Matematica
La Derivada como Pendiente de una Curva
Reglas de Derivación
Regla de la Cadena. Derivada de Potencias Derivadas de las Funciones Trigonométricas
Funciones Trigonométricas Inversas, Gráficas y Derivadas
Jeniffer Cuicas 30 junio 2014
La Derivada como Pendiente de una Curva Consideremos la funciรณn y=f(x), continua en (a, b) y sea: P(x1, y1) un punto fijo de la curva, por el cual trazaremos una tangente; sea Q(x 2, y2) un punto mรณvil en dicha curva, prรณximo a P. La tangente en P tiene ecuaciรณn: y - y1= m(x - x1) ; es decir y - f (x1)=m(x - x1) Es necesario determinar el valor de m. Tracemos una secante a la curva que pase por los puntos P y Q. En la grรกfica se tiene, x=x2- x1 es decir, x2= x1 + x, x
0.
Luego el punto Q tiene coordenadas (x1 + x, f (x1 + x )).
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Reglas de Derivación:
El proceso para obtener la derivada de una función se denomina "derivación". Se efectuarán según las reglas, y estableceremos en los siguientes teoremas: Teorema 1. Sea k una constante, Si f(x)=k entonces f´(x)=0. Teorema 2. Si f(x)=x entonces f´(x)=1. Teorema 3. Si n es número racional y f(x)=xn, entonces: f´(x)=nxn-1 Teorema 4. Si k es una constante y f es diferenciable entonces: Dx[kf(x)]=k.f´(x) Teorema 5. Si f y g son funciones diferenciables entonces: Dx[f(x)+g(x)] = f´(x) + g´(x) Teorema 6. Si f y g son funciones diferenciables entonces: Dx[f(x)g(x)] = f´(x) .g(x)+f(x) g´(x)
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Regla de la Cadena. Derivada de Potencias Teorema. (Regla de la cadena) Sea y=f(u) una función diferenciable de u y sea u=g(x) una función diferenciable de x, las cuales determinan la función compuesta fog, entonces: Dx(fog)(x)=Dxf(g(x))=f´(g(x)).g´(x) Teorema. Si f es una función diferenciable de x y r es un número racional, entonces, según la regla de la cadena: Dx [f(x)] r= r[f(x)] r-1.f´(x) Ejemplos Regla de la Cadena Situación: Sean f(x) = x 2 y g(x) = 2x + 1. Hallemos a. b. c. d.
(f(x) o g)(x), (f(x) o g)'(x) La derivada de f(x) evaluada en g(x); es decir, f'(g(x)) g'(x), g'(g(x))·g'(x) Comparemos (f o g)'(x) con f'(g(x))·g'(x)
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Solución a. (f(x) o g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 1) = (2x + 1) 2; es decir, (f(x) o g)(x) = 4x2 + 4x + 1 por tanto, (f(x) o g)'(x) = 8x + 4. b. Como f '(x) = 2 x, entonces f '(g(x)) = f '(2x + 1) = 2(2x + 1), es decir, f '(g(x)) = 4x + 2. c. g'(x) = 2, luego g'(g(x)) · g'(x) = (4x + 2) · 2, es decir, g'(g(x)) · g'(x) = 8x + 4. d. De a. y c. concluimos que (f o g)'(x) = g'(g(x))·g'(x). Conclusión Sean f y g funciones tales que: a. Esté definida la función compuesta f o g en x = a, b. g es derivable en x = a c. f es derivable en g(a) Entonces, la función compuesta f o g es derivable en x = a, y se verifica la regla de derivación de una composición de funciones o regla de la cadena (f o g)'(x) = f '(g(x))·g'(x)
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Derivadas de las Funciones Trigonométricas Sea u una función diferenciable de x, luego se define
Aquí se calculan las derivadas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, y se usan en el cálculo de otras funciones. Ahora, procedemos a calcular las derivadas de algunas de las funciones trigonométricas básicas, utilizando la definición y las propiedades estudiadas en capítulos anteriores. Luego se dará una tabla con las derivadas de las seis funciones trigonométricas básicas.
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Funciones Trigonométricas Inversas, Gráficas y Derivadas Funciones Trigonométricas Inversas La función seno. En estas condiciones se puede definir la aplicación inversa de f(x) = sen x, llamada «arco-seno» y que se simboliza por arc sen x. Derivada de la función arc sen x La función sen x tiene una función inversa llamada arco-seno y se simboliza por arc sen x. De la conocida fórmula sen2 y + cos2 y = 1, cos2y = 1 sen2y ®
Derivada de la función arc cos x Análogamente, la función cos x tiene una función inversa llamada «arco-coseno» y se simboliza por arc cos x. De y = arc cos x se deduce x = cos y. Derivando por la regla de la cadena.
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Derivada de la función arc tg x
La inversa de la función tg x se llama «arco-tangente» y se simboliza por arc tg x. y = arc tg x, x = tg y. Derivando por la regla de la cadena. Derivada de la función arc cotg x La inversa de la función cotg x se llama «arco-cotangente» y se simboliza por arc cotg x. Si y = arc cotg x, x = cotg y. Derivando esta igualdad por la regla de la cadena. Derivada de la función arc sec x Análogamente a los casos anteriores, sec x tiene una función inversa llamada «arco secante» y simbolizada por arc sec x. y = arc sec x, x = sec y. Derivando por la regla de la cadena, 1 = y' · sec y · tg y = y' · x · tg y (1) Derivada de la función arc cosec x Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior, y = arc cosec x, x = cosec y Derivando: 1 = - y' · cosec y · cotg y = - y' · x · cotg y (1)
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Apender de matematica da mas sabiduria.