The Peano Propositions by Jacques Bailhé by Jacques Bailhe Publishing

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CulverCity,California

Formyfriend, GuillermoReal

Propositions

DebatehaslongragedovertheprimacyofreasonoremotioninmusicAesthetictheoryis dividedintotwocamps:emotionalismononeside,formalismandcontextualismontheother NamedforthemathematicianGiuseppePeano(1858–1932),thispieceproposesa conclusiontothatdebate.

PeanomadeoutstandingcontributionstothefieldsoflogicandmathematicsAmongthem,the standardsetofaxiomsdescribingthephenomenaofnaturalnumbersknownasthePeano AxiomsLogicreliesonfundamentalslike"subject"and"negation"tomakesense,butalsoand significantly,onstructuralelementsofform,forexample,proposition,argument,and conclusion.Musicismorethansimilar.Itmakessensebyusingfundamentalslikemelody, harmony,andrhythm,andformalstructureslikeexposition,development,andrecapitulation

Logicisbuilttoexpressreason,andmusic mostofitanyway expressesemotion,butwords usedinlogic,like"negation,"carryemotionalmeaningand,ofcoursemusic,likelogic,must makeemotionalsense.Inherentlythere'spowerfulreasoninemotion.Wemayfallinloveor becomeangrybasedonanillogicalfallacy,butthatis,nevertheless,thereasonforourfeeling. Conversely,anddespiteourfantasyofbeingcapableofemotionlessreason,thereispowerful emotioninreasonSooften,reasonandlogicareovertaken,ifnotobliteratedbythefarmore powerfulphenomenonofemotionWewouldliketothinkwe'reguidedbyreason,butpit reasonagainstemotionandemotionwinseverytime

Inplaceoftheusualemotionalexpressionsusedinscorestoguideperformance,like"con calore"(withfervor),thisscoreusestermsoflogiclike"predicate"and"conclusion"toargue theissuesathandInthispiece,my"conclusion"totheargumentcomesinthefinalsectionto beplayedinthemannerheardinasweatyCubannightclubwherethepianoplayerhashands toobigtofitthekeysandemotionstoobigtobeboundbyreason.

demorecording

https://soundcloudcom/jacques-bailhe/the-peano-propositions

DefinitionsofTerms

Antecedent:thefirsthalfofahypotheticalproposition

Argument:anattempttoreachthetruthofathingbygivingreasonsforacceptingaconclusionas evident

Conclusion:aconsequenceorresultofthepremiseofaproposition

ConditionalProposition:apropositioncontainingacondition

Consequent:thesecondhalfofahypotheticalproposition

Contradictory:alogicalstatementorformulausedtoproveapropositionbyitscontradiction,also knownasthe“principleofexplosion”"exfalsoquodlibet"("fromfalsity,whateveryou like") Aformulaiscontradictoryonlyifitisunsatisfiable

Contrapositive:Astatementofapropositioninthenegativethatproducestheidenticalor equivalentresultofthepropositionThecontrapositivefortheproposition"Ifan animalhasfourfeet,itisaquadruped,”is"Ifananimalisnotaquadruped,thenit doesnothavefourfeet"

Copula:linkbetweensubjectandpredicate

Fallacies:argumentsthatuseinvalidformorpoorreasoning,whetherornottheirconclusionistrue

Negation:producesavalueoftruewhenitsoperandisfalseandavalueoffalsewhenitsoperand istrueIfanegationistrue,theoriginalproposition(andbyextensionthecontrapositive) isuntrue

Predicate:astatementorassertionabouttheattributeaorqualitiesofathing

Proposition:astatementorformulainwhichthesubjectandpredicatearecombined,soasto assertsomethingtrueorfalsequantifier:anoperatorthatbindsthevariabilityofa logicalstatementorformula.

Reconsideration:theactofreconsidering.

SecondProposition:apropositionderivedorextendingfromanother

ShutUpandDance:justthat

Subject:theobjectorthingbeingconsidered

Theorem:astatementthathasbeenprovenonthebasisofpreviouslyestablishedstatements, suchasothertheorems andgenerallyacceptedstatements,suchasaxioms

pp { { { { { Proposition q=60 solopiano q=75 JacquesBailhé q=70 c10' Subject q=104 7 Predicate

13 Negation q=82 Proposition q=75 20 q=69 q=43 q q=104 Copula 25 VS 4 4 4 4 6 4 6 4 4 4 4 4 5 4 5 4 4 4 4 4 & 1. mp mp p mf f legato f 6 6 ? pp ppp ° ° mf 6 “‘ & mf ff f 6 6 ? ° ø f ° ø <“‘> & ∑ ∑ ∑ ∑ mf ∏ ∏ ∏ ∏ mp ? mf mp p Sos ppp <“‘> p ° & f ∏ ∏ ∏ ∏ mp p ppp ff œ œ œ ™ ™ 3 6 6 ? pp ø RH LH > ° mf ( )mf 6 “‘ & mf ff 6 3 6 6 3 6 ? ° ø ° ø ( )mf <“‘> Ó ‰ œœœ œœœœœ œ ˙ Ó ‰ œœœ œœœœœ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œœ œ ˙ ˙ ˙ œœ œœœœ˙ œ ≈ ˙™ w œ ≈ ˙ w Œ Œ ‰œœœœ œ ˙ ˙ ˙ œ > œ œ > œ œ œœ œ œ œœ˙ ˙ ˙ ˙ Ó œ œ œ œ œ œ œ œ J®œ œ > œ œ œ œœœœœœ˙ ˙ ˙ œ œ œ œ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Ó ˙ ˙ ˙ œ œ œ œœœ œœœœœ œ ˙ ˙ ˙ w Ó™ œ j‰ ˙ ˙ ˙ œ œ ˙ w™ œ œœ œ ˙˙ ˙ ww w ˙ ˙ ˙ œ œ œ œ œœ œ œœœ œœ œ œ œ œ œ œ œ ™ œ œ > œ >œ œ . > ‰ ≈œœ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œœ œ ˙ ˙ ˙ Ó œœ œœœœ˙ Œ œœ œœ œ œœ œ œ ˙˙ ˙ ˙ ww w w œœ œ œ™ ™ œ œ œ > œ œ œ > œ œ œ > ‰ ˙ ˙ ˙ > Ó ‰œœœœ œ ˙ ˙ œœœ œ™ œ œ œ Ó œ œ œœ œ œœœ˙Œ œ . œ . œ . œ œœ œ j œœœœœœœ œœ œ œ œ œ™œ œ œœœœ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œœœœœœ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ThePeanoPropositions pp

{ { { { { 31 Negation Antecedent q q=45 Contradictory q=22 q=95 accel 39 Consequent q=104 q q=70 q=35 q q=90 q=45 45 q=100 q=104 52 q q=100 q q=104 62 3 4 3 4 5 8 5 8 6 8 6 8 6 8 6 8 4 4 4 4 3 4 3 4 5 4 5 4 5 4 5 4 4 4 4 4 3 4 3 4 5 4 5 4 4 4 4 4 6 8 6 8 4 8 4 8 5 8 5 8 5 8 5 8 3 8 3 8 5 8 5 8 4 4 4 4 2 4 2 4 5 8 5 8 2 4 2 4 2 4 2 4 3 4 3 4 4 4 4 4 2 4 2 4 & ∑ ∑ ∑ mf p ? pp p pp <“‘> ∑ ∑ ∑ ° & RH LH mf œœœ œ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ p ? f ff mf pp ° ø & ∑ # p 3 ? mp ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ “‘ # ( )mp Sos ∑ &# p ?# p mp ° p ° 3 &# mp mf f 3 ?# ∑ mp mf ˙ Ó Ó Œ™ œœ ˙ ˙ ˙ ˙ œ œ ˙ ˙ ˙ U ‰ œj‰œ œ J œ œ œ œ J ˙ ˙ w Ó Œ œ . j‰ ˙ ˙ ˙ œ œ ˙ ˙™™™ ≈ œœœ œ œ œ œœŒ œœœ œ œ œ œ œ Œ Œ ˙˙ ˙ ˙ ˙ ˙ œ œ œ ˙ ˙ ˙ ˙ œ œ œ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙˙ ˙ œ œœ œ bœ ˙ b˙˙ ™ ™ ™ Œ Œ œœœœœœœœœœœœœœœœœœœœ w w œ > ˙ œ > ˙ ˙ œ ˙ œœœœœœœœ œ -œ˙ ˙™ Œ Œ œœœœw ‰ œ J˙ œœœœœ˙ ˙ œ œ j ≈‰ Œ œœœœ ˙ ˙ ˙ ˙ ™ ™ ™ ˙ ˙ ˙ ˙ w w w w œœœœœ œ ‰ œ œ J œ œœ˙ ∑ ‰™ œ >œœ œ œ > œ œ œ > ≈ œ™ œ J‰ œœœœ ‰ œœ œœœ œ J Œ œœœ œ œ ˙ Œ œœœ œ Œ œœ œ œ ˙ œ™ œ œœœœœœ œœœ œ œ ‰Œ ≈ œ > R œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œœœ œœ œ œ ˙ ˙ œ œ™ ™ œ œ œ >œœ œ œ >œ œ œ œ > ‰ œ >œœœ œ >œœ œ œ >œ œ œ > œ > œ > œ > œ > Œ Œ œ œ > œœ > Œ ‰œœœœœ œ Œ œœœœ œ œ œ œ œ ≈ œ œ R ≈œœœ œ R ‰ œ RŒ œ œ J≈ œ R œ œœ œŒ œœ œ > œœ œ . > J ‰ Œ Œ œ œ œ œ œ œ œœœ œœœœœJ‰ mf ThePeanoPropositions 2

˙ ˙ { { { { { 67 73 q q=104 Subject Copula Reconsideration 80 85 Negation q q=103 Theorem q=75 q q=103 91 q=75 Proposition rit. q=42 VS 2 4 2 4 4 4 4 4 2 4 2 4 4 4 4 4 3 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 &# ?# &# n 6 6 ?# n 6 ° “‘ & mpf 6 3 6 6 3 6 ? ø ( )mf ° <“‘> & ∑ ∑ ∑ ff ff “ 6 6 6 ? mp pp p pp <“‘> loco f 6 6 & ff f mf p mp pp 6 6 3 ? > mp ° ø p 6 6 œ >œœœ œ > œœ œœœ œ œ > œœœ > ‰œ>œœœ > ≈œ > œ œ > œœ œ > œœœ > ‰ ≈œ > Rœœ>≈œ œ œ > œœ > ≈œ > œ œ > œ œ œœœ œ . ≈œ œ œ≈œœœ‰ œ œ œœœ≈‰ œ œ J œ œ‰ œ œ œ≈œœ≈ œœœ≈ œ œ œ≈ œ œœ≈ ≈ œ œ œ≈œœœ≈ œ œ œ œ œ œ œ œ > œ œ > ≈œœœ œ œ œœ œ œ œ > œ œ œ œœ œ œ œ œ √ œ œ œ ™ ™ ™ œ > œ > œœœœœœœ Œ Ó œœ œ ˙ œœ œ Œ œ > ™œ > œ > œœ œ™ œ > œ œ > œœ ≈≈ œ œ œ œ ‰ œ . J œ œ œ œ œ ˙ ˙ œ œœœœœ œ ˙ ˙ ˙ ˙Ó œ œ œœ ˙ œ œ œ œ œ œ > œ > œ > œ œ œ œœ œœœ œœ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ #œ j ≈ œ œ œ J œ œ œœnœœœœ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ w œœ œ œ œœ > ‰œœœ œ œœ > ‰œœ œ œ œ œ œ≈ œ œ ˙ ˙ ˙ ˙ > ™ ™ ™ ™ ˙ ˙ w Ó Œ œ j‰ ˙ ˙ ˙ œ œ j‰ œ œœœœ œ œ œ ‰ œ œœœœ œ œ œ ‰Œ ˙ ˙ ˙ ™ œœ œ œ œ œœ œ > R≈œœœœœœ œ œ œ J œ œ œ œ œ œœ œ > ™ ™ œ œ > ˙ ˙ ˙ œ œ œ J œœœ œœœœœœ œœ œ œ˙ ˙ ˙œ œ œ œ œœ œœœœœœœœœ œ œ œ œœœœœ≈ œ œ œœœœ œœ w w w w w w w w ThePeanoPropositions 3

2. { { { { { Quantifier q=104 q q=65 Contrapositive q=104 96 101 109 Fallacies 120 Conclusion q=55 SecondProposition q=103 127 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 3 4 4 4 4 4 9 8 9 8 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 & f 6 6 mf 6 6 6 6 ? ff ° Sos ø f mf Sos ø 6 6 6 6 6 6 6 & ff f f ff f 6 6 6 3 6 ? f ° ø mf ° ø mf 6 “‘ & mp mf p 3 3 3 3 3 ? mp ° ø ø <“‘> ° mp “‘ ° pp UC & ∑ ? p ∑ ∑ &bbbbb 3 3 3 ? pp mf ° mp UC pp ppp ATTACK bbbbb “‘ &bbbbb mf f f ?bbbbb <“‘> mp œ œ > œ œ > œ œ > ‰ œ œ œ > j œ œ œ ™ ™ ™ œ > œ >œ œ > œ œ œ œ™ ™ œ œ > œ œ œ œ™ ™ œ > œœœ œœœ > ®œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ™ ™ œ œ œ œ œ œ™ ™ œœœœ-œœœ œ œ œ œ > œ œ > œ œ > ‰ œ œ œ > j ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ‰œœ ˙ ˙ œœœ‰œœœœœ œ > œ œœœœ œ œ > œ ˙ œ œ œ ‰œœ ˙ œœœ‰œœœ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ ˙ ˙ œœœœœœ˙ œœ œœœœœ™ œœ -œ™ œœ œ™™ œ > œ œ > œ œ œœ œ œ œ œ œ œ™ ™ œœ -œœœœ™ œœœœœœœœœ œ J≈œœ j œ œ œ œœ œœœ œ ˙ ˙ ˙ ‰œœœœ œ ˙ ˙ ˙ ˙ œ œ œ œ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙˙ ˙#˙ ˙ ˙ w œœ œœ ˙ ˙ Ó œœ#œœ˙ ˙™ ˙Œ #œœœ œ#œœ˙ ˙œ œœ œ œ # ™ ™œ œ œ ˙ ˙ w w ‰œœœœœœœ œ J ˙˙˙˙ ˙˙˙ ˙ #œ™ #œjœ ˙ œ . j‰ ˙ ˙ ˙ w ˙œœ œ œ™ œ j #œ œœœœœ ˙ #œœœ œ#œœ˙ w Œ œ œ ˙ ˙ U œ <#> œ œ # J ˙ ˙ œ j‰ ˙ ˙ ˙™ œ j‰ ˙ ˙ ™ ™ œ œ œ œ w w ˙ #˙ ˙ ˙ w œœœœ œ œœœœœœ œœ œ œ œ œœ œ œ ‰ ≈œœrœœœ œ œ‰ ≈œœrœœœ œ œœ œ œ . œ œ œ œ œ œ œ ˙ ˙ ˙ œœœœ œ œœœœœœ œœ œ œ œ œœ œ œ œ <n> Œ Ó œœ‰ Œ œœ‰ Œ Œ™ œ œ œj ˙ ˙ ˙ œ œ œj‰ Œ Ó ThePeanoPropositions 4

{ { { { { { 131 134 138 ConditionalProposition 142 146 152 q=102 VS 3 4 3 4 2 4 2 4 3 8 3 8 4 8 4 8 5 8 5 8 3 8 3 8 &bbbbb ∏ ∏ ∏ mf ff ?bbbbb p &bbbbb ?bbbbb &bbbbb ?bbbbb &bbbbb Argument ?bbbbb &bbbbb f ff ?bbbbb ff &bbbbb fff ff ?bbbbb f ‰ œ œrœœœ œ œ‰ ≈ œ œ œ œ œ œœœ≈ ® œ œ œ œ® œ œr® œ œ œ œ œ œ ™ œœ œœœ œ œ œœœœœœ œ œ œ œ œ œ œ œ œœ œ œœœ‰ Œ œœ‰ Œ ®œœ®œr® œ œ œ œ œ œ ™ ‰ œœ≈œrœœ‰ œœ‰ œœ‰ ‰™ œ œrœœœ œ œ‰™ œ œrœœœ œ œœ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ ™ ™ œœ œœœœ œ œœœœœœ œœ œ œ œ œœ œ œ ‰™ œ œrœœœ œ œ œ œ œ œ≈ œ Rœ œ œœ œ œ œ œœ≈œRœ œ œœ≈œRœ œ œœœ œ œ œ ˙ ˙ ˙ œœ≈œrœœ‰ œœ‰ œœ‰ œœ≈œRœ œ œœ≈nœRœ œ œœ œœ œœ œ œœnœœœ œ œ œ œ œœ œ œ ‰™ œ rœ œ œ œœ œ œ œ‰™ œ rœ œ œ œœ œœœœœœœœ‰œœœœœœœ≈œr œœœœœ œ œ œ œ œ œ œ œœœœ œœ œœ œ œœœœœ≈œr œ œ œ œ≈Œ œ œ œ œœœ œ œ œ œ œ œœœ œœ œ œ > œ œ > Ó œœœœœœ‰œ œ > œœœœœ œ > ≈œrœœœœœ œ > œœœŒ™™ œ R œ œ œœœ œ œ >œ œ > ‰ ‰™ œ R œœœœ œ > Œ ≈œœ œ œœ œ > ≈œrœœœœ œ œ œ œ œ œ œ > ≈œr œ œ œ > œ œ œ œ œ œ≈ œ œœ œ œ œ > œ œ≈œœr œ œ œ > œ œ œ œ œ œ œ œ œj‰ œœ œœ œ > œ œ ‰œœœœ‰ œœœ œœ œ œ‰ œœœŒ œœ œ≈ œ œœ ≈ œœ œœ Ó œ œ -œœœJ‰œ œœœ œ≈œ≈ œ œœœ œ≈œ œ œ œ œ œ œ œ‰‰ œ œ œ > j œ œ œ ‰ œ œ > j œ œ œœœ œ œŒ œ œ œ > œ œ > ≈ œ œ > œ œ œ œœœ œ J‰œ œœœ œ≈ œ œ œ≈œ œœœ œ œR≈‰ œ œ œ≈ œ œ œ œ œ œ œ > œœœœ œœœ œ œ œ œ≈ œ œr≈œœ œ œ œ œ œœœœ œœ œ -≈œ -œ œœœ ≈œ-œœ œœœ œ œ œ œ œ œ œ œ œj‰‰œœ œ œ ≈ œ œ œ≈ œ œ œ œ œ œŒ œœœ œ œœ≈œR≈œœœœœœœ œœœ œœœ≈œœœœœ≈œ œœ œœœ œœœœ ‰œ œœœ allarpeggiosasy's ThePeanoPropositions 5

{ { { { { 161 170 179 188 196 3 8 3 8 5 8 5 8 4 8 4 8 6 8 6 8 &bbbbb ∑ ∏ ∏ ∏ ∏ ff ?bbbbb mf ∑ &bbbbb ff ∏ ∏ ∏ ∏ œ f mf ?bbbbb f ° “‘ f &bbbbb mf f “ ?bbbbb mf ∑ &bbbbb<“> mf mp “ mp ∑ 3 ?bbbbb Sos & mpp mf ? 3 &bbbbb mp ?bbbbb f ° Œ ≈œ œ œœœ œ œ œ‰ ‰ œ œ œ œ™ œ œ œ œœ œœ œœ œœ œ œ œ‰ œ œ œ œ Œ œ j ˙ ˙ ˙ ˙œ œ œ œ œ œ ‰‰œ œ R œ œ œ œ > œœ™ œœœ œ œ œ œœ œ œœ œœ ‰ œ R≈œœœ œ œ œ œ œ œ œ œ . œ œœ . Œ œ œ œ œœ œ œ ˙ ˙ œ œ œ œ . œ œ œ > ≈ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ > œ œ œ > œ œ > œ œ œ œ œ œ œ œŒ œ œ œ œ œ œ œ rœ œ œ œ œœŒ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ≈œ œ r œ œ œœ œ œ œ œ œ œ . œ œ œ . œœ œœ > œœ œœ > œ œ ˙ ˙ œœœœ‰ œ œ > j œ œ > ™ ‰ œœœœ J ‰ œœœ œ œ œ œ œ Œ œ œ œ œ œ œ‰Œ ˙ ˙ ˙ œ œ œ œ œ œ≈œ R œ œ œ œ œœ‰™ œ R œœœ œ ‰ œ œ œ œœ ™ ™ ™ œ œ œ œ œ‰Œ œœœ œœœœœ œ≈œ œœ œ œ œœœ œœ ≈ œœ ‰ ‰ œ R œ≈œœ œ œœœ œ ‰ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ œœœœ œœ œ œ ≈ œ œ œ œ œ œ ™ ™ œ œ œœœ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ > œ > œ > œœ œ > œ œ > Œ œ œ œœœœœ œ œ œ œ œ œ œ ≈ ˙ ˙ ˙ Œ œ œ œ œ Œ œ œ œœœœ œ œœ œ œ œ ™ œœ œ ™ ™ ˙˙ ˙ œ œœ œœ œ œœ œ œ‰ Œ™ ≈ œR œ œ .œœ œ œœ œœœœ œ ˙ ˙ ˙ œ œ œ œ œ œ‰‰≈ œœœœœœœœœ œ œ œ J≈œ R œœœ œ œ œœœœœ œ œ œ‰ œ œ œœœ œœ œœ œœ œ œ œ œœ≈œ œœ ≈Œ œ œ œ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ œ œ œ Œ ‰ œ œ œ J œ œ œ R ≈‰‰ œ J œ R≈œœ mp mff mf ThePeanoPropositions 6

3. { { { { { 204 210 rit q=75 217 q=65 Shutupanddance e=200 224 231 VS 6 8 6 8 2 4 2 4 4 4 4 4 4 8 4 8 4 8 4 8 6 8 6 8 4 8 4 8 5 8 5 8 4 8 4 8 &bbbbb ff fff mf f mf ?bbbbb ° ∑ &bbbbb mp pmp ?bbbbb ° & ?œ &bbbbb pp p mp ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ p ppp nnnnn 43 88 + ∑ ∑ ∑ 3 ?bbbbb UC Sos ppp nnnnn fff ° secco f 3 & ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ allarpeggiosasy's ∏ ∏ ∏ ∏ ? & ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ff f v v ff v f ? œœ œœœœ œ œ œœ œ œ ™ ™ j≈‰ œ œœœœ ‰œ œœœ œ œ œ œœœ œ . œ œ œ œ œ≈ œ œ œ œ œ œ ™ J≈œœœœ œœœ œœ œœ œœ -œœ œ œœœ œœ œ œ œœ œ œœ œ™ j ≈‰ œ œœœœ‰œ œœœ œ.œ œ œ . œ œœœ œ ‰ œ œ œ≈ œ œ œ œ œ œ ™ ™ j ≈‰ ‰ Œ ‰™ œ R œœ >œ œ œ œ‰™ œ R œ œœ œœœœœ œœ œ œ œ œ œ œ ˙ ˙ ˙ œœ œœœœœ ≈ œ œœ œ -œR≈ œ œ œ œ j ≈œ œ œr œ œ œr≈œœœœ≈ œ œ R œ œ J≈œ R œœ≈ œ œ RŒ Œ ‰ œ œ j ˙ ˙ ‰ ≈œ œr≈œœ œ œ œ‰ œ œœ œ‰ œœ‰ ‰™ œr œ œ œ œ œ œœ > œ œ œ œ œœ œ -≈ œ œ ™ ™ œ œ ™ ™ œ w œœ œœ > ## œ œ œ ^ œ œ œ ^ ‰ œœœ œ œ‰ œœ œ œ w w œ œ > b b œ œ œ ^ œ œ œ ^ ‰ œ œ œ œ ≈ œ ≈ œ œ œ . œ . œ œ œ œ ≈ œ ≈ œ œœ œœ œœ œœ‰ œ œ œ > r ≈œœœœ-œ -œ œ≈ œœœ . œ œ œ œ ≈ œ ≈ œ œ œœ . œ œ œ œ ≈ œ ≈ œ œœœ . œœ‰ œ œœ œ > œœ > ≈ œ œ œ > r ≈ œ œœœœœœ œ œ œ œ > r≈ œ œ œ > r≈œœ œ œ œ œœ œ ≈ œœ œr≈œ œ œ œ v œ œ œ œ œ œœ œ œ œœ œ œ > ≈ œ œ œr≈ ‰ œ œ œœ œ œ œ œœ œœ ≈ œœ œ œ œœ œ œ œ œ œ œ œ œ > œ œ œ œ œ œ≈ œ œ > œ œ > œœ‰ œ > œ > ≈œ œ œ œ œ œ œ > œ > œ > œ œ > ≈ œ œ œ > R ≈ œ œ œ R ≈ œ œ œ œ œ œœ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ ≈ œ œ œ > œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ≈ f œ œ ThePeanoPropositions 7

˙ ˙ ˙ ˙ 4 8 { { { { { 235 VS 242 247 249 255 262 VS 4 8 4 8 4 8 4 8 4 8 4 8 3 8 3 8 & ∏ ∏ ∏ ∏ ff f ff 43 88 + mf ? fff ff f “‘ & ff mf f ff f v ? <“‘> mf ff v f & ff fff fff f ff fff f ? f f ff 8 ? Sos & mp ∏ ∏ ∏ ∏ ff “ 8 ? f f ( )f & ff v f ∏ ∏ ∏ ∏ 43 88 + f ff f ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ fff mf f ff v mf 8 ? mf v ff f ° f ff œœ œœ œœ œœ œ œœ œœ œ R≈œ œ œ œ œ œ ≈ œ œœ œ œ ^ œ œœ œ œ œœ œ œœ œ œ œ œ œ œ œ œ ˙ ˙ ˙ ˙ œ œ œ œ ™ ™ ˙ ˙ ˙ ˙ œ œ œ œ ™ ™ œ œj ≈œ œR≈œ œr≈œ œ R œ œ œ œ œ œ œœ œ ≈ œ œ œ œ œ œ œœ ≈ œ œœ œ œœ œ > œ >œ >œ œ > œ œ œœ≈œr≈œr œ œœ œ œ œœ≈œr≈œr œ . œ .œ œ œ œœ≈œr≈œr ≈œ œr≈œ œ œ œ œ œ ^ œ œ ^ œ œ œ œœ œ > ≈ œ œ œ œ œ œ≈ œ œ œr ≈œœœœ . > ≈ œ œ œ > œ œ œ‰ œ œœ œ œ œ œ ≈ œœ œ œ ^ R ≈œ œ œ œ œ œ œ œ >œ œ > œ œ œr≈ œ œ œ > r≈ œ œ œœœœ œœœ œ œ œ œ œ œ œ œœ > œ . œ œ . œ œ œœ≈œr≈œr œ œ œ œ > œ œ œ œ‰ œ œœ œ œœ≈ œ œr ≈œ œ œ œ œ œ > œ > œ œ > r ≈ œ œ > r≈ œ œ œ œ œ œ ‰ œœœœ œ œ œœœœ œœ œ œ œ œ > œœ œœ œ ^ J œœ œœ œ œœ œ œœ œœœ œ œ œ œ > œ œ œ œœ œ œœ œœ œ œ œ œœ œ œœ œ œ œ œ œr≈ œ œ œ > ™ ™ r ®œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ > œ œ œ≈ œ œœ œ œ ^ ≈œ œœRœ œ œ œœ œ œ œ œ j œ œ œœ œ œ œ > œ œ > œ œ j œ œ œ œ œ œ j œ œ œ œ≈ œ œ œ œœœ œ œ œ œ œ œ R ≈ œ œ œ ™ ™ ™ r ® œ œ œ œ œ œ œ œ œ Œ œ œ œ > œ œ œ≈œ œ œ ^ ≈ œ œ r œœ œ ^ j œ v J œ œ œ œ ™ ™ ™ ≈œœœ œ œ œ œ œ œ œ > œœ œ œ œœœ œ œ œœœœœ œœ œœœ œ˙ ˙ œ œ œœ≈ œ™ œ≈ œ ˙ œ œœ . œ œ œ œ ≈ œ™ œ≈ œ œ œ œ . œ œ œœ≈œ≈œ œ œ.œ œ œ œœ≈œ≈œ ‰ œ œ œ > œ œ œ œ œœ œœ œœ œœ œ > œ > ≈œ > ≈œœœœœ œ œ œ œ œœ œ . > œœ œ œ œœ œœ œœ œ œ >œœ≈ œ œœ œ > œ œœœœ œ œœ œ œ . œ œ . œ œ œ œ œ œœœœ œ≈œœœ œ œ ^ œ œœ œ œ œ r œ œ œ œ > œ œ œ . ^ œœ ‰ œ > œ > ≈ œ œ œ ≈ œ > œ > œ > œ > œ œ œ ^ . œ œ . > œ œ œ . œœ ‰ œœ ≈ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ > œ œ > ≈ œ œ œ œ œ œ œ œ ThePeanoPropositions 8

4 8 6 8 4 8 { { { { { 3 8 269 pocorit. e=195 275 278 pocoaccel 283 e=200 291 298 VS & fff ∏ ∏ ∏ ∏ fffmf f mf 43 88 + 8 ? ff f f mf Sos mf mp & mp mp mf mp 8 ? f mfmp mf & f 43 88 ff + fff ff f mp ff f 8 ? f fffff mf mf & mf ff ff mf f ff 8 ? Sos f ff mf & ff 8 ? f œ œ œœ œ œ ^ œ œœ œ œ œ œ œ œ œr≈ œœ œœ œ œ œœ œ œœ œœœœ œœ r‰ ≈ œ œ œ œ œ œ œ≈œr œ œœ œ œ œ ˙ ˙ ˙ œ œ œ ™ œ j ˙ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ R ≈ ‰ ≈ Œ™ œ œœ > œ œœ > œ œ œ > ≈œ œ > œ≈ Œ œ œ œ œ œ > œ œ œ œ ‰ œ J ˙ œ œœœœœ œ œœœœ > œœœœœ œ œ œ œ j ˙ ˙ œ œ œ œ œ j ˙ ˙ ˙ œ œ œœ œ ˙˙ ˙ ˙ œœ œ œœ œ ˙ ˙˙ œ œ œ œ œœœœœ œ œ œ œ œ œ œœœ > œœœ œœ œ œ œœœœœ œ œ > œ œœœœœœœœ œ œœ œ œ j ˙˙ ˙ ˙ œœ œ œ j ‰ œ œœ œ ^ œ œ œ œ ^ ≈‰œ œ œœ > œ œ œ > œ œ œ J œ œ œ R≈œ > J œ œ J œœœœœ œœœœœœ v œ œ v œ œ v R≈œ ^ œ ^ œ ^ œ ^ œ œ ^ ≈Œ œ œ œœ≈œr≈œr œr≈œR≈œR≈œœœœ≈œr≈œr œr≈ œ r≈ œ r≈ œ œ œ œ œ œœ œœ œœ r ≈ œ œr≈≈ œ œ r‰ œ œr≈ ≈ œ œr≈œ œ œ œ œ œ œr≈ œ œr≈≈ œ œr≈≈ œ œ r≈ œ œ œ œœ œ œ œ > ‰ ≈≈ œ œ r œr≈œœ≈œ œœ œ œ œ œ œ œ≈ œ œ œ œ œ œ≈œr≈œr œ œ ≈ œ œ œ œ œ œ œ œ≈œœœœœœ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ ‰ œr≈≈œr ≈ œœ œ œ œ œ œ r≈ œ œ œ œ œœœ≈ œ œ œ œœ œ œ > œ > œ œ > œ œj œ œj œ œ œ œ œ œr≈ œ œj œ œ œ œ j œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œœ≈œr≈œr œœ œ œœœ œ œ œœ≈œr≈œr œr≈œ≈œ≈ œ œ œ œ ≈œR≈œ R œ r≈ œ r≈ œ r≈ ≈ œ r ThePeanoPropositions 9

4 8 4 8 4 8 6 8 3 8 4 8 6 8 4 4 { { { { { { 305 313 320 326 333 336 & 8 ? & 3 8 ? & v fff v f § v fff f v v fff vv fv fff v v fff v 8 ? v f ( )f ff fff & ff f ? fff & ? 8 ? f v ff ? fff fff & f fff 8 ? f ff f ff fff & gliss fff 8 ? ∑ ° œ œ j œ œ > œ œ j œ œ œœ œœ œr≈ œ œr≈≈ œ œ r‰ œ œr≈ ≈ œ œr≈ œ œ œ œ œ œ œ œ œr≈≈ œ œ r‰ œ œr≈ ≈ œ œ œœœœ≈ œ œ œ œ ‰ œ œr≈ œœ œ≈ œœ œ≈ œœ œ œœœ≈œœœ œ œœ œœ≈ œ œ œ R ≈ œ œ œ œ œ œ≈œr≈œr œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ≈œr≈œr œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ≈ œ œ R œ œ œ œ œ œ ≈ œœ œ œ œ œ œ r≈ œ œ œ œ œœœ≈ œ œ œ œœœ≈œ œ œ œ œ œ œ œ œœœœ œœ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œœ≈œr≈œr œœ œ œœœ œ œ œ œ œ œœ œœœ œœœœœ œœœœœœœœœœœœœœ œ œœœ œ œ œœ œ œœœ ≈œœœœ œ œœœœœœ œœ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ ≈ œ œ r œ œr≈ œ œ œ œ > ‰ œ œr≈≈œœ œœ œ v r ≈ œ œ r œ œ > œ œ >œœ≈œ œ œ œ œœœ≈œ œ œ œœ œ ≈ œ œ œr≈œ œ œr≈œ œ œ > œ œ œ > œ œ œ > œ œ œ ^ œ œ œ ^ ≈œœœ œ œ œ œ œ œ œœœœœ œ œ > œ > r≈œ œ > ≈œ > œ œ > ≈ œ œ > R≈œœ œœ≈œ≈œœœ≈œ≈œ≈ œ œ > œ œ > œ œ ^ œ ^ œ ^ œ ^ œ œ > œ œ œ œ œ œ œ œ œ ^ œ œ œ œ œ ^ œ œ œ œ œ œ œ œ > r≈ œ œ œ ^ ≈ œ œ œ œ œ œ œ œ ^ R≈ œ œ œ œ œ œœœœ œ œ œœ œ œ œ ^ œ ^ œ œ œ ^ œ œ œ ^ œ œ œ œ ^ œ œ œ œ œ œ œ > œœœ œ > œœœ œœ œœœœœœœœœœœœ > œ > œ > œ > œ > œ œ œ > œ œ > œ œ > œ ^ œ ^ œœ œ œ ^ œ œ œ œ > œ > œ œ ^ œ ^ œ œ œœ > œ œ œ R ≈ œ œœ œ œ œ ^ ≈ œ œ œ ^ R ‰ œ œœ œ > r ≈ œ œœ œ œ œœ≈ œ œœ œ ^ R ≈ œ œ œ R ˙ ˙ œ J œ ^ r ≈ œ œ > œ > œ > œ œ > œ œ > œ œ œ œ > œ œ ^ œ œ > œ > œ œ > œ œ > œ > œ ^ œ œ œ ^ œ œ œ ^ ≈ œ R Ô œ œ œ w ˙ ˙ ˙˙ ˙˙ ˙ ˙ ˙˙ ˙˙ ˙ ™ ™ ™ œ œr≈ ‰ ≈≈ ‰ ‰ ‰ ≈≈ ‰ Œ w ˙ œ œ œ ^ R ® œ œ œ ^ œ œ œ ≈ 6 8 ThePeanoPropositions 10