Teoria de Control II Diseño de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Transformación entre el Plano s y el Plano z
Lugar Geométrico de las Raíces Especificaciones de la Respuesta Transitoria
Contenido
- Transformaci贸n entre el Plano s y el Plano z. Pg. 1
-An谩lisis De Estabilidad De Sistemas En Lazo Cerrado En El Plano Z. Pg. 3
-Criterio de Jury. Pg. 4
-Transformaci贸n Bilineal Criterio de Routh Hurwitz. Pg. 5
-Respuesta Transitoria de Sistemas Discretos. Pg. 7
-Especificaciones de la Respuesta Transitoria. Pg. 8
-Lugar de las Ra铆ces. Pg. 9
-Estudio de la Estabilidad en el Dominio Frecuencial. Pg. 11
-Entretenimiento. Pg. 14
Editorial En la presente edición se trataran los temas sobre la transformada Z para el análisis y diseño de sistemas de control discreto en tiempo, la descripción del proceso de muestreo y recuperación de señales, el análisis y diseño de controladores y filtros digitales y el estudio de algunos métodos para determinar la función transferencia pulso.
Integrantes: José Sosa Rubén Quintero José Jiménez Álvaro Rojas
Cabudare, Agosto de 2014
Transformación entre En el diseño de un sistema de control en
= e Ts e jw = e Ts [coswT + jsenwT]
tiempo continuo, la localización de los polos y los ceros en el plano s es de suma
De ésta última ecuación vemos que los polos
importancia para predecir el comportamiento
y los ceros en el plano s, donde la frecuencia
dinámico del sistema. De igual forma, en el
difiere en múltiplos entero s de la frecuencia
diseño de sistemas de control en tiempo
de muestreo ws=2 p /T, corresponden a las
discreto, es muy importante la localización de
mismas localizaciones en el plano z. Lo cual
los polos y los ceros en el plano z.
significa que por cada valor de z existirá un número infinito de valores de s.
Cuando en el proceso se incorpora un muestreo
por
complejas
z
impulsos, y
s
quedan
las
variables
Tramo 1,2 s =0 (Varía la frecuencia)
relacionadas 1.
Tramo 2,3 w=0 (Varía s )
2.
Tramo 3,4 s =0 (Varía la frecuencia)
Lo cual significa que un polo en el plano s
3.
Tramo 4,5 w=0 (Varía s )
puede quedar localizado en el plano z
4.
Tramo 5,1 s =0 (Varía la frecuencia)
mediante la ecuación: Z = e
Ts
mediante la transformación: Z = eTs
Como: s = s + jw
Tenemos que: z = e
Tramo 1,2 : s =0 0 £ w £ ws/2 z= coswt + jsenwt
T( s + jw)
Z = cosw(2p / ws) + jsenw(2p / ws)
Tramo 2,3; w = ws/2 - ¥ < s < 0
Cuando: w -- à 0 è z = 1
Z=e
T s
Z=e
T s
[-1] = - e
T s
w -- à ws/2 è z=-1 Tramo 3,4: s à - ¥ (- ws/2) < w (ws/2) Z=0
Tramo 4,5: w=0 y - ¥ < s < 0
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el Plano S y el Plano Z el plano z corresponde a un número infinito Tramo 5,1: s = 0 (- ws/2) < w (ws/2) Z = cosw(2 p / ws) + jsenw(2 p / ws) En la franja primaria del plano s, si trazamos la secuencia de los puntos: 1-2-3-4-5-1 (Como se muestra en la figura anterior), entonces esta trayectoria corresponde al circuito unitario con centro en el origen del plano z, según la correspondencia de los números: 1,2,3,4 y 5. El área encerrada por cualquiera de las franjas complementarias se transforman en el mismo círculo unitario en el plano z. Lo cual significa que la correspondencia entre el plano z y el plano s no es única. Un punto en
de puntos en el plano s, aunque un punto en el plano s corresponde a un solo punto del plano z. La totalidad del semiplano izquierdo del plano s corresponde al interior del círculo unitario en el plano z, la totalidad el semiplano derecho del plano s corresponde la exterior del círculo unitario en el plano z. El eje jw del plano s se transforma en el círculo unitario del plano z. Si la frecuencia de muestreo es por lo menos dos veces mayor que la componente de frecuencia más alta involucrada en el sistema, entonces cada uno de los puntos del círculo del plano z representa frecuencias entre - ws/2 y ws/2.
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Análisis De Estabilidad De Sistemas En Lazo Cerrado En El Plano Z Analizaremos la estabilidad de los sistemas de control en tiempo discreto lineales e invariantes en el tiempo. La estabilidad de un sistema de control en tiempo discreto, puede determinarse por las localizaciones de los polos en lazo cerrado en el plano Z, o por las raíces de la ecuación característica: C(z) = G(z) R(z) 1+GH(z) Según: 1. Para que el sistema sea estable, los polos en lazo cerrado o las raíces de la ecuación característica deben presentarse en el planoz dentro del círculo unitario. Cualquier polo en lazo cerrado exterior al círculo unitario hace inestable al sistema. 2. Si un polo simple se presenta enz = 1, el sistema se presenta críticamente estable. También si un solo par de polos complejos se presentan sobre el círculo unitario será críticamente estable. 3. Los ceros en lazo cerrado no afectan la estabilidad absoluta y por lo tanto pueden quedar localizados en cualquier parte del plano z.
En conclusión, un sistema de control en lazo cerrado en tiempo discreto lineal e invariante en el tiempo se vuelve inestable si presenta un polo fuera del círculo unitario o polo múltiple sobre el círculo unitario del plano Z.
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Criterio de Jury Método sencillo que determina si algunas de las raíces de la ecuación característica están sobre o fuera del circulo unitario, sin necesidad de encontrar las raíces de Q(Z). Para aplicar el criterio de JURY se considera la ecuación característica de la
Donde.
Para que Q(Z) = 0, no tenga raíces fuera o sobre el círculo unitario en el plano Z se requiere el cumplimiento de las siguientes condiciones:
siguiente forma:
Donde todos los coeficientes son reales y b > 0. n
La tabla de JURY queda conformada así.
El procedimiento de prueba es el siguiente: Paso 1: Determinar si se cumplen las condiciones 1 y 2. Si no se cumplen el sistema es inestable. Si se cumplen se efectúa el paso 2. Paso 2: Determinar el máximo valor de J1, así: Jmax=n-2 Si Jmax=0, no se continúa el procedimiento por que la información del paso 1 es suficiente para determinar la estabilidad del sistema. Paso 3: El máximo número de filas que ha de tener el arreglo está dado por: Fmax = 2Jmax + 1 Paso 4: Se completa el arreglo. A cada fila se le aplica la restricción. Si esta no se cumple, no se continúa, dado que el sistema ya es inestable.
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Transformación Bilineal – Criterio de Routh Hurwitz El criterio de Routh Hurwitz se conoce para sistemas continuos no puede ser empleado en una planta discreta, es preciso efectuar un cambio de variable de la "z" a "w", obteniendo lo que se conoce como la transformación bilineal. Una vez se ha realizado la sustitución y obtenido la nueva función de transferencia ya en w, se obtendrá la ecuación característica del sistema sobre la cual si podremos aplicar ya el criterio de Routh-Hurwitz. El diagrama de bloques que tenemos es el siguiente:
Empezamos discretizando la planta, proceso que ya hemos realizado antes y que nos limitamos a plasmar:
Una vez discretizada se aplica la transformación bilineal:
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Que aplicada a la planta sería: Haciendo la sustitución pertinente se obtiene el siguiente resultado para nuestra función
de
transferencia:
A continuación expansionaremos la ecuación característica, y sobre ésta emplearemos el criterio de Routh-Hurwitz para determinar el rango de estabilidad en función de los valores de la constante k:
Se ha de mantener el signo positivo en la primera columna para que sea estable luego:
Así pues si la k varía entre 0 y 2.75 el sistema será estable.
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Respuesta Transitoria de Sistemas Discretos. La estabilidad absoluta es un
parte de la respuesta debida a
requisito básico de todos los
los polos de la función de
sistemas
entrada o excitación.
de
control.
En
cualquier sistema de control se requiere también de una buena estabilidad relativa y precisión en estado permanente, ya sea en tiempo continuo o en tiempo
Los sistemas de control en tiempo discreto son analizados mediante entradas “estándar”, como
son
entrada
escalón,
rampa o senoidales, esto se
discreto.
debe a que la respuesta del La
respuesta
transitoria
sistema a una entrada arbitraria
corresponde a la parte de la
puede ser estimada a partir de
respuesta debida a los polos del
su respuesta correspondiente a
sistema en lazo cerrado y la
dichas entradas estándar.
respuesta
en
estado
permanente corresponde a la
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Especificaciones de la Respuesta Transitoria. de 10% hasta 90%, de 5% a 95% o de 0% a Con frecuencia, las características de un
100% de su valor final, según la situación.
sistema de control están especificadas en términos de la respuesta transitoria a una
Tiempo
Pico
(tp):
Es
el
tiempo
entrada escalón unitario, ya que ésta es fácil
requerido para que la respuesta llegue al
de generar y puede proporcionar información
primer pico del sobre impulso.
útil de la Respuesta Transitoria y de la Sobre impulso máximo (Mp): Es el
Respuesta Permanente del sistema.
valor máximo de la curva de respuesta La respuesta transitoria de un sistema de
medido a partir de la unidad. Si el valor final
control digital puede caracterizarse no solo
en estado permanente difiere de la unidad,
por el factor de amortiguamiento relativo y la
entonces es común utilizar el sobrepaso
frecuencia natural amortiguada, sino también
porcentual máximo. Queda definido por la
por
relación:
el
tiempo
sobrepasos asentamiento
de
máximos, y
así
levantamiento, el
tiempo
sucesivamente,
los de en
tp ) – C (∞ ) X 100%
respuesta a la entrada escalón. Especificaciones Transitoria
de
la
Sobre impulso máximo en porcentaje = C(
Respuesta
En la especificación de la Respuesta Transitoria de distintas características es común especificar las siguientes cantidades: Tiempo de Retardo (td): Es el tiempo requerido para que la respuesta llegue a la mitad del valor final la primera vez. Tiempo de crecimiento (tr): Es el tiempo que requiere la respuesta para pasar
C(∞ ) La cantidad de sobre impulso máximo (en porcentaje)
indica
en
forma
directa
la
estabilidad relativa del sistema. Tiempo de Establecimiento (ts): Es el tiempo requerido para que una curva de respuesta llegue y se quede dentro de un rango alrededor del valor final de un tamaño especificado, en función de un porcentaje absoluto del valor final, por lo general es de 2%.
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Lugar de las Raíces. termina para k±∞, normalmente con valor Es el lugar geométrico de los polos y ceros de una
nulo. Las soluciones para k≥0 corresponden al
función de transferencia a medida que se varía la
lugar de raíces verdadero, mientras que las
ganancia del sistema K en un determinado
soluciones para k<0 corresponden al lugar de
intervalo. El método del lugar de raíces permite
raíces complementario.
determinar la posición de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado para un
Reglas para graficar el lugar de raíces:
determinado valor de ganancia K a partir de la función de transferencia a lazo abierto.
Las siguientes reglas permiten graficar el lugar de raíces para valores de k positivos. Para valores
El lugar de raíces es una herramienta útil para
negativos de k se utiliza un conjunto de reglas
analizar sistemas dinámicos lineales tipo SISO
similar. En lo que sigue, nos referimos a la función
(single input single output) y su estabilidad (BIBO
de transferencia a lazo abierto.
stability). (Recuérdese que un sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplano
1) Número de ramas. El número de ramas del
izquierdo del plano s (en el caso de sistemas
lugar de raíces es igual al orden de la ecuación
continuos) o dentro del círculo unitario del plano
característica de la función de transferencia a lazo
z (para sistemas discretos).)
cerrado. Para sistemas racionales, esto equivale al orden de la ecuación característica de la
Sea G(s) H(s) la función de transferencia del
función de transferencia a lazo abierto, es decir,
sistema a lazo abierto. Pertenecen al lugar de
el denominador de la función de transferencia a
raíces todos los puntos del plano complejo que
lazo abierto.
satisfacen la ecuación característica: 1 + k G(s) H(s) = 0
2) Simetría. Dado que la ecuación característica es de coeficientes reales, las raíces complejas
Para el caso en que -∞<k <0 , no se trata
deben ser complejas conjugadas. Por tanto, el
entonces del lugar de raíces verdadero, sino, del
lugar de raíces es simétrico respecto al eje real.
lugar de raíces complementario. Una solución de la ecuación para un valor de k dado se llama lugar
3) Polos de lazo abierto. Los polos de la función
de la raíz.
de transferencia a lazo abierto pertenecen al lugar de raíces y corresponden a
.
El lugar de raíces es simétrico respecto del eje real. Comienza en k=0 los polos pi de la función
4) Ceros de lazo abierto. Los ceros de la función
de transferencia en lazo abierto G(s)H(s), y
de transferencia a lazo abierto pertenecen al
9
lugar de raíces y corresponden a
. Si
característica, y se dan en los valores de s para los
hay t polos más que ceros, entonces t posiciones se harán infinitas a medida que k se aproxime a infinito.
cuales se verifica
.
9) Intersección con el eje imaginario. Las
5) Asíntotas. Si la función de transferencia de lazo cerrado tiene t polos más que ceros, entonces el lugar de raíces tiene t asíntotas equiespaciadas, formando
entre ,
ellas
un
ángulo
intersecciones
y
. El lugar de raíces se aproxima a estas asíntotas a medida que k tiende a infinito.
el
eje
imaginario
se
encuentran calculando los valores de k que surgen de resolver la ecuación característica para .
de
donde
con
10) Pendiente del lugar de raíces en polos y ceros complejos
(Condición
de
Argumento).
La
pendiente del lugar de raíces en polos y ceros complejos de la función de transferencia a lazo
6) Centroide de las asíntotas. El punto del eje real
abierto se puede encontrar en un punto de la
donde las asíntotas se intersecan se suele llamar
vecindad del polo o cero mediante la relación
el centroide de las asíntotas, se denota mediante ,
y
se
calcula
, para k>0,
mediante o
, para k<0.
. 11) Cálculo de k en un punto del lugar de raíces 7) Lugar de raíces sobre el eje real. Si la función
(Condición de Modulo). El valor absoluto de k que
de transferencia a lazo abierto tiene más de un
corresponde a un punto dado del lugar de raíces
polo o cero reales, entonces el segmento del eje
puede determinarse midiendo el módulo de cada
real que tiene un número impar de polos y ceros
segmento que une cada polo y cero de la función
reales a su derecha forma parte del lugar de
de transferencia a lazo abierto y el punto en
raíces. cuestión, y evaluando así
.
8) Puntos de entrada-salida. Los puntos de entrada-salida, o puntos singulares, indican la presencia de raíces múltiples de la ecuación
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Estudio
de
la
Estabilidad
en
el
Dominio
Frecuencial. invariante en el tiempo a una entrada
Diseño Basado en el Método de Respuesta en Frecuencia.
senoidal
conserva
su
frecuencia
y
modifica solamente la amplitud y la fase El
concepto
de
respuesta
en
frecuencia juega un papel importante en los sistemas de
control en
tiempo
de la señal de entrada. Las dos únicas cantidades que deben ser manejadas son la frecuencia y la fase.
discreto. Es necesario la familiarización con los diagramas de Bode (trazas logarítmicas) en la extensión de las técnicas convencionales de la respuesta en frecuencia al análisis y el diseño de los sistemas de
control en
tiempo
discreto
Al
sistema
Consiste en 2 trazas por separado, la magnitud logarítmica /G(jv)/ en función del logaritmo de v y el ángulo de fase G(jv) en función del logaritmo de v. La traza de la magnitud logarítmica se basa
llevar
respuestas
Diagrama de Bode
a en
de
cabo
pruebas
frecuencia tiempo
sobre
discreto,
de
en la factorización de G(jv), de tal forma
un
que funciona en el principio de sumar los
es
términos individuales factorizados, en
importante que el sistema tenga un filtro
vez
para bajas antes del muestreador, de tal
individuales
manera que las bandas laterales estén centradas. Entonces el sistema lineal e
de
multiplicar
los
términos
A través de las técnicas para las trazas asintóticas, se pueden dibujar con
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rapidez la curva de magnitud si se
correspondientes
de
la
utilizan asíntotas con líneas rectas.
respuesta en frecuencia en términos de margen de fase, el
M ediante el uso del diagrama de Bode, se puede diseñar un compensador digital
margen de ganancia, el ancho
o un controlador digital a través de las
de franja y así sucesivamente.
técnicas de diseño convencionales.
El diseño de un compensador digital (o un controlador digital) para
satisfacer
especificaciones
las
dadas
(en
función del margen de fase o del
margen
de
ganancia)
puede llevarse a cabo en el
Diagrama de Bode de un filtro paso bajo
Diagrama Bode de una forma
Butterworth de primer orden (con un polo).
sencilla y simple.
Ventajas del Método del Diagrama de Procedimiento para el Diseño en el Plano
Bode para el Diseño.
La asíntota de baja frecuencia de la curva de magnitud indica una de las constantes de error estáticas Kp, Kv y Ka.
Se
pueden
especificaciones respuesta
1) Obtenga G(z), la transformada z de la planta precedida por un retenedor. Transforme G(z) en una función de
traducir
las
de
la
transitoria
w.
a
transferencia
G(w)
mediante
la
las
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transformación
bilineal
dada
por
la
ecuación:
Gd(z) mediante la transformación bilineal dada por la ecuación:
W = 2( z – 1) Z = 1 + (T/2)w
T (z + 1)
1 – (T/2)w Entonces: 2) Sustituya w=jv en G(w) y trace el Gd(z) = Gd(w) / w = (2/T)(z-1)/(z+1)
diagrama de Bode para G(jv).
3) Lea el diagrama de Bode las constantes de error estático, el margen de fase y el margen de ganancia.
Siguiendo el procedimiento podemos observar:
1) La función transferencia G(w) es
4) Suponiendo la ganancia en baja frecuencia de la función de transferencia del controlador en tiempo discreto G d(w) es la unidad, determine la ganancia del sistema al satisfacer el requisito para una constante de error estático. Determine
una función de transferencia de fase no mínima.
2) El eje de frecuencia en el plano w está distorsionado. La relación entre la frecuencia ficticia v y la frecuencia real w es: V= (2/T)tang((wT)/2)
los polos y los ceros de la función de Si se define un ancho de franja wb,
transferencia del controlador digital.
necesitamos diseñar el sistema para un 5)
Transforme
la
función
de
transferencia del controlador Gd(w) en
ancho de franja vb, donde: Vb=((2/T)tang((wbT)/2)
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