која садржи два његова наспрамна темена; б) две праве такве да свака од њих садржи два његова наспрамна темена. Колико троуглова је одређено на тај начин?

18. На слици је дат троугао Δ𝐴𝐵𝐶 и нацртане су све три његове висине ℎ𝑎 , ℎ𝑏 и ℎ𝑐. Пресек висина означен је тачком 𝐻. Колико правоуглих троуглова са теменом

НЕЈЕДНАКОСТ ТРОУГЛА 23. Петар има летвице дужине 10 cm, 20 cm и 3 0 cm. Алекса располаже са летвицама дужине 20 cm, 3 0 cm и 40 cm. Чије левице могу формирати троугаону линију? Образложи одговор.

24. Дате су дужи 𝑎 , 𝑏 и 𝑐. Да ли те три дужи могу бити странице троугла ако су њихове дужине: а) 𝑎 = 5 cm, 𝑏 = 2 cm, 𝑐 = 6 cm; б) 𝑎 = 12 cm, 𝑏 = 6 cm, 𝑐 = 10 cm; 55

ТРОУГАО

в) 20 cm, 21 cm, 22 cm; г) 20 cm, 21 cm, 22 cm или 23 cm. Заокружи слово испред тачног одговора.

25. Напиши три природна броја 𝑝, 𝑞 и 𝑟 таква да они могу бити мерни бројеви дужина страница троугла.

26. Напиши три природна броја 𝑚, 𝑛 и 𝑡 таква да они не могу бити мерни бројеви дужина страница троугла.

32. У којим границама може бити дужина основице једнакокраког троугла ако је крак дужине: а) 4 cm; б) 4,5 dm? 33. У којим границама може бити дужина крака једнакокраког троугла ако је основица дужине: а) 9,8 cm; б) 15,5 cm?

pr om

27. Ленка тврди да се од 3 дате дужи 𝑎, 𝑏 и 𝑐, чије су дужине редом: 𝑎 = 4 km, 𝑏 = 400 mm и 𝑐 = 0,4 dm, може формирати троугаона линија. Сава тврди да је то немогуће, али је зато дао свој пример: „Ако су дужине дужи 𝑎, 𝑏 и 𝑐 редом: 𝑎 = 4 km, 𝑏 = 3 500 m и 𝑐 = 42 000 dm, онда се од њих може формирати троугаона линија.” Ко је од њих двоје дао коректан пример?

31. Две странице троугла имају дужине 24 cm и 4 dm. Одреди дужину треће странице ако се зна да је она два пута краћа од једне од датих страница.

в) 𝑎 = 6 cm, 𝑏 = 8 cm, 𝑐 = 10 cm; г) 𝑎 = 5 cm, 𝑏 = 20 mm, 𝑐 = 0,4 dm; д) 𝑎 = 0,16 m, 𝑏 = 7,5 cm, 𝑐 = 1,1 dm; ђ) 𝑎 = 44 mm, 𝑏 = 6 cm, 𝑐 = 0,8 dm?

uk a

28. Странице троугла су 𝑎, 𝑏 и 𝑐. Дужине тих страница су природни бројеви изражени у центиметрима. Колика може да буде страница 𝑐 тог троугла, ако су дужине страница 𝑎 и 𝑏 дате у табели. Попуни табелу. 𝑎 4 cm 1 cm 2 cm 𝑏 3 cm 4 cm 5 cm |𝑎 − 𝑏| 𝑎 + 𝑏 𝑐

29. Дужине две странице троугла су 2 dm и 1,5 dm. Дужина треће странице може бити: а) 20 mm; в) 1 dm; б) 0,5 dm; г) 350 mm. Заокружи слово испред тачног одговора.

30. Мерни бројеви страница су природни бројеви. Ако су дужине две странице тог троугла 2 cm и 21 cm, онда дужина треће странице изражена у cm може бити: а) 19 cm, 20 cm или 21 cm; б) 19 cm, 20 cm, 21 cm или 22 cm; 56

34. Странице једнакокраког троугла су 2 cm и 6 cm. Да ли крак може имати дужину 2 cm? Образложи одговор.

35. Једнакокраки троугао има странице чије су дужине: а) 16 cm и 7 cm; б) 12 cm и 15 cm. Која од датих страница је основица, а која је крак? Образложи одговор.

36. Марко и Младен су кренули у школску радионицу да направе неке украсне рамове облика троугла. На располагању имају летвице дужина: 15 cm, 70 mm, 100 mm, 1 dm, 2 m. Колико различитих троугаоних линија може да се састави од наведених летвица?

37. Дате су три дужи 𝑎, 𝑏 и 𝑐, такве да је дужина дужи 𝑏 два пута већа од дужине дужи 𝑎, а дужина дужи 𝑐 три пута већа од дужине дужи 𝑎. Да ли ове три дужи могу образовати троугаону линију? Образложи одговор.

38. Да ли постоји троугао са страницама 𝑎, 𝑏 и 𝑐, такав да је страница 𝑏 два пута дужа од станице 𝑎, а страница 𝑐 два пута дужа од странице 𝑏? Образложи одговор.

40. Израчунај обим једнакокраког троугла ако две његове странице имају дужине: а) 3 cm и 7 cm; б) 15 cm и 8 cm; в) 10 cm и 13 cm; г) 19 cm и 6 cm; д) 12 cm и 8 cm; ђ) 11 cm и 9 cm. 41. Обим једнакокраког троугла је 3 2 cm. Да ли дужина основице може бити: а) 16 cm; б) 14 cm; в) 24 cm; г) 2 cm?

УГЛОВИ ТРОУГЛА 49. Нацртај произвољан троугао чије су све странице међусобно различите дужине. Конструкцијом му сабери сва три унутрашња угла. Исто уради са спољашњим угловима. Шта закључујеш? 50. Нацртај произвољан једнакокраки троугао. Конструкцијом му сабери сва три унутрашња угла. Исто уради са спољашњим угловима. Шта закључујеш?

pr om

42. Да ли постоји троугао чији је обим 102 cm, а једна страница има дужину 58 cm?

48. Дужине страница једнакокраког троугла износе 8 cm и 12 cm. Једнакокраки троугао и квадрат имају једнаке обиме. Израчунај дужину странице квадрата.

39. Обим једнакокраког троугла је 24 cm. Да ли дужина крака може бити: а) 12 cm; б) 5 cm; в) 10 cm; г) 8 cm; д) 6 cm; ђ) 9 cm?

ТРОУГАО

43. Обим једнакокраког троугла је 11,55 cm. Израчунај дужине страница тог троугла ако је једна од њих: а) 3 пута дужа од друге; б) 5 пута дужа од друге.

uk a

44. Обим троугла износи 3 6 cm, а мерни бројеви дужина страница овог троугла су природни бројеви. Ако је дужина једне странице 12 cm, одреди дужине остале две странице.

45. Обим једнакокраког троугла износи 51 cm. Ако су дужине његових страница 3 𝑘 и 7𝑘, одреди дужине свих страница тог троугла. 46. Колико постоји једнакокраких троуглова чије су дужине страница изражене у центиметрима природни бројеви ако је њихов обим: а) 12 cm; б) 18 cm; в) 25 cm?

47. Квадрат и једнакокраки троугао имају заједничку страницу. Обим квадрата износи 3 2 cm, а обим једнакокраког троугла је 1,5 пута већи. Одреди дужину крака тог троугла.

51. Да ли троугао може да има: а) два унутрашња права угла; б) два унутрашња тупа угла; в) сва три унутрашња угла права; г) сва три унутрашња угла тупа? Образложи одговор.

52. Испитај да ли постоји троугао код кога су мере унутрашњих углова: а) 66°, 77°, 88°; б) 40°, 80°, 60°; в) 110°, 40°, 3 1°; г) 29°, 100° 3 5′, 50° 25′; д) 79° 3 5′ 27′′, 56° 3 4′ 43 ′′, 44° 49′ 50′′; ђ) 59° 59′ 59′′, 59° 1′ 1′′, 60° 59′. 53. Одреди меру трећег унутрашњег угла троугла ако су мере два унутрашња угла троугла: а) 56° и 43 °; б) 89° и 3 5°; в) 120° и 45°; г) 63 ° и 74° 3 6′; д) 27° 42′ и 90° 43 ′′; ђ) 108° 3 5′ 12′′ и 25° 21′ 3 4′′. Којој врсти троуглова према угловима припада троугао са датим угловима? 57

ТРОУГАО

54. Одреди меру трећег спољашњег угла троугла ако су мере два спољашња угла троугла: а) 110° и 140°; б) 135° и 135°; в) 95° и 130°; г) 138° 45′ и 74°; д) 111° 11′ и 99° 40′; ђ) 108° 12′ 44′′ и 102° 36′ 15′′. Којој врсти троугла према угловима припада троугао са датим спољашњим угловима? 55. Одреди меру непознатог угла 𝛼 на слици: 57°

𝛼

г)

31 °

б)

28° 30′

45°

61. Мера збира два спољашња угла 𝛽1 и 𝛾1 је 248° 10′. Израчунај меру унутрашњег угла 𝛼 таквог троугла.

44°35′

в)

𝛼

д)

′

62. Унутрашњи углови троугла су; 2𝛼, 3𝛼 и 4𝛼. Израчунај мере унутрашњих углова тог троугла.

28°30′

uk a

56. Одреди мере унутрашњих и спољашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶 ако је: а) 𝛼 = 63°, 𝛽1 = 92°; б) 𝛽1 = 100°, 𝛾1 = 114° 36′; в) 𝛼1 =105° 19′ 20′′, 𝛽1 =99° 24′ 17′′; г) 𝛼 = 117° 20′, 𝛽 = 48° 27′ 32′′; д) 𝛽 = 99° 33′, 𝛾1 = 107° 13′ 49′′.

57. Одреди мере непознатих улова на слици: C 𝛾1

35°

𝛽 𝛽1 B

C 115° A

𝛼

125°

𝛾

в)

82°

B 𝛽 𝛽1 B

𝛽1

𝛾

б)

𝛽

г)

60. Израчунај мере унутрашњих углова 𝛼 и 𝛽 правоуглог троугла (𝛾 = 90°) ако је мера спољашњег угла: а) 𝛼1 = 111°; б) 𝛽1 = 139° 20′.

𝛼

110°

59. Израчунај меру оштрог угла 𝛽 правоуглог троугла ако је мера оштрог угла 𝛼 тог правоуглог троугла: а) 𝛼 = 49°: б) 𝛼 = 77° 30′; в) 𝛼 = 63° 21′ 30′′.

pr om

85°

𝛼

58. Један спољашњи угао троугла једнак је свом одговарајућем унутрашњем углу. Којој врсти троугла према угловима припада троугао са таквим угловима?

𝛽

𝛼

140°

155°

63. Спољашњи углови троугла су: 4𝛼1, 6𝛼1 и 8𝛼1. Израчунај спољашње и унутрашње углове тог троугла. 64. Један унутрашњи угао троугла 1

једнак је њему суседног спољашњег 3 угла троугла. Други унутрашњи угао 1

истог троугла једнак је њему суседног 5 спољашњег угла. Одреди мере свих унутрашњих углова тог троугла.

65. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 мера угла 𝛽 три пута је мања од мере угла 𝛼, а мера угла 𝛾 је два пута мања од мере угла 𝛽. Израчунај мере унутрашњих углова тог троугла.

66. Одреди мере унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶 ако је мера једног унутрашњег угла 𝛼 = 64° 28′, а углови 𝛽 и 𝛾 се разликују за 6°. 67. Одреди мере унутрашњих углова троугла ако је 𝛼1 = 115° 36′, а углови 𝛽1 и 𝛾1 су једнаки.

69. Одреди мере свих унутрашњих углова троугла ако мера збира два унутрашња угла тог троугла износи 90°, а један од њих је 8 пута мањи од другог.

70. Одреди мере свих унутрашњих углова троугла ако су мере свих спољашњих углова тог троугла исте. Којој врсти троугла према угловима припада тај троугао?

ти углови се односе као 17 ∶ 2.

79. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶, мера угла 𝛼 износи 76°, а мера угла 𝛽 износи 75% мере угла 𝛼. Одреди мере свих унутрашњих и спољашњих углова тог троугла. 80. Један унутрашњи угао троугла једнак је збиру друга два унутрашња угла троугла. Којој врсти троугла према угловима припада тај троугао?

81. Симетрале унутрашњих углова 𝛼 и 𝛽 секу се под углом од 150°. Одреди меру угла 𝛾.

pr om

71. Израчунај мере унутрашњих углова троугла ако је мера збира два унутрашња угла 108°, а један од њих је 2 пута већи од другог.

унутрашња угла једнака 3 правог угла, а

68. Одреди мере свих унутрашњих углова троугла ако је мера угла 𝛽 за 21° већа од угла 𝛼, а мера угла 𝛾 за 21° већа од угла 𝛽.

ТРОУГАО

72. Израчунај мере унутрашњих углова троугла ако је мера разлике два унутрашња угла 48°, а један од њих је 7 пута већи од другог.

uk a

73. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 мера угла 𝛽 је за 36° већа од угла 𝛼, а мера угла 𝛾 је за 66° мања од мере угла 𝛼. Израчунај мере унутрашњих углова тог троугла.

74. Мера збира два унутрашња угла троугла износи 108°, а мера разлике та два унутрашња угла је 54°. Одреди меру свих унутрашњих углова тог троугла. 75. Израчунај меру тупог угла који граде симетрале оштрих углова правоуглог троугла. 76. Израчунај меру унутрашњих углова 𝛼, 𝛽 и 𝛾 троугла Δ𝐴𝐵𝐶 ако је 𝛼 + 𝛽 = 134° и 𝛼 + 𝛾 = 102°. Којој врсти троугла према угловима припада задати троугао?

77. Одреди меру унутрашњих углова 𝛼, 𝛽 и 𝛾 троугла Δ𝐴𝐵𝐶 ако је 𝛼 = 2𝑥, 𝛽 = 3𝑥 и 𝛾 = 5𝑥. 78. Одреди меру унутрашњих углова троугла ако је мера разлике два

82. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 мера угла 𝛼 износи 58°. Симетрала угла 𝛽 гради са симетралом угла 𝛼 угао од 140°. Израчунај меру оштрог угла који граде симетрале углова 𝛽 и 𝛾. 83. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 мере два унутрашња угла су 𝛼 = 48° и 𝛽 = 76°. Израчунај меру угла под којим се секу симетрале углова 𝛽1 и 𝛾1. 84. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 тачка 𝐷 је подножје висине 𝐶𝐷 из темена 𝐶. Ако мера угла 𝛼 износи 68°, а мера угла ∡𝐵𝐶𝐷 = 64°, израчунај меру унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶. Којој врсти троугла према угловима припада троугао Δ𝐴𝐵𝐶?

85. Симетрале спољашњих углова 𝛼1 и 𝛽1 троугла Δ𝐴𝐵𝐶 секу се под углом од 78°. Израчунај меру угла 𝛾. 86. Израчунај оштре углове правоуглог троугла ако се њихове мере разликују за 8° 8′ 8′′.

87. Симетрала оштрог угла 𝛼 правоуглог троугла Δ𝐴𝐵𝐶 гради са наспрамном катетом угао од 72°. а) Израчунај меру оштрих углова тог правоуглог троугла. б) Израчунај меру угла који симетрала 59

оштрог угла 𝛽 правоуглог троугла Δ𝐴𝐵𝐶 гради са наспрамном катетом.

88. Израчунај мере оштрих углова правоуглог троугла ако је један оштар угао 3 пута мањи од другог оштрог угла. 89. Израчунај мере оштрих углова правоуглог троугла ако је један унутрашњи угао 11 пута мањи од њему суседног спољашњег угла датог правоуглог троугла.

91. Израчунај мере унутрашњих углова

1 3 троугла Δ𝐴𝐵𝐶 ако се зна да је: 𝛼 = 𝛽 = 4 𝛾. 5

92. Израчунај мере унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶 ако се зна да је: 2 4 𝛽 = 𝛾 . 3 1 5 1

uk a

𝛼 1 =

93. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 угао 𝛼 једнак је угла 4 𝛽, а угао 𝛾 једнак је збиру троструког угла 𝛼 и двоструког угла 𝛽. Одреди мере тих углова. 94. Мере унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶 су три узастопна парна броја. Одреди мере унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶. 95. Израчунај мере унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶 ако је права 𝐶𝐷 симетрала угла 𝛾, као на слици. C

3 x

100°

б) 124°

97. Симетрале унутрашњих углова 𝛼 и 𝛽 троугла Δ𝐴𝐵𝐶 секу се под углом γ

𝛿 = 90° + 2 . Докажи.

98. Симетрале спољашњих углова 𝛼 1 и 𝛽1 троугла Δ𝐴𝐵𝐶 секу се под углом γ

𝜑 = 90° − 2 . Докажи.

pr om

90. Израчунај мере оштрих углова правоуглог троугла ако је један од оштрих углова 5 пута мањи од спољашњег несуседног угла тог правоуглог троугла.

96. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶, ∡𝐴 = 3 5°, ∡𝐵 = 75°. Кроз темена троугла конструисане су праве паралелне наспрамним страницама. Израчунај углове троугла који чине дате праве.

ТРОУГАО

104°

ОДНОС СТРАНИЦА И УГЛОВА У ТРОУГЛУ 99. Поређај углове троугла у растућем по- ретку, ако су дужине његових страница: а) 𝑎 = 8 cm, 𝑏 = 5 cm, 𝑐 = 6 cm; б) 𝑎 = 3 cm, 𝑏 = 4 cm, 𝑐 = 5 cm; в) 𝑎 = 8,5 cm, 𝑏 = 7,5 cm, 𝑐 = 13 cm; г) 𝑎 = 3 6,7 cm, 𝑏 = 23 ,17 cm, 𝑐 = 19,3 7 cm; 2

д) 𝑎 = 10 3 cm, 𝑏 = 6 3 cm, 𝑐 = 8 3 cm.

100. Поређај странице троугла Δ𝐴𝐵𝐶 у растућем поретку, ако су познати унутрашњи углови троугла: а) 𝛼 = 103 °, 𝛽 = 3 3 °; б) 𝛼 = 82°, 𝛾 = 47°; в) 𝛽 = 75°, 𝛾 = 91°; г) 𝛽 = 90°, 𝛼 = 3 5°.

101. Поређај странице троугла Δ𝐴𝐵𝐶 у опадајућем поретку, ако су дате мере углова тог троугла: а) 𝛼 1 =148°, 𝛽1 = 105°; б) 𝛽1 =103 ° 20′, 𝛾1 = 89° 50′; в) 𝛼 1 =99° 49′, 𝛾 = 23 ° 47′; г) 𝛼 = 60° 13 ′, 𝛽1 = 90° 42′; д) 𝛽1 = 88° 52′, 𝛼 = 60° 3 9′.

ТРОУГАО

102. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 угао 𝛼 је туп. Која страница троугла Δ𝐴𝐵𝐶 је најдужа? Образложи одговор.

а) збир угла на основици и угла који образују краци 160°; б) збир угла који образују краци и угла на основици 120°.

104. У правоуглом троуглу Δ𝐴𝐵𝐶, мера угла ∡𝐶 је 90°. Која страница тог троугла је најдужа? Како се зове најдужа страница правоуглог троугла?

113. Обим једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 је 22 cm, а дужина основице је 10 cm. Упореди меру угла који граде краци са мером угла који граде основица и крак.

114. Израчунај меру унутрашњег угла 𝛼 једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) са слике: C C

pr om

105. Мера оштрог угла правоуглог троугла Δ𝐴𝐵𝐶 је 𝛽 = 34°. Упореди дужине катета тог троугла (∡𝐶 = 90°).

112. Којој врсти троуглова према угловима припада троугао код кога је мера збира два унутрашња угла: а) 15°; б) 90°?

103. За углове троугла Δ𝐴𝐵𝐶 важи да је 𝛼 + 𝛾 = 75°. Која страница тог троугла је најдужа? Да ли можеш на основу датог податка да одредиш која страница је најкраћа? Образложи одговор.

106. Троугао Δ𝐴𝐵𝐶 је једнакокрако - -правоугли. Израчунај мере његових унутрашњих углова. Упореди дужине његових катета. Образложи одговор.

uk a

107. Мера угла на основици једнакокраког троугла износи 63°. Израчунај мере свих унутрашњих углова тог троугла.

108. Израчунај мере углова на основици једнакокраког троугла ако је мера угла који образују краци: а) 62°; б) 90°; в) 130°.

109. Израчунај мере унутрашњих углова једнакокраког троугла ако је мера спољашњег угла који образују: а) основица и крак 105°; б) краци 130°.

110. Израчунај мере унутрашњих углова једнакокраког троугла ако је: а) угао на основици 2,5 пута већи од угла који образују краци; б) угао који образују краци 6 пута већи од угла на основици; в) угао који образују краци за 30° већи од угла на основици. 111. Израчунај мере унутрашњих углова једнакокраког троугла ако је:

4x +45°

𝛼

x +10°

𝛼

B A a) б) Шта је дуже, основица или крак?

115. Збир два спољашња угла 𝛼1 и 𝛽1 троугла Δ𝐴𝐵𝐶 износи 296°. Која страница тог троугла је најдужа?

116. Израчунај унутрашње углове једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) ако симетрале углова на основици граде угао од 130°. Шта је дуже, основица или крак?

117. Израчунај унутрашње углове једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) ако мера угла који граде симетрала угла при врху и симетрала угла на основици износи 110°. Шта је дуже, основица или крак?

118. У правоуглом троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 = 90°) из темена правог угла 𝐶 повучена је нормала 𝐶𝐷 на хипотенузу. Упореди катете тог правоуглог троугла ако је мера угла ∡𝐴𝐶𝐷 = 71°. 61

119. Симетрала угла на основици једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) образује угао од 80° са висином која одговара основици. Израчунај мере унутрашњих углова тог једнакокраког троугла. Упореди дужине крака и основице тог троугла.

120. У једнакокраком троуглу Δ𝐴𝐵𝐶, величина трећине угла на основици једнака је шестини угла при врху. а) Одреди унутрашње углове тог троугла. б) Којој врсти троуглова према угловима припада троугао са задатим угловима?

20°

𝛼

𝛽

127. Израчунај мере унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (на слици) ако се зна да је 𝐴𝐵 = 𝐵𝐷 = 𝐷𝐶 и да је мера угла ∡𝐵𝐷𝐶 = 110°. C

pr om

121. Код једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶, симетрале спољашњих углова на основици секу се под углом од 56°. а) Одреди унутрашње углове троугла. б) Шта је дуже, основица или крак? в) Којој врсти троуглова према угловима припада троугао са задатим угловима?

126. Израчунај мере непознатих углова 𝛼, 𝛽 и ∡𝐴𝐶𝐵 троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (на слици) ако се зна да је 𝐴𝐷 = 𝐷𝐶 = 𝐶𝐸 = 𝐸𝐵 и да је мера угла ∡𝐷𝐶𝐸 = 20°.

ТРОУГАО

uk a

122. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 мера угла ∡𝐴 износи 46°. Симетрала угла ∡𝐵 сече страницу 𝐴𝐶 под углом од 120°. Израчунај мере унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶.

123. Мера угла ∡𝐶 троугла Δ𝐴𝐵𝐶 износи 82°. Паралeлно страници 𝐴𝐶 повучена је, кроз теме 𝐵 права 𝑝. Права 𝑝 са продужетком странице 𝐴𝐵 (преко темена 𝐵) заклапа угао од 50°. Израчунај мере унутрашњих углова троугла. 124. Израчунај мере унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶 ако је 𝛼 + 𝛽 = 134° и 𝛾 + 𝛽 = 110°.

125. Код једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 важи да је 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶. Мера спољашњег угла код темена 𝐶 износи 59° 30′. Одреди: а) мере унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶; б) мере спољашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶; в) којој врсти троуглова према угловима припада троугао Δ𝐴𝐵𝐶; г) меру угла под којим се секу симетрала угла на основици и симетрала угла при врху. 62

𝛾

D 110°

𝛼

128. Израчунај мере непознатих углова 𝛿 и 𝜀, са слике. C

44°

𝜀

A 128°

D 53°

𝛿

129. а) Израчунај мере унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶, са слике, ако се зна да је: 𝐴𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐴. C a D a a A

30°

ТРОУГАО

130. Одреди мере унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶, на слици, ако је: 𝐴𝐵=𝐵𝐷=𝐷𝐶 и мера угла ∡𝐴𝐶𝐵=10°. C D

136. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 угао 𝛼 износи 60% угла 𝛽, а угао 𝛾 једнак је збиру углова 𝛼 и 𝛽. Одреди мере унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶.

137. У једнакостраничном троуглу Δ𝐴𝐵𝐶, кроз темена 𝐴, 𝐵 и 𝐶 повучене су праве 𝑎, 𝑏 и 𝑐, такве да: 𝐴 ∈ 𝑎 и 𝑎 ‖ 𝐵𝐶, 𝐵 ∈ 𝑏 и 𝑏 ‖ 𝐴𝐶, 𝐶 ∈ 𝑐 и 𝑐 ‖ 𝐴𝐵. Праве 𝑎, 𝑏 и 𝑐 секу се у тачкама 𝑀, 𝑁 и 𝑃, и то: 𝑎 ∩ 𝑏 = {𝑀}, 𝑏 ∩ 𝑐 = {𝑁}, 𝑎 ∩ 𝑐 ={𝑃}. а) Израчунај мере унутрашњих углова троугла Δ𝑀𝑁𝑃. б) Којој врсти троуглова према страницама припада троугао Δ𝑀𝑁𝑃?

pr om

131. У једнакокраком троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶), из темена 𝐴 и 𝐵 на основици повучене су нормале: 𝐴𝐴1 на крак 𝐵𝐶 и 𝐵𝐵1 на крак 𝐴𝐶. Нормале 𝐴𝐴1 и 𝐵𝐵1 граде угао мере 71°. а) Израчунај мере унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶. б) Шта је дуже, основица или крак?

Којој врсти троуглова према угловима припада троугао са задатим својстом?

б) Ако је дужина дужи 𝐴𝐶 = 10 cm, израчунај дужину дужи 𝐵𝐷.

uk a

132. Над сваком страницом квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 конструисани су једнакостранични троуглови: Δ𝐴𝐵𝑃, Δ𝐵𝐶𝑀, Δ𝐷𝐶𝑁 и Δ𝐴𝐷𝑄, темена троуглова: 𝑃, 𝑄, 𝑀 и 𝑁 налазе се у спољашњној области квадрата. Израчунај мере следећих углова: а) ∡𝐷𝐴𝑃; в) ∡𝐴𝑁𝐵; д) ∡𝑀𝑄𝑁; б) ∡𝑄𝑃𝑀; г) ∡𝑀𝑄𝑃; ђ) ∡CBP.

133. Симетрала крака 𝐴𝐶 једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 сече крак 𝐴𝐶 у тачки 𝑀, крак 𝐵𝐶 у тачки 𝑁, а продужетак основице 𝐴𝐵 у тачки 𝑆. Одреди мере унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶 ако је мера угла ∡𝐶𝑆𝐴 = 50°. 134. Обим једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) износи 30 cm. Мере дужина страница тог троугла су природни бројеви изражени у центиметрима. Израчунај меру дужина његових страница. Колико задатак има решења? 135. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 збир два оштра угла је: а) мањи од 90°; б) једнак 90°; в) већи од 90°.

138. Поређај унутрашње углове троугла Δ𝐴𝐵𝐶 у растућем поретку ако је мера збира дужина његових страница задата на следећи начин: 𝑎 + 𝑏 = 44 cm, 𝑎 + 𝑐 = 52 cm и 𝑏 + 𝑐 = 64 cm. 139. Јеан оштар угао правоуглог троугла Δ𝐴𝐵𝐶 два пута је већи од другог оштрог угла тог троугла. Мера збира дужине хипотенузе и дужине краће катете износи 18 cm. Израчунај дужину хипотенузе.

140. Тачка 𝐷 је произвољна тачка странице 𝐵𝐶 троугла Δ𝐴𝐵𝐶. Из тачке 𝐷 конструисана је нормала 𝐷𝐸 на станицу 𝐴𝐵, тако да је ∡𝐶𝐷𝐸 = 128°. Ако је мера угла ∡𝐵𝐴𝐶 = 60°, израчунај мере остала два унутрашња угла троугла Δ𝐴𝐵𝐶. а) Којој врсти троуглова према угловима припада троугао Δ𝐴𝐵𝐶? б) Која страница троугла Δ𝐴𝐵𝐶 је најдужа? Која страница троугла Δ𝐴𝐵𝐶 је најкраћа?

ТРОУГАО

КОНСТРУКЦИЈЕ НЕКИХ УГЛОВА

152. Конструиши угао чија је мера: а) 105°; б) 165°; в) 255°; г) 195°.

142. Нацртај произвољан оштар угао ∡𝑎 𝑂𝑏 , а затим конструиши симетралу угла ∡𝑎 𝑂𝑏 .

143. Произвољан туп угао ∡𝑎 𝑂𝑏 симетралом подели на два подударна угла.

155. Угломером нацртај угао 𝛼 = 51°. Уз помоћ угла 𝛼 , конструиши угао 𝛽 чија је мера: а) 9°; б) 18°; в) 42°; г) 4° 3 0′.

pr om

144. Нацртај произвољан оштар угао 𝛼 и произвољан туп угао 𝛽, а затим конструиши: а) ∡𝑥𝑂𝑦 = 𝛼 + 𝛽; б) ∡𝑥𝑂𝑦 = 𝛽 − 𝛼 .

154. Конструиши угао чија је мера: а) 3 7° 3 0′; г) 82° 3 0′; е) 97° 3 0′; б) 52° 3 0′; д) 112° 3 0′; ж) 71° 15′; в) 67° 3 0′; ђ) 127° 3 0′; з) 13 1° 15′.

141. Нацртај прав угао ∡𝑎 𝑂𝑏 . Симетралом га подели на два подударна угла. Колика је мера једног од њих?

153. Конструиши угао чија је мера: а) 7° 3 0′; б) 22° 3 0′; в) 11° 15′; г) 3 3 ° 45′.

145. Нацртај произвољан оштар угао 𝛼 и прав угао 𝛽, а затим конструиши: а) ∡𝑎 𝑂𝑏 = 𝛼 + 𝛽; б) ∡𝑎 𝑂𝑏 = 𝛽 − 𝛼 .

uk a

146. Нацртај произвољан тупоугли троугао Δ𝐴𝐵𝐶. Затим конструиши угао ∡𝑥𝑂𝑦 који ће бити једнак збиру унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶.

147. Нацртај произвољан троугао Δ𝐴𝐵𝐶, затим конструиши симетрале његових унутрашњих углова. 148. Конструиши угао чија је мера: а) 90°; б) 45°. 149. Конструиши угао чија је мера: а) 60°; б) 120°; в) 3 0°; г) 15°.

150. Помоћу конструкције угла од 60°, конструиши угао од: а) 90°; б) 75°; в) 150°; г) 13 5°. 151. Помоћу конструкције угла од 90°, конструиши угао од: а) 270°; б) 13 5°; в) 225°; г) 3 15°. 64

156. Угломером нацртај угао 𝛽 = 81°. Конструкцијом подели угао 𝛽 на: а) 9 једнаких углова; б) 18 једнаких углова. 157. Угломером нацртај угао 𝛾 = 55°. Конструиши угао 𝛿 чија је мера: а) једнака једанаестини мере угла 𝛾; б) за 3 5° мања од мере угла 𝛾; в) за 10° већа од мере угла 𝛾.

158. Угломером нацртај угао 𝜀 = 54°. Конструиши угао 𝜑 чија је мера једнака: а) деветини мере угла 𝜀; б) трећини мере угла 𝜀.

159. Угломером нацртај угао 𝛼 = 65°. Конструкцијом га подели на 13 једнаких делова.

ТРОУГАО

ОСНОВНЕ КОНСТРУКЦИЈЕ ТРОУГЛОВА

гла: а) |𝐴𝐶| = 5 cm, |𝐵𝐶| = 4 cm; б) |𝐴𝐶| = 6 cm, |𝐵𝐶| = 4,5 cm; в) |𝐴𝐶| = 8 cm, |𝐵𝐶| = 6 cm.

166. Конструиши једнакокраки троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) ако су дате основица и крак: а) |𝐴𝐵| = 8 cm, |𝐴𝐶| = 6 cm; б) |𝐴𝐵| = 6 cm, |𝐵𝐶| = 8 cm.

167. Конструиши једнакокраки троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) ако је дата дужина основи- це 𝐴𝐵 и мера унутрашњег угла на основи- ци: а) |𝐴𝐵| = 5 cm, ∡𝐴 = 3 0°; б) |𝐴𝐵| = 6 cm, ∡𝐵 =45°; в) |𝐴𝐵| = 6,5 cm, ∡𝐴 = 75°. Којој врсти троуглова према угловима припада конструисани троугао?

pr om

160. Конструисати троугао Δ𝐴𝐵𝐶 ако су дате дужине две странице и мера унутрашњег угла који образују те странице. а) |𝐴𝐵| = 6 cm, |𝐴𝐶| = 4,5 cm, ∡𝐴 = 45°; б) |𝐴𝐵| = 7 cm, |𝐵𝐶| = 5 cm, ∡𝐵 = 120°; в) |𝐴𝐶| = 6 cm, |𝐵𝐶| = 5,5 cm, ∡𝐶 = 60°; г) |𝐴𝐵| = 8 cm, |𝐴𝐶| = 5 cm, ∡𝐴 = 75°; д) |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = 7,5 cm, ∡𝐶 = 3 0°.

165. Конструиши једнакокрако- правоугли троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 = 90°) ако је дата дужи- на катете тог троугла: а) |𝐴𝐶| = 5 cm; б) |𝐵𝐶| =6 cm.

uk a

161. Конструисати троугао Δ𝐴𝐵𝐶 ако је дата дужина једне странице троугла и мере два унутрашња угла која су налегла на дату страницу. а) |𝐴𝐵| = 7 cm, ∡𝐴 = 60°, ∡𝐵 = 45°; б) |𝐴𝐶| = 6 cm, ∡𝐴 = 90°, ∡𝐶 = 3 0°; в) |𝐵𝐶| = 5 cm, ∡𝐵 = 75°, ∡𝐶 = 45°; г) |𝐴𝐵| = 6,5 cm, ∡𝐴 = 120°, ∡𝐵 = 15°; д) |𝐴𝐶| = 4,5 cm, ∡𝐴 = ∡𝐶 = 75°.

162. Конструисати троугао Δ𝐴𝐵𝐶 ако су дате дужине све три странице тог троугла. а) |𝐴𝐵| = 6 cm, |𝐴𝐶| = 7 cm,|𝐵𝐶| = 3 cm; б) |𝐴𝐵| = 13 cm, |𝐴𝐶| = 12 cm, |𝐵𝐶| = 5 cm; в) |𝐴𝐵| = 5 cm, |𝐴𝐶| = 4 cm, |𝐵𝐶| = 7,5 cm; г) |𝐵𝐶| = 6,5 cm, |𝐴𝐵| = 6 cm, |𝐴𝐶| = 5 cm; д) |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = 6 cm, |𝐴𝐵| = 3 ,5 cm. 163. Конструисати троугао Δ𝐴𝐵𝐶 ако су дате дужине две странице троугла и мера унутрашњег угла наспрам дуже од датих страница троугла. а) |𝐴𝐵| = 7 cm, |𝐴𝐶| = 4 cm, ∡𝐶 = 105°; б) |𝐵𝐶| = 6 cm, |𝐴𝐶| = 5 cm, ∡𝐴 = 60°; в) |𝐴𝐶| = 5,5 cm, |𝐴𝐵| = 3 ,5 cm, ∡𝐵 = 75°; г) |𝐴𝐵| = 6,5 cm, |𝐵𝐶| = 4,5 cm, ∡𝐶 = 45°; д) |𝐵𝐶| = 7 cm, |𝐴𝐶| = 5 cm, ∡𝐴 = 67° 3 0′.

168. Конструиши једнакокраки троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) ако је дата дужина крака и мера унутрашњег угла који образују краци троугла: а) |𝐴𝐶| = 6 cm, ∡𝐶 = 120°; б) |𝐵𝐶| = 7 cm, ∡𝐶 = 90°; в) |𝐴𝐶| = 5,5 cm, ∡𝐶 = 3 0°. 169. Конструиши једнакостраничан троугао Δ𝐴𝐵𝐶 ако је дата дужина странице |𝐴𝐵| = 5 cm.

170. Конструиши једнакостраничан троу- гао Δ𝐴𝐵𝐶, ако је обим троугла 𝑂 = 12,6 cm. 171. Конструиши једнакостраничан тро- угао Δ𝐴𝐵𝐶, ако је дужина његове средње линије 𝑚 = 3 ,1 cm.

172. Конструиши једнакокраки троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) ако је дата дужина основи- це 𝐴𝐵 и мера унутрашњег угла који обра- зују краци: а) |𝐴𝐵| = 5 cm, ∡𝐶 = 3 0°; б) |𝐴𝐵| = 7 cm, ∡𝐶 = 120°; 164. Конструиши правоугли троугао Δ𝐴𝐵𝐶 в) |𝐴𝐵| = 6 cm, ∡𝐶 = 90°. (∡𝐶 = 90°) ако су дате дужине катета троу- 65

ТРОУГАО

б)

o A

pr om

4 cm

4,5 cm

E m

4,5 cm

uk a

Ed m

3 cm

5 cm

3 ,

45°

178. Посматрај слику, а затим заокружи слова испред тачних тврђења. D

177. Да ли су троуглови Δ𝐴𝐵𝐶 и Δ𝐷𝐸𝐹 приказани на слици подударни. Образложи одговор. a) 4 cm A B D

50°

г) B

ПОДУДАРНОСТ ТРОУГЛОВА. СТАВОВИ ПОДУДАРНОСТИ

3 c

4 cm

40°

60°

D 5c

176. Конструиши троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐵𝐶 = 𝑎 , 𝐴𝐶 = 𝑏 , 𝐴𝐵 = 𝑐) ако су дужине његових средњих линија: 𝑚𝑎 = 4,8 cm, 𝑚𝑏 = 3 cm и 𝑚𝑐 = 2,6 cm.

43 m m

3 ,6 cm

60°

3 ,6

174. Конструиши правоугли троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 = 90°) ако је дата дужина хипотенузе 𝐴𝐵 и мера једног унутрашњег угла тог троугла: а) |𝐴𝐵| = 7 cm, ∡𝐴 = 3 0°; в) б) |𝐴𝐵| = 6 cm, ∡𝐵 = 60°; B в) |𝐴𝐵| = 5 cm, ∡𝐴 = 45°. 175. Конструисати троугао Δ𝐴𝐵𝐶 ако je дужина његове странице |𝐴𝐵| = 6 cm, мера спољашњег угла код темена 𝐴 износи 120°, а мера спољашњег угла код темена 𝐵 износи 13 5°.

173. Конструисати троугао Δ𝐴𝐵𝐶 ако су дати његови елементи: а) |𝐴𝐵| = 6 cm, ∡𝐴 = 75°, ∡𝐶 = 60°; б) |𝐴𝐶| = 4,5 cm, ∡𝐶 = 60°, ∡𝐵 = 3 0°; в) |𝐵𝐶| = 7 cm, ∡𝐴 = 120°, ∡𝐶 = 3 0°.

M E

а) Δ𝐶𝐿𝑅 ≅ Δ𝐷𝐻𝑁; г) Δ𝐵𝐸𝑆 ≅ Δ𝐴𝐸𝑆; б) Δ𝐴𝑃𝑆 ≅ Δ𝑆𝑅 𝐿; д) Δ𝐻𝐹 𝑁 ≅ Δ𝐹 𝐿𝑆. в) Δ𝑁𝐹 𝑆 ≅ Δ𝑀𝐸𝑆;

179. Да ли су подударни троуглови Δ𝐴𝐵𝐶 и Δ𝐹 𝐸𝐷 обојени истом бојом?

г)

C B

E D

180. Троуглови Δ𝐴𝐵𝐶 и Δ𝑃𝑄𝑅 на слици су подударни. Запиши парове једнаких углова и парове једнаких страница (једнаке странице обележене су истом бојом). a) Q C

3 5°

81°

𝛼 O 𝛽

183. Допуни тврђење: Став подударности СУС (_______ –угао– _________) гласи: Ако су две странице и њима захваћени _______ једног троугла једнаки двема _________ и њима __________ углу другог троугла, онда су ти троуглови ____________.

184. Докажи да су подударни троуглови са слике. Образложи одговор. б) a) C A B 80°

cm 3 ,5

3 cm

80°

B 13

3 5°

5 cm

C г)

3 cm

64°

uk a

A в)

б)

pr om

5 cm Q д) ∡𝑆𝑄𝑅 ; ђ) ∡𝑄𝑅 𝑆.

N в) ∡𝑀𝑃𝑁; г) ∡𝑁𝑀𝑃;

182. Да ли су подударни троуглови Δ𝑃𝑂𝑄 и Δ𝑃𝑂𝑁 (са слике) ако је тачка 𝑂 центар круга 𝐾? Образложи одговор.

50°

M а) 𝑀𝑁; б) 𝑄𝑆;

85°

5 cm P в) A 5,

cm 3 ,5

D B

в) A

181. Троуглови Δ𝑀𝑁𝑃 и Δ𝑅 𝑄𝑆 су подударни троуглови. Одреди величине непознатих елемената датих троуглова: P S

3 ,5

б)

ТРОУГАО

3 5°

5 cm

Q m

5,5 c

m 4,5 cm

4,5 c

г)

B 2 cm C A

3 0° m 4c

2 cm D

185. Докажи подударност троуглова датих на слици: а) R 6 cm C P

55°

4,2

120°

5,6

P 4

140°

5 cm

50°

uk a

155°

186. Нацртај правоугаоник 𝐴𝐵𝐶𝐷 тако да дужине његових страница буду 5 cm и 3 cm. Правоугаонику нацртај дијагоналу 𝐴𝐶. Докажи да важи да је Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐶𝐷𝐴. 187. Нацртај квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷 тако да дужина његове странице буде 4 cm. Квадрату нацртај дијагонале 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷. Докажи да је Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐵𝐷𝐴.

188. Докажи да су дијагонале 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 а) правоугаоника 𝐴𝐵𝐶𝐷 једнаке; б) квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 једнаке.

189. Дат је квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷. Тачка 𝐸 је средиште странице 𝐶𝐷. Доказати да је: а) Δ𝐴𝐸𝐷 ≅ Δ𝐵𝐸𝐶; б) троугао Δ𝐴𝐵𝐸 једнакокраки. 68

80° R

Q г)

𝐵𝑀 = 4 𝐵𝐶 и 𝐴𝑁 = 4 𝐴𝐷. Запиши парове подударних троуглова који су настали спајањем тачака 𝑃, 𝑀, 𝑄 и 𝑁, као што је приказано на слици.

pr om

в)

2,5 cm R 65°

191. На слици је приказан квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷. Тачке 𝑃 и 𝑄 су средишта страница 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 редом. Тачке 𝑀 и 𝑁 се налазе на страницама 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 редом, тако да важи:

2,5

60°

4 cm

б)

5,6

60°

4 cm

6 cm

120°

190. Дат је квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷. Тачке 𝑃 и 𝑄 су средишта страница 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 редом, а тачке 𝑀 и 𝑁 су средишта страница 𝐶𝐷 и 𝐷𝐴 редом. Доказати: а) подударност троуглова Δ𝑃𝐵𝑄 и Δ𝑀𝐷𝑁; б) једнакост дужина дужи 𝑃𝑄 и 𝑀𝑁; в) једнакост дужи 𝑄𝑀 и 𝑃𝑁.

ТРОУГАО

192. Код једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) нацртана је оса симетрије која сече основицу АВ у тачки D. Докажи да је Δ𝐴𝐶𝐷 ≅ Δ𝐵𝐶𝐷. 193. Докажи да симетрала правог угла једнакокрако-правоуглог троугла дели једнакокрако-правоугли троугао на два подударна троугла која су такође једнакокрако-правоугли.

194. У кружници 𝑘(𝑂,4 cm) нацртана су два пречника 𝑀𝑁 и 𝑃𝑄. Представи сликом, а затим докажи једакост тетива: а) 𝑃𝑀 =𝑁𝑄; б) 𝑃𝑁 = 𝑀𝑄. 195. Основица 𝐴𝐵 једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) продужена је преко тачака 𝐴 и 𝐵 за 2 cm и тако су добијене дужи AM = BN = 2 cm. Доказати да је: а) Δ𝑀𝐴𝐶 ≅ Δ𝑁𝐵𝐶; б) Δ𝑀𝐶𝑁 једнакокраки.

196. Ако су тачке 𝑃 и 𝑄 средишта страница 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 редом, једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶). Доказати да је: а) Δ𝐴𝑄𝐶 ≅ Δ𝐵𝑃𝐶; б) 𝐴𝑄 = 𝐵𝑃.

197. Допуни тврђење: Став подударности УСУ ( ______–страница– _______ ) гласи: Ако су једна __________ и на њу налегли __________ неког троугла једнаки __________ и на њу налеглим __________ другог троугла, онда су ти троуглови ______________. 198. Докажи да су подударни троуглови са слике. Образложи одговор. P

A б)

5 cm

35°

30°

в) B

6 cm

45°

5,5 cm

45°

199. Дата су два троугла Δ𝐴𝐵𝐶 и Δ𝐴𝐵𝐷, као на слици. Ако важи да је: ∡𝐶𝐴𝐵 = ∡𝐵𝐴𝐷 и ∡𝐷𝐵𝐴 = ∡𝐴𝐵𝐶, на основу података са слике: а) докажи да је Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐴𝐵𝐷; б) израчунај обим троугла Δ𝐴𝐵𝐷. 3,8 c

6,5 cm

204. Код правоуглог троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 = 90°) дужина хипотенузе износи 𝐴𝐵 = 16 cm. Ако је ∡𝐴 = 60°, одреди дужину катете 𝐴𝐶. 205. На слици су дата два правоугла троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 = 90°) и Δ𝐸𝐴𝐷 (∡𝐷 = 90°). Ако је 𝐴𝐶 = А𝐸 = 10 cm и ∡𝐶𝐵𝐴 = 35°, доказати да је: а) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐸𝐴𝐷; б) 𝐶𝐵 = 𝐴𝐷. B

35°

45°

203. У правоуглом троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 = 90°), угао ∡𝐵 = 30°. Ако је дужина катете наспрам тог угла 𝐶𝐴 = 5 cm, израчунај дужину хипотенузе 𝐴𝐵 правоуглог троугла Δ𝐴𝐵𝐶.

30° 120° Q 6

P 5,

P 30°

60°

85°

202. Нека је тачка 𝑆 произвољна тачка на симетрали угла ∡𝑎𝑂𝑏. Из тачке 𝑆 повучене су нормале на краке угла ∡𝑎𝑂𝑏, које их секу у тачкама 𝐴 и 𝐵 (𝑆𝐴 ⊥ 𝑂𝑎 и 𝑆𝐵 ⊥ 𝑂𝑏). Доказати да је: а) Δ𝑂𝐴𝑆 ≅ Δ𝑂𝐵𝑆; б) 𝑆𝐴 = 𝑆𝐵.

85°

5 cm

201. Доказати да се дијагонале код правоугаоника међусобно полове.

pr om

uk a

а)

ТРОУГАО

206. На слици су дата два троугла Δ𝐴𝐵𝐶 и Δ𝐹𝐷𝐸. Користећи податке са слике, доказати да је Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐹𝐷𝐸. C

200. У квадрату 𝐴𝐵𝐶𝐷 нацртане су његове дијагонале 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 које се секу у тачки 𝑂. Доказати да је: 𝐴𝑂 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 = 𝑂𝐷, тј. да се дијагонале квадрата полове.

60° 140° A 3 cm D

140° 60° B 3 cm F

207. На слици су дата два троугла Δ𝐴𝐵𝐶 и Δ𝐸𝐷𝐹. Користећи податке са слике, доказати да је: а) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐸𝐷𝐹; б) 𝐴𝐶 = 𝐸𝐹. 69

80° 3 cm E 40° B

B 2 cm F

uk a

50° 2 cm

20°

209. Допуни тврђење. Став подударности ССС ( ____________– страница– ____________ ) гласи: Ако су ____________ једног троугла __________ одговарајућим страницама другог __________, онда су та два троугла ____________. 210. Докажи да су троуглови са слике подударни. m 3,5 c

а) R

3,5 c m

5 cm

б)

5 cm

а) 5 cm D

pr om

208. Основица 𝐴𝐵 једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) продужена је преко темена 𝐴 и 𝐵 за 2 cm. Тако су добијене дужи 𝐴𝐸 = 𝐵𝐹 = 2 cm. Користећи податке са слике, доказати да је: а) Δ𝐸𝐵𝐶 ≅ Δ𝐹𝐴𝐶; б) Δ𝐸𝐹𝐶 једнакокраки. 40°

211. Докажи да су троуглови са слике подударни.

5 cm

3 cm

60°

3c m

D A 3 cm 120°

5 cm

б)

D 5 cm

3c m

ТРОУГАО

C m

212. На кружници 𝑘 (𝑂, 𝑟 = 5 𝑐𝑚) одабране су тачке 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝐷, такве да је 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 4 cm. Доказати да је Δ𝐴𝑂𝐵 ≅ Δ𝐶𝑂𝐷. 213. Дат је једнакокрако-правоугли троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 = 90°). Теме правог угла 𝐶 спојено је са средиштем 𝑆 хипотенузе 𝐴𝐵. Докажи да је: а) Δ𝐵𝐶𝑆 ≅ Δ𝐴𝐶𝑆; б) 𝐶𝑆 оса симетрије троугла Δ𝐴𝐵𝐶. 214. Дат је произвољан угао ∡𝑎𝑂𝑏. На краку 𝑂𝑎 дата је тачка 𝐴, а на краку 𝑂𝑏 тачка 𝐵, такве да је 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵. У области угла ∡𝑎𝑂𝑏 налази се тачка 𝑃 таква да је 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵. Доказати да је: а) Δ𝑂𝐴𝑃 ≅ Δ𝑂𝐵𝑃; б) права 𝑠 (𝑂,𝑃) симетрала угла ∡𝑎𝑂𝑏.

215. На слици су дате кружнице истих полупречника 𝑘1(𝑂1, 3 cm) и 𝑘2(𝑂2, 3 cm) тако да је растојање њихових центара 𝑂1𝑂2 = 3 cm. Тачка 𝐴 је једна од тачака пресека кружница 𝑘1 и 𝑘2, а тачке 𝑀 и 𝑁 су темена троугла Δ𝑂2𝑀𝑁. Ако је Δ𝑂1𝐴𝑂2 ≅ Δ𝑂2𝑀𝑁 израчунај: а) меру угла ∡𝑀𝑂2𝑁; б) обим троугла Δ𝑀𝑂2𝑁.

3 cm

б)

R 7c

в)

150°

A 4 cm B

5 cm

4 cm

30°

pr om

217. Доказати да су два једнакокрако -правоугла троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 = 90°, 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) и Δ𝑃𝑄𝑆 (∡𝑆 = 90°, 𝑃𝑆 = 𝑄𝑆) подударна ако имају једнаке хипотенузе (𝐴𝐵 = 𝑃𝑄) и по једну једнаку катету (𝐶𝐴 = 𝑆𝑃).

13 cm

216. Доказати да су два једнакокрака троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) и Δ𝑀𝑁𝑃 (𝑀𝑃 = 𝑃𝑁) подударна ако имају једнаке основице (𝐴𝐵 = 𝑀𝑁) и по један једнак крак (𝐴𝐶 = 𝑀𝑃).

12 cm

221. Докажи да су троуглови са слике подударни: а) 12

ТРОУГАО

222. Докажи подударност троуглова Δ𝐴𝐵𝐶 и ΔCRP датих на слици. 13 cm

13 cm

uk a

Ed P

5 cm

42°

219. На основу података са слике, одреди мере непознатих углова (једнаким словима су обележене једнаке странице). Q M c N 65° a c a b

218. Доказати да су два једнакостранична троугла Δ𝐴𝐵𝐶 и Δ𝑃𝑄𝑅 подударна ако имају једнаку по једну страницу (𝐴𝐵 = 𝑃𝑄).

220. Допуни тврђење. Став подударности ССУ (страница– __________–угао) гласи: Ако су две ___________ једног троугла ___________ двема страницама другог ___________ и угао ___________ веће од њих у једном троуглу једнак је _________ наспрам веће ___________ у другом троуглу, онда су та два троугла ___________.

223. Из тачке 𝑆 ван кружнице 𝑘(𝑂,6 cm) конструисане су тангенте које додирују кружницу 𝑘 у тачкама 𝐴 и 𝐵. Докажи да важи једнакост 𝑆𝐴 = 𝑆𝐵.

224. На слици је приказан правоугаоник 𝐴𝐵𝐶𝐷, код кога је дужина странице 𝐴𝐵 = 5 cm. Из темена 𝐵 и 𝐷 конструисане су нормале 𝐵𝐵1 и 𝐷𝐷1 на дијагоналу 𝐴𝐶 (𝐵𝐵1 = 𝐷𝐷1). Ако је дужина дужи 𝐴𝐵1 = 4 cm, одреди дужину дужи 𝐶𝐷1. Образложи одговор. 71

k1 k2

5 cm

225. На слици је дат угао ∡𝑎 𝑂𝑏 и тачка 𝑆 у унутрашњој области угла ∡𝑎 𝑂𝑏 . Растојање тачке 𝑆 од крака 𝑂𝑎 једнако је растојању тачке 𝑆 од крака 𝑂𝑏 угла ∡𝑎 𝑂𝑏 . Доказати да тачка 𝑆 припада симетрали угла ∡𝑎 𝑂𝑏 . b

B s

20°

C 230. Применом става ССУ подударности троуглова, докажи да дијагонала дели квадрат на два подударна троугла.

231. Троуглови Δ𝐴𝐵𝐶 и Δ𝑃𝑄𝑅 са слике су подударни. Израчунај мере углова троугла Δ𝑃𝑄𝑅 (𝑎 = 𝑝, 𝑏 = 𝑞 , 𝑐 = 𝑟).

pr om

5 cm

m 3 c

5c m

20 °

ТРОУГАО

𝛼 + 40°

𝛼

p r

uk a

226. Докажи да нормала 𝐶𝐷 повучена из темена правог угла (∡𝐶 = 90°) на хипотенузу 𝐴𝐵 једнакокрако- правоуглог троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) дели хипотенузу на два једнака дела. Тачка D је пресечна тачка норамале из темена С и хипотенузе.

b 𝛼 + 20°

227. Дат је једнакокрако- тупоугли троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 је туп угао). Докажи да нормала 𝐶𝐷 повучена из темена тупог угла на страницу 𝐴𝐵 дели троугао Δ𝐴𝐵𝐶 на два подударна троугла. Тачка D је пресечна тачка норамале из темена С и странице АВ.

ОПИСАНА И УПИСАНА КРУЖНИЦА 228. Дат је једнакокраки троугао Δ𝐴𝐵𝐶 ТРОУГЛА (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 = 10 cm). Из темена 𝐶 на основицу 𝐴𝐵 конструисана је нормала 𝐶𝐷 тако да је 𝐴𝐷 = 2 cm. Израчунај обим троугла Δ𝐴𝐵𝐶. Тачка D је пресечна тачка норамале из темена С и странице АВ.

229. На слици су приказане две концентричне кружнице 𝑘1(𝑂,𝑟1) и 𝑘2(𝑂,𝑟2 = 3 cm). Тачке 𝐴 и 𝐷 припадају кружници 𝑘2, док тачке 𝐵 и 𝐶 припадају кружници 𝑘1. На основу података датих на слици, докажи подударност троуглова Δ𝐴𝐵𝑂 и Δ𝐷𝐶𝑂 помоћу сва четири става подударности троуглова. 72

232. Конструиши троугао Δ𝐴𝐵𝐶 ако су дужине његових страница: 𝐴𝐵 = 8 cm, 𝐵𝐶 = 6 cm, 𝐴𝐶 = 5 cm. Свакој страници конструиши симетралу. Шта уочаваш?

233. Нацртај три неколинеарне тачке 𝑃, 𝑄 и 𝑅 . Затим конструиши: а) тачку 𝑆, која је подједнако удаљена од датих тачака 𝑃, 𝑄 и 𝑅 ; б) кружницу 𝑘(𝑆, 𝑟) која пролази кроз

234. Нацртај произвољан троугао: а) оштроугли; б) правоугли; в) тупоугли. Затим, око сваког од њих опиши кружницу. Где ће се наћи центар описане кружнице код сваког од наведених троуглова?

243. Конструиши правоугли троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 = 90°) ако су дужине његових катета 𝐶𝐴 = 5,5 cm, 𝐶𝐵 = 4 cm. Затим упиши кружницу у тај троугао.

244. Конструиши једнакокраки троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) ако је дужина његовог крака 6 cm, а мера угла који је захваћен крацима износи 30°. Затим, конструиши центре описане и уписане кружнице једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶. Покажи да се они налазе на оси симетрије тог троугла.

pr om

235. Конструиши троугао Δ𝐴𝐵𝐶, ако су дати његови елементи: а) 𝐴𝐵 = 5 cm, 𝐴𝐶= 3 cm, ∡𝐵𝐴𝐶 = 60°; б) 𝐴𝐵 = 6 cm, ∡𝐵𝐴𝐶 = 60°, ∡𝐴𝐵𝐶 = 70°; в) 𝐴𝐵 = 5 cm, ∡𝐵𝐴𝐶 = 60°, ∡𝐴𝐵𝐶 = 45°. Затим око сваког од њих опиши кружницу.

страница датог троугла Δ𝑃𝑄𝑅; б) кружницу 𝑘(𝑂, 𝑟) која додирује све три странице троугла Δ𝑃𝑄𝑅. 242. Нацртај произвољан троугао: а) оштроугли; б) правоугли; в) тупоугли. Затим, у сваки од њих упиши кружницу. Где ће се наћи центар уписане кружнице код сваког од наведених троуглова?

тачке 𝑃, 𝑄 и 𝑅. Којим дужима је једнак полупречник 𝑟?

ТРОУГАО

236. Конструиши правоугли троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 = 90°), ако су дате дужине његових катета: 𝐶𝐴 = 8,5 cm, 𝐵𝐶 = 4,5 cm. Затим, опиши кружницу око тог правоуглог троугла. Где ће се наћи центар описане кружнице?

uk a

237. Дужина полупречника описане кружнице једнакокрако-правоуглог троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 = 90°) износи 𝑟𝑜 = 4 cm. Конструиши троугао Δ𝐴𝐵𝐶. Затим, опиши кружницу око троугла Δ𝐴𝐵𝐶.

238. Конструиши једнакокраки троугао Δ𝐴𝐵𝐶 чија је оновица 𝐴𝐵 = 4 cm, а крак 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 = 6 cm. Затим, опиши кружницу око троугла Δ𝐴𝐵𝐶. 239. Конструиши једнакостраничан троугао Δ𝐴𝐵𝐶, ако је дужина његове странице 𝐴𝐵 = 5 cm. Затим, опиши кружницу око троугла Δ𝐴𝐵𝐶.

240. Конструиши троугао Δ𝐴𝐵𝐶, ако су дужине његових страница 𝐴𝐵 = 8,2 cm, 𝐵𝐶 = 6,3 cm и 𝐴𝐶 = 5,4 cm. Затим, сваком унутрашњем углу конструиши симетралу. Шта уочаваш? 241. Нацртај произвољан троугао Δ𝑃𝑄𝑅, а затим конструиши: а) тачку 𝑂 која је подједнако удаљена од

245. Конструиши једнакостраничан тро- угао Δ𝐴𝐵𝐶, ако је познат полупречник описане кружнице 𝑟𝑜 = 3,5 cm.

246. Конструиши једнакостраничан тро- угао Δ𝐴𝐵𝐶, ако је познат полупречник уписане кружнице 𝑟𝑢 = 1,5 cm. 247. Конструиши троугао Δ𝐴𝐵𝐶 ако је позната дужина основице 𝐴𝐵 = 4 cm, по- лупречник описане кружнице 𝑟𝑜 = 3 cm и мера угла ∡𝐵𝐴𝐶 = 60°.

248. Конструиши троугао Δ𝐴𝐵𝐶 ако је позната дужина основице 𝐴𝐵 = 4 cm, по- лупречник уписане кружнице 𝑟𝑢 = 1,5 cm и мера угла ∡𝐵𝐴𝐶 = 60°.

249. Конструиши правоугли троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 = 90°), ако је полупречник описане кружнице 𝑟𝑜 = 5 cm, а мера једног оштрог угла износи 75°. 250. Код правоуглог троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 = 90°) дужина катете 𝐶𝐴 = 3 cm, дужи- 73

ТРОУГАО

251. Дате су три неколинеарне тачке 𝐴, 𝐵 и 𝑂. Конструиши троугао Δ𝐴𝐵𝐶, такав да су тачке 𝐴 и 𝐵 темена, а тачка 𝑂 центар уписане кружнице троугла Δ𝐴𝐵𝐶.

252. У правоуглом троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 = 90°) дата је тачка 𝑂. Тачка 𝑂 је цен- тар уписане кружнице троугла Δ𝐴𝐵𝐶. Одреди оштре углове троугла Δ𝐴𝐵𝐶, ако је мера угла ∡𝐶𝑂𝐵 = 110°.

255. У једнакокраком троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶), мера спољашњег угла код те- мена 𝐶 износи 104°. Ако је тачка 𝑂 центар уписане кружнице троугла, израчунај мере следећих углова: а) ∡𝐴𝑂𝐵; б) ∡𝐴𝑂𝐶; в) ∡𝐵𝑂𝐶. 256. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶, мера спољашњих углова код темена 𝐴 и 𝐵 износи 124° и 114°, редом. Ако је тачка 𝑂 центар уписа- не кружнице троугла Δ𝐴𝐵𝐶, одреди мере углова под којим се виде странице тог троугла из тачке 𝑂.

pr om

253. У једнакокраком троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶), тачка 𝑂 је центар уписане кру- жнице троугла Δ𝐴𝐵𝐶. Ако је мера угла ∡𝐴𝑂В = 102°, одреди унутрашње углове једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶. Шта је дуже, основица или крак?

254. Мера спољашњег угла код темена 𝐵 једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 износи 128° (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶). Ако је тачка 𝑂 центар уписане кружнице троугла Δ𝐴𝐵𝐶, израчунај меру следећих углова: а) ∡𝐴𝑂𝐵; б) ∡𝐵𝑂𝐶; в) ∡𝐴𝑂𝐶.

на хипотенузе 𝐴𝐵 је два пута већа. Кон- струиши правоугли троугао Δ𝐴𝐵𝐶. Израчу- нај мере његових оштрих углова.

uk a

ТРИ ПРАСЕТА И МАГИЧНИ ТРОУГАО

Некада давно живели су један тата прасац и мама прасица и имали су тројицу синова, три прасета. Најстарији се звао Гица, средњи Шица, а најмлађи Дица. Синови су били јако срећни, али несташни и размажени. Мама и тата су вредно радили да би они имали све што пожеле.

Када су три прасета порасла и ојачала, мама и тата су им рекли да је време да се осамостаљују и да почну себи да граде куће. Родитељи су синовима спремили сендвиче, воду и колаче и пожелели им срећан пут. Браћа су ишла заједно до једне шуме, а онда је свако од њих кренуо својим путем до оближњих пропланака на ободу шуме. И свако је кренуо да гради своју кућу. Најмлађи Дица је саградио себи кућу 74

од сламе и дасака за три сата и отишао код средњег брата да га обиђе. Шица је од балвана управо завршавао своју кућу када му је најмлађи брат стигао у госте. Онда су се заједно упутили код најстаријег брата Гице. Гица је зидао себи кућу од камена и цигала све до касне вечери, па и сутрадан. Шица и Дица су се подсмевали Гици, рекавши како њему не треба тврђава за становање, већ кућа. Гица се није обазирао на њихове коментаре. Браћа су убрзо отишли свако својој кући и безбрижно спавали. Нису ни слутили да у шуми живи Зао дух, коме су засметали досељеници. Зао дух је решио да им сруши куће. Позвао је своју сестру Олују у помоћ. Олуја је ујутру

ТРОУГАО

Умеш ли ти да решиш магични троугао? ?

uk a

pr om

почела тако јако да дува да су Дицина и Шицина кућа биле сравњене са земљом. Дица и Шица су уплашени одјурили код најстаријег брата. И таман кад је Зао дух наваљивао на Олују да сруши димњак Гицине куће, Олуја је имала предлог за брата: „Ти си остарио, требају ти комшије и за добро и за зло. Довољно је што сам опоменула браћу да не треба никада да се одвајају. Али, даћу им један јако тежак задатак. Ако га реше за пола сата, нећу рушити димњак на Гициној кући.” Задатак је гласио: „Распореди бројеве 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖 и 𝟗 по страницама троугла, на местима где су постављени знакови питања, тако да по свакој страници добијеш збир 20.” Прасићи су углас узвикнули: „Ово је магични троугао! Лако га је решити!” Решили су тачно задатак за 15 минута.

ТРОУГАО

ТЕСТ

1. Израчунај обим троугла ако су дужине његових страница 𝑎 = 6,3 cm, 𝑏 = 9 cm и 𝑐 = 7,5 cm.

2. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 познате су мере два унутрашња угла 𝛼 = 3 7° и 𝛽 = 53 °. а) Израчунај меру угла 𝛾; б) Израчунај мере свих спољашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶.

3. Поређај станице троугла Δ𝐴𝐵𝐶 у растућем поретку ако су познати унутрашњи углови троугла: 𝛼 = 105° и 𝛽 = 46°. 4. Поређај углове троугла Δ𝐴𝐵𝐶 у растућем поретку ако су познате дужине страница троугла 𝑎 = 3 cm, 𝑏 = 4 cm и 𝑐 = 5 cm.

pr om

5. Нацртај произвољан троугао Δ𝐴𝐵𝐶 код кога: а) сви су углови оштри; б) један је угао прав; в) један је угао туп. Може ли троугао да има 2 права или 2 тупа угла? Зашто?

ТЕСТ

1. Израчунај мере унутрашњих и спољашњих угова једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) ако је угао који образују краци 2,5 пута мањи од угла на основици.

uk a

2. Одреди мере унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶 ако је мера једног спољашњег угла 𝛼 1 = 115° 3 2′, а унутрашњи углови 𝛽 и 𝛾 се разликују за 6° (𝛽 < 𝛾). 3. Израчунај мере унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶 ако је 𝛼 + 𝛽 = 13 4° и 𝛾 + 𝛽 = 110°. Затим, поређај дужине страница троугла у растућем поретку.

3 ,5

55°

65°

4,5

4,5 c

4. Да ли су троуглови Δ𝐴𝐵𝐶 и Δ𝑃𝑄𝑅 на слици подударни? Образложи одговор. R cm 60° C 5 , 3

5. Докажи да су троуглови Δ𝐴𝐵𝐶 и Δ𝐶𝐷𝐴 са слике подударни. Образложи одговор. 3 cm

2 4,

3 cm

4, 2

ТРОУГАО

ТЕСТ 1. Израчунај мере унутрашњих углова троугла Δ𝐴𝐵𝐶 ако је 1 1 𝛼 = 𝛽 = 5 𝛾. 4

2. Један оштар угао правоуглог троугла два пута је већи од другог оштрог угла тог тро- угла. Израчунај дужину хипотенузе, ако збир дужина хипотенузе и краће катете износи 27 cm. 3. Докажи подударност троуглова Δ𝐴𝐵𝐶 и Δ𝐷𝐸𝐶 са слике. cm

pr om

m 0c

26 cm

4. Докажи да су два једнакостранична троугла подударна ако имају једнаку по једну страницу.

uk a

5. Докажи да дијагонала квадрата дели квадрат на два подударна троугла.

ТРОУГАО

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

ТРОУГАО – подсетник

4. а) темена; б) 𝐵𝐶 = 𝑎 , 𝐴𝐶 = 𝑏 ; в) ∡𝐴𝐵𝐶 = 𝛽, ∡𝐵𝐶𝐴 = 𝛾; г) 𝛽1, 𝛾1; д) темена, странице и углови. 5. а) 𝑄𝑅 ; б) 𝑄𝑅 ; в) ∡𝑃𝑅 𝑄; г) ∡𝑃𝑄𝑅 .

 Троугао је магични, јер је збир бројева на свакој страници једнак (1 + 6 + 2 = 1 + 5 + 3 = 2 + 4 + 3 ).

6. а) ∡𝑃𝑀𝑁, ∡𝑀𝑁𝑃; б) ∡𝑁𝑃𝑀, ∡𝑃𝑀𝑁; в) ∡𝑀𝑁𝑃, ∡𝑁𝑃𝑀. 7.

ПОЈАМ ТРОУГЛА. ЕЛЕМЕНТИ ТРОУГЛА

o T

б)

𝛼 78

𝛾

c в)

б)

г)

д)

a 𝛽

b B A

𝛼

𝛽

𝛼

B A

L C 𝛾 C

д)

в)

a c б)

𝛾

c г)

𝛽

a 𝛽

9. а) F

90°

D B

ђ)

е) б) F cm

г)

c a)

в)

2,5

𝛼

C 𝛾

E F a)

uk a

3 cm

pr om

1. Треба заокружити: в) и ђ). 2.

120°

E 3 cm

4 cm

45°

5 cm

55°

N h2

14. Конструишу се нормале на странице (продужетке страница). Пресечна тачка се налази ван троугла и означена је са 𝐻. C

pr om

10. а) Δ𝐴𝐵𝐶, Δ𝐶𝐷𝐸; б) Δ𝐴𝐵𝐷, Δ𝐴𝐶𝐷, Δ𝐵𝐶𝐷; в) Δ𝐴𝐵𝐸, Δ𝐴𝐶𝐸, Δ𝐴𝐷𝐸, Δ𝐵𝐶𝐸, Δ𝐵𝐷𝐸, Δ𝐶𝐷𝐸; г) Δ𝐹𝐴𝐸, Δ𝐹𝐴𝐷, Δ𝐹𝐴𝐶, Δ𝐹𝐴𝐵, Δ𝐸𝐴𝐷, Δ𝐸𝐴𝐶, Δ𝐸𝐴𝐵, Δ𝐷𝐴𝐶, Δ𝐷𝐴𝐵, Δ𝐶𝐴𝐵; д) Δ𝑆𝐻𝐺, Δ𝑆𝐴𝐵, Δ𝑆𝐺𝐹, Δ𝑆𝐵𝐶, Δ𝑆𝐹𝐸, Δ𝑆𝐶𝐷, Δ𝑆𝐻𝐹, Δ𝑆𝐴𝐶, Δ𝑆𝐻𝐸, Δ𝑆𝐴𝐷, Δ𝑆𝐺𝐸, Δ𝑆𝐵𝐷. ђ) Δ𝐴𝐹𝐷, Δ𝐴𝐹𝐸, Δ𝐴𝐵𝐷, Δ𝐴𝐶𝐷, Δ𝐴𝐶𝐸, Δ𝐵𝐶𝐷, Δ𝐶𝐷𝐸, Δ𝐶𝐹𝐸, Δ𝐶𝐴𝐹, Δ𝐷𝐹𝐸.

в)

11. а) Δ𝐴𝐵𝐶, Δ𝐷𝐸𝐹, Δ𝐶𝐻𝐾, Δ𝐷𝐺𝐻, Δ𝐹𝐾𝐿; б) Δ𝑀𝑇𝑁, Δ𝑀𝐷𝐴, Δ𝑃𝑇𝐷, Δ𝑃𝑄𝑅, Δ𝑄𝑇𝐶, Δ𝑁𝐶𝐵, Δ𝑅𝐴𝐵. в)Δ𝐿𝐹𝐴, Δ𝐿𝑉𝑈, Δ𝐺𝐸𝐹, Δ𝐺𝐻𝐼, Δ𝑉𝐷𝐸, Δ𝐻𝐶𝐷, Δ𝑈𝐶𝐵, Δ𝐼𝐴𝐵.

ТРОУГАО

uk a

12. Конструишу се нормале из сваког темена троугла на одговарајућу наспрамну 15. а) 9 троуглова; б) 6 троуглова. страницу. Пресек представља тачка 𝐻 која 16. а) 10 троуглова; б) 18 троуглова; се налази у троуглу. в) 8 троуглова. R

13. Слично као у 12. задатку. У овом случају пресечна тачка је тачка 𝑀, која представља теме чији је угао прав.

17. а) 2 троугла; б) 8 троуглова. 18. 6 троуглова.

19. а) 𝑂 = 22,5 cm; б) 𝑂 = 1,36 m; в) 𝑂 = 74 mm.

20. Дужина основице 𝑀𝑁 = 0,32 m. 21. 𝑂 = 1,08 m.

22. Странице су по 74 cm.

ТРОУГАО

НЕЈЕДНАКОСТ ТРОУГЛА 23. Алексине летвице могу да формирају троугаону линију, јер задовољавају неједнакост троугла. 24. а) да; б) да; в) да; г) да; д) да; ђ) да.

28.

𝑐

4 cm 3 cm 1 cm 7 cm

2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm.

1 cm 4 cm 3 cm 5 cm 4 cm

2 cm 5 cm 3 cm 7 cm

4 cm, 5 cm, 6 cm.

29. треба заокружити: в).

30. Треба заокружити: в).

31. Трећа страница је 20 cm.

32. а) Основица може бити већа од 0, а мања од 8 cm. б) Основица може бити већа од 0, а мања од 9 dm.

33. а) Крак треба бити већи од 4,9 cm, док горња граница не постоји. б) Крак треба бити већи од 7,75 cm, а горња граница не постоји. 34. Не може, јер не би била задовољена неједнакост троугла. 80

39. а) не; б) не; в) да; г) да; д) не; ђ) да. 40. а) 𝑂 = 17 cm; б) 𝑂 = 3 8 cm или 𝑂 = 3 1 cm; в) 𝑂 = 3 3 cm или 𝑂 = 3 6 cm; г) 𝑂 = 44 cm; д) 𝑂 = 3 2 cm или 𝑂 = 28 cm; ђ) 𝑂 = 29 cm или 𝑂 = 3 1 cm.

uk a

𝑎 𝑏 |𝑎 − 𝑏 | 𝑎 + 𝑏

37. Не могу, јер ће важити једнакост 𝑎 + 𝑏 = 𝑐.

pr om

27. Сава је дао коректан пример.

36. Могу да се саставе 3 различите троугаоне линије.

38. Не, такав троугао не задовољава неједнакост троугла.

25. На пример: 𝑝 = 9, 𝑞 = 8, 𝑟 = 7.

26. На пример: 𝑚 = 2, 𝑛 = 4, 𝑡 = 6.

35. а) Основица је 7 cm, док је крак 16 cm, у супротном не важи неједнакост троугла. б) Оба броја могу бити дужине и крака и основице.

41. а) не; б) да; в) не; г) да.

42. Не, збир друге две странице мањи је од наведене странице. 43. а) Oсновица је 1,65 cm, а крак је 4,95 cm; б) основица је 1,05 cm, а крак је 5,25 cm.

44. Остале две странице могу бити: 12 cm, 12 cm; 13 cm, 11 cm; 14 cm, 10 cm; 15 cm, 9 cm; 16 cm, 8 cm; 17 cm, 7 cm. 45. Основица је 9 cm, а крак је 21 cm. 46. а) 2 троугла; б) 4 троугла; в) 6 троуглова. 47. Дужина крака је 20 cm.

48. Када је обим једнакокраког троугла 28 cm, тада је страница квадрата 7 cm, а када је обим једнакокраког троугла 3 2 cm, онда је страница квадрата 8 cm.

УГЛОВИ ТРОУГЛА 49. Збир унутрашњих углова је 180°. Збир спољашњих углова је 3 60°. C

𝛾1

𝛼

𝛽

𝛾

𝛼

𝛼 1

uk a

𝛽1

S 𝛾1

50. Збир унутрашњих углова је 180°. Збир спољашњих углова је 3 60°. 𝛾1 M 𝛾

𝛼 1 𝛼 K 𝛾

𝛽1

𝛼

B 𝛾1

54. а) 110°, оштроугли; б) 90°, правоугли; в) 13 5°, тупоугли; г) 147° 15′, тупоугли; д) 149° 9′, оштроугли; ђ) 149° 11′ 1′′, оштоугли. 55. а) 𝛼 = 3 8°; б) 𝛼 = 45° 25′; в) 𝛼 = 3 8° 18′; г) 𝛼 = 45°; д) 𝛼 = 123 °.

56. а) 𝛽 = 88°, 𝛾 = 29°, 𝛼 1 = 117°, 𝛾1 = 151°; б) 𝛽 = 80°, 𝛾 = 65° 24′, 𝛼 = 3 4° 3 6′, 𝛼 1 = 145° 24′; в) 𝛼 = 74° 40′ 40′′, 𝛽 = 80° 3 5′43 ′′, 𝛾 = 24° 43 ′ 3 7′′, 𝛾1 = 155° 16′23 ′′; г) 𝛾 = 14° 12′ 28′′, 𝛼 1 = 62° 40′, 𝛽1 = 13 1° 3 2′ 28′′, 𝛾1 = 165° 47′ 3 2′′; д) 𝛾 = 72° 46′ 11′′, 𝛼 = 7° 40′ 49′′, 𝛽1 = 80° 27′, 𝛼 1 = 172° 19′ 11′′. 57. а) 𝛽 = 55°, 𝛽1 = 125°; б) 𝛽 = 40°, 𝛾 = 58°, 𝛾1 = 122°; в) 𝛼 = 55°, 𝛾 = 65°, 𝛽 = 60, 𝛽1 = 120°; г) 𝛼 = 25°, 𝛽 = 65°, 𝛽1 = 115°.

59. а) 𝛽 = 41°; б) 𝛽 = 12° 3 0′; в) 𝛽 = 26° 3 8′ 3 0′′. 60. а) 𝛼 = 69°, 𝛽 = 21°; б) 𝛼 = 49° 20′, 𝛽 = 40° 40′.

𝛼 1

53. а) 81°, оштроугли; б) 56°, оштроугли; в) 15°, тупоугли; г) 42° 24′, оштроугли; д) 62° 17′ 17′′, тупоугли; ђ) 46° 3 ′ 14′′, тупоугли.

58. Ради се о правоуглом троуглу.

𝛽 𝛽1 L 𝛽

52. а) не; б) да; в) не; г) да; д) не ђ) да.

𝛽

51. а) не; б) не; в) не; г) не; у свим случајевима збир унутрашњих углова троугла већи је од 180°.

pr om

𝛼 1

𝛾

ТРОУГАО

61. 𝛼 = 68° 10′.

ТРОУГАО

62. 𝛼 = 20°, унутрашњи углови су: 40°, 60°, 80°.

84. 𝛼 = 68°, 𝛽 = 26°, 𝛾 = 86°, Δ𝐴𝐵𝐶 је оштроугли троугао.

64. Унутрашњи углови су: 45°, 30°, 105°.

86. Мере оштрих углова су: 49° 4′ 4′′ и 40° 55′ 56′′.

63. Спољашњи углови су: 80°, 120°, 160°, унутрашњи углови су: 100°, 60°, 20°. 65. 𝛼 = 120°, 𝛽 = 40°, 𝛾 = 20°. 66. 𝛽 = 60° 46′, 𝛾 = 54° 46′.

67. 𝛼 = 64° 24′, 𝛽 = 57° 48′, 𝛾 = 57° 48′.

70. Унутрашњи углови су по 60°, ради се о оштроуглом троуглу. 71. 72°, 36°, 72°. 72. 8°, 56°, 116°.

uk a

73. 𝛼 = 70°, 𝛽 = 106°, 𝛾 = 4°.

74. 𝛼 = 81°, 𝛽 = 27°, 𝛾 = 72°.

75. Мера траженог угла је 135°.

76. 𝛼 = 56°, 𝛽 = 78°, 𝛾 = 46°, оштроугли троугао. 77. 𝛼 = 36°, 𝛽 = 54°, 𝛾 = 90°.

78. 𝛼 = 68°, 𝛽 = 8°, 𝛾 = 104°.

79. 𝛽 = 57°, 𝛾 = 47°, 𝛼1 = 104°, 𝛽1 = 123°, 𝛾1 = 133°. 80. Правоугли троугао. 81. 𝛾 = 120°.

82. Мера траженог угла је 61°.

83. Мера траженог угла је 66°. 82

88. Мере оштрих углова су: 22° 30′ и 67° 30′.

89. Мере оштрих углова су: 15° и 75°. 90. Задатак има два решења. Прво решење је: 18° и 72°; друго решење: 22° 30' и 67° 30'.

pr om

69. 90°, 10°, 80°.

87. а) Мере оштрих углова су: 36° и 54°; б) Мера траженог угла је 63°.

68. 𝛼 = 39°, 𝛽 = 60°, 𝛾 = 81°.

85. 𝛾 = 24°.

91. 𝛼 = 45°, 𝛽 = 27°, 𝛾 = 108°. 92. 𝛼 = 84°, 𝛽 = 36°, 𝛾 = 60°.

93. 𝛼 = 22° 30′, 𝛽 = 30°, 𝛾 = 127° 30′.

94. Мере тражених углова су: 58°, 60° и 62°. 95. а) 𝑥 = 20°; 𝛼 = 40°, 𝛽 = 20°, 𝛾 = 120°; б) 𝑥 = 12°; 𝛼 = 56°, 𝛽 = 28°,𝛾 = 96°.

96. У новом троуглу Δ𝐴1𝐵1𝐶1 теме 𝐴1 је наспрам темена 𝐴, слично важи и за остала темена. ∡𝐴1 = 35°, ∡𝐵1 = 75°, ∡𝐶1 = 70°. 97.

𝛿 = 180° − (

𝛼 2

𝛽 2

) = 180° −

𝛾 𝛾 180° − 90° + 2 = 90° + 2 . 98.

𝜑 = 180° − (

𝛼1 2

𝛽1 2

) = 180° −

180° − 𝛾 2

360° − 𝛾1 2

𝛾 𝛾 𝛾 180° − 180° + 21 = 180° − 21 = 90°− 21 .

ОДНОС СТРАНИЦА И б) 𝛼 = 50°, основица је дужа. УГЛОВА У ТРОУГЛУ 115. Страница 𝑐 је најдужа. 100. а) 𝑏 < 𝑐 < 𝑎 ; б) 𝑐 < 𝑏 < 𝑎 ; в) 𝑎 < 𝑏 < 𝑐; г) 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 . 101. а) 𝑏 > 𝑐 > 𝑎 ; б) 𝑐 > 𝑏 > 𝑎 ; в) 𝑎 > 𝑏 > 𝑐; г) 𝑏 > 𝑎 > 𝑐; д) 𝑏 > 𝑎 > 𝑐.

117. 40°, 40°, 100°, основица је дужа. 118. 𝑎 < 𝑏 .

119. 20°, 20°, 140°, основица је дужа.

120. а) 45°, 45°, 90°; б) правоугли троугао. 121. а) 56°, 56°, 68°; б) Основица је дужа; в) Оштроугли троугао.

pr om

102. Најдужа је страница 𝑎 , јер је туп угао већи од остала два угла тог троугла.

116. 50°, 50°, 80°, основица је дужа.

99. a) 𝛽 < 𝛾 < 𝛼 ; б) 𝛼 < 𝛽 < 𝛾; в) 𝛽 < 𝛼 < 𝛾; г) 𝛾 < 𝛽 < 𝛼 ; д) 𝛽 < 𝛾 < 𝛼 .

ТРОУГАО

103. Најдужа је страница 𝑏 , јер је 𝛽 туп угао. Не знамо која је најкраћа страница, јер немамо однос углова 𝛼 и 𝛾.

105. 𝑏 < 𝑎 .

uk a

104. Најдужа је страница 𝑐. Најдужа страница правоуглог троугла назива се хипотенуза. 106. 45°, 45°, 90°. Катете су једнаке. 107. 63 °, 63 °, 54°.

108. Углови на основици су по: а) 59°; б) 45°; в) 25°.

109. а) 75°, 75°, 3 0°; б) 50°, 65°, 65°.

110. а) 3 0°, 75°, 75°; б) 22° 3 0′, 22° 3 0′, 13 5°; в) 50°, 50°, 80°. 111. а) 20°, 20°, 140°; б) 60°, 60°, 60°. 112. а) тупоугли; б) правоугли.

113. Угао који граде краци већи је од угла који граде основица и крак. 114. а) 𝛼 = 85°, крак је дужи;

122. 𝛼 = 46°, 𝛽 = 28°, 𝛾 = 106°. 123. 𝛼 = 50°, 𝛽 = 48°, 𝛾 = 82°. 124. 𝛼 = 70°, 𝛽 = 64°, 𝛾 = 46°.

125. а) 𝛼 = 29° 45′, 𝛽 = 29° 45′, 𝛾 = 120° 3 0′; б) 𝛼 1 =150° 15′, 𝛽1 = 150° 15′, 𝛾1 = 59° 3 0′; в) тупоугли троугао; г) тражени угао је 104° 52′ 3 0′′. 126. 𝛼 = 40°, 𝛽 = 40°,∡𝐴𝐶𝐵 = 100°. 127. 𝛼 = 70°, 𝛽 = 75°, 𝛾 = 3 5°. 128. 𝛿 = 3 1°, 𝜀 = 75°.

129. а) 𝛼 = 90°, 𝛽 = 3 0°, 𝛾 = 60°; б) 𝐵𝐷 = 10 cm. 130. ∡𝐵𝐴𝐶 = 20°, ∡𝐴𝐵𝐶 = 150°.

131. а) 𝛼 = 54° 3 0′, 𝛽 = 54° 3 0′, 𝛾 = 71°; б) Основица је дужа. 132. а) 150°; б) 90°; в) 3 0°; г) 45°; д) 45°; ђ) 150°.

ТРОУГАО

133. 𝛼 = 65°, 𝛽 = 65°, 𝛾 = 50°.

142.

134. Задатак има 7 решења: 8 cm, 11 cm, 11 cm; 6 cm, 12 cm, 12 cm; 4 cm, 13 cm, 13 cm; 2 cm, 14 cm, 14 cm; 12 cm, 9 cm, 9 cm; 14 cm, 8 cm, 8 cm; 10 cm, 10 cm, 10 cm. 135. а) тупоугли; б) правоугли; в) оштроугли троугао.

143. s

b C

137. а) 60°, 60°, 60°; б) Δ𝑀𝑁𝑃 je једнакостранични троугао.

pr om

139. Хипотенуза је 12 cm.

s C

136. 𝛼 = 3 3 ° 45′, 𝛽 = 56° 15′, 𝛾 = 90°.

138. 𝛼 < 𝛽 < 𝛾.

144. а)

б)

𝛼 + 𝛽

145. Слично 205. задатку.

𝛽 – 𝛼

𝛼

146. Слично 49. задатку. 147.

uk a

140. ∡𝐴𝐵𝐶 = 3 8°, ∡𝐴𝐶𝐵 = 82°; а) Δ𝐴𝐵𝐶 је оштроугли троугао; б) Најдужа страница је 𝐴𝐵. Најкраћа страница је 𝐴𝐶.

КОНСТРУКЦИЈЕ НЕКИХ УГЛОВА

O s1

141. Мера једног дела је 45°.

148. а) Конструише се симетрала опруженог угла (180° ∶ 2);

90°

ТРОУГАО

153. а) 15° ∶ 2; б) 45° ∶ 2; в) 45° ∶ 4;

г) 4 ∙ 45°.

60°

uk a

155. а) Конструишемо угао од 60° и помоћу угломера нацртамо угао 𝛼 = 51°, тако да им се поклапају крак и теме. Разлика ова два угла је 9°; б) 2 ∙ 9°; в) 51° − 9°; г) 9° ∶ 2.

156. Конструишемо угао од 90° и помоћу угломера нацртамо угао 𝛽 = 81°, тако да им се поклапају крак и теме. Разлика ова два угла је 9°. а) Како је 81° ∶ 9 = 9°, потребно је угао од 9° нанети 9 пута у угао од 81°; б) Сваки од 9 добијених углова потребно је симетралом поделити, на тај начин смо угао од 81° поделили на 18 једнаких углова.

pr om

149. а) Нацртамо полупаву 𝑂𝑝, затим произвољним отвором шестара конструишемо део кружнице, са центром у тачки 𝑂, од полуправе. Након тога истим отвором шестара од тачке пресека полуправе и дела кружнице, пресечемо конструисани кружни лук. Од тачке 𝑂 кроз добијену тачку повучемо полуправу 𝑂𝑞. Добијени угао 𝑝𝑂𝑞 има меру 60°;

p A O B q б) Конструише се симетрала угла од 90° (90° ∶ 2).

154. а) 75° ∶ 2; б) 105° ∶ 2; в) 135° ∶ 2; г) 165° ∶ 2; д) 225° ∶ 2; ђ) 255° ∶ 2; е) 195° ∶ 2; ж) 60° + 11° 15′; з) 120° + 11° 15′.

б) Конструкцијом сабрати два угла од 60° (2 ∙ 60°); q

120°

O p в) Констуисати симетралу угла од 60° (60° ∶ 2); г) 30°∶2. 150. а) 60° + 30°; б) 60° + 15°; в) 2 ∙ 60° + 30°; г) 2 ∙ 60° + 15°.

157. а) Применимо сличан поступак као у претходна два задатка: 𝛿 = 5° = 60° − 55°; б) 𝛿 = 55° − 7 ∙ 5°; в) 𝛿 = 55° + 2 ∙ 5°. 158. а) Применимо сличан поступак као у претходна два задатка: 𝜑 = 6° = 60° − 54°; б) 𝜑 = 3 ∙ 6°. 159. Конструишемо угао од 60° и помоћу угломера нацртамо угао 𝛼 = 65°, тако да им се поклапају крак и теме. Разлика ова два угла је 5°. Након тога угао од 5° нанесемо 13 пута у угао од 65°.

151. а) 3 ∙ 90°; б) 90° + 45°; в) 2 ∙ 90° + 45°; г) 3 ∙ 90° + 45°. 152. а) 90° + 15°; б) 180° − 15°; в) 4 ∙ 60° + 15°; г) 180° + 15°.

ТРОУГАО

ОСНОВНЕ КОНСТРУКЦИЈЕ ТРОУГЛОВА

𝑘2(𝐵,3 cm) тако да оне имају пресек, једну од пресечних тачака означимо са 𝐶. Спајањем тачака 𝐴, 𝐵 и 𝐶 добијамо троугао Δ𝐴𝐵𝐶 са датим елементима. k1 C

5 4,

45°

A B a 6 cm Остали примери (б, в, г, д) раде се слично као део под а).

uk a

161. а) Нацртамо полуправу 𝐴𝑎 , затим на њој конструишемо тачку 𝐵, тако да је |𝐴𝐵| = 7 cm. Након тога конструишемо угао ∡𝑎 𝐴𝑐 чија је мера 60°. Затим, конструишемо угао са теменом 𝐵 чија је мера 45°, а чији су краци 𝐵𝐴 и 𝐵𝑏 , као на слици. У пресеку полуправих 𝐴𝑐 и 𝐵𝑏 је тачка 𝐶. На овај начин добијен је троугао Δ𝐴𝐵𝐶 са датим елементима. b

60°

c C

7 cm

45°

B a

Остали примери (б, в, г, д) раде се слично као део под а).

162. а) Нацртамо полуправу 𝐴𝑎 , затим на њој конструишемо тачку 𝐵, тако да је |𝐴𝐵| = 6 cm. Након тога конструишемо део кружнице 𝑘1(𝐴,7 cm), као и део кружнице 86

3 cm

6 cm

Остали примери (б, в, г, д) раде се слично као део под а).

163. а) Конструишемо угао ∡𝑏 𝐶𝑎 = 105°, затим на полуправој 𝐶𝑎 конструишемо тачку 𝐴, тако да је |𝐶𝐴| = 4 cm. Након тога конструишемо део кружнице 𝑘(𝐴,7 cm), тако да кружница 𝑘 и полуправа 𝐶𝑏 имају пресек, и пресечну тачку означимо са 𝐵. Спајањем тачака 𝐴, 𝐵 и 𝐶 добијамо троугао Δ𝐴𝐵𝐶 са датим елементима. b B

pr om

160. а) Нацртамо полуправу 𝐴𝑎 , затим на њој конструишемо тачку 𝐵, тако да је |𝐴𝐵| = 6 cm. Након тога конструишемо угао ∡𝑎 𝐴𝑏 чија је мера 45°. Затим, на краку 𝐴𝑏 конструишемо тачку 𝐶, тако да је |𝐴𝐶| = 4,5 cm. На крају спојимо тачке 𝐵 и 𝐶. На овај начин добијен је троугао Δ𝐴𝐵𝐶 са датим елементима. b C

105°

4 cm

Остали примери (б, в, г, д) раде се слично као део под а). 164. У задатку су задата три елемента, па можемо конструисати тражени троугао. У сва три дела задатка потребно је применити поступак из 160. задатка.

165. а) |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = 5 cm, ∡𝐶 = 90°, јер је у питању једнакокракo- правоугли троугао. Могуће је конструисати тражени троугао, потребно је применити поступак из 160. задатка. б) Слично поступити као у делу под а).

174. Потребно је израчунати меру другог угла налеглог на хипотенузу (поступак из 161. задатка). а) ∡𝐵 = 60°, |𝐴𝐵| = 7 cm, ∡𝐴 = 3 0°; б) ∡𝐴 =3 0°, |𝐴𝐵| = 6 cm, ∡𝐵 = 60°; в) ∡𝐴 = ∡𝐵 = 45°, |𝐴𝐵| = 5 cm. 175. Потребно је израчунати мере одговарајућих унутрашњих углова (поступак из 161. задатка). ∡𝐴 = 60°, |𝐴𝐵| = 6 cm, ∡𝐵 = 45°.

pr om

167. Углови на основици једнакокраког троугла су једнаки. а) ∡𝐴 = 3 0° = ∡𝐵, |𝐴𝐵| = 5 cm. Тражени троугао је могуће конструисати применом поступка из 161. задатка. Ради се о тупоуглом троуглу јер је ∡𝐶 = 120°. б) ∡𝐴 = 45° = ∡𝐵, |𝐴𝐵| = 6 cm. Тражени троугао је могуће конструисати применом поступка из 161. задатка. Ради се о правоуглом троуглу јер је ∡𝐶 = 90°. в) ∡𝐴 = 75° = ∡𝐵, |𝐴𝐵| = 6,5 cm. Тражени троугао је могуће конструисати применом поступка из 161. задатка. Ради се о оштроуглом троуглу јер је ∡𝐶 = 3 0°.

173. Потребно је израчунати меру трећег угла (како бисмо имали страницу и углове који су налегли на њу) применом поступка из 161. задатка вршимо конструкцију. а) ∡𝐵 = 45°, |𝐴𝐵| = 6 cm, ∡𝐴 = 75°; б) ∡𝐴 = 90°, |𝐴𝐶| = 4,5 cm, ∡𝐶 = 60°; в) ∡𝐵 = 3 0°, |𝐵𝐶| = 7 cm, ∡𝐶 = 3 0°.

166. а) |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = 6 cm, |𝐴𝐵| = 8 cm. Применом поступка из 162. задатка могуће је конструисати тражени троугао. б) Поступити слично као у делу под а).

ТРОУГАО

uk a

168. а) |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = 6 cm, ∡𝐶 = 120° (поступак из 160. задатка); б) |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = 7 cm, ∡𝐶 = 90° (поступак из 160. задатка); в) |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = 5,5 cm, ∡𝐶 = 3 0° (поступак из 160. задатка). 169. |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = |𝐴𝐵| = 5 cm (поступак из 162. задатка).

170. 𝑂 = 3 ∙ 𝑎 , |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = |𝐴𝐵| = 4,2 cm (поступак из 162. задатка). 𝛼 171. 𝑚 = 2 , |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = |𝐴𝐵| = 6,2 cm

(поступак из 162. задатка). 172. ∡𝐴 = ∡𝐵 = 180° − ∡𝐶 2

а) ∡𝐴 = ∡𝐵 = 75°, |𝐴𝐵| = 5 cm (поступак из 161. задатка); б) ∡𝐴 = ∡𝐵 = 3 0°, |𝐴𝐵| = 7 cm (поступак из 161. задатка); в) ∡𝐴 = ∡𝐵 = 45°, |𝐴𝐵| = 6 cm (поступак из 161. задатка.

176. Средња линија је дупло краћа од одговарајуће странице. Одатле имамо да је: 𝑎 = 9,6 cm, 𝑏 = 6 cm, 𝑐 = 5,2 cm. Имамо дужине све три странице па можемо конструисати троугао Δ𝐴𝐵𝐶.

ПОДУДАРНОСТ ТРОУГЛОВА. СТАВОВИ ПОДУДАРНОСТИ 177. а) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹 , јер су то једнакостранични троуглови (једнаке странице и једнаки углови); б) Нису, нису им једнаке одговарајуће странице; в) Јесу, јер имају једнаке одговарајуће странице и једнаке одговарајуће углове; г) Нису, нису им једнаке одговарајуће странице. 87

ТРОУГАО

178. Треба заокружити: а), в), г). 179. а) да; б) да; в) не; г) не.

uk a

182. 𝑃𝑁 = 𝑃𝑄 = 4 cm, 𝑂𝑃 = 𝑂𝑁 = 𝑂𝑄 = 𝑟, једнаким тетивама одговарају једнаки централни углови (𝛼 = 𝛽), ∡𝑂𝑁𝑃 = ∡𝑂𝑃𝑁 = ∡𝑂𝑃𝑄 = ∡𝑃𝑄𝑂, па следи Δ𝑃𝑂𝑁 ≅ Δ𝑃𝑂𝑄.

183. На линијама редом треба писати: страница, страница, угао, страницама, захваћеном, подударни.

184. а) 𝐴𝐶 = 𝑃𝑅 = 3 cm, ∡𝐴 = ∡𝑃, 𝐴𝐵 = 𝑃𝑄 = 5 cm, следи на основу става СУС да је Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝑃𝑄𝑅; б) 𝐴𝐶 = 𝐶𝑁 = 2 cm, ∡𝐴𝐶𝐵 = ∡𝑁𝐶𝑀 (унакрсни углови), 𝐵𝐶 = 𝑀𝐶 = 3,5 cm, следи (СУС) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝑁𝑀𝐶; в) 𝐴𝑆 = 𝑆𝑃 = 5,5 cm, ∡𝐴𝑆𝐵 = ∡𝑃𝑆𝑄 (унакрсни углови), 𝐵𝑆 = 𝑄𝑆 = 4,5 cm, следи (СУС) Δ𝐴𝐵𝑆 ≅ Δ𝑃𝑄𝑆; г) 𝐴𝐶 = 𝐶𝐸 = 4 cm, ∡𝐴𝐶𝐵 = ∡𝐸𝐶𝐷 (унакрсни углови), 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 2 cm, следи (СУС) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐸𝐶𝐷. 185. а) 𝐴𝐶 = 𝑃𝑄 = 4 cm, ∡𝐶 = ∡𝑃 = 120°, 88

187. 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 = 4 cm, ∡𝐴𝐵𝐶 = ∡𝐷𝐴𝐵 = 90°, 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 = 4 cm, следи (СУС) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐵𝐴𝐷.

pr om

181. а) 𝑀𝑁 = 5 cm; б) 𝑄𝑆 = 3,5cm; в) ∡𝑀𝑃𝑁 = 85°; г) ∡𝑁𝑀𝑃 = 45°; д) ∡𝑆𝑄𝑅 = 50°; ђ) ∡𝑄𝑅𝑆 = 45°.

186. 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 5 cm, ∡𝐵 = ∡𝐷 = 90°, 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 = 3 cm, следи (СУС) Δ𝐴𝐵𝐶≅Δ𝐶𝐷𝐴.

180. а) ∡𝐴 = ∡𝑃, ∡𝐵 = ∡𝑄, ∡𝐶 = ∡𝑅, 𝐴𝐵 = 𝑃𝑄, 𝐵𝐶 = 𝑄𝑅, 𝐴𝐶 = 𝑃𝑅; б) ∡𝐴 = ∡𝑃, ∡𝐵 = ∡𝑄, ∡𝐶 = ∡𝑅, 𝐴𝐵 = 𝑃𝑄, 𝐵𝐶 = 𝑄𝑅, 𝐴𝐶 = 𝑃𝑅; в) ∡𝐴 = ∡𝑃, ∡𝐵 = ∡𝑄, ∡𝐶 = ∡𝑅, 𝐴𝐵 = 𝑃𝑄, 𝐵𝐶 = 𝑄𝑅, 𝐴𝐶 = 𝑃𝑅; г) ∡𝐴 = ∡𝑃, ∡𝐵 = ∡𝑄, ∡𝐶 = ∡𝑅, 𝐴𝐵 = 𝑃𝑄, 𝐵𝐶 = 𝑄𝑅, 𝐴𝐶 = 𝑃𝑅.

𝐶𝐵 = 𝑃𝑅 = 6 cm, следи (СУС) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝑄𝑅𝑃; б) 𝐴𝐶 = 𝑃𝑅 = 2,5 cm, ∡𝐴𝐶𝐵 = ∡𝑃𝑅𝑄 = 65°, 𝐵𝐶 = 𝑅𝑄 = 4 cm, следи (СУС) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝑃𝑄𝑅; в) 𝐴𝐶 = 𝑃𝑅 = 4,2 cm, ∡𝐴𝐶𝐵 = ∡𝑃𝑅𝑄 = 80°, 𝐵𝐶 = 𝑅𝑄 = 5,6 cm, следи (СУС) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝑃𝑄𝑅; г) 𝐴𝐵 = 𝑃𝑅 = 𝐵𝐶 = 𝑅𝑄 = 5 cm, ∡𝐴𝐵𝐶 = ∡𝑃𝑅𝑄 = 130°, следи (СУС) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝑃𝑄𝑅.

188. а) Слично задатку 187. Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐵𝐴𝐷, одакле следи једнакост свих осталих елемената, а нама је потребно 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷; б) Слично као део под а). 189. а) 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 (странице квадрата), ∡𝐷 = ∡С = 90°, 𝐷𝐸 = 𝐸𝐶 (𝐸 средиште странице 𝐷𝐶), следи (СУС) Δ𝐴𝐸𝐷 ≅ Δ𝐵𝐸𝐶; б) Из Δ𝐴𝐸𝐷 ≅ Δ𝐵𝐸𝐶 следи да је 𝐴𝐸 = 𝐵𝐸, па је троугао Δ𝐴𝐵𝐸 једнакокраки.

190. а) Како су 𝑃, 𝑄, 𝑀, 𝑁 средишта страница квадрата следи да је 𝑃𝐵 = 𝑀𝐷 и 𝐵𝑄 = DN. Како је још ∡𝑃𝐵𝑄 = 90° = ∡𝑀𝐷𝑁, сада на основу (СУС) Δ𝑃𝐵𝑄 ≅ Δ𝑀𝐷𝑁; б) Из Δ𝑃𝐵𝑄 ≅ Δ𝑀𝐷𝑁 следи да је 𝑃𝑄 = 𝑀𝑁; в) Слично делу а) доказује се подударност троуглова Δ𝑃𝐴𝑁 и Δ𝑀𝑄𝐶, одакле следи да је 𝑄𝑀 = 𝑃𝑁. 191. Δ𝐴𝑃𝑁 ≅ Δ𝐵𝑃𝑀, Δ𝐷𝑁𝑄 ≅ Δ𝐶𝑀𝑄. 192. 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, ∡𝐴𝐶𝐷 = ∡𝐵𝐶𝐷 (𝐶𝐷 је оса симетрије угла ∡𝐴𝐶𝐵), 𝐶𝐷 = 𝐶𝐷 (заједничка страница), следи (СУС) Δ𝐴𝐶𝐷 ≅ Δ𝐵𝐶𝐷.

193. Подударност новодобијених троуглова се доказује као у 192. задатку. Из њихове подударности следи једнакост

45°

200. На основу 188. задатка део под б) имамо да је Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐵𝐴𝐷, одакле следи ∡𝐶𝐴𝐵 = ∡𝐷𝐵𝐴 = ∡𝐴𝐶𝐵 = ∡𝐵𝐷𝐴 = 45°. Сада посматрамо троуглове Δ𝐴𝐷𝑂 и Δ𝐶𝐵𝑂: из претходне једнакости за углове и како је 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 (станице квадрата) следи (УСУ) Δ𝐴𝐷𝑂 ≅ Δ𝐶𝐵𝑂, одакле следи да је 𝐴𝑂 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 = 𝑂𝐷.

201. Доказ се изводи слично као у 164. задатку, уз чињеницу да су углови ∡𝐴𝐵𝐷 и ∡𝐷𝐵𝐶 комплементни. Исто важи за остале углове правоугаоника који су подељени дијагоналом.

pr om

194. а) 𝑀𝑂 = 𝑂𝑁 = 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 = 4 cm, ∡𝑀𝑂𝑃 = ∡𝑁𝑂𝑄 (унакрсни углови), следи (СУС) Δ𝑀𝑂𝑃 ≅ Δ𝑁𝑂𝑄, из њихове подударности следи 𝑃𝑀 = 𝑁𝑄; б) Слично делу под а), али се сада доказује подударност троуглова Δ𝑀𝑂𝑄 и Δ𝑁𝑂𝑃, одакле следи да је 𝑀𝑄 = 𝑃𝑁.

странице), па је обим троугла Δ𝐴𝐵𝐷 једнак 15,3 cm.

свих осталих њихових елемената. Посматрамо троугао Δ𝐴𝐶𝐷, угао ∡𝐴𝐶𝐷 = 45° (𝐶𝐷 је симетрала правог угла), а како је и угао ∡𝐶𝐴𝐷 = 45°, следи да је троугао Δ𝐴𝐶𝐷 једнакокрако-правоугли. Исто важи и за троугао Δ𝐵𝐶𝐷.

ТРОУГАО

197. На линијама редом треба писати: угао, угао, страница, углови, страници, угловима, подударни.

60° D 5 cm

199. а) Из услова задатка једнакости датих углова и из 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 (заједничка страница) следи (УСУ) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐴𝐵𝐷; б) Из Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐴𝐵𝐷 следи једнакост свих осталих елемената (једнаке су и

30° 30°

198. а) ∡𝐴 = ∡𝑄 = 85°, 𝐴𝐵 = 𝑄𝑃 = 5 cm, ∡𝐵 = ∡𝑃 = 35° (∡𝑃 = 35° трећи угао у троуглу Δ𝑄𝑃𝑅), следи на основу става УСУ да је Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝑄𝑃𝑅; б) и в) се раде слично као део под а).

196. а) 𝑄𝐶 = 𝑃𝐶 (половине једнаких страница), ∡𝑄𝐶𝐴 = ∡𝑃𝐶𝐴 (заједнички угао), 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, следи (СУС) Δ𝐴𝑄𝐶 ≅ Δ𝐵𝑃𝐶; б) Из Δ𝐴𝑄𝐶 ≅ Δ𝐵𝑃𝐶 следи да је 𝐴𝑄 = 𝐵𝑃.

203. Осносиметрично пресликамо троугао Δ𝐴𝐵𝐶 у односу на станицу 𝐵𝐶. На тај начин добијамо Δ𝐴𝐵𝐷, са слике, који је једнакостраничан а дужина његове странице је 𝐴𝐷 = 10 cm, одакле закључујемо да је 𝐴𝐵 = 10 cm. Хипотенуза 𝐴𝐵 = 10 cm. B

uk a

195. а) 𝐴𝑀 = 𝐵𝑁 = 2 cm, ∡𝑀𝐴𝐶 = ∡𝑁𝐵𝐶 (суплементни једнаки углови ∡𝐵𝐴𝐶 и ∡𝐴𝐵𝐶), 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, следи (СУС) Δ𝑀𝐴𝐶 ≅ Δ𝑁𝐵𝐶; б) Из Δ𝑀𝐴𝐶 ≅ Δ𝑁𝐵𝐶 следи да је 𝑀𝐶 = 𝑁𝐶, па је троугао Δ𝑀𝐶𝑁 једнакокраки.

202. а) ∡𝑂𝐴𝑆 = ∡𝑂𝐵𝑆 = 90° (услов задатка). Тачка 𝑆 је на симетрали угла ∡𝑎𝑂𝑏, па важи да је ∡𝐴𝑂𝑆 = ∡𝐵𝑂𝑆. Из једнакости два угла следи једнакост и трећих углова у троуглу (као допуне до 180°), па је ∡𝑂𝑆𝐴 = ∡𝑂𝑆𝐵, 𝑂𝑆 = 𝑂𝑆 (заједничка страница), па на основу (УСУ) закључујемо Δ𝑂𝐴𝑆 ≅ Δ𝑂𝐵𝑆; б) Из Δ𝑂𝐴𝑆 ≅ Δ𝑂𝐵𝑆 следи 𝑆𝐴 = 𝑆𝐵.

C 10 cm

60° 5 cm A

204. Сличан поступак као у 203. задатку. Катета 𝐴𝐶 = 8 cm. 89

ТРОУГАО

205. а) ∡𝐶𝐴𝐵 = 55° (трећи угао у троуглу), ∡𝐷𝐴𝐸 = 35° (допуна до опруженог угла), ∡𝐴𝐸𝐷 = 55° (трећи угао у троуглу). ∡𝐶𝐵𝐴 = ∡𝐷𝐴𝐸 = 35°, 𝐵𝐴 = 𝐴𝐸 = 10 cm, ∡𝐶𝐴𝐵 = ∡𝐷𝐸𝐴 = 55° следи (УСУ) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐸𝐴𝐷; б) Из Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐸𝐴𝐷 следи да је 𝐶𝐵 = 𝐴𝐷.

∡𝐶𝑆𝐴 = 𝐶𝑆𝐵 = 90°, па је 𝐶𝑆 оса симетрије троугла Δ𝐴𝐵𝐶. б) Из Δ𝐶𝐴𝑆 ≅Δ 𝐶𝐵𝑆, следи да је ∡𝐶𝑆𝐴 = 𝐶𝑆𝐵 = 90°, па је 𝐶𝑆 оса симетрије троугла Δ𝐴𝐵𝐶.

207. а) ∡𝐴 = 40° = ∡𝐸, 𝐴𝐵 = 𝐸𝐷 = 𝐷𝐵 + 3 cm, ∡𝐴𝐵𝐶 = 60° = ∡𝐸𝐷𝐹, следи (УСУ) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐸𝐷𝐹; б) Из Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐸𝐷𝐹 следи 𝐴𝐶 = 𝐸𝐹.

215. а) Троугао Δ𝑀𝑂2𝑁 је једнакостраничан, па је ∡𝑀𝑂2𝑁 = 60°; б) Обим троугла Δ𝑀𝑂2𝑁 је 9 cm.

216. Написати једнакост одговарајућих страница. Доказ се изводи по ставу ССС.

pr om

208. а) Након краћег рачуна се добија да је ∡𝐶𝐸𝐵 = 50° = ∡𝐶𝐹𝐴, 𝐸𝐵 = 𝐴𝐹 = 𝐴𝐵 + 2 cm, ∡𝐶𝐵𝐴 = ∡𝐶𝐴𝐹 = 70°, следи (УСУ) Δ𝐸𝐵𝐶 ≅ Δ𝐴𝐹𝐶; б) Из Δ𝐸𝐵𝐶 ≅ Δ𝐴𝐹𝐶 следи 𝐸𝐶 = 𝐹𝐶, па је Δ𝐸𝐹𝐶 једнакокраки.

206. ∡𝐶𝐴𝐵 = ∡𝐸𝐹𝐷 = 60°, 𝐴𝐵 = 𝐷𝐹 = 𝐷𝐵 + 3 cm, ∡𝐴𝐵𝐶 = ∡𝐹𝐷𝐸 = 40°, следи (УСУ) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐹𝐷𝐸.

214. а) 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵, 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵, 𝑃𝑂 = 𝑃𝑂, следи (ССС) Δ𝑂𝐴𝑃 ≅ Δ𝑂𝐵𝑃; б) Из Δ𝑂𝐴𝑃 ≅ Δ𝑂𝐵𝑃 следи да је ∡𝐴𝑂𝑃 = ∡𝐵𝑂𝑃, па је права 𝑠(𝑂,𝑃) оса симетрије угла ∡𝑎𝑂𝑏.

uk a

209. На линијама редом треба писати: страница, страница, странице, једнаке, троугла, подударна.

210. а) 𝐴𝐶 = 𝐶𝑅 = 3,5 cm, 𝐶𝐵 = 𝐶𝑃 = 4 cm, 𝐴𝐵 = 𝑃𝑅 = 5 cm, следи на основу става ССС да је Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝑅𝑃𝐶; б) 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 = 5 cm = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷, 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶 (заједничка страница), следи (ССС) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐶𝐷𝐴.

211. а) 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 3 cm, 𝐷𝐶 = 𝐴𝐵 = 5 cm, 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶 (зајденичка страница), следи (ССС) Δ𝐴𝐷𝐶 ≅ Δ𝐶𝐵𝐴; б) 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 3 cm, 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 5 cm, 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶, следи (ССС) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐴𝐷𝐶. 212. 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 4 cm, 𝑂𝐴 = 𝑂𝐶 = 5 cm и 𝑂𝐵 = 𝑂𝐷 = 5 cm (полупречници), следи (ССС) Δ𝐴𝑂𝐵 ≅ Δ𝐶𝑂𝐷.

217. Слично као 216. задатак. 218. Слично као 216. задатак.

219. Троугао Δ𝑀𝑁𝑆 је подударан троуглу ΔPQR на основу става ССС, па из подударности следи једнакост одговарајућих углова, то јест ∡𝑀 = ∡𝑃 = 73°, ∡𝑁 = ∡Q = 65°, ∡𝑆 = ∡R = 42°. 220. На линијама редом треба писати: страница, странице, једнаке, троугла, наспрам, углу, странице, подударна.

221. а) 𝐴𝐵 = 𝑃𝑄 = 13 cm, 𝐵𝐶 = 𝑄𝑅 = 12 cm, ∡𝐶 = ∡𝑅 = 90°, следи на основу става ССУ да је Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝑃𝑄𝑅; б) Слично делу под а) доказује се да је Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝑄𝑃𝑅; в) 𝐴𝐵 = 𝑃𝑄 = 5 cm, 𝐴𝐶 = 𝑄𝐶 = 4 cm, ∡𝐴𝐶𝐵 = ∡𝑄𝐶𝐵 (унакрсни углови), следи (ССУ) да је Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝑄𝑃𝐶.

222. 𝐴𝐵 = 𝑃𝑅 = 13 cm, 𝐴𝐶 = 𝐶𝑃 = 12 cm, ∡𝐴𝐶𝐵 = ∡𝑃𝐶𝑅 = 90°, следи на основу става ССУ да је Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝑃𝑄𝑅.

213. а) 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 (једнаки краци), 𝐴𝑆 = 𝐵𝑆 (𝑆 средиште хипотенузе), 𝐶𝑆 = 𝐶𝑆 (заједничка страница), следи (ССС) 223. 𝑆𝑂 = 𝑆𝑂 (заједничка страница), Δ𝐶𝐴𝑆 ≅ Δ𝐶𝐵𝑆, одакле следи да је 𝐴𝑂 = 𝐵𝑂 = 6 cm, ∡𝑂𝐴𝑆 = ∡𝑂𝐵𝑆 = 90° 90

224. Посматрамо троуглове Δ𝐷1𝐷𝐶 и Δ𝐵1𝐵𝐴 који су подударни (ССУ): 𝐷𝐶 = 𝐴𝐵 = 5 cm, 𝐷𝐷1 = 𝐵𝐵1 = 3 cm, ∡𝐷𝐷1𝐶 = ∡𝐵𝐵1𝐴 = 90°, а из њихове подударности следи да је 𝐶𝐷1 = 𝐴𝐵1 = 4 cm. 225. 𝑆𝑂 = 𝑆𝑂, са 𝐴 и 𝐵 подножја нормала из тачке 𝑆 на кракове 𝐴𝑆 = 𝐵𝑆 (услов задатка), ∡𝑂𝐴𝑆 = ∡𝑂𝐵𝑆 = 90°, следи (ССУ) Δ𝐴𝑂𝑆 ≅ Δ𝐵𝑂𝑆, па је ∡𝐴𝑂𝑆 = ∡𝐵𝑂𝑆, одакле закључујемо да је тачка 𝑆 на симетрали угла ∡𝑎 𝑂𝑏 .

227. Слично 226. задатку.

232. Троугао Δ𝐴𝐵𝐶 конструишемо на основу датих елемената. Може се уочити да се симетрале страница секу у једној тачки, која је на слици означена са 𝑂. C

pr om

226. 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 = 𝐶𝐷, ∡𝐶𝐷𝐴 = ∡𝐶𝐷𝐵 = 90° (𝐶𝐷 је нормала на 𝐴𝐵), следи (ССУ) Δ𝐴𝐶𝐷 ≅ Δ𝐵𝐶𝐷, одакле закључујемо 𝐴𝐷 = 𝐵𝐷.

ОПИСАНА И УПИСАНА КРУЖНИЦА ТРОУГЛА

(угао између тангенте и додирног полупречника), следи (ССУ) Δ𝐴𝑂𝑆 ≅ Δ𝐵𝑂𝑆, одакле закључујемо да је 𝑆𝐴 = 𝑆𝐵.

uk a

228. Слично 226. задатку доказује се да је Δ𝐴𝐶𝐷 ≅ Δ𝐵𝐶𝐷, одакле следи да је 𝐵𝐷 = 𝐴𝐷 = 2 cm. Па је обим троугла Δ𝐴𝐵𝐶 једнак 24 cm.

229. ССС: 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 5 cm, 𝐴𝑂 = 𝐷𝑂 = 3 cm, 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 = 𝑟1; СУС: 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 5 cm, ∡𝑂𝐵𝐴 = ∡𝑂𝐶𝐷 = 20°, 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 = 𝑟1; УСУ: ∡𝐴𝑂𝐵 = ∡𝐷𝑂𝐶 = 90°, 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 = 𝑟1, ∡𝑂𝐵𝐴 = ∡𝑂𝐶𝐷 = 20°; ССУ: 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 5 cm, 𝐴𝑂 = 𝐷𝑂 = 3 cm, ∡𝐴𝑂𝐵 = ∡𝐷𝑂𝐶 = 90°. 230. Нека је 𝐴𝐶 дијагонала квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶, ∡𝐵 = ∡𝐷 = 90°, следи (ССУ) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐶𝐷𝐴.

231. 𝛼 = 40°, ∡𝐴 = ∡𝑃 = 80°, ∡𝐵 = ∡𝑄 = 40°, ∡𝐶 = ∡𝑅 = 60°.

ТРОУГАО

233. а) Потребно је конструисати симетрале дужи 𝑃𝑄, 𝑄𝑅 и 𝑅 𝑃. У пресеку тих симетрала је тачка 𝑆; б) 𝑟 = 𝑆𝑃 = 𝑆𝑄 = 𝑆𝑅 .

234. а) Центар описане кружнице троугла налази се у пресеку симетрала страница, а полупречник је једнак растојању од пресечне тачке до било којег темена тог троугла. Конструишемо симетрале страница, пресечну тачку означимо са 𝑂. Сада конструишемо кружницу чији је центар 𝑂, а полупречник 𝑂𝐴. Центар описане кружнице код оштроуглих троуглова налази се у троуглу;

ТРОУГАО

O A

K s1

235. а) Конструишемо троугао на основу датих елемената. Затим применимо поступак из 234. задатка (конструишемо симетрале било које две странице, након тога конструишемо кружницу чији је центар тачка пресека симетрала страница, а полупречник једнак растојању од пресечне тачке до темена троугла); б) Конструишемо троугао на основу датих елемената. Након тога применимо поступак из 234. задатка; в) Конструишемо троугао на основу датих елемената. Након тога применимо поступак из 234. задатка.

uk a

pr om

б) Како је пресек све три симетрале страница једна тачка, за одређивање центра описане кружнице довољно је конструисати две симетрале страница (њихов пресек је центар описане кружнице). Конструишемо симетрале било које две странице троугла и пресечну тачку означимо са 𝑂. Сада конструишемо кружницу чији је центар 𝑂, а полупречник 𝑂𝑅. Центар описане кружнице код правоуглих троуглова налази се на хипотенузи;

в) Конструишемо симетрале било које две странице троугла и пресечну тачку означимо са 𝑂. Сада конструишемо кружницу чији је центар 𝑂, а полупречник 𝑂𝐾. Центар описане кружнице код тупоуглих троуглова налази се изван троугла.

236. Троугао се конструише датих елемената. Након тога применимо поступак из 234. задатка, део под б). Центар описане кружнице ће се наћи на хипотенузи.

237. Како је 𝑟𝑜 = 4 cm онда је дужина хипотенузе 𝐴𝐵 = 8 cm. Троугао Δ𝐴𝐵𝐶 је једнакокрако-правоугли, па је ∡𝐶𝐴𝐵 = 𝐶𝐵𝐴 = 45°, па га је могуће конструисати на основу наведених елемената. Центар описане кружнице биће тачка 𝑂 која се налази у средишту хипотенузе 𝑘(𝑂, 𝑟𝑜 = 4 cm).

238. Затим слично поступку 234. задатка, конструишемо симетрале било које две странице, а након тога конструишемо описану кружницу. 239. Слично 238. задатку.

241. а) Тачка 𝑂 се налази у пресеку симетрала углова троугла Δ𝑃𝑄𝑅. R

pr om

242. а) Применићемо поступак из 241. задатка и конструисати симетрале унутрашњих углова. Пресечну тачку означимо са 𝑂. Након тога из тачке 𝑂 конструисати нормалу на једну од страница троугла. Сада конструишемо кружницу са центром у тачки 𝑂, а чији је полупречник растојање тачке 𝑂 од једне странице троугла (241. задатак део б). Центар уписане кружнице се налази у троуглу. б) Слично као у делу под а). Центар уписане кружнице се налази у троуглу. в) Слично као у делу под а). Центар уписане кружнице се налази у троуглу. 243. Троугао конструишемо на основу задатих елемената. Након тога применимо поступак из 241. задатка. 244. Троугао конструишемо на основу задатих елемената. Након тога применимо поступак из 234. и 241. задатка.

240. Троугао конструишемо на основу датих елемената. Након тога конструишемо симетрале углова као у 147. задатку. Уочава се да се симетрале унутрашњих углова секу у једној тачки.

ТРОУГАО

uk a

б) Да бисмо могли конструисати тражену кружницу (уписану у дати троугао) потребно је из тачке 𝑂 конструисати нормалу на било коју страницу троугла, пресечну тачку нормале 𝑛 и странице 𝑃𝑄 означили смо са 𝐴. Сада можемо конструисати кружницу 𝑘 чији је центар 𝑂, а полупречник дуж 𝑂𝐴. Конструисана кружница је кружница која додирује све странице троугла. Кружница 𝑘 конструисана на овај начин представља уписану кружницу задатог троугла.

245. Упутство: Прво конструишемо троуго Δ𝐴𝑂𝐵. Након тога конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐶, пошто сада знамо дужину дужи 𝐴𝐵. C

A n

Q s3

,5 =3

rO Or cm120° O = 3 a

a ,5 c

246. Прво конструишемо троугао Δ𝐴𝐷𝑂 на основу података са слике. Након тога конструишемо теме 𝐵 на продужетку странице 𝐴𝐷 преко темена 𝐷, тако да је 𝐴𝐷 = 𝐷𝐵. Након тога конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐶, пошто сада знамо дужину дужи 𝐴𝐵.

ТРОУГАО C

a 2

O 60°

ru a 2

K A

60°

s∡A S N

B a

uk a

pr om

247. Конструишемо угао ∡𝑥𝐴𝑎 = 60°. Након тога конструишемо теме 𝐵 на краку 𝐴𝑎 тако да је 𝐴𝐵 = 4 cm. Центар описане кружнице се налази на симетралама страница, па сада конструишемо симетралу дужи 𝐴𝐵, а након тога конструишемо тачку 𝑂 у унутрашњости угла ∡𝑥𝐴𝑎, која је центар описане кружнице, тако да је 𝑂 тачка пресека симетрале 𝑠𝐴𝐵 и кружног лука 𝑙 (који представља део круга са центром у тачки 𝐴, полупречника 𝑟𝑜 = 3 cm). Сада тачку 𝐶 добијамо у пресеку крака 𝐴𝑥 и кружнице 𝑘(𝑂, 𝑟𝑜 = 3 cm).

угла ∡𝐴 тако да је 𝐾𝑁 = 𝑟𝑢 = 1,5 cm. Затим конструишемо нормалу 𝑛 на 𝑠𝐴𝐵 у тачки 𝐾 (𝑛∩𝑠∡𝐴 = 𝑆), тачка 𝑆 је ценар уписане кружнице. На крају, како бисмо добили тачку 𝐶 конструисаћемо угао ∡𝑆𝐵𝑦 = ∡𝐴𝐵𝑆 (𝑆𝐵 је симетрала угла ∡𝐵, 𝐶 = 𝐵𝑦 ∩ 𝐴𝑥.

60°

sAB

249. Конструишемо дуж 𝐴𝑂 = 𝑟𝑜 = 5 cm. Након тога конструишемо кружницу 𝑘(𝑂, 𝐴𝑂). Продужимо дуж 𝐴𝑂 преко тачке 𝑂 и пресечну тачку кружнице и продужетка дужи 𝐴𝑂 означимо са 𝐵. Затим, конструишемо угао код темена ∡𝐴 = 75° и пресечну тачку другог крака и кружнице означимо са 𝐶. Спајањем тачака 𝐴, 𝐵 и 𝐶 добијамо троугао Δ𝐴𝐵𝐶 са датим елементима. A

4 cm

5c m 75°

sAB

248. Конструишемо угао ∡𝑥𝐴𝑎 = 60°. Након тога конструишемо теме 𝐵 на краку 𝐴𝑎 тако да је 𝐴𝐵 = 4 cm. Сада конструишемо симетралу 𝑠 угла ∡𝐴. Како бисмо одредили центар уписане кружнице конструишемо нормалу на страницу 𝐴𝐵 (ми ћемо конструисати симетралу дужи 𝐴𝐵, 𝑠𝐴𝐵), 𝑠𝐴𝐵∩𝐴𝐵 = 𝑁. Сада конструишемо тачку 𝐾 на симетрали 𝑠𝐴𝐵 у унутрашњости 94

5 cm 75°

O B

250. Троугао конструишемо на основу задатих елемената, хипотенуза 𝐴𝐵 =6 cm. Мера угла ∡𝐴 = 60°, а мера угла ∡𝐵 = 3 0°.

ТРОУГАО

ТРИ ПРАСЕТА И МАГИЧНИ ТРОУГАО

251. Изаберемо три неколинеарне тачке 𝐴, 𝐵 и 𝑂. Након тога конструишемо угао ∡𝑂𝐴𝑥 који је једнак углу ∡𝑂𝐴𝐵, а затим и угао ∡𝑂𝐵𝑦 који је једнак углу ∡𝑂𝐵𝐴. У пресеку кракова 𝐴𝑥 и 𝐵𝑦 је тачка 𝐶. Спајањем тачака 𝐴, 𝐵 и 𝐶 добијамо троугао Δ𝐴𝐵𝐶 са датим елементима. x

3 8

7 6

((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) + 𝑥) ∶ 3 = 20 (45 + 𝑥) ∶ 3 = 20

O 𝜑 𝜑

pr om

𝛿 𝛿

45 + 𝑥 = 60 𝑥 = 15

4 + 5 + 6 = 𝑥.

uk a

252. 𝑂𝐶 је симетрала угла ∡𝐶, ∡ 2 = 45°, ∡𝑂𝐵𝐶 = 25°, па је ∡𝐴𝐵𝐶 = 50°, ∡𝐵𝐴𝐶 = 40°.

253. ∡𝑂𝐴𝐵 = ∡𝑂𝐵𝐴 = 3 9°, па је ∡𝐵𝐴𝐶 = ∡𝐴𝐵𝐶 = 78°, ∡𝐴𝐶𝐵 = 24°. Крак је дужи.

254. а) ∡𝐴𝑂𝐵 = 128°; б) ∡𝐵𝑂𝐶 = 116°; в) ∡𝐴𝑂𝐶 = 116°. 255. а) ∡𝐴𝑂𝐵 = 128°; б) ∡𝐵𝑂𝐶 = 116°; в) ∡𝐴𝑂𝐶 = 116°. 256. а) ∡𝐴𝑂𝐵 = 119°; б) ∡𝐵𝑂𝐶 = 118°; в) ∡𝐴𝑂𝐶 = 123 °.

ТЕ СТ

1. 𝑂 = 22,8 cm. 2. а) 𝛾 = 90°; б) 𝛼 1 = 143 °, 𝛽1 = 127°, 𝛾1 = 90°. 3. 𝑐 < 𝑏 < 𝑎 . 4. 𝛼 < 𝛽 < 𝛾. 5. Троугао не може да има 2 права или 2 тупа угла, јер би онда збир унутрашњих углова био већи од 180°. а) б) в) ТЕ СТ

1. ∡𝐵𝐴𝐶 = ∡𝐴𝐵𝐶 = 𝛼 = 75°, 𝛼 1 = 105°, ∡𝐴𝐶𝐵 = 𝛾 = 3 0°, 𝛾1 = 150°. 2. 𝛼 = 64° 28′, 𝛽 = 54° 46′ и 𝛾 = 60° 46′. 3. 𝛼 = 70°, 𝛽 = 64° и 𝛾 = 46°; 𝑐 < 𝑏 < 𝑎 . 4. Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝑃𝑄𝑅 по ставу СУС, јер је: ∡𝐴𝐶𝐵 = ∡𝑃𝑅 𝑄 = 60°, 𝐴𝐶 = 𝑃𝑅 = 3 ,5 cm,

ТРОУГАО

𝐵𝐶 = 𝑅𝑄 = 4,5 cm. 5. Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐶𝐷𝐴 по ставу ССС, јер је: 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 3 cm, 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 = 4,2 cm, 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶 – заједничка страница.

uk a

pr om

1. 𝛼 = 72°, 𝛽 = 18° и 𝛾 = 90°. 2. Хипотенуза је 𝑐 = 18 cm. 3. Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐶 по ставу ССУ, јер је: 𝐴𝐶 = 𝐶𝐷 = 10 cm, 𝐴𝐵 = 𝐸𝐷 = 26 cm, ∡𝐴𝐶𝐵 = ∡𝐷𝐸𝐶 = 90°. 4. Ако имају једнаку по једну страницу, а једнакостранични су, то значи да су све странице једног троугла једнаке са свим страницама другог троугла, на основу става ССС следи да су троуглови подударни. 5. Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐶𝐷𝐴 по ставу СУС, јер је 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 = 𝑎, ∡𝐴𝐵𝐶 = ∡𝐴𝐷𝐶 = 90° (ово је један од начина).

ТЕСТ

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

uk a

pr om

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

  �о�се�ник 

pr om

 Мајка и отац одлучили су синовима Немањи и Сави да купе патике. Патике су пре месец дана коштале 10 000 за једног дечака. У међувремену њихова цена порасла је за 20%, тако да су родитељи одлучили да патике купе наредног месеца, када буду снижења. Заиста, наредног месеца чекало их је снижење од 20%. „Мама, можемо ли кусур који је остао од патика да добијемо Немања и ја?”- питао је Сава мајку. „О каквом кусуру причаш? Патике су прво поскупеле 20%, а затим појефтиниле за исти проценат. Дакле, кусура нема.” – са поносом је дискутовао Немања. „Има кусура. Када будеш био шести разред, научићеш да то није исто, јер 20% од 10 000 није исто што и 20% од 12 000”, рекао му је тихо Сава и нежно га потапшао по рамену. Немања је и даље био у неверици.

uk a

Помогни Немањи да израчуна колико динара износи кусур о коме прича Сава.

 „Тата, како мама и ти распоређујете ваша примања? Знам да су ваша примања отприлике око 200 000 динара.”- упитао је знатижељно Немања оца. „Око 40% издвајамо за храну, четвртину за расходе и четвртину за: гардеробу, летовање, ванредне трошкове. Остане пара и за штедњу”- одговорио му је отац. „Колико у динарима издвајамо за штедњу ?”- питао се Немања. „Кад будеш био шести разред, знаћеш да је то десетина”- опет му је одговорио Сава. „Када ће већ једном тај краљевски шести разред.” – уздахнуо је Немања. Помогни још једном малом Немањи да израчуна колико динара месечно његови родитељи издвајају за штедњу. 98

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

ПОЈАМ РАЦИОНАЛНОГ БРОЈА. СКУП Q

9. Дати су скупови: 𝐴 = {1, −2, −3, 5} и 𝐵 = {−4, −7, 6, 9} . Запиши све позитивне a и облика рационалне бројеве облика b b , ако је 𝑎 ∈ 𝐴 и 𝑏 ∈ 𝐵 . a

2. Одреди скуп свих правих разломака код којих је: а) именилац 5; б) бројилац 5.

4. Дат је скуп неправих разломака =

, , ,

uk a

. Дате неправе разломке изрази у облику мешовитих бројева.

5. Дат је скуп мешовитих бројева = 2 , 1 , 3 , 11 , 10 , 9 . мешовите бројеве изрази у облику неправих разломака.

6. Из скупа = {8; −5; 4 ; −2 ; − ; 0; ; 3; 4 − ; 0; ; 3; 4 ; −6 }, издвој подскуп: а) природих бројева; б) целих бројева; в) негативних рационалих бројева; г) ненегативних рационалих бројева. 7. Дате количнике запиши у облику рационалних бројева: а) 2∶(−5); г) (−2)∶(−9); б) (−1)∶4; д) 5∶(−8); в) 3∶(−7); ђ) (−1)∶(−13). 8. Дати су разломци:

а)

1 ; –3

– б) 6 ; 7

в)

–4 ; –9

– д) – 1 ;

г) –

–5 ; 2

ђ) –

pr om

3. Дат је скуп 𝑀 = {1, 2, 3, 5} . Елементи скупа 𝑀 су бројиоци и имениоци разломака. Испиши све такве разломке тако да они буду: а) прави; б) неправи; в) природни бројеви.

11. Дате рационалне бројеве запиши у стандардном облику:

3 4 11 1 ; ; ; . 7 13 5 8

Сваки од њих запиши у облику количника два: а) позитивна цела броја; б) негативна цела броја.

–8

1. Дат је скуп = , , , 1 , , . Издвој подскуп: а) правих разломака; б) неправих разломака.

10. Дати су скупови: 𝑀={−4, −8, 9, 1} и 𝑁 = {−3, −1, 2, 18} . Запиши све негативне раm n ционалне бројеве облика n и облика m , ако је 𝑚 ∈ 𝑀 и 𝑛 ∈ 𝑁, а који су цели бројеви.

3 . –10

12. У празно поље упиши одговарајући знак ∈ или ∉, тако да исказ буде тачан: а) −

б)

–1 –3

2 7

𝑄−;

𝑄+;

–3 –5 –11 г) +4

в) −

𝑄−;

𝑄+.

13. Којим бројем треба заменити ∗ тако да се добије тачна једнакост: ∗ а) −1= ; г) 111= − −666 ; ∗ 1 ∗ д) −100=− ; б) 5=− –15 ; ∗ –2

в) −8 = –80 ; ; −6 } ∗

ђ) 3= 36 . ∗

а) − –7 = ♥ ;

в) − –5 = 5 ;

14. Замени ♥ одговарајућим бројем, тако да се добије тачна једнакост: 5

–7 ♥ б) = ; 5 –8

4 ♥ 1 –1 г) − –2 = ♥

15. Прошири разломак: а) − 3 са 2;

4 –7 са 3; б) 5 6 б) –11 са 5;

в) − –2 са 4;

13 –1 г) − –2 са 7. 3 г) − –7 са 6.

16. Којим бројем треба проширити разломак − 3 да би се добио разломак − 15 ? 7

17. Разломке: − 1 , 3 ,− 5 , 3 ,− 11 прошири 3 2 6 4 12 тако да именилац буде 36.

18. Уместо ♣ стави одговарајући број тако да добијена једнакост буде тачна: г) − 6 = –18 ; а) − 6 = 1 ; 12 ♣ 6 б) − = ♣ ; 12 –6 6 в) − = –2 ; 12 ♣

♣ 12 6 ♣ д) − = ; 12 24 ђ) − 6 = ♣ ; 12 –120

2 г) −4 ; 3

а) 1;

б) −3;

в) −3

д) −1

1 ; 3

ђ) 12

4 ; 6

6 е) −1 ; 9

44 ; 12

ж) 11 з) −5

25 ; 15

25 ; 75

2 3

–15

– = 16 ;

200

;

б)

– 9 = 108 = ; 13 39

–7 г) – = 35 15

–16 в) – = 80 25

uk a

20. Попуни празне квадратиће бројевима, тако да добијеш тачне једнакости: а) −

47 ; 10 8 б) − ; 10 43 в) − ; 100

317 ; 100 5339 д) − ; 1000 805 ђ) − ; 1000

е) −1

а) ;

г) − ;

е) −2

а)

–135

3 ; 4

г) −9

2 ; 5

б) −13 2 ; д) −10 3

2 ; 7

е) +5

б) − ;

ж) 3

8 ; 11

22. Дате рационалне бројеве повежи са одговарајућим мешовитим бројевима. −

−

31 ● 2

●+5

5 6

23 ● 5

● 15

1 2

12 ● 7 35 ● 6

100

●−4 ● −1

3 5

5 7

д) −

в) − ;

;

ж) −

;

ђ) −11

;

з) −1

25. Дате децималне бројеве запиши у облику несводљивог разломка: а) 0,7; г) −10,25; е) +2,2; б) −0,8; д) +3,125; ж) −13,004; в) −1,5; ђ) −0,005; з) −0,0008.

26. Повежи рационалне бројеве записане разломком са одговарајућим децималним записом. 4

7 ; 8

6 ; 9 13 ж) −13 ; 100 9 з) −2 ; 100

24. Именилац рационалног броја прошири до декадне јединице, а затим га запиши у децималном облику:

1,24

−

21. Дати мешовити број запиши у облику неправог разломка: а) 2

г)

pr om

19. Запиши рационални број чији је именилац 3, који је једнак броју:

23. Дате рационалне бројеве запиши у децималном запису:

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

−0,65

−

−1,50

4,75.

27. Одреди супротан број датом рационалном броју: а) −56;

б) +10 2 ; 3

в) −4,28;

г) +13,56;

д) − 6 ; 17

ђ) +5 34 . 105

28. Одреди апсолутну вредност датог рационалног броја: а) −7,33;

б) 8 1 ; 7

в) −3,1;

г) +19,05;

д) −8,25; ђ) −2 1 . 10

г) 0;

б) 0,143;

ђ) 1 155,88.

30. Дати децимални број заокругли прво на једну, а затим на две децимале: а) −0,35108; в) −10,1102; д) +0,008; б) +13,258; г) −4,555; ђ) −124,779.

а) + 2 ;

в) −10 2 ;

д) +9 7 ;

9 3 г) −5 ; 13

б) −2 5 ; 6

32. Колико је |−𝑎|, ако је:

6 ђ) −3 2 . 15

г) −(−𝑎)=−2 2 ;

а) 𝑎=−0,5;

д) −(−𝑎)= 3 ;

б) 𝑎=0;

в) 𝑎=− 1 ; 5

ђ) −𝑎=−2,48.

uk a

а) 333,3 − |−33,3|;

+ −

− −1 .

в) −|−2,8| +

+ 0,01 ;

34. Заокружи слова испред једнакости које су тачне:

а) − = 0, (3);

г) −22

б) − = −1, (3);

в) 3

= 3, (45);

а)

;

= 22, (2);

д) − 1

= 1, (6);

ђ) −

б) в)

= ;

;

г) −

д) −

;

ђ) −

= ;

;

37. Заокружи слова испред једнакости које нису тачне: а)

в)

г)

;

; б)

;

38. Одреди децималу која се налази на 102. месту у децималном запису броја − 27 .

33. Израчунај вредност израза: б) − + −

а) −

pr om

31. Дати рационални број запиши у облику бесконачног периодичног децималног записа:

36. Одреди 𝑥 (𝑥 ∈ 𝑍), тако да дата једнакост буде тачна:

29. Одреди рационалне бројеве чија апсолутна редност износи: а) + 3 ; в) −5 1 ; д) −7,12;

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

39. Одреди децималу која се налази на 100. месту у децималном запису броја − 41 . 3 300

40. Дате периодичне децималне бројеве запиши у облику разломка: а) −0,(8); б) −13,(71); в) −143,(066). 41. Одреди број чија

1 износи −11. 7

42. Дат је скуп 𝑆 чији су елементи: 𝑆 =

–100 6 6 1 ; −3,5; + ; − ; − ; 5, (3); 101 –10 7 7 –9

Који од наведених бројева су: а) природни бројеви; б) цели бројеви; в) бесконачни децимални бројеви?

= −0, (207).

35. Дати рационални број скрати до несводљивог: б)

∙(

)

в)

; г)

(

∙(

)∙ )∙

)∙(

;

)∙

)∙(

)

101

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ НА БРОЈЕВНОЈ ПРАВОЈ

49. На бројевној правој прикажи бројеве: 1 ; −3 5 ; +2 3 ; −1 3 . 5 6 7 4 а) Који бројеви су супротни датим бројевима? б) Прикажи и њих на бројевној правој.

50. На бројевној правој прикажи бројеве који су супротни бројевима:

−0,75 в) −(− − ; ; +1 +1 −+2 ; ; ; +1 ; +1 −3 −3 ; −; ; +2 ; +21 ;) ; −3−3 ; ; а)а)𝐴 − а)а) а); −; − +2 43. На бројевној правој тачки одговара 4 2 број 3 (3 је координата тачкеа) 𝐴), што запи+1 г) |−(−2,5)|. − ;; +1 +1 б);; − +2 +2 ;; −3 −3 ;; а) − −1 ; ; −2 −2 ; −1 ++5; ; ; −2−3 −2 −3; .; . + + ; ; −3−3 . . б)б) −1 б) б) ; −1 сујемо 𝐴(3). Који бројеви одговарају осталим тачкама на слици? Запиши то б) на −1 −1начин. ;; −2 −2 ;; + + ;; −3 −3 .. б) исти C

D A E

–5 –4 –3 –2 –1 0

44. Који су бројеви придружени тачкама 𝐴, 𝐵 , 𝐶, 𝐷 и 𝐸 на бројевној прав ој? E

–4

–3

–2

–1

51. На бројевној правој представи рационалне бројеве чија је апсолутна вредност једнака броју:

pr om

а) 5 1 ; б) 4 1 ; в) 0; г) −3 2 . 4

52. Који се цели бројеви налазе између разломака − 36 и −1 1 ? Одговор илуструј 7 2 цртежом.

uk a

53. На бројевној правој прикажи тачке: 45. На бројевној правој прикажи тачке: 3 −1,25 −3 3 1 ; ;;. ; −3 +1 −− ; 𝐴 ; ; а) +2 +2 +1 +1−−; ;, ;𝐵 ;; −3 +2 −3 +2 +1 +1 ; ; ;и ;; 𝐶−3 −3 +2 +2 −3 ;; а)а) −− ; ;а) а) +1 а) 4 2 +1 ; +2 ; −3 ; а) − ; −1 ;б) ; Затим −2 −1 −2 −1 ;одговори ;б) ; ++ −2 −2 −1 −1 ; ; на ; ;;−3 ;следећа −3 ++−2 −2 . ;.; ;питања: ; −3 −3 ++ . .;; −3 −3 . . б)б) −1 б) б) а) Који се природни бројеви налазе имеђу −2 ; + ; −3 . б) −1 ; тачака 𝐴 и 𝐶? б) Који се цели бројеви налазе између 46. Дате децималне бројеве прикажи на тачака 𝐵 и 𝐶? бројевној правој: в) Који се цели бројеви налазе између а) −1,75; б) −2,5; в) −0,2; г) +3,25. тачака 𝐴 и 𝐵 ? 47. На бројевној правој прикажи тачке: г) Који се цели бројеви налазе десно од 5 5 1 5 𝐴, а лево од тачке 𝐶? −а);а) −−3 𝐶; +2 2 −− а) ;а) ; +1 −+1 − а) ;а) ; ; 𝐴+1 − +2 +1 − +2 ; ; ;𝐵 −+1 +2 +1 − +2 −3 ; ; ; ;+1 +1 +2 −3 −3 ; ; ;𝐷 +2 ; −3 +2 −3;. ; ; −3−3 ; тачке ; 2

Ако за јединичну дуж узмеш дуж дужине −1 −1б) −2 −1 −2 −1 −2 + −2 +б);;;;;−1−2 −1 −3 + −2 −3 +; ;;;.;.−2−3 + −2 −3 + ; ; ;.;. +−3 −3 + ; .; . −3−354. . . Који од следећих бројева је најближи б); ; −1 б) б); ; ; −1 б) 4 cm, израчунај дужину дужи: броју 0: −0,2; +0,2; +0,3; −0,1? а) 𝐴𝐵 ; в) 𝐴𝐶; д) 𝐵 𝐶; Прикажи решење на бројевној правој, узиб) 𝐶𝐷 ; г) 𝐵 𝐷 ; ђ) 𝐴𝐷 . мајући да је дужина јединичне дужи 5 cm. 48. Између која два узастопна цела броја се налази дати разломак: а) − 17 ; б) + 11 ; в) − 23 ; г) − 29 ; д) + 3 ? 4 2 4 20 4

Одговор прикажи на бројевној правој. 102

55. Који од следећих бројева је најближи броју 0: −2 1 ; + 2,2; −1 7 ; +1 3 ? 2

Прикажи решење на бројевној правој, за јединичну дуж узми дуж дужине 4 cm.

pr om

се лево од тачке 𝑀; −1 −1 ; ; −2 −2 ; ; ++ ; ; −3 −3 . . б) на средини између тачака 𝐴 (0) и 𝐵 (−7); в) 3 пута ближа тачки 𝐵 (−1) него тачки 𝐴 (0).

62. Петар и Миша су од баке и деке добили 58. На бројевној правој (јединична дуж је по једну чоколаду. Петру је дошао најбољи 3 1 cm) прикажиа) тачке од+1 тачке −; су ; +1 ; ; 𝑆 +2+2 ; ; друг −3−3Аца, ; ; па је он своју чоколаду поделио а) −које 2 удаљене 2 cm. на два једнака дела. Петар и Аца су појели −3−3.свој . део. Миши су дошла 2 друга и б) б) −1−1; ; −2−2; ; + +; ; сваки 59. Назначеним тачкама на датој бројевон је своју чоколаду поделио на 3 једнака ној правој придружи одговарајуће децидела. Сваки дечак је узео по један део. ако малне бројеве. су чоколаде биле једнаке, ко је појео више: Петар или Миша? Илуструј решење. F E B D A C

uk a

б) б)

61. Јована и Ана су наручиле пицу за вечеру. Јована је појела 3 пице, а Ана 2 8 8 пице. Ко је више појео? Део пице који је Јована појела обој црвеном бојом, а део пице који је појела Ана жутом бојом.

− тачке −− а) ; ; од+1 +1 ; ;𝑀 +2 +25 ;удаљена ; −3 −3 2 ; ; cm, а налази

–3

а) а)

57. На бројевној правој (јединична дуж је 1 cm) прикажи тачку која је:

УПОРЕЂИВАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА

56. Јединична дуж бројевне праве је 4 cm. Који рационални број представља тачка која је: а) лево од 0, на растојању 12 mm од тачке 0; б) десно од −1 за 2 cm; в) лево од +1 за 6 cm; г) десно од +2 за 5 mm; д) лево од −3 за 16 cm; ђ) од −1 удаљена 16 mm и налази се са леве стране тачке означене бројем −1?

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

60. Обележи део бројевне праве коме припадају тачке чије су координате: а) мање од −2 5 , а нису мање од −5; 6

б) веће од −1, а нису веће од 2 1 ; 3

в) веће од −4 1 и веће од 1 3 ; 2

г) мање од −4 1 и мање од 1 3 . 2

63. У празно поље упиши један од знакова < или >, тако да исказ буде тачан: а) −3,5 б) 0

в) −4 2 3

г) 0

ђ) 0

− 7; 8

д) − 11 13

−2,8;

−9 1 . 4

64. Који од знакова <,> или =, треба уписати у празно поље, тако да исказ буде тачан: а) 2 5

б) − 5 8

в) − 7

4 ; 5

3 ; 8

г) − 3

− 3;

д) 4

−9 9 ; 10

ђ) − –2 –5

–4 ; –5

− –2 . 5

103

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

65. У празно поље упиши један од знакова <,> или =, тако да исказ буде тачан: ;

в)

−

б) −

−

;

г)

;

д) −

−

ђ) −

;

−

;

66. Одреди који је број мањи:

д) 1 1 или 2; 3 1 ђ) 1 или −2; 3 е) −1 1 или 2; 3 ж) −1 1 или −2. 3

а) 0,4 или 1;

б) 0,4 или −1;

в) −0,4 или 1;

г) −0,4 или −1;

−

г) −14, 141

−

;

− 141, 14;

− 23, 533;

д) −235, 33

;

ђ) −15, 500

− 15, 5.

69. Напиши три цела броја која су: а) мања од − 2 ;

3 3 б) већа од − ; 2

в) између −5,4 и −1,2. Решење прикажи на бројевној правој.

70. Који од знакова: <,> или =, треба уписати у празно поље, тако да тврђење буде тачно:

а) −2

− 3,5;

в) −0,1

− 0, (1); ђ) −13

б) −3

104

− 1,8;

г) −0,25 д) −

б) ,, −1, ;; − ; г) б) − − б) −1, −, −1, г) − − г),, − −− ,, ,− −− .. , − . −− .

73. Из скупа = − − = ,, − −− ,, ,− −− ,, ,− −− =

pr om

в) −

б) −10

uk a

68. У празно поље упиши одговарајући знак: <, > или =, тако да исказ буде тачан: − 10;

б) ,, −1, ;; − ; г) б) − − б) −1, −, −1, г) − − г),, − −− ,, ,− −− .. , − . −−

72. Поређај по величини од највећег до најмањег следеће разломке: а) − ,, − а) − − ,,а) −− ,, − −, −;; , − ; в) в) − − в) −− ,, − −, −;; , − ;

67. Који од датих бројева је већи: д) −5,5 или |−5,5|; а) 2,02 или 2,2; б) 2,02 или −2,2; ђ) −5,5 или 5,55; в) −2,02 или 2,2; е) |−5,5| или |−5,55|; г) −2,02 или −2,2; ж) −5,5 или −5,55?

а)

а) − ,, −2, ;; − ; а) − − ,,а) −− ,, − −, −;; , − ; в) в) − − в) −2, −, −2, −−

а)

71. Поређај по величини од најмањег до највећег следеће разломке:

− ;

− 5,18;

− − ,,,−

,−

издвој најмањи и највећи разломак.

74. Поређај по величини од најмањег до највећег следеће децималне бројеве: а) −1,1; −0,2; −1,5; −0,3; −0,01; б) |−1,1|; |−0,2|; |−1,5|; |−0,3|; |−0,01|; в) −1,8; −1,(8); −0,6; −0,(6); −2,(23); −2,23.

су рационални бројеви 75. У скупу 𝐵 дати 17 8 17 8 ; −1, (8); = {− − − ; −1 на следећи = {− −начин: − 9 ; −1 9 ; −1, (8); 9 17

= {− |−1,8|}. − − −1,889; |−1,8|}. −1,889; 9

; −1

9 8 9

; −1, (8);

−1,889; |−1,8|}. а) Који од наведених бројева је највећи? б) Који од наведених бројева је најмањи?

а) а) − −

а) б) б) − − б) −

76. Запиши скуп разломака са имениоцем 12, који су већи од првог, а мањи од другог разломка: а) б) а) − − и и− − ;; б) − − и и− − ;; а) − в) в) − −

и − ;. и и− − .

б) −

и− ;

в) − и − . 77. Запиши скуп разломака са бројиоцем 8, који су мањи од првог, а већи од другог разломка: а) а) − −

и и− − ;;

в) −

и −1.

а) в) − − |−13, 202|? в)

и −1. и− −1. ;

б) б) − − и и− − ;; б) − и − ;

а) а) −0, −0,

б) − а) −0, б) − в) б) в) − − в) −

б) г) −− и −≥ ;− . г) − ≥ − .

78. Одреди све природне бројеве 𝑚 за које а)запис − и −тачан: ; г) − и − ; је а)а)−− и > − −; ; г)в)−− и ≥ − −; ; б)− − и>−− ; ; д)− − ≥и − ; ; а) в) б) − ≤ − ; г) − ≥ − . б) − и − ; д) − и − ; б) − ;; г) − .. в) − − ≤ и− ђ)− − ≥ и− в) − и − ; ђ) − и − . 79. Прошири дате разломке тако да им имениоци а) − и − ;буду једнаки, г) − паи их − упореди: ; а) − и − ; г) − и − ; б) − и − ; д) − и − ; а) − ; − ; − ; − ; б)−− ; − и −; −; ; − ; д) − и − ; а) в) − и − ; ђ) − и − . б) − ; − ; − ; − . в)− − ;и−− ; − ; − ђ) − и− . б) .

);

−

)−

г) −0,08 и − броју ; а) −0,125 − ; бројева 85. Који одидатих је ближи −1 на бројевној ; г) −0,02 −0,08 и и− − ;; а) и −правој? б)−0,125 − и −0,6; д) а) − и − ; в) − и − ; б) − и −0,6; д) −0,02 и − .; и −0,76; ђ) в) − а) − и − ; в) −−0,13 и−и− ; ђ) −0,13 и − в) б) − − ии −0,76; − ; г) − и − . . б) − и − ; г) − и − .

86. Користећи претходни задатак, упореди дате разломке: а) − и − ; в) − и − ; а) − и − ; в) − и − ; а) − и − ; в) − и − ; а) в) − ;; г) − ии−− ; . б)− − ии− б) − и − ; г) − и − . г) − и − . б) − и − ; б) − и − ; г) − и − . б) − или − ; г) − или − ? 87. Шта је веће: а)−− или или−− ;; или б) г)в)−− или−− ; ? а) − или − ; в) − или − ; а) − и − ; в) − и − ; а)− − иили − − ; в)−− и −или; − б) ; г) ? − ; г) − и − . б) − и г) − и − . б) − и − ; 88. Одреди све разломке са имениоцем 10 који се налазе између разломака − 1 и − 1 . а) − или − ; в) − или −5 ; 2 а) −Одреди или − в) − са имениоцем или − ; 15 89. све ;разломке који су већи од − 5 , а нису већи од − 7 .

pr om

а) −

б) −

,−

,− ,−

,− ,− ,− ;

uk a

(8);

,−

,− .

82. Дате децималне бројеве, поређај по величини од највећег до најмањег: , − а) , − −0,1; , −−1,01; , − −1,1; , − ; −0,11; −10,1; −0,101; б) −0,33; −3,3; −3,003; −0,033; −0,3003; −30,03. ,− ,− ,− ,− . 83. Разломке облика преведи у децимални запис, а затим упореди: а) −0,8 и − ; г) −0,1 и − ; а) −0,8 и − ; г) −0,1 и − ; д) − и −0,67; б) − и −0,2; а) −0,8 и − ; д) г) и− ; и −0,2; − −0,1 и −0,67; б) − ђ) −0,002 и − . в) − и −0,82; и −0,2; ђ) д) − −0,67; б) −и −0,82; −0,002 ии − . в) −

); );

80. Прошири дате разломке, тако да им бројиоци буду једнаки, па их поређај од најмањег а) − ; − ;до − највећег: ;− ; а) − ; − ; − ; − ; б) − ;, − − , −. , − ; а)− − ; ,− − ,; − а)−− ; ,−− ;, − б) − ;, − − , −. , − ; б) − ,− ,− ,− ,− . а) − , − , − б) − ,− ,− , −, − , ,−− ., − ; 81. Следеће разломке поређај по величини б) − ,− ,− ,− ,− . од најмањег до највећег:

б) − и −0,6; д) −0,02 и − ; и −0,82; ђ) в) − б) − и −0,6; д)−0,002 −0,02ии−− . ; ђ) −0,13 и − . в) − и −0,76; БРОЈЕВИ ђ) −0,13 и − . в) − и −0,76; РАЦИОНАЛНИ

б)− − ≤ − ;; а) в) − ии − −1. б) − ≤ − ; в) − и −1.

ђ) −0,002 и − . в) − и −0,82; а) −0,8 и − ; бројеве г) −0,1 и − у; разломак 84. Децималне преведи − и −0,67; б) − и −0,2; облика , а затимд) упореди:

−0,002 в) −0,125 − и −0,82; −0,08и и−− . ; а) и − ; ђ) г) г) −0,08 и − ; а) −0,125 и − ; б) − и −0,6; д) −0,02 и − ; −0,08 а) −0,125 ии−− ; ; д) г) −0,6; −0,02 и −и − ; ; −0,8 и − б) ; − г) и −0,1 ђ) −0,13 и − . в) − и −0,76; б) − −0,02 и −0,76; ђ) д) −0,13 и −и −. ; д) − и −0,6; и −0,67; ) − и −0,2;в) − и −0,76;и − ђ) −0,13 и − . в) − ђ) −0,002 − и −0,82; г) . −0,08 и − ; а) −0,125 и− ;

90. Одреди све природне бројеве 𝑛, за које важи: а) − < − < − ; а) − б) − б) − в) − а) в) − г) б) − г) − в) −

<− <− ; ≤− <− ; ≤− <− ; < − <<−− ; ; <− <− ; ≤ ≤− − ≤ < − ;. ≤− ≤− . <− <− ;

91. Прво разломак преведи у децимални г) − а≤затим − ≤упореди − . запис, са његовим паром: а) − и −0,8333; а) − и −0,8333; б) − и −0, 888 … 8; б) − и −0, 888 … 8; а) − и −0,8333; в) −0, 333 … 3 и − ; в) −0, 333 … 3 и − ; б) − и −0, 888 … 8; г) − и −0,933. г) − и −0,933. в) −0, 333 … 3 и − ; г) −

и −0,933.

105

а) + а) + б) + б) + + а) в) − в) − б) + в) −

а) − а) − б) + б) + а) в) −+ в) + б) + в)

а) (−2 а) (−2 б) −1 б) −1 а) (−2 в) 4 в) 4 б) −1 в) 4 а) − а) −

и −0, 888 … 8;

б) −1

РАЦИОНАЛНИ ; в) −0, 333 … 3 и −БРОЈЕВИ

92. Дат је разломак − 10 . Преведи га у де11 г) − и −0,933. цимални запис, а затим га упореди са децималним бројем −0,909090901.

93. Дати су природни бројеви 𝑚 и 𝑛, тако да важи: а) 𝑚 − 𝑛 = 0; г) 𝑚 − 𝑛 = 2; б) 𝑚 − 𝑛 > 0; д) 𝑚 − 𝑛 = − 2; в) 𝑚 − 𝑛 < 0; ђ) 𝑛 − 𝑚 = −5. Који број је већи?

в) − в) −

+ + − −

;;

ђ) ђ) − −

+ + − −

;;

+ + − −

95. Израчунај бројевне вредности израза. Затим их запиши у облику несводљивог разломка: + г) + а) − + ;; г) − − + ;; а) − + + − −

б) б) в) в)

;;

+ + − −

д) д)

;;

+ + − −

ђ) ђ) − −

+ +

;;

96. Израчунај бројевне вредности израза. Затим их запиши у облику мешовитог броја: а) (−2) + а) (−2) +5 5 ;; б) −1 б) −1

в) 4 4 в)

+ + − −

+ + −3 −3

106

;;

г) г) −6 −6

д) д) −8 −8

ђ) ђ) 10 10

а) −

;

д) −8

ђ) 10

+1 ;

+ −

97. Попуни празно место одговарајућим бројем, тако да једнакост буде тачна: б) −

в)

=− ;

г) −

ђ) −3 ђ) ђ) −3 −3 ђ) −3

+ −1 + + −1 −1 + −1

= −4 = = −4 −4 = −4

а) − а) − а) − а) − б) − б) б) − − б) − в) − в) − в) − в) − г) − г) г) − − г) −

+ − + + − − + − + + + + + + + + + − + + − − + −

− + − − + − + − − − + − − + ; − + − + ;; − + ; − + − ;; − + − + − − ; − + − ; − + − − + − + − − − + −

=− =6

;

pr om

д) д) − −

+ −3

;

... .

98. У квадратић упиши знак: <,> или =, тако да исказ буде тачан:

uk a

б) + ;; б) +

в) 4

д) 6 + −

94. Израчунај следеће збирове: г) а) + ;; г) − − + + − − а) +

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА

+ −

б) −

+ + (−4); (−4); + +1 1 ;;

+ + − −

;;; ;

... .

99. Израчунај збир датих рационалних бројева: а) − + + ; г) − + + ; а) г) а) − − + ;; г) − − + ;; а) − + ; г) − + ; б) − + + − ;; д) − + + ; б) д) б) − − + − − ; д) − − + ;; б) − + − ; д) − + ; + − ; ђ) + − − . в) ђ) в) + + − − ;; ђ) + + − .. в) ђ) + − . в) + − ; 100. Израчунај збир: + ; г) + − − ; а) − + г) а) − + ;; г) + + − ;; а) − г) + − ; а) − + ; б) − + − ; д) + − − ; б) + б) − − + − − ;; д) д) + + − ;; б) − + − ; д) + − ; − + ; ђ) − + − .. в) ђ) + в) − + + ;; ђ) − − + − − . в) − ђ) − + − . в) − + ; а) − + ; а) + а) − − + ;; а) − + ; + − ; б) б) + − − ;; б) + б) + − ; + − в) −

г) − + г) + г) − − + г) − + д) + − д) д) + + − − д) + − ; ђ) − +

;;; ; ;;; ; −

а) − а) а) − − а) − б) + б) б) + + б) +

а) − ; а) а) − − ; а) − ;

−1 −1 −1 −1 а) −2 а) а) −2 −2 а) −2 −1 −1 −1 −1

=− = =− − =− =− = =− − =−

б) − + − ; д) + − ; б) − + − ; д) + − ; ђ) − + − . в) − + ; ђ) − + − . в) − + ; 101. Израчунај збир: г) − + ; г) − + ; д) + − ; д) + − ; ; ђ) − + − ; ђ) − + −

102. Попуни табелу одговарајућим бројем: 𝑏

𝑎 + 𝑏 𝑎 𝑏

5 6

–8 9

–3

–3 4

–3 8

+ 11

–5

–1

–4 5

– 11 12

– 1

+ 9

3 5

103. Између којих целих бројева се налази вредност збира датих разломака: а) − + − ; в) − + − ; а) − − − − а) а) − −+ + + − −;;; ; в) в) в) − −+ + + − − ;;; ; а) − + − в) − + − б) + − ; + ? г) − б) + − ;; г) − + ?? б) + − г) − б) б)+ + − −; ; г) г) − − + + +? ?

104. Који број добијаш када разломак − 34 увећаш за: а) − ; б) ; в) − ; г) ? а) − ;; б) ;; в) − ;; г) ?? а) − б) в) − а) − ; ; б) б); ; в) в) − − ; ; г) г) г)? ? а) −

uk a

; ;; ; ;

𝑎 + 𝑏

–2

105. −1 Одреди број који је већи од броја −1 −1 −1−1 за: а) −2 ; б) −1 ; в) 3 ; г) 5 . а) −2 ;; б) −1 ;; в) 3 ;; г) 5 .. а) −1 а) −2 −2 б) б) −1−1 ; ; в) в) 3 3 г) 5 5г) .5 . а) −2; ; б) в) ;3 ; г) =− + = + =− − + + = − 106. увећај за број = −+ −1 Број −1 −1 −1−1. Запиши одговарајући израз и израчунај његову бројевну вреност. =− + ; = − + ; = =− − + +;; ; = −+ =− + − . =− + − .

= + − ; = + − ; = − = =+ + + − −;; ;

107. Упореди вредност израза 𝐴, 𝐵 и 𝐶, ако је: = − + ; = + − ; =− + ; = + − ; =− + − . =− + − . 108. Израчунај збир: а) 0,3 + 1,6; г) 6,75 + (−3,5); б) (−0,4) + (−0,7); д) (−4,5) + (−0,72); в) (−2,6) + 11,22; ђ) (−3,31) + 5,8. 109. Израчунај следеће збировe: а) 0,99 + 1,909 + 0,9; б) −27,5 + (−1,72) + (−2,536); в) (−110,56) + 43,148 + (−3,2345); г) 7,785 + 13,5431 + (−1,45) + 0,9.

pr om

𝑎

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

а) − + ; а) − + ; б) + − ; б) + − ; + − в) − + − в) −

−1

110. Попуни празно место одговарајућом цифром, тако да једнакост буде тачна: а) (−4,7)+(−5, )=−10,5: б) (−6, )+0,7=−5,9; в) 120,13+(−0,07)=120, 0 ; г) (−3, 3)+(−9,1)=−1 ,33. 111. Спој као што је започето:

● 5,85

(−2) + (−0,32) ● (−1) + 2,4 ●

● 1,815

9 + (−3,15) ●

● −2,32

−3,185 + 5 ●

● 1,4

112. Израчунај збир 𝑎 + 𝑏 + 𝑐, ако је: 𝑎 = −15,8 + (−2,2); 𝑏 = −7,7 + 6,28; 𝑐 = 0,04.

113. Попуни табелу одговарајућим бројевима: 𝑎 𝑏 𝑐

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

−2,8

4,5

−0,8

−3,2 −1,25 −2,4 6

2,75

0,01

−10 −11,01 22,24

−𝑎 + (−𝑏) + (−𝑐)

107

114. Израчунај следеће разлике: г) −− −− ; ; а) −− ; ; г) а) г) − − ; а) − ; в) −− ; ; в) в) − ;

−− −

ђ) −− ђ) ђ) −

115. Израчунај:

;; ;

г) −−11; 11; г) г) − 11;

в)13 13−−15 15 ; ; в) в) 13 − 15 ;

ђ) −− ђ) ђ) −

(−4)−−77 ; ; б)(−4) б) б) (−4) − 7 ;

− − − −

в) в) − −

;;

д) д) − −

−−1.1. − 1.

ђ) ђ)

− −

− − − −

;;

uk a

117. Израчунај бројевну вредност израза. Затим је запиши у облику мешовитог броја: а) −4 4 ;; а) 5 5 −

− −4 4 ;;

г) г) −7 −7

− −3 3 ;;

ђ) −23 −23 ђ)

− − −21 −21

б) −9 б) −9

в) в) −20 −20

− − −10 −10

д) − −8 д) 6 6 − −8

;;

118. Попуни празна места одговарајућим бројем, тако да једнакост буде тачна: а) а) − − б) б)

− −

= =

108 − − в) − − − в) −

= =− − ;; ;;

= =

−− −

;; ;

== =

7; ==7; = 7;

−13 −− −13 −13 ђ) −13 ђ) ђ) −13 − −13

д) −− −−10; 10; д) д) − − 10;

;;

== =

;; ;

==0.0. = 0.

119. У квадратиће упиши знак: <,> или =, тако да исказ буде тачан: а) а) а)

− − − − − −

в) в) в)

− − −

0; 0; 0;

б) − б) − −

− − − − − −

г) −6 г) г) −6 −6

− −6 − − −6 −6

0. 0. 0.

б) − б) − б) −

− ; − − ;;

д) − д) д) − −

pr om

− −

−− −− − −

д)66 −− д) д) 6 −

116. Израчунај бројевну вредност израза, затим је запиши у облику несводљивог разломка: − а) − − − − ;; г) г) − − − − ;; а) − б) б) − −

в) −− в) в) −

== ; ; = ;

г) −10 −10 г) г) −10

−− . . − .

а)55−−44 ; ; а) а) 5 − 4 ;

=− ;

д) д) д)

−

б) −− б) б) −

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

б) −− −− ; ; б) б) − − ;

а) −

0; 0; 0;

120. Израчунај дате разлике: г) − − ; а) − ; г) а) − ;; г) − − − − ;; а) − в) − в) − −

− − − − − −

; ;;

ђ) ђ) ђ)

− − − − − −

. ..

; ;;

121. Испитај тачност тврђења. Затим заокружи „тачно”, ако је тврђење тачно, или заокружни „нетачно”, ако је тврђење нетачно. а) − − =− тачно нетачно; а) = тачно а) − − − − =− − тачно нетачно; нетачно;

а) − а) − а) −

в) в) в)

г) г) г)

б) − б) − − б)

− − − − − −

г) − г) − г) −

− =− − − = =−

− = − − = =

=− = =− −

тачно нетачно; тачно тачно нетачно; нетачно;

тачно нетачно. тачно тачно нетачно. нетачно.

122. Упореди вредности израза 𝐴 и 𝐵, ако је: ;;

= − = = − −

− , − − ,,

= = =

− − − − − − −1 −1 −1

. ..

б) б) б) в) в) в)

− − −

а) −1 а) а) −1 −1

б) −2 б) −2 б) −2 в) 15 в) в) 15 15

г) −1 г) −1 г) −1

ачно; ачно;

ачно. ачно.

;

г) −11 + 7

− −1

а) −8 − 2

− 2

−1

−4 − 2

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

123. Допуни реченице: а) за 35 мањи број од броја−4 −1 35 је број _____; б) за 4 мањи број од броја −4 37 је број 10 _____; 1 в) з а 10 10 мањи број од броја 20 је број ______.

129. Израчунај:

а) (−0,8) − 0,2; г) (−4,98) − 11,302; б) 10,2 − (−5,4); д) 25,403 − 26; в) 14,58 − 20,101; ђ) (−0,05) − 1,25.

= − − 2; = −3 + 10 ; 130. Дати су изрази: = 6 − −2 + 4 . = − − 2; = −3 + 10 ;

−1

в) −1

+ −2 − 3

г) −3 − −4 − 1 − 2

= 6 − −2 + 4

;

+ −

б) ( −

;

в) ( + б) ( −

в) ( +

а) (−3

Израчунај њихову бројевну вредност. Затим, израчунај бројевну вредност следећих израза: а) 𝐴 + 𝐵 + 𝐶; б) − 𝐴 − 𝐵 − 𝐶; в) −𝐴 − (−𝐵) − 𝐶; г) (𝐴 − 𝐵) − (𝐶 + 𝐵).

pr om

125. Израчунај следеће разлике: а) (3,7−5,4) − (−9,5−9,1); б) −4,3 − (−2,7−0,1) − (−1,7); в) (−100 − 9,54) − (12,968 − 19,1); г) (−35,24 − (−5,24)) − (−21,9 − 13,1).

б)

;

124. Израчунај разлику:

126. Израчунај колико је: − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐, ако је: 𝑎 = −15,8 − (−2,2); 𝑏 = (−6,28)−(−7,7); 𝑐 = −0,18.

uk a

ачно; ачно;

−1

127. Израчунај вредност израза: а) − а) − б) б) в) в)

г) г)

− −

+ +

− − − −

− −

;;

− −

131. Попуни табелу одговарајућим бројевима: а)

− − ;;

− − − − − − ..

б) −2 б) −2

− − −3 −3 + +5 5

− − 4 4 − −5 5

в) −3 − −5 5 в) 15 15 − − −3

;;

г) −11 −11 + +7 7 г)

− − −1 −1

а) а) −8 −8 − −2 2

− − 2 2

б) б)

− −1 1

;;

б)

𝑎 – 𝑏

–2 7

– 7

𝑎 𝑏

–1 1

𝑎 – 𝑏

–5

– 5 8

1 3 4

–2 1 2

–3 1 4

132. Ако је 𝑎 − 𝑏= −212, одреди вредност израза:

+ + −2 −2 − −3 3

12 3

–1

𝑎 + 𝑏

;;

− −1 1

𝑎

𝑎 + 𝑏

128. Израчунај вредност израза: а) а) −18 −18

–3 4

𝑏

;;

в) 15 − −3 − 5

;;

а) −

−1 ;

б) −

б) − + 1 ; а) − − 1 ; ;

в) 5 +

− ;

г) + − . в) 5 + − ; 109 г) + − .

б) − а) (−3 в) (5 − б) − г) −4 в) (5 − д) −1 г) −4

д) −1 =−

=−

1) −

2) −1 1) − 3) (−1

2) 4) −1 − 5) − 3) (−1

4) − 5) −

)+ (−1,5) б) − 1,5) + в) ( Ако + − 7,2. 𝑎 + 𝑏 =; −3,75, израчунај вредност 133. је израза: в) ( + ) + (−1,5) − 7,2. а) (0,25 + 𝑏) + 𝑎; б) (𝑎 − 1,5) + 𝑏; в) (𝑎 + 𝑏) + (−1,5) − 7,2. − 3 ; израза: а) (−3,75 + 1,125) + −2вредност 134. Израчунај бројевну ; ; а) (−3,75 −6,25 + − 1,125) −7 +− −2 − −+3 1,75 б)

−−−7 −0,25 − + б) −1 + ; 1,75 ; в) (5−6,25 − 7,5)

+− 0,25 ; в) (5 −+ 7,5) г) −4 7 −− −1 (−1,5 1,75);

г) −4 + + 7 0,5 − (−1,5 д) −1,25 + −− 1,75); − 0,5 . д) −1,25 + 0,5 +

−

− 0,5 .

= − − 3,125,

= −1 − (−1,8).

б) Затим израчунај вредност следећих израза: 1) −

+ ( + );

1) − −1 ++( ( +− );); 2)

uk a

3) −1 413) + ( −− − ); ; 2) (−13, 4) (−13, − ( 413) + 0,156); 3) − − ; 5) − ( − 0,08). 4) − ( + 0,156);

5) − ( − 0,08). 136. Дати су изрази: 𝐴 = −3,75 − 6,5 − 4,5 + 1,25; 𝐵 = −3,75 − (6,5 − 4,5) + 1,25; 𝐶 = −3,75 − 6,5 − (4,5 + 1,25); 𝐷 = −3,75 − (6,5 − 4,5 + 1,25). а) Израчунај њихову бројевну вредност. б) Поређај по величини од најмањег до највећег њихове бројевне вредности. в) Упореди вредност израза |𝐴−𝐶| и |𝐵−𝐷|. г) Израчунај вредност израза: |𝐴−𝐵|−|𝐶−𝐷|. 137. Израчунај разлику збира и разлике бројева 𝐴 и 𝐵, (𝐴 је умањеник) ако је:

а) 𝐴 = −13 34 и 𝐵 = −2,5; б) 𝐴= −7,25 и 𝐵 = 13,5? 138. Збиру бројева −1 12 1

и − 4 23

додај број 2 6 . Напиши израз и израчунај његову бројевну вредност. 110

140. За колико је збир бројева 17,4 и 3,4 већи од њихове разлике (17,4 је умањеник)? 141. Збир бројева −17,6 и 9 1 умањи за 15 супротан број броја −6 7 . Напиши израз и 30 израчунај његову бројевну вредност.

142. Збир три броја је −15 5 . Одреди трећи 8 сабирак, ако је први −4 2 , а други сабирак 3 је за 1,5 већи од првог.

143. Како ће се променити збир два броја, ако један сабирак увећамо за 3,25, а други смањимо за −3 1 ?

pr om

=− − 3,125, 𝑎 + =𝑏 −1 − (−1,8). 135. а) Израчунај и 𝑎 − 𝑏, ако је:

139. Од разлике бројева 4,6 и −2 5 (4,6 је 6 умањеник) одузми збир бројева −3,25 и −2 1 . Напиши израз и израчунај његову 3 бројевну бредност.

б) (РАЦИОНАЛНИ − 1,5) + ; БРОЈЕВИ

144. Како ће се променити разлика два броја, ако се: а) у мањенику дода −3,25 + (−1 1 ), а умањи4 оцу дода −2,25 − 2; б) умањеник умањи за |−1 5 − (−3 3 )|, а 6 4 умањилац увећа за супротан број броја −8,5? 145. Одреди збир три броја, ако је први за 11,5 већи од другог, а трећи за 3,125 мањи од првог, а други број је −5 18 .

146. Ако је 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = −2,5, израчунај вредност израза: а) (𝑎 + 2,5) − (𝑏 − 2,5) + 𝑐 − 2,5; б) (𝑎 − 2,5) − (𝑏 + 3,5) + (𝑐 + 2,5); в) (𝑎 − 2,5) − (2,5 − 𝑐) − (2,5 + 𝑏).

147. Израчунај вредност израза: 1 + 1 + 1 +⋯+ 1 . 2

380

148. Израчунај вредност израза на најлакши могући начин: а) 𝑎 − [𝑏 − (𝑎 + 𝑏)], за 𝑎= − 4,5 и 𝑏 = −2 1 ; 6 б) (𝑏 − 𝑎) − (𝑏 − 𝑎) + [𝑎 − (𝑏 − 𝑎)], за 𝑎= −3 1 и 𝑏=−1 1 . 4

1 5−− 7; ;1 ; ;−+1 −0,25 1 −3 −; а) ; +1+1 −𝐴 ; =; ; +2 +1 +2 −3 +2 −3; ; ; + ; +2 ;, ; −3 а) 2 8

;

1 5 2 − 3+1 − +1 ; 2+ − +2 ; ; 1;. + −3−3 ; ; − ; )а ++;+2 0,5 𝐵 +1 ; −1 ;а)− ;12 +2 ;−3 а) −1;− −2 ;= 1; ; −1 ;; ; ;;;+−3 −2 −3 +−.;−3 ;;0,2 ;. + . б); −2 б) 4+ −2 3 ; . −3 −1. 3;и − израчунај −2; + ; +; његову 2 ; − −3; бројев1. − б) израз )б Напиши −1 ; б) −2 −1 ; +; ; −2 −3; . + ; −3 . ну вредност.

− а);

150. Број −1 умањи за разлику броја 𝐴 и збира бројева 𝐵 и 𝐶 (𝐴 је умањеник), ако је: 2 1 − 3 − − + −3 + −3 𝐴а)+1 = −+1 −−3 1 ; ;+;16 ;; −−7,5 ; ; −; +1 +2 ; ;; 292+2 +2 3 2

−;

)а

а) б)

+ − ==−− ; ;

б) в) −−

= − −= ; ;

151. Разлику бројева −1 999,25 и −2 000 1 4 (умањеник је број −1 999,25) увећај за разлику броја −5 1 и броја 𝐴 + 𝐵 (умањеник 2 је −5 1 ), ако је 𝐴 = −2 009,5 и 𝐵 = 2 009,1. За2 пиши израз и израчунај његову вредност.

uk a

ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ У СКУПУ Q

б) −− в)

а) + 0,75 = −3 ;

а) б) + − 0,75 1,25 = −3 −2 ; ;

152. = Провери −0,5; − да ; −ли је број: а) −5; б) 0; = −0,5; − ; − (𝑥 − 1,25) − 2 2 = −9. решење једначине: 3 а) + = 1 − : б) − 0,05 = − ; а) 1 −елементе : б) 𝑥 из − 0,05 153.+За = које скупа= − ; (−7) (−6) +1 . в) − = −0,5; ; − + је (−6) једнакост: = (−7) 1 тачна . в) = − − а) + = 1 − : в) (−6) −

а) а) б) б)

б)

= (−7) + 1 .

+ =− ; + =− ; − =− ; − =− ;

− 0,05 = − ;

б) − (−2,6) 1,25 = = −23 ;; в)

− (−2,6) в) г) (−11) − ==63 ;;

(−2,8)−− ==6−1,08; д) (−11) ; г)

ђ) − 3,25−= −4 . д) (−2,8) = −1,08;

ђ) − 3,25 = −4 . 156. Реши једначину у скупу 𝑄: б) б)

− −1 − −1

= −4 = −4

= 3,5 − 8; = 3,5 − 8;

− 3,24; − 3,24;

а) (−5,8) + =+ 1,7 −4 = −10; − 3,24; − (−2,1) в) в) − (−2,1) + 1,7 = −10;

г) − 8,5) −1 ; б) − −(6 == 3,5 − 8; (6−1 г) − − 8,5) = −1 ;

= −11 −10; ; в) − д) −8(−2,1) − 2 + 1,7 + = д) −8 − 2 + = −11 ; − 8,5) = −3 −1 ; . г) (3−−(6 ђ) 4,5) − = ђ) (3 − 4,5) − = −3 . д) −8 − 2 + = −11 ; 157. Реши једначину у скупу 𝑄: а) − −+ ђ) (3 4,5)−− а) − + −

б) б) а) в) в) б) г) г)

+ −3= 0,8 . −6 ; = + = 0,8 − 6 ;

− −2 − 3 = (−0,4) + 4,65; − −2 − 3 = (−0,4) + 4,65; − + − + = 0,8 − 6 ; 3,5 − 7 − = 6 − 11 ; 3,5 − 7 − = 6 − 11 ; −2 + − 3 = 0,6 = (−0,4) 3− − 7,25 − 1 . + 4,65; 3 − 7,25 + = 0,6 − 1 .

в) 3,5 − 7

−

г) 3 − 7,25 +

г) 3

а) б) −−

155. Реши једначину и провери њено решење:

а) (−5,8) + а) (−5,8) +

в) 3 г) 3

а) −

г) + (−1,07) − == −3,87; ; в) − (−0,02) = д) + − (−1,07) = −3,87; −1,18; г) ђ) 4,05(−0,02) − = −2,25. д) − = −1,18; ђ) 4,05 − = −2,25.

pr om

33−− ; −2 ; ; −2,3 ; ++;+2 ;1,9 +;−3 −3 ; . −3 а) −1 ;3,25 ; 2+ ; ; 21− 1−−; )а );б −;+1 𝐵 − ; +1 − ; − ; .−;+2 +1 ;+ −3 +2 ;− ;1,6; а)б)= −6 −1 б) ; −1 −2 ; ; −2 + ;; −3 + ; . −3 . 3− ; ; −2+ ; ; +2− ; ; −3 1− . )б б) . −1 𝐶 = −𝐵 . −1 ; б)−2 −1 ; ;+ −2 ; −3 ; + . ; −3 . Напиши израз и израчунај његову бројевну вредност.

154. Реши једначину и провери њено реа) + = − ; шење:

149. Од броја −15 одузети збир бројева који су супротни бројевима 𝐴 и B, ако је:

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

б) − в) 3

= 6 − 11 ;

= 0,6 − 1 .

111

в) − г) − г)

−

= 0,6 − 1 .

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

158. Одреди између којих целих бројева се налази решење једначине: а) −18

= −23,5;

в) −10

−

= 1,6;

б)

− 24 = −32,75;

г)

− −1

159. Попуни табелу одговарајућим бројевима: а) −3 5 0,5 𝑎 6 б)

𝑎 + 𝑏 𝑎 𝑏

𝑎 − 𝑏

−3 3 4

−5,6

−2 2 5

а) + 2 < −2 ;

а)

г) (−2,25) −

в) −6

б) − 13 ≥ −13,75;

−1 1 5

7,3

−3 1 4

1,125

б)

≤ −11 ; < −6 ;

−6 7 8

−3,5

uk a

160. Који број треба додати броју 3,5 да би 1 ? ; се добио а) > −1;бројг)−104 ≤ −1 7 а) > −1; г) ≤ −1 ; 161. Од ког броја треба одузети број −3 7 8 б) ≥ −2 ; д) −3,5 < ≤ 3; да би ≥ се −2добио ; д)број −3,5−0,125? < ≤ 3; б)

ђ) + 2 < −3 .

д) (3,3

167. Реши неједначину и решења представи на бројевној правој: а) 𝑥 − 1,7 > −5,7; б) 𝑥 − (−0,4) > −1,6; в) (−7,21) − 𝑥 ≥ −5,21; г) 𝑥 + 2,8 ≤ −6,2; д) (−0,05) + 𝑥 > 3,95; ђ) 𝑥 + (−2,9) ≤ −4,9.

ђ)

168. Реши неједначину. Скуп решења представи на бројевној правој: а) + −3 < −5; а) + −3 < −5; б) −12 б) −12

+ +

≥ −13; ≥ −13;

в) (−8) − > −2 ; в) (−8) − > −2 ; а) + −3 < −5; а)10+ г) − −3 ≥ 11<. −5; в) < − ; ђ) −1,8 ≤ ≤ 2 162.< Који број треба од броја г) 10 − ≥ 11 . в) ђ) −1,8 ≤ одузети ≤2 5 − ; да би се добио број 15? −20 г) ≤ −1 ; б) −12 + ≥ −13;б) −12 + ≥ −13; а) 12 > −1; г) ≤ −1а) ; > −1;

163. На бројевној правој прикажи све бро(−8) − > −2 ; в) (−8) − > −2 ; ≤ 3; −3−2; 0; ; −5,125; д) −3,5 1<б) ≤≥3;−2 ; д) −3,5 < в) б)= ≥ јеве 169. Реши једначину: = за −3које ; 0;важи: −5,125; 1 г) 10 − ≥ 11 . а) г) 𝑥 ≤ ≤в) −112; г) 10 . ≤ 2−1− +≥ 11 в) 𝑥 ><−1; − ; ђ) −1,8 ≤<2− ; ђ) −1,8 ≤ а) 2 − = −1; б)−𝑥 ≥−−2 2>; −1,25? д) −3,5 <𝑥 ≤ 3; = −1; а) −1 + 2 − 3 ђ) −1,8 ≤ 𝑥 ≤ 2,25. в)−𝑥 <−− 3 ;> −1,25? 4 + 1 = −0,5; б) 1 − + 1 = −0,5; б) 1 − = −3𝐴,; 0; −5,125; 1 = Који −3 од ; 0;бројева −5,125;из 1 скупа 164. в) 1,25 − − 1 = −0,25; в) ≥ припада 1,05 + (−0,05); а) + 2 > −6 ; в) 1,25 − − 1 = −0,25; скупу ; 0; −5,125; 2 > −6 ; в) 1 ≥ 1,05 + (−0,05); а) =+ −3 −1 + 2 − = −1; −1 + −1; а) г) −1 − 2+ − 2 ==а) −2 ; б) 7,25−− неједначине −3; г) − (−4) . ? − < > −2 −1,25? решења − >≤−1,25? г) −1 − + 2 = −2 ; б) 7,25 − ≤ −3; г) − (−4) < −2 . б) =1 −−; + 1 = −0,5; 1 − −+ )1 − =−1 −0,5; б)(−6,375 д) 165. Запиши скуп негативних целих брод) (−6,375 − ) − −1 = − ; јева који су решења неједначине: в) .1,25 − − 1 = −0,25; в)(1,25 − − 1 ==−3 −0,25; −+0,75) ђ) 2 >+−6 ; в) ≥ 1,05 (−0,05); в)а) ≥+1,05 (−0,05); а) + 2 > −6 ; ђ) ( − 0,75) − 1 = −3 . б) 7,25 −

≤ −3;

− <≤−2 −3;. г)б) 7,25 − (−4)

а) + 2 < −2 ; а) + 2 < −2 ; 112 13 ≥ −13,75; б) − б) − 13 ≥ −13,75; в) −8 + ≤ −11 ;

г)

−г)(−4) −1 < −2 − .+2

=г)−2−1;

г) −19

д) − (−8,5) ≥ 10 ;

pr om

𝑏

ђ) ( −

166. Реши неједначину и решења представи на бројевној правој: в) −8

= −0,8.

д) (−6

г) 3 − 7,25 +

−

= −2 ;

а) (−6,375 + − + 1,275 = (−6,375 д) 0,125; д) + − − +) 1,275 = − ; − ) − −1 = − − −1= а) 0,125; −− 3,64 б) ђ) (. − 0,75) − 1 = −3 . −20,75) 1 = = −7,94; −3 ђ) ( + б) + 2 − 3,64 = −7,94;

−

= −2 ;

д) (−6,375 − ) − −1

=− ;

170. Решити 0,75) − једначину. 1 = −3 . Затим, решење ђ) ( − једначине одузети од највећег негативног целог а) −3 броја. + Који < −9је;тражени број? а) −3 + < −9 ; а) −3 ++ ≤<6 −9 ; б) а)−9,5 + − +;1,275 = 0,125; б) −9,5 + ≤ 6 ; б) −9,5 в) − 4+ > ≤ −36 ;; в) − 4 > ; = −7,94; − 3,64 б) + 2 −3 в) − 4 > −3 ; г) −5 − ≥ −1 . ≥ −1 .+ г) в)−5 −6,6 − + (−0,79) = −12 ; − ≥ −1 . г) −5 − 20

г) −19,1 −

= 0,4;

д) (3,3 − ) − 2 = −12; + (−12,8) +

ђ)

= −1,04.

172. За колико треба увећати збир бројева −4 1 и −2 1 да би се добио број −10? 9

uk a

173. Од ког броја треба одузети разлику бројева 5 2 и 7,25 (умањеник је број 5 2 ), 3 3 да би се добио број − 5 ? 12

174. За колико треба увећати разлику бројева −5 5 и −2,125 (умањеник је број −5 5 ), 8 8 да би се добио њихов збир? 175. За колико треба умањити број −3 1 да 5 би се добио збир бројева −3,25 и 2 1 ? 2

176. Који број треба сабрати са 0,5 да би се добио број супротан броју 0,5? 177. Који број треба сабрати са −0,8 да би се добио број реципрочан броју −0,8?

178. Реши неједначину и решења представи на бројевној правој: а) −3

б) −9,5 +

< −9 ;

≤6 ;

в) − 4 > −3 ; г) −5

−

179. Да ли постоји природан број 𝑥 за који важи: а) + −1 < 2; в) + ≤ − ; а) + −1 < 2; в) + ≤ − ; а) + −1 < 2; в) + ≤ − ; б) − (−0,4) ≥ ; г) −6 − ≥ −8,5? б) − (−0,4) ≥ ; г) −6 − ≥ −8,5? б) − (−0,4) ≥ ; г) −6 − ≥ −8,5? 180. Одреди највећи цео негативан број 𝑥 за а) који + 1важи: ≤ 7,24; а) + 1 ≤ 7,24; а) + 1 ≤ 7,24; б) − −5 < −2 ; б) − −5 < −2 ; б) − −5 < −2 ; в) (−5,5) − ≥ −4 ; в) (−5,5) − ≥ −4 ; в) (−5,5) − ≥ −4 ; г) 3 − < 3,4. г) 3 − < 3,4. г) 3 − < 3,4.

pr om

171. Израчунај: а) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐; б) 𝑎 − 𝑏 − 𝑐; в) 𝑎 + 𝑏 − 𝑐; ако је: ( −7,68) − 𝑎 = −7 7 ; 25 𝑏+(−0,125)=−1,875; (−3 3 )−𝑐=−7,75.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

г) −1

≥ −1 .

181. Одреди најмањи позитиван цео број 𝑥 за који важи: а) + −1 ≤ 3,2; а) + −1 ≤ 3,2; а) + −1 ≤ 3,2; б) − −5 < 9 ; б) − −5 < 9 ; б) − −5 < 9 ; в) −5,5 − ≥ −8 ; в) −5,5 − ≥ −8 ; в) −5,5 − ≥ −8 ; г) − (−2,8) ≥ −9 . г) − (−2,8) ≥ −9 . г) − (−2,8) ≥ −9 . 182. Одреди скуп решења неједначине и представи на бројевној правој:

а) − + 1 ≤ −1,5; а) − + 1 ≤ −1,5; а) − + 1 ≤ −1,5; б) 3,25 − − ≥ 4,5; б) 3,25 − − ≥ 4,5; б) 3,25 − − ≥ 4,5; в) + (−2,5) − 1,5 ≥ −1; в) + (−2,5) − 1,5 ≥ −1; в) + (−2,5) − 1,5 ≥ −1; г) (−6,5 − ) − 2,5 ≤ −4 ; г) (−6,5 − ) − 2,5 ≤ −4 ; г) (−6,5 − ) − 2,5 ≤ −4 ; д) −3 + ( − 1,25) ≤ −6; д) −3 + ( − 1,25) ≤ −6; д) −3 + ( − 1,25) ≤ −6; ђ) −1,25 + − − >− . ђ) −1,25 + − − >− . ђ) −1,25 + − − >− . 183. Који број треба умањити за −4,5 да + −1 разлика < 2; в)била + не ≤ већа − ; од броја а) добијена би 1 −4 ? 2 б) − (−0,4) ≥ ; г) −6 − ≥ −8,5? 184. Од ког броја треба одузети број 8 1 да 4 би добијена разлика била не мања од броја −6? а) + 1

≤ 7,24;

б) − −5

< −2 ;

113

185. Који број треба додати броју −3 1 да 5 би збир та два броја био мањи од броја који је супротан броју −1,4?

186. Које од датих неједначина имају исти скуп решења: а) 𝑥 + 0,75 ≥ 1; б) 𝑥 − 1 < −0,75; в) −𝑥 + 1 ≤ 0,75.

187. Одреди скуп решења неједначине −4,5 − 𝑥 ≤ −2 2 који је подскуп скупа: 4 а) 𝑁; б) 𝑍−; в) 𝑄.

192. Ако увећа + (број + 1) − 1,5за збир = −1броје. д) −1,5 − се2неки 3 4 ва −7 и 4 , добија се разлика броја −7 5 5 5 8 и збира бројева −4 1 и 3,125 (умањеник је 8 број −7 5 ). Одреди тај број. 8

193. Ако се непознати број умањи за − 3 , 4 добија се исто као када се од разлике бројева −3,125 и −1,25 (умањеник је број −3,125) одузме збир бројева −6,6 и 4 1 . 5 Одреди непознати број.

194. Одреди вредност непознате 𝑥, за коју

pr om

Решења задатка представи на бројевној правој.

6 ; б) 6,5 + + 3+ −+ −=1 −1,5=+2,4; г) 1,52,4;= −1 . д) −5 −1,5+− 32 + − ( −+11) − = г) −5 191. Који број треба умањити за разлив)д)−3 0; = −1 . 1 ( (и 7+ 2 + +− +11) 1)(умањеник −=1,5 1,5 −1,5−− − −2,7 2 + − = −1 . д)бројева −1,5 ку −10 је број 6 2 1 −10 да 3 би се −добио − 1збир=тих 2,4;бројева? г) −5 ),+

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

3,25 − + − − − += −2;= 0; а)в) −3 = 0; 2,4; г) в) −5 −3 + − 3−2,7 −2,7−− −+1 =

uk a

1 |𝑥| − −3,25 вредност − ;− +1 ; израз ;−− +2 ;; ; +1 +2 ;1+1 −3 ; +; +2 −3 ;+2 ;; ; има −3 −3 ;; а) а) а) а) +1 2 а) + −3 = −1 ; в) | | = 5,2; 3 1 188. Решити једначину: 1−3 −1 −1 ; б)−2 ;једнаку −1 −2 ;−1са + ;; ;− 4;−2 ++−2 ;3; .; −3 .++ ;. ; −3 −3 . . б) б) б) | | а) = 5,2; + −3 = −1 ; в) | | а) = 5,2; + −3 = −1 ; в) б) −3 − = 2 − 3,5; г) | | = −0,4. 195. Одреди заједничка решења неједначина: б) = −0,4. −0,4. б) −3 −3 − − = =2 2− − 3,5; 3,5; г) г) || || = а) 𝑥 − 5,7 < −6,3 и 𝑥 + 1 > −2,25; 2 а) + −3 = −1 ; в) | | = 5,2; 189. Решити једначину: б) 𝑥 − 5,7 ≤ −6,3 и 𝑥 + 1 ≥ −2,25. 2 | | = −0,4. б) −3 − = 2 − 3,5; г) а) | − 1,5| = 2,25; 196. Одреди целе за које а) −2,5 ≤ <све 3,25; в) 0бројеве ≤ < −𝑥, −3 ; 1 7 + = 1 ; б) важи 𝑥 + 3 > 0 и 𝑥 − 3,125 ≤ 2 . а) а) || − − 1,5| 1,5| = = 2,25; 2,25; 8 б) −2,5 −5,5 ≤ <8< ≤ 3,25; −1 ; в) г) 0 −3,4 0. а) ≤ ;; а) −2,5 ≤ < 3,25; в) 0 ≤ << <− −≤ −3 −3 в) − = −1,4; + 1 ; б) б) + = 1 ; 197. На бројевној правој представи скуп б) < б) −5,5 −5,5 неједначине: < ≤ ≤ −1 −1 ;; г) г) −3,4 −3,4 < < ≤ ≤ 0. 0. решења − = 4; г) 3,25 + в) − = −1,4; в) − = −1,4; | а) − 1,5| = 2,25; а) −2,5 ≤ < 3,25; в) 0 ≤ < − −3 ; д) 3,25 6 +−+ 4; г) б) −; == =−1,25; 4; г) 3,25 +=+1− б) −5,5 < ≤ −1 ; г) −3,4 < ≤ 0. |−= 2,25 =1 . −1,25; д) 6 в)ђ) −1,4; − −= + + = −1,25; д) |3,25 6 −−

|3,25 || − − − − 2,25 2,25 =1 1 .. = 4; = г)ђ) +− |3,25 ђ)3,25 190. Одреди вредност непознате 𝑥, тако да6важи − једнакост: + = −1,25; д) 3,25−+ | −−2,25 = − 1 =. −2; а)|3,25 ђ) б) 6,5 +

в) −3 − −2,7 −

г) −5 + 3

−

= −1,5 + 6 ;

−1

= 0;

= 2,4;

д) −1,5 − 2 + ( + 1) − 1,5 114

= −1 .

198. На бројевној правој представи скуп решења неједначине: а) |𝑥| > 1 1 ;

г) |𝑥| ≥ −1 1 ;

в) |𝑥| ≤ 1 1 ;

ђ) |𝑥| − 0,25 > −1 1 .

б) |𝑥| > 2,25; 2

д) 6 − |𝑥| > −2,25;

199. Решити неједначину:

| | б) |𝑥 − 2 | − 1,25 < 0;

а) 𝑥 + 1 1 ≤ 3; 4

3 4

1 3

{

}

ђ) −14 ∙ −

б)

б) в)

;− +13а) − ; ; б) ;− +1 ;+2 3 − 2 ;+ ; ;+ ;− +1 ;+2 ;3 −3 − 2 ;+ 1; + ;+ ; ;+1 ;+2 ;3 −3 ;− 2+ 1; + − ;+; ;+2 ;−2 −3 1+ − ;; ; ; −3 −; а) );2а+ ); а1+ −2 −2 −2

); а −

− ; ; ;+; +2 −−3 − +1 − +1; ; ; ;в)+1 +1 +2 +2 +2 −3 ; ; ; ; −3 −3 ; ; 4 4

3 3 −++ −+ −−3 +1 − +1 ; ;; ; г) +1 − +1 +2 +2 ;37; ; ;;;+;;+1 +1 +2 +2 −3 −3 ; ; ;+; ;. ;+2 −3 ;. ; ;. ;. −3 −3 ; ; );; ; − а)а) −1 −1 −2 −2 ; ;− −2 −2 + . +2 7 7

−1 −2 −2 ;−1 −1 −2 −2 ++ ; ; ;;;; −2 −2 + −3 + −3;дате ;;; . . + −3 + −3; ; . . −3 −3 . . ); ; −1 б) б); ; ;202. Израчунај производе: а) 5 ∙ −

;

г) (−9) ∙ −

;

в) (−10) ∙ ;

ђ) −14 ∙ −

б) −

∙ 7;

203. Израчунај: а)

∙ 21;

в)

∙ (−25);

б) −

∙ 12;

а) ∙ −

;

д) −

г) −

∙ 6;

д) −36 ∙

∙ (−24); ;

ђ) − ∙ (−12).

г) − ∙ −

24 ∙

− 30

0 ∙ 21; −1 − 1 ∙ 12; − 30 ∙ (−25); 24

г) −

∙ (−24);

−3 4

д) −36 ∙

;

ђ) − ∙ (−12).

205. Израчунај производ:

uk a

а);

а) 5 + 5 + 5;

а)

201. Запиши краће и израчунај:

−5

− 30

pr om

в) (−10) ∙ ;

30 12

−1

𝑃= 𝑥 ⎸𝑥 ∈ 𝑄 и 𝑥 − 1 1 < −0,5 . 4

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ а) 5∙ − ; г) (−9) ∙ − ; РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА б) − ∙ 7; д) − ∙ 6;

5 6

200. Дат је скуп 𝑆 = {𝑥 ⎸𝑥 ∈ 𝑄 и 𝑥 + 2,5 ≥ 1 1 } . 4 Одреди елементе скупа 𝑆 ∩ 𝑃, ако је

1б) ; .−1 −2 3б) −; ; .−1 ;−2 3 + − +;1 ; .−1 ;−2 3 + −3 − + 2− ; ;1. . ;−2 ;3 + −3 − + 2− 1− ; . ; ;+ −3 2б− 1− ; . ; ;−3 1−. ; )б1− б) )+ )2б−

);

204. Попуни табелу: а) 3 ∙ 4

в) 𝑥 + 1 1 − 6,5 ≥ −5;

| | г) |𝑥 + 1 | − 6,5 > −5.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

;

)а

)б

а) ∙ − б) −

в) −

;

г) − ∙ −

∙ ;

д) ∙ −

∙ ;

;

ђ) −

∙ −

г) г) −−

∙ ∙ (−24); − ;

206. Изврши одговарајуће скраћивање, па израчунај производ: − а) а)− ∙∙ 21;

б) ; б) ∙− − ∙ 12;

;

д) ∙ −∙ ; ; д) −36

в)− ∙∙ (−25); в) − ;

ђ)−− ∙∙ (−12). ђ) .

207. Који од следећих производа има целобројну вредност: а) ∙ ∙ −− а)

б) −− б)

;;

∙ ∙ −;

;

в)−− ∙ ∙ ; в)

а) − ∙ −

;

∙ −; ; г) − г) − ∙ −

д)− ∙ ∙ − ; д)

;

ђ) − ђ) ∙ − ∙ −? г) −

∙ −

. 115 ;

208. Изрази мешовити број неправим разломком, па израчунај производ: а) г) (−15); а) −2 −2 ∙∙ (−15); г) (−7) (−7) ∙∙ −4 −4 ;; б) 2 2 ∙∙ (−2); (−2); б)

д) д) −7 −7 ∙∙ 9; 9;

в) (−6) (−6) ∙∙ 9 9 ;; в)

ђ) ђ) 3 3 ∙∙ −8 −8

209. Израчунај производ: ∙∙ −5 −5

в) в) −5 −5

∙∙ 1 1 ;;

б) 4 4 ∙∙ −2 б) −2

;;

г) г) −4 −4 ∙∙ 1 1 ;; д) д) 3 3 ∙∙ −3 −3

ђ) ђ) −5 −5 ∙∙ −2 −2

210. Израчунај:

;;

а) једну половину броја − 6 ;

13 21 б) једну трећину броја − ; 29 в) једну четвртину броја − 16 . 17

211. Колико је:

а) 1 од броја −18;

а) 5 од −1 1 ; 8

в) 2 од −3 1 ; 7

г) 2 2 од −2 7 . 5 24

б) 1 1 од −2 3 ; 3 12

uk a

2 б) 3 од броја −24; 4 5 в) од броја −15? 9

212. Израчунај:

213. Израчунај производ броја − 2 и броја 3 који је: а) једнак датом броју; б) супротан датом броју; в) за 1 већи од његове апсолутне вредности. 214. Израчунај производ: а) (−0,7) ∙ 10; г) −0,62 ∙ 10; б) 0,7 ∙ (−100); д) 0,62 ∙ (−100); в) (−0,7) ∙ (−1000); ђ) −0,62 ∙ (−1000).

215. Израчунај назначени производ: а) −480,52 ∙ 10; б) −121,5 ∙ (−100); в) 9,0005 ∙ (−1000); 116

216. Израчунај назначени производ: а) (−0,2) ∙ (−0,4); б) −1,5 ∙ 0,03; в) 2,361 ∙ (−0,2); г) −41,27 ∙ 0,005; д) 1,125 ∙ (−0,2); ђ) −214,08 ∙ (−0,5). 217. Израчунај производ: а) −37,7 ∙ 6,3; б) (−0,144) ∙ (−22,2); в) 136,03 ∙ (−11,5); г) −0,188 ∙ 0,18; д) −0,375 ∙ (−5,4); ђ) 3,28 ∙ (−0,25).

pr om

а) −3 а) −3

г) (−31,0014) ∙ (−10); д) 1,113 ∙ (−10 000); ђ) −20,1108 ∙ 10 000.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

218. У празно поље упиши одговарајући број тако да једнакост буде тачна: =− ∙3 ; а) 3 ∙ =− ∙3 ; а) 3 ∙ б) − ∙ (−3,2) = −3 ∙ ; б) − ∙ (−3,2) = −3 ∙ ; = ∙ ; в) −0,179 ∙ −4 = ∙ ; в) −0,179 ∙ −4 г) 0,4 ∙ (−7,8) = −(−7,8) ∙ ; г) 0,4 ∙ (−7,8) = −(−7,8) ∙ ; ∙ (−0,25) = ∙ . д) − − −2 ∙ (−0,25) = ∙ . д) − − −2

Како се зове законитост множења рационалних бројева која је примењена у задатку? 219. Израчунај дати производ на погован начин: а) −2 ∙ (−11,4) ∙ 5; а) −2 ∙ (−11,4)∙ 25; ∙ 5; б) 4 ∙ (−3,91) б) 4 ∙ (−3,91) ∙ 25; в) −8 ∙ (−2,129) ∙ (−125); в) ∙ (−2,129) г) −8 ∙ −3 ∙ − ∙ (−125); ;

г) ∙ −3 ∙ − ; д) (−2,5) ∙ ∙ −3 ∙ (−4); (−2,5) д) −0,3 ∙ ∙ ∙−3 ђ) ∙ 7,125 (−8) ∙∙ (−4); 10.

ђ) −0,3 7,125законитост ∙ (−8) ∙ 10. множења рациоКако се ∙ зове налних бројева која је примењена у задатку?

а) −2 а) −2 б) − б) − в) − в) − г) − г) − д) −2 д) −2

а) − а) − б) ∶ б) ∶ в) − в) −

а) (−1 а) (−1 б) 7 ∶ б) 7 ∶ в) (− в) (−

а) − а) − б) − б) − в) − в) −

б)− − ∶ −∶ ;; в)

220. У празно поље упиши одговарајући знак неједнакости <,> или =, тако да исказ буде ∙ (−0, 008) 0; а) − тачан:

а) 9,315 − ∙ (−0, б) ∙ −008) 0;0; 0;

0; в) −13 ∙ г) 3,72 ∙ − +

г) 3,72 ∙ − + 0; д) −17 ∙ (3,86 − 3,86) д) −17 ∙ (3,86 − 3,86)

∶ −

; РАЦИОНАЛНИ ђ) − ∶ . БРОЈЕВИ

225. Изврши назначено дељење: а) 3 ∶ −8

;

а) 3−2∶ −8 ∶ −3; б)

−2 ∶ ∶4 −3 б) −1 в) ;

;

г) 10 ∶ −7

−6

𝑎

; ђ) д)6−5∶ −1 ∶3 ; .

𝑎 : 𝑏

−5

−1

− 9

44 45

;

− 16 81

− 11

−4

𝑏 : 𝑎

uk a

222. Израчунај количник: г) а) 5; г) − − ∶∶ 9; 9; а) − − ∶∶ 5; г) − ∶ 9; а) − ∶ 5; г) − ∶ ∶9;(−12); а) − ∶ 5; б) д) б) ∶∶ (−7); (−7); д) − − ∶ (−12); б) ∶ (−7); д) − ∶ (−12); б) ∶ (−7); д) − ∶ (−12); ∶∶ (−11); в) − (−11); ђ) ђ) ∶∶ (−32). (−32). в) − ∶ (−11); ђ) ∶ (−32). в) − ∶ (−11); ђ) ∶ (−32). в) − 223. Израчунај количник: а) г) (−12) ∶∶ ;; а) (−12) г) −9 −9 ∶∶ ;; а) (−12) ∶ ; г) −9 ∶ ; (−12) а) ∶ ;; г) −9 ∶ ; − д) б) 7 ∶ д) 12 12 ∶∶ − − б) 7 ∶ − ; д) 12 ∶ − б) 7 ∶ − ; д) 12 ∶ − б) (−3) 7∶ − ; ; в) ђ) (−3) ∶∶ − в) − ; ђ) −27 −27 ∶∶ − − в) (−3) ∶ − ; ђ) −27 ∶ − в) (−3) ∶ − ; ђ) −27 ∶ − 224. Подели разломке: а) а) − − а) − а) − б) б) − − б) − б) в) − −− в) в) − в) −

;; ; ; . . . .

∶∶ − − ;; ∶ − ; ∶∶ −; ; ∶ ; ∶ ; ; ∶∶ ∶− − ;; ∶ − ; ∶ − ;

г) г) ∶∶ − − ;; г) ∶ − ; г) ∶ ∶− − ; д) д) − − ∶ − д) − ∶ − д) − ∶ − ђ) ђ) − − ∶∶ .. ђ) − ∶ . ђ) − ∶ .

;; ; ;

а) −8 ;; а) 3 3 ∶∶ −8 а) 3 ∶ −8 ; ; а) 3 ∶ −8 б) −2 ∶∶ −3 −3 б) −2

г) г) 10 10 ∶∶ −7 −7 г) 10 ∶ −7 г) 10 ∶∶ 3−7; д) д) −5 −5 ∶ 3 ;

;; ; ;

;;

227. Израчунај количник: а) −3 ∶ 10; г) −1,2 ∶ 10; б) (−3) ∶ (−100); д) (−1,2) ∶ (−100); в) 3 ∶ (−1 000); ђ) 1,2 ∶ (−1 000).

228. Израчунај количник: а) −25,1 ∶ 10; г) −432,41 ∶ (−10); б) 25,1 ∶ (−100); д) 432,41 ∶ (−100); в) −25,1 ∶ (−1 000); ђ) −432,41 ∶ 1 000.

229. Израчунај назначени количник: а) −77,8 ∶ 2; г) (−0,1143) ∶ (−3); б) −0,025 ∶ 5; д) 0,125 ∶ (−8); в) 1,69 ∶ (−13); ђ) −6,4 ∶ 32. 230. Подели дате децималне бројеве: а) (−3,672) ∶ 7,2; б) 51 ∶ (−0,85); в) −1000 ∶ 1,25;

г) −60,72 ∶ (−1,1); д) 0,81 ∶ (−0,18); ђ) (−108) ∶ (−0,09).

231. У празно поље упиши одговарајући знак неједнакости <, > или =, тако да исказ буде тачан: а) 1,3 ∶ (−0, 007) б) −44, 5 ∶ 8, 2 в) −7

∶ −1

г) 0, 08 −

∶ (−2, 3)

а) −5 б) 6

pr om

221. Одреди реципрочну вредност бројева: а) а) −2, −2, −3, −3, −5, −5, −111; −111; а) −2, −3, −5, −111; а) −2, ;−3, −5, −111; б) б) − − ;− − ;; − − ;; − − ;; б) − ; − ; − ; − ; б) − ; − ; − ; − ; в) − ;; − − ;; − − ;; в) − − ;; − в) − ; − ; − ; − ; в) − ; − ; − ; − ; г) г) − − ;; − − ;; − − ;; − − ;; г) − ; − ; − ; − ; г) − ; − ; − ; − ; д) д) −2 −2 ;; −3 −3 ;; −5 −5 ;; −10 −10 .. д) −2 ; −3 ; −5 ; −10 . д) −2 ; −3 ; −5 ; −10 .

𝑏

;

г)−5 10 ∶∶ 3−7 д) ;

ђ) 6 ∶ −1 в) −1 ∶ 4 ; 226. Попуни табелу:

;

б) 9,315 ∙ − в) −13 ∙

в) −

д)−− ∶ ∶ . − ђ)

в) (−1

а) −

б) − в)

г) −

=− =

а) −

б) −1 в) −

г) −

117

а) − +

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

∙ 0,5;

а) − + ∙ 0,5; б) −1Користећи ∙ 2 − 3 дистрибутивност ; 238. множеб) −1 ∙ 2 − 3 ; 3 2 на два начина: − а) ;; 17 3− +1 а)∶; −8,03 2−+ +2 ; ; а) 3;− +1 1− + −3 ; −0,001 ;; 2 ; ;;++2 3+1 − − ; ;;)∶1 ;+ −3 2 +2 + ; ;;; − ; 1−3 + − израчунај а) а )а ; ; ња, )а или −1 −5 + 1 ∙ 3 ; в) 4 3 1 1 в) −5 + 1 ∙ 3 ; +1 ; −104 ;2;+; +2 ;. б) −3 а)б) −;−1;3б) );а ; ;2)− ∙ 0,5; .−; 0 3 − + −1+ ;1 3 ;или ;+ −2− −2 −1 −3 ;+ .; . 13− + − −2 ;; −3 ++; 1 .;; − 2− −3 1− − )б+ б) б )б ;. а) 0; ∶ ;− 104 ∶−2 2 2 г) −1 ∙ (−25 − 2,8). ∶ ;211,3 или 0,211? −1 . 3в) ;− 0 −2 +; + ; 2;−0 ∶−3 ; 1.− б) )б г) −1 ∙ (−25 − 2,8). б) −1 ∙ 2 − 3 ; а) −5 ∙ − 7 ∙ − ; 233. <,> или =, а) −5У ∙квадратић − 7 упиши ∙ − знак: ; б) 6 да ∙ исказ −1 буде(−17) тако тачан:∙ − ; а) − 7(−17) ∙ − ∙ −; ; б) −5 6 ∙ ∙∙−1 а) −5 − 7 ∙ −− ∙ (−200). ; в) (−100) ∙ −1 б) (−100) 6 ∙ −1 (−17) ; (−200). − ∙∙ ∙− в) б) 6 ∙ −1∙ −1 (−17) − ; − ∙ (−200). в) (−100) ∙ −1 − ∙ (−200). в) (−100) ∙ −1

а) − ∙ 4 + 4 ∙ −

;

а) − ∙ 4 + 4 ∙ − ; б) −2 ∙ 0,5 − 4,5 ∙ 0,5; б) −2 ∙ 0,5 − 4,5 ∙ 0,5; в) −4 ∙ 1 + 2 ∙ 1 ; в) −4 ∙ 1 + 2 ∙ 1 ; а) ∙ 4∙ + ∙ 1,5 − ∙ ;5,2. г) − −2,8 1,54 − г) −2,8 ∙ 1,5 − 1,5 ∙ 5,2. б) −2 ∙ 0,5 − 4,5 ∙ 0,5; 240. Прво упрости израз користећи закон дистрибутивности в) −4 ∙ 1 + 2 ∙ 1 ;множења према сабирању, а затим израчунај његову бројевну г) −2,8 ∙ 1,5 − 1,5 ∙ 5,2. вредност за дату вредност променљивих:

pr om

234. скраћивања, па ∙ ∙ одговарајућа − ; а) −Изврши израчунај ∙ производ: ∙ − ; а) − б) − ∙ − ∙ − ; − ∙ ∙ − а) б) − ∙ − ∙ ;− ; − ∙ ∙ − а) ∙ − ∙ − ; ; в) б) в) − ∙ − ∙ − ∙ −∙ −; ; б) г) −− ∙ ∙∙ −. ∙ − ; в) − ∙ ∙ − ∙ .∙ − ; г) ∙ − ∙ − ; в) г) − ∙ ∙ . г) − ∙ ∙ .

в) −5 + 1 ∙ 3 ; 239. Применом закона дистрибутивности, израчунај вредност израза: г) −1 ∙ (−25 − 2,8).

232. Шта је веће:

uk a

235. Који од датих израза 𝐴, 𝐵 и 𝐶 има нај= − а ∙који+највећу ; = ∙ − + ; мању бројевну =− ∙ + ; = − ∙ вредност: + ;

= − ∙ + −; . =− ∙ + ==− +∙ −∙+ − ;? = ∙ − + = =− ∙ + = −+ ∙ + ∙ −; ? =− ∙ + ==−− ∙ ∙ −+ −; . = + ∙ − ? = Израчунај + ∙ − вредност ? 236. израза:

; ; ; ;

а) − ∙ − − ; а) − ∙ − − ; − ; б) −1 − ∙ а) − ∙ − − ;; − б) −1 − ∙ а) ∙ −4− −; 1 ∙ −7 ; в) −− −∙ − − ∙∙ −4− −; 1 ∙ −7 ; б) −1 − в) − − + +− ∙ ∙− а) ∙0,5; −− − ; б) −1 г) − ∙1 − . − ∙ −4 − 1 в) − г)−1 − +∙ 2∙ −−3 ; − − ∙∙ 1−7− ;. б) −4 − 1 ∙ −7 ; в) − − +− ∙ ∙0,5; а) г) − Дати + ∙ су−изрази: − − ∙1 − . 237. −5 + 1 ∙ 3 ; в) г) − + ∙ − б) −1 ∙ 2 − 3 ; − − ∙ 1 − . =− ∙ + ; = ∙ − + ; (−25 г) −1 ∙ − 2,8). в) −5 + 1 ∙ 3 ; =− ∙ − − . г) −1 ∙ (−25 − 2,8). а) Поређај њихове вредности од најмање до највеће. б) Одреди збир 𝐴+𝐵+𝐶. а) − 118 ∙4+4∙ −

;

б) − −2 ∙ 4∙ 0,5 а) + 4−∙ 4,5 − ∙ 0,5; ;

а) −3𝑎 + 1,5𝑎 −

1 𝑎, за 𝑎 = −2,07; 2

б) −3 1 𝑥𝑦 − 1 2 𝑥𝑦 + 5,5 𝑥𝑦, за 𝑥 = −2, 𝑦 = −1 1 ; 3 3 10 в) 0,75𝑚𝑛 + 𝑚𝑛 + 2𝑚𝑛 − за 𝑚 = −1, 𝑛 = − 1 . 2

1 𝑚𝑛, 4

241. Бројеви 𝐴 и 𝐵 дати су на следећи начин: 𝐴 = −7 7 − 5 ∙ 2 и 12

𝐵 = 2,75 ∙ (−0,5) − 1,5 ∙ 1 . 2 Израчунај производ броја 𝐵 и реципрочне вредности броја 𝐴. а) −1 ∙ 6 + (3,25 − 5) ∙ 1 ; 242. Израчунај бројевну вредност израз б) (−2,5 − 6) ∙ (1,5 − 3); а) −1 ∙ 6 + (3,25 − 5) ∙ 1 ; в) 6 ∙ − (4 − 1,5) ∙ 2; б) (−2,5 − 6) ∙ (1,5 − 3); г) 7,25 − 3,5 ∙ − (1 − 2,5) ∙ ; в) 6 ∙ − (4 − 1,5) ∙ 2; д) 1,25 + 0,4 ∙ 3 − 1 ∙ . г) 7,25 − 3,5 ∙ − (1 − 2,5) ∙ ; а: д) 1,25 + 0,4 ∙ 3 − 1 ∙ . 243. Израчунај аритметичну средину бројева: а) −5 ; −3,5; −1 ;

б) −1,9; 0; −7 ; а) −5 ; −3,5; −1 ; в) 2 ; −3 ; −3 ; 1. б) −1,9; 0; −7 ;

∙ 6 +; (3,25 а)2−1; −3 в) −3 ; − 1. 5) ∙ 1 ; б) (−2,5 − 6) ∙ (1,5 − 3); в) 6 ∙ − (4 − 1,5) ∙ 2;

г) 7,25 а) −1 д)(−2 1,2 б) в) 6 ∙

г) 7,25

д) 1,25 а) −5

б) −1

в) 2 ;

а) −5

б) −1,

в) 2 ; а) −6

б) −

в) − а) г) −6 6∶

б) д)− −1

в) ђ)− 3,8

г) 6 ∶ (

д) −1,

ђ) 3,8

в) 2 ; −3 ; −3 ; 1.

г) −0, 0011 ∙ 0 ∙ −2

а) −6 ∶ 0,31 ∙ 5,5 ∶ 0,5 + 1 ∙ (3 − 4,5) ;

б) − ∶ + 5 ∶ − 2,5 − 1

∙ 0,5 ∶ ;

г) 6 ∶ (−0,5) + −3,25 + 1

: 0,25;

в) − ∶ 0,25 + (−4 + (6,5 − 7) ∶ 0,5) ∶ ; д) −1,8 − 1,8 ∙ −3,9 + 2

ђ) 3,8 − − ∙ + 1,8 ∶

∙ 1,5 ;

245. Производ бројева −7,5 и 2,8 умањи за број −1,9. Састави израз и израчунај његову бројевну вредност.

247. Разлику бројева −6 и −0,06 (умањеник је број −6) умањи за количник тих бројева (дељеник је број −6). Састави израз и израчунај његову бројевну вредност. = 6 − 8 ∶ 0,1

uk a

∙ − или −1 ∶ − ; в) 1 Израчунај: 251. а) 𝑎 + 𝑐 0011 ∶ 𝑏; ∙б) + 𝑏) ∙ 𝑐; или в) 𝑎−1,44 ∶ (𝑏 − ∶𝑐), г) −0, 0 (𝑎 ∙ −2 1 ако ? је: =

−

∶ ;

а)

; б)

; в)

; г)

;

д)

; ђ)

; е)

; ж)

254. Израчунај: ,

pr om

246. Збир бројева −4 1 и −3,5 увећај за 2 производ тих бројева. Састави израз и израчунај његову бројевну вредност.

= 6 − 8 ∶ 0,1 249. Број −8,8 умањи за половину разли= −2 ∶ − 4 ∙ 0,3. ке бројева −7,5 и −8 1 (умањеник је број 4 −7,5). Састави израз и израчунај његову бројевну вредност. а) −3 ∙ или −3 ∶ 4 ; 250. Шта је веће: (−1,75) б) (−0,25) ∶ 0,08; а) −3 ∙ ∶или −3 или ∶ 4 −0,4 ; а) −3 ∙ или −3 ∶ 4 ; ∙ − или −1 или∶ −0,4 − ∶; 0,08; в) 1 б) (−1,75) ∶ (−0,25) б) (−1,75) ∶ (−0,25) или −0,4 ∶ 0,08; г) 0 ∙ −2 ∶1 ? − ∙ или −1 или ∶ −−1,44 ; в) −0, 1 ∙0011 а) или−3−1 ∶ 4 ∶ ; − ; в)−3 1 ∙ ∙ − или г) (−1,75) −0, 0011 ∙ 0 ∙ −2 или −1,44 ∶ 1 ? б) −0,4 ∶ 0,08; г) −0, 0011∶ ∙(−0,25) 0 ∙ −2 илиили −1,44 ∶1 ? = 4,2 + 5,5 ∶ (−5);

= = 0,2 − + 0,6 ∶ ; ∶ 3. = 4,2 + 5,5 ∶ (−5); = − ∶ ; = 4,2 + 5,5 ∶ (−5); = 0,2 + 0,6 ∶ 3. = 0,2 + 0,6 ∶ 3.

∙

б)

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

б)

∙

+ в) −

в) − ∙ 252. Збир бројева 9 9 и −2 1 одузети од 16 4 количника истих бројева (дељеник је број 9 9 ). Састави израз и израчунај његову а) 8 ∙ 16= − ∶ ; = 4,2 + 5,5 ∶ (−5); бројевну вредност. а) 8 ∙ ∙ ; б) = − ∶ ; + 0,6 = ∶4,2 = 0,2 3. + 5,5 ∶ (−5); 253. Израчунај вредност двојеног разломка:б) ∙ − в) = 0,2 + 0,6 ∶ 3.

−1 .

248. 2 ∙ 𝐴 − 4 ∙ 𝐵, ако је: = 6Израчунај −2 = − 8∶ ∶ − 0,14 ∙ 0,3. = 6 − 8 ∶ 0,1 = −2 ∶ − 4 ∙ 0,3. = −2 ∶ − 4 ∙ 0,3.

а) −

или −1,44 ∶ 1 ?

244. Израчунај бројевну вредност израза:

или −1,44 ∶ 1 ?

а)

б) в)

;

, ∶

г) д)

∶

∶(

,∶ )

∙

, ∶

д) (−8 ∙ ) ђ) − ђ) −0,25 ∙

;

, )

∶(

∶( , , ,) ∙

; ђ) = 1,2 , , ∙ ∶ , − 1,2 ∙∶ (−0,2 .∙ 0,5 − 0,9); (−0,5) = ∶ = 1,2 − 1,2 ∶ (−0,2 ∙ 0,5 − 0,9);

г) ∙ (−4 ∙ д) (−

, )

;

, (

( , ∶, )

= 1,2 − 1,2 ∶ (−0,2 ∙ 0,5 − 0,9); , ∶∶ ,

∶(

в) ∙ (−0, г)

(−0,5) ∶ =Упореди . израза 𝐴 и 𝐵, ако је: 255. = (−0,5) ∶ вредности . = 1,2 − 1,2 ∶ (−0,2 ∙ 0,5 − 0,9); = (−0,5) ∶

256. Производ бројева −6,25 и 3 1 умањи за 5 количник збира тих бројева и броја −3 1 (де20 љеник је збир бројева −6,25 и 3 1 ). Састави 5 израз и израчунај његову бројевну вредност.

а) − ∙ + − ∙ ; 257. Деветину броја −1 1 увећај за број 8 2 чије износе 6. Састави израз и израчунај ; б) −5∙ + а) ∙ +∙ − ∙ ; његову а) − бројевну ∙ + − вредност. ∙ ; в) − ∙ ∙ + − ∙ ∙; . б) ∙ + −6∙ умањи ; б) Број 258. за количник збира 2 в)разлике −− ∙ ∙ − ∙ . ∙− ; и −1,5 (дељеник је иа) бројева + − 3 в) − ∙ − ∙2 . збир бројева − и −1,5, а умањеник је број 3 а)2 8). ∙∙Састави ∙+ ; ∙ ;израз и израчунај његову −б) 3 бројевну вредност. в) б) а) − 8 ∙ ∙ ∙∙−;− ∙∙ ;. а) 8 ∙ ∙ ; в) ∙ ∙(−0,2 б) − ∙ ∙); ; 119 б) ∙ − ∙ ; г) ∙ ); ); (−0,2 в)8 ∙∙∙ (−4 а) ∙ ; ∙∙ ); в) ∙ (−0,2

)

а)

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

259. Ако је 𝑎 + 𝑏 = −2 2 , израчунај: а) −

∙

б)

в) −

∙

+ −

−

∙ ;

∙ .

∙ , ЈЕДНАЧИНЕ И , ∙ СА − 3. в) НЕЈЕДНАЧИНЕ , ∙ МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ У СКУПУ Q

∙ ;

б)

∙ −

264. Провери да ли је број: а) − 1 решење једначине −0,4𝑥 = 0,2; 2 б) −8 решење једначине 2 𝑥 = −5?

∙ ;

в) ∙ (−0,2 ∙ );

г) ∙ (−4 ∙ ); ∙

∙ (− ).

261. Израчунај вредност израза: ако је 𝑥 = 1 3 и 𝑦 = − 4 .

, )

∶(

, ∙

а)

)

б)

а)

в)

б) в)

262. Поређај по величини од најмањег до највећег следеће количнике: ,

𝑎∶

∙

1 ; 10

ако је:

∶ ,

1; 𝑎 ∶ 7 ; 𝑎 ∶ 1 ; 𝑎 ∶ 3− ; и 5 3 ∶6

а) 𝑎 ∈ 𝑄+;

б) 𝑎 ∈ 𝑄−.

, )

uk a

pr om

265. У скупу 𝑄 реши једначину:

д) (−8 ∙ ) ∙ (−0,125 ∙ ); ђ) −0,25 ∙

− 2; бројевног израза: 263. Израчунај вредност ,∙

а)

б) в)

∙

, ∙

120 а) (−2) ∙

,∶ ,

∙ ∶

∶∙ ,

− 1; − 2;

б)

260. Ако је 𝑎 ∙ 𝑏 = −6 1 , израчунај: а) 8 ∙

∶

, ,

− 1;

∙∶ ,

−− 3. 1;

,∙

− 2;

∙ ,

∙

− 2;

− 3. ∙

− 3.

а) (−2) ∙

= 7;

д) −0,4 ∙

= −2;

б)

в) 3 ∙

= −0,9;

г)

∙ (−0,25) = −16;

е) ∙

= −3 ;

ж)

∙ −6

ђ) ∙

б)

∙ (−5) = −3;

= −6;

= −3 .

а) (−3) ∶ = −15; д) = −0,6; 266. Реши једначину у скупу 𝑄: , б) 2 ∶ = − ; ђ) = − ; а) 𝑥 ∶ (−8) = 25; д) 𝑥 ,∶ 0,03 = −100; = −0,2; в) − ∶ = − ; е) б) 𝑥 ∶ (−1,7) = −10; ђ) 𝑥 ∶ (−1,2) = −0,75; г) −0,9 ∶ ∶ == 15; ж) , = 21 . в)а)𝑥 (−3) ∶ 0,25 = 2 ;−15; е)д)𝑥 ∶ 0,8= = −0,6; 1 1; 5 4 , , б) 2а)∶ (−3) = −∶ ; =5 −15; ђ) д)= − =; −0,6; г) 𝑥 ∶ (−0,6) = −5 ; ж) 𝑥 ∶ 129 = 9 9 . 9 22 , , б) 2 ∶∶ = − ; =− − ; ; е) ђ) ==−0,2; в) −

, 𝑄: 267. в) Реши једначину у; скупу = − ж) е) = = −0,2; г) −0,9 − ∶ =∶ 15; 21 . а) ∙ (−1 + 0,25) = −3 ; г) −0,9 ∶ = 15; ж) = 21 . б) −0,5 ∙ = − 3,25;

в) ∶ (−2,5 + 6) = −8;

г) ∶ 10,75 − 3 = −8 + . а) ∙ (−1 + 0,25) = −3 ; 268. Који број треба помножити са − 3 да 7 4 = −3 ; а)добио ∙ (−1 +−0,25) б)се −0,5 =број 3,25; би −3 ? 7 ∶ (−2,5 в) б) −0,5 ∙+ 6) = =−−8; 3,25; 269. Одреди број који подељен са −2,5 даје 2 3 г) в) ∶ 10,75 ∶ (−2,5 −8;+ . количник −2 − . + 6)==−8 3 г) ∶ 10,75 − 3 = −8 + . 270. Који број треба помножити са 1 1 , тако 4 да производ буде за 1 већи од броја −2? 2

= 7;

∙ (−5) = −3;

а) ∙ (

б) −0,

в) ∶

г)

∶

= −1,2; 0; −2 ; −5;

а) ∙ < −1,5; г) −2 ∙ ≥ −1 ; 0; −2 ; −5; ∙ = ≤−1,2; −0,75? д) ∶ 0,25 < −1 ; б) ∶ 2 ≥ −2,5; ∙ ≤ −0,75? 271. Који број треба поделити са збиром в) −3 ∙ −3 < 9; ђ) да ∶ − ≤ −1. буде бројева 2 2 ,; тако количник = −1,2; 0;и −2 3 −5; једнак производу бројева 0,1∙100?

∙ ≤ −0,75? 272. Дате неједнакости прикажи графича) ∙ бројевној < −1,5; правој: г) −2 ∙ ≥ −1 ; ки на а) 𝑥 ∙> ∶ −4; ≤ 2; −2∶ 0,25 2< ≥ −2,5;г) 𝑥 д) б) а) −1,5; г) ∙ ≥< −1−1; ; б) 𝑥 < −3; д) −2 < 𝑥 ≤5; 2 ≥ 9; −2,5; д) б) в) ∙ < ђ)≤ 𝑥 ∶≤0,25 − <≤−1 −1.; в) = 𝑥 −3 ≥ ∶ −1,2; −5; −1. 0; −2ђ) ;−3 −5;

a) ( − 0,6) ∙ −

= −2;

б) ( −− 0,6) ∙ ∙−−−РАЦИОНАЛНИ =1 ; = −2; a) БРОЈЕВИ

, =; −2 . в) (−2,375 +− )−∶ (−4,2) б) ∙, = =1 а) − = −1. 280. У скупу 𝑄 0;реши в) једначину: в) ((−2,375 +∙ −) ∶ (−4,2) − 0,6) = −2; = −2 . a) , б) = 0; б) − , ∙ − − =1 ;

в) (−2,375 + ) ∶ (−4,2) = −2 . ,

б) ∙ −8 − ∶ 2 667) ≥ −2,5; д) б) (−28,

≥ −1 ;

=− б) −4 − ∙ ∙ +−2,4 а) 0,75 = −; 3;

pr om

а) − 1,36) =г)0;−2 ∙ а) −∙ <∙ (−1,5;

а) Реши једначину: = 0; в) = −1. 281. а) −4 ∙ , − 0,75 = −3; , a) ( − 0,6)=∙ 0;− =в)−2; а) = −1. , б) = 0 ; ∙ + 2,4 = − ; − в) −3 9; ђ) −2∶ ∙ − ≥ −1 ≤ −1. а) ∙ ∙<< −1,5; ; б) −, ∙ − − =1 ; од бројеваг) из скупа 273. ∙ ≤Који −0,75? , = −1,2; 0; −2 ; −5; в) 4 ∙ − =−0; = −2 ; a) ( − 0,6) ∙ − = −2; б) припадају 2 ≥ 0; −2,5; д) ∶ 0,25 < −1 ; скуб) = ∶ −1,2; −2 ; −5; ( ,− 0,6) ∙ − = −2; a) (−2,375 ) ∶ (−4,2) в) , = −2 . , + = −1,2; 0; −2 ; −5; ( − 0,6) a) а) =∙ 0=;−−9 =;в)−2; б) − = −1. ( ∙ − − =1 г) −8,8) + пу решења неједначине ∙ ≤ −0,75?? в) −3 ∙ < 9; ђ) ∶ − ≤ −1. б) − ∙ − − = 1 ; ∙ ≤ −0,75? 292. У+ скупу 𝑄 б) −− −реши − једначину: = 1 в) ; (−2,375 + ) ∶ (−4,2) = д) −5. ∙ −0,75?скуп целих бројева који су ре,∙ ∙ = 274.≤Одреди б) =+0; ) ∶ (−4,2) = −2 . в) (−2,375 , ∙ −+ ) ∶=(−4,2) (−2,375 в) −4 а) 0,75 −3; = −2 . шења неједначине:

0; < −1 ; ∶=0,25 а) ∙ < −1,5; ) ∶ −2 ђ) в) а) (−4,5 ∙ ∙ <−−1,5; г) = −20;∙ − ≥ −1 ; в) −3 9; ≤ −1. а) ∙ << −1,5; г) −2∶б) ∙ ≥∶ −1 2 ≥; −2,5; = 0. ∶ 0,25 < −11 ; г) ≥ −2,5;∶ 5 д) б) ∶−2(−1,27) 275. број треба д) помножити ∶2 ≥ −2,5; ∶в) 0,25 ;тако б) Који −3<1∙са−1 <2 ,9; да буде већиђ)од броја в) производ −3 ∙ < 9; ∶ − − ≤? −1. в) −3 а) − ∙ ∙ (< 9; − 1,36) =ђ)0; ∶ − 3≤ −1.

uk a

276. Који (број треба помножити са −1 2 , тако 3 а) − ∙667) − ∙1,36) −8 =−0; = 0; б) (−28, да производ буде мањи од броја − 5 ? 6 (−4,5 667) −2 − = 0; в) (−28, − ) ∙∶ −8 = 0; б) 277. Којим бројем треба помножити број − (−1,27) ∶ 5 ==0;=0.0; г) 1(−4,5 ) ∶1,36) −2 в) ( производ а) − − ,− тако∙ − да буде већи или једнак 7 3 броју − (−1,27) ? − ∶ 5 −= 0. = 0; г) (−28, б) 7667) ∙ −8

в) − =− = −2 ; + 2,4 ; б) 4 − ∙∙ − , , −1 ; г) −2 ∙ ≥ а) = 0; в) = −1. г) ; в) (4−8,8) ∙ −+ −= −9= −2 ; а) −4 ∙ − 0,75 = −3; д) ∶ 0,25, < −1 ; , д) + + ∙ == −5. г) −8,8) −9 ; б)(− = 0; , а) 2,40;= − ; б) − ,∙ + , = а) ∶ − , ≤ = −1. 0; в) , = −1. ђ) д) −Реши + ∙ ==0;−5. в) а) 4 283. у скупу 𝑄: = −1. в) ∙ − једначину − = −2 ; , б) = 0; , , −0,5 ,++ = = а) б)( −8,8) 0;∙−9= ;−1; г) , б) = 0; , б) − +− 1,25 0,5 = −2; д) ∙ = ∶−5. а) (0,25 −4 ∙ −−1,125) 0,75 =∶ −3 =; −1 + 2 ; в)

+ 2,4==1−− ; + 0,6. ∙ 1,5 = а) −4 ∙ − 0,75 = −3; в) −2 а) 4 −4∙ ∙ − −−0,75 = − 3; ; − − = −3; а)−−0,5 +=2−3∙; − б) + а) −4 ∙ 0,75 284. Реши дату једначину: − ∙ + 2,4 = − ; ( −0,5 + ∙ = −1; а) г) −8,8) + = −9 ; б) − ∙ + 2,4 = − ; 278. Који треба = поделити са −0,04, ) ∶ −2 (−4,5 0; в) − број ∙ −= −+− а) ; ∙ =в)−3; б)−0,5 − ∙+ 2+ (−12,8) 4 − = −2 ; б)2,4 + ∙ =−−1; тако да количник не буде мањи од броја д) − + ∙ = −5. в) 4 ∙ − − = −2 ; −0,5 + ∙ −1; а) б) − 1,25 ∶ 0,5 = −2; (−1,27) ∶ 5 = 0. г) 2,08? − в)(−12,8) 4 ∙ −в) (+ −8,8) б) − −∙ + 3=+−2 =; г) −1; ∶ −2 3 =+−4;= −9 ; ( г) −8,8) + = −9 ; (0,25 − 1,125) ∶ = −1 + 2 ; в) б) − 1,25 0,5 = г) ( −8,8) + =∶ −9 ; −2; д) − + ∙ = −5. а) − ∙ ( − 1,36) = 0; в) + 3 ∙ 1,5 ∶(−2,25) −2 1 −+∙ 3+− =3−4;− 3 = −7. а) − г) 0,6. д) (0,25 − −+ г) ==−5. −∙ 1,125) ∶ −1; = −1 +2 ; в) −0,5 + ∙ = а) д) − + ∙ = −5. = 0;𝑄: б) (−28, 667) ∙ −8 −у скупу (−2,25) ∙∙ 1,5−=31 −− + г) 3 0,6. = −7. б) − 279. Реши једначину г) а) − ∙ ( − 1,36) =б)0; −− 1,25 ∶ 0,5 = −2; а) − ∙( − 1,36) = 0;= 0; ) ∶1,36) −2 = в) (−4,5 в) − ( − а) − ∙− 0; б) (−28, 667) ∙ −8 285. − (0,25 =Одреди 0; − 1,125) а) количник бројева ∶ = −1 + 2 𝐴 и ; 𝐵 (дев) б) 667) ∙ −8 − (−1,27) ∶ 5 −= 0. = 0; г) (−28, љеник је број 𝐴), ако је: г) − = 0; б) (−28, 667) ∙ −8 − − ∙ 1,5 = 1 − + 0,6. (−4,5 − ) ∶ −2 г) = 0; в) 3 − ; ; +1 3 − ; ; +2 2 − + ; ; ; −3 +1 3 1 − + ; ; ; +2 − 2 + ; ; −3 1 + ; ; − а) а) ) а ) а 𝐴 ∙ − = −9 и 𝐵 ∶ −0,5 = −2,5. = 0; в) (−4,5 − ) ∶ −2 4 A = 0; в) (−4,5 − ) ∶ −2 д) 2 а−колико је; ;количник − (−1,27) ∶ 5 ;б).= З−2 г) −1 30. ; ; + +−1 ;. −3 23 −−2 − . ; ;; 1− ++већи −3 − броја .; 1−𝑥 )б б) б) );;б 2од B − (−1,27) ∶ 5 = 0. г) −0,5 + ∙ једначине = −1; а)који је решење ђ) ∶ − (−1,27) ∶ 5 = 0. г) 0,6 + 1 = −2 ∙ 1 ? б) − 1,25 ∶ 0,5 = −2; ∙ = −1; а) −0,5 + + 1 +− = 1,125) −2 ∙ ∙ 1=∶ −1; ? = −1 + 2 ; 0,6 −0,5 а) (0,25 в) = 0,8 −1;∙ − а) −0,5 + −3,2 ∶∙ = б) − 1,25 ∶ 0,5 = а)−2; − г) − ∙ 1,5 = 1 − 0,6. 121 б) − 1,25 ∶ 0,5 = + −2; 0,8 ∙ ∶−0,5 = −2;в) (0,25 − 1,125) ∶ = −1 −3,2 б) ∶ −=1,25 − ∶ +=1,5 б) 0, 1 −1= − + 2∶ ; . в) (0,25 3−∙ 1,125) в) (0,25 − 1,125) ∶ = −1 + 2 ;

б) − −∙ г)

в)

286. Ако се од троструке вредности неког броја одузме број 2,5 добија се број који је супротан броју 8 1 . Који је то број? 2

287. Ако се од броја 2 2 одузме петострука 3 вредност непознатог броја, добиће се количник броја 4 и − 1 (дељеник је број 4 ). 9 6 9 Који је то број? 3 неког бро5

288. Ако се број 1,75 увећа за ја, па се тај збир подели бројем −1,125, добија се број 2 4 . Одреди непознати број. 9

290. Који од бројева из скупа = = − − ;; 0,5; 0,5; −2 −2 ;; = − ; 0,5; −2 ; − 0,125? ; 0,5; −2 ; − =− −− ≤ ≤ 0,125? припада скупу решења неједначине − − ≤ 0,125? − − ≤ 0,125??

uk a

291. Реши неједначину у скупу 𝑄:

≤ а) − + + ≤ −1 −1 ;; а) − ≤ −1 ; а) − + б) − ++ ≤> −1− а) − б) + 0,2 0,2 > − ;; б) − + 0,2 > − ; в) ≥ − б) − в) − + ++ 0,2 ≥> − −;; ; в) − + ≥− ; − ≥ − ; г) в) г) − ≥+− ; ≥ − ; г) − ≥ − ; д) 2− + г) 2 + ≥ ∶∶− − −; < < 7,75; 7,75; д) д) 2 + ∶ − < 7,75; 2,5 2,5 ≥ −3. ђ) 2,5 − − −3. ђ) 2 ∶∶ + ∶ 2,5 − ≥ 7,75; д) 2,5 ≥< −3. ђ) ∶ 2,5 − 2,5 −неједначину: 2,5 ≥ −3. ђ) ∶Реши 292.

− а) − > > −1 −1 ;; а) − − ∙∙ − > −1 ; а) − ∙ б) 0, ∙ ∙∙ −− > 1,5 −1 ;≤ а) − − + + 1,5 ≤ 8; 8; б) 0, 125 125 б) 0, 125 ∙ − + 1,5 ≤ 8; ( − 0,7)) ∶ ((−3)) ≥ −4,5. в) в) (0,2 2 − 0,7 ∶ −3 ≥ −4,5. 1,5 8; б) ∙ − ) ∶ (+−3 ) ≥≤−4,5. в) (2125 − 0,7

а)

б)

3 ; − +1; −𝑎 + ;2+ +2 ; ;1−+0,2 −3;> −4 − ; 2,5

−1 . 3− ;

−2 ; +;

∶ −2

− ≤1 .

122

∶ 2 4≤−−2,5. ∶ 2 ≤ −2,5. б) (−1) + 4б)−(−1) +

296. Ако се од броја 4 1 одузме половина 5 непознатог броја, па се та разлика помножи са − 1 добија се број који није већи од 2 броја −2,5. О ком броју је реч? 297. а) ( Реши − 1,2)неједначину ∙ 3 > 0; у скупу 𝑄: а) ( − 1,2) ∙ 3 > 0; а) (−1,8 − 1,2) ∙ 34 ><0;0; − б) ∙ − 4 < 0; б) −1,8 ∙ 0;0; б) (4,8 −1,8−∙ ) − в) −1 < > ∙ 4 в) (4,8 − ) ∙ −1 > 0; (4,8 −∙ 1,4 )∙ − в) −14 > ≤ 0;0; г) −8 г) −8 ∙ 1,4 − 4 ≤ 0; г) −8 − 4∙ −4 ≤ 0; (2,5 ∙− 1,4 3,25) > 0; д) д) (2,5 − 3,25) ∙ −4 > 0; (2,5∙ (3,25 − 3,25) ∙ −4≥ 0.> 0; д) − 5,2) ђ) 7 ђ) 7 ∙ (3,25 − 5,2) ≥ 0. ђ) 7 ∙ (3,25 − 5,2) ≥ 0.

;+ 2;−

−3 ; 1− .

298. Реши неједначину у скупу 𝑄: ; а) ∶ 1 − 3,2 < а) ∶ 1 − 3,2 < , ; , а) − 3,2∙ (−1,8) < , ; < −1 + 2 ; б) ∶ 1∶ −1 ∶ −1 ∙ (−1,8) < −1 + 2 ; б) < 1−1; + 2 ; б) −2∶ −1∶ ∙ (−1,8) в) ≤ −3 − в) −2 ∶ ≤ −3 − 1 ; в) − 1+; . г) −2+ 1 ∶ ∙ ≤ − −3≥ − г) +1 ∙ − ≥− + . г) +1 ∙ − ≥− + . 299. Реши дату једначину:

293. број који задово(−3) ≥ цео в) (2 Одреди − 0,7) ∶највећи −4,5. љава неједначину: −;

295. Одреди најмањи природан број који је решење неједначине: ( (−0,25) − 0,6) −∙ (0,5−<0,6) −2;− 0,5 < −2; а) (−0,25) ∙ а)

pr om

289. Ако се од броја −0,25 одузме количник непознатог броја и броја 3 (дељеник 8 је непознати број), добија се број који је супротан броју 5 1 . Одреди непознати број.

294. Одреди најмањи цео број који задовољава неједначину: ∶ −2 − ∶≤−2 1 . − ≤1 .

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

2 ).а 5 )б

а) | | = 2 ; г) |2 | = 1 ; а) | | = 2 ; г) |2 | = 1 ; | | = 2 1 =; 1 ; а) ; г) |3 |−=1| б) д) |2 −1 ; б) | | = −1 ; д) |3 − 1| = 1 ; |3 −− б) д) 1|1,5| = 1=; 1 . −1 ; в) | | = 0; ђ) |−2 в) | | = 0; ђ) |−2 − 1,5| = 1 . в) | | = 0; ђ) |−2 − 1,5| = 1 . 300. Решити дату једначину: 2 𝑥 = −0,121212… = −0,121212 …; а) 3 = −0,121212 …; а) + 2) = …; 0; б) ( − = 1)( −0,121212 а) б) ( − 1)( + 2) = 0; в) 2)0; = 0; б) ( ∙ − 1)(− + = в) ∙ − = 0;

−8 − −8 − −8 − − − −

8 − ) ∙ −1

∙ 1,4 − 4

> 0;

≤ 0;

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

−8 − 1 +

∶ = −10 који похађају грашанско васпитање.” Колико ученика броји школа у којој је Маша ∶ = −10 и − = 0,5 директор? имају исто решење. Одреди вредност броја 309. Одреди заједничка решења нејед𝑝. − = 0,5 начина: 1 𝑥 + 1 1 ≥ −3 и 0,8𝑥 + 1,6 ≤ −2,4. 2 4 Затим из представи на бројевној правој. ;Збир три броја је −10 1 . Одреди те 1 − 3,2 <302. , 2 310. Решити неједначину: бројеве, ако је други мањи од првог за 3, а ∶ −1 ∙ (−1,8) < −1 + 2 ; а) 00 <<2𝑥 2 − 1 < −1< 2,5; 2,5; а) трећи је једнак половини збира прва два. 2 ∶ ≤ −3 − 1 ; б) −2,5 ≤ 5 < 4 ; б) −2,5 ≤ 5𝑥 < 4 3 ; 303. Збир три броја је 2 1 . Одреди те бро8 +1 ∙ − − је+ . прва два121 5 , а збир другог в) −1 < 𝑥 − 1 ≤ 0,9; јеве, ≥ ако збир ≤ 0,9; в) − < 6 5 −8 7 и трећег . 12 −6. г) −10 −10≤≤− −2 𝑥 − −5 ≤≤−6. г) 3 2 304. Тракториста је изорао 100 ha њиве 311. Решити неједначину: за три дана. Другог дана је узорао 9,5 ha више него првог дана, а трећег дана 6,25 а) 2 ∙ | | < 6; =2 ; = 1 првог г) |2 |него ; ha мање дана. Колико је поорао б) 3 ∙ | | − 4 > −4; д) |3дана? − 1| = 1 ; = −1 ; сваког

pr om

5 − 3,25) ∙ −4 > 0; 301. Једначине: , ∙ (3,25 − 5,2) ≥ 0. −8 − 1 +

305. првог потрошио у по|−2 −је1,5| = 1 дана . ђ) Петар 3 сластичари свог новца, другог дана 2 10 5 свог новца, а трећег дана 80 динара више него што износи 1 његовог новца. Колико 6 = −0,121212 …; Петар потрошио је новца у посластичари за = сва − 1)( + 2) 0; три дана, ако му је на крају остало 20 динара? − = 0;

uk a

= 0;

1 306. Од купљених (−0,5 + 0,4) = 0; колача Ана је појела 4 свих колача и још три, Петра 1 свих кола, , 3 = 0; ча и још ђ) два, а = 1. Милица шестину свих кола, ча. Колико је купљено колача, ако се зна да је на крају остао још 1 колач?

2−

307. Када се од највећег правог разломка са бројиоцем 6, одузме реципрочна вредност непознатог броја, добија се реципрочна вредност броја 1,4. Одреди непознати број. 308. Питали Машу, директорку школе, колико ученика у њеној школи похађа веронауку, Маша је одговорила: „Збир трећине, четвртине, петине и шестине свих ученика који похашају грађанско васпитање је за 30 мањи од укупног броја ученика који похађају веронауку. Број ученика који похађају веронауку једнак броју ученика

в)

−

г) 2 +

≤ ;

< 4,5;

д) 1,25 + | − 0,5| ≥ 2; ђ) −1 +

− 0,5 ≤ −1.

312. Који рационалан број се може одузети од броја 3, тако да четвртина те разлике буде већа од 1 , а не буде већа од 2 а) + 5 ?≤ 4,25; броја 6

4,8; б) −Ако≥троструку 313. вредност непознатог рационалног броја од броја 4, + одузмемо > 0; в) 2 − ∙ −3 па ту разлику поделимо са 6, добићемо 17,5) ∙ (2,4од − 0,2 ) ≥20. г) (−3,5 број који − није мањи броја , а мањи 3 је од броја 1,75. Одреди непонати рационални рој.

314. Ако четвртину непознатог рационалног броја 𝑥 одузмемо од броја 2,5, онда ће двадесетина те разлике бити већа од броја 3 , и неће бити већа од бро4 ја 4 . Одреди непознати рационални број. 5

123

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

315. Непознати рационалан број прво треба увећати два пута, затим сабрати са 8, па тако добијени збир поделити са 24. Тако добијени количник биће у исто време већи од 1 1 и мањи од 2 1 . 12 3 а) Одреди непознати рационалан број. б) Одреди збир свих простих бројева који задовољавају дати услов задатка.

320. У правоуглом координатном систему приказане су тачке 𝐴, 𝐵 , 𝐶, 𝐷 , 𝐸 и 𝐹. Посматрај слику, а затим одговори: 5 4 3

ПРАВОУГЛИ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ У РАВНИ

–5 –4 –3 –2 –1

0 –1

–2

E 1

–3 –5

C A

–4

pr om

316. Нацртај бројевну праву и на њој означи тачке: 𝐴(5); 𝐵 (−3); 𝐶(−4 1 ); 𝐷 (−1, 5); 𝐸(4, 2). 2

317. Представи на бројевној правој бројеве: −4; 2; −3 1 ; 5; −1,4, а затим одреди њима 2 симетричне тачке у односу на нулу.

uk a

318. Нацртај бројевну праву и на њој означи таклу 𝑃(3). Затим, означи: а) тачке које су од тачке 𝑃(3) удаљене за 2; б) све тачке које су од тачке 𝑃(3) удаљене не више од 2.

319. Одреди координате тачака приказаних у координатном систему: 5 4 3

G –5 –4 –3 –2 –1

1 1

–2

–3 –4

0 –1

–5

124

а) Које од приказаних тачака имају исту апсцису? Колика је та апсциса? б) Које од приказаних тачака имају исту ординату? Колика је та ордината? в) Које од приказаних тачака припадају 𝑥 -оси? Колика је њихова ордината? г) Које од приказаних тачака имају апсцицу 0? Којој оси припадају те тачке?

321. У правоуглом координатном систему прикажи следеће тачке: 𝐴(−3, 0); 𝐵 (0, 4); 𝐶(2, 3); 𝐷 (−2, 1); 𝐸(−2, −4); 𝐹(−3, 3); 𝐺(2, 4) и 𝐻(5, 2). а) Ком квадранту припада свака од датих тачака? б) Да ли нека од датих тачака припада 𝑥 -оси или 𝑦 -оси? 322. Нацртај правоугли координатни систем и у њему одреди тачке: 𝐴(1, −2); 𝐵 (2, −2); 𝐶(−4 1 , 0); 𝐷 (−3, 1 2 ); 𝐸(− 1 , − 7 ) и 2 3 2 2 𝐹(0, 5 ). 2

а) Ком квадранту припада свака од датих тачака? б) Да ли нека од датих тачака припада 𝑥 -оси или 𝑦 -оси?

323. Дате су тачке: 𝑃(101, 2); 𝑄(−32, −54); 𝑅(−20,5; 35); 𝑆 (13 7 , −500). Без цртања та11 чака у координатном систему, одреди ком квадранту припадају наведене тачке.

324. Одреди координате тачке 𝑀 (𝑥 , 𝑦 ) која има исту апсцису као тачка 𝐴 (−32, −5) и исту ординату као тачка 𝐵 (−7, 56). Ком квадранту припада тачка 𝑀?

325. У правоуглом координатном систему приказане су тачке: 𝐴, 𝐵 , 𝐶 и 𝐷 . За сваку од тачака одреди растојање од координатног почетка. 4 3

0 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2

A B 1

–4 –5 5 4

11 2

uk a

0 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –3 –2

–2

–3

4,5

–4 –5

326. У правоуглом координатном систему приказане су тачке: 𝐴, 𝐵 , 𝐶 и 𝐷 . Одреди растојање сваке од њих од координатних оса. 5

B –4 1 4

–5 –4 –3 –2 –1

0 –1

–2

–3 –3,5 –4 –5

G H

0 –1

–2

–3 –4 –5

–1,5

329. Дата је тачка 𝑀(2, 3). Одреди: а) координате тачке 𝑃 која је осносиметрична тачки 𝑀 у односу на 𝑥 -осу; б) координате тачке 𝑅 која је осносиметрична тачки 𝑀 у односу на 𝑦 -осу; в) координате тачке 𝑄 која је централносиметрична тачки 𝑀 у односу на координатни почетак.

330. У правоуглом координатном систему приказане су тачке: 𝐴, 𝐵 , 𝐶, 𝐷 , 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝑀, 𝑁, 𝑃 и 𝑄. Одреди координате средишта 𝑆 дужи: а) 𝐴𝐵 ; б) 𝐶𝐷 ; в) 𝐸𝐹; г) 𝐺𝐻; д) 𝑀𝑁; ђ) 𝑃𝑄. 5

3 2,5

328. Без цртања тачака у координатном систему, одреди растојање следећих тачака: а) 𝐴(3, 5) и B(3, 10); б) 𝐶(0, 1) и 𝐷 (−3, 1); в) 𝐸(−5, 9) и 𝐹(5, 9); г) 𝐺(−2, −15) и 𝐻(−2, 4).

12 3 1

4 3

–5 –4 –3 –2 –1

–3

2 1

327. У правоуглом координатном систему приказане су тачке: 𝐴, 𝐵 , 𝐶, 𝐷 , 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝑀 и 𝑁. Одреди растојања тачака: а) 𝐴 и 𝐵 ; б) 𝐶 и 𝐷 ; в) 𝐸 и 𝐺; г) 𝐺 и 𝐻; д) 𝐶 и 𝑀; ђ) 𝐶 и 𝑁; е) 𝐶 и 𝑁; ж) 𝑁 и 𝐸 .

pr om

а)

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

2 1

0 –5 –4 –3 –2 –1 –1

D –2

–3 –4 –5

H 1

F 125

в) г)

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

331. Дате су тачке

(2, 2); (1, 1); (3, 0); (1; 4,4);

(−1,8; 2);

−3, −3

;

− ,1 ;

(−5,2; −6);

,−

и (−4, −1);

, −1 и (0, 0).

337. У правоуглом координатном систему приказан је правоугли троугао Δ𝐴𝐵 𝐶:

, 0 и (−2,5; 4).

5 4

Одреди координате средишта дужи: а) 𝐴𝐵 ; г) 𝐺𝐻; е) 𝐵 𝑃; б) 𝐶𝐷 ; д) 𝑃𝑄; ж) 𝐶𝐻; в) 𝐸𝐹; ђ) 𝐴𝑄; з) 𝐸𝐺.

–5 –4 –3 –2 –1

332. Одреди координате тачке 𝐴 чија је апсциса 3, а растојање од 𝑥 -осе је два пута мање од растојања од 𝑦 -осе и тачка 𝐴 припада четвртом квадранту. Затим, одреди координате средишта дужи 𝐴𝑂, где је тачка 𝑂 координатни почетак.

2 1

0 –1

–2

334. Дата је тачка 𝑃(4, 3). Одреди координате тачке 𝑆 , која се добија транслацијом тачке 𝑃 за вектор 𝑀𝑁, при чему је 𝑀(5, 2) и 𝑁(5, −4).

335. Дата је тачка 𝑅(−4, −2). Одреди координате тачке 𝑄, која се добија транслацијом тачке 𝑅 за вектор AB , при чему је 𝐴(−1,3) и 𝑁(6,3). 336. Тачка 𝑆 је средиште дужи 𝑃𝑄. Одреди координате тачке 𝑄, ако је: а) (−8, 10) и (−5, 2); б)

− ,−

г)

, −1 и (0, 0).

в)

,−

− ; −0,2 ;

и (−4, −1);

–4

–5 5 4

–5 –4 –3 –2 –1

3 2 1

0 –1

–2

–3 –4

Одреди координате темена троугла који је: –5 а) осносиметричан троуглу Δ𝐴𝐵 𝐶 у односу на апсцисну осу; б) осносиметричан троуглу Δ𝐴𝐵 𝐶 у односу на ординатну осу; в) централносиметричан троуглу Δ𝐴𝐵 𝐶 у односу на координатни почетак.

338. У правоуглом координатном систему приказан је: а) правоугаоник 𝐴𝐵 𝐶𝐷 ; б) квадрат 𝑀𝑁𝑃𝑄. Ако је дужина јединичне дужи 1,5 cm, израчунај обим и површину приказаних фигура. а)

D –5 –4 –3 –2 –1

126

–3

pr om

uk a

333. Одреди координате тачке 𝐵 чија је ордината 6, а растојање од апсцисне осе је 3 пута веће од растојања од ординатне осе и тачка 𝐵 припада другом квадранту. Затим, одреди координате тачке 𝑀 која је централносиметрична тачки 𝐵 у односу на координатни почетак.

3 2

0 –1

–2

–3 –4 –5

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

б)

D 2

341. У координатној равни одреди све тачке чија је апсолутан вредност апсцисе 5, а апсолутна вредност ординате 2.

0 –5 –4 –3 –2 –1 –1

A –2

–3 –4

339. У правоуглом –5 координатном систему приказан је троуглу Δ𝑃𝑄𝑅. 3

0 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2 –3

–4

R –5

uk a

Одреди координате темена троугла који је осносиметричан троуглу Δ𝑃𝑄𝑅, у односу на: а) праву 𝑎; б) праву 𝑏 .

340. У правоуглом координатном систему приказан је троугао Δ𝑀𝑁𝑆 . 5 4 3 2 –5 –4 –3 –2 –1

N –1 –2

–3

344. У правоуглом координатном систему дате су тачке: 𝐴(−1, 1), 𝐵 (4, −1) и 𝐷 (2, 3). Одреди координате тачке 𝐶, тако да четвороугао 𝐴𝐵 𝐶𝐷 буде паралелограм.

pr om

343. У правоуглом координатном систему дате су тачке: 𝐴(−2, −2), 𝐵 (4, −2) и 𝐶(4, 2). Одреди координате тачке 𝐷 , тако да четвороугао 𝐴𝐵 𝐶𝐷 буде правоугаоник. Израчунај обим и површину правоугаоника 𝐴𝐵 𝐶𝐷 .

тачка − 1 ,+2 −; 3 ;. −3 Одреди −; је; +1 +1; 𝑀 ;+2 −3; све ; а)342. а)−Дата 2 4 тачке у координатној равни чије је расто; ; −2 ; ;+мање +; од ; −3 −3. . б)јање б)−1 од−1 𝑥 -осе три−2 пута растојања тачке 𝑀 од 𝑥 -осе, а растојање од 𝑦 -осе два пута веће од растојања тачке 𝑀 од 𝑦 -осе.

–4 –5

Одреди координате темена троугла који се добија транслацијом троугла Δ𝑀𝑁𝑆 за вектор: а) m ; б) n ; в) v .

345. У правоуглом координатном систему дате су тачке: 𝐴(−2, −2), 𝐵 (3, 1) и 𝐶(4, 3). Одреди координате тачке 𝐷 , тако да четвороугао 𝐴𝐵 𝐶𝐷 буде паралелограм.

346. У правоуглом координатном систему дате су тачке: 𝑂(2, −2), 𝐴(−3, 2) и 𝐵 (0, −3). Тачка 𝑂 је пресек дијагонала, а тачке 𝐴 и 𝐵 су темена паралелограма 𝐴𝐵 𝐶𝐷 . Одреди координате темена 𝐶 и 𝐷 .

347. У правоуглом координатном систему приказане су тачке 𝐴(2, −2) и 𝐵 (2, −7). Одреди координате тачке 𝐶, ако знаш да су тачке 𝐴, 𝐵 и 𝐶 темена правоуглог троугла Δ𝐴𝐵 𝐶 и ако је: а) теме правог угла тачка 𝐴 и катете 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 су једнаких дужина; б) теме правог угла тачка 𝐵 и катета 𝐵 𝐶 је за 3 краћа од катете 𝐴𝐵 .

348. Осенчи делове координатне равни у којима за све тачке (𝑥 , 𝑦 ) важи: а) 𝑥 = 2; б) 𝑦 = −3; в) 𝑥 = 0; г) 𝑦 = 0. 349. Осенчи све делове координатне равни у којима за све тачке (𝑥 ,𝑦 ) важи: а) 𝑥 ≥ 0; б) 𝑦 ≤ 0; в) 𝑥 ≥ −1; г) 𝑦 ≤ −1. 127

350. Осенчи делове координатне равни у којима за све тачке (𝑥 ,𝑦 ) важи: а) 𝑥 = 3 и 0 ≤ 𝑦 ≤ 3; г) 𝑥 < 1 и −2< 𝑦 <0; б) 2 ≤ 𝑥 ≤ 4 и 𝑦 = 3; д) |𝑥 | ≤ 2 и |𝑦 | ≤ 2. в) 𝑥 ≥ 2 и 𝑦 ≥ −2;

ПРИКАЗИВАЊЕ ЗАВИСНОСТИ МЕЂУ ВЕЛИЧИНАМА

Недељна продаја (у хиљадама динара)

352. Графикон приказује зависност недељне продаје малих кућних апарата 𝑦 (у динарима) у односу на број емитовања реклама 𝑥 , тих апарата у току једног викенда. Пажљиво посматрај график зависности величине 𝑦 од величине 𝑥 , па одговори: 25 20 15 10 5

128

Број емитовања рекламе

1200 1000 800 750 500 250 220 200

Период израдње насеља

2020

2019

2018

−5 −3 −1

2017

2016

2015

2|𝑥 |− 1

2014

𝑥

uk a

в) 𝑦 = 2|𝑥 | − 1

2013

1 𝑥 − 1 4

−8 −4 −2

2012

𝑥

2011

1 𝑥 − 1 4

б) 𝑦 =

2010

−3𝑥 + 2

−3 −2 −1

Број ученика

𝑥

353. Дат је график промене броја ученика на годишњем нивоу у једној основној школи (𝑦 ) у периоду од 10 година (𝑥 број година). У том периоду од 2010. до 2020. сазидан је стамбени комплекс у насељу где се налази основна школа. Посматрај график зависности величине 𝑦 (број ученика) од величине 𝑥 (година изградње насеља).

pr om

351. Попуни табелу на основу датих података и дате зависности међу величинама 𝑥 и 𝑦 : а) 𝑦 = −3𝑥 + 2

а) Колика је била продаја малих кућних апарата (𝑦 ) (у динарима) те недеље, када је број емитовања реклама за те апарате (𝑥 ) претходног викенда износила 5? б) Ако је продаја малих кућних апарата у току једне недеље (𝑦 ) (у динарима) износила 25 000 динара, колики је био број емитованих реклама (𝑥 ) претходног викенда? в) Ако је број емитовања реклама (𝑥 ) у току једног викенда био 2, колика је износила продаја (𝑦 ) малих кућних апарата наредне недеље (у динарима)? г) Одреди најмању и највећу вредност величине 𝑦 .

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

а) Да ли се број ученика у поменутој основној школи повећао у периоду од 2010. до 2020. године на годишњем нивоу? б) Колико је ученика било уписано 2018. године? в) У ком периоду је био велики пораст броја ученика у поменутој основној школи, на годишњем нивоу? г) У ком временском периоду се број ученика није мењао, на годишњем нивоу?

12 10 8 6

Ниш Јагодина

4 2

356. У Нишу и Јагодини 13. децембра мерене су температуре ваздуха од поноћи до поднева на сваких два сата. Резултати мерења представљени су графиконом и то на 𝑥 -оси време у сатима, а на 𝑦 -оси температура у ℃.

4 I

III

VI VII VIII IX

Месеци у години

3 2

XI XII

–1 –2

–3

pr om

а) Колика је најмања, а колика највећа потрошње воде? б) У ком месецу је била најмања, а у ком месецу највећа потрошња воде? в) У којим месецима је потрошња воде била већа од 6 m3? г) У којим месецима је потрошња воде била мања од 4 m3? д) Колика је била потрошња воде у децембру?

Температура (℃)

недеља

–3 –8

петак

субота

четвртак

среда

–1

уторак

пондељак

Дани у недељи

uk a

355. Метеоролошка станица објавила је временску прогнозу за Златибор за недељу дана. Прогноза је представљена табелом:

а) Представи линијским дијаграмом кретање температуре од понедељка до краја викенда на Златибору. б) Затим, одговори на следећа питања: 1) Ког дана се очекује да температура буде највиша? 2) Којих дана се очекује да температура буде изнад 0℃? 3) Када се очекује нагли пад температуре и за колико степени? 4) Ког дана се очекује нагли пораст температуре и за колико степени? 5) Одреди разлику између најниже и највише температуре.

Месечна потрошња воде (m3)

354. Следећи графикон приказује просечну потрошњу воде (𝑦 ) у једном месецу (𝑥 ) у години за четворочлану породицу на селу. Анализирај графикон, па одговори:

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

10 11 12

–4 –5

а) На основу датог графикона попуни табелу: 00∶00 02∶00 04∶00 06∶00 08∶00 10∶00 12∶00

Ниш (℃)

Јагодина (℃)

б) Затим, одговори на следећа питања: 1) У колико сати је у Нишу забележена температура била 0℃? 2) Да ли је у Јагодини забележена температура била испод 0℃? 3) У ком временском периоду је био највећи пораст температуре у Нишу? 4) У колико сати је забележена највећа разлика температуре у Нишу и Јагодини? 5) У ком временском периоду је температура расла у Нишу? 6) У ком временском периоду је температура опадала у Јагодини? 129

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

357. Петар, Лазар, Милан, Иван, Тадија и Оливер учествовали су на школском такмичењу из математике. Остварени број поена представљен је графиконом. Сви ученици који имају већи број поена од просечног броја поена учествоваће на општинском такмичењу.

100

100 90 80

Број поена

pr om

100

359. Марина се сваке године, почев од петог разреда такмичила из математике и освајала неку од прве три награде или похвалу на републичком такмичењу. На дијаграму су приказани бодови које је освојила сваке године.

Тадија

Иван

Милан

Петар

Лазар

Спикер

uk a

а) Колико ученика ће учествовати на општинском такмичењу из математике? б) Наведи њихова имена.

358. Оцене на тесту из математике ученика шестог разреда представљене су табелом: Оцене

Број ученика

Недо- Дововољан љан (1) (2)

Врло ОдлиДобар добар чан (3) (4) (5)

а) Представи стубичастим дијаграмом податке дате табелом.

б) Затим, одговори на следећа питања: 1) Колико је ученика радило тест из математике? 2) Колика је средња оцена на овом тесту? 3) Колика би била средња оцена на овом тесту из математике, да је број одличних ученика био 2, а број недовољних ученика био 7? 130

50 40 30 20 10

VII VIII

Разред

а) У ком разреду је Марина постигла најбољи успех на републичком такмичењу? б) У ком разреду је Марина имала најмање поена на републичком такмичењу? в) Одреди просечан број поена освојених на републичном такмичењу из математике од петог до осмог разреда. г) Нека је 𝑥 – број освојених поена на такмичењу. Ако је 95 ≤ 𝑥 ≤ 100, онда ученик добоја прву награду. Ако је 85 ≤ 𝑥 < 95, онда ученик добија другу награду. Ако је 75 ≤ 𝑥 < 85, онда ученик добија трећу награду. Нацртај хистограм броја Марининих награда на републичком такмичењу из математике.

Тежина торте х 1 ≤ 𝑥 ≤ 1,5 1,5 < 𝑥 ≤ 2,5 2,5 < 𝑥 ≤ 3,5 3,5 < 𝑥 ≤ 5 (у kg)

Месец

pr om

а) Колике су тежине оних торти које су се највише продавале? б) Колике су тежие оних торти које су се најслабије продавале? в) Нацртај хистограм броја продатих чоколадних торти и њихових тежина. 361. У два супермаркета „Звончић” и „Сунце” пратили су током године продају белог и раженог хлеба. У табели је дат број продатих векни хлеба, и белог и раженог. 1.

10. 11. 12.

uk a

Бели 660 530 870 690 770 840 1 100 1 048 630 770 790 970 хлеб Ражени 720 710 910 700 840 850 1 130 1 030 590 700 850 570 хлеб

а) Одреди просечан број продатих векни белог хлеба у току једне године, заокружи на природан број. б) Одреди просечан број продатих векни раженог хлеба у току једне године, заокружи на природан број. в) Упореди просечан број продатих векни белог хлеба са просечним бројем продатих векни раженог хлеба. г) Нацртај хистограме броја месеци са одговарајућом продајом белог, односно раженог хлеба, ако су границе продаје хлебова дате са: 500 ≤ 𝑥 < 600, 600 ≤ 𝑥 < 700, 700 ≤ 𝑥 < 800, ... , 1 100 ≤ 𝑥 ≤ 1 200, при чему је 𝑥 – број продатих хлебова.

(km)

Пређени пут

Број продатих торти

362. Лара је прошлог викенда заједно са групом извиђача ишла до врха планине и назад. Првих сат времена прешла је 5 km, потом се одмарала пола сата. Након тога, у наредна 2 сата прешла је 7 km, а онда се одмарала пола сата. За следећу трасу од 4 km било јој је потребно време од 1 h 30 min, јер је била баш стрма. На врху планине сачекао ју је предиван поглед. Ту су сачекали да се сви окупе, ручали су, фотографисали се и одморили. То је трајало све 90 min, а затим су кренули да се спуштају. Лара је 4 km прешла за 1 сат. Преосталих 12 km прешла је колима за 20 min, након одмора од 40 min. У датом координатном систему представи Ларино кретање са извиђачима.

360. Посластичара „Слатки сан” за Нову годину продала је највећи број чоколадних торти у граду, различитих тежина, што је приказано табелом.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

10 5

Број сати

(h)

363. Алекса са другарима вози бицикл од неког места 𝑅 до неког места 𝑆 и назад. На графику је дата зависност Алексиног удаљења 𝑙 (у km) од места 𝑅, у односу на проведено време (𝑡 ). 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 8 7 6 5 4 3 2 1

t(h) 131

а)

а) Колико је место 𝑆 удаљено од места 𝑅? б) Колико сати се Алекса задржао у месту 𝑆 ? в) Колико пута се Алекса одмарао на путу од места 𝑅 до места 𝑆 ? г) У ком периоду је Алекса ишао најбрже и којом брзином? 364. На графикону је прикаана зависност брзине (𝑣) кретања моторциклисте од времена (𝑡 ). v(km/h) 40 30 20 10

t(h)

uk a

а) Којом брзином се кретао мотоциклиста током прва два сата? б) Колико времена је моторциклиста провео на путу? в) Колико је укупно километара прешао моторциклиста? г) Прикажи график зависности пређеног пута 𝑆 моторциклисте у односу на време (𝑡 ).

ПРОЦЕНТИ, РАЗМЕРЕ И ПРОПОРЦИЈЕ

365. Изрази дате рационалне бројеве у облику процента: б)

а) ;

;

132

в)

г)

г) ;

;

д)

ђ)

;

е) 4 ;

;

г)

д)

;

ђ)

;

366. Изрази дате рационалне бројеве у облику процента: а) ;

г) ;

в) ;

ђ) 1 ;

б) ;

е) 4 ;

д) 2 ;

ж) 3 ; з)

367. У празно поље упиши одговарајући број, тако да добијеш тачну једнакост: а) 0,03 =

в) 2,73 =

г) 1,307 =

д) 4,75 = 5

ђ) 2,33 = 10

368. Дате проценте напиши у облику разломка: а) 3%; г) 253%; е) 10,11%; б) 19%; д) 117%; ж) 2,005%; в) 64%; ђ) 500%; з) 0,505%.

pr om

;

б) 0,103 =

а)

б)

в)

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

;

369. Дате проценте напиши у облику децималног броја: а) 57%; г) 104%; е) 1 001%; б) 11%; д) 326%; ж) 5 050%; в) 72%; ђ) 435%; з) 237,4%. 370. Попуни табелу: Проценат

Децимални број

92%

Разломак

Проценат

Децимални број Разломак

15,2%

0,14

0,89

3 5

3 8

102% 7 25

371. Израчунај: а) 3% броја 200; г) 15,25% од 1 000; б) 17% броја 50; д) 8,20% од 120; в) 8% броја 1 200; ђ) 0,36% од 300.

а) 𝑥 ∶ 3 = 1 ;

в) 9 1 ∶ 𝑥 = 1 5 ;

б) 𝑥 ∶ 0,24 = 1 ; г) 7,5 ∶ 𝑥 = 3. 2

) 5 ∶ 4; ( )) 5 5 ∶∶ 4; 4; (( ) 1 ∶ 5; ( )) 1 1 ∶∶ 5; 5; ((

) 4 ∶ 5; )) 4 4 ∶∶ 5; 5; ) 15 ∶ 4? )) 15 15 ∶∶ 4? 4?

uk a

( (( ( ((

Помоћ баки

Ако Младен просечно спава 8 сати и у школи проведе 6 сати, колико времена проведе у свакој приказаној активности? Одговоре запиши у табели. Активност Учење Спорт Помоћ мајци Помоћ баки Дружење Слушање музике

375. Које од наведених размера могу образовати пропорцију: ( ) 12 ∶ 15; (( )) 12 12 ∶∶ 15; 15; ( ) 0, 6 ∶ 3; (( )) 0, 0, 6 6 ∶∶ 3; 3;

Помоћ Мајци

Спорт

pr om

374. Израчунај непознати члан размере, ако је позната вредност размере и један члан размере:

Учење

е ањ уш ке Сл узи м

373. Месечна примања породице Ђурић износе 112 400 динара. За храну потроше 50%, за плаћање рачуна 25%, 10% штеде, а остатак месечних примања на остале потребштине (обућа, одећа, изненадни издаци, изласци). Колико динара породица Ђурић троши на сваку од наведених потреба?

378. На кружном дијаграму је приказано како је Младен распоредио своје време на дневном нивоу (не рачунајући спавање и време проведено у школи).

Др уж ењ

372. Марко са друговима иде на море. Од родитеља је добио 15 000 динара које може да потроши. На сладоледе је потрошио 40%, на сувенире 35%, а остатак на вожњу бродићем. Колико је новца Марко потрошио на вожњу бродићем?

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

376. Одреди непознати члан у пропрцији: а) ∶ 3 = 8 ∶ 2: г) ∶ = ∶ 15; а) г) а) ∶∶ 3 3= =8 8 ∶∶ 2: 2: г) ∶∶ = = ∶∶ 15; 15; б) 70 ∶ = 7 ∶ 2; д) 0,5 ∶ = ∶ 2,4; б) 70 д) б) 70 ∶∶ = =7 7 ∶∶ 2; 2; д) 0,5 0,5 ∶∶ = = ∶∶ 2,4; 2,4; в) 22 ∶ 33 = ∶ 3; ђ) ∶ 12 = ∶ . в) 22 22 ∶∶ 33 33 = = ∶∶ 3; в) 3; ђ) ђ) ∶∶ 12 12 = = ∶∶ ..

377. Одреди непознати члан у пропорцији: а) ∙ 12 ∶ ∙ 9 = ∶ 18; а) а) ∙∙ 12 12 ∶∶ ∙∙ 9 9 = = ∶∶ 18; 18; (8 б) ∙ 6 ∶ ∙ 12 = ∙ ) ∶ 24; б) (8 ∙∙ )) ∶∶ 24; 24; 6 ∶∶ ∙∙ 12 12 = = (8 б) ∙∙ 6 в) 3 ∶ 5 = ∶ ( − 1); в) 5= = ∶∶ (( − − 1); 1); в) 3 3 ∶∶ 5 г) ( + 2) ∶ 2,5 = 2 ∶ 0,5. г) (( + г) + 2) 2) ∶∶ 2,5 2,5 = =2 2 ∶∶ 0,5. 0,5.

Време

379. Упиши у празно поље број, тако да се добије тачан исказ: а) % броја 16 износи 16; б)

в) г)

д) ђ)

% броја 32 износи 16;

% броја 96 износи 24;

% броја 480 износи 24; % броја 4,8 износи 12;

% броја 1,2 износи 12.

380. Упиши у празно поље број, тако да се добије тачан исказ: износи 24; а) 6% броја износи 51; б) 17% броја износи 66; в) 33% броја износи 0,3; г) 30% броја износи 33; д) 16,5% броја износи 1,11. ђ) 55,5% броја

133

381. Колико процената представља број: а) 9 од 18; г) 12 од 16; б) 8 од 16; д) 18 од 15; в) 7 од 35; ђ) 6 од 15?

382. Цена кошуље је 3 600 динара. Колика ће бити та цена после: а) поскупљења од 25%; б) појефтињења од 25%?

383. Цена чоколаде повећана је са 320 динара на 420 динара. Колико процената износи поскупљење?

390. Петар жели да купи јакну, која кошта 9 500 динара, а чија ће цена већ наредне недеље бити снижена за 15%. Он наредне недеље, приликом куповине сазнаје од продавца да има додатни попуст од 5% на већ обрачунату нову цену за готовинско плаћање. Петар је продавцу дао 7 600 динара. Продавац је од Петра затражио још новца. Петар га је упитно погледао. а) Колико је још новца затражио продавац од Петра? Образложи одговор. б) Зашто је Петар упитно погледао продавца? в) Зашто је Петар спремио 7 600 динара да плати јакну?

pr om

384. Патике коштају 12 000 динара. За викенд се очекује снижење свих патика за 30%. Колика ће бити цена патика после снижења?

Девојчице су погледале упитно једна другу и у глас изговориле: „Нама је све једно. Како се фискална каса затвара сада, сачекаћемо прекосутра. Папуче ће и тада коштати 2 000 динара!” Продавачица их је тада збунила питањем: „Да ли сте сигурне?” Помогни Ани и Маји да разреше забуну.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

385. Цена палачинке са џемом је 200 динара. Ако купац узима додатне чоко-воћне прилоге цена ће бити већа 15%. Колико кошта палачинка са чоко-воћним прилозима?

uk a

386. После поскупљења од 12,5% цена књиге износи 450 динара. Колика је била цена књиге пре поскупљења?

387. Јана је чекала сајам књига да би купила омиљене књиге, јер сајамски попуст на сву литературу износи 15%. Ако је Јана, купујући књиге на сајму уштедела 1 200 динара, колико је платила своје омиљене наслове? 388. Породица Васић жели да иде у Грчку на море. За четворочлану породицу цена аранжмана за 10 дана износи 1 600 евра. На сајму туризма они су остварили попуст од 10%, а затим су сазнали да су добили још 5% попуста на већ снижену цену, јер желе да плате готовином. Колико ће породица Васић платити аранжман од 10 дана на мору у Грчкој?

389. Ана и Маја купују папуче на лето. Засвиђале су им се папуче које коштају 2 000 динара. Приликом разгледања папуча продавачица им је рекла: „Радња се затвара за 1 минут. Сутра се цена тих папуча повећава за 10%, а већ прекосутра се смањује за 10%, па ви одлучите када ћете да их купите.” 134

391. Цена меса износила је 800 динара по килограму. Најпре је повећана за 120 динара по килограму, а затим снижена на 690 динара по килограму. Израчунај проценат: а) поскупљења; б) снижења. 392. Колико је коштала књига, ако је после два узастопна снижења, прво за 10%, а друго за 15%, њена цена 765 динара?

393. Колико је коштала хаљина пре два узастопна поскупљења, прво за 10%, а друго за 5%, ако је њена садашња цена 3 465 динара?

394. У једном одељењу има 30 ученика, од тога 60% су девојчице. Одличан успах постигло је 50% девојчица и 25% дечака. Врло добар успех има 16 укупног броја девојчица и 13 укупног броја дечака. Осатали ученици имају добар успех. а) Колико у том одељењу има девојчица, а колико дечака? б) Колико је девојчица, а колико дечака постигло одличан успех?

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

в) Колико је девојчица, а колико дечака постигло врло добар успех? г) Д а ли је број ученика са добрим успехом већи од броја ученика са одличним успехом?

405. Који су то бројеви чија је размера 3 ∶ 7, а производ 2 100?

396. Књига је за 25% скупља од пернице. За колико процената је перница јефтинија од књиге?

407. Јанко и Илија су за Удружење „Коцкица” израдили сајт. Јанко је радио 4,5 дана, а Илија 7 дана на изради сајта. Од Удружења су добили надокнаду од 23 000 динара за обављени посао. Колико је добио свако од њих, ако је подела извршена сразмерно уложеном раду (у данима)?

pr om

397. Цена пернице износи 70% цене књиге, а цена паковања фломастера износи 60% цене пернице. Колико процената књиге вреди паковање фломастера?

395. После поскупљења од 12% цена неке робе је 8 400 динара. Колика би била цена те робе, да је уместо поскупљења дошло до појефтињења од 12%?

406. За израду освежавајућег пића користе се 3 дела концентрата воћа и 5 делова воде. а) Колико килограма концентрата воћа треба набавити да би се произвела једна тона освежавајућег пића? б) Колико се килограма сока може произвести од 90 kg концентрата?

398. У суботу је Марко прочитао 16% више књиге него у петак, а у недељу 5% више него у суботу. За колико процената Марко повећао читање књиге од петка до недеље?

uk a

399. Географска карта рађена је у размери 1 ∶ 400 000. Ако је растојање између Ниша и Београда 240 km, колико то растојање износи на датој карти?

400. Растојање између Београда и Солуна на географској карти износи 60,5 cm. Ако је карта рађена у размери 1 ∶ 900 000 колико је то растојање у природи? 401. У којој размери је рађена географска карта, ако је растојање између Београда и Лондона на карти 42 cm, а у природи ваздушном линијом 1 680 km?

402. Штап дужине 3,2 m пресеци на два дела чије се дужине односе као 3 ∶ 5. Колике су њихове дужине? 403. Каћа и Пера су износ од 600 динара поделили у размери 1 ∶ 12. Колико је пара добио савко од њих?

404. Збир два броја је 200. Одреди их, ако је њихова размера: а) 2 ∶ 0,5;

б) 1 ∶ 1 ; 3

в) 1 ∶ 1 1 . 9

408. На једној њиви засејани су пшеница и раж. Однос површине под пшеницом и површине под ражи је 8∶5 (редом). а) Колико је под ражи, ако је под пшеницом 64 ара? б) Колика је површина целе њиве? 409. Мере унутрашњих углова троугла одређене су изразима 6𝑘, 5𝑘 и 7𝑘. а) Колики су углови троугла? б) Којој врсти троуглова, према угловима припада троугао са задатим угловима?

410. Код једнакокраког троугла различите странице се односе као 6,5 ∶ 2,5, а обим му је 71,3 dm. Одреди дужине страница тог троугла. 411. За припремање воћне салате користе се 5 делова воћа, 3 дела шлага и 1 део чоколадних мрвица. Колико се добија грама воћне салате ако се утроши 450 g шлага? 412. Павле, Лука и Остоја поделили су зараду добијену за израду сајта од једне трговинске радње. Њихове зараде одређене су изразима 3𝑘, 4𝑘 и 5𝑘 (редом). а) Колика је била њихова укупна зарада, ако разлика између најмањег и највећег дела зараде износи 5 000 динара? б) Колико је зарадио свако од њих? 135

413. Размера два броја је 11 ∶ 2. Одреди те бројеве, ако је: а) њихов збир 338; б) њихова разлика 270. 414. Одреди бројеве 𝑎, 𝑏 и 𝑐, ако је: а) 𝑎 ∶ 𝑏 = 2 ∶ 3, 𝑏 ∶ 𝑐 = 9 ∶ 7 и 𝑏 − 𝑐 = 20; б) 𝑎 ∶ 𝑏 = 2 ∶ 7, 𝑏 ∶ 𝑐 = 2 ∶ 3 и 𝑏 − 𝑎 = 50; в) 𝑎 ∶ 𝑏 = 7 ∶ 10, 𝑏 ∶ 𝑐 = 2 ∶ 5 и 𝑐 − 𝑏 = 30; г) 𝑎 ∶ 𝑏 = 0,35 ∶ 0,05, 𝑏 ∶ 𝑐 = 0,1 ∶ 8 и 𝑎 − 𝑏 = 30. 415. Ако је: 𝑎 ∶ 𝑏 = 1,5 ∶ 2,5 и 𝑐 ∶ 𝑏 = 2 ∶ 0,5, одреди бројеве 𝑎, 𝑏 и 𝑐, ако је: а) 𝑏 − 𝑎 = 10; в) 𝑎 + 𝑏 = 20; б) 𝑐 − 𝑏 = 15; г) 𝑏 + 𝑐 = 5.

421. Ако би Милош хтео да од своје плате уштеди 20% за месечне потребе би му недостајало 4 500 динара. Ако би хтео да уштеди 15%, за те исте потребе би му недостајало 500 динара. а) Колика је Милошева плата? б) Колико процената своје плате Милош може да уштеди, а да подмири све своје потребе? в) Претвори проценат могуће уштеде у динаре.

422. Како се промени површина правоугаоника ако се дужина правоугаоника повећа 20%, а ширина смањи 20%?

uk a

pr om

416. На такмичењу рецитатора из Ниша је учествовало 200 ученика, а из Чачка 150 ученика. Однос броја девојчица и дечака из Ниша је 3∶2, а из Чачка 2∶3. а) Колико је девојчица, а колико дечака учестовало на такмичењу рецитатора из ова два града? б) Колики је однос укупног броја девојчица и дечака који су учествовали на такмичењу рецитатора? в) Колики проценат броја рецитатора из Ниша износи број рецитатора из Чачка?

б) Колико би требало свежих печурака, да би се добило 45 kg прерађених печурака?

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

417. У 40 𝑙 воде додато је 10 kg соли. а) Колики је проценат соли у раствору? б) Колико литара воде треба одлити да би тај раствор био 40% - ни? 418. Цена јабука је 120 динара по килограму. Када би јабуке поскупеле за 25%, а крушке појефтиниле за 25% онда би исто коштале. Колика је цена крушака?

419. За рад пољопривредне машине користи се као погонско гориво 5% мешавина уља и бензина. Колико треба додати уља у 19 𝑙 бензина да би се добила потребна мешавина? 420. Свеже печурке садрже 85% воде, а прерађене само 10% воде. а) Колико се килограма прерађених печурака може добити од 300 kg свежих печурака? 136

423. Како се промени површина квадрата ако се дужина сваке његове странице: а) смањи за 25%; б) повећа за 25%?

424. За колико процената се промени обим квадрата, ако се дужина сваке његове странице: а) смањи за 25%; б) повећа за 25%?

ДИРЕКТНА И ОБРНУТА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ

ДИРЕКТНА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ

425. Заокружи слова испред величина које су директно пропорционалне: а) дужина странице и обим квадрата; б) дужина странице и површина квадрата; в) дужина странице и обим једнакостраничног троугла; г) мера угла у степенима и мера угла у секундама; д) број радника и број дана; ђ) носивост камиона (у тонама) и број камиона; е) време проведено на путу (у сатима) и дужина пређеног пута (у km) при константној брзини.

430. Величине 𝑥 и 𝑦 су директно пропорционалне. Одреди коефицијент пропорционалности, ако је зависност дата таблицом: а) 𝑥 0 −3 −2 1 5 𝑦 0 −6 −4 2 10 б)

𝑥 𝑦

6 −3

0 0

𝑦

4 −2 −8 −2 1 4

431. На основу бројевних вредности величина 𝑥 и 𝑦 датих у табели, испитај да ли су величине 𝑥 и 𝑦 директно пропорционалне. а) 𝑥 −3 0 −6 −4 −9 3

б)

𝑥 𝑦

−5 5

−2 2

0 0

pr om

426. Величина 𝑥 представља масу лубенице изражену у килограмима, а величина 𝑦 њихову цену изражену у динарима. а) Да ли су величине 𝑥 и 𝑦 директно пропорционалне? б) Ако је цена 1 kg лубенице 50 динара напиши формулу којом се изражава зависност величина 𝑥 и 𝑦. в) За вредност 𝑥 ∈ {1, 2, 3, 4, 5} представи ову зависност таблицом и стубичастим дијаграмом. г) Нацртај график зависности величина 𝑥 и 𝑦 (подсећамо те да неко може да купи лубеницу чија маса не мора да буде цео број килограма). д) Колико кошта 3,5 kg лубенице? ђ) Ако је купац платио лубеницу 250 динара, колика је маса лубенице?

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

427. Изрази формулом зависност величина: а) станице квадрата 𝑎 и обим квадрата 𝑂; б) странице једнакостраничног троугла 𝑎 и обим једнакостраничног троугла 𝑂; в) мера угла у степенима 𝑥 и мера угла у секундама 𝑦.

uk a

428. Аутомобил се краће равномерно, брзином од 80 km⁄h. а) Одреди колики пут ће аутомобил прећи за: 2 сата, 3 сата, 4 сата, 5 сати. б) Зависност величина 𝑠 (пређени пут) и 𝑡 (време кретања) прикажи табелом, користи податке из дела а). в) Одреди формулу којом се исказује зависност пређеног пута (израженог у km) од времена кретања 𝑡 (израженог у сатима). ацртај график зависности величина 𝑠 г) Н и 𝑡 на основу одређене формуле.

429. Величине 𝑥 и 𝑦 су директно пропорционалне. Ако је коефицијент пропорционалности 𝑘 = 3, напиши формулу којом се исказује зависност величине 𝑦 од величине 𝑥, а затим попуни дату таблицу. а) 𝑥 0 1 2 3 5 10 15 б)

𝑦

𝑥 𝑦

75 150

1 −1

4 −4

432. Попуни празна места у табели, ако она представља величине 𝑥 и 𝑦 које су директно пропорционалне. 𝑥 𝑦

−3 −1 −3

а) Одреди коефицијент пропоционалности; б) Нацртај график зависности величина 𝑥 и 𝑦.

433. Величине 𝑥 и 𝑦 су директно пропорционалне величине које су дате табелом, при чему 𝑦 зависи од 𝑥. а) Одреди коефицијент пропорционалности. б) З апиши формулом зависност величина 𝑥 и 𝑦. в) Попуни тебелу. г) Н ацртај график зависности величина 𝑥 и 𝑦. 1 1) 𝑥 −3 −1 2 4 2) 3)

𝑦 𝑥 𝑦

𝑥 𝑦

−3 −4

3 2

−2

6 1

1 5

0,5

25 −50

137

𝑥 𝑦

−3

−6 −4

0,5

в)

434. Нацртај график зависности директне пропорционалности: а) 𝑦 = 3𝑥 , 𝑥 ≥ 0; в) 𝑦 = 5 𝑥 , 𝑥 ≤ 0;

б) 𝑦 = 1 𝑥 , 𝑥 ≥ 0; 2

2 –5 –4 –3 –2 –1

uk a

436. У фабрици аутомобила сваког радног дана се склопи 120 џипова. а) колико џипова ће се склопити у поменутој фабрици за 7 радних дана? б) колико радних дана је потребно да би се склопило 1 320 џипова у наведеној фабрици? в) Напиши формулу зависности склопљених аутомобила од броја радних дана. Колико износи коефицијент директне пропорционалности?

а)

437. Који од следећих графика приказује директно пропорционалне величине? Заокружи слово испод тачног одговора. 5 4 3 2 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

–2

–3

б)

–4

–5 5 4 3 2 –5 –4 –3 –2 –1

138

0 –1

–2

–3 –4 –5

0 –1

–2

–3

г)

–4 –5 5 4 3 2 –5 –4 –3 –2 –1

pr om

435. Миша сваког дана прочита по 25 страница књиге. а) Представи формулом зависност броја прочитаних страница књиге од броја дана. б) Колико страница књиге ће Миша да прочита за 5 дана? в) Ако Миша одржи темпо свакодневног читања књиге, за колико дана ће прочитати књигу која има 200 страница?

4 3

г) 𝑦 = 4𝑥 , −2 ≤ 𝑥 ≤ 1.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

0 –1

–2

–3 –4 –5

438. Код једнакокраког троугла дужина основице износи 𝑎 = 5,5 cm. Ако знаш да је обим ма које фигуре једнак збиру дужина његових страница, изрази завнисност обима једнакокраког троугла од дужине крака троугла. Да ли су обим и крак директно пропорционалне величине? 439. Одреди коефицијент директне пропорционалности величина чијем графику припада тачка 𝐴(2, 8). Да ли том графику припада тачка: а) 𝐵 (−5, 20); б) 𝐶(−5, −20); в) 𝐷 (−1, 4)?

440. Састави формулу зависности величина 𝑥 и 𝑦 које су директно пропорционалне, ако график те зависности пролази кроз 1 2 3 4 5 − 1+2 , −4 +1+1; 𝑀; +2 ; ;. Да −3ли −3;том ; графику приа) а) − −; ; тачку 4 пада нека а) од а) тачака: −4, +2 − ; 1 ;, −3 −3; − −; 𝐴(1,16), ; +1 +1; 𝐵 ; +2 4 1; −3−3. . −1 ;− −2 ;3; 1; + +;−3 0,2; и;−3 𝐷 , 8 ;;? (𝑥 и−3 𝑦 су ;координате ; а) +1 +1 ; ;𝐶−2 ; ;+2 +2 +1 ; +2 ; а) а) −б)−;б) −1 2 2 б) б) −1 −1; ; −2 −2; ; + +; ; −3 −3. тачке). ; −2 −2 −1 ; ; ;+ +−2 ; ; −3 ; −3+ . .; −3 . б) б) −1 −1; б) 441. Одреди непознате координате тачака 2 3 𝑥 ,+1 ) ;и; ;𝑁 −3 −+2 , 𝑦 ;; ;, тако ; +2 +1 +2 −3 −3да;оне ; припадају а) − ; а)а) +1−− ;;𝑀 3 4 4 графику зависности 𝑦 = 𝑥 . 1 2 3 4 5 9 ;б) −2 −1 −1 ;; ; +−2 −2; ; ; −3 ++ .; ; −3 −3 . . б) −1 б)

;

443. За производњу 1 kg сира потребно је 2 2,5 𝑙 млека. а) Колико литара млека треба да би се добило 5 kg сира? б) Колико килограма сира се може направити од 15 𝑙 млека?

в)

pr om

444. Пут од 6,4 km крећући се равномерно, бициклиста пређе за 40 min. Колики пут ће прећи за 2 сата и 30 min ако настави да се креће истом брзином?

б)

442. За 6 kg парадајза домаћица је платила 720 динара. а) Колико се килограма парадајза може купити за 1 080 динара? б) Колико би домаћица платила да је купила 3 kg парадајза?

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

–3

445. Колика је цена 1 kg кајмака, ако је 400 грама плаћено 500 динара? 446. За 1,5 kg кајсија Вера је платила 174 динара. Колико ће Вера платити 5 kg кајсија које ће купити да скува деци џем?

а) 𝑦 = 6𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑄;

г)

в) 𝑦 = − 5 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑄; 4

г) 𝑦 = 3,2𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑄.

б) 𝑦 = −4𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑄;

uk a

447. Одреди кроз које квадранте пролази график зависности директне пропорционалности:

448. Запиши формулом зависност величина 𝑥 и 𝑦 облика 𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑥 , која одговара нацртаном графику: а)

1 1

–2

449. У координатној равни прикажи све тачке (𝑥 ,𝑦 ) које испуњавају услов: а) 𝑦 = 𝑥 ; б) 𝑦 = −𝑥 ; в) 𝑦 = |𝑥 |; г) 𝑦 = −|𝑥 |; д) |𝑦 | = 𝑥 ; ђ) |𝑦 | = −𝑥 ;

450. Одреди вредност параметра 𝑝, тако да график зависности пролази кроз први и трећи квадрант: а) 𝑦 = (𝑝 + 1) ∙ 𝑥 ; в) 𝑦 = (4𝑝 − 8) ∙ 𝑥 ; б) 𝑦 = (2 − 𝑝) ∙ 𝑥 ; г) 𝑦 = (6 − 2𝑝) ∙ 𝑥 . 139

451. Одреди вредност параметра 𝑚 , тако да график зависности пролази кроз други и четврти квадрант: а) 𝑦 = (3𝑚 + 1) ∙ 𝑥 ; в) 𝑦 = (4𝑚 − 12) ∙ 𝑥 ; б) 𝑦 = (7 − 2𝑚 ) ∙ 𝑥 ; г) 𝑦 = (8 − 4𝑚 ) ∙ 𝑥 .

452. Нацртај график зависности 𝑦 = 1 𝑥 . 3 а) Затим, нацртај график који је симетричан нацртаном графику у односу на 𝑥 -осу. б) Одреди формулу којом се изражава зависност величина новодобијеног графика.

𝑥

𝑦

− 1

− 1 4

𝑦

−1,8 10 −20 − 4

1,8

0,9

𝑥

− 1

−3

𝑥

−1

𝑥

−2

ОБРНУТА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ

uk a

454. Заокружи слова испред величине које су обрнуто пропрционалне: а) пређени пут и брзина код равномерног кретања аутомобила; б) време потребно да се пређе пут од 50 km и брзина тела код равномерног кретања; в) број радника и време да се окречи 5 учионица у школи; г) укупна цена купљених свезака у књижари и број купљених свезака; д) број сијалица и јачина сијалице (𝑊) за осветљење једне учионице. 455. Величине 𝑥 и 𝑦 су обрнуто пропорционалне, са коефицијентом пропорционалности 𝑘 = 18. Напиши формулу којом се исказује зависност величине 𝑦 од величине 𝑥 , а затим попуни дату табелу. а)

𝑥 𝑦

140

−9 2

−6 3

−3 6

−2 9

−1 18

2 1

456. Величине 𝑥 и 𝑦 су обрнуто пропорционалне. Одреди коефицијент пропорционалности, ако је зависност дата таблицом: а)

𝑦

б)

−1

− 1 2

−1

−2

1 6

1 10

𝑦

− 1 − 1

𝑥

−2

−4

3 2

1 5

pr om

453. Нацртај график зависности 𝑦 = − 3 𝑥 . 4 а) Затим, нацртај график који је симетричан нацртаном графику у односу на 𝑦 -осу. б) Одреди формулу којом се изражава зависност величина новодобијеног графика.

б)

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

0,05

457. На основу бројевних вредности величина 𝑥 и 𝑦 датих у табели, испитај да ли су величине 𝑥 и 𝑦 обрнуто пропорционалне. а)

𝑦

б)

𝑥 𝑦

−0,25 − 2

−1

0,1

0,05

−2 −3

−1 −6

6 1

−0,5

458. Попуни празна места у табели, ако она представља величине 𝑥 и 𝑦 које су обрнуто пропорционалне. 𝑥

𝑦

−3

−2

−1

−3

а) Одреди коефицијент обрнуте пропоционалности. б) Попуни табелу. в) Да ли величина 𝑥 може имати вредност једнаку 0? Образложи одговор. г) Да ли величина 𝑦 може имати вредност једнаку нула? Образложи одговор.

𝑦

𝑥

𝑦

1 1 4

− 9 −0,2 8 2 9

2,5 1,25 0,1

− 7

а) Одреди коефицијент пропорционалности.

б) Запиши формулом зависност величина 𝑥 и 𝑦. в) Попуни тебелу.

464. Површина правоугаоника је 12 cm2. Изрази формулом дужину странице правоугаоника у зависности од његове ширине. 465. График зависности обрнуте пропорционалности пролази кроз тачку 𝐴(3, − 1 ). 6

а) Одреди коефицијент обрнуте пропорционалности. б) Запиши формулом зависност величина 𝑥 и 𝑦 (𝑥 и 𝑦 су координате тачке). в) Да ли том графику зависности припада тачка 𝐵(0, 1 )? Образложи одговор. 2

pr om

460. Три цеви напуне базен за 25 часова. а) Представи формулом зависност броја часова од броја цеви. б) За колико сати ће базен да напуне 5 таквих цеви? в) Колико цеви је потребно да би се базен напунио за 3 сата?

463. Производ два негативна броја 𝑥 и 𝑦 је 6. Изрази формулом зависност величине 𝑦 од величине 𝑥.

459. Величине 𝑥 и 𝑦 су директно пропорционалне величине које су дате табелом. 1) 𝑥 −4 −2 1

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

uk a

461. Ако дневно ради 8 часова, један радник ће посао да заврши за 15 дана. а) Представи формулом зависност броја дана од броја часова колико радник ради дневно. б) Колико дана ће бити потребно раднику да заврши тај посао, ако дневно ради по 10 часова? в) Колико часова дневно радник треба да ради, да би посао завршио за 20 дана?

462. Која од наведених формула зависности величина 𝑥 и 𝑦 представља обрнуту пропорционалност? а) 𝑦 = − 1 𝑥;

3 1 б) 𝑦 = , (𝑥 ≠ 0); 4x 𝑦 в) = 2, (𝑥 ≠ 0); 𝑥

г) 𝑥 ∙ 𝑦 = 7, (𝑥 ≠ 0, 𝑦 ≠ 0).

Заокружи слова испред тачних одговора.

466. Плантажу малина обере 20 радника за 15 дана.

а) З а колико дана ће исту плантажу да обере 30 радника? б) Колико треба обезбедити радника да би иста плантажа била обрана за 5 дана?

467. Са једне стране булевара засађено је 1 500 садница зимзелене биљке на растојању од 5 m. Колико таквих садница треба обезбедити, ако би се оне садиле на растојању од 3 m?

468. За пресељење једног предузећа обезбеђено је 5 камиона носивости 8 тона. а) Колико камиона носивости 10 тона треба обезбедити за пресељење истог предузећа? б) К олика је носивост камиона, ако је за пресељење истог предузећа обезбеђено 10 таквих камиона? 469. За потребе екскурзије ученика од 1. до 8. разреда, школа је хтела да изнајми 25 аутобуса са по 48 седишта. Агенција им је саопштила да поседује само аутобусе са по 50 седишта. Колико аутобуса са по 50 седишта ће бити потребно да се обезбеди превоз ученика те школе на екскурзију? 141

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

pr om

472. Пет трактора преоре њиву за 15 сати. После једног сата њиховог заједничког рада, придружи им се још два трактора. За које време је преорана цела њива?

470. Да ли може да се напише формула којом се иражава зависност величина 𝑥 и 𝑦 облика 𝑦 = k , тако да график зависности 𝑥 2 2 −+2 ,+1 3; ;и; ;𝐵−3 , ;−5 пролази тачке ; ; а)а) +1 +1−− ; 𝐴 ; ; ;+2 +1 −3 +2 +2 ; ; ;? −3 −3 ; ; а)а) −−кроз 3 5 (𝑥 и 𝑦 су координате тачке). −1 ; б) ; б)−2 −2 −1 −1 ; ; ; ;++−2 −2 ; ; ;−3 ;−3++ . . ; ; −3 −3 . . б)б) −1 471. Једна књига има 100 страна и на свакој страни 30 реда. За колико треба повећати број редова, да би књига имала 60 страна?

473. Ако се аутомобил креће сталном брзином, онда он растојање између два града, пређе за 5 часова. У повратку он повећа брзину за четвртину. Колико је времена возио у повратку?

uk a

474. Кроз 3 цеви празни се базен за 60 минута. Када је истекла половина воде из базена, две цеви су се запушиле, тако да је преостала количина воде истекла само кроз једну цев. Колико је укупно трајало истицање воде из базена?

475. Одреди координате средишта 𝑆 дужи 𝐴(𝑥, 6) и 𝐵(−3, 𝑦), ако тачке 𝐴 и 𝐵 припадају графику зависности обрнуте пропорционалности 𝑦 = 12 . 𝑥

142

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

РИБАР РАША И ЗЛАТНА РИБИЦА

uk a

pr om

На обали најбистрије реке, седме по реду, скоро свакога дана долазио је рибар по имену Раша. Имао је Раша седам синова и једну кћер. Требало је то нахранити и очувати. Зато би Раша свакога јутра у своју торбицу ставио једно парче хлеба и по мало вина и кренуо у риболов. Забацио би мрежу, и док је чекао да се ухвати риба, Раша је неуморно читао. Читао је све што му је пало под руку. Раши је књиге доносио мудрац из оближњег села, који је волео да се одмара у хладу испод једног дрвета на обали реке. Раша је уживао у речима мудраца, а мудрац у Рашиној жељи да из књига научи сва знања овог света.

Некада давно, иза седам мора и седам гора текло је седам река. Била су то срећна и мирна времена. Мора су била велика и плава, горе су биле зелене и раскошне, а реке широке и бистре. Људи су били скромни и стрпљиви. И док су жене чувале домове и децу, мужеви су ловили рибу.

И тако су Раша и мудрац постали добри пријатељи, који су умели да се разумеју и када ћуте. Једнога дана Раша је уловио златну рибицу. Читао је он много прича о златној рибици. Иначе да их није прочитао, вероватно не би знао да златна рибица испуњава три жеље рибару који је улови, како би је рибар вратио у реку.

Међутим, ова златна рибица није била као она о којој је Раша читао. Она није молила Рашу да је врати назад у реку. Рекла му је: „Ако замолиш мудраца и он пристане да ме научи свим мудростима овог света, он ће до�ити две трећине мог �огатства, а ти остало. Ако мудрац пошаље свог ученика да ме научи свим мудростима овог света, ти ћеш до�ити две трећине �огатства, а ученик мудраца до�иће остатак.” Десило се чудо, јер су и мудрац и његов ученик желели да науче златну рибицу свим мудростима овог света. Рибица је одржала обећање и поделила је своје богатство, баш како је обећала. Раша је онда упитао златну рибицу: „Шта ће теби остати?” Рибица му је одговорила: „Остаће ми слобода, а добићу мудрост! Мало ли је?” Како је ри�ица поделила своје �огатство?

143

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

ТЕСТ

б) −;;− ; ;в) в)− −;;− ; ; г) 1;; 1; ;уд) д) −3−3 ђ)− −..− . . . 1. Дате рационалне бројеве ; ;б) − г) д) ђ) а) ;; а) − − 11г)1г) −3 ;; ; ;ђ) − а)а)а) б);б) − в);в) − г);запиши д) −3−3 ђ);запису: − б) в) ;децималном д) ђ) а) ; б) − ; в) − ; г) 1 ; д) −3 ; ђ) − . а) ; б) − ; в) − ; г) 1 ; д) −3 ; ђ) − .

а) ; б) − ; в) − ; 2. Дате децималне бројеве запиши у облику несводљивог разломка: а) −1,5; б) 0,08; в) −0,8; г) 2,2; д) −3,125; ђ) 0,25.

а) ;

г) 1 ;

б) −

;

д) −3

;

в) −

ђ) −

3. Поређај по величини од најмањег до највећег следеће бројеве: − 1 ; 0 ; −2,5; 0; 1 2 . 2

(−0, −2 1 ∙1 75 2,25) 25) (−0, .10 4. Израчунај вредност израза: а) (−0, + 75 2, ∶ ∶10 −2 + 11+1+ 75 + 2, 10 −2−2 + ∙ ∙ ∙ ;∙ б) (−0, 75 ++ 2,+25) 25) 10 (−0, −2 75 + 2,∶∶ 25) ∶ 10 (−0, 75 + 2, 25) ∶ 10 −2 + 1 ∙ (−0, 75 + 2, 25) ∶ 10 −2 + 1 ∙ 5. Решити једначину:− а)−− + . 5.5. 5. 5= 7 ;7б) 0, ∙5 − 1= = −1, 5+ 0, 1− 55+= 77= 1∙1−= −1, 5. ++ = 0, 5 50,∙∙55 − = −1, 5.−1, − 57= 0,∙ − 1−1, = − −2 + 1 +5=7 0, 5 ∙ − 1 = −1, 5. − +5=7 0, 5 ∙ − 1 = −1, 5. −

ТЕСТ

pr om

+5=7 − == −=−= − ∙ − ∙ + + , , = = ∙ − ∙ − + + , , = − = − ∙ − ∙ − − − . . ∙ ∙+ +, , = =∙ −∙ − + +, , = −= − ∙ −∙ − − −. . 1. Дати су изрази: ==−− ∙ ∙ ++ , , == ∙ ∙ −− ++ , , ==−− ∙ ∙ −− −− . . а) Поређај њихове вредности од најмање до највеће. б) Одреди вредност израза 𝐵 ∙ (𝐶 + 𝐴).

=− ∙

∙

0, 5 ∙

= ∙ − +

(−

−1= ,

=−

uk a

(− 0,6) ∙ −∙−= =−1 −1−1 =−4, −4, 0, ∙− ++ + 0, ∙∙6) −1 + = −4, 5. 2. У скупу 𝑄 решити једначину: (а)(− ; б) − . 5.5. 5. − 0, 6) = −1 − −− +− == −4, 5.−4, (−6) − 0,− 6) −= = = ( − 0, 6) ∙ − = −1 − + = −4, 5. ( − 0, 6) ∙ − = −1 − + = −4, 5. ∶ − ≤ −1 − . ∶ − ≤ −1 − . ∶ − ≤ −1 − . ∶ − ≤ −1 − . 3. а) Решити неједначину у скупу 𝑄, ∶ − ≤ −1 − . ( − 0, 6) ∙ − = −1 ∶ − ≤ −1 − . ∶ − ≤ −1 − . б) Одреди најмањи цео број који задовољава неједначину. ∶ −одреди ≤ −1 − . 4. Тачка 𝑆 је средиште дужи 𝐴𝐵 . Ако су дате координате тачака 𝐴(−8,10) и 𝑆 (−5,2), координате тачке 𝐵 .

5. Цена чоколаде смањена је са 320 динара на 280 динара. Колико процената износи снижење?

== 1,2 =1,2 1,2 −1,2 1,2 −1,2 1,2 ∶ (−0,2 (−0,2 ∙ 5∙ТЕСТ − ∙55− 0,2) 0,2) − ∶ ∶(−0,2 = − 1,2 ∶ (−0,2 ∙− 50,2) − 0,2) = 1,2 − 1,2 ∶ (−0,2 ∙ 5 − 0,2) = 1,2 − 1,2 ∶ (−0,2 ∙ 5 − 0,2) =−0,6 −0,6 = −0,6 ∶∶ ∶ ∶ ∶ == −0,6 −0,6 1. а)==Израчунај вредност бројевних израза: −0,6 ∶ = −0,6 ∶ б) Шта је веће 𝐴 или 𝐵 ?

= 1,2 − 1,2 ∶ (−0,2 ∙ 5 − 0,2) и

= 1,2 − 1,2 ∶ (−0,2 ∙ 5 −

= −0,6 ∶

= −0,6 ∶ 2. Поређај по величини у растућем поретку следеће количнике: 𝑎 ∶ 1 , 𝑎 ∶ 1 , 𝑎 ∶ 3 , 𝑎 ∶ 9 , 5 12 4 5 ако је: а) 𝑎 ∈ 𝑄+; б) 𝑎 ∈ 𝑄−.

3. Решити једначину: |3𝑥 − 1| = 1 2 . 5

4. Цена јабука је 160 динара по килограму. Ако би јабуке поскупеле за 25 %, а крушке појефтиниле 20 %, онда би исто коштале. Колика је цена крушака по килограму?

5. Одреди координате средишта 𝑆 дужи 𝐴𝐵 , 𝐴(𝑥 , 6) и 𝐵 (−3, 𝑦 ), ако знаш да тачке 𝐴 и 𝐵 припадају графику обрунуте пропорционалности 𝑦 = 18 . 144

𝑥

== = = 11 = = ,,11 ,,11 ,,11 ,,11 ,,22

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

=−2 , − , −6 ; = −5, −5, −5, −2 ,,− ,,−6 −5,−2 −2 , − − , −6 −6; ;; −5, −2 , − , −6 ;

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА а) ; б) ; в)

; г) ; ; ; б) а)а) б) ; ;; в)в) в) ; ;; г)г) г) ; а) ; ;; б) ; б) ; а) −5,−2 −2 ,,− − ,,−6 −6 ;; в) ; г) ; −5, д) ; 4ђ) 8.д) а) ∶ђ) 13,.11 .. . ∶ 5, 1 ∶ 8; д) ђ) д) 3; ∶;;7, ђ) ; (−4) ђ) ∶ (−13), . б) (−3) д) ∶ (−7), (−11) ∶ (−5), б) ;; в) в) ;; г) г) ;; а) ;; б) а) (−1) ∶ (−8).

uk a

ПОЈАМ РАЦИОНАЛНОГ БРОЈА. СКУП Q

,1 , . ,1 , . ,, 1 , 1 , ,, . , … б) ,,, 1 1. ,, ,, .. .. ,1,1 , , , , ,… , , , , … ,… ,, … … б) , ,,, ,, ,,, ,, ,,,, ,, , ,, ,,,;…,, … , , ; , , ; б) , ,,, ,,; ,, ,, ;; ;;

, , , , 1. а), ,,,, ,, ,,,, ,, ;,, , , , , , , 2. а), ,,,, ,, ,,,, ,, ,,, ,, ;, , , , , , , , , , , , 3. а),, ,,,, ,, ,,,, ,, ,,,, ,, ,,,, ,, ,,, ,, ; , , , , , , в), , ,, , ,, , ,, , ,, , ,, , , , ,, , ,, , ,, , ,, , ,, , , ,

= 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,2 . = 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,2 . = 11, 1 , 1 , 1, 1, 1 , 1 , 1, 1 , 2 ,2 . ,,, 1 ,,, 1 ,, 2 5. = = =1 11 ,, 1 ,, 11 , 1 11 ,, 1 , 1,.2 , 2 2. .. .. =1= 1, 11 , 1 1 1 = = 6. = a) = 8,3; б) 8,−5,0,3; = = = , −6; 3 ; в) −5, −2 ,1−, − ,5−6 −5, −2 4.

−5, −22 , −1 , −6 1; −5,−2 −2 , −, ,3, , 4−6; .; ; г) 8,4 , 0, −5, ,, ,− ,, −6 −5, ,, − 3, −б) −5, −5−6 −6 −5, −5, −2−2 −2 − ,; −6 −6 ;в)4; ; ; г) ; ;−2 а) 7. а) ; б) ; в) ; г) ; б) ;. ; в)в)в) ; ; ; г)г)г) ; ; ; а) ; ; ђ) д)а) б) б); ;;в) ; в)в); ; ;г) г)г); ; ; б) а) а) а)а); ; ;;б) б) ђ) . д) ; д) ; ; ; ђ)ђ)ђ) . . . д) д) д); ; ;ђ) ђ)ђ) . . . д) д) : , , , , , , , ; : , , , , , , , ; :: : : , ,, ,, , ,, , , ,, , , ,. , ,, , , , ,, , ;., ; ;

а) −; ; ; б) б) −; ; ; в)в)в); ; ; г)г)г); ; ; 11. а)а) а)−− −,, ; ,, б) б) −, ; , ,,в) .. ; г) ; , −− а) −, ; , ,б) − ; в) ; г) ; д) − ; ђ) . д) ђ) д) д)−− −; ;; ђ) ђ) . .. д) − ; ђ) . − ;; б)б) б)∈ ;− − ;; в) ∈ ; в) ;; г) ∉. г) ;; 12. а) а)− ∈ ; в) г) 13. а) −1; 10; д)− − ;; б)ђ) ђ)−б) .−3; .; в) − ; в) г) д) а) ; г) а)а) −− б) ; ;; −200; в)в) г)г) а) −6;; ;; б) б)−− − д) в)−− − ; ;; ђ) г)12.; ;; а) − ; б) − ; в) − ; г) ; д)−− ; ђ) ђ)11; . в) 4; г) −2. 14. б) д) д) д)а) −−−7; ; ;; ђ) ђ) . .. д) − ; ђ) . а)− − ;; б) б) − − ;; в) в) − − ;; г) г) ;; 15. а) − ; г) ; ; ; а) − ; б)б) ; ; ; в)в)в) а)а) −− б)ђ) ; . в)−− − ; ;; г)г) г) ; а)д) −−; ;; ; б) д) − ;а) −ђ) . ; б) ; в) − ; г) ; д) − . 16. Треба д) д) −− д) − . .. проширити бројем 5. д) − . б) ;; в) в) − − ;; г) г) ;; а)− − ;; б) 17. а)

pr om

 Цена патика после повећања била је 12 000 динара. Цена патика после појефтињења је 9 600 динара. 2 пара патика коштају 19 200 динара. Кусур је 800 динара.  За храну 80 000 динара. За расходе 50 000 динара. За гардеробу 50 000. За штедњу издвајају 20 000 динара.

ђ), , .. , , , ; д) ; 9. :д) :: : , ,,; ,, ,, , ,ђ) ,, , ,, , ,, , ,, , ,,; ;; : , , , , , , , ; : :: : , ,, , , ,, , , ,, , . .. ,. ,, ,, ,, ,, ,,.,.. . : , , , . , , , . :: ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ;; 10. Цели бројеви су: , ,, , , ,, , , ,, , , ,, , , ,, , , ,, , . .. . :: ,, , ,, , ,, , .. ,,, ,,, ,, .,. .

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

д)− − .. д)

18. а) −2; г) 36;

б) 3; д) −12;

в) 4; ђ) −60.

19. а) ; б) − = −3; в) − = −3 ; а) ; б) − = −3; в) − = −3 ; г) − = −4 ; д) − = −1 ; г) − = −4 ; д) − = −1 ; ђ) = 15 ; е) − = −1 ; ђ) = 15 ; е) − = −1 ; ж) = 12 ; з) − = −5 . ж) = 12 ; з) − = −5 . 20. Редом треба писати следеће бројеве: а) 10, 24; б) −156, −27; в) 125, −128; г) −75,63. а) ; б) − ; в) − ; г) − ; 21. а) ; б) − ; в) − ; г) − ; д) ; ђ) . д) ; ђ) . ↔ 15 ; ↔ 15 ; − ↔ −4 ;

− −

↔ −1 ; ↔ −1 ; ↔5 .

145

uk a

pr om

а) ; б) − ; в) − ; г) − ; д) ; ђ) . ; ђ) д). ; д) ђ) ;. ђ) . а) = 1,5; б) − = −0,6; а)д) ; ; б)ђ)− .; в) − ; г) − ; РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ ↔ 15 ; − ↔в)−1 − ; = −0,25; г) − = −0,875; ђ) ; . д) ;↔ 15 1 − ↔ −1 ; 32. б) 0; в) ; ↔ а) 5д)0,5; .− − −1↔; −4 ; ↔ 15 ; ↔ 15−1; −; ↔ − −1 ;↔ 22.15− ; ↔↔ = −0,52; ђ) − 5 = −11,15; ↔ 15 ; − ↔ −1 ; д) 3 ; ђ) 2,48. г) 2 ; ↔5 . − ↔ −4 ; 7 8 ↔ −4 −; ↔ − . ; ↔5 . ↔5 . −4↔;↔5 −4 = −2,06; ж) − = −0,028; е) − ↔ −4 −↔ 15 ; ; − ↔ 5−1. ; а)в) −0,43; = 1,5; б) = −0,6; б) 14 ; 23. а) 4,7; б) −0,8; в) − 5 = −2 1 . 33.−а) 300; з) − = −1,024 . 25 2 2 ↔=−4 ↔− 5 .ђ)=−0,805; −г)а)3,17; 1,5;; д) −5,339; б) −0,6; = −0,25; г) − = −0,875; = 1,5;а) = 1,5; = −0,6; а)б) −= 1,5; б) − = б)−0,6; − в) − = −0,6; е)а)3,7;= 1,5; ж) −13,13; 34. Треба заокружити: б, в, г, ђ. б) − з)=−2,09. −0,6; в) − = −0,25; г) − = −0,875; д) − = −0,875; = −0,52; ђ) = −0,25; − = −0,25; =г) −0,875; в) − в) =г)−−0,25; − г) =−−0,875; ; −11,15; б) 75 ; в) − 1 ; г) − 1 . 35.−a) − 2 = = −0,25; б)г)− − = −0,6; = −0,875; 3; 24.а)в) −= 1,5; а) б) − 2; в) −3 ; г) − 5 ; д) − = −0,52; ђ) − = −11,15; = −2,06; ж) − = −0,028; е) − = −11,15; = −0,52; − = −0,52; =ђ) −11,15; д) − д) =ђ)−−0,52; − ђ) =−−11,15; 36. а) 𝑥 =; −7;ђ) −б) 𝑥 ; = 9; −0,52; г)ђ) −11,15; −− ==−0,25; в)д) −− == −0,875; е) ; в) ж)𝑥 −= −5; ; д) = −2,06; ж) − = −0,028; е) − г) 𝑥 = −5; д) 𝑥 = −11; ђ) 𝑥 = 8. − = −0,028; = −1,024 . = −2,06; − = −2,06; =ж)−0,028; =ж) − ж) =−з) −0,028; е) − е) −−2,06; −2,06; ђ)ж) = −0,028; д)е) −− ==−0,52; − − = −11,15; . з) − з) − = −1,024 . 37. Треба заокружити: а, г. = з) −1,024 . =−−1,024 − з) = −1,024 . . = −1,024ж) . − = −0,028; е)з) −− = −2,06; − ↔ −1,50; а) ; б) − ; в) − ;4 г)↔−4,75;; з) − = −1,024 . а) ; б) − ; в) − ; г) − ; −ж)−↔ −0,65; 1,24. на је 9. ; 102. месту ↔ ; б) − в) −; ;; б)г)−− а) ; ; а) б) в) ;− ; ; в) г)−− д) ; г) ; ;− ђ) ;− ; е)38.;Децимала 25. а) ; б) − ; в) − ; г) − ; д) ; ђ) − ; е) ;з) −ж)− . ; 39. Децимала на 100. месту је 4. ; ђ) − е) −;; ђ) − ђ) ;ж)− е) ;; ; е) ж)−; ж); − ; д) ; д) а)д) ; ; б)ђ)−−; ; в)е)− ;; г)ж) −− ; ; . з) − ; 40. а) − ; б) −13 = − . з) − з). − . . з) − − 4,75;; д) ; ђ) − ; е) ; 4ж)↔ − ↔ −1,50; в) −143 =− . − −↔ −1,50; 26.з)4− ↔ 4,75; . ↔ −0,65; ↔ 1,24. ↔ 4,75;4 ↔ 4,75; ↔ −1,50; 4 −↔ 4,75; − ↔ −1,50; − ↔ −1,50; 4 ↔ 4,75; − ↔ −1,50; − ↔ −0,65; ↔ 1,24. 41. Тражени број је −77. ↔ −0,65; 1,24. ↔ 1,24.↔ 1,24. − ↔− −0,65; ↔↔−0,65; − ↔ −0,65; ↔ 1,24. 4 ↔ 4,75; − ↔ −1,50; ; 101; б) − ; 101; 42. а) − б) −10 2 ; а) в) 27. а) 5 ; − 4,28; ; б) −13 = − ; 6 3 а) − ; 101; б) − ; 101; − ↔ −0,65; 16 ↔ 1,24. в) ; − ; ; 5, (3). а)−13,56; − ; б) −13 = − ђ); −5 34 . ; г) д) . ; б) а) −13 =б)− −−13 ; = − ; а) ; б) −13 − 17 =; − в) −143 ; 105 = − а) − ; б) −13 = − ; в) ; − ; ; 5, (3). в) −143 =− 1 . 28. в) а) −143 7,33; в) 3,1; 143 в) =−143 − .= − =б)−.8 7 ; . =− =− . ; а)в) − −143 ; б) −13 г) 19,05; д) 8,25; ђ) 2 1 10 3 3 =− в) −143 . 29. a) ; − ; 5

б) 0,143; −0,143; в) не постоји такав број; г) 0; д) не постоји такав број; ђ) 1155,88; −1155,88. 30. а) −0,4; −0,35; б) 13,3; 13,26; в) −10,1; −10,11; г) −4,6; −5,56; д) 0; 0,01; ђ) −124,8; −124,78. 31. а) 0,(6); в) −10,(2); д) 10,1(6); 146

б) −2,8(3); г) −5,(230769); ђ) −3,1(3).

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ НА БРОЈЕВНОЈ ПРАВОЈ 43. 𝐵 (−3);; 𝐶(−1); −1 𝐷(2); ; 1𝐸(4); ; 𝐹(−5). −2 ; 44.

45. а)

; −1 −3 1 1. −3

D –3 34

–4

–3

;

11 2

–2

–1

A 38

− ; 3 ; −2 ; 1 . б) − ; 3 ; −2 ; 1 . D –3 16 B –2 58 A –2 58 –4

–3

–2 –1

;

−2

B 1 14

C 2 12

C 12

;

б)

–2,5 –2,5 –2,5 –3 –2 –3 –2 –3 –2

–1 –1 –1

в)

–3 –3 –3

г)

–3 –3 –3

0 0 0

–2 –2 –2

–0,2 –0,2 –0,2 –1 0 –1 0 –1 0

–2 –2 –2

–1 –1 –1

11 2

0 0 0

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

47. а) 𝐴 𝐵 = 5 cm; б) 𝐶𝐷 = 5 cm; в) 𝐴 𝐶 = 20 cm; г) 𝐵 𝐷 = 10 cm; д) 𝐵 𝐶 = 15 cm; ђ) 𝐴 𝐷 = 15 cm. –3 –1

B –1 14

–20

–11

48. а) између −5 и −4; 0 –5 0

–3 – 23 –64

–3

–5 0 –5 –5

– 17

4 17 – 4–4

3 –2 3

4 –1 4

5 0 5

11 2

11 2 11 2

11 2

6 1 6

–1 4 –1 –1

0 5 0 0

–1 –4

0 –3

1 –2

2 –1

3 0

4 1

–2– 29 –1 –2 20 –1

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

3 4 3 42

–2 –5 –5

–4

–3

–

–2

–1 –4

0 –3

1 –2

– 29 –2 20 –1

–2 –5

–2

–1

3 4

2 –1

3 0

11 2

–1

50. а) –3

–3

–2 37 –1 34

11 2

–2

б)

–3 –2 –2 –2 –3 –2 –3 –3

–2 3 –2 –2

– 2917 20 –

–4

3,25 3,25 3,25 4 3 4 3 4 3

–2

–3 56

4 4 4

–3 2 –3 –3

1 –4 –4

г) између −2 и −1; 29

–3 – 23 –3 4 –3 –6

2 –3 2

в) између −6 и −5;

– 23

–6

1 –4 1

б) између 5 и 6;

– 23 4

–6 –1 –6 –6

C 2 12

–1 –6 –1

– 17

D 54

3 3 3

−3

1 6 1 1

4 1

3 4

49. а) супротни су: − ; 3 ; −2 ; 1 . б)

4 4 4

3 3 3

–1

д) између 0 и 1.

–3

uk a

A – 52

4 4 4

3 3 3

–2

; −1БРОЈЕВИ ; 1 ; РАЦИОНАЛНИ

–2

1 5

–1

–0,75

в)

–3 –3 –3

–2,5

–2 –2 –2

г)

–2,5 –2,5

–3 –3

–2 –2

51. а) –6

–6

–5 14

–5 –4

б)

–4 12

–5 –4

в)

–5 –4

1 5

1 34 2 37

–3 –3 –3

–1,75 –1,75 –1,75 –2 –1 –2 –1 –2 –1

–3

–1

–0,75 –0,75

–1 –1 –1 –1

0 00

1 4

11 44

2 2 33 3 22

4 344

11 11

3 56

pr om

46. а)

– 29

1 25

–1 –1 –1

0 00

1 11

2 22

3 33

4 44

–1 –1

11 2

–3

11 2

–3

–2 –1

г) не постоје такви бројеви.

5 14

4 12

147

−2

;

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ 11 2

52. Налазе се: −5,−4,−3 и −2. –5 –4

1 12

–3

–2 –1

53. а) 1, 2, 3; в) −1, −2, −3;

60. а)

11 2

б) −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3; г) −1, 0, 1, 2, 3.

б)

54. Најближи је број −0,1. –0,1

–1

б) − ;

11 2

–7 –6

–8

58.

ђ) −1 = − .

б)

C M – 52

1 –5 2 –4

–8

в) − ; г) 2 =

–8

M’ 5M – 2 M –2

–7 –6

в)

–7 –6

–3

–4

1 –5 2 –4

–5 –4

–2

–3

148 –2,5 –3

–2

–3

–2 –1

–1

M’

M – 52

M’

M – 52

–2 5 6

–1

–8

;

–7

–6 –5 –4 1

–2 1 3

13 2 4

УПОРЕЂИВАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА

61. Јована је појела више.

–2 –1

–0,75

–3

M – 52

г)

uk a

д) −3 = − ;

57. а)

11 2

–1

56. а) − ;

M’

pr om

–2

в)

55. Најближи је број −1 1 . –1 7 8

–5

11 2

–0,1

M –5

–6

– 36 7

M’

2 59. 𝐴 (−0,4); 𝐵 (−1); 𝐶(0,2); 𝐷(−1,2); 𝐸(−2); 11 𝐹(−2,6). 2

BC A

–2 –1

–2 3 –1 2

–1

M’

M – 52

2 62. Петар је појео више.

Петар

Миша

д) 1 1 је мањи;

66. а) 0,4 је мањи;

ђ) −2 је мањи;

б) −1 је мањи;

в) −0,4 је мањи; е) −1 1 је мањи; 3

г) −1 је мањи;

67. а) 2,2 је већи; б) 2,02 је већи; в) 2,2 је већи; г) −2,02 је већи;

ж) −2 је мањи.

д) |−5,5| је већи; ђ) 5,55 је већи; е) |−5,55| је већи; ж) −5,5 је већи.

69. а) На пример: −1,−2,−3; –7 –6 –5 –4 –3 –2 –12 0

–

pr om

68. а) >; б) <; в) >; г) >; д) <; ђ) =. 4

3 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –12 0 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –– 2 0 3 3

1 1

2 2

3 3

4 4

–7 –6 –5 –4 –3 –23–1

б) на пример: −1,0,1; –

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

uk a

2 –7 –6 –5 –4 –3 –23–1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –– 3–1 2 2

в) на пример: −5,−3,−2.

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–5,4

0а) − 1 2< 3− 4< − ; 0 1 2 3 4 –1,2 –1,2

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–5,4 –5,4

70. а) >;

б) <;

–1,2

в) >; б) г) − =; <д)−>; < ђ) <. −1;

а) − < − < − ;

−1;; 71. б) а) − − < <− − < <− в) − − < <− −2 < < −1; − ; б)

− << г) − <<−2 в) − −; . г) −

72.

<−

<− .

а) − > − > − ;

б)− − > >− − > >− −1;; а) >− − > > −1; − ; в) − − > б)

г) − − >>−− > > − −; . в)

в) − < −2 < − ; г) −

<−

<− .

а) − > − > − ;

б) − > − > −1;

в) − > − > − ; г) − −1

>−

63. а) <; б) >; в) <; г) >; д) <; ђ) >. 64. а) <; б) <; в) >; г) =; д) =; ђ) <. 65. а) >; б) <; в) =; г) >; д) <; ђ) >.

в) − < − −2 < −1; − ; б) в) − < −2 < − ; а) − > − > − ;; в) − <−2 −−< г) а)− − −< < − << −−− РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ а) > > а) − > − > − ;; ;. г) − < − < − . б) − − ><−− > < −1; 11 − . б) − 73. г) Најмањи , а−1; највећи је − 11 . > > б)б) − −< >− −је−−< >5−1; −1; 100 > − > − ; в) − в) − −2 − ;; ; > > − в) − −< − в)−1,5 − −< 74. а) <>−1,1 <>−− 0,3 а) − > − > ; < −0,2 < −0,01; . |−1,1| < |−1,5|; г) а)− − <>> −− ><> −− ; < б) |−0,01| |−0,2| |−0,3| < − < − . . г) − > − > − г) − > − > − г) − а) − б)− − <> >−2,23 − > > −1;; <. −1,8 в) −2,(23) <− −1,(8) < −0,(6) < −0,6. б) − > − > −1; −1 − ; в) б) − > − > −1; 75. а) −1,889. >− ; в)−1 −−1> ;− б) > − > − . г) > − > − ; в) − а) а) − , − , − ; г) − > − > − . ,− − ,> , −1; −− − ,>−− −> ; ;. 76. а) г) − б)а) −− > б)−1 − ,− ,− ,− ,− ,− ,− ; б) , − ,>−,− − ,;−, − , −, − , −, − , −, − ; ; б) − в)−1 − −>, −− в)−1 − ,− ,− ,− ,− ,− ,− , − ,,− , −− в) −,− −> в) − − ,,> а) − ; , −, − . , −, − , −, − , −, − , , г)− а) − − ., − , − ; − −,.,− а) − б) − −. ,,− − ;, − , − , − , − ; − − ; ,− ,− ,− ; − ;, − б) , − а)−1 − ,, − 77.б) б) − , − , − , − в) ; , − , − ;, − −; , − а) а) − − , −, − ; ; б)б) в) − ,, − − ,, − − . ,− ,− ,− , в) − − ,, − − а) в) в) , −, −, − , −, −;, − , −, −., −. , − , − , в)− − −., − − . 78.б) а)− 𝑚 ∈ . ,{4, − −−3, ;, 2, − 1}; , −− ,> − ,− ,− ; а) − ,− ;5, 4, б)б) −2, ;1}; − ; а)𝑚 − ∈ <{7, б) 6, 3, а) − < − ; б) − а) − < − ; б) − − −; ; а) − , − ; б) − ; > > 𝑚 6, 5, 4, 3, 2, 1}; ∈ {7, , − , − , − , − в) − в) − ;. < − ,;− , − , − в) − а) − >, −− ;,; − б)г),− в) г) в)𝑚 −∈ −∅. >> − − ; ; г) −.−< < − −; ; , −г) в) − − . ,>−− , − ; ђ) − > − . д) − в) − , − , − , − . > − ; ђ) − д) − > − ; ђ) − > − ;− . . д) − б) − > −> 79. а) − < − ; а) − − <,<−−− ; < б) −;−>; − ; −б)−< а) в) ><−< ;<< г)−−< < а) >−;− ; ; а) −;− −б) −< а)− − −< > − ; г) − < , − , − , − . в) − < −− ; . б) − < − < − > − ; ђ) − д) − в) − > − ; г) − <>< −−−; .. . −− << −− < − б)б) −− << д) − > − ; ђ) − > − . < −>− < −. <− ; а) − >−− −;< ; −ђ) − д) − << а) < < < <− ; ; а) < а) <− − −< <− −б)−− <− −>−;−<;< − −<− а) − −−<

>− .

а) − < − <<−− <<−−; <− . 80. б) в) − ;<<− г)< << < б) −− <− −− < − − −. . б)− − −><<−− <−− ;−− ; .< < а) < − б) <− . б) − < − < − >− − ;< − ђ) − <>−− . . д) − − < б) а) −0,8 < − ; б) − − <− ; а) − < − < − < − <<−0,2; −0,8 б) < −0,2; а) а) −0,8 <−< − −<; −; < б)− − −< −0,2; ; < < − <− а) − > −0,82; г) −0,1 = − ; в) − < − < − < − ; а) − − < − < − < − . б) −−0,82; < − <г)− <=−= <− − 81. а) г) −0,1 −0,82; −0,1 −− ; ; ; в)в) − −><> < − < − < − < − б) − д) − > −0,67; ђ) −0,002 = − . . < <<−− ђ)<ђ) < − < . =−= б) − −−0,002 д) − −0,67; д) − >−> −0,67; −0,002 − −. . . а) −0,8 < − ; б) − < −0,2; а) −0,8 <− − <; − б) − <<−0,2; ; <> − 1,1 <− а)−0,1 − < 82. а) а) 0,101 г) −0,1 ;> 10,1; в) − >><−0,82; б)− −−1,01 <>− −0,6; −0,125 = −;>;−0,11 −0,8 − б) <= −0,2; ><−0,82; г) −0,1 −< ; > в) ;> б) −0,6; а) −0,125 = б) −−− >=< −0,6; а)− −− б) >−= −0,3003 −0,33 −3,003 −−0,125 <; − < < − . б) −0,033 д) − > −0,67; ђ) −0,002 = − −0,82; г) −0,1 = − ; > −0,76; г) −0,08 > − ; . в) − −3,3 > −30,03. д) − −0,67; => −− ; . ; > −0,76; ђ) г) −0,08 −0,76; г)−0,002 −0,08 > − в)в) − −>> д) −0,02 − >=−0,67; ђ) −0,002 = − ђ) −−0,13 <− . . −0,8 < −− ; ; б) < −0,2; 83. а) −0,02 −0,13 д)д) −0,02 == − − ; ; ђ)ђ) −0,13 << − −. . б) − < −0,6; а) −0,125 = − ; > −0,82; ; в) б)−0,1 − =<−−0,6; а) − −0,125 = − ; г) г) − −0,08<>−0,6; − ; в) −0,125 − > −0,76; б) а) =− ; д) − > −0,67; ђ) −0,002 = г) −0,08 > −− ; . в) − > −0,76; д) − −0,02 = − ; г) ђ) −0,08 −0,13><−− ;. > −0,76; в) д) −0,02 = − ; ђ) −0,13 < −149. д) −0,13<<−0,6; − . б) − а) −0,02 −0,125==−− ;; ђ)

> −0,67;

ђ) −0,002 = −

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

84. а) −0,125 = − ; в) − > −0,76;

д) −0,02 = −

;

б) −

< −0,6;

г) −0,08 > − ;

ђ) −0,13 < − .

б)б)−− <<−0, −0,888 888……8;8; в) −0, 333 … 3 > − ; б) − < −0, 888 … 8; в)в)−0, 333 ……33>>−− ; ; 333 г) −−0,< −0,933. 5 333 … 3 >7 − ; в) −0, 94. а) ; б) ; 9 г)г)−8− <<−0,933. −0,933. 4 г) д) − 5 ; г) −− ; < −0,933.

85. а) ближи је − 3 ; 4 б) ближи је − 7 ; 8 10 в) ближи је − ; 11 38 г) ближи је − . 39

а) −

86. а) − 2 > − 3 ; б) − 5 > −78; 3 4 6 г) − 26 > − 38 . 27 39 99

2020

88. − 3 , − 4 . 10

uk a

89. − 12 , − 11 .

90. а) 𝑛 ∈ {5, 6, 7, 8, 9}; б) 𝑛 ∈ {25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34}; в) 𝑛 ∈ {6,7,8,9,10,11}; г) 𝑛 ∈ {14, 15, 16, 17}. 91. а) − < −0,8333;

б) − < −0, 888 … 8; < −0,933.

92. −1 10 < −0,909090901. 11

= − б) 𝑚 ; б)> 𝑛; − =− ; = 𝑛; 93. а) а)− 𝑚 = 𝑛; в) 𝑚 г) 𝑚 > 𝑛; д) 𝑚 < 𝑛; ђ) 𝑚 > 𝑛. в) = ; г) − = − ; д) = ; ђ) −

150

а)

=− .

=3 ;

б) −

= −1 ;

=− ;

а) г)а)− ==3=3 ;−10 ; б)б)−;−д)=−=−1 −1=; − ; в)в)= ;−6 ; ; а) = 3 ; б) − = −1 ; в) ; г) −10 −6 ; ; = 9 ; .;д)д)−− ==−− ==−6 ђ)г)−− = ==−10 г) − = −10 ; д) − = − = −6 ; ђ)ђ) == ==99 . . 97. а) −4; б) 3; в) −10; г) 23; д) 7; ђ) 12. = =9 . ђ) а) − ; б) − ; в) − ; г) − ; 98. а) =; б) >; в) >; г) =. а)а)− б)б)−−. ; ; в)в)−− ; ; г)г)−− ; ; д) −− ;; ; ђ) 99. а) − ; б) − ; в) − ; г) − ; д)д)−− ; ; ђ)ђ) . . д) − ; ђ) . в) ; а) − ; б) − = −1 ; −1−; ; . в)в) ; ; 100.а) г)а)−−; ; ; д)б)б) −−−; ==−1 ђ) в) ; а) − ; б) − = −1 ; г)г) ; ; д)д)−− ; ; ђ)ђ)−− . . г) ђ)−− ; . г) − ; а) −; ; д)б)− ;; в)

в) −0, 333 … 3 > − ; г) −

б) −

ђ) − 2 .

; а) − = − ; б) − = − ; в) ђ)в)− ===; ;− г).г)−− ==−− ; ; д)д) == ; ; в) = ; г) − = − ; д) = ; ђ)ђ)−− ==−− . . ђ) − = − . 96. а) = 3 ; б) − = −1 ; в) ;

в) − 91 је веће; г) − –2021 је веће. 99

=− ;

−− 95. а) ; б)б)= −; ; = ; −−г); − − = ; =− д) в)а)−−= ==

87. а) − 41 је веће; б) − 160 је веће; 50

в) − 7 ;

pr om

в) − 8 > − 10 ; 9 11

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ а) − < −0,8333; РАЦИОНАЛНИХ а) −0,8333; б)а)−− <<−0,8333; −0, 888 … 8; БРОЈЕВА а) − < −0,8333;

д) −

в)

;

б)б)− ; ; . в)в)−− ; ; г)г)−− ; ; а)а)− 101.д) −− ;; ; ђ) а) − ; б) ; в) − ; г) − ; д)д)−− ; ; ђ)ђ)−− . . д) − ; ђ) − .

–2

𝑎

5 6

𝑏

–3 4

–3 8

+ 11

–5 7

–5 6

–1 2

𝑎 + 𝑏

–1 5

𝑏

–4

𝑎

–8

– 5

11 24

– 11

– 1

–3 3 –1 3 35 4

𝑎 + 𝑏

–3 5

103. а) − 83 = −11172, између −2 и −1;

+ 4 5

+ 9

10 10

–3 5 3 5

104. а) − 11 =−1 3 ; 8

б) 1 ;

в)

8 =2 2; 3 3

107. 𝐴 = − 1 = − 15 ; 𝐵 = 7 ; 4

108. а) 1,9; г) 3,25;

б) −1,1; д) −5,22;

109. а) 3,799; в) −70,6465; 110. а) 8;

б) 6;

111. (−2) + (−0,32) ● (−1) + 2,4 ● 9 + (−3,15) ● −3,185 + 5 ●

𝐶 = − 23 = − 46 ; 𝐶 < 𝐴 < 𝐵 .

в) 8,62; ђ) 2,49.

б) −31,756; г) 20,7781.

в) 6;

г) 2;2.

● 5,85

● 1,815 ● −2,32 ● 1,4

𝑎+𝑏+𝑐

−0,8

2,75

−𝑎 + (−𝑏) + (−𝑐)

114. а) 2 ; 5

в) − 6 ;

0,01

−10 −11,01 22,24

−6,67 −14,21 6,67

14,21

−25

б) − 7 = −1; 7

г) − 16 = − 8 = −1 3 ;

ђ) − 15 .

б) −11 1 = − 56 ;

в) −2 3 = − 11 ; 4 4

г) −10 5 = − 75 ; 7 7

д) −10 7 = − 87 ; ђ) − 24 = − 8 =−2 2 . 8

116. а) − 12 = − 3 ; 40

г) 259 = 4 19 . 6 16

106. (− 3 + 5 ) + (−1 5 ) = − 7 = −1 1 . 8

𝑐

115. а) 1 ;

б) − 35 = −2 11 ;

4,5

−3,2 −1,25 −2,4

г) −9 9 . 28

105. а) − 25 = −3 1 ;

𝑏

100

uk a

в) − 5 = −1 1 ; 4 4

−2,8

pr om

г) 39 = 3 6 , између 3 и 4.

𝑎

д) 94 = − 47 ;

в) − 113 =−22942, између −3 и −2; 42

113.

7 7

б) 141 = 3 21 , између 3 и 4; 40 40

112. 𝑎 = −18; 𝑏 = −1,42; 𝑐 = 0,04; 𝑎 + 𝑏 + 𝑐= −19,38.

102.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

г)

18 36

д) − 36 = − 3 = −1 1 ; ђ)

= 2.

117. а) 4 = 1 1 ; 3

б) − 8 = − 2 ;

в) − 14 = − 1 ; 28 2 30 15

1 ; 2

б) − 98 = −14;

в) − 74 = −10 4 ; 7 7

г) − 54 = −10 4 ; 5 5

д) 124 = 31 = 15 1 ; ђ) − 18 =−2 4 . 8

118. а) 10; г) 8; 10; −10;

б) 6; д) −5;

120. а) 17 ;

119. а) >;

г) − 5 ; 8

б) <;

в) <;

в) −6; ђ) 1.

б) − 7 = −1 1 ;

д) − 8 ;

121. а) нетачно; в) тачно;

122. 𝐴 = − 5 = −2 1 ; 2 2 𝐴 < 𝐵 .

г) =.

б) нетачно; г) тачно.

в) −136;

ђ) 15 . 16

𝐵 = 29 = 1 11 ; 18

151

uk a

pr om

а) − г) = ; .б) − = −1 ; − −21 = −2 в) − −10 −−−1 ==−1 ; . = 23 ; ==23 в) − а)в)= ;−21; г); − б)г)= .−2 = 4 −12 ; г); − б) − = −19 . ; в) а)= −− − == = −2 −2 = ==; 66−7 ; == ;; г) − = −2 . = а)= −4; б) в) −4 23− = ; РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ в) = 23 ; г) − = −2 . =44 −12 ; б) − −10 ; −1. г) −− в)= =−7 −1 ; . в) − ;; г) −7 ; == = −а) −= −2= −12 ; =; б) =− 6 133. ; = а) = = а) −3,5; −5,25; −12,45. ; б) в)= 2 11 1 3 9 = − ; а) −4; б) −4 123. а) − = −2 ; б) −8 ; в) 9 . а)а)−−7,825; = −21 ;− б) = − −12 = −1,25; −1; ; б) − = −7 ; 15 5 7 10 а) б) −0,25; в) =88−10 ;б) г) −= = −1 в) −; .= = а)в)= −10 ; ; б)г)−− 134. −1 ==−7 −−4 ; = −12 = ; б) − = −8 а) ; − −8 ;; . а) = ; г) −1. в) = 2− б) 4,8; в) −5,521; 124. а) −1; = −2 ; = = 6 ; −4; = 47 в) = 23 ; г) − = −2 . г) − = −1 г) 6,75; д) − . в) − = −10 ; а) − а) = б) г) −16,282; д) −21 −0,597; ђ)−−−1,3. 84 в) ; = −1 .= =−8 ;= ; −10 б) =г)−8;− ; = −1 = 4 ; г) − = −19 . в) 4 ; г) − = −19 . в) + − ==−3 = −2 ; =;− ;= = 6 ; = − = −2 ; = 135. =6 = ;= = −4; 4 = ; 125. а) 16,9; б) 0,2; в) −100,408; г) 5. = 23 ; г) − = −2 . в) = ; ; = =6 ; г) − . в) = 4= ; = 4 ; −−б). −= −2 = −7 − − = ==8−3 −4 = ;; = 4−12 ; ; = −19 = − 𝑐= −2 = = 6а) 126. 𝑎 = −13,6; 𝑏 = 1,42; = −0,18; + = б)− − ; = −8 ; а);= =− − ;; а) −4; −4; б) −4 −4 = а) б) −𝑎 − 𝑏 − 𝑐 = 12,36. = г)=−4 ; = −1 . в) − = −10 ; ; 4б) − ==48−4;; = б) − − = −12 =− −7 ; = −8 а) а) − ; б) а)= ;= 8 − . = = −8 −19 ; . в); − = ;; г) г) г) −1. в) а) −4; б) −4 = − ; = −1. в) 22 = 7 =8 ; =б)−− ; = −8 ; 127. а) − 29в)=− −1 11=; −10 б)8 г) ; =−−−1 == . −8 =;−2 − а)г);; − 2) ;1)=.−4 а)в) ; = 18 18 36 ; − б)г) = −19 = 4 −19в) −= 4 = =−5 = 6 ;. в) 2 = ; г) −1. 7 47 11 = −4; = ; = −4; = ; а) = − −1 − ;−4,22. а) в) −− ; = −1;; . 3)−4; −9,713; б) 4) 4,144; а) − = −21 −21 ;; б) б) г) −−= = −1 = 4= ; 5) = г)−− ; = −19 . в)−4 45 36 36 = − ; 2) −5 1) −4 ; = 4 ; г) − = −19 . в) = = 4 а) − = ;−2б) ;− ==−1 = ; 6 ; = −21 − ==−4; + = −3 = − ; + = −3 = − ; а)−4; 𝐴 = = −13,5; 𝐵 = −4,5; =𝐶−= −16; = =; −2 ; 𝐷 = −7; −4 ; б) г) −1. в) 2 = −136. ; а) б) ;−4 23 ;; ; а) −4; г) .. в) == 23−21 г) − − =−1 −2 а) − = б) − = 128. в) 3)−1 −9,713; 4) 4,144; 5) −4,22. + −4 + 2 = −4. в) == 23 = ;+ 4 = г) − ==−−2; . ==𝐴 8−4 б) − .. = −8 ; а)б)− 𝐶 < < 𝐷; < 𝐵; ; −3 −4 =−1. − = − −4; б) −4 = − ; ; г)а) в) − 2 == = ; г) −1. в) 2 = − ; а) −4; б) −4 в) = 23 ; г) − = −2 . = −4; = ; в)−1 |𝐴 − +𝐶| −4 = 2,5; |𝐵 − 𝐷|== −4. 2,5; + −7 а) = = 13 − −3,25 +г) −2 = −12 −12 б) −− == =−= −7 а) − − а)= =− 4𝐶| −2 ; |𝐵 в) г) −2 . в) 4,6 −4 . ;; ; =−8 ;; = ; б) б)− −8 = =; −19 −1. 2 |𝐴 − = − 𝐷|. = ; г) −1. в) 2 = −12 ; = б)−4; − == −7 ;; 129. а) − + −4; = −3 = =; − ; = в) − = −10 ; г) − = −1 . −17,6 +−9|𝐶 − − − −6 −2= − == −14 = −10 ; г) − = −1 . в) − г) |𝐴 − 𝐵| 𝐷| 2) = −0. −5 = −12 −7 ; . а) = 13. 4,6 −2 −3,25 = 4 ; ;; б) г)−− == −19 = − ==;;= =− − 1)+ −4− = − 2) −5 +== ;; 1) −4 −4; ; = −3 − ; − = −4 − . в) − в)= −10 г) −1 . − ; б) −4 =+−4;= −3= =; − ; 137.а)а)−4; (𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵) = =−5; 3)−15 −9,713; 4) 4,144; 4,144; 5)1,5 −4,22. в) − = −10 ; г) −− ;= −1 . 3) −9,713; 4) 5) −4,22. − −4 + −4 −7 . −17,6 + 9 − − −6 = =− −; ==−14 = 2) −5 = − ; 1) −4 + = −3+ =− = − = −4 = − . 130. = =− − = = −2 −2 ;; +− = = = 66 =;= ; −− ; . б) (𝐴 𝐵) − (𝐴 − 𝐵) 27. + = −4 ==−3 в) 2 = ; г) −1. =6− ; ; 5) −4,22. = −а) −4; = −2 ; б) −4 = 4) =4,144; 3) −9,713; == −4+ = − =− . ; −15 −4 − + 1,5 = −7 = −1 +. −−4 −4 + 22−4 = −4. + + −4. 138. −1 ; −7 = −= =4 4 −2 = ; − = = −4= 6 =; − . = − ; 2) −5 = − ; 1) −4 ; ; г) −1. = в)=24 = = −4; = ; + −4= + 2 = −4. 3) −9,713; 4,144; б) − а) ==884 ;; −1 б) 1) − −4 = −8 −8 а)= = −7 = = 13 13 = ;− 2) −5 5) − ; = −4 = 4,6 − −2− 4) − −3,25 +=−4,22. −2 4,6 − −2 −3,25 + −2 = − ;; ; 2) −5 139. =1) −+ ;= . −3 = − ; −5 + 11,5 + −5 + −5 + 11,5 − 3,125 == 8 −4; ; б) − а) = ; = −8 ; 3) −9,713; 4)1)4,144; 5) −4,22. = ;=− 2) −5= −14 =− ; −4− −6 3) −9,713; 4) г) = в) =−4 −− −2 − −8 ; .;. 4,144; а) −17,6 +13 − −6− ==448 ;; ; 4,6б) г)1) −−4 ==−19 −19 в) = −17,6 + 99 = − − = −14 .. − −3,25 2)+−5−25)=−4,22. −= ; =+ − −+ − −1 −4 2. = −4. = + = −3 = − ; −5 + 11,5 3)+−9,713; −5 + −5 + 11,5 − 3,125 г) − = −19 . в) = 4 ; 4,144; 5) −4,22. 131. а) ( 17,4 140. + 3,4). − (17,4 − 3,4) =4) 6,8; 3) −9,713; 4) 4,144; 5) −4,22. 3 2 1 −17,6 + 9 − − −6 = − = −14 −1 −4−4 + + 2−4 −4. г) –−−1 = 1−19 в) = 4−𝑎 ; = −4 −4−1. 1 −15−+ − + −4= + ++1,5 1,5−2 =− =− = = = −7 −7 −15 .= а)−4; − = −21 ; 4= б)=−−+ ; +82 = −4. збир = 13 4,6 −2−4 је− већи за− 6,8.−3,25 3; − а) б) −4 а) −4; б) −4 = − ; −1 + −4 + 2 = −4. − −4 ;1 −4+ 2+ а) −4; б) −4−1 −15 − + 1,5 =−1)4,6 1 =−4 =−−7 + = −4. 141. = −9 = ;− 2) −5 −= −; = = −14 −4 = 13 . −2 −3,25 + =−2 –. 5−3,25 – 4,6 = 13 ; −1. г) − − –4 = −2 − в)2 == 23 −2 + −2 −17,6 + − − −6 −7 . −7 . 𝑏 ; г) в) г) −4 −1. 2 = − ;4 в) −4; 2 = ; б) 8 а) в) 2 = ; г) −1. 3) −9,713; 4) 4,144; 4,6 − − −6 −25) −4,22. − −3,25=+−14 −2 1− 7 −− 1−3,25 −17,6 + 9−14 − −7 . = = 13 4,6 −2 + −2 −17,6 + 9 − −6 = − = . = − ; 2) −5 = − ; 1) −4 – 2 –1 −15 − −4 + −4 + 1,5 = − =− = −7 . 𝑎 + 𝑏 = ; г) −1. в)= 2 = 12−7 ;2 −4; = −12 = ;;; 4б) − = −5 + + 11,5 11,5 + + −5 −5 + + −5 −5 + + 11,5 а)=−−4; −5 11,5 − − 3,125 3,125 −17,6 +−4. 9 − − −6 =− 3) −9,713; 4) 4,144; 5) −4,22. = −4; = ; −17,6 −1 + −4 + 2 = + 9 − − −6 = − = −14 . −15 − −4 + −4 + 1,5 =− = −7 1; 3−4 +142. −15 −5 11 −4 + 1,5 =− = −7 + = −3 = − – 1 – + = −3 = − ; −7 . 𝑎 – 𝑏 11,5 ; ; + г) − += −1 .4+ −5 + 11,5 − 3,125 = = 4 . в)=−−4;= −10 =−5 12−5 + = −3 = − 4 ; −15 − −4 + −4 + 1,5 =− + −4 + 1,5 4,6 =−− . −2 = −7 − ; −3,25 + −2 = −4. б)− = = 13 −4 − .;. +− − = =−1 −4 + = =−4 −−15 −7 −7 .2 −4 + = −3 = − 7 3 – –5 3 −= −= −4 = − . 𝑎= −2 ; −5 + 11,5 + −5 + −5 + 11,5 − 3,125 = =8 6 ; 4 трећи сабирак је− −7− . −6 −17,6 =− = −14 . − =4,6 −4− = = = 13 + 9 −2−−7. − . −3,25 + −2 1 1 1 −5+ 11,5 + 11,5 + −5 = – 411,5 + – 2 −5 +143.−5 4 −5 + − 3,125 = 4−5. + 11,5 − 3,125 = =𝑏4 ; Збир ће се смањити за + 0,25. 3 8 2 = − ; 2) −5 = − ; 1) −4 −15 − −4 + −4 + 1,5 =− = −7 = −14 . = − +; 9 2) − −5 − =−6 − ; =− 1) −4 −17,6 −5 + 11,5 + −5 + −5 + 1 1 ; 7− 2) −5 = 1) −5 + 11,5 −5а) + 11,5 −ће 3,125 = = 4за. 0,25; 8+ 𝑏−;4) б) =5) а) −4 =𝑎 = –−8 5 −;+– 3;−5 + 144. разлика се смањити 3) 3) −9,713; −9,713; 4) 4,144; 4,144; 5) −4,22. −4,22. 4 3 = − 4) 2) −5 − 1) −15 − ;4,144; −4 + 5) −4= + 1,5; =− = −7 −7 . ће се смањити за 14 1 = 169 . 3) −4 −9,713; −4,22. б) разлика 1 1 1 12 12 г)– − = −19 . в) =𝑎 4– 𝑏; 3 −4,22.8 1 3)−1 −9,713; 4) 4,144; 5) 3 4 4 + −4 + 2 = −4. −1 + −4 + 2 = −4. −1 +−7−4 . + 2 = −4. 145. −5 + 11,5 + −5 + −5 + 11,5 − 3,125 132. а)4,6 −1 −4 б)− + −3,25 2 =− −4. = = −4; − + = = 13 13 4,6 −+ −2 −2 −−4 −3,25 + ;−2 −2 = = 13 4,6 − −5 −2 + 11,5 − −3,25 + −2 + −5 + −5 + 11,5 − 3,125 = = 4 . −1.−3,25 в)4,6 2 −= + −17,6 − − = = 13.. −17,6 + ;99 г) − − − −6 −6+ −2 =− − == = −14 −14 −2 −17,6 + 9 − − −6 =− = −14 . 152 −15 + −4 + −7 −17,6 − == = −4;− = − −15 −+ 9−4 −4 +; − −4−6 + 1,5 1,5 ==− =− =−14 −7 . −15 − −4 + −4 + 1,5 =− = −7 + = −3 = − ;

г)

146. а) 0;

б) −6;

155. а)

в) −10.

= −2,8; = −4

д)

= −1,2;

ђ)

= 6,3.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

=− ;

б) = −1 = − ; 147. ++ ++ ++⋯⋯++ == ++ −− ++ −− ++⋯⋯++ −− + + ++ ⋯++⋯ + = = + +− −+ +− −+ ⋯++⋯в)+ −= 1− = ; г) = −17 = − ; − − + − +⋯+ + +⋯+ = + − + ++ −+ ⋯++⋯ += + − ++ −− == . . д) = −1,72; ђ) = − . после + −= = . + скраћивања − . добијамо: − = . − + + ++⋯ − + == . + − + − + ⋯ + 156. а) 𝑥 = −1,54; б) 𝑥 = −5,875; в) 𝑥 = −10,4; г) 𝑥 = −4,25; == −− −9; −5 −9; −5. + − ⋯ +.. − ⋯+ = + а)а) −+ + б)б)= − а) −9; б) −5 = −= − . . а) −9; б) −5 148. д) 𝑥 = − 1 ; ђ) 𝑥 = 1,78. 2 . − = 9; б) −5 = − = ==2−2 ; .; −9; −5 = − а)=−3 −3 ; ; б) = = = . 149.= −= −= −3 = −3 ; ; = == 2 = ;2 ; 157. а) 𝑥 = −4 34 = − 174 ; 35 35 − = −3 ; −15 = −= = −(−=)= −3 ; ===−− = 2 .; . )= − ;+ +(− =−15 −15 − 2−б) − . −15 а) −9; −5 3 23 б) 𝑥 = −2 = − ; − (− + (− = −15 = −= − . . − + ) =) −15 −15−15 − − 10 10 . =− − − + (− ) = −15 −15 1 7 . (− ) − + = −15 = − − в) 𝑥 = −1 = − ; −5 = − . = − = −3 ; = =2 ; 6

;

uk a

pr om

; ; ==−− ==−11 ; г) 𝑥 = 2 5 = 17 . 150. ==−−− −==−1 −1 −11 . =; − ;; 6 6 =+ −1 = −15 −= −11 = −11 −3 ; = ==2−15 −=; −= −1 ; (−; =) −= − = −1 ; == −= ; = ; −− −−(;( ++=)− . . −11158. = −1 −−1 = −1 ; а) 𝑥 = −4,9; између −5 и −4; ) == = ; −11 + (− ) = −15= = −1 −− ( −+( )+ =) .= . ;= −; −1. − 5 69 ; −1Како − су − (𝐵 + =; . и 𝐶)=супротни бројеви, њихов ( + ) = . б) 𝑥 = −8 8 = − 8 ; између −9 и −8; −1 − − = − = −1 ; = − = −11 ; збир −1 је−1 једнак решење задатка 999,25 −−За −2 000 ==−4,1. (−2009,5 999,250. −2 000 + + −5 −5 −није −(−2 009,5+2 +2 −4,1. −13 и −12; в)009,1) 𝑥 009,1) = −12,1; између (−2 −1 999,25 − −2 000 + −5 − 009,5 +2 009,1) = −4,1. (−2 −1 999,25 − −2 000 + −5 − 009,5 +2 009,1) = −4,1. потребно израчунати вредности израза 𝐵 = ;; −1 − −( + ) = . 1 ; −= −2 − 000 = −11 3 99,25 + −5 − (−2 009,5 +2 009,1)+ =−5 −4,1. и 𝐶. (−2 −1 999,25 −= −2 000 −+ 009,5 +2 009,1) = −4,1.−3 и −2. = − 43 ; између г) 𝑥 +=−− −2 − ⋯ + − + + + ⋯ + + − + −−+++ +⋯ + ⋯ ⋯ ⋯ + + − − − ++++ +++++ +⋯ + ⋯ ⋯+ ⋯ + ++ === == ++−−− −−+++ ++−−− ⋯ + + +++ ⋯ + +++ 20 00 а)а) )== −1 − −( + =0,5; . б)б) ==−− ; ; в)в) ==−− . . 0,5; = 0,5; =; − в); + в) . 159.+2 009,1) = −4,1. = 0,5; б)− б)= = −5 −=. −− (−2 а) а) 151. −1 999,25 −2−000 009,5 + − = ++ −−== = = −в) −− == . . .... . = 0,5; б) = −++;+ − а) = 0,5; б) = − ; в) = −а). а)а) ==−− ; ; б)б) ==−− ; ; в)в) ==−1; −3 5 −1; 0,5 8,5 𝑎 (−2 −2 000 а)+ а) −5 − 009,5 +2 009,1) = −4,1. 6 ; б)= −=; − в); в) = −1; = −=; − б) = −1; = −2,8; д) = −1,2; ђ) = 6,3. г) б) =; − ; в)= −= . 6,3. а)г); == = − ; б) = − в)0,5; = −1; −2,8; д) =б) −1,2; ђ);− в) = а) =д) −= = −1; −4 1 −1 1 0 − а) −9; б) −5 𝑏 = −2,8; = = 6,3. г) = −2,8; д) г) а)а) =−1,2; =− −− а) а)−9; а) −9; −9; −9; б) б) б) −5 −5 −5 4 5 === − − . −1,2; . ... . ђ) ђ)= 6,3. −9; б) б) −5 −5 = −2,8; д) = −1,2; г) ђ) ==−2,8; 6,3. д) = −1,2; ђ) = 6,3. б) = − ; в) = − . −3 3 −3 5 а) = б)−3;;;=; −= ; в) 7,3 𝑎 + 𝑏 − = −3 = 4 6 == =− −− −==;= =−3 =−3 −3 == =2=222;2=; ;;;−1; ; === − − −3 ; ; === === 2 а) ==−4 ==д) −− ;=; −1,2; ђ) = 6,3. б) −2,8; г)а) = −4 (− б) = − ; а) в)−15 =− −1; 1 − + = −15 = − −15 − (− (− )= а) = −4 = − ;= − −=− + +(− + =−15 =−15 −15 −15 === =− =− −− . . ... . −15 −15 − −− − (− )))))= =−15 −4 ;(− − ++− −15 − −15 − −6 7 −5,6 −2 8 𝑎 8 = −4 = − ; б) = −1а) ==−−4; = − ; д) = −1,2; б) ђ) ==−1 6,3. = − ; = −1= −= − = −1 ; ; б) б) −3 1 −3 1 −3,5 𝑏 5 4 = −1 = − ; в) = 1 = ; г) = −17 = − ; = −1 = − ; б) = 1 = ; г) = −17 = − ; в) а)== = −4 =−1 ; == = − = −1 = − = −11 =1 = − −− =−1 = −1 =− =− − = =−11 −11 − = == −1 ;− ;г) == −11 −11 ;; ;;; ; ; 3 = 1 = ;;; ; = г)=− =−= −17 =; − в) =− = ;−1 −17 = −−11 в) = −2 2 1,125 −3 8 𝑎 𝑏 − 5 −1,72; == . . = −17 = − ; = 1 = ; г)д)д)==−17 == − 1 ; ђ)ђ) = −1,72; = ;(((− = ;;−1,72; −1 − − + = (− )= =− ; =−1,72; = ; в) −1 −1 −1 −1 −− − + +.+ =.=. ... . = − ;ђ) (−(= )))))== = == ;= ; ;−1 −1 −− −−− +г) д) д) б) = ђ) = − .+− = −1,72; ђ) = − . д) = −1,72; ђ) = − . в) = 1 = ; г) = −17 = − ; =− ; 160. 3,5 + 𝑥 =−104 1 ; 𝑥 = −107,75. 4 (−2 −1 999,25 − −2 000 + −5 − 009,5 +2 009,1) = −4,1. (−2 (−2 (−2 −1 −1 −1 999,25 999,25 999,25 − − −2 −2 −2 000 000 000 +++ +−5 +−5 −5 −5 −5 −(−2 − 009,5 009,5 009,5 +2 +2 +2 009,1) 009,1) 009,1) =−4,1. =−4,1. −4,1. −4,1. (−2 −1 −1 999,25 999,25 −−− −2 −2 000 000 −−− 009,5 009,5 +2 +2 009,1) 009,1) === −4,1. 152. д) а) −5=јесте; б) 0 није решење. −1,72; ђ) = − . ; г) = −17 = − ; 161. 𝑥 − (−3 7 ) = −0,125; 𝑥 = −4.

ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ У СКУПУ Q

ђ)

= − а) . = 0,5; б) = − в) = − 153. =0,5; =0,5; 0,5; 0,5;б) б) б)б)=== =− =− −;− ; в) в)в)=== =− =− −. − а)а) === 0,5; б) − ; ;;;в)в) − . ... . а)а)а)

а) = − б) = − в) = −1; а)а) =− =− −;− ;б) б) б)б)=== =− =− −;− ; в) в)в)=== =−1; =−1; −1; −1; 154. а)а)а) === − ; ;;; б) − ; ;;;в)в) −1;

= −2,8; д) = −1,2; ђ) = 6,3. г) =−2,8; =−2,8; −2,8; −2,8;д) д) д)д)=== =−1,2; =−1,2; −1,2; −1,2;ђ) ђ) ђ)ђ)=== =6,3. =6,3. 6,3. 6,3. г)г) === −2,8; д) −1,2; ђ) 6,3. г)г)г) а) = −4 = − а)а) =−4 =−4 −4 −4=== =− =− −− а)а)а) === −4 − ; ; ;;; ;

162. −20 5 − 𝑥 = 15; 𝑥 = −35 5 = − 425 . 12

153

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 1 –3 –6 –5 –5 –4 –3 –2 –2 –1 –1 00 11 22 33 44 55 –6 –4–4 1

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

в)

1 1 11

2 2 22

3 3 33

5 4 4 5 4 4 55

–5 –4 –3 –2 –1

–2 23

–5 –4 –3 –2 –1 –5 –4 –3 2–2 –1 2–2 –1 –5 –4 –4 –2 –3 3 –2 –5 –3 –2 –1

1 1 11

2 2 22

3 3 33

4 5 4 5 44 55

–5 –4 –3 –2 –13 0

–23223 –2 3

1 1 11

2 2 22

3 3 33

5 4 4 5 44 55

–5 –4 –3 –2 –1

–5 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 1–1 –1 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 1–1 –1 –1 –5

–1 221 –1 12 –1 2

–5 –4 –3 –2 –1

0 0 00

2 2 22

3 3 33

г) 𝑥 > 4, 5;

–5 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –3,5 –5 –4 –3,5–3 –2

1 1 11

2 2 22

–3,5 –3,5

0 0 00

–5 –4 –3 –2 –1

–1,8

–5 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –1,8 –5 –4 –3 –1,8 –2

0 0 00

3 3 3 333

2,25

д) 𝑥 ≥ 2;

–6 –5 –4 –3 –2 –1

1 1 2 2 3 3 1 2,25 1 2,25 22 33

5 4 4 5 4 4 55 3 4

165. а) 𝑥 > −812; {−8, −7, −6 −5, −4, −3, −2, −1}; б) 𝑥 ≥ −10, 25; {−10, −9, −8, …, −2, −1}; в) 𝑥 ≥ 1; ∅; г) 𝑥 < −635; {−7, −8, −9, −10, …}. 3

–6 –5 –4 –3 –2 –1

154

–4 13

–6 –5 –4 –3 –2 –1

4,5 4,5

166. а) 𝑥 < −4 1 ;

ђ) 𝑥 < −5 1 .

–1,8 решења 2,25су: 0; 1 . 164. 𝑥 > −1 1 ; у скупу –1,8 2,25 3

4,5

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –6 –5 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 00 11 222 2 33 44 55 –6

5 4 4 5 4 4 55

–31515 –3 5

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –6 –5 4,555 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 00 11 22 33 44 –6 4,5

5 4 4 5 44 55

–0,75 –0,75

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –6 –5 –6 –3 1 –2 –1 0 1 2 3 4 5

uk a

1 1 11

в) 𝑥 ≤ −3 1 ;

–5 0 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –13 3 00 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –14 –5 3 0 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –6 –5 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 00 11 22 33 44 55 –0,75 –6

0 0 00

–3,5

ђ)

0 0 00

–1 12

д)

–5 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –5 –4 –3 –2

43 44

г)

б)

–5 –4 –3 –2 –1

б) 𝑥 ≥ −0,75;

pr om

163. а)

–4133 –4 3

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–5 14

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –6 1–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –5 –5 –6 –541 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

1 > −4; 167. –5 а) –514𝑥 44

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

б) 𝑥 > −2;

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

в) 𝑥 ≤ −2;

–6 –5 –4 –3 –2 –1

г) 𝑥 –6 ≤ −9; –5 –4 –3 –2 –1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

5 5 1

=−

= −10

–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

= −3 .

− 7,25 = − д) 𝑥 > 4; . 0 1+ (−2,125) 2 3 4 5 − (−2,125) +–2 –1 = −5 –2 –1

= −2 .

–6 –5 –4 –3 –2 –1

−

= 15;

= −35 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –6 –5 –4 –3 –2 3–1 –1 53–1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 0 0

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

−20

–4 −1 –3 –2 ; –1 б) 0 ≥1− 2; 3 168.–6а)–5 < −6 ; б) ≤ 16 ; в) < −5 ; г) ≤ −1 . −4−35. = − . 0 ; − =г)15; ≤ =

< −1 ; б)

а) = ≥− ;

;3 =–1155 ; б)

=−

= −3,25 + 2

= −4 .ђ) 𝑥 ≤ −2.

=3 ;

= 2 ;= −35 г) = = −1; − . −20 в)− = = 15; < −5 ; г) ≤ −1 . = −–3 –2=–1−4 –6д)–5 –4 4 5 1 0 ; 1 ђ)2 3= −1. –6 –5 –4 –3 –2 –1– 21 0

–

uk a

−1–4; –3б)–2 –1 ≥– 212−0 ; 1 2 3 4 5 а) –6< –5 = = 1 ; б) = = 3 ; в) < −5 −4 ; + г)−2 ≤ −1+. = −10 2 15; ; г) = −35 = −1; = − . 0= − = = =− = −3 . = − = −4 ; ђ) = −1. –4 1–3 ; –2б) –1 0 1 =2 3 3; 4 5 а) –6= –5 1 = –4;5 –3−–2 –1 = 0= − 1 2 3 4 5 7,25 < −1 ; б) –6 ≥–5 − –5 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –6 4 –5 41 –5 4 = = 2 ; . г)

в) < −5 ; г)а) ≤=−1 =. 1 ; б) = = 3 ; а) = = 1 ; б) = = 3 ; 1 ;= б) = = = ; б) = = а)= 1 3= ; −1; а) = а) ==1 РАЦИОНАЛНИ ; =б)= ;= 2 =БРОЈЕВИ ; 3 г) в) в) = = 2 ; г) = −1; 2 ;=в) г)𝑐== 3 = в) = 12𝑏 ;д) б)г) ;=; 2 ђ) ; г)= −1. = −1; = == ;= в) 171.а) 𝑎 == −7,4; = −1,75; 4; −1; = −= −1; = −4 д)a) 𝑎 =+ − == −4 ; ђ) = −1. 𝑏 + 𝑐= −5,15; ; =ђ) == д) = 2= − ;−4г)= = в) д)−1; − ==−1. −4 ; ђ) = д) − ; −4 ђ) −1. б) 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 = −9,65; −13,15. д)в) 𝑎 =+ −𝑏 − 𝑐==−4 ; ђ) = −1. + = −10 −4 + −2 −4 + −2 + = −10 + = −10 −2 = −3 + = −2+ −2 + =−4 −10+ ; − 172. −4 +−4 = . −10 =− = −3 . . − збир треба = −3 − −3 =. −3 = −4 +увећати −2 =за + = ==− −10 − 5 − 7,25 = − − 5 − 7,25 = − = −3 . 5 =−−= 7,25 − 7,25 − = 173. − 5 − ,.− −5 − 7,25 = − . − (−2,125) + = −5 + (− . .7,25 је−5 − 5 − =𝑥 − тражени број =+−2. = −5 +. (−2,125) −5 − (−2,125) − (−2,125) + (−2,125) (−2,125) (−2,125) (−2,125) + =− −5 −−5 + −5 =+ −5− = +−5 . −4 + . (−2,125) − ==−5 174. −5 − (−2,125)= + −4 . = − =− −4 = . −4 − ==увећати разлику=треба за . = − = −4 . −3 − = −3,25 + 2 = −4 . +2 ; − = −3 − = −3,25 175. −3 − = −3,25 − = −3,25 + 2 −3 − = −3,25 + 2 −3+ 2 треба умањити за = − = −2 . −3= − − ==−3,25 −2 .+ 2 = =. −2 .број = − је 𝑥 ==−2 − = −0,5; =−−2тражени 176. 𝑥 + =0,5 −1. . а) < −6 ; б) ≤ 16 ; −< −6 ==−2 ; 10б) ≤ 16 број ; је ;. тражени 177. 𝑥 а)= + (−0,8) − ≤; −6 16 ;; б) ≤ 16 8 б) ; ≤б) < а) −6 <; −6 16 а) < а) в) > ; г) ≤ −4 . 𝑥 = −0,45. в) > ; г) ≤ −4 . в) ; > ;г) ≤≤16 г)−4 > . г) ≤ −4 −6 ; б) ;≤. −4 а) в) ; в)𝑥 < ; 178. а) <>−6 11 ; 24 ; в) > ; г) ≤ −4 . ; ;

pr om

+ −2

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 11 –9 –8 –6 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 24 –9 –8 –7 11 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 0 0

1 1 1

2; 2 2

= −1; в) = 15; = −35 = − . −20 –6 11 −5 −2 ; г) + ≤ −1 .− (−2,125) 4< + = −10 −5 − + = −5 + (−2,125)б) 𝑥 ≤ 16 1–6;24 24 д) = − = −4 ; ђ) = −1. 18 =− = −3 . –4 −1 –3 –2 ; –1 б) 0 ≥ 1− 2; 3 4 5 –6а)–5 < 1 –3 –2 –1 = = 1 ; –6 б) –5 =–4 == 3–1−4 ; 00. 11 22 33 44 55 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 − 1 = –5 –4 –3 –2 –1 –6 8 1 − 5 − 7,25 = − –1 81 9 10 11 12 13 14 15–16 16 18 17 18 19 20 −4в)+ <−2 = 8 −5 ;–1+ г) ≤ −10 −1 . 9 10 11 12 13 14 15–16 16 117 18 19 20 1 = =. 2 ; г) = −1; –16 18 18 = − = −3 . −3 − = −3,25 + 2 (−2,125) −5 − (−2,125) + = −5 + в) 𝑥 > 35 ; = − = −4 ; ђ) = −1. 36

= 7,25 = 1 ;− б) = = 3 ; 169. − а)5 =− − == −2 . = − = −4 . . –6 –5 –4 –3 –2 –1 в) = = 2 ; г) = −1; 4 + −2 −5+ − = −10 –6 –5 –4 –3 –2 –1 −516 + ;(−2,125) < −6 ; +б) = ≤ а) (−2,125) –6 –5 –4 –3 –2 –1 = −д) =− −3 =. −4 ; ђ) = −1. 3 − = −3,25 + 2= ; −1 −г)𝑥 = −0,65; ≤ −4 . г) 𝑥 ≤ −4 1 . 170. а)в)𝑥 = > −0,35; 36 =−6,7; −4 −1 . − 𝑥 = 5,7; − ==б) −= − 5 −=7,25 − 𝑥 = −2 . ; −2 −1 − + = −10 в)−4 𝑥 = + −5,21; 𝑥 = 4,21; –6 –5 –4 –3 –2 –1 . 1 –5–4–4 –3 –2 –1 –6 0,6; −+ = −1,6; −+𝑥 ≤== −3,25 2− 36 (−2,125) −5 <−−6 = −5;−1 + 1 –3 –2 –1 –6 –5–4–4 =𝑥 (−2,125) = −3 . ; −3б) г) 16 1 д) 𝑥 = 13,1; −1 − 𝑥 = −14,1; –4 36 36 11,08; = −12,08. > ; г) . .−1 −=𝑥 − = ђ) −−𝑥 ≤== −2 5−4 − 7,25 = − = −4 . . ; −6 − ;(−2,125) б) ≤ 16 а) <−5 + ;= −5 + (−2,125) 3 − = −3,25 + 2

0 35 1 0 36 35 1 0 35 1 36

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

0 0 0

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

36 36

1 1 1

155

–5 –4 –3 –2 –1

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

179. а) 𝑥 < 3 1 ; постоји: 𝑥 ∈ {1, 2, 3}; 3

б) 𝑥 ≥ 1 ; постоји: 𝑥 ∈ 𝑁; 12

–5 –4 –3 –2 –1

г) 𝑥 ≤ 2 1 ; постоји: 𝑥 ∈ {1, 2}. 6

180. а) 𝑥 ≤ 6; тражени број је 𝑥 = −1;

б) 𝑥 < −8 1 ; тражени број је 𝑥 = −9; 9 в) 𝑥 ≤ −1; тражени број је 𝑥 = −1; г) 𝑥 > 0; не постоји тражени број.

181. а) 𝑥 ≤ 4 11 ; тражени број је 𝑥 = 1;

–5 –4 –3 –2 –1 –1,75 –5 –4 –3 –2 –1

–5 –4 –3 –2 –1 0 –0,75 –5 –4 –3 –2 –1 0

2 2

3 3

4 4

5 5

–0,75

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

в) 𝑥 ≥ 3;

1 1

uk a

б) 𝑥 ≤ −0,75;

–1,75

0 0

–5 –4 –3 –2 –1 –5 –4 –3 –2 –1 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 –5

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

5 5 5 5

–5 –4 –3 –2 –1

г) 𝑥 ≥ −4,75;

–1,75

–4,75

–5 –4 –3 –2 –1 –4,75 –5 –4 –3 –2 –1

д) 𝑥 ≤ −1,25;

0 0

–0,75

–5 –4 –3 –2 –1 0 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1,25

–5 –4 –3 –2 –1

156

–1,25

–5 –4 –3 –2 –1

1 1

2 2

3 3

4 4

183. 𝑥 − (−4,5) ≤ −4 1 ; скуп решења су сви 2 рационални бројеви 𝑥 ≤ −9.

184. 𝑥 − 8 1 ≥ −6; скуп решења су сви 4 рационални бројеви 𝑥 ≥ 2 1 . 4

185. −3 0 + 𝑥 < −(−1,4); скуп решења су 5 сви рационални бројеви 𝑥 < 4,6.

186. а) 𝑥 ≥ 0,25; б) 𝑥 < 0,25; в) 𝑥 ≥ 0,25; исти скуп решења имају једначине –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 под а) –3 и в). –5 –4 –2 –1 0 1 2 3 4 5

pr om

25 б) 𝑥 < 4 2 ; тражени број је 𝑥 = 1; 9 1 в) 𝑥 ≤ 3 ; тражени број је 𝑥 = 1; 4 г) 𝑥 ≥ −12 11 ; тражени број је 𝑥 = 1. 20

182. а) 𝑥 ≤ −1,75;

ђ) 𝑥 > 0.

в) 𝑥 ≤ − 7 ; не постоји: 𝑥 ∈ ∅;

–1,25

5 5

–5 –4 –3 –2 –1

–5 –4 –3 –2 –1 –5 –4 –3 –2 –1

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

187. 𝑥 ≥ −1 3 ; 4 а) 𝑥 ∈ 𝑁;

–5 –4 –3 –2 –1

б) 𝑥 ∈ {−1};

–5 –4 –3 –2 –1 –5 –4 –3 –2 –1 –5 –4 –3 –2 –1

в) 𝑥 ≥ −1 3 . 4

–5 –4 –3 –2 –1 –5 –4 –3 –2 –1 3–1 4

–1 34

–5 –4 –3 –2 –1

–1 34

188. а) 𝑥 = − 29 = −4 5 ; 6

б) 𝑥 = 19 = 4 3 ; 4

в) 𝑥 1=5,2; 𝑥 2=−5,2;

г) не постоји ни један број чија је апслолутна вредност једнака негативном броју.

д) 𝑥 1 = −8 1 = − 25 ; 𝑥 2 = 6 5 = 41 ; 3

ђ) 𝑥 1 = −0,75; 𝑥 2 = 7,25.

190. а) 𝑥 = −4;

–5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 –6 –5 –6 –5 –4 –3 –2 –6 –5,5 –1 11–1

00 0

11 1

22 2

33 3

44 4

55 5

–5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 –6 –5 –6 –6 –5 –4 –3 –2 –1

00 0

11 1

22 33 1 44 2 –3 314 1 –3 4

55 5

00 0

11 1

22 2

44 4

55 5

4 4 4

5 5 5

4 4 4

5 5 5

8 8

9 9

–5,5 –5,5

–1 –1 3133

в)

− −10 − 7 = −10 + 7 ; б) 𝑥 =−2 7 = − 31 ; 12 12 г) 3 − −10 − 7 = −10 + 7 ; ; − 7 = −10= + в)−𝑥 =−10 −20 = − . 7 ; 10 − −10 − 7 = −10 + 7 ; =7 − 78 ;= −10 + 7= ;−20 = − . г)−𝑥 =−10 −3 3 − 25 25 = = −20 −20 5= =− − 11.. –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 –6 –5 –6 д) 𝑥 = −1 = − . –3 –2 –1 –6 –5 –4 –3,4 6 6 –3,4 −10 − 7 = −10− +−10 7 ; −+7 −7= −10 +4 + =7−7; − −4 + 3,125

–3 44

−

0 1 2 3,25 3 4 5 –2,5 БРОЈЕВИ –2,5 РАЦИОНАЛНИ3,25 3,25

б)

189. а) 𝑥 1 = −0,75; 𝑥 2=3,75; б) 𝑥 1 = −2; 𝑥 2=25; в) једначина нема решења; г) 𝑥 1 = −0,25; 𝑥 2 = 1 2 ;

–5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 –6 –5 –6 –2 –1 –6 –5 –4 –3 –2,5

33 3

uk a

pr om

= −20 –3,4 − −10 =−− 7 . = −10 + 7 ; − 7+ 7+=;−10 7 ; = −7 − −4 + 3,125 −− 7 −10 = −10 191. =−− −10 −7− ++4 = −20 . + = −20 =− −−3 . + = = . 3,125 + −7 4 = −7 −4 3,125 + −7 + 4 = −7 − −4 + = −20 = − . 198.а) = −20 . + 3,125 тражени = број −20 + −7 је+=4− =. −7 =−− −4 = −3 = − . = = −3 −3 = =− − .. + −7 + = 4 = −7 − −7 −4 + + 3,125 4 = −7 − −4 + 3,125 = 4−+ 192. + −3 −7 + =. −7 − −4 − + = 3,125 −3,125 − (−1,25) − −6,6 + 4 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 + −7 + 4 = −7 − −4 + 3,125 + −7. + 4 = −7 − −4 + 3,125 1 1 = −3 = − . − = −3,125 − (−1,25) –1−2 −6,6 1+2 4 тражени број је = −3 = − − = . − = −0,525. − − − (−1,25) −6,6 + + 44 − −3 − = = −−3,125 −3,125 − (−1,25) − −6,6 =− . б) = −3 = −= −3 . 193. − − = −3,125 − (−1,25) − −6,6 + 4 = −0,525. = = −0,525. −0,525. −6,6 +−4 (−1,25) − −6,6 + 4 − − = =−3,125 − (−1,25) − − =− −3,125 − −0,525. − = −3,125 − (−1,25) − −6,6 + 4 (−3,25) |−1 + + 1+ 4 тражени број је 𝑥 =−−0,525. − − =|(−1,25) −3,125 − −6,6 + = 4−− −6,6 − (−1,25) –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 = −0,525.− − = −3,125 = −0,525. –2,25 2,25 = −0,525. | | −=1− +; (−3,25) = −5 =5 = = −. + 1 (−3,25) + = − + 1 1 194. || =|| − (−3,25) + = − + 1 − 1 −0,525. = −0,525. в) = −5 = − ; =5 = . (−3,25) | = |=−−5 + = − + 1 1 = − ; = 5 = . −5 = − ; =5 = . (−3,25) | | − 1 += −5 ==− = | −| −; +1 1 =−2 +5 (−3,25) < .< = − −; + 1 | | − 1 + (−3,25) = − +1 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 | −=1 . =+−(−3,25) =− +1 –5 –4 –3 –2 1–1 0 1 1 2 3 | − ;1 + +; 1 <= = 195. −5 а) =| − =|(−3,25) 5= Заједничка решења су: −2 <= − ;. −5 = − 5 –1 2–1 1 –5 –4 –3 –2 −2 −2= < < < <=− −− ;; ; –1 112 0 11 2112 2 3 −5 =5 = . –1 12 = 5− =; . = 5 = . −5 <=−− ;= −5 ; = 2 г) −2 = < б) Заједничка решења су: −2 ≤ ≤ − .

−2 < < −1 ; −2 ≤ ≤ − . −2 < <цели − ; бројеви 196. −2 −3 <≤𝑥 ≤ ≤ тражени су: −28 ≤ ≤6;− − −2 < < − ;.. −2 < < − ; −2 < < − ; 𝑥 ∈ ≤ {−3, ≤ −2,−−1,. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. −2

−2 197.а) ≤ ≤− . −2 ≤ −2 ≤ ≤ − . −2 ≤ ≤ −2 − . ≤ –6 –5 –4 –3 –2 –1

–2,5

≤− . ≤− .

3,25

д)

–5 –4 –3 –2 –1 –5 –4 –3 –2 –1 –5 –4 –3 –2 –1

0 0 0

–9 –8 –9 –8 –8,25 –9 –8 –8,25

0 0 0

–8,25

–5 –4 –3 –2 –1 –5 –4 –3 –2 –1 –5 –4 –3 –2 –1

0 0 0

1 1 1

2 2 2

3 3 3

8,25 8 9 8,25 8,25 1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

157 5 5 5

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

ђ)

–9 –8

–8,25

–5 –4 –3 –2 –1

8,25

б)

∙

−3 4

−5 6

− 30

−1

3 4

5 6

30 12

0 1

pr om

uk a

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА

− 30 40 36 12 а) − а) − ;; б) б) − − ;; в) в) − − ;; г) г) ;; б) а)− − ≤ ≤ ≤ ≤ ;; б)1,5 1,5 < < < < 4; 4; 199. а) −18 −20 −60 24 в) д) в) ≤ ≤ −2 −2 ии ≥ ≥ ;; г) г) < < −2 −2 ии > > .. д)− − ;; ђ) ђ) .. а) а) − − ; ; б) б) − ;;;; в) в)− − ;;;; г) г) ;;;; а) а)− − − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ;;;; б) б)1,5 1,5 1,5< < < < < <4; 4; 4; − − а) − − ;;; б) б) − − в) − г) 205. а) а) − ≤ ≤ б) 1,5 < < 4; а) − б) − ; в) в) − ; г) г) ; а) б) а) − ≤ ≤ ; б) 1,5 < < 4; ≥ −1 ; < ; ; б) − ; в) ; г) ; а) ≥ −1 ; < ; ; б) − ; в) ; г) ; а) 200.в) а) − б) а) ≤ ии ≤ б) < в) −≤ ≤−2 −2 и ;≥ ≥ ;;;; г) г) 1,5 <−2 −2 < > .... ≤ −2 ≥ г) < −2 иии4;> > д)− − ;;;;; ђ) ђ) −.... ; в) − ; г) ; д) − ђ) в) ≤ −2 ≥ г) < −2 > д) − ђ) в) и < и д) в) ≤ −2 и ≥ ; г) < −2 и > . д) − ; ђ) а) − ; б) −. ; в) − ; г) ; а) − ≤ ≤ ; б) 1,5 < < 4; д) − = −1 ;; . ђ) ∩ = ⎸ ∈ и − 1 ≤ < . д) − = −1 ђ) −9.− ; г) ; ∩ = ⎸ ∈ и − 1 ≤ < . а) ; б) ; −9. в) в) ≤ −2 и ≥ ; г) < −2 и > . д) − ђ) − а) − ≤ ≤ ; б) 1,5 < < 4; ≥ −1 ; < ; ≥ −1 ; < ; ; б) − ; в) г) ;;;; ; б) − ; в) г) а) а) в) ≥ −2;;; и < д) −;;; ;б) ђ) ≥≤ −1 <≥ ;;; ; г) < −2 и > . 206. а) б) − − ;;;. в) в) ;;;;; г) г) а) −1 ≥ −1 < б) − в) г) ; а) ;−2; г). в) ;− = −21,5и< ≥<; 4;г) < −2 иа) −> ;. б) − а) д) −в) ;−б) ђ);4; −6 − = −6 а) −2; б) 4; в) а) − ≤ ≤ ;в) ≥≤−1 б) ; ⎸⎸ ∈∈< и;и−−11 ≤≤ << . . ; ==б) − ;; ; ђ) в)−9. ; г) ; ;; а) д) − д) − −1 ђ) −9. −1 ∩ ∩ = = д) −; = =б) −1− ;;; ; ђ) ђ)в)−9. −9. ∩≥ = = ; ⎸⎸⎸ ∈ ∈< ии и; − − 11 1 ≤ ≤ < < ... д) −1 ∩ д) − = −1 ђ) −9. ∩ = ∈ − ≤ < −1 ; г) ; а)− в) ≤ −2 и ≥ ; г) < −2 и > . д) − ; ђ) .г) 2; д) − ; ђ) − г) − 2;; =д) − ђ)−9. −; = = −1 −1 б)−1 − ; ;; ђ) в) г) ; ;; а) д) ∩≥ −1 = ; ⎸ ∈< ;и − 1 ≤ < . = −6 = −6 а) −2; б) 4; в) − а) −2; б) 4; в) − = −6 −6 ;;;;; а) −2; б) 4; ; в) в)ђ)− −−9.= д)−2; − =б) −14; ∩ = ⎸ ∈ и−1 ≤ < . 207. а) = −6 а) −2; б) 4; в) − ≥ −1 ; < г) ; ; в) а) д)в) − ;= б) −14; ђ)−−9. = −6 ; ⎸ ∈ иб) −441∙∙ (−2) ≤ < . ; б) − ;а) а) = (−2) а)∩33;∙∙ 55== = 15; 15; б) = −8; −8; −2; г) 2; д) − г) 2; д) − ; ; ђ) ђ)−− − = =−6 −1 −1 ;;;;; г) 2; д) − ; ђ) − = −1 г) 2; д) − ; ђ) − = −1 а) −2; б) 4;; в) г) 2; д) − ђ) − = −1 ; = −5 ; а) 33; б) − = −5 ; а) 33; б) − .. ; а)ђ)−2; = = −1 в)22и∙∙ −− −1 ≤ =− −<;; г) − = =− − = −1 д) − = −1 −9. б) 4; в) − = −6 ; ∩ = ⎸ ∈в) .г) 33 ∙∙ − г) 2; вредност д) − ; ђ) − = ; целобројну имају: а),−1 б), г). (−2) (−2)= а) а)3333∙∙∙∙5555= = =15; 15; 15; б) б)4444∙∙∙∙(−2) =−8; −8; −8; (−2) а) = 15; б) = −8; г) 2; д) − ; ђ) − = −1 ; а) б) = а) 3 ∙ 5 = 15; б) 4 ∙ (−2) = −8; в) в)− − = = −54 −54 ;; г) г) = = 29 29 ; д) д) −69; −69; =− −6 ; ; ђ) − = −1 ; а) −2; б) 4; г) в)2; − д) = −5 ; = −5 ; а) а) 33; 33; б) б) − − (−2) а) 3 ∙ 5 = 15; б) 4 ∙ = −8; −1 208. −1 в) в)2222∙∙∙ − − = =− − ;;;; г) г)3333∙∙∙ − − = =− − = =−1 − = − г) − = − = = −5 −5 ;;; а)33; 33; б) б) − − = а) −1 в) − = − г) − = − = = −5 а) 33; б) − .... в) в) = − ; г) − = ђ) ђ)− − = = −26 −26 .. а)23 ∙∙ 5−= 15; б)34∙∙ (−2) =− −8;= −1 . а) 33; б) − ;;= г) 2;= −1 д) − ђ) =−54 −1 а) − ;; ; б) = . ;в) 2−∙∙ 5−= =− г)− − =;;−8; − а)3 = −2 −2 б)б) −3 = −5 −5= в)− −− = = −54 ; −5 г) г) ; = = =29 29 29 ;;;; д) д) д)−69; −69; −69; 201. в) а) = 15; 4 ∙∙ (−2) − = −54 г) = 29 д) −69; в) в) г) в) − = −54 ;; −5 г) 29 ; д) −69; ;= а)− 33; = б)−54 − ;= в) 2 ∙ − = − ; г) 3 ∙ − = − = −1 . = 33; −;; . б) в) − = −54 ; −5 г) ; = 29 ; д) −69; = 19 −14; а) в)− −1 ; =; г) г)г) 3 = = 5 ;; = − = −1 . а)− = 19 б) −14; 2−∙б)− = ;− ∙ 5− (−2) ђ) ђ) − = = =б) −26 −26 а) 3 ∙ 5 = 15; в) 4=∙−1 −8; ђ) − = −26 .... ; г) = 29 ; д) −69; ђ) − = −26 ђ) − = −26 в) − = −54 а) а)− − − = = =−2 −2 −2 ;;;; б) б) б) − − − = = =−5 −5 ;;;; а) − = −2 б) − = −5 а) = −5 =− −5 = ;==−7 д) − = −2 ђ) 22 −5 д);− −г) = −2 ђ) =−1 −54;;. ; г) 29−12; ; д) −69; −26 ђ) в) − −7 г)г)−6; −6;=д) д) −12; ... ; а) 33; б) − в) в) 2 ∙ − = −а) 3=∙−2 − ; ;; =б) − −== а) −2 б) − = −5 ; ђ) − = −26 . 209. в) в) − − = −1 ; г) = 5 ; = −1 ; г) = 5 ; а) а) = = 19 19 ; ; б) б) −14; −14; в) − = −1 ; г) = а) = в) − = −1 г) =5 а) = 19 19 ;;; б) б) −14; −14; 55= ;;;−5 ; в) − 19 −14; 202.в) а)− − = =−1 −2 ;;; г) б) −= = −54а) ; −г)= =−26 29.. б) ;. д) −69; = ђ) ==14 14 ђ) в) − = −1 ; г) 5 ; а) = 19 ; б) −14; а) −2 − = −5 ; д) д) − = −2 ; ; ђ) ђ) = = 2 2 . . = 4 ; б) − = −7 ; а) в) − в)− − = =−7 −7 ;;;; г) г)−6; −6; д) д)−12; −12; = −7 г) −6; д) −12; 4= −2 ; б) −= а)− д) ;; ђ) .. ; д) −= = −2 ђ) = 22= −7 в) − = −7 г) −6; д) −12; д) в) −7 −6; д) −12; в)− − = = −2 −1 ;; ђ) г) ==25 ;. а) ; ; б)г) −14; ђ) − = −26 в) . − ==19 д) = −2 ђ) −1 ; ;; ;г) а) = 19 −14; в) −7;. . ;б)г) −6; д) −12; а) − = −2 ; в) б) −= = −5 = −11 −11 г)22; 22;= 25 ; . в)− − == 14 ђ) ђ) − = 14 = 14 ... ; г) −6; д) −12; ђ) = 14 ђ) д) − = −2 ; ђ) = 2 . = 14 ђ) в) − = −7 =4 4 ;;;; б)− − = =−7 −7 ;;;; б) а) а) = = 4 = б) − = −7 а) = 44 б) − = −7 а) д) −2 ђ) = в) − = −1 ;а) г) = 5 ;;; ; б) = 19 ; в) б)−−14; = 727 −7 .. . ; а) −7 . ; г) −6; д) −12; д) − − ==;−2 −2 ђ)− == ==14 ђ) 210. ђ) 203.в) = 4 ; б) − = −7 ; а) = 14 . = −11 ; г) 22; = −11 ; г) 22; в) − − = −11 −11 ;; г) г) 22; 22; в) −ђ) = −11 в) − д) − = −2 в) ;а)− = 4= = ; 2 .; г)б)22; − = −7 ; в) − = −7 ;ђ) г) −6; = 14д) .−12; г) в) −== 4=−2 ;−11 б)22; −= а) д)− д) = −2 ;;;; ; ђ) ђ) =7 7 ..−7 211. д) − = −2 = 77= д) − = −2 ђ) = .. ; д) ; ; ђ) ђ) −11 г) 22;= 7 . в)− − ==−2 = 14 . г) ђ) г)− − = = −5 −5 .. д) ==−2 ђ) 22;= 7 . −11 в) −б) − = ;−7; ;г) а) = 4 ; 212. д) − = −2 ; ђ) = 7 . д) − = −2 ; ђ) = 7 . 204. ;а) г) 22; в) − = −11 а) − а)− − ∙∙= − б) − − ;; г) − =− −5 = . ;; б) г) −5 ..= 3 5 30 г) − = −5 г) − = −5 ∙ г) − = −5 .. 4 6 12 д) − = −2 ; ђ) = 7 . г) − −5 + . 11 = в) − + =− − = = −1 −1 ;; в)− − ∙∙ = − 0 0 0 0 г) − = −5 . а) а) − ∙ − = ; б) − ; ∙ − = ; б) − ; 213. а) а)− − ∙∙∙ − − = = ;;; б) б) − − ;;; а) б) − г)− − =−−5= . 3 5 30 −4 −6 − 12 −1 а) − ∙ − = ; б) − ; − + +111 = =− − = =−1 −1 ;;;; + = − = в)− − ∙∙ − в) − + = − = −1 в) − в) а)− − ∙∙∙∙ − = 11 ; = б)− − = ; −1 − + −1 ; − = −5 . в) 1 1 1 1г) − − 30 − 40 − 36 − 12 а) − ∙ − = ; б) − ; в) − ∙ − + 1 = − = −1 ; −1 ; в)−7; − ∙ − + 1 = − в)=700; 214. а) 18 20 60а) − ∙ − = в); − б)∙ −−;б) −70; 24 + 1 = − = −1 ; г) −6,2; д) −62; ђ) 620. 158

в) − ∙

−

+1 =−

= −1 ;

а) − ; б) − ; в) −0,179; а) − б) − в) −0,179; а)− − ;;; б) − − ;;; в) в) −0,179; −0,179; а) б) − −0,179; ; в) −0,179; а) − ; а) −б) ;− ; б)в) г) −0,4; д) 22 = г) −0,4; д) = г)−0,4; −0,4; д) д) РАЦИОНАЛНИ = г) 22 = БРОЈЕВИ г) −0,4;г) −0,4; д) 2 =д) 2 =

− ;− ;− ;; − ; 226. а) 44 а) − − − − а)− − ;;; − −− 6;;; − − ;4 ;− − −;;;5 а) 𝑎 45 а) − ; − ; − ; − ; а) − ; − ; − ; − ; б) −2, −3, −5, −111; б) −2, −3, −5, −111; б)−2, −2,−3, −3,−5, −5,−111; −111; б) 9 б) −3, б) − −2, −5, −111; − ;1−5, −−111; − 11 2−2, 𝑏 ;−3, − ; − ;20 в) 8− 15 ; − ; − ; − ; в) − − ;; − − ;; − − ;; в)− − ;; − в) ; − ; − ; − ; в) − ; в) − ; − ; − ; − 100 4 ; − ; − ; − ; г) − − − 3 − 32 : 𝑏 ;;; − − − − г) − − ;;; − − ;;; − − ;9;; г)𝑎 − − 3 г) − −; −; − ; ;−− ;; − ; г) − ; г) ;− ;− ;− . д) − − − − д) − −3 −− 1;;; − −− ;;1; − − ...9 д)𝑏 − − д) : 𝑎 ;;; − 3 32 100 − −; −; − ; ;−− . ; − . 4 д) − ; д)

216. а) 0,08; в) −0,4722; д) −0,225;

б) −0,045; г) −0,20635; ђ) 107,04.

217. а) −237,51; б) 3,1968; в) −1 564,345; г) −0,03384; д) 2,025; ђ) −0,82. 218. а) − ;

г) −0,4;

б) − ;

д) 2 =

в) −0,179;

−4 9

4 9 9 4

;; б) − ;; в) ;; −0,003; − 227. а) а) −0,3; б) − в) а) − б)б) −0,03; в) в) а)− − ;; б) − ;; в) ;; а) г) − −0,12; ; ; а) − б)д) −;0,012; ;б) − в) ; ђ) ; в)−0,0012. а) г) − ; д) ; ђ) − . г) − д) ђ) − г)− − ;;; д) д) ;;; ђ) − − ... г) ђ) − . ; г) − д)б);−0,251; ; д) ђ); − в)ђ) .0,0251; 228. г) а)− −2,51; г) − 43,241; д) −4,3241; ђ)= −0,43241. а) = −10 ;; б) − −7 ; а) − = −10 б) − = −7 а)− − = = −10 −10 ;; б) б) − − = = −7 −7 ;;; а) а) −10 − =; ;−10 ;− б) −−26;=;−7 ; а) − = б) − в) ==−0,13; −7 229. в) а) −20; −38,9; б)−−0,005; д) г) ; д) − = −26 в) −20; г) − д) − − = −26 −26 ;;; в)−20; −20; г) г) − − ;; д) = в) г) 0,0381; д)=−0,2. −−26 =; −26 ; в) −20; ;г) − д) −; ђ) в) −20; г)д)−−0,015625; = 58 .. ђ) = 58 ђ) = 58 58 б) ђ) −0,51; = .. −60; 230. ђ) а) в) −800; ђ)58 . = 58 . = ђ) г) 55,2; д) −4,5; ђ) 1 200.

uk a

pr om

у задатку је примењен закон комутативности. а) − ; − ; − ; − ; 219. б) а) 114; в) −2 129; а) −2, − ; −3, −5, б)б)−−391; ; в) −0,179; −111; а) − ; б) − ; в) −0,179; г) 3 3 ; д) −10; ђ) 171; г) −0,4; д) 2 ;= ; −− ; −в) −0,179; ; в) − 4;; − б) а) −0,4; − г) д) 2 = а)задатку − ;; б)примењен − ;; в) в) −0,179; −0,179; уа) је закон − б) − ; − ; − ; − ; г) − асоцијативности. г) 2 ;=− ; а)−0,4; − ; − д) ;− г) −0,4; д) 2 = г) а) −0,4; − ; − д) ; −2 ;=− ; ; − ; − ; − г). =; д) =. д) − 220. б) а) −2, >; −3, б) <; <; −5, в) −111; а) − − −5, ; −−111; ;− ; б) −2,;−3, а) − − ;; − − ;; − − ;; ; − −− ;; ; 221. в) а) ; б) − ; а) − б) −2, −3, −5, −111; ;− ; −в) ; ; в) б) −2, −3, −5, −111; б) − −2, −3, − −5, ;− − −111; ;− − ;; г) − в) − ;;;; − д);; − ; ;; − ђ) − . г) − ; − ; − ; − ;;; в) − в) − ; − ; − ; − − ;; − − ;; − − .; д)− − ;; − г) ; − ; − ; − д) − ; − ; − ; − г) − − ; − ; − ; − . ;; г) а) − = −10 ; б) − = −7 ; д) − ; − ; − ; − . ; б) − ; в) а) − − ;; − ;; − − .. ; д) − ;; − д) а) − д) − ; = −26 ; в) −20;; б) г) − − ; в) г) − − ;; б) д) − ; ; в) ђ) − ; . а) − ;; 58 д) = .−; ; ђ) ђ) б) в) − ;; . а) − 222. г) а) − ; б) − ; в) г) − ; д) ; ђ) − . г) − ; д) ; ђ) − − а) − = −10 ; б) − = г) − ; д) ; ђ) .. −7 ; а) − = −10 ; б) − = −7 ; а) = 3 ; б) −6; в) ; г) − ; = −26 ; в) −20; г) − ; д) − 223. в) а) −20; − = −10 д) − ==−7 −26; ; г) − ; ; б) а) − −; = = −10 ; б) − − = = −7 −7 ;; д) ђ) −4. а) −10 ; б) = 58 . ђ) = −26 ; в) −20; г) .− ; д) − = ђ) д) − − = −26 −26 ;; в) −20; −20; 58г) г) − − ;; д) = в) 58 ђ) б) ..; в) − ; а) − ;= = 58 58 ђ) = ђ) а) = 3 ; .б) −6; в) ; г) − ; а) −= = 3 −1 ; б) ; г); −ђ); −4. 224. г) ; −6; д) − в)= −1 д) = ; ђ) −4. а) б) −6; в) ; г) − ; д) ; 33ђ);; −4. а) = б) −6; −6; в) в) ;; г) г) − − ;; а) = 3 ; б) = 1 ; б) −3; в) = 3 ; а) д) ; ђ) −4. 225. д) ; в) − ; а) − ; ђ)б)−4. д) − ;; ; ђ) −4. а) г) − . б) ; в) − ;

− 16

215. а) −4 805,2; б) 12 150; в) −9 000,5; г) 310,014; д) −11 130; ђ) −201 108.

г) − ;= −1 д) − − ;= −1 ; ђ) −4. б) ;; в) а) г) − ;; −д) б) = в) − − а)= − −;;= −1 ;б) ; = в) ;; =−1; ; ђ) −4. а) − г) − = −1 ; д) − = −1 ; ђ) −4. −3; в)−1 а) г) − − == =1−1 −1; ;; б)д) д) − = = −1 =;; 3 ђ) ђ); −4. −4. г) − = 1 ; б) −3; в) = 3 ; а) а) − ; б) −1; в) 11;

= 3 ; б) −6; в) ; г) − ; 231. а) >; г) а) = б) −6; в) г) − а) <;= = 333б);;;<; б) б)в) −6; в)=.;;; г) г) − − ;;; а) −6; в) ; 2б)в)−6;; г) в) ; г) − ; а)а) = 3а); =б)3 −6; ) је веће; − ; 232. д) ∶ (−1 ;(−0,001) ђ) −4. 3 д) ; ђ) −4. д) ;; ђ) ђ) −4. −4. д) д) ; су; ђ) −4. д)б) ;једнаки ђ) −4. в) једнаки ; б) ; су.в) − ; а) − б) в) − а) − б) ;;; в) в) − − ;;; а)− − ;;; б) а) б) −; ;в) − ; − ; в) а) − ; а)б) г) − = −1 ; д) − = −1 ; ђ) −4. г) − = −1 д) − = −1 ђ) −4. г)− − = = −1 −1 ;;; д) д) − − = = −1 −1 ;;; ђ) ђ) −4. −4. г) − д)−1 − ;= −1 ; ђ) −4. д) ђ) −4. 233. г) а)− >; =г) б)−1 <; ;=в)−1 =. −; = = 1 ; б) −3; в) = 3 ; а) = б) −3; в) = а) = 111 ;;; б) б) −3; −3; в) в) = = 333 ;;; а) = 234. а) 1 −3; ; б)в)−3; =в) 1 ; = б) 3 ;=3 ; а) = а) .. г) − г) − г)− − .. г) г) − . г) − . = − ; = − ; = ; = − = − = =− − ;;; = =− − ;;; = ;;; 235. = = = − ; = −= −; ; = −= ;; = ; најмању вредност има 𝐵, а највећу 𝐶. а) − ; б) −1; в) 11; а) − б) −1; в) 11; а)− − ;;; б) б) −1; −1; в) в) 11; 11; а) ; б)в)−1; 236. а) − а) ; −б) −1; 11; в) 11; г) − = −3 . г) − = −3 г)− − = −3 −3 ... г) = г) − г) =−−3 =. −3 .

= − ; = − ; = ; = − = − = =− − ;;; =− − ;;; = ;;; = = = = − ; = −=; − ; = − =; ; = ; < < ; б) + + = − . а) < < б) + + = − а) < < < ;;; б) + + + + = =− − ... а) < б) а) + . =− . а) < а)< <; <б) ; + б) + += − а) − ∙ 0,5 + ∙ 0,5 = − ; а) − 0,5 + 0,5 = − 238. а) а)− − ∙∙∙ 0,5 0,5 + + ∙∙∙ 0,5 0,5 = =− − ;;; а) −+ ∙ 0,5 ∙ 0,5; = − ; а) − ∙ 0,5 ∙ 0,5+= − слично се поступа и у; следећим примерима: в) − = −13 = 38 . в) − = −13 ;; г) г) = 38 в) − = −13 г) = 38 ... в) − = −13 ; г) = 38 5 2 = 1− ; в) б) в) =−−13 =; −13 г) ; =г)38 = . 38 . 237.

159

uk a

pr om

= −3 −3 −∙ −= а) =+ + =− − ;; ; б) б) ((= + + )) ∙∙ = = 0; 0; б) а) 4− + −;; = −2; − ;∶∶ = = 0; а) б) а) 4 ∙∙ − + − = −2; = − ; = ; = 0; ( ) = −3 ; − а) + ∶ = − ; б) + = 0; ∙ б) а) 4 − + − = −2; ( ) = − ; = ; = 0; = −3 ; а) + ∶ = − ; б) + ∙ = 0; б) − )= в) −; ; .. б) (= 0; ∶−(( ;∶− − = в) − = −2 ; ; г) г) = −12. а) 4− + БРОЈЕВИ − −2; =−2 −3 −∙ − а) = ∶+ −− + ) ∙ = 0; = б) ) РАЦИОНАЛНИ в) = в) = ; −12. а)4− 4 ∙ − + − = −2; ( = −3 ; а) + ∶ = − ; б) + = − ; = ; = 0; )) ∙∙ = ) ( б) а) ∙ − + − = −2; в) = − ∶ − . в) −2 ; г) −12. = − ; ; = 0; ( а) ; ; . б) = + = 0; 0; б) в) =+∶−( ;∶ − =) − = − в)4−∙ −= −3 −2 −12. а) + −; ; г) = −2; = 0; а)44− 4− ∙− −= +− − = −2; ( ) ) ( = −3 ; а) + ∶ = − ; б) + = 0; ∙ в) = − ∶ − . в) −2 ; г) −12. б) = − ; = ; = 0; а) а) ∙ ∙ − + + − = = −2; −2; 239.б) 251. в) а)− 4−∙∙ − − + ;− −; ; г) −12. = −2; −2; ==+ − = =− = 0; − ;∶ = =−; ;;;;; . б) =0; 0; ))∙ ∙ ==0; ))== (( ;;∶;− (= ∶∶− в) = −3 а)= + б) (= + 0; б) а) 4 + = ==−2 −3 − а) − + = − = 0; в) = − − . в) − = −2 ; г) −12. а) 4 ∙ − + − = −2; = ; ; б) (= + 0; ) ∙ = 0; −2 4,14; ; б) б) = ;; = 4,14; −3 − = а) =+− ;∶ = − б) а) −2 = ( ) слично се поступа )− в) = ∶−(−2 .б) в)− − −2 ;;и;;; уб) г)следећим −12. а) 4 + = −2;= ;; = −3 − а) + ∶∶− = = − б) + = б) = 0; а) −2 = 4,14; (((=+ )= ))∙∙∙∙ = = −3 −3 − а) а) ∶∶;− ;;;; ; + + = 0; ∶+ − + −2 = 10; б) =− −3 ;− −∙ +− а) =;+ + = −−− б) += =0; 0; .. б) −2 = 4,14; б)−12. )= в) = − ∶((−2 −= = .=б) в)− − −2 ; =; г) г) −12.= а) 4б) ∙а) −2; ) в) ∶ . в) = −2 ∶ − −2 = ( ) 1 = −3 − а) + ∶ = − ; б) + ∙ = 0; = − ; 0; б) примерима: а) 4 ∙ − + − = −2; − + −2 = = 1 ( ) −(−2 ; = ; = 0; =−2 −3 ; .г) − = а) =∶∶∶+ ∶ = − ; б) + = 0; ∙ б) ) в) = − − . в) − ; −12. = 1 а) −2 = 4,14; б) = ; −2 − + −2 = = 1 .. в) = =;;11; ; г) .г) ))= а) −2 = 4,14; б) = ;; ( )∙ = в) = − ∶∶((((−2 . в) − = −2 г) −12. =−2 −3 − = а) + ∶− = − ; б) + =1 0; . б) ) ) = . в) в) в) = − − ∶ ∶ − − . . в) − − = −2 −12. −12. в) = − − . а) −2 4,14; б) = в) − = −2 ; г) −12. − + −2 ) ∙ = =1 . г) −12. ( ) ( = −3 ; а) + ∶ = − ; б) + = 0; в) = − ∶ − . в) − = −2 ; б) −в) ∶ −2 − + −2 = = 1 = −2 −3 − = а) ∶ + − −; +. б) )−= ( ∶− = в) ∶ −2 б) в) −2 − а) = 4,14; б) −12. = ; −2( + =) ∙ ==10; .. = ;1; .г) в) а) −2 = 4,14; б) = ; ) ( в) ∶∶ −2− − = − +. −2 в)−2 − = = 4,14; −2 г) −12.= ; = .. б) в) а) 1 . =г)1 1; −12. = −1 б) + − ;;−2в) в) = = 11 = а)( − −∶− −2 )− в) ∶а) = −)−− в) −в) =− −2= а) −2 =;;−2 4,14; б) ;−12.= ; 252. = = −1 ;; . − б) − = ;; 11 . . ( в) = ∶ . −2 в) − = ; г) ∶ −2 + = = = = − а) −2 = 4,14; б) = ; = −1 ; б) − ; в) = 1 ; а) − = = 1 . в) =−2 −= =1− −б) а) а) −2 ==;;4,14; 4,14; б) = == ;;; = −1 −; б) + − −2 ; в) = =1= ; 1 . а) −∶ −2 а)−2 4,14; б);; = − в) а) −2 =; 4,14; 4,14; б) = ;; === 1 − . . б) в) = −= = ; ∶ −2 − + −2 = = а) −2 = = ; д) = 3 ; ђ) − = −7 ; г) ∶ ∶ −2 −2 − − + + −2 −2 = = = = = −1 ; б) − ; в) 1 ; 111 а) − ∶ −2 − + −2 = = 1 ..... =; === 1 −. =; 1 . в) д) =;− 3 б) ; − ђ);− − в)= == −7 ;;= г) −;; ∶ д) −2 + −2 = 1 = −1 1 а) = − − ∙ − = = 1 . в) 240.в) = 3 ; ђ) −7 ; г) а) −2 = 4,14; б) = ; +ђ);−2 = = −1=;−3 б) 253. а) д) ; − − в) = = −71 ;;= 1 . г) −;∶ −2 = == == 111− .. = в) − − = =;; = 1 . в)= ;; = = а) −2 =− б) − ∙∙∙ 4,14; − = − = = = 1−... б) в) е) −30; ж) −210. ∶ −2 − + −2 = а)=−2 4,14; − −= = = 11 ..;= ; = −1 ; б) − ; в) = 1 ;= ; 1 . а) − = 1 в) ; д) = 3 ; ђ) − = −7 г) е) −30; ж) −210. ∶ −2 − + −2 = = е) −30; ж) −210. = −1 ; б) − ; в) 1 ;. 1 . а) − = − ; = − ; ; д) = 3 ; ђ) − = −7 ; г) = −1 ; б) − ; в) = 1 ; а) − − = ∙− −=; ===1 −. =; 1 . −2 ж)= −210. − −2 = −7 = ;= в) е) −30; ; ∶ д) 3 ;б) + ђ) − г) = − ; = − ; = −1 ; − ; в) = 1 ; а) − ∙ − = = 1 . = = 1 . в) − −в) −1 б) в) = 1 а) − е) −30; ж)=;−210. =; −3==1;−. = ; = д) ; − ђ);;;;− в) −7 г) = б);1− − . = = −3 −3 ;; а)= −∙−−= == −1 ;;;3 б) б) −− в) = = а) а) − =−1 −1 б) − в)== =111 1;;;;;;;; а)− − е) −30; ж) −210. −3 = ;− б) а) − ; д) = 3 ; ђ) − = −7 г) = − ;;−3 = − ;;− − ∙ − = 1 . = −1 ; б) − ; в) = а) − ; д) = 3 ; ђ) − −7 г) е) −30; ж) −210. = ; б) = −3 ; а) − = = − − ; ; = − ; ; = − = − б)−1 −5; −130; г)−7 −2; а) − ;3 в) б) − =−2; 1; ; = −3 ==; − = б) − . . = −3 ; а) = −∙ ∙−−− − =;;11 ; ;;; д)= =−210. ;в) −130; ђ) ;− в)=г) г) б) −5; −130; г) а) 241.− = −.−=;; −3= =; − б) е) −30; ж) б) −5; в) −2; а) ; д) = 3 ; ђ) − = −7 г) = −1 ; б) − ; в) = 1 − в) − − = −3 ; а) − ∙ = = 1 . ; б) −5; в) −130; г) −2; а) ;−30; ;; −1 д) д) = =б) 333−;;; ; ђ) ђ) − −− == == −7 −7 ;;;;; г) г) е) ж) −210. д) ж) = ђ) −7 г)−30; в) − .= е) −210. = − ; = − ; = ; в) 1 ; а) − −3 ; б) − = −3 ; а) − ; д) = 3 ; ђ) − = −7 г) − ∙ − = = 1 . в) . − − = ==; ; б) = ==11 −1 ;3− =−2; 1 ;; ; −;= = 4= ђ) −б) д) −3− − а) ; 4д) б);;ж) −5; в) −130; а)−30; −− −= 1 .. ..= −3 ; в) −∙∙;∙∙ − .= = ; ..− ђ) ;− в)=г)−7 г) е) −210. =− − − = = 1 ђ) д) = − ; = − ; е) −30; ж) −210. ; б) −5; в) −130; г) −2; а) ;ж) ђ) д) − = 1− . = −3 ; ;= 3− ; .−130; = г) ;= 4д) −5; в) г) −7 −2; ; а) = −3= ; б) а) − ∙ .− е) е) −30; −210. −210. е)−30; −30; ж)= −210. в) 4б) ;ж) ђ) − . ђ) − д) е) −30; ж) −210. = −3 ; б) − = −3 ; а) − в) − . ; д) = 3 ; ђ) − = −7 ; г) − ∙ − = = 1 . = −3 ; б) − = −3 ; а) е) −30; ж) −210. ; б) −5; в) −130; г) −2;; а) − . ==−3 =; 1 б). − = −3 ; = ; . ђ) − = −7 г) ; = д) 4б); −5; ђ)3−в) д) − в) ∙а) −−11,1; ; −130; г) −2;. а) = 4 ; ђ) − . д) ; б) −5; в) −130; г) −2; а) 254. 242. а) б) 12,75; в) −2; е) −30; ж) −210. − ∙ − = = 1 . = −3 ; б) − = −3 ; − = = 2 ; = − ; > в) − .==−3 а) =; ж) 4= ;−210. ђ) − в)=. −130; д) = −3 ; ; б) б) − − = = −3 −3 ; ; а) а) − − = 2 ; − ; > б) −5; г) −2; а) −3 ; б) − = −3 ; а) − е) −30; в) в) ..= = ;;ђ) = − ... = −3 −3 б) − − = = −3 −3 ;; а)−− е) −30; ж) −210. ; 4б) б);22 −5; в) г)> −2; а)= г) 4,75; д) 2,25. = −в) . −130; д) = = =−130; − ;; г) > ;; б) а) − ; ; б) −5; −5; в) −130; г) −2; −2; а) а) ; б) −5; в) −130; г) −2; а) в) − . 4б) −в)= д) а) −175; б) ; = = 35 в) −13; −5; −130; г)>−2; −2;. а) === ; ;2−5; ђ) . .−130; д) б)35 − ;; =в) −3 ; а)− в) − ;ђ)− − ; а) −175; б) −13; ;; 44== б) в) г) а) в) в) − .... = −3 в) − = ; ђ) − . д) а) −175; б) = 35 ; в) −13; = 2 ; = − ; > .. = −3 ; б) − = −3 ; а) − в) − . а) б) ; = −13; =б) 2 ;ђ) =....−130; − ; ; 4444 в) г)> −2; а)== б)35 − ; =в)−3 ; а) −175; − . = −3 = ;; −5; ђ) − д) 243. г) в) = ; ; ђ) − − д) д) = ђ) − д) = : −3 3 −6,25 ∙ 3 − −6,25 + −19; д) − ; ђ) = 1 . ; б) −5; в) −130; г) −2; а) а)−19; −175; б)− ; = ђ) 35 ; = в) −13; = 4= −в) д) == ;ђ) =..−130; − ;+ . = :−2; −3 255. д) в) − . д) −6,25 ∙б) 3;;2−5; −− −6,25 + 33 г)> г) д)б) 1 −13; . ; 4 а) ђ) а) −175; = 35 ; в) = : −3 −6,25 ∙ 3 − −6,25 г) −19; − ; ђ) = 1 . = = 2 ; = − ; > . в) −а) = =−21. − ; + 3 >: −3 . б)− ;= 35 ∙ 32 −− = −6,25 г) −19; ђ) ; =в)1 −13; . в).−175; − . д) = 4= ;2 ;;ђ) д) =−6,25 = = =. − ; + 3 >: −3 . = −21. = −6,25 ∙ 3 − −6,25 г) 1 −13; . а) −19; −175; д)б)− ; = ђ) 35 ; = в) 4 ; ђ) − . д) = = = 2 ; = − ; > . −21. 4= д) = :: −3 = = 2;22 ;;ђ) = ==.− −− ;;+ > >> .. . −6,25 ∙∙=3 − 256. = г) − ;; ==ђ) 1 .. а)−19; −175; д) б) 35 ; ;= в)−13; −13; = −21. == = ;− − −6,25 ; 3 а) −175; б) 35 в) = −3 3 −6,25 3 −6,25 + г) −19; д) − ђ) = 1 = = 2 ; = − ; > . (−3,5) (−3,5) = −4 + (−3,5) += 35 −4 ; ∙∙ (−3,5) = = а)−4 −175; б) + в) −13;= = 2+ ; − ==− ;+=314>: . −3 . =−6,25 −21. ∙−21. −1 = 6 ∶∶ −6,25 + −4 = ∙ 32 г) −19; д) − + ;= ђ) = 1 −13; . = = 244.а) а) −175; б) = 35 ; в) −13; (−3,5) (−3,5) = −4 + −4 ∙ ∙ −1 + 6 = = 14 . а) −175; −175; б) б) = 35 35 ; ; в) в) −13; = = ; = − ; > . а) −175; б) = 35 ; в) −13; −3 −6,25 −6,25 г) −19; д)б) ; =ђ) ђ) 1 −13; −4 + (−3,5) −4 ∙=(−3,5) =−6,25 ∙∙−21. −1 6− ∶∶−−6,25 = = == : :.. −3 3314 ∙;∙33+ − ++ г) −19; д) −− ;+ = 1в) .. = = а) −175; 35 ; −1 + 6 = = 14 = = 2 = ; > . =−4 а) −175; 35 в) 7 = ∙ 32 ;− −6,25 г) −19; д)б)− ;+= ђ) 1 −13; . = = = = = − ;+ 3 >: −3 . (−3,5) −4 ; ∙=(−3,5) =−6,25 −21. = ..++(−3,5) 7 ∙ −1 + 6 ∶ = = 14 . = : −3 257. 3 −6,25 ∙ 3 − −6,25 + г) −19; д) − ; ђ) = 1 . = (−3,5) . 7 а) −175; б) = 35 ; в) −13; = −4 + −4 ∙ = = −21. = = : : −3 −3 3 3 −6,25 −6,25 ∙ ∙ 3 3 − − −6,25 −6,25 + + г) г) −19; −19; д) д) − − ; ; ђ) ђ) = = 1 1 . . = −21. = : −3 3 −6,25 ∙ 3 − −6,25 + г) −19; д) − ; ђ) = 1 . = 7 .+б)(−3,5) (−3,5) −4 +; ;−4 ∙ −13; = = ∙∙−6,25 −1 + 6 ∶∶ −6,25 = = 14 .. −3 = : 3 ∙ 3 − + г) −19; д) − ђ) = 1 . а) −175; = 35 в) −1 + 6 = = 14 = −21. = : −3 3 а) −175; б) = 35 ; в) −13; −6,25 ∙ 3 − −6,25 + г) −19; д) − ; ђ) = 1 . =−4 (−1,5) = 7 . ∙+2,8) (−1,5) : − − (−1,5) −6 − −++ +6(−1,5) (−3,5) + =−4 ∙ (−3,5) = = = −21. 245.= (−7,5 (−1,9) −19,1 == = −21. −6 − − −=314 − (−1,5) ∙−21. −1 ∙− ∶ −6,25 = :: − ..−78; 7 : . −3 =−6,25 −21. 3 +− + г) −19; д)−− ;+ ;−4 ђ) 1 . == == 258. = (−3,5) (−3,5) −4 +(−3,5) −4 ∙= (−3,5) (−1,5) = = = − −4 + + ∙ −6 − − = 7 = −21. ∙ −1 + 6 ∶ = = 14 . (−1,5) (−1,5) == −6 − − + : − − ∙ −1 + 6 ∶ = = 14 . = : −3 3 = −78; = − ; −6,25 ∙ 3 −6,25 + г) −19; д) − ; ђ) = 1 . = −21. (−3,5) (−3,5) = −4 + + −4 ∙ = :. −3 = −78; − −6,25 ∙ 3+ 6 −(−1,5) −6,25 +=314 (−1,5) г) −19; д) = − ;+ ;;ђ) =(−3,5) 1 . = = =−4 ∙ −1 ∶ = . 7 = −78; = − (−3,5) = + −4 ∙ −6 − − + : − − −21. =∙− − = −3 −3 (−3,5) (−3,5) == −4 −4 ++ + ++ −4 −4 == = −1= ++666 =: − =14 14(−1,5) . − 4(−3,5) ∙ = = −142,4. −142,4. 2= ∙77 − (−3,5) (−3,5) = 246.2 −4 −4 ∙∙∙∙(−3,5) .+ = .−78; = ..∶∶∶∶ = (−1,5) = −6 − − − ∙ ∙ −1 −1 + + = = = 14 . . (−3,5) (−3,5) 4 ∙ ∙ = −4 + + −4 = ∙ −1 + 6 = = 14 . = −21. = = − ; (−1,5) = − = −3 . (−1,5) = −6 − − + : − − − 4 (−3,5) ∙∙ = −142,4. 22=−4 ∙∙=7 −78; −1= −3 + 6 6. ∶∶ = = = 14 14 .. + −4 ∙ (−3,5) = = −21. .+ =∙∙− = − − = −1 + = = −78; = −142,4. − + ;; −4 ∙ (−3,5) = = = .. +4 (−3,5) 7 (−1,5) = −6 − − + : − − (−1,5) −4 = = . . 7 7 = 7 = − = −3 . − 4 ∙∙ −7,5 = −142,4. ∙= ∙−−− −1=−− +++.6(−1,5) ∶ = : : −− =− 14 . (−1,5) (−1,5) = = −6 − . 7 (−3,5) (−3,5) (−1,5) = −422−8,8 + + −4 ∙ = = −6 −78; = − ; − −8 = − − = −3 =∙∙−4 4 ∙∙(−3,5) = −142,4. .−+ 7− = 259. + ; ;−8 −4 ∙ (−3,5) = ∙ −1 +=− 6−3 ∶ ++.6(−1,5) = =; : 14−=. 14 = − ∙ −7,5 − = − = −8,8 ( ) а) − ∙ = 1 (−1,5) − 4 = −142,4. 2 = = −78; = − −6 − − ∙ −1 + ∶ = . = −78; = − ∙ −7,5 − = = − ( + а) − +.(−1,5) = 11 : − −(−1,5) (−6 (−0,06)) −− (−6 (−0,06)) 247. −8,8 (−1,5) = == = .− 7−−78; − ;∶−8 −8 ==− −−105,94. = −8,8 −6 − = ))) = а) ∙∙∙− = − (−1,5) −6 −6 −− − − + ++(−1,5) ::: − −− − −−(−1,5) (−1,5) == − 4. ∙∙ −7,5 == −142,4. ∙= (−1,5) = −6поступити −((−3 а) − = 1 =72 .2−8,8 = −9 −78; = − ; (−1,5) (−1,5) −6 − − + : − − слично и у осталим примерима: = − = −3 . =∙= .−44.∙ ∙∙ −7,5 7 −;;;−8 =− = =б) −−− ==− −3 . ;(−1,5) − −142,4. ∙== −78; −78; = = − − = − = −142,4. 2 −9 (−1,5) −78; = − = −1 в) . −6 + : − − ( ) а) − ∙ + = 1 = = − −9 248.−8,8 = −78; =−142,4. −− ;−8 = −− =∙− −3 б) −1 в) − 4..∙∙ −7,5 == 2= =∙∙= −9 − ;−8 =− − = −8,8 − ((−1 )) = −78; − б) − = в) .:.. − − (−1,5) = а) 1 −6 −= +..;.;;.(−1,5) =− − = −3+ − 4 ∙∙ −7,5 = −142,4. б) − = −1 в) а) − ∙ + = 1 = = − = −3 −3 = − = −3 . − − 4 4 ∙ ∙ = = −142,4. −142,4. 222 ∙ ∙ (−1,5) − 4 = −142,4. 2 ∙ = = −6 − − + : − =∙=−9 −78; −− ; −8 =− = −8,8 = − = −3 .;(−1,5) −6 − − + :. −−(−1,5) − (−1,5) −− 4. .= ∙∙ −−7,5 ==−142,4. −142,4. 2 б) − = −1 в) ( ) = а) − ∙ + = 1 −9 = −3 . −7,5 − −8 = − = −8,8 − = −8,8 −78; ; − 4 ∙ = 2 ∙ ∙ −7,5 − −8 = − = =а)−9 . ==−2; б) в) −78; −− −3 ;−8 ∶∶ 44 == −3 =−− − ,, = −3 (б)++;;. =))= а)− а) −− = = − =∙ ∙(−1 −3 б) − = −1 в)1;1 .. в) = 1 ; −7,5 −8,8 −4∙∙∙. ∙ = а) −50; 1= = −2; а)∙= −3 − =−2; −142,4. 2 260. = ( ) −50; б) = 1 в) = =1 ; −9 −3 ∶ 4 = − , а) −3 а) − ∙ + = = − = −3 . ∙ −7,5 − −8 = − = −8,8 − 249. 4−3 ∙− 2 ∙ −8,8 = а)∙−9 а) ;;;11 в) −7,5 −7,5 − −− −3 −8 −8 === − −−− ,= == −8,8 −−4= −7,5 −8 ∶ 4= −8,8 (б) )1 б) −−− = −1 .в) = 11 ;; а)−50; ∙((−3 +.;= =в) = = −9 − =−2; −142,4. 2− а) −50; б)+ = 1 = .∙.∙∙∙∙∙−142,4. ) ) −7,5 − −8 = − = −8,8 − а) а) ∙ ∙ + = = 1 1 ( ) а) − ∙ + = 1 б) − = −1 ; в) . б) −1 в) < −3 −3− ∶∶−3 4 ;; ∶ 4 ==−− , = = −2; а) −9 −3− ∙∙. ∙ < −7,5 −8 −8,8 = а)−25; − =д) +; == = 1 . ;в) ђ)= 1. ; −6 г) −+ а) −50; ;1 4 −3 ((б) ))11= − ∙∙ −1 ∙∙.∙.. ∙ = −2; −3 ∶∶ 4 = − ,, = а) −3 б) − =д) ;== в) = −6 ђ) . г) 25; д) − = −9 < −3 ∶ 4 ; −3 −7,5 − −8 = − −8,8 − = −2; −3 4 = − а) −3 а) −50; б) ; = = = −9 −9 −6 ;;.;. ђ) г) 25; − = б) − = −1 ; в) . −9 ∙. <−−3 ∶4 = ; − −3 а) −50; б) ; 1 .в) в) =1 1.. ;; (−1 )1= а) − ∙−1 +;;= = −6 ђ) г) 25; д) − − = −2 . = −9 б) б) − − = = −1 в) в) . ∙ −7,5 −8 = −8,8−8,8 − б) − = ; в) . − = −2 . = −9 (−1,75) (−0,25) −7,5 −8 − ∙. ∙ = −2; ∶ 4 == − ,= б) ∶ (−0,25) >; −0,4 −0,4 0,08; а) (−1,75) −3 б) −− = −1 в) . ђ)= 1. ; )+ а) −б) ∙( = +д) =;;=1= < −3− ∶−3 4> а) −50; б)− ;1 ;.в) г) 25; б) ∶= ∶∶−0,08; 0,08; ) 1=−6 − в) ∙ (−1 −2; −3 ∶44 == − ,, а)−3 −3 ∙ ∙. = < −3 ∶ 4 ; −2; −3 ∶ − а) = (−1,75) (−0,25) −9 б) ∶ > −0,4 ∶ − = −2 . 261. а) −50; б) = 1 ; =11.. ; ; = −6 ; г) 25; д) − −3 4 >; ∶−0,4 а) −50; ; ;в) (−1,75) б)−3 ∶ (−0,25) б)25; − = −1 ; =1−6 в) .в) ђ) ђ)= г) д)б) − = = −2; ∶−3 4 =∶ 0,08; − , −3 = −9а) . ∙ ∙∙∙.− < 250. а) −50; б) = 1 ; в) = 1 ; = −9 = −2; −3 ∶ 4 = − , а) −3 в) 1 < −1 ∶ − ; б) − = −1 ; в) . (−1,75) (−0,25) < −3 ∶−3 4 >∶;∶∶−0,4 −3 б) ∶ −2; 0,08; а)−50; −50;=д) б)− = 1−6 ; в) =111. ;;; = −2; −3 −3 4 = − − а) а) −3 ∙− = = −2; ∶4− 4= = − ,, ,, а)−3 −3∙∙ ∙∙∙∙− в) 1−3 < −1 − ;∶0,08; = ;.в) ђ) г) 25; б) − −1 ;== в) (−1,75) (−0,25) а) а) −50; б) б) 1 1 ; ; в) = = < −3 ∶ 4 ; б) ∶ > −0,4 ∶ в) 1 < −1 ∶ ; а) −50; б) = 1 ; в) = 1 = −2; −3 ∶ 4 = − а) ∶ < ∶ < ∶ < ∶ ;;. . ;; ∙ < −3 ∶ 4 ; −3 = −6 ; ђ) г) 25; д) − в) 1 < б) ∶; 0,08; =1 д) б) −∶ = 262. г) а) ∶ < < ∶;; ;< а)25; −50; б) = 1−6 в) ђ)∶= =1 1 =(−0,25) −2;−1∶−3 ∶− 4 = − , а)(−1,75) −3 ∙ ∙∙− ∶< −3 4>;∶−0,4 −3 а) −50; в) = −6 ; ђ) . ; г) 25; д) − −3∙0011 г) −0, 0011 ∙ −3 0 ∙ −1 −2 >− −1,44 в) 1 < ∶;; −0,4 (−1,75) (−0,25) ∙∙∙− < = −2; −3 ∶> 4−1,44 =∶; 0,08; − ∶∶,11 .. а)−3 −3 б) ∶< > < −3 ∶ 4 а) ∶ < ∶ < ∶ < ∶ ; = −6 ; ђ) г) 25; д) − ∙ ∙ < −3 ∶ ∶ 4 4 ; ; −3 а) −50; б) = 1 ; в) = 1 г) −0, ∙ 0 ∙ −2 −3 ∶ 4 −3 в) < −1 ∶∶ ;−0,4 − (−1,75) (−0,25) ==−6 −6 ;;< ђ) .. .. ; г) г) 25; д) д) − −−∶1 ;= б)1 ∶∙(−0,25) −0,4 0,08; ∙ ∙∙ 0011 =− −3 ∶ 44>> = − а) −3 −6 ; ђ) ђ) г)25; 25; д)= (−1,75) б) ∶= ∶;;∶, 0,08; г) −0, 0 ∙ −2 > −1,44 ∶ 1 . ∶ < < ∶ ∶ . б) ∙ −2; < −3 ∶ −3 в) 1 − < −1 − а) −50; б) в) = 1 ; ∙ −2; −3 ∶ 4 = − , а) −3 = −6 ; ђ) г) 25; д) − ∶ < ∶ < ∶ < ∶ . б) г) −0, 0011 ∙ 0 ∙ −2 > −1,44 ∶ 1 . −3 ∶ 4>; −0,4 ∶ 0,08; б) (−1,75) ∶<(−0,25) а) −50; д)б)− ==1−6 ; ;в) ђ)= 1.. ; г) 25; в) 1 ∙ − < −1 ∶ − ; (−1,75) (−0,25) б) ∶ > −0,4 ∶ 0,08; ∙ < −3 ∶ 4 ; −3 г) −0, 0011 ∙ 0 ∙ −2 > −1,44 ∶ 1 . ∶ < ∶ ;< ђ)∶ . . б) (−0,25) б) б) ∶∶∙∶(−0,25) >> −0,4 ∶;∶;∶0,08; 0,08; = −6 г) 25; д) −∶ < (−1,75) (−0,25) б)(−1,75) −0,4 0,08; в) 1 ∙ <−−−3 <∶∙ 4−1 −1 в) 1(−1,75) < ∶∶−0,4 −−−1,44 г) −0, 0(−0,25) −2 > ∶∶ 1 (−1,75) ∙ ∙0011 ;∶ 4> −3 б) > −0,4 ∶ 0,08; = −6= ;−6ђ); ђ) . г) 25;г) 25; д) −д) − г) −0, ∙ −1 −2 1 .. ∙− < −3 −3 (−0,25) б) ∶∙∶ 0< > −0,4 в) 1(−1,75) ∙0011 ∶; > −−1,44 ;∶ 0,08; . = −1 ; б) ; а) − 263. = −1 ; б) ; а) − в) 1 ∙ − < −1 ∶ − ; (−1,75) (−0,25) г) ∙< 0 ∙−1 −2 > > ∶1 . б) в) в) 11−0, ∙∙∙0011 − −− ∶< −1 ∶∶∶ −0,4 − −−−1,44 ;;∶; 0,08; в) 1 < −1 г) −0, 0011 ∙ 0 ∙ −2 > −1,44 ∶ 1 . в)−0, 1 0011 − ∶∙ 0(−0,25) <∙ −1 ∶ >∶− −0,08; (−0,25) б) (−1,75) ∶− > −0,4 г) −2 −1,44 ∶1 . б) ; а) − = −1 ; (−1,75) в) 1 ∙∙0011 б) ∶;; 0,08; г) −0, ∙< 0 ∙ −1 −2 >∶ −0,4 > −1,44 ∶1 . в) − = −2 . в) − = −2 . в) 1 0011 ∙ 0011 − ∙∙∙00< −1 ∶> −−1,44 ; г) −0, −2 > −1,44 г) −0, −2 г)∙−0, −0, 0011 ∙0 0∙∙∙∙∙ −2 −2 > −1,44∶∶∶∶∶111 1 ..... в) 1г) − ∙0011 < −1 ∶ − ∶> ;−−1,44 г) −0, 0011 ∙ 0 −2 > −1,44 1 в) − = −2 . в) 1 − < −1 ; г) −0, 0011 ∙ 0 ∙ −2 > −1,44 ∶ 1 . г) −0, 0011 ∙ 0 ∙ −2 > −1,44 ∶ 1 . г) −0,г)0011 ∙ 0 ∙ ∙−2 ∶ 1 .∶ 1 . −0, 0011 0 ∙ −2> −1,44 > −1,44 а) а) = = −200; −200; б) б) = = 17; 17; 160 а) = 0,1; −200; б)= = = 17; ; д) = −3; в) = 0,1; г) г) = = 3 3 ; д) = −3; в) = в) = 0,1; г) = = 3 ; д) = −3;

2,25 2,25

− − −

− а) а) а) б) б) а) б)

= −2 . = = −2 −2 ..

= −2 ∶ < ∶∶ < < ∶ < ∶∶∶ < < <

. ∶ < ∶∶ < < ∶ < < ∶∶∶ < <

а) а)

–6 –5 –4 –3 –2 –1

ЈЕДНАЧИНЕ∶∶ И<< ∶∶ ;; ∶ < ∶ . < ..; ∶∶∶ < НЕЈЕДНАЧИНЕ < ∶∶∶СА ; ∶ . а) МНОЖЕЊЕМ ∶ <И б) − ∶ =<−1 ∶ ; < б) = −1 ; б) ;; а) − = −1 ; б) а) − в) ДЕЉЕЊЕМ У ; −− == −2−2 . . в) − = −2 . −1 ; б) а) в) − = −2 . СКУПУ Q в) − = −2 . ∶ <

∶

< ∶∶ < < ∶∶ < < ∶∶ ;; ∶∶ <

;

в)

г)

б) ∶∶ б) а)− − а)

в)− − в)

< ∶∶РАЦИОНАЛНИ < ∶∶ < < ∶БРОЈЕВИ ∶ .. < <

= −1 −1 ;; =

= −2 −2 .. =

–6 –5 –4 –3 –2 –1

б) б)

;;

а) = = −200; −200; б) б) = = 17; 17; а) = 0,1; 0,1; г) г) = = = = 33 ;; д) д) = = −3; −3; в) = в)

uk a

pr om

ђ)–5 = = 0,9; 0,9; е) = 1; ж) = 5.. 6 а) =∶ −200; < ∶ б) < ∶= 17; < ∶ ; –6ђ) –4 –3 –2 е) –1 0= 11; 2 ж) 3 4= а) –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 а) = −200; б) = 17; а) = −200;г) б)= ==17; –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 = −3; в) < ∶ < ∶ <3 ;∶ д) . б) =∶ 0,1; = 0,1; г) = = 3 ; д) = −3; в) а) = = ;; б) б) = = −6; −6; в) в) = = ;; 0,1; г) б) = није = 3решење. ; д) = −3; д) а) в) јесте 264. а) решење; = 0,9; −200; = 17; ђ) = е) б)= 1; ж) = . ђ) = 0,1; 0,9; е) = г) = = −0,06; −0,06; д) д) = = 0,8; 0,8; ђ) ђ) = = −20; −20; = = ж) 3; ; = д) .. = −3; ђ) 0,9; е)б) ==1; 1; ж) = = −1 г) ; 𝑥 = б) а) 𝑥 −= г) 265. в) а) −3,5; 0,6; в) 𝑥 = = −0,3; 𝑥 = =1; 64;в) = 0,01; 0,01; ж) ж) = =− − .. е) = ђ) 0,9; ж) == ; . а) ; −2 б) е)г) −6; е) в) −= = .= а) = ; б) = −6; в) = ; д) 𝑥 = 5; ђ) 𝑥 = −9; –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 а) = ; б) = −6; в) = ; –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 г) −0,06; ж) д) 𝑥 ==0,6. 0,8; ђ) = −20; е) 𝑥 = = −4; –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 г) = а) ; б) д) = −6; в) ђ) = ;= г) = = −0,06; −0,06; д) = 0,8; 0,8; ђ) = −20; −20; ђ) а) а) = = = = 44 ;; б) б) = = 5; 5; е) = 0,01; ж) = − . 266. е) а) = = 0,01; −200; ж) б) ==−17;. г) д) = =− 0,8;. ђ) = −20; = −0,06; 0,01; ж) е) = в) = = −28; −28; г) = = −50. −50. в) г) в) = 0,1; г) = = 3 ; д) = −3; –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 е) = 0,01; ж) = − . –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 а) = 4 е) ; = б)1; =ж) 5; = . –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 ђ) = = 0,9; а) = = 4 ; б) = 5; а) = = 4 ; б) = 5; в) = −28; г) = −50. = −3 −3 ;; = = = 88 − ∙∙ = = − в) = −28; г) = −50. 267. а) = = 4 ; б) в) = −28; г) = =в)5; −50. а) = ; б) = −6; = ; 273. 𝑥 ≤ −1,2; скупу решења припадају: (−2,5) в) = −28; г) = −50. =−5. −2 ;; = = = 66 .. −1,2; −2 2 ;= ∶∶ (−2,5) −2 = г) = −0,06; д) = 0,8; ђ) = −20; 3 = =8 − ∙ = −3 ; ∙ = −3 ; = 274. а)∙∙ 1𝑥 1 <= −3; 𝑥 + ∈ +{−4, …}; .. 268. − = 0,01; ж) е) = −2 =−6, − −7, = −1 −1 == −= =.8 8 . − ∙ = −3 ; −2 ;; −5, = − = б) 𝑥 ≥ −6,25; 𝑥 ∈ {−6, −5, −4, −3, …}; ∶ (−2,5) = −2 ; = =6 . ∙ = −3 ; = = 8 − = в) 𝑥 > −3; 𝑥 ∈ {−2, −1, 0, 1, 2, 3, …}; 269. ∶∶ (−2,5) (−2,5) = = −2 −2 ;; = = =6 6 .. г)∶∶𝑥 −3 ≤ 0,75; −1, −2, −3, −4, …}; а)∙ 1 == −2 = 4+ ; ; б)= −= 5; −3 + 22 𝑥 ∈ = ={0, 0,1 100; + 0,1 ∙∙ 100; = −1 . ∶∙ 1(−2,5) =+−2; ; = = =−1 6 .. д) 𝑥 < −0,375; 𝑥 ∈ {−1, −2, −3, −4, …}; = −2 − = −2 + ; г) = −= −50. = −1 . 270. в) ∙ 1= = =− − = = −3 −3 .. −28; = ђ) 𝑥 > 0,5. 𝑥 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, …}. ∙ 1 = −2 + ; = − = −1 . 271. ∶ −3 + 2 = 0,1 ∙ 100; >− − ;; >− − .. > ∶∶ −3 275. ∙∙ > −3 + +2 2 = = 0,1 0,1 ∙∙ 100; 100; = − = −3 . ; = =8 − =∙ − = −3 ∶= − −3 += =2−3 −3 =.. 0,1 ∙ 100; −1 < <− − ;; > .. . 276. ∙∙ −1 > 272. а)∙ > − ; . = =6 . = − −=;= −3−2> .>;− ∶∙ (−2,5) ≤ 3. 277. − ∙ ≥ − ; ∙ > >− ; >− − .. ∙∙ 1−1 < − ;;> − => >=−−2 ;<+ .>−.. = −1 . 278. 𝑥 ∶ (−0,04) ≥ 2,08; 𝑥 ≤ −0,0832. ∙∙ −1 − ; −1 < − ; > . − − ; б) ≤=3.−8 ; а) ∙ = ≥ 1,36; –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 − ∙ ≥− ; ≤ 3. ∙ −1 < − ; > . = −4,5; г) = −1,27. в) ∶ −3 + 2 = 0,1 ∙ 100; а) = 1,36; б) = −8 ; б) 279. а) = 1,36; б) = −8 ; = − = −3 . = −4,5; г) = − −1,27. в) = −4,5; 10,6; б) = −2 ; а) = г) = = −1,27. в) ∙ >− ; >− . в) = = 11 . –6 –6 –5 –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1

∙ −1

0 0

<− ;

1 1

2 2

3 3

> .

4 4

5 5

6 6

280. а) а) в) в)

а) г)

= 10,6; б) = 10,6; б) = = 11 . = = 11 . = 0,5;

= −3;

б)

= − = −2 ; = − = −2 ;

= 6,5; в)

д) = −

161 =− ;

= −6 .

−

− −

г а а га г

− ;;

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

= −4,5; −3; д) = −6 . г) = г) ==−−1,27. в) 281.а) а) 𝑥 = −0,75; б) =− 2,25; == 10,6; 10,6; б)б) 𝑥 = = − = = −2 −2 ;; а) а)в) 𝑥 == 10,6; 6,25. б) = − = −2 ; в) = = = 11 11 .. в) = а) = 10,6; = 11 б). = − = −2 ; в) 282. а) = 0,5; б) = 6,5; в) = − ; в) = = 11 . г) = −3; д) = − = −6 .

= ;; д) г) ђ) = ђ) = =− − ;= = −1 −1 = 0. 0. = − ; ђ) = − = −1 ; = 0. ђ) ==−− ; =б)−1 = ; 1; = 0. а) а) = − ; б) = 1; . 5 ; г) = 0. 300. в) ==− = ; г) = 0. в) = = 5

uk a

pr om

а) = − = −2 б) = 0,5; а) = =− − = = −2 −2 ;;; б) б) = = 0,5; 0,5; а) а) = 0,5; б) = 6,5; в) = а) = 0,5; б) 6,5; в) =− − ;; а) = − ==5б) −2 ;= 6,5; б) = 0,5; 283.а) = 0,5; = в) = − ; = ; г) = . в) = = = 55 ;; г) = = .. в) = г) в) = −3; д) = − = −6 . г) = −3; д) = − = −6 . г) а) 0,5; б) 6,5; в) = − ; г) в) ==−3;= 5д); = −г) ==−6. . а) = −3; б) = −149,5; а) == =−3; −3; д) б) == =−−149,5; −149,5; = −6 . г) а) −3; б) 284. а) = б) ;; =г) в) = = 12 = = в) = = −3; = 12 12 г)−149,5; = = = 55 5 ... в) = ; г) = а) = − = −2 ; б) = 0,5; в) = = 12 ; г) = = 5 . в) а) = а) = = 12; 12;= 5 = =; 1,25; 1,25;г) = ==9,6; 9,6;. 285. а) = 12; = 1,25; = 9,6; а) = = −7,5; 12; = − 1,25;= = 9,6; 17,1; б) − = 17,1; 17,1; −7,5; б) −7,5; б) а) = = б) = а) −3; б) −;; == −149,5; а) ==− − = −2 −2 б) = 0,5; 0,5; а) = −2 −; = б) 17,1; = 0,5; −7,5; б) ==− A већи броја 𝑥 == за 17,1. количник в) = = = 5 11. . а) = − =5512 −2 б) ;од г) ..= = в) = = ;− г)−6 =;; 0,5; в) 10; = = B = = 10; = −; ; г) = −6 = 11. ;− г) = в) ==10; = 5= = −6 ; . = 11. в) ==10; = 5= ;− =г)−6 =; . = 11. 3 = = −2. 286.а) = −3; б) 3 − − 2,5 = −8 −8 = −2. −2. а) =2,5 −3;= б) ;;; = = −149,5; −149,5; 3 = а) −==2,5 12; −8 = 1,25; = 9,6; а) −3; б) = −149,5; 3 − 2,5 = −8 ; = −2. в) = = = = 5 .. . а) б) ;;− =г) в) =5−3; = 12 г);;−149,5; == == 2 − = 12 17,1; −7,5; б) − = = = =5511 1. .. 287.в) ==55 12∶∶∶ ;− г);= == 22 − = = в) =5 = 12∶ ;− г); == ==5 1. . 2 − = 1,75 +12; ∶=(−1,125) =9,6; 288.а) == 10; −1,25; = −6 ;2 ;; = 11. а) = 12; == 1,25; = 9,6; 1,75 = 2 а) =+12; ∶=(−1,125) 1,25; = 9,6; −7,5; б) −. = = 17,1; 17,1; = −7,5; б) а) 12;= =− 1,25; = 9,6; =−= −2,5 = −7 −7 3= = −8 −2. − − .; ==17,1; = −7,5; б) б) = −7,5; − = 17,1; =−− −= = − = ∶∶= = 10; ;; . .= = 2−0,25 5− = =− 10; =∶ − − =;;;−6 −6 = =111. 11.. 289. −0,25 = 10; = − = −6 ; = 11. 3 10; = −; ==−6 ; = 11.− 3 ; ; скупу припадају: 290.33 𝑥 = ≥ − = −−2,5 2,5 = −8 −8 решења ; = −2. −2. 4 = 4 344 −− 2,5 ; = −2. − ∙∙−8 − ≤ −2,5 − ≤ −2,5 3 . = −8 ; 0,5;− 2,5 = −2. 232 − = − 545 = = ∶∶ − − ;; = = = 11 .. 5 −2,5; = ∶ − б) ; 𝑥 < 5; = =1 . 291.2а)− 𝑥 ≤ > 11 =;; б) > 4,4; =в) в) > 4 ; 2а) ∶б)− > а) в)− 𝑥 >5 г) ;4,4; 𝑥 ≤ 3,75; =>1 4 . ; ≥ 1; д) 𝑥>−2,75; 𝑥 ≥ −1,25. ≤ ;; д) д) < <ђ) 1,3; ђ) ≥ ≥ 1,6. 1,6. г) ≤ 1,3; ђ) г) 292. а) 𝑥 < 2,8; б) 𝑥 ≥ −125; в) 𝑥 ≤ 7,1.

4 − ∙ − ≤ −2,5 < 29; б) < в) ≥3 3 ;; а) = − = . < < 29; б) <2 2 ;; в) в) ≥ а) = −0,25 29; ∶∶−7 б) а) <− =− − ;2; ;= = .. ≥ 3 ; −0,25 − = . −0,25 − ∶ = − ; < −3 29; . б) < 2 ; в) ≥ 3 ; а) ≤ г) ≤ −3 . г) = −> 4,4; ; =в) . > 4 ; −0,25 >− 1 ; ∶. б) а) ≤ −3 г) ≤ −3 ∙∙. − 44 − − − ≤ ≤ −2,5 −2,5 296. г) 4 − −2,5ђ) ≥ 1,6. ≤ ; ∙ д)− <≤1,3; г) = = ; а) = −2 −2 ;; сви = 22 2 бројеви а) решења скуп 𝑥 ≤ −1,6. ;; а) 4 −= −2∙ ;−су = ≤ −2,5 ; нема = ; в) а) = б) решења; > ;; б) > а) = 0; 0; б) једначина једначина нема решења; в)44 ;;= >=11 −2 б) >24,4; 4,4; в)в) > >в) а) б) решења; б)нема 2 ; в) ≥43 ; ; 0; а) једначина 297. а) ><129; ; б) ><4,4; >в) б) решења; в)4;; ; == =1 − −; ;; б)нема = д) в)= =− − г) једначина = = ;; 4,4; д) =0; ;;; г) > >1,3; >1,6. а) ≤ ;; д) < ђ) ≥ г) = − ; = ; д) = − ; = г) ≤ д) < 1,3; ђ) ≥ 1,6. г) . г) ≤≤ −3 ; д) < 1,3; ђ) ≥ 1,6. г) = − ; = −1 = ;; д)= 0. = − ; = ; г) ђ) = − ђ) ≤= =− − = −1 −1 =ђ) 0. ≥ 1,6. ; д) < 1,3; г) ђ) = ;; = 0. 298. а) б) ;; 0.в) ђ) < =29; − = <= 29; б)−1=< <;222 ; = в) ≥ ≥ 33 ;; а) −2 ;б) а) < 29; < 2 ; в) ≥ 3 ; а) =− − .. = < −3 29; .. б) < 2 ; в) ≥ 3 ; а) ≤ г) ≤ −3 г) б) једначина ≤ −3 . нема решења; в) = 0; г) г) − .; = ; д) =− ; = ; г) ≤=−3 = −2 ; = 2 ; а) =2 ; а) = −2 ; = 2; ; = 0. а) ђ) ==−2 − ;= −1 в) = −2 ; нема = 2решења; ; а) = 0; 0; б) једначина једначина нема решења; в) = 299. б) б) једначина нема решења; в) = 0; = г) =− − ;; = = ;; д) д) = =− − ;; = = ;; г) једначина б) = − ; нема = ; решења; д) = −в); ==0; ; г)

а) б) = −8 а) = =1,36; 0,5; б) = = − а) = 1,36; б) =6,5; −8 ;в) 0,5; б) б) = 6,5; в)−2= =;− − ;;; = 10,6; б) = − ;= а) а) = 1,36; б) ==6,5; −8 ;в) а) = 0,5; г) −1,27. в) а) =−4,5; 0,5; 6,5; −3; д) = г) = −4,5; г) = =− −1,27. в) == а) 1,36; б) −8 ;в)−6 = = 11б) в) −3; д) = − = −6=... − ; г) = = −4,5; г). = =− −1,27. в) = −3; д) = −6 г)

< 29; 29; б) цео < 22број в) ≥ ≥ 33 ;; а)< 6,7; највећи 293.а) 𝑎 < б) < ;; који в) задовољава неједначину је 6. ≤ −3 −3 . . г) г) ≤ 294. 𝑥 ≥ −389; најмањи цео број који задовољава неједначину је −3. = −2 −2 ;; = = 22 ;; а) = 295.а)а) 𝑥 > 6,6; најмањи природан број који

301.

= = =4 4 ;; =

= =

=5 5 .. =

( ) ( ) –2, 302. Ти+бројеви су редом: –3 ;2 . − 3) 3) + + = –5, −10 + (( − = −10 ; = −2. = −2.

303.

а)

=2 2 =

= .. = =− ;

− −

б)

=1 1 ;; =

= 1;

= ;; =

304. = дан: = 532,25 ; г)ha;= 0. в) први други дан: 41,75 ha; + дан: + + 80 80 = = − 20; + + трећи = = 4 ;+ 26=ha. = 5 . − 20; = 750; 750; = ( ) 305. Петар је имао 750 динара, ау + ( − 3) + = −10 ; посластичари је за три дана потрошио +3 3 + + +2 2 + + +1 1= = ;; = 24. 24. = −2. + + + = 730 динара. = 2 купљених − = 1колача ; је= 24.; 306. Број − = = ;; = 7. 7. − = = . 307. Тражени 7. − + + + број + је= = − 30; 30; + +

= 600; 600; =

+ + + 80 = − 20; = 0; 0; б)једначина једначина нема решења; јев) в) задовољава неједначину 1; = б) нема решења; 308. Број ученика који похађа грађанско б) 𝑥 ≥ 14; најмањи природан број који = 750;је исти као и број ученика који =− − ;; = = ;; д) д) = =− − ;; = = ;; васпитање г) = г) задовољава неједначину је 14. похађа веронауку и то износи 600. ђ) = − = −1 ; = 0. +3 + +2 + +1 = ; = 24. ђ) = − = −1 ; = 0. 162

аа

в в

аа

в в

;

д д а)

в)а− а б б а)в− в в) гг д)

а)

б)

в) 1 1 г)

≤

а) < < ; б) − ≤ < ; а) < < ; б) − ≤ < ; У школи = 1 200 в) −има≤600<+ 600 ; г) ≤ ученика. ≤ . в) − ≤ < ; г) ≤ ≤ . 309. 𝑥 1 ≥ −8,5; 𝑥 2 ≤ −5; скуп заједничких ре−3 < ≤ < 3; б) − ≤ и ≥ ; шењаа) −8,5 𝑥 ≤ −5. а)је:−3 < < 3; б) − ≤ и ≥ ; в) ≤ ≤ ; г) − < < 2; в) ≤ ≤ ; г) − < < 2; и ≥ 1,25; ђ) −1 ≤ ≤ 5. д) −0,25 ≤ –11 д) –10−0,25 –9 –8 ≤ –7 –6 –3 –2 ђ) –1 −1 0 ≤1 ≤ 5. и –5≥–41,25; –8,5

310. а) < а) <

–5

< < ;;

б) б) − − ≤ ≤

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

ПРАВОУГЛИ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ У РАВНИ 316. CC C

< < ;;

B B B

D D D

11 1

22 2

44E A 55

312.

= = 24. 24.

600; 600;

− ≤ − ≤

–6 –5 –4 –3 2–2 –1 0 1 –1 0 –5 –4 –4 –3 –6 –5 –1,4 –3 –2

< 1. < 1.

≤ (3 − 4) ∶ 6 < 1,75; ≤ < . ≤ < . 313. ≤ (3 − 4) ∶ 6 < 1,75; а) {… ,, −3, ∈ {… −3, −2, −2, −1, −1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4}; 4}; а) ∈ ∙ < 2,5 − ≤ ; −54 < 50. {5, 6, {5, − };≤ ; −54 ≤ ∈2,5 6, 7, 7, 8, 8, … б) < ∈ 314. б) ≤ < 50. ∙… };

uk a

600; 600;

≤ ; ≤ ;

в) < < < ;; в) < (2 + 8) ∶ 24 < 2 ; 315. 1 < 1 < (2 + 8) ∶ 24 < 2 ; г) ≤ −5 и ≥ 12; 12; а) 9 <г)𝑥 < ≤ 24;−5 и ≥ {… , −7, −6, −5, ∈ б) 11 + 13∈+ {… 17, −7, + 19−6, + 23 = 12, 83. −5, 12, 13, 13, 14, 14, … … }} < <

≤ ≤ ;;

− − ≤ ≤

< < 1. 1.

= 24. = 24.

< <

pr om

–5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 00 –6 –5 –6 в) − ≤ < ;; г) ≤ .. в) ≤ , −3, < −2, г) 1,≤ ≤ 11 1,5 –4 −1, 2, 3,≤ 4}; а)− ∈ {… –4 22–4 –3 –21,5–1 0 –6 –5 а) ∈ {… , −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4}; 1,5 –4 12 б) ∈ {5, 6, 7, 8, … }; }; − ≤ и ≥ ; ∈<{5, 6, 7, 8, …б) б) а) −3 < 3; 311. а) −3 < < 3; б) − ≤ и ≥ ; в) < < ; 317. в) < < ; в) ≤ ≤ ; г) − < < 2; в) ≤ ≤ ; г) − < < 2; г) ≤ −5 и ≥ 12; г) −0,25 12; ≤ −5≤, и 1,25; ђ) −1 ≤ д) –5C–4 –4 –3 –3 –2D–1 –1 00 –6 –5 и≥ ≥−5, 1,25; ђ) 14, −1 … ≤} ≤ ≤ 5. 5. д) −0,25 B –2 −7,и −6,≥ 12, 13, ∈ {…≤ –6 {… } , −7, −6, −5, 12, 13, 14, … –5 –4 –4 –3 –1,4 –3 112 –1,4 ∈ –5

≤ (3 − ≤ (3 − 4) 4) ∶∶ 66 < < 1,75; 1,75;

< < 2,5 2,5 − −

∙∙

≤ ≤

≤ ≤ ;; −54 −54 ≤ ≤

< (2 + < (2 + 8) 8) ∶∶ 24 24 < < 22 ;;

< <

< < 50. 50.

–4 12

2 1,5

E A A E E A 55

4,2 44,25 4,2

2 –3 –3 11 4 55 1 2 2 3 22 4 4 5 1 2 2 –3 3 14 4 5 5 2 4,2

318. а) тражене тачке су 𝑄(5) и 𝑅(1); –5 –4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 –6 –5 –6 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–5 –4

–3 12 –1,4

00 0 0

R R R 11 1 1

22 2 2

P(3) P(3) P(3) 33 3 3

44 4 4

–3 12 4

Q Q Q 55 5 5

б) тражене тачке су тачке дужи 𝑄𝑅. R

–6 –5 –4 –3 –2 –1

P(3)

319. 𝐴 (1, 0); 𝐵 (−3, 1); 𝐶(2, 2); 𝐷(0, −2); 𝐸(−5, −3); 𝐹(5, 1); 𝐺(−2, 0).

320. а) исту апсцису имају: 𝐸 и 𝐶, њихова апсциса је 5; б) исту ординату имају: 𝐵 и 𝐴 , њихова ордината је −5; исту ординату имају: 𝐸 и 𝐹, њихова ордината је 0; в) 𝑥 -оси припадају: 𝐸 и 𝐹, њихова ордината је 0; г) тачка 𝐷 има апсцису 0; тачке чија је апсциса 0 припадају 𝑦-оси. 163

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

321. а) I квадрант: 𝐶, 𝐺, 𝐻; II квадрант: 𝐷, 𝐹; III квадрант: 𝐸; б) 𝑥 -оса: 𝐴 ; 𝑦-оса: 𝐵 . 5 4

G C

–5 –4 –3 –2 –1

0 –1

–2

329. а) 𝑃(2, −3); б) 𝑅(−2, 3); в) 𝑄(−2, −3).

–4 –5

322. а) II квадрант: 𝐷; III квадрант: 𝐸; IV квадрант: 𝐴 ,𝐵 ; б) 𝑥 -оса: 𝐶; 𝑦-оса: 𝐹. 5

uk a

21 2

3 2

1 –1 2 0 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –4 1 2 –2

–3

A B

–3 1 2 –4 –5

323. 𝑃 припада I квадранту; 𝑄 припада III квадранту; 𝑅 припада II квадранту; 𝑆 припада IV квадранту.

324. 𝑀(−32,56); 𝑀 припада II квадранту. 325. а) |𝑂𝐴 | = 3; |𝑂𝐵 | = 5; |𝑂𝐶| = 2; |𝑂𝐷| = 4; б) |𝑂𝐴 | = 1 1 ; |𝑂𝐵 | = 3 2 ; |𝑂𝐶| = 4,5; 164

2 |𝑂𝐷| = 2 1 . 4

в) 3; ж) 1.

328. а) растојање је 5; б) 3; в) 10; г) 19.

–3

327. а) растојање је 2; б) 3; г) 1; д) 3; ђ) 6; е) 1;

330. а) 𝑆 (−2,5; 0); в) 𝑆 (2, 5; 3); д) 𝑆 (3; 1,5);

pr om

326. 𝐴 је на растојању 3,5 од 𝑥 -осе, а на растојању 2,5 од 𝑦-осе; 𝐵 је на растојању 1 2 од 𝑥 -осе, а на растоја3 њу 3 од 𝑦-осе; 𝐶 је на растојању 1,5 од 𝑥 -осе, а на растојању 4 1 од 𝑦-осе; 4 𝐷 је на растојању 4 од 𝑥 -осе, а на растојању 4 од 𝑦-осе.

б) 𝑆 (−2; −1,5); г) 𝑆 (4, −1); ђ) 𝑆 (0, 2).

331. а) 𝑆 (1,5; 1,5); б) 𝑆 (1 14 ; 1 ); а) (1,5; 1,5); б) 1 ; 2; в) 𝑆 (−1; 0,6); г) 𝑆 (−3, 5; −2); 3 (−1; 0,6); в) −2); ;−2);г)ђ)(−3,5; 𝑆 (− 1 , −1); д) 𝑆 (−1 4

16 9 1 , ); е) 𝑆 ( −1 ; −2 д) 16 2

𝑆 (0,6;−0,5); ; ж)ђ) , −1 ; з) 𝑆 (−2, 1; −0,8). е) , ; ж) (0,6; 0,5); 332. 𝐴 (3; −1,5); 𝑆 (1,5; 0,75) средише дужи 𝐴 𝑂. (−2,1; з) −0,8). 333. 𝐵 (−2; 6); 𝑀(2,−6). 334. 𝑆 (4,−3).

335. 𝑄(3,−2).

336. а) (−2, −6); в)

−8 , −1

;

б) г)

;

− ,1 .

337. 1) а) 𝐴 ′(−4, 𝐵 ′(−1,; −3), 𝐶′(−1, 1, ; −1), −1, 1, − −1); ; б) 𝐴 ′(4, 1), 𝐵 ′(1, 3), 𝐶′(1, 1); в) −1, 𝐴 ′(4,−−1),. 𝐵 ′(1, −3), 𝐶′(1, −1); 2) а) 𝐴 ′(1, 2), 𝐵 ′(−3, −1), 𝐶′(−3, 2); б) 𝐴 ′(−1, −2), 𝐵 ′(3, 1), 𝐶′(3, −2); в) 𝐴 ′(−1, 2), 𝐵 ′(3, −1), 𝐶′(3, 2). 338. а) 𝑂=21 cm, 𝑃=27 cm2; б) 𝑂=18 cm, 𝑃=22,25 cm2.

е)

ж) (0,6; 0,5);

;

з) (−2,1; −0,8).

339. а) 𝑃′(6, −2), 𝑄′(4, −1), 𝑅′(3, −4); б) 𝑃′(−4, 6), 𝑄′(−2, 5), 𝑅′(−1, 8).

340. а) 𝑀′(−2, −2), 𝑁′(0, −1), 𝑆 ′(1, −5); б) 𝑀′(−4, −1), 𝑁′(−2, 0), 𝑆 ′(−1, −4); в) 𝑀′(−2, 1), 𝑁′(0, 2), (−2, −6); б) 𝑆 ′(1, −2). а) , ; в)

−8 , −1

;

г)

− ,1 .

;

1, −

в)

5 4 3 2

341. 𝐴 (5, 2); 𝐵 (−5, 2); 𝐶(5, −2); 𝐷(−5, −2). 342.

;

−1, −

−1,

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

–5 –4 –3 –2 –1

;

pr om

346. 𝐶(7, −6); 𝐷(4, −1).

347. а) 𝐶1(7, −2); 𝐶2(−3, −2); б) 𝐶1(0, −7); 𝐶2(4, −7).

4 3

348. а)

uk a

5 4

–5 –4 –3 –2 –1

б)

–3

0 –1

–2

–3

–2

г)

–5

345. 𝐷(−1, 1).

0 –1

–2

–4

344. 𝐶(7, 1).

–5 –4 –3 –2 –1

0 –1 –3

343. 𝐷(−4, 2); 𝑂=20; 𝑃=24.

–4

349. а)

–5

–4 –5 5 4 3 2 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

–2

0 1

–3 –4 –5

165

б)

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

350. а) 5 4 3 2

–5 –4 –3 –2 –1

0 –1

–2

–3 –4

в)

pr om

б)

–5

5 4 3 2

–5 –4 –3 –2 –1

г)

uk a

–1

0 –1

–2

–3 –4 –5

в) 5 4 3 2

–1

–5 –4 –3 –2 –1

0 –1

–2

–3 –4 –5

166

г)

в) 𝑦 = 2|𝑥 | − 1 𝑥

5 3 1

0 –1

–2

–4

3 2 1

0 –1

uk a

–2

–3 –4 –5

ПРИКАЗИВАЊЕ ЗАВИСНОСТИ МЕЂУ ВЕЛИЧИНАМА

−3𝑥 + 2

б) 𝑦 = 𝑥

1 𝑥−1 4

3 2

11 2

19 2

355. а) 6 5 4 3 2 1

–1 –2

Пон

Уто

Сре

Чет

Пет

Суб Нед

–5

−1 −4 −7

−8 −4 −2

1 𝑥 − 1 4

−1

354. а) најмања: 2 m3, највећа: 10 m3; б) најмања је била у јануару, а највећа у јулу и августу; в) јун, јул, август, септрмбар и октобар; г) јануар, фебруар и децембар; д) у децембру је потрошња била 3 m3.

–3 –4

−3 −2 −1 11

3 2

pr om

Температура (℃)

𝑥

11 2

–5

351. а) 𝑦 = −3𝑥 + 2

19 2

353. а) да, повећао се; б) 1 000 ученика; в) велики пораст ученика био је у пероду: од 2013. до 2014. и од 2015. до 2016.; г) од 2012 до 2013., од 2014. до 2015. и од 2019. до 2020.

–3

–5 –4 –3 –2 –1

−5 −3 −1

352. а) 20 000 динара; б) 6 емитованих реклама; в) 5 000 динара; г) најмања: 5 000, највећа 25 000 динара.

д)

2|𝑥 |− 1

–5 –4 –3 –2 –1

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

−3 −2 − 3 −1 − 1 2

–6 –7 –8 –9

б) 1) недеља; 2) среда, субота и недеља; 3) нагли пад се очекује у четвртак и у петак, за по 5℃; 4) нагли пораст се очекује у суботу за 9℃; 5) разлика је 13℃. 167

00∶00 02∶00 04∶00 06∶00 08∶00 10∶00 12∶00

Јагодина (℃) 1℃ 0℃ 2℃ 3℃ 4℃ 3℃ 5℃

б) 1) у 6 h; 2) није; 3) највећи пораст је био од 6 h до 8 h; 4) највећа разлика је забележена у поноћ, у 4 h и у 6 h. 5) од поноћи до 2 h и од 4 h до 10 h; 6) од поноћи до 2 h, од 8 h до 10 h.

358. а) 10

2 3 4 Тежина торте у kg

361. а) 806; б) 800; в) просечан број продатог белог хлеба је већи од просечног броја продатог раженог хлеба; г) хистограм за бели хлеб: 5 4 3 2 1

5 4 3 2

Ed 1

Оцене

б) 1) 28 ученика; 2) 98 ∶ 28 = 3,5; 3) 78 ∶ 28 = 2,79.

Број награда 3 2

500

Број поена

100

5 4 3 2 1

500

600

700

800

900 1 000 1 100 1 000

Број продатих белих хлебова

600

700

800

900 1 000 1 100 1 000

Број продатих ражаних хлебова

359. а) у VIII разреду; б) у VII разреду; в) 90 поена; г) 1

362. (km)

Пређени пут

Број месеци

uk a

Број ученика

8 7

168

хистограм за ражени хлеб:

pr om

357. а) 4 ученика; б) Лазар, Милан, Иван и Тадија.

60 50 40 30 20 10

Ниш (℃) −2 ℃ −1 ℃ −1 ℃ 0℃ 3℃ 4℃ 4℃

360. а) 1,5 < 𝑥 ≤ 2,5; б) 3,5 < 𝑥 ≤ 5; в) Број продатих торти

356. а)

Број месеци

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

16 12

Бој сати

(h)

363. а) 8 km; б) 2 сата; в) једном; г) у периоду од 7. до 8. часа путовања, ишао је 50 kmh. 364. а) 40 km ; б) 5 сати; в) 250 km; h

v(km/h)

250

Проценат

92%

14%

Разломак

23 25

7 50

Децимални број

Децимални број Разломак

0,92

0,14

15,2% 89% 0,152 19 125

0,89

371. а) 6; б) 8,5; г) 152,5; д) 9,84;

89 100

ПРОЦЕНТИ, РАЗМЕРЕ И ПРОПОРЦИЈЕ

t(h)

в) 75%; ђ) 112,5%; з) 0,8%.

367. а) 3; б) 10,3; г) 130,7; д) 94; 368. а)

;

г)

б)

; в)

; д)

; ж)

369. а) 0,57; б) 0,11; г) 1,04; д) 3,26; е) 10,01; ж) 50,50;

=1 .

0,375

3 5

3 8

28% 102% 0,28

1,02

7 25

в) 96; ђ) 1,08.

51 50

374. а) 𝑥 = 1; б) 𝑥 = 0,12; в) 𝑥 = 6; г) 𝑥 = 2,5.

в) 123%; ђ) 2%.

366. а) 50%; б) 25%; г) 10%; д) 220%; е) 405%; ж) 304%;

0,6

373. Храна: 56 200 динара, рачуни: 28 100 динара, штедња: 11 240 динара, остало: 16 860 динара.

uk a

365. а) 5%; б) 27%; г) 167%; д) 119%;

60% 37,5%

372. На вожњу бродићем Марко је потрошио 3 750 динара.

pr om

з)

370.

Проценат

130

е)

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

; ђ)

в) 0,72; ђ) 4,35; з) 2,374.

376. а) 𝑥 = 12; б) 𝑥 = 20; в) 𝑥 = 2; г) 𝑥 = 22,5; д) 𝑥 = 3,6; ђ) 𝑥 = 18. 377. а) 𝑥 = 36; 378.

в) 273; ђ) 23,3. ;

375. 𝑅1 и 𝑅3; 𝑅4 и 𝑅5.

= 5;

𝑥 =

5 =1 2; 3 3

б) 𝑥 = 2; в) г) 𝑥 = 8.

Активност Учење Спорт Помоћ мајци Помоћ баки Дружење Слушање музике

Време 2 сата 30 минута 2 сата 30 минута 1 сат 15 минута 1 сат 15 минута 1 сат 15 минута 1 сат 15 минута

379. а) 100; г) 5;

б) 50; д) 250;

в) 25; ђ) 1 000.

381. а) 50%; г) 75%;

б) 50%; д) 120%;

в) 20%; ђ) 40%.

380. а) 400; г) 1;

б) 300; д) 200;

в) 200; ђ) 2.

169

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

382. а) 4 500 динара; б) 2 700 динара.

396. Перница је за 20% јефтинија од књиге.

384. Цена ће бити 8 400 динара.

398. Марко је у недељу прочитао 21,8% више књиге него у петак.

385. Цена ће бити 230 динара.

386. Цена књиге је била 400 динара.

387. Књиге су коштале 8 000 динара, а она их је платила 6 800 динара. 388. Васићи ће свој аранжман платити 1 368 евра.

399. Растојање на тој карти између Ниша и Београда је 6 dm.

400. У природи је растојање између Београда и Солуна једнако 544,5 km. 401. Карта је рађена у размери 1 ∶ 4 000 000.

402. Краћи део треба бити 1,2 m, а дужи 2 m. 403. Каћа је добила 400 динара, а Пера 200 динара.

pr om

389. После поскупљења од 10% папуче ће коштати 2 200 динара, а сада се ова нова цена умањује за 10%, па ће цена папуча бити 1 980 динара.

397. Паковање фломастера је 42% књиге.

383. Поскупљење износи 31,25%.

uk a

390. Коначна цена јакне је 7 671,25 динара. а) Продавац је затражио још 71,25 динара. На почетну цену се обрачуна попуст од 15%, а онда се на нову цену обрачуна још 5% попуста. б) Зато што се њихове цене нису поклапале. Петар је погрешно израчунао цену. в) Петар је сабрао проценте (15% + 5% = = 20%) и онда почетну цену смањио за 20%, што је погрешно. Петар треба знати да су му различите основе за рачунање попуста!

391. а) повећање је 15%; б) снижење је 25%.

392. Књига је коштала 1 000 динара.

393. Хаљина је коштала 3 000 динара.

394. а) У одељењу има 18 девојчица и 12 дечака; б) одлично је 9 девојчица и 3 дечака; в) врло добар успех је постигло 3 девојчице и 4 дечака; г) добар успех је оставрило њих 11, број ученика са добрим успехом је мањи од броја ученика са одличним успехом.

395. Почетна цена робе је била 7 500 динара, а после појефтињења би била 6 600 динара. 170

404. Тражени бројеви су: а) 160 и 40; б) 80 и 120; в) 110 и 90, редом.

405. Тражени бројеви су 30 и 70, редом.

406. а) Потребно је 375 kg воћа; б) може се произвести 240 kg сока.

407. Јанко је добио 9 000 динара, а Илија 14 000 динара. 408. а) Под ражи је 40 ари; б) површина њиве је 104 ара.

409. а) 60°, 50°, 70°, редом; б) реч је о оштроуглом троуглу.

410. Крак је дужине 29,9 dm, а основица 11,5 dm. 411. Добија се 1 350 g воћне салате.

412. а) Укупна зарада је била 30 000 динара; б) Павле је зарадио 7 500 динара, Лука је зарадио 10 000 динара, а Остоја 12 500 динара. 413. а) Тражени бројеви су 286 и 78, редом; б) тражени бројеви су 330 и 60, редом.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

𝑐=70;

ДИРЕКТНА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ

415. а) 𝑎 =15, 𝑏 =25, 𝑐=100; б) 𝑎 =3, 𝑏 =5, 𝑐=20; в) 𝑎 =7,5, 𝑏 =12,5, 𝑐=50; г) 𝑎 =0,6, 𝑏 =1, 𝑐=4.

425. Треба заокружити: а), в), г), е). 426. а) да; б) 𝑦 = 50∙𝑥 ; в) 𝑥 1 2 3

416. Ниш: 120 девојчица, 80 дечака; Чачак: 60 девојчица, 90 дечака;

𝑦

а) 180 девојчица и 170 дечака; б) однос девојчица према дечацима је 18 ∶ 17; в) рецитатори из Чачка представљају 75% рецитатора из Ниша. 418. Цена крушака је 200 динара.

200

pr om

417. а) 20% соли је у растовору; б) треба одлити 15 𝑙 воде.

Цена

150 100 50

424. а) Обим се смањи за 25%; б) обим се повећа за 25%.

Маса (kg)

350 300

цена (динари)

uk a

423. а) Површина се смањи за 43,75%; б) површина се повећа за 56,25%.

250

420. а) Добија се 50 kg прерађених печурака; б) потребно је 270 kg свежих печурака.

421. а) Милошева плата је 80 000 динара; б) Милош може да уштеди 14,375%; –5 –4 в) Уштеда треба да износи 11 500 динара.

г)

419. Потребно је додати 0,95 𝑙 уља.

422. Површина се смањи за 4%.

250

4 5 50 100 150 200 250

414. а) 𝑎 =60, 𝑏 =90, б) 𝑎 =20, 𝑏 =70, 𝑐=105; в) 𝑎 =14, 𝑏 =20, 𝑐=50; г) 𝑎 =35, 𝑏 =5, 𝑐=400.

ДИРЕКТНА И ОБРНУТА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ

200 150 100

0 –50

–3 –2

2 3 4 5 6 маса лубенице (kg)

д) 175 динара; ђ) 5 kg. –3

427. а) 𝑂=4𝑎 ;

б) 𝑂=3𝑎 ;

–4

в) 𝑦=60𝑥 .

428. а) прећи ће: 160 km, 240 km, 320 km, –5 400 km, редом; б) 𝑡 (сати) 2 3 4 5 𝑠 (km) 160 240 320 400 429. 𝑦 = 3𝑥 а) 𝑥 0 б)

𝑦

𝑥 𝑦

4 12

1 3

6 18

2 6

7 21

3 9

8 24

5 15

20 60

10 30

15 45

25 50 75 150 171

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

433. 1) а) 𝑘 = 3;

в) 𝑠 = 80𝑡; г)

𝑥

400

−3

𝑦

350 300

−9 6

250

𝑠 (km)

𝑡 (сати)

–4

–4 431. а) нису директно пропорционалне; б) јесу директно пропорционалне, 𝑘 = −1. –5

3 9

6 18

10 30

6 5 4

3 2

0 –1

–2

uk a

−3 −1 −9 −3

–2

–5

2) а) 𝑘 = 2 ; 𝑥

−3

𝑦

–5

б) 𝑦 = 2 𝑥 ; 3

−2

1 2 3

0,5 1 2

3 2

–3 –2 –1

0 –1

–2

3) а) 𝑘 = 5;–3б) 𝑦 = 5𝑥 ; 𝑥 𝑦

−2 –5 −20 −10

–4 2 5

1 5

4 3

–3 –4

–3

430. а) 𝑘–3= 2; б) 𝑘 = −12. 432. а) 𝑘 = 3;

0 –1

–3 –2 –1

–2

pr om

2 –3 –2 –1

0 –1

–2

–3 –4 –5

172

–5 –4 –3 –2 –1

−3

1 2 3 2

100

б)

150

𝑥 𝑦

−1

200

–5 –4 –3 –2

б) 𝑦 = 3𝑥 ;

5 10 25 −50

8 7

4) а) 𝑘 = 2 ; 𝑥

𝑦

б) 𝑦 = 2 𝑥 ;

−3 −2

2 3

г)

0,5 1 3

–2

4 3

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

pr om

2 2

uk a

6 –3 5 –4

3 2

7 0 –6 –5 –4 –3 –2 –1 6 –1

в)

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–2

–3 –4 –5 –6

438. 𝑏 -крак троугла, 𝑂 = 2𝑏 + 5,5, обим и крак нису директно пропорционалне величине. 439. 𝑘 = 4; а) не припада; б) припада; в) не припада.

440. 𝑦 = 16𝑥 ; 𝐴 припада; 𝐵 не припада; 𝐶 не припада; 𝐷 припада. 441. 𝑀( 3 , 2 ); 𝑁(− 3 , − 1 ). 2

443. а) 25 𝑙 млека; б) 3 kg сира.

0 –1

437. Треба заокружити: а).

442. а) 9 kg парадајза; б) 360 динара.

–3 3 –4 1

436. а) 840 џипова; б) 11 дана; в) 𝑦 = 120𝑥 , коефицијент директне пропорционалности је 120.

435. а) 𝑦-број страна, 𝑥 -броја дана 𝑦 = 25𝑥 ; б) Миша ће прочитати 125 страна; в) за 8 дана.

б)

–8

7 –2

–7

0 –1

–6

–1

–2

–5

–6 –5 –4 –3

0 –1

–4

–3

434. а)

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

3 1

444. Прећи ће 24 km.

445. Килограм кајмака кошта 1 250 динара. 446. Вера ће платити 580 динара. 447. а) први и трећи; б) други и четврти; в) други и четврти; г) први и трећи.

173

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

ђ)

448. а) 𝑦 = 𝑥 ; б) 𝑦 = 2𝑥 ; в) 𝑦 = − 1 𝑥 ; г) 𝑦 = −𝑥 . 3

449. а)

3 2

5 4 3

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1 –2

–2

0 –1 –2

Ed –8 –2

–6

451. а) 𝑚 < − 1 ; б) 𝑚 > 7 ; в) 𝑚 < 3; г) 𝑚 >2 . 3

452. а) црвена линија представља тражени симетрични график б) 𝑦1 = − 1 𝑥 .

–6 –5 –4 –3 –2 –1

174

–4 –5 –6 –7

–4

–7

–8 4 3

0 –1 –2

–3

2 –8

–3

–2

453. а) зелена линија представља траже–5 ни симетрични график

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–7 3

–2

0 –1

–6

0 –1

–3

–5

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–6

–4

–3

д)

–4 2

–6 0 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –7 –1

–3 –5 1

uk a

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–4 –5 4 –6 3 –7 2 –8 1

–7

–3

в)

–2

pr om

–7 0 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –8 –1

0 –1

450. а) 𝑝 > −1; б) –8 𝑝 < 2; в) 𝑝 > 2; г) 𝑝 < 3.

–4 3 –5 2 –6 1

–3

б)

г)

б) 𝑦1 = − 3 𝑥 . 4

–4 –5 –6 –7 –8

ОБРНУТА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ

2) а) 𝑘 = − 1 ; б) 𝑦=− 1 ; 𝑥

𝑦

454. Треба заокружити: б), в), д). −9

−6

−3

−2

−1

𝑥

𝑦

−2

−3

−6

1 2

𝑥

−36 −9

−72

𝑥

−10 1,8 − 10 72

𝑦

− 1 2

−2

− 1

−1,8 10 −20 − 4

456. а) 𝑘=−6; б) 𝑘= 1 .

𝑥

𝑦

−3

−1

−2

−3 2

−1

−3

6 1 2

0,9

4 3 4

30 1 10

в) не може, не можемо делити нулом у скупу рационалних бројева; г) не може, количник два броја је једнак нули само ако је дељеник једнак нули, а дељеник је коефицијент пропорционалности који је увек различит од нуле. 459. 1) а) 𝑘 = 5; б) 𝑦 = 5 ; 𝑥 𝑥 −4 −2 1 2 𝑦 −1,25 −2,5 5 2,5

5 4

− 7

464. 𝑎 – дужина правоугаоника, 𝑏 -ширина правоугаоника 𝑎 = 12 , 𝑏 > 0. 𝑏

457. а) јесу, 𝑘=0,5; б) нису. б)

2 9

463. 𝑦 = 6𝑥 , (𝑥 ≠ 0).

1 4

458. а) 𝑘 = 3;

462. Треба заокружити: б), г).

1,8

− 1

− 9 −0,2 8

461. а) 𝑦 – број дана, 𝑥 – број радних часова, 𝑦 = 120 ; 𝑥 б) 12 дана; в) 6 сати дневно.

−9 −18 −36

𝑦

pr om

б)

𝑥

1 1

4𝑥

460. а) 𝑦 – број часова, 𝑥 – број цеви, 𝑦 = 75 ; 𝑥 б) за 15 сати; в) 25 цеви.

uk a

а)

455. 𝑦 = 18 𝑥 ; 𝑥

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

4 1,25

50 0,1

465. а) = − ; б) = − , ( ≠ 0); в) не припада, 𝑥 не може бити 0. (2, 6), (−3, −4), − ,1 . 466. а) за 10 дана; б) 60 радника. 467. Потребно је 2 500 садница.

468. а) потребно је 4 камиона; б) носивост камиона је 4 тоне. 469. Биће потребно 24 аутобуса. а) − ; б) ; в) − ; г) ;

д) − ; ђ) . 471. Може, 𝑦 = − 2 . 𝑥 −2,5 < − < 0 < < 1 . 472. Потребно је повећати на 50 редова.

473. 7 трактора ће остатак њиве преорати за а) Дакле, ∶ < посао ∶ < је завршен ∶ < ∶ за; 11 сати. 10 сати. ∶ < је ∶ возио < ∶ 4< 474.б) У повратку сата.∶ .

475. Другу половину базена ће једна цев = и за 90 = −минута. . изпразнити Дакле цео процес пражљења је трајао 120 минута. 476. 𝐴 (2, 6), 𝐵 (−3, −4), 𝑆 (− 1 , 1). 2

175

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

РИБАР РАША И ЗЛАТНА РИБИЦА

1. а) 3,7; г) 1,15; 2. а) − ;

д) − ;

б)

б) −0,09; д) −3,072; ;

ђ) .

в) − ; г)

в) −8,07; ђ) −0,028. ;

pr om

ТЕСТ

а) = − ; б) = − , ( ≠ 0); 3. −2,5<−12<0<13<125. −2,5 0 < =<−1 ,. ( ≠ 0); а) =<−− ; <б) 4. а) −1; б) 0,15. а)(2, 6), = − ;(−3, б)−4), = − −, ( , 1≠. 0); 𝑥=−3; б) 𝑥=−1. 5. а)(2, 6), (−3, −4), − ,1 . а) ∶ < ∶ < ∶ < ∶ ; (2, 6), (−3, −4), − ,1 . ТЕСТ б) ∶ < ∶ < ∶ < ∶ .

uk a

1. а) 𝐴<𝐵<𝐶; б) 0. 2. а) 𝑥=535; = и б) 𝑥=−10. =− . 3. а) а) − 𝑥 ≥ ;1; б) најмањи б) ; в) −цео ; број г) ;је број 1. 4. 𝐵(−2, б) ; в) − ; г) ; а) − ;−6). ; д) − 5. 12,5%. ђ) . а) − ђ) .; в) − ; г) ; д) − ; ; б) −2,5 ; − ђ)< .0 < < 1 . д) − <ТЕСТ −2,5 < − < 0 < < 1 . 1. −2,5 < − а) ∶ < 2. а) ∶ < б) ∶ < а) ∶∶ << б)

<0< <1 . ∶ < ∶ < ∶ ; ∶ < ∶ < ∶ ; ∶ < ∶ < ∶ . ∶∶ << ∶∶ << ∶∶ .;

= 0).и 5. 𝑆 (0,

=− .

∶ < ∶ < ∶ < = и =− . и =− . 4. 250=динара. 3.

б)

176

∶ .

а) = − ; б) = − , ( ≠ 0); Мудрац је добио 4 богатства, рибар 7 1 Раша(2,2 6), богатства, а ученик (−3, −4), − мудраца ,1 . 7 7 богатства златне рибице.

uk a

pr om

ЧЕТВОРОУГАО

ЧЕТВОРОУГАО   �о�се�ник 

 Сава је из математике за домаћи добио задатак, који је он назвао „главоломка”.

Задатак је гласио: „У равни су дати троугао и квадрат. Одреди пресек тог троугла и квадрата. Нацртај све могућности”.

uk a

pr om

Сава је за тражени пресек нацртао само две могућности: Наставница му је рекла да има још решења и да треба озбиљније да приступи решавању задатка.

 Љубица је за домаћи добила такође задатак из математике, који је она назвала „гимнастика мозга”. Задатак гласи: „У равни су дата два квадрата. Одреди пресек та два квадрата. Нацртај све могућности”. Љубица је за тражени пресек нацртала три могућности. Наставница јој је рекла да настави са решавањем задатка.

Помози Сави и Љубици да нађу сва могућа решења?

178

ЧЕТВОРОУГАО

ПОЈАМ И ЕЛЕМЕНТИ ЧЕТВОРОУГЛА

4. На слици је приказан четвороугао 𝐴𝐵𝐶𝐷. На основу дате слике, допуни реченицe: C

1. Заокружи слова испод цртежа на којима је приказан четвороугао. б)

в)

д)

г)

д)

ђ)

d B

б)

𝛽 1

3. Четвороуглу са слике обележи оне елеменате који недостају. а)

𝛽

5. На слици је приказан четвороугао 𝐴𝐵𝐶𝐷. Према подацима са слике, одреди и запиши:

uk a

в)

б)

𝛼

а) Тачке 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝐷 су ________________ четвороугла. б) Странице датог четвороугла су дужи: 𝐴𝐵= 𝑎, ___________________________ __________. в) Унутрашњи углови датог четвороугла су: ∡𝐵𝐴𝐷 = 𝛼 , _____________________ ___________________________. г) Спољашњи углови датог четвороугла су: 𝛼 1, _________________. д) Дијагонале четвороугла 𝐴𝐵𝐶𝐷 су дужи ______ и ______.

2. Датим четвороугловима са слике обележи темена: а)

𝛿

𝛾 1

pr om

г)

𝛼 1

𝛾

а)

𝛿1

b 𝛼

𝛿

в)

𝛽

а) Суседне странице страници 𝐴𝐵 су странице ______ и ______. б) Наспрамна страница страници 𝐴𝐵 је страница ________. в) Углу ∡𝐴𝐵𝐶 суседни углови су: ___________ и ____________. г) Углу ∡𝐴𝐵𝐶 наспрамни угао је _______.

179

6. На слици је приказан четвороугао 𝑀𝑁𝑃𝑄. Q

M N

7. На слици је приказан четвороугао 𝐴𝐵𝐶𝐷. Спољашњу област четвороугла обој жутом бојом, а унутрашњу област зеленом бојом. Четвороугаону линију представи црвеном болдираном линијом.

uk a

8. Које од тачака са слике припадају: а) унутрашњој области четвороугла 𝐴𝐵𝐶𝐷; б) спољашњној области четвороула 𝐴𝐵𝐶𝐷; в) четвороугаоној линији четвороугла 𝐴𝐵𝐶𝐷? D

г)

д)

ђ)

ж)

з)

pr om

Одреди и запиши који су углови у датом четвороуглу: а) налегли на страницу 𝑀𝑁; б) налегли на страницу 𝑁𝑃; в) налегли на страницу 𝑃𝑄.

9. Одреди пресек приказаних четвороуглова на датој слици: б) в) а)

10. Нацртај четвороугао 𝑀𝑁𝑃𝑄, тако да за њега важи: а) мера унутрашњих углова је: ∡𝑀 = 90°, ∡𝑁 = 90° и ∡𝑃 = 90°; б) углови ∡𝑀, ∡𝑁 и ∡𝑄 су тупи; в) углови ∡𝑀, ∡𝑁 и ∡𝑄 су оштри; г) ∡𝑀 = ∡𝑁 = ∡𝑃 = ∡𝑄.

11. Запиши све четвороуглове које уочаваш на слици: а) б) E

12. Посматрај слику, па запиши неке четвороуглове које уочаваш на слици: а) б) D

B A

180

ЧЕТВОРОУГАО

F B

D C

B C

60°

4 cm

cm 45°

2 cm

60°

г)

19. Обим једног четвороугла, који има све станице једнаке износи 105,6 cm. Израчунај обим другог четвороугла који има два пара једнаких страница таквих да је једна његова страница једнака половини, а друга трећини дужине странице првог четвороугла.

pr om

15. Израчунај обим четвороугла 𝑃𝑄𝑅𝑆 , ако су дужине страница тог четвороугла: а) 𝑃𝑄 = 5 cm, 𝑄𝑅 = 60 mm, 𝑅𝑆 = 0,4 dm и 𝑆 𝑃 = 3 cm; б) 𝑃𝑄 = 2,1 dm, 𝑄𝑅 = 1,9 dm, 𝑅𝑆 = 1 dm 25 cm и 𝑆 𝑃 = 19 cm.

14. Да ли тачке: а) 𝐴(1, −1), 𝐵(1, 0), 𝐶(1, 4) и 𝐷(1, −5); б) 𝐴(1, −1), 𝐵(1, 0), 𝐶(5, 0) и 𝐷(6, −1); могу бити темена четвороугла?

в)

13. У координатном систему нацртај четвороугао 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је: 𝐴(2, 6), 𝐵(2, 1), 𝐶(5, 1) и 𝐷(5, 6). Измери дужине његових страница и израчунај његов обим, ако је дужина јединичне дужи 1 cm.

ЧЕТВОРОУГАО

16. а) Нацртај четвороугао, тако да дужине његових дијагонала буду 𝑑 1 = 8 cm и 𝑑 2 = 6 cm. Нека је 𝑆 1 средиште дијагонале 𝑑 1, а 𝑆 2 средиште дијагонале 𝑑 2. б) Можеш ли да нацрташ четвороугао чије ће дијагонале бити 𝑑 1 = 8 cm и 𝑑 2 = 6 cm, а да им се средишта 𝑆 1 и 𝑆 2 поклапају?

uk a

17. Нацртај четвороугао 𝐴𝐵𝐶𝐷, код кога су дужине дијагонала једнаке, 𝑑 1 = 𝑑 2 = 8 cm и једна дугу полове: а) под оштим углом; б) под правим углом. 18. Израчунај обим четвороугла 𝐴𝐵𝐶𝐷, користећи податке дате на слици:

60°

120°

60°

б)

а)

45°

УГЛОВИ ЧЕТВОРОУГЛА 20. Да ли се може нацртати конвексан четвороугао код кога су унутрашњи углови: а) сва четири права; б) сва четири оштра; в) сва четири тупа; г) два права и два оштра; д) два права и два тупа; ђ) два оштра и два тупа? 21. Провери да ли дати углови могу бити унутрашњи углови конвексног четвороугла: а) 69°, 91°,111°, 89°; б) 110°, 120°, 60°, 50°; в) 54° 35′, 125° 25′, 71°, 109°; г) 84° 26′, 95° 34′ 16′′, 100°, 80°.

22. Унутрашњи углови четвороугла су: 𝛼 = 84°, 𝛽 = 53° и 𝛾 = 130°. а) Израчунај меру четвртог угла 𝛿 тог четвороугла.

181

24. Израчунај унутрашње углове четвороугла 𝐴𝐵𝐶𝐷 са слике: C

° 15 35°

uk a

80°

85° D 𝛿

C 𝛾 𝛾 1

𝛼1 102° A

б)

𝛽

132° 𝛿1 D 𝛿 𝛼

150°

182

2 20

27. Оливер је од два једнака лењира облика једнакокраког-правоуглог треоугла направио модел четвороугла. одреди унутрашње углове тако наталог четвороугла.

25. Израчунај непознате углове четвороугла 𝐴𝐵𝐶𝐷 са слике: а)

m 0c

pr om

23. Израчунај непознате унутрашње и спољашње углове четвороугла, ако је дато: а) 𝛽 = 85°, 𝛾 = 59° и спољашњи угао 𝛿1 = 75°; б) 𝛼 = 93° 18′, 𝛾 = 88° 25′ 16′′ и спољашњи угао 𝛽1 = 108°; в) спољашњи углови 𝛼1 = 105° 20′, 𝛾1 = 86° 19′ 30′′ и 𝛿1 = 98° 35′ 40′′; г) 𝛼 = 78° 25′ и спољашњи углови 𝛽1 = 102° 47′ 18′′, 𝛿1 = 88° 25′ 16′′; д) 𝛽 = 83° 25′ 16′′, 𝛿 = 78° 49′ 27′′ и спољашњи угао 𝛼1 = 104° 28′ 16′′.

26. Петра је од два једнака дрвена рама облика једнакостраничног троугла направила модел четвороугла. Одреди унутрашње углове тако насталог четвороугла.

б) Сваком унутрашњем углу четвороугла одреди меру одговарајућег спољашњег угла.

20 cm

ЧЕТВОРОУГАО

𝛽

𝛽1

B 124°

𝛽1 41°

𝛾

28. Четвороугао има три једнака унутрашња угла по 99°. Одреди меру четвртог унутрашњег угла и свих спољашњих углова датог четвороугла.

29. Два унутрашња угла четвороугла износе 78° и 112°, а друга два су једнака. Одреди мере непознатих унутрашњих углова и свих спољашњих углова датог четвороугла.

30. Један унутрашњи угао четвороугла износи 120°, а остала три унутрашња угла су једнака. Одреди мере непознатих унутрашњих и свих спољашњих углова датог четвороугла.

ЧЕТВОРОУГАО

40. Хипотенуза 𝐴𝐶 једнакокракоправоуглог троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐵 = 90°) уједно је страница једнакостраничног троугла Δ𝐴𝐶𝐷. На тај начин добијен је конвексан четвороугао 𝐴𝐵𝐶𝐷. Израчунај мере унутрашњих углова тако добијеног четвороугла 𝐴𝐵𝐶𝐷.

pr om

32. Израчунај унутрашње углове четвороугла, ако се зна: а) да се унутрашњи углови разликују редом за 36°; б) да је сваки унутрашњи угао два пута већи од претходног; в) да је један унутрашњи угао 𝛼, а остали унутрашњи углови су: 𝛽 = 3𝛼, 𝛾 = 6𝛼 и 𝛿 = 5𝛼; г) један унутрашњи угао је 𝛽, а остали унутрашњи углови су: 𝛼 = 𝛽 + 43°, 𝛾 = 𝛼 − 19° и 𝛿 = 𝛼 + 𝛽.

39. Код четвороугла 𝑃𝑄𝑅𝑆 уцртане у дијагонале 𝑃𝑅 и 𝑄𝑆 и оне се секу у тачки 𝑂. Дијагонала 𝑃𝑅 се страницом 𝑃𝑆 образује угао од 85°, а са страницом 𝑄𝑅 угао од 70°. Дијагонала 𝑄𝑆 са страницом 𝑃𝑄 образује угао од 15°. Ако је угао ∡𝑄𝑂𝑅 = 60°, а ∡𝑂𝑅𝑆 = 20°, израчунај унутрашње углове четвороугла 𝑃𝑄𝑅𝑆.

31. Дата је произвољна тачка 𝐴 која се налази у унутрашњој области угао ∡𝑎𝑂𝑏 = 84°. Из тачке 𝐴 конструисане су нормале на краке угла ∡𝑎𝑂𝑏. На тај начин добијен је четвороугао. Израчунај унутрашње углове тако добијеног четвороугла.

38. Два суседна унутрашња угла четвороугла су суплементна и разликују се за 32°, а мере преостала два унутрашња угла су у размери 2 ∶ 7. Одреди мере унутрашњих углова четвороугла.

33. Одреди унутрашње углове четвороугла, ако је 𝛼 = 54° 36′ 42′′, угао 𝛽 је прав, а 𝛾 = 𝛼 + 𝛽.

uk a

34. Одреди унутрашње углове четвороугла, ако се зна да је угао 𝛼 једнак половини правог угла, угао 𝛽 је за 80° већи од угла 𝛼, а угао 𝛿 је за 80° мањи од опруженог угла.

35. Четвороугао има два пара једнаких унутрашњих углова. Ако се зна да је један угао 𝛼, а други 3𝛼, израчунај углове тог четвороугла. 36. Дијагонала 𝐴𝐶 је поделила четвороугао 𝐴𝐵𝐶𝐷 на два једнакокрака троугла чија је заједничка основица баш та дијагонала 𝐴𝐶. Ако је мера угла ∡𝐴𝐵𝐶 = 66°, а мера угла ∡𝐴𝐷𝐶 = 144°, одреди меру непознатих унутрашњих углова датог четовроугла 𝐴𝐵𝐶𝐷. 37. Два наспрамна унутрашња угла четвороугла разликују се за 20°, а њихов збир износи 180°. Ако су преостала два унутрашња угла једнака, одреди мере унутрашњих углова четвороугла.

41. Катета 𝐴𝐶 једнакокрако-правоуглог троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 = 90°) уједно је страница једнакостраничног троугла Δ𝐴𝐶𝐷. На тај начин добијен је четвороугао 𝐴𝐵𝐶𝐷. Израчунај мере унутрашњих углова тако добијеног четвороугла 𝐴𝐵𝐶𝐷.

42. Дат је правоугли троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 = 90°), чији је један оштар угао једнак петини правог угла. Над хипотенузом 𝐴𝐵 конструисан је једнакостранични троугао Δ𝐴𝐵𝐷. На тај начин је добијен четвороугао ADBC. Израчунај мере унутрашњих углова тако добијеног четвороугла ADBC. 43. Израчунај унутрашње углове четвороугла 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је унутрашњи угао 𝛽 за 30° већи од угла 𝛼, а угао 𝛾 је 2 пута мањи од угла 𝛼, а угао 𝛿 је 2 пута мањи од угла 𝛾. 44. Два унутрашња угла четвороугла су једнака, трећи угао је једнак двоструком збиру једнаких углова а четврти угао је једнак разлици трећег угла и једног од 183

в)

B 3b

C b

36 cm

г)

C a 2

B a

a= b

B A

3 cm

51. Одреди дужине непознатих дужи 𝑝 и 𝑞 са слике на којој је приказан паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷. а) б)

pr om

47. У четвороуглу 𝑀𝑁𝑃𝑄 странице 𝑀𝑁 и 𝑁𝑃 су једнаке. Дијагонала 𝑀𝑃 једнака је са страницом 𝑃𝑄. Израчунај унутрашње углове четвороугла 𝑀𝑁𝑃𝑄, ако је ∡𝑃𝑄𝑀 = 55° ∡𝑁𝑃𝑄 = 100°.

38 cm

46. Одреди унутрашње углове четвороугла 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако се углови 𝛼 и 𝛾 разликују за 82° 20′, а збир углова 𝛽 и 𝛿 износи 181° и 𝛽 је за 2° 30′ већи од 𝛿.

45. Дијагонала 𝐴𝐶 четвороугла 𝐴𝐵𝐶𝐷 дели четвороугао на два подударна троугла. Израчунај углове 𝛽 и 𝛿, ако је угао 𝛼 = 77° и угао 𝛾 = 105°.

50. Одреди дужине непознатих страница паралелограма са слике: а) б) 22 c

једнаких углова. Израчунај унутрашње углове датог четвороугла.

8c m

ЧЕТВОРОУГАО

2 3 cm O cm

5 cm

2 O cm

uk a

а) 𝑂𝐶 = 𝑝, 𝐴𝑂 = 3 cm, 𝑂𝐷 = 𝑞, 𝐵𝑂 = 2 cm; б) 𝐴𝐶 = 𝑝, 𝑂𝐵 = 2 cm, 𝐵𝐷 = 𝑞, 𝑂𝐶 = 5 cm.

ПАРАЛЕЛОГРАМ

48. Нацртај три паралелне праве 𝑎, 𝑏 , 𝑐 (𝑎 ‖ 𝑏 ‖ 𝑐 ). Пресеци их са друге: а) две паралелне праве (𝑚 ‖ 𝑛 ); б) три паралелне праве (𝑝 ‖ 𝑞 ‖ 𝑟). Колико се на тај начин може уочити паралелограма? 49. Одреди непознате углове паралелограма са слике: а) б) A

в) A

45°

𝛼

D 𝛿

184

𝛽 B

𝛾

𝛽 60° B

A C

г)

𝛼

125° 𝛼 A

D 𝛿

150° B

𝛽 B

𝛾

52. Одреди унутрашње углове паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је: а) ∡𝐴 = 67°; б) ∡𝐶 = 66° 44′ 33′′; в) ∡𝐵 = 99° 9′ 9′′; г) ∡𝐷 = 105° 19′.

53. Да ли постоји паралелограм код кога су узастопни углови: а) 32° и 87°; б) 89° 57′ и 90° 3′; в) 70° 30′ 59′′ и 109° 29′ 1′′? 54. Израчунај унутрашње углове паралелограма, ако је један спољашњи угао: а) 102°; б) 102° 22′; в) 102° 22′ 22′′.

55. Израчунај унутрашње и спољашње углове паралелограма, ако је један унутрашњи угао 3 пута већи од другог. 56. Израчунај унутрашње и спољашње углове паралелограма, ако је један унутрашњи угао 5 пута мањи од другог.

а) један унутрашњи угао једнак другог 4 унутрашњег угла; 3

б) један спољашњи угао износи 7 другог спољашњег угла; в) један унутрашњи угао је за 15° већи од другог унутрашњег угла; г) један спољашњи угао је за 24° мањи од њему одговарајућег унутрашњег угла.

66. Симетрале углова ∡𝑃 и ∡𝑄 паралелограма 𝑀𝑁𝑃𝑄 секу се у спољашњој области паралелограма и деле страницу 𝑀𝑁 на 3 дела. Израчунај дужину сваког дела ако су дужине страница тог паралелограма 𝑀𝑁 = 21 cm и 𝑀𝑄 = 8 cm. 67. У паралелограму 𝐴𝐵𝐶𝐷 један унутрашњи угао три пута је већи од другог унутрашњег угла. Висина паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷, повучена из темена тупог угла ∡𝐷 на страницу 𝐴𝐵, дели страницу 𝐴𝐵 на два једнака дела. Израчунај дужину странице 𝐴𝐵, ако је дужина висине 3,2 cm.

pr om

58. Израчунај унутрашње и спољашње углове паралелограма, ако његови углови одређују размеру: а) 1∶2; б) 3∶2; в) 4∶5; г) 13∶5; д) 11∶7; ђ) 17∶3.

65. Симетрале углова ∡𝐶 и ∡𝐷 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 секу се у тачки 𝑆 . Ако се тачка 𝑆 налази на страници 𝐴𝐵 и ако је дужина странице 𝐴𝐷 = 25 cm, израчунај обим паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷.

57. Израчунај мере унутрашњих углова паралелограма ако се зна да је:

ЧЕТВОРОУГАО

59. Израчунај унутрашње углове паралелограма, ако његова дијагонала 𝐴𝐶 са страницом 𝐴𝐵 образује угао од 45°, а са страницом 𝐴𝐷 угао од 30°.

uk a

60. Висина паралелограма 𝑃𝑄𝑅𝑆 , повучена из темена 𝑄 тупог угла ∡𝑃𝑄𝑅 на страницу 𝑃𝑆 , образује са страницом 𝑃𝑄 угао од 24°. Одреди унутрашње углове паралелограма 𝑃𝑄𝑅𝑆 .

61. Висине паралелограма 𝑀𝑁𝐾𝐿 повучене из темена 𝑀 тупог угла ∡𝑁𝑀𝐿 на странице 𝑁𝐾 и 𝐾𝐿, образују угао од 50° 18′. Израчунај унутрашње углове паралелограма 𝑀𝑁𝐾𝐿.

62. Израчунај унутрашње углове паралелограма 𝑃𝑄𝑅𝑆 , ако знаш да угао који граде продужетак странице 𝑄𝑅 и продужетак висине из темена 𝑃 тупог угла ∡𝑄𝑃𝑆 на страницу 𝑅𝑆 , има меру 57°. 63. Једна страница паралелограма је 10 dm. Да ли дијагонале могу имати дужине 14 dm и 6 dm? 64. У којим границама може бити дужина странице паралелограма, ако су дужине дијагонала тог паралелограма 24 cm и 14 cm?

68. У паралелограму 𝐴𝐵𝐶𝐷, позната је дужина странице 𝐴𝐷 = 6 cm и угао ∡𝐵𝐴𝐷 = 30°. Израчунај дужину висине из темена 𝐷 тупог угла ∡𝐴𝐷𝐶 на страницу 𝐴𝐵 датог паралелограма.

ПРАВОУГАОНИК, РОМБ И КВАДРАТ 69. Израчунај обим правоугаоника, ако су дужине његових страница 𝑎 = 7 cm и 𝑏 = 3 cm. 70. Израчунај обим ромба, ако је дужина његове странице: а) 𝑎 = 5 cm; б) 𝑎 = 6,5 cm. 71. Израчунај обим квадрата чија је дужина странице: а) 𝑎 = 6 cm; б) 𝑎 = 8,2 cm.

185

72. Израчунај све унутрашње и спољашње углове ромба, ако је мера једног унутрашњег угла 78°.

73. Израчунај све унутрашње и спољашње углове ромба, ако је мера једног спољашњег угла 115°. 74. Да ли углови 𝛼 и 𝛽 могу бити унутрашњи углови ромба, ако је њихова мера: а) 88° и 92°; б) 114° и 55°?

81. У правоуглом координатном систему дате су тачке: 𝐴(−6, −6), 𝐵(−2, −6) и 𝐶(−2, 4). а) Одреди координате тачке 𝐷, тако да четвороугао 𝐴𝐵𝐶𝐷 буде правоугаоник; б) Израчунај обим правоугаоника 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је дужина јединичне дужи 1 cm. 82. У правоуглом коодинатном систему дате су тачке 𝐴(3, −3) и 𝐶(3, 5). Дуж 𝐴𝐶 је дијагонала квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷. а) Одреди координате тачака 𝐵 и 𝐷. б) Одреди дужину дијагонала 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷, тако добијеног квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је дужина јединичне дужи 1 cm. в) Одреди координате тачке пресека дијагонала 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 (𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 = {𝑂}).

pr om

75. Дијагонала 𝐴𝐶 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 образује са страницом 𝐴𝐵 тог ромба угао од 28°. а) Израчунај унутрашње углове тог ромба. б) Колики угао образује дијагонала 𝐵𝐷 истог ромба са страницом 𝐴𝐵?

унутрашње углове тог ромба.

ЧЕТВОРОУГАО

uk a

76. Израчунај обим правоугаоника, ако је дужина једне његове странице 12,9 cm, а друга је: а) три пута краћа од прве; б) два пута дужа од прве.

77. Израчунај дужине страница правоугаоника, ако је обим правоуганика 54 cm, а дужине страница правоугаоника су у размери 5 ∶ 4.

78. Израчунај меру унутрашњих углова ромба, ако је: а) збир два унутрашња угла 130°; б) разлика два унутрашња угла 7°; в) један унутрашњи угао 5 пута већи од другог; г) један унутрашњи угао 3 пута мањи од другог; д) један унутрашњи угао 4 пута већи од другог.

79. Висина ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 повучена из темена 𝐵 тупог угла ∡𝐴𝐵𝐶 на страницу 𝐶𝐷, образује са страницом 𝐵𝐶 угао од 40° 13′. Израчунај углове ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷. 80. Краћа дијагонала 𝑁𝑄 ромба 𝑀𝑁𝑃𝑄 једнака је страници ромба. Израчунај 186

83. У правоуглом координатном систему дате су тачке: 𝐴(3, −2), 𝐵(5, 2) и 𝐶(3, 6). а) Одреди координате тачке 𝐷, тако да четвороугао 𝐴𝐵𝐶𝐷 буде ромб. б) Одреди дужину дијагонала 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷, тако добијеног ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је дужина јединичне дужи 1 cm. в) Одреди координате тачке пресека дијагонала 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 (𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 = {𝑂}).

84. Дијагонале 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 правоугаоника 𝐴𝐵𝐶𝐷 секу се у тачки 𝑂 и образују угао ∡𝐴𝑂𝐵 = 140°. Одреди мере углова које образује: а) дијагонала 𝐴𝐶 са дужом (краћом) страницом правоугаоника 𝐴𝐵𝐶𝐷; б) дијагонала 𝐵𝐷 са дужом (краћом) страницом правоугаоника 𝐴𝐵𝐶𝐷.

85. Дијагонала правоугаоника 𝐴𝐵𝐶𝐷 образује са једном његовом страницом угао од 35°. Израчунај туп угао под којим се секу дијагонале тог правоугаоника. 86. Израчунај унутрашње углове ромба, ако симетрала угла између дуже дијагонале и странице сече другу страницу ромба под углом од 84°.

88. У ромбу 𝐴𝐵𝐶𝐷, угао који граде висина и дијагонала ромба повучене из темена тупог угла, износи 35°. Израчунај унутрашње углове ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷.

96. Конструисати квадрат ако је дужина његове дијагонале 𝑑 = 8 cm.

97. Конструисати ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако су дужине његових дијагонала 𝑑 1 = 𝐴𝐶 = 8 cm и 𝑑 2 = 𝐵𝐷 = 6 cm. 98. Конструиши паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је дато: а) 𝐴𝐵 = 6 cm, 𝐴𝐷 = 3 cm и ∡𝐵𝐴𝐷 = 60°; б) 𝐴𝐵 = 6 cm, 𝐵𝐶 = 3,5 cm и ∡𝐴𝐵𝐶 = 135°.

pr om

89. У ромбу 𝐴𝐵𝐶𝐷 један унутрашњи угао пет пута је већи од другог унутрашњег угла тог ромба. Израчунај: а) висину ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је обим ромба 24 cm; б) угао који граде висина и дијагонала ромба повучене из темена тупог угла ромба.

95. Конструисати правоугаоник ако је позната његова површина 𝑃 = 28 cm2, а дужина једне његове странице износи 𝑎 = 7 cm.

87. Обим ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 је 40 cm, а висина ромба је 5 cm. Израчунај унутрашње углове ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷.

ЧЕТВОРОУГАО

uk a

90. Из темена 𝐷 тупог угла ∡𝐴𝐷𝐶, ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, повучене су висине на странице 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶. Угао између висина износи 30°. Израчунај: а) дужину странице ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷; б) обим ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷; ако је дужина висине ромба 3,5 cm.

КОНСТРУКЦИЈА ПАРАЛЕЛОГРАМА

91. Конструисати кавадрат ако је дужина странице квадрата 𝑎 = 5 cm. 92. Конструисати правоугаоник, ако су дате дужине његових страница 𝑎 = 6 cm, 𝑏 = 3,5 cm. 93. Конструисати квадрат, ако је обим квадрата 𝑂 = 26 cm.

94. Конструисати правоугаоник, ако је обим правоугаоника 𝑂 = 36 cm, а збир дужина једанаких страница износи 10 cm.

99. Конструисати ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је дато: а) дужина странице ромба 𝐴𝐵 = 5 cm и угао ромба ∡𝐵𝐴𝐷 = 30°; б) дужина странице ромба 𝐴𝐵 = 4 cm и угао ромба ∡𝐴𝐵𝐶 = 105°. 100. Конструисати паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је дато: а) 𝐴𝐵 = 5,5 cm, 𝐵𝐶 = 3,5 cm, 𝐴𝐶 = 8 cm; б) 𝐴𝐵 = 6 cm, 𝐴𝐷 = 4 cm, 𝐵𝐷 = 7,5 cm. 101. Конструисати паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је дато: а) 𝐴𝐶 = 7 cm, ∡𝐵𝐴𝐶 = 30°, ∡𝐴𝐶𝐵 = 45°; б) 𝐵𝐷 = 5,5 cm, ∡𝐴𝐵𝐷 = 45°, ∡𝐴𝐷𝐵 = 60°. 102. Конструисати паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је дато: а) 𝐴𝐵 = 8,5 cm, 𝐴𝐶 = 7 cm, ∡𝐴𝐵𝐶 = 135°; б) 𝐴𝐷 = 5 cm, 𝐵𝐷 = 7,5 cm, ∡𝐵𝐴𝐷 = 60°.

103. Конструисати паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је дато: а) 𝐴𝐵 = 8 cm, 𝐴𝐶 = 10,5 cm, ∡𝐵𝐴𝐶 = 22° 30′; б) 𝐴𝐷 = 4 cm, 𝐵𝐷 = 7 cm, ∡𝐴𝐷𝐵 = 75°. 104. Конструисати паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако су дате дијагонале 𝐴𝐶 = 8 cm и 𝐵𝐷 = 6 cm и један од углова одређен дијагоналама има меру 120°.

187

105. Конструисати паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако су дате: а) дијагонале 𝐴𝐶 = 9 cm, 𝐵𝐷 = 6 cm и страница 𝐴𝐵 = 7 cm; б) дијагонале 𝐴𝐶 = 8 cm, 𝐵𝐷 = 6 cm и страница 𝐵𝐶 = 4,5 cm.

114. Конструисати правоугаоник 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је позната страница 𝐴𝐵 = 6,5 cm и полупречник описаног круга 𝑟𝑜 = 5 cm.

115. Конструисати паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је његова страница 𝐴𝐵 = 6 cm, угао ∡𝐴𝐵𝐶 = 120°, а висина која одговара страници 𝐴𝐵 има дужину ℎ𝑎 = 3,5 cm. 116. Конструисати паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако су дужине његових страница 𝐴𝐵 = 10 cm, 𝐵𝐶 = 6 cm, а висина која одговара страници 𝐴𝐵 има дужину ℎ𝑎 = 4 cm.

pr om

106. Конструисати правоугаоник 𝐴𝐵𝐶𝐷 ако је дато: а) страница 𝐴𝐵 = 5,5 cm и дијагонала 𝐴𝐶 = 7 cm; б) страница 𝐵𝐶 = 4 cm и дијагонала 𝐵𝐷 = 8 cm; в) дијагонала 𝐴𝐶 = 10 cm и један од углова одређен дијагоналама има меру 120°; г) страница 𝐴𝐵 = 5,5 cm и један од углова одређен дијагоналама има меру 135°.

113. Конструисати квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је дато: а) полупречник описаног круга 𝑟𝑜 = 4,5 cm; б) полупречник уписаног круга 𝑟𝑢 = 2,5 cm; в) тачка пресека дијагонала 𝑂 (𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 = {𝑂}) и теме 𝐷 квадрата.

ЧЕТВОРОУГАО

107. Конструисати правоугаоник 𝐴𝐵𝐶𝐷 ако је дата страница 𝐴𝐵 = 7,5 cm и угао одређен страницом и дијагоналом ∡𝐵𝐴𝐶 = 30°.

uk a

108. Конструисати правоугаоник 𝐴𝐵𝐶𝐷 ако је позната дијагонала 𝐴𝐶 = 8,5 cm и угао одређен дијагоналом и страницом ∡𝐵𝐴𝐶 = 30°.

109. Конструисати ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је позната: а) страница 𝐴𝐵 = 6 cm и дијагонала 𝐴𝐶 = 8 cm; б) страница 𝐴𝐵 = 5 cm и дијагонала 𝐵𝐷 = 5 cm.

110. Конструисати ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је позната његова дужа дијагонала 𝐴𝐶 = 6 cm и оштар угао ∡𝐵𝐴𝐷 = 60°. 111. Конструисати ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је позната његова дужа дијагонала 𝐴𝐶 = 8 cm и угао који та дијагонала захвата са страницом 𝐴𝐵 има меру 30°.

112. Конструисати ромб код кога је једна дијагонала једнака страници, а чија је мера 4 cm. 188

117. Конструисати паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако су дужине његових дијагонала 𝐴𝐶 = 1,2 dm и 𝐵𝐷 = 0,8 dm, а висина која одговара страници 𝐴𝐵 износи 60 mm. 118. Конструисати ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷, чија је страница 𝐴𝐵 = 4 cm, а дужина његове висине износи ℎ𝑎 = 3 cm.

ВЕКТОРИ 119. Који од вектора на слици имају исти � правац као и вектор v ? � v

� a

� b

� c

� f � d

� e

� g

� v

� b

� a

� d

� c

� e

� g

� d

� e

� f

� g

� c

� f

� g

� v

uk a

122. Који од вектора приказаних на слици � су једнаки вектору v ? � a � b

� d

� e

123. Који од вектора приказаних на слици � имају смер супротан смеру вектора v ? � v � a

� b � c

� d

� e � f

� g

� a

� b

� c

� e

� d

� f

� g

� � 125. Дати су вектори а и b , као на слици. Који од приказаних вектора је једнак � � збиру вектора a + b ? � a

� m

� n

� b

pr om

� b

� a

� c

� v

� f

121. Који од вектора приказаних на слици � имају исти смер као и вектор v ? � v

124. Који од вектора приказаних на слици � су једнаки вектору −v ?

120. Који од вектора приказаних на слици � имају исти интензитет као и вектор v ?

ЧЕТВОРОУГАО

� s

� q

� � t p

� r

� l

� � 126. Дати су вектори m и n , као на слици. Који од приказаних вектора је једнак � � разлици вектора m − n ? � m

� n � a

� b

� d

� c

� e

� g

� f

� � 127. Дати су вектори c и d , као на слици. Нацртај вектор који је једнак: � � � � а) c + d ; в) c + 2d ; � � � � б) c − d ; г) 2c − d . � d

� c

� � � 128. Дати су вектори m, n и p , као на слици. Одреди вектор: � � � � � � а) m + n ; б) m + p ; в) n + p ;

189

ЧЕТВОРОУГАО

� � � � � � г) m – n ; д) m – p ; ђ) n – p . � m

� б) Који вектори су супротни вектору CG ? в) Којим векторима треба допунити једнакост, тако да важи: � 1 1 1 HS = _____ = _____ = _____;

� p

� n

2 2

131. Дати су вектори 𝑎 ,𝑏⃗ ,𝑐 , као на слици. Нацртај вектор који је једнак: � � � � � � а) a + b + c ; г) 2b + a − c ;

� � � в) a − b − c ; � a

г) Којим векторима треба допунити једнакост, тако да важи: � BD = 2 ∙ ______? Посматрај слику под бројем 2) и одговори на питања: � а) Који вектори су једнаки вектору AE ?

1� a +3� b −� c. 2

� c

132. На слици је приказан паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷. D

Посматрај слику под бројем 1) и одговори на питања: а) Који је вектор једнак збиру вектора � � AB + BC ? б) Који је вектор једнак разлици вектора � � AB − BC ? в) Којим векторима треба допунити једнакост, тако да важи: � 1 AO = ______ = 2 _____?

190

ђ)

� b

uk a

� 1� 1� д) 2a − b − c ;

� � � б) a − b + c ;

130. На слици је приказан квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷. 2) 1) C

� HE =− _____?

pr om

� HF =− _____;

� v

� 1 1 1 SF = _____ = _____ = _____;

� 129. Дат је вектор v као на слици. Одреди вектор: 1 � � � 1 � а) 4 v ; б) −3 v ; в) 2 v ; г) − v .

Посматрај слику и одговори на питања: а) Који вектор је једнак збиру вектора � � CB +CD ? б) Који вектор је једнак разлици вектора � � CB − CD ? в) Којим векторима треба допунити једнакост, тако да важи: � EF = − ______ = − ______ = − ______? г) Којим векторима треба допунити једнакост, тако да важи: � 1 1 1 OE = ∙ ______ = ∙ ______ = ∙ ______? 2

д) Којим векторима треба допунити једнакост, тако да важи:

� � 133. Дати су вектори a и b , такви да је интензитет вектора 𝑎 једнак 7 cm, а � интензитет вектора b једнак 4 cm. Одреди � � � интензитет вектора c = a + b , ако су � � вектори a и b : а) истог смера; б) супротног смера. 134. Одреди обим троугла Δ𝐴𝐵𝐶, ако су дужине његових средњих линија 3

𝑚 1 = 4,2 cm, 𝑚 2 = 1,5 cm и 𝑚 3 = 3 4 cm.

142. Троугао Δ𝐴𝐵𝐶 је једнакокраки троугао код кога је 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 и ∡𝐴𝐶𝐵 = 60°. Нека је тачка 𝐷 средиште странице 𝐴𝐵. � � � � Ако је AC = a и BC = b , одговори на следећа питања: а) Колика је мера угла ∡𝐵𝐴𝐶? б) Којим векторима треба допунити једнакост, тако да важи: � AB = ______ + ______ ? � в) Ако је интензитет вектора |b |= 6 cm, � колики је интензитет вектора DB ? � � г) Да ли вектори AD и BD имају једнаке интензитете? � � д) Који је вектор једнак збиру AD + BD ?

pr om

135. У једнакокраком троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶), тачке 𝑃, 𝑄 и 𝑅 су средишта страница 𝐴𝐶, 𝐵𝐶 и 𝐴𝐵, редом. Одреди обим троугла Δ𝑃𝑄𝑅, ако је 𝐴𝐵 = 8 cm и 𝐴𝐶 = 10 cm.

141. У равни паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 дата је произвољна тачка 𝑆 . Ако је 𝑂 тачка пресека дијагонала датог паралелограма, доказати да је: � � � � � SA + SB + SC + SD = 4 ∙ SO .

� � � � O = CO + ______, O = ______ + BA , � � O = DF + ______? (За сваки пример напиши по два решења).

ЧЕТВОРОУГАО

uk a

136. Одреди обим једнакостраничног троугла Δ𝑃𝑄𝑅, ако је дужина његове средње линије 𝑚 = 4,5 cm.

� � 137. Дати су вектори a и b , такви да � је интензитет вектора a једнак 6 cm, а � интензитет вектора b једнак 9 cm. Одреди 1 � � интензитет вектора 3 ∙ (a + b ), ако су � � вектори a и b : а) истог смера; б) супротног смера. 138. Тачка 𝑆 је средиште странице 𝐴𝐵 троугла Δ𝐴𝐵𝐶. Доказати да је � � � CA +CB = 2CS . 139. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 тачке 𝐸 и 𝐹 су средишта страница 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶, редом. � � Доказати да је BC = 2 ∙ EF . 140. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 тачке 𝐸 и 𝐹 су средишта страница 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶, редом. � 1 � � Доказати да је EF = 2 ∙ (CB + AC ).

ТРАПЕЗ ЕЛЕМЕНТИ И ОСОБИНЕ ТРАПЕЗА 143. На слици су приказани четвороуглови. Заокружи број испод оних четвороуглова који су трапези. 1) 2) 3) 4)

191

ЧЕТВОРОУГАО

144. На слици су дате три паралелне праве 𝑎 ‖ 𝑏 ‖ 𝑐, као и две праве 𝑑 и 𝑒 које их секу. Обележи све пресечне тачке, а затим преброј и испиши све трапезе које уочаваш на слици. d

149. Израчунај мере унутрашњих углова једнакокраког трапеза са слике: а) б) C

55°

128° A

в)

145. Нацртај трапез, такав да је он: а) једнакокраки; б) правоугли; в) није ни једнакокраки ни правоугли. Затим му обележи темена са 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝐷, основице са 𝑎 и 𝑏, краке са 𝑐 и 𝑑, дијагонале са 𝑑1 и 𝑑2, а висину са ℎ.

uk a

𝛼

192

C 𝛾

𝛽 140° B

б)

D 80° 𝛿

𝛼

C 𝛾 70°

𝛽

C 𝛽

а)

148. Израчунај мере унутрашњих углова трапеза са слике: D 120°

56°20′

𝛽 2

150. Израчунај мере унутрашњих углова правоуглог трапеза са слике:

147. Израчунај мере осталих унутрашњих углова трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако су дате мере два унутрашња угла трапеза: а) ∡𝐴 = 75°, ∡𝐵 = 35°; б) ∡𝐵 = 60°, ∡𝐷 = 130°; в) ∡𝐶 = 134° 30′, ∡𝐷 = 105° 30′; г) ∡𝐴 = 45° 30′, ∡𝐶 = 117° 30′.

а)

г)

pr om

146. Да ли постоји трапез чији су унутрашњи углови: а) 75°, 105°, 84° и 106°; б) 80°, 100°, 80° и 100°; в) 112°, 68°, 107° и 73°; г) 90°, 90°, 54° 27′ и 125° 33′?

б)

72°

130°14′ A

в) D

C 3𝛽

г) 𝛽

D 𝛼 A

𝛼 –100°

151. Израчунај дужину средње линије трапеза, ако су дужине његових основица: а) 𝑎 = 8 cm и 𝑏 = 5 cm; б) 𝑎 = 9,3 cm и 𝑏 = 4,7 cm; в) 𝑎 = 7 3 cm и 𝑏 = 2 4

1 cm. 4

152. Израчунај дужину непознате основице трапеза, ако су дате дужине друге основице и средње линије: а) 𝑎 = 7 cm и 𝑚 = 5 cm; б) 𝑏 = 3 cm и 𝑚 = 7 cm; в) 𝑎 = 9,5 cm и 𝑚 = 8 cm; г) 𝑏 = 4,5 cm и 𝑚 = 6,5 cm;

154. Израчунај обим једнакокраког трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷 на основу података датих на слици: D

3,5

3,5 A

4 8 a

3,5

3,5 B

б)

D 2,5

2,5 A

2,5

2,5 B

162. Израчунај унутрашње углове једнакокраког трапеза, ако је збир три његова унутрашња угла 225°.

163. Симетрале углова на основици једнакокраког трапеза секу се под углом од 130°. Израчунај мере унутрашњих и спољашњих углова тог трапеза.

164. Дијагонала 𝐴𝐶 једнакокраког трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷 образује са основицом 𝐴𝐵 (𝐴𝐵 > 𝐶𝐷) угао ∡𝐵𝐴𝐶 = 41°. Ако је крак 𝐵𝐶 тог једнакокраког трапеза једнак са краћом основицом 𝐶𝐷, одреди мере унутрашњих углова трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷.

pr om

а)

161. Одреди обим једнакокраког трапеза, ако је дужина крака трапеза 8 cm, а дијагонала дели његову средњу линију на одсечке 6 cm и 7 cm.

153. Средња линија трапеза је 11,4 cm. Израчунај дужине основица трапеза, ако је: а) дужина једне основице пет пута дужа од дужине друге основице; б) дужина једне основице за 3,6 cm краћа од друге основице.

ЧЕТВОРОУГАО

155. Одреди унутрашње углове једнакокраког трапеза, ако је збир два унутрашња угла: а) 80°; б) 210°.

uk a

156. Одреди унутрашње углове правоуглог трапеза, ако је збир углова на истој основици: а) 147°; б) 227°.

165. Дијагонала 𝐵𝐷 једнакокраког трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷 образује са краком 𝐴𝐷 угао од 90°, а са основицом 𝐴𝐵 (𝐴𝐵 > 𝐶𝐷) угао од 36°. Одреди мере унутрашњих углова трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷.

166. У једнакокраком трапезу 𝐴𝐵𝐶𝐷 симетрала 𝑠 угла ∡𝐵𝐴𝐷 на основици сече крак 𝐵𝐶 под правим углом. Одреди мере унутрашњих углова трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷.

159. Израчунај унутрашње углове једнакокраког трапеза, ако се углови на истом краку разликују за 18° 18′.

168. Израчунај средњу линију правоуглог трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷, код кога је ∡𝐴𝐵𝐶 = 60°, дужина дуже основице је 𝐴𝐵 = 9 cm и дужег крака 𝐵𝐶 = 8 cm.

157. Дијагонала једнакокраког трапеза дели угао на основици на углове 67° 17′ и 45° 43′. Одреди унутрашње углове тог једнакокраког трапеза.

158. У координатном систему нацртај тачке 𝐴(−2, 1), 𝐵(5, 1) и 𝐶(3, 4). Одреди координате тачке 𝐷, тако да четвороугао 𝐴𝐵𝐶𝐷 буде: а) једнакокраки трапез; б) правоугли трапез.

160. Дијагонала трапеза дели средњу линију трапеза на одсечке 1,5 cm и 3,5 cm. Одреди дужине основица трапеза.

167. Код једнакокраког трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷 крак 𝐵𝐶 је два пута већи од висине трапеза повучене из темена тупог угла ∡𝐶. Израчунај све унутрашње углове једнакокраког трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷.

169. Израчунај средњу линију: а) једнакокраког трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷; б) правоуглог трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷 (∡𝐴 = ∡𝐷 = 90°); ако висина повучена из темена тупог

193

угла ∡𝐵𝐶𝐷 на већу основицу 𝐴𝐵, дели ту основицу на делове 2 cm и 7 cm.

170. Израчунај основице једнакокраког трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако дијагонала дели средњу линију на одсечке 1,85 cm и 3,1 cm.

171. Правоугли трапез 𝐴𝐵𝐶𝐷 подељен је дијагоналом 𝐴𝐶 на једнакостранични троугао Δ𝐴𝐵𝐶 и правоугли троугао Δ𝐴𝐶𝐷. Ако је обим једнакостраничног троугла 36 cm, одреди: а) меру унутрашњих углова трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷; б) дужину средње линије правоуглог трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷.

176. Конструисати трапез 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако су дати елементи: а) основица 𝐴𝐵 = 10 cm, краци 𝐵𝐶 = 8 cm и 𝐴𝐷 = 4 cm, као и дијагонала 𝐴𝐶 = 6 cm; б) основице 𝐴𝐵 = 10 cm, 𝐶𝐷 = 6 cm, и крак 𝐴𝐷 = 4 cm и дијагонала 𝐵𝐷 = 8 cm.

177. Конструиши трапез 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако су дати елементи: а) основице 𝐴𝐵 = 8 cm, 𝐶𝐷 = 4 cm, угао ∡𝐵𝐴𝐶 = 60° и висина ℎ = 5 cm; б) основица 𝐴𝐵 = 7 cm, крак 𝐵𝐶 = 4 cm, угао ∡𝐵𝐴𝐷 = 75°, висина ℎ = 3,5 cm и угао ∡𝐴𝐵𝐶 је оштар; в) основица 𝐴𝐵 = 8 cm, краци 𝐴𝐷 = 3,5 cm, 𝐵𝐶 = 5 cm, висина ℎ = 3 cm и углови на основици 𝐴𝐵 су оштри; г) основица 𝐴𝐵 = 8 cm, углови ∡𝐵𝐴𝐷 = 45°, ∡𝐴𝐵𝐶 = 60° и висина ℎ = 3,5 cm.

pr om

172. Један оштар угао једнакокраког трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷 има меру 60°. Дужине основица тог трапеза су 𝐴𝐵 = 8 cm и 𝐶𝐷 = 4 cm. Израчунај обим једнакокраког трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷.

б) основица 𝐶𝐷 = 3 cm, краци 𝐵𝐶 = 4,5 cm и 𝐴𝐷 = 5,5 cm и угао ∡𝐵𝐶𝐷 = 105°.

ЧЕТВОРОУГАО

uk a

КОНСТРУКЦИЈА ТРАПЕЗА

173. Конструиши трапез 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако су дати следећи елементи: а) основица 𝐴𝐵 = 7 cm, крак 𝐵𝐶 = 5 cm и углови ∡𝐷𝐴𝐵 = 45° и ∡𝐴𝐵𝐶 = 60°; б) основице 𝐴𝐵 = 6 cm и 𝐶𝐷 = 4 cm, крак 𝐵𝐶 = 3 cm и угао ∡𝐴𝐵𝐶 = 75°.

174. Конструиши трапез 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако су познати следећи елементи: основице 𝐴𝐵 = 7 cm, 𝐶𝐷 = 4,5 cm, и краци 𝐴𝐷 = 3 cm, 𝐵𝐶 = 3,5 cm. 175. Конструисати трапез 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако су познати елементи: а) основица 𝐶𝐷 = 4 cm, крак 𝐵𝐶 = 4,5 cm и углови ∡𝐴𝐷𝐶 = 105°, ∡𝐵𝐶𝐷 = 120°; 194

178. Конструиши једнакокраки трапез 𝐴𝐵𝐶𝐷, као је дато: а) основица 𝐴𝐵 = 6 cm, крак 𝐵𝐶 = 4,5 cm, угао ∡𝐵𝐴𝐷 = 75°; б) основица 𝐶𝐷 = 4 cm, крак 𝐴𝐷 = 5 cm и угао ∡𝐴𝐷𝐶 = 120°; в) основице 𝐴𝐵 = 5 cm, 𝐶𝐷 = 2 cm и крак 𝐴𝐷 = 4 cm; г) основице 𝐴𝐵 = 5 cm, 𝐶𝐷 = 3 cm и дијагонала 𝐴𝐶 = 6 cm.

179. Конструиши правоугли трапез 𝐴𝐵𝐶𝐷, као је дато: а) основице 𝐴𝐵 = 7 cm, 𝐶𝐷 = 5 cm и висина 𝐴𝐷 = 4,5 cm; б) основица 𝐴𝐵 = 8 cm, дужи крак 𝐵𝐶 = 6 cm, угао ∡𝐵𝐶𝐷 = 120°; в) основица 𝐴𝐵 = 8 cm, дужи крак 𝐵𝐶 = 6 cm и краћи крак 𝐴𝐷 = 5 cm; г) краћи крак 𝐴𝐷 = 5 cm, краћа дијагонала 𝐵𝐷 = 7 cm и дужи крак 𝐵𝐶 = 6 cm.

ЧЕТВОРОУГАО

б) 2,6

uk a 𝛽

33°

57°

42°

в)

𝛿 𝛾

184. Два суседна угла делтоида 𝐴𝐵𝐶𝐷 су: 45° и 115°. Одреди остале углове делтоида 𝐴𝐵𝐶𝐷.

б)

2,5a

в)

C B

D b

C C

189. На слици је приказан делтоид 𝐴𝐵𝐶𝐷. Израчунај мере углова делтоида, ако је троугао Δ𝐵𝐶𝐷 једнакокрако-правоугли (∡𝐵𝐶𝐷 = 90°), а мера угла ∡𝐷𝐴𝐶 = 60°. A

120°

A2,

183. Израчунај непознате углове делтоида приказаног на слици: а) б) 𝛼 𝛿 𝛾 105°

а)

m 6,3 c

188. Израчунај обим делтоида приказаног на слици, на основу датих података:

2,5

а)

pr om

182. Одреди дужине непознатих страница код делтоида приказаног на слици:

187. Две суседне странице делтоида 𝐴𝐵𝐶𝐷, које су различитих дужина одређују угао чија је мера 90° (∡𝐴𝐵𝐶 = 90°). Одреди мере непознатих углова делтоида 𝐴𝐵𝐶𝐷. Да ли задатак има јединствено решење?

5 cm

181. Нацртај произвољан делтоид, означи му темена, странице и углове. Именуј једнаке углове, па њихове кружне лукове обој црвеном бојом.

186. Два суседна угла делтоида 𝐴𝐵𝐶𝐷 имају меру по 90°, тј. ∡𝐵𝐴𝐷 = ∡𝐶𝐵𝐴 = 90°. Одреди меру непознатих углова делтоида 𝐴𝐵𝐶𝐷.

0,5 b

180. Нацртај дужи 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷, тако да је 𝐴𝐵⊥𝐶𝐷, 𝐴𝐵 ∩ 𝐶𝐷 = {𝑂} и |𝐶𝑂| = |𝑂𝐷|. Како се зове четвороугао 𝐴𝐶𝐵𝐷 са датим карактеристикама?

185. Једнаке странице делтоида 𝐴𝐵𝐶𝐷 одређују углове чије су мере 75° и 39°. Ако је 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 и 𝐶𝐵 = 𝐶𝐷, одреди мере непознатих углова делтоида 𝐴𝐵𝐶𝐷.

ДЕЛТОИД

190. У правоуглом координатном систему дате су тачке: 𝐴(0, 4), 𝐵(−3, 0) и 𝐶(0, −5). а) Одреди координате тачке 𝐷, тако да четвороугао 𝐴𝐵𝐶𝐷 буде делтоид. 195

ЧЕТВОРОУГАО

б) Одреди дужине дијагонала делтоида 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако је јединична дуж једнака 1 cm. 191. Одреди меру унутрашњих углова делтоида 𝐴𝐵𝐶𝐷 са слике: A

43°

135° D

D B

17°

22° C

в)

A 38°

54°

uk a

б)

pr om

а)

192. Једнакостранични троугао Δ𝐴𝐵𝐶 и једнакокрако-правоугли троугао Δ𝐴𝐵𝐷 (∡𝐴𝐷𝐵 = 90°) имају заједничну страницу 𝐴𝐵. а) Како се зове четвороугао 𝐴𝐶𝐵𝐷? б) Одреди мере унутрашњих углова четвороугла 𝐴𝐶𝐵𝐷.

196

ЧЕТВОРОУГАО

ДОБРО СЕ ДОБРИМ ВРАЋА

uk a

pr om

Ово је позната прича о три лептира, три својој баки. Лале су почеле да моле добра друга. Један је био црвени, други девојчицу да то не уради, јер су желеле и бели и трећи жути. Свакога дана лептири даље да красе ливаду. су се играли на зеленој ливади и весело Девојчица им је онда рекла: „Која од вас у летели од цвета до цвета. Били су срећни наредних пола сата тачно реши следећи и веома сложни у својим играма. задатак биће поштеђена.� А, задатак је Али, једнога дана, небо се наоблачило, гласио: Трапез на слици формиран ветар је бивао све јачи и јачи, а кишне је спајањем три једнакостранична капи све крупније и крупније. На ливади троугла. Може ли се овај трапез није било места где би се сакрили, док не поделити на 4 дела истог облика и исте прође олуја. величине? Одједаред, црвени лептир је спазио црвену лалу и замолио је: „Лало, лалице, отвори нам своје латице да се склонимо од Ево и слике: кише.� Црвена лала му рече: „Тебе, црвеног лептира ћу примити, а жутог и белог нећу, јер нису као ја.� Црвени лептир је одговорио: „Кад нећеш моје другове да примиш, нећу ни ја.� Затим је жути лептир спазио жуту лалу и замолио је: „Лало, лалице, отвори нам своје латице да се склонимо од кише.� Жута лала му рече: „Тебе, жутог лептира И, наравно, у знак захвалности што ћу примити, а црвеног и белог нећу, јер их је примила када је почело невреме, нису као ја.� Жути лептир је одговорио: лептирићи су се дали на размишљање „Кад нећеш моје другове да примиш, нећу и помогли белој лали да тачно реши ни ја.� задатак, јер добро се добрим враћа! Ех, онда је бели лептир спазио белу лалу, „Може�, са поносом је одговорила бела грациозну и горду лепотицу међу лалама. лалица. Она зна како! Бели лептир је слетео на латицу беле лале, А знаш ли ти? питомим погледом је помиловао њену лепоту и замолио: „Лало, лалице, отвори нам своје латице да се склонимо од кише.� Бела лала му рече: „Само изволите, другари, ја нисам као моје комшинице, црвена и жута лала. Надам се да вам неће бити тесно.� Чим је Сунце видело да су лептирићи сложни, оно је свом снагом својих зрака растерало облаке, умирило грмљавину, топло се насмејало и опет је све било као пре. Лептирићи су одлепршали и наставили да се играју по ливади. А онда је дошла несташна девојчица, која је хтела да убере све три лале и однесе их 197

ЧЕТВОРОУГАО

ТЕСТ

1. Унутрашњи углови четвороугла су: 𝛼 = 85°, 𝛽 = 52° и 𝛾 = 133°. а) Израчунај меру четвртог угла 𝛿; б) Сваком унутрашњем углу четвороугла одреди меру одговарајућег спољашњег угла. 2. Одреди непознате углове паралелограма са слике: а) б) 𝛾

𝛿

𝛼

120° B

𝛾

𝛿

𝛼

𝛽 45° B

pr om

3. Израчунај обим ромба, ако је дужина једне његове странице 4,2 cm.

4. Израчунај мере осталих унутрашњих углова трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷, ако су дате мере два унутрашња угла трапеза ∡𝐴 = 85° и ∡𝐵 = 25°. 5. Два суседна угла делтоида су 47° и 113°. Одреди остале углове делтоида.

uk a

ТЕСТ

1. Израчунај унутрашње углове четвороугла, ако је један унутрашњи угао 𝛼 = 𝛽 + 42°, 𝛾 = 𝛼 − 26° и 𝛿 = 𝛼 + 𝛽 .

2. Израчунај унутрашње и спољашње углове паралелограма, ако његови унутрашњи углови одређују размеру 11 ∶ 7. 3. Краћа дијагонала ромба једнака је страници ромба. Израчунај унутрашње углове ромба.

4. Одреди унутрашње углове једнакокраког трапеза, ако је збир два унутрашња угла тог трапеза 230°. 5. Одреди меру унутрашњих углова делтоида са слике: A

40°

56° C

198

ЧЕТВОРОУГАО

ТЕСТ 1. Израчунај унутрашње углове четвороугла ако је унутрашњи угао 𝛽 за 30° већи од угла 𝛼 , угао 𝛾 је 3 пута мањи од угла 𝛼 , а угао 𝛿 је три пута мањи од угла 𝛾 .

2. У паралелограму 𝐴𝐵𝐶𝐷, дужина странице 𝐴𝐷 = 10 cm и ∡𝐴𝐵𝐶 = 150°. Израчунај дужину висине из темена 𝐷 тупог угла ∡𝐶𝐷𝐴 на страницу 𝐴𝐵 датог паралелограма. 3. Дијагонала правоугаоника образује са једном његовом страницом угао од 25°. Израчунај туп угао под којим се секу дијагонале тог правоугаоника.

4. Израчунај средњу линију 𝑚 правоуглог трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷, код кога је ∡𝐴𝐵𝐶 = 60°, дужина дуже основице 𝐴𝐵 = 10 cm и дужег крака 𝐵𝐶 = 8 cm.

uk a

pr om

5. Једнакостранични троугао Δ𝐴𝐵𝐶 и једнакокрако-правоугли троугао Δ𝐴𝐵𝐷 (𝐴𝐵 је хипотенуза троугла Δ𝐴𝐵𝐷) имају заједничку страницу 𝐴𝐵. а) Како се зове четвороугао 𝐴𝐶𝐵𝐷 који је настао на овај начин? б) Одреди мере унутрашњих углова четвороугла 𝐴𝐶𝐵𝐷.

199

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

ЧЕТВОРОУГАО –

2. а)

подсетник

г)

д)

E H

N R

3. а)

ђ)

1. Треба заокружити: а), в), г). 200

P S

б)

в)

b 𝛼

𝛿

4. а) темена; б) 𝐵𝐶 = 𝑏 , 𝐶𝐷 = 𝑐 , 𝐷𝐴 = 𝑑 ; в) ∡𝐴𝐵𝐶 = 𝛽 , ∡𝐵𝐶𝐷 = 𝛾 , ∡𝐶𝐷𝐴 = 𝛿; г) 𝛽 1, 𝛾 1, 𝛿1; д) 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷.

5. а) 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶; б) 𝐷𝐶; в) ∡𝐷𝐴𝐵 и ∡𝐵𝐶𝐷; г) ∡𝐴𝐷𝐶.

6. а) ∡𝑄𝑀𝑁, ∡𝑀𝑁P; б) ∡𝑀𝑁𝑃, ∡𝑁𝑃𝑄; в) ∡𝑁𝑃𝑄,∡𝑃𝑄𝑀. C

8. а) 𝐸, 𝐹, 𝑅; б) 𝐻, 𝐺; в) 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝑃, 𝑄, 𝑆 .

ПОЈАМ И ЕЛЕМЕНТИ ЧЕТВОРОУГЛА

pr om

 1)

E B

в)

uk a

б)

 1)

ЧЕТВОРОУГАО

𝛾

𝛽

9. а)

б)

в)

г)

д)

ђ)

ЧЕТВОРОУГАО

12. а) 𝐴𝐵𝐹𝐸, 𝐴𝐶𝐹𝐷; б) 𝐴𝐵𝐸𝐺, 𝐴𝐶𝐹𝐺, 𝐴𝐵𝐷𝐻.

13. 𝐴𝐵 = 5 cm, 𝐵𝐶 = 3 cm, 𝐶𝐷 = 5 cm, 𝐷𝐴 = 3 cm; 𝑂 = 16 cm.

14. а) не могу, јер су све четири тачке колинеарне; б) могу. 15. а) 𝑂 = 18 cm; б) 𝑂 = 94 cm.

б)

pr om

10. а) правоугаоник или квадрат

16. а)

б)

uk a

в)

б)

C d1 B

C d1

d2 B

г) правоугаоник или квадрат

17. а)

11. а) 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐵𝐸𝐹, 𝐹𝐸𝐶𝐷; б) 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐻𝐹𝐷, 𝐵𝐻𝐹𝐶, 𝐺𝐸𝐶𝐷, 𝐴𝐵𝐸𝐹, 𝐴𝐻𝑆𝐺, 𝐵𝐻𝑆𝐸, 𝐺𝑆𝐹𝐷, 𝐸𝐷𝐹𝐶.

18. а) 𝑂 = 12 cm; б) 𝑂 = 20 cm; в) 𝑂 = 15 cm; г) 𝑂 = 15 cm. 1

19. 𝑎 = 26,4 cm; 𝑚 = 2 𝑎 = 13,2 cm, 1

𝑛 = 3 𝑎 = 8,8 cm, 𝑂 = 44 cm.

201

ЧЕТВОРОУГАО

112° има меру 68°, док су преостала два спољашња угла једнака међусобом и њихова мера је 95°.

20. а) може; б) не може; в) не може; г) не може; д) не може; ђ) може. 21. а) могу; б) не могу; в) могу; г) не могу.

22. а) 𝛿 = 93°; б) 𝛼 1 = 96°, 𝛽 1 = 127°, 𝛾 1 = 50°, 𝛿1 = 87°.

31. Нека су 𝐵 и 𝐶 подножја нормала из тачке 𝐴 на краке угла ∡𝑎𝑂𝑏 . Углови добијеног червороугла 𝑂𝐵𝐴𝐶 су: ∡𝑂 = 84°, ∡𝐵= 90° = ∡𝐶, ∡𝐴 = 96°. 32. а) 36°, 72°, 108°, 144°; б) 24°, 48°, 96°, 192°; в) 𝛼 = 24°, 𝛽 = 72°, 𝛾 = 144°, 𝛿 = 120°; г) 𝛼 = 93°, 𝛽 = 50°, 𝛾 = 74°, 𝛿 = 143°.

uk a

pr om

23. а) 𝛿 = 105°, 𝛼 = 111°, 𝛼 1 = 69°, 𝛽 1 = 95°, 𝛾 1 = 121°; б) 𝛽 = 72°, 𝛿 = 106° 16′ 44′′, 𝛼 1 = 86° 42′ 𝛾 1 = 91° 34′ 44′′, 𝛿1 = 73° 43′ 16′′; в) 𝛼 = 74° 40′, 𝛾 = 93° 40′ 30′′, 𝛿 = 81° 24′ 20′′, 𝛽 = 110° 15′ 10′′, 𝛽 1 = 69° 44′ 50′′; г) 𝛽 = 77° 12′ 42′′, 𝛿 = 91° 34′ 44′′, 𝛾 = 112° 47′ 34′′, 𝛼 1 = 101° 35′, 𝛾 1 = 67° 12′ 26′′; д) 𝛼 = 75° 31′ 44′′, 𝛾 = 122° 13′ 33′′, 𝛽 1 = 96° 34′ 44′′, 𝛾 1 = 57° 46′ 27′′, 𝛿1 = 101° 10′ 33′′.

30. Преостала три унутрашња угла су по 80°. Спољашњи угао за угао од 120° има меру од 60°, док су преостала три спољашња угла једнака и они су по 100°.

УГЛОВИ ЧЕТВОРОУГЛА

24. ∡𝐴𝐷𝐶 = 145°, ∡𝐷𝐴𝐵 = 50°, ∡𝐷𝐶𝐵 = 100°, ∡𝐴𝐵𝐶 = 65°.

25. а) 𝛽 = 41°, 𝛿 = 95°, 𝛾 = 122°, 𝛼 1 = 78°, 𝛽 1 = 139°, 𝛾 1 = 58°; б) 𝛼 = 30°, 𝛽 = 124°, 𝛿 = 132°, 𝛾 = 74°, 𝛽 1 = 56°, 𝛿1 = 48°.

26. 60°, 120°, 60°, 120°.

27. Сви унутрашњи углови су по 90°.

28. Четврти унутрашњи угао има меру 63°, три одговарајућа спољашња угла су једнака и њихова мера је 81°, док је четврти спољашњи угао 117°.

29. Преостала два унутрашња угла су по 85°. Спољашњи угао за угао од 78° има меру од 102°, спољашњи угао за угао од 202

33. 𝛽 = 90°, 𝛾 = 144° 36′ 42′′, 𝛿 = 70° 46′ 36′′. 34. 𝛼 = 45°, 𝛽 = 125°, 𝛾 = 90°, 𝛿 = 100°.

35. 𝛼 = 45°, 3𝛼 = 135°, тражени углови су: 45°, 45°, 135°, 135°. 36. ∡𝐵𝐴𝐷 = 75° = ∡𝐵𝐶𝐷.

37. Два посматрана наспрамна угла имају мере 100° и 80°, док је мера остала два једнака угла једнака 90°. 38. Тражени углови су редом: 106°, 74°, 40°, 140°.

39. ∡𝑄𝑅𝑆 = 90°, ∡𝑃𝑄𝑅 = 65°, ∡𝑆 𝑃𝑄 = 130°, ∡𝑃𝑆 𝑅 = 75°.

40. ∡𝐴𝐵𝐶 = 90°, ∡𝐵𝐶𝐷 = 105°, ∡𝐵𝐴𝐷 = 105°, ∡𝐴𝐷𝐶 = 60°. 41. ∡𝐴𝐵𝐶 = 45°, ∡𝐵𝐶𝐷 = 150°, ∡𝐵𝐴𝐷 = 105°, ∡𝐴𝐷𝐶 = 60°. 42. ∡CAD = 132°, ∡ADB = 60°, ∡DBC = 78°, ∡BCA = 90°.

43. 𝛼 = 120°, 𝛽 = 150°, 𝛾 = 60°, 𝛿 = 30°.

г) 𝑎 = 3 cm, 𝑏 = 3 cm.

44. 𝜑1 = 𝜑2 = 40°, 𝜑3 = 160°, 𝜑4 = 120°.

51. а) 𝑝 = 3 cm, 𝑞 = 2 cm; б) 𝑝 = 10 cm, 𝑞 = 4 cm.

45. 𝛽 = 89° = 𝛿.

46. I могућност: 𝛼 = 130° 40′, 𝛽 = 91° 45′, 𝛾 = 48° 20′, 𝛿 = 89° 15′; II могућност: 𝛼 = 48° 20′, 𝛽 = 91° 45′, 𝛾 = 130° 40′, 𝛿 = 89° 15. 47. ∡𝑄𝑀𝑁 = 85°, ∡𝑀𝑁𝑃 = 120°.

55. Унутрашњи: 135° и 45°, спољашњи: 45° и 135°.

uk a

б) уочавамо 9 паралелограма. b

c p q r

49. а) 𝛾 = 45°, 𝛽 = 135° = 𝛿; б) 𝛼 = 30° = 𝛾 , 𝛿 = 150°; в) 𝛼 = 60° = 𝛾 , 𝛽 = 120° = 𝛿; г) 𝛼 = 55° = 𝛾 , 𝛽 = 125° = 𝛿.

50. а) 𝑎 = 38 cm, 𝑏 = 22 cm; б) 𝑎 = 36 cm, 𝑏 = 18 cm; в) 𝑎 = 24 cm, 𝑏 = 8 cm;

53. а) не постоји; б) постоји; в) постоји.

pr om

52. а) ∡𝐶 = 67°, ∡𝐵 = 113° = ∡𝐷; б) ∡𝐴 = 66° 44′ 33′′, ∡𝐵 = 113° 15′ 27′′ = ∡𝐷; в) ∡𝐷 = 99° 9′ 9′′, ∡𝐴 = 80° 50′ 51′′ = ∡𝐶; г) ∡𝐵 = 105° 19′, ∡𝐴 = 74° 41′ = ∡𝐶. 54. а) 78° и 102°; б) 77° 38′ и 102° 22′; в) 77° 37′ 38′′ и 102° 22′ 22′′.

ПАРАЛЕЛОГРАМ 48. а) уочавамо 3 паралелограма;

ЧЕТВОРОУГАО

56. Унутрашњи: 30° и 150°, спољашњи: 150° и 30°. 57. а) 36° и 144°, б) 54° и 126°; в) 97° 30′ и 82° 30′; г) 102° и 78°.

58. а) Унутрашњи: 60° и 120°, спољашњи: 120° и 60°. б) Унутрашњи: 108° и 72°, спољашњи: 72° и 108°. в) Унутрашњи: 80° и 100°, спољашњи: 100° и 80°. г) Унутрашњи: 130° и 50°, спољашњи: 50° и 130°. д) Унутрашњи: 110° и 70°, спољашњи: 70° и 110°. ђ) Унутрашњи: 153° и 27°, спољашњи: 27° и 153°. 59. ∡𝐴 = 75° = ∡𝐶, ∡𝐵 = 105° = ∡𝐷. 60. ∡𝑃 = 66° = ∡𝑅, ∡𝑄 = 114° = ∡𝑆 .

61. ∡𝑀 = 129° 42′ = ∡𝐾, ∡𝑁 = 50° 18′ = ∡𝐿. 62. ∡𝑃 = 157° = ∡𝑅, ∡𝑄 = 23° = ∡𝑆 .

203

ЧЕТВОРОУГАО

68. Доцртамо троугао Δ𝐴𝐸𝐷1, при чему је 𝐸 подножје висине из темена 𝐷, који 14 6 63. Не могу, + = 10, па није задовољена је осносиметричан троуглу Δ𝐴𝐸𝐷, у 2 2 неједнакост троугла. односу на праву 𝐴𝐵. Троугао Δ𝐴𝐷𝐷1 је 64. Страница може бити већа од 5 cm, а мања од 19 cm.

једнакострничан, 𝐷𝐸 =

β онда су једнаки, па је ∡𝐴𝑆 𝐷 = ∡𝐶𝐷𝑆 = 2 .

2,5

𝛽 2

𝛼 2 𝛼 2

𝛽 2

2,5

𝛼 2

uk a

66. Означимо са 𝑆 и 𝑅, редом, пресеке симетрала углова ∡𝑃 и ∡𝑄 са страницом 𝑀𝑁. Слично 65. задатку се показује да су троуглови Δ𝑅𝑀𝑄 и Δ𝑆 𝑁𝑃 једнакокраки, одакле закључујемо да је 𝑀𝑅 = 8 cm и да је 𝑆 𝑁 = 8 cm. 𝑅𝑆 = 21 − 8 − 8 = 5 cm.

m 8c M

𝛼 2 𝛼 2

𝛽 2

𝛼 2

21 cm

𝛽 𝛽 2 2

67. ∡𝐴 = 45°, па је троугао Δ𝐴𝐷𝐸 је једнакокрако-правоугли (𝐴𝐸 = 𝐸𝐷 = 3,2 cm). 𝐴𝐵 = 2 ∙ 𝐴𝐸 = 6,4 cm. D

45°

204

ПРАВОУГАОНИК, РОМБ И КВАДРАТ

pr om

Троугао Δ𝑆 𝐴𝐷 једнакокраки одакле закључујемо да је 𝐴𝑆 = 𝐴𝐷 = 25 cm. Слично важи и за углове ∡𝐷𝐶𝑆 и ∡𝐵𝑆 𝐶, па је и троугао Δ𝑆 𝐵𝐶 једнакокраки (𝑆 𝐵 = 𝐵𝐶 = 25 cm). 𝐴𝐵 = 50 cm, 𝑂 = 150 cm.

30° 30°

60°

65. Углови ∡𝐶𝐷𝑆 и ∡𝐴𝑆 𝐷 су углови са паралелним крацим, а како су оба оштра

1 𝐴𝐷 = 3 cm. 2

69. 𝑂 = 20 cm.

70. а) 𝑂 = 20 cm; б) 𝑂 = 26 cm.

71. а) 𝑂 = 24 cm; б) 𝑂 = 32,8 cm.

72. Унутрашњи: 78° и 102°, спољашњи: 102° и 78°.

73. Унутрашњи: 65° и 115°, спољашњи: 115° и 65°. 74. а) могу; б) не могу.

75. а) ∡𝐴 = 56° = ∡𝐶, ∡𝐵 = 124° = ∡𝐷; б) образује угао од 62°. 76. а) 𝑂 = 34,4 cm; б) 𝑂 = 77,4 cm. 77. Странице су 15 cm и 12 cm.

78. а) 65° и 115°; б) 93° 30′ и 86° 30′; в) 150° и 30°; г) 45° и 135°; д) 144° и 36°.

ЧЕТВОРОУГАО

79. ∡𝐴 = 49° 47′ = ∡𝐶, ∡𝐵 = 130° 13′ = ∡𝐷.

дужина његове странице је 7 cm. Одакле закључујемо да је страница ромба једнака 7 cm;

80. ∡𝑀 = 60° = ∡𝑃, ∡𝑁 = 120° = ∡𝑄.

83. а) 𝐷(1, 2); б) 𝐴𝐶 = 8 cm, 𝐵𝐷 = 4 cm; в) 𝑂(3, 2).

pr om

КОНСТРУКЦИЈА ПАРАЛЕЛОГРАМА

5 cm

91. Упутство: посматрамо квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷, са дијагоналом 𝐴𝐶 којом смо поделили квадрат на два троугла. Конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 = 5 cm, ∡𝐵 = 90°, 𝐵𝐶 = 5 cm). Након тога конструишемо троугао Δ𝐴𝐶𝐷. На овај начин смо конструисали квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷, са датим елементима.

5 cm

uk a

87. Доцртамо троугао Δ𝐴𝐸𝐷1, при чему је 𝐸 подножје висине из темена 𝐷, који је осносиметричан троуглу Δ𝐴𝐸𝐷, у односу на праву 𝐴𝐵. Троугао Δ𝐴𝐷𝐷1 је једнакострничан, па је мера угла ∡𝐷1𝐴𝐷 = 60°. ∡𝐵𝐴𝐷 = 30° = ∡𝐵𝐶𝐷, ∡𝐴𝐵𝐶 = 150° = ∡𝐶𝐷𝐴. 10

150° B

б) 𝑂 = 28 cm.

85. Тражени туп угао има меру 110°.

30° 30°

84. а) са дужом угао од 20°, са краћом угао од 70°; б) са дужом угао од 20°, са краћом угао од 70°. 86. Тражени углови су 112° и 68°.

30°

3,5 cm

82. а) 𝐵(−1, 1), 𝐷(7, 1); б) 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = 8 cm; в) 𝑂(3, 1).

3,5 cm

81. а) 𝐷(−6, 4); б) 𝑂 = 28 cm.

88. Унутрашњи углови су 70° и 110°.

89. а) Сличан поступак као у 68. задатку. Висина ће бити 3 cm; б) мера траженог угао је 15°.

90. а) На основу података са слике добијамо да су углови ромба 30° и 150°. Слично поступку 68. задатка формирамо троугао Δ𝐴𝐷𝐸 који је једнакостраничан, а

92. Упутство: посматрамо правоугаоник 𝐴𝐵𝐶𝐷, са дијагоналом 𝐴𝐶 којом смо поделили правоугаоник на два троугла. Конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 = 6 cm, ∡𝐵 = 90°, 𝐵𝐶 = 3,5 cm). Након тога конструишемо троугао Δ𝐴𝐶𝐷. На овај начин смо конструисали правоугаоник 𝐴𝐵𝐶𝐷, са датим елементима. 205

6 cm

94. Странице правоугаоника су 𝑎 = 5 cm, 𝑏 = 13 cm. Након тога применимо поступак из 92. задатка.

60°

6 cm

б) Упутство: слично делу задатка под а) конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐶. Након тога конструишемо троугао Δ𝐴𝐶𝐷.

99. а) Упутство: конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐷 (𝐴𝐵 = 5 cm, ∡𝐵𝐴𝐷 = 30°, 𝐴𝐷 = 5 cm). Након тога конструишемо троугао Δ𝐵𝐶𝐷 (𝐵𝐶 = 𝐷𝐶 = 5 cm). На овај начин смо конструисали ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷, са датим елементима. б) слично делу задатка под а) конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐶. Након тога конструишемо троугао Δ𝐴𝐶𝐷.

pr om

95. 𝑎 = 7 cm, 𝑏 = 4 cm, сада применимо поступак из 91. задатка.

93. Страница квадрата је 𝑎 = 6,5 cm. Применимо поступак из 91. задатка.

6 cm

98. а) Упутство: конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐷. Након тога конструишемо троугао Δ𝐵𝐶𝐷. На овај начин смо конструисали паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷, са датим елементима. 3c

C 3,5 cm

6 cm

3,5 cm

ЧЕТВОРОУГАО

uk a

96. Упутство: конструишемо дуж 𝐴𝐶 = 8 cm, затим конструишемо симетралу дужи 𝐴𝐶. Тачку пресека дужи 𝐴𝐶 и њене симетрале означимо тачком 𝑂. Након тога конструишемо кружницу 𝑘(𝑂, 4 cm), а пресечне тачке симетрале дужи 𝐴𝐶 и кружнице 𝑘 означимо са 𝐷 и 𝐵. Спајањем тачака 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, добијамо тражени квадрат. C

97. Дијагонале ромба секу се међусобно полове и секу се под правим углом. Конструишемо дијагоналу 𝐴𝐶 = 8 cm. Након тога конструишемо симетралу дужи 𝐴𝐶. Тачку пресека дужи 𝐴𝐶 и њене симетрале означимо тачком 𝑂. Затим на симетрали дужи 𝐴𝐶 конструишемо тачке 𝐷 и 𝐵 тако да је 𝑂𝐷 = 𝑂𝐵 = 3 cm, и да важи распоред тачака 𝐷 − 𝑂 − 𝐵. Спајањем тачака 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, добијамо тражени ромб. 206

100. а) Упутство: конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐶 на основу датих елемената. Након тога конструишемо троугао Δ𝐴𝐶𝐷 (наспрамне стрнице паралелограма су једнаке). На овај начин смо конструисали паралелограм са датим елементима. б) слично делу задатка под а) конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐷. Након тога конструишемо троугао Δ𝐵𝐷𝐶.

101. а) Упутство: конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐶 на основу датих елемената. Након тога конструишемо троугао Δ𝐴𝐶𝐷 (𝐴𝐶 = 7 cm, ∡𝐴𝐶𝐷 = 30°, ∡𝐶𝐴𝐷 = 45°). На овај начин смо конструисали паралелограм са датим елементима. б) слично делу задатка под а) конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐷. Након тога конструишемо троугао Δ𝐵𝐷𝐶 (𝐵𝐷 = 5,5 cm, ∡𝐵𝐷𝐶 = 45°, ∡𝐷𝐵𝐶 = 60°).

pr om

103. а) Упутство: конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐶 на основу датих елемената. Након тога конструишемо троугао Δ𝐴𝐶𝐷 (𝐴𝐶 = 10,5 cm, ∡𝐴𝐶𝐷 = 22° 30′, 𝐶𝐷 = 8 cm). На овај начин смо конструисали паралелограм са датим елементима. б) слично делу задатка под а) конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐷. Након тога конструишемо троугао Δ𝐵𝐷𝐶 (𝐵𝐷 = 7 cm, ∡𝐷𝐵𝐶 = 75°, 𝐵𝐶 = 4 cm).

106. а) Конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐶 на основу датих елемената (∡𝐵 = 90°). Слично конструишемо троугао Δ𝐴𝐶𝐷. б) Слично делу задатка под а), конструишемо троугао Δ𝐵𝐶𝐷 на основу датих елемената (∡𝐶 = 90°). Слично конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐷. в) Дијагонале правоугаоника су једнаке и међусобно се полове. Након тога применимо поступак из 104. задатка. г) На основу података са слике, конструишемо троугао Δ𝐴𝑂𝐵. Затим, конструишемо троугао Δ𝐵𝑂𝐶. Након тога конструишемо теме 𝐷 на продужетку странице 𝑂𝐵, преко тачке 𝑂, тако да је 𝐶𝐷 = 5,5 cm. Слично поступамо у случају ∡𝐵𝑂𝐶 = 135°.

uk a

104. Дијагонале паралелограма се полове, пресечну тачку означимо са 𝑂. Kонструишемо троугао Δ𝐴𝑂𝐵 (𝐴𝑂 = 4 cm, ∡𝐴𝑂𝐵 = 120°, 𝑂𝐵 = 3 cm). Након тога конструишемо троугао Δ𝐴𝑂𝐷 (∡𝐴𝑂𝐷 = 60°). Након тога конструишемо теме 𝐶 на продужетку странице 𝐴𝑂 преко темена 𝑂, тако да је 𝑂𝐶 = 4 cm. Спајањем тачака 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, добијамо тражени паралелограм. Слично бисмо урадили да је угао ∡𝐵𝑂𝐶 = 120°. D

4 cm

O 60° 120°

4 cm

105. а) Дијагонале паралелограма се полове, пресечну тачку означимо са 𝑂. Kонструишемо Δ𝐴𝑂𝐵 (𝐴𝑂 = 4,5 cm, 𝐴𝐵 = 7 cm, 𝑂𝐵 = 3 cm). Након тога конструишемо темена 𝐶 и 𝐷 на продужецима страница 𝐴𝑂 и 𝐵𝑂, редом, преко тачке 𝑂 тако да важи 𝑂𝐶 = 4,5 cm и 𝑂𝐷 = 3 cm. Спајањем тачака 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 добијамо тражени паралелограм. б) Слично делу задатка под а).

5,5 cm

22°30′

45° 135°

5,5 cm

22°30′

67°30′

102. а) Упутство: конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐶 на основу датих елемената. Након тога конструишемо троугао Δ𝐴𝐶𝐷. На овај начин смо конструисали паралелограм са датим елементима. б) слично делу задатка под а) конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐷. Након тога конструишемо троугао Δ𝐵𝐷𝐶.

ЧЕТВОРОУГАО

107. Конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐵 = 90°). Након тога конструишемо троугао Δ𝐴𝐶𝐷 (∡𝐴𝐶𝐷 = 30°).

108. Конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐶 = 60°). Након тога конструишемо троугао Δ𝐴𝐶𝐷 (∡𝐴𝐶𝐷 = 30°, ∡𝐶𝐴𝐷 = 60°).

109. а) Конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐵𝐶 = 6 cm). Након тога конструишемо троугао Δ𝐴𝐶𝐷. б) Слично као у делу под а), конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐷 (𝐴𝐷 = 5 cm). Након тога конструишемо троугао Δ𝐵𝐶𝐷. 110. Конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐶 на основу података са слике. Након тога конструишемо троугао Δ𝐴𝐶𝐷.

207

111. Слично 110. задатку.

112. Конструкцију је лако извршити на основу података са слике. C

4 cm

uk a

113. Дијагонале квадрату се међусобно полове и секу под правим углом. На произвољној правој изаберемо тачку 𝑂 и конструишемо нормалу на изабрану праву кроз тачку 𝑂. Након тога конструишемо кружницу 𝑘(𝑂, 𝑟𝑜 = 4,5 cm). У пресеку кружнице и датих правих налазе се темена квадрата. б) Полупречник уписане кружнице квадрата два пута је краћи од странице квадрата (𝑎 = 5 cm). Сада применимо поступак из 91. задатка. в) Слично делу задатка под а). Након конструкција нормала конструишемо кружницу 𝑘(𝑂, 𝑂𝐷). У пресеку кружнице и датих правих налазе се темена квадрата. 114. Конструишемо троугао Δ𝐴𝑂𝐵. Након тога конструишемо кружницу 𝑘(𝑂, 𝑟𝑜 = 5 cm). Темена 𝐶 и 𝐷 се налазе на продужецима страница 𝐴𝑂 и 𝐵𝑂, преко тачке 𝑂, редом. D

m rO

208

6,5 cm

5c m rO

60°

6 cm

116. Констуишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐸 на основу елемената са слике. Затим, конструишемо троугао Δ𝐵𝐸𝐶. На крају конструишемо теме 𝐷 на продужетку странице 𝐶𝐸 преко темена 𝐸, тако да је 𝐶𝐷 = 10 cm. Спајањем тачака 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 добијамо тражени паралелограм. D

10 cm

117. Конструишемо троугао Δ𝐴𝐶𝐸 (𝐴𝐶 = 12 cm, 𝐶𝐸 = 6 cm, ∡𝐴𝐸𝐶 = 90°). Затим, конструишемо средиште дужи 𝐴𝐶 и означимо је са 𝑂. Тачку 𝐵 конструишемо на страници 𝐴𝐸, при чему је 𝑂𝐵 = 4 cm. Тачку 𝐷 конструишемо на продужетку странице 𝑂𝐵 преко тачке 𝑂, при чему важи да је 𝑂𝐷 = 4 cm. Спајањем тачака 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 добијамо тражени паралелограм. Задатак има 2 решења. D

A B

10 cm

30°

4 cm

d 1=

c 12

h = 6 cm

4 cm

pr om

6 cm

30° 30°

115. Констуишемо троугао Δ𝐵𝐸𝐶 на основу елемената са слике. Затим, конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐸. На крају конструишемо теме 𝐷 на продужетку странице 𝐶𝐸 преко темена 𝐸, тако да је 𝐶𝐷 = 6 cm. Спајањем тачака 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 добијамо тражени паралелограм.

4 cm

30° 30°

3,5 cm

ЧЕТВОРОУГАО

118. Примени поступак из 116. задатка.

ЧЕТВОРОУГАО

г)

� c

128.

2� c –� d � m

ВЕКТОРИ

� � � 120. a , d , f .

а)

� � 122. e , f .

б)

в)

� c

� c –� d

� c

� c +� d

в)

� p

г)

� c +2� d

� d

� p

� m

� n +� p

� m

–� d � d

–� p

� n

� m+� p

� n

� d

127. а)

uk a

� � 124. b , e .

� � 126. b , f .

� m

б)

� � � 123. b , e , f .

� 125. p .

� m+� n

pr om

� � 121. b , g .

� p

� n

–� n

–� d

� � 119. c , d .

� c

–� n

� m–� n д) � m–� p

� m

–� p 209

ЧЕТВОРОУГАО

129. а) б)

� n

� n –� p

� v

� v –� v

4� v

� a –� b +� c � c

� v

–� v

в) 1 � v 2

–3 � v

� v –� v

г)

–

� a

в)

–� b

1 � v 2

uk a

г)

� b

� a

210

� c � b

� a

� b

–� c

2� b +� a –� c д)

Ed � a +� b +� c

� a

–� c

� a –� b –� c

� � � � � 130. 1) а) AC ; б) DB ; в) OC ; AC ; г) BO или � OD ; � � � � � � � 2) а) EB , HS , SG , DF , FC ; б) GC , BG , � � � � � � � � � � ES , SF , AH , HD ; в) HG , AB , DC ; EF , AD , BC ; � � � � FH или GE ; EH или GF . 131. а)

–� b

–� p

б)

pr om

ђ)

� a

ђ)

2� a– 1 � a 2

� b

� a

–

1 � 1 � b– c 2 2 � b

1 � a +3� b –� c 2

1 � b 2

–

1 � c 2

� b –� c

� 133. а) Интензитет вектора c је 11 cm; � б) Интензитет вектора c је 3 cm.

134. 𝑂 = 18,9 cm. 135. 𝑂 = 14 cm. 136. 𝑂 = 27 cm.

uk a

138.

� � 142. а) ∡𝐵𝐴𝐶 = 60°; б) AC , CB ; � в) Интензитет вектора DB је 3 cm; г) Имају, интензитет оба вектора је 3 cm, интензитет не зависи од смера; д) Нула вектор (� 0 ).

pr om

1 � � 137. а) Интензитет вектора 3 ∙ (a + b ) је 5 cm; 1 � � б) Интензитет вектора 3 ∙ (a + b ) је 1 cm.

� � вектори OA и OC међусобно супротни, они у збиру дају � 0 , слично важи и за � � векторе OB и OD . Сабирањем наведених једнакости добијамо: � � � � � SA + SB + SC + SD = 4 ∙ SO .

� � � � � 132. а) CA ; б) DB ; в) AB , DC , FE ; � � � г) FE , AB , DC ; � � � � � � � � � д) OC , AO ; AB , DC , FE ; FD , AF , EC , BE .

ЧЕТВОРОУГАО

143. Треба заокружити: 2), 4), 6). 144. 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐶𝐷𝐸𝐹, 𝐴𝐵𝐹𝐸. d

� � � 2CS = CA + CB .

� 0

� 1 � 1 � � � � 139. EF = 2 BA + 2 AC , BC = BA + AC , � � након замене добијамо 2EF = BC .

� 1 � 1 � 140. EF = 2 AC + 2 CB , након примене дистрибутивног закона, а затим и закона комутативности збира вектора добијамо: � 1 � � EF = 2 ∙ (CB + AC ). � � � � � � 141. SA = SO + OA ; SB = SO + OB ; � � � � � � SC = SO + OC ; SD = SO + OD ; како су

}

� � 1 � � � 1 � CS = CA + 2 AB , CS = CB + 2 BA ; 1 � 1 � � � � � CS + CS = CA + CB + 2 AB − 2 AB ;

ТРАПЕЗ ЕЛЕМЕНТИ И ОСОБИНЕ ТРАПЕЗА

145. а)

б)

d = h A

d2 d1

b E

d = c

211

159. Унутрашњи углови су: 99° 9′ и 80° 51′.

160. Дужине основица су: 3 cm и 7 cm.

161. 𝑂 = 42 cm.

146. а) Не постоји; б) постоји; в) постоји; г) постоји. 147. а) ∡𝐶 = 145°, ∡𝐷 = 105°; б) ∡𝐴 = 50°, ∡𝐶 = 120°; в) ∡𝐴 = 74° 30′, ∡𝐵 = 45° 30′; г) ∡𝐷 = 134° 30′, ∡𝐵 = 62° 30′.

uk a

150. а) ∡𝐶 = 108°, (∡𝐴 = 90° = ∡𝐷); б) ∡𝐴 = 49° 46′, ∡𝐷 = 130° 14′; в) ∡𝐵 = 45°, ∡𝐶 = 135°; г) ∡𝐴 = 40°, ∡𝐷 = 140°.

151. а) 𝑚 = 6,5 cm; б) 𝑚 = 7 cm; в) 𝑚 = 5 cm.

152. а) 𝑏 = 3 cm; б) 𝑎 = 11 cm; в) 𝑏 = 6,5 cm; г) 𝑎 = 8,5 cm. 153. а) основице су: 19 cm и 3,8 cm; б) основице су: 13,2 cm и 9,6 cm. 154. а) 𝑂 = 30 cm; б) 𝑂 = 24 cm.

157. Унутрашњи углови су: 113° и 67°. 158. а) 𝐷(0, 4); б) 𝐷(−2, 4). 212

164. ∡𝐵𝐴𝐶 = 41° = ∡𝐴𝐶𝐷 (углови са паралелним крацима), ∡𝐴 = 82° = ∡𝐵, ∡𝐶 = 98° = ∡𝐷. D

41°

41° 41°

165. ∡𝐴 = 54° = ∡𝐵, ∡𝐶 = 126° = ∡𝐷.

166. ∡𝐴 = 60° = ∡𝐵, ∡𝐶 = 120° = ∡𝐷.

167. ∡𝐴 = 30° = ∡𝐵, ∡𝐶 = 150° = ∡𝐷. D

60°

c h

60°

30° 30°

168. На основу података са слике закључујемо да је: ∡𝐵𝐶𝐸 = 30° и да је 𝐵𝐸 = 4 cm. Одатле је 𝐴𝐸 = 5 cm = 𝐶𝐷, па је средња линија посматраног трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷 једнака 𝑚 = 7 cm. D

30°30° h

m 8c

155. а) унутрашњи углови су: 40° и 140°; б) унутрашњи углови су: 105° и 75°. 156. а) 90°, 90°, 57° и 123°; б) 90°, 90°, 137° и 43°.

163. Унутрашњи углови су: 50° и 130°, спољашњи углови су: 130° и 50°.

pr om

148. а) 𝛼 = 60°, 𝛽 = 40°, 𝛾 = 140°; б) 𝛼 = 80°, 𝛽 = 70°, 𝛾 = 110°, 𝛿 = 100°. 149. а) ∡𝐵 = 55°, ∡𝐶 = 125° = ∡𝐷; б) ∡𝐴 = 52° = ∡𝐵, ∡𝐶 = 128° = ∡𝐷; в) ∡𝐴 = 56° 20′ = ∡𝐵, ∡𝐶 = 123° 40′ = ∡𝐷; г) ∡𝐴 = 60° = ∡𝐵, ∡𝐶 = 120° = ∡𝐷.

162. Унутрашњи углови су: 135° и 45°.

8c m

в)

ЧЕТВОРОУГАО

60°

9 cm

60° E 4 cm B

ЧЕТВОРОУГАО

172. На основу података са слике добијамо да је крак 𝑐 = 4 cm, па је обим једнак 𝑂 = 20 cm.

60° A 2 cm

60° 2 cm B

75°

6 cm

174. На полуправој 𝐴𝑥 конструишемо тачку 𝐵 (𝐴𝐵 = 7 cm) и тачку 𝐸 тако да је 𝐴𝐸 = 4,5 cm. Сада конструишемо троугао Δ𝐸𝐵𝐶 на основу података са слике из упутства. Тачку 𝐷 добијамо у пресеку кружница 𝑘1(𝐴, 3 cm) и 𝑘2(𝐶, 4,5 cm). 4,5 cm

uk a

Ed 5 cm

C 120°

45°

7 cm

60°

4,5 cm

2,5 cm

175. а) Поступамо слично као у 173. задатку део под а). D C 4 cm 105° 120°

4,5

173. а) Конструишемо угао ∡𝑥 𝐴𝑦 = 45°, затим на краку 𝐴𝑥 конструишемо тачку 𝐵 тако да је 𝐴𝐵 = 7 cm. Након тога конструишемо угао ∡𝐴𝐵𝑧 = 60°, тако да су краци 𝐴𝑥 и 𝐵𝑧 са исте стране дужи 𝐴𝐵. Конструишемо тачку 𝐶 на краку 𝐵𝑧 (𝐵𝐶 = 5 cm). На крају конструишемо угао ∡𝐵𝐶𝑝 = 120°, 𝐴𝑦 ∩ 𝐶𝑝 = {𝐷}. Спајањем наведених тачака добијамо трапез са датим елементима.

КОНСТРУКЦИЈА ТРАПЕЗА

3,5

4 cm 8 cm

105°

4 cm

pr om

4 cm

30°

3 cm

171. а) ∡𝐴 = 90° = ∡𝐷, ∡𝐵 = 60°, ∡𝐶 = 120°; б) 𝐵𝐶 = 12 cm, 𝐴𝐵 = 12 cm, слично као у 176. задатку добијамо да је 𝐶𝐷 = 6 cm, па је средња линија трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷 једнака 𝑚 = 9 cm.

170. Основице су: 3,7 cm и 6,2 cm.

б) Конструишемо угао ∡𝑥 𝐵𝑦 = 75°, и на краковима 𝐵𝑥 и 𝐵𝑦 тачке 𝐴 и 𝐶 на одговарајућим растојањима, редом. Затим, конструишемо угао ∡𝐵𝐶𝑧 = 105°. Тачку 𝐷 конструишемо на краку 𝐶𝑧 (𝐶𝐷 = 4 cm). Спајањем наведених тачака добијамо трапез са датим елементима.

169. а) 𝑚 = 7 cm; б) I могућност: 𝑚 = 5,5 cm; II могућност: 𝑚 = 8 cm.

60°

б) На полуправој 𝐷𝑥 конструишемо тачку 𝐶 на одговарајућој удаљености. Затим, конструишемо угао ∡𝐷𝐶𝑦 = 105° и на краку 𝐶𝑦 тачку 𝐵 (𝐵𝐶 = 4,5 cm). Након тога конструишемо угао ∡𝐶𝐵𝑧 = 75° тако да крак 𝐵𝑧 буде са исте стране дужи 𝐵𝐶 као и тачка 𝐷. На крају из тачке 𝐷 конструишемо кружницу 𝑘(𝐷, 5,5 cm) и пресечну тачку кружнице и крака 𝐵𝑧 означимо са 𝐴. Задатак има 2 решења (тачке 𝐴 и 𝐴1). 213

4 cm A

uk a 8c

4 cm

10 cm

𝛽

m 4c

10 cm

177. а) Конструишемо угао ∡𝑥𝐴𝑎 = 60°. Након тога конструишемо тачку 𝐵 на краку 𝐴𝑎 тако да је 𝐴𝐵 = 8 cm. Конструишемо нормалу 𝑛 на страницу 𝐴𝐵 и на нормали 𝑛 тачку 𝑁, са исте стране 214

75°

8 cm

г) Након анализе следи конструкција. Поступамо слично као у делу под а).

8 cm

7 cm

3,5 cm

6 cm

75°

в) Након анализе следи конструкција. Поступамо слично као у делу под а).

б) Поступамо слично као у делу под а). D

8 cm

Други начин: конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐶, на тај начин добили смо угао ∡𝐴𝐵𝐶 = 𝛽. Конструишемо угао ∡𝐵𝐶𝑥 = 180° − 𝛽. Тачку 𝐷 добијамо истим поступком као и у првом начину. C 180°– 𝛽

60°

б) Након анализе следи конструкција. Поступамо слично као у делу под а).

10 cm

3,5 cm

4 cm

pr om

176. а) Први начин: конструишемо троугао Δ𝐴𝐵𝐶 на основу датих елемената. Затим конструишемо висину ℎ из темена 𝐶 на страницу 𝐴𝐵. Након тога конструишемо угао ∡ℎ𝐶𝑥 = 90°, при чему су крак 𝐶𝑥 и тачка 𝐴 са исте стране висине ℎ. На крају, из тачке 𝐴 конструишемо кружницу 𝑘(𝐴, 4 cm) и пресечну тачку кружнице и крака 𝐶𝑥 означимо са 𝐷. Задатак има 2 решења.

3 cm

75°

на којој је и крак 𝐴𝑥, на растојању 5 cm од дуж 𝐴𝐵. Сада конструишемо нормалу 𝑚 на нормалу 𝑛 кроз тачку 𝑁, 𝑚 ∩ 𝐴𝑥 = {𝐶}. На крају конструишемо тачку 𝐷 на правој 𝑚, тако да је 𝐶𝐷 = 4 cm, при чему су тачке 𝐴 и 𝐷 са исте стране праве одређене тачкама 𝐵 и 𝐶.

3,5 cm

5,5 A

C 105°

m 4 ,5 c

3 cm

cm 5,5

5 cm

ЧЕТВОРОУГАО

45°

8 cm

60°

178. а) Упутство: конструишемо угао ∡𝑥𝐴𝑦 = 75°, затим на крацима 𝐴𝑥 и 𝐴𝑦 конструишемо тачкe 𝐵 и 𝐷 на одговарајућим растојањима, редом. Конструишемо угао ∡𝐴𝐵𝑧 = 75°. Конструишемо тачку 𝐶 на краку 𝐵𝑧 (𝐵𝐶 = 4,5 cm). Спајањем наведених тачака добијамо једнакокраки трапез са датим елементима.

4, 5

б) Након анализе следи конструкција. Поступамо слично као у делу под а).

75°

6 cm

5 cm

75°

4, 5

ЧЕТВОРОУГАО

D 4 cm C 120° 120°

A 1 cm

3 cm

m 6c

E 1 cm B

4,5 cm A

5 cm

uk a

179. а) Применимо поступак из 173. задатка под б). D

7 cm

б) Применимо поступак из 173. задатка под а) D

C 120°

8 cm

60°

181.

D a

𝛼

𝛿

𝛽

𝛾

182. а) 𝑎 = 4 cm, 𝑏 = 2,5 cm; б) 𝑎 = 6,3 cm, 𝑏 = 2,6 cm.

183. а) 𝛼 = 108°, 𝛿 = 105°; б) 𝛽 = 135° = 𝛾 ; в) 𝛾 = 30°, 𝛿 = 120°.

184. I могућност: остали углови су 115° и 85°; II могућност: остали углови су 45° и 155°.

3 cm 5 cm

180. Четвороугао 𝐴𝐶𝐵𝐷 се назива делтоид.

pr om

в) 𝐵𝐶 = 4 cm, применити поступак из 174. задатка. г) Након анализе следи конструкција.

ДЕЛТОИД

в) Након анализе следи конструкција, поступак сличан као у 175. задатку под б). г) Након анализе следи конструкција.

185. ∡𝐴𝐵𝐶 = 123° = ∡𝐶𝐷𝐴. 186. ∡𝐵𝐶𝐷 = 90° = ∡𝐶𝐷𝐴.

187. ∡𝐶𝐷𝐴 = 90°, ∡𝐵𝐴𝐷 = 𝛼 , ∡𝐵𝐶𝐷 = 180° − 𝛼 , 0° < 𝛼 < 180°, задатак нема јединствено решење.

215

ЧЕТВОРОУГАО

4. 65°, 65°, 115° и 115°. 5. ∡𝐵𝐴𝐷 = 100°, ∡𝐴𝐵𝐶 = ∡𝐴𝐷𝐶 = 102° и ∡𝐵𝐶𝐷 = 56°.

189. ∡𝐷𝐴𝐵 = 120°, ∡𝐴𝐵𝐶 = 75° = ∡𝐶𝐷𝐴. 190. а) 𝐷(3,0); б) 𝐴𝐶 = 9 cm, 𝐵𝐷 = 6 cm.

191. а) ∡𝐴 = 86°, ∡𝐶 = 44°, ∡𝐵 = 115° = ∡𝐷; б) ∡𝐵 = 135°, ∡𝐶 = 34°, ∡𝐴 = 56°; в) ∡𝐴 = 104°, ∡𝐵 = 101° = ∡𝐷.

1. 𝛼 = 135°, 𝛽 = 165°, 𝛾 = 45° и 𝛿 = 15°. 2. ℎ𝑎 = 5 cm. 3. 130°. 4. 𝑚 = 8 cm. 5. а) Четвороугао се зове делтоид. б) ∡𝐴𝐶𝐵 = 60°, ∡𝐶𝐴𝐷 = ∡𝐶𝐵𝐷 = 105° и ∡𝐴𝐷𝐵 = 90°.

pr om

192. а) Назива се делтоид; б) ∡𝐷 = 90°, ∡𝐶 = 60°, ∡𝐴 = 105° = ∡𝐵.

ТЕСТ

188. а) 𝑂 = 16 cm; б) 𝑂 = 28 cm; в) 𝑂 = 15 cm.

uk a

ДОБРО СЕ ДОБРИМ ВРАЋА

ТЕСТ

1. а) 𝛿 = 90°; б) 𝛼 1 = 95°, 𝛽 1 = 128°, 𝛾 1 = 47°, 𝛿1 = 90°. 2. а) 𝛼 = 𝛾 = 60°, 𝛿 = 120°; б) 𝛽 = 𝛿 = 135°, 𝛼 = 𝛾 = 45°. 3. 𝑂 = 16,8 cm. 4. ∡𝐶 = 155° и ∡𝐷 = 95°. 5. I могућност: 113° и 87°; II могућност: 47° и 153°. ТЕСТ

1. 𝛼 = 94°, 𝛽 = 52°, 𝛾 = 68° и 𝛿 = 146°. 2. Унутрашњи углови су: 110°, 110°, 70° и 70°; одговарајући спољашњи углови су редом: 70°, 70°, 110° и 110°. 3. 60°, 60°, 120° и 120°. 216

uk a

pr om

ПОВРШИНА ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

pr om

ПОВРШИНА ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

uk a

 Сава је Немањи н стари ји брат. Реши о је да провери Немањи но знање и з геометри је. Обећао му је пола свог џепарца ако тачно одговори на сва пи тања постављена у задатку. А задатак је гласи о: „Комши ја Петар је купи о плац ди мензи ја 2 5 m х 2 0 m. Реши о је да тај плац огради са 6 редова жи це, тако што ће прво на сваки х 2 ,5 m постави ти гвоздене стубове.

  �о�се�ник 

а) Коли ко стубова треба да купи Петар за постављање ограде? б) Коли ко метара жи це треба да купи за ограђи вање плаца? в) Коли ка је површи на Петровог плаца? г) Ако је Петар плац плати о 7 500 евра, коли ко кошта 1 ар? д) Петар жели да посеје траву на плацу. Ако је за 1 ha земље потребно 16 ки лограма семена траве, коли ко ће би ти потребно Петру да засеје цео свој плац?”

 Сави н џепарац и зноси 1 500 ди нара. Када је уради о задатке, Немања је заслужи о 4 50 ди нара. На коли ко пи тања је Немања погрешно одговори о?

218

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

ПОЈАМ ПОВРШИНЕ, ЈЕДНАКОСТ ПОВРШИНА 1. На сли ци су при казана чети ри слова ћи ри ли це. Ако је једи ни чна фи гура зелени квадрати ћ, одреди : а) површи ну сваког слова са сли ке; б) која од дати х слова и мају једнаке површи не?

uk a

2 )

4 )

3. Одреди површи не фи гура које су при казане на сли ци ако је једи ни чна фи гура зелени квадрати ћ. једи ни ца мере

4 )

2 )

5. Који м бројеви ма треба попуни ти празна места тако да наведене једнакости буду тачне? а) 1 m = _____ dm = _____ cm = ______ mm; 3 dm = _____ m = _____ cm = ______ mm; 5 cm = _____ m = _____ dm = ______ mm; б) 1,52 m = ______ dm = ______ cm = _______ mm; 34 ,8 dm = _______ m = _______ cm = _______ mm; 117,2 cm = _______ m = _______ dm = _______ mm.

pr om

2. Одреди површи не фи гура које су при казане на сли ци ако је једи ни чна фи гура зелени квадрати ћ. једи ни ца мере

једи ни ца мере

4. Одреди површи не фи гура које су при казане на сли ци ако је једи ни чна фи гура зелени квадрат.

2 ) 4 )

6. Попуни празна места одговарајући м бројеви ма тако да једнакост буде тачна: а) 1 m2 = ______ dm2 = ______ cm2 = _______ mm2; 3 dm2 = ______ m2 = _______ cm2 = ________ mm2; 5 cm2 = ______ m2 = _______ dm2 = ________ mm2; б) 1,52 m2 = _____ dm2 = _____ cm2 = ______ mm2; 34 ,8 dm2 = _____ m2 = ______ cm2 = ________ mm2; 117,2 cm2 = _____ m2 = ______ dm2 = ______ mm2; в) 3 a = ________ ha = _______ m2; 12 ha = ________ a = _______ m2; 7 km2 = _______ ha = ________ a = _______ m2; г) 12 3 4 2 5 m2 = ______________ km2 = ____________ ha = _______________ a; 3 km2 7 ha = _______ ha = _______ a = _________ m2; 7 12 8 ,3 dm2 = ___________ a = _________ m2.

219

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

2 )

pr om

8. На ли ни јама упи ши одговарајуће мерне једи ни це (km, m, m2). Удаљеност и змеђу Београда и Ни ша, ако се путује аутомоби лом, и зноси 2 37 ______. Најви ша зграда у Београду сази дана је 2 . децембра 2 02 2 . годи не и ви сока је 115 _____. Најви ша зграда у Ни шу је соли тер који се налази у бли зи ни Луткарског позори шта и ви си на му је 8 1 ______. Тржни центар „Делта Си ти ” отворен је 1. новембра у Београду, а његова површи на с парки нг мести ма и зноси 8 0 000 ______. Тржни центар „Делта Планет” отворен је у Ни шу 2 2 . апри ла 2 02 1. годи не и и ма површи ну од 4 0 000 __________ с парки нг мести ма.

једи ни чна фи гура

7. Заокружи слово и спред и сказа који ни је тачан: а) Дужи на оловке и зноси 1,7 m; б) Површи на стана је 72 m2; в) Петри ни роди тељи купи ли су плац чи ја је површи на 11 ари ; г) Површи на Охри дског језера је 358 m2.

uk a

9. Дужи на Бранковог моста у Београду и зноси 0,2 6 1 km. Дужи на Варади нског моста у Новом Саду и зноси 304 m, док је дужи на Пупи новог моста у Београду 1 km и 507 m. а) Који је од наведени х мостова најдужи ? б) За коли ко метара је најкраћи мост краћи од најдужег моста? в) Ако је ши ри на сви х мостова и ста, који мост и ма највећу површи ну? 10. Одреди површи не фи гура које су при казане на сли ци ако је једи ни чна фи гура зелени квадрат:

11. На сли ци је при казан паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷 . Нацртај правоугаони к 𝐴𝐵𝐸 𝐹 који и ма заједни чку страни цу 𝐴𝐵 са ти м паралелограмом, тако да површи на правоугаони ка 𝐴𝐵𝐸 𝐹 буде једнака површи ни паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 . D

12. На сли ци је при казан једнакокраки трапез 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 ). Нацртај правоугаони к тако да две његове паралелне страни це леже на и сти м правама као и основи ца једнакокраког трапеза и да површи на правоугаони ка буде једнака површи ни трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷 . D

2 2 0

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

13. На сли ци је при казан правоугли трапез 𝐴𝐵𝐶𝐷 . Нацртај правоугаони к који и ма заједни чку страни цу 𝐴𝐷 са правоугли м трапезом тако да површи на правоугаони ка буде једнака површи ни правоугаоног трапеза. D

ПОВРШИНА ПРАВОУГАОНИКА И КВАДРАТА

17. Ако су 𝑎 и 𝑏 дужи не страни ца правоугаони ка, 𝑂 оби м и 𝑃 површи на правоугаони ка, попуни табелу:

pr om

14. Деда Јанко продаје 2 ha обради ве земље поред асфалтног пута, бли зу језера. За ту површи ну тражи 150 000 евра ако купац купи целокупно земљи ште. Ако купац купује парцелу не већу од 2 0 ари , цена се повећава за 10% по ару. Петар хоће да купи парцелу од 11 ари . Коли ко ће Петар морати да и здвоји новца за купови ну те парцеле?

г) 𝑎 = 12 5 cm, 𝑏 = 3 4 cm.

16. Израчунај површи ну правоугаони ка чи је су страни це дужи не: а) 𝑎 = 12 cm, 𝑏 = 5 cm; б) 𝑎 = 8 7 cm, 𝑏 = 2 4 cm; в) 𝑎 = 3,6 cm, 𝑏 = 2 ,54 cm;

uk a

15. На сли ци је при казан трапез 𝐴𝐵𝐶𝐷 који ни је ни једнакокраки ни правоугли . а) Нацртај правоугаони к чи је две паралелне страни це при падају правама одређени м основи цама трапеза тако да површи на правоугаони ка буде једнака површи ни трапеза. б) Кори стећи ставове подударности троуглова, доказати једнакост површи на трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷 и нацртаног правоугаони ка. D

𝑎

6 cm

36 cm

𝑏

9 cm

135 cm2

1,4 cm

3 4 cm 8 cm

14 cm2

18. Израчунај површи ну квадрата ако је дужи на његове страни це: а) 𝑎 = 7 cm; б) 𝑎 = 18 cm; в) 𝑎 = 9,1 cm; 2

г) 𝑎 = 3 3 cm.

19. Ако је 𝑎 дужи на страни це квадрата, 𝑂 оби м и 𝑃 површи на квадрата, попуни табелу: 𝑎

O P

4 0 cm

1,2 cm

2 4 cm 2 5 cm2

221

ПовршинA троугла и четвороугла

20. Нека су 𝑎 и 𝑏 дужине страница правоугаоника и 𝑃 површина правоугаоника. Израчунај обим правоугаоника ако је: а) 𝑎 = 9,2 cm, 𝑃 = 39,56 cm2; б) 𝑏 = 17,34 cm, 𝑃 = 260,1 cm2;

28. Израчунај површину квадрата у арима ако је обим квадрата: а) 324 m; в) 3 200 cm; б) 400 dm; г) 60 000 mm.

в) 𝑎 = 2 5 cm, 𝑂 = 10 cm;

1 г) 𝑏 = 3 cm, 𝑂 = 9,5 cm. 2

22. Нека је 𝑂 обим квадрата. Израчунај површину квадрата ако је: а) 𝑂 = 72 cm; в) 𝑂 = 3 cm; 4

uk a

б) 𝑂 = 56,8 cm; г) 𝑂 = 9 cm.

23. Обим правоугаоника је 4,8 dm, а дужина је 2 пута већа од ширине. Одреди површину правоугаоника.

24. Обим правоугаоника је 6 dm. Израчунај површину правоугаоника ако се његове странице разликују за 8 cm. 25. Израчунај површину правоугаоника ако је обим правоугаоника 120 mm, а дужа

страница износи

3 краће странице. 2

страница износи

1 дуже странице. 5

26. Израчунај обим правоугаоника ако је његова површина 12,8 cm2, а краћа 27. Израчунај обим квадрата у центиметрима ако је површина квадрата: а) 64 cm2; в) 1 dm2; б) 144 cm2; г) 0,81 m2. 222

30. Њива је облика правоугаоника дужине 64,5 m и обима 229 m. Колико је килограма семена јечма потребно припремити да би се засејала цела њива ако је за један ар потребно 3,2 kg семена?

31. Принос кукуруза са једног хектара износи 12 тона. Колико тона кукуруза ће се добити са њиве чија је дужина 450 m, а

pr om

21. Нека су 𝑎 и 𝑏 дужине страница правоугаоника и 𝑂 обим правоугаоника. Израчунај површину правоугаоника ако је: а) 𝑎 = 14,4 cm, 𝑂 = 48 cm; б) 𝑏 = 21,2 cm, 𝑂 = 92,4 cm;

29. Њива је облика правоугаоника чија је дужина 40 m. Површина њиве је 8,4 ара. Колико метара жице је потребно да се огради та њива ако се жица поставља у 5 редова?

1 1 в) 𝑎 = 2 4 cm, 𝑃 = 13 2 cm2; 4 г) 𝑏 = 1,2 cm, 𝑃 = 225 cm2.

ширина износи 9 дужине њиве?

32. Спољашње димензије рама за слику су 35 cm и 4 dm. Израчунај површину рама ако је ширина рама

1 dm. 2

33. Димензије базена на Ташмајдану су 50 m х 20 m. Око базена треба обновити бетонску стазу ширине 5,5 dm. а) Колика је површина бетонске стазе коју треба обновити? б) Колика је цена израде бетонске стазе ако 1 m2 кошта 2 500 динара?

34. Колико је дашчица паркета правоугаоног облика димензије 2 dm и 5 cm потребно да се покрије под собе чији је обим 12,2 m, а дужина 36 dm?

35. Под купатила, чије су димензије 2,6 m х 2,2 m, Петар жели да обложи керамичким плочицама квадратног облика. Димензије почице су 20 cm x 20 cm. а) Колико је таквих плочица потребно за облагање пода купатила? б) Колико квадрата плочица мора да купи Петар да би обложио под купатила? в) Колико ће Петру остати плочица?

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

г) Ако квадрат плочи ца кошта 1 8 00 ди нара, коли ко Петар треба да и здвоји за њи хову купови ну?

8 cm

10 cm

6 cm

37. Страни ца једног квадрата је 2 4 cm, а страни ца другог је за 2 5% већа од страни це другог квадрата. Израчунај: а) разли ку оби ма ова два квадрата; б) разли ку површи на дати х квадрата.

43. Два квадрата дели ми чно прекри вају један други . Ако знаш да је површи на жуте фи гуре 2 1 cm2, а површна зелене фи гуре 5 cm2, и зрачунај оби ме жуте и зелене фи гуре, кори стећи ди мензи је дате на сли ци .

pr om

38. Правоугаони к и квадрат и мају једнаке оби ме. Страни це правоугаони ка су 1,7 dm х 2 ,3 dm. Ко и ма већу површи ну, правоугаони к и ли квадрат и за коли ко?

6 cm

36. Правоугаоно и грали ште нацртано је у размери 1 ∶ 150, тако да су његове ди мензи је на цртежу 16 cm х 12 cm. Израчунај површи ну тог и грали шта у: а) квадратни м метри ма; б) ари ма.

површи ну зелене фи гуре кори стећи ди мензи је дате на сли ци .

uk a

40. Под једног локала и ма ди мензи је 7,5 m и 5,4 m. Треба га обложи ти плочи цама квадратног обли ка ди мензи је 3 dm х 3 dm. Плочи це се могу купи ти на комад. Коли ко треба купи ти плочи ца квадратног обли ка ако се рачуна да на украјање оде још 2 %? 41. Једна простори ја је дуга 12 ,5 m, ши рока 6 ,5 m и ви сока 3,2 m. На једном зи ду чи је су ди мензи је 12 ,5 m х 3,2 m налазе се врата ди мензи је 2 0 dm х 8 dm, а на другом зи ду са и сти м ди мензи јама налази се прозор ди мензи је 1,2 m х 1,5 m. Коли ко је ки лограма боје потребно за кречење зи дова ове собе ако се са једни м ки лограмом боје може окречи ти 10 m2? 42. Правоугаони к и квадрат дели ми чно прекри вају један други . Ако знаш да је површи на жуте фи гуре 6 4 cm2, одреди

3 cm

39. Свеска и ма 100 ли стова чи је су ди мензи је 2 ,5 dm и 2 dm. Коли ко је квадратни х метара харти је утрошено за и зраду ове свеске ако је отпад 6 %?

3 cm

44. Коли ко и ма правоугаони ка који ни су квадрати чи је су дужи не страни ца при родни бројеви , а: а) оби м је 2 0 cm; б) површи на је 2 4 cm2?

45. Како ће се промени ти површи на правоугаони ка ако се: а) дужи на и ши ри на повећају за 10%; б) дужи на и ши ри на смање за 2 0%; в) дужи на повећа за 30%, а ши ри на смањи за 30%? 46. Како ће се промени ти површи на квадрата ако страни цу тог квадрата: а) повећамо за 10%; б) смањи мо за 2 0%? 223

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

48. Ако се страни ца квадрата повећа за 2 cm, онда се површи на квадрата повећа за 2 0 cm2. Израчунај оби м квадрата: а) пре повећања страни це; б) после повећања страни це.

49. Ако се страни ца квадрата смањи за 3 cm, онда се површи на квадрата смањи за 15 cm2. Израчунај оби м квадрата: а) пре смањења страни це; б) после смањења страни це.

3 2

–5 –4 –3 –2 –1

1 –1 –2

0 1

–3 –4

Г 3

53. Израчунај површи ну паралелограма ако је: а) страни ца 𝑎 = 12 cm и ви си на ℎ𝑎 = 6 cm; б) страни ца 𝑎 = 1,3 cm и ви си на ℎ𝑎 = 0,5 cm;

ПОВРШИНА ПАРАЛЕЛОГРАМА

51. Израчунај површи не паралелограма при казани х на сли ци ако је једи ни чна фи гура зелени квадрати ћ. једи ни чна фи гура

2 )

в) страни ца 𝑏 = 11 4 cm и ви си на ℎ𝑏 = 8 cm; 2

г) страни ца 𝑏 = 5 5 cm и ви си на

ℎ𝑏 = 1

1 cm. 9

54. Израчунај површи ну ромба, ако је дужи на његове страни це 𝑎 = 2 4 ,75 cm и 1

ви си на ℎ𝑎 = 1 3 cm.

55. Упореди површи не паралелограма А, Б и В са сли ке: А

3 cm

2 cm

uk a

pr om

50. Дат је квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷 . Ако се страни ца 𝐶𝐷 повећа за 2 cm, а страни ца 𝐵𝐶 смањи за 3 cm, доби ја се правоугаони к чи ја је површи на за 10 cm2 мања од површи не квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 . Израчунај оби м и површи ну квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 .

52. Израчунај површи не паралелограма при казани х у правоуглом коорди натном си стему ако је дужи на једи ни чне дужи 1 cm.

47. Како треба промени ти страни цу квадрата да би се његова површи на увећала 9 пута?

56. Ако је површи на паралелограма 54 cm2, а страни ца 𝑎 = 9 cm, и зрачунај ви си ну која одговара страни ци .

57. Страни це паралелограма су 𝑎 = 2 0 cm и 𝑏 = 15 cm. Ви си на која одговара страни ци 𝑎 и ма дужи ну 12 cm. Израчунај ви си ну која одговара страни ци 𝑏 .

2 2 4

ПовршинA троугла и четвороугла

𝑎

ha P

6 cm

3,5 cm

1,2 cm

9 cm

15,6 cm2 1,44 cm2 52,2 cm2

59. Израчунај обим паралелограма ако је: а) површина 𝑃 = 24 cm2 страница 𝑎 = 12 cm, и висина ℎ𝑏 = 8 cm; б) страница 𝑏 = 9 cm и висине ℎ𝑎 = 3 cm и ℎ𝑏 = 5 cm.

68. Дужине страница паралелограма су 𝑎 = 12 cm и 𝑏 = 7 cm. Која висина има већу дужину, ℎ𝑎 или ℎ𝑏? 69. Обим паралелограма је 2 dm. Једна страница паралелограма за 2 cm је дужа од друге странице паралелограма. Ако неједнаке странице тог паралелограма заклапају угао од 30°, израчунај: а) дужине страница паралелограма; б) површину паралелограма; в) висине паралелограма.

pr om

60. Израчунај обим паралелограма ако је: а) површина 𝑃 = 75,6 cm2 и висине ℎ𝑎 = 2,8 cm и ℎ𝑏 = 5,4 cm; б) страница 𝑎 = 12,8 cm и висине ℎ𝑎 = 1,2 cm и ℎ𝑏 = 2,4 cm.

67. У једном козметичком салону треба поставити 15 огледала у облику паралелограма дужине 80 cm и висине 1 m. Колико је квадратних метара огледала потребно набавити ако при резању огледала отпадне 5% материјала?

58. Ако је 𝑎 дужина странице паралелограма, ℎ𝑎 висина која одговара страници 𝑎 и 𝑃 површина паралелограма, попуни табелу:

61. Површина ромба је 80 cm2, а висина 16 cm. Израчунај обим ромба. 62. Обим ромба је 56 cm, а висина 6 cm. Израчунај површину ромба.

uk a

63. Обим ромба је 𝑂 = 38 cm, а површина ромба је 𝑃 = 38 cm2. Одреди висину ромба.

64. Обим паралелограма је 48 cm. Једна страница тог паралелограма је 3 пута краћа од друге странице. Висина која одговара краћој страници је 9 cm. Одреди висину која одговара дужој страници.

65. У паралелограму висина ℎ𝑎, која одговара страници 𝑎, три пута је краћа од те странице. Израчунај висину и дужину странице којој одговара та висина ако је површина паралелограма 𝑃 = 1,92 cm2. 66. Површина правоугаоника 𝐴𝐵𝐶𝐷 са слике износи 30 cm2. Ако је 𝐴𝐸 = 𝐸𝐹 = 𝐹𝐵 и ако је 𝐷𝐺 = 𝐺𝐻 = 𝐻𝐶, одреди површину паралелограма 𝐸𝐹𝐺𝐷. D

70. Израчунај површину паралелограма ако његове неједнаке странице образују угао од 150° и ако је његова краћа страница 𝑏 = 12 cm, а дужа страница износи 53 краће странице.

71. Обим паралелограма је 𝑂 = 90 cm. Дијагонале паралелограма деле паралелограм на два пара подударних троуглова. Обими неподударних троуглова разликују се за 10 cm. Одреди дужине страница паралелограма. 72. Како ће се променити површина паралелограма ако: а) страницу повећамо 10%, а одговарајућу висину смањимо 10%; б) страницу повећамо 20% и одговарајућу висину повећамо 20%?

73. Како ће се променити површина паралелограма ако: а) страницу повећамо 3 пута, а одговарајућу висину повећамо 4 пута; б) страницу смањимо 2 пута, а одговарајућу висину смањимо 3 пута; 225

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

74. Ако страни цу паралелограма увећамо 2 пута, како морамо промени ти одговарајућу ви си ну да би : а) површи на паралелограма остала непромењена; б) површи на паралелограма увећала се 5 пута; в) површи на паралелограма смањи ла се 6 пута?

78. Израчунај површи не троуглова при казани х на сли ци ако је једи ни чна фи гура зелени квадрати ћ. једи ни чна фи гура

2 )

4 )

pr om

75. Израчунај површи ну ромба ако је: а) оби м ромба 𝑂 = 4 0 cm и спољашњи угао 𝛼1 = 30°; б) страни ца ромба 𝑎 = 14 cm и спољашњи угао 𝛼1 = 150°; в) ви си на ℎ𝑎 = 10 cm и угао 𝛽 = 150°.

ПОВРШИНА ТРОУГЛА

в) страни цу повећамо 5 пута, а одговарајућу ви си ну смањи мо 5 пута?

uk a

76. Квадрат и ромб и мају једнаке површи не и оне и зносе 32 4 cm2. Ако је ви си на ромба за 6 cm краћа од страни це квадрата, и зрачунај: а) оби м квадрата; б) оби м ромба; в) разли ку оби ма ромба и оби ма квадрата.

77. У паралелограму 𝐴𝐵𝐶𝐷 си метрала угла ∡𝐴𝐷 𝐶 сече продужетак страни це 𝐵𝐶 у тачки 𝐸 . Ако је оби м паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 једнак 𝑂 = 108 mm, а 𝐵𝐸 = 12 mm, одреди дужи не страни ца паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 .

79. Израчунај површи не троуглова при казани х у правоуглом коорди натном си стему на сли ци ако је дужи на једи ни чне дужи 1 cm. 4

3 2

–5 –4 –3 –2 –1

1 –1 –2 –3 –4

Г 0 1

80. Израчунај површи ну троугла ако је: а) страни ца 𝑎 = 16 cm и одговарајућа ви си на ℎ𝑎 = 5 cm; б) страни ца 𝑏 = 3,3 cm и одговарајућа ви си на ℎ𝑏 = 1,7 cm; 3

в) страни ца 𝑐 = 3 4 cm и одговарајућа 3

ви си на ℎ𝑐 = 1 5 cm;

г) страни ца 𝑎 = 4 ,8 dm и одговарајућа ви си на ℎ𝑎 = 100 mm.

2 2 6

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

3 cm

82. Израчунај страни цу троугла ако је позната површи на и одговарајућа ви си на за страни цу троугла: а) 𝑃 = 92 cm2 и ℎ𝑎 = 4 cm; б) 𝑃 = 2 5,5 cm2 и ℎ𝑏 = 1,5 cm; в) 𝑃 = 104 ,8 cm2 и ℎ𝑐 = 3,2 cm.

89. Израчунај површи ну 𝑃 правоуглог троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐴𝐶𝐵 = 90°) ако су познате дужи не његови х катета: а) 𝑎 = 9 cm и 𝑏 = 12 cm; б) 𝑎 = 12 ,6 cm и 𝑏 = 0,4 dm.

pr om

83. Израчунај одговарајућу ви си ну троугла ако је позната површи на и страни ца којој одговара дата ви си на: а) 𝑃 = 39 cm2 и 𝑎 = 13 cm; б) 𝑃 = 12 ,6 dm2 и 𝑏 = 2 ,1 cm; в) 𝑃 = 32 ,5 m2 и 𝑐 = 2 ,5 cm.

88. Код једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶), дужи на основи це је 2 ,4 dm, а дужи на крака 2 0 cm. Ако је дужи на ви си не која одговара основи ци 16 0 mm, и зрачунај дужи ну ви си не која одговара краку.

87. Израчунај површи ну једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) ако је: а) дужи на његове основи це 𝐴𝐵 = 4 dm и одговарајуће ви си не 2 5,2 cm; б) дужи на његовог крака 2 4 ,8 cm и одговарајуће ви си не 9,6 cm.

2 cm

81. Израчунај површи не троуглова А, Б и В са сли ке. Шта закључујеш?

uk a

84. У правоуглом коорди натном си стему дате су тачке 𝐴, 𝐵 и 𝐶 које су темена троугла Δ𝐴𝐵𝐶. Израчунај површи ну троугла Δ𝐴𝐵𝐶 ако је једи ни чна дуж дужи не 1 cm: а) 𝐴(2 , 2 ), 𝐵(6 , 2 ) и 𝐶(1, 5); б) 𝐴(−4 , 0), 𝐵(2 , 0) и 𝐶(0, −3); в) 𝐴(−6 , 1), 𝐵(−6 , 4 ) и 𝐶(2 , −2 ).

85. а) Израчунај страни цу 𝑎 и ви си ну ℎ𝑏 троугла Δ𝐴𝐵𝐶 ако је површи на троугла 𝑃 = 76 cm2, страни ца 𝑏 = 8 cm и ви си на ℎ𝑎 = 38 cm. У који м грани цама може да се креће дужи на треће страни це троугла Δ𝐴𝐵𝐶? б) Ако је дужи на страни це 𝑐 = 9,5 cm, коли ка је њена одговарајућа ви си на ℎ𝑐? 86. Дужи не страни ца троугла Δ𝐴𝐵𝐶 су: 𝑎 = 32 cm, 𝑏 = 2 dm и 𝑐 = 2 56 mm. Ви си на која одговара најдужој страни ци и ма дужи ну 1,6 dm. Израчунај: а) оби м троугла Δ𝐴𝐵𝐶; б) површи ну троугла Δ𝐴𝐵𝐶; в) ви си не које одговарају други м двема страни цама троугла Δ𝐴𝐵𝐶.

90. Израчунај површи ну правоуглог троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐴𝐶𝐵 = 90°) ако су познате дужи не хи потенузе и њој одговарајуће ви си не: а) 𝑐 = 2 3 cm и ℎ𝑐 = 12 cm; б) 𝑐 = 13,39 cm и ℎ𝑐 = 5 dm.

91. Катете правоуглог троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐴𝐶𝐵 = 90°) су: 𝑎 = 12 cm и 𝑏 = 5 cm. Израчунај дужи ну хи потенузи не ви си не ако је дужи на хи потенузе 𝑐 = 13 cm.

92. За правоугли троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐴𝐶𝐵 = 90°) позната је површи на и дужи на једне катете. Одреди дужи ну друге катете ако је: а) 𝑃 = 2 5,6 dm2 и 𝑎 = 16 cm; б) 𝑃 = 112 ,56 cm2 и 𝑏 = 4 ,8 cm. 93. Катете правоуглог троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐴𝐶𝐵 = 90°) су 𝑎 = 1,8 dm и 𝑏 = 2 4 0 mm. Дужи на хи потенузи не ви си не и зноси 1,4 4 dm, и зрачунај дужи ну хи потенузе у центи метри ма. 94. Израчунај површи ну једнакокрако-правоуглог троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (∡𝐴𝐶𝐵 = 90°) ако је дужи на катете тог троугла 2 ,4 cm. 2 2 7

ПовршинA троугла и четвороугла

95. Израчунај површину правоуглог троугла Δ𝐴𝐵𝐶 ако је дато: а) хипотенузина висина ℎ𝑐 = 1,2 dm и пречник описаног круга 16,8 cm; б) хипотенузина висина ℎ𝑐 = 15 cm и полупречник описаног круга 7,8 cm.

102. Израчунај површину једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) ако је: а) дужина крака 16 cm и угао који краци граде износи 30°; б) дужина крака 12 cm и угао на основици 75°.

97. Страница троугла је 4 пута већа од одговарајуће висине. Ако је површина троугла 128 cm2, израчунај: а) дужину странице; б) дужину њене одговарајуће висине.

104. Обим правоуглог троугла износи 96 cm. Познато је да краћа катета износи 34 дуже катете, а 35 хипотенузе. Израчунај: а) дужину краће катете; б) дужину дуже катете; в) дужину хипотенузе; г) површину правоуглог троугла.

103. Дужине страница правоугаоника 𝐴𝐵𝐶𝐷 су 𝐴𝐵 = 12,4 cm и 𝐵𝐶 = 5,6 cm. Нека је тачка 𝑃 произвољна тачка на страници 𝐶𝐷, а тачка 𝑄 произвољна тачка на страници 𝐴𝐷. Одреди: а) површину троугла Δ𝐴𝐵𝑃; б) површину троугла Δ𝐵𝐶𝑄; в) разлику површина насталих троуглова.

pr om

96. Обим једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶) је 64 cm, а крак је за 4 cm краћи од основице. Ако је висина која одговара основици 16 cm, одреди: а) дужине основице и крака троугла Δ𝐴𝐵𝐶; б) површину троугла Δ𝐴𝐵𝐶; в) висину која одговара краку једнакокраког троугла Δ𝐴𝐵𝐶.

uk a

98. Висина троугла је 6 пута дужа од одговарајуће странице. Разлика висине и одговарајуће странице износи 15 cm. Одреди: а) дужину странице троугла; б) дужину њене одговарајуће висине; в) површину троугла.

99. Страница и одговарајућа висина једног троугла у размери су 4 ∶ 3. Збир њихових дужина је 21 cm. Одреди: а) дужину странице; б) дужину њене одговарајуће висине; в) површину троугла. 4

100. Висина ℎ𝑎 троугла Δ𝐴𝐵𝐶 износи 5 одговарајуће странице 𝑎 троугла. Ако је збир дужина 𝑎 + ℎ𝑎 = 72 cm, израчунај: а) дужину странице 𝑎; б) висину ℎ𝑎; в) површину троугла Δ𝐴𝐵𝐶.

101. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 познате су дужине страница 𝐴𝐵 = 14 cm и 𝐴𝐶 = 9 cm и угао које образују те две странице ∡𝐵𝐴𝐶 =3 0°. Израчунај површину троугла Δ𝐴𝐵𝐶. 228

105. Дат је једнакокрако-тупоугли троугао Δ𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 = 𝐴𝐶) код кога је ∡𝐵𝐴𝐶 = 150°. Одреди површину троугла Δ𝐴𝐵𝐶 ако је дато: а) дужина крака износи 8 cm; б) висина која одговара краку има меру 3 cm. 106. У троуглу Δ𝐴𝐵𝐶 дате су дужине страница 𝐴𝐵 = 15,5 cm и 𝐴𝐶 = 12 cm, као и угао који граде те две странице ∡𝐵𝐴𝐶 = 30°. а) Да ли можеш да израчунаш површину троугла Δ𝐴𝐵𝐶 на основу датих података? Образложи одговор. б) Ако је твој одговор потврдан, одреди површину троугла Δ𝐴𝐵𝐶.

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

ПОВРШИНА ТРАПЕЗА

107. Израчунај површи не при казани х трапеза на сли ци ако је једи ни чна фи гура зелени квадрати ћ. 1)

2 )

–1

–2 –3 –4

112. Израчунај ви си ну трапеза ако је површи на трапеза 𝑃 = 18 0 cm2, а дужи на његови х основи ца 𝑎 = 1,8 dm и 𝑏 = 1,2 dm.

uk a

–5 –4 –3 –2 –1

1 1 cm и ℎ = 1 7 cm. 4

114. Израчунај површи ну и средњу ли ни ју правоуглог трапеза ако су дужи не његови х основи ца 𝑎 = 16 ,4 cm и 𝑏 = 11,6 cm, а ви си на је ℎ = 5,5 cm.

pr om

108. Израчунај површи не трапеза при казани х у правоуглом коорди натном си стему на сли ци ако је дужи на једи ни чне дужи 1 cm. 4

в) 𝑚 = 5

113. Израчунај ви си ну трапеза ако је површи на трапеза 𝑃 = 2 00 cm2 и средња ли ни ја 𝑚 = 12 ,5 cm.

4 )

111. Одреди површи ну трапеза ако су познате средња ли ни ја и ви си на трапеза: а) 𝑚 = 2 ,8 dm и ℎ = 14 cm; б) 𝑚 = 7,2 dm и ℎ = 0,9 dm;

0 1

–5

115. У правоуглом коорди натном си стему дате су тачке: 1) 𝐴(1, 0), 𝐵(5, 0), 𝐶(3, 4 ) и 𝐷 (1, 4 ); 2 ) 𝐴(−6 , −1), 𝐵(−2 , −1), 𝐶(−3, −4 ) и 𝐷 (−5, −4 ); 3) 𝐴(−6 , 1), 𝐵(2 , 1), 𝐶(−5, 6 ) и 𝐷 (−6 , 6 ). а) Коју геометри јску фи гуру доби јаш спајањем тачака 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴? Нацртај. б) Израчунај површи ну доби јене фи гуре ако је дужи на једи ни чне дужи 1 cm. 116. Израчунај површи не трапеза А, Б и В са сли ке. Шта закључујеш? 2 cm

5 cm

2 cm

5 cm

3 cm

једи ни чна фи гура

б) 𝑎 = 5 3 cm и 𝑏 = 3 cm.

109. Израчунај површи ну трапеза ако су 2 познате основи це 𝑎 и 𝑏 и ви си на трапеза ℎ. 117. Површи на трапеза је 12 9 cm . Дужи на дуже основи це је 2 4 cm, а ви си не је а) 𝑎 = 72 cm, 𝑏 = 18 cm и ℎ = 11 cm; ℎ = 6 cm. Израчунај дужи ну краће основи це. б) 𝑎 = 9,6 cm, 𝑏 = 4 ,2 cm и ℎ = 10 cm. 110. Израчунај средњу ли ни ју трапеза ако су познате основи це: а) 𝑎 = 5,6 dm и 𝑏 = 1,5 dm;

118. Дужи на једне основи це трапеза и зноси 12 ,8 cm, а дужи на његове средње ли ни је је 𝑚 = 8 ,6 cm. 229

ПовршинA троугла и четвороугла

119. Површина трапеза је 𝑃 = 30 cm2, висина трапеза је ℎ=1 dm, а краћа основица је 2 пута краћа од дуже основице. Одреди: а) дужину средње линије трапеза; б) дужине основица трапеза.

126. Њива је облика једнакокраког трапеза чије су основице дужине 129 m и 89 m, а угао на краћој основици износи 135°. Павле жели да купи ту њиву и зна да један ар кошта 350 евра. Колико ће Павле морати да издвоји новца за куповину те њиве?

127. Кров куће се састоји од два подударна једнакокрака троугла, основице 12 m и висине 5 m и два подударна једнакокрака трапеза, чија је средња линија 10,5 m и висина 6 m. Колико је потребно купити црепова за покривање крова, ако је за покривање 5 m2 потребно 80 црепова? Броја купљених црепова заокружује се на целу хиљаду, због евентруалних оштећења.

pr om

120. Површина трапеза износи 𝑃 = 1,21 dm2. Једна основица је 4,5 пута дужа од друге основице, а висина трапеза је ℎ = 11 cm. Одреди: а) дужину средње линије трапеза; б) дужине основица трапеза.

основице 𝐶𝐷 = 5,8 cm, крак 𝐵𝐶 = 6 cm и угао ∡𝐵𝐶𝐷 = 120°.

а) Одреди дужину његове друге основице. б) Ако је висина трапеза 4 пута краћа од разлике основица трапеза, израчунај површину трапеза.

121. Површина трапеза је 126 cm2. Једна 3

основица је 4 друге основице, а дужина средње линије је 𝑚 = 14 cm. Одреди: а) висину тог трапеза; б) дужине основица трапеза.

uk a

122. Дужине основица трапеза односе се 7 ∶ 5. Дужина висине трапеза је ℎ = 12 cm, а површина трапеза износи 144 cm2. Израчунај: а) дужину средње линије трапеза; б) дужине основица трапеза.

123. Тачке 𝐴(−2,− 2), 𝐵(4, −2) и 𝐶(2, 3) су темена трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷. У координатном систему нацртај тачке 𝐴, 𝐵 и 𝐶, а затим одреди координате четвртог темена 𝐷 тако да основице трапеза буду 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 и да трапез 𝐴𝐵𝐶𝐷 буде: а) једнакокраки; б) правоугли. Затим, израчунај површине тако добијених трапеза ако је дужина јединичне дужи 1 cm.

124. Израчунај површину једнакокраког трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷 ако је дужина основица 𝐴𝐵 = 15 cm и 𝐶𝐷 = 7 cm и угао ∡𝐵𝐶𝐷 = 135°. 125. Израчунај обим једнакокраког трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷 ако је дужина краће 230

128. Једна основица једнакокраког трапеза 2 пута је дужа од друге основице трапеза. Ако је дужина крака трапеза 10 cm, а угао на краћој основици има меру 105°, израчунај површину трапеза. 129. У ком односу средња линија трапеза дели његову површину ако су основице трапеза 9 cm и 3 cm?

130. Израчунај површину фигуре са слике (мере су у cm). а) 1

б) 2

1 1

3 n

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГЛА С НОРМАЛНИМ ДИЈАГОНАЛАМА

133. Израчунај површи ну четвороугла са узајамно нормални м ди јагоналама ако су дужи не ди јагонала: а) 𝑑1 = 12 cm и 𝑑2 = 9 cm; б) 𝑑1 = 13,5 cm и 𝑑2 = 5,6 cm;

2 )

uk a

–5 –4 –3 –2 –1

–1 –2 –3

–4

–5

в) 𝑑1 = 5,02 cm и 𝑑2 = 10 cm.

135. Израчунај површи ну ромба ако су дужи не његови х ди јагонала: а) 𝑑1 = 4 ,8 cm и 𝑑2 = 3,5 cm; 1

132. Израчунај површи не четвороуглова при казани х у правоуглом коорди натном си стему ако је дужи на једи ни чне дужи 1 cm.

8 3 cm и 𝑑2 = 9 cm. 4

б) 𝑑1 = 10 8 cm и 𝑑2 = 1 9 cm;

4 )

в) 𝑑1 = 6

pr om

134. Израчунај површи ну делтои да ако су дужи не његови х ди јагонала: а) 𝑑1 = 1,5 dm и 𝑑2 = 4 dm; б) 𝑑1 = 0,8 dm и 𝑑2 = 12 cm;

131. На сли ци су при казани четвороуглови са узајамно нормални м ди јагоналама. Одреди површи не ти х четвороуглова ако је једи ни чна фи гура зелени квадрати ћ. једи ни чна фи гура

в) 𝑑1 = 5 4 cm и 𝑑2 = 7 cm.

0 1

Г 2

136. Израчунај површи ну квадрата ако је дужи на његове ди јагонале: а) 𝑑 = 30 cm; б) 𝑑 = 2 ,5 dm; 1

в) 𝑑 = 5 5 cm.

137. Ни кола и Марко су реши ли да направе змаја у обли ку делтои да. На располагању и мају две дрвене летви це дужи не 55 cm и 2 0 cm. Коли ко квадратни х деци метара папи ра и м је потребно за и зраду тог змаја?

138. Површи на делтои да је 4 0 cm2, а дужи на једне ди јагонале 𝑑1 = 16 cm. Израчунај дужи ну друге ди јагонале делтои да.

139. Површи на ромба је 90 cm2, а дужи на једне ди јагонале је 𝑑1 = 12 cm. Коли ка је дужи на друге ди јагонале?

140. Површи на квадрата једнака је површи ни ромба. Страни ца квадрата је 6 cm, а једна ди јагонала ромба је 𝑑1 = 8 cm. Одреди другу ди јагоналу ромба. 231

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

142. Ди јагонале ромба су 𝑑1 = 18 cm и 𝑑2 = 12 cm. Ви си на ромба је ℎ = 9 cm. Израчунај: а) дужи ну страни це ромба; б) оби м ромба; в) површи ну ромба.

149. Израчунај површи ну четвороугла са сли ке који представља осенчени део квадрата. Дужи на страни це квадрата је 𝑎 = 6 cm. а) a

a 3

a 2

pr om

143. Једна ди јагонала делтои да је 5 пута дужа од друге ди јагонале. Површи на делтои да и зноси 6 2 ,5 cm2. Израчунај дужи не ди јагонала тог делтои да.

ПОВРШИНА ПРОИЗВОЉНОГ ЧЕТВОРОУГЛА

141. Површи на квадрата једнака је површи ни ромба. Ди јагонала квадрата је 18 cm, а једна ди јагонала ромба је 𝑑1 = 2 4 cm. Одреди другу ди јагоналу ромба.

144. Израчунај површи ну ромба ако је једна његова ди јагонала 4 пута краћа од друге његове ди јагонале, а разли ка дужи на ди јагонала је 9 cm.

146. Површи на правоугаони ка је 35 cm2. Израчунај површи ну ромба чи ја су темена среди шта страни ца датог правоугаони ка.

147. Израчунај површи ну делтои да чи је суседне страни це и мају дужи не 6 cm и 13 cm, а угао који граде те две страни це и ма меру 90°.

148. Керами чке плочи це су обли ка ромба чи је су ди јагонале 0,8 dm и 6 0 mm. Коли ко је такви х плочи ца потребно да се поплоча под обли ка трапеза код кога је средња ли ни ја 6 m, а ви си на 1,5 m, ако на растур отпада 10%?

в)

г)

a 2

a a 3

a 3

д)

ђ)

232

б) a

uk a

145. Површи на ромба је 96 cm2. Ди јагонале ромба се односе као 4 ∶ 3. Израчунај дужи не ди јагонала ромба.

a 2

a 3 a 3

a 3

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

150. Израчунај површи ну осенченог четвороугла на сли ци ако су све дужи не и зражене у центи метри ма. а)

4 4

в)

2 4

0,4

1,5

2 12

2 7

uk a

б)

2 2

pr om

б)

1,8

151. Израчунај површи ну сложене фи гуре са сли ке: а) 2

2 2

233

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

БАЈКА О ПРИНЦЕЗИ И ОБУЋАРУ

„Теби ћу дати руку моје кћери , јер си мудар и вредан�, рекао је задовољно цар. Тако је и би ло. При нцеза и обућар жи вели су срећно до краја свог жи вота.

pr om

При нцеза је расла у срећи и и зоби љу и порасла у ди вну, прелепу и паметну девојку. Почели су да долазе просци са сви х страна. Би ли су то углавном племи ћи , при нчеви , војводе, цареви ћи . Нуди ли су цару огромно богатство како би га при волели да и м да руку његове мези ми це.

Ипак, једног дана појави о се сасви м оби чан млади ћ. Цар га је пи тао зашто је дошао и чи ме се бави . Млади ћ му је одговори о да је обућар и да је дошао да запроси руку цареве мези ми це. На пи тање које цар поставља просци ма, кратко је одговори о: „Може.� „Објасни �, рече му цар. Млади ћ је узео папи р, запи сао нешто и показао цару.

Некада давно жи вео један цар који је и мао 𝟕 си нова и једну кћер. Си нови су би ли јако вредни и мудри . Цар и х је научи о како да савладавају препреке које и м буде постављао жи вот. Ипак, ћерка му је би ла мези ми ца. Са њом је волео да шета по врту, да при ча разне при че и да је слуша, док сви ра харфу.

uk a

Ипак, цар је одлучи о да рука његове кћери при падне најмудри јем, а не најбогати јем и најмоћни јем млади ћу. Послао је своје гласни ке по чи тавом царству да то објаве. И, просци су почели да долазе.

Ево, које је пи тање цар постављао просци ма: „У мом царству и ма много шума. Мени најдража је обли ка правоугаони ка ди мензи ја 𝟕𝟎 𝐦 х 𝟑𝟎 𝐦. У њој је посађено 𝟖𝟑 стабала. Може ли се у тој шуми наћи парче земље квадратног обли ка ди мензи је 𝟓 𝐦 х 𝟓 𝐦, на коме нема ни једног стабла?� Би ло је ту разли чи ти х одговора млади х при нчева: „А зашто не би могло?�, „Како ја то могу да знам, кад ни сам до сада ни када крочи о у ту шуму.� „Зави си како је сађено дрвеће...�

2 34

Шта је обућар могао да запи ше као објашњење?

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

ТЕСТ 1. Деда Јанко и ма и мање чи ја је површи на 2 ha. Он жели да сваком си ну поклони по 50 ари те земље тако да њему не остане ни шта. Коли ко си нова и ма деда Јанко? 2. Израчунај оби м и површи ну правоугаони ка ако су дужи не његови х страни ца 𝑎 = 1,5 cm и 𝑏 = 2 ,8 cm. 3. Израчунај оби м и површи ну ромба ако су дужи на његове страни це 𝑎 = 2 4 1

си на ℎ𝑎 = 1 3 cm.

3 4 cm и ви -

4. Израчунај површи ну троугла ако је страни ца 𝑏 = 16 cm и одговарајућа ви си на ℎ𝑏 = 7 cm.

ТЕСТ

pr om

5. Израчунај површи ну трапеза ако је дужи на његове средње ли ни је 𝑚 = 72 cm и ви си на ℎ = 10 cm.

1. Правоугаони к и квадрат и мају једнаке оби ме. Страни це правоугаони ка су 18 cm и 2 2 cm. Ко и ма већу површи ну, правоугаони к и ли квадрат и за коли ко?

uk a

2. Страни це паралелограма су 𝑎 = 15 cm и 𝑏 = 10 cm. Ви си на која одговара страни ци 𝑏 и ма дужи ну ℎ𝑏 = 12 cm. Израчунај ви си ну која одговара страни ци 𝑎 .

3. Дужи не страни ца троугла су 𝑎 = 16 cm, 𝑏 = 10 cm и 𝑐 = 12 ,8 cm. Ви си на која одговара страни ци 𝑐 и ма дужи ну ℎ𝑐 = 1 dm. Израчунај ви си не ℎ𝑎 и ℎ𝑏 . 4. Површи на трапеза је 𝑃 = 6 0 cm2, ви си на трапеза је 10 cm, а краћа основи ца је 3 пута краћа од дуже основи це. Одреди дужи ну средње ли ни је трапеза и дужи не основи ца трапеза.

5. Ди јагонале ромба су 𝑑1 = 9 cm и 𝑑2 = 6 cm. Ви си на ромба је ℎ = 5 cm. Израчунај површи ну и оби м ромба.

2 35

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

ТЕСТ 1. Ако се страни ца квадрата повећа за 5 cm, онда се површи на квадрата повећа за 75 cm2. Израчунај оби м квадрата пре повећања страни це.

2. Дужи не страни ца паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 су 𝑎 = 14 cm и 𝑏 = 6 cm. а) Која је ви си на дужа ℎ𝑎 , и ли ℎ𝑏 ? б) Ако ви си на ℎ𝑎 повучена и з темена 𝐷 тупог угла ∡𝐴𝐷 , гради са страни цом 𝐴𝐷 угао од 6 0°, и зрачунај површи ну паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 . в) Израчунај ви си ну ℎ𝑏 . 3. Оби м правоуглог троугла и зноси 𝑂 = 8 6 cm. Познато је да краћа катета и зноси 3

дуже катете, а 4 хи потенузе. Израчунај површи ну правоуглог троугла.

4 5

pr om

4. У ком односу средња ли ни ја трапеза дели његову површи ну ако су основи це трапеза 7 cm и 5 cm?

uk a

5. Површи на ромба је 𝑃 = 8 0 cm2. Ди јагонале ромба се односе као 8 ∶ 5. Израчунај дужи не ди јагонала ромба.

2 36

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

ПОВРШИНА ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА –

4. 1) једи ни чне фи гуре; 2 2 ) 1 једи ни чна фи гура; 1

3) 6 2 једи ни чни х фи гура; 4 ) 5 једи ни чни х фи гура; 5) 4

 а) 36 стубова; б) 54 0 m жи це; в) 500 m2; г) 1 ар кошта 1500 евра; д) 0,8 kg.

pr om

 Немања је погрешно одговори о на 2 пи тања.

5. а) 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm; 3 dm = 0,3 m = 30 cm = 300 mm; 5 cm = 0,05 m = 0,5 dm = 50 mm; б) 1,52 m = 15,2 dm = 152 cm = 1 52 0 mm; 34 ,8 dm = 3,4 8 m = 34 8 cm = 3 4 8 0 mm; 117,2 cm = 1,172 m = 11,72 dm = 1 172 mm.

понављамо

1 једи ни чне фи гуре. 2

uk a

ПОЈАМ ПОВРШИНЕ, ЈЕДНАКОСТ ПОВРШИНА

1. а) Површи на слова М једнака је 15 једи ни чни х фи гура; Површи на слова Ш једнака је 18 једи ни чни х фи гура; Површи на слова Е једнака је 16 једи ни чни х фи гура; Површи на слова Н једнака је 18 једи ни чни х фи гура; б) Једнаке површи не и мају слова Ш и Н. 2. 1) 16 једи ни чни х фи гура; 2 ) 12 једи ни чни х фи гура; 3) 2 6 једи ни чни х фи гура; 4 ) 18 једи ни чни х фи гура. 3. 1) 18 једи ни чни х фи гура; 2 ) 2 4 једи ни чне фи гуре; 3) 18 једи ни чни х фи гура; 4 ) 16 једи ни чни х фи гура.

6. а) 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2; 3 dm2 = 0,03 m2 = 300 cm2 = 30 000 mm2; 5 cm2 = 0,0005 m2 = 0,05 dm2 = 500 mm2; б) 1,52 m2 = 152 dm2 = 15 2 00 cm2 = 1 52 0 000 mm2; 34 ,8 dm2 = 0,34 8 m2 = 3 4 8 0 cm2 = 34 8 000 mm2; 117,2 cm2 = 0,01172 m2 = 1,172 dm2 = 11 72 0 mm2; в) 3 a = 0,03 ha = 300 m2; 12 ha = 1 2 00 a = 12 0 000 m2; 7 km2 = 700 ha = 70 000 a = 7 000 000 m2; г) 12 3 4 2 5 m2 = 0,12 34 2 5 km2 = 12 ,34 2 5 ha = 1 2 34 ,2 5 a; 3 km2 7 ha = 307 ha = 30 700 a = 3 070 000 m2; 7 12 8 ,3 dm2 = 0,712 8 3 a = 71,2 8 3 m2. 7. а).

8. Редом треба пи сати : km, m, m, m2, m2.

9. а) Пупи нов мост у Београду; б) за 1 2 4 6 m; в) Највећу површи ну и ма Пупи нов мост. 2 37

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

ПОВРШИНА ПРАВОУГАОНИКА И КВАДРАТА

1 10. 1) једи ни чне фи гуре; 2

2 ) 1 једи ни чна фи гура; 3) 1 једи ни чна фи гура. 11. F

16. а) 𝑃 = 6 0 cm2; б) 𝑃 = 2 08 8 cm2; 1

в) 𝑃 = 9,14 4 cm2; г) 𝑃 = 4 7 4 cm2. 17.

𝑎

12. C

O P

13. D

uk a

14. Петар ће морати да и здвоји 9 075 евра. 15. а) Упутство: тачке 𝑀 и 𝑁 су среди шта кракова трапеза 𝐴𝐵𝐶𝐷 . H D M A E

N F

б) Δ𝐵𝐹 𝑁 ≅ Δ𝐶𝐺 𝑁 по ставу УСУ, јер је 𝐵𝑁 = 𝑁𝐶 = 12 𝐵𝐶, ∡𝐵𝑁𝐹 = ∡𝐶𝑁𝐺 = 𝑥 (као унакрсни углови ), ∡𝐹 𝐵𝑁 = ∡𝑁𝐶𝐺 = 90° − 𝑥. Из подуданости следи да је 𝐹 𝐵 = 𝐶𝐺 . Сли чно се доказује да је Δ𝐴𝐸 𝑀 ≅ Δ𝐷 𝐻 𝑀 по ставу УСУ, па и з те подударности следи да је 𝐴𝐸 = 𝐻 𝐷 . Дакле, трапез смо „резањем” превели у правоугаони к. 238

9 cm

10 cm

36 cm

4 8 cm

72 cm2

135 cm2

3 4 cm 8 cm

2 2 ,8 cm 23 12 cm 14 cm2

30 cm2

5 cm

2 4 cm

г) 𝑃 = 121 cm2 = 13 9 cm2.

19.

12 cm

1,4 cm

18. а) 𝑃 = 4 9 cm2; б) 𝑃 = 32 4 cm2; в) 𝑃 = 8 2 ,8 1 cm2;

15 cm

pr om

𝑏

6 cm

𝑎

10 cm

100 cm2 1,4 4 cm2 2 5 cm2 516 cm2

4 0 cm

1,2 cm

4 ,8 cm

2 0 cm

9 cm

20. а) 𝑂 = 2 7 cm; б) 𝑂 = 6 4 ,6 8 cm; 33

в) 𝑂 = 2 cm = 16 2 cm; г) 𝑂 = 6 cm.

21. а) 𝑃 = 138 ,2 4 cm2; б) 𝑃 = 530 cm2; 6

в) 𝑃 = 156 cm2 = 6 2 5 cm2;

2 5 35 3 г) 𝑃 = 8 cm2 = 4 8 cm2.

22. а) 𝑃 = 32 4 cm2; б) 𝑃 = 2 01,6 4 cm2; 9

в) 𝑃 = 16 cm2; г) 𝑃 = 81 cm2. 23. 𝑃 = 1,2 8 dm2. 24. 𝑃 = 2 09 cm2.

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

25. 𝑃 = 8 6 4 mm2.

44. а) Има и х 4 ; б) и ма и х 4 .

26. 𝑂 = 19,2 cm.

45. а) Површи на ће се повећати за 2 1%; б) Површи на ће се смањи ти за 36 %; в) Површи на ће се смањи ти за 9%.

27. а) 𝑂 = 32 cm; б) 𝑂 = 4 8 cm; в) 𝑂 = 4 0 cm; г) 𝑂 = 36 0 cm.

46. а) Површи на ће се повећати за 2 1%; б) Површи на ће се смањи ти за 36 %.

28. а) 𝑃 = 6 5,6 1 a; б) 𝑃 = 1 a; в) 𝑃 = 0,6 4 a; г) 𝑃 = 2 ,2 5 a.

47. Страни цу треба увећати 3 пута.

29. Потребно је 6 10 m жи це.

48. а) 𝑂 = 16 cm; б) 𝑂 = 2 4 cm.

30. Потребно је 103,2 kg семена.

32. Површи на рама је 6 50 cm . 2

49. а) 𝑂 = 16 cm; б) 𝑂 = 4 cm. 50. 𝑂 = 16 cm, 𝑃 = 16 cm2.

pr om

31. Доби ће се 135 тона.

33. а) Површи на бетонске стазе је 78 ,2 1 m2. б) Цена и зраде бетонске стазе је 195 52 5 ди нара. 34. Потребно је 900 дашчи ца паркета.

uk a

35. а) Потребне су 14 3 плочи це. б) Петар мора да купи 6 m2 плочи ца. в) Петру ће остати 7 плочи ца. г) Петар ће морати да и здвоји 10 8 00 ди нара.

36. а) 𝑃 = 4 32 m2; б) 𝑃 = 4 ,32 a.

37. а) Разли ка оби ма је 2 4 cm; б) Разли ка површи на је 32 4 cm2.

ПОВРШИНА ПАРАЛЕЛОГРАМА 51. 1) 𝑃 = 2 4 једи ни чне фи гуре; 2 ) 𝑃 = 18 једи ни чни х фи гура; 3) 𝑃 = 4 8 једи ни чни х фи гура;

52. 𝑃 А = 12 cm2; 𝑃 Б = 6 cm2; 𝑃 В = 6 cm2; 𝑃 Г = 1 cm2.

38. Већу површи ну и ма квадрат за 0,09 dm2.

53. а) 𝑃 = 72 cm2; б) 𝑃 = 0,6 5 cm2; в) 𝑃 = 90 cm2; г) 𝑃 = 6 cm2.

40. Треба купи ти 4 59 плочи ца.

55. 𝑃 А = 𝑃 Б = 𝑃 В = 6 cm2.

39. Утрошено је 5,3 m2 папи ра. 41. Потребно је 11,8 2 kg боје.

42. Површи на зелене фи гуре је 2 0 cm2.

43. Оби м жуте фи гуре је 2 0 cm. Оби м зелене фи гуре је 12 cm.

54. 𝑃 = 33 cm2.

56. ℎ𝑎 = 9 cm.

57. ℎ𝑏 = 16 cm.

239

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

58. 𝑎

ha P

6 cm

3,5 cm

1,2 cm 13 cm

1,2 cm

9 cm

5,8 cm

2 1 cm2 15,6 cm2 1,4 4 cm2 52 ,2 cm2

59. а) 𝑂 = 30 cm; б) 𝑂 = 4 8 cm.

60. а) 𝑂 = 8 2 cm; б) 𝑂 = 38 ,4 cm. 62. 𝑃 = 8 4 cm2. 63. ℎ𝑎 = 4 cm.

2 5

78. 1) 𝑃 = 2 = 12 2 једи ни чни х фи гура; 2 ) 𝑃 = 9 једи ни чни х фи гура; 3) 𝑃 = 16 једи ни чни х фи гура; 4 ) 𝑃 = 9 једи ни чни х фи гура.

65. ℎ𝑎 = 0,8 cm, 𝑎 = 2 ,4 cm. 66. 𝑃 = 10 cm2.

pr om

64. ℎ𝑎 = 3 cm.

67. Треба набави ти 12 ,6 m2 огледала.

uk a

68. Већу дужи ну и ма ви си на ℎ𝑏 .

69. а) 𝑎 = 6 cm, 𝑏 = 4 cm; б) 𝑃 = 12 cm2; в) ℎ𝑎 = 2 cm, ℎ𝑏 = 3 cm.

71. 𝑎 = 2 7,5 cm, 𝑏 = 17,5 cm.

72. а) Површи на паралелограма ће се смањи ти за 1%; б) Површи на ће се повећати за 4 4 %.

73. а) Површи на ће се повећати 12 пута; б) Површи на ће се смањи ти 6 пута; в) Површи на се неће промени ти . 74. а) ви си ну морамо смањи ти 2 пута; б) Ви си ну морамо увећати 2 ,5 пута; в) Ви си ну морамо смањи ти 12 пута. 75. а) 𝑃 = 50 cm2; б) 𝑃 = 98 cm2; в) 𝑃 = 2 00 cm2. 2 4 0

77. Дужи не страни ца паралелограма су 2 1 mm и 33 mm.

ПОВРШИНА ТРОУГЛА

61. 𝑂 = 2 0 cm.

70. 𝑃 = 12 0 cm2.

76. а) 𝑂 = 72 cm; б) 𝑂 = 108 cm; в) Разли ка је 36 cm.

79. 𝑃 А = 3 cm2; 𝑃 Б = 2 ,5 cm2; 𝑃 В = 6 cm2; 𝑃 Г = 1 cm2.

80. а) 𝑃 = 4 0 cm2; б) 𝑃 = 2 ,8 05 cm2; в) 𝑃 = 3 cm2; г) 𝑃 = 2 ,4 dm2. 81. 𝑃 А = 𝑃 Б = 𝑃 В = 3 cm2 .

82. а) 𝑎 = 4 6 cm; б) 𝑎 = 34 cm; в) 𝑎 = 6 5,5 cm.

83. а) ℎ𝑎 = 6 cm; б) ℎ𝑏 = 12 cm; в) ℎ𝑐 = 2 6 cm.

84. а) 𝑃 = 6 cm2; б) 𝑃 = 9 cm2; в) 𝑃 = 12 cm2.

85. а) 𝑎 = 4 cm, ℎ𝑏 = 19 cm 4 cm < 𝑐 < 12 cm; б) ℎ𝑐 = 16 cm.

86. а) 𝑂 = 77,6 cm; б) 𝑃 = 2 56 cm2; в) ℎ𝑏 = 2 5,6 cm, ℎ𝑐 = 2 0 cm.

87. а) 𝑃 = 504 cm2; б) 𝑃 = 119,04 cm2. 88. ℎ𝑏 = 19,2 cm.

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

89. а) 𝑃 = 54 cm2; б) 𝑃 = 2 5,2 cm2.

90. а) 𝑃 = 138 cm2; б) 𝑃 = 334 ,75 cm2. 6 0

91. ℎ𝑐 = 13 cm = 4 13 cm.

92. а) 𝑏 = 32 dm; б) 𝑎 = 4 6 ,9 cm. 93. 𝑐 = 30 cm.

94. 𝑃 = 2 ,8 8 cm .

95. а) 𝑃 = 100,8 cm2; б) 𝑃 = 117 cm2.

108. 𝑃 А = 5 cm2; 𝑃 Б = 5 cm2; 𝑃 В = 3 cm2; 𝑃 Г = 3 cm2; 𝑃 Д = 7 cm2.

98. а) 𝑎 = 3 cm; б) ℎ𝑎 = 18 cm; в) 𝑃 = 2 7 cm2.

99. а) 𝑎 = 12 cm; б) ℎ𝑎 = 9 cm; в) 𝑃 = 54 cm2.

uk a

100. а) 𝑎 = 4 0 cm; б) ℎ𝑎 = 32 cm; в) 𝑃 = 6 4 0 cm2.

109. а) 𝑃 = 4 95 cm2; б) 𝑃 = 6 9 cm2.

pr om

97. а) 𝑎 = 32 cm; б) ℎ𝑎 = 8 cm.

101. 𝑃 = 31,5 cm2.

ПОВРШИНА ТРАПЕЗА 107. 1) 𝑃 = 2 4 једи ни чне фи гуре; 2 ) 𝑃 = 2 5 једи ни чни х фи гура; 3) 𝑃 = 2 8 једи ни чни х фи гура; 4 ) 𝑃 = 2 5 једи ни чни х фи гура.

96. а) 𝑎 = 2 4 cm, 𝑏 = 2 0 cm; б) 𝑃 = 192 cm2; в) ℎ𝑏 = 19,2 cm.

б) 𝑃 = 4 6 ,5 cm2.

102. а) 𝑃 = 6 4 cm2; б) 𝑃 = 36 cm2.

103. а) 𝑃 Δ𝐴𝐵𝑃 = 34 ,72 cm2; б) 𝑃 Δ𝐵𝐶𝑄 = 34 ,72 cm2; в) 𝑃 Δ𝐴𝐵𝑃 − 𝑃 Δ𝐵𝐶𝑄 = 0.

110. а) 𝑚 = 3,55 dm; б) 𝑚 = 3 cm.

111. а) 𝑃 = 392 cm2; б) 𝑃 = 6 ,4 8 dm2; в) 𝑃 = 6 cm2. 112. ℎ = 12 cm. 113. ℎ = 16 cm.

114. 𝑃 = 77 cm2, 𝑚 = 14 cm.

115. а) 1)

106. а) Може. Образложење следи и з сли ке. C

30° 30° 12

105. а) 𝑃 = 16 cm2; б) 𝑃 = 9 cm2.

5 4

104. а) 𝑏 = 2 4 cm; б) 𝑎 = 32 cm; в) 𝑐 = 4 0 cm; г) 𝑃 = 38 4 cm2.

2 –3 –2 –1

1 –1 –2

A 0 1

B 2

–3

2 4 1

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

122. а) 𝑚 = 12 cm; б) 𝑎 = 14 cm, 𝑏 = 10 cm.

y 3 2

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 A

–2

0 1

–5

–3 –2 –1 A

4 3

–2

Доби ја се трапез. б) 1) 𝑃 = 12 cm2; 2 ) 𝑃 = 9 cm2; 3) 𝑃 = 2 2 ,5 cm2.

–1

B 0 1

116. 𝑃 А = 𝑃 Б = 𝑃 В = 10,5 cm2.

0 1

–1 –2

x 3

–3

б)

5 4

3 2

–3 –2 –1 A

1 –1 –2

x 0 1

5 B

Тачка 𝐷 и ма коорди нате (−2 , 3), 𝑃 = 2 5 cm2.

119. а) 𝑚 = 3 cm; б) 𝑎 = 4 cm, 𝑏 = 2 cm.

124. 𝑃 = 4 4 cm2.

120. а) 𝑚 = 11 cm; б) 𝑎 = 18 cm, 𝑏 = 4 cm.

121. а) ℎ= 9 cm; б) 𝑎 = 16 cm, 𝑏 = 12 cm. 2 4 2

–3

117. 𝑏 = 19 cm.

118. а) 𝑏 = 4 ,4 cm; б) 𝑃 = 18 ,06 cm2.

Тачка 𝐷 и ма коорди нате (0, 3), 𝑃 = 2 0 cm2;

uk a

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–4

5 4

pr om

–1

–3

123. а)

2 )

125. 𝑂 = 2 9,6 cm.

126. Павле треба да и здвоји 7 6 30 евра.

127. Потребно је купи ти 3 000 црепова.

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

128. Површи на трапеза је 75 cm2. Упутство: D

15° 15°

10 c m

135. а) 𝑃 = 8 ,4 cm2; б) 𝑃 = 9 cm2; в) 𝑃 = 2 5,1 cm2.

75°

m 10 c

15° 15°

75°

5 cm

m 10 c

75°

h =

134. а) 𝑃 = 3 dm2; б) 𝑃 = 4 8 cm2; в) 𝑃 = 3 cm2.

30°

75° 75° E

75°

136. а) 𝑃 = 4 50 cm2; б) 𝑃 = 3,12 5 dm2; в) 𝑃 = 13,52 cm2.

137. Потребно и м је 5,5 dm2 папи ра.

Δ𝐴𝐸 𝐷 ≅ Δ𝐸 𝐵𝐶 ≅ Δ𝐶𝐷 𝐸 по ставу СУС. Површи на трапеза би ће једнака три површи не једнакокраког троугла. Површи на трапеза би ће 𝑃 = 75 cm2.

139. 𝑑2 = 15 cm.

130. а) 𝑃 = 54 cm2; б) 𝑃 = 12 2 ,5 cm2.

141. 𝑑2 = 13,5 cm.

uk a

ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГЛА СА НОРМАЛНИМ ДИЈАГОНАЛАМА 131. 1) 𝑃 = 2 4 једи ни чне фи гуре; 2 ) 𝑃 = 36 једи ни чни х фи гура; 3) 𝑃 = 2 7 једи ни чни х фи гура; 4 ) 𝑃 = 18 једи ни чни х фи гура.

pr om

129. 5 ∶ 3.

138. 𝑑2 = 5 cm.

140. 𝑑2 = 9 cm.

142. а) 𝑎 = 12 cm; б) 𝑂 = 4 8 cm; в) 𝑃 = 108 cm2. 143. 𝑑1 = 2 5 cm, 𝑑2 = 5 cm.

144. 𝑑1 = 12 cm, 𝑑2 = 3 cm.

145. 𝑑1 = 16 cm, 𝑑2 = 12 cm. 146. 𝑃 = 17,5 cm2. 147. 𝑃 = 78 cm2.

148. Потребно је 4 12 5 плочи ца.

132. 𝑃 А = 8 ,2 5 cm2; 𝑃 Б = 2 cm2; 𝑃 В = 8 cm2; 𝑃 Г = 3 cm2; 𝑃 Д = 6 cm2.

133. а) 𝑃 = 54 cm2; б) 𝑃 = 37,8 cm2; в) 𝑃 = 1,5 cm2. 2 4 3

ПОВРШИНA ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

ПОВРШИНА ПРОИЗВОЉНОГ ЧЕТВОРОУГЛА

4. 𝑃 = 56 cm2. 5. 𝑃 = 72 0 cm2. ТЕСТ

1. Већу површи ну и ма квадрат за 4 cm2. 2. ℎ𝑎 = 8 cm. 3. ℎ𝑎 = 8 cm, ℎ𝑏 = 12 ,8 cm. 4. 𝑚 = 6 cm, 𝑎 = 9 cm, 𝑏 = 3 cm. 5. 𝑃 = 2 7 cm2, 𝑂 = 2 1,6 cm.

149. а) 𝑃 = 15 cm2; б) 𝑃 = 18 cm2; в) 𝑃 = 2 4 cm2; г) 𝑃 = 10 cm2; д) 𝑃 = 18 cm2; ђ) 𝑃 = 2 0 cm2.

ТЕСТ

uk a

Дуж 𝐴𝐵 је средња ли ни ја троугла Δ𝐶𝐷 𝐸 , па је 𝐴𝐵 = 4 cm. Сли чно је 𝐴𝐹 = 𝐸 𝐹 = 𝐵𝐸 = 4 cm. Тражена површи на и зноси 𝑃 = 8 cm2; б) 𝑃 = 8 cm2; в) 𝑃 = 6 ,05 cm2.

151. а) 𝑃 = 56 cm2; б) 𝑃 = 75 cm2.

БАЈКА О ПРИНЦЕЗИ И ОБУЋАРУ (70 ∙ 30) ∶ (5 ∙ 5) = 2 100 ∶ 2 5 = 8 4 . ТЕСТ

1. Деда Јанко и ма 4 си на. 2. 𝑂 = 8 ,6 cm, 𝑃 = 4 ,2 cm2. 3. 𝑂 = 99 cm, 𝑃 = 33 cm2. 2 4 4

1. Пре повећања страни це квадрата, његов оби м је би о 𝑂 = 2 0 cm. 𝟐. а) Дужа је ви си на ℎ𝑏 ; б) 𝑃 = 4 2 cm2; в) ℎ𝑏 = 7 cm. 3. 𝑃 = 36 0 cm2. 4. 13 ∶ 11. 5. Дужи не ди јагонала ромба су 16 cm и 10 cm.

pr om

150. а) Упутство: