El Algebra de Boole Mapa de Karnaugh (mapa K)
Mapa de Karnaugh (mapa K) El mapa de Karnaugh, también conocido como diagrama de Karnaugh o tabla de Karnaugh, es una herramienta gráfica utilizada en el diseño y simplificación de circuitos lógicos en el ámbito de la electrónica digital y la lógica booleana. Fue desarrollado por el matemático e ingeniero Maurice Karnaugh en 1953. El propósito principal del mapa de Karnaugh es proporcionar una representación visual de las relaciones entre las entradas y salidas de una función booleana. Esto facilita la identificación de patrones y la simplificación de expresiones lógicas, lo que a su vez ayuda a simplificar el diseño de circuitos. El mapa de Karnaugh organiza las combinaciones de entradas y sus correspondientes salidas en una tabla bidimensional, donde cada celda representa una combinación específica. Las celdas adyacentes en el mapa de Karnaugh difieren en una sola variable, lo que permite identificar patrones y agrupar términos similares para simplificar la expresión lógica asociada. El proceso de simplificación implica identificar grupos de 1 o 0 contiguos en el mapa de Karnaugh, y luego escribir una expresión lógica simplificada que represente esos grupos. Este enfoque ayuda a minimizar el número de términos y, por lo tanto, a simplificar el diseño del circuito.
Pasos para Realizar un Mapa K Realizar un mapa de Karnaugh implica seguir algunos pasos específicos para simplificar una expresión lógica booleana. Aquí están los pasos generales: 1. Identificar las variables de entrada: Determina cuáles son las variables de entrada de tu función booleana. Cada variable puede tener dos valores posibles, 0 o 1. 2. Crear la tabla de verdad: Enumera todas las posibles combinaciones de valores de entrada y registra los correspondientes resultados de la función booleana. Esto se conoce como la tabla de verdad. 3. Dibujar el mapa de Karnaugh: Divide la tabla de verdad en grupos de celdas de acuerdo con las reglas del mapa de Karnaugh. La cantidad de filas y columnas en el mapa de Karnaugh dependerá del número de variables de entrada. 4. Etiquetar las filas y columnas: En cada celda del mapa de Karnaugh, identifica la combinación de valores de entrada asociada. Las filas y columnas deben estar etiquetadas en orden, reflejando las combinaciones de valores binarios posibles. 5. Marcar los 1's: En el mapa de Karnaugh, coloca un "1" en las celdas correspondientes a las combinaciones de entrada que producen un resultado de 1. 6. Identificar grupos de 1's:Encuentra grupos de 1's adyacentes en el mapa de Karnaugh. Estos grupos pueden ser de tamaño 1, 2, 4, 8, etc., dependiendo de la cantidad de celdas adyacentes que contengan un "1". 7. Escribir la expresión simplificada: Utiliza los grupos identificados para escribir una expresión lógica simplificada. Cada grupo se convierte en un término en la expresión booleana final. 8. Verificar la simplificación: Comprueba que la expresión simplificada es equivalente a la expresión original mediante la tabla de verdad o álgebra booleana.
Uso de la Condición Don’t Care La condición de "Don't Care" (no importa) se refiere a situaciones en las que el valor de una variable de entrada o salida en una tabla de verdad o en un mapa de Karnaugh no afecta significativamente el resultado o el comportamiento deseado del circuito. El uso de condiciones de "Don't Care" es común en el diseño de circuitos digitales y en la simplificación de expresiones booleanas. Aquí hay algunos escenarios en los que se pueden aplicar:
1. Optimización del circuito: En algunos casos, ciertas combinaciones de entrada pueden no ocurrir en la práctica o no ser relevantes para el comportamiento deseado del circuito. En lugar de diseñar circuitos para todas las combinaciones posibles, puedes aprovechar las condiciones de "Don't Care" para simplificar el diseño y reducir la complejidad. 2. Minimización de expresiones booleanas: Al trabajar con mapas de Karnaugh para simplificar funciones booleanas, las celdas que corresponden a condiciones de "Don't Care" pueden ser tratadas como 0's o 1's según lo que permita lograr una simplificación más eficiente. 3. Reducción de costos: En sistemas integrados, el uso de condiciones de "Don't Care" puede ayudar a reducir la complejidad del diseño y, por lo tanto, disminuir los costos asociados con la implementación del circuito.
Ejercicios a Resolver 1. F(x,y,z,w) = ∑m(4,5,6,9,10,11,13) 2. Una maquina indicadora de mayoría de votos comprende tres interruptores x,y,z y una lámpara. La lámpara se enciende cuando se obtienen dos o más votos favorables. Diseñe el circuito utilizando Mapas K. 3. Un sistema electrónico de alarma está constituido por cuatro detectores a,b,c y d. La alarma debe dispararse cuando se activen tres o cuatro detectores. Si se activan solo dos detectores su disparo es indiferente La alarma nunca debe dispararse si se activa un solo detector o ninguno Por ultimo y por razones de seguridad, se deberá activar si a=0 , b=0, c=0 y d=1 Utilizando Mapas K diseñe un circuito de control para esta alarma con el menor número de compuertas posible.
1er Ejercicio F(x,y,z,w) = ∑m(4,5,6,9,10,11,13) Primero usaremos la tabla de verdad para determinar el valor en binario de los minterms. Por lo tanto; F(x,y,z,w) = ∑m(4,5,6,9,10,11,13) =
X
Y
Z
W
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
2
0
0
1
1
3
0
1
0
0
4
0
1
0
1
5
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
x’yz’w’+x’yz’w+x’yzw’+xy’z’w+xy’zw’+xy’zw+xyz’w Mapa de Karnaugh:
A+A = A A+A’ = 1
zw xy
00
01
11
10
00
0
0
0
0
6
01
1
1
0
1
1
7
11
0
1
0
0
0
0
8
10
0
1
1
1
0
0
1
9
1
0
1
0
10
1
0
1
1
11
1
1
0
0
12
1
1
0
1
13
1
1
1
0
14
1
1
1
1
15
• • • •
F = x’yz’ + xy’z + xz’w + x’yw’
Diagrama:
x’yz’ xy’z xz’w x’yw’
2do Ejercicio Una maquina indicadora de mayoría de votos comprende tres interruptores x,y,z y una lámpara. La lámpara se enciende cuando se obtienen dos o más votos favorables. Diseñe el circuito utilizando Mapas K.
Tabla de Verdad: X
Y
Z
L
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
Mapa de Karnaugh:
yz x
0 1
1 0
1 0
01
11
10
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
Diagrama:
00
1
L = yz + xy + xz
• • •
yz xy xz
3er Ejercicio Un sistema electrónico de alarma está constituido por cuatro detectores a,b,c y d. La alarma debe dispararse cuando se activen tres o cuatro detectores. Si se activan solo dos detectores su disparo es indiferente La alarma nunca debe dispararse si se activa un solo detector o ninguno Por ultimo y por razones de seguridad, se deberá activar si a=0 , b=0, c=0 y d=1 Utilizando Mapas K diseñe un circuito de control para esta alarma con el menor número de compuertas posible.
Tabla de Verdad: a
b
c
d
A
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
X
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
Mapa de Karnaugh:
zw xy
00
01
11
10
00
0
1
X
0
0
01
0
X
1
X
1
X
11
X
1
1
1
1
0
X
10
0
X
1
X
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
X
1
0
1
0
X
1
0
1
1
1
1
1
0
0
X
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
A = d + ab Diagrama:
• •
d ab