Nombre y Apellidos:
TEC 4º ESO
LÓGICA DIGITAL 0.- INTRODUCCIÓN. Una señal analógica es aquella que puede tener infinitos valores, positivos y/o negativos. Mientras que la señal digital sólo puede tener dos valores 1 o 0.
Señales analógica y digital En el ejemplo de la figura, la señal digital toma el valor 1 cuando supera al valor a, y toma valor 0 cuando desciende por debajo del valor b. Cuando la señal permanece entre los valores a y b, se mantiene con el valor anterior. Esto supone una gran ventaja, hace que la señal digital tenga un alto grado de inmunidad frente a variaciones en la transmisión de datos. Pero tiene el inconveniente de que para transmitir una señal analógica debemos hacer un muestreo de la señal, codificarla y posteriormente transmitirla en formato digital y repetir el proceso inverso. Para conseguir obtener la señal analógica original todos estos pasos deben hacerse muy rápidamente. Aunque los sistemas electrónicos digitales actuales trabajan a velocidades lo suficientemente altas como para realizarlo y obtener resultados satisfactorios. El muestreo de una señal consiste en convertir su valor en un valor binario, por lo que es necesario estar familiarizado con los sistemas de numeración. Sistema binario- decimal El lenguaje binario se caracteriza por utilizar 0 y 1 y el lenguaje decimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9. Para convertir el número binario en decimal, multiplicamos cada dígito por la potencia en base 2 correspondiente a su posición, y la suma total nos da el número decimal. Por ejemplo: 10010110 1× 27+0× 26+0× 25+1× 24+0× 23+1× 22+1× 21+0× 20=150 Para realizar el cambio de base decimal a base binaria se divide el número decimal por dos, continuamente hasta que todos los restos y cocientes sean 0 o 1. El número binario será el formado por el último cociente (bit de mayor peso) y todos los restos. Por ejemplo: El número 37 en base decimal, lo podemos expresar:
37 en base 10 = 100101 en base 2
-1-
Nombre y Apellidos:
TEC 4º ESO
Actividad: Pasar a decimal los siguientes números en binario 10011000: 01110010: 11001000: 1.- ÁLGEBRAS Si nos propusiéramos inventar un nuevo juego, tendríamos que elegir un conjunto de elementos y definir una serie de reglas coherentes entre sí. En función de cómo hiciéramos esta elección, nuestro juego sería más o menos divertido. Los juegos matemáticos que consisten en elegir un conjunto de números e inventarse una serie de operaciones con ellos se llaman álgebras o estructuras algebraicas. Desde pequeños, estamos familiarizados con un álgebra que consta de: -
10 elementos: los números naturales (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9). Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Una serie de propiedades: conmutativa, asociativa, distributiva…
Tú mismo puedes inventarte un álgebra. Muchos matemáticos disfrutan creando álgebras y, después, deduciendo nuevas reglas (teoremas) a partir de las propiedades definidas inicialmente, dejando para más tarde la cuestión sobre la utilidad del álgebra creada. Álgebra de Boole El álgebra creada por el matemático inglés George Boole (1815-1864) consta únicamente de dos elementos, llamados dígitos binarios o bits: el 0 y el 1. Boole nunca conoció las tremendas repercusiones de su álgebra, cuyo éxito reside en lo siguiente: 1. Muchos problemas tecnológicos pueden traducirse de nuestro sistema numérico decimal a un sistema de dos números (lenguaje binario). 2. Podemos identificar los dígitos 0 y 1 con dos estados físicos diferentes; por ejemplo, un interruptor abierto (0) y un interruptor cerrado (1); una bombilla apagada (0) y una bombilla encendida (1). 3. Las operaciones booleanas de suma, multiplicación y negación se pueden realizar físicamente con circuitos electrónicos, neumáticos, hidráulicos, etc. Pero la implementación electrónica tiene importantes ventajas respecto a las demás: es más fiable, más rápida, más barata y, además, miniaturizable hasta niveles microscópicos. Tres operaciones: Multiplicación (×): 0 ×0=0, 0×1=0, 1×0=0, 1×1=1 Suma (+): 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=1 Negación:(-) _ _ 0=1, 1=0 La prioridad de estos operadores es: 1º la negación, 2º la multiplicación y por último la suma. Propiedades: conmutativa: a×b=b×a, a+b=b+a Asociativa: (a+b)+ c= a+(b+c), (a×b) × c= a× (b×c) Elemento negado: _ _ a+ a=1 , a×a=0
-2-
Nombre y Apellidos:
TEC 4º ESO
Actividad: Señala que dígitos (0 ó 1) le corresponde a los elementos (bombillas, motor e interruptores) en el circuito siguiente:
2.- PLANTEAMIENTO DIGITAL DE PROBLEMAS TECNOLÓGICOS. Imagina que deseamos que un motor eléctrico M funcione solo cuando estén cerrados simultáneamente dos interruptores, A y B. la solución es sencilla: conectar dos interruptores en serie con el motor. Existen cuatro posibles estados de funcionamiento del motor según el estado de los interruptores.
Para traducir este problema al lenguaje de la lógica digital, debemos seguir las siguientes instrucciones: 1. Identificar cada elemento de maniobra (control) con una variable: Esta variable solo puede tomar los valores 0 (abierto) y 1 (cerrado). En nuestro caso, A y B son interruptores. 2. Identificar cada actuador con una función: Esta función también tomará únicamente dos valores dependiendo de los que tomen las variables. En nuestro caso, los valores 0 y 1 de la función corresponderán, respectivamente, a los estados <parado> y <en movimiento> del motor. Las variables y las funciones que solo pueden tomar dos valores se llaman variables y funciones lógicas. 3. Elaborar la tabla de verdad de los actuadores: Dicha tabla recoge todos los valores que puede tomar una función lógica según los valores que tomen las variables lógicas de las que depende. variables Función A B M 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 -3-
Nombre y Apellidos:
TEC 4º ESO
El número de combinaciones se calcula aplicando la fórmula: 2 n, donde n indica el número de variables de entrada. 4. Expresar algebraicamente las funciones lógicas: En nuestro circuito, los valores que toma la función M pueden obtenerse multiplicando <booleanamente> los valores que toman las variables lógica A y B. Por tanto, la función M puede expresarse así: M = A×B Por muy complicada que sea una función lógica, siempre podrá expresarse como suma de productos de sus variables, negadas o no (se suman las combinaciones que tengan salida de M un 1). A esta forma de expresión algebraica se la llama primera forma canónica (FCI). Esta expresión que resulta se puede simplificar con un método sencillo como es el mapa de Karnaugh. (se explica en los problemas 7,8,9 y 10). Actividad: Obtener la función F en forma canónica a partir de la siguiente tabla de verdad. Las variables de entrada de las que depende F son A, B y C . A 0 0 0 0 1 1 1 1
variables B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
Función F 1 0 0 1 0 1 0 1
5.- Implementar las funciones lógicas utilizando circuitos digitales elementales. a. En primer lugar, colocaremos en la región izquierda de nuestro circuito tantos terminales de entrada (inputs) como variables tenga nuestro problema (A y B). Después en la región derecha, colocaremos el terminal correspondiente a la salida (output), en el problema anterior (M). b. Luego utilizaremos circuitos electrónicos diseñados para realizar operaciones booleanas elementales. Estos circuitos se llaman puertas lógicas. Implementaremos la función M= A×B, con la puerta lógica que realiza la operación de multiplicación. Se llama puerta AND y se representa c. Por último, conectaremos los terminales conforme a la función algebraica de la función que deseamos implementar.
-4-
Nombre y Apellidos:
TEC 4º ESO
A M B 6.-Acondicionar las entradas y las salidas digitales. Las puertas lógicas necesitan estar conectadas a una fuente de alimentación para realizar su función. El Terminal alimentación corresponde al polo positivo (+Vcc) de la pila y el Terminal masa con el polo negativo (0V).
Se pueden distinguir: - El bloque de entrada - El bloque de proceso o de control - El bloque de salida •
1
En los esquemas eléctricos es admisible sustituir el símbolo de la pila por dos terminales de alimentación. Por ejemplo, los siguientes esquemas son equivalentes:
Los valores lógicos (0 y 1) que pueden tomar las puertas se corresponden físicamente con intervalos de voltaje: Intervalo de voltaje 0V 5V
valor lógico 0 1
3.- PUERTAS LÓGICAS Las puertas lógicas son circuitos electrónicos especializados en realizar expresiones booleanas. Las puertas lógicas básicas son las tres correspondientes a las
-5-
Nombre y Apellidos:
TEC 4º ESO
operaciones definidas en el álgebra de Boole: se llaman AND (corresponde a la operación multiplicación), OR (suma) y NOT (negación).
Puerta lógica
Operación booleana
AND (Y lógico)
S = a×b
OR (o lógico)
S=a+b
NOT (inversor)
La puerta lógicas se simplifica con la simbología que aparece en la tabla pero en la realidad consisten en un circuito integrado formado por varios componentes electrónicos. El siguiente esquema es el se una puerta NOT. Además de estas, existen otras puertas lógicas (NAND, NOR). La siguiente tabla recoge las más usadas, la operación booleana que realizan, su simbología y sus modelos comerciales más populares: Símbolo Circuito equivalente Tabla de la crocodile verdad
a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
s 0 0 0 1
a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
s 0 1 1 1
a 0 1
S=a
-6-
s 1 0
Nombre y Apellidos:
NAND (Y negada)
TEC 4º ESO
S = a×b
a 0 0 1 1
NOR (o negada)
b 0 1 0 1
s 1 1 1 0
S=a+b
a b s 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Las puertas NAND y NOR se conocen como puertas universales porque mediante ellas es posible obtener cualquiera de las otras. Los siguientes circuitos muestran como conseguir puertas NOT, OR y AND a partir de puertas NAND: Circuito con puertas NAND
circuito equivalente
Con esto lo que conseguimos es realizar un montaje únicamente con circuitos integrados 7400 (compuesto por puertas NAND) (suponemos que solo disponemos de estos integrados en el taller). A los circuitos vistos hasta ahora se les estudia dentro de la llamada “lógica combinacional”, en todos ellos, dependiendo de los valores de las variables de entrada se obtiene una única salida.
-7-
Nombre y Apellidos:
TEC 4º ESO
Actividad: Mediante la combinación de distintas puertas lógicas, se crean funciones más complejas como la s1 y la s2. Determinar la función resultante y la tabla de verdad de estas dos funciones.
Puertas lógicas en circuitos integrados Las puertas lógicas no se comercializan individualmente, sino que se presentan empaquetadas en un circuito integrado cuyo aspecto y tamaño es similar al de una cucaracha. Los circuitos integrados están hechos a base de transistores y según el tipo de transistores utilizados pueden ser TTL o CMOS. Los circuitos fabricados con transistores CMOS admiten un rango de tensiones mayor. Circuito integrado
Función
Tipo de transistor
Vcircuito
7400 7402 4001 4011 7404 7432 7408
4 NAND 4 NOR 4 NOR 4 NAND 6 NOT 4 OR 4 AND
TTL TTL CMOS CMOS
5V De 3V a 15V 5V 5V 5V
En estos integrados no necesariamente debes utilizar todo el patillaje, la 7 y la 14 es la alimentación y luego se pueden utilizar las puertas NOT que necesite.
-8-
Nombre y Apellidos:
TEC 4º ESO
Si comparamos ciertos aparatos electrónicos de hace unos años con sus equivalentes modernos, observaremos una diferencia fundamental entre ellos: el tamaño. Los voluminosos televisores de tubo, por ejemplo, han dado paso a las pantallas LCD o de plasma, más estrechas y mucho más ligeras. Esto ha sido posible gracias a la fabricación de circuitos diminutos en los que se integran millones de componentes.
EJERCICIOS: 1.- Realiza la tabla de la verdad y el circuito electrónico (diagrama con puertas lógicas) de las siguientes funciones. _ _____ S1=a×b+a×c S2= a+(b×c) S3= a + b S4=ab+ac+bc S5= (a+ b×d)× a×b×c 2.- Determina la función resultante y la tabla de la verdad de estos circuitos. 2
1 3
4
-9-
Nombre y Apellidos:
TEC 4º ESO
3.- A partir de las tablas de la verdad siguientes determina la función y dibuja el esquema de puertas. Utiliza la puerta AND de dos entradas para realizar el esquema y compara como sería el esquema si hubiera utilizado la puerta AND de tres entradas. a 0 0 0 0 1 1 1 1
b 0 0 1 1 0 0 1 1
c 0 1 0 1 0 1 0 1
S1 0 0 1 0 0 1 0 0
a 0 0 0 0 1 1 1 1
b 0 0 1 1 0 0 1 1
c 0 1 0 1 0 1 0 1
S2 1 0 0 0 0 0 0 1
a 0 0 0 0 1 1 1 1
b 0 0 1 1 0 0 1 1
c 0 1 0 1 0 1 0 1
S3 0 1 1 0 0 1 0 0
4.- Para controlar el sistema de alarma de una casa se ha pensado utilizar las siguientes variables lógicas. a.- Alarma activada. b.- Señal de humo c.- Presencia de persona Se desea que haya dos salidas o funciones, determina la función y el esquema. • Salida 1, antiincendios, se activa si está activada la alarma, está activada la señal de humo y no está activada la señal de presencia de persona. • Salida 2, intruso en casa, se activa si está activada la alarma y la señal de presencia humana. 5.- Para controlar la apertura y cerrado de una puerta automática se tienen las siguientes variables: a.- Presencia de persona b.- Puerta abierta c.- Puerta cerrada. Dependiendo del valor de estas variables se activan las salidas S1.- Puerta se abre S2.- Puerta se cierra. La salida S1 se activa si hay una persona y la puerta no está abierta. La salida S2 se activa si no hay persona y la puerta no está cerrada. Escribir las funciones y los circuitos con puertas lógicas de las dos salidas. 6.- Una bomba se controla desde tres interruptores A, B y C de manera que solo funciona cuando se cierran dos de los tres interruptores a la vez. Obtener el diagrama - 10 -
Nombre y Apellidos:
TEC 4º ESO
lógico de este automatismo. Y si dijera el enunciado “al menos dos de los tres interruptores”. 7.- Un motor es controlado mediante 3 pulsadores A, B y C. Las condiciones de funcionamiento que se cumplen son las siguientes: - si se pulsan los tres pulsadores el motor se activa. - si se pulsan dos pulsadores cualesquiera, el motor se activa pero se enciende una lámpara adicional como señal de emergencia. - si sólo se pulsa un pulsador, el motor no se activa, pero se enciende la lámpara indicadora de emergencia. - si no se pulsa ningún interruptor, ni el motor ni la lámpara se activa. Hacer: Tabla de verdad, expresiones lógicas simplificadas utilizando para ello los mapas de Karnaugh y diagrama lógico simplificado con puertas lógicas. 8.- En un automóvil de dos puertas se encienden las luces interiores cuando se desactiva alguno de los actuadores existentes en cada puerta, o cuando el conductor pulsa el actuador manual situado cerca del retrovisor. Se pide: Tabla de verdad, expresión lógica simplificada y diagrama lógico simplificado. 9. Un zumbador debe accionarse para dar una señal de alarma interruptores cumplan las siguientes condiciones: A y B accionados, C y D en reposo. A y D accionados, B y C en reposo. C accionado, A,B y D en reposo. A,B,C accionados y D en reposo.
cuando cuatro
Se pide: Tabla de verdad, expresión lógica simplificada. 10.- Un motor eléctrico puede girar en ambos sentidos por medio de dos actuadotes: D para el giro a la derecha y I para el giro a la izquierda. Estos actuadotes son comandados por dos pulsadores de giro d (derecho) e i (izquierdo) y un interruptor de selección L de acuerdo con las siguientes condiciones: - si sólo se pulsa uno de los dos botones de giro, el motor gira en el sentido correspondiente (independientemente del estado de L) - si se pulsan los dos botones de giro simultáneamente, el sentido de giro depende del estado del interruptor L de forma que: - Si L está activado, el motor gira a la derecha. - Si L está en reposo, el motor gira a la izquierda. Se pide: Tabla de verdad, las funciones lógicas D e I simplificadas, su circuito lógico mediante puertas.
- 11 -