PRODUCTO NOTABLES
TEMA # 4
Cubo de la resta de dos cantidades Definición. Cubo de una diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término:
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
En el cubo de un binomio con una resta tenemos lo siguiente:
Podemos desarrollar el cuadrado de la resta y luego multiplicarlo por (a-b):
Regla del cubo de la resta de un binomio El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo del primer término, menos el triple del cuadrado de la primera por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.
Ejemplos con soluciones pasó a paso 1) Desarrolle (x-2)3.
Cubo del primer término: x3. Menos el triple del cuadrado del primero por el segundo: -3(x)22=-6x2. Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(x)(22)=12x. Menos el cubo del segundo término: -(23)=-8. Respuesta:
CUBO DE LA RESTA DE DOS CANTIDADES
PRODUCTO NOTABLES
TEMA # 4
2) Desarrolle (a2-2b)3.
Cubo del primer término: (a2)3=a6. Menos el triple del cuadrado del primero por el segundo: -3(a2)2(2b)=-6a4b. Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(a2)(2b)2=12a2b2. Menos el cubo del segundo término: -(2b)3=-8b3. Respuesta:
Deducción de la fórmula del cubo de la una diferencia Para comprobar la validez de la fórmula del cubo de una diferencia es suficiente multiplicar los términos abriendo los paréntesis: (a - b)3 = (a - b)·(a - b)2 = = (a - b)·(a2 - 2ab + b2) = = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2b2a - b3 = = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Aplicación de la fórmula del cubo de una diferencia Es conveniente utilizar la fórmula del cubo de una diferencia para:
abrir los paréntesis para simplificación de las expresiones
Ejemplos de problemas sobre aplicación de la fórmula del cubo de una diferencia Ejemplo 3. Abrir los paréntesis (x - 3)3. Solución. Para resolver utilicemos la fórmula del cubo de una diferencia: (x - 3)3 = x3 - 3·3·x2 + 3·32·x - 33 = = x3 - 9x2 + 27x - 27 Ejemplo 4.
CUBO DE LA RESTA DE DOS CANTIDADES
PRODUCTO NOTABLES
TEMA # 4
Abrir los paréntesis (2x - 3y2)3. Solución. Para resolver utilicemos la fórmula del cubo de una diferencia: (2x - 3y2)3 = = (2x)3 - 3·(2x)2·(3y2) + 3·(2x)·(3y2)2 - (3y2)3 = = 8x3 - 36x2y2 + 54xy4 - 27y6 Ejemplo 5. Simplificar la expresión 27x3 - 27x2 + 9x - 19x2 - 6x + 1. Solución: Se puede notar que la expresión en el numerador es cubo de una diferencia descompuesto, y en el denominador es el cuadrado de una diferencia. 27x3 - 27x2 + 9x - 19x2 - 6x + 1 = (3x - 1)3(3x - 1)2 =
CUBO DE LA RESTA DE DOS CANTIDADES