Vectores del Oriente ALGEBRA LINEAL I
Ă LG EB R A LI N EA L
Vectores
Un vector es una matriz de m dimensiones con propiedades aritmĂŠticas y representaciones de distintos tipos
1
• Vectores Un vector es todo segmento de recta diri-
Hay que tener muy en cuenta el sistema
gido en el espacio. Cada vector posee
de referencia de los vectores, que estará
unas características que son:
formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cual-
Origen
quiera con exactitud.
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
Módulo Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
2
• Vector Cero Un vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (longitud) cero. Por ejemplo, en el plano cartesiano, el vector nulo es el vector (0,0), es decir, que inicia y termina en el origen. Su re-
Para sumar dos vectores se suman sus
presentación gráfica es un punto.
respectivas componentes.
En general en un espacio vectorial arbitrario V, el vector u nulo es el vector nulo si u + v = v + v + u para cualquier vector v. Fijando una base, se tiene que el vector nulo siempre tiene las coordenadas (0,0,..., 0).
• Vectores equivalentes • Suma de Vectores
Dos vectores son equivalentes (a este ni-
Para sumar dos vectores libres y se esco-
vel los consideramos iguales) si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Se
gen como representantes dos vectores ta-
suelen representar, , ..., o con negrita, u,
les que el extremo de uno coincida con el
v...
origen del otro vector.
Se dice que un vector fijo tiene la misma dirección que otro si los segmentos que los definen pertenecen a rectas paralelas.
3
• Vector renglón
• Resta de vectores
Un vector fila o vector renglón es una ma-
Para restar dos vectores libres y se su-
triz de 1 x n dimensiones, esto es,
ma con el opuesto de.
una matriz formada por una sola fila
Las componentes del vector resta se ob-
de elementos.
tienen restando las componentes de los
x = {x1, x2, ... xn}
vectores.
La traspuesta de un vector fila es un vector columna y viceversa. El conjunto de todos los vectores filas forma un espacio vectorial que es el espacio dual del conjunto de todos los vectores columna. • Vector Columna Un vector columna es una matriz de m x 1 dimensiones, esto es, una matriz formada por una sola columna de m elementos.
La traspuesta de un vector columna es un vector fila y vice versa. El conjunto de todos los vectores columna forma un espacio vectorial que es el espacio dual del conjunto de todos los vectores fila.
4
• Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vecto-
• Multiplicación escalar
res con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose
El producto escalar de dos vectores es
un paralelogramo cuya diagonal coincide
un número real que resulta al multipli-
con la suma de los vectores.
car el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Ejemplo
• Regla del polígono La regla del polígono consiste en dibujar una escala adecuada en vectores que se desean a discutir conservando su modulo, dirección, y sentido uniendo el origen del primer vector con el ultimo, esto es un vector de suma.
5
• Vectores Paralelos
Elemento opuesto
Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 radianes (0 grados) o de π radianes (180 grados). Combinación lineal de vectores: Una combinación lineal de dos o mas vecto-
Cuando dos vectores forman un ángulo
res es el vector que se obtiene al sumar
cero, el valor del coseno es la unidad, por
vectores, multiplicados por escalares res-
lo tanto el producto de los módulos vale
pectivamente.
lo mismo que el producto escalar.
Vector binario: Es una matriz de 1 x n ó de n x 1 en la que todas las entradas son 0 o 1.
• Propiedades algebraicas de los vectores
Producto punto o escalar: El producto es-
Asociativa
calar de dos vectores se puede construir tomando la componente de un vector en
la dirección del otro vector y multiplicándola por la magnitud del otro vector. Conmutativa Longitud de un vector (norma): La longitud de un vector de n elementos se determina a través del teorema de Pitágoras.
Elemento neutro
Vector unitario: Es un vector de modulo uno, ósea un vector de un espacio euclí-
6
deo ya sea este el plano euclídeo o el es-
Vectores ortogonales
pacio tridimensional.
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando su producto escalar es cero.
Desigualdad de cauchy-schwarz: La desigualdad de Cauchy-Schwarz se usa para probar que el producto escalar es una
Ejemplo
función continua con respecto a la topo-
u⃗=(3,0)
logía inducida por el mismo producto escalar.
v⃗=(5,5)
u⃗· v⃗=(3*5)+(0*5)≠0 No son perpendiculares
Desigualdad del triangulo: Establece que en todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre
Proyección de un Vector sobre otro
mayor a la longitud del lado restante.
Si se considera buscar la distancia que hay entre un vector “b” sobre la recta “L”, se deberá encontrar la longitud del
Distancia entre vectores: Esta se puede
segmento de recta perpendicular Pb o,
calculo utilizando el teorema de Pitágo-
de manera equivalente, la longitud del
ras.
vector Pb.
Angulo entre vectores: El angulo entre dos vectores viene dado por la expresión:
Teorema de Pitágoras: Haciendo uso del
Si u y v son vectores en n dimensión y u
teorema de Pitágoras, se puede determi-
no es igual a 0, entonces la proyección
nar la longitud de un vector de n elemen-
de v sobre u es el vector definido por:
tos.
proy _u (v)=((u·v)/(u·u))u 7
d⃗= p⃗-q⃗ Siendo p y q dos diferentes vectores.
Vector Normal Se trata de un vector de un espacio de producto escalar que contiene tanto a la
Ecuación en una Recta
entidad geométrica como al vector nor-
La forma normal de la ecuación de una
mal, que también tiene la propiedad de
recta l en R2 es n·(x-p)=0 o n·x=n·p
ser ortogonal o perpendicular a todos los
donde p es un punto especifico sobre l y
vectores tangentes a la entidad geométri-
n≠0 es un vector normal a .
ca. Este vector no tiene que ser necesariamente un vector normalizado o unitario.
La forma general de la ecuación de l es ax+by=c, en donde n = [a/b] es un vector normal para l.
Ecuación en un Plano La forma normal de la ecuación de un plano P en R3 es n·(x-p)=0 o n·x=n·p donde p es un punto especifico sobre P y
Vector Dirección
n≠0 es un vector normal a l.
Un vector dirección o vector director es
La forma general de la ecuación de l es
aquel que da la dirección de una recta y
ax+by+cz=d, en donde n = [a/(b/c)] es
también la orienta, es decir le da un senti-
un vector normal para P.
do determinado.
Producto Cruz o Vectorial 1)
El producto cruz es una operación
binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales.
8
2)
Es un proceso mediante el cual se
produce un tercer vector “n” ortogonal a los dos vectores ya conocidos a evaluar.
Identidades Cualesquiera que sean los vectores, a b y c:
9
Distancia desde un punto F fuera de la
Distancia desde un punto F fuera del Pla-
Recta hacia la recta
no Hacia el Plano.
La distancia entre el punto F, osea el punto fuera de la lĂnea se denota como la menor de todas las distancias.
La distancia desde F hasta el plano se denota como |proy _n ((Pf)⃗ )|
10
Aritmetica de Modulos:
impresora de matriz de puntos. Fue creado por Pitney Bowes en 1972.
Es un sistema aritmético para las clases de equivalencia de un,eros enteros, denominados clases de congruencias. La aritmética modular fue introducida por Carl Friedrich Gauss en 1801. Para un modulo n, se define de la siguiente Para un determinado módulo n, ésta
UPC: ( Universal Product Code):
se define de la siguiente manera:
Estos códigos de barras aparecen detras
a y b se encuentran en la misma "clase
del producto (usualmente) y son una se-
de congruencia" módulo n, si ambos de-
rie de líneas de varias anchuras con una
jan el mismo resto si los dividimos por n,
serie de números debajo de ellas. Esta se-
o, equivalentemente, si a − b es un múlti-
rie de números se le conoce como UPC y
plo de n.
es un numero único de 12 digitos para
Utilizando la notación de Gauss se puede
un producto que esta representado por
denotar de la siguiente manera:
barras legibles impresas para que de tal manera que el lector dew código de barras las pueda leer. Este numero enton-
Utilizando cualquier ejemplo como:
ces busca en el sistema de inventario del detallista el nombre del producto correspondiente y el precio. Esta información
Como ambos números tienen de residuo
es enciada a la caja y queda registrada la
3 al dividir por 10, o equivalentemente
venta. Esta separado por dos mitades, pa-
63-83 es un múltiplo de 10. Y se lee de la
ridad par y paridad impar.
siguiente manera: “63 es congruente con 83, modulo 10. Codabar: Se denomina Codabar al código de barras lineal diseñado para ser leído sin problemas aun estando impreso por una 11
masiado grandes, anteriormente constaba de 10 digitos.
Codigo de Verificacion de ISBN: Al igual que el código UPC, se le denomina código de control o verificador al ultimo digito del código. En este caso seria proporcionado por los últimos 12 numeros. Y sirve para que la lectura del código
Codigo de Verificacion UPC:
sea efectuada correctamente, si el código
El código de verificación es el ultimo nu-
verificador no coincide con el código que
mero de la serie de 12 contenidos en el
ha leído, emite un aviso que algo anda
código. Es obtenido a base de los 11 ante-
mal.
riores. Vectores Codigo. Se les denomina vectores código a los mensajes que sus componentes han sido reemplazados con otros ( una palabra
ISBN (International Standard Book
con otra) de acuerdo con una regla de
Number:
sustitución. Dichos códigos son secretos
Es un identificador unico para los libros
y son el objetivo de la criptografía.en vez
con fin de uso commercial. Fue creado
de ellos el texto se concentrara en los có-
en 1966 en el Reino Unido por las libre-
digos que se usan cuando deben transmi-
rías de W Smith. Al principio era llama-
tirse datos de manera electrónica. Un
do Book Numering, y fue adoptado como
ejemplo seria la clave Morse.
estándar internacional en 1970.Consta
Un código binario es un conjunto de vec-
de 13 digitos únicos desde 2007 ya que el
tores binarios llamados vectores código.
inventario de libros en el mundo era de-
Y al proceso de conversión de este mensa12
je en vectores código se llama codifica-
Son un conjunto finito de ecuaciones li-
ción y el inverso es decodificación.
neales, en donde cada ecuación es de primer grado. Estan definidas sobre un
Codigo de Detección de Error
cuerpo. Como por ejemplo
Este código puede detectar cualquier error individual, si ocurrió un error en un componente, el receptor notaria el error pero no mas donde, solamente sabria que existe un error en el código. Y el problema principal de estas ecuaciones es encontrar la variable desconocida
Codigo de Control de Paridad.
despejando en torno a ella. Tiene una infinidad de aplicaciones.
Si el mismo mensaje contiene vectores binarios, un simple código de detección de error es un código de control de pari-
Solucion Trivial:
dad, que se crea al agregarun componente adicional llamado Digito de Control, a
El termino trivial se refiere a un cuerpo
cada vector de modo que la paridad (el
con estructuras muy simples.Pero que pa-
total de números 1) sea par.
ra la completacion no pueden ser ignoradas. Como por ejemplo esta ecuación diferencial:
Vector Control.
y´=y
Se denomina vector control al vector cuyos componentes son todos los números
En donde y=F(x) es una función la cual
1.
la derivada es y`. Tendriamos como solución trivial la siguiente ecuación: y=0 siendo una función cero
11)
Ecuacion Lineal: 13
Sistema de ecuaciones lineales:
Sistema consistente:
Es un sistema en donde cada ecuación es
Un sistema es consistente si tiene por lo
de un solo grado.
menos una solución. Un sistema con un número infinito de soluciones es depen-
Un ejemplo de una ecuación lineal sería
diente y consistente.
este:
Sistema inconsistente: Es un sistema que carece de solución alguna.
En donde se debe encontrar los valores
Matriz aumentada: Una matriz aumenta-
de x1, x2, x3 que satisfacen la ecuación.
da se obtiene al combinar dos matrices
Esto tiene muchos usos y aplicaciones,
como se muestra en este ejemplo:
entre los que están el procesamiento de
Siendo la matriz A y B
señales digitales y los análisis estructurales.
Sustitución hacia atrás: La matriz aumentada será:
En este método se realiza una eliminación de coeficientes partiendo de la última ecuación del sistema para despejar la incógnita, la cual se puede resolver fácilmente debido a que en esta ultima ecuación se encuentra una sola incógnita, gra-
Esta notación es útil para resolver siste-
cias al trabajo realizado con el método
mas de ecuaciones lineales dados por ma-
de sustitución hacia adelante.
trices cuadradas. También se puede utilizar para encontrar la inversa de una matriz.
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• En cada renglón distinto de cero, el primer elemento distinto de cero (llamado elemento pivote) está en una columna a la izquierda de cualquier elemento pivote bajo el.
Operaciones elementales con renglones: Las operaciones permisibles, llamadas
Matriz coeficiente: Esta matriz contiene todos los coeficientes de las variables.
operaciones elementales con renglones,
Para este sistema:
den realizarse sobre un sistema de ecua-
corresponden a las operaciones que pueciones lineales para transformarlo en un sistema equivalente. Las operaciones que pueden realizarse sobre una matriz son: • Intercambiar dos renglones.
Su matriz coeficiente es:
• Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero. • Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
Pivote: Forma escalonada por renglones:
Es el primer elemento distinto de cero
Una matriz está en forma escalonada
en un renglón. En cualquier columna
por renglones si satisface las siguientes
que contenga un elemento pivote, todas
propiedades:
las entradas bajo este son cero.
• Cualquier renglón que consiste completamente de ceros está en la parte baja. 15
Eliminación Gaussiana:
la misma forma escalonada por renglones.
Es el proceso en el cual se aplica la reducción por renglones a la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales,
Variable Libre:
se crea un sistema equivalente que puede resolverse mediante sustitución hacia
xi. La columna i queda sin pivote en la
atrás.
eliminación. Podemos dar cualquier valor a las variables libres n - r, entonces Ax = b determina las variables pivote r. Variable Pivote: Es el elemento de la diagonal (el primero distinto de cero) cuando se trabaja con una fila al realizar una proceso de elimi-
Matrices equivalentes por renglones:
nación.
Las matrices A y B son equivalentes por
Rank de una matriz:
renglones si existe una secuencia de operaciones elementales con renglones que
es el número máximo de columnas (filas
convierta A en B.
respectivamente) que son linealmente independientes. Si el rango fila y la colum-
Las matrices:
na son iguales, este número es llamado simplemente rango de A. Comúnmente se expresa como rg(A). Teorema del Rank de una matriz: El rango por filas (o por columnas) de una ma-
Son equivalentes por renglones. Sin em-
triz A no varía si se sustituye una de ellas
bargo, en general, ¿cómo puede decirse
por una combinación lineal de todas, en
si dos matrices son equivalentes por ren-
la cual el coeficiente de la sustituida es
glones?
distinto de cero.
Las matrices A y B son equivalentes por renglones si y sólo si pueden reducirse a
16
Forma Escalonada:
Tiene asociado el sistema homogéneo
una matriz se dice que es escalonada, escalonada por filas o que está en forma escalonada si: 1.
Todas las filas cero están en la parte
inferior de la matriz. 2.
El primer elemento no nulo de cada
fila, llamado pivote, está a la derecha del pivote de la fila anterior (esto supone
Un sistema homogeneo es siempre com-
que todos los elementos debajo de un pi-
patible puesto que ´ (0, 0, . . . , 0) es
vote son cero), es decir, si para cada fila
siempre solucion del sistema, nos referi-
i, si=min{j/aij<>0}, se verifica que
remos a dicha solucion como solución tri-
ai,j=0 para toda columna j<si y que ai+1,
vial.
j=0 para toda columna j<=si 3.
Conjunto generador:
En cada fila el pivote es el único ele-
se llama conjunto generador s al conjun-
mento no nulo de su columna.
to de vectores, pertenecientes a V, a par-
Sistema Homogeneo: Un sistema lineal
tir del cual se puede generar el espacio
que tiene todos sus terminos indepen-
vectorial V completo.
dientes igual a cero, es decir, bi = 0 ∀i ∈ {1, 2 · · · n} recibe el nombre de sistema
No confundir este concepto con el de ba-
homogeneo.
se, ya que si bien toda base es un sistema
Todo sistema lineal
generador, la implicación inversa no es cierta. Mientras que una base ha de ser obligatoriamente un sistema libre, es decir, todos sus elementos han de ser linealmente independientes, un sistema generador puede ser ligado, es decir, linealmente dependiente.
17
Generador de un conjunto de vectores:
dos los coeficientes de la combinación lineal.
Un sistema generador de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que tienen la propiedad de que cualquier vector del espacio vectorial es combinación li
neal de los vectores del sistema generador.
Propiedades 1. Si varios vectores son linealmente de-
Ejemplo
pendientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.
En
, los vectores
Forman un sistema generador ya que cualquier vector (x, y) en
También se cumple el reciproco: si
se pue-
un vector es combinación lineal de otros,
de poner como combinación lineal de
y
entonces todos los vectores son lineal-
:
mente dependientes. 2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos. 3.Dos vectores libres del plano U = (u1, u2) y V = (v1, v2) son linealmente depen-
Vectores linealmente dependientes:
dientes si sus componentes son propor-
Varios vectores libres del plano se dice
cionales.
que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero to-
18
Angulo de intersección entre rectas:
Vectores linealmente independientes:
Angulo de intersección entre planos:
Varios vectores libres son linealmente in-
El ángulo entre dos planos es el ángulo
dependientes si ninguno de ellos puede
entre las normales correspondientes a ca-
ser escrito con una combinación li-
da uno de los planos.
neal de los restantes.
Por ejemplo: Encontrar el ángulo entre los planos a1 = a2 = ··· = an = 0
y Dos normales a los planos
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus compo-
y
nentes no son proporcionales.
son
Ejemplo
y
r
espectivamente. As\ı:
Determinar si son linealmente depen
dientes o independientes los vectores:
grados
= (3, 1) y = (2, 3) El método de Gauss: consiste en trasformar un sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente
Linealmente independientes
de forma para que pueda ser escalonada o que sea escalonada.:
(Ver ejemplo en la siguiente pagina)
19
Convergencia Es la condición que se necesita para la
Metodo Jacobi
convergencia, siendo R=L+U. No es nece-
Este método se basa prácticamente en es-
sario que los elementos de la diagonal en
cribir las ecuaciones lineales en la forma
la matriz sean mayores en magnitud que
siguiente:
los otros elementos ya que la matriz es diagonalemnte dominante pero en el caso de que si sea, la matriz converge.
Se parte de una aproximación inicial para las soluciones al sistema de ecuaciones y se sustituyen estos valores en la
Iterado:
ecuación . ASi se genera una nueva apro-
El termino logaritmo iterado indica una
ximación a la solución del sistema que
función que esta definida por la aplica-
en determinadas condiciones es mejor
ción repetida o iterada de la función loga-
que la inicial. Esta aproximación se pue-
ritmo sobre un argumento. Puede ser
de sustituit de nuevo en la parte derecha
descrita como el numero de veces que es
de la ecuación y así sucesivamente hasta
necesario aplicar logaritmo para obtener
obtener la convergencia.
un valor 1 o menor. Es denotada como log*(x)
20
que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar).
En donde es el conjunto de todos los números reales mas el cero .
Divergencia Una serie divergente se refiere a una serie infinita que no converge. Si la serie converge, todos los términos individuales deben tender a 0. Por lo tanto toda se-
Distancia entre dos vectores: La distan-
rie en la cual los términos no tienden a
cia entre dos puntos es igual al módulo
cero, estas divergen.
del vector que tiene de extremos dichos
Un ejemplo es la serie armónica:
puntos.
Ejemplo
Notacion de un vector: Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares 21
Distancia entre rectas paralelas:
La distancia entre dos rectas también se puede expresar del del siguiente modo:
Calcular la distancia entre las rectas:
Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distanDistancia entre dos planos paralelos:
cia a la otra recta.
Cuando nos referimos a la distancia entre dos planos, éstos han de ser paralelos, porque si son coincidentes o secan-
Hallar la distancia entre las rectas: r ≡ 3
tes, la distancia es cero.
x - 4 y + 4 = 0 y s ≡ 9 x - 12 y - 4 = 0.
Recuerda que dos planos son paralelos: 1) Si el rango de la matriz de coeficientes vale 1 y el de la ampliada 2
2) Cuando
,
si A, B, C y A’, B’,C’ son los coeficientes de las variables de cada plano. 3) los coeficientes de las variables son iguales (incluido el signo) que es lo mis-
22
mo que decir que el sistema es incompatible, que no se puede resolver. Tienes a continuación los puntos
y
correspondien-
tes a dos puntos de cada plano paralelo.
La distancia será la perpendicular entre los dos puntos si ambos ocupan los mismos lugares referidos a las variables.
23
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orci, porta lectus esse. xxiv
ALG EB R A LI N EA L
Autores Estos son los desarrolladores de esta revista, las mentes brillantes detrás de las hojas electrónicas llenas de sabiduría
Nacido en la ciudad de Guatemala. Realice mis estudios en Huehuetenango, en el colegio San Lorenzo. Me gradué de bachiller en Ciencias y Letras. Viví un año en Canadá estudiando ingles y francés. Luego me mude a la ciudad de Guatemala luego de haber sido aceptado en la Universidad del Valle. Me considero una persona aplicada, activa y responsable. Mis intereses principales son la mecánica junto con los medios de transportes y sus avances tecnológicos y hobbies serian la música como la guitarra y los deportes como el motocross y tennis.
Nombre: Hugo Andrés Chávez Castillo
Expectativas de este curso:
Fecha de Nacimiento: 07/Abril/1993
1)
Ocupación: Estudiante de Ingeniería Me-
Aprender un poco más acerca de vec-
tores y sus propiedades.
catrónica en la Universidad del Valle de Guatemala
2) co. 25
Ampliar mi conocimiento matemáti-
3)
Mejorar mi habilidad con los núme-
la desde su esencia, además que me en-
ros.
canta utilizar la creatividad para armar y desarmar cualquier tipo de objetos lo que desde un principio me hizo enfocarme en algún tipo de ingeniería, pero la mecatrónica fue la mezcla perfecta que encontré para uno de mis intereses personales, como lo he mencionado, la tecnología. En esta revista espero sintetizar el contenido del curso de Algebra Lineal para así poder contar con ella como herramienta de respaldo al momento de repasar para realizar un parcial o en alguna otra situación que lo requiera.” Expectativas del curso:
Nombre: Barrios Trujillo, Kevin Barrios
-Poder llegar a manejar con seguridad
Fecha de Nacimiento: 17 de diciembre de
sistemas de vectores y matrices.
1993 – 19 años
-Poder llegar a utilizar los sistemas de
Ocupación: Ingeniería Mecatrónica –
vectores y matrices en otras áreas aplica-
Universidad Del Valle De Guatemala
bles como herramientas de respaldo.
“Nacido en la ciudad de Guatemala, gra-
-Aprender más métodos para realizar
duado del Colegio Salesiano Don Bosco,
operaciones y cálculos, y así poder com-
apasionado por superarme a mí mismo,
prender un poco más las matemáticas.
mi propósito es siempre alcanzar un poco más y poco a poco llegar más lejos. En mi tiempo libre acostumbro escuchar música, entrenar artes marciales o pen spinning, o simplemente dormir. Decidí estudiar la carrera de Ingeniería Mecatrónica ya que me apasiona la tecnología, y mi fin es poder comprenderla y dominar26
Uno de mis grandes pasatiempos es la fotografía, pasatiempo en el que llevo un
Nombre: Rodrigo José Jo Lau
poco menos de dos años de practicarlo.
Mis expectativas para este curso: Comprender a plenitud los conceptos de vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales.
Fecha de nacimiento: 8 de noviembre de 1992 Ocupación: Estudiante de Ingeniería Electrónica Algo sobre mí: Me di cuenta que la electrónica era lo que me gustaba desde que decidí que quería que mi carrera de diversificado fuera la de perito en electrónica en el Centro Educativo Técnico Laboral Kinal, desde ese momento estuve seguro que quería estudiar ingeniería electrónica.
-
En este momento curso el segundo año de esta carrera en la Universidad del ValNombre: Javier Alejandro Alay Pérez
le de Guatemala.
- Fecha de Nacimiento: 16/12/1993 27
- Ocupación: Estudiante universitario - Algo sobre mí: Con 19 años, estudiante de la carrera de Ingeniería Mecatrónica, soy un joven cuyo hobbie es la música, no solo escucharla sino también interpretarla. Amante de la tecnología y atraído por la mecánica y electrónica. Me gusta saber más que solo la abstracción de las cosas, no solo saber
Nombre: Acxel Andrés Altuve Chávez
que hacen sino como lo hacen. Bastante
Fecha de Nacimiento: 18 de Octubre de
curioso. Los deportes me ayudan a rela-
1991
jarme. Valoro la amistad y sinceridad de las personas sobre todo lo demás. Creo en un post – modernismo puramente tecnológico, donde las maquinas realizaran mas procesos de automatización donde
Ocupación: Estudiante de la Universidad
el hombre tendrá el control de todo, espe-
del Valle de Guatemala
rando ser uno de los desarrolladores de
Algo sobre mi se podría decir que soy
esa tecnología
una persona amigable y de una personalidad agradable. Nací en la ciudad de
- Mis expectativas para este curso:
Huehuetenango donde realice mis estu-
o Desarrollar aplicaciones de los vecto-
dios de primaria, básico y diversificado.
res y planos
Luego de haberme graduado me mude
o Obtener nuevos conocimientos en el
hacia la ciudad capital para poder seguir
área matemática
mis estudios en dicha universidad. La manera en la que ocupo mi tiempo libre
o Reforzar el algebra y desarrollar una
es estar con mis amigos y pasar un buen
mejor habilidad en ella
rato o ya sea tocar guitarra que me gusta mucho o salir a hacer un poco de bicicleta de montaña que es otra cosa que me gusta hacer. 28
Mis expectativas para el curso: Seria aprovechar al máximo todas las enseñanzas de la profesora para poder así mismo asimilarlos completamente y tener un buen desenvolvimiento en el curso para que así no solo la nota del curso sea alta sino que al igual mi promedio
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