UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
Trigonometría Guía Didáctica
2 CICLO DATOS DE IDENTIFICACIÓN: MENCIÓN
:
Físico - Matemáticas
PROFESOR(A)
:
Lic. Salvador Granda Lasso
TELÉFONO
:
(07) 2 570 275 Ext. 2340
:
esgranda@utpl.edu.ec
TUTORÍA
:
Lunes a Jueves de 07h30 a 08h30
Estimado Estudiante, dígnese confirmar la información aqui señalada llamando al Call Center 072588730, línea gratuita 1800 887588 o al mail callcenter@utpl.edu.ec
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OCTUBRE 2007 - FEBRERO 2008 MATERIAL DE USO DIDÁCTICO PARA ESTUDIANTES DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA, PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL POR CUALQUIER MEDIO
TRIGONOMETRÍA Guía Didáctica
Salvador Granda Lasso © 2006, UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA Diagramación, diseño e impresión: EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA Call Center: 593 - 7 - 2588730, Fax: 593 - 7 - 2585977 C. P.: 11- 01- 608 www.utpl.edu.ec San Cayetano Alto s/n Loja - Ecuador Primera edición Primera reimpresión Reservados todos los derechos conforme a la ley. No está permitida la reproducción total o parcial de esta guía, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. Julio, 2007
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. OBJETIVOS GENERALES ............................................................................................... BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................... ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO .....................................................................
5 7 7 9
PRIMER BIMESTRE OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................................... 13 .............................................................................................................. 14 CONTENIDOS DESARROLLO DEL APRENDIZAJE .............................................................................. 15 CAPITULO I: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
............................................................................. 15
CAPITULO II: ÁNGULOS AGUDOS Y TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ......................................... 23 CAPITULO III: MEDIDAS EN RADIANES Y FUNCIONES CIRCULARES ........................................ 29
SEGUNDO BIMESTRE OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................................ 39 CONTENIDOS ............................................................................................................... 40 DESARROLLO DEL APRENDIZAJE ............................................................................. 41 CAPITULO IV: GRÁFICAS DE FUNCIONES CIRCULARES ................................................................ 41 CAPITULO V: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS .......................................................................... 49 CAPITULO VI: FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS Y ECUACIONES SOLUCIONARIO ANEXOS
u
.. 57 TRIGONOMÉTRICAS
................................................................................................................... 63
............................................................................................................................... 85
EVALUACIONES A DISTANCIA
Guía Didáctica: Trigonometría
INTRODUCCIÓN Trigonometría, es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna Con estos antecedentes podemos decir que es una época en la cual el cambio de los seres humanos en todos los ámbitos, es fundamental, para conseguir el desarrollo que la sociedad requiere, un progreso sustentable y de calidad, para lo cual la educación constituye el elemento social que evidencia el avance o retroceso de los pueblos; es así que, en este contexto, se aspira que el estudio y aplicación de la matemática evolucione como trasunto «simbólico del universo» y de la sociedad en particular. Es como si el universo mismo hubiese involucrado a la humanidad en el aprendizaje de ella; así mismo junto a ello tenemos su utilidad inmediata y aplicación, razones por las que se han creado multitud de estructuras y sistemas. Por esta perspectiva, entre otras, hay que emprender el estudio de la matemática en general y, en especial, de Trigonometría, porque su estudio es parte de la formación del maestro de Física y de Matemática y el soporte de varios temas de física, de topografía, de geometría y del cálculo. Distinguidos estudiantes, vuestra dedicación al estudio, os permitirá buscar la verdad y formaros como hombres o mujeres, a través de la ciencia para que sirváis a la sociedad, el aprendizaje y aplicación de la matemática es el éxito, es la razón fundamental de su existencia, continuad y llegad con éxito a la meta trazada. La guía tiene como propósito brindar un apoyo metodológico para el estudio de Trigonometría, para desarrollar categorías de aplicación, análisis, síntesis y generalización, así como la creación y uso de destrezas intelectuales y motrices; de ahí que, la finalidad de la Guía Didáctica es orientar su estudio para la autoformación del estudiante del Sistema de Estudios a Distancia. Apreciados estudiantes, la visión que tengan sobre la naturaleza de la matemática es importante para orientar su estudio basado en valores culturales y sociales y crear un desarrollo sostenido en beneficio del medio ambiente que os rodea y de vosotros mismos; de igual forma para capacitaros en la construcción y generación de nuevas concepciones matemáticas. Con esta visión, se estudiarán en el primer bimestre los capítulos: Funciones Trigonométricas, Ángulos agudos y triángulos rectángulos, Medidas en radianes y Funciones circulares, y en el segundo bimestre Gráficas de Funciones circulares, Identidades trigonométricas, Funciones circulares inversas y ecuaciones trigonométricas.
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Guía Didáctica: Trigonometría
Capítulos que han sido programados por su gran aplicabilidad tanto en el ejercicio de la docencia como para cursos superiores de Matemática. Para estudiar Trigonometría debe dedicar por lo menos una hora y media diaria al análisis y comprensión de los contenidos teóricos que luego serán aplicados en la solución de ejercicios y problemas, estudio que debe realizarlo en forma sistemática y ordenada. Para lograrlo, la guía contiene ejercicios resueltos. Sobre temas mas importantes y con mayor dificultad, de la misma manera algunas aclaraciones o recomendaciones, auto evaluaciones, actividades recomendadas y orientaciones prácticas que servirán para conseguir aprendizajes significativos. La evaluación es formativa - sumativa, conformada por dos evaluaciones a distancia las mismas que están estructuradas en dos partes; la primera, consta de un cuestionario objetivo y la segunda es un cuestionario de ensayo. Contienen problemas de aplicación o actividades de reflexión y construcción. De la misma manera tenemos evaluaciones presenciales que están estructuradas por preguntas de alternativa múltiple y de verdadero o falso. Con el primer trabajo a distancia se evalúa el primer bimestre y con el segundo trabajo a distancia se evalúa el segundo bimestre .Los trabajos a distancia o evaluaciones a distancia sirven de estrategia de aprendizaje y tiene una valoración de 6 puntos (la parte objetiva 2 y la parte de ensayo 4), mientras que las presenciales tienen una valoración de 14 puntos que sumados con los trabajos a distancia tienen un total de 20. Como estudiante de la carrera de docencia, debéis preparaos para cumplir el proceso enseñanza-aprendizaje, así que, iniciad la misma con entusiasmo pues, ser Maestr@, es una profesión digna y maravillosa, de servicio y formación de jóvenes que aspiran a formar en el mañana una sociedad mejor, más justa y equitativa.
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OBJETIVOS GENERALES •
Interiorizar las definiciones básicas que se utilizan en Trigonometría
•
Analizar las identidades trigonométricas, las variaciones y gráficas de las funciones.
•
Aplicar las leyes, los principios y teoremas para resolver problemas.
•
Utilizar el análisis trigonométrico para elaborar estructuras matemáticas fundamentales para el estudio de matemáticas superiores.
•
Aplicar las fórmulas, los teoremas y los principios para resolver problemas relativos a triángulos rectángulos y oblicuángulos.
•
Potenciar las capacidades de los alumnos que se forman para maestros, para que se orienten sus actividades para que relacionen los ejercicios con situaciones de la vida real, con la localización y el diseño trigonométrico.
BIBLIOGRAFÍA Texto Básico -
Lial Maragaret L.; Hornsby John; Schneider David I. y Mark Dugopolsky (2006) TRIGONOMETRÍA, Octava edición, Pearson Educación , México
El texto presenta los temas de Trigonometría con un análisis actualizado y con una orientación metodológica para que el estudiante comprenda los conceptos matemáticos. Además, contiene variedad de ejercicios resueltos para reforzar los conceptos, así como ejercicios propuestos para que el estudiante estime, calcule e interprete un resultado. Se proponen actividades para escribir resúmenes, elaborar modelos o determine una generalización y se presenta el manejo actualizado de la calculadora graficadora.
El texto básico Trigonometría contiene todos los temas que abarca el pénsum de la asignatura, con ilustraciones que demuestran el uso de definiciones, leyes y teoremas, con tablas y ejemplos que ofrecen una fácil comprensión de propiedades, leyes gráficas, relaciones y definiciones. Incluye aplicaciones que tienen la finalidad de relacionar los ejercicios con acontecimientos de la vida real.
-
Granda Euler Salvador, (2007) Guía Didáctica de Trigonometría U.T.P.L.
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Es un material elaborado con la finalidad de viabilizar el autoaprendizaje de la asignatura, con una metodología apropiada para los estudios a distancia se ha programado estrategias de aprendizaje que optimizan los recursos para lograr aprendizajes significativos.
Complementaria
SWOKOWSKI, Earl y Jeffery A. COLE, (2001), TRIGONOMETRIA, Internacional Thomson Editores. México.
El texto complementario ha sido seleccionado para ayudar al estudiante de ésta asignatura, porque presenta los contenidos con una orientación metodológica, y se puede encontrar una variedad de ejercidos resueltos y propuestos para su desarrollo y de ésta manera estar preparado para las exigencias sociales que se nos presenten como maestros.
ENRÍQUEZ, Nancy, (1994), TRIGONOMETRIA, Editorial UTPL, San Cayetano, Loja.
Es un texto autoinstruccional con una metodología concebida para mejorar en forma didáctica el estudio de Trigonometría, ya que permite al estudiante elaborar su propio conocimiento y conseguir aprendizajes significativos, contiene todos los temas básicos de la asignatura con una variedad de ejercicios resueltos que ayudan para la comprensión de los mismos. Además, posee actividades de refuerzo, resúmenes de los módulos de estudio con las conceptualizaciones básicas necesarias para continuar con los temas posteriores y al final de cada unidad se encuentran las autoevaluaciones, con soluciones y comentarios para que el estudiante verifique sus logros.
GRANVILLE, SMITH y MIKESH (1969), TRIGONOMETRÍAPLANAY ESFÉRICA, UTEHA, México.
Este texto contiene una amplia gama de ejercicios desarrollados y problemas de aplicación a los diversos campos de la ciencia. Presenta una amplia explicación de las funciones trigonométricas de una manera funcional, clara y sencilla.
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ORIENTACIONES GENERALES Recuerde que la trigonometría debe ser estudiada en forma sistemática y ordenada para que su aprendizaje sea significativo, le sugiero tome encuenta lo siguiente: •
Es importante que trabaje paralelamente la guía y el texto, para mejor entendimiento de los contenidos, el texto guía esta divididos en seis capítulos, tres capítulos para el estudio del primer bimestre que esta comprendido desde la página 1 hasta la página 129 y para el segundo bimestre los otros tres capítulos que comprende desde las páginas 131 hasta la pagina 274; Cabe aclarar que en la primera unidad (prerrequisitos) se encuentran temas que ayudan a la compresión de una mejor manera el estudio de la trigonometría y la séptima unidad se encuentra una variada gama de ejercicios de aplicación en la vida practica; por lo que le recomiendo no dejarlos de lado ya que le ayudaran a conseguir los objetivos planteados en este ciclo de estudios.
•
Lea detenidamente la información correspondiente a los contenidos.
•
Subraye lo que crea importante en cada uno de los temas.
•
Comprenda y aprenda los contenidos.
•
Analice los ejercicios resueltos para que pueda proponer y resolver los problemas.
•
Resuelva los ejercicios hasta tener un dominio del tema.
•
No se olvide de contestar la autoevaluación que consta en cada capítulo, compare su respuesta y determine el logro de su aprendizaje significativo.
•
En el estudio de la trigonometría se le recomienda utilizar, de su valioso tiempo por lo menos una hora y media diarias.
•
Le recuerdo que en las evaluaciones presénciales, para obtener un puntaje de por lo menos 14 puntos es necesario tener 35 aciertos de 50 preguntas dicotómicas, y si son las preguntas de selección múltiple se debe obtener por lo menos 28 aciertos de 40 preguntas para tener como mínimo 14 puntos. Si no está seguro de la respuesta no conteste a la pregunta porque por cada error se le anula un acierto.
•
Si usted tiene acceso al Internet, le adjunto direcciones, con la finalidad de que revise temas de trigonometría y nuevas formas de estudio, así como resolver problemas que usted diariamente se plantee o tenga necesidad de resolverlo.
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1.
http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometría%C3%ADa
Contiene: • Unidades angulares. • Funciones seno y coseno. • Función tangente. • Fórmulas trigonométricas elementales. • Identidades trigonométricas. • Funciones hiperbólicas.
2.
http://www.sapiens.ya.com/geolay/pagehtm/trigonometria.htm
Contiene: • Identidades trigonométricas. • Resolución de triángulos rectángulos. • Resolución de triángulos oblicuángulos.
3.
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Razones_trig...
Contiene: • En este artículo se encuentra formas de resolver ecuaciones trigonométricas en forma gráfica y analíticamente. • Presenta varios ejemplos resueltos y en detalle la forma de trabajar con calculadora. 4.
http://www.profesorenlinea.cl/trigonometria/TrigonometríaHistoria.htm
Contiene: • Historia de la trigonometría • Le sugiero revisar método: resolución de problemas puesto a continuación, espero que le servirá mucho para hallar plantear la solución de los problemas.
MÉTODO PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS Según la editorial Santillana. Quito. Ecuador. Este método contiene estrategias para solucionar tanto problemas trigonométricos como cualquier problema que necesite resolver, pero para utilizar este proceso es necesario seguir los siguientes pasos: 1.
Comprensión del problema • • •
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Identificar y organizar los datos. Hacer un diagrama Hacer un esquema un dibujo
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• • • • • 2.
Búsqueda y determinación de alternativas para solucionar el problema. • • • • • • • •
3.
Realizar la operación (es) matemáticas. Completar los datos del diagrama. Aplicar el ensayo – error Elegir la primera operación.
Verificación del resultado • • • • •
5.
Elegir la pregunta que se debe resolver primero Seleccionar los datos indispensables Plantear una respuesta posible Realizar cálculos aproximados Razonar varias alternativas de solución Reflexionar sobre la posibilidad de resolver el problema por el final. Pensar en la relación que hay entre los datos Hacer pruebas por tanteo.
Ejecución de la alternativa elegida. • • • •
4.
Imaginar problemas Leer todo el problema y luego, parte por parte. Asociar el problema a otro ya conocido Plantear la pregunta de otra manera. Escenificar el problema.
Comparar la solución con los compañeros. Probar otras estrategias de solución. Elegir la solución. Reemplazar los datos en el problema inicial Verificar que los algoritmos tengan una secuencia lógica.
Proyección del problema resuelto. • • •
Proponer un problema similar con una situación cotidiana. Asociar el problema con otros que se presenten en nuestra vida. Construir modelos
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‹‹ Cada persona tiene la responsabilidad de recorrer un camino particular en un proceso lento e infalible. Lo que siguen adelante con fe, esperanza, con metas, objetivos, poniendo en acción sus valores humanos, actitudes positivas, talentos, habilidades, buenos h-abitos, inteligencias, competencias; alcanzarán lo más excelso de la vida›› Tomado del manual de Triunfadores
Estimados compañeros se dirige a ustedes su amigo Salvador Granda quien tiene el privilegio y el agrado de orientarlos en los conocimientos trigonométricos mediante las tutorías telefónicas y correo electrónico
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P RIMER
BIMESTRE
OBJETIVOS ESPECÍFICOS •
Convertir medidas angulares de un sistema a otro.
•
Deducir funciones trigonométricas de ángulos agudos de cualquier magnitud.
•
Deducir las identidades trigonométricas fundamentales.
•
Aplicar las identidades fundamentales para demostración de identidades trigonométricas.
•
Resolver problemas relativos a triángulos rectángulos.
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CONTENIDOS CAPITULO 1.1: 1.2: 1.3: 1.4:
I: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ÁNGULOS RELACIÓN DE ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS SEMEJANTES FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS USO DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
CAPITULO II: ÁNGULOS AGUDOS Y TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 2.1: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASY ÁNGULOS AGUDOS 2.2: FUNCONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NO AGUDOS 2.3: DETERMINACIÓN DE LOS VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CON EL USO DE UNA CALCULADORA 2.4: SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 2.5: MÁS APLICACIONES DE LOS TRIANGULOS RECTANGULOS CAPITULO III: MEDIDAS EN RADIANES Y FUNCIONES CIRCULARES 3.1: 3.2: 3.3: 3.4:
MEDIDAS EN RADIANES APLICACIÓN DE MEDIDAS EN RADIANES EL CÍRCULO UNITARIO Y LAS FUNCIONES CÍRCULARES RAPIDEZ LINEAL Y ANGULAR
“No puedo cambiar la dirección del viento, pero sí ajustar mis velas para llegar siempre a mi destino”. JAMES DEAM
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DESARROLLO DEL APRENDIZAJE CAPÍTULO I FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS El contenido científico que usted encontrara al hacer la revisión de este capitulo que comprende desde la página 2 hasta la página 129, es muy importante que tome encuenta la simbología que este autor utiliza e ir aprendiendo las definiciones que se utilizaran en el desarrollo de los ejemplos y a la vez en todo el proceso del estudio de la trigonometría. Para el aprendizaje será necesario que se tome en cuenta lo siguiente.
1.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Para aprender estos temas, le sugiero las siguientes actividades:
1.
Conceptualice el ángulo desde el punto de vista trigonométrico, la posición estándar de un ángulo.
2.
Deténgase en el estudio de los sistemas de medidas angulares de la guía ya que en el texto básico no se encuentran estos contenidos lo mismos que son muy importante para la conversión de medidas angulares o Sexagesimal, cuya unidad de medida es el grado sexagesimal; Radiantal o cíclica, en la cual el radian es su unidad.
3.
Revise los conceptos fundamentales para que interiorice los contenidos de la unidad, que le presentan las relaciones entre grados y radianes y los cambios de medidas angulares.
4.
Estudie el procedimiento para cambiar radianes en grados, minutos y segundos y viceversa, que se encuentran en las páginas 4 y 5 del texto básico y la guía.
5.
Analice las ilustraciones de la guía que le permiten comprender la forma de calcular la longitud de un arco de circunferencia y el área de un sector circular.
6.
Inicie la elaboración de su formulario, ya que le será de gran ayuda para la resolución de problemas.
8.
Resuelva algunos de los ejercicios planteados en el texto básico.
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1.1. ÁNGULOS Un ángulo θ es un conjunto de puntos que consiste de un punto P y dos rayos que se extienden desde P. El punto P es el vértice del ángulo y los rayos son los lados del ángulo. El rayo r, se llama el lado inicial (permanece fijo) y el segundo rayo, rayo s, se llama rayo terminal del ángulo. El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira alrededor del punto final común P en un plano hasta que alcanza su posición terminal. lado s terminal θ p lado inicial r Una rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ángulo positivo (Figura 1) y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo (Figura 2). El tamaño de la rotación en cualquier dirección no está limitado. Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iniciales y terminales (Figura 3), estos ángulos se llaman ángulos coterminales. lado
lado inicial
terminal
θ θ lado
terminal β
lado inicial α lado inicial θ ángulo positivo θ ángulo negativo α y β ángulos coterminales Nota: β ángulo positivo α ángulo negativo Figura 1 Figura 2 Figura 3 Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x. Si el lado terminal de un ángulo que está en la posición normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal. Observa la ilustración a continuación.
vértice
lado terminal
lado inicial
Ángulo en posición normal
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Ángulo cuadrantal
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Definiciones: Un ángulo llano es un ángulo que mide 1800. Un ángulo recto es un ángulo que mide 900. Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 900. Un ángulo obtuso es un ángulo que mide mayor de 900 pero menor que 1800. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo
ángulo llano
ángulo recto
ángulo agudo
ángulo obtuso
ángulo central Dos ángulos positivos son complementarios si su suma es 900. Dos ángulos son suplementarios si su suma es 1800. Nota: Los ángulo que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ángulos cuadrantales (ángulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x ó y).
Autoevaluación I 1.
Realice un resumen sobre la terminología básica que se emplea en los ángulos
2.- ¿Cómo se forman los ángulos suplementarios y complementarios? ¿Qué medida tienen? 3.- ¿A qué se denomina ángulos coterminales?
Cada hombre puede mejorar su vida mejorando su actitud. - Héctor Tassinari
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1.2. Relación de ángulos y Triángulos semejantes En esta sección se analizará el concepto de semejanza de triángulos, con el fin de poder comprender su significado y aplicarlo en la solución de problemas. Antes de profundizar dicho concepto, se interiorizará solamente el concepto de semejanza. Para lo que se quiere realizar, es necesario el conocimiento de lo que son lados correspondientes y lo que es proporcionalidad, para ello considere la figura que se muestra abajo en la que los lados correspondientes son respectivamente: c y c’ (lado grande y lado grande) a y a’ (lado pequeño y lado pequeño) b y b’ (lado mediano y lado mediano)
a’ = 6 cm c’ = 10 cm
c = 5 cm a = 3 cm b = 4 cm
b’ = 8 cm
Observe que al realizar la división entre los lados homólogos (correspondientes) el resultado que se obtiene es 2 (dividiendo 10 entre 5, 8 entre 4 y 6 entre 3), este valor recibe el nombre de razón y cuando la razón es igual en todos y cada uno de los lados correspondientes, se dice que los lados son proporcionales. El concepto de semejanza en la vida cotidiana Cuando se utiliza el término de semejanza en el lenguaje cotidiano, ¿a qué nos estamos refiriendo? Será acaso: • • • •
Un objeto que se parece a otro Objetos de igual tamaño Objetos de igual forma Objetos exactamente iguales
Es difícil poder seleccionar una opción que responda correctamente a la pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y utilización de la palabra semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en tamaño, forma o exactamente iguales, entre otros. Por ejemplo: 1. 2.
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El color del automóvil de Pedro es semejante al color del automóvil de María. La estatura de Marcela es semejante a la de Enrique
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3.
La llave que usa Sofía, para abrir la puerta de su casa, es semejante a la de su hermano José.
Resumiendo: el uso del concepto de semejanza en el lenguaje cotidiano se refiera al “parecido”, en una o más características, que existe entre dos personas u objetos. El concepto de semejanza en matemática El concepto de semejanza en matemática está muy ligado al concepto de proporcionalidad. En esta ciencia se dice que dos objetos son semejantes si “guardan” una proporción entre ellos. Veamos algunos ejemplos de la relación existente entre semejanza y proporcionalidad. 1.
Un geógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un mapa. Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1:5000, es decir, un centímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad. Luego de medir con una regla la distancia entre las dos ciudades, obtiene que es de 3cm, lo cual representa 15000 metros en la realidad. Note que el mapa es una representación semejante a una porción del globo terráqueo, de allí que, deba guardar una misma proporción, con el fin de que las medidas que se tomen sobre él sean lo más cercanas a su valor real.
2.
Dos anillos idénticos, cuyos diámetros son exactamente iguales, guardan la misma proporción y semejanza entre cada una de sus partes (circunferencia, radio, área, diámetro).
Resumiendo: dos figuras son semejantes si guardan una proporción entre cada una de sus partes respectivas. Semejanza de triángulos Ya se ha estudiado el concepto de semejanza, tanto en lenguaje cotidiano como en leguaje matemático. Se aplicarán ambas definiciones para establecer el concepto de semejanza de triángulos. Se podría afirmar, con lo que ya se conoce, que dos triángulos son semejantes si poseen una misma forma y sus partes guardan una proporción. Definición Dos triángulos son semejantes si los ángulos homólogos son congruentes y los lados homólogos son proporcionales
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Autoevaluación II
1.
¿Cuáles son las medidas de los ángulos del triángulo ABC?
2.
¿Cuáles son las medidas de los ángulos del triángulo A”B”C”?
3.
¿Qué relación existe entre ambas medidas?
4.
¿Cuál es la razón existente entre los lados homólogos, o sea, los lados correspondientes?
5.
¿Son proporcionales los lados homólogos?
6.
Cree su propia definición de triángulos semejantes
Para ampliar y reforzar sus conocimientos le sugiero remítase al texto básico desde la página 9 hasta la 20, además resuelva los ejercicios propuestos para mayor comprensión del tema. Creo que parte de mi amor a la vida se lo debo a mi amor a los libros. Bioy Casares.
1.3.
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x. En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de
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Pitágoras.
II (-, +) P(x, y)
I (+, +)
III (-, -)
IV (+, -)
FIGURA 3
Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera: seno (sen) del ángulo θ coseno (cos) del ángulo θ tangente (tg) del ángulo θ cotangente (cotg) del ángulo θ secante (sec) del ángulo θ
y r x = cos θ = r y = tg θ = x x = cotg θ = y r = sec θ = x r = cosec θ = y = sen θ =
cosecante (cosec) del ángulo θ
Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden 360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir, cot gθ =
1 1 1 ; sec θ = ; cos ecθ = tgθ cos θ senθ
Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.
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Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1. Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo. Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente: opuesto a = hipotenusa c adyacente b cos θ = = hipotenusa c sen θ =
opuesto a = adyacente b adyacente b cotg θ = = opuesto a hipotenusa c sec θ = = adyacente a hipotenusa r cosec θ = = opuesto y tg θ =
B
c a A
θ
90° b
C
Figura 4
Autoevaluación III Ejercicios Propuestos En los ejercicios 1 y 2 se dan las coordenadas de P; calcule el valor de las funciones trigonométricas del ángulo correspondiente. 1.- ∠ θ, P(-3,4) 2.- ∠ θ, P(5,-1)
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Para ampliar y reforzar sus conocimientos le sugiero remítase al texto básico desde la página 20 hasta la 26, además resuelva los ejercicios propuestos para mayor comprensión del tema.
Cualquiera puede simpatizar con las penas de un amigo, simpatizar con sus éxitos requiere una naturaleza delicadísima. - Oscar Wilde
1.4
Uso de las definiciones de las funciones trigonométricas
En este capitulo se hará la definición y uso de las identidades reciprocas, signos y rangos de los valores de las funciones, identidades pitagóricas y de cocientes. A medida que avancemos en nuestros estudios la abordaremos más profundamente. En estos casos vamos a utilizar el texto básico para realizar ejercicios e interiorizar algunos ejemplos de ejercicios de este tema, por favor remítase alas páginas 27 a la 36
Yo soy sólo uno; pero todavía soy uno. Yo no puedo hacerlo todo, Pero no me voy a negar a hacer lo poco que puedo hacer. Por: Helen Keller
CAPÍTULO II ÁNGULOS AGUDOS Y TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 2.1.
Funciones trigonometrìcas y ángulos agudos Razones trigonométricas
Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes: C ∆ABC, rectángulo en A ∠B y ∠C: ángulos agudos a b a: hipotenusa
B
c
A
b: cateto, opuesto al ∠B y adyacente al ∠C c: cateto, opuesto al ∠C y adyacente al ∠B
Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
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Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente. Cotangente: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto. Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo. Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.
sen B = cos B = tan B = cot B = sec B = csc B =
cateto opuesto b = hipotenusa a cateto adyacente c = hipotenusa a cateto opuesto b = cateto adyacente c cateto adyacente c = cateto opuesto b hipotenusa a = cateto adyacente c hipotenusa a = cateto opuesto b
cateto opuesto c = hipotenusa a cateto opuesto b sen C = = hipotenusa a cateto opuesto c sen C = = hipotenusa b cateto opuesto b sen C = = hipotenusa c cateto opuesto a sen C = = hipotenusa b cateto opuesto a sen C = = hipotenusa c
sen C =
Teorema de Pitágoras: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. Y, “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto”.
C
a b B
c
A
∆ABC, rectángulo en A a: hipotenusa b: cateto c: cateto a2 = b2 + c2 b2 = a2 - c2Propuestos Ejercicios
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Autoevaluación IV 1.- Hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo menor de un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 5 m. y uno de los catetos mide 3 m. 2.- Se tiene un riángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 15 m., hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo mayor. Para ampliar y reforzar sus conocimientos le sugiero remítase al texto básico desde la página 46 hasta la 54, además resuelva los ejercicios propuestos para mayor comprensión del tema.
Hay tres grupos de personas: los que hacen que las cosas pasen; los que miran las cosas que pasan y los que se preguntan qué pasó. Por: Nicholas M. Butler
2.2.
Funciones trigonometrìcas de ángulos no agudos
1.
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS (α y β=(180-α) )
Observamos que obtenemos dos triángulos iguales en el primer y segundo cuadrante. sen α = y/r=sen β cos α= x/r= - cos β tg α = sen α / cos α= - tg β
2.
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS (α y β=(90-α) )
Observamos que y’ = x y que x’ = y sen β= sen (90-α) = y’/r = x/r = cos α cos β= cos (90-α) = x’/r = y / r = sen α tg β = cotg α
3.
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º (α y β=(180+α) )
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Observamos que y’ = y y que x’ = - x sen β = sen (180+α) = - sen α cos β = cos (180+α) = - cos α tg β = sen β / cos β = - sen α / - cos α = tg α
4.-
ÁNGULOS OPUESTOS. (α y β=(360-α) )
Observamos que y’ = - y y que x’ = x sen β = y´/r = - y/r = -sen α cos β = x´/r = x/r = - y/r = cos α tg β = sen β / cos β = - sen α / cos α = - tg α
Autoevaluación V Ejercicios Propuestos En los ejercicios 4 a 6 deduzca los signos de las funciones trigonométricas para el ángulo que se da. 4.
∠ θ = 124°
5.
∠ θ = 201°
6.
∠ θ = 666°
Para ampliar y reforzar sus conocimientos le sugiero remítase al texto básico desde la página 55. hasta la 58, además resuelva los ejercicios propuestos para mayor comprensión del tema. No permitamos que ningún niño se siente disminuido, ni que su imaginación se vea disminuida a causa de nuestra ignorancia o falta de acción. No permitamos que un niño sea privado de la oportunidad de aprender porque nosotros no dediquemos nuestros recursos para descubrir su problema. No permitamos nunca que un niño dude de si mismo o de su mente porque no nos sentimos seguros de cumplir con nuestro compromiso para su educación.
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Por: Allen Martin.
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2.3. Determinación de valores de las funciones trigonometrìcas con el uso de una calculadora. En el estudio de esta unidad nos vamos ha referir a los contenidos del texto básico que se encuentra en las páginas 62 a la 68 debido a que, es un tema mas técnico que de razonamiento lo dejamos para que usted lo interprete y lo utilice en la resolución de problemas, por favor no se descuide, porque el buen uso de la calculadora le dará mayor efectividad en la practica y resolución de ejercicios de cada uno de los temas.
Cada uno labra su propia corona, cada quien es hijo de sus obras. JOSÉ INGENIEROS
2.4.
Solución de triángulos rectángulos
En un triángulo rectángulo existe siempre un ángulo recto (90º) recibiendo el lado opuesto al ángulo recto el nombre de hipotenusa y los otros lados el nombre de catetos. De una forma general, se suele usar una notación que es nombrar los ángulos con las mayúsculas A, B y C y reservan las mismas letras minúsculas a, b y c para los lados opuestos a cada ángulo. De forma general se suele reservar la letra C para el ángulo recto y por tanto c sería la hipotenusa. Esta al menos es la notación que nosotros usaremos. En cualquier triángulo rectángulo se tienen que cumplir las relaciones trigonométricas, y así se cumple: a = c*sen A = c*cos B
(b = c*sen B = c*cos A) a= b*tan A = b/tan B (b= a*tan B = a/tan A) etc.
y además se cumplirá el conocido Teorema de Pitágoras:
a2 + b2 = c2
Resolver un triángulo consiste en calcular todos sus elementos (3 lados y 3 ángulos) conocidos al menos tres de ellos. En el caso de un triángulo rectángulo además del ángulo de 90º, se necesitan otros dos datos, de modo que según cuáles se conozcan, se pueden presentar cuatro casos: I) II) III) IV)
La hipotenusa y uno de los ángulos agudos. (c, A) Un cateto y el ángulo opuesto a él. ( a, A ) La hipotenusa y uno de los catetos. (c, a) Los dos catetos. ( a, b)
Autoevaluación VI 1. 2.
Calcular el lado de un rombo cuyas diagonales miden 6 y 8 cm. Resolver un triángulo isósceles en el cuál la base mide 19,8 m y la altura 12,5 m.
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3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
La base de un triángulo isósceles es de 64,5 cm y el ángulo opuesto es de 72,8º. Calcular el resto de elementos. Un rectángulo posee unas dimensiones de 120,4 x 70,18 m. Determinar los ángulos que una de sus diagonales forma con los lados. Un trapecio isósceles tiene unas bases de 12 y 20 m. Determinar el ángulo en su base para que el lado no paralelo sea de 6 m. Resolver un triángulo rectángulo e isósceles en el que la hipotenusa vale 9 m. Calcular la longitud de la cuerda que corresponde a un ángulo central de 64º en una circunferencia de 4 cm de radio Hallar la longitud de la sombra de una árbol de 10 m de altura cuando los rayos del sol forman con la horizontal un ángulo de 15º Calcular la longitud de la sombra de un árbol de 18 m de altura cuando el ángulo que forman los rayos solares con el suelo es de 22º.
En el texto básico encontrara más especificaciones sobre el tema de la unidad 2.4 en las páginas 68 a la 85. Además por favor revisar los resúmenes de cada capitulo y resolver los ejercicios propuestos al final de cada unidad. Todos somos especiales. Hemos nacido capaces. El truco es descubrir para qué somos capaces. Por: Darcie D.
2. 5.
Más aplicaciones de los triángulos rectángulos
En esta unidad tenemos múltiples aplicaciones de los triangulo rectángulos por lo que pedimos se remita a la página 77 a la 85 para que refuerce los contenidos y además relace y compruebe los avances de su estudio.
Autoevaluación VII Para contestar esta autoevaluación consulte o remítase a la bibliografía complementaria que se recomienda o cualquier texto de trigonometría. ¿Quién descubrió, definió o usó por primera vez un Triángulo Rectángulo? ¿Qué teorema es el más usado en la práctica desde tiempos remotos? ¿Qué propiedad conoces sobre la bisectriz del ángulo recto y en qué se basa? ¿En que polígonos que conoces se puede y es conveniente aplicar el Teorema de Pitágoras? ¿En que cuerpos geométricos del espacio se puede aplicar el Teorema de Pitágoras?
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Hay dos clases de hombres: aquellos que duermen y sueñan de noche y aquellos que sueñan despiertos y de día...esos son peligrosos, porque no cederán hasta ver sus sueños convertidos en realidad. Por: Lawrence of Arabia
CAPÍTULO III MEDIDAS EN RADIANES Y FUNCIONES CIRCULARES 3.1.
Medidas en radianes
Así como los segmento se miden en pulgadas, centímetros o pies, los ángulos se miden comúnmente en grados o radianes. Definición: Medición en grados Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (360º). Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (10). El símbolo “°” denota grados. Definición: Medición en radianes Si el vértice de un ángulo θ está en el centro de un círculo de radio r>0, y la longitud del arco opuesto a θ en la circunferencia es s, entonces θ medido en radianes está dado por: θ = s radianes r
s r θ Un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que interseca un arco de la misma longitud que el radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en las mismas unidades. Además, θ se usa de dos maneras: para nombrar el ángulo y como medida del ángulo. Nota: La medida en radián es un número sin unidades, pues las unidades en que se miden la longitud del arco y el radio se eliminan, por tanto, queda un número sin unidades. Ejemplos para discusión: Halla en radianes la medida de un ángulo central θ opuesto a la longitud de un arco s de un círculo de radio r, donde s y r están dados a continuación: 1) s = 8 pulgadas; r = 4 pulgadas 2) s = 24 centímetros; r = 8 centímetros - Ejercicio de práctica: ¿Cuál es la medida de un ángulo central θ opuesto a un arco de 60 pies en un círculo de radio de 12 pies?
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Conversión entre grados y radianes: 180 grados = π radianes La conversión de grados a radianes y de radianes a grados está basada en que: Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos las siguientes fórmulas: Radianes a grados
Grados a radianes
180° θ π
π θ 180°
Usando la calculadora También podemos hacer la conversión de grados a radianes y de radianes a grados con la calculadora. Veamos los pasos a seguir dependiendo del tipo de calculadora. Para cambiar radianes a grados: Ejemplo: 5 radiates a grados Calculadora científica
Calculadora gráfica
- Seleccionar el modo “radianes” con la tecla [DRG]. - Entrar el número 5. - Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta obtener el modo de “grados”. - La respuesta es 286.50
- Seleccionar el modo “grados con las teclas [MODE],[ENTER],[Exit]. - Entrar al menú [Math]. - Elegir <Angle>. - Entrar el número 5. - Elegir <r> y oprimir [ENTER]. - La respuesta es 286.5°
Para cambiar grados a radianes: Ejemplo: 750 a radianes Calculadora científica
Calculadora gráfica
- Seleccionar el modo de “grados” con la tecla [DRG]. - Entrar el número 75. - Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta obtener el modo de “radianes”. - La respuesta es 1.31
- Seleccionar el modo ”radianes” con las teclas [MODE],[ENTER],[EXIT]. - Entrar al menú [Math] - Elegir <Angle> - Entrar el número 75. - Elegir <o> y oprimir [ENTER]. - La respuesta es 1.31
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Autoevaluación VIII Ejercicio de práctica: 1.
Determine si es verdadero o falso cada uno de los siguientes enunciados y justifique su respuesta:
(
)
(
)
2.
Realiza cada una de las siguientes operaciones
a) b) c)
50°7’6’’ + 18°31’42’’= Calcula 2/3 del ángulo 51°43’45’’ Dos ángulos son complementarios y uno es 1/5 del otro. Calcula la amplitud de los ángulos. Dos ángulos son suplementarios y su diferencia es de 14°. Calcula la amplitud de los ángulos.
d) 3.
En una circunferencia de radio 5, un radian es un ángulo mayor que un radian medido sobre la circunferencia de radio 1 La amplitud de un ángulo que es el triple del suplemento mide 20°
Cambia de radianes a grado:
a) 5 radianes b) 7 π 6 c) -5 π 12 4.
Cambia de grados a radianes:
a) 75° b) 150° c) -15°
5.
Cambia de radianes a grado:
a) b)
1 radian 17 π 10
6.
Cambia de grados a radianes:
a) 240° b) 2700
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7.
Completa la tabla a continuación: Radianes
Grados
π 6 π 4 π 3 90 120 3π 4 5π 6 π
180 210 225
4π 3 270 5π 3 315 Refuerce sus conocimientos en el texto básico donde, se encuentran algunos temas sobre la conversión de grados a radianes o viceversa, determinación de los valores de la función para ángulos en radianes, en las páginas 94,95, 96, y realice los ejercicios que están en las páginas 97, 98,99.
La categoría de vencido se obtiene después de haber luchado, y eso lo distingue del desertor y del cobarde. Sacado de una historia del Maki.
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3.2. Aplicaciones de medidas en radianes. Sobre la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
(0, R)
(0, R)
Una de las formas más difundidas de la Naturaleza es la circular. Casi todas las formas tienden a hacerse más o menos “redondeadas”. Cuando en matemáticas un conjunto de puntos tiene una propiedad común dicho conjunto se denomina lugar geométrico. El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro, que se denomina centro, es una circunferencia.
El segmento de recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia es el radio de la circunferencia. La porción de plano limitada por una circunferencia (incluida la misma) se denomina círculo y el centro de la circunferencia es el centro del círculo. Si dividimos la longitud entre el diámetro de la rueda obtenemos un valor que es independiente R del tamaño de la rueda. Es decir, cualquier rueda, del tamaño que sea, al dar una vuelta completa L = 2πR recorre un camino de una determinada longitud. Una rueda, al dar vuelta completa, Si dividimos dicha longitud entre el diámetro de describe una trayectoria cuya longitud la rueda siempre obtenemos el mismo valor. es el perímetro de la circuferencia de la rueda Sector circular
Sector circular de ángulo α. Se denomina sector circular al área de círculo comprendida entre un arco de circunferencia y sus respectivos radios delimitadores. La fórmula por la cual está dada dicha área es la siguiente:
A = r2 α 2
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Donde r es el radio de la circunferencia y α el ángulo en el que está comprendido el arco de circunferencia, expresado en radianes. La aplicación de medidas en radianes se muestra en el unidad número 3.2 del texto básico de las páginas 99 a la 107 donde se encuentran incluidos los ejercicios de aplicación, lo cual le pido los resulta, por cuanto son ejercicios que le ayudaran al entendimiento del tema . Los únicos errores que cometemos en la vida son las cosas que no hacemos. Por: Emma Thompson
3.3. El circulo unitario y las funciones circulares Las seis funciones circulares también llamadas funciones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Denotadas respectivamente por: sen x, cos x, tan x, cot x, sec x, y csc x. Definición: Si x es un número real y (a, b) son coordenadas del punto circular P(x), entonces las seis funciones circulares o trigonométricas se definen como: y
P(X) = (a,b) x
cos x = a sec x = sen x = b csc x = tan x = b, a ≠ 0 cot x = a
1, a≠0 a 1, b≠0 b a, b≠0 b
Con esta definición podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de los puntos: π π π π P 0 , P , P , P , P 6 4 3 2
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Autoevaluación IX Ejercicios para resolver: Evaluar las seis funciones trigonométricas para: 1) 2) 3)
P(0) : P(0) = (1, 0), donde a = 1 y b = 0 1 3 π π 1 3 P : P = , , donde a = , b = 2 2 2 3 3 3 π π P : P = ? 2 4
Ejercicio de práctica: Evalúa las seis funciones trigonométricas de: 1) 2)
π P 2 π P 6
El tema de funciones circulares lo podemos detallar e interiorizar de una manera más amplia en las páginas 108, 109,110, 111, 112. Del texto básico, y para un mayor domino del tema realice los ejercicios que están a continuación de las paginas antes indicadas. Debe desear todo hombre vivir para saber, y saber para bien vivir. Mateo Alemán (1547-1613) Novelista español.
3.4. Rapidez lineal y angular Velocidad tangencial y velocidad angular Si el móvil parte de A y da una vuelta completa, d = 2.p.r (Longitud de la circunferencia) y si da n vueltas. 2.p.r.n. Si este arco es descrito en un tiempo t. Vr = 2π.r.n = V; Unidades: cm/ seg t m/seg km/h
Esta velocidad se expresa simplemente como V que no es más que la velocidad debida al movimiento de traslación de la partícula. Velocidad Angular Se considera un objeto físico que describe circunferencias de centro O y radio r con MCU. Si en un intervalo de tiempo t el objeto físico pasa de la posición A a la posición B MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
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describiendo el arco AB y el radio r barre el ángulo α . Como tiene su vértice en el centro de la circunferencia, se cumple que la medida del ángulo α es igual a la medida del arco AB. Por consiguiente, si el objeto físico describe áreas iguales, se tendrá que el radio r barre ángulos iguales en tiempo iguales, por lo que se habla de una Velocidad Angular del objeto físico. Una característica que distingue a este tipo de movimientos es que el ángulo que recorre una partícula por unidad de tiempo es constante, por lo que su velocidad angular es constante.
La velocidad angular en un movimiento circular uniforme se mide por el cociente entre el ángulo recorrido por el radio y el tiempo empleado en barrerlo. Designando la velocidad angular por la letra griega ? (omega) se tiene ω = α t α=
Angulo recorrido por el radio.
t=
Tiempo empleado en recorrer dicho ángulo.
Interactividad
Diferencias entre la velocidad tangencial y la velocidad angular.
Relación entre el módulo de la Velocidad tangencial y la velocidad angular. Observe que la velocidad lineal es: V= 2π.r ω = 2π T ; como: T Es la velocidad angular, se concluye que: V = w. r. La rapidez tangencial de una partícula que describe circunferencias con MCU es igual al producto de la rapidez angular por el radio de la circunferencia descrita por la partícula. Ecuaciones de la rapidez angular y rapidez tangencial en función del período y la frecuencia. Las ecuaciones de la rapidez angular y rapidez tangencial de un MCU son respectivamente: ω= 2π t
;
V= 2π.r.n t
Si en cualquiera de estas ecuaciones se hace n = 1 vuelta se tendrá que t = T. Sustituyendo se obtiene las ecuaciones de la rapidez angular y rapidez tangencial en función del período T: ω= 2π V= 2π.r t ; t
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Como f = 1/ T, al sustituir se obtiene las ecuaciones de la rapidez angular y rapidez circular en función de la frecuencia f: w = 2p.f ; V = 2p.f.r
Autoevaluación X
Interactividad
Selecciona la respuesta correcta
Ejemplo 1 La rueda de un motor gira con rapidez angular w = 500 rad/seg. a) ¿Cuál es el período? b) ¿Cuál es la frecuencia? Ejemplo 2 Un estudiante de Física hace girar una pelota con MCU en un círculo de 50 cm. de radio. El círculo está a una altura de 2 m sobre el piso. Repentinamente la cuerda se rompe y la pelota sale despedida horizontalmente cayendo en el piso a una distancia de 10 m del punto donde se rompió la cuerda. ¿Con que rapidez angular estaba volando la pelota?
AUTOEVALUACIÓN 1.
Conceptualice los siguientes temas y defínalos brevemente: • • • •
2.
Triángulo rectángulo. Catetos e hipotenusa. Ángulos notables. Relaciones entre ángulos y lados.
Haga un cuadro sinóptico de: • Las funciones trigonométricas definidas en el círculo trigonométrico y de las definidas en un ángulo agudo del triángulo rectángulo.
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•
Establezca las diferencias y semejanzas, entre ellas.
El tema de funciones circulares lo podemos detallar e interiorizar de una manera más amplia en las páginas 116, 117,118, 119, 120. Del texto básico, y para un mayor domino del tema realice los ejercicios que están a continuación de las paginas antes indicadas.
La “vida fácil” suele ser la más difícil. Enrique Jardiel Poncela (1901-1952) Escritor español.
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S EGUNDO
BIMESTRE
OBJETIVOS ESPECÍFICOS •
Definir las graficas de las funciones circulares
•
Simplificar expresiones trigonométricas complicadas.
•
Resolver ecuaciones donde aparecen funciones trigonométricas.
•
Aplicar las fórmulas relativas a sumas, diferencias y múltiples.
•
Conocer las funciones trigonométricas inversas.
•
Demostrar identidades trigonométricas.
•
Resolver triángulos oblicuángulos.
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CONTENIDOS Capitulo IV: gráficas de funciones circulares 4.1: 4.2: 4.3: 4.4:
gráficas de funciones seno y coseno traslaciones de las gráficas de las funciones seno y coseno gráficas de las otras funciones circulares movimiento armónico
Capitulo V: identidades trigonométricas 5.1: 5.2: 5.3: 5.4: 5.5: 5.6:
identidades fundamentales comprobación de identidades trigonométricas identidades de suma y resta para el coseno identidades del seno y la tangente para la suma y la diferencia. identidades del ángulo doble. identidades de ángulos mitad.
Capitulo VI: funciones circulares inversas y ecuaciones 6.1: 6.2: 6.3: 6.4:
trigonométricas
funciones circulares inversas ecuaciones trigonometrìcas I ecuaciones trigonometrìcas II ecuaciones que implican funciones trigonométricas inversas.
Los sueños y la perseverancia son una poderosa combinación. WILLIAM LONGGOOD
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DESARROLLO DEL APRENDIZAJE CAPÍTULO IV GRÁFICAS DE FUNCIONES CIRCULARES 4.1: Gráficas de funciones seno y coseno Las funciones Seno y Coseno La función seno se define de la siguiente manera sen: R → R ,
sen x = S (x/π )
Se define la función coseno como cos: R → R,
cos x = C (x/π )
Ambas, funciones cumplen las siguientes propiedades x, y ∈ R
Teorema 18 Para se tiene: 1.
Identidad pitagórica: cos2 x + sen2 x = 1
2.
cos (x+y) = cos x cos y - sen x sen y, sen (x+y)= senx sen y + sen y cos x
3.
cos (π/2 + x) = - sen x, sen (π/2 + x) = C (x)
4.
cos (π/2 - x) = sen x, sen (π/2 - x ) = cos x
5.
cos (x + π) = - cos x, sen (x + π) = - sen x,
6.
Las funciones seno y coseno son periódicas de período 2π.
7.
Ambas funciones son continuas, y además cumplen
8.
lim x→0
9. 10.
senx 1 - cos x = 1, lim =α x→0 x x
Las funciones seno y coseno son derivables, y además d d senx = cos x, cos x = -senx dx dx
Prueba La prueba de estos puntos es una consecuencia directa de las propiedades de las funciones S y C, y queda como ejercicio para el lector.
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Note que las gráficas de las funciones seno y coseno son dilataciones, en el eje , de las de las funciones y respectivamente. A continuación se presentan las gráficas de estas funciones. Gráfica de la función seno
Gráfica de la función coseno
Tomando como base el método de exhausión de Arquímedes y haciendo uso de elementos del análisis, se ha logrado construir las Funciones Trigonométricas seno y coseno, y a la vez se ha demostrado una serie de propiedades de estas funciones, concluyendo con su graficación. Esperamos que estas notas sean de utilidad para el lector, en cuanto al análisis y aplicación de la teoría de funciones trigonométricas. En esta unidad para reforzar nuestros conocimientos vamos ha estudiar los contenidos que se encuentran en le texto básico de la pagina 132 a la 145, donde se incluyen ejercicios y algunos ejemplos resueltos, por lo que pedimos no los pase por alto.
La vida carece de valor si no nos produce satisfacciones. Entre éstas, la más valiosa es la sociedad racional, que ilustra la mente, suaviza el temperamento, alegra el ánimo y promueve la salud. Thomas Jefferson (1743-1826) Político Estadounidense 4.2. Traslaciones de las gráficas de las funciones seno y coseno Traslaciones: Traslaciones horizontales: la función se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda sobre el eje OX T. Horizontal. (EJEMPLO: y = 2 (x-3)2...se interpreta. Como que se desplaza a la derecha por el (-) y Como esta al cuadrado quiere decir que es una t. Horizontal. Si fuera +3 seria traslación a la izquierda.)
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Traslaciones verticales: la función se desplaza hacia arriba o hacia abajo sobre el eje OY. T. vertical. (EJEMPLO: y = 2 (x-3) +5...el +5 quiere Decir que la traslación es el eje vertical. Y el 2 nos dice si Es más abierta o más cerrada. Ambas traslaciones: Se traslada en el eje OX y en el OY Hacia abajo y desplazada hacia la derecha. Traslación horizontal.......... (-) a la derecha (+) a la izquierda Traslación vertical.............. (-) hacia arriba (+) hacia abajo No olvidar las igualdades notables. (x + y) (2) al cuadrado:...Cuadrado del primero más cuadrado del segundo, más el doble del primero por el segundo. (x+Y)(2) al cuadrado:...Cuadrado del primero más cuadrado del segundo, menos el doble del primero por el segundo. La unidad de traslaciones del seno y coseno se encuentra en las páginas 146 a la 154, incluidos los ejercicios propuestos los mismos que ayudarán una mejor comprensión del tema. Si no se tomara la vida como una misión, dejaría de ser vida para convertirse en infierno. Leon Tolstoi (1828-1910) Escritor ruso.
4.3.
Gráficas de las otras funciones circulares
El seno y su inversa: Características de y = sen x: Función seno: función real de variable real Dominio: Dom(sen(x))=R Rango: [-1,1] Paridad: sen x = - sen(-x) [función impar] La cosecante: y= cosec x = 1/sen x Función cosecante: Función real de variable real: Dominio: Dom(cosec(x))= RRango: R - (-1, 1) Paridad: cosec x = -cosec(-x) [función impar]
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Gráficas:
El coseno y su inversa: Características de y = cos x: Función coseno: función real de variable real Dominio: Dom(cos(x))=R Rango: [-1,1] Paridad: cos x = cos(-x) [función par] La secante: y= sec x = 1/cos x Función secante: Función real de variable real: R → R 2n - 1 πΛn ∈ N - 0 Dominio: Dom(sec(x))=R- ± n Rango: R - (-1, 1) Paridad: sec x = sec(-x) [función par]
{}
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Gráficas:
La tangente y su inversa: Características de y = tg x: Función tangente: función real de variable real tg: R → R 2n - 1 Dominio: Dom(tg(x))=R- ± πΛn ∈ N - 0 n Rango: R Paridad: tg x = - tg(-x) [función impar]
{}
La cotangente: y= ctg x = 1/tg x Función cotangente: Función real de variable real: ctg: R → R Dominio: Dom(ctg(x))= {± nπ ^ n ∈ N - {o}} Rango: R Paridad: ctg x = - ctg(-x) [función impar]
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Gráficas:
Para ampliara y reforzar sus conocimientos, por favor revise los contenidos de la página 155 a la 168, donde se incluyen ejemplos y ejercicios prácticos que le ayudaran en la comprensión de sus conocimientos.
Vivimos mientras nos renovamos. Henry F. Amiel (1821-1881) Escritor suizo.
4.4. Movimiento armónico El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.
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Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja. Es también, por ejemplo, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda. FIGURA 1: En ella pueden verse lo que significa cada una de las variables que hemos definido. Movimiento armónico simple
A Y ω.t Φo
Yo 0
A Y = elongación
Representa la distancia que separa a la partícula vibrante de la posición de equilibrio en cualquier instante. Físicamente, la elongación representa el estado de vibración de la partícula en cualquier instante.
A = amplitud
Representa el máximo valor que puede tomar la elongación.
Fo = fase inicial
Representa la posición angular de la partícula para t = 0 en el m.c.u. auxiliar.
w = pulsación
Representa la velocidad angular del m.c.u. auxiliar. Es una constante del m.a.s.
F = w.t + Fo fase
Representa la posición angular de la partícula, en el m.c.u. auxiliar, para tiempo t.
La elongación de la partícula para un tiempo t viene dada por el seno del ángulo que nos da la posición de la partícula del m.c.u. y = A.sen(ω.t + Φo)
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Esta expresión recibe el nombre de ecuación general del m.a.s. Como puede verse, la elongación es una función periódica del tiempo y el máximo valor que puede tomar es A (la amplitud), ya que el valor del seno oscila entre los valores +1 y -1. Al igual que en cualquier otro movimiento, la velocidad de una partícula sometida a un m.a.s. vendrá dada por la derivada con respecto al tiempo de la función y v = dy/dt = A.ω cos (ω.t + Φo) donde observamos que la velocidad es también función periódica del tiempo y que, al aparecer un coseno, la velocidad toma su máximo valor cuando la fase es cero. Por otra parte cuando, la partícula se encuentre en los extremos el ángulo de fase es 90º y 270º, por ello la velocidad es nula. Esta unidad es una aplicación de las funciones trigonometrìcas en la física, para lo cual le recomiendo estudie los contenidos de la página 168 a la 172, en donde se encuentra ejemplos y ejercicios para desarrollar su habilidad para resolver problemas de la vida real.
Autoevaluación XI •
• • • • • •
• • •
Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento varía de acuerdo con la expresión x=5 cos(2t+π /6) . Donde x está en cm y t en s. En t=0 encuentre el desplazamiento, su velocidad, su aceleración. Determinar el periodo y la amplitud del movimiento Componer los siguientes MAS: x1=2sen(ωt+5π/4) e x2=5sen(ωt+5π/3) Una partícula de 300 g de masa está unida a un muelle elástico de constante k=43.2 N/m y describe un movimiento armónico simple de 20 cm de amplitud. Sabiendo que en el instante t=0 se encuentra a 10 cm del origen moviéndose hacia la izquierda, determinar: Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Las energías potencial, cinética y total en el instante inicial y en cualquier instante. Valores de t en los que la partícula pasa por el origen.
Alégrate de la vida porque ella te da la oportunidad de amar, de trabajar, de jugar y de mirar a las estrellas.
Henry Van Dyke (1852-1933) Escritor estadounidense
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CAPÍTULO V IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 5.1. Identidades fundamentales Si P = (a,b) es el punto sobre el círculo unitario correspondiente a , entonces, sen θ = b cos θ = a sen θ = b , si a ≠ 0 a
csc θ = 1 , si b ≠ 0 sec θ = 1 , si a ≠ 0 cot θ = a , si b ≠ 0 b a b Tenemos entonces las identidades recíprocas: IDENTIDADES csc θ = 1 RECIPROCAS sen θ
sec θ = 1 cos θ
cot θ = 1 tan θ (2)
Dos otras identidades fundamentales sencillas son las identidades de cociente: tan θ = sen θ IDENTIDADES cos θ DE COCIENTE
tan θ = cos θ sen θ
(3)
Las siguientes identidades fundamentales son:
sen2 θ + cos2 θ = 1 tan2 θ + 1 = sec2 θ 1 + cot2 θ = csc2 θ
Propiedad par e impar Recuerde que la función f es par si f (-θ ) = f ( θ) para toda θ en el dominio de f; una función f es impar si f (-θ) = -f (θ) para toda θ en el dominio de f. Mostraremos ahora que las funciones trigonométricas seno, tangente cotangente y cosecante son funciones impares, mientras que las funciones coseno y secante son funciones pares. sen(-θ) = -sen θ csc(-θ) = -csc θ
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cos(-θ) = cos θ sec(-θ) = sec θ
tan(-θ) = -tan θ cot(-θ) = -cot θ
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En las identidades trigonometrìcas, le sugiere poner total atención ya que son temas un poco complejos, pero que reflejan en si el estudio y el entendimiento de toda la materia, para lo cual le recomiendo revisar los contenidos del texto básico en las páginas 182 a la 188, donde se incluyen ejercicios prácticos. Hay una ley de vida, cruel y exacta, que afirma que uno debe crecer o, en caso contrario, pagar más por seguir siendo el mismo. Norman Mailer (1923-?) Escritor estadounidense.
5.2. Comprobación de identidades trigonométricas. Recíprocas: A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas de ángulos en posición canónica, deducimos cos θ =
1. 2.
1 1 1 , sec θ = , cot θ = senθ cos θ tan θ
Igualmente, teniendo en cuenta las definiciones dadas: tan θ =
senθ cos θ , cot θ = cos θ senθ
Identidades Pitagóricas: a.
sen2 t + cos2 t = 1
Recordamos que si es un punto que está en el lado final de un ángulo en posición canónica y r = x 2 + y 2
sent =
y x , cos t r r
Entonces: sen 2 t + cos2 t =
= =
y2 r2
+
x2 r2
y2 + x 2 r
2
r2
r2 =1
b.
Se obtiene dividiendo , por sen2 t + cos2 t = 1, por cos2 t
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1 + tan2 t = sec2 t
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1 + cot2 θ = csc2 θ
c.
Si se divide la igualdad: , por sen2 θ + cos2 θ = 1 , por sen2 θ
1+
cos2 θ sen θ 2
=
1 sen 2 θ
1 + cot 2 θ = csc 2 θ A partir de estas identidades es posible obtener otras más complejas. No hay realmente un método especial para demostrar que una igualdad es una identidad, pero en general se aconseja iniciar con el lado que parezca más complejo y hacer las transformaciones que se considere adecuadas, para obtener la expresión del otro extremo de la igualdad. No es bueno transformar los dos extremos simultáneamente por que se estaría suponiendo que la igualdad es verdadera. En comprobación de identidades trigonometrìcas, le sugiere poner total atención ya que son temas un poco complejos, pero que reflejan en si el estudio y el entendimiento de toda la materia, para lo cual le recomiendo revisar los contenidos del texto básico en las páginas 188 a la 196, donde se incluyen ejercicios prácticos.
Autoevaluación XII Ejercicio 1. Haciendo uso de las identidades fundamentales encuentre los valores de las 3 funciones trigonométricas del ángulo θ si: y tan θ = - ysenθ > 0 4 En los siguientes ejemplos vamos a demostrar algunas identidades trigonométricas: Ejercicio 2. cos θ - sen θ = cot θ cos θ Ejercicio 3. tan t + 2 cos t csc t = sec t csc t + cot t Ejercicio 4. (sec u - tan u) (csc u + 1) = cot u Ejercicio 5. sen4 r - cos4 r = sen2 r - cos2r Ejercicio 6.
1 1 + = 2 csc 2 v 1 - cos v 1 + cos v ¿Por qué contentarnos con vivir a rastras cuando sentimos el anhelo de volar? Helen Adams Keller (1880-1968) Escritora y conferenciante estadounidense.
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5.3. Identidades de suma y resta para el coseno En ocasiones se encuentran expresiones de la forma: cos (α+β), sen (α- β),.., y es importante poder escribirlas directamente en términos de sen α, sen β, cos α, cos β Mediante construcciones geométricas, la definición de distancia y el uso de la identidades fundamentales se puede demostrar que cos (α - β ) = cos αcos β + sen α sen β,
y a partir de ella, determinar el valor del coseno de la suma y otros resultados. Las igualdades son válidas para cualquier tipo de ángulos y su medida puede estar dada en grados sexagesimales o en radianes. Así: La fórmula para determinar el coseno de la suma se encuentra a partir de la anterior, expresando a como : s + t como s - (-t):
cos (s + t) = cos (s-(-t)) = cos s cos (-t) + sen s sen (-t)
Teniendo en cuenta que y que : cos (-t) = cos t y que sen (-t) = - sen t
cos (s + t) = cos s cos t - sen s sen t
Usando estas identidades podemos hallar el seno y el coseno del complemento de un ángulo: π π π cos - α = cos cos α + sen senα 2 2 2
Como cos
π π = 0ysen = 1 2 2
π cos - α = senα 2 π π cos α = cos - - α 2 2 π π π π cos α = cos cos - α + sen sen - α 2 2 2 2 π cos α = sen - α 2
Conclusión: El seno de un ángulo es el coseno de su complemento y el coseno de un ángulo es el seno de su complemento.
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Haciendo uso de este resultado podemos encontrar el seno de la suma y de la diferencia de dos ángulos.
π π sen(α + β) = cos - (α + β) = cos - α - β 2 2
Se utiliza la identidad para el coseno de la diferencia:
π π sen(α + β) = cos - α = cosβ + sen - α senβ 2 2
Nuevamente a partir de la conclusión encontrada:
sen (α+ β) = sen α cos β + cosα senβ
Mediante un razonamiento similar al que se hizo para el caso del coseno se puede hallar el seno de la diferencia: sen (α+ β) = sen (α +(- β)) = sen α cos(-β) + cos α sen (-β)
sen (α+ β) = sen α cosβ- sen β cos α
tan (α ± β) se obtiene haciendo uso de la identidad tan t = sen t cos t tan (α + β) = tan α + tan β 1- tanα tanβ tan (α + β) = tan α - tan β 1+ tanα tanβ En las identidades trigonometrìcas de suma y resta para el coseno, le sugiere poner total atención para lo cual le recomiendo revisar los contenidos del texto básico en las páginas 197 a la 204, donde se incluyen ejercicios prácticos.
Autoevaluación XIII Ejercicio 1: Como 11 π = 2π + π . A partir de los valores de seno y coseno de 2π y 12 3 4 3 π , se puede hallar , y sen 11 π cos 11 π y tan (π/12) 4 12 12
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Ejercicio 2 : Si α es un ángulo en el primer cuadrante con cos α = 4 y β es un ángulo 5 en el segundo cuadrante con sen β= 12 . Evalúe , y . Determine el cuadrante de . 13
Ejercicio 3: Si α es un ángulo de segundo cuadrante y β es un ángulo de tercer cuadrante, con cos α = cos β = α - β.
3 7
, calcule y sen ( α - β ) y cos (α - β ) determine el cuadrante para
La vida cobra sentido cuando se hace de ella una aspiración a no renunciar a nada. José Ortega y Gasset (1883-1955) Filósofo y ensayista español
5.4. Identidades del seno y la tangente para la suma y la diferencia. En la unidad anterior hicimos un estudios sobre estas identidades, debido que tiene una secuencia lógica, por lo que le pido de favor ponga mucha atención sobre como se obtiene dichas formulas. Para reforzar estos temas remítase a las páginas desde la 205 a la 212 donde encuentran conceptos más detallados y ejemplos resueltos para guiarse en la resolución de ejercicios que constan en las páginas antes mencionadas
Autoevaluación XIV 1.
Realice un cuado sinóptico sobre las formulas de identidad de la suma y la resta del seno y la tangente.
2.
defina con palabras cada una de las formulas de esta unidad.
Para realizar esta actividad remítase a las páginas 205, 206, 207, 208. No hay cosa que los humanos traten de conservar tanto, ni que administren tan mal, como su propia vida. Marco Tulio Cicerón (106 AC-43 AC) Escritor, orador y político romano.
5.5: Identidades del ángulo doble. A partir de las fórmulas del seno y coseno para la suma de dos ángulos se pueden encontrar fórmulas para calcular los valores de seno y coseno del doble de un ángulo:
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sen 2t = 2sen t cos t cos 2t = cos2 t - sen2 t La Universidad Católica de Loja
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tan 2t =
2 tan t 1- tan2 t
Para demostrar estas afirmaciones, se toma respectivas:
2t = t + t, y se aplican las fórmulas
sen 2t = sen (t +t) sen t cost + cost sent = 2 sent cost cos 2t = cos (t +t) cos t cost + sent sent = cos2 t - sen2t tan 2t = tan (t +t) = tan t + tan t = 2 tan t 1- tan t tan t 1 + tan2 t Para reforzar estos temas remítase a las páginas desde la 212 a la 220 donde encuentran conceptos más detallados y ejemplos resueltos para guiarse en la resolución de ejercicios que constan en las páginas antes mencionadas.
Autoevaluación XV En cada uno de los siguientes ejercicio hallaremos: , , , haciendo uso de la información dada. Ejercicio 1 sen θ = - 4 : 270˚ ≤ θ ≥ 360° ; 5 Ejercicio 2 sec θ = - 3 ; 180˚ < θ < 270°;
Si el hombre no ha descubierto nada por lo que morir, no es digno de vivir. Martin Luther King (1929-1968) Religioso estadounidense.
5.6. Identidades de ángulos mitad. Para determinar las funciones trigonométricas del ángulo mitad, hagamos α = β
2
Sabemos que: cos 2α= cos αsen α cos 2α = 1 - sen2 α sen2 α cos 2α = 1 - 2 sen2 α 2
reemplazando α = β
2
2
obtenemos
cos 2. β = 1 - 2 sen2 β 2 2
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despejando: 2 sen2 β = 1 - cos β � 2
sen
β 1 - cosβ = 2 2
consideremos ahora que cos 2α = cos2 α - sen 2 α cos 2α = s cos2 α - (1 - cos2 α) cos 2α = 2 cos2 α - 1 entonces cosβ = 2 cos2
β -1 2
despejando cos2
cos
β 1 + cosβ = 2 2
β 1 + cosβ = 2 2
Por último, ya que las otras las puedes determinar tú, trabajaremos con la identidad t gα =
senα cos α
reemplazando α = β tg = 2
β 2
obtenemos
β 2 β cos 2
sen
o sea
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tg
β 1 - cosβ = 2 1 + cosβ
Para reforzar estos temas remítase a las páginas desde la 221 a la 226 donde encuentran ejemplos resueltos para guiarse en la resolución de ejercicios que constan en las páginas antes mencionadas
Autoevaluación XVI Ejercicios: 4 , calculemos sen2α, cos 2α, tg2α 5
1.
Si senα =
sen2α= 2 sen α cos α
2.
Si
sen
β 1 β = , calculemos sen 2 4 2
Cuando la vida te presente razones para llorar, demuéstrale que tienes mil y una razones para reír. Anónimo
CAPÍTULO VI FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 6.1. Funciones circulares inversas El seno, en [-π/2, π/2] es monótona creciente, entonces podemos definir el inverso de la función seno restringida al intervalo [-π/2, π/2] . Análogamente podemos considerar la función coseno en el intervalo [0, π] La tangente en [-π/2, π/2] obtenemos una función creciente cuya inversa estará definida en todo R. Así tendremos las siguientes definiciones:
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1.
Función arcoseno.
π π ƒ : [-1,1] → R, ƒ (x) = arcsen x. El arcoseno se define como el único y ∈ - , tal que 2 2 sin y = x. La imagen del arcoseno es el intervalo . - π , π 2 2 2.
Función arcocoseno.
ƒ : [-1,1] → R, ƒ (x) = arcsen x. El arcocoseno se define como el único y ∈ [0,π] tal que cos y = x. La imagen del arcocoseno es el intervalo [0,π]. 1.5
3
1
2.5 2
0.5 -1
-0.5-0.5
0.5
1.5
1
1
-1
0.5
-1,5
-1
-0.5
0.5
1
Figura: Funciones arcoseno ƒ(x) = arccos x y arcocoseno ƒ(x) = arccos x
3.
Función arcotangente.
ƒ : R → R, ƒ (x) = arctan x. La arcotangente se define como el único y ∈ - π , π tal que 2 2 tan y = x. La imagen de la arcotangente es el intervalo - π , π . 2 2 1.5
1.5
1
1
0.5 -1
-0.5-0.5
0.5 0.5
1
-10
-0.5 -0.5
-1
-1
-1,5
-1,5
0.5
10
Figura: Funciones arcotangente y arcocotangente: ƒ (x) = arctan x, arcctg x Para construir las correspondientes gráficas basta usar el método descrito anteriormente. Como ejemplo lo mostraremos para la función inversa del seno (figura 17) y del coseno (figura 18)
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Figura 17: Construcción de la función inversa del seno. De manera análoga podemos definir las funciones inversas de la ctg x, f-1 (x)=arcctg x, sec x, f-1 (x) = arcsec x y de la cosec x, f-1 (x) = arccosec x.
Figura 18: Construcción de la función inversa del coseno. Para reforzar sus conocimientos por favor remítase a las páginas 236 a la 245 , donde encontrara ejercicio y ejemplos resueltos que le ayudaran en el aprendizaje del tema de Funciones inversas.
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La vida exige a todo individuo una contribución y depende del individuo descubrir en qué consiste. Viktor Frankl (1905-1997) Psiquiatra y psicoterapeuta austriaco.
6.2. Ecuaciones trigonométricas Una ecuación trigonométrica es una expresión que siempre tiene la incógnita como parte del argumento, el “ángulo”. En este tipo de ecuaciones, se trata de hallar el o los ángulos que satisfacen la igualdad propuesta. Al resolver una ecuación de este tipo, debemos tener en cuenta la periocidad de las funciones, para dar las soluciones generales. Algunas observaciones importantes: 1) 2) 3)
4) 5) 6) 7)
La ecuación trigonométrica se expresa en términos de un mismo ángulo. Se debe expresar la ecuación en términos de una misma función trigonométrica. En caso de no poder expresar la ecuación en una misma función se debe tratar de factorizar y expresar en producto para aplicar el teorema del producto igual a cero. Se resuelve algebraicamente la ecuación, considerando como incógnita la función que aparece en la ecuación. Si se elevan cuadrados o se quitan denominadores deben probarse las soluciones y descartar aquellos valores que no los satisfacen.+ Se debe tener presente que – 1 ≤ sen x ≤ 1 y – 1 ≤ cos x ≤ 1 Algunas soluciones particulares de ángulos son α, π - α , π + α, -α
Autoevaluación XVII
Resuelva las siguientes ecuaciones a) b) c)
( sen x ) ( tan x ) = sen x tan x + 3 cot x = 4 sen x + cos x = 0 En la vida no hay clases para principiantes; en seguida exigen de uno lo más difícil. Rainer María Rilke (1875-1926) Escritor austríaco.
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6.3. Ecuaciones trigonométricas II El tema de las ecuaciones dos se encuentra en las paginas 256 a la 262, donde se encuentra conceptos, ejemplos desarrollados que le orientaran en la resolución de ejercicios que se encuentran en la misma unidad.
Autoevaluación XVIII
a) c) e)
2 sen2 t – cos t – 1 = 0 Cos 2x = cos x sen 2x + cos x = 0
b) 2 cos2 x + 5 sen x = 4 d) cos3 x – 2 cos2 x + cos x – 2 = 0 f) 2 sen 2x . cos x – 3 sen x = 0
El regalo más grande que le puedes dar a los demás es el ejemplo de tu propia vida.
6.4. Ecuaciones que implican funciones trigonométricas inversas.Funciones Trigonométricas Inversas
π/2, si x > 0 arctan(x) + arctan(1/x) = -π/2, si x < 0 x+y arctan(x) + arctan(y) = arctan 1 - xy sin 2 (arccos(x)) = 1 - x 2 cos2 (arcsin(x)) = 1 - x 2 sin 2 (arctan(x)) =
cos2 (arctan(x) =
x2 1 + x2 1 1 + x2
Para reforzar sus conocimientos por favor remítase a las páginas 262 a la 268, donde encontrara ejercicio y ejemplos resueltos que le ayudaran en el aprendizaje del tema de Funciones inversas.
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Autoevaluación XIX
Ejemplos: a. arc sen 0 = 0 pues sen 0 = 0 1 π π 1 b. arc sen ( )= pues sen ( ) = 4 4 2 2 -1 -π -π -1 c. arc sen ( ) = pues sen ( ) = 2 3 3 2 3 π π 3 d. arc sen ( )= pues sen ( ) = 2 6 6 2 Ejemplos: a.
arc cos (-1) = π pues cos π = -1
-3 5π 5π - 3 )= pues cos ( ) = 2 6 6 2 π 5π π c. arc cos ( ) = pues cos ( ) = 0 2 6 2 1 π π 1 arc cos = pues cos ( ) = 2 3 3 2 Ejemplos b.
arc cos (
π π pues tan =1 4 4 b. arc tan 0 = 0 pues tan 0 = 0 -1 -π -π -1 c. arc tan 3 = ( )= pues tan ( )=( ) 6 6 6 3 Ejemplos: π π a. arc cot 1 = pues cot =1 4 4 π π b. arc cot 0 = pues cot =0 2 2 π π c. arc cot 3 = pues cot ( ) = 3 6 6 Ejemplos : a.
arc tan 1 =
a.
arc csec
b. c.
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π π 2 pues sec = 6 4 3 3 arc csec -1 = π pues sec π = -1 π π arc csec 2 = pues sec ( ) = 2 3 3
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2
=
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Ejemplos: a. b. c. d.
π π 2 pues sec = 6 6 3 3 -π -π arc ccsc -1 = pues csc = -1 2 2 π π arc ccsc 2 = pues csc = 2 4 4 -5π -5π arc ccsc -2 = pues csc ( ) = -2 6 6 arc ccsc
2
=
SOLUCIONARIO Autoevaluación 1 1. Realice un resumen sobre la terminología básica que se emplea en los ángulos 2.- ¿Cómo se forman los ángulos suplementarios y complementarios? 3.- ¿A qué se denomina ángulos coterminales? Para realizar esta actividad primero interiorice los conceptos que se encuentran en la página 2, 3, 4, 5. Y después aplique los conocimientos que aprendió en metodología de estudio.
AUTOEVALUCIÓN 2
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Para responder a esta pregunta utilice su análisis y creatividad ya que los contenidos de este tema los explicamos en la guía y en el texto desde la página 9 a la 14.
AUTOEVALUCIÓN 3 1.
∠ θ P(-3, 4)
OP = (-3)2 + 4 2 (aplicando la fórmula de la distancia). ⇒ OP = 9 + 16 = 25. ∴ OP = 5 Se tiene entonces r = 5, x = -3, y = 4 Sustituyendo estos valores en las fórmulas para las funciones trigonométricas se obtiene: 4 3 4 senθ = cosθ = - tanθ = 5 5 3 2 5 5 cotθ = - secθ = - cscθ = - 4 3 4 2.
∠ θ P(5, -1)
OP = (-1)2 + 5 2 (aplicando la fórmula de la distancia). ⇒ OP = 1 + 25 ∴ OP = 26 Se tiene entonces r = 26, x = 5, y = -1 Sustituyendo estos valores en las fórmulas para las funciones trigonométricas se obtiene: senθ = -
1 26 5 5 26 1 = cosθ = = tanθ = 26 26 5 26 26
5 26 26 cotθ = - = -5 secθ = cscθ = = - 26 1 5 -1 AUTOEVALUCIÓN 4 1. Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitágoras. Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones por medio sus respectivas definiciones:
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a=5: hipotenusa b=3: cateto c=?: cateto c2 = a2-b2 = 52 - 32 = 25 -9 ⇒ c2 = 16 ⇒ c = √16; ∴ c = 4.
C a=5 b=3 B
A
c=4
Como a menor lado se opone menor ángulo, es obvio, de acuerdo con lo que se pide en el presente ejercicio, que debemos calcular las razones trigonométricas del ∠ B:
3 4 sen B = = 0.6 cos B = = 0.8 5 5 3 4 tan B = = 0.75 cot B = = 1.33 4 3 5 5 sec B = = 1.25 csc B = = 1.67 4 3 2.
Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras; luego, calculamos las razones trigonométricas, a partir de sus respectivas definiciones y con los datos dados y obtenidos:
b=8: cateto c=15: cateto a=?: hipotenusa a2= b2 + c2 = 82 + 152 ⇒ a2 = 64 + 225 = 289; ∴ a = √289 = 17.
C a=17 b=8 B
A
c=15
“ A mayor lado se opone mayor ángulo”; por ende , debemos calcular las razones trigonométricas del ángulo C;
17 17 = 0.88235 sec C = = 2.125 15 8 8 8 cos C = = 0.47059 cot C = = 0.53 17 15 15 17 tan C = = 1.875 csc C = = 1.13 8 15
sen C =
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4.
∠ θ = 124° : 124° ∈ (90°, 180°): por lo tanto, el lado terminal del ángulo se encuentra en el segundo cuadrante; y de acuerdo con la tabla, los signos de las seis funciones trigonométricas en el segundo cuadrante, y por ende para θ = 124°, son: seno: positivo coseno: negativo tangente: negativo cotagente: negativo secante: negativo cosecante: positivo.
5.
∠ θ = 201° : 201° ∈ (180°, 270°): por lo tanto, el lado terminal del ángulo se encuentra en el tercer cuadrante; y, de acuerdo con la tabla, los signos de las seis funciones trigonométricas en el tercer cuadrante, y por ende para θ = 201°, son: seno: negativo coseno: negativo tangente: positivo cotagente: positivo secante: negativo cosecante: negativo.
6.
∠ θ = 666° : 666° = 360° + 306° (el lado terminal gira una vuelta completa y luego 306° más) 306° ∈ (270°, 360°): por lo tanto, el lado terminal del ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante; y, de acuerdo con la tabla, los signos de las seis funciones trigonométricas en el cuarto cuadrante, y por ende para θ = 666°, son: seno: negativo coseno: positivo tangente: negativo cotagente: negativo secante: positivo cosecante: negativo.
Terminado este capitulo le pido reforzar sus conocimientos con los contenidos del texto básico desde la página 20 hasta la 36, ya que el unidad 3 y 4 se relacionan por favor realice los ejercicios que constan en cada unidad, para comprobar nuestros avances cognitivos, además resuelva los ejercicios del resumen del capitulo 1 el resumen.
AUTOEVALUACIÓN 6 Para resolver estos ejercidos por favor remítase a las formulas de resolución de triángulos rectángulo que se encuentra en las páginas 68 a la 72 de texto básico.
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AUTOEVALUACIÓN 7 Para contestar esta autoevaluación consulte o remítase a la bibliografía complementaria que se recomienda o cualquier texto de trigonometría.
AUTOEVALUACIÓN 8 Esta evolución costa de ejercicio donde debe aplicar la formula de transformación de radianes a grados y viceversa existen ejemplos ilustrativos para su realización, debido a su aplicabilidad y comodidad de resolución le pedimos aplique su destreza de interpretación y resolución de problemas.
AUTOEVALUACIÓN 9 Ejercicios para resolver: Evaluar las seis funciones trigonométricas para: 1)
P(0) : P(0) = (1, 0), donde a = 1 y b = 0
2.
π π 1 3 1 3 , donde a = , b = P ; P = , 2 2 3 3 2 2
3.
π π P : P = ? 4 4
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AUTOEVALUCIÓN 10
Interactividad
Selecciona la respuesta correcta
Ejemplo 1 La rueda de un motor gira con rapidez angular w = 500 rad/seg. a) ¿Cuál es el período? b) ¿Cuál es la frecuencia? Solución: a)
La velocidad angular en función del período es:
ω=
2π 2π → T= T ω
T=
2.3,14 rad 500 rad / seg
T= 1,25 x 10 -2 seg
b) La frecuencia es el inverso del período. f=
1 1 = T 1, 25x10-2
f = 79,6 seg -1 = 19, 6rev/ seg
Ejemplo 2 Un estudiante de Física hace girar una pelota con MCU en un círculo de 50 cm. de radio. El círculo está a una altura de 2 m sobre el piso. Repentinamente la cuerda se rompe y la pelota sale despedida horizontalmente cayendo en el piso a una distancia de 10 m del punto donde se rompió la cuerda. ¿Con que rapidez angular estaba volando la pelota? Solución: El estudiante debe notar que la pelota experimenta dos tipos de movimientos, primero un movimiento circular uniforme y luego un movimiento de proyectiles. El origen del sistema de referencia se escoge en el punto cero.
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Para obtener la rapidez angular con que rota la pelota se usa la ecuación
w=
V ; (Ec.1) r
Donde: V es la rapidez tangencial con que se mueve la pelota mientras gira (que es la misma rapidez con que sale despedida cuando se rompe la cuerda) . r es el Radio de la trayectoria Circular. Para obtener V se usa el hecho de que la piedra experimenta también un movimiento parabólico
X = X0 + V0x
X = Y0 V0 x t - 1/ 2g.t 2 con X0 = 0; Y0 = 2m; V0x = V; V0y = 0
t
Donde Al tomar Y = 0 la pelota toca el piso y al despejar el tiempo de la ecuación: t=
2.Y0 G
= 0, 6 seg
(Tiempo que tarda la pelota en tocar el piso desde que se rompió la cuerda.) Si se sustituye este tiempo en la Ec.2 y si se toma x= 10 m se tiene que:
V = V0 x =
Luego por la Ec.1:
x t
V=
w=
10m = 16, 7 m/seg 0, 6seg
V= 16,7 m/seg
V ; (Ec.1)= 33,4 Rad/Seg = 33,4 Seg-1 r
Autoevaluación del Capitulo
Para realizar esta autoevaluación revise todos los conceptos de la unidad, ya que son teóricos y muy necesarios, para reforzar su conocimiento, le sugiero las realice de una manera conciente.
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AUTOEVALUACIÓN 11 Para resolver este ejercicio por favor remítase a l texto básico en la página 168 a 170
AUTOEVALUACIÓN 12 Ejercicio. Haciendo uso de las identidades fundamentales encuentre los valores de las funciones trigonométricas del ángulo θ si: y tan θ = -
3 y sen θ > 0 4
Solución: 1 tan θ 4 cot θ = -3 sec 2 θ = 1 + tan 2 θ 9 sec 2 θ = 1 + 16 25 2 sec θ = 16 25 sec θ = ± 16 cot θ =
Como la tangente es negativa y el seno positivo θ, está en el segundo cuadrante, por lo tanto la secante es negativa. sec θ = - 5 4 Esto nos permite concluir que: cos θ = - 4 5 Haciendo uso de la identidad : 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 16 = csc 2 θ 9 25 csc 2 θ = 9 25 cscθ = 9 Como senθ > 0
1+
Entonces: cscθ =
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5 3
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En los siguientes ejemplos vamos a demostrar algunas identidades trigonométricas: Ejercicio 2. cscθ - senθ = cotθ cosθ Solución: 1 -senθ senθ 1-sen 2θ = senθ cos2θ = senθ cosθ = cosθ senθ
cscθ - senθ =
Ejercicio 3. tan t + 2cos t csc t = sec t csc t + cott Solución: sen t cost +2 cos t sent 2 sen t + 2 cos2 t = cost sent sen 2t + cos2 t + cos2 t = (cos t)(sent ) 1 cos2t = + (cos t)(sent ) (cos t)(sent ) cost = (sec t)(csct ) + sent = (sec t)(csct ) - cot t
tan t - 2cos t csc t =
Ejercicio 4. (sec u - tan u) (csc u + 1) = cotu Solución: 1 sen u 1 (sec u - tan u)( csc u + 1) = +1 cos u cos u sen u 1 - sen u 1 + sen u = cos u sen u 1 - sen 2 u (cos u)(sen u) cos2 u = (cos u)(senu) cos u = = cot u sen u =
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Ejercicio 5. sen 4 r - cos4 r = sen 2 r - cos2 r Solución: sen 4 r - cos4 r = (sen 2 r - cos2 r )(sen 2 r + cos2 r ) = sen 2 r - cos2 r 1 1 + = 2 csc 2 v 1 - cos v 1 + cos v
Ejercicio 6. Solución:
1 1 (1+ cos v) + (1 - cos v) + = 1 - cos v 1 + cos v (1 - cos v)(1 + cos v) 2 = 1 - cos2 v 2 = sen 2 v = 2 csc 2 v
Observe que en cada una de las demostraciones anteriores: Se inició en el lado más complejo. Se efectuaron las operaciones básicas. Se hizo uso de la factorización Se emplearon identidades fundamentales.
AUTOEVALUACIÓN 13 Ejercicio 1 2π 3
y
sen (
11π 2π π = + . A partir de los valores de seno y coseno de 12 3 4 11π 11π π π , se puede hallar sen 12 , cos 12 y tan 12 4
Como
2π 11π π ) = sen + 12 4 3 = sen
sen (
1 2 11π 3 2 )= + - 12 2 2 2 2 =
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2π π 2π π cos + cos sen 3 4 3 4
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6 2 4 4
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cos
11π 2π π 2π π = cos cos - sen sen 12 3 4 3 4 1 2 3 2 = - - 2 2 2 2 2 6 = - 4 4 ( 2 + 6) 4 2 =(1 + 3) 4 =-
11π tan ( )= 12
2π + tan 3 2π 1 - tan tan 3
=-
tan
π 4 π 4
3 +1 1+ 3
Ejercicio 2 Si α es un ángulo en el primer cuadrante con cos α = en el segundo cuadrante con sen β =
4 yβ 5
y es un ángulo
12 . Evalúe sen (α +β), cos (α + β) y tan (α + β). 13
Determine el cuadrante de α + β. Solución: sen α = ± 1 -
16 . Como α es un ángulo de primer cuadrante: 25
sen = 1 -
16 3 = 25 5
3 3 tan = 5 = 4 4 5 144 25 = 169 169 25 5 cosβ = ± = ± 169 13 cos2 β = 1 -
Como β es un ángulo de segundo cuadrante:
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cos β = -
5 13
12 12 tan β = 13 = 5 5 13
Entonces: sen (α + β ) = senα cosβ + senβ cosα 3 5 12 4 = - + 5 13 13 5 sen(α + β) =
33 65
cos (α + β ) = cosα cosβ - senα senβ 4 5 3 12 = - - 5 13 5 13 cos(α + β) =
56 65
tanα + tan β 1 - tan α tan β 2 12 4 5 = 3 12 1- - 4 5
tan (α + β ) =
tan (α + β) = -
33 56
Como sen (α + β) es positivo y cos (α + β) es negativo, α + β es un ángulo de segundo cuadrante. Ejercicio 3. Si α es un ángulo de segundo cuadrante y β es un ángulo de tercer cuadrante, 3 7
con cos α = cosβ = - , calcule sen (α - β) y cos (α - β) determine el cuadrante para α - β Solución: 9 , como α es un ángulo de segundo cuadrante: 49 40 2 sen α = = 10 49 7 como β es un ángulo de tercer cuadrante: 2 sen β = 10 7 senα = ±
74
1-
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Entonces: sen (α - β ) = senα cosβ - senβ cosα 2 3 -2 3 = 10 - - 10 - 7 7 7 7 sen(α - β) = -
12 10 49
cos (α - β ) = cosα cosβ + senα senβ 3 3 2 2 = - - + 10 10 7 7 7 7 9 4 1 10 = (9 - 4(10)) 49 49 49 31 =<0 49
cos(α - β) =
Como sen (α - β) y cos (α - β) son negativos, α - β es un ángulo de tercer cuadrante.
AUTOEVALUACIÓN 14 1. 2.
Realice un cuado sinóptico sobre las formulas de identidad de la suma y la resta del seno y la tangente. defina con palabras cada una de las formulas de esta unidad.
Para realizar esta actividad remítase a las páginas 205, 206, 207, 208.
AUTOEVALUACIÓN 15 En cada uno de los siguientes ejemplos hallaremos: sen 2θ, cos 2θ, tan 2θ, haciendo uso de la información dada. 4 5
o o Ejercicio 1 senθ = - ; 270 ≤ θ ≤ 360 ;
Solución: Como θ pertenece al cuarto cuadrante cos θ es positivo. Usando la identidad fundamental:
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2
4 9 cos2θ = 1 - - = 25 5 9 25
cosθ = ± cosθ =
3 5
4 3 24 sen2θ = 2senθ cosθ = 2 - = 25 5 5 cos2θ = cos2θ - sen 2θ =
9 16 7 =25 25 25
tan 2θ puede hallarse directamente calculando sen 2θ cos 2θ tan 2θ = 24 7 Ejercicio 2 sec θ = - 3; 180° < θ < 270° Solución: cos θ= 1 = - 1 sec θ 3 Por las identidades Pitagóricas podemos afirmar: senθ = ± 1 -
1 9
Como θ está en el tercer cuadrante:
senθ = -
8 2 2 =9 3
2 2 1 sen2θ = 2senθ cosθ = 2 3 3 sen2θ =
76
4 2 9
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cos2θ = cos2θ - sen 2θ =
1 8 9 9
7 9 4 tan2θ = 2 7 cos2θ = -
AUTOEVALUACIÓN 16 Ejemplos: 1.
2.
4 , calculemos sen2α, cos 2α, tg2α 5 sen 2α= 2sen α cos α 4 3 24 sen 2α = 2. . = 5 5 25 cos 2α= cos2 α - sen 2 α 9 16 -7 cos 2α= = 25 25 25 24 24 tg 2α= 25 =-7 7 25 Si senα =
1 β , calculemos sen 4 2 1 - cosβ 2
Si senβ = sen
β = 2
β sen = 2
12
3 4 =
4- 3 8
AUTOEVALUACIÓN 17 Ejercicios 1) Resuelva la ecuación ( sen x ) ( tan x ) = sen x Solución 1 ( sen x ) ( tan x ) = sen x ( sen x ) ( tan x ) - sen x = 0 sen x ( tan x – 1 ) = 0 ⇒ sen x = 0 ó tan x – 1 = 0 tan x = 1
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( igualando los factores a cero )
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las soluciones para sen x = 0 son 0, ± π, ± 2 π , ± 3 π , … es decir x = n π donde n ∈ Ζ π las soluciones para tan x = 1 son π , 5π … es decir x = + nπ, donde n ∈ Z 4 4 4 De lo que podemos deducir que las soluciones para sen x = 0 ⇔ x = nπ, donde n ∈ Z π + nπ, donde n ∈ Z 4
tan x = 1 ⇔ x = En forma general:
sen x = 0 ⇔ x = nπ, donde n ∈ Z ahora bien para
α + 2 nπ, n ∈ Ζ – 1 < a < 1 y sen x = a ⇔ ( π - α ) + 2nπ, n ∈ Ζ
a = 1 , sen x = 1 , x =
π + 2nπ, 2
a = – 1 , sen x = – 1 , x = cos x = 0 ⇔ x =
n ∈Ζ
-π + 2nπ, 2
n ∈Ζ
π + nπ, donde n ∈ Z 2
α + 2 nπ, n ∈ Ζ – 1 < a < 1 y cos x = a ⇔ - α + 2nπ, n ∈ Ζ a = 1, cos x = 1, x = 2nπ, n ∈ Ζ ahora bien para
( 2 n + 1 )π, n ∈ Ζ a = – 1, cos x = – 1, x = o bien π + 2nπ, n ∈ Ζ y para la tangente se tiene tan x = a ⇔ x = α + nπ,
n∈Ζ
Ejercicios: Solución 2 Tan x + 3 cot x = 4 3 =4 tagx tan² x + 3 = 4 tan x ( tan x – 3 )( tan x – 1 ) = 0 tan x +
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( tan x – 3 ) = 0 Tan x = 3 ⇒ x = 71º 34’ Solución 3
( tan x – 1 ) = 0 Tan x = 1 π ⇒x= + nπ 4
sen x + cos x = 0 sen x = – cos x sen x = – 1 - sen 2 x sen² x = 1 – sen² x 1 sen² x = 2 1 2
sen x = ± sen x =
x=
1= 2 2 2
π particular 4
π + 2 nπ, n ∈ Ζ x = 4 π (π- ) + 2nπ, n ∈ Ζ 4 sen x = -
x = π+
2 1 =está III c. s.p. 2 2
π = 5π 4 4
5π + 2 nπ, n ∈ Ζ x = 4 - π + 2nπ, n ∈ Ζ 4
π-
5π π =4 4
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AUTOEVALUACIÓN 18 Resuelva las ecuaciones: • • • • • •
2 sen² t – cos t – 1 = 0 2 cos² x + 5 sen x = 4 Cos 2x = cos x sen 2x + cos x = 0 cos3 x–2cos² x+cos x–2 = 0 h) 2 sen 2x . cos x – 3 sen x = 0
Solución: 2 se²t – cos t – 1 = 0 2( 1 – cos²t ) – cos t – 1 = 0 2 cos² t + cos t – 1 = 0 ( 2 cos t – 1 )( cos t + 1 ) = 0 ( 2 cos t – 1 ) = 0 1 cos t = 2 t = 60º =
π 3
ó
( cos t + 1 ) = 0 cos t = – 1 t = 180º = π ∴ solución general
5π ∴ t* = π+ n π 3 * si se desea las soluciones entre 0 y 2π lo que se hace es solución general evaluar las soluciones generales. t = 300º =
π + 2 nπ, n ∈ Ζ 3 t*= - π + 2nπ, n ∈ Ζ 3 Solución 2cos² x + 5 sen x = 4 ( 1 – sen² x ) + 5 sen x = 4 2 sen²x – 5 sen x – 2 = 0 ( 2 sen x – 1 )( sen x – 2 ) = 0 ( 2 sen x – 1 ) = 0 1 sen x = ⇒ x = π 2 6
( sen x – 2 ) = 0 sen x = 2 ⇒S= ∅ solución general π + 2 nπ, n ∈ Ζ x*= 6 (π- π ) + 2nπ, n ∈ Ζ 6
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Solución: Cos 2x = cos x Cos 2x – cos x = 0
–
2 sen 32π • sen x = 0 2
–
2 sen 32π = 0
sen
–
sen 32π = 0
⇒ x = nπ 2
⇒
3π 2
= nπ
⇒x=
x =0 2
⇒ x = 2nπ
2nπ 3
Solución: Sen 2x + cos x = 0
( 2 sen x + 1 ) = 0 1 sen x = 2
2 sen x cos x + cos x = 0
cos x ( 2 sen x + 1 ) = 0 cos x = 0 π + nπ ⇒x= 2
7π + 2 nπ, n ∈ Ζ x = 6 (π- 7π ) + 2nπ, n ∈ Ζ 6 1 está 1º c. y sen x < 0 2 está III c. una solución partc. es α + π = π 7π +π= 6 6 ya que sen x = -
Solución cos3 x – 2 cos² x + cos x – 2 = 0 cos² x ( cos x – 2 ) + cos x – 2 = 0 ( cos x – 2 ) ( cos² x + 1 ) = 0 Solución 2sen 2x . cos x – 3 sen x = 0 4 sen x cos² x – 3 sen x = 0 sen x ( 4 cos² x – 3 ) = 0 ( cos x – 2 ) = 0 ( cos² x + 1 ) = 0 cos x = 2 cos² x = – 1 ⇒S= ∅ ⇒ S = ∅
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Solución: 2sen 2x . cos x - 3 sen x = 0 4sen x . cos2 x - 3 sen x = 0 sen x (4 cos2 x - 3) = 0 sen x = 0
4 cos2 x - 3
x = nπ 4 cos² x – 3 = 0
⇒ cos x = ±
cos x =
π + 2 nπ, n ∈ Ζ x = 6 - π + 2nπ, n ∈ Ζ 6
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3 2
3 2
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cos x = -
3 2
5π + 2 nπ, n ∈ Ζ 6 x= - 5π + 2nπ, n ∈ Ζ 6
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AUTOEVALUACIÓN 19 Ejemplos: a.
arc sen 0 = 0 pues sen 0 = 0 1 π π 1 b. arc sen ( )= pues sen ( ) = 4 4 2 2 -1 -π -π -1 c. arc sen ( ) = pues sen ( ) = 2 3 3 2 3 π π 3 d. arc sen ( )= pues sen ( ) = 2 6 6 2 Ejemplos: a.
arc cos (-1) = π pues cos π = -1
-3 5π 5π - 3 )= pues cos ( ) = 2 6 6 2 π 5π π c. arc cos ( ) = pues cos ( ) = 0 2 6 2 1 π π 1 arc cos = pues cos ( ) = 2 3 3 2 Ejemplos b.
arc cos (
π π pues tan =1 4 4 b. arc tan 0 = 0 pues tan 0 = 0 -1 -π -π -1 c. arc tan 3 = ( )= pues tan ( )=( ) 6 6 6 3 Ejemplos: π π a. arc cot 1 = pues cot =1 4 4 π π b. arc cot 0 = pues cot =0 2 2 π π c. arc cot 3 = pues cot ( ) = 3 6 6 Ejemplos : a.
arc tan 1 =
a.
arc csec
b. c.
π π 2 pues sec = 6 4 3 3 arc csec -1 = π pues sec π = -1 π π arc csec 2 = pues sec ( ) = 2 3 3 2
=
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Ejemplos: a. b. c. d.
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π π 2 pues sec = 6 6 3 3 -π -π arc ccsc -1 = pues csc = -1 2 2 π π arc ccsc 2 = pues csc = 2 4 4 -5π -5π arc ccsc -2 = pues csc ( ) = -2 6 6 arc ccsc
UTPL
2
=
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A N E XO S
El presente material ha sido reproducido con fines netamente did谩cticos, cuyo objetivo es brindar al estudiante mayores elementos de juicio para la comprensi贸n de la materia, por lo tanto no tiene fin comercial.
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Fórmulas de Trigonometría Nota: En este trabajo se considerará lo siguiente: En un triángulo cualquiera
1. 2. 3.
el ángulo α será opuesto al lado a. el ángulo β será opuesto al lado b. el ángulo δ será opuesto al lado c.
El ángulo será un ángulo cualquiera.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS cateto opuesto hipotenusa cateto adyacente cos θ= hipotenusa cateto opuesto sen(θ) tg θ= = cateto adyacente cos(θ) sen θ=
hipotenusa cateto opuesto hipotenusa sec θ= cateto opuesto cateto adyacente cos(θ) cot θ= = cateto opuesto sen(θ)
csc θ=
CRITERIOS DE REDUCCIÓN ÁNGULO (90° - θ) sen (90° - θ) = cos θ
tan (90° - θ) = cot θ
sec (90° - θ) = csc θ
cos (90° - θ) = sen θ
cot (90° - θ) = tan θ
csc (90° - θ) = sec θ
ÁNGULO (90° + θ) sen (90° + θ) = cos θ
tan (90° + θ) = -cot θ
sec (90° + θ) = -csc θ
cos (90° + θ) = -sen θ
cot (90° + θ) = -tan θ
csc (90° + θ) = -sec θ
ÁNGULO (180° - θ) sen (180° - θ) = cos θ
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
tan (180° -θ) = -tan θ
sec (180° - θ) = -sec θ
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cos (180° - θ) = -cos θ
cot (180° - θ) = -cot θ
csc (180° - θ) = csc θ
ÁNGULO (180° + θ) sen (180° + θ) = -sen θ
tan (180° + θ) = tan θ
sec (180° + θ) = -sec θ
cos (180° + θ) = -cos θ
cot (180° + θ) = cot θ
csc (180° + θ) = -csc θ
ÁNGULO (90° + θ) sen (360° - θ) = -sen θ
tan (360° - θ) = tan θ
sec (360° - θ) = -sec θ
cos (360° - θ) = -cos θ
cot (360° - θ) = cot θ
csc (360° - θ) = -csc θ
ANGULOS NEGATIVOS sen (- θ) = -sen θ
tan (- θ) = -tan θ
sec (- θ) = sec θ
cos (- θ) = cos θ
cot (- θ) = -cot θ
csc (- θ) = -csc θ
ÁNGULOS COTERMINALES cot (90° + θ) = -tan θ
tan (n360°+θ) = tan θ
sec (n360° + θ) = sec θ
cos (n360° +θ) = cos θ
cot (n360° + θ) = cot θ
csc (n360°+θ) = csc θ
IDENTIDADES FUNDAMENTALES sen2 α + cos2 α = 1
sec2 α - tan2 α = 1
csc2 α- cot2 α= 1
TEOREMA DEL SENO a b c = = senα senβ senδ
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TEOREMA DEL COSENO sen α=
a2 - b 2 - c 2 -2bc
c o sβ=
b 2 - a2 - c 2 -2ac
cosδ=
c 2 - a2 - b 2 -2ab
LEY DE LAS TANGENTES 1 tan (α - β) a-b 2 = a+b 1 tan (α - β) 2
1 tan (β - δ) b-c 2 = b+c 1 tan (β - δ) 2
1 tan (α - δ) a-c 2 = a+c 1 tan (α - δ) 2
FÓRMULAS DE PROYECCIÓN
a = bcos δ + c cosβ
b = acos δ + c cosδ
c = a cos β + c cosα
FÓRMULAS DE MOLLWEIDE
1 cos (α - β) 2 1 sen δ 2 1 sen (α - β) a-b 2 = c 1 cos δ 2 a+b = c
1 cos (β - δ) 2 1 sen α 2 1 sen (β - δ) b-c 2 = a 1 cos α 2
b+c = a
1 cos (δ - α) 2 1 sen β 2 1 sen (δ - α) c-a 2 = b 1 cos β 2
c+a = b
SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS
sen(α + β) = senα cosβ + cos α sen β cos(α + β) = cos α cosβ - sen α sen β tgα + tgβ tg (α+β) = 1- tgα tg β
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
sen(α - β) = senα cosβ - cos α sen β cos(α - β) = cos α cosβ + sen α sen β tgα + tgβ tg (α - β) = 1- tgα tg β
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ÁNGULO DOBLE
sen (2θ)=2 sen θ cosθ
cos (2θ)= cos2 θ - sen 2 θ
tg (2θ) =
2tgθ 1 - tg2 θ
cos (2θ)= 1 - sen 2 θ cos (2θ)= 2cos2 θ - 1
ÁNGULO TRIPLE sen (3θ)=3 sen θ 4cos3 θ
cos (3θ)= 4cos3 θ - 3cos θ
cos β =
1 sen (α+β)-sen(α-β) 2
SEMI-ÁNGULO 1 cos (α - β) 2 1 sen δ 2 1 sen (α - β) a-b 2 = c 1 cos δ 2 a+b = c
1 cos (β - δ) 2 1 sen α 2 1 sen (β - δ) b-c 2 = a 1 cos α 2
b+c = a
1 cos (δ - α) 2 1 sen β 2 1 sen (δ - α) c-a 2 = b 1 cos β 2
c+a = b
PRODUCTO DE SENOS Y COSENOS
1 sen α cos β = sen(α + β) + sen (α - β) 2 1 cos α cos β = cos(α + β) + cos (α - β) 2
1 cos α sen β = sen(α + β) - sen (α - β) 2 1 sen α sen β = cos(α + β) -cos (α - β) 2
SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS Y COSENOS
1 1 sen α + sen θ = 2 sen (α + β)cos (α-β) 2 2 1 1 cos α + cos θ = 2 cos (α + β)cos (α-β) 2 2
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1 1 sen α - sen θ = 2 cos (α + β)sen (α-β) 2 2 1 1 cos α - cos θ = 2 sen (α + β)sen (α-β) 2 2
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ÁREAS
bc sen α 2 2 a sen β senδ A= 2sen α 2 a sen β sen (α+β) A= 2sen α A=
ac sen β 2 2 b sen α senδ A= 2sen β 2 b sen α sen (α+β) A= 2sen β A=
ab sen δ 2 2 c sen α senβ A= 2sen δ 2 c sen α sen (α+δ) A= 2sen δ A=
FÓRMULA DE HERÓN
A= s(s-a) (s-b) (s-c) donde s= tan
a+b+c 2
1 r 1 r 1 r (s - a)(s - b)(s - c) α= , tan β = , tan δ = donde r = 2 s-α 2 s-b 2 s-c s
CASO AMBIGUO Cuando tenemos 2 lados y un ángulo no común a ambos, tendremos la posibilidad de un caso ambiguo. Sean a ^ b los lados y β del ángulo conocido. Determinamos la altura. h= a sen β . a < b, genera una solución, donde α< 90o b < h, sin solución, dado que es un polígono abierto. análisis de soluciones a > b b = h, genera una solución, donde α = 90o b > h, genera dos soluciones - caso ambiguo, donde α + α = 180o 1 2
Trigonometría De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsqueda La trigonometría (del griego, la medición de los triángulos) es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos y los lados de un Triángulo rectángulo y las relaciones entre ellos. Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en geografía para medir distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
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1 Sen α α cos α
Tabla de contenidos 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Unidades angulares Funciones trigonométricas 2.1 Otras funciones trigonométricas Funciones trigonométricas inversas Valor de las funciones trigonométricas Sentido de las funciones trigonométricas 5.1 Primer cuadrante 5.2 Segundo cuadrante 5.3 Tercer cuadrante 5.4 Cuarto cuadrante Representación gráfica Identidades trigonométricas Función tangente Véase también Unidades angulares
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próximo al sistema decimal, pero su uso prácticamente es inexistente. Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay 2π radianes.
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Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º. Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
Funciones trigonométricas
B c A
β a
α b
C
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C, lo usaremos para definir las funciones seno, coseno y tangente. •
El seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, sin(α) =
•
•
a c
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa, cos(α) =
b c
La tangente (abreviado como tan) es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente, tan(α) =
a b
Otras funciones trigonométricas Se definen las funciones cosecante, secante y cotangente, como las funciones inversas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
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• • •
cosecante: (abreviado como csc) es la inversa de seno: csc(α) =
1 c = sin(α) a
secante: (abreviado como sec) es la inversa de coseno: sec(α) =
1 c = cos(α) b
cotangente: (abreviado como cot) es la inversa de la tangente: cot(α) =
1 b = tans(α) a
Normalmente se emplean las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de los términos cosecante, secante y cotangente, o las expresiones matemáticas se simplifique muchísimo, no suelen utilizarse.
Funciones trigonométricas inversas En trigonometría el termino ángulo, cuando se expresa en radianes, dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio, suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes, por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:
y = sin (x)
y es igual al seno de x, la función inversa:
x = arcsin (y)
x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y. si: y = cos (x) y es igual al coseno de x, la función inversa:
x = arccos (y)
x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y. si: y = tan (x) y es igual al tangente de x, la función inversa:
x = arctan (y)
x es el arco cuyo tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.
Valor de las funciones trigonométricas A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:
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Radián
ángulo
sen
cos
tan
csc
sec
ctg
0
0°
0 =0 2
4 =1 2
0
∞
1
∞
π 6
30˚
1 1 = 2 2
3 2
1
2
2 3 3
√3
π 4
45˚
2 2
2 2
1
√2
√2
1
π 3
60˚
3 2
1 1 = 2 2
√3
2 3 3
2
3 2
π 2
90°
4 =1 2
0 =0 2
∞
1
∞
0
3
Sentido de las funciones trigonométricas
D C 1
(+)
a O
sin(a)
cos(a)
tan(a)
a
(+)
A B
(+)
Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y un círculo con centro en O y radio 1; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto B. La recta r, que pasa por O y forma un ángulo a sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto C, la vertical que pasa por C, corta al eje x en A, la vertical que pasa por B corta a la recta r en el punto D. Por semejanza de triángulos:
AC BD = OA OB
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La distancia OB, es el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:
sin (a) = AC cos (a) = OA tan (a) = BD
tenemos: sin(a) tan(a) = cos(a) 1
La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.
Primer cuadrante Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo a. Para a = 0, tenemos que A, C, y D coinciden en B, por tanto:
sin (0) = 0 cos (0) = 1 tan (0) = 0
Si aumentamos progresivamente el valor de a, las distancias AC y BD aumentaran progresivamente, mientras que OA disminuirá, percatarse que OA y AC están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero BD no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por B, en el momento en el que el ángulo a sea 0,5 π rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia BD será infinita, la tangente toma valor infinito cuando a= 0,5 π rad, el seno vale 1 y el coseno 0.
Segundo cuadrante
C sin(a)
1
(+)
A
cos(a)
a
(-)
O
B tan(a) (-)
D
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Cuando el ángulo a supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento AC, el coseno aumenta según el segmento OA, pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo. La tangente para un ángulo a inferior a 0,5 π rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por B no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los 0,5 π rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por B en un punto B real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo a aumenta progresivamente hasta los π rad. Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de a, disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para a= 0,5 π rad, hasta que valga 0, para a= π rad, el coseno, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para a= 0,5 π rad, hasta –1, para a= π rad. La tangente conserva la relación: tan(a) =
sin(a) cos(a)
incluyendo el signo de estos valores.
Tercer cuadrante
D tan(a) (+)
cos(a)
A
(-)
a
sin(a) (-)
O
B
1
C
En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo a de π rad a 1,5 π rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para π rad: sin (π) = 0 cos (π) = -1 tan (π) = 0
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Cuando el ángulo a aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante. A medida que el ángulo crece el punto A se acera a O, y el segmento OA, el coseno se hace más pequeño en el lado negativo de las x, el punto C, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por A, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por B, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, la tangente. Cuando el ángulo a alcance 1,5 π rad, el punto A coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento OC será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por B serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y. El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, notese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.
Cuarto cuadrante
cos(a)
O
(+)
a
A
B
sin(a)
1
(-)
tan(a) (-)
C
D
En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo a entre 1,5 π rad y 2 π rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para 1,5 π rad:
sin (1.5 π) = -1 cos (1.5 π) = 0 tan (1.5 π) = ∞
hasta los que toman para 2 π rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:
98
sin (2 π) = sin (0) = 0 cos (2 π) = cos (0) = 1 tan (2 π) = tan (0) = 0
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como puede verse a medida que el ángulo a, también aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y. Cuando a, vale 2 π o 0 π al completar una rotación completa los puntos A, B y C, coinciden en D, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.
Representación gráfica
Representación de las funciones trigonométricas en el plano xy, los valores en el eje x multiplicados por π Radián. Identidades trigonométricas Como en el triángulo rectángulo se cumple que a2 + b2 = c2, de la figura anterior se tiene que sen α = a, cos α = b, c = 1; entonces para todo ángulo α: sin2(α) + cos2(α) = 1 Algunas identidades trigonométricas importantes son las siguientes:
sen (90 + α) = cos α cos (90 -α) = sen α sen (180 - α) = sen α cos (180 - α) = -cos α sen 2α = 2 sen α cos α cos 2α = cos2α - sen2α sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β sen (α - β) = sen α cos β - cos α sen β cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β sen²(α) = 1/2 * (1 - cos(2 * α)); cos²(α) = 1/2 * (1 + cos(2 * α));
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2sen(α)*Cos(β)=sen(α + β)Cos(α - β)
Véase también: Sinusoide Función tangente En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. tan(a) = BC / AC = sin(a) / cos(a) El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:
tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos tan (π/2) = tan (90°) = +∞ tan (-π/2) = tan (-90°) = -∞ tan (0) = 0 tan (π/4) = tan (45°) = 1 tan (π/3) = tan (60°)= √3 tan (π/6) = tan (30°) = √3/3
Una identidad de importancia con la tangente es: tan(α + β) =
tan(α) + tan(β) 1 - tan(α)tan(β)
Identidades fundamentales Recíprocas: A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas de ángulos en posición canónica, deducimos 3.
Igualmente, teniendo en cuenta las definiciones dadas:
4.
Identidades Pitagóricas:
a.
sen2t + cos2 t = 1
Recordamos que si (x,y) es un punto que está en el lado final de un ángulo en posición canónica y
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y , r Entonces sen t =
cos t =
sen 2 t + cos2 t = = =
b. c.
y2
+
x r
x2 r2
r y2 + x 2 2
r
2
r2
r2 =1
1 + tan 2 t = sec 2 t se obtiene sen 2 t + cos2 t = 1, por cos2 t 1 + cot 2 θ = csc 2 θ Si se divide la igualdad: sen 2 θ + cos2 θ = 1, sen 2 θ cos2 θ 1 1+ = 2 sen θ sen 2 θ 1+ cot 2 θ = csc 2 θ
A partir de estas identidades es posible obtener otras más complejas. No hay realmente un método especial para demostrar que una igualdad es una identidad, pero en general se aconseja iniciar con el lado que parezca más complejo y hacer las transformaciones que se considere adecuadas, para obtener la expresión del otro extremo de la igualdad. No es bueno transformar los dos extremos simultáneamente por que se estaría suponiendo que la igualdad es verdadera. Ejemplo 5.20. Haciendo uso de las identidades fundamentales encuentre los valores de 3 las funciones trigonométricas del ángulo θ si: y tan θ = - ysenθ > 0 4 Solución: 1 tan θ 4 cot θ = -3 sec 2 θ = 1 + tan 2 θ 9 sec 2 θ = 1 + 16 25 sec 2 θ = 16 25 sec θ = ± 16 cot θ =
Como la tangente es negativa y el seno positivo, θ está en el segundo cuadrante, por lo tanto la secante es negativa. sec θ = -
5 4
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Esto nos permite concluir que: cos θ = -
4 5
Haciendo uso de la identidad : 1+ cot2 θ = csc2 θ 1+
16 = csc 2 θ 9
csc 2 θ =
25 9
csc 2 θ = ±
25 9
como sen θ > 0 5 csc = 3 entonces sen θ =
3 5
En los siguientes ejemplos vamos a demostrar algunas identidades trigonométricas: Ejemplo 5.21. csc θ - sen θ = cot θ cos θ Solución: 1 - senθ senθ 1 - sen 2θ = senθ cos2θ = senθ cosθ = cosθ senθ = cotθ cosθ
cscθ - senθ =
Ejemplo 5.22. tan t + 2 cos t csc t =sec t csc t + cot t Solución: tan t + 2cos t csc t = = = = = =
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sen t cos t +2 cos t sen t sen 2 t + 2 cos2 t cos t sen t sen 2 t + cos2 t + cos2 t (cos t)(sen t) 1 cos2 t + (cos t)(sen t) (cos t)(sen t) cos t (sec t)(csc t) + sen t (sec t)(csc t) + cot t
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Ejemplo 5.23. (sec u - tan u) (csc u +1) = cot u. Solución: 1 sen u 1 (sec u - tan u)( csc u + 1) = +1 cos u cos u sen u 1 - sen u 1 + sen u = cos u sen u 1 - sen 2 u (cos u)(sen u) cos2 u = (cos u)(senu) cos u = = cot u sen u =
Ejemplo 5.24. sen4 r - cos4r = sen2 r - cos2 r. Solución:
sen 4 r - cos4 r = (sen 2 r - cos2 r )(sen 2 r + cos2 r ) = sen 2 r - cos2 r
Ejemplo 5.25.
1 1 + = 2 csc 2 v 1 - cos v 1 + cos v
Solución: 1 1 (1+ cos v) + (1 - cos v) + = 1 - cos v 1 + cos v (1 - cos v)(1 + cos v) 2 = 1 - cos2 v 2 = sen 2 v = 2 csc 2 v
Observe que en cada una de las demostraciones anteriores: • Se inició en el lado más complejo. • Se efectuaron las operaciones básicas. • Se hizo uso de la factorización • Se emplearon identidades fundamentales.
Lección 5.14.
Aplicaciones de la Trigonometría
Hemos visto aplicaciones en problemas que pueden resolverse utilizando las funciones trigonométricas en triángulos rectángulos. Hay casos en los que se requiere el uso de triángulos que no son rectángulos y sin embargo es posible encontrar sus elementos (lados, ángulos), mediante los Teoremas del Seno y del Coseno, que establecen relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo oblicuo (no contiene un ángulo recto).
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Lección 5.14.1.
Teorema del Seno
C
a
b
A
c
B
Si en el triángulo: ∆ABC , a , b , c son las longitudes de los lados opuestos a A , B , C , respectivamente: sen∠A sen∠B sen∠C = = a b c
Para encontrar todos los elementos de un triángulo mediante el teorema del Seno, debe utilizar cualquiera de las siguientes informaciones: 1. 2.
Dos lados y un ángulo opuesto. Dos ángulos y cualquier lado.
Ejemplo 5.37. Encuentre la medida de los ángulos y de los lados desconocidos del triángulo ∆ABC si se sabe que: ∠ α = , 115° , a = 46, b = 40.
C 46
b a A
g 40
B
Solución: senα senβ sen 115o senβ = , entonces = a b 46 40 Despejando : 40sen 115o 40(0.906) senβ = = 46 46 senβ = 0.787, entonces β = 51.9o
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es entonces
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δ = 180o - (51.9 + 115) = 13.1o senδ senα sen13.1o sen 115o = , entonces = c α c 46 Despejando : 46sen13.1o (46(0.226)) c= , entonces c = = 11.5 0.906 sen115o
Ejemplo 5.38. Dos observadores colocados a 110 metros de separación en A y en B en la orilla de un río están mirando una torre en la orilla opuesta en el punto C . Midieron los ángulos ∠ CAB y ∠ CBA que fueron de 43° y 57° respectivamente. A qué distancia está el primer observador de la torre? Solución: C γ b
a 57°
43° A
110
B
A partir del triángulo b 110 = o senδ sen57 δ = 180o - (57 o + 43o ) = 80o
Reemplazando y despejando: b=
110 sen 57 o sen 80
o
m=
92.25 m ; 94.13m 0.98
El primer observador está aproximadamente a 94.13 m. de la torre Ejemplo 5.39. Un poste vertical de 60 pies de longitud está colocado al lado de un camino inclinado. Proyecta una sombra de 138 pies de largo directamente colina abajo a lo largo del camino, cuando el ángulo de elevación del sol es de 58 (observe la figura). Encuentre el ángulo de inclinación θ del camino.
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Solución: A α 60
γ θ B
58° C
El triángulo ∆ ABC es rectángulo. Si se conoce δ, puede calcularse θ , teniendo en cuenta que 58° = θ+δ. senα senδ = 138 60 (60)(0.53) Despejando : senδ = = 0.23; δ = 13.29 138 θ = 58o - 13.29o = 44.71o El ángulo de inclinación es de 44.71o Por el teorema del Seno:
Lección 5.14.2.
Teorema del Coseno
En algunos problemas no es posible aplicar solamente el teorema del Seno, como es el caso en el que se conocen solamente dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Si se tienen estos elementos y se quiere calcular los que hacen falta, se aplica el teorema del Coseno y ya conocido el lado restante puede utilizarse el Teorema del Seno.
C γ a
b α A
β c
B
Si en el triángulo ∆ABC , a , b , c , son los lados opuestos a los ángulos α, β , γ ,
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respectivamente, entonces:
3. 4. 5.
a2 = b2 + c2 -2bc cos α b2 = a2 + c2 -2ac cos β c2 = a2 + b2 -2ab cos γ
Ejemplo 5.40. En una esquina de un campo triangular, el ángulo mide 54.2 ° , los lados que se encuentran en esa esquina miden 100 metros y 120 metros de largo. ¿Cuánto mide el tercer lado? Solución:
120
l
52.4° 100 l 2 = 1002 + 1202 - 2(120)(100)cos (52.4o ) l 2 = 10000 + 14400 - 24000 (0.61) = 9760m 2 l = 9760 ; 98.9 metros Ejemplo 5.41. Dos corredores A, C parten del mismo punto B a las 12:00 del día. Uno de ellos se dirige hacia el norte a 6 millas por hora y el otro se dirige a 68° al este del norte a 8 millas por hora. ¿Cuál es la distancia entre ellos a las 3:00 de la tarde? Solución:
A
b
c
C
a 68°
B
Debemos encontrar la longitud de b , entonces encontramos las longitudes de a y c : Como parten a las 12 del día, a las 3:00 de la tarde cada uno ha corrido durante tres horas.
c = (6 millas)3 = 18 millas a = (8 millas)3 = 24 millas
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Así: Por el teorema del Coseno: b2 = a2 + c2 - 2ac cos (68°)
b2 = 182 + 242 - 2(18)(24)(0.37) b2 = 580.32 b2 = 24 millas
Obtenido de “http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa” Categoría: Trigonometría
“Cuántos preguntan más que leen y
leen más que estudian. Desde luego, muy pocos reflexionan” (Fernando Rielo)
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