EXAMEN D’ÀLGEBRA PER 2A BTX CIENTÍFIC - TECNOLÒGIC Nom i cognoms: .....................................................…………………………......... Curs: 2n A BTX Data: Dimarts 20 de Novembre de 2012 (1) Donat el següent sistema d’equacions lineal:
(a) (2 punts) Discuteix el sistema segons els valors del paràmetre m. (b) (1 punt) Resol el sistema quan m=1. Dóna també la interpretació geomètrica de la solució. (c) (1 punt) Aplica les fórmules de Cramer per resoldre el sistema en el cas que el determinant sigui diferent de 0. Dóna també la interpretació geomètrica de la solució. (2) (2 punts) Determineu el rang de la matriu
segons els valors del paràmetre k.
(3) Donada la matriu (a) (1 punt) Calculeu els valors del paràmetre k per als quals la matriu (b) (1 punt) Per a , calculeu .
és invertible.
(4) Considereu la igualtat matricial (a) (1 punt) Comproveu si les matrius
i
compleixen o no la igualtat
anterior. (b) (1 punt) En general, donades dues matrius qualsevol A i B quadrades del mateix ordre, expliqueu raonadament si hi ha alguna condició que hagin de complir perquè la igualtat de l’enunciat sigui certa.
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Matemàtic i científic alemany que contribuí de manera significativa en teoria de nombres, estadística, anàlisi, geometria diferencial, geodèsia, òptica, electrostàtica i astronomia. És conegut com “el Príncep dels matemàtics" i el "més gran matemàtic des de l'antiguitat". Gauss ha tingut una influència destacable en molts dels camps de la matemàtica i la ciència, i se'l considera un dels matemàtics més influents de la història.
Gabriel Cramer (1704-1752) Fou un matemàtic suïs nascut a Ginebra. Va mostrar gran precocitat en matemàtiques i ja als 18 anys rep el seu doctorat i als 20 era professor adjunt de matemàtica. Va ser Professor de matemàtiques de la Universitat de Ginebra durant el període 172427. Al 1750 va ocupar la càtedra de filosofia d’aquesta universitat. En 1731 va presentar davant l’Acadèmia de les Ciències de París, una memòria sobre les múltiples causes de la inclinació de les òrbites dels planetes.
Wilhelm Jordan (1842–1899) Fou un geodesista alemany que va fer treballs de topografia a Alemanya y Àfrica. És recordat entre els matemàtics pel seu algoritme d’Eliminació de Gauss-Jordan, que va aplicar per resoldre el problema de mínims quadrats. Aquesta tècnica algebraica va aparèixer en el seu llibre Handbuch der Vermessungskunde (1873).
Eugène Rouché (1832–1910) Matemàtic francès. Investigà sobre teoria de funcions, integrals definides, probabilitat i arrels d’una equació. Ha passat a la història, junt amb Frobenius, pel famós teorema sobre la resolució de sistemes d’equacions lineals. Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) Matemàtic alemany. Va fer aportacions a la teoria d’equacions diferencials i a la teoria de grups. També és conegut per les seves aportacions al teorema plantejat per Eugène Rouché, anomenat des de llavors Teorema de Rouché-Frobenius.