Hydrodynamique et Mecanique Physique by Jean LuLu

Hydrodynamique Physique

Marc Fermigier

ESPCI - Laboratoire d’Hydrodynamique et M´ecanique Physique

Les figures 1.1, 1.9, 1.10, 1.11, 2.4, 10.1, 10.3, 10.4, 10.5 et 10.6 sont tirées du livre de M. Van Dyke, ” An Album of Fluid Motion ”, Parabolic Press, 1982. La figure 4.8 est tirée du livre de D.V. Bogers et K. Walters, ” Rheological Phenomena in Focus ”, Elsevier 1993. La figure 9.2 est tirée du livre de J.M. Ottino, ” The Kinematics of Mixing ”, Cambridge University Press 1989. Les résultats présentés sur la figure 9.3 ont été obtenus par A. Bakker avec le logiciel Fluent. Les simulations numériques sont réalisées avec le logiciel Charisma écrit par Ralph Goodwin et Andrew Yeckel à l’Université d’Illinois Urbana-Champaign. La photographie de couverture est de Philippe Petitjeans, laboratoire PMMH, ESPCI.

` TABLE DES MATIERES

iii

Table des mati` eres 1 INTRODUCTION 1.1 Du microscopique à la géophysique 1.2 Qu’est-ce qu’un fluide? . . . . . . . 1.3 L’hypothèse de continuité . . . . . 1.4 Notion de viscosité . . . . . . . . . 1.5 Transport diffusif . . . . . . . . . . 1.6 Transport convectif . . . . . . . . .

. . . . . .

1 1 4 6 6 8 10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de courant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

13 13 13 14 16 18 19 19 20 20 21 21 23 24

3 DYNAMIQUE 3.1 Forces de surface et tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Représentation des forces de surface par le tenseur des contraintes 3.1.2 Tenseur des contraintes dans un fluide en mouvement . . . . . . . 3.2 Ecoulements simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Ecoulement dans un tube (écoulement de Poiseuille) . . . . . . . . 3.2.2 Ecoulement entre deux cylindres (écoulement de Couette) . . . . . 3.3 L’équation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Equation de la vorticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Interface solide-fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Interface fluide-fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Notion de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

27 27 27 29 30 30 33 35 35 36 36 36 39

. . . . . .

2 CINEMATIQUE 2.1 Descriptions eulérienne et lagrangienne. . . . . . . . 2.2 Dérivée particulaire de la vitesse. . . . . . . . . . . . 2.3 Lignes de courant.Tubes de courant. . . . . . . . . . 2.4 Conservation de la masse. . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Ecoulement bidimensionnel incompressible. Fonction 2.6 Mesure des champs de vitesse. . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Analyse numérique des visualisations. PIV . 2.6.2 Vélocimétrie laser. . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Doppler ultrasonore. . . . . . . . . . . . . . 2.7 Déformations dans un écoulement . . . . . . . . . . 2.7.1 Décomposition du gradient de vitesse . . . . 2.7.2 Ecoulement de cisaillement simple . . . . . . 2.7.3 Ecoulement élongationnel . . . . . . . . . . .

. . . . . .

` TABLE DES MATIERES

iv 4 FLUIDES NON NEWTONIENS 4.1 Fluides non newtoniens et rhéologie . . . . . 4.2 Comportement non linéaire . . . . . . . . . . 4.2.1 Relations empiriques pour la viscosité 4.2.2 Fluide de Bingham . . . . . . . . . . . 4.3 Viscoélasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Expérience de fluage . . . . . . . . . . 4.3.2 Relaxation de contrainte . . . . . . . . 4.3.3 Sollicitation périodique . . . . . . . . 4.4 Anisotropie des contraintes normales . . . .

. . . . . . . . .

41 41 41 41 43 43 45 46 46 47

5 LOIS DE CONSERVATION 5.1 Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Exemple d’application de la conservation de la quantité de mouvement : force exercée par l’écoulement sur une conduite coudée . . . . . . . . . 5.2 Conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Loi d’évolution de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Dissipation d’énergie par viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Applications des lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Ressaut hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Ecoulement à surface libre au-dessus d’un obstacle . . . . . . . . . . .

53 53 53

6 ECOULEMENTS A PETITS NOMBRES DE REYNOLDS 6.1 Le monde étrange des petits nombres de Reynolds . . . . . . . 6.1.1 L’équation de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Réversibilité cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Additivité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Lubrification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Principe de la lubrification . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Sustentation d’une tête de lecture . . . . . . . . . . . . 6.3 Ecoulement dans un milieu poreux . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Loi de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Modèle de tubes tortueux . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Ecoulements multiphasiques . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Ecoulement autour d’une sphère. Suspensions . . . . . . . . . 6.4.1 Ecoulement autour d’une sphère . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Viscosité des suspensions . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

65 65 66 66 68 69 69 70 71 71 73 74 75 75 77

7 Ecoulements o` u la viscosit´ e est n´ egligeable 7.1 Répartition de pression. Effet Coanda . . . 7.1.1 Effet Coanda. . . . . . . . . . . . . . 7.2 Ecoulements potentiels . . . . . . . . . . . 7.2.1 Propriétés du potentiel des vitesses . 7.2.2 Ecoulements potentiels simples . . . 7.2.3 Ecoulement autour d’un cylindre . .

. . . . . .

79 79 80 81 81 82 84

. . . . . .

54 56 56 57 58 60 60 62

` TABLE DES MATIERES 7.3

7.4

7.5

Forces sur un obstacle en écoulement potentiel . . . . . . . . . 7.3.1 Potentiel des vitesses à grande distance du corps . . . . 7.3.2 Force sur un corps solide . . . . . . . . . . . . . . . . . Conservation de la circulation. Théorème de Kelvin. . . . . . . 7.4.1 Théorème de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Une manifestation du théorème de Kelvin : le tourbillon Surfaces portantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de vidange . . . . . . .

. . . . . . .

86 86 86 89 89 90 90

COUCHES LIMITES 93 8.1 La notion de couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.1.1 Approximations de l’équation de Navier-Stokes dans une couche limite. 94 8.2 Couche limite sur une plaque plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8.3 Avec gradient de pression extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.3.1 Influence de l’accélération ou décélération de l’écoulement externe . . 99 m 8.3.2 Solutions autosimilaires pour un écoulement externe en x . . . . . . 100 8.3.3 Conséquences du décollement de la couche limite . . . . . . . . . . . . 101 8.3.4 Contrôle de la couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

TRANSPORT CONVECTIF 9.1 Equation de transport de la masse et de la chaleur . . . . . 9.2 Exemple de transport par diffusion et convection coupl´ees . 9.3 De l’art de bien m´elanger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Dispersion de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

105 105 106 109 111

10 INSTABILITES ET TURBULENCE 10.1 Instabilités : de l’écoulement laminaire à la turbulence développée 10.1.1 Instabilité de Taylor-Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Instabilité de Kelvin-Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3 Instabilité de Rayleigh-Bénard . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 La nature de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Description statistique du champ de vitesse . . . . . . . . . 10.2.3 Couche limite turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.4 Multiplicité des échelles spatiales et caractère dissipatif . .

. . . . . . . . .

113 113 113 114 116 117 117 118 119 120

. . . .

A Propri´ et´ es physiques de quelques fluides

123

B Petit catalogue de nombres sans dimension

125

127

Notions ´ el´ ementaires sur les tenseurs

D Equations en coordonn´ ees cylindriques et sph´ eriques D.1 Equation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . D.1.1 Coordonnées cylindriques r,θ,x . . . . . . . . . . D.1.2 Coordonnées sphériques r,θ,ϕ . . . . . . . . . . . D.2 Relations entre vitesse , potentiel et fonction de courant D.2.1 Ecoulement bidimensionnel . . . . . . . . . . . . D.2.2 Ecoulement tridimensionnel . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

129 129 129 129 130 130 130

` TABLE DES MATIERES

D.2.3 Ecoulement tridimensionnel avec sym´etrie de r´evolution . . . . . . . . E Quelques rep` eres historiques

130 131

F R´ ef´ erences bibliographiques 135 F.1 Ouvrages généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 F.2 Ouvrages plus spécialisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 F.3 Pour une application ludique de la mécanique des fluides . . . . . . . . . . . . 136

Chapitre 1

INTRODUCTION 1.1

La m´ ecanique des fluides du microscopique ` a la g´ eophysique

La dynamique des fluides joue un rôle essentiel dans de nombreux systèmes avec des échelles de longueur extrêmement différentes, aussi bien dans les écoulements naturels que dans les procédés industriels. Prenons quelques exemples pour illustrer cette ubiquité de la dynamique des fluides. Commen¸cons par un domaine classique de l’ingénieur : l’aéronautique. La conception d’un avion de ligne doit satisfaire, a priori, à des exigences relativement simples : assurer une force de sustentation (portance) donnée tout en minimisant la résistance à l’avancement (force de traˆınée) en vitesse de croisière et assurer la sécurité des phases transitoires de vol (décollage, atterrissage). L’écoulement de l’air autour des ailes ne sert qu’à modifier la répartition de pression de manière à assurer la sustentation de l’avion. En première approximation, la relation de Bernoulli : p + 1/2ρV 2 = C te permet de déterminer la pression ; plus la vitesse du fluide est grande, plus la pression est faible. En réalité, la conception des surfaces portantes nécessite de longues études expérimentales et numériques et des profils à géométrie variable sont utilisés dans les phases transitoires du vol. Dans cet exemple, les vitesses d’écoulement mises en jeu vont du m/s à quelques centaines de m/s et les échelles de longueur caractéristiques de l’écoulement vont de quelques cm à quelques dizaines de m.

Fig. 1.1 – Ecoulement autour d’un profil d’aile. Visualisation sur une maquette dans un canal hydrodynamique par injection de colorants. Photographie : H. Werl´e, ONERA.

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Fig. 1.2 – Répartition schématique du débit sanguin dans les principaux organes, au repos et pendant un exercice physique.Illustration tirée de J.F. Lamb et al., Manuel de Physiologie, Masson 1990 Pour descendre dans les échelles de longueur, empruntons un exemple à la biologie : la circulation de l’oxygène dans notre organisme est assurée par l’écoulement du sang à travers un système complexe de canalisations, artères et veines, dont le diamètre varie du cm à quelques microns. La consommation d’oxygène est régulée en partie par le débit sanguin : la fréquence cardiaque contrôle le débit global ; la vasodilatation permet un contrôle local du débit, par exemple lors d’un effort physique, la proportion de sang envoyé vers les muscles augmente. De nombreuses pathologies sont liées à l’obstruction partielle des vaisseaux et à la diminution de débit qui en résulte. Dans les systèmes biologiques, les effets purement mécaniques sont généralement intimement liés à des effets physico-chimiques. Ainsi l’adaptation à la vie en haute altitude conduit à une augmentation de la concentration en globules rouges, augmentation de concentration qui s’accompagne d’une augmentation de la viscosité du sang, donc d’une résistance à l’écoulement accrue. Différence essentielle avec l’aéronautique : le rôle premier de l’écoulement du fluide est ici le transport d’une substance en solution. Il existe un autre mécanisme de transport essentiel : la diffusion moléculaire (mouvement brownien) mais il est terriblement inefficace : il suffit de ne pas agiter son thé ou son café avec une cuillère pour se rendre compte que la diffusion du sucre est extrêmement lente ; en fait, il faudrait une journée entière pour que le sucre diffuse dans toute la tasse. Autre différence essentielle : le fluide mis en jeu n’est plus un corps simple en phase fluide mais un liquide complexe, une suspension de vésicules déformables, avec de nombreux ions

` LA GEOPHYSIQUE ´ 1.1. DU MICROSCOPIQUE A

Fig. 1.3 – Schéma de deux lits fluidisés l’un pour la calcination du calcaire, l’autre pour effectuer une réaction catalytique. D’après The Kirk-Othmer Encyclopedia of Chemical Technology. et macromolécules en solution. Néanmoins, à une échelle macroscopique, son comportement peut être décrit par les mêmes équations qui régissent l’écoulement de l’air ou de l’eau. Pour l’ingénieur du génie chimique, un écoulement est presque toujours le moyen utilisé pour amener les réactifs en contact. La technique dite du lit fluidisé, dans laquelle des particules solides sont mises en suspension par un courant ascendant de fluide est souvent mise à profit pour les réactions catalytiques, le catalyseur étant dispersé dans les particules solides. Remontons maintenant dans les échelles de longueur pour examiner des écoulements à l’échelle de notre planète. La différence d’éclairement solaire entre les zones polaires et les zones tropicales induit de grandes différences de température entre les différentes régions du globe. Les écoulements atmosphériques et les courants marins servent essentiellement aux échanges de chaleur entre pôles et tropiques ; la température moyenne qui règne à la surface du globe est impossible à évaluer correctement sans prendre en compte les effets de la circulation atmosphérique à grande échelle. Par la même occasion, ces écoulements transportent de nombreuses substances, en particulier les polluants et les cendres volcaniques. Contrairement à ce que certains ont affirmé, les éléments radioactifs émis par l’accident de la centrale de Tchernobyl ne se sont pas arrêtés à nos frontières, ils ont été largement disséminés sur toute l’Europe. Heureusement, les écoulements atmosphériques ont également réalisé un mélange très efficace du nuage radioactif et ont permis la dilution des polluants. Notre expérience quotidienne nous enseigne que les prévisions des météorologistes ne sont pas d’une fiabilité à toute épreuve. Pourtant ceux-ci utilisent à temps plein les plus puissants

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Fig. 1.4 – Photographie de l’atmosphère terrestre prise par le satellite METEOSAT dans le canal infrarouge, le 10 Février 1995. Le tourbillon associé à la perturbation située sur le proche Atlantique s’étend sur un millier de kilomètres.

ordinateurs du monde et les équations de la mécanique des fluides sont connues depuis le milieu du 19ème siècle.. La prévision météorologique se heurte ici à un problème fondamental : l’existence de la turbulence et le caractère d’imprévisibilité à long terme des écoulements turbulents. L’examen de l’atmosphère révèle des mouvements à des échelles très différentes : un champ de blé dont la température est supérieure à celle du bois voisin suffit à provoquer une cellule de convection thermique dont l’extension ne dépasse pas quelques centaines de mètres. Le même phénomène se produit le long des côtes, provoquant la brise de mer ; cette fois, la convection fait sentir ses effets sur une dizaine de km. Les perturbations qui balaient régulièrement l’Atlantique Nord pendant l’hiver sont des tourbillons de plusieurs centaines de km de diamètre. En haut de cette organisation, on trouve la circulation zonale : au niveau des tropiques les alizés soufflent essentiellement de l’est, alors qu’aux latitudes moyennes les vents d’ouest prédominent. L’existence de tourbillons sur une très grande gamme d’échelles spatiales est une des caractéristiques de la turbulence et l’une des raisons essentielles de la difficulté des simulations numériques.

1.2

Qu’est-ce qu’un fluide ?

Pour le physicien versé vers la thermodynamique, un fluide est un corps simple, composé d’une assemblée d’atomes ou molécules identiques, en phase liquide ou gazeuse. La transition entre les différents états s’accompagne de la discontinuité de certaines grandeurs thermodynamiques qui permettent de construire un diagramme des phases sans ambigu¨ıté et sans avoir recours à une mesure des propriétés mécaniques. Par exemple, nous savons que, à la pression atmosphérique, l’eau se liquéfie à 0˚C et se vaporise à 100˚C, que l’hélium reste liquide à 0 K. Le mécanicien donnerait une définition plus empirique : un fluide, c’est quelque chose qui coule. Vue depuis les sommets environnants, la Mer de Glace présente des bandes alternées, sombres et claires, de forme parabolique. Ces bandes de Forbes qui sont dues à l’alternance saisonnière de l’enneigement, révèlent le lent écoulement du glacier vers la vallée de Chamonix. Il s’agit bien d’eau en phase solide, mais la présence des crevasses et leur réarrangement

1.2. QU’EST-CE QU’UN FLUIDE?

Fig. 1.5 – Glacier Barnard en Alaska permanent font, qu’à grande échelle, le glacier se comporte comme un liquide très visqueux (fig. 1.5). Il en est de même des matériaux qui constituent le manteau terrestre. Observés sur des échelles de temps suffisamment longues, ils coulent comme des liquides. Pour caractériser un matériau, le mécanicien mesurerait la déformation en fonction de la contrainte appliquée au matériau. Il définira un solide à partir de sa réponse élastique : la déformation croˆıt linéairement avec la contrainte appliquée. La déformation reste en général petite jusqu’à la rupture du solide. En revanche, dans un fluide la déformation peut être arbitrairement grande sans qu’il y ait une perte de cohésion. Pour un fluide visqueux, c’est la vitesse de déformation qui est proportionnelle à la contrainte appliquée. Une telle distinction entre fluides et solides basée sur la réponse à une sollicitation mécanique peut être plus subtile : les pâtes aux silicones vendues sous le nom de ”silly-putty” se comportent à la fois comme des solides et comme des liquides. Une boule de silly-putty rebondit comme une balle de caoutchouc, pourtant la même boule de silly-putty abandonnée sur une table s’étalera lentement en une couche mince, comme le ferait une huile visqueuse ou du miel. Les macromolécules qui rentrent dans la composition du silly-putty ont un temps de réponse aux sollicitations extrêmement long (à l’échelle moléculaire), aussi leur réaction est-elle différente selon qu’elles ont le temps ou non de se déformer de manière significative. Ainsi la notion de fluidité dépend de l’échelle spatiale d’observation(ou de sollicitation), c’est le cas du glacier, et du temps caractéristique d’observation du système, c’est le cas du silly-putty. Nous entrevoyons également ici la relation entre la structure microscopique des fluides et leurs propriétés mécaniques macroscopiques. L’étude du comportement sous écoulement (discipline qui porte le nom de rhéologie) joue un grand rôle dans de nombreuses industries (peintures, adhésifs, agro-alimentaire, extraction du pétrole, ...) et jusque dans la texture des aliments que nous absorbons. Les relations structure-propriétés mécaniques sont en général difficiles à établir et mettent en oeuvre des considérations subtiles de physique statistique. Un des exemples les plus frappants est l’ajout de polymères de très grande masse moléculaire dans un solvant. Une très petite quantité de polymère (0,1 % en fraction massique) suffit à modifier considérablement la viscosité de la solution, du fait de l’enchevêtrement des chaˆınes macromoléculaires. On ne peut clore ce paragraphe sans mentionner les milieux granulaires secs (poudres, sable) du fait de leur importance dans l’industrie (beaucoup de matériaux sont stockés et transportés sous

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

forme de poudres) et dans l’environnement. L’observation rapide de l’écoulement dans un sablier pourrait nous faire croire qu’il est possible d’analyser ce phénomène comme l’écoulement d’un fluide possédant des propriétés mécaniques particulières. En fait, il n’en est rien et la physique du tas de sable est un domaine assez éloigné de la mécanique des fluides et qui est encore en pleine évolution. Pour illustrer le comportement particulier des milieux granulaires, considérons l’exemple simple de l’équilibre statique d’un silo : si on mesure la pression exercée sur le fond du silo en remplissant celui-ci de plus en plus, on constate que cette pression n’augmente plus au delà d’une certaine hauteur de remplissage, proportionnelle au diamètre du silo. Ce comportement, tout à fait différent de celui d’un liquide, est dˆ u au frottement solide sur les parois latérales du silo qui supporte partiellement le poids de l’empilement de grains.

1.3

L’hypoth` ese de continuit´ e

Si on considère un fluide simple comme l’air ou l’eau, le problème de l’échelle d’observation se pose également. A très petite échelle, il est impossible d’ignorer la nature atomique ou moléculaire des fluides. A ces échelles moléculaires, il est clair que les propriétés physiques d’un fluide varient très largement d’un point de l’espace à l’autre. Néanmoins, il suffit de considérer un volume de fluide assez grand à l’échelle microscopique pour que les propriétés du fluide, moyennées sur un grand nombre de molécules, apparaissent comme dépendant lentement de la coordonnée spatiale. Dans la plupart des situations pratiques, ce volume ”suffisamment grand” reste très petit comparé aux dimensions globales de l’écoulement ; les mesures effectuées à cette échelle peuvent être considérées comme ”locales”. Des expériences récentes et des simulations numériques de dynamique moléculaire ont permis de mieux cerner l’influence de la structure moléculaire sur les écoulements de films très minces de liquide. Lorsque l’épaisseur du film est inférieure à 10 diamètres moléculaires, l’organisation moléculaire du liquide est révélée par les ”marches” que forme le liquide en s’étalant (fig. 1.6). Dans un gaz, c’est le libre parcours moyen qui fixe la limite de l’hypothèse de continuité. Lorsque la pression est suffisamment basse pour que la distance moyenne entre molécules devienne plus grande que les dimensions caractéristiques de l’écoulement, on ne peut plus appliquer les lois classiques de la mécanique des fluides. Une telle situation se rencontre dans la très haute atmosphère (rentrée des véhicules spatiaux) et dans les systèmes d’ultravide utilisés en physique du solide. Dans la suite de ce cours, nous ignorerons ces subtilités et considérerons tous les fluides comme des milieux continus dont les propriétés physiques et la dynamique peuvent être décrits par des fonctions des coordonnées spatiales.

1.4

Propri´ et´ es physiques des fluides. Introduction de la notion de viscosit´ e

Du point de vue de la mécanique, nous avons vu que la propriété essentielle des fluides est la possibilité de supporter des déformations arbitrairement grandes sans perte de cohésion. Les contraintes engendrées dans un fluide ne dépendent donc pas de l’amplitude de déformation, comme c’est le cas dans les solides. En revanche, ces contraintes dépendent de la vitesse de déformation ainsi que le montre l’expérience suivante : enfermons un liquide entre deux plaques planes, parallèles et distantes d’une longueur h. Dépla¸cons la plaque supérieure (dans

´ 1.4. NOTION DE VISCOSIT E

Fig. 1.6 – Profil d’une goutte de polydiméthylsiloxane (huile silicone) s’étalant sur une surface de silicium. Epaisseur mesurée par ellipsométrie optique, 3.5h, 11.4h, 45.4 h et 148.9 h après le dépôt de la goutte. Noter que les échelles verticale et horizontale sont très différentes. D’après N. Fraysse et al., J. Colloid Interface Sci. 158, 27 (1993)

Fig. 1.7 – Ecoulement de cisaillement simple. Deux plaques parall`eles en mouvement relatif.

son propre plan) à la vitesse V et mesurons la force qui s’exerce sur la plaque inférieure (également dans son propre plan). Cette force, ramenée à l’unité de surface en contact avec le liquide est proportionnelle à V /h., soit : F/S ∝ V /h Le coefficient de proportionnalité η est la viscosité dynamique du fluide. Le membre de gauche de l’équation ci-dessus a la dimension d’une pression, c’est la contrainte de cisaillement s’exer¸cant sur le fluide. Le membre de droite est le gradient de vitesse présent dans l’écoulement ; il a la dimension de l’inverse d’un temps. La viscosité dynamique a donc la dimension du produit d’une pression par un temps. Dans le Système International de mesures, la viscosité dynamique s’exprime en Poiseuilles (1Poiseuille = 1Pa s = 1kg m−1 s−1 ). La viscosité de l’eau à 20˚ C est 1 m Pa s ; celle de l’air est à peu près cent fois plus petite : 1,8 × 10 −5 Pa s. Le glycérol, quant à lui, est plus de mille fois plus visqueux que l’eau (1,3 Poiseuille). Le Poiseuille représente donc la viscosité d’un liquide que nous qualifierions de très visqueux dans le langage courant. Pour des raisons de commodité, les unités du système C.G.S. (centimètre, gramme, seconde) sont également utilisées. L’unité de viscosité dans le système C.G.S. est le Poise (1 Poise = 0,1 Poiseuille). La viscosité dynamique de l’eau à 20˚C est 1 centipoise.

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Fig. 1.8 – Plaque mise en mouvement brusquement.

1.5

Transport de la quantit´ e de mouvement dˆ u` a la viscosit´ e

En pratique, la mesure de viscosité décrite ci-dessus s’effectue dans une géométrie circulaire : le fluide est confiné entre deux cylindres concentriques de rayons légèrement différents. L’un des cylindres est fixe, l’autre est mis en rotation à une vitesse imposée. La viscosité du fluide est proportionnelle au couple nécessaire à l’entretien de la rotation. C’est le viscosimètre développé par M. Couette au tout début du siècle. Nous reviendrons plus en détail sur cet appareil dans le chapitre suivant. Examinons en détail ce qui se passe lorsque un des cylindres est mis brusquement en rotation (sa vitesse angulaire passe très rapidement de zéro à une valeur finie). Les couches de fluide au voisinage immédiat de la paroi solide sont mises en mouvement avec la paroi. Cet effet est dˆ u à l’échange de quantité de mouvement entre le solide et le fluide. Dans tous les fluides visqueux, les mesures de vitesse locale montrent que le champ de vitesse s’extrapole à zéro sur une paroi solide : il n’y a pas de mouvement relatif à une interface entre un solide et fluide visqueux. Ces observations macroscopiques ont été confirmées récemment à l’échelle microscopique par des simulations de dynamique moléculaire Ensuite, les couches de fluide de plus en plus éloignées de la paroi sont mises progressivement en mouvement. L’information relative au déplacement de la paroi diffuse au sein du fluide. Pour analyser la cinétique de ce phénomène, considérons une géométrie plane, plus simple que l’écoulement entre les deux cylindres concentriques (en fait, si l’espacement des cylindres est petit devant leurs rayons, l’effet de la courbure sur l’écoulement est négligeable. De la même manière, à notre échelle humaine, nous ne percevons pas la courbure de la Terre) : une plaque solide plane, au contact avec un fluide visqueux, est mise brusquement en mouvement dans son propre plan (fig. 1.8). Quel est l’effet des contraintes de cisaillement sur un élément de volume fluide parallèlépipèdique d’épaisseur dz et d’aire dS dans le plan xy parallèle à la plaque en mouvement? La force horizontale exercée sur la face supérieure est : η

∂ux |z+dz ∂z

et la force sur la face inf´erieure est :

∂ux |z ∂z La résultante de ces deux forces est égale à la variation temporelle de quantité de mouvement de l’élément de fluide : ρdzdS∂ux ∂t o` u ρ est la masse volumique du fluide. La relation fondamentale de la dynamique conduit donc à l’équation suivante : ∂ux η ∂ 2 ux ∂ 2 ux = = ν (1.1) ∂t ρ ∂z 2 ∂z 2 −η

1.5. TRANSPORT DIFFUSIF

o` u ν est la viscosité cinématique du fluide, définie comme le rapport entre la viscosité dynamique et la masse volumique. L’équation ci-dessus est une équation de diffusion de la quantité de mouvement, formellement identique à l’équation de la chaleur : ∂T λ = ∆T = κ∆T ∂t ρCp

(1.2)

o` u λ est la conductivité thermique, C p la chaleur spécifique et κ la diffusivité thermique. La viscosité cinématique a donc les mêmes dimensions que la diffusivité thermique, soit le carré d’une longueur divisé par un temps. La viscosité cinématique de l’eau, à 20˚C est 10−2 cm2 /s ; l’air a une viscosité cinématique (0,15cm 2 /s) plus grande que celle de l’eau , ce qui peut paraˆıtre surprenant mais qui tient à sa faible masse volumique. Le mouvement du fluide est ici décrit par l’équation aux dérivées partielles 1.1. Les solutions particulières sont déterminées par les conditions aux limites. En l’occurrence : le fluide est entièrement au repos avant la mise en mouvement de la plaque solide, soit : u = 0 si t <= 0. D’autre part, la condition de non glissement sur la paroi solide impose : u = U si z = 0, t > 0. Il existe une caractéristique commune à toutes les équations de diffusion : la quantité(νt)1/2 est une longueur. C’est, en ordre de grandeur, la longueur sur laquelle diffuse la quantité de mouvement pendant un temps t. La dépendance en racine carrée du temps est une des ”signatures” d’un phénomène de diffusion. En normalisant la coordonnée z par cette longueur caractéristique et en introduisant la variable sans dimension ζ = z(νt) −1/2 , on transforme l’équation aux dérivées partielles en une équation différentielle ordinaire : d2 u 1 du + ζ =0 dζ 2 2 dζ dont la solution est : u=A

ζ 0

y2 exp − 4

dy + B

(1.3)

(1.4)

A et B sont déterminés par les conditions aux limites : u(ζ = 0) = U et u → 0 si ζ → ∞. Soit : ζ (1.5) u = U 1 − erf 2 √ Rζ 2 o` u la fonction d’erreur erf est définie par : erf (ζ) = 2/ π 0 e−y dy . La solution ne dépend que de la variable sans dimension ζ. Au cours du temps, les profils de vitesse restent identiques, à une dilatation près, suivant l’axe des z, avec un rapport de dilatation qui varie comme la racine carrée du temps (fig. 1.8). Revenons maintenant au cas de l’écoulement entre deux cylindres. Lorsque le cylindre intérieur est mis en mouvement, la quantité de mouvement diffuse dans √ le fluide. L’épaisseur de la couche o` u le fluide est en mouvement croˆıt proportionnellement à νt . Si h est l’épaisseur de l’espace entre les deux cylindres, le cylindre extérieur se mettra en mouvement au bout d’un temps qui est de l’ordre de h 2 /ν . Remarquons enfin que c’est la quantité de mouvement dans la direction de l’axe x qui est transportée dans une direction orthogonale, celle de l’axe z. Ecrivons l’équation 1.1 sous la forme : ∂ ∂u ∂u = ρ η (1.6) ∂t ∂z ∂z le membre de gauche représente la variation de quantité de mouvement, par unité de temps, d’un élément de fluide de volume unité. Le membre de droite est la divergence de la contrainte

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Fig. 1.9 – Plaque plane mise brusquement en mouvement. Profils de vitesse `a diff´erents instants.

de cisaillement créée par la viscosité. La variation globale de quantité de mouvement résulte du bilan de flux de quantité de mouvement à travers les faces supérieure et inférieure de l’élément de volume. L’expression 1.6 montre que le flux de quantité de mouvement dˆ u à la viscosité est : η∂u/∂z. Ce flux n’est rien d’autre que la contrainte de cisaillement ; son ordre de grandeur est : ηU/L.

1.6

Transport par convection de la quantit´ e de mouvement. Introduction du nombre de Reynolds

La diffusion due à la viscosité n’est pas le seul mécanisme de transport de la quantité de mouvement. L’écoulement lui-même participe à ce transport. Un élément de fluide de volume U . Le volume de fluide qui traverse une surface unité par unité unité possède une impulsion ρU de temps est : q = U.n o` u n est la normale à cette surface. Le flux de quantité de mouvement U U.n et, en module :ρU 2 . En général, à travers cette surface est donc vectoriellement : j = ρU les deux mécanismes, diffusif et convectif, de transport de l’impulsion sont présents dans un écoulement. L’importance relative des deux mécanismes est définie par le rapport : Re =

ρU L UL ρU 2 = = ηU/L η ν

(1.7)

dans lequel U est une vitesse représentative de l’écoulement (essentiellement la vitesse moyenne du fluide) et L une échelle de longueur également représentative de l’écoulement (essentiellement, la longueur sur laquelle la vitesse passe de 0 à U ). Ce rapport est appelé nombre de Reynolds. Lorsqu’il est très grand devant 1, le transport d’impulsion est gouverné par la convection, c’est-à-dire par l’inertie du fluide. En revanche, lorsque Re 1, le transport d’impulsion est essentiellement diffusif et l’écoulement est gouverné par la viscosité. Les deux types d’écoulement ont des caractéristiques très différentes. Les écoulements que nous observons couramment dans l’eau ou dans l’air sont presque tous à très grand nombre de Reynolds. En voici quelques exemples : – écoulement atmosphérique : U ≈ 10 m/s, L ≈ 100 km, Re ≈ 10 11 . – écoulement autour d’une aile d’avion : U ≈ 100 m/s, L ≈ 10 m, Re ≈ 10 8 .

1.6. TRANSPORT CONVECTIF

Fig. 1.10 – Ecoulement autour d’un cylindre à Reynolds = 1.5. Visualisation à l’aide de particules réfléchissantes dans l’écoulement. Photographie : S. Taneda., J. Phys. Soc. Jpn.

– écoulement autour d’une voiture : U ≈ 30 m/s, L ≈ 4 m, Re ≈ 10 6 à 107 . – jet d’eau sortant d’un robinet : U ≈ 10 cm/s , L ≈ 1 cm, Re ≈ 10 3 . – écoulement du sang dans l’aorte : U ≈ 1 m/s, L ≈ 1 cm, Re ≈ 10 4 . L’obtention d’un petit nombre de Reynolds nécessite soit un fluide de grande viscosité, soit un écoulement de très petite taille, soit une vitesse très faible ou une combinaison de ces trois paramètres. Si vous vouliez nager à Re = 1, il faudrait vous immerger dans du sirop de sucre et vous interdire de déplacer vos bras ou vos jambes à plus de 1 cm/min. ! Alors que l’écoulement du sang dans l’artère aorte se fait à Re ≈ 10 4 , dans les capillaires dont le diamètre est d’une dizaine de microns, la vitesse du sang est 100 µm/s et le nombre de Reynolds descend jusqu’à 10−3 . Autres exemples d’écoulements à petit nombre de Reynolds : – lubrification de pièces mécaniques en mouvement – mouvement de particules dans les suspensions collo¨ıdales – propulsion des micro-organismes – écoulement des roches et du magma dans le manteau terrestre Nous verrons dans la suite que la relation entre le champ de pression et le champ de vitesse est très différente selon que le nombre de Reynolds est petit ou grand, selon que l’effet de la viscosité est prépondérant ou négligeable. L’augmentation de Re est également associée à l’apparition d’instabilités, puis de la turbulence dans l’écoulement. La série de photographies ci-dessous montre l’évolution du champ de vitesse dans le sillage d’un cylindre lorsque le nombre de Reynolds passe de 1,5 à 10000.

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Fig. 1.11 – Ecoulement autour d’un cylindre `a Reynolds = 26. Deux tourbillons de recirculation sont visibles derri`ere le cylindre. Photographie : S. Taneda.

Fig. 1.12 – Ecoulement autour d’un cylindre à Reynolds = 10000. Le sillage est devenu turbulent et présente de grands tourbillons alternés. Photographie : T. Corke et H. Nagib.

Chapitre 2

CINEMATIQUE 2.1

Descriptions eul´ erienne et lagrangienne.

La description des écoulements est faite, dans la très grande majorité des cas, à partir du champ de vitesse u défini comme une fonction des variables d’espace et du temps :u(x,t). C’est-à-dire qu’on définit ou mesure en chaque point x de l’espace, et à tout instant, la vitesse du fluide, moyennée sur une longueur grande devant les distances intermoléculaires. Du point de vue expérimental, cette description dite ”eulérienne” correspond à une mesure locale de la vitesse du fluide, répétée en un très grand nombre de points de l’écoulement. Dans cette description, on observe différentes particules de fluide qui se succèdent en un même point de l’espace, comme lorsqu’on regarde l’eau défiler sous un pont. Si le champ de vitesse eulérien ne dépend pas du temps, l’écoulement est qualifié de stationnaire ; s’il dépend du temps, l’écoulement est instationnaire. L’autre description, dite ”lagrangienne”, consiste à suivre le mouvement d’une même particule de fluide au cours du temps. Le champ de vitesse est alors spécifié sous la forme : U(r0 ,t0 ,t) qui est la vitesse à l’instant t d’une particule de fluide qui se trouvait en r 0 à l’instant t0 . Cette description lagrangienne correspond aux expériences de visualisation dans lesquelles on dépose un traceur (particule solide, tache de colorant) en un point de l’écoulement et on suit la trajectoire de ce traceur. La trajectoire d’une particule de R t fluide est donnée par l’intégration temporelle du champ de vitesse lagrangien : r(t) = r 0 + t0 U(r0 ,t0 ,t0 )dt0 .

2.2

D´ eriv´ ee particulaire de la vitesse.

Dans un écoulement, l’accélération d’une particule de fluide comporte, en général, deux contributions : la première contribution est due à la variation au cours du temps de la vitesse

Fig. 2.1 – Trajectoire d’une particule de fluide.

CHAPITRE 2. CINEMATIQUE

Fig. 2.2 – Tube de courant. en chaque point de l’écoulement (caractère instationnaire de l’écoulement). La seconde contribution est due à l’exploration d’un champ de vitesse non uniforme par la particule de fluide. Même lorsque l’écoulement est stationnaire, si l’écoulement n’est pas uniforme, une particule de fluide va explorer au cours de son déplacement des zones de plus grande ou plus faible vitesse (voir, par exemple, l’écoulement dans un élargissement brusque représenté sur la fig. 2.3) ; il en résulte un terme d’accélération convective. La première contribution à l’accélération est simplement la dérivée temporelle de la vitesse eulérienne : ∂u/∂t. Si la particule de fluide se trouve en r 0 à l’instant t, elle parcourt en un temps δt une distance δr = u(r0 ,t)δt + O(δt2 ). La vitesse du fluide au point r1 = r0 + δr est : u(r1 ,t) = u(r0 ,t) + ∇u.δr. L’accélération correspondante de la particule de fluide est : (∇u.δr)/δt. En prenant la limite δt 7→ 0, δr/δt 7→ u et l’accélération convective s’écrit : u.∇u de telle sorte que l’accélération totale d’une particule de fluide s’écrit : ∂u Du = + u.∇u Dt ∂t

(2.1)

Il faut noter que ∇u est un tenseur dont les composantes sont ∂u i /∂xj et que la composante i de l’´equation 2.1 s’´ecrit : ∂ui X ∂ui Dui uj = + Dt ∂t ∂xj j

. L’accélération convective est la projection du gradient de vitesse sur la direction locale de l’écoulement.

2.3

Lignes de courant.Tubes de courant.

La représentation graphique des écoulements se fait souvent à l’aides des lignes de courant. Les lignes de courant sont tangentes en tous points au champ de vitesse. Si u,v,w sont les trois composantes de vitesse en coordonnées cartésiennes, l’équation des lignes de courant est : dx dy dz = = u v w

(2.2)

Un tube de courant est une surface composée de lignes de courant s’appuyant sur une courbe fermée. Par définition, le fluide ne traverse pas la paroi d’un tube de courant ; le débit de fluide Q traversant une section droite d’un tube de courant est donc constant. Supposons que deux sections droites d’un tube de courant aient des aires S 1 et S2 , et que la vitesse moyenne et la masse volumique du fluide dans chacune de ces sections soient

2.3.

LIGNES DE COURANT.TUBES DE COURANT.

Fig. 2.3 – Ecoulement dans un élargissement brusque à Re = 50. Résultat d’une simulation numérique. Représentation du champ de vitesse par des lignes de courant.

Fig. 2.4 – Ecoulement dans un élargissement brusque à Re = 50. Résultat d’une simulation numérique. Représentation du champ de vitesse par des vecteurs. respectivement U1 , ρ1 et U2 , ρ2 . La conservation de la masse impose que : ρ 1 U1 S1 = ρ2 U2 S2 = Q. Si le fluide est incompressible, la masse volumique est identique dans les deux sections et la vitesse du fluide est inversement proportionnelle à l’aire de la section : U = Q/ρS. Les lignes de courant donnent donc également une indication sur les valeurs relatives de la vitesse dans l’écoulement : plus les lignes sont resserrées, plus la vitesse est grande. Dans un écoulement stationnaire, les lignes de courant et les trajectoires des éléments de fluide sont confondues. En revanche, dans un écoulement instationnaire, les lignes de courant évoluent au cours du temps et les trajectoires ne sont pas confondues avec les lignes de courant. La fig. 2.5 montre les lignes de courant dans l’écoulement derrière un cylindre mis brusquement en mouvement. Les lignes de courant observées à deux instants différents après le démarrage du cylindre sont clairement très distinctes. Lorsqu’on effectue une visualisation d’un écoulement par une injection continue de colorant en un point, on observe une ligne d’émission. Une ligne d’émission est l’ensemble des positions des éléments de fluide qui sont passés antérieurement par le point d’émission. Dans un écoulement stationnaire, les lignes de courant, trajectoires et lignes d’émission sont confondues. En revanche, dans un écoulement instationnaire, les lignes d’émissions, les trajectoires et les lignes de courant sont, en général, différentes. La fig. 2.6 montre à nouveau l’écoulement instationnaire derrière un cylindre, visualisé d’une part par des lignes d’émission résultant de l’injection de colorant fluorescent sur le cylindre et, d’autre part, avec des lignes de courant matérialisées par de courtes trajectoires de particules réfléchissantes. Un système de double exposition est nécessaire pour réaliser cette image : le colorant fluorescent est excité par un flash très bref, ce qui permet de figer les lignes d’émission. L’obturateur de l’appareil photographique reste ouvert assez longtemps pour que les particules diffusantes impriment une trace révélant l’orientation et la grandeur de la vitesses du fluide.

CHAPITRE 2. CINEMATIQUE

Fig. 2.5 – Exemple d’écoulement instationnaire. Lignes de courant dans l’écoulement derrière un cylindre qui est mis brusquement en mouvement à Re = 500. Visualisation à l’aide de particules métalliques réfléchissantes. A droite, le cylindre s’est déplacé d’une fois son diamètre, à gauche, de trois fois son diamètre. Photographie : R. Bouard et M. Coutanceau. La visualisation par injection de colorants (ou de fumée dans l’air) est assez simple à mettre en ouvre. Elle de ce fait largement utilisée. Néanmoins, comme nous venons de le voir, l’interprétation des visualisations d’écoulements instationnaires doit être faite avec précaution.

2.4

Conservation de la masse.

Ecrivons le bilan de quantité de fluide entrant et sortant d’un volume de référence V , fixe par rapport au système de coordonnées dans lequel est exprimée la vitesse eulérienne u. La variation par unité de temps de la masse contenue dans le volume V est égale à la masse traversant, par unité de temps, la surface S qui délimite le volume V . Soit : Z Z d ρdτ = − ρu.ndσ dt V S o` u n est le vecteur unitaire normal à la surface S et orienté vers l’extérieur de celleci. En utilisant le théorème d’Ostrogradski pour transformer le second membre en intégrale de volume, et en intervertissant la différentiation temporelle et l’intégration dans le premier membre, on obtient : Z ∂ρ + div(ρu) dτ = 0 ∂t V L’égalité écrite ci-dessus est valide quel que soit le volume V considéré et l’intégrand est nul, ce qui conduit à l’expression locale de la conservation de la masse : ∂ρ + div(ρu) = 0 ∂t

(2.3)

Réécrivons 2.3 en développant le second terme : ∂ρ Dρ + u.gradρ + ρ divu = + ρ divu = 0 ∂t Dt

(2.4)

La somme des deux premiers termes du membre de gauche est la d´eriv´ee particulaire (en suivant le mouvement du fluide) de la masse volumique. Si le fluide est incompressible, la

2.4.

CONSERVATION DE LA MASSE.

Fig. 2.6 – Ecoulement instationnaire derrière un cylindre. En haut, visualisation simultanée des lignes d’émission et lignes de courant. En bas, lignes d’émission extraites de l’image et quelques lignes de courant reconstruites.

CHAPITRE 2. CINEMATIQUE

masse volumique n’évolue pas au cours du temps et l’équation de conservation de la masse se réduit à : divu = 0 (2.5) L’équation 2.5 exprime la conservation du volume d’un élément de fluide au cours de sa déformation par l’écoulement. En pratique, un fluide en écoulement peut être considéré comme incompressible si plusieurs conditions sont réunies : – i) la vitesse typique de l’écoulement U est petite devant la vitesse du son c, c’est-à-dire, le nombre de Mach M = U/c est petit devant l’unité. Dans l’eau o` u la vitesse du son est voisine de 1500 m/s cette condition est presque toujours vérifiée. En revanche, dans l’air o` u c est de l’ordre de 300 m/s, de nombreux écoulements, en particulier en aéronautique, sont influencés par la compressibilité du fluide. – ii) dans un écoulement instationnaire, si νest la fréquence typique de variation temporelle de la vitesse, νdoit être tel que 1/ν c/L o` u L est une dimension caractéristique de l’écoulement. C’est-à-dire qu’à l’échelle du temps typique de fluctuation de la vitesse, une onde de pression se propage très rapidement à travers tout l’écoulement. Il est évident que si on intéresse à la propagation des ondes sonores, par exemple au bruit rayonné par un jet turbulent, il faut tenir compte de la compressibilité du fluide. – iii) enfin, il est nécessaire que la variation de pression due à une force extérieure (la gravité par exemple) soit petite devant la pression absolue. Cette dernière condition est presque toujours satisfaite, même si on considère des écoulements atmosphériques sur des échelles verticales très grandes. En pratique, à l’exception notable des applications aéronautiques et de l’acoustique, les effets de compressibilité sont négligeables dans les écoulements et nous les ignorerons dans la suite de ce cours.

2.5

Ecoulement bidimensionnel incompressible. Fonction de courant.

La description de l’écoulement est nettement simplifiée dans un écoulement bidimensionnel incompressible. Seules deux composantes de la vitesse sont non nulles et elles sont reliées par la condition de conservation de la masse divu = 0, soit : ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y Cette condition peut être satisfaite en posant : u=

∂ψ ∂ψ et v = − ∂y ∂x

(2.6)

La fonction ψ ainsi définie est la fonction de courant. En effet, les lignes ψ = C te ont la propriété d’être des lignes de courant. L’équation des lignes de courant est : vdx − udy = 0, soit, en rempla¸cant les composantes de vitesse par les dérivées de la fonction de courant : −

∂ψ ∂ψ dx − dy = dψ = 0 ∂x ∂y

2.6. MESURE DES CHAMPS DE VITESSE.

. Le débit entre deux lignes de courant ψ = ψ 1 et ψ = ψ2 est donné par la différence R 2 de valeur de la fonction de courant entre ces deux lignes : Q = ψ 2 − ψ1 . En effet, Q = 1 u.ndl o` un est la normale à une ligne quelconque joignant les lignes de courant ψ = ψ 1 et ψ = ψ2 . Si (dx,dy) sont les composantes du vecteur tangent à la ligne d’intégration, celles de ndl sont (dy, − dx) et le débit Q est : Q=

2 1

∂ψ ∂ψ dx − (−dy) = ∂x ∂y

2 1

dψ = ψ2 − ψ1

Ainsi, lorsqu’on représente un écoulement par des lignes de courant correspondant à des valeurs de ψ régulièrement espacées, le débit de fluide Q = ∆ψ est le même entre tous les couples de lignes adjacentes. L’espacement des lignes reflète alors directement la vitesse du fluide : la distance d entre les lignes de courant est inversement proportionnelle à la vitesse locale du fluide : u = ∆ψ/d. De la même manière que le champ magnétique, qui est à divergence nulle, dérive d’un potentiel vecteur, le champ de vitesse d’un écoulement bidimensionnel incompressible dérive du potentiel vecteur A = ψk, k étant le vecteur unitaire sur l’axe z. Il est également possible de définir une fonction de courant dans un écoulement axisymétrique incompressible, par exemple, l’écoulement autour d’une sphère. Si le champ de vitesse est indépendante de la coordonnée azimutale θ autour de l’axe de symétrie, l’équation de conservation de la masse s’écrit : divu =

∂ux 1 ∂rur + =0 ∂x r ∂r

o` u x est la coordonnée le long de l’axe de symétrie. Cette équation est satisfaite si : ux =

2.6 2.6.1

1 ∂ψ 1 ∂ψ et ur = − r ∂r r ∂x

Mesure des champs de vitesse. Analyse num´ erique des visualisations. PIV

L’analyse détaillée des écoulements nécessite une mesure de la vitesse, aussi localisée que possible dans l’espace, résolue dans le temps et perturbant l’écoulement le moins possible. Nous avons déjà vu des exemples de visualisations qui nous donnent des renseignements qualitatifs. Les images obtenues avec des particules réfléchissantes en suspension peuvent être traitées numériquement pour obtenir le champ de vitesse. Il y a deux types d’images exploitables : soit on fait une pose assez longue pour impressionner des segments dont la longueur est proportionnelle à la vitesse (comme dans la fig. 2.6), il faut alors identifier dans l’image l’orientation et la longueur des segments. Soit on fait deux poses très courtes (pour figer le mouvement des particules) et assez peu espacées pour que la trajectoire des particules entre les deux poses soit essentiellement rectiligne. Pour mesurer le déplacement des particules, il suffit (en principe) de calculer la fonction de corrélation entre les deux images. La fonction de corrélation présente un maximum à une distance égale au déplacement des particules. Cette technique appelée PIV (Particle Image Velocimetry) est maintenant couramment utilisée dans les laboratoires.

CHAPITRE 2. CINEMATIQUE

Fig. 2.7 – Schéma d’un vélocimètre laser

2.6.2

V´ elocim´ etrie laser.

Parmi les techniques de mesure locale de la vitesse, citons en deux qui utilisent des capteurs placés dans l’écoulement : vélocimétrie à fil chaud et tube de Pitot. La théorie du tube de Pitot sera détaillée après l’introduction de la loi de Bernoulli. Dans le vélocimètre à fil chaud, un petit fil métallique est maintenu à une température constante, supérieure à celle du fluide. L’asservissement en température du fil permet de mesurer le flux de chaleur évacué par le fluide et un étalonnage permet de relier ce flux de chaleur à la vitesse du fluide. Il est également possible de mesurer la vitesse du fluide sans introduire de capteur dans l’écoulement, en utilisant les ondes électromagnétiques (vélocimétrie laser) ou les ondes acoustiques (Doppler ultrasonore). La vélocimétrie laser est maintenant la technique la plus utilisée dans les laboratoires de recherche et elle commence à se répandre dans l’industrie. Le faisceau issu d’un laser continu est divisé en deux. Les deux faisceaux sont ensuite focalisés au sein de l’écoulement. Dans le volume d’intersection des faisceaux, l’interférence des deux ondes produit des franges de pas p, en général égal à quelques microns. Si une particule solide entraˆınée par l’écoulement traverse l’intersection des faisceaux, la lumière diffusée par cette particule présente une succession (dans le temps) de maxima et minima qui correspondent au passage de la particule dans les franges brillantes et les franges sombres. La lumière diffusée est recueillie par un photomultiplicateur et analysée par un appareil spécialisé qui détermine la fréquence f des succession des maxima d’intensité. Cette fréquence est telle que : f = u/p o` u u est la projection de la vitesse du fluide sur la normale au plan des franges d’interférence. Des dispositifs avec deux systèmes de franges orthogonaux permettent de mesurer simultanément deux composantes de la vitesse. Avec cette technique, on peut mesurer des vitesses allant de quelques microns/s jusqu’à quelques centaines de m/s (la fréquence f est alors de l’ordre de 10 Mhz).

2.6.3

Doppler ultrasonore.

L’échographie ultrasonore est devenu depuis une dizaine d’années un outil de diagnostic médical courant, en particulier en obstétrique. Les avancées technologiques de l’informatique ont permis d’intégrer à ces appareils une fonction de mesure de vitesse de l’écoulement sanguin en utilisant le décalage Doppler de l’onde ultrasonore rétrodiffusée. La résolution spatiale de la mesure est assurée de manière électronique en sélectionnant un paquet d’onde rétrodiffusé

Â´ Â´ DEFORMATIONS DANS UN ECOULEMENT

2.7.

Fig. 2.8 â&#x20AC;&#x201C; Allure du signal sortant du photomultiplicateur dans un vÂélocimètre laser. qui a mis un temps dÂéterminÂé pour revenir à la sonde (la mË&#x2020;eme sonde joue alternativement le rË&#x2020;ole dâ&#x20AC;&#x2122;Âémetteur et de rÂécepteur). Dans les appareils les plus sophistiquÂés, plusieurs modes de visualisation sont disponibles : vitesse du sang en un point du champ en fonction du temps, distribution des vitesses dans la section dâ&#x20AC;&#x2122;un vaisseau (permet de quantifier le niveau de turbulence), reprÂésentation du champ de vitesse superposÂé sur lâ&#x20AC;&#x2122;image par un système de couleurs (permet de localiser les recirculations dans les vaisseaux).

2.7

DÂ´ eformations dans un Â´ ecoulement

2.7.1

DÂ´ ecomposition du gradient de vitesse

Nous verrons que la dynamique des Âécoulements est rÂégie par les gradients de vitesse, câ&#x20AC;&#x2122;està-dire par le mouvement relatif des particules de fluide. Il faut de ce fait analyser en dÂétail les dÂéformations subies par un ÂélÂément de fluide placÂé dans un Âécoulement. Si deux particules de fluide sont placÂées respectivement en r et r + Î´r, la diffÂérence de leur dÂéplacement pendant un temps Î´t est : Î´ = â&#x2C6;&#x2021;u.Î´rÎ´t, soit pour la composante i du dÂéplacement : Î´ i = (â&#x2C6;&#x201A;ui /â&#x2C6;&#x201A;xj )Î´rj Î´t. DÂécomposons le gradient de vitesse en une partie symÂétrique et une partie antisymÂétrique : â&#x2C6;&#x201A;ui = eij + Ď&#x2030;ij â&#x2C6;&#x201A;xj o` u les parties symÂétrique et antisymÂétrique sont respectivement : â&#x2C6;&#x201A;uj â&#x2C6;&#x201A;uj 1 â&#x2C6;&#x201A;ui 1 â&#x2C6;&#x201A;ui eij = + â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2030;ij = 2 â&#x2C6;&#x201A;xj â&#x2C6;&#x201A;xi 2 â&#x2C6;&#x201A;xj â&#x2C6;&#x201A;xi

(2.7)

(2.8)

Examinons dâ&#x20AC;&#x2122;abord la contribution de la partie symÂétrique à la dÂéformation : Î´ si = eij Î´rj Î´t. Il existe un repère dans lequel le tenseur de rang deux symÂétrique e ij est diagonal. Dans ce u a,b,i0 et j0 sont repère, notons les composantes de Î´r : Î´r i0 . Alors, Î´ s = aÎ´r10 i0 + bÎ´r20 j0 o` respectivement les valeurs propres et directions propres de e ij et o` u nous nous sommes limitÂés pour simplifier à un espace bidimensionnel. Notons que : a + b = e kk = divu, la trace dâ&#x20AC;&#x2122;un tenseur Âétant invariante par changement de repère. Nous pouvons encore dÂécomposer cette dÂéformation en une partie isotrope et une partie anisotrope, soit : a+b 0 0 aâ&#x2C6;&#x2019;b 0 0 s 0 0 0 0 Î´ = (Î´r1 i + Î´r2 j ) + (Î´r1 i â&#x2C6;&#x2019; Î´r2 j ) Î´t 2 2 Le premier terme correspondant à un accroissement relatif de volume dâ&#x20AC;&#x2122;une quantitÂé a+b 2 Î´t. Le second terme correspondant à une dÂéformation pure, sans changement de volume, dâ&#x20AC;&#x2122;amplitude : (|a â&#x2C6;&#x2019; b|/2)Î´t.

CHAPITRE 2. CINEMATIQUE

Fig. 2.9 – Imagerie Doppler ultrasonore de l’artère carotide. Dans le losange, à l’intérieur de l’image, les niveaux de gris codent la vitesse du sang. Les côtés du losange ainsi que le trait central indiquent la directions de propagation des ultrasons. Sous l’image on voit l’enregistrement temporel de la vitesse au centre du vaisseau inférieur dans l’image. Document ATL.

2.7.

Â´ Â´ DEFORMATIONS DANS UN ECOULEMENT

Fig. 2.10 â&#x20AC;&#x201C; DÂéformation dâ&#x20AC;&#x2122;un cercle par un Âécoulement. Dilatation globale, puis dÂéformation à volume constant et enfin, rotation en bloc. Pour mieux comprendre lâ&#x20AC;&#x2122;effet de lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement, dÂéterminons la dÂéformation dâ&#x20AC;&#x2122;un ÂélÂément de fluide initialement circulaire. Le premier terme transforme le cercle de rayon R en un cercle Äąnde rayon : R[1+ a+b 2 Î´t] et le second terme transforme ce cercle en une ellipse dont les axes coÂ¨ cident avec les axes propres du tenseur des taux de dÂéformation. Les deux transformations sont illustrÂées sur la fig. 2.10. Examinons maintenant la contribution de la partie antisymÂétrique du gradient de vitesse : Î´ ai = Ď&#x2030;ij Î´rj Î´t, toujours en nous limitant à deux dimensions pour simplifier lâ&#x20AC;&#x2122;analyse. Prenons : Î´r = (Î´r 1 ,Î´r2 ) ; alors, Î´ a = (Ď&#x2030;12 Î´r2 Î´t , Ď&#x2030;21 Î´r1 Î´t) = Ď&#x2030;12 Î´t(â&#x2C6;&#x2019;Î´r2 , Î´r1 ) , car les composantes diagonales de Ď&#x2030; ij sont nulles et Ď&#x2030;21 = â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2030;12 . Le dÂéplacement de lâ&#x20AC;&#x2122;extrÂémitÂé du vecteur Î´r est orthogonal au vecteur Î´r. Lâ&#x20AC;&#x2122;effet de la partie antisymÂétrique du gradient de vitesse est de faire tourner ce vecteur dâ&#x20AC;&#x2122;un angle Îą â&#x2030;&#x2C6; Ď&#x2030; 12 Î´t. Ceci est vrai quel que soit lâ&#x20AC;&#x2122;orientation du vecteur Î´r. Donc, lâ&#x20AC;&#x2122;effet de Ď&#x2030; ij est de faire tourner les ÂélÂéments de volume de fluide, sans dÂéformation, dâ&#x20AC;&#x2122;un angle Îą. On voit quâ&#x20AC;&#x2122;à deux dimensions,Ď&#x2030; ij nâ&#x20AC;&#x2122;a quâ&#x20AC;&#x2122;une seule composante indÂépendante, avec : Ď&#x2030; = â&#x2C6;&#x2019;2Ď&#x2030; 12 = 2Ď&#x2030;21 et cette composante est telle que : rotu = Ď&#x2030;k = Ď&#x2030;

(2.9)

Le mË&#x2020;eme raisonnement sâ&#x20AC;&#x2122;applique à trois dimensions. On dÂéfinit le vecteur Ď&#x2030;comme la vorticitÂé locale de lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement. La vorticitÂé reprÂésente le double de la vitesse angulaire de rotation dâ&#x20AC;&#x2122;un ÂélÂément de fluide. Dans certains cas, la vorticitÂé est nulle partout. lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement est alors qualifiÂé dâ&#x20AC;&#x2122;irrotationnel. La figure 2.10 rÂésume la dÂécomposition du gradient de vitesse en trois termes : â&#x20AC;&#x201C; un terme symÂétrique isotrope qui reprÂésente la variation de volume dâ&#x20AC;&#x2122;un ÂélÂément de fluide. Ce terme set nul si le fluide est incompressible (divu = 0). â&#x20AC;&#x201C; un terme symÂétrique anisotrope qui reprÂésente une dÂéformation pure, sans changement de volume. â&#x20AC;&#x201C; un terme antisymÂétrique qui reprÂésente une rotation en bloc, sans dÂéformation. Ce terme est nul si lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement est irrotationnel.

2.7.2

Ecoulement de cisaillement simple

Appliquons la dÂécomposition explicitÂée ci-dessus au cas de lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement de cisaillement simple que lâ&#x20AC;&#x2122;on rencontre dans les viscosimètres à cylindres coaxiaux . Le champ de vitesse est : ux = Gy, uy = 0. La seule composant non nulle du gradient de vitesse est : â&#x2C6;&#x201A;u x /â&#x2C6;&#x201A;y = G

CHAPITRE 2. CINEMATIQUE

Fig. 2.11 – Déformation d’un élément de fluide carré dans un écoulement de cisaillement simple : déformation sans changement de volume avec des axes propres à 45˚ puis rotation. et ses parties symétrique et antisymétrique sont respectivement : 1 1 0 G 0 G et ω = e= 2 G 0 2 −G 0 Le terme symétrique a une trace nulle, il n’y a donc pas de variation de volume des éléments de fluide. Ce terme symétrique a des axes propres orientés à 45˚ et les valeurs propres sont G/2 et −G/2. Enfin, le terme antisymétrique représente une rotation à la vitesse angulaire −G/2 (fig. 2.11).

2.7.3

Ecoulement ´ elongationnel

Considérons maintenant un écoulement purement élongationnel. Le champ de vitesse est donné par la fonction de courant : ψ = kxy qui correspond à : u x = kx, uy = −ky. Les lignes de courant sont des hyperboles. Un tel écoulement peut être réalisé par un appareil à quatre rouleaux rotatifs (fig. 2.12) ou par un système de jets opposés. Le gradient de vitesse est symétrique dans ce cas particulier: k 0 G= 0 −k Les axes propres sont confondus avec les axes x et y. Un cercle se déforme en une ellipse dont le grand axe est parallèle à l’axe x. Le gradient de vitesse n’ayant pas de partie antisymétrique, il n’y a pas de mouvement de rotation des éléments de fluide ; cet écoulement est un écoulement de déformation pure. L’absence ou la présence d’une composante rotationnelle du gradient de vitesse peut avoir des conséquences importantes. Une solution de polymères placée dans l’appareil à quatre rouleaux présente une biréfringence assez importante. Cette anisotropie de l’indice de réfraction induite par l’écoulement est due à la déformation des macromolécules dans l’écoulement. En revanche dans un écoulement de cisaillement simple, la même solution de polymère soumise à un gradient de vitesse comparable ne présente pas de biréfringence notable. En effet, la composante rotationnelle du gradient change continuellement la direction d’élongation des macromolécules. Dans l’écoulement élongationnel, les macromolécules restent orientées dans la direction d’allongement et, de ce fait, le gradient de vitesse est beaucoup plus efficace pour déformer les polymères. Une observation similaire est faite concernant la déformation de goutelettes (suspendues dans un autre liquide) placées dans les mêmes écoulements : les goutelettes sont plus facilement déformées et fractionnées dans l’écoulement purement élongationnel (fig. 2.12).

2.7.

´ ´ DEFORMATIONS DANS UN ECOULEMENT

Fig. 2.12 – A gauche : Appareil à quatre rouleaux pour produire un écoulement élongationnel. A droite : Déformation d’une goutelette de fluide visqueux en fonction du nombre capillaire. Les différentes courbes correspondent à différentes valeurs de la vorticité. La déformation la plus importante est obtenue pour une vorticité nulle. Figures tirée de Bentley et Leal, J. Fluid Mech. 167, 219 (1986).

CHAPITRE 2. CINEMATIQUE

Chapitre 3

DYNAMIQUE 3.1

Forces de surface et tenseur des contraintes

Avant d’écrire l’équation qui régit la dynamique des fluides, il est nécessaire de préciser la définition des forces de surface et des contraintes. Il est possible de classer les forces qui s’exercent sur la matière en deux catégories selon leur portée. Il est clair que la gravité s’exerce sur des distances extrèmement grandes devant les dimensions moléculaires et, de ce fait, la force de gravité sur un élément de volume est proportionnelle à son volume. La gravité est, pour la mécanique des milieux continus, une force en volume. En revanche, les interactions moléculaires qui assurent la cohésion d’un liquide ont une portée à peine plus grande que les dimensions moléculaires (bien que ces interactions soient d’origine électromagnétique). Ces interactions à courte portée ne vont donc concerner qu’une mince couche externe, sur un élément de volume donné. La force globale exercée par ces interactions à courte portée est proportionnelle à l’aire de la surface limitant l’élément de fluide et elle est indépendante de son volume. Il en est ainsi du transport de quantité de mouvement que nous avons invoqué au moment de l’introduction de la viscosité: ce transport de quantité de mouvement résulte des interactions directes entre molécules ou atomes voisins dans le fluide, et non pas d’une interaction à longue portée à travers le fluide. L’existence de la viscosité se manifeste par des forces de surface.

3.1.1

Repr´ esentation des forces de surface par le tenseur des contraintes

Considérons un élément de surface δA au sein du fluide, défini par son vecteur normal n. Les forces exercées par le fluide se trouvant d’un côté de la surface sur le fluide se trouvant de l’autre côté ont une résultante que nous notons T(n)δA. Par convention, T est la contrainte exercée par le fluide vers lequel pointe la normale n. Ainsi, une contrainte positive représente une tension et une contrainte négative une compression. Considérons un tétraèdre dont trois des faces ont pour vecteur normal les vecteurs unitaires des axes de coordonnées i,j et k. La quatrième face a un vecteur normal n. La résultante des forces de surface sur ce tétraèdre est : T(n)δA+T(−i)δA 1 +T(−j)δA2 +T(−k)δA3 . Les signes - qui apparaissent devant i,j et k proviennent du fait qu’il faut considérer la normale dirigée vers l’extérieur du tétraèdre. Ensuite, tenons compte du fait que les facettes δA 1 , δA2 ,et δA3 sont des projections de δA, soit : δA 1 = δAi.n et que T(−n) = −T(n). La résultante des forces devient donc : [T(n) − i.nT(i) − j.nT(j) − k.nT(k)]δA . L’équation de la dynamique pour ce tétraèdre s’écrit : masse x accélération = somme des forces de volume + somme des forces de

CHAPITRE 3. DYNAMIQUE

Fig. 3.1 – vecteur contrainte T sur une facette de normale n . surface. Si on fait tendre les dimensions linéaires du tétraèdre vers 0, les deux premiers termes de l’équation de mouvement tendent vers 0 comme δV ∝ δA 3/2 . L’égalité est respectée quel que soit δV seulement si le coefficient de δA est nul, soit : T(n) = i.nT(i) + j.nT(j) + k.nT(k)

(3.1)

et, en consid´erant uniquement la composante selon l’axe x : Tx (n) = nx Tx (i) + ny Tx (j) + nz Tx (k)

(3.2)

Dans cette expression, Tx (j) est la composante suivant l’axe x du vecteur contrainte qui s’exerce sur une facette de normale j. Toutes les composantes de ce type constituent un tenseur d’ordre deux, le tenseur des contraintes. L’équation 3.2 peut s’écrire également : Ti (n) = σij nj

(3.3)

o` u les σij sont les composantes du tenseur des contraintes ; dans le membre de droite de (3.3), on utilise la convention de sommation d’Einstein : lorsque le même indice est répété, on effectue la somme sur toutes les valeurs possible de cet indice (par exemple, le produit scalaire a.b s’écrit : ai bi ). Les composantes diagonales du tenseur sont les contraintes normales alors que les composantes hors diagonale sont les contraintes tangentielles, ou contraintes de cisaillement. Les composantes du tenseur des contraintes ne sont pas indépendantes. Considérons un petit élément de volume parallélépipèdique, dont les dimensions sont dx, dy et dz. Ecrivons le couple exercé par les contraintes sur cet élément de volume et, en particulier, la composante suivant l’axe z : Γz = σxy (dydz)dx − σyx (dxdz)dy = (σxy − σyx )δV L’équation de mouvement, en rotation, pour le petit élément de volume est : δI

dω =Γ dt

o` u δI est le moment d’inertie dont l’ordre de grandeur est δV 5/3 . Si on fait tendre les dimensions linéaires de l’élément de volume vers 0, pour que son accélération angulaire reste finie, il est nécessaire que Γz soit nul, ce qui impose : σxy = σyx . Il est évidemment possible de faire

3.1. FORCES DE SURFACE ET TENSEUR DES CONTRAINTES

Fig. 3.2 â&#x20AC;&#x201C; Vecteurs contraintes et contraintes sur les facettes orientÂées perpendiculairement aux vecteurs i et j. le mË&#x2020;eme raisonnement sur les autres composantes du couple. On en dÂéduit que le tenseur des contraintes est symÂétrique : Ď&#x192;ij = Ď&#x192;ji . Il nâ&#x20AC;&#x2122;y a donc que six composantes indÂépendantes. Il faut noter que cette symÂétrie nâ&#x20AC;&#x2122;est pas une propriÂétÂé gÂénÂérale : par exemple, le tenseur des contraintes nâ&#x20AC;&#x2122;est pas symÂétrique dans un matÂériau magnÂétique, en prÂésence dâ&#x20AC;&#x2122;un champ.

3.1.2

Tenseur des contraintes dans un fluide en mouvement

Dans un fluide au repos, le tenseur des contraintes est isotrope et il nâ&#x20AC;&#x2122;y a pas de contraintes tangentielles. Sur chacun des axes la contrainte normale est lâ&#x20AC;&#x2122;opposÂé de la pression : Ď&#x192; xx = Ď&#x192;yy = Ď&#x192;zz = â&#x2C6;&#x2019;p . La contribution de la pression est nÂégative, parce que le fluide est en compression (une contrainte normale positive reprÂésente une traction). La pression ainsi dÂéfinie est identique à la pression au sens thermodynamique et elle peut Ë&#x2020;etre dÂéfinie à partir de lâ&#x20AC;&#x2122;Âéquation dâ&#x20AC;&#x2122;Âétat du fluide. Dans un fluide en mouvement, nous pouvons dÂécomposer le tenseur des contraintes en la somme dâ&#x20AC;&#x2122;une contribution isotrope, que nous continuons à appeler pression p, et dâ&#x20AC;&#x2122;une contribution anisotrope, dË&#x2020; ue à la viscositÂé du fluide, soit, pour la composante Ď&#x192; ij du tenseur : Ď&#x192;ij = â&#x2C6;&#x2019;pÎíj + dij . La contribution anisotrope dij est Âégalement appelÂé dÂéviateur. Lâ&#x20AC;&#x2122;Âétablissement des relations entre les contraintes et les dÂéformations ou vitesses de dÂéformation constituent la discipline appelÂée rhÂéologie (du grec Ď ÎšÎ˝ = couler). Nous verrons dans le chapË&#x2020;Äątre suivant que les comportements des fluides peuvent Ë&#x2020;etre très divers. NÂéanmoins, la grande majoritÂé des fluides simples ont un comportement dit newtonien, caractÂérisÂé uniquement par un coefficient de viscositÂé que nous avons introduit prÂécÂédemment. Lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement macroscopique du fluide constitue une petite perturbation de lâ&#x20AC;&#x2122;Âéquilibre thermodynamique et les vitesses mises en jeu sont, en gÂénÂéral, petites devant la vitesse dâ&#x20AC;&#x2122;agitation molÂéculaire. De ce fait, on peut supposer que les contraintes engendrÂées par lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement sont des fonctions linÂéaires du gradient de vitesse. Câ&#x20AC;&#x2122;est nÂécessairement le gradient de vitesse qui intervient et non la vitesse elle-mË&#x2020;eme : dans un Âécoulement uniforme, il nâ&#x20AC;&#x2122;y a pas de mouvement relatif et pas de dÂéformation des ÂélÂéments de fluide. Cette hypothèse de linÂéaritÂé conduit à la relation gÂénÂérale suivante : â&#x2C6;&#x201A;uk (3.4) Ď&#x192;ij = Aijkl â&#x2C6;&#x201A;xl o` u Aijkl est un tenseur dâ&#x20AC;&#x2122;ordre quatre qui reprÂésente les propriÂétÂés physiques du fluide. En tenant compte du caractère isotrope du fluide (les propriÂétÂés physiques ne dÂépendent pas de lâ&#x20AC;&#x2122;orientation), on peut montrer que le dÂéviateur du tenseur des containtes sâ&#x20AC;&#x2122;exprime sous

CHAPITRE 3. DYNAMIQUE

la forme suivante :

1 dij = 2K eij − ekk δij 3

(3.5)

o` u eij est le tenseur des vitesses de déformation qui n’est autre que la partie symétrique du gradient de vitesse : eij = 1/2(∂ui /∂xj + ∂uj /∂xi ) et ekk = divu est la trace de ce tenseur. Le terme entre parenthèses dans 3.5 est le déviateur du tenseur des vitesses de déformation. Le coefficient K qui apparaˆıt dans 3.5 est la viscosité dynamique η introduite précédemment. En effet, considérons l’écoulement de cisaillement simple (voir fig. 1.6) o` u seule la composante ∂ux /∂y du gradient de vitesse est non nulle.La seule composante du taux de déformation non x nulle est : exy = 21 ∂u ∂y et sa trace est nulle : ekk = 0. La relation 3.5 donne la contrainte de x cisaillement : σxy = K ∂u ere relation est précisément celle que nous avons utilisé ∂y . Cette derni` pour définir la viscosité dynamique (§ 1.4). Seule la partie symétrique du gradient de vitesse apparaˆıt dans la relation constitutive 3.5. En effet, ainsi que nous l’avons vu dans la partie 2.7, la partie antisymétrique correspond à une rotation en bloc, sans déformation. Lorsque le fluide est incompressible, divu = 0 et la relation 3.5 conduit à : σij = −pδij + 2ηeij

(3.6)

Notons qu’avec la décomposition du tenseur des contraintes en une partie isotrope −p et un déviateur, nous avons caché dans la pression toutes les contraintes qui pourraient résulter d’une expansion ou compression isotrope. De telles contraintes existent et sont proportionnelles à un coefficient de viscosité de compression κ(par opposition à la viscosité de cisaillement η). Ces contraintes sont à l’origine de l’atténuation des ondes sonores. Nous nous limiterons ici à l’étude d’écoulements o` u les effets de compressibilité sont négligeables et nous pourrons donc ignorer l’existence de ce second coefficient de viscosité et, dans la plupart des cas, utiliser la relation 3.6 pour évaluer les contraintes au sein du fluide. Nous examinerons dans le chapˆıtre suivant, les types de relations contraintes-déformations qui existent dans les fluides non-newtoniens qui sont en réalité très nombreux.

3.2 3.2.1

Introduction de l’´ equation de mouvement sur des ´ ecoulements simples Ecoulement dans un tube (´ ecoulement de Poiseuille)

L’écoulement dans un tube de section circulaire est évidemment très fréquemment utilisé pour l’acheminement des fluides, depuis les tuyaux de chauffage central jusqu’aux vaisseaux sanguins. Le profil de vitesse et le champ de pression peuvent être obtenus simplement avec quelques hypothèses. Considérons la géométrie idéale d’un tube rectiligne, de rayon R, dont la longueur L est très grande devant le rayon. La condition L R permet de négliger les perturbations introduites par les extrémités du tube et de raisonner comme si le tube était de longueur infinie. Choisissons des coordonnées cylindriques : x le long de l’axe du tube, r est la coordonnée radiale et θl’angle azimuthal. La symétrie du problème suggère de chercher un champ de vitesse qui soit indépendant de θ et qui soit orienté suivant l’axe du tube, soit un champ de vitesse unidimensionnel : u θ = 0,ur = 0,u = ux (x,r). Si le fluide est incompressible, la condition de conservation de la masse s’écrit : ∇.u = 0. Dans le cas présent, une seule composante de la vitesse est non nulle et cette condition devient : ∂u x /∂x = 0 . Le champ de vitesse ne dépend donc que de la coordonnée radiale r. Les contraintes de cisaillement sont

3.2. ECOULEMENTS SIMPLES

Fig. 3.3 – Ecoulement dans un tube de rayon R.

Fig. 3.4 – Contraintes sur l’élément de volume annulaire dans l’écoulement de Poiseuille. proportionnelles au gradient de vitesse ; elles sont donc aussi indépendantes de la coordonnée axiale x. Dans un fluide visqueux, la présence de la paroi solide impose que la vitesse s’annule sur cette paroi, soit u(R) = 0. Nous comprennons intuitivement que la vitesse du fluide va augmenter progressivement depuis la paroi vers le centre du tube. La répartition radiale de vitesse est obtenue en écrivant l’équilibre des forces sur un élément de volume annulaire. Cet élément de volume, représenté sur la fig. 3.3 est délimité par les cylindres de rayon r et r + dr et par les plans d’abscisse x et x + dx. Les forces qui s’exercent sur cet élément de volume, suivant l’axe du tube, sont : – la pression sur les faces perpendiculaires à l’axe : p(x,r)2πr dr − p(x + dx,r)2πr dr = −

∂p 2πr dr dx ∂x

– les contraintes de cisaillement σ rx sur les surfaces cylindriques: σrx (r + dr)2π(r + dr) dx − σrx (r)2πr dx = 2π

∂(rσrx ) dr dx ∂r

Notons que le signe des forces tangentes est imposé par le choix d’une normale n extérieure à l’élément de volume : la normale n(r + dr) a la même orientation que l’axe r alors que la normale n(r) a une orientation opposée. En conséquence le vecteur contrainte sur la facette (r) a pour composantes: −σrr (r), − σxr (r). Nous cherchons ici une solution indépendante du temps. Si la vitesse d’un élément de fluide est constante, la résultante des forces est nulle, soit : ∂p 1 ∂(rσrx ) = (3.7) ∂x r ∂r

CHAPITRE 3. DYNAMIQUE

La contrainte de cisaillement est reliée au gradient de vitesse par : σ xr = η∂ux /∂r. L’équation 3.7 devient donc : ∂p ∂ux η ∂ r (3.8) = ∂x r ∂r ∂r Examinons maintenant la résultante des forces s’exer¸cant sur un élément de fluide dans la direction radiale. Prenons le même élément de volume que ci-dessus, mais limité par les angles polaires θ et θ + dθ. Ecrivons la résultante des forces sur l’élément de volume projetée sur la direction radiale : −(r + dr) p(r + dr) dθ + r p(r) dθ + 2p(r)

dθ dr = 0 2

Les deux premiers termes du membre de gauche proviennent de la pression exercée sur les faces cylindriques en r et r + dr. Le troisième terme provient de la pression exercée sur les faces radiales en θ et θ + dθ. D’o` u: ∂p =0 (3.9) ∂r Si la pression ne dépend que de x et la vitesse ne dépend que de r, les deux membres de l’équation 3.8 sont nécessairement égaux à une constante G qui est le gradient de pression moyen le long de l’écoulement : G = ∆p/L. L’équation s’intègre une première fois en : Gr A ∂ux = + ∂r 2η r o` u A est une constante d’intégration. Pour assurer la continuité du gradient de vitesse (et donc, des contraintes) sur l’axe du tube, il faut imposer A = 0. Une seconde intégration conduit à : G r 2 − R2 (3.10) ux = η 4 en tenant compte de la condition aux limites u x (R) = 0. Le profil de vitesse est parabolique, avec une vitesse maximale sur l’axe égale à −GR 2 /4η. Notons que, si le gradient de pression est négatif, la vitesse est positive ; l’écoulement se fait bien de la région de forte pression vers la région de faible pression. Le débit de fluide à travers le tube est donné par l’intégration du profil de vitesse : Z R πR4 ∆p ux rdr = (3.11) Q = 2π 8η L 0 Ce résultat, souvent appelé ”loi de Poiseuille 1 ”, montre que le débit est proportionnel au gradient de pression ∆p/L et inversement proportionnel à la viscosité dynamique du fluide. Il dépend très fortement du diamètre du tube ; cette dépendance en puissance quatrième du diamètre est une conséquence du profil de vitesse parabolique qui est lui-même une conséquence de la condition de non glissement sur la paroi du tube. Une situation physique très différente est le transport des électrons dans un conducteur électrique : la vitesse moyenne des électrons est la même dans toute la section du conducteur ; la résistance du conducteur est simplement inversement proportionnelle à sa section (πR 2 ). 1. du nom du médecin fran¸cais qui fut l’un des premiers à étudier quantitativement l’écoulement dans un tube rectiligne.

3.2. ECOULEMENTS SIMPLES

Fig. 3.5 – Sch´ema de l’´ecoulement entre deux cylindres coaxiaux.

3.2.2

Ecoulement entre deux cylindres (´ ecoulement de Couette)

Un autre écoulement simple est celui réalisé dans l’espace compris entre deux cylindres coaxiaux animés d’une vitesse de rotation constante dans le temps. Le cylindre extérieur (resp. intérieur) a un rayon Re (resp. Ri ) et il est entraˆıné à la vitesse angulaire Ω e (resp. Ωi ). Nous supposons que les cylindres sont suffisamment longs (dans la direction axiale) pour que les effets dˆ us aux extrémités soient négligeables et pour qu’il n’y ait pas de composante axiale de la vitesse (le problème, tridimensionnel dans la réalité, est ramené à un problème plan). Si l’écoulement reste stable, nous pouvons supposer que le champ de vitesse conserve la symétrie cylindrique : la vitesse est indépendante de le coordonnée azimuthale θ. La condition d’incompressibilité impose alors que la composante radiale de la vitesse soit nulle. Considérons en effet un élément de volume délimité par les rayons θ et θ + dθ et par les cercles r et r + dr. Le volume net de fluide qui entre dans cet élément de volume est : rur (r) dθ − (r + dr)ur (r + dr) dθ + uθ (θ) dr − uθ (θ + dθ) dr Lorsque le fluide est incompressible, cet accroissement de volume est nul, ce qui conduit à : ∂(rur ) ∂uθ + =0 ∂r ∂θ

(3.12)

Le champ de vitesse étant indépendant de θ pour une raison de symétrie, l’équation 3.12 conduit à : ur = C/r. Sur les parois solides en r = Re et r = Ri la vitesse radiale est nulle (le fluide ne peut traverser ces parois), elle est donc nulle dans tout l’écoulement. Nous pouvons maintenant écrire l’équilibre des forces qui s’exercent sur l’élément de volume que nous avons considéré ci-dessus. Si l’écoulement reste stable, nous pouvons supposer que chaque élément de fluide se déplace avec une vitesse tangentielle constante sur une trajectoire circulaire. Un tel élément a une accélération centripète égale à u 2θ /r. Dans la direction radiale, le gradient de pression équilibre cette accélération centripète. Ecrivons la résultante des forces sur l’élément de volume projetée sur la direction radiale : −(r + dr) p(r + dr) dθ + r p(r) dθ + 2p(r) dr

u2 dθ = −ρ θ r dr dθ 2 r

CHAPITRE 3. DYNAMIQUE

Les deux premiers termes du membre de gauche proviennent de la pression exercée sur les faces cylindriques en r et r + dr. Le troisième terme provient de la pression exercée sur les faces radiales en θ et θ + dθ. D’o` u: u2 ∂p =ρ θ (3.13) ∂r r Dans la direction tangentielle, écrivons le couple résultant de l’action des contraintes tangentielles, couple qui est nul puisque l’élément de volume se déplace à vitesse angulaire constante (notons que la pression est indépendante de θ, elle n’apparaˆıt donc pas dans l’équation cidessous) : −(r + dr)2 σrθ (r + dr) dθ + r 2 σrθ (r) dθ = 0 soit :

∂(r 2 σrθ ) =0 ∂r

(3.14)

Soit, σrθ = C/r 2 La contrainte tangentielle est proportionnelle à la vitesse de déformation : ∂uθ ∂ uθ uθ σrθ = η = ηr − ∂r r ∂r r Il faut soustraire uθ /r au gradient de vitesse pour tenir compte du fait qu’une rotation en bloc (rotation solide avec uθ = ωr) ne provoque pas de déformation. L’intégration de l’équation de mouvement donne : uθ = A/r + Br, les constantes d’intégration A et B étant déterminées par les conditions aux limites sur les parois : u θ (Ri ) = Ωi Ri et uθ (Re ) = Ωe Re : uθ =

(Ωi − Ωe )Ri2 Re2 1 Ωe Re2 − Ωi Ri2 r + r Re2 − Ri2 Re2 − Ri2

(3.15)

La contrainte tangentielle sur le cylindre ext´erieur est donc : σrθ (Re ) = 2η

(Ωe − Ωi )Ri2 Re2 − Ri2

et le couple induit par cette contrainte est : Γ = 4πη

(Ωe − Ωi )Ri2 Re2 Re2 − Ri2

(3.16)

Ce couple est proportionnel à la viscosité dynamique du fluide et à la différence de vitesse de rotation des deux cylindres. Dans le cas o` u le rayon des deux cylindres est très grand devant leur séparation : (Re − Ri = h Ri ), on retrouve un écoulement identique à celui observé entre deux plaques planes parallèles, c’est-à-dire un profil de vitesse linéaire. Lorsque le cylindre extérieur est seul en mouvement (Ω i = 0), le couple exercé sur le cylindre extérieur devient alors Γ = 2πηΩR 3 /h , o` u Ω = Ωe et Re ≈ Ri ≈ R. Ce type d’écoulement entre deux cylindres coaxiaux de diamètres proches est utilisé couramment pour la mesure des viscosités. La réalisation d’un viscosimètre de Couette est très délicate mécaniquement : il faut assurer une parfaite concentricité des deux cylindres et éliminer les frottements au maximum. Il faut également apporter des corrections empiriques aux formules données ci-dessus pour tenir compte des effets de l’écoulement à l’extrémité des cylindres. Les appareils les plus sophistiqués peuvent travailler à vitesse de rotation imposée ou à contrainte imposée.

´ 3.3. L’EQUATION DE NAVIER-STOKES

3.3

L’´ equation de Navier-Stokes

Nous avons trouvé l’équation de mouvement du fluide dans quelques cas simples. Passons maintenant à l’établissement de cette équation dans le cas général pour un fluide visqueux incompressible. La relation fondamentale de la dynamique peut s’exprimer de la manière suivante : la variation temporelle de la quantité de mouvement d’un élément de volume V est égale à la somme des forces qui s’exercent sur cet élément de volume, soit : Z Z Z D ρu dτ = f dτ + σn dS (3.17) Dt V V Σ o` u Σ est la surface délimitant le volume V , dS est un élément de surface de normale n, f est la force exercée par unité de volume et σ le tenseur des contraintes. La dérivée temporelle du premier membre est une dérivée lagrangienne, c’est-à-dire, en suivant le mouvement des particules de fluide. La masse de l’élément deRfluideρdτ reste constante dans ce mouvement. Il est donc possible d’écrire le premier terme : V ρ Du/Dt dτ . L’intégrale R des forces de surface peut s’écrire, à l’aide du théorème d’Ostrogradsky sous la forme : V ∇.σ dτ o` u ∇.σ est la divergence du tenseur des contraintes, un vecteur dont la composante i est : ∂σ ij /∂xj . En faisant tendre le volume V vers zéro l’équation de mouvement devient : ρ

Du = f + ∇.σ Dt

(3.18)

Maintenant, utilisons la décomposition de la dérivée lagrangienne de la vitesse en la somme de la dérivée eulérienne et de l’accélération convective (équation2.1) En tenant compte de l’expression du tenseur des contraintes pour un fluide newtonien en mouvement (équation 3.6), la contribution des forces de surface à la composante i de l’équation de mouvement s’écrit : ∂σij ∂p ∂ 2 ui =− +η ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj et l’équation de mouvement prend la forme : ρ

∂u + ρu.∇u = −∇p + η∆u + f ∂t

(3.19)

C’est l’équation de Navier-Stokes qui décrit le comportement des fluides newtoniens. Réécrivons cette équation sous la forme suivante : ∂u 1 1 + u.∇u = − ∇p + ν∆u + f ∂t ρ ρ

(3.20)

o` u ν est la viscosité cinématique du fluide. L’expression de cette équation en coordonnées cylindriques et sphériques est donnée en annexe. Notons, qu’en l’absence d’écoulement, si la seule force en volume présente est la gravité, nous retrouvons à partir de l’équation de Navier-Stokes la loi de la statique des fluides : ∇p = ρg.

3.3.1

Equation de la vorticit´ e

Dans certaines circonstances, il est utile de décrire le champ de vitesse par l’intermédiaire de la vorticité ω = ∇ ∧ u. En particulier, dans les écoulements turbulents on observe le

CHAPITRE 3. DYNAMIQUE

développement de zones o` u la vorticité est fortement concentrée. En prenant le rotationnel de l’équation de Navier-Stokes, on obtient l’équation d’évolution de la vorticité : ∂ω 1 + u.∇ω = ω.∇u + ν∆ω + 2 ∇ρ ∧ ∇p ∂t ρ

(3.21)

o` u on a supposé que la force f dérive d’un potentiel. Le membre de gauche de l’équation 3.21 est la dérivée lagrangienne de la vorticité. Le membre de droite comprend trois termes : deux termes de production et un terme de dissipation dˆ u à la viscosité. Le premier terme de production est le produit scalaire de la vorticité et du gradient de vitesse. Ce terme traduit à la fois la réorientation du vecteur vorticité par le gradient de vitesse et l’étirement ou la compression de la vorticité ; le mécanisme d’étirement de vorticité est crucial pour la génération de la turbulence. L’autre terme de production de vorticité fait intervenir le gradient de masse volumique. Ce terme de génaration barocline de la vorticité est nul si le gradient de pression et le gradient de densité sont parallèles. Ce terme intervient par exemple dans un fluide stratifié verticalement par la gravité et soumis à un gradient de pression horizontal. Sous l’effet du gradient de pression, le fluide dense se met en mouvement moins rapidement que le fluide léger, ce qui engendre un gradient de vitesse vertical et une composante de vorticité perpendiculaire au plan défini par ∇ρ et ∇p.

3.4

Conditions aux limites

L’équation de mouvement et l’équation de conservation de la masse suffisent en principe à déterminer le champ de vitesse et le champ de pression. Encore faut-il préciser les conditions aux limites auxquelles obéissent la vitesse ou les contraintes.

3.4.1

Interface solide-fluide

Comme nous l’avons déjà mentionné, toutes les observations expérimentales et les simulations numériques s’accordent pour affirmer que la vitesse d’un fluide s’annulle au voisinage immédiat d’une paroi solide. Le fait que la composante de la vitesse normale à la paroi soit nulle est simplement liée au fait que le fluide ne pénètre pas dans le solide. En revanche, la nullité de la composante de vitesse tangente à la paroi est liée à l’existence de la viscosité : une discontinuité de la vitesse conduirait à une contrainte de cisaillement infinie et donc, à une divergence de l’énergie dissipée dans l’écoulement. Dans certaines conditions d’écoulement que nous définirons plus loin, les effets de la viscosité peuvent être négligés. On peut alors résoudre les équations de mouvement comme si le fluide était parfait, c’est-à-dire, sans viscosité. Alors, la présence d’une paroi solide impose uniquement la nullité de la composante de vitesse normale à la paroi.

3.4.2

Interface fluide-fluide

De la même manière qu’à une interface fluide-solide, une discontinuité de la composante de vitesse tangente à l’interface imposerait une contrainte de cisaillement infinie. Une condition purement cinématique assure que la composante de vitesse normale à l’interface soit également continue à travers cette interface. En effet, l’interface se déplace à la même vitesse que les éléments de fluide placés à son contact. Si nous pla¸cons dans un repère local défini par la

3.4. CONDITIONS AUX LIMITES

Fig. 3.6 – Interface entre deux fluides normale à l’interface (fig. ci- dessous), o` u ζ,w 1 et w2 sont respectivement la position de l’interface et les vitesses normales dans chacun des fluides, cette condition cinématique s’écrit : dζ = w1 = w2 dt

(3.22)

En conclusion, la vitesse du fluide est continue à travers une interface. Examinons maintenant la relation qui existe entre les contraintes de part et d’autre de l’interface. Considérons un élément de volume placé à cheval sur l’interface, dont les faces sont parallèles à l’interface et dont l’épaisseur, perpendiculairement à l’interface, est très petite. La résultante des forces sur cet élément de volume est : [σij nj ]1 + [σij nj ]2 + tension de surface. Cette résultante est nulle lorsqu’on fait tendre l’épaisseur de cet élément de volume vers 0. Prenons des axes x n1 = ety confondus avec la tangente et la normale à l’interface ; alors n n1 = (0,1) et n 2 = −n (0,−1). La résultante des forces tangentielles est : [σ ] − [σ ] dx . La r´ e sultante des forces xy 1 xy 2 normales est : [σyy ]1 − [σyy ]2 dx . Il faut ajouter la contribution de la tension interfaciale entre les deux fluides. La tension de surface γ est l’énergie qu’il faut fournir pour créer une interface d’aire unité. On peut aussi considérer γ comme une force par unité de longueur, s’exer¸cant dans le plan de l’interface et qui assure la cohésion de cette interface. Contraintes normales de part et d’autre de l’interface Lorsque l’interface est courbe, l’existence d’une tension interfaciale se traduit par une discontinuité des contraintes normales à la traversée de l’interface. En projetant sur la normale la tension de surface qui s’exerce sur les deux extrémités de l’élément de volume de longueur dx, on obtient : γdx/R o` u R est le rayon de courbure de l’interface, d’o` u : [σyy ]1 − [σyy ]2 dx+ γdx/R . Le raisonnement que nous venons de faire sur un élément de volume bidimensionnel peut être refait en trois dimensions. Il conduit à : 1 1 + = γC (3.23) [σnn ]1 − [σnn ]2 = γ Ra Rb o` u Ra et Rb sont les rayons de courbure de l’interface dans deux plans orthogonaux et C est la courbure totale de l’interface. Lorsque les contraintes normales se réduisent à −p, 3.23 devient : ∆p = γC (3.24) la pression étant la plus élevée à l’intérieur de la courbure (l’intérieur d’une bulle est en surpression). Cette équation est l’équation classique de la capillarité.

CHAPITRE 3. DYNAMIQUE

Fig. 3.7 – Ascension capillaire Le phénomène d’ascension capillaire est une manifestation de cette discontinuité de pression à la traversée d’une interface courbe. Si on plonge l’extrémité d’un petit tube de verre dans l’eau, on voit l’eau monter dans le tube. La hauteur d’ascension est inversement proportionnelle au rayon du tube. Si le verre est très propre, l’interface eau-air se raccorde à la surface du verre avec un angle très petit et le ménisque est une demi-sphère de rayon égal à celui du tube. Au dessus de l’interface, la pression est égale à la pression atmosphérique p0 . Immédiatement en-dessous de l’interface, la pression est inférieur à p 0 , d’une quantité ∆p = 2γ/R. Pour retrouver une pression p 0 en bas du tube, il faut que le liquide monte d’une hauteur h telle que : ρgh = ∆p. Contraintes tangentielles de part et d’autre de l’interface En projetant la tension de surface sur la direction x, il vient : [σxy ]1 − [σxy ]2 dx + γ(x + dx) − γ(x) = 0 , soit : ∂γ (3.25) ∆σxy = ∂x La discontinuité de contrainte tangentielle est égale au gradient de tension superficielle le long de l’interface. La tension superficielle dépend, en général, de la température et, éventuellement, de la concentration de molécules tensioactives. S’il n’y a pas de gradient de température, s’il n’y a pas de tensioactif dans le liquide ou si la concentration de tensioactif est uniforme, la tension superficielle est uniforme et il n’y a pas de discontinuité de la contrainte tangentielle à la traversée d’une interface. Lorsque le fluide est newtonien, les contraintes tangentielles sont proportionnelles au gradient de vitesse. Si l’écoulement est unidimensionnel et parallèle au plan de l’interface, la relation 3.25 prend la forme suivante : ∂ux ∂ux = η2 (3.26) η1 ∂y 1 ∂y 2 o` u les directions x et y sont respectivement parallèles et normales à l’interface. Les gradients de vitesse de part et d’autre de l’interface sont dans un rapport qui est inverse du rapport des viscosités dynamiques. Lorsqu’un des fluides a une viscosité très petite devant celle de l’autre fluide (cas d’une interface liquide-gaz), 3.26 se réduit à :∂u x /∂y = 0 dans le fluide le plus visqueux : dans ce cas, le gradient de vitesse est nul sur l’interface.

3.5. NOTION DE SIMILITUDE

Fig. 3.8 – Deux écoulements géométriquement similaires caractérisés par les longueurs L 1 et L2 et par les vitesses U1 et U2

3.5

Notion de similitude. Une d´ efinition plus pr´ ecise du nombre de Reynolds

Une fois qu’une solution de l’équation de Navier-stokes a été obtenue avec des conditions aux limites particulières, on peut se demander si cette solution est également observée dans des écoulements géométriquement similaires. Deux écoulements sont géométriquement similaires si toutes leurs dimensions sont homothétiques. Considérons par exemple l’écoulement autour d’un obstacle placé dans un canal (fig. 3.8). En l’occurence, la géométrie de l’écoulement est complètement définie par la donnée de la largeur L du canal et par tous les rapports entre L et les dimensions de l’obstacle. De la même manière, il est possible de caractériser le champ de vitesse par une vitesse représentative U . Pour ce qui concerne l’écoulement dans un canal, U peut être la vitesse moyenne d’écoulement. Le champ de vitesse est alors fixé par la donnée de L et U par des fonctions sans dimensions u0 = u/U de coordonnées d’espace sans dimensions r 0 = r/L. Ecrivons l’équation de Navier- Stokes avec ces variables sans dimension, en omettant le terme de force en volume. Notons que les dérivées spatiales s’écrivent :∂/∂r = 1/L∂/∂r 0 et que nous pouvons définir un temps caractéristique τ = L/U . u0 U2 0 U 1 U ∂u u0 = − ∇p0 + u .∇u0 − 2 ν∆‘u 0 τ ∂t L L ρL

(3.27)

o` u t0 est un temps adimensionnel : t0 = t/τ . En reportant la valeur de τ dans 3.27 et en divisant par U 2 /L, on obtient : u0 ∂u ν u0 = −∇‘p0 ∆‘u + u0 .∇u0 − 0 ∂t UL

(3.28)

o` u nous avons défini une pression adimensionnelle :p 0 = p/ρU 2 . En effet, 1/2ρU 2 qui est l’énergie cinétique (typique) par unité de volume a la dimension d’une pression. C’est ce qu’on nomme la pression dynamique. L’équation de Navier Stokes ainsi écrite ne comporte plus que des termes sans dimension et les paramètres physiques qui déterminent l’écoulement apparaissent uniquement dans le rapport :ν/U L = 1/Re qui est l’inverse du nombre de Reynolds. Si on obtient une solution de l’équation de Navier-Stokes avec des conditions aux limites prescrites par U , L et par des combinaisons des variables d’espace sans dimension, cette solution sera également valide si la vitesse caractéristique U et la longueur caractéristique L sont modifiées à condition que le nombre de Reynolds reste le même. Ces écoulements ont une similitude dynamique. Lorsqu’il n’y a pas de force en volume, les seuls paramètres qui caractérisent le fluide sont sa viscosité dynamique et sa masse volumique. Le nombre de Reynolds est une estimation

CHAPITRE 3. DYNAMIQUE

du rapport entre les effets d’inertie et les effets de viscosité. On peut le voir également en u0 dans l’équation 3.28. Si considérant l’importance relative des termes u 0 .∇u0 et (ν/U L)∆‘u U et L sont convenablement choisis pour représenter l’écoulement, toutes les variables sans u0 sont du même dimension (avec des ‘) sont d’ordre unité, de telle sorte que u 0 .∇u0 et ∆‘u u, dans ordre de grandeur. Le rapport du terme inertiel u.∇u et du terme lié à la viscosité ν∆u l’équation de Navier-Stokes, est précisément le nombre de Reynolds. Lorsque des effets physiques autres que l’inertie et la viscosité entrent en jeu, d’autres paramètres de similitude apparaissent. Par exemple, si on rajoute un terme de gravité à l’équation 3.28, le rapport des effets inertiels sur les effets de gravité vaut, en ordre de grandeur, U 2 /gL . C’est le nombre de Froude. Si l’on veut respecter l’importance relative des effets inertiels et des effets de gravité dans un essai sur maquette, par exemple, il faut travailler à nombre de Froude constant.

Chapitre 4

FLUIDES NON NEWTONIENS 4.1

Fluides non newtoniens et rh´ eologie

Si le modèle de fluide newtonien décrit bien la très grande majorité des fluides composés de molécules simples, il existe un bon nombre de fluides, dont certains sont d’usage très courant, qui ont un comportement sous écoulement plus complexe. La définition d’un fluide newtonien est assez restrictive : les contraintes de cisaillement sont proportionnelles au gradient de vitesse, ce qui implique que : – Dans un écoulement de cisaillement simple, les seules contraintes créees par l’écoulement sont des contraintes de cisaillement. – La viscosité est indépendante de la vitesse de cisaillement. – La viscosité est indépendante du temps et les contraintes s’annulent immédiatement lorsque l’écoulement est arrêté. Toute déviation de ces règles est le signe d’un comportement non-newtonien. La description des ces comportements et leur interprétation en relation avec la structure microscopique du fluide constitue la discipline appelée rhéologie. Cette discipline est assez récente ; elle a connu un développement considérable avec l’apparition des polymères synthétiques.

4.2

Comportement non lin´ eaire

Commen¸cons par examiner le caractère non-newtonien le plus répandu, la variation de viscosité avec la vitesse de cisaillement. Très souvent, pour les solutions de polymère, la viscosité diminue au fur et à mesure que l’on augmente le taux de cisaillement (gradient de vitesse) auquel est soumis le fluide. C’est le comportement rhéofluidifiant (shear thinning en anglais). Ce comportement est également observé dans les suspensions de particules solides, dans les suspensions de vésicules déformables comme le sang. Les deux figures ci-dessous montrent les rhéogrammes (relation contrainte-taux de cisaillement) et l’évolution de la viscosité en fonction du taux de cisaillement pour trois fluides rhéofluidifiants.

4.2.1

Relations empiriques pour la viscosit´ e

Lorsque la viscosité n’est plus indépendante du taux de cisaillement, il est nécessaire d’utiliser plusieurs paramètres pour décrire le comportement mécanique du fluide. Un certain nombre de modèles empiriques permettent cette description : i) modèle en loi de puissance

CHAPITRE 4. FLUIDES NON NEWTONIENS

100

Polyacrylamide

Contrainte (Pa)

10 1 0.1 0.01

Latex

Sang

0.001

Newtonien

0.0001 -2 10

-1

Taux de cisaillement γ (s )

Fig. 4.1 – Exemples de fluides rhéofluidifiants. Rhéogrammes obtenus pour une i) solution aqueuse de polyacrylamide, ii) du sang, iii) une suspension de particules de polymère (latex) dans l’eau.

Polyacrylamide

Viscosité (Pa.s)

6 4 2

Sang

0.1

Latex

6 4 2

0.01 6 4 2 -2

-1

Taux de cisaillement γ (s )

Fig. 4.2 – viscosit´e en fonction du taux de cisaillement pour une solution aqueuse de polyacrylamide, du sang, une suspension de particules de polym`ere (latex) dans l’eau.

4.3.

´ ´ LINEAIRE ´ VISCOELASTICIT E

d’Ostwald Dans une certaine gamme de taux de cisaillement, on peut représenter la viscosité comme une loi de puissance de γ, ˙ en particulier pour les polymères fondus : η = mγ˙ n−1

(4.1)

Le fluide newtonien correspond à n = 1 et un fluide rhéofluidifiant est représenté par n < 1. Bien que ce modèle permette de résoudre bon nombre de problèmes d’écoulement de fluides non-newtoniens, il faut garder à l’esprit qu’il décrit très mal le comportement à faible taux de cisaillement et que les paramètres m et n n’ont pas d’interprétation claire en termes de paramètres microscopiques tels que la masse moléculaire. ii) modèle de Carreau Une extension du modèle en loi de puissance est la relation de Carreau qui fait intervenir cinq paramètres : η − η∞ = [1 + (λγ) ˙ a ](n−1)/a η0 − η ∞

(4.2)

o` u η0 est la viscosité à cisaillement nul, η ∞ la viscosité à cisaillement infini, λ une constante de temps, n un exposant de loi de puissance et a est un paramètre qui décrit la transition entre le comportement à faible cisaillement et la région en loi de puissance. Encore une fois, les différents coefficients sont déterminés de manière empirique et n’ont pas de signification physique simple.

4.2.2

Fluide de Bingham

Un cas particulier du comportement rhéofluidifiant est l’existence d’une contrainte seuil d’écoulement : si la contrainte appliquée au fluide est inférieure à cette contrainte seuil, aucune déformation ne se produit, le fluide ne coule pas. Un exemple courant de fluide à seuil est la pâte dentifrice : elle ne peut sortir du tube sous l’effet de son propre poids, il faut lui appliquer une contrainte nettement supérieure pour qu’elle s’écoule. La représentation la plus simple d’un fluide à seuil est le modèle de Bingham qui donne la relation suivante entre la contrainte σ et le taux de cisaillement γ: ˙ σ = σs + ηp γ˙ (4.3) o` u σs et la contrainte seuil et ηp est appelé la viscosité plastique. En pratique le modèle de Bingham ne s’applique que dans une gamme limitée de taux de cisaillements et la contrainte seuil, obtenue par extrapolation du rhéogramme à γ˙ = 0, est souvent difficile à déterminer correctement. On rencontre également le comportement rhéoépaississant (shear thickening) : la viscosité augmente lorsqu’on augmente le taux de cisaillement. Dans la plupart des cas connus, le comportement rhéoépaississant n’est observé que sur une gamme limitée de taux de cisaillement, le liquide possédant également un comportement rhéofluidifiant à des taux de cisaillement plus faibles. Par exemple, les suspensions très concentrées (au-dessus de 30% en fraction volumique) de particules solides présentent une brusque augmentation de viscosité qui est liée à un changement important de la structure de la suspension.

4.3

Visco´ elasticit´ e lin´ eaire

Un autre comportement non-newtonien très important est le caractère viscoélastique, très fréquent dans les solutions de polymères et dans les polymères fondus. La réponse du fluide à une déformation présente à la fois un aspect visqueux (contrainte proportionnelle à la

CHAPITRE 4. FLUIDES NON NEWTONIENS 25 Contrainte seuil du modèle de Bingham

Contrainte (Pa)

20 15 10

Contrainte seuil extrapolée

5 0

200

400

600

800

-1

Taux de cisaillement (s )

Fig. 4.3 – Exemple de fluide à seuil d’écoulement. Rhéogramme d’une suspension concentrée de bauxite avec les contraintes seuils d’écoulement déterminées i) par un modèle de Bingham, ii) par extrapolation d’un ajustement polynomial. vitesse de déformation) et un aspect élastique (contrainte proportionnelle à la déformation). Un exemple particulièrement spectaculaire de fluide viscolélastique est la pâte de silicone connue sous le nom commercial de ”silly-putty”: une boule de silly-putty rebondit sur le sol comme une balle de caoutchouc ; pourtant, si on pose cette boule sur une surface horizontale et si on attend quelques minutes, on voit le silly-putty s’étaler comme un fluide visqueux. Le même matériau réagit de manière très différente lorsqu’il est soumis à une sollicitation très rapide (en le faisant rebondir sur le sol) ou lorsque la contrainte est appliquée pendant un temps très long. Dans le premier cas, le temps de sollicitation est inférieur à un temps caractéristique du matériau, les composants élémentaires n’ont pas le temps de se déformer de manière importante et on observe une réponse élastique. En revanche, lorsque le temps de sollicitation est plus grand que le temps caractéristique, on observe une réponse de type visqueux. Le modèle le plus simple de fluide viscoélastique consiste à additioner les contraintes d’origine élastique et les contraintes d’origine visqueuse : σ = σelast. + σvisq. = Eγ + η γ˙

(4.4)

o` u E est un module d’élasticité et γ est la déformation. Une représentation graphique de ce modèle, dit solide de Kelvin-Voigt, est l’association en parallèle d’un ressort et d’un piston. On peut également associer en série un ressort et un piston (modèle du liquide de Maxwell) ; dans ce cas, les déformations élastique et visqueuse s’additionnent et les contraintes sont identiques, soit : 1 dσ σ dγvisc dγelast + = + (4.5) γ˙ = dt dt E dt η Les modèles de Kelvin et Maxwell ont évidemment des analogues en électricité : une résistance et un condensateur soit en parallèle, soit en série. Les deux modèles font apparaˆıtre un temps de relaxation caractéristique : τ = η/E qui est l’analogue du temps caractéristique RC en électricité. Expérimentalement, le comportement viscoélastique peut être mis en évidence en examinant l’évolution temporelle de la réponse du fluide. Il y a essentiellement trois types d’expériences : le fluage (creep), la relaxation de contrainte et la sollicitation oscillante.

4.3.

´ ´ LINEAIRE ´ VISCOELASTICIT E

Fig. 4.4 – Modèle de Kelvin (à gauche) et modèle de Maxwell pour un fluide viscoélastique. J τ t

Fig. 4.5 – fonction fluage d’un solide de Kelvin-Voigt.

4.3.1

Exp´ erience de fluage

Dans une expérience de fluage, le matériau est soumis, à partir d’un instant donné, à une contrainte constante σ0 . La déformation γ(t) est reliée à la contrainte par la fonction fluage f (t) : γ(t) = f (t) σ0 (4.6) La fonction fluage a la dimension de l’inverse d’une contrainte. Pour le solide de Kelvin-Voigt, la fonction fluage a pour expression : f=

1 [1 − exp(−tE/η)] = J [1 − exp(−t/τ )] E

(4.7)

o` u J = 1/E est la complaisance élastique et τ est le temps de relaxation défini ci-dessus. Le solide de Kelvin-Voigt a un comportement élastique à temps long (t τ ), après un régime transitoire dont la durée est définie par τ . Il s’agit d’une élasticité retardée par la présence de l’élément visqueux. Pour le liquide de Maxwell, la fonction fluage est : f=

t t 1 + =J+ E η η

(4.8)

A temps long, le comportement est celui d’un fluide newtonien avec une viscosité η: la déformation augmente linéairement avec le temps. La différence avec un fluide newtonien est la présence d’une élasticité instantanée donnée par la complaisance élastique J.

CHAPITRE 4. FLUIDES NON NEWTONIENS f(t) 1/η J t

Fig. 4.6 – fonction fluage d’un liquide de Maxwell

4.3.2

Relaxation de contrainte

Le comportement viscoélastique peut être également analysé dans l’expérience de relaxation de contrainte : le matériau est soumis, à partir d’un instant donné, à une déformation γ 0 constante. La contrainte est proportionnelle à la fonction de relaxation g : σ(t) = g(t)γ0

(4.9)

La fonction de relaxation g a la dimension d’un module ´elastique.

4.3.3

Sollicitation p´ eriodique

La détermination des temps de relaxation peut être effectuée en soumettant le matériau à une sollicitation périodique, par exemple dans un rhéomètre à mobile tournant fonctionnant en mode sinuso¨ıdal. Si la déformation imposée est sinuso¨ıdale et de faible amplitude : γ = γ0 exp(iωt), la réponse en contrainte est également sinuso¨ıdale , avec un déphasage δ par rapport à la déformation : σ = σ0 exp(iωt + δ) . La contrainte et la déformation sont reliées par un module de cisaillement complexe G ∗ tel que : σ(t) = G∗ (ω)γ(t) et G∗ = G0 + iG00

(4.10)

o` u les parties réelle et imaginaire de G ∗ sont le module de conservation (storage modulus) et le module de perte (loss modulus). On définit également une viscosité complexe η∗ telle que : σ(t) = η ∗ (ω)γ˙ (4.11) les parties réelle et imaginaire de η∗ étant reliées aux modules de cisaillement par : η∗ =

G00 G0 −i ω ω

Le module de conservation G0 caractérise la réponse en phase avec la déformation. Il est associé à la réponse élastique. En revanche, le module de perte G 00 est associé à la réponse de type visqueux, en quadrature de phase par rapport à la déformation. La puissance mise en jeu dans la déformation est, par unité de volume :P = σ γ˙ . En faisant la moyenne de cette quantité sur un quart de période, de t = 0 à t = π/2ω, il vient : ωγ 2 ωγ02 00 P¯ = ± 0 G0 (ω) + G (ω) π 2

(4.12)

Le premier terme change de signe tous les quarts de cycle : c’est l’énergie de déformation élastique stockée puis restituée. Ce terme est proportionnel à la partie réelle du module de

4.4.

ANISOTROPIE DES CONTRAINTES NORMALES

η'/η0

-1

G'/G

G''/G -2

-3

-4

0.01

0.1

ωτ

100

Fig. 4.7 – modules de cisaillement et viscosité pour le liquide de Maxwell en fonction de la fréquence réduite. cisaillement. Le second terme est toujours positif, c’est l’énergie dissipée par le frottement visqueux. Il est proportionnel à la partie imaginaire du module. Le module de cisaillement complexe est facilement calculé pour le modèle du liquide de Maxwell. Sa dépendance en fréquence est analogue à celle de l’impédance d’un circuit RC : G0 = E

ωτ η ω2 τ 2 , G00 = E , η0 = 2 2 2 2 1+ω τ 1+ω τ 1 + ω2τ 2

(4.13)

La réponse est de type élastique aux grandes fréquences (temps courts) et de type visqueuse aux basses fréquences (temps longs). Le modèle de Maxwell qui ne prend en compte qu’un seul temps de relaxation est incapable de représenter correctement les propriétés de véritables liquides viscoélastiques. La figure cidessous montre le module de conservation et le module de perte mesurés sur du polyéthylène fondu. Les deux modules sont du même ordre de grandeur et augmentent continˆ ument avec la fréquence. Ce diagramme peut s’interpréter par une distribution assez large des temps de relaxation. Ces temps de relaxation correspondent au différents modes de déformation de la chaˆıne polymère. Un autre exemple est donné ci-dessous avec les modules de cisaillement de polystyrènes linéaires de différentes masses moléculaires. Pour les plus grandes masses moléculaires, il apparaˆıt une bande de fréquences dans laquelle G 0 et G00 sont constants. L’existence de ce ” plateau caoutchouteux ” est lié aux enchevêtrements qui se produisent entre des macromolécules de grande masse. L’écoulement du matériau nécessite la ” reptation ” d’un polymère dans les enchevêtrements imposés par les polymères environnants.

4.4

Anisotropie des contraintes normales

Dans un fluide newtonien soumis à un écoulement de cisaillement simple (u x = γy), ˙ seule la contrainte tangentielle σxy est modifiée par l’écoulement, les contraintes normales restent isotropes et égales à −p. Dans certains liquides, essentiellement des solutions de polymères de très grande masse moléculaire, l’écoulement de cisaillement induit également une différence entre contraintes normales : σxx − σyy = N1 (γ) ˙ et σyy − σzz = N2 (γ) ˙

(4.14)

CHAPITRE 4. FLUIDES NON NEWTONIENS

Fig. 4.8 – modules de cisaillement pour du polyéthylène fondu. Les courbes en trait plein sont obtenues d’après un modèle de Maxwell généralisé, à plusieurs temps de relaxation. D’ après H.M. Laun, Rheol. Acta, 17, 1 (1978) L’anisotropie des contraintes normales est un effet non-linéaire : à faible taux de cisaillement, N1 et N2 sont des fonctions quadratiques de γ˙ . Pour refléter ce caractère non linéaire, on définit deux coefficients d’anisotropie Ψ 1 et Ψ2 tels que : N1 = −Ψ1 γ˙ 2 et N2 = −Ψ2 γ˙ 2 . En général N1 est négatif et beaucoup plus grand en valeur absolue que N 2 qui est généralement positif. L’apparition d’anisotropie des contraintes normales est lié au fait que l’écoulement de cisaillement modifie la microstructure du fluide et la rend anisotrope. Prenons l’exemple d’une solution de polymères : la macromolécule en solution a l’aspect d’une ”pelote” de fil contenue dans une enveloppe sphérique. Lorsqu’elle est soumise à un cisaillement suffisamment fort, cette pelote se déforme en un ellipso¨ıde dont le grand axe à tendance à tourner vers la direction d’écoulement (cf. II,7 déformation dans les écoulements). L’élasticité du polymère, d’origine essentiellement entropique, à tendance à ramener cet ellipso¨ıde vers une forme sphérique. La force de rappel est maximale dans la direction de l’écoulement ; elle est responsable de l’apparition d’une compression le long de l’écoulement. Ceci implique donc que σ xx < σyy , soit N1 < 0. En revanche, il n’y a pas d’interprétation simple du signe de N 2 . La figure 4.11 montre la dépendance en taux de cisaillement de la première différence des contraintes normales pour deux solutions de polymère (polyacrylamide et polyisobutylène) et une solution de surfactant. L’anisotropie des contraintes normales a deux manifestations spectaculaires : l’ascension du fluide le long d’un barreau tournant (effet Weissenberg) et l’expansion du jet sortant d’un orifice (fig. 4.12). Dans l’écoulement engendré par le cylindre tournant, la vitesse est essentiellement azimuthale, avec un gradient radial. L’anisotropie des contraintes normales conduit ici à : σθθ < σrr . Il y a une ”tension” le long des lignes de courant circulaires qui tend à pousser le fluide vers le centre de rotation et donc à le faire monter le long du

4.4.

ANISOTROPIE DES CONTRAINTES NORMALES

Fig. 4.9 – modules de cisaillement pour une série de polystyrènes linéaires de masses moléculaires allant de 8900 (L9) à 580000 (L18). D’après S. Onogi, T. Masuda, K. Kitagawa, Macromolecules 3, 109 (1970)

Fig. 4.10 – Contraintes engendr´ees par un ´ecoulement de cisaillement.

CHAPITRE 4. FLUIDES NON NEWTONIENS

Fig. 4.11 – coefficient Ψ1 de la première différence des contraintes normales en fonction du taux de cisaillement pour différentes solutions : cercles : polyacrylamide, triangles : polyisobutylène, carrés : laurate d’aluminium. D’après J.D. Huppler et al., Trans. Soc. Rheol., 11 159 (1967) cylindre tournant. Dans le cas du jet, l’expansion à la sortie de l’orifice est dˆ ue à la relaxation des contraintes normales σxx (x étant la direction de l’axe du tube) accumulées pendant l’écoulement à l’intérieur du tube. Cet effet d’expansion intervient fréquemment dans les procédés d’extrusion des polymères fondus.

4.4.

ANISOTROPIE DES CONTRAINTES NORMALES

Fig. 4.12 – effets de l’anisotropie des contraintes normales. Ascension d’une solution de polyisobutylène le long d’un barreau tournant (à droite, photographie : Shell Research Ltd.). Expansion d’un jet de solution de polyacrylamide à la sortie d’un orifice (à gauche, photographie : R.E. Evans).

CHAPITRE 4. FLUIDES NON NEWTONIENS

Chapitre 5

LOIS DE CONSERVATION 5.1

Conservation de la quantit´ e de mouvement

Nous avons juqu’à présent écrit l’équation de mouvement des fluides à partir de l’équation fondamentale de la dynamique ainsi que l’équation de conservation de la masse. Nous allons maintenant réécrire ces équations sous une autre forme en considérant le bilan de quantité de mouvement dans un volume fermé du fluide.

5.1.1

Conservation de la quantit´ e de mouvement

Déterminons la variation temporelle de la quantité de mouvement d’un élément de fluide de volume unité, dont la masse est ρ: ∂ρ ∂u ∂(ρu) =u +ρ ∂t ∂t ∂t

(5.1)

et utilisons, d’une part, l’équation de mouvement (3.18) qui relie l’accélération ”particulaire” Du/Dt aux forces en volume et aux contraintes ; l’équation 5.1 devient : ∂ρ ∂(ρu) =u − ρu.∇u + divσ + f (5.2) ∂t ∂t D’autre part, réécrivons l’équation de conservation de la masse de cet élément de volume , sous la forme ”lagrangienne” : ∂ρ + ∇.(ρu) = 0 (5.3) ∂t et 5.2 donne : ∂(ρu) = −u∇.(ρu) − ρu.∇u + divσ + f (5.4) ∂t soit, en notation indicielle pour la composante i: ∂(ρuj ) ∂σij ∂ui ∂(ρui ) = −ui − ρuj + + fi ∂t ∂xj ∂xj ∂xj

(5.5)

ce qui donne, en regroupant les deux premiers termes du membre de droite : ∂(ρui ) ∂ = (−ρui uj + σij ) + fi ∂t ∂xj

(5.6)

CHAPITRE 5. LOIS DE CONSERVATION

L’équation 5.6 n’est qu’une autre écriture de l’équation de mouvement. Elle ne fait aucune hypothèse quant à la compressibilité ou à la loi de comportement ; elle est valide dans toutes les circonstances. Le second membre de 5.6 fait apparaˆıtre la divergence du tenseur des contraintes ainsi que la divergence du flux convectif de quantité de mouvement. L’expression ρu i uj est en effet la quantité de mouvement dans la direction i qui traverse, par unité de temps, une surface unité dont la normale est parallèle à j et ce, uniquement sous l’effet de la convection du fluide. La somme de ρui uj et de σij constitue le flux total de quantité de mouvement. En pratique, l’équation de conservation de l’impulsion est surtout utilisée sous sa forme intégrale, que nous allons établir maintenant. Intégrons 5.6 sur un volume V , fixe par rapport R au repère o` u est d´ e finie la vitesse eul´ e rienne u, en utilisant le th´ e or` e me de la divergence : V ∇.A dV = R S A.n dS. Nous obtenons: Z

∂(ρui ) dV = − ∂t

(ρui uj − σij )nj dS +

fi dV V

o` u S est la surface limitant le volume V et n est la normale à S. Et, en utilisant le fait que le volume V est fixe dans l’espace, en séparant le tenseur des contraintes en une partie isotrope −pδij et un déviateur dij : d dt

ρui dV V

=−

ρui uj nj dS +

dij nj dS −

pni dS +

fi dV

(5.7)

L’équation de conservation de l’impulsion prend une forme particulièrement simple lorsque l’écoulement est stationnaire et que la force en volume dérive d’un potentiel φ (comme la gravité, par exemple). Alors, 5.7 devient : Z Z Z Z ρui uj nj dS = dij nj dS − pni dS + φni dS (5.8) S

qui exprime un équilibre entre, d’une part, le flux convectif de quantité de mouvement à travers la surface S et, d’autre part, l’intégrale des contraintes dˆ ues à la présence du fluide extérieur au volume V et l’intégrale sur S du potentiel équivalent au champ de force. Nous verrons qu’un choix judicieux du volume de contrôle V permet d’estimer très simplement la force sur des objets placés au contact d’un écoulement. L’équation de conservation sous la forme 5.8 ne fait intervenir que des quantités calculées sur la surface limitant le volume de contrôle ; il est inutile de connaˆıtre le champ de vitesse et le champ de pression à l’intérieur de V .

5.1.2

Exemple d’application de la conservation de la quantit´ e de mouvement : force exerc´ ee par l’´ ecoulement sur une conduite coud´ ee

Considérons l’écoulement dans une conduite présentant un coude progressif d’angle α. Nous supposons ici que l’écoulement est à un nombre de Reynolds suffisant pour que les effets visqueux soient négligeables. De plus, nous supposons que le profil de vitesse est plat dans les sections droites du tube, ce qui effectivement observé à grand nombre de Reynolds. Nous cherchons la force exercée par l’écoulement sur la conduite. Cette force R F est l’intégrale des contraintes sur la surface intérieure de la conduite S i , soit : F = Si −p˜ n dS o` u n ˜ est un vecteur unitaire normal à Si et orienté vers le fluide.

5.1.

´ DE MOUVEMENT CONSERVATION DE LA QUANTIT E

Fig. 5.1 – Ecoulement dans une conduite coudée. Le volume de contrôle utilisé pour appliquer la conservation de l’impulsion est limité par le trait pointillé. Pour calculer F, appliquons la loi de conservation de l’impulsion sur un volume de contrôle délimité par la surface intérieure de la conduite S i et par deux sections droites S1 et S2 placées en amont et en aval du coude, soit, en négligeant le poids du liquide contenu dans le tube : Z Z ρui uj nj dS = − pni dS S

o` u S est la réunion de S1 , S2 et Si . Soit encore, puisque les vecteurs unitaires n sont orientés vers l’extérieur du volume de contrôle (n = −˜ n) : Z Z Z pni dS − Fi (5.9) pni dS − ρui uj nj dS = − S1

Les normales `a S1 et S2 ont pour composantes respectives : (-1,0) et (cos α, sin α). La composante suivant x de l’´equation de conservation est : ρ(−U12 S1 + U22 S2 cos α) = p1 S1 − p2 S2 cos α − Fx

(5.10)

et la composant suivant y est : ρU22 sin α = −p2 S2 sin α − Fy

(5.11)

Il faut ajouter à ces deux équations la conservation du débit : U 1 S1 = U2 S2 , ce qui donne : Fx = p1 S1 − p2 S2 cos α + ρU2 S2 (U1 − U2 cos α)

(5.12)

Fy = −(ρU22 + p2 )S2 sin α

(5.13)

Fx = Σ[p1 − p2 cos α + ρU 2 (1 − cos α)]

(5.14)

Si l’entrée et la sortie du coude ont la même section : S 1 = S2 = Σ et U1 = U2 = U , alors les équations 5.13 deviennent :

Fy = −Σ(ρU 2 + p2 ) sin α

(5.15)

La composante de force Fy est celle qui permet la mise en mouvement des arroseurs rotatifs qui sont faits de deux tubes coudés à leur extrémité et montés sur un axe de rotation vertical. Lorsque les canalisations sont de grande dimensions et que le débit est très important comme c’est le cas dans les conduites forcées d’usines hydroélectriques, les forces exercées sur un coude de la canalisation peuvent être considérables. C’est pourquoi les conduites forcées sont ancrées par des ouvrages de béton.

CHAPITRE 5. LOIS DE CONSERVATION

5.2

Conservation de l’´ energie

5.2.1

Loi d’´ evolution de l’´ energie cin´ etique

De la même manière que pour le bilan de quantité de mouvement, nous allons évaluer l’évolution temporelle de l’énergie cinétique d’un élément de fluide de volume unité et de masse ρ, en nous limitant aux écoulements de fluides incompressibles : ∂ ∂t

ρu2 2

= ρui

∂ui ∂t

(5.16)

En utilisant l’équation de mouvement pour exprimer la dérivée eulérienne de la vitesse, (5.16) devient : ∂σij ∂ui ∂ ρu2 + ui + u i fi (5.17) = −ρui uj ∂t 2 ∂xj ∂xj soit, en décomposant le tenseur des contraintes comme précédemment en une partie isotrope −pδij et en un déviateur dij : ∂ ∂t

ρu2 2

∂ = −uj ∂xj

∂ui dij ∂ui ρu2 +p + − dij + u i fi 2 ∂xj ∂xj

(5.18)

ou bien, en notation vectorielle : ∂ ∂t

ρu2 2

= −u.∇

ρu2 + p + ∇.(u.d) − d.∇u + u.f 2

(5.19)

Enfin, en tenant compte de la condition d’incompressibilit´e (∇.u = 0), nous pouvons mettre le premier terme du membre de droite de (5.19) sous la forme d’une divergence, soit : 2 ρu ∂ec = −∇. u + p − u.d − d.∇u + u.f ∂t 2

(5.20)

Réécrivons cette équation d’évolution de l’énergie cinétique sous forme intégrale, en intégrant chacun des termes sur un volume V fixe dans le repère ”eulérien” et en utilisant le théorème de la divergence : ∂ ∂t

ec dV V

=−

ρu2 u.n dS + 2

(σ.u).n dS +

u.f dV −

σ.∇u dV

(5.21)

Quelle est la signification physique des différents termes de 5.21 : – le premier terme du second membre est le flux d’énergie cinétique ”convectée” par l’écoulement à travers la surface S. – le second terme est le travail, par unité de temps, des contraintes exercées sur la surface S. – le troisième terme est le travail, par unité de temps, des forces en volume. – enfin, le quatrième terme est associé à la déformation du volume V . Il représente l’énergie dissipée par viscosité lors de cette déformation.

5.2.

5.2.2

´ CONSERVATION DE L’ ENERGIE

Dissipation d’´ energie par viscosit´ e

Afin de mieux comprendre la signification des deux termes qui font intervenir le tenseur des contraintes dans 5.21, considérons le cas d’un écoulement unidimensionnel o` u seule la composante ux de la vitesse est non nulle. Ecrivons le travail par unité de temps δW des forces qui s’exercent sur un élément de volume rectangulaire dont les dimensions sont dx et dy : il faut tenir compte de la contrainte de cisaillement σ xy sur les faces supérieure et inférieure et de la contrainte normale σ xx = −p sur les faces droite et gauche. δW =

∂ ∂ (−pux ) dx dy + (σxy ux ) dy dx ∂x ∂y

(5.22)

soit, en tenant compte de la condition d’incompressibilité qui s’écrit ici : ∂u x /∂x = 0 et en exprimant le travail W par unité de volume : W = −ux

∂σxy ∂ux ∂p + ux + σxy ∂x ∂y ∂y

(5.23)

Or l’équation de mouvement, dans ce cas précis, s’écrit : ρ

∂ux ∂p ∂σxy =− + ∂t ∂x ∂y

(il n’y a pas de force en volume et la condition d’incompressibilité fait que le terme non-linéaire u.∇u est nul), ce qui conduit à : ∂ux ∂ ρu2x ∂ux ∂ux + σxy = (5.24) W = ρux + σxy ∂t ∂y ∂t 2 ∂y Le travail des forces exercées sur l’élément de volume comprend deux termes : le premier est lié à la variation d’énergie cinétique et à l’accélération globale de cet élément, le second correspond à l’acroissement d’énergie interne qui résulte de la dissipation d’énergie par viscosité. Cette énergie dissipée provient du travail des contraintes de cisaillement lors de la déformation de l’élément de fluide ; c’est pourquoi ce terme fait apparaˆıtre explicitement le gradient de vitesse. En revanche, l’autre terme de l’équation 5.24 dans lequel apparaissent les contraintes de cisaillement contribue à l’accélération globale. Ce terme fait apparaˆıtre la différence de valeur de la contrainte de cisaillement sur les deux faces de l’élément distantes de dy. Dans le cas o` u le fluide est newtonien et incompressible, le déviateur des contraintes s’écrit : dij = 2ηeij et l’énergie dissipée par viscosité est, d’après l’équation 5.21, par unité de volume : ∂ui (5.25) Edis = 2ηeij ∂xj En tenant compte de la symétrie du tenseur des taux de déformation e ij ,l’expression 5.24 se transforme en : Edis = 2ηeij eij (5.26) Dans le cas o` u il y a une seule composante non nulle du gradient de vitesse comme dans l’écoulement de cisaillement simple, l’expression 5.26 exprime simplement le fait que l’énergie dissipée par unité de volume est le produit de la viscosité dynamique par le carré du gradient de vitesse.

CHAPITRE 5. LOIS DE CONSERVATION

L’énergie dissipée par viscosité contribue finalement à élever (très peu) la température du fluide. Prenons par exemple un gradient de vitesse de 100 s −1 (variation de 1m/s sur 1cm) dans l’eau : la dissipation d’énergie par unité de volume est 10 W/m 3 . Si aucune énergie n’était rayonnée par le fluide ou échangée avec les parois contenant l’écoulement, cet apport d’énergie conduirait à une élévation de température de environ 2mK par s. Pour déterminer correctement la répartition de température dans le fluide, il faudrait rajouter dans le bilan énergétique des termes de transport de la chaleur dus à l’advection et au rayonnement.

5.2.3

Loi de Bernoulli

Loi de Bernoulli L’équation de conservation de l’énergie prend une forme particulièrement simple lorsqu’il est possible de négliger les effets de viscosité et lorsque les forces en volume dérivent d’un potentiel φ, tel que : f = −∇φ . En partant de l’équation (5.19) et en posant d = 0, il vient : ∂ ∂t

ρu2 2

= −u.∇

ρu2 +p+φ 2

(5.27)

Lorsque l’écoulement est stationnaire, la dérivée eulérienne de l’énergie cinétique est nulle. Ce qui veut dire que la gradient de la quantité H = ρu 2 /2 + p + φ est partout orthogonal au vecteur vitesse. Donc, si on se déplace en suivant une particule de fluide le long d’une ligne de courant, la quantité H, qui est l’équivalent d’une intégrale première en mécanique du point matériel, est constante. Cette relation est connue sous le nom de loi de Bernoulli : ρu2 + p + φ = C te le long d0 une ligne de courant 2

(5.28)

Si la seule force en volume présente est la gravité, φ = ρgz et l’équation de Bernoulli devient : ρu2 + p + ρgz = C te (5.29) 2 Tube de Pitot Parmi les dispositifs qui utilisent les variations de pression décritent par la loi de Bernoulli se trouve le tube de Pitot qui permet de mesurer la vitesse d’un écoulement de gaz. Le tube de Pitot est représenté schématiquement sur la fig. 5.2 ; il se compose d’un tube de section circulaire dont l’extrémité est profilée. Deux trous sont percés dans le tube pour mesurer la pression, d’une part sur le nez du tube et, d’autre part, sur le corps cylindrique du tube. Les deux prises de pression sont reliées à un manomètre différentiel. Nous supposons que l’écoulement loin du tube est uniforme, avec une vitesse U et que l’axe du tube est parallèle à U . Par raison de symétrie, il existe une ligne de courant, confondue avec l’axe du tube qui se termine au point B. Ce point B est un point de stagnation, la vitesse du fluide y est nulle, même dans l’hypothèse o` u le fluide est parfait. Appliquons la loi de Bernoulli entre le point A, situé loin du tube, o` u la vitesse est égale à U et le point B o` u la vitesse est nulle : pA + ρU 2 /2 = pB (5.30)

5.2.

´ CONSERVATION DE L’ ENERGIE

Fig. 5.2 – Schéma d’un tube de Pitot. La pression de stagnation (en B) est supérieure à la pression qui règne au sein de l’écoulement. La différence est la quantité 1/2ρU 2 que l’on nomme la pression dynamique. Autour du point A, l’écoulement n’est pas perturbé par le tube et les lignes de courant sont parallèles. Il y a une seule composante de vitesse le long de l’axe x. Si nous utilisons l’équation de mouvement (même en tenant compte des effet visqueux), elle donne sur les axes orthogonaux à x : ∂p/∂y = ∂p/∂z = 0. Dans un écoulement unidimensionnel, il n’y a pas de gradient de pression perpendiculairement aux lignes de courant. En conséquence, dans l’écoulement qui nous intéresse ici : pC = pA . Parce que l’extrémité du tube de Pitot est profilée, l’écoulement est peu perturbé par le tube et, le long du tube, les lignes de courant restent parallèles à la direction moyenne de l’écoulement. Pour la raison exposée ci-dessus, la pression au point E, sur le tube, est la même que la pression au point D. La vitesse en E est nulle du fait de la viscosité du fluide. Nous verrons plus loin que, dans certains cas, les effets visqueux ne sont ressentis que dans une mince couche près d’une paroi solide, la couche limite. Pour le tube de Pitot, nous nous trouvons dans cette situation et si nous choisissons le point D en dehors de la couche limite, nous pouvons appliquer la loi de Bernoulli entre C et D : pC + ρU 2 /2 = pD + ρU 2 /2

(5.31)

Le manomètre différentiel mesure l’écart de pression entre B et E qui est, compte tenu des relations établies ci-dessus : ∆p = 1/2ρU 2 . Le tube de Pitot donne accès à la pression dynamique qui varie proportionnellement au carré de la vitesse. Loi de Bernoulli en ´ ecoulement potentiel La loi de Bernoulli prend une forme particulière lorsque le champ de vitesse dérive d’un potentiel Φ. Pour la retrouver, nous allons partir de l’équation d’Euler qui est l’équation de mouvement des fluides non visqueux : 1 f ∂u + u.∇u = − ∇p + ∂t ρ ρ

(5.32)

L’équation d’Euler est identique à l’équation de Navier-Stokes à ceci-près que le terme proportionnel à la viscosité a disparu. Si les forces en volume dérivent d’un potentiel −φ, l’équation d’Euler devient : ∂Φ ∇ ρ + ρu.∇u = −∇(p + φ) (5.33) ∂t

CHAPITRE 5. LOIS DE CONSERVATION

Fig. 5.3 – Ressaut hydraulique circulaire formé sur une surface plane à partir du jet d’un robinet En utilisant le fait que : u.∇u = ∇(u2 /2)−u∧∇∧u et que le champ de vitesse est irrotationnel, l’équation (5.33) devient : u2 ∂Φ +ρ +p+φ =0 (5.34) ∇ ρ ∂t 2 c’est-à-dire que la quantité : ρ∂Φ/∂t + ρu 2 /2 + p + φ est constante dans tout l’écoulement. Si l’écoulement est stationnaire, on retrouve la loi de Bernoulli (5.28) mais généralisée à l’ensemble de l’écoulement du fait du caractère irrotationnel de l’écoulement.

5.3

Applications des lois de conservation

5.3.1

Ressaut hydraulique

Le ressaut hydraulique est un phénomène qui se manifeste dans les écoulements à surface libre et qu’il est très facile d’observer dans un évier à fond bien plat. Lorsque le jet d’eau sortant du robinet touche la surface de l’évier, le jet s’étale en une nappe circulaire. Si l’on choisit bien le débit, la nappe d’eau change brusquement d’épaisseur à une distance du centre de l’ordre d’une dizaine de cm. La zone centrale de la nappe est plus mince que la zone externe ; sa surface apparaˆıt également beaucoup plus lisse. Ce brusque changement d’épaisseur est le ”ressaut hydraulique”. Ce phènomène est couramment observé en aval des déversoirs de barrage. L’origine physique du ressaut est liée aux ondes de surface qui se propagent à la surface de l’eau. Lorsque l’épaisseur d’eau est très faible, c’est-à-dire beaucoup plus √ petite que la longueur d’onde des ondes de surface, la vitesse de propagation des ondes est gh, o` u h est la hauteur d’eau. L’épaisseur de la nappe d’eau qui s’étale est constante. La conservation du débit impose alors que la vitesse décroisse de fa¸con inversement proportionnelle au rayon. Si la vitesse au centre est supérieure à la vitesse de propgation, il existe un rayon critique au-delà duquel la vitesse devient inférieure à la vitesse de propagation. Ce rayon critique correspond à la position du ressaut. On appelle nombre de Froude, le carré du rapport entre la vitesse

5.3.

APPLICATIONS DES LOIS DE CONSERVATION

Fig. 5.4 – Ressaut hydraulique dans un canal. Photographie H. Chanson

Fig. 5.5 – Ressaut hydraulique. Volume de contrôle utilisé pour la conservation de l’impulsion. du fluide et la vitesse de propagation des ondes de surface : F r = U 2 /gh. Au franchissement du ressaut, le nombre de Froude passe d’une valeur supérieure à 1 à une valeur inférieure à 1. Afin de préciser les relations existant entre les hauteurs d’eau et vitesses en amont et en aval du ressaut, nous considérons le cas d’un écoulement unidirectionnel et non plus axisymétrique. Appliquons la relation de conservation de l’impulsion à un volume de contrôle qui englobe le ressaut (fig. 5.5). Si nous négligeons les effets dˆ us à la viscosité, il suffit d’écrire l’égalité entre l’intégrale du flux convectif de quantité de mouvement ρu i uj et l’intégrale de la pression sur la surface limitant le volume de contrôle. Nous pouvons faire l’hypothèse qu’assez loin en amont et en aval du ressaut, le champ de vitesse est unidirectionnel : la composante verticale de vitesse est nulle. Donc, l’équation de Navier-Stokes projetée sur l’axe vertical se réduit à l’équation de l’hydrostatique. Dans la section 1 de l’écoulement : p 1 = p0 + ρg(h1 − z) et dans la section 2 : p2 = p0 + ρg(h2 − z), o` u p0 est la pression atmosphérique. La conservation de l’impulsion impose donc : −ρU12 h1

ρU22 h2

H 0

p1 (z) dz −

p2 (z) dz

(5.35)

soit : ρ(U22 h2 − U12 h1 ) = p0 (H − h1 ) + p0 h1 + ρg

h2 h21 − p0 (H − h2 ) − p0 h2 + ρg 2 2 2

soit, encore : ρ(U22 h2

−

U12 h1 )

= ρg

h21 h22 − 2 2

(5.36)

(5.37)

CHAPITRE 5. LOIS DE CONSERVATION

Fig. 5.6 – écoulement dans un canal au-dessus d’un obstacle. En tenant compte de la conservation du débit : U 1 h1 = U2 h2 , l’équation (5.37) devient : U12 =

g h2 (h1 + h2 ) 2 h1

(5.38)

avec une formule similaire pour U2 , en intervertissant les indices. Supposons que la hauteur h 2 soit supérieure à h1 et comparons la vitesse √ U1 donnée par (5.38) à la vitesse de propagation des ondes de surface dans la section 1, gh1 : h2 h2 2 1+ (5.39) U1 = gh1 2h1 h1 Si h2 > h1 , nous voyons immédiatement que U1 est supérieur à la vitesse √ de propagation des ondes. Un calcul similaire nous montrerait que U 2 est inférieur à gh2 . L’écoulement en amont du ressaut est supercritique alors que l’écoulement en aval est sous-critique. Ceci explique que les perturbations de surface en amont ne peuvent se propager que vers le ressaut, alors qu’en aval, elles peuvent se propager dans les deux directions. Le ressaut constitue un ”point d’accumulation” pour les ondes de surface.

5.3.2

Ecoulement ` a surface libre au-dessus d’un obstacle

L’application de la relation de Bernoulli va nous permettre d’étudier la déflection de la surface libre d’un écoulement dans un canal, lorsqu’une surélévation est placée dans le fond du canal. Nous supposons que les effets visqueux sont négligeables et que la vitesse du fluide est la même sur toute la hauteur du canal. Notons U 0 et h0 la vitesse et l’épaisseur de l’écoulement loin en amont de l’obstacle ; U (x), h(x) et e(x) sont respectivement la vitesse du fluide, l’épaisseur de l’écoulement et la hauteur de l’obstacle en fonction de la position le long de l’écoulement. La conservation du débit impose : U (x)h(x) = U 0 h0 soit : U

dU dh +h =0 dx dx

(5.40)

La relation de Bernoulli appliquée sur la surface libre donne : 1 1 p0 + ρU02 + ρgh0 = p0 + ρU 2 + ρg(h + e) 2 2 soit, en dérivant par rapport à x et en utilisant la conservation du débit: dU h dU de =0 U +g − + dx U dx dx

(5.41)

(5.42)

5.3.

APPLICATIONS DES LOIS DE CONSERVATION

ou bien, en mettant en évidence l’écart entre la vitesse de l’écoulement et la vitesse des ondes de surface : de 1 dU 2 (U − gh) = −g (5.43) U dx dx Au point o` u l’obstacle est le plus haut, c’est-à-dire o` u de/dx = 0, l’équation (5.43) peut être satisfaite soit i) en annulant la dérivée de la vitesse, soit ii) en annulant U 2 − gh. Supposons maintenant que l’écoulement en amont de l’obstacle soit sous-critique (U 02 < gh0 ) et examinons les signes des différents termes de l’équation (5.43) qui sont imposés par la forme de l’obstacle : de/dx est d’abord positif, puis nul, puis négatif.

de/dx + 0 -

(U 2

− gh)dU/dx 0 +

− gh -

i) dU/dx + 0 -

dh/dx 0 +

− gh 0 +

ii) dU/dx + + +

dh/dx -

D’après les résultats indiqués dans le tableau ci-dessus, nous voyons que dans le premier cas, l’écoulement reste sous-critique, l’épaisseur de la couche de la fluide diminue puis réaugmente et l’écoulement s’accélère sur la face amont de l’obstacle. En revanche, dans le second cas, la vitesse augmente suffisamment pour que l’écoulement devienne supercritique en aval de l’obstacle. La vitesse continue à augmenter en aval de l’obstacle. Plus loin en aval, l’écoulement subit un ressaut hydraulique qui lui permet de redevenir sous-critique. Il existe une analogie entre ces écoulements à surface libre, en ”eau peu profonde” o` u la vitesse de propagation des ondes est liée à la hauteur d’eau et les écoulements de fluides compressibles dans des tuyères. La densité du fluide joue alors le rôle de la hauteur d’eau et le nombre de Mach, qui est le rapport de la vitesse du fluide à la vitesse du son, joue le même rôle que le nombre de Froude. Si l’écoulement est subsonique (M < 1) en amont du col de la tuyère, on peut avoir une onde de choc localisée au col de la tuyère.

CHAPITRE 5. LOIS DE CONSERVATION

Chapitre 6

ECOULEMENTS A PETITS NOMBRES DE REYNOLDS 6.1

Le monde ´ etrange des petits nombres de Reynolds

Nous avons mentionné dès l’introduction que le transport de la quantité de mouvement peut être dˆ u à la viscosité ou bien à la convection par l’écoulement lui-même. L’importance relative de ces deux mécanismes de transport peut être appréciée par la valeur du nombre de Reynolds Re = U L/ν. La faible valeur de la viscosité de l’eau et de l’air fait que la plupart des écoulements que nous observons dans la vie courante sont des écoulements à grand nombre de Reynolds o` u l’inertie est prépondérante devant la viscosité. Aussi, nombre de raisonnements intuitifs que nous avons sur les écoulements sont influencés par cette expérience quotidienne et ne s’appliquent pas lorsque le nombre de Reynolds est petit. Nous allons maintenant examiner les circonstances dans lesquelles les effets visqueux sont dominants et quelles sont les particularités des écoulements à faible nombre de Reynolds. La définition de Re nous montre que nous pouvons rendre la viscosité prépondérante de trois manières : i) : en diminuant la vitesse, ii) : en diminuant la taille de l’écoulement, iii) : en augmentant la viscosité ou bien en combinant ces effets. Des écoulements à vitesse extrêmement faible sont rencontrés en géophysique : l’écoulement d’un glacier ou le mouvement du magma dans le manteau terrestre. Bien que les matériaux mis en jeu ne soient pas, à proprement parler des fluides, leur mouvement sur des échelles de temps suffisamment longues peuvent être décrits comme ceux d’un liquide très visqueux avec une inertie complètement négligeable. Parmi les écoulements avec des échelles de longueur très petites, mentionnons les écoulements dans les milieux poreux (roches poreuses, colonnes de chromatographie) et les écoulements autour de petites objets en suspension (micro-organismes, macromolécules, particules collo¨ıdales). Les dévelopements récents des microsystèmes mécaniques (MEMS) et des dispositifs d’analyse physico-chimique intégrés accroissent encore le champ d’application des écoulements à petits nombres de Reynolds.

CHAPITRE 6. ECOULEMENTS A PETITS NOMBRES DE REYNOLDS

6.1.1

L’´ equation de Stokes

En éliminant de l’équation de Navier-Stokes les termes proportionnels à la masse volumique du fluide, on obtient l’équation de Stokes : η∆u = ∇p

(6.1)

La différence fondamentale entre les deux équations est que le terme non linéaire en vitesse a disparu ; l’équation de Stokes est une équation aux dérivées partielles linéaire. Les écoulements à petit nombres de Reynolds ont presque toujours lieu dans des conditions o` u le fluide est incompressible. Le mouvement du fluide est donc spécifié par (6.1) et par l’équation de conservation : ∇.u = 0. En combinant ces deux équations, il est possible de reformuler l’équation de Stokes de deux manières : – i) en prenant le rotationnel de (6.1), on obtient : ∆ω = 0

(6.2)

o` u on a introduit la vorticité ω qui est le rotationnel du champ de vitesse. On utilisera (6.2) en particulier si les conditions aux limites sont spécifiées en fonction du champ de vitesse. – ii) en prenant la divergence de (6.1), on obtient : ∆p = 0

(6.3)

ce qui montre que le champ de pression obéit à l’équation de Laplace. On utilisera (6.3) si les conditions aux limites sont spécifiées en fonction de la pression. Après calcul de p, la vitesse sera déterminée à l’aide de (6.1). On peut remarquer que la viscosité a disparu des équations (6.2) et (6.3) : η détermine seulement l’amplitude relative du gradient de pression et de la vitesse. C’est-à-dire que, pour des conditions aux limites données, les lignes de courant seront toujours les mêmes, quelle que soit la viscosité du fluide.

6.1.2

R´ eversibilit´ e cin´ ematique

Une des conséquences de la linéarité de l’équation de Stokes est la réversibilité des écoulements à très petits nombres de Reynolds. Si l’écoulement du fluide est créé par le mouvement de parois solides, lorsqu’on inverse le mouvement des parois, les particules de fluide reprennent exactement les mêmes trajectoires, mais en sens inverse. Cette réversibilité peut également être comprise comme une diffusion ”instantanée” de la quantité de mouvement à travers tout l’écoulement : la présence de parois solides influence l’écoulement par la condition de non glissement sur les parois. Lorsque les effets visqueux sont totalement prépondérants, c’est la diffusion de la quantité de mouvement par la viscosité qui véhicule cette information. La réversibilité peut être mise en évidence par l’expérience suivante : dans un écoulement de Couette (entre deux cylindres coaxiaux) on place un fluide très visqueux. On injecte localement dans le fluide du colorant dilué dans le même fluide très visqueux de fa¸con à former un dessin dans le liquide. Puis, on met un des deux cylindres en mouvement et on lui fait effectuer une rotation de plusieurs tours. Le dessin coloré est complètement distordu par le cisaillement. Ensuite, on inverse le sens de rotation du cylindre et on lui fait effectuer exactement le même nombre de tours qu’à l’aller. On voit alors le dessin coloré se reconstituer exactement au

´ 6.1. LE MONDE ETRANGE DES PETITS NOMBRES DE REYNOLDS

Fig. 6.1 – réversibilité de l’écoulement de Couette (vue de dessus). Au départ (en haut à gauche), on dessine un carré avec du colorant entre les deux cylindres. La position des cylindres est repérée par deux petits triangles. La rotation du cylindre intérieur déforme complètement le carré (en haut, à droite : θ= 20˚, en bas à gauche,θ = 345˚). Ensuite, on ramène le cylindre intérieur à son point de départ (en bas, à droite) ; le carré coloré se reconstitue. Il est légèrement déformé par la diffusion.

CHAPITRE 6. ECOULEMENTS A PETITS NOMBRES DE REYNOLDS

Fig. 6.2 – écoulement dans un convergent (ou divergent) à Re = 0 (à gauche) et Re = 50 (à droite). Sur les figures du haut l’écoulement va de gauche à droite, sur les figures du bas, de droite à gauche. Lignes de courant déterminées par résolution numérique de l’équation de Navier-Stokes. même endroit qu’au départ du mouvement. La seule transformation irréversible subie par le colorant est une légère diffusion due à l’agitation moléculaire. En l’absence d’inertie, les lignes de courant peuvent être parcourues dans un sens ou dans l’autre. Si u est solution de l’équation de Stokes, alors −u l’est aussi. Ce n’est plus le cas dès l’instant o` u l’inertie du fluide joue un rôle. Sur la fig. 6.2 nous voyons les lignes de courant dans un élargissement brusque (ou rétrécissement brusque selon la direction de l’écoulement). A Re = 0, les lignes de courant sont les mêmes pour les deux sens d’écoulement. En revanche, à Re = 50, l’écoulement dans le divergent forme un jet au centre de la partie large. Ce jet n’est pas visible si l’écoulement est convergent : souffler ou aspirer dans un entonnoir ne produit le même écoulement que si Re est très petit. La réversibilité a également une conséquence sur la symétrie des lignes de courant. Considérons l’écoulement autour d’un obstacle possédant un plan de symétrie (par exemple, le plan x = 0). Si u(x,y,z) est solution de l’équation de Stokes, alors −u est également solution. En renversant l’écoulement, la face amont est devenue la face aval et vice versa et comme l’obstacle est symétrique, on doit obtenir les mêmes lignes de courant que dans la configuration initiale, ce qui implique que : u(x,y,z) − − > −u(−x,y,z) = −u(x,y,z) On remarquera sur la fig. 1.9 qui montre l’écoulement autour d’un cylindre à Re = 1.5 que la symétrie entre l’amont et l’aval est déjà brisée. Il faut effectivement des nombres de Reynolds très petits pour que l’inertie du fluide ne se manifeste pas dans ce type d’écoulements. Enfin, la réversibilité cinématique a des conséquences fondamentales sur les modes de propulsion animale. Les organismes de très petite taille comme les bactéries et les spermatozo¨ıdes vivent dans un monde o` u l’inertie est négligeable devant la viscosité. L’évolution a donc conduit à des modes de propulsion utilisant des cils ou des flagelles qui sont radicalement différents des modes de propulsion des organismes plus grands qui tirent partie de l’inertie du fluide 1 .

6.1.3

Additivit´ e des solutions

Une autre conséquence de la linéarité de l’équation de Stokes est la possibilité d’additionner simplement des solutions pour former une autre solution. Par exemple, considérons 1. E.M. Purcell, ”Life at low Reynolds number”, Am. J. Phys. 45, 3 (1977)

6.2.

LUBRIFICATION

Fig. 6.3 – additivité des solutions de l’équation de Stokes pour l’écoulement dans un canal.

Fig. 6.4 – géométrie typique d’un écoulement de lubrification. l’écoulement bidimensionnel dans un canal. Si les deux parois sont fixes, la solution est un profil de vitesse parabolique avec une courbure du profil proportionnelle au gradient de pression (voir le calcul de cet écoulement dans le § III.2.1). En revanche, si une des parois est mobile et s’il n’y a pas de gradient de pression, la solution est un écoulement avec un profil de vitesse linéaire. L’addition des deux solutions (addition des champs de vitesse et addition des gradients de pression) est également une solution de l’équation de Stokes. Elle correspond à la présence d’un gradient de pression dans le canal et à un mouvement d’une des parois.

6.2

Lubrification

6.2.1

Principe de la lubrification

Une des circonstances importantes dans laquelle l’inertie du fluide peut être négligée concerne les écoulements dits de lubrification. Ce terme recouvre les écoulements de fluides visqueux confinés entre deux parois solides très proches en mouvement relatif. Les deux parois délimitent un espace de très grand rapport d’aspect : l’épaisseur moyenne < h > est très petite devant la longueur L. De plus, si l’épaisseur h varie d’un point à un autre de l’écoulement, nous nous restreignons au cas o` u cette variation est très lente, c’est-à-dire : dh/dx 1. Cette géométrie particulière a deux conséquences : – la composante longitudinale de vitesse u est beaucoup plus grande que la composante transverse v. En effet, la conservation de la masse impose : u v ∂u ∂v + ≈ + =0 ∂x ∂y L h d’o` u:

(6.4)

L (6.5) h – la force qui s’exerce sur les parois est beaucoup plus grande dans la direction normale à l’écoulement que dans la direction parallèle à l’écoulement. R LLa force normale F n est l’intégrale de la pression sur une des parois solides : F n = 0 (p − p0 ) dx ≈ (p − p0 )L u≈v

CHAPITRE 6. ECOULEMENTS A PETITS NOMBRES DE REYNOLDS

Fig. 6.5 – tête de lecture vue de face (à gauche). Profils de vitesse dans une couche de liquide d’épaisseur variable. . Toujours en tenant compte de L/h 1, il est possible de déterminer un ordre de grandeur de la pression à partir de l’équation de Stokes : 2 U ∂u p − p0 ∂ u ∂2u ∂2u + ≈η 2 = ≈ (6.6) ≈ η η 2 2 2 ∂x ∂y ∂y h ∂x L d’o` u:

UL U L2 et Fn ≈ η 2 (6.7) 2 h h D’autre part la force Ft dans la direction parallèle à l’écoulement est l’intégrale de la contrainte tangentielle sur la paroi solide : Z L Z L UL ∂u Ft = σxy dx = dx ≈ η (6.8) η ∂y h 0 0 p − p0 ≈ η

d’o` u:

h 1 (6.9) L Le rapport des deux composantes de force est égal au rapport des dimensions caractéristiques de l’écoulement. Ceci permet de supporter des charges importantes tout en conservant la possibilité d’un mouvement relatif avec une résistance faible. C’est le principe utilisé dans la lubrification des pièces mécaniques en rotation, dans les articulations entre les os, dans la sustentation des têtes de lecture de disques magnétiques ... Notons que les approximations faites ci-dessus peuvent aussi s’appliquer au cas d’une couche mince de liquide s’étalant sur une surface solide, c’est-à-dire aux problèmes de mouillage ainsi qu’à l’écoulement dans les films de savon. Ft = F n

6.2.2

Sustentation d’une tˆ ete de lecture

L’augmentation de la densité de données sur les disques durs impose une distance entre la tête de lecture et la surface du disque très faible. Cette distance est actuellement couramment de 0,25 µm. Elle devrait descendre très prochainement à 0,05 µm. Aucun asservissement n’étant capable de maintenir cette ”hauteur de vol”, c’est l’écoulement d’air entre la tête et le disque qui assure cette fonction. Dans beaucoup de cas, la tête de lecture a une forme de catamaran avec deux patins séparés par une encoche et une partie avant en pente douce. Nous allons calculer l’écoulement dans cette partie en biseau qui définit une couche de fluide d’épaisseur : h = h0 + θx. Pour la composante u, l’équation de Stokes se ramène à : η

∂2u ∂p = =G ∂y 2 ∂x

(6.10)

6.3.

ECOULEMENT DANS UN MILIEU POREUX

o` u le gradient de pression G ainsi que u dépendent, a priori, de x. En supposant que h varie lentement (θ 1), donc que le champ de vitesse évolue également lentement avec x, nous pouvons intégrer 6.10 en y comme si l’écoulement était unidimensionnel et comme si u ne dépendait que de y. En se pla¸cant dans le repère o` u la tête est immobile et le disque se déplace, les conditions aux limites sont : u = −U en y = 0 et u = 0 en y = h(x). Ce qui donne : y G 2 u= (y − yh) + U −1 (6.11) 2η h

Ce profil de vitesse est la superposition d’un profil parabolique dˆ u au gradient de pression et d’un profil linéaire dˆ u au mouvement relatif des deux surfaces solides. En intégrant 6.11 sur toute l’épaisseur, nous obtenons le débit de fluide qui est constant dans toute la longueur de l’écoulement : Z h Gh3 U h Q= udy = − − (6.12) 12η 2 0 d’o` u: 2Q ∂p ∂p dh U G= = = −6η + 2 (6.13) ∂x ∂h dx h3 h

Le gradient de pression s’annule lorsque h = h m = −2Q/U (le débit est négatif parce que le fluide se déplace dans la direction −x). Il est positif lorsque h est inférieur à h m et négatif si h est supérieur à hm . Le profil de vitesse est linéaire lorsque G = 0. Si h est différent de h m , le profil de vitesse est parabolique avec une concavité dont le signe dépend de G. En intégrant 6.13 en h et en prenant p = p0 en h = h0 , il vient : 1 1 1 1 6η − − (6.14) +U Q p − p0 = θ h2 h20 h h0 Si nous supposons qu’à l’autre extrémité du plan incliné, o` u h = h 1 = h0 + θL, la pression est aussi égale à p0 , l’équation 6.14 fixe le débit : Q = −U

h0 h1 h0 + h 1

(6.15)

La force de sustentation FN est obtenue par int´egration de la surpression qui r`egne dans le coin de fluide : Z L h1 2(h1 − h0 ) 6ηU FN = − (6.16) (p − p0 )dx = 2 ln θ h0 h0 + h 1 0

alors que la force tangentielle est obtenue par intégration de la contrainte de cisaillement : Z L h1 3(h1 − h0 ) ∂u ηU FT = ln − (6.17) η dx = −2 ∂y θ h0 h0 + h 1 0 L’ordre de grandeur de FN /FT est 1/θ soit L/(h1 − h0 ) 1. Le fait d’avoir un plan très légèrement incliné permet d’engendrer une force normale très importante.

6.3

Ecoulement dans un milieu poreux

6.3.1

Loi de Darcy

Les écoulements dans les milieux poreux sont a priori très difficiles à modéliser compte tenu de l’extrême complexité de la géométrie de ces milieux. Néanmoins, il est possible d’établir

CHAPITRE 6. ECOULEMENTS A PETITS NOMBRES DE REYNOLDS

¯. une relation simple entre la vitesse moyenne du fluide u ¯ et le gradient de pression moyen G Dans chacun des pores qui constitue l’espace occupé par le fluide, l’écoulement est similaire à un écoulement de Poiseuille, même si la géométrie du pore est plus complexe que celle d’un tube de section circulaire. Le point essentiel est que de la vitesse moyenne u dans chacun des pores est proportionnelle au gradient de pression local G : u ∝ (1/η)d 2 G o` u d est une longueur représentative du diamètre des pores. Si nous regardons maintenant l’écoulement à une échelle beaucoup plus grande que celle des pores, mais qui peut être nettement plus petite que les dimensions totales du milieu poreux, nous pouvons définir une vitesse moyenne ¯ . Ces deux quantités sont obtenues par intégration de u ¯ et un gradient de pression moyen G u et g sur une longueur assez grande pour que les fluctuations dues à la variabilité des pores disparaissent. L’intégration conserve la linéarité de la relation entre u et G et l’équation qui en résulte est la loi de Darcy : k p (6.18) ¯ = − ∇¯ u η o` u k est un paramètre qui caractérise le milieu poreux et qui a la dimension du carré d’une longueur ; c’est la perméabilité du milieu poreux. Notons que la loi de Darcy, écrite sous la forme suivante : ¯ u p (6.19) η = −∇¯ k est analogue à l’équation de Stokes, le terme u/k rempla¸cant ∆u. Pour une géométrie donnée (par exemple un empilement régulier de sphères), la perméabilité est proportionnelle au carré de la dimension des objets qui constituent le milieu poreux. Exemples de perméabilités : – sable : 2 × 10−7 à 2 × 10−7 cm2 – grès : 5 × 10−12 à 3 × 10−8 cm2 – sols : 3 × 10−9 à 1 × 10−7 cm2 – cigarette : 10−5 cm2 Pour les très faibles perméabilités, en particuliers les sols, on utilise une unité de perméabilité adaptée, le Darcy égal à 1 micron carré Le champ de vitesse moyenné dérive d’un potentiel proportionnel à la pression moyennée. Cette propriété simple permet de résoudre assez aisément les problèmes d’écoulement dans les sols : la condition d’incompressibilité associée à la loi de Darcy implique que le champ de pression obéisse à l’équation de Laplace. Il suffit donc en principe de résoudre l’équation de Laplace avec les conditions aux limites appropriées. Exemple d’application de la loi de Darcy : ´ ecoulement dans une digue en terre Parfois une solution approchée peut être trouvée comme dans l’exemple du barrage en terre, expliqué ci-dessous. Un barrage en terre n’est pas totalement imperméable : l’eau s’infiltre dans la masse de la digue. Mais cette infiltration n’est pas catastrophique si l’eau ne ressort pas sur la face aval du barrage et n’érode pas la digue. L’eau infiltrée est recueillie par un drain placé au bas de la face aval de la digue (fig. 6.6). Supposons que l’écoulement dans le barrage est suffisamment faible pour ne perturber que très peu la répartition de pression hydrostatique. Alors, dans chaque section x du barrage, la répartition de pression est : o` u p 0 est la pression atmosphérique et h(x) la hauteur d’eau à l’intérieur de la digue. Dans cette approximation, l’écoulement n’a qu’une seule composante de vitesse suivant l’axe x : kρg ∂h k ∂p =− (6.20) ux = − η ∂x η ∂x

6.3.

ECOULEMENT DANS UN MILIEU POREUX

Fig. 6.6 – schéma d’un barrage en terre et le débit d’eau infiltrée est donné en intégrant u x sur toute la hauteur h : Z h(x) kρg ∂h2 ux dz = − Q= 2η ∂x 0

(6.21)

La hauteur d’eau est donc telle que : h2 = h20 −

2ηQ x kρg

(6.22)

o` u h0 est la hauteur d’eau dans le réservoir. La longueur minimale du barrage pour que l’eau infiltrée ne sorte pas sur la face aval est donc donnée par : L=

kρgh20 2ηQ

(6.23)

Si le drain (o` u règne la pression p 0 , ce qui implique h(l) = 0) est placé à une distance l de la face amont de la digue, le débit d’eau infiltrée est fixé par (6.22) : Q=

kρgh20 2ηl

(6.24)

On pourrait retrouver le résultat ci-dessus par un raisonnement dimensionnel : l’ordre de gran0 deur du gradient de pression à travers la digue est : ∇p ≈ ρgh ee l . La vitesse moyenne est donn´ k par la loi de Darcy : u = η ∇p et le débit est de l’ordre de Q ≈ uh 0 . Les résultats énoncés ci-dessus ne sont valides que si le champ de vitesse reste approximativement unidimensionnel, c’est-à-dire si dh/dx reste petit devant 1. En effet, la surface libre étant à pression constante il s’agit d’une ligne de courant. La surface inférieure de la digue (z = 0) est également une ligne de courant. La ligne de courant la plus inclinée sur l’horizontale est la surface libre et le rapport uy /ux est donné par la pente de la surface libre dh/dx .

6.3.2

Mod` ele de tubes tortueux

Si l’on met à part quelques configurations simples comme l’empilement périodique de sphères, il est impossible de prédire exactement la perméabilité d’un milieu poreux même si sa géométrie est parfaitement connue. Il faut avoir recours à la détermination expérimentale ou à des modèles approximatifs pour connaˆıtre k. Un de ces modèles consiste à remplacer le milieu poreux réel par un ensemble de canaux tortueux de section circulaire. Si L est la longueur du milieu poreux dans la direction moyenne de l’écoulement, la longueur effective de chaque tube est : L0 = T L o` u T est la tortuosité du chemin emprunté par le fluide. Dans un milieu à très faible porosité, T peut être nettement plus grand que 1. Le gradient de

CHAPITRE 6. ECOULEMENTS A PETITS NOMBRES DE REYNOLDS

Fig. 6.7 – Modèle de tubes tortueux pour un milieu poreux. pression effectif dans chaque tube est ∆p/L 0 = ∆p/T L o` u ∆p est la différence de pression entre les deux extrémités du poreux. Nous appliquons la loi de Poiseuille qui donne le débit dans chaque tube de diamètre d: q=

πd4 ∆p 128η T L

(6.25)

Le débit total dans le milieu poreux est : Q = N q o` u N est le nombre total de tubes et la vitesse moyenne est : u ¯ = nq o` u n est le nombre de tubes par unité de surface (sur une coupe du poreux perpendiculairement à l’écoulement). Exprimons maintenant la perméabilité du milieu en fonction de sa porosité α, de sa surface spécifique σ et de la tortuosité. La porosité est la fraction de volume occupée par le fluide. La surface spécifique est l’aire de contact entre le fluide et le solide par unité de volume. Dans notre modèle de tubes : α = nπd 2 /4 et σ = nπdT , ce qui donne une perméabilité telle que : k=

α3 2σ 2 T 2

(6.26)

Ce résultat est connu sous le nom de relation de Cozeny-Karman. Il n’est pas restreint à un modèle de tubes et s’applique correctement à un certain nombre de milieux poreux. Mais il est souvent incorrect pour des distributions de particules (ou de pores) très larges, pour des particules non sphériques. Il existe évidemment d’autres modèles plus sophistiqués qui rendent compte plus précisément des perméabilités mesurées.

6.3.3

Ecoulements multiphasiques

Nous avons parlé jusqu’à présent d’écoulements monophasiques dans le milieux poreux ( au sens o` u il y a une seule phase fluide). Mais en hydrologie et en génie pétrolier, on est toujours confronté à des écoulements multiphasiques (eau-air ou huile-eau). La présence d’interfaces fluides ajoute encore à la complexité du problème. Mentionnons simplement que la répartition de pression est considérablement modifiée par le pression capillaire : p c ≈ γ/d , o` u γ est la tension interfaciale, et que la forme globale (à une échelle plus grande que le pores) de l’interface entre les deux phases peut être différente selon les conditions de déplacement des fluides.

6.4.

6.4

` ECOULEMENT AUTOUR D’UNE SPH ERE. SUSPENSIONS

Ecoulement autour d’une sph` ere. Suspensions

Une des applications importantes de l’équation de Stokes concerne les fluides contenant de petites particules solides (suspensions) ou des gouttelettes (émulsions). Le transport de sédiments fluviaux et marins, la flottation des minerais, l’écoulement de pâtes de céramiques, les solutions diluées de polymères sont, entre autres, décrits par la physique des suspensions. Si les dimensions des particules ou gouttelettes sont assez petites, l’écoulement sera décrit (au moins localement) par l’équation de Stokes. La première approche des écoulements de suspensions consiste à examiner l’écoulement d’une sphère : la symétrie du problème simplifie les résultats et bon nombre de particules collo¨ıdales sont sphériques pour des raisons physicochimiques.

6.4.1

Ecoulement autour d’une sph` ere

Commen¸cons par déterminer l’ordre de grandeur de la vitesse de sédimentation d’une sphère à petit nombre de Reynolds. La vitesse de sédimentation est telle que la force de traˆınée T équilibre le poids apparent de la sphère : P = 4/3πa 3 δρg o` u δρ est la différence de masse volumique entre la sphère et le fluide. T est l’intégrale des contraintes sur la surface de la sphère. D’après l’équation de Stokes, l’ordre de grandeur de la pression et des contraintes de cisaillement est : ηU/a . Le rayon de la sphère a est en effet la seule longueur caractéristique du problème et : ∆u ≈ U/a2 et ∇p ≈ p/a. En intégrant la contrainte sur la surface totale de la sphère, on obtient : T ≈ a2 ηU/a = ηaU et la vitesse de sédimentation : Used ≈

δρga2 P ≈ ηa η

(6.27)

Ce raisonnement simple nous montre que la vitesse de sédimentation varie comme le carré du rayon de la particule. La résolution complète de l’équation de Stokes est assez longue et nous allons simplement donner les résultats du calcul. Dans le référentiel o` u la sphère est en mouvement à une vitesse U et le fluide à l’infini immobile, le champ de vitesse est donné par : 3a a3 3a a3 ur = U cos φ et uφ − U sin φ (6.28) − + 2r 2r 3 4r 4r 3 o` u r et φ sont les coordonnées polaires définies par le centre de la sphère et l’axe x suivant lequel la sphère se déplace. Les lignes de courant correspondant au champ de vitesse donné par (6.28) sont représentées sur la figure 6.8. Elles correspondent à une fonction de courant : 3a a3 2 2 ψ = U r sin φ − 4r 4r 3 Pour obtenir le champ de vitesse dans le repère o` u la sphère est immobile, il suffit d’ajouter −U partout à la vitesse, ce qui correspond à ajouter −1/2U r 2 sin2 φ à la fonction de courant. Les lignes de courant correspondantes sont représentées sur la fig. 6.9. Il faut noter que la perturbation engendrée par la sphère décroˆıt très lentement (en 1/r) à grande distance. En revanche, dans un écoulement à nombre de Reynolds élevé, le sillage d’un objet en mouvement s’atténue très rapidement (dans la direction normale à l’écoulement). Cette lente décroissance de la perturbation à Re 1 fait que dans une suspension les particules interagissent fortement entre elles dès l’instant o` u la concentration dépasse quelques % en volume. Ce sont

CHAPITRE 6. ECOULEMENTS A PETITS NOMBRES DE REYNOLDS

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4

0.5

0.1

0.2

Fig. 6.8 – écoulement à petit Re autour d’une sphère. Lignes de courant dans le repère o` u le fluide est immobile à l’infini. Les valeurs de ψ sont normalisées par U a 2 .

-2.8

-2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.2

-1.4 -1 -0.8

-0.6 -0.4 -0.2 -0.2 -0.6

Fig. 6.9 – écoulement à petit Re autour d’une sphère. Lignes de courant dans le repère o` u la sphère est immobile.

6.4.

` ECOULEMENT AUTOUR D’UNE SPH ERE. SUSPENSIONS

Fig. 6.10 – Ligne passant au sein d’une suspension et interceptant les particules solides. des interactions hydrodynamiques dues au mouvement du fluide entre les particules et qui se rajoutent aux autres interactions (électrostatiques par exemple). A partir du champ de vitesse (6.28) on calcule les contraintes à la surface de la sphère et la force de traˆınée : T = 6πηaU (6.29) La valeur exacte de la vitesse de sédimentation est donc : Used =

6.4.2

2 δρga2 9 η

(6.30)

Viscosit´ e des suspensions

L’expérience montre que la mise en suspension de particules solides dans un liquide augmente la viscosité de ce liquide. L’augmentation de viscosité est linéaire en concentration lorsque la fraction en volume φ occupée par le solide ne dépasse pas 2 ou 3 %. Dans ses études sur le mouvement Brownien, Einstein est le premier à avoir montré que la viscosité de la suspension est : ηs = η0 (1 + 2.5φ) (6.31) L’obtention du facteur numérique 2.5 est assez difficile. Nous pouvons néanmoins établir une formule approchée par un raisonnement simple. Considérons la viscosité cinématique ν s de la suspension comme un coefficient de diffusion de la quantité de mouvement. Le temps de diffusion entre deux points distants A et B de d est : d 2 /νs . Sur la droite joignant A et B au sein de la suspension, nous interceptons des particules solides. En traversant ces particules solides, le transport de la quantité de mouvement se fait instantanément, alors que dans le liquide le transport est diffusif. Donc, le temps de diffusion u df est la distance effectivement parcourue au sein du liquide et ν 0 la est aussi : d2f /ν0 o` viscosité cinématique du liquide. Sachant que d f = (1 − φ)d, et en supposant que la masse volumique de la suspension est très voisine de celle du liquide, nous obtenons : η η0 = (1 − φ)2 d0 o : ≈ 1 + 2φ η η0

(6.32)

ce qui est en accord raisonnable avec la formule exacte. La formule 6.31 peut également être appliquée à des solutions de polymères flexibles. Dans les conditions physico-chimiques ou la chaˆıne polymère forme une pelote contenue dans une sphère, l’écoulement du solvant est modifié pratiquement comme si la pelote était une sphère dure. Le rayon de cette sphère équivalente (rayon hydrodynamique R H ) peut être relié par des calculs de physique statistique à la longueur de la macromolécule. Ainsi, la mesure de la viscosité de solutions diluées est un moyen simple d’estimer la masse moléculaire d’un polymère. Lorsque la fraction volumique

CHAPITRE 6. ECOULEMENTS A PETITS NOMBRES DE REYNOLDS

solide dépasse quelques %, l’augmentation de viscosité devient non linéaire. La viscosité finit par diverger si la fraction solide approche de l’empilement compact : le liquide ne se trouve plus que dans de minces films qui permettent de lubrifier le contact entre les grains, comme dans du sable humide.

Chapitre 7

Ecoulements o` u la viscosit´ e est n´ egligeable 7.1

R´ epartition de pression. Effet Coanda

Nous avons déjà, dans plusieurs circonstances, fait l’hypothèse que la viscosité du fluide était négligeable. Dans le chapitre V consacré aux lois de conservation, nous avons établi la relation de Bernoulli et nous l’avons appliquée aux écoulements à surface libre et au tube de Pitot. Nous allons maintenant compléter la relation qui existe entre pression et vitesse dans un écoulement de fluide parfait. Rappelons que la loi de Bernoulli exprime que la quantité H = 1/2ρu2 +p+ρφest constante le long d’une ligne de courant. Si l’écoulement est irrotationnel, H est constant dans tout l’écoulement. A partir de l’équation d’Euler ρ∂u/∂t + ρu.∇u = −∇p, nous allons établir la variation de pression observée lorsqu’on traverse des lignes de courant courbées. Si les lignes de courant ont localement un rayon de courbure R, l’accélération d’une particule de fluide a deux composantes : – une composante du/dtorientée suivant la tangente t aux lignes de courant – une composante u2 /R orientée suivant la normale n aux lignes de courant, c’est l’accélération centripète D’o` u: du u2 ∂u + ρu.∇u = ρ t − ρ n (7.1) ρ ∂t dt R si n est orienté vers l’extérieur de la courbure. Le gradient de pression doit équilibrer les deux composantes d’accélération et, le gradient de pression radial équilibre l’accélération centripète : ρ

∂p u2 = R ∂r

(7.2)

ce qui montre que la pression augmente lorsqu’on s’éloigne du centre de courbure des lignes de courant. Nous retrouvons également le fait qu’il n’y a pas de gradient de pression perpendiculairement aux lignes de courant si celles-ci sont rectilignes (R infini). Afin de connaˆıtre la répartition complète de pression dans un écoulement de fluide parfait, nous pouvons donc appliquer la loi de Bernoulli sur une ligne de courant et utiliser la relation 7.2 pour passer d’une ligne de courant à l’autre. Une manifestation évidente du gradient de pression radial lié à la courbure des lignes de courant est la déformation de la surface libre d’un liquide

` LA VISCOSITE ´ EST NEGLIGEABLE ´ CHAPITRE 7. ECOULEMENTS OU

Fig. 7.1 – Ecoulement avec des lignes de courant courb´ees.

Fig. 7.2 – Récipient en rotation rempli d’eau. La courbe en trait noir est la forme théorique de la surface libre. contenu dans un récipient cylindrique en rotation. Si on attend assez longtemps après la mise en rotation du récipient, tout le liquide tourne en bloc avec un champ de vitesse u θ = Ωr. Lorsque le fluide est en rotation solide, il n’y a pas de déformation des éléments de fluide et, même si le fluide est visqueux, il n’y a pas de contraintes liées à la viscosité et les équations de mouvement se ramènent à :ρu2θ /R = ∂p/∂r dans la direction radiale et : −ρg = ∂p/∂zdans la direction verticale. Dans la direction radiale, la pression est donnée par : p(r,z) = p(0,z) + 1/2ρΩ2 r 2 .Sachant qu’à la surface libre, définie par z = ζ(r) la pression est constante et égale à p0 , on obtient :p0 + ρgζ(0) + 1/2ρΩ2 r 2 = p0 + ρgζ(r), d’o` u : ζ(r) − ζ(0) = Ω2 r 2 /2g. La forme de la surface libre est un parabolo¨ıde de révolution.

7.1.1

Effet Coanda.

Une autre manifestation du gradient de pression radial peut être observée en pla¸cant un cylindre ou une sphère sur le bord d’un jet. Le jet est défléchi par la surface solide et les lignes de courant se courbent en suivant la surface solide. Le gradient de pression est tel que la pression sur la surface de l’objet est plus petite qu’à l’extérieur du jet. Si le jet est effectivement placé sur un des côtés de l’objet, il y a une différence de pression entre les deux côtés de l’objet qui tend à pousser l’objet vers le jet. Cet effet permet de maintenir en lévitation une boule sur laquelle on dirige un jet d’air.

7.2.

ECOULEMENTS POTENTIELS

Fig. 7.3 – Sphère sustentée par un jet d’air. Le poids P de la sphère est équilibré par la traˆınée T et par la force résultant du gradient de pression radial.

7.2

Ecoulements potentiels

7.2.1

Propri´ et´ es du potentiel des vitesses

Une des propriétés importantes des écoulements de fluides parfaits est que si un volume de fluide est irrotationnel (ω = rotu = 0), il le reste indéfiniment. Si par exemple, le fluide est initialement au repos et s’il est mis en mouvement par l’application d’un gradient de pression, l’écoulement créé sera potentiel. Cette propriété n’est évidemment pas vérifiée exactement dans les fluides réels. Néanmoins, dans certaines conditions, en particulier sur les corps profilés, les effets visqueux peuvent être négligés et des écoulements potentiels sont observés. Ceci justifie l’étude de ce type d’écoulements. Si, de plus, le fluide est incompressible, le caractère irrotationnel : u = ∇φ couplé à la condition d’incompressibilité conduit à : divu = div(∇φ) = ∆φ = 0

(7.3)

Le potentiel des vitesses obéit à l’équation de Laplace et la résolution de l’équation de mouvement se ramène à la recherche de fonctions harmoniques satisfaisant les conditions aux limites. Ce problème est exactement équivalent à celui rencontré en électrostatique. En l’absence de viscosité, les parois solides n’imposent plus une condition de vitesse nulle. Le fluide ne peut néanmoins pas les traverser, c’est-à-dire que la composante de vitesse normale à la paroi doit être nulle, soit ∂φ/∂n = 0 o` u n est une coordonnée dans une direction normale à la paroi solide. La linéarité de l’équation de Laplace permet d’additionner des solutions obtenues indépendamment. Il suffit que le potentiel obtenu finalement respecte les conditions aux limites. A deux dimensions, le caractère potentiel de l’écoulement impose que la fonction de courant ψ satisfasse également l’équation de Laplace. En effet : 2 ∂ ψ ∂2ψ ∂u ∂v k= + k=0 (7.4) − rotu = ∂y ∂x ∂y 2 ∂x2

` LA VISCOSITE ´ EST NEGLIGEABLE ´ CHAPITRE 7. ECOULEMENTS OU

Fig. 7.4 – équipotentielles et lignes de courant pour un écoulement uniforme. La vitesse est orthogonale aux lignes équipotentielles φ = Cte et tangente aux lignes de courant ψ = Cte. Les équipotentielles et les lignes de courant constituent donc des réseaux de courbes orthogonales. Nous allons examiner quelques solutions simples de l’équation de Laplace.

7.2.2

Ecoulements potentiels simples

Ecoulement uniforme Le champ de vitesse est donn´e par : u = U , v = 0. Le potentiel des vitesses correspondant est : φ = U x et la fonction de courant est ψ = U y. Tourbillon Les lignes de courant sont circulaires. Le champ de vitesse est u r = 0,uθ = Γ/2πr. Le potentiel des vitesses correspondant est donn´e par : u θ = 1/r∂φ/∂θ, soit : φ=

Γθ 2π

(7.5)

Les équipotentielles sont des droites θ = Cte. La fonction de courant est donnée par : u θ = 1/r∂φ/∂r, d’o` u: Γ r ψ = − ln (7.6) 2π a Les lignes de courant sont des cercles espacés exponentiellement. La circulation de la vitesse sur un cercle de rayon r est : Z Z 2π Γ rdθ = Γ (7.7) C = uθ dl = 2πr 0 Le paramètre Γ est donc la circulation associée au tourbillon. Cette circulation est indépendante du rayon du cercle. En conséquence, le flux du rotationnel de la vitesse sur une surface limitée par deux cercles de rayon quelconque centrées en O est nul. L’écoulement est bien irrotationnel, sauf en r = 0 o` u il existe une singularité de la vorticité. Cette singularité est responsable de la circulation non nulle sur un contour qui entoure le centre du tourbillon. Cette situation est absolument analogue au champ magnétique créé par un fil rectiligne parcouru par un courant. On peut également noter que le potentiel définit par (7.5) n’est pas univoque. En tournant plusieurs fois autour du centre du tourbillon, on obtient des valeurs différentes du potentiel

7.2.

ECOULEMENTS POTENTIELS

Fig. 7.5 – tourbillon. Lignes de courant et équipotentielles. en un même point de l’espace. Cette multiplicité du potentiel est due à la singularité de vorticité placée en r = 0. De manière analogue, en magnétisme, la présence de courants rend le potentiel vecteur non univoque. Source Une source (ou un puits) est un écoulement purement radial dont le débit total est Q. Q Le champ de vitesse est : ur = 2πr ,uθ = 0 . Si Q est positif, l’écoulement diverge depuis le centre (source) ; si Q est négatif, l’écoulement converge (puits). Le potentiel des vitesses correspondant est donné par : ur = ∂φ/∂r , d’o` u: φ=

r Q ln 2π a

(7.8)

La fonction de courant est donnée par : u r = 1r ∂ψ/∂θ , d’o` u : ψ = Qθ 2π . Remarquons que le potentiel et la fonction des courants ont la même forme que pour le tourbillon, mais leur rôles sont inversés. La source est, en quelque sorte, l’écoulement dual du tourbillon. Dipˆ ole De la même manière qu’en électrostatique o` u deux charges proches de signes opposés constituent un dipôle, nous pouvons fabriquer un dipôle en rapprochant une source et un puits de débits opposés. Le potentiel des vitesses pour le dipôle est la somme du potentiel du puits et de la source, soit : Q rs rp ln − ln (7.9) φ = φ s + φp = 2π a a

o` u rs est la distance `a la source et rp la distance au puits. En faisant tendre la distance d entre puits et source vers 0, tout en gardant le produit p = dQ constant, les distances r s et

` LA VISCOSITE ´ EST NEGLIGEABLE ´ CHAPITRE 7. ECOULEMENTS OU

Fig. 7.6 – écoulement créé par un dipôle. Les lignes de courant sont des ellipses (en trait pointillé rp deviennent très grandes devant d. Il est alors possible de faire un développement de ln r s et ln rp autour de ln r o` u r est la distance entre le point considéré et le centre du dipôle. Soit : ln r ln rs = ln r + ∂ ∂r (rs − r). D’o` u: φ=

Qd cos θ p.r Q (rs − rp ) ≈ =− 2πr 2πr 2πr 2

(7.10)

o` u θ est l’angle entre l’axe du dipˆole et r. Le champ de vitesse correspondant est : ur =

7.2.3

∂φ p cos θ px 1 ∂φ p sin θ py = = = et uθ = = ∂r 2πr 2 2πr 3 r ∂θ 2πr 2 2πr 3

(7.11)

Ecoulement autour d’un cylindre

La recherche du potentiel des vitesses pour l’écoulement autour d’un obstacle doit satisfaire uniquement à deux conditions : loin de l’obstacle, on doit retrouver un écoulement uniforme avec un potentiel φ = U x et sur l’obstacle, la vitesse normale à la paroi doit être nulle, c’està-dire que la paroi doit être une ligne de courant. L’obstacle constituant une perturbation de l’écoulement uniforme, une des méthodes pour trouver le potentiel consiste à ajouter au champ de vitesse uniforme, la vitesse résultant d’un développement multipolaire du potentiel. Nous avons vu ci-dessus ce que sont le potentiel d’un monopôle (source) et d’un dipôle. On peut définir de la même manière, le potentiel d’un quadrupôle et des multipôles d’ordres plus élevés. La propriété d’additivité de l’équation de Laplace fait que tous ces développements multipolaires satisfont également à l’équation de Laplace. Nous allons considérer ici l’ajout du potentiel d’un dipôle à un écoulement uniforme qui permet de représenter l’écoulement autour d’un cylindre. L’axe du dipôle est parallèle à l’écoulement moyen pour conserver la symétrie axiale et le potentiel est : p cos θ p cos θ = Ur − 2πr 2πr Le champ de vitesse correspondant est : p p ur = U + cos θ u = − U − sin θ θ 2πr 2 2πr 2 φ = Ux −

(7.12)

(7.13)

7.2.

ECOULEMENTS POTENTIELS

3.5 3 2.5 2

-0.6

0.2 -0.8

-0.4

-0.2

1.5

0.2

0.6 0.8

0.4

0.5

0.6 0.8

Fig. 7.7 – écoulement potentiel autour d’un cylindre. Lignes de courant ( ψ normalisée par U a) en trait plein et isobares (pression normalisée par la pression dynamique) en pointillés. il doit satisfaire aux conditions aux limites : u = U i à l’infini et u r = 0 en r = a (sur le cercle). La première condition est vérifiée quelle que soit la force du dipôle parce que le potentiel du dipôle décroˆıt en 1/r et sa contribution s’annule à l’infini. La seconde condition impose la force du dipôle : p = −2πa2 U et le potentiel résultant est : a2 (7.14) φ = U r cos θ 1 − 2 r et le champ de vitesse est :

a2 ur = U cos θ 1 − 2 r

a2 uθ = −U sin θ 1 + 2 r

La fonction de courant s’en d´eduit par int´egration : a2 ψ = −U r sin θ 1 − 2 r

(7.15)

(7.16)

Les lignes de courant sont représentées sur la fig. 7.7. Il est facile de déterminer le champ de pression ; puisque l’écoulement est potentiel, la loi de Bernoulli s’applique dans tous l’écoulement et : 1 a2 1 2 a2 2 2 p − p∞ = ρ(U − u ) = ρU 2 2 cos 2θ − 2 (7.17) 2 2 r r

Sur les points du cylindre o` u la vitesse est nulle (en θ = 0 et π), on retrouve la pression de 2 stagnation: p = p0 + 1/2ρU . En intégrant la pression sur le pourtour du cylindre, nous obtenons la force exercée par l’écoulement et en particulier sa composant dans la direction de l’écoulement moyen : Z 2π −p cos θ adθ (7.18) Fx = 0

La force de traˆınée est nulle, en raison de l’hypothèse que nous avons faite de négliger la viscosité et de ne pas imposer de condition de non glissement à la surface du solide. Comme nous le verrons, un même résultat est obtenu pour tout corps solide dans un écoulement potentiel. Cette propriété fut découverte par D’Alembert et constituait à l’époque un paradoxe car le rôle de la viscosité n’était pas clairement établi.

` LA VISCOSITE ´ EST NEGLIGEABLE ´ CHAPITRE 7. ECOULEMENTS OU

7.3

Forces sur un obstacle en ´ ecoulement potentiel

La force exercée par l’écoulement sur un corps solide dépend évidemment de la forme de ce corps. Néanmoins, dans le cas des écoulements potentiels, des résultats très généraux peuvent être obtenus en considérant la forme asymptotique de l’écoulement loin de l’obstacle. Pour établir ces formes asymptotiques, il convient de faire la distinction entre les écoulements bidimensionnels et les écoulements tridimensionnels. D’une part la forme du potentiel des vitesses à grande distance du corps est différente : en effet, cette forme est dictée par la nécessité d’avoir un débit nul sur une sphère (à 3 D) et sur un cercle (à 2D). D’autre part, à deux dimensions la présence d’un corps solide modifie la topologie du domaine d’écoulement : ce domaine n’est plus simplement connexe. Il est possible de tracer un contour dans le fluide et entourant le solide. La longueur de ce contour ne peut être réduite à zéro par une transformation continue. L’existence de contours fermés non réductibles au sein du fluide offre la possibilité d’avoir une circulation non nulle de la vitesse autour de ces contours. Donc, le potentiel des vitesses peut être multiforme, ainsi que nous l’avons vu dans l’exemple du tourbillon. Cette possibilité n’existe pas à trois dimensions pour un corps dont les dimensions sont finies : tous les contours tracés dans le fluide peuvent être réduits à une aire nulle.

7.3.1

Potentiel des vitesses ` a grande distance du corps

Dans un ´ecoulement bidimensionnel, la forme asymptotique du potentiel est : 1 A.r Γθ + c ln r + c1 2 + O φ(r) = 2π r r2

(7.19)

Le premier terme du développement est le potentiel d’un tourbillon, il correspond à l’existence possible d’une circulation autour de l’obstacle. Le second terme est le potentiel d’une source. L’intégrale sur un contour fermé de l’écoulement lié à ce terme de source est un débit c. En raison de la condition de vitesse normale nulle imposée sur le corps solide, ce débit doit être nul. Le terme suivant est le potentiel d’un dipôle et il est possible de poursuivre le développement par des termes multipolaires. A grande distance, le terme dipolaire domine les termes d’ordre plus élevé. Si la circulation Γ n’est pas nulle, sa contribution (décroissant en 1/r) au champ de vitesse est dominante. En revanche, si la circulation est nulle, le terme dipolaire donne la contribution dominante (en 1/r 2 ) au champ de vitesse. Nous avons vu que, dans le cas d’un cylindre, le développement (7.19) donne la solution exacte de l’équation de Laplace. Dans un écoulement tridimensionnel, le potentiel peut être développé en harmoniques sphériques : A.r 1 c (7.20) φ(r) = + c1 3 + O r r r3 Le premier terme de ce développement est un terme de source qui est nul pour la même raison que dans un écoulement bidimensionnel. Le second terme est le potentiel d’un dipôle à trois dimensions. Ce terme dipolaire est dominant à grande distance.

7.3.2

Force sur un corps solide

Nous utilisons la loi de conservation de l’impulsion pour calculer la force F exercée sur le solide. Nous prenons un volume de contrôle limité, d’une part, par la surface du solide S c et, d’autre part, par un cylindre S situé à grande distance (fig. 7.8). A trois dimensions, le

7.3.

´ FORCES SUR UN OBSTACLE EN ECOULEMENT POTENTIEL

Fig. 7.8 – volume de contrôle utilisé pour calculer la force sur un corps solide. cylindre est remplacé par une sphère. Puisqu’il n’y a pas ici de contraintes engendr´ ees par R la viscosité, F est l’intégrale de la pression sur la surface S c du corps: F = Sc p˜ u n ˜ ndS o` est à la normale à Sc orientée vers le fluide. D’autre part, la conservation de la quantité de mouvement appliqué au volume limité par S c et S donne : Z Z Z ρu(u.n)dS + pndS = f dV (7.21) S+Sc

S+Sc

o` u f est la force par unité de volume exercée sur le fluide (la gravité par exemple) et n la normale à S + Sc orientée vers l’extérieur du volume de contrôle. A la surface du corps solide, la composante normale de vitesse est nulle et le flux de quantité de mouvement à travers cette surface est donc nul. En supposant que la force en volume est nulle (l’ajout de la force de gravité donnerait la poussée d’Archimède exercée sur le corps), l’équation de conservation de l’impulsion devient : Z Z ρu(u.n)dS +

pndS = −F

(7.22)

Décomposons maintenant le champ de vitesse u en la somme de la vitesse à l’infini U et d’une perturbation v due à l’obstacle et utilisons la loi de Bernoulli pour évaluer la pression : 1 1 p + ρ(U + v)2 = p∞ + ρU 2 2 2

(7.23)

Si la surface S est plac´ee suffisamment loin de l’obstacle, la perturbation v est petite devant la vitesse moyenne U et il est possible de n´egliger le terme en v 2 dans le membre de gauche de (7.23), d’o` u: p − p∞ ≈ −ρv.U (7.24) En reportant cette expression de la pression dans (7.22), il vient : Z Z Z Z Z F= p∞ ndS − ρ(v.U)ndS + ρUU.ndS + ρUv.ndS + ρvU.ndS S

(7.25)

RLes intégrales de p∞ et U (qui sont constants) sur le contour fermé S sont nulles. L’intégrale egalement nulle ; c’est, au facteur U près, l’intégrale de la perturbation v sur S ρUv.ndS est ´ la surface S, c’est-à-dire le débit de fluide à travers S associé à la perturbation. Nous avons

` LA VISCOSITE ´ EST NEGLIGEABLE ´ CHAPITRE 7. ECOULEMENTS OU

vu que la présence du corps solide empêche d’avoir un terme de source pour le potentiel de perturbation. Ce débit est donc nul. Finalement, la force exercée sur le solide est : Z Z Z F = − ρ(v.U)ndS + ρvU.ndS = ρ[(U.n)v − (v.U)n]dS (7.26) S

Soit, en utilisant la relation vectorielle : A ∧ (B ∧ C) = (A.C)B − (A.B)C , Z Z F = − ρU ∧ (v ∧ n)dS = −ρU ∧ (v ∧ n)dS

(7.27)

Cette dernière expression montre que la force F est toujours orthogonale à la direction moyenne de l’écoulement. Il n’y a pas de force de traˆınée dans un écoulement potentiel. Nous retrouvons sous forme générale le résultat obtenu pour l’écoulement autour d’un cylindre. Dans un écoulement tridimensionnel autour d’un corps de dimensions finies, le terme dominant du potentiel des vitesses est le terme dipolaire en 1/r 2 . Le champ de vitesse correspondant décroˆıt en 1/r 3 . L’intégrale de cette perturbation sur une sphère de surface proportionnelle à r 2 décroˆıt comme 1/r. Il est possible de placer la surface S arbitrairement loin et l’intégrale de v est nulle. La force de portance (normale à l’écoulement moyen) est donc aussi nulle dans ce cas. Dans un écoulement bidimensionnel, en présence d’une circulation autour du corps solide, c’est ce terme de circulation qui domine la perturbation v à grande distance. Pour les mêmes raisons qu’à trois dimensions, la contribution du terme dipolaire à la force F est nulle. Le champ de vitesse v est donné par le potentiel d’un tourbillon (7.5): v = ∇φ =

Γ ∇θ 2π

(7.28)

et, en choisissant S comme un cercle de rayon r, la normale n a pour composantes cos θ et sin θ. La composante Fy s’exprime de la manière suivante, pour un écoulement moyen dirigé suivant l’axe x : Z 2π ∂θ ∂θ Γ cos θ − sin θ rdθ = −ρU Γ (7.29) Fy = −ρU 2π 0 ∂y ∂x Ce dernier résultat qui montre que la portance est proportionnelle au produit de la vitesse moyenne et de la circulation, est connu sous le nom de relation de Kutta-Joukovski. Il faut noter que la vitesse U est exprimée dans un repère o` u le corps solide est immobile ; U est la vitesse du fluide à l’infini. Nous pouvons interpréter simplement le signe de la force de portance en utilisant la loi de Bernoulli. Supposons que l’écoulement moyen du fluide se fasse de droite à gauche, soit : U = (−U,0) et que la circulation Γ soit positive (dans le sens trigonométrique). Au dessus du solide, l’écoulement créé par la circulation se rajoute à l’écoulement moyen. En dessous, il s’oppose à l’écoulement moyen. La vitesse du fluide est donc plus grande au-dessus de l’obstacle qu’en dessous. En application de la loi de Bernoulli, la pression est plus basse au-dessus de l’obstacle. Donc la force résultante est dirigée vers le haut (F y positif, en accord avec (7.29) pour une vitesse moyenne négative et une circulation positive.) La portance développée sur des ailes ou des voiles est donc liée à l’existence d’une circulation autour de ces profils. Nous n’avons pas évoqué jusqu’à maintenant la fa¸con dont cette circulation s’établit. En réalité, la viscosité joue un rôle déterminant dans ce phénomène transitoire sur lequel nous reviendrons un peu plus loin. Un cylindre ou une sphère en rotation (comme une balle de tennis frappée avec un effet) sont également soumis à une force de

7.4.

´ ` CONSERVATION DE LA CIRCULATION. TH EOR EME DE KELVIN.

Fig. 7.9 – portance engendrée par un écoulement bidimensionnel couplé à une circulation Γ autour de l’obstacle. portance. Là encore, la viscosité joue un rôle important : la surface solide en rotation entraˆıne le fluide environnant qui doit respecter la condition de non glissement sur la surface et un écoulement tourbillonnaire est ainsi créé. Dans certaines conditions, le champ de vitesse réel est peu différent de celui déterminé par une théorie potentielle et la force de portance réelle est très voisine de celle prédite par la relation de Kutta-Joukovski. Les cylindres tournants ont été effectivement utilisés comme surfaces portantes sur un navire imaginé par Flettner dans les années 20: deux grands cylindres verticaux entraˆınés par des moteurs rempla¸caient les voiles traditionnelles.

7.4

Conservation de la circulation. Th´ eor` eme de Kelvin.

7.4.1

Th´ eor` eme de Kelvin

La circulation de la vitesse sur un contour fermé joue un rôle essentiel dans la détermination des forces exercées sur des obstacles. Nous allons voir comment évolue cette circulation lorsque le contour H C se déplace avec le fluide. La variation de circulation au cours du temps D = u D/Dt est une dérivée particulaire, telle que nous l’avons définie est : DΓ Dt Dt C u.dl o` au chap. II, calculée en suivant le mouvement d’une particule de fluide. La variation de la circulation Γ comprend deux contributions : la première est due au déplacement du contour C, entraˆıné par le mouvement du fluide, la seconde est due à la variation temporelle de la vitesse sur le contour, soit : I I DΓ Du Ddl = .dl + (7.30) u. Dt Dt Dt C C 1 1 La première intégrale peut être évaluée à partir de l’équation d’Euler : Du Dt = − ρ ∇p + ρ ∇φ o` u φ est le potentiel dont dérivent les forces en volume. Si la masse volumique est constante, cette première intégrale se ramène à la circulation de deux gradients sur un contour fermé, elle est donc nulle. La variation de longueur de l’élément de contour dl, par unité de temps, est simplement la différence des vitesses aux deux extrémités de cet élément, soit : Ddl Dt = ∇u.dl et la seconde intégrale devient : I I I 1 Ddl u.∇u.dl = = ∇(u2 ).dl (7.31) u. Dt 2 C C C

` LA VISCOSITE ´ EST NEGLIGEABLE ´ CHAPITRE 7. ECOULEMENTS OU

C’est à nouveau l’intégrale d’un gradient sur un contour fermé. Donc la variation de circulation sur un contour fermé qui suit l’écoulement est nulle: DΓ =0 Dt

(7.32)

Ce résultat, qui constitue le théorème de Kelvin, n’est valide que si i) le fluide n’est pas visqueux, ii) si la masse volumique est constante et iii) si les forces en volume dérivent d’un potentiel.

7.4.2

Une manifestation du th´ eor` eme de Kelvin : le tourbillon de vidange

Lorsqu’on vidange un évier ou une baignoire, on peut observer la dépression de la surface libre qui se forme au-dessus de l’orifice de vidange. Cette dépression reflète une chute de pression au sein du liquide qui est elle-même due à un tourbillon qui se forme dans le récipient (par une perturbation initiale, la force de Coriolis n’a rien à voir là-dedans, contrairement à ce qu’on affirme parfois). L’amplification du tourbillon est liée au théorème de Kelvin : considérons un élément de fluide cylindrique dont l’axe est confondu avec celui du trou de vidange. La circulation Γ sur la surface extérieure de ce cylindre est de l’ordre de U R o` uU est la vitesse tangentielle et R le rayon du cylindre. L’écoulement dans la vidange étire ce cylindre de fluide le long de son axe. Pour satisfaire la conservation du volume, le rayon du cylindre doit diminuer et pour conserver la circulation, la vitesse tangentielle doit augmenter.

7.5

Surfaces portantes

Comme nous l’avons vu , la force de portance sur un corps solide en mouvement est liée à l’existence d’une circulation autour de ce corps. Nous pouvons dans certains cas calculer analytiquement l’écoulement potentiel autour de profils d’aile. Ces profils particulier sont obtenus par une transformation conforme de l’écoulement autour d’un cylindre. Sur les deux figures 7.10 et 7.11 sont représentés l’écoulement sans circulation et l’écoulement avec une valeur particulière de la circulation. Dans les deux cas l’angle d’incidence de l’écoulement moyen sur le profil est le même. En l’absence de circulation, notons que le point de stagnation arrière ne se trouve pas exactement sur le bord de fuite, mais sur la partie supérieure de l’aile. La ligne de courant située immédiatement en dessous de l’aile doit contourner très brusquement le bord de fuite aigu. Dans ces conditions, la vitesse et le gradient de vitesse divergent au bord de fuite. Evidemment, dans un écoulement réel o` u la viscosité est toujours présente, cette situation est impossible. Il se trouve que les effets visqueux imposent une vitesse finie, ainsi que l’égalité entre la vitesse sur l’extrados et sur l’intrados au voisinage immédiat du bord de fuite (condition de Kutta-Joukovski). La fig. 7.11 montre le même écoulement mais avec une circulation qui a été ajustée de telle manière que le point de stagnation arrière se trouve exactement au bord de fuite. Cette circulation dans le sens trigonométrique correspond à une force de portance dirigée vers le haut. On notera le resserrement très important des lignes de courant sur la partie supérieure, près du bord d’attaque. Cette accélération du fluide induit, selon la loi de Bernoulli, une dépression importante à la partie supérieure de l’aile. Nous voyons sur la figure 7.12 la répartition de pression sur un profil d’aile réel, mesurée en soufflerie. Sur cette figure, la pression est normalisée par la pression dynamique 1/2ρU 2 . Notons, qu’en valeur absolue, le changement de pression est nettement plus grand sur l’extrados (l’aile est (( aspirée )) vers le haut.

7.5.

SURFACES PORTANTES

Fig. 7.10 – ´ecoulement potentiel autour d’un profil d’aile, sans circulation.

Fig. 7.11 – ´ecoulement potentiel autour d’un profil d’aile avec une circulation assurant une vitesse finie au bord de fuite.

p'-p'0

-1

-2

-3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x/c

Fig. 7.12 – r´epartition de pression sur un profil d’aile avec un angle d’incidence de 7˚ en fonction de la position le long du profil. c est la longueur du profil (corde). Cercles : pression sur l’intrados. Triangles : pression sur l’extrados.

` LA VISCOSITE ´ EST NEGLIGEABLE ´ CHAPITRE 7. ECOULEMENTS OU

Fig. 7.13 – visualisation par des filets colorés de l’écoulement autour d’un profil d’aile en incidence. Lorsque la vitesse moyenne change ou bien lorsque l’incidence du profil est modifiée, la force de portance change. La circulation autour de l’aile doit donc changer. Or, d’après le théorème de Kelvin, si les effets visqueux sont négligeables, la circulation sur un contour qui suit le mouvement du fluide doit être constante. Le changement de circulation autour d’un profil portant doit s’accompagner d’un changement de circulation exactement opposé dans le fluide qui est emporté dans le sillage du profil. Cette conservation globale de la circulation est illustrée sur la fig. 7.13. Dans l’écoulement photographié sur la fig. 7.13, la vitesse moyenne a été brusquement modifiée, ce qui a entraˆıné une modification de la circulation autour du profil d’aile. Pour compenser ce changement, un tourbillon de circulation opposée se crée au bord de fuite et se détache du profil. La circulation autour des deux rectangles noirs dessinés sur la fig. 7.13 (autour de l’aile et autour du tourbillon détaché) est telle que la circulation globale est resté constante pendant la modification de l’écoulement moyen. Pour la même raison, lorsqu’un profil portant est mis en mouvement, il faut détacher un tourbillon derrière le profil afin de permettre l’établissement de la portance.

Chapitre 8

COUCHES LIMITES 8.1

La notion de couche limite

Nous avons déjà examiné des écoulements o` u les effets visqueux sont entièrement dominants et des écoulements o` u nous avons au contraire complètement négligé les effets de la viscosité. Par exemple, pour établir le principe de fonctionnement du tube de Pitot (§ 5.2), nous avons utilisé la loi de Bernoulli. Pourtant le résultat ainsi obtenu est conforme à ce qui observé dans la réalité o` u les effets visqueux ne sont jamais totalement négligeables. En particulier, la viscosité du fluide impose toujours que la vitesse de l’écoulement soit nulle au voisinage immédiat d’une paroi solide ce qui en contradiction avec l’hypothèse de glissement utilisée pour les écoulements de fluide parfait. Il est possible de réconcilier ces deux points de vue contradictoires grâce à l’existence d’une couche limite dans laquelle les effets visqueux sont confinés et en dehors de laquelle les effets visqueux sont négligeables. L’existence d’une couche limite provient des effets combinés de la viscosité et de la convection par l’écoulement moyen sur le transport de la quantité de mouvement. Nous avons établi dans l’introduction (§ I.5) que la mise en mouvement d’une plaque plane infinie conduit à une diffusion de la quantité de mouvement vers l’inté√ rieur du fluide. L’épaisseur de la couche dans laquelle la diffusion a eu lieu est de l’ordre de νt. La viscosité est également responsable de la diffusion de la vorticité dans l’écoulement. A l’instant initial, le fluide est au repos et, évidemment, la vorticité est nulle partout. Si nous reprenons le profil de vitesse établi dans I.5 et calculons la vorticité ωz = ∂u/∂y − ∂v/∂x, nous obtenons un profil de vorticit´ √e qui décroˆıt comme exp(−ζ 2 ) o` u ζ est la coordonn´ e e normale ` a la plaque normalis´ e e par νt. Ainsi, à √ l’intérieur de la couche d’épaisseur νt, la vorticité créée par la brusque mise en mouvement de la plaque a diffusé. En revanche, à l’extérieur la vorticité n’a pas eu le temps de diffuser et l’écoulement est resté irrotationnel. Dans cet exemple de la plaque infinie, il y a une invariance par rapport à la coordonnée x le long de la plaque. De ce fait, le transport de quantité de mouvement par l’écoulement moyen, parallèle à la plaque, n’a aucun effet, la quantité transportée ayant la même valeur à toutes les abscisses x. Il n’en est pas de même dans un cas plus général (par exemple, si la plaque plane est de longueur finie) o` u la convection par l’écoulement moyen va participer au transport de la quantité de mouvement. Considérons le cas d’une plaque plane de très faible épaisseur et de longueur l placée dans un écoulement uniforme parallèle à la plaque (fig. 8.1). Supposons que l’écoulement uniforme soit brusquement accéléré de 0 à la vitesse constante U . La viscosité impose le développement autour de la plaque d’une couche o` u la vorticité

CHAPITRE 8.

COUCHES LIMITES

Fig. 8.1 – Couche limite autour d’une plaque plane de longueur l, dans le cas o` u U l/ν est d’ordre unité et dans le cas o` u U l/ν est très grand. n’est pas nulle. L’écoulement moyen s’oppose à l’extension de cette couche vers l’amont. En revanche, il favorise son développement vers l’aval. Contrairement au cas de la plaque infinie, nous pouvons atteindre ici un état stationnaire pour le transport de la vorticité et de la quantité de mouvement. Cet état stationnaire va définir l’épaisseur de la couche limite. Le temps moyen mis par un élément de fluide pour parcourir la totalité de la plaque est l/U . Pendant ce temps, la viscosité permet à la quantité de mouvement de diffuser sur une distance δ = (νl/U )1/2 = lRe−1/2 , si nous calculons le nombre de Reynolds sur la longueur de la plaque. Si le nombre de Reynolds ainsi calculé est suffisamment grand, l’épaisseur δ sera petite devant la longueur l de la plaque. En dehors de la couche limite, l’écoulement reste irrotationnel et les effets visqueux sont négligeables. Ce raisonnement s’applique à tout corps solide placé dans un écoulement, à condition que la couche limite reste effectivement confinée près du corps ; nous verrons plus tard quelles sont les conditions qui conduisent au décollement de la couche limite. Ceci justifie l’utilisation de l’hypothèse de fluide parfait pour décrire l’écoulement autour d’un corps solide ainsi que la recherche de solutions qui dérivent d’un potentiel (écoulements irrotationnels).

8.1.1

Approximations de l’´ equation de Navier-Stokes dans une couche limite.

Le fait que l’épaisseur de la couche limite soit petite devant les autres dimensions caractéristiques de l’écoulement permet de faire des approximations dans l’équation de Navier-Stokes. Pour simplifier, considérons toujours le cas d’une plaque plane (placée en y = 0) placée dans un écoulement uniforme à l’infini (u = U,v = 0) et supposons que l’écoulement est bidimensionnel. La faible épaisseur de la couche limite implique que les dérivées de la vitesse dans la direction y (normale à la plaque) sont beaucoup plus grandes que les dérivées dans la direction x:

∂u

∂u et ∂ u ∂ u

(8.1)

∂x ∂y 2

∂x2

∂y

Ces inégalités permettent de simplifier l’écriture de l’équation de Navier-Stokes pour la composante u de la vitesse : ∂u ∂u ∂v 1 ∂p ∂2u +u +v =− +ν 2 (8.2) ∂t ∂x ∂y ρ ∂x ∂y

8.2.

COUCHE LIMITE SUR UNE PLAQUE PLANE

Par ailleurs, la composante de vitesse v, normale `a la plaque est petite devant u, ainsi que le montre la relation d’incompressibilit´e : ∂u ∂v u v + ≈ + =0 ∂x ∂y l δ

(8.3)

Nous pouvons noter que l’équation (8.2) est identique à l’équation d’Euler pour les fluides parfaits à un terme près qui est proportionnel à la viscosité et qui rend compte de la diffusion de la vorticité. Les considérations générales développées ci-dessus suggèrent que ce terme de viscosité est comparable aux termes inertiels de (8.2) à l’intérieur de la couche limite, soit : u

∂u ∂2u ≈ν 2 ∂x ∂y

(8.4)

soit, en ordre de grandeur : U Ul ≈ ν δU2 , qui conduit `a : δ 2 ≈ l2

νU soit :δ ≈ lRe−1/2 l

(8.5)

o` u le nombre de Reynolds est défini avec la longueur de la plaque. Une des conséquences de (8.5) est que la composante v a pour ordre de grandeur : U Re −1/2 et que la projection suivant y de l’équation de Navier-Stokes se réduit à : ∂p =0 ∂y

(8.6)

tous les termes proportionnels à v étant petits. La pression est donc pratiquement constante à travers la couche limite et elle déterminée par la résolution de l’équation d’Euler en dehors de la couche limite. lorsque l’écoulement est stationnaire, l’équation d’Euler est équivalente à la relation de Bernoulli. Il est donc possible de résoudre (8.2) en utilisant les conditions aux limites suivantes : sur la plaque plane (y = 0) : u = v = 0 ; sur l’extérieur de la couche (y/δ 7→ ∞) : u(x,y,t) 7→ U (x,t) et v 7→ 0, la pression étant donnée par l’équation de Bernoulli p + 1/2ρU 2 = C te . Le raisonnement que nous venons de faire pour une plaque plane peut être généralisé à d’autres géométries. Nous pouvons décrire de la même manière la couche limite sur une paroi courbe. Il suffit de définir un système de coordonnées curvilignes suivant le contour de la paroi solide. Il faudra également tenir compte du gradient de pression radial imposé par la courbure des lignes de courant et remplacer l’équation (8.6) par une équation similaire à (7.2). Nous pouvons également utiliser des approximations de couche limite pour décrire la zone de transition entre deux écoulements parallèles de vitesses différentes (couche de mélange, fig. 8.2) ou bien pour décrire un sillage laminaire. Les approximations essentielles reposent en effet sur la grande disparité des longueurs caractérisant l’écoulement dans deux directions orthogonales.

8.2

Couche limite sur une plaque plane

En utilisant les approximations justifiées ci-dessus, nous allons déterminer le champ de vitesse dans la couche limite se développant sur une plaque plane. Nous avons à résoudre l’équation (8.2), couplée à la condition d’incompressibilité (8.3) avec les conditions aux limites

CHAPITRE 8.

COUCHES LIMITES

Fig. 8.2 – couche de mélange se développant entre deux écoulements uniformes de vitesses U 1 et U2 . suivantes : u = v = 0 en y = 0 et u 7→ U si y/δ 7→ ∞ lorsque l > x > 0 et u = U en x = 0, quel que soit y. Il est clair que l’épaisseur de la couche limite augmente lorsqu’on se déplace dans le sens de l’écoulement moyen. Chaque portion de la paroi solide contribue en effet à ralentir l’écoulement par le biais du frottement visqueux. A une distance x du bord d’attaque de la plaque, seules les parties de la plaque situées en amont de ce point ont contribué à l’épaississement de la couche limite. Nous pouvons donc supposer que l’épaisseur locale de la couche limite ne dépend que de la coordonnée x et pas de la longueur totale de la plaque. Sachant qu’un élément de fluide parcourt la distance x en un temps de l’ordre√de x/U et que la distance sur laquelle diffuse la quantité de mouvement p est de l’ordre de νt, l’épaisseur locale de la couche limite δ(x) doit être de l’ordre de νx/U . Tout le raisonnement qui suit repose sur le fait que l’épaisseur de couche limite ne dépend que la distance au bord d’attaque et que ce qui se passe en aval n’influence pas la couche limite. Avant de chercher des solutions des équations (8.2) et (8.3), nous allons les écrire avec des variables sans dimension (avec des primes). Nous normalisons naturellement la vitesse u le long de la plaque par la vitesse à l’infini U : u = u0 U (8.7) Reprenons maintenant la condition d’incompressibilité et écrivons l’ordre de grandeur des différents termes avec les grandeurs ” locales ” X et δ(X) o` u X est la distance depuis le bord d’attaque de la plaque: u v ∂u ∂v + ≈ + (8.8) ∂x ∂y X δ(x) ce qui nous conduit à : δ(x) −1/2 v≈u et v = v 0 U ReX (8.9) X o` u ReX est un nombre de Reynolds défini sur la longueur X : Re x = U X/ν. L’échelle de longueur suivant y est naturellement l’épaisseur locale de la couche limite et l’échelle de longueur suivant x est la distance X : x = x0 X et y = y 0 δ(X)

(8.10)

Reportons dans (8.2) les variables sans dimension définies par (8.7), (8.9 et (8.10) et remarquons que, à l’extérieur de la couche limite, la vitesse est constante et donc, la pression est

8.2.

COUCHE LIMITE SUR UNE PLAQUE PLANE

´egalement constante. Nous obtenons : u0

0 ∂u0 ∂ 2 u0 0 ∂u + v = ∂x0 ∂y 0 ∂y 02

(8.11)

Cette forme de l’équation de couche limite montre que les termes inertiels (membre de gauche) sont bien du même ordre de grandeur que les termes de viscosité (membre de droite). En effet, les variables adimensionnelles sont toutes choisies de manière à être d’ordre unité. On peut également remarquer que la viscosité du fluide et le nombre de Reynolds n’apparaissent plus directement dans cette équation. Ceci résulte du choix de l’épaisseur locale de la couche limite : −1/2 δ(X) = XReX qui décrit l’essentiel du phénomène physique conduisant à la formation de la couche limite. De la même manière que dans le problème de la plaque infinie mise brusquement en mouvement, nous allons trouver des solutions autosimilaires pour le profil de vitesse en prenant une coordonnée spatiale sans dimension : ζ = y/δ(X) = y(U/νx) 1/2 et en cherchant une solution pour u de la forme : u = U f (ζ) (8.12) Pour satisfaire les conditions aux limites (u(y = 0) = 0 et u 7→ U si y 7→ ∞), il est nécessaire que : f (0) = 0 et : f (ζ) 7→ 1 si ζ 7→ ∞. En reportant l’expression (8.12) dans la condition d’incompressibilité, il vient : ∂v ∂ζ ∂v = = ∂y ∂ζ ∂y

soit : 1 ∂v = ∂ζ 2

U νx

1/2

νU x

∂v U 0 = ζf (ζ) ∂ζ 2x

1/2

ζf 0 (ζ)

(8.13)

(8.14)

qu’il est possible d’int´egrer par parties en : 1 v= 2

νU x

1/2

ζf (ζ) −

f (ξ)dξ 0

(8.15)

en tenant compte de la condition v(y = 0) = 0. Nous pouvons maintenant insérer les expressions (8.12) et (8.15) dans l’équation (8.2), avec ∂p/∂x = 0 puisque la pression est constante à l’extérieur de la couche limite. Avec : Z 1 U2 ∂u 1 U2 0 ∂u 0 =− ζf f et : v = f ζf − f dξ u ∂x 2 x ∂y 2 x ainsi que :

U 2 00 ∂2u = f ∂y 2 νx

il vient : 00

2f (ζ) + f (ζ)

f (ξ)dξ = 0

(8.16)

qui est l’équation de Blasius décrivant le profil de vitesse. Remarquons la disparition explicite des coordonnées x et y dans cette dernière équation. Elles apparaissent seulement par l’intermédiaire de ζ qui est proportionnel à yx −1/2 . Ceci confirme que l’équation de couche

CHAPITRE 8.

COUCHES LIMITES

1.0

u/U

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

ζ = y (U/νx)

1/2

Fig. 8.3 – profil de vitesse dans la couche limite sur une plaque plane. limite admet bien des solutions autosimilaires (les profils de vitesses sont identiques à toutes les abscisses x). La solution de (8.16) a été obtenue numériquement. Il faut noter que lorsque ζ est inférieur à 2, le profil de vitesse est très proche d’une droite et que lorsque ζ atteint 5, f est supérieur à 0,99. La couche limite sur une plaque plane peut donc être représentée très schématiquement par un profil linéaire se raccordant à la valeur constante de la vitesse à l’extérieur de la couche limite (fig. 8.3). A partir du profil de vitesse, nous pouvons déterminer la force de friction exercée sur la plaque par l’écoulement. La contrainte de cisaillement sur la plaque est : ∂ζ ∂u (8.17) = ηU f 0 (0) σxy = η ∂y y=0 ∂y soit, en faisant apparaˆıtre la pression dynamique ρU 2 et en prenant la valeur de f 0(0) = 0.33 trouvée par le calcul : ν 1/2 σxy = 0,33ρU 2 (8.18) Ux La force totale sur une plaque de longueur l (par unité de longueur dans la troisième dimension) est donc l’intégrale de la contrainte donnée par (8.18) : Z l ν 1/2 ν 1/2 2 Fl = 0,33ρU dx = 0,66ρU 2 l (8.19) Ux Ul 0 Le coefficient de friction CD est défini comme le rapport entre la force de traˆınée et la force qui serait exercée par la pression dynamique appliquée uniformément sur toute la plaque, soit : Fl −1/2 CD = = 0,66Rel (8.20) ρU 2 l L’expression du coefficient de friction trouvée ci-dessus dans le cas d’une plaque plane reste approximativement correcte sur des corps profilés, c’est-à-dire tant que la surface solide fait un angle faible avec la direction moyenne de l’écoulement (par exemple, dans le cas du profil d’aile de la fig. 1.1 placé en incidence nulle). Les calculs développés ci-dessus cessent également d’être valables lorsque la couche limite devient turbulente ce qui se produit lorsque le nombre de Reynolds construit sur l’épaisseur locale de la couche limite U δ/ν excède à peu près 600. Nous avons jusqu’à présent défini l’épaisseur δ de la couche limite par un raisonnement purement dimensionnel. Il est maintenant possible d’en donner une définition plus précise. La définition la plus simple consiste à chercher la valeur de ζ pour laquelle u/U atteint une valeur donnée, par exemple 0,99. On trouve alors : δ = 5(νx/U ) 1/2 . Une autre

´ 8.3. AVEC GRADIENT DE PRESSION EXT ERIEUR

définition, plus physique, consiste à définir l’épaisseur de déplacement qui estime le déficit global de débit dˆ u à la présence de la couche limite. En amont de la plaque, le débit de fluide entre les lignes y = 0 et y = D est évidemment Q 0 = U D. A une distance x en aval du bord d’attaque, ce débit devient : Z D Z D Z ∞ u Q= dy (8.21) udy = Q0 − (U − u)dy ≈ Q0 − U 1− U 0 0 0 o` u nous avons utilisé le fait que D est beaucoup plus grand que l’épaisseur de le couche limite et, qu’en dehors de cette couche, u est égal à U . Nous pouvons écrire (8.21) sous la forme : Q = Q0 − U δ1

(8.22)

définissant ainsi l’épaisseur de déplacement δ 1 . Cette épaisseur est également la distance dont sont déplacées verticalement les lignes de courant dans l’écoulement potentiel à l’extérieur de la couche limite. En effet, il faut assurer la conservation du débit Q 0 entre les lignes de courant qui, loin en amont, se situent respectivement en y = 0 et y = D. Sachant qu’à l’extérieur de la couche limite, la vitesse est uniforme et égale à U , pour compenser le déficit exprimé par (8.22), il faut déplacer la ligne de courant extérieure d’une distance δ 1 . Cet écartement progressif des lignes de courant extérieures est dˆ u à la petite composante verticale de vitesse.

8.3

Couches limites en pr´ esence d’un gradient de pression ext´ erieur. D´ ecollement

8.3.1

Influence de l’acc´ el´ eration ou d´ ec´ el´ eration de l’´ ecoulement externe

La configuration de l’écoulement (par exemple la courbure de la paroi solide) peut imposer un gradient de vitesse ∂U/∂x non nul à l’extérieur de la couche limite. L’application de la loi de Bernoulli nous indique que la pression varie également dans la direction de l’écoulement moyen. En utilisant la condition d’incompressibilité, nous pouvons obtenir la composante de vitesse verticale v en fonction du gradient de vitesse longitudinal : Z y ∂u dy (8.23) v(y) = − 0 ∂x Si ∂u/∂x est positif (le fluide accélère le long de la paroi), (8.23) nous indique que la composante verticale de vitesse sera négative. Pour satisfaire la condition d’incompressibilité, le fluide est ramené vers la paroi. L’accélération de l’écoulement hors de la couche limite contribue donc à amincir la couche limite. En revanche, s’il y a décélération de l’écoulement hors de la couche limite, (8.23) nous montre que v est positif, le fluide est emporté de la paroi vers l’écoulement extérieur. Cet effet se rajoute à l’épaississement de la couche limite provoqué par la diffusion de la quantité de mouvement due à la viscosité. A l’extérieur de la couche limite, le gradient de pression est : ∂p ∂U = −ρU (8.24) ∂x ∂x La composante de vitesse v étant très petite, la pression à l’intérieur de la couche limite est très peu différente de la pression externe. Ainsi, la décélération de l’écoulement externe conduit à l’existence d’un gradient de pression adverse, qui s’oppose à l’écoulement dans la couche limite. Si ce gradient de pression est suffisamment fort, il peut renverser l’écoulement et provoquer le décollement de la couche limite.

100

8.3.2

CHAPITRE 8.

COUCHES LIMITES

Solutions autosimilaires pour un ´ ecoulement externe en xm

Lorsque la vitesse externe varie en loi de puissance avec la coordonnée longitudinale, soit : U (x) = Cxm , il existe des solutions autosimilaires à l’équation de la couche limite. Ces solutions ont été déterminées numériquement par Falkner et Skan en 1930. Les deux composantes de vitesse u et v sont données par la fonction de courant : √ ψ = νU xf (ζ) (8.25) o` u la coordonnée verticale adimensionnelle ζ est définie comme précédemment : 1/2 U ζ=y νx

(8.26)

et o` u la fonction f obéit à l’équation :

1 mf 02 − (m + 1)f f 00 = m + f 000 (8.27) 2 Lorsque m = 0, la vitesse est uniforme le long de la couche limite et l’équation (8.27) est équivalente à l’équation de Blasius (8.16) pour l’écoulement sur une plaque plane. Les solutions de l’équation de Falkner-Skan (8.27) pour quelques valeurs de m sont représentées sur la fig. 8.4. De la même manière que pour la couche limite sur une plaque plane, l’épaisseur de déplacement δ1 et la contrainte de cisaillement sur la paroi peuvent être déterminées : νx 1/2 Z ∞ 1 (1 − f 0 )dζ ∝ x 2 (1−m) (8.28) δ1 = U 0 L’épaisseur de déplacement est uniforme le long de la paroi lorsque la vitesse externe augmente linéairement (m = 1). L’épaississement de la couche limite par diffusion ” visqueuse ” est exactement compensé par l’accélération de l’écoulement externe. 3 1 νU f 0 (0) ∝ x 2 (3m−1) (8.29) σxy (y = 0) = ρ x

Lorsque m = 1/3, la contrainte est uniforme tout au long de la paroi. La diminution du gradient de vitesse provoqué par l’épaississement de la couche limite est ici exactement compensé par l’accélération de l’écoulement externe. L’examen des solutions de l’équation de Falkner-Skan, en présence de décélération (m < 0) montre que les profils de vitesse ont un point d’inflexion (pour m = 0, le point d’inflexion est situé à la paroi). D’autre part, si m < −0.091, le gradient de vitesse ∂u/∂y à la paroi change de signe. Ceci montre que pour une décélération de l’écoulement externe caractérisée par une valeur de m inférieure à cette valeur critique, il y a renversement de l’écoulement à la paroi. Dans l’analyse de Falkner et Skan, le gradient de vitesse ∂u/∂y change de signe partout dans la couche limite si m passe en dessous de la valeur critique m = −0.091. Dans l’écoulement autour d’un corps de forme complexe (une surface portante par exemple), le gradient de vitesse longitudinal ∂U/∂x évolue le long du corps. En pratique, la couche limite se sépare de la paroi solide au point o` u ∂u/∂y change de signe. Ce décollement est en général associé à un épaississement très important de la couche limite et également à l’apparition d’instabilités. Les approximations que nous avons faites pour décrire la couche limite ne s’appliquent alors plus. La conséquence essentielle pour les applications est que la vitesse dans la couche limite décroˆıt considérablement (beaucoup plus vite que la décélération imposée par l’écoulement potentiel externe) et la pression croˆıt également rapidement dans la direction de l’écoulement moyen.

´ 8.3. AVEC GRADIENT DE PRESSION EXT ERIEUR

101

1.0 m = 1 0.8

u/U

m = 1/3 0.6

m = 0

0.4 m = -0.091 0.2 0.0

2 1/2

1/2

(m+1) (U/2νx) y

Fig. 8.4 – solutions de l’´equation de Falkner-Skan pour quatre valeurs de m.

8.3.3

Cons´ equences du d´ ecollement de la couche limite

Sillage des corps non profil´ es Sur un corps non profilé (un cylindre ou une sphère, par exemple), la couche limite se développe à partir du point de stagnation situé sur la face amont du corps. Sur la partie arrière du corps, la forme du solide impose une divergence rapide des lignes de courant, donc un ralentissement rapide de l’écoulement moyen. Ce ralentissement est naturellement la source d’un décollement prématuré de la couche limite (voir, par exemple, la fig. 1.6). La conséquence directe de ce décollement est la présence d’un sillage très large et un force de traˆınée très importante sur le corps. Afin de comparer l’influence de la forme de différents corps sur la force de traˆınée FT , on définit un coefficient de traˆınée C D (D comme Drag, traˆınée en anglais), tel que : 1 (8.30) FT = ρU 2 SCD 2 o` u S est la surface frontale du corps et 1/2ρU 2 est la pression dynamique qui, dans un écoulement à grand nombre de Reynolds, donne un ordre de grandeur de la surpression régnant sur la face amont du corps. C’est ce coefficient de traˆınée qu’on désigne traditionnellement par Cx pour les automobiles. Le coefficient de traˆınée est, en général, fonction du nombre de Reynolds. Toutefois, si les caractéristiques générales de l’écoulement varient peu, le coefficient de traˆınée reste presque constant. Ainsi, pour un cylindre, C D varie de 1,4 à 1,2 lorsque Re varie de 102 à 105 (avec un minimum à 0,9 pour Re de l’ordre de 1000). A titre de comparaison, le coefficient de traˆınée d’un profil d’aile placé à angle d’incidence nul peut descendre en dessous de 10−2 . Cette faible traˆınée s’explique par l’absence de décollement appréciable de la couche limite sur l’ensemble du profil. Surfaces portantes Comme nous l’avons vu en étudiant les écoulements o` u la viscosité peut être négligée, la présence d’une force portante sur un corps solide est associée à l’existence d’une circulation autour de ce corps et à une différence appréciable de vitesse entre la surface supérieure et la surface inférieure (voir la répartition de pression de la fig. 7.12). De même que la traˆınée est caractérisée par le coefficient C D , la force de portance est définie par un coefficient sans

102

CHAPITRE 8.

COUCHES LIMITES

1.4

1.2 30

1.0

0.6 0.4

CL/CD

0.8

0.2 0.0 -0.2

0 0

Fig. 8.5 â&#x20AC;&#x201C; Coefficient de portance (CL ) et finesse (CL /CD ) pour un profil dâ&#x20AC;&#x2122;aile en fonction de lâ&#x20AC;&#x2122;angle dâ&#x20AC;&#x2122;incidence (mesures effectuÂ´ees `a Re de lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de 10 6 ). dimension CL (L comme lift) tel que : 1 FP = Ď U 2 SCL 2

(8.31)

Lâ&#x20AC;&#x2122;augmentation de lâ&#x20AC;&#x2122;angle dâ&#x20AC;&#x2122;incidence (angle entre lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement loin de lâ&#x20AC;&#x2122;aile et lâ&#x20AC;&#x2122;axe du profil) se traduit dâ&#x20AC;&#x2122;abord par une augmentation de la portance, rÂésultant essentiellement dâ&#x20AC;&#x2122;une accÂélÂération du fluide sur lâ&#x20AC;&#x2122;extrados. NÂéanmoins, lorsque lâ&#x20AC;&#x2122;angle dâ&#x20AC;&#x2122;incidence est augmentÂé audelà dâ&#x20AC;&#x2122;une valeur qui dÂépend du nombre de Reynolds et de la forme exacte du profil, la portance diminue, de mË&#x2020;eme que le rapport C L /CD (finesse) qui dÂéfinit les performances de lâ&#x20AC;&#x2122;aile. Cette diminution du coefficient de portance à grande incidence est liÂé au dÂécollement de la couche limite à lâ&#x20AC;&#x2122;extrados du profil. On peut observer un dÂébut de dÂécollement sur la fig. 1.1 ; le profil est placÂé à un angle dâ&#x20AC;&#x2122;incidence assez faible et le dÂécollement de la couche limite se produit loin du bord dâ&#x20AC;&#x2122;attaque. Sur la fig. 7.13, en revanche, lâ&#x20AC;&#x2122;angle dâ&#x20AC;&#x2122;incidence est très ÂélevÂé et le dÂécollement se produit immÂédiatement en aval du bord dâ&#x20AC;&#x2122;attaque et influence tout lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement sur la partie supÂérieure du profil. Sur un voilier, il est possible de visualiser le dÂécollement de couche limite en posant des petits brins de laine sur les voiles, en particulier, le long du bord dâ&#x20AC;&#x2122;attaque. Lorsque les brins de laine se retournent, câ&#x20AC;&#x2122;est le signe dâ&#x20AC;&#x2122;une inversion de lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement sur la voile et donc du dÂécollement de couche limite. Câ&#x20AC;&#x2122;est aussi le signe que lâ&#x20AC;&#x2122;angle incidence est trop grand et que la voile est incorrectement rÂéglÂée.

8.3.4

ContrË&#x2020; ole de la couche limite

Le dÂécollement de couche limite Âétant gÂénÂérateur de perte de portance et dâ&#x20AC;&#x2122;augmentation de traË&#x2020;ÄąnÂée, il faut chercher à le rÂéduire. DiffÂérentes solutions ont ÂétÂé apportÂées à ce problème, en particulier en aÂéronautique. On a envisagÂé dâ&#x20AC;&#x2122;aspirer la couche limite en perÂ¸cant de petits trous dans la paroi solide et en pompant le fluide. Lâ&#x20AC;&#x2122;efficacitÂé de ce procÂédÂé a ÂétÂé prouvÂé en soufflerie et sur quelques avions prototypes mais il nâ&#x20AC;&#x2122;a pas encore ÂétÂé mis en oeuvre sur des appareils produits en sÂérie. En revanche, le procÂédÂé de â&#x20AC;? soufflage â&#x20AC;? qui consiste à injecter tangentiellement du fluide à grande vitesse dans la couche limite est très efficace et plus simple à mettre en oeuvre. Tous les avions de transport modernes sont ÂéquipÂés de volets à fentes aussi bien au bord dâ&#x20AC;&#x2122;attaque quâ&#x20AC;&#x2122;au bord de fuite des ailes. Ces volets sont entièrement dÂéployÂés à

´ 8.3. AVEC GRADIENT DE PRESSION EXT ERIEUR

103

Fig. 8.6 – Schéma d’un profil d’aile avec bec de bord d’attaque et volets de bord de fuite. Document NASA. l’atterrissage. Pour des raisons de sécurité, l’atterrissage doit s’effectuer à la vitesse la plus faible possible. Pour maintenir une portance suffisante, il est nécessaire de braquer l’avion et d’augmenter considérablement l’angle d’incidence. Les volets à fente de bord d’attaque réinjectent de l’air à haute vitesse sur l’extrados et retardent considérablement le décollement de la couche limite. Les volets de bord de fuite permettent de réorienter le flux d’air quittant l’aile vers le bas et augmentent ainsi la portance.

104

CHAPITRE 8.

COUCHES LIMITES

105

Chapitre 9

TRANSPORT CONVECTIF 9.1

Equation de transport de la masse et de la chaleur

Nous avons déjà établi l’équation de transport de la quantité de mouvement, c’est-à-dire l’équation de mouvement pour le fluide. Examinons maintenant comment est régi le transport d’une quantité véhiculée par l’écoulement (concentration d’un soluté, quantité de chaleur, ...). De la même fa¸con que pour la quantité de mouvement, deux processus de transport interviennent : un transport diffusif, dˆ u au mouvement brownien et un transport convectif proprement dit, dˆ u à l’écoulement. Prenons l’exemple de la diffusion d’un soluté de concentration C (le traitement de la diffusion de la chaleur est absolument analogue). Déterminons tout d’abord l’expression des flux de soluté à travers une surface de normale n. Le flux convectif JC est le produit de la concentration du soluté par la projection de la vitesse du fluide sur la normale à la surface : JC = Cu.n (9.1) Le flux diffusif JD est lui proportionnel au gradient de concentration. En effet, considérons deux surfaces parallèles à notre surface de référence et placées de part et d’autre de celle-ci à une distance δ telle qu’une molécule de soluté parcourt δ en un temps unité. Le nombre de molécules traversant la surface de référence et provenant de la surface située en +δ est proportionnel à C0 + ∇Cδ. Le nombre de molécules provenant de la surface située en −δ est proportionnel à C0 − ∇Cδ. Donc, le bilan global de molécules qui traversent la surface de référence dans la direction + est proportionnel à −∇C. Si J D est un nombre de molécules par unité de surface et par unité de temps, C est un nombre de molécules par unité de volume et la constante de proportionnalité entre J D et ∇C a la dimension d’un coefficient de diffusion. L’expression de JD est donc : JD = −D∇C (9.2) Ecrivons maintenant la conservation de la masse dans un volume V fixe, limité par la surface S: Z Z ∂ (9.3) CdV + (uC − D∇C).ndS = 0 ∂t V S soit, en intervertissant la dérivée temporelle et l’intégration sur le volume fixe et en utilisant le théorème de la divergence : ∂C + ∇.(uC − D∇C) = 0 ∂t

(9.4)

106

CHAPITRE 9.

TRANSPORT CONVECTIF

Si le fluide est incompressible et si le coefficient de diffusion D est indépendant de la concentration de soluté (ceci suppose que les gradients de concentration ne soient pas trop grands), (9.4) devient : ∂C + u.∇C − D∆C = 0 (9.5) ∂t Une équation identique serait obtenue pour le transport de la chaleur, en rempla¸cant la concentration C par la température et le coefficient de diffusion D par la diffusivité thermique κ. Afin de comparer l’influence relative du terme convectif et du terme diffusif, nous pouvons construire un nombre sans dimension analogue au nombre de Reynolds, le nombre de Péclet P e, tel que : u.∇C UL Pe = ≈ (9.6) D∆C D o` u U est une vitesse représentative de l’écoulement et L une longueur caractérisant le gradient de concentration. Si P e 1 le transport de matière est essentiellement assuré par la convection, alors que, si P e 1, c’est la diffusion brownienne qui est dominante. Dans les gaz, la diffusivité thermique est très voisine de la viscosité cinématique. En effet, les mécanismes microscopiques de transport de la quantité de mouvement et de l’énergie cinétique (qui définit la température) sont identiques. En revanche, dans les liquides, la diffusivité thermique est, en général, notablement plus petite que la viscosité cinématique (10 fois plus petite dans l’eau). Le coefficient de diffusion de la masse est également du même ordre de grandeur que la viscosité cinématique dans les gaz. Dans les liquides, il est beaucoup plus petit que ν. Par exemple, le coefficient de diffusion de l’éthanol dans l’eau est de l’ordre de 10 −5 cm2 /s. Dans les liquides, la diffusion moléculaire est extrêmement peu efficace pour le transport d’un soluté. Remarquons enfin que les particules solides suffisamment petites (à peu près moins d’un micron de diamètre) ont un mouvement brownien. L’évolution de leur concentration sera donc soumise à la même équation de transport. Leur coefficient de diffusion D est donné par : D = mkB T o` u m est la mobilité de ces particules (rapport vitesse de déplacement/force appliquée). Pour des particules sphériques de rayon a, dans un fluide de viscosité η : D=

kB T 6πηa

(9.7)

Plus le fluide est visqueux, plus les particules solides diffusent lentement. Si les gradients de concentration ou de température sont suffisamment faibles, les propriétés physiques du fluide (viscosité, masse volumique) ne sont pas affectées par le transport du soluté ou de la chaleur. Il n’y a alors pas de couplage direct entre la dynamique de l’écoulement et la quantité transportée, qu’on qualifie dans ce cas de ” scalaire passif ”. Le champ de concentration peut être trouvé à partir de (9.5) si le champ de vitesse est donné. En revanche, si les propriétés physiques du fluide sont suffisamment modifiées, il y aura un fort couplage entre l’équation de transport et l’équation de mouvement pour le fluide. C’est le cas, par exemple, pour la convection thermique déclenchée par la remontée de fluide chaud dans le champ de pesanteur.

9.2

Exemple de transport par diffusion et convection coupl´ ees

Considérons l’exemple représenté sur la fig. 9.1 : un film de liquide, d’épaisseur h constante s’écoule sous l’effet de la gravité le long d’une paroi verticale. Un soluté, présent initialement

9.2.

´ EXEMPLE DE TRANSPORT PAR DIFFUSION ET CONVECTION COUPL EES107

Fig. 9.1 – Diffusion dans un film liquide vertical dans le liquide s’adsorbe de manière irréversible sur la paroi. Le profil de vitesse est parabolique avec une vitesse maximale à la surface du liquide : g y2 − hy (9.8) u=− ν 2 o` u ν est la viscosité cinématique du liquide et y est la direction normale à l’écoulement. La 3 vitesse moyenne de l’écoulement est : U = νg h3 . En supposant que l’écoulement n’est pas modifié par le transport du soluté, l’équation (9.5) devient : 2 ∂ C ∂2C ∂C ∂C + +u −D =0 (9.9) ∂t ∂x ∂x2 ∂y 2 Tant que la paroi solide n’est pas saturée, le soluté continue de s’adsorber irréversiblement. Nous pouvons alors faire l’hypothèse que la concentration est nulle à la paroi ; la paroi se comporte comme un ” puits ”. Lorsque le liquide entre en contact avec la paroi réactive, en haut de l’écoulement, la condition C = 0 à la paroi est imposée brusquement. Nous voyons alors l’analogie entre ce problème et celui de la couche limite sur une paroi plane o` u la condition de vitesse nulle est imposée à partir du bord d’attaque. La couche dans laquelle la concentration du soluté est affectée par la présence de la paroi adsorbante va s’épaissir progressivement le long de l’écoulement. En poussant l’analogie avec la couche limite pour la quantité de mouvement, nous pouvons écrire que l’épaisseur δ de la couche limite pour la concentration sera d’autant plus petite que le nombre de Péclet sera grand. Supposons que le nombre de Péclet soit assez grand pour que l’épaisseur δ reste petite devant l’épaisseur

108

CHAPITRE 9.

TRANSPORT CONVECTIF

du film de liquide h. Alors, le gradient de concentration n’est appréciable que très près de la paroi solide, o` u le profil de vitesse est approximativement linéaire : ghy Uy g y2 − hy ≈ =3 (9.10) u=− ν 2 ν h D’autre part, l’épaisseur de la couche limite de concentration varie lentement dans la direction de l’écoulement. Nous pouvons donc supposer que la dérivée de la concentration dans la direction de l’écoulement (x) est beaucoup plus petite que la dérivée dans la direction normale à l’écoulement (y). Si nous cherchons une solution stationnaire du problème, l’équation de transport devient : U y ∂C ∂2C 3 −D 2 =0 (9.11) h ∂x ∂y De la même manière que pour la couche limite de quantité de mouvement, réécrivons l’équation (9.11) en utilisant des quantités adimensionnelles : x 0 = x/X, y 0 = y/δ(X) et C 0 = C/C0 . Dans la direction y, la longueur caractéristique est l’épaisseur locale de la couche limite δ(X). Dans la direction x, la longueur caractéristique est la distance X parcourue depuis le début de la paroi solide. En faisant apparaˆıtre le nombre de Péclet P e = U h/D (9.11) devient: 3P e

h2 ∂ 2 C0 δ ∂C0 y0 = 2 X ∂x0 δ ∂y02

(9.12)

Si nous choisissons l’´epaisseur de couche limite δ(X) telle que : δ 3 = h2 X/P e, soit : δ = h

X h

1/3

P e−1/3

(9.13)

(9.12) s’´ecrit : 3y0

∂ 2 C0 ∂C0 = ∂x0 ∂y02

(9.14)

o` u les caractéristiques physiques du problème ont disparu. L’équation (9.13) nous donne donc la dépendance de l’épaisseur de couche limite en fonction de la position x et du nombre de Péclet. Notons que δ(x) augmente comme la racine cubique de x, c’est-à-dire plus lentement que l’épaisseur de couche limite pour la quantité de mouvement. Ceci est dˆ u au profil de vitesse linéaire près de la paroi solide. Nous pouvons maintenant chercher des solutions autosimilaires de (9.11) sous la forme : C = C0 f (ζ) o` u ζ = y/δ(x). En utilisant ces variables, il vient : d2 f ζ 2 df + =0 dζ 2 3 dζ soit :

d dζ

df ln dζ

=−

ζ2 3

(9.15)

(9.16)

que nous devons int´egrer avec les conditions aux limites suivantes : f = 0 en ζ = 0 et f 7→ 1 si ζ 7→ ∞. D’o` u le profil de concentration : Rζ Z ζ exp(−ξ 3 /9)dξ 0 exp(−ξ 3 /9)dξ ≈ 0,54 f = R∞ 3 /9)dξ exp(−ξ 0 0

(9.17)

9.3.

´ DE L’ART DE BIEN MELANGER

109

Nous pouvons maintenant calculer le flux de solut´e vers la surface solide. Le flux de concentration dans la direction y est purement diffusif : JD (y = 0) = −D

∂C C0 C0 = −D f 0(0) ≈ 0,54D ∂y δ δ

(9.18)

et calculer la quantité totale de soluté Q qui se dépose sur la surface de longueur L par unité de temps : 2/3 Z L L P e1/3 (9.19) JD (y = 0)dx ≈ 3C0 D Q= h 0 ce résultat n’étant bien entendu valide que si l’épaisseur δ reste petite devant l’épaisseur h du film de liquide. Le résultat obtenu ici peut être généralisé à des géométries plus complexes si l’écoulement du liquide dans le film reste laminaire. Si nous nous intéressions au problème d’un gaz diffusant dans un film liquide s’écoulant sur un paroi verticale, la procédure à suivre serait identique. Cette fois, le profil de vitesse vu par le gaz diffusant serait approximativement uniforme et l’équation de transport deviendrait : U0

∂2C ∂C +D 2 =0 ∂x ∂y

(9.20)

o` u U0 est la vitesse à la surface du film. L’équation (9.20) est formellement identique à (1.1) qui décrit la diffusion de la quantité de mouvement dans le problème de la plaque plane mise brusquement en mouvement (en rempla¸cant x par U 0 t). Nous trouverions donc une √ couche limite de diffusion dont l’épaisseur croˆıt comme x, avec un profil de concentration donné par une fonction d’erreur.

9.3

De l’art de bien m´ elanger

La faible valeur des coefficients de diffusion de masse dans les liquides fait que la diffusion moléculaire ne devient efficace pour le mélange qu’à des échelles de longueur suffisamment petites pour que le nombre de Péclet associé soit petit devant l’unité. Un mélange efficace et rapide nécessite donc la création de forts gradients de concentration par l’intermédiaire d’un écoulement. Dans les fluides peu visqueux, l’obtention d’un écoulement turbulent est assez facile (par exemple, avec un agitateur magnétique dans un bécher) et l’existence de tourbillons dans une très large gamme d’échelles spatiales conduit rapidement à l’apparition de forts gradients de concentration. En revanche, si la forte viscosité du fluide (pâtes, suspensions concentrées, polymères fondus) ou les petites dimensions de l’écoulement imposent un écoulement laminaire, l’obtention de forts gradients de concentration nécessite des dispositifs particuliers. Mentionnons, par exemple, les mélangeurs statiques Kenics constitués d’une série d’hélices placées à l’intérieur d’un tube. Deux hélices successives sont décalées de 90˚ et leur sens de rotation est inversé. Deux fluides rentrent séparés dans le tube, de part et d’autre de la première séparation hélico¨ıdale. A chaque changement de section hélico¨ıdale, l’écoulement est coupé en deux. La combinaison du mouvement hélico¨ıdal et des partitions successives de l’écoulement conduit à une redistribution très homogène des deux écoulements initialement séparés. L’écoulement est tel que deux éléments de fluide initialement proches dans la section d’entrée, finissent par se retrouver arbitrairement éloignés l’un de l’autre.

110

CHAPITRE 9.

TRANSPORT CONVECTIF

Fig. 9.2 – sch´ema d’un m´elangeur statique Kenics

Fig. 9.3 – répartition de concentration dans un mélangeur statique Kenics. Résultat de simulations numériques. En haut à gauche : champ de concentration à l’entrée dans le mélangeur. En haut à droite et en bas à gauche: champ de concentration dans diverses sections du premier étage. En bas à droite : champ de concentration dans le troisième étage.

9.4.

DISPERSION DE TAYLOR

111

Fig. 9.4 – Ecoulement entre deux cylindres excentrés mis en mouvement alternativement. A gauche : étirement en feuillets d’un tache de colorant (après 12 périodes de rotation). Au centre : lignes de courant pour la rotation du cylindre intérieur. A droite : lignes de courant pour la rotation du cylindre extérieur. Figures tirées de Chaiken, Chevray, Tabor et Tan, Proc. Roy. Soc. A408 165 (1986) Un autre moyen de mélanger efficacement les fluides très visqueux consiste à utiliser un écoulement instationnaire, dont les lignes de courant changent de topologie au cours du temps. Un exemple en est donné sur la fig. 9.4 : le fluide est confiné entre deux cylindres excentrés. Chaque cylindre est mis en mouvement alternativement pendant un temps correspondant à moins d’un tour complet. A chaque changement de cylindre, les lignes de courant changent brusquement de topologie. Après quelques périodes, le résultat de ces sauts entre lignes de courant différentes est une trajectoire chaotique. La photographie de la fig. 9.4 montre le ” feuilletage ” obtenu après 12 périodes de rotation : un tache circulaire de colorant placée sur l’axe médian a été rapidement étirée en une figure très complexe mettant en évidence de très forts gradients de concentration. L’action de la diffusion moléculaire permettra ensuite d’homogénéiser totalement la concentration en colorant.

9.4

Dispersion de Taylor

Terminons cette brève description du transport convectif par le phénomène de ” dispersion de Taylor ” très important en chromatographie. G.I. Taylor, en 1953, a étudié expérimentalement la diffusion d’un colorant dans un tube dans lequel se produit un écoulement de Poiseuille laminaire. Il a constaté qu’un élément de fluide coloré introduit dans l’écoulement s’étale progressivement selon l’axe du tube. Le profil de concentration longitudinal est à peu près gaussien. La largeur de la gaussienne obéit à une loi de diffusion avec un coefficient de diffusion effectif Def f proportionnel à U 2 a2 /D o` u U est la vitesse moyenne de l’écoulement, a le rayon du tube et D le coefficient de diffusion du colorant. Supposons que le colorant soit initialement distribué uniformément dans le tube, sur une longueur l. L’effet de l’écoulement seul est de déformer ce ” bouchon ” de colorant et de donner à ces extrémités une forme parabolique. L’écoulement crée donc un gradient de concentration radial. La diffusion moléculaire va alors tendre à homogénéiser la concentration dans la direction radiale. Le temps nécessaire à cette diffusion est de l’ordre de τ = a 2 /D. Pendant ce temps τ , le bouchon de colorant a été étalé par l’écoulement sur une longueur L = U 0 τ o` u U0 est la vitesse maximale de l’écoulement, qui est du même ordre de grandeur que la vitesse moyenne. Si nous formons le rapport entre L 2 et τ , nous trouvons un coefficient de diffusion

112

CHAPITRE 9.

TRANSPORT CONVECTIF

Fig. 9.5 – Dispersion de Taylor dans un tube. En a : position initiale du colorant. En b, colorant déplacé par le profil de vitesse parabolique. En c, concentration de colorant résultant de l’effet combiné de la diffusion et du champ de vitesse parabolique. longitudinale tel que :

U02 a2 U02 a4 = (9.21) D2 D La diffusion longitudinale du colorant résulte de l’effet combiné du gradient de vitesse qui distord la concentration initiale de colorant et crée un fort gradient de concentration radial, et de la diffusion qui rend la concentration uniforme radialement. Ce résultat peut s’appliquer à l’écoulement dans les milieux poreux, en considérant les pores comme une succession de tubes. La dispersion de Taylor est ainsi à l’origine de l’élargissement des pics de concentration observés en chromatographie. Def f ∝

113

Chapitre 10

INSTABILITES ET TURBULENCE En caricaturant à l’extrême, on pourrait affirmer que ce qui a été énoncé dans les chapitres précédents ne s’applique pas à la grande majorité des écoulements que nous sommes susceptibles de rencontrer. En effet, la faible viscosité de l’eau et de l’air et les échelles de longueur mises en jeu font que les nombres de Reynolds associés aux écoulements dans la nature ou dans l’activité industrielle sont en général très grands et ces écoulements sont turbulents. La nature particulière de la turbulence et, spécialement, la multiplicité d’échelles spatiales empêche d’appliquer simplement les résultats obtenus en négligeant les termes dus à la viscosité dans l’équation de Navier-Stokes. Nous allons examiner quelques types d’écoulements o` u le développement d’instabilités successives conduit à un comportement chaotique, puis nous essaierons de dégager les caractéristiques importantes de la turbulence.

10.1 10.1.1

Instabilit´ es : de l’´ ecoulement laminaire ` a la turbulence d´ evelopp´ ee Instabilit´ e de Taylor-Couette

Le passage d’un écoulement laminaire o` u la vitesse est indépendante du temps à un écoulement turbulent o` u la vitesse varie de manière aléatoire dans le temps s’effectue par une série d’instabilités qui rendent l’écoulement de plus en plus complexe. Regardons, par exemple, l’écoulement entre deux cylindres concentriques, lorsqu’on fait tourner le cylindre intérieur et que le cylindre extérieur est immobile. A faible vitesse, les lignes de courant sont des cercles concentriques, il n’y a pas de structure particulière visible dans l’écoulement. Au delà d’une vitesse critique, des ” rouleaux ” apparaissent dans l’écoulement (fig. 10.1). Il apparaˆıt une composante de vitesse axiale et une composante radiale qui sont périodiques le long de l’axe des cylindres. Les trajectoires des éléments de fluides s’enroulent sur des tores. La vitesse reste indépendante du temps. Cette première instabilité est due à la force centrifuge. En augmentant encore la vitesse de rotation, une seconde instabilité apparaˆıt au delà d’une autre vitesse critique. Cette seconde instabilité se manifeste par une ondulation des rouleaux. La vitesse du fluide devient alors périodique dans le temps. En continuant à augmenter la vitesse de rotation, on constate que la vitesse varie aléatoirement dans le temps, l’écoulement est devenu turbulent. Néanmoins, les visualisations montrent que l’écoulement garde une pério-

114

CHAPITRE 10.

INSTABILITES ET TURBULENCE

Fig. 10.1 – visualisations des instabilités successives de l’écoulement entre cylindres coaxiaux (écoulement de Couette-Taylor). A gauche : instabilité primaire en ” rouleaux ”. A droite : rouleaux sinuso¨ıdaux. Photos : Burkhalter et Koschmieder. dicité spatiale le long de l’axe des cylindres. En augmentant considérablement la vitesse de rotation, on finit par faire disparaˆıtre la périodicité spatiale, l’écoulement a atteint un état de turbulence développée. La séquence d’instabilités qui conduit à la turbulence varie d’un écoulement à l’autre ; elle est notablement plus complexe dans l’écoulement de Poiseuille ou dans une couche limite. La transition dans l’écoulement de Couette-Taylor peut être considérée comme un modèle assez simple : l’instabilité primaire fait apparaˆıtre une structure spatiale périodique. L’instabilité secondaire fait apparaˆıtre une périodicité temporelle. Les instabilités suivantes vont briser cette périodicité et conduire l’écoulement vers la chaos spatial et temporel. Contrairement à l’idée admise jusqu’aux années 70, la transition vers la turbulence ne nécessite pas une séquence infinie d’instabilités successives. H. Swinney et J. Gollub ont montré clairement, dans une expérience réalisée à l’université de Princeton en 1975, que quelques étapes suffisent pour conduire de l’écoulement laminaire vers un état chaotique (fig. 10.2). D’autres expériences, en particulier sur l’instabilité convective de Rayleigh-Bénard, ont confirmé l’existence d’étapes bien définies dans la transition vers le chaos 1 .

10.1.2

Instabilit´ e de Kelvin-Helmholtz

L’instabilité d’une ” couche de mélange ” entre deux courants de fluide de vitesses différentes, appelée aussi instabilité de Kelvin-Helmholtz présente elle aussi une succession d’instabilités : apparition de tourbillons périodiques dans la couche de mélange (périodicité spatiale et temporelle), interactions entre les tourbillons provoquant une modification locale de la périodicité, apparition de structures tridimensionnelles. L’instabilité de Kelvin-Helmholtz se retrouve également dans l’instabilité des sillages et dans l’instabilité des jets. Elle est à l’origine de la turbulence dans tous les écoulements o` u règne un fort cisaillement. Dans l’instabilité de Taylor-Couette comme dans celle de Kelvin-Helmholtz, le moteur de l’instabilité est l’inertie du fluide et le terme non linéaire u.gradu dans l’équation de mouvement. En revanche, la viscosité a tendance à stabiliser l’écoulement. C’est pourquoi le paramètre qui décrit ces instabilités est le nombre de Reynolds. Dans le cas de l’écoulement de Couette, Re = ΩR 1 d/ν o` u R1 est le rayon du cylindre intérieur, d est l’espacement entre les cylindres et Ω est la vitesse angulaire. 1. Voir par exemple, P. Bergé, Y.Pomeau, M. Dubois-Gance, ”Des rythmes au chaos”, Odile Jacob, 1994

10.1.

´ : DE L’ECOULEMENT ´ ` LA TURBULENCE DEVELOPP ´ ´ INSTABILITES LAMINAIRE A EE115

Fig. 10.2 – dépendance temporelle de la vitesse radiale (à gauche) et spectre de puissance (à droite) dans l’instabilité de Taylor Couette. Les enregistrements sont effectués à des nombres de Reynolds croissants (du haut vers le bas). Le premier montre une seule fréquence fondamentale et ses harmoniques. Le second montre deux fréquences fondamentales et leurs harmoniques. Le dernier montre seulement une bande large. le comportement temporel correspondant est chaotique, sans aucune périodicité apparente. Figures tirées de Gollub et Swinney, Phys. Rev. Lett. 35, 927 (1975)

Fig. 10.3 – instabilit´e de Kelvin-Helmholtz entre deux courants d’eau parall`eles. Visualisation par fluorescence induite par laser. Photo par F. Roberts, P. Dimotakis et A. Roshko.

116

CHAPITRE 10.

INSTABILITES ET TURBULENCE

Fig. 10.4 – instabilité d’un jet circulaire de CO2 pénétrant dans l’air à Re = 30000. L’instabilité se développe à la périphérie du jet qui devient rapidement complètement turbulent. Visualisation par ombroscopie. Photo par F. Landis et A. Schapiro.

10.1.3

Instabilit´ e de Rayleigh-B´ enard

Il peut y avoir d’autres sources d’instabilité que l’inertie du fluide. Un exemple notable est l’instabilité thermoconvective d’une couche de fluide chauffée par le bas. Le fluide chaud est moins dense que le fluide froid et il a tendance à monter dans le champ de gravité. La diffusion thermique tend à homogénéiser la température et à réduire les gradients de densité responsables de la convection. La viscosité du fluide tend également à ralentir la convection. La diffusion thermique et la viscosité sont ici les deux effets stabilisants. Lorsque la différence de température entre le bas et le haut de la couche de fluide est assez grande, on voit apparaˆıtre des rouleaux de convection réguliers dont la largeur est voisine de l’épaisseur de la couche de fluide. En augmentant encore la différence de température, la structure de l’écoulement se complique de plus en plus et finit par devenir chaotique. Une des caractéristiques communes de toutes les instabilités décrites ci-dessus est l’apparition d’une structure spatiale périodique dans l’instabilité primaire. Le système se comporte comme un amplificateur sélectif pour les sources de bruit. Parmi tous les modes possibles, l’un d’entre eux est amplifié de fa¸con plus importante et fixe la périodicité spatiale de l’écoulement. Une autre caractéristique commune de ces instabilités est l’existence d’un paramètre de contrôle. Dans le cas de l’instabilité centrifuge et de l’instabilité de Kelvin-Helmholtz, c’est le nombre de Reynolds qui joue ce rôle. Pour l’instabilité thermoconvective, c’est un autre nombre sans dimension, le nombre de Rayleigh : Ra =

αgd3 ∆T νκ

(10.1)

o` u α est le coefficient de dilatation thermique du fluide, d est l’épaisseur de la couche de fluide, ∆T est la différence de température et κ la diffusivité thermique. Le paramètre de contrôle compare l’amplitude des mécanismes déstabilisants et stabilisants. L’instabilité apparaˆıt lorsque le paramètre de contrôle dépasse une valeur seuil qui dépend de la géométrie exacte de l’écoulement.

10.2.

TURBULENCE

117

Fig. 10.5 – instabilité thermoconvective d’une couche de fluide (instabilité de RayleighBénard). La couche de liquide est chauffée par le dessous. Des particules métalliques en suspension permettent de visualiser les cellules de convection qui ont presque toutes une forme hexagonale. Photo : E. Koschmieder

10.2

Turbulence

10.2.1

La nature de la turbulence

Il est difficile de définir la turbulence par des critères simples. Une possibilité consiste à qualifier un écoulement de turbulent dès que le champ de vitesse présente un caractère chaotique (absence de toute périodicité) dans l’espace ou le temps. Mais il existe des écoulements ” déterministes ” qui présentent des caractères chaotiques, comme ceux dans les mélangeurs hélico¨ıdaux (voir § 9.3). Le caractère aléatoire de l’écoulement n’est qu’une des facettes de la turbulence. Il impose de traiter les écoulements turbulents par des méthodes statistiques. Une des manifestations spectaculaires du caractère chaotique est la sensibilité aux conditions initiales : un système dynamique complexe placé dans des conditions initiales extrêmement peu différentes peut évoluer au cours du temps de fa¸cons très différentes. Ainsi les prévisions météorologiques qui sont initiées avec un état approximatif de l’atmosphère (faute de pouvoir mesurer vitesse, température, pression et humidité en tous points) s’écartent progressivement de la situation réelle. Au delà d’une dizaine de jours, les dépressions et anticyclones de la simulation n’ont plus rien de commun avec ceux de l’atmosphère réelle. Henri Poincaré avait découvert dès la fin du dix-neuvième siècle que trois corps en interaction gravitationnelle pouvaient avoir un comportement chaotique. Il fallut attendre les années soixante et les simulations numériques du météorologue Edward Lorenz pour que les idées de Poincaré soient appliquées au chaos en mécanique des fluides. Un autre aspect essentiel de la turbulence est sa capacité à mélanger rapidement que ce soit la quantité de mouvement, la chaleur ou la masse. Les fluctuations du champ de vitesse se produisent sur une large gamme d’échelles spatiales et assurent très efficacement la production de forts gradients de concentration qui sont finalement atténués par les mécanismes de diffusion moléculaire. L’existence de ” tourbillons ” à toutes les échelles spatiales, depuis la plus grande dimension de l’écoulement jusqu’à une échelle assez petite pour que la viscosité

118

CHAPITRE 10.

INSTABILITES ET TURBULENCE

Fig. 10.6 – couche de mélange turbulente à Re = 850000. Les grands tourbillons provenant de l’instabilité initiale de la couche de mélange sont encore visibles ainsi que toute une gamme de tourbillons beaucoup plus petits. Photo : M.R. Rebello, G.L. Brown et A. Roshko. atténue les mouvements tourbillonnaires, est une caractéristique de la turbulence développée. Les écoulements turbulents sont essentiellement tridimensionnels et rotationnels. Ils sont le siège de très intenses fluctuations de la vitesse et de la vorticité. Un examen d’un enregistrement de la vitesse locale au sein d’un écoulement turbulent montre des événements très intenses qui dépassent de beaucoup le niveau moyen du bruit. Les simulation numériques directes de l’équation de Navier-Stokes à grand nombre de Reynolds n’ont été possibles qu’avec l’apparition des supercalculateurs vectoriels. Elles ont montré la présence de zones allongées très localisées dans lesquelles la vorticité atteint une valeur très grande.

10.2.2

Description statistique du champ de vitesse

Reynolds a introduit une description statistique du champ de vitesse turbulent en s´eparant la vitesse u en une valeur moyenne temporelle U et une fluctuation v, de valeur moyenne nulle: ui = Ui + vi avec < ui >= Ui et < vi >= 0

(10.2)

les valeurs moyennes étant calculées sur un temps très grand devant les périodes caractéristiques des fluctuations. On montre facilement que si le fluide est incompressible, la vitesse moyenne et la fluctuation obéissent à l’équation de conservation : ∇.U = 0 et ∇.v = 0

(10.3)

En reportant la d´ecomposition 10.2 dans l’´equation de Navier-Stokes, et en prenant la moyenne temporelle, on obtient : Ui

1 ∂ ∂Ui =− (−P δij + 2ηEij − ρ < vi vj >) ∂xj ρ ∂xj

(10.4)

o` u P est la moyenne temporelle de la pression et E ij la moyenne temporelle du tenseur des déformations eij . Le terme de dérivée temporelle de la vitesse a disparu puisque nous avons pris une valeur moyenne sur un temps assez long. Par rapport à l’équation de Navier-Stokes, il apparaˆıt un terme supplémentaire −ρ < v i vj > dans le tenseur des contraintes. Ce terme qui représente la fonction de corrélation entre les composantes vi et vj de la fluctuation de vitesse est appelé contrainte de Reynolds. Les contraintes de Reynolds manifestent l’influence des fluctuations sur l’écoulement moyen.

10.2.

TURBULENCE

119

Fig. 10.7 – Transfert de quantit´e de mouvement dans une couche limite par l’interm´ediaire des contraintes de Reynolds

10.2.3

Couche limite turbulente

Si nous utilisons la décomposition de Reynolds dans les approximations de couche limite, nous transformons l’équation (8.2) qui décrit une couche limite laminaire en :

∂U 1 ∂P ∂2U ∂ < uv > ∂U +V =− +ν 2 − ∂x ∂y ρ ∂x ∂y ∂y

(10.5)

Dans la couche limite o` u le gradient de vitesse moyen ∂U/∂y est positif, la fonction de corrélation des fluctuations < uv > devrait être essentiellement négative. En effet, une fluctuation v positive est associée au mouvement d’un élément de fluide vers l’extérieur de la couche limite. Cet élément emporte avec lui une quantité de mouvement faible puisqu’il se trouvait dans une zone de faible vitesse. Il va donc se trouver dans un environnement o` u la majorité des éléments de fluide se déplacera plus vite. Il sera donc associé à une fluctuation u de valeur négative. On peut faire un raisonnement identique avec une fluctuation v négative (fig. 10.7). On voit ici que le tenseur de Reynolds augmente le transfert de quantité de mouvement au sein de la couche limite. Cet accroissement du transfert de quantité de mouvement explique que le décollement des couches limites est retardé lorsqu’elles deviennent turbulentes : l’apport de fluide de grande vitesse vers la paroi s’oppose au développement d’un gradient de pression adverse qui est responsable du décollement (cf 8.3). Cet effet se manifeste par la diminution brutale de traˆınée observée sur les sphères lorsque la couche limite devient turbulente : la couche limite décolle plus en aval et la largeur du sillage se trouve réduite. La fig. 10.8 montre de coefficient de traˆınée mesuré sur des sphères lisses et rugueuses. Sur les sphères lisses, la transition de la couche limite a lieu vers Re = 3 × 105 et provoque une réduction de traˆınée d’un facteur 5. Sur des sphères de plus en plus rugueuses la transition se produit à des nombres de Reynolds plus petits et entraˆıne une réduction de traˆınée du même ordre de grandeur. Sur certaines ailes d’avion, de très petits ailerons placés devant les volets de bord de fuite servent à déclencher la turbulence de la couche limite et à retarder son décollement sur les volets lorsqu’ils sont placés à un grand angle d’incidence.

120

CHAPITRE 10.

INSTABILITES ET TURBULENCE

Fig. 10.8 â&#x20AC;&#x201C; coefficients de traË&#x2020;ÄąnÂée pour une sphère lisse (trait continu seul) et pour des sphères rugueuses. Lâ&#x20AC;&#x2122;amplitude de la rugositÂé va de 2,5 Ă&#x2014; 10 â&#x2C6;&#x2019;4 diamètre (croix) jusquâ&#x20AC;&#x2122;à 1,25 Ă&#x2014; 10 â&#x2C6;&#x2019;2 diamètre(carrÂés). Dâ&#x20AC;&#x2122;après E. Achenbach, J. Fluid Mech. 65, 113 (1974)

10.2.4

MultiplicitÂ´ e des Â´ echelles spatiales et caract` ere dissipatif

Un des trait essentiels des Âécoulements turbulents est lâ&#x20AC;&#x2122;existence de tourbillons dans toute une gamme dâ&#x20AC;&#x2122;Âéchelles spatiales. Cette caractÂéristique est assez Âévidente sur les photographies des fig. 10.4 et 10.6. La taille des plus grands tourbillons est en gÂénÂéral fixÂée par lâ&#x20AC;&#x2122;Âéchelle globale de lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement, ou par son mode dâ&#x20AC;&#x2122;instabilitÂé primaire, comme dans le cas de la couche de mÂélange. Le mathÂématicien russe Kolmogorov a formalisÂé en 1941 la notion de cascade dâ&#x20AC;&#x2122;Âénergie cinÂétique dans les Âécoulements turbulents. Lâ&#x20AC;&#x2122;Âénergie cinÂétique fluctuante est â&#x20AC;? injectÂée â&#x20AC;? au niveau de lâ&#x20AC;&#x2122;Âéchelle spatiale la plus grande L. Par des mÂécanismes dâ&#x20AC;&#x2122;interactions non linÂéaires, une partie de cette Âénergie â&#x20AC;? cascade â&#x20AC;? vers les petites Âéchelles (ce transfert dâ&#x20AC;&#x2122;Âénergie a lieu de manière permanente dans lâ&#x20AC;&#x2122;espace de Fourier reprÂésentant lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement). Lâ&#x20AC;&#x2122;hypothèse essentielle de Kolmogorov est que lâ&#x20AC;&#x2122;Âénergie cinÂétique transfÂérÂée est la mË&#x2020;eme à toutes les Âéchelles spatiales. Si u(l) est la fluctuation de vitesse reprÂésentative des tourbillons à lâ&#x20AC;&#x2122;Âéchelle l, lâ&#x20AC;&#x2122;Âénergie cinÂétique par unitÂé de masse du fluide est de lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de u(l) 2 . Une fraction de cette Âénergie est transfÂérÂée vers les tourbillons plus petits. Le temps caractÂéristique de ce transfert est le temps associÂé au tourbillon dâ&#x20AC;&#x2122;Âéchelle l, soit Ď&#x201E; (l) â&#x2C6;? l/u(l). Donc, le taux de transfert de lâ&#x20AC;&#x2122;Âénergie cinÂétique est tel que : â&#x2C6;? u(l)2 /Ď&#x201E; (l) = u(l)3 /l

(10.6)

Tant que les dimensions des tourbillons restent assez grandes, la viscositÂé joue un rË&#x2020;ole nÂégligeable dans lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement. En revanche, lorsque les tourbillons atteignent une taille assez petite ld, la viscositÂé devient dominante et lâ&#x20AC;&#x2122;Âénergie cinÂétique transfÂérÂée est dissipÂée. Cette Âéchelle de dissipation ld , ou micro-Âéchelle de Kolmogorov, peut Ë&#x2020;etre ÂévaluÂée en Âécrivant que le nombre de Reynolds associÂé à cette Âéchelle est Âégal à 1, soit : 1/3

ld 1/3 ld ld u(ld ) = Î˝ Î˝

(10.7)

dâ&#x20AC;&#x2122;o` u lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de grandeur de lâ&#x20AC;&#x2122;Â´echelle de dissipation : ld â&#x2C6;? Î˝ 3/4 â&#x2C6;&#x2019;1/4

(10.8)

10.2.

TURBULENCE

121

Fig. 10.9 â&#x20AC;&#x201C; reprÂésentation schÂématique du flux dâ&#x20AC;&#x2122;Âénergie cinÂétique dans un Âécoulement turbulent. Notons que plus le nombre de Reynolds de lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement global est grand, plus lâ&#x20AC;&#x2122;Âéchelle de â&#x2C6;&#x2019;3/4 dissipation est petite. En effet, si Re L = u(L)L/Î˝ = 1/3 L3/4 /Î˝, alors : ld â&#x2C6;? LReL . En pratique, les lois dâ&#x20AC;&#x2122;Âéchelle ainsi prÂédites par Kolmogorov ne sont observÂées que dans les Âécoulements de turbulence dÂéveloppÂée à très grands nombres de Reynolds, au moins de lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de 106 . Bien que le nombre de Reynolds associÂé à lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement global soit très grand, lâ&#x20AC;&#x2122;existence de tourbillons jusquâ&#x20AC;&#x2122;à lâ&#x20AC;&#x2122;Âéchelle ld impose une forte dissipation dâ&#x20AC;&#x2122;Âénergie cinÂétique. Le caractère dissipatif des Âécoulements turbulents se manifeste, entre autres, par une perte de charge accrue lorsque lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement dans un tuyau passe de lâ&#x20AC;&#x2122;Âétat laminaire à lâ&#x20AC;&#x2122;Âétat turbulent. Si la turbulence nâ&#x20AC;&#x2122;est plus entretenue par lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement moyen, elle est amortie très rapidement par les effets de la viscositÂé. La multiplicitÂé des Âéchelles spatiales est Âégalement la source essentielle de la difficultÂé de simuler numÂériquement les Âécoulements turbulents. Prenons lâ&#x20AC;&#x2122;exemple dâ&#x20AC;&#x2122;un avion : la plus grande Âéchelle de lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement est une dimension typique de lâ&#x20AC;&#x2122;avion, quelques dizaines de m. La vitesse est de lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de 200 à 250 m/s ce qui conduit à un nombre de Reynolds ReL de lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de 108 !. Lâ&#x20AC;&#x2122;Âéchelle de dissipation pour cet Âécoulement est 106 fois plus petite que L ; elle est de lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de quelques dizaines de microns. Si on voulait simuler la totalitÂé de lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement, il faudrait de lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de (10 6 )3 = 1018 mailles ! Une estimation similaire est donnÂée par Kim et Moin, deux experts de la simulation numÂérique de la turbulence : ils Âévaluent le nombre de mailles à 10 16 . En utilisant un calculateur â&#x20AC;? teraflop â&#x20AC;?, 100 fois plus rapide que la limite actuelle, il faudrait encore plusieurs milliers dâ&#x20AC;&#x2122;annÂées pour calculer une seule seconde de lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement rÂéel ! Cette difficultÂé apparemment insurmontable peut Ë&#x2020;etre contournÂée en ne simulant directement que les grandes Âéchelles de lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement. Les petites Âéchelles sont reprÂésentÂées par un modèle statistique (technique dite de â&#x20AC;? Large Eddy Simulation â&#x20AC;?). En utilisant la mÂéthode LES, Moin et Kim ont ÂétÂé les premiers à simuler un Âécoulement turbulent dans une conduite avec un certain rÂéalisme (câ&#x20AC;&#x2122;est-à-dire reproduisant correctement les observations expÂérimentales jusquâ&#x20AC;&#x2122;aux plus petites Âéchelles de lâ&#x20AC;&#x2122;Âécoulement). Le nombre de Reynolds atteint Âétait de lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de 10 000, avec 500 000 points de maillage.

122

CHAPITRE 10.

INSTABILITES ET TURBULENCE

123

Annexe A

Propri´ et´ es physiques de quelques fluides – – – – – –

ρ : masse volumique γ : tension superficielle η : viscosité dynamique ν = η/ρ : viscosité cinématique λ : conductivité thermique κ = λ/ρCp : diffusivité thermique

ρ(kg/m3 ) γ (mN/m) η (Pa.s) ν(cm2 /s) λ(J/ms˚C) κ(cm2 /s)

Air `a 20˚C 1,205 1,81 × 10−5 0,15 2,53 × 10−6 0,202

Eau `a 20˚C 998 73 1,002 × 10−3 0,01 5,9 × 10−5 1,42 × 10−3

Ethanol `a 15˚C 790 22 1,34 × 10−3 0,017 1,83 × 10−5 9,9 × 10−4

Glyc´erol `a 15˚C 1260 63 2.33 18,5 2,9 × 10−5 9,8 × 10−4

Mercure `a 15˚C 13610 487 1,58 × 10−3 1,16 × 10−3 8,0 × 10−4 0,042

124

´ ES ´ PHYSIQUES DE QUELQUES FLUIDES ANNEXE A. PROPRIET

125

Annexe B

Petit catalogue de nombres sans dimension Les paramètres physiques intervenant dans les nombres sans dimension sont une échelle de longueur L, une échelle de temps t, une échelle de vitesse U , une échelle de température T ainsi que les propriétés physiques du fluide masse volumique ρ, viscosité dynamique η, tension superficielle γ, difusivité thermique κ, diffusivité massique D. On pourra consulter la page du Treasure trove of physics d’Eric Weinstein consacrée aux nombres sans dimension (http://www.treasure-troves.com/physics/topics/DimensionlessParameters.html). – nombre de Bond : rapport des effets de gravité et de la tension superficielle. Bo =

L2 ρgL2 = 2 γ λc

o` u λc est la longueur capillaire. – nombre capillaire : rapport des effets visqueux et de la tension superficielle. Ca =

ηU γ

– nombre d’Ekman : rapport des effets visqueux et de la force de Coriolis dans un écoulement en rotation à vitesse angulaire Ω ν Ek = ΩL2 – nombre de Froude : rapport des effets inertiels et de la gravité. Fr =

U2 gL

– nombre de Mach : rapport de la vitesse du fluide et de la vitesse du son M=

U c

– nombre de Nusselt : flux de chaleur adimensionnel HL Nu = κ∆T o` u H est le flux de chaleur

126

ANNEXE B. PETIT CATALOGUE DE NOMBRES SANS DIMENSION – nombre de P´eclet : Pe =

UL = ReP r D

– nombre de Prandtl : rapport de la viscosité cinématique et de la difusivité thermique. Pr =

ν κ

– nombre de Rayleigh : rapport de la force d’Archimède créée par l’expansion thermique et de αρg∆T L3 Ra = νκ o` u α est le coefficient d’expansion thermique et ∆T est la variation de température sur l’échelle L. – nombre de Reynolds : rapport des effets inertiels et des effets de viscosité Re =

UL ν

– nombre de Rossby : rapport de l’accélération convective et de la force de Coriolis dans un écoulement en rotation à vitesse angulaire Ω Ro =

U ΩL

– nombre de Schmidt : rapport de la viscosité cinématique et de la diffusivité massique Sc =

ν D

– nombre de Stokes : rapport de l’inertie d’une particule solide et des forces visqueuses St =

ρs LU η

o` u ρs est la masse volumique de la particule et L sa taille. – nombre de Strouhal : fréquence normalisée pour un écoulement instationnaire Str =

L Ut

127

Annexe C

Notions ´ el´ ementaires sur les tenseurs (d’après C. Pozrikidis, ”Introduction to theoretical and computational fluid dynamics”). Les équations de la mécanique des fluides amènent à manipuler des tenseurs, en particulier le tenseur des contraintes et le gradient de vitesse. Notons ici quelques unes de leur propriétés essentielles. Le caractère tensoriel d’une quantité se définit par rapport à ses transformations dans un changement de repère. Considérons deux systèmes de coordonnées cartésiennes (x 1 ,x2 ,x3 ) et (y1 ,y2 ,y3 ) ayant une origine commune. Les coordonnées dans les deux systèmes d’axes sont reliées par : yi = Aij xj et xi = yj Aji o` u A est une matrice de rotation telle que son inverse soit égale à sa transposée : A T = A−1 . Considérons maintenant une matrice 3x3 T dont les éléments sont des paramètres physiques dépendant des coordonnées d’espace et de temps. Lorsque les valeurs des éléments de T dans le système de coordonnées y, notées T(y), sont reliées aux valeurs de ces mêmes éléments dans le système de coordonnées x, notées T(x), par les relations : Tij (y) = Aik Ajl Tkl (x)

Tij (x) = Tkl (y)Aki Alj

la matrice T st un tenseur de rang deux. Une des caractéristiques importantes des tenseurs de rang deux est l’invariance de leur polynôme caractéristique Det(T − λI) dans un changement de repère. De ce fait les racines du polynôme caractéristique, qui sont les valeurs propres du tenseur sont également invariantes par changement de repère. Le polynôme caractéristique peut s’exprimer en fonction des trois invariants du tenseur : Det(T − λI) = −λ3 + I3 λ2 − I2 λ + I1 ces trois invariants ayant les expression suivantes : I1 = Det(T) = λ1 λ2 λ3 1 I2 = λ1 λ2 + λ2 λ3 + λ3 λ1 = ([T r(T)]2 − Tr(T2 )) 2 I3 = T r(T) = λ1 + λ2 + λ3

128

ANNEXE C.

´ EMENTAIRES ´ NOTIONS EL SUR LES TENSEURS

Le gradient de vitesse G obéit aux règles de transformation énoncées ci-dessus, c’est donc un tenseur cartésien de rang deux. En effet, les composantes de vitesse se transforment comme les coordonnées d’espace, puisqu’elles sont des dérivées par rapport au temps de ces coordonnées. soit : ui (y) = Aij uj (x), ui (x) = uj (y)Aij En utilisant la règle de dérivations succesives, on a pour la composante G ij du gradient : Gij =

∂yk ∂uj (x) ∂uj (x) ∂ul (y) ∂uj (x) = = Aki = Aki Alj ∂xi ∂xi ∂yk ∂yk ∂yk

Le gradient se transforme donc comme : Gij (x) = Aki Alj Gkl (y). Le troisième invariant, la trace du tenseur, est ici égal à la divergence de la vitesse. Il caractérise le changement de volume, par unité de temps, d’un élément de fluide. Lorsque le fluide peut être considéré comme incompressible, la trace de G est nulle. Les parties symétrique et antisymétrique de G sont également des tenseurs de rang deux. Un autre exemple de tenseur de rang deux est le flux de quantité de mouvement ρu i uj . Un raisonnement analogue à celui fait pour le gradient de vitesse montre qu’il se transforme dans un changement de repère comme : ρui uj (x) = Aki Alj ρuk ul (y)

129

Annexe D

Equations en coordonn´ ees cylindriques et sph´ eriques D.1

Equation de Navier-Stokes

D.1.1

Coordonn´ ees cylindriques r,θ,x ∂ux 1 ∂p + u.∇ux = − + ν∆ux ∂t ρ ∂x u2θ 2 ∂uθ 1 ∂p ur ∂ur + u.∇ur − =− + ν ∆ur − 2 − 2 ∂t r ρ ∂r r r ∂θ ur uθ 1 ∂p uθ 2 ∂ur ∂uθ + u.∇uθ + =− + ν ∆uθ − 2 + 2 ∂t r ρr ∂θ r r ∂θ

o` u les op´erateurs gradient et laplacien ont pour expression : ∂f ∂f 1 ∂f ∇f = , , ∂x ∂r r ∂θ 1 ∂ ∂2f + ∆f = 2 ∂x r ∂r

D.1.2

∂f r ∂r

1 ∂2f r 2 ∂θ 2

Coordonn´ ees sph´ eriques r,θ,ϕ

u2ϕ u2θ 2 ∂(uθ sinθ) ∂ur 1 ∂p 2ur 2 ∂uϕ + u.∇ur − − =− + ν ∆ur − 2 − 2 − 2 ∂t r r ρ ∂r r r sinθ ∂θ r sinθ ∂ϕ u2ϕ cotθ ∂uθ uθ ur 1 ∂p 2 ∂ur uθ 2cosθ ∂uϕ + u.∇uθ + − =− + ν ∆uθ + 2 − 2 2 − 2 2 ∂t r r ρr ∂θ r ∂θ r sin θ r sin θ ∂ϕ ∂uϕ uϕ ur uϕ uθ cotθ 1 ∂p 2 ∂ur uϕ 2cosθ ∂uθ +u.∇uϕ + + =− +ν ∆uϕ + 2 − 2 2 + 2 2 ∂t r r ρrsinθ ∂ϕ r sinθ ∂ϕ r sin θ r sin θ ∂ϕ

´ ´ 130ANNEXE D. EQUATIONS EN COORDONN EES CYLINDRIQUES ET SPH ERIQUES o` u les op´erateurs gradient et laplacien ont pour expression : ∂f 1 ∂f 1 ∂f ∇f = , , , ∂r r ∂θ rsinθ ∂ϕ ∂ ∂2f 1 ∂f 1 1 ∂ 2 ∂f r + 2 sinθ + 2 2 ∆f = 2 r ∂r ∂r r sinθ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ2

D.2

Relations entre vitesse , potentiel et fonction de courant

u est la vitesse, φ le potentiel et ψ est la fonction de courant.

D.2.1

Ecoulement bidimensionnel

Coordonn´ees cart´esiennes ux = ux =

∂ψ ∂ψ ,uy = − ∂y ∂x

ur =

∂φ 1 ∂φ ,uθ = ∂r r ∂θ

Coordonn´ees polaires

ur =

D.2.2

∂φ ∂φ ,uy = ∂x ∂y

∂ψ 1 ∂ψ ,uθ = − r ∂θ ∂r

Ecoulement tridimensionnel

Coordonnées cylindriques ur = Coordonnées sphériques ur =

D.2.3

1 ∂φ ∂φ ∂φ ,uθ = ,ux = ∂r r ∂θ ∂x

∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ ,uθ = ,uϕ = ∂r rsinϕ ∂θ r ∂ϕ

Ecoulement tridimensionnel avec sym´ etrie de r´ evolution

Coordonn´ees cylindriques x,r,θ ur = −

1 ∂ψ 1 ∂ψ ,ux = r ∂x r ∂r

Coordonn´ees sph´eriques r,θ,ϕ ur =

1 r 2 sinϕ

1 ∂ψ ∂ψ ,uϕ = − ∂ϕ rsinϕ ∂r

131

Annexe E

Quelques rep` eres historiques (liste incomplète et très subjective) – 1687 Isaac Newton est le premier à proposer une théorie du frottement visqueux dans les fluides. Ses conclusions sont erronées mais il comprend que la résistance à l’écoulement a lieu au sein du fluide. Cette idée ne sera reprise que 150 ans plus tard. – 1732 Henri de Pitot décrit dans une note à l’Académie des Sciences ”une machine pour mesurer la vitesse des eaux courantes et le sillage des vaisseaux”. Cette machine est maintenant connue sous le nom de tube de Pitot. – 1738 Daniel Bernoulli publie ”Hydrodynamique, ou Mémoire sur les forces et les mouvements des fluides” dans lequel il exprime le principe de conservation de l’énergie – 1750 Leonard Euler établit les équations de mouvement d’un fluide non visqueux et en déduit la loi que nous appelons maintenant ”loi de Bernoulli”. D’après Lagrange, Euler est le fondateur de la mécanique des fluides. Euler introduit le concept de ”particule fluide”, petit élément de volume qui permet de décrire le champ de vitesse. – 1822 Claude Navier, en partant des idées de Newton sur le frottement visqueux, introduit la viscosité dans les équations de mouvement. Ces mêmes équations seront obtenues sous une forme différente par G. G. Stokes en 1845. – 1840 le médecin Jean-Louis Poiseuille afin d’étudier le mouvement du sang dans les veines et vaisseaux capillaires effectue des mesures très précises sur les écoulements dans les conduits cylindriques et en déduit la relation débit-perte de charge qui porte maintenant son nom. L’hydraulicien Ludwig Hagen arrive indépendamment aux mêmes conclusions. – 1856 Henry Darcy, ingénieur des Ponts et Chaussées publie un mémoire sur ”Les fontaines publiques de la ville de Dijon” dans lequel il établit la proportionnalité entre le débit de filtration dans les sols et la perte de charge. – 1859 Helmholtz propose une décomposition du champ de vitesse en une partie rotationnelle et une partie rotationnelle. Il utilise la notion de lignes de vorticité pour décrire l’évolution temporelle de tourbillons et surfaces de discontinuité. – 1882 James Thomson observe que la convection dans une couche de liquide horizontale s’accompagne de l’apparition de mouvement cellulaires. Henri Bénard fera en 1900 les premières études systématiques de l’apparition des cellules de convection, sans doute la première observation directe d’une brisure de symétrie. Lord Rayleigh en fait la première théorie en 1916.

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` ANNEXE E. QUELQUES REP ERES HISTORIQUES – 1883 Osborne Reynolds met en évidence expérimentalement la transition laminaireturbulent dans un écoulement dans un tube. – 1900 Maurice Couette pefectionne considérablement l’appareil à cylindres tournants et réalise les premières mesures vraiment précises de viscosité. – 1906 Joukovski établit la relation entre portance et circulation autour d’un profil portant. – 1910 Ludwig Prandtl développe la théorie de la couche limite – 1915 sir Geoffrey Taylor réalise des mesures de pression sur un avion en vol (une réussite remarquable compte tenu de ce qu’était l’aviation de l’époque). La même année, il élabore la première théorie de la diffusion par la turbulence. G.I. Taylor est sans aucun doute la personne qui a apporté l a plus grande contribution à la mécanique des fluides pendant la première moitié du vingtième siècle. Ses travaux touchent à tous les domaines de la dynamique des fluides et mêlent des théories novatrices et des expériences souvent simples et élégantes. G. I. Taylor s’est préoccupé aussi bien de problèmes fondamentaux que d’applications ; il est, par exemple, l’inventeur de l’ancre de marine dite C.Q.R. que l’on trouve maintenant sur presque tous les bateaux de plaisance. Lorsque les militaires américains rendirent public un enregistrement filmé de la première explosion nucléaire, G.I. Taylor détermina la puissance de la bombe (qui était gardée secrète) à partir de la vitesse d’expansion de la ” boule de feu ”, ce qui causa un certain émoi chez les dits militaires. – 1921 Lewis Fry Richardson imagine, dans une vision orwelienne, le premier système de calcul parallèle pour les prévisions météorologiques : des opérateurs disposés régulièrement sur un bâtiment en forme de globe calculent localement l’évolution du champ de vitesse et de pression et, au signal d’un chef d’orchestre, transmettent les résultats à leurs voisins immédiats. Richardson apporte en 1926 une contribution importante à la diffusion par la turbulence en observant le mouvement de toutes sortes de traceurs dans l’atmosphère et dans les rivières (des tranches de navet par exemple !) – 1938 Piotr Kapitza découvre la superfluidité de l’hélium, manifestation macroscopique de la condensation de Bose. Lev Landau établira une théorie de la transition superfluide quelques années plus tard. – 1941 Le mathématicien Kolmogorov développe une approche statistique de la turbulence développée qui repose sur un échange continu d’énergie cinétique entre les différentes échelles spatiales. – 1963 Le météorologiste Edward Lorenz met en évidence la ”sensibilité aux conditions initiales” dans une simulation numérique des mouvements atmosphériques. Bien d’autres expériences de mécanique des fluides confirmeront cet aspect de chaos déterministe et remettront au goˆ ut du jour les idées développées par Henri Poincaré au début du siècle sur le mouvement chaotiques de corps célestes en interaction. – 1975-7 Jerry Gollub et Harry Swinney à Princeton et Albert Libchaber et Jean Maurer à l’Ecole Normale Supérieure identifient clairement les premières transitions vers le chaos dans les écoulements. L’expérience de Gollub et Swinney n’est rien d’autre que l’analyse attentive des spectres de fluctuation dans l’instabilité de Taylor-Couette. Le coeur de l’expérience de Libchaber et Maurer est une minuscule cellule de convection contenant de l’hélium liquide. Depuis, d’autres types de transitions ont été découverts et le sujet a fait noircir des tonnes de papier.

133 – 1976 Brown et Roshko au California Institute of Technology mettent en évidence des structures organisées persistant dans des écoulements à très grand nombres de Reynolds. D’autres expériences, en particulier sur les couches limites, confortent l’idée qu’un écoulement turbulent conserve une organisation qu’on ne peut décrire de manière purement statistique. – 1980 Les premiers calculateurs parallèles permettent la simulation directe d’écoulements turbulents à des nombres de Reynolds raisonnables (quelques centaines). John Kim et Parziv Moin, au centre de recherche Ames de la NASA, utilisent le calculateur prototype ILLIAC-IV pour simuler un écoulement turbulent jusqu’à Re = 14000 . Jusqu’à nos jours, la mécanique des fluides reste une des applications primordiales des supercalculateurs et les problèmes posés par la turbulence sont loin d’être résolus.

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` ANNEXE E. QUELQUES REP ERES HISTORIQUES

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Annexe F

R´ ef´ erences bibliographiques F.1

Ouvrages g´ en´ eraux

– E. Guyon, J. P. Hulin, L. Petit, Hydrodynamique Physique, Interéditions (1991): le livre ”made in PC”. Ce cours s’en inspire très largement. – G.K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press (1970): LA référence classique en mécanique des fluides. Quelque fois un peu calculatoire, mais toujours très rigoureux. – D.J. Tritton, Physical Fluid Dynamics (2nd edition), Oxford University Press (1988) : présentation moins formelle que Batchelor, plus ”avec les mains”. De nombreux sujets ”modernes”, qui vont au-delà de ce cours, sont traités dans la seconde édition. – M. Van Dyke, An Album of Fluid Motion, Parabolic Press (1982) : compilation de visualisations dans des conditions très diverses, de l’écoulement rampant à l’écoulement hypersonique. La consultation de cet ouvrage est très utile pour se faire une idée de la forme réelle des lignes de courant. – R. B.Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot, Transport Phenomena , Wiley (1960): la mécanique des fluides appliquée au génie chimique. Un livre d’ingénieurs avec de nombreux exemples. – A.R. Paterson , A first course in fluid dynamics, Cambridge University Press (1983) Traite essentiellement des fluides parfaits (on néglige les effets de viscosité), des fluides compressibles et des ondes de surface. – G.M. Homsy et al., Multimedia Fluid Mechanics,Cambridge University Press (1999) CD-ROM interactif illustrant toutes les notions de base de la mécanique des fluides. Comprend une vidéothèque avec plus d’une centaine d’exemples d’écoulements.

F.2

Ouvrages plus sp´ ecialis´ es

– M. Lesieur, Turbulence , Presses Universitaires de Grenoble (1994) : très bonne introduction à la turbulence qui peut se lire à un niveau élémentaire et à un niveau plus spécialisé. – J. Gleick, La théorie du chaos , Flammarion (1987) : compte-rendu très vivant de l’émergence de la science du chaos dans les années 70 et 80.

´ ERENCES ´ ANNEXE F. REF BIBLIOGRAPHIQUES

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– P. Bergé, Y. Pomeau, M. Dubois-Gance, Des rythmes au chaos, Odile Jacob (1997) : encore un ouvrage sur les instabilités et le chaos, par quelques uns des principaux chercheurs fran¸cais dans le domaine. – E. Guyon, J.P. Hulin, Granites et fumées, un peu d’ordre dans le mélange, Odile Jacob (1997) : une introduction au mélange dans les fluides et les milieux granulaires. – G. Couarraze, J.L. Grossiord, Initiation à la rhéologie, Lavoisier (1991)

F.3

Pour une application ludique de la m´ ecanique des fluides

– The best of Sail trim , Granada Publishing (1975) : une compilation d’articles parus dans la revue américaine Sail. Avec, en particulier une discussion très sérieuse de l’interaction entre la voile d’avant (foc, génois) avec la grand voile et une approche scientifique du réglage des voiles. – C. A. Marchaj, Aerohydrodynamics of sailing, un ouvrage de référence très volumineux et très cher, mais qu’il est utile de consulter dans les librairies spécialisées ou dans les bibliothèques. – C.A. Marchaj, Sail Performance : Designs and Techniques to Maximize Sail Power, Mc Graw Hill (1996)