UNIDAD NÚMERO CUATRO APLICACIONES DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Objetivo: Mediante el desarrollo de esta unidad se busca proporcionar al estudiante del programa Tecnico Profesional en Sistemas de la Fundación Universitaria del Área Andina, oportunidades para que reconozca y se familiarice con situaciones que pueden resolverse aplicando principios relacionados con cálculo de valores extremos a través de la derivada de una función, y que ello le proporcione los elementos para enfrentar exitosamente situaciones particulares en su contexto de formación.
Conceptos relacionados con el cálculo de valores extremos: A continuación presentamos un conjunto de conceptos y principios asociados con valores extremos de funciones de una variable y su relación con la derivada de la función. Valores extremos de una función (máximos y mínimos): En diversas situaciones del campo profesional nos enfrentamos a tomar decisiones que pueden soportarse en fundamentos matemáticos. Ejemplos elementales de ello, se relacionan con unidades a producir para maximizar la ganancia, cantidad de materia prima que se debe comprar para minimizar costos de fabricación. En estos contextos, y muchos otros del ámbito científico y tecnológico, cobra importancia la derivada de una función para determinar las condiciones en las que se presentan estos valores extremos. A continuación damos, de forma intuitiva, algunos conceptos relacionados.
Máximo relativo: La función f tiene un máximo relativo en un punto x=c, si f(c) es el mayor valor que toma la función en las “cercanías” o vecindad de c. (punto más alto de una cresta en la curva). Mínimo relativo: La función f tiene un valor mínimo relativo en un punto x= c, si f(c) es el menor valor que toma la función en las “cercanías” o vecindad de c. (punto más bajo de un valle de la curva). Máximo absoluto: f (c) es un valor máximo absoluto de f, en un intervalo I, si f (c)≥f (x), para todo x∈ I.
Mínimo absoluto: f(c) es un valor mínimo absoluto de f, en un intervalo I, si f (c) ≤ f(x), para todo x∈ I. Valor crítico: un punto x= c es un valor crítico de f si f ´(c) = 0 o f ´(c) no existe. La existencia de la derivada de una función en un punto c, significa, desde el punto de vista geométrico, que la curva de la función tiene una recta tangente en el punto (c, f (c)) y que el valor de la pendienter (mT), corresponde a la derivada de f en el punto c, es decir mT = f’(x), si además recordamos que toda recta horizontal tiene pendiente cero, la gráfica siguiente nos permite comprender mejor los anteriores conceptos.
Vemos que los valores de x para los cuales la tangente es horizontal (puntos de posibles valores extremos), pueden hallarse resolviendo la ecuación f’(x) = 0, también vemos que hay máximo relativo o mínimo relativo en puntos donde la derivada no es cero o donde no existe derivada. Resumen de principios relacionados con derivada de funciones y valores extremos: Condición para existencia de extremo relativo donde existe la derivada: Si f es una función que tiene un extremo relativo en c para el cual f ´(c) existe, entonces f ´(c) = 0. El recíproco de la afirmación anterior, (es decir si f ´(c) = 0, entonces f tiene un extremo relativo en c) no es cierto, puesto que se puede dar que f ´(c) = 0 sin que f(c) sea un valor extremo relativo.
Regla para hallar extremos absolutos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b] 1. Se halla los valores críticos c1, c2, c3, ...,cn de f (resolviendo f (x) = 0, o donde f ´(x) no existe). 2. Calcular luego f (a) y f (b) y los valores de f en los valores críticos. 3. El máximo absoluto es el mayor valor de todos los hallados y el mínimo absoluto es el menor. Criterio de la segunda derivada para hallar extremos relativos. Si f es dos veces derivable en un intervalo abierto I, y c un punto de I, tal que f (c) = 0, entonces: 1. Si f ´´(c) < 0, entonces f (c) corresponde a un máximo relativo en c. 2. Si f ´´(c) > 0, entonces f (c) corresponde a un mínimo relativo en c. A continuación se muestra ejemplos que ilustran el manejo de esta temática. Ejemplo a: Dada la función F(x) = 4x3 – 3x2 + 5, hallar sus posibles valores máximos y mínimos. Solución: Comenzamos hallando la primera y segunda derivada de la función. F(x) = 4x3 – 3x2 + 5;
F´(x) = 12x2 – 6x
F´´(x) = 24x – 6
Hallamos los valores críticos resolviendo la ecuación F´(x) = 0, lo que significa que: 12x2 – 6x = 0. La solución de la ecuación es x = 0 y x = ½, (valores críticos) aplicamos el criterio de la segunda derivada remplazando en la expresión de F´´(x), esto nos da: F´´(0) = 24(0) – 6 = -6 < 0 esto significa que F alcanza un valor máximo en x = 0 F´´(1/2) = 24(1/2) – 6 = 12 – 6 = 6 >0, significa que F toma un valor mínimo en x= ½ Las dos líneas anteriores nos indican donde se dan los valores extremos, pero no nos dicen cuales son, los hallamos remplazando los valores críticos en la expresión original de F, con lo que obtenemos: F(0) = 4(0)3 – 3(0)2 + 5 = 5
F(1/2) = 4(1/2)3 – 3(1/2)2 + 5 = ½ - ¾ + 5 = 19/4. F tiene un máximo relativo de 5 en x=0 y un mínimo relativo de 19/4 en x = ½. Ejemplo b: para la función F(x) = x4 - 2x2 + 4, hallar sus posibles valores máximos y mínimos.
Solución: la función original, su primera y segunda derivada se dan a continuación F(x) = x4 - 2x2 + 4;
F´(x) = 4x3 – 4x ;
F´´(x) = 12x2 - 4
Hallamos los valores criticos resolviendo la ecuación F´(x) = 0, lo que significa que: 4x3 – 4x = 0, entonces 4x(x2 – 1) = x(x + 1)(x – 1) = 0. Cuya solución es x = 0; x = - 1 ; x = 1. Remplazando en la expresión de la segunda derivada los valores anteriores encontramos que:
F´´(0) = 12(0)2 – 4 = - 4 < 0; F´´(-1) = 12(-1)2 – 4 = 8 >0; F´´(1) = 12(1)2 – 4 = 8 > 0
La función tiene un máximo relativo en x=0 y minimos relativos en x=1 y x= -1. estos valores son: F(0) = (0)4 – 2(0)2 + 4
=
4
F(-1) = (-1)4 – 2(-1)2 + 4 =
3
F(1) = (1)4 – 2(1)2 + 4
= 3
En la gráfica de la función vemos que los valores extremos corresponden a los hallados antriormente.
Recalcamos la forma de usar las expresiones de la función y su primera y segunda derivada.
El ejemplo anterior muestra que: a) La expresión de la primera derivada, igualándola a cero, se usa para hallar puntos críticos. b) La expresión de la segunda derivada sirve para saber si en los puntos críticos hay máximo o mínimo. c) la expresión de la función se usa para remplazar los puntos críticos y obtener los valores máximos y mínimos de la función.
Ejemplo de problemas de aplicación de cálculo de valores extremos: Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja? Solución: Sea x: longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas, tal como se muestra en la figura de la izquierda..
Es claro que x debe estar en el intervalo
.
Al doblar la cartulina sobre las líneas punteadas se forma la caja abierta de la figura derecha cuyo volumen corresponde a la siguiente expresión: Volumen = V = (área de la base).(altura)
La expresión del volumen es una función continua en el intervalo
, por tanto
alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho intervalo. Si derivamos e igualamos a cero la expresión resultante, obtenemos una ecuación cuya solución nos da los valores críticos de la función, esto es:
De donde se obtiene que los puntos críticos son: y Con estos valores críticos aplicamos el criterio de la segunda derivada para determinar si en tales valores la función tiene un máximo o un mínimo. La segunda derivada viene dada por:
Al remplazar los valores críticos en la segunda derivada se tiene: Con
:
Con Como en en
se da que
,
mientras que en
se concluye que la función se da que
tiene un míinimo
por tanto en ese punto la
función tiene un máximo. Los valores máximo y mínimo se calculan directamente en la expresión del volumen, estos son: Valor mínimo:
Valor máximo:
Estrategia de solución de problemas relacionados con valores exremos. El problema anterior y muchos otros que debamos resolver, en relación con valores extremos, pueden enfrentarse aplicando las siguientes estrategias: Definir la magnitud a maximizar o minimizar (optimizar) y elegir símbolos o letras convenientes para las variables involucradas. De ser necesario, realizar un dibujo que esquematice la situación. Escribir una ecuación que relacione las diferentes variables con la cantidad a optimizar. Tener presente las condiciones del problema, generalmente dadas mediante una ecuación. Expresar la cantidad a optimizar en términos de una sola variable, en lo que resulta útil tener en cuenta las condiciones del problema. Tener claro cuál es el dominio de la función a optimizar. Obtener la primera derivada de la función para hallar los valores críticos. Usar el criterio de la segunda derivada para decidir si el valor extremo es máximo o mínimo. Verificar que la respuesta que se obtiene satisface las condiciones del problema.