Notas de Precรกlculo
INTRODUCCIÓN
El presente texto y su diseño es una aportación que intenta salvar el importante hueco de la creación material de apoyo bibliográfico, guías académicas, cuadernos de trabajo etc. y viene a cubrir una de las condiciones más importantes de la evaluación que el CACEI (Consejo de Acreditación de la Enseñanza de la Ingeniería) ha hecho a los centro de estudios, de forma general para todas las curriculas.
Los temas de la presente obra se ajustan a los requerimientos en el aula, basada en los contenidos temáticos del programa de esta asignatura. El libro “ NOTAS DE PRECÁLCULO ” viene a ser un apoyo en el proceso enseñanza – aprendizaje de tal forma que le deja al alumno optimizar su desempeño en la clase, enfocando por completo su atención al desarrollo y exposición de los temas sin distracción u omisión en su seguimiento, permitiéndole anotar únicamente datos que al mismo resulten relevantes y destaquen a su interés personal. Reforzando lo anterior encontrara ejercicios que le permitirán evaluar el grado de comprensión, habilidades y destrezas adquiridas respecto a los contenidos y objetivos de está asignatura, considerando que la actitud y disciplina que manifieste será el sinónimo de honestidad y calidad en el desempeño, a su cumplimiento podrá alcanzar una alta autoestima y el éxito al cual se aspira.
El Autor
PROGRAMA PARA EL CURSO DE PRECÀLCULO INDICE 1 - EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES……………………………11 Los números Naturales (N) y los Enteros (Z) Los números Racionales (Q) y los Irracionales (H) El campo de los números Reales (R) Propiedades de los números Relación de Orden Igualdades y Desigualdades Concepto de número Imaginario (i) Concepto de número Complejo (C) II – OPERACIONES FUNDAMENTALES…………………………………….31 Definiciones La adición La sustracción Axiomas y teoremas para la multiplicación Leyes de Exponentes para la multiplicación Multiplicación de dos o más monomios El producto de dos ó más polinomios La división El cociente de dos polinomios Ley de Exponentes Ley de radicales Operaciones algebraicas con los números complejos III – PRODUCTOS NOTABLES Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES…59 Algunos ejemplos sencillos por multiplicación directa Binomio de exponente entero y positivo Binomio de exponente entero y negativo Cuatro casos significativos de Factorización Teorema del Binomio IV – FRACCIONES ALGEBRAICAS…………………………………………..79 Definiciones y principio fundamental Conversión de fracciones Multiplicaciones de fracciones Adición de fracciones Fracciones complejas
V – ECUACIONES LINEALES Y FRACCIONARIAS………………………..91 Definiciones Ecuaciones equivalentes Ecuaciones lineales con una incógnita Ecuaciones fraccionarias Inecuaciones Lineales (La relación de Desigualdad y Valor Absoluto) VI – SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS………….107 Solución de sistemas como intersección de conjuntos Métodos Analíticos de solución Sistemas de 2 y 3 Incógnitas Solución por determinantes Interpretación grafica Coordenadas Cartesianas VII – ECUACIONES CUADRATICAS…………………………………………125 Métodos de solución Raíces reales Raíces complejas Factorización del trinomio cuadrático general Ecuaciones del tipo cuadrático Ecuaciones con radicales VIII – FRACCIONES PARCIALES…………………………………………… 138 Factores Lineales Diferentes ( Caso I ) Factores Lineales Repetidos ( Caso II ) Factores Cuadráticos Diferentes ( Caso III ) Factores Cuadráticos Repetidos ( Caso IV ) IX – ECUACIONES ALGEBRAICAS DE GRADO SUPERIOR…………….157 Teorema del Residuo Teorema del Factor y su inverso División Sintética Grafica de un Polinomio Raíces Racionales de una ecuación polinomica La ecuación reducida Proceso de obtención de todas las raíces racionales Raíces Imaginarias e Irracionales X – FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS…………………185 Funciones exponencial La función exponencial natural Funciones logarítmica Grafica de las funciones exponenciales Logaritmos comunes y naturales
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas XI – NÚMEROS COMPLEJOS Forma polar de los números complejos Forma polar general de los números complejos Potencias de números complejos Raíces de números complejos Teorema D´Moivre XII – TRIGONOMETRIA (CONCEPTOS BÁSICOS) Ángulos, arcos y sistemas de medición Definición de las funciones trigonometricas Identidades fundamentales Grafica de funciones trigonometricas Ley de los Senos Ley de Cósenos Solución de triángulos
XIII - GEOMETRÍA ANALÍTICA (CONCEPTOS BÁSICOS) La Recta La Circunferencia La Parábola La Elipse La Hipérbola 1er EXAMEN DEPARTAMENTAL…………………………………… UNIDADES…………………………
2do EXAMEN DEPARTAMENTAL....................................................... UNIDADES…………………………
Direcciones electrónicas de interés: Depto. de Matemáticas. http://mate.cucei.udg.mx Sitio WEB.
http://www.precalculo-ortiz.net
1.- El Conjunto de los Números Reales Definiciones; Conjuntos – Un conjunto es una colección, lista o clase de objetos de la misma especie. Estos objetos son los elementos del conjunto. Las vocales del alfabeto = a, e, i, o, u Los números Naturales = 1,2,3,................ Los conjuntos se definen enumerando sus elementos o enunciando sus propiedades. Notación: Es usual denotar los conjuntos con letras mayúsculas. A,B,C,.......... Los elementos se representan con letras minúsculas. a,b,c,.............. Símbolos de uso frecuente en Conjuntos: , , , , , , , ...... , = , , | Al definir un conjunto por enumeraciones se escriben los elementos separados por comas y encerrados entre llaves, si se define enunciando sus propiedades se emplea una letra, por lo general “x”. A = a, e, i, o, u B = { x /x Es un número Natural } Números Naturales ( N ) – Son la forma más antigua de contar. Si partiendo de la unidad le añadimos otra, y al número así obtenido otra, etc., y designamos cada vez por su nombre el número que resulta, efectuamos la operación de contar o numerar. Tales números 1,2,3,etc., obtenidos sucesivamente constituyen la serie numérica; sus términos son los números naturales, a´= a + 1 , 1´ =1 + 1= 2, 2´=2 + 1= 3, 3´=3 + 1= 4, 4´= 4 + 1=5........ N = 1, sig (1), sig. (Sig.(1)),..... N = 1,2,3,................ NZ Números Enteros ( Z ) –Son los números que permiten la consideración de magnitudes, como cantidades de dinero, temperaturas, fechas, etc., que dan lugar a dos sentidos (mayor que cero o menor que cero ), ( a favor o en contra ), etc. Los números enteros son la unión del conjunto de los números naturales( N ) con sus opuestos, más el cero. Esta es la razón de denominarlos Positivos (+) y Negativos (-). Ejem. Z={...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} Números Reales ( R ) – Son una sucesión cualquiera de infinitas cifras decimales que pueden ser periódica(Q) o no periódicas(H). Son la unión de los números Racionales y los números Irracionales. Cada conjunto de números queda incluido en el posterior; es decir, los enteros incluyen a los naturales, los racionales a los enteros, los reales a los racionales, y los complejos a los reales. Los Números Reales se subdividen en: Números Racionales ( Q ) – Es la razón ( cociente ) de dos enteros, siempre y cuando el a 3 1 3 2 8 denominador sea diferente de cero , ..si..b Z .. y...b 0 . Ejem. , , , , . Otra b 1 5 4 3 7 definición es, las partes decimales de un Número Racional se prolongan indefinidamente en forma periódica o consecutiva, Ejem. 3.000.....= 3, .2000.....= .2 0 , .75000.....= . 750 , .6666.....= . 6 , 1.142657142657.....= 1 . 142657
Números Irracionales ( H ) - A diferencia del número Racional, el número Irracional es aquel en que sus partes decimales no son consecutivas o periódicas. Ejem. =3.14159....., e =2.71828..... 2 =1.41421....., 3 =1.73205....., 5 =2.23606.....,
Recta Numérica – La recta en si es un conjunto de puntos encontrándose unos con respecto a otros a la misma distancia (equidistantes), la recta es infinita en ambos sentidos. En la grafica (Fig. 1) se puede observar los números N, Z, R, Q, H. Plano cartesiano – Si la recta numérica la giramos 1800 en contra de las manecillas del reloj, tendremos otra abscisa con las mismas características y para diferenciarla, la denominaremos ordenada al origen o eje de las y. Cuenta con cuatro cuadrantes cada uno de 900 y con las características que se observan en la Fig. 2.
2 = 1.41421.... x´
-4 -3
-2 -1 -1/2
0 1 1/2
2
3
4
x =3.14159....
Fig. 1 e = 2.71828.... PLANO CARTESIANO ( 900) y x=y
x=y
II
I
x, y
x, y (1800) x´
x (00 ò 3600)
x, y
x, y III
Fig. 2
IV 2700
SISTEMAS NUMÉRICOS
NÚMEROS COMPLEJOS
NÚMEROS IMAGINARIOS
NÚMEROS REALES
NÚMEROS RACIONALES
NÚMEROS IRRACIONALES
(-)
FRACCIÓNARIO
ENTEROS
(-) (-)
0
(+)
(+)
(+)
EJERCICIO 1 (9)
10 ¿ Cuál es el inverso de
a) 0
b) 0.6
3 ? 5
c) 1
d)
5 3
Números Complejos Números Complejos ( C ) - El número complejo esta formado por una parte real y una parte imaginaria a bi x yi.. a x parte real , bi yi parte imaginaria , a esta representación se le denomina forma binómica ó binomial (rectangular).Fig. 3
Ejem. 1 4 = 1 4 1 = 1 4 1 = 1 + 2i, 3 – 5i, etc. Nota: Número Imaginario ( i ) = i = 1 . Ejem. 2 2 2 i 1 . Ejem. 3i 3,7i 7
4 = 2i,
3=
3 i, etc. Y
El Número Imaginario sé grafica en el Plano Complejo ó Plano de Argand La b y/ó y con respecto al Número Imaginario serán coeficientes numéricos Partiendo de la anterior representación se tendrán dos acepciones, cuando;
Si la parte Imaginaria es igual a cero ( bi y/ó yi ) = 0 Existirá exclusivamente la parte real y se le denomina por algunos autores como Número Real Puro a x N o .. Re al...Puro . Ejem. 3, 7, etc. (estos se encontraran a 00 en el Plano Complejo, sobre el eje real en la parte positiva, entre el I y IV cuadrante). Los números -2,-9. (estos se encontraran a 180o en el Plano Complejo, sobre el eje real en la parte negativa, entre el II y el III cuadrante). Si la parte real es igual a cero ( a y/ó x ) = 0 Existirá exclusivamente la parte Imaginaria y se le denomina por algunos autores como Número Imaginario Puro bi yi N o .. Im aginario...Puro . Ejem. 4 = 2i, 3 =
0
3 i, etc. (estos se encontraran a 90 , en el Plano Complejo, sobre el eje imaginario en la parte positiva, entre el I y el II cuadrante) y los números - 4 = -2i, - 3 = - 3 i, etc. (estos se encontraran a 270 0 , en el Plano Complejo, sobre el eje imaginario en la parte negativa, entre el III y IV cuadrante).
Nos reservamos el trabajo con la forma binomica (rectangular) con respecto a las operaciones de suma, resta, multiplicación y división por medio del proceso algebraico, para abocarnos a su estudio al término del Capitulo 2.
PLANO COMPLEJO Ó PLANO DE ARGAND
90 o yi x=y
x=y
II
I
x yi
x yi
(180 O ) x´
x (0 O Ó 360 O )
x yi
x yi
III
IV
x=y
x=y yi´ 270 0
Fig. 3
POSTULADOS DE 1CAMPO Y DE 2ORDEN (PROPIEDAD ó LEY) 1
Propiedad de Cerradura: a, b R Para la Suma a b R Para la Multiplicación a b R 1
Propiedad de Identidad: Para la Suma a 0 a Para la Multiplicación a 1 a 1
Propiedad del Inverso Aditivo: a a = 0
1
Propiedad Asociativa: a, b, c R Para la Suma a b c a b c Para la Multiplicación a b c a b c 1
Propiedad Conmutativa: a, b R Para la Suma a b b a Para la Multiplicación a b b a 1
Propiedad del Inverso Multiplicativo: 1 a 1 ; a a 1 1 a
1
Propiedad Distributiva: a, b, c R a b c ab ac
POSTULADOS DE LA IGUALDAD a = a representan el mismo elemento de algún conjunto Reflexiva aR, a a Simétrica Si...a b R, Si..a b, entonces...b a Transitiva Si...a b, y..b c, entonces...a c Sustitución Si...a, b R, Si..a b, entonces...a se sustituye por b Aditiva Si...a b, y..c d , entonces...a c b d Multiplicativa a, b, c, d R, a b.. y..c d a c b d EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Anexa ejemplo Aritmético de cada una de las propiedades.
Ley de los Signos 2
x es positivo si y sólo si x > 0
2
x es negativo si y sólo si x < 0
Para la: Suma
Multiplicación
División
Propiedad de multiplicación por –1 Si a R, entonces (–1)a = – a y a(–1) = – a
Contesta a las siguientes preguntas: Si y es un número (–) y x es un número positivo (+) x+y=
, x/y =
,x–y=
EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Anexa ejemplo Aritmético de cada una de las propiedades.
Ley de Cocientes a a 1 a a a 2) b b b a c 3) ad bc b d a 4) a 0 a1a 1 a
a c ac b d bd a c a d ad 8) b d b c bc a b c 9) Fracc.Complejas , d
1)
5)
a c ac b b b
6)
a c ad cb b d bd
7)
11) Fracc..impropia, 12) Fracc.. propia,
a b c d e , etc. b ab c c b ac b a c c
10) Fracc.Mixta, a
Nota: Si
a∀R
a 0 0 = a , =0, = indeterminación 1 a 0
EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Anexa ejemplo Aritmético de cada una de las propiedades. Ejem.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Anexa ejemplo Aritmético de cada una de las propiedades.
a a >b b
a ab b
BASE
a
Ley de Exponentes
0
n
n
n
n a a 13) = n ,si n(+) y b≠ 0 b b
1 n a
1) a 1
7) a
2) a 1 a
8) a n
3)a n a a a. ..........
9) a m a n a m n
4)1n 1
10) a m
1, n par
1, n impar
n
6) 1
n
n
bn a 14) = n a b n 15) ab a n b n
1 an
5) 1
EXPONENTE
n
a mn
am a m n , si..a 0..., m n n a am 1 12) n n m , si..a 0..., m n a a 11)
Atendiendo a la ley de los exponentes señalar la propiedad que aplica y resolver los siguientes ejemplos: 1) 30 =
2) 71 =
3) 24 =
4) 134 =
5) ( –1)32 =
6) ( –1)17 =
7) 4– 2=
8) 42 =
56 11) 3 5
53 12) 6 5
2
2 3
9) 3∙3 =
32 13) 2
10) [(2 ) ] = 2
3
2
14) [(2) (3)] =
52 15) 3
2
EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Anexa ejemplo Aritmético de cada una de las propiedades.
INDÍCE DEL RADICAL n
Ley de Radicales
a
RADICANDO RADICAL
RADICAL
EXPONENCIAL RACIONAL |
n
1)
n
2)
1n
=
1
= 1
1 = 1n
1m
m
m
= 1n = 1
1
3)
1
=
1 2
a
=
an
= i
1
4)
n
n
5)
a
6)
n
a
7)
n
a
n
=
m
=
n
a
m
n
a
n n
= a
m
=
an
b = n ab 1
1
8)
a = b
n
n n
a b
an a n = = 1 b bn
a
=
1
9)
n m
a =
nm
a nm
EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Anexa ejemplo Aritmético de cada una de las propiedades. Atendiendo a la ley de los radicales señalar la propiedad que aplica y resolver los siguientes ejemplos: 1)
3
1
2) (4 1 )3 =
5)
7
57
6)
7
53
8)
7
23
9)
7
23
7
24
7
7) 29
32
3)
10)
7
5 3
23
7
4) 22
2 =
En los siguientes problemas racionalizar el denominador de ser posible 10)
3
3 2
11)
3
35 2
7
5
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES Para racionalizar denominadores Aritméticos, esto es únicamente cuando tenemos cualquier cantidad dentro del radical como denominador, para una mejor comprensión del proceso atenderemos los razonamientos y pasos a seguir en el ejemplo: 1 Si tenemos el cociente sabemos que el denominador es un número irracional y dicho 2 denominador lo queremos transformar a un número racional 1er Multiplicar el cociente que contiene finalidad de no alterar el cociente
1 1 = * 2 2
2 en su denominador por la unidad con la
1, lo anterior también se efectúa cuando se pide racionalizar el numerador 3
3 3 3 = ∙ 3 3
1
2do Para transformar el número irracional de un cociente en un número racional, se multiplicara el denominador ò el numerador dependiendo del problema original ( n a m ), por el mismo índice del radical y radical que tenga el denominador ò numerador a racionalizarse ( ), y el radicando con un exponente igual a la diferencia del índice del radical original y el exponente original del radicando. Considerando lo anterior, si queremos eliminar el índice del radical y el radical, requerimos de la propiedad siguiente n a n donde podemos observar que se anulan el índice del radical y el radical con el exponente de radicando. Ejem.
1 n
am
1
Racionalizar el denominador
=
1 n
am
∙
1=
n
1 n
am
∙
n
a n m a n m
n
n
=
n
am
a n m
a m a n m
a n m
n
=
n
a m n n
n
=
a n m n
an
n
=
a n m a
El proceso completo puede observarse a continuación
1 1 = * 2 2
1=
1 * 2
2 2 = 2 2
NOTA: En la Aritmética podemos comprobar los resultados de estos cocientes
Note que en ambos cocientes el resultado es el mismo.
Ejem.
1 .7071067 2
2 .7071067 2
y
;
1 = 2
(en otro caso si como denominador se tuviese 7
32
7
7
2 2 3
, se efectuaría el mismo proceso
) 7
Ejem. ¿Como obtenemos que?
32
= 3
En base a las sig. propiedades de radicales y exponentes: 5)
n
an
y
7)
n
a
n
b =
n
ab
:
Si a,b R :. a = 2 y b = 3, a b = 6 Si a,b R :. a = 3 y b = 3 (a = b) 9)a m a n a m n :. 3 2 35 = 3 2 5 = 37
Nota: 1) Si
n
a
m
, a > 1 donde m > n y m es múltiplo de n, se expresa en la forma exponencial
m
an
Ejem: 14
214 = 2 2 = 2 7 = 128 m
2) Si n a , a > 1 donde m > n y m no es múltiplo de n, el exponente del radicando se expresa como una suma donde uno de los sumandos es el mismo valor de n o un múltiplo mayor (Nm≥) mas el valor (L) que complete el valor de m ( m = Nm≥ + L ). Ejem: 12
213 =
2121 =
212 2 = 212 2 = 2 2
2 = 2 6 2 = 64 2
Desigualdades -
Símbolo Se lee < Es menor que > ≤ ≥
Ejem. a < b
Notación
Es mayor que Es menor o igual que Es mayor o igual que
, ( a es menor que b)
Desigualdad continua – Quiere decir que “b esta entre a y c” Ejem. 1 3 2 etc. 2 2
Ley de Tricotomia - a.b y c ε R
a < b, a = b, a > b
:
a<b<c
EJERCICIO 2 SĂmbolos de desigualdad (9)
Rescribir un Número Imaginario Puro Para rescribir un Número Imaginario Puro elevado a una potencia, podemos hacerlo por medio de los siguientes métodos: Ley de Exponentes. Formula. Reloj
1 y i 2 1 .
Y considerando el valor del Número Imaginario ( i ) = i =
Ley de Exponentes – Para poder efectuar la reescritura de un Número Imaginario Puro. Requerimos de las siguientes propiedades de exponentes:
1
n
a0 1
a mn
am a mn , m n n a am 1 nm , m n n a a
1 an 1 an n a
1n 1 n
m n
a n
a1 a
1
a
1, n impar
* a m a n a m n
1, n par
Nota: Cuando el exponente del número imaginario sea múltiplo de cuatro ó cuatro, al
2
2
2
2
rescribirlo será igual a la unidad. Ejem. i 2 1 1, i 8 i 4 1 1, etc. Además consideraremos los valores de, i 0 1, i1 i , i 2 1, i 3 i i 2 i 1 i Ahora considerando los conceptos expuestos y apoyándonos en ellos, rescribamos los siguientes números imaginarios, *factorizando las bases en términos del exponente: Ejem.
Rescribir i 46 i 4
11
* i 2 1 * i 2 1 , i 345 i 4
86
* i1 i
Formula - La formula esta desarrollada en términos de la ley de exponentes:
i x i 4n l i l , Recuerda i 4
n
1n 1 i x i 4n l 1 * i l i l
Nota: Para encontrar el número n este es igual a dividir x entre cuatro, esto es:
x del resultado, únicamente consideraremos el número entero obtenido, las partes 4 decimales se descartan en el proceso, logrado esto, n se multiplica por cuatro y al resultado se le suma la cantidad (L) que se requiera para así tener el número x original , i x . n
Ejem.
i 46 i 411 2 i 2 1 , n
46 11.5..... y....n 11 ; 4(11)+2 : i 2 1 4
Reloj – El método toma su nombre por su relación al reloj y el avance de sus manecillas, en el método de rescribir el número i x . Bajo este proceso el avance, será en contra de las manecillas del reloj para llevar un conteo de reescritura de un número i x . En el Eje Real positivo (x), se tienen como exponentes todos los números que se observan además de todas las centenas, millares, unidades de millar, decenas de millar, centenas de millar, millones, etc. En el eje real negativo única y exclusivamente los números que se observan En el eje imaginario en su parte positiva y negativa única y exclusivamente los números que se observan. Ver ejemplo. PLANO COMPLEJO Ó PLANO DE ARGAND
900 EXPONENTES
II
i 1,5,9
Bajo este proceso el avance, será en contra de las manecillas del reloj para llevar un conteo de reescritura
i1, i5
de un número
i41, i45
2,6,10,30,50,70,90 2 6 -1 1800 x i , i
i42,i46
1
i43 i3, i7 3,7 Fig. 4
ix.
-i 2700
i40 i44
io, i4
0,4,8,20,40,60,80 x 00 1 102,200,etc 103,2000,etc. 104,20000,etc 105,etc. 106,etc etc.
Ejem. Rescribir i 46 El procedimiento a seguir es: Observado el número que tenemos por exponente expresarlo en torno a una suma = 40 + 6, las decenas pares se encuentran a la derecha y sobre el eje real en la parte positiva, es punto será el de partida para contar en contra de las manecillas del reloj los seis números faltantes al número buscado = -1 Ejem. PROBLEMA ANÁLISIS 4573 i 4000 500 70 3 Las dos primeras cifras que se adicionan (4000+500)se encuentran a la derecha en la parte real positiva, la tercera 4573 cifra es 70 se encuentra en la parte real negativa y a partir i =i de ese punto contamos las 3 unidades faltantes en sentido contrario a las manecillas del reloj, obteniendo el número ha rescribir
PLANO COMPLEJO Ó PLANO DE ARGAND
900 i4573 = i4000+500+70+3 = i
i 1,5,9
EXPONENTES
i3 II 2,6,10,30,50,70,90 -1 1800 x
I70
1
i1 3,7 Fig. 5
-i 2700
i2
0,4,8,20,40,60,80, x 00 1 102,200, 500,etc 103,2000,4000etc. 104,20000,etc 105,etc. 106,etc etc.
EJERCICIO 3 Reescribir el nĂşmero Complejo ( Forma binomica, a + bi ) (27)
II – OPERACIONES FUNDAMENTALES Definiciones La adición La sustracción Axiomas y teoremas para la multiplicación Leyes de Exponentes para la multiplicación Multiplicación de dos o más monomios El producto de dos ó más polinomios La división El cociente de dos polinomios Ley de Exponentes Ley de radicales Operaciones algebraicas con los números complejos La relación de desigualdad y valor absoluto GENERALIDADES Da respuesta a los siguientes cuestionamientos y adjunta ejemplo: ¿Qué es? Termino Algebraico –
Entera Expresión algebraica – a) Racionales Fraccionaria b) Irracionales
Coeficiente –
Monomio –
Binomio –
Trinomio –
Multinomio –
Polinomio –
Factor –
Producto Algebraico –
Cociente Algebraico –
Como se obtiene el grado de un término algebraico –
Como se obtiene el grado de una expresión algebraica –
Fracción Propia Algebraica –
Fracción Impropia Algebraica –
Fracción Mixta Algebraica –
Fracción Compleja Algebraica –
División Exacta Algebraica –
División Exacta no Exacta Algebraica –
SUMA Y PRODUCTO ALGEBRAICO: Sumar polinomios - Es sumar los términos semejantes (suma de coeficientes). .Ejem. PROBLEMA (5x – 2x2 + 7x – 8) + + (8x5 – x2 – 8x + 9) = 5x5– 2x2 + 7x – 8+ 8x5 – x2 – 8x + 9 = ---------------------= (5+8)x5+ (– 2– 1)x2 + (7– 8)x +(– 8+9) = 5
ANALISIS Eliminamos los signos de agrupación, multiplicando por el Signo que antecede a cada uno de los polinomios agrupados. Se suman los términos semejantes(suma de su coeficientes), (Atendiendo nuestra ley de signos al efectuar operaciones) las x5con las x5, las x4 con las x4 si las hay, y así sucesivamente.
= 13x5 – 3x2 – x + 1
Obtenemos la suma o resultado
La multiplicación Aritmética: Esta constituida de los siguientes elementos, multiplicando multiplicador y producto Multiplicando – El numero a repetirse. (5) Multiplicador – El numero de veces que se repite (3) y se suma el Multiplicando. Producto – El resultado de esta adición reiterada. (15) Ejem. 5 x 3 = 5 + 5 + 5 = 15
El producto es una suma reiterada
Axiomas y teoremas en la multiplicación – Básicamente los postulados de campo al igual que nuestras leyes o propiedades son los elementos que nos permiten realizar operaciones, el estar familiarizados con las mismas determina su aplicación en el proceso o algoritmo, en este caso del producto. Leyes de exponentes en la multiplicación – Dependiendo del problema en particular, en lo general pueden aplicarse en su totalidad Multiplicación de dos o más polinomios –
Producto de un polinomio por un número real- Se multiplica cada coeficiente de los términos que componen el polinomio, por el número real. Ejem: 1) 3( 2a + ab2) = 6a + 3ab2 2) (a + b)0(a + 3b) = a +3b
Producto de dos monomios- Es otro monomio del cual el coeficiente es producto de los coeficientes. Y su parte literal, el producto de las partes literales de los monomios iniciales Ejem. 1) 5xy2z3( – 4x2 yz) = –20x3 y3z4
6
2
2) (–2u )(5u
–1/5
2 1 3 u 5 ) u = 5 = 25
2 5u
6 5
Producto de un polinomio por un monomio- Se multiplica cada monomio del polinomio multiplicando por el monomio multiplicador Ejem. 1) 3ab(4a + b) = 12a2 b + 3ab2 2) x2 y(x –1 + y–1) = x2 x –1 y + x2 y y–1 = xy + x2 Indica que postulados de campo y que propiedades de exponentes justifican las operaciones
Producto de polinomios – Se multiplica cada termino del polinomio del multiplicando por todos los términos del multiplicador, y se suman los resultados
Ejem 1) (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 Propiedad Distributiva
a+bx a+b= a2 + ab Multiplicación Algebraica 2 ab + b a2 + 2ab + b2 2) (x + 2y – 3z)(2x – y2 – z3) = x(2x – y2 – z3) + 2y(2x – y2 – z3) – 3z(2x – y2 – z3) = Propiedad Distributiva
= 2x2 – xy2 – xz3 + 4xy – 2y3 – 2yz3 – 6xz + 3y2z + 3z4 = = 2x2 + 4xy – xy2 + 3y2z – 2y3 – 6xz – xz3 – 2yz3 + 3z4 x + 2y – 3z x 2x – y2 – z3 = 2x2 + 4xy – 6xz – x y2 – 2y3 + 3y2z Multiplicación Algebraica 3 3 4 – xz – 2yz + 3z 2x2 + 4xy – xy2 + 3y2z – 2y3 – 6xz – xz3 – 2yz3 + 3z4
EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN
Encuentre los valores de las expresiones tomando los valores asignados a las literales, en los siguientes problemas. 2x – 3y + 5z 3x + 7y + 3z 2x + y + 4z 6x + 3y + 2z
; ; ; ;
x=2 x=3 x=2 x=5
,y=3 ,y=2 ,y=5 ,y=6
,z=2 ,z=5 ,z=4 ,z=3
Encuentre la suma de las expresiones. z – 3x + 4y, 2y + x – 5z, 2x – 5y 3u + 7v – 8w, 3w – 9v, 8u – 3v Elimine los signos de agrupación y efectué las operaciones. 2x – (3x – y) + ( x + y) 3a - (3b - 2c) + (2a - c) 5u– 4v – (2w -2v-5u) 2x - 2x -2x – (2x -y) -y - y-y 3y 7v - 2w - y - (2v – 3w)- 2y -v 2y(x – 2y +3z) – 2z(2x +3y) +2x(2z – y) 2[2a – 8(a + b)] – 3{a2 – [2b – a(a + b)]} (3y4 – 2y + 3) – (y3 + y2 – 2y)
Encuentre el producto (a + 2b)(2a – 3b) (a + b + c)(c + b + a) x(3x + y)- y(x – 4y) 4x2 – 3xy – y2 , x + y x2 – x + 1, x2 – x – 2 (u3 – u2 + u –1)(u2 – u + 1)
RESTA Y DIVISIÓN: RESTA ALGEBRAICA Ejem . PROBLEMA ANALISIS 7 3 (5x –2x +3x– 4) – Eliminamos los signos de agrupación, multiplicando por el (2x7+7x3 + 5) = Signo que antecede a cada uno de los polinomios agrupados. Se restan los términos semejantes(suma de su coeficientes), 5x7-2x3+3x-4-2x7-7x3-5= (atendiendo nuestra ley de signos al efectuar operaciones) las x5con las x5, las x4 con las x4 si las hay, y así sucesivamente = 3x7–9 x3+3x–9 Obtenemos la diferencia o resultado
EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN
Efectuar las sustracciones siguientes: Réstese la segunda expresión de la primera 25 12
– 13 – 18
24 – 11
– 17 5
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
2m – n – [m – (n – m)] (– m2 + 6m – 9) – ( m2 + 6m – 9) x2 – xy +y2 – (x2 – xy + y2 ) 40 – (– 70) a – (a – b) (a – b) + (b – a) – (a – b) – (b – a) (2m2 – 3mn + 5n2 ) – (5n2 – 6mn) – 9m2 a4 a3 a4 a3 a2 2 8) a 3 1 2 4 3 3 6
DIVISIÓN ALGEBRAICA 1 – Monomio entre un monomio. 2 – Polinomio entre un monomio. 3 – Polinomio entre un polinomio. Generalidades 1 – Monomio entre un monomio. a0 1 z6 Ejem. 1) a0 entre a4 = 4 4 2) z6 entre z4 = 4 z 64 z 2 a a z u2 1 1 18ab 4 6b 3 3) 7 7 2 5 4) a u u u 3a 2 b m m a a 1 m n Recuerde n a , si a ≠ 0 : m n y n m , si a ≠ 0 : m n n a a a
2 – Polinomio entre un monomio.
Ejem. 1)
2)
x3 y2 x3 y2 x2 1 xy 3 xy 3 xy 3 y 3 xy 3x
1 3
1
1
=
1
1 3
2 6
y6
1
4 x 51 y 6 3
y 2 ab a b Recuerde c c c x
1
1
6 xy 2 12 x 5 y 3 3 x 3 6 xy 2 12 x 5 y 3 = 3xy 6 3 xy 6 3xy 6 3 xy 6 1 4
x 3 y6
2 11
y2
4x4 y3
3 – Polinomio entre un polinomio. REGLA – Para dividir un polinomio entre otro: 1) Se escribe el dividendo a la derecha del divisor, disponiendo los términos de tal forma, que los exponentes de una misma letra (variable) en ambos polinomios se encuentren en progresión ascendiente o descendiente. 2) Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor: el resultado se escribe como primer término del cociente. 3) Se multiplica el divisor por este primer término y el producto se resta al dividendo. El resultado es un nuevo dividendo. 4) Se procede con este dividendo como con el primero y se continua verificando esto que no haya residuo[R(x) = 0] o hasta que el primer término del divisor no esté contenido en el primer término del dividendo[R(x) 0] Y se escribe de acuerdo al modelo matemático correspondiente. f ( x) R ( x) Q( x ) si R(x ) = 0 ò R(x ) ≠ 0 g ( x) g ( x)
EXACTA [R(x) = 0] –
f ( x) Q( x) g ( x)
f ( x) Q ( x) g ( x)
Ejem. (x3 – 1):(x2 + x + 1) =
Proceso :
x3 1 = x–1 x2 x 1
Q(x) = x – 1 , R(x) = 0
x2 + x + 1
x–1 x3 – 1 – x 3– x2 – x – x2 – x – 1 x2 + x + 1 0
Comprobación :
x3 1 = (x – 1) x2 x 1
x3 1 = (x – 1)(x2 + x + 1) 2 x x 1
x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1)
Ejem.
x3 1 (x – 1):(x + x + 1) = 2 = x–1 x x 1 3
2
Q(x) = x – 1 , R(x) = 0
Proceso : x2 + x + 1
x–1 x3 – 1 – x 3– x2 – x – x2 – x – 1 x2 + x + 1 0
Comprobación :
x3 1 = (x – 1) x2 x 1
x3 1 = (x – 1)(x2 + x + 1) 2 x x 1
NO EXACTA [ R(x) 0] –
f ( x) R ( x) Q( x ) g ( x) g ( x)
x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1)
f ( x ) g ( x )Q ( x ) R( x )
Ejem. (y3 – 3y2 – 26y + 36):( y – 8) =
Q(x) = y2 + 5y +14 Proceso :
y
y 3 - 3y 2 - 26y 36 148 = y2 + 5y +14 + y-8 y 8
R(x) = 148
y2 + 5y +14 y – 8 y3 – 3y2 – 26y + 36 – y 3+ 8y2 5y2 – 26y – 5y2 + 40y 14y + 36 –14y + 112 148 Comprobación :
y 3 - 3y 2 - 26y 36 148 = y2 + 5y +14 + y-8 y 8 3 2 2 y - 3y - 26y 36 y 5 y 14 y 8 148 = y-8 y 8
y3 – 3y2 – 26y + 36 = y3 – 3y2 – 26y + 36 Ejem. (1 – u2 + u4):(1 – u ) = (u4 – u2 + 1):( – u + 1) =
u4 u2 1 1 = u3 u2 u 1 u 1
Proceso : –u+1
– u3 – u2 u4 – u2 + 1 – u 4 + u3 u3 – u2 – u3 + u2 1
Comprobación :
u4 u2 1 u4 u2 1 u 3 u 2 u 1 1 = u3 u2 :. = = u 1 u 1 u 1 u 1 u4 – u2 + 1 = ( – u3 – u2)( – u + 1) + 1 = u4 – u2 + 1
EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Efectúa las divisiones: 1) 2) 3) 4) 5)
a3 8 a 1 6 y 3 y 2 3 y 20 3y 4 u4 v4 uv 16 x 4 81 y 4 2x 3 y 7 a 2 b 3 2a 3b 2 a 5 b 5 5ab 4 2ab b 2 a 2
Nota: Acostúmbrese a decir dividir entre y multiplicar por (no diga dividir por)
EJERCICIO 4 Divisi贸n (11)
BASE
a
Ley de Exponentes
0
1) a 1
7) a
n
n
2) a a 3)a n a a a. ..........
9) a m a n a m n
4)1n 1
10) a m
1, n par
1, n impar
n
6) 1
n
n
bn a 14) = n a b n 15) ab a n b n
n
5) 1
n
n a a 13) = n , si n(+) y b≠ 0 b b
1 n a
1 8) a n a
1
EXPONENTE
n
a mn
am a m n , si..a 0..., m n n a am 1 12) n n m , si..a 0..., m n a a 11)
EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Efectúa las operaciones y simplifica, tus respuestas exprésalas sin exponentes negativos 1) 2) 3) 4)
(xy)0 = (–1)731= (–1)464 = (–3xy)3 =
5) (– xy)242 =
(– 3y)-3 = [(– 2xy)-2]-1 = (a – b)0[(a – b)-5]2 = ax a5x = 2x 7 y3 10) 4x 4 y 5 6) 7) 8) 9)
x
2 n 3
3
y n2 se reduce a x n 2 y 3 n 7 18) Simplificar y reducir a su mínima expresión a (x + x – 1)2 se obtiene
17) La expresión
19) Simplificar y reducir a su mínima expresión a xy(x – 2 + y – 2) 20) Simplificar y reducir a su mínima expresión a xy(x – 2 + x – 2)
EJERCICIO 5 Exponenciaci贸n (37)
INDÍCE DEL RADICAL n
Ley de Radicales
a
RADICANDO RADICAL
RADICAL
EXPONENCIAL RACIONAL |
1) 2)
n
n
1n
=
1
= 1
1 = 1n
1m
m
m
= 1n = 1
1
3)
1
=
1 2
a
=
an
= i
1
4) 5)
n
n
a
6)
n
a
7)
n
a
n
m
n
= =
a
m
n
a
n n
= a
m
=
an
b = n ab 1
8)
n
a = b
n n
1
a b
an a n = = 1 b bn
a
=
1
9)
n m
a =
nm
a nm
EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN 1) La expresión 3
125 x 6 y se reduce a: 8 y 7 5
2) La expresión 4 3) La expresión 4) La expresión
1
8x 2x 4 se reduce a: 6 y y 2
5 8 x 9 y 7 5 4 x 6 y 3 se reduce a: xy 2 3x se reduce a: 2y3
Racionalizar de ser posible el denominador
EJERCICIO Radicales (20)
6
Racionalizar de ser posible el denominador
OPERACIONES ALGEBRAICAS CON NÚMEROS COMPLEJOS * Los números complejos son también pares ordenados (por tener orden) de números reales.
x yi a bi ( x, y ) (a, b) x a; y b Ejem. (2, –3) = 2 – 3i Ejem. (0, –1) = – i Ejem. (7, 0) = 7 Nota: Los números complejos tienen la siguiente notación considerada por algunos autores; C=z Ejem. z = x + yi = a +bi ó z = 1 + i , z1 = a + bi , z2 = c + di , etc. * Serán números complejos conjugados, aquellos que solo difieren en signo de sus componentes y su notación es el encontrarse testado: z1 = –2 + i, su conjugado es z1 2 i
ANÁLISIS: El número real no tiene conjugado - 2 = –2 El número imaginario si tiene conjugado i = – i
*A las operaciones de multiplicación, suma y división, resta se les llama fundamentales. Cuando se efectúan en los números complejos, sus definiciones cumplen con todas las leyes del álgebra. En la adición y sustracción de números complejos, en ambas operaciones se cumple sumando o restando la parte real con la parte real y la imaginaria con la imaginaria, teniendo como resultado otro número complejo: . z1 z2 = (a + bi) (c + di) = (a c) + (bi di), cumpliendo con la propiedad conmutativa tanto en la parta real como en la imaginaria, resultado de la operación: Ejem. Obtener la suma de los siguientes números complejos z1 = 3 + 5i y z2 = –7 – 4i z1 + z2 = (3 – 7) + (5 – 4)i = – 4 + i En la multiplicación dos números complejos se definen: z1 z2 = (a + bi) (c + di) = (ac + bdi2) + (bc +ad)i = (ac – bd) + (bc + ad)i Ejem. Obtener el producto de los siguientes números complejos z1 = 3 + 5i y z2 = –7 – 4i z1 z2 = (3 + 5i) (–7 – 4i) = (–21 – 20i2) + (–12 – 35)i = (–21 + 20) + (–12 – 35)i = = –1 – 47i
Nota: Las leyes de cancelación, asociativa, conmutativa y distributiva se cumplen en las operaciones de multiplicación y adición. En la división dos números complejos se definen: z1/z2 =
a bi c di = ac bd bc ad i = ac bd bc ad i a bi = c di c di c di c 2 d 2i 2 c2 d 2
Como se observa el denominador se multiplica por el conjugado del número complejo y el numerador también, para no alterar el cociente. Ejem. Obtener el cociente de los siguientes números complejos z1 = 3 + 5i y z2 = – 4i
z1 3 5i 3 5i 4i 12i 20i 2 20 12i z2 4i 4i 4i 16 16i 2 ¿Aplicando la ley de los signos para los cocientes, que otras soluciones equivalentes se pueden tener? Ejem. Obtener el cociente de los siguientes números complejos z1 = 1 + i y z2 = – 1 + i
z1 1 i 1 i 1 i 1 2i i 2 2i 2 2 i z2 1 i 1 i 1 i 2 1 i
EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Transformar a la forma binomial los siguientes números complejos: 1) 4 2) 3 16 3) 5 7
Efectúa las siguientes operaciones con los números complejos: 4) z1 1 1 , z 2 1 1 , z 3 2 3i
:. z1 z 2
2
, z1 +
z22 +
x3
2
2 z1 ,
z2
z1 z3 z2
,
3i es equivalente a 3i 2 6) La expresión i1 i es equivalente a
5) La expresión
i 7 2i 2 en la forma a + bi se obtiene i3 2 8) Al escribir la expresión i 3 4 3i en la forma a + bi se obtiene 7) Al escribir la expresión
9) Al escribir la expresión 5 9 3 4 25 en la forma a + bi se obtiene 2 7i en la forma a + bi se obtiene 1 2i 2 i 7345 11) Al escribir la expresión en la forma a + bi se obtiene 1 2i 327 3 12) La expresión 2i1 i es equivalente a
10) Al escribir la expresión
EJERCICIO 7 Operaciones algebraicas con el nĂşmero complejo en la forma binomica(rectangular), a + bi
(27)
III-PRODUCTOS NOTABLES Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES Algunos ejemplos sencillos por multiplicación directa Binomio de exponente entero y positivo Binomio de exponente entero y negativo Cuatro casos significativos de Factorización Teorema del Binomio PRODUCTOS NOTABLES Las formulas que se exponen a continuación son el resultado de la obtención de algunos productos que con mayor frecuencia se presentan en el cálculo algebraico y con los que debe procurar familiarizarse en todo lo posible. La comprobación de los productos puede y debe verificarse efectuando la multiplicación correspondiente. I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. XIII.
a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (ax +b)(cx +d) = acx2 + (ad + bc)x + bd (a + b)(a – b) = a2 – b2 (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)2(a + b)= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = (a – b)(a – b)(a – b) = (a – b)2(a –b)= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3 b2 + ............+ abn – 2b + bn – 1) = an – bn :. Siendo n un número entero positivo cualesquiera (1,2,3,4,5,.......) XIV. (a + b)( an – 1 – an – 2b + an – 3 b2 – ............ – abn – 2b + bn – 1) = an + bn :. Siendo n un número entero positivo impar (1,3,5,7,.......)
Algunos ejemplos sencillos por multiplicación directa: MODELO MATEMÁTICO PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
PROBLEMA
r(2u + t) = = 2ru + rt (a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd (2r + s)(t + u) = = 2rt+2ru+st+su 2 (x + a)(x + b) = x +(a + b)x + ab (x + 2)(x – 3)= = x2 – x – 6 (ax + b)(cx + d) = (2x + 2)(3x –3)= = acx2 + (ad + bc)x + bd = 6x2 – 6 a(b + c) = ab + ac
ANÁLISIS Identifica los factores y obtén el Producto Identifica los factores y obtén el Producto Identifica los factores y obtén el Producto Identifica los factores y obtén el Producto
Repaso La multiplicación la podemos efectuar de las siguientes formas: Ejem. 1)
x(2y + 3) = 2xy + 3x (P.D.)
2)
( 2u – 3v)(u – v) =
Propiedad Distributiva (P.D) = 2u(u – v) – 3v(u – v) = 2u2 – 5uv – 3v2 u-v ● Multiplicación 2u – 3v = Algebraica 2u2 – 2uv - 3uv + 3v2
Diagrama del Producto
2u2 – 5uv + 3v2 2
( 2u – 3v)(u – v) = 2u – 5uv + 3v
2
MODELO MÁTEMATICO
PROBLEMA
ANÁLISIS
BINOMIO CONJUGADO = DIFERENCIA DE . CUDRADOS 2 2
(2x+3)(2x–3)= = 4x2 – 9
Identifica los factores y obtén el Producto
BINOMIO CUADRADO PERFECTO PARA LA SUMA 2
(5a + 2)2 =
(a + b)(a – b) = a – b
(a + b) = (a + b)(a + b)= = a2 + 2ab + b2 BINOMIO CUADRADO PERFECTO PARA LA DIFERENCIA 2
(a – b) = (a – b)(a – b) = = a2 – 2ab +b2 TRINOMIO CUADRADO 2
(a + b + c) = =a +b +c2 +2ab +2ac +2bc 2
2
BINOMIO AL CUBO PARA LA SUMA 3
(a + b) = =(a + b)(a + b)(a + b)= = (a + b)2(a + b)= = a3 + 3a2b +3ab2 + b3 BINOMIO AL CUBO PARA LA DIFRRENCIA 3
(a – b ) = =(a – b)(a – b)(a – b) = =(a – b)2(a – b)= =a3 – 3a2b +3ab2 – b3 SUMA DE CUBOS
(a + b)(a2 – ab + b2) = = a3 + b 3 DIFERENCIA DE CUBOS 2 2
(a – b)(a + ab + b ) = = a3 – b 3
= 25a2 + 20a + 4 (3x – 4)2= = 9x2 – 24x +16 (x + 2y – z)2 = = x2 + 4y2 + z2 + 4xy – 2xz – 4yz (x + 3y)3 =
Identifica los factores y obtén el Producto
Identifica los factores y obtén el Producto
Identifica los factores y obtén el Producto
Identifica los factores y obtén el Producto
= x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3
(2x – y)3 =
Identifica los factores y obtén el Producto
= 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 (3x + 1)(9x2 – 3x + 1) = = 27x3 + 1
Identifica los factores y obtén el Producto
(2x - 2)(4x2 + 4x + 4) =
Identifica los factores y obtén el Producto
= 8x3 – 8
Siendo n número entero positivo cualesquiera (1,2,3,4,5,.......) (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3 b2 + ............+ abn – 2b + bn – 1) = an – bn
Ejem. (u - v)(u4 + u3v + u2 v2 + uv3 + v4 ) = = u 5 - v5
Identifica los factores y obtén el Producto
Siendo n un número entero positivo impar (1,3,5,7,.......) (a + b)( an – 1 – an – 2b + an – 3 b2 – ............ – abn – 2b + bn – 1) = an + bn
Ejem. (u + v)(u4 - u3v + u2 v2 - uv3 + v4 ) = = u 5 + v5
Identifica los factores y obtén el Producto
Por medio de las formulas anteriores, resolver. Ejem. Obtener el producto notable de (x –y)(x6 + x5 y + x4 y2 + x3 y3 + x2 y4 + xy5 + x6) Si n número entero positivo cualesquiera (1,2,3,4,5,.......) (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3 b2 + ............+ abn – 2b + bn – 1) = an – bn (x – y)(x6 + x5 y + x4 y2 + x3 y3 + x2 y4 + xy5 + x6) = x7 – y7 Ejem. El producto notable de (x + y)(x6 – x5 y + x4 y2 – x3 y3 + x2 y4 – xy5 + x6) Si n un número entero positivo impar (1,3,5,7,.......) (a + b)( an – 1 – an – 2b + an – 3 b2 – ............ – abn – 2b + bn – 1) = an + bn (x + y)(x6 – x5 y + x4 y2 – x3 y3 + x2 y4 – xy5 + x6) = x7 + y7 EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Indica cuales son los factores que nos dan como resultado el producto notable 1) ( 2) (
)( )(
) = x6 – y 6 ) = x6 + y6
EJERCICIO 8 Productos Notables (29)
TEOREMA DEL BINOMIO Generalidades Binomio – Expresión algebraica que consta de dos términos, ejemplo. x + y , x – y , 3x – 3b ,
1 x , etc. 7
Modelo Matemático ab El binomio puede estar agrupado y tener un exponente, esto es: (a b)n Para desarrollarlo es conveniente contar con una formula general, para su aplicación. A continuación se proporciona una manera práctica de obtener los coeficientes de los términos del desarrollo. Desarrollo del Binomio por medio del producto Se obtienen sucesivamente :. Si, n Z(+) (a b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2+b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 +4ab3 + b4 (a + b)5 = a5 + 5a4b +10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 +b5 . FORMULA GENERAL 1er
2do
3er
4to
a n na n 1b nn 1a n 2b 2 nn 1n 2 a n 3b3 (a + b) = .......... 0! 1! 2! 3! n
Partiendo de los resultados obtenidos hacemos las siguientes observaciones: a) El numero de términos obtenidos del desarrollo es ( n + 1 ) b) El primer termino tiene coeficiente 1, además siempre aparece a elevado a la n, y no aparece b en el primer termino del desarrollo, la razón es que este se encuentra elevado a la potencia cero. c) El coeficiente numérico del 2do termino siempre es n, y a aparece teniendo como exponente a ( n – 1 ), b tendrá como exponente la unidad.
d) Conforme se avanza, el exponente de a disminuye de uno en uno y el exponente de b aumenta de uno en uno hasta llegara a n. e) En todo el desarrollo del binomio, el grado de los términos será igual a n. f) La magnitud de los coeficientes numéricos tiene simetría central, de manera que una vez que se llega a la mitad, los coeficientes se repiten en forma regresiva. Triangulo de Pascal Donde cada coeficiente es igual a la suma de los del renglón anterior, que queda arriba en diagonal con él.
Ejem. *De acuerdo a lo anterior implementar el desarrollo de binomio siguiente: (x + u)7 = ¿Cuántos términos tiene el desarrollo? Sabiendo que (n + 1) = ......... 1er =
2do +
3er +
8av + .......................................+
¡ Sabiendo que !
x u 7
x 7 7 x 6 u 21x 5 u 2 35 x 4 u 3 35 x 3u 4 21x 2 u 5 7 xu 6 u 7
*De acuerdo a lo anterior implementar el desarrollo de binomio sig.: (u + v)8 = ¿Cuántos terminos tiene el desarrollo? Sabiendo que (n + 1) = ......... 1er =
2do +
3er +
? + ..........................+
¡ Sabiendo que !
u v 8 u 8 8u 7 v 28u 6 v 2 56u 5 v 3 70u 4 v 4 56u 3 v 5 28u 2 v 6 8uv 7 v 8 Observe la simetría con respecto a la variable u8 (en el primer termino) va siendo descendente el valor del exponente hasta desaparecer en unidad en el ultimo termino, al igual respecto a la variable v, en el segundo termino aparece y se incrementa el valor del exponente hasta el ultimo termino v8. *Obtener el 4to término, implementar la aplicación de la fórmula del desarrollo del binomio (x + ½)16 = to 4 =
? ………………………….. 4to
¡ Sabiendo que !
13
= 70x
EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN 1 1 2 2 1) Efectúe el producto x 3 x 3 x 3 x 3 2) Efectúe el producto x y 1 x y 1
a 2 5b3 a 2 5b3 3) Al simplificar y reducir a su mínima expresión 3 2 3 2 4) Al expander [(x – 2) – x5 ]2
5) Al efectuar el producto (x + 1)(x – 1 )(x2 + 1), cual es el producto 6) Al expander a (3a3 – 2b5 )2 , cual es el producto
EJERCICIO 9 Teorema del binomio (27)
FACTORIZACIÓN Factorizar es lo contrario a la obtención del producto notable Esto es, dada la expresión algebraica encontrar los factores que nos dan como producto la misma expresión. PROCESOS DE FACTORIZACIÓN Multinomios que tienen factor común Caso I) a) ab + ac = a(b + c) (Factor común) b) ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d) ( por agrupación) c) De la forma ax2 + bx + c (Metodo de Tanteo y/o De prueba y error) px2 +qx + r
si
acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax +b)(cx +d)
p = ac, q = ad + bc, r =bd
Caso II) Diferencia de Cuadrados a2 – b2 = (a + b)(a – b) Caso III) Trinomios que son cuadrados perfectos a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)(a – b) = (a – b)2 Nota: Suma de cubos: Diferencia de cubos:
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Caso IV) Trinomios factorizables que no son cuadrados perfectos a) Por agrupación b) Multinomios que son reductibles (trinomios) a la diferencia de dos cuadrados Nota: Se aplica solamente si se agrega un cuadrado perfecto (Inverso Aditivo-sumando y restando) al trinomio, este se convierte en cuadrado perfecto Ejem. a4 + a2b2 + b4 = = a4 + a2b2 + a2b2 + b4 – a2b2 = (a2 + b2)2 – ( ab)2 = (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 – ab) = = (a2 + ab + b2)(a2 – ab +b2)
Caso I) Multinomios que tienen factor común a) ab + ac = a(b + c) Ejem. 1) 5x2 + 4x = x(5x + 4) 1 2 1 1 1 2) x y xy 2 xy x y 3 6 3 2 2 2 3 2 3) 3m n – 6mn + 9m n = = 3mn(m – 2n + 3m2n)
ANÁLISIS – 1er se busca un digito ó literal que este
contenido en cada uno de los términos del polinomio (factor común), se agrupa la expresión algebraica y se extraen los factores común respecto a los términos (digito y variable, la de menor exponente).El proceso no se considera completo hasta que cada factor ya no sea reductible (factorizable)
b) ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d) ANÁLISIS – Cuando el polinomio tiene cuatro o más Ejem. 1) 2wy + 3yz – 8wx – 12zx = términos, será susceptible de factorizar mediante una adecuada agrupación de sus términos y su posterior = (2wy + 3yz) – (8wx + 12zx) = factorización, siendo posible por algún método = [y(2w + 3z) – 4x(2w + 3z)] = previo. Continuar factorizando los factores de ser = (2w +3z)[y – 4x] = (2w +3z)(y – 4x) 3 2 posible. 2) 3c – 12c + 5c – 20 = 2 2 = [3c (c – 4) + 5(c – 4)] = (3c + 5)(c – 4) 3) x3 + 3x2 – 9x - 27 = x2(x + 3) – 9(x + 3) = (x2 – 9)(x + 3) = = (x + 3)(x + 3)(x – 3) = (x + 3)2(x – 3) =
d) Método de Tanteo (Prueba y Error) px2 +qx + r :. acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax +b)(cx +d) p = ac, q = ad + bc, r =bd
ANÁLISIS – Cuando el polinomio tiene tres términos
Se inspecciona si el 1er y el 3er son cuadrados perfectos de no serlo, se procede a factorizar por este método. 2 Así mismo se observa el signo del 3 er término si es 1) 3x - 5x + 2 = (3x – 1)(x – 2) positivo, es producto de signos iguales [+(+)] ó [– (+)] -2 , el 2do término se obtiene en base a una suma. 31 21 p = 3(1) = 3 er 1 3 -3 1 2 q = 3(-1) + 1(-2) = -5 Si 3 término si es negativo does producto de signos diferentes [+(–)] ó [– (+)] , el 2 término se obtiene en a c --- b d r = -1(-2) = 2 -5 base a una resta. 2 a obtener los dígitos de los 2) 6x + 17x +12 =(3x + 4)(2x + 3) Luego procedemos coeficientes del 1er y el 3er de acuerdo a sus diversos arreglos de producto, procediendo a la obtención del a c 8 b d término intermedio considerando los datos anteriores 32 43 p = 3(2) = 6 del proceso. 23 9 34 q = 3(3) + 2(4) = 17 6 1 --- 6 2 r = 4(3) = 12 17 16 26 12 1 1 12 Ejem.
3) 3x2 + x – 2 = (3x – 2)(x + 1) –2 31 21 13 3 12 a c --- b d 1
Comprobar efectuando la multiplicación de los factores.
p = 3(1) = 3 q = 3(1) + 2(–1) = 1 r = 2(–1) = –2
3) 6x2 – x – 12 = (3x + 4)(2x – 3) 8 32 43 23 –9 34 6 1 --- 6 2 –1 16 26 a c 12 1 1 12 b d
p = 3(2) = 6 q = 2(4) + 3(–3) = –1 r = 4(–3) = –12
Caso II) Diferencia de Cuadrados 2
ANÁLISIS – Cuando el polinomio
tiene dos términos Si el 1er y el 2er son cuadrados perfectos con respecto a digito y variable, de serlo se procede a factorizar por este método.
2
a – b = (a + b)(a – b) Ejem. 1) x2 – 25 = (x + 5)(x – 5) 2) 25u2 – 36v2 = (5u + 6v)(5u – 6v) 3) a4 – 4a2 = a2(a2 – 4) = a2(a + 2)(a – 2) Recuerda el caso I) inciso a)
Caso III) Trinomios que son cuadrados perfectos
ANÁLISIS – Cuando el polinomio
a + 2ab + b = (a + b)(a + b) = (a + b) tiene tres términos er Se inspecciona si el 1 y el 3er son Ejem. cuadrados perfectos, observando 1) x2 + 4x + 4 = (x +2)(x + 2) = (x + 2)2 que el 2do sea el doble producto del 1er por el 2do.de serlo se 2) 25x2 + 30x + 9 = (5x + 3)(5x +3) = (5x +3)2 procede a factorizar por este método. 2
2
2
Trinomio cuadrado Perfecto para la diferencia ANÁLISIS – Cuando el polinomio a2 – 2ab + b2 = (a – b)(a – b) = (a – b)2 tiene tres términos Ejem. Se inspecciona si el 1er y el 3er son 1) x2 – 4x + 4 = (x – 2)(x – 2) = (x – 2)2 cuadrados perfectos, observando que el 2do sea el doble producto 2) 25x2 – 30x + 9 = (5x – 3)(5x – 3) = (5x – 3)2 del 1er por el 2do.de serlo se procede a factorizar por este método. Nota: Suma de cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) ANÁLISIS – Cuando el polinomio tiene Ejem. dos términos 1) 64a3 + 27 = (4a + 3)(16a2 – 12a + 9) Si el 1er y el 2er son cubos perfectos con 6 6 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4 2) x + y = (x ) + (y ) = (x + y )(x – x y + y ) respecto a digito y variable, de serlo se 3) u6 + 27u3 = u3(u3 + 33) = u3(u + 3)(u2 – 3u + 9) procede a factorizar por este método. Recuerda el caso I) inciso a) Diferencia de cubos: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) Ejem. 1) 27a3 – 64 = (3a – 4)(9a2 + 12a + 16) 2) 343a3 – a9 = a3(7 – a2)(49 + 7a2 + a4) Recuerda el caso I) inciso a) 3) x3 – 125 = (x – 5)(x2 + 5x + 25)
ANÁLISIS – Cuando el polinomio tiene
dos términos Si el 1er y el 2er son cubos perfectos con respecto a digito y variable, de serlo se procede a factorizar por este método.
Caso IV) Multinomios factorizables que no son cuadrados perfectos a) Por agrupación Ejem. PROBLEMA ANÁLISIS 2 2 a–b–a +b = Se agrupa el multinomio en dos términos, y se = (a – b) – (a2 – b2) = factoriza uno de ellos, reagrupándose = [(a – b) – (a – b)(a + b)] = nuevamente = (a – b)[1 – (a + b)] = = (a – b)(1 – a – b ) = = – (a – b)(a + b – 1)
Se extrae el factor común. Se eliminan los signos de agrupación no Correspondientes y se factoriza el signo.
Ejem. PROBLEMA a – 4ab – ac + 3b2 + bc = 2 = ( a – 4ab + 3b2) – (ac – bc) = = (a – b)(a – 3b) – c(a – b) = = (a – b) (a – 3b) – c) = = (a – b)(a – 3b – c)
ANÁLISIS
2
Se agrupa el multinomio en dos términos, y se factoriza uno de ellos, reagrupándose nuevamente.
Se extrae el factor común eliminan los signos de agrupación no Correspondientes. Se obtiene la solución
2) Multinomios (Trinomios) que son reductibles a la diferencia de dos cuadrados Nota: Se aplica solamente si se completa un cuadrado perfecto por medio de la propiedad del Inverso Aditivo, sumando y restando un mismo valor al trinomio, de ser así lo convierte en un trinomio cuadrado perfecto menos el valor que se agrego, lo cual nos permite al factorizar y reducir a la diferencia de cuadrados, se opera en estos términos y se obtiene la factorización completa. Ejem. PROBLEMA x4 + 4 = 4 = x + 4 – 4x2 +4x2 = = (x4+ 4x2 + 4) – 4x2 = = (x2 + 2)2 – (2x)2 = =( x2 + 2)+2x( x2 – 2) – 2x = =(x2 + 2x +2)(x2 – 2x – 2)
ANÁLISIS Se completa un cuadrado perfecto por medio de la propiedad del Inverso Aditivo y se factoriza Se reduce a la diferencia de dos cuadrados y se factoriza Se eliminan los signos de agrupación que no corresponden Se obtiene la solución
1) Ejem. x4 + 3x2 + 4 = x4 + 3x2 + x2 + 4 – x2 = (x4 + 4x2 + 4) – x2 = (x2 + 2)2 – (x)2 = = [(x2 + 2) + x][(x2 + 2) – x] = (x2 + 2 + x)( x2 + 2 – x) 2) Ejem. a4 + 4 = a4 + 4a2 + 4 – 4a2 = (a4 + 4a2 + 4) – 4a2 = (a2 + 2)2 – (2a)2 = = [(a2 + 2) – 2a][(a2 + 2) – (2a)] = (a2 + 2 + 2a)(a2 + 2 – 2a) = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2)
3) Ejem. 64x4 – 57x2y2 + 9y4 = 64x4 – 57x2y2 + 9x2y2 + 9y4– 9x2y2 = (64x4 – 48x2y2 + 9y4) – 9x2y2 = = (8x2 – 3y2)2 –( 3xy)2 = [(8x2 – 3y2) + 3xy][(8x2 – 3y2) – 3xy] = = (8x2 + 3xy – 3y2)(8x2 – 3xy – 3y2)
EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN
Factorizar los siguientes polinomios
EJERCICIO 10 Factorizaci贸n (33)
IV –SIMPLIFICACIÓN Y REDUCCIÓN DE FRACCIONES
ALGEBRAICAS Generalidades La Ley de los Cocientes anteriormente observada, es necesariamente aplicable en este capitulo: Ley de Cocientes 1) 2) 3) 4) 5) 6)
a a 1 a a 1 b b a a a b b b a c ad bc b d a a 0 a1a 1 a a c ac b b b
b ab a 12) Fracc..impropia, a b ; (*) b c c a c ac a b c 8) Fracc.Complejas , d b d bd a c ac 9) 13) < a b c d e , b b b a c a c a d ad 10) , etc b d b c bc b d
7) a
. 11) Fracc.. propia,
a a b; b
(*)Con respecto al grado del polinomio
Conversión de fracciones ¿Se podrá tener una expresión equivalente que tenga el denominador que necesitemos por alguna razón? Si, esto es posible aplicado el principio fundamental de las fracciones. Ejem. Cambiar la fracción del lado izquierdo por el equivalente del lado derecho de la identidad y que tenga el denominador que indica 3 ? 3 9 8 24 8 24 Si multiplicamos ambos cocientes por la unidad, esto es 3/3 no se alteran nuestros cocientes y logramos el objetivo solicitado.
Ejem. ¿Si tenemos el siguiente cociente
x x a ax 1 y y a ay
x , como obtener ay en el denominador? y Con lo cual se da cumplimiento a lo solicitado
Ejem. 7w , como obtener a 2 b 2 en el denominador? ab 7a 7a b c 7 ab c 1 2 : Con lo cual se da cumplimiento a lo solicitado bc bc bc b c2 Aplicar el proceso al Ejemplo
¿Si tenemos el siguiente cociente
Multiplicación de fracciones El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando el numerador por el numerador y el denominador por el denominador de cada una de las fracciones. Al efectuar el producto se puede, o no, obtener una fracción que tenga algún factor que sea común, tanto para el numerador como para el denominado; de presentarse lo anterior, el factor deberá reducirse a la unidad con el propósito de simplificar el resultado obtenido siendo expresado este en su forma mínima.
Ejem.
7u 4vw 7 5s 7 ru 3 7u 4vw 7 4uvw 7 4vw 7 5s 7 ru 3 5rsu 3 5rsu 2
Obtener el producto de las siguientes fracciones
Ejem. Efectuar la operación y simplificar 2 12a 2 b 3 c 3xy 2a 3 cy 2 13a 3 xy 5ab 2 3ab 2 y 2
12a 2 b 3 c 3xy 2a 3 cy 2 24a 5 b 3c 2 xy 4 24c 2 y 2 65b 13a 3 xy 5ab 2 3ab 2 y 65a 5 b 4 xy 2
Ejem. Efectuar la operación y simplificar
x2 x 2 4x 2 2 2x 4 x x 1
x2 x 2 4x 2 4 x 2 x 2 x 1 4 x 2 x 2 x 2 2 x 2 x 1 2 = = = 2x 4 x x 1 2 x 4 x 2 x 1 2( x 2) x 2 x 1 x 2 x 1
División de fracciones Para poder verificar esta operación recordemos de nuestra ley de cocientes 8)
a c a d ad b d b c bc
Ejem.
x y 2 x2 y2 Efectuar la operación y simplificar 2( a b) 16 x x 4 (a b) x y Ejem.
6a 2 5a 1 2a 2 3a 2 Efectuar la operación y simplificar 3a 2 10a 3 a 2 5a 6
a3 a3
Adición de fracciones Para efectuar esta operación consideramos de la ley de cocientes lo siguiente: 5)
a c ac b b b
6)
a c ad cb b d bd
Dentro de los requerimientos de la operación en veces necesitaremos obtener el mínimo común denominador (M.C.D.), por lo tanto analizaremos la forma de obtenerlo, Obtenga el Mínimo Común Denominador de los supuestos denominadores, 5(x + y) ; 4(x – y) ; 2(x2 – y2) Para obtenerlo requerimos de factorizar cada uno de los denominadores de ser posible; 5(x + y) = 5(x + y) 4(x – y) = 22(x – y) = 22(x – y) 2 (x2 – y2) = 2(x + y)(x – y)
Para obtener el mínimo común denominador tomamos los factores comunes de mayor exponente
M.C.D. = 225 (x + y)(x – y) = 20(x + y)(x – y)
Regla: a) Factorizar todos los denominadores siempre que sea posible. Cuando no sea posible esto es, son primos. b) Todo factor de cada uno de los denominadores debe formar parte del mínimo común denominador y en caso de repetirse alguno, excepto por su exponente, el factor que se anote en el común denominador deberá estar elevado al mayor exponente, de él que se tenga dentro de los denominadores que se suman. Por lo tanto en el M.C.D .no se puede tener ningún factor que no intervenga en los denominadores factorizados, y en caso de que exista alguno repetido excepto por su exponente, sólo se anotara con un exponente igual o mayor de la que se tenga entre ellos. Ejem. Efectuar las operaciones indicadas y simplificar la expresión PROBLEMA
ANÁLISIS
Se extrae el M.C.D de lo denominadores de las fracciones: M.C.D = (x – 1) (x + 1) = (x2 – 1) Se efectúan las operaciones indicadas Eliminando los signos de agrupación 2
2
2
x 2 x 3 x 3x 2 x 3 = x 1x 1 x2 x 2 = x 1x 1 x 2x 1 = x 1x 1 x2 = x 1
Se factoriza el denominador
Se divide el resultado Y se obtiene la solución
Fracciones Complejas Una fracción compleja será aquella en donde tanto en el numerador como en el denominador existan fracciones, suma de fracciones, fracciones mixtas, enteros y fracciones ó combinaciones de los anteriores.
9) <
a b c d e
8)
a c a d ad b d b c bc
a c , etc b d
Ejem.
Efectuar las operaciones indicadas y simplificar la expresión
x y a 2 x y2 a2
x y a a 2 x y a = = 2 2 2 2 x y ax y x y 2 a
El método desarrollado en la Fracción Compleja (por medio de la propiedad de medios por medio y extremos por extremos), es el combinar el numerador y el denominador en una fracción única dividiendo el resultado, como se puede observar en el proceso. Ejem.
Efectuar las operaciones indicadas y simplificar la expresión
2 3 a a2 1 3 2 3 4a
2a 3 2 3 2 12a 2 2a 3 12 a a = a2 = = 2 2 2 1 3 2a 3 4a 1 9 a 4a 9 2 2 3 4a 12a
Lo primero cuando se tiene operaciones de fracciones en el numerador y el denominador es seguir la regla indicada y posteriormente, el método desarrollado en la Fracción Compleja (por medio de la propiedad de medios por medio y extremos por extremos), es el combinar el numerador y el denominador en una fracción única dividiendo el resultado, como se puede observar en el proceso.
EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Efectuar las operaciones indicadas y simplificar la expresión
EJERCICIO 11 Fracciones Complejas (47)
V – ECUACIONES LINEALES Y FRACCIONARIAS DEFINICIONES Igualdad – En el conjunto de las expresiones algebraicas, una igualdad entre ellas es una relación de equivalencia. Identidad –Es una igualdad que se verifica para cualesquier valor asignado a las variables que en la igualdad intervienen. IDENTIDAD (Para cualquier valor de las variables que satisface la igualdad)
IGUALDAD ECUACIÓN (Para determinados valores que satisfacen la igualdad)
IDENTIDAD
ECUACIÓN Para la ecuación sólo se satisface la igualdad para R=5
(a b) 2 a 2 2ab b 2 ....................................................R 3 4 R 18
2 32 2 2 22 3 32...............................................5 45 18 3 52 4 12 9................................................................ 35 15 25 25..................................................................................15 15
Ecuación - Es la formulación que nos indica que dos expresiones o cantidades son iguales. Ecuaciones equivalentes – Son aquellas que tienen las mismas soluciones. Resolver – Es hallar todas las soluciones de la ecuación. Solución o Raíz – Se denomina a la obtención del resultado de valor de la variable al despejar la ecuación. Comprobación - Proceso por medio del cual al sustituir las variables por los valores de raíces de la ecuación, se obtiene una igualdad, demostrando que es verdad o correcta la solución (raíces). Nota – Si al sustituir el valor algunas de las posibles raíces en la ecuación original, se encuentra que no se obtiene una igualdad, a esta raíz se le denomina solución o raíz extraña de la ecuación dada.
Clasificación de las ecuaciones Enteras – Cuando los términos algebraicos efectúan operaciones de sumas, restas y productos. Fraccionarias – Cuando sus incógnitas o al menos una de ellas, se encuentre en el divisor. Irracionales – Cuando una de sus incógnitas se encuentre bajo el signo radical. Ecuaciones lineales con una incógnita (De 1er Grado con una incógnita) Ejem. 1) ECUACIÓN
5x – 2 = 10 –7x 5x +7x = 10 +2 12x = 12
PROCESO Agrupamos términos semejantes en torno a la identidad, efectuamos las operaciones y despejamos la incógnita
x=1 Obtenemos la solución 5x – 2 = 10 – 7x Comprobamos si es solución, sustituyendo el 5(1) – 2=10 – 7(1) valor obtenido de la variable en la ecuación original. 3=3 Si es solución Ecuaciones fraccionarias Ejem. 2) ECUACIÓN
PROCESO Efectuamos operaciones, agrupamos términos 3x 4 7 x 1 1 semejantes en torno a la identidad y despejamos 2 3 la incógnita 9 x 12 14 x 2 1 – 5x +14 = 6 : – 5x = 6 –14 : – 5x = – 8 6 – 5x(–1)= – 8(–1) x = 8/5 Obtenemos la solución Comprobamos si es solución, sustituyendo el 8 8 3 4 7 1 valor obtenido de la variable en la ecuación 5 5 1 original. 2 3 Si es solución 1=1
Ejem. 3) ECUACIÓN
A
b B h
2 2 A bh Bh
PROCESO Despejar la variable b Efectuamos operaciones, agrupamos términos semejantes en torno a la identidad y despejamos la incógnita
2 A Bh bh b=
2 A Bh h
Obtenemos la solución
EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Resolver las siguientes ecuaciones lineales con una incógnita
EJERCICIO 12 Ecuaciones de 1er Grado con una inc贸gnita (33)
INTERVALOS, DESIGUALDADES LINEALES Y VALOR ABSOLUTO Intervalo – Espacio que hay de un limite inferior a un limite superior ( de un lugar a otro). Dados dos números a < b, los puntos a y b son los extremos de un segmento que denominamos intervalo (a,b); a se llama extremo inferior del intervalo, y b extremo superior. O a x b I I I La medida o longitud (a,b) está dada por la diferencia de abscisas de sus extremos: Distancia entre dos puntos dados por sus abscisas – long. de (a,b) = b – a Ejem.
d(a,b) = b a
d(–5,3) = 3 – (–5) = 8
a<b
–5 I
0 I
3 I
Los temas anteriores nos proporcionan los medios para comparar los números reales. Hay un axioma de orden que nos permite tal comparación. Axioma de orden – a. b y c ε R Ley de tricotomia a< b, a = b, a > b
CLASIFICACIÓN DE INTERVALOS Intervalo
Desigualdad
Grafica Intervalo abierto
Intervalo cerrado
Intervalo semiabierto
Intervalo infinito
Algunas veces es usual ver que el signo utilizado para la graficación del intervalo abierto ( ó ), es sustituido por . Y el signo utilizado para la graficación del intervalo cerrado [ ó ] sea sustituido por
Propiedades Las reglas para resolver desigualdades son las mismas que para resolver ecuaciones. Excepto por la siguiente excepción: Cuando los lados de una desigualdad se multiplican o dividen por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia. Ejem. 1) 2 < 3 y 3 < 5 entonces; 2 < 5
1) Si a < b y b < c entonces a < c 2) Si a < b si c > 0 ;
a+c<b+c
3) Si a < b si c > 0 ;
ac < bc 3 2 ac > bc
o
2) 2 < 3 :. 2 > 0 : 4<5 a b 3) 2 < 3 , 2 > 0 : 4 < 6 c c
2 < 3 si 1/2 > 0 ; 1
ó
4) Si a < b si
c<0 ;
4) 2 < 3 , 2 < 0
:
–4>–6
Nota – Si – a < x – b < a es una desigualdad continua, entonces para poder presentarlo de acuerdo al modelo matemático del intervalo correspondiente, sumando b a todos los términos de la desigualdad, obtenemos: –a+b<x<a+b
Desigualdades ò Inecuaciones Lineales – Para resolver este tipo de problemas recurrimos a las propiedades antes mencionadas:
Ejem. 1) DESIGUALDAD O INECUACIÓN
Eliminamos el coeficiente de la variable, aplicando la propiedad 3) de desigualdades para despejar la incógnita (1/5) > 0 x < 10/5 Obtenemos la solución e identificamos el intervalo x<b Y su notación
5x < 10 x<2 (– , 2 )
La grafica –
PROCESO
x
2 I )
Ejem. 2) DESIGUALDAD O INECUACIÓN
Eliminamos el coeficiente de la variable, para despejar la incógnita, aplicando la propiedad 4) de desigualdades. – 4x(–1/4) > 8(–1/4) Obtenemos la solución e identificamos el intervalo x >a Y su notación
– 4x < 8 x>–2 (– 2 , )
La grafica
PROCESO
–2 ( I
x
Ejem. 3) DESIGUALDAD O INECUACIÓN
PROCESO
2x – 4 ≥ 5x – 3 Al igual que en las ec. agrupamos los términos 2x – 5x ≥ 4 – 3 semejantes, Efectuamos operaciones, y despejamos la – 3x ≥ 1 incógnita, aplicando la propiedad 4) de desigualdades. –3x(–1/3) 1(–1/3) x ≤ –1/3 Obtenemos la solución e identificamos el intervalo xb Y su notación (– , –1/3 ]
La grafica –-
x
–1/3 ] I
Ejem. 4) DESIGUALDAD O INECUACIÓN
x 2x 3 2 3 x 2x 3 2 3 3x 4 x 3 6
PROCESO Al igual que en las ec. agrupamos los términos semejantes, Efectuamos operaciones, y despejamos la incógnita
3x 4 x 6 6 3 : (–1)<0 ; x 18 6 y aplicamos nuestra propiedad 4) de desigualdades. (–1)( –x) < (–1)( –18)
x < 18 (– , 18 ) La grafica –
(6)>0
:
Obtenemos la solución e identificamos el intervalo x<b Y su notación x
18 )
Ejem. 5) DESIGUALDAD O INECUACIÓN
PROCESO
Al igual que en las ecuación. agrupamos los términos semejantes, 4x 1 0 Efectuamos operaciones, y despejamos la incógnita 3 6 4 x 1 0 empleando nuestra propiedad 4) de desigualdades. (– ¼ ) < 0 7 4 x 1 – 7(–1/4) > – 4x (– 1/4) ≥ –1(–1/4)
2
1/4 ≤ x < 7/4 [1/4, 7/4)
La grafica –
Obtenemos la solución e identificamos el intervalo a≤x<b Y su notación
1/4 7/4 I [ ) x
Ejem. 6) DESIGUALDAD O INECUACIÓN
A lo largo de la desigualdad continua se multiplica por ½ (propiedad 3) de desigualdades) con la finalidad eliminar el coeficiente de la variable. (1/2) > 0 – 8(1/2) < 2x(1/2) < 8(1/2) Obtenemos la solución e identificamos el intervalo a<x<b Y su notación
– 8 < 2x <8
–4<x<4 (– 4, 4 ) La grafica –
–4 (
x I
PROCESO
4 )
VALOR ABSOLUTO - El valor absoluto de x se escribe como x y esta definido: x ↔ x0 PROPIEDADES –
(1)
x =
–x ↔ x<0
Ejem 2=2 , – 4= - ( - 4 ) = 4 , 3 – 9= – 6 = 6 , 0 = 0 1 a) 2 – 4 + – 3 – 5 – 4 – 9/2 = 19/2 = 9 , b ) – 3 – (– 4) – – 2 ( 5 – 3) = 2 –3 c) 3 – √3= 3 – √3 . por que 3 –√3 > 0 , d) │√3 – 3 │ = – ( √3 – 3 ) , porque √3 – 3 < 0. Así ,│√3 - 3│= 3 – √3 e)│a│ = │ – a│ = a
(2)
Si b > 0
x< b
↔ –b<x<b
Ejem. Valor Absoluto PROCESO │6x – 5 │≤ 2 Establecer la relación con la propiedad correspondiente (2) │6x – 5 │≤ 2 ↔ – 2 ≤ 6x – 5 ≤ 2 Efectuar operaciones con respecto a la desigualdad continua – 2 ≤ 6x – 5 ≤ 2 Utilizando las propiedades de desigualdades. 3(1/6) ≤ 6x(1/6) ≤ 7(1/6) 3 ≤ 6x ≤ 7 1/2 ≤ x ≤ 7/6 Obtenemos la solución e identificamos el intervalo a≤x≤b [ ½, 7/6 ] Y su notación La grafica –
1/2 I[
(3)
x
7/6 ]
Si b>0 ;
b >a
b<–a ó b>a
Ejem. Valor Absoluto
PROCESO Establecer la relación con la propiedad(3)correspondiente 3 3 3 5 2x │x│> b 5 2x 2 2 2 5 - 2x x<–b ó x>b 5 – 2x < – 3/2 ó 5 – 2x > 3/2 5 – 2x < – 3/2 Efectuar operaciones con respecto a la desigualdad y 10 – 4x < – 3 utilizando la propiedad de desigualdades 4). – 4x < – 13 (–¼ ) < 0 – 4x(–1/4) > – 13(–1/4) x > 13/4 x > 13/4 (Obs. Relacionarlo en la clasificación de Int. con x > a) 5 - 2x > 3/2 Efectuar operaciones con respecto a la desigualdad y 10 – 4x > 3 utilizando la propiedad de desigualdades 4). – 4x > –7 (–¼ ) < 0 – 4x(–1/4) < – 7(–1/4) x < 7/4 x < 7/4 (Obs. – Relacionarlo en la clasificación de Int. con x < b) Y su notación (–,7/4)U(13/4, )
La grafica –
x
7/4 13/4 x I ) (
EJERCICIO 13 Desigualdades Lineales (27)
6 < 0 es: 3 10 x 3 3 B) , C) , 10 10
27 El conjunto solución de A) No tiene solución
3 D) , 10
VI – SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS MODELO MATEMÁTICO
a1 x b1 y c1
a 2 x b2 y c2 MÉTODO GRAFICO – En el plano cartesiano, graficamos cada una de las ecuaciones del sistema por medio de la tabulación logrando con este proceso el representar cada ecuación como una recta, donde el punto intersección de ambas en el plano cartesiano, nos indica el par ordenado o solución. SISTEMA DE ECUACIONES
1) 2x – y = 5 2) x + 3y = –1
PROCESO Se tabula cada una de las ecuaciones del sistema
Se despeja la ecuación 1), con respecto a la variable x e F(x) –1 –3 -5 0 –7 –9 y. x 2 1 0 5/2 –1 –2 Dando valor a x en forma arbitraria en la tabulación. 2x – y = 5 Si y = 0
F(x) –1 –2/3 –1/3 0 1/3 x 2 1 0 –1 –2
x = 5/2
– y = 5 – 2x y = 2x – 5
Se despeja la ecuación 2), con respecto a la variable x e y. Dando valor a x en forma arbitraria en la tabulación. x + 3y = –1 3y = – 1 – x Si y = 0 x = –1 y = (–1– x)/3
y SOLUCIÓN GRAFICA L2 x´
.
. .. ( 2, –1)
x
.
L1
y
CLASIFICACIÓN
Solución del sistema
Sistema compatible determinado
Rectas paralelas No existe solución
Sistema incompatible
Número infinito de soluciones
Sistema compatible
Estructura – Solución Conjunto solución
(x.y)
Sustituir el valor de la incógnita obtenida en el sistema original, despejando la incógnita restante.
2 1
Despejar la ecuación lineal con una incógnita.
Eliminar una incógnita Común (x ó y)
MÉTODOS ANALÍTICO REDUCCIÓN – En este método la eliminación de una incógnita común se obtiene mediante la operación de suma o resta, como se observar en el proceso.
SISTEMA DE ECUACIONES
PROCESO da
2x – y = 5 x + 3y = –1
2x – y = 5
Multiplicando la 2 ecuación por (–2) para eliminar una incógnita Común (propiedad del inverso aditivo), obteniendo la ecuación equivalente sig.: – 2x – 6y = 2 Sumando miembro a miembro las ecuaciones equivalentes. Se obtiene la expresión lineal:
–2x – 6y = 2 – y =1
– 7y = 7 Se aplican las propiedades de la igualdad, con la 1 1 finalidad de eliminar el signo y coeficiente de la 7 y 7 igualdad:
7
7
y=– 1
2x – y = 5 2x – (–1) = 5
( 2, –1 )
Se selecciona una de las dos ecuaciones del sistema originales, sustituyendo el valor de la incógnita despejada en la ecuación. Se obtiene la expresión lineal: 2x = 4, despejamos la variable x x=2 Conjunto Solución
IGUALACIÓN - En este método una vez que se ha seleccionado la incógnita a eliminar, se despejara cada una de las ecuaciones respecto a la variable elegida, para luego igualarse ambas ecuaciones (x = x ó y = y), reduciendo por medio de este proceso el sistema a una ecuación lineal para así despejar una de las incógnitas. Luego se selecciona una de las dos ecuaciones del sistema original, sustituyendo el valor de la incógnita despejada. Obtenemos nuevamente una expresión lineal y despejamos la incógnita restante. Obteniendo el conjunto solución (x, y)
SISTEMA DE ECUACIONES
1) 2x – y = 5 2) x + 3y = –1
PROCESO Incógnita a eliminar x Se despeja la ecuación. 1), con respecto a la variable x 2x = 5 + y x(1/2)=(5 + y)(1/2) x = (5 + y)/2
Se despeja la ecuación. 2), con respecto a la variable x x = – 1 – 3y
5 y 1 3 y 2 5 y 2 6 y
Se igualan ambas ecuaciones. ( x = x), se efectúan operaciones y agrupamos términos semejantes y despejamos con respecto a la variable y:
1 1 y 6 y 2 5 7 y 7 7 y 7 7 7 y=– 1
2x – y = 5 2x – (–1) = 5
( 2, –1 )
Se selecciona una de las dos ecuaciones del sistema originales, sustituyendo el valor de la incógnita despejada en la ecuación. Obtenemos la expresión lineal con una incógnita; 2x = 4, despejando la variable x x=2 Conjunto Solución
SUSTITUCIÓN – En este método una vez elegida la incógnita a eliminar, se despejara cada una de las ecuaciones respecto a la variable elegida, para luego igualarse ambas ecuaciones (x = x ó y = y), reduciendo por medio de este proceso el sistema a una ecuación lineal para así despejar una de las incógnitas. Luego se selecciona una de las dos ecuaciones del sistema original, sustituyendo el valor de la incógnita despejada. Obtenemos nuevamente una expresión lineal y despejamos la incógnita restante. Obteniendo el conjunto solución (x, y)
SISTEMA DE ECUACIONES
1) 2x – y = 5 2) x + 3y = – 1
2) x + 3y = – 1 x + 3(– 5 + 2x) = – 1 x – 15 + 6x = – 1 x + 6x = – 1 + 15
2(2) – y = 5 4– y =5 – y =5–4
( 2, –1 )
PROCESO Incógnita a eliminar y Se despeja la ec. 1), con respecto a la variable y – y = 5 – 2x – y (– 1 ) = (5 – 2x)( – 1) y = – 5 + 2x Se sustituye el valor de la incógnita obtenida, en la ecuación 2), Se efectúan operaciones, se agrupan términos semejante a ambos lados de la igualdad y se despeja la variable x: 7x = 14 x = –2 Se selecciona una de las dos ecuaciones del sistema originales, sustituyendo el valor de la incógnita despejada en la ecuaciones. Obtenemos la expresión lineal con una incógnita; – y = 1, despejando la variable y y=–1 Conjunto Solución
DETERMINANTES –
SISTEMA DE ECUACIONES
PROCESO
T.D =T.I. 1) 2x – y = 5 1er paso, identificar los términos independientes y 2) x + 3y = – 1 dependientes en torno a la igualdad . 2do paso, será la obtención del DETERMINANTE DEL x y ( – ) SISTEMA . Se toman los coeficientes de las variables tal como los 2 –1 encontramos en el sistema con respecto a fila y columna = 1 3 del determinante. Para su solución, aplicar la Regla de Cramer Productos en diagonal hacia abajo (+)
Productos en diagonal hacia arriba -
6 1 T.D. y
(–)
5 –1 –1 3
= (+)
7
3do paso, será la obtención del DETERMINANTE DE x x . Se substituyen los coeficientes de la columna de x por la de los términos independientes. Para su solución, aplicar la Regla de Cramer Productos en diagonal hacia abajo
Productos en diagonal hacia arriba - x 15 1
x 14
do
x T.D. ( – ) 2 1
5 –1
=
(+)
4 paso, será la obtención del DETERMINANTE DE y y .
Se substituyen los coeficientes de la columna de y por la de los términos independientes. Para su solución, aplicar la Regla de Cramer Productos en diagonal hacia abajo
Productos en diagonal hacia arriba - y 2 5
y 7
Se despejan las incógnitas del sistema
x
14 7
y
7 7
x
x
x=2 (2, – 1)
Y y = –1 y
Conjunto Solución
FORMULA - Su obtención es por medio de la aplicación al modelo matemático de alguno de los métodos analíticos, siendo la siguiente:
a1 x b1 y c1
Modelo Matemático
a 2 x b2 y c2 x
b2 c1 b1c 2 a1b2 a 2 b1
SISTEMA ECUACIONES
DE
2x – y = 5 x + 3y = –1
a1 2, b1 1, c1 5 a 2 1, b2 3, c 2 1
x
y
35 1 1 14 2(3) 1(1) 7
2 1 15 7 7 7
(2, – 1)
y
a1c 2 a 2 c1 a1b2 a 2 b1
PROCESO
La correspondencia uno a uno con el modelo matemático(coeficientes correspondientes a cada una de las ecuaciones). a1 x b1 y c1
a 2 x b2 y c2 Se sustituyen los coeficientes del cociente, con respecto a la variable x despejada. b c bc x 2 1 1 2 x2 a1b2 a 2 b1 Se sustituyen los coeficientes del cociente, con respecto a la variable y despejada. a c a 2 c1 y 1 2 y 1 a1b2 a 2 b1 Conjunto Solución
SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE 1ER GRADO CON TRES INCÓGNITAS Modelo Matemático a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 Estructura – Solución Conjunto solución Eliminar una incógnita Común (x, y ó z) Eliminar una incógnita Común (x ó y )
(x. y, z)
Sustituir el valor de las incógnitas obtenidas(x, y) en el sistema original, despejando la incógnita restante (z). ´´´
3 2
Sustituir el valor de la incógnita obtenida(y) en el sistema en el sist. de ec. simul. con 2 incog., despejando la incógnita (x) ´´
1 Despejar la incógnita (y)´
Combinación de Métodos Analíticos Ejem. Obtener la solución de las siguientes ecuaciones. a) 1) 3x + 2y – z = 12 2) x + y + z = 6 b) 3) x – 2y – z = – 2 c) Para resolver el sistema de ecuaciones simultaneas con tres incógnitas, se requiere de tomar una de las tres combinaciones anteriores esto es: a) 1 y 2, 1 y 3 b) 2 y 1, 2 y 3 c) 3 y 2, 3 y 1 Optamos por la combinación a), para eliminar una incógnita común (z) 1) 3x + 2y – z = 12 2) x + y + z = 6
1´) 3x + 2y – z = 12 2´) x + y + z = 6
1´) 3x + 2y – z = 12 3´) – x + 2y + z = 2
) 4x + 3y = 18 ) 2x + 4y = 14 El sistema original se redujo a un sistema de ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas el cual resolvemos: ) 4x + 3y = 18 ´) 8x + 6y = 36 Sustituir. el valor de las incógnitas obtenidas x e y, ) 2x + 4y = 14 ´) –8x –16y = –56 En cualquiera de las ecuaciones. del Sistema. Original (1, 2, 3) –10y = –20 Sustituir el valor de la incógnita 2) x + y + z = 6 3+2+z=6 y obtenido (y = 2), en la z=6–5 z=1 y = 2 ecuación ó . ) 2x +´ 4y = 14 : 2x + 8 = 14
Determinantes Resolver el siguiente Modelo Matemático empleando determinantes: Modelo Matemático a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 1er ) Obtención del determinante del sistema (S) x y z a1 b1 c1 a2 b2 c2 = (a1b2c3 + b1c2a3 + a2b3c1) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1) a3 b3 c3 er 2 ) Obtención del determinante de x (x) c y z d1 b1 c1 d2 b2 c2 d3 b3 c3
= (d1b2c3 + b1c2d3 + c1d2b3) – (d3b2c1 + b3c2d1 + c3d2b1 )
3er ) Obtención del determinante de y (y) x c z a1 d1 c1 a2 d2 c2 a3 d3 c3
= (a1d2c3 + d1c2a3 + c1a2d3) – (a3d2c1 + d3c2a1 + c3a2d1 )
4er ) Obtención del determinante de z (z) x y c a1 b 1 d 1 a2 b2 d2 a3 b3 d3
= (a1b2d3 + b1d2a3 + d1a2b3) – (a3b2d1 + b3d2a1 + d3a2b1 )
Los valores de las incógnitas se obtienen calculándolos cocientes de los determinantes de cada una de las incógnitas entre el determinante del sistema.
x
= [(d1b2c3 + b1c2 d3+ c1d2b3)
– (d3b2c1 + b3c2 d1+ d2b1c3)][ (a1b2c3 + b1c2a3 + a2b3c1) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)]
y
= [(a1d2c3 + d1c2a3 + c1 a2d3)
– (a3d2c1 + d3c2a1 + c3a2d1 )] [ (a1b2c3 + b1c2a3 + a2b3c1) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)]
z
= [(a1b2d3 + b1d2 a3 + d1a2b3) – (a3b2d1 + b3d2a1+ d3a2b1)] [ (a1b2c3 + b1c2a3 + a2b3c1) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)]
Formula Modelo Matemático a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 Las soluciones para las incógnitas: x
x y z
x s
y
y s
z
z s
modificar
/ = [(a d c + a d c + a d c ) – (a d c + a d c + a d c )] /[(a b c + a b c + a b c ) – (a b c + a b c + a b c )] = [(a b d + a b d + a b d ) – (a b d + a b d + a b d )] /[(a b c + a b c + a b c ) – (a b c + a b c + a b c )] = [(d1b2c3 + d3b1c2 + d2b3c1) – (d3b2c1 + d1b3c2 + d2b1c3)] [(a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1) – (a3b2c1 + a1b3c2 + a2b1c3 )] 1 2 3
1 2 3
3 1 2
3 1 2
2 3 1
2 3 1
3 2 1
3 2 1
1 3 2
1 3 2
2 1 3
1 2 3
3 1 2
2 3 1
3 2 1
1 3 2
2 1 3
2 1 3
1 2 3
3 1 2
2 3 1
3 2 1
1 3 2
2 1 3
Ejem. Resolver el sistema de ecuaciones simultáneas de 1ercon tres incógnitas empleando determinantes: 3x + 2y – z = 12 x+ y+z= 6 x – 2y – z = – 2 1er ) Obtención del determinante del sistema (S) x y z 3 2 –1 1 1 1 = (– 3 + 2 + 2) – (– 1 – 6 – 2 ) = 1 + 9 = 10 1 –2 –1 2er ) Obtención del determinante de x (x) C y z 12 2 – 1 6 1 1 = (– 12 – 4 +12) – (2 –24 – 12 ) = – 4 + 34 = 30 –2 –2 –1 3er ) Obtención del determinante de y (y) x 3 1 1
C z 12 – 1 6 1 –2 –1
= (–18 + 12 + 2) – (– 6 – 6 – 12) = 20
4er ) Obtención del determinante de z (z) x y 3 2 1 1 1 –2
C 12
6
= (– 6 + 12 – 24) – ( 12 – 36 – 4 ) = – 30 + 40 = 10
–2
Los valores de las variables se obtienen calculándolos cocientes de los determinantes de cada una de las incógnitas entre el determinante del sistema.
x
30 3 10
y
20 2 10
z
10 1 10
Ejem. Resolver el sistema de ecuaciones simultáneas de 1ercon tres incógnitas empleando la Formula: 3x + 2y – z = 12 x+ y+z= 6 x – 2y – z = – 2 modificar x = [(d1b2c3 + d3b1c2 + d2b3c1) – (d3b2c1 + d1b3c2 + d2b1c3)] /[(a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1) – (a3b2c1 + a1b3c2 + a2b1c3 )] – (a3d2c1 + a1d3c2 + a2d1c3 )] /[(a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1) – (a3b2c1 + a1b3c2 + a2b1c3 )]
y
= [(a1d2c3 + a3d1c2 + a2d3c1 )
z
= [(a1b2d3 + a3b1d2 + a2b3d1) – (a3b2d1 + a1b3d2+ a2b1d3)] [(a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1) – (a3b2c1 + a1b3c2 + a2b1c3 )]
/
x=3 , y=2 ,
z=1
ó
(3, 2, 1)
EJERCICIO 14 Sistemas de Ecuaciones Simultáneas con 2 ò mas incógnitas (35)
VII – ECUACIONES CUADRATICAS Forma General Métodos de Solución Completar el Trinomio Cuadrado Perfecto Factorización Formula General Incompletas Radicales 2 De la forma a f x b f x c 0 (No aplica en este Semestre) Lugares Geométricos (Ecuaciones simultáneas de 2 do Grado) (No aplica en este Semestre) Desigualdades cuadráticas (No aplica en este Semestre)
Forma General En la comprensión de este capitulo analizáremos las ecuaciones de segundo grado (cuadráticas) los métodos de solución para resolverlas, partiendo del modelo de representación de la forma general;
ax2 + bx + c = 0 Nuestro objetivo será el poder obtener las raíces de la ecuación, mediante la ejecución correcta de operaciones y algoritmos necesarios al tema y la practica con los métodos indicados de solución a las diversas formas, con algunas aplicaciones. Métodos de Solución Forma general
a) Completar el Trinomio Cuadrado Perfecto
ax2 + bx + c = 0
b) Formula General c) Factorización
Se denomina ecuación. Cuadrática, por el grado del polinomio. Esta ecuación también la denominamos completa, por contener el trinomio un término cuadrático, uno lineal y la constante
a) Completar el Trinomio Cuadrado Perfecto A partir de la forma general se verifican los siguientes pasos para obtener las raíces de la ecuación. 1er ax2 + bx + c = 0, se divide a ambos lados de la ec. entre el coeficiente del termino cuadrático (a), eliminando dicho coeficiente con esto(se reduce a la unidad).
1 1 ax 2 bx c 0 a a
x2
b c x 0 a a
2do Se agrupan los términos semejantes entorno a la identidad y se efectúan operaciones
x2
b c x a a
3er Se completa el Trinomio Cuadrado Perfecto y se efectúan operaciones
Se multiplica por dos el denominador del coeficiente del término lineal, esta acción se agrega a ambos lados de la identidad. 2
b c b2 b x x 2 a a 4a 2a
x2
2
b b2 b 2 4ac x 2 a 4a 4a 2
4to Se factoriza el Trinomio Cuadrado Perfecto, se elimina el exponente del trinomio factorizado dando radicales a ambos lados de la identidad y resolvemos la ecuación para x. Se factoriza 2 b b 2 b 2 4ac x x 2 a 4a 4a 2
se elimina el exponente 2
b 2 4ac b x 2 2a 4a
b b 2 4ac x 2a 2a
b b 2 4ac x 2a
x
2
b b 2 4ac x 2a 4a 2 b b 2 4ac 2a 2a Formula General
b) Formula General
x
b b 2 4ac 2a
x
b D 2a
D = Discriminante = b2 – 4ac Cuando
Tipo de Solución No R e Iguales
D=0 D 0; C.P. D 0; No es/C.P. D0
La función del discriminante es la de determinar el tipo de raíces que se obtendrán de la ecuación.
No Q y Diferentes No H y Diferentes No Imaginarios
c) Factorización Partiendo del modelo de representación de la forma general:
ax2 + bx + c = 0 Será factorizable de acuerdo al punto anterior si el discriminante (D) es mayor que cero y este es un cuadrado perfecto. D = b2 – 4ac D 0 Es un cuadrado perfecto y sus raíces son N o Q y Diferentes
x1
b b 2 4ac b D 2a 2a
x x o Raíces o Soluciones
(x=α,β)
x2
b b 2 4ac b D 2a 2a
x x1 x x2 o ( x = x1 , x2 )
Ejem. Obtener las soluciones de la ecuación.
y2 + y – 1/9 = 0
Por medio del discriminante determinamos el tipo de solución a obtener: D = Discriminante = b2 – 4ac = 1 – 4(1)2(– 1/9 ) = 1 + 4/9 = 13/9 Soluciones o Raíces - No H y Diferentes
D 0; No es/C.P. Método de solución:
a) Completar el Trinomio Cuadrado Perfecto 1er
y2 + y – 1/9 = 0
No se requiere eliminar el coeficiente del término cuadrático
2do Se agrupan términos semejantes y2 + y – 1/9 = 0
y2 + y = 1/9
3er Se completa el Trinomio Cuadrado Perfecto y se efectúan operaciones 2
y + y = 1/9
2 2 y 1 1 1 y 2 2 2 9 4
2 2 y 1 1 1 y 2 2 2 9 4
Se multiplica por dos el denominador del coeficiente del segundo término, para así tener el tercer término del trinomio al elevarlo al cuadrado. No alterando la ecuación al redactarlo a ambos lados de la igualdad y se efectúan operaciones.
1 1 1 1 13 y2 y 4 9 4 4 36 4to Se factoriza el Trinomio Cuadrado Perfecto, se elimina el exponente del trinomio factorizado dando radicales a ambos lados de la identidad y resolvemos la ecuación para x. y2 y
2
1 13 1 13 2 : y y y 4 36 2 36
1 13 y 2 6
: y
2
:
3 13 6
1 13 y 2 36
y
: y
1 13 2 6
3 13 3 13 Raíces o ,y Soluciones 6 6
c) Formula General y2 + y – 1/9 = 0
a = 1, b = 1, c = – 1/9
D = Discriminante = b2 – 4ac = 1 – [4(1)2(– 1/9 )] = 1 + 4/9 = 13/9 D 0; No es/C.P. ,
Soluciones o Raíces - No H y Diferentes
b b 4ac x 2a
13 9
1
2
si
b D y = 2a 3 13 y 6
2
13 3 13 3 = 3 = 2 2
1 =
d) Factorización Como el discriminante de la ecuación, no es un cuadrado perfecto, no es posible la factorización directa de la ecuación. La factorización se puede verificar, por medio de la formula general, al obtener las raíces, estas serán los factores de la ecuación. al cambiarles el signo e igualar a cero. y2 + y – 1/9 = 0
b b 2 4ac b D 2a 2a b b 2 4ac b D x2 2a 2a
3 13 6 3 13 y2 6 y1
x1
x x o 3 13 3 13 y o y 6 6
( y1
y y o 3 13 3 13 y y o 6 6
3 13 3 13 , y2 ) 6 6
ECUACIONES INCOMPLETAS DE 2DO GRADO.
Será cuando no se cuenta el termino lineal – ax2 + c = 0
b(x) = 0
ax2 = – c
Será cuando no se cuenta el termino constante –
x2 =
c a
x=0
y
c=0
xax b 0
ax2 + bx = 0
x=
b a
Ejem. Resolver la ecuación
3x2 – 2 = 0
Se agrupan los términos semejantes entorno a la igualdad y se resuelve la ec. 3x2 = 2 Resolver la ec. 4x2 = -2
x2 = 2/3
2 3
x
2 3
x
1 i 2
4x2 + 2 = 0 x2 = -2/4
Resolver la ecuación. x(5x + 2) = 0
x2
5x2 + 2x = 0
x = 0 y x = – 2/5
x2
1 2
Se agrupa los términos semejantes y se factoriza Cada uno de los factores se iguala a cero y se despeja la incógnita
EJERCICIO 15 Ecuaciones de 2do Grado (33)
32) Para completar el trinomio cuadrado perfecto en la ecuación 2x2 – 4x + 2 = 0 es necesario sumar; A) 4
B) – 1
C) – 4
33) Al resolver ax2 + bx = 0, se obtiene; a b A) x = , x = 0 B) x = 0 , x = b a
D) 1
C) x =
b ,x=0 a
D) x =
a ,x=0 b
Radicales Las ecuaciones con radicales tienen una forma de obtener sus raíces que en ocasiones complican un poco (mas nada fuera de nuestro alcance). Ejem. Resolver la ec. x 1 x 4 7 x 4
2
2
x 1 x 4 7x 4 er La forma de de resolver es, 1 elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación. x 1 2
2
x 1
x 4 x 4 7x 4
x 1x 4 7 x 4 x 1x 4 5 x 1
2x 5 2
x 1x 4 7 x 4 2 x 5
2
2do efectuamos la reducción de términos semejantes
x 1x 4 5 x 1 2
x 1x 4
2
x 1x 4
2
5x 1 2
2
2
25 x 2 10 x 1 5x 1 x 2 5x 4 4 2 2 2 4 x 20 x 16 25 x 10 x 1
3er Dividimos ambos términos entre 2 y elevemos al cuadrado ambos términos y efectuamos operaciones. 21x2 – 30x – 15 = 0 , 3(7x2 – 10x – 5) = 0 , 7x2 – 10x – 5 = 0/3 , 4to Resolvemos la ecuación cuadrática
x
5 2 15 7
7x2 – 10x – 5 = 0
Estrategia: 1) Al Observar la ecuación, de existir radicales a ambos lados de la igualdad, elevar al cuadrado a ambos lados de la igualdad con el fin de eliminar estos. 2) De existir un radical sumado ó restado a otra(s) cantidad(es) algebraicas, agrupar las expresiones algebraicas radicalizadas y las que no entorno a la igualdad y posteriormente, elevar al cuadrado a ambos lados de la igualdad con el fin de eliminar estos (El anterior procedimiento pude repetirse dependiendo del problema). 3) Eliminado(s) el radical de la igualdad efectué el proceso algebraico de simplificación para la igualdad. De tal forma obtenemos una ecuación de 2do grado. 4) Resolver la ecuación cuadrática por alguno de los métodos indicados previamente. 5) Finalmente comprobar si las soluciones obtenidas al ser sustituidas en la ec. original, son o no soluciones de la ecuación.
Ejem. Resolver la ec. 2 x 2 x 1 1 La forma de de resolver es: 1er agrupar los términos que se encuentran afectados por el radical aun lado de la igualdad y los que no del otro lado de la igualdad. 2x 1 1 2x Luego se eleva al cuadrado a ambos lados de la igualdad para el eliminar el radical
2
2
2 x 1 1 2 x obteniendo 2 x 1 1 4 x 4 x 2 se efectúan las operaciones, y se tiene la ecuación cuadrática sig. 4 x 2 8 x 2 = 0 2x 2 4x 1 = 0 Al aplicar la formula general, la solución es x = ½ La comprobación sustituyendo la solución obtenida, en la ec. solicitada en el planteamiento del problema: 21 / 2 21 / 2 1 1 Nos indica que es correcta 1 = 1 Y concluimos que x = ½, si es solución Ejem. La solución de la ecuación x x 1 0 es:
La forma de de resolver es, 1er agrupar los términos que se encuentran afectados por el radical aun lado de la igualdad y los que no del otro lado de la igualdad. x 1 x Luego se eleva al cuadrado a ambos lados de la igualdad para el eliminar el radical
2
x 1 = x2 obteniendo ecuación cuadrática: x 2 x 1= 0
1 1 Al aplicar la formula general a la ec., la solución es x = 2 2 5
La comprobación sustituyendo la solución en la ec. original nos indica que únicamente es el valor positivo obtenido: 1 1 x= 2 2 5
EJERCICIO 16 Ecuaciones con radicales (9)
FRACCIONES PARCIALES Prerrequisitos Objetivo Mapa Conceptual Aplicación – En el Cálculo Integral (Integral Racional) Las Fracciones Parciales se encuentran constituidas en cuatro casos; I – FACTORES LINEALES DIFERENTES
f x = ax bcx d .......
A B ............. ax b cx d
A,B,C,.....= Constantes
Para cada fracción propia en la cual contenga en su denominador factores lineales diferentes, a cada factor lineal diferente le corresponde una fracción parcial y una constante. II – FACTORES LINEALES REPETIDOS
f x = ax b n
An A3 A1 A2 ...... ax b ax b 2 ax b 3 ax b n
A A1 , B A2 , C A3 ,......... CONSTANTES Para cada fracción propia en la cual contenga en su denominador factores lineales repetidos, a cada factor lineal repetido le corresponde una fracción parcial y una constante.
III – FACTORES CUADRÁTICOS DIFERENTES
f x Ax B Cx D = 2 ................... 2 2 ax bx c dx ex f ....... ax bx c dx ex f
2
A,B,C,.....= Constantes Para cada fracción propia en la cual contenga en su denominador factores cuadráticos diferentes, a cada factor cuadráticos le corresponde una fracción parcial y una constante(expresión lineal en el numerador).
IV – FACTORES CUADRÁTICOS REPETIDOS f x
ax
2
bx c
n
=
A1 x B1 A2 x B2 2 ax bx c ax 2 bx c
2
...... .
An x Bn
ax
2
bx c
n
A A1 , B B1 , C A2 , D B2 ......... CONSTANTES Para cada fracción propia en la cual contenga en su denominador factores cuadráticos repetidos, a cada factor cuadrático repetido le corresponde una fracción parcial y una constante(expresión lineal en el numerador).
NOTA : Los casos presentados se pueden combinar entre si
* Para obtener fracciones parciales se sugiere dar cumplimiento a la siguiente recomendación: ESTRATEGIA DIDÁCTICA (ED) 1) Tener una FRACCIÓN PROPIA 2) De no tener fracciones propias, esto es contar con fracciones impropias ó igualdad de grado en el cociente -- Sí f(x) > g(x) ó f(x) = g(x ) -- , con respecto al grado del polinomio, se requerirá de efectuar una división de polinomios, expresando el resultado de acuerdo al modelo de la división no exacta
f x Rx Qx .... g x g x
3) De no estar factorizado el denominador de la fracción propia, factorizarlo de ser posible. Este proceso nos permitirá determinar la correspondencia con el caso por la característica del denominador. 4) A igual número de factores en el denominador de nuestra fracción propia, igual número de fracciones parciales e igual número de constantes.
I – FACTORES LINEALES DIFERENTES
f x = ax bcx d .......
A B ............. ax b cx d
A,B,C,.....= Constantes
Para cada fracción propia en la cual contenga en su denominador factores lineales diferentes, a cada factor lineal diferente le corresponde una fracción parcial y una constante.
Ejemplo:
3 x 12 x 1 Para obtener su solución como primer paso, damos cumplimiento con la: Descomponga en Fracciones Parciales
ESTRATEGIA DIDÁCTICA (ED) 1) (√) Tener una FRACCIÓN PROPIA 2) (x) De no tener fracciones propias, esto es contar con fracciones impropias ó igualdad de grado en el cociente -- Sí f(x) > g(x) ó f(x) = g(x) -- , con respecto al grado del polinomio se requerirá de efectuar una división de polinomios, expresando el resultado de acuerdo al modelo de la división no exacta
f x Rx Qx .... g x g x
3) (√) De no estar factorizado el denominador de la fracción propia, factorizarlo de ser posible. Este proceso nos permitirá determinar la correspondencia con el caso por la característica del denominador. (Factores lineales diferentes) 4) (√) A igual número de factores en el denominador de nuestra fracción propia, igual número de fracciones parciales e igual número de constantes. (2 factores, 2 fracciones parciales, 2 constantes) Nota: La aplicación es basada en su comprensión, al igual como su omisión.
Proceso de Solución: (De acuerdo con lo planteado en el punto 3), 4) de la ED)
3 A B = + del lado izquierdo de la igualdad se procede a efectuar x 12 x 1 x 1 2 x 1
3 A(2 x 1) B( x 1) = , observe que x 12 x 1 x 12 x 1 los denominadores son iguales a ambos lados de la igualdad, reduciendo al la unidad los mismos por medio de las propiedades de la igualdad las operaciones indicadas obteniendo:
3 A2 x 1 B x 1 Es en este punto del proceso para el caso I, es donde se elige ò determina el Método de Solución: A) Solución por medio del Desarrollo de un Sistema de Ecuaciones: Se efectúan operaciones únicamente del lado derecho de la igualdad 3 2 Ax A Bx B , agrupando y factorizando términos semejantes 3 x2 A B A B Para la obtención del Sistema de Ecuaciones. En torno a la igualdad se toma términos semejantes (de existir del lado izquierdo, si no contamos con este se significa con un cero) esto es, las constantes con las constantes (c = c), términos lineales con los términos lineales (x = x), términos cuadráticos con los términos cuadráticos (x2 = x2), x3 = x3, …..,etc. Iniciamos por el polinomio de mayor grado y así en orden descendente 0 2 A B → 0 2 A B → 2 A B 0 x → AB 3 3 A B
x = x → 0 x 2 A B → c=c →
Sist. de Ecuaciones
La Solución para A y B del Sist. de Ecuaciones Simultaneas de 1er Grado, se obtiene por medio de los métodos previamente mostrados ( Cap. VI ). 2A B 0 2 A 2 B 6 3B 6
B 2
Sustituyendo el valor de la variable obtenida en cualesquiera de las ec. originales del sistema despejamos la incógnita restante A 1 FRACCIONES PARCIALES
3 A B = + = x 12 x 1 x 1 2 x 1
1 2 + x 1 2 x 1
=
1 2 – x 1 2 x 1
Comprobación: (Partiendo de las Fracciones Parciales obtenidas, se efectúa las operaciones de suma o resta indicadas y se llega al planteamiento inicial del problema) =
1 2 2 x 1 2x 1 = 2 x 1 2 x 2 = – = x 1 2 x 1 x 12 x 1 x 12 x 1
3 x 12 x 1
B) Solución por medio del Método Abreviado o Sintético (Este Método lo aplicaremos únicamente en el Caso I)
3 A B = + x 12 x 1 x 1 2 x 1 En la fracción parcial en cuyo numerador tenemos la constate A, el denominador lineal x –1 de la fracción se igual a cero :. x –1 = 0 ; x = 1 Descomponga en Fracciones Parciales
Lo mismo aplica para la fracción parcial en cuyo numerador tenemos la constate B, el denominador lineal 2x +1 de la fracción se igual a cero :. 2x +1= 0 ; x = –1/2 Recordemos del proceso anterior, que los primeros pasos del mismo se verifican por igual en este Método; 3 A B = + del lado izquierdo de la igualdad se procede a efectuar x 12 x 1 x 1 2 x 1 3 A(2 x 1) B( x 1) las operaciones indicadas obteniendo: = , observe que x 12 x 1 x 12 x 1 los denominadores son iguales a ambos lados de la igualdad, reduciendo al la unidad los mismos por medio de las propiedades de la igualdad
3 A2 x 1 B x 1 Es en este punto del proceso para el caso I, es donde se elige ò determina el Método de Solución: El valor o expresión algebraica que se tenga del lado izquierdo de la igualdad siempre prevalece, para cuando despejamos los valores de A y de B, como podemos observar a continuación. x =1 3 A2 x 1 3 A21 1
3 = 3A A=1
x = –1/2 3 B x 1 1 3 B 1 2
6 = – 3B B=–2 FRACCIONES PARCIALES
3 A B = + = x 12 x 1 x 1 2 x 1
1 2 + x 1 2 x 1
=
1 2 – x 1 2 x 1
Ejem.: Solución por medio del Método Abreviado o Sintético (Este Método lo aplicaremos únicamente en el Caso I) 5 B A Descomponga en Fracciones Parciales = + x 1 x x 1 x En la fracción parcial en cuyo numerador tenemos la constate A, el denominador lineal x de la fracción se igual a cero :. x = 0 Lo mismo aplica para la fracción parcial en cuyo numerador tenemos la constate B, el denominador lineal x +1 de la fracción se igual a cero :. x +1= 0 ; x = –1 Recordemos del proceso anterior, que los primeros pasos del mismo se verifican por igual en este Método;
5 B A = + del lado izquierdo de la igualdad se procede a efectuar x 1 x x 1 x 5 A( x 1) Bx las operaciones indicadas obteniendo: = , observe que los x x 1 x x 1 denominadores son iguales a ambos lados de la igualdad, reduciendo al la unidad los mismos por medio de las propiedades de la igualdad 5 A x 1 Bx Es en este punto del proceso para el caso I, es donde se elige ò determina el Método de Solución: El valor o expresión algebraica que se tenga del lado izquierdo de la igualdad siempre prevalece, para cuando despejamos los valores de A y de B, como podemos observar a continuación. x=0 x = –1 5 Bx 5 A x 1 5 A20 1 5 B 1
5=A A=5
5=–B B=–5
FRACCIONES PARCIALES
5 B A = + = x 1 x x 1 x
5 5 + x 1 x
=
5 5 – x 1 x
NOTA: Se sugiere para el desarrollo de habilidades, obtener la solución por el Método del Desarrollo de un Sistema de Ecuaciones
II – FACTORES LINEALES REPETIDOS
f x = ax b n
An A3 A1 A2 ...... 2 3 ax b ax b ax b ax b n
A A1 , B A2 , C A3 ,......... CONSTANTES Para cada fracción propia en la cual contenga en su denominador factores lineales repetidos, a cada factor lineal repetido le corresponde una fracción parcial y una constante.
Ejemplo: Descomponga en Fracciones Parciales
3x 1 x 2 x 1
Para obtener su solución como primer paso, damos cumplimiento con la: ESTRATEGIA DIDÁCTICA (ED) 1) (√) Tener una FRACCIÓN PROPIA 2) (x) De no tener fracciones propias, esto es contar con fracciones impropias ó igualdad de grado en el cociente -- Sí f(x) > g(x) ó f(x) = g(x) -- , con respecto al grado del polinomio, se requerirá de efectuar una división de polinomios, expresando el resultado de acuerdo al modelo de la división no exacta
f x Rx Qx .... g x g x
3) (√) De no estar factorizado el denominador de la fracción propia, factorizarlo de ser posible. Este proceso nos permitirá determinar la correspondencia con el caso por la característica del denominador.(factores lineales repetidos y factores lineales diferentes) 4) (√) A igual número de factores en el denominador de nuestra fracción propia, igual número de fracciones parciales e igual número de constantes. (3 factores) Nota: La aplicación es basada en su comprensión, al igual como su omisión. Proceso de Solución: ( De acuerdo con lo planteado en el punto 4) de la ED )
C 3x 1 A B = 2 + del lado izquierdo de la igualdad se procede a efectuar 2 x 1 x x x 1 x
3x 1 Ax x 1 B x 1 Cx 2 = , observe que x 2 x 1 x 2 x 1 los denominadores son iguales a ambos lados de la igualdad, reduciendo al la unidad los mismos por medio de las propiedades de la igualdad las operaciones indicadas obteniendo:
3 x 1 Ax x 1 B x 1 Cx 2 Es en este punto del proceso para el caso I, es donde se elige ò determina el Método de Solución: 1) Solución por medio del Desarrollo de un Sistema de Ecuaciones: Se efectúan operaciones únicamente del lado derecho de la igualdad 3 x 1 Ax x 1 B x 1 Cx 2 , agrupando y factorizando términos semejantes 3 x 1 Ax 2 Ax Bx B Cx 2 Para la obtención del Sistema de Ecuaciones. En torno a la igualdad se toma términos semejantes (de existir del lado izquierdo, si no contamos con este se significa con un cero) esto es, las constantes con las constantes (c = c), términos lineales con los términos lineales (x = x), términos cuadráticos con los términos cuadráticos (x2 = x2), x3 = x3, …..,etc. Iniciamos por el polinomio de mayor grado y así en orden descendente 0 x2 = x2 → 0 = Ax 2 Cx 2 → 2 A C → AC 0 x x x = x → 3 x x A B → 3 A B → 3 A B → A B 3 Sist. de Ecuaciones x c=c → 1 B → B 1
La Solución para B = – 1, nos resta sustituir el valor de B en la ec. del Sist. de Ecuaciones, que tenemos A B 3 y se despeja el valor de A = 4, por ultimo sustituimos el valor de A en la ec. correspondiente A C 0 , despejando el valor de C = – 4 FRACCIONES PARCIALES
C 3x 1 A B = + 2+ = 2 x 1 x x x x 1
4 1 4 + x x 2 x 1
=
4 4 1 – 2 – x 1 x x
Comprobación: (Partiendo de las Fracciones Parciales obtenidas, se efectúa las operaciones de suma o resta indicadas y se llega al planteamiento inicial del problema)
4 4 1 4 x x 1 x 1 4 x 2 4x 2 4x x 1 4 x2 3x 1 – 2 – = = = 2 2 2 x 1 x x x x 1 x x 1 x x 1
III – FACTORES CUADRÁTICOS DIFERENTES
f x Ax B Cx D = 2 ................... 2 2 ax bx c dx ex f ....... ax bx c dx ex f
2
A,B,C,.....= Constantes Para cada fracción propia en la cual contenga en su denominador factores cuadráticos diferentes, a cada factor cuadrático le corresponde una fracción parcial y una constante (expresión lineal en el numerador).
Ejem Descomponga en Fracciones Parciales
x 2 2x 3 x x2 2
Para obtener su solución como primer paso, damos cumplimiento con la: ESTRATEGIA DIDÁCTICA (ED) 1) (√) Tener una FRACCIÓN PROPIA 2) (x) De no tener fracciones propias, esto es contar con fracciones impropias ó igualdad de grado en el cociente -- Sí f(x) > g(x) ó f(x) = g(x) -- , con respecto al grado del polinomio, se requerirá de efectuar una división de polinomios, expresando el resultado de acuerdo al modelo de la división no exacta
f x Rx Qx .... g x g x 3) (√) De no estar factorizado el denominador de la fracción propia, factorizarlo de ser posible. Este proceso nos permitirá determinar la correspondencia con el caso por la característica del denominador. (Factores lineales diferentes y factores cuadráticos diferentes) 4) (√) A igual número de factores en el denominador de nuestra fracción propia, igual número de fracciones parciales e igual número de constantes. (2 Factores, uno lineal y otro cuadrático ambos diferentes por lo tanto tenemos 2 fracciones parciales, una constante y una expresión lineal (ax + b ) en el numerador de cada correspondiente fracción. Nota: La aplicación es basada en su comprensión, al igual como su omisión. Proceso de Solución: ( De acuerdo con lo planteado en el punto 4) de la ED )
x 2 2x 3 A Bx C = 2 x x2 2 x x 2
del lado izquierdo de la igualdad se procede a efectuar
x 2 2 x 3 A x 2 2 Bx C x = , observe que x x2 2 x 2 x 1 los denominadores son iguales a ambos lados de la igualdad, reduciendo al la unidad los mismos por medio de las propiedades de la igualdad las operaciones indicadas obteniendo:
x 2 2 x 3 A x 2 2 Bx C x Es en este punto del proceso donde se elige ò determina el Método de Solución: Solución por medio del Desarrollo de un Sistema de Ecuaciones: Se efectúan operaciones únicamente del lado derecho de la igualdad x 2 2 x 3 A x 2 2 Bx C x , agrupando y factorizando términos semejantes x 2 2 x 3 Ax 2 2 A Bx 2 Cx Para la obtención del Sistema de Ecuaciones. En torno a la igualdad se toma términos semejantes (de existir del lado izquierdo, si no contamos con este se significa con un cero) esto es, las constantes con las constantes (c = c), términos lineales con los términos lineales (x = x), términos cuadráticos con los términos cuadráticos (x2 = x2), x3 = x3, …..,etc. Iniciamos por el polinomio de mayor grado y así en orden descendente 1 x2 x2 = x2 → x 2 Ax 2 Bx 2 → B A B → A B 1 2 x 2 x x = x → 2 x Cx → 2 C → 2C → C2 Sist. de Ecuaciones x 3 c=c → → A 3 2A 2
FRACCIONES PARCIALES
3 1 x2 2 + 2 x x2 2
x 2 2x 3 A Bx C = + 2 = 2 x x 2 x x 2
=
3 x4 – 2x 2 x 2 2
Comprobación: (Partiendo de las Fracciones Parciales obtenidas, se efectúa las operaciones de suma o resta indicadas y se llega al planteamiento inicial del problema)
3 x4 3 x 2 2 x x 4 3x 2 6 x 2 4 x x 2 2x 3 – = = = 2x 2 x 2 2 2x x 2 2 2x x2 2 x x2 2
IV – FACTORES CUADRÁTICOS REPETIDOS f x
ax
2
bx c
n
=
A1 x B1 A2 x B2 2 ax bx c ax 2 bx c
2
...... .
An x Bn
ax
2
bx c
n
A A1 , B B1 , C A2 , D B2 ......... CONSTANTES Para cada fracción propia en la cual contenga en su denominador factores cuadráticos repetidos, a cada factor cuadrático repetido le corresponde una fracción parcial y una constante (expresión lineal en el numerador).
Ejem Descomponga en Fracciones Parciales
x2 x 1
x
2
2
2
Para obtener su solución como primer paso, damos cumplimiento con la: ESTRATEGIA DIDÁCTICA (ED) 1) (√) Tener una FRACCIÓN PROPIA 2) (x) De no tener fracciones propias, esto es contar con fracciones impropias ó igualdad de grado en el cociente -- Sí f(x) > g(x) ó f(x) = g(x) -- , con respecto al grado del polinomio, se requerirá de efectuar una división de polinomios, expresando el resultado de acuerdo al modelo de la división no exacta
f x Rx Qx .... g x g x 3) (√) De no estar factorizado el denominador de la fracción propia, factorizarlo de ser posible. Este proceso nos permitirá determinar la correspondencia con el caso por la característica del denominador.(Factores lineales diferentes y factores cuadráticos diferentes) 4) (√) A igual número de factores en el denominador de nuestra fracción propia, igual número de fracciones parciales e igual número de constantes. (2 Factores, uno lineal y otro cuadrático ambos diferentes por lo tanto tenemos 2 fracciones parciales, una constante y una expresión lineal (ax + b ) en el numerador de cada correspondiente fracción. Nota: La aplicación es basada en su comprensión, al igual como su omisión. Proceso de Solución: ( De acuerdo con lo planteado en el punto 4) de la ED )
x2 x 1
x
2
2 efectuar
=
2
Ax B x2 2
Cx D
x
2
2
2
las operaciones indicadas obteniendo:
del lado izquierdo de la igualdad se procede a
x2 x 1
Ax B x 2 2 Cx D
, observe 2 2 2 x2 2 que los denominadores son iguales a ambos lados de la igualdad, reduciendo al la unidad los mismos por medio de las propiedades de la igualdad
x
2
=
x 2 x 1 Ax B x 2 2 Cx D Es en este punto del proceso donde se elige ò determina el Método de Solución: Solución por medio del Desarrollo de un Sistema de Ecuaciones: Se efectúan operaciones únicamente del lado derecho de la igualdad x 2 x 1 Ax B x 2 2 Cx D , agrupando y factorizando términos semejantes x 2 x 1 Ax 3 2 Ax Bx 2 2 B Cx D Para la obtención del Sistema de Ecuaciones. En torno a la igualdad se toma términos semejantes (de existir del lado izquierdo, si no contamos con este se significa con un cero) esto es, las constantes con las constantes (c = c), términos lineales con los términos lineales (x = x), términos cuadráticos con los términos cuadráticos (x2 = x2), x3 = x3, …..,etc. Iniciamos por el polinomio de mayor grado y así en orden descendente
x3 = x3
0 = Ax3 → A=0 2 x x2 = x2 → x 2 Bx 2 → → B 1 B x2 x x = x → x 2 Ax Cx → 2 A C → 1 2 A C → C 1 x c = c → –1 = –2B + D → –1 = –2(1) + D → D = –1 + 2 → D = 1 →
FRACCIONES PARCIALES x2 x 1
x
2
2
2
=
Ax B Cx D = 2 x 2 x 2 22
1 x 2
2
x 1
x
2
2
2
Sist. de Ecuaciones
DIAGRAMA DE CONOCIMIENTO BÁSICO Conceptos de la Unidad
CONOCIMIENTOS PREVIOS (CP)
fuf
FRACCIÓNES PARCIALES PROBLEMAS
Proceso de Solución (Base selectiva) Identificación Estrategia Didáctica 1 2 3 4
I, II, III,IV
Aplicación de la Herramienta (Casos)
Métodos de obtención de las Fracciones Parciales
Abreviado, Sintético (Aritmético) I
Obtención de un Sistema de Ecuaciones I II III IV
FRACCIONES PARCIALES
EJERCICIO 17 Fracciones Parciales (49)
IX – ECUACIONES ALGEBRAICAS DE GRADO SUPERIOR En la comprensión de este capitulo analizáremos las ecuaciones de grado superior a dos, a partir del modelo matemático de la forma general del polinomio los métodos de solución para resolverlas, partiendo del modelo de representación de la forma general. 1)
FORMA GENERAL DEL POLINOMIO
f(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + .…………… + a1x + a0 y = anxn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + .…………… + a1x + a0 Si n є z+ y an, an-1, an-2,…, a1x, a0 є R ó
¢(complejos)
n ≥ 1, a0 ≠ 0 f(x) = y Si n = 1, entonces: f(x) = a1x1 + a1-1x1-1
f(x) = a1x + a0
ó
f(x) = ax + b
Obteniendo así una expresión lineal ó un polinomio de 1er grado Si esta expresión lineal la igualamos a cero, se convierte en una ecuación de primer grado (lineal) con una incógnita y con una solución para x. Siendo estudiado este tema y su(s) método(s) de solución en el Capitulo V. ax + b = 0
x = – b/a
Si n = 2, entonces: f(x) = a2x2 + a2-1x2-1 + a2-2x2-2
f(x) = a2x2 + a1x + a0
ó
f(x) = ax2 + bx + c
Obteniendo así una expresión cuadrática ó un polinomio de 2do grado Si esta expresión cuadrática la igualamos a cero, se convierte en una ecuación de 2do grado (cuadrática) con dos soluciones para x (±) Siendo estudiado este tema en el Capitulo VII. b b 2 4ac ax + bx + c = 0 x 0 2a b D b D x x 0 2 a 2 a Nota: De cada factor lineal, al ser igualado a cero se despeja obtenido la solución para la variable (x). 2
Así mismo, cuando n = 3, n = 4, etc.,………
Conjuntamente con este planteamiento y dentro del tema, implícito esta el retomar las operaciones algebraicas con polinomios ó funciones polinomiales (Capitulo II). Tales como la suma y resta, la multiplicación y la división de polinomios, siendo esta última la más significativa y de aplicación práctica en este Capitulo, como lo podremos apreciar a continuación. 2) Algoritmo de la división Lo que ocurre en el proceso de la división aritmética es similar a al proceso en la división de polinomios, a ambos procesos se les denomina algoritmos (proceso de cálculo u/ó operación). El cual nos indica que al verificarse la división se encuentra implícita la resta en el proceso. 3) Teorema de la División de polinomios
f x Q ( x ) g ( x) R ( x)
Si
ó
R0
R0
Donde R(x) es cero o de menor grado que g(x)
4) Teorema del Residuo
f x Q ( x ) g ( x) R ( x)
Si Partimos del teorema de la división de polinomios:
f ( x ) f ( x) g ( x) x s
f x Q ( x) g ( x) R El presente teorema nos obliga a evocar la división no exacta.
Si
x = s
Al despejar x, s es la solución, raíz, cero, cero del polinomio, punto de intersección.
y
g ( x) x s
Si xs 0
entonces
f s Q ( s ) g ( s s ) R
f s Q ( s ) g (0) R f s R
5) Teorema: Si se divide un polinomio f(x) entre el binomio de la forma x – s (expresión algebraica de 1er grado – lineal – ) entonces el residuo es f(s).
f s R Ejem.
3x 3 5x 2 2 x 4 1) Obtenga el residuo del cociente sin efectuar la división x3 F(3) = 3(3)3 – 5(3)2 + 2(3) – 4 = 38
F(3) = 38
R = 38
1) Obtenga el residuo del cociente sin efectuar la división
x 10 15 x 2 aplicando el teorema del x2
residuo R = 996
6) Teorema del Factor Si:
f x Q ( x) g ( x)
El presente teorema nos obliga a evocar la división exacta.
Si
f ( x ) f ( x) Si g ( x) x s x = s entonces f s Q (s ) g ( s s )
g ( x) x s f s Q (s ) g ( x s )
f s 0 7) Teorema: Si s es cero o raíz de la ecuación, entonces x – s es factor de f (x ) .
f s 0 Ejem. Demuestre que x – s es factor f(x) f(x) = x3 – 7x2 + 16x – 12 Si s = 3 f(3) = 33 – 7(3)2 + 16(3) – 12 = 0
f(3) = 0
8) División Sintética: Si
f ( x ) f ( x) g ( x) x s
y
g ( x) x s
xs 0
x = s
Donde:
xn ……..x3 x2 x x0 donde x0 = constante Se ordena en forma decendente con respecto al exponente y se registran
1er Fila 2da Fila 3er Fila
unicamente los coeficientes. s f x Resíduos Parciales Q(x) R Q(x) = xn +……….+ x 3+ x2 + x + C n 2 (x +….+x +x+C)
Estrategia: 1. – El polinomio del dividendo, f x se ordena en forma decreciente (1er Fila). 2. – Ya ordenado f x el polinomio del dividendo, se registran los coeficientes únicamente en el mismo orden (1er Fila). 3. – Se escribe del lado izquierdo en el mismo renglón el valor de s (1er Fila). 4. – El primer coeficiente se reescribe dos renglones abajo (3er Fila), multiplicando este por el valor de s, escribiendo el producto en la 2da Fila y abajo del siguiente coeficiente y se efectúa la operación indicada(±) con estos dos números escribiendo el resultado en el renglón inferior (3er Fila), y multiplicando este resultado por s continuando de esta forma antes descrita hasta llegar al último número. 5. – En la 3er Fila (renglón), de este proceso encontramos que el último número es el correspondiente al residuo, y el polinomio Q(x) inicia con el valor correspondiente a la constante, ubicando este antes del ultimo valor (Residuo) e incrementando en orden ascendente (de derecha a izquierda), hasta xn [Q(x) = xn +….+ x2 + x + C].
Ejem. Encuentre el cociente y el residuo de
3i 1 1
x 4 15 x 3i
s = 3i
0 0 0 –15 3i –9 –27i 81 3i –9 –27i 66 Q(x) = x3 + 3ix2 – 9x – 27i
Herramientas para evaluar si un polinomio es o no factorizable
R = 66
Teorema del Residuo Teorema del Factor Factorizaciòn Anidada División Sintética
9) Grafica de un Polinomio Ejem. 1) Obtener la grafica la función f(x) = x3 – 6x2 + 8x Se te invita a efectuar la tabulación
f(x) = x3 – 6x2 + 8x
2) Obtener la grafica la función f(x) = x4 – 3x3 – 3x2 + 11x – 6
f(x) = x4 – 3x3 – 3x2 + 11x – 6 Se te invita a efectuar la tabulación
10) Teorema de la factorizaciòn completa Si
f(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + .…………… + a1x + a0
Es un polinomio de n-esimo grado con n > 0, entonces hay n números s1 , s2 , s3 ,.......sn , no necesariamente distintos, por lo tanto f(x) = an(x – s1)(x – s2)(x – s3) · · · · · · · · · (x – sn) Las letras s son las soluciones o ceros del polinomio f(x), estas pueden o no ser números reales.
f(x) = 0 Si
an(x – s1)(x – s2)(x – s3) · · · · · · · · · (x – sn) = 0
Donde cada factor lineal al igualarse a cero, nos permite obtener las soluciones de la variable, como es de grado n, tiene n factores lineales y n soluciones. x = s1, s2, s3, ................. , sn Por lo tanto
s1, s2, s3, ................. , sn
Son las soluciones o ceros del polinomio f(x)
Retomando el punto anterior. El grado del polinomio nos indica el número de soluciones que el polinomio tiene, si es de grado n tiene a lo menos n soluciones distintas. Las ecuaciones que hemos estudiado en capítulos anteriores son: La ecuación de 1er grado con una incógnita, donde el proceso para despejar la variable ya es fue estudiado y es comprensible. f(x) = ax + b
f(x) = 0 ax + b = 0
x = – a/b
La ecuación de 2er grado ó Cuadrática, por el grado del polinomio tendrá dos soluciones para x, por lo tanto dos factores lineales.
f(x) = ax2 + bx + c
ax2 + bx + c = 0
Los procesos para determinar el tipo de solución que se tendrá por medio del discriminante y la obtención de la solución de la ecuación de 2do grado ya estudiados en el capitulo VII (Completar el Trinomio Cuadrado Perfecto, Formula General, Factorización). x=s
Si
s=c
Si se nos ha dado una de las soluciones ó cero del polinomio, el primer paso es determinar si es o no solución, para esto utilizamos las herramientas para evaluar si un polinomio es o no factorizable y de ellas la División Sintética ax2 + bx + c = g(x)[Q(x)] ax2 + bx + c = (x – s)[Q(x)]
y
ax2 + bx + c = (x – s)(x – s1)
[Q(x)] = (x – s1) (x – s)(x – s1) = 0
x = s, s1
Donde Las soluciones o ceros de x son s, s1. Y s, s1, pueden no ser ceros reales. Ejem. 5x2 – 3x + 2 = 0
1) Obtener las raíces de la ecuación
3 31 3 31 x x i i 0 10 10 10 10
x
3 31 i 10 10
La ecuación de 3er grado ó Cúbica, por el grado del polinomio tendrá tres soluciones para x f(x) = ax3 + bx2 + cx +d
ax3 + bx2 + cx +d = 0
x = s, s1, s2 Si se nos ha dado una o mas de las soluciones ó cero del polinomio, el primer paso es comprobar si es o no solución(es). Para esto utilizamos las herramientas para evaluar si un polinomio es o no factorizable y de ellas la División Sintética. ax3 + bx2 + cx + d = g(x)[Q2(x)] ax3 + bx2 + cx +d = (x – s)[Q2(x)] ax3 + bx2 + cx +d = (x – s)(ax2 + bx + c)
y
[Q2(x)] = (ax2 + bx + c)
ax3 + bx2 + cx +d = (x – s)(x – s2)[Q1(x)]
ax3 + bx2 + cx +d = (x – s)(x – s2) (x – s1)
Si
[Q1(x)] = (x – s1)
(x – s)(x – s2)(x – s1) = 0 Donde Las soluciones o ceros de x son s, s1, s2 .Y s, s1, s2pueden no ser ceros reales x = s, s1, s2 Ejem. 1) Obtener las raíces de la ecuación y la factorización completa x(x2 – 3) = 0
x(x + x = 0, ± 3
3 )(x –
5x3 – 3x = 0
3 )=0
11) Multiplicidad Hay puntualmente una forma que nos expresa que existe n ceros. Nombramos a s la solución o cero de multiplicidad r de f(x), si x – s se repite r veces en su factorizaciòn completa. f(x) = (x – s)r
f(x) = 0
x = s de multiplicidad r
Nota: A la solución o cero de multiplicidad 1 se le llama también cero simple Ejem. 1) Obtener los ceros de la ecuación y su multiplicidad f(x) = (x – x=
3 cero simple o de multiplicidad 1,
3 )(x –
3 )2
3 de multiplicidad 2
2) Obtener los ceros de la ecuación y su multiplicidad f(x) = x5 + 5x3 + 4x
x(x4 + 5x2 + 4) = 0
x(x2 + 1)( x2 + 4) = 0
x = 0 cero simple, ± 2i de multiplicidad 1, ± i de multiplicidad 1
12) Las soluciones imaginarias ocurren pares Si f(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + .…………… + a1x + a0 Una ecuación racional con coeficientes enteros (R), tiene soluciones, ceros o raíces imaginarias [Complejas (z = ¢)], al encontrarse estas cumpliendo las condiciones de ser conjugados entre si, esto es en pares conjugados. Recuerda, el producto de pares conjugados es una ecuación racional con coeficientes enteros (a + bi)(a – bi ) = 0 a2 – b2i2 = 0
a2 + b 2 = 0
Y donde las soluciones, ceros o raíces son números imaginarios como mencionamos x = s, s1. x = a ± bi
Ejem 1) Polinomio de 4to grado con coeficiente inicial 1, tal que – 1, 0 y 2i son ceros del polinomio, obtener el polinomio: f(x) = x(x +1)(x + 2i)(x – 2i) = x4 + x3 + 4x2 + 4x 13) Teorema: Si z es un número complejo y es solución de la ecuación racional f(x) = 0 con coeficientes reales, su conjugado z también será solución.
f(x) = z · z 2) El polinomio f(x) de menor grado que satisface f(– 2) = f(1) = f(– 2i) = 0 (x + 2)(x – 1)(x + 2i)(x – 2i) = 0 x4 + 2x2 + x3 +4x – 8
14) Teorema de los factores reales Un polinomio cualquiera con coeficientes reales puede factorizarse en un producto de polinomios lineales y cuadráticos con coeficientes reales, donde los polinomios cuadráticos pueden no tener soluciones reales (imaginarias) o tener soluciones irracionales. Ejem .x3 + x = 0
x(x2 + 1) = 0
x(x + i)(x – i) = 0
x = 0, ± i
3) x3 – 5x2 + 7x + 13 = 0
4) 2x3 – 16x2 – 4x = 0
(x + 1)(x – 3 + 2i)( x – 3 – 2i) = 0
2x(x2 – 8x – 2x) = 0
x = – 1, 3 ± 2i
x x2 7 x2 7 = 0
x = 0, 2 7
f(x) = 2x3 – 16x2 – 4x
15) Teorema fundamental del algebra Todo polinomio no constante tiene al menos un cero.
16) Raíces Racionales de una ecuación polinómicas Si f(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + .…………… + a1x + a0
a e son equivalentes a la razón 0 , d an donde encontraremos los divisores de e ( a0 ) en el dividendo y los divisores de d ( a n ) en el divisor del cociente Una ecuación racional con coeficientes enteros (R). Si
f(x)
e d
a 0 ..divisores = Posibles soluciones o ceros del polinomio a n ..divisores
Ejem. 1) Cuales son los ceros del polinomio f(x) = 6x4 – 13x3 + 13x – 6
e d
Posibles soluciones o ceros 6 6,3,21 = = ±6, ±3, ±2, ±1, ±1/2, ±3/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6 = del polinomio 6 6,3,2,1
Se efectúa el tanteo ó prueba con las posibles soluciones, ceros del polinomio utilizando las herramientas de para evaluar si una solución es o no cero (raíz) del polinomio (es o no factorizable).
1 6 – 13 6 –1 6 – 7 –6
0 –7 –7 13
13 –7 6 –6
6 – 13
6
0
–6 6 0
Q(x) = 6x2 – 13x + 6 Donde la ecuación reducida o degradada es:
R=0 6x2 – 13x + 6 = 0
x = 2/3, 3/2 y las soluciones del polinomio f(x) = 6x4 – 13x3 + 13x – 6 son: x = 1, –1, 2/3, 3/2 17) La Ley de los Signos de Descartes Su función es la de determinar el número de soluciones positivas o negativas que tendrá el polinomio, en la base de las variaciones de signo del polinomio y que lo podremos comprobar cuando se determine las posibles soluciones o ceros, en su demostración por medio de las herramientas para evaluar si un polinomio es o no factorizable.
Variaciones positivas [de signo (+)]. Serán los cambios de signo de un término a otro, en el polinomio original f(x). Variaciones negativas [de signo (–)].Serán los cambios de signo de un término a otro, en el polinomio f(– x). Nota: Siempre que el número de cambios o variaciones de signo ya positivas o negativas sea mayor o igual a dos (Nv ≥ 2), se restara dos unidades con el fin de tener otra posible combinación (opción), hasta que el digito obtenido de la diferencia sea igual a cero o a uno. Presentando lo anterior en una matriz. Ejem. 1) Use la ley de los Signos de Descartes para determinar la naturaleza de lãs raíces reales positivas y negativas del polinômio: f(x) = 6x4 – 13x3 + 13x – 6 NVar(+)
f(x) = 6x4 – 13x3 + 13x – 6 1
NVar(–)
2
3
f(–x) = 6(–x)4 – 13(–x)3 + 13( –x) – 6 f(–x) = 6x4 + 13x3 – 13x – 6 1 variaciones (+) (–) (C) TV
op. 1 3 1 0 4
2 1 1 2 4
3 ò 1 Positivas y 1 ò 1 Negativas
DIAGRAMA DE CONOCIMIENTO BÁSICO
Conceptos de la Unidad
CONOCIMIENTOS PREVIOS (CP)
fuf
TEORIA DE ECUACIONES PROBLEMAS
Proceso de Solución (Base selectiva) Identificación Aplicación de la Herramienta
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
SOLUCIÓN
11
12
13
15
16
17
EJERCICIO 18 Ecuaciones de grado superior a dos
(115)
X – FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
1) Generalidades En el capitulo II se estudió la ley de exponentes (la base es una variable y el exponente es una constante) y en el capitulo V y VI se indico como graficar una ecuación mediante su representación como una función algebraica en x, donde y es la función. Haciendo una tabulación: y = x2 y la graficación de la función
y = x3 y la graficación de la función
X y = x3 y = x2
–3 – 27 9
–2 –8 4
–1 –1 1
0 0 0
1 1 1
2 8 4
3 27 9
En el presente capitulo analizaremos la función no algebraica, llamadas funciones trascendentes de las cuales en esta unidad estudiaremos la función exponencial (cuando la base es una constante y el exponente es una variable) y la función logarítmica: f(x) = 2x
f(x) = 2–x f(x) = y X –3 –2 –1 y = 2x 1/8 1/4 1/2 y =2-x 8 4 2
f(x) = 2x
0 1 1
1 2 1/2
2 4 1/4
3 8 1/8
f(x) = 2–x
2) La grafica de la función exponencial (función trascendente) DEFINICIÓN Funcion exponencial con base a
a >1
NOTACIÓN
0<a<1
f(x) = ax x R a> 0 y a≠ 1 Función de Crecimiento Ley exponencial de crecimiento
Decremento ó Decaimiento Exponencial
Ejem. y = 3x
y = 10x
y = ex
Se te invita a efectuar la tabulación correspondiente de las tres funciones exponenciales y comprobar la grafica por medio de calculadora cientifica-graficadora – Texas Instrument, Casio, H.P., etc. o usando algún programa de PC (software) – Scientific WorkPlace, Maple, etc. .
3) La función exponencial son biunívocas Sea:
f(x) = ax
para 0 < a < 1
ó
a>1
Es biunívoca por lo tanto, cuando cumple con las siguientes condiciones equivalentes para los números reales x1 y x2. 1) Si x1 ≠ x2 ↔ a x1 a x2 2) Si a x1 a x2 ↔ x1 = x2 Ejem. 54x = 625
54x = 54 ↔ 4x = 4 Demostración 54(1) = 625
625 = 625
x = 1
Ejem. 1 8
2 x 3
2– 3(–2x+3) = 22 ↔
4
– 3(–2x+3) = 2
x =
11 6
Demostración 1 8
11 2 3 6
1 8
4
2 3
4
4 = 4
4) La función exponencial natural Esta definida por: f(x) = ex
xєR
Para la obtención del valor del número “e” (que se utiliza en el calculo de los logaritmos Naturales ó Neperianos). n
1 Es límite de la función 1 cuando n n
La base de está función es el número irracional “e” que tiene un valor aproximado de 2.7182818…….. Y esta función es la inversa de la función logarítmica.
5) Funciones logarítmica (función trascendente) La función logaritmo de base a Exponente
y = logax ↔ x = ay Para todo x > 0 Base
Ejem.
log.
exp.
1) log3x = 2 ↔ x = 32 2) log31 = 0 ↔ 1= 30
1 3) log 1 8 3 ↔ 8 2 2 4) log525 = 2 ↔ 25 = 52
Ejem.
exp.
3
log.
1) 54 = 625 ↔ log5 625 = 4
2) Resolver la ecuación log 1 x 2 3 x 3 0 2
log 1 x 2 3 x 3 0 ↔ x2 – 3x `+ 3 = 1 2
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 1)( x – 2) = 0 x = 1, 2
5I`) La función logaritmo de base 10 (Común ó de Briggs) y = log10 x ↔ x =10y y = log x ↔ x =10y
Para todo x > 0
Ejem. log.
exp.
1) log10x = 2 ↔ x = 102 2) log101 = 0 ↔ 1= 100 1 3) log 10 .001 3 ↔ .001 10 2 4) log10100 = 2 ↔ 100 = 10
5II`) La función logaritmo de base e (Natural ó Neperianos) y = loge x ↔ x = ey y = ln x ↔ x = ey
Para todo x > 0
3
Ejem. . log.
exp.
1) logex = 2 ↔ x = e2 log.
exp.
2) loge1 = 0 ↔ 1 = e0 3) log e u 3 ↔ .u e 3 4) loge 1 = –1 ↔ 1 = e–1 e e 5) ln e = ? 1 ln e = 2
↔
1 2
e =e
1 2
6) Definición de logaritmo Común ó de Briggs (log)
log10 x = log x
Para todo x > 0
7) Definición de logaritmo Natural ó Nepperianos (de base e)
loge x = ln x
Para todo x > 0
8) Grafica de las funciones exponenciales y su inversa la funcion logarítmica
y = log3x ↔ x = 3y x = 3y
y = logx ↔ x = 10y x = 10y
y = lnx ↔ x = ey x = ey
Efectuar la tabulación correspondiente y comprobarlas graficas que observas.
9) Propiedades básicas de las funciones logarítmicas LOGARITMOS DE BASE A log a 1 0
LOGARITMOS COMUNES log 1 0
LOGARITMOS NATURALES ln 1 0
log a a 1
log 10 1
ln e 1
log a a x x
log 10 x x
ln e x x
a
log a x
x
log x
10
x
ln x
e
x
LOGARITMOS DE BASE A Ejem. 1) log31 = 0 ↔ 1= 30 2) log552 = 2 ↔ 52= 52 1 3) log 1 8 3 ↔ 8 2 2
3
4) 5 log 5 u u ↔ u = 5y 5) 7 log 7 x 18 ↔ x = 18
LOGARITMOS COMUNES Ejem. 1) log1 = 0 ↔ 1= 10 2) log100 = 2 ↔ 100= 102 1 3) log 8 3 ↔ 8 2 log 3 4) 10 b ↔ b=3
3
LOGARITMOS NATURALES Ejem. 1) ln1 = 0 ↔ 1= e0 2) lne2 = 2 ↔ e2= e2 1 1 3) ln 3 3 ↔ 3 e 3 e e ln x 4) e 5 ↔ x = 5
10) Las funciones logarítmicas son biunívocas
Sea:
f(x) = ax
para 0 < a < 1
ó
a>1
Es biunívoca por lo tanto, cuando cumple con las siguientes condiciones equivalentes para los números reales x1 y x2.
1) Si x1 ≠ x2 ↔ loga x1 ≠ loga x2 2) Si loga x1 = loga x2 ↔ x1 = x2 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejem.
1) Resolver la ecuación log x 2 12 x 11 log 3 x 25 x2 – 12x + 11 = 3x – 25
x2 – 15x + 36 = 0 (x – 12)(x – 3) = 0
x = 12, si es solución
y
x = 3
Comprobación: x = 12 si es solución
x=3 no es solución
log[(12)2 – 12(12) +11] = log[3(12) – 25]
log[(3)2 – 12(3) +11] = log[3(3) – 25]
log 11 = log11
log (– 16) = log (–16)
11) Propiedades para la forma exponencial, la suma y la resta de las funciones logarítmicas
LOGARITMOS DE BASE A log a u c c log a u log a uv log a u + log a v
u log a log a u – log a v v DEMOSTRACIÓN: El logaritmo de un número elevado a una potencia c es igual al producto de c por el logaritmo del número.
log a U c c log a U
cєR
(au)c = (U)c
Si a c logaU = Uc
u = logaU
y
log a U c = cu
U = au
log a U c c log a U
El logaritmo del producto de n número es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de los números. log a UV log a U + log a V Si
u = logaU
y Si
v = logaV au av = UV
U, V, u, v є R(+) au = U
además au + v = UV
y
av = V
logaUV = u + v
log a UV log a U + log a V
El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
Si
u = logaU
U log a log a U – log a V U, V, u, v є R(+) V y v = logaV además au = U y
au U = v V a
au – v =
U V
av = V
U log a = u – v V
U log a log a U – log a V V
LOGARITMOS COMUNES LOGARITMOS NATURALES log u c c log u ln u c c ln u loguv log u + log v ln uv ln u + ln v u u log log u – log v ln ln u – ln v v v
Ejem. 1) Escriba la siguiente expresión como un solo logaritmo log(x2 + 1) + 7logx = log x7(x2 + 1)
2) Escriba la siguiente expresión como un solo logaritmo 2log 3(x + 1) + log 37x – 3log 3(x + 5) 2
= log 3
7 x x 1
x 53
3) Utilice las propiedades de los logaritmos y desarrolle la expresión
log
x3 x 1 = 2x 1
1 1 = log x 3 log x 1 2 log 2 x 1 = 3 log x log x 1 log 2 x 1 2
4) Resuelva la siguiente ecuación log 2 x – log 2 (x – 2) = 3
log 2
x 3 x 2
x 23 x 2
x = 8(x – 2)
x – 8x = – 16 x=
16 7
5) Resuelva la siguiente ecuación ln (x + 1) + ln (x – 3) = 0 (x + 1) (x – 3) = e0
ln (x + 1) (x – 3) = 0
x2 – 2x – 4 = 0 x=
5 1
12) Cambio de base Si
a>0
y
a, b є R(+) ≠ 1
log b u =
log u ln u log b ln b
(x + 1) (x – 3) =1
Ejem. 1) Obtener el valor de log5 3 log5 3 =
log 3 ln 3 ≈ .68260 log 5 ln 5
2) Resolver para x la siguiente ecuación 5x+2 = 6x+1 log 5x+2 = log 6x+1
(x +2)log5 = (x +1)log6
xlog5 + log52 = xlog6 + log6 6 25 x= 5 log 6 log
xlog5 – xlog6 = log6 – log25
x(log5 – log6) = log6 –log25 x ≈ 7.8274
3) Resolver para x la siguiente ecuación 2x-1 = 3x-3 log2x – 1 =log 3x – 3
(x – 1)log2 = ( x – 3)log3
xlog2 – log2 = xlog3 – 3log3 2 27 x= 2 log 3 log
xlog2 – xlog3 = log2 – 3log3
x(log2 – log3) = log2 –log33 x ≈ 6.419
DIAGRAMA DE CONOCIMIENTO BÁSICO
Conceptos de la Unidad
CONOCIMIENTOS PREVIOS (CP)
fuf
FUNCIÓN TRASCENDENTE PROBLEMAS
Proceso de Solución (Base selectiva) Identificación Aplicación de la Herramienta
1
2
3
4
5
6
7
8
SOLUCIÓN
9
10
11
12
EJERCICIO 19 Logaritmos
(55)
54) El valor de log 12 es igual a; A) 4log 3
B) 3log 4
C) (log3) (log4)
D) log3 + l0g4
55) Todas las funciones de la forma f x = ax donde a > 0 , Q punto en común tienen A) ( 0, 0 )
B) ( 0, 1 )
C) ( 1, 1 )
D) ( 1, 0 )
BIBLIOGRAFIA
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