nm*i*l* tríH*m*mótr'!e* vmhas Asdernais a câdapontodacircunfeÍência o clco trigonométriciassociamos estabelecemos Nocâpít!o 1,quando pertencente aoìntervalo um número real 10,2'![. estarreacio_ possul ousejâ,alémdea cadapontodâclÍcunferénclâ caráter biunívoco, EssaâssociaÇão um associa_se ã cadanúmero desse]ntervalo inversamente, Íealx,x € [0, 2r[, tembém, nadoum número pontosooreâ c Ícune ènc'àr'igonoméÌricã. íaremos oulÍaassociãçãol a pârtirdeagorâ pormotivos dldáticos, Entretanto, um pontodacircunferênciâ. realesÍáassocìado A câdanúmero â definlção dâsfunçõescircuares(ou funçõestigono lssopermitirá (ouperiódico) cíclico o seucaráteÍ aLém cìegarantlr métricas), dex voltâ,ouseja,parâvaloÍes apenas neprlrÌìeira lrabalhamos Atéagora varlando nointervêlo [0,2?t[. que(ouiguaisa) negativos e dosmâiores dos Coma inclusão números voltasdociclo.Comoissoé feÌto? nasdemaìs Ìrabalhar zfl, poderemos x= um númerorealx,tâl quex > 2?r;porexemplo, Ìomemos +.
Des_
temos: membrando-o convenientemente,
.=ï=*.2='""ï percllsode 1 vota I
percuÍso dè
+de
volra
tâmbémdo numero entã0,ao nLlmero o pontoB daíiguÍa,o qualé imagem Associamos, ãt" f 8. Entre-"lêsestão: a mesmalmagem que274e q!e possuem Íeãismalores números outrosÌnfinitos
gn .'
13ft
2'
1?n 2
vorra I a" + cre ""tt"
[1
Poroutrolado,tomemos o número realnegativo x=
f. Como foiestabelecido comopositivo o sentido antì-hoÍário, o sinâlnegativo significâ percurso de a
l-:
devohà,) nosentdohorário, o queconduz novamente âopontoL Assimcomoessê,inÍlnitosnú-
meíos negâtivos possuem a mesma imâBem B:- l: ,- 1T ,-+,", Genêrâlizendo, podemos êscrever quetodososnúmeros daíorma Zkn,comk € Z, possuem a |+ mesmâ imagem B.ParaveriÍìcar porqualquervalorintejro esseÉâto, bastasubstituirk e obter, eÍltreoutros, :. osnúmeros dados comoexemplos. Fazendo:
k=-3-
j: + 2k7r=,: -6n=_ -11
k = 2-
i! + zkft = J! - 4n = - :..!!
k=
1+ r: + zkn=..:: -2n=
:.!L
=I
1 =6 -4 a 216=I1g 2 22
k=1 --+2 k n= 3+ 2r = :1: a éz k=2 k=3
+1+2kfi=i:+4r=jl! +67t= jjli
-..::+2ktt=
Todosos ârcosde origemÁ e extremidade t (difêrindo epenasporum númerointejrok devoltas)apresentam comolnedides,em radianos, os númerosobtidos acimae sãoconsidêrâdosarcos côngruos entresi. A ínserçãoda variávelintêirâk possibilitaa escritade todosessesârcosde umaÍormâpenerâlizada:
! + 2 kn ,k€ .2 . Daquiêm diante,ao citarmosquâlquernúmeroreal,estarêlnos nosreferindoindiferentemênte â tâl nú. qÍ
merooua um âÍcode medida iguala elê.Assim, o número'j' é um dosnúmeros cujâìmagem e B,como !ambéme umarcodeexrremidade B e demedida 4
rad.
L+24.k Noexemplo, o arco{ é chamàdo oí,Íp.a deÌerminèçào positivâ oosarcosdaíotma e Z. ', 2 2 - - --' pois,sêndoo únjcorepresentantê dessesarcosque se êncontrana primeiravolta,retrâtao |ìenorvêlor posìtivoquêe expressão + + 2kl! âssume.
52'
t
possuiextremidade P. naÍìgurâ, 0 arcode{ radianos, a" (f * zitt) ,adiânos, com ",.0" extremidade: k € Z, possuem a mesmâ Assimcomoelê,todoso.
_r __J
ttr
5n _r ; , fi 2i
21
21
2Ì
as 1, Marquee- u- mesmociclotrigonométrico .8n,9n do. arcocde "{' rad e rad. ertremidade" f para cadacaso,uÌn ângülo que apresentando, J uòulLLluc
rud
'1!.Forneçaem grauso menoÌ ânguloformado pelasÌinhasqueunemo centrodo ciclotrigonométrico àsextremidadesdos arcosdel a)
J ,.1tr Dr Ì
uLdLc\cu.
rl Escreva,em cadacaso,a expressão geraÌdos arcosque têm, na âgura,como origem o ponto Á e como extremidâde:
a) b) c) d)
o
?fi_ , _t3r' __ _-,...
rad e tr rad l' r Ìad e -f-Ìao
.5n.j fi cì racl e 2 ,.
o pontoC; o pontoD; o pontoÁ; o pontoÍ
o)
l ac
1,I.4Í
l-
rad e - -_l- rao
lì. Construaum triânguÌo eqüiÌátefoinscrito no cicÌo, com um dos véÌticesna imagem do numero
;.
A seguir.escrevàa expre5\àoSeral
de cada um dos arcos que possuem extremidadesnos vérticesdo triângulo.
geraldos .:1,xscrevaa expressão
+,+,...,
Ì37[
:. Apresenre cinco drco(.óngruosao arco cuja p meira determinaçãopositivâé:
apresentando sua posição no
a ) ft
cido trigonoméÍico.
b ) +536 Ò+
d ) lltr
periódicas Funções novalordêx. g = f(x)querepetêm valores deg paraumdeterminado acréscímo muitas funções Existem frN- N l(, = ( 1)"é u ma d e lâ s . V e jâ a t a b e ì a : Po rêxe m p lo a fu , nção
. Sêxé par,í(x)= 1. u )e xe rmpar, Ì(x./= 1.
o velordêf(x) se repete:f(x) = Í(x + 2) = f(x + 4) = ... 0uendoxvâÍia deduasunidades,
53
periódicas. Funções comoessasãochamades umadêfÌnição formel parafunção periódícâ seria: i
umarunçao(x/ oeoomrnro u e penodica seexistirp € R talqueÍ(x+ p) = f(x),V;;
".",r"
(r) =;; ;;;.-
"
;;;;;;
I
j
ocorrâ échemâdo período deÍ
; - ""11'ï:':::1':1::1-",1p"'q*]""" Como, paraa íunçãoacírr,
N"""*
;
-
Í
Funçõ es circulares Função sen0 Tomemos um número realx,comimagêm P nociclotrigonométrico. Denominamos funçãosenoâ função í:R* R queassocia a cadanúmero realx o númeÍoíealoPr senx. istoe,Í(x)- senx. 0 domÍnio e o contrâdomínio deg =5snx556;*r.isaR, maso conjünto ìmâgêm é dadoporlm ={g e R | -1 < g < 1},poiso Íaiodocictoé unirário:-1 < senx < 1.
o
D=R
l (x)= sênx
C=lì
D=C=R tm= I1,+ 11
0sinaldeg=sgnx6pg5itivoquandoxpercorÍe o 19eo 29quãdrantes,e é negativo quendoxpertence âo39ouao49quedrante. A funçãose anuÌapârâx = k7r,k € Z. Paraestudaro crescìmênto dafunçãog = senx, devemos observerque, noper cursodex pelo19quadrante (nosentido positivo), desenx aumentam osvalores de =1 0 a 1:sen 0 =0 ,s en =;esen â ; Já no29e no39quadrantes, osvaÌores desenxdiminuem de 1â -1, vâloretingidopâíax =Ë.
No49quadrante, â função retoma o crescìmento, aumentando de-1a 0,veloratingìdo parax = 2r. Apartirdâí,Íêpetem"se osvalores desenx.Temos: . sên0 = sen(0+ 2n)= sen(0+ 4Íc)=.. =0 Ì
ln
. se n I _se n l:j
\
/-
\
2nl_senl'j _4nì
...-1
. senn = sen(n+ 2n) = sen(E + 4E)=.. =0 ?r l?n \ / ?r . .""# -."n ( ï . z r )- *" ( f - + n )-= r
:i
. senx = sen(x + 2n) = sen(x + 41I)=. =5gn(x+zkr'),keZ Rê su m in d o,no19e49quadnntesÍ(x )= s ê n x é c rê s c ê n t e e n o 2 9 e 3 9 q u e d ra n t e s Í (x )=s e n x é d ê crêscente.
54'
lsso se r ve p arailustraÍofatodequeaf u n ç ã o g = s e n x Í e p e t e o v a lo rd e g p a Í a c a d â a c rés c i m o d e 2 r dedoa x. é 211. e seuPeríodo poÍisso,quea Íunçãosenoé peÍiódica Dìz'se, âssim: Temos,
+ 2 k Í )v, k € z e v x € R s enx = s en(x
Jásabemos 9uesenf,= j.
*
apenêiecres_ âoarcodàdo, 2r íãd,estâlemos Aoadicionarmos. â eleumavoltânosentìdopositivo. centando
1
2
o
quea im"c"r d" (.Ë.2")= então, FÌcâ claro,
+,
pelafunção
g = se nx,tãm bém vale +. a côngruos comtodososarcos lssoocorre
f,
ke Z se n(6 + zkn.l=;. sendo
AÍespeitodeumafunçãodotipof(x)=sen(cx+d)'sendocedÍeais,comc+0,elaépeÍiódicaetem 'c
nociclo umavoltâcompletâ o arco4xexecutâ f(x)= sen4xpossuiperíodo porque AÍunção + quandoxvâria entre0 e
+: í1
2rE
0 a 4 x< 2 ÍI > :< Ì< - + - +0< x \ 44?
queoarco3N++ observãr aoperíodo, devemos comreraeao
Sejaa funçãof(x)=sen(:x+f)
ouseja,0< :x* nociclo, umavolta completâ executa |<
o<3x+f <zr + guexvaria entre -f Perceba
e
]< :x< *
|.
55
zl
= - *= "= ã
Assim, o perÍodo é: tr /
1t,
Ir
r
ztt
t.. .-. z IÍ /Í \ = ln ( V e r l r l qu e :P É = trt= r.l
Sobre o domínio, comoexisteÍ(x)pâraqualquer arco,temosD= R. Como conjunto imâgem, temoslrn= [-1,+1],pois-1 < seno(< 1,V d € R.
S o b ruem af u n çãdooti p oF (x)=a +b sen( cx+ d) ,âem deD= Rep= ff,etaapr esenta con;unto imagem comointervalo fechado deextremidades a + b e ê - b,naordemconveiìJnte.
C o m rêl âç ãoàfunç g= r+as ão en ( Z x - f ) , t e m o s , . -D -R.p oi s ex i s te[1 :---\s enl z x4ì l. v x e R '''--"--Ls/l' .lm =[- 2,4],pois:
- r< s " n ( 2 " - Ã ) < r < + : < :se n ( 2 x
f) = :
*
z= 1*3sen(2x-+)<4
( P â r aa Íu n çã o g d a d â ,te mosa= 1êa+ b= 4 e a - b = - 2.) b=3+ . p e r í o d o :é o a cré scìmo a se r dadoaxpâr aqueoar co2x fváde0aZtr :
o <zx-f < zr+f <zx<f
+ Ã <x< ff
L!L -ã=^or,o.ouuoroao,o=fr=n. E n tp ã=0,
iunçà11 impar, A funçãog = senx é Lrmã pois sen(-x) = -5sn 1,Yx E P.
56
ffi$ exerclet0s 7. Dê o sinalde;
16, Quale o períododatunçâof(x) = 3 senÃ?
ar sen11 f
.) *'í-4" ) J/ \
.4ft
D) sen -
12 ,tcheo domÍLioda 6x1caqJ1i(1 - --L. ' 5enx
ct) sen{ n)
18. Ache os r.'aloresreaisde z para que o período
8, Fomeçao lalor de: a) seÍÌ4t[ ,. 1tt D/ sen-
def(x)= 6 1 3.."o1 14 + trlseia4lr. \m J
l3r[ Sen -
19. tVunesp-SPt Do .olo,vocèobserwum amigo nümaroda-gigante. A altuÌalr em metrosdeseu àmigoem relâção àosoloë dadapelaexpressáo
cì 2 senj:-senf 61 ."n /2L 126r).1s 7 \3 )
hít)
".n
a) Determinea altuÌaem queseuÍÌmigoestava quandoa rodacomeçoua giraÌ G = 0). b) Determineasalturasmlnima emáximaque seuamigoalcançae o tempo gastoem uma voltacompleta(peíodo).
c) senx+ seny? d) sen (x + y)?
í8, Escrevaa expressãogeral dos arcosx para os quâistemossenx = -1. 31, c"l.nL
r-..n
2n + sen3Í - sen4r! + ...
12, SimpliÊquea expressão y
I
I tz l po t é dado em segundose a medida angular em Ìadnnos.
9, Com/rinteüo..e x - *+,zkn e y-I+.zkn, Jô qlrantovâle: a) sm x? b) senï?
f^
t t , 5 - I 0 s e nl-j' . (r- 2 6 )l,o n d eo re m -
3n 4'Ít sen - sen-t J=
â0. Sendof(x) = ssnlx-n), qúaissãoosvaloresde m pâÌa que possÍÌmoster f(x) = 3m - 4? 21,. a) Utilize o ciclo tÌigonométÌico para veÌificÍÌÌ que fI
l+ + 2kn;(2k+ l)Í | U LJ
$.3. SimpliÊquea expressão:
I
l*t
U -(2k+ l)n;+ + 2kÍl= R, L)l
'1-1-
sendok € Z. sen ï-
2 sen I
bl lstudeo sirdl dafun.:o -Ãì. " i/* -" ' fr*r ' - "r"o \^ 2/'
14. Determineo perlodo,seexistir,de cadaÂrnpo: a) f(x)= 5912)r c) f(x) = Ssen(-5x-,r) b) f( x) = 2sglx d) f(x)=;.5çpa
22.rU!-Rlr Uma populaçào P de animaisvâria, âpÍoximadÍÌmente, segìrndoa equaçáoabaixo.
Í5, Determineo domlnio e o conjunto imagemde cadafunçao: / -\ a) (x) = I + sen - 12 tx ,) b) f(x) = {sn 161t; / c) ( x) =_ 4 +2sen(x+ -\ 4] ,. ". = __-f_ 2 senx o, nx)
57'
P = 800- 100sen Ì4 ConsideÌeque t é o tempo medido em mesese queianeiÌo corÌespondea t = 0. DeteÍmine,no pedodode 19dejaneiroa 19de dezembrode um mesmoano,os mesesnos quaisa populaÉo de ânimaisati[ge: a) um total de 750; b) seunúmero mínimo.
t
7
Gráfico deg = senx (â),podemos Rêtornândo montâr atabela(b)e,â pârtirdêlâ,construir osvaloresjá conhecidos o gráfico (c) dafunçãoU= senx, chamadosenóide. a)
b)
r
Pâragráficosde oulrasfunçõeslnenossimplês,é âconsêlhávelconstruira tabelaêmetapâs,paraÉacìlitaro trabaìho. AcomDanhe umexemDlo.
58
29etapa:
! 3?etapa:
Finalmenteì 7l
2
3n À
3n .
:.:,i ,i ;? !t 1 :,,:tì, .:Z tr' ,j,i l
T dográfìco, utilizamos apenas a primeira e a últìma colunas, desprezando as Para a construção dêmârs-
tm= I0,2l
ffi exerctctos 25. f , R,- R I f(*)= : +'.o'
O enunciadoé r"álidoparaos exercícios23 a 28. DeteÌmineo perlodoe o conjuntoimagem,constÌuindo o gÍáfico de um período completopara cadafunçãodada.
23.8m*ml (x)=a'."* 24.8m* ml (x)=sen sx
?6.r'm- Rlr(*)=-.""x 27. f1*; = 1-."o o ao* domínio e contradomiÌìro lgualsa [(. 28' f(x) = z + senzx, domírrioecontradomínio -m iguaisa R.
r
Função cosseno Tomemos umnúmero realx,comimagem P nociclotrigonométrico. Dênominamos função cosseno a função írR* {Rqueassocia a cada número realxo número real0P2= cosx,istoé,f(x)= cosx. 0 domÍnio e o contradomínio deg = ç6sxs5qiguâisa R, masoconjunto im a g e m é d â d o p o rl m=(9 e R l -f < g < 1) ,poisor aiodocictoéunir ár io: -1 < c o sx < 1 .
lm= I-1, +11
0sinaldeg=cosxépositivoquandoxpercorreol9eo49quadranÍes,eénegativoqüandoxp 29ouao39quâdrente. Afunçãoseanulaparax =
* Xn,Xe Z. ! Paraestudaro crescimento daÍunçãoV = cosx, devemos observar que,no percurso dêx pelosdois primeiros quadrantes (nosentido positivo), = osvâlores decosxdiminuem de1a-1: cos0 1 e cos =-1. 'I No39 e no 49 quadrantes, os valores de cosx crescem de -1 a 1: cosn= -1e cos27r=1. ApartírdaÍÍepetem.se osvalores decosx.Temosl . c o s0 = c o s2 ?!=... =1 . c o srq+r= c o s{ : =...= 0 az . COS?!= cos3tt =... = -1 .
COS :j:
= COS l-.j: = ... = 0
az
.
( " * Z :tn ),Ie Z " 0 . *= . 0 " Resumindo, nos19e 29quadrantes f(x)= cosx é decrescente e nos39e 49quadnntes Í(x) = cosx é crescente,
60
Assim, reiteradas asobservações feitasparaa funçãosenoe igualmente paraa Íunçãocosseno, válidas podemos queg = cosx é tâmbém periódica, âfirmar umâfunção e seuperíodo p valêztt Convém lembraÍ queigualmente pârâã funçãocosseno valemasobservaçôes feitasnestecapítulo em relação quanto à funçãoseno,exceto à paridade. g = ft e p = geral, Demodo sendo umafunção dot jpoF(x)= a + b . cos(cx+ d),temos $.
ntemdisso,
(e+ b) e (a- b),naordemconveniente. imagem o conjunto é o intervalo fechâdo deextremidades Emrelação à funçãof(x)= q * z cos(s" -á), te.os, |
,
-.1 , V xê lR . D=R, p o i s f la+2coslsx-iJ
. (4 +2) e (4 - 2) sãoosvâlorês êxtremos doinrerualo quefornêce o conjunro imagem dafun. çâ0:lm = LZ.bl. L0nrlrâ:
- 1 < c o s ( s x - !2< 1+ - 2 < 2 co s( sx- < 2+ +) ) - + - 2 . 4 < 4 + 2c o s( sx- | )< z *+ = ,z < r r xt< e . Ouanto =#. aoperÍodo'p nhaprrr:r.in Afunção g = cosx é umaíunção par,poiscos(-x)= cosx,Vx € R, \
l) c À
Gráfico deU= cosx (a)íornecem 0svalores conhecidos a tabela(b), a partirdaquâlpodemos construir o gráfico(c) dâ funçãog = cosx,chânìâdo coasenóide.
a)
!. 3
3
I
._E \
t
\
0
r!;
+-i
114
z
6
T
61,
t
T
b)
0
44r 4 643 2
\.i i 'q
1
....j .
t
/
-\ vamos Dàdã a função g = 1 + cos -ïJ, construìr o seugráíico. l2x Inicielmente construkemos a tabela emetapas, a sâber:
1?etapa:
1l
2
2?erapa: I
,'
,?'',,-,,
0
2
-1 ?
2
bz
3?erapa:
01 -1
0
01
I
i1
49etapa:
0 -1 0
t'"",.""" iX,,;,iry;ffi:
?ïr 7Ír 442 glt
3Ir
91I
0
2n
84
1
!'
ï
ne construção do gráfico, apenas â primelra Utilìzâmos, e a últimacolunas, dêspfezando âs demais.
vl |.Í._1".-' '.......''"ì. l
lm=t0,2ljr+ i r0
:r;-'-.-------:.1
I
JL
/ i' :.. ! , -' 3n EL 1L
8888 8
0 = =!
9n
+ = r ou p = :* := r
Etl exercrcros 2 9. Escrevaa e*pressão geraldosaÌcosparaosquais temos:
36. Ëstude,medianteos quadrantesocupailospelo aÌco ,; o sinal da funçãof(x) = ..n * . .o. *.
c) l co sxl =1
a) cosx= I b) cosx=-l
As ioÍormaçõesseguintesreferem-seâs queslões
37. 38. 5U, Determineo domlniodaÂrnçãof(x) = )1
Í
cosx
(UF-PE) O PIB (Produto Intemo bruto, que representa a somadasriquezase dosserüços produzidos por uma nação) de certo país,no ano 2000 + ó é dado,em bilhões de dólares, /_,\ PoÍ Píx) = 500- 0,5x- 20cor| 'f I,ondex ë
,.-
, !rr. ^ò1mp||trque a expressao:
9n 9E cos__sen_ 22 17tt ^ 77tt 44
\o/
um inteiro não negativo.
32. Sendof(x) = cosx, em qlrecondiçõessobrem é Dossível oue tenìalnosf(a1= JI1' 2
37. Determine,em bilhõesde dólaÌes,o r,alor aio PIB do pals em 2004e caÌculea somade seus dígitos. 3 8. Emperíodosde 12anos,o PIBdo paísaummta do mesmo\dor, ou s€ja,P(x t f2) - P(x) é constante.Determine essaconstante(em bilhOesde dólares).
3 3 . letermiue, seexistìr,o perlodode cadafupo: a) f(x) = cos5x / -\ b ; r 1 x) =2 qer15r*-::1 zl
\
c) f( x) = 2+cos(Í-x)
O enunciadoa seguiÌlãle paraasquestoes 39 a43.
d) f( x) = ( x +l).cosÍ 34. (uff-nl) DeterÍÌliÍÌea reÌaçãoentre os númerosreaisa e ú, de modo que as igualdades I + co sx= asenx e | -cosx=b senx , c o m x + k G k e Z, sejamsatisfeitassimuÌtaneâmente. 35. Determineo domlnio e o conjunto imagemde cadafunção: a l fíx) =t+cosíx+Iì 2) \ / -\ b) (x) = I _ cos +;J
(r
c) f(x) = roocos(zx +
Determineo pedodo e o conjuntoimagem, construindoo gÌáfrcodeum períodocompleto paÌa cadafunçãodada.
39.t,R*mlt(*)=u-'* 4 0 . f , R- Rì f ( * ) = z - . o . * 41. t, R * mlt(*)=-t + coszx 4?. f. R- R | (x) = lcosxl
{)
d) f(x)=Ì6qs 1'- 16;
= r + 2 co s( 3 x- + ) 43.r:m- mlrlx,t
64.
Função tengente Pnociclotrígonométrico. Tomemos umnúmero realx,comimagem
= + k n . k eZ l . s eia ' t 2o) [ xe R l x * 4 â cadãnú. Denominamos ÍunçãotângenÍe a funçãoÍ D* R queâssocia =tgx. =tgx;isÍo meroreelx€ Do número realAT é,f(x) Temos, então:
t
Í-ì
.6 = lx €R'^++ + k n , k e z l IZ)
. lm = R dâfunçãotangente, comojávìstono âossinaíse aocrescimento Quânto 2,podemos escreven capítulo . f(x)= tgx assume positìvos ímpâres; valores nosquadrentes . f(x)= tgv urloresnegativos nosquadrantes Pares; "aaur" . f(x)= tgx sêânulâ pa?x=kta,comke Ze . f(x)= tBXé sempre crescente.
Gráíico deg = tg x (a),consÌruídêxpâraosquaisnãosedêÍìne tg x e osvalores conhecidos Levando emcontaosvalorês = (c)dâfunçãog tgx,chamâdo tângentóide. mosa tabela(b)e,a partirdela, o gráÍìco b)
a)
,'','t,'
65
0bservandoográíico,podemosnotâÍqúêâfunçãof(x)=tgxéperìódicaeseuperíodoép=n.Além
percebemos que,pârâosvàlores +, + tg(:
"intêrrupçôes'no gráfico, poisnãoêxíste " ocorrem
+
+ kr], k € Z. Assim,temos:
D=R-{, € R| Sejaa ÍunçãoÍ(x)= tg (x -f).
r<n, t eZ}erm=R
-= ++
VarosUeterrinar domínío ê gráfico.
Paraachâro domínio, devemos paraquee*ist"tE(x notarque,
necessarìamente deve-
f),
m0sten
';,
,
'; 'k r-x t
?t
'"
kr.keV
Ass i m.remos R a ]L- 6 lç [xD € .. 14t ^
v l.
ï_:
Alémdisso,lm= R. Podemos afirmerquea funçãoé periódicâ, de períodop = tt. Notequeo gráfìcodessafunçãotem o mesmoaspectodo gráfìcode I = tg x, aPresentando somentê um'deslocãmento' dêaà direita. 4 ìr!.,!rl ti.: ttìt,i:,i;ì:i. i;!Ì i
Afunção f(x)=tgx é ímpar, poisf(ì
= -f(x) parâtodoxdodomínio.
:.r Forneçao dominio de cada uma das funções
r':l
l2x t.).
. ", : senx ai lxt
(, r\xl = rg lx
b r i \ ) - l - rq \ -
a t i r*r-re" \ í*-*ì*r
Q ual
é o c o n j u n to
I iì Xsboceo gráÂcoe dê o domínio e o peíodo da / tunçãoreaÌf(x) = -ts - -\
tl
imagem
''. :::,Esboceo gráficoe dê o domínio e o peíoalo dâ / Íünçào ÌeÀlflx) = rs + -\
l2x ?.J.
d a fu nção
I : Compare:
Ì lx , = r - J 18 --í
a) sen7500e sen8500 -l
A Êmçao trr t - tg -Íll lr --m 2
b) cos750oe cos850'
podearsumir o va-
c) tg 750" e tg 850' Ì I
â) ParaquevâÌoresde m issoé possíveÌ? b) Qualé o domlniodef(xX ';:.,':esboceo gráficoe dêo domínìoe o periodoala Ìunçaoleary = tg7.
66
Sendox do tr quadrante e 2x do 2e quâdrante, é possíveltermos: a) sen x = sen 2x? Quando? b) cosx = cos2x?Quando? €) tg x = tg 2x? Quando?
t
circulares funções Outras cotangente Função D={x € R lx * kn,k € Z}. Seja a cada a funçãoÍ D- Rqueassocia funçãocotangente Denominamos = = e f(x) cotgx isto real B0 cotgx D o número realx€ numero então: Temos, . D = { x € R l x + krl k€ Z } . lm=R T r a t e n d o co tg x=ffi .o .o .ra zã o i nver sadetgx=ff$,Podem osdizer Queecotangenteparax=f anulândo_se decrescênte, semPre quândoexrste-e
r kr' k € l.
0 gráficodaÍunçãof(x) = cotgxé chemâdo e âpareceâo lâdo. cotângentóide E,lembrando: cosx L co(qx = -= senx tgx
Função secante í
r
-ì l s e, aD=t x € xR+ ì + k n . k e L
0 e n o m ih a mosfunçãosecânteaíunç ã o f : D+ Rq u e a s s o c ia a c â d a re a lx € Do n ú me ro Í e a l 0 S = s e Assim,f(x) = secx. temossemTrâtando a râzãosecantecomoa râzãoinversâdocosseno, disso,oss ì n â is d e s e c x e c o s x s e mp re p rese cx<- 1 o usecx> 1.A lém 0. quê cosx + desde coincidem, secantóìde daíunção o gráfico construímos Aseguir, U= secx,denominâdo à cossenóÌde. Eleestáassociado e 0bseíveno graficoque.quendoo cossenocresce.a secântedecresce, vice-versa.0 motivoparaquêissoâconteçaé claro:
1 cosx
67
Função cossecante S eja D={x€ R x+ kn,keZ\ Denominâmos funçãocossecante a íunçãoí D- Rquê âssociaa cadanúmero realx € D o númeroreal0C= cossecx, istoé, Í(x) - cossecx. 5ex - ; - kn,os pontosP e Ccoincidem. Nosdemaiscasos,o pontoCe externo aociclo.Aslim,temoscossecx < 1 ou cossecx > 1. Trâtando â râzãocossecante comoa razãoinversadoseno,os sínaisde cossêcx e senx semprecoìncidêm, dêsdequesenx + 0. A Íiguraao ladomostraa cossecantóide, como é conhecido o gráficodafunçãog = í(x) = cossecx. Elaé apresentâda assocìadâ à senóide. observenográÍicoquequândoo senocrescee cossecante decrescê, ê vice,versa. 0 motivopara issoé a rêlâção:
r
cossec x =! senx
_
(x) = cossêcx
ffi trx*rc3tã*$ ãã.Sendo f(x) = cotgl g(x) = secx e h(r) = cossecI encontre os valores de r para os quais temos:
Sl, lara quevaloresderca funçãof(, = 1 + secx assume o mmot ralor positivo?Quaìéessevalor?
d) f(x) = t e) g(x) = 1 f) h(x): r
â) f(x) = 0
b) g(x)= o €) h(x) = 0
O enunciâdoa seeuire valido Ddrdds ouestòe5
',i, *íi.
Ë3. (up-ps) seja i R * R, definidapor f(x) = : kx2 sen x, sendo ft uma coÍÌstânte.Se f(3) = -2, calcule2f(3)+ sf(-3).
Denomine, para facilitar as associações,cada função por uma letra:
54. Refaçao exercícioante or, substituindosenx
cotgx=E
tgx=C
POr COSx.
 seguir,classifiqueasÍirnçõesde acordocom o cÌitéÌio estabelecido €m câdaexercício,associandoasfuÍÌçõesaosdados.
! L Determine o dominiodecadaumadastunçoes: a) f(x) = cotg (x + tr) / !ì8. QuâÌttoaosperíodosPr= 2n eP2= rr. b) f lx )= s e c -\
lx+tJ /
c) r(x) = cossec lx
-\
5,ü, QuantoaosdomíniosD, = R,
7]
Dr = { x€ RIx+ + + kn ,k€ Z } e
Ë fi.Encontre o dominio da função: f(x) = ç61*
D.= { xeRlx*k4keZl.
tott"t "
"
68.
determineâ áÍeado tÍiângllo ÀBC,emfun
lji.,. Quantoaosconjuntosimâgem
çÃode06+<d<+.
1<y<lJe y< l ouy> ÌÌ. ,::
(Unifesp SP) Com basena figura ao lado, que representao ciclo trigonométrico e os ei\os da tangente e da cotangente: aì caìculea área do trirngulo {BC. par,r 1l
€w
"iL**l;* del algmnrl r:rl,.u'...!*:*Í!t{}} í}e3iió{itit:&Éì
ÈJ
"ffi
s"ã* {Ll
fü
.!{ ! {:15
# ff ffi q;
Uma função é periódica quando sempÌe ïepete valores de / parâ um deteïmirÌado acÍèscimo no valor de n. AnãÌogamente, um movimento, quando repetido a intervaÌos de tempo reguìares,diz se nrovin.niiì pcrìôíji.rr. Certamente você já estudou nas aulas de Física o movimento circular. Quando o módulo da sua veÌocidade - escalaÌ ou angülar - não varia, ele é üm movimento uniforme e, a intervaÌos regrlâÌes, o móvel percorre distâncias (lineares ou angulares)iguais. Assim, o tempo T de cada volta completa é constante, e o movimento circüÌar unifoíme é um moümento
periódico,sendoI o seupeúodo. Sejaum movimentouniforme descritopeÌo ponto Q sobre a circunferêÍciâdecentroO e raio a, a qualrepresentaaposição ,ìp n êm Ìm
ìnsrrnrê
r
SÌrponhamos que no instante inicial do movimento, de ve locidade anguÌar or, constânte, coincidam os pontos Á, Q e P, sendo P a projeção ortogonal de Q sobre o eixo odentado Ox. Nessascondições,no instante t Ìetratado na figÌrra 1, temos:
figurâ1
OP=a.cos0 Como e é o espaçoaÌ1gülarpercorridopelo ponto Q atéo instanteÍ, vem:0 = úJt. em qüe,ç Daí,OP = a cosúÍ, ou sejâ,â posiçaodaprojeçãode Q é dadapor x = a coscDt, é denominadoelongaçãoe d é a miíxima elongação,ou amplitude. considerações, o movimentodesc to pelaproieçãoP sobreo diâmetroAB Medianteessas é denominadoüovi]neoio hrf m.ìdro 5irÌ1pl.ri(MHS). Ìúcu Para firmaÌ essecoíceito, observe a figura ao lâdo, que esquematiza, paiâ uma partlcula, seu movimento cicuìar luz uniforme sobre uma tnjetória situada em um plaÍo veÍi.o to. caÌ. Á projeção ortogonaÌ da partículâ descreveum MHS sobre um segmento de rcta verticaÌ. Ì O movimento harmônico simples é.aracte zado como [4Hs oscilatório, uma vez que â paitícula que se Ìúove em torno figura2 de r.rmponto fr-xooscila pâm a fiente e pâra trás. No casoda Êgura 1,o ponto fixo é o centro O da tajetória e, no casoda figura 2, é a projeção O' do centro da ciÌcunferéncia.
69
O tempode irmaoscilaçãocompÌeta(A - B - Â, no primeiro caso)é o períododo MHS, o quale dadopor T = ?a, o mesmoocoÌrendono movimentocircúar uniforrne (MCU). Antesde ser estudadocomo o movimento da pro.ieçãoale um Donto em MCU. o MHS foi caracte zado como o moüde uma mentooscilatdíiode um ponto pre.o à errremidade mola (inicialÌnenteemrepouso)submetidaà açãodeumaforçâ. Observea Êgura ao lado, coúplementar à frgura 2, à qual foi acrescentadâ üma molâ, presaa um anteparohorizontaÌ. O ponto M presoà ex1Íemidadealamola, quândodevidamentetracionado,executaum movimeüto haÌmônico simples paralelâmenteao moúmento executadopelapÌoieFo do ponto em movimentociJ(ulaÌuniforme,
-
EZ
t
ïìi:ç:*.!!ffi.;,.ffiì de vesti buIares wffiGffi 1. (U. E. Londrina PR) Dadaafunçâo tdgonométÌica sen (KÍ), é correto ãfìrnar que o período dn fun-
b) c) d) e)
2.ft sempre o mesÍno, ìndependente do valor de K diretamente pmporcìonaÌ a K inveÌsamente proporcionâÌ a K
2. (puc-l,tc) consiaere a funçaof: R .. R definida por f(x) = 1 + 4 cosx. o conjuntoimasemdessâ funçãoé o intervalo: a) t-3,al c) t3,41 b) t-3,51 d) 13,51
é coÌreto â6rmaÌ que souerre: a) b) c) d) e)
6. 1ur lnl O p"roaoaatunçãof: R r R, definida por f(x) = sen{ 2x + + l, é:
3. (puc-rs) o conjunto imagem datunçãofdefiddã í. porf(x)= senx+ hé | 2 01.O vaìordeà é: aJ ?r b)2
d) 0 e)r
4. 1c"r"tlnl I n"çao.ealf(x) = a + b. sencxtern ,Í, init s . m i8ur ì i -.o e * rp e rro d o e ; ru d .Al .i m. âl 13 b) 9 c) 8
ü2n
UF-I\\ O peflodo e d imagem dd frrnçáo tíxì /)\ 5 ì co.l -i ---- I \cR .\ao.re\petri !amenre: \^/
b) cos2x<0 c) tgx>0
+
é4.
à) 2rÍ e [-3, 3] [ 3,3]
d) senx<0 e) sen2x>0
J. (Ul PIìOpenododrtunçioÍ(\' 5+\eqíJx-2ìe:
i l r. * l + \ì .-í+,,ì-,*,-" " , \z
o)+
.)+
raaia-'"|<x<f;,entao:
IL senr x + coxr y = I, quahquer que sejan Í e
/
.)+
8. 1v"""rp-sr) Sejr é â medidâde um ânguìoem
5. onifoÌ'cE) sobreasseúençasl
\z
a),r
2ir e i-r, Ìl 2ir e 12,8l c) 2rr2e 12,81
d) -4 e) r0
L o peíododafirnçãodadâporfG) = Én
I é vedadeira. II é verdadeìra. III é veÌdadeirâ. I e II sãoverdndeiÌas. I e III sãoveÍdâdeiÌâs.
n) 3n ,, .,
/
7A'
21r 3
c) 3Ír 2
d)+ 2
e)
]L 5
abaixotem-serepresentâdâ 13 . (ceíet-Mc) A 6suÌa abâixorepresentao gráficoda tunção: parte do gráfico de uma funçaotÌigonométÌi.a/
10. (up lr) Nurie"de R eÌì R.
tu 2
L
2
/l \
4,2
<1- t \7
-{,6 -0,8
Í
Usandoâsiníormaçõesdadasnessegráfico,anaÌise asafirmâçõesseguintes.
a) cos2x
t
d)
= z seni a) raÌsáficoéodatunçãoaaaapu(n
b) I cos 2x
e)
b) c, d) e)
cos2x -l -l |
o peÌíododeíé 3n.
-l
c)
2n.2Íl /admrredur''ave.noinre,vnlo[ Se-2^ < x < 0, entãof(x) < 0 o conjuntoimâsemdeí é o intervalo [-2,2]
14. (pcv sp)consia*eaançaor19= 2- I9LÀ Os vaÌoresmâimo e mínimo de f(x) são,(espectiva
11. (Unifor CE) Nâ figura ãbãi{o tem se o tÌiânguÌo OAB,inscÌito em um ciclo trigonométrico.
a) 1e-1
d) 2e0 5 ,^ e) ze7
b) Ie0 c)zeí
3
por definida 15. runifoÌcE)PaÌax€ I0,2Íl,atunção f(x)= senxtem: Se o ponto B é a extremidade do arco de Ìiedida
d)
'".,,d. o oenmeLrodo triânsüo OA3, em úidal' des de comprimento, é:
a) 2+\i5 b) 4 +2 íJ c) 2 +2 'L
+.
um vaÌor máximo pda x = 0. d) um vaÌor miDimo pâÌn x = 'r somentevaroÌespositivoss " Ï.
d) r + 2!l e) 3+15
12 . (Ur-ss) consa-e quev(t), voluÍnedear nosPú nõesdeum serhurnanoadúo, emÌitros'larìn de
".
*
ÌeâisíseÀ,deÊnidas 16, (Ur-er) c.",ia"." nstunções
Do mínimo 2 Ìitros â no mráÌimo4 Liúos,sendot a variávelrempo,em segundos. V(t) é: EntÌeastunçõesâbâixo,aqüemelhoÌ descreve a) 2+zsen{+tl
b) 4+2senl+tl 5+lsenl . tl d) I+lsenl=tl e)
seo < x < vaÌores negativos
)
- - f pdf'\,=*nr8íx =co.x pdàrodoxc - i.'; . LI I . âtumrçoe". e htx, = rgx paraanrli.aro, .eguinle'
a) Â imagemdo núÌìlero real 1 pela tunçãofé negatiLa. b) A função/ é crescentenos quadrâniesonde a tunçãog é decrescente. c) As tunçõesí g e t podem serpositims em um mesmoquadrante. d) A funçãolreaìy(x) = secx é a tunçãoinversada tunçaoC.
r. er Êverdadeo""39l@= ' r(x)
3 + s e n l+tl
7 t'
I/.
.)
1800 1874 c) r 896
íUnninoyRsì Sesen a=
< arád.o Te0'àd ; vaÌoÌ da €xpressão sen(27r+ a) - sen(2n a) é: ] . ,2
o)+
.)+
")+
d) 2000 e) 2024
ÉL íUI-PAìA velocidrde vde umaparrrcuJa em mo vimento harmônico simpÌesiar;ã com o tempo I, s€gundoa tunçãoV(t) = 2 sen t - L PoÌtmto, o g'áfi(o dbdixoque e\rr ÂDçáoe: 'epíesenrJ
18. 1ur u) s4u-1. gn-çoes reaisde variáveÌreâÌdefiìidaspoÌ f(x) = 3 sen(2x) 2e
,
[ 0, sex= k7r,ft inteiÌo l t, sex + ktr,ft inteiro clasìÊque como v (verdadena)ou F (falsa)cada . "--
a) b) c) d)
As tunções/ e g têÌÌ o nesno período. os gúficos de/ e Snão seinterceptd. g(x) > f(x) paÌa todo número realÍ. / e SsãoÂmçõescresceÍtes.
19. 6'au.r.n,i.srl
ApaÌúdosgra6cosde Íxì -'enxegíxì-
-co.x
esboçados no intervaÌo[0, 2n], considereâs ââÌmações: T. A equçâo fíxì grx) apretnu umaunica.oluçaonesseiDtenalo. /9n\ "/9Í\-. *'\r/-t\'o/ III. Nesseinten"èÌo,para todo jç taÌ que g(x) < 0, temosflÌ) > 0. a) b) c) d) e)
I,II e III sãoverdâdenâs. I, II e III sãofaÌsas. som€nieI é verdadeìrâ. som€nteII é verdadeirâ. somenteIII é verdadeìra.
22. (nut". sp) o vigésimoquiÌto teÌmoitã seqüênc. (sen30',sen60',sen90',sen1200, sen1500,...) é: ,t,
ü-t
sp) Na seqüên€iade termo seraÌ / ,\ n c N,a \omJdos20 a - sn -.en I n.+ì.,om ./ \ prìmeiÌostermosde ordemimpar é igual a:
20.(puc
72.
o)-+
.)+
e)l
23. pr-sn; .e.""t" o,
reais,tais 2 5, (U.n u't*u'a;u-r,rc) ser e),sãonúmeros que0 < x < ?r,0< y < 7r,x + y = tr ecos(x-y) = 01
propos&ões: ".suiÌtes
Se um tÌiângúo retânguÌo ABC, retàngulo em Á, é tâl que ÀC = 2 (Íì1e cosB= 0'6, entâÔô seu p€r í Ì net Ì o é i g u a Ìa 6 c m b) Um tÍiânguÌo tem dois Ìados medindo 3 crn € 5 €m e o ânguÌo íonÌúdo entre essesÌados é iglal n 120'. A medida do terceiro Ìado' em centÍmetÍos, é dadâ por um número ilracionaL c) Dois arcos cujas medidâs, €m Ìâdianos, são da'
a)
a o n o rx='oa lk,re)
-^
então os possíveisvaÌores para tg (2x .f"
")
y) são:
c) rl
+f
d) o
b) a15
arbitráriâpollenter-
26. 1r*p srl u-u
de y = senx em: ceptaÌo gúÊco "ir""nferênciâ a) no máxirno I ponto. b) Ío m&imo 2 pontos. c) no máximo 4 pontos d) no máxìmo 6 pontos. e) maisde oito pontos.
rkr.kcz .
sãodiametnlmenteopostos d) SeA=sen(x-7.) e B = cos(x + tr)' enrão A senx
27. (Uout-se) R.tnti""-ente à tunç2o/, de R em R, de
dãdâsPorí(x) = a- b senxe e) sejamasÊrrrções = os x, g(x) a + b' cos comd e ô reaisPositircs. g ìgüais de e são conjuntosimagen /
finidàDorÍ' x, 2-ico';.ecôrreroâtumarque: a) seuconjuntoimagerÌìé o inter'r'aÌo[ Ì,5] b) opedodoé2n.
aosÌitmos biológicos 24. G,r-ur) o. auao" -elâtivos serapÌonmâdospor curvas podem,fteqüentemente, detunçõestÌigonométricas.De modoaseajustâÌaos dados,a tunçãocosseno(gráficoA) sofre aÌgumaj tansformações,€omo asmostÌadâsnos gráncosB, CeD.
c) eporitivaRï<x<ï d) e(res.entek-
< x < tr.
r ,lL l
e) admiteurnâ únicaraiz Ío interüÌo I 0
.'31'
a tun\io: 28. rr GV SPrO snncoabàiiorepre\enrâ = y a) ltc"l b) y= Isenxl c) y= lsenxl+lcosxl d) y=sen2x e) y=2senx
29.&rr,rn DY
No proc€ssode Ìespiraçãodo serlunano, o 1 fluo de ar atravésda traquéia,duranteâ ins- | pìrâçaoou elTirâção,pode sermodeladopeÌa i tunçãoF, deÊnidâ,em cadâinstantet, Por F(t)=Msen(Dt.
1-__i-'
ìnformâções,julgue os itens. A partir dessâs a) A funçao ÍepreseÍtada pelo gráfico B é: pelogÌáfi b) O períododa tutrçãorepresentâda co C é igiraÌ ao pedodo da tunção y = €osíDt pelô c) O conjuntoinageÌn datunçãorepresentâda c,co+c] gÌá6co D é [co
73
À pressãointeÌpÌeunÌ (pressãoexjstentena cï xa tonici€a), tmbém durante o processode res pirâção, pode sermodelada pela tunção P, d€fi nìdâ, em cadainstânte t, por P(t) = L F(t + â). As constantes.i,1, M e ú, sao Ìeais, positivas e dependa4es dascondições fisioÌógicas de câda indiüduo. (adapLâdo d€:aGUlaR,A. F.4.,vúvlEg,a F:s ê RoDFIGUES,J. E. M. Cál4ulopaÉdêrci6 nédiús e t@iig,bas,ttaÌbã Llda , 1933)
Um possíveÌgÌáficode P, em tunçãôde t, é:
de segundo,conforne 6gura âbalÌo.o ânsuloe 7 variJem tun(Jodo lempor, em aproxi"egundo,. nâdamente,de acordocom â equaçao:
d)"l õÌ -.)
'=+'-[+(,-+)]
i
êixo
êixo
"ï
N\N --------T
r
d
Tomando por ba\e or dJdo\ dcin]â.podemos J6r mar que o maioÌ \."Ìor asumido pelo ângdo e é:
3 0. G,l-pe) o" potl."ntes d€coop?'bâÌânçam seusbrâ ritÌnicâmente, enqÌranto paü correm, â rrentee ços parâtÌás, descÌevendoumâ osciÌaçãocompletaem
a) ls' b) 20. c) 2s'
d) 30" e) 45o