UNIDAD CUATRO: ÁLGEBRA BOOLEANA
Introducción: El Álgebra de Boole, es una herramienta de vital importancia en el análisis y diseño de circuitos digitales, el Álgebra de Boole consiste en un conjunto de reglas matemáticas que guardan correspondencia con el comportamiento de circuitos basados en dispositivos de conmutación tales como interruptores, relevadores, transistores. Como estudiantes del programa Técnico Profesional en Sistemas de la Fundación Universitaria del Área Andina tendremos la oportunidad de estudiar los postulados que definen el álgebra booleana, y los teoremas relativos a los resultados más importantes Postulados básicos del Álgebra booleana: En este apartado presentamos los postulados básicos del Álgebra de Boole, enunciados por George Boole, en el año de 1854, pero sus primeras aplicaciones a circuitos fueron desarrolladas por Claude Shannon en 1938. Postulado 1 – Definición: El álgebra de Boole es un sistema algebraico definido en un conjunto B que contiene dos o más elementos, sobre los cuales de cuales se definen dos operaciones: Operación OR o “suma" (+) y Operación AND o "producto” (). Las cuales cumplen las propiedades dadas por los siguientes postulados: Postulado 2 - Existencia de neutros: Existen en B el elemento neutro de la suma, denominado O y el neutro de la multiplicación, denominado 1, tales que para cualquier elemento x de B se cumple: a) x + O = x b) x. 1 = x Postulado 3 – Conmutatividad: Para cada x, y en B, se cumple: a) x+y = y+x b) xy =yx Postulado 4 – Asociatividad: Para cada x, y, z en B, se cumple: a) x + (y + z) = (x + y) + z b) x(yz) = (xy) z Postulado 5 – Distributividad: Para cada x, y, z en B, se cumple: a) x+(yz)=(x+y) (x+z) b) x(y+z)=(xy)+(xz)
Postulado 6 - Existencia de Complementos: Para cada x en B existe un elemento único denotado x´, llamado complemento de x tal que: c
a) x+x = 1 c b) x x = O
Ejemplos de álgebras de Boole. Es importante aclarar que las operaciones OR y AND antes definidas, no corresponden a las operaciones suma y producto de la aritmética básica, razón por la cual algunos resultados pueden parecer extraños a nuestra intuición, pero si retomamos los contenidos de las unidades UNO y TRES, encontramos ejemplos que cumplen los postulados del Algebra booleana. Álgebra de conjuntos como un Álgebra de Boole: Según lo estudiado en la unidad correspondiente a Teoría de conjuntos, podemos verificar que en este campo de estudio se cumplen los postulados del Algebra de Boole. 1. Considerando el conjunto B como el conjunto de todos los conjuntos a tratar, podemos asimilar la suma a la operación de Unión (U) entre conjuntos, y la multiplicación a la intersección ( ) de conjuntos. 2. Existencia de neutros: El neutro de la unión es el conjunto vacío ϕ, y el de la intersección es el conjunto universal , ya que para cualquier conjunto arbitrario A se tiene que A U ϕ = A y A = A. 3. Conmutatividad: Las operaciones de unión e intersección son conmutativas, ya que para cualquier par de conjuntos A, B se tiene que: AUB=BUAyA
B=B
A
4. Asociatividad: La unión e intersección de conjuntos son asociativas, ya que para cualesquiera tres conjuntos A, B, C, se tiene: A U (B U C) = (A U B) U C A (B C) = (A B) C.
y
5. Distributividad: La unión de conjuntos es distributiva respecto a la intersección y la intersección es distributiva respecto a la unión, ya que para cualesquiera tres conjuntos A, B, C, se tiene: A U (B C) = (A U B) (A U C) y A (B U C) = (A B) U (A C)
6. Existencia de complementos: El conjunto complemento Ac cumple con las propiedades deseadas: A U Ac = y A Ac = ϕ. Circuitos de conmutación cmo un álgebra de Boole: 1. Aquí consideramos que el conjunto B es el conjunto de todos los switches o interruptores. La operación suma de switches es la conexión en paralelo y la multiplicación corresponde a la conexión en serie, tal como lo vemos a continuación, en donde los valores o estados en que se pueden encontrar los switches son sólo dos: {ON, OFF} o bien, {1,0}.
2. Existencia de neutros. El neutro de la suma, es un circuito abierto (un switch que siempre está abierto), mientras que el neutro del producto es un corto circuito (un switch que siempre está cerrado) 3. Conmutatividad: Es claro que las conexiones en serie y en paralelo funcionan de la misma manera sin importar el orden de colocación de los switches que interconectan. 4. Asociatividad. Las conexiones en serie y en paralelo son asociativas, es decir, al conectar tres switches en paralelo, no importa cual par se conecte primero, similarmente, sucede con la conexión de tres switches en serie. 5.- Distributividad. La conexión serie es distributiva respecto a las conexiones en paralelo y la conexión paralelo es distributiva respecto a la conexión en serie. Esto se sustenta con base en la siguiente figura:
Respecto a las anteriores figuras vale realizar las siguientes aclaraciones: Nota 1: Se está asumiendo que el switch A se puede usar en dos lugares diferentes, lo cual significa que físicamente esto se logra construyendo dos switches acoplados mecánicamente de manera que cuando uno esté abierto el otro también lo esté y cuando uno esté cerrado, el otro también se cierre. Nota 2: En este tipo de configuraciones se asigna mayor jerarquía a la operación producto, y si se quiere alterar el orden de las operaciones se usa los paréntesis. 6.- Existencia de complementos. Se puede fabricar un switch A c complemento de un switch A acoplando mecánicamente ambos, para que cuando uno se abra el otro se cierre y viceversa. La lógica proposicional como un álgebra de Boole. 1. En este caso consideramos que B es el conjunto de todas las proposiciones. La operación suma (+) se asimila a la es la disyunción proposicional “o” (OR), y la multiplicación, a la conjunción gramatical “y” (AND). Los únicos valores que puede tomar una una proposición son {falso,verdadero} = {F,V}. Con base en estas asimilaciones y el uso de las tablas de verdad estudiadas en la unidad tres, el estudiante puede verificar que se satisfacen los demás postulados del Álgebra de Boole.
Teoremas del Álgebra booleana: Los teoremas del Algebra de Boole son un conjunto de resultados basados en los postulados antes presentados y con ellos constituyen las reglas del álgebra booleana. Antes de presentar los teoremas es conveniente mencionar el siguiente principio que se deriva directamente de la manera en que fueron presentados los seis postulados fundamentales, es decir, del hecho de que cada postulado tiene dos incisos los cuales son duales uno del otro. Expresiones duales. Dos expresiones se dicen duales una de la otra, si una se puede obtener de la otra cambiando la operación “suma” (+) por la operación producto (.) y viceversa; y cambiando los O's por 1 's y viceversa. Ejemplo de expresiones duales: La expresión A + B = 1 es dual de la expresión A.B = O, Todas las expresiones de los incisos (a) de los postulados del álgebra booleana son duales de las expresiones de los incisos (b) correspondientes.
Principio de Dualidad. Si una expresión booleana es verdadera, su expresión dual también lo es. Teorema 1. Multiplicación por cero a) A.0 = 0 b) A+1 = 1 Demostración de a) A.0 = A.0 + 0 = A.0 + AAc = A.(0 + Ac) = A. Ac =0 Teorema 2. Absorción a) A + A.B = A b) A(A + B) = A Demostrando de a) A + AB = A.1 + AB: = A(1 + B) = A(1) =A
Por ser 1 el neutro del producto. Por aplicación de la propiedad distributiva Por aplicación del teorema 1 Por ser 1 el neutro del producto.
Ejemplo: un caso que ilustra la utilidad de este teorema es la simplificación de la expresión XY + XYZ, que por absorción da com resultado XY Teorema 3. Cancelación a) A + AB = A + B b) A(A + B) = A B Demostración de a) A + Ac.B = (A+ Ac).(A+B) = 1.(A+B) = A+B
Por aplicación de propiedad distributiva Por ser la “suma de complementos igual a 1. Por ser 1 el neutro del producto
Ejemplos: A + Ac .B.C Ac + A.B XY + (XY)c. Z
por cancelación es igual a A + B.C por cancelación es igual a Ac + B por cancelación es igual a XY + Z
Teorema 4. Cancelación a) AB + Ac.B = B b) (A+B)( Ac +B)=B Demostración de a) AB + Ac.B = (A+ Ac )B = 1.B = B.1
Por aplicación de la propiedad distributiva. Por ser la suma de complementos igual a 1. Por es el neutro del producto.
Ejemplos: Ac .B.C+A.B.C es igual a BC La expresión XYZ+(XY)c. Z es igual a Z Teorema 5. Idempotencia a) A.A = A b) A+A= A Ejemplos: (X+Y)(X+Y) = X+Y XYZXYX = XYZ XY+Z+ XY = XY+Z Teorema 6. Consenso a) AB + AcC + BC = AB + AcC b) (A+B)( Ac +C)(B+C) = (A+B)(Ac +C) Demostración de a) AB + AcC + BC = AB +AcC + BC(A + Ac) Por ser A+ Ac = 1, el neutro de la multiplicación = AB + AcC +ABC + Ac BC Por aplicación de la propiedad distributiva c c = (AB +ABC) + A C + A BC) Por apl. de prop. conmutativa y asociativa = AB + AcC Por teorema de absorción
Para la aplicación de este teorema, con fines de simplificación, es importante tener en cuenta que si en una expresión de varios términos hay dos en los cuales en una de ellas aparece un elemento A y en la otra aparece su complemento, podemos eliminar, si existe, la expresión que sea el producto de aquellas con las que se multiplica A y su complemento. Ejemplos: XYZ + (XY)cW+ ZW por consenso es igual a XYZ + (XY)cW Teorema 7. Teorema de De Morgan a) (AB)c = Ac+Bc b) (A+B)c = AcBc El teorema de De Morgan se puede generalizar al caso de más de dos variables booleanas. Para el caso de 3 variables, tenemos: (A + B + C)c = (A + B)cCc = AcBcCc Similarmente se puede deducir que (A.B.C)c = Ac + Bc + Cc Teorema 8. Involución a) (Ac)c =A Teorema 9. Complementos de los neutros a) 0c = 1 b) 1c = 0 Ejemplos de simplificación de expresiones booleanas Mediante la aplicación de postulados del Algebra booleana y los teoremas antes citados se se puede realizar simplificación y manipulación de expresiones booleanas, a continuación mostramos algunos ejemplos. Ejemplo. Simplificar las siguientes expresiones a) A(BC + AC) + BC b) XYZ+XZ Solución: a) A(BC+AC)+BC = ABC+AAC+BC = ABC+BC+AC = BC +AC
Aplicación de propiedad distributiva Aplicación de prop. conmutativa e idempotencia Aplicación de propiedad de absorción.
b) ((XY)cZ + XZ)c = ((XY)cZ)c .(XZ)c = (XY +Zc) .(Xc + Zc) =XYXc +XYZc + XcZc + ZcZc = 0 + XYZc + XcZc + Zc = Zc
Aplicación de teorema de Morgan Aplicación de teorema de Morgan Aplicación propiedad distributiva Idempotencia y XXc = 0 Aplicación de propiedad de absorción:
Funciones booleanas: Similar a como se definen las funciones reales de variable real, podemos definir funciones de variables booleanas, obteniéndose como resultado otra variable booleana. Definición. Si X1, X2,...,Xn, son variables, la expresión Y = f(X1, X2,...,Xn) define una relación funcional entre Y y las variables X1,X2,...,Xn. A Y se le conoce como variable dependiente y al conjunto X1,X2,...,Xn se le conoce como variables independientes. . Ejemplo: Dadas las variables A, B, C, definimos la siguiente función booleana. Y= f(A,B,C) = AB + AcC + ACc Dependiendo de los valores tomados por las variables independientes se puede hallar valores para Y, como ejemplo tenemos: Para A = 1, B = 0, C = 0 entonces Y= f(1,0,0) = 1.0 + 0.0 + 1.1 = 1, Para A = 1, B = 1, C = 0 entonces Y= f(1,1,0) = 1.1 + 0.0 + 1.1 = 1, Para A = 0, B = 1, C = 0 entonces Y= f(0,1,0) = 0.1 + 1.0 + 0.1 = 0, Los valores de las funciones booleanas pueden representarse en una tabla de verdad, la cual incluye todas las posibles combinaciones de valores que pueden tomar las variables independientes. Ejemplo. La siguiente es la tabla de verdad para la función del ejemplo anterior A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
Ac 1 1 1 1 0 0 0 0
Cc 1 0 1 0 1 0 1 0
AB 0 0 0 0 0 0 1 1
AcC 0 1 0 1 0 0 0 0
ACc 0 0 0 0 1 0 1 0
AB + AcC + ACc 0 1 0 1 1 0 1 1
Si una función Y depende de un conjunto de n variables independientes, se tiene 2n formas de asignar valores a la función. Para las funciones booleanas se puede hacer un listado de todas las funciones para cierto número de variables.
Puertas lógicas: Las puertas lógicas constituyen una forma de representar funciones booleanas, estas puertas o bloques funcionales reciben un conjunto de entradas y producen un conjunto de salidas.
La concatenación de puertas lógicas, en las que la salida de una puerta se utiliza como entrada de otra facilita la representación de funciones complejas a partir de otras sencillas, resaltamos aquí que bloques o puertas con pocas entradas se encuentran implementadas en circuitos integrados disponibles comercialmente, en los que un diagrama de puertas lógicas corresponde a un diagrama de alambrado de circuito lógico. Las siguientes son las puertas lógicas más sencillas. Puerta lógica AND: produce como salida un resultado de 1 si todas las entradas son 1, en caso contario produce cero. A continuación vemos la representación correspondiente a puertas de dos y cuatro entradas, la salida correspondiente se basa en el cálculo de producto.
Puerta lógica OR: produce como salida un resultado de 1 si al menos una de las entradas es 1, en caso contario produce cero. La representación correspondiente a puertas de dos y cuatro entradas.
Puerta lógica NOT: Un inversor es una puerta de entrada única y la salida correspondiente es el complemento de la entrada.
Puerta lógica NAND o negación de la puerta lógica AND: Esta es una puerta de dos o más entrada y la salida correspondiente es la negación o complemento de la operación AND de las entradas. A continuación vemos la representación correspondiente a las puertas NAND de dos y cuatro entradas, la salida se puede visualizar como una puerta AND seguida por una NOT.
Puerta lógica NOR o negación de la puerta OR:Esta es una puerta de dos o más entrada, a la que le corresponde como salida la negación o complemento de la operación OR de las entradas. A continuación vemos la representación correspondiente a las puertas NOR de dos y cuatro entradas, la salida se puede visualizar como una puerta OR seguida por una puerta NOT.
Puerta lógica XOR (OR exclusivo): Puerta de dos o más entradas, su salida es 1 (uno) solamente si una de las entradas es 1 y las demás son cero, en cualquier otro caso produce salida 0 (cero). A continuación vemos la representación de las puertas XOR de dos y cuatro entradas, la operación XOR se denota mediante el símbolo es decir: A XOR B = A B.
Equivalencia entre puertas lógicas: Gracias a los principios asociados al Algebra de Boole se puede obtener diferentes equivalencias entre esquemas de puertas lógicas, a manera de ejemplo tenemos las siguientes: