Apostila Sistemas de bombeamento (2011) by Jorge Antonio Villar Alé

SISTEMAS FLUIDOMECÂNICOS Sistemas de Bombeamento Jorge A. Villar Alé

2011

Sumário

SISTEMAS FLUIDOMECÂNICOS Sistemas de Bombeamento Jorge A. Villar Alé

Março de 2011

Sumário

PREFÁCIO Nesta material são abordados os principais conteúdos de Bombas e Sistemas de Bombeamento. O material é uma recopilação das aulas dadas no Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica da Faculdade de Engenharia da PUCRS. Especificamente as disciplinas de Máquinas de Fluxo, do curso de Engenharia Mecânica, e de Sistemas Fluidomecânicos, do curso de Engenharia de Controle e Automação, utilizam este material. Nas aulas são abordados os conteúdos e fornecidas adicionalmente listas de exercícios resolvidos e propostos, complementando assim o conteúdo da apostila. O material que aborda o estudo de máquinas axiais e sistemas de ventilação industrial é fornecido adicionalmente. O Cap.1 apresenta uma introdução às máquinas de fluxo. No Cap.2 é apresentada a equação geral de turbomáquinas aplicada a bombas centrífugas incluindo o estudo da influência do número de pás e sua espessura assim como o efeito do ângulo de curvatura das pás são estudadas. No Cap.3 são apresentadas as curvas características de bombas relacionado a energia absorvida pelas máquinas e a energia cedida pelo rotor ao fluido. Potência e rendimentos são apresentados assim como os tipos de conexão em serie e em paralelo das bombas e seu efeito. No Cap.4 são abordadas as leis de similaridade e coeficientes adimensionais de máquinas de fluxo assim como os conceitos de rotação específica. No Cap. 5 abordam-se conceitos relativos a curvas operacionais de sistemas de bombeamento assim como estratégias de controle para regulação da vazão. A energia transferida nos sistemas de bombeamento é estudada no Cap.8. Dimensionamento de sistemas de bombeamento e importância da perda de carga nestes sistemas é visto no Cap.9. Finalmente o fenômeno de cavitação em sistemas de bombeamento é discutido no Cap.9. O material também inclui um anexo com propriedades dos fluidos e outras informações complementares para facilitar as atividades de aprendizado. Na metodologia de ensino das disciplinas lecionadas com o presente material, os alunos devem realizar uma leitura prévia e reconhecimento das equações utilizadas nos capítulos, de tal forma que o professor possa esclarecer as dúvidas e realizar exercícios para explicar os conteúdos. A primeira versão desta apostila foi lançada em 2001, modificada posteriormente em agosto de 2003 e sendo lançada em 2010 esta nova versão. Os capítulos foram re-estruturados. Cada capítulo teve uma nova formatação, novas figuras e exercícios resolvidos foram incluídos. Foram preparadas listas adicionais de exercícios seguindo a estrutura de esta nova versão. Esperamos que eventuais erros possam ser detectados no andamento das aulas com a finalidade de realizar as correções e modificações que forem necessárias para aperfeiçoar o presente material. Porto Alegre, março 2010 Prof. Jorge Villar Alé villar@ee.pucrs.br www.pucrs.br/ce-eolica

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Sumário

CAPÍTULOS Capítulo 1 - Introdução às Máquinas de Fluxo Capítulo 2 – Teoria de Bombas Centrifugas Capítulo 3 – Curvas Características e Associação de Bombas Serie Paralelo Capítulo 4 – Coeficientes Adimensionais e Leis de Semelhança Capítulo 5 – Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento Capítulo 6 - Sistemas de Bombeamento Capítulo 7 - Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento Capítulo 8 – Cavitação Referencias Bibliográficas Anexo – Tabelas e Propriedades dos Fluidos

Sumário

SUMÁRIO Cap.1 Item 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.5 1.6 1.6.1 1.6.2 1.7 1.7.1 1.7.2 Cap.2 Item 2.1 2.2 2.2.1 2.3 2.4 2.5 2.6 2.6.1 2.7 2.8 2.9 2.10

2.11 2.12 2.13 2.14

Introdução às Máquinas de Fluxo Introdução

Conteúdo

Máquinas de Fluxo Máquinas Motrizes Máquinas Geratrizes ou Operatrizes Ventiladores e Compressores Turbinas Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) Turbinas Segundo a Direção do Escoamento Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás Bombas Hidráulicas Bombas Volumétricas Bombas de Deslocamento Positivo Bombas Rotativas Turbobombas Bombas Centrífugas Bombas Axiais

Pag. 3 4 5 5 6 7 7 8 8 9 9 10 10 10 11 12 13

Teoria de Bombas Centrífugas Conteúdo Introdução Equação do Momento da Quantidade para Turbomáquinas (Axial - Radial ) Simplificações Potência e Energia Específica Equação de Euler Aplicação das Equações para Bombas Centrífugas Polígono de Velocidades num Rotor de Bomba Centrífuga Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente Parcelas de Energia na Equação de Euler para Turbomáquinas Relação da Equação de Euler e a Equação de Energia Grau de Reação Influência da Curvatura das Pás Caso 1 - Pás Voltadas para Trás Caso 2 - Pás Radiais na Saída Caso 3 - Pás Voltadas para Frente Resumo Gráfico dos Resultados. Recomendações para Ângulo das Pás

Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação (Ht-Q) Efeito da Curvatura da Pás na Curva de Potência (P - Q) Resumo das curvas H-Q e P-Q Representação da Curva Carasterístistica Teórica Importância do Número Finito de Pás Escoamento com Número Finito de Pás Desvio da Velocidade Relativa

Pag. 3 4 4 7 7 8 9 12 13 14 15 16 17 18 18 19 19 20 22 23 24 25 25 26

Sumário 2.15 2.16 2.17 2.18 Cap.3 Item 3.1 3.2

3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.10.1 3.10.2 3.10.3 3.10.4 3.11 3.11.1 3.11.2 3.12 3.12.1 3.12.2 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19

Dependência do Número de Pás Altura Teórica para Número Finito de Pás Fator de Correção do número finito de pás Influencia da Espessura das Pás no Polígono de Velocidades Análise na entrada do canal das pás Análise na saída do canal das pás: POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO Exemplos Resolvidos Curvas Características e Associação de Bombas Série e em Paralelo Conteúdo Fluxo de Energia e Rendimentos Rendimentos Rendimento Mecânico Rendimento Hidráulico Rendimento Volumétrico Rendimento Total ou Global Potência de acionamento Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) Curvas Características de Bombas Centrífugas Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (H-Q) e (P-Q) Ponto de Operação das Bombas Outras Representações de Curvas Características Identificação Variáveis nas Curvas Características. Equações Especificas Para Corte de Rotores Determinação do Diâmetro de Corte de Uma Bomba Centrífuga Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro Correção do Diâmetro de corte Método de Stepanoff Exemplo para Determinar Diâmetro de Corte – Método Gráfico. Associação de Bombas em Série Curva característica de bombas em serie Rendimento de duas bombas em série Associação de Bombas em Paralelo Curva Característica de Bombas em Paralelo: Rendimento de Duas Bombas em Paralelo Exemplo – Bombas Conexão em Serie e em Paralelo Exemplo - Conexão Paralelo Exemplo - Conexão Série Outros Exemplos Atividade de Aprendizado - 1 – Proposta Atividade de Aprendizado – 2 - Resolvida Problemas Propostos

26 27 27 28 28 29 31 33

Pag. 3 3 3

5 6 6 7 8 9 10 12 13 15 16 17 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 34

Sumário Cap.4 Item 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.1.6 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 4.3.1 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade Conteúdo Coeficientes Adimensionais Número de Reynolds Número de Mach Rugosidade Relativa Coeficiente de Pressão ou Altura Específica Coeficiente de vazão ou Capacidade Especifica Coeficiente de Potência Efeitos de Escala Efeito do Número de Reynolds Efeito do Número de Mach Efeito da Rugosidade Relativa Efeito de Espessura Leis de Similaridade Leis de Similaridade para Duas Máquinas Semelhantes Utilizando as Leis de Similaridade Modificação do Tamanho da Bomba Curva Característica de Bomba Variando a Rotação: Rendimento Global Variando a Rotação Determinação da Rotação Especifica

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Cap.5

Curvas Operacionais De Sistemas de Bombeamento Conteúdo Curvas Características de Sistemas de Bombeamento Sistema com Altura Estática Nula Sistema com Altura Perda de Carga Nula Sistema com Altura Estática Positiva Sistema com Altura Estática Negativa Sistema com Baixa Perda de Carga Controle de Desempenho das Bombas. Controle do Sistema por Regulação ou Estrangulamento de Válvula Controle de Sistema de Utilização de uma Linha de Recirculação (Bypass) Controle de Sistema por Ajuste da Rotação Controle de Sistema por Mudança no Diâmetro do Rotor Controle por Ajuste do Angulo de Passo das Pás Comparativos de Estratégias de Controle da Vazão Operaçao de Sistemas com Bombas em Paralelo

Pag. 3 4 4 5 5 6 7 8 9 10 12 14 15 17

4.9 4.10 4.10.1 4.11 4.11.1 4.11.2 4.11.3 4.11.4 4.11.5 4.11.6 4.12 4.13 4.14 4.15

Item 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 . 5.1.5. 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 5.2.6 5.2.7

Rotação Específica Característica - nq Número Específico de Rotações por Minuto Relação entre ns - nq Velocidade Específica em Bombas de Múltiplos Estágios Bombas com entradas bilaterais (Rotor Geminado) Bombas com vários estágios e entrada bilateral Rotação Específica - Unidades Americanas Número Específico de RPM em Função da Potência Outras Relações Relação entre Coeficiente de Pressão e Número Específico de Rotações Exemplos Resolvidos Atividade de Aprendizado Atividade Proposta No1 Atividade Proposta No2

15 17 17 18 18 18 18 19 19 20 20 27 31 32

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Sumário 5.3 5.3.1 5.3.2 5.4 5.5 5.6 Cap.6 Item 6.1 6.1.1 6.2 6.3 6.4 6.4.1 6.4.2 6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 6.6 6.7 6.8 6.8.1 6.8.2 6.9 6.10 6.11 6.12 Cap. 7 Item 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.5.1 7.5.2 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10

Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas Equação Característica Real de Bombas Centrífugas Perdas Hidráulicas nas Bombas Método para Parametrização das Curvas de Bombas Exemplo do Procedimento Equações Complementares

19 19 20 21 22 27

Sistemas de Bombeamento Conteúdo Equação da Energia: Sistemas de Fluidomecânicos Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos Equacionamento dos Sistemas de Bombeamento Definição de Alturas Estáticas Alturas Totais ou Dinâmicas Altura Total de Aspiração ou Manométrica de Aspiração - Ha Altura Total de Recalque ou Manométrica de Recalque – Hr Altura Manométrica Bomba Acima do Nível do Reservatório de Aspiração Bomba Abaixo do Nível do Reservatório de Aspiração - Afogada Altura Útil de Elevação Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas Principais Elementos de um Sistema de Bombeamento Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento Curva Característica dos Sistemas de Bombeamento Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas Exemplo de Curva Característica de Bomba e Curva Característica do Sistema Exemplos Resolvidos Atividade de Aprendizado Folha Modelo para Dimensionamento de Sistemas de Bombeamento Exemplo de Resultados

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Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento Conteúdo Perda de Pressão no Escoamento em Tubulações Perda de Carga Total Perda de por Tubulações Diagrama de Moody Método para Determinar a Perda de Carga Secundaria Método do comprimento equivalente Método do coeficiente de perda de carga Perda de Carga nos Sistemas de Bombeamento Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento Velocidades Típicas nos Sistemas de Bombeamento Exemplos Resolvidos de Sistemas de Bombeamento. Dimensionamento de Sistema de Bombeamento

pag 3 3 4 5 8 8 9 10 11 12 13 15

Capítulo 8 – Cavitação

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Sumário Cap. 8 Item 8.1 8.1.1 8.1.2 8.2 8.3 8.4 8.4.1 8.4.2 8.5

Conceitos de Cavitação Conteúdo Introdução Determinação do NPSH (Net Positive Suction Head) Disponível Caso Geral de (NPSH) Disponível Casos Específicos de Sistemas para Determinar o NPSH Disponível Altura Positiva Líquida de Sucção (NPSH) Requerida pela Bomba Limite da Altura Estática de Aspiração Determinação do Fator de Cavitação ou Fator de Thoma Velocidade Específica de Aspiração Margem prática de segurança Exemplos de Cavitação

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Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo

Introdução às Máquinas de Fluxo

Jorge A. Villar Alé

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Sistemas Fluidomecânicos

Introdução às Máquinas de Fluxo SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .............................................................................................................................................. 3 1. MÁQUINAS DE FLUXO...................................................................................................................... 4 1.1 MÁQUINAS MOTRIZES ............................................................................................................................ 5 1.2 MÁQUINAS GERATRIZES OU OPERATRIZES ............................................................................................ 5 1.3 VENTILADORES E COMPRESSORES ......................................................................................................... 6 1.4 TURBINAS ............................................................................................................................................. 7 1.4.1 Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) ........................................................... 7 1.4.2 Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) ....................................................................................... 8 1.4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento ............................................................................. 8 1.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás............................................................................................. 9 1.5 BOMBAS HIDRÁULICAS ........................................................................................................................... 9 1.6 BOMBAS VOLUMÉTRICAS ..................................................................................................................... 10 1.6.1 Bombas de Deslocamento Positivo ........................................................................................... 10 1.6.2 Bombas Rotativas ...................................................................................................................... 10 1.7 TURBOBOMBAS.................................................................................................................................... 11 1.7.1 Bombas Centrífugas ................................................................................................................. 12 1.7.2 Bombas Axiais .......................................................................................................................... 13

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PUCRS

Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo

Introdução Na indústria existe uma série de sistemas e equipamentos que utilizam máquinas para movimentação e transporte de fluidos. Todos estes processos estão relacionados com a energia e seus processos de transformação. A energia contida nos fluidos em movimento pode ser utilizada para acionamento de máquinas de fluxo denominadas turbinas. A energia elétrica gerada pelas turbinas pode ser utilizada para acionamento de motores elétricos, os quais podem acionar bombas, ventiladores, compressores para movimentação e transporte de fluidos com diferentes finalidades, segundo o processo industrial em que esteja inserido. As turbinas hidráulicas recebem energia do fluido (água) que transformada em energia mecânica possibilita sua transformação final em energia elétrica. As turbinas eólicas recebem energia dos ventos que pode ser transformada em energia mecânica. As turbinas a vapor são máquinas movimentadas pela elevada energia cinética de vapores em processos de expansão as quais possibilitam o acionamento de geradores elétricos, bombas, compressores, ventiladores. As bombas e ventiladores são máquinas que recebem trabalho mecânico através de motores e possibilitam transportar líquidos (bombas) e gases (ventiladores) vencendo desníveis energéticos. Os compressores são utilizados em processo frigoríficos ou em instalações com gases ou ar comprimido para acionamento de máquinas e ferramentas pneumáticas. Trabalham com gases com pressões superiores às utilizadas em ventiladores, levando em consideração as mudanças significativas da variação da massa específica pelas mudanças de temperatura e pressão. Um curso de sistemas fluidomecânicos possibilita o estudo das equações que governam o movimento das turbomáquinas como turbinas, bombas, ventiladores e compressores. A equação do momento da quantidade de movimento permite determinar a energia obtida ou recebida pelas máquinas; o estudo das leis de semelhança permitem avaliar o funcionamento das turbomáquinas em diferentes condições de operação. O estudo da dissipação de energia no escoamento nas máquinas de fluxo leva o aluno a reconhecer as diferentes perdas hidráulicas, volumétricas, mecânicas que devem ser levadas em conta para se ter uma noção da eficiência de tais máquinas. Com toda esta informação o aluno estará capacitado para selecionar o tipo de máquina mais apropriada em diferentes processos industriais, assim como avaliar a potência requerida de tais máquinas e realizar uma interpretação gráfica das curvas características verificando o ponto de operação entre as máquinas de fluxo e os sistemas onde estão inseridas. O presente capítulo apresenta uma revisão das principais máquinas de fluxo, e pela complexidade do assunto e pela extensão do tema apresenta basicamente uma classificação geral, os princípios de funcionamento e as aplicações deste tipo de máquinas. Para aprofundar o tema específico de alguma família ou tipo de máquina de fluxo o leitor deverá pesquisar a bibliografia consultada ou bibliografia mais especializada.

Jorge A. Villar Alé

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Sistemas Fluidomecânicos

1. Máquinas de Fluxo As máquinas de fluxo são utilizadas para adicionar ou retirar energia de um fluido. Podem ser dinâmicas (turbomáquinas) ou volumétricas. Nas dinâmicas o aumento da pressão do fluido é contínua. Nas volumétricas o aumento da pressão se produz reduzindo o volume do fluido confinado hermeticamente na câmara de compressão. As máquinas volumétricas podem ser alternativas com descarga intermitente do fluido, ou rotativas com descarga continua do fluido. Já as máquinas dinâmicas podem ser classificadas segundo a trajetória percorrida pelo fluido ao passar pelo rotor como radial, axial ou mista. Na Fig.1.1 apresenta-se uma classificação de máquinas de fluxo.

Máquinas de Fluxo Volumétricas

Turbomáquinas

Alternativas

Rotativas

Bombas

Ventiladores

Turbinas

Pistão Diafragma

Parafuso Palhetas Lóbulos Engrenagens

Centrífugas Axiais Mistas

Hidráulicas Vapor Gás Eólicas

Figura 1.1 Esquema dos tipos de máquinas de fluxo As turbomáquinas direcionam o escoamento através de lâminas, aletas ou pás solidárias ao rotor. • Numa turbomáquina o fluido nunca permanece confinado no interior da máquina, esta sempre circulando. • Numa máquina volumétrica o fluido permanece periodicamente confinado no interior da máquina. • Todas as interações de trabalho entre fluido-rotor de uma turbomáquina resultam dos efeitos dinâmicos do rotor sobre a corrente de fluido. • As turbomáquinas podem ser máquinas motrizes (ex: turbinas) ou geratrizes (ex: bombas) As turbomáquinas apresentam os seguintes componentes básicos. • Boca de entrada (Bombas: boca de aspiração ou de sucção) • Rotor Impulso ou Impelidor • Fileira de pás, lâminas, álabes solidárias ao rotor. • Corpo, voluta ou coletor em caracol • Boca de saída (Bombas: boca de recalque ou de descarga) Tabela 1.1 Máquinas de Fluxo Designação Turbina hidráulica e bomba centrífuga Ventilador, turbocompressor Turbina a vapor, turbocompressor frigorífico Turbina a gás, motor de reação

Fluido de trabalho Líquido Gás (neutro) Vapor (água, freon, etc) Gás de combustão

Tabela 1.2. Máquinas de Deslocamento Designação Bombas (alternativa, engrenagens, parafuso) Compressor (alternativo, rotativo) Compressor (alternativo, rotativo) Motor alternativo de pistão

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Fluido de trabalho Líquido Gás (neutro) Vapor (freon, amônia) Gás de combustão

PUCRS

Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo

1.1 Máquinas Motrizes Transformam a energia recebida por um fluido em energia mecânica para um aproveitamento posterior, como por exemplo, na geração de energia elétrica.

Tabela 1.3 Quadro resumo dos tipos de máquinas motrizes Máquinas Motrizes Turbinas hidráulicas

Turbinas a vapor

Turbinas eólicas

Característica • Transformam a energia hidráulica em trabalho mecânico. • A energia potencial se obtém por um desnível natural ou por embalse. • Utilizadas para gerar energia elétrica. • Transformam a energia recebida por um vapor em trabalho mecânico. • Utilizadas para gerar energia elétrica.

Exemplos • Turbinas Francis, Propeller, Kaplan, Dériaz • Rodas hidráulicas ou rodas de água.

•

• • •

•

Transforma a energia cinética dos ventos (eólica) em trabalho mecânico. Utilizadas para gerar energia elétrica.

• • •

Turbinas a vapor. Turbinas a gás. Máquinas a vapor de descolamento positivo. Turbinas eólicas Turbinas Darreius Turbinas Savonius.

1.2 Máquinas Geratrizes ou Operatrizes Recebem trabalho mecânico, fornecido por uma máquina motriz (motor elétrico, diesel) e o transformam em energia de pressão. Tabela 1.4 Quadro resumo dos tipos de máquinas operatrizes Máquinas Operatrizes Bombas Hidráulicas

Ventiladores

Característica • Bombas são máquinas utilizadas para transporte de líquidos vencendo a resistências de tubulações e acessórios.

Classificação Turbobombas • Centrífugas • Helicocentrífugas • Axiais

• • •

Bombas de deslocamento positivo Altas pressões Fluido incompressível com gases a baixas pressões. Geralmente o fluido utilizado é ar. Transportam o gás por tubulações vencendo as resistências de dutos e elementos da instalação. Utilizados em sistemas de exaustão ou em sistemas diluidores. Para compressões superiores a 2,5 atm se utilizam os turbocompressores. Trabalha com gases compressíveis a altas pressões e temperaturas Elevam a pressão de uma gás desde 1,0 atm até milhares de atmosferas.

• Alternativos • Rotativos Turboventiladores

Compressores de deslocamento positivo

• •

• • • • Compressores

• • •

Jorge A. Villar Alé

• • •

Centrífugos Helicocentrífugos Axiais

Turbocompressores • Centrífugos • Helicocentrífugos • Axiais Alternativos Rotativos

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Sistemas Fluidomecânicos

Tabela 1.5 Comparação entre máquinas de Fluxo e de Deslocamento Máquinas de fluxo Máquinas de deslocamento •

Alta rotação

•

Baixas e médias rotações

•

Potência específica elevada (potência/peso)

•

Potência específica média p/ baixa (potência/peso)

•

Não há dispositivos com movimento alternativo

•

Várias têm dispositivos com movimento alternativo

•

Médias e baixas pressões de trabalho

•

Altas e muito altas pressões de trabalho

•

Não operam eficientemente com fluidos de viscosidade elevada

•

Adequadas para operar com fluidos de viscosidade elevada

•

Vazão contínua

•

Na maior parte dos casos vazão intermitente

•

Energia cinética surge no processo de transformação de energia

•

Energia cinética não tem papel significativo no processo de transformação de energia

•

Na maioria dos casos, projeto hidrodinâmico e características construtivas mais complexas que as máquinas de deslocamento.

•

Na maioria dos casos, projeto hidrodinâmico e características construtivas mais simples que as máquinas de fluxo.

1.3 Ventiladores e Compressores Os ventiladores e compressores são máquinas muito semelhantes já que trabalham com gases, contudo, os ventiladores são utilizados para movimentar gases enquanto que os compressores são utilizados para aumentar a pressão dos gases. Os compressores causam uma variação significativa da massa específica do gás. Os ventiladores são utilizados para ventilação residencial e industrial, sistemas de exaustão e insuflamento de ar e sistemas de climatização. Os compressores são utilizados para aplicações de ar comprimido acionando equipamentos a pressão de ar como transporte pneumático, acionadores de êmbolo. Também são utilizados em equipamentos de jato de ar como resfriadores ou aquecedores, jateamento de areia, equipamentos e máquinas de percussão como martelos de ar comprimido, ou também para acionamento de máquinas ferramentas fixas e portáteis como furadeiras, aparafusadeiras. Os compressores e os ventiladores podem ser máquinas dinâmicas ou volumétricas. Entre as máquinas dinâmicas podem ter rotores centrífugos, axiais ou mistos. Os compressores volumétricos podem ser de êmbolo onde o movimento linear do pistão é produzido por um sistema biela-manivela. Também os compressores podem ser rotativos como os de palhetas, lóbulos e de parafuso.

Figura 1.2 Ventiladores (a) centrífugo e (b) axial

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Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo

1.4 Turbinas As turbinas são máquinas que extraem energia de uma corrente de fluido. O conjunto de lâminas integrantes do eixo da turbina é chamado de roda ou rotor. São utilizadas para acionar sistemas mecânicos ou para acionar geradores de energia elétrica. Segundo o fluido de trabalho podem ser turbinas hidráulicas (água), turbinas eólicas (ar) ou turbinas a vapor e a gás. Na Fig. 1.3. mostra-se turbinas eólicas de eixo vertical e de eixo horizontal. O escoamento pode ser compressível como no caso das turbinas a vapor e gás ou incompressível como no caso das turbinas eólicas e turbinas hidráulicas. Podem ter rotores axiais, centrífugos ou helicocentrífugos. .

(a)

(b)

(c)

Figura 1.3 Turbina eólicas de eixo vertical (a) e de eixo horizontal (b). 1.4.1 Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) Transformam toda a energia disponível do escoamento em energia cinética à pressão atmosférica por meio de um bocal. • • • • •

São acionadas por um o mais jatos livres de alta velocidade. A velocidade e a pressão se mantém praticamente constante quando atravessam as pás do rotor. A expansão do fluido de alta para baixa pressão ocorre em bocais externos ao rotor da turbina. O rotor trabalha parcialmente submerso no fluido. As turbinas Pelton (Fig. 1.4) possuem um distribuidor e um receptor. O distribuidor é um bocal que permite guiar o jato de água, proporcionando um jato cilíndrico sobre a pá. O rotor é formado por pás com forma de concha. As turbinas Pelton podem ter um ou vários jatos.

Figura 1.4 Turbina hidráulica Pelton

Jorge A. Villar Alé

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Sistemas Fluidomecânicos

1.4.2 Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) • Nas turbinas de reação parte da expansão do fluido ocorre externamente e parte na superfície das pás. • A aceleração externa é imposta e o fluido é conduzido para o rotor na direção adequada através de um conjunto de pás estacionárias chamadas aletas guias do distribuidor. • A combinação do conjunto de pás fixas do distribuidor e das móveis do rotor é chamado de um estágio da turbina. • Os rotores trabalham totalmente submersos no fluido produzindo maior potência para um dado volume do que as turbinas de impulsão. • As turbinas hidráulicas axiais ou de hélice são apropriadas para baixas quedas (da ordem de 30m) e grandes descargas. O receptor tem forma de hélice de propulsão com pás perfiladas aerodinamicamente. • As turbinas Kaplan (Fig.1.5) são semelhantes às turbinas de hélice que apresentam a possibilidade de variar o passo das pás de acordo com a descarga, permitindo maiores rendimentos.

Figura 1.5 Turbina hidráulica Kaplan • Nas turbinas Francis (Fig. 1.6) o receptor fica internamente ao distribuidor. Seu rotor é tipo radial de

fluxo misto. Possuem um difusor ou tubo de aspiração. As turbinas Francis possuem um distribuidor constituído por um conjunto de pás móveis em volta do receptor, orientadas por sistema de controle permitindo mudar o ângulo para diferentes descargas para minimizar as perdas. Podem trabalhar com alturas de 5m a 500m.

Figura 1.6 Turbina hidráulica Francis

1.4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento As turbinas podem ser também classificadas segundo a direção do escoamento através do rotor: Turbinas radial (Centrífugas) Turbinas axiais (Hélice, Kaplan, Straflo, tubular, bulbo), Turbinas tangenciais (Pelton, Michell, Banki) Turbinas com escoamento misto ou diagonal (Francis, Deriaz). 1-8

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Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo

1.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás As turbinas a vapor aproveitam a energia do vapor saturado ou sobreaquecido a altas pressões. O escoamento é compressível e desta forma a massa especifica do fluido de trabalho varia significativamente. A maioria é do tipo de fluxo axial. São empregadas nas termoeléctricas para acionamento de geradores elétricos. Podem também ser utilizadas para propulsão de barcos ou para movimentar máquinas rotativas, bombas, compressores e ventiladores. Podem ser de impulsão ou de reação. Nas turbinas de impulsão ou de ação o vapor é completamente expandido em um ou vários bocais fixos antes de atingir as pás do rotor. Nas turbinas de reação o vapor também se expande sendo a pressão do vapor na entrada do rotor maior que a pressão na saída. As turbinas a gás são uma tecnologia mais recente das máquinas a vapor. Operam com gases a alta pressão produzidos numa câmara de combustão, a qual por sua vez é alimentada com ar comprimido. São de tamanho reduzido comparado com a potência gerada. Utilizadas na indústria aeronáutica, em motores marinhos e trens de alta velocidade. Apresentam alto torque e são silenciosas.

1.5 Bombas Hidráulicas Bombas são máquinas utilizadas para transporte de líquidos. São máquinas de fluxo semelhantes aos ventiladores. A designação corrente no meio profissional discrimina bombas de ventiladores de acordo com o fluido de trabalho. As bombas promovem o deslocamento de líquidos, os ventiladores propiciam a movimentação de gases, ambos transferindo energia a estes fluidos de trabalho. As turbinas hidráulicas retiram energia do fluido de trabalho. As bombas classificam-se como turbobombas e volumétricas.

Turbobombas

Radiais (centrífugas)

Axias e Mistas

Aspiração simples Aspiração dupla

Rotor aberto fechado

Rotor aberto semi-aberto fechado

Pás fixas variáveis

Bombas Volumétricas

Alternativas

Pistão

Rotativas

Diafragma

Palhetas

Lóbulos

Engrenagem

Parafuso

Figura 1.7 Classificação de bombas hidráulicas

Jorge A. Villar Alé

1-9

Sistemas Fluidomecânicos

1.6 Bombas Volumétricas 1.6.1 Bombas de Deslocamento Positivo Estas bombas são empregadas para trabalhar com altas pressões. A descarga do fluido é pulsante. No seu movimento o êmbolo se afasta do cabeçote provocando a aspiração do fluido através de uma válvula de admissão. Na etapa de retorno o fluido é comprimido obrigando o fluido a sair pela válvula de descarga. Seu funcionamento é pulsante já que o fluido fica confinado no cilindro durante a aspiração. Estas bombas podem ter um ou vários cilindros. A pulsação diminui conforme aumenta o número de cilindros.

1.6.2 Bombas Rotativas Operam pela ação um rotor. Diferentemente apresentam válvulas que permitam controlar o fluido líquidos muito viscosos e com sólidos em suspensão. 3500 mca. Podem transportar fluidos tais como graxas, argamassas e outros.

das bombas de descolamento positivo estas não na aspiração e na descarga. Podem trabalhar com Conseguem atingir pressões muito elevadas até de óleos vegetais e minerais, melaço, tintas e vernizes,

( a ) Bomba de Engrenagem A Fig. 1.8 mostra o funcionamento típico de uma bomba de engrenagem. As rodas dentadas trabalham no interior da carcaça com mínima folga. O fluido confinado é deslocado pelos dentes e forçado a sair pela tubulação de descarga. Para uma determinada rotação a descarga e a pressão são praticamente constantes.

Figura 1.8 Bomba de Engrenagem

( b ) Bombas de Lóbulos As bombas de lóbulos (Fig.1.9) são mais apropriadas para mover e comprimir gases, sendo utilizadas para movimentar líquidos viscosos. Existe um lóbulo motor e outro livre montados ortogonalmente. A bolsa de líquido aprisionada na sução é conduzida até o recalque.

Figura 1.9 Bombas de Lóbulos ( c ) Bombas de Palhetas As bombas de palhetas (Fig.1.10) deslizantes tem palhetas radiais (4 a 8) que pela ação centrífuga deslocamse em direção a carcaça, sobre a qual deslizam. O rotor é montado excentricamente e sua velocidade é limitada a 300 rpm. para mover gases sendo utilizada também para bombeamento de líquidos.

Figura 1.10 Bombas de Palhetas 1-10

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Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo

1.7 Turbobombas Nestas máquinas o fluido é aspirado pela boca de entrada até atingir o rotor denominado impulsor ou impelidor. O rotor conta com uma fileira de pás, lâminas, álabes, sendo envolvido por um corpo denominado voluta ou coletor em caracol. A voluta transforma a energia cinética adquirida pelo fluido ao passar pelo rotor em energia de pressão. O fluido abandona a bomba pela boca de saída denominada boca de recalque ou de descarga. Segundo o tipo de rotor podem ser radiais (bombas centrífugas) axiais (bombas axiais) ou mistas (bombas hélico-centrífugas). O rotor pode ser de simples aspiração ou de aspiração dupla o qual permite aumentar a vazão fornecida. Para aumentar a pressão as turbobombas podem ter vários estágios. Os rotores podem ser fechados, abertos semi-abertos. Podem transportar fluidos limpos ou com partículas em suspensão.

Figura 1.11 Tipos bombas hidráulicas

Figura 1.12 ( a ) Rotor de bomba centrífuga ( b ) Corte de Voluta ( c ) Corte rotor com dupla aspiração

Figura 1.13 ( a ) Bomba centrífuga e ( b ) Bomba axial Jorge A. Villar Alé

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Sistemas Fluidomecânicos

1.7.1 Bombas Centrífugas As bombas centrífugas são amplamente utilizadas na indústria de processos químicos. Apresentam capacidade de 0,5 m3/h até 20.000 m3/h e trabalham com alturas manométricas entre 1,5 a 5000 mca (metros de coluna de água). Caracterizam-se por ausência de pulsação em serviço contínuo. Apresentam um rotor com pás montado em um eixo girando no interior da carcaça. O fluido chega ao centro do rotor através de uma boca de aspiração sendo forçado através de pás do rotor para a periferia onde atinge uma velocidade elevada. Saindo da ponta das pás o líquido passa para a voluta onde ocorre a transformação da energia cinética em energia de pressão.

Figura 1.14 Componentes de bombas centrífugas

Figura 1.15 Detalhe de elementos de uma Bomba Centrífuga As bombas centrífugas podem trabahar com água limpa, água do mar, condensados, óleos com pressões até de 160 mca. e temperatura de até 1400C. Na indústria química e petroquímica podem ser utilizadas para trabalhar com água até 3000C e pressões de até 250 mca. Bombas de processo podem operar com temperaturas de até 4000C e pressões de até 450 mca. O material da carcaça depende do tipo de serviço. Para líquidos com temperatura de até 2500C utiliza-se ferro fundido. Para óleos soluções e produtos químicos com temperaturas de trabalha de até 4500C utiliza-se aço fundido. Para pressões elevadas (acima de 10 MPa) emprega-se aço forjado. Produtos químicos corrosivos requerem emprego de bronze, inox e em casos especiais vidro ou materiais plásticos. O alumínio é utilizado para bombear formol. O eixo da bomba centrífuga é fabricado de aço ou liga de alta resistência mecânica. Utiliza-se aço SAE 1035, SAE 4414, e SAE 2340, e ligas contendo 11 a 13 % de cromo.

1-12

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Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo

Os rotores das bombas centrífugas podem ser fechados ou abertos (Fig.1.16). Os rotores fechados têm paredes laterais minimizando o vazamento entre a aspiração e descarga. São utilizados para bombeamento de líquidos limpos. O rotor semi-aberto é fechado só na parte traseira. Os rotores abertos não apresentam paredes laterais. Ambos são utilizados para bombear líquidos viscosos ou contendo sólidos em suspensão. Os rotores de bombas são fundidos numa única peça, podendo ser de ferro fundido, bronze ou inox. Também são fabricados em material plástico ou borracha.

Figura 1.16 Tipos de rotores de bombas centrífugas

1.7.2 Bombas Axiais Os rotores axiais são utilizados para trabalhar com grandes vazões e pequenas alturas manométricas. Tipicamente 500 m3/h ou mais e alturas manométricas inferiores a 15mca. Operam com velocidade maiores que os radiais. Nos rotores de escoamento misto ou tipo turbina as pás tem curvatura dupla, (forma helicoidal) desta forma o escoamento é parcialmente axial e parcialmente radial. Operam com velocidades menores que os axiais. Trabalham tipicamente com capacidade acima de 20m3/h e altura manométrica até 30 mca.

Figura 1.17 Rotor de bomba axial e detalhe em corte de bomba axial

Jorge A. Villar Alé

1-13

Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

Teoria de Bombas Centrífugas

Jorge A. Villar Alé

2-1

Sistemas Fluidomecânicos

Teoria de Bombas Centrífugas SUMÁRIO

2.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................... 3 2.2 EQUAÇÃO DO MOMENTO DA QUANTIDADE PARA TURBOMÁQUINAS (AXIAL - RADIAL )................................. 4 2.2.1 Simplificações.................................................................................................................................... 4 2.3 POTÊNCIA E ENERGIA ESPECÍFICA ......................................................................................................... 7 2.4 EQUAÇÃO DE EULER .............................................................................................................................. 7 2.5 APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES PARA BOMBAS CENTRÍFUGAS ...................................................................... 8 2.6 POLÍGONO DE VELOCIDADES NUM ROTOR DE BOMBA CENTRÍFUGA ......................................................... 9 3.6.1 Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente...................................................... 12 2.7 PARCELAS DE ENERGIA NA EQUAÇÃO DE EULER PARA TURBOMÁQUINAS ............................................... 13 2.8 RELAÇÃO DA EQUAÇÃO DE EULER E A EQUAÇÃO DE ENERGIA .............................................................. 14 2.9 GRAU DE REAÇÃO ............................................................................................................................... 15 2.10 INFLUÊNCIA DA CURVATURA DAS PÁS ................................................................................................... 16 CASO 1 - PÁS VOLTADAS PARA TRÁS .............................................................................................................. 17 CASO 2 - PÁS RADIAIS NA SAÍDA ..................................................................................................................... 18 CASO 3 - PÁS VOLTADAS PARA FRENTE.......................................................................................................... 18 RESUMO GRÁFICO DOS RESULTADOS. ............................................................................................................ 19 RECOMENDAÇÕES PARA ÂNGULO DAS PÁS ...................................................................................................... 19 2.11 EFEITO DA CURVATURA DAS PÁS NA ALTURA TEÓRICA DE ELEVAÇÃO (HT-Q) ......................................... 20 2.12 EFEITO DA CURVATURA DA PÁS NA CURVA DE POTÊNCIA (P - Q) ........................................................... 22 RESUMO DAS CURVAS H-Q E P-Q ................................................................................................................. 23 2.13 REPRESENTAÇÃO DA CURVA CARASTERÍSTISTICA TEÓRICA................................................................... 24 2.14 IMPORTÂNCIA DO NÚMERO FINITO DE PÁS ............................................................................................ 25 Escoamento com Número Finito de Pás.................................................................................................. 25 Desvio da Velocidade Relativa................................................................................................................. 26 Dependência do Número de Pás ............................................................................................................. 26 2.15 ALTURA TEÓRICA PARA NÚMERO FINITO DE PÁS ................................................................................... 27 Fator de Correção do número finito de pás ............................................................................................. 27 2.16 INFLUENCIA DA ESPESSURA DAS PÁS NO POLÍGONO DE VELOCIDADES ................................................... 28 Análise na entrada do canal das pás ....................................................................................................... 28 Análise na saída do canal das pás:.......................................................................................................... 29 2.17 POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO ......................................................... 31 2.18 EXEMPLOS RESOLVIDOS ...................................................................................................................... 33

2-2

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

2.1 Introdução As turbomáquinas são máquinas cuja principal finalidade é transferir energia. Bombas, ventiladores e compressores atuam transferindo energia do rotor para o fluido. No caso de turbinas hidráulicas, turbinas a gás e turbinas eólicas trabalham recebendo energia dos fluidos. A equação teórica fundamental que representa esta transferência desta energia é denominada Equação de Euler. Tal equação na verdade é um caso específico da equação do momento da quantidade do movimento. A dedução da mesma é realizada com simplificações não levando em consideração efeitos de dissipação de energia. A Eq. de Euler nos mostra que tal transferência de energia depende da velocidade do rotor e do fluido que escoa pelo rotor. Rotores axiais, semi-axiais e rotores centrífugos podem ser avaliados com tal equação. A dissipação de energia no rotor, é originada por efeitos de atrito rotor-fluido e por efeitos de recirculação do fluido no interior do rotor. Tais efeitos modificam os denominados polígonos de velocidades e desta forma a energia transferida. No presente capítulo são abordados estes tópicos permitindo avaliar a energia transferida no caso específico de bombas centrífugas. Mostra-se qual o efeito do número de pás e da curvatura das mesmas na energia transferida do rotor ao fluido.

Rotor helico centrífugo

Rotor axial

Rotor centrífugo

(a) Tipos de rotores de turbomáquinas

(b) Bomba centrífuga

( c ) Rotor de bomba centrífuga

Figura 2.1. Rotores de máquinas de fluxo.

Jorge A. Villar Alé

2-3

Sistemas Fluidomecânicos

2.2 Equação do Momento da Quantidade para Turbomáquinas (Axial - Radial ) A equação vetorial para o momento da quantidade de movimento para um volume de controle inercial é dada por:

r r r r r r r r r r r r × Fs + ∫ r × Bd∀ + Teixo = ∂ ∫vc r ×Vρd∀ + ∫sc r ×VρVdA ∂t vc

Para analisar as reações de torque se escolhe um volume de controle fixo (Fig.2.2) envolvendo o elemento de fluido em rotação, junto com o rotor ou hélice. O rotor esta girando com uma velocidade angular constante (ω).

2.2.1 Simplificações (1) Torques devido a forças de superfície são considerados desprezíveis. rxFs=0 (2) Torques devido a forças de campo consideram-se desprezíveis. rxB=0 (por simetria) (3) Escoamento em regime permanente, V=V(x,y,z) (4) Eixo z alinhado com o eixo de rotação da máquina. (5) Fluido atravessa as fronteiras do v.c. em duas seções, na entrada (subíndice 1) e a saída ( subíndice 2).

(6) Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída do fluido. Não existe restrição quanto à geometria já que o fluido pode entrar e sair em diferentes raios

Figura 2.2. Representação de um rotor de turbomáquina e seu volume de controle. 2-4

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

Com as simplificações: 0 (2)

0 (1)

0 (3)

r r r r r r r r r r r r × Fs + ∫ r × Bd∀ + Teixo = ∂ ∫vc r ×Vρd∀ + ∫sc r ×VρVdA ∂t vc

r r r r r Teixo = ∫sc r ×VρVdA

No sistemas de coordenadas fixas, o eixo da máquina encontra-se alinhado com o eixo-z. O torque será

r Teixo = Tz o qual denominamos Teixo (escalar). Desta forma:

r r r r Teixo = ∫sc (r ×V ) z ρ (VdA) r O fluido entra no rotor (Fig 2.3) na posição radial r1 com velocidade absoluta uniforme V1 e sai na posição r radial r2 com velocidade absoluta V 2 . O vetor da velocidade absoluta pode ser representado no plano x-y r como V = uiˆ + vˆj , onde u é a componente em x da velocidade e v a componente em y. Também pode ser r dado como V = Vt tˆ + Vn nˆ onde Vt é a componente na direção tangencial ao raio e Vn a componente na direção normal ao raio.

Figura 2.3. Componente da velocidade absoluta no volume de controle Aplicamos a equação considerando as regiões de entrada (1) e saída do fluido (2):

r r r r r r r r r ( ) ( ) ( ) r x V ρ V d A = r x V ρ V d A + r x V ρ V dA ∫ ∫ ∫ r

Jorge A. Villar Alé

1 z

1 1

2 z

2-5

Sistemas Fluidomecânicos

As integrais de área das seções de (1) e (2) podem ser resolvidas de maneira simplificada com as seguintes considerações:

(r )

•

O produto vetorial r xV z é um vetor que pode ser representado na forma escalar e independente da integral de área, já que estamos considerando velocidades uniformes na entrada e saída do rotor.

(rr × Vr ) = (r v − r u )kˆ = rV z

•

Da equação da conservação da massa sabemos que:

∫ ρ VdA = ± m& r r

& ) é positivo (+) se o fluido está saindo do volume de controle e negativo (-) se o onde fluxo de massa ( m fluido esta entrando v.c. Desta forma.

r ∫ (r xV ) ρ V dA 1 z

r ∫ (r xV ) ρ V dA

r r

2 1

r r

= − r1Vt1 m&

2 z

= + r2Vt 2 m&

Com as considerações acima obtemos:

r r ∫ (r xV ) ρ V dA + ∫ (r xV ) r

1 z

r r

1 1

2 z

r r ρ 2V2 dA2 = −r1Vt1 m& + r2Vt 2 m&

Introduzindo tal expressão na Eq. da quantidade de movimento obtemos finalmente:

Teixo = (r2Vt 2 − r1Vt1 )m&

& = ρQ , onde ρ é a massa específica do fluido e Q a Também sabemos que o fluxo de massa é dada por m vazão. Desta forma a representação escalar do momento em torno do eixo-z é dado como: Teixo = (r2Vt 2 − r1Vt1 )m& = (r2Vt 2 − r1Vt1 )ρQ

Unidades (torque):

2-6

 kg   m   kgm    ( m)  =  2  ( m) = N . m = Joule  s   s  s 

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

2.3 Potência e Energia Específica W& = ω Teixo = ω (r2Vt 2 − r1Vt1 )m& Considerando as velocidades tangenciais atuando no rotor: U = ωr ou também U = U ω D, R n

πDn 60

Velocidade periférica ou tangencial do rotor. (m/s) Velocidade angular do rotor (rad/s) Diâmetro e raio do impelidor respectivamente (m). Rotação do rotor (rpm)

mantendo os índices “1” para a entrada e “2” para a saída temos que:

W& = (U 2Vt 2 − U 1Vt1 )m&

Unidades (potência):

 kg   m   m   kgm   m   m J       =  2    = ( N )  = = Watts  s  s  s   s  s   s s

2.4 Equação de Euler Para turbomáquinas existe também outra expressão para a potência definida como:

Wt∞ = ρgQH t∞

Htoo é a altura teórica de elevação ou altura de carga teórica para número infinito de pás dada em metros de coluna de fluido.

Unidades (potência):

3  kg   m   m   kgm   m   m J  3   2    ( m) =  2    = ( N )  = = Watts  m  s  s   s  s   s s

Desta forma, a transferência de energia por unidade de massa se pode obter para uma turbomáquina conhecida como altura de carga teórica:

H t∞ =

W& t∞ 1 = (U 2Vt 2 − U 1Vt1 ) m& g g

Tal equação é conhecida como Equação de Euler (deduzida em 1754) para turbomáquinas. A equação é dada em metros de coluna de fluido e se conhece também como energia específica. Tal equação é válida para o caso de rotores radiais (centrífugos) axiais e semi-axiais. Independe também das características do tipo de fluido (líquido ou gás), do seu peso específico e não é afetada por efeitos de viscosidade do fluido.

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Sistemas Fluidomecânicos

2.5 Aplicação das Equações para Bombas Centrífugas Na nomenclatura especializada em turbomáquinas a velocidade absoluta é denominada pela letra C.

Desta forma o vetor da velocidade absoluta V1 é dada como C , a componente tangencial da velocidade absoluta ( Vt ) é dada por Cu e a componente normal (Vn) é dada por Cm. Na forma vetorial C = C u tˆ + C m nˆ . Utilizando tal nomenclatura a Eq. de Euler á dada por:

H t∞ =

1 (U 2 Cu 2 − U 1Cu1 ) g

A Equação de Euler representa as condições ideais do desempenho de uma turbomáquina no ponto operacional para a qual foi projetada. Aproximações feitas para obter a Eq. de Euler: • • • • • • •

Número Infinito de álabes (pás, palhetas). Espessura das pás desprezível. Simetria central do escoamento. Velocidade relativa do fluido (W) é sempre tangencial às pás. Escoamento em regime permanente. Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída do fluido. Efeitos de atrito desprezíveis.

Da mesma forma o Torque no eixo é dado por:

Teixo = (r2 C u 2 − r1C u1 )m& e a Potência Teórica como:

W& t∞ = ω Teixo = m& (U 2 C u 2 − U 1C u1 ) Para Bombas/Ventiladores/Compressores: Representa a energia adicionada ao fluido.

H t∞ =

1 (U 2 Cu 2 − U 1Cu1 ) g

Para Turbinas: Representa a energia fornecida pelo fluido ao eixo do rotor. Neste caso U1Vt1 > U2Vt2 desta forma é dada como

H t∞ =

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1 (U 1Cu1 − U 2 Cu 2 ) g

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

2.6 Polígono de Velocidades num Rotor de Bomba Centrífuga A determinação do polígono ou triângulo de velocidades permite obter a informação necessária para o cálculo da potência absorvida ou liberada pela turbomáquina. O polígono pode ser aplicado para máquinas radiais, axiais ou mistas. Devemos lembrar que a velocidade num duto estacionário tal como a entrada e saída do fluido numa tubulação, em pás guias ou diretrizes, em difusores, em bocais convergentes e divergentes é medida num sistema fixo na terra. Estas são denominadas velocidades absolutas que têm como nomenclatura a letra, C para uma velocidade ideal e C’ para uma velocidade real.

Corpo

Pás

Pás guias

Figura 2.4 Desenho esquemático de bomba centrífuga com pás guias e detalhe de rotor No impelidor ou rotor (Fig.2.4) o movimento do fluido pode ser considerado pela sua velocidade absoluta,C, ou por sua velocidade relativa, W. O sistema de coordenadas da velocidade relativa gira com o impelidor com uma velocidade angular ω=U/r, onde U é a velocidade periférica do rotor. A velocidade absoluta pode ser considerada como a resultante da velocidade relativa e da velocidade periférica local.

r r r C = W +U Para determinar as componentes da velocidade na entrada e saída do rotor analisamos seus polígonos de velocidade (Fig. 3.5). O subíndice “1” representa as variáveis envolvidas na entrada do rotor. O subíndice “2” representa as variáveis envolvidas na saída do rotor. As componentes normais da velocidade absoluta (C ) e da velocidade relativa ( W ) são denominada componente meridianas (Cm, Wm). As componente tangenciais da velocidade absoluta e da velocidade relativa são denominadas velocidades periféricas (Cu, Wu). O ângulo α, representa o ângulo formado entre a velocidade absoluta C, e a velocidade periférica U rotor. O ângulo β é ângulo formado entre a velocidade relativa (W) e o sentido contrário da velocidade periférica do rotor (-U). É denominado ângulo da pá.

Jorge A. Villar Alé

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Sistemas Fluidomecânicos

Figura 2. 5 Detalhe dos polígonos de velocidades num rotor de bomba centrífuga Na Fig. 2.6 se observa que a componente meridiana da velocidade absoluta é igual à componente meridiana da velocidade relativa (Cm=Wm). Ambas apontam radialmente em relação ao rotor e são perpendiculares à velocidade periférica (U).

Figura 2.6. Representação dos polígonos de velocidade na entrada e saída do rotor.

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

A componente periférica da velocidade absoluta ( Cu ) e a componente periférica da velocidade relativa ( Wu ) são respectivamente projeções tangenciais da velocidade absoluta e da velocidade relativa. Isto significa que são velocidades paralelas à direção da velocidade periférica do rotor (U). Variáveis Envolvidas nos Polígonos de Velocidades D b C Cu Cm W Wu U α β

Diâmetro do rotor Largura do canal Velocidade absoluta do fluido Componente de C na direção da velocidade tangencial U Componente meridional de C (na direção radial) Velocidade relativa do fluido em relação ao rotor Componente de W na direção da velocidade tangencial U. Velocidade tangencial do rotor no ponto de análise do álabe ângulo entre (C,U) ângulo entre (W, -U) conhecido como ângulo de inclinação da pá

A área da superfície cilíndrica na entrada e na saída é dada por:

A1 = πD1b1

A2 = πD2 b2

Pela equação da conservação da massa temos que:

& = ρ 1πD1b1Cm1 = ρ 2πD2 b2 Cm 2 m Para fluido incompressível a vazão na entrada e na saída do impelidor é dada por:

Q = πD1b1Cm1 = πD2 b2 Cm2 Da mesma forma pode-se definir a velocidade periférica em função da velocidade angular do rotor.

U1 =

πD1n 60

U2 =

πD2 n 60

Onde n é a rotação do impelidor (rotor) em rpm. Observa-se que com o polígono de velocidades e as relações complementares podemos determinar a energia transferida pelo rotor ao fluido considerando número infinito de pás. Tabela 2.1 Resumo de Equações Básicas Termo Altura teórica

Equação

Unidades

H t∞

1 = (U 2 C u 2 − U 1C u1 ) g = (r2 C u 2 − r1C u1 )m&

Torque teórico

Teixo

Potência teórica

W& t∞ = ωTeixo = m& (U 2 C u 2 − U 1C u1 )

Jorge A. Villar Alé

Joule Watt

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3.6.1 Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente Os filetes de fluido que deveriam entrar tangenciais às pás sofrem um desvio devido a que as pás se estendem até uma certa distância na boca da bomba em direção ao tubo de aspiração. Para reduzir o efeito de pré-rotação se utiliza, por exemplo, um indutor, que é uma peça helicoidal colocada antes do rotor, tal como mostra a Fig. 2.7 (b) Como mostra a Fig.3.7 (a), na condição do fluido com entrada ideal, (sem pré-rotação) C1=Cm1 e ângulo formado entre (C1,U1) será α1=900 . Em tal condição Cu1=0. Os rotores com escoamento ideal (sem pré-rotação) são conhecidos também como rotores com entrada radial. Nestas condições ideais (α1=900) a resistência ao escoamento será mínima, já que não existe momento angular na entrada porque Cm1=C1 e Cu1=0 e, portanto r x Cu1 =0 desta forma a Equação de Euler fica simplificada dependendo das condições de saída do rotor.

Equação de Euler para entrada ideal (entrada radial ou sem pré-rotação)

(a ) Polígono com entrada radial.

H t∞ =

1 U 2 Cu 2 g

(b) Bomba com indutor

Figura 2.7 Polígono de velocidades e detalhe de indutor em bomba centrífuga

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

2.7 Parcelas de Energia na Equação de Euler para Turbomáquinas Podem-se estudar as parcelas de energia na forma de energia de pressão (potencial) e na forma de energia cinética que se manifestam nas turbomáquinas, a partir da Eq. de Euler que representa a energia total ou altura de carga teórica:

H t∞ =

1 (U 2 Cu 2 − U 1Cu1 ) g

Do polígono de velocidades, a componente Cm da velocidade absoluta pode ser determinada como:

C m2 = C 2 − Cu2 ou também como:

C m2 = W 2 − Wu2

= W 2 − (U − C u )

= W 2 − U 2 + 2UC u − C u2 Igualando os termos:

Figura 2.8 Polígono e velocidades na entrada

W 2 − U 2 + 2UCu − Cu2 = C 2 − Cu2 UCu =

1 2 (C + U 2 − W 2 ) 2

Substituindo estes termos na Eq. de Euler se obtém:

1 (U 2 Cu 2 − U 1Cu1 ) g 1 1 H t oo = (C 22 + U 22 − W22 ) − (C12 + U 12 − W12 ) 2 2 2 2 2  C − C1  U 2 − U12  W12 − W22  H t∞ =  2 + +   2g   2g   2g  H t∞ =

{1}

{2}

{3}

(1): Variação da energia cinética do fluido ao escoar no interior da turbomáquina pela variação da velocidade absoluta. (2): Variação da energia de pressão devido à força centrífuga dando às partículas do fluido um movimento circular em torno do eixo. (3): Variação da energia de pressão provocada pela redução da velocidade relativa ao passar pelo canal divergente (difusor)do rotor. Representa a variação de pressão estática dentro do rotor. Jorge A. Villar Alé

2-13

Sistemas Fluidomecânicos

2.8 Relação da Equação de Euler e a Equação de Energia Aplicando a forma geral da Eq. da Energia na entrada e saída do rotor:

p1 u12 p u2 + + z1 + H A − h L = 2 + 2 + z 2 ρg 2 g ρg 2 g HA

Energia adicionada ao fluido pela bomba.

Energia dissipada pelo sistema devido ao atrito no interior da turbomáquina.

Considerando a energia teórica adicionada pela bomba (HA=Ht00), as velocidades absolutas na entrada e saída do rotor ( C ) e fazendo desprezível o atrito no interior da turbomáquina (hL=0):

p1 C12 p 2 C 22 + + z1 + H t∞ = + + z2 ρg 2 g ρg 2 g explicitando desta Eq. a energia teórica adicionada pela bomba:

 p − p1   C 2 − C12  H t∞ =  2 +(z 2 − z1 ) +  2   ρg   2g  Observamos que a altura teórica pode ser representada por uma parcela de energia de pressão e outra de energia cinética:

H t∞ = H p + H c

Onde Hp é a altura representativa da energia de pressão e Hc a altura representativa da energia cinética. Por comparação da Eq. de Euler

H t∞

 C 22 − C12  U 22 − U 12 W12 − W22  = + +  2g   2g   2g

 C 2 − C12  Hc =  2   2g  U 2 − U12 W12 − W22  p2 − p1 Hp =  2 + + ( z 2 − z1 ) = 2g  g  2g

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

2.9 Grau de Reação A relação entre a energia de pressão e a pressão total é denominada grau de reação.

Hp H t∞

G é maior quanto maior for a parcela de energia de pressão (Hp) fornecida pelo rotor ao fluido. O grau de reação de uma turbomáquina está relacionado com a forma do rotor, e com a eficiência no processo de transferência de energia:

Ângulo da pá na saída β2 < 90º β2 = 90º β2 > 90º

Grau de reação

G>½ G=½ G<½

O conceito do grau de reação é utilizado, inclusive, para classificar máquinas de fluxo. Turbomáquinas de Reação: Uma bomba, ou máquina de fluxo em geral, é denominada "de reação" se o seu grau de reação é maior que zero (G > 0), isto é, se a pressão de saída do escoamento é maior que a pressão de entrada. Representa o caso geral das bombas. Turbomáquinas de Ação: Quando o processo de transferência de energia ocorre a pressão constante, (G=0 ), a máquina de fluxo é denominada "de ação" como o caso das turbinas Pelton.

Jorge A. Villar Alé

2-15

Sistemas Fluidomecânicos

2.10

Influência da Curvatura das Pás

A energia teórica cedida pelo rotor ao fluido, em bombas centrífugas, pode ser analisada em função do ângulo das pás na saída (β2) com as seguintes relações e simplificações: • Escoamento com entrada radial: α1=900 • Seções iguais na entrada e saída com o qual Cm1=Cm2 e também Cu1=0, como é mostrado na Fig.2.9. As relações obtidas com tais simplificações são:

H t∞ = H P + H c H t∞ =

1 U 2 Cu 2 g

C u22 2g H p = H t∞ − H c

Hc =

Obs: Em anexo encontra-se a dedução de Hc . Htoo:

Altura teórica de elevação para número infinito de pás. Representa a energia cedida ao fluido que atravessa uma bomba ideal.

Hp:

Altura de pressão que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido em forma de pressão.

Hc:

Altura que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido em forma de energia cinética.

Figura 2.9 Polígono de velocidades num rotor de bomba centrífuga - caso específico. No procedimento serão analisados três casos de curvatura da pá (Fig. 2.10) designados em relação ao sentido de rotação do rotor.

2-16

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

Figura 2.10 Tipo de pás num rotor de bomba centrífuga. (1) Pás voltadas para trás: Caso em que β2 < 900 Situação limite Cu2=0.

(2) Pás radiais na saída: Caso em que β2=900 Desta forma: Cu2=U2.

(3) Pás voltadas para frente: Caso em que β2 > 900 Situação limite: Cu2=2U2

Caso 1 - Pás Voltadas para Trás Considerando que β2 é menor que 900 e na situação limite em a componente periférica da velocidade absoluta seja nula (Cu2=0). Para satisfazer esta condição α2=900.

H t∞ = H P + H c H t∞ =

1 U 2Cu 2 = 0 g

C u22 Hc = =0 2g H p = H t∞ − H c = 0

Figura 2.11 Polígono de velocidade na saída do rotor (α2=900) Conclusão: Quando, β2 < 900 tal que α2=900, e observa que as parcelas de energia na forma de pressão e de energia cinética são ambas nulas. Portanto a energia cedida pela bomba ao fluido é nula. • Em tal situação β2 se conhece como ângulo critico inferior. Do livro de Macintyre: “Não é prático e não se devem projetar pás com β2 < 900 para as quais α2=900 já que o líquido, ao deixar o rotor não possui energia para o desejado escoamento”.

Jorge A. Villar Alé

2-17

Sistemas Fluidomecânicos

Caso 2 - Pás Radiais na Saída Quando β2 = 900 se obtém um polígono de velocidades em que Cu2=U2. Neste caso:

H t∞ = H P + H c H t∞ = Hc =

U2 1 U 2 Cu 2 = 2 g g C u22 U 22 = 2g 2g

H p = H t∞

U 22 − Hc = 2g Figura 2.12 Polígono de velocidade pás radiais na saída (β2=900)

Conclusão: Na situação em que β2 = 900 a componente periférica da velocidade absoluta na saída Cu2 tornase a velocidade tangencial do rotor (Cu2=U2). • Isto faz com que a energia cedida pela bomba ao fluido seja da 50% na forma de energia de pressão e 50% na forma de energia cinética. Caso 3 - Pás Voltadas para Frente Escolhemos na análise um valor de β2 > 900 na condição limite em que torne CU2=2U2.

H t∞ = H P + H c H t∞ =

U2 1 U 2 Cu 2 = 2 2 g g

C u22 U2 =2 2 2g g H p = H t∞ − H c = 0 Hc =

Figura 2.13 Polígono de velocidades- pás voltadas para frente (β2 > 900) Conclusão: Na situação em que β2 >900 de tal forma que torne Cu2=2U2 a energia de pressão é nula, e a energia total é igual a energia cinética. Em tal situação β2 : ângulo crítico superior

2-18

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

Resumo Gráfico dos Resultados. Com auxílio da Fig.2.14 podemos observar resumo dos resultados obtidos: (1) Pás voltadas para Trás: β2 < 900 [Hp > Hc] a energia cedida pela bomba ao fluido predomina na forma de energia de pressão. (2) Pás Radiais na Saída: β2= 900 [Hp= Hc]: A energia cedida pela bomba ao fluido se faz igualmente na forma de energia de pressão e energia cinética. (3) Pás voltadas para Frente. β2 > 900 [Hc > HP]: A energia cedida pela bomba ao fluido predomina na forma de energia cinética.

Figura 2.14 Energia teórica cedida por um rotor com diferentes tipos de pás. Recomendações para Ângulo das Pás • As bombas são empregadas para vencer desníveis energéticos. Isto deve ser obtido às expensas da energia de pressão e não da energia cinética. • Pás com β2 > 900 (curvadas para frente) fazem com que a energia predominante seja do tipo cinética, o que envolve altas velocidades e portanto maiores perdas de carga. • Recomenda-se sempre pás inclinadas para trás (β2 < 900) encontradas nas seguintes faixas: Bombas Centrífugas Ventiladores 0 0 Faixa de Operação: 15 ≤ β 2 ≤ 40 Normalmente: 40 0 ≤ β 2 ≤ 450 Normalmente:

20 0 ≤ β 2 ≤ 250

Para bombas o ângulo da pá na entrada β1 pode ter a seguinte faixa: 150 ≤ β 1 ≤ 50 0 Macintyre: “Esses motivos levaram a fabricantes a adotar pás para trás na quase totalidade das bombas centrífugas, estando β2 compreendido entre 170 e 300, sendo aconselhado como regra o valor de 22,30” Jorge A. Villar Alé

2-19

Sistemas Fluidomecânicos

2.11 Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação (Ht-Q) Considerando um rotor com velocidade angular constante (ω=cte) e com entrada radial (α1=900) a equação de Euler é dada de maneira simplificada:

Ht ∞ =

1 U 2 Cu 2 g

do polígono de velocidades:

Cu 2 = U 2 − Wu 2

Wu2 =

Cm 2 tan β 2

Substituindo Wu2 em Cu2:

Cu 2 = U 2 −

Figura 2.15 Polígono de velocidade na saída do rotor

Cm2 tan β 2

Onde:

Cm2 =

Q πD2 b2

Substituindo Cu2 e U2 em Htoo

H t∞ =

 1 Q U 2 − U 2 g gπD2 b2 tan β 2 

H t∞ =

U 22 U2 − Q g gπD2 b2 tan β 2

A expressão pode ser simplificada considerando U2 proporcional à rotação, n, que é constante. D2 e b2 também são valores constantes, podendo a expressão depender somente da vazão (Q) e do ângulo da pá β2.

H t∞ = k1 − k 2 Q Onde:

k1 =

U 22 g

k1 =

U2 gπD2 b2 tan β 2

Com auxilio de esta última expressão da altura teórica é possível realizar um estudo da influencia das pás quando são estas radiais, inclinadas para trás e inclinadas para frente. 2-20

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

Rotor com pás radiais na saída β2=900 o termo 1/tanβ2 tende a zero sendo assim k2=0. Desta forma: H t∞ = k1 Htoo torna-se independente da vazão, sendo representado graficamente por uma reta que corta o eixo de H no ponto U 22 / g . Rotor com pás inclinadas para trás β2 <900 o termo 1/tanβ2 dá um valor positivo (+). Desta forma: H t∞ = k1 − k 2 Q Htoo diminuirá com o aumento da vazão, sendo representada como uma reta inclinada para baixo, cruzando pela ordenada no ponto U 22 / g . Rotor com pás inclinadas para frente β2 >900 o termo 1/tanβ2 dá um valor negativo (-). Desta forma: H t∞ = k1 + k 2 Q Htoo aumenta com o aumento da vazão, sendo representada como uma reta ascendente (Fig.2.16) que cruza na origem o ponto U 22 / g .

Figura 2.16 Efeito do tipo de pá na altura teórica de elevação. • • • •

Observamos que as pás inclinadas para frente (β2 >900) cedem mais energia cinética que energia de pressão. Da curva Htoo - Q mostra-se outra inconveniência deste tipo de curvatura das pás. O aumento de Htoo apresenta o fenômeno de instabilidade de funcionamento quando realizados ensaios em bancadas de laboratório. A instabilidade do funcionamento para pás com β2>900 é outro motivo para evitar trabalhar com bombas centrífugas com pás voltadas para frente.

Jorge A. Villar Alé

2-21

Sistemas Fluidomecânicos

2.12

Efeito da Curvatura das Pás na Curva de Potência (P - Q)

Considerando a potência teórica:

W& t = ρgQH t∞ onde a altura teórica é dada por:

H t∞

U 22 U2 = − Q g gπD2 b2 tan β 2

A qual como foi visto pode ser simplificada

H t∞ = k1 − k 2 Q Introduzida esta última expressão da altura na equação de potência se tem:

Figura 2.17 Curva teórica da potência

W& t = ρgk1Q − ρgk 2 Q 2 desta forma considerando novas constantes:

W& t = k1*Q − k 2*Q 2 Considerando Pás com Saída Radial • Pás com saída radial implica que β2= 900 desta forma tan(900)=∞ • Desta forma K2=0 e a potência neste caso fica dada por:

W& t = k1*Q − k 2*Q 2 = k1*Q Isto significa que a potência varia linearmente com a vazão (Fig.2.16). Considerando Pás Voltadas para Trás • Neste caso β2 < 900 e Tan β2 toma valores (+). Por tanto k2 toma um valor positivo (+)

W& t = k1*Q − k 2*Q 2 Aumentando a vazão (com n=cte) a potência descreve uma parábola tangente à reta anterior na origem e sempre com valor menor a esta quando Q aumenta (Fig. 2.17). Considerando Pás Voltadas para Frente • Com β2 > 900 e portanto Tan β2 toma valores negativos (-). Portanto k2 toma um valor (-)

W& t = k1*Q − k 2*Q 2

2-22

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

Graficamente é representada por uma parábola que passa pela origem quando Q=0, e é tangente à reta na origem, aumentando o valor em função do aumento da vazão (Fig. 2.17). Observa-se que tanto as pás voltadas para frente como as pás radiais na saída apresentam maiores requerimentos de potência para a mesma vazão de trabalho. Também se observa neste tipo de rotores que a medida que aumenta a vazão a potência requerida aumenta. No caso dos rotores com pás voltadas para trás a potência requerida aumenta até um certo ponto e posteriormente decresce. Geralmente neste tipo de bombas o rendimento máximo ocorre quando a potência de acionamento atinge o máximo. Desta forma a bomba poderia trabalhar com vazões maiores que a vazão de projeto sem prejudicar o funcionamento do motor elétrico que aciona a bomba. Resumo das curvas H-Q e P-Q

Figura 2.18. Resumo de altura teórica e potência teórica para diferentes tipos de pás Tabela 2.2 Resumo das expressões de altura teórica e potência. Tipo de pás Altura teórica Pás com saída radial (β2= 900) H t∞ = k1

Potência teórica

W& t = k1*Q

Pás voltadas para trás (β2 < 900)

H t∞ = k1 − k 2 Q

W& t = k1*Q − k 2*Q 2

Pás voltadas para frente (β2 > 900)

H t∞ = k1 + k 2 Q

W& t = k1*Q + k 2*Q 2

A energia total num rotor aumenta com o aumento do ângulo de ataque. Poderíamos supor então que rotores de pás voltadas para frente podem transferir maior energia ao fluido. Contudo a experiência mostra que nos rotores com pás voltadas para frente ocorre um menor rendimento devido a grande dissipação de energia (perdas por atrito) entre o rotor e o fluido. Desta forma a energia útil transferida ao fluido é maior em rotores com pás voltadas para trás.

Jorge A. Villar Alé

2-23

Sistemas Fluidomecânicos

2.13

Representação da Curva Característica Teórica

Podemos obter uma expressão para a curva característica da altura teórica a partir da expressão da Eq. de Euler:

H t∞ =

1 (U 2 Cu 2 − U 1Cu1 ) g

Tal equação pode ser expressa em função da vazão obtendo-se a expressão:

H t∞

U 22  U 12  U2 U1 = − Q −  − Q gπD2 b2 tan( β 2 )   g gπD1b1 tan( β1 )   g

Definimos a partir da expressão anterior as constantes da equação:

H t∞ = {k1 − k 2 Q} − {k 3 − k 4 Q} Agrupando os termos:

H t∞ = {k1 − k 3 } − {k 2 − k 4 }Q De modo compacto.

H t∞ = k A − k B Q A Eq. mostra que a curva característica pode ser representada pela Eq. de uma reta que na origem, isto e para vazão nula atinge uma altura teórica igual a kA.

U 22 − U 12 kA = g O termos da constante kB = (k2 – k4) são determinados pela relações.

k2 =

U2 gπD2 b2 tan( β 2 )

K4 =

U1 gπD1b1 tan( β1 )

Considerando numero finito de pás a Eq. que representa a curva e dada por:

H t≠ =

H t∞ K pfl

H t≠ =

k A − k BQ K pfl

No caso de entrada radial, Cu1=0 se obtém a expressão já conhecida:

H t∞ = k1 − k 2 Q 2-24

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

2.14

Importância do Número Finito de Pás

Na teoria utilizada (Eq. de Euler) a consideração de número infinito de pás permite supor que não existe variação da velocidade e pressão das partículas de fluido que escoam na fase frontal e dorsal das pás. Desta forma o fluido sempre escoa tangencialmente acompanhando a curvatura da superfície das pás como mostrado na Fig.2.19.

Figura 2.19 Escoamento num rotor Escoamento com Número Finito de Pás • Numa turbomáquina real não acontece efetivamente tal comportamento. • O número de pás afeta a natureza das velocidades e da pressão no rotor, modificam-se os polígonos de velocidades e desta forma a energia cedida pelo rotor ao fluido (no caso de bombas e ventiladores) ou a energia cedida pelo fluido a rotor (no caso de turbinas). Num rotor de bomba centrífuga podemos supor que a corrente de fluido é composta por: • Uma corrente de fluido seguindo as pás. O fluido entra e tende a sair do canal formado pelas pás (Fig.2.20a). • Uma corrente de circulação. Originada pela diferença de velocidades e pressão ao girar o rotor (Fig.2.20b). Se considerarmos o espaço entre pás como um canal fechado o fluido tenderia a girar entre as pás quando o rotor começa a girar.

a)escoamento sem rotação

b) Escoamento com rotação

c) resultado dos escoamentos

Figura 2.20 Escoamento num rotor real. • A composição das correntes especificadas acima gera um escoamento com a distribuição de velocidades mostrada na Fig.2.20c.

Utilizando o teorema de Bernoulli, verifica-se que a distribuição de pressão será maior onde a distribuição de velocidades é menor e vice-versa. Desta forma se obtém uma distribuição de pressão tal como mostrado na Fig.2.21.

Figura 2.21 Distribuição de pressões no rotor. Jorge A. Villar Alé

2-25

Sistemas Fluidomecânicos

Desvio da Velocidade Relativa O número finito de pás provoca um aumento da velocidade relativa (W’2 ) reduzindo o ângulo de saída da pá (β‘2) tal como observado na Fig. 2.22.

Figura 2.22 Desvio da velocidade relativa e do ângulo da pá pelo número finito de pás Um exemplo do polígono de velocidades para número infinito e finito de pás é representado na Fig.2.23.

Figura 2.23 Polígono de velocidades para número finito e infinito de pás Dependência do Número de Pás Em geral o número de pás depende de: Velocidade de rotação, Altura de elevação, Tipo de fluido (partículas em suspensão). • • • •

Número pequeno de pás Reduz as superfícies de atrito. • O fluido tem dificuldade para ser conduzido. Canais largos implicam numa maior perda de • • carga diminuindo a altura manométrica. Redução do rendimento da bomba.

Grande número de pás Diminui a perda de energia nas zonas em que o fluido abandona o rotor. Aumenta as superfícies de atrito. Reduz a energia na entrada da bomba.

Rotores de menor porte e de alta velocidade apresentam maiores perdas de carga evitando-se rotores pequenos com muitas pás.

2-26

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

2.15

Altura Teórica para Número Finito de Pás

Como se observa na Fig.2.23 o número finito de pás reduz a componente periférica da velocidade absoluta e desta forma diminuí também a altura teórica que a bomba pode transferir ao fluido. O fator de deslizamento µ relaciona estas velocidades:

µ=

CU 2 # H ou também µ = # CU 2∞ H∞

Tal fator depende da relação de diâmetros do rotor, (D1/D2), do número de pás (z) e do ângulo da pá na saída (β2o). Na literatura vários métodos são fornecidos para avaliar µ, entre eles o representado pelo seu inverso (1/µ) e denominado coeficiente de Pfleiderer (Kpfl ).

Fator de Correção do número finito de pás A altura teórica de elevação para número infinito de pás (Htoo) pode ser corrigida para obter a altura teórica com número finito de pás Ht#

H t∞ = H t # K pfl K pfl = 1 + 2

R22 ψ z R22 − R12

(

)

no caso em que R2=2R1

K pfl = 1 +

8ψ 3 z

R1: raio do rotor na entrada R2 : raio do rotor na saída. ψ: fator de correção de Pfleiderer (Tab.2.3), depende da forma do rotor e do ângulo da pá na saída (β2); e z representa o número de pás. Como se observa Kpfl é sempre maior que 1, já que em relação à energia cedida pelo rotor ao fluido, o valor teórico com número infinito de pás é sempre maior que o valor da energia cedida ao fluido com rotor de número finito de pás:

H t∞ > H t # Tabela 2.3 Fator de correção de Pfleiderer ( ψ ) em função do ângulo da pá (β2) Ângulo da pá 200 230 250 300 350 ψ (pás com guias) ψ (pás sem guias)

0,76 0,86

0,80 0,90

0,81 0,91

0,85 0,95

0,90 1,00

400 0,94 1,04

Obs. Na atualidade a maioria das bombas possuem uma carcaça ou corpo sem pás guias.

Expressão de Pfleiderer para determinar o número de pás

 D + D1   β 1 + β 2  z = kz  2   sin  D2 − D1   2 

onde kz é o coeficiente empírico dependendo da rugosidade, espaço entre as pás, . • Para rotores fundidos kz=6,5 • Para rotores de chapa fina conformada kz=8,0 Como aproximação para o número de pás: • Rotores de médias e grandes dimensões z= (6 a 14) • Rotores de pequenas dimensões z= (4 a 6)

Jorge A. Villar Alé

2-27

Sistemas Fluidomecânicos

2.16

Influencia da Espessura das Pás no Polígono de Velocidades

A nomenclatura: • [0]: Ponto da corrente situado imediatamente antes da entrada do canal de pás, fora da influência da contração provocada pela espessura das pás. • [1] :Ponto imediatamente após a entrada do canal formado pelas pás. • [2]: Ponto imediatamente antes da saída do canal formado pelas pás. • [3]: Ponto da corrente de fluido situada imediatamente após a saída do canal formado pelas pás. Análise na entrada do canal das pás A corrente no ponto “1” imediatamente após a entrada tem uma velocidade absoluta C1 , que, devido à contração da seção provocado pela espessura S1 da pá, é maior que velocidade absoluta C3 antes de entrar no canal formado pelas pás.

Figura 2.24 Detalhe de rotor em corte e passagem do fluido na entrada do rotor. Identificamos a área real de passagem do fluido pelas pás. Para isto com a figura mostrada acima distinguimos o arco de passagem do fluido que é dado em função ao arco entre pás (t1) e pela projeção no arco (Su1) da espessura formada pelas pás (S1) na região de entrada.

S u1 =

S1 sin β1

t1 =

πD1 z

A componente meridiana da velocidade absoluta antes de entrar no canal das pás pode ser expressa como:

Cm0 = Cm1 ϕ1 =

t1 − S u1 Cm1 = t1 ϕ1

t1 t1 − S u1

Também podemos definir um fator de contração (Fc1) de tal forma que:

C m 0 = C m1 Fc1

Fc1 = 1 −

2-28

S u1 S1 z = 1− t1 πD1 sin β1

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

Desta forma a vazão é dada por:

Q = t1b1 zC m 0 Q = (t1 − S u1 )b1 zC m1 O polígono de velocidades pode ser observado na figura abaixo.

Figura 2.25 Polígono de velocidades com influência do número finito de pás Análise na saída do canal das pás: A corrente no ponto “2” tem uma velocidade C2 que, devido à contração da seção provocado pela espessura S2 da pá é maior que a velocidade C3, mediada imediatamente após a saída do canal.

Figura 226 Detalhe da área de passagem do fluido na entrada do rotor. Identificamos a real área de passagem do fluido pelas pás. Para isto, com a figura mostrada acima, distinguimos o arco de passagem do fluido que é dado em função ao arco entre pás (t2) e pela projeção no arco (Su2) da espessura formada pelas pás (S2) na região de entrada.

Su2 = t2 =

S2 sin β 2

πD 2 z

Jorge A. Villar Alé

2-29

Sistemas Fluidomecânicos

A componente meridional da velocidade absoluta antes de entrar no canal das pás é dada como:

Cm3 = Cm2 ϕ2 =

t 2 − S u 2 Cm2 = t2 ϕ2

t2 t2 − S u2

Também podemos definir um fator de contração (FC1) de tal forma que:

C m3 = C m 2 Fc 2

Fc 2 = 1 −

Su2 S2 z = 1− t2 πD2 sin β 2

O polígono de velocidades pode ser observado na Fig. 2.27.

Figura 2.27 Polígono de velocidades na saída. Desta forma a vazão é dada por:

Q = t 2 b2 zC m3 Q = (t 2 − S u 2 )b2 zC m 2 Considerando o fator de contração, a vazão pode ser dada como:

Q = t 2 b2 zC m 3 Q = πD2 b2 C m 2 Fc 2

2-30

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

2.17 POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO

[m3/s] [rpm] [rad/s] [kg/s]

[kg/m3]

A1 D1 R1 b1 α1 β1

[m2] [m] [m] [m] [º] [º]

U1 C1 W1 Cu1 Wu1 Cm1

[m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s]

A2 D2 R2 b2 α2 β2

[m2] [m] [m] [m] [º] [º]

U2 C2 W2 Cu2 Wu2 Cm2

[m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s]

H t∞ Teixo

[m] [Nm]

[W ou kW]

Q n ω

Jorge A. Villar Alé

Nome:___________________________________

Polígono de velocidades na entrada do Rotor

Polígono de velocidades na saída do Rotor

2-31

Sistemas Fluidomecânicos

Teoria de Bombas Centrífugas Exercícios Resolvidos e Propostos

2-32

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

2.18

Exemplos Resolvidos

Exemplo – 2.1 Uma bomba centrífuga com entrada radial trabalha com água com vazão de 0,3m3/s. O diâmetro do impelidor é de 250mm e as pás tem 30 mm de largura na saída. Considere que as pás são radiais na saída. Determine a altura teórica considerando número infinito de pás e a potência necessária quando a bomba trabalha com 1000rpm. Solução Dados: Q=0,3m3/s.

D2=250mm

b2=30mm

n=1000rpm. –

Entrada radial

A água entra no impelidor com direção axial, portanto a componente tangencial da velocidade absoluta é nula e desta forma α1=900. Portanto temos a simplificação de que:

H t∞ =

1 U 2 Cu 2 g

Na saída a pá é radial, portanto β2=900. Desta forma CU2=U2 tendo simplificada a equação da altura:

H t∞ =

1 2 U2 g

Determinamos velocidade tangencial do rotor na saída.

Desta forma a altura teórica de elevação é dada por:

U2 =

H t∞ =

πD2 n πx 250 x1000 = = 13,1m / s 60 1000 x60

1 (13,1)2 = 17,5m 9,81

A potência pode então ser determinada:

1000 x9,81x0,3 x17,5 W& t∞ = ρgQH t∞ = = 51,5kW 1000

em HP dividindo por 0,7457 se obtém P=69 HP.

Podemos determinar o torque exercido pela bomba:

Teixo = m& (r2 C u 2 − r1C u1 ) Teixo = m& (r2U 2 )

Neste problema Cu1=0 e Cu2=U2 e desta forma:

o fluxo de massa é m=ρQ=1000x0,3=300kg/s. o raio do rotor na saída é R2=D2/2=125mm e velocidade tangencial do rotor na saída é U2=13,1m/s . Desta forma:

 125  Teixo = m& (r2U 2 ) = 300 x  x13,1 = 491,25 Nm  1000  A potência do rotor pode ser então verificada como:

Onde a velocidade angular é dada por:

ω=

W& t∞ = ω Teixo

2πn 2π 1000 = = 104,72rad / s 60 60

W& t∞ = ω Teixo = 491,25 x104,72 = 51,5kW

Jorge A. Villar Alé

2-33

Sistemas Fluidomecânicos

Exemplo – 2.2 (a) Determinar o polígono de velocidades na entrada e na saída de uma bomba centrífuga que apresenta escoamento com entrada radial. O diâmetro interno do rotor é de 50mm e o diâmetro externo do rotor é de 250mm. A largura da pá na entrada é igual a 10mm e a largura da pá na saída é igual a 5mm. O ângulo da pá na entrada é igual a 200 e na saída igual a 230. Considere que a bomba gira com uma rotação de 1300 rpm (b) Determinar a altura teórica, potência e torque da bomba, assim como as parcelas de energia cinética e energia de pressão. Solução

Dados: n=1300rpm D1=50mm D2=250mm b1=10mm

b2=5mm

β1=200

β2=230

1. Polígono de velocidades na Entrada A entrada radial implica que ângulo α1=900

Velocidade periférica ou tangencial do rotor na entrada:

U1 =

πD1n π 0,05 x1300 = = 3.4 m / s 60 60

tan β 1 =

C1 U1

Velocidade absoluta do fluido na entrada:

C1 = U1 tan β 1 = 3.4 tan(20 0 ) = 1,24 m / s Velocidade relativa do fluido na entrada

W1 = C12 + U 12 =

(1,24) 2 + (3,4) 2

= 3,62 m / s

Do triângulo de velocidade temos que: Cm1=C1=1,24m/s:

2-34

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

2. Triângulo de velocidades na Saída Obs: para obter informação do segundo triângulo de velocidade podemos utilizar a equação da vazão:

Q = πD1b1Cm1 = πD2 b2 Cm 2 Do polígono de velocidades: Cm1=C1=1,24m/s:

Q = πD1b1Cm1 = π (0,05)(0,01)(1,24 ) = 0,00195m3 / s

(117 litros/min.)

Componente meridiana da velocidade absoluta na saída:

Cm2 =

Q 0,00195 = = 0,496m / s πD2 b2 π (0,25)0,005)

Componente periférica da velocidade relativa:

tan β 2 =

Cm 2 Wu 2 C 0,497 Wu 2 = m2 = = 117 , m/ s tan β 2 tan( 230 ) Velocidade relativa na saída

W2 = Cm2 2 + Wu22 =

2 , ) (0,497) 2 + (117

= 1,271m / s

Velocidade periférica na saída:

U2 =

πD2 n π ( 0,25)(1300 ) = = 17,017m / s 60 60

Componente periférica da velocidade absoluta

Cu 2 = U 2 − Wu 2 = 17,017 − 117 , = 15,85m / s Velocidade absoluta:

C2 = Cu22 + Cm2 2 = (15,85)2 + (0,497 )2 = 15,86 m / s tan α 2 =

Cm2 0,497 = => α 2 = 1, 79 Cu 2 15,85 Cm2=0,497m/s valor dado β2=230 Wu2=1,17m/s W2=1,271m/s U2=17,017m/s Cu2=15,85m/s C2=15,86m/s α2=1,79

Obs: Continuar o problema determinando a Altura teórica de elevação, Potência e Torque da bomba, assim como as parcelas de energia cinética e energia de pressão. (Htoo=27,5m) (T=3,85Nm) (Wt00=524W) (Hp=14,76m; Hc=12,74).

Jorge A. Villar Alé

2-35

Sistemas Fluidomecânicos

Exemplo – 2.3 Um rotor de bomba centrifuga de 200mm de diâmetro gira a 3500 rpm. O ângulo das pás na saída é igual a 220 e a componente meridiana da velocidade absoluta é igual a 3,6m/s. Determinar a altura teórica para número infinito de pás. Considere escoamento com entrada radial. Solução D2=200mm n=3500rpm β2=220 Cm2=3,6m/s

Dados:

Tratando-se de uma bomba com entrada radial:

H t∞ =

U2 =

U 2 Cu 2 g

πD2 n πx0,2 x3500 m = = 36,65 60 60 s

CU 2 = U 2 − W u 2 Wu 2 =

Cm2 3,6 = = 8,91m / s tan gβ 2 tan g (22)

CU 2 = 36,65 − 8,91 = 27,74m / s

H t∞ =

2-36

U 2 C u 2 36,65 x 27,74 = = 103,64m g 9,81

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

Exemplo 2.4: Mostre aplicando a Eq. de energia que a variação de pressão num rotor de bomba centrífuga é dado por:

(

p 2 − p1 1 = C m21 + U 22 − C m2 2 cos ec 2 β 2 ρg 2g

)

Solução Aplicando a Eq. da Energia entre os pontos 1 e 2, considerados estes com na entrada e na saída da bomba:

p1 C12 p C2 + + z1 + H A = 2 + 2 + z 2 ρg 2 g ρg 2 g Considerados os pontos 1 e 2 na mesma elevaçã0 (z1=z2) e uma bomba com entrada radial. H t∞ =

U 2 Cu 2 g

p 2 − p1 C12 C 22 U 2 C u 2 = − + ρg 2g 2g g Para entrada é radial: C1=Cm1

Cu 2 = U 2 −

Cm2 tan β 2

C 22 = C m2 2 + C u22

  C C  = C m2 2 + U 22 − 2U 2 m 2 +  m 2 C =C tan β 2  tan β 2  Cm2 C 22 = C m2 2 1 + cot 2 β 2 + U 22 − 2U 2 tan β 2 2 2

2 m2

 C + U 2 − m 2 tan β 2 

(

)

  

C 22 = C m2 2 cos ec 2 β 2 + U 22 − 2U 2 C m 2 cot β 2

Substituindo esta expressão de C2 e C1 na expressão simplificada de Bernoulli, se obtém:

(

)

(

)

p 2 − p1 C m21 1 1 = − C m2 2 cos ec 2 β 2 + U 22 − 2U 2 C m 2 cot β 2 + U 2 (U 2 − C m 2 cot β 2 ) ρg 2g 2g g

(

)

p 2 − p1 C m21 1 1 2 = − C m2 2 cos ec 2 β 2 + U 22 − 2U 2 C m 2 cot β 2 + U 22 − U 2 C m 2 cot β 2 ρg 2g 2g g 2

p 2 − p1 C m21 U 22 C m2 2 cos ec 2 β 2 = + − ρg 2g 2g 2g com o qual finalmente se obtém:

(

p 2 − p1 1 = C m21 + U 22 − C m2 2 cos ec 2 β 2 ρg 2g

Jorge A. Villar Alé

)

2-37

Sistemas Fluidomecânicos

Exemplo 2.5: Uma bomba centrífuga tem as seguintes características. Vazão 0,005m3/s. Diâmetro do rotor na entrada 100mm. Diâmetro do rotor na saída 200mm; rotação 1500rpm. A altura manometrica é igual a 22m. A largura da pá na entrada e saída é igual a 10mm e 5mm respectivamente. Fazendo desprezíveis as perdas determine a energia de pressão em termos de altura equivalente. Considere pás voltadas para trás com ângulo na saída igual a 300. Dados: Q=0,005m3/s D1=100 D2=200 n =1500rpm b1=10m e b2=5mm Hman=20m. β2=300. Solução Podemos utilizar a equação deduzida anteriormente:

(

p 2 − p1 1 = C m21 + U 22 − C m2 2 cos ec 2 β 2 ρg 2g

)

πD1 n π 0,1x1500 = = 7,85m / s 60 60 πD2 n π 0,2 x1500 U2 = = = 15,7 m / s 60 60 U1 =

Cm2 =

Q 0,005 = = 1,59m / s πD2 b2 πx0,2 x0,05

C m1 =

Q 0,005 = = 1,59m / s πD1b1 πx0,1x0,01

Substituindo os valores encontrados:

(

)

p 2 − p1 1 = 1,59 2 + 15,7 2 − 1,59 2 cos ec 2 30 0 = 12,36m ρg 2g

2-38

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

Exemplo 2.6: Um rotor de bomba centrifuga tem as seguintes características: Diâmetro do rotor na entrada 150mm, largura da pá na entrada 75mm ângulo da pá na entrada 200. Diâmetro do rotor na saída 300mm, largura da pá na saída 50mm ângulo da pá na saída 250. A bomba tem uma rotação de 1450rpm. Determinar: (a) A altura teórica para número infinito de pás e sua respectiva potência considerando que bomba trabalha com água com massa especifica igual a 1000kg/m3. (b) Considerando que a bomba tem 7 pás determine a altura teórica para número finito de pás e sua respectiva potência. Obs. Considere escoamento com entrada radial, isto é α1=900. Solução

πD2 n πx0,3 x1450 m = = 22,78 60 60 s

U2 =

H t∞ = H t∞ H t∞

U 22 U2 − Q g gπD2 b2 tan β 2

2 ( 22,78) =

22,78 Q 9,81 9,81πx0,3 x0,05 x tan 25 0 = 52,9 − 105,68Q −

Vazão:

U1 =

πD1 n πx0,15 x1450 m = = 11,39 60 60 s

c m1 = u1 tan β1 = 11,39 x tan 20 0 = 4,15m / s Q = πD1b1c m1 = πx0,15 x0,075 x 4,15 = 0,147 m 3 / s Altura

H t∞ = 52,9 − 105,68Q] H t∞ = 52,9 − 105,68 x0,147 = 37,4m Potência Teórica

W& t∞ = ρgHQ = 1000 x9,81x37,4 x0,147 = 53,93kW Altura teórica para número finito de pás

no caso em que R2=2R1

8 0,9 K pfl = 1 + x = 1,34 3 7

Para o ângulo de 25 temos que Ht00=37,4m

H t# =

H t∞ 37,4 = = 27,91m K pfl 1,34

W& t # = ρgH t # Q = 1000 x9,81x 27,91x0,147 = 40,234kW

Jorge A. Villar Alé

2-39

Sistemas Fluidomecânicos

Exemplo 2.7: Uma bomba com escoamento com entrada radial trabalha com uma vazão de 2,0m3/min e 1200rpm. A largura do canal de saída do rotor é de 20mm, sendo que o ângulo de saída da pá é igual a 250. A componente meridiana da velocidade absoluta na saída é igual a 2,5m/s. a)Determine a altura e potência teórica da bomba nas condições dadas. b)Determine as equações características de H=f(Q) e P=f(Q). Com as equações características grafique as curvas H-Q e P-Q desde uma vazão nula até uma vazão máxima de 4,0m3/min. Utilize água com massa específica igual a 1000kg/m3. Htoo=? Pot=? Q=2,0m3/min n = 1200rpm b2=20mm Cm2=2,5m/s β2=250 (a ) Altura teórica e potência teórica para número infinito de pás com entrada radial é dada por:

H t∞ =

D2 =

1 U 2 Cu 2 g

Q πb2 C m 2

20 60 = = 0,212m = 212mm  20  π 2,5  1000 

U2 =

πD2 n πx 212 x1200 = = 13,32m / s 60 1000 x60

C u 2 = U 2 − WU 2 Wu 2 =

Cm 2 2,5 = = 5,36m / s tan( β 2 ) tan(25)

C u 2 = 13,32 − 5,36 = 7,96m / s H t∞ =

1 1 U 2 Cu 2 = 13,32 x7,96 = 10,80m g 9,81

W& t∞ = ρgQH t∞

 2,0  1000 x9,81x10,8 x  60   = = 3,5kW 1000

(b) Equação da altura teórica e da potência teórica para número finito de pás

H t ∞ = K1 − K 2 Q

K1 =

com

U 22 1 2 = (13,32) = 18,10m g g

U 22 K1 = g K2 =

K2 =

U2 1 gπD2 b2 tan β 2

U2 13,32 = = 218,6 gπD2 b2 tan β 2 9,81xπx0,212 x0,02 x tan 25 0

H t ∞ = K1 − K 2 Q H t∞ = 18,1 − 218,6Q com vazão em m3/s para obter altura em metros. 18,1x100 x9,81 = 177,56 (Dividido por 1000 para trabalhar em kW) 1000 218,6 x1000 x9,81 k 2* = k 2 ρg = = 2145 (Dividido por 1000 para trabalhar em kW) 1000

k1* = k1 ρg =

W& t∞ = K 1*Q − K 2*Q 2 W& t∞ = 177,56Q − 2145Q 2 Com vazão em m3/s para obter kW. 2-40

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Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas

Exemplo 2.8: Uma bomba trabalha com uma altura manometrica igual a 22m e uma vazão igual a 20litros/s. O impelidor gira a 1500rpm. O diâmetro do rotor na entrada é de 135mm e na saída de 270mm. A largura da pá saída é de 10mm. O ângulo da pá na saída é de 300. Considere um rotor com 7 álabes. A espessura da pá é de 3mm. O rendimento volumétrico igual a 97% e o rendimento mecânico é de 95%. Determinar: a) O rendimento global b) a potência da bomba. c) a rotação especifica e tipo de bomba. Considerando entrada radial: (e rotor com pás sem guias)

1 U 2 Cu 2 Cu 2 = U 2 − Wu 2 g πD2 n πx0,27 x1500 U2 = = = 21,2m / s 60 60 H t∞ =

Wu2 é função de Cm2

Fator ou coeficiente de contração

Fc 2 = 1 −

Su2 S2 z = 1− t2 πD2 sin β 2

portanto :

Fc 2 = 1 −

0,003 x7 = 0,95 πx0,27 sin(30)

Da expressão da vazão pode ser obtido Cm2

Q = πD2 b2 C m 2 Fc 2

Cm2 =

Q 0,02 = = 2,48m / s πD2 b2 Fc 2 πx0,27 x0,01x0,95

Pela relação do polígono de velocidades:

tan β 2 =

Cm2 Cm2 2,48 ⇒ Wu 2 = = = 4,3m / s Wu 2 tan β 2 tan(30)

Cu 2 = U 2 − Wu 2 = 21,2 − 4,3 = 16,9m / s H t∞ =

1 1 U 2 Cu 2 = 21,2 x16,9 = 36,52mca g g

como R2=2R1 e considerando pás sem guias da Tab.2.3 para β2=300 obtemos ψ=0,95.

K pfl = 1 +

8ψ 8 0,95 = 1+ = 1,36 3 z 3 7

H t∞ = H t # K pfl

ηh =

Implica que Ht#=36.52/1,36=26,82mca.

H man 22 = = 82% H t# 26,82

O rendimento global é dado como:

η G = η mη vη h = 0,95 x0,97 x0,82 = 0,755 ≈ 76%

ρgH man Q 1000 x9,81x 22 x0,02 W& ac = = = 5,72kW ηG 0,755 ns = n

Q H

3/ 4 maa

= 1500

Jorge A. Villar Alé

0,02 = 21rpm 22 3 / 4

Conforme Cap.4 Tab.4.2 Corresponde a uma bomba tipo radial.

2-41

Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

Curvas Características e Associação de Bombas em Serie e em Paralelo

Jorge A. Villar Alé

3-1

Sistemas Fluidomecânicos

Curvas Características e Associação de Bombas Série e em Paralelo SUMÁRIO

3.1 Fluxo de Energia e Rendimentos........................................................................................................ 3 3.2 Rendimentos ....................................................................................................................................... 3 Rendimento Mecânico................................................................................................................................ 3 Rendimento Hidráulico ............................................................................................................................... 3 Rendimento Volumétrico ............................................................................................................................ 4 Rendimento Total ou Global....................................................................................................................... 4 Potência de acionamento........................................................................................................................... 5 3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q)................................................................................................ 5 3.4 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q)................................................................................................ 6 3.5 Curvas Características de Bombas Centrífugas................................................................................. 6 3.6 Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (H-Q) e (P-Q) ..................................................................... 7 3.7 Ponto de Operação das Bombas ........................................................................................................ 8 3.8 Outras Representações de Curvas Características............................................................................ 9 3.9 Identificação Variáveis nas Curvas Características.......................................................................... 10 3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores.................................................................................. 12 3.10.1 Determinação do Diâmetro de Corte de Uma Bomba Centrífuga................................................. 13 3.10.2 Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro .......................................................................... 15 3.10.3 Correção do Diâmetro de corte Método de Stepanoff .................................................................. 16 3.10.4 Exemplo para Determinar Diâmetro de Corte – Método Gráfico. ................................................. 17 3.11 Associação de Bombas em Série ..................................................................................................... 19 3.11.1 Curva característica de bombas em serie..................................................................................... 20 3.11.2 Rendimento de duas bombas em série......................................................................................... 21 3.12 Associação de Bombas em Paralelo ................................................................................................ 22 3.12.1 Curva Característica de Bombas em Paralelo: ............................................................................. 23 3.12.2 Rendimento de Duas Bombas em Paralelo .................................................................................. 24 3.13 Exemplo – Bombas Conexão em Serie e em Paralelo.................................................................... 25 3.14 Exemplo - Conexão Paralelo ............................................................................................................ 26 3.15 Exemplo - Conexão Série ................................................................................................................. 27 3.16 Outros Exemplos............................................................................................................................... 28 3.17 Atividade de Aprendizado - 1 – Proposta ......................................................................................... 29 3.18 Atividade de Aprendizado – 2 - Resolvida ....................................................................................... 30 3.19 Problemas Propostos ........................................................................................................................ 34

3-2

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Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

3.1 Fluxo de Energia e Rendimentos Considerando o fluxo de energia transferido da bomba para o fluido, se observa que existem diversas formas de dissipação de energia, desde a energia inicial do motor que aciona a bomba até a energia final absorvida pelo fluido (Fig.3.1). O motor apresenta uma energia motriz (Hm) que deve ser transferida ao rotor. Como o sistema mecânico de acoplamento e transmissão não é perfeito existirá uma dissipação mecânica de energia quantificada como perda mecânica (∆hm). A energia efetivamente absorvida pelo rotor é denominada energia de elevação (Ht#) sendo relacionada com a energia motriz pelo rendimento mecânico (ηm). Devido à dissipação de energia no interior da bomba (por atrito e recirculação de fluxo) a energia do rotor (Ht#) não é transferida totalmente ao fluido sendo as perdas quantificadas como perdas hidráulicas (∆hh). A energia transferida do rotor ao fluido é relacionada pelo rendimento hidráulico. Além disto, parte da vazão que entra na bomba recircula na mesma e escapa por má vedação. Isto se quantifica considerando um rendimento volumétrico (ηv). A energia realmente absorvida pelo fluido é denominada altura manométrica (Hman), reconhecida como a energia final do fluxo energético do sistema de bombeamento. O rendimento global (ηG) quantifica a relação entre energia final (Hman) (absorvida pelo fluido) e a energia motriz para acionamento da bomba (Hm).

Figura 3.1 Relações entre rendimentos e alturas de uma bomba.

3.2 Rendimentos Rendimento Mecânico Relação entre a altura de elevação e altura motriz. Também relaciona a potência de elevação e a potência motriz. Esta última conhecida como potência de acionamento do motor da bomba.

ηm =

Ht # Hm

(1)

valores típicos de 92 a 95% encontram-se nas bombas modernas, sendo que os valores maiores correspondem às bombas de maiores dimensões.

Rendimento Hidráulico A altura teórica de elevação (Ht#) não é aproveitada totalmente na elevação do fluido (Hman). Uma parte é perdida para vencer as resistências ou perdas hidráulicas denominadas ∆hh . Jorge A. Villar Alé

3-3

Sistemas Fluidomecânicos

H t # = H man + ∆hh

(2)

O rendimento hidráulico é definido como a relação entre a altura manométrica (Hman), que representa a energia absorvida pelo fluido, e a altura teórica de elevação para número finito de pás (Ht#), que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido:

ηh =

H man desta forma Ht #

ηh =

H man k pfl H too

(3)

Valores estimados do Rendimento Hidráulico. 50 a 60%: Bombas pequenas, sem grandes cuidados de fabricação com caixa tipo caracol. 70 a 85% : bombas com rotor e coletor bem projetados, fundição e usinagem bem feitas. 85% a 95% : Para bombas de dimensões grandes, bem projetadas e bem fabricadas. Pode ser utilizada a seguinte expressão de Jekat considerando a vazão em m3/s.

ηh = 1 −

0,071 Q 0.25

(4)

Obs. Em fase de projeto pode ser estimado entre 85% a 88%.

Rendimento Volumétrico Existe no rotor uma pequena quantidade de fluido que recircula na carcaça (q) e que pode escapar por má vedação. O rendimento volumétrico relaciona a vazão que efetivamente escoa pelo recalque (Q) e a vazão que passa pelo rotor, recircula e escapa por deficiência na vedação (Q´=Q+q). ηv=Q/Q´. As bombas centrífugas podem ter um ηv na faixa de 85 a 99%. Rendimento Total ou Global Relação entre a energia realmente cedida pelo rotor ao fluido (útil) e a energia necessária para movimentar o rotor. Relaciona de forma equivalente a potência útil com a potência motriz.

ηG =

H man Hm

(5)

Quando se consideram perdas volumétricas, o rendimento total é dado como:

η G = η mη vη h Caso contrário fica como: η G = η mη h

(6)

• Em bombas de grande porte o rendimento global pode ultrapassar 85%. • Nas bombas pequeno porte, dependendo do tipo e condições de operação, pode cair até menos de 40%. • Uma estimativa razoável é considerar 60% em bombas pequenas e 75% em bombas medias. Rendimento Global (%) – O rendimento global depende da bomba sendo uma informação dada pelo fabricante. Pode-se utilizar como ordem de grandeza a seguinte expressão:

ηG = 80 − 0,9367H + 5,46x10−3 QH − 1,514x10−5 Q2 H + 5,802x10−3 H 2 − 3,028x10−5 QH2 + 8,346x10−8 Q2 H 2 3

Onde: Q: vazão (m /h ); H: altura manométrica (m) 3-4

Validade: 20 < Q < 250

(7 ) 15 < H < 100 PUCRS

Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

Potência de acionamento A potência requerida para o acionamento da bomba é dada pela expressão:

ρgH man Q W& ac = ηG

(8)

Nota1: A altura útil de elevação foi definida (no texto de Macintyre) como:

H u = H man +

V32 − V02 2g

se os diâmetros das tubulações de entrada D0 e de saída D3 na bomba são iguais, então podemos considerar que Hu=Hman.

3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) Foi analisada teoricamente a importância da curvatura das pás na curva característica de H-Q. Contudo estas curvas reais sofrem modificações devido aos efeitos do número finito de pás e à dissipação da energia. As curvas reais de H-Q são diferentes devido aos seguintes efeitos: Número finito de pás A espessura das pás provoca um desvio das trajetórias das velocidades à saída das pás, variando a componente meridiana da velocidade. Isto faz com que Hreal seja menor do que Ht00 . Desta forma, na origem o valor de Hreal, é menor que o termo U2/g iniciando as curvas numa ordenada inferior a U2/g. (Fig.3.2). 2. Dissipação de Energia Devido ao atrito do fluido no rotor por: • Imperfeita condução das veias de fluido • Transformação da elevada parcela de energia cinética em energia de pressão. Choques: Mudanças bruscas de direção do escoamento na entrada e saída do fluido. Fugas: Do fluido nos interstícios, labirintos e espaços entre o rotor e o difusor e coletor.

Figura 3.2 Altura de elevação para diferentes tipos de pá com dissipação de energia. Jorge A. Villar Alé

3-5

Sistemas Fluidomecânicos

3.4 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) A Fig. 3.3 representa uma curva característica de H-Q de bomba centrífuga onde se mostram os diferentes efeitos provocados pela turbulência, atrito e pelo efeito de recirculação do escoamento. Devido a isto, a curva teórica modifica-se se transformando numa curva real.

Figura 3.3 Curva característica de bomba centrífuga.

3.5 Curvas Características de Bombas Centrífugas Representam o comportamento real das bombas mostrando o relacionamento de interdependência entre as grandezas características (Fig. 3.4). Os fabricantes fornecem estas curvas obtidas experimentalmente em laboratório. Os principais gráficos apresentados são: • • • •

Hman-Q : Variação da altura manométrica em função da vazão η-Q: Variação do rendimento global em função da vazão W-Q: Relação entre a potência requerida no acionamento e a vazão. NPSH-Q Variação do Net Posistive Suction head (altura líquida positiva de sucção) e a vazão.

Obs: NPSH representa a energia que a bomba requer para aspirar o líquido. O fabricante pode fornecer esta informação numa curva única tal como representado na Fig.3.4.

Figura 3.4 Conjunto de curvas características apresentadas por fabricantes. 3-6

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Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

3.6 Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (H-Q) e (P-Q) • O efeito do ângulo da pá na saída é mostrado através do gráfico abaixo (Fig.3.5), onde se observam curvas reais dos diferentes tipos de pá estudados. • Observa-se que pás voltadas para frente geram grandes alturas para um certo volume, contudo, deve ser lembrado que uma parte substancial desta altura total é devida à contribuição de energia cinética. • As curvas de potência também são fundamentalmente diferentes para os diferentes tipos de rotores. Nos rotores com pás voltadas para trás a potência máxima ocorre próximo do ponto de máximo rendimento e qualquer aumento da vazão após este ponto resulta numa diminuição da potência. Desta forma, um motor elétrico usado para mover tal bomba pode alcançar com segurança o ponto de máxima potência sem perigo de trabalhar com vazões maiores que as obtidas a partir deste ponto. • Isto não ocorre para o caso de pás radiais na saída e pás voltadas para frente, nas quais a potência aumenta continuamente devendo-se ter muito cuidado na escolha da potência do motor. • Por outro lado se trabalhamos com um motor pequeno que opere no ponto de máxima potência será perigoso já que acidentalmente pode-se exceder a vazão no ponto de máxima eficiência e encontramos que requeremos maior potência para o acionamento, danificando o motor.

Figura 3.5 Curvas de altura e potência de diferentes tipo de pás.

Jorge A. Villar Alé

3-7

Sistemas Fluidomecânicos

3.7 Ponto de Operação das Bombas Tipo de Curva (H-Q) Ascendente. A Fig.3.6 mostra como varia a altura manométrica (Hman), a potência no eixo (Peixo) e o rendimento global de uma bomba que opera numa dada rotação em função da vazão (Q). Observa-se que a curva de Hman aumenta quando a vazão diminui. Isto caracteriza uma bomba com curva de carga ascendente. Bombas com curvas opostas a esta se denominam curvas de carga descendentes.

Altura ou Carga de Shutoff Denomina-se a carga (altura) desenvolvida quando a vazão é nula (Q=0), e representa a carga de pressão com a válvula de descarga fechada. Como não há escoamento a eficiência é nula (η=0) e a potência fornecida à bomba é totalmente dissipada em forma de calor. É uma situação que pode ocorrer e deve ser evitada no funcionamento de bombas.

Figura 3.6 Ponto de operação de bomba centrífuga.

Ponto Ótimo de Funcionamento Observa-se que quando a vazão aumenta a partir da vazão nula, a potência de acionamento da bomba aumenta, atinge um máximo e apresentando uma queda nas proximidades da descarga máxima. A Fig.3.6 mostra que o rendimento da bomba é função da vazão e que atinge um máximo numa determinada vazão denominada vazão de projeto, (QProjeto) , vazão de normal (Qnormal) ou vazão ótima (Qotima) Por isto é muito importante que a bomba, sempre que possível, opere numa condição próxima do rendimento máximo.

3-8

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Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

3.8 Outras Representações de Curvas Características Diferentes tipos de rotores podem ser utilizados num determinado corpo. Por isto os fabricantes de bombas fornecem as curvas do comportamento de vários conjuntos de rotores (para um mesmo corpo) num único gráfico, tal como mostrado na Fig.3.7. Observa-se que a bomba, dependendo do diâmetro, apresenta curvas H-Q diferentes. Também mostra que o rendimento da bomba apresenta faixas de valores diferentes (curvas de iso-rendimento) dependendo da solicitação do sistema, isto é da H-Q requerido. Na Fig.3.7 também é representada a curva NPSH (altura positiva liquida de aspiração) e a curva de potência de acionamento da bomba. A Fig.3.8 mostra um gráfico com toda a faixa de operação de famílias de bombas centrífugas de determinado fabricantes. Se o ponto de operação requerido num sistema de bombeamento está dentro da área demarcada significa que uma das bombas de estes fabricantes pode suprir tal necessidade de operação.

Figura 3.7. Curva de bomba para diferentes diâmetros do rotor

Figura 3.8 Exemplo de faixa de operação de famílias de bombas centrífugas Jorge A. Villar Alé

3-9

Sistemas Fluidomecânicos

3.9 Identificação Variáveis nas Curvas Características. A Fig. 3.9 mostra as curvas típicas de bombas centrifugas. Observa-se no gráfico superior que existem 05 curvas de altura manométrica (Head) versus vazão (flow rate) correspondente a 05 rotores (impeller) com diâmetros diferentes. Mostram-se também na mesma figura as curvas de iso–rendimento. Na figura inferior as respectivas 05 curvas de potência de acionamento para os 05 rotores. Na figura intermediaria mostra-se a curva de NPSH que representa a altura positiva liquida de aspiração condição para não ocorrer cavitação cujo detalhamento será abordado no Cap.8.

Figura 3.9 Exemplo de faixa de operação de famílias de bombas centrífugas 3-10

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Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

Utilizando os gráficos da Fig.3.9 podemos realizar algumas considerações. Se por exemplo um sistema deve operar com uma vazão de 150 m3/h e uma altura manométrica de 62m, então a o rotor com diâmetro de 219 mm satisfaz tal operação. Neste ponto o rendimento global da bomba é um pouco menor que 80%. Observase que para esta vazão o rotor de diâmetro de 219mm requer uma potencia de acionamento de pouco mais de 32 kW. Os fabricantes apresentam as curvas características levantadas utilizando água com massa especifica padrão (ρ=1000 kg/m3); desta forma podemos verificar a potência utilizando a expressão:

ρgH manQ W& ac = = ηG

1000

kg m 150 m 3 x 9 , 81 x 62 mx m3 s2 3600 s = 31,68kW 0,8 x1000

Observamos que este valor é muito próximo ao especificado pelo fabricante. Tomemos outro exemplo em que se deseje operar um sistema com uma vazão de 200m3/h e altura manométrica de 44m. Utilizando o mesmo gráfico da Fig.3.9 observa-se que o ponto de operação desejado se encontra entre as curvas dos rotores com diâmetro de 199mm e de 208mm. Observa-se que rotor de 199mm não consegue atender esta demanda já que a sua altura manométrica (43m) é inferior a altura manométrica requerida. No caso do rotor de 208mm este consegue atender com muita folga já que para esta vazão sua altura manométrica é de 50m. No caso em que o ponto de operação não coincide com um ponto na curva característica de um determinado rotor os fabricantes podem apresentar alternativas de realizar corte nos rotores a fim de ajustar o ponto de operação desejado. Existem fabricantes que apresentam esta informação em catálogos iterativo na internet nos quais o usuário precisa fornecer os dados requeridos para o sistema (altura,vazão) sendo o resultado mostrado com gráficos que apresentam o ponto de operação com o respectivo rotor cortado para a demanda especifica. Por exemplo, desejamos que um sistema opere com uma vazão de 50m3/h e uma altura manométrica de 20m. O resultado do processo iterativo é mostrado na Fig.3.10 onde a bomba com corte do rotor apropriado deverá utilizar um rotor com diâmetro de 229 mm motor, potência de 7,5HP, apresentando um rendimento de 67%. Desta forma o diâmetro de 229 mm corresponde ao diâmetro de corte do rotor proporcionado pelo fabricante para ajustar-se ao ponto de operação desejado.

Figura 3.10 Exemplo de seleção de bomba centrífuga Jorge A. Villar Alé

3-11

Sistemas Fluidomecânicos

3.10

Equações Para Corte de Rotores

Na indústria de bombas os fabricantes podem oferecer varias opções de diâmetros do rotor mantendo o mesmo corpo da bomba. Com este procedimento é possível maior versatilidade e opções para ajustar-se a demandas especificas. Como vantagens o procedimento permite economia no custo de fabricação, aumento da capacidade substituindo o rotor, padronizar a base da instalação. O procedimento do corte do rotor consiste em, a partir de um determinado diâmetro realizar a redução do diâmetro externo numa operação de usinagem mecânica, sem alterar outros componentes da bomba (Fig.3.11). O procedimento é mais fácil de realizar em bombas centrifugas radiais, onde as fases laterais do rotor são paralelas. Existe um compromisso entre o percentual de redução do rotor com o desempenho da bomba já que resulta numa queda no rendimento da bomba. Existem vários métodos que permitem relacionar as conduções da máquina com o diâmetro original e o diâmetro após o corte do rotor. Quando o rotor possui um corte menor que 10% podem ser utilizadas as leis de semelhança para levantar as novas condições de funcionamento. Equações de Especificas para Corte do Rotor

D  Q2 = Q1  2   D1 

D2 = D1

Q2 Q1

D  H 2 = H1  2   D1 

D2 = D1

H2 H1

D  W&2 = W&1  2   D1 

Q  H 2 = H1  2   Q1 

Figura 3.11 Detalhe do diâmetro de corte e diâmetros do rotor

3-12

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Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

3.10.1 Determinação do Diâmetro de Corte de Uma Bomba Centrífuga Consideremos o exemplo em que temos uma curva de uma bomba com diâmetro de 208 mm extraída da Fig.3.9 além de ter também a sua respectiva equação característica aproximada por:

H man = 60 + 0,0421Q − 0,0004Q 2 Se deseja determinar o diâmetro que deve ser reduzido o rotor de 208mm para que possa operar junto com o sistema com vazão de 200m3/h e altura manométrica de 44m, ponto também representado no gráfico da Fig.3.12. 70 Diâmetro do rotor D=208mm

Altura manometrica (m)

0 0

100

150

200

250

vazão (m3/h)

Figura 3.12 Curva de bomba com diâmetro do rotor de 208mm Primeiro determinamos com os valores de Hman=44m e Q=200m3/h a equação de uma curva parabólica que passa pela origem e por este ponto dada pela expressão: H c = kQ 2 . Neste caso a constante k=44/(200)2= 0,0011. Desta forma a equação que representa a curva parabólica é dada por

H c = 0,0011Q 2 Igualando as duas equações determinamos o ponto de interseção da curva parabólica com a curva da bomba. Pela igualdade das equações se obtém uma equação resultante de 20 grau do tipo aQ 2 + bQ − c = 0 , com as constantes a=-0,0015 b=0,0421 c=60. Resolvendo a mesma se obtém Q0=214,5 m3/h. Com tal vazão se obtém a altura manométrica H0=50,62m. A figura mostra este ponto na interseção das duas curvas. 70 Diâmetro do rotor D=208mm

Altura manometrica (m)

Curva parabolica

0 0

100

150

200

250

Vazão (m3/h)

Figura 3.13 Curva parabólica e curva da bomba Jorge A. Villar Alé

3-13

Sistemas Fluidomecânicos

Tendo o ponto correspondente ao rotor de 208mm podemos agora determinar o diâmetro necessário para o ponto de operação requerido:

Dr = D0

200 Qr Dr = 208 = 201mm Q0 214,5

Utilizando as relações:

Q  D H r = H 0  r  e Qr = Q0 r D0  Q0  2

Podemos apresentar graficamente a nova curva da altura manométrica 70 D=208mm

Altura manometrica (m)

D=201mm

20 Curva parabolica 10

0 0

100

150

200

250

Vazão (m3/h)

Figura 3.14 Resultado da nova curva com rotor de 201mm que passa pelo ponto de operação

3-14

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Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

3.10.2 Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro O método consiste em determinar um novo diâmetro (D2) a partir de uma bomba que possui um rotor com diâmetro D1 com sua curva característica de altura vazão conhecida. Deseja-se, portanto que a bomba opere no ponto 2 com uma vazão Q2 e altura manométrica H2.

Figura 3.15 Curva da bomba com diâmetro conhecido e ponto de operação requerido. Neste procedimento se escolhe um ponto A próximo e acima da curva com diâmetro D1 para o qual se determina a vazão e altura manométrica. HA e QA. Se demarca uma linha reta unindo os pontos A e 2 interceptando assim a curva com diâmetro D1 determinando-se a vazão Q1 e H1. Tendo os valores de Q1 e H1 e os dados iniciais de Q2 e H1 determina-se com as relações de semelhança o diâmetro D1 que deve ser cortado o rotor da bomba para atender a demanda especifica.

(a)

(b)

(c ) Figura 3.16 Etapas para determinar graficamente o novo diâmetro de corte. Jorge A. Villar Alé

3-15

Sistemas Fluidomecânicos

3.10.3 Correção do Diâmetro de corte Método de Stepanoff O procedimento que permite determinar o diâmetro de corte do rotor para atender uma determinada condição de operação pode ser corrigido utilizando o método de Stepanoff.

Rcal =

Dcalculado Doriginal

Rcor =

Dcorrigido Doriginal

Conforme gráfico mostrado o método propõe uma correção dada por uma relação linear:

Rcor = 0,1225 + 0,875Rcal A tabela mostra alguns valores desta relação. Observa-se que a correção do diâmetro tende ao valor calculado quando o diâmetro de corte é muito próximo do diâmetro original. Por exemplo, na para Rcal > 0,95 temos que Rcal=Rcor e desta forma Dcor=Dcal.

Rcor 0,69 0,74 0,78 0,82 0,87 0,91 0,95 1,00

1,00 Relaçao de diâmetro corrigido (Rcor)

Rcal 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00

Método de correção de Stepanoff 0,95

0,90

0,85

0,80

0,75

0,70 0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

Relaçao de diâmetro calculado (Rcal)

Figura 3.17 Método de Stepanoff para correção do diâmetro de corte.

3-16

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Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

3.10.4 Exemplo para Determinar Diâmetro de Corte – Método Gráfico. 1. Contamos com uma curva de altura vazão de uma bomba com diâmetro original igual a D1=208mm. Consideremos que temos um ponto 2 com dados de operação de altura manométrica e vazão conhecidos para os quais desejamos determinar o diâmetro de corte D2.

H 2 = 44m Q2 = 200m3 / h D2 = ?

Figura 3.18 Curva característica da bomba e pontos para determinar o novo diâmetro 2. Escolhemos um ponto A ligeiramente superior a curva da bomba e determinamos os valores de altura manométrica e vazão.

H A = 53,2m QA = 220m3 / h 3. Unindo o ponto A com o ponto 2 com uma linha reta que intercepta a curva da bomba com diâmetro D1, determinamos a sua altura e vazão.

H1 = 50,6m Q1 = 214,5m3 / h D1 = 208mm 4. Com os valores do ponto 1 conhecido determina-se o diâmetro do rotor.

Q2 Q1

D2 = D1

D2 = 208

200 = 200,8mm 214,5

D2 ≅ 201mm

Desta forma podemos verificar os resultados utilizando as relações de altura e vazão:

Q   200  H 2 = H1  2  = 50,6  ≅ 40m Q 214 , 5    1 2

D   200,8  3 Q2 = Q1  2  = 214,5  ≅ 200m / h  208   D1  2

Jorge A. Villar Alé

3-17

Sistemas Fluidomecânicos

Também podemos supor que conhecemos o rendimento no ponto 1 e assim determinamos a potencia:

ρgH1Q1 1000 x9,81x50,6 x(214,5 / 3600) W&1 = = = 36,1kW η1 0,82 Com esta informação podemos avaliar a potencia e o rendimento do ponto 2 da bomba neste ponto de operação, observando-se que o rendimento é inferior ao do ponto 1.

D   200,8  W& 2 = W&1  2  = 36,1  = 32,48kW  208   D1  3

η2 =

ρgH 2Q2 1000 x9,81x 44 x(200 / 3600) = x100 = 74% W2 32,48 x1000

Podemos aplicar a correção de Stepanoff

Rcal =

Dcalculado 201 = = 0,966 Doriginal 208

Rcor = 0,1225 + 0,875Rcal = 0,1225 + 0,875x0,966 = 0,968 Rcor =

Dcorrigido Doriginal

Dcor = Rcor Doriginal = 0,698 x 208 = 201,3mm

Observa-se que a correção para esta relação de diâmetros é muito pequena. Este procedimento pode ser realizado para outros pontos obtendo-se a curva que representa a faixa de operação da bomba com diâmetro D2

Figura 3.19 Resultado mostrando a curva com novo diâmetro do rotor.

3-18

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Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

3.11 Associação de Bombas em Série • • • •

São utilizadas em instalações que requerem resolver problemas de alturas elevadas. Empregadas em condições de alta pressão ou quando se requer grandes mudanças de altura manométrica. As bombas utilizadas podem ser iguais ou diferentes Neste tipo de conexão as bombas trabalham com a mesma vazão, sendo que a altura manométrica é determinada pela contribuição das altura manométricas de cada uma das bombas. • Bombas em estágio são consideradas bombas em série e utilizadas quando Hman é maior que 50m. Para obter a curva resultante de uma conexão em série de duas bombas A e B devemos conhecer suas curvas características. Considerando uma série de n pontos podemos determinar para ponto de igual vazão a altura manométrica de cada bomba podendo ser elaborada uma tabela com representado a seguir. Para determinar curva característica das duas bombas conectadas em série adicionam-se as alturas manométricas de cada bomba H para cada vazão considerada. Por exemplo, para um ponto i

QSi = Q Ai = QBi H Si = H Ai + H Bi Rendimento de duas bombas em série:

ηT =

η1η 2 (H 1 + H 2 ) H 1η 2 + H 2η1

Figura 3.20 Conexão de Bombas em Série Curva característica: 01 Bomba H A = H 0 − AQ 2 02 bombas A e B iguais associadas em série: H S = H A + H B = 2 H A

H S = 2 H o − 2 AQ 2

Jorge A. Villar Alé

3-19

Sistemas Fluidomecânicos

3.11.1 Curva característica de bombas em serie Consideremos duas bombas diferentes A e B.

H A = a 0 − a1Q A − a 2 Q A2 H B = b0 − b1QB − b2 QB2 Para conexão em série:

HS = H A + HB

QS = Q A = Q B = Q

Desta forma obtemos:

H S = (a 0 + b0 ) − (a1 + b1 )Q − (a 2 + b2 )Q 2

Duas bombas iguais

H s = 2a 0 − 2a1Q − 2a 2 Q 2 H S = 2(a 0 − a1Q − a 2 Q 2 ) H S = 2H A Para duas bombas iguais um caso simplificado é dado por:

a0 = H 0 a1 = 0 a2 = A H s = 2a 0 − 2a1Q − 2a 2 Q 2 H s = 2 H 0 − 2 AQ 2

3-20

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Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

3.11.2 Rendimento de duas bombas em série Consideremos o caso de duas bombas diferentes A e B conectadas em serie: Na conexão em série a potencia total é a soma das potencias parciais de cada bomba:

W& S = W& A + W& A onde:

ρgH S QS W& S = ηS

ρgH A Q A W& A = ηA

ρgH B QB W& B = ηB

como:

QS = Q A = Q B = Q

ρgH S Q ρgH A Q ρgH B Q = + ηS ηA ηB HS H A HB = + ηS η A ηB como:

HS = H A + HB Desta forma:

(H A + H B ) = H A ηS

ηA

HB ηB

(H A + H B ) = H Aη B + H Bη A ηS

η Aη B

Finalmente de obtém:

ηS =

(H A + H B )η Aη B H Aη B + H Bη A

Jorge A. Villar Alé

3-21

Sistemas Fluidomecânicos

3.12

Associação de Bombas em Paralelo

• Utilizada em sistemas onde se requer aumentar a vazão e tendo flexibilidade em relação à demanda podendo conectar ou desligar unidades em funcionamento. • Devido à existência de perdas de carga, a vazão resultante da associação de bombas em paralelo é sempre menor que a soma algébrica da vazão de cada uma das bombas funcionando isoladamente. • Recomenda-se utilizar bombas iguais para evitar recirculação de correntes desde a bomba de maior potência para a de menor potência. • Bombas de aspiração dupla ou de entrada bilateral (rotor germinado) trabalham como bombas em paralelo. Conhecida a curva característica das duas bombas associadas em paralelo pode ser determinada a curva característica das bombas trabalhando separadas. Para um ponto “i” vazão e altura pode ser determinada como:

Q Ai = QBi =

QPi 2

H Ai = H Bi = H Pi Rendimento de duas bombas em paralelo:

ηT =

η1η 2 (Q1 + Q2 ) Q1η 2 + Q2η1

Figura 3.21 Conexão de Bombas em Paralelo

Curva característica: 01 Bomba H A = H 0 − AQ A2

Q 02 bombas A e B iguais associadas em paralelo: H P = H 0 − A  ou 2 2

3-22

HP = H0 −

A 2 Q 4 PUCRS

Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

3.12.1 Curva Característica de Bombas em Paralelo

Consideremos duas bombas diferentes A e B conectadas em paralelo. H A = a 0 − a1Q A − a 2 Q A2 H B = b0 − b1QB − b2 QB2

Para conexão em paralelo:

QP = Q A + QB

HP = HA = HB

Considerando a bomba A: H P = a 0 − a1Q A − a 2 Q A2

Duas bombas iguais:

QP = 2Q A e desta forma: Q A = Q p / 2 Substituindo na equação da altura:

H P = a0 −

a1 a Q p − 2 Q p2 2 4

Para duas bombas iguais um caso simplificado é dado por:

a0 = H 0 a1 = 0 a2 = A HP = H0 −

A 2 Qp 4

Jorge A. Villar Alé

3-23

Sistemas Fluidomecânicos

3.12.2 Rendimento de Duas Bombas em Paralelo Consideremos o caso de duas bombas diferentes A e B conectadas em paralelo: Na conexão em paralelo a potência total é dada por:

W& P = W& A + W& A onde:

W& p =

ρgH P Q p

ρgH A Q A W& A = ηA

ηp

ρgH B QB W& B = ηB

como as bombas estão conectadas em paralelo:

HP = HA = HB = H

e QP = Q A + QB

Desta forma:

ρgHQP ρgHQ A ρgHQ A = + ηS ηA ηB

QP Q A Q A = + ηP η A ηB

(Q A + QB ) = Q A ηP

ηA

QB ηB

(Q A + QB ) = Q Aη B + QBη A ηS

η Aη B

Finalmente de obtém:

ηP =

3-24

(Q A + QB )η Aη B Q Aη B + QBη A

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Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

3.13

Exemplo – Bombas Conexão em Serie e em Paralelo

A tabela abaixo fornece os dados de altura manométrica e vazão da curva característica de uma bomba centrifuga. A partir destes dados tabele e grafique o resultado de 02 bombas iguais conectadas em serie e de 02 bombas iguais conectadas em paralelo. 3

Q (m h) H (m)

0 32,5

40 32

80 30,5

120 28

160 24,5

200 20

Solução: No caso da conexão em serie somamos as alturas e mantemos a vazão. Por exemplo, para uma vazão de 80 m3/h e altura de 30,5m temos Qs=Q=80m3/h e para altura Hs=2H=2*30,5m=61m. No caso da conexão em paralelo a vazão é adicionada mantendo a mesma altura. Para o mesmo exemplo Qp=2*Q=2x80=160 m3/h sendo que HP=H=30,5m. O mesmo pode ser realizado para os demais pontos da tabela. O resultado gráfico mostra-se na figura abaixo. 3

Q (m h) 0 40 80 120 160 200

H (m) Qs (m h) 32,5 0 32 40 30,5 80 28 120 24,5 160 20 200

Hs (m) 65 64 61 56 49 40

Qp (m h) 0 80 160 240 320 400

HP (m) 32,50 32,00 30,50 28,00 24,50 20,00

Duas Bombas Iguais em Serie

Altura Manometrica (m)

70 60 50 40 30 20 10 0 0

100

125

150

175

200

225

Vazão (m3/h)

40 Duas Bombas Iguais em Paralelo

Altura manometrica (m)

35 30 25 20 15 10 5 0 0

100

150

200

250

300

350

400

450

Vazão (m3/h)

Figura 3.22 Resultado da conexão de 02 bombas iguais em serie e em paralelo Jorge A. Villar Alé

3-25

Sistemas Fluidomecânicos

3.14

Exemplo - Conexão Paralelo

Considere que a figura abaixo representa a curva característica resultante de duas bombas iguais conectadas em paralelo. Grafique a curva característica de uma única bomba junto com a conexão das duas em paralelo. 18 H (m) 16

02 Bombas

14 12 10 8 6 4 2 0 0

Q (L/s)

Figura 3.23 Duas bombas iguais conectadas em paralelo Pontos da curva característica de 2 bombas iguais Q (L/s) H (m) Pontos da curva característica de uma única bomba Q (L/s) H (m)

18 H (m) 16

02 Bombas 01 Bomba

14 12 10 8 6 4 2 0 0

Q (L/s)

Figura 3.24 Resultado gráfico do problema 3-26

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Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

3.15

Exemplo - Conexão Série

Na Fig. 3.15 se apresentam as curvas características de duas bombas. a)Graficar a curva resultante da conexão em série destas bombas. b) Determinar o rendimento global da conexão em série para uma vazão de 4,0 m3/s na qual o rendimento da bomba A é de 50% e da bomba B é de 60%. 7

Bomba 1 Bomba 2

H(m)

5 4 3 2 1 0 0

Q (m3/s)

Figura 3.25 Gráfico de duas bombas Pontos da curva característica da bomba B-1 Q (m3/s) H (m) Pontos da curva característica da bomba B-2 Q(m3/s) H(m) Pontos da curva característica - conexão em série Q(m3/s) H(m)

Figura 3.26 Resultado gráfico do problema de bombas em serie.

Jorge A. Villar Alé

3-27

Sistemas Fluidomecânicos

3.16

Outros Exemplos

Exemplo 3.1: Uma bomba centrifuga apresenta as seguintes equações de características de altura manometrica e rendimento global: Hman= 30 - 300Q2 e ηG= 10Q - 40 Q2 quando tem uma rotação de 1750rpm. Determinar: (a) Eq. Característica da Hman considerando duas bombas idênticas conectadas em paralelo (b) Eq. Característica da Hman considerando duas bombas idênticas conectadas em série (c) Eq. Característica da Hman e ηG da bomba quando a rotação muda para 3500rpm. Obs: A questão ( c ) deve ser resolvida com os conceitos das equações de semelhança (Cap.5).

Solução (a) Bombas conectadas em série (Q2S =Q1)

H 1 = 30 − 300Q 2 H 2 S = 2 H 1 = 2(30 − 300Q 2 )

H 2 s = 60 − 600Q 2 (b) Bombas conectadas em paralelo (H2p=H1) (Q2s=2Q1)

H 2s H 2s

Q = 30 − 300  2 = 30 − 75Q 2

n  Q2 = Q1  2  = 2Q1  n1 

n H 2 = H 1  2  n1

  = 4H 1  2

H 1 = 30 − 300Q12 onde: Q1=Q2/2.   Q2  H 2 = 4 H 1 = 4 30 − 300 2   = 120 − 300Q 2  2  

Q  Q  η G = 10 2  − 40 2  = 5Q − 10Q 2  2   2  2

Obs. Continuar o problema graficando as curvas características.

3-28

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Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

3.17 Atividade de Aprendizado - 1 – Proposta Bomba centrífuga Diâmetro do rotor (mm) Largura da pá (mm) Entrada 150 75 Saída 300 50 OBS: Fluido: água a 200C. Rotor com entrada radial. Numero de pás: 7. Rotação: 1450 rpm.

Q 3 (m /s)

W& ac

Q (L/s)

Hman (m)

(kW)

40 80 120 160 200

32,0 30,5 28,0 24,5 20,0

34,2 39,2 45,0 52,5 64,5

Rendimento (%)

Ht00 (m)

Ângulo da pá (graus) 200 250

Ht# (m)

Hman

Hman (m)

1. Eq. que representa a curva da altura teórica para numero infinito de pás: Ht00 = 2. Eq. que representa a curva da altura teórica para numero finito de pás: Ht# = 3. Eq. que representa a curva da altura manométrica da bomba Hman=

60 58 56 54 52 50 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 0

100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210

Vazao (L/s)

Jorge A. Villar Alé

3-29

Sistemas Fluidomecânicos

3.18

Atividade de Aprendizado – 2 - Resolvida

Num laboratório é testado um modelo de bomba de 100mm de diâmetro e 1440rpm. O resultado é apresentado na Tabela.

Q 3 (m /h) 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

H (m) 18 17.4 16.6 15.7 14.6 13.4 12 10.5 8.8 7

Rendimento (%) 72 77 82 83 84 82 77 70 60 50

Atividades 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

3-30

Graficar a informação dada na tabela. Determinar e graficar a curva de potencia da bomba. Determinar a Eq. que representa a altura manométrica por ajuste no Excel. Determinar a Eq. que representa a curva de rendimento por ajuste no Excel. Determinar a vazão de projeto, altura manométrica de projeto e rendimento neste ponto. Determinar a rotação especifica característica para o ponto de máximo rendimento. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em serie. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em paralelo. Considerando que será construída uma bomba semelhante de 200mm diâmetro que trabalhara com 1750rpm, Graficar: H − Q η − Q Pot − Q da bomba.

PUCRS

Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

Solução: 1. Graficar a informação dada na tabela. 20

200

Bomba de 100mm e 1440rpm

180

140

120

H = -0.003Q + 0.1002Q + 18.179

100

Rendimento (%)

160

Altura Manometrica (m)

Rendimento = -0.0439Q2 + 4.5718Q - 34.842

0 30

Vazao (m3/h)

2. Determinar e graficar a curva que representa a potencia da bomba. A Tabela-1 mostra os dados resultados da potencia sendo graficados na figura abaixo. 3.5

Curva de Potência Bomba de 100mm e 1440rpm 3.0

Potência (kW)

2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 35

Vazao (m3/h)

3. Eq. que representa a altura manométrica por ajuste no Excel. H = 18.179 + 0.1002Q - 0.003Q2 4. Eq. que representa a curva de rendimento por ajuste no Excel. η = - 34.842 + 4.5718Q - 0.0439Q2. 5. Determinar a vazão de projeto e altura manométrica de projeto. A vazão de projeto é determinada derivando a expressão do rendimento e igualando a zero, desta forma encontra-se a vazão para o rendimento máximo. Com esta vazão determina-se a altura manométrica. Q=52,07 m3/h

η=84,2% H=15.3m

6. Determinar a rotação especifica característica para o ponto de máximo rendimento.

nq = n

Q H man

3/ 4

= 1440 *

52,071 / 3600

(15,4)3 / 4

= 22,27 rpm

7. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em serie. O resultado das duas bombas conectadas em serie mostra-se na Tabela-2

Jorge A. Villar Alé

3-31

Sistemas Fluidomecânicos 40 2 Bombas em Serie D=100mm

Altura Manometrica (m)

35 30 25 20 15 10 5 0 30

Vazao (m3/h)

8. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em paralelo. O resultado das duas bombas conectadas em paralelo mostra-se na Tabela-2 20

2 Bombas Paralelo D=100mm

Altura Manometrica (m)

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 30

110

130

150

170

Vazao (m3/h)

η −Q

Pot − Q Bomba de 200mm e 1750rpm 120

200

Bomba de 200mm e 1750rpm

180

Altura Mnometrica

100

160 140

120 60

100 80

Rendimento (%)

8. Graficar: H − Q

20 0 300

400

500

600

0 800

700

Vazao (m3/h)

190

Curva de potência Bomba de 200mm e 1750rpm 170

Potência (kW)

150 130 110 90 70 50 300

400

500

600

700

800

Vazao (m3/h)

3-32

PUCRS

Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

RESULTADOS DOS DADOS TABELADOS Tabela – 1 Q H Rend Potência 3 (m /h) (m) (%) kW 35 18 72 2.4 40 17.4 77 2.5 45 16.6 82 2.5 50 15.7 83 2.6 55 14.6 84 2.6 60 13.4 82 2.7 65 12 77 2.8 70 10.5 70 2.9 75 8.8 60 3.0 80 7 50 3.1

Tabela – 2 2 Bombas - Série 2 Bombas - Paralelo 3 Qs Hs (m) Qp (m /h) Hp (m) 35 36.0 70.0 18.0 40 34.8 80.0 17.4 45 33.2 90.0 16.6 50 31.4 100.0 15.7 55 29.2 110.0 14.6 60 26.8 120.0 13.4 65 24.0 130.0 12.0 70 21.0 140.0 10.5 75 17.6 150.0 8.8 80 14.0 160.0 7.0

Q 3 (m /h) 340.28 388.89 437.50 486.11 534.72 583.33 631.94 680.56 729.17 777.78

Jorge A. Villar Alé

Tabela – 2 Bomba semelhante n2=1750 D2=200mm H Rend (m) (%) 106.34 72 102.79 77 98.07 82 92.75 83 86.25 84 79.16 82 70.89 77 62.03 70 51.99 60 41.35 50

Potência kW 136.9 141.5 142.6 148.0 149.6 153.5 158.5 164.3 172.2 175.3

3-33

Sistemas Fluidomecânicos

3.19

Problemas Propostos

Problema 3.1: Considere os seguintes dados de uma bomba centrífuga com entrada radial. D1=150mm b1=75mm β1=200

D2=300mm b2=50mm β2=250

N=1450rpm α1=900 ρ=1000 kg/m3

Determinar os polígonos de velocidades da bomba considerando número infinito de pás. Determinar o grau de reação da bomba. Determinar a equação da altura teórica para número infinito de pás versus a vazão da bomba (Htoo-Q) Graficar a curva característica para número infinito de pás. Htoo = k1 - k2Q Determinar a altura teórica para número finito de pás ( Ht# ) considerando 7 pás. Graficar a curva característica para número finito de pás. Ht# = k*1 - k*2Q Q Q Htoo Ht#

m3/s L/s M M

120

160

200

Problema 3.2 Considere que a bomba definida no Problema 1 foi fabricada sendo levantada a sua curva característica em laboratório. Os resultados da curva real são dados a seguir: Q L/s 40 80 120 160 200 Hman m 32 30,5 28 24,5 20 kW 34,2 39,2 45 52,5 64,5 & W ac

Graficar as curvas de altura-vazão e potência-vazão 2 Determinar a curva característica da bomba considerada do tipo H = k1 - k2Q Determinar para a bomba fabricada a altura manométrica máxima (Hmax) e a vazão máxima (Qmax). Determinar a rotação específica característica da bomba. (nq) Problema 3.3 Graficar a curva da altura manométrica versus a vazão. (Hman-Q) Determinar o rendimento correspondente a cada ponto levantado no laboratório. 2 Determinar a equação do rendimento considerando que é do tipo η=k1Q + k2Q Determinar a vazão de projeto (Qp) e altura manométrica de projeto (Hp). Q Hman

W& ac

L/s m KW %

Problema 3.4 Graficar a curva característica (Hman-Q) ( P-Q) (η-Q) considerando uma rotação n=1300rpm. Q L/s Hman m kW W& ac

Problema 3.5 A bomba é utilizada para elevar água num sistema com altura estática de elevação igual a 15m. A tubulação tem um comprimento de 2750m. Considere que o fator de atrito na tubulação é igual a f=0,02. Determine a curva do sistema. Determine o ponto de funcionamento bomba-sistema considerando interseção das curvas. Determine rendimento no ponto de funcionamento 3-34

PUCRS

Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas

Determine a potência da bomba para as condições do sistema.

O resultado gráfico do Problema 1 ao 3 é mostrado na Fig. 3.27

Figura 3.27 – Curva característica– Resultados gráficos dos problemas propostos.

Comentário Final: Com este material o aluno deverá estar capacitado para estudar: qual é a influência da curvatura das pás em bombas centrífugas, quais os tipos de pás e como é transferida, teoricamente, a energia do rotor ao fluido com os diferentes tipos de pás. Foram apresentadas as curvas teóricas e as curvas reais das bombas centrífugas. Nas aplicações de engenharia o aluno deverá lidar com as curvas reais já que são estas as fornecidas pelos fabricantes. Com tal informação o aluno poderá selecionar, dos fabricantes existentes no mercado, o tipo de bomba mais apropriada para uma determinada aplicação. A informação e definições complementares de altura manométrica, rendimento global, potência de acionamento e NPSH das bombas, são abordados nos capítulos seguintes.

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3-35

CapĂtulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade

Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade

Jorge A. Villar AlĂŠ

4-1

Sistemas Fluidomecânicos

Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade SUMÁRIO

4.1 COEFICIENTES ADIMENSIONAIS ...............................................................................................................3 4.1.1 NÚMERO DE REYNOLDS ......................................................................................................................4 4.1.2 NÚMERO DE MACH..............................................................................................................................4 4.1.3 RUGOSIDADE RELATIVA ......................................................................................................................5 4.1.4 COEFICIENTE DE PRESSÃO OU ALTURA ESPECÍFICA .............................................................................5 4.1.5 COEFICIENTE DE VAZÃO OU CAPACIDADE ESPECIFICA ..........................................................................5 4.1.6 COEFICIENTE DE POTÊNCIA .................................................................................................................5 4.2 EFEITOS DE ESCALA ...............................................................................................................................8 4.2.1 EFEITO DO NÚMERO DE REYNOLDS ..........................................................................................................8 4.2.2 EFEITO DO NÚMERO DE MACH.................................................................................................................8 4.2.3 EFEITO DA RUGOSIDADE RELATIVA..........................................................................................................8 4.2.4 EFEITO DE ESPESSURA ...........................................................................................................................8 4.3 LEIS DE SIMILARIDADE ............................................................................................................................9 4.3.1 LEIS DE SIMILARIDADE PARA DUAS MÁQUINAS SEMELHANTES ...................................................................9 4.4 UTILIZANDO AS LEIS DE SIMILARIDADE ...................................................................................................10 4.5 MODIFICAÇÃO DO TAMANHO DA BOMBA .................................................................................................12 4.6 CURVA CARACTERÍSTICA DE BOMBA VARIANDO A ROTAÇÃO: .................................................................13 4.7 RENDIMENTO GLOBAL VARIANDO A ROTAÇÃO .......................................................................................14 4.8 DETERMINAÇÃO DA ROTAÇÃO ESPECIFICA ............................................................................................15 4.9 ROTAÇÃO ESPECÍFICA CARACTERÍSTICA - NQ .........................................................................................16 4.10 NÚMERO ESPECÍFICO DE ROTAÇÕES POR MINUTO.................................................................................17 4.10.1 RELAÇÃO ENTRE NS - NQ ...............................................................................................................17 4.11 VELOCIDADE ESPECÍFICA EM BOMBAS DE MÚLTIPLOS ESTÁGIOS ............................................................18 4.11.1 BOMBAS COM ENTRADAS BILATERAIS (ROTOR GEMINADO) .................................................................18 4.11.2 BOMBAS COM VÁRIOS ESTÁGIOS E ENTRADA BILATERAL......................................................................18 4.11.3 ROTAÇÃO ESPECÍFICA - UNIDADES AMERICANAS ...............................................................................18 4.11.4 NÚMERO ESPECÍFICO DE RPM EM FUNÇÃO DA POTÊNCIA ..................................................................19 4.11.5 OUTRAS RELAÇÕES ..........................................................................................................................19 4.11.6 RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTE DE PRESSÃO E NÚMERO ESPECÍFICO DE ROTAÇÕES ...........................20 4.12 EXEMPLOS RESOLVIDOS .......................................................................................................................20 4.13 ATIVIDADE DE APRENDIZADO ................................................................................................................27 O 4.14 ATIVIDADE PROPOSTA N 1 ...................................................................................................................31 O 4.15 ATIVIDADE PROPOSTA N 2 ...................................................................................................................32

4-2

PUCRS

Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade

4.1 Coeficientes Adimensionais A performance das máquinas de fluxo deve ser determinada por testes experimentais, sendo que diferentes máquinas apresentam características diferentes. Podem existir máquinas da mesma família (mesmo desenho porém fabricadas com diferentes tamanhos), as quais constituem uma série de máquinas geometricamente semelhantes ou similares, podendo funcionar com diferentes rotações dentro de limites práticos. Trabalhando com as grandezas reais de cada máquina seria impossível caracterizar uma família de máquinas semelhantes pela grande quantidade de variáveis envolvidas. O problema é resolvido aplicando análise adimensional às variáveis envolvidas, formando grupos adimensionais. Desta forma, os grupos adimensionais fornecem leis de similaridade que governam as relações entre uma família de máquinas geometricamente semelhante. A Tab. 4.1, apresentada a seguir, mostra as variáveis envolvidas em turbomáquinas.

Tabela 4.1 Variáveis Envolvidas em Turbomáquinas Símbolo Variável Potência transferida. (entre o impelidor e fluido) W& Q H n D ρ µ K ε

Vazão através da máquina Energia a ser vencida ou extraída pela máquina Rotação do impelidor Diâmetro do impelidor Massa específica do fluido Viscosidade absoluta do fluido Módulo de elasticidade volumétrico Rugosidade absoluta interna da máquina

Dimensões ML2T-3

Unidades Watts

L3T-1 L T-1 L ML-3 ML-1T-1 ML-1T-2 L

m3/s M rad/s M kg/m3 Ns/m2 N/m2 M

Como H é a energia por unidade de peso do fluido, é preferível utilizar como variável o termo (gH), que representa a energia por unidade de massa, ou também chamada energia específica (Y=gH), que é mais fundamental, já não depende da aceleração da gravidade. Consideramos a energia específica como a variável dependente. A relação entre as variáveis envolvidas é expressa como:

gH = φ (Q, n, D, ρ , µ , K , ε ) Utilizando método indicial, a série de potência se reduz para:

gH = CQ a , n b , D c , ρ d , µ e , K f , ε i onde C é uma constante de proporcionalidade.

Substituindo as dimensões de cada variável envolvida:

L2  L3   1  c M   M   M  =     ( L)  3      2  L   LT   LT 2  T  T  T a

Jorge A. Villar Alé

( L) i 4-3

Sistemas Fluidomecânicos

As equações indiciais: Para:

[ M ]:0 = d + e + f

⇒ d = −e − f

[T ]:−2 = −a − b − e − 2 f

⇒ b = −2 − a − e − 2 f

[L] : 2 = 3a + c − 3d − e − f

+ i ⇒ c = 2 − 3a − 2e − 2 f − i

Substituindo nas equações originais:

gH = K c Q a , n

(2 − a − e − 2 f )

 Q  gH = Cn D  3   nD  2

, D ( 2 −3 a − 2 e − 2 f −i ) , ρ ( − e − f ) , µ e , K f , ε i

 µ    2  nD ρ 

 K  ε   2 2    n D ρ  D f

 Q   µ   K   ε   gH ;  2 2 ;   = φ  ; 2 2 3   2 n D nD nD ρ      n D ρ   D   Da expressão apresenta diferentes parâmetros característicos que serão definidos a seguir.

4.1.1

Número de Reynolds

Sabemos que velocidade periférica é dada como U=ωR. Podemos também expressar que U é proporcional a nD isto é U ∝ nD desta forma na expressão:

µ µ Podemos substituir: n=U/D com o qual 2 nD ρ UDρ o qual representa:

1 µ = Re nD 2 ρ

a viscosidade cinemática é dada como ν=ρ/ µ e desta forma a expressão representa o número de Reynolds definido como:

Re = 4.1.2

UD ν Número de Mach

A velocidade do som pode ser dada como: c =

k onde k=ρc2 ρ

é o módulo elasticidade volumétrico. A

velocidade periférica n=U/D.

K ρK c2 1 = = = 2 2 2 2 n D ρ U  2 U Ma   D ρ  D 4-4

PUCRS

Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade

4.1.3

Rugosidade Relativa

O último termo e/D é definido como rugosidade relativa. Desta forma, o coeficiente de pressão é representado em função dos seguintes parâmetros adimensionais.

[

C H = φ C Q , Re, Ma, ε / D

]

(

)

Da mesma forma, com auxilio da análise dimensional, considerando a vazão como variável independente se obtém o coeficiente de potência ( CW& ). Ambos são função das variáveis φ C Q , Re, Ma, ε / D 4.1.4

Coeficiente de Pressão ou Altura Específica

Para trabalhar em unidades coerentes as expressões dos coeficientes são apresentadas em função da velocidade angular ω (rad/s) e não da rotação n (rpm).

CH = 4.1.5

gH ω 2D2 Coeficiente de vazão ou Capacidade Especifica

CQ = 4.1.6

Q ωD 3 Coeficiente de Potência

CW& =

W& ω 3D5 ρ

As relações funcionais entre CH, CW& , WQ são determinadas experimentalmente e constituem um conjunto característico que representam a performance de uma família de máquinas geometricamente semelhantes, e que são idênticas para todas aquelas máquinas em que Re, Ma, ε/D são as mesmas. Pode ser demonstrado que o rendimento global é função destas variáveis adimensionais.

η=

CQ C H CW&

Podemos representar as curvas características das turbomáquinas em função destes coeficientes. Por exemplo, vamos supor que temos a informação de uma bomba de um fabricante com diâmetro do rotor de 200mm a qual opera com rotação de 1750rpm sendo fornecidos os dados de altura, vazão e rendimento conforme tabela abaixo. A partir de estes dados, utilizando a planilha de Excel obtemos a potência e podemos graficar as curvas respectivas da altura manométrica rendimento e potencia como mostra a figura.

Jorge A. Villar Alé

4-5

Sistemas Fluidomecânicos

Tabela 4.2 Dados de bomba η % 32 54 70 79 79 66 38

100

O resultado mostra que a bomba apresenta seu rendimento máximo (80%) para uma vazão de 46m3/h fornecendo uma altura manométrica em torno de 15,3m.Para cada um dos pontos podemos determinar os respectivos coeficientes de vazão, altura e potência, resultado mostrado na tabela e gráficos dados abaixo.

Altura manometrica

Rendimento

14 12

10 8

6 4

Rendimento (%)

H m 18 18,5 18 16,5 14 10 5,4

Altura (m) e Potência (kW)

Q m3/h 10 20 30 40 50 60 70

20 Potência

2 0

0 0

Vazão (m3/h)

Figura 4.1 Curvas características da bomba 3

Por exemplo, para Q=50m /h temos:

CQ =

Q 50 / 3600 = = 0,0095 3 ωD 183,3 x0,2 3

CH =

gH 9,81x14 = = 0,102 2 2 ω D 183,3 2 0,2 2

CW& =

W& 2414,6 = = 0,0012 3 5 ρω D 1000 x183,33 0,2 5

Observa-se que para graficar (Fig.4.2) em escalas apropriadas os coeficientes de vazão e potência foram multiplicados por 100 e o coeficiente de altura por 10. Tabela 4.3 Resultados dos coeficientes adimensionais da bomba Q m3/h 10 20 30 40 50 60 70

H m 18 18,5 18 16,5 14 10 5,4

η % 32 54 70 79 79 66 38

W Watts 1532,8 1867,1 2102,1 2276,6 2414,6 2477,3 2710,7

CQx100 0,19 0,38 0,57 0,76 0,95 1,14 1,33

CHx10 1,31 1,35 1,31 1,20 1,02 0,73 0,39

CWx100 0,08 0,09 0,11 0,12 0,12 0,13 0,14

Para verificar o resultado podemos utilizar para a vazão de 50m3/h a expressão do rendimento global.

4-6

PUCRS

Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade

η=

CQ C H CW&

0,0095 x0,102 = 0,79 (79% conforme dado origina do fabricante) 0,0012

O mesmo pode ser realizado para cada ponto fornecido pelo fabricante. Cabe assinalar que o valor 0,79 é obtido quando se trabalha com todo o numero de casas que utiliza a planilha Excel.

2,0

100 90

Rendimento

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

Coeficiente de altura

0,6

0,4

Rendimento (%)

CHx10

1,8

20 Coeficiente de potência

0,2

0,0

0 0,0

0,5

1,0

1,5

CQx100

Figura 4.2 Coeficiente adimensionais da bomba.

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4-7

Sistemas Fluidomecânicos

4.2 Efeitos de Escala Quando se utilizam as leis de similaridade se assume que todos os critérios de similaridade dinâmica são satisfeitos. Quando se analisam os grupos adimensionais que representam o número de Reynolds, o número de Mach e a rugosidade relativa se observa que isto não ocorre na realidade. 4.2.1 Efeito do Número de Reynolds Sabemos que o Re para turbomáquinas é definido como Re=UD/ν . Toda mudança de rotação ou diâmetro altera o valor de Re, e por isto não pode ser considerado como um valor constante. Contudo, para água e ar este efeito é pequeno já que geralmente Re é muito alto, e o fluxo é geralmente turbulento. 4.2.2 Efeito do Número de Mach. O aumento da rotação ou o diâmetro do rotor faz com que o número de Mach aumente. Desta forma isto faz não é satisfeita a condição de similaridade e os efeitos de compressibilidade poderão ser importantes afetando a performance da máquina. Os efeitos de compressibilidade devem ser estudados cuidadosamente no caso de compressores e ventiladores quando se trabalha com as leis de similaridade. 4.2.3 Efeito da Rugosidade Relativa A rugosidade absoluta (e) é um valor médio das alturas das perturbações superficiais que permanecem as mesmas para um certo material e processo de fabricação, utilizado numa máquina (bomba, turbina, ventilador, compressor, etc) independente de seu tamanho. Porém, qualquer modificação de tamanho da máquina e, portanto do impelidor implicará numa modificação da sua rugosidade relativa. Bombas maiores apresentam menor rugosidade relativa. Nas máquinas maiores isto tende a fazer perdas de atrito, pequenas e menos importantes. 4.2.4 Efeito de Espessura Na prática é difícil manter similaridade geométrica devido ao efeito de interstícios (tamanhos). A mesma bitola de chapa, por exemplo, pode ser utilizada para uma ampla faixa de tamanhos de rotores. Todos estes efeitos são conhecidos como efeitos de escala. Em geral, o efeito de escala tende a melhorar a performance das máquinas de maior porte.

Nas equações de semelhança são desprezados os efeitos de viscosidade e rugosidade superficial. Quando o tamanho da turbomáquina diminuí, como por exemplo no caso de modelos e protótipos, tais efeitos podem se tornar significativos. No caso de bombas pode ser utilizada a seguinte relação que considera a variação da eficiência em função da semelhança geométrica da bomba.

1 − η1  D1   = 1 − η 2  D2 

4-8

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Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade

4.3 Leis de Similaridade Todas as máquinas de uma mesma família operam sob condições dinamicamente semelhantes. Desta forma os coeficientes adimensionais são os mesmos em pontos correpondentes de suas características. Isto implica que as leis de similaridade, que governam as relações entre tais pontos correspondentes, podem ser relacionadas como: Coeficiente de vazão:

CQ =

Q = cte ou também Q ∝ nD 3 nD 3

Coeficiente de altura

CH =

gH = cte ou também gH ∝ n 2 D 2 2 2 n D

Coeficiente de potência:

CW& =

P = cte ou também W& ∝ ρn 3 D 5 5 n D ρ 3

Devendo também satisfazer que Re, Ma ε/D sejam os mesmos. Tais máquinas apresentam um rendimento constante η=cte. 4.3.1 Leis de Similaridade para Duas Máquinas Semelhantes

Q2  n2   D2  =    Q1  n1   D1 

H 2  n2   D2  =    H1  n1   D1  2

3 5 W& 2  n 2   D2   ρ 2   =   W&1  n1   D1   ρ1

  

η 2 = η1 (mesmo rendimento) Q1,Q2: vazões das bombas n1,n2: rotações das bombas H1,H2, alturas de elevação manométrica do líquido bombeado. W&1 W& 2 : potência das bombas. Casos particulares: a) Mesmo Rotor b) Mesmo Fluido c) Mesma Rotação. Jorge A. Villar Alé

4-9

Sistemas Fluidomecânicos

4.4 Utilizando as Leis de Similaridade Consideremos uma bomba, com rotação n1 e diâmetro D, que apresenta curvas características de altura vazão, H-Q rendimento vazão η-Q e potência vazão P-Q. Desejamos determinar nova curva característica quando se modifica a rotação para um valor n2 tal que n2 > n1. Quando a bomba está operando num ponto x (Fig.4.3) fornece uma altura manométrica Hx para uma vazão Qx e consome uma potência Px com um rendimento ηx.

Figura 4.3 Modificação da curva da altura-vazão em função da rotação. Quando trabalha numa rotação n2 maior que n1 se obtém pelas leis de similaridade um novo ponto que denominaremos x’, com a nova vazão e altura que fornecerá a bomba:

n  Qx ' = Qx  2   n1  n H x ' = H x  2  n1

  

Na Fig.4.3 mostra-se o ponto x´. Aplicando tal método a outros pontos podemos determinar a curva da bomba para a rotação n2. Da mesma forma pode-se determinar a potência consumida na nova rotação e graficar a curva de potência da bomba para a nova rotação n2

n  W& x ' = W& x  2   n1 

4-10

PUCRS

Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade

Na Fig.4.4 mostra-se o resultado gráfico da mudança de rotação para vários pontos da curva. Observa-se que existem uma relação de curvas parabólicas do tipo H=cQ2 que passam pelos pontos com mudança de rotação. 100 90

Altura Manometrica

80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

Vazão

Figura 4.4 Modificação da curva da altura-vazão em função da rotação.

A continuação será demonstrada que quando um ponto se modifica para uma nova altura manométrica e vazão o rendimento permanece constante. Isto significa que no caso anterior para qualquer ponto η x = η x '

O rendimento global é definido como a razão entre a potência hidráulica e a potência mecânica fornecida (potencia de acionamento: η=

ρgQH W& ac

Aplicando a expressão de rendimento global para as rotações n1 e n2.

ρgQ x H x ρgQ x ' H x ' η 'x' = & Wx W& x ' dividindo as duas expressões; ρgQ x H x ηx Px Q H W& = = x x x' η ' x ' ρgQ x ' H x ' Q x ' H x ' W& ηx =

Px ' Utilizando as relações de similaridade: Jorge A. Villar Alé

4-11

Sistemas Fluidomecânicos

η x  n1  n1 =   η ' x '  n2  n2

  

 n2   n1

  = 1  3

Desta forma se obtém que ηx=ηx’

Apesar de ηx=ηx’ quando se graficam mostram-se como sendo curvas diferentes já que: ηx é plotada contra Qx

ηx’ é plotada contra Qx’

O procedimento visto pode ser aplicado a outros pontos, obtendo-se a nova curva de rendimento da bomba. A Fig.4.5 mostra o resultado gráfico de duas curvas de alturas manométricas com seus respectivos rendimentos. Observa-se que para um ponto qualquer na mudança de rotação o rendimento se mantém constante.

Figura 4.5 Modificação da curva da altura-vazão em função da rotação. 4.5 Modificação do Tamanho da Bomba A modificação do diâmetro do rotor pode fornecer novas curvas características quando trabalhamos com as leis de similaridade para uma bomba com a mesma rotação. (n1=n2)

D  Q2 = Q1  2   D1 

D  H 2 = H1  2   D1 

D  W& 2 = W&1  2   D1 

η 2 = η1

4-12

PUCRS

Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade

4.6 Curva Característica de Bomba Variando a Rotação

Consideremos uma bomba A com rotação nA H A = a 0 − a1Q A − a 2 Q A2

Pelas relações de semelhança se a bomba muda de rotação a altura e vazão da curva é modificada pelas relações: n  H B = H A  B   nA 

n  n  Q B = Q A  B  QB = Q A  B   nA   nA  2   nA   nA  2 a 0 − a1  QB − a 2   QB   nB   nB 

  

2 2 2   n 2  nB   n A   nB   n A  2 B H B = a 0   − a1    Q B − a 2     Q B   n A   n A   nB   n A   nB 

  

n  n  H B =  B  H A =  B   nA   nA  2

  n 2 n  H B = a 0  B  − a1  B Q B − a 2 Q B2   n A   nA 

  

Denominado a relação de rotações por:

n  rn =  B   nA  Obtemos a relação: H B = a 0 rn2 − a1rn QB − a 2 Q B2 Também podemos escrever a Eq. como:

H B = b0 − b1QB − b2 QB2 onde : b 0 = a 0 rn2

n  n  onde: rn =  B  e considerando que QB = Q A  B  = Q A rn  nA   nA 

b1 = a1rn b2 = a 2 Jorge A. Villar Alé

4-13

Sistemas Fluidomecânicos

4.7 Rendimento Global Variando a Rotação

Para determinar o rendimento global de uma bomba que muda de rotação utilizamos as equações de semelhança. Estas relações são válidas para máquinas semelhantes de igual rendimento. Consideremos uma bomba A com rotação nA a qual apresenta um rendimento global dado pela expressão do tipo:

η A = a1Q A − a 2 Q A2 onde a1 e a2 são constantes. Quando a bomba muda de rotação (nB ) a vazão é modificada considerando a equação de semelhança:

n  QB = Q A  B   nA  Desta forma a curva do rendimento o rendimento: n  n η B = a1  B QB − a 2  B  nA   nA

 2  QB  2

η B = a1 rn QB − a 2 rn2 QB2

Também podemos escrever a Eq. como:

η B = b1QB − b2 QB2 onde : b1 = a1 rn b2 = a1 rn2

4-14

PUCRS

Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade

4.8 Determinação da Rotação Especifica Consideremos duas bombas semelhantes. Uma com diâmetro do rotor igual a D1 e outra com diâmetro do rotor igual a D2

Q1  n1 = Q2  n 2

 D1   D2

H 1  n1  =  H 2  n 2 

  

 D1   D2

  

explicitando a relação de diâmetros

D1 = D2

H1 H2

 n2   n1

  

Substituindo esta equação na equação da vazão que relaciona as vazões:

Q1  n1   H 1 =   Q2  n2   H 2 

 n2   n1

  

Q1  n1  H 1 =   Q2  n 2  H 2

  

 n2   n1

 Q  = 1 Q2  2

n2 = n1

Q1 Q2

n1 Q1 3/ 4 1

 H2   H1

  

3/ 2

  

  

3/ 2

H    =  1   H2   3

3/ 2

 n2   n1

  

3/ 2

Q1 H 23 / 4 3/ 4 Q2 H 1

n 2 Q2 H 23 / 4

Admitindo que uma destas bombas seja uma bomba padrão com uma altura unitária H=1m e vazão unitária Q=1m3/s, tal bomba terá uma rotação denominada rotação específica característica.

nq =

n Q 3/ 4 H man

Cada família de bombas apresenta uma faixa de nq . Observa-se que ns tem como unidades rpm já que tanto a vazão como a altura manométrica foram adimensionalisadas. Jorge A. Villar Alé

4-15

Sistemas Fluidomecânicos

4.9 Rotação Específica Característica - nq Rotação específica é a rotação na qual deverá operar uma bomba geometricamente semelhante à bomba considerada, capaz de elevar 1m de altura a uma vazão de 1m3/s com o máximo rendimento.

n: número de rpm da bomba. nq = 3 / 4 (rpm) Q: vazão ou descarga da bomba (m3/s) H man Hman : Altura útil ou manométrica (m) Obs: Os valores de (Q,Hman) considerados correspondem ao ponto de máximo rendimento.

n Q

• Cada família ou classe de bombas apresenta uma faixa particular de rotação específica. • O conceito é muito útil para engenheiros e projetistas, já que é possível selecionar o tipo de bomba mais eficiente para uma determinada aplicação. • As bombas centrífugas, por exemplo, trabalham com vazões baixas e grandes elevações, por isto apresentam baixas rotações específicas. • A Tab. 4.2 mostra velocidades específicas para diversos tipos de rotores. Tabela 4.2 Faixa de valores da rotação especifica (nq) para diferentes tipos de bombas hidráulicas. Bombas Centrífugas Hélico Centrifugas Helicoidal Axial Lenta (radial) Normal Rápida Tipo Francis Fluxo Misto < 25 25 - 35 35 - 70 70 - 120 120 - 160 > 140 A Fig. 4.6 mostra o resultado equivalente ao dado na Tab. 4.2 incluindo a representação gráfica do tipo de rotor e a aplicação em quanto a altura manométrica.

Figura 4.6 Faixa de rendimentos para bombas centrífugas em função da rotação específica (nq)

Utilizando por exemplo a Fig 4.1 a bomba opera a 1750rpm e apresenta no seu rendimento máximo uma vazão de 46m3/h fornecendo uma altura manométrica em torno de 15,3m. Desta forma:

n q = 1750

4-16

46 / 3600 = 25,57 rpm o que pode representar o caso de um rotor centrifugo normal. /4 15,33man PUCRS

Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade

4.10 Número Específico de Rotações por Minuto Representa o número de rpm de uma bomba geometricamente semelhante à bomba considerada que eleva 75litros de água a uma altura de 1 metro em 1 segundo, e demanda uma potência de 1CV. Obs: Desta forma se trabalha com uma vazão de Q=0,0075m3/s.

n s = 3,65 • • • •

n Q 3/ 4 H man

(rpm)

n: número de rotações da bomba (rpm) Q: vazão ou descarga da bomba (m3/s) H: altura útil ou manométrica (m)

Com ns podemos determinar o tipo de bomba mais apropriado a ser utilizado. A caracterização do tipo de rotor depende não apenas de Q e H mais também da sua rotação (n). Maiores valores de ns representa menores dimensões das bombas. A equação de ns mostra que quanto maior Q e menor H maior será a velocidade específica ns.

A figura abaixo mostra diferentes rotores com os respectivos valores de ns.

Figura 4.7 Faixa do número específico de rpm - ns • A bomba ideal geometricamente semelhante à bomba considerada a qual tem uma rotação de ns denomina-se bomba unidade da bomba dada. • Todas as bombas geometricamente semelhantes entre si terão uma única bomba unidade o que implica que todas elas terão uma única velocidade específica. 4.10.1 Relação entre ns - nq O número específico de rpm se relaciona com a rotação específica característica pela seguinte expressão:

ns = 3,65nq

Utilizando os dados do exemplo anterior ns=3,65x25,57=93,7, confirmando que trata-se de um rotor de bomba norma de bomba centrifuga já que esta na faixa entre 90rpm e 130 rpm.

Jorge A. Villar Alé

4-17

Sistemas Fluidomecânicos

4.11 Velocidade Específica em Bombas de Múltiplos Estágios Para determinar a rotação específica em bombas de múltiplos estágios divide-se a altura útil pelo número de estágios (i) da bomba:

n s = 3,65

n Q n: número de rotações da bomba (rpm) 3

 H man  H: altura útil ou manométrica (m)    i  i : número de estágios da bomba. 3/

Q: vazão ou descarga da bomba (m /s)

Número de Estágios: • Como primeira aproximação pode-se admitir que para alturas até 50m pode-se trabalhar com 01 estágio (i=1). • Se a altura for maior que 50m se utilizam vários estágios cada um proporcionando uma altura entre 20 a 30m

H man (m) (20...30)m

4.11.1 Bombas com entradas bilaterais (Rotor Geminado) • Trata-se de 2 rotores de costas um ao outro, fundidos numa única peça. Neste caso a vazão se divide metade em cada lado do rotor para se obter a rotação específica:

n n s = 3,65

Q 2

3/ 4 H man

Figura 4.8 Detalhe de rotor com entrada bilateral 4.11.2 Bombas com vários estágios e entrada bilateral

n s = 3,65

Q 2

 H man     i 

3/ 4

Figura 4.9 Detalhe de bomba com estágios 4.11.3 Rotação Específica - Unidades Americanas No sistema americano a rotação específica é dada por: n: rotação da bomba (rpm) n Q ns (americano) = 3 / 4 Q: vazão da bomba (galões/min) H man H: altura manométrica da bomba (pé)

4-18

PUCRS

Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade

Expressões utilizadas para conversão do sistema americano ao métrico:

ns =

ns ( americano ) 14,15

ou utilizando a rotação específica

nq =

ns ( americano ) ns ( americano) = 14,15 x 3,65 51,7

4.11.4 Número Específico de RPM em Função da Potência Para água com γ=1000 kgf/m3, considerando a potência útil.

1000QH man W& u = 75 podemos fazer

W& u 1000Q = 75 H man como:

n s = 3,65

n Q 3/ 4 H man

= 3,65

1000Q

H man

75 H man

= 3,65

W& u

H man

H man H man

W& u 3/ 4 H man

• A utilização de ns em função da potência supõe considerar um valor de rendimento. No caso ns em função de vazão isto não é necessário e por isto é a expressão mais utilizada. 4.11.5 Outras Relações

H 1  n1  Da relação de maquinas semelhantes =  H 2  n 2 

 D1   D2

  

definimos a rotação unitária das bombas

semelhantes (nu) fazendo n1=nu H1=1m e D1=1m. Desta forma se obtém:

nu =

nD H man

Para bombas radiais pode ser utilizada a relação entre a rotação especifica (nq) e rotação de bomba unitária (nu) de bombas semelhantes.

nu = 0,5n q + 75 (rpm) Com a equação acima pode ser estimado o diâmetro ótimo de um rotor radial. Jorge A. Villar Alé

4-19

Sistemas Fluidomecânicos

4.11.6 Relação entre Coeficiente de Pressão e Número Específico de Rotações Alguns textos definem coeficiente de pressão (ψ)

ψ =

2 gH man U2

e o coeficiente de vazão como

ϕ=

4Q πD 2U

Onde D e U representam respectivamente o diâmetro e velocidade tangencial do rotor. A Figura 4.8 mostra como é relacionada a rotação especifica (nq) com o coeficiente de pressão. Figura 4.10 Coeficiente de pressão

4.12 Exemplos Resolvidos Exemplo-4.1

Uma bomba com rotor de 343mm opera no seu ponto de máxima eficiência com uma vazão de 115 m3/h e uma altura manométrica de 50m. A bomba trabalha com 1750rpm. (a) Determinar o tipo de bomba (b) Determinar o coeficiente de pressão e de vazão. Solução Dados: D=343mm Q=115 m3/h Hman=50m n=1750 rpm.

nq =

n Q 3/ 4 H man

1750 x =

115 3600

50 3 / 4

≅ 16,6 Da Tab. 4.2 se obtém que trata-se de uma bomba centrífuga radial.

Para avaliar o coeficiente de pressão e de vazão devemos calcular inicialmente a velocidade periférica do rotor:

U2 =

πD2 n πx343 x1750 = = 31,43m / s 60 1000 x60

2 gH man 2 x9,81x50 = ≅ 0,99 Obs. Pela Fig. 4.8 se obtém um valor muito próximo. U2 (31,43)2 115 4x 4Q 3600 ϕ= = = 0,011 2 πD U πx(0,343) 2 x32,43)

ψ =

4-20

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Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade

Exemplo-4.2

Uma bomba centrífuga com rotor de 0,5m de diâmetro e uma rotação de 750rpm apresentando dados fornecidos na tabela abaixo. Grafique a curva H-Q e η-Q da bomba original e de uma bomba geometricamente semelhante com diâmetro de 0,35m e opera com uma rotação de 1450rpm Q (m3/min)

H (m)

40.6

40.4

39,3

33.6

25.6

14.5

η (%)

Solução: Dados:

n1=750

Q2  n2   D2  =    Q1  n1   D1 

n2=1450

D2=0,35m

H 2  n2   D2  =    H1  n1   D1  2

D1=0,5m

Utilizando as equações de similaridade se obtém a seguinte tabela: Q (m3/min) 0 4.64 9.28 13.92 18.56 23.21 H (m) 73.2 74.30 73.90 72.0 69,6 61.50 0 41 60 74 83 83 η (%)

27.85 46.85 74

32.50 26.54 51

37.0 0 0

Os resultados podem então ser plotados e comparados com os iniciais como se mostra na figura abaixo. 80

80 70 60

50 50 40 40 30 30

Bomba 1 n=750rpm e D=0,50m Bomba 2 n=1450rpm e D=0,35m 20

Bomba 1 (H-Q) Bomba 2 (H-Q) Bomba 1 - Rendimento Bomba 2 Rendimento

Rendimento (%)

Altura Manometrica (m)

0 0

Vazão Q(m^3/min)

Figura 4.11 Resultado utilizando equações de similaridade

Jorge A. Villar Alé

4-21

Sistemas Fluidomecânicos

Exemplo – 4.3

Uma bomba com 1450rpm apresenta os seguintes dados obtidos do catálogo da bomba: Q (L/s) 40 80 120 160 200 Hman (m) 32 30,5 28 24,5 20 P (kW) 34,2 39,2 45 52,5 64,5 (a) Graficar as curvas de Altura-Vazão e Rendimento-vazão (b) Determinar e graficar a curva de H-Q quando a rotação diminui para 1400rpm. Solução: (a) Graficar as curvas de Altura-Vazão e Rendimento-vazão O rendimento é determinado para cada vazão e altura pela expressão de potência:

ρgH man Q W& ac = ηG Q (L/s) Rend (%)

40 36,72

ηG =

80 61,06

ρgH man Q W& ac

120 73,25

160 73,25

200 60,84

(b) Determinar e graficar a curva de H-Q quando a rotação diminui para 1400rpm. Utilizando os dados da bomba com 1450rpm e as relações de semelhança: 2

Q2  n2 = Q1  n1

  

H (m)

com as quais obtemos a seguinte tabela Q L/s 37,29 Hman m 28,80

74,58 27,45

111,87 25,20

149,16 22,05

186,44 18,00

0 20

100

120

140

160

180

200

220

Rendimento (%)

H 2  n2  =  H 1  n1 

0 240

Q (L/s)

Figura 4.12 Resultados da curva de bomba modificando a rotação.

4-22

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Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade Exemplo – 4.4

Na figura representa-se a curva H-Q de uma bomba operando numa instalação com uma rotação de n (rpm). Um manômetro e um vacuômetro são instalados na saída e entrada da bomba, indicam respectivamente 1,8kgf/cm2 e 0,4kgf/cm2. Em tais condições a bomba tem uma rotação específica (nq) igual a 53,99rpm. i)Determinar a vazão, altura manométrica e rotação da bomba. ii)Se mantemos a mesma vazão na instalação qual a nova altura manométrica que poderá fornecer a bomba quando se modifica a rotação para n’ (rpm). Determine esta nova rotação nas condições de operação. (Fluido: água) Solução i) Altura manométrica do sistema: Hman= HV + HM

Hman (m)

Onde HM é a altura representativa da pressão registrada pelo manômetro (PM=1,8kfg/cm2) equivalente em coluna de água a HM=18,0mca; A altura representativa da pressão registrada pelo vacuômetro (Pv=0,4kfg/cm2) equivalente em coluna de água a Hv=4mca. Por tanto, a altura total de elevação é dada por:

Hman= HM + HV = 18,0m + 4,0m = 22,0m Com Hman=22m na curva da bomba com rotação n se encontra uma vazão igual a Q=24litros/s ou 0,024m3/s.

Q(l/s) Figura 4.13 Curvas de Bomba centrifuga A rotação da bomba pode ser conhecida com a rotação específica:

nq =

n Q H man

3/ 4

Resolvendo para a rotação real se encontra:

n =

n q H man

3/ 4

53,99 x 22 3 / 4 0,024

= 3540rpm

ii) Com Q=24,0 lit/s se encontra na curva de rotação n’ uma altura total de elevação de Hman=12,0m. Utilizando as relações de semelhança para a bomba quando se modifica a rotação se tem:

H1  n2  =  H 2  n1 

H  n 2 = n1  1   H2 

Jorge A. Villar Alé

1/ 2

 12  = 3540x   22 

1/ 2

= 2614rpm

4-23

Sistemas Fluidomecânicos Exemplo – 4.5

Uma bomba centrífuga trabalha com água com uma vazão de 68,4m3/hora. O rotor de 320mm gira a 1500 rpm e apresenta escoamento radial na entrada do rotor e pás radiais na saída. (a) Determine potência teórica da bomba para número infinito de pás. (b) Determine as condições de operação de uma bomba geometricamente semelhante com diâmetro de 380mm e rotação de 1750rpm. Solução: Q=68,4m3/s

n=1500rpm

U2 =

D2=320mm

πD2 n πx320 x1500 = = 25,13m / s 60 1000 x60

H t∞ =

1 2 1 U2 = (25,13)2 = 64,4m g 9,81

Determinar:

W& t∞ = ρgQH t∞ = 1000 x9,81x 0,019 x64,4 = 12kW Q1=68,4m3/h

n1=1500rpm n2=1750rpm

D1=320mm

D2=380mm

 n  D   1750  380  3 Q2 = Q1  2  2  = 68,4   = 133,6m / hora  1500  320   n1  D1  3

n H 2 = H 1  2  n1

  

n W& 2 = W&1  2  n1

  

4-24

 D2   1750   380    = 64,4    = 123,6m  1500   320   D1 

 D2   D1

  

 ρ2   ρ1

  1750   380   = 12    = 45kW  1500   320   3

PUCRS

Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade

Exemplo – 4.6

Os parâmetros da bomba são: rotação 400rpm; vazão 1,7m3/s e altura manométrica 36,5m e potência 720kW. Um modelo geometricamente semelhante com escala 1:6 desta bomba será testado. Se o modelo é testado com altura manométrica de 9,0m, determine a rotação e descarga que deverá funcionar assim como a a potência requerida para o mesmo. Solução: Consideramos com sub índice 1 o protótipo (bomba) e sub índice 2 o modelo. Protótipo: Q1=1,7m3/s H1=35,5m P1=720kW D2=1/6D1

n Q2 = Q1 2 n1

n2 = n1

 D2   D1

H2 H1

  

 D1   D2

n H 2 = H 1  2  n1

  

 D2    D  1

n1=400rpm H2=9,0m n2=? W2=?

 9  = 400 (6 )2 = 1192rpm 36,5  2

1192  1  3 Q2 = 1,7   = 0,0235m / s 400  6  3

n W& 2 = W&1  2  n1

  

 D2   1192   1    = 720    = 2,45kW  400   6   D1  5

Exemplo – 4.7

Um sistema deve bombear água através de uma tubulação de 150mm de diâmetro interno com 460m de comprimento. Considere o coeficiente de atrito igual a 0,025. A altura estática de elevação é igual a 12m considerando nulas todas as perdas localizadas e hvel=0. Determinar e a equação característica do sistema. Qual a altura manométrica do sistema quando a vazão requerida é igual a 80m3/h. Qual a nova vazão e altura que poderia operar uma bomba quando muda a rotação de 1750rpm para 2000rpm. Solução: Dados: D=150mm L=460m f=0,025 he=12m

 4Q    2 L v L  πD 2  16 L Q 2 hL = f = f = f 2 5 D 2g D 2g π D 2g L 460 2 hL = 0,0826 f 5 Q 2 = 0,0826 x0,025 Q = 12513Q 2 D 0,15 5 2

A equação da curva característica da bomba é dada por:

H man = he + hL = 12 + 12513Q 2 com Q (m3/s) com Q=80m3/h (0,022m3/s) se obtém H=18,2m.

n 2000 m3 Q2 = Q1 2 = 80 = 91,43 n1 1750 h

Jorge A. Villar Alé

n H 2 = H 1  2  n1

  2000   = 18,2  = 23,75m  1750   2

4-25

Sistemas Fluidomecânicos Exemplo – 4.8

Uma bomba com diâmetro de 75 mm opera com uma rotação de 3450rpm. A bomba fornece uma vazão de 60 m3/h e desenvolve uma altura manométrica de 20m requerendo uma potência de acionamento de 10 kW. Determinar a rotação, vazão e potência necessária para o acionamento de uma bomba semelhante com 100mm de diâmetro e deve operar com uma altura manométrica de 30m Solução: D1 = 75mm D2 = 100mm

Q1 = 60 m3/h Q2 = ? m3/h

n1=3450 rpm. n2=? rpm.

H1=20m P1=10kW. H2= 30m P2= ? kW.

Utilizando as equações de semelhança:

n Q2 = Q1 2 n1

 D2   D1

  

n H 2 = H 1  2  n1

  

 D2     D1 

D 

n P2 = P1  2  n1

  

 D2   D1

  

Denominado a relação de diâmetros: λ =  2  = ≅ 1,33  D1  75

n2 = n1

H2 λ = 3170rpm H1

Q2 = Q1

n2 3 m3 λ = 130,6 n1 h

n W& 2 = W&1  2  n1

100

 5  λ = 32,7 kW  3

Exemplo – 4.9

Especificar o tipo de bomba e determinar o diâmetro externo do rotor, a qual deve trabalhar com uma vazão de 75 m3/h desenvolvendo uma altura manométrica de 22m operando com rotação de 1500 rpm. Solução: Dados:

Q = 75 m3/h

H=22m

n1=1500 rpm.

nq =

n Q

1500

75 3600

= 3/ 4 H man 22 0, 75 Como nq esta entre 10 e 70 deve ser utilizada uma bomba centrifuga radial.

Utilizando a expressão de número de rotações especifico:

= 21,3rpm

A rotação de uma máquina unitária: nu = 0,5n q + 75 com o que se obtém nu=87,5rpm.

nu =

4-26

nD H man

e assim obtemos o diâmetro: D =

nu H man n

87,5 22 = 0,268 ≅ 270mm 1500

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Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade

4.13 Atividade de Aprendizado

O gráfico representa as curvas características de uma bomba centrifuga do fabricante Goulds Pumps utilizada para serviços gerais com água.

(a) Determine a Eq. da curva característica Hman-Q para o rotor B (5 ¾” ) representada por um polinômio de 2º grau e graficar a mesma junto os pontos da curva original. (b) Determine a Eq. da curva característica de duas bombas iguais operando em serie e em paralelo. Grafique a curva original mais as curvas em serie e em paralelo. (c) Determine a Eq. da curva de Hman como função de vazão e rotação: Hman= f(Q,n)

Jorge A. Villar Alé

4-27

Sistemas Fluidomecânicos

(a) Determine a Eq. da curva característica Hman-Q para o rotor B (5 ¾” ) representada por um polinômio de 2º grau. Solução: Primeiro podemos fazer uma tabela com os dados da vazão em galões por minuto (gpm) e a altura em pés e transformamos respectivamente para m3/h e m. Q (gpm) 0 10 20 30 40 50 60

Q (m3/h) 0,0 2,3 4,5 6,8 9,1 11,4 13,6

Hman (pés) 123 121 115 105 90 72 49

Hman (m) 37,5 36,9 35,1 32,0 27,4 21,9 14,9

Sabemos que a curva característica da bomba pode ser aproximada por uma equação do tipo

H man = a 0 + a1Q + a 2 Q 2 Com auxilio da planilha Excel plotamos os pontos da tabela anterior e realizamos um ajuste polinomial de 2º grau cujo resultado mostra-se na figura abaixo. 40 H man = 37,483 + 0,024Q - 0,1231Q 2

H (metros)

30 25 20 15 10 5 0 0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

Q (m /h)

Assim obtemos os coeficientes da Eq. são ao=37,483 a1=0,024 e a2=-0,1231. Desta forma a Eq. da curva característica da bomba para o rotor de B (5 ¾” ) é dada por:

H man = 37,483 + 0,024Q − 0,1231Q 2

4-28

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Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade

(b) Determine a Eq. da curva característica de duas bombas iguais operando em serie e em paralelo. Grafique a curva original mais as curvas em serie e em paralelo.

As Equações para as duas bombas iguais operando em serie e em paralelo são dadas por; Eq. Curva bombas em serie:

(

H S = 2 a0 + a1QS + a2QS2

Eq. Curva bombas em paralelo:

)

H P = a0 +

a1 a QP + 2 QP2 2 4

Utilizando as constantes anteriormente determinadas se obtém:

H s = 2 * (37,483 + 0,024Q − 0,1231Q 2 )

H p = 37,483 +

H s = 74,966 + 0,048Q − 0,2462Q 2

H p = 37,483 + 0,012Q − 0,030775Q 2

0,024 0,1231 2 Q− Q 2 4

Desta forma podemos obter com os dados originais de altura e vazão as respectivas associações de bombas iguais em serie e em paralelo conforme tabela abaixo junto com o resultado gráfico das respectivas curvas características. 3

Q (m /h)

Hman (m)

Qs (m /h)

Hs (m)

Qp (m /h)

Hp (m)

0,0

37,5

0,0

75,0

0,0

37,5

2,3

36,9

2,3

73,8

4,5

36,9

4,5 6,8 9,1 11,4 13,6

35,1 31,9 27,5 21,9 14,9

4,5 6,8 9,1 11,4 13,6

70,1 63,9 55,1 43,8 29,9

9,1 13,6 18,2 22,7 27,3

35,1 31,9 27,5 21,9 14,9

25,0

30,0

80 70

H (metros)

60 50 40 30 20 10 0 0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

Q (m /h)

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4-29

Sistemas Fluidomecânicos (c) Determine a Eq. da curva de Hman como função de vazão e rotação: Hman= f(Q,n)

Podemos determinar a expressão da Eq. que representa a curva da bomba que originalmente opera numa rotação nA e muda para uma rotação nB. A curva da bomba com rotação nB pode ser determinada pela expressão:

b0 = a0 rn2 H B = b0 + b1QB + b2QB2

onde

b1 = a1rn

com rn =

b2 = a2

nB nA

considerando que Q B = Q A rn

Da questão (a) temos que os coeficientes: ao=37,483 a1=0,024 e a2=-0,1231. Considerando que nA=3500rpm, podemos por exemplo reduzir a rotação para nB=3200rpm, obtendo-se rn=0,91. Desta forma encontramos que b0=31,33 b1=0,03 b2=-0,1231. Assim temos as duas curvas características que podem ser plotadas como mostra a figura abaixo.

Para a rotação nA

H A = 37,483 + 0,024Q A − 0,1231Q A2

Para a rotação nB

H B = 31,3 + 0,03QB − 0,1231QB2 QA (m3/h) 0,0 2,3 4,5 6,8 9,1 11,4 13,6

HA (m) 37,5 36,9 35,1 31,9 27,5 21,9 14,9

QB m3/h) 0,0 2,1 4,2 6,2 8,3 10,4 12,5

HB(m) 31,3 30,9 29,3 26,8 23,1 18,4 12,6

40 35 30

H (m)

25 20 15 10 5 0 0,0

2,5

5,0

7,5

10,0

12,5

15,0

Q (m3/h)

4-30

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Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade

4.14 Atividade Proposta No1

A tabela abaixo as especificações de uma bomba de um determinado fabricante: Q (m3/h) 0 144 288 432 576 Hman (m) 33 32 30,5 28 24,5 Wac (kW) 32 34,2 39,2 45 52,5 Rend (%) Curva Característica Hman = Hman (m)

720 20 64,5

160

140

120

100

0 0

0 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 Q (m3/h)

Obs. Nas equações principais apresente a dedução de unidades no sistema internacional. Isto será levado em conta na avaliação das questões.

Jorge A. Villar Alé

4-31

Potência (kW) Rend (%)

Hman (m)

Determine: (a) O rendimento global (%) da bomba para cada ponto (b) Determine a Eq. que representa a curva característica da bomba nas unidades dadas na tabela acima. (c) Graficar a altura manométrica (m), a potencia (kW), o rendimento global (%) assim como a altura manométrica obtida pela curva característica determinada no item (b). (d) Considerando a Eq. obtida em (b) apresente as Eqs. resultantes da associação de bombas em serie em paralelo para duas bombas iguais.

Sistemas Fluidomecânicos

4.15 Atividade Proposta No2 Um sistema requer operar com uma vazão de 22,5 m3/h e altura manométrica de 24,2m ATIVIDADES Selecione a bomba apropriada especificando o diâmetro (mm) do rotor Determine a velocidade tangencial do rotor. Determine a potencia de acionamento da bomba no ponto de operação. Determine a potencia fornecida pelo fabricante (compare com a potencia anterior) Elabore uma tabela Q-H com pelo menos 5 pontos da curva correspondente a bomba) Elabore uma tabela Q-H associando duas bombas em serie Elabore uma tabela Q-H associando duas bombas em paralelo Tabela 1 01 bomba Tabela 2 02 bombas em Serie Tabela 3 02 bombas em Paralelo

Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3

Q (m3/h) H (m) Q (m3/h) H (m) Q (m3/h) H (m)

Determine a Eq. que representa a curva característica da bomba. (Grafique) Determine a Eq. que representa 02 bombas associadas em serie. (Grafique) Determine a Eq. que representa 02 bombas associadas em paralelo. (Grafique)

4-32

Resultados

H = Hs = H p=

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CapĂtulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento

Curvas Operacionais De Sistemas de Bombeamento

Jorge A. Villar AlĂŠ

5-1

Sistemas Fluidomecânicos

Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento SUMÁRIO

5.1 Curvas Características de Sistemas de Bombeamento...............................................3 5.1.1 Sistema com Altura Estática Nula .........................................................................4 5.1.2 Sistema com Altura Perda de Carga Nula..............................................................4 5.1.3 Sistema com Altura Estática Positiva ......................................................................5 5.1.4 . Sistema com Altura Estática Negativa ..................................................................5 5.1.5. Sistema com Baixa Perda de Carga ......................................................................6 5.2 Controle de Desempenho das Bombas. ......................................................................7 5.2.1 Controle do Sistema por Regulação ou Estrangulamento de Válvula .....................8 5.2.2 Controle de Sistema de Utilização de uma Linha de Recirculação (Bypass) ........8 5.2.3 Controle de Sistema por Ajuste da Rotação..........................................................9 5.2.4 Controle de Sistema por Mudança no Diâmetro do Rotor ...................................12 5.2.5 Controle por Ajuste do Angulo de Passo das Pás ...............................................14 5.2.6 Comparativos de Estratégias de Controle da Vazão ...........................................15 5.2.7 Operaçao de Sistemas com Bombas em Paralelo...........................................17 5.3 Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas .........................19 5.3.1 Equação Característica Real de Bombas Centrífugas ..........................................19 5.3.2 Perdas Hidráulicas nas Bombas ..........................................................................20 5.4 Método para Parametrização das Curvas de Bombas................................................21 5.5 Exemplo do Procedimento.........................................................................................22 5.6 Equações Complementares.......................................................................................27

5-2

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Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento

5.1 Curvas Características de Sistemas de Bombeamento A curva característica do sistema é formada pela contribuição da altura estática de elevação he mais a contribuição da perda de carga da tubulação e dos acessórios. A perda de carga dos acessórios inclui válvulas, registros perdas por entrada ou saída do fluido nos reservatórios assim como a perda de carga por elementos na tubulação que permitem mudança de diâmetro da tubulação tais como bocais convergentes e bocais divergentes. A altura estática de elevação é determinada pela contribuição da altura estática de aspiração mais a altura estática de recalque. Considerando como referencia o centro da bomba a altura estática de elevação pode ser a soma o diferença das alturas de aspiração (ha) e altura estática de recalque (hr) A perda de carga da tubulação é proporcional ao quadrado da velocidade (v2) e, portanto proporcional ao quadrado da vazão (Q2). Desta forma a curva característica do sistema é dada por uma Eq. do tipo:

H man = he + kQ 2 Quando temos um sistema de bombeamento em que o nível da superfície da água do reservatório de aspiração esta abaixo do centro da bomba a altura estática de elevação, é dada por:

he = ha + hr

Fig.5.1 Sistema convencional Quando no sistema de bombeamento o nível da superfície da água do reservatório de aspiração esta acima do centro da bomba, a altura estática de elevação é dada por:

he = ha − hr

Fig.5.2 Sistema bomba afogada Quando no sistema de bombeamento o nível da superfície da água do reservatório de aspiração esta acima do centro e o nível da água do reservatório de recalque abaixo do centro da bomba, a altura estática de elevação torna-se negativa e é dada por:

he = −(ha + hr )

Fig.5.3 Sistema bomba gravidade

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5-3

Sistemas Fluidomecânicos

5.1.1

Sistema com Altura Estática Nula

Quando a altura de aspiração e de recalque são iguais, a altura estática de elevação é nula. Neste caso (Fig.5.4) a curva do sistema é determinada unicamente em função da perda de carga da tubulação. O ponto de operação é a intercessão da curva da bomba com a curva do sistema. Nestes sistemas a vazão pode ser reduzida pelo fechamento de uma válvula de registro.

H man = kQ 2

Fig.5.4 Sistema bomba gravidade

5.1.2 Sistema com Altura Perda de Carga Nula Quando a altura de aspiração a perda de carga do sistema é muito pequena ou desprezível a curva do sistema é uma reta paralela ao eixo da vazão sendo determinada unicamente em função altura estática de elevação (Fig.5.5). O ponto de operação é a intercessão da curva da bomba com a curva do sistema.

H man = he

Fig.5.5 Sistema com perda de carga nula

5-4

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Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento

5.1.3 Sistema com Altura Estática Positiva Neste sistema (Fig.5.6) a altura manométrica é determinada pela soma da contribuição da altura estática de elevação mais a perda de carga da tubulação e acessórios. Da mesma forma que no sistema anterior na intercessão das curvas encontra-se o ponto de operação. Também pode ser mudada a vazão com regulação de uma válvula de registro.

H man = he + kQ 2

Fig.5.6 Sistema com altura estática positiva

5.1.4 Sistema com Altura Estática Negativa Neste sistema (Fig.5.7) o resultado da soma altura estática da aspiração e de recalque tornam a altura estática de elevação negativa. Parte da energia do sistema é transferida por gravidade e parte adicionada pela bomba. Da mesma forma que no sistema anterior na intercessão das curvas encontra-se o ponto de operação. A vazão pode ser mudada com regulação de uma válvula de registro.

H man = −he + kQ 2

Fig.5.7 Sistema com altura estática negativa

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5-5

Sistemas Fluidomecânicos

5.1.5 Sistema com Baixa Perda de Carga Em sistemas de este tipo (Fig.5.8) a perda de carga da instalação é muito pequena, o que pode ser devido a velocidades baixas na tubulação, poucos acessórios na instalação ou diâmetros grandes assim como tubulações muito lisas. Desta forma na altura manométrica do sistema predomina a altura estática de elevação. Sendo assim a curva do sistema torna-se bastante plana o que significa que com o aumento da vazão a altura manométrica aumenta pouco mais do que a altura de elevação.

H man = he + kQ 2 ≅ he

Fig.5.8 Sistema com baixa perda de carga

5-6

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Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento

5.2 Controle de Desempenho das Bombas. O ponto de operação (Fgi.5.9) da vazão e altura manométrica é dado pela interseção da curva da bomba com a curva do sistema. Para mudar este ponto de operação poder ser modificada a curva da bomba ou a curva do sistema.

Fig.5.9 Ponto de operação bomba-sistema

A curva do sistema pode ser modificada: Modificando a resistência do escoamento, por exemplo, utilizando o fechamento de um registro, instalando um sistema de recirculação da vazão (bypass), modificando ou trocando o diâmetro da tubulação ou também pode ocorrer naturalmente devido ao próprio envelhecimento da tubulação. A curva da bomba pode ser modificada: Mudando o diâmetro do rotor, realizando um corte para diminuir o diâmetro do rotor, ativando ou desativando bomba, operando um conjunto de bombas em serie ou em paralelo. Também pode ser mudada a curva da bomba através modificando a rotação procedimento o qual a vazão, altura manométrica e potência modificam-se regidas pelas leis de semelhança das bombas. Em bombas axiais pode ser mudada a curva da bomba mudando o ângulo de passo das pás do rotor.

Jorge A. Villar Alé

5-7

Sistemas Fluidomecânicos

5.2.1 Controle do Sistema por Regulação ou Estrangulamento de Válvula O controle da vazão pode ser realizado por regulação de uma válvula de registro a fim de ajustar a vazão para uma nova condição de operação (Fig.5.10). Se tivermos uma bomba em funcionamento com um determinado ponto de operação e desejamos diminuir a vazão, então é realizado o procedimento de fechamento do registro (estrangulamento) para atingir a vazão requerida. Esta obstrução do escoamento com o registro produz um aumento de perda de carga o que modifica a curva do sistema original deslocando o ponto de operação até a interseção da curva da bomba com a curva do sistema modificada. Este procedimento é de baixo custo, contudo pouco eficiente já que o aumento da perda de carga se traduz numa energia dissipada (perdida) transformada em calor (Fgi.5.11). Desta forma a potência consumida pode aumentar para suprir o aumento da perda de carga. Cabe assinalar que neste procedimento a curva da bomba se mantém a mesma e desta forma não é modificada nem a rotação nem o diâmetro do rotor.

Fig.5.10 Sistema com estrangulamento de registro

Fig.5.11 Energia dissipada pelo fechamento de registro 5.2.2 5-8

Controle de Sistema de Utilização de uma Linha de Recirculação (Bypass) PUCRS

Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento

O controle da vazão é realizado abrindo um registro que permite por uma linha de recirculação do fluido (bypass) aumentar a vazão com o qual ocorre uma modificação na curva do sistema deslocando o ponto de operação (Fig.5.12). Em sistemas onde a altura estática é dominante o controle por bypass pode ser mais eficiente que a regulação por fechamento de registro ou por ajuste da rotação.

] Fig.5.12 Sistema de controle por recirculação de vazão (bypass)

Fig.5.13 Curvas de operação de sistema de controle por recirculação de vazão 5.2.3

Controle de Sistema por Ajuste da Rotação

Pelas leis de semelhança temos conhecimento que uma determinada bomba com diâmetro especifico pode apresentar diferentes curvas de altura vazão quando é modificada sua rotação. Conhecendo as Jorge A. Villar Alé

5-9

Sistemas Fluidomecânicos

condições de operação (vazão e altura manométrica) para uma determinada rotação n1 podemos determinar as novas condições de operação para uma nova rotação n2. A Fig.5.14a mostra a modificação da curva de uma bomba que opera com rotação n1 no ponto de máximo rendimento. Pelas leis de semelhança a mudança da vazão é diretamente proporcional a mudança da rotação Q α n , a altura manométrica muda proporcional ao quadrado da rotação ( H α n2 ) e a potência muda com o cubo da rotação ( W α n3 ). Por exemplo para uma redução de 50% da rotação a bomba fornece a metade da vazão, uma altura manométrica de 25% da sua altura original e absorvendo 12,5% da potência. Observa-se que reduzindo a rotação podem ser geradas famílias de curvas de esta mesma bomba. Também se mostra na Fig.5.14b que o rendimento global pode permanecer alto se quando a vazão se mantém entre 60 a 100% da vazão de projeto.

(b) (a) Fig.5.14 Curvas de operação de bombas com mudança de rotação

Os principais benefícios do controle de rotação é que permite com facilidade modificar o ponto de operação adequando a curva da bomba para a curva do sistema. O procedimento também permite otimizar a energia do sistema eliminado as perdas por controle de registro assim como permite uma funcionamento suave no processo de partida do motor da bomba.

Observa-se na Fig.5.15 que o ponto de operação terá um rendimento levemente diferente que o ponto de operação original já que a curva do sistema de bombeamento é uma expressão quadrática que não corta a origem e o deslocamento dos pontos da a curva altura-vazão da bomba seguem uma expressão do tipo curva parabólica que segue as leis de semelhança em função da mudança de rotação. A figura abaixo mostra como isto acontece.

5-10

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Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento

Fig.5.15 Curvas de operação de sistema com bomba com mudança de rotação Nos casos em que o sistema não possui altura estática, a curva característica é representada por uma curva do tipo parabólica que passa pela origem (Fig.5.16). Nestes casos a variação da rotação, tal como mostra a Fig.5.16 pouco afeta o rendimento. Já que o ponto de operação para a nova rotação paraticamente acompanha a curva de rendimento. Nos casos em que a altura estática é significativa a mudança de rotação afeta o rendimento que terá o novo ponto de operação.

Fig.5.16 Curvas de operação com mudança de rotação para sistemas diferentes

Jorge A. Villar Alé

5-11

Sistemas Fluidomecânicos

5.2.4

Controle de Sistema por Mudança no Diâmetro do Rotor

A curva da bomba pode ser modifica trocando de rotor ou utilizando diminuindo (corte) o diâmetro do rotor original. Os dois procedimentos permitem adequar o desempenho da bomba para um determinado ponto de operação. A Fig.5.17 mostra de esquerda a direita um rotor de bomba centrifuga original com diâmetro de 213mm e 04 rotores com diferentes diâmetros de corte. A tabela mostra a relação entre o diâmetro original e o diâmetro de corte (Rc) assim como o percentual do corte em relação ao diâmetro original. A Fig.5.18 mostra o resultado das curvas de altura-vazão rendimento global e potência da bomba. Observa-se que a medida que o diâmetro do rotor é reduzido existe uma redução do rendimento da bomba assim como da potencia requerida para a operação da bomba.

Fonte: Experiments on impeller trim of a commercial centrifugal oil pump - Wen-Guang LI (2004)

Rotor Diâmetro (mm) Rc % corte

Rotor 1 Rotor 2 Rotor 3 Rotor 4 213 205 195 185 175 1,00 0,96 0,92 0,87 0,82 0% 3,8% 8,5% 13,1% 17,8% Fig.5.17 Exemplo de rotores com diminuição do diâmetro

Fig.5.18 Desempenho da potencia altura e rendimento de rotores com diminuição do diâmetro

5-12

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Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento

Fig.5.19 Ajuste do ponto de operação por redução do diâmetro do rotor. A Fig. 5.19 mostra como a mudança do ponto de operação para um rotor com diâmetro D1 reduzido a um diâmetro D2. Como se observa na Fig.5.20 para sistemas em que a altura estática de aspiração é pequena, o rendimento do novo ponto de operação se mantém aproximadamente constante; enquanto que para sistemas com uma grande altura estática de elevação o novo ponto de operação pode apresentar uma diminuição significativa do rendimento.

Fig.5.20 Variação do rendimento em função do tipo de curvas do sistema.

Jorge A. Villar Alé

5-13

Sistemas Fluidomecânicos

5.2.5

Controle por Ajuste do Angulo de Passo das Pás

Este procedimento é realizado nas bombas axiais nas quais suas pás podem ser reguladas mudando o ângulo do passo. A Fig.5.21 mostra a altura de operação e vazão de operação adimensionalizadas pelo ponto ótimo de operação no qual o rendimento é máximo. Observa-se, por exemplo, que quando a máquina opera com ângulo de passo das pás de 160 a bomba trabalha nas condições ótimas. Quando se deseja por exemplo operar a bomba num sistema com uma vazão de 80% em relação a vazão ótima (Q=0,8Qopt) , então o ângulo das pás deverão ser modificados para 110. Neste ponto o rendimento ficara em torno de 0,91 ηopt conseguindo uma altura manométrica em torno de 0,95 Hopt

Fig.5.21 Mudança do ângulo de passo em pás de bombas axiais

5-14

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Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento

5.2.6

Comparativos de Estratégias de Controle da Vazão

A Tab. 51. mostra um comparativo das estratégias de controle utilizando válvula de regulação, corte do diâmetro do rotor e variação da rotação utilizando inversor de freqüência. No exemplo a bomba com diâmetro do rotor de 430mm deve operar com uma vazão de 80 m3/h; Observa-se que o sistema de regulação por válvula trabalha com uma grande altura manométrica devido a perda de carga pelo fechamento do registro para poder atender a vazão especificada. O sistema por corte do rotor mostra que para atender a demanda da vazão o diâmetro devera ser de 375mm o que corresponde a uma relação de corte de Rc=0,87 correspondendo a uma diminuição 13% do diâmetro original. Nesta condição o rotor operara com uma altura manométrica de 42m, sendo que o rendimento é um pouco inferior ao rendimento alcançado no sistema de regulação com válvula. Também observa-se que com a redução do diâmetro do rotor a potência consumida é equivalente a 60% da potencia consumida no sistema de regulação por registro. A tabela mostra que o sistema de variação por rotação apresenta o melhor desempenho em termos de eficiência energética com o maior rendimento, a altura manométrica menor (34,5m) e requer a metade da potência que requer o sistema de regulação com válvula. Cabe assinalar que trata-se de um exemplo especifico e que tal resultado não pode ser generalizado, contudo pela em termos de eficiência energética o sistema que opera por variação de rotação é o mais apropriado e esta sendo utilizado como a melhor alternativa para redução do consumo de energia e operar com sistemas de bombeamento de maneira otimizada.

Tabela 5.1 Comparação de estratégias de operação Parâmetro Regulação de válvula Corte no rotor

Variação da rotação

Diâmetro do rotor

430 mm

375 mm

430 mm

Altura manométrica

71.7 m

42 m

34.5 m

Rendimento da bomba

75.1%

72.1%

77%

Vazão de operação

80 m3/hr

Potência consumida

23.1 kW

14 kW

11.6 kW

A Fig.5.22 mostra uma outro tipo de comparativo no qual mostra-se o percentual de energia consumida pela bomba em função do percentual de redução da vazão a partir de um determinado ponto de operação. A partir da condição original (100% da vazão) observa-se o que acontece quando é reduzida a vazão de modo percentual. Mostra-se que o sistema de recirculação da vazão (bypass) a redução da vazão não possui redução percentual do consumo de energia. O sistema por estrangulamento de válvula permite a diminuição da vazão assim como a energia consumida pela bomba conforme diminui a vazão. O melhor desempenho em quando a redução da energia é obtida com o sistema de velocidade variável. Neste sistema a diminuição da vazão permite uma redução da energia proporcional ao cubo da rotação da máquina.

Jorge A. Villar Alé

5-15

Sistemas Fluidomecânicos

Fig.5.22 Comparação da variação percentual A Fig.5.23 mostra outro comparativo das estratégias anteriores. Mostra-se a curva características do sistema e a curva característica da bomba observando-se que em termos de energia perdida o método de recirculação da vazão (bypass) é o menos eficiente seguido do método de estrangulamento de válvula. Observa-se que o método de mudança de rotação é ótimo já que para atingir o ponto de operação modifica-se muda a rotação ajustando a da bomba para a demanda da curva do sistema.

Fig.5.23 Comparativo de estratégias de controle da vazão.

5-16

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Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento

5.2.7

Operaçao de Sistemas com Bombas em Paralelo

Quando uma única bomba não consegue atender uma determinada vazão é possível conseguir tal requerimento utilizando um conjunto de bombas conectadas em paralelo. O uso de bombas conectadas em pode trazer benefícios em termos de redução do consumo de energia. As bombas em paralelo devem ser utilizadas de forma que ambas operem próximos do rendimento máximo. O sistema possuirá flexibilidade, redundância no caso de falha de uma das bombas e capacidade de vazão para atender novas necessidades de forma eficiente. O procedimento é recomendado em sistemas que possuem uma alta altura estática de elevação. Em sistemas onde predomina a perda de carga a alternativa de rotação variável torna-se mais eficiente e, portanto mais apropriada. Opta-se pela utilização de bombas iguais para disponibilizar uma altura manométrica equilibrada quando funcionando em conjunto. O uso de bombas diferentes poderia ocasionar uma perda de equilíbrio do funcionamento, no qual a bomba de maior capacidade tenderá a dominar o funcionamento do sistema forçando as outras bombas a trabalhar com menor eficiência. Consideremos um sistema (Fig.5.24) com sua curva característica mostrada na figura e operando junto com duas bombas iguais conectadas em paralelo. Na operação com as 2 bombas conectadas em paralelo o sistema encontra-se trabalhando no ponto Bp com uma vazão Qp = Q1 + Q2 . Se uma das bombas fica fora de funcionamento a bomba operará no ponto B com uma vazão QB. Observa-se que esta vazão é superior a vazão fornecem cada uma das bombas (QB > Q1+Q2). No caso inverso quando entra em funcionamento a segunda bomba o sistema opera no ponto Bp sendo que a vazão não duplica e sim atinge a vazão Qp, ponto no qual as duas bombas contribuem com a metade da vazão, isto é QBp = Q1 + Q2.

Fig.5.24 Comparativo de estratégias de controle da vazão.

Jorge A. Villar Alé

5-17

Sistemas Fluidomecânicos

Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas

5-18

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Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento

5.3 Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas Neste capítulo é apresentada uma metodologia que permite obter uma recuperação dos parâmetros de projeto a partir das características operacionais de uma bomba centrífuga. Com a informação da curva característica da altura-vazão, fornecida pelo fabricante, podemos obter, pelo procedimento de parametrização, outras curvas que apresentam em detalhe a altura teórica para número infinito de pás, a altura teórica para número finito de pás, e as curvas que representam as perdas ou dissipação de energia por choque e por atrito. 5.3.1 Equação Característica Real de Bombas Centrífugas A equação característica real de uma bomba centrífuga é definida por: A altura de elevação real desenvolvida pela bomba (altura manométrica) é a altura teórica para número finito de pás subtraída das perdas hidráulicas:

H = H t # − (h1 + h2 ) Onde Ht# é a altura teórica para número finito de pás, h1 perdas hidráulicas por atrito e h2 perdas hidráulicas por choque. A curva característica real de uma bomba centrífuga é mostrada na Fig.5.25 junto com as curvas das perdas hidráulicas e perdas por choque. Somando suas ordenadas obtemos a curva da perda hidráulica total. Subtraindo de Ht# a perda hidráulica total, como indica a equação, se obtém a curva característica real. A máxima altura de elevação de uma bomba é desenvolvida para uma vazão menor que Qo. Isto significa que a perda hidráulica mínima não corresponde à altura de elevação máxima. Podemos derivar as curvas, em relação a Q, e achar os respectivos pontos de derivada nula.

Figura 5.25 - Curva real de uma bomba incluindo as perdas hidráulicas

Jorge A. Villar Alé

5-19

Sistemas Fluidomecânicos

5.3.2 Perdas Hidráulicas nas Bombas As perdas hidráulicas da bomba podem ser consideradas como a superposição das perdas hidráulicas com as perdas por choque. As perdas hidráulicas dependem da dissipação viscosa do escoamento do fluido nos canais formados pelas aletas, difusores, aletas diretrizes de entrada e saída do rotor, e da dissipação viscosa que ocorre na parte posterior do rotor (atrito de disco). Tais perdas são proporcionais ao quadrado da vazão e podem ser expressas por:

h1 = k1Q 2 sendo a constante de proporcionalidade k1 função de características construtivas e dimensionais da bomba tais como tipo de máquina (radial,axial) e do tipo de acabamento superficial do rotor. Numa máquina real existirá perturbação no escoamento, com a formação de vórtices e regiões de recirculação, descolamento da camada limite. A dissipação de energia devido a estes fenômenos é conhecida como perdas por choque e pode ser equacionada como:

h2 = k 2 (Q − Q0 )

onde Q-Qo representa o desvio da vazão normal. Isto é, Q é a vazão atual da bomba, e Qo é a vazão de projeto (aquela que não induz perdas por choque). As perdas hidráulicas de uma bomba são então calculadas somando-se as perdas hidráulicas com as perdas por choque:

H = µH t∞ − k1Q 2 − k 2 (Q − Q0 )

H =µ⋅

U2 g

 Q ⋅ ctgβ 2 ⋅ U 2 − 2 ⋅ π ⋅ r2 ⋅ b2 

  − K 1 ⋅ Q 2 − K 2 (Q − Q0 )2 

A razão entre a altura real de elevação e a altura teórica de elevação define o rendimento hidráulico ηh . Então e pela definição de altura teórica para número finito de pás:

ηh =

H µ ⋅ H t∞

onde µ representa o fator de deslizamento, que é o inverso do coeficiente de Pfleiderer (kpfl). Depende da relação de diâmetros do rotor, (D1/D2), do número de pás (z) e do ângulo da pá na saída (β2o):       1 a β  2 k pfl = = 1 + 1 + 2   2 µ z 60   D   1    1 −  D   2  O coeficiente "a" leva em consideração a interação do difusor com o impelidor, sendo dado para diferentes tipos de volutas como Tipo de Voluta Voluta simples Difusor com pás guias Difusor sem pás guias 5-20

Coeficiente “a” 0,65 a 0,85 0,6 0,85 a 1,0 PUCRS

Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento

5.4 Método para Parametrização das Curvas de Bombas

A parametrização de bombas centrífugas trata da recuperação dos parâmetros de projeto. O equacionamento permite obter a curva real junto com as curvas de perdas quando são conhecidas suas características operacionais. Apesar de ser uma formulação para escoamento unidimensional, ela representa muito bem o comportamento das máquinas reais. Sabemos que a equação característica real de uma bomba centrífuga é representada como:

H =µ⋅

U2 g

  Q 2 ⋅ U 2 − ⋅ ctgβ 2  − k1 ⋅ Q 2 − k 2 ⋅ (Q − Q0 ) 2π ⋅ r2 ⋅ b2  

Na forma adimensional esta equação é dada por:

gH u2

  Q = µ 1 −    U 2 r2 b2

  1  Q 2 2  ctgβ 2  − gr2 b2 k1   2π  U 2 r2 b2 

(

)

  Q − Q0  − gr2 2 b2 2 k 2    U 2 r2 b2

(

)

  

Para simplificar a equação acima definimos H ∗ como a altura adimensionalizada, a qual é denominada coeficiente de pressão. Também trabalhamos com uma vazão adimensionalizada, Q* a qual é denominada coeficiente de vazão.

H∗ =

g⋅H U2

Q∗ =

Q U 2 ⋅ r2 ⋅ b2

Desta forma a equação adimensionalizada e utilizada para o procedimento de parametrização é dada como: 2   1  2 2 2 2 ∗ H ∗ = µ 1 − Q ∗  ctgβ 2   − gr2 b2 k1Q ∗ − gr2 b2 k 2 Q ∗ − Q0  2π  

(

)

(

) (

)

Os produtos (k1r22b22) e ( k2r22b22) são adimensionais, o que implica que as constantes k1 e k2 têm dimensão. A equação também pode ser dada como:

(

H ∗ = − gr2 b2 2

)(k k

1 2

)Q ∗2 + 2(gr2 2 b2 2 )k 2 Q0 ∗ − µ 

[

(

)

1  2 2 ∗2 ctgβ 2 Q ∗ + µ − gr2 b2 k 2 Q0 2π 

]

Para determinar os parâmetros de projeto podemos aproximar a curva por um polinômio, um polinômio de 2° grau, na forma:

H * = a0 + a1Q * + a2Q *

onde ao, a1 e a2 são constantes do polinômio determinadas facilmente na planilha do Excel.. Igualando-se, termo a termo, a equação da curva característica adimensional da bomba com a equação polinomial de segundo grau, obtém-se o seguinte conjunto de equações:

(

)

− gr22b22 (k1 + k 2 ) = a2 Jorge A. Villar Alé

5-21

Sistemas Fluidomecânicos

1   2 2 2 gr b k Q * − µ ctg β 2 2 2 0 2   = a1 2π

(

)

(

)

µ − gr22b22 k 2Q0*2 = a0 Como existem 3 equações e 4 incógnitas (k1, k2, µ, Q*), para resolver o sistema deve-se estipular valores para uma das incógnitas, e por procedimento iterativo chegar a solução como apresentado no exemplo dado. O diâmetro do rotor na saída, (D2) largura da pá na saída (b2) e ângulo da pá na saída (β2) devem ser fornecidos pelo fabricante ou estimados por metodologia apropriada.

5.5 Exemplo do Procedimento Fazer a parametrização da curva característica da bomba comercial KSB, modelo ETANORM 32125, com as seguintes características: O rotor da bomba tem diâmetro D2=139mm, e largura na saída igual a b2=10mm. O ângulo da pá na saída é β2 = 30°. Da curva fornecida no catálogo pelo fabricante, para 3500rpm se tem a seguinte tabela: Tabela 5.2 Dados fornecidos pelo fabricante H (m) Q (m3/h) η(%) 7,5 22 28,7 34 38

40 37,5 35 32,5 30

40 64 67 67 65,5

Inicialmente se graficar a curva da bomba com os dados fornecidos pelo fabricante (Fig.5.26). Curvas Características de Bombas Centrífugas

80 70 60

H (m)

50 40 30

Curva do Fabricante Rendimento

20 10 0 0

Q(m3/h)20

Figura 5.26 – Curva da altura manométrica (m) e rendimento global (%) O próximo passo é utilizar a equação real das bombas centrífugas mostrando-se a aplicação da mesma na recuperação dos parâmetros de projeto de equipamentos existentes, desde de que se conheça as características operacionais da bomba. A Equação característica real da bomba centrífuga é escrita dessa maneira: 5-22

PUCRS

Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento

H =µ⋅

U2 g

  Q 2 ⋅ U 2 − ⋅ ctgβ 2  − k1 ⋅ Q 2 − k 2 ⋅ (Q − Q0 ) 2 π ⋅ r ⋅ b   2 2

Para facilitar a análise adimensionam-se a altura e vazão utilizando as expressões do coeficiente de pressão e coeficiente de vazão:

H∗ =

g⋅H U2

Q∗ =

A velocidade periférica do rotor na saída é obtida pela relação: u 2 =

Q U 2 ⋅ r2 ⋅ b2

π D2 n 60

Neste caso, com n=3500rpm e D2=139mm se obtém u2=25,5m/s Desta forma pode-se encontrar os valores de Q* e H*, apresentados na Tab.5.3. Tabela 5.3 Dados da Curva adimensionalizada Q*

0,118 0,345 0,45 0,533

0,603 0,566 0,528 0,49

0,596

0,453

Com os dados da curva adimensionalizada pode-se graficar a curva característica adimensionalizada mostrada na Fig. 5.27(a). Curvas Características de Bombas Centrífugas

Curvas Características de Bombas Centrífugas 0,7

0,7

0,6 0,5

0,5

0,4 0,4

Curva da Bomba Adimensionalizada

0,3

y = -0,6004x + 0,1163x + 0,5976

0,6

0,2

0,3 Curva Real da Bomba Adimensionalizada

0,1

0,2

Polinômio (Curva Real da Bomba Adimensionalizada)

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,1

0,7

0 0

0,1

0,2

0,3 Q* 0,4

0,5

0,6

0,7

Figura 5.27 (a) Gráfico da curva adimensionalizada e (b) ajuste por polinômio de 20 grau

Com auxílio do Excel, pode-se parametrizar a curva adimensional, através de um polinômio de 2° grau. Com o ajuste da curva tem-se o polinômio:

H * = a0 + a1Q * + a2Q * Jorge A. Villar Alé

5-23

Sistemas Fluidomecânicos

A Fig. 6.3(b) mostra a curva da bomba parametrizada através do polinômio de 2° grau. Utilizando-se os coeficientes de ajuste da curva fornecidos pelo Excel, se pode montar uma outra tabela (Tab.5.4) para a curva adimensionalizada, utilizando a expressão polinomial.

Tabela 5.4 Dados obtidos através do Polinômio Q* H* 0,118 0,595 0,345 0,557 0,45 0,518 0,533 0,478 0,596 0,442 Os coeficientes obtidos pelo polinômio foram os seguintes: Ver equação Fig. 6.3 a0 = 0,5976

a1 = 0,1163

a2 = -0,6004

A equação do polinômio é equivalente a:

1   H* = − g r22 b22 (k1 + k2 )Q*2 +2 g r22 b22 k2 Q0* − µ ctgβ2 Q*+ µ − g r22 b22 k2Q0*2 2π  

(

)

(

)

[ (

)

]

)

− gr22b22 (k1 + k 2 ) = −0,6004

1   2 2 2 gr2 b2 k 2 Q0 * − µ 2π ctgβ 2  = 0,1163

(

)

µ − gr22b22 k 2Q0*2 = 0,5976 Substituindo-se nestas equações os valores dos parâmetros conhecidos: R2=69,5mm, b2=10mm, β2=30°. Tem-se o seguinte:

(k1 + k2 ) = 1,26 ×105

k 2Q0* − 2,908 × 10 4 µ = 11,61 × 10 3

k 2Q0*2 − 2,11×105 µ = −1,26 ×105 Como existem 3 equações e 4 incógnitas (k1, k2, µ, Q), para resolver o sistema deve-se estipular valores para uma das incógnitas. Para tal pode-se observar a última equação (coeficiente de grau zero), e notar que µ deve ser superior a 0,5976, para que a equação seja satisfeita. Observando-se o gráfico dado pelo fabricante, conclui-se que vazão para a eficiência máxima da bomba é aproximadamente 30m3/h. Assim, determina-se o valor de µ de tal forma que se obtenha a vazão o mais próximo possível do valor de eficiência máxima. Para µ=0,65 se obtém: Para µ=0,66 se obtém: 5-24

k2=8,35x104

k1=4,25x104

Q0*=0,365

Q=23,31m3/h PUCRS

Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento

Para µ=0,665 se obtém:

k2=7,15x104

k1=5,44x104

Q0*=0,431

k2=6,69x104 k1=5,91x104 Q0*=0,463

Q=27,5m3/h

Q=29,51m3/h

Obs: Para encontrar o valor de Q basta utilizar a equação da vazão adimensional (Q*). Com o último valor µ=0,665 a vazão encontrada (29,51m3/h) é bem próxima do valor ótimo (30m /h). Desta forma adotamos os coeficientes k2=6,69x104 k1=5,91x104. 3

Com os coeficientes podemos gráfica as curvas de atrito e choque, utilizando-se as equações abaixo:

h2 = k 2 (Q − Q0 ) (Eq. de perdas por choque)

h1 = k1Q 2 (Eq.de perdas por atrito)

O termo (Q-Q0) representa o desvio da vazão normal. Isto é, Q é a vazão atual da bomba, e Q0 é a vazão de projeto, aquela que não induz perdas por choque. Q0 é a vazão calculada e escolhida, ou seja, a vazão mais próxima a eficiência máxima. No nosso caso Q0=29,51m3/h. Além dessas curvas também pode-se utilizar a equação da altura teórica para número finito de pás

H t # = µ.

U2  Q.ctg.β 2  .U 2 − g  2.π .R2 .b2 

(Equação da altura teórica)

Com tais equações são geradas as tabelas do atrito (Tab.5.5), choque (Tab. 5.6) e da curva teórica da bomba (Tab.5.7). A Fig.5.4 mostra o gráfico construído com esses dados.

Tabela 5.5 Resultados da curva de atrito h1 (m) Q (m3/s) 0,0021 0,0061 0,0080 0,0094 0,0106

0,2565 2,2071 3,7562 5,2716 6,5849

Tabela 5.6 Resultados da curva de choque Q (m3/s) (Q-Q0) (m3/s) h2 (m)

Jorge A. Villar Alé

0,0021 0,0061 0,0080

-0,0061 -0,0021 -0,0002

2,5005 0,2911 0,0034

0,0094

0,0012

0,1041

5-25

Sistemas Fluidomecânicos

0,0106

0,0024

0,3722

Tabela 5.7 Resultados da curva teórica (influência das aletas) Q (m3/s)

Ht# (m)

0,0021 0,0061 0,0080 0,0094 0,0106

42,65 39,89 38,61 37,60 36,84

Desta forma a equação característica real, com todos os parâmetros de projeto da bomba, é determinada. A Fig 5.28 mostra a composição desta curva real, a partir da identificação dos termos de perda e desvio em relação à idealização inicial.

Parametrização da Curva da Bomba 45

Altura h e Ht#

40 35

Atrito

Choque

25 20 15 10 5 0 0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

Vazão (Q(m3/s))

Figura 5.28. Curva de bomba centrífuga obtida com o método aplicado.

5-26

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Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento

5.6 Equações Complementares Como visto no presente Capitulo, para aplicar o método de parametrização devemos contar os dados de H-Q e H-η da bomba assim como n, D2 β2 e b2. No caso de bombas comerciais podemos ter dificuldades de obter do catalogo do fabricante o ângulo da pá e largura da pá na saída do rotor já que são parâmetros de projeto. Nessa situação devemos utilizar equacionamentos adicionais obtidos de referencias bibliográficas para o projeto de bombas centrífugas. Neste caso utilizamos as equaciones de Jekat (Centrifugal Pump Theory). Determinar: β2 e b2 Dados do catalogo H, Q, D2 n (H e Q correspondem ao ponto de máximo rendimento) Determinar a rotação especifica característica nq

n Q H 3/ 4 C kv = m2 U2 nq =

Com nq Estimar o coeficiente de velocidades

O qual pode ser obtido pela aproximação

k v = 0,0077 + 0,0029n q Com nq Estimar o ângulo da pá na saída (β2)

Para nq < 20

β 2 = 60 − 2,71nq − 0,0643nq2 − 0,0005nq3 Para nq > 20

Determinar a velocidade periférica do rotor

U2 =

β2 = 250

π D2 n 60

Determinar Cm2 Cm2 = Kv U2

Com Cm2 determinar a largura da pá (b2) Adotar uma relação de diâmetros.

b2 =

Q π D2 C m 2

Pode-se adotar D1/D2=0,5 Adotar z entre 4 a 8 para nq < 80

Selecionar o número de pás (z) (ou determinar com equação do Cap.3 ) Equações para verificação dos resultados

Rendimento hidráulico (ηH) em função de Q (*) Coeficiente de Altura (ψ).

ηH = 1 −

0,071 Q 0, 25

(Q em m3/s )

ψ = 2 µη h (1 − k v cot β 2 )

Conhecido ψ determinar a velocidade tangencial na saída do 2 gH rotor e comparar com a do fabricante. Numa boa U2 = ψ parametrização ambas devem ser muito próximas. (*) O fator de deslizamento (µ) pode ser obtido com β2 D1/D2 e z utilizando a Eq. dada neste capítulo.

Jorge A. Villar Alé

5-27

CapĂtulo 6: Sistemas de Bombeamento

Sistemas de Bombeamento

Jorge A. Villar AlĂŠ

6-1

Sistemas Fluidomecânicos

Sistemas de Bombeamento SUMÁRIO

6.1 Equação da Energia: Sistemas de Fluidomecânicos ..................................................................... 3 6.1.1 Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos ...................................................... 4 6.2 Equacionamento dos Sistemas de Bombeamento ......................................................................... 5 6.3 Definição de Alturas Estáticas ....................................................................................................... 6 6.4 Alturas Totais ou Dinâmicas ........................................................................................................... 7 6.4.1 Altura Total de Aspiração ou Manométrica de Aspiração - Ha......................................................... 7 6.4.2 Altura Total de Recalque ou Manométrica de Recalque – Hr ........................................................... 8 6.5 Altura Manométrica ......................................................................................................................... 9 6.5.1 Bomba Acima do Nível do Reservatório de Aspiração................................................................... 11 6.5.2 Bomba Abaixo do Nível do Reservatório de Aspiração - Afogada ................................................. 11 6.5.3 Altura Útil de Elevação.................................................................................................................... 12 6.5.4 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas .............................................................. 12 6.6 Principais Elementos de um Sistema de Bombeamento.............................................................. 14 6.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento ........................................... 15 6.8 Curva Característica dos Sistemas de Bombeamento ................................................................. 16 6.8.1 Exemplo de Aplicação de Curva Característica de Sistema ........................................................ 17 6.8.2 Exemplo de Curva Característica de Bomba e Curva Característica do Sistema ....................... 18 6.9 Exemplos Resolvidos.................................................................................................................... 19 6.10 Atividade de Aprendizado ............................................................................................................. 24 6.11 Folha Modelo para Dimensionamento de Sistemas de Bombeamento ....................................... 25 6.12 Exemplo de Resultados ................................................................................................................ 26

6-2

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Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento

6.1 Equação da Energia: Sistemas de Fluidomecânicos Sabemos que a equação de Bernoulli não assume perdas de energia por atrito ou ganhos de energia (por exemplo, de uma bomba) ao longo da linha de corrente. Podemos considerar a equação geral da energia como uma extensão da Eq. de Bernoulli que pode ser utilizada, nestes casos, incluindo os termos de energia apropriados. Uma análise de energia entre duas seções (Fig.6.3) que incluem dissipação e/ou ganhos adicionais de energia, pode ser representada como: Energia ponto 1 + Energia adicionada - Energia removida - Energia por perdas = Energia ponto 2

p1 v12 p 2 v 22 + + z1 + H A − H R − h L = + +z2 ρg 2 g ρg 2 g

(1)

Energia adicionada ao fluido mediante um dispositivo mecânico, como por exemplo bombas.

Energia removida ou retirada do fluido mediante um dispositivo mecânico, como por exemplo turbinas.

Perdas de energia pelo sistema devido ao atrito nas tubulações (perda de carga por comprimento de tubulação) ou perdas de carga localizadas devido à presença de válvulas e conectores e outros acessórios inseridos na rede.

Figura 6.1 Sistema que representa a equação geral da energia. A equação de energia deve estar escrita na direção do fluxo. Desde o ponto de referência na parte esquerda até ao ponto correspondente no lado direito. Os sinais algébricos estabelecem que um elemento de fluido que tem uma certa quantidade de energia por unidade de peso na seção 1 pode ter uma adição de energia (+HA) ou uma perda de energia (-hL) antes de alcançar a seção 2. Num problema em particular nem todos os termos de energia são utilizados. Por exemplo, se não existem dispositivos mecânicos os termos HA e HR podem ser eliminados. Da mesma forma se a perda de energia é muito pequena o termo hL pode ser desprezível. Jorge A. Villar Alé

6-3

Sistemas Fluidomecânicos

6.1.1 Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos A potência provinda da energia adicionada ou absorvida por sistemas mecânicos (bombas, ventiladores, turbinas) pode ser determinada multiplicando-se a energia transferida por unidade de peso de fluido pelo fluxo de peso de fluido escoando através do sistema. Sabemos que o fluxo de massa escoando através do sistema é dado por:

m& = ρvA ou m& = ρQ desta forma o peso de fluido escoando é dado como

fluxo de peso de fluido escoando = m& g = ρgvA ou ρgQ A potência teórica adicionada por uma bomba ao fluido pode ser determinada como:

W& A = H A ρgQ (W)

(2)

onde ρ é a massa específica do fluido e Q a vazão. No SI a unidade resultante é Watts. A eficiência da bomba é definida como a relação entre o potencial adicionado pela bomba ao fluido e a potência subministrada à bomba.

η Bomba =

potência adicionada pela bomba ao fluido potência útil = potência fornecida para a bomba potência de acionamento

No caso da energia subministrada a uma dispositivo mecânico como turbina a Potência transmitida pelo fluido ao motor é dada por:

W& R = H R ρgQ (W)

(3)

Nestes dispositivos mecânicos também existem perdas de energia por atrito mecânico e de fluido. A eficiência mecânica é definida como a relação entre a potência de saída do motor e a potência transmitida pelo fluido.

η turbina =

6-4

potência de saída da turbina potência transmitida pelo fluido

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Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento

6.2 Equacionamento dos Sistemas de Bombeamento A altura de elevação ou altura manométrica representa a quantidade de energia específica (potência útil por unidade de peso do fluido em escoamento) que a bomba transfere ao fluido de trabalho. Tal conceito se aplica às máquinas de fluxo que operam com líquidos. No caso das turbinas hidráulicas representaria a quantidade de energia específica que a água em escoamento transfere ao rotor da turbina. Na operação de ventiladores a energia específica transferida aos gases é denominada pressão total. Para determinar a altura manométrica, em termos das características físicas e operacionais de um sistema de bombeamento, utilizamos a Fig.6.2. O sistema de bombeamento é constituído de reservatórios de aspiração e descarga (recalque), da bomba, de tubulações que conectam a bomba aos reservatórios, e de vários acessórios complementares como: cotovelos de tubulação, válvulas de bloqueio ou controle do fluxo, suportes, etc.

Figura 6.2 Esquema de sistema de bombeamento Convenção de subíndices: [0]: Ponto da superfície livre no reservatório de aspiração. [1]: Ponto da seção de entrada da bomba. [2]: Ponto da seção de saída da bomba. [3]: Ponto na superfície livre do reservatório de recalque ou maior altura da saída do fluido no recalque. [a]: Elementos no sistema de aspiração do fluido [r]: Elementos do sistema de recalque do fluido As principais variáveis que devem ser determinadas num sistema de bombeamento são: • Pressão na entrada da bomba e sua altura equivalente em metros de coluna de fluido. • Pressão na saída da bomba e sua altura equivalente em metros de coluna de fluido. • Pressão total solicitada na bomba e sua altura equivalente em metros de coluna de fluido.

Jorge A. Villar Alé

6-5

Sistemas Fluidomecânicos

6.3 Definição de Alturas Estáticas Altura Estática de Aspiração - ha Representa a diferença de cotas entre o nível do centro da bomba e o nível da superfície livre do reservatório de captação do fluido. Altura Estática de Recalque - hr Representa a diferença de cotas entre os níveis onde o fluido é abandonado ao sair pela tubulação de recalque no meio ambiente (ou outro) e o nível do centro da bomba. Altura Estática de Elevação - he Diferença de cotas entre os níveis em que o fluido é abandonado no meio ambiente (ou outro meio), ao sair pelo tubo de recalque, e o nível livre no reservatório de captação. Também denominada altura topográfica ou altura geométrica. (he=ha+hr) Na Fig. 7.1 também se representa a instalação de um vacuômetro na entrada da bomba em um manômetro na saída da bomba. A altura ∆h. representa a diferença entre centros destes instrumentos. Variáveis com subíndices a identificam elementos da tubulação de aspiração e variáveis com subíndice r componentes da tubulação de recalque. Para determinar as principais variáveis num sistema de bombeamento seguimos a seguinte metodologia: • Aplicando a Eq. de energia entre o plano (0-0) e (1-1) se obtém uma expressão da pressão relativa na entrada da bomba. • Aplicando a Eq. da Energia entre o plano (2-2) e (3-3) obtemos uma expressão da pressão relativa na saída da bomba. • Aplicando a Eq. de Energia no Plano (1-1) e (2-2) se obtém uma expressão da variação de pressão entre estes pontos. • Relacionado as equações anteriormente deduzidas se obtém uma expressão que representa a altura manométrica do sistema. Os sistemas de bombeamento podem ter um ou mais reservatórios pressurizados. Nesses casos a pressão absoluta dos mesmos dependerá do valor da pressão atmosférica local. Na Fig. 6.3 a pressão absoluta no reservatório de aspiração será igual soma da pressão manométrica (po) medida pelo instrumento mais a pressão atmosférica local. (p0(abs)=p0 + patm). Na mesma figura o reservatório de recalque este esta aberto a atmosfera e, portanto a pressão absoluta nesse reservatório será a própria pressão atmosférica.

Figura 6.3. Exemplo de com reservatório pressurizado na aspiração 6-6

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Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento

6.4 Alturas Totais ou Dinâmicas 6.4.1 Altura Total de Aspiração ou Manométrica de Aspiração - Ha Para avaliar tal altura aplicamos a Eq. de Energia ao sistema da Fig. 6.2 entre os planos (0-0) e (1-1)

p0 v02 p v2 + + z 0 − hL ( 0−1) = 1 + 1 + z1 ρg 2 g ρg 2 g

(4)

hLa(0-1): representa a perda de carga na tubulação de aspiração sendo denominada hLa . No plano (0-0) O plano (0-0) de referência está na superfície livre do reservatório z0=0. Considerando o reservatório muito maior que o da tubulação de aspiração, a velocidade v0 é muito pequena e, portanto, o termo de energia da mesma é desprezível (v02/2g=0). Com tais simplificações a equação é descrita como:

[ p 0 = p atm ]

[v0 ≅ 0]

[z 0 ≅ 0]

[ p1 = p abs1 ]

[v1 = va ]

[z1 = ha ]

No plano (1-1)

L( 0 −1 )

= hL a

]

Substituindo na Eq. (1)

p atm p abs1 va2 = + + ha + hLa ρg ρg 2 g

 p atm − p abs1  v2   = ha + a + hLa ρg 2g  

(5)

(6)

o termo entre colchetes representa a Pressão Relativa na entrada da bomba em relação a pressão existente na superfície livre do reservatório de aspiração (po). Se o reservatório é aberto a atmosfera como nesta caso po é igual a pressão atmosférica (patm). Se o reservatório for pressurizado po≠patm. Geralmente a pressão relativa na entrada da bomba é medida com um vacuômetro. Expressa em metros de coluna de fluido representa a pressão relativa na entrada da bomba e é denominada Altura Total de Aspiração:

 p − p abs1   H a =  atm ρg  

(7)

•

Na fase de projeto de um sistema de bombeamento, isto é, quando o sistema ainda não foi instalado, podemos determinar Ha pela Eq.3 determinando a altura estática de aspiração e a perda de carga na tubulação de aspiração.

•

Num sistema de bombeamento em operação pode-se determinar a altura total de aspiração utilizando um vacuômetro que fornece a pressão relativa na entrada da bomba.

pV = H a ρg

(8)

Ha representa a energia que cada kg de fluido deve receber para atingir a entrada da bomba. Com tal nível energético o líquido escoa penetrando na bomba. Jorge A. Villar Alé

6-7

Sistemas Fluidomecânicos

6.4.2 Altura Total de Recalque ou Manométrica de Recalque – Hr Para avaliar tal altura aplicamos a Eq. de Energia ao sistema da Fig. 6.1 entre os planos (2-2) e (3-3) considerando o centro da bomba como a linha de referência:

p3 v32 p 2 v 22 + + z 2 − hL ( 2 − 3) = + + z3 ρg 2 g ρg 2 g

(9)

hL(2-3): representa a perda de carga na tubulação de recalque denominada hLr. No plano (2-2)

[ p 2 = pabs 2 ]

[v2 = v r ]

[z 2 = 0 ]

L ( 2 − 3)

= hLr

]

No plano (3-3) A energia cinética na saída da tubulação de recalque é absorvida pelo fluido no reservatório, desta forma o termo é considerado desprezível ( v23/2g=0).

[ p3 = p abs 3 = p atm ]

2 3

/ 2g ≅ 0

]

p abs 2 v r2 p + = atm + hr − ∆h + hLr 2g ρg ρg  p abs 2 − p atm  ρg 

 v2  = hr − ∆h − r + hLr 2g 

[z 3 = h3 − ∆h] ( 10 )

( 11 )

o termo entre colchetes representa a pressão pelativa na saída da bomba em relação a pressão existente na superfície livre do reservatório de recalque (p3). Se o reservatório é aberto a atmosfera como, nesta caso, p3 é igual a pressão atmosférica (patm). Se o reservatório for pressurizado p3≠patm. A pressão relativa na saída é medida com um manômetro. Expressa em metros de coluna de fluido a pressão relativa na saída da bomba é denominada altura manométrica de recalque:

p − p atm H r =  abs 2 ρg 

  

( 12 )

•

Na fase de projeto de um sistema de bombeamento, Hr pode obtida pela Eq. 8 determinando-se a altura estática de aspiração e a perda de carga na tubulação de recalque.

•

No caso de um sistema de bombeamento em operação, pode ser obtida pela leitura direta do manômetro.

p M = H r ρg

6-8

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Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento

6.5 Altura Manométrica A altura de elevação ou altura manométrica representa a quantidade de energia específica (potência útil por unidade de peso do fluido em escoamento) que a bomba transfere ao fluido de trabalho.

Figura 6.4 Detalhe do plano 1-1 e plano 2-2 Para avaliar tal altura aplicamos a Eq. da Energia entre os planos (1-1) e (2-2) considerando o centro da bomba como a linha de referência:

p1 v12 p 2 v 22 + + z1 + H man = + + z2 ρg 2 g ρg 2 g

( 13.1 )

p 2 − p1 v 22 − v12 + + ( z 2 − z1 ) 2g ρg

( 13.2 )

H man =

O termo (z2 - z1) representa a altura entre centros dos instrumentos, portanto (z2 - z1)=∆h. A velocidade v1 corresponde à velocidade na tubulação de aspiração (va). A velocidade v2 representa a velocidade na tubulação de recalque (vr). Desta forma: No plano (1-1)

[ p1 = p1Abs ]

[v1 = va ]

[z1 = 0]

[ p 2 = p 2 Abs ]

[v2 = vr ]

[z 2 = ∆ h ]

No plano (2-2)

H man =

p 2 Abs − p1 Abs v r2 − v a2 + + ∆h ρg 2g

(14 )

Pelas equações deduzidas anteriormente:

 p1 Abs  p atm   = − Ha  ρg  ρg  p 2 Abs − p1 Abs  ρg 

H man

  = H r + H a 

v r2 − v a2 = Ha + Hr + + ∆h 2g

Jorge A. Villar Alé

p 2 Abs p = H r + atm ρg ρg ( 15 )

( 16 )

6-9

Sistemas Fluidomecânicos

Também:

H r = hr − ∆h −

v r2 + hL r 2g

H a = ha +

v a2 + hLa 2g

Substituindo as definições de Hr e Ha na Eq.13:

H man = H a + H r +

H man

v r2 − v a2 + ∆h 2g

    v r2 − v a2 v a2 v r2    =  ha + + hLa  +  hr − ∆h − + hLr  + + ∆h 2 g 2 g 2g    

H man = ha + hr + hL a + hL r

( 17 )

A Eq. Acima pode ser verificada aplicando a Eq. de Energia entre o Plano (0-0) e o plano (3-3).

[ p 0 = p atm ] [ p3 = p atm ]

[vo ≅ 0]

2 3

/ 2g ≅ 0

]

[z 0 = 0]

L ( 0 −3 )

= hLa + hLr

]

[z 3 = ha + hr ]

A Eq. Deduzida é valida para bombas instaladas acima do nível do reservatório sendo que o fluido é conduzido pela tubulação para o reservatório superior (Fig. 6.5a) absorvendo toda a energia cinética devido a velocidade com que sai da tubulação.

Figura 6.5 : Sistema absorvendo energia cinética (a) e sem absorção de energia cinética (b) Quando a tubulação de recalque abandona o fluido livremente (Fig. 6.5b) à pressão atmosférica a Altura Manométrica pode ser determinada aplicando a Eq. da Energia entre o plano (0-0) e (3-3):

[ p 0 = p atm ]

[vo ≅ 0]

[z 0 = 0]

[ p3 = p atm ]

[v3 = vr ]

[z 3 = ha + hr ]

L ( 0 −3 )

= hLa + hLr

]

po v02 p v2 + + z1 + H man − hL ( 0−3) = 3 + 3 + z 3 ρg 2 g ρg 2 g H man = ha + hr + hLa + hLr + 6-10

v r2 2g

( 18 )

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Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento

6.5.1 Bomba Acima do Nível do Reservatório de Aspiração Neste caso existe a necessidade de uma válvula de retenção com crivo no inicio da tubulação de aspiração, chamada válvula de pé, a qual impede o escoamento do fluido do tubo do reservatório quando a bomba está parada ou pára de funcionar.

Figura 6.6 Esquema de bombeamento normal. A altura manométrica neste sistema é representada na Fig.6.6 e deduzida anteriormente.

H man = ha + hr + hLa + hLr +

v r2 2g

(19 )

6.5.2 Bomba Abaixo do Nível do Reservatório de Aspiração - Afogada

Figura 6.7. Esquema de bomba afogada. A altura manométrica neste caso (Fig.6.7) é similar, contudo, o sinal da altura estática de aspiração é negativo (-).

H man = −ha + hr + hLa + hLr +

v r2 2g

( 20 )

Não há necessidade de válvula de pé com crivo, desde que o nível do fluido permita encher todo o corpo da bomba. Jorge A. Villar Alé

6-11

Sistemas Fluidomecânicos

6.5.3 Altura Útil de Elevação Por definição a altura útil é dada como:

H u = H man +

va2 − v r2 2g

( 21 )

Representa a energia por unidade de massa que o fluido adquire em sua passagem pela bomba. Se o diâmetro de entrada e de saída da bomba forem iguais v3=v0 e portanto Hu=Hman. Em termos práticos se utiliza diretamente Hman como Hu sem erros sensíveis. 6.5.4 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas A altura manométrica de uma bomba centrífuga pode ser determinada num sistema em operação utilizando instrumentos de medição da pressão. A Eq. de Energia aplicada entre os pontos ( 1 ) e ( 2 ) nos fornece a expressão:

H man =

p 2 − p1 v 22 − v12 + + ( z 2 − z1 ) ρg 2g

Figura 6.8 medição de pressão na bomba

Considerando desprezível a variação da energia cinética

H man =

p 2 − p1 + (z 2 − z1 ) ρg

Tal simplificação é valida quando as tubulações de aspiração e recalque têm o mesmo diâmetro ou apresentam uma pequena diferença Sendo z 2 − z1 = ∆h e considerando que ∆h representa diferença de cotas entre os centros dos respectivos instrumentos:

H man =

p 2 − p1 + ∆h ρg

Para facilitar o levantamento de tal grandeza os instrumentos são instalados na mesma altura (∆h=0) de tal forma que a altura manométrica se obtém pela leitura direta da pressão de instrumentos colocados na entrada e na saída da bomba.

H man =

6-12

p 2 − p1 ρg

( 22 )

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Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento

Caso I: Entrada do fluido na bomba com pressão menor que a pressão atmosférica. Conforme a Fig. 6.6 a altura manométrica pode ser obtida pela leitura do vacuômetro e pela leitura do manômetro instalados respectivamente na entrada e saída da bomba, mais a diferença de cotas entre os centros dos respectivos instrumentos. Os valores medidos nestes instrumentos devem respeitar os sinais que indicam a pressão menor que a pressão atmosférica (-) e maior que a pressão atmosférica (+). Desta forma para utilizar Ana equações acima, as pressões dos instrumentos são definidas como:

Vacuometro : p1 = − pV Manometro : p 2 = + p M Substituindo na equação:

H man =

p 2 − p1 p M − (− pV ) p M + pV = = ρg ρg ρg

Para facilitar podemos escrever a expressão acima em termos do valor absoluto:

H man =

p M + pV

ρg

( 23 )

Desta forma a altura manométrica (Hman) do sistema é determinada a partir da soma dos valores absolutos medidos pelos instrumentos.

Caso II: Entrada do fluido na bomba com pressão maior que a pressão atmosférica Existem sistemas de bombeamento onde a bomba encontra-se afogada (Fig.6.5) ou pode estar pressurizada na aspiração. Neste caso a pressão na tubulação de aspiração pode ser maior que a pressão atmosférica. O instrumento instalado na tubulação de poderá ser um manômetro. Desta forma o valor da pressão lida pelo instrumento deve der inserida na Eq. como um valor negativo. Assim, Hman representa a diferença das duas parcelas de pressão medidas pelos instrumentos.

Manometro : p1 = p M 1 Manometro : p 2 = p M 2 H man =

p 2 − p1 p M 2 − p M 1 = ρg ρg

H man =

pM 2 − pM 1 ρg

Jorge A. Villar Alé

( 24 )

6-13

Sistemas Fluidomecânicos

6.6 Principais Elementos de um Sistema de Bombeamento Dependendo da finalidade os sistemas de bombeamento podem apresentar diversas configurações. Um sistema típico de bombeamento é apresentado na figura abaixo. Geralmente o conjunto moto-bomba é instalado numa casa de máquinas protegido contra intempérie. Para o acionamento da bomba podem ser utilizados motores elétricos, motores de combustão interna, acionado por turbinas a gás ou utilizado tomadas de força como eixo de tratores. Em geral predomina o uso de acionamento com motores elétricos.

Figura 6.9 Componentes de um sistema de bombeamento.

Válvula de pé com crivo: Tem como finalidade a passagem unidirecional do fluido no sentido ascendente. Quando ocorre desligamento do motor esta válvula permite que o corpo da bomba e a tubulação de aspiração permaneçam cheia de líquido impedindo seu retorno ao reservatório de aspiração. A válvula mantém assim a bomba escorvada. O crivo é o elemento que impede a aspiração de partículas sólidas depositadas no reservatório de aspiração. Redução Excêntrica: Utilizada com a finalidade de evitar a formação de bolsas de ar na entrada o que dificultaria o funcionamento normal da bomba. Válvula de Retenção: Válvula unidirecional instalada na saída da bomba e antes do registro de recalque. Impede que o peso da coluna de recalque seja sustentado pelo corpo da bomba o que pode ocasionar vazamentos. Impede que por algum defeito da válvula de pé exista refluxo trabalhando o rotor da bomba como uma turbina, podendo provocar danos a bomba. Registro de Recalque: Permite controlar a vazão através do fechamento e abertura do registro. Tubulação de aspiração: Recomenda-se que a tubulação de aspiração seja o mais curta possível e vedada contra entrada de ar. No caso de linhas longas deve ser previsto uma declividade contínua da entrada da bomba para o reservatório eliminando a formação de pontos com bolsões de ar. Para uniformizar o fluido na entrada da bomba recomenda-se quando possível, prever um trecho com comprimento mínimo de 10 diâmetros da boca de aspiração da bomba. 6-14

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Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento

6.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento No capitulo 7 é a apresentado o detalhamento de como determinar a perda de carga das tubulações e dos acessórios. A seguir apresenta-se um resumo das principais equações utilizadas no dimensionamento de sistemas de bombeamento. Altura Manométrica em Sistemas de Bombeamento (reservatórios a pressão atmosférica.)

H man = ha + hr + hLa + hLr + hvel

Hman: Altura manométrica do sistema (m) Conforme caso da Fig. 6.5b _________________________________ ha: altura estática de aspiração (m)

hr: altura estática de recalque (m) hLa: perda de carga na tubulação de aspiração (m) Conforme caso da Fig. 6.5a h : perda de carga na tubulação de recalque (m) _________________________________ Lr h vel: perda de carga dinâmica pela velocidade na tubulação (m) 2

H man = ha + hr + hLa + hLr

H man = −ha + hr + hLa + hLr +

vr 2g

Bomba afogada (Fig.6.7)

Altura equivalente a pressão dinâmica ou perda de carga dinâmica. v: velocidade média do fluido na tubulação (m/s) v2 hvel = g: aceleração da gravidade (9,81m/s2) 2g Perda de Carga nos Acessórios – método do comprimento equivalente L : comprimento de canalização retilínea. (m) 2 f: Fator de atrito da tubulação função da rugosidade e numero de Reynolds L v h LD = f (Cap.7 pag.7-6) D 2g Perda de Carga nos Acessórios – método do coeficiente de perda de carga k : coeficiente de perda de carga dos acessórios v2 h Lk = Σk Tabelado segundo tipo de acessórios. (Cap.7 Tab.7.3) 2g Obs. Também pode ser utilizado o conceito de comprimento equivalente. Perda de Carga Total (tubulações + acessórios): hLD: Perda de carga na tubulação de aspiração (m) h L = h LD + h Lk hLk : Perda de carga dos acessórios (m) Altura estática de elevação

he = h a + hr

he : altura estática de elevação (m) ha: altura estática de aspiração (m) hr: altura estática de recalque (m)

Eq. da Curva característica do sistema k1; k2 : Constantes da curva do sistema. H man = k 1 + k 2 Q 2 Potência de acionamento da bomba (potência motriz) Hman: altura manométrica (m) ρgH man Q W& ac = (W) Q: vazão (m3/s) ηG ηG: rendimento global do sistema ρ: massa específica do fluido (kg/m3)

Jorge A. Villar Alé

6-15

Sistemas Fluidomecânicos

6.8 Curva Característica dos Sistemas de Bombeamento A altura manométrica em sistemas de bombeamento conforme Fig.6.6 é dada por:

H man = ha + hr + hLa + hLr + hvel a qual pode ser escrita de forma simplificada como:

H man = he + hLa + hLr + hvel onde he =ha + hr é denominada altura total de elevação. Numa instalação de bombeamento este termo se considera como constante, e aqui denominamos he=k1. Considerando um sistema no qual o diâmetro da tubulação é igual na aspiração e no recalque:

H man = he + f

L v2 v2 v2 + Σk + D 2g 2g 2g

2  L v H man = he +  f + Σk + 1  D  2g

Como se observa a perda de carga é função do quadrado da velocidade, portanto do quadrado da vazão. Com tais considerações se obtém: Podemos utilizar substituir a expressão da velocidade em função da vazão:

H man

Q    L  A = he +  f + Σk + 1  D  2g

 L  1 H man = he +  f Q2 + Σk + 1 2  D  2 gA Desta forma podemos obter uma expressão que representa a curva característica do sistema considerando como uma constante k2 a todos os termos que multiplicam o quadrado da vazão.

H man = k1 + k 2 Q 2 Se um sistema de bombeamento trabalha com determinada vazão Q e uma altura manométrica Hman podemos determinar as constantes k1 e k2. Para vazão nula Q=0 temos que k1=he. Para a vazão e altura manométrica de trabalho determinamos k2 . Desta forma encontra-se a equação característica do sistema, que pode ser graficada junto com a curva da bomba selecionada.

6-16

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Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento

6.8.1 Exemplo de Aplicação de Curva Característica de Sistema Num sistema de bombeamento a altura estática de elevação é igual a 15 metros. Sabemos que a bomba trabalha com uma vazão de 450 m3/h e uma altura manométrica de 45 metros de coluna de água. Determine a equação característica do sistema e grafique a mesma.

Figura 6.10 Exemplo de curva da bomba e curva do sistema A equação é dada por: H man = k1 + k 2 Q 2 Do enunciado he = 15m por tanto k1 = 15m

k2 =

H man − k1 45 − 15 m = = 1,48 x10 − 4 2 2 3 Q 450 m /h

(

)

H man (m) = 15 + 1,48 x10 −4 Q 2 com Q (m3/h) A figura mostra o resultado da curva que representa o sistema junto com a curva da bomba. 75 Hman (Bomba) Hman(Sistema) Altura Manometrica (m)

0 0

150

300

450

600

750

Vazão (m3/h)

Figura 6.11 Exemplo de curva da bomba e curva do sistema Jorge A. Villar Alé

6-17

Sistemas Fluidomecânicos

6.8.2 Exemplo de Curva Característica de Bomba e Curva Característica do Sistema

Uma bomba possui uma curva característica ajustada pela Eq. H man = H 0 − AQ 2 especificamente com

H man = 16 − 0,00111Q 2 onde Hman (m) e Q(m3/h). O sistema possui uma curva característica do tipo H man = k1 + k 2 Q 2 , especificamente H man = 8 + 0,00111k 2 Q 2 . Grafique a curva da bomba junto com a curva do sistema mostrando o ponto de operação. Solução: Curva do sistema H man = 8 + 0,00111Q 2 Curva da Bomba H man = 16 − 0,00111Q 2 Igualando:

16 − 0,00111Q 2 = 8 + 0,0011Q 2 se obtém 0,00222Q 2 = 8

8 = 60m 3 / h 0,00222

Substituindo a vazão de Q=60m3/h em qualquer das duas expressões (do sistema ou da bomba) se obtém: Hman=12m. A figura abaixo mostra o resultado gráfico das equações assim como o ponto de operação. 20 18 Curva do Sistema

16 Ponto de operação

H (m)

12 10 8

Curva da Bomba

6 4 2 0 0

Q (m3/h)

Figura 6.12 Resultado do exemplo de curva da bomba e curva do sistema

6-18

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Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento

6.9 Exemplos Resolvidos Exemplo 6.1: Num sistema de bombeamento de água (Fig. 7.1) é utilizada uma bomba centrifuga com as seguintes características. Diâmetro externo do rotor igual a 380mm; largura da pá na saída igual a 25mm. Rotação igual a 1200rpm e ângulo da pá na saída igual a 380. Rendimento hidráulico igual a 80%. Considere fluido com entrada radial. O sistema trabalha com uma altura total estática de elevação igual a 36m e uma altura estática de aspiração igual a 4,0m. A tubulação de aspiração e recalque apresentam diâmetro interno de 150mm. A perda de carga na tubulação de aspiração é igual a 1,5m e no recalque igual a 7,0m. Determinar ( a ) Altura manometrica do sistema. (b) Altura teórica para número infinito de pás (c) A vazão que opera a bomba (d) A velocidade na tubulação (e) A altura total de aspiração e a altura total de recalque. (f) A pressão equivalente das alturas totais de aspiração e de recalque. Obs. Considere kpfl=1. Dados: he=36m ha=4,0m D=0,15m hLa=1,5m hLr=7,0m D2=380mm b2=25mm. n=1200rpm. β2=380 ηH=0,8 Solução: (a ) A altura manométrica do sistema:

H man = ha + hr + hLa + hLr = 36 + 1,5 + 7,0 = 44,5mca (b) Altura teórica para número finito de pás considerando entrada radial é dada por:

1 U 2 Cu 2 g πD2 n π 0,38 x1200 U2 = = = 23,88m / s 60 60 H t∞ =

Considerando número infinito de pás: Ht#=Ht00 desta forma o rendimento hidráulico é dado por:

ηh = H t∞

H man H man = H t# H t∞ H 44,5 = man = = 55,63mca ηh 0,8

( c ) Vazão: Q = πD2 b2 C m 2

Cu 2 =

gH t∞ 9,81x55,63 = = 22,85m / s U2 23,88

tan β 2 =

Cm2 U 2 − Cu 2

C m 2 = (U 2 − C u 2 ) tan β 2 = (23,88 − 22,85) tan(38) = 0,8m / s Q = πD2 b2 C m 2 = πx0,38 x0,025 x0,8 = 0,0239m 3 / s (d) Velocidade na tubulação de aspiração

va =

4Q 4 x0,0239 = = 1,35m / s 2 πD 0,15 2

v a2 = 4,0 + 1,5 + 0,093 = 5,59m 2g Altura total de recalque H r = hr + hLr = 32 + 7,0 = 39,0m

(e) Altura total de aspiração: H a = ha + hLa +

Jorge A. Villar Alé

6-19

Sistemas Fluidomecânicos

Exemplo 6.2: Num sistema de bombeamento com bomba afogada o manômetro instalado na saída da bomba indica uma pressão de 5,0 kgf/cm2. Na entrada da bomba um instrumento indica uma pressão de 1,5 kgf/cm2. Determinar a altura manométrica do sistema. Considere que os instrumentos estão numa mesma altura e que a pressão atmosférica é equivalente a 10,33mca. Solução A pressão na saída da bomba é PM1=5,0kgf/cm2. A pressão entrada da bomba é PM1=1,5kgf/cm2 o que corresponde a uma pressão maior que a pressão atmosférica (Patm=1,0kgf/cm2). Desta forma a altura manométrica pode ser determinada pela diferença das pressões na entrada e saída.

H man =

p M2 − pM1 5 − 1,5 9,81 = x = 50 − 15 = 35m ρg 1000 x9,81 (1 / 100)2

Obs: No caso de uma bomba que a pressão na entrada é inferior a pressão atmosférica a leitura deveria ser feita com um vacuômetro e a altura manométrica seria dada pela soma do valor absoluto de cada uma das pressões medidas. Por mantendo se na entrada o vacuômetro indica -0,5kgf/cm2 então:

H man =

p M + pV ρg

5 + 0,5

9,81 = 50 − 5 = 55m 1000 x9,81 (1 / 100 )2 x

Exemplo 6.3: Um sistema de bombeamento trabalha com uma vazão de 1100m3/h. O diâmetro da tubulação de aspiração é igual a 400 mm e o da descarga igual a 380mm. Um manômetro situado a 0,70m acima do eixo da bomba indica uma pressão de 2,2kgf/cm2 e o vacuômetro instalado 0,25m abaixo do eixo da bomba indica uma pressão de 0,30 kgf/cm2. Determinar a altura manométrica e a altura útil em m.c.a. Se o rendimento global for igual a 68% determinar a potência de acionamento da bomba. Solução:

H man =

p M + pV ρg

+ ∆h

Neste caso ∆h =0,7 + 0,25=0,95m. PM =2,2kgf/cm2 ou PM /γ=22mca. PV=0,30 kgf/cm2 ou PV /γ=3,0mca

H man =

p M + pV ρg

+ ∆h = 22 + 3,0 + 0,95 = 25,95mca

Por definição a altura útil é dada como:

H u = H man +

v32 − v02 v 2 − v a2 que pode ser aproximada por H u = H man + r 2g 2g

onde v3=vr velocidade da tubulação de recalque. v0=va velocidade da tubulação de aspiração.

va =

4Q 4 x0,306 = = 2,43m / s 2 πDa πx(0,40 )2

H u = H man +

vr =

4Q 4 x0,306 = = 2,7 m / s 2 πDr πx(0,38)2

vr2 − va2 2,7 2 − 2,44 2 = 25,95 + = 25,95 + 0,068 = 26,01mca 2g 2g

ρgH man Q 1000 x9,81x 25,95 x0,306 W& ac = = = 115kW ηg 0,68

6-20

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Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento

Exemplo 6.4: A Fig. mostra o sistema empregado no teste de uma bomba centrifuga com rotação nominal de 1750 rpm. O líquido é água a 80oF, os diâmetros dos tubos de aspiração e descarga são de 6 polegadas. Os dados medidos durante um teste são apresentados no quadro. O motor é de 460V trifásico, com fator de potência de 0,875 e rendimento igual a 90%. Determinar a altura manometrica e o rendimento de uma bomba para uma vazão de 1000 gpm. A distancia do centro da bomba ao centro do vacuômetro é igual a 1,0 pé e a distância do centro da bomba ao centro do manômetro é igual a 3,0 pé. Graficar a altura manometrica, rendimento e potência da bomba.

Figura 6.13– Esquema de sistema de bombeamento.

Vazão Pressão Aspiração Pressão na descarga Corrente do Motor (gpm) (psig) (psig) (A) 0 -3,7 53,3 18 500 -4,2 48,3 26,2 800 -4,7 42,3 31,0 1000 -5,7 34,3 36,0 1100 -6,2 31,3 37,0 1200 -6,7 27,3 37,3 1400 -7,7 15,3 39,0 1500 -8,4 7,3 41,5 Conversões: (1 Galão = 3,785 litros) (1 Atm=101,32 kPa = 14,7 psi. )

Rotação da bomba (rpm) 1750 1745 1749 1750 1747 1752 1750 1753

Solução: A modo de exemplo resolvemos o problema para uma vazão de 1000 gpm. O mesmo processo pode ser repetido para as outras vazões.

Q=1000gpm=1000x3,785=3785 l/min=0,0631m3/s (227,1 m3/h) Da figura temos que: ∆h= zM – zV =3 - 1= 2pé ou ∆h= 2,0 x12 x0,0254 =0,61m A massa específica da água a 800F é igual a 62,47lbf/ft3 ou ρ≅1000kg/m3 A altura manométrica pode ser determinada pela leitura direta do manômetro e do vacuômetro mais a diferença de alturas entre os centros dos instrumentos.

H man =

p M + pV

ρg

Jorge A. Villar Alé

+ ∆h 6-21

Sistemas Fluidomecânicos

H man =

( 34,3 + 5,7 )  101,32 x1000   1000 x9,81 

 + 0,61 = 28,10 + 0,61 = 28,71m 

14,7

Determinado a potência útil:

W& u = ρgH man Q = 1000 x9,81x 28,7 x0,0631 = 17765,61Watts

ou W& u = 17,77 kW

A potência fornecida pelo motor dado por:

Wac = η 3F pVI = 0,9 3 x0,875 x 460 x36,0 = 22587,67Watts ou Wac = 22,59kW Rendimento global da bomba poderá ser determinado pela expressão:

ρgH manQ W&ac = ηg

ρgH man Q W& ac

ηg =

1000 x9,81x 28,71x(227,1 / 3600) x100 = 78,65% 22,59 x1000

Para graficar altura manométrica, potência e rendimento da bomba em função da vazão, podemos inicialmente elaborar uma planilha no Excel com o seguinte formato: A Fig.6.11mostra o resultado gráfico. Q (m3/h)

227,1

pvac

∆h

pman

(kPa)

-39,28

236,37

Hman (m)

(m)

0,61

28,71

W&u (kW)

17,77

I (A) 18 26,2 31,0 36,0 37,0 37,3 39,0 41,5

V (volts) 460 460 460 460 460 460 460 460

W&ac (kW)

22,59

ηmotor

ηg

(%)

90 90 90 90 90 90 90 90

78,65

90 80 70

60 50

30 40 20

Rendimento (%)

Hman (m) - Potência (kW)

20 10 10 0 0

0 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 Vazão (m3/h)

Figura 6.14 Resultados das curvas características da bomba. 6-22

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Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento

Exemplo 6.5: Uma bomba centrífuga trabalha em uma instalação onde as alturas estáticas de aspiração e recalque são respectivamente 2 e 41m. A tubulações apresentam uma perda de carga dada pela equações: hLa = 0,10 Q2; hLr = 0,70 Q2 onde h [mca] e Q[l / s]. O manômetro indica uma pressão de 47 mca enquanto o vacuômetro indica 3 mca, estando os dois instrumentos no mesmo nível. Desprezando a variação de energia cinética do fluido determine a vazão e potência da bomba para um rendimento global de 75 %.

Solução: Dados: Hvac= 3,0 mca Vazão.

Hman= 47mca

ha = 2 m

hr = 41 η = 75% hLa= 0,10 Q2 hLr = 0,70 Q2

H = H man + H vac + ∆h = 47 + 3 + 0 = 50 mca H = ha + hr + hLa + hLr = 2 + 41 + 0,1Q 2 + 0,7Q 2 ⇒ Q = 2.96

l s

Potência de eixo.

ρgH man Q 1000 x9,81x(2,96 / 1000) x50 W& ac = = = 1,95 kW ηg 0,75 x1000 Exemplo 6: Considerando escoamento com entrada radial, a altura manométrica de uma bomba pode ser dada como:

C 22 U 2 Cu 2 H =µ −k g 2g onde o termo -k( ) representa a fração da energia dissipada no interior da bomba. Demonstre que a partir da expressão anterior que altura manométrica para uma bomba com uma vazão Q e rotação n, pode ser representada pela equação:

H = An 2 + BnQ + CQ 2

Solução:

U2 =

πD 2 n = an 60

Cm2 =

Q = bQ πD2 b2

Cu 2 = U 2 −

2 2 ( an )(an − cQ ) [ ( an ) + (an − cQ ) ] H =µ −k

H =µ H=

(an

)

[

− acnQ (an ) + an 2 − acnQ + (cQ ) −k g 2g 2

µan 2 µacnQ k 2an 2 kacnQ k (cQ ) − − + − g g 2g 2g 2g

(µ − k ) an 2 − (µ − 0.5k ) acnQ − g

Cm2 = an − cQ tan β 2

]

k (cQ )2 2g

que finalmente pode ser representada como:

H = An 2 + BnQ + CQ 2 Jorge A. Villar Alé

6-23

Sistemas Fluidomecânicos

6.10

Atividade de Aprendizado

No sistema de bombeamento de água (300C) mostrado na figura a bomba deve trabalhar com uma vazão de 100 m3/h. A tubulação é PVC. A altura estática de aspiração é igual a 4,0m e altura estática de recalque igual a 25m. O comprimento da tubulação de aspiração é igual a 12m e a tubulação de recalque igual a 50m. Na tubulação de aspiração se utiliza uma válvula de pé com crivo e uma curva de 900. No recalque se utiliza uma válvula de retenção, um registro de gaveta aberto e 02 curvas de 900. Determinar: • Os diâmetros comerciais das tubulações. • A altura manométrica do sistema. • Potência de acionamento. (calculada e fornecida pelo fabricante). • A equação da curva característica do sistema. • Selecione uma bomba comercial para o sistema. • Graficar a curva da bomba comercial selecionada junto com a curva do sistema. • O NPSH disponível pelo sistema. • O NPSH requerido pela bomba. (calculado e fornecido pelo fabricante) • A altura de aspiração limite para não ocorrer cavitação.

OBS: Montar a planilha de calculo no Excel para dimensionar sistemas de bombeamento, utilizando como referencia este problema. Completar a planilha para ficar mais genérica utilizando outros fluidos e reservatórios abertos e fechados. Utilize a folha modelo para realizar o trabalho. • Tabela 1: Dados iniciais • Tabela 2: Perda de carga do sistema • Tabela 3: Potência de acionamento • Tabela 4: Curva característica do sistema • Tabela 5: Verificação da cavitação. • Tabela 6: Relação de acessórios. • Tabela 7: Formulário com Equações Básicas. 6-24

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Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento

6.11 Folha Modelo para Dimensionamento de Sistemas de Bombeamento Tabela 1: Dados Iniciais Vazão Altura estática de aspiração Altura estática de recalque Comprimento da tubulação de aspiração Comprimento da tubulação de recalque Material da tubulação Rugosidade Fluido Temperatura Massa especifica Viscosidade cinemática (µ /ρ)

Valores m3/s m m m m

Q ha hr La Lr Tabela 8.1 ε

mm Tabelas ou Eqs. o

T ρ ν

Tabela 2: Perda de Carga Diâmetro da tubulação – Eq. Bresse (Cal: Calculada e Com: Comercial) Velocidade da tubulação No de Reynolds da tubulação Rugosidade relativa Fator de atrito – Eq. Explicita Perda de carga da tubulação Perda de carga dos acessórios Perda de carga (Tubulação + Acessórios) Perda de carga total (Aspiração + Recalque)

C kg/m3 m2/s Aspiração Dcal:_____ Dcom:

Va Ra ε/Da fa hLDa hLka hLa

Recalque Dcal:_____ Dcom:

Dr Vr Rr ε/Dr fr hLDr hLkr hLr

Tabela 3: Potência de acionamento Altura total de elevação Altura manométrica Vazão Rendimento global estimado Potência de acionamento Tabela 4: Curva Característica do Sistema Altura total de elevação Altura manométrica Vazão Constante k1=he Constante k2= (Hman - k1)/Q2 Equação da Altura Manométrica

hL=

m/s m m m m

he Hman Q ηG W

m m m3/s % kW

he Hman Q k1 k2

m m m3/h m Hman= k1 + k2Q2

Tabela 5: Verificação da Cavitação ( OK se NPSH Disp > NPSH Req) NPSH disponível pelo sistema NPSH requerido pela bomba Altura de aspiração limite para não ocorrer cavitação.

NPSHDisp. NPSH req haLim

m m m

Tabela 6: Perda de Carga dos acessórios: (Apostila Tab. 8.3) Item

Elemento (acessórios)

1 2 3 4 5 6

Jorge A. Villar Alé

Coeficiente k

Quantidade Aspiração

Total Aspiração

Total ΣKa=

Quantidade Recalque

Total Recalque

ΣKr =

6-25

Sistemas Fluidomecânicos

6.12

Exemplo de Resultados

Tabela 1: Dados Iniciais

Valores

Vazão Altura estática de aspiração Altura estática de recalque Comprimento da tubulação de aspiração Comprimento da tubulação de recalque Material da tubulação Rugosidade Fluido Temperatura Massa especifica Viscosidade dinâmica

Q ha hr La Lr

0,045 2,0 28 15 3000 Ferro fundido novo 0,16 Água 20 998,15 1,008x10-6

ε T ρ ν

Tabela 2: Cálculos Perda de Carga

Aspiração

Diâmetro da tubulação

Velocidade da tubulação No de Reynolds da tubulação Rugosidade relativa Fator de atrito Perda de carga por comprimento de tubulação Perda de carga dos acessórios Perda de carga (Tubulação + Acessórios) Perda de carga total (Aspiração + Recalque)

Va Ra ε/Da fa hLDa hLka hLa

Unidades m3/s m m m m mm o

C kg/m3 m2/s

Recalque

223mm Dr 250mm 0,917 m/s Vr 2,29x105 Rr 0,00064 ε/Dr 0,01969 fr 0,05 hLDr 0,12 hLkr 0,17 hLr hL =32,39m

223mm 200mm 1,43 m/s 2,86x105 0,008 0,02030 31,85 0,37 32,22

Tabela 3: Cálculo da Potência de acionamento

Altura total de elevação Altura manométrica Vazão Rendimento global estimado Potência de acionamento

30 62,39 0,045 63,97 42,97

m m m3/s % kW

30 62,39 162 30 0,01234 Hman= 30 + 0,001234Q2

m m m3/h m

he Hman Q ηG W

Tabela 4: Curva Característica do Sistema

Altura total de elevação Altura manométrica Vazão Constante k1=he Constante k2= (Hman - k1)/Q2 Equação da Altura Manométrica

he Hman Q k1 k2

Tabela 6: Perda de Carga dos acessórios: (Apostila Tab.8.3) Item 1 2 3 4 5

Elemento (acessórios) Válvula de pé Crivo Curva de 900 Válvula de retenção Registro de gaveta

Coeficiente k 1,75 0,75 0,40 2,50 0,20

Quantidade Aspiração 1 1 1 0 0 Total

6-26

Total Aspiração 1,75 0,75 0,4 0 0 ΣKa=2,9

Quantidade Recalque 1,75 0,75 0,4 0 0

Total Recalque 0 0 0,8 2,5 0,20 ΣKr =3,5

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CapĂtulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento

Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento

Jorge A. Villar AlĂŠ

7-1

Sistemas de Bombeamento

Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento SUMÁRIO

7.1 PERDA DE PRESSÃO NO ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES ......................................................................... 3 7.2 PERDA DE CARGA TOTAL ....................................................................................................................... 3 7.3 PERDA DE POR TUBULAÇÕES ................................................................................................................. 4 7.4 DIAGRAMA DE MOODY ........................................................................................................................... 5 7.5 MÉTODO PARA DETERMINAR A PERDA DE CARGA SECUNDARIA ............................................................... 8 7.5.1 Método do comprimento equivalente ................................................................................................ 8 7.5.2 Método do coeficiente de perda de carga......................................................................................... 9 7.6 PERDA DE CARGA NOS SISTEMAS DE BOMBEAMENTO ........................................................................... 10 7.7 RESUMO DAS PRINCIPIAS EQUAÇÕES NOS SISTEMAS DE BOMBEAMENTO .............................................. 11 7.8 VELOCIDADES TÍPICAS NOS SISTEMAS DE BOMBEAMENTO ................................................................... 12 7.9 EXEMPLOS RESOLVIDOS DE SISTEMAS DE BOMBEAMENTO. .................................................................. 13 7.10 DIMENSIONAMENTO DE SISTEMA DE BOMBEAMENTO............................................................................. 15

7-2

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Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento

7.1 Perda de Pressão no Escoamento em Tubulações A variação de pressão num duto resulta da variação da elevação, da velocidade e do atrito e pode ser determinada aplicando a Eq. da Energia:

p1 u12 p u2 + + z1 − h L = 2 + 2 + z 2 ρg 2 g ρg 2 g Desta forma:

∆P → f ( Z , V , hL )

O atrito origina uma diminuição da pressão. Causa uma perda de pressão comparada com o caso de escoamento sem atrito.

Figura 7.1 Perda de carga em sistema de bombeamento

7.2 Perda de Carga Total A perda de carga em tubulações é dada por duas parcelas.

hL = hLD + hLK

Perda de Carga pelos Dutos ou Tubulações: (hLD) Devido ao atrito no escoamento plenamente desenvolvido entre pontos da tubulação com área constante. Perda de Carga por Acessórios - (hLK) Devido ao escoamento através de acessórios como válvulas, joelhos, registros e em porções do sistema de área variável tais como saídas de reservatórios, bocais convergentes e divergentes. A perda de carga na entrada ou saída de uma tubulação é considerada como perda de carga secundária. Obs: A nomenclatura de hL para perda de carga é usualmente utilizada nos textos de mecânica dos fluidos. Nos textos de máquinas de fluxo, a perda de carga é denominada por J. Por exemplo, a perda de carga nas tubulações é designada por JL e perda de carga nos acessórios por Jacc,. Jorge A. Villar Alé

7-3

Sistemas de Bombeamento

7.3 Perda de por Tubulações Transformação da energia cinética para energia térmica por efeitos viscosos. Consideremos um escoamento plenamente desenvolvido numa tubulação de comprimento L. Analisando uma tubulação com área constante A1=A2 e desta forma pela Eq. da continuidade u1=u2 . No caso de uma tubulação horizontal (z1=z2). Assim a equação da energia é reduzida para:

hLD =

( p1 − p 2 ) ρg

∆P ρg

Perda de Carga Principal - Escoamento Turbulento

No caso de escoamento turbulento não existem expressões que permitam avaliar analiticamente a queda de pressão. Utiliza-se análise dimensional e correlações de dados experimentais.

Analisando o caso de escoamento turbulento plenamente desenvolvido a queda de pressão é função das seguintes variáveis:

∆P = φ ( D , L , ε , V , ρ , µ ) Mostra-se que a perda de carga é diretamente proporcional a L/D.

hL ε L  = φ  Re,  2 D  D V 2g A função φ é conhecida como fator de atrito ou coeficiente de atrito.

ε  f = φ Re,  D  Onde Re é o número de Reynolds e e/D a rugosidade relativa. Número de Reynolds

Re =

VD ν

V: velocidade média do fluido (m/s) D: diâmetro interno da tubulação (m) ν: viscosidade cinemática do fluido (m2/s)

Tipos de regimes de escoamento: Re < 2000

Laminar

Re > 4000 Turbulento

desta forma se obtém a equação da perda de carga que representa a energia dissipada por unidade de peso do fluido escoando.

hLD

L V2 = f D 2g

Equação de Darcy-Weisbach.

O fator de atrito determina-se experimentalmente. Utiliza-se o Diagrama de Moody.

7-4

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Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento

7.4 Diagrama de Moody 7.4.1 Rugosidade Absoluta e Rugosidade Relativa Para determinar o fator de atrito se utiliza o Diagrama de Moody. Para tal deve-se ter o valor do número de Reynolds e a rugosidade relativa ε/D. A rugosidade absoluta ε depende do tipo de material da tubulação e do seu acabamento. Representa o valor médio das alturas da rugosidade da parede interna da tubulação. A Tabela dada mostra os valores da rugosidade absoluta para os materiais típicos de tubulações industriais utilizadas para o escoamento de fluidos.

Figura 7.2 Representação da rugosidade absoluta em tubulações

Tabela 7.1 Rugosidade absoluta (mm) de tubulações industriais Material Rugosidade absoluta ε (mm) Aço, revestimento asfalto quente. 0,3 a 0,9 Aço, revestimento esmalte centrifugado. 0,011 a 0,06 Aço enferrujado ligeiramente 0,15 a 0,3 Aço enferrujado 0,4 a 0,6 Aço muito enferrujado 0,9 a 2,4 Ferro galvanizado novo, com costura. 0,15 a 0,2 Ferro galvanizado novo, sem costura. 0,06 a 0,15 Ferro fundido revestido com asfalto 0,12 a 0,20 Ferro fundido com crostas 1,5 a 3,0 PVC e Cobre 0,015 Cimento-amianto novo 0,05 a 0,10 Fonte: - Equipamentos Industriais e de Processo - (Macintyre)

Jorge A. Villar Alé

7-5

Sistemas de Bombeamento

7.4.2 Descrição do Diagrama de Moody O diagrama de Moody apresenta uma zona laminar (Re < 2300), uma zona crítica (Re de 2300 e 4000) uma zona de transição e uma zona inteiramente rugosa. Nestas zonas o fator de atrito f apresenta diferentes dependências em relação ao número de Reynolds (Re) e em relação a rugosidade relativa ε/D as quais são resumidas a seguir: 1. Na zona laminar fator de atrito f é independente da rugosidade ε/D e inversamente proporcional ao número de Re 2. Na zona crítica o fator de atrito apresenta aumentos bruscos. 3. Na zona de transição para um determinado Re o fator de atrito f diminui conforme a rugosidade relativa ε/D diminui. 4. Na zona de transição, para uma determinada rugosidade relativa ε/D o fator de atrito f diminui ao aumentar o Re até alcançar a região inteiramente rugosa. 5. Dentro da zona inteiramente rugosa, para uma determinada rugosidade relativa ε/D, o fator de atrito f, se mantém praticamente como um valor constante independente do Re. 6. Na zona de transição, conforme diminui a rugosidade relativa ε/D o valor do Re no qual inicia a região plenamente turbulenta começa a aumentar

Figura 7.3 Representação do Diagrama de Moody Podemos utilizar o site http://www.lmnoeng.com/moody.htm para determinar a perda de carga em tubulações ou o site http://grumpy.aero.ufl.edu/gasdynamics/colebrook.html. Também podemos utilizar o aplicativo hidrotec disponível no site http://planeta.terra.com.br/servicos/hidrotec

7-6

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Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento

I - Escoamento Laminar O fator de atrito para escoamento laminar pode ser obtido igualando a equação

hLD = f f =

L V2 D 2g

64 Re

com a equação da perda de carga laminar hL D =

64 L V 2 se obtém: Re D 2 g

Válido para Re < 2300

No escoamento laminar o fator de atrito ( f ) é função somente do número de Reynolds. Independe da rugosidade da tubulação.

II - Escoamento com Tubos Hidraulicamente Lisos Nesta região pode utilizar-se a Eq. de Blasius ou a Eq. de Drew Koo e McAdams

f =

0,316

(Re )

1/ 4

4000 < Re < 105

Eq. de Blasius

f = 0,0056 + 0,5 Re −0,32

Eq. de Drew Koo e McAdams

105 < Re < 3x106

III - Escoamento Turbulento com Tubos Hidraulicamente Semi-Rugosos

Permite determinar o fator de atrito para escoamento turbulento:

ε / D 2,51 = −2,0 log +  f  3,7 Re f

  Equação de Colebrook  

5,0x103 < Re < 1x108

Como tal equação é do tipo transcendente deve ser utilizado um procedimento iterativo para determinar f. Uma alternativa é utilizar uma equação explícita:

  ε / D 5,74 f = 0,25log + 0 ,9   3,7 Re

  

−2

Equação Explícita

5,0x103 < Re < 1x108

Utilizando a Eq. acima se encontram valores de f com margem de erro de +-1% comparados com os obtidos com a Eq. de Colebrook, para: ε/D de 1,0x10-4 (0,0001) até 1,0x10-6 (0,000001) IV - Escoamento Turbulento com Tubos Hidraulicamente Rugosos O fator de atrito depende unicamente da rugosidade relativa e pode ser determinado pela equação:

ε /D = −2 log  Equação de Von Karman f  3,7 

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7-7

Sistemas de Bombeamento

7.5 Método para Determinar a Perda de Carga Secundaria 7.5.1 Método do comprimento equivalente Os acessórios são todos aqueles elementos que existem numa tubulação através dos quais o fluido escoa, tais como curvas, bocais, registros e válvulas. Cada um destes elementos produz uma dissipação de energia que é avaliada pela perda de carga (hac) definida como:

h Lk = f

L eq V 2 D 2g

(m)

O comprimento equivalente em metros de canalização retilínea (Leq) é tabelado segundo o tipo de acessório, o material utilizado e o diâmetro da tubulação. Se substituirmos um certo acessório por uma tubulação retilínea com o comprimento igual ao comprimento equivalente (com igual material e diâmetro) ambos originariam a mesma perda de carga. A tabela abaixo mostra o comprimento equivalente adimensional (Leq/D) de diversos acessórios.

Figura 7.4 Representação do comprimento equivalente em acessórios Tabela 7. 2 Perda de carga localizada Tipo de Acessório Comprimento Equivalente (Leq/D) Válvula de globo aberta 340 Válvula de gaveta aberta 8 3/4 aberta 35 1/2 aberta 160 1/4 aberta 900 Válvula tipo borboleta aberta 45 Válvula de esfera aberta 3 Válvula de retenção tipo globo 600 Válvula de retenção tipo em ângulo 55 Válvula de pé com crivo: de disco móvel 75 Cotovelo padronizado 900 30 Cotovelo padronizado 450 16 Te padronizada fluxo direto 20 Te padronizada fluxo ramal 60

Válvulas tipo borboleta Válvula globo

Te com flanges

Figura 7.5 acessórios utilizados em instalações industriais

7-8

PUCRS

Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento

7.5.2 Método do coeficiente de perda de carga Uma outra forma de representar a perda de carga nos acessórios (hac) é definindo a mesma na forma:

h LK

V2 =k 2g

(m)

Onde k é o coeficiente de perda de carga e V a velocidade média. O coeficiente de perda de carga será maior quanto mais abruto seja o elemento originando zonas de recirculação de fluxo e altos níveis de turbulência, aumentando desta forma a energia dissipada. A tabela mostra o coeficiente de perda e carga de diversos elementos. Tabela 7. 3 Coeficiente de perda de carga de acessórios k k Tipo de Acessório Tipo de Acessório Ampliação Gradual 0,20* Junção 0,40 Bocais 2,75 Medidor venturi 2,5 Comporta aberta 1,00 Redução gradual 0,15 Controlador de vazão 2,50 Registro de ângulo aberto 5,0 Cotovelo 900 0,9 Registro de gaveta aberto 0,20 Cotovelo 450 0,4 Registro de globo aberto 10,0 Crivo 0,75 Saída de canalização 1,00 Curva 90 0,4 Tê passagem direta 0,6 Curva 45 0,20 Tê saída de lado 1,30 Curva 22,5 0,10 Tê saída bilateral 1,80 Entrada normal em canalização 0,50 Válvula de pé 1,75 Entrada de borda 1,0 Válvula de retenção 2,50 Existência de pequena derivação 0,03 Velocidade 1,0 * com base na velocidade maior (seção menor) ** Relativa à velocidade de canalização

Igualando as equações de perda de carga por acessórios se obtém:

k= f

L eq D

mostrando a relação entre o coeficiente de perda de carga (k) e o comprimento equivalente (Leq).

Curva de 900

Joelho de 900 Válvula de pé com crivo Registro de gaveta Figura 7.6 Exemplo de diversos acessórios utilizados em instalações industriais

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7-9

Sistemas de Bombeamento

7.6 Perda de Carga nos Sistemas de Bombeamento Para determinar a energia útil transferida do rotor ao fluido deve-se determinar total as alturas físicas de aspiração e de recalque assim como todos os comprimentos das tubulações e todos os acessórios existentes na tubulação. Basicamente um sistema de bombeamento fica especificado quando determina-se a altura manométrica e a vazão do sistema. A vazão é uma informação especifica do projeto. As velocidades nas tubulações de aspiração e recalque podem ser determinadas a partir de recomendações e posteriormente determinar o diâmetro das tubulações. O diâmetro comercial imediatamente superior será o diâmetro da tubulação de aspiração (Da) e diâmetro inferior será o diâmetro de recalque (Dr). Sistemas com velocidades muito baixas requerem de tubulações com diâmetros maiores e, portanto, eleva-se o custo do sistema. Sistemas com velocidades muito altas envolvem diâmetros menores, contudo, apresentam grandes perdas de carga e, portanto, aumenta o custo da potência de acionamento do sistema. Recomendam-se velocidades inferiores na tubulação de aspiração para evitar problemas de altas perdas de carga o qual pode trazer problemas de cavitação. Para auxiliar em projetos podem ser utilizadas expressões ou tabelas que apresentam faixas de velocidades recomendadas segundo o tipo de fluido.

Figura 7.7 Esquema de sistemas de bombeamento.

7-10

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Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento

7.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento Altura Manométrica em Sistemas de Bombeamento (reservatórios a pressão atmosférica.) Hman: Altura manométrica do sistema (m) ha: altura estática de aspiração (m) H man = ha + hr + hLa + hLr + hvel hr: altura estática de recalque (m) hLa: perda de carga na tubulação de aspiração (m) h Lr: perda de carga na tubulação de recalque (m) Obs: Conforme Figura 7.7 hveloc: perda de carga dinâmica pela velocidade na tubulação (m) Perda de Carga nas Tubulações: f: coeficiente de atrito ou fator de atrito 2 L: comprimento da tubulação (m) L v h LD = f v: velocidade média do fluido na tubulação (m/s) D 2g D: diâmetro interno da tubulação (m) g: aceleração da gravidade (9,81m/s2) Perda de Carga nos Acessórios – método do comprimento equivalente Leq : comprimento equivalente em metros de canalização retilínea. (m) Tabelado segundo tipo de acessórios, material e diâmetro da tubulação. L eq v 2 h Lk = f D 2g Perda de Carga nos Acessórios – método do coeficiente de perda de carga k : coeficiente de perda de carga dos acessórios 2 Tabelado segundo tipo de acessórios. v h Lk = Σk 2g Perda de Carga Total (tubulações + acessórios): h L = h LD + h Lk

Potência de acionamento da bomba (potência motriz) ρ: massa específica do fluido (kg/m3) ρgH man Q W& ac = (W) Hman: altura manométrica (m) ηG Q: vazão (m3/s) ηG: rendimento global do sistema (motor-bomba: 50% a 75%) Rendimento Global (%) - (Eq. aproximada)

ηG = 80− 0,9367H + 5,46x10−3 QH −1,514x10−5 Q2 H + 5,802x10−3 H 2 − 3,028x10−5 QH 2 + 8,346x10−8 Q2 H 2 Q: (m3/h ); Hman: (m)

Validade:

20 (m3/h ) < Q < 250 (m3/h ) 15 (m) < H < 100 (m)

Tabela 7.5 Acréscimo de segurança da potência do motor Potência (kW) Até 2 de 2 a 5 de 5 a 10 de 10 a 20 Acima de 20

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Potência (kW) Até 1,5 de 1,5 a 3,7 de 3,7 a 7,4 de 7,4 a 15 Acima de 15

Margem de segurança 50% 30% 20% 15% 10%

7-11

Sistemas de Bombeamento

7.8 Velocidades Típicas nos Sistemas de Bombeamento Na literatura encontramos diferentes recomendações para as velocidades a serem adotadas em sistemas de bombeamento. Reproduzimos aqui algumas que podem ser adotadas como critério de dimensionamento preliminar, as quais podem ser modificadas segundo o tipo de fluido e instalações específicas. Velocidades econômicas em geral : vasp < 1,5m/s (máximo: vasp = 2,0m/s) vrecal < 2,5m/s (máximo vrecal = 3,0m/s).

7.7.1 Velocidades na Tubulação de aspiração

• Quando o fluxo provém de um poço de sucção em regime uniforme: v ≤ 1,5m/s • Quando o fluxo provém de uma tubulação geral v ≤ 0,9m/s • Velocidade mínima a ser adotada em qualquer situação nas tubulações de aspiração v=0,6m/s. Fonte: Sistemas de bombeamento: (Jardim)

7.7.2 Velocidades na Tubulação de Recalque em Função de Diâmetros • Recomenda-se para D < 300mm v (entre 1,0m/s e .2,65m/s ) • Para D > 300mm recomenda-se vmax =3,0m/s (Macintyre) Fonte: Sistemas de bombeamento: (Jardim)

7.7.3 Fórmula de Bresse: • Para tubulações em sistemas de pequeno porte fluxo contínuo (24h/dia): D : diâmetro da tubulação (m) D=k Q (m) k : coeficiente que varia entre 0,9 a 1,2 Q : vazão (m3/s ) • Para tubulações em sistemas com regime operacional intermitente:

D = 1,3 X

1/ 4

(m)

X =

hrs de operacao por dia 24horas

Q : vazão (m3/s) Fonte: Equipamentos Industriais de Processo (Macintyre)

Obs: Com a equação de Bresse pode ser determinado um diâmetro D. O diâmetro comercial imediatamente superior será o diâmetro da tubulação de aspiração (Da) e diâmetro inferior será o diâmetro de recalque (Dr). 6.6.4 Velocidades Típicas (regime turbulento) As seguintes relações podem ser utilizadas como referências. Líquidos Velocidades Limites Líquidos limpos não corrosivos 0 ,304 V = 5,214D (m/s) D: diâmetro interno da tubulação (m)

v max =

36,886 ρ 1/ 3

(m/s)

ρ: massa específica (kg/m3) Obs: utilizar a metade do valor para fluidos corrosivos e/ou erosivos. Fonte: Operações com Fluidos (Gomide)

7-12

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Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento

7.9 Exemplos Resolvidos de Sistemas de Bombeamento. Exemplo 7.1 Numa propriedade agrícola se requer uma estação de irrigação captando 40 litros/s de água de um canal. A figura ao lado representa o esquema da instalação de bombeamento a ser utilizada. Considere que a água 200C. Os diâmetros internos da tubulação de aspiração e de recalque são iguais a 175mm. Utilize uma tubulação de pvc com rugosidade absoluta igual a 0,015mm. Determinar a altura manométrica e potência de acionamento da bomba considerando um rendimento global de 75%.

Dados: Aspiração: Descarga: Solução:

01 válvula de pé: Leq =43,4m 01 curva de 900 : Leq =2,1m

01 curva de 900 Leq =2,1m 1 válvula de retenção Leq =13,9m

Para água a 200C: Viscosidade cinemática á igual a: ν=1,127x10-6m2/s. Massa específica: ρ=1000 kg/m3 Vazão: Q=40 l/s (0,040 m3/s). Pela Eq. da continuidade achamos: Velocidade na tubulação: V=1,65m/s Somando os comprimentos da tubulação (160m) mais o comprimento equivalente dos acessórios (61,5m) determinado o comprimento total: Ltotal = 160 + 61,5=221,5m (Aprox. 222m.) A altura manométrica é dada por:

H man = ha + hr + hLa + hLr como a tubulação é do mesmo diâmetro H man = ha + hr + hL Altura estática de aspiração: ha=3,0m; Altura estática de recalque: hr= 14,0m.

Re =

VD 1,65 x0,175 = = 256211 (2,56 x10 5 ) (Escoamento em regime turbulento). −6 ν 1,127 x10

1/ 3 1/ 3     ε 10 6   0,015 10 6     = 0,00551 +  20.000   ≅ 0,0153 f = 0,00551 +  20.000 + + D Re   175 256211         

Neste exemplo, a tubulação de aspiração e recalque tem o mesmo diâmetro. Desta forma a perda de carga total da instalação é dada como:

hL = hLD + hLk = f

( L + Leq ) v 2 (160 + 61,5)x 1,65 2 = 2,94m = 0,0153 D 2g 0,16 2 x9,81

H man = ha + hr + hL = 3 + 14 + 2,94 = 19,94m

ρgH man Q 1000 x9,81x19,94 x0,04 W& ac = = = 10432,61W ou 10,43kW ηG 0,75

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7-13

Sistemas de Bombeamento

Exemplo 7.2 Uma bomba de um catálogo do fabricante opera a 1750rpm e apresenta uma curva característica H-Q como mostrado na figura abaixo. Grafique a curva da bomba para uma rotação de 2000rpm. Um sistema deve bombear água através de uma tubulação de 150mm de diâmetro com 460m de comprimento. Considere o coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,025. A altura estática de elevação é igual a 12m considerando nulas todas as perdas dos acessórios. Determinar e a equação característica do sistema. Graficar a curva característica do sistema (com pelo menos 09 pontos) mostrando as condições de operação [H(m),Q(m3/h)] na interseção com a curva de bomba quando trabalha com 1750rpm. D=150mm L=460m f=0,025 he=12m

 4Q    2 L v L  πD 2  16 L Q 2 hL = f = f = f 2 5 D 2g D 2g π D 2g 2

hL = 0,0826 f

L 2 460 2 Q = 0,0826 x0,025 Q = 12513Q 2 5 D 0,15 5

A equação da curva característica da bomba é dada por:

H = he + hL = 12 + 12513Q 2 Curva Característica do Sistema: Q (m3/h) 0 40 Q (m3/s) 0 0,011 H (m) 12 13,55

60 0,01667 15,5

80 0,0222 18,2

100 0,0277 21,67

120 0,0333 25,9

140 0,0388 31,0

Curva Característica da Bomba - 1750rpm Q (m3/s) 0 20 40 H (m) 26,7 26,5 26,2

60 25,8

80 24,4

100 23

120 21,6

140 19

160 17

Curva Característica da Bomba - 2000rpm Q (m3/s) 0 22,86 45,72 H (m) 34,9 34,6 34,2

68,6 33,7

91,40 31,87

114 30

137,2 28,2

160,0 24,8

182,8 22,2

n 2000 Q2 = Q1 2 = Q1 x = 1,143Q1 n1 1750

n H 2 = H 1  2  n1

40 35 30 25 20 15 10 5 0

  2000   = H 1 x  = 1,306 H 1  1750   2

40 30 20 10 0 0

100

150

200

80 100 120 140 160 180

Resposta: Condições de operação do sistema Aprox.: Q=105 m3/h e H=23m 7-14

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Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento

7.10 Dimensionamento de Sistema de Bombeamento Fonte: (Equipamentos Industriais e de Processo - Macintyre) Determinar a altura manométrica, potência com os seguintes dados. Utilize o catálogo de uma bomba comercial para graficar a curva característica do sistema junto com a curva característica da bomba mostrando o ponto de funcionamento. Vazão: Q=5l/s Altura estática de aspiração ha=2,60m Comprimento da tubulação de aspiração: La=5,4m Altura estática de recalque: hr=42,50m Comprimento da tubulação de recalque Lr=60m

Tubulação: Ferro galvanizado novo sem costura Fluido: água fria a 150C Rendimento global estimado: 50%

Aspiração Elemento Válvula de pé com crivo Cotovelo 900 raio médio Registro de gaveta Tê com saída lateral Recalque Elemento Registro de gaveta Válvula de retenção (tipo pesada) Tê de saída lateral Cotovelo 450 Cotovelo de 900 raio médio

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Quantidade 01 01 02 02 Quantidade 01 01 01 01 07

7-15

Sistemas de Bombeamento Solução

Para determinar a altura manométrica devemos conhecer as perdas de carga da instalação, já que as alturas estáticas de aspiração e recalque são dadas no problema.

H man = ha + hr + hLa + hLr + hvel 1. Diâmetros e velocidades das tubulações 1.1 Tubulação de aspiração: com Q=5l/s no gráfico de Sulzer se obtém: Da=75mm e va=1,30m/s (diâmetro comercial) • Utilizando a Eq. Bresse para fluxo continuo com k=1,05 se obtém: D=74mm (superior 75mm) 1.2 Tubulação de recalque: com Q=5l/s no gráfico de Sulzer se obtém: Dr= 63mm e vr=1,45m/s (diâmetro comercial) • Utilizando a Eq. Bresse com k=1,05 se obtém D=74mm (D inferior comercial: 63mm) 2. Comprimento equivalente dos acessórios Considerando as tubulações de ferro fundido, podemos obter a perda de carga dos acessórios (para ferro fundido e aço) com seus os respectivos diâmetros das tubulações (aspiração e descarga). 2.1 Tubulação de aspiração: Diâmetro: Velocidade: Item Elemento

1 2 3 4

Válvula de pé com crivo Cotovelo 900 raio médio. Registro de gaveta Te - com saída lateral

75mm (3”) 1,3m/s Quantidade Comprimento Equivalente unitário 01 20,0 01 2,10 02 0,50 02 5,20 Total

Comprimento Equivalente total 20,00 2,10 1,00 10,40 33,50

Tubulação de aspiração: LTa=La + Leqa= 5,4 + 33,50 = 38,9mca 2.2 Tubulação de recalque Diâmetro: Velocidade: Item Elemento

1 2 3 4 5

Registro de gaveta (21/2”) Válvula de retenção (tipo pesada) Te - saída lateral Cotovelo 450 Cotovelo de 900 raio médio

63 mm (21/2”) 1,45m/s Quantidade Comprimento Equivalente unitário 01 0,4 01 8,1 01 4,3 01 0,9 07 1,7 Total

Comprimento Equivalente total 0,4 8,1 4,3 0,9 11,9 25,60

Tubulação de recalque : LTr=Lrealr + Leqr= 60,0 + 25,6 = 85,6mca. Para água fria a 150C, em tabela: encontramos ν=1,127x10-6 (m2/s). Rugosidade Absoluta da tubulação 7-16

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Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento

Considerando ferro galvanizado novo sem costura obtemos em tabela o valor da rugosidade absoluta igual a ε =0,10mm. (valor médio) 4. Perda de Carga na Tubulação de aspiração Número de Reynolds da aspiração: Da=75mm

Re a =

va=1,30m/s ν=1,127x10-6 (m2/s)

v a Da 1,30x 0, 075 = = 86.513 ≈ 8,7x10 4 −6 ν 1127 , x10

Coeficiente de atrito: Utilizando o diagrama de Moody ou a expressão aproximada de Moody: A rugosidade relativa ε/Da= 0,10/75=0,001334 1/ 3 1/ 3     ε 10 6   10 6   f = 0,00551 +  20.000 +   = 0,00551 +  20.000( 0,001334) +   = 0,024 D Re   86513       

L v2 38,90 (1,3) = f = 0,024 = 1,076m D 2g 0,075 2 x9,81 2

hLDa

5. Perda de Carga na Tubulação de Descarga Da=63mm

ν=1,127x10-6 m2/s

va=1,45m/s

Número de Reynolds da aspiração:

Re r =

v r Dr 1, 45x 0, 0063 = = 81056 ≈ 8,1x10 4 ν 1127 , x10 −6

Coeficiente de atrito: Utilizando o diagrama de Moody ou a expressão aproximada de Moody: A rugosidade relativa ε/Dr= 0,10/63=0,0016 1/ 3 1/ 3     ε 10 6   10 6   f = 0,00551 +  20.000 +   = 0,00551 +  20.000( 0,0016) +   = 0,025 D Re   81056         

L v2 85,6 (1,45) = 0,025 = 3,64 D 2g 0,063 2 x9,81 2

hLDr = f

hvel =

v2 1,3 2 = = 0,086m 2 g 2 x9,81

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7-17

Sistemas de Bombeamento

6. Altura Manométrica

H man = ha + hr + hLa + hLr + hvel H man = 2,6 + 42,5 + 1,08 + 3,64 + 0,086 ≈ 50m 7. Potência de acionamento da bomba

Pot =

ρgHQ 1000 x9,81x 50 x 0,005 = = 4,12 kW ≈ 5kW ≈ 6,5CV ηG 0,5

Com Hman=51mca e Q=5l/s (18m3/h ) podemos determinar o tipo de bomba comercial.

Poderíamos verificar a perda de carga utilizando diretamente o Diagrama de Moody. Aspiração: com Re=8,7x104 com ε/Da= 0,00133 f= 0,025 (valor obtido pela equação f=0,024) Descarga: com Re=8,1x104 ε/Dr= 0,10/63=0,0016 f=0,025

(valor obtido pela equação f=0,025 )

Continuar o problema: • •

7-18

Selecionar uma bomba comercial em catalogo de fabricante. Determinar a Eq. que representa a curva característica do sistema e graficar junto a curva do fabricante.

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Capítulo 8: Conceitos de Cavitação

Conceitos de Cavitação

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8-1

Sistemas Fluidomecânicos

Conceitos de Cavitação SUMÁRIO INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................... 3 8.1 DETERMINAÇÃO DO NPSH (NET POSITIVE SUCTION HEAD) DISPONÍVEL..................................................... 5 8.1.1 CASO GERAL DE (NPSH) DISPONÍVEL ..................................................................................................... 7 8.1.2 CASOS ESPECÍFICOS DE SISTEMAS PARA DETERMINAR O NPSH DISPONÍVEL............................................ 8 8.2 ALTURA POSITIVA LÍQUIDA DE SUCÇÃO (NPSH) REQUERIDA PELA BOMBA ................................................... 9 8.3 LIMITE DA ALTURA ESTÁTICA DE ASPIRAÇÃO .............................................................................................. 10 8.4 DETERMINAÇÃO DO FATOR DE CAVITAÇÃO OU FATOR DE THOMA .............................................................. 11 8.4.1 VELOCIDADE ESPECÍFICA DE ASPIRAÇÃO ................................................................................................ 11 8.4.2 MARGEM PRÁTICA DE SEGURANÇA.......................................................................................................... 12 8.5 EXEMPLOS DE CAVITAÇÃO..................................................................................................................................... 13

8-2

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Capítulo 8: Conceitos de Cavitação

Introdução Os fluidos podem passar do estado líquido para o gasoso dependendo das condições de pressão e temperatura a que estão submetidos. A pressão na qual se da este processo é denominada pressão de vapor ou de vaporização (Pv). A Fig. 8.1 mostra a pressão de vaporização da água em função da temperatura. Sabemos que, a pressão atmosférica, a água vaporiza (ferve) quando a temperatura atinge em torno de 1000C. Nestas condições a pressão de vaporização da água é 101,33kPa. Observamos no gráfico que pode-se obter vaporização do fluido para pressões inferiores a pressão atmosférica. Por ex. água a 600C pode vaporizar quando a pressão de vapor é de 20kPa.

Pressão de Vapor de Água (kPa)

Pressão de vapor (pvap) • Propriedade do fluido que varia com a temperatura, aumentando com a elevação da mesma.

100 80 60 40 20 0 0

100

Temperatura (oC)

Figura 8.1 Pressão de vapor de água (kPa) em função da temperatura (oC) As bombas em operação aspiram o fluido, e nesse processo, a pressão diminui até atingir um valor mínimo na boca de entrada da bomba. Se esta pressão atinge a pressão de vapor do fluido, o fluido vaporiza e inicia um processo de formação de bolhas as quais são arrastadas no interior da bomba, provocando dados irreparáveis. Desta forma o estudo de cavitação permite avaliar, se nas condições de operação do sistema, a pressão na boca de entrada da bomba pode atingir pressões inferiores à pressão de vaporização. Cavitação: Processo de vaporização do fluido quando a pressão absoluta baixa até alcançar a pressão de vapor (pvap) do líquido na temperatura em que se encontra. O fenômeno de cavitação provoca: • Corrosão. • Remoção de pedaços de rotor e tubulação junto à entrada da bomba. • Afeta o rendimento. • Provoca trepidação e vibração máquina • Presença de ruídos e implosão. • No caso da água, a cavitação tem maiores efeitos para acima dos 450C. Materiais que resistem à corrosão por cavitação: • Ferro Fundido, Alumínio, Bronze, Aço Fundido, Aço doce laminado. Figura 8.2 Cavitação em bomba centrífuga

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8-3

Sistemas Fluidomecânicos

A Fig.8.3 mostra claramente o efeito causado pelo fenômeno de cavitação principalmente na região de entrada das pás.

Figura 8.3 Exemplos de rotores de bombas deteriorados pelo fenômeno de cavitação A Fig. 8.4 mostra que a cavitação ocorre quando a pressão na entrada do rotor é inferior a pressão de vapor do fluido. Desta forma no caso da figura a direita o fluido vaporiza dentro do rotor.

Figura 8.4 Gráfico esquemático mostrando a cavitação de bombas 8-4

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Capítulo 8: Conceitos de Cavitação

8.1 Determinação do NPSH (Net Positive Suction Head) Disponível Para analisar o fenômeno de cavitação utilizamos o esquema representado na Fig. 8.5. Para não ocorrer cavitação a energia total na entrada na bomba deve ser maior que a energia de vaporização. Definese a energia disponível pelo sistema como sendo a diferença entre a energia total absoluta e a energia da pressão de vapor do líquido. Esta energia disponível pelo sistema é conhecida como NPSH (Net Positive Suction Head), que representa a altura positiva líquida de aspiração.

Figura 8.5 Alturas características para analisar a cavitação em bombas. Aplicando a Eq. da energia a superfície livre do líquido no reservatório de captação (plano 0-0) e na boca de entrada da bomba (plano 1-1).

p0 v02 p v2 + + z 0 − hL ( 0−1) = 1 + 1 + z1 ρg 2 g ρg 2 g

(1)

O plano de referência (0-0) está na superfície livre do reservatório z0=0. Considerando o reservatório muito maior que o da tubulação de aspiração, a velocidade v0 é muito pequena e, portanto, o termo de energia da mesma é desprezível (v02/2g=0). Com tais simplificações a equação é descrita como:

[ p 0 = p atm ] [z1 = ha ]

[v0 ≅ 0]

[z 0 ≅ 0 ]

L ( 0 −1)

= hLa

]

p atm p v2 = 1 + 1 + ha + hLa ρg ρg 2 g

plano

(1-1):

(2)

Da Eq. anterior explicitamos os termos que representam a pressão total na entrada da bomba:

Jorge A. Villar Alé

8-5

Sistemas Fluidomecânicos

 P1 v12    = H atm − ha − hLa +  ρg 2 g 

(3)

A qual é agora definida como Energia total absoluta na entrada da bomba:

ET 1

 p1 v12   =  + ρ g 2 g  

(4)

Definimos também a energia de pressão de vapor como:

p  E vap =  v   ρg 

(5)

Para não ocorrer cavitação a energia total na entrada na bomba deve ser maior que a energia de vaporização, desta forma ET1 > Evap. Como segurança define-se a energia disponível pelo sistema como sendo a diferença entre a energia total absoluta e a energia da pressão de vapor do líquido.

E Disp = ET 1 − Evap

(6)

Figura 8.6 Representação gráfica da energia disponível. Representa a disponibilidade da energia com que o líquido penetra na boca de entrada da bomba. Nos sistemas de bombeamento denomina-se Altura Positiva Líquida de Aspiração (NPSH) Disponível. Tratase da energia de segurança do sistema para não ocorrer cavitação.

NPSH Disp

 p1 v12   − hvap =  + ρ g 2 g  

(7)

Em termos das variáveis do sistema é dado por:

NPSH Disp = H atm − ha − hLa − hvap

(8)

8-6

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Capítulo 8: Conceitos de Cavitação

8.1.1 Caso Geral de (NPSH) Disponível Num caso mais geral a pressão absoluta no reservatório de aspiração (H1=P/ρg) pode ser diferente da pressão atmosférica (Hatm), e a bomba pode estar cima ou abaixo do reservatório de aspiração. Neste caso a equação de NPSH disponível é dada por:

NPSH Disp ≥

p abs m ha − hLa − hvap ρg

(9)

ha (-) Bomba acima do reservatório de aspiração. (Bomba instalada na forma normal) ha (+) Bomba abaixo do reservatório de aspiração. (Bomba instalada na forma afogada) No caso de sistemas com reservatório de aspiração aberto a atmosfera.

NPSH Disp ≥ H Atm m ha − hLa − hvap

( 10 )

Figura 8.7 Tipos de sistemas afogado e normal.

Jorge A. Villar Alé

8-7

Sistemas Fluidomecânicos

8.1.2 Casos Específicos de Sistemas para Determinar o NPSH Disponível A Fig.8.8 mostra quatro casos que podem ser considerados para determinar o NPSH disponível pelo sistema. No Caso 1 trata-se de um reservatório aberto sendo que a superfície livre da água no reservatório esta por baixo do centro da bomba. Observe-se que neste caso a pressão no reservatório é a pressão atmosférica (Hatm). No Caso 2 é semelhante ao caso 1, contudo a diferença esta em que o reservatório fechado (pressurizado) e desta forma a pressão a ser considerada é a pressão absoluta dentro do reservatório (Habs). No Caso 3 trata-de de um reservatório aberto, contudo a superfície livre do líquido esta por cima da bomba tratando-se de uma bomba afogada pelo qual a altura estática de aspiração considera-se com sinal negativo dentro do equacionamento do NPSHD. O Caso 4 é semelhante ao Caso 3, já que é uma bomba afogada, contudo com reservatório fechado e, portanto deve ser considerada a pressão absoluta no reservatório (Habs). A Fig. 8.8 apresenta a seguinte nomenclatura: NPSHD: Altura positiva liquida de aspiração disponível ha: Altura estática de aspiração hLa: Perda de carga na tubulação de aspiração hvap: Altura equivalente a pressão de vapor Habs: Altura equivalente a pressão absoluta no reservatório fechado (pressurizado) HAtm: Altura equivalente a pressão atmosférica no reservatório aberto.

Figura 8.8 Tipos de sistemas afogado e normal. 8-8

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Capítulo 8: Conceitos de Cavitação

8.2 Altura Positiva Líquida de Sucção (NPSH) Requerida pela Bomba Para definir NPSH requerido pela bomba devemos identificar as parcelas de energia envolvidas:

NPSH Re q = ∆h +

v12 2g

( 11 )

onde ∆h é a parcela de energia necessária para vencer as perdas de energia provindas da variação da velocidade relativa (W1) e perdas de energia devido ao atrito e à turbulência do líquido entre a boca de entrada na bomba e a entrada das pás devido ao aumento de velocidade absoluta C1

 W2 C2  ∆h =  λ 1 1 + λ 2 1  2g 2g  

( 12 )

Onde λ1, λ2 são coeficientes empíricos (0,3 e 1,2 respectivamente).

 W2 C 2  v2 NPSH Re q =  λ1 1 + λ 2 1  + 1 2g  2g  2g

( 13.1 )

v12 Geralmente o termo é pequeno e desta forma se adota a equação: 2g  W2 C2  NPSH Re q =  λ1 1 + λ 2 1  2g   2g

(13.2)

Assim, o NPSHreq depende das características construtivas da bomba. O NPSHreq é dado graficamente pelo fabricante.

Figura 8.9 Representação da curva do NPSH num gráfico de bomba comercial.

Jorge A. Villar Alé

8-9

Sistemas Fluidomecânicos

8.3 Limite da Altura Estática de Aspiração Para evitar a cavitação, a energia disponível pelo sistema deve ser maior que a energia requerida pela bomba:

NPSH Disp ( sistema ) > NPSH Re q (bomba )

( 14 )

Ou também: NPSH Re q < NPSH Disp

NPSH Re q < H atm − ha − hLa − hvap Desta forma podemos determinar altura estática de aspiração que deve ser colocada a bomba em relação ao nível do líquido para não ocorrer cavitação:

ha < H atm − (hLa + hvap +

v a2 + NPSH req ) 2g

( 15 )

Para evitar que ocorra cavitação devemos colocar a bomba numa altura menor que o valor limite dado pela equação anterior. Como a dedução foi realizada para um sistema normal e não afogado, devemos observar que o resultado numérico de tal equação nos fornece a seguinte informação: • •

Se o valor de ha é positivo, (por ex. 3,0m) significa que a bomba deverá ser instalada acima do nível do líquido. Bomba com Aspiração Normal. Se o valor de ha é negativo, (por ex. -3,0m) significa que a bomba deverá ser instalada abaixo do nível do líquido. Bomba Afogada.

Observa-se que tal altura depende das seguintes variáveis: • Pressão atmosférica local. O valor de ha será maior em instalações a nível do mar. • Perda de carga na tubulação de aspiração. Maior perda de carga menor será o valor de ha. • Pressão dinâmica na boca de aspiração da bomba. Maior velocidade menor será ha • Pressão de vaporização do fluido. Quanto menor a temperatura do fluido menor será hv e assim maior o valor de ha. • Energia requerida pela bomba na boca de aspiração. Bombas com menor dissipação de energia interna apresentaram um menor valor o NPSH requerido permitindo um maior valor de ha Analisemos o caso de uma situação teórica: • Consideremos uma instalação de bombeamento a nível do mar (Hatm=10,33m). • O sistema não apresenta perda de carga (hLa0) • Velocidade muito baixa (v2/2g =0) • Temperatura muito baixa (hvap=0). • Utilizamos uma bomba ideal sem dissipação de energia interna (NPSHreq=0). • Nestas condições idealizadas, o limite teórico de ha será de 10,33m • A máxima altura de aspiração admissível de uma bomba diminui com ao aumento da temperatura.

8-10

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Capítulo 8: Conceitos de Cavitação

8.4 Determinação do Fator de Cavitação ou Fator de Thoma O Fator de Thoma é um número característico adimensional para cavitação definido como:

σ=

∆h H Man

( 16 )

O valor de σ depende da rotação específica nq

σ = φ (nq ) 4 / 3 = φ (n

Q H man

3/ 4

)4/3

( 17 )

Bombas Hélico-axiais. ϕ = 0,0013.

0,7

Bombas Axiais. ϕ = 0,00145. Para bombas centrífugas em geral podemos utilizar: ϕ = 0,0011.

σ = 0,0011(n

Q H man

3/ 4

Fator de Thoma

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

)

4/3

90 100 110 120

Rotação Específica - nq (rpm)

Representada graficamente na Fig. 8.9.

Figura 8.10 - Curva do fator de Thoma.

Uma vez determinado o fator de Thoma podemos avaliar o NPSHReq pela relação: NPSHreq= ∆h = σH Man onde Hman é altura manométrica do sistema. Também podemos determinar altura máxima de aspiração:

ha < H atm − (hLa + hvap +

v a2 + σH man ) 2g

( 18 )

8.4.1 Velocidade Específica de Aspiração A velocidade específica de aspiração (S) e utilizada para definir ou caracterizar as condições de aspiração de uma bomba e para estabelecer analogias de funcionamento de bombas semelhantes do ponto de vista da aspiração. A velocidade especifica de Aspiração é definida adimensionalmente como:

n Q NPSH 0, 75

( 19 )

onde n é a rotação (rpm) Q a vazão (m3/s) e NPSH a altura positiva liquida de sução (m). Um valor típico da velocidade especifica de aspiração igual a S=174 pode ser encontrado em bombas de boa fabricação apresentam um ângulo da pá em torno de 170. Com aproximadamente 5 a 7 alabes. Bombas comerciais têm baixo S na faixa de 97 a 136. Por outro lado as bombas para alimentação de caldeiras, especialmente bombas de condensado requerem S maiores entre 232 a 348. Para alcançar tais valores o ângulo de fluxo é tomado tão baixo quanto 100 e o numero de pás é reduzido até 4. Um número pequeno de alabes com espessura fina são favoráveis já que diminuem o efeito de bloqueio. Jorge A. Villar Alé

8-11

Sistemas Fluidomecânicos

8.4.2 Margem prática de segurança

O NPHS disponível e requerido pode ser representado graficamente. Sabemos que para não ocorrer cavitação o NPSHDisp > NPSHReq. De forma prática adota-se uma margem entre ambos os valores: M arg em = NPSH Disp − NPSH Re q ≥ 1,5m

A margem prevista visa garantir que não ocorra cavitação no sistema evitando assim a vaporização do fluido no interior da bomba.

Figura 8.11 – Representação do NPSH disponível e requerido

8.4.3 Variação de NPSH com a Rotação Se a bomba apresenta um determinado NPSH, este é válido para a rotação dada pelo fabricante. Se a bomba opera com uma nova rotação, o NPSH deverá ser determinado utilizando as relações: NPSH 1  n 2  =  NPSH 2  n1 

( 20 )

onde NPSH1 representa o valor de catálogo e NPSH2 representa o valor para a rotação desejada.

8-12

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Capítulo 8: Conceitos de Cavitação

8.5 Exemplos de Cavitação EXEMPLO–8.1

Na Fig. ao lado considere a bomba com uma vazão de 9,0 litros/s. O fluido é gasolina a 25oC. Do catalogo do fabricante se obtém que a bomba apresenta um NPSH igual a 1,9m. Considere um tubo de aço com rugosidade absoluta de 4,3x10-4m. Determinar (a) a altura máxima de aspiração (b) o NPSH do sistema verificando se existe risco de cavitação. Obs. Considere o coeficiente de perda de carga de cada curva de 900 igual a 0,4 e da válvula de pé igual a 1,75. Propriedades da gasolina a 25oC Peso especifico: 7800N/m3 Viscosidade cinemática: 6x10-6 m2/s. Pressão de vapor da gasolina: 32,5 kPa.

Figura 8.12- Sistema de bombeamento Solução: Utilizando a Eq. de Bresse D=k Q1/2 com k=1,1 obtemos D=100mm. Com a vazão se acha v=1,15m/s.

vD Re = = ν

  ε 10 6   f = 0,0055 1 +  20000 + D Re  

1,15 x0,1 = 19167(turbulento) 6,0x10 -6

1/ 3   4,3x10 − 4 10 6     = 0,0334 f = 0,00551 +  20000 x + 0,1 1,9 x10 4     

  

1/ 3

  

v 2 (1,15) = = = 0,067 m 2g 2g 2

L v2 hLD = f onde L=59,5+2,3=61,8m D 2g hLa = hLD + hLk

hvel

2  L v + 2k curva + k valvula  hLa =  f  D  2g

(61,8)   hLa =  0,0334 + 2 x0,4 + 1,75  x0,067 = 23,19 x0,067 = 1,55m 0,1  

  v2 ha max < H atm −  hLa + hvap + o + NPSH bomba  2g   onde

H atm =

101,33kPax1000 ≅ 13mca 7800

hv =

32,5kPax1000 ≅ 4,17 mca 7800

(a) ha max < 13 − (1,55 + 4,17 + 0,067 + 1,9 ) = 5,31m

 v2   NPSH Dips = H atm −  ha + hLa + hvap + 2 g  

NPSH Dips = 13 − (2,6 + 1,55 + 4,17 + 0,067 ) = 4,61m ( b ) NPSHDisp (4,61m) > NPSHReq (1,9m)

Jorge A. Villar Alé

(portanto não ocorre cavitação)

8-13

Sistemas Fluidomecânicos EXEMPLO–8.2

O sistema de bombeamento da Figura ao lado trabalha com a bomba de 2 HP de 3500 rpm e diâmetro do rotor 138mm (5 7/16”) representada na Figura abaixo. O sistema trabalha na interseção da curva da bomba com a curva do sistema no ponto de funcionamento para uma vazão de 100 litros/min. O reservatório é um tanque fechado com pressão absoluta igual a 80kPa contendo água a temperatura de 500C. O nível de água no tanque é 2,0m acima do centro do eixo da bomba. A tubulação de aspiração tem um diâmetro de 40mm. O coeficiente de perda de carga localizado do joelho é igual kac1=1,0 e o coeficiente de perda de carga da válvula de globo Figura 8.13 - Sistema de bombeamento aberta é igual kac2= 7,0. Considere o fator de atrito da tubulação igual a 0,025. O comprimento da tubulação Determinar: de aspiração é igual a 12m. A pressão atmosférica 1. A pressão relativa dentro do tanque. local é igual a 101 kPa. 2. O NPSH disponível para o sistema. 3. Compare o NPSH disponível com o NPSH requerido e verifique se o sistema cavita.

Figura 8.13 – Curva característica de bomba centrifuga comercial

8-14

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Capítulo 8: Conceitos de Cavitação

Solução: (EXEMPLO–8.2) Q=100 litros/min ptanque=80kPa T=500C ha=205mca D=40mm kac1=1,0 kac2= 7,0. L=12m f=0,025 (a) Pressão relativa dentro do tanque

H tan que =

p tan que

ρg

80 x1000 = 8,25m 988 x9,81

Pressão relativa no tanque (101kPa – 80kPa = 21kPa)

(b) NPSH disponível para o sistema.

NPSH Dips =

va =

p tan que ρg

2  v  −  ± ha + hLa + hvap + a  2g  

va (1,32)2 = 0,0888 = 2 g 2 x9,81 2

4Q 4 x0,001666 = = 1,32m / s 2 πD πx0,04 2

hvel =

com T=500C Pv=0,1255kgf/cm2 ρ=988kg/m3

pvap

2 kgf N 2 cm = 0,1255 2 x9,81 x100 = 12,31kPa . kgf cm m2

hvap =

pvap

ρg

12,31x1000 = 1,27m 988 x9,81

Perda de carga por tubulação e acessórios:

v v L va 12  v = f + k ac1 a + k ac 2 a =  0,025 + 1 + 7,0  a = (7,5 + 1 + 7 )x0,0888 = 1,38m D 2g 2g 2g  0,04  2g 2

hLa

Como a bomba está afogada ha é negativo. com H=8,25m ha=-2,0m hLa=1,38m hvap=1,27m

2  v  NPSH Dips = H tan que −  − ha + hLa + hvap + a  2g   NPSH Dips = 8,25 − (− 2,0 + 1,38 + 1,27 + 0,0888) = 7,5m

 Q σ = φn  H 3/ 4 man 

com φ=0,0011

   

4/3

A velocidade específica

σ = 0,0011(10 )

4/3

ns = n

Q H man

3/ 4

= 3500

0,001666 ≅ 10rpm 35 3 / 4

= 0,0235

NPSH Re q = σH man = 0,0235 x35 = 0,82m Desta forma como NPSHReq < NPSHDisp a bomba não entrará em cavitação.

Jorge A. Villar Alé

8-15

Sistemas Fluidomecânicos EXEMPLO–8.3

O sistema da figura trabalha em operação de fluxo contínuo com vazão igual a 23,6 l/s. A perda de carga da tubulação e acessórios na aspiração é igual a 5m. A perda de carga da tubulação e acessórios de recalque é igual a 7,5m. Considere hvel=0. Com auxílio da curva da bomba fornecida: (a) Selecione o diâmetro do rotor da bomba apropriado para o sistema. (b) Determine a Eq. da curva característica do sistema e grafique a mesma. (c) Determine o NPSH do sistema considerando a temperatura máxima da água igual a 600C. (d) Determine o NPSH da bomba pelo fator de Thoma e o NPSH da bomba especificada pelo fabricante. Verifique se a bomba cavita. (e) Calcule a potência de acionamento da bomba nas condições de operação considerando o rendimento especificado pelo fabricante. Compare com a potência dada pelo fabricante. Obs. Considere a pressão atmosférica padrão. Para 600C massa específica da água igual a 984 kg/m3

Figura 8.14 - Sistema de bombeamento

Figura 8.15 – Curva característica de bomba centrifuga comercial

8-16

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Capítulo 8: Conceitos de Cavitação

Solução: (EXEMPLO–8.3) ( a ) Altura manométrica do sistema

H = he + hLa + hLr +

v r2 = 37,5 + 5 + 7,5 = 50m 2g

Com Q=23,6 l/s (85 m3/h) e H=50m no site: http://appserver.ittind.com/software/plus/Plusespl.htm Selecionamos a bomba centrífuga de diâmetro de 178mm maquinada para 175mm. (Fig. 8.12) ( b ) Grafique a curva característica do sistema mostrando o ponto de operação da bomba-sistema: Q=23,6 l/s (85 m3/h) Vazão: Q = v

πD 2 m3 = 0,0236 4 s

Curva característica:

k2 =

H − k1 50 − 37,5 = = 22443,3 Q2 (0,0236)2

H = k1 + k 2 Q 2 = 37,5 + 22443,3Q 2

( c ) NPSH do sistema considerando a temperatura máxima da água igual a 600C.

NPSPH Disp = H atm − ha − hLa − hvap Para T=600C ρ=984 kg/m3 e Pv=19,9 kPa. (equivalente a 2,06m)

NPSH Disp = 10,33 − 2,5 − 5 − 2,06 = 0,77 m ( d ) NPSH da bomba determinado utilizando o fator de Thoma e o NPSH da bomba especificado pelo fabricante. n=3500rpm

σ = φ (n

Q H Man

3/ 4

) 4 / 3 = 0,0011(3500

0,0236 4 / 3 ) = 0,096 50 3 / 4

NPSH = σH man = 0,096 x50 = 4,8m do gráfico do fabricante com Q=85 m3/h e H=50m temos NPSHReq ≅ 7,0m. Como NPSHReq (7,0m) > NPSHDisp (0,77m) a bomba cavita.

ρgH man Q 1000 x9,81x50 x0,0236 (e ) W& ac = = = 14,66kW ηG

0,79

Obs. Continue o problema determinando a altura de aspiração limite para não existir cavitação.

Jorge A. Villar Alé

8-17

Sistemas Fluidomecânicos

EXEMPLO – 8.4

Num sistema de bombeamento de água o manômetro indica uma pressão equivalente a 3,5kgf/cm2 e o vacuômetro indica uma pressão equivalente de 368mmHg. A altura estática total de elevação é igual a 25m. A vazão da instalação é igual a 0,75m3/min. Considere pressão atmosférica padrão 1atm e temperatura de 250C. A perda de carga na aspiração é igual a 1,2mca. Densidade do mercúrio 13,6. Determinar: a) A equação que representa a curva característica do sistema. b) A altura máxima de aspiração do sistema verificando se a bomba deverá trabalhar afogada. Obs. Considere que do catalogo do fabricante HPSHReq=1,8m.c.a. Solução: (EXEMPLO–8.4) Dados: HM=35m HV=5,0m

he=25m

Q=45m3/s

hatm=10,301m

hLa=1,2mc.a

A Eq. que representa a curva característica do sistema é dada por:

H = k1 + k 2 Q 2 Sabemos que k1=he=25m. Avaliando a equação no ponto de operação determinamos a constante k2:

k2 =

H − he 40 − 25 = = 0,00741 Desta forma H = k1 + k 2 Q 2 = 25 + 0,00741Q 2 Q2 45 2

Determine a altura máxima de aspiração do sistema verificando se a bomba deverá trabalhar afogada. Hatm=10,33m hLa=1,2m com T=250C se obtém hvap=0,31m. Do catalogo HPSHReq=1,8m.c.a.

ha < H atm − (hLa + hvap + NPSH req ) ha < 10,33 − (1,2 − 0,31 + 1,8) = 7,02m A bomba pode operar em condições normais. A bomba poderá ser instalada acima do reservatório de aspiração numa altura menor que 7m.

8-18

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Bibliografia

Referências Bibliográficas 1. Bombas e Instalações de Bombeamento Macintyre, J,A; Ed. Guanabara, 1987. 2. Equipamentos Industriais e de Processo - Macintyre, A.J.; Ed. LTC, 1997. 3. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, Munson B. R., Young D.F. Okiishi T.H.. Ed. Edgard Blucher Ltda, 1997. 4. Fundamentos Hidráulicos para Instalaciones con Bombas Centrífugas Sulzer, Ed. Sulzer. 5. Hidráulica, Provenza F. e Souza H., Ed. Provenza, Protec, 1976. 6. Instalações Elevatórias - Carvalho, D.F.; Ed. FUMARC; 1992. 7. Introdução à Mecânica dos Fluidos, Fox. W.R., McDonald. A T. Quarta Edição LTC Editora. 1992. 8. Material de Sistemas Fluidomecânicos UNICAMP (1998). 9. Operações com Fluidos - Gomide, R; Ed. do Autor, 1996. 10. Sistemas Fluidomecânicos, Apostila. UNICAMP, 1997, França, F. A.

11. Sistemas de Bombeamento, Jardim, S.B., Ed. Sagra-DC-Luzzato, 1992. 12. Termotecnía Teoría y Métodos en Termodinámica Aplicada, Ignacio Lira C. Ediciones Universidad Católica de Chile, 1992. 13. Máquina de Fluido, Érico Lopes Henn, Editora UFSM, 2001., 474 pag. 14. Pump Life Cicle Costs: A guide to LCC Analysis for Pumping Systems. Europump and Hydraulic Institute, Belgian , 2001.194 pag. 15. Fundamentos de Engenharia Hidráulica, Márcio Baptista, Márcia Lara. Editora UFMG., Belo Horizonte, 2002., 435 pag.

16. Tubulações Industriais – Cálculo. Pedro C. Silva Telles. Ed. LTC 9a Edição, 1999. 163pag.

17. Analysis and Desing of Energy Systems, Hodge B;K.; Taylor P. Robert., 3a edição Prentice Hall, New Jersey, 1998. 483pag. 18. Reducing Water Pumping Costs In the Steel Industry – Good Practique Guide – 1996

19. Introduction to Pump Curves Goulds Pumps – 2001, www.goulds.com

20. Energy Efficient Motor Driven Systems, Published by European Copper Institute, 2004

21. Improving Pumping Systems performance: A Source book for Industry 2 Edition – US Department of Energy e Hydraulic Institute, 2006. www.eere.energy.gov/industry

22. Selecting Centrifugal Pumps - KSB 4th edition 2005

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Sistemas Fluidomecânicos

Anexo

Tabelas e Gráficos

Jorge A. Villar Alé

A-1

Sistemas Fluidomecânicos

Anexo

Sistema Internacional de Unidades - SI Denominam-se dimensões as quantidades físicas. No SI, as dimensões fundamentais são comprimento, massa e tempo. As unidades são nomes consignados às dimensões primárias adotadas como padrões para medição. As unidades correspondentes das dimensões fundamentais no SI são o metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). Em termos destas três unidades, a unidade de volume é o m3, a unidade de aceleração é o m/s2, e a massa específica é o kg/m3. A unidade de força no SI é o Newton (N) e derivada a partir da Segunda lei de Newton: Força (N) =(massa em kg)x(aceleração em m/s2) Assim 1 N= 1 kg.m/s2 . No SI as temperaturas são expressas em graus Celcius (oC) e a unidade de temperatura absoluta é o Kelvin (K). A transformação de Celcius para Kelvin é dada pela relação: T(K) =T( oC) + 273 No sistema inglês de unidades se utiliza o grau Fahrenheit T(F) = 8/9T(oC) + 32 e o grau Rankine para temperatura absoluta: T( R ) = T(F) + 459,67. Na Tabela A.1 são dadas unidades no SI. Tabela A.1 Unidades básicas e derivadas no SI Unidades fundamentais no SI Quantidade Unidade Símbolo Comprimento Massa Tempo Temperatura Ângulo plano Quantidade Energia Força Potência Pressão Trabalho

Metro M Quilograma Kg Segundo S Kelvin K Unidade suplementar SI radiano rad Unidades derivadas SI Unidade Símbolo Joule Newton Watt Pascal Joule

J N W Pa J

Fórmula Dimensão Nm kg m/s2 J/s N/m2 Nm

Aceleração da Gravidade A massa da terra exerce uma força gravitacional dirigida para seu centro originando uma aceleração denominada aceleração da gravidade (g). Seu valor depende da posição em que nos encontramos na terra. Varia portanto segundo a latitude e longitude do lugar. Adota-se como valor normal g=9,8066 m/s2 o qual corresponde a uma altitude de 00 (nível do mar) e uma latitude de 450. Para efeitos de cálculos nós consideramos a aceleração da gravidade igual a g=9,81m/s2.

Jorge A. Villar Alé

A-2

Sistemas Fluidomecânicos

Anexo

RELAÇÃO DE TABELAS DO ANEXO Tabela A.1 Unidades básicas e derivadas no SI Tabela A.2 Propriedades da Água Tabela A.3 Propriedades do Ar à Pressão Atmosférica Tabela A.4 Propriedades de Líquidos Tabela A.5 Propriedades de Gases Tabela A.6 Perda de Carga Localizada - Tubulações de Ferro Fundido e Aço Tabela A.7 Perda de Carga Localizada - Tubulações de PVC Rígido Tabela A.8 Estimativa do consumo predial Tabela A.9 Velocidades práticas recomendadas Tabela A. 11 Diâmetros Típicos Utilizando as Equações Anteriores Tabela A.12 CONVERSÃO DE UNIDADES Tabela A.13 CONVERSÃO DE PRESSÕES Tabela A.14 Perda de carga conexões PVC Tabela A.15 Perda de carga Conexões tubos ferro fundido e PVC Figura A.1 Viscosidade cinemática em função da temperatura Figura A.2 Viscosidade dinâmica em função da temperatura Figura A.3 Diagrama de Moody Figura A.4 Pressão de vapor em função da temperatura Figura A.5 Pressão de vapor em função da temperatura

Jorge A. Villar Alé

A-3

Sistemas Fluidomecânicos

Anexo

Tabelas de Propriedades de Fluidos Tabela A.2 Propriedades da Água Temperatura Massa Específica (0C) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

ρ (kg/m3) 1000 1000 1000 1000 998 997 996 994 992 990 988 986 984 981 978 975 971 968 965 962 958

Peso Específico

Viscosidade Viscosidade Dinâmica Cinemática γ µ ν 3 2 (kN/m ) (Pa.s) ou (N.s/m ) (m2/s) -3 9.81 1.75 x10 1.75 x10-6 9.81 1.52 x10-3 1.52 x10-6 -3 9.81 1.30 x10 1.30 x10-6 -3 9.81 1.15 x10 1.15 x10-6 -3 9.79 1.02 x10 1.02 x10-6 -4 9.78 8.91 x10 8.94 x10-7 -4 9.77 8.00 x10 8.03 x10-7 9.75 7.18 x10-4 7.22 x10-7 -4 9.73 6.51 x10 6.56 x10-7 -4 9.71 5.94 x10 6.00 x10-7 -4 9.69 5.41 x10 5.48 x10-7 -4 9.67 4.98 x10 5.05 x10-7 -4 9.65 4.60 x10 4.67 x10-7 9.62 4.31 x10-4 4.39 x10-7 -4 9.59 4.02 x10 4.11 x10-7 -4 9.56 3.73 x10 3.83 x10-7 -4 9.53 3.50 x10 3.60 x10-7 -4 9.50 3.30 x10 3.41 x10-7 -4 9.47 3.11 x10 3.22 x10-7 9.44 2.92 x10-4 3.04 x10-7 -4 9.40 2.82 x10 2.94 x10-7 Fonte: R. Mott Mecánica de Fluidos Aplicada 4a edição,1996.

Tabela A.3 Propriedades do Ar à Pressão Atmosférica Temperatura Massa Específica Peso Específico (0C) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Jorge A. Villar Alé

ρ (kg/m3) 1.514 1.452 1.394 1.341 1.292 1.247 1.204 1.164 1.127 1.092 1.060 1.029 0.9995 0.9720 0.9459 0.9213 0.8978

γ (N/m3) 14.85 14.24 13.67 13.15 12.67 12.23 11.81 11.42 11.05 10.71 10.39 10.09 9.802 9.532 9.277 9.034 8.805

Viscosidade Dinâmica µ (Pa.s) ou (N.s/m2) 1.51 x10-5 1.56 x10-5 1.62 x10-5 1.67 x10-5 1.72 x10-5 1.77 x10-5 1.81 x10-5 1.86 x10-5 1.91 x10-5 1.95 x10-5 1.99 x10-5 2.04 x10-5 2.09 x10-5 2.13 x10-5 2.17 x10-5 2.22 x10-5 2.26 x10-5

Viscosidade Cinemática ν (m2/s) 9.98 x10-6 1.08 x10-5 1.16 x10-5 1.24 x10-5 1.33 x10-5 1.42 x10-5 1.51 x10-5 1.60 x10-5 1.69 x10-5 1.79 x10-5 1.89 x10-5 1.99 x10-5 2.09 x10-5 2.19 x10-5 2.30 x10-5 2.40 x10-5 2.51 x10-5 A-4

Sistemas Fluidomecânicos

Anexo

Tabela A.4 Propriedades de Líquidos Temperatur Massa Viscosidade Tensão Pressão de Módulo de a Específico Dinâmica Superficial Vapor Elasticidade T P Ev ρ µ σ v o 3 2 LÍQUIDOS C kg/m Pa.s N/m N/m N/m2 Água 15,6 999 1,12x10-3 7,34x10-2 1,77x103 2,15x109 Tetracloreto de carbono

1590

9,58x10-4

2,69x10-2

1,3x104

1,31x109

Álcool etílico

789

1,19x10-3

2,28x10-2

5,9x103

1,06x109

Gasolina

15,6

680

3,1x10-4

2,2x10-2

5,5x104

1,3x109

Glicerina

1260

1,5

6,33x10-2

1,4x10-2

4,52x109

Mercúrio

13600

1,57x10-3

4,66x10-1

1,6x10-1

2,85x109

Óleo SAE 30

15,6

912

3,8x10-1

3,6x10-2

Água do mar

15,6

1030

1,2x10-3

7,34x10-2

Tabela A.5 Propriedades de Gases Temperatura

GÁS Ar

T C

1,5x109 1,77x103

2,34x109

Massa Viscosidade Constante do Expoente Específico Dinâmica Gás Adiabático R K ρ µ kg/m3 Pa.s J/kg K 1,23 1,79x10-5 286,9 1,4

Dióxido de carbono

1,83

1,47x10-5

188,9

1,3

Hélio

1,66x10-1

1,94x10-5

2077

1,66

Hidrogênio

8,38x10-2

8,84x10-6

4123

1,41

Metano (Gás natural)

6,67x10-1

1,10x10-5

518,3

1,31

Nitrogênio

1,16

1,76x10-5

296,8

1,4

Oxigênio

1,33

2,04x10-5

259,8

1,4

Jorge A. Villar Alé

A-5

Sistemas Fluidomecânicos

Anexo

VISCOCIDADE CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Figura A.1 Viscosidade cinemática em função da temperatura

Jorge A. Villar Alé

A-6

Sistemas Fluidomecânicos

Anexo

VISCOCIDADE ABSOLUTA DE FLUIDOS

Figura A.2 Viscosidade dinâmica em função da temperatura

Jorge A. Villar Alé

A-7

Sistemas Fluidomecânicos

Anexo

Equações para Determinar as Propriedades da Água em Função da Temperatura

Massa Específica (kg/m3)

ρ = C1 + C 2T + C 3T 2 C1 = 1000,6

Viscosidade Dinâmica - (cP) - Fórmula de Bingham

(kg/m 3 )

C 2 = −0,0624

[

onde T ( 0 C ) C 3 = −0,0037

(

)

]

1/ 2 1 ≅ 0,021482 Z + Z 2 + 8078,4 − 1,2 µ

onde : Z = T ( 0 C ) − 8,435 µ = cP(centipoise) µ (cP ) * 0,001 para converter em (kg /m.s) Equações de Popiel e Wojtkowiak (*)

Massa Específica (kg/m3) ρ = a + bT + cT 2 + dT 2,5 + eT 3 (kg/m 3 )

a = 999,79684

(

b = 0,068317355 c = −0,010740248

)

Viscosidade Dinâmica (kg/ms) µ ≅ 1 / a + bT + cT 2 + dT 3 (kg/(ms))

a = 557,82468 b = 19,408782 (*)

onde T ( 0 C ) d = 0,00082140905 e = -2,3030988x10 -5

onde : T ( 0 C )

c = 0,1360459

d = −3,1160832 x10 − 4

Journal of Fluid Eng. June 2000 Vol. 122 Pag.260-263.

Jorge A. Villar Alé

A-8

Sistemas Fluidomecânicos

Anexo

Tabela A.6 Perda de Carga Localizada - Tubulações de Ferro Fundido e Aço

(Comprimento equivalente em metros de tubulação retilínea)

Tabela A.7 Perda de Carga Localizada - Tubulações de PVC Rígido

(Comprimento equivalente em metros de tubulação retilínea)

Jorge A. Villar Alé

A-9

Sistemas Fluidomecânicos

Anexo

Tabela A.8 Estimativa do consumo predial Prédio Alojamentos provisórios Casas Populares Residências Residências Apartamentos Hotéis (s/cozinha s/lavanderia) Hospitais Escolas Internatos Escolas semi-internatos Escolas externatos Quartéis Edifícios públicos ou comerciais Escritórios Cinemas e teatros Templos Restaurantes e similares Garagens Lavanderia Mercados Matadouros – animais de grande porte Matadouros animais de pequeno porte Fábricas em geral (uso pessoal) Postos de serviços para automóvel Cavalariças Jardins Orfanato, asilo, berçário Ambulatório Creche Oficina de costura

Consumo (litros/dia) 80 120 150 200 120 250 150 100 50 150 50 50 2 2 25 50 30 5 300 150 70 150 100 1,5 150 25 50 50

Unidade Por pessoa Por pessoa Por pessoa Por pessoa Por hospede Por leito Por pessoa Por pessoa Por pessoa Por pessoa Por pessoa Por pessoa Por lugar Por lugar Por refeição Por automóvel Kg de roupa seca M2 de área Por cabeça abatida Por cabeça abatida Por operário Por Veículo Por Cavalo M2 de área Por pessoa Por pessoa Por pessoa Por pessoa

As tabelas mostram valores típicos utilizados, contudo, a experiência em diferentes processos com fluidos podem exigir velocidades maiores o menores que estas. Velocidades menores podem ser utilizadas para levar em conta aumentos futuros de capacidade, corrosão e formação de crostas. Velocidades maiores podem ser utilizadas para prevenir decantação e entupimento. Tabela A.9 Velocidades Práticas Recomendadas

Tipo de aplicação Sucção de bombas e drenos Recalque e tubulações de uso geral Alimentação de caldeiras

Jorge A. Villar Alé

Velocidades recomendadas (m/s) 0,4 a 2,0 1,5 a 3,0 2,4 a 4,0

A-10

Sistemas Fluidomecânicos

Anexo

Tabela A.10 Velocidades Práticas Recomendadas Tipo de Serviço e tipos de Fluido Velocidade (m/s) Aspiração em bombas Líquido finos (água, álcool) 0,4 – 2,0 Líquidos viscosos (acima de 0,01Pa s) 0,1 – 0,4 Recalque e linhas de uso geral Líquidos finos 1,2 – 3,0 Líquidos viscosos 0,2 – 1,2 Escoamento por gravidade 0,3 – 1,5 Drenos 1–2 Água industrial e de serviços 1,7 – 3,5 Alimentação de caldeiras 2,5 – 4,0 Vapor Saturado 12 – 40 Super-aquecido 25 – 60 de alta pressão 50 – 100 Ar comprimido Troncos 6,0 – 8,0 Ramais 8,0 – 10,0 Mangueira 15,0 – 30,0 Gases industriais Em alta pressão (acima de 1 MPa) 30 – 60 Baixa pressão (dutos de ventilação) 10 – 20 Em alto vácuo 100 - 120 Chaminés Tiragem natural 3–5 Tiragem forçada 10 – 20 Tubovias Conduzindo líquidos finos 1,5 – 2,0 Bombeamendo líquidos viscosos (oleodutos) 0,4 – 1,0 Por gravidade 0,1 0,3 Linhas subterrâneas de esgoto Manilhas cerâmicas 5 Tubos de concreto 4 Tubos de cimento-amianto 3 Tubos de ferro fundido 6 Tubos de PVC 5 Fonte: Operações com Fluidos (Reynaldo Gomide) 3

Tabela A. 11 Diâmetros (mm) Típicos Utilizando as Equações Anteriores - Q (m /h)

Fonte: Operações com Fluidos (Gomide)

Jorge A. Villar Alé

A-11

Sistemas Fluidomecânicos

Jorge A. Villar Alé

Anexo

A-12

Sistemas Fluidomecânicos

Anexo

Pressão de Vapor para Diferentes fluidos

Figura A.4 Pressão de vapor em função da temperatura

Jorge A. Villar Alé

A-13

Sistemas Fluidomecânicos

Anexo

MASSA ESPECIFICA DE FLUIDOS

Figura A.5 Pressão de vapor em função da temperatura

Jorge A. Villar Alé

A-14

Sistemas Fluidomecânicos

Anexo

Tabela A.12 CONVERSÃO DE UNIDADES Para converter de

Para

C.F.M. (pé cúbico/min)

Litro/seg

Centímetro quadrado Galão (amer)

Galão (amer.)

Grau Fahrenheit

Horse Power

Btu/h

Kcal/h . m 2 ( 0 C/m) Libra*pé/seg

Libra* . pé/seg Libra* /polegada 2

Libra* / polegada 2

Metro Metro Metro

Metro cúbico Metro/min Milibar

Milha (marítima) Milha (marítima) Milha (marítima) Milha quadrada Milha terrestre Newton Pé Pé

Pé cúbico Pé cúbico Pé cúbico

Polegada cúbica

Polegada cúbica Polegada de Hg

Jorge A. Villar Alé

Btu

Btu/h. pé 2 ( 0 F/pe)

33.479

1,014 641,2

0,7457

2.544 0,671

1,843 x 10 -3

1,356 x10 -3

Libra* . pé/seg

0,06308

( o C x 9/5 ) + 32

Kwatt

HP . h

Metro

3,785

3,785x 10 -3

Kcal/hora

Metro

3.785

Libra* / pé 2

1076 x 10 -3

Centímetro cúbico

Litro/seg

Grau Celsius

Libra* / pé 2

0,472

pé 2

Metro cúbico

Galão/min

Litro

0,6863

Litro

Galão (amer.)

Libra* . pé/min

Multiplique por

Atmosfera kg*cm 2 kw

Galão

Atmosfera Física kg* / m 2 Jarda

Milha marítima Milha terrestre Pé

Polegada

Galão (amer.) Milha/h

Libra*/pol 2 Jarda km

Milha terrestre

Quilômetro quadrado

1,818 x 10 -3

0,06804 0,07301

2,260 x 10 -5

0,2642

4,725 x10 -4

4,882 1,094

5,396 x 10 -4 6,124 x 10 -4

3,281

39,37 264,2

0,03728

0,0145

2.027 1,853

1,516

2,59

Metro

1.609

Metro

0,3048

Galão (líq.)

7,4805

Dina

Centímetro Litro m3

Litro

Pé cúbico

Kg*/cm 2

Fonte http://www.tratamentodeagua.com.br

10 5

30,48 28,32

0,02832 0,01639

5,787 x 1C -4

0,03453

A-15

Sistemas Fluidomecânicos

Anexo

Tabela A.12 CONVERSÃO DE UNIDADES (Continuação) Para converter de

Para

Quilômetro

Jarda

Quilograma*/cm 2 Quilo caloria

Libra*. Pé

Quilowatt

1,341 3.413 1,341

2,655 x 10 6

Grau

Radiano

Rotação por minuto (rpm) Ton

Tonelada (refrigeração)

Watt . h

3,088

Libra* . pé

Radiano

Watt

1,581 x 10 -3

HP . h

Quilowatt . h

Watt

1.094

Btu

Quilowatt . hora

Watt

28,96

Quilowatt

Watt

Multiplique por

CV . h

Quilo caloria

Tonelada

Polegada de Hg

57,3

Minuto

3.438

Libra

2.000

4,717

Grau/segundo

Libra

2,205

Btu / hora

Btu/minuto

3,4192

0,05688

C.V.

1,360 x 10 -3

HP . h

1,341 x 10 -3

Fonte http://www.tratamentodeagua.com.br

1,341 x 10 -3

TABELA A.13 CONVERSÃO DE PRESSÕES

Jorge A. Villar Alé

A-16

Sistemas Fluidomecânicos

Anexo

TABELA A.14 PERDA DE CARGA PERDA DE CARGA DE CONEXÕES PVC – (em metros de tubulação equivalente)

Fonte: Alpina Manual de aquecimento Solar

TABELA A.15 PERDA DE CARGA PERDA DE CARGA DE CONEXÕES TUBOS NOVOS DE FERRO FUNDIDO OU GALVANIZADO E TUBOS DE PVC (em metros de tubulação equivalente) CONEXÕES registro gaveta registro globo válvula de retenção curva - 90º cotovelo - 45º cotovelo - 90º Tee válvula de pé

Jorge A. Villar Alé

3/4"

1 1/4"

1 1/2"

2 1/2"

10"

12"

0,10

0,12

0,18

0,20

0,28

0,34

0,46

0,65

0,83

1,10

1,50

5,00

6,80

9,70

11,80

16,00

20,00

26,00

37,00

48,00

60,00

83,00

103,00 135,00

1,80

2,37

1,10

1,50

2,10

2,50

3,40

4,30

5,50

7,70

10,20

12,60

17,60

21,70

28,60

0,30

0,40

0,60

0,70

1,00

1,20

1,50

2,00

2,80

3,50

4,90

6,00

7,90

0,30

0,40

0,50

0,60

0,90

1,10

1,40

1,90

2,50

3,20

4,40

5,40

7,10

0,60

0,80

1,10

1,30

1,80

2,20

2,90

4,00

5,20

6,50

9,00

11,30

14,80

10,80

14,90

21,00

26,00

35,00

44,00

57,00

79,00 100,00 130,00 180,00 225,00 300,00 Fonte: Thebe Bombas Hidráulicas Ltda.

A-17

Sistemas Fluidomecânicos

Anexo

TABELA A.16 PERDA DE CARGA

PERDAS DE CARGA EM 100 METROS DE TUBOS NOVOS DE FERRO FUNDIDO (FF) OU GALVANIZADO E TUBOS DE PVC

Fonte: Thebe Bombas Hidráulicas Ltda. Os valores acima estão de acordo com a NBR-5626 OBS: Em se tratando de tubos Galvanizados ou FºFº usados, deve-se acrescentar 3% aos valores acima para cada ano de uso da tubulação.

Jorge A. Villar Alé

A-18