Geometria Analitica-Boulos by Janilson Cordeiro

PAULO BOULOS NAN DE CAMARGO

UFPE CCEN \'i El

BIBLlOT\~>:'"

GEOMETRIA ANALiTICA um tratarnento vetorial

MAKRON Books do Brasil Editora Ltda. Sao Paulo Rua Tabapua, 1348 Itaim Bibi CEP 04533-004 (011) 829-8604 e (011) 820-6622

Rio de Janeiro. Lisboa â&#x20AC;˘ Porto. Bogota. Buenos Aires. Guatemala. Madrid. Mexico. New York. Panama. San Juan. Santiago Auckland. Hamburg. Kuala Lumpur. London. Milan. Montreal. New Delhi. Paris. Singapore. Sydney. Tokyo. Toronto

SUMARIO

PREFACIO AO ESTUDANTE

PARTE 1- VETORES INTRODUC;AO

CAP. 1.

VETORES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAP. 2.

ADI<;AO DE VETORES .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAP. 3.

MULTIPLICA<;AO DE NOMERO REAL POR VETOR .. , . , .... , . . .

CAP, 4,

SOMA DE PONTO' COM VETOR

CAP. 5.

DEPEND~NCIA E INDEPEND~NCIA LINEAR " , . , .... , ..... ,.

CAP. 6.

BASE .. " .. ,

CAP. 7.

MUDAN<;A DEBASE

CAP, 8.

ANGULO ENTRE VETORES, PRODUTO ESCALAR .,

, .. , .. " ,

,. ,

,,. ,...... ,

,. ",.

47 57 VII

Geometria Analftica: um tratamento vetor!al

- DE V3 ORIENTA<;AO

PRODUTO VETORIAL

106

DUPLO PRODUTO VETORIAL C~

::.

PRODUTO MISTO

P..\RTE 2 - GEOMETRIA ANALinCA

CAP. 13.

SISTEMA DE COORDENADAS

119

CAP. A.

ES11JDO DA RETA

126

ESTUDO DO PLANO

139

§1 §2 §3 §4

- Equacao Veto rial e Equacoes Paramerricas de urn Plano

139

- Equacao Geral

. Vetor Normal a urn Plano

- Feixe de PIanos

146 160 166

C-\P.15.

CAP. 16. POSI<;AO RELATIVA DE RETASE PLANOS §1 §2 §3 §4

CAP. 17.

. . -

Reta e reta Reta e plano Plano e plano Misceliinea de Exercicios

'. . . ..

. . . . .

PERPENDICULARISMO E ORTOGONALIDADE § 1 - Reta e reta §2 . Reta e plano

§3 - Plano e plano

CAP. 18. ANGULOS §1 §2 §3 §4

. .

...................................................................................

- Angulo entre retas

- Angulo entre reta e plano

- Angulo entre planos - Semi-espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .

170 170 175 181

186 196 196 201 205 207 207 210 212 214

Sumdrio

CAP. 19.

CAP. 20.

DISTANCIAS § 1 . Distancia de ponto a ponto §2 - Distancia de ponto a reta

. . .

219

§3 - Distancia de ponto a plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4 . Distancia entre duas retas

. .

223 226

§5 - Distancia entre ret a e plano

230

§6 - Distancia entre dais planos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

230

MUDAN<;A DE COORDENADAS § 1 - MUdan9~ de coordenadas em E 3

237 237

§2 §3

CAP. 22.

..•••••..•••••••••• •••••

Mudanca de coordenadas em E2 . 2 Aplicacao das translacoes e rotacoes de E ao estudo da equacao

Ax? + Bxy + cl + Dx + Ey + F CAP. 21/

221

242

248

CONICAS........................................ § 1 - Elipse, hiperbole, parabola (forma reduzida) Corneas (caso geral) §2

. . .

258

§3 - Classificacao das c6nicas

SUPERFICIES §1 Superficie esferica

. .

§2 - Generalidades sabre curvas e superficies §3 Superficie cilindrica

. .

§4 . Superficie cornea

319

. .

323 329

Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

343 353

§5 Superffcie de rotacao §6 - Quadricas (forma reduzida)

...... .

219

258 271 280 292 292 311 313

RESPOSTAS DOS EXERCICIOS PROPOSTOS

PARTE I

VETORES

INfRODm;AO Nesta 1~ parte, apresentamos os Vetores, que constituem uma importante ferramenta para 0 estudo da Geometria Analftica, da Ffsica, do Calculo etc. Voce encontrara aqui respostas as perguntas: "0 que e?", "Como funciona?" e "Para que serve?". 0 nosso ambiente sera 0 conjunto dos pontos do espaco tridimensional, isto e, 0 conjunto dos pontos da Geometria Euclidiana. Esse conjunto sera indicado por E 3 , e muitas vezes citado simplesmente como 0 "espaco". Voce deve sempre imaginar, como modelo intuitivo de E 3 , 0 espaco ffsico que nos cerca. Os pontos de E 3 serao indicados por letras latinas maiusculas (A, B, P, Q etc.); as retas, por letras latinas minusculas (r, s, t etc.) e os pIanos por letras gregas minusculas (1T, a, (3 etc.).

Se uma reta r contem os pontos P e Q, falaremos em "reta PQ"; 0 segmento geometrico de extremidades P e Q sera indicado por PQ. Quando urn plano contern os pontos P, Q e R (nao colineares), falaremos em "plano PQR". Serao pressupostos os resultados da Geometria Euclidiana, alguns dos quais serao utilizados livremente.

CAPiTULO 1

VETORES

No~o

Intuitiva

Existem grandezas, chamadas escalares, que sao caracterizadas por urn nurnero (e a unidade correspondente):.50 dm? de area, 4 m de comprimento, 7 kg de massa. Outras, no entanto, requerem mais do que isso. Por exemplo, para caracterizarrnos uma forca ou uma velocidade, precisamos dar a direcao, a intensidade (ou modulo) eo sentido:

Urna forca de 4 N

Uma velocidade de 5 m/s

Tais grandezas sao chamadas vetoriais. Nos exemplos acima as flechas nos dao ideia exata das grandezas mencionadas. No entanto, vamos adotar 0 seguinte ponto de vista: duas flechas de mesmo comprimento, mesma direcao, (isto e, paralelas) e mesmo sentido (veja a figura adiante) definern a mesma grandeza vetorial. Tais flechas sao ditas equipolentes. 3

Geometria Analttica: um tratamento vetorial

Urn caso da pratica que corresponde a esse ponto de vista e 0 de urn solido em translacao, Nesse caso, a grandeza velocidade de cada ponto, em cada instante,

e a rnesma.

Entao, qual das flechas (equipolentes) que dao a ve-

locidade dos pontos do solido seria escolhida como sendo a velocidade do salida nurn certo instante? Como nenhurna tern preferencia, que tal escolher todas, ou rnelhor,

conjunto de todas elas para ser chamado velocidade do solido?

Aqui esta 0 germe da nocao de vetor. Nesse caso, tal conjunto seria no instante considerado.

vetor velocidade do solido,

Formalizaeao do conceito de vetor Prirneiramente, a definicao de flecha. Flecha e, intuitivarnente, urn segmento no qual se fixou urna orientacao. E fixar urna orientacao

.~B A Defmi~o

e escolher urn sentido. No caso da figura, 0

segmen-

to orientado representado tern orientacao de A para B. Na verdade nao precisamos da flecha toda para os nossos objetivos. Bastarn os pontos A e B, e a ordern: prirneiro A e depois B. Eis a deflnlcao:

Un, segmento orientado

urn par ordenado (A, B) de pontos do espaco.

e dito

origem, B extremidade do segmento orientado. Os segmentos orientados da forma (A, A) sao ditos nulos. Observe que se A

B, (A, B)

e diferente de

(B, A).

Deflnieao 2 • Dizernos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) tern os segmentos geornetricos AB e CD tern 0 mesmo cornprimento.

mesrno cornprimento se

• Suponha (A, B) e (C, D) nao nulos. Entao dizernos que (A, B) e (C, D) tern rnesrna dire¢o se AB II CD(Oj . Nesse caso dizernos que (A, B) e (C, D) s[o paralelos. • Suponha que (A, B) e (C, D) tern rnesrna direcao. a) Se as retas AB e CD sao distintas, dizernos que (A, B) e (C, D) tern rnesrno sentido caso os segmentos AC e BD tenharn intersecso vazia, Caso (A. B) e (C, D) tern sentido contrario,

A/----- D B

n CD

* I/> ,

/':\ --A/--\

dizernos que

-, -,

c rnesmo sentido (OJ

AB // CD inclui 0 caso em que as retas suportes coincidem.

\ \ o sentido contrario

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Vetores

/) b) Se as retas AB e CD coincidem, tome (A', B tal que A' nao pertenca it reta AB e (A', B/) tenha mesrna direcao, e mesmo sentido que (A, B) (como em a)). Entao dizemos que /) (A, B) e (C, D) tern mesmo sentido se (A', B e (C, D) tern mesmo sentido. Se nao, dizeIOOS que (A, B) e (C, D) tern sentido contrario.

A----

sentido contrario

mesmo sentido

Verlfique que (A, B) e (B, A) tern mesmo comprimento, mesrna direcao e sentido contrario, sendo A oF B. Defini~o

3路

Os segmentos orientados (A, B) e (C, D) sao equipolentes, e indica-se (A, B) ,.", (C, D), se urn dos casos seguintes ocorrer: a) ambos sao nulos; b) nenhum e nulo, e tern mesmo comprimento, mesma direcao e mesmo sentido. Decorre da definicao que "equipolente a urn segmento nulo, so outro segmento nulo". Proposieao 1: A relacao de equipolencia goza das seguintes propriedades: a) (A, B) ,.", (A, B)

b) (A, B)"'" (C, D) c) (A, B) ,.", (C, D)

(reflexiva) (sirnetrica) (A, B)"'" (E, F) (transitiva)(-)

(C, D) ,.", (A, B) (C, D) ,.", (E, F)

Ornitimos a dernonstracao. No entanto, sera born que voce se convenca da validade das

assercoes, Considere agora urn segmento orientado (A, B) fixado. Chama-se classe de equipolencia de (A, B) ao conjunto de todos os segmentos orientados que sao equipolentes a (A, B) (e portanto equipo- . lentes entre si, pela propriedade transitiva). 0 proprio (A, B) e urn deles, pela propriedade reflexiva. (A, B) se diz urn representante da classe. Note que se (C, D) pertence it classe de equipolencia de (A, B) entao (A, B) pertence a classe de equipolencia de (C, D) (devido it propriedade sirnetrica) (.) Urna relacso que goza das propriedades a), b) e c) se chama

rela~tio

de equivalencia.

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

e na verdade essas duas classes coincidem, pois quem for equipolente a (C, D)

sera a (A, B) e

vice-versa (propriedade transitiva). Em outras palavras, qualquer segmento orientado pertencente a uma classe de equipolencia pode ser considerado seu representante, e cada segmento orientado e representante de uma (mica classe de equipolencia, 'Der~o4

.Um vetor e uma classe de equipolencia de segmentos orientados de E 3 • Se (A, B) e urn segmento orientado, 0 vetor correspondente (ou seja, 0 vetor cujo representante ~ (A, B» sera indicado por AB. Usam-se tambem letras latinas minusculas encimadas por uma seta . (a, b, x etc.), nao se fazendo desse modo referencia ao representante. E claro que para citarmos urn vetor basta citar (ou desenhar) urn qualquer de seus representantes, e pronto: 0 vetor estara bern determinado. 0 conjunto de todos os vetores sera indicado por V 3 .

~~~

• Chamaremos vetor nulo ao vetor cujo representante urn segmento orientado nolo. Ja comentamos que equipolente a urn segmento nulo, s6 outro segmento nulo; segue-se que todos os representantes do vetor nolo sso segrnentos com origem e extremidade coincidentes. Indica-se ~

o vetor nolo por O. -->.

• Os vetores x e y nao-nulos sao para/e/os (indica-se x II y) se urn representante ~ ~ --+--+- -+ ....... de x e paralelo a urn representante de y (e portanto a todos). Se x II y, x e y tem mesmo semkio (resp. sentido contrarto) se urn representante de x e urn representante de y tern mesma sentido (resp. sentido contrario). Consideraremos 0 vetor nolo paralelo a qualquer vetor. ~

• Chamaremos norma (ou modulo, ou comprimento) de urn vetor ao comprimento de qualquer urn de seus representantes; indica-se a norma de x por II x II. Se II x II = 1, dizemos que 0 vetor x ~ unitario, ~

Observa~

De urn modo geral, conceitos geornetricos como paralelismo, perpendicularismo, cornprimento, angulos etc., envolvendo veto res, sao definidos "pondo-se a culpa nos representantes", como foi feito acirna. Veja por exemplo a Definicao 2 do Capitulo 6. --+ AB - so diferern no sen• 0 vetor BA e chamado vetor oposto do vetor AB. e. BA tido (se A"* B), ja que seus representantes (A, B) e (B, A) tern mesma direcao, mesmo ---+ comprimento e sentido contrario, 0 vetor oposto do vetor AB e indicado tarnbem por -AB; o vetor oposto de urn vetor x e indicado por - x. ~

Urn fato que estaremos usando sempre ~ que voce podera intuir facilmente e 0 seguinte: dados urn ponto A e urn vetor v, existe urn unico segmento orientado representante de v com origem A (tente provar isso). ~

Finalizamos este paragrafo com uma recomendacao: nunca use 0 termo "vetores equipolentes", ja que a equipolencia e urna relacao entre segmentos orientados e nao entre vetores. Se os segmentos orientados (A, B) e (C, D) sao equipo/entes, entao os vetores AB e CD sao iguais (isto e, os segmentos orientados (A, B) e (C, D) pertencem amesma classe de equipolencia).

CAPITULO 2

ADI~AO DE VETORES

Vamos definir em V 3 uma operacao de adicao, que a cada par de vetores It e ~ fara corresponder

vetor soma

It +-;. Para isso,

procedemos do seguinte modo: consideramos urn represen-

tante qualquer (A, B) do vetor It e 0 representante do vetor ~ que tern origem B. Seja C a extremidade deste ultimo. Fica assim determinado 0 segmento orientado (A, C). Por definicao, 0 --+

vetor AC, cujo representante ~

segmento orientado (A, C), ~

vetor soma de u com v .

, B

A.. u

Observacoes 1.

A definicao nos diz que para determinar 0 vetor soma u + v, basta "fechar 0 triangulo", tomando 0 cuidado de escolher a origem do segundo coincidindo com a extremidade do primeiro (representante). Pode-se tarnbem adotar a "regra do paralelogramo", que consiste -+

em tomar representantes de u e v com a mesma origem A ((A, B) e (A, C) na figura 7

Geometria Analitica:um tratamento vetorial

ao lado) e construir 0 paralelogramo ABCD. 0 segmento orientado (A, D) (diagonal que contern 0 ponto A) e urn -+ -+ representante do vetor u + v, ja que ela "fecha 0 triangulo" --- = -+ ABD e BD v.

A escolha do representante (A, B) do vetor u e arbitraria, mas isso nao influi na deter....... ....... " -+minacao de u + v. De fato, se escolhermos outro representante (A, B) para u e consequenternente outro representante (B', C') para -; teremos (A', B') - (A, B), (B', C') - (B, C) e daf segue que (A', C') - (A, C) (convenca-se disso; por exemplo, na situaylio ilustrada na pemiltima figura, os triangulos ABC e A'B'C' sao congruentes - por que") sao muito importantes as propriedades que enunciamos a seguir; elas constituem as primeiras "regras" do calculo com vetores. Nlio faremos dernonstracoes, mas as figuras seguintes sao elucidativas.

AI)

PROPRIEDADE ASSOCIATIVA

w路 -+

(u + v) + w = u + (v + w), A2)

-+-+-+

u, v, w E Y

PROPRIEDADE COMUfATIVA ..........................................

=v + u

u +v

V u, v E y 3

A3) ELEMENfO NEUfRO -+

v l: E

= u,

u +0

(lembre-se que todo representante do vetor nulo tern origem e extremidade coincidentes). Assim, ....... U

--...

----+-

--+-

AB + BB = AB

.......

A4) EUMENTO OPOSTO -+

Dado urn vetor u qualquer, existe urn vetor que somado a u da como resultado o vetor nulo: trata-se do vetor oposto de It, que se indica por -It. .......

.......

u + (- u)

----+

AB + BA

-----+-

AA = 0

____________________________

â&#x20AC;˘ u

Adi~jjode

Vetores

â&#x20AC;˘

-uâ&#x20AC;˘ -+

Esta propriedade nos permite definir subtracao de vetores: u - v -+ -+ soma do Vietor u com 0 Vietor oposto do Vietor VI. -+

e por

definicao a

-+ -+

u-v=u+(-v),

Vu,vEy3

Observa~o

Escolhidos os representantes (A, B) e (A, C) de u e VI, e construido 0 paralelogramo -+ -+ ABCD (flgura) 0 Vietor u - v tera como representante 0 segmento orientado (C, B), pois - = -v, -+ e CD = u ,+ DB CD +DB =CB. Assim, as diagonais do paralelogramo representam a -+ -+ soma e a diferenca entre u e v.

.. :~. CUD

-v

Exercfcio resolvido Prove as "leis do cancelamento" da adicao: -+

= -+u

-u + v

+ w => v -+

x+z=y+z

=>x=y

Resolu~o

Provaremos a primeira; a segunda se reduz

a primeira devido a propriedade comutativa A2. -+

Somando aos dois mernbros da igualdade u + v = u + w obtemos: -+

(-u)+(u"" v) = (-u)+(u +w); pela associativa (AI) temos -+

(-u+u)+v = (-u+u)+w; pela propriedade A4 resulta -+

O+v=O+w

vetor oposto do vetor u,

Geometrta A1Illlftica: um tratamento vetorial

ou, pela comutativa, -+

v r

=w+O;

e, finalmente, pela propriedade A3, -+ v

-+ = w.

EXERCicIOS PROPOSTOS 1.

Prove que -+

u+v=w

-+-+

~u=w-v

Dados representantes dos vetores u e v conforme a figura, ache urn representante de x tal que -+

-+'

u+v+x=O

-+,

Justifique a seguinte regra. Para calcular x = u + v + W, tome urn representante (A, B) -+

-+-+

de u, urn representante (B, C) de v, urn representante (C, D) de w. Entao x tern como representante (A, D). (Intuitivamente falando, "fecha-se 0 poligono".) Raciocinando por indueao finita, pode-se generalizar essa regra para n parcelas. 4.

(a)

Ache a soma dos vetores indicados na figura, nos casos:

o (b)

A----......iI

A----....

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___'_-:-_ _ Adifilode YetoNs

(c)

E~-.........~

B (CUBOS)

(e)

(f)

A----_.,yB

-~.D

(PARALE LEPIl>E DO)

(HEXAGONOS REGULARES)

(h)

(g)

/ / /

\ \ \

CAPITULO 3

MULTIPLICA«;AO DE NUMERO REAL POR VETOR

Vamos definir uma operacao "externa" em -+ associa urn vetor indicado por a v tal que: -+

v»,

que a cada numero real a e a cada vetor v

-+-+

• Se a = 0 ou v = 0, entao a v = 0 (por definieao) -+

• Se a :1= 0 e v :1= 0, a v -+

e caracterizado por

a)avllv

b) a v e v tern mesmo sentido se a -+

e sentido contrario se a

c) II a v II = I a I II v II.

Vejarnos quais sao as propriedades da multiplicacao de mimero por vetor; aqui, como nas propriedades da adicao, omitiremos as demonstracoes (isso nao 0 isenta da obrigacao de entender e intuir as propriedades; faca figuras!). -+

-+ -+

Ml) a(u+v) =au +av, VaER, VU,vEy 3

(observe a semelhanca dos triangulos da figura seguinte). 12

â&#x20AC;˘

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Multiplicarao de Numero Real po, Veto'

(a >0)

(a <0) .

M2) (a

+ (j) v -+

= av

= v,

M3J 1. v

M4) aWv)

+ (j v,

V a,~[./EIR,

Y-+v Ey3

Yv Ey3 -+

= (a{j)v = (j(av),

Ya,{jER,

Y v Ey3

Observa~oes

1. As quatro propriedades da adi9lio e as quatro propriedades da multiplicacao de numero por vetor conferem a y3 0 que se chama uma estrutura de "espaco vetorial". 0 nome "espaco vetorial" se inspira, naturalmente, nos vetores, e pode ser entendido como "espaco cujo comportamento algebrico e identico ao do espaco y3", ou seja, espaeo onde valem as propriedades AI, A2, A3, A4, MI, M2, M3, M4. Os espacos vetoriais sio estudados na Algebra linear. 2.

E comum usar-se 0 termo escalar para designar numero real, em contraposicao a vetor. A opera900 definida neste paragrafo e, pois, a multiplicaciio de vetor por escalar (nao confunda com produto escalar, que sera definido mais adiante),

3. Como as oito propriedades AI, A2, A3, A4, Ml, M2, M3, M4 silo validas tambem para a adicao e para a multiplicacao de numeros reais, 0 calculo com vetores (pelo menos no que tange as duas operacoes defmidas ate agora) segue os mesmos principios - as mesmas regras - que 0 ,-+

-+ -+

caleulo algebrico elemental. Por exemplo, somando aos dois membros da igualdade a + b o vetor oposto do vetor lr, e aplicando as propriedades AI. A4, A2, e A3, chegamos a -+

-+-+

.b=c-a

Logo, vale para os veto res a conhecida regra "pode-se transpor urn termo de urn membro para outro de urna igualdade, desde que se lhe troque 0 sinal".

4. Se a EIRe

-+ vE

y3 ,com a ~ -r- 0"

-+ -V

izniflca - 1-+ Slgm v.

Geometric Analitica: um tratamento vetorial

sxsacmos RESOLVIDOS 1.

Prove as Regras de Sinais: -+

a) (-a) v

- (a v),

b)a(-v)

-(av), -+

c) (-a)(-v)

o v,

O'ER

O'ER,

0' E IR,

-:EV3

Resolueao a)

Devemos provar que (-0') V e

vetor oposto do vetor 0' v; para isso, pela definicao de

vetor oposto, e suficiente mostrar que a soma (-0') v + 0' V eo vetor nulo. Vejamos: -+

-+ M2

-+ def. -+

(-0') V + 0' V = (-0' + 0') V = 0 v

Devemos mostrar que

0 como queriamos. -+

Mas: -+ Ml

a(-v)+O'v c)

-+ def.-+

= 0

= O'(-v +v) = 0'0

Usaremos as partes a) e b): -+

(-O')(-v) = - [O'(-v)] = - [-(a v)] = O'V

(explique voce mesmo a ultima passagem; lembre-se da definicao de vetor oposto).

-+-+.

Prove que se 0' v = {3 v e se v

-=1=

0, entao 0' = {3.

Resolueso ----+-

.....

av={3v

O'v-{3v=O

0' V + (-{3) v

Como por hip6tese -: -=1=

(.)

def.

-+-+-+

-+-+

O'V +(-({3v))=O M2 ~

(0' - (3) v = 0

0, temos (exercicio I adiante) que 0' -

Exerclcio Resolvido Ia),

O'(-v) + 0' V = 0 para concluir que O'(-v) eo oposto de a v.

= 0 ou seja 0' = (3.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Multiplicafiio de Namero Real par Vetor

EXERciaos PROPOSTOS -+

Prove que a v

Prove que se a u

= a -+v

Prove que (-1) v = - v .

Prove que 2 v

Se (A, B) que:

e urn

a =0

= O. -+

e se a*" 0, entao u

= -+v.

+ v. -+

representante de u *" 0, e (C, D) urn representante de v*"o, prove

AB / / CD ==> existe AE R tal que u = Av . (Este resultado e importantissimo e sera muito util; trata-se de uma "traducao" algebrica -+ -+ muito simples, u =. Av , de urn fato geometrico muito importante, 0 paralelismo. E exatamente isto que se pretende na Geometria Analitica.)

Reselva a equacao na incognita x: 2x - 3u

Resolva 0 sistema nas incognitas x e y :

....

x + 2y

3; -

= I

.... y

10 (x + v)

-+ U

2u + v

Seja v*" O. Mostre que

II~II

e urn vetor unitario (chamado

versor de v).

CAPiTULO 4

SOMA DE PONTO COM VETOR

--+

Como ja comentamos no final do Capitulo 1, dados urn ponto P e urn vetor v, existe --+ urn unico segmento orientado (P, Q) representante de v . Isso nos permite definir uma ope--+ ra~ao que a cada ponto P E E 3 e a cada vetor v E y3 associa urn unico ponto Q de E 3 , . indio --+ '--+ caClo por P + v , e chamado soma de P com v. Assim, Q

v P E E3 , V-: E

y3 :

P + -:

<==

PO =-:

---+

P+PQ=Q

donde

(1)

p --+

Usaremos a notacao P - v para indicar a soma do ponto P com --+

--+

vetor oposto do vetor v:

--+

P-v=P+(-v) --+

Intuitivamente, podemos encarar P + v como --+ laij:3o essa detettninada pelo vetor v.

resultado de uma translacao do ponto P, trans-

Vejarnos algumas propriedades dessa operacao:

---+

--+

~ uma consequericia imediata da definicao, pois PP = 0

n. 16

.....

P+ u = P+ v

.....

= v

--+

~ P + 0 = P.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Soma de Ponto com Vetor

---+

De fato: seja Q = P + U = P + v. Entao, da definicso decorre que PQ = u e PQ = v . -+ -+ Logo u = v . Note que esta propriedade permite urn "cancelamento" de P na igualdade -+

P+u = P+v. P3.

-+ -+

(P+u)+v=P+(u+v)

Vu,vEy3

VPEE 3

Demonstraeao -+

Sejam(vejaafiguraaolado) A = P+u e B=A+v (logo, B=(P+u)+v). Entao,da ---+ -+ ---+-+ definicao decorre que PA = u e AB = v . Somando, temos A ---+ ---+ -+ -+ -+ ---+ ---+ ---+ -+ -+ PA + AB = u + v e como PA + AB = PB , vern PB = u + v . p

Novamente pela deflnicao de soma de ponto com vetor, conclui-+ -+ -+ -+ -+ -+ mos que B=P+(u +v) e que portanto (P+u)+v=P+(u+v).

,/\..

~B u+v

P4.

A +v

=B + v

=> A

=B -+

-+-+

(Agora se trata de urn "cancelamento" de v). De fato, A + v = B + v => (A + v) - v = -+ -+ P3 -+ -+ -+ -+ -+ -+ PI (B + v) - v => A + (v - v ) = B ,..(v , - v) => A + 0 = B + 0 => A = B. P5.

(P - v ) + v = P Decorre diretamente de P3 e de PI: -+

-+ P3

-+ PI

(P - v ) + v = [P + (- v )] + v = P + [- v + v ] = P + 0

= P

Observaeao -+

Se 0 segmento orientado (A, B) e urn representante do vetor x , e usual representar esse vetor por AB, ou tarnbern par B - A. Esta ultima e chamada notacao de Grassmann (nao se trata, a rigor, de subtrair pontos, mas sim de uma notacao sugestiva: ja que 0 ponto B e a soma do -+ ---+ -+ ponto A COm 0 vetor x (pois AB = x), 0 vetor x seria a "diferenca" entre Be A).

EXERCICIOS RESOLVIDOS

---+

Mostre que AB - AC = CB

Resolueao

C. -+

---+

Lembrando que por definicao de adicao de vetores CA + AB = CB ---+ ---+ e que CA = - AC obtemos 0 resultado

~'~B

ee-rrir AJ.l{tial: 11m tnltmrrmto vetorial

.... S. P sao pontos medics de AB, BC e CA respectivamente. Exprima ~ -+ ... "-'" . o.t em fun~ao de AB e AC. !'Q fipKa. --+

----+

A~8

~ --+ - • BP = AP + BA

Precisamos fazer aparecer AC. Ai usamos --+

2AP

fato de P ser ponto medic:

= AC

Entao, levando na primeira relacao acima, vern: --+ I --+ --+ BP = - AC -AB 2

(0)

-- -- -

• Quanto a AN: AN =BN + AB

----~ 2BN = BC = AC + BA ~

AN =

1--- ~ 1- I - '2 (AC + BA) + AB = '2 AC - '2 AB + AB

-1--+ I AN = .2 AC + 2" AB

(13)

• Flea a seu cargo provar que --+ I~ eM z:: -AC +-AB

(y)

Na figura ao lado, damos uma ilustracao de (13). Faca voce uma de (0) e uma de (y).

V:~B ~/2

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Soma de Ponto com Vetor

Obsena~oes

(a) Eis urn outro modo de resolver 0 problema:

--- ---

Parta de 2AP = AC e faca aparecer B: 2(BP + AB) = AC

-- ---1----

~ + 2 AB = AC :. BP ="2 AC - AB Dai 2 BP (b)

Nlio va conc1uir de ((3) que a medida de AN

a semi-soma das medidas de AB e

- II Ac! Sendo A, B, C vertices de urn triangulo, vale II AN

1 II -AB II + Til l"2 AC II

(por que?) (c)

Verifique que (Q), ({3) e (r) valem, mesmo que A, B e C sejam colineares.

Na flgura, a medida de AX e CB.

metade da medida de XB. Exprima ~ CX em funcao de CA

Resolu~o

---1-

Podemos escrever AX =

'2 XB

----+----+

(Cuidado: AX e XB tern

--enganar-se escrevendo por exemplo AX

= 21----+ BX,

-CX - CA --- =1 --CB - -1--CX

--- + -1 CX --- =1 --CX CB + CA

3 - 1------CX =-CB +CA

----+

1---

2---

CX =3 CB +3 CA .

mesmo sentido! ~ comum

que esta errado, pois os vetores do 19 e

2Qmembros tern sentido contrario.) Fazendo "aparecer" C resulta: --- - CA --- = "2 1 (CB --- - CX CX)

'----+--+-_~

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Prove que as diagonais de urn paralelogramo tern

mesmo ponto medic,

Resolueao

o- - - - ;

Considere

paralelogramo ABCD, de diagonais

AC e DB. Seja M 0 ponto medic de AC. Vamos provar que M e tambem ponto medic de BD. Ora, ---+

----+

---+

----+

------_J

----+

BM = BC + CM = AD + MA = MD. Logo, M e ponto

medio de BD. 5. Prove que

segmento que une os pontos medics de dois lados de urn triangulo

e paralelo ao

terceiro lado e tern por medida a metade da medida deste lado.

Resol~o

Seja 0 triangulo ABC, e sejam MeN os pontos medics de AC e BC, respectivamente.

A afirmacao feita equivale a provar.

...l

L..-

a seguinte ---+

Podemos escrever

---+

relacao: MN

2MC

2 CN

--+ CB

---+ + CN) --+ = AC Somando membra a membra, resulta 2(MC + CB

---+ = ~MN

AB (par que"] a qual passaremos

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Soma de Ponto com Vetor

Prove que se as pontos medias dos lados de urn quadrilatero sao vertices de urn segundo quadrilatero, este e urn paralelogramo.

Resolucao

Seja ABCD a quadrilatero, e, M, N, P, Q os quatra pontos medias de seus lados. Para provarmos a asser---+

~o,

---+

basta pravarmos que MN = PQ (pais se urn quadrilatero tern dois lados opostos paralelos e congruentes, ele e urn paralelogramo).

Pelo exercicio anterior, considerando mesmo modo, considerando

---+

I -+

6. ADC, podemos escrever MN =2" AC.

6. ACB, PQ-

=2"1---+ AC.

Dessas duas expressoes resulta

---+ = PQ, MN como queriamos.

Prove que num triangulo as retas suportes de duas medianas se encontram nurn unico ponto.

Resolueao

Com a notacao do Exercicio Resolvido. '2, vamos provar a afirmacao provando que AN e nao sao paralelos. Se fossem, haveria A E IR tal que = A

AN.

Usando as expressoes (a) e (13) do Exercfcio Resolvido n<? 2 vern

I--A-+A-AC - AB =-AC +-AB 222 donde

.!....:..iAt =(l +~) AB 2 2 I--+Nao pode suceder A = I, senao seria (I + "2 ) AB = 0, logo B = A. Entao A"* I, e

+l ~-AB;

logo AC e AB seriam paralelos,

que

e absurdo.

dai

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

~J. figura se representa urn paralelepipedo -

ABCOEFGH.

~~----+-~

Sendo

----*

= AB,

----*

v = AD ,

~~~

• = A.L exprima AG, EC , HB ,OF em funcao de u, v , w .

Resolueao ~

• AG

----+-

= CG

---.~~

----+-

+ BC + AB. = w + v + u ~

=u + v + w

(interpretacao: em termos vetoriais, "a diagonal de urn paralelepipedo

e a soma de suas

arestas"). ~

• EC ~

• HB

----+

----+-

----+

----+-

= BC + AB + EA = v + u - w ----+

= AB + OA + HO = u - v - w

Da mesma forma chega-se a ~

• OF

=u - v + w

EXERcicIOS PROPOSTOS

---+

Dados quatro pontos A, B, C e X tais que AX ----. e CB (e m).

---+

= mXB,

--+

exprima CX em funcao de CA

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Soma de Ponto com Veto,

.' .~

- --

Sugestio. Na rela~lo AX = mXB faea apareeer C em ambos os membros.

A------.JL-_....3IB

---=:;r

~ dado urn triangulo ABC e os pontos X, Y, Z tais que

AX = mXi

--+- = pZA. - - Exprima CX, AY, Bz em funcao de CA e CB (e rn, n, p). CZ

-- -

- --

Num triingulo ABC ~ dado X sobre AB tal que II AX \I = 2 II XB II e

edado

BY=nYC

Y sabre BC

tal que II BY II = 3 II YC II. Mostre que as retas CX e AY se eortam.

- -

Sugestio: Use CX = 4.

exercicio anterior, aehando qual deve ser m equal deve ser n. Suponha

AYe ehegue a urn absurdo.

--- - -

Nurn triingulo ABC, sejam X a Intersecao do lado AB eom a bissetriz interna do angulo

'" e, supondo II CA II *- II CB II, Y a intersecao da ret a AB eom uma das bissetrizes ACB, externas do angulo ACB(-).

CA CB CA CB _ _ + --:::::+ e -==;- - ---:::::;- sao respeetivamente paralelos a CX \I CA \I \I CB II \I CA II II CB II

as vetores

e CY. De urna explicacao geometries para iS8O. No Capitulo 8 (Exercicio 3) voce dara uma prova analitiea.

Proveque

, '/ e)

II~II = II~II e II~II'= \I~II II AX \I

II BX II

--- -

\I AY /I

II BY

II'

...

Exprima CX, CY, X e Y

em funcao de A, CA e CB.

L-_--J,

5. Sendo CX a altura do MBC relativa ao vertice --+-

--+--+

C, exprima CX e X em funyio de A, CA e CB. '" e B '" nio sao retos, vale Sugestio. SeA --+

= II AX II tg A = II BX II tg B. ConcIua dai que A~

"-Jo

AA.

(tg A) AX = (tg B) XB, quer A e B sejarn agudos, quer urn deles seja obtuso. -+

(*) Existe Y

se II CA II

/I CB II.

~ It!

A~B X

Geometrie Arw1{tiaI: 11m trrIttmU!1lto vetoriDl

Prove que as medianas de urn triangulo se encontram nwn mesmo ponto, que divide cada uma na ruJo 2: I a partir do vertice correspondente. s.pstio: Usando

Exercicio Resolvido n9 7: seja G 0 ponto comurn as retas AN e BP, e H 0 ponto comurn as retas AN e CM. Existem ~, p., Q e {3 tais que --+0 -+ --+--+ G = A + ~ AN = B + u BP e H = C + Q CM = A + {3 AN. Calcule ~,p., Q e {3. 0

Prove que as alturas de urn triangulo se encontram nurn mesmo ponto. Idem para as bissetrizes intemas.

Demonstre que 0 segmento que une os pontos medics dos lados nao-paralelos de urn trapezio e paralelo as bases, e sua medida e a semi-soma das medidas das bases. (Atencao:

niio e suficiente provar que

mas issoajuda bastante.)

Demonstre que 0 segmento que une os pontos medics das diagonais de urn trapezio e paralelo as bases, e sua medida e a semi-diferenca das medidas das bases. (Atenlj:3o: niio

e suficiente

provar que

MN = ~ (AD - DC),

10.

MN = ~ (AD + DC\

mas isso ajuda bastante.)

j;K~ .

Num triangulo ABC, sejam M, N, P, os pontos medios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. Mostre que ----+

----+-

AN + BP + CM

Sugestjo: Exercicio Resolvido n9 2. II.

Dado urn triangulo qualquer, mostre que existe outro com lados paralelos e congruentes as medianas do primeiro.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ S01TUl

de Ponto com Vetor

Sugestio: Tome urn ponto 0 qualquer e considere os pontos X = 0 + ---+ e Z = Y + CM. Mostre que Z = 0 e que 0, X, Y nao sao colineares. 12.

AN,

Y=X+

Sendo ABCDEF urn hexagono regular de centro 0, prove que ------+--+

AB + AC + AD + AE + AF = 6 AO .

-----

13. Seja OABC urn tetraedro, X

0 ponto da reta BC definido por OX e AX em funyao de OA, OB, OC.

roBe.

BX =

Exprima

14.

Seja OABC umtetraedro, X 0 ponto de encontro das medianas do triangulo ABC (baricentro). Exprima OX em tennos de OA, OB, OC .

15.

Sejam A, B, C, D pontos quaisquer, M 0 ponto medic de AC eN ---+ x-+ em fun~o de ---+ MN, sendo -+ x = AB + AD + CB + --+ CD.

16.

de BD. Exprima

Seja ABCD urn quadrilatero, e 0 urn ponto qualquer. Seja P 0 ponto medio do seg. mento que une os pontos medics das diagonais AC e BD. Prove que P = 0 +

17.

1----

4" (OA

+ OB + OC + OD)

Dados 0, A, B, C, ache G tal que GA + GB +GC = -+ 0 em -+ = OB, c = OC.

+ de 0, a = OA,

fun~ao

-+ b

,18.

Sejam A, B e C tres pontos quaisquer, A,* B. Prove que:

X e urn ponto da reta AB -

---+ com Q + (j = 1. CX = QCA + (j CB,

Sugestio: Exercicio 1.

19.

Nas condicoes do Exercicio 18, prove que: X e urn ponto do segmento AB Q+(j=1.

20.

---

CX = QCA + (jCB, com Q

0, (j

0, e

Sejam A, Be C vertices de urn triangulo. Prove que: X e urn ponto interior ao triangulo --+ ---+ -ABC se e somente se CX = QCA + (j CB, com Q > 0, (j > 0, e Q+ {3 < 1 (urn ponto e interior a urn triangulo se for interior a algurna ceviana dele).

Geometria A1II1Uta:11m tratamento vetonal

21.

Na figura, a distancia de M a A e 0 dobro da distancia de M a B, e a medida de AN e a terca parte da medida de CN. Exprima X em

---+ e AC. -fun\30 de A, AB

22.

-----+ -+-+.

triangulo ABC, e sejam CA = u, CB = v, e w = u - 2v. Calcule a real

Considere

para que

ponto X =C + a w pertenca a reta AB.

CAPiTULO 5 I

DEPENDÂŁNCIA E INDEPENDÂŁNCIA LINEAR

Urn conceito fundamental para tudo 0 que vira a seguir e 0 ~e dependencia linear de vetores. Yeremos em primeiro lugar a conceituacao geornetrica, para em seguida caracteriza-la algebricamente. -+

Inicialmente, fixemos a seguinte linguagem: urn vetor u diz-se paralelo a uma reta r (a urn -+ plano 11') se existir urn representante (A, B) de u tal que 0 segmento AB esteja contido eI? r (em 11'). Em particular, 0 vetor nulo e paralelo a qualquer reta e a qualquer plano. B claro que dois vetores paralelos a uma mesma reta sao paralelos; mas cuidado: dois vetores paralelos a urn mesmo plano podem nao slfr paralelos! A conceituacao geometrica da dependencia linear sera feita por etapas, conforme a quantidade de vetores envolvidos. Definicao 1 -+

1- Uma sequencia (v) de urn unico vetor v E y 3 e linearmente dependente (LD) se -+ -+ -+ -+ -+ ----v = o. Se v =1= 0, a sequencia (v) e linearmente independente (LI). II - Uma sequencia (~, -;) de vetores de y 3 e lineannente dependente (LD) se ~ e -; -+ -+ sao paralelos a uma mesma reta. Caso contrario, (u, v) e linearmente independente (LI). ~~~

~~~

III - Uma sequencia (u, v , w) de vetores de y3 e lineannente dependente (LD) se u, v, w -+ -+ -+ forem paralelos a urn mesmo plano. Caso contrario, (u, v, w) e linearmente independente (LI). 27

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

IV - Qualquer sequencia de vetores com quatro ou mais elementos e linearmente dependente (to) por definicao.

Conforme ficou bern explicito na definicao, dependencia e independencia linear sao qualidades inerentes a sequencia de vetores, e nao aos pr6prios veto res. Apesar disso, e ~ ~ ~~ ~ . comum dizer-se: "os vetores u e v sao LI", ou "os vetores u , v e w sao LO". E claro que 0 significado e: "0 par ordenado (u , v) e LI", ou, respectivamente, "a tripla orde~

~~~

nada (u, v , w) e LO". Evite, portanto, 0 seguinte erro de raciocinio: se 0 vetor u e LI e 0 vetor v e LI, entao os vetores u e v sao LI. Isso nem sempre e verdade, como por ~

exemplo no caso da figura, onde (u) e LI, "+ ~ ~ ~ ~ ~~ pois u *0, (v) e LI, pois v *0, mas (u, v) e LO (por que")

u r----------------~

s - - - - ---------_ (r / / s)

Se uma sequencia

vn )

(VI, V2, ...

e LO [LI], qualquer permutacao dessa sequencia tambern e

LO [LI]. 3.

Se urn dos vetores da sequencia

e nulo, essa sequencia e LO.

Verifique voce mesmo.

C.-\RACfERIZA(AO ALGEBRICA DA DEPEND£NCIA E DA INDEPEND£NCIA LINEAR )

Sejam VI' V2, ... Vn vetores de V (n ~ 1) e aI, a2, ..., an nurneros reais. Charna-se ~'"'.o inartio linear dos vetores v1> v2 , '" vn (com coeficientes a I , a2 , ... an) ao vetor ~

u = a l VI

Se U vetores

+ a2

+ ... + an v n ~

cornbinacao linear dos vetores . v n.

diz-se tambem que u

e gerado

pelos

Obse=-.':: agora que 0 vetor nulo e gerado por VI, V2, ... vn ' quaisquer que sejam estes vetores. De f31·0. sernpre e possivel escolher al = a2 = ... = an = 0, e terernos

(1)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Dependincill e Indeperuil"ciJl LiMB

Ora, dira voce, assim nao tern graca!

e claro que escolhendo todos os coeficientes iguais a zero,

a combinacao linear resultara no vetor nulo! Concordo. Sera que haveria, porem, outra combina-+-+

~llo

linear de VI' V2, ..., .vn (isto e, em que os coeficientes NAO sejam todos nulos) que seja -+ tambern igual aO? Conforrne verernos rnais adiante (Proposieio 2), isso depende exclusivamente -+

de ser LI au LO a sequencia (VI, V2''''' vn) . Antes, verernos urna primeira relacao entre dependencia linear e combinacoes lineares. Proposi~io

1 -+

Urna sequencia (VI, V2' ,.. , Vn) (n ;;> 2) e LO se e sornente se algurn vetor da sequencia for gerado pelos dernais. Demonstraeao Analisaremos separadarnente cada urn dos casos (II), (III) e (IV) da

Oefini~o

-+ -+

Caso (II)

a) Suponhamos (u, v) LO. Se urn dos dois vetores e nulo, ele e gerado pelo outro;

'* 0

......"""iI-

suponhamos entao u -+

'* O.

............

e V

Da hip6tese, concluirnos que existern representantes . -+

UvU

(A, B) de u e (A, C) de v tais que A, Be C sao colineares, A,* B e A,* C. Seja Q = ~. -+

- + .

Uu "

Se u e v tern rnesrno sentido, ternos v = Que se tern sentido contrario, v = (-Q) U. Logo -+

e gerado par

-+(+)

: Compare com

Exercicio 5 do Capitulo 3. -+

b) Reciprocamente, suponha que v = Que que nenhurn dos dois vetores e nulo (caso -+

em que nao haveria nada a dernonstrar). Seja (A, B) urn representante de u. Da definicao de -+ multiplicacao de vetor por escalar, concluirnos que 0 representante de v com origem A tern sua extremidade C na ret a que passa por A e B. Logo, A, B e C saocolineareseissoquerdizerque -+ -+

(u,v)eLO. -+-+ -+

-+-+

Caso (III) a) Suponhamos (u, v, w) LO. Se 0 par (u, v) for LO, terernos pelo que ja fOI pro-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ vado (caso (II» que u = Q V (ou V = (j u). Nesse caso, u = Q V + Ow (ou v = (j u + Ow) -+-+ . e est a dernonstrada a afirrnacao. Se, por outro lado; (u , v) e LI, fazernos a seguinte construcao -+ -+ -+ . geometrica: tornarnos urn ponto P E £3 e os representantes (P, A), (P, B) e (P, C) de u , v e w . -+-+.L respectivamente; P, B e A nao sao colineares, po is (u , v) e LI. Pelo punto C tornamos retas A paralelas a PB ePA, deterrninando assim os pontos -+ --+ .. MeN (figura). Entao, (u , PM) e LO, epelo que Ja - = Q -+ foi provado (caso II) ternos PM u . Da rnesma --+ -+ -+ ---+ --+ p~----..... forma, PN = (j v. Notanda agora que w = PM + PN, -+ -+ -+ ternos w = Q U + (j v» Observe que os argurnentos -+ -+ acima valern tambern para os casas em que w // u au 8 ; // -;; apenas a figura seria diferente. Pense nisso. .......

(+)

Note que no caso u Q

'* -+

0 e portanto de v

......

...................

0 e v -+

=Q u

0 nao sO u -+

segue u

1-+

egerado por

......

v , mas tambem v

egerado por

u , pois

Gf!ometrlll ANllitiCll: urn tratarnento lIetoriDI

b) Reciprocamente, suponha que w. por exernplo, e gerado por u e v , w = a u + (j v , e ~ nenhum dos tres vetores l! nulo (pois nesse caso nao ha 0 que demonstrar). Sejarn (P, A), -+-+ -+ Ill', B) e (P, C) representantes de u, v e w, respectivamente. Se P, A e B ~o colineares, ~ claro -+ -+ -+ que os quatro pontos estao num mesrno plano e portanto (u, v , w) e LD. Se, ao contrario, ~ -+ --+ -+ P, A e B deterrninam urn plano, sendo PM = au e PN = (j v (veja a figura) temos que M N pertence a reta PA. N pertence a reta PB, e portanto 0 parale_ _ C logramo PMCN esta contido no plano determinado por P, A e B. /~=---~./"7' Concluimos que os pontos p. A, Be C sao coplanares e portanto P ./ -+-+-+ ____ ./ (u , v, w) ~ LD.

~so !IV) N~te caso, precisamos provar apenas que se n :> 4, entao urn dos vetores dl! sequencia (VI, V2, .... vn) l! gerado pelos demais (a reciproca e automaticamente verdadeira, pois para . -+-+-+ n :> 4 a seqii~cia e LD por definieao). Se (VI' V2,V3) ~ LD. entao, pelo que j4 vimos, urn deles (por exernplo, VI) e gerado pelos outros dois: -+

VI = a2v2 + a3v3'

Segue-se que -+

VI = a2 v2 + a2 V3 + 0 V" + ... + 0 vn

e portanto VI e gerado pelos vetores v2â&#x20AC;˘ V3 ...., vn. Suponhamos agora que (VI. V2. V3) eLI e facamos a seguinte construcao geornetrica: sejam (P. A), (P, B), (P, C) e (P, D) respectiva-+ -+ -+ -+ mente representantes de VI. V2, V3 e V". Pelo ponto D. tomamos urna reta para lela a pe,/que encontra 0 plano PAB no ponto M (por que essa reta nio pode ser paralela ao plano PAB?). Pelo ponto M. tornamos retas paralelas a PA e PB. determinando assim os pontos N e Q (ver figura). Finalmente, pelo ponto D tomamos urn plano paralelo ao plano PAB, que intercepta a reta PC num ponto '-----~ 0 R (por que esse plano nao pode ser paralelo a PC?). -

----+

E claro que PN + PO + PR Por outro lado --+ ~

Pl.tt::.~--. .~-.

(PA,PN)e LD --+ --+

----+

= alPA = aiv-+i ~

e LD

(PC,PR)e LD

PR = a3PC = a3v3

(PB,PQ) --+

= V4'

--+

= a2PB = a 2v2

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Dependencia e IndependenciaLinear

Logo, V4 = al VI + a2V2,+ a3v3 e portanto, V4 = al VI + a2v2 + a3v3 + 0 Vs + ... + 0 vn' isto e, -+ V4 e gerado pelos demais vetores da sequencia. Note que os argumentos acima valem tarnbem para os casos em que D pertence a uma das retas PA, PB, PC, ou a urn dos pIanos PAB, PAC, PBC. Pense nisso e faca novas figuras. Fica assim demonstrada a Proposicao 1. -+ -+

Corollirio 1 (u, v)

e LD -=

existe a real tal que u = a V ou existe {3 real tal V = {3 u. -+-+ -+ 1 Alern disso, se u e V sao diferentes de 0, existem ambos, a 0, {3 0, e a = If .

u:..: Corolano 2 Se ( --+--+)' u, veLI e (-+ u, -+-+ v, w )j e Ll), entao -+ w e combinacao linear de-+ u e -+ v, isto e,, existem -+ -+ -+ escalares a e {3 tais que w = au + {3 v (e 0 que foi demonstrado no Caso (111)). Na realidade, como se vera nos exercfcios resolvidos, existe urn unico par de coeficientes a e {3 nessas

condicoes. -+-+ -+

Colorado 3 Se (u, v, w) e LI, entao todo vetor x E -+ para todo x Ey3, existem ex, (3, -yEIR tais que

-+ v'. e gerado por -+-+ u, v e w. Isso quer dizer que

x= au+{3v+rw

(veremos logo mais, nos Exercfcios Resolvidos, que essa tripla ordenada (a, (3, r) de escalares

deterrninada de modo unico). A proposicao seguinte responde

a pergunta a respeito -+

de ser ou nlio ser possivel obter 0 vetor

nulo como combinacao linear dos vetores VI, V2, ..., Vn sem lancar mao do "golpe baixo" de tomar todos os escalares iguais a zero. ,

-+-+-+

Proposieao 2 Uma sequencia (VI, V2, ..., vn) de vetores de y3 e LD se, e somente se existirem -+ -+ -+-+ escalares aI, a2, ..., an NAO TODOS NULOS tais que al VI + a2V2 + ... + anvn = O. Ou . se e somen t e se a equayao ' 6gruit as xj , X2, ..., X seja, Xl-+ VI + X2 -+ V2 + ... + x n-+ vn = 0-+ nas inc n adrnite solucao nao-trivial. Exemplos 1) Seja ~ urn vetor qualquer; a sequencia (~, ~ ) escalares nao sao todos nulos). -+ -+

2) A sequencia ( u, v, 2 u - 3 v )

e LD, pois -+

1. v + 1. (-v) = 0 (os

e LD, po is (-2) u + 3 v + 1 . (2 u

- 3 v) = O.

3) Com 0 auxflio da Proposicao 2, e bern facil ver que qualquer sequencia na qual compareca 0 vetor nulo e LD. De fato, basta escolher coeficiente nao nulo para 0 vetor

GeometriaAnalitice: um tmtamento vetorial -+ -+

nulo e coeficientes nulos para os demais; para a sequencia (0, v2, ... , vn), por exemplo, temos: -+ -+ -+-+ 1. o + 0 . v 2 + ... + 0 . vn = 0 -+ -+

e portanto (0, V2, ..., vn) ~

o caso n a)

e LD.

cia Proposielo 2 1 fica como exercfcio, Demonstremos para n ;;;;'2.

Suponhamos que

(VI' ... , v n) seja LD. Vj' 1 .;;; j .;;; n, e gerado pelos demais:

Nesse caso, pela Proposicao 1, algum dos

-+ ='

O:IVI +,,路+O:j_l'j_l +O:j+lvj+ l +.,,+O:nvn -+

e dai vern que (passando vj para 029 membro) -+

-+-+

o:.V. + ... +0:.J- IV.J- I - I . v,J +O:'+IV'+ + ... + 0:n Vn = 0 J J 1

o que mostra que existem escalares nao todos nulos nas condicoes do enunciado (basta tomar O:j = -1). b)

-+-+

Reciprocamente, suponhamos que 0:1 VI + ... + O:j Vj + ... + O:n vn mos dai concluir que: 0:. I -+ O:j+l -+ -~. V ' - l - -",- Vj + l J

com O:j

"* O. Pode-

O:n -+ 0:. n

--- V

"'j

"'J

= 0,

e combinacao linear dos demais vetores da -+ (Vh"" vn) e LD.

ou seja, que -;.

sequencia. Isso, pela Proposicao 1,

garante que

Uma forma equivalen te de enunciar a Proposicao 2 e: -+

"-+

Pro~ 3 "Urna sequencia (VI' V2, ... V ) de vetores V3 e Ll se e somente se a equacao .....

XIVI + isto

.....

so admite a solucao trivial,

+ ... + x n vn = 0 nas incognitas XI, X2, ..., X . .......... n QI VI + Q:V: + ... + 0:n Vn = 0 ~ 0:1 = 0:2 = ... 0:n = 0". X2 \':

~......

A implic~o signillca que e impossivel obter 0 vetor nulo como cornbinacao linear de :""'+..... ..... . (VI, V2, ... , vn) a nlo ser daquela maneira que voce achou "sem graca", escolhendo todos os coeficientes nulos. A

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Dependhlcitl e I11dependillCitI Linear

2. Tome cuidado, pois neste ponto ~

e muito

facil errar: na verificacao de que uma sequencia

(VI' V2' ..., V ) e LI, nao se trata de saber se e possfvel obter 0 vetor nulo como combinacao ~14 ~ linear de vI, V2' ..., Vn (pois sempre e possivel; na pior das hip6teses, escolhemos os escaIares nulos). Tampouco se trata de saber se os coeficientes ai, a2, ..., an podem ser ou sao nulos (e claro que podem). Trata-se, isto sim, de verificar se e obnptorio apelar para coeficientes nulos para que a combinacao linear resuIte no vetor nulo. Se voce entendeu, responda a esta pergunta:

Sejam VI' V2, ..., vn vetoresde V e al,a2' ..., an escalares tais que aivi +a2v2 + .,. +a vn = O. ~ ~ n ~ Sabendo que a l = a2 = ... = an = 0, 0 que se pode afirrnar da sequencia (VI, v2, ..., vn)? ELI ou LD? Veja a resposta no fim deste paragrafo, apos os exercfcios resolvidos.

UFPE QCEN

MU BlBLloTgGA EXERC(CIOS RESOLVIDOS ~

Seja (VI, V2, ..., vn) LI (I " n " 3). Prove que

al VI + a2 V2 + ... + an vn = {Jl VI + {J2 V2 + ...+ {In vn

(essa

e a unicidade citada nos Corolarios 2 e 3 da Proposicao 1).

Resolu~o

Por hip6tese, sabemos que ~

0:1 VI + 0:2 V2 + .., + an vn = {JI VI + {J2 V2 + .,. + {In vn

Dai segue que ~

0:1 VI - {JIVI + a2 v2 - {J2 V2 + ... + O:nvn - {Jnvn

GeometriaAnalitica: um tratamento veloria!

e portanto

e como (v I , V2,

-+ •.• ,

vn)

e LI, concluimos pela Proposicao 3 que

donde

QI VI

+ Q2 V2 + .., + QnVn -+

entao (VI, V2' ... , Vn)

(31 VI

anterior: se (VI' V2, ... , vn ) e tal que -+ -+ + (32 V2 + ... + (3n vn s6vale se Q I = (31' Q2 = (32, •••, Q n = (3n'

Prove a reciproca da propriedade do

exercicio

e LI.

Resolueao -+

Sabemos que 0 = 0 VI + 0 V2 + ... + 0 vn • Entao, se -+ 4-+-+ tais que QI VI + Q 2 V2 + ... + Q n Vn = 0

QI, Q2, ... , Q n

sao escalares

segue-se que -+ QI VI

+ Q2 V2 + ... + Q n vn = 0 VI + 0 V2 + ... + 0 vn

Mas por hip6tese, essa igualdade s6 vale se por 0 na hip6tese). Entao , gracas a Proposicao 3, concluimos que

= -0,

(VI, V2, ... ,

= 0, ...,

= 0 (troque os

"(3t

vn ) eLI.

Os exercicios 1 e :2 acima mostram que voce s6 podera "identificar os coeficientes" (algo semelhante ao Principio de Identidade de Polinomios) quando os vetores envolvidos forem LI. -+

-+-+

~~~

Exemplo: se u = 2v + w. tem-se u + V + w = 0 u + 3 V + 2 w. 3.

-+-+

-+-+~~

Prove que se (u, v ) e Ll, entao (u + v,

U -

v ) tambem e LI.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Dependincia e lndependincia Linear

Reaolufio Sejam

e (J escaIares tais que

(0)

o(u +v) + (3(u -v) = 0 Devemos demonstrar que

Aplicando as propriedades da -+

(0) 0 u + 0 v + {3 U - (J v -+ -+

= 0,

e (J sao obrigatoriamente nulos. adi~o

e da multiplicacao por escalar, obtemos de -+

-+-+

donde (0 + (3) U + (0 - (3) v

(u , v) 6 LI; logo, a igualdade acima s6 e possivel se

= O.

+ {3 = 0 e

Q -

Mas, por hipotese, {3 = O.

Como a unica solu~ao do sistema

{

e 0 = {3 = 0,

O + (J = O

0-{3 =0

provamos 0 que queriamos.

Aten~o.

Seria pessima estrategia tentar resolver este exercicio partindo de uma combinacao linear de -+

7.\

u e v igualada a 0,0 u + (3v = O. 0 motivo e que, como '-U, v) 6 LI, isso acarreta Q ={3 =0, e nao se conclui absolutamente nada a respeito da dependencia ou independencia linear dos

vetores ii + ~ e "0 - ~ 0 que era 0 nosso proposito, Assim, quando se quer provar a independencia linear de uma sequencia de vetores, deve-se partir de uma combinacao linear dos ve-+ tores dessa seqidncia, igual a O. 4.

Na figura, ABC e urn triangulo e M 6 0 ponto medio de AB. Sabendo que MN BC, prove que N 6 0 ponto medio de AC. A

B------~C

Resolu~o

Vamos transpor 0 problema para a linguagem vetorial.

e paraleloa

Geometria AlIII1fticfl: 11m tnztmnento vetorilll

Se ABC ~ um triangulo, temos (por exemplo) que - - ---+ (AB,BC)

(a)

Sendo M 0 ponto medio de AB, concluimos que ---+ 1 -- = MB ---+ AM =-AB

(~)

A hip6tese de ser MN paralelo a BC se traduz por --+ MN

-= aBC

Finalmente, como N pertence ao lado AC, podemos aflrrnar que

(6 ) Agora, nosso objetivo De

AN = MN + AM

e provar que ~ = ~

segue por (~)e ('}'):

(e) Por outro lado, por (6), --

--~---+-

AN = ~ AC = ~(BC + AB) = ~ Be + ~ AB

(X)

Comparando (ej e (X), obtemos: - - + TAB 1 ~ = ~BC - - + ~AB ~ aBC

JS)':l

Agora, por (a) e pelo primeiro exercicio, concluimos que a = ~ e ~ =~, como querfaObserve que fica tambem provado que 0 comprimento de MN e igual it metade do com-

~odeBC.

_~ra

a resposta it pergunta feita na Observacao 2: nada se pode afirmar a respeito

da depem:l.encia linear dos vetores.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Dependencie e Independencia Linear

EXERcfcIOS PROPOSfOS

Prove que se (u, v, w) e LI, entao (u + v + w, U - v, 3 v) tambem sucedendo com (u + v, u + w, v + w). ~

e LI, 0 ~

mesmo

Seja(u,v,w)LLDado t qualquer,sabemos que existem 0:,(3,1 taisque t = O:U+(3V+1w ~~~~~~ (por que"), Prove que (u + t, v + t, w + t) e Ll <== 0: + (3 + 1 + 1 O.

Prove que (u,v) eLi""" (u+v, u-v) e Ll, (Afmplicacao cicio Resolvido n9 3.)

Demonstre a Proposicao 2 no caso n = 1. Pergunta: por que a demonstracao feita no texto n~o serve neste caso?

Prove que (u - 2v + w, 2u + v + 3w, u + 8v + 3w) vetores u, v , w .

foi provada no Exer-

e LD quaisquer

que sejam os

CAPITULO 6

BASE

Defini~o

1 3

Chama-se base Y a qualquer tnpla orden ada E = (el, ez, e3) hnearmente mdepenJknte de vetores de v'. ~

Conforme 0 Corolario 3 do capitulo anterior, se (el, ez, e3) e uma base de y3, todo vetor de y3 e gerado por el, ez e e3, isto e para todo v E v'. existem escalares ai, az, a3, tais que v = aiel + aze z + a3e3. ~

J------4~

Sabemos tambem que essa tripla (aj , az, a3) de escalares e (mica (veja 0 primeiro exercicio resolvido do capitulo anterior). A conclusao e que, escolhida uma base E de y3, fica associada univocamente a cada vetor -; uma tripla ordenada de escalares (a., az ,a3). Essa tripla e denominada tripla de coordemdas do vetor t em relaaio ba~e E. Observe que e irnportante a ordem dos escalares al,aZ,a3; trata-se de uma tripla ordenada. Se, por abuso de linguagem, dissermos: "al,aZ,e a3 sao as coordenadas de v na base E", fica subentendido que as coordenadas estao nessa ordem ----+----+----+-4 (v = al el + aze z + a3 e3)'

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Base

A nota~o utilizada para indicar que al ,a2, a3 sao as coordenadas (nessa ordem!!) do vetorv em rel~o a base E e

(1) e路 se nao houver perigo de duvida quanto

abase escolhida, omite-se 0

Indiee "E": (2)

--.

Em outros termos, (1) e (2) sao simplesmente "abreviaturas" de v

--.

= al el

--.

+ a2e2 + a3e3.

Daqui para a frente, 0 usode coordenadas sera muito frequente; e conveniente, portanto, que as operaeoes entre vetores sejam feitas diretamente em coordenadas, evitando perda de tempo. Vejamos como se faz isso: a) De fato:

--.

u = (a l,a2,a3)E

--. =>

--.

u = aiel + a2e2 + a3e3

Logo,

ou seja,

Aten~o

Para

procedimento acima

e essencial que

--. --.

u e v estejam referidos a uma mesma

base.

Mu1tiplica~o

--.

por Escalar Se u = (a .. a2, a3)E e A

e urn escalar, entao

De fato:

--.

u = (al,a2,a3)E

--.

u = aiel + a2e2 + a3e3 => AU = A(ale l + a2e2 + a3e3)=

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Devido

aProposicao 3, e facil ver que -+

u=O

<==> u=(O , 0 , 0) E

Vamos reexaminar em termos de coordenadas -+

Proposi~o 1

Os vetores u = (XI, sao proporeionais a X2 , Y2, Z2'

YI, ZI )E'

eonceito de dependencia e independencia linear.

= (X2, Y2, z2)E sao LD se e somente se XI, YI, ZI,

Demonstraeao

E uma consequencia direta do Corolario 1 do Capitulo 5.

;'V)

'\) .-y

=F 0

Demonstraeao Temos, pela Proposicao 3 do Capitulo 5, que 4-+~

(u . v , w) LI

(0: U

--+-

+ (3 v + r w

=> 0:

= (3 = r = 0).

istoe -.

LI a solucao nub I U. 'â&#x20AC;˘. w )

= 0:

0: (XI, YI, zd

+ (3 X2 + r

a'" . I +

P)2 +

a z,

~, Z2

1""

+ (3 (X2'

Y2, Z2)

(*)

:\3

)'1

Devido

(XhY3, Z3)

admite apenas

X3 =' 0

'Y Y3 = 0

Z3 =

admite apenas a solucao nula

Basta observar agora que este ultimo determinante

(*)

+ 'Y

= (3 = 'Y = 0

aRegra de Cramer,

e igual ao que aparece no enuneiado.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Base

o conceito de ortogonalidade de vetor com retas e pIanos se define de modo natural, usando os mesrnos conceitos para os segmentos orientados que representarn 0 vetor. Mais claramente: Defmi~o

â&#x20AC;˘

2 ~

u =f 0 e ortogonal a reta r lao plano rr] se existe urn representante(A, B) de u talqueo segmento AB e ortogonal a r [a rr). 0 vetor nulo e considerado ortogonal a toda reta rea todo plano n.

â&#x20AC;˘

Os vetores u e v sao ortogonais se urn deles

e nulo,

ou, caso contrario, admitirern represen-

tantes perpendiculares. Para ortogonalidade usaremos

simbolo 1.

Proposi~o 3 Os vetores Ue ~ sao ortogonais se e sornente se II; + -: II 2

= II; II' +

11-: If'.

Demonstraeao

Trata-se em essencia da aplicacao do Teorema de Pitagoras e de sua recfproca. Deixando de lado os casas triviais em que urn dos vetores e nulo (a verificacao e irnediata), basta observar ~

que, tornando urn ponto 0 qualquer, u 1 v se e somente se os pontos 0, 0 + u , 0 + U + v, sao vertices de urn triangulo retangulo,

o L..---::z----., u Defm~o3 ..........

Uma base E = (elo e" e3) e dois a dois ortogonais.

-+-+-+

e ortonormal se el, e"

e3 sao unitarios (II e,1I = II e,1I = II e311 = 1)

Geometrill Arwlinc.:!Un I1rltJDnmto "etoritJl

Propo~o

.... .... ....

....

4 Se E = (e, , e2, e3) ~ base ortonormal, e u = x e 1

II ~ II

....

+ ye2 + z e3 entao

= ...; x 2 + y2 + Z2

DeIDO~

Consiste na aplicaeao do Teorema de Pitagoras aos dois triingulos retangulos destacados na figura.

........

-~........

Vejamos. Como e3 1 el e e3 1 e2, resulta z e, 1 x e, + ye2 (por que"). Logo, pela propo.... .... .... .... si~ao anterior, como u = (x e 1 + y e2) + z e3 ,

....

Como tarnbern xe 1 1 ye2' resulta, pela mesma proposicao, que esta relacao se escreve

(3)

--+.... ....

e como e l , e2' e3 sao unitarios, 2

x 1 2 = x2

y~ 11 2

1/';;3 11 2

X;l

de onde resulta, por substituicao em (3), a tese.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ BQ8e

EXERcfclOS RESOLVIDOS ~

Esta fixada uma base E = (e l , e2, e:z). 1.

Verifique se sio LI ou LD os vetores a)

b) u

= (1,2,3)

v=(2,1,1)

= (1,7,1)

2 3, e 2 , 1, 1, E" nnedi13t 0 que 1,., ~ LI.

Nesse caso

claro que 1, 7, 1 e ~

cionalidade 2 : u ~

0 ..tIC~;r 0 ;)40

-4-,

= 2 v.

Logo (u , v)

••• 1 -r~ T' 2 Logo (~ proporcionais pots "2 u , ~) v

i'~

silo proporcionais, com fator de propor-

e LD. ~

Idem para u = (1,-1,2)E' v = (0, 1,3)E' w = (4,-3, l1)E'

Resolu~o

Como 1

-1

0 4

-3

resulta (u, v, w) LD.

3. Sejam

;-t

Mostre que (11, [2,

(3)

eLI e portanto base de V3 .

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Reml~

-1 -1

1 1

Ca1cu1e as coordenadas do vetor v = (l, 1, 1)ÂŁ na base F do exercicio anterior.

Resolu~o

Sabemos que

----+-

................

........

f 2 = el - e 2 + 2 e3

Reso1vendo as equacoes acima com relacao a el, e2, e e3, voce obtera:

como v

= (1, 1, 1)ÂŁ,

........

temos v

--+-

= el + e2 + e3,

e portanto

donde v

1 5 7 = (4'4'4 ). F '

isto

e. as coordenadas de

1 5 7 v na base F sao -4 ' - -4 e -4 .

No pr6ximo capitulo, veremos uma forma de sistematizar os calculos acima, na resolucao de problemas de "mudancas de base" como este.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Base

I trll

Calcule

sendo

tr =

(2,1,3)£ e E base ortonormal.

UFPE QCEN MEl BIBLlOTECA

Resolucao

EXERCicIOS PROPOSTOS Todos os vetores estao referidos a uma mesma base ~

Sendo u = (I, -1,3), v = (2, 1,3), w = (-1, -1,4), ache as coordenadas de ~

a) u + v b) u - 2v c) u + 2v - 3w ~

e combinacao

Verifique se u

Escreva t = (4, 0, 13) como combinacao linear de u, v, w, estes vetores sendo dados no exercfcio 1.

4. S.

linear de v e w, sendo u, v, w, como no exercfcio anterior.

. ~ u = (I, -1,3) pode ser escrito como combinacao linear de v = (-1, 1,0) e

(2, 3,

3-)7

Ache m de modo que u = (1,2,2) seja combinacao linear de v = (m-I, 1, m-2) e W = (m+ 1, m-I, 2). Em seguida, determine m para que (u, v, w) seja LD. ~

~~~

Decida se sao L1 ou LD: a) b) c) d) e)

u = (0,1,0),

= (0,1,1), = (0, 1, 1), = (I, -3,14),

u = (I, 0, 0)

u=(I,2,I) ~

g) h)

u ~

° ~

u=(I,I,I)

(1,0,1)

-; = (1,0,0) (} ~

= (0,3,1)

v = (-14'

v ~

-3 14'

= (200, 2, I), = (I, -1, - 7),

1) t: Ii .~ ~_

W ~

W '"

cr :

(300, 1,2) ._

(4,5, -4)

1 L

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Ache m para que sejam LD

.....

= (l-m

l-m,O),

u = (m, l,m+I),

..... u

d) 9.

..... v = (I,m, I) ..... v = (m, m, m) ..... v = (l,2,m), .....

..... u = (rn, I, m), ..... 2,

= (m,

I,m+l),

= (-;], -;2 , e;

Se E

v = (0, I, m),

..... .....

w=(l,I,I)

w = 0, m, 2m)

) e base, prove que F = ( a -;1 , (3 -;2' "I -;3) e base, desde que a, (3, "I nao

sejam nulos.

-----

10. Seja OABC urn tetraedro, e M

ponto medic de BC.

explique por que (OA, OB , DC)

e uma base.

determine as coordenadas de AM nesta base.

.....

11. Calcule II u II, sendo E = (e], e2, e3) base ortononnal, nos casos -+

a) u ..... b)u

..... .....

c) u

"'""'f1'

e] + e 2 + e3 ..... ..... -e] + e 2

.....

= 3e] .....

d) u = -4e l

.....

+ 4~ .......... + 2e2 - e3

(1, I, I)E

CAPI'ruLo7

MUDAN~A DE BASE

A escolha de urna base conveniente ajuda muita vezes a resolver urn problema, tornando-o mais simples. Acontece que os vetores dados podem ja estar referidos a uma certa base, digamos -+

E = (el , e2 , e3 ). Introduzindo-se a base conveniente que supostamente vai ajudar-nos, seja ela ~

F = (f 1 , f 2 , f 3), precisamos saber a relafao entre as duas, para que trabalhando com a solufio em termos de F, possamos no fmal passar para a base inicial E. Podemos expressar de modo unico cada elemento de F em termos da base E, conforme ja sabemos. Escrevamos entso -+

f 1 = all el -+ -+f 2 = a12 el -+ -+ f3-= 31 ~ el

+ a21 f2 + a31 f) -+ -+ + a22 e2 + a32 e3 -+ -+ + ~3 e2 -+ a33 e3

(1)

onde os aij sao mimeros reais.

o proximo passo agora ~ resolver 0 seguinte problema. -+

v = x1e l

onde agora

~ dado

-+ X2e2 + X3 e3 = (XI,X2,X3)E

{ndice E

(~)

e necessario, pois podemos tambern escrever (3) 47

Ceometria Analitica: um tratamento vetorial

Queremos saber qual

e a relacao entre as coordenadas

XI, X2, X3 . de -;em relacao Abase E, e

as coordenadas YI' Y2 ,Y3 do mesmo vetor ~ em relacao A base F. A ideia muito simples para resolver isto. Usando (1) em (3), teremos ~ em funcao dos elementos de E. Em seguida e sO comparar com (2).

Substituindo ÂŁ1 ,t,13 dados por (1) na rel~ao (3) resulta ~

.....

v = YI(all el + a21e2 + a31 e3) + Y2(a12 e l + an e2 + a32 e3) + Y3(a13el + a23 e2 + a33 e3)

.....

(Ylall + Y2 al2 + Y3 a13)el + (Yla21 + Y2 a22 + Y3 an)e2 + (Yla31 + Y2 a 32 + Y3 a33)e3

Comparando com (2), e usando

fato de que urn vetor se expressa de modo unico como combina-

Â˘o linear dos elementos de urna base, vern

XI = all YI + a12Y2 + a l3Y3

= a21YI + anY2 + anY3 X3 = a31YI + a32Y2 + a33Y3

(4)

Agora basta resolver

sistema. Acontece que voce deve estar dizendo: puxa, mas como eu

vou guardar essa relacao? Ainda mais com essa confusao de indices! Pois bern, para facilitar a sua vida, vamos sistematizar de tal forma que voce, temos certeza, vai guardar a formula. Para esse tim vamos usar matrizes. Observe inicialmente que (4) pode ser escrita assim:

[:: ]

I 3.] a~3 a33

Vamos dar urn nome

amatriz

IYI] Y2 Y3

(5)

3 X 3 acima.

Defmif;io Dadas as bases E = (:1' -;2 , -;3) e F = (ÂŁ1'

..... ..... ..... all e l + a21 e 2 + a31e3 ..... ..... ..... al2 el + a22 e2 + a32 e3 ..... ..... ..... a13el + a23 e2 + aB e3

t. ,13),

podemos escrever

da-se 0 nome de matrizde mudanca da base E para a base F. Indica-se, para resumir, assim: M E-F Aten~o

Observe que os elementos all, a21 ,a31 que aparecem na La igualdade,

devem ficar na 111 coluna de M. Da me sma forma, os elementos da 211 igualdade, -+

f 2 = a12 el + a22e2 + a32e3 ,

devem ficar na 211 coluna de M. Os da 311 igualdade na 311 co1una de M. Assim, se -+

"-+

f 1 = 2el

- e2 + e 3 -

12=~

+ e2 + e3

13 =-:1

- e2 + e3

Entao

2 M=

---+ ~

-lI

-:]

-I

Agora que voce ja sabe 0 que (5) por ser escrita simbolicamente:

e matriz

de mudanca de E para

E - - F, veja como

(6) onde M E

) F

Geometria Al'UIlitica: um tratamento vetorial

Observa-;ao ~

Se E - + F, entao 0 determinante da matriz M e certamente diferente de zero. Isso e uma consequencia imediata da Proposicao 2, do capitulo anterior. Logo, existe M - I , e de (6) obtemos

(7)

EXEROCIOS RESOLVIDOS 1.

Sendo E =(:1 , ~ que

G t;

e; ), F =(1; ,12, G), ache M, matriz de mudanca de E para F, sabendo -+

el - e 2 -+ = e3 -+ -+ = e2 + ~

Resolu~o

Escrevendo na forma -+

r:=l.

+ O. e3 -+ + 1. e3 -+ + 1. e3

r; = O. ~

= O.

vemos que

o o 1

Sendo E e F com~ no exercfcio anterior, e sendo -: as coordenadas de v em relacao a base E.

Como voce ja deve estar sabendo,

= (I, -1, 3)F =

t. -1

+ 313 , ache

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _-

Mudan~adeBase

onde M

UFPE CC~~ \\ EI BIBLlUTgCA

t:: l-: : :Jl-;] 3.

A matriz de mudanca de base da base E

-+ -+ -+

=(el , e2, es) para a base F =(fl , f 2, f 3) e

M 0: ] Exprima os elementos de F em termos da base E. Resolucao ~

Para f l , leia a 1~ coluna: -+

-+-+

= 1 . e l + 0 . e2 + I . e3 =e l + e3

Para f 2 , leia a 2~ coluna: -+

f 2 = 0 . el + 1 . e2 + 0 . e3 = e2

Para f 3, leia a

coluna: -+

f 3 == 1 . e I + 0 . e2 + (-l)e3

=e I

-+ -

A seguir vamos ver urn resultado util. Proposi~o

-+ -+

1 Sejam E = (e l, e 2, e3 ), F == (fl , f 2 ,

M Entao, se E------+ F, F

r, ),

MN l

G, tern-se E

(*)

(*) 0 esquema E - - F - - G ajuda a memorizar resultado.

~/ MN

G ==(gl ,g2' g3) bases.

5:!

~ ANZ1itial: um

Seodo M ~

tmtamento lIetorlal

= (3.j), N = (b i), e sendo P = (cij) a matriz de mudanca de E para

G, temos, por

(8)

f路 J

Substituindo

3 ~

a..e. g

(9)

-+ G dado em (9) na relacao (8):

(lO)

Como (II)

resulta de (I 0) e (I I) que cik =

j=1

alj..bJ'k

ou seja

P =

MN.

Observacao

Se voce nao esta habituado a usar somat6ria como acima, 0 jeito l! escrever tudo por extenso; voce vera que 0 que se fez nao l! complicado, e percebera a vantagem do uso de somatoria, M ~l Corol8rio: Se E -----. F, entao F ----. E. Demonstraese

A matriz de rnudanca de E para E l! a matriz identidade I (por que?). Sendo N a matriz de rnudanca de F para E temos, pela proposicao acima, que MN E

---.M.- F ~ E

~I~

= I, logo N = M- 1 .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Mudanra de Base

EXERcICIOS RESOLVIDOS (continuacao) 4.

Ache a matriz de mudanca da base F para a base E no caso do Exercicio Resolvido I. Exprima a base F .

-+-+-+ e I, e2, e3 segundo Resolu~o

Sendo E -

F, vimos no referido exercfcio que

entao F

M- 1

-"!:_!!----+l

[-~o ~11~]

E, e precisamos calcular M -I

A matriz dos cofatores de Me:

Mc =

[-~o ~ =~ ] -1

Entao

M""l = det M M~ onde M~ indica a transposta de Mc. No caso presente, 1 -1

[ -~

~ -~J = [_11 -~ ~]

-1 -1

Esta

e a resposta da primeira parte

1 0

do exercfcio. Quanto

a segunda, decorre

facilmente do

M- 1

conhecimento de M -I , pois F -

E. Entao

(v.Iil colunade M- 1 ) (v. 2il coluna de M-I) (v. 3il coluna de M-I)

e l - 2e2 -+ e l + e3

-+ -+

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

ache as matrizes de mudanca de (i)

E para F

(ii) F para G

(iii) E para G

(iv) F para E

(v) G para F

(vi) G para E

Resolu~o

Sendo E

) F, entio F

) E. Das relacoes (I) resulta imediatamente

[

M- I

1 0

2 0 0 -1

1 ] (resposta de Ov)) 1

e dai,

-I

[

M = (M-1)-1

N Sendo F -

I -I ] 2 -1 1 (resposta de (i) ) 2 -1 2

G, E

--_I

F, entao E - - - - + ) G. De (II) vem imediatamente

1 1

~= WI.

-2

[

0 1

q h o

2 0

= [

1 -1

] (resposta de (iii) )

-1

0 -1

logo

[

-1

~ ~

3 -1 ] (resposta de (ii) ) 1 -2

0 1

-rJ

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Mudallfa de Base

Como F -

N"l

G, entao

F; calculando, resulta

-5/3 N"l

-4/3

2/3

1/3

-4/3

-5/3

(MNtl

MN Sendo E -----+ G, entao G

(resposta de (v))

Mas

-5/3 N"1M"1

2/3 -4/3

(MN)-1 =

"7 i1

-:::jl

-5/3

1/3

-1/3

2/3

1/3

2/3

1/3

-2/3

o -1

(resposta de (viÂť

e1 -3~

f 2 :: e2 + e3 f 3 :: e1 - 2e2 -+-

~~.....,..-+

Sendo u > 3e1 + 4 e2 - e3, ache as coordenadas de u em rela930 a base F. Resolu~o

M Sendo E - - F

~tn Temos

[

temos, por (7), que

[

]

101] e daf

M = -3 1 -2 o1 0

M-l

- 2 - 1 1] 001 [ 3 1-1

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Entao 1

M-+

Portanto, u ==

[3] [[ ~3] [-2-1 ~ ~ ~ ~ ~ 1]

;

l f', - f2 + I4f3, OU U== (-11, -1, I4)F .

EXERCICIOS PROPOSTOS 1.

-+ -+

-+ -+ -+

De a matriz de mudanca da base E == (e l, e 2, e3) para a base F == (f I, f2, f 3) nos casos -+

f l == -3e l + e2 + e3

( a)

f 2 == 3e l

e l + 2e2

f 3 ==

el - 2e 2 + e3

f 2 ==

~== e l - e3

(b)

f 3==4el-3e2

Sendo v == -4f1 + f 2 - f3 ache vern funcao de e I, e2 , e3, nos casos do Exercicio 1.

Sendo E == (e l, e2, e3), F == (f l, f 2, f3) bases, com

-+ -+

~........

-+ -+

........

e w == e l + e 2 + e3, ache w em terrnos da base F. 4.

--+

-+ -+

Sejam E == (e l. e2' e3), F == (f';, f 2, f 3), G == (gl, g2, g3) bases, com -./3-+

-2-

1-+

r, -"2 f 3

Ache todas as matrizes de mudanca,

........

-+-+-+

gl == el + e2 + e3

CAPITULO 8

ANGULO ENTRE VETORES PRODUfO ESCALAR

..........

Consideremos os vetores ndo nulos u e v. Tomemos urn ponto 0 E E3, e sejam P, Q E E3 tais .....

----+.....

--+

que u == OP , v == OQ. Seja 8 a medida em radianos [graus] do angulo POQ satisfazendo

0<:8<:'11' [0<:8 <: 180].

.. a'

0' '--......L..--~----

0'--"-----=-----.0

........

Se tivessemos tornado outro ponto 0' E E 3 em lugar de 0, e P', Q' com u

=O'P',

........

v = O'Q'

" obten'amos que a medida em radianos [graus] de P'O'Q', ainda seria 8 (veja a figura). Dermi~o

o numero 8 se chama medida em radianos

..........

fgraus] do cingula entre u e v.

..... .....

Procuraremos agora uma expressao que nos forneca 8 em term as de u e v. Para isso, fixernos uma base ortonormal

.......-+ -..

0, j, k ), e sejam u

.......

= (Xl' Yl,

Zl )

e v ==

(X2, Y2, Z2)

(lernbre-se de que. 57

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

sendo a base ortonormal, a norma de qualquer vetor pode ser calculada como vimos no Capitulo 6. isto <?

Aplicando a lei dos co-senos ao triangulo POQ resulta p :7.. -+ -+ -+-+ II Ql' 11 2 = II U 11 2 + II V 11 2 - 211 u II II v II cos ()

(1)

0"-'"---......- - - Âˇ Q

Mas -+

II QP 11 2 = II OP - OQ 11 2 = II u -

-+ V

11 2 = II(xl - X2, YI - Y2, ZI - z2)11 2 =

Substituindo em (1), resulta -+

II u II II v II cos () = XI X2 + YI Y2 + ZI Z2

(2)

expressao esta que nos permite calcular cos (J, pois II; II =..; x~ + Y: + zi e 11;11

= ..; x; + Y; + z; .

Observemos (2). Ela nos mostra que a expressao XI X2 + YI Y2 + ZI Z2 nao depende da base ortonormal fixada, pois 0 primeiro membra nao depende. Em outras palavras, se voce tomasse outra base -;t -:t -+, -+" -+, , _" " " _ ortonormal (i , J â&#x20AC;˘ k) e escrevesse u = (XI, it, zt>, v = (X2' '12, Z2), entao XI X2 + YI Y2 + ZlZ2-+

XI X2 + YI Y2 + ZtZ2 (= II u II . II v II cos (J). Observemos tambern que se u ou v sao nulos, a expressan GO 2? mernbro e nula. Definieao 2 -+ -+

-+ -+

Chama-se produto escalar dos vetores u e vao nurnero u , v ( -+

-+ -+

u. v =

-+ -+

.....

(*)

.....

Usa-se tam bern a notacao u x v .

* ) dado por

-+-+

se u = 0 ou v = 0

{ II -+u II II -+v II cos (J

sendo (J a medida do angulo entre u e v.

se u

(3) -+

e v:f 0,

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Angulo entre Vetores. Produto Escalar

De acordo com

que vimos acima, podemos escrever

I\{· -:

Xt X2

(4)

+ YtY2 + Zt Z21

desde que as coordenadas usadas se refimm a uma baseortonormal: I

Resulta de (3) que se ufO e v f 0 entao

cos 8

= ----,------:--

(5)

II~IIII~II

Observe que decorre da propria definicao que

(6)

Proposieao 1

. . ~ ~ d V3 ."\1\ rea,I tem-se que sejam u, ~ v, w e e quaIquer que seJa Quaisquer ~~~

2. 3. 4.

~~~~

u' (v + w) = u • v + U ~

• W

u'(Xv)=(Xu)'v=X(u'v) ~

v = v· u

u;;;' 0; u

u=0

u = O.

As demonstracoes sao extremamente simples. A n9 4, por exernplo, decorre de IIltl12 = li· as outras seguem da definicao. Deixamo-las a seu cargo.

Proposieso 2

Demonstracao ~

Se u

ou v

nulo, ~ ~

U • V=

C") Lembre-se de que 0 ~

~ 1T.

imediato. Senao, decorre da formula (5), que nos diz que ~

cos 8 = 0

(*) ~

8 =-

ulv

Geometria AMlitiCII: um tratamento vetorial

Observacao :\ Definicao 2, a f6rmula (6) e a Proposicao 2 nos permitem caracterizar as bases ortonorrnais do seguinte modo:

..... "uma condicao necessaria e suficiente para que uma tripla (e"

.....

el • e 1

e2, e3) de vetores de y

e que

seja urna base ortonormal

.....

..... .....

el • e 2

.....

= e2 .....

= e,

.....

• e2

.....

• e3

.....

= e3 .....

=e2

.....

• e3

.....

• e3

(7)

(8)

{ I, se i = j .......... ..... , ± . . De fato, (7) garante que os vetores e), e2 e e3 sao unitarios, 0, se ) T J ............... e (8) garante que eles sao dois a dois ortogonais, Restaria apenas provar que (e" e2, e3) e LI. .......... Resumindo: ej • e , J

Para isso, sejam a

a2, a 3 numeros reais tais que

.....

Mult iplicando escalannente por e l, e aplicando a Proposicao I (partes I e 2), obtemos:

e por (7) e (8), chegamos a a, . I + a2 .0 + 03 .0= 0 ou seja 01 = O. Procedendo de modo analogo, voce pode provar que

°2 = 0 e 03 = O. Segue-se que (1,,12,13)

eLI. Atencao ~

Evite

erro seguinte: sendo u • v

.......

• w, cancelar u e concluir que v = w , Isto e falso!

Veja urn procedimento correto: .....

.......

--+

--+.....................

--+

u· v = u • w

o¢>

u . v- u . w

..................... o¢>

u· (v - w);:: 0

ee-

-+.............. u 1 (v - w)

a ultima equivalencia sendo garantida pela Proposicao 2. e a penultima, pela Proposicao I (partes

.....

I e 2, com X = -I l. Para obter concretamente urn contra-exernplo, tome u = (1,0,0), v = (4, 2, I), -; = (4, I, I). em reiacao a uma base ortonormal. Entao -; *--;, e -;. -; = 4 = -;; • -;.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Angulo entre Vetores. Produto Escalar

EXERCICIOS RESOLVIDOS ~ fixada uma base ortonormal

Ache a medida em radianos do angulo entre os vetores u = (2, 0, -3) e v = (1, 1,1).

Resolu~o

Temos -+

u • v =(2, 0, -3) • (I, 1, 1) = 2 . 1 + 0 . 1 + (- 3) . 1 =- 1

cos 0 =

u·v

-1

- v'39

----;:----=--

II~ 1111-;11

1 o= arc cos (- ----,.=:=:) V 39

Ache a medida em graus do angulo entre os vetores u =(1,10,200) e v = (-10,1,0).

Resolucac Temos -+ -+

u • v = (L, 10, 200) • (-10, 1, 0) -+

= 1 . (-10) + 10 . 1 + 200

Logo: u I.v, e O=90(emgraus).

Mestre que

(b)

-+-+

u : v=

1-+-+

"2 (II u + v 11 2 -

-+ U

11 2 - " V 1!2)

. 0 =0

Geometria Analitica: um tmtamento vetorial

Resolueao -+--+-

:-+--+:-+-"""*

.......

'3.

lIu+vI1 2= (u+v)o(u+v)=uo(u+v)+vo(u+V)

(a)

-+ -+

u·u+u·v+v·u+v·v= -+2

-+-+-+-+

-+2

-+-+-+

II u II + u • v + u • v + II v II II u II + 2 u • v + II V 11 2

(b)

-+ 2

(a)

(II u + v II - II u II - II V 11 2 ==

1 -+ -+-+ -+2 -+2 -+2 -+-+ = "2 (II U 11 2 + 2 u • v + II v 11- II u II - II v II ) = u· v

Demonstre a desigualdade de Schwarz: -+

-+-+

lu·vl";;;;lIullllvll Resolucao Se trou -: e nulo, e imediato, pois ambos os membros se anulam. -+-

-+-+

Se ufO e v*' 0, entao a desigualdade de Schwarz resulta imediatamente de -+

u·v

cos (J = - - - ; - - - - c - -

e I cos

II \til II~II

(J I

,.;;;; I .

Observe que a igualdade vale se e somente se urn dos dois vetores I cos (J I = 1 (veja 0 Exercicio 26c). 5.

Se (e 1, e2, e3)

e nulo ou, caso contrario, se

e uma base ortonormal e u E V 3, entao -+

-+ -+

u = (u'et)et + (u'e2)e 2 + (u'e3) e3 (veja a 1~ observacao apos

Exercicio Resolvido n~ 7).

Resolueso Sabemos que existem (unicos) at. a2, a3 reais tais que -+

u = at e t + a2 e 2 + a3 e ,

(n)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Angulo entre Vetores. Produto Escalar

Multiplicando escalarmente por el ambos os membros, resulta --+-

u Como a base

--+-

= a ille l 1l 2 +a2e2 -+

e ortonorrnal tem-se II el II = 1,

-+--+

-e l +a3e3 -e l -+

e2 - el

-+-+

= 0,

e3 - e l

= O.

Logo

((3) ~

Analogamente, utilizando e2 e e3, respectivamente, chega-se a

(0) Substituindo ((3), (1'), ( 0 ), em (a), obtern-se a igualdade desejada. 6.

Prove que as diagonais de urn quadrado sao perpendiculares.

o ,..-----------::a

Resolu~o

Considere urn quadrado- ABC D como na figura. ~.

Entao, sendo u = AB, v = BC, basta provar que ~

(u + v) - (u - v) =0.

Mas ~~

~~~~~~~~~~

(u + v) - (u - v) ~

=u - u -

u - v + v â&#x20AC;˘ u -. v - v = II

U 11

II V 11

II u II = II v II.

ja que

Pergunta: Onde entrou

--+

fato de ser u 1 v? Veja

--+

Exercicio 22a.

--+-

Seja v =1= 0 fixado. Dado urn vetor w, existe urn unico par ordenado (WI' W2) com ......

--+

....,..

--+

-+--+

willv,

W2 1 v e W = WI + W2; WI se chamaprojepfo de w na direcdo de v (ou sobre v), e se indica .~

por proJ-J' v

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

I ....1-

I I ,;J

... y

1-=1

•

Prove que

..........

proj..... v

= WI

.....

v v =(w • --:::+) ~ II v II II v II

Resolueao

.....

Como

.....

v, ternos

(Ci)

donde

..............

.... ,

A Ii v II" (pois

= A v + W2

-..

11-; 11

Substituindo em (Ci) result a a tese. •

..... e unitario. II v 11= 1, entao

..............

w = (w • v) v

R~_y::':v nO 5 pode , entao, ser re-enunciado como segue: -

"Se (e l_ e2- <'3 H~ unu base ortonorrnal e u E V , entao u

-+2

..........

w· v 1 v). Dar, A = - 2

-+-+

Multiplicando escalarmente por v, obternos W . v = A II v

..........

t'~(J1

o Exercroo

pr0J~1 u

..... ..... + Proje2 u + proj1 3 u

-+-+

II + W2 • v=

Angulo entre Vetores. Produto Escalar

(veja a figura), pois -----+

proj t

OA -----+

Proje2 u -+

Proje3 u -+

OA + OB + OC

I A1111 ; II (veja 0 Capft ulo 3), temos que a norma da projeeao de

Lembrando que II A v II -+

w sobre v e dada por:

II proj -+ VIII v

Outro modo de ver isso

e observar na figura abaixo 0 -+

-+ = II -+ W II â&#x20AC;˘ I cos 8 I = II W II

-+ -+ -+

-+ s

triangulo retangulo ABC, onde II will

lw vl

-+ -+

Dada a base (el' e2' u), onde el e e2 sao unitarios e ortogonais, obtenha e3 tal que (el' e2, e3) seja uma base ortonormal. Resolueao -+

Suponhamos obtido e3. Entao, pelo Exercicio Resolvido n9 5 devemos ter ........

.................

= (u

.....................

e I) e 1 + (u

..............

.......

e2) e 2 + (u â&#x20AC;˘ e3) e3

Geometria ATUJUtica: um tratamento vetorial

logo, chamando de t

vetor (u • e3)e3, devemos ter

~~~~~

~~~

= u-(u'ede 1 - ( u ' e 2 ) e 2 ~

Considere agora ~

vetor t, definido por esta expressao. Entao t

+= 0 (senao (el' e2' u) seria

LD)etle 1 , t Lej , pois ~~~~

~~~

(u - (u • e 1 ) el - (u • e2) e 2) • el ----+-......

u • e1

.........................

(u • e d (e 1

•

.....................

.......

e d - (u • e 2){ e2 • e d

= ~

e analogamente t • e 2

= O.

Assim e3

11111

resolve

problema.

Observacao

E importante que voce tenha uma visao geornetrica da construcao de sua expressao sem decora-la. Veja na figura que ~

se obtern subtraindo de

ortogonais sobre e 1 e sobre e 2 .

./ ./ ./ ./ ./

EXERCICIOS PROPOSTOS

Fixa-se uma base orronorrnai, I.

Ache a medida em radianos do angulo entre u e v nos casos a)

(1, 0, I).

1-~.IO.2)

t , para escrever

u suas projecoes

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Angulo entre Vetores. Produto ÂŁScaw

b) c) d) e)

u = (3,3,0),

(2, I, -2)

(I, I, I)

(-I, I, I),

V3 1 -+ V3l (2'2,0), v = ( 2- ' -2 '

v33)

u = (300,300,0), v == (-2000, -1000, 2000) (procure vetores com coordenadas mais simples tais que a medida do lingulo form ado seja a mesma). -+ -+

Ache x de modo que u 1 v nos casas a) b) c) d)

(x, 0, 3),

(x, x, 4),

v = (4, x, I)

(x+I,I,2),

(I, x, 3)

(x, -I, 4),

v = (x - I, -I, -2)

(x, -3, I) -+

Sejam A, B e C tres pont os de. E 3 , e sejarn c = BA e a = BC. Mostre que -+

-+ c

-+ a

u = II tll + IItll

eparalelo abissetriz do linguloABC.

vetor

Interprete este resultado, relacionan-

do-o com uma conhecida propriedade dos Iosangos. -+ -+

-+ -+

Sugestao: Calcule os co-senos dos angulos entre u e c e entre u e a, e cornpare-os. 4.

-+.

r:::

Ache u tal que II u II == 3 v 3 e u e ortogonal a v== (2, 3, -1) e a w == (2, -4, 6). Dos" u" encontrados, qual

que forma angulo agudo com -+

vetor (I, 0, O)?

Ache u ortogonal a v = (4, -1,5) e a w == (I, -2,3), e que satisfaz

Ache ~ de norma

Ache u tal que II u II = v 2, a medida em graus do angulo entre u e (I, -1,0) seja 45, e

u 1 (I, 1,0).

V5,

uÂˇ (1,1,1) ==-1.

ortcgonal a (2,1, -1), tal que (u , (1,1,1), (0,1, -1Âť seja LD.

-+.

r::

,.:j

AruzJitiaz: um tratamento vetorial

Calcule AB • DA sabendo que

Calcule

tre

tetraedro ABCD e regular, de aresta unitaria.

II 2 ~u + 4 ~112 v ,sabend0 que II -+ u II = 1, II -+ v II = 2, e a medida em radianos do angulo en-

Ue ~e

2fT

10. Se A, B, C sao vertices de urn triangulo equilatero de lado unitario, calcule: ~

AB • BC + BC • CA + CA • AD

11. Se u + v + w = 0,

~~~-+-+-+

II u II = 2"' II v II = 2"' II w II

• 12. A meuida em radianos do cingulo entre

2, calcule u· v + v • W + W

\t e 1 e !!.... 4

Sabendo que ~

•

II ~ II

ache a medida em radianos do angulo entre u + v e u - v.

-+~~

~.~

13. Fixada urna base ortonormal (i, j, k), e tornado v"* 0, chamam-se co-senos diretores de v relativamente

a base [ixada

os mimeros cos

0:,

cos (3, cos "I , onde 0:, (3, "I, sao as medidas dos

-+-+~

angulos que v forma, respectivamente, com i, j, k.

Sendo v=(x,y,z),proveque

x cos 0: =

v' x2 + y2 + Z2

, cos (3

= ,===== v' x 2 + y2 + Z2

, cos "I = ---;:==== v' x 2 + y2 + Z2

Prove que

Prove que os co-senos diretores de v sao as coordenadas do versor de v, isto

e, de

v ---=+ . II vii

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Angulo entre Vetores. Produto Escalar

Sendo (} a rnedida do angulo entre VI e V2, de co-senos diretores cos <XI, cos (jl, cos 11 e cos <X2, cos (j2, cos 12, respectivamente, mostre que

Ache os co-senos diretores de --;= (1, -3,

Sendo E

= [ej , e2,

e3) e F

V6) e de ---;.

=(f I> f 2, f 3) bases ortonormais, mostre que

da matriz de mudanca de E para F

e formada pelos

a j-esirna coluna ~

co-senos diretores de fj em relacao

a E.

14. Ache a projecao do vetor Wna direcao do Vnos casos ~

(1,-1,2) (-1, I, I)

l' c)

(3, -1,1)

= (-2,1,2)

w= (I,3,S)

(-3,1,0)

IS. Decomponha W = (-1, -3, 2) como soma de dois veto res WI e W2, com WI paralelo ao vetor ~

(0, I, 3) e W2 ortogonal a este ultimo.

16. Decomponha W = (I, 0, 3) como soma de dois vetores WI e W2, com WI, (I, 1, 1), (-1, 1,2) ~

linearmente dependentes e W2 ortogonal a estes dois ultimos.

17. (Processo de ortonormalizacao de Gram-Schmidt.) Dada a base (fl, f 2, f 3) ache uma

Sugesiso: el

~ ili ; use

Exercicio Resolvido n? 7 para escrever diretamente e2; use ~

o Exercicio Resolvido n? 8 para escrever diretamente e3.

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

.......

..............

.......

..............

19. Prove que se u 1 (v - w) e v l(w - u), entao w 1 (u - v).

-+-+

20. Mestre que u â&#x20AC;˘ v

-+-+2

= -4" ( " u + v II -"

-+-+2

-+-+

-+-+-+-+

u - v 1/ ); e que u : v = 0 ~ 1/ u + v 1/

= 1/ u -

21. Mostre que as diagonais de urn paralelogramo tern rnesma medida se e somente se 0 paralelogramo e urn retangulo.

Sugestao: Traduza para

....... "U-+-+ + v II = 1/ u -

-+-+

v 1/ ~ u 1 v .

22. Mostre que as diagonais de urn losango: a) sao perpendiculares e reciprocamente, se urn paralelograrno tern as diagonais perpendieulares, ele e urn losango; b) bissectam os angulos internos.

23. a) Mostre que a rnediana relativa

a base

de urn triangulo isosceles

e perpendicular a base

bissetriz do angulo do vertice. b) Mostre que se urn triangulo e isosceles, os angulos da base sao congruentes (isto

e, tern

a rnesrna medida). c) (Reciproca de (b)) Mostre que se urn triangulo tern dois angulos congruentes, ele e isosceles.

24. Mostre que as bissetrizes de angulos adjacentes suplernentares sao perpendiculares. n

....11-......;:0 ......_ " -

, Sugestao: Exercicio 3

o r .1. s

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Angulo entre Vetores: Produto Escalar

25. Mestre que a soma GOS quadrados dos comprimentos das diagonais de urn paralelogramo igual asoma dos quadrados dos comprimentos dos quatro lados.

Sugestao: Mostre que -+-+2

-+-+2

II u + v II + II u - v II

~;-r----_ _ ~2-+2

= 2 ( II u II

+ II v II ) A

26. Mostre que -+ -+

II x + y II..;; II x II + II y II (propriedade triangular)

IlIxll-lIylll";;lIx-yli

I x . y I = II x II II y II

-+-+

-+ -+

x, Y 5.10 Iineares dependentes

Sugestao a)

-+-+2

-+2

-+-+

-+2

-+-+

(Desigualdade de Schwarz.) b)

-+-+

II x + y II = II x II + 2x • y + II y II . Use x· y ..;; I x • y I ..;; II x II II y II

A desigualdade equivale a

.......... ..... ..... ...... ..... - II x - y II..;; II x II - II y II ..;; II x - y II . -+

Escreva x =(x - y) + y. Use a parte a.

-+ -+

27. Sendo u :;= 0 , .v :;= 0, w =

II -+

lIu II + IIv II -+

congruentes com u e com v.

28. a) Prove a relacao de Euler ---.

--+

-+,

--+

BA • DC + AC • DB + CB • DA = 0

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Prove que se urn tetraedro tern dois pares de arestas opostas ortogonais, as duas arestas restantes sao tambern ortogonais. Prove que as alturas de urn triangulo passam por um mesmo ponto (este exercfcio ja foi proposto no Capitulo 4; usando a relacao de Euler, sua resolucao fica muito simplificada).

e resolver a equacao

29. 0 objetivo deste exercfcio --+

--+

x â&#x20AC;˘u

(Q)

Vamos ten tar visualizar geometricamente --+ --+

proj ~ x

conjunto-solucao V da mesma. Como

--+ U

=~ --+

projecao sobre u

--+

u (Exercicio Resolvido nl? 7), temos que V e

conjunto dos x cuja

--+

1I~1I2 u.

Esta observacao ja nos da uma ideia de V. Tomando 0 E E 3 , e sendo Po

--+

= O + ----::::;II

~ ,vemos 1111 u II

que se

--+

--+-

Po e e ortogonal au, entao x

u 'lIuli

P pertence ao plano n que con tern

= OP

--+

e solucao, pois a projecao de x na --+ m --+ " , . direcao de u e ~ u e e facil II u II

'7T

--+

se convencer que todo x solucao de (Q) se obtem assim.

Entao --+ --+ -+

--+

x =OP= PoP + OPo = PoP +

--+

II u 111\ u 1/

(') Caso

--+ --+

0, a cquacao nao tern sotucao sc m

0, e qualquer x EVe solucao se m

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Angulo entre Vetores. Produto Esea"',

Tomando -; e -----+

vetores lineannente independentes e paralelos a 1r , podemos escrever ~

x= Aa+#lb + - -2 u

PoP = Aa +#lb, logo

II U 11

Quando Ae #l percorrem R, x percorre V,

conjunto solucao de ( 0:).

Para justificar rigorosamente as afirmacoes, indicamos os passos seguintes, deixados como exercfcio. Considere a equacao homogenea ~

(~)

(uol- 0)

x路u=o

Vamos fixar uma solucao particular de (0:), que denotaremos por x o ' a)

Mostre que

conjunto-solucao de (13) ~

conjunto dos vetores da forma Aa + IJ. b, onde A

e iJ. percorrem R,e a e b sao dois veto res fixados, lineannente independentes e ortogonais ~

au. b)

Mostre que se x ~

e solucao de (0:) entao ~

x -

e solucao de (13) (isto ~, existem A,#l E

tais que x = X o + Aa + #l b) e que todo x dessa forma

e solucao de (0:).

Mostre que

mu = II

tr 11

e solucao de (0:).

Conclusao: de (a), (b), (c) conclufmos que

conjunto-solucao de (0:) e formado pelos x

dados por (-r), onde Ae #l percorrem R.

30. Resolva

sistema

(vol-O)

31. Mestre que se E

= {:l' -:2,-:3) .e

mudanca de base de E para F satisfaz

(itt ,12:f;) sao bases ortononnais, entao a matriz M de M. Mt = Mt . M = I,

trizes com tal propriedade charnam-se matrizes ortogonais).

onde I

e a matriz identidade (rna-

Geometria Analttica: um tratamento vetorial

Sugestao: Sendo M =(aij), use as relaeoes

I,sei=j

para concluir que

e dai que Mt . M = I Observaeoes (verifique-as!)

=Mt

Me ortogonal ~ M-. 1

M e ortogonal ~ 0 produto escalar de dois "vetores-coluna" (linha) e nulo se eles forem distintos e igual a 1 no outro caso.

Se M e ortogonal, entao detM

e 1 ou

-I.

32. Reconheca as matrizes ortogonais:

o -I

o o

Angulo entre Vetores. Produto Escalar

--2

-2

v3 -2

1 3

2 3

-2 3

2 3

1 --

v'2 1

-1 --

Y2 1

Y2 0

2 3

6 7

2 7

-2 3

3 7

-2

1 3

33. Ache as inversas.das rnatrizes ortogonais do exercfcio anterior.

34. Mostre que uma rnatriz ortogonal 2 x 2 deve ser de urna das forrnas COS a

cos e

-sen a ]

sen a ]

ou [

sen a

[

cos a

-cos a

sen a

Sugestio

M= [ :

,detM = Âą 1. Iguale: M- 1 = Mt .

I I

35. Na figura ao lado, temos urn cuba de aresta unitaria. Considere os vetores -+

---+ -+

D~----~

---+

e 1 = Dfl , e2= DC, e3 = DA,

-+ U

---+ ---+ =CD + CB, VI= GC.

=DC + CB

/ / H

Geometritl A1IIlifticll: um tratllmento vetorilll

e uma base ortonorrnal.

Explique por que E = (e) ,e2' e3)

Calcule as coordenadas de u, v e w em relacao

-+ -+

a base E. Calcul_e

II u II e /I v /I. -+

Mostre que F

= (~, 12 , ~) e uma base ortonorrnal, sendo

~=~.

II~II

Obtenha a matriz M de rnudanca da base E para a base F e a matriz N de mudanca de F para E (veja 0 Exercfcio 31).

Calcule as coordenadas do vetor Exercfcio Resolvido n? 5).

36. Seja E -+

-+-+-+

= (i, j, 1

k) uma base ortonorrnal.

-+ -+

(2i - j + k), prove que F -+

fiB

em rela~ao a base E e em rela'rao a base F (veja 0

Sendo u

= ..(3

-+ -+

(I + j - k)

1 V2

-+-+ -+

-+-+

(j + k) e

=(u, v, w) e uma base ortonorrnal e calcule as coordena-

das do vetor a = 3i - 2j - k em rela~ao

abase F (veja 0 Exercfcio Resolvido n? 5).

CAPITuLo 9

ORIENTAf;AO DE V3

â&#x20AC;˘

Considera~oes

intuitivas

Provavelrnente, voce vai achar rnuito estranho 0 objetivo deste capitulo: querernos "orientar o espaco", A primeira vista, nao ha nada de intuitivo nessa ideia, mas antes que voce pense que se trata de "loucura de matematicos", vamos fazer algumas analogias. "Orientar uma reta r" voce sabe bern 0 que e. Trata-se de escolher urn sentido para r. Como dizer isto de modo preciso? Ora, flxando um vetor 't *"0 paralelo a r, podernos considerar a classe A de todos os vetores que tern rnesrno sentido que 't, e a classeB dos que tern sentido contrario (isso foi definido no Capitulo 1). Indicando por Vi 0 conjunto dos vetores paralelos a r, vernos que Vi - {O} = Au B e An B = 1/>. QualquervetordeAdHretar a rnesrna orientacao, e qualquer vetor de B da a reta r a rnesrna orientacao, contraria a anterior. Podernos entao dizer que A e B sao as duas possfveis orientacoes de r (ou de Vi). Escolhida uma delas, r (ou VI) esta orientada. Repare que, na pratica, tudo consiste em escolher um vetor LI (portanto nao-nulo) paralelo a r, e classificar os vetores nao-nulos paralelos a r pelo criterio do "sentido". ~

E se quisermos orientar urn plano n? Intuitivarnente falando, trata-se de escolher urn sentido para as rotacoes desse plano: horatio ou anti-horario (como voce sabe isto e rnuito uti! em Trigonornetria, por exernplo). Vamos dizer isso usando uma linguagern sernelhante a utilizada no caso da reta. Inicialrnente adotamos urn criterio de comparacao entre pares ordenados LI de vetores paralelos a 11: dirernos que (\t, ~ e urn par horario se a rotacao que deve realizar para se superpor a ~ pelo caminho rnais curto (e claro que estamos falando dos representantes) for no sentido dos ponteiros do rel6gio; caso contrario; dizernos que 0 par ordenado (u, v) e anti-horario.

Geometria Analitica:um tratamento vetorial

Consideramos, entao, a classe A dos pares horarios e a classe B dos anti-horarios, Cada par ordenado LI de vetores paralelos a 1T pertence a uma so dessas classes. Dizemos entao que A e B sao as duas possiveis orientacoes de 1T (ou do conjunto y 2 dos vetores paralelos a 1T). Escolhida uma delas, 1T (ou y2) esta orientado. Observe que na pratica tudo consiste em escolher urn par ordenado LI de vetores paralelos a 1T e comparar os dernais com ele pelo criterio descrito acima. Observe ainda que se dois pares sao da mesma orientacao, urn deles pode ser deformado continuamente ate se superpor ao outro, respeitada a ordem dos vetores, sem que se perca a independencia linear em

nenhurna etapa do processo. Cremos que agora a ideia de orientar 0 espaco ja lhe parecera menos esdruxula, Intuitivamente falando, as bases E =(11 , 12 , 13 ) e F =(11 ,12 ,13 ) tern mesma orientacao se uma delas pode ser deformada continuamente na outra, sendo que durante a deformacao os tres veto res nunca deixam de formar base. Veja a figura.

Ela ilustra 0 fato de que E e F tern mesma orientacao. A figura seguinte, por outro lado, ~ ~ -+ mostra que E 1 = (e l, e2, -e3) nao tern mesma orientaeao que F, pois voce consegue deformar E 1 =(~-+ -+) em F ,mas Val. haver urn instante da deforrnacao em que os contmuamente el, e2, -e3 tres vetores ficam linearmente dependentes.

r - - - - - - - / -I

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Orientarao de y3

Outro criterio que ~ usa com frequencia, na Ffsica, para comparar duas bases quanto aoriene classified-las em dextr6giras (as que obedecem a "regra do saca-rolhas", ou a"regra da mao direita") e levogiras (as que desobedecem). Veja urn livro de Fisica ( * ). ta~ao

Como tudo isso envolve urn forte apelo a intui~ao geornetrica, surgem dificuldades na tentativa de formalizacao. E possivel no entanto dar urn tratamento rigoroso e provar que E e F tern mesma orientacao

a matriz de rnudanca de E para F tern deterrninante positivo.

Nessas~ condieoes e para

nos mais comedo usar esta caracterizacao como definicao de bases de mesma orientacao. A formulacao matematica de deformacao continua nos levaria alem do objetivo deste livro. Enviamos 0 leitor interessado ao Capitulo II, Â§ 10, do livro Introduction to Modern Algebra and Matrix Theory, cujos autores sao O. Schreier e E. Sperner. Confira agora a sua intuicao do que sejam bases de mesma orientacao nos casos:

â&#x20AC;˘f,

(*)

Por exemplo The Feynman Lectures on Physics, de autoria de R. P. Feynrnan, R. B. Leighton, M. Sands. Editora Addison-Wesley, 1966, p. 204, vol. I.

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

~-----

d) _-~::::::::!1

~~----.,

(Respostas: E e F tern rnesma orientacao nos casos a) e c), e orientacao oposta em b) e d)).

Definicao I

Sejarn E, F bases de de mudanca de E para

det \t

v>.

Dizernos que E tern mesma orientacao que F se a rnatriz M

tern determinante positivo. Nesse caso, como F M -\ E, e det (M-1 ) ==

, resulta que F tern rnesrna orientacao que E. Dizernos entao que E e F tern rnesrna

orientacao. Quando duas bases nao tern rnesma orientacao elas se dizern de orientacao oposta. Com isto. as bases de y3 ficam divididas em duas classes, que podern ser dadas assim: escolha uma base E de V 3 . Considere todas as bases cujas rnatrizes de mudanca para E tenharn determinante posrtivo. Essas bases formam urna das classes, digamosA. As outras bases, isto e, aquelas cujas matrizes de mudanca para E tern determinante negativo, constituern a outra classe, B. Observaeao Pode-se provar que (farernos parte disso adiante). 1.

Duas bases quaisquer de A tern rnesrna orientacao, quaisquer de B

rnesrno sucedendo com duas bases

__________________________

Uma base qualquer de Ae uma base qualquer de

As classesAe

Definieso 2

Orienta~jjo

de V 3

B tern orientacao contraria,

B nao dependern da escolha da base inicial E.

Qualquer urna das classes A ou B, se chama urna orientadio de vÂť. Escolhida urna I delas, dizernos que y3 estd orientado e nesse caso as bases da classe escolhida sao chamadas

positivas (e as da outra, negativas].

EXERCICIOS RESOLVIDOS 1. Prove que se E tern rnesrna orientacao que F, e F tern rnesrna orientacao que G, entao E tern rnesma orientacao que G. (Propriedade transitiva) Resolueao M N MN Sendo E-+ F, F ---+ G, sabernos que E ~ G. Por hipotese, detM > 0

(E e F tern rnesma orientacao)

det N> 0

(F e G tern me sma orientacao)

logo det (MN) = det M . det N> 0, isto 2.

E e G tern rnesrna orientacao,

Prove a aflrmacao da Observacao 1. Resolueso Tornernos duas bases F e G deA. Entao, por construcao deA, sendo F ~ E e G ternos que det M > 0 e det N > O. Mas sabernos que F

~ E,

MN- 1 . ) G. Entao,

det(MN-1)=(detM)(detN-1)=detM > det N

Logo F e G tern rnesrna orientacao,

Quanto

a 2~ parte:

R T tornernos H e J, bases de B. Sendo H ----. E e J ~ E, ternos que

de t R .J~C

,,~toritlJ

Geometria A Mlin.:.- ... tI'IIt_to

det T, < 0,

Rr - = det R

.~et

pela propria definicao de B, Entao, por ser det R et T

T- =-d--

RT- 1

--~)o

J e

. > 0 , concluimos que He J tern rnesrna orientacao.

--+ --+ --+) Mostre que as bases E = (e--+1 , --+ e2, --+) e3 e F = (-el , e2, e, tern orientacao oposta.

Resolueao

M Sendo E ~ F, temos

-I

o Logo det M = -1

< 0, e a afirmacao segue.

--+ --+ --+

Mostre que se as bases E = (u, --+

--+

r = A. w, com A.

w) e F

--+ --+ --+

(u,

> 0 (isto e, --+r e --+W tern rnesrno sentido). Em particular, se /I --+r /I --+

A. = I e portanto r

--+ =: W.

Resolueao

M --+ --+ Sendo E ----. F, ternos, pondo r == A. w, que

o M

o o

--+

r) tern mesma orientacao, e r II w, entao --+

/I w II, resulta

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _....:-.

Orientafao de V 3

Por hipotese, det M > 0, logo det M = A> O. Caso -+

I AI II w II = A II w II resulta A= 1.

f Faca uma figura para entender geornetricamente este resultado.

EXERCiclOS PROPOSTOS

Verifique se as bases tern rnesma orientacao, ou orientacao oposta nos casos

...ez

~----... fl

J-

...

ez t...---~ -- - --

-+ -+ -+

IdernparaE=(el,e2,e3) e F=(f1,f2,f3)noscasos a)

--+

f1=2e,-e2-e3

II r II = II w II, de II r II = II Aw II =

--+

f1=el+e2+e3 f:z=el-e:z+e3

f 3=e 1+e:z-e3

Geometria ANIlitiCll:um tratamento vetonal

Prove que "ter mesma orientacao" e uma relacao de equivalencia, isto e: a)

E tern mesma orientacao que E (propriedade reflexiva);

se E tem mesma orientacao que F, entao F tem mesma orientacao que E (propriedade simetrica);

se E tem mesma orientacao que Fe F tem mesrna orientacao que G, entao E tem mesrna orientacao que G (propriedade transitiva).

Prove a afrrmayao feita na Observacao 2.

5. Prove a afirmacao feita na Observacao 3. Sugestiio SejarnA' e S' as classes obtidas pela escolha de E'. l~ caso: Suponha E e E' de mesma orientacao.

Entao prove queA' =AeS' =S. 2~ caso: Suponha E e E' de orientacao oposta.

Entao prove que A' =·S, S' :=A.

Dada a base E = (~, -;2' -;3), considere as classes A e S como no texto. Decida se FEAau -+ -+ -+

F -=8 sendo F = (£1' £2' f 3), nos casas

-el +e2 - 2e3 '-+

:-: = -~el +e2

"G-G

e3 =

Sendo E

-(e 1, e 2, e3) uma base positiva e F

os niuneros a, IJ, 1 '!

=-2f l

£1 +£2

-+ -r,

(ex -+ e 10 f3 -+ e 2, "y-+ e3) tambem, qual a relayio entre

OrientQfQO de V 3

Mostre que, sendo E = (iT,~,~) e F = -+ r

= '" -+ W com '" < 0 (0ISt 0 I\.

I\.

bases de orientacao oposta, e ill ~, entao

,-+ â&#x20AC;˘ sentiid0 contrano ' . ) Â° Ern par toICular, se-+ e, r e -+ w tern r e -+ w t-em normas -+

iguais, resulta X= -1 e portanto r = -w. y

(it, -;'1)

CAPITULO 10

PRODUTO VETORIAL

Dados os vetores u e v, vamos definir urn vetor a partir deles, chamado de produto vetorial de ~

u e v, 0 qual indicaremos por u " v. Para isso, deveremos orientar

v', como se vera.

Fixemos urna orientacao de v". Dados u e v de y3 definimos u "v, produto -+ -+ vetorial de u e v, da seguinte maneira: ~

(i)

se u e v forem linearmente dependentes,

(ii)

se u e v forem linearmente independentes, u

v sera 0 vetor com as seguintes caracte-

risticas:

" - -----7 I

h=IV'"lIsen8

I u

II u

" v

II e igual a area de urn pa~

ralelogramo definido por u e v, isto ~

e, ~

lIu"vll=lIullllvllsenO

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Produto Vetorial

-+ -+

onde () ~ a medida do angulo entre u e v. b) c)

u .... v e ortogonal a u e a v. -+ -+-+

(u, v, u .... v) ~ urna base positiva de

vÂť. (Veja a figura.)

! Aten~o:

JAMAIS cometa oerro de

escrever -+

u .... v:=

"U ""v " sen ().

Isso

nao

faz sentido, uma vez que

u .... v ~ urn vetor e

da igualdade acima

,------v

2? membro

e urn numero real.

o nnmero II u " ll v ll sen () ~, isto sim, -+

a norma do vetor u .... v. Como, porem, vale para -+ -+

produto escalar a igualdade

u â&#x20AC;˘ v = [l u "

(0 produto escalar CUIDADOl

e urn

mimero reall)

ll v " cos ()

voce sera tentado muitas vezes a cometer aquele erro.

Observaeao Da propria -+

particular, u

-+ A

defmi~lio -+

resulta que u .... v

=0-+ ~ -+u e

v sao linearmente dependentes. Em

=o.

Proposieao -+-+-+

Seja (i, j , k ) uma base ortonormal positiva. Entao, sendo u = (XI, YI, ZI), V=(X2'Y2' Z2) relativamente a essa base, tern-se -+

U AV

onde

determinante formal deve ser interpretado como sendo

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Demonstracao Seja

...

j+ X2

( 1)

(i) se U e v forem linearmente dependentes, entao ou

U = AV

ou v

= AU;

logo,

logo todos os detenninantes em (1) sao nulos. Dai -+-+-+ W=O=UAV

-+ -+

(ii) Vamos supor agora u e v lineannente independentes.

( 2)

Agora,

( X 2I

2 + y 2 + Z2) + y 2I + z2) (x2 1 22

_ (x 1 X2 +1 Y Y z 2 z)2 2+ 1

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Produto Vetorial

Urn calculo simples nos rnostra que esta expressao e igual a (2), logo -+2

-+-+2

=" u ,., v II ,

II wI/ ou seja

.. -+ -+

b) wÂˇ u

11-:11 = [l u > v II

Xl Y2

(3)

(:#:0)

YI z2

-+ -+

Analogamente, w â&#x20AC;˘ v = O.

-+ ,-+-+ -+

Assirn, w 1 u, w 1 v, donde -+

w II u ,., v

Vamos rnostrar que

(4)

(it: -;, ;) e uma base positiva, e portanto, pelo

Exercfcio Resolvido n<? 4

do capitulo anterior, -+

we u

-+ A

v tern rnesmo sentido

-+ -+

De (3), (4), (5) seguira que u ,., v = w, concluindo a demonstracao.

(5)

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

A rnatriz

--+--+ --+

--+ --+ --+

rnatriz de rnudanca de (i, j, k) para (u, v, w) (verifique!). Desenvolvendo det M pela

terceira coluna vern

det M

Logo

IYI = IY2

+ Z2

= llw ll X2

>0.

~~~

base (u, v, w) tern rnesrna orientacao que a base (i, j, k), sendo portanto positiva.

lI:

(i,j,

- -

Calcule u "" v , sendo u

kÂť.

~~~

= (1,

EXEkCiclOS RESOLVIDOS ~

2, 3), v = (-1, 1, 2) (referidos a urna base ortonormal positiva

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Produto Vetorilll

Resolu~o -+

k -+

u '" v

= -I

(2 . 2 - I . 3) i + ÂŤ-1) . 3 - I . 2) + (I . I - (- 1) . 2) It =

i-5j+3k=(I,-5,3)

-+ -+ 4

Prove que se (i , j , k) e uma base ortonormal positiva, entao 0 diagrarna ao lado nos del todos os produtos vetoriais entre os elementos da base de acordo com a regra: 0 produto vetorial de dois elementos e 0 outro ou seu oposto, conforme se siga ou nlio a flecha. Assim

~~~~~~

k '" j

Resolu~o

Por exemplo:

i '" k

. -+

0 0

OJ + O.j + l.k = k

i ~

OJ - l.j + O.k = -j

etc.

= -i

i '" k

= -j

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Calcule a area do triangulo ABC, sabendo que, relativamente a uma base ortonormal positiva .................. (i , j, k).

,;:C =

(I, 1, 3)

CB = (-1, 1,0)

Resolu~o

e metade

Sabemos que a area procurada 1

II AC " CB II. Calculemos

AC "CB

__ "AC" CB " 2 -+

Mostre que u" v

(-3,-3,2)

-1

da area do paralelogramo ADBC (ver figura), a saber

= -2" ~

(-3, -3, 2)

,,= -2 v' 9 + 9 + 4

V22 ;:: -2-.

= -v" u.

Basta calcular u

v e v

Âť:

u conforme a Proposicao 1.

Vejamos ~ora propriedades do produto vetorial. 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 Pro nno:idin r~r-Para quaisquer u, UI, u2' v, VI' v2 de V e A E IR tem-se

~~~

u,,(vi

...... (u I

----+-

-->-->-+~

+v2) ---+-

= u"v I ---+-

---+-.....,.

.......

+ u2) " v = U I "v + u2 "v

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Produto Vetorial

-+(*)

u"v=-v"u

Demonstraeao Sao todas decorrentes facilrnente da formula dada na proposicao anterior. A titulo de exemplo, mostraremos que ~~~

~~~~

u ,,(v1 + V2) =

v1 + U

v2 .

~~~

Tomada urna base ortonormal positiva (i, j, k), escrevarnos -+

(x,y,z),

Entao -+

--t

u " (VI +V2)=

i +

j +

y -+

(*)

Ja provado no Exercfcio Resolvido n? 4.

Geometritz Analitica: um tratamenta vetorial

+ l Xl

......

...... j

+ -+

Na expressao U A V + ...... ...... ...... vendo V A (u + w). 0 correto e:

-+ V

...... k +

......

...... ...... j

...... j +

......

Aten~ao

...... j

......

) k X2

::;

II z: I

...... ...... ...... U A VI + UA~

......

A w, cuidado para nao errar ao por V em evidencia, escre-

-+ W

-+ V ::;

(u - w)

-+ V

ou entao -

-+ V

AU +

-+ V

AW =

-+ V

-+-+

A(- U + w).

EXERCICIOS RESOLVIDOS (Continuaeao) .5.

'otostre que 0 produto vetorial nao

-+ e associativo, calculando -+-+ G Aj) A i

Resolu~ao:

...... i

.....j

logo -+-+-+

U A j) 6.

-+. -+

Vale 0 cancelamento u A V = U A W ~

'* j A U An. -+-+~

-+ V

= w?

-+-+~

e j A U A i).

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Produto Vetorial

Resolueao Cuidado, aqui e facil errar. A resposta -+

UAW

UAW = 0

U AV

e nao. Eis urn procedimento correto: ~

U A (v - w) -+

-+ -+

u e v - w sao LD.

Para obter urn contra-exemplo, tome u = (1,0,0), v = (6,0,0), w = (1,0,0). Entao v -+ -+ -+ -+ -+ uAV=O=UAW.

Mostre que

'* w, mas -+

produto vetorial de dois veto res muda de sentido ao se trocar a orientacao de

v>. Mais precisamente, sendo A

e B as orientacoes de

v', e indican do por

os produtos

vetoriais relativamente a A e B, respectivamente, entao ~

~ A

~-~

-A

Resolucao -+

Se u e v forem Iinearrnente dependentes, entao a igualdade acima se verifica (0 -+

= -0).

Serrao, temos que u A v e u;;::, v tern mesmo modulo, e mesma direcao, de acordo com a defini9ao de produto vetorial. Entao

(a) sendo e = 1 ou e = -1. Para decidir isto, observemos que pela definicao de produto vetorial, -+ -+ -+

-+ -+ -+

(u, v, U A v) EA, e (u, v, u

v)EB. Entao, 0 determinante da matriz M de mudanca de base

da primeira para a segunda base deve ser negativo. Mas

o o

o o â&#x201A;Ź

det M = e

Geometria Anelitica: um tratamento vetorial

e como deve ser det M < 0, resulta e < 0 donde

â&#x201A;Ź

= -I.

Substituindo em (0:) resulta a

tese.

EXERCICIOS PROPOSTOS -+-+-+

E fixada uma base ortonormal positiva (i, j, k). r--

l.i

-+ -+ -+ -+ Calcule u A v e v A u nos casos

-+ u = (6,

-+ u = (7,

c) d)

r:,

-+ u = (1, -+ u = (2,

Calcule

-4),

-+ v = (-I, -2, 1).

0, -5),

-+ v = ( 1, 2, -1).

-2,

-3,

1),

2),

-+ v = ( I, 1, 4). -+ v = ( 4, 2, 4).

momenta em relacao ao ponto 0 da forca 1= (-1,3,4), apIicada ao ponto Ptal

--~7,. que OP = (1, 1, 1) (este momento e OP A f).

â&#x20AC;˘ 3

-+ -+ A medida em radianos do angulo entre u eve 1-+

"J '" V'I

Sendo

II u II = I,

II v II = 7, calcule

3-+

- v II.

SeDdo ABCD urn tetraedro regular de lado unitario, calcule

Caic-.J..ie

e II-u

1 L~4 ~,:, ~ara1elogramo

-+ II AB

--- II AC

ABCD, sendo AB = (1, I, -I) e AD = (2,1,4)

Cakweaareado01:r-.inguloABC,sendo ,.\(=(-1,1,0) e AB=(0,1,3).

-+ -+ Ache um vetor unnano ortogonal a u = (1,-3,1) e a v = (-3,3,3).

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Produto Vetorial

~~~

Dados u =(I, 1,1), v =(0,1,2), ache uma base ortonormal posit iva (a, b, c) tal que ~

(i)

a // u, a tern mesmo sentido que u. ~

(ii)

e combinacao linear de u e v,

e sua primeira coordenada e positiva.

Resolva 0 sistema

{

x â&#x20AC;˘ (2i + 3j + 4k)

..... X

..... ..... .....

(

.....

-i +j - k) = - 2i + 2k

.....

..... -+.....

10. Ache x tal que x

11. Sabe-se que -;

(i + k)

..... -+ = 2 (i + j -

_ r::::'I

II =v 6.

k), e 1/ x

e ortogonal a (I, 1, 0) e a (-1, 0,

I), tern norma ~

angulo entre x e (0, 1,0), tem-se cos () > O. Ache x.

13. Prove que ~~2

ll u

1/ u

~2~2

v ll ~lIuli IIvll

........... A V

.....

-+ -+

14. Prove que (u + v)

-+-+

(u - v) = 2 (v

.....

15. Prove que se u + v + W

(a)

-+-+

II = II u II II v II ~ u 1 v

entao

.......... -+-+ -+ ..... UAV=VAW=WAU .......... A V

(b) u

-+ ..... V A W

.....

16. Prove que (u - v)

-+-+ W A U =

................... U A V

(v - w) =

.....

3 (u

-+ A

-+-+ V A W

.............. W AU

e, sendo () a medida do

GeomettW Anolitica: um tratamento lIetorial

.... ....

........

.... :t

........

.... ....

17. Prove que (u - t) ,,(v - w) + (v - t) "(w - u) + (w - t) A(u - v)

.... .... ........ .... .... .... ....

18. Se u " v = W Ate u

»,

.... .... .... .... .... ....

2(u Av+V AW+W A U)

............ ....

W= v "t entao u - t e v - W sao linearmente dependentes. Prove

Isso,

.... ....

.... .... .... ........

.... ....

19. Prove que se u e v slo lineannente independentes, e W AU = W A V = 0 entao W= O. Interprete geometricamente.

Prove que se ; • -:=0 e ;'A

-:=-0

entao

;=0' ou -;=0'.

Interprete geometricamente.

IIABAACII 21. Prove que a altura do

ABC relativa ao lado AB mede h =

II AB II

0)a"u1e a distancia do ponte C • reta r que passa PO' dois pontos distintos A e B.

"Q Exprima a distancia entre duas arestas opostas AB e CD de um tetraedro ABCD em funcao de

v---

AB,DC,AD.

CAPITUW 11

DUPW PRODUTO VETORIAL

Queremos neste capitulo achar uma expressao para (u ;,. v) A w. ~

Vamos supor inicialmente que u e v sejam linearmente independentes. Como u ~

v e ortogonal

a u e a ~ e ~u A v ) Awe ortogonal a u A v entao resulta que ~ ~ ~ ~ ~ (u A v) A W, u, v sao paralelos a urn mesmo plano, isto e, sao linearmente dependentes (veja a ~~ figura). Logo, sendo (u, v) LI, existern l\ e J.l reais tais que

(veja

= l\ u + JJ. v

Corolario 2 do Capitulo 5).

--+

Para deterrninarmos l\ e u , escolhamos uma base conveniente. Seja (i, j , k ) base orto~ ~~ ~ ~ normal positiva, com i paralelo a u, j coplanar com u e v. 99

100

GeometriaAnaltticÂŤ: um tratamento vetorial

Entao, podemos escrever

U =

(xj , 0,

= (X2, Y2,0)

w= (X3, Y3,Z3)

Dai

k ~

u"v=

(0,0, x, Y2)

Portanto ~

k ~

(u "v) "w

XlY2

Cornparando com

(;\. x, + Jl X2â&#x20AC;˘ JlY2, 0) (conforme (1)) resulta:

Mas Y2

'* 0 (par que? ]. Logo, a segunda equacao fornece

(2)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Duplo Produto Vetorial

101

Substituindo na primeira equacao vern

e dar por ser

"# 0 (por que") resulta

(4) ~

Observando (2) vemos que (3) e (4) ficam Jl = u • w, >.. =- v • w. Substituindo em (1) resulta

I~ (u

~v) ~ W A

~ ~ ~ + (u~ • w) ~~v

= - (v· w) u

( 5)

Fica a seu cargo a demonstracao de (5) no caso em que (u, v) e LD; lembre-se que nesse caso, ~

u = ex v ou v = (3 u.

Pode-se provar facilmente (exercfcio) que ~

= (u

• w) v - (u • V)

(6)

Observaeoes 1.

Podem-se memorizar estas duas f6mulas lembrando: a)

que

e combinacao linear dos vetores entre parenteses; coloque-os na ordem

resultado

em que aparecem entre parenteses. ~

(

mimero que multiplica urn deles

produto escalar dos outros dois, a menos de sinal.

No primeiro caso, os parenteses estao mais

a esquerda,

logo,

sinal -

e na primeira

parcela: ~~

~~~~~~

(v· w) u + (u • w) v

No segundo caso, os parenteses estao mais ~

w) = (u • w) v - (u • v) w

adireita; logo, 0

sinal -

e na segunda parcela:

102

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

J3. sabemos que para definir produto veto rial ha necessidade de escolher uma orientacao de V 3 • Ora, existern duas escolhas possivels; na figura, optamos por adotar a orientacao dextro~

gira (observe

sentido de u " v), como usualmente se faz em Ffsica,

EXERCicIO RESOLVlDO Prove a identidade de Jacobi: ~-t:~~~~~~

(u "

V) " W

+ (w " u) " v + (v " w) "u

Resolucao: ~

- (u • v) w + (w • v) u

(w " u) " v ~

- (v· w) u + (u • w) v

(u"v)"w

-(w·u)v + (v • u) w

(v"w)"u

Somando mernbro a membro as tres igualdades resulta a tese.

EXERCICIOS PROPOSTOS ~

Calcule (u " v) " we u "(v,, w) diretamente, e depo is usando as formulas desenvolvidas no ~

texto deste

capitulo, sendo u

= (I, - 2'2)'

v = (6, -2, -4), w

123

= (7' 7' 7)'

relacao a uma base ortonormal positiva.

2. Prove a formula u ,,(v "w) = (u • w) v - (u • v) w usando a formula deduzida para -+

(u '" v

l '" w.

~~~~

~~~~~~

Suponha que v 1 w e v 1 u. Entao vale (u

Suponha agora que v 1: w, ou v 1: u. Entao (u " v) " w

v) " w = u "(v,, w). ~~

neannente dependentes. c)

Prove que (u, w) LD ~ (u "v) " w = u "(v,, w)

~~~~

=u "

(v "w) ~ u e w Ii-

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ DupIoProduto Yetorllz1

103

4. Mostre que -+-+

-+~

(u A v) A (w At) =

-+-+~

~-+

-+ -+

:t-+

-+ -+-+

6. Prove que u A (v A (w At}) = (v· t) u A W- (v· w) U At = (u • WAt) v - (u • v) WA t

7. 0 objetivo deste exercicio e resolver a equa~!o

-+-+

-+7-

onde u e v sao dados. Observemos que se u = 0, entao deve ser v = U (senao nao existe solu~io),

e daf qualquer x e solucso. Vamos supor, pois, u =1= 0 . -+

(a)

xAu=v,u=l=O

Estudemos a

equa~ao

-+ -+

hornogenea x A u = 0 (u

*" 0). -+

-+-+

Nesse caso x = AU(AE IR) da 0

conjunto de todas as solueoes. b)

e uma solucao de (a), entao -+ x tambern e se e somente se existe -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+-+ AEIIR tal que x = "0 + Au. De fato, se x e solu~io de x A u = v, como Xo AU = v, resul-

Observemos que se "0

-+-+

-+-+-+

ta, por subtracao, que (x - "0) A U = O. Logo existe A,EIR tal que x - "0 = AU. Reci-+

--+

procamente, se x = Xo + AU c)

e facil verificar que -+ x e solu~!o de (a). -+

Vamos deterrninar uma solucao "0 de (a). Para que (a) tenha soluero e necessario que -+

-+ -+

-+-+

u • v = 0, pois x AU 1 u. Agora observe que se "0 A U= v multiplicando vetorialmente -+

-+ -+ -+

por u, vern ("0 A u) A U= VA U donde - (u • u) "0 + ("0 • u) u = VA U

.. v

J04

Geometrill ANI1iticQ: um tratamento vetorilll

Como estamos proeurando urna soluyllO particular "0, vamos supor "0 1 u, logo -+ X

-:t'

o • u = U. Daf -+

VAU

U "

"0=

•

E facil verifiear que "0 assim dado e soluyllo de (a).

Conclusao: x e soluyllo de (a) se e somente se existe hEIR tal que

-+ -+

(suposto u • v = 0). -+

Geometrieamente, fixando 0 E E , e fazendo P =0 + x, se x pereorre lu~es

de (a),P pcreorre a reta r, paralela a u, e que passa por Po

conjunto das so-

=0 + xo'

.. v

.. u

~------~._--

>.. U

P= 0+ i

Resolva 0 sistema -+

utilizando

-+ x

-+ v

x· w = m -+

-+ -+

exercicio anterior. Suponha u • v = 0, u =1= 0,

W =1=

-+ -+ -+

U • W =1=

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Duplo Produto Vetonal

Resolva

105

sistema -+

-+-+

{ -+

-+ -+

x '" (i +

n=-i-+-+ +j

x'(i+j)=2

utilizando

-+ -+-+

exercfcio anterior, e depois utilizando coordenadas. A base (I.j, k)

e ortonorrnal

positiva.

r r r

10. Resolva 0 sistema

~ ~

x ",u = 0

-+-+

-+ -+

(u# 0)

-+ -+

x •u = 1

11. Resolva

sistema

~ ~

x ",u= v

(u'v=O,u:#:O)

-+ -+

x· u= m

12. Resolva

sistema

~ ~

x "'y= u

-+ -+

(v :#: 0, u • v

=-+ 0)

x+y=v

13. Ache x tal que x· u

-+ -+

((u,v)LI)

{ -+ -+

x'v=n -+

Sugestio Considere mv - nu para obter urn duplo produto vetorial. -+

14. Ache x tal que

[

; .~ = m -+ -+

X'v

-+ -+ -+

((u, v, w) LI)

x:w = p

- e paralelo a (AB -+ '" BC. J 5. Seja ABC urn triangulo de altura AH. Prove que AH '" AC) ---+-

Sugestao Calcule [(AB

--+-

---+-

AC) A BC]

--+-

CAPITULO 12

PRODUfO MISTO

Suponha que queiramos achar

volume V de urn paralelepfpedo como 0 da figura:

U/IV

/ / /

......

.. ......~------~

Sabemos que este volume -+

Sendo u

e igual ao produto da area de uma base pela altura correspondente.

---+....... ---+ ---+ -+ AB, v = AD w = AE, () a medida do angulo entre u ~

.......

v e w, h a altura relativa a base

ABCD, e S a area da base ABeD, temos V =S h

(*)

106

-+ -+

= II u

(*)-+

-+ h IIw IiIoos81 resulta da observacao de que necessario, pois poderia ser ,"/2 8 ~ n,

... v II h = II u ... v II II w III cos () I

triangulo AME e retangulo em M. 0 m6dulo em leos 81i

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _-

ProdMtoMilto

107

ou seja

Defmi~io

-+ -+ -+

1 Charna-se produtomisto dos vetores u, v, w ao numero -+ -+ -+

[u,v,w]

-+ -+ AV·W

Observa~oes

Nao ha necessidade de parenteses na expressao u -+

como

produto escalar de u

torial de u (vetor) por v • -+

assim: (u 2.

-+ W

-+ A

v (vetor) por

-+ W

-+-+ A

V •

•

w, pois a UNICA forma de entende-la e

(vetor);na:o faz sentido pensar em produto ve-

(numero real). Mas, se voce quiser colocar parenteses, deve ser

v) • w.

Do mesmo modo que no capitulo anterior foi necessario, na Defmi~o 1, escolher uma orientayao de V3 • Na figura anterior foi adotada a orientaeao dextr6gira.

Proposi~o -+

-+-+-+

Sendo (i, j, k) uma base ortonormal positiva relativarnente

aqual -+u =(Xl, Yl, %1),

v= (X2' Y2, 22), W = (X3, Y3, 23), entao

-+ -+ -+

[u.v.w]

Demonstraeao

-+ -+

U AV

X2 Y2

21 22

i +

j +

X2 Y2

108

Geometrill AlIIl1iticll: um tI'Iltll1Mnto vetorllli

Zl X3

Xl Y3

Y2 - Z2

onde a ultima igualdade se baseia no desenvolvimento do detenninante pela terce ira linha. CoroWrio 1

-+ -+-+

Se (i, j, k)

-+ -+ -+

uma base ortononnal positiva, e (u, v, w)

detenninante da matriz de mudanea da primeira base para a segunda Demonstra~o

uma base qualquer, entao 0 -+-+-+

e [u, v, w],

Basta observar que, pondo -+ u

(XI,YI,zd

-+ v

i +

-+ Yl

(X2' Y2, Z2)

i +

w = (X3'Y3,Z3) = X3 i

j +

-+ Zl

-+ Y2

j +

-+ Y3

j +

k, -+

a referida matriz e

M =

e dai

det M

-+ -+-+

= [u, v, w],

onde a penultima igualcbde traduz uma conhecida propriedade dos detenninantes, e a Ultima vale pela proposieao anterior.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _"'--_ _ ProdutoM'uto

109

EXERO-CIOS RESOLVIDOS 1.

Calcule

volume V do paralelepfpedo mostrado na flgura anterior, sendo dados, relativamen-

-+ = (1, 0,1), BE te a uma base ortonormal positiva, AB = (1) 1) 1) AD = (0, 3,3).

Resolueao

Com a notacao da figura temos -+-

-+-

-+---

u= AB= (1,0, 1), v= AD = (0, 3, 3), w= AE= BE +AB = 0,1,1) +(1,0) 1) =(2,1) 2).

Entao

-+ -+ -+

[u.v.w]

째 2

째 3

1 3

-3)

donde V = I -3 I = 3.

Calcule 0 volume do tetraedro ABC D, conhecendo -0

-+ v

= AC = (X2' Y2, Z2)

relativamente a uma base ortonormal positiva. Resolu~o

Sabe-se da Geometria, que 0 volume em questao pedo ABE C D F G H mostrado na figura:

e urn sexto

do volwne do paralelepf-

110

Geometrill A1IIIlitica: um tratemento vetoriQl

o ./ ./ ./ ./ ./

Entso, por ser

..................

[u, v, w]

Xl YI Zl X2 Y2 X3

resulta que 0 volume procurado

Proposi~o 2

Y3 Z3

e6" do valor absoluto desse detenninante.

0 produto misto:

e trilinear, isto e, ...... ............ ...... ............ ...... [o u, +~U2'v'wJ=a[ul,v,W] +

-+......

............

..................

[U,QVI +~V2,Wj =a [U,VI,W] +

..................

......

..................

[u.v.o w, +~w2]=a [u,V,Wt] +

...... ............

Ii [U2'V,W] -+ ............

Ii [U,V2'W] ...... ............

Ii [U,V,W2]

e altemado, isto e, pennutando dois vetores entre si, ele muda de sinal: ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ............ [u, v, w] = - [v, u, w] = [v, W, u] = - [u, W, v] = [w, u, v] = - [w, v, u]

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1'1oduto Misto

Obse~o

111

A propriedade 2 aeima fica faeU de memorizar observando-se 0 diagrama ao lado. Se voce fizer

produto misto seguindo as fle-

ehas, obtera os eolehetes com sinal + . Se 0 fizer em sentido contrario ao das fleehas,

obtera os eolchetes com sinal - . E qualquer produto "num mesmo sentido"

~ 0

oposto do produto "em sentido contrario". -+ -+ -+

Por exemplo, [v, w, u]

-+ -+ -+

[u, W, v] .

Demonstracso

•

-+-+

.-+

= aUI •

-+ -+

-+-+

[a UI + (3 U2' v, w] = (a UI + (3 U2) "v • w = (a UI .... v + (3 U2 "v) • w

-+ -+

"V·W+(3U2 .... v·w

= a[uI,v,W]

-+ -+

+(3 [U2'V,W]

Sendo U = (Xl, YI, Zl), v = (X2' Y2' Z2), W =(X3, Y3, Z3), relativamente a uma base ortonormal positiva, a Proposicao 1 nos da

Xl YI Zl -+ -+ -+

[U, v, w]

Y2 Z2

X3 Y3 Z3

-+ -+-+

[U, v, w] =

Z2 -+ -+ -+

-[V,U,W]

Xl Yl Zl

X3 Y3

= (-1)(-1)

Y3 Z3

e assim por diante. Deixamos como exercfcio as restantes partes a demonstrar. Corol8rlo 2

(isto e, .... e • podem ser permutados sem alterar 0 resultado).

-+ -+ -+

[v, W, u]

112

Geometrill Anditic芦: um tratamento vetorial

Demonstra\20 Basta lembrar que ~

u路v ..... w

.......

-+ -+ -+

[v, w, u]

w路u

e usar a parte 2 da Proposicao 2: -+ -+ -+

[v, w, u]

-+ -+ -+

[u, v, w]

Proposicao 3 -+ -+ -+

[u, v, wj

[u, v, w]

-+ -+ -+

u, v, w sao linearmente dependentes.

nao se altera se a urn fator se adiciona uma cornbinacao linear dos outros dois (por .............. .......

.....................

..............

exemplo [u, v, w] = [u, v + au + J3 w, w]). Demonstraeao Com a notacao da Proposicao 1,

-+ -+ -+

[u, v, w]

e vale 0

-+ -+ -+

u, v, w sao linearmente dependentes, como ja sabemos.

Quanto a outra parte, basta lembrar que 0 determinante acima nao se altera se a uma linha se adiciona uma combinacao linear das outras duas.

EXERCicIOS RESOLVIDOS (Contmuacao)

............................ -+.......

....... .......

Prove que [u + v, v + w, u + w] = 2 [u, v, w] .

Resolu~o

Existem Vlirias maneiras de resolver

exercicio. Uma delas

e tomar

uma base e aplicar

a formula da Proposicao 1. Ai e so usar propriedades dos determinantes. Uma outra maneira e usar sucessivamente a parte 1 da Proposicao 2.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Produto Misto

-+-+

-+ -+

-+ -+ -+ -+

[u,v+w,u+w]

[u+v,v+w,u+w]

-+ -+

[v,v +w,u+w]

UFPE CCEN MBI

BIBLIOTECA

!U': OW,UJ,+7\WI +IV,:,:+WI;YWI -+ -+ -+ -+

-+ -+ -+ -+

-+ -+ -+

-+ -+ -+ -+

-+ -+ -+

[u, v, w] + [u, w, w]

-+ -+ -+

113

-+ -+ -+

[v, w, u] + [v, w, w]

0=0

-+ -+ -+

[u,v,w]

-+ -+

-+-+

Prove que (u "v) • (w "t)

+ [u,v,w]

-+ -+ -+

2 [u,v,w]

-+-+

u·w

-+ -+

-+-+

v·w

v·t

Resolu~o

-+~ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+-+ -+ -+-+ (u "v) • (w "t) = u • v ,,(w "t) = u • ((v· t) w - (v • w) t ) = -+ -+ -+ -+

u·w

-+ -+

-+-+

u·t

(v • t)(u • w) - (v • w)(u • t)

-+. -+ (*) -+ -+

Na primeira igualdade usamos a propriedade u " v • w sao obtida no Capitulo 11.

(*)

u· v "w, e na segunda, a expres-

Sejam res retas, u =f. 0 paralelo a r, v 1= 0 paralelo a s. Sejam P € r, Q € s.

Veja 0 Corolano 2.

114

Geometrill AnaliticÂŤ:um tratamento vetorial

-+ -+ -+

Entao res sao coplanares se e somente se [u, v, QP)

=O. Prove isto,

v _ _Q_- -_ _. . .

â&#x20AC;˘

e imediato, po is res sao coplanares se e somente se -+u, -+v, QP sao paralelos

Isto

a urn

mesmo plano, isto e, linearmente dependentes. E isto ocorre, pela Proposicao 3, se e somente -+ -+ --+

se [u, v, QP)

= O.

EXERCiclOS PROPOSTOS

E fixada urna base ortonormal positiva. ~

-+- -+-

Calcule [u, v, w) sendo u

Calcule -+

=(-1, -3,1), v =(l, 0,1),

-+ W

= (2,

I, 1).

volume de urn paralelepipedo definido pelos vetores u

=(2, -2, 0),

= (0,

I, 0),

= (-2, -I, -1).

- = (l, 1,0), AC - = (0, I, I), AD -+ = (-4,0,0). Calcule 0 volume do tetraedro ABCD dados AB

Verifique: -+

-+-+

[u l + u 2 ' v, w) -+ -+

[u, VI + V2, w) ,-+

-+ -+

[U,V,WI +W2) ,-+

-+ -+

A [u, v, w)

-+ -+

[UI,V,W) -+ -+

-+-+

+ [u 2,v,w)

-+ -+

[u, VI' w) + [u, v2 , w)

[u.v.w, ] + [U,V,W2)

-+ -+ -+

[Au, v, w]

-+ -+ -+

-+ -+

= [U,AV,W]

-+ -+

[U,V,AW).

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ProdutoMl8to

-+ -+

-+ -+ -+

Prove: [u+Qv+tJw,v+'Yw,w] = [u,v,w].

Calcule [u, v, w] sabendo que" u

-+ -+ -+

115

,,= 1,

-+ -+ -+

II v II =2, II w II =3, e que (u, v, w) e uma base nega-

-+ -+ -+

tiva, sendo u, v, w dois a dois ortogonais.

7. A medida em radianos do angulo entre u eve 6' ewe ortogonal au e a v, Sendo II u II = 1, -+

-+ -+ -+

II v II= 1, II w II =4, e (u, v, w) base positiva, ache [u, v, wJ .

Prove que -+ -+ -+

I[u, v, wJl

A igualdade ocorrera se e somente se algum dos vetores for nuIo, ou, sendo todos nllonuIos, forem dois a dois ortogonais.

'" II u II II v II II w II

Prove que se u AV+ V AW+ w AU

=0,

-+ -+ -+

entao u, v, w do Iineannente dependentes.

10. Prove: -+

-+-+-+:2

(u A v) A (v A w) â&#x20AC;˘ (w AU) = [u, v, w]

Se (u, v, w) e base, entao (u A v, VA W, WAU) e base positiva.

-+ -+ -+

-+ -+

11. Prove que a altura do tetraedro ABCD relativa a base ABC e

-- -

I [AB, AC, AD] I h

IIABAACII

Sugestiio Volume =

-t

(area to ABC) h.

116

GeomdritI AMllta: um tratamento vetorial

- --

12. Ache a distincia de urn ponto D a urn plano 1f que passa pelos pontos nao-alinhados A, B, C, conhecendo AB, AC, AD.

13. a)

,-+

Prove que se (el, e:z,e3) ,-+,-+ ,-+

,-+

base, e x E V , entio

,-+

[x,e:z,e3] ,-+

,-+,-+

,-+

[el, e:z,e3]

,-+

,-+,-+

[el,e:z,e3] ,-+

,-+

[x,el,e:z]

,-+

Apliqueistonocaso e l =(1,1,1), e:z =(2,0,1), e3 =(0,1,0), x=(4,3,3).

14. Prove que

,-+ ,-+ ,-+

[u,v,w] [x,y,z]

Sugestio Se MN = P, entao det M. det N = det P:

• =

•

,15. Calcule

• •

• • •

v.olume do tetraedro OABC, sabendo que OA, OB, OC medem respectivamente

2,3,4 e que A6B, B6c, C6A medem respectivamente 30,45 e 60 graus. Sugestio Use

result ado do Exercicio 14.

16. Prove analiticamente a afirmacao feita na resolucao do Exercicio Resolvido 2.

PARTE 2

GEOMETRIA ANALrrlCA

CAP(TULO 13

SISTEMA DE COORDENADAS

Para localizar urn ponto P no espaco lancaremos mao da cuja definicao e a seguinte.

•

no~llo

de sistema de coordenadas,

Sejam 0 urn ponto de E e B =(et , e2, e3) uma base de V . Ao par (0, B), que por abuso de ~

notacao se indica tambem por (0, et, e2, e3) chama-se sistema de coordenodas em E 3 •

•

o ponto 0

•

Sejam A

se diz origem do sistema.

= 0 + ~eb

(*)

B =0 + e2' C =0 + e3' As retas OA, OB, OC

sao chamadas eixos coorde-

nados, respectivamente eixo dos x, eixo dos y, eixo dos z, ou ainda eixo das abscissas, eixo das ordenodas, eixo das cotas; sao indicadas respectivamente por Ox, Oy, Oz. Os pIanos determi-

nados por 0, A, B, por 0, A, C, e por 0, B, C sao referidos como pianos coordenados, e chamados respectivamente plano Oxy, plano Oxz e plano Oyz. •

0 sistema se diz ortogonal se (el' e2, e3)

e uma baseortononnal (preste atencao nas palavras

grifadas), que suporemos sempre positiva. •

Dado PEE 3, podemos escrever

(*)

Orientadas,respectivamente,por et,e2 e e3.

119

120

SUtmttJ de Coordenadas

( 1)

OP::; x el + Ye2 + z e3

oode os numeros x, y, z estao univocamente determinados (pelo sistema e pelo ponto P).

___

~\~~~~~~~~~~~B--Oy

/ '-=-------------

~ ~

Esses numeros sio chamados de coordenadas de P relativamente ao sistema (0, e" e2' e3) ~

(*)

Portanto, dado P e fixado (0, el, e2' e3) determinamos uma tripla ordenada de numeros reais (x, y, z). Observe que, reciprocamente, dada a tripla ordenada de numeros reais (x, y, z), fica ~ ~ ~ univocamente deterrninado urn ponto P E E 3 [insistimos.fixado (0, e" e2, e3)), 0 qual e dado por (1) (* *). Portanto, existe uma

...

bije~ao de E 3 sabre R~ que ÂŤ0

conjunto das triplas orde-

nadas de numeros reais. Este fato nos permite identificar P com a tripla (x, y, z) e justifica a ( ) indicacao P> (x y, z) Observacao

Nao confunda coordenadas de urn ponto com coordenadas de urn vetor em situacoes como a seguinte, que surgem na Estatica,

-+ ~ ~ ~ Logo as coordenadas de P 540 coordenadas do vetor OP relativarnente a (el' e2' e3). ~

Dada (x, y, z), seja v = xe I + ye2 + ze3' Existe urn (tinico) representante de v com origem O. P e a extremidade desse representante. (- - -) Muitas pessoas evitam essa identificaeao escrevendo P

(x, y, z), ou entao P (x, y, z).

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Geometria Analttica: um tratamento vetorial

121

A figura mostra uma placa homogenea de peso p mantida em equilfbrio, cujas dimensoes a e b sao conhecidas. Entao as eoor-+

denadas do vetor p em relacao -+-+ -+ -+ a base (i ,j ,k) sao (0,0, - II p II). Agora, as coordenadas do bari-

~~.-/' ~1

centro G da placa em relacao ao -+-+-+

sistema (0, i, j, k), que por sao as coordedeflnicao --+ nadas do vetor OG, sao

(2 cos Q, "2' 2

sen Q).

o-~--_-+

A proposicao seguinte mostra quao comodo ~ trabalhar com coordenadas de pontos e de ve-

tores.

Proposi~io

SeA=(xI,YI,z.), B=(X2'Y2,Z2)' v=(a,b,c), XER,entao

Demonst~o

(Recorde no Capitulo 6 como se opera com vetores dados em coordenadas).

--+ (ii) Seja D = A + X-+v. Bntao, por definicao, temos AD = Xv. Pondo D = (x, y, z), segue da parte

(i) que (x - XI , Y - YI, Z - ZI) = X(a, b, c) = (X a, Xb, Xc)

-+ -+ -+

---+

-+ -+ -+

As coordenadas de A, Be A + Xv sao relativas a (0, e .. e2' e3), e as de v e BA a (e.. e2, e3)'

Georrtn1W AltIIlitictl: um trrztamento vetorlal

122

ou seja. x - Xl = Xa, Y - Yl = Xb

Z - Zl = Xc, devido aunicidade da tripla de coordenadas

de urn 짜etor em rela~o a uma base. Daf x = Xl + Xa, Y= Yl + Xb, Z = Zl + Xc, ou seja,

D=(X,y,Z)=(Xl +Xa, Yl +Xb, Zl +Xc)

AVISO Doravante, nos exercfeios resolvidos e propostos, estara subentendido sempre que necessario que se fixou urn sistema de coordenadas (0,11 , ~ , ~). Se for

caso, deixaremos explfcito que

-+-+ -+

o sistema e ortogonal, e 0 indicaremos por (0, i , j , k).

EXERC(CIOS RESOLVIDOS -+

1. Dados P= (1, 3, -3), Q = (0, -1,4), v = (-1, 4, 0) ache (em coordenadas)

QP -+

b) P+v

c) Q +2 PQ

Resolu~o -+-

a) QP = (1-0, 3+1, -3-4) = (1,4,-7)

P+v = (1,3,-3)+(-1,4,0)=(1-1,3+4,-3+0)\=(0,7,-3)

Q+2

PO = (0, -1,4) -2 6P = (0, -1,4) -

2 (1,4, -7) = (0, -1,4) - (2, 8,-14) =

= (0 - 2, - 1 - 8, 4 + 14) = (-2, -9, 18)

Ache as coordenadas do ponto medio M do segmento de extremidades P = (-1, 4, 7) e

Q = (0,1, I)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Sistemo de CoordelUldlls

Resolu~o

V2 PO

Temos (ver figura)

•p

1 ---+ 1 M=P+"2 PQ = (-1,4,7)+2"(1,-3,-6) =

(-2' 2' 4).

Obse"a~iio

123

•

Se P = (Xl' YI, Zl), Q = (X2, Y2, Z2), entao 0 ponto medio M do segmento de

extremidades P e Q e dado por

YI + Y2 2

Prove Isto, partindo de M = P +

~ PQ.

Quais sao as coordenadas do ponto P', simetrico do ponto P = (1,0,3) em

rela~ao

ao ponto

M=(1,2,-1)?

.. p'

Resolu~o

•

---+ = (1,2, -1) + (0,2, -4) = (1,4, -5). Temos (ver figura) MP' = PM. Logo P' = M + PM

Mostre que os pontos A = (1, 0, 1), B = ( -1, 0, 2) e C = (1, 1, 1) sao vertices de urn triangu10 retangulo (sistema ortogonal). Resolu~o

- -

Temos AB = (-2,0,1), AC = (0,1,0), CB = (-2, -1, 1), e daf vemos que A, B, C nao silo ~~

----+

colineares, pois (AB, AC) e LI. Alem disso, AB • AC = (-2).

+ 0. 1 + 1 . 0=0,

0 que

" e reto. mostra que BAC Pergunta Valeria essa resolucao se 0 sistema nao fosse ortogonal? Por que?

Se 0 sistema de coordenadas

e ortogonal,

mostre que 0 triangulo ABC e equilatero, sendo

A=(1,2,-1), B=(O,l,l) e C=(2,0,0).

124

Geometrla AlUJUt#ca: um tretamento vetorlal

Resolu~o

Temos

AD = (-1, -1,2), AC = (1, -2,1), Be = (2, -1, -1).

Logo, como a base e ortonormal, obtemos

o que mostra que os tres lados do triangulo tern mesmo comprimento. Obse~o

sistema de coordenadas e ortogonal, e .IV neste caso, a distancia entre os

pontos A= (Xl'Yl,Zl) e B=(X2'Y2,Z2) secalculapelaf6rmula

(2) --+

pois d(A,B)= /I BA /I. EXERCicIOS PROPOSTOS 1.

a) Mostre que os pontos P

= (-1,0,0),

= (2, -1, -1),

R = (0, 3, 1) e S = (4, 5,1) s:Io

vertices de urn quadrilatero plano, convexo. Em seguida, especifique quais s:Io seus lados e quais s:Io suas diagonais (urn quadrilatero e convexo se e s6 se nenhurn de seus vertices e interior ao triangulo determinado pelos outros tres; veja 0 Exercrcio 20 do Capitulo 4). b) Verifique se os pontos A

= (2,6,

-5), B = (6,9, 7), C = (5, 5, 0) e D = (3,10,2) sao

= (3,0,

-1), F = (0, 3, 0), G = (5, 1, -2), H = (~, 1,2), sao

vertices de urn paralelogramo. c) Mostre que os pontos E vertices de urn trapezio,

Como se reconhece, atraves de suas coordenadas, urn ponto do eixo das abscissas? e do eixo das ordenadas? e do eixo das cotas? E como se reconhecem pontos de cada urn dos tres pIanos coordenados?

Sistema de Coordenadas

125

Seja (0, el, e2, e3) urn sistema ortogonal de coordenadas em E 3 e seja P= (a, b, c). Determine os pontos PI' P z , P 3 , P4 , P s e P6 , respectivamente, projecoes ortogonais de P sobre Oxy, Oxz, Oyz, Ox, Oy e Oz (faca uma figura).

Na figura ao lado, ABCDEFGH

-+-

e urn paralelepipedo retangulo, Sejam: H

el = AB

-+-

ez -+-

AC AF

C A

Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G, H, em relacao ao sistema -+- -+- -+-

(A, el, ez. e3)' -+- -+- -+-

Idem, em relacao ao sistema (H, el. ez, e3)'

Idem, em relacao ao sistema (G,-e3' -

1 -+-+e l, 2 e2)'

-+- -+- -+-

Idem, em relacao ao sistema (A. ez. e3, el)'

CAPiTUW 14

ESTUDO DA RETA

r C

Considere uma reta colha urn ponto ~

A E r,

paralelo a r. Entao

que urn ponto X E E ~

Es-

e urn vetor

E3 .

e facil ver

pertence a r

se e somente se AX e v sao linearmente dependentes (ver figura), isto e, se e so-+

mente se existe AE lR tal que AX == Av ou seja

(l) Em outras palavras, dado A real, (l) nos da urn ponto X de r, e dado XEr, existe AEIR tal que (l) se verifica. Areta r e, pois,

lugar geometrico dos pontos X de E 3 tais que vale (l ).

A equacao (l) se chama equacdo vetorial da reta r.

Escreve-se

r: X == A + A-;,

(A E lR)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Escudo do Reta

127

Observaeoes 1.

Observe que (1) nao

e a (mica -+

equacao vetoria1 de r, pois se tomarmos outro ponto A' E t,

teremos que X = A' + A v tambem ---+

e uma equacao

vetorial de r, porquanto X E r -+

<0>

existe

~-+

A E R tal que A'X = A v. Poderfamos tambern ter tornado w *- 0 paralalelo a v, w *- v, e -+

teriamos outra equacao vetorial de r, a saber X =A' + Aw.

E importante

Se A e B sao pontos distintos de r, entao v = AB

que voce sinta intuitivamente que se A percorre 0 conjunto dos numeros reais, X, dado por (1), percorre toda a reta r. Para isso, veja a figura a seguir.

e nao-nulo e paralelo a r,

de modo que

~-+

X= A+AAB e uma equacao vetorial de r. Eclaroque X=B+AAB e X=B+A BA sao

tambern equacoes vetoriais de r.

Usando uma linguagem mais livre, podemos dizer que 0 vetor v de (1) serve para fixar a dire9ao da reta r, ao passo que 0 ponto A serve para fixar sua posicao no espaco (uma reta fica -+ determinada por urn de seus pontos e sua direcao). Chamaremos frequentemente v de vetor diretor ou simplesmente diretor de r. Pelas observacoes ja feitas, vemos que uma reta admite muitos diretores, todos paralelos entre si (dois a dois LD). Urn vetor diretor de r nao pode ser nulo!

128

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Outro modo de interpretar a equaeao (1)

e encara-la como

se ela descrevesse

urn ponto sobre a reta r, com velocidade (vetorial) constante igual a

movimento de

"t, A indicando 0

tempo,

e A a posicso no instante inicial A= O. Valores negativos de A indicariamo "passado" do movimento, em relacao ao instante inicial. A cada valor de ~ terfamos urna posicao bern determinada do ponto movel, e fazendo A percorrer todo 0 conjunto IR, a reta r seria percorrida integralmente pelo ponto (r seria a trajet6ria do movimento). Como ha rnuitos movimentos retilineos unifonnes com a mesma trajetoria, fica facil entender por que existem muitas equayfies vetoriais para a mesma reta. ~l

...... '

Por tudo 0 que ficou dito acima, ve-se claramente que se X = A + AU e X = B + Av sao equacoes vetoriais de urna reta r, 0 valor de A correspondente a urn ponto Q E r nlio tern porque ser

mesmo nas duas. 0 mesmo se diga, por maior razao, se elas forem equa-

~oes de retas distintas. Conclusao: se voce for "misturar" as equacoes em seus calculos, deve -+, -+

mudar a notacao escrevendo por exemplo X = B + 11 v em vez de X = B + A, v .

Tomemos agora urn sistema de coordenadas (0,1; -+

.-t2 , 1;),

em relacao ao qual sejam

X=(x,Y,z), A=(Xo,yo'Zo) e v = (a,b, c). Substituindo em (1) resulta

(x, y, z) = (xo + Aa, Yo + Xb, Zo + AC) Logo

x = Xo + Aa Y

Yo + Xb

= Zo +

(2)

(AEIR)

'* -+

Observe que a. b, c nlio sao todos nulos, pois v 0, isto e, a 2 + b 2 + c 2 (2) sao chamadas equacoes parametricas de r. A e chamado pardmetro .

'* O.

Suponha agora que seja dado urn sistema linear como (2), com a2 + b2 + c2

As equacoes

O. Entao, fixado um sistema de coordenadas, existe uma reta da qual as equacoes (2) sao equacoes parametricas: e a reta que passa por (Xo, Yo' zo) e e paralela ao vetor (a, b, c).

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ E,tudo dJl RetQ

129

Observe que se voce fixar outro sistema de coordenadas, mantendo 0 mesmo sistema de equa~oes,

as retas em geral sao distintas.

Por exemplo, se 0 sistema de equacoes e

= (0,0, 0), ~ = (0,0,1) =13 )

=0+A

entao, a reta r passa pela origem e e paralela a13 . Veja agora a figura: r

.'2

Obtivemos retas distintas!

Observacoes As Observacoes 1 a 6 anteriores se adaptam naturalmente as equacoes na forma parametrica; em especial destacamos:

Se a reta passa pelos pontos distintos A = (xj , YI, zd e B =(X2' Y2' Z2), entao podemos tomar 1"= BA= (Xl -X 2, YI -Y2' Zl -Z2) eteremosparaequa~Oesparametricasder

(XEIR)

130

G«JmetrM A1tIllftictl: um tretamento vetorlal

Assim como a equa¢o vetorial (1), as equacoes parametricas (2) (que provem deIa) nao sao

detenninadas de modo unico. Dependem da escolha de A e de 1;e'do sistema de coordenadas.

Releia a Observacao 6.

Se, em (2) tivermos a::l= 0, b::l=

e c::l= 0, entao podemos eliminar "X e obter

(3)

que sao as chamadas equacoes de r naforma simetrica.

EXERCICIOS RESOLVIDOS 1.

Ache as equacoes nas formas vetorial, parametrica e simetrica da reta que passa pelos pontos A=(1,O,I) e B=(O,I,O).

Resolueao -+

Escolhendo AB =(-1,1, -1) como vetor diretor, eo ponto A, temos:

X=(1,O,I) + "X(-I,I,-I) (XEIR)

equacao vetorial:

,-, =(

1 1+ "Xi(-~iY:

) <'

I I

I I I

"X: 1 Y =',0; ,, +

equacoes parametricas:

z =' \ 1;I + T

r r

I I

I I-~ I

"" I I 1\ l.,( -I). J

,, \

I 1

\ \

(~~~rd~~~~i~s de ~~"~ \ ponto da reta

equacoes na forma simetrica:

x-I

y-O

-1

r--~-------------,

: coordenadas de urn vetor : I I I diretor da reta. : I L-

z- 1 -1

..r

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Estudo da Reta

131

Escreva uma equacao vetorial da reta r, que passa pelo ponto medio M do segmento AB, e que tern vetor diretor --+

(4"9'

- v'3 98 '-7-)'

3 V3

Sao dados: A=(1, 1,3) e B=(3, 1,0).

Resolucao Sendo M 0 ponto medic de AB, temos:

1+3 1+1 3+0 3 M=(-2-'-2-'-2-) = (2,1'2)

--+

. --+

V3~

--+

Como v e paralelo a u = (2,3, -14), pois v = "98u; podemos tomar u como vetor diretor de r. Assim, uma equacao vetorial de r e

3 x = (2,1, 2) + A(2, 3, -14)

(AER)

De dois vetores diretores distintos e quatro pontos distintos da reta r que tern equacao vetorial

= (1,2,0) + A(1,I,I)

(AER)

Resolucao Sabemos que --:= (1, 1, 1) e urn vetor diretor de r. Para obtermos outro, basta escolher urn vetor \t que seja multiple de --:; par exemplo: \t = (2, 2, 2). Quanto aos pontos, basta atribuir valores a A; por exemplo: => X = (1,2,0)

째

2 => X = (1,2,0) + (2,2,2) = (3,4,2)

A= - 1 => X = (1,2,0) + (-1,-1,-1) = (0,1,-1) A=

5 2

5 5 5 7 9 5 - -) = (- - -) 2'2'2 2'2'2

=> X = (1 2 0) + (-

132

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

795 Logo, os pontos A=(l,2,0), B=(3,4,2),C=(0,1,-1) e D=(2'2'2) de

sao pontos

Dado

sistema

x (XE IR)

= 2X

esboce a representacao geornetrica da reta r que tern essas equacoes como equacoes parametricas nos casos:

Of-----.ez

--.

lie) 11= lIe211= lIe311= 1

111;11=111;11

Resolu~o

Escrevemos

sistema assirn:

r --,

+ +

=: 0

r- -I

A. :0: :

A.:0: I 1

I I

x . :2 : L__ .J

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Estudo do Reta

e vemos imediatamente que a reta passa por A = 21"3' Entao

=(1,

2, 0) e e paralela ao vetor ~ = (0, 0, 2)

-ez

(i)

'T/

/ / A

(ii)

-+ ez

~~~---\/' /'A

/' /

Dadas equacoes parametricas

1 +3

6- 5A

(AER)

de uma reta r, achar uma equacao vetorial de r.

133

134

Geometria Analitica: urn tratamento vetonal

Resol~

Dispomos 0 sistema assim:

=1I

I t 1

1 1

째

=,l

A-

,r----' 3 I I

1 I I

A-

., 2 I

I I

A-

, ,I ,,, I

, I

. ~(--=.5)J

e imediatamente reconhecemos que r passa por A = (1,0,6) e Entao uma equacao vetorial de r e

x 6.

e paralela a i= (3, 2, -5).

(1,0,6) + :\(3,2, -5)

Verifique se 0 ponto P = (4,1, -1) pertence a reta r: X

= (1, 0,1)

+ :\(2,1,1) (:\ER).

Resolueao

Para que PEr

e necessario e suficiente que exista P

Ora, essa igualdade

= (1,0,1)

:\ ER tal que

+ :\(2,1,1)

e equivalente a (4,1,-1)

= (1 +2A,:\,

1+:\)

1+2:\

1+:\ Como 0 sistema e incompativel (nao existe urn valor de :\ que satisfaca simultaneamente as tres equacoes), conc1uimos que PEr.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Estudo da Reta

135

Sao dadas as equacoes

2x -1 3

1 -y ---"-= 2

z +1

Mostre que elas representam uma reta r.

Elas sao equacoes na forma sirnetrica de r? Caso nao sejam, passe-as para a forma simetriea.

Exiba um ponto e um vetor diretor de r.

Resolu~o

Sendo

2x -1 3

x - 1/2

l-y 2

y-l -2

z+1

3/2

z+1 =---

as equacoes dadas podern ser eseritas

x - 1/2 3/2

y-l -2

z+1

(a)

1 que sao equacoes na forma simetrica de uma reta que passa pelo ponto (2' 1, -1) e tem -+ 3 v =(-, -2, 1) por vetor diretor. Entao, 2 a)

as equacoes dadas, por serem equivalentes a (a), representam uma reta r;

elas nao sao equacoes na forma simetrica de r, pois nao atendem a definicao anterior. Todavia podemos passa-las para a forma simetrica: e 0 que fizemos aeima, obtendo (a).

1 -+ 3 A=(2"' 1, -I) e v=(2' -2,1).

136

Geometria Analitica:um tratamento vetoria!

EXERCicIOS PROPOSTOS Nos Exercicios 2,4,8,9,10 e 13 0 sistema de coordenadas e suposto ortogonal. 1.

sao dados os pontos A =(3,6, -7), B = (-5,2,3) e C = (4, -7, -6). a)

Escreva equacoes veto rial e parametricas para a reta determinada pelos pontos B e C, e obtenha sua forma simetrica (se existir). 0 ponto D = (3, 1,4) pertence a essa reta?

Verifique que os pontos A, Be C sao vertices de urn triangulo.

Escreva equacoes parametricas da mediana relativa ao vertice C do triangulo.

Dados os pontos A = (0,0, 1), B =(l, 2, 1) e C = (l, 0, 1), obtenha equacoes parametricas das bissetrizes intema e externa do triangulo ABC, relativas ao vertice C (veja 0 Exercicio 4 a), do Capitulo 4).

Obtenha equacoes parametricas para os tres eixos coordenados.

o (j)

Dados os pontos A = (1, 2, 5) e B =(0, 1,0), determine P sobre a reta que passa por A e B tal que 0 comprimento de PB seja 0 triplo do comprimento de PA.

Escreva equacoes parametricas para a reta r, que passa pelo ponto A = (2, 0, -3) e: a)

eparalela areta 1- x 3y s: - 5 - = -4-=

z+3

eparalela a reta que passa pelos pontos

e paralela a reta

s':

1- 2A

4+ A

-1 - A

B = (1,0,4) e C = (2, 1,3)

(AEIR)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Estudo da Reta

137

Passe para a forma simetrica, quando for possivel, as equacoes obtidas no exercicio anterior.

Verifique se r = s nos casos:

I x = 1 - - J.l. 2

x = I-A

= 2+2A

(AER)

': / (VI j

1 2

-X 1

= -+X 3

= -2- A

= (1, I,D)

x = I-J.l.

(AER)

y = -1+J.l.

(Il E IR)

z = 2-J.l.

1 + A(1,O'-2")

(AER) (,

(Il E IR)

z = 1 +-J.l.

z = 1+A

x =3

= 2+J.l.

1 (0,1'2) + J.l.(-2,0, 1)

(J.l.ER)

Dados A = (0,2, 1), r: X =(0, 2, -2) + A(l, -1, 2), ache os pontos de r que distam v'3 de A. Em seguida, diga se a distancia do ponto A a ret a r e maior, menor, ou igual a V3, e por que.

Idem para A

= (1, 1, 1), a distancia sendo

Yll, e

x = 1+ A r:

y = 1- A

(AER)

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

J38

~ Dada a reta

r: X = (1,0,0) + X (1, 1, 1) e os pontos A = (1,1,1), B = (0, 0,1), ache ponto de r equidistante de A e B.

11. Ache equacoes parametricas da reta que passa por A = (3,3,3) e e paralela 8=(1,1,0) e C=(-I,O,-1).

= (0,0,0) + X(I,2,4)

(XER)

= (1,0,-2)+X(-I,-I,-I)

(XER)

a reta BC,

sendo

Pergunta-se se as trajet6rias sao concorrentes e se haven! colisiio.

13. Sejam P = (1,0,1) e Q = (0,1,1). Em cada urn dos casos a seguir ache urn ponto C da reta 1 PQ tal que a area do triangulo ABC seja - . 2

A=(I,2,I),

B=(1,2,3)

A =(1,3,2),

B=(2,2,2)

A = (3,0,2),

B = (2,1,2)

A = (3, -2, 1), B = (0,0,1)

CAPITULO 15

ESTUDO DO PLANO

ยง 1 Equacao Vetorial e Equacoes Parametricas de urn Plano Seja

C E 3 urn plano. Eseolha urn ponto AE 1T e

dois vetores

It e ~ linearmente

los a tt. Entao ~

e facil

independentes e parale-

ver que X E

se e somente se

/ ~u

AX. u, v sao linearmente dependentes (os tres sao paraJeJos a 1f), e isto oeorre se e somente se existern ' ~ ~ ~ A,:(EIRtaisqueAX=AU+rv.Logo A

__________1/

(1)

[X==A+Alt+fJ.-:

A. fJ.ER, (I) nos da urn ponto X de 1T, e dado XE 1T, existem A. j.LER a plano 1T e, pois, 0 Jugar geometrico dos pontos de E3 que obedeeem (I).

Em outras palavras, dados tais que (1) se verifica.

A equacao ( 1) se chama equacdo vetoria! de n . Observaeoes 1.

Se A, B, C sao pontos distintos e nao eolineares de n, podemos tomar

It == AB, -: == AC

(par 139

14fJ

Geometrio Analitica: um tratamento vetorial

A~. exemplo) e entao X = A + A outra equacao vetorial de 11' â&#x20AC;˘

Os veto res

Ali + J1 AC e uma equacao vetorial de 11'; X = C + A AB + J1 CB e

Ite l' slio chamados vetores diretores do plano 11'. ~

Tomemos agora urn sistema de coordenadas (0, ej, e2, e3)' ~

Escrevendo

X = (x, Y, z),

A=(Xo,Yo'zo)' u=(a,b,c) e v=(m,n,p), resulta de (1) que (x,Y,z) = (Xo'Yo,zo) + X(a,b,c) + M(m,n,p) ou

Logo,

x Y

= Xo

+ Xa + Mm

Yo + Xb + Mn

(X, MER)

As equacoes (2) sao chamadas equacoes parametricas de

(2)

7T.

Suponha agora que seja dado urn sistema linear como (2), em que (a, b, c), (m, n, p) sejam linearmente independentes. Entao, fixado urn sistema de coordenadas, existe urn plano tendo as equacoes (2) como equacoes parametricas, Eo plano que passa par (xo' Yo' Zo) e e paralelo a (a, b. c) e (rn, n, p). E claro que fixado outro sistema de coordenadas, as mesmas equacoes podem representar urn outro plano.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Estudo do Plano

141

Observacao Se

passa pel os pont os A = (xj , Yl ,Zl)' B=(X2,Y2 ,Z2), C = (X3,Y3, Z3) nao-colineares, ~

---+

entao podemos tomar como vetores diretores u = AB = (X2 - XI • Y2 - Y1 , Z2 - Z1),

---+

= AC =

(x, -X], Y3 -Y], Z3 -z])edai

sao equacoes parametricas de

1T •

EXERCICIOS RESOLVIOOS

Ache duas equacoes vetoriaistlo plano que passa por A = (-3, -7, I), e --+

res u

=( I,

--+

•

e paralelo aos veto-

I, I) c v = (--I, I, 0).

Resolucao

Temos

X=A+Alt+J..L~= (-3,-7,1) + A(I, 1,1) + J..L(-I, 1,0) Esta

e uma equacao vetorial do plano.

Uma outra seria, por exernplo,

X=A+A(-li)+J..L1'= (-3,-7,1) + A(-I,-I,-l) + J..L(-I,I,O)

(A,J..LEIR)

(A, J..LEIR)

Ache uma equacao vetorial do plano que contern os pontos A = (0, I. 0), B = (I, 0, I) e

C = (0, 0, 1). Resolucao

Temos - = (I, -I, I), A -+ AB C = (0, -1, 1), que sao linearmente independentes; logo

GeomnriIz A""'itiaz: um tratamento vetorial

14:

(A, JJER)

(0,1,0) + A(l, -1,1) + IJ.(O, -1,1)

e urna equaeao vetorial do plano. 3.

De equacoes parametricas do plano 'IT que passa pelo ponto A = (7, 7, 1) e vetores It =(1, 1, 1) e "1= (-1, 0, 1). Resolueao

Ternos irnediatamente

r----

=1 7 1 1 I =, 7 Y I X

r- - -1

+ =1L ____ I

I I

coordenadas de urn ponto de 1T

J.l

I I

I I I

I( -1)1 I I I I

1-1

r - --1

X .: 1 1 +

. I I 1+ L ___ J

J.l

I I I I I

-+ U

X=7+A-IJ. 7 +

(X, IJ.ER)

z=I+X+J.l

Esboce

plano que tern por equacoes parametricas

y = J.l

coordenadas de -+ v

I I

IL ___ ..JI

coordenadas de

째

I I I

(X, J.lEIR)

e paralelo aos

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Estudo do Plano

nos casos

(i)

(li)

Resolueso Escrevendo as equacoes na seguinte disposicao

c-,

= :0

r-" I 1 I 1 11 + 1 I 1I I 1 + 10 I I

I I I

= :0 I I

:c 1__

vemos que 71' passa por A = (0, 0, I) e

J.l J.l

I 1 10: I 1 + L __ J

-+u

J.l

io-l~

1 1 1 I 1 I : 1 11 I I I 1 :L__ 0 J: -+v

e paralelo a -+-u =(1, 0, 0)

= -+e 1, e a -+v= (0, 1,0) = -+e20

Assim, temos

(i)

(ii)

0f-_ _

143

144

GeometriaAnalitica: um tratamento vetorial

..,--

De uma equacao vetorial do plano 11' que tem por equacoes parametricas

A -J.L

-6+

-1+7A-14J.L

4-5A

+2J.L

Resolueao Dispondo as equacoes assim:

..---....-6- ...__ ... .:+

x =. Y Z

-1

.:+,

-.'--------,.; 4 :+

,--_ .....

J.l

(-1)

J.l

( -14)

( -5) + .--.... -- ....

J.l

A ,

vemos que 11' passa por (-6, -1, 4) e

-..... -

e paralelo

...----_.--

aos vetores (1, 7, -5) e (-1, -14, 2), logo

= (-6, -1,4) + A(1, 7, -5) + J.L (-1, -14,2)

â&#x20AC;˘

e uma equacao vetorial de 11'.

EXERCicIOS PROPOSTOS 1.

Escreva equacoes vetorial e parametricas para os pIanos descritos abaixo : passa por A = (I, 1,0) e B = (1, -1, -1) e e paralelo ao vetor 1"= (2, 1,0).

71'

passa por A = (1,0, 1) e B = (0, 1, -1) e C=(I,2,1) e 0=(0,1,0).

1Tpassapelospontos A=(1,O,1), B=(2,1,-1) e C=(1,-I,O).

1Tpassapelospontos A=(1,0,2), B=(-I,I,3) e C=(3,-I,1)

e paralelo ao segmento CD,

onde

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Estudo do Plano

145

Verifique (e explique por que) se "1 = "2 nos seguintes casos: a)

"1: X =(1, 2, I) + X(1, -1,2) + J.L(

-"2' 3'

-I)

"2: X=(1,2,I) +a(-I,I,-2) +13(-3,4,-6) b)

"1: X =(1, 1, I) + X(2, 3, -I) + J.L(-I, 1, 1)

"2: X = (1, 6, 2)+ X(-I, 1, I) + J.L(2, 3, -1) c)

1t1 : X=(O,O,O) + X(1,I,O) + J.L(0,1,0) "2: X =(1,1,0) + X(1, 2,1) + tl(O, -1, I)

"1: X = (2,1,3) + X(1, 1, -1) + J.L(1, 0,1) ""2: X = (0,1, I) + ÂŤ(L, 3, -5) + 13(1, -1,3) ->

3. /

Decomponha 0 vetor v = (1, 2, 4) em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano X =(1, 1,0) + X(1, 0,1) + J.L(O, I, -I) e outra paralela a reta X = (0, 0, 0) + v(2, 1,0).

Ache dois pontos A e B da interseccao dos pianos" 1 e n 2' e escreva uma equacao vetorial. para a reta que passa por A e B. Dados: "I:X=(I,O,O) + X(O,I,I) + J.L(1,2,1)

"2: X=(O,O,O) + X(0,3,0) + J.L(-2,-I,-I).

Escreva equacoes parametricas para os tres pianos coordenados.

Escreva equacoesvetoriais para os pianos bissetores dos diedros determinados pelos pIanos coordenados (sao 6 bissetoresl). Suponha que

sistema e ortogonal.

Obtenha equacoes parametricas do plano" que passa pelo ponto A = (1, 1, 2) e ao plano

"1: X = (1,0,0) + X(1, 2, -I) + J.L(2, 1,0)

e paralelo

1.J"

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

S.e;a 10. f\, e2, e3) urn sistema de coordenadas, e 1r cE urn plano que passa por -+ -+ \. =11.a. ~O' Zc), paralelo aos vetores linearmente independentes u = (r, s, t) e v = (m, n, p). EJT..io,. X = (x, y, z) pertence a T

e somente se os vetores AX,

';;(. ... sao linearmente dependentes, !Sto e, se e somente se

z-z r

째 o

ou seja, desenvolvendo por Laplace esse determinante relativamente se

(3)

a primeira linha, se e somente

e dai, equivalentemente,

S!_Xel

xis tl+ylt r I+zlr np pm mn

s tl_ y It rl_ z Ir sl=o np 째pm 째mn

ou seja, pondo

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ EItJIdo do /'lao

147

temos

Iax + by + cz + d = 0 I

(4)

Observe que a 2 + b 2 + c2 0, isto e, que a, b, c nao sa'o simultaneamente nulos, pois se assim fosse, os numeros r, s, t seriam proporcionais a m, n, p (verifique por que) e os vetores e-; seriam linearmente dependentes. A equacao (4) se diz uma equaÂ˘o geral do plano fr.

Suponha agora que seja dada a equacao ax + by + cz + d = 0, com a 2 + b 2 + c2 Entlio, fixado urn sistema de coordenadas equacao geral. Vamos mostrar isto.

*" 0

(5)

-+ -+ -+

(0, el ,e2, e3), existe urn plano

Como a, b, c nao sa'o simultaneamente nulos, urn deles, digamos a, Neste caso, (5) ~ equivalente a b c x=--y--z

que tern (5) por

diferente de zero.

(6)

Fazendo: y = z

vern

x =

0, z

vern

x =

y = I, z

vern

d a

----

= ---a a

Considere os pontos d c d A= ( - - 00) B=(----O 1) a' " a a'"

b d C=(----, 1,0). a a

148

Geometria Analitica:um tratamento vetorial

- = (- -, c 0, 1) e AC - = (- -, b 1, 0), ve-se claramente que AB - e AC - sao linearrnente inComo AB a a dependentes, e portanto A, B, C nao sao colineares, determinando, pois, urn plano rr. Para obter urna equacao geral de rr escrevemos (veja (3)) x - (- d/a) Y - 0

Z -

- cia

o o

- b/a

Desenvolvendo esse determinante obtemos ax + by + cz + d = 0,

que prova a afirmacao feita.

Observ~oes

As consideracoes acima nos perrnitem dizer o..seguinte. Seja (O,e l, t 2 , e3) fixo, e rr C E 3 urn subconjunto. Entao rr e urn plano ~ existem a, b, cEIR, com a 2 + b 2 + c 2 0, tais que rr= {X=(x,y,z)1 ax+by+cz+d=O}.

Se o plano rrpassapor A=(XI,YI,ZI)' B=(X2'Y2,Z2)' C=(X3,Y3,Z3), pontos estes nao coline ares, entao uma equacao geral de rr pode ser obtida a partir de

Xl - X3 o que

YI - Y3

Zl - Z3

e equivalente (tente provar) a X

Xl YI

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Estudo do Plano

149

EXERCicIOS RESOLVIDOS 1.

Ache uma equacao geral do plano 1T que passa por A = (9, -1, 0) e

e paralelo

aos vetores

li=(O,I,O) e~=(1,.I,l). Resolueao

E born

verificar que

li e --: sao linearmente independentes,

X = (x, y, z) e urn ponto de 1T se e somente se

que

e facil,

Entao

AX, li, -: sao linearmente dependentes, ou

seja,

x-9

y+I

° °

Desenvolvendo

determinante, vern x - z - 9

Idem, 1Tpassando por A=(1,O,I), B=(-I,O,I), C=(2,I,2). Resolueao (

*) -+

= (-2, 0, 0) = (1,1,1)

Esses vetores sao linearmente independentes. Entao, uma equacao geral sera obtida a partir de x-I

y-O

z-I

-2

que fornece y - z + 1 =

(*)

= .0 ,

°.

Poderfamos usar a formula da Observacao 2, mas preferimos a resolucao acima.

150

Geometrio Analttica: um tratamento vetorial

Dadas equacoes parametricas de urn plano

1r ,

x=-1+2A-3J.L y

A + J.L

(A, J.L E R)

= A

obtenha uma equacao geral de

1r .

Primeira Resolucao (eliminando A e J.L).

Substituindo

A (que

e a terceira equacao) nas duas primeiras, vern

-1 + 2z - 3J.L

+ J.L

Da segunda equacao vern J.L = y- 1 ~ z que levada a primeira fornece x + 3y - 5z - 2 = 0

Segunda Resolucao (achando urn ponto de

e dois vetores linearmente independentes para-

lelos a 1r). As equacoes podem ser dispostas assim:

,---.,

=, -1 ' I I I

j- -

,( -3)1

J.L

I I

Y =1I

I I

- ,L

___ J

I I L ___

J.L

I I

I I I

J.L

I I

I L ___

..!

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Estudo do Plano

151

Dai, imediatamente se escreve

z-o

y-I

x-(-I)

-3 De onde resulta x + 3y - Sz - 2

Urn plano tern por equacao geral x + 2y - z - I

Obtenha equacoes parametricas de n .

Primeira Resolueao Urn modo de resolver

e obter tres

solucoes da equacao dada, de forma que os pontos

correspondentes nao sejam colineares. Por exemplo,

x = z

= -I

(0,0, -I)

0 => y = 2

(0'2' 0) pertence a 'TT.

0 => x = 1

(1,0,0)

0 =>

--*

Como CB

= (-I, 2'

--*

0) e AC

= (1,0,

1-2"A.-p.

"A.

sao equacoes pararnetricas de

'TT.

pertence a 'TT.

pertence a rr.

1) sao LI, A, B e C nao sao colineares. Segue que

152

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Segunda Resolueao (melhor) Escreva y = A e z = IJ. . Substituindo na equacao dada vern x + 2 A - IJ. - I = 0, x = I - 2 A+ IJ. . Portanto temos x=I-2A+IJ.

IJ.

Pode-se justificar esse procedimento em geral (veja 0 Exercrcio 14). Se ax + by + cz + d = 0, a2 + b 2 + c 2 * 0, e urna equacao geral de urn plano, entao ou a * 0, ou b * 0 ou c * O.

bed

Se a*O,

faca Y=A, z=IJ.

e daf X=--A --IJ.

Se b * 0,

faca x = A, z = IJ.

e dai y = - - A - - IJ. b b

Se c*O,

a b faca X=A, Y=IJ. edai z= --A --IJ.

Uma ret a r

e dada como

b d c

interseccao de dois planos: +z-I=O

r:{X+Y

x + Y- z

De equacoes parametricas de r. Primeira resolucao A ideia

e chamar uma

das variaveis x, Y, z de A, e achar as outras em funcao de A.

Fazendo x = A., chegamos a

{:: :

- A+ I

-A

______________

Estudo do Plano

Resolvendo

sistema acima, obtemos y =

2'" -

153

A, z =2'"' e portanto

1 Y =--A 2

1 z =2

sao equacoes parametricas de r.

= ~ (constante). parametro, isto e, nao podemos fazer z =X. E quanta a y =X? Note que todos os pontos de r tern cota z

Logo z nao serve como

Segunda resolueao

Se acharmos dois pontos distintos de r, saberemos escrever equacoes parametricas de r. Basta entao achar duas solucoes distintas do sistema

{

X ~ Y + Z - l

x+Y- z

1 1 1 1 Por exernplo, os pontos A = (2' 0 '2) e B = (-"2' 1 '2)' obtidos fazendo respect iva-

mente Y = 0 e y = 1 no sistema acima, sao pontos da reta r. Entao AB = ( -1, 1, 0) e portanto

Geometria AnaliticÂŤ: um tratamento vetorial

J54

""2

= 21

sao equacoes parametricas de r.

Observaeao

E bastante frequente descrever-se uma reta

r por urn par de equacoes da forma

(6)

com ai + bi + ci 0 e a; + b; + c; 0, isto e, encarar a reta r como intersecao de do is pianos 1T 1 e 1T 2 . E claro que nesse caso esses dois pianos nao devem ser paralelos, e uma condicao necessaria e suficiente para isso, como verernos no Capitulo 16,

e que os

coeficientes

ai, b l , c 1 nao sejam proporcionais a a2' b 2, C2' 0 exercicio anterior mostra como se obtem, nesse caso, equacoes parametricas da reta. Por outro lado, dadas equacoes parametricas de uma reta r, podemos obter equacoes de r sob a forma (6) eliminando

parametro - par substituicao, por exemplo. Caso

metro nao compareca em uma das tres equacoes pararnetricas, esta ja que contem r. Vejamos exemplos.

1~) r:

1- A

2+2A

= 3+A

(AEIR)

para-

e equacao de urn plano

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Estudo do Plano

155

Temos, da terceira equacao,

Z -

Substituindo nas outras duas, vern x = I - (z - 3) e y

= 2 + 2 (z -

3), ou

X+ Z- 4 = O

r :

y - 2z + 4 = 0

isto e, r e a intersecao dos planos

2?)

x r :

1T 1:

I +

1T 2:

y-2z+4=O.

Como x = 2 e equacao de urn plano que r C n 1. Para obter outro plano, equacoes; obtemos y = z. Assim,

39)

x+z-4=O e

(AER)

1T 1

e todo ponto de r obedece a essa equacao, temos que contenha r, basta eliminar Anas outras duas

1T 2,

- 3A

(AER)

z =3

Essa reta esta contida nos planos n 1 : Y = O. e n 2: z essas duas equacoes. Logo,

= 3"' pois todo ponto de r satisfaz a

156

Geometria Analttica: um tratamento vetorial

sao equacoes de r na forma (6). Finalrnente, repare que 0 procedirnento de "elirninar 0 parametro" ja foi utilizado no capitulo anterior, para se obter equacoes de uma reta na forma simetrica, que nada mais e do que urn caso particular da forma (6). Assim, se

r :

y+2 z ---= 2 -2

x-I --3

podemos escrever x-I 3

z -2

r : Y +2 2

- --2-

{2 x + 3z - 2=0 y+z+2=0

Faca urn esboco do plano de equacao geral x + y - 2 = 0, relativamente ao sistema ortogonal de coordenadas ilustrado na figura.

Resolucao Os pontos do plano devem obedecer a equacao x + Y = 2, de modo que sua coordenada "z" pode tomar qualquer valor real. Entao, se urn ponto P = (xo' Yo, zo) pertence ao plano, qualquer ponto Q = (x o' Yo, z) tambern pertence. 0 plano contern entao todas as retas "verticais" que furam 0 plano Oxy ao longo da reta r, indicada na figura seguinte.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,....--

Estudo do Plana

157

Observacao

Na Geometria Analitica Plana, a equacao x + y = 2 representava a reta r. Cuidado, que agora se trata de urn plano; aquela reta tern equacoes

x +y {

=2 r

EXERCicIOS PROPOSTOS

Faca urn esboco dos pianos com equacoes gerais dadas abaixo, relativamente aos sistemas de coordenadas ilustrados nas figuras.

o (I )

CUBOS

(.II )

x - 2 =0 .

y+I=O

z+4=O

x-z=O

y-z-2=O

x+y+z-I=O

x + y - 1 =0

Passe para a forma parametrica as equacoes gerais dos pianos do exercfcio anterior.

Obtenha equacoes gerais dos pianos coordenados e dos pianos bissetores dos diedros determinados por eles (suponha 0 sistema ortogonal).

158

Geometria Analitica: urn tratamento vetorial

Verifique se 11 1 = 11 2 nos seguintes casos (explique por que): a)

11 1:X-3y+2z+I=0,112:2x-6y+4z+1=0

11 1 : x--r+2z-1=0, 11 2 : -2x+y-4z+2=0

Obtenha equacoes gerais para os planos 11 descritos abaixo: a)

11 passa por A = (1,1,0) e B = (1, -1, -1) e e paralelo ao vetor 1"= (2,1,0).

11 passa por A = (1, 0, 1) C=(1,2,1) e D=(O,I,O).

11passapelospontos A=(1,O,2), B=(-1,1,3) e C=(3,-1,l).

B = (0, 1, -1)

e e paralelo ao segmento CD, onde

passa pelos pontos A=(1,O,l), B=(2,1,-l) e C=(I,-I,O).

x-I 2

L = z 2

s: x-l=y=z

obtenha uma equacao geral para

plano determinado por res.

Idem, sendo

x-I 2

y-3 3

r:-- =---

Dadas as retas r :

z 4

Obtenha uma equacao geral do plano

x=I+"A-IJ. 11:

y=2"A+IJ. z=3-IJ.

s'- =- = . 2 3

z-4 4

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Estudo do Plano

159

Idem,

x 11":

= 1+A

y=2 Z=3-A+J.L

10. Seja 11"1 0 plano que passa pelos pontos A = (I, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1). Seja 11"2 ~ ~ o plano que passa por Q = (-1, -1,0) e e paralelo aos vetores v = (0,1, -1) e w = (I, 0,1). Seja 11"3 o plano de equacao vetorial X=(I, 1, 1) + A(-2, 1,0) + J.L (1,0, 1). a)

Escreva equacoes gerais de

Mostre que a intersecao

11"1, 11"2

11"1 n1T 2

e 11"3

1T 3

11. Verifique se a reta r esta contida no plano

se reduz a urn unico ponto; determine-o.

nos seguintes casos:

r: X=(I,0,0)+A(2,-I,0), 1I":x+2y+3z= 1

11": X

= (1,4, I) + },.(I, -1, I) + p(-I, 2, -I) e r passa pelos pontos

A = (2, 3, 2) e B =(0,0, 1)

x-I=2y=4~z

e 1I":x+2y-2z+I=0

12. Sejam P=(4,I,-I) e r: X=(2,4,I)+A(I,-I,2) P~r.

Mostre que

Obtenha uma equacao geral do plano determinado por reP.

13. Verifique, em cada urn dos casos seguintes, se as retas res sao concorrentes. Em caso afirmativo, determine 0 ponto P comum a elas e escreva uma equacao geral do plano determinado por elas.

J 60

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

x a)

r :

I +4 A

2~2A

4+A

x-I

s :

=- 3A

I +A

-2A

2+z 5

z = 2A

14. Seja ax + by + cz + d = 0 uma equacao geral de urn plano rr, Suponhamos a -4= O. Prove que b c X=--A--J.J. a a

d a

z = J.J. sao equacoes parametricas de

11,

Sugestao Verifique se elas sao equacoes pararnetricas de algum plano n I' Mestre que n 1 C rr, donde n 1 = n,

Â§ 3 Vetor Nonnal a urn Plano

Atencao Neste paragrafo,

sistema de coordenadas adotado 3

Consideremos urn plano 11 C E . ~ ..... genal a n. E claro, pais, que n -4= 0 quer vetor paralelo a

71'

â&#x20AC;˘

e obrigatoriamente ortogonal.

Chama-se vetor normal a 1T a qualquer vetor nao nulo orto-

e urn

vetor normal a 1T se e somente se n

e ortogonal a qual-

(au: a qualquer vetor diretor de rr(* ). Vejarnos como obter uma equacao

geral de rr conhecendo urn ponto A

= (x o'

Yo, zo) de

71'

e urn vetor n

(a, b, c) normal a

71'

(.'.a 2 +b 2 +c 2-4=O):pondo X=(x,Y,z), temosque X Err

.....,.

,')

AX Ln

.....,.

Assirn, sc u c v sao do is vetores dirctores de tt, linearmente independentes, vctor normal a

tt .

.....,. 0

vetor

.....,. A

e urn

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Bstudo do Plano

161

•n logo ---+ -+-

XE7T*AX'n=O ou

X E 7T

(x - Xo) a + (y - Yo) b + (z - zo) c = 0

e pondo d

- ax o

by 0

(7)

cZ o

conclufmos que X E 7T

a particularidade importante e que os coeficientes de x, y e z nessa equtlfl10 slio as coordenadas de urn vetor normal, na ordem adequada, e d e dado por (7).

Entao, esta Ultima equacao

e uma

ax + by + cz + d

equacao geral de

11';

Reciprocamente, se ax + by + cz + d = 0 e uma equacao geral do plano 11', mostraremos que (a, b, c) e urn vetor normal a 11'. Para isso, basta mostrar que It·"'t = 0, para todo 0 vetor -;paralelo a 11', ou seja, que Ii· =0, para quaisquer pontos A e B de 7T.

Ii =

donde se obtem, subtraindo membra a membro, a (X2 - Xl) + b (Y2 - YI) + c (z2 - zl) = 0, que

ejustamente 0 que querfamos, jli que a expressao do primeiro membro e igual a it· AD.

162

GeometriaAnalitica: um tratamento vetorial

Conclusao

Relativamente a urn sistema ortogonal de coordenadas, os coeficientes de x, y e z

de uma equacao geral de urn plano 1T sao coordenadas de urn vetor normal a 1T. Veremos nos pr6ximos exercicios resolvidos, aplicacoes desse fato.

EXERCicIOS RESOLVIDOS Esta fixado urn sistema ortogonal de coordenadas. 1.

Obtenha uma equacao geral do plano 1T, que passa pelo ponto A = (1, 0, 2) e tern vetor nor-+ mal n=(1,-1,4). Resolucao Temos XE7T

-+ -+ AX'n

Entao, pondo X = (x, y, z), vern

XE7T

Logo x - y + 4z - 9 = 0

(x-l,y-0,z-2)'(1,-1,4)=0

x - I - y + 4z - 8

e uma equacao geral de 1T.

Outro modo de resolver este exercicio eo seguinte: se rt= (1, -1,4) e urn vetor normal a 7T , entao uma equacao geral de 1T e da forma x - y + 4z +d = 0 Para determinarmos d, basta 1embrar que A E 1T e portanto suas coordenadas devem satisfazer a equacao de 7T : -0+4.2 e daf d = - 9.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Estudo do Piano

Obtenha uma equacao geral do plano n que passa por A

= (0,

163

I, 2) e tern vetores diretores

It=(4,1,2) e~=(2,1,-2). Resolucao Ja vimos (l ~ exercicio resolvido do paragrafo anterior) como resolver este exercicio mesmo que tema

sistema de coordenadas nao seja ortogonal. Urna alternativa para quando

sis-

e ortogonal e a seguinte .

Sendo

u "v =

-2

-4i + 12j + 2 k

temos que in = (-2, 6, 1) e urn vetor normal a n (por que"). Entao

XETr

¢>

~ 0

n = 0

¢>

(x,y -1,z-2)o(-2,6,1)

2x + 6y - 6 + z - 2

Logo, uma equacao de n e 2x - 6y - z + 8

Escreva equacoes parametric as para a reta

n 2 : 3 x + y + 2z - 1 = O. Resolucao ~

= (2,

-I, 0) e n2 = (3, 1, 2) sao normais, respectivamente, a Tr 1 e n 2 . ~

Os vetores n l

Entao, como r esta contida em e em n 2, segue-se que sao ortogonais a r. --'>

que n I de r.

--'> A

tt I

--...

n 1 e n2

Concluirnos

e urn vetor diretor

r = nI

n Tr 2,

onde

n I : 2x -

3=0 e

164

GeometriaAnalttica: um tratamento vetorial

k ~

- 2 i - 4j + 5 k

-I

Determinemos agora urn ponto de r: fazendo x = 0 na equacao de 1T 1, obtemos y = -3 e substituindo na equacao de "2, vern z = 2. Assim,o ponto P = (0, -3, 2) pertence a 1T 1 e a 1T2, e portanto a r. Conclusao: r passa por P = (0, -3, 2) e tern vetor diretor v = (-2, -4, 5). ~

Dal,

-2 A

-3-4A

2 +5 A

(AEIR)

sao equacoes pararnetricas de r.

EXERCfCIOS PROPOSTOS

Esta fixado urn sistema ortogonal de coordenadas. 1.

Obtenha urn vetor normal ao plano

nos seguintes casos:

passa pelos pontos A == (1,1,1), B = (1, 0,1) e C = (1, 2,3)

tern equacoes parametricas

1~ : ~ ~:

z=CX-2~

tern equacao geral x - 2y + 4z + I = 0

Obtenha uma equacao geral do plano 11' 1 : x - y + 2z + 1 = O.

que passa pelo ponto P

= (1,

I, 2) e

e paralelo

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Estudo do Ptano

De uma equacao geral do plano 11' que passa pela origem e

e perpendicular a reta que

165

passa

por A=(l,I,l) e B=(2,1,-1).

De uma equacao geral do plano que passa pelo ponto P= (1, 0,1) e

e perpendicular a reta r:

X = (0,0,1) + X(l, 2, -1).

n:{

Decomponha a vetor v = - 3i + 4] - 5k paralela e ortogonalmente ao plano X -

I-X

~ =

-2 X-JJ.

Escreva uma equacao vetorial da reta que passa por A = (1, 2, 3) e e perpendicular ao plano + y - z = 2.

11': 2x

Escreva equacoes parametricas da reta intersecao dos planos X - l +X 11'1:

{

y=-2

z=-X-JJ.

8. Escreva equacoes parametricas da reta que passa pela origem e e perpendicular ao plano X = 1-X-JJ. 11':

Prove que

B = (4, 3, 1) e

y=X+JJ. { z = X

lugar geometrico dos pontos de E 3 que sao eqilidistantes de A = (1, -1,2) e

e urn

e perpendicular

plano. Mostre em seguida que esse plano passa pelo ponto medic de AB ao segmento AB.

10. (Ceneralizacao do Exercfcio 9). Prove que 0 lugar geornetrico dos pontos de E 3 que equidistam de dois pontos distintos A = (Xl, Yl.' Zl) e B =(X2' Y2' Z2) e urn plano que passa pelo ponto medic do segmento AB e e perpendicular aele. Esse plano e chamado plano mediador do segmento AB.

166

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

11. Mostre que 0 lugar geometrico dos pontos de E 3 que equidistam dos pontos A = (2, 1, 1), B = (-1, 0, 1) e C = (0, 2, 1) e uma reta, perpendicular ao plano que passa por A, B e C. De equacoes parametricas dessa reta.

ยง 4 Feixe de PIanos

A nocao que veremos agora e muito uti! na resolucao de problemas. Considere uma reta r intersecao dos planos Tr 1 e Tr 2: r = Tr 1 n Tr 2' Suponha que (8)

(9)

r / / '----\-

- - - -

/ --/.

o que representara a equacao (10)

onde

e 13 sao mimeros nao ambos nulos

(0:

+ 13 2

=1= O)?

Se voce escrever a equacao acima na forma (11) e verificar que os coeficientes de x, y, z nao podem ser simultaneamente nulos (veja 0 Exercicio 2) entao concluira que (10) representa urn plano n. Qual a relacao entre n, Tr 1 e Tr 2 ? Ora, todo ponto de r = 1r1 n tisfaz tam bern (10), e portanto (11). Conclusao: r C n.

1r2

satisfaz (8) e (9), logo sa-

Estudo do Plano

167

Agora, se urn plano contern r, sera que existem a: e {3 (nao simultaneamente nulos) tais que a

e (10)? A resposta e afirmativa. Veja 0

equacao desse plano

Exercicio 3. Entao conclufrnos que

dados os pIanos

(a; + b; + c; * 0)

o e

tais que 'IT 1 n 'lT2 = r,

conjunto de todos os pIanos que contern r

UFPECCF,~ MEl BlBuutk';

Tal conjunto e chamado de feixe de pIanos por r.

EXERCiCIOS RESOLVIOOS 1.

De uma equacao do feixe de pIanos que contern a reta r: X

= (1,-1,0) +

X(2,-3,4)

Resolueao Precisamos achar dois pIanos 'IT 1 e 'IT 2 cuja intersecao

e r.

Para isto, achamos equacoes

parametricas de r:

x=I+2X y

-1 - 3 X

=4X

Agora, eliminando X das duas primeiras vern 3x + 2y - 1 = O. Da me sma forma, eliminando

Xdas duas ultimas vern 4y + 3z + 4

r: { 3x

+ 2y - 1

4y + 3z + 4

= O. Entao

o o

168

GeometriaArralftica: um tratamento vetorial

----,

Logo, urn plano qualquer do feixe sera dado por

a (3x + 2y - 1) + jj (4y + 3z + 4)

Ache 0 plano que con tern

ponto P = (l, 1, -3) e a reta

X -

Y+ 2 = 0

r: {

x+y+z=O

Resolu~o

o feixe de pianos por r e dado por a (x - Y + 2) + jj (x + Y + z) = 0 hnpondo que P pertenca a esse plano generico do feixe, vern

a (l - 1 + 2) + jj (l + 1 + ( -3)) = 0 Logo 2 a - jj = 0, donde jj = 2 a (:. a =1= 0 e jj =1= 0). Substituindo na equacao do feixe, vern a(x - Y+ 2) + 2a(x + Y+ z) = 0 ou a(3x + Y+ 2z + 2) = O. Como a =1= 0, 3x + Y+ 2z + 2 = 0, e uma equacao do plano procurado.

Ache 0 plano 1f que contem a reta r do primeiro exercicio e \i = (1, 2, 1) (suponha que 0 sistema de coordenadas e ortogonal).

e perpendicular ao vetor

Resolu~ilo

Segue do primeiro exercicio que urn plano que con tern r tera equacao da forma 1T: 3 a x + (2 a + 4 jj)y +:3 jj z + (- a + 4 jj) = 0

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Estudo do Plano

169

--t

Sendo u 17T, devemos ter portanto u // (3 a, 2 a + 4 (3, 3 (3), isto e,

2a+4{32X 3{3

para algum XE lR. Do sistema acima obtemos a Sendo a =1= 0, dividimos por 3 a : 7T ; X

={3 e portanto 7T : 3 ax + 6 ay + 3 o z + 3 a = O.

+ 2y + z + 1 = 0 EXERCicIOS PROPOSfOS

Obtenha uma equacao geral do plano reta r: X=(O, 2, 2)

2. 3.

que passa pelo ponto P = (1, -1, 1) e contern a

+ X(I, 1, -1)

Prove que na equacao (11), os coeficientes nao podem ser simultaneamente nulos. Prove que se r =

7TI

7T2

e se r C

7T,

existem a e (3 reais, nao ambos nulos, tais que (10)

e uma equacao de 7T. 7TI, 7Tz e 7T e indeterminado. e combinaeao linear delas.

Sugestao: 0 sistema formado pelas equacoes de

primeiras sao independentes, a terceira

Como as duas

e perpendicular

Obtenha uma equacao geral do piano 7T, que contern r: X =(0,1,1) + X(O, 2,1) (sistema ortogonal).

Ache uma equacao geral do plano 7T, que contem r: X = (1, 1, 0) + X(2, 1, 1) e dicular as: X = (1, 0, 0) + X(1, 1,0) (sistema ortogonal).

eixo dos x e

11 reta

e perpen-

CAPITUW16

POSU;AO RELATIVA DE RETAS EPLANOS

Advertencia senso.

Muito mais do que da mem6ria voce vai necessitar, neste-capitulo, do seu born

ยง IReta e Reta

Queremos neste paragrafo resolver 0 seguinte problema: dadas duas retas res, descobrir se elas sao paralelas, eoncorrentes ou reversas; se forem paralelas, verificar ainda se sao coincidentes ou distintas. Para isso, fixemos urn sistema de coordenadas (0, t;. , ~, ~), e designemos por 1 = (a, b, c) urn vetor diretor de r, por 1 = (m, n, p) urn vetor diretor de s, por A = (Xl> Yl> ZI) urn ponto qualquer de r e por B = (X2' Y2, Z2) urn ponto qualquer de s. Observemos entao que: --+

โ ข

res sao reversas se e somente se (J,1, AB)

a m

170

e LI, ou seja, se e somente se

(1)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ PosifQO Reltltiva de Retail e P/anOll

â&#x20AC;˘

171

res sao paralelas se e somente se (t, 1) ~J.!>, isto ~, se e somente se existe A E R tal que

(2)

â&#x20AC;˘

r ~ s sao concorrentes se e somente se slio~e ~sa~ ~ ou seja, se e somente

se a

-+ -+

= 0 e (r, s) LI

(3)

Y2 - Yl

A partir dessas consideracoes, podemos estabelecer

seguinte roteiro para estudar a posicao

relativa das retas res:

Roteiro Escolher urn vetor LD.

paralelo are urn vetor 1 paralelo a s. Temos duas possibilidades:

'(t,1) LI ou (t,1)

Se (t, 1) ~ LI, escolher urn ponto A Ere urn ponto B E s, e verificar se (t,1, AD) ~ LI ~ LD, (condicao (1Âť. Em caso afirmativo, res sao reversas. Se, por outro 1000, (t,1, estao obedecidas as condicoes (3) ere s sao concorrentes.

AD)

172

GeometriaAnalitica: um tratamento vetorial

Se (t, 1) e LD (condicao (2Âť, res sao paralelas. Resta saber se coincidem ou MO. Para isso, basta escolher urn ponto qualquer P de r e verificar se P pertence a s: se sim, temos r = s (pois r II s ere s tern urn ponto em comum); se nao, res sao paralelas distintas (rn s=lj)er lis).

Observaeao Se res sao concorrentes, 0 unico ponto P comum a elas pode ser determinado resolvendo-se 0 sistema S constituido das equacoes de res. Alias, 0 estudo da posicao relativa pode tambem ser feito resolvendo-se esse sistema<*}. Se Stiver uma (mica solucao, res sao concorrentes; se S for indeterminado (infinitas solucoes) entao r = s; se S for incompatfvel, dois casos podem ocorrer: as retas sao reversasou paralelas distintas (isso pode ser decidido tomando-se urn vetor diretor de cada uma e verificando se silo LI ou LD).

zxaaooos RESOLVIDOS L

Estude a posicao relativa das retas r:X = (l,2,3)+A(O, 1,3) (AER) e

s:X=(O, 1,0) + A(I,I,I) (AER)

Resolu~o

Temos 1 = (0, 1, 3),1 = (l, 1, 1). Como se ve facilmente, (t,1) e Ll Tomemos entao urn ponto em cada reta, por exernplo A = (1, 2, 3) Ere B = (0, 1,0) E s. Entao AB = (-1, -1, -3) ecomo

Â°

3 =2*0

-1

concluimos que

(0)

-1

-3

(1,1, AB) eLI e portanto res sao reversas.

Cuidado] Nao use a mesma letra para indicar os para metro 5; veja 0 Exercicio 12 e a Capitulo 14.

Observa~o

6 do

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Posi~iio Relativa de Retas e PlanoÂŤ

173

Estude a posieao relativa das retas

r :X

= (I, 2, 3) + A(0,

1, 3)

(AE IR) e

s : X = (1,3,6) + IJ. (0, 2, 6)

(IJ. E IR)

Resol~o

Ternos 1 = (0, 1, 3) e 1 = (0, 2, 6). Logo, 1 = 21 e portanto r // s. Vejarnos se res

sao

a.t, e LD. Segue-se daf que

distintas ou coincidentes. Para isso, tornamos urn ponto qualquer de

r, por exernplo, A = (I, 2, 3), e verificamos se A E s. Ora, fazendo IJ. = obternos:

na equacao de s,

X=(I,3,6) -""2(0,2,6) = (1,2,3) = A e portanto A E s. Conclufrnos que r = s,

Estude a posicao relativa das ret as

r: X = (I, 2, 3) + A(0, 1, 3)

s: {x + y + z x- y- z

-4

Resolucao

o vetor 1 = (0,

1, 3)

e paralelo a r. Para determinar urn vetor 1

Â°

paralelo a s, tornernos dois

pontos de s: fazendo z = nas equacoes de s, obternos x = 1 e y = 5; fazendo z = 1, obternos ~ --)x = 1 e y = 4; logo, B = (1,5,0) e C = (1,4,1) sao pontos de s e portanto s =BC =(0, -1,1) e urn vetor diretor de s( *).

(*)

Se 0 sistema de coordenadas fosse ortogorial, poderiamos obter-: de outro modo:

= (0,2, -2)

-1 (por que")

-1

174

Geometria Analitica:um tratamento vetorial

Como (r~, 1) -+

e LI,

as retas nao sao paralelas. Tomemos entao

ponto A = (1,2,3) E r;

temos AB = (0,3, -3)le sendo

concluimos que

-I

=0 -3

ct,1, AB) e ill. Logo res sao coplanares; como nlio slio paralelas, concluimos

serem concorrentes.

EXERO-CIOS PROPOSTOS 1.

Estude a posicao relativa das retas res nos seguintes casos:

r: X=(l,-I,I)+X(-2,I,-l)

{X- Y- Z= 2 x+y-z=O

Y+ Z= 3 { x+y-z=6 2x - 3y + Z = 5 ( x + y - 2z =0

= L3 = ~ c) r .' ~ 2 2

s: X

x+3 y-I d) r. ' -2- = -4- = z

e) r:X=(8, I,9)+X(2,-I,3)

s: X =(3, -4, 4) + X(1, -2, 2)

-L.=..2..z+2 f) r. .x-I -3 --5-' 3 -

z- I s: x=-y=-4-

x+I 2

g) r : -- = y =-z

h) r : x + 3

=(0,

0, 0) + X (1, 2, 0)

2x - y + 7 =0 { x + y - 6z+ 2 =0

x + Y- 3z = I

2x - y - 2z =0

2y - 4 _ z - I 4 --3-

s: X = (0,2.2) + X (l, I, -I)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Posi~iio Relativa de Retas e Pianos

175

Calcule mE IR para que a) res sejam paralelas; b) r, set sejam paralelas a urn mesmo plano; c) ret sejam concorrentes; d) set sejarn coplanares; e) res sejam reversas.

sao dadas

x;=my- 1 { z=y - I

s: x = ..1.... m

t: -x+z=y=-z-l

No Exercicio I, obtenha, quando for pelas retas res.

Nos itens do Exercicio 1 em' que res sao reversas, obtenha urna equacao geral para 0 plano que contern r e e paralelo a s.

Determine m para que as retas r: X = (1,0,2) + X(2, I, 3) e s: X = (0,1, -1) + X(1, m, 2m) sejam coplanares, e nesse caso estude sua posicao relativa

Determine Qe {j reais para que as retas r: X=(I,Q,0)+X(1,2,1)

caso, uma equacao geral para

plano determinado

X= Z- 2 { y={jz-l

sejam coplanares e obtenha nesse caso uma equacao geral para 0 plano delas.

ยง2

Reta e Plano

o problema que queremos resolver agora e: dados uma reta r e urn plano n, decidir se r esta contida em 'fr ou se r e paralela a 'fr ou se r e transversal a n, isto e, se r fura 'fr num ponto Po Neste ultimo caso, usamos 0 sfrnbolo r iT) 'fro

176

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Lembrando que •

r C rr

r n rr contern inflnitos pontos

•

t ll

rnrr=c/J

•

r n rr contern urn unico ponto

if)

devemos, para resolver 0 problema, estudar a intersecao r n

tt .

Fixemos entao urn sistema de coordenadas (0, el, e2, e3) e sejam, em relacao a ele, r: X = (xo, Yo, zo) + A(m, n, p) e rr : ax + by + cz + d =

Vamos discutir 0 sistema de quatro equacoes lineares nas incognitas x, y, z e A; X=Xo + rnA y=yo+nA z =Zo + PA { ax + by + cz + d = a ou equivalentemente: l.x + Oy + Oz - rnA - Xo = a Ox + l.y + Oz - nA- Yo = a Ox+ Oy+ Lz - PA - Zo = a ax + by + cz + OA + d = a Pela Regra de Cramer, sabemos que este sistema tern solucao (mica se e somente se

-m

-n

=Fa -p c

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Pomfiio Relativa de Retas e Pianos

e calculando

determinante, isso nos dil rna + nb + pc =1= O. Concluimos que

Im r

177

<==

rna + nb + pc =1= 0

(4a)

ou, em outros termos,

rna + nb + pc

= 0 <=> r C

Podemos assim estabelecer plano 1r.

r // 1r

(4b)

seguinte roteiro para estudar a posicao relativa de uma reta r e urn

Roteiro

= (rn, n, p) paralelo

a reta r e uma equacao geral ax + by + cz + d

Achar urn vetor para 0 plano 1r.

Se am + bn + cp =1= 0, a reta e transversal ao plano e para obter resolver 0 sistema formado por suas equacoes.

Se am + bn + cp = 0, podemos ter r C 1r ou r // n, Para decidir isso, e suficiente escolher urn ponto qualquer A de r e verificar se ele pertence a 1r. Se sim, r C 1r; se nao, temos

=-0

ponto comum a eles, basta

r / / n,

Observa~es

Se 0 sistema (0, t 1 , t z , t 3 ) for ortogonal, 0 vetor it = (a, b, c) e normal ao plano 1r e 0 nurnero am + bn + cp e 0 produto escalar -;. 'it. A condicso am + bn + cp = 0 significa, pois,

que it 11. Ternos assim uma interpretacao geometrica para (4a) e (4b):

C1r

ou r / / 1r <==

11 it

Se forem conhecidos dois vetores it = (d, e, f) e W= (g, h, i) linearmente independentes paralelos a n, e sendo, como antes, 1 = (rn, n, p) urn vetor diretor da reta r, uma condicao necessaria e suficiente para que r seja transversal a 1re que (it, 1,~) seja LI, isto e,

Faca .uma figura para entender isso.

178

Geometria Analttica: um tratamento vetorial

EXERCicIOS RESOLVIDOS 1.

Dados 11':

p1an()

X=(1, 1,3)+;\(1,-1, 1)+J.l(0, 1,3)

e a reta r: X = (1, I, I) + a (3,2, I) estude a posicao relativa de r e 11'.

Primeira Resolu\'30 (veja a Observacao 2) Observemos os vetores ~ = (3, 2, I), It = (I, -I, I), VI = (0, I, 3), lelo a r, os dois ultimos paralelos a 11' (e Iinearmente independentes). Como

2 = -17

-I

d~~

\ v , u, w) eLI; logo, r e transversal a

SegtDlda Resolu\'3o (Veja

11'.

Roteiro)

Obtemos uma equacao geral de x-I

11' :

y-I

z-3

-I

o donde 11':

:#: 0

4x + 3y - z - 4 = 0

= 0

primeiro para-

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Posi~iio Relativa de Retas e Pianos

Sendo v = (3, 2, I) urn diretor de r, e como 4.3 + 3.2 + (-1).1 = 17 e transversal a 7T. 2.

179

0 vemos que r

Idem para 7T: X

=(1,0, I) + A (I, I, I) + J..L(O, 0,3),

r: X = (2,2, I) + 0: (3,3,0).

Resolu~o

Os vetores ~ = (3, 3, 0), It = (I, I, I) e = (0, 0, 3), 0 primeiro paralelo a r, os outros dois paralelos a 7T (e linearmente independentes) sao LD, pois

Entao, devemos ter r C 7T ou r // 7T. Para decidir isso, tomamos urn ponto qualquer de r e verificamos se ele pertence ou nao a 7T. Fazendo 0: = 0 na equacao vetorial de r, obtemos o ponto (2, 2, I). Substituindo na equacao de 7T: (2, 2, 1) = (1,0, I) + A (I, I, I) + J..L (0, 0, 3) ou seja 2=I+A 2=A {

que

1 = 1 + A + 3J..L

e claramente incompativel.

Logo, r // 7T.

180

Geometria A1UIUtica: um tratamento vetorial

Idem para.

X= I + A r:

y=I-A {

'IT:

x+y-z+2=0

Z=A

Resolu~o

Vemos pelas equacoes de r que ~ = (1, -1, 1) e um vetor diretor de r. Como 1.1 + 1.(-1) + (-1).1 = -1 =1= 0, conclufrnos que r e transversal a

'IT.

Idem para

r: X == (1, 1, 0) + A (1, -1, 1) e 'IT:

x+y-2=0

Resolu~o

Sendo ~ = (1, -1, 1) um vetor diretor de r, e sendo 1.1 + 1.(-1) + 0.1 = 0, temos por(4b) que r // 'IT ou r t 'IT. Tomemos um ponto de r, por exemplo, P = (1, 1, 0). Substituindo na equacao de

'IT,

vemos que P E

'IT.

Logo, r C

'IT.

EXERO-CIOS PROPOSTOS 1.

Estude a posicao relativa da ret a redo plano 'IT nos seguintes casos:

a) r: X=(1,I,O)+>"(O, 1, 1), x-I b) r: - 2 - = Y =

'IT:

x-y-z=2

X = (3, 0, 1) + A(1,0, 1) + J.L (2,2,0)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ PorlfQO Re14tivQ de Retas e PlanoÂŤ

X- Y+ Z= O c) r: { 2x + y - z - 1 = 0 '

X -

d) r:

Y= 1

.{ x- 2y=0

11':

1 x= (0'2,0) +;\(1,

-T'

181

O)+~(O,I,I)

1I':x+y=2

e) r: X=(0,O,O)+;\(1,4,1) 11': X = (1, -1, 1) + ;\ (0, 1, 2) + ~ (1, -1,0)

x+2 z+3 f) r : -- = y- 1 =-3-' 3

11':

3x-6y-z=0

Calcule m para que a reta r: X = (1, 1, 1) + ;\(2, m, 1) seja paralela ao plano 11':

X = (0, 0,0) + a (1,2,0) + {3 (1,0, 1).

Calcule m, n E R para que a reta r: X = (n, 2, 0) 7T:X- 3y+z= 1.

Calcule m para que a reta r:

Ache

Â§3

Plano e Plano

x-I -m

y z =""2 = ill

+ ;\ (2, m, m) esteja contida no plano

seja transversal ao plano 7T: x

+ my + z = O.

ponto P onde r fura 7T nos casos dos Exercicios Resolvidos 1 e 3.

problema que se coloca agora e: dados os pIanos 11'1 e 7T2, decidir se 7T 1 = 7T2, ou se 7T 1 e 7T2 sao paralelos distintos, ou se 7T 1 e 7T2 sao transversais (ou seja, concorrentes). Neste ultimo caso, usaremos a notacao 7Tl ifi 7T2, e a intersecao 11'1 n 7T2 euma reta. ,-+

Fixado urn sistema de coordenadas (0, el, e2, e3), sejam a- x + b, Y + a2x + b 2 Y + C2 Z + d 2

equacoes gerais de 7T I e 7T 2, respectivamente.

CI Z

+ dl

= 0,

182

Geometria Analitica:um tratamento vetorial

teremos 1T I: M2X + Xb 2y + XC2Z + Xd 2 = 0 e dividindo por X, concluimos que a2x + b 2y + C2Z + d 2 = 0 e tambern uma equacao geral para 1TI' Conclusao: 1TI = 1T2 (todo ponto de 1T I satisfaz a equacao de 1T 2 e reciprocamente).

Suponhamos agora que ai' b l, CI, sao proporcionais a a2, b 2 , C2, mas que d , e d 2 nao seguem essa proporcionalidade, isto e, que existe X =1= 0 tal que al = Xa2' b l = Ab 2 , CI =XC2 e d, *路Xd 2. Neste caso podemosescrever 1TI: Xa2x+Xb2y+XC2Z+dl =0 e portanto todo ponto X = (x, Y, z) de 1T I satisfaz

(5)

Como todo ponto X = (x, Y, z) de

1T2

satisfaz

(6)

e d; =1= d 2, vemos claramente que nenhum ponto pode pertencer simultaneamente aos dois planos (0 sistema das equacoes (5) e (6) e incompativel). Conclusao: 1T I 1T I e 1T 2 sao paralelos distintos. c)

1T2

= t/> e

Se ai' b l, CI, nao sao proporcionais a a2, b 2, C2 (e aqui nao interessa analisar d , e d 2), 1T2 e que 1T I n 1T2 e urna ret a r. lei foi visto, no concluimos, por exclusao, que 1TI

Exercicio Resolvido ne;> 5 do 搂 2 do capitulo anterior, como obter equacoes parametric as para

Resumindo, temos

seguinte roteiro para estudar a posicao relativa dos planos 1TI e

conhecidas suas equacoes gerais e

1T2,

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ P08iriW Relotiva de Retas e Plonos

183

Roteiro

Se a., b I, CI, d l sao proporcionais a az, b z, cz, d z (isto e, se uma das equacoes e "multipla" da outra), temos 7T I = 7TZ.

Âˇ2)

Se aI, b l , CI sao proporcionais a az, b z, Cz mas d l e d z nao seguem essa proporeao, entao 7T I e 7Tz sao paralelos distintos,

Se at> bt> CI nao sao proporcionais a az, b z, cz, entao

11'1

m1I'z e 11'1 n 7Tz e uma reta.

Observ~es

Podenamos tratar de modo analogo 0 caso em que 7TI, OU 7Tz (ou ambos) sao dados por equacoes parametricas ou vetoriais. A diferenca e que ao inves de urn sistema de 2 equacoes a 3 inc6gnitas, podenamos ter que analisar urn sistema de 3 equacoes a 4 incognitas. Sempre temos, no entanto;o recurso de passar iniciaIrnente as equaeoes para a forma geral. Exernplificaremos isso nos Exercrcios Resolvidos.

Se 0 sistema de coordenadas e ortogonal temos urna forma geometrica de tirar as mesmas conclusoes: os vetores Itl = (at> b l, cl)e rt'z =(az, b z, cz) sao normais, respectivamente, a 7TI e 7Tz ; logo

â&#x20AC;˘

Se <rtt>nz)e ill, entao 7TI

7Tz. Para decidir se sao distintos ou coincidentes, basta

escolher urn ponto P qualquer de 7T I e verificar se P pertence a 7Tz-

184

Geometria Analftica:um tratamento vetorial

EXERcicIOS RESOLVIDOS

Estude a posicao relativa dos pIanos 1T):

X=(I,O,I)+A(I,I,I)+J,L(O,l,O) e

1T2:

X=(0,0,0)+a(I,0,I)+j3(-I,0,3).

Resolueao Inicialmente, obtemos equacoes gerais para

1T)

1T2

(isso voce ja sabe fazer):

:x-z=o

ou 1T)

l.x+o.y+(-I).z=o

1T2

:O.x + l.y+o.z=o

Como 1, 0, -1 nao sao proporcionais a 0, 1, 0, temos que tanto rr) n 1T2 e uma reta.

Se quisermos obter equacoes parametricas para a reta r

X -

{

=1T) n

e transversal 1T2

z =0

y=O

basta, como ja vimos no Capitulo 15, fazer (por exemplo) z

X=A r:

1T1

y=o

Z=A

(AER)

= A e teremos

1T2,

e por-

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Posifiio Relativa de Retas ePianos

185

Estude a posi~lio relativa dos pIanos 1T 1:

2x - y + z - 1 = 0 e

Resolu~o

Cada coeficiente da equacao de 1T 1 e 0 dobro do seu correspondente na equaeao de 1T2, exceto 0 termo independente. Logo, este caso encaixa-se no item 2 do Roteiro e portanto 1T 1 e 1T 2 slio paralelos distintos. 3.

Idem para

1T 1:

x+IOy-z=4,

1T2:

4x+4Oy-4z=16.

Resolu~o

1T2'

Multiplicando por 4 ambos os membros da equacao de Logo, 1Tl = 1Tz.

EXERCfcIOS PRO roSfOS

Estude a posi~ao relativa de

1T 1

1Tz

nos seguintes casos:

1Tl:

X = (1, I, I) + A(0, I, I) + J,L (-1,2, I)

1T z:

X = (I, 0, 0) + A(1 , -I, 0) + J,L (-I, -I, - 2)

1Tl:

2x- y+2z-1 =0

1Tz:

4x - 2y + 4z = 0

1Tl:

x - y + 2z - 2 = 0

1Tz:

X=(O, 0, 1)+A(1,0,3)+J,L(-I, I, I)

Calcule m para que os pianos 1T 1 : X

= (I , 1,0)+A(m, I, I) + J,L (I, I, m)

e 1T 2:

2x + 3y + 2z + n > 0

1Tl

obtem-se a equacao de

J 86

Geometria Analitica: um tratamento vetonal

sejam paralelos distintos, nos casos:

a) 3.

n =-5

n= 1

Mestre que os pIanos 7Tl:

X =(0,0,0) + X(-I, m, 1) + 11(2,0,1)

7T2:

X = (1,2,3) + a (m, 1,0) + J3 (1,0, m)

sao transversais, para todo mER.

Desenvolva urn metoda para estudar a posicao relativa dos pIanos 7T 1 : X = A + -+ -+ 7T 2: X = B + Xt + 11 W, sem passar suas equacoes para a forma geral. Sugestao: Discuta a dependencia linear das triplas (\t, -:, t) e (\t, -:, -;).

ยง4

Misce18nea de Exercicios

EXERU'CIOS RESOLVIDOS 1.

Sejam res as retas reversas, passando por A e B e por C e D respectivamente, Obtenha uma equacao vetorial da reta t, concorrente com res, e paralela ao vetor 1 = (l, -5, -1). Dados: A =(0,1, 0), B =(1,1, 0), C =(-3,1, -4) e D =(-1,2, -7).

Primeira Resolueao (geornetrica) Pode-se demonstrar (faca isso) que a reta procurada e a in tersecao dos pIanos 7T 1 e 7T 2, sendo 0 plano que contern r e e paralelo a 1 e 7T 2 0 plano que contern see paralelo a 1. Caso esses pIanos nao sejam transversais, nao existe a reta

7T I

procurada (prove). Como 7T I passa por A e tern -->veto res diretores 1 e AB, uma equacao geral de

7Tl

.. y

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Porifiio Relative de Retas e Pillnos

y-I

187

-5

-1

= 0

ou 1T):

Por outro lado,

y - 5z = 1 -+

1T2

--+

passa por C e tern vetores diretores v e CD. Logo,

x+3

y-I

z+ 4

-5

-1

-3

2 ou 1T2:

Ve-se facilmente que

I6x + y + 11z + 91 = 0 1T)

1T2

y - 5z

t路

sao transversais, e portanto a reta procurada e

{ I6x+y+ llz+91 =0

que tern

23 x= (-""4,1,0) + A(l, -5, -1) por equacao vetorial.

Segunda Resolueao (algebrica) Sejam MeN, respectivamente, os pontos onde a reta procurada concorre com res. A partir das equacoes parametricas (ou vetoriais) de res, podemos escrever as coordenadas de M em funcao de urn parametro Ae as de N em funcao de urn parametro J1 (cuidado! nao use -----+ a mesma letra!). Como MeN pertencem a reta t, devemos ter (MN, v) ill, ou seja,deve existir a E IR tal que MN = a V.

188

GeometriaANJ1iticfl; um trtItllmf:1lto Jletorlill

Essa igualdade fornece urn sistema de tres equacoes nas inc6gnitas A, Jl, Q, 0 que perde t, escrevemos mite determinar urn ponto de t (M ou N). Com urn ponto e urn diretor suas equaeoes. Se 0 sistema for incompatlvel, 114"0 existe a reta t. Vejamos:

c:)

Equ~Oes

vetoriais: r: X=(O, 1,0)+;\.(1,0,0)

s: X = (-3, I, -4) + Jl (2, I, -3) MEr

NEs

=> N={-3+2Jl,

--+

M = (;\., I, 0)

1 +Jl,-4-3Jl)

Impondo que MN = QV chegamos ao sistema -3 + 2Jl-;\.= Q =-SQ -4 - 3Jl que resoIvido fornece ;\. = -

=-Q

2; , 'Jl = -

-t. Logo, M

= (- 2: ' 1, 0). Entio

t;X= (-4' 1,0)+t3(I,-S,-I).

Obtenha uma equacao vetoriaI da reta t, que passa pelo ponto P = (2, -1, 1) e e concorrente com as retas reversas y +z=S { . x + 2z =9

, Primeira Resolu~o (Geometnca)

Verifique inicialmente que P fi reP fi s (0 que aconteceria se PER ou PEs?). Sejam 7T], 0 plano determinado por reP e 7T2, 0 plano deterrninado por s e P. Se r nao for paraIeIa a 7T2, nem s a 7TI, a reta t procurada e 7T) n 7T2 (isso pode ser demonstrado). Entao: fazendo z = ;\. nas equacoes de rex =Jl nas de s, obtemos:

2x - z + 1 = 0 { Y- 2z = 1

POIifiio RelJztWa de Retal e /'limos

x =9 - 2X r:

y=S-

x=J,L

Y =4J,L + 3

z =2J,L + 1

z=X e portanto: -+

A=(9,S,0)Er,

u=(-2,-1,l)//r

B =(0, 3, 1) E s,

v =(l, 4, 2) // s

Dai segue que s , passapor P=(2,-1,1)eeparaleloa

x-2

y+l

-2

-1

eaPA=(7,6,-1). Logo:

z-l =0

-1

ou 7Tl :

x - y +z- 4 =

째

Vemos entao que s e transversal a

7T 1 ,

7T2,

ja que 1.1+(-:'l).4+1.2=-1*0.Quanto a

este passa por Pee paralelo a v e a w = (-1,2,0) (note que w

x-2 7T2 :

-1 ou 7T 2 :

2x + y - 3z = 0

y+l

z-l

째

="21--+ PB).

Logo,

189

Geometria Analttica: um tratamento vetorial

: :"'c',

".~:n0S .l>,.

entao que r

solucao

e transversal

e portanto. a reta

711

712,

uma vez que 2.(-2) + 1.(-1) + (-3).1 =-H oF O.

712:

X - Y+ Z - 4 = O { 2x + Y - 3z = 0

que tern equacao vetorial X

= (0, -6, -2) + X(2.

5, 3).

Segunda Resolueao (algebrica) Sejam A e B, respectivamente, os pontos onde a reta procurada concorre com res. A partir de equ acoes pararnetricas ou vetoriais de res, podemos escrever as coordenadas de A em funcao de urn pararnetro X e as de B em funcao de urn pararne tro u, Como A, B e P pertencem

a reta

t, deve existir

IR tal que

PA = aPB.

Das equacoes parametricas de

res, ja obtidas na Primeira Resolucao, obtemos:

B = (p, 3 + 4p, 1 + 2p)

A = (9- 2A, 5 - X,X) Substituindo na relacao acima, vern

(7 - 2A, 6 - X,X - I) = a(p - 2,4 + 4p, 2p)

Obtemos assim

sistema

7 - 2A =ap 6-

X= 4a

+ 4ap

X- I = 2ap

que. resolvido, fornece , = 23

p =-6.

5 a=-32

____________________

Logo, B

= (-6,

-21, -II) e -PB

= (-8,

Posi~iio

Relativa de Retas e Planos

191

1PB - = (2, 5,3) e urn vetor diretor -20, -12). Entao ~ v == - "4

da reta procurada e

t:X=(2,-I,I)+(J(2,5,3)

Observacao Final

rnetodo algebrico utilizado para resolver os Exercicios I e 2 e uma 6tima ilustracao

daquilo que foi dito no Prefacio a respeiro do metodo analitico de estudo da Geometria. Crernos entao ser a hora de convida-lo a reler

C0111

arencao aquele Prefacio.

EXERCfclOS PROPOSTOS Esta fixado urn sistema ortogonal de coordenadas nos Exercicios 10, II, 12, 14, 17, 25, 27 e 28. I.

Obtenha uma equacao vetorial para a reta t, que passa por Pee concorrente com res, nos seguintes casos (interprete geometricamente os resultados):

a) P = (I, I. I)

r:. x + .3 = y 2- 2 = ~ 3

b)P=(-2,2,-4)

c) P=(1,0,6)

d) P=(I',:-2,-I)

e) P=(I,O,3)

s: X

=(.., --,

r:X=(-I,I,3)+"A(-2,-2.2)

X - Y - Z+ 5 = 0 {2x - z + 4 =

Z= X- 2 { Y =1 - x

째

x-3

s: -2-

째 + "\ ,4)

1\(

I. I ,- I)

s:X=(-2,4,4)+"A(I,2,3)

y-2

=-3- =3

z = x-I . {y=I+2x

r:X=(I,0,0)+"A(3,-I,2)

s: X = (-5, 2, -4) + "A (I , 5, -I)

192

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Obtenha uma equacao vetorial para a reta t , concorrente coin res, nos seguintes casos (interprete geometricamente os resultados): X

a) r: X=(I, 1,-1)+A(2, 1,-1)

e para lela a reta determinada por

s: X

e paralela ao vetor v = (1, 0,

e paralela

2x - y - 2z = 0

= (3 ' -:3 '

0) + A (5, 4, 3)

c) r: X = (I, 2, 3) + A(2, -I, 0)

+ y.- 3z = I

M =(1, -1, 4) e N =(0, -3, -I).

x+1 b) r : -=y =-z 2 e t

{

s: X

= (0,

~3)

+ A (I, -I, -2)

11 reta

-43

h: X = (0, 0, 0) + A (-9- , 27' -:y,-)

Obtenha uma equacao vetorial para a reta que passa pelo ponto P, e paralela ou contida no plano tt , e concorrente com a reta r nos seguintes casos (interprete geometricamente):

a) P = (I, I, 0)

rr:2x + y - z - 3 = 0

r:X=(I,O,O)+A(-I,O, I)

b) P = (I, 0, I)

rr: x - 3y -- z = I

r:X=(0,0,0)+A(2,1,-I)

n:x

r: X

P = ( I , 2, I )

y=O

= (l,

0, 0) + A(2, 2, 1)

Obtenha uma equacao vetorial para a reta t , contida no plano rr: x -

y+ z =

0, e que

concorrente com as retas X

+ y + 2z = 2

Z= X+ 2

e {

x=y

{

y=O

Obtenha uma equacao vetorial da reta t, paralela aos pIanos retas res, sendo X

r: x - 2y=z-x=y+ I

+ 2y + Z

I =0

{

~: x

+ 2y - z = 3

x - 2y

+ Z + 1 =0

+ 4y + 2z = O.

e ~, e concorrente com as

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Posiciio Relativa de Retas e Ptanos

Obtenha uma equacao geral para

193

plano que contem a reta r: X = (1, 1,0) + A (2,1,2)

e IS paralelo a reta s: x ; 1 = y = z + 3.

Obtenha uma equacao geral para ao plano 1T: x + y + Z + 1 = 0.

plano que passa pelo ponto P = (1, 3,4) e

De uma equacao vetorial da reta h, paralela ao plano

1T:

e paralelo

x + y + z = 0, concorrente com

s:X =(2, 0, -5) + ~(O, I, I) e

asretas r: X =(0, 0, 2) +0: (1, I, I), t: X =(-3, -3,3) + 'Y (I, 0,2). 9.

Existe alguma reta paralela 1T:

10.

reta r: X = (0, I, I) + A(l, -I, -I), contida no plano

x - 2y + 3z -I = O? Por que? E paralela ao eixo das abscissas?

Considere os pIanos

1Tl:

2x = y,

x = 0,

1T2:

1Tl:

z = 0, e seja

1T4 0

plano determinado

pelas retas

r: X=(1,2,0)+A(1,2,-I)

{x=o z+y=1

Verifique se esses pIanos determinam urn tetraedro e calcule 0 seu volume.

II .

Calcule 0 volume do tetraedro determinado pelas retas r, s, e t e pelo plano dados m x t y t z c-fi s O, r:x=z=O, s:x=y=O e t:x-2y=z=0.

12.

Verifique se as retas r, s, teo plano

Dados:

1T: x

13.

+ y - z + I = 0,

x+ y=o { z+I=O

{

= (0.

x=z+1

x+y- z= 1 { x=O

0, 0) + A(3, 4. 5) e os outros dois paralelos ao plano

Conhecendo os vertices D

=( I , I.

A e O.

sao

determinam urn tetraedro e calcule seu volume.

Urn paralelogramo de vertices A, B, C, D, tern lados AB e CD paralelos r:

14.

1T.

a reta de equacao 1T:

x + y + 31

determine os vertices B e C. Dados: A = (0. O. 0) "

I).

Considereasretasr:X=(I, I,O)+A(O, 1,I)es:

x-I

y=z. SejaAopontoomle,

fura 0 plano 1T, e B e C respectivamente os pontos onde r fura os pianos Oxz e Oxy. Calcule a area do triangulo ABC nos seguintes casas:

194

15.

Geometrio Analitica: um tratamento vetorial

'IT: x - Y + z = 2

'IT:x-y-z=2

'IT: x - 4y + 2z = I

Projete

ponto P = (I, 4, 0) sobre

r:X =(0, 0, 0) + 16.

xn, 4,

plano 'IT: x + y - 2z + I = 0, paralelamente

a reta

I).

Sendo 'IT: X = (0,0,0) + A(l,-I,-l) + p. (3,0, -I), r: X = (1,0,0) + 'Y (2, 1,0), e P = (2, 2, I) existe uma reta concorrente com r, passando por P e paralela a 'IT? Por que?

17.

Dados os planos nvx c--y

O, 'lT 2 : X + Z = 0 e 'lT3:x-y+3z+3=0, mostreque

'IT 1 n 'IT 2 n 'IT 3 se reduz a urn ponto A (deterrnine-o). Em seguida, calcule 0 volume do paralelepipedo que tern diagonal AH (H = (2, I, 3Âť e tres faces contidas nos pIanos dad os. 18.

Dadas as retas res e

ponto P, verifique em cada um dos casos seguintes se existe uma

reta t passando por P e concorrente com res nos pontos A e B de tal modo que os segmentos AP e BP sejam congruentes; se for 0 caso, obtenha uma equacao vetorial para 1. Interprete geometricamente os resultados.

19.

a) P=(l,-I,-9)

r: X = (0, -4, I) + A(2, 1,0)

s: X = (0, -3, -3) + p.(1,0,2)

b) P = (I, 2, 3)

r:X=(O,O,O)+A(l,O, I)

s:X=(I, I, 1)+p.(2, I, I)

Obtenha equacoes do lugar geometrico dos pontos medics dos segmentos que se apoiam nas retas res e interprete geometricamente, nos seguintes casos: a) r: X =(1,2,2) + X(O, I, I)

s: X = (0, 0,0) + p. (I, 0, I)

b) r: X = (I, 2, 3) + X (I, 2, 3)

x+y-z+1 =0 { 2x -- y = 4

c) r:X=(l,O,O)+X(--I,O, 1)

s: X = (0.0, I) + p.(2. I. I)

20.

Obtenha nos casos do exercicio anterior. equacoes do lugar geome trico dos pontos med ios dos segment os paralelos ao segmento AB. que se apoiam nas retas res. sao dados: A = (I, 2. 7) e B = (I. 1,4). lnterprete geometricamente.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Porifiio Relativa de Retas e Pianos

21.

Obtenha equacoes do lugar geometrico dos pontos medics dos segmentos que se apoiam nos pianos

22.

195

1TI:

1T I:

1T I

e interprete geometricarnente, nos seguintes casos:

1T 2

2x - 3y + 3z - 4 = 0

x - y + 3z = 0

11'2:

x + y - z +2 =0

11'2:

x- y

+ 3z - 1 = 0

Obtenha, nos casas do exercicio anterior, equacoes do lugar geometrico dos pontos medics dos segment os paralelos ao segmento AB, que se apoiam nos pianos

1T I

11'2'

Interprete

geometricarnente. Sao dados: A =(1, 4, 0) e B =(0,1, -2). 23.

Obtenha equacoes do lugar geometrico dos pontos medics dos segmentos que se apoiam na reta reno plano a)

24.

11': x

1T,

e interprete geometricarnente, nos seguintes casas:

- 2y - z = 1

r: X = (l, 0, 2)

+ X (2, -1,4)

bj n.x r y r z e O

r:X=(O,O,O)+X(1, 1, 1)

r: X = (l, 0, 1) + X (l, 0, I)

1T: x

- 2y - z = 0

Nos casos do exercicio anterior, obtenha equacoes do lugar geometrico dos pontos medics dos segmentos paralelos ao segmento AB e que se apoiam em r e

1T.

lnterprete geometrica-

mente. Dados: A =(1, 0,1) e B =(1, 2,3). 25.

Sejam A = (2, 1,1), B =(-1,0,1), C =(0, 2, 1) e Mostre que

volume I,

11':

X =(2,4, 0) + 0: (-1,1,1) + (3 (-2,-1,0).

lugar geometrico dos pontos X do plano

1T,

tais que

reuniao de duas retas paralelas, contidas em

1T;

tetraedro ABCX tenha

obtenha equacoes vetoriais

para elas. 26.

Dadas as retas r: X = (I, 0, 0) +

(0, 1, 1), s: X = (0,2,0) + 13 (1,0, 1), t: X = (0,0,3) + 'Y (1,1,0).

seja h a reta concorrente com r, s e t nos pontos A, B e C respectivamente, de tal modo que B seja 0 ponto medic de AC. Determine os pontos A, B e C e uma equacao vetorial de h. 27.

Dada a reta r: x - y

=x + Z

1 = 0, seja

11'

urn plano que contern r e determina com as

tres planos coordenados urn tetraedro de volume tetraedro e uma equacao geral de 28.

V =

-f2.

Determine as vertices do

11'.

Dados os pontos A = (I, 0,0), B

= (0,

2,0), C = (0,0,3) eO

= (0,0,0). sejam r, set

as retas que passam respectivarnente por 0 e A, 0 e B, 0 e C. Obtenha uma equacao geral do plano

1[,

paralelo ao plano que passa por A, B e C, de modo que

. 7 d I I , tenha area 8' sen 0 A, B e C as pontos onde as retas r, set furam

1[.

triangulo A' B' C'

CAPlTUW 17

PERPENDICULARISMO E ORTOGONALIDADE Nos capnulos anteriores, a nao ser em raras ocasioes, nao foi necessario supor que de coordenadas fosse ortogonal. Neste capitulo enos seguintes, porern, isso

e essencial.

sistema Entao,

salvo mendio em contrdrio, estaremos sempre utilizundo urn sistema ortogonal de coordenadas (0, i, i, k). Preste atencao para descobrir onde surge a necessidade disso. ~~

ยง1

Reta e Reta

Para decidir se duas retas sao ou nao ortogonais, tomamos vetores paralelos a elas e verificamos se estes sao ou nao ortogonais. Atencao Ha diferenca entre os termos retas ortogonais e retas perpendiculares! Retas ortogonais podem ser concorrentes ou reversas, enquanto que retas perpendiculares sao obrigatoriamente concorrentes.

EXERO-CIOS RESOLVIDOS 1.

Verifique se as retas

r:X=(I, 1, 1)+;\'(2,1,-3)

(;\. E IR)

s: X = (0, 1,0) + ;\. (-1,2,0)

(a E IR)

sao ortogonais. Verifique tambern se sao perpendiculares. 196

197

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Perpendicularismo e Ortogonaiidade

\JFPE \'CF,~

Resolu~o

131BUU, .

Temos

(2,1, -3) • (-I, 2, 0) = 2(-1) + 1.2 + (-3).

°° =

logo, res sao ortogonais. Para verificar se sao perpendiculares, basta verificar agora se sao concorrentes. Para isso, segundo

que vimos no Capitulo 16, §I, e suficiente resolver

sistema das equacoes de res. Urn outro modo

e verificar se res sao coplanares (e se forem,

serao perpendiculares). Vejamos: P

0,1, I)E r

(0, 1,0) E s

(1,0,1)

e urn diretor de r (-1,2,0) e urn diretor de s.

= (2, 1, -3) =

s Como

-3

-1

11 =1= 0,

os vetores ~~ u , v e QP sao LI e portanto res sao reversas; logo nao sao perpendiculares. 2.

Idem para

x + y- 2z = 2

2x - Y + z = 1 { x- y=O

Resolu¢o Devemos achar vetores

diretores de res, respectivamente. Conforme

ctcio Resolvido n9 3, §3 do Capitulo 15,

Exer-

198

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

r =

-I

(0,4,2)

-2

s =

1 .t

(1,1, -1)

-1 -1

Como

+ 4 - 2 = 2 =1= 0, as retas res nao sao ortogonais.

Ache equacoes parametricas da ret a r que passa por P

=짜 =z.

= (-I, 3, I) e e perpendicular a reta

Resolueao Vamos procurar 0 ponto Q, comum are a s inicialmente equacoes parametricas para s. De

x-I 2

=-..i:.=...L = Z = A

pe da perpendicular). Obtenhamos

vern:

x = I + 21..

= 1 + 31..

Z=A

Como Q pertence a S, temos Q --->

= (1 + 21.., I + 31.., A) para

PQ = (2 + 21... - 2 + 31.., 1..- 1)

algum AEIRe portanto (0:)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _----'_ _ Perpendicularismo e Ortogonalidade

Sendo ~ =(2, 3, I) urn vetor diretor de s, devemos ter ~

PO l~.

199

Entao

0= PQ â&#x20AC;˘ v = (2 + lA, -2 + 3X, X- I) . (2, 3, I) = 4 + 4X - 6 + 9X + X-I 3 -+ donde X =14' Levando a (a), vern PQ

34 -19 - II

=( 14 '14 '14)'

Entao r

e dada por

x =-1 + 34J,L y

3 - 19J,L

1 - IIJ,L

Atencao Evite de r.

erro seguinte: tomar urn vetor qualquer ortogonal a v para ser vetor diretor

E preciso

ter multo boa pontaria para acertar a reta s, "chutando" urn dentre os infinitos ~

vetores ortogonais a v!

EXERCfcIOS PROPOSTOS I.

Verifique se as retas res sao ortogonais; em caso afirmativo, se sao tambern perpendiculares. a)

r:X=(I,2.3)+A(I,2,1)

s:X=(2,4,4)+A(~I,I,-1)

200

GeometriaAnalttica: um tratamento Jletorlill

b) r:X=(O, 1,0)+X(3, 1,4)

r: x;t

r:x+3=Y=T

z =-7

s: X = (1,3,0) + X(O, -7, 5)

x-4

4-y

s: - - = - - = -z 2 -I

x=2 + 3X

x-4 s: -2-

y=-5-2X

{

=짜

s:X=(-I, 1,0)+ X(I,O, I)

Y -2

z +4

= -3- = -:s

z=I-X

De equacoes pararnetricas da reta que passa par Pee perpendicular a r nos casos

P=(2,6,1)

= -3 + X

y=X

z =3X

P = (I, 0, I)

r passa por A = (0, 0, -I) e B = (I, 0, 0)

Ache 'equay6es sob forma simetrica da reta perpendicular comum as retas reversas

x=2+X y=X

X+ Y= 2 { z=O

z = -I + X

De uma equacao veto rial da ret a paralela ao plano 1T, perpendicular a reta AB, e que intercepta a reta s, sendo

1T:

2x - Y + 3z - I = 0, A = (I, 0, I), B = (0, I, 2), s: X = (4,5,0) + X(3, 6, I).

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Perpendicularismo e Ortogonalidade

ยง2

201

Reta e Plano

Para decidir se uma reta r e urn plano diculares, podemos proceder assim: sendo

sao perpenv::#:0 para-

lelo a r, It e 1 linearmente independentes e paralelos a 1 1r se e somente se ~ ~ rr, entaor u .... ~, v e para II e 0 a w.

Caso 0 plano seja dado por uma equacao geral rr; ax+by+cz+d=O

entao, como (a, b, c) e normal a rr, basta verificarmos se este vetor e paralelo a w.

EXERCfCIOS RESOLVIDOS 1.

Verificar se r e n sao perpendiculares, sendo r :X

= (0,

1, 0) + X (1, I, 3)

(X E IR)

rr : X = (3,4,5) + X (6, 7, 8) + IJ (9, 10,11)

(X, IJ E IR)

Resolueao

n=(6,7,8) .... (9,10,II)=

e normal a n,

0 vetor

]

v: = (1, 1, 3), paralelo a r, nao e paralelo a Ii,

rA:'rr.

Idem para rr : x + 2z

= (-3,6, -3)

= 14

e r:

2X - y - z = 0 ( 2x + y - z = 2

como e facil ver. Logo

202

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Resolueao

Urn vetor paralela are -+

-I

W=rt) "rt2 =(2,-1,-1)" (2,1,-1)=

(2,0,4)

-I -I

'TT

Urn vetor normal a n 3.

e n = (I, 0, 2).

Como w = 2n, vemos que r 1 tt,

Ache equacoes na forma simetrica da reta r que passa por P ao plano rr: x - y + 2z - 1 = 0.

= (-1, 3, 5) e e perpendicular

Resolucao

Urn vetor diretor de reo vetor rt = (I, -1, 2), normal a x+1

r :--1-

7T.

Entao

y-3 z-5 =---I 2

EXERCicIOS PROPOSTOS

a) r: X=(3, 1,4)+;\{I,-1, 1)

rr:X={I, 1, I)+A(O, I,O)+J,L{I, 1, I)

b) r:X=(3, 1,4)+;\(-1,0, I)

rr:X={I, I, I) + A(O, 2, 0) + J,L {I, I, I)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Perpendicularismo e Ortogonalidade

203

x = I + 3A c) r:

=I -

1T: 6x

- 6y + 2z - I =

z= A X+ Y+ Z= I d) r: {

2x + y -

1T: x

- Y+ Z = I

X- Y- Z= o 1T: 2x

e) r:

- 2Y + 4z = I

{ x+y=O

Ache equacoes parametricas da reta que passa por Pee perpend icular ao plano casos: 1T: X

b)P=(l,3,7)

1T: 2x

- y + Z =6

Ache uma equacao geral do plano n que passa por Pee perpendicular casas: a) P=(O, 1,-1)

r:X=(0,0,0)+A(l,-1,1)

b) P=(l, 1,-1)

X {

Ache

nos

= (1, - L I) + A(L O. I) + J..L( L I, I)

a) P = (1, -I, 0)

c) P = (0, 0, 0)

2y + Z =

a reta r nos seguintes

2x - 3y + Z - 1 =

r passa por A = (1, -1, 1) e B = (-1, 1, -1).

simetrico de P em relacao ao plano

a) P = (1, 4, 2)

1T: x

b)P=(l,1,1)

1T: 4y

nos casas seguintes:

- y +Z- 2= - 2z + 3 =

204

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Ache a)

a reta

simetrico de P em relacao

r nos seguintes casos:

r: X =(1. 0, 0) + X(O, 1, -1)

P = (0. 2, I)

x+2

b) P =(1,1, -1)

r : - --

X- Y- Z= O c) P

= (0, 0, -

{ 2x + 3y - I

= 0

Determine a projecao ortogonal a) do ponto P

=(4,0,1) sobre 0

b) da reta r: x + 1 = y + 2

plano": 3x - 4y + 2 =0

= 3z - 3 sobre 0

plano": x - y + 2z = 0

c) da origem sobre a reta intersecao dos pianos

"1 :x + y + z = 1

x=I+X "2:

y=I+p. z=I+X+p.

Ache equacees parametricas da reta t', simetrica da reta r em relacao ao plano n, sendo r determinada por A = (1,0,0) e B = (0, -1, -1) e " dado por x + y - z = 3

Dados os pianos

"1:

x - y +Z+ 1=0

e"2:

x + Y - z - 1 = 0,

determine

contern "1 n "2 e e ortogonal ao vetor t l , I,-I).

Ache

vertice B de urn triangulo retangulo ABC sabendo que (i) A

=(1,

1, I) e a cota de C e maior do que a de A;

(ii) a hipotenusa AC eortogonal ao plano x + y - z - 10 (iii)

lado AB e ortogonal ao plano 2x -

y- z=0

=0,

e mede

plano que

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Perpendicularismoe Ortogonalidade

10.

205

Ache equacoes na forma sirnetrica da reta perpendicular as retas

x=I+:\

x=O

y=:\

y=fJ.

z=O

z=I+fJ.

e que passa pela intersecao de res. II.

o vertice de

uma pirarnide regular e P =

tido no plano

1T:

hl'l, 2,0)

e sua base e urn quadrado ABCD con-

x - z = O. Sendo A = (0, 2, 0), determine as outros tres vertices e a

volume da piramide,

§3

Plano e Plano Se Ttl

Tt2 e normal ao l1T 2 se e somente se Ttl • Tt2 = 0,

normal ao plano

plano 1T2, entao, como e claro.

1T I

'IT1

1T I'

/ /- - - 7----_ ,/

EXERCfcIO RESOLVIDO Verificar se sao perpendiculares as planos

1TI:X=(O,O, 1)+:\(1,0, 1)+fJ.(-I,-I, 1) 1T2:

2x - 7y + 16z = 40

Resolueso Urn vetor normal a 1TI

e -7

Ttl = (I , 0, 1) ,,(-I, -1, 1) =

-1

Urn vetor normal a result a que

1T1

1T 2'

1T2

Tt2 = (2,

-7, 16). Como

=(1,-2,-1)

-1

itl

(1,-2,-1)· (2,-7,16)

206

GeometriaAnal/tica: um tratamento vetorial

EXERO'CIOS PROPOSfOS 1.

Verifique se os planos dados sao perpendiculares nos casos:

X = (I, -3, 4) + ;\ (I, 0, 3) + lot (0, 1, 3)

x =(0,0,0) + ;\(l, 1,6) + lot (I, -1, 0) b)

X = (I, 1, I) + x (-1, 0, -1) + lot (4, 1, 1) X=(3, 1, 1) + xn, -3, -1) + lot (3, 1, 0)

X=(4,3, 1)+;\(-1, 0,-1) + lot (3, 1,0

x + y - z - 2 =0

y - 3z

= 10

4x- 2y + 2z =0

Ache uma equa~o geral do

plano por (2, 1, 0) que

perpendicular aos planos

x + 2y - 3z + 4 = 0 e 8x - 4y + 16z - 1 = O.

Dados os planos rr1 : x - y + z + 1 = 0, rr2: x + y - z - 1 = 0 e rr3: x + y + 2z - 2 = 0, ache urna equacao do plano que contem rr1

rr2 e e perpendicular a rr3'

Urn cubo tern diagonal AB e urna de suas faces esta contida no plano rr: x - y = O. Determine seus vertices, dados A

=(l, 1, 0)

e B =(1, 3,

v'2 ).

Urn hexagono regular ABCDEF esta contido no plano rr: x + y + z - 1 = O. Sendo

-1

A = (l, 0, 0) e D = (-3-'-3-' 3) dois vertices diarnetralmente opostos, determine os outros quatro.

cAPtrUl..O 18

ANGULOS

Neste capitulo, todos os sistemas de coordenadas silo ortogonais.

§1

Angulo entre Retas (a)

Dadas as retas res (nao ortogonais), queremos achar a medida tomemos It =1=

do angulo agudo entre elas. Para isso, e -; =1= 0, respectivamente paralelos

are as. Sendo a a medida do angulo entre It e -;, temos

u • -+ v

•

(b)

It·-;.

Analisemos 0 sinal de

It . -; > 0,

entao cos a> 0, donde -+

cos

(J =

u • -+ v

nlt nIIv n

°~ a < -I,

~-+ u • -+v

(J =

a (veja a Figura (a)). Logo

I 207

108

•

GeometriaAnalitica: um tratamento vetorial

0 -1 <0, entao cos ex <0, donde

; <ex ~1T, e neste caso 8 + ex

=1T

(veja Figura (b)).

Logo -+

cos 8 = cos (1T - ex) = - cos ex =-

10-11

u -v

IIltl! II~II

IIltllll~1I

Em qualquer caso,

cos 8 =

lu-+ ·v-+1

° ~ 8 < 2' 1T

II 0 II 11111 '

Observa~o

Salvo mencao em contrario,

angulo entre duas retas sera considerado sempre como sendo

o agudo.

EXERciCIOS RESOLVIDOS

Ache a medida em radianos do angulo entre as retas r: X = (l, I, 9) + A (0, I, -I) e

X- I = Y

{

z=4

Resolu~o

Temos

0 =(0,1, -1), 1 =(I, 1,0),

cos fJ =

10·11

1I;1I11~1I

logo

1(0, I, -I) • (l, 1,0) I

II (0, I, -I) II II (l, I, 0) II

1 2

8 =..!... (em radianos). 3 2.

Obtenha os vertices Bre C do triangulo equilatero ABC, sendo A = (I, 1,0) e sabendo que o lado BC esta contido na reta r de equacao vetorial X = (0, 0, 0) + A(0, I, -I).

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Angulos

209

Resolucio Seja P urn dos vertices (B ou C). Entao, como PEr, temos P=(O,;>",-;>") Mas

(0:)

angulo entre rea reta que passa por A e P mede 60掳. Assirn, como

= (0, 1, -1)

----l-

e urn vetor diretor de reAP = (-1, ;>,. -1, - ;>,.), devemos ter: .....

--+

luoAPL II Ii II 11M II

cos 60掳 =

ou 1 2

1;>"-1+;>,.1 V"iV1+(;>,.-1)2+;>,.2

Sirnplificando, apos e1evar ambos os membros ao quadrado, chega-se a ;>,.2 - ;>,. tanto X = 0 ou ;>,. = 1. Portanto, segue de (0:) que P os dois vertices B e C sao (0, 0, 0) e (0, 1. -1 ). 3.

= (0,

0,0) ou P

= (0,

= 0,

e por-

1, - 1). Conclusao:

Obtenha uma equacao do lugar geornetr ico dos pontos X E E 3 tais que a medida em radianos do angulo entre 0 eixo dos z e a reta que passa por X e P = (0, 0, 2) seja : .

Resolueao ---+

Pondo X = (x, y, z), temos PX = (x, y, z - 2). Assirn, chamando n

~X.kl P II \I r II

= -2-

logo.

{

S~gue.se

(z路路21""'x"+y"

que (z

lugar geometrico.

210

Geometria ANllltica: um tratamento vetorial

e uma

equacao para

Note que, da forma como foi enunciado

problema,

ponto P

nao pertence a n, dai a ressalva z 1= 2. Use a sua intuicao geornetrica para perceber que n e uma superficie conica(-) tendo 0 eixo dos z como eixo de simetria (veja 0 Exercicio 10, ยง6 do Capitulo 22).

Angulo entre Retae Plano

ยง2

Para achar a medida

do angulo entre a reta r e

o plano n, basta achar a medida a do lingulo entre r e uma reta normal a n, uma vez que

It urn vetor

= ;.

Sejam

diretor de r e it urn vetor normal a tt, Entao,

como

,........ n โ ขu I

cos a

(veja

ยงl), temos

sen

n II

nit II

(por serem a e (J complementares, sabemos que cos a = sen (J).

Observaeio

e definido como sendo 0 angulo Assim, se (J e a medida em radianos

angulo entre uma reta r e um plano tt

projecao ortogonal sobre tt, salvo se r 1 tcrnos ncccssariamente 0 ~ 0 ~

tt,

..,

EXERCfclOS RESOLVIDOS 1.

Ache a medida em radianos do angulo entre

r: X=(O,l.OI+;\(-I,-l,O)

I .)

Scm

seu vert ice.

rr: y+z-IO=O

entre r e sua desse angulo,

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Angulos

211

Resolu~o

Ii =(0,1, l)e normal a n, e it =(-1, -1, O)e paralelo a r, temos

Como

sen 0

donde 0 2.

11;11 II it I

=6'

Obtenha equacoes parametricas da reta r, que passa pelo ponto P

= (1,

1, 1),

e paralela

ao plano"): x + 2y - z = 0, e forma com 0 plano "2: x - y + 2z = 1 um angulo de-j-rd. Resolu~o

Tudo que precisamos e obter urn vetor diretor it da ret a r. Como ha uma infinidade de vetores paralelos a r, esse problema e obviamente indeterminado(路). Seja it = (a, b, c). Como

Ii)

= (1,2, -1)

r //

<==>

Por outro lado, sendo

sen

e normal a

IU .

3" = lilT II

it路 it) = (I,

n2 I n, II

"), temos:

a + 2b - c = 0

-I. 2) normal a

~--

(a)

vern

Ia -

b + 2c

({3)

De (a), obtemos c = a + 2b. Sub stituindo em ((3), elevando membro a membro ao quadrado e simplificando (facal), obternos b

= a e portanto (por

(a) novamente) a = c. Isso quer

dizer que 0 conjunto solucao do sistema das equacoes (a) e ({3) e constiturdo de todos os veto res da forma (a, O. a). Observe que todos eles sao paralelos e portanto qualquer urn deles (nao nulo ) e urn diretor de r. Escolhendo, por exernplo, a = I. teremos e entao

x =I+A r:

y=1

Z=I+A

i')

Co rn urn grau de liberdade.

II = (I.

O. 1)

212

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Uma outra maneira de resolver e determinando 0 ponto Q = (x, y, z) interseeao de r com 'TT2' Tente fazer assim. Vale a pena observar, que nesse caso, havendo urn unico ponto Q para cada reta r, somos obrigados a procurar tres equaeoes independentes nas inc6gnitas x, y, z e obter assirn urn sistema determinado.

§3

Angulo entre planos

A medida e do lingula entre as C 'TTz e a medida do angulo entre duas retas r, e rz. respectivamente perpendicularcs a 'TTl e 'TTz. planos 'TTl

EXERcicIOS RESOLVIDOS I.

Ache a medida 'TTi:

e do lingula entre os planos

x - y + z = 20

Resolueao

n l = (l, -1. 1) e normal a 'TTl: logo paralelo a ri' nz = (l, 1, 1) lela a rz. Entao. como virnos no § I.

cos e

donde

Ini • nzl IIni IIl1nz II

arc cos

I (l, -1,1)

• (l, 1, 1) I

II (l, -1, 1) II 1I{l, 1, 1) II

e normal

a 'TTz: logo para-

V3 V3

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Angulos

Obtenha wna equacao geral do plano

7T, que

213

contem a reta

2y+ 2z=O

3x- 5y + 7z=O e forma com

plano

7T I :

x + z = 0 urn angulo de 60 graus.

Resolueso Se

con tern a reta r, sua equacao e a da forma 0' (x - 2y + 2z) + (j (3x - 5y + 7z) = 0

(veja 0 Capitulo 15, 搂4), ou seja ,

1T:

e portanto

(0' + 3(j)x - (20' + 5(j)y + (20' + 7(j)z = 0

n = (0' + 3(j, -

20' - 5(j, 20' + 7(j)

(D)

e urn vetor normal a

1T.

Sendo

01 =(1. O.

normal a 1T I , devemos ter

In路 nIl IInllllnl l l o que nos leva a 130'+10(j1

Quadrando membro a membra e simplificando. obtemos

Rcsolvendo esta equacao de 29 grau em 0', voce obtera 0' = - 3(j e 0' = - Ii (j. Substituindo em (D), obtemos duas solucoes para 4x - II Y + 5z = O.

1T :

problema:

1T:

y + zOe

214

搂4

Geometria Analttica:um tratamento vetorial

Semi-espsco Seja

7T :

ax + by + cz + d

urn plano. Queremos caracterizar algebricamente .os semi-

espacos SI e S2 (abertos) determinados por

7T. Para

isso, fixemos urn ponto P E

e observemos

que (veja a figura)

.".

px. rt > O} onde

rt = (a,

angulo entre

PX路n<O}

b, c) 15 normal a

fiX

7T. Isso se deve ao fato de que para os pontos de urn serni-espaco, 0 15 agudo, e para os do outro, obtuso (15 claro que para X E 7T, tem-se

PX 1 rt). Sejam agora P = (x,. Yo, zo) e X

= (x, y, z).

De P E

1T,

sabemos que

axo + byo + cZo + d = 0

(I )

Assim,

= ax + by + cz ~ (ax, + byo + cZo) (1) = ax

+ by + cz + d

(I)

Concluirnos que os semi-espacos abertos S I e S2 se caracterizam pelas inequacoes Sl

ax + by + cz + d

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Angulos

215

e os semi-espacos fechados(*'S"t e 8 2 se caracterizam pelas inequacoes

8 1 ~ ax + by + cz + d 82

~ 0

ax + by + cz + d ~ 0

EXERcfClOS RESOLVIDOS 1.

Verifique se os pontos A = (1, 2,4) e B = (2, -1, -3) pertencem ao mesmo semi-espaeo ou a semi-espacos opostos relativamente ao plano 1T: 2x - 3y - z = O.

Resolu~o

Basta substituir as coordenadas de A e B no primeiro membro da equaeao de A: 2.1 - 3.2 - 4 =-8

B: 2.2 - 3(-1) - (-3)

=10>0

1T:

Logo, A e B pertencem a semi-espacos opostos.

Os pIanos 1T1 : 2x - 3y + Z =0 e 1T2: x - 3y - z - 2 = 0 deterrninam quatro diedros. Chamemos 10 diedro que contem P = (1,0,0) ell 0 diedro que contern Q = (3,2, -1). Quais pontos de r: X = (1,2, -2) + X(-1, 1, 1) pertencem a I e quais pertencem a II?

Resolu~o

Seja X urn ponto generico de r. Entao, X = (1 - A, 2 + A, -2 + X). Substituindo as coordenadas de P no primeiro membra da equacao de 1T1, obtemos 2.1 - 3.0 + 0 = 2 >0. Substituindo no primeiro membra da equacao 1T2' obtemos 1 - 3.0 - 0 - 2 = -1 O.

Entllo, X Else e somente se

2(1 - X) - 3(2 + X) + (-2 + X) > 0 e 1 - X- 3(2 + X) - (-2 + X) - 2

(*,

Isto

e, incluindo 0

plano

1T.

216

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

isto e, 3 XEI<==>X<--eX>-1 2

Como nao existe X nas condicoes acima, nenhum ponto de r pertence a I. Quanto a II: substituindo as coordenadas de Q nos primeiros membros das equacces de 1T1

1T2, obtemos,

respectivamente, 2.3 - 3.2 - I

=-1 <

0 e 3 - 3.2 - (-1) - 2 =-4 < 0

Entao X Elise e somente se

2(l-X)-3(2+X)+(-2+ X) <0 e I -X-3(2+X)-(-2+X)-2<0

isto e, XEII<==> X>-;

e X>-I<==> X>-1

ou rn 11= {X=(l-X,2+X, -2+X)IX>-I} que

e uma serni-reta.

EXERcfcIOS PROPOSTOS 1.

Ache 0 co-seno do angulo entre as retas: 5 1 a) X=(-2,2,0)+X(y,I,I)

3x- 2y+ 16=0 { 3x - z =0 X= - 2 + X

3+X

y== 3+X

y--2 - X

b) {

z=..j2X

{

z=-5 +..j2 X

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Angulos

X~2

X+ l -2-= z+3

=3-z

{

{ y=O d) x =

1- Y

y=O 3x + Y- Sz =0

=~ 3

{ 2x+ 3y- 8z= 1

Ache a medida em radianos do angulo entre a reta e 0 plano dados:

x =O a)

z=O { y=z

x=y =z

z=O

X=(O,O,I)+~(-I,I,O)

3x+ 4y =0

e) .

{

X=I +~ y=~

x+y-z-l=O

z=-2~

X+ Y= 2

x=I+2z

145 V ~-7-x+y+2z-10=0

Ache a medida em radianos do lingulo entre os planos:

2x + y - z - 1 = 0

X = (1, 0, 0) + ~ (1, 0, 1) + lot (-1, 0, 0)

X=(O, 0, 0) + ~(1, 0, 0) + lot (1, 1,1)

x - y + 3z - 10 = 0 x + y + z =0 X=(1, 0, 0) + ~(-~, 2, 0) + lot (0,1,0)

217

218

Geometria A1Ullftico: um tratamento vetorilll

Ache a reta que intercepta as retas X = - I + 5A r:

x-I

.L::..l= _ ~ 2

y = 1 + 3X

{

z=X

e forma ingulos congruentes com os eixos coordenados., 5.

Ache a reta que passa pelo ponto P = (0, 2, 1) e que forma angulos congruentes com as retas

y =2X

{

x= 1

X= l

x=X

y=2

{

z=2X

+ 3X

y=2 {

z=3

z=3X

Ache a reta que passa pelo ponto (1, -2, 3) e que forma angulos de 45° e 60° respectivamente com 0 eixo dos x e dos y.

Ache uma reta que passa por P ela um angulo 8 com cos 8 =

= (1,

1, 1), intercepta a reta r:

x "2" =y =z

y'3' x + y + z = 0 e que forma 45 graus

Ache urn vetor diretor de uma reta paralela ao plano com 0 plano 1T 1 : x - y = O.

Calcule a rnedida dos angulos entre a diagonal de urn cuba e suas faces.

10.

11.

1T:

Ache uma equacao geral de urn plano que contern a reta r: de

1T 3" rd

e forma com

X= Z+ 1 e que forma angulo { y=z-1

com 0 plano x + 2y - 3z + 2 = O.

Obtenha uma equacao geral do plano que contem a reta r: {

3z - x = 1 y _ 1 =1

e forma com

s: X = (1,1,0) + X (3,1,1) um angulo cuja rnedida em radianos e 8 = arc cos 12.

Resolva novamente (usando angulos agora) os exercfcios: a) nC? 11 do §2.do Capitulo 17

b) nC? 5 do §3 do Capitulo 17.

13.

Releia 0 Exercicio 28, Capitulo 16 §4. Qual dos dois planos encontrados intercepta tetraedro OABC?

14.

A diagonal BC de urn quadrado ABCD esta contida na reta r: X = (1, 0, 0) + X(0, 1, 1). Conhecendo A = (1, 1, 0), determine os outros tres vertices.

cAPi'rULO 19

DIsrANClAS

-+ -+-+

Neste capitulo estti fixodo urn sistema ortogonal (0, i, i. k ) de coordenadas.

ยง1

Distancia de ponto a ponto

Fixado urn sistema ortogonal de coordenadas, sejam A Entao como ja vimos no Capitulo 13, a distancia entre A e B e

= (x.,

Yl>

e B = (X2' Y2, Z2)'

---+

d(A,B) = II BA II = lI(xl - X2' Yl - Y2, Zl - Z2) II donde

(0)

EXERCicIO RESOLVIDO

Prove (analiticamente) que 0 lugar geornetrico dos pontos de E 3 que equidistam de dais pontos A e B e urn plano perpendicular ao segmento AB que passa pelo seu ponto media (esse plano e ch~ado plano ntediador do segmento AB). 219

220

GeometrieA1Ullftica:um tratamento vetorial

Resolu~o

Sejam A

= (Xl'

Yl, Z.) e B = (X2. Y2, Z2) e chamemos

X=(X, Y, Z) E

Logo, uma equacao de

lugar geometrico. Entlio

<= d(X,A) = d(X,B)

Ora, sendo A e B distintos, pelo menos urna das tres diferencas X2 - Xl' Y2 - Yl e Z2 - Zl e nao nula, e portanto trata-se da equacso geral de urn plano. Alem disso, vemos tambem que 0 vetor

--+

n = (X2 - Xl' Y2 - Yl ,Z2 - Zl) e normal a esse plano. Como n = AB, conclufrnos que 0 plano e perpendicular ao segmento AB. Resta ainda provar que n passa pelo ponto medic de AB. Seja entso

M =( Xl + X2

Yl + Y2 2

Zl + Z 2 ) 2

o ponto medio. Substituindo suas coordenadas no primeiro membro da equacao de

o que prova que MEn.

obtemos

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Df8ttillcills

ยง2

221

Distincia de ponto a reta

Dados 0 ponto Pea reta r, para calcular a distancia d(P,r) de Par podemos achar M, proje~o ortogonal de P sobre r, e calcular II PM II, que e a distancia procurada. No entanto, 0 processo seguinte prescinde do conhecimento de M. Sejam A e B dois pontos quaisquer de r, A"* B. A area do triingulo ABP, como sabemos, e

I I I

I --+ S="2 I1 AP "' AD II

Por outro lado (veja a figura)

IlAitlih 2

-:-:t '" AD -+ U = II AD - - II h, .donde Comparando, obtemos II At"

d(p,r)

=h =

- Ai--

IIAP '" AD II II II

Como A e B do pontos arbitrarios de r, podemos ver AD como urn vetor diretor arbitrario de r. Entao

d(p,r)

IIAP ","'111 11111

EXERCfoos RESOLVIDOS 1.

Calcule a distancia do ponto P = (1, I, -I) aceta

x-y=1 r:

{

x+y-z=O

(I)

222

Geornetrlil AnaltticÂŤ: urn tratamento vetorilll

Resolu~o

Como A

= (-I,

-2, -3) E r, ... v = (1, 1, 2) 6 paralelo a r, e AP = (2,3,2), resulta

imediatamente que

d(P,r) = 2.

8(4, -2, -1) n y'14 11(2, 3, 2) " (1, 1, 2) II = =-211(1,1,2) H y'b

Obtenha uma equacao vetorial da reta r, paralela II reta s: X = (1, 1,0) + A(2, 1,2), contida 'IT: x

no plano

- 4y + z = 0 e que dista

v;o

do ponto P = (1,0, 1).

Resolu~o

Seja X = (x, y, z) urn ponto generico de r. Como r C satisfaz a

equ~o

'IT,

temos X E

e portanto X

(0)

x- 4y+ z=O

o vetor -: = (2,

'IT

'IT:

1, 2), que

yw. e paralelo as, e urn diretor de r. Entso, ~ndo d(P,r) =-3-'

temos, por (1), que --+

II XP ,,(2, 1,2) II 11(2, 1, 2) II

Se voce efetuar os calculos, obtera 5x 2 + 8y2 + 5z 2 - 4xy - 8xz - 4yz - 2x + 8y - 2z - 18 = 0

((3)

Assim, X E r se e somente se X e solu~ao do sistema das equacoes (0) e (13). Mas, de (0), segue que x = 4y - z. Substituindo em ((3) e sirnplificando, vern que 4y2_4yz+Z2 = 1, isto e, (2y - Z)2 = 1, donde 2y - z = I

2y- z=-1

Obtivemos assim duas solucoes: X

r: {

=4y- z

e 2y- z= 1

{

=4y- z

2y- z =-1

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Distancills

223

Passando para a forma vetorial, obtemos finalmente r:X=(1,O,-1)+~(2,1,2)

r:X=(-1,O.1)+~(2.1,2)

As retas obtidas sao as interseeoes do plano rr com uma superficie cilindrica, cuja equacao IS (P).

Reto! obtido!

ยง3

Distinciade pontoa plano

Dados urn ponto P e urn plano n, para achar a distancia d(p,rr) de Parr, podemos achar a projecao ortogonal M de P em rr, e dai d(P, 7T) = II:PM /I. .

Eis urn processo que evita achar M. Escolha urn -+ ponto A de 7T e projete ortogonalmente AP sobre urn vetor it normal a 7T. A norma dessa proje~o IS a distancia d(P, rr). Como

resulta que

IAP-it\ d(P,7T) =

/Iii II

(2)

224

Geometric Analitica: um tratamento vetorial

Vejamos agora esta f6rmula em coordenadas. Sejam P =(xo, Yo, zo) e 1T: ax + by + cz + d = O. Entao, Ii = (a, b, c) e normal a 1T. Seja ainda A = (x., Yl' zd 0 ponto escolhido em 1T. Entao --+ AP =(Xo - x., Yo - Yl, Zo - zd, donde AP â&#x20AC;˘ -+ n = a(xo - xd + b(yo - yd + c(zo - zd

onde a ultima igualdade se deve a que A E 1T, e portanto aXI + bYI + CZI + d em (2) (e lembrando que II Ii II = Ja 2 + b 2 + c2 ), obtemos

d(P,1T) =

Note que

= O.

I axo + byo + cZo + d I

-vi a2 + b 2 + c2

Substituindo

(3)

numerador se obtem substituindo, no primeiro membro da equacao geral de

1T, x, y e i por xo, Yo, Zo (coordenadas de P), respectivamente.

Observa~o

Outro procedimento simples para calcular d(P,1T), independente de memorizacao de f6rmulas: escolha tres pontos nao colineares A, B e C de 1T, calcule 0 volume do tetraedro ABCP, e a area de sua base ABC. A partir dai, calcule a altura, que e a distancia procurada.

sxescroos RESOLVIDOS l.

Calcule a distancia do ponto P =(l, 2, -I) ao plano 1T: 3x - 4y - 5z + I = O. Resolu~o

Temos imediatamente

I 3.1 - 4.2 - 5 (-1) + 1 I d(P 1T) = --~;:::::;:;:::;:;Â˘----.....:., .y9 + 16 + 25 2.

Ca1cule a distancia de P =(l, 3,4) ao plano

1T: X = (1, 0, 0) + A(1, 0, 0) + IJ. (-1, 0, 3)

Distdncias

225

Resolu~o

• Urn vetor normal a

rt==(1,o,O)A (-1,0,3)==(0,-3,0) • Urn ponto A E 7T e (1, 0, 0)

---

• Assim, AP == (0,3,4) e por (2)

d(P,

1(0, 3, 4) • (0, -3, 0) 11(0, -3,0) II

7T) ==

1-91

== 3

Sejam P == (1,0,2) e r: x - y == x + 2z == x + z. Obtenha uma equacao geral do plano que contern r e dista 2 do ponto P.

Resolueao

Se r C

7T,

entao

x- y ==x

pertence ao feixe de pianos por r. Como

+ 2z

r: {

x + 2z ==x + Z

temos que uma equacao geralde

7T) ==

z==O

ay + (2a + (3)z == Mas d(P,

r: { Y + 2z ==

sera da forma a (y + 2z) + ~z == 0, ou

('y)

2; logo, por (3),

va°

+ (2a + (3) • 2 2 + (2a + (3)2

1 == 2

donde 12a + (3/ == a 2 + (2a + (3)2. Quadrando membro a membra e simplificando, obtemos a == 0(.".(3 =1= 0), que em (-y) fornece 7T: (3z == 0, ou seja, 7T; Z ==

226

ยง4

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Distlincia entre duasretas Dadas as retas res, sua distancia d(r, s)

e igual a distancia

entre os pontos A e B em que

uma reta perpendicular comum are s as intercepta.

Ocorre que se res sao concorrentes, os pontos A e B coincidem; logo, d(r, s) = 0 nesse caso. Por outro lado, se res sao paralelas, existem infinitas perpendiculares comuns e d(r, s) e igual a distancia de qualquer ponto de uma das retas a outra. Vamos dedicar agora atencao especial ao caso em que res sao reversas.

Distincia entre duasretas reversas Sejarn res duas retas reversas, paralelas respectivamente a

u e a 1 (logo, u e 1 sao LI).

/' /' /'

s ~

Escolha urn ponto P qualquer em r e urn ponto Q qualquer em s. Projete 0 vetor QP sobre vetor Ii = U 1, que e ortogonal are a s. A norma dessa projecao e a distancia entre res. A

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Distdncias

Assim, como

-- --

·It

proJri QP

:!:!7

--+

lilt 11 2

temos d(r, s)

- - • --+ I QP n I lilt II

(4)

ou d(r,s)

Note que

-I QP

• --+ u

llti

--+ V

(5)

111

segundo membro de (5) e

quociente entre

volume de urn paralelepipedo

e a area de sua base. Faca uma figural

Observaeoes 1.

0 processo acima aplica-se tambem quando res sao concorrentes (pense a respeito disso), mas nao quando res sao paralelas, pois neste caso ti quaisquer,o modo mais pratico de proceder eo seguinte. • Verificar se

It e 1

sao LI ou ill, calculando

--+

O. Dadas entao duas retas

It 1. A

• Se

It e 1

sao ill (r / / s), tomar urn ponto P qualquer de r e calcular d(P, s).

• Se

It e 1

sao LI, utilizar 0 processo acima.

Outro procedimento bastante simples para se calcular d(r. s) que nao exige memorizacao das f6rmulas (4) e (5): determine

plano

'IT

que contern r e

e paralelo

a s. Escolha urn

ponto Q qualquer de s e calcule d(Q, ''IT). Novamente, falha se r //s (por que").

EXERO'OOS RESOLVIDOS 1.

Calcule a distiincia entre as retas

3x - 2z - 3 = 0 r: X=(-1,2,O)+X(l,3,I)

{ y-z-2=O

Geometria Anaiitica: um tratamento vetorial

228

Resolu~o

a) vetor diretor de r: It =(1,3,1)

vetor diretor de s:

"""*i

"""*

"""* k

-2

= (2,3,3)

-1

0 Como

"""* i u """*

"""* AV

k"""* 0 = (6, -1, -3) =1= """*

3 2

"""*

sao LI.

Tomamos P =(-1,2,0) Ere Q = (1, 2, 0) E s. ---+

Entao QP = (~2, 0, 0) e 1(-2,0,0)' (6, -1, -3) 11(6,-1,-3) II

Logo,

d(r, s) 2.

1-121

V46

Dados 0 ponto P = (1, 3, -1), 0 plano 1T: x + z = 2 e a reta s: x - z = y + 2 = z - x + 4, . obtenha equacoes parametricas da reta r que passa por P, e paralela a 1T e dista 3 da reta s. Resolu~o

Devemos achar urn vetor """* u = (a, b, c) paralelo a r (*)"""* . Sendo n = (1,0, I) normal a e r//1T, temos It 路rt=O, isto e, a+c=O

(*)

(a)

Existe uma infinidade; obteremos urn sistema indeterminado nas incognitas a, b e c, com urn grau de liberdade.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Distdncias

Vamos agora calcular d(r, s) usando (5). Para isso devemos supor que r nao

229

e paralela a s

(veja observacao no final do exercicio). • Fazendo z = "A nas equacoes de s, obtemos x = 2 + "A e

y = o. Logo,

x=2+"A

y=O z=O+"A

donde Q = (2, 0, 0) Ese 1 = (l, 0, 1) e paralelo a s. • P=(l,3,-l)E r. Como QP=(-1,3,-1), temos:

QP-

• -+ u

-+ V

-1

= 3c - 3a

o -+

= (b, c - a, - b)

• Como d(r, s) = 3, aplicando (5) obtemos 13c -' 3a I = 3 2b 2 + (c - a)2

---;~;<=====i'""

• De (a), temos a = -c. Substituindo em (13) vern que

(13)

:!30

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos 2c 2 to do vetor nao nulo da forma

It = (-c, 0,

= b 2 + 2c 2

e paralelo a r. Por

donde b

exemplo It

= 0.

Logo,

=(-1,0, I).

Assim, a ret a r tern equacoes parametricas

X= I - X

y=3

z=-I+X

Observacao

Resta saber se existe uma solucao r paralela a s. Tal ret a teria equacao vetorial = (I, 3, -1) + X(I , 0, 1). Verifique que esta reta nao satisfaz as condicoes do problema.

§5

Distancia entre reta e plano Consideremos uma reta r e urn plano 11". Sendo 1 urn vetor diretor de r e Tt urn vetor normal

a 11", sua dist3Jicia d(r, 11") e calculada da seguinte forma:

• •

se r

m11", ou seja, se Tt ·1 * 0, entao

d(r, 11") = 0;

se r II 11" ou r C 11", ou seja, se Tt ·1 = 0, entao d(r,1I") e a distancia de urn ponto qualquer de

r a 11". (Cuidado! Nao calcular a distancia de urn ponto qualquer de 11" a r! Todos os pontos de r estao a igual distaneia de 11", mas os pontos de 11" 113:0 estao todos amesma distaneia de r).

§6

Distancia entre dois pianos

Dados dois planos, 11" I e 11"2, com vetores normais ser calculada da seguinte maneira:

•

Ttl

rt2 ,

sua distancia d (11" I, 11"2) pode

se 11"1 1111"2, ou seja, se Ttl e rt2 sao LD, entao d(1I"1, 11"2) e a distancia entre 11"2 e urn ponto qualquer de 11" I (ou a distancia entre 11" I e urn ponto qualquer de 11"2)'

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Distimctas

231

EXERCfcIOS PROPOSTOS 1.

Calcule a distaneia entre os pontos P e Q nos casos

UFPE \J""C1-'" J'

P = (0, -I, 0)

Q =(-1, 1,0)

P=(-I,-3,4)

Q = (1,2, -8)

BIBLIOTb

Calcule a distancia do ponto P a reta r nos casos

x=2z-1 a)

P=(O,-I,O)

{

y=z+1

X=A b)

P=(1,O,I)

c) P = (1, -I, 4)

x = 3A + 1

" ~

P=(-2,0,l)

y=2A-2

Z=A 3.

Calcule a distancia entre as retas paralelas dadas.

~=-L= -2

1 X=(O, 0, 2) + A(-2'2 ' I)

x =1:..::2 = z-2 2

Calcule a distaneia do ponto P ao plano rr nos casos

P =(0,0, -6)

tv\. El

rr: x - 2y - 2z - 6 = 0

232

Geometria Analitica: urn tratamento vetoria/

15 P=(I,I'6)

1T :

4x - 6y + I2z + 21 =

c) P = (9,2, -2)

1T :

X = (0,

1T :

2x - y + 2z - 3 = 0

P = (0,0,0)

째 5

~5, 0) + A(0,"'12' I) + ~ (1,0, 0)

Calcule a distancia entre as planos paralelos:

a) 2x - y + 2z + 9 = 0

4x- 2y+4z- 21 =0

X = 2 - A _ 1J 5 x+ y+ z=2

Y = IJ

[ Z=A

c) x + y + Z = 0 6.

x+y+z+2=0

Calcule a distancia entre as retas 3x - 2z + 3 =0

X= Z- 1

{

y= 3z - 2

y-z-2=0

x=21+6A

x+4 =L=~

y=-5 - 4A

-2

z =2 - A X=2-A

y=I+A

2x- y- 1 =0

z ="":'A X

+ y =2 + que distam 3 do ponte A = (0, 2, 1).

Ache as pontos de r :

Ache as pontos de r: x-I = 2y = z que equidistam dos pontos A = (I, 1,0) e B = (0, I, I).

{

x=y

Interprete geometricamente a resultado.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Distdncias

Determine

ponto de

7T:

2x - y + z - 2

233

tal que a soma de suas distancias aPe Q

seja minima nos seguintes casos:

10.

a) P = (2, I, 0)

Q=(1,-I,-I)

b) P = (2, 1,0)

Q=(I,-1,2)

c) P=(2, 1,0)

Q=(O,I,I)

Ache

ponto de

7T:

x - 3y + 2z 'ii 0 tal que

modulo da diferenca entre suas distancias a

P e Q seja maximo nos seguintes casos: a) P =(3, 0, 2)

Q = (I, -I, 3)

b) P =(3, 0, 2)

Q = (-I, 0, - 1)

c) P =(3, 0, 2)

Q=(1,I,I)

X+ Y= 2 que distam { x=y+z

II.

Ache os pontos de r:

12.

Ache os pontos de r: x - I = 2y = z que equidistam de X

s1 : {

13.

--3- de s: x = Y = z + 1.

S2:

x =y=0

z= 0

Obtenha uma equaeao vetorial da reta r paralela as:

{

2X - z = 3 y =2 ,concorrente com

t: X = (-I, I, 1) + A (0, -I, 2), e que dista I do ponto P =' (I, 2, I).

14.

Urn quadrado ABCD tern a diagonal BD contida na reta r:

{

X = I . Sabendo que y=z

A =(0, 0, 0), determine os vertices B, C e D.

15.

Obtenha equacoes do lugar geornetrico dos pontos de E 3 que equidistarn de r, seA. Interprete geometricamente. Dados: r:x=y=z

s:x-y=z=x+y

A = (1,0, I)

234

16.

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Obtenha equacoes do Iugar geornetrico dos pontos de E J X + Y= I

{

z=O

que equidistam das retas

X+ Z= I [ y=O

Descreva 0 Iugar geometrioo. 17.

Obtenha equacoes do lugar geometrico dos pontos de E J que equidistam das tres retas X

3X + Y + Z

=0 r3: x - Y = x + Z = I + Z

r2 :

{

{ x-y-z=O

y+z=3

Descreva 0 lugar geometrico, X

+Y= 2 que distam =y.+ Z

18.

Ache os pontos da reta r:

19.

Ache os pontos da reta r: x - I 1T1 :

20.

= 2y = Z

2x - 3y - 4z - 3 = 0

1T:

x - 2y -

= I.

que equidistam dos pIanos

1T2 :

4x - 3y - 2z + 3 = O.

De uma equacao geral do plano 1T que contem a reta r: X = (I, 0, I) + X 0, I, -I) e do ponto P = (I, I, - 1). dista

21.

As retas r, set determinam com situada no plano 1T. Dados:

1T:x+y-z+1 = 0

r: x

plano

urn tetraedro. Calcule a altura relativa a face

s: x- y

z+ I

{X-y-Z x

=( I, I, -1)

e Q = (2, I, I) e

22.

De uma equacao geral do plano que passa pelos pontos P que dista 1 da reta r : X = 0,0,2) + X0, 0,2).

23.

Prove que todo plano que passa pelo ponto rnedio de urn segmento PQ e equidistante de P e Q. Verifique se vale a reciproca.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Distdncias

24.

235

De uma equaeao geral do plano que contem os pontos A == (I, 1, 1) e B == (0, 2, 1) e

equidista dos pontos C == (2,3,0) e D == (0, 1,2). 25.

Obtenha uma equacao vetorial da reta t, para1ela ao plano rr : e e con corrente com as retas

== 0, que dista 3 dele,

r : x == (I, -1, -I) + X (I , 2, 4)

{X-Y=:I 3y - 2z + 6 =: 0

26.

27.

Obtenha equacoes do lugar geometrieo dos pontos de E 3 que equidistam dos pIanos 7ft : x +y - z =: 0, 7f2: x - Y- z - 2 == 0 e 7f3:X + y + z= I. Descreva-o geometricamente. Dados os pontos: A == (-2,0, I), B == (0,0, -I),

路c

== (1, 1, 1), D == (-2, -1, -2) e

E == (I, 2, 2), mostre que eles sao vertices de uma piramide de base quadrangular, convexa (veja 0 Exercicio Ic do Capitulo 13), e calcule 0 volume dessa pirarnide. 28.

Obtenha equacoes do lugar geometrico dos pontos de E 3 cujas distancias ao plano 7f I : 2x - y + 2z - 6 == 0 sao os dobras de suas distancias ao plano 7f 2 : x + 2y - 2z + 3 == O. Descreva-o geometricamente.

29.

De equacoes gerais dos pIanos paralelos ao plano n determinado pelas retas res, e que distam 2 de n, Dados: r :

{X+Z=

s:X == (4,1,1) + X(4,2,-3)

Y == 1

30.

Num tetraedro OABC, as arestas OA, OB e OC medem, respectivamente, 2, 3, e 4; e os " BOC " e COA " medem respectivamente 30,45 e 60 graus. Calcule 0 volume angulos AOB, do tetraedro.

Sugestio 31.

Adote urn sistema de coordenadas conveniente.

Considere os pIanos

7fl :

x - 2y + 2z - 1 == 0 e

7f2 :

4x + 3y == O.

a) Obtenha equacoes gerais dos dois bissetores dos diedros determinados por tt I e tt 2 (Iembrete: os blssetores constituem 0 lugar geometrico dos pontes equidistantes de 7f1 e 172).

236

GeometriaAnalitica:um tratamento vetonal

b) Confira 0 resultado obtido, mostrando que cada urn dos pIanos encontrados contern a reta 7T I n 7T2 e forma angulos congruentes com 7T I e 7T 2 • c) Verifique que os bissetores sao perpendiculares. 32.

Urn dos angulos diedros forrnados pelos pIanos 7TI e 7T2 contem a origem. De urna 7TI : x + 2y - 2z -1 =0 e 7T2 : 2x + y + 2z + 2 = O.

equacao geral do seu bissetor, dados Sugestao

Localize a origem em relacao a

7T I

7T 2 •

33.

Escreva urna equacao geral do bissetor do diedro agudo formado pelos pIanos 7TI : x - 2y + 3z = 0 e 7T2: 2x + y - 3z= O.

34.

De uma equacao veto rial da reta r, contida no plano de 30° com

35.

7T:

x +y

= 0,

que forma urn angulo

plano a: : y - z = 1 e dista 1 do eixo dos x.

Calcule a distancia entre os pIanos paralelos 7T I :

36.

ax + by + cz + d I

7T 2:

ax + by + cz + d 2

=O.

Considere 0 tetraedro OABC onde 0 = (0, 0, 0), A = (1, 0, 0), B = (0, 2,0) e C = (0, 0, 3). Ache uma equacao geral do plano 7T paralelo it base ABC, distando 3/7 dela, e que intercepta 0 tetraedro.

cAPtrUW 20

MUDAN~A

DE COORDENADAS

Frequenternente, em problemas de Geometria Analitica, somos levados a passar de urn sistema de coordenadas (0, ;" ;2, ;3) adotado inicialmente para outro, (0',

1" 1

2,13), mais conveniente. Essa maior conveniencia pode ser devida a varies fatores; por exemplo, se 0 primeiro

sistema nao for ortogonal pode surgir a necessidade de mudar para wn sistema ortogonal; outras vezes,

objetivo

e simplificar

os calculos algebricos, ou explorar melhor certas simetrias etc.

Neste Capitulo, veremos como se alteram coordenadas de. pontos e equacoes de lugares geometricos, com a mudanca de urn sistema de coordenadas para outro.

Â°

problema central sera sempre estabelecer relacoes entre as "antigas" e as "novas"

coordenadas.

Â§l

Mudan~ de Coordenadas em E 3 .

Sejam ~, sianas em E

, 0

= (0, -+-+-+ e" e2, e3)

e ~2

+-+1Âˇ' = (0,/ f" f 2, 3) dois sistemas

primeiro referido daqui par diante como

de coordenadas carte-

"antigo", 0 segundo como 0 "novo".

Utilizaremos x, y, z para indicar as coordenadas de urn ponto X qualquer, relativamente ao sistema "antigo" e chamaremos (h, k, m) a tripla de coordenadas de 0' em relacao a ele:

0' =(h,k,m)~

(h,k em) sao as coordenadas da "nova" origem no sistema "antigo"). 237

:!J8

Geometria Analitica: urn tratamento vetorial

-+ -+ -+

Sendo F= (f), f 2 , f 3) base,sabemosqueseXeumpontoqualquerde E 3,existem reais. determinados univocamente, tais que

O'X = u 1)

U,V,W

+ V12 + W 13. Reciprocamente, dados

u. v, w reais, a igualdade anterior determina univocamente 0 ponto X. Se u, v, w variam em R. todo ponto X E E 3 e obtido desse modo. Em outros termos XE E

,-+

X = 0 + uf) + vf2 + w 3

(u, v, wEIR)

(1)

A equacao (1), por analogia com os casos da reta e do plano estudados nos Capftulos 14 e 15, pode ser cham ada "equacao vetorial do espaco E 3". Nesse caso, os vetores 2 3 , fazem o papel de "vetores diretores" de E 3 , enquanto que u, v, w atuam como "parametres", do mesmo modo que A, p. etc. nos casas da reta e do plano ja citados. Assim, exatamente como foi

11>1 ,1

feito la, podemos obter de (1), equacoes de E 3 na "forma parametrica".

Para isso, vamos supor que

onde E = (e), e 2 , e3). Entao, de (1) segue que

(2)

Agora, observe que u, v, w, dados em (1) sao exatamente as coordenadas de X em relacao ,-+-+-+

ao sistema ~2 = (0, f), f 2 , f 3) (lembre a definicao dada no Capitulo 13) e portanto as equayoes (2) sao as relacoes procuradas entre as "antigas" e as "novas" coordenadas de X. Por essa razao sao chamadas equacoes de mudanca de coordenadas do sistema ~) para

Observaeao

Sabemos que a matriz

sistema

~2'

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Mudanca de Coordenadas

e a matriz de mudanca da

239

base E para a base F (recorde no Capitulo 7). As equacoes (2) pod em

ser escritas matricialmente: x-h

y-k

(3)

z-m

donde se obtem u

x-h = M- 1

y-k

(4)

z- m

As formulas (3) e (4) sao as f6rmulas (6) e (7) do Capitulo 7, aplicadas ao vetor

a/x,

EXERcicIOS RESOLVIDOS 1.

Escreva as equacoes da mudanca de coordenadas do sistema ~I onde, com a notacao anterior,

a = (1, I

2, -1)~I'

para

1 -+ 1 -+ = el' 2 = e3, 3 = el -+

sistema ~2' -+ -+ + 2e2 - e3'

Resolu~o -+

Pelos dados, vemos que f l =(1,0, O)E' f 2 =(0,0, I)E' f 3 =(1,2, -I)E' Entao, por (2)

= 1+u+w

= 2+2w

z=-I+v-w 2.

Tomando

P = (2, I, -3)~1 sistema ~I'

como no exercicio anterior, de as coordenadas do ponto

no sistema

e as coordenadas do ponto Q = (0, I, -1)~2 no

240

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

ResolUfio

Para Q, basta aplicar diretamente as equacoes de mudanca de coordenadas, fazendo ai u = 0, v = 1 e w = -1 : x= 1+0-1

y=2-2=0 z = -1 +1-(-1) Logo,

(0, 0, 1)~

Quanto a P: ou fazemos, nas equacoes de mudanca de coordenadas x = 2, y = 1 e z =-3 e resolvemos 0 sistema obtido ou usamos (4). Faremos do primeiro modo, esperando que voce faca do segundo:

l+u+w 2 + 2w

-3

-1 + v- w

substituindo na III equacao, vern que 2 = 1 + u - 1/2, donde u na 3ll equacao, resulta que -3 =-1 + v + 1/2 donde v = -5/2. Logo,

= 3/2.

Substituindo

P = (3/2, -5/2, -1/2)~2

Tomando novamente ~1 e ~2 como no Exercfcio 1, obtenha equacoes no sistema ~2: a)

do plano

rr : [ x - 3y + 2z - 2

da reta

r : [X

(0 significado da notacao e 6bvio).

= (1,1.2) .

= 0 ]~1

+ X(3, 1,-2)]~

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Mudanea de Coordenadas

241

Resolueao Como foi visto no Exercicio 1, as equacoes da mudanca de coordenadas de ~l ~2

para

sao x

1 +u+w (0')

y = 2 + 2w

z=-l+v-w a)

Substituindo na equacao de

11,

vern:

1+u+w-3(2+2w)+2(-1+v-w)-2

logo, 11 : [

u + 2v - 7w - 9

0 1~2

Substituindo nas equacoes de r:

= 1 + 3A

= 1+A

l+u+w=1+3A (0')

2 + 2w = 1 + A

z = 2 - 2A

-1+v-w = 2-2A

destas ultirnas vern que U

1 5 =-+-A

3 = 5- - - A 2 2

--+-A

e portanto r : [U

= (J/2,

5/2, -1/2) + A(5, -3, 1) ]~2

(onde U = (u, v, w)~ ). 2

Escreva as equacces da translaeso do sistema

0' = (h, k, m)~l .

(0, el, e 2 , e3)

para

ponto

142

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

o terrno translaeio e usado quando as bases E e F sao iguais havendo alteracao apenas quanto aorigem.

ÂŤ=;1, t. =

-:2,13 =;3),

Entao, Mea matriz identidade, e as equayOes (3) se reduzem nesse caso a (equacoes de translacao) x = h+ u

o' ....--I~

=k +v u

z '=m+ w

EXERc1aoSPROPOSTOS l.

Sejam ~I = (0, ;1, ;2. ;3) e ~2 = (0',11,12,13) dois sistemas de coordenadas tais que

Obtenha equacoes parametricas da reta r: [X = (0, 0, 0) + A (0, I, - 1) ]~I no sistema ~2'

Idem, sendo

0' = (I, 1, I)~I r: [X = (0,0,0)

Seja

1r:

+ A(0, 1, 1)J~I'

r2x - y + z = OJ~I' Obtenha uma equacao geral de

nos sistemas ~2 dos

dois exercicios anteriores.

Â§ 2

Mudan~ de coordenadas em E2

Tudo 0 que foi dito no paragrafo anterior para E 3 (espaco) pode ser adaptado para E 2 (plano). A unica diferenca e que as bases de V2 (conjunto dos vetores do plano) tern dois ao inves de tres vetores, e portanto para pontos de E 2 ternos apenas duas coordenadas. Sendo entao -+-+ ,-+-+., 2 ' L 1 = (0, el, e2) e ~2 = (0, f l, f 2) dois sistemas de coordenadas em E , com 0 = (h, k)~I'

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ MudanrD de Coordenadas

.....

243

.....

f l = (au, a2d E e f 2 = (aI2. a22)E' as equacoes de mudancas de coordenadas de ~I para ~2 sao:

= h+aUu+aI2v (5)

Quersmos neste paragrafo considerar os casos particulares das translacoes e rotacoes em E 2 , que.serso utilizadas com frequencia no proximo capitulo. Suporemos daqui por diante que todos os sistemas sao ortogonais:

TranslaÂ˘o Neste caso, temos (5) ficarn entao

71 =;1 e 12=;2' e portanto Mea matriz identidade. As equacoes

~ ~

"(6)

que sao as equaeoes da translaeao (compare com anterior).

49 Exercicio Resolvido do paragrafo

t"I I 1 II

----1---

- - - - .. u

I I I I

x h

244

Geometritl ANI1ftica; um tratamento vetorial

Rotafiio

Neste caso, 0' =0 e portanto h

=k = O.

Seja 8 a medida do angulo de rotacao (considerado positive sempre anti-horatio] que transformao sistema(O,e., e2) no sistema (0, ,12). Bntso: ~

sentido

,â&#x20AC;˘

= (cos 8) el + (sen 8) e2

= (-sen 8) el + (cos 8) e2 e

X "..

.....

"..

Segue dai e de (5) que as equacoes da rotacao sao

= ucos8 -vsen8

= u sen 8 + v cos 8

(7)

Resolvendo 0 sistema (7) nas inc6gnitas u e v, obtem-se

u = x cos 8 + Ysen 8

(8) v

= -x sen 8 + y cos 8

Tanto (7) como (8) podem ser obtidas a partir da tabela dedupla entrada

x y

(Note que a

u cos 8 sen 8

coluna e a derivada da I ~).

v -sen 8 cos 8

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ MudaTlfa de Coordenadas

EXERciaos RESOLVIDOS

Escreva as equacoes da rotacao para os seguintes valores de 8: a)

_1T_

d)~

2 Resolu~o

Substituindo

valor de 8 em (7), temos:

x = u cos 1T

= u sen 1T +

"~---L,

V sen 1T

cos 1T

-u

I I I

y = -v

"2 - v sen 2

x=ucos b)

{

y:u

Y= sen 2" + v cos 2

v â&#x20AC;˘

I I

x = -v

..........

_~~

y = u

x = u cos (-1T)

v sen (-1T

)

y = u sen (-~) + v cos (-~)

/ ./

y= -

(u+v) (-u+v)

/ / ./

V2 _

V2 -

./, e

{ : : _u_ 2 + v _V2_2

v 11

"", ,

VI vV2 u--_-+ -2

245

246

Geometria Analttica: um tratamento vetorial

u cos 2 !!. - v sen 2 .!!.

I:路

u sen 2

+ v cos 2 j

" \

--2-v

----.,,~---.x

--2- v

.-- ~\' ':;J \-- ""

Sejam, em relacao a urn sistema de coordenadas ~I == (0, el' e2) em E 2 , P == (I, 2), r: x - 2y - I == 0 (equacao geral de urna reta no plano, lernbra-se"), Obtenha as coordenadas de P e urna equacao de r no sistema ~2' obtido por urna rotacao de 1T/6 radianos. Resolu~o

Por (8) temos: 1T

= - x sen 61T

cos

'6 +

I 1T V3 6 =- 2 - x +-y 2

y sen

v'3

+ y cos 6

--2- x +-2- Y

y'3 I Substituindo x e y pelas coordenadas de P obtemos u =-2- + I, v = -2+ logo / P

= (I

v'3

+-2-'

-T+ y'3)~2

Para obter urna equacao de r no sistema ~2' usamos (7)

= u sen 6" +

y'3

=-2- u

I - TV

v sen

v cos

6" =T u + - 2 - v

v'3

Substituindo na equacao dada, vern:

y'3;

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _........

Mudanfa de Coordenadas

247

donde

v!3

1 r : [(-2- - 1) u - ( - + vf3) v-I

Observe que 3.

termo independente da equacao permanece inalterado.

Faca uma rotacao em E 2 de modo que a reta r: [x + y + 3 (novo) eixo das ordenadas.

= OlL

fique para1ela ao l

Resolu~o

Devemos achar 0 angulo de rotacao. Para que r seja para1ela ao eixo dos v, e necessario e suficiente que sua equacao seja da forma H U =: constante", isto e, que 0 coeficiente de v seja nulo. Substituindo (7) na equacao de r, temos: (ucos8-vsen8) + (usen8+vcos8) + 3

ou (sen 8 + cos 8) u + (cos 8 -sen 8) v + 3 == 0

A condicao

e, pois, (a)

cos 8 == sen 8 Entao, qualquer 8 que satisfaca (a) serve aos nossos propositos: 1T

Escolhamos, por exemplo, 8 =

'4;

a equacao de r fica, nesse caso,

ou seja, y'2u+3=:0

EXERciaoSPROPOSTOS I.

Faca uma rotacao em E2 de modo que as novas coordenadas do ponto P =: (y'3, 1) sejam (y'3, -I).

Faca uma translacao em E 2 de modo que a reta r : x + 3y - 2 == 0 passe pela (nova) origem, sabendo que esta tern abscissa -1.

248

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Faca uma rotacao em E 2 de modo que a ret a r: x + 2y + 1

0 fique paralela ao (novo)

eixo das abscissas e esteja contida no 3C? e 4C? (novos) quadrantes. ~

Dado

sistema

L 1 =(0, el, e2), seja C a circunferencia de centro 0 eo raio r >0. Mostre

que C, em qualquer sistema obtido por rotacao de L 1 , tern equacao u 2 + v2 = r 2.

Aplica~o das translaedes e rotaeoes de E 2 ao estudo da equaeao Ax 2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

ยง3

Fixemos urn sistema ortogonal de coordenadas (0, i, i) em E 2. Sera de grande utilidade no proximo capitulo fazer algumas simplificacoes na equacao Ax 2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

(9)

Vamos analisar aqui dois problemas:

Eliminar, por meio de uma translaoio, os termos de 19 grau:

(I)

Consiste em descobrir 0 ponto (h, k) para 0 qual se deve transladar que a equacao (9) se transforme numa equacao da forma

Au 2

Buv

Cv2

sistema de modo

F =0

(10)

Substituindo as equacoes de translacao (6) em (9), obtemos: A(u + h)2 + B(u + h)(v + k) + C(V + k)2 + D(u + h) + E(v + k) + F

donde, efetuando os quadrados e ordenando em relacao a u e v, vern: Au 2 + Buv + Cv 2 + (Bk +2Ah+ D)u + (2Ck + Bh+E)v + Ah 2 + Bhk +Ck 2+ Dh+ Ek + F

(II)

Entao, devemos achar he k de modo que

Bk + 2Ah + D

2Ck + Bh + E

=0 (I 2)

sistema (12) tiver solucao, teremos resolvido nosso problema. Note que se

determinante

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Mudanra de Coordenadas

B路

2C for diferente de zero,

249

sistema (12) tern certamente solucao (unica). Se for nulo, pod em existir

infinitas solucoes ou pode nao existir nenhuma. Neste caso, I q grau por meio de uma translacao".

e impossivel "eliminar os termos de

Observe agora a igualdade (1 I). Os coeficientes dos termos de 29 grau sao os mesmos (A, B e C) que na equacao (9). Translacoes niio afetam, pois os termos de ;;<! grau disso, chamando G (x, y)

I <? membra de (9), vemos que

(0).

Alem

termo independente de (11) e G (h. k).

Essas consideracoes permitem ganhar tempo na obtencao de (1 I).

(II)

Eliminar, por meio de uma rotadio, 0 termo misto de 29 grau. Consiste em descobrir urn angulo de rotacao tal que a equacao (9) se transforme, apos

a rotacao, numa equacao da forma A'u 2 + C'v 2 + D'u + E'v + F'

(13)

Para levarrnos isso a efeito, devemos preliminarmente observar

seguinte: apos uma rotacao

de angulo 8, a equacao (9) se transforma em A'u 2 + B'uv + C'v 2 + D'u + E'v + F'

(14)

onde: A

= A cos 2 8 + -B2 = (C -

sen 2 8 + C sen 2 8

A) sen 2 8 + B cos 28

C' = A sen 2 8 - -B sen 2 8 + C cos 2 8 2 D' = D cos 8 + E sen 8

= E cos8 F' = F

(0)

D sen 8

(a) (b) (c) (d) (e)

(f)

Dizemos que os coeficientes dos termos de 29 grau sao invariantes por translaeao,

(15)

250

Geometria Analitica: urn tratamento vetorial

(prove isso). Observe que

a sernelhanca das equacoes (8)

podemos obter (d) e (e) da tabela de dupla entrada ao lado. Observe tambem que a ultima igualdade, (f), nos diz que rotacoes naa afetam a terma independente (*).

cos 8

-sen 8

sen 8

cos 8

~as. voltando ao nosso objetivo: para que (14) seja da forma (13), devemos ter B' (C - A) sen 2 8 + B cos 2 8

= 0, ou seja:

donde, sendo B oF 0(**), concluirnos que:

â&#x20AC;˘

A= C,

=...!.. (A + B + C) e C' =1. (A 2 2

e portanto

pode ser

,dondepor (a) e (c),

B + C); ou 3; , e neste caso A'

-t

(A - B + C) e

(A + B + C).

C' =

â&#x20AC;˘

entao cos

se A

*" C,

entao

tg 28

(16)

e qualquer 8 que satisfaca (I 6) serve aos nossos prop6sitos. Pode-se ainda demonstrar (e urn born exercicio de trigonometria!) que, escolhido 8 como acima, os coeficientes A' e C' sao raizes da equacao do 29 grau.

A- A

B/2

C- A

o que simplifica bastante a obtencao de (13) (veja

(*)

0 termo independente e invariante por rotacdes.

(**)

Se B = 0,

que querfamos ja esta feito desde

0 inic~o!

(17)

Exercicio 4).

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Mudanfa de Coordenadas

A decisao sobre qual das raizes e A' equal muitos possrveis, e esta vinculada

co,20

e C'

251

depende da escolha do valor de 8, entre os

a relacao

A-'C

(18)

A'- C'

UFf-'IÂŁ C que se obtern facilmente de (15).

MEl

BIBLlO'l EXERCfcIOS RESOLVIDOS ..........

Esta fixado urn sistema ortogonal de coordenadas (0, i , j). I.

Fazendo rnudancas de coordenadas convenientes em E 2 , transforme a equacao G(x, y) =9x 2

4y2

(a)

18x- 16y-7 =0

numa equacao da forma A'u 2 + C'v 2 + F' = O.

Resolucao Devemos eliminar os termos de 19 grau da equacao dada. Para isso, procedemos como vimos em (I). A translacao

x = u+h

y = v+k

transforma (a) em 9u 2 -4v 2 +(18h-18)u+(-8k-16)v+G(h,k) = 0

onde G(h, k) =9h 2 sejam nulos, temos:

4k 2

j18h-I8

1-8

18h -

16k - 7. Impondo que os coeficientes de u e \

o h

k - 16

((3)

-2

::5::

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Substituindo em

(~),

obtemos

Quando a equacao dada nao apresenta tando quadrados. 9x 2 -18x _4y2 - 16y

9(x 2-2x)

termo xy, pode-se resolver tarnbern cornple-

= 9 [(x-1)2_I] =

= _4(y2 + 4y) = -4 [(y+

9(x-1)2 - 9

2)2 -4] = -4(y+ 2)2 + 16

Substituindo em (a), obtemos 9(x - 1)2 - 4(y + 2)2 e agora basta fazer u = x - I 2.

= y + 2.

Idem para a equacao G(x,y)

4x 2-24xy+lly2+56x-58y+95

Resolucdo Aqui vamos inicialmente fazer uma translacao para eliminar os termos de 10 grau e apos isso fazer uma rotacao para eliminar 0 termo misto do 20 grau, a)

Translacao:

X {

= u+ h

y = v+k

Substituindo em (/,), obtemos 4u 2 - 24uv+ 11v2 + (-24k +8h+ 56)u + (12k - 24h-58)v+G(h, k) onde G(h, k) = 4h 2 - 24hk + IIk 2 + 56h - 58k + 95. Queremos que - 24k + 8h + 56

1 12k - 24h - 58

=0 =

= 0 (5)

________________________

Resolvendo

Mudan~a

de Coordenadas

253

sistema, encontramos h = -2/5, k = 11/5 e portanto, de (0), vern

4u 2

24uv + 11v2 + 20 = 0

b) Rotacao: conforme vimos, A' e C' sao raizes da equacao (I 7)

4-X

-12

o -12

II-X

ouseja X2 -15X-100 = O. Logo, A'=20 e C'=-5 ou A'=-5 e C'=20. Como, por (16) e (I 8), 24 tg 28 = - -

cos 28

A' - C'

o caso A = 20 e C = -5 corresponde a escolha de 28 no 39 quadrante e 0 outro corresponde a escolha de 28 no 19 quadrante. Supondo 0 < 28 < 2rr e lembrando que F' = 20 (rotacoes nao afetam 0 termo independente), temos duas possiveis solucoes: 20t 2

5w 2 + 20 = 0,

para

1T";;;; 28";;;;

3 1T 2

-5t 2+20w 2+20= 0, para 0 <28 <

;

:.0 <8 <

onde t indica a abscissa e w a ordenada no novo sistema. 3.

Idem para a equacao G(x, y) = 16x 2

24xy + 9y 2

Resolueao

Procedemos como no exercicio anterior.

Translacao

I l

u+h

= v+k

85x - 30y + 175

(a)

~54

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Substituindo em (0:) e anulando os coeficientes dos termos de 19 grau, obtemos sistema

- 24k +, 32h- 85 = 0

1 18k que

e incompativel.

24h -

30 = 0

Logo, nao existe translacao que elimine os termos de 19 grau.

Rotacao. Sabemos que A' e C' sao raizes de

16- X

-12

9-X

ou seja X2

25 X = O. Escolhamos A' = 0, C'= 25. Sabemos ainda que F' = 175. Entao ,

ap6s a rotacao, a equacao (0:) ficara Ou2 + 25v 2 + D'u + E'v + 175

Devemos entao calcular D' e E'. De (16) e (18), temos

-24 tg 28 =16 _ 9

-24 7

16-9 cos 28 - - - 0 - 25

e do 29 > 0). Sendo

Logo, 28 cos (J

7 -25

quadrante e podemos escolher

cos?

+ serr'

= 1

cos2

-sen 2

=-7/25(")

no 1Q quadrante (sen

> 0,

________________________

Muda~a

de Coordenadas

255

vern, somando e subtraindo membro a membra, que cos 2

9 =25

sen 2

16 =-25

4 3 donde sen (J ="""'5. e cos (J = -5-' Agora, de (15), vern:

D'= -85路

4 30'5= -75

3 4 E' = -30 . -5 + 85. 5 = 50 Substituindo em ({j), obtemos 25 y2 - 75u + 50v + 175 = 0 ou seja y2 - 3 u + 2 v + 7 = 0 Logo, nao foi possivel chegar plificada.

a forma

pedida. De qualquer modo, a equacao foi sim-

Podemos simplifica-la ainda mais, completando quadrados: y2 + 2 v = (v + 1)2 - I e substituindo na equacao obtida. Resulta (v + 1)2 - I - 3u + 7 = 0, ou seja, (v+ 1)2 -3(u-2)=0路.Pondot=u-2,w=v+ l,chegamosaw2 -3t=0. Observe que esta ultima rnudanea de variaveis corresponde a uma translacao, sendo h=2 e k=-l.

Observa~o

Se tivessernos escolhido A'

= 25

e C'

= 0,

teriamos cos 2 (J

= 25 e entao

2 (J

seria do 49 quadrante. Resolva deste modo: supondo 0 ..;;; (J ..;;; 21T, voce vai obter cos (J = _.! sen (J = 1 e chegar a 25 u 2 + 50 u + 75 v + 175 = a ou seja u 2 + 2 u + 3 v +

7 = O. Agora complete quadrados para obter uma equaeao da forma t 2 + 3w = O. 4.

Idem para a equacao G(x, y) = 8x 2 -2xy + 8y 2 Resolu~o

Translacao

J Obtemos

= u + h,

8h -

= v + k) 23

I -8h + 64k = 40

46x - lay + II = O.

256

GeometriD AnaltticÂŤ: um tratamento vetonal

donde h = 3 e k = 1. Como G(h, k) = G(3, 1) = -63, a equaeao fica Su 2 b)

2 uv + S v2

Rotacao. Como A = C, tomemos 8 = ~ . Nesse caso, 14 A'=+(A+B+C) = - = 7 2 IS C' = _I (A - B + C) = 2 2

F'= -63 A equacao obtida e, portanto, 7t 2 + 9w 2

63 = 0

EXERcfcIOS PROPOSfOS

-+-+ Esta fixado urn sistema ortogonal de coordenadas (0, i ,J ). 1.

Demonstre as relacoes (15).

Demonstre (1S).

Aplique os rnetodos deste capitulo as seguintes equaeoes:

4x 2 + y2 + Sx - IOy + 13

4x 2 - 3y 2 + 24x - 12y + 17 = 0

4x 2:- 5y2 + 12x + 40y

y2 - 4x + lOy + 13

6x - 5y + 14

f) . x2 + 2v 2

.. -

+ 29 = 0

=0 =0

4x - 4y - I

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _--'-

4x 2 - 12xy + 9y2 - 8y"T3 x - 14y"T3 Y + 117

3x 2 - 2xy + 3y2 + 2 y'2 x - 6y'2 Y + 2路

6x 2 - 4xy + 9y2 - 20x - lOy - 5

12x 2 + 8xy - 3y2 + 64x + 30y

2x 2 - 4xy - y2 - 4x - 8y + 14

257

=0 =0

m) 13x 2 +6xy+2I y2 +34x-114y+73

MudollfQ de CoordellQdos

2x 2 - 12xy + 7y2 + 8x + 20y - 14

7x 2 + 6xy - y2 - 2x - lOy - 9

25x 2 + 20xy + 4y2 + 30x + 12y - 20

4x 2-4xy+y2_8..;sx- 16y5y

Prove que os numeros A + C e 8 2 - 4AC sao invariantes por rotacoes (isto e, se (9) e transformada em (14) por meio de uma rotacao, entao A' + C' = A + C e B'2 - 4A'C' = B2 - 4AC).

Mostre que as rafzes Al e A2 de (17) sao reais, quaisquer que sejarn A, B e C. Mostre tambem que elas 810 iguais somente quando A =C e B =0, caso em que Al = A2 = A = C. Conclua que se A2 + B2 + C2 =1= 0 nilo pode ser Al = A2 = O.

Mostre que A + C

Conclua que A' e C ' sao rafzes de (17), escolhido 0 de modo a elirninar-se 0 termo misto.

=0 =0 =0

ea soma das rafzes de (17) e

8 2 - 4AC 4

e 0 produto delas.

Prove que os 'numeros A + C e B2 - 4AC sio invariantes por uma mudanca de coordenadas da forma x = h + U cos 0 - v sen 0 y

= k+usenO

+vcosO

Sugestio A mudanca acima pode ser interpretada como uma translacao seguida de uma rotaeao (roto-translacao).

CAPITUW 21

OONICAS

§I

Elipse, hiperbole, parabola (forma reduzida)

Elipse

•

Defini~o

Consideremos num plano rr dois pontos FIe F 2 , distantes 2c a > c. Ao conjunto dos pont os P E rr tais que

entre si. Seja

(I) se da

nome de elipse.

y •

Equa~o

na forma reduzida

Tomando urn sistema ortogonal como mostra a figura, a igualdade (I) fica, para P = (x, y),

:58

Fz= (cp)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Conicas

259

Elevando ao quadrado e simplificando resulta

Elevando novamente ao quadrado e simplificando resulta

Como a 2

c 2 =1=

Seja b = ..; a2

a (na verdade

<b <a

Entao 0

c 2 > 0 porque a> c> 0),

Logo (2) se escreve

(4)

Portanto se P = (x, y) pertence a elipse, x e y satisfazem (4). Reciprocamente, sc (x, y) verifica (4) entao P = (x, y) e ponto da elipse (experimente provar isto).

â&#x20AC;˘

EsbofO Como (4) so apresenta x e y elevados a expoentes pares, a curva e simetrica em relacao aos eixos coordenados, e portanto em relacao a origem (se 1,U11 ponto (p, q) satisfaz (-+los pontos (-p, q), (p, -q) e (-p. -q) tambern a satisfazem). Alern disso. de (4) COIlcluimos facilmente que para todo ponto P = (x, y) da elipse, vale

:60

Geometric AM/itica: um tratamento vetorial

-a

e -b ~ y ~ b

isto

e, a elipse esta contida no retangulo mostrado na figura. y (O,b)

(-a ,0)

(a,O)

(O,-b)

Achernos as intersecoes da elipse com os eixos coordenados. Com Ox: fazendo y

= 0,

vern x = Âą a, logo elas sao

A, = (-a, 0),

A 2 = (a, 0);

com OY: fazendo x = 0, vern y = Âą b, logo elas sao BI = (0, -b), B2 = (0, b) Gracas

a sirnetria,

podernos restringir-nos ao 19 quadrante,onde

y = ~.ja2_x2, a

a. Atribuindo valores a x entre 0 e a e calculando y, obternos y

esboco

Conicas

261

Aten~o

Se voce adotar urn sistema ortogonal em que FIe F 2 estao no eixo Oy, como mostra 'a figura ao lado, entao (I) fornecera, de modo analogo, a seguinte equacao

Dispondo os eixos como e tradicional (Ox horizontal, Oy vertical),

esboco da elipse

toma 0 aspecto seguinte

--+-:+"-4-J........- .

Assim, a elipse x 2 +_Y4 focos no eixo Ox.

â&#x20AC;˘

tern focos no eixo Oy, e a elipse 4

Nomes F I, F 2

focos

distancia focal

Al A2

eixo maior

B I B2

eixo menor

centro

A I,A 2,B I,B 2

vertices

F I F2

segmento focal

I tern

262

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

EXERCicIO RESOLVIDO

1, 7).

Esta fixado urn sistema ortogonal (0,

Escreva a equacao e esboce 0 graflco da elipse

de focos F 1

= (-4, 0),

= (4, 0) e eixo maior medindo 12;

de focos F 1

=(0, -3),

=(0, 3)

e eixo menor medindo 8.

Resolu~o

Temos 2a

= 12

e 2c

= 4 - (-4),

logo a

e c = 4. Dai' b 2

= 20. y

Como os focos estao em Ox, usamos (4): x2

=a2 -

--+--=1

........ x

--+-~-+-~--t

Temos 2b = 8 e 2c = 3 - (-3) = 6. Logo b = 4 e c = 3. De a 2 a 2 = 4 2 + 3 2 = 25. Como os focos estao no eixo Oy, usamos (5): x2

= b 2 + c2

vern

--+--= 8)

Hiperbo Ie

â&#x20AC;˘

Defmi~o

Consideremos num plano

dois pon tos Fie F 2, distantes 2c

'IT

entre si.

a < a < c.

Seja

Ao conjunto dos pontos P E

'IT

tais que

I d (P, F d - d (P, F 2) I se da

nome de hiperbole.

= 2a

(6)

C6nicQS

â&#x20AC;˘

Equ~o

naforma reduzida

Tomando urn sistema ortogonal como mostra a figura, da mesma forma como no caso da elipse, chega-se a que P = (x, y) esta na hiperbole se e somente se

Pondo b =

..j c2 -

temos 0

263

- -.....--+:---....... x o

<b <c

(7)

A equaeao fica

(8)

â&#x20AC;˘

Esbo~

Como (8) so apresenta expoentes pares, conclufrnos (como no caso da elipse) que a hiperbole e simetrica em relacao aos eixos coordenados e portanto em relacao aorigem. Alem disso, de (8) concluimos que se P = (x, y) e urn ponto qualquer da hiperbole, entao

x ;;:. a Isso quer dizer que a curva nao entra na faixa vertical indicada na figura ao lado. Assim 0 eixo Oy nao a intercepta, enquanto que 0 eixo Ox a intercepta nos pontos A, =(-a,O) e A 2 = (a, 0) (verifique). Gracas a simetria, podemos restingir-nos ao primeiro quadrante, e af y = b a

-a

....- - 1.. x

2 -

x ;;:. a.

264

Geometria A1IIZ1itica: um tratamento vetorial

Atribuindo valores a x e calculando y obtemos 0 esboco seguinte, onde as retas b b r: y =-;-x e s: y = - - x sao assfntotas a hiperbole. a y

c2 " a2 + b2 Aten~o Se voce adotar urn sistema ortogonal em que Fie F 2 estao no eixo Oy como na figura ao lado, entao de (6) obtera

(9)

Dispondo os eixos como e tradicional (Ox horizontal, Oy vertical),

esboco da hiperbole

toma 0 seguinte aspeeto:

AI F.l

a2 + b 2

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Conict18

Assim , x 2 - y2 = 1 representa uma hiperbole com focos em Ox e -

265

+ 100 =

representa urna hiperbole com focos em Oy .

â&#x20AC;˘ Nomes FJ, F 2

focos

distancia focal

AI A 2

eixo transverso

B I B2

eixo conjugado

centro

AJ, A 2

vertices

F I F2

segmento focal

res

assfntotas EXERCicIO RESOLVIDO

Esta fixado urn sistema ortogonal (0,

'r, J).

Ache as equacces da hiperbole e das suas assmtotas, conhecendo a)

os focos F}

urn foco 2

= (-VI3,

F I = (0, (F 2 no eixo Oy).

0),

VTI),

= (y"TI.

0) e a medida do eixo transverso, 6;_

a distancia focal

2VU,

e a medida do eixo conjugado

Resolucao a)

Temos 2a = 6 e 2c

= 2y'T3,

logo a = 3 e c =y'I3 '. Oaf b 2 = c 2

as focos estao em Ox, usamos (8):

As assmtotas tern equacoes

~-----

a 2 =4. Como

266

Geometria Analitica: urn tratamento vetorial

Temos 2b=2y'"7,

2c=2v'JT

:. b=y'7,

c=~

Dai a 2 = c 2 - b 2 = 4. Como os focos estao em Oy, usaremos (9): x2

--+-7 4

As assintotas tern equacoes 2

y =--x

y'7

, - - 2- x

vf7

Parabola â&#x20AC;˘ Definieao

Consideremos num plano 1T urn ponto F e uma reta r, F <I- r, fixos. Ao conjunto dos pontos de 1T equidistantes de Fer se da 0 nome de parabola.

Entao

= (x,

y) esta na parabola se e somente se d (P, F)

y' que

= d (P,

r), isto e,

12 + 0 2

e equivalente a (elevando ao quadrado e simplificando) (I 0)

Conicas

267

• Esboeo Faca uma analise semelhante

a que

fize-

mos nos casos da elipse e da hiperbole para obter

esboco ao lado, onde 0

ponto

medic de HF. -~~~i---------. x

• Nemes

foco

diretriz

parametro

v=o

reta por F e perpendiculara r

eixo (de simetria)

V (ponto medic de HF)

vertice

'II'

Escolhendo-se outros sistemas de coordenadas, e claro que a equacao da parabola

Aten~o

muda. Eis alguns casos.

I I

/ i~

o F

~ p

F = (-p, 0)

F = (0, -p)

F = (0, p)

illt 1111

r: x

r: y

-4px

(11)

= -p

r: y = p

(12)

Observacao

metodo utilizado para chegar aos esoocos da elipse, da hiperbole e da parabc.a. e

precario e incompleto. Por exemplo, no caso da elipse, mesmo que voce atrIDU3 ";:-.nos··

268

GeometriaAnalitica: um tratamento vetorial

vakires a x, voce somente obtera urn mirnero finito de pontos. Ao liga-los, que criterio adotar para decidir qual das figuras abaixo e a mais razoavel? y

born que voce saiba que as tecnicas algebricas de que dispomos nao sao suficientes para decidir isso, necessario recorrer ao Calculo Diferencial, onde se aprendem tecnicas mais sofisticadas e eficientes para esbocar graficos de certas funcoes.

EXEROCIOS PROPOSTOS Esta fixado urn sistema ortogonal (0, 1..

1, J)'

Escreva a equacao reduzida da elipse, dados

i) os focos (± 5, 0) e dois vertices (± 13,0); ¥) os focos (0, ± 6) e a = 17; c)

3 c dois vertices (± 5, .0) e a excentricidade e = 5"' onde e =

as focos estao no

eixo Ox;

V2;

os focos (±1, 0),0 serni-eixo menor medindo

as extremidades do eixo menor (0, ± 4), eo comprimento L = ~ da corda perpendicular ao eixo maior da elipse e que passa por urn dos focos;

os focos (0, ± 2 V3), L = 2, L como no item anterior;

centro (0, 0), urn dos focos (0, -

vf40 ), e urn ponto

(V5, 1 da elipse. 34)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Conicas

269

c =-). a

Faea urn

Para as elipses dadas, determine os vertices, os focos, a excentricidade (e esboco.

c) 2x 2 +y2

= 50

Escreva a equacao reduzida da elipse que tern centro na origem, focos nurn dos eixos coordenados, e passa por A e B. a) A

= (3,2)

B = (1,4)

b) A = (5,2)

= (2,"4)

Ache os vertices e a area de urn quadrado com lados paralelos aos eixos, inscrito na elipse 9x 2 + 16 y 2 = 100.

Obtenha equacoes das elipses cujos focos e medida do semi-eixo maior sao dados.

a) (-3,2) ,(-3,6), a = 4

b) (-1 , -1), (l, 1), a

c) (0, 0) , (l, 1), a = 3

Sugestao ÂŁ mais comedo resolver usando a definicao de elipse, mas translacoes e rotacoes,

e mais instrutivo usar

Determine os vertices, os focos, a excentricidade (e =~) e as assintotas das hiperboles a dadas a seguir. Fatya,um esboco.

b) 16x 2

25 y 2

= 400

270

GeometriaA1Ullitica: um tratamento vetorial

9y2 -

4x 2 = 36

Escreva a equacao reduzida da hiperbole, dados

os vertices (± 2, 0), e os focos (± 3, 0);

b) os vertices Iz 15, 0), e asassintotas 5y= ±4x; c) b

= 4, as assintotas

= ± 3x

(focos no eixo Oy);

d) os focos (± 5, 0), e as assintotas 2y e) as assintotas y

os focos (± 5, 0), e

F I F2 8.

= ± x, 0

± x;

e urn ponto da hiperbole, (5,9); comprimento L

da corda por urn dos focos, perpendicular a

Obtenha equacoes das hiperboles, dados os focos e a.

a) (3, -3)

(3,7)

b)(3,4)

(-1,-2),

Veja a sugestao do Exercicio 5. 9 _ Determine os focos, os vertices e as diretrizes, das parabolas dadas a seguir. Faca urn esboco. a) y2

d) 5;.-2

10.

16x

b) y2 + 28x = 0

c)x 2 + 40 y = 0

12x

e) 2x 2 = 7y

f) 7x 2 = 15y

Escreva as equacoes reduzidas das parabolas com vert ice na origem, dados a)

foco (8,0);

b) a diretriz y

= 2;

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Conicas

(5:); 0 eixo de simetria Ox

271

e urn ponto da parabola, (5.10);

d) dois pontos da parabola, (6, 18) e (-6, 18); e) urn ponto da diretriz, (4,7), eo eixo de simetria Ox.

11.

Ache as equacoes das parabolas de focos e diretrizes dados abaixo.

a) (2, 3) , x = 0 b)(3,1) , y+3 = 0

c) (-4, -2) , 2x + y

Veja a sugestao do Exercicio 5.

ยง2

COnieas (caso geral) Definieao

Dado num plano

G (x, y)

urn sistema ortogonal de coordenadas, e dada a equacao

= Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

(14)

com A 2 + B2 + C2 #= 0, chama-se conica ao conjunto dos pontos P = (x, y) de

(I 4) se veri fica.

Exemplos de conicas

= x 2 + y2 + 1

0 conjunto vazio: G (x, y)

Urn ponto:G (x, y)

Uma reta: G (x, y) = (x + y)2 = x 2 + 2xy + y2

Reuniao de duas retas paralelas: G (x, y)

= x 2 + y2 = 0

= (x + y)(x + y + 1) = x 2 + 2xy + y2

+X +Y

ii"

tais que

272

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Reuniao de duas retas concorrentes: G (x, Y)

Elipse: G (x, y)

Hiperbole : G (x, y)

Parabola: G (x, y)

Circunferencia: G (x, y)

= x 2 + 2y 2 = x2 =

y2 - 1

x - y2

(x + y)(x- y)

x 2 + y2 - 1

Provaremos no § 3 que estes nove casas esgotam as possibilidades. Nos exemplos acima nao lui nenhuma dificuldade em se reconhecer a conica, a partir de sua equacao, lei nao se po de dizer 0 mesmo dos seguintes: 35x 2 - 2xy + 35y2 - 34x - 34y - 289 3x 2 + 12xy + 8y2 - 18x - 28y + 11 4x 2 - 4xy + y2 - 2x + y + 15 Neste paragrafo sua equacao,

nosso objetivo

(elipse)

(hiperbole)

e reconhecer

(vazio) a conica e esbocar seu grafico, conhecida

Roteiro 1)

Procure eliminar par meio de uma translacao os termos de 19 grau. Proceda como indicado em (I), no §3, capitulo anterior. O(s) ponto(s) (h, k) la indicado(s) se charna(m) centro(s) (de simetria) da cOnica(·).

Admitindo que isso possa ser feito, procure elirninar

termo em uv atraves de uma

rotacao, como se indica em (II), §3, Capitulo 20. Chega-se a uma equacao da forma A't 2 + C'w 2 + F' = 0, e daf e facil 0 reconhecirnento! ").

(.)

ES!e norne advern do fato seguinte: se Pesta na conica, tambem esta 0 seu simetrico ern rela"ao ao centro. 2 2 0 sistema inicial: Au + Buv + Cv + F' = O.

Basta observar a equacao da cornea, quando se translada Se

(U,

v r a satisfaz, entao (-u, -v) tambern a satisfaz. Observe que 'as parabolas sao as iinicas conicas

que mo tern centro (apesar de terern urn eixo de simetria). Elipses, hiperboles, circunferencias, pontos e reuni3es de duas retas concorrentes possuem centro unico. Retas, reunioes de duas retas paralelas e vazio tern infm itos centros. (••)

Note que esta Ultima equacao sO apresenta expoentes pares para t e w, e portanto, como ja comentamos no § I, ela descreve urn conjunto simetrico ern relacao aos eixos Ot e O~. Eis ai geometrico do processo.

significado

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Conicas

273

Se nao pudermos eliminar os termos de 19 grau, paciencia. Efetuamos uma rotacao para eliminarmos 0 termo em xy.

Observa~o

Foi visto, no Exercicio 4 do §3 do capitulo anterior, que B2 - 4AC = -4A'C' (pois aqui Usando este fato, nao e dificil tirar as seguintes conclusoes, que ajudarn a conferir resultados (daremos mais detalhes no pr6ximo paragrafo).

= 0).

•

Se B2

4AC <0, a conica s6 pode ser: vazio, ponto, circunferencia ou elipse.

•

Se, B2

4AC

= 0,

a conica s6 pode ser: reta, reuniao de duas retas paralelas, parabola, ou

vazio,

•

Se B2 - 4AC hiperbole.

> 0,

trata-se necessariamente de reuniao de duas retas concorrentes, ou de

Por causa disso, dizemos que a equacao (l4) e de tipo eltptico quando B2 - 4AC < 0, de. tipo parabolico quando B2 - 4AC = 0, e de tipo hiperbolico quando B2 - 4AC > O.

sxsacroos RESOLVIDOS -+ -+

Esta fixado urn sistema ortogonal (0, i , j).

Esbocar 0 grafico da conica de equacao G (x, y)

= 4x 2

4xy + 7y 2 + 12x + 6y - 9

Resolu~o

• B2 - 4AC = 16 - 4.4.7 circunferencia, elipse. • Fazendo x = u + h, y 2

=v + k,

(tipo ehptico), As possibilidades sao: vazio, ponto,

e substituindo na equacao, obteremos

4u + 4uv + 7v 2 + (8h - 4k + 12) u + (-4h + 14k + 6)v + G(h, k)

Geometria A naltttca: um tratamento vetorial

] 74

Ipuhndo os coeficientes de u e v a 0 resulta 8h -

= -12

1-4h + 14k = de onde resu1ta h = -2, k

•I

= -1.

I t I

A equacao no novo sistema fica 4u

4uv + 7v

---~ 0'

24 = 0

• Vamos agora eliminar 0 termo uv.

Sendo tg 28 = 4 _ 7 =-3-' podemos escolher

2f)

I I

. I

- +u

- ii -.0.0

Ca1culamos A' e C', que sao raizes de 4- A

-2

7- A

---~u

I I

no 1Q quadrante.

•

-4

Reso1vendo, encontramos A = 3 e A = 8. Para decidir quem observe que (f6rmula (20) do Capitulo 20)

cos 28

Como cos 28

> 0,

4- 7 - A'-C'

resulta A' - C'

t2 8

w2 3

uma elipse. Eis 0 esboeo procurado:

e quem

e C',

-3 A' - C'

< C'

Logo A' = 3, C' = 8. A equacao final e (lembre-se que se altera por rotacao) 3t 2 + 8w 2 - 24 = 0, ou seja

--+--= 1

e A'

termo independente F' nao

ConicQS

275

I I I

I I

.,.,'

t I

_1_,., U 1

Idem para G (x, Y) = x 2 - 2xy + y2 - 2x - 2y + I

Resol~

â&#x20AC;˘ 8 2 - 4AC = 4 - 4 = 0 (tipo parab6lico). As possibilidades sao: reta, reuniao de duas retas paralelas, parabola, ou vazio. â&#x20AC;˘ Tentemos a eliminacao dos termos de I o grau: Fazendo x u2

= u + h, -

= v + k,

resulta

2uv + v2 + (-2k + 2h - 2)u + (2k - 2h - 2)v + G (h, k)

Igualando os coeficientes de u e v a zero, resulta -2k + 2h { 2k - 2h

=2 =2

claramente incornpativel. Logo nao existe centro, de uma parabola. â&#x20AC;˘ Vamos

a rotacao. Como

= C,

tomemos 8

que nos da a certeza de que se trata

= ; .. Como

vimos no Capitulo 20, temos:

276

Geometric Analitica: um tratamento vetorial

=...!.. (A + 8 + C) = 0 2

= ;

(A - 8 + C)

+ E sen ~

0 cos :

-0 sen

= -2..[2 =0

+ E cos .!!:... 4

F' == I (Note que par ser 8 2

4AC

ja era prevista que au

au C' = 0.)

A equacao fica 2v2

que

e uma

parabola, que voce

na forma v2

u+I

deve saber desenhar. Escrevendo a ultima equacao

2~ ) = 0,

(u -

pode-se ainda fazer a translacao w

I t -- u - - para obter a equacao reduzida w 2 2..[2' r-

= V" - !2 t.

Eis a resposta:

II"

/ /

v ~

/ /

""-,

/ )IF

0': 0

/ / /

/ /

Âť

= v,

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Conica«

Idem para G(x, y) =x 2

4xy + 4y 2

6x + 12y + 8

277

Resolu~o

• B2

4AC

= 16 -

(tipo parabolico). Pode ser reta, reuniao de duas retas para le-

las, parabola, ou vazio. • Para eliminar os termos de 19 grau, fazemos x = u + h, Y= v + k, obtendo u2

4uv + 4v 2 + (-4k + 2h - 6)u + (8k - 4h + 12)v + G(h, k)

Igualando a 0 os coeficientes de u e de v, vern - 4 k + 2h = 6 { 8k - 4h =-12

-I'd , sistema compatrvel, indeterrninado (logo nao se trata de parabola). Escolhemos uma solucao, digamos h = 1, k = -1. Com isso, a equacao fica u2

4uv + 4v 2

• Para elirninar 0 termo em uv, ca1culamos tg 28

= --=±- =_4_ 1- 4

e escolhemos 28 no 19 quadrante. A' e

, --If II

sao as raizes de

I I

1- A

-2

o -2

4- A

que sao 0 e 5. Para saber quem e A' e quem e C', examinamos

cos 28

1-4 A' ~ C '

29 I

: 78

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Como

-\' =

c' < 0,

cos :8 > 0 pela escolha acima, resulta A' O. C' = 5. A equacao final e

< C',

e dai

+_1_

ou seja,

logo, A'

- fi

Trata-se da reuniao de duas [etas paralelas. y

.v I I I

\ \

/ /

I I

\ o

I I

/ /

I '\~.

""'~18

.;Pl 1\

\ Agora repare que este exercicio poderia ter sido resolvido de urn modo todo especial, pela fatoracao do polinomio G (x, y): G (x, y) = x 2 - 4xy + 4y2 - 6x + 12y + 8 (x - 2y)2 - 6 (x - 2y) + 8 =(x - 2y - 2)(x - 2y - 4) Logo x - 2y - 2 G (x, y)

=a =

ou x - 2y - 4

Conicas

279

e portanto a c6nica e a re uniao das retas paralelas descritas acima. De qualquer modo, se voce nao perceber essa possibilidade e fizer a translacao , obtendo a equacao u 2 - 4uv + 4v 2 - 1 = 0, ainda resta a alternativa de fatorar: u 2 - 4uv + 4v 2

1 = (u - 2\,)2 - 1 = 0

que implica u - 2v = 1 au u - 2v = -1, e novamente temos as duas retas naralelas, desta vez referidas ao sistema 0' uv. Vale a pena ficar atento a esses casas especiais.

EXERCiCIOS PROPOSfOS Esta fixado urn sistema ortogonal de coordenadas (0,1, 1.

Esbocar

j).

grafico da conica representada por

G (x, y)

3x 2 + 3y2 + 2xy + 6 V2x + 2 V2y + 2 = 0

G (x, y)

x2 + 4y2 + 3

G (x, y)

x 2 + 4 y2 + 4xy - 1 = 0

G (x, y)

16x 2-24xy+9 y2-38x-34y+7l = 0

G(x,y)

7x 2+5 y2+2y'3 xy-(l4+2y'3)x-(lO+2y'3)y+8+2y'3 =0

G (x, y)

16x 2 - 108xy- 29y2 + 260 = 0

G (x, y)

7x 2 + 6xy - y2 + 28x + 12y + 28

V3 xy -

1=0

Reduza a equacao a forma mais simples, atraves de translacao eventual e rotacao. De angulo de rotacao. Descreva 0 conjunto representado. a)

32x 2 + 52xy - 7y2 + 180 = 0

7x 2 - 6y'3 xy+ l3 y2 -16 = 0

Geometria Analitica:um tratamento vetorial

280

x 2 - 5xy - 11/ - x + 37y + 52

4x 2-4xy+y2- 8y'5x-16y'5y

x 2+y2_2xy-8y'2x-8VTy

8 y2 + 6xy - 12x - 26y + II

17x 2 - 12xy + 8y2

19x 2 + 6xy + II y2 + 38x + 6y + 29

=0 0

Reconheca as corneas dadas a seguir: a)

3x 2 + 4xy + y2 - 2x - I

:-2 _ 6xy - 7 y2 + l Ox - 30y + 23

5x 2 + 4xy + y2 - 6x - 2y + 2

_d)

ยง3

2x 2 + 3y2 - 8x + 6y - 7

4x 2 - 4xy + y2 - 6x + 3y + 2

x 2 - 2xy + y2 - l Ox - 6y + 25

x 2 + 4y2 + 4xy + 2x + 4y + I

16x 2 + 16y2 -16x+8y- 59

~ieat;3o

0 0

=0 =0

das conicas

Como vimos no paragrafo anterior, geral laborioso. Porern, se "atalhos" que encurtam

processo para esbocar

interesse for apenas

grafico de uma conica

e em

de reconhecer a conica, vimos que ha alguns caminho, como por exemplo a analise do sinal de B 2 - 4AC. Vamos 0

agora sistematizar esses procedimentos para ver como se pode reconhecer a conica de urn modo relativamente simples, atraves da analise dos coeficientes de sua equacao.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Conicas

281

.........

Fixemos urn sistema ortogonal de coordenadas (0, i , j) em E 2 â&#x20AC;˘ Sendo G(x, y)

= Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

(A 2 + B2 + C 2

"* 0)

(I 5)

a equacao de uma cornea, associamos a ela a matriz (simetrica).

_1 B 2

_1_ D 2

_1 B 2

_1 D 2

_1 E 2

(I 6)

e os numeros A

_1 B 2 B2

_1 B 2

4AC

(I 7)

' /::;3 = detM

Considere a mudanca de coordenadas dada por x

= h +u

cos 8 - v sen 8

= k +u

sen 8 + v cos 8

(I 8)

que corresponde a uma translacao seguida de uma rotacao (roto-translacao; observe que sistema de coordenadas tambem e ortogonal).

novo

282

GeometriaAnalttica: um tratamento vetorial

Substituindo (I 8) em (IS) resulta uma equacao da forma

g( u, v) = au 2 + buv + cv2 + du + ev + f

i qual fica associada uma matriz

b/2

d/2

b/2

e/2

d/2

e/2

e correspondentes numeros

a+C

ProposifiO 1

4ac

Valem as igualdades fJ 1

= /:).1'

fJ 2

= /:).2,

fJ 3

= /:).3

(isso quer dizer que os numeros

/:).1' ~ e /:).3 sao invariantes por roto-translacoes, por isso sao chamados invariantes ortogonais da c6nica dada).

Demonstraeao Quanto

Para as duas primeiras igualdades, veja os Exercicios 4 e 5 do ยง3, Capitulo 20.

a terceira,

observe inicialmente que

19 membro de (15) pode ser colocado sob forma

matricial (faca os calculos para constatar isso):

Alem disso, usando (I 8) vemos, apos urn calculo rnatricial simples, que 8 -sen 8 h] ~en 8 cos8 k CO S

onde

Transpondo, obtemos ainda [x

= [u

vi]

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Conicas

283

Substituindo na expressao de G (x, y) obtemos

g (u, v)

[u vI] (Tt M T)

u V

]

u V

]

[

Mas, a exemplo de G (x, y), podemos escrever

g (u, v)

[u vI]

m [

Comparando as duas ultimas igualdades vern

de onde resulta

ti 3 ja que det T

= det r'

= det M

det

r' . det M . det T

det M = 6 3

= 1.

Observeeao Uma alternativa para demonstrar a invarianca de

Para a proxima Proposicao , sera util

6 2, voce pode ver no Exercicio 2.

lema seguinte, cuja dernonstracao

e imediata

e sera

deixada como exercicio.

Lema a)

Seja g(u,v)

cv2 +du+ev+f

Se c"* Oed "* 0, entao a mudanca de variaveis (translacao) v =Y -

-"d +

e2 4cd'

e 2 c ' transforma g(u, v) em cy2 + dX.

Se c"* Oed = 0, entao a mudanca de variaveis (translacao) v = Y - 2~ e2

forma g(u, v) em cy2 + q (onde q = f - 4:C).

(u = X) trans-

284

Geometria Analitica: um tratamento vetorial ~

Observ~o

As translacoes acima nao "cairam do ceu". sao motivadas pela conhecida tecnica

de completacao de quadrados:

= Proposi~o 2

e e2 c(v+ _)2 -"'A::"! 2c 4c

Considere a conica dada por (15).

0, existe urn sistema de coordenadas ortogonal, em relacao ao qual a equacao

da conics tern a forma

o ,I

Se ~ = 0, entao b 1)

*" 0,

existe urn sistema ortogonal de coordenadas, em relaeao ao qual a cornea

tern equacao da forma py2 + qX = 0 b2 )

/),,3

= 0,

existe urn sistema ortogonal de coordenadas, em relacao ao qual a cornea

tern equacao da forma py2 + q

Demonstraeao 2

a) Decorre do trabalho desenvolvido no ยง 3 do Capitulo 20. De fato,

/),,2 =

4AC 8 4-

sendo nao-nulo, podernos fazer urna translacao para eliminar os termos de I Q grau; como sempre e possivel fazer urna rotacao para elirninar

termo misto de 29 grau, obternos apos essa roto-

translacao urn sistema ortogonal satisfazendo as condicoes do enunciado. b) Suponhamos 6

= O. Efetuando uma rotacao para eliminar

terrno misto de 29 grau,

obtemos urn sistema de coordenadas ortogonal em relacao ao qual a equacao da conica tern a forma (I 9)

Conicas

285

onde a e c sao raizes de A- A

B/2

o. C- A

B/2 Agora

d/2

e/2

d/2

e/2

e pela Proposicao 1 temos cd 2

6.) = a + c , 6.2 = ac , 6.3 = acf - 4

ae 2 -4-

(20)

De 6.2 = 0 segue que a = 0 ou c =0, nao podendo ser ambos nulos, senao a equacao (15) nao seria de 29 grau (veja 0 Exercicio 4b, ยง3 do Capitulo 20). Suponhamos a = 0 e c =FO

(0 outro caso e analogo e fica como exercicio), Entao, (20) fornece (21)

e (19) se reduz a cv2 + d u + ev + f

(22)

bd Se 6.3 =F 0, (21) nos assegura que d =F 0 eo resultado segue da parte a) do Lema anterior, aplicada a (22), tomando p = c e q = d. b 2 ) Se 6.3 = 0, (21) nos da d = 0, e Lema, tomando p = c.

Corohirio (i)

Seja

resultado segue agora da parte b) do referido

urn subconjunto de E 2 .

n e uma cornea se e somente se n e de urn dos seguintes tipos:

Geometria Analitica:um tratamento vetorial

286

vazio

conjunto de urn unico ponto

3i reta 4)

reuniao de duas retas paralelas

reuniao de duas retas concorrentes

elipse

parabola

8). hiperbole

(ii)

circunferencia

=1=

cp, entao D. 3 = 0 se e somente se

n e de urn dos tipos 2), 3), 4), 5) do item (i).

Demonstraeao

(i) Vamos estudar 0 caso D.2 =1= 0, deixando 0 outro caso como exercicio. Pela Proposicao 2, existe urn sistema de coordenadas em relacao ao qual a equacao da cornea tern a forma pX 2 + qy2 + r I)

(23)

Suponhamos r =1= O. la) Se p, q, r tern mesmo sinal, entao

n = cp.

Ib) Se p, q, r nao tern mesmo sinal, entao (23) pode representar uma elipse, uma circunferencia ou uma hiperbole. II)

Suponhamos r = O. De (23) segue

(24) lIa) Se p e q tern mesmo sinal, entao pX 2 unico ponto.

= qy2 = O.

Logo,

n e formado

por urn

lIb) Se p e q tern sinais contraries, entao (24) representa a reuniao de duas retas concorrentes. (ii)

Deixamos como exercicio, lembrando que pela Proposicao 1 e por (23) tem-se D. 3 = p q r.

Conicas

287

Observaeao

o conjunto vazio esta "fora do alcance"do item (ii); as equacoes representam, ambas,

x 2 + I =0 e x 2 + y2 + 1= 0

conjunto vazio, mas para a primeira 6.3 = 0 e para a segunda, 6.3 = 1.

Vamos agora ver como se aplicam esses resultados.

EXERcfCIOS RESOLVIDOS ~~

Esta fixado urn sistema ortogonal (0, i, j). I.

Reconheca a conica de equacao 4x 2

4xy + 7y2 + 12x + 6y - 9

(veja 0 Exercicio Resolvido nl? I, ยง2).

Resolucao Temos

-2

6.2 =4.7-(-2).(-2)=24*0

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1

-9

det M

-576 -=F 0

Como 6.2 -=F 0, existe, pela Proposicao 2, urn sistema de coordenadas ortogonal em relacao ao qual a equacao da c6nica e da forma pX2 + qy2 + r =0

p+q

288

Geometria Aneuttc«: um tratamento vetortal

Pela Proposicao 1 devernos ter pqr

= -576

pq = 24 {

p+q=II

de onde resulta facilmente p 0, q 0, r O. Trata-se portanto de elipse ou circunferencia. Das igualdades pq = 24 e p + q = 11 conclui-se imediatamente que p"* q. Logo, a conica nao e circunferencia. Trata-se, pois, de uma elipse.

Observa~o

Caso se queira a equacao da elipse na forma reduzida, basta resolver 0 sistema acima. Obtern-se p = 3, q = 8 (ou p = 8, q = 3) e r = - 24. A equacao e, pois, 3X 2 + 8y2 - 24 = 0, ou seja, X2

--+-X2 y2 A escolha da outra soIU930 fomece -3- + -8- = 1. Este metoda nao permite obter a medida (J do angulo de rotacao, de modo que nao temos elementos para esbocar 0 grafico da conica,

Idem para x 2 - 2xy + y2 - 2x - 2y + 1

(veja 0 Exercicio Resolvido n9 2, §2).

Resolueao Seguindo os passos da resolucao do exercicio anterior, temos

-1 M

-1

-I

-1

Pela Proposicao 2, existe urn sistema ortogonal de coordenadas em relacao ao qual a conica e dada por uma equacao da forma py2 + qX = O. Sendo

C6nicas

q/2

61 = p

62 = 0

q/2

_ pq2 6 3 - --4-

289

a Proposicao 1 nos leva a p

o=0 -4 ou seja, p = 2, q =

VB,

ou p = 2, q

VB.

Trata-se, pois, de uma parabola.

Observa~o

Num certo sistema de coordenadas, a parabola tern por equacao 2x2 + y Num outro, 2)f y = 0.. Novamente, faltam-nos subsidies para determinar esbocar a parabola.

Idem para x 2 - 4xy + 4y2 - 6x + l2y + 8

(veja

= O. (J

Exercrcio Resolvido n9 3, ยง2).

Resolueao

Temos

-2

-3

8.1 = 5

-2

s; = 0

-3

8.3 = 0

e portanto em relacao a urn sistema ortogonal de coordenadas, a c6nica tern equacao da forma py2 + q = O. Neste caso

290

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

sistema que se obtern igualando os invariantes so fornece p = 5.

equacao p y2 + q lelas, ou

Mas, observando a

0, vemos que so pode representar: reta, reuniao de duas retas para-

vazio. Determinemos entao a intersecao da conica com os eixos Ox e Oy.

Fazendo x = 0 na equacao original, resulta 4 y 2 + 12y + 8

e dai y = -2 ou y =-1.

Fica claro que se trata da reuniao de duas retas paralelas.

Idem para x 2 - 2xy + y2 + X

Y + 1 = O.

Resolucao Temos

-1 M

-1

Oy. Fazendo x

-1/2 -1/2

1/2 e a situacao

1/2

me sma do exercicio anterior. Determinemos a intersecao da conica com

na equacao dada vern y2 - Y + 1

O. que nao tern raizes reais;

logo, a c6nica nao intercepta Oy. Agora, com Ox. Fazendo y

0 na equacao dada resulta x 2 + x + 1

0, que

tarnbern nao possui raizes reais. Conclusao: Trata-se do conjunto vazio.

EXEROCIOSPROPOSTOS --+ --+

Esta fixado urn sistema ortogonal (0, i, j).

Faca

reconhecimento das c6nicas dadas nos exercicios propostos no ยง2, usando os

rnetodos deste paragrafo.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Conicas

291

Mostre que a parte quadratica de (15) pode ser escrita matricialmente sob a forma

onde

Mostre que (18) pode ser posta sob a forma

[

CO S (J -

sen

sen (J

cos (J

Combinando a) e b) e procedendo como na demonstracao da invarianca de L,. prove a invarianca de /12 '

CAPITULO 22

SUPERFicIES

.... 7

Neste capitulo esta fixado urn sistema ortogonal de coordenadas cartesianas (0, i,

ยง1

Superffcie esferica

J .1

Equaeao reduzida e equaeao geral Dados urn ponto C E E 3 e urn numero real r

raio reo lugar geometrico dos pontos de

> 0 , a superficie esferica S de

....

k).

centro C

que distam r do ponto C. Assim, pondo

P=(X,Y,z)

ternos P E: S se e somente se d (P, C) = r, isto e,

(I)

A equacao ( II

e chamada

e a equacao reduzida de 292

equaoio reduzida de S. Assim, por exemplo,

uma superfrcie esferica de centro C = (--1, 2,0) e raio r =

V4 = 2.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Superficies

293

Desenvolvendo os quadrados em (1), obtemos

(2) que

e urna equacao da forma

x 2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d

(3)

com a, b, c, d E R, chamada equacao geral de S. Surgem imediatamente duas questoes:

1fl)

dada uma equacao da forma (3), como decidir se ela

e equacao geral de

alguma superficie

esferica S?

2\1) em caso afirmativo, como obter, a partir da equacao, as coordenadas do centra e a raio de S?

Para responde-las, basta completar as quadrados e colocar (3) sob a forma (I ): se membra for negativo,

lugar geometrico e vazio; se for nulo, ele se reduz a urn ponte: e se for

positivo, trata-se de uma superficie esferica cujo raio centro se obtern observando

quadrada desse 29 membro e cujo

19 membra. Assim:

x 2 + ax

a2 (x 2 + ax + - ) 4

y2 + by

(\(2 + b y +

a2 4

(x+ f)2-

h2 4

(y +

b 4)

(Z2+

e a raiz

c路

CZ + _ )

Substituindo em (3), vern:

~)2

a2 4 b2 4

294

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Entao, (3) e a equacao geral de uma superficie esferica se e somente se

(4)

e nesse caso. 0 centro e

(Sa)

eo raio

(5b)

Observa~es

Se a 2 + b 2 + c 2 - 4d

0, a (mica solucao de (3) eo ponto C (veja (SaÂť e portanto

o lugar geometrico e {C}. Se a 2 + b 2 + c 2

< 0,

lugar geometrico e vazio.

Na obtencao da equacao (3), not amos que os coeficientes a, b e c dependem exclusivamente das coordenadas do centro de S. 0 raio r intlui apenas no termo independente d (compare com (2Âť. Segue-se dai' que a equacao x 2 + y2 + Z2 + ax + by + CZ + A = 0 onde A e urn pararnetro real, sujeito

acondicao

A< (veja 1411. repre senta urn feixe de superficies esfericas concentr icas. com centro

(-2'--"-

-,)

( 6)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Superficies

295

EXERCicIOS RESOLVIDOS

De a equacao geral da superficie esferica de centro (1, -1, 3) e raio of.

Resolucao Usando (1) temos:

(x_l)2 +(y+ 1)2 +(Z_3)2

16.

Eliminando os parenteses e passando para a forma (3), obtemos a equacao geral procurada x2 +

+ Z2 - 2x + 2y - 6z - 5

Verifique se a equacao x 2 + y2 + Z2 - 4x - 2y + 8z + 12 ficie esferica, Caso seja, de

centro e

e a equacao de uma super-

raio.

Resolucao Completemos os quadrados: 4 2.

i- 2y = i -

2. I. Y =

8 ')

i - 2.

y + 12 _ 12

= (y

_ 1)2 - 1 (Z+4)2 -16

Substituindo na equacao dada, resulta

Portanto , trata-se de uma superf'(cie esferica de centro C 3.

Idem para x 2 +

+ Z2 - V3x - 4y + 8 = O.

= (2, 1, -4) e raio r = 3.

296

Geometna A7IIJ1ltica: um tratamento vetonal

Resolu~o

Completando quadrados:

y2 _ 4y

=y2

_ 2. 2. y

= y2 -

2. 2. y + 2 2 - 2 2 = (y - 2)2 - 4

Substituindo na equacao dada vern que V3)2 + ( Y- 2) 2 + z2 ( x - -2-

3 4'

4 +8

ou seja (x _V3)2 + (y _ 2)2 + Z2 + ~ 2 4

Vemos claramente que nlio existem x, y, z que satisfacam essa equacao. Logo, a equacao dada nao representa uma superffcie esferica, mas sim 0 conjunto vazio. 4.

Ache a equacao geral da superficie esferica que passa pelos pontos (0, 0, 0), (I, 0, 0), (0,2,0), (0, 0, 3).

Resolu9lio A equacao procurada sera da forma x 2 + y2 + Z2 + ax + by + cz + d

Impondo que os pontos dados satisfacamessa equacso resulta 02 + 0 2 + 0 2 + a.O + b.O + c.O + d

}2 + 0 2 + 0 2 + a.l + b.O + c.O + d

0 2 + 2 2 + 0 2 + a.O + b.2 + c.O + d = a 0 2 + 0 2 + 3 2 + a.O + b.O + c.3 + d

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Superficies

297

ou seja d

1 + a+d

+ 2b + d

+ 3c + d

= 0

Resolvendo, vern

a = -1,

-2,

c = -3.

Portanto, teremos par resposta

Ache

raio da superficie esferica que passa pelos pontos (-2, 1, Y26

), (1,2, -4), (2,2,3)

e cujo centro est a no plano Oxy.

Resolucao Como querernos

Como C

raio r, escrevemos a equacao procurada na forma

(rn, n, p) esta no plano Oxy, temos p

Levando isto ~ equacao acima, e impondo que os pontos dados estejam na superficie, vern que

(0:)

(*)

Em princi'pio , deveriarnos verificar se esta

e equacao

de uma superffcie esferica,

verificar se os pontos dados nao sao coplanares, Mas isto nao

solucao unica (veja

Exercicio 12).

e necessario , pais 0

que

e equivalente a

sistema obtido admitiu

198

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Resolvendo

_~ ~

sistema acima, obtemos m = -2, n = I, e r = V26.

equacao geral da superficie esferica \. - -t- y1

+ Z2

SI,

concentrica com a superf'(cie esferica

2x + 3y - z = 0 e que passa pelo ponto P = (l, I, 0).

Resolucao Por (6), temos:

As coordenadas de P satisfazern essa equacao, logo 1 + 1 + 0 - :2 + 3 ~ 0 + X = 0, donde X=-3.Entao

Localize os pont os M

(l, 2, I), N =

superficie esferica S : x 2 + /

Z2 -

(-I, ~I, 0) e Q = (I. O. -I) em relacao

2x + 4y - z - 1 = O.

Resolucao Devemos cornparar as distancias dos pontos dados ao centro de S, com Um jeito rapido de se Iazer isso

e no tar Inicialmente

que

raio de S.

primeiro membro da equacao

geral (3) nada rnais e que d (P, C)2 - r 2 (releia a obtencao de (3) a partir de (l), passando por (2)\. Assim, para localizar um ponto P em relacao a urna superficie esferica S, basta substituir suas coordenadas no 19 membra da equacao geral de S. Se for negative, P entao

e interior a S: se for positivo, P e exterior a S: se for

resultado obtido

nulo, PES. Resolvamos

exercicio: M:I+-l+1-2+8-1-1

M e exterior a S

N: 1+1+0+2-4-0-1

-I

Q :1+0+1-2+1-1

QE S

e interior a S

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Superftcies

299

EXERCICIOS PROPOSTOS 1.

Ache uma equacao da superffcie esferica de centro C e raio r nos casos a) C

(1, -1, -3)

b) C

(0,0,0)

c) C

(V2,

1, -3)

= ..;2

d) C

(I8, -17, -1)

e) C

(0, 1,0)

Verifique se as equacoes dadas sao equacoes de superficies esfericas, Caso afirmativo, de o centro e a)

raio.

(x - 2)2 + (y + 6)2 + Z2

= 25

x 2 + y2 + Z2 - 4x + 6y + 2z - 2

x 2 + y2 + Z2 - 2x - 4y + 10 = 0

x 2 + y2 + Z2 - 2x + 2y

x 2 + y2 + Z2 - 2x - 4y - 6z + 16

2x 2 + 2y2 + 2z 2 - 6x + 2y - 4z + 7

4x 2 + 4y2 + 4z2 - 8x - 8y - 8z + 10

x2 + l

+ Z2 - 2x + 4y + 15

+ y2 + Z2 - 2x + 4y + 5

=0 =0 =0

=0 =0

Ache uma equacao da superficie esferica que passa pelos pontos (1, 0, 0), (0, 1. 0), 1

(2' 2' -2-)' 4.

(0,0, 1).

Ache uma equacao da superffcie esferica de centro (1, 1, 2) que passa pclo ponto (I, 1, 3).

300

Geometria Analitica:um tratamento vetorial

Os pontos A = (2, ---':3, -5) e B = (4, I, -3) sao extremidades de urn diametro de uma superfrcie esferica. Ache uma sua equacao.

Ache uma equacao da superficie esferica que passa pelos pontos (0,0, I), (1,0,0), (0, 1,0) e cujo centro esta no plano x + Y - z = O. Ache uma equacao da superffcie esferica que tern centro na reta r :

X {

= 2z - 3

Y= z - I

e passa

pelos pontos A = (6, -1,3) e B = (0,7,5). "8.

De equacoes na forma simetrica da reta perpendicular ao plano lOx - 2y + 4z - 1 = 0 e que conrern urn diametro da superffcie esferica x 2 + y2 + Z2 + 2x - 6y + z - 11 = O.

Calcule a distancia do ponto P = (1, -1, 3)

a superffcie esferica

S : x 2 + y2 + Z2 - 6x + 4y - 10z - 62 = 0 (isto e, a distancia minima de P aos pontos de S). 10.

Mostre que, se k

0, a equacao

x 2 + y2 + Z2 + ax + by + cz + k = 0 representa urna superffcie esferica, quaisquer que sejam a, b, c reais. 11.

Mostre que para todo rf> EIRe para todo y = a sen rf> sen

(J,

a > O. Faca uma figura e descubra esfericas? 12.

(J E

z = a cos rf> pertence 0

ponto de coordenadas x = a sen rf> cos (J,

a superffcie

que sao rf> e

(J.

esferica de centro na origem e raio Voce ja ouviu falar em coordenadas

Seja p(x,y,z)=x2 +y2 +Z2 +ax+by+cz+d. Sejarn Aj Prove que sao equivalentes as afirmacoes:

(Xj,yj,z), i= 1,2,3,4.

(a) AI. A 2 â&#x20AC;˘ A), A4 nao sao coplanares. (b) 0 sistema p tx., Yj. (mica.

Zj)

= 0, i = 1,2,3,4, nas incognitas a, b, c, d, tern solucao

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Superficies

13.

301

Mostre que os Iugares geometricos descritos abaixo sao superficies esfericas e determine seus centros e seus raios: a)

l.g. dos pontos cuja distiincia A origem

l.g. dos pontos cujas distancias a B

dobra de sua distancia a A = (IO, 0, 0).

= (-2,2, -2)

e D =(3, -3,3) estao na razao 2: 3.

l.g. dos pontos tais que a soma dos quadrados de suas distiincias aos eixos coordenados

e 30. d)

Lg, dos pontos tais que a soma dos quadrados de suas distiincias aos pianos

1T) :

x - y +4

= 0,

1T2:

x+y - 2

l.g. dos pon tos X tais que PX 1 QX.

7T):

o e 20.

z+1

Dados: P

(I, 1, 0) e Q

(0, I, 0).

representa a superficie esferica que tern PIP 2 como diiimetra.

\ 15.

Localize os pontos A = (2, -1, 3) e B S : x 2 + y2 + Z2 - 6x + 2y - 2z + 7 = O.

16.

De uma equacao da superficie esferica de centro (2, 3, -1), que determina sobre a reta

(3, -1, 0) em relacao it superficie esferica

5X - 4y + 3z + 20 = 0

4y +

Z -

8 = 0

lima corda de comprimento 16.

17.

Determine

diarnetro da superficie esferica x 2 +

cular ao plano x - y - 2

= O.

+ Z2 + 2x - 2y

0 que e perpendi-

302

1.2

Geometria Analttica:um tratamento vetorial

Plano taDgente

Seja S wna superffcie esferica de centro C e raio r. Se 'IT e urn plano tangente a S no ponto

T E S (ponto de tangencia), entao

'IT

a urn unico ponto, precisamente

ponto T. AI6m

S se reduz

disso, 0 segmento CT e perpendicular a 'IT, e por isso mesmo, d(C, 1T) = r. Cada urn desses tres fatos,

1TnS=={T}

(7)

cr 1

TE S

(8)

(9)

'IT,

d(C,lI)

caraeteriza a tangencia de

e S.

EXERCICIOS RESOLVIDOS 1.

Ache uma equacao geral do plano S : x2 + l

Z2 -

1T,

tangente

asuperficie esferica

2x - 1 = 0 pelo ponto T = (l, -1, 1).

Resolu~io

Observe ini'<:ialmente que T E S, sendo portanto 0 ponto de tangencia. Sabemos que ---+ C = (l, 0, 0) e 0 centro de S. Logo, por (8), temos que CT = (0, -1, 1) e urn vetor normal a 'IT. Dai, 'IT : - y + z + d = O. Como T E 2.

1T,

temos -(-1) + 1 + d = 0 donde d == -2. Assim

Escreva uma equacao geral do plano

s: e

1 l

'IT,

que contern a reta

x+y+z=O

2x _ 6y + 3z _ 49

e tangente a superficie esferica S de centro na origem e raio 7.

1T:

-y + z - 2 = O.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Super{icin

303

s Resolu~o

rrb?---.r---_, tt

pertence ao feixe de pIanos

par s, logo

rr : Q (x + y + z) + {j (2x - 6y + 3z - 49)

(Q2 + (j2:1= 0)

ou seja, tt : (Q + 2{j)x

Entao, impondo que d(C, rr)

V (Q + 2{j)2

= r,

onde C

= (0,0,0)

1- 496\ + (Q _ 6{j)2 + (Q + 3{j)2

Quadrando e simplificando, vern 3Q2 - 2ct{j Q

+ (Q - 6{j)y + (Q + 3{j)z - 49{j

= 0,

e r

= 7,

obtemos

donde Q (3Q - 2{j)

= 0,

e portanto

= 3"2 {j â&#x20AC;˘

Substituindo em ('y) obtemos duas SOIUi:OeS: : tt :

2x - 6y + 3z - 49 = 0

Obtenha equacoes gerais dos pianos tangentes \ S : x 2 + y2 + Z2 + 2x + 2y - I

asuperficie esferica

que sao paralelos ao plano rrt : x - y - 2z - 2

=O.

Resolu~o

Chamernos rr ao plano procurado. Entao, rr II rrt

~ rr: x - y - 2z + d

rr:8x-16y+llz-147

= O.

304

GeometrieANJ1Itit:a: um tratamento vetoria!

Sendo C = (-1, -1, 0)

centro de S e r = v'3

1-1+1-2. O+dl

seu raio, obtemos de (9):

=.;3

...{6 ou

Vi8,

Id I =

donde d =

ÂąVi8.

As respostas sao, pois

x - Y- 2z +

v'T8

x - Y- 2z -

v'18

EXERCfcIOS PROPOSTOS

Ache uma equacao geral do plano tangente a S no ponto T, nos casos:

b) T 2.

(0,

V95,

S : x 2 + y 2 + Z2 - 2x - 4z - 95

Ache os pIanos tangentes

a superficie esferica

paralelos ao plano 2x + y - z = 3.

(x -

+ (y - 2)2 + Z2 =

=0 1 que sao

Ache os pIanos tangentes it superffcie esferica x 2 + y2 + Z2

1 que contem a reta

Jx+y+z=O

l x-y-z-2 4.

Uma corda PO da superffcie esferica S: x 2 + y2 + Z2 - 4x + 2y - 8z + 10

na reta

= 2z -

1= y

esta contida

1 Determine os pIanos tangente em P e

1- z

Prove que se uma superffcie esferica de centro C

(a, b, c)

e tangente

aos tres pIanos

coordenados, entao I a I = I b I = I c 1 . Q.

Mostre que tern.equacao

plano tangente as: x 2 + y2 + Z2 Xl X + Yl Y

+ Zl Z = ~.

no ponto PI = (x.,

Yl,

zd E S

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Super{fcies

305

D~ equacoes gerais dos pianos tangentes ~ superficie esferica (x- 1)2 + y2 + Z2 = 6, per-

x - I _ pendiculares areta - 2 - - Y = z - 1.

Obtenha equacoes gerais dos pianos que contem a reta t e sao tangentes S nos casos: x+6 a) t :-2-= y+3

asuperficie esferica

z+ I

S : x2 + y2 + Z2 - 4x + 2y - 4z + 4

b)t:X=(4,1,l) + X(4,3,1) S : x2 + y2 + Z2 - 2x + 6y + 2z + 8 = 0 Interprete os resultados.

Ache uma equacao da superficie esferica de centro C = (3, 2, -2), tangente ao plano + 3y - 2z + I = O.

10.

De uma equacao da superficie esferica tangente aos tres pianos coordenados, situada no 19 octante, com centro no plano 3x + 2y - z - 8 = O.

II.

De uma equacao da superficie esferica tangente aos pianos 1TI

= 2z + 8

1T2 :

2x - z + 5

= O~

cujo centro pertence areta x + 2 = Y = O. 12.

De uma equacao da superficie esferica inscrita no tetraedro determinado pelos pianos: 1TI

:5x-2y+14z+ 11=0,

1T3 :

x + 2y + 2z + 7 = 0

1T2 :

1T4

l lx - 2y+ lOz+ 14 = 0

:x-2y+2z+7 = 0

13.

De uma equacao da superficie esferica circunscrita ao tetraedro do exercfcio anterior.

14.

De uma equacao da superffcie esferica que passa pelo ponto A = (-I, 6, -3) e tangencia o plano 4x + 4y + 7z - 96 = 0 no ponto T = (7, 3,8).

306

15.

GeometriD ANdftictz: um tratamento vetorial

eq~

da superficie esferica tangente aos pIanos x = seodo T = (0,2, -I) urn dos pontos de tangencia, IJ1m

lc:em, sendo os planos 6x - 3y - 2z - 35 = C.alcu1e

e 3x + y + Z - 2 = 0,

e 6x - 3y - 2z + 63 =

e T = (5, -1, -1).

raio de uma superficie esferica tangente aos tres pIanos coordenados, que passa

pelo ponto (1, -1, 2).

18.

Calcule a para que

plano x + y + Z = a seja tangente a x 2 + y2 + Z2

12, e determine

o ponto de tangencia. 19.

De uma condieao sobre a, b, c, d para que superffcie esferica x 2 + y2 + Z2 = r2.

plano ax + by + CZ + d =

seja tangente

20.

Calcule 0 maximo e 0 minimo valores atingidos pela expressao x - 2y + z sobre a superficie x 2 + y2 +- Z2 = 6.

21.

De uma equacao da superffcie esferica de centro (6, 3, -4), tangente ao eixo Ox. (uma reta t, tangente a uma superficie esferica S, satisfaz condicoes analogas a (7), (8), e (9), com t em Iugar de 7T).

22.

Obtenha a equacao reduzida da superficie esferica S. concentrica com S e tangente reta t. Dados:

t :

x-y+z=

2x-y-z=3

23.

Obtenha a equacao geral da superficie esferica com centro na ret a PQ, que tangencia os eixos Oxe Oy, sendo que as tres coordenadas do centro sao negativas. Dados: P = (1,3, -1) e Q= (-1,0,-2).

24.

Obtenha equacoes gerais dos pIanos que passam pelos pontos P = (1, 1, -1) e Q = (1,2, 1) e tangenciam a superffcie esferica x 2 + y2 + Z2 - 4x - 2y - 4z + 8 = 0.

1.3

Plano secante. Equayoes de uma circunferencia

e secante a S se e n 7T e uma circunferencia S contida no plano

Seja S urna superficie esferica de centro C e raio r. Urn plano 7T sornente se d (C, 7T) < r. Nesse caso, a intersecao S -. que pode ser dada pelo sistema de equacoes

_ _ _ _- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Superficies

l X

+ y2 + Z2 + ax + by + cz + d = 0

mx + ny + pz + q

Para se determinar

centro P e 0 raio p da circunferencia &, basta observar que P 1T e que (veja na figura 0 triangulo retangulo CPA)

projecao ortogonal de C sobre

Observaeao Dada uma circunferencia &, contida em urn plano 1T, existe uma infinidade de superficies esfericas que interceptam 1T em &. A "menor" delas (isto e, a de menor raio) tern 0 mesmo centro e 0 mesmo raio que &, sendo & seu equador.

EXERCfcIOS RESOLVIDOS

307

Ache 0 centro P e 0 raio p da circunferencia

2x - y - 2z - 1

308

Geometria Analitica: um tratamento vetonel

Resolu~

Achamos inicialmente 0 centro Ceo raio r da superficie esferica

M1y'1O

2+z 2 +3x-y = 0 obtendo C= ( - 3 S·x 2 +v - 1 0) e r = '. . , 2' 2'

Como vimos, P

a projecao ortogonal de C sobre

• reta por C, perpendicular a

plano

1T :

-+-=-4 4 2'

2x - y - 2z - 1 = 0

1T:

1 - X 2

z=O-2A

• intersecao de scorn

2( -

logo, P = (-

1T:

("2 - X) - 2(- 2X) - 1 = 0

+ 2X) -

1 T'

~A=_I 2

0, -I).

Quanto a p: sendo p2 + d (P, C)2 = r2, temos

=J.Q. _ 4

...!... + 4

(I +

= .!Q. _.2.. =...!.. 4 4 4

on e

Obtenha equacoes da circunferencia 8., de centro P = (1, I, - 2) e que passa pelos pontos Q = (2,3,0)

R = (-I, -I, -I).

Resolu~o

Devemos obter equacoes de

e de S.

e certamente 0

sendo PQ = (1,2,2) e PR = (-2, -2,1), temos

plano que passa por P, Q e R;

_ _ _- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - S u p e r f f c i e s

x-I 1T:

-2 donde

1T:

y- I

z+2

309

6x - 5y + 2z + 3 = O.

Quanto a S, escolhamos aquela que tern mesmo centro e mesmo raio que t

observacao anterior): r= d(P,Q)

t veja

C= P = 0,1,-2). Logo,

S : (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z + 2)2

ou seja,

S :x2 + /

+ Z2 - 2x - 2y + 4z - 3

e fmalmente

x2 + /

+ Z2 - 2x - 2y + 4z - 3 = 0

6>.. . 5y + 2z + 3

EXERCfCIOSPROPOSTOS I.

Ache 0 centro e 0 raio da circunferencia intersecao do plano 2x - 2y - z + 9 a superffcie esferica x 2 + y2 + Z2 - 6x + 4y - 2z - 86 = 0 i/

o com

2. Obtenha equacoes da circunferencia que tern diametro AB e passa por C, sendo dados A=(3,-2,5), B=(-I,6,-3), C=(1-4,1).

3.. Obtenha equacoes da circunferencia que passa IJelos pontos A = (3, -I, -2), B e C= (-1,3,0).

(1.1. -2)

310

Geometria ANIlitica:um tratamento vetotial

0 plano 3x + 2y + 6z = 6 intercepta os eixos coordenados nos pontos A, B, e C. Obtenha equacoes da circunferencia circunscrita ao triangulo ABC.

Dsdos A

Obtenha equacoes da circunferencia de centro (1, -1, -2), que determina sobre a reta

= (3, -1, -2) e B = (1, 1, -2), obtenha equacoes do lugar geometrico dos pontes X tais que 0 triangulo ABX seja equilatero, Interprete geornetricarnente.

14x 7.

y + 2z -

7y - z + 6

=0 =0

urna corda de cornprimento 8.

De equacoes gerais dos planos paralelos ao plano x - 2y - z = 0, que interceptam a superficie esferica S : x 2 + y2 + Z2 + 2x + 2y - 2z = 0, segundo circunferencias de raio

VJi2 8.

Urn hex agono regular inscrito na circunferencia X2 + y2 + Z2 + 2x + 2y + 2z - 3 {

x+y+z

tern urn vertice na reta X 9.

= (-1,1,1/3)+ ;\(2, -1, 1). Determine seus seis vertices.

Verifique se as superficies esfericas

sao secantes. Em caso afirmativo, ache 0 centro e 0 raio da circunferencia S, n S2 (observe que subtraindo as equacoes de S, e S2 obtern-se urna equacao do plano que contern 51 n 52; por que"), 10.

Ache X real tal que as superficies esfericas S I e S2 sejam tangentes:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Superficies

11.

311

Sejam SI : x 2 +y2 +Z2 = 9 e S2: x 2 +y2 +Z2 - 6x -12y+ 12z+72 = O. De as equacoes reduzidas das superficies esfericas tangentes a 5 I e a 52, com centro colinear com os centros de SI e S2 .

12.

De uma equacao da superficie esferica tangente ao plano Z = 0 no porno (1, -2, 0), que tangencia externamente a superffcie esferica x 2 + y2 + Z2 - 6x - 8: - 2z + I = O.

13.

Obtenha as equacoes gerais das superficies esfericas com centro (1, 0, I) que tangenciarn interiormente a superffcie esferica S: x 2 + y2 + Z2 - 2x + Y- 10 = O.

ยง2

Generalidades sobre curvas e superficies

Nesta se~a:o vamos falar levemente sobre curvas e superficies. E importante ressaltar que. o enfoque vai ser essencialrnente intuitivo e nao-rjgoroso, uma vez que 0 habitat natural para esses conceitos e 0 da Geometria Diferencial, cujos recursos nao estao a nossa disposicao no momento. A ideia de superficie e a de algo bidimensional que se pode imaginar, por exemplo, tomando urn pedaco de uma placa de borracha bern fina, e deformando esse pedaco sem rompe-lo, mantendo a bidimensionalidade. Por exemplo, urn plano equacao: ax + by + cz + d

e uma

superficie. Observe uma sua

Uma superficie esferica e uma superficie; sua equacao tern a forma x 2 + y2 + Z2 + ax + by + cz + d = O. As duas equacoes anteriores sso casos particulares de f(x,y,z)=O

(10)

Vamos definir uma superficie S como sendo urn subconjunto de E 3 tal que (fixado urn sistema de coordenadas) P

(x, y, z) pertence a ela se e somente se suas coordenadas

satisfazem uma equacao da forma (10), que sera uma equacao de S.

e defeituosa,

E claro

que a definicao

pois vimos que uma equacao como (10) pode representar urn ponto, ou

vazio

312

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Par outro lado, uma curva e algo unidimensional, como a trajet6ria de urn movimento de urn ponto, e pode ser concebida como a intersecao de duas superficies:

1 g(x,Y,z)

f(x, Y, z)

(11)

Por exemplo, uma circunferencia no espaco pode ser dada como intersecao de uma superfide esferica com urn plano:

ou de duas superficies esfericas:

c {

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Superficies

313

Mesmo uma reta (que e uma curva!), como sabemos, po de ser dada como intersecao de dois pIanos x - 2y

r :

2x-y+I=O

Existem outras maneiras de representar curvas e superficies (sob forma parametrica. par exemplo) as quais nao vamos considerar aqui.

Â§3

Superficie cilindrica

Urn subconjunto S de E 3 se diz uma superficie ciltndrica se existir uma curva C e uma reta !::J. tais que Sea reuniao das retas paralelas a !::J. e que passam por algum ponto de C. C echamada diretriz de Seas retas citadas, paralelas a !::J., sao chamadas geratrizes de S. Fixado urn sistema de coordenadas, vamos supor: f(x, y, z)

â&#x20AC;˘

(12)

C dada por { g(x,y,z) ~

â&#x20AC;˘

o o

v = (m, n, p)"* 0 um vetor diretor de A.

Entao, PES se e somente existem Q E C e >.. E R tais que

~ PQ = >..V

314

Geometrie A1IiIlitic4: um tratamento vetorial

Escrevendo

P =l)( ,Y ,Z)

Q = (x,y,z) p 1 ~~.;io

= (X, Y,Z)

(

anterior fica (x-X, y-Y, z-Z)

= X(m,n,p)

Q-(x,Y,z)

路f

e dai

= X+ Am

= Y+

(13)

z = Z+Xp

Ora, como Q E C se e somente se x, y, z verificam (12), obtemos, substituindo (13)

em (12): f(X + Am, Y + An, Z + Xp =0 {

(14) g (X + Am, Y + An, Z + Xp = o.

Se pudermos eliminar X dessas duas equacoes, chegaremos a uma relacao do tipo

(15)

F(X, Y, Z) = 0

-i'lilC. ~ for equivalente a (14)(0), definira a superficie cilfndrica como uma superffcie, que tera

1151 por equacao.

(*)

Quer dizer, X, Y, Z sausfazem (15)

existem

X, m, n,

p tais que (14) se verifica.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Superffctes

EXERCiCIOS RESOL VlDOS

Ache uma equacao da superffcie cilindrica de diretriz X2

{

+ y2 + Z2 = 4 =

a x = :\

cujas geratrizes "0 1",,]01,, â&#x20AC;˘ reta 6, {

= :\ + 1 = n

Resolu~o

Temos, usando a notacao vista, v X

= (m,

n, p)

= (l, 1,2)

= X+:\

y == y + :\

As relacoes (13) ficam {

z == Z

+ 2:\

Devemos substituir nas equacoes de C, as quais sao equivalentes a

logo,

{

(X + Xl' + (Y + Xl' Z + 2:\ =

2~ equacao vern

que

e a equacao procurada.

:\ = -

.z..., que levado na JC!. equacao fornece 2

315

316

Geometrill A1wlflial: 11m tmtamento vetorilll

Su!'erimos a voce que faca uma figura representando a superffcie, -+

Adle uma equacao da superficie cilfndrica de geratrizes paralelas ao vetor v = (2, -1, 1) e circunscrita a superficie esferica x2 + y2 + Z2 = 1.

Resolu~o

Pode-se obter uma diretriz achando a intersecao da superficie esferica com urn plano -+ pelo centro da mesma e perpendicular a v. Em seguida procede-se como no exercicio anterior. Vamos optar, no entanto, por uma segunda resolucao. Seja Q = (x, y, z). Escrevamos a equacao -+ de uma reta qualquer paralela a v, passando por

P = (X, Y,Z): x

= X + 2X

= Y- X

= Z +X

Vamos agora obrigar Q a pertencer a superficie esferica, Substituindo x, y, z dados acima na equacao desta superficie, vira (X + 2X)2 + (Y -

+ (Z + X)2

au seja,

Para cada ponto P = (X, Y, Z) esta equacao em X tera nenhuma, uma (mica, au duas raizes reais. Ter~ uma (mica se e somente se Pesta na superffcie cilindrica procurada, logo se e somente se seu discriminante for nulo: [2 (2X - Y + Z)]2 - 4.6. [X2 + y 2 + Z2 - 1] = 0

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Super[fcin

isto

que

e a equaeao procurada.

317

Observa~o

A figura abaixo iIustra 0 que foi feito:

V/;

Q (0 )

(b)

(c )

No caso (a), nao existe A que "estique" v de modo que P + Av fure a superffcie esferica. No caso (b) existem dois valores. No caso (c) existe urn unico! 3.

Verifique que uma S de diretriz

rela~ao

F (x, y)

do tipo F (X, y)

e equacao de urna superffcie cilindrica

e geratrizes paralelas a Oz. Represente no plano Oxy os pontos (x, y, 0) tais que F (x, y) = as ret as que passam por eles e sao paralelas a Oz. A superficie Sea reuniao dessas retas.

o e trace

Resolucao Se voce seguir 0 metodo exposto no Exercicio 1, com -; = (0,0, 1), obtera F (X. Y) = 0 para equacao da superficie cilindrica. Faca como exercicio. Preferimos aqui argumentar de uma outra maneira, mais intuitiva.

~-... '1

{ F [x, y)

Suponha P = (X, Y, Z) sobre a superficie cilindrica S tendo C por diretriz e de geratrizes paralelas a Oz. Entllo, por construcao, a projecao Q = (X, Y, 0) de P sobre Oxy na dire~lIo de Oz, F(X, Y) cai sobre C,logo satisfaz ,

1= Z

p = [x, y, z)

=0 Q

= (X,

V, 0)

e dai F(X, Y) = O. Reciprocamente, se P = (X, Y, Z) 6 tal que F(X, Y) = 0, isso indica que P se projeta (paralelamente a Oz) no plano Oxy num ponto de C,logo, por construcao de S, PE S. Por exemplo, X2 + y2 = 1 abaixo:

e a equacao de uma

superficie cilindrica, mostrada na figura

+I I I I I

--t--- -.... 1 Circunferincia de rGIO 1

â&#x20AC;˘

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Superficies

319

EXERCicIOS PROPOSTOS

Ache uma equacao da superficie cilindrica de diretriz

{ x' + y'

I+A

= ,

x-y+z

cujas geratrizes sao paralelas

a reta

Idem para

x 2 ~ xy + 1

z xy

Idem para

C {

c{ c{

z+3

{

6: x

x + y + xy

f(x, y)

6: z

x +y - z

{

(m,nE R)

Ache uma equacao da superficie cilindrica de geratrizes paralelas a v cunscrita a superficie esferica de centro (1, -2, 2) e raio ..)3.

ยง4

Superficie conica

= (3,

-2, 1) e cir-

Urn subconjunto S de E J se diz uma superficie conica se existir uma curva C e urn ponto

320

Geometrie Anelttic«: um tratamento vetorial

v If-

C tais que Sea reuniao das retas VQ, onde Q percorre C. C se chama diretriz de S, V vertice de S, cada reta VQ uma geratriz de S. Fixado urn sistema de coordenadas, suponhamos C dada por

f (X, Y, Z) = O

• •

(16)

{

g(x,y,z)

= (a, b, c)

(17)

Entao P = (X, Y, Z) esta em S se e somente se existe Q = (x, y, z) pertencente aCe ;\ E R tais que

v= (0, b, C ) au seja ----+

Q= V+;\VP de onde resulta x

= a + A (X -

= b + A (Y -

(18)

c +;\ (Z - c)

Como Q E Cse e somente se x, y, z verificam (16), vern, levando (18) a (16): f(a+;\(X-a), ~+;\(Y-b), c+;\(Z-c))

=0 (19)

{

g(a+;\(X-a), l:i+;\ (Y-b),c+;\(Z-c)) = 0

Se puderrnos eliminar ;\, obteremos uma relacao entre X, Y, Z: F (X, Y, Z)

(20)

que, se for equivalente a (19), define S como uma superficie, sendo (20) uma sua equacao,

(*)

Escrevendo assim, excluirnos v, isto e, P se etc ...

v. Deveriamos dizer: P

Vesta em Sse e somente

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Super[fcies

321

EXERCICIO RESOLVIDO

Aehe urna equacao da superffcie conica de vertice V = (l, -1. 31 que tern por diretriz a circunferencia

{

Resolucao As relacoes (18) fiearn

x = 1 + X (X - 1) y

= -1 +X(Y+ 1)

= 3 + X(Z -

Substituindo nas equacoes que definern C, vern

{[l+A(X-1ll': [-I+A(Y+I))' 3

+ A(Z - 3)

Da 211 equacao resulta 3 X=---

Z-3

(Z"* 3)

Levando na 111 equacao ;

[1 _ _ 3_ (X-l)]2 + [-1 _ _ 3_ (Y+ 1)]2

Z-3

ou seja, (Z - 3X)2

+ (Z + 3Y)2 - (Z - 3)2

322

Geometria Anelttica:um tratamento vetorial

Observa~o

Esta equa.;:ao foi achada excluindo-se

vertice (Z =1= 3), mas e facil ver que V == (1, -1, 3)

a S2.nsfaz.

EXERCicIOS PROPOSTOS 1.

Ache uma equacao da superficie conica de vertice (0, 0, 0) cuja diretriz e a parabola X2 -

2z + 1 == 0

p: {

y-z+1 = 0

Idem para V == (0,0, 1), a diretriz sendo a circunferencia

+ y2

C: {

z == 0

yXZ

Ache uma equacao da superf'icie conica tendo a origem como vertice, e circunscrita superficie esferica

5uIestio Lse 0 truque de b. 5.

Idem para V == (0,0,0), a diretriz sendo a hiperbole

h) 4.

_ X

0, utilizado no Exercicio Resolvido 2 do Â§3.

Acne uma equacao da superficie cornea circular reta de vertice V == que as geratrizes formam angulo medindo 60Â° com 0 eixo, que e a reta x= 1+"11. r:

= 1 + 2"11.

z = 1-"11.

0, 1, 1), sabendo

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Superficies

Sugestio

Uma resolucao elegante e escrever

PES ==> I VP • -. v I

§5

onde v =1= 0

eurn vetor diretor de r.

Superficie de

rota~o

= II VP II II

323

i cos 60°

Procure resolver tarnbem "pelas vias normais".

Urn subconjunto S de E 3 e urna superficie de rotacao se existem uma reta r e uma curva C tais que Sea reuniao das circunferencias centradas em r, eujos pIanos sio normais a r, e que passam por algum ponto de C. Em outras palavras, S e obtida pela rotacao de C em tomo de r.

•

r se diz eixo de rotacao de S.

•

Cada uma das circunferencias acima referidas se diz urn paralelo de S.

•

A intersecao de S com urn semiplano de origem r se diz urn meridiana de S. Fixado urn sistema ortogonal de coordenadas, suponhamos C dada por f(x,Y,z)= 0

{

g(x,y,z) == 0

Sejam v = (m, n, p) =1= 0 Po

urn vetor diretor de r,

= (xo, Yo, zo) urn ponto de r, e P

== (X,

Y, Z).

Entao PES se e somente se •

existe urn paralelo

•

que intercepta C, digamos em Q = (x, y, z)

•

que passa por P = (X, Y, Z).

(m, n, p)

324

Geometria Analitica: urn tratarnento vetorial

Ora, urn paralelo pode ser dado como intersecao de urn plano esferica de centro em Po (veja a figural. Entao, P "X,/J.x.y.zE R, p.

= (X,

1 r com uma superficie

Y, Z) ESse e somente se existem

0, taisque: mx

+ ny + pz = "X (21)

{

(x - xo)2 + (y - yo)2 + (z - zo)2

f(x,Y,z) :

= p.2

0 (22)

{

g(x,y,z)- 0

mX + nY + pZ

= "X (23)

{

(X - :X O)2 + (Y - yo)2 + (Z _ ZO)2

=p.2

Vamos supor que de (21) e (22) se possam eliminar x, y, z, obtendo-se uma equacao equivalente

Â˘J("X,IJ)

(24)

De (23) e (24) resulta

Â˘J (mX

+ nY + pZ,"; (X - xo)2 + (Y - Yoi + (Z - zo)2) = 0

(25)

Entso P Logo I :5)

= (X, Y, Z)

e uma equacao de

pertence as<==> (25) se verifica.

Observ~

Se "X e IJ > 0 forem quaisquer, (21) nos dara todas as circunferencias do espaco centradas em r e jazendo em pianos ortogonais a r. A relacao (24) restringe "X e IJ de modo a que tenhamos somente aquelas que passam por algum ponto de C.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Superficies

325

EXERC(CIOS RESOLVIDOS

Ache uma equacao da superficie de rotacao gerada pela curva

c { x+z

em torno da reta

y = a Z ,=

Resolucao Escolhamos Po

= (0,0,0)

de r, e v

= (1,

1, 1), vetor diretor de r. Entao (21) e (22)

fie am

(a) ({3)

('y)

(5) o sistema e equivalente a (relacionando ({3) com ('y) e (a) com (5)): (a')

y= A Z2

= 11 2

+ y2 = 1

+Z = 0

((3')

Cy')

(5')

326

Geometria Analitica: urn tratamento vetorial

Relacionando

(0 ')

com (-y') vemos que este sistema e equivalente a

x+z

A equacao procurada sera obtida substituindo nessa relacao A e

jJ.

dados par

Resulta

Ache uma equacao da superffcie gerada pela rotacao da curva

C:{yf(X'Z)

o em torno do eixo Oz.

= 0

Resolucao -->

Tomernos Po =(0,0,01. v =(0,0, I). Entao(21)e(22)ficam

z= A

x +i 2

(( x. z)

+ Z2 =

jJ.2

_________

Superftcies

de onde resulta f (Âą ~ p.2

327

~2 , ~) =O. A equ3l;iio (23) se escreve

logo, substituindo na relacao anterior, vern que

Ob8erv~o

Temos assim a seguinte regra: f(x, z) = 0 sendo C dada por

{

para obter uma

equa~ao

~ao de C em torno de Oz, substitua x por Âą VX2 + y2 exemplo, se

entao uma

equa~ao

{

e z por Z em f(x, z) = O. Por

z= x 2

da superffcie gerada pela rota-

y = 0

y= 0

sera

ou seja,

Enuncie 0 resultado analogo para rotacao, em torno dos eixos Ox e Oy, de curvas contidas nos outros dois planes coordenados.

328

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

EXERCicIOSPROPOSTOS

A,:he uma equacao da superficie de rotacao gerada pela rotacao da curva C em torno

:J reta

r, sendo x-I=y

C: {

r :x

x - y = z = O.

Idem, C sendo a reta

Ache uma equacao da superffcie de rotacao gerada pela rotacao, em torno do eixo Oz. da curva C, sendo esta dada por 3Z2 + 3x

y = 0

1)2 + (z _ 2)2

Idem, girando em torno do eixo Ox. Obtenha uma equacao da superficie gerada pela parabola

z = y2 - 1 C:

quando gira em torno de Oy.

{

= 0

Idem para z:

y2_

--,- +-2--

em torno de Oy e Oz.

C: { x

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _:--

329

Obtenha uma equacao da superficie gerada pela rotacao. em torno de Oz, da curva X

Superficies

a (aE R)

Obtenha uma equacao da superf'icie definida como reuniao das retas que se apoiarn no eixo Ox e na circunferencia X2

{

z= 2

mantendo-se paralelas ao plano Oyz (esta nao

e uma superficie cilindrica,

nem conica, e

tampouco de rotacao; no entanto voce pode adaptar as tecnicas que aprendeu nesses casos para resolver 0 exercfcio).

ยง6

Quadricas (forma reduzida) Chama-se quddrica ao conjunto dos pontos P = (x, y, z) E

tais que

ax 2 + bi + cz 2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0 onde a. b, ..., j, sao numeros reais, a, b , c, d, e, f n30 simultaneamente nulos. Nao faremos equacao acima.

(A)

estudo das quadricas em geral, lirnitando-nos a casos especiais da

Elipsoide

Urn subconjunto S de e urn elipsoide se existe urn sistema ortogonal de coordenadas e numeros a, b, c, positivos, tais que x2 v2 Z2 S= {P=(x,y,z)I-2-+.....K.......+-2-= I} b2 a c

3_?O

Geometria Anclitica: urn tratamento vetorial

E pois uma

superficie. tendo

(26)

Valem as propriedades: 1. e

e urn

a origem (do

conjunto simetrico em relacao aos planos coordenados, aos eixos coordenados,

sistema referido). Basta observar que

tuirmos x por -x, y por -y, ou

19 membro de (26) nao se altera se subs-

z por -z.

A intersecao de S com urn plano z X2

= k e dada por

--2- + 2 +--2-= abc ou seja {

:=+k ~:

z = k

logo

e nao vazia se e somente se

secao se reduz a urn ponto, que 3

intersecao

1 -

e (0, 0,

;;;" 0, isto e, - c c) se k

c. Se k = Âą c, a inter-

e (0,0, -c) se k = -c. Se -c < k

e a elipse

z =k cujos serra-excs '::e..::rexem se por

I k I cresce. Em particular. se z = 0 (plano Oxy) a elipse e dada

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ SuperfÂŁcies

331

Fazendo intersecoes com os planos y = 0, e x = 0, chega-se a conclusoes semelhantes. Estas consideracoes nos permitem esbocar urn desenho de S.

z (c.o.c) '\

-/,-----

I / \

_...f _,__ /0

o.b.o)

/ /

(B)

Hlperboloide de uma folba

Urn subconjunto S de E 3 e urn hiperboloide de uma folha se existe urn sistema ortogonal de coordenadas e numeros a, b, c, positivos, tais que x2

. S= {P=(x,y,z) 1-2 + b2 --2-= I}. a c

E pois uma superffcie, de equacao

(27)

Valem as propricda-ies 1.

S e urn conjunto simetrico em relacao aos planos coordenados, aos eixos coordenados, e a origem. Basta observar que 0 19 membro de (27) nao se altera se substituirrnos x por -x, y por -y ou z por -z.

332

GeometriaAnalttice: um tratamento vetorial

A intersecao de S com urn plano z

a2 +

{

= k e dada por

ou seja

z = k

Logo, e uma elipse no plano z = k,

cujos serni-eixos crescem se

Ik I

cresce. Em particular, se

z = 0 (plano Oxy), a elipse

e dada por

J:~

z = 0

A intersecao de S com urn plano y

:~ {

e dada por

ou seja {

:~ ~ ~~ y

Entao ,

Ibl

• se :=

• se

I. isto

11. •

I-j,-I

plano

•

e uma

b ou k

<-b, a intersecao

1 isto e, -b k b, a intersecao k , com segmento focal paralelo a Ox.

cquacoes

sao

hiperbole contida no plano

e uma

hiperbole contida no

corn scgrnento focal paralelo a Oz.

1510

C. -..: k

± b , a intersecao

e urn

par de retas concorrentes, cujas

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Superffcies

cx + az = o

cx - az = 0

quando k = b, e

e {

{ .y

cx-az=O {

e y= -b

Em particular, se y

333

{

cx + az ~ 0

quando k = -b. y=-b

= 0 (plano Oxz) tem-se a hiperbole

1= y

Consideraeoes semelhantes sllo obtidas cortando-se S com planos de equacoes da forma x == k. Estas consideraeoes nos pennitem esbocar urn desenho de S:

334

GeometritzANdflial: um tratamento vetorial

(27a)

+i!

(27b)

representam tambem hiperbol6ides de uma folha. Para ver isso, basta fazer (por exemplo) a rota~o x = X, y = Z, z = -y no casoda equacao (27a) e a rotacao x = Z, Y = Y, z = -X no caso da equacao (27b). As figuras seguintes esclarecem bern:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Superficies

(C)

335

Hiperboloide de duas folhas

Urn subconjunto S de E 3 e urn hiperboloide de dUIU /olhm se existe urn sistema ortogonal de coordenadas e numeros a, b, c, positivos tais que

ÂŁ pois uma superficie, tendo por equacao

Valern as propriedades: 1. em relacao 2.

S e urn conjunto sirnetrico em relacao aos pianos coordenados, eixos coordenados, e

aorigem

(por que")

A intersecao de S com urn plano z

= k e dada por

au seja

z = k

logo e uma hiperbole no plano z = k , com segmento focal paralelo a Oy.

z = k

Consideracoes analogas se podem fazer considerando planos dados par x 3.

A intersecao de S com urn plano y

au seja k

336

Geometne Analttice: um tratamento vetonal

e e nao vazia

SIe e

I~ I ~

somente se

I, isto

se e somente se k ~ b ou k.s;;;; -b. Entio

•

se k =± b, a intersecao se reduz ao ponto (0, k, 0);

•

se k

ou k

< -b,

a intersecao

e a elipse de equacoes

y = k

cujos semi-eixos crescem quando

Ik I

cresce.

As consideracoes feitas nos permitem esbocar urn desenho de S.

As equaeoes

(28a) e

I~ -

y2 z2 2 - 1::2 + --:::2 abc

(28b)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Super{fcies

337

tambem representam hipeIbo16ides de duas folhas. Pua Vel is3o, basta fazer, no caso de (28a), a x =Y, Y = Z, z = X (por exemplo), e no caso de (28b), a rota~o x =Z, Y = X, z = Y (por exernplo). Veja as figuras seguintes. rot~lo

.......o- -----.y

x x

(D)

ParaboI6ide elfptico

Urn subconjunto S de E 3 6 urn parabolOide eltptico se existe urn sistema ortogonal de coordenadas e numeros a, b, positivos, tais que

S ={ p

= (x, y, z) I z =7

y2 + 1)2 }

~ uma superffcie de equa~lo

(29)

338

GÂŤJrrrnn.. ANI1ftica: um tratamento vetorial

Deiumos pua voce verificar que S e simetrico em relacao aos pianos Oxz e Oyz, e que as intene~ de S com planos z =k 810 ou vazias ou constitufdas de apenas urn ponto, ou elipses. E rom os piuIos x = key = k 810 parabolas.

~------+y

Verifique tambern que as equaeoes

representam paraboloides elrpticos e esboce seus desenhos.

(E)

Pamboi6ide hiperb6lico

Urn subconjunto S de E 3 e urn paraboloide hiperbolico se existe urn sistema ortogonal de coordenadas e numeros a, b, positivos, tais que

S = {p

= (x, y, z) I z = -7 + l;2 }

E urna superficie de equacao

(30)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Superficies

JJy

Valem as propriedades: I.

e simetrico em relacao aos planos

A intersecao de S com urn plano z

Oxz e Oyz

por c ..~-,

=k e

Entao, •

se k

= 0,

a interse cao bx - ay

{

z = •

se k

e urn par de retas concorrentes na origem. de equacoes 0

bX + ay = e

{ z

0, a intersecao e uma hiperbole contida no plano z =

com segmento focal

paralelo a Oy. •

se k

0, a intersecao

e uma

hiperbole contida no plano z

paralelo a Ox.

que

A intersecao de S com urn plano y

e dada por

e uma parabola com concavidade "para baixo". Em particular, se k = O. (plano Oxz) ternos

k , com segrnento focal

340

Geometrill ANl1itiCJz: um tratamento vetorial

A intene~ de S com urn plano x = k fornece parabolas de concavidade "para cima", Verif"IQue i.s8:>. Eis1llllll esbo~: z

Por isso S tambem e chamada sela (de cavalo).

As equacoes

ambem representam selas. Verifique isso fazendo rotacoes convenientes.

EXERC(CIOS PROPOSTOS 1.

Mestre que

dois dos numeros a, b, c

ya'o. EspecifiqItr

iguais,

elips6ide (26)

euma superficie de rota-

eixo de rotacao em cada caso ..

Mostre que se a = b, eixo de rotacao?

5[0

hiperbo16ide de uma folha (27) e uma superficie de rotacao. Qual

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Superficies

Idem, para

hiperbol6ide de duas folhas (28b).

Idem, para

parabol6ide eliptico (29).

A equacao (30) de urn parabol6ide hiperb6lico S pode ser escrita na forma

341

z = (--+-)(-+-)

Mestre que dado c 01= 0, a reta

-+-= c rc

_~+L= a b

z c

est a contida em S. Tambern. dado d 01= 0, a reta

+-'b

= z d

--+-'-=d a b

esta contida em S. b)

째

Prove que por cada ponto P de S de cota z 01= paisa uma unica reta da forma rc,e uma unica reta da forma rd' (No caso z = 0, ja vimos 0 que acontece; veja a Propriedade 2 para k = 0.)

Observacao Veja que a sela, isto e ,

parabol6ide hiperbolico , apesar de "torte". e formado por

ret as. Uma superficie assim e chamada regrada.

342

Geomnritl ANIlitiaz: um tratamento vetorial

Mostre que

h.iperbol6ide de uma foJha (27) tambern

e uma superficie regrada, coJocando a

equscso 1lI iarma

x z x Z (-+-) ( - - - ) a

cae

(I +L) (I _.I..) b b

Mostre que a superficie de equacao z = xy IS urn paraboloide hiperbolico, efetuando uma mu-

-. -. -. -. -. -. -. el + e2 danca de coordenadas de I O. e l, e2' e3) para (0', f l, f 2, f 3), sendo O' = 0, f] =----, ,

-. -. â&#x20AC;˘ f 3 = e3'

Faca uma figura.

Obtenha uma equacao do lugar geometrico dos pontosequidistantes do plano

1T :

x = 2 e do

ponto P =(-2, 0, 0). Reconheca esse lugar geometrico.

Obtenha uma equacao do Jugar geometrico dos pontos de

que equidistam das retas

r: X = (0, 0, 0) + A(l, 0, 0) e s: X = (0, 1,0) + A(0, 0, I). Descreva

lugar geometrico,

10. Usando os metodos deste paragrafo, descreva a superficie de equacao (z _ 2)2

= x 2 + y2 . Fa-

ca urn esboco. Aten~ao

Esta quadrica nao

e elipsoide nem paraboloide nem hiperboloide.

II. Obtenha equacoes das superficies esfericas de raio z = x 2 + 3y2 no ponto T = (I. I, 4). Aten~o

v'41,

tangentes ao paraboloide eliptico

Para resolver este exercicio voce vai precisar do conceito de gradiente, dado no cur-

so de Calculo Diferencial.

PARTE 1

RESPOSTAS DOS EXERcfclOS PROPOSTOS

CAPITULO 2 ADIf;A.O DE VETORES (pig. 10)

/ /

a) AD

....

b) 0

e) AF

---+

c) AC ~

g) AD

..--+

---+

d) BG + BG --+

h) AD

J4J

344

Geometria Analitica. um tratamento vetorial

IiWLT.UCA~AO DE NUMERO REAL POR VETOR (pag, 15)

CAPITULO 3

3.... 5 -+ x=--u--v

5 -+

2-+ 7

1-+ 7

x =-u +-v '

y =-u - - v

CAPITULO 4

SOMA DE PONTO COM VETOR

ex=

Para CX, ver a resposta do Exercicio 1.

C8+

l+m

AY = --CB n+l -+

BZ =

p -+ CA I +P

--+

(pag. 22)

a CA + b ('8 = a+b

CY '-

a ('A

--+

x = C + ex

b ('8 b

(a"* b)

Y=C+CY

onde a = II('B II e b = lie A II

--+

cx=

_ \)CA+(lgfh(,i .. \ + Ig B

I se

---.

13.

. -+

= (J

I':

lOB + m

----+

AX '- - OA + (I

---+

m 108 + m

A---+---+

(seAA e B nao sao retos); se A ~ reto, CX = CA; __

-- --.....

B ~ reto,CX = CB

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Respostas dos Exerc(cim PropostQS

345

----+ 1 (OA - + OB - + OC) ----+ 14. OX:.

15. x=4MN

-+-+-+

17. G=0+3(a+b+c)

3 ----+ 1_ 21 . X = A + -5 AB + -10 AC 22.

=- 1

CAPITULO 6

BASE (pag. 45)

a) (3,0,6)

Nao.

4. 5.

.....

........

t = u

b) (-3, -3, -3)

c) (8,4, -3)

................

+ 2v + w

Nao. -+

u nao

e cornbinacao

................

linear de v e w qualquer que seja m real. Para m = 0 e para m = 3 temos

(u, v, w) LD. 6.

bl L I

c) Ll

d) LD

el L I

l) LD

g) L D

h) L I

Nao.

a) Âą

b) 0; 1

c) Nao existe

d) 0; 2

10. b) (- I, 2 ' 2 I

11. a) ~ b) ~

c) 5

V2l

~ ......itiq: Will

346

CAPITULO -

. 3

--+

= -21f--+l

tratamento vetorial

WlDANf;A DE BASE (pag, 47)

v = 12 el - 8 e 2 - 3 e3 ; v = - 5 el + 3 e2 + 4 e3

--+

+ f2

1 14

1 -V3 2 2 4.

De F para E: M = 0

--2 -2

p=~=

---2., 2

0 - 1

-1

v3+1 v3+1

De F panG

De G para E: N- 1

v3 -2

o De E para G: N =

-2

De E para F: M- 1

0 1

.../3

-., 0

"'~1 V~I -1 - -2- ., 2

De G para F: p-I

N-1M- 1 '"

2 â&#x201A;Ź-1

-2-

- 1

v3 2

-WI -2

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Respostas dos Exercicios Propostos

ANGuw

CAPITUW 8

ENTRE VETORES. PRODUTO £SCALAR (pag, 57)

1 arc cos 3"

± V6

nao existe

11'

b) -

- 9

(3, -3, -3) ou (-3,3,3); angulo agudo: (3, -3, -3).

(1, -1,-1)

(1,0,2) ou (-1,0,-2)

(-2-' - -2-' 1) ou (-2-' - -2-' - 1)

- 1/2

- 2

10. - 3/2

II. -13/4

12. arc cos _4_

v'26 .

13. e)

14. a) -

(3.

I. II

I 3 4' 4

- -4-'

b) - ( - 2. 1,2) l)

(0.0.0)

347

348

30.

GeometrieAMlitwa: um tratamento vetorial

-+, X

--+

mv m

-+-+

+ Xa + J.tb

â&#x20AC;˘a e b ortogonais a v)

32. c), d), e)

- -

rv'j 2

.......

-r:

1 --

_1_

-1 --

_1_

-i"

-I

.......

-2

_r;:;-

.......

"b)u=(O,-I,I)r" v=(O,l.I)E' w=(-1,O,O~,lIull=v2=lIvll

ResPOHQS dos Exerctcios Propostos

- 1

" - 1

M =

....,.

36. a

2 = (

Mesma orientacao : a) e b). Orien tacao oposta: c).

Mesma orientacao:

a) F E

b) FEB

CAPITULO 10

a) (~IO.

a) e b). Orientacao oposta: c).

PRODUTO YETORIAl (pag.96)

2, -14)

(l0.2. 14)

b) (10,2.14)

(-10. -2. -14)

c) (-13,-3,4)

(13.3.-4)

d) (0. O. 0)

(0. O. 0)

-1

ORIENTAf;AO DE v' (pag.83)

;,1 I

, N =

y]' - ..[2" yI6')F

CAPITUW 9

â&#x20AC;˘

349

Geometria Anal/rica: um tratamento vetorial

350

(1.-5.~1

, ~

---,

- '" , 3 V62

.;;

±--(2, I, I)

-rt:

--+

b = -

-+ l"

(1 0 -1)

a /'. b

II a

= (0 ' ..j3 , ..j3 I.

b II -+

-+ -+

= (1.1.1) = i+j+k

\.=1-1.2.)1

11.1 = '-'.1.-11

IIAB,:\C 22. - --+ --II AD

AB . DC '1' ....~"I

(- Vb' Vb' - Vb)

I AD •

ii AB- DC_

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Respostas dos Exercicios Propostos

CAPITULO II

--+

OUPLO PROOlITO VETORIAL (pag..

--+

.......

u "v

lit: II~

---+---+--+

Ii u It -- u

III

v•w

--+

(~.;) II~ II~

--+

x = (I. I, II

10. x = - - 2 II [; 1/

--+

11.

12.

--+ X

--+ U"V

Ill-+

=---+---u II~ 11 2 li~ 11 2 "v

---+ 'A 2 11711

= -

U~V

--+

Y = - - + (I - 'A)

II ;//: --+

13.

--+

(u,., v) ,., (0

--+

x =

--+

--+ LI -

--+

m v)

--+ 2

II u ,., v II

--+

14.

E a resposta do exercicio

13, com 'A = --+ U ,.,

--+

(u ,., v) "(0 U - m v) 1/

--+

U ,.,

--+

vI/

--+

p - t • w

--+ --+

v· w

991

351

352

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

CAPITULO 11 PRODUTO MISTO (pag, 106)

2(3

-6

I: E a formula do exercfcio 11.

-i'>

"""'1-

23. b) x = 2e l +e 2 +e 3

PARTE 2

RESPOSTAS DOS EXERCICIOS PROPOSTOS

CAPI'rUW 13

SISTEMA DE COORDENADAS (pag. 119)

Lados: PO. OS, SR, PR; diagonals: PS. OR.

Sim: as diagonais sao AB e CO

P = (a.b.c) EOx

P = (a. b. c) E Oy

垄>

a=..:=O (:.P=W.b.O))

P = (a, b. c) E Oz

a=h=O ( .. P = 10. O. c I I

P = (a, b, c) E Oxy

c=O

r.. P=(a. b. 01 l

P = (a, b , c) E Oxz

b=O

(:. P=(a.O.cl)

P = (a, b, c) E Oyz

a=O

(:.P=(O.b.c))

A=(O,O,O) F=(O,O,I)

B=(I,O,O) G=(-I,I,I)

'路.P=IJ.O.Ol\

C=(O,I,O)

D=(-I,I,O)

E=(-I.O.ll

H=(-2.I,I)

353

354

GeometrlilAnaliticÂŤ: um trtztamento vetone;

A =(2. -1, -I) 8 = (3, -1, -1)

E=O,-I,O)

F=(2,-1,0)

C = (2, 0, -1) G=(1,O,O)

D = (1,0, -1)

H=(O,O,O)

Observe que para obter as respostas do item b), basta somar a cada ponto do item a) o vetor (2, -1, - 1); por que? ~)

A = (1 , 2, -1 /2)

E = (0,0, -1/2)

8=(1,4,-1/2) F = (0, 2, -1/2)

C=(I,2,O) G = (0, 0, 0)

D = (1,0,0) H = (0, -2,0)

A = (0" 0, 0) E=(O,I,-I)

8=(0,0,1) F = (0,1,0)

C = (I, 0, 0) G=(1, 1, -1)

D = (1,0, -1) H = (1,1, -2)

CAPITULO 14

ESTUDO DA RETA (pag. 136)

X = (4, -7, -6) + A (I, -1, -I); A E= JR

x = 4- A y = -7 + A (A E R);

x-4 y+7 z+6 --=--=--I

z = -6 + A D nao pertence b)

~ I

a reta.

basta verificar que A nlio pertence a reta que passa por 8 e C, ou verificar que (A8, AC) eLI.

X = - I + SA = 4 - II A { l = -2 - 4 A Y

:X = I - A =A

J intema,

= I

X = I +A externa:

{

= ). =I

(A E IR)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Respostas dos Exercicios Propostos

Ix =o

x = ~

Ox: Y

0:0 . "

,(X E IR)

=0 z =0

(~E

P = (3/4, 74. 15/4) ou P = (3/2, 5/2, 15/2)

X = 2 - 15 X \" = 4 ~ (X E IR); { z = -3 + 18 X X= 2- 2X Y= X { z = -3 - X

x-2 Y z+3 --=-=--

(1, 1,0); d (A, r) =

(2,0,4) e (0, 2,4); d (A, r)

-15

{

= 3+2X y=3+X z = 3+X

{

z+3

x-2=y=--1

10. (1,0,0)

11.

X -

2+X

Y __= X (XEIR) z -3 - X

(X E IR)

IR)

Oz: y = 0 { z = X

355

x-2 -2

c) - - = v

V3 porque urn so ponto de

r dista

<vIi, pois existem

z+3

V3 de A.

dois pontos de r que distam

v'il

de A.

Geometria APIIl1f~: um tratamento vetorial

356

12. Trajetorias coocorrentes. Nlio ha colisao. Releia a Observacao 6.

11 ~

b) nao existe C d) (2, -1,1) ou (4, -3, 1)

!do existe C

, :do existe C

CAPfrUW 15 ESTUDO DO PLANO

ยงI

Equaeao Vetorial e Equacoes Parametricas de urn Plano (pag. 139)

Equacoes vetoriais:

(1,1,0) + X(0,2,I) + J1. (2,1,0) X = (1,0,1) + X(I,-I,2) + J1.(I,I,I) X = (1,-1,0) + X(-I,-2,1) + J1.(0,1,1) os tres pontos sao colineares; nao esta deterrninado

a) b)

c) d)

-l.

a) sim

b) sirn

c) nao

d) sirn

-->

v = (11,7,4)+(-10,-5,0)

= (4,5,2)

)xy:

+ X(2,3, 1)

r' r ~: ~

= -:

Oxz:

y = 0

Oyz:

z = J1.

J.O) + X(L 1,0) + J1.(0,0, 1)

X=('O.=D) +X(1,-I,O) +J1.(0,0,1)

X = (0. COl + X (0, 1, 1) + J1. (I , 0, 0) X = (O.O.JI

X = (0, 0.0 I X = (0,0,0)

X(O, 1, -1) + J1.(1,0,0) X(1,0, 1) + J1. (0, 1,0) X(1,O,-I) + J1.(O,I,O)

roo

y = X z = J1.

plano

1T.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Respostas dos Exerctcios Propouos

I + X + 2 /.l

y = 1 + 2 X + /.l

7. {

z = 2- X

cxrrnuo ยง2.

Equa~o

y =

ESTUOO DO PLANO

Geral (pag, 146)

e] {

Oxy: z

r"' r' r'

z = /.l

357

/.l

Oyz: x

y = -1

z =

}.l

Y =

}.l

+}.l

Oxz: y =

= 0,

= }.l

z = -4

A z = -2

bissetores: x - y = 0, x + y

y = /.l

Y =

d) {: = 1 - A

z=l-X-}.l

x - z = 0,

a x + z = 0, y - z = 0, y + z =

a) nao

a)x-2y+4z+1=O

b) 3x - y -

c) 3x - Y + Z

d) os pontes sao colineares

b) sim

4=0

x - Y- 1= 0

8x -- 4y -

2x - y - 3z + 7 = 0

Y - 2= 0

- 1 =0

+4 = 0

10. a)1T}:x+y+z-I=O, 1T 2 : X - Y - z = O .

1T3

: x + 2y - z

2 =0

bill :.:3,-1/6)

358

GeometricAnalitic«: um tratamento vetorial

11. a) sim

1:: - S.-x -

b 1010 ":,\~i ~ Z

c) nao

+ 39 = 0

- u P=(-2,2,-7), 1T:-17x+7y+6z-6=0 111 P = (-2,6, -6), 1T: -4x + y + 3z + 4 = 0

CAPtruLO 1S ESTUDO DO PLANO §3.

Vetor Normal a urn Plano (pag, 160)

a) 0,0,0)

x-y+2z-4=0

b) 0, 2, 1)

c) (I,-2,4)

=0 4. x + 2y - z = 0 5. 1 = (-3,0, -5) + (0,4,0) 6. X = (l,2,3)+A(2, 1,-1) 3.

x - 2z

{

= 3A = -2 =3 +

x = A

{

Y=A

z = 0

3x + 4y - z - 10

= 0 e uma equacao geral do plano.

x = 1/2 11.

CAPtruLo IS §4.

ssruoo 00 PLANO

Feixe de PIaIIG5 (P4 166) x+z-2 = 0

2y+ z = 0

5. Na:o existe

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Respostas dos Exerctcios Propostos

POSI(AO RELATIVA DE R£TAS E PL-\...1IiOS

CAPITULO 16

§1.

Reta e Reta (pag, 170)

a) b) c) d) e) f) g) h)

a) m = 1 d) niio existem

c) m qualquer

e) qualquer mE IR tal que m =I' 0 e m =I' b)x-z-l=O f) -17x + 7y + 6z - 6

c) 4x - 2y - z + 3 = 0 h) 5x - 4y + z + 22 = 0

g) 7x - 11y + 3z + 7

= 2/3,

concorrentesnoponto P

= (-9,-5,-13)

13 = 2, 0: qualquer; (0:+I)x-3y+(5-0:)z+(20:-1) = 0

CAPITuW 16 §2.

b) m

a) 3x - 4y - 10z + 3 = 0 e) -4x+y+3z+4 = 0

5. m 6.

paralelas distintas concorrentes em P = (l, -1,0) reversas r =s concorrentes em P = (-2,6, -6) concorrentes em P =(-2,2, -7) reversas reversas

POSI(AO RELA TIV A DE R£TAS E PLANOS

Reta e Plano

(pag. 175)

11 no ponto P = (1, O. -1, b) r // 11' c) r C 11' d) r / / 11' e) rfura 11' no ponto P= (-1/9,-49.-19) f)r//7T

1. a) r fura

2. m = 2

3. m = 1, n = 7 4. Qualquer m =I' 0 e solucao 13/17, IS /17) 5. I) P = (I 1/17, 3) P = (5, -3,4)

359

360

Geometria A1II11itica: um tratamento vetorial

CAPl'rULO 16 POSI{.AO RELATIVA DE RETAS E PLANOS PbDo e n.o (pag.181)

§3.

%': = y: b) 1TI //1T2' 1TI =1= al )mljBJ3 m ==-5/2, tern-se 1TI =1T2)

1. al ~.

--+-+

-+-+-+

Se(u, v, t j e Ll ou I u , v.w j e Lf.entao n, -+ -+ -+

• Se (u,v,t) -+ -+ -+

-+ -+ -+

c) 1TI 1T2 b) m == -5/2

1T2

m1T2

e LD e AE 1T2 e LD e Aft. 1T2'

LD, (u,v,w) -+ -+ -+

• Se (~u,v,t:) ~ LD, (u,v,w)

entao 1TI

= 1T 2

entao 1TI ()

1T2

=1/>

CAPtruLO 16 POSI{AO RELATIVA DE RETAS E PLANOS §4. 1)

Miscel8nea de Exercicios (pag, 186) a) X = (1,1,1) + X(-I, 1, 1) b) Impossivel (r

paralela ao plano (P, sj),

c) PEr; logo, existem infinitas solucoes, a saber, todas as retas que passam por P e por urn ponto de s. d) Impossivel (s

paralela ao plano (P, r)

e) X = (1,0,3) + X(6, -2, 7). Observe que as retas res sao concorrentes.

a) Impossivel, pois MN ~ gerado por res (diretores de res) e portanto os pIanos 1T I

e 1T 2 sao paralelos.

b) X = (0,2/5, -1/5) + X(1,0, 1) c) X =(6,10,0) + X(3,2,-I). Observe que res sao concorrentes. 3.

a) X == (1,1,0) + X(1,-3,-I) b) Qualquer reta que passa por P e ~ concorrente com r ~ solucao, pois

e paralelo a

1T.

c) Niio existe; r

e paralela a

mas

plano (P, r) nao e paralelo a

.: X = (1,1,0) + i\ (-2, -1,1) ... X = (1,0,2) + )'(0,-1,2) 6_ .I - ~y + 1 = 0 7. x T '! ... z - 8 == 0

nus JClu.,."Oes:

9. Sim, pois r 10. Volume: 1,6.

hi: X = (1, 1, 3) + X(1,3, -4) hI : X == (-4, -3,1) + >..(4,1, -5) r. Sio. pois Ox m1T.

11. Volume: 12S,,ll). 12. Nao existe 0 tetraedro. pois s //

1T.

13. B == (15/22,20/22,25/22)

C == (7/22,2/22, -3/22)

v'3i2

14. a) area

:it A, pois s // 1T

'it A, pois

1T•

plano (P, r)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Rapoua dol EurddM ProPOltOI

361

15. A proje~ de P ~ p' =(-1, -4, -2). 16. Sim, infinitas, pois 0 plano (P, r) 17. A

= (1,1, -I),

e paralelo a

volume = 65/3.

18.a) t : X = (10,1, I) + A(9, 2, lO)ou t:X =(1, -1, -9) + correntes e P pertence ao plano por elas determinado. b)

xu.

-2.10'1.:: e 5 sao con-

t; res sao reversas, r ~ transversal ao plano (P, s) e s ~ transversal ao pI..I1X' IP. r), Logo, existe urna unica reta que passa por P e concorre com res; essa reta nJo sansfaz

a coudi~o do exercicio. 19. a) 108.: 2x + 2y - 2z - 1 = O. Trata-se de urn plano paralelo

as ret as res (que sao

resersas), situado "a meio caminho entre elas", b) 108.: X = (1/2, -1 ,0) + Q (I, 2, 3). Trata-se de urna reta paralela as retas res (que sio paralelas e distintas), coplanar com res, situada "a meio caminho entre elas",

= O. Trata-se do plano determinado por res (que sao concorrentes). Compare com 0 Exercicio 19(a).

c) 108.: x - 3y + z - 1 x

1 (0 l.g. sO contem urn ponto)

20. a) Lg.: y = -1/4 z = 1/4

b) 0 l.g. ~ <p;

-- ="

vetor AB nio ~ paralelo ao plano das retas paralelas res (se fosse, a

resposta seria a mesma do Exercicio 19b, salvo se AB c) 108.: X

= (0,0,

(I, 2, 3); por que?).

1) + Q (4, I, -I). 'Trata-se de uma reta que passa pelo ponto comum --+

are s (P = 0, 0, 1Âť e esta coutida no plano determinado por res (0 vetor AB ~ paralelo a esse plano). Compare com 0 Exercicio 19c. 21. a) 0 1.g. ~ E 3 . Uma "equacao" para E 3

e, por exemplo,

Ox + Oy + Oz = O.

b) l.g.: x - y + 3z - 1/2 = O. Trata-se de urn plano paralelo a paralelos!), situado "a meio carninho entre eles",

7f1

e a

7f2

(que sao

22. a) I.g.: 3x - 7y + 7z - 10 = 0 b) I.g.: x - y + 3z - 1/2 23. a) l.g.: x - 2y - z (note que r //

7f).

= O.

mesmo plano do Exercicio 21b. Por que?

O. ~ urn plano paralelo a

7f,

a "meio caminho entre

e r"

362

Geometrill A1IIIJirial: lUll trrIIIImento'vetoriol

1.~

x - 2y - z =

째

(60 plano

7T;

note que r C

7T).

24. u l~.: X = (-1/3, 1/3, -1) + A (2, -1, 4). ~ uma reta paralela a r, intersecao do --+ l.g. do Exercicio 23a com 0 plano que contem r e 6 paralelo a AB.

b) Lg.: X = (0, 0, 0) + A (4, 1, 1). ~ uma reta que passa pelo ponto onde r fura 7T. Observe que os segmentos que se apoiam em r e 7T e sao paralelos a AB sao os mesmos segmentos que sao paralelos a AB e se apoiam em res, sendo s a reta inter--+ se~ao do plano 7T com 0 plano que contem r e e paralelo a AB (UF A!). Compare com 0 Exercicio 20c.

c) l.g.:X= (0,0,0)+A(1,0,1);eapr6priaretar.Naoestranhe:como rC 7T e AB nao e paralelo a 7T, urn segmento apoiado em r e 7T s6 sera paralelo a AB se suas extremidades coincidirem! 25. X = (11/5,19/5,-1/5) + A(2, 1,0)e

X = (-1/5, 31/5, 11/5) + J.l (2,1,0) 26. A = (1,1,1), B = (2,2,2), h: X = (0,0,0) + A(1, 1,1)

C = (3,3,3),

27. Duas solucoes: i) 7T: 2x - y + z - 1 = 0, vertices: A = (1/2,0,0), B = (0, -1,0), C = (0,0,1), D = (0,0,0) ii)

-x + 2y + z - 1 = 0, vertices: A = (-1,0,0), B = (0, 1/2,0), C = (0,0,1).

7T:

::8 Duas solucoes: 11 'T

6x + 3y + 2z + 3 = ox + 3y + 2z - 3 =

cAPfnJLo

S1. Rea e IIaa

째

PERPENDICULARISMO E ORTOGONALIDADE l~

196)

1. a) perpendicuJa..m c) perpendiculares e) nao sao ortogonais

b) nao sao ortogonais d) perpendiculares

_________________

2. a)

= :: -

41A

y = 6 - 52X

x-2 =..L..=_z_ 1 1 -2

= (_

doe Exercicios Propostos

y = 0

= 1 + 3IA

R~ttn

z = 1 - -!.A 2

2 11 20 ) + 1\ "(4 , 5 , - 1) 9. 9' 9

CAPtruw 17 PERPENDICULARISMO E ORTOGONALIDADE ยง2.

Reta e Plano (pag, 201)

1. a) nao

b) sirn

d) nao

c) sim

2. a) { x = 1 - A

b) { x

= 1 + 2X

= -1

z = 7 +A

=3-

3, a) x - y + Z + 2 = 0 b)x+y+z-I c) x - y + z

4. a) (3,2,4)

b)(1.-I,2)

5. a) (2, -1, -2)

b I ( ~ IT'll' 11

-8 c) (19'

18-7

19' 19)

58 56 6. a) (25' 25' 1) b) X

=(- 2 ' - 2,0) + A(8, 10.

1 1 c) (2' 2' 0)

29 .)

e) sim

363

364

Geometria AlWlitia lim tratamento vetorial

X = : - ) \=:~A

{

• _

-3 + SA

l.~y-z-I =

--'(3'"3' "3

x y+1 10'T=---==--r-=z

.J2

.J2.J2

11. (-2-' 1'-2-)' (V2,2,V2), (-2-' 3'-2-);volume CAPITULO 17 ~~

PERPENDICULARISMO E ORTOGONALIDADE

Plano e Plano (pag. 205) b) sim

I al nao ~

x - o2y - z =

d) sim

c) sim

, x+y-z-I =0 4. (I, 1,0), (I, 3, V2), (2,2, V2), (0,2,0) (2,2,0) (I,I,V2) (1,3,0) (0,2,V2) _

-1

(""3 . -3-' 3 ) '("3 ' 3 ' -3-) , (0,0,1) , (0,1,0)

C-\PITULO 18 i

ANGULOS (pag. 207)

c) arc sen ~

arc sen

v'3

-:11

arc sen

4 . r1 3 v 2

Vi 2

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Respostas dos Exercicios Propostos

3. a) arc cos

]

b) arc cos

Vt>6

<:l

4. Sao quatro retas:

x =(- 3. -5/3. 4) + 'A ( I.

X =(5/2, 2, -3/2) + 'A f I. I. I). Xo=(2/3.2,1j3)+\1-1.1.1)

I. -II

X=0/7.3/7,6/7)+'A(I,-LI)

5. Sao quatro re ras:

x = (0.

'A ( - I. J. I).

-t-

x = (0. ~.

+ 'A (3, I. - 1). 1-3

x-I 6. Âą

.J2 = r + 2 = ~

7. X

=( 1.

8. (-2+

X=(0.2, ])+'A(-7.1.1)

I, I

2. I) + 'A (.l . I. I)

(sao quat ro retas)

1. I) + 'A (0. 1. I).

Y3,

= (0.

-Y3 ).

(- 2 -

= (I.

V3.

I. I) + 'A (-4, 1, 1)

I. I + v'~ )

V] 9. arc "" -310. 2x - 31' + z - 5 = 0

LlU

3x - !

11. x + y - 3z - 1 = 0

.\. - \ - 3z + 3 = 0

2/ - 4 = 0

13. 6x + 3y + 2z - 3 = 0

14. B = (1.0.0).

C=(1.1.11.

o = (LO,

CAPiTULO 19 DlSTANCIAS (pag. 231) I. a)

Y \73

2. a)

Y34I7

3VlOfi

-/270/29

I).

365

366

Geometria Analities: um tretamento vetorial

3. a)

. .J

/~ :: 1

5V30 6

b) 7/2

~ I;

13/2

6. a)

Y46 46

c) 94/13

d) I

2 c)V3

I 2V3

b) 13

V26

7. (2,0,2), (0,2, -2) 8. \'ao existe solucao, pois r "

e parale1a ao plano mediador de AB.

.ll (1,-1,-1)

c) (1, I, I)

1112.0,2)

(0,2, -2)

12. (1,0,0)

~ ~) (~ 3 ' 3 ' 3

13. X = (-I. 3. -3) + X (I, 0,2)

j'::'

----= . ----= 'I. 2 V ~

15. 0 ;!- ::

(1, -

.J2' -

reuruao d as ret as

x+z= :: { y=-2 16. 0 Lg,

I V2), (2,0,0)

X+ Z = 2 'I.

ea reWUio

{

= -2 -

v'6

':0, dois pianos 112 :

Zx - y -

= 2

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Respostas dos Exercicios Propostos

e a reta

17. 0 l.g.

~x -

{

1 = 0

16x + 6y + 6z = 41

18. (-3,5, -8)

(9,-7,16)

19.(3,1,2)

(-1,-1,-2)

20. x + Z -

21.

Y3 6x - 2y - 3z - 7 = 0

22. y - 1 = O. 24. z = 1

+ y + 2z - 4

25. X = (l,0,3) + X(I,1.0): 26. 0 I.g.

X = (4,0,-3) + X(7,4.0)

e a reuniao das quatro retas y+ I = 0

{

y+ I

, ~z

:\ - z

x- z = I 2x + ~y

2z = I

27. 4/3

28. Trata-se de urn par de planos, de equacoes gerais 4x + 3y - 2z = 0 e 5y -- 6z + 12 = O. que se interceptam na reta 7Tl n 7T:29. 2x - y + Zz - 15 = 0 30. Volume =

2,jV6-

~:\

- y +

- 3

Jf> 7

Geometria Analitica: urn tratamento verona/

Jo8

31. 7x+ I9y- IOz+5 3~.

3x +

1. -

+I =

3)" - 6z

I7x - Y + IOz - 5

s sao quatro respostas: x = (-2,2,1) + A(l,-I,O),

= (0, 0, v!17) +

Id 1 -d 2 1 35 .. / 2 2 " v a + b + c2

36, 6x + 3y + 2z - 3 CAPITuLO 20

§ I,

A (-1,1,4),

Pensou que fosse

x X

= (0,0,-1) + A(I,-I,O) = (0,0,-v!17) + A(-I, 1,4)

I d, - d 2 1, hein"!

MUDAN<;A DE COORDENADAS

Mudan~as de Coordenadas em E 3 (pag, 237)

u = -I v - I

Iw = -I + A _ :_-v-w+2 =

.. -'·+2=0 CAPi'IL'LO 20

§2.

MUDAN<;AS DE COORDENADAS

M",frrp7 de Coordenadas

= 'TT13

()

a' =

~n:r,

em E2 (pag.242)

n inteiro

(-I, l)~l

(

( I

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Respostasdos Exerefcios Propostos

= arc sen

( - -5-) + 2fi1T, n inteiro

CAPtruLO 20

MUDAN<;A DE COORDENADAS

Aplica~ao das T~oes e Rotacoes de E ao estudo da Equacao 2

§3.

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F

(pag. 256)

4u 2 + y2 - 16

t 2 + 2w 2

4u' - 3v2

13t 2 _4w 2

4u' - 5v 2 + 100

11t 2 + 6w 2

66 = 0

2t 2

11w2

22 = 0

u2 + 2v 2

4t 2

w2 = 0

t 2 + 2w 2

w2 = 81

3. a)

=0 =0 7

CAPiTULO 21. §1.

2 =0

3w 2

=0 81 =0

1=0

C()NICAS

Elipse. Hiperbole, Parabola (Forma Reduzida) (pag, 268)

1. a)

x2 -169

--=

144

x2 3

\" ,

x2 2:'3

+ --=

289

x· 25

x2 400

X':!

-4

16y2

= 1

369

Geometria A Mlinc,,: II'" trGllImellto vetorial

370

(0, ± 4),

(± 3,0),

'.(~3,0), (O,±I),

(±2V2, 0),

2V2 3

(O,± 5), - 2 -

(± 1,0),

(0, ±V3),

d) (± 2,0),

(± 5, 0),

c) (0, ± 5 V2),

I 2

+ 35

3. a)35"

~ y2 bl):! + 1:!8=

7 4.

:, 2),

(± 2, -2),

5. a) 4x 2 + 3y 2 + 24x - 24y + 36 = 0 b) 8x 2

2xy + 8y 2

c) 35x 2

2xy + 35y 2

6.a)(±12,O).

63 = 0 -

34x - 34y - 289 = 0

(±13,O),

b) (± 5,0)

(±

13/12,

v'41, 0),

12y=±Sx

v'41/5,

Sy = ± 4x

± 4),

(0, ± 4 v'2),

V2,

y= ±x

(a. =: I.

(0, ± v'l3 ),

v'l3/2 ,

3y = ± 2x

e) (±I,O),

t~:.O), 2.

y=±v'3x

';:'1 110.

7. a)

"4 - 5 =

144

Respostas dos Exernao. ~",",11:C;'

y2 36

x: = 16

L_ 56

c) - - -

8. a) 9x 2

J6y: -54x+64y+161 = 0

b) 3x: + I ':xy + 8y2 - 18x - 28y + 11 = 0 9.

=0 =0

14.01.

(0,0),

x+4

bll-f.O),

(0,0),

x -7

cl (0. -10),

(0,0),

3 d)(S' 0),

(0,0),

5x + 3

e) (0,7/8),

(0,0),

8y + 7

15 f) (0, 28 ),

(0,0),

28y+ 15

10. a) y2

32x

b) x 2

-8y

c) /

20x

d) x 2

= 2y

e) y2

= -16x

11. a)

=0 =0

4x - 6y + 13

b) x2 - 6x - 8y + 1 4xy + 4y: + 52x + 26y + 91 c) x 2

371

372

Geometria Analitica: urn tratamento vetorial

CAPITULO 21 CO~1CAS §2.

Com.-:. cCaso Geral) (pag.271) -

• , ..:.

T -

1·,

<4 t

----4---71-..l-.:.--+-+;:---------

/ U

b)2

v2 2

l ~ U

1·,

11 y u

/ / / /

'" '-------------, / / / / / / / /

'~ "" /

' / , <,

~, <,

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Respostas dos Exercicios Propostos

c)v=+_l-

- V5

arc tg (-

'I .......

.......

'.......

..............

.......

--.;;;,~---"""""':I_=:_..:tftr-------~~-. X -1 ........ 1

.......

<, <,

.......

..... U

2t;

arc tg"3 . y

"- <,

<, <,

<, <, <,

<, -----------;~d_--+---~~--___t---_x

f),

em relacao ao sistema Ouv.

373

J 74

Geometria Analitica. um tretemento vetorial

=...!...6 .

/ ./

'" '1T /6

arc tg 2 .

-'U

/ y

/ /

..........

............

/ ........

................

........

................

<, <, <,

........ /

/ / /

/ /

......

_ _ _- - - - - - - - - - - - - - - - Respostas dos E~.I1"_ _â&#x20AC;˘

1 8 = arc tg 3

g) w = Âą 21:

-------::;-=::>t:~--+--~-------xsu o

u2 2. a) hiperbole : -9- -

= 1:

tg e

= l:

..,

b) elipse:

u - + y2

c) hiperbole :

d) parabola:

e) parabola:

8t;

f) hiperbole : t 2

w2 46

(19 q uadrante)

tg 8

(1 0 quadrante)

~3.

..j5

rr rd 6 .:;

If '3

-+ ,

tg 8

g) ponto (origem), 20u 2 + 5v2 = O. tg h) conjunt o vazio ; tg 8

cos e

cos 8

e = -I

cos e

, 1

viTO

v'IO

(29 quadrante)

t 2 + 2w 2 + 1 = 0

376

GeometriJJ AJIIIiitica: _

I1WIII1rIe1Ito vetonal

3. a) reuniio de duasretas concorrentes b) InpMdl: :II~O

i) elipse

e) reuniao de duas retas paralelas

f) parabola g) reta

h) circunferencia

CAPiTUW 22 SUPERFiCIES ยง1.

Superficie Esferica

1.1

Equa~o

reduzida e equa~ii.o geral (pag. 292)

1. a) (x - 1)2 + (y + I? + (z + 3)2

b) x 2 + y2 + Z2

c) (x - Y2)2 + (y - I? + (z + 3?

d)(x-I8?+(y+I7)2+(z+I)2 = 2500 e)x 2+(y_1)2+ z2

2.a)C=(2,-6.0),. b) C=(2 -3,-1),

r=5 r = 4

c) nao

d) C = (I, -1,0),

r =Y2

e) nao ยฃ) nao ~I

C = O. 1. 1),

r =-2-

h) Jrra:.

i) na>

4. (x - 1)2 + (y - I? + (z _ 2)2

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Respostas dos Exercicios Propostos

5. (x- 3)2 +(y+ ))2 + (Z+4)2

7. x 2 + y2 + Z2 + 14x + 6y + ~z- 136

x+l_x...=2_ z + l :: 8'-5- - -I - - : : -

9. 7 40 20 13. a) ( 3 ' O. 01. -3-

v'3

b) (-6.6. -61. 6 c) (0. O. 0'-

v'l5 V26

d)(-1.3.~I).

I. 0),

e) (...,

15. A e exterior, B e interior.

16. (X_~)2 + (y_3)2 + (z+11 2

289

17. Extrernidades do diametro: (0.0.01 e 1-2.::,0).

SUPERFICIES

CAPITUW 22 § 1.

Superficie Esferica

1.2

Plano tangeote (pag. 302)

1. a) 4x - y + z + 2 = 0 b) x -

V95

y + 2z + 95

2. 2x + y - z - 4 ± V6

3. x-I

4. x - y + 3z - 4

x - 2y - 2z - 3 0

7. 2x + y + z + 4 = 0

e e

3x - y - z - 14

2x + y + z - 8 = 0

377

378

Geometria Analitica: um rratamento vetorial

8. a) Nac ex.sre. pais a reta t bl '. - ~. - z - 2 ~

1.':

+ Z2

e secante a

S (d(C

< r ),

(ha urn s6 plano, pais t e tangente as).

6x - 4y + 4z + 3

10. (X-2)2 +(y_2)2 +(z- 2)2

,144 2 2 16 11. (x+2) 2 +y 2 +(z+II." =5-· (X+2)2+ y +(z+3) =5 I )2 + ( y12. (x- V_r:3d

6 + v'3 2 = (----3-) y'3 + 3 2 33) 2 +(z---3-)

r-:;

14. x 2 + y2 + Z2 - 6x + 2y - 2z - 70

15. x 2 +y2 +Z2 +(3±v'll)x - 4y+2z+5 =0 16. (x+ 1)2 +(y_2)2 +(z_I)2

I ~. 3 au 1 18. a

= (2,2,2),

a = -6

Minima: -6.

20. Maximo: 6;

21. x 2 +y2 +7 2 - 12x-6y+8z+36

,2 +y2 +Z2 +6x+6y+6z+9 = 0 I.

2x + 6y - 3z - 1]

CAPtruu> .,.,

SUPERFfcIES

§] .

Superficie Esferica

1.3

Plano seeaate. Equacoes de uma circunferencia (pag. 306)

1. (-1,2,3) e 8

(-2, -2, -2).

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ R.4pcAun dos E:urdca ¥Jc+o-

{

2x - z - 1 = 0 ... ..,

x+y-2 = 0 3x + 2y + 6z = 6

4 {

x 2 + ).2 + Z2

5. 0 I.g.

2x - 3y - z = 0

e a circunferencia de equacoes

(x _1)2 + (y - 1)2 + (z+ 2)2 = 8

x-y-2=0

V6 .

com centro P = (2, 0, -2) e raio

. : - 1)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 65

6. 18x - 22y + 5z = 30 7. x - 2y -

8. (1,0,0),

±3 = 0

1 2 (-"3' 3

-1"

' 3 ), ( :3 '"""3'

:3),

e (0, 1,0).

9. Secantes. Centro

10. -

11. (x -

au 5 2 2")

(+, +- ' -4-) + e raio

-16 + (y - 5) 2 + (z + 5)2

81 4

9 (x - 1.-)2 + (y - 3? + (z + 3)2 = 4 2

225

=-4

2 2 -1 (""3 ' "3' - 3 ), (0,0, 1)

380

Geometria AM1ftiCtl: um trrltrlmento vetonal

12. (x - I': + (y + 2)2 + (z + 2)2 = 4 IJ. -

1)2 + (y + 2)2 + (z - 4/3)2 = 16/9

CAPITULO 22 SUPERFiCIES ยง3.

Superficie Cilindrica (pag. 313)

l. (Y - Z)2 + Cy - X - Z)2 = Y - X

2. (X - 2Z ~2

(X - 2Z)(Y - Z) +

3.. I X - Z) (Y - Z) = 2Z - X - Y 4" Veia a resposta anterior.

5.fIX-rnZ,

Y-nZ) =0

6. (3X - 2Y + Z - 9)2 - 14 (X 2 + y 2 + Z2 - 2X + 4Y - 4Z + 6)

CAPiTULO 22 SUPERFicIES ยง4.

Superficie Conica (pag.319 )

I. X2 + y 2 _ Z2

, XL. - y 2

4. X: - -y: - 8Z 2 + 6XY = 0

5. 2(X+2Y-Z-2,l -3 [(X_I)2 +(Y_I)2 +(Z_I)2) = 0

CAPITULO 22 SUPERFICIES ยง5.

Superficie de Ro~ (pag, 323)

1. (X + Y + Z)2 -2 (X 2 + y 2 + Z2) + 1

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Respostas dos

Jr + y2 + Z2 =

hop.

3Z 2)2

= (1 -

3. a) 9 (X1 + y2)

E~ka

c) 4 (X 2 + y2) = (X 2 + y2 + (Z - 2)2f (a supetfiae e am toro), 4. a) 3 (y2 + Z2) + 3X = b) X2 + y2 + Z2 c) 16~ +Z2)

=I = [(X-1)2

+y2 +Z2 +3}2

5. Z2 +X 2 =(Y2 _1)2 X2

6'7

b2 +7

7. X2 + y2 - Z2 - Z = 0

CAPITuLO 22 ยง6.

SUPERFiCIES

Qwidricas (Forma Reduzida) (pag. 329)

y2 Z2 8.X=-g-g

paraboloide ehptico: e uma superficie de rotacao, z

paraboloide hipeIb6lico.

10.

.e urna superffcie conic a de vertice

V = (0, 0, 2), que tern por diretriz a circunferencia X2

+ y2

C: {

z =0

Veja 0 Exercicio Resolvido n9 3, do ยง 1, Capitulo 18.

J:I.~

Geometria ANIlitictl, "'" ".tamento vetorial

382

II. x 2 + y: Se

-rocr

r - 6x -

n30 souber

~: 0

14y - 6z + 26 0

vetor n

= 0,

x2 + y2 + Z2 + 2x + lay - lOz + 10

= O.

que e gradiente de uma funcao, resolva 0 exercicio com este dado = (2,6, -I) e normal ao paraboloide dado no ponto T =(1, 1,4).

IM>ICE ANALrflCO

Adi!;ao de vetores, 7 Angulo entre pIanos, 212 entre reta e plano, 210 entre retas, 207 entre vetores, 57

Base, 38 Base ortonormal, 41

Centro de uma conica, 272 ,:::assifica!;ao das conicas, 280 Cc:n bina!;ao linear, 28

ur:..:..::as, 258, 271 : ..assificacao, 280 ~=das

_ ~:or, 38 _penta. 120

Dependencia ..... 27 Desigualdade de Sc:Il..--arz, 62

384

Distincia entre pia::'. 05_ 230 entre ~to c plano, 223 entre ponto e reta, 221 entre pontes, 124,219 entre reta e plano, 230 entre retas, 226 Duplo produto vetorial, 99

Eixos coordenados, 119 Elipse. 258 Elipsiltde, 329 Equ~ao geral do plano, 146 Eq~o vetorial da reta, 126 do plano, 140 Equacoes da reta na forma simetrica, 130 Equacoes de circunferencia, 306 Equacoes pararnetricas da reta, 128 do plano, 140 Equipotencia, 5 Espaco vetorial, 13

Feixe de pIanos, 166

Hiperbole, 262 Hiperboloide de duas folhas, 335 de uma folha, 331

Processo de ortonormalizacao de Gram-Schmidt, 69 Produto escalar.58 mistov l Of

Independencia linear, 27

LD,27 LI,27

Matriz de mudanca de base, 49 Matriz ortogonal, 7C Mediana,18 Mudanca de base, 47 Mudanca de coordenadas, 237 Multiplica~ao de nurnero real por vetor, 12

Norma de urn vetor, 6, 42

Oncntacao, 77 Ortonormallbase),41

Parabola, 266 Paraboloide eliptico. 337 hiperbolico, 338 Perpendicularismo plano e plano, 205 reta e plano, 201 reta e reta, 196 Plano mediador, 219 Plano tangente a superffcie esferica, 302 Plano secante a superffcie esferica. 306 Pianos coordenados, 119 Ponto medic, 122 Posicao reIativa plano e plano, 181 reta e plano, 175 reta e reta, 170

Quadricas, 329

Representante, 5 Retas ortogonais, 196 Rotacao, 244, 249 Roto-translacao, 257

Segmento orientado, 4 Serni-espaco, 214 Sistema de coordenadas cartesianas, 119 Sistema ortogonal, 119 Soma de ponto com vetor, 16 Superf'(cie cih'ndrica, 313 conica, 319 de rotacao, 323 esferica, 292

Teorerna de Pitagoras, 41 Translacao, 242路243. 248

Ve tor. I

ad路ltao.7 angulo entre vetores, 57 definicao, 6 dependencia linear, 27 norma, 6 ortogonalidade,41 vetor gerado, 28 vetor normal a plano, 160 vetor nulo, 6 vetor oposto, 6 volume de tetraedro, 109