2 material de trabajo autonomo 11 mti 11

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ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS CĂ LCULO 2 MATERIAL DE TRABAJO INDEPENDIENTE 11 Tema: TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

MOTIVACIĂ“N: En este MTI revisaremos las ventajas que trae el teorema de la divergencia, para el cĂĄlculo de integrales de superficies.

LA DIVERGENCIA Ě‚ , puede obtenerse un campo Dado un campo vectorial đ??…(đ?‘Ľ; đ?‘Ś; đ?‘§) = đ?‘€ đ??˘Ě‚ + đ?‘ đ??ŁĚ‚ + đ?‘ƒ đ??¤ escalar, utilizando la operaciĂłn divergencia, definida como sigue : đ???đ?‘´ đ???đ?‘ľ đ???đ?‘ˇ đ???đ??˘đ??Ż đ??… = + + đ???đ?’™ đ???đ?’š đ???đ?’› EL OPERADOR NABLA: đ?› =

đ??? đ??? đ??? Ě‚ đ??˘Ě‚ + đ??ŁĚ‚ + đ??¤ đ???đ?’™ đ???đ?’š đ???đ?’›

Con este operador, la divergencia queda expresada asĂ­: đ???đ??˘đ??Ż đ??… = đ?› . đ??… INTERPRETACION DE LA DIVERGENCIA: La divergencia puede interpretarse como el flujo hacia el exterior, por unidad de volumen en el punto (đ?‘Ľ; đ?‘Ś; đ?‘§). La divergencia mide la expansiĂłn del fluido desde este punto (đ?‘Ľ; đ?‘Ś; đ?‘§). Teorema (de la Divergencia) Sea E una regiĂłn simple de â„?3 y S su superficie frontera, orientada hacia fuera. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en una regiĂłn abierta que incluye a E. Entonces: âˆŻ đ?‘­. đ?‘‘đ?‘ş = ∭(đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ł đ?‘­)đ?‘‘đ?‘‰ đ?‘†

đ??¸

Para usar el teorema de la divergencia, la región de �3 , debe estar limitada por una superficie cerrada �, que encierra un volumen de tres dimensiones, como por ejemplo, una esfera, un cubo, una piråmide; sin embargo, una semiesfera o un paraboloide, sin cubrirlos, son ejemplos de regiones de �3 , que no estån limitadas por una superficie cerrada y no se debe aplicar este teorema, para este tipo de superficies. Ademås, es necesario que la superficie � sea orientable y todos sus vectores normales, apunten hacia el exterior de la región cerrada de �3 , tal como en el siguiente gråfico:

CALCULO DEL FLUJO QUE SALE DE UNA SUPERFICIE CERRADA

EJEMPLO 1: Ě‚ Calcule el flujo del campo vectorial F(đ?‘Ľ; đ?‘Ś, đ?‘§) = 3đ?‘Ľ Ě‚đ??˘ + 4đ?‘Ś đ??ŁĚ‚ + 5đ?‘§đ??¤ esfera đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + đ?‘§ 2 = 25

a travĂŠs de la

SOLUCION: Se desea calcular: đ??šđ?‘™đ?‘˘đ?‘—đ?‘œ = âˆŻ đ?‘­. đ?‘‘đ?‘ş đ?‘†

Pero por el teorema de la divergencia:

đ??šđ?‘™đ?‘˘đ?‘—đ?‘œ = âˆŻ đ?‘­. đ?‘‘đ?‘ş = ∭ đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ł(đ??š )đ?‘‘đ?‘‰ đ?‘†

đ??¸

Entonces hallamos la divergencia de F: div(đ??…) =

đ?œ•(3đ?‘Ľ) đ?œ•(4đ?‘Ś) đ?œ•(5đ?‘§) + + = 3 + 4 + 5 = 12 đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

Flujo = âˆŻ đ??…. đ?‘‘đ??’ = ∭ div(F)đ?‘‘đ?‘‰ = ∭ 12đ?‘‘đ?‘‰ = 12 ∭ đ?‘‘đ?‘‰ đ?‘†

đ??¸

đ??¸

đ??¸

Flujo = 12(Volumen de la esfera) 4 Flujo = 12 ( đ?œ‹(5)2 ) = 400đ?œ‹ 3

EJEMPLO 2: Sea đ?‘† la frontera de la regiĂłn piramidal sĂłlida, que estĂĄ limitada en el primer octante, por los 3 planos coordenados y por el plano Ě‚. fuerzas đ??š (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = 4đ?‘Ľđ?’ŠĚ‚ + 4đ?‘Ś 2 đ?’‹Ě‚ + 4đ?‘§đ?’Œ

đ?‘Ľ

đ?‘Ś

�

+ 3 + 6 = 1 y consideremos el campo de 3

Calcule el flujo del campo vectorial đ??š, a travĂŠs de S. SOLUCION: Se desea calcular:

Flujo = âˆŻ đ??…. đ?‘‘đ??’ đ?‘†

Pero por el teorema de la divergencia:

Flujo = âˆŻ đ??…. đ?‘‘đ??’ = ∭ div(F)đ?‘‘đ?‘‰ đ?‘†

đ??¸

Entonces hallamos la divergencia de F: div(F) = Luego:

đ?œ•(4đ?‘Ľ) đ?œ•(4đ?‘Ś 2 ) đ?œ•(4đ?‘§) + + = 4 + 8đ?‘Ś + 4 = 8 + 8đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

Flujo = âˆŻ đ??…. đ?‘‘đ??’ = ∭ div(F)đ?‘‘đ?‘‰ = ∭(8 + 8đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘‰ đ?‘†

đ??¸

đ??¸

Intersecciones con los ejes: a=(3;0;0), b=(0;3;0),

c=(0;0;6)

Y del grĂĄfico, se obtienen los lĂ­mites para la integral de volumen: 3

Flujo = âˆŤ 0 3

3−đ?‘Ś

6−2đ?‘Ľâˆ’2đ?‘Ś

âˆŤ

âˆŤ

0

0

(8 + 8�)������

3−đ?‘Ś

Flujo = âˆŤ âˆŤ (8đ?‘§ + 8đ?‘Śđ?‘§)/6−2đ?‘Ľâˆ’2đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś 0 0 3

0

3−đ?‘Ś

Flujo = âˆŤ âˆŤ (48 − 16đ?‘Ľ + 32đ?‘Ś − 16đ?‘Ľđ?‘Ś − 16đ?‘Ś 2 )đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś 0

0

3

Flujo = âˆŤ(48đ?‘Ľ − 8đ?‘Ľ 2 + 32đ?‘Ľđ?‘Ś − 8đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś − 16đ?‘Ľđ?‘Ś 2 )/3−đ?‘Ś 0 đ?‘‘đ?‘Ś 0

Evaluando y efectuando, se obtiene: 3

Flujo = âˆŤ(72 + 24đ?‘Ś − 40đ?‘Ś 2 + 8đ?‘Ś 3 )đ?‘‘đ?‘Ś 0

Con calculadora: Flujo = 126

CAMPOS SOLENOIDALES

Un campo F serĂĄ denominado Solenoidal, cuando su divergencia es nula, es decir: div(F) = ∇. F(đ?‘Ľ; đ?‘Ś; đ?‘§) = 0 Un ejemplo de campo solenoidal, se da con el campo magnĂŠtico đ??ľ, en electromagnetismo, el cual satisface que: div(đ??ľ ) = 0 Una consecuencia del teorema de divergencia es que cuando el campo es solenoidal y la superficie es cerrada, entonces, el flujo es cero. Las lĂ­neas de un campo solenoidal, no convergen, ni divergen, en ningĂşn punto, es decir, estas lĂ­neas no tienen extremos. Por ello, en el campo solenoidal, las lĂ­neas pueden ser cerradas o ir desde el infinito, hasta otro infinito.

EJEMPLO 3: Ě‚ Calcular el flujo generado por el campo F(đ?‘Ľ; đ?‘Ś; đ?‘§) = đ?‘Ľ 3 đ?‘Śđ??˘Ě‚ − đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 đ??ŁĚ‚ − đ?‘Ľ 2 đ?‘Śđ?‘§đ??¤ Y la superficie del sĂłlido estĂĄ limitado por el hiperboloide de una hoja đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 − đ?‘§ 2 = 1 y los planos đ?‘§ = 2 y đ?‘§ = −2. SOLUCION: Se desea calcular: Flujo = âˆŻđ?‘† đ??…. đ?‘‘đ??’ Pero por el teorema de la divergencia: Flujo = âˆŻđ?‘† đ??…. đ?‘‘đ??’ = ∭đ??¸ div(F)đ?‘‘đ?‘‰ ‌(*) Entonces hallamos la divergencia de F: đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ł(đ??š ) =

đ?œ•(đ?‘Ľ 3 đ?‘Ś) đ?œ•(−đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 ) đ?œ•(đ?‘Ľ 2 đ?‘Śđ?‘§) + − = 3đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś − 2đ?‘Ľ 2đ?‘Ś − đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś = 0 đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

Luego: đ??š es un campo Solenoidal y al reemplazar en (*):

Flujo = âˆŻ đ??…. đ?‘‘đ??’ = ∭ div(F)đ?‘‘đ?‘‰ = ∭ 0đ?‘‘đ?‘‰ = 0. đ?‘†

đ??¸

đ??¸

INTERPRETACIONES: Un campo de fuerzas se clasifica de acuerdo a lo siguiente:   

Si đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ł(đ??š ) = 0ďƒ¨ Solenoidal Si đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ł(đ??š) > 0ďƒ¨ fuente Si đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ł(đ??š) < 0ďƒ¨sumidero

Cuando la divergencia de un campo vectorial, en un punto, es positiva, quiere decir que en dicho punto, el campo irradia hacia el exterior y en dicho punto existe un campo fuente o manantial. Cuando la divergencia de un campo vectorial, en un punto, es negativa, quiere decir que el campo converge hacia dicho punto y se tiene ahĂ­ un campo sumidero. Un ejemplo conocido de estos, se da, con el campo elĂŠctrico producido por cargas elĂŠctricas. Sabemos que el campo elĂŠctrico, irradia hacia el exterior desde cargas positivas, las cuales serĂ­an las fuentes, y convergen hacia las cargas negativas, que serĂ­an sus sumideros. Cuando la divergencia es nula, en todos los puntos del espacio, se denomina, como ya habĂ­amos dicho, campo solenoidal.

PREGUNTAS

Responda lo siguiente: Si un campo vectorial tiene divergencia 1, sobre un sólido cúbico de arista 2, calcule el flujo a través del cubo. RESPUESTAS:

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