ACULTAD DE INFORMATICA Y CIENCIAS APLICADAS ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS “ING. JULIO CESAR ORANTES” CATEDRA DE CIENCIAS Y MATEMATICA
Ejercicios Sobre MATEMATICA II Los Limites de las Funciones
SAN SALVADOR, AGOSTO DE 2019. 1
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE EL SALVADOR ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS ”ING. JULIO CESAR ORANTES” CÁTEDRA DE CIENCIAS Y MATEMATICA MATEMATICA II (ECO.) GUIA No 1
UNIDAD No 1: LÍMITES Y CONTINUIDAD OBJETIVO: Que los estudiantes comprendan la idea de límite de una función y que además puedan calcularlo. TEMA: Concepto intuitivo de límite. INDICACIONES: Encuentre el límite de cada función completando las tablas, haciendo uso de los valores que se indiquen en cada caso. 1.
Lím ( 2x 2 x 3 5x 2 )
x3
x
-3.5
-3.01
-3.001
-3
-2.999
-2.9
-2.5
f ( x ) x 2x 5 x 2 3
2.
2
x2 1 x 1 x 1
Lím
x f (x)
3.
0.5
1
1.001
1.1
1.2
y2 9 2y 7y 3 2
y3
y
4.
0.99
x 1 x 1
Lím
f(y)
0.7
2
-3.5
-3.01
-3.001
-3
-2.999
-2.9
-2.5
-0.9
-0.5
y2 9 2y 2 7 y 3
Lím ( m3 1 )
m3
m
-1.5
-1.01
-1.001
f (m) m 1 3
2
-1
-0.999
5.
Lím f ( x )
x2
3x 2 , x 2 si f ( x ) 2 x 2 x ,
x
3x 2, f (x) 2 x , 6.
1.5
1.9
1.999
2
2.001
2.1
2.5
x2 x2
Lím ( 3x 2 )
x0
x
– 0.100
– 0.010
– 0.001
0
0.001
0.010
0.100
1.900
1.990
1.999
2
2.001
2.010
2.100
0.900
0.990
0.999
1
1.001
1.010
1.100
3.010
3.100
f ( x ) 3x 2 7.
Lím ( 2x 3 )
x2
x
f ( x ) 2x 3 8.
Lím ( x 2 2 )
x 1
x f (x) x 2 2
9.
Lím
x3
x 2 8x 15 x3 x
f (x)
2.900
2.990
2.999
3
3.001
x 2 8 x 15 x3
Para cada uno de los siguientes casos, elabore una tabulación, y haga uso de noción intuitiva, para encontrar el valor respectivo del límite. 1. Lím ( 4 x ) x 1
4.
x2 1 x 1 x 1 Lím
2. Lím ( 2 x 2 ) x 0
5.
Lím
x 2
3. Lím
x2
x 2 3x 10 x2
3
6. Lím
x0
3x 2 x2 4x x2
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE EL SALVADOR ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS ”ING. JULIO CESAR ORANTES” CÁTEDRA DE CIENCIAS Y MATEMATICA MATEMATICA II (ECO.) GUIA No 2
UNIDAD No: 1 LÍMITES Y CONTINUIDAD OBJETIVOS: Que los estudiantes: 1. Comprendan la idea de límite de una función y que además puedan calcularlo. 2. Identifiquen la técnica a aplicar para encontrar el límite de funciones con la indeterminación
0 . 0
TEMA: Algebra de límites. Formas indeterminadas
0 . Técnica de la factorización y racionalización. 0
INDICACIONES: Calcule el valor de cada uno de los siguientes límites, haciendo uso de teoremas. 1. Lím ( x 2 2x 1 ) x 2
4. Lím
x 3
7.
Lím ( 4x 9 )
2.
( x 3 6 ) 3( x 9 )
x 3
Lím ( 4 x )
9.
x 1
10. Lím ( x 2 5x ) 2
11. Lím
x 2
x 3
x3
14.
x 2 3 16. Lím x 3 x 1
17.
x 1
x 2
8. Lím ( x 2 2 )
x 1
13. Lím
6. Lím ( 5x 3 )
x 3 1
x 0
x 2 2x 3 x7
Lím
x 2
Lím
x 2 3x
x 3
x2
5. Lím
x 2 16 5
3. Lím
x 2 / 3
Lím ( x 2 3x 5 )
x 2
12. Lím
x 2
x2 5
15. Lím
x 0
x 2 2x 4 x2 ( x 1 )2 x4
3x 2 3x
Calcule el valor de cada uno de los siguientes límites, haciendo uso de alguna técnica de cancelación. 1. Lím
x 2
x2 4 x2
2.
Lím
x 2
x 2 2x x 3 2x 2
4
3.
Lím
x 5
2x 2 9 x 5 4x 2 23x 15
4. Lím
( 3 p )3 27 p
7. Lím
x 2x 8 x4
p 0
5. Lím
x 3
2
x 4
x 0
13.
x 2
16. Lím
x 2
11. Lím
x 0
x 2 5x 6
7x
x 0
x x 2 1
22. Lím
x 9 2
x 3
3 x 1
x 2
x 1 x 1
14. Lím
x 2
x 2 4x 4 2x
19. Lím
25. Lím
8. Lím
x 2 3x 10
Lím
3
6. Lím
x 3x 2
17. Lím
x 4
7
20. Lím
x 1
23. Lím
x 4
x 4 x2
9. Lím
x 3
15.
3 x 2 8 x 16 2x 9 x 4 2
x 1
Lím
x 1
18. Lím
x 4
x 3
2
x2 9 x 3 3x 2 4x x2 1
x 1
21. Lím
2
5
x 2 10x 21
x 3
x3 8 x2
1 1 x 4 4 26. Lím x 0 x
x 3x x3
12. Lím
x 2 3x
x4
x 2
x 2 2x
x2
x 1 1
x 0
2
x 2 2x x
10. Lím
x 2 16 5
24. Lím
x 0
x 2 x4
x 2 1 x3
3
9x x
1 1 x 2 2 27. Lím x 0 x
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE EL SALVADOR ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS ”ING. JULIO CESAR ORANTES” CÁTEDRA DE CIENCIAS Y MATEMATICA MATEMATICA II (ECO.) GUIA No 3
UNIDAD No: 1 LÍMITES Y CONTINUIDAD OBJETIVOS: Que los estudiantes: 1. Comprendan la idea de límite unilateral de una función y además puedan calcularlo. 2. Puedan concluir a partir de los límites unilaterales cuando una función posee límite.
TEMA: Límites laterales. INDICACIONES: Para cada función, trace la gráfica, halle el límite que se indica, si es que existe. Si el límite no existe, explique por qué.
x 3 si 3 x si
1.
f (x)
2.
x 2 4, si f ( x ) 4, si x 2 2, si
3.
4.
5.
x 2 x 2 x 1 x 1
a) Lím f ( x )
b)
a) Lím f ( x )
b) Lím f ( x )
x2
x 1
x 1
si x 1 x 1, 2 f ( x ) x , si 1 x 1 1 x, si x 1
a)
x 2 9, si x 3 2 f ( x ) 9 x , si 3 x 3 x 2 9, si x 3
a)
2, si f ( x ) 1, si 3, si
x 1 x 1 x 1
Lím
x 1
x 1
Lím
x3
a)
Lím
x 1
6
Lím
x 1
f (x )
e) Lím f ( x ) x 1
f ( x ) b)
d) Lím f ( x ) x3
x 1
f ( x ) b)
d) Lím f ( x )
Lím f ( x )
x 2
Lím
x3
x3
Lím
x 1
x2
c) Lím f ( x ) x 1
c) Lím f ( x ) x 1
f) Lím f ( x ) x 1
f ( x ) c)
e) Lím f ( x )
f ( x ) b)
c) Lím f ( x )
f (x )
Lím f ( x )
x3
f) Lím f ( x ) x3
c) Lím f ( x ) x 1
Para cada uno de los siguientes casos, observe la gráfica y encuentre lo que a continuación se le pida: 1.
Lím f ( x )
Lím f ( x )
Lím f ( x )
x 2
x 2
x2
2.
Lím f ( x )
Lím f ( x )
x 2
Lím f ( x )
x 2
x2
3.
Lím
x 3
f (x )
Lím f ( x )
x 2
Lím
x 3
f (x )
Lím f ( x )
x 2
Lím f ( x )
x3
Lím f ( x )
x2
A partir de las siguientes funciones: a) Dibujar su gráfica. b) Determinar los límites indicados.
1.
2 , si x 1 f ( x ) 1 , si x 1 3 , si x 1
a) Lím f ( x )
2.
x 4 , si x 4 f(x) 4 x , si 4 x
a)
3.
x 2 , si x 2 f(x) 8 2x , si 2 x
a) Lím f ( x )
x 1
Lím f ( x )
x 4
x 2
7
b) Lím f ( x ) x 1
c) Lím f ( x ) x 1
b) Lím f ( x )
c) Lím f ( x )
b) Lím f ( x )
c) Lím f ( x )
x 4
x 2
x 4
x 2
4.
x 2 4 , si x 2 f(x) 2 4 x , si x 2
5.
x 1 , si x 1 f ( x ) x 2 , si 1 x 1 2 x , si x 1
a) Lím f ( x ) x 2
a)
Lím f ( x )
x 1
c) Lím f ( x )
b) Lím f ( x ) x 2
x 2
b) Lím f ( x ) x 1
c) Lím f ( x ) x 1
d) Lím f ( x ) e) Lím f ( x ) f) Lím f ( x ) x 1
8
x 1
x 1
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE EL SALVADOR ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS ”ING. JULIO CESAR ORANTES” CÁTEDRA DE CIENCIAS Y MATEMATICA MATEMATICA II (ECO.) GUIA No 4
UNIDAD No 1: LÍMITES Y CONTINUIDAD OBJETIVOS: Que los estudiantes: 1. Diferencien ambos tipos de límite 2. Puedan calcular los límites haciendo uso adecuado de los procedimientos. TEMA: Límites infinitos y al infinito INDICACIONES: Evalúe cada uno de los límites infinitos indicados. 1.
4.
7.
1 x5
Lím
x5
t2
Lím
Lím
x 1
10. Lím x 0
8. Lím
16. Lím x 1
2x 3 5 x 2 x2 1
x4
t 3
3.
2
16 x 2 x4
Lím
2 x 1
1 1 13. Lím 2 x 0 x x
9x
x3
5.
3 x2 x
14x 2
Lím
2
t 4
t2
2.
t2 t 9
11. Lím x 0
14. Lím x 0
17. Lím x 0
6. Lím x 3
9. Lím
2
x 1
3 x2 x x2 3 x x 3
2
1
Lím
( x 5 )2
x 5
2 x3 x x 1
12. Lím x 4
2
16 x 2 x4
3 1 2 15. Lím s 2 s 2 s 4
2 4x 3 5x 2 3x 3
Evalúe cada uno de los siguientes límites al infinito: 1. Lím
x
3x 2 7x 4
1 1 4. Lím x x2 x 2
2.
5.
Lím
x
Lím
x
3x 2 9x
2
3. Lím
x
x x2 x
9
6. Lím
x
x 3 2x 2 x 2x 2 6 x
2x 2 1 3x 2
7. Lím
x
10. Lím
x
13. Lím
x
3x 3 2 x 2
8.
2
x 2 3x x2 x 2 4x 4 2 x2
11.
x
Lím
x
x 2 10x 21
x
x
x
x 1
Lím
14. Lím
9. Lím
2
3
5x 3x 2
9 x 2 4 2x
5x 2
10
4x 2 1
12. Lím
x
3 x 1 x2 x
x 2 3x x5 3
15. Lím
x
x 3 2x x x 2 2 3x
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UNIDAD No 1: LÍMITES Y CONTINUIDAD OBJETIVOS: Que los estudiantes: 1. Puedan encontrar las asíntotas horizontales y verticales de una función. 2. Hagan uso de los conceptos de límites y asíntotas para graficar funciones. TEMA: Asíntotas horizontales y verticales. INDICACIONES: A partir de cada una de las siguientes funciones, determinar: (a) asíntota(s) vertical(es). (b) asíntota horizontal. Luego, elaborar el gráfico, haciendo uso de límites infinitos. 1. f ( x )
3 x2
2. f ( x )
2 x 1
3. f ( x )
5 3x
4. f ( x )
3 4x
5. f ( x )
2x x3
6. f ( x )
3 x x 1
7. f ( x )
x 2 x
8. f ( x )
9. f ( x )
11. f ( x )
13. f ( x )
3x 2 2
x2 x2 4
10. f ( x )
x2 1 3x
12. f ( x )
x 3 2
2
14. f ( x )
x2
11
2x 2 1 9 x2 1
x 9 2
3x 2 6 x 2 8 x 12
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE EL SALVADOR ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS ”ING. JULIO CESAR ORANTES” CÁTEDRA DE CIENCIAS Y MATEMATICA MATEMATICA II (ECO.) GUIA No 6
UNIDAD No 1: LÍMITES Y CONTINUIDAD OBJETIVOS: Que los estudiantes: 1. Puedan determinar cuándo una función es continua o discontinua, a partir de su definición. 2. Clasifiquen adecuadamente el tipo de discontinuidad que posee una función analítica y gráficamente. TEMA: Continuidad de una función en un punto. Tipos de discontinuidad. INDICACIONES: Para cada una de las siguientes funciones, determine si es continua o no, y luego grafique. x 2 , si x 0 1. f ( x ) 2x , si x 0
x 2 1 , si x 1 2. f ( x ) 2x 1 , si x 1
x 2 , si x 2 3. f ( x ) 3 x , si x 2
x , si x 0 4. f ( x ) 2 x , si x 0
2x 1 , si x 1 5. f ( x ) 2 x , si x 1
x 2 2 , si x 1 6. f ( x ) 3 x 2 , si x 1
Para cada una de las siguientes funciones, determine el tipo de discontinuidad que tiene. En caso de que su discontinuidad sea evitable, redefina la función, para hacerla continua.
2x 1 , para x 1 1. f ( x ) 2 , si x 1 x 2 2, para x 1
x 2 2 , si x 2 2. f ( x ) 4 , si x 2 x 2 , si x 2
2 x , si x 0 3. f ( x ) 4 , si x 0 2x 1, si x 0
x 3 , si x 2 4. f ( x ) 1 , si x 2 3x 1, si x 2
Cada una de las siguientes funciones tiene uno o más puntos donde no es continua. Indica cuales son esos puntos y que tipo de discontinuidad presenta.
12
1. y
3. y
5. y
1
2. y
x2 4
x2 1 x 1
3x 4 , si x 3 4. y x 1 , si x 3
x2 x2 x 2 3x x
Resuelva los siguientes problemas de aplicación. 1. En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes realizados por un trabajador sin experiencia depende de los días de entrenamiento según la función 30 t M(t) ( t en días ) t4 Su gráfica es
a) ¿Cuántos montajes se llegan a realizar en el primer día? ¿y en el décimo? b) ¿Que ocurriría con el número de montajes si nunca acabara el entrenamiento? 2. El gasto mensual en alimentación de una familia depende de su renta, x así:
0.6 x 200 , si 0 x 1000 g(x) 1000 x , si x 1000 x 250 Su grafica es:
13
Donde los ingresos y gastos se expresan en dólares: a) Diga si la función es continua. b) Calcule el límite de g ( x ) cuando x tiende a infinito y explique su significado.
14