Derivadas de Funciones Algebraicas

Derivadas de Funciones Algebraicas

Derivada de suma y resta de funciones

Ejemplo 9: Determinar la derivada de f ( x)  x7  3x5  21 Solución: Aplicando la regla tenemos: f ( x)  7 x 71  35x51  0

f ( x)  7 x 6  15 x 4 Ejemplo 10: Determinar la derivada de f ( x)  2 x15  4 x8  21x 2  3 Solución: Aplicando la regla tenemos: f ( x)  215x151  48x81  212x 21  0

f ( x)  30 x14  32 x 7  42 x Derivada de un producto de funciones

Ejemplo 11: Determinar la derivada de m( x)  x 4  x 2 x  5





Solución: Aplicando la regla del producto obtenemos: m( x)  4 x 41  1 2 x  5  x 4  x 21  0

 m( x)  4 x













 1 2 x  5  x 4  x 2 Al efectuar operaciones y simplificar obtenemos: m( x)  8 x 4  20 x3  2 x  5  2 x 4  2 x 3

m( x)  10 x 4  20 x3  4 x  5 Ejemplo 12: Determinar la derivada de m( x)  3x6  4 x 2 25x  4





Solución: Aplicando la regla del producto obtenemos:

 m( x)  18 x

  8 x 25 x  4  3x





m( x)  36x 61  42x 21 25 x  4  3x 6  4 x 2 25 *1  0 5

6

 4x

2

25

m( x)  450 x  72 x  200 x  32 x  75 x 6  100 x 2 6

5

2

m( x)  525 x 6  72 x 5  300 x 2  32 x

Derivada de un cociente de funciones

Ejemplo 13: Determinar la derivada de m( x) 

x3 x

Solución: Aplicando la regla del cociente obtenemos: x 1  0  x  31  m( x)  x  x  3  m( x)  x  x  3 m( x)  x2 x2 x 2

m( x) 

3 x2

Ejemplo 14: Determinar la derivada de g ( x) 

3x 5  4 x 3  8 9x4  x2

Solución: Aplicando la regla del cociente obtenemos: 9 x 4  x 2 15 x 4  12 x 2  3x 5  4 x 3  8 36 x 3  2 x g ( x)  2 9x4  x2



g ( x) 



135x

9

 



 108 x  15 x 6

6



  12 x   108 x  6 x 9 x  x  4

8

4

6



 144 x 6  8 x 4  288 x 3  16 x

2 2

Destruyendo paréntesis y operando términos semejantes: 135 x9  108 x 6  15 x 6  12 x 4  108 x8  6 x 6  144 x 6  8 x 4  288 x3  16 x g ( x)  2 9x4  x2



g ( x) 



135 x  108 x  27 x  4 x  288 x  16 x 9

8

6

9 x

4

 x2

4

3



2

Derivada de una función compuesta



Notación de Leibniz: El gran matemático Gottfried Leibniz en su desarrollo del cálculo propone una nomenclatura para expresar la regla de la cadena. Sea y = f(u), donde u es la variable y sea u = g(x), entonces:

Ejemplo 15:

Determinar la derivada de f ( x)  3x 2  15

4

Solución: Aplicando la regla de la cadena tenemos:

f ( x)  43x 2  15

41

3 * 2 x  21

f ( x)  43x 2  15 6 x  3

f ( x)  3x 2  15 24 x  3

Ejemplo 16: Determinar la derivada de g ( x)  3x3  5x  2 Solución:





1

Convertimos a g ( x)  3x3  5 x  2 2 Aplicando la regla de la cadena tenemos: 1 1 1 g ( x)  3x 3  5 x  2 2 3x 31  5 2 1 1 g ( x)  3x 3  5 x  2 2 9 x 2  5  g ( x)  2

g ( x) 



 



 

1

2 3x 3  5 x  2

9 x





2

 5  g ( x) 

1 23x  5 x  2

1 2

3

9 x

2

 5

9 x

2 3x 3  5 x  2

Derivada de la función implícita Toda función se puede expresar de dos formas:

2

 5

- Explícitamente y = f(x); es decir, la variable independiente se puede separar de la variable dependiente.

- Implícitamente f(x, y) = k, en este caso la variable independiente NO se puede separar fácilmente o en caso extremos no se puede separar de la variable dependiente.

Las funciones que se presentan a continuación están dadas implícitamente: x 2 y 3  4 xy  6 x  2 y y 2  7 xy  4 y  0 Para hallar la derivada de este tipo de funciones, se utiliza la REGLA DE LA CADENA, respetando desde luego los principios de la diferenciación.

Para resolver derivadas de funciones implícitas, se propone a continuación los pasos que se consideran pertinentes realizar:  Definir en la ecuación la función y la variable, para saber respecto a que variable se debe derivar.  Derivar los dos miembros de la ecuación, teniendo en cuenta todos los principios de la derivación.  Agrupar los términos que contengan el diferencial dy/dx, para obtener el factor común de dicho diferencial.  Despejar de la expresión obtenida dy/dx.  Finalmente se obtiene la derivada dy/dx La forma de afianzar este principio es con algunos ejemplos: Ejemplo 17: Dada la expresión: x 2 y 3  4 xy  6 x  2 Hallar la derivada, para x la variable.

Solución: Como y = f(x), entonces se deriva respecto a x los dos términos de la ecuación.

Vemos que el primero y segundo miembro son productos, luego se deriva como producto, el tercero es una constante por variable y el otro término de la ecuación es una constante.  dy  Para x 2 y 3 : La derivada es x 2 * 3 y 2    2 xy 3  dx   dy  Para 4 xy : La derivada es 4 x   4 y  dx  Para 6 x : La derivada es 6 Para 2 La derivada es 0

  dy    dy  Agrupando: x 2 * 3 y 2    2 xy 3   4 x   4 y   6  0  dx    dx   Agrupamos los términos que contienen dy/dx:





 dy   dy   dy  x 2 3 y 2    2 xy 3  4 x   4 y  6  0    3x 2 y 2  4 x  6  4 y  2 xy 3  dx   dx   dx  3  dy  6  4 y  2 xy   3x 2 y 2  4 x  dx 