DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Y REGLAS DE DERIVACIÓN INTRODUCCIÓN La noción de derivada de una función es históricamente anterior al concepto de límite aunque en la actualidad el estudio de la derivada se aborda desde una perspectiva de paso al límite de cocientes de incrementos. La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de hallar la recta tangente a la curva de la función en el punto de abscisa (x0,y), fue Piere de Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los valores máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, como veremos en una unidad posterior, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales. Esta idea de valores máximos y mínimos en relación con la derivada es parte de aplicabilidad de este tópico a problemas de optimización.
Objetivo: Mediante el desarrollo de esta unidad se pretende brindar al estudiante del Programa Técnico Profesional en Sistemas de la Fandación Universitaria del Area Andina las opoerunidades de afianzamiento de habilidades, para calcular la derivada de una función utilizando la definición de derivada y las reglas básicas de derivación.
Incremento de una función: Usualmente empleamos el termino incremento para referirnos a un cambio en alguna cantidad. En matemáticas la idea de incremento se usa en un sentido más general, entendiendose como un cambio en el valor de una variable, tal cambio puede ser un aumento o una disminución. En este apartado nos interesa estudiar en que medida se incrementa el valor de una función , cuando la variable independiente se oncrementa en un valor dado. Para el análisis consideremos la siguiente ilustraciòn.
En el esquema anterior consideramos un valor inicial y el corresponiente valor de la función, es decir la imagen tambien consideramos un cambio o incremento en , teniendose un nuevo valor al cual le corresponde una imagen Con lo anterior podenmos dar la siguiente definición de incremento o variación de la función: Dada una función y un incremento en la variable el incremento de la función esta dado por:
Ejemplos: En cada uno de los siguientes casos hallar el incremento de la función dada: a) b)
cuando se incrementa de 1 a 4 cuando x se incrementa de 1 a 2
Solución: a) b)
Observamos en ambos casos un incremento de 3 unidades, pero la función requirió de un incremento de una unidad en mientras que la función requirió de 3 unidades, esto se refleja en un incremento más pronunciado en el caso de . Lo anterior muestra que dar la información del incremento de la función puede que no dé suficiente información sobre la variabilidad de la función, a cambio de ello es màs significativo el incremento relativo de la función, el cual se define como el incremento en por cada unidad de incremento en formalmente se define a continuación:
Incremento relativo de una función: Incremento relativo de una función: Dada una función y un incremento en la variable el incremento relativo de la función, o incremento de por cada unidad que incrementa está dado por:
Un analisis de la primera de las gráficas, mostradas en este documento, nos permite ver que el incremento relativo de una función corresponde a la pendiente de la recta secante a la curva de la fucnción entre los punros . Calculando el valor de
para los ejemplos anteriores tenemos:
para el caso de
y
para el caso de En general nos interesa el cálculo del incremento relativo de una función en términos de la variable x y de su incremento h, sin considerar necesariamente valores particulares. Como se muestra en el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Hallar el incremento relativo
para la función definida mediante:
Solución: Iniciamos desarrollando la expresión de
, con lo cual se tiene:
A partir de la última expresión, dividiendo por h, obtrnrmos la expresión correspondiente al incremento relativo.
Derivada de una función: El incremento relativo
, como se señaló anteriormente, corresponde a la pendiente de la
recta secante a la curva de la función, siendo
puntos de
corte de la recta secante y la curva. Este cociente se puede calcular para cualquier valor de particularmente para valores tan pequeños como se quiera. La figura siguiente muestra varias rectas secantes correspondientes a diferentes valores de .
Dado que el valor de h se puede hacer tan pequeño como se desee, al tomar un valor infinitamente pequeño, los puntos tienden a ser el mismo punto y por consiguiente la recta secante tiende a ser una recta tangente a la curva en el punto .
El cálculo del cociente
no se puede realizar para
=0, pero podemos calcularlo para
valores tan cercanos a cero como queramos, este cálculo corresponde al límite de cuando tiende a cero. Los anteriores razonamientos nos facilitan la comprensiòn de la siguiente definición:
Definición operacional de derivada de una función: Dada una función y = f(x), su derivada en un punto x (si existe) está representada por: f ´(x) y se define mediante la siguiente expresión:
Se recalca aquí que, desde una perspectiva geométrica, el valor de la derivada de una función en un punto dado corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en ese punto.
Ejemplos de cálculo de derivada usando la definición: Ejemplo a: Hallar la derivada de
Soluciรณn: En un ejemplo anterior se realizรณ el cรกlculo de obteniendose como resultado
A partir de lo anterior y dado que la derivada esta dad por:
Se tiene que:
Ejemplo b:
Soluciรณn:
por tanto
para esta funciรณn,
Ejemplo c:
Solución:
La expresión de la derecha se puede factorizar como una diferencia de cuadrados, con lo cual los pasos siguientes son:
Reglas básicas de derivación: La definición de derivada proporciona la fundamentación para comprender su significado, sin embargo, existen reglas que permiten el cálculo de derivada de manera más agil. Se resume a continuación esta reglas de derivación.
a) Si f (x) = c para todo x, con c = constante, entonces f ´(x) = 0 b) Si f (x) = x , entonces f ´(x) = 1 c) Si f (x) = xn entonces f ´(x) = nxn-1 . El exponente n puede ser entero o racional, poitivo o negativo. d) Si f (x) = cxn entonces f ´(x) = cnxn-1 siendo c = constante.
Muchas veces, la función a derivar esta definida en terminos de operaciones indicadas entre otras funciones. Esto se conoce como algebra de derivadas y requiere la aplicación de las reglas anteriores y las que se resumen a continuación.
e) Derivada de una suma de funciones: Si f (x) = U(x) + V(x) entonces f ´(x) = U’(x) + V’(x) f) Derivada de un producto de funciones: Si f (x) = U(x).V(x) entonces f ´(x) = U’(x).V(x) + U(x).V’(x) g) Derivada de un cociente de dos funciones: Si f (x) =
con V(x)≠0 entonces f ´(x) =
h) Derivada de una función compuesta: Si f (x) = U[V(x)] entonces f ´(x) = U’[V(x)].V’(x). conoce como derivada interna
Al componente V’(x) se
Ejemplos de cálculo de derivadas mediante las reglas básicas de derivación: A continuación se presenta tres situaciones en las que se muestra la secuencia de pasos del cálculo de derivada de tres funciones, se hace uso de las reglas de derivación (sin el uso de la definición). Es importante que el estudiante realice el el análisis y explicación de los diferentes pasos y principios aplicados en cada caso.
Derivada de la función logaritmo natural: Dada la función f(x) = Ln(U(x)), con U(x) ≠ 0, entonces f ´(x) = Lo anterior significa que la derivada de logaritmo natural de una expresión, corresponde a la derivada de la expresión (derivada interna respecto al logaritmo) dividida por la expresión misma. En la sección de ejemplos se ilustrará con más detalle este principio.
Derivada de la función exponencial de base : Dada la función f(x)
=
, entonces
f ´(x) = U’(x)
Se concluye que para derivar la función exponencial de base
cuyo exponente es una
función U(x), sólo debemos multiplicar la expresión original por la derivada de su exponente. (derivada interna). En la sección de ejemplos se ilustrará con más detalle este principio.
Derivada de la función exponencial de base ¿Qué sucede si la base no es el número
:
, sino otro numero
( >0y
≠ 1) ?.
Para resolver el interrogante anterior debemos tener en cuenta la siguiente relación entre funciones exponenciales de base
y de base
.
= Lo que indica que podemos cambiar la base por la base si multipliquemos el exponente por el logaritmo natural de de la base original. Aplicando la formula de derivación de la función con base
f(x) =
=
entonces
=
Dado que
Si f(x) =
tenemos que si:
f ´(x) = U’(x)Ln(a)
, lo anterior se reduce a: , entonces f ´(x) = U’(x).Ln(a).
En resumen se tiene que para derivar la función exponencial de base
, cuyo exponente
es una función U(x), sólo debemos multiplicar la expresión original por la derivada de su exponente. (derivada interna) y por el logaritmo natural de la base. En la sección de ejemplos se ilustrará con más detalle este principio.
Ejemplo a: Calcular la derivada de la función Solución: Tomando
, se tiene
Aplicando la fórmula de derivación para funciones compuestas tenemos que:
Para Vale la pena notar que el resultado no aparece en términos de la función Ln.
Ejemplo b: Calcular la derivada de la función
Solución: Teniendo en cuenta las propiedades de los exponentes y las de los logaritmos consultadas como parte de la evaluación de la unidad uno, la función dada puede escribirse como:
= La aplicación de derivadas de funciones compuestas requiere hallar la derivada del cociente (derivada interna). En este caso se recomienda primero el calculo de tal derivada.
U
Calculo de la derivada del cociente. Tomando C(x) =
V Con base en lo anterior se tiene que U’ = 4 del cociente y simplificar se tiene que:
C’(x) =
y V’ = 2. Al aplicar la fórmula de la derivada
=
=
C’(x) = Finalmente, la derivada de la función está dada por:
=
=
=
=
= ;
Entonces para
=
Ejemplo c: Calcular la derivada de la función Solución: Según la fórmula de la sección 2.2, para hallar la derivada de la función, debemos multiplicar la expresión dada por la derivada de su exponente, por tanto necesitamos hallar esta derivada interna.
Tomamos U(x) =
U’(x) =
entonces
=
Finalmente encontramos que:
Para
Ejemplo d: Calcular la derivada de la función Solución: La derivada de una función del tipo
, corresponde a la expresión original multiplicada por la derivada de su exponente y por el logaritmo natural de la base. En este caso, con la base , se tiene el siguiente resultado:
;
Para
Ejemplo :e Calcular la derivada de la función Solución: Este ejemplo combina las funciones exponennciales y logarítmicas y la necesidad de aplicar las reglas de derivación de suma y producto.
V=
Tomamos U =
entonces
V’ =
U’ =
Al aplicar la fórmula de derivada de un producto y organizar los términos se obtiene el resultado siguiente: Para
;