ASIGNATURA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS UNIDAD DE DESARROLLO TEMATICO No 5: DESIGUALDADES E INTERVALOS DE NÚMEROS REALES. TIEMPO ESTIMADO DE DESARROLLO PRESENCIAL 1 HORA. TIEMPO ESTIMADO DE TRABAJO AUTÓNOMO 2 HORAS. 4.1. OBJETIVO: A través del desarrollo de esta unidad Didáctica se pretende proporcionar al estudiante del programa de Técnico Profesional en Sistemas de la Fundación Universitaria del Área Andina, las oportunidades de de adquisición de conocimientos y desarrollo de habilidades necesarias en la solución de inecuaciones. 4.2. INTRODUCCIÓN: Son numerosas las situaciones cotidianas que se relacionan con soluciones de inecuaciones. El desarrollo de esta unidad didáctica se centra en la solución de inecuaciones de primer grado, de segundo grado e inecuaciones que involucran más de dos factores, todas ellas en una sola incógnita; se hace necesaria la cuidadosa aplicación de las propiedades de las desigualdades. 4.3 Desigualdades: En el estudio de los Axiomas de orden de los números reales, en la Unidad Didáctica Número 1, notamos que tales axiomas se relacionan con el ordenamiento de tales números, la idea fundamental radica en el hecho que dados dos números diferentes hay uno mayor que otro, esta relación de orden da origen al concepto de desigualdad. Más en detalle expresa lo siguiente: Dados dos números reales decimos que es mayor que un número positivo. En símbolos se expresa mediante:
si y sólo si se cumple que
es
↔ En algunos casos se quiere considerar la posibilidad de que el número cual se expresa de la siguiente forma: ↔
sea mayor o igual que
lo
.
También vale la pena indicar que una desigualdad se puede indicar utilizando los signos “menor que (<)” “menor o igual que )”, el cual expresa una desigualdad en sentido contrario, en este caso se tiene: ↔
.
Si consideramos dos números se encuentra a la derecha de
en la recta numérica, encontramos que si
, entonces
4.4. Propiedades de la igualdad: antes de abordar las situaciones que nos llevan a resolver inecuaciones, es conveniente estudiar las propiedades de las desigualdades como sustento de los procedimientos que hemos de aplicar. Análogamente a lo indicado en el caso de las igualdades, cada una de las expresiones separadas por el signo de la desigualdad recibe el nombre de miembros de la desigualdad. A continuación presentamos las propiedades. a) Al sumar o restar un mismo número real a cada uno de los miembros de una desigualdad, se conserva el sentido de la desigualdad, es decir:
b) Al multiplicar cada uno de los miembros de una desigualdad por un mismo número real positivo, se conserva el sentido de la desigualdad, es decir:
c) Al dividir cada uno de los miembros de una desigualdad por un mismo número real positivo, el sentido de la desigualdad conserva, es decir:
d) Al multiplicar cada uno de los miembros de una desigualdad por un mismo número real negativo, la desigualdad cambia de sentido, es decir:
e) Al dividir cada uno de los miembros de una desigualdad por un mismo número real negativo, se invierte el sentido de la desigualdad, es decir:
4.5. Intervalos de números reales: si bien es cierto que lo fundamental en la solución de las inecuaciones es la aplicación de las propiedades de las desigualdades, también es muy importante la notación de intervalos para representar las respectivas soluciones. Un intervalo de números reales no es más que un subconjunto continuo de números reales o varios de estos subconjuntos. Dado que en general son conjuntos continuos no es posible enumerar cada uno de los elementos que lo forman, la manera de representar un intervalo es en términos de los números que los limitan. Formalmente se tiene las siguientes definiciones asociadas a los diferentes tipos de intervalos: Intervalo cerrado : corresponde al conjunto de todos los números reales que son mayores o iguales que y menores o iguales que , simbólica y gráficamente:
Intervalo abierto : corresponde al conjunto de todos los números reales que son mayores que y menores que , simbólica y gráficamente:
Intervalos semiabiertos [ y : se definen de manera análoga a los dos anteriores, las representaciones simbólica y gráfica son las siguientes:
Vale la pena aclarar la importancia de la notación, el hecho que un intervalo sea abierto en un extremo dado se representa mediante un paréntesis, lo cual significa que ese extremo no pertenece al intervalo sino que únicamente sirve como límite o frontera del mismo; mientras que si es cerrado, se representa mediante un corchete, significando con ello que tal extremo sí pertenece al intervalo. Por ejemplo, en el intervalo A = ( 5, 9], el número 5 no pertenece al intervalo, el 9 sí pertenece. 4.6. Operaciones entre intervalos: dado que los intervalos son conjuntos, las operaciones a las que nos referimos son las mismas que se definen sobre conjuntos en general. En este apartado nos centraremos en las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento, las cuales definimos a continuación: Dados dos intervalos de números reales A y B, tenemos las siguientes operaciones:
Ejemplo: dados los intervalos presentamos a continuación los resultados de las operaciones y la representación de las mismas en la recta numérica.
Ejemplo: a continuación ilustramos los resultados de las mismas operaciones, pero con los intervalos: a) b) c) d) e)
(conjunto vacío) = (
4.7. Inecuaciones: se define la inecuación de manera análoga a la ecuación. Una inecuación es una desigualdad que involucra variables, pero que sólo se satisface para un conjunto restringido de valores de dichas variables. 4.8. Solución de inecuaciones lineales o de primer grado: Una inecuación de primer grado con una incógnita es aquella que puede reducirse a la forma ( ejemplos de inecuaciones lineales son:
Ante la necesidad de resolver inecuaciones, es decir, hallar su conjunto solución, es imprescindible el uso de las propiedades de las desigualdades, los siguientes ejemplos ilustran la solución de inecuaciones: Ejemplos de solución de inecuaciones: a)
En el ejemplo resuelto hemos hecho aplicación explicita de las propiedades, pero al igual que lo comentado en la solución de ecuaciones podemos valernos dela trasposición de términos para agilizar la solución de inecuaciones, siempre que no perdamos de vista la correcta aplicación de las propiedades. En el siguiente ejemplo hacemos uso del procedimiento más ágil. b)
(La desigualdad cambia de sentido al dividir por un número negativo)
4.9. Solución de inecuaciones no lineales: Las inecuaciones no lineales involucran, por ejemplo, la necesidad de factorización de polinomios cuadráticos o de orden superior o en algunos casos la factorización de numerador y denominador de expresiones racionales. Teniendo una inecuación cuadrática, podemos reducirla a la forma:
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas ya reducidas son:
a) b) c)
–
d) Para resolver inecuaciones cuadráticas es fundamental que podamos llevarla a una forma tal que uno de los miembros sea cero, tal como los ejemplos anteriores, a partir de ahí, si es posible, debemos expresar el otro miembro en forma de factores. Al tener un producto, de dos factores, mayor que cero o menor que cero, significa que su producto es positivo o negativo, lo cual nos permite analizar las diferentes posibilidades respecto a los signos de cada factor. Los siguientes ejemplos ilustran lo antes dicho. Resolver la inecuación
.
Solución: al factorizar el miembro de la derecha, la desigualdad se convierte en:
Lo anterior significa que la multiplicación de los dos factores, nos da un producto positivo, sobre lo cual, la ley de los signos de la multiplicación nos dice que los factores son ambos positivos o ambos negativos, por lo tanto la solución buscada se obtiene de:
Lo que a su vez equivale a
La solución de la primera posibilidad es explicar el porqué?
y la solución de la segunda es
Con base en lo anterior la solución correspondiente es:
puede
, es decir:
Un razonamiento similar nos permite presentar la cadena argumentativa para resolver la ecuación:
Como el producto es negativo se tiene que los dos factores deben ser de signo contrario, lo cual se cumple si:
Lo que equivale a:
La solución de la primera posibilidad es mientras que la segunda posibilidad no tiene solución, es decir no hay valor de x que la satisfaga, por tanto la solución definitiva es: Al plantearnos la necesidad de resolver una ecuación como:
¿Qué se puede afirmar respecto al procedimiento de solución aplicado en los ejemplos anteriores? La ley de los signos establece que, para que el producto sea positivo, se requiere que ninguno de los factores sea negativo o que haya un número par de factores negativos, esto nos da un gran número de posibilidades para analizar, por ejemplo, se debe considerar las posibilidades de cuatro factores negativos y uno positivo, con lo que puede darse que el factor positivo sea el primero, o el segundo,…o el quinto, es decir cinco posibilidades, también se debe considerar todos los casos en que hay dos factores negativos y tres positivos, obteniéndose sin duda un gran numero de posibilidades que puede resultar poco práctico manejar. Frente a lo anterior resulta conveniente considerar en conjunto y de manera gráfica los signos de cada factor tal como se muestra a continuación:
Por tanto la solución de corresponde a aquellos intervalos en que el producto de los cinco factores es positivo, tenemos entonces que la medida es:
Teniendo en cuenta que la ley de signos de la división coincide con la de la multiplicación, podemos hallar la solución de la siguiente inecuación, valiéndonos de argumentos análogos a los del ejemplo anterior. >0 Solución:
La solución de
> 0 corresponde a los intervalos en que el producto de los cinco
factores es positivo, tenemos entonces que la medida es: