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Ángulos
Integrante: Jhoen A. Carrillo. R
¿Que son los ángulos?
Ángulo es un concepto de la Geometría para referirse al espacio comprendido entre la intersección de dos líneas que parten de un mismo punto o vértice, y que es medido en grados. También la porción de plano limitada por dos semirrectas con origen en un mismo punto. Las semirrectas se llaman lado inicial y final. Al origen común se le denomina vértice del ángulo.
Los ángulos se nombran de varias maneras: -con una letra minúscula, como a o b, o a veces con una letra griega como (alfa). -con tres letras mayúsculas y un símbolo en forma de ángulo encima. La letra del medio es el vértice
¿Relaciones entre ángulos?
Ángulos complementarios: Son los que suma 90º. Ángulos suplementarios: Son los que suman 180º. Ángulos consecutivos o contiguos: Tienen un lado común. Ángulos adyacentes: Ángulos que tienen un lado en común y el otro lado sobre una misma recta. Tiene la propiedad de ser suplementarios. Ángulos opuestos por el vértice: Dos ángulos son opuestos por el vértice, cuando al prolongar los lados de un ángulo se forman los lados del otro ángulo.
¿Medidas de ángulos? Sexagesimal Aproximadamente en el año 1000 a.C. los babilonios extienden a los círculos celestes la división del día en 360 partes, y cada una de estas partes le llama grado sexagesimal. Y a la cuarta parte le corresponden 90 grados sexagesimales, que se nota por 90º . Centesimal La medida de ángulos centesimal se adoptó con el sistema métrico decimal. El ángulo completo 360º en el sistema sexagesimal se divide en 400 partes iguales y un ángulo recto en 100, se notan por 100 g. Y le llama Radian.
Radianes Dada una circunferencia de centro O y radio r, se denomina radian al ángulo central cuyo arco coincide con el radio.
¿Grados de un ángulo? El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y sus divisores: el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo: 1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales). Un radián es: El ángulo que se consigue cuando se toma el radio y se enrolla sobre el círculo:
Ángulos complementarios:
Son los que sumados son iguales al valor de un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados. En caso de que los lados que son comunes estén uno al lado del otro (consecutivos) el ángulo recto se apreciara, sin embargo no necesariamente los ángulos complementarios tienen que ser consecutivos, basta que la suma de ambos sea de 90º.
¿Ángulos suplementarios?
Son aquellos que en par suman 180 grados. A diferencia de los ángulos complementarios que forman 90 grados. Siguiendo la misma propiedad y fórmula de los que se complementan entre sí, un ángulo que tenga menos de 180 grados le corresponderá un ángulo que lo suplementa según la fórmula A (ángulo suplementario) = 180° menos (-) el ángulo que necesita suplemento. Ejemplo: A = 180° – 150° = 30°.
¿Ángulos opuestos por el vértice?
Se denominan Ángulos opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semi rectas contrarias a los lados del otro. Los ángulos opuestos al vértice tienen como propiedad que “todos los ángulos opuestos por el vértice son iguales”.
Ángulos formados por rectas paralela
En geometría euclidiana, los ángulos entre paralelas son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Se clasifican según su congruencia.
Ángulos cortados por una secante Rectas paralelas cortadas por una secante. La relación entre dos rectas paralelas cortadas por una secante es un análisis clásico de
la geometría euclidiana, que permite analizar una infinidad de problemas prácticos, así como definir algunos conceptos de interés en cuanto a congruencia y suplementaria de ángulos.
Problemas resueltos sobre รกngulos
Triangulos
¿Que son triángulos? En geometría, es un polígono de tres segmentos que determinan tres puntos del plano y su limitación. Cada punto dado pertenece a dos segmentos. Los puntos comunes a cada par de segmentos se denominan vértices del triángulo y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo.
Triángulo equilátero Tres lados iguales Tres ángulos iguales, todos 60°
Triรกngulo isรณsceles Dos lados iguales Dos รกngulos iguales
Triรกngulo escaleno No hay lados iguales No hay รกngulos iguales
Congruencia de triรกngulos
En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es combinación de translaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.
Criterios de congruencia de triángulos Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.
Primer criterio de congruencia: LLL Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales. a ≡ a’
b ≡ b’ c ≡ c’ → triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
Segundo criterio de congruencia: LAL Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos. b ≡ b’ c ≡ c’ α ≡ α’ → triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
Tercer criterio de congruencia: ALA Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado. b ≡ b’ α ≡ α’ β ≡ β’ → triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
Cuarto criterio de congruencia: LLA Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también
Semejanza de Triángulos: El concepto de semejanza corresponde a figuras de igual forma, pero no Necesariamente de igual tamaño. Una semejanza, es un coaguló geométrico difundido de rotación (una rotación y una posible reflexión o simetría axial).
Ángulos Internos: Los ángulos internos son ángulos formados dentro de un polígono o figura geométrica, estos ángulos se encuentran dentro del área interior del polígono.
Ángulos Externos: Los ángulos externos son ángulos formados por un lado de un polígono y la extensión de su lado adyacente, los ángulos externos se encuentran en la parte exterior del polígono.
Teorema de Pitรกgoras Establece que en todo triรกngulo rectรกngulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de.
El circulo
Que es el círculo Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio. En otras palabras, es la región del plano delimitada por una circunferencia y que posee un área definida.
Recta secante es una recta que corta a una curva en 2 puntos. Conforme estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero, la recta adquiere el nombre de recta tangente. Dados los puntos de intersecciรณn A y B puede calcularse la ecuaciรณn de la recta secante.
Tangente Une a una curva en uno de sus puntos, es una recta que toca a la curva en el punto dado, el punto de tangencia (se puede decir que ÂŤforman un ĂĄngulo nuloÂť en la vecindad de dicho punto).
Cuerda Una línea recta que conecta dos puntos en una curva. Ejemplo: una línea recta que conecta dos puntos en la circunferencia de un círculo sería una cuerda.
Arco Es cualquier curva continua que une dos puntos. TambiĂŠn, se denomina arco a un segmento de circunferencia; un arco de circunferencia queda definido por tres puntos, o dos puntos extremos y el radio, o por la longitud de una cuerda y el radio.
El Radio En un sentido más general —en geometría, ingeniería, teoría de grafos y muchos otros contextos—, el radio (por ejemplo, de un cilindro, un polígono, un grafo o una parte mecánica) es el segmento que une su centro (o eje) y sus puntos más externos.
Diámetro En Geometría el diámetro es la línea recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos, ya sea en una circunferencia, en una
curva cerrada o en una superficie esférica. Todo diámetro dividirá al círculo en cuestión en dos semicírculos.
Perímetro Se refiere al contorno de una superficie o de una figura y a la medida de ese contorno.
Círculo trigonométrico Es aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad. El círculo trigonométrico tiene la ventaja de ser una herramienta práctica en el manejo de los conceptos de trigonometría, pero al mismo tiempo es un apoyo teórico, pues ayuda a fundamentar y tener una idea precisa y formal de las funciones trigonométricas. Atreves del círculo trigonométrico se puede obtener de forma manual o analítica el valor aproximado de las razones trigonométricas para un ángulo
determinado si se dispone de los instrumentos geométricos necesarios.
Relaciones trigonométricas (seno, coseno, tangente) El seno de un ángulo es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo dividido por el largo de la hipotenusa. El coseno de un ángulo es la razón entre el largo del cateto adyacente al ángulo dividido por el largo de la hipotenusa.
La tangente de un ángulo es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo dividido por el largo del lado adyacente del ángulo.
Teorema del seno En trigonometría, el teorema de los senos o también conocido como ley de los senos es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus respectivos ángulos opuestos.
Teorema del coseno En un triรกngulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del รกngulo que forman.