Julio del 2015
Relación Binaria Es una relación matemática definida entre los elementos de dos conjuntos y . Una relación de en se puede representar mediante pares
ordenados
propiedad
, de forma que
para los cuales se
cumple
una
, y se anota:
R es una relación de A en B sii R Í AxB. Notación: 1) (a, b) Î R indica que aÎ A está en relación con bÎ B por medio de R. Se indica con: a R b. (a, b) Ï R ó a R b. 2) Al conjunto A se lo denomina conjunto de partida y al conjunto B conjunto de llegada. Ejemplo: Sea A = {1; 2; 3} , B = {2; 4} AxB = {(1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4); (3, 2); (3, 4)} R1 = {(x, y) Î AxB / x ³ y} = {(2, 2); (3, 2)} R2 = {(x, y) Î AxB / x divide a y} = {(1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4)} R3 = {(x, y) Î AxB / y = x+1 } = {(1, 2); (3, 4)} Representación Gráfica Diagramas de Venn Se representan por diagramas de Venn los conjuntos A y B, se unen con flechas los elementos de A que están en relación con los elementos de B. Para nuestro ejemplo R1
Sistema Cartesiano
Dominio Y Rango De Una Función Una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que a cada número del conjunto de partida le corresponde una sola imagen del conjunto de llegada. Así, en la figura siguiente podemos observar gráficamente el comportamiento de la función raíz cuadrada de un número. Del lado izquierdo observamos el conjunto de partida (representado por los valores que le asignemos a la variable independiente “X”), del lado derecho observamos el conjunto de llegada (representado por los valores que toma la variable dependiente “Y” una vez que se extrae la raíz cuadrada del valor que se le asignó a “X”) y sobre la flecha está indicada la relación matemática (función) que transforma los valores del conjunto de partida en los valores del conjunto de llegada (imagen).
Ejercicio: Determinar Dominio y Rango de f(x) = X + 3 Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los números reales. Dom f(x) = R
El Rango será todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje “Y” de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre. Rango = (– ∞ ; + ∞ ) Determinar Dominio y Rango de f(x) = – X 2 + 5X – 4 Dom f(x) = R
El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) desde menos infinito y llega hasta el vértice de la parábola (hasta Y = 2,25). Rango = (– ∞ ; 2.25] Representación Gráfica de las Relaciones Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagrama sagital o por medio de puntos en el plano cartesiano. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la regla: R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R. Solución: Los pares ordenados que cumplen con y = 2x + 1 son: R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
Definición de Matriz Binaria Una Matriz es un conjunto de elementos organizados en forma rectangular por filas y columnas. Las matrices tienen aplicaciones en diversas áreas con la geometría y el algebra, pero a nivel de computación se usan fundamentalmente para la representación de arreglos o tablas de información que es una de las formas principales como se introducen los datos en el computador. Una matriz binaria, es una disposición rectangular de dígitos binarios (0, 1), formada por m filas y n columnas; y al igual que las matrices algebraicas se dice que tienen un orden m x n. Si el número de filas es igual al de columnas, se dice que la matriz es cuadrada. Se denota por letras mayúsculas. A=
0 1 1 1 1 1 0 0
3x4
0 1y 1 m = 30 filas n = 4 columnas
La aritmética de matrices binarias se construye con las operaciones binarias y , sobre pares de bits. b1 b2 = 1 Si b1= b2 = 1
b1 b2 = 1 Si b1= 1 o b2 = 1
b1 b2 = 0 en otro caso
b1 b2 = 0 en otro caso
Relación Inversa En matemática una relación inversa es solo conmutar, cambiar el orden de la abscisa con la ordenada.
Dada una relación definida de A en B, tiene una relación inversa que denotamos por , cuyos elementos son los pares de conmutados de R Por comprensión, esto es:
Si la relación viene dada por los pares ordenados de la forma (x,y) , los pares ordenados de la relación inversa se invierten, es decir,(x,y) . Si es una relación definida de A en B, entonces en
Además, si
es una relación definida de
es la relación inversa de R, entonces
El diagrama sagital muestra la relación T de A en B y su relación inversa de en de B en A
Composición De Relaciones Sea una relación de A en B y una relación de B en C. La composición de y es una relación consistente de los pares ordenados (a, c), donde a A y c C y para los cuales existe un b B tal que (a, b) y (b, c) , es decir a b y b c. La composición se denota por
, si
y
son relaciones.
Ejemplos:
a) Sea A={1, 2, 3}, B={1, 2, 3, 4} y C={0, 1, 2} y sean ={(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)}
={(1 ,0),(2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)} Entonces
={(1, 0), (3, 0), (1, 1), (3, 1), (2, 1), (2, 2)}
b) Sean A={1, 2, 3}, B={2, 4, 6, 8} C={s, t, u} y sean ={(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} ={(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}
Entonces
={(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)}
c) Sean A={a, b, c, d}, B={s, t, u, v} C={1, 2, 3, 4, 5} y sean ={(a, s), (a, t), (c, v), (d, u)} ={(s, 2), (t, 1), (t, 4), (u, 3)} Entonces
={(a, 1), (a, 2), (a, 4), (d, 3)}
y gráficamente se puede representar como
Generalizando: Sean una relación de A en B, C en D.
una relación de B en C y
una relación de
La composición de , y es una relación consistente de los pares ordenados (a, d), donde a A y d D y para los cuales existen un b B y un c C tal que (a, b) , (b, c) y (c, d) , es decir a b, b c y c d. Lo anterior se puede denotar como Además se tiene que
(
)=(
(
), si )
,
y
son relaciones.