Matemáticas II by jgfpitagoras2011 jgfpitagoras2011

DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

Curso

2011/2012

Asignatura

MATEMÁTICAS II

1º Comentarios acerca del programa del segundo curso del Bachillerato, en relación con la Prueba de Acceso a la Universidad La siguiente relación de objetivos, contenidos y niveles tiene como finalidad el servir de orientación para la elaboración de la Prueba de Acceso a la Universidad de la materia Matemáticas II. Esta relación se adapta al currículo de la asignatura y su objetivo es matizar y especificar con cierto detalle algunos aspectos de los apartados del currículo dedicados al Análisis, al Álgebra Lineal y a la Geometría. En todo caso, las orientaciones se ajustan a los contenidos de la asignatura descritos en el Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre, BOE del 6, por el que se establece la estructura y las enseñanzas mínimas de Bachillerato, así como a la Orden de 5 de Agosto de 2008, BOJA del 26, por la que se desarrolla el currículo correspondiente al Bachillerato en Andalucía. ANÁLISIS: - Saber aplicar los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límites laterales para estudiar la continuidad de una función y la existencia de asíntotas verticales. - Saber aplicar el concepto de límite de una función en el infinito para estudiar la existencia de asíntotas horizontales y oblicuas. - Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos de indeterminación siguientes: infinito dividido por infinito, cero dividido por cero, cero por infinito, infinito menos infinito (se excluyen los de la forma uno elevado a infinito, infinito elevado a cero, cero elevado a cero) y técnicas para resolverlas. - Saber determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto. - Saber distinguir entre función derivada y derivada de una función en un punto. Saber hallar el dominio de derivabilidad de una función. - Conocer la relación que existe entre la continuidad y la derivabilidad de una función en un punto. - Saber determinar las propiedades locales de crecimiento o de decrecimiento de una función derivable en un punto y los intervalos de monotonía de una función derivable. - Saber determinar la derivabilidad de funciones definidas a trozos. - Conocer y saber aplicar el teorema de derivación para funciones compuestas (la regla de la cadena) y su aplicación al cálculo de las derivadas de funciones con no más de dos composiciones y de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. - Conocer la regla de L'Hôpital y saber aplicarla al cálculo de límites para resolver indeterminaciones. - Saber reconocer si los puntos críticos de una función (puntos con derivada nula) son extremos locales o puntos de inflexión. - Saber aplicar la teoría de funciones continuas y de funciones derivables para resolver problemas de extremos. - Saber representar de forma aproximada la gráfica de una función de la forma y=f(x) indicando: dominio, simetrías, periodicidad, cortes con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos locales, intervalos de concavidad (f''(x)<0) y de convexidad (f''(x)>0) y puntos de inflexión. - Partiendo de la representación gráfica de una función o de su derivada, ser capaz de obtener información de la propia función (límites, límites laterales, continuidad, asíntotas, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, etc.). - Dadas dos funciones, mediante sus expresiones analíticas o mediante sus representaciones gráficas, saber reconocer si una es primitiva de la otra. - Saber la relación que existe entre dos primitivas de una misma función. - Dada una familia de primitivas, saber determinar una que pase por un punto dado. - Saber calcular integrales indefinidas de funciones racionales en las que las raíces del denominador son reales. - Conocer el método de integración por partes y saber aplicarlo reiteradamente. - Conocer la técnica de integración por cambio de variable, tanto en el cálculo de primitivas como en el cálculo de integrales definidas. - Conocer la propiedad de linealidad de la integral definida con respecto al integrando y conocer la propiedad de aditividad con respecto al intervalo de integración. - Conocer las propiedades de monotonía de la integral definida con respecto al integrando. - Conocer la interpretación geométrica de la integral definida de una función (el área como límite de sumas superiores e inferiores). - Conocer la noción de función integral (o función área) y saber el teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow. - Saber calcular el área de recintos planos limitados por curvas. ÁLGEBRA LINEAL: - Conocer y adquirir destreza en las operaciones con matrices: suma, producto por un escalar, transposición, producto de matrices, y saber cuándo pueden realizarse y cuándo no. Conocer la no conmutatividad del producto. - Conocer la matriz identidad I y la definición de matriz inversa. Saber cuándo una matriz tiene inversa y, en su caso, calcularla (hasta matrices de orden 3x3). - Saber calcular los determinantes de orden 2 y de orden 3. - Conocer las propiedades de los determinantes y saber aplicarlas al cálculo de éstos. - Conocer que tres vectores en un espacio de dimensión tres son linealmente dependientes si y sólo si el determinante es cero. - Saber calcular el rango de una matriz. - Resolver problemas que pueden plantearse mediante un sistema de ecuaciones. - Saber expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y conocer el concepto de matriz ampliada del mismo. - Conocer lo que son sistemas compatibles (determinados e indeterminados) e incompatibles. - Saber clasificar (como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) un sistema de ecuaciones lineales con no más de tres incógnitas y que dependa, como mucho, de un parámetro y, en su caso, resolverlo. GEOMETRÍA: - Conocer y adquirir destreza en las operaciones con vectores en el plano y en el espacio.

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DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD - Dado un conjunto de vectores, saber determinar si son linealmente independientes o linealmente dependientes. - Saber calcular e identificar las expresiones de una recta o de un plano mediante ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas y pasar de una expresión a otra. - Saber determinar un punto, una recta o un plano a partir de propiedades que los definan (por ejemplo: el punto simétrico de otro con respecto a un tercero, la recta que pasa por dos puntos o el plano que contiene a tres puntos o a un punto y una recta, etc.). - Saber plantear, interpretar y resolver los problemas de incidencia y paralelismo entre rectas y planos como sistemas de ecuaciones lineales. - Conocer y saber aplicar la noción de haz de planos que contienen a una recta. - Conocer las propiedades del producto escalar y su interpretación geométrica. - Saber plantear y resolver razonadamente problemas métricos, angulares y de perpendicularidad (por ejemplo: distancias entre puntos, rectas y planos, simetrías axiales, ángulos entre rectas y planos, vectores normales a un plano, perpendicular común a dos rectas, etc.). - Conocer el producto vectorial de dos vectores y saber aplicarlo para determinar un vector perpendicular a otros dos, y para calcular áreas de triángulos y paralelogramos. - Conocer el producto mixto de tres vectores y saber aplicarlo para calcular el volumen de un tetraedro y de un paralelepípedo.

2º Estructura de la prueba que se planteará para la asignatura. Cada estudiante recibirá dos exámenes -etiquetados Opción A y Opción B- y tendrá que elegir uno de ellos sin que pueda mezclar ejercicios de una opción con ejercicios de la otra opción. Cada examen constará de cuatro ejercicios: dos de ellos de Análisis y dos de Álgebra Lineal y Geometría. Estos cuatro ejercicios se valorarán por igual.

3º Instrucciones sobre el desarrollo de la prueba. 3.1 De carácter general. - En los ejercicios de la prueba no se pedirán las demostraciones de los teoremas. - Ningún ejercicio del examen tendrá carácter exclusivamente teórico.

3.2 Materiales permitidos en la prueba. Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. Durante el examen no se permitirá el préstamo de calculadoras entre estudiantes.

4º Criterios generales de corrección (es imprescindible concretar las valoraciones que se harán en cada apartado y/o aspectos a tener en cuenta): Los criterios esenciales de valoración de un ejercicio serán el planteamiento razonado y la ejecución técnica del mismo. La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de manera efectiva la resolución, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio. También se tendrá en cuenta lo siguiente: - En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos. - Los estudiantes pueden utilizar calculadora que no sea programable, gráfica ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente razonados indicando los pasos más relevantes del procedimiento utilizado. - Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente. - Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo del 10% de la nota total del ejercicio; de igual manera se penalizará la redacción incorrecta y el uso incorrecto de símbolos. - La presentación clara y ordenada del ejercicio se valorará positivamente. - Si se realizan ejercicios de las dos opciones, sólo se evaluarán los ejercicios de la misma opción que el primero que aparezca físicamente en el papel de examen.

5º Información adicional (aquella que por su naturaleza no está contenida en los apartados anteriores): En los siguientes puntos de acceso electrónico: http://matema.ujaen.es/jnavas/web_ponencia/index.html pueden encontrarse, entre otra información, enlaces a otras páginas de profesores y centros de Enseñanza Secundaria que tienen colecciones de ejercicios y exámenes resueltos. Otras páginas de interés son http://www.ujaen.es/serv/acceso/inicio Estas orientaciones están disponibles en el punto de acceso electrónico: http://www.juntadeandalucia.es/innovacioncienciayempresa/sguit

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DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD 6ยบ Modelo de prueba:

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DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD 7º Criterios específicos del modelo de prueba:

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BACHILLER RATO M MATEMÁTIICAS II M MODELO 1 19 998-1999

Instruccio ones: a) Duraación: 1 hora y 30 minutos. b) Tienees que elegir entre e realizar únicamente ú los cuatro ejercicios de la Opció ón A o bien realizar únicamente los cuatro ejerccicios de la Opcción B. c) Conttesta de forma razonada r y esccribe ordenadam mente y con letra clara. d) Pueddes usar calculladora (puede ser programabble o tener panntalla gráfica), pero todos los procesos condducentes a la obtennción de resultaados deben esttar suficientemeente justificadoos.

Opción A EJERCIICIO 1. [2’5 puntos] Sabiendo quue la funció ón f : \ → \, dada poor si x ≤ 1 ⎧ax + 5 ⎪ f (x) = ⎨ b ⎪⎩a x + x si x > 1, es derivaable, halla a y b. EJERCIICIO 2. Seaa k ∈ \ y seea f : \ → \, la funció ón definida por p f ( x ) = cos ( x ) + kxx . (1) [11'25 puntoss] Determinna todos los valores de k para los que q la funcióón anterior es crreciente en todo su dom minio. (2) [11'25 puntoss] Para k = 1 halla la eccuación de la recta tanggente a la grráfica de la función f enn el punto de d abscisa x = 0 .

Π ≡ 2 x + 2 y + z + 7 = 0, la recta r ≡ p EJERCIICIO 3. Coonsidera el plano

x −1 y − 2 z −1 = = 1 2 3

y el puntoo A = (1, 5, −4). (1) [11'5 puntos] Determinaa razonadam mente si exiiste y, en esee caso, hallaa un punto B de la reecta r tal quue la recta quue pasa por los puntos A y B es paaralela al plano π . (2) [11 punto] Deetermina razzonadamennte si existe y, en ese caaso, halla unn punto C dee la recta r tal que la reecta que passa por los puuntos A y C es perpenddicular al pllano π . EJERCIICIO 4. (1) [11 punto] Si todos los elementos e dee una matrizz de orden 3x3 3 se multtiplican por (−1), ¿qqué relaciónn hay entre los determiinantes de laa matriz original y de la nueva maatriz? (2) [11 punto] ¿Y Y si se multiiplican por (−2)? (3) [00'5 puntos] Indica unaa de las proppiedades de los determiinantes que hayas utilizzado en laa resoluciónn de los aparrtados anterriores.

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B BACHILLER RATO M MATEMÁTIC CAS II MO ODELO 1 19 998-1999

Instruccio ones: a) Durración: 1 hora y 30 minutos. b) Tiennes que elegir entre realizar únicamente loss cuatro ejerciccios de la Opció ón A o bien reealizar únicamente los cuatro ejerrcicios de la Op pción B. c) Conntesta de formaa razonada y esscribe ordenadaamente y con leetra clara. d) Pueedes usar calcuuladora (puedee ser programable o tener panntalla gráfica), pero todos loss procesos conducentes a la obteención de resultados deben esstar suficientem mente justificaddos.

Opción B EJERCIICIO 1. La gráfica de la l derivada de una ciertta función f : [ −3, 4] → \ es la siguiente

(1) [1 pu unto]. Indiica los intervvalos de creecimiento y de decrecim miento de laa función. (2) [0'5 puntos]. ¿H Hay algún inntervalo de su dominio o en el que f sea constannte? (3) [1 pu unto]. ¿Cuááles son los puntos crítiicos de f? Clasifícalos. C

EJERCIICIO 2. Seea f : [ a, b ] → \ una fuunción conttinua. (1) [0'5 puntos]. p Define el conncepto de prrimitiva de f. f (2) [2 pu untos]. Hallla una primitiva de la función f f : [ 0, 1] → \ definida poor f ( x) = xee − x .

x −1 y z +1 = = . 3 2 −1 (1) [0'75 5 puntos]. Determina la ecuaciónn del plano π 1 que es perpendicul p lar a la rectaa r y pasa por el e punto P = (1, 2,3). (2) [0'75 5 puntos]. Determina la ecuaciónn del plano π 2 que ess paralelo a la recta r y pasa por los puntos p P = (1, ( 2, 3) y Q = (–1, 0, 2). 2 (3) [1 punto]. p Seaa s la rectaa en la que se cortan los planos π 1 y π 2 . D Determina de forma razonnada la posición relativva de las recctas r y s. EJERCIICIO 3. Connsidera la reecta r ≡

EJERCIICIO 4. See sabe que

(1) [2 pu untos]. Callcula el valoor de

= 5. 3a − b 6a + 2b

. 3c − d 6c + 2d (2) [0'5 puntos]. Ennuncia una de las proppiedades dee los determ minantes quue hayas usado en el apartado anterior.

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BACHILLER RATO M MATEMÁTIICAS II M MODELO 2 19 998-1999 SEPTIEMB BRE

Opción A EJERCIICIO 1. [2'55 puntos]. Calcula el valor v de la integral i

∫

2 x 3 − x 2 − 12 x − 3 dx x2 − x − 6 −1 2

EJERCIICIO 2. Connsidera la curva c de ecuuación y = x 2 − 2 x + 3. (1) [1'5 puntos]. Halla H una reecta que seaa tangente a dicha curv va y que forrme un ángu ulo de 45º con el e eje de abscisas. (2) [1 pu unto] ¿Hayy algún puntto de la curvva en el quee la recta taangente sea horizontal?? En caso afirm mativo, hallaa la ecuacióón de dicha recta tangen nte; en casoo negativo, eexplica por qué. EJERCIICIO 3. [2'55 puntos]. Prueba quee todos los planos p de laa familia

(3 + λ) x + (3 − λ) y + (5 − 2λ) z = λ (con λ ∈ \ ) contiennen una missma recta y halla unas ecuaciones paramétricaas de dicha recta.

EJERCIICIO 4. Connsidera la matriz m ⎛0 1 0⎞ ⎟⎟. A = ⎜⎜ ⎝1 0 1⎠ (1) [1 pu unto]. Calccula At A y AAt dondee At denotaa la matriz trraspuesta de A. (2) [1'5 puntos]. Siendo X una u matriz columna, discute d y, enn su caso, rresuelve la ecuación t matrricial AA X = λX seggún los valores del paráámetro real λ .

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B BACHILLER RATO M MATEMÁTICAS II M MODELO 2 19 998-1999 SEPTIEMB BRE

Opción B EJERCIICIO 1. (1) [1 pu unto]. Hallaa las asíntottas de la grááfica de la fu unción definnida para x > 0 por 1+ x2 f ( x) = x (2) [1 pu unto]. Hallaa las regiones de crecim miento y de decrecimieento de f inddicando sus máximos y mínimoos locales y globales sii los hay. (3) [0'5 puntos]. p Essboza la grááfica de f. EJERCIICIO 2. [2’5 puntos]. Encuentra la funció ón derivablle f : [ −1,1] → \

qu ue cumple

⎧⎪ x 2 − 2 x si − 1 ≤ x < 0, f (1) = −1 y f ' ( x) = ⎨ x ⎪⎩e − 1 si 0 ≤ x ≤ 1. EJERCIICIO 3. [2'55 puntos]. Clasifica ell siguiente sistema s de ecuaciones e ssegún los valores del parámetrro λ , ( + λ)x + (1 y+ =1 ⎫ z ⎪ =λ ⎬ z x + (11 + λ ) y + + (11 + λ ) z = λ 2 ⎪⎭ x + y EJERCIICIO 4. (1) [1'75 puntos]. Halla H la ecuuación de la circunferen ncia cuyo ceentro es el ppunto C = (3 3,2) y una de cuyas rectas tanggentes tiene de ecuaciónn 4 x − 3 y − 5 = 0. (2) [0'75 5 puntos]. Determinaa si el punnto X = (3, 3) es inteerior, es exxterior o está en la circunferrencia.

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BACHILLERATO M MATEMÁTIICAS II M MODELO 3 19 998-1999 JUNIO O

Opción A

f : \ → \ defi EJERCIICIO 1. Connsidera la función fu finida en la forma f f (x) = 1 + x x . (1) [1 pu unto]. Hallla la derivadda de f. (2) [0'5 puntos]. Determina D loos intervalos de crecim miento y de decrecimien d nto de f.

∫ xf (x)dx. 2

(3) [1 pu unto]. Calccula

−1

EJERCIICIO 2. [2'5 puntos]. De la funciión f : \ → \ definida por f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d se sabe que tiene un máxim mo relativo en x = 1, un punto de inflexióón en (0,0) y que

∫

5 f ( x)dxx = . Calccula a, b, c y d. 4 0

EJERCIICIO 3. [2''5 puntos].. Halla el punto del plano p de eccuación x − z = 3 que está más cerca dell punto P = (3,1,4) así como c la disttancia entree el punto P y el plano ddado.

EJERCIICIO 4. Coonsidera la matriz m b c⎞ ⎛a ⎜ ⎟ A = ⎜ 2a − b 3c ⎟ , ⎜ 3a 0 4c ⎟ ⎝ ⎠ donde a, b y c son no n nulos. (1) [1 pu unto]. Deteermina el núúmero de coolumnas de A que son linealmente l independieentes. (2) [1'5 puntos]. p Calcula el ranngo de A y razona r si diicha matriz tiene inverssa.

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B BACHILLER RATO M MATEMÁTICAS II M MODELO 3 19 998-1999 JUNIO O

Opción B

EJERCIICIO 1. (1) [1 pu unto]. Dibuuja la regiónn limitada poor la curva de d ecuaciónn y = x(3 − x) y la rectta de ecuaciónn y = 2 x − 2. (2) [1'5 puntos]. Halla H el áreaa de la regióón descrita en e el apartaddo anterior. EJERCIICIO 2. [2''5 puntos] Dada D la funnción f : [1, e ] → \ defiinida por f ( x ) = 1/ x + Ln ( x ) (donde Ln(x) L es el loogaritmo neeperiano de x), determiina cuál de las l rectas taangentes a laa gráfica de f tienne la máxim ma pendientee.

EJERCIICIO 3. Seaan los vectoores

u = (−1, 2, 3),

v = (2, 5, − 2), )

x = (4, 4 1, 3)

z = (4,1, − 8).

(1) [1 pu unto]. ¿Se puede p expreesar x comoo combinaciión lineal de d u y v? Si es así, escrribe dicha combinacción lineal; si no es asíí, explica poor qué. (2) [1 pu unto]. ¿Se puede p expreesar z comoo combinaciión lineal de u y v? Si es así, escrribe dicha combinacción lineal; si no es asíí, explica poor qué. (3) [0'5 puntos]. p ¿Son u, v y z linealmente l e independieentes? Justiifica la respuesta.

EJERCIICIO 4. (1) [2 pu untos]. Calccula un punnto R de la reecta s dada por ⎧ x − y − 5 = 0, s≡⎨ ⎩ x − 3 y − z − 7 = 0; que equiddiste de los puntos P = (1, 0, –1) y Q = (2, 1, l). (2) [0'5 puntos]. Calcula C el árrea del triánngulo determ minado por los l puntos P P, Q y R.

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BACHILLER RATO M MATEMÁTIICAS II M MODELO 4 19 998-1999

Opción A

EJERCIICIO 1. Considera la función f f : (0, ( + ∞) → \ dada porr f (x) =

Lnn( x) , dondee Ln(x) es x

el logarittmo neperiaano de x. (1) [1'5 puntos] Determina D loos intervaloos de creciimiento y de d decrecim miento así como los extremoss relativos de d f. (2) [1 pu unto] Calcuula la recta tangente t a la l gráfica dee f en el punnto de corte de dicha grráfica con el eje OX X.

EJERCIICIO 2. [2''5 puntos] Determinaa una primitiva F de laa función f dada (en lo os puntos 3 x − 2x + 3 donde noo se anula el e denominaador) por f ( x) = tall que la gráffica de F paase por el x − x2 punto (2,, Ln(8). EJERCIICIO 3. Dee todos los planos p que contienen c laa recta r dadda por ⎧ x − 4 y + 9 = 0, r≡⎨ ⎩3 y − z − 9 = 0; (1) [1 pu unto] Determ mina el que pasa por ell punto P = (1, 4, 0); (2) [1'5 puntos] Determina D u uno que essté a 3 un nidades de distancia ddel origen, ¿cuántas solucciones hay??

EJERCIICIO 4. [2''5 puntos]. Clasifica el siguientee sistema de d ecuacionees lineales según los valores del d parámetrro real m,

⎫ ⎪ ⎬ 2 4 x − y + m z = m − 1⎪⎭ 5x + 4 y + 2 z = 0 2x + 3y + z = 0

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Opción B

f : \ → \ deffinida en la forma f (xx) = xe 2 x . EJERCIICIO 1. Coonsidera la función f (1) [1 pu unto] Deterrmina los exxtremos relativos de f (dónde ( se allcanzan y cuuál es su vaalor). (2) [1'5 puntos] Determina el valor de la integral

∫ (1 + f ( x) ) dx. 12

EJERCIICIO 2. [2'55 puntos] Se deseaa construir una ventanna como la de la figuraa (en la que la parte p superior es una semicircunf s ferencia) qu ue tenga un perím metro de 6 m. m ¿Qué dim mensiones debe d tener para p que su superrficie sea mááxima?

EJERCIICIO 3. (1) [1 pu unto]. Definne el conceppto de inverrsa de una matriz m cuadrrada. (2) [0'75 5 puntos]. Da algún crriterio que permita p decidir si una matriz m cuadrrada es inveertible. (3) [0'75 5 puntos]. ¿Es ¿ invertibble la matrizz A siguientee? Justificaa la respuestta. ⎛1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜2 1 3 ⎟. ⎜ 0 − 1 − 1⎟ ⎝ ⎠

π daados, en funcción de un pparámetro real EJERCIICIO 4. Coonsidera la recta r r y el plano p r a, por ⎧ x + (1 + a ) y + z = 0, r≡⎨ ⎩(2 + a ) x − y − 2 z = 0;

π ≡ 3 x − z = a.

(1) [1'75 5 puntos]. Estudia la posición reelativa de la l recta y el plano seegún los vaalores del parámetrro a. (2) [0'75 5 puntos]. Para a = 1 determina d e punto de intersección el i n de la rectaa con el plan no.

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B BACHILLER RATO M MATEMÁTIC CAS II MO ODELO 5 199 98-1999

Opción A EJERCIICIO 1. [2''5 puntos] Calcula el siguiente lím mite (sen ( x)) 2 lím m x →0 e x − x − 1

EJERCIICIO 2. [2'5 puntos] Determina la función f : (0, +∞) → \ sabienndo que es dos veces 1 derivablee, que su grááfica pasa por p el punto (1, l), que f ' (1) = 0 y que f ' ' ( x) = . x EJERCIICIO 3. Se sabe que laa siguiente matriz m M tieene rango 1, ⎛5 6 7 ⎞ ⎜ ⎟ M = ⎜ 1 a b ⎟. ⎜2 c d ⎟ ⎝ ⎠ (1) [1 pu unto] ¿Pueeden determ minarse a, b, b c, d? Jusstifica la reespuesta y, en caso affirmativo, hállalos. (2) [1'5 puntos] ¿C Cuál es la sittuación de los planos de d ecuacionees respectivvas

π 1 ≡ 5 x + 6 y + 7 z = 5,

π 2 ≡ x + ay a + bz = 2

π 3 ≡ 2x + cy + dz = 1?

EJERCIICIO 4. Connsideremoss el punto P = (1, 0, –1) y la recta r dada por ⎧ x + y = 0, r≡⎨ ⎩ z − 1 = 0. (1) (2)

[1'5 puntos] Halla el punnto de r más cercano a P y la distaancia entre P y r. [1 punto] p Dettermina el plano p que pasa por el punto p P y coontiene la reecta r.

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Opción B EJERCIICIO 1. (1) [0'5 puntos] Ennuncia la Reegla de Barrrow. (2) [2 pu untos] Haciiendo el cam mbio de variable x 2 = t , calcula laa integral

∫

x cos( x 2 ) dx

EJERCIICIO 2. [2''5 puntos] De una fuunción deriivable f : \ → \ se ssabe que paasa por el punto (3,, 0) y que laa gráfica de su función derivada ess la que se muestra m en lla figura.

Determinna sus extreemos localees así comoo sus intervalos de crecimiento y de decrecim miento y, con estoss elementos, esboza razzonadamentte la gráficaa de f.

EJERCIICIO 3. ⎧ x = 2 + 3λ ⎧x = 1+ μ ⎪ ⎪ (1) [1'5 puntos] p Demuestra qque las rectaas r ≡ ⎨ y = 4 + 2λ y s ≡ ⎨ y = − μ se inttersecan y D ⎪z = 1+ λ ⎪ z = 4 + 2μ ⎩ ⎩ halla el punto p dóndee lo hacen. (2) [1 pu unto] Hallaa la ecuaciónn del plano que contien ne las rectass r y s.

EJERCIICIO 4. Connsidera el sistema de ecuaciones que q dependee de un paráámetro real a: x + 2 y − z = 2⎫ ⎪ 2 x + 3 y + z = 2⎬ 5 x + ay + z = 6 ⎪⎭ (1) [1'5 puntos] Discute el sisstema segúnn los valoress de a. (2) [1 pu unto] Resuuélvelo paraa a = 8.

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B BACHILLER RATO M MATEMÁTIC CAS II MO ODELO 6 19 998-1999

Opción A EJERCIICIO 1. (1) [1 pu unto] Esbozza la gráficaa de la funciión f : \ → \ dada poor ⎧2 x + 2 si x ≤ −1, f ( x) = ⎨ 3 ⎩ x − x si x > −1. (2) [1'5 puntos] Caalcula el áreea del recintto limitado por la gráfiica de f, el eeje OX y lass rectas de ecuacionnes x + 2 = 0 y 2 x − 1 = 0.

EJERCIICIO 2. [2'5 puntos] Una imprenta recibe el e encargo de d diseñar ccarteles en los l que la 2 zona imppresa debe ocupar o 100 cm . y hay que dejar 4 cm. de maargen dereccho, 4 cm. de d margen izquierdoo, 3 cm. de margen supperior y 2 cm. c de marrgen inferiorr. Calcula las dimensiones que debe teneer el cartel para p que se utilice la menor m cantid dad de papell que sea poosible. EJERCIICIO 3. (1) [1'5 puntos] p Deetermina loos valores del parámetrro a para los que los siiguientes veectores de 3 \ : (1, 1, a), (a,, 3, 2) y (0, 0, a)), son lineaalmente indeependientess. Justifica la l respuestaa. (2) [1 pu unto] Determina la poosición relattiva de los planos p cuyass ecuacionees son:

π 1 ≡ x + y + 3z = 5,

π 2 ≡ 3x + 3 y + 2 z = 8

π 3 ≡ 3z = 3.

EJERCIICIO 4. [22'5 puntoss] Calcula todos los planos perrpendicularres a la reecta r de ecuacionnes paramétrricas ⎧ x = −10 + 5t ⎪ r ≡ ⎨ y = 100 ⎪ z = 250 − 12t ⎩ que se enncuentran a 2 unidades de distancia del punto P = (2, –7, l).

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B BACHILLER RATO M MATEMÁTIC CAS II MO ODELO 6 19 998-1999

Opción B EJERCIICIO 1. [2'55 puntos] Considera C la función f : \ → \ definida d porr

f ( x) =

x . 1+ x2

d do previameente los sigu uientes elem mentos: suss asíntotas, extremos Dibuja suu gráfica determinand locales, intervalos i de crecimiennto y de decrecimiento y la existenncia de simeetrías.

EJERCIICIO 2. La recta de ecuación y = −4 x + 2 representa la trayectoria de un móviil A. Otro móvil B se desplazza según la trayectorria dada po or la curva de ecuaciión y = g (xx) donde g : \ → \ es la funnción definidda por g (x) = − x 2 + 2 x + c. (1) [1'255 puntos] Halla H el vallor de c sabiiendo que ambas a trayectorias coinnciden en ell punto en el que la función g tiiene su máxximo local. (2) [1'255 puntos] ¿Coinciden ambas trayyectorias en ¿ n algún otroo punto? E En tal caso, dibuja la región lim mitada por ambas a trayeectorias y caalcula su áreea. EJERCIICIO 3. [2'55 puntos] Dado D el punnto A = (3, 1, 0), halla su simétricoo respecto de d la recta r dada poor las ecuaciones param métricas: ⎧ x = 1− t ⎪ r ≡ ⎨ y = −2 + t ⎪ z = −2t ⎩

EJERCIICIO 4. Connsidera la matriz m B quee depende de d un parám metro a.

⎛a2 a 1⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 2a a + 1 2 ⎟ . ⎜1 1 ⎟⎠ 1 ⎝ (1) [1'255 puntos] ¿P Para qué vaalores de a tiene t B inveersa? Justifiica la respueesta. (2) [1'255 puntos] Para P a = 0 halla h la inversa de B.

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B BACHILLER RATO M MATEMÁTICAS II MODELO 1 19 999-2000

Instruccionees: a) Duració ón: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir enttre realizar únicamente los cuatro c ejercicioos de la Opció ón A o bien realizar únicam mente los cuatrro ejercicioos de la Opción n B. c) La puntuuación de cadaa pregunta está indicada en lass mismas. d) Contestaa de forma razoonada y escribee ordenadamennte y con letra clara. c e) Puedes usar calculadoora (puede ser programable p o tener t pantalla gráfica), g pero toodos los processos conducentees a la obtención de resultados deben esstar suficientem mente justificaddos.

Opción A Ejercicio 1. 1 (a) [1 pun nto] Dibuja el recinto liimitado por los semiejees positivos de coordennadas y las curvas c 2 y = x 2 + 1, y = x −1 y= e x (b) [1'5 pu untos] Hallaa el área dell recinto connsiderado en e el apartaddo anterior. Ejercicio 2. 2 [2'5 puntos] Calculaa a y b sabieendo que la función f : \ → \, deefinida por

⎧ax + 5 x 2 ⎪ f ( x) = ⎨ a ⎪ + bx ⎩x

si x ≤ 2 si x > 2

es derivablee.

Ejercicio 3. 3 [2’5 punttos] Sabienddo que

f =2

calcula los siguientes determinant d tes y enunciia las propieedades que utilices: u 3a 3b 15 1 c (a) [1 punto] d e 5 f g h 5i (b) [1'5 puntoss]

a + 2b

d + 2e

g + 2h

Ejercicio 4. 4 [2’5 punttos] Halla laa distancia entre el orig gen de coorrdenadas y la recta inteersección dee los planos de d ecuacionnes respectivvas x + y + 2 z = 4 y 2x − y + z = 2.

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B BACHILLER RATO M MATEMÁTICAS II MODELO 1 19 999-2000

Opción B

Ejercicio 1. 1 [2’5 punttos] De enttre todos loss rectángulo os de 40 killómetros dee perímetro, calcula lass dimensionees del que tiiene área mááxima.

Ejercicio 2. 2 (a) [1 pun ntos] Dibujaa el recinto limitado l poor la curva y = punto de d abscisa x = 1 y el eje de abscisaas.

9 − x2 , la recta tanggente a estaa curva en el e 4

(b) [1'5 pu untos] Calcula el área del d recinto considerado c o en el aparttado anterioor.

Ejercicio 3. 3 [2’5 pun ntos] Calculla las coorddenadas del punto siméétrico del (ll, –3, 7) resspecto de laa recta dada por p las ecuaaciones z−4 x −1 = y + 3 = . 2

Ejercicio 4. 4 Consideraa el sistema de ecuacionnes = 3 ⎧λ x + 2 y ⎪ + 2λ z = − 1 . ⎨ −x ⎪ 3x − y − 7 z = λ + 1 ⎩ (a) [1 punto]] Halla toodos los valores v dell parámetroo λ paraa los que el sistemaa corresponddiente tiene infinitas sooluciones. (b) [1 punto] Resuelve ell sistema paara los valorres de λ enn el apartadoo anterior. (c) [0'5 puntoos] Discute el sistema para p los resttantes valorres de λ .

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BACHILLER RATO M MATEMÁTIICAS II M MODELO 2 19 999-2000 SEPTIEMBRE

Instruccionees: f) Duració ón: 1 hora y 30 minutos. g) Tienes que elegir enttre realizar únicamente los cuatro c ejercicioos de la Opció ón A o bien realizar únicam mente los cuatrro ejercicioos de la Opción n B. h) La puntuuación de cadaa pregunta está indicada en lass mismas. i) Contestaa de forma razoonada y escribee ordenadamennte y con letra clara. c j) Puedes usar calculadoora (puede ser programable p o tener t pantalla gráfica), g pero toodos los processos conducentees a la obtención de resultados deben esstar suficientem mente justificaddos.

Opción A 1 [2’5 punntos] Considdera la funcción f : \ → \, definiida por f (xx) = 2 + x − x 2 . Calculaa Ejercicio 1. α, α < 2, de d forma quue 2

∫α

9 f ( x)dx = . 2

Ejercicio 2. 2 [2’5 puntoos] Calcula

liim x→ →0

x sen ( x) . tan( x 2 )

Ejercicio 3. 3 (a) [1’5 punntos] Halla la ecuaciónn de la circuunferencia que q pasa poor los puntoos (0, 2), (0 0, −2) y (−1, 1). (b) [1 puntto] Determ mina los vallores de m tales que el punto (3, m) estéé en la cirrcunferenciaa determiinada por (aa). Ejercicio 4. 4 Consideraa el sistema de ecuacionnes

⎧3 x + 2 y − 5 z = 1 ⎪ ⎨ 4x + y − 2z = 3 . ⎪2 x − 3 y + az = b ⎩ (a) [1’75 puuntos] Deteermina a y b sabiendo que q el sistem ma tiene inffinitas solucciones. (b) [0’75 puuntos] Resuuelve el sistema resultaante.

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BACHILLER RATO M MATEMÁTIICAS II M MODELO 2 19 999-2000 SEPTIEMBRE

Opción B Ejercicio 1. 1 [2’5 punttos] Determ mina el valorr de las con nstantes a, b y c sabienndo que la gráfica g de laa función f : \ → \, deefinida por f ( x) = x ·(ax 2 + bx b + c) tiene un puunto de infllexión en (− −2, 12) y que q en dicho punto la recta tangeente tiene por p ecuaciónn 10 x + y + 8 = 0.

Ejercicio 2. 2 [2’5 punttos] Calculaa el valor de d α, positiv vo, para quue el área enncerrada en ntre la curvaa 2 y = αx − x y el eje dee abscisas sea 36. Reprresenta la cu urva que se obtiene parra dicho valor de α. Ejercicio 3. 3 [2’5 puntoos] Calcula el punto dee la recta de ecuacioness

x −1 =

y + 2 z +1 = 2 −3

más cercanno al punto A = (1, − 1, 1).

Ejercicio 4. 4 Considerra la matriz ⎛ 1 0 −1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 b 3 ⎟. ⎜ 4 1 −b ⎟ ⎝ ⎠

(a) [1 puntoo] Determinna para que valores del parámetro b existe A −1 . (b) [1’5 punntos] Calcula A −1 paraa b = 2.

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BACHILLER RATO M MATEMÁTIICAS II M MODELO 3 19 999-2000 JUNIO O

Instruccionees: k) Duració ón: 1 hora y 30 minutos. l) Tienes que elegir enttre realizar únicamente los cuatro c ejercicioos de la Opció ón A o bien realizar únicam mente los cuatrro ejercicioos de la Opción n B. m) La puntuuación de cadaa pregunta está indicada en lass mismas. n) Contestaa de forma razoonada y escribee ordenadamennte y con letra clara. c o) Puedes usar calculadoora (puede ser programable p o tener t pantalla gráfica), g pero toodos los processos conducentees a la obtención de resultados deben esstar suficientem mente justificaddos.

Opción A 1 Ejercicio 1. (a) [1 punto] p Dibuj uja el recintoo limitado por p las curvaas y = e x+2 ,

y = e−x

x = 0.

(b) [1’55 puntos] Halla H el áreaa del recintoo considerad do en el aparrtado anteriior. Ejercicio 2. 2 Un objetoo se lanza verticalment v te hacia arriiba desde unn determinaado punto. La L altura enn metros alcaanzada al caabo de t seguundos, vienne dada por h(t ) = 5 − 5t − 5e −2t . (a) [1’5 pu untos] Calcuula el tiempo transcurriido hasta alccanzar la altura máxim ma y el valorr de ésta. (b) [1 puntto] Tenienddo en cuentta que la velocidad es v(t ) = h' (t ),, calcula la velocidad al a cabo de 2 segundoos.

ntos] Deterrmina la eccuación de la circunfferencia quee pasa por los puntoss Ejercicio 33. [2’5 pun A = (1, 6) y B = (5, 2) y tiene su centro sobrre la recta y = 2x. Ejercicio 4. 4 [2’5 punttos] Dada laa matriz

(

)

calcula A t A −1 A.

⎛1 2⎞ ⎟⎟ , A = ⎜⎜ ⎝3 4⎠

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Opción B Ejercicio 1. 1 [2’5 puntos] Se disppone de 2888.000 pts. Para P vallar un terreno rectangularr colindantee con un cam mino recto. Si el preciio de la vallla que ha de d ponerse en el lado del camino o es de 8000 pts/metro y el de la vaalla de los reestantes laddos es de 10 00 pts/metroo, ¿cuáles soon las dimensiones y el e área del terrreno rectangular de áreea máxima que q se pued de vallar? Ejercicio 2. 2 [2’5 punttos] De term mina a, b y c para que laa curva y =

a sea la sig guiente: x + bx + c 2

Ejercicio 3. 3 Los puntoos A = (3, 3, 5) y B = (3, 3, 2) so on los vérticces consecuutivos de un n rectánguloo y − 6 z +1 = . A ABCD. El vértice v C coonsecutivo de d B está enn la recta de ecuacioness x = −1 2 (a) [0’75 pu untos] Deteermina el véértice C. (b) [0’75 puntos] p Deetermina el vvértice D. Ejercicio 4. 4 Consideraa la matriz ⎛1 2 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ λ 1 0 ⎟. ⎜0 1 λ⎟ ⎝ ⎠ (a) [1 puntto] Halla loss valores dee λ para los que la matrriz A no tienne inversa. (b) [1’5 pu untos] Tomaando λ = 1, resuelve ell sistema escrito en form ma matriciaal ⎛ x ⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A⎜ y ⎟ = ⎜ 0⎟. ⎜ z ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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BACHILLER RATO M MATEMÁTIICAS II M MODELO 4 19 999-2000

Instruccionees: p) Duració ón: 1 hora y 30 minutos. q) Tienes que elegir enttre realizar únicamente los cuatro c ejercicioos de la Opció ón A o bien realizar únicam mente los cuatrro ejercicioos de la Opción n B. r) La puntuuación de cadaa pregunta está indicada en lass mismas. s) Contestaa de forma razoonada y escribee ordenadamennte y con letra clara. c t) Puedes usar calculadoora (puede ser programable p o tener t pantalla gráfica), g pero toodos los processos conducentees a la obtención de resultados deben esstar suficientem mente justificaddos.

Opción A 1 Ejercicio 1. Considera la l función

f : \ → \, definida por p

⎧ 1 ⎪ 1 f ( x) = ⎨1 + e x ⎪ 0 ⎩

s x≠0 si

si x = 0

(a) [1'55 puntos] Calcula C los líímites lateraales de f en x = 0. ¿Es f continua een x = 0 ? (b) [1 punto] p Calccula el valorr de la derivvada de f en x = 1. f ( x) = (1 + x) ⋅ e x . Ejercicio 2. 2 Consideraa la función f : \ → \, definida por p

(a) [1'55 puntos] Calcula C

∫ (11 + x) ⋅ e

⋅ dxx.

(b) [1 punto] p Calccula una prim mitiva de f cuya c gráficaa pase por el e punto (0, 3). Ejercicio 3. 3 [2’5 puntos] Halla las l ecuaciones de la reecta que se apoya perppendicularm mente en lass rectas r y s definidas reespectivameente por z −1 x − 4 y +1 z , = x −1 = y − 2 = = . −2 3 −1 2 Ejercicio 4. 4 Consideraa las matricees ⎛ 3 2⎞ ⎛x⎞ A=⎜ ⎟, X =⎜ ⎟ ⎝ 4 3⎠ ⎝ y⎠ (a) (b) (c)

⎛7⎞ U = ⎜ ⎟. ⎝9⎠

[0'755 puntos] Halla los valoores de x e y tales que AX = U . [0'755 puntos] Halla la matrriz A−1 y calcula A−1U . [1 pu unto] Encueentra los possibles valores de m parra los que loos vectores ⎛1⎞ ⎛1⎞ A⋅⎜ ⎟ y ⎜ ⎟ ⎝m⎠ ⎝m⎠ son linealmente l dependienttes.

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BACHILLER RATO M MATEMÁTIICAS II M MODELO 4 19 999-2000

Opción B

Ejercicio 1. 1 [2’5 puntos] Determ mina una fuunción polin nómica de grado g 3 sabbiendo que verifica v quee alcanza un máximo enn x = 1, que su gráfica pasa por el punto (1,1)) y que la reecta de ecuaación y = x es tangente a su gráficaa en el puntto de abscisa x = 0.

Ejercicio 2. 2 [2’5 punttos] Calculaa la siguientte integral definida d

∫

2 0

dx . x + 4x + 3 2

¿Qué representa geom métricamentee?

Ejercicio 3. 3 [2’5 pun ntos] Calcuula el volum men de un cubo sabieendo que ddos de sus caras estánn, respectivam mente, en los planos 2xx − 2 y + z − 1 = 0 y 2 x − 2 y + z − 5 = 0 .

Ejercicio 4. 4 Consideraa el sistema de ecuacionnes ⎧ x + λ y + (λ − 1) z = 1 ⎪ y+z = 1 ⎨ ⎪ 2 x + y − z = −3 ⎩ (a) (b) (c)

[1 pu unto] Hallla todos loos posibles valores del d parámettro λ parra los que el sistemaa correspondiente tiene al menos dos soluuciones disttintas. [1 pu unto] Resueelve el sistem ma para los valores de λ obtenidoos en el aparrtado anteriior. [0'5 puntos] p Disscute el sisteema para loos restantes valores de λ .

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BACHILLER RATO M MATEMÁTIICAS II M MODELO 5 19 999-2000

Instruccionees: u) Duració ón: 1 hora y 30 minutos. v) Tienes que elegir enttre realizar únicamente los cuatro c ejercicioos de la Opció ón A o bien realizar únicam mente los cuatrro ejercicioos de la Opción n B. w) La puntuuación de cadaa pregunta está indicada en lass mismas. x) Contestaa de forma razoonada y escribee ordenadamennte y con letra clara. c y) Puedes usar calculadoora (puede ser programable p o tener t pantalla gráfica), g pero toodos los processos conducentees a la obtención de resultados deben esstar suficientem mente justificaddos.

Opción A

Ejercicio 1. 1 [2'5 punttos] Calculaa el valor dee la integrall

∫ (x

+ 5) ⋅ e − x dx.

−1

Ejercicio 2. 2 Sea f la función f defi finida para x ≠ 2 por

f ( x) =

x2 . x+2

(a) [1 punto] Halla las asíntotas a dee la gráfica de d f. (b) [1 puntoo] Determinna los intervvalos de creecimiento y de decrecim miento, y lo os extremoss locales de f. (c) [0'5 pun ntos] Tenienndo en cueenta los ressultados de los apartados anterio ores, haz unn esbozo de la gráfica de f.

Ejercicio 3. 3 [2'5 puntos] Discutee y resuelve el siguientee sistema seegún los valores de λ : ⎧x + λ y + z = 0 ⎪ ⎨λ x + y + z = 0 . ⎪x + y + λ z = 0 ⎩

Ejercicio 4. 4 [2'5 punttos] Halla laas coordenadas del pun nto simétricoo del punto P = (1, 2, − 2) respectoo al plano de ecuación 3x + 2 y + z − 7 = 0.

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BACHILLER RATO M MATEMÁTIICAS II M MODELO 5 19 999-2000

Opción B

1 Se ha obsservado quee en una caarretera de salida s de unna gran ciuddad la veloccidad de loss Ejercicio 1. coches entrre las 2 h. y las 6 h. de la l tarde vienne dada porr v(t ) = t 3 − 15t 2 + 72t + 8 para p t ∈ [ 2,, 6] . (a) [1'25 puntos]] ¿A qué hoora circulan los coches con mayor velocidad? Justifica la respuesta. (b) [1'25 puntos]] ¿A qué hoora circulan los coches con menor velocidad? Justifica la respuesta.

Ejercicio 2. 2 Consideraa las funcionnes f , g : \ → \, defin nidas por

g ( x) =| x | , x ∈ \ .

f ( x) = 6 − x 2 ,

(a)

[1 punto] Dibuja el recinto limiitado por laas gráficas de d f y g.

(b)

[1'5 punttos] Calculaa el área dell recinto descrito en el apartado annterior.

Ejercicio 3. 3 [2'5 puntos] Resuelvve la ecuacióón matricial A2 ⋅ X = 2 B, siendo ⎛ 1 −1 ⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ 2 −3 ⎠

⎛ 1 −1 4 ⎞ B=⎜ ⎟. ⎝ 0 −3 1 ⎠

Ejercicio 4. 4 [2'5 puntos] Halla laa ecuación del d plano cu uyo punto más m próximoo al origen es e (−1, 2, 1)..

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BACHILLER RATO M MATEMÁTIICAS II M MODELO 6 19 999-2000

Instruccionees: z) Duració ón: 1 hora y 30 minutos. aa) Tienes que elegir enttre realizar únicamente los cuatro c ejercicioos de la Opció ón A o bien realizar únicam mente los cuatrro ejercicioos de la Opción n B. bb) La puntuuación de cadaa pregunta está indicada en lass mismas. cc) Contestaa de forma razoonada y escribee ordenadamennte y con letra clara. c dd) Puedes usar calculadoora (puede ser programable p o tener t pantalla gráfica), g pero toodos los processos conducentees a la obtención de resultados deben esstar suficientem mente justificaddos.

Opción A

Ejercicio 1. 1 Sea F : \ → \, la fuunción definnida por x

F ( x) = ∫ (2t + t ) dt. 0

(a) [1'5 puntos] p Determina F (1 1). (b) [1 pun nto] Halla la l ecuación de la recta tangente t a la l gráfica dee F en el puunto de absccisa x = 1. Ejercicio 2. 2 [2'5 punttos] Una em mpresa quieere fabricar vasos de cristal c de foorma cilíndrrica con unaa capacidad de 250 cenntímetros cúbicos. c P Para utilizarr la mínim ma cantidad posible dee cristal, see estudian lass medidas apropiadas a p para que la superficie total t del vasso sea mínim ma. ¿Cuálees deben serr dichas meddidas? Justifica la respuuesta.

Ejercicio 3. 3 [2'5 puntos] Determina los punttos de la reccta de ecuacciones

x −1 y + 1 z + 2 = = 3 2 2 que equidisstan de los planos p de eccuaciones

3xx + 4 y − 1 = 0

4 x − 3 z − 1 = 0.

Ejercicio 4. 4 Consideraa el sistema de ecuacionnes escrito en forma matricial m ⎛ b 1 b ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ −2 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜0 b 1⎟ ⎜ y ⎟ = ⎜ 0 ⎜ 1 b 1 ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ −2 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ (a) (b)

⎞ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

[1'5 punttos] Discutee el sistemaa según los valores v del parámetro p bb. [1 punto] Resuelve el sistema cuando c sea compatible indeterminnado.

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Opción B 2 ⎧1 3 ⎪3 x − x + 3 ⎪ 0 Ejercicio 1. 1 Sea f : \ → \, la fuunción definnida en la fo orma f ( x) = ⎨ ⎪1 2 ⎪ x3 − x + 3 ⎩3 Estudia la derivabilida d ad de f.

x ≤ −2

− 2 < x ≤1.

1< x

0, 2π ] → \, Ejercicio 2. 2 Consideraa las funcionnes f , g : [ 0 f ( x) = 2 ⋅ sen( x) (a) (b)

g ( x) = sen(22 x).

[1 puntoo] Dibuja la región del plano p limitaada por las gráficas g de f y de g. [1'5 puntos] Calculaa el área de la región descrita d en el e apartado aanterior.

Ejercicio 3. 3 [2'5 puntos] Hallaa la ecuaciión de la circunferenncia cuyo ccentro es el e punto dee intersecciónn de las recttas de ecuacciones respeectivas

2x − y − 4 = 0 y

x − 2 y + 3 = 0.

y es tangennte a la rectaa x − 3 y + 3 = 0. Calculla el punto de d tangenciaa.

Ejercicio 4. 4 [2'5 punttos] Un mayyorista de caafé disponee de tres tipoos base, Mooka, Brasil y Colombiaa, para preparrar tres tipoos de mezccla, A, B y C, que en nvasa en saccos de 60 K Kg. con los siguientess contenidos en kilos y precios p del kilo k en euroos: Mok ka Brassil Colom mbia Precio (cad da Kg.)

Mezcla A M 15 30 15 4

Mezcla B 30 10 20 4'5

Mezcla C 12 18 30 4'7

Suponiendoo que el preeparado de las l mezclass no suponee coste algunno, ¿cuál ess el precio de d cada unoo de los tiposs base de café?

2000-2001 Modelo Curso

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2000-2001 Modelo 4 Curso

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Modelo 6 Curso 2001-2002

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Modelo 1 Curso 2002-2003

BACHILLERATO

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

´ MATEMATICAS II

a) Duraci´ on: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar u ´nicamente los cuatro ejercicios de la Opci´ on A o realizar u ´nicamente los cuatro ejercicios de la Opci´ on B. Instrucciones:

c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

Opci´ on A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Calcula Ln(1 + x) − sen x , x · sen x siendo Ln(1 + x) el logaritmo neperiano de 1 + x. lim

x→0

Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la función definida por f (x) = ex/3 . (a) [1 punto] ¿En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas? Halla la ecuación de dicha recta tangente. (b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la gráfica de f , la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas.

Ejercicio 3. Considera las matrices   1 0 0 A =  1 m 0 , 1 1 1



 0 1 1 B= 1 0 0  0 0 0



 1 0 0 y C =  0 1 0 . 1 0 1

(a) [1’25 puntos] ¿Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial A·X + 2B = 3C ? (b) [1’25 puntos] Resuelve la ecuación matricial dada para m = 1.

Ejercicio 4. Se sabe que los puntos A(1, 0, −1), B(3, 2, 1) y C(−7, 1, 5) son v´ertices consecutivos de un paralelogramo ABCD. (a) [1 punto] Calcula las coordenadas del punto D. (b) [1’5 puntos] Halla el ´area del paralelogramo.

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea f : (0, +∞) −→ R la funci´on definida por f (x) = (x − 1)Ln(x), donde Ln(x) es el logaritmo neperiano de x. Calcula la primitiva de f cuya gr´afica pasa por el punto (1, −3/2).

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Estudia la derivabilidad de la funci´on f : R −→ R definida por  x  si x 6= −1 y x = 6 1, 1 − |x| f (x) =  0 si x = −1 o x = 1. 

   −2 −2 1 x 1 −2  y X =  y . Ejercicio 3. Considera las matrices A =  −2 1 −2 −2 z (a) [1’25 puntos] Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de λ para los que la matriz A + λI no tiene inversa. (b) [1’25 puntos] Resuelve el sistema A·X = 3X e interpreta geom´etricamente el conjunto de todas sus soluciones.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Los puntos A(1, 1, 0) y B(2, 2, 1) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. Además, se sabe que los vértices C y D están contenidos en una recta que pasa por el origen de coordenadas. Halla C y D.

Modelo 2 Curso 2002-2003

BACHILLERATO

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

´ MATEMATICAS II

Opci´ on A

Ejercicio 1. En la figura adjunta puedes ver representada parte de la gráfica de una función f que está definida en el intervalo (−3, 3) y que es simétrica respecto al origen de coordenadas. (a) [0’75 puntos] Razona cuál debe ser el valor de f (0).

(b) [0’75 puntos] Completa la gr´afica de f . (c) [1 punto] Halla f 0 (x) para los x ∈ (−3, 3) en los que dicha derivada exista.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Se sabe que la función f : R −→ R definida por f (x) = ax2 + bx + c tiene máximo absoluto en el punto de abscisa x = 1, que su gráfica pasa por el punto (1, 4) y que Z 3 32 f (x) dx = . Halla a, b y c. 2 −1 Ejercicio 3. [2’5 puntos] Determina razonadamente ecuaciones 2x + y + z = x + 2y + z = x + 2y + 4z =

los valores de m para los que el sistema de  mx  my  mz

tiene m´as de una soluci´on.

Ejercicio 4. [ 2’5 puntos] Halla la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (3, 1, −1), es paralela al plano 3x − y + z = 4 y corta a la recta intersecci´ on de los planos x + z = 4 y x − 2y + z = 1.

BACHILLERATO

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

´ MATEMATICAS II

Opci´ on B Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la función f : R −→ R definida por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d es tal que f (0) = 4 y que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1, 2). Conociendo además que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0 es horizontal, calcula a, b, c y d.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] En la figura adjunta puedes ver representada en el intervalo [0, 2] la gráfica de la parábola de ecuación y = x2 /4. Halla el valor de m para el que las áreas de las superficies rayadas son iguales.

Ejercicio 3. (a) [1 punto] Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale -2 ¿Cu´anto vale el determinante de la matriz 4A?   1 2 0 1 , ¿para qu´e valores de λ la matriz 3B + B 2 no (b) [1’5 puntos] Dada la matriz B =  λ 0 0 1 −2 tiene inversa? ½ Ejercicio 4. Considera la recta r ≡

x+y−z = 1 y el plano π ≡ x − 2y + z = 0. y = 2

(a) [1 punto] Calcula el haz de planos que contienen a la recta r. (b) [1’5 puntos] Halla el plano que contiene a la recta r y corta al plano π en una recta paralela al plano z = 0.

Modelo 3 Curso 2002-2003

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II

Opci´ on A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la funci´on f : R −→ R definida por f (x) = x3 + ax2 + bx + c tiene un punto de derivada nula en x = 1 que no es extremo relativo y que f (1) = 1. Calcula a, b y c.

Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la función definida por f (x) = x2 − 2x + 2. (a) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3. (b) [1’75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f , la recta tangente obtenida y el eje OY.

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Dadas las matrices   −1 1 0 0  A =  3 −2 1 5 −1



 −5 0 3 1 , B =  1 −1 −2 4 −3

halla la matriz X que cumple que A·X = (B ·At )t . ½ Ejercicio 4. Considera el punto P (−2, 3, 0) y la recta r ≡

x+y+z+2 = 0 2x − 2y + z + 1 = 0.

(a) [1 punto] Halla la ecuaci´on del plano que pasa por P y contiene a la recta r. (b) [1’5 puntos] Determina el punto de r m´ as pr´oximo a P .

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la funci´on f : (0, 3) −→ R es derivable en todo punto de su dominio, siendo ( x−1 si 0 < x ≤ 2, 0 f (x) = −x + 3 si 2 < x < 3, y que f (1) = 0. Halla la expresi´on anal´ıtica de f .

Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funci´on continua definida por ( |2 − x| si x < a, f (x) = 2 x − 5x + 7 si x ≥ a, donde a es un n´ umero real. (a) [0’5 puntos] Determina a. (b) [2 puntos] Halla la funci´on derivada de f . 

 1 1 1 Ejercicio 3. Dada la matriz A =  m2 1 1 , se pide: m 0 1 (a) [1 punto] Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. (b) [1’5 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = 2.

Ejercicio 4. Considera una recta r y un plano π cuyas ecuaciones son, respectivamente,   x=t  x=α  y=t y=α (t ∈ R) (α, β ∈ R).   z=0 z=β (a) [1’25 puntos] Estudia la posición relativa de la recta r y el plano π. (b) [1’25 puntos] Dados los puntos B(4, 4, 4) y C(0, 0, 0), halla un punto A en la recta r de manera que el triángulo formado por los puntos A, B y C sea rectángulo en B.

Modelo 4 Curso 2002-2003

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BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II

Opci´ on A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea Ln(1 − x2 ) el logaritmo neperiano de 1 − x2 y sea f : (−1, 1) −→ R la funci´on definida por f (x) = Ln(1 − x2 ). Calcula la primitiva de f cuya gr´afica pasa por el punto (0, 1).

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Se sabe que la función f : R −→ R definida por f (x) = x3 + ax2 + bx + c tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = Z 0 y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el 1

punto de abscisa x = −1. Conociendo adem´as que

f (x) dx = 6, halla a, b y c. 0

→ → → Ejercicio 3. Considera los vectores − u = (1, 1, 1), − v = (2, 2, a) y − w = (2, 0, 0). → → → (a) [1’25 puntos] Halla los valores de a para los que los vectores − u, − v y− w son linealmente independientes. → → − → (b) [1’25 puntos] Determina los valores de a para los que los vectores − u +− v y→ u −− w son ortogonales.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Sabiendo que las rectas r≡x=y=z

  x = 1+µ y = 3+µ s≡  z = −µ

se cruzan, halla los puntos A y B, de r y s respectivamente, que est´an a m´ınima distancia.

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BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B

Ejercicio 1. Dadas la parábola de ecuación y = 1 + x2 y la recta de ecuación y = 1 + x, se pide: ´ (a) [1’5 puntos] Area de la región limitada por la recta y la parábola. (b) [1 punto] Ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola.

Ejercicio 2. Considera la función f : R −→ R definida por f (x) = (x + 3) e−x . (a) [0’5 puntos] Halla las as´ıntotas de la gráfica de f . (b) [1’5 puntos] Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexión de su gráfica. (c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f .

Ejercicio 3. Sean C1 , C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices: (a) [0’5 puntos] El determinante de A3 . (b) [0’5 puntos] El determinante de A−1 . (c) [0’5 puntos] El determinante de 2A. (d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C1 − C3 , 2C3 y C2 . x−1 y+1 z Ejercicio 4. [2’5 puntos] Determina el punto P de la recta r ≡ = = que equidista de 2 1 3 los planos   x = −3 + λ y = −λ + µ π1 ≡ x + y + z + 3 = 0 y π2 ≡  z = −6 − µ.

Modelo 5 Curso 2002-2003

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II

Opci´ on A

Ejercicio 1. Sea la funci´on f : R −→ R definida por ( x2 + 3 f (x) = 2 − x2

x ≤ 1,

x > 1.

(a) [1’25 puntos] Calcula, si es posible, las derivadas laterales de f en x = 1. (b) [1’25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funci´on f .

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Determina el valor positivo de λ para el que el ´area del recinto limitado por la par´abola y = x2 y la recta y = λx es 1.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones:  x + my − z = −2 + 2my  mx − y + 4z = 5 + 2z  6x − 10y − z = −1. un los valores de m. (a) [1’5 puntos] Discute las soluciones del sistema seg´ (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

Ejercicio 4. Se sabe que el plano Π corta a los semiejes positivos de coordenadas en los puntos A, B y C, siendo las longitudes de los segmentos OA, OB y OC de 4 unidades, donde O es el origen de coordenadas. (a) [0’75 puntos] Halla la ecuación del plano Π. (b) [1 punto] Calcula el área del triángulo ABC. (c) [0’75 puntos] Obtén un plano paralelo al plano Π que diste 4 unidades del origen de coordenadas.

BACHILLERATO

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

´ MATEMATICAS II

Opci´ on B

Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´on definida por f (x) =

√ 3 x.

(a) [0’5 puntos] Calcula la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. (b) [0’5 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta tangente obtenida. (c) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio 2. Considera la funci´on f definida para x 6= −2 por f (x) =

2x2 + 2 . x+2

(a) [1’25 puntos] Halla las as´ıntotas de la gráfica de f . (b) [1’25 puntos] Estudia la posición relativa de la gráfica de f respecto de sus as´ıntotas.

Ejercicio 3. Considera la matriz



 2x 0 0 M (x) =  0 1 x  , 0 0 1

donde x es un n´ umero real. (a) [1’5 puntos] ¿Para qu´e valores de x existe (M (x))−1 ? Para los valores de x obtenidos, calcula la matriz (M (x))−1 . (b) [1 punto] Resuelve, si es posible, la ecuaci´on M (3)·M (x) = M (5).

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la perpendicular com´ un a las     x=1+α y=α y s≡ r≡   z = −α

rectas x=β y = 2 + 2β z = 0.

Modelo 6 Curso 2002-2003

BACHILLERATO

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

´ MATEMATICAS II

Opci´ on A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea la función f : R −→ R definida por f (x) = 2x3 − 6x + 4. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y su recta tangente en el punto de abscisa correspondiente al máximo relativo de la función.

Ejercicio 2. Dada la funci´on f definida para x 6= −1 por f (x) =

x3 , determina: (1 + x)2

(a) [1’5 puntos] Las as´ıntotas de la gr´afica de f . (b) [1 punto] Los puntos de corte, si existen, de dicha gr´afica con sus as´ıntotas.

Ejercicio 3. Considera las matrices   1 0 −1 3 , A= 0 m 4 1 −m



 1 B =  −1  3



 x X =  y . z

(a) [0’75 puntos] ¿Para qu´e valores de m existe la matriz A−1 ? (b) [1 punto] Siendo m = 2, calcula A−1 y resuelve el sistema A·X = B. (c) [0’75 puntos] Resuelve el sistema A·X = B para m = 1. ½ Ejercicio 4. Considera el plano π ≡ x − 2y + 1 = 0 y la recta r ≡

x − 3y + z = 0 x − y + az + 2 = 0.

(a) [1’25 puntos] Halla el valor de a sabiendo que la recta est´a contenida en el plano. ½ x − 3y + z = 0 (b) [1’25 puntos] Calcula el ´angulo formado por el plano π y la recta s ≡ x − y + z + 2 = 0.

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] De entre todos los rectángulos que tienen uno de sus vértices en el origen de 2x2 (x > 1), uno de sus lados situado sobre coordenadas, el opuesto de este vértice en la curva y = 2 x −1 el semieje positivo de abscisas y otro lado sobre el semieje positivo de ordenadas, halla el que tiene área m´ınima.

Ejercicio 2. Considera las funciones f, g : R −→ R definidas por f (x) = 6 − x2

y g(x) = |x|.

(a) [0’75 puntos] Dibuja el recinto acotado que está limitado por las gráficas de f y g. (b) [1’75 puntos] Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Una empresa cinematográfica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios de entrada a estas salas son de 3, 4 y 5 euros, respectivamente. Un d´ıa la recaudación conjunta de las tres salas fue de 720 euros y el n´ umero total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A hubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudación de 20 euros más. Calcula el n´ umero de espectadores que acudió a cada una de las salas.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la ecuaci´on de una circunferencia que pase por el punto (−1, −8) y sea tangente a los ejes coordenados.

Modelo 1 Curso 2003-2004 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA

PLANES DE 1994 y DE 2002

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

´ MATEMATICAS II

Opci´ on A 2

Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la función definida por f (x) = x2 e−x . (a) [0’75 puntos] Halla las as´ıntotas de la gráfica de f . (b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). (c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f .

Ejercicio 2. Considera la función f : R −→ R definida por f (x) = x |x|. (a) [0’75 puntos] Dibuja la región acotada del plano que está limitada por la gráfica de f y la bisectriz del primer y tercer cuadrante. (b) [1’75 puntos] Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior.

Ejercicio 3. Se sabe que el sistema de ecuaciones

tiene una u ´nica soluci´on.

 x + αy = 1  x + αz = 1  y+z = α

(a) [1’25 puntos] Prueba que α 6= 0. (b) [1’25 puntos] Halla la soluci´on del sistema.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Calcula el área del triángulo de vértices A(0, 0, 1), B(0, 1, 0) y C, siendo C la proyección ortogonal del punto (1, 1, 1) sobre el plano x + y + z = 1.

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´ MATEMATICAS II

Opci´ on B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Halla una funci´on f : R −→ R tal que su gr´afica pase por el punto M (0, 1), que la tangente en el punto M sea paralela a la recta 2x − y + 3 = 0 y que f 00 (x) = 3x2 .

Ejercicio 2. Considera la función f : R −→ R definida por f (x) = ex + 4e−x . (a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). (b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f , el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 2.

Ejercicio 3. Sabiendo que ¯ ¯ ¯ x y z ¯ ¯ ¯ ¯ t u v ¯ = −6, ¯ ¯ ¯ a b c ¯

calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: ¯ ¯ ¯ −3x −y −z ¯ ¯ ¯ u v ¯¯ . (a) [0’75 puntos] ¯¯ 3t ¯ 3a b c ¯ ¯ ¯ ¯ −2y x z ¯ ¯ ¯ (b) [0’75 puntos] ¯¯ −2u t v ¯¯ . ¯ −2b a c ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z ¯ ¯ ¯. ¯ t u v (c) [1 punto] ¯ ¯ ¯ 2x − a 2y − b 2z − c ¯ ½

x − 2y + z = 0 y el plano 2x − z = −4 π ≡ x − 2y − z = 2. Halla la ecuaci´on de la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Considera el punto A(0, 1, −1), la recta r ≡

Modelo 2 Curso 2003-2004 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA

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Opci´ on A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 80 cm3 . Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1e /cm 2 y para la base se emplea un material un 50 % m´as caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea m´ınimo.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Siendo Ln x el logaritmo neperiano de x, halla el ´area de la superficie sombreada. y = Ln x

PSfrag replacements 1

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones  x + 3y + z = 1  −x + y + 2z = −1  ax + by + z = 4

tiene al menos dos soluciones distintas.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Se sabe que el triángulo ABC es rectángulo en el vértice C, que pertenece a la recta intersección de los planos y + z = 1 e y − 3z + 3 = 0 , y que sus otros dos vértices son A(2, 0, 1) y B(0, −3, 0). Halla C y el área del triángulo ABC.

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Opci´ on B Ejercicio 1. De una función f : [0, 4] −→ R se sabe que f (1) = 3 y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. PSfrag replacements 1

(a) [0’5 puntos] Halla la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . ¿En qué punto alcanza la función f su máximo absoluto? (c) [1 punto] Estudia la concavidad y la convexidad de f . Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la recta y = 2x y x2 por las curvas y = x2 e y = . 2 Ejercicio 3.



3 (a) [1 punto] Sabiendo que la matriz A =  1 −1 (b) [1’5 puntos] Resuelve el sistema de  3  1 −1

 −2 1 −4 −2  tiene rango 2, ¿cu´al es el valor de a? a−1 a

ecuaciones     −2 1 x 1 −4 −2   y  =  0  . −6 −5 z −1

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la perpendicular com´ un a las rectas    x=β  x=1 y =β−1 y=1 y s≡ r≡   z = −1. z=α

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Opci´ on A Ejercicio 1. [2’5 puntos] Calcula Z

0 −2

1 dx. + 2x − 3

Ejercicio 2. Se sabe que la funci´on f : (−1, 1) −→ R definida por  1   2x2 − x + c si −1 < x < 0, 2 f (x) =  √  1−x si 0 ≤ x < 1.

es derivable en el intervalo (−1, 1).

(a) [1 punto] Determina el valor de la constante c. (b) [0’5 puntos] Calcula la función derivada f 0 . (c) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f que son paralelas a la recta de ecuación y = −x.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  x + λy = λ  λx + y + (λ − 1)z = 1 .  λx + y = 2 + λ

(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´ un los valores del par´ametro λ. (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Considera las rectas ½ x=y r≡ y z=2

s≡

x+y =1 z = 3.

Halla la ecuaci´on de una recta que corte a r y s y sea perpendicular al plano z = 0.

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Opci´ on B

Ejercicio 1. Sea f : [0, 2π] −→ R la funci´on definida por f (x) = ex (cos x + sen x). (a) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (b) [1’25 puntos] Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de f .

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sea f : R −→ R la funci´on definida por f (x) = (x − 1) e2x . Calcula la primitiva de f cuya gr´afica pasa por el punto (1, e2 ).

Ejercicio 3. Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C. El mencionado tendero observa que si vende a 1e las botellas del tipo A, a 3 e las del tipo B y a 4 e las del tipo C, entonces obtiene un total de 20 e . Pero si vende a 1e las del tipo A, a 3 e las del B y a 6 e las del C, entonces obtiene un total de 25 e . (a) [0’75 puntos] Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el n´ umero de botellas de cada tipo que posee el tendero. (b) [1 punto] Resuelve dicho sistema. (c) [0’75 puntos] ¿Puede determinarse el n´ umero de botellas de cada tipo de que dispone el tendero? (Ten en cuenta que el n´ umero de botellas debe ser entero y positivo).

Ejercicio 4. Sean los puntos A(1, 0, −1) y B(2, −1, 3). (a) [1’5 puntos] Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y por B. (b) [1 punto] Calcula el área del paralelogramo de vértices consecutivos ABCD sabiendo que la recta determinada por los vértices C y D pasa por el origen de coordenadas.

Modelo 4 Curso 2003-2004 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA

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Opci´ on A

Ejercicio 1. Considera la integral definida I =

9 1

1 √ dx. 1+ x

(a) [1’5 puntos] Expresa la anterior integral definida aplicando el cambio de variables 1 +

√

x = t.

(b) [1 punto] Calcula I.

Ejercicio 2. (a) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x 2 que es paralela a la recta −4x + y + 3 = 0. (b) [1’5 puntos] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola y = x 2 que pasan por el punto (2, 0).

Ejercicio 3. Denotamos por M t a la matriz transpuesta de una matriz M . µ ¶ a b (a) [1 punto] Sabiendo que A = y que det(A) = 4, calcula los siguientes determinantes: c d ¯ ¯ ¯ ¯ 2b 2a t ¯ ¯ det (−3A ) y ¯ −3d −3c ¯ .

(b) [0’75 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que B 3 = I. Calcula det(B). (c) [0’75 puntos] Sea C una matriz cuadrada tal que C −1 = C t . ¿Puede ser det(C) = 3? Razona la respuesta.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la distancia entre las rectas  ½  x=0 x−1=1−z z−2 r≡ y s≡ y = 0.  y−1= −3

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Opci´ on B 1 2 Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la función definida por f (x) = − x2 + x + 1. 3 3 (a) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en un punto de la misma de ordenada y = 1, teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa. (b) [1’5 puntos] Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica de f , la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Se quiere fabricar una caja abierta de chapa con base cuadrada y con 32 litros de capacidad. Halla las dimensiones de la caja que precisa la menor cantidad de chapa.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  mx + 2y + z = 2  x + my = m .  2x + mz = 0

(a) [0’5 puntos] Determina los valores de m para los que x = 0, y = 1 y z = 0 es soluci´on del sistema. (b) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema es incompatible. (c) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Considera los puntos P (6, −1, −10), Q(0, 2, 2) y R, que es el punto de intersecci´on del plano π ≡ 2x + λy + z − 2 = 0 y la recta ½ x+y+z−1=0 r≡ y = 1. Determina λ sabiendo que los puntos P , Q y R est´an alineados.

Modelo 5 Curso 2003-2004 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA

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Opci´ on A

Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la función definida por f (x) = 2 − x |x|. (a) [0’75 puntos] Esboza la gráfica de f . (b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0. (c) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Considera las funciones f : (0, +∞) −→ R y g : R −→ R definidas, respectivamente, por f (x) = Ln x y g(x) = 1 − 2x , siendo Ln x el logaritmo neperiano de x. Calcula el ´area del recinto limitado por las rectas x = 1 y x = 2 y las gr´aficas de f y g.

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Considera el sistema de ecuaciones  x + 3y + z = 0  2x − 13y + 2z = 0 .  (a + 2)x − 12y + 12z = 0

Determina el valor a para que tenga soluciones distintas de la soluci´on trivial y resu´elvelo para dicho valor de a.   x = 1+λ y = 1+λ Ejercicio 4. Considera el plano π ≡ 2x + y − z + 7 = 0 y la recta r ≡  z = 1 + 3λ.

(a) [1 punto] Halla la ecuaci´on de un plano perpendicular a π y que contenga a la recta r. (b) [1’5 puntos] ¿Hay alg´ un plano paralelo a π que contenga a la recta r? En caso afirmativo determina sus ecuaciones.

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Opci´ on B Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que lim x→0

1 a − x e − 1 2x

es finito. Determina el valor de a y calcula el l´ımite.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Determina b sabiendo que b > 0 y que el área del recinto limitado por la 1 parábola de ecuación y = ( x − b)2 y los ejes coordenados es igual a 8. 3 ¯ ¯ ¯ a11 a12 a13 ¯ ¯ ¯ Ejercicio 3. Se sabe que ¯¯ a21 a22 a23 ¯¯ = −2. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los ¯ a31 a32 a33 ¯ siguientes determinantes: ¯ ¯ ¯ 3 a11 3 a12 15 a13 ¯ ¯ ¯ a22 5a23 ¯¯ (a) [0’75 puntos] ¯¯ a21 ¯ a31 a32 5a33 ¯ ¯ ¯ ¯ 3 a21 3 a22 3 a23 ¯ ¯ ¯ a12 a13 ¯¯ (b) [0’75 puntos] ¯¯ a11 ¯ a31 a32 a33 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 a12 a13 ¯ ¯ (c) [1 punto] ¯¯ a21 − a31 a22 − a32 a23 − a33 ¯¯ ¯ ¯ a31 a32 a33 Ejercicio 4. Las rectas r≡

x+y−2=0 2x + 2y + z − 4 = 0

s≡

x+y−6=0 x+y−z−6=0

contienen dos lados de un cuadrado. (a) [1’25 puntos] Calcula el ´area del cuadrado. (b) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´on del plano que contiene al cuadrado.

Modelo 6 Curso 2003-2004 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA

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Opci´ on A

Ejercicio 1. De la funci´on f : (−1, +∞) −→ R se sabe que f 0 (x) =

3 y que f (2) = 0. (x + 1)2

(a) [1’25 puntos] Determina f . (b) [1’25 puntos] Halla la primitiva de f cuya gr´afica pasa por el punto (0, 1).

Ejercicio 2. Considera la función f : R −→ R definida por f (x) = (x + 1)(x − 1)(x − 2). (a) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. (b) [1’5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f . ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de f ?

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones mx − y = 1 x − my = 2m − 1

(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´ un los valores de m. (b) [1 punto] Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una soluci´on en la que x = 3.

Ejercicio 4. Sean los puntos A(1, 2, 1), B(2, 3, 1), C(0, 5, 3) y D(−1, 4, 3). (a) [1 punto] Prueba que los cuatro puntos están en el mismo plano. Halla la ecuación de dicho plano. (b) [0’75 puntos] Demuestra que el pol´ıgono de vértices consecutivos ABCD es un rectángulo. (c) [0’75 puntos] Calcula el área de dicho rectángulo.

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Opci´ on B

Ejercicio 1. Se sabe que la funci´on f : (−1, +∞) −→ R definida por  2  si −1 < x < 0,  x − 4x + 3 f (x) = x2 + a   si x ≥ 0. x+1

es continua en (−1, +∞).

(a) [1’25 puntos] Halla el valor de a. ¿Es f derivable en x = 0? (b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Determina b sabiendo que b > 0 y que el ´area de la regi´on limitada por la curva y = x2 y la recta y = bx es igual a 9/2.

Ejercicio 3. Considera las matrices A=

1 0 1 0 1 2



 1 0 B= 0 1  0 0



 1 0 y C =  0 2 . 1 0

(a) [1’25 puntos] Calcula A·B, A·C, At ·B t y C t ·At , siendo At , B t y C t las matrices transpuestas de A, B y C, respectivamente. (b) [1’25 puntos] Razona cu´ales de las matrices A, B, C y A·B tienen matriz inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa.

− − − Ejercicio 4. [2’5 puntos] Dados los vectores → u = (2, 1, 0) y → v = (−1, 0, 1), halla un vector unitario → w → − → − → − que sea coplanario con u y v y ortogonal a v .

Modelo 1 Curso 2004-2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA

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Opci´ on A Ejercicio 1. [2’5 puntos] De la función f : R −→ R definida por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d se sabe que tiene un máximo en x = −1, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa x = −2 y tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 9.

Ejercicio 2. Se sabe que las dos gráficas del dibujo corresponden a la función f : R −→ R definida por f (x) = x2 ex y a su función derivada f 0 . (a) [1 punto] Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f 0 . replacements (b) [1’5PSfrag puntos] Calcula el área de la región sombreada. 1 2 −1 −3 −4 1 2 3

Ejercicio 3. Sean las matrices A =

2 −2 1 µ

2 1 3 −2

, B=

0 1 0 3 −1 2

y C=

1 2 0 −1 1 4

(a) [1 punto] ¿Tiene A inversa? En caso afirmativo, calc´ ulala. (b) [1’5 puntos] Determina la matriz X que cumple que A·X + C ·B t = B ·B t , siendo B t la matriz transpuesta de B.

Ejercicio 4. Considera el punto P (2, 0, 1) y la recta r ≡

x + 2y = 6 z = 2.

(a) [1 punto] Halla la ecuaci´on del plano que contiene a P y a r. (b) [1’5 puntos] Calcula el punto sim´etrico de P respecto de la recta r.

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Opci´ on B x2 + 1 . x (a) [1 punto] Estudia y determina las as´ıntotas de la gr´afica de f .

Ejercicio 1. Sea f la funci´on definida para x 6= 0 por f (x) =

(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci´on). (c) [0’5 puntos] Esboza la gr´afica de f .

Ejercicio 2. Considera la función f : R −→ R definida por f (x) = e−x/2 . (a) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. (b) [1’75 puntos] Calcula el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f , la recta de ecuación x = 2 y la recta tangente obtenida en (a).

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  x + y + z = −2  −λx + 3y + z = −7 .  x + 2y + (λ + 2)z = −5

(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´ un los valores del par´ametro λ. (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

Ejercicio 4. Sean los vectores → − v = (0, 1, 0),

→ − − v2 = (2, 1, −1) y → v3 = (2, 3, −1). → − → − → − (a) [0’75 puntos] ¿Son los vectores v1 , v2 y v3 linealmente dependientes? 1

(b) [0’75 puntos] ¿Para qu´e valores de a el vector (4, a + 3, −2) puede expresarse como combinaci´on − − − lineal de los vectores → v1 , → v2 y → v3 ? − − (c) [1 punto] Calcula un vector unitario y perpendicular a → v y→ v . 1

Modelo 2 Curso 2004-2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA

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´ MATEMATICAS II

Opci´ on A

Ejercicio 1. Sea f la funci´on definida para x 6= 1 por f (x) =

ex . x−1

(a) [0’5 puntos] Halla las as´ıntotas de la gr´afica de f . (b) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (c) [0’75 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f . (d) [0’5 puntos] Esboza la gr´afica de f .

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula la integral Z 3x3 + x2 − 10x + 1 dx. x2 − x − 2 Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  x + 3y + z = 5  mx + 2z = 0 .  my − z = m

(a) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene una u ńica solución. Calcula dicha solución para m = 1. (b) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcula dichas soluciones. (c) [0’5 puntos] ¿Hay alg´ un valor de m para el que el sistema no tiene solución?

Ejercicio 4. Sea el punto P (1, 0, −3) y la recta r ≡

2x − y − 1 = 0 x + z = 0.

(a) [1 punto] Halla la ecuaci´on del plano que contiene a P y es perpendicular a r. (b) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto sim´etrico de P respecto de r.

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Instrucciones:

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´afica), pero todos los procesos conducentes a la obtenci´on de resultados deben estar suficientemente justificados.

Opci´ on B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Determina los puntos de la parábola de ecuación y = 5 − x 2 que están más próximos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen de coordenadas. Ejercicio 2. Se sabe que la función f : [0, +∞) −→ R definida por  √  ax si 0 ≤ x ≤ 8,  f (x) = x2 − 32   si x > 8. x−4

es continua en [0, +∞).

(a) [0’5 puntos] Halla el valor de a. Z 10 (b) [2 puntos] Calcula f (x) dx. 0

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Halla la matriz X que cumple que µ ¶ 0 0 A· X · A − B = , 0 0 siendo A =

3 1 −2 −1

y B=

5 −2 1 3

¶ .

Ejercicio 4. Se sabe que los puntos A(m, 0, 1), B(0, 1, 2), C(1, 2, 3) y D(7, 2, 1) están en un mismo plano. (a) [1’5 puntos] Halla m y calcula la ecuación de dicho plano. (b) [1 punto] ¿Están los puntos B, C y D alineados?

Modelo 3 Curso 2004-2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA

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Opci´ on A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que

x − α sen x x2 es finito. Determina el valor de α y calcula el l´ımite. lim

x→0

Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funci´on definida por   2x + 4 f (x) =  (x − 2)2

si x ≤ 0, si x > 0.

(a) [1 punto] Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con el eje de abscisas y esboza dicha gráfica. (b) [1’5 puntos] Halla el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f y por el eje de abscisas.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  (b + 1)x + y + z = 2  x + (b + 1)y + z = 2 .  x + y + (b + 1)z = −4

(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´ un los valores del par´ametro b. (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

Ejercicio 4. Se sabe que las rectas ½ x+y−z−3=0 r≡ x + 2y − 2 = 0

s≡

ax + 6y + 6 = 0 x − 2z + 2 = 0

son paralelas. (a) [1’5 puntos] Calcula a. (b) [1 punto] Halla la ecuaci´on del plano que contiene a las rectas r y s.

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Opci´ on B Ejercicio 1. Considera las tres funciones cuyas expresiones respectivas vienen dadas, para x 6= 0, por x2 − 1 , x siendo Ln la funci´on logaritmo neperiano. f (x) =

g(x) = e1/x

h(x) = Ln |x|,

(a) [1’75 puntos] Halla las ecuaciones de las as´ıntotas de las gráficas de f , g y h. (b) [0’75 puntos] Identifica, entre las que siguen, la gráfica de cada función, justificando la respuesta.

Gr´afica 1

Gr´afica 2

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula

Gr´afica 3

Gr´afica 4

Ln (2 + x) dx, siendo Ln la funci´on logaritmo neperiano. −1



0 Ejercicio 3. Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea A =  −1 1

 0 −1 1 −1 . 0 b

(a) [1’25 puntos] Determina el valor de b para el que A2 − 2A + I = O.

(b) [1’25 puntos] Para b = 2 halla la matriz X que cumple que A·X − 2At = O, donde At denota la matriz transpuesta de A. Ejercicio 4. Considera las rectas r ≡

x+z−2=0 x−y−1=0

y s≡

x z =y−1= . 2 3

(a) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´on del plano π que contiene a s y es paralelo a r. (b) [1’25 puntos] Calcula la distancia de la recta r al plano π.

Modelo 4 Curso 2004-2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA

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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

´ MATEMATICAS II

Opci´ on A

Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´on definida por f (x) =

5x + 8 . +x+1

(a) [0’5 puntos] Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados. (b) [0’5 puntos] Halla las as´ıntotas de la gráfica de f . (c) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). (d) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f .

Ejercicio 2. Considera la función f : R −→ R definida por f (x) = x2 − 5x + 4. (a) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3. (b) [1’75 puntos] Calcula el área de la región acotada que está limitada por el eje de ordenadas, por la gráfica de f y por la recta tangente obtenida.

Ejercicio 3. Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea A =

2 1 1 2

(a) [1 punto] Halla los valores de x para los que la matriz A − xI no tiene inversa. (b) [1’5 puntos] Halla los valores de a y b para los que A2 + aA + bI = O.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Calcula la distancia entre las rectas  ½  x = 6+λ 2x − 3y + 1 = 0 y = 1 − 2λ r≡ y s≡ 3x − y − 2 = 0.  z = 5 − 7λ

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´ MATEMATICAS II

Instrucciones:

Opci´ on B Ejercicio 1. [2’5 puntos] De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12.800 m2 dividido en tres parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas), determina las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea m´ınima.

Ejercicio 2. Calcula las siguientes integrales: Z (a) [0’5 puntos] cos (5x + 1) dx. (b) [0’5 puntos]

1 p dx. (x + 2)3 xe−3x dx.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  5x + 2y − z = 0  x + y + (m + 4)z = my .  2x − 3y + z = 0

(a) [1 punto] Determina los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una u ńica solución. (b) [1’5 puntos] Resuelve el sistema cuando tenga infinitas soluciones y da una solución en la que z = 19. Ejercicio 4. Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1) los vértices de un triángulo. (a) [0’75 puntos] Halla la ecuación del plano π que contiene al triángulo. (b) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a π y pasa por el origen de coordenadas. (c) [1 punto] Calcula el área del triángulo ABC.

Modelo 5 Curso 2004-2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA

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´ MATEMATICAS II

Opci´ on A Ejercicio 1. Se sabe que la gráfica de la función f : R −→ R definida por f (x) = x 3 + ax2 + bx + c es la que aparece en el dibujo. (a) [1’25 puntos] Determina f . (b) [1’25 puntos] Calcula el área de la región sombreada. y = f (x)

PSfrag replacements

−2

−1

1 x2 − 4x + 3 . x−2 (a) [1 punto] Estudia y determina las as´ıntotas de la gr´afica de f . Ejercicio 2. Sea f la funci´on definida para x 6= 2 por f (x) =

(b) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (c) [0’75 puntos] Calcula, si existen, el máximo y el m´ınimo absolutos de f en el intervalo [0, 2) (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). ´ ´ Ejercicio 3. [2’5 puntos] Alvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Alvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros. Ejercicio 4. Considera el punto A(0, −3, 1), el plano π ≡ 2x−2y+3z = 0 y la recta r ≡ x+3 = y = (a) [1 punto] Determina la ecuación del plano que pasa por A y contiene a r. (b) [1’5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r.

z−3 . 2

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´ MATEMATICAS II

Opci´ on B

Ejercicio 1. De la funci´on f : (0, +∞) −→ R definida por f (x) = a su gr´afica en el punto de abscisa x = 1 viene dada por y = −2.

ax2 + b se sabe que la recta tangente x

(a) [1’5 puntos] Calcula a y b. (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sea f : R −→ R la funci´on definida por f (x) = x2 sen(2x). Calcula la primitiva de f cuya gr´afica pasa por el punto (0, 1). Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  x + my + z = 0  x + y + mz = 2 .  mx + y + z = m

(a) [1 punto] ¿Para qué valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones? (b) [1’5 puntos] ¿Para qué valores de m el sistema admite solución en la que x = 1?

Ejercicio 4. Se sabe que las rectas   x=1+t y = −1 − t r≡  z =b+t

s≡

x−y+z =3 6x + 2z = 2

est´an contenidas en un mismo plano. (a) [1’25 puntos] Calcula b.

(b) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´on del plano que contiene a las rectas r y s.

Modelo 6 Curso 2004-2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA

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´ MATEMATICAS II

Opci´ on A

Ejercicio 1. De una función f : R −→ R se sabe que f (0) = 2 y que f 0 (x) = 2x. (a) [1 punto] Determina f . (b) [1’5 puntos] Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f , por el eje de abscisas y por las rectas de ecuaciones x = −2 y x = 2.

Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la función definida por f (x) = (x − 1)2 e−x . (a) [0’5 puntos] Halla las as´ıntotas de la gráfica de f . (b) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, si existen, sus extremos relativos o locales y sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). (c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f .

Ejercicio 3. [2’5 puntos] En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo.

Ejercicio 4. Considera un plano π ≡ x + y + mz = 3 y la recta r ≡ x = y − 1 =

z−2 . 2

(a) [0’75 puntos] Halla m para que r y π sean paralelos. (b) [0’75 puntos] Halla m para que r y π sean perpendiculares. (c) [1 punto] ¿Existe alg´ un valor de m para que la recta r est´e contenida en el plano π?

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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

´ MATEMATICAS II

Opci´ on B Ejercicio 1. De una función f : [0, 5] −→ R se sabe que f (3) = 6 y que su función derivada está dada por  5x − 2 si 0 < x < 1,  f 0 (x) =  2 x − 6x + 8 si 1 ≤ x < 5.

(a) [1 punto] Calcula la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f en el punto de abscisa x = 3.

(b) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci´on). 8

1 √ dx. 1+x−1 3 √ (a) [1’25 puntos] Expr´esala aplicando el cambio de variables 1 + x − 1 = t. Ejercicio 2. Considera la integral definida I =

(b) [1’25 puntos] Calcula I. ¯ ¯ ¯ a b c ¯ ¯ ¯ Ejercicio 3. Sabiendo que |A| = ¯¯ d e f ¯¯ = 2, calcula, indicando las propiedades que utilices, los ¯ g h i ¯ siguientes determinantes: | − 3A| y |A−1 |. ¯ ¯ ¯ c ¯ b a ¯ ¯ ¯ e d ¯¯ . (b) [0’75 puntos] ¯ f ¯ 2i 2h 2g ¯ ¯ ¯ ¯ a b a−c ¯ ¯ ¯ (c) [0’75 puntos] ¯¯ d e d − f ¯¯ . ¯ g h g−i ¯ (a) [1 punto]

Ejercicio 4. Sean los planos π1 ≡ 2x + y − z + 5 = 0 y π2 ≡ x + 2y + z + 2 = 0. (a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que está en el plano π 1 y que su proyección ortogonal sobre el plano π2 es el punto (1, 0, −3). (b) [1 punto] Calcula el punto simétrico de P respecto del plano π2 .

Modelo 1 Curso 2005-2006 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on A Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la función definida por f (x) = Ln (x2 + 1), siendo Ln la función logaritmo neperiano. (a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). (b) [1’5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de inflexión de abscisa negativa.

Ejercicio 2. Sea f la funci´on definida por ½ f (x) =

ex − 1 si x ≥ 0 2 xe−x si x < 0

(a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0 y, si es posible, calcula la derivada de f en dicho punto. (b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f , el eje de abscisas y la recta x = −1. → → − Ejercicio 3. Sean − u = (x, 2, 0), − v = (x, −2, 1) y → w = (2, −x, −4x) tres vectores de R3 . (a) [1 punto] Determina los valores de x para los que los vectores son linealmente independientes. (b) [1’5 puntos] Halla los valores de x para los que los vectores son ortogonales dos a dos.   x = a+t x−1 y+2 z y = 1 − 2 t y s la recta de ecuación Ejercicio 4. Sea r la recta de ecuación = =  2 1 3 z = 4−t (a) [1’5 puntos] Calcula el valor de a sabiendo que las rectas r y s se cortan. (b) [1 punto] Calcula el punto de corte.

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Calcula

µ l´ım

x→ 1

1 1 − Ln x x − 1

siendo Ln la función logaritmo neperiano.  a  si x ≤ −1  − x Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la función definida por f (x) =   2 x + 1 si x > −1 (a) [0’75 puntos] Halla el valor de a sabiendo que f es continua. (b) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f . (c) [1’25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f , el eje de abscisas y las rectas x + 2 = 0 y x − 2 = 0.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales  λx + y − z = 1  x + λy + z = λ  x + y + λz = λ2 (a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´ un los valores del par´ametro λ. (b) [1 punto] Resu´elvelo para λ = 2.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla un punto A de la recta r de ecuaci´on x = y = z y un punto B de la recta s de ecuaci´on x =

y z+1 = de forma que la distancia entre A y B sea m´ınima. −1 2

Modelo 2 Curso 2005-2006 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Instrucciones:

Opci´ on A

Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´on definida por f (x) = x2 − |x| (a) [0’75 puntos] Estudia la derivabilidad de f . (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f . (c) [0’75 puntos] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la funci´on).

Ejercicio 2. Calcula Z (a) [1’5 puntos]

5x2 − x − 160 dx. x2 − 25

Z (b) [1 punto]

(2x − 3) · tg (x2 − 3x) dx, siendo tg la funci´on tangente.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales  λx − y − z = −1  x + λy + z = 4  x+y+z = λ+2 (a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´ un los valores del par´ametro λ. (b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 2. (

x = 0 z−3 y−1 = 2 equidistan del plano π de ecuaci´on x + z = 1 y del plano π 0 de ecuaci´on y − z = 3. Ejercicio 4. [2’5 puntos] Determina los puntos de la recta r de ecuaciones

que

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Un alambre de longitud 1 metro se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de ambos recintos sea m´ınima. Ejercicio 2. [2’5 puntos] Halla la función f : R −→ R sabiendo que f 00 (x) = 12x − 6 y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene de ecuación 4x − y − 7 = 0. Ejercicio 3. [2’5 puntos] Resuelve A B t X = −2 C, siendo B t la matriz traspuesta de B y µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 0 3 −1 3 0 1 4 A= , B= y C= . 2 −1 0 0 2 −2 0 −1

Ejercicio 4. Considera los puntos A(1, 0, −2) y B(−2, 3, 1). (a) [1 punto] Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales. (b) [1’5 puntos] Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C, donde C es un punto de la recta de ecuación −x = y − 1 = z. ¿Depende el resultado de la elección concreta del punto C?

Modelo 3 Curso 2005-2006 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Determina un punto de la curva de ecuaci´on y = x e−x en el que la pendiente de la recta tangente sea m´axima. Z Ejercicio 2. Sea I = 0

x3 √ dx. 1 + x2

(a) [1’25 puntos] Expresa I aplicando el cambio de variable t = 1 + x2 . (b) [1’25 puntos] Calcula el valor de I. µ Ejercicio 3. Considera A =

a 1 0 −a

¶ , siendo a un n´ umero real. µ

(a) [1 punto] Calcula el valor de a para que

−A=

12 −1 0 20

¶ .

(b) [1 punto] Calcula, en funci´on de a, los determinantes de 2A y At , siendo At la traspuesta de A. (c) [0’5 puntos] ¿Existe alg´ un valor de a para el que la matriz A sea sim´etrica? Razona la respuesta.

Ejercicio 4. Considera el plano π de ecuaci´on 2x+y−z+2 = 0 y la recta r de ecuaci´on

x−5 z−6 =y= −2 m

(a) [1 punto] Halla la posici´on relativa de r y π seg´ un los valores del par´ametro m. (b) [0’75 puntos] Para m = −3, halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π. (c) [0’75 puntos] Para m = −3, halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano π.

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B

Ejercicio 1. Sea f la funci´on definida por f (x) =

x4 + 3 , para x 6= 0. x

(a) [0’75 puntos] Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las as´ıntotas de la gr´afica de f . (b) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f . (c) [0’75 puntos] Esboza la gr´afica de f .

√ x2 e y = ax, Ejercicio 2. [2’5 puntos] El ´area del recinto limitado por las curvas de ecuaciones y = a con a > 0, vale 3. Calcula el valor de a. Ejercicio 3. [2’5 puntos] Resuelve        2 0 5 x −2 5  1 1 −2   y  +  2  =  0  −1 1 1 z 3 2 ½ Ejercicio 4. Considera el punto P (3, 2, 0) y la recta r de ecuaciones

x+y−z−3 = 0 x + 2z + 1 = 0

(a) [1 punto] Halla la ecuaci´on del plano que contiene al punto P y a la recta r. (b) [1’5 puntos] Determina las coordenadas del punto Q sim´etrico de P respecto de la recta r.

Modelo 4 Curso 2005-2006 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on A

Ejercicio 1. (a) [1’5 puntos] Sea f : R −→ R la función dada por f (x) = ax2 +b. Halla los valores de a y b sabiendo Z 6 que f (x) dx = 6 y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto 0

de abscisa 3 vale −12. (b) [1 punto] Sea f : R −→ R la función dada por f (x) = x2 + p x + q. Calcula los valores de p y q sabiendo que la función f tiene un extremo en x = −6 y su valor en él es −2.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula

Z (x2 − 1) e−x dx

Ejercicio 3. Sea



 1 1 −1 0 m−3 3  A= m+1 2 0

(a) [1 punto] Determina los valores de m ∈ R para los que la matriz A tiene inversa. ¡ ¢ ¡ ¢ (b) [1’5 puntos] Para m = 0 y siendo X = x y z , resuelve X A = 3 1 1 .

x−5 y+2 z Ejercicio 4. Sea r la recta de ecuaci´on = = y s la recta dada por 2 −1 4

3x − 2y + z = 2 −x + 2y − 3z = 2

(a) [1’5 puntos] Determina la posici´on relativa de ambas rectas. (b) [1 punto] Halla la ecuaci´on del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s.

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´on definida por f (x) =

x2 − x + 1 x2 + x + 1

(a) [0’75 puntos] Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las as´ıntotas de la gráfica de f . (b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los valores que alcanza en ellos la función f . (c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f .

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función f (x) = sen x y las rectas tangentes a dicha gráfica en los puntos de abscisas x = 0 y x = π. µ Ejercicio 3. Sea A =

4 2 1 3

¶ y sea I la matriz identidad de orden dos.

(a) [1’25 puntos] Calcula los valores λ ∈ R tales que |A − λI| = 0. (b) [1’25 puntos] Calcula A2 − 7A + 10 I. ½ Ejercicio 4. Considera la recta r de ecuaciones

x+y+z = 1 x − 2y + 3z = 0

(a) [1’25 puntos] Determina la ecuaci´on del plano que contiene a la recta r y no corta al eje OZ. (b) [1’25 puntos] Calcula la proyecci´on ortogonal del punto A(1, 2, 1) sobre la recta r.

Modelo 5 Curso 2005-2006 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on A x (Ln x)2 , siendo Ln la (x − 1)2 función logaritmo neperiano. Estudia la existencia de as´ıntota horizontal para la gráfica de esta función. Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea f : (1, +∞) −→ R la función dada por f (x) = En caso de que exista, hállala. Ejercicio 2. Sea f : [0, 4] −→ R una función tal que su función derivada viene dada por  2  x si 0 < x < 3  3 f 0 (x) =   −2x + 8 si 3 ≤ x < 4 (a) [1’75 puntos] Determina la expresión de f sabiendo que f (1) =

16 . 3

(b) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f en el punto de abscisa x = 1.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales  x−y+z = 2  x + λy + z = 8  λx + y + λz = 10 (a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´ un los valores del par´ametro λ. (b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 2.

Ejercicio 4. Considera los puntos A(2, 1, 2) y B(0, 4, 1) y la recta r de ecuación x = y − 2 = (a) [1’5 puntos] Determina un punto C de la recta r que equidiste de los puntos A y B. (b) [1 punto] Calcula el área del triángulo de vértices ABC.

z−3 2

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B ( Ejercicio 1. Se sabe que la funci´on f : [0, 5] −→ R definida por f (x) =

ax + bx2 si 0 ≤ x < 2 √ −4 + x − 1 si 2 ≤ x ≤ 5

es derivable en el intervalo (0, 5). (a) [1’75 puntos] Calcula las constantes a y b. (b) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2. √ Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sean las funciones f y g : [0, +∞) −→ R , dadas por f (x) = x2 y g(x) = λ x, donde λ es un n´ umero real positivo fijo. Calcula el valor de λ sabiendo que área del recinto limitado por 1 las gráficas de ambas funciones es . 3 Ejercicio 3. Considera las matrices       1 1 0 x 0 , X= y  y O= 0  2 1 1 A= m−4 1 1−m z 0 (a) [1 punto] Halla el valor de m ∈ R para el que la matriz A no tiene inversa. (b) [1’5 puntos] Resuelve A X = O para m = 3.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la ecuación de un plano que sea paralelo al plano π de ecuación √ x + y + z = 1 y forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área 18 3 .

Modelo 6 Curso 2005-2006 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on A Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la función definida por f (x) = x3 + a x2 + b x + 1 (a) [1’5 puntos] Determina a, b ∈ R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2, 2) y tiene un punto de inflexión de abscisa x = 0. (b) [1 punto] Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de inflexión.

Ejercicio 2. Sea f : (0, 2) −→ R la funci´on definida por ½ Ln x si 0 < x ≤ 1 f (x) = Ln (2 − x) si 1 < x < 2 siendo Ln la funci´on logaritmo neperiano. (a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en el punto x = 1. Z 10 5 (b) [1’5 puntos] Calcula f (x) dx. 1

Ejercicio 3. Considera las matrices µ ¶ µ ¶ ¡ ¢ −3 −1 −2 A= , B= 2 1 y C= 2 6 6 (a) [1’25 puntos] Halla, si existe, la matriz inversa de AB + C. µ (b) [1’25 puntos] Calcula, si existen, los n´ umeros reales x e y que verifican: C

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Sea la recta r de ecuaci´on

x y

µ =3

x y

¶ .

x−1 y+2 z−3 = = y el plano π de ecuaci´on 1 3 −1

x − y + z + 1 = 0. Calcula el área del triángulo de vértices ABC, siendo A el punto de corte de la recta r y el plano π, B el punto (2, 1, 2) de la recta r y C la proyecci´ on ortogonal del punto B sobre el plano π.

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que tenga una superficie total de 200 cm2 . Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el volumen sea m´aximo. Ejercicio 2. Ejercicio 2. (a) [0’75 puntos] Haz un esbozo del recinto limitado por las curvas y =

15 e y = x2 − 1. 1 + x2

(b) [1’75 puntos] Calcula el ´area de dicho recinto.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales  x+ y −z = −4  3x + λy + z = λ − 1  2x + λy = −2 un los valores del par´ametro λ. (a) [1’25 puntos] Clasifica el sistema seg´ (b) [1’25 puntos] Resuelve el sistema para λ = 1.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla las ecuaciones paramétricas de una recta sabiendo que corta a la recta r de ecuación x = y = z, es paralela al plano π de ecuación 3x + 2y − z = 4 y pasa por el punto A(1, 2, −1).

Modelo 1 Curso 2006-2007 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora cient´ıfica (no programable, sin pantalla gr´ afica y sin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todos los procesos conducentes a la obtenci´ on de resultados deben estar suficientemente justificados.

Opci´ on A Ejercicio 1.- Sea f : (0, +∞) −→ R la funci´ on definida por f (x) =

3x + 1 √ . x

(a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). (b) [1 punto] Calcula el punto de inflexi´ on de la gr´ afica de f .

Ejercicio 2.- Sea f : R −→ R la funci´ on definida por f (x) = x |x − 2|. (a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 2. (b) [0’5 puntos] Esboza la gr´ afica de f . (c) [1 punto] Calcula el a´rea del recinto limitado por la gr´ afica de f y el eje de abscisas.

Ejercicio 3.- Sean I la matriz identidad de orden 2 y A =

1 m 1 1

(a) [1’25 puntos] Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (A − I)2 = O, donde O es la matriz nula de orden 2. (b) [1’25 puntos] Para m = 2, halla la matriz X tal que AX − 2AT = O, donde AT denota la matriz traspuesta de A.

Ejercicio 4.(a) [1’25 puntos] Halla los dos puntos que dividen al segmento de extremos A(1, 2, 1) y B(−1, 0, 3) en tres partes iguales. (b) [1’25 puntos] Determina la ecuaci´ on del plano perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio.

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Determina una funci´ on f : R −→ R sabiendo que su derivada viene dada ′ 2 por f (x) = x + x − 6 y que el valor que alcanza f en su punto de m´ aximo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto de m´ınimo (relativo). Ejercicio 2.- Sea f : (−1, +∞) −→ R la funci´ on definida por f (x) = Ln(x + 1) (Ln denota la funci´ on logaritmo neperiano). (a) [1 punto] Determina la ecuaci´ on de la recta tangente a la gr´ afica de f en el punto de abscisa x = 0. (b) [1’5 puntos] Calcula el a´rea del recinto limitado por la gr´ afica de f , la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta x = 1.

Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones  ax + y + z = 4  x − ay + z = 1 .  x+y+z =a+2

(a) [1’5 puntos] Resu´elvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. (b) [1 punto] Resuelve el sistema que se obtiene para a = −2. Ejercicio 4.- Considera los vectores ~u = (1, 1, m), ~v = (0, m, −1) y w ~ = (1, 2m, 0). (a) [1’25 puntos] Determina el valor de m para que los vectores ~u, ~v y w ~ sean linealmente dependientes. (b) [1’25 puntos] Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, expresa el vector w ~ como combinaci´ on lineal de los vectores ~u y ~v .

Modelo 2 Curso 2006-2007 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on A Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Determina dos n´ umeros reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es m´ aximo. Ejercicio 2.- Sean f : R −→ R y g : R −→ R las funciones definidas mediante f (x) = x3 + 3x2

g(x) = x + 3.

(a) [1’25 puntos] Esboza las gr´ aficas de f y de g calculando sus puntos de corte. (b) [1’25 puntos] Calcula el a´rea de cada uno de los dos recintos limitados entre las gr´ aficas de f y g.

Ejercicio 3.- Considera la matriz A =

1 −1 1 λ

(a) [1 punto] Determina la matriz B = A2 − 2A. (b) [0’75 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa. (c) [0’75 puntos] Calcula B −1 para λ = 1.

Ejercicio 4.- Considera los planos de ecuaciones x − y + z = 0

x + y − z = 2.

(a) [1 punto] Determina la recta que pasa por el punto A(1, 2, 3) y no corta a ninguno de los planos dados. (b) [1’5 puntos] Determina los puntos que equidistan de A(1, 2, 3) y B(2, 1, 0) y pertenecen a la recta intersecci´on de los planos dados.

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f : R −→ R la funci´ on definida por f (x) = 2x3 + 12x2 + ax + b. Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la gr´ afica de f en su punto de inflexi´ on es la recta y = 2x + 3. Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Dada la funci´ on f : R −→ R definida por f (x) = Ln(1 + x2 ), halla la primitiva de f cuya gr´ afica pasa por el origen de coordenadas (Ln denota la funci´ on logaritmo neperiano). Ejercicio 3.

 1 1 0 (a) [1 punto] Calcula la matriz inversa de A = 0 1 1. 1 0 1 (b) [1’5 puntos] Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz A−1 hallada en el apartado anterior,  x+y = 1  y + z = −2 .  x +z = 3 Ejercicio 4.- Considera los puntos A(0, 3, −1) y B(0, 1, 5). (a) [1’25 puntos] Calcula los valores de x sabiendo que el tri´ angulo ABC de vértices A(0, 3, −1), B(0, 1, 5) y C(x, 4, 3) tiene un ańgulo recto en C. (b) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´ on del plano que pasa por los puntos (0, 1, 5) y (3, 4, 3) y es paralelo x−y+z =0 a la recta definida por las ecuaciones 2x + y =3

Modelo 3 Curso 2006-2007 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on A Ejercicio 1.- Sea f : (0, +∞) −→ R la funci´ on definida por f (x) = x2 Ln(x) (Ln denota la funci´ on logaritmo neperiano). (a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). √ (b) [1 punto] Calcula la ecuaci´ on de la recta tangente a la gr´ afica de f en el punto de abscisa x = e.

Ejercicio 2.- Considera las funciones f : R −→ R y g : R −→ R definidas por f (x) = ex−1 y g(x) = e1−x . (a) [1’25 puntos] Esboza las gr´ aficas de f y de g y determina su punto de corte. (b) [1’25 puntos] Calcula el a´rea del recinto limitado por el eje OY y las gr´ aficas de f y g.

Ejercicio 3.- Considera las matrices A =

α 1 2 3

2 0 −1 1

(a) [0’75 puntos] Determina los valores de α para los que la matriz A tiene inversa. (b) [1’75 puntos] Para α = 1, calcula A−1 y resuelve la ecuaci´ on matricial AX = B.

Ejercicio 4.Sea r la recta definida por

x−2 y−k z x+2 y−1 z−3 = = y s la recta definida por = = . 3 4 5 −1 2 3

(a) [1’25 puntos] Halla k sabiendo que las rectas r y s se cortan en un punto. (b) [1’25 puntos] Determina la ecuaci´ on del plano que contiene a las rectas r y s.

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Opci´ on B Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos. El precio de cada uno de estos materiales es 2 y 3 euros por cent´ımetro cuadrado, respectivamente. Por otra parte, la suma de los per´ımetros de los dos cuadrados tiene que ser 1 metro. ¿C´ omo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea m´ınimo? Ejercicio 2.- Sea f : R −→ R la funci´ on definida por f (x) = x(x − 3)2 . (a) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (b) [0’5 puntos] Haz un esbozo de la gr´ afica de f . (c) [1 punto] Calcula el a´rea del recinto limitado por la gr´ afica de f y el eje de abscisas.

Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones  x+y+z =0  2x + λ y + z = 2 .  x + y + λz = λ − 1

(a) [1’5 puntos] Determina el valor de λ para que el sistema sea incompatible. (b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 1.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Halla la ecuaci´on de la recta contenida on x + 2y + 3z − 1 = 0 que corta perpendi en el plano de ecuaci´ x = 2z + 4 cularmente a la recta definida por en el punto (2, 1, −1). y = 2z + 3

Modelo 4 Curso 2006-2007 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on A Ejercicio 1.- [2’5 puntos] r De entre todos los rect´ angulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejes coordenados y un v´ertice en la recta r de ecuaci´ on x + y = 1 (ver figura), determina el que tiene mayor 2 a´rea. Ejercicio 2.- Sea I =

Y 1 2

2 dx. 2 − ex

(a) [1 punto] Expresa I haciendo el cambio de variable t = ex . (b) [1’5 puntos] Calcula I.

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Clasifica y resuelve el siguiente sistema seg´ un los valores de a,  x+y+z =0  (a + 1)y + 2z =y .  x − 2y + (2 − a)z = 2z Ejercicio 4.-

x−1 y z−1 Considera la recta r definida por = = y el plano π de ecuaci´ on 2x − y + βz = 0. α 4 2 Determina α y β en cada uno de los siguientes casos: (a) [1 punto] La recta r es perpendicular al plano π. (b) [1’5 puntos] La recta r est´ a contenida en el plano π.

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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD a) DuraciÂ´ on: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar u Â´nicamente los cuatro ejercicios de la OpciÂ´ on A o realizar u Â´nicamente los cuatro ejercicios de la OpciÂ´ on B. c) La puntuaciÂ´ on de cada pregunta estÂ´ a indicada en las mismas. Instrucciones:

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora cientÂ´Äąfica (no programable, sin pantalla grÂ´ afica y sin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todos los procesos conducentes a la obtenciÂ´ on de resultados deben estar suficientemente justificados.

OpciÂ´ on B Ejercicio 1.- Sea f : R â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; R la funciÂ´ on definida por f (x) = x2 eâ&#x2C6;&#x2019;x . (a) [1â&#x20AC;&#x2122;5 puntos] Determina los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). (b) [1 punto] Estudia y determina las asÂ´Äąntotas de la grÂ´ afica de f .

Ejercicio 2.- Sea f : (â&#x2C6;&#x2019;2, 0) â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; R la funciÂ´ on definida mediante f (x) = (a) [1â&#x20AC;&#x2122;5 puntos] Determina Îą y Î˛ sabiendo que f es derivable. Z â&#x2C6;&#x2019;1 (b) [1 punto] Calcula f (x) dx.

ďŁą ďŁ´ ďŁ´ ďŁ˛

Îą x

2 ďŁ´ ďŁ´ ďŁł x â&#x2C6;&#x2019;Î˛ 2

si â&#x2C6;&#x2019;2 < x â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2019;1 si

â&#x2C6;&#x2019;1 < x < 0.

â&#x2C6;&#x2019;2

Ejercicio 3.- Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales

tiene mÂ´ as de una soluciÂ´ on.

ďŁź â&#x2C6;&#x2019;Îť x + y + (Îť + 1) z = Îť + 2 ďŁ˝ x + y + z =0 ďŁž (1 â&#x2C6;&#x2019; Îť) x â&#x2C6;&#x2019; Îť y =0

(a) [1â&#x20AC;&#x2122;5 puntos] Calcula, en dicho caso, el valor de la constante Îť. (b) [1 punto] Halla todas las soluciones del sistema.

Ejercicio 4.- [2â&#x20AC;&#x2122;5 puntos] Calcula la distancia del punto P (1, â&#x2C6;&#x2019;3, 7) a su punto simÂ´etrico respecto de la recta definida por 3x â&#x2C6;&#x2019; y â&#x2C6;&#x2019; z â&#x2C6;&#x2019; 2 = 0 . x+yâ&#x2C6;&#x2019;z+6 =0

Modelo 5 Curso 2006-2007 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on A Ejercicio 1.- Sea f : R −→ R la funci´ on definida por f (x) = (x − 3)ex . (a) [1 punto] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). (b) [1’5 puntos] Determina la ecuaci´ on de la recta tangente a la gr´ afica de f en su punto de inflexi´ on.

Ejercicio 2.- Sea f : R −→ R la funci´ on definida por f (x) =

1 + αx si x < 0 si x ≥ 0 e−x

(a) [1 punto] Determina el valor de α sabiendo que f es derivable. (b) [0’5 puntos] Haz un esbozo de la gr´ afica de f . Z 1 (c) [1 punto] Calcula f (x) dx. −1

Ejercicio 3.(a) [1’5 puntos] Calcula el valor de m para el que la matriz A =

1 0 verifica la relaci´ on 2A2 −A = I 1 m

y determina A−1 para dicho valor de m. (b) [1 punto] Si M es una matriz cuadrada que verifica la relaci´ on 2M 2 −M = I, determina la expresi´ on −1 de M en funci´ on de M y de I.

Ejercicio 4.(a) [1’5 puntos] Encuentra la ecuaci´ on de la recta √ r que pasa por el origen de coordenadas y es paralela a los planos π1 de ecuaci´ on x + y + z = 3 3 y π2 de ecuaci´ on −x + y + z = 2. (b) [1 punto] Halla la distancia de la recta r al plano π1 .

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B Ejercicio 1.- Sea f la funci´ on definida, para x 6= 2 y x 6= −2, por f (x) =

x2 + 3 . x2 − 4

(a) [1 punto] Determina las as´ıntotas de la gr´ afica de f . (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). (c) [0’5 puntos] Esboza la gr´ afica de f .

Ejercicio 2.Z Calcula 3x + 4 (a) [1 punto] dx. x2 + 1 Z π 4 (b) [1’5 puntos] x cos(2x) dx. 0

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Resuelve el siguiente sistema hacen compatible: x + my = m mx + y = m mx + my = 1

de ecuaciones para los valores de m que lo  



Ejercicio 4.- Considera el punto P (1, 0, −2) y la recta r definida por

2x − y =5 2x + y − 4z = 7

(a) [1’5 puntos] Determina la recta perpendicular a r que pasa por P . (b) [1 punto] Halla la distancia entre el punto P y su sim´etrico Q respecto de la recta r.

Modelo 6 Curso 2006-2007 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on A Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Determina la funci´ on f : R −→ R sabiendo que f ′′ (x) = x2 − 1 y que la recta tangente a la gr´ afica de f en el punto de abscisa x = 0 es la recta y = 1. Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula β > 0 para que el a´rea del recinto limitado por las gr´ aficas de las funciones f : R −→ R y g : R −→ R definidas por f (x) = x2 y g(x) = −x2 + 2β 2 sea 72 (unidades de a´rea). 

 3 0 λ Ejercicio 3.- Sea A la matriz A =  −5 λ −5  e I la la matriz identidad de orden 3. λ 0 3 (a) [1’25 puntos] Calcula los valores de λ para los que el determinante de A − 2I es cero. (b) [1’25 puntos] Calcula la matriz inversa de A − 2I para λ = −2. Ejercicio 4.- Considera el plano π de ecuaci´ on 2x + 2y − z − 6 = 0 y el punto P (1, 0, −1). (a) [1’25 puntos] Calcula la recta que pasa por el punto P y es perpendicular al plano π. (b) [1’25 puntos] Encuentra el punto sim´etrico de P respecto del plano π.

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Se quiere construir un dep´ osito en forma de prisma de base cuadrada sin tapadera que tenga una capacidad de 500 m3 . ¿Qu´e dimensiones ha de tener el dep´ osito para que su superficie sea m´ınima? Ejercicio 2.- Sea f : R −→ R la funci´ on definida por f (x) = x2 . (a) [0’75 puntos] Determina la ecuaci´ on de la recta tangente a la gr´ afica de f en el punto de abscisa x = 1. (b) [1’75 puntos] Dibuja el recinto limitado por la gr´ afica de f , la recta tangente obtenida en el apartado anterior y el eje OX. Calcula su a´rea.

Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones  x +y + mz = 1  m y − z = −1 .  x + 2m y =0

(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´ un los valores de m.

(b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

Ejercicio 4.- Considera el plano π de ecuaci´ on 2x + 2y − z − 6 = 0 y la recta r definida por x−1 y+1 z = = . 2 −1 2 (a) [1’25 puntos] Calcula el a´rea del tri´ angulo cuyos v´ertices son los puntos de corte del plano π con los ejes de coordenadas. (b) [1’25 puntos] Calcula, razonadamente, la distancia de la recta r al plano π.

Modelo 1 Curso 2007-2008 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD a) Duraci´ on: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar u ńicamente los cuatro ejercicios de la Opci´ on A o realizar u ńicamente los cuatro ejercicios de la Opci´ on B. c) La puntuaci´ on de cada pregunta está indicada en la misma. Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora cient´ıfica (no programable, sin pantalla gr´ afica y sin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

Opci´ on A Ejercicio 1.- Sean f : R −→ R y g : R −→ R las funciones definidas por f (x) = x2 + ax + b

g(x) = c e−(x+1)

Se sabe que las gr´ aficas de f y g se cortan en el punto (−1, 2) y tienen en ese punto la misma recta tangente. (a) [2 puntos] Calcula los valores de a, b y c. (b) [0’5 puntos] Halla la ecuaci´ on de dicha recta tangente.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Dadas las funciones f : [0, +∞) −→ R y g : [0, +∞) −→ R definidas por √ √ f (x) = x y g(x) = 3 x calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. Ejercicio 3.- Dado el sistema de ecuaciones lineales  x + λy − z = 0  2x + y + λz = 0  x + 5y − λz = λ + 1 (a) [1’5 puntos] Clasif´ıcalo seg´ un los valores del parámetro λ. (b) [1 punto] Resuélvelo para λ = −1.

Ejercicio 4.- Los puntos A(−2, 3, 1), B(2, −1, 3) y C(0, 1, −2) son v´ertices consecutivos del paralelogramo ABCD. (a) [1 punto] Halla las coordenadas del v´ertice D. (b) [1 punto] Encuentra la ecuaci´ on de la recta que pasa por B y es paralela a la diagonal AC. (c) [0’5 puntos] Halla la ecuaci´ on del plano que contiene a dicho paralelogramo.

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f : R −→ R la función definida por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d Se sabe que f tiene un m´ aximo local en x = 1, que el punto (0, 1) es un punto de inflexión de su gr´ afica Z 1 9 y que f (x) dx = . Calcula a, b, c y d. 4 0 Ejercicio 2.- Sea g : (0, +∞) −→ R la función dada por g(x) = ln x (ln denota logaritmo neperiano). 1 (a) [0’75 puntos] Justifica que la recta de ecuación y = x es la recta tangente a la gráfica de g en el e punto de abscisa x = e. (b) [1’75 puntos] Calcula el ´ area del recinto limitado por la gráfica de g, el eje de abscisas y la recta tangente del apartado anterior.

Ejercicio 3.- [2’5 puntos]  1 A= 0 1

Dadas las matrices    1 1 1 0 1 0  , B =  0 −1  2 2 2 1

−2 0 −1 1 −1 1

Calcula la matriz P que verifica AP − B = C T (C T es la matriz traspuesta de C). Ejercicio 4.- Sea la recta r dada por y el plano π definido por

2x + y − mz = 2 x−y−z = −m

x + my − z = 1

(a) [1 punto] ¿Existe alg´ un valor de m para el que π y r son paralelos ? (b) [1 punto] ¿Para qu´e valor de m est´ a la recta contenida en el plano ? (c) [0’5 puntos] ¿Cu´ al es la posici´ on relativa de la recta y el plano cuando m = 0 ?

Modelo 2 Curso 2007-2008

Modelo 3 Curso 2007-2008

Modelo 4 Curso 2007-2008 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on A Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Dada la funci´on f : R −→ R definida por f (x) =

x+1 , determina la ex

ecuaci´on de la recta tangente a la gr´ afica de f en su punto de inflexi´on.

Ejercicio 2.- Sean f : R −→ R y g : R −→ R las funciones definidas mediante f (x) = x3 − 4x

g(x) = 3x − 6

(a) [0’75 puntos] Determina los puntos de corte de las gr´aficas de f y g. (b) [1’75 puntos] Calcula el ´ area del recinto limitado por dichas gr´aficas.

Ejercicio 3.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones  = 1  ky + z = 0  x + (k + 1)y + kz = k + 1

x+y

(a) [1’25 puntos] Determina el valor del par´ametro k para que sea incompatible. (b) [1’25 puntos] Halla el valor del par´ ametro k para que la soluci´on del sistema tenga z = 2.

Ejercicio 4.- Considera la recta r definida por 2x − z = 3 y la recta s definida por y = 0

x = 0 3y + z = 3

(a) [1 punto] Estudia la posici´ on relativa de r y s. (b) [1’5 puntos] Halla la ecuaci´ on general de un plano que contiene a s y es paralelo a r.

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B Ejercicio 1.- Sea la funci´ on f : [0, 4] −→ R definida por 2 x + ax + b si f (x) = cx + 1 si

0≤x<2 2≤x≤4

(a) [2 puntos] Determina a, b y c sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado [0, 4], derivable en el intervalo abierto (0, 4) y que f (0) = f (4). (b) [0’5 puntos] ¿En qu´e punto del intervalo se anula la derivada de la funci´on?

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula Z

x ln(x + 1) dx 0

(ln denota la funci´ on logaritmo neperiano). Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Halla los valores del par´ametro m que hacen compatible el sistema de ecuaciones:  −x + 2y − 2z = 2  2x + y + z =m  x + 3y − z = m2

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Sea la recta r definida por

x =1 x−y =0

y sean los planos π1 , de ecuaci´ on x + y + z = 0, y π2 , de ecuaci´on y + z = 0. Halla la recta contenida en el plano π1 , que es paralela al plano π2 y que corta a la recta r.

Modelo 5 Curso 2007-2008 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on A Ejercicio 1.- Sea f : [0, 2π] −→ R la función definida por f (x) = ex (sen x + cos x) . (a) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (b) [1’25 puntos] Calcula los puntos de inflexión de la gráfica de f .

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sean f : R −→ R y g : R −→ R las funciones dadas por f (x) = x2

g(x) = a

(con a > 0)

Se sabe que el ´area del recinto limitado por las gr´aficas de las funciones f y g es 4/3. Calcula el valor de la constante a. 

 0 −1 −2 0 −2 . Calcula, si Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3 y A =  −1 1 1 3 existe, el valor de k para el cual (A − kI)2 es la matriz nula.

Ejercicio 4.- Se sabe que los planos de ecuaciones x + 2y + bz = 1, 2x + y + bz = 0, 3x + 3y − 2z = 1 se cortan en una recta r. (a) [1’25 puntos] Calcula el valor de b. (b) [1’25 puntos] Halla unas ecuaciones param´etricas de r.

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B Ejercicio 1.- Sea f : R −→ R la funci´ on definida por x |x| si x ≤ 2 f (x) = 6 − x si x > 2 (a) [0’75 puntos] Esboza la gr´ afica de f . (b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f . (c) [0’75 puntos] Calcula el ´ area comprendida entre la gr´afica de f y el eje de abscisas.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula Z e

x2 ln(x) dx

(ln denota la funci´ on logaritmo neperiano). 

   1 1 2 1 0 2 Ejercicio 3.- Dadas las matrices A =  1 2 1  y B =  2 0 4  1 1 1 −1 1 1 (a) [1 punto] Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B. (b) [1’5 puntos] Resuelve la ecuaci´ on matricial AX + B = A + I, donde I denota la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Dados los puntos A(2, 1, −1) y B(−2, 3, 1) y la recta r definida por las ecuaciones x − y − z = −1 3x − 2z = −5 halla las coordenadas de un punto de la recta r que equidiste de los puntos A y B.

Modelo 6 Curso 2007-2008 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on A Ejercicio 1.- Sea f : R −→ R la funci´ on definida por f (x) = (3x − 2x2 ) ex . (a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (b) [1 punto] Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2.- Considera las funciones f : f (x) =

sen x cos3 x

π −→ R y g : (0, +∞) −→ R definidas por 2

g(x) = x3 ln x

( ln

denota la funci´on logaritmo neperiano).

(a) [1’25 puntos] Halla la primitiva de f que toma el valor 1 cuando x = (se puede hacer el cambio de variable t = cos x ). Z (b) [1’25 puntos] Calcula g(x) dx .

π 3

Ejercicio 3.(a) [1 punto] Determina razonadamente los valores del par´ametro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene m´ as de una soluci´on:  2x + y + z = mx  x + 2y + z = my  x + 2y + 4z = mz (b) [1’5 puntos] Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1. Ejercicio 4.- Se considera la recta r definida por

mx = y = z + 2, (m 6= 0),

x−4 z =y−1= 4 2 (a) [1’5 puntos] Halla el valor de m para el que r y s son perpendiculares.

y la recta s definida por

(b) [1 punto] Deduce razonadamente si existe alg´ un valor de m para el que r y s son paralelas.

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA ´ MATEMATICAS II

Opci´ on B Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Dada la funci´on f definida, para x 6= 0, por f (x) = as´ıntotas de su gr´ afica. Ejercicio 2.- Sea g : R −→ R la funci´ on definida por g(x) =

ex + 1 determina las ex − 1

1 3 x − x2 + x . 4

(a) [0’5 puntos] Esboza la gr´ afica de g. (b) [0’75 puntos] Determina la ecuaci´ on de la recta tangente a la gr´afica de g en el punto de abscisa x = 2. (c) [1’25 puntos] Calcula el ´ area del recinto limitado por la gr´afica de g y el eje de abscisas.



 1 3 k Ejercicio 3.- Dada la matriz A =  k 1 3  1 7 k (a) [1’25 puntos] Estudia el rango de A en funci´on de los valores del par´ametro k. (b) [1’25 puntos] Para k = 0, halla la matriz inversa de A.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(2, 0, 1), B(−1, 1, 2), C(2, 2, 1) y D(3, 1, 0). (a) [1 punto] Calcula la ecuaci´ on del plano π que contiene a los puntos B, C y D. (b) [1’5 puntos] Halla el punto sim´etrico de A respecto del plano π.

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

Modelo 4

Modelo 5

Modelo 6

Modelo 6 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÂ´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

Â´ MATEMATICAS II

CURSO 2009-2010 a) DuraciÂ´ on: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar u Âńicamente los cuatro ejercicios de la OpciÂ´ on A o realizar u Âńicamente los cuatro ejercicios de la OpciÂ´ on B. c) La puntuaciÂón de cada pregunta estÂá indicada en la misma. Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirÂá el uso de calculadoras que no sean programables, grÂáficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenciÂón de resultados deben estar suficientemente justificados.

OpciÂ´ on A Ejercicio 1.- [2â&#x20AC;&#x2122;5 puntos] Entre todos los triÂángulos rectÂángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de Âárea mÂáxima. Ejercicio 2.- [2â&#x20AC;&#x2122;5 puntos] Sea f : (â&#x2C6;&#x2019;2, +â&#x2C6;&#x17E;) â&#x2020;&#x2019; R la funciÂón definida por f (x) = ln(x + 2). Halla una primitiva F de f que verifique F (0) = 0. (ln denota el logaritmo neperiano). Ejercicio 3.- Considera el sistema 3x â&#x2C6;&#x2019; 2y + z = 5 2x â&#x2C6;&#x2019; 3y + z = â&#x2C6;&#x2019;4

(a) [1â&#x20AC;&#x2122;5 puntos] Calcula razonadamente un valor de Îť para que el sistema resultante al aË&#x153; nadirle la ecuaciÂ´on x + y + Îťz = 9 sea compatible indeterminado. (b) [1 punto] ÂżExiste algÂ´ un valor de Îť para el cual el sistema resultante no tiene soluciÂ´on?

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 0, 2), B(â&#x2C6;&#x2019;1, 2, 4) y la recta r definida por x+2 zâ&#x2C6;&#x2019;1 =yâ&#x2C6;&#x2019;1= 2 3 (a) [1â&#x20AC;&#x2122;5 puntos] Determina la ecuaciÂ´on del plano formado por los puntos que equidistan de A y de B. (b) [1 punto] Halla la ecuaciÂ´on del plano paralelo a r y que contiene los puntos A y B.

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´ MATEMATICAS II

CURSO 2009-2010 a) Duraci´ on: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar u ńicamente los cuatro ejercicios de la Opci´ on A o realizar u ńicamente los cuatro ejercicios de la Opci´ on B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

Opci´ on B Ejercicio 1.- Sea f : (0, +∞) → R la función definida por f (x) = ln(x2 + 3x), donde ln denota el logaritmo neperiano. (a) [1’5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación x − 2y + 1 = 0. (b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula el valor de a > 0 sabiendo que el ´area del recinto comprendido entre la par´abola y = x2 + ax y la recta y + x = 0 vale 36 unidades cuadradas. Ejercicio 3.- Sean las matrices 

 1 2 3 A= α 1 3  0 2 α



 −2 B= 3  4

(a) [0’5 puntos] Determina los valores de α para los que A tiene inversa. (b) [1’25 puntos] Calcula la inversa de A para α = 1. (c) [0’75 puntos] Resuelve, para α = 1, el sistema de ecuaciones AX = B.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 1, 1), B(0, −2, 2), C(−1, 0, 2) y D(2, −1, 2). (a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de v´ertices A, B, C y D. (b) [1’5 puntos] Determina la ecuaci´on de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano que contiene a los puntos A, B y C.

Modelo 2 Junio UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

´ MATEMATICAS II

Opci´ on A Ejercicio 1.- Sea f la funci´on definida como f (x) =

ax2 + b para x 6= a. a−x

(a) [1’5 puntos] Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (2, 3) y tenga una as´ıntota oblicua con pendiente −4. (b) [1 punto] Para el caso a = 2, b = 3, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula Z Sugerencia: Efect´ ua el cambio

√

π2

√ sen( x)dx

x = t.

Ejercicio 3.- Sean las matrices   1 0 −1 3 , A= 0 m 4 1 −m



 1 0 B= 3 2  −1 1

y C=

5 −3 4 −3 −2 2

(a) [0’5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible. (b) [2 puntos] Resuelve la ecuaci´on matricial XA − B t = C para m = 0. (B t es la matriz traspuesta de B).

Ejercicio 4.- Considera las rectas r y s de ecuaciones x−1=y =1−z

x − 2y = −1 y+z =1

(a) [0’75 puntos] Determina su punto de corte. (b) [1 punto] Halla el ´angulo que forman r y s. (c) [0’75 puntos] Determina la ecuaci´on del plano que contiene a r y s.

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´ MATEMATICAS II

Opci´ on B Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Calcula

ex − esen x x→0 x2 l´ım

Ejercicio 2.- Considera la funci´on f dada por para x 6= 0.

f (x) = 5−x

y la funci´on g definida como

g(x) =

4 x

(a) [1 punto] Esboza el recinto limitado por las gr´aficas de f y g indicando sus puntos de corte. (b) [1’5 puntos] Calcula el ´area de dicho recinto.

Ejercicio 3.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones  λx + y + z = λ + 2  2x − λy + z = 2  x − y + λz = λ (a) [1’75 puntos] Disc´ utelo seg´ un los valores de λ. ¿Tiene siempre soluci´on? (b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para λ = −1.

Ejercicio 4.- Los puntos P (2, 0, 0) y Q(−1, 12, 4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice S pertenece a la recta r de ecuación 4x + 3z = 33 y=0 (a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por P y S. (b) [1 punto] Comprueba si el triángulo es rectángulo.

Modelo 3 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

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Opci´ on A Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea la función f : R → R dada por  x 2 si x ≤ 0   e (x + ax)  f (x) =  b x2 + c   si x > 0 x+1 Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3. 3 para x 6= 1 y x 6= 4. − 5x + 4 Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f , el eje de abscisas, y las rectas x = 2, x = 3. Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Dada la función f definida por

f (x) =

Ejercicio 3.- Considera las siguientes matrices −1 2 A= 0 1

−3 0 2 −1

y B=

(a) [0’75 puntos] Calcula A−1 . (b) [1’75 puntos] Resuelve la ecuaci´on matricial AXAt − B = 2I, donde I es la matriz identidad de orden 2 y At es la matriz traspuesta de A.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 2, 1) y B(−1, 0, 3). (a) [1’25 puntos] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento AB en tres partes iguales. (b) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´on del plano perpendicular al segmento AB y que pasa por A.

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´ MATEMATICAS II

Opci´ on B √ Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f : R → R la función definida como f (x) = (x + 1) 3 3 − x. Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = −5 y en el punto de abscisa x = 2. Ejercicio 2.- Considera la función f : R → R definida por f (x) = x|2 − x|. (a) [1 punto] Esboza su gráfica. (b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f , el eje de abscisas y la recta de ecuación x = 3.

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Obt´en un vector no nulo v = (a, b, c), de tengan simult´aneamente rango 2.    1 1 a 2 0    1 0 b 0 −1 A= B= 1 1 c 3 1

Ejercicio 4.- Considera el plano π definido por

2x − y + nz = 0

manera que las matrices siguientes  a b  c

y la recta r dada por

x−1 y z−1 = = m 4 2 con m 6= 0. (a) [1’25 puntos] Calcula m y n para que la recta r sea perpendicular al plano π. (b) [1’25 puntos] Calcula m y n para que la recta r est´e contenida en el plano π.

Modelo 4 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

´ MATEMATICAS II

Opci´ on A Ejercicio 1.- [2’5 puntos] La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máximo? (Recuerda que el volumen del cono 1 es: V = πr2 h). 3 Ejercicio 2.- Considera las funciones f, g : R → R definidas por

f (x) = 2 − x2

g(x) = |x|.

(a) [1 punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados. (b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.

Ejercicio 3.- Sea la matriz 

 5 −4 2 1  A =  2 −1 −4 4 −1 (a) [1’25 puntos] Comprueba que se verifica 2A − A2 = I. (b) [1’25 puntos] Calcula A−1 . (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)).

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersecci´ on del plano 6x + 3y + 2z = 6 con los ejes de coordenadas.

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´ MATEMATICAS II

Opci´ on B Ejercicio 1.- Sea f la funci´on definida como f (x) =

x3 para x 6= ±1. x2 − 1

(a) [1 punto] Estudia y halla las as´ıntotas de la gr´afica de f . (b) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (c) [0’75 puntos] Esboza la gr´afica de f .

Ejercicio 2.- Dada la función f : (0, +∞) → R definida por f (x) = ln x, donde ln es la función logaritmo neperiano, se pide: (a) [0’75 puntos] Comprueba que la recta de ecuación gráfica de f en el punto de abscisa x = e.

y = −ex + 1 + e2

es la recta normal a la

(b) [1’75 puntos] Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f , el eje de abscisas y la recta normal del apartado (a).

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones  (m + 2)x − y − z = 1  −x − y + z = −1  x + my − z = m (a) [1’75 puntos] Disc´ utelo seg´ un los valores de m. (b) [0’75 puntos] Resu´elvelo para el caso m = 1.

Ejercicio 4.- Sean los puntos A(1, 1, 1), B(−1, 2, 0), C(2, 1, 2) y D(t, −2, 2) (a) [1’25 puntos] Determina el valor de t para que A, B, C y D est´en en el mismo plano. (b) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´on de un plano perpendicular al segmento determinado por A y B, que contenga al punto C.

Modelo 5 Septiembre UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

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Opci´ on A Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Una hoja de papel tiene que contener 18 cm2 de texto. Los m´argenes superior e inferior han de tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea m´ınimo. Z Ejercicio 2.- Sea I =

5 √

e−x

dx.

(a) [1 punto] Expresa I haciendo el cambio de variable t2 = e−x . (b) [1’5 puntos] Determina I.

Ejercicio 3.(a) [1’75 puntos] Discute, seg´ un los valores del par´ametro λ, el siguiente sistema de ecuaciones  −x + λy + z = λ  λx + 2y + (λ + 2)z = 4  x + 3y + 2z = 6 − λ (b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema anterior para λ = 0.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Halla la ecuaci´on del plano  que es paralelo a la recta r de ecuaciones  x = 1 − 5λ x − 2y + 11 = 0 y = −2 + 3λ y contiene a la recta s definida por 2y + z − 19 = 0  z = 2 + 2λ

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´ MATEMATICAS II

Opci´ on B Ejercicio 1.- Considera la funci´on f : [0, 4] → R definida por: 2 x + ax + b si 0 ≤ x ≤ 2 f (x) = cx si 2 < x ≤ 4 (a) [1’75 puntos] Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f (0) = f (4), determina los valores de a, b y c. (b) [0’75 puntos] Para a = −3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2.- Considera la función f : R → R dada por f (x) = x2 + 4. (a) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. (b) [1’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de f , el eje de ordenadas y la recta de ecuación y = 2x + 3. Calcula su área.

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Sean las matrices   1 0 0 1 0 A= , B =  0 −1 −1  −1 1 0 1 2

y C=

3 1 2 0 1 −2

Calcula la matriz X que cumpla la ecuaci´on AXB = C. Ejercicio 4.- Considera los planos π1 , π2 y π3 dados respectivamente por las ecuaciones x + y = 1,

ay + z = 0

x + (1 + a)y + az = a + 1

(a) [1’5 puntos] ¿Cu´anto ha de valer a para que no tengan ning´ un punto en com´ un? (b) [1 punto] Para a = 0, determina la posici´on relativa de los planos.

Modelo 6 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

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Opci´ on A Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Dada la funci´on f : R → R definida como f (x) = a sen(x) + bx2 + cx + d, determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gr´afica de f tiene tangente horizontal en el punto (0, 4) y que la segunda derivada de f es f 00 (x) = 3 sen(x) − 10.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea la funci´on f dada por

f (x) =

1 +x

para x 6= −1 y x 6= 0.

Determina la primitiva F de f tal que F (1) = 1. Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones  λx + 2y + 6z = 0  2x + λy + 4z = 2  2x + λy + 6z = λ − 2 (a) [1’75 puntos] Disc´ utelo seg´ un los valores del par´ametro λ. (b) [0’75 puntos] Resu´elvelo para λ = 2.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Halla el punto sim´etrico de P (1, 1, 1) respecto de la recta r de ecuaci´ on x−1 y z+1 = = 2 3 −1

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Opci´ on B Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Considera la funci´on f : R → R definida por   e−x si x ≤ 0      1 − x2 si 0 < x < 1 f (x) =       2 si 1 ≤ x x+1 Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la funci´on derivada de f . Ejercicio 2.- Sean f, g : R → R las funciones definidas por f (x) = x2 − 2x + 3

1 y g(x) = x2 + 1. 2

(a) [1 punto] Esboza las gráficas de f y g, y halla su punto de corte. (b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y el eje de ordenadas. Ejercicio 3.- De la matriz A = (a) [1’25 puntos]

Halla

a b c d

det(−3At )

se sabe que det(A) = 4. Se pide: y

det

2b 2a −3d −3c

. Indica las propiedades que utilizas.

(At es la matriz traspuesta de A). (b) [0’75 puntos] Calcula det(A−1 At ). (c) [0’5 puntos] Si B es una matriz cuadrada tal que B 3 = I, siendo I la matriz identidad, halla det(B).

Ejercicio 4.- Sean los puntos A(2, λ, λ), B(−λ, 2, 0) y C(0, λ, λ − 1). (a) [1 punto] ¿Existe alg´ un valor de λ ∈ R para el que los puntos A, B y C estén alineados? Justifica la respuesta. (b) [1’5 puntos] Para λ = 1 halla la ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices A, B y C. Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano.

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CURSO 2010-2011 a) Duraci´ on: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar u ńicamente los cuatro ejercicios de la Opci´ on A o realizar u ńicamente los cuatro ejercicios de la Opci´ on B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. Instrucciones:

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

Opci´ on A Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semic´ırculo. De entre todas las ventanas normandas de per´ımetro 10 m, halla las dimensiones del marco de la de área máxima.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula el valor de b > 0, sabiendo que el ´area de la regi´on comprendida √ entre la curva y = x y la recta y = bx es de 34 unidades cuadradas. Ejercicio 3.- Considera las matrices   1 0 0 A= 0 λ 1  0 −1 λ



 0 0 1 B= 1 0 0  0 1 0

(a) [1 punto] ¿Hay alg´ un valor de λ para el que A no tiene inversa? (b) [1’5 puntos] Para λ = 1, resuelve la ecuaci´on matricial

A−1 XA = B. ½

Ejercicio 4.- Dados los puntos A(1, 0, 0), B(0, 0, 1) y P (1, −1, 1), y la recta r definida por (a) [2 puntos] Halla los puntos de la recta r cuya distancia al punto P es de 3 unidades. (b) [0’5 puntos] Calcula el ´area del tri´angulo ABP .

x−y−2=0 z=0

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´ MATEMATICAS II

Opci´ on B Ejercicio 1.- Sea f :

£1 ¤ e , 4 → R la funci´on definida por   x − ln(x) + a si e1 ≤ x ≤ 2 f (x) =  bx + 1 − ln(2) si 2 < x ≤ 4

donde ln denota la funci´on logaritmo neperiano.

¢ ¡ (a) [1’25 puntos] Calcula los valores de a y b para que f sea derivable en el intervalo e1 , 4 . 1 (b) [1’25 puntos] Para a = 0 y b = halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y 2 valores que se alcanzan).

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea f : (0, +∞) → R la función definida por f (x) = x(1 − ln(x)), donde ln denota la función logaritmo neperiano. Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto P (1, 1). Ejercicio 3.- Dadas las matrices 

 1 1 0 2 t+1 t−1  A= −2t − 1 0 t+3



 x X= y  z

(a) [1’75 puntos] Calcula el rango de A seg´ un los diferentes valores de t. (b) [0’75 puntos] Razona para qué valores de t el sistema homogéneo solución. ½ Ejercicio 4.- Dados el punto P (1, 1, −1) y la recta r de ecuaciones

AX = 0

tiene m´as de una

x+z =1 y+z =0

(a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a r y pasa por P . (b) [1’5 puntos] Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación perpendicular a r y pasa por P .

y + z = 0,

que es

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´ MATEMATICAS II

Opci´ on A Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de per´ımetro 8 y de área máxima. Ejercicio 2.- Considera las funciones f, g : R → R definidas por

f (x) = 6x − x2

g(x) = x2 − 2x

(a) [0’75 puntos] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte. (b) [1’75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.

Ejercicio 3.- Dadas las matrices 

 α 1 −1 α −1  A= 1 −1 −1 α



 0 B= 1  1

(a) [1’75 puntos] Calcula el rango de A dependiendo de los valores de α. (b) [0’75 puntos] Para α = 2, resuelve la ecuaci´on matricial

AX = B.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(−1, k, 3), B(k + 1, 0, 2), C(1, 2, 0) y D(2, 0, 1). ~ BC ~ y CD ~ sean linealmente (a) [1’25 puntos] ¿Existe alg´ un valor de k para el que los vectores AB, dependientes? (b) [1’25 puntos] Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un tetraedro de volumen 1.

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Opci´ on B

Ejercicio 1.- Sea f la funci´on definida por

f (x) =

3x4 + 1 x3

para x 6= 0.

(a) [1’25 puntos] Estudia las as´ıntotas de la gr´afica de la funci´on. (b) [1’25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2.- Sean f, g : R → R las funciones definidas por

1 f (x) = − x2 + 4 4

g(x) = x2 − 1

(a) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = −2. (b) [1’75 puntos] Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta Calcula el área de este recinto. µ Ejercicio 3.- Sean las matrices

α 1 −α 3

µ y

1 3 1 −1 4 2

(a) [1’25 puntos] Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es (b) [1’25 puntos] Para α = −3, determina la matriz X que verifica la ecuaci´on At la matriz traspuesta de A.

1 A. 12 At X = B, siendo

½ Ejercicio 4.- Dados el plano π de ecuaci´on

x+2y−z = 0

y = x + 5.

y la recta r de ecuaciones

(a) [0’75 puntos] Halla el punto de intersecci´ on del plano π y la recta r. (b) [1’75 puntos] Halla el punto sim´etrico del punto Q(1, −2, 3) respecto del plano π.

3x − y = 5 x + y − 4z = −13

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Opci´ on A Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Dada la función f : R → R definida por f (x) = ax3 + bx2 + cx, determina a, b y c sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1,0), y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación y = −3x + 3. Ejercicio 2.- Sean f : R → R y g : R → R las funciones definidas por: f (x) = 4 − 3|x|

g(x) = x2

(a) [1 punto] Esboza las gráficas de f y g. Determina sus puntos de corte. (b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.

Ejercicio 3.- Sean A y B dos matrices que verifican: µ ¶ 4 2 A+B = y 3 2 (a) [1 punto] Halla las matrices

(A + B)(A − B)

µ A−B = y

2 4 −1 2

A2 − B 2 .

(b) [1’5 puntos] Resuelve la ecuación matricial XA − XB − (A + B)t = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2 y (A + B)t la matriz traspuesta de A + B.   x=1 y = −2λ Ejercicio 4.- Sea el punto P (2, 3, −1) y la recta r dada por las ecuaciones  z=λ (a) [1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por P . (b) [1’5 puntos] Calcula la distancia del punto P a la recta r y determina el punto simétrico de P respecto de r.

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Opci´ on B Ejercicio 1.- [2’5 puntos] En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola y = −x2 + 3. Determina las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima. Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula:

π 2

x cos(x)dx

Ejercicio 3.- Sea la matriz



 3 0 λ A =  −5 λ −5  λ 0 3

(a) [1 punto] Determina los valores de λ para los que la matriz matriz identidad de orden 3. (b) [1’5 puntos] Para λ = −2, resuelve la ecuaci´on matricial

A − 2I

tiene inversa, siendo I la

AX = 2X + I.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Considera los planos π1 y π2 dados respectivamente por las ecuaciones (x, y, z) = (−2, 0, 7) + λ(1, −2, 0) + µ(0, 1, −1) Determina los puntos de la recta r definida por

x=y+1=

y z−1 −3

2x + y − z + 5 = 0 que equidistan de π1 y π2 .

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Opci´ on A Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 100 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el metro. ¿Cuáles son las dimensiones del prado de área máxima que podemos cercar con 3000 euros? Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula un n´ umero positivo a, menor que 2, para que el recinto limitado por 1 2 y las dos rectas horizontales de ecuaciones y = a e y = 2, la parábola de ecuación y = x 2 14 tenga un área de unidades cuadradas. 3 Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones  2x − 2y + 4z = 4  2x + z = a  −3x − 3y + 3z = −3 (a) [1’75 puntos] Disc´ utelo seg´ un los valores del parámetro a. (b) [0’75 puntos] Resuélvelo cuando sea posible.

Ejercicio 4.- Dada la recta r definida por ½ x=1 2y − z = −2

x−1 y+1 = = −z + 3 3 2

y la recta s definida por

(a) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´on del plano que pasa por el origen y contiene a r. (b) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´on del plano que contiene a s y es paralelo a r.

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Opci´ on B Ejercicio 1.- [2’5 puntos] En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, x, es de 18 a 50 a˜ nos, los ingresos vienen dados por la fórmula −x2 + 70x, mientras que para edades iguales o superiores a 50 a˜ nos los ingresos están determinados por la expresión, 400x x − 30 Calcula cuál es el máximo de los ingresos y a qué edad se alcanza. Ejercicio 2.- Dada la función f : R → R definida por

f (x) = −2x2 + 3x − 1

(a) [0’5 puntos] Prueba que las rectas

y = −x + 1

y = 3x − 1

son tangentes a su gr´afica.

(b) [2 puntos] Halla el ´area del recinto limitado por la gr´afica de f y las rectas mencionadas en el apartado anterior. µ Ejercicio 3.- Dada la matriz (a) [1 punto] Demuestra que de orden 2.

−1 1 2 −1

A2 + 2A = I

y que

A−1 = A + 2I, siendo I la matriz identidad

(b) [1’5 puntos] Calcula la matriz X que verifica la ecuaci´on

Ejercicio 4.- Dada la recta r definida por

x+7 y−7 = =z 2 −1

A2 + XA + 5A = 4I.   x=2 y = −5 y la recta s definida por  z=λ

(a) [1’75 puntos] Halla la ecuaci´on de la recta que corta perpendicularmente a ambas. (b) [0’75 puntos] Calcula la distancia entre r y s.

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Opci´ on A Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Un alambre de 100 m de longitud se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea m´ınima. Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Determina la función f : (0, +∞) → R tal que

f 00 (x) =

tiene tangente horizontal en el punto P (1, 1).

1 x

y su gr´afica

1 Ejercicio 3.- Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |A| = y |B| = −2. 2 Halla: (a) [0’5 puntos] |A3 |. (b) [0’5 puntos] |A−1 |. (c) [0’5 puntos] | − 2A|. (d) [0’5 puntos] |AB t |, siendo B t la matriz traspuesta de B. (e) [0’5 puntos] El rango de B.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 0, 2) y B(1, 2, −1). (a) [1’25 puntos] Halla un punto C de la recta de ecuación triángulo de vértices A, B y C tiene un ángulo recto en B.

y x−1 = = z 3 2

que verifica que el

(b) [1’25 puntos] Calcula el área del triángulo de vértices A, B y D, donde D es el punto de corte del plano de ecuación 2x − y + 3z = 6 con el eje OX.

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Opci´ on B Ejercicio 1.- Sea f : R → R la funci´on definida por

f (x) = 4 − x2

(a) [1 punto] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2. (b) [1’5 puntos] Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta x + 2y − 2 = 0.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula:

Ejercicio 3.- Dada la matriz

x3 + x2 dx x2 + x − 2



 0 3 4 A =  1 −4 −5  −1 3 4

(a) [0’5 puntos] Demuestra que se verifica la igualdad orden 3.

A3 = −I,

siendo I la matriz identidad de

(b) [1’25 puntos] Justifica que A es invertible y halla su inversa. (c) [0’75 puntos] Calcula razonadamente A100 .

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Considera los planos π1 , π2 y π3 dados respectivamente por las ecuaciones 3x − y + z − 4 = 0,

x − 2y + z − 1 = 0

x+z−4=0

Halla la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto P (3, 1, −1), es paralela al plano π1 y corta a la recta intersecci´on de los planos π2 y π3 .

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Opci´ on A Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Se desea construir un depósito cil´ındrico cerrado de área total igual a 54 m2 . Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máximo. Ejercicio 2.- Sea f : (−1, +∞) → R la función definida por función logaritmo neperiano.

f (x) = ln(x + 1),

donde ln denota la

(a) [0’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gr´afica de f , el eje OY y la recta los puntos de corte de las gr´aficas.

y = 1.

Calcula

(b) [1’75 puntos] Halla el ´area del recinto anterior.

Ejercicio 3.- Dado el sistema de ecuaciones lineales  −λx + y + z = 1  x + λy + z = 2  λx + y + z = 1 (a) [1’75 puntos] Clasifica el sistema seg´ un los valores del par´ametro λ. (b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para λ = 0.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Determina el punto sim´etrico del punto A(−3, 1, 6) respecto de la recta r de y+3 z+1 ecuaciones x − 1 = = 2 2

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Opci´ on B √ Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f : [1, +∞) → R la función definida por f (x) = x − 1. Determina el punto P de la gráfica de f que se encuentra a menor distancia del punto A(2, 0). ¿Cuál es esa distancia? Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Halla:

ex dx (e2x − 1)(ex + 1)

Sugerencia: efect´ ua el cambio de variable t = ex . µ Ejercicio 3.- Dada la matriz

λ+1 0 1 −1

(a) [1’25 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz

A2 + 3A

(b) [1’25 puntos] Para λ = 0, halla la matriz X que verifica la ecuaci´on matriz identidad de orden 2.

no tiene inversa.

AX + A = 2I,

½ Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 0, −1) y B(2, 1, 0), y la recta r dada por

siendo I la

x+y =1 x+z =2

(a) [1’75 puntos] Determina la ecuaci´on del plano que es paralelo a r y pasa por A y B. (b) [0’75 puntos] Determina si la recta que pasa por los puntos P (1, 2, 1) y Q(3, 4, 1) est´a contenida en dicho plano.