SEPTIEMBRE 2011
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MUNDO ELECTRICO
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Vol.
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LA TRANSFORMADA
Z
UNA REPRESENTACIÓN ALTERNATIVA DE LA SEÑAL
FUNCIONES-PROPIEDADES
UNILATERAL 1
BILATERAL
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TRANSFORMADA Z. DEFINICION
E
n las matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja. El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que
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Laplace a las señales de tiempo continuo. Dada una secuencia discreta X(n) se define su transformada Z como una serie de potencias:
Donde Z es una variable compleja.
De este modo el coeficiente de , para una transformada determinada, es el valor de la señal en el instante n. Y por tanto, el exponente de z contiene la información necesaria para identificar las muestras de la señal.
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La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral
Transformada Z bilateral
Transformada Z unilateral
La TZ bilateral de una señal definida De forma alternativa, en los casos en en el dominio del tiempo discreto que x[n] está definida únicamente x[n] es una función X (z) que se para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como
define
Donde n es un entero y z es, en En el procesamiento de señales, se general, un número complejo de la usa esta definición cuando la señal forma es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de jω z = Ae Laurent, con ROC del tipo | z | > R ; es decir que converge "hacia afuera". Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad
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REGIÓN DE CONVERGENCIA DE LA TRANSFORMADA Z
c
omo se puede observar, la transformada Z se puede expresar como una serie de potencias infinita y existe sólo para aquellos valores de z para los cuales converge la serie. De esta forma, se define la región de convergencia (ROC) de X(z) como el conjunto de todos los valores de z para los cuales X(z) adquiere valores finitos. En la expresión de la transformada Z aparece un sumatorio cuyos límites son ± ∞, ese sumatorio puede o no converger para determinados valores de la variable compleja z.
Ejemplo
La ROC para una x[n], es definida como el rango de z para la cual la transformada Z converge. Ya que la transformada z es una serie de potencia, converge cuando x[n] , es absolutamente sumable. En otras palabras se define como:
Siempre que se calcule la transformada z de una secuencia, se debe también indicar su correspondiente ROC.
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Hay que recordar la condición de R.O.C
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Hay pueden
que
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diferentes
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discretas Z
pero
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FUNCIONES DE LA TRANSFORMADA Z 1. Función de transferencia Se calcula haciendo la TZ de la ecuación
y dividiendo
2. Ceros y polos Gracias al teorema fundamental del álgebra sabemos que el numerador
tiene M raíces (llamadas ceros) y el denominador tiene N raíces (llamadas polos). Factorizando la función de transferencia Donde es el k-ésimo cero y es el k-ésimo polo. Los ceros y polos son por lo general complejos, y por tanto se pueden dibujar en el plano complejo. En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuación obtenida de igualar el numerador a cero, mientras que los polos son las de la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador.
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Se puede factorizar el denominador mediante la descomposición en fracciones simples, las cuales pueden ser transformadas de nuevo al dominio del tiempo. Haciendo esto obtenemos la respuesta al impulso y la ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes del sistema. 3. Salida del sistema Si por un sistema pasa una señal entonces la salida será . Haciendo una descomposición en fracciones simples de y la TZ inversa de cada una de ellas puede encontrarse entonces la salida
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z En la tabla 1, se muestran de forma resumida las propiedades más importantes que cumple la transformada z.
Tabla 1 Propiedades de la transformada z.
Linealidad: La transformada Z de una combinación lineal de señales puede hallarse a partir de la combinación lineal de las transformadas Z de las señales individuales, y su ROC contendrá la intersección de las ROC de las señales individuales:
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Desplazamiento Temporal: Un desplazamiento temporal introduce un decaimiento exponencial en el dominio transformado Z. La ROC en general no se altera.
Excepto para la posible adición o eliminación del origen o del infinito.
Escalamiento en el dominio z: Un escalamiento en el dominio z introduce una expansión exponencial en el dominio temporal. La ROC resulta también escalada.
Inversión de Tiempo: Una inversión en el tiempo, introduce una inversión multiplicativa en la ROC. Esto significa que si zo se encuentra en la ROC correspondiente a la transformada de x[n], entonces 1/ zo está en la ROC correspondiente a la transformada de x[-n].
Diferenciación en el Dominio z: La diferenciación en el dominio transformado Z acompañada de un escalamiento por el factor z introduce un factor n en el dominio temporal. La ROC resultante no se altera.
n
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Expansión Temporal: Una expansión temporal de orden k sobre una señal discreta introduce una compresión de orden k en su ROC. Es decir que si zo se encuentra en la ROC original, entonces expandida.
está en la ROC de la señal
Conjugación: La ROC de la transformada Z de una señal conjugada corresponde a la ROC de la señal original.
es decir que sus polos y ceros serán complejos conjugados.
Convolución: De todas esas propiedades destaca por su importancia y utilidad la propiedad de la Convolución. Para calcular la convolución de dos señales usando la transformada z, se deberán seguir los siguientes pasos:
Teoremas del Valor Inicial: Este teorema establecen que el valores
1. Calcular la transformada z de las señales. 2. Multiplicar las dos transformadas z. 3. Encontrar la transformada z inversa de X(z).
inicial de x(t) puede calcularse a partir de X(z):
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Realizada por: José J. González F. Edgar Rangel 12
Ronald Noriega
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