Lista de Exemplos Escoamentos Viscosos (2010) by Jorge Antonio Villar Alé

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Escoamentos Viscosos

[ 1] No escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo circular, a velocidade em R/2 ( a meio caminho entre a superfície da parede e o eixo central) é medida como 6,0m/s. Determine a velocidade media no centro do tubo. Faça um desenho esquemático do problema com a respectiva solução. [ 2] Numa tubulação de 20mm de diâmetro escoa água a 200C com velocidade media igual 2,0 m/s. A tubulação apresenta 20m de comprimento e rugosidade igual a 0,02mm. Determine a velocidade e tensão de cisalhamento nas posições indicadas na tabela abaixo. Obs. Utilize equacionamento exponencial. Água: Massa especifica ρ =1000 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,02x10-3 Pa.s Posição Radial r=0 r=4,0mm r=10mm

Escoamentos Viscosos

Tensão de cisalhamento τ (r ) (N/m2)

Velocidade u (r ) (m/s)

[ 3 ] A subcamada viscosa normalmente é menor que 1% do diâmetro do tubo e, portanto, muito difícil de ser medida com alguma instrumentação. A fim de gerar uma subcamada viscosa mais espessa e poder realizar a medição, em 1964 a Universidade Estadual de Pennsylvania construiu um tubo com um escoamento de glicerina. Considerando um tubo liso de 300mm de diâmetro e velocidade V=18m/s e glicerina a 200C. Determine: (a) fator de atrito (b) tensão de cisalhamento na parede (N/m2) (c ) velocidade de atrito (m/s) (d) espessura da subcamada viscosa (mm). Massa especifica ρ =1260 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,5 Pa.s

Lista de Exercícios

[ 4 ] Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido num tubo circular. Se o diâmetro do tubo for reduzido pela metade enquanto a vazão e o comprimento do tubo forem mantidos constantes, a perda de carga: Dobrará; Triplicará Quadruplicará; Aumentara por um fator de 8; Aumentara por um fator de 16

2010

[ 5 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=3,0m esta imersa paralelamente a uma corrente de ar com velocidade de 2,0m/s. Determine (a) Força de arrasto da placa (b) Espessuras δ(x), δ*(x) θ(x) no bordo de fuga da placa Fluido Ar: ρ=1,23 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s [ 6 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=2,0m imersa em água é arrastada horizontalmente com uma velocidade constante igual a 1,5m/s. Considere os seguintes casos: (i) Caso em que a camada limite é turbulenta desde o bordo de ataque até o bordo de fuga. (ii) Caso em que a placa apresenta escoamento turbulento com laminar anterior, determinando o ponto de transição. Determinar força de arrasto para os dos casos e o erro cometido (%) na força quando não se utilizam as equações apropriadas. água com ρ=1000 kg/m3 e ν=1,5x10-6 m2/s [ 7 ] O perfil de velocidades u(x,y), na camada limite de um escoamento sobre uma placa plana é dado por:

3 y 1 y3 vx  onde a espessura da camada limite é δ ( x) = 4,64 − u = U ∞   U 2 δ 2 δ ∞   Deduzir a expressão para o coeficiente local de arraste Cf e ao coeficiente de arrasto CD. Apresente o resultado na forma:

cf =

A Re x

Onde A é uma constante do resultado numérico

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cD =

B Re L

onde B é uma constante do resultado numérico

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Escoamentos Viscosos

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[13] Ar a 200C e 1 atm escoa a 20m/s em torno de uma placa plana. Um tubo de Pitot, colocado a 2mm da parede apresenta uma leitura manométrica h=16mm de óleo vermelho Meriam, d=0,827. Use essa informação para determinar a posição x do tubo de Pitot a jusante. Considere escoamento laminar utilizando como auxilio o perfil de velocidades de Blasius dado na tabela na qual estão definidas as relações utilizadas na solução de Blasius:

[8] Pretende-se suprir as necessidades de água de um trailer instalando-se um tanque cilíndrico de 2 m de comprimento e 0,5m de diâmetro sobre o teto do veículo. Determine a potencia adicional necessária do trailer a uma velocidade de 95 km/h quando o tanque estiver instalado de forma que suas superfícies circulares estejam voltadas para (a) a frente do veículo e (b) os lados do veículo. Considere massa especifica do ar igual a 1,035 kg/m3.

u = f ´ (η ) U

U    νx 

1/ 2

η = y

[9] Considere uma carreta de 5000 kg com 8m de comprimento e 2m de altura e 2 m de largura. A distância entre o assoalho e a estrada é de 0,8m. A carreta está exposta a ventos laterais. Determine a velocidade do vento que fará o caminhão tombar lateralmente. Considere a massa especifica do ar igual a 1,15 kg/m3 e suponha que o peso esteja distribuído uniformemente. Considere que olhando de frente o caminhão a distancia entre rodas é de 1,8m. [10] Um pequeno avião tem uma asa com área de 30m2, um coeficiente de sustentação de 0,45 nos parâmetros de decolagem e uma massa de 2800 kg. Determinar (a) Velocidade de decolagem do avião a nível do mar com ρ=1,205 kg/m3. (b) Potência necessária para manter uma velocidade de cruzeiro constante de 300 km/h para um coeficiente de arrasto de cruzeiro de 0,035.

[14] Suponha que você compre uma chapa de madeira compensada e coloque-a sobre a parte superior do carro. Você dirige a 56 km/h. (a) Considerando que a chapa esteja perfeitamente alinhada com o fluxo de ar, qual é a espessura da camada limite ao final da chapa ? (b) Determinar a força de arrasto sobre a chapa de madeira se a camada-limite permanecer laminar. (c) Determine a força de arrasto sobre a chapa se a camada-limite for turbulenta e compare com o caso de camada-limite laminar. Considere a chapa com L=2,5m e b=2,0m. Quantas vezes é uma maior que a outra ?. Ar a 200C. Obs.

[11] Um papagaio pesa 1 N e tem uma área de 0,8m2 e forma um ângulo de α=300 com a horizontal. A tensão na linha é de 30N quando ela forma um ângulo de β=450 com a direção do vento. Identifique a força de sustentação e arrasto. Para uma velocidade do vento de 36 km/h, determinar os coeficientes de arrasto e de sustentação. Considere o peso aplicado no centro geométrico. Para cada força (sustentação e arrasto) adotar a área projetada como sendo a área de referência. Considere massa especifica do ar igual a 1,2 kg/m3.

ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,51 x 10 -5 m2/s.

[15] Um pequeno túnel de vento de baixa velocidade possui uma seção de teste de 30cm de diâmetro e comprimento de 30cm. A velocidade deve ser o mais uniforme possível. A velocidade no túnel varia de 1,0m/s a 8,0m/s. O projeto será otimizado para uma velocidade de 4,0m/s através da seção de teste. Para o caso de escoamento aproximadamente uniforme a 4,0m/s na entrada da seção de teste, determine (a) a velocidade no fim da seção de teste. (b) Especifique se velocidade aumentou ou foi reduzida e em que percentual. (c) Que recomendação de projeto pode especificar para tornar o escoamento mais uniforme na seção de teste. Obs. Lembrar do conceito de espessura de deslocamento da CL.

[12] Uma ciclista de 80kg está andando com sua bicicleta de 15 kg descendo em uma estrada com uma inclinação de 120 sem pedalar nem brecar. A ciclista tem uma área frontal de 0,45m2 e um coeficiente de arrasto de 1,1 com o corpo na posição vertical e uma área frontal de 0,4 m2 e um coeficiente de arrasto de 0,9 na posição de corrida. Desprezando a resistência de rodagem e o atrito dos rolamentos, determine a velocidade terminal da ciclista para ambas as posições. Considere a massa especifica do ar igual a 1,25 kg/m3.

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[16] Para medir a velocidade do ar numa tubulação de ventilação industrial pode-se utilizar um tubo de Pitot introduzido a partir da parede da tubulação. Considerando os escoamentos laminar e turbulento e utilizando as expressões do perfil de velocidade para cada um dos regimes identifique (para cada caso) qual a distância y a partir da parede da tubulação que deve ser introduzido o tubo de Pitot para que a sua medida represente a velocidade média da tubulação.

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Laminar

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[ 21] Um avião pequeno tem uma massa de 700 kg e voa em cruzeiro à velocidade de 190 km/h. Considere ar padrão. Sabendo que a área superficial das asas é igual a 16,5 m2, determine:

  r 2  u (r ) = U max 1 −     R   

Turbulento (n=7)

r  u (r ) = U max 1 −   R

Escoamentos Viscosos

a) O coeficiente de sustentação nestas condições. b) Sabendo a que o coeficiente de arrasto do avião é igual a 0,05 determine a força de arrasto e especifique quantas vezes à força de arrasto é menor ou é maior que a força de sustentação obtida no item (a). c) A potência despendida pelo motor sabendo que o coeficiente de arrasto do avião é igual a 0,05

1/ n

[ 17] Considere escoamento laminar de um fluido sobre uma placa plana. Agora a velocidade de corrente livre do fluido é dobrada supondo que o escoamento permanece laminar. Determine quantas vezes aumenta a força de arrasto na placa devido a esta alteração da velocidade. [ 18] Numa tubulação horizontal de 20 mm de diâmetro escoa água com velocidade media igual 2,0 m/s. Caso o escoamento for turbulento utilize o perfil de velocidades exponencial. Neste perfil o expoente n pode ser determinado em função do número de Reynolds podendo ser utilizada a expressão: n = 1,85 log(Re) − 1,96

[22] Um Boeing 747 possui uma massa de 290 t quando carregado com combustível, leva 100 passageiros e decola a uma velocidade de 225 km/h. A massa média de cada passageiro e a respectiva bagagem é igual a 100 kg. Utilize ar padrão. Calcule a velocidade que o Boeing deverá ter para decolar quando carregado com 372 passageiros, assumindo que o faria na mesma configuração geométrica (ângulo de ataque, posição de flaps).

Determine: (a) Em r=5 mm a velocidade (m/s) e a pressão dinâmica (Pa) que indicaria um manômetro digital conectado ao tubo de Pitot nesta posição radial. (b) A tensão de cisalhamento na parede considerando tubo liso.

[23] Um avião pequeno voa com velocidade igual a 200 km/h. O avião utiliza nas suas asas aerofólios Clark Y e apresenta uma com razão de aspecto igual a 6. A área superficial das asas é igual a 10 m2. Determine: a) A força de sustentação e de arrasto quando o avião se posiciona com um ângulo de ataque de 12,50 b) O ângulo de ataque e força de arrasto que permite manter a mesma sustentação aerodinâmica.

Água: ρ =1000 kg/m3 µ = 1,02x10-3 Pa.s [ 19] Um hidrofólio de 50 cm de comprimento e 4 m de largura movese a 51 km/h na água. O problema considera que se pode utilizar as equações de escoamento turbulento sem laminar anterior quando a posição de transição (x critico) é menor que 10% do comprimento total. No caso contrario, são utilizadas as equações de escoamento turbulento com laminar anterior. Verificando esta condição determine: (a) A força de arrasto no hidrofólio considerando placa plana lisa. (b) A força de arrasto considerando placa plana rugosa com Є=0,3mm. Água: ρ =1000 kg/m3 ν= 1,02x10-6 m2/s.

[ 20] Uma esfera fixa em uma corda se desloca num ângulo θ quando imersa em uma corrente de velocidade U, como mostra a figura. Determinar o valor de θ para uma esfera de 30 mm de diâmetro de aço com massa especifica igual 7860 kg/m3. Ar escoa com velocidade U=40 m/s. Volume de esfera: (4/3) π R3 . Despreze o arrasto da corda. Ar: ρ=1,204 Kg/m3 ν=1,51 x 10-5 m2/s.

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[ 24 ] Numa placa plana escoa água com velocidade igual a 8,0 m/s. Considerando uma placa de 1,5m de comprimento determine: (a) A espessura da camada limite e a espessura de deslocamento da camada limite em x=0,75 (b) A tensão de cisalhamento na parede em x=0,75m (c) Força de arrasto da placa. (largura da placa 1,0m). água 200C: Massa especifica 998 Kg/m3 Viscosidade cinemática: 1,02x10-6m2/s

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pelo sistema para manter a pessoa nas condições de equilíbrio dentro do túnel. Considere ar nas condições padrão. Ar a 200C ρ=1,2 kg/m3. ν=14,2x10-6 m2/s.

[ 25 ] Num escoamento sobre placa plana o cisalhamento na parede pode ser determinado até a posição x por um elemento flutuante de área pequena conectado a um strain-gage como ilustra a figura. Em x=2,0m, o elemento indica uma tensão de cisalhamento de 2,1Pa. Admitindo escoamento turbulento a partir do bordo de ataque, calcule: (a) A velocidade de corrente livre (m/s) (b) A espessura da camada limite (mm) no ponto onde se encontra o elemento. (c) A velocidade em (m/s) a 5mm acima do elemento.

[ 29 ] No RS teve uma serie de temporais que ocasionaram sérios danos a construções e também derrubando arvores. Determine a força axial exercida pelo vento numa localidade do RS submetida a uma rajada de 120 km/h. Considere que o coeficiente de arrasto da árvore é igual a 0,5. Determine a força de arrasto da árvore que apresenta uma área frontal de 5,8m2 Ar a 200C ρ=1,2 kg/m3. ν=14,2x10-6 m2/s.

Ar 200C: Massa especifica 1,204 Kg/m3 Viscosidade cinemática: 1,51x10-5m2/s

[ 26 ] (a ) Considerando um escoamento laminar sobre uma placa dado pelo perfil senoidal:

Demonstre que a tensão de cisalhamento na parede é dada pela expressão: τ w =

u π y  = sen  U∞ 2δ

πµU ∞ 2δ ( x)

(b) Considerando (para este perfil de velocidades) a espessura da camada limite dada por:

δ x

[ 30] Um perfil aerodinâmico é submetido a um escoamento com velocidade de 15m/s. O perfil possui uma corda de 50cm e um comprimento de 12,0m. Numa posição angular a força de arrasto é igual a 267,3N. (a) Determine o ângulo de ataque nesta posição. (b) Determine o ângulo de ataque que permita manter a mesma força de sustentação reduzindo drasticamente a força de ρ=1,2 kg/m3. ν=14,2x10-6 m2/s. arrasto. Obs: Utilize Gráfico em anexo. Ar a 200C

4,8 Re x

determine a tensão de cisalhamento na metade da placa e a velocidade (m/s) correspondente na metade da espessura da camada limite nesta posição. Obs. Considere uma placa com comprimento total de 0,8m e velocidade de corrente livre igual a 2,0m/s. Ar 200C: Massa especifica 1,204 Kg/m3 Viscosidade cinemática: 1,51x10-5m2/s [ 27] Uma caixa de água esférica (lisa) de 15m de diâmetro é sustentada por uma estrutura metálica tubular de 2m de diâmetro e 40m de altura. No local a velocidade de rajada do vento máximo em 50 anos é igual a 40 m/s. Obs. O coeficiente de arrasto da estrutura tubular é CD=1,2. Determine: (a) A força de arrasto exercida pelo vento sobre o reservatório. (b) A força de arrasto dobre a estrutura tubular. (c) O momento exercido na base da estrutura tubular.

[ 31 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=3,0m esta imersa paralelamente a uma corrente de velocidade de 2,0 m/s. Determine (a) Força de arrasto na placa (b) Espessura da camada limite no bordo de fuga da placa Água: ρ=1000 kg/m3 e ν=1,02x10-6 m2/s. [ 32 ] A Ponte Verrazano-Narrows é uma ponte suspensa que conecta a Staten Island ao popular bairro do Brooklyn na península de Long Island em Nova Iorque. Como parte das comemorações da independência de USA em 1976 um grupo empreendedor pendurou uma gigantesca bandeira norte-americana com 59 m de altura e 112 m de largura nos cabos de suspensão da ponte. A bandeira foi arrancada da sua amarração quando o vento atingiu 16 km/h. Estime a força do vento atuante sobre a bandeira a esta velocidade. Utilize de forma aproximada o coeficiente de arrasto de uma placa plana quadrada conforme figura (CD=1,2). Ar a 200C. Obs. ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,02 x 10 -5 m2/s.

Ar a 200C: Massa especifica: 1,2 kg/m3. Viscosidade cinemática: 14,2x10-6 m2/s. Obs: Utilize Gráfico em anexo (Fig.1). [ 28 ] Um túnel de vento vertical para prática de salto (pára-quedismo) possui um diâmetro 2,2 m e altura de 3,0 metros. A velocidade no túnel é igual a 65m/s. Considere que a pessoa nas condições de equilíbrio dentro do túnel flutua com as extremidades entendidas com o qual o coeficiente de arrasto é igual a 1,2. Determine a força de arrasto e potência despendida Prof. Jorge Villar Alé

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[ 33 ] A componente vertical da velocidade de aterrissagem de uma pára-quedas deve ser inferior a 6,0 m/s. A massa total do pára-quedas e pára-quedista é de 120 kg. Determine o diâmetro mínimo do pára-quedas aberto.

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[ 36 ] Determinar o momento resultante sobre a base da estrutura mostrada na figura. Trata-se de uma placa plana de 2,0m x 2,0m e uma estrutura semi tubular com diâmetro de 20cm. Determine o momento na base considerando as duas alternativas de estruturas. Considere o coeficiente de arrasto da estrutura côncava igual a 1,2 e na convexa 2,3. A velocidade máxima esperada sobre a estrutura é igual a 30m/s. Para placa plana utilize um coeficiente de arrasto igual a 1,2. Utilize ar com ρ=1,2 kg/m3

Ar a 200C. Obs. ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,02 x 10 -5 m2/s.

[ 37 ] Uma asa de avião de 2,0m de corda avança com uma velocidade de 138 km/h. A velocidade média na superfície superior da asa é igual a 160 km/h e na superfície inferior igual a 130 km/h. Determine a força de sustentação considerando uma comprimento total de asa de 20m. Utilize ar com ρ=1,2 kg/m3. Determine o coeficiente de sustentação da asa. Lembre que num aerofólio a sustentação ocorre pela variação pressão das superfícies superior e inferior.

[ 34 ] Duas bolas de beisebol de 74 mm de diâmetro são conectadas a uma barra de 7 mm de diâmetro e 560 mm de comprimento. Determine a potência (Watts) necessária para manter o sistema girando a uma velocidade angular de 42 rad/s. Obs. A barra cilíndrica possui um coeficiente de arrasto CD=1,2. Para a esfera determine o coef. de arrasto conforme tabela abaixo. Ar a 200C. Obs. ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,02 x 10 -5 m2/s. Tabela – Coeficiente de arrasto de esfera Re ≤ 1 1 < Re ≤ 400 400 <Re ≤ 3x105 3x105 < Re ≤ 2x106

CD =

24 Re

CD =

(Re )0, 646

C D = 0,5

C D = 0,000366(Re )

0 , 4275

[38] A Figura mostra o resultado do coeficiente de pressão teórico e determinado em túnel de vento de um cilindro onde escoa ar padrão. Quando um manômetro digital esta conectado na tomada da parede do túnel de vento e no ponto (1) do cilindro, o manômetro indica uma pressão equivalente a 14mmH20. Com esta informação pode ser determinada a velocidade de corrente livre no túnel que é igual a 15,1 m/s. (a) Determine qual a pressão equivalente (em mmH20) quando o manômetro esta conectado na tomada da parede do túnel de vento e no ponto (2) do cilindro numa posição angular igual a 500. (b) Qual será a velocidade de corrente nesta posição do cilindro para o caso real e para o caso teórico. Re > 2x106

C D = 0,18

[ 35 ] O avião fabricado pelos irmãos Wright chamava-se Flyer (Voador) e era um biplano. Foi Orville Wright quem pilotou o primeiro vôo controlado dos irmãos, em 17 de dezembro de 1903, na cidade de Kitty Hawk, na Carolina do Norte. Considera-se este vôo um marco na história da aviação motorizada. Cada uma das 4 asas do avião tinha 12,3m de envergadura e 23,7m2 de área plana. Determinar o coeficiente de arrasto e a força de arrasto total considerando as asas como sendo placas planas.

(a) Sistema de medição em túnel de vento (b) Resultado do coeficiente de pressão real e teórico.

Considere ar nas condições padrão com velocidade de 14m/s. ρ=1,225 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s.

[ 39 ] Uma chaminé de seção quadrada tem 50m de altura. Seus suportes podem resistir a uma força lateral máxima de 90kN. Se a chaminé deve suportar furacões de 145 km/h qual será a largura máxima possível ? (b) Considerando a largura determinada como sendo o diâmetro qual a força de arrasto para a mesma velocidade se a chaminé for de seção circular ?. Considere ar ρ = 1,204 kg/m3 ν=1,51x10-5 m2/s.

[ 40 ] Uma rede de peixes consiste em fios de 1 mm de diâmetro sobrepostos e amarrados para formar quadrados de 1cm por 1 cm. Calcule o arrasto de 1,0 m2 de tal rede quando puxada normal ao seu plano a 3 m/s na água a 20 ºC. Qual a potência em kW necessária para se puxarem 37 m2 dessa rede? Considere água com: ρ = 998 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. [ 41 ] Durante um experimento com alto número de Reynolds a força de arrasto total agindo sobre um corpo esférico de diâmetro D=12 cm submetido a um escoamento de ar a 1 atm e 5ºC é medida como 5,2N. O arrasto de pressão agindo sobre o corpo é calculado integrando-se a distribuição de pressão (medida usando-se sensores de pressão através da superfície) resultando em 4,9N. Determine o coeficiente de arrasto de atrito da esfera. Prof. Jorge Villar Alé

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Anexos [ 42 ] Uma ciclista de 80 kg está andando com sua bicicleta de 15 kg descendo em uma estrada com inclinação de 12° sem pedalar nem brecar. A ciclista tem uma área frontal de 0,45 m² e um coeficiente de arrasto de 1,1 com o corpo na posição vertical, e uma área frontal de 0,4 m² e um coeficiente de arrasto de 0,9 na posição de corrida. Desprezando a resistência de rodagem e o atrito nos rolamento, determine a velocidade terminal da ciclista para ambas as posições. Considere a densidade do as como 1,25 kg/m³. [ 43 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=3,0m esta imersa paralelamente a uma corrente de velocidade de 2,0m/s. Determine (a) Arrasto sobre um lado da placa (b) Espessuras δ(x), δ*(x) θ(x) no bordo de fuga da placa para: ar com ρ=1,23 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s e água com ρ=1000 kg/m3 e ν=1,02x10-6 m2/s [ 44 ] Uma hidrofolio de L=0,37m e largura de b=1,83m esta imersa paralelamente a uma corrente de água a 12,2m/s com ρ=1025 kg/m3 e ν=1,02x10-6 m2/s. (a) Espessura da C.L. no final da placa. (b) Forca de atrito considerando escoamento turbulento parede lisa. (c) Forca de atrito considerando turbulento c/ laminar anterior (d) Força de atrito considerando escoamento turbulento e rugoso (ε=0,12mm) [ 45 ] Determinar a força de arrasto de um bi-plano (avião dos irmãos Wright) com 12,3m de envergadura e 23,7m2 de área plana. Considere ar nas condições padrão com velocidade de 14m/s. ρ=1,225 kg/m3 e ν=1,5x10-5 m2/s. [ 46 ] Considere uma placa plana de 30cm de comprimento submetida a uma velocidade de 0,3 m/s. Determinar a espessura da camada limite no bordo de fuga para (a) Para o ar ρ=1,23 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s e (b) Para água com ρ=1000 kg/m3 e ν=1,02x10-6 m2/s [ 47 ] Uma placa plana fina longa e colocada paralelamente a uma corrente de água de 6,1m/s a 200. A que distancia do bordo de ataque a espessura da camada limite será de 25 mm. Considere a viscosidade cinemática da água ν=1,02x10-6 m2/s

Figura 1 Efeito de rugosidade no coeficiente de arrasto em esferas lisas

[ 48 ] Numa tubulação de 97 mm de diâmetro escoa água com uma vazão de 18 m3/h ar a 400C. A variação de pressão num trecho de 30 m de comprimento e igual a 1255 Pa. Considerando tubulação lisa determinar: (a) Velocidade na tubulação numa distancia media entre a parede e o centro do tubo. (b) A distancia a partir da parede em que a velocidade e igual a velocidade media da tubulação. (c) Considerando os limites das diferentes camadas determine a espessura da subcamada laminar, da camada de transição e da camada turbulenta. Propriedades da água a 400C

ρ = 992kg / m 3

µ = 6,51x10 −4 Pa.s

(a ) Coeficiente de sustentação do perfil

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(b) Coeficiente de arrastro do perfil

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Determine:

Escoamento Laminar

V =?

u (r ) = 6 r=

m s

R 2

[ 2] Numa tubulação de 20mm de diâmetro escoa água a 200C com velocidade media igual 2,0 m/s. A tubulação apresenta 20m de comprimento e rugosidade igual a 0,02mm. Determine a velocidade e tensão de cisalhamento nas posições indicadas na tabela abaixo. Obs. Utilize equacionamento exponencial. Água: Massa especifica ρ =1000 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,02x10-3 Pa.s Posição Radial r=0 r=4,0mm r=10mm

R 2

Velocidade u (r ) (m/s) 2,48 2,29 0,0

Dados:

D = 20mm

ρ = 1000

Re =

kg m³

u (r ) = ?

τ (r ) = ?

−3

m s L = 20m

V = 2,0

  R 2  u (r ) = u max 1 −  2     R         1 2  u (r ) = u max 1 −      2  

Tensão de cisalhamento τ (r ) (N/m2) 0 5 12,5 Determinar:

ε = 0,02mm

T = 20°C   r 2  u (r ) = u max 1 −      R  

Escoamentos Viscosos

µ = 1,02 x10 Pa.s

ρV D µ

kg m .2,0 .0,02m ³ m s Re = 1,02 x10 −3 Re = 39216 ⇒ TURBULENTO 1000

 1 u (r ) = u max 1 −   4 3 u (r ) = u max 4 4 u max = u (r ) 3 m4 u max = 6 s 3 m4 u max = 6 s 3 m u max = 8 s

 ε  5,74  f = 0,25log D + 0,9    3,7 Re    

−2

  0,02   20 + 5,74  f = 0,25log 0 , 9   3,7 39216       0,02   20 + 5,74  f = 0,25log 0 , 9   3,7 39216    

−2

f = 0,25[log(0,00027 + 0,0004214)] f = 0,025

−2

u max = 2V

n = 1,85 log Re− 1,96 n = 6,54

m 8 V = s 2 m V =4 s

V 2n 2 = umax (n + 1)(2n + 1)

V 2.(6,54 ) = umax (6,54 + 1)(2.6,54 + 1) 2

umax = 1,241V Prof. Jorge Villar Alé

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u max = 2,48

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m r  1 −  s  10 

6 , 54

Dados:

r=0

m 0 u (r ) = 2,48 1 −  s  10  u (r ) = 2,48

Tubo liso

D = 300mm V = 18 1

u (r ) = 2,48

m  10  1 −  s  10 

Re =

6 , 54

τω =

f V2 ρ. 4 2

(

2m 0,025 s 1000 kg 3 . m 4 2 τ ω = 12,5 N 2 m

τω =

τ (r ) = τ max

ρV D µ

τω = ? u* = ?

kg m³

y=?

f =

)

y+ =

r R

f =

0,316 1

Re 4 0,316 1

4536 4 f = 0,0385

f V2 ρ. 4 2

 m 18  0,0385 kg  s  τω = 1260 . 4 m³ 2 τ ω ≅ 1964,7 N / m²

τ u * =  ω ρ

 2   u * ≅ 1,25 m s

yu *

y +ν u* y+µ y= * uρ 1,5 Pa.s.5 y= m kg 1,25 1260 s m³ y = 4,76mm y=

r=0

τ (r ) = 0

r = 4 mm

τ (r ) = 12,5 N τ (r ) = 5 N

f =?

µ = 1,5 Pa.s ρ = 1260

m s

kg m 1260 18 0,3m m ³ s Re = 1,5 Pa.s Re = 4536

u (r ) = 0

τω =

T = 20°C ( glicerina )

Na sub-camada viscosa y+ = 5;

6 , 54

r = 10 mm

u (r ) = 2,48

Determinar:

6 , 54

r = 4 mm

4 m 1 −  s  10  m u (r ) = 2,29 s

Escoamentos Viscosos

[ 3 ] A subcamada viscosa normalmente é menor que 1% do diâmetro do tubo e, portanto, muito difícil de ser medida com alguma instrumentação. A fim de gerar uma subcamada viscosa mais espessa e poder realizar a medição, em 1964 a Universidade Estadual de Pennsylvania construiu um tubo com um escoamento de glicerina. Considerando um tubo liso de 300 mm de diâmetro e velocidade V=18 m/s e glicerina a 200C. Determine: (a) fator de atrito (b) tensão de cisalhamento na parede (N/m2) (c) velocidade de atrito (m/s) (d) espessura da subcamada viscosa (mm). Massa especifica ρ =1260 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,5 Pa.s

m s

r  u (r ) = umax 1 −   R u (r ) = 2,48

Escoamentos Viscosos

4mm m 2 10mm

r = 10 mm

τ (r ) = 12,5 N

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Determinar:

Resposta:

Escoamento laminar

hL = ?

A perda de carga aumentará por um fator de 16.

Escoamentos Viscosos

D D= 2 Q = CTE

Determinar:

U °° = 2,0m / s

ν = 1,46 x10−5 m 2 / s

b = 3,0m L = 1,0m

ρ = 1,23kg / m

FD = ?

δ ( x) = ?

δ * ( x) = ? θ ( x) = ?

L = CTE Re L =

64 f = Re Re =

ν 4.QD

δ ( x = L)

Q = V .A 4.Q V = π .D 2

FD =

1 ρU °° 2 A.CD 2 2

1 kg  m  FD = 1,23  2  2.(1,0m.3,0m).0,00358 2 m³  s  FD = 0,0529 N

5 Re x 5.1m

1,369 x105 δ ( x = L) = 13,51mm

δ * ( x = L) =

   4Q  2.  4.Q  2   π D  2  2   π .D  =  Re Re

1 7 1 θ ( x = L) = 13,51mm 7 θ ( x = L) = 1,93mm

θ ( x = L) = δ ( x)

( )

1 2.16 =  4.Q   4.Q     π .D.ν   π . D .ν 2  1 = 16

δ ( x)

2,89 13,51mm δ ( x = L) = 2,89 δ * ( x = L) = 4,67mm

64 L.V 2 64 L.V 2 = Re D.2.g Re D 2.g 2 V 2 2V 2 = Re Re

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δ ( x = L) =

L.V 2 D.2.g

1,328 Re L 1,328

m 1,0m CD = s Re L = 1,369 x105 2 −5 m 1,46 x10 CD = 0,00358 s Re L = 1,369 x105 < 5 x105 ⇒ LAMINAR

π .D 2 .ν 4.Q Re = π .D.ν

hL = f

CD =

Re =

U °° L

    Lista de Exercícios 2010

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[ 6 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=2,0m imersa em água é arrastada horizontalmente com uma velocidade constante igual a 1,5m/s. Considere os seguintes casos: (i) Caso em que a camada limite é turbulenta desde o bordo de ataque até o bordo de fuga. (ii) Caso em que a placa apresenta escoamento turbulento com laminar anterior, determinando o ponto de transição. Determinar força de arrasto para os dos casos e o erro cometido (%) na força quando não se utilizam as equações apropriadas. água com ρ=1000 kg/m3 e ν=1,5x10-6 m2/s

m s b = 2,0m

m ν = 1,5 x10 s kg ρ = 1000 m³

U °° = 1,5

−6

L = 1,0m

FD ( ii ) = ?

FD =

Erro(%) = ?

1700 Re L

−

1700 1x106

1 ρU °° 2 A.CD 2

 21N − 13,36 N  ERRO =  .100% = 36,38% 21N   [ 7 ] O perfil de velocidades u(x,y), na camada limite de um escoamento sobre uma placa plana é dado por:

3 y 1 y3 vx  onde a espessura da camada limite é δ ( x) = 4,64 u = U ∞  −  U 2 δ 2 δ ∞   Deduzir a expressão para o coeficiente local de arraste Cf e ao coeficiente de arrasto CD. Apresente o resultado na forma:

U °° xc

cf =

m 1,5 xc 5 s 5 x10 = m2 1,5 x10− 6 s xc = 0,5m xc .100% = 50% > 0,1% L ⇒ TURBULENTO COM LAMINAR ANTERIOR L

cD =

Re x

Onde A é uma constante do resultado numérico

B Re L

onde B é uma constante do resultado numérico

 3 y 1 y3  u = U ∞  −  2δ 2δ 

δ ( x) = 4,64

0,074

νx U °°

Re L 5 0,074

(1x106 ) 5 C D = 0,004669 FD =

−

U °° L

i) C D =

(1x10 )

1 kg  m  FD = 1000 1,5  2.(1,0m.2,0m).0,002969 2 m³  s  FD = 13,36 N

OBS: Considerando 0,1%L para escoamento com laminar anterior

CD =

0,074

Re L 0,074

CD = 0,002969

FD ( i ) = ?

m 1,5 1,0m s Re L = m² 1,5 x10− 6 s Re L = 1x106 > 5 x105

Rec =

ii) CD =

Determinar:

Dados:

Re L =

1 kg  m  FD = 1000 1,5  2.(1,0m.2,0m).0,004669 2 m³  s  FD = 21N

Cf =

2ν ∂u ( x, y ) 2 ∂y y = 0 U °°

Cf =

3 1 y2 2ν −  U °°  2 U °° 2δ δ 

1 ρU °° 2 A.CD 2

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Cf =

2ν U °°

3 1 y2   2δ −δ   

Cf =

2ν U °°

3 1 02   2δ −δ   

Cf =

3ν U °°δ

Cf =

3ν 1 U °° U °° 4,64 νx

Dados:

1 ν 2U °° Cf = 3 4,64 U °° 2νx

C f = 0,646

Cf =

0,646 Re x

D = 0,5m km U °° = 95 h

kg m³ km 1000 m U °° = 95 . = 26,39 h 3600 s

L =4 D

L ≅5 D

C D = 0,9

C D = 0,8

ρ = 1,035

W& A = ? W& B = ?

CD =

1 C f ( x)dx L ∫0

CD =

L 1  ν   dx 0,646 ∫ L0 U °° x 

CD =

L 1  ν   dx 0,646 ∫ L0 U °° x 

CD = 0,646 CD = 0,646

CD = 0,646

ν 1

U °° L ∫0

x 1

ν 1x

−1

(a) FD =

ν 2

U °° L

ν 2 U °° L

CD = 2.0,646

(b) FD =

 .0,9  

1 ρU °° 2 A.CD 2 2

1 kg  m FD = 1,035 3  26,39  (L.D ).0,8 2 s m 

νL U °° L2

1 kg  m FD = 1,035 3  26,39  (2m.0,5m ).0,8 2 s m  FD = 288,32 N

ν U °° L

1,292 Re L

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m W& = 63,7 N .26,39 s W& = 1,68kW

2 0

Tab. 11.1 e Tab.11.2 livro Cengel e Cimbala.

W& = FD .V

 πD 2   .0,9  4  2 2 kg  m   π (0,5m ) 1 FD = 1,035 3  26,39   s  4 2 m  FD = 63,7 N

L 1

1 ρU °° 2 A.C D 2

kg  m 1 FD = 1,035 3  26,39  m  s 2

U °° L 1 2

CD = 2.0,646

CD =

Determinar:

L = 2,0m

U °° x

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W& = FD .V Lista de Exercícios 2010

m W& = 288,32 N .26,39 s

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W& ≅ 7,61kW Lista de Exercícios 2010

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[10] Um pequeno avião tem uma asa com área de 30m2, um coeficiente de sustentação de 0,45 nos parâmetros de decolagem e uma massa de 2800 kg. Determinar (a) Velocidade de decolagem do avião a nível do mar com ρ=1,205 kg/m3. (b) Potência necessária para manter uma velocidade de cruzeiro constante de 300 km/h para um coeficiente de arrasto de cruzeiro de 0,035.

Dados:

m = 5000kg D = 8m L = 2m b = 2m

Distância entre assoalho e estrada Determinar:

d = 0,8m ;

Distância entre rodas r = 1,8m

ρ = 1,15

ρ = 1,205

A = 30m² CL = 0,45

U °° = ?

km m ≅ 83,34 h s CD = 0,035

V = 300

m = 2800kg

kg m3

(a)

C D = 2,2 (Tab.11.2)

U °° =

FL = W

∑M = 0

U∞ = ? W& = ?

2.FL

ρ . A.C L

m  2. 2800kg.9,81  s²   U °° = kg 1,205 3 .30m².0,45 m m U °° = 58,11 s km U °° = 209,2 h

M F = F A. s r F A. s − W = 0 2 r 1 FA. = W . 2 s m  1,8 1  FA. =  5000kg .9,81 2  . s  2 1,8  FA. = 24525N

(b) FD =

1 ρU °° 2 A.C D 2

FD =

1 ρU °° 2 A.C D 2 2.FA U °° = ρ . A.C D

1 m m FD = 1,205  83,34  30m².0,035 2 s²  s²  FD = 4393,23 N

2.24525 N kg 1,15 3 .(8m.2m ).2,2 m m U °° = 34,81 s km U °° = 125,3 h

W& = FD .V

U °° =

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Determinar:

1 ρU °° 2 A.C L 2

FL =

L 2 = = 0,25 D 8

kg m³

m W& = 4393,23N .83,34 s² W& = 366,1kW

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W p = 1N A = 0,8m² α = 30°

CD =

β = 45°

CL = ? Obs.: Área projetada.

FR y = FR.senβ

FD = FR X .

1 ρU °°2 APY .C L 2 FL CL = 1 ρU °° 2 APY 2 22,21N CL = 2 1 kg  m  1,2 10  0,693m² 2 m³  s  CL = 0,53

CD = ?

km m = 10 h s kg ρ = 1,2 m³

U ∞ = 36

FR X = FR. cos β

∑F

y =30N

= − FRY + FL − W = 0

mc = 80kg

FL = 30 N .sen45° + 1N FL = 22,21N

α = 12°

CDV = 1,1 AC = 0,4m²

mb = 15kg

CDC = 0,9

ρ = 1,25

APX = A.senα

Determinar:

U ∞v = ? U ∞c = ?

kg m³

WC = mC .g

APX = 0,8m². sen30°

WC = 80kg.9,81

APX = 0,4m²

m s²

WC = 785 N

APy = A. cos α APy = 0,8m². cos 30°

Wb = mb .g

APy = 0,693m²

Wb = 15kg .9,81 Wb = 147,15 N

1 ρU °° 2 APX .CD 2

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AV = 0,45m²

Dados:

FL = FRY + W

FD =

FL =

Determinar:

= − FR X + FD = 0

FD = 30N cos 45° FD = 21,21N

FD 1 ρU °° 2 APX 2 21,21N

1 kg  m  1,2 10  0,4m² 2 m³  s  C D = 0,884

FR = 30 N

Dados:

∑F

CD =

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m s²

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FD = WT .sen12°

[13] Ar a 200C e 1 atm escoa a 20m/s em torno de uma placa plana. Um tubo de Pitot, colocado a 2mm da parede apresenta uma leitura manométrica h=16mm de óleo vermelho Meriam, densidade d=0,827. Use essa informação para determinar a posição x do tubo de Pitot a jusante. Considere escoamento laminar utilizando como auxilio o perfil de velocidades de Blasius dado na tabela na qual estão definidas as relações utilizadas na solução de Blasius:

FD = 932,15 N.sen12° FD = 932,15 N.sen12° FD = 193,8 N FD =

U °° =

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1 ρU °° 2 A.C D 2

u = f ´ (η ) U

1/ 2

U    νx 

η = y

2.FD

ρ . AV .CD

2.193,8 N U °° = kg 1,25 .0,45m².1,1 m² m U °° = 25 s km U °° = 90 h U °° =

2.FD

ρ . Ac .C D

Determinar:

Dados: c

h = 16mm d = 0,827

2.193,8 N kg 1,25 .0,4m².0,9 m² m U °° = 29,3 s km U °° = 105,65 h U °° =

T = 20°C P = 1atm m U ∞ = 20 s

ρ = 1,205

kg m³

ν = 1,51x10 −5

x=?

m² s

y = 0,002m

ρ fluido ρ água ρ oleo = ρ agua .d

kg .0,827 m³ kg = 827 m³

ρ oleo = 1000 ρ oleo

Pm = ρ .g .h kg m Pm = 827 .9,81 .0,016m m³ s² Pm = 129,81Pa

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1 ρ .V 2 2 Pv = Pm Pv =

1 kg 129,81Pa = 1,205 .V 2 2 m³ 2.129,81Pa V= kg 1,205 m³ m V = 14,68 s

ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,51 x 10 -5 m2/s. Dados:

Na tabela com

U    νx 

V 14,68 = = 0,734 ⇒ η ≅ 2,5 U∞ 20

km m = 15,56 h s L = 2,5m b = 2,0m

η  U   =  y  νx U x= 2 η    ν  y

Re L =

Determinar:

kg ρ = 1,2 m³

V = 56

1/ 2

η = y

Escoamentos Viscosos

ν = 1,51x10 −5

δ ( x) = ? m² s

FD ( LAM ) = ? FD (TURB) = ?

T = 20°C

U °° L

m 2,5m s m² 1,51x10 −5 s Re L = 2,58 x106 Re L =

m s

m²  2,5   1,51x10 −5  s  0,002m  x = 0,85m

Rec =

15,56

U °° xc

m xc s 5 x10 = m2 1,51x10 −5 s xc = 0,485m 15,56

Obs.: 20% da placa possui camada limite laminar.

 0,381

(a) δ ( x) = x 

−

10256   Re L 

 Re L  0,381 δ ( x) = 2,5m   2,58 x10 6 δ ( x) = 40mm

(

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)

− 5

10256   2,58 x106  

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(b) C D =

CD =

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1,328 [15] Um pequeno túnel de vento de baixa velocidade possui uma seção de teste de 30 cm de diâmetro e comprimento de 30 cm. A velocidade deve ser o mais uniforme possível. A velocidade no túnel varia de 1,0 m/s a 8,0 m/s. O projeto será otimizado para uma velocidade de 4,0 m/s através da seção de teste. Para o caso de escoamento aproximadamente uniforme a 4,0 m/s na entrada da seção de teste, determine (a) a velocidade no fim da seção de teste. (b) Especifique se velocidade aumentou ou foi reduzida e em que percentual. (c) Que recomendação de projeto pode especificar para tornar o escoamento mais uniforme na seção de teste. Obs. Lembrar do conceito de espessura de deslocamento da CL.

Re L 2 1,328

(2,58x10 ) 6

C D = 0,0008 FD =

1 ρU °° 2 A.C D 2 2

1 kg  m FD = 1,2 15,56  2.(2,0m.2,5m ).0,0008 2 m³  s FD = 1,16 N

CD =

0,074 1

Re L 5 0,074

− 5

kg ρ = 1,2 m³

m s D = 30cm

V = 4,0

1700 − Re L

(2,58x10 ) 6

Determinar:

Dados:

ν = 1,51x10 −5

L = 30cm

1700 2,58 x106

C D = 0,0032 FD =

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Re L =

1 ρU °° 2 A.C D 2

V fim = ?

m² s

∆V % = ?

U °° L

m 0,3m s Re L = m² 1,51x10 −5 s Re L ≅ 8 x10 4 ⇒ LAMINAR 4,

1 kg  m FD = 1,2 15,56  2.(2,0m.2,5m ).0,0032 2 m³  s FD = 4,6 N

Vinicio Ainicio = V fim A fim

δ * ( x) =

1,73x Re L 1,73.0,3m 8 x10 4

δ * ( x) = 1,83 x10 −3 m (a) Vinicio Ainicio = V fim A fim

V fim = Vinicio

Ainicio A fim

V fim = Vinicio

πR ² π ( R − δ *)

V fim = 4,0 Prof. Jorge Villar Alé

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(0,15m )² m s (0,15m − 1,83x10 −3 m)

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V fim = 4,1

4,1 (b)

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m s

y r = 1− R R y = 0,293 R

m m − 4,0 s s .100% = 2,5% m 4,0 s

ESCOAMENTO TURBULENTO 1/ n

(c) Se o raio fosse projetado de a aumentar com δ * ( x) ao longo do comprimento da seção de teste, o efeito de deslocamento da camada limite seria eliminado, e a velocidade do ar na seção de teste permaneceria razoavelmente constante. [16] Para medir a velocidade do ar numa tubulação de ventilação industrial pode-se utilizar um tubo de Pitot introduzido a partir da parede da tubulação. Considerando os escoamentos laminar e turbulento e utilizando as expressões do perfil de velocidade para cada um dos regimes identifique (para cada caso) qual a distância y a partir da parede da tubulação que deve ser introduzido o tubo de Pitot para que a sua medida represente a velocidade média da tubulação.

  r 2  u (r ) = U max 1 −     R   

Laminar

Turbulento (n=7)

r  u (r ) = U max 1 −   R

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r  u (r ) = U max 1 −  ⇒ n = 7  R u 2n 2 = U max (n + 1)(2.n + 1)

u 2.7 2 = U max (7 + 1)(2.7 + 1) u = 0,8166 U max U max = 1,224.u PARA u (r ) = u E SABENDO QUE PARA ESCOAMENTO TURBULENTO U max = 0,8166.u

r  u = 1,224u 1 −   R

1/ n

ENTÃO:

y r = 1− R R

ESCOAMENTO LAMINAR

  r 2  u (r ) = U max 1 −    , SABE-SE QUE u (r ) = u E QUE U max = 2.u , ENTÃO:  R   

 y u = 1,224u   R  y 1 = 1,224  R

  r 2  u = 2.u 1 −     R   

1 r =1−   2 R

y  1    = R  1,224  y = 0,2429 R

 1 2 r 1 −  = R  2 r = 0,707 R E QUE y = R − r

y R−r = R R Prof. Jorge Villar Alé

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Re L 2 =

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[ 18] Numa tubulação horizontal de 20 mm de diâmetro escoa água com velocidade media igual 2,0 m/s. Caso o escoamento for turbulento utilize o perfil de velocidades exponencial. Neste perfil o expoente n pode ser determinado em função do número de Reynolds podendo ser utilizada a expressão: n = 1,85 log(Re) − 1,96 Determine: (a) Em r=5 mm a velocidade (m/s) e a pressão dinâmica (Pa) que indicaria um manômetro digital conectado ao tubo de Pitot nesta posição radial. (b) A tensão de cisalhamento na parede considerando tubo liso.

2U °° L

Re L1 = 2 Re L1

Água: ρ =1000 kg/m3 µ = 1,02x10-3 Pa.s

1,328

CD =

Dados:

Determinar:

Re L

kg ρ = 1000 m³ µ = 1,02 x10 −3 Pa.s

m s D = 20mm

V = 2,0 FD =

1 ρU °° 2 A.C D 2

r = 5mm

V =? PV = ?

τw = ?

FD1 = FD 2 1 1 ρ (U °°1 )2 A.C D1 = ρ (U °° 2 )2 A.C D 2 2 2 1,328 1,328 1 1 2 2 ρ (U °° ) A. = ρ (2U °° ) A. 2 2. Re L Re L 2 1,328 1,328 1 1 2 2 ρU °° A. = ρ 4U ∞ A. 2 2. Re L Re L 2

(a) ν =

ν = 1,02 X 10 −6 Re L =

m² s

U °° L

m 0,02m s Re L = m² 1,02 x10 −6 s Re L = 39215,7 ⇒ TURBULENTO 2,0

FD 2 =

µ ρ

4 2

FD1

n = 1,85 log(Re) − 1,96 n = 1,85 log(39215,7) − 1,96 n = 6,54 u 2n 2 = U max (n + 1)(2.n + 1)

u 2(6,54) = U max (6,54 + 1)(2.6,54 + 1) u = 0,806 U max U max = 1,24u 2

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U max = 1,24.2,0 U max = 2,48

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m s

[ 19] Um hidrofólio de 50 cm de comprimento e 4 m de largura movese a 51 km/h na água. O problema considera que se pode utilizar as equações de escoamento turbulento sem laminar anterior quando a posição de transição (x critico) é menor que 10% do comprimento total. No caso contrario, são utilizadas as equações de escoamento turbulento com laminar anterior. Verificando esta condição determine:

m s

r  u (r ) = U max 1 −   R

1/ n

m 5mm  u (r ) = 2,48 1 −  s  10mm  m u (r ) = 2,23 s

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(a) A força de arrasto no hidrofólio considerando placa plana lisa. 1 / 6 , 54

(b) A força de arrasto considerando placa plana rugosa com Є=0,3mm. Água: ρ =1000 kg/m3 ν= 1,02x10-6 m2/s.

Dados:

1 ρ .u 2 2 2 1 kg  m Pv = 1000 . 2,23  2 m³  s Pv = 2486,45 Pa Pv =

ρ = 1000

km m ≅ 14,2 h s L = 50cm

V = 51 b = 4m

Determinar:

kg m³

ν = 1,02 x10 −6

m² s

FDlisa = ? FDrug = ?

∈= 0,3mm

(b) Tubo liso

f =

Re f =

τω =

14,2

Re L =

f V2 ρ. 4 2

m   2,0  0,02246 kg  s τω = 1000 . 4 m³ 2 N τ ω = 11,23 m²

m 0,5m s m² 1,02 x10 −6 s Re L = 6,96 x10 6 ⇒ TURBULENTO

0,316

(39215,7 ) f = 0,02246

U °° L

Re L =

0,316

Re C =

U °° xC

m xC s m² 1,02 x10 −6 s xc = 0,0354m 14,2

5 x10 5 =

0,0354m .100% = 7% < 10% ⇒ TURBULENTO 0,5m

CD =

0,074 Re

CD =

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0,074

(6,96 x10 ) 6

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C D = 0,00316

[ 20] Uma esfera fixa em uma corda se desloca num ângulo θ quando imersa em uma corrente de velocidade U, como mostra a figura.

1 2 (a) FD = ρU °° A.C D 2 2 1 kg  m FD = 1000 14,2  2.(0,5m.4m ).0,00316 2 m³  s FD = 1274,36 N L  C D = 1,89 + 1,62 log  ∈ 

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Determinar o valor de θ para uma esfera de 30 mm de diâmetro de aço com massa especifica igual 7860 kg/m3. Ar escoa com velocidade U=40 m/s. Volume de esfera: (4/3) π R3 . Despreze o arrasto da corda. Ar: ρ=1,204 Kg/m3 ν=1,51 x 10-5 m2/s.

−2, 5

Dados:

0,5m   C D = 1,89 + 1,62 log  0,0003m   C D = 0,00742

ρ esfera = 7860

−2, 5

m s D = 30mm

V = 40

1 2 (b) FD = ρU °° A.C D 2

∑F

1 kg  m FD = 1000 14,2  2.(0,5m.4m ).0,00742 2 m³  s FD = 2992,34 N

= FRX = FD

= FRY = W

∑F

ρ = 1,204

kg m³

ν = 1,51x10 −5

Determinar:

θ =?

m² s

FRY FR

FR senθ = W W FR = senθ

FRX W

4 ∀ esfera = πR ³ 3 4 ∀ esfera = π (0,015m )³ 3 ∀ esfera = 1,414 x10 −5 m³

Wesfera = ∀.ρ esfera .g Wesfera = 1,414 x10 −5 m³.7860 Wesfera = 1,1N Re L =

kg m .9,81 m³ s²

U∞L

m 0,03m s Re L = m² 1,51x10 −5 s Re L = 79470,2 40

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Re L ≅ 8 x10 4

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[ 21] Um avião pequeno tem uma massa de 700 kg e voa em cruzeiro à velocidade de 190 km/h. Considere ar padrão. Sabendo que a área superficial das asas é igual a 16,5 m2, determine:

Na Fig.1, gráfico para esfera lisa C D = 0,5

1 ρU °° 2 A.C D 2 2 1 kg  m  2 FD = 1,204  40  π .(0,015m ) 0,5 2 m³  s  FD = 0,34 N FD =

FR cos θ = 0,34 N W cos θ = 0,34 N senθ W tgθ = 0,34 N

Dados:

km m ≅ 52,78 h s m = 700kg

V = 190

1,1N 0,34 N θ = 72,82° tgθ =

C D = 0,05

Determinar:

kg ρ = 1,2 m³

CL = ?

A = 16,5m²

∆F = ? W& = ?

1 ρU °° 2 A.C L 2 m 1 2 700kg.9,81 = ρU °° A.C L s² 2

(a) W = FL =

1 kg  m 6867 N = 1,2  52,78  16,5m².C L 2 m³  s C L = 0,249

1 ρU °° 2 A.C D 2 2 1 kg  m FD = 1,2  52,78  16,5m².0,05 2 m³  s FD = 1378,9 N

(b) FD =

FL 6867 N = FD 1378,9 N FL = 4,98 vezes maior que a FL FD (c)

W& = FD .V

m W& = 1378,9 N .52,78 s W& = 72,8kW

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Calcule a velocidade que o Boeing deverá ter para decolar quando carregado com 372 passageiros, assumindo que o faria na mesma configuração geométrica (ângulo de ataque, posição de flaps).

Dados:

θ = 12,5° kg ρ = 1,2 m³

km m ≅ 55,56 h s A = 10m²

V = 200

Passageiros = 100 W = mboeing .g

Dados:

km m ≅ 62,5 h s m passageiro = 100kg

V = 225

W = 290.1000kg.9,81

Determinar:

m s²

U∞ = ?

W = 2,845 x10 N

W passageiros = m passag . .g

W passageiros

FD = ?

C L = 1,25 C D = 0,1 FL =

W passageiros

FL = ?

θ =?

(a) Para o ângulo de ataque 12,5°

mboeing = 290t

Determinar:

1 ρU °° 2 A.C L 2 2

1 kg  m FL = 1,2  55,56  10m².1,25 2 m³  s FL = 23151,85 N

m = 100kg.9,81 s² = 981N

WT = 2,846 x10 6 N 1 2 W = FL = ρU °° A.C L 2

FD =

1 ρU °° 2 A.C D 2 2

1 kg  m 2,846 x10 6 N = 1,2  62,5  A.C L 2 m³  s A.C L = 1214,3m²

1 kg  m FD = 1,2  55,56  10m².0,1 2 m³  s FD = 1852,15 N

WTOTAL = WT + W372

(b) O gráfico indica o ângulo de θ = 25° para manter a mesma força de sustentação.

WTOTAL = 2,846 X 10 6 N + 372.100kg.9,81

C D = 0,375

m s²

WTOTAL = 3,211x10 6 N

U °° =

FD =

2.FL ρ . A.C Lc

1 kg  m FD = 1,2  55,56  10m².0,375 2 m³  s FD = 6945,56 N

2.3,211x10 6 N kg 1,2 .1214,3m² m³ m km U °° = 66,4 ≅ 239 s h

U °° =

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1 ρU °° 2 A.C D 2

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x = 0,75m kg ρ = 998 m³

Dados:

m s L = 1,5m

V = 8,0

ν = 1,02 x10− 6

b = 1,0m

Determinar:

m² s

δ ( x) = ? δ * ( x) = ? τW = ?

xc =

C f ( x) =

FD = ?

τW =

τW

m 0,75m s Re X = m² 1,02 x10 −6 s Re X = 5,88 x10 6 0,381

−

(Re x ) 5 1

0,381

(5,88x10 ) 6

0,455

CD =

(log Re L )2,58

CD =

(log1,17 x10 )

− 5

FD =

−

1700 Re L

0,455

7 2 , 58

−

1700 1,17 x107

1 ρU °° 2 A.C D 2 2

1 kg  m  FD = 998  8,0  1,5m².0,002784 2 m³  s FD = 133,4 N

10256 5,88 x106

δ ( x) = 11,34mm

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C D = 0,002784

10256 Re x

U∞L

m 8,0 1,5m s m² 1,02 x10− 6 s Re L = 1,17 x107

0,75m

1 kg  m   8,0  0,00263 2 m³  s ≅ 84 Pa

Re L =

U∞ x

1 ρU °° 2 C f ( x) 2

xc 0,064m = .100% = 4,25% > 0,1% ⇒ TURBULENTO COM LAMINAR ANTERIOR L 1,5m

δ ( x)

τ W = 998

m² .5 x10 5 s xc = m 8,0 s xc = 0,064m

0,0594

U∞

6    5,88 x10    C f ( x) = 0,00263

ν ν . Re c

δ ( x)

0,0594

(Re x ) 5

C f ( x) =

1,02 x10 −6

(a)

8 11,34mm δ * ( x) = 8 δ * ( x) = 1,42mm

xc L

Re X =

δ ( x)

δ * ( x) =

(b)

A = L.b A = 1,5m.1,0m A = 1,5m²

Re c =

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[ 25 ] Num escoamento sobre placa plana o cisalhamento na parede pode ser determinado até a posição x por um elemento flutuante de área pequena conectado a um strain-gage como ilustra a figura. Em x=2,0m, o elemento indica uma tensão de cisalhamento de 2,1Pa. Admitindo escoamento turbulento a partir do bordo de ataque, calcule: (d) A velocidade de corrente livre (m/s) (e) A espessura da camada limite (mm) no ponto onde se encontra o elemento. (f) A velocidade em (m/s) a 5mm acima do elemento.

δ ( x) 2m

Dados:

m² ν = 1,51x10− 5 s

x = 2m

ρ = 1,204 (a) τ W

kg m³

∂u ∂y

Obs.: Escoamento turbulento

= =

35,63

0,381

(Re x ) 5 1

0,381

(4,72 x10 ) 6

δ ( x) = 35,25mm

Determinar:

y = 5mm

τ W = 2,1Pa

m 2m s m² 1,51x10− 5 s Re x = 4,72 x106 Re x =

δ ( x)

Ar 200C: Massa especifica 1,204 Kg/m3 Viscosidade cinemática: 1,51x10-5m2/s

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δ ( x) = ?

(c)

U∞ = ? u ( x) = ?

u  y   = U ∞  δ ( x) 

m  5,0mm    s  35,25mm  m u ≅ 27,0 s

u = 35,63

y =0

1 ρU °° 2 C f ( x) 2 0,0594 C f ( x) = 1 (Re x ) 5

τW =

 U ∞ .x    ν 

1 2

τ W = ρU °° 2 0,0594

−0 , 2

   U .2,0m  1 kg 2 ∞   2,1Pa = 1,204 U °° 0,0594 2 m³  1,51x10− 5 m²    s  

−0 , 2

0, 2

2,1Pa = 0,00338

kg  m  1,8   U °° m³  s  1,8

2,1  m    0,00338  s  m U °° = 35,63  s 1,8

U °°

(b) Re x =

U∞ x

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[ 26 ] (a ) Considerando um escoamento laminar sobre uma placa dado pelo perfil senoidal:

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u π y  = sen  U∞ 2δ

(b) Re x =

Re x =

δ x

4,8

Ar 200C: Massa especifica 1,204 Kg/m3 Viscosidade cinemática: 1,51x10-5m2/s

L = 0,8m x = 0,4m

U ∞ = 2,0

m s

ν = 1,51x10− 5

m² s

1 ρU °° 2 C f ( x) 2 2

τW = ? τ W ( x) = ?

δ ( x)

u ( x) = ?

4,8 Re x

4,8 δ ( x) = 0,4m 5,3 x104 δ ( x) = 8,34mm

Obs.: Escoamento laminar

 πy  u = sen  U∞  2δ ( x)  πuU ∞ τW = 2δ ( x ) ∂u ∂y

C f ( x) = 0,002884

1 kg  m  2,0  0,002884 2 m³  s τ W = 0,00695Pa

(a)

τW = u

0,664 Re x

τ W = 1,204

Determinar:

kg m³

C f ( x) =

τW =

Obs. Apresentar nas principais equações as unidades no SI.

ρ = 1,204

2,0

Re x

Dados:

U∞ x

m 0,4m s m² 1,51x10− 5 s Re x = 5,3 x104

πµU ∞ Demonstre que a tensão de cisalhamento na parede é dada pela expressão: τ w = 2δ ( x) (b) Considerando (para este perfil de velocidades) a espessura da camada limite dada por:

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π 1 u ( x ) = U ∞ sen   2 2 m π 1 u ( x) = 2,0 sen  s  2 2 m u ( x) = 1,41 s

y =0

 πy  ∂u ∂ = sen  ∂y ∂y  2δ ( x)   πy  ∂u πU ∞  cos = ∂y 2δ ( x)  2δ ( x) 

τW =

 πy  πuU ∞  cos 2δ ( x)  2δ ( x)  y = 0

πuU ∞ cos(0 ) 2δ ( x) πµU ∞ τw = 2δ ( x)

τW =

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[ 28 ] Um túnel de vento vertical para prática de salto (pára-quedismo) possui um diâmetro 2,2 m e altura de 3,0 metros. A velocidade no túnel é igual a 65m/s. Considere que a pessoa nas condições de equilíbrio dentro do túnel flutua com as extremidades entendidas com o qual o coeficiente de arrasto é igual a 1,2. Determine a força de arrasto e potência despendida pelo sistema para manter a pessoa nas condições de equilíbrio dentro do túnel. Considere ar nas condições padrão. Ar a 200C ρ=1,2 kg/m3. ν=14,2x10-6 m2/s.

[ 27] Uma caixa de água esférica (lisa) de 15m de diâmetro é sustentada por uma estrutura metálica tubular de 2m de diâmetro e 40m de altura. No local a velocidade de rajada do vento máximo em 50 anos é igual a 40 m/s. Obs. O coeficiente de arrasto da estrutura tubular é CD=1,2. Determine: (a) A força de arrasto exercida pelo vento sobre o reservatório. (b) A força de arrasto dobre a estrutura tubular. (c) O momento exercido na base da estrutura tubular. Ar a 200C: Massa especifica: 1,2 kg/m3. Viscosidade cinemática: 14,2x10-6 m2/s. Obs.: Utilize Gráfico em anexo (Fig.1). Dados:

D = 15m DTUBULAR = 2m U ∞ = 40

Re =

FDRESERV = ?

ν = 14,2 x10− 6

h = 40m

(a)

Determinar:

kg m³ CDTUBULAR = 1,2

ρ = 1,2

m s

m² s

FD TUBO = ?

Dados:

M =?

D = 2,2m h = 3,0m

m 40 15m s Re = m² 14,2 x10− 6 s

U∞D

ν = 14,2 x10− 6

m s

U ∞ = 65

m² s

FD TUNEL = ? W& = ?

Re = 4,2 x107 ESTIMADA PARA PESSOA DE 1,8m DE ALTURA 0,6m DE LARGURA E 80 kg.

FDTUBO =

= 0,18 ⇒ GRÁFICO

1 ρU °° 2 A.C D 2

RESERV

FDRESERV

Determinar:

kg m³ CD = 1,2

ρ = 1,2

1 kg  m  FDTUBO = 1,2  65  (1,8m.0,6m ).1,2 2 m³  s  FDTUBO = 3285,36 N

1 2 = ρU °° A.CD 2

1 kg  m  π (15m ) FDRESERV = 1,2  40  .0,18 4 2 m³  s  2

(b) FDTUBULAR

FDRESERV = 30,53kN

W = m.g

W = 80kg .9,81

1 2 = ρU °° A.C D 2

W ≅ 785 N

m s²

1 kg  m  FDTUBULAR = 1,2  40  (2m.40m ).1,2 2 m³  s  FDTUBULAR = 92,16kN

VELOCIDADE DE EQUILÍBRIO

1 ρU °° 2 A.C D 2 1 kg 2 785 N = 1,2 U ∞ (1,8m.0,6m ).1,2 2 m³ m U ∞ = 32 s W& = FD .U ∞ m W& = 785 N .32 s W& = 25,12kW

W = FD =

D h  + FD TUBULAR . 2 2 40m 15 m   M = 30,53kN . 40m +  + 92,16kN . 2 2   M = 3293kN .m  

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Determinar:

kg ρ = 1000 m³

L = 1,0m b = 3,0m U ∞ = 2,0

Dados:

A = 5,8m² km m U ∞ = 120 = 33,34 h s

ν = 14,2 x10− 6

Re =

Determinar:

kg ρ = 1,2 m³ CD = 0,5

FD. = ?

ν = 1,02 x10 −6

m s m 1,0m s Re = m² 1,02 x10 −6 s 2,0

U∞L

Re x =

m² s

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FD . = ? m² s

δ ( x) = ?

Re = 1,96 x106

U ∞ xc

m x s 5 x10 = 1,02 x10 −6 xc = 0,255m 2,0

FD =

1 ρU °° 2 A.C D 2

xc 0,255m = .100% = 25,5% > 0,1% ⇒ TURBULENTO COM LAMINAR ANTERIOR L 1m

1 kg  m FD = 1,2  33,34  5,8m ².0,5 2 m³  s FD = 1934,1N [ 30] Um perfil aerodinâmico é submetido a um escoamento com velocidade de 15m/s. O perfil possui uma corda de 50cm e um comprimento de 12,0m. Numa posição angular a força de arrasto é igual a 267,3N. (a) Determine o ângulo de ataque nesta posição. (b) Determine o ângulo de ataque que permita manter a mesma força de sustentação reduzindo ρ=1,2 kg/m3. ν=14,2x10-6 m2/s. drasticamente a força de arrasto. Obs: Utilize Gráfico em anexo. Ar a 200C Dados:

FD = 267,3 N

L = 12m

ρ = 1,2

m s Corda = 0,5m

ν = 14,2 x10 −6

U ∞ = 15

(a)

FD =

CD =

0,074 1700 − 1 Re Re 5

CD =

(1,96 x10 )

0,074

− 5

1700 1,96 x106

C D = 0,0032

Determinar:

kg m³ m² s

(a) FD =

α. = ? α ( FL =) = ?

1 ρU °° 2 A.CD 2 2

1 kg  m FD = 1000  2,0  (3,0m1,0m ).0,0032 2 m³  s FD = 19,2 N

1 ρU °° 2 A.CD 2

(b) δ ( x) = 2

kg  m  1 267,3N = 1,2 15  (12m.0,5m ).C D 2 m³  s  CD = 0,33 ⇒ α = 23°

δ ( x) =

0,381

(Re) 15

−

0,381

(1,96 x10 ) δ ( x) = 15,78mm 6

10256 Re −

10256 1,96 x106

(b) PELO GRÁFICO DO COEFICINETE DE SUSTENTAÇÃO PARA MANTER A MESMO FORÇA DE SUSTENTAÇÃO E REDUZIR A FORÇA DE ARRASTO O α = 10° Prof. Jorge Villar Alé

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[ 32 ] A Ponte Verrazano-Narrows é uma ponte suspensa que conecta a Staten Island ao popular bairro do Brooklyn na península de Long Island em Nova Iorque. Como parte das comemorações da independência de USA em 1976 um grupo empreendedor pendurou uma gigantesca bandeira norte-americana com 59 m de altura e 112 m de largura nos cabos de suspensão da ponte. A bandeira foi arrancada da sua amarração quando o vento atingiu 16 km/h. Estime a força do vento atuante sobre a bandeira a esta velocidade. Utilize de forma aproximada o coeficiente de arrasto de uma placa plana quadrada conforme figura (CD =1,2). Ar a 200C. Obs. ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,02 x 10 -5 m2/s. Dados:

C D = 1,2

L = 59m

ρ = 1,2

b = 112m km m U ∞ = 16 = 4,45 h s

ν = 1,02 x10 −5

FD =

W = 120kg.9,81

W = 1177,2 N W = FD =

kg m³

FD . = ? m² s

Obs. A barra cilíndrica possui um coeficiente de arrasto CD=1,2. Para a esfera determine o coef. de arrasto conforme tabela abaixo. Ar a 200C. Obs. ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,02 x 10 -5 m2/s.

Re ≤ 1

24 CD = Re

Ar a 200C. Obs. ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,02 x 10 -5 m2/s. Dados:

C D = 1,42

m = 120kg

ρ = 1,2

Determinar:

kg m³

ν = 1,02 x10 −5

1 < Re ≤ 400

24 CD = (Re)0,646

400 <Re ≤ 3x105

3x105 < Re ≤ 2x106

C D = 0,000366(Re )

C D = 0,5

0 , 4275

Dados:

C D = 1,2

Determinar:

D = 74mm d = 7 mm L = 560mm rad ω = 42 s

kg ρ = 1,2 m³

W&. = ?

ν = 1,02 x10 −5

Re > 2x106

C D = 0,18

m² s

L+D resfera =    2  L rbarra =   4 L+D U esfera = ω    2  m rad  0,560 + 0,074  U esfera = 42 m = 13,3  s 2 s  

DMIN . = ? m² s

= −W + FD = 0

W = FD W = m.g

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 π .D ²  .1,42   4 

∑F

1 kg  m FD = 1,2  4,45  (59m112m ).1,2 2 m³  s FD = 94,22kN

m s

1 ρU °° 2 A.CD 2

kg  m   π .D ²  1 1177,2 N = 1,2  6,0   .1,42 s  4  2 m³  1177,2 D² = m² 24,089 D = 7,0m

1 ρU °° 2 A.C D 2

U ∞ = 6,0

m s²

kg  m 1 1177,2 N = 1,2  6,0  s 2 m³ 

Determinar:

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Re =

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U∞D

m 0,074m s m² 1,02 x10 −5 s Re = 9,65 x10 4 ⇒ C D = 0,5 Re =

13,3

FDesfera =

Cada uma das 4 asas do avião tinha 12,3m de envergadura e 23,7m2 de área plana. Determinar o coeficiente de arrasto e a força de arrasto total considerando as asas como sendo placas planas. Considere ar nas condições padrão com velocidade de 14m/s. ρ=1,225 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s.

1 ρU °° 2 A.C D 2

kg  m 1 FDesfera = 1,2 13,3  s 2 m³ 

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 π (0,074)2   .0,5   4  

Dados:

Determinar:

b = 12,3m

FD esfera = 0,228 N

ρ = 1,225

A = 23,7 m²

ν = 1,46 x10 −5

m U ∞ = 14 s

 L U barra = ω   4 m rad  0,560  U barra = 42  m = 5,88 s s  4  1 2 FDbarra = ρU °° A.C D 2

kg m³

CD = ? m² s

FDT . = ?

A = b.c 23,7 m² c= 12,3m c = 1,93m

1 kg  m FDbarra = 1,2  5,88  (0,007m0,280).1,2 2 m³  s FDbarra = 0,0488 N

Re =

U ∞c

m 1,93m s Re = m² 1,46 x10 −5 s Re = 1,85 x10 6 14

Torque = 2 FDesfera .resfera + 2 FDbarra .rbarra Torque = 2.(0,228 N ).0,317m + 2.(0,0488 N ).0,14m Torque = 0,1582 Nm W& = Torque.ω

Re =

rad W& = 0,1582 Nm.42 s W& = 6,65W

U ∞ xc

5 x105 =

m xc s

1,46 x10 −5

xc = 0,52m

m² s

xc 0,52m = .100% = 4,23% > 0,1% ⇒ TURBULENTO COM LAMINAR ANTERIOR L 12,3m

CD = Prof. Jorge Villar Alé

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0,074 1700 − 1 Re Re 5

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CD =

0,074

(1,85 X 10 ) 6

− 5

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1700 1,85 X 10 6

C D = 0,0032 FD =

1 ρU °° 2 A.C D 2

Considere o coeficiente de arrasto da estrutura côncava igual a 1,2 e na convexa 2,3. A velocidade máxima esperada sobre a estrutura é igual a 30m/s. Para placa plana utilize um coeficiente de arrasto igual a 1,2. Utilize ar com ρ=1,2 kg/m3

1 kg  m  FD = 1,225 14  23,7m².0,0032 2 m³  s  FD = 9,1N FDT = 9,1N .4 FDT = 36,4 N (um lado) FDT = 2.36,4 N FDT = 72,8 N (dois lados)

Dados:

C Dplaca = 1,2

L = 2m b = 2m D = 20cm m U ∞ = 30 s

C Dconv = 2,3

FD placa =

C Dconc = 1,2

ρ = 1,2

FDconc =

1 ρU °° 2 A.C Dconc 2

FDconv =

1 ρU °° 2 A.C Dconv 2

1 kg  m  FDplaca = 1,2  30  (2m.2m ).1,2 2 m³  s 

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1  kg  m  1,2  30  (0,2m.9m ).2,3 2  m³  s 

FDconv = 2235,6 N

h 2 9m 2

h 2

M T = 2592 N (10m ) + 2235,6 N

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FD conc = 1166,4 N

FDconv =

M T = 31,17kN

M T = 36kN

FDplaca = 2592 N

1 kg  m  FD conc = 1,2  30  (0,2m.9m ).1,2 2 m³  s 

M T = 2592 N (10m ) + 1166,4 N

M T = FDplaca (H ) + FDconv

kg m³

Determinar: M T = ?

1 ρU °° 2 A.C Dplaca 2

M T = FDplaca (H ) + FDconc

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9m 2

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Dados:

c = 2m

L = 20m

km m V = 138 ≅ 38,33 h s km m U ∞ sup erior = 160 ≅ 44,45 h s km m U ∞ inf erior = 130 ≅ 36,11 h s

ρ = 1,2

P∞ + ρ

kg m³

FL = ?

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CL = ?

U U∞ = Psup erior + ρ ∞ sup erior ⇒ Psup erior = P 2 2

U U∞ = Pinf erior + ρ ∞ inf erior ⇒ Pinf erior = P 2 2 2 2 U ∞ sup erior U = Pinf erior + ρ ∞ inf erior Psup erior + ρ 2 2 P∞ + ρ

inf erior

∆P = ρ

− Psup erior ) = ρ − Psup erior ) = ρ

2 ∞ sup erior

U ∞ sup erior

−ρ

2 2 ∞ sup erior

− U ∞ inf erior

)

U ∞ inf erior 2

− U ∞ inf erior

(a) Sistema de medição em túnel de vento (b) Resultado do coeficiente de pressão real e teórico.

Dados:

ν = 1,51x10 −6

hv = 14mm

U ∞ = 15,1

)

m s

ρ = 1,204

kg m³

hágua = ? U =?

P − P∞ ⇒ C P ≅ −0,5 NO GRÁFICO PARA CILINDRO COM ESCOAMENTO REAL 1 ρU ∞ 2 2

CP =

2 2     44,45 m  −  36,11 m    s  s   kg   ∆P = 1,2 m³ 2 N ∆P = 403,12 m²

∆P =

1 ρU ∞ 2C P 2 2

1 kg  m ∆P = 1,204 15,1  (− 0,5) 2 m³  s ∆P = −68,63Pa

FL = ∆P. A N .(2m.20m ) m² FL = 16125N FL = 403,12

(a) hagua =

∆P

ρ agua .g

− 68,63Pa .1000mm kg m 1000 .9,81 m³ s² ≅ 7,0mmH 2O

hagua =

1 2 FL = ρU °° A.C L 2

hagua

kg  m 1 16125 N = 1,2  38,33  (2m.20m ).C L s 2 m³  C L = 0,46 Prof. Jorge Villar Alé

Determinar:

m² s

(b) PARA O CASO REAL Lista de Exercícios 2010

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U  C P = 1 −   U∞ 

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U   = 1 − C P  U∞  2

U    = 1 − (− 0,5) U∞  2

   U    = 1,5  15,1 m    s   m U = 1,5.15,1 s m U = 18,5 s Dados:

PARA O CASO TEÓRICO

C P = −1,4

U   C P = 1 −  U∞ 

Determinar:

m² ν = 1,51x10 s kg ρ = 1,204 m³

h = 50m

−5

FD = 90kN

km m U ∞ = 145 ≅ 40,28 h s

U   = 1 − C P  U∞ 

D=? FD = ?

CONSIDERAR ESCOAMENTO TURBULENTO Re > 10 4 ⇒ C D = 2,1

U    = 1 − (− 1,4 ) U∞ 

FD =

   U   = 2,4   15,1 m    s   m U = 23,4 s

1 ρU °° 2 A.C D 2 2

1 kg  m 90000 N = 1,204  40,28  (50m.D ).2,1 2 m³  s D = 0,88m

Re =

U∞D

m 0,88m s Re = m² 1,51x10 −5 s Re = 2,3x10 6 ⇒ C D ≅ 0,5 40,28

FD =

1 ρU °° 2 A.C D 2 2

1 kg  m FD = 1,204  40,28  (50m0,88m ).0,5 2 m³  s FD = 21488 N Prof. Jorge Villar Alé

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D = 1mm L = b = 1cm A = 1,0m² m U∞ = 3 s (a) FD PARA 1m² DE FIO Re =

[ 41 ] Durante um experimento com alto número de Reynolds a força de arrasto total agindo sobre um corpo esférico de diâmetro D=12 cm submetido a um escoamento de ar a 1 atm e 5ºC é medida como 5,2N. O arrasto de pressão agindo sobre o corpo é calculado integrando-se a distribuição de pressão (medida usando-se sensores de pressão através da superfície) resultando em 4,9N. Determine o coeficiente de arrasto de atrito da esfera.

Determinar:

Dados:

ρ = 998

kg m³

ν = 1,02 x10 −6

P = 1atm

Dados:

A2 = 37m²

m² s

ρ = 1,269

D = 12cm FDP = 4,9 N

kg m³

FDf = ?

FDT = FDP + FDf FDf = FDT − FDP FDf = 5,2 N − 4,9 N

U∞D

FDf = 0,3 N

m 0,001m Re = s m² 1,02 x10 −6 s Re = 2941,2 ⇒ LAMINAR ⇒ GRÁFICO = C D = 1,1 3

UTILIZANDO A TABELA 11-2 (CIMBALA) C D = 0,2

FDT =

1 ρU °° 2 A.C D 2

1 kg 2  (π .0,12m ) 5,2 N = 1,269 U ∞  2 4 m³ 

D L 2 0,5mm 10mm AREA = 4 1000 1000 m² AREA = 0,00002 cm² m² AREA = 0,00002 .1m² cm² AREA = 0,2m² AREA = 4

FD =

Determinar:

T = 5°C

FDT = 5,2 N

FD = ? W& = ?

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U ∞ = 60,2

FDf =

m s

1 ρU °° 2 A.C D 2

kg  m 1 0,3 N = 1,269  60,2  m,³  s 2 C D = 0,0115

1 ρU °° 2 A.C D 2

 .0,2  

 (π .0,12m )2   .C D   4  

1 kg  m  FD = 998  3  0,2m².1,1 2 m³  s  FD = 988 N PARA 1m² DE REDE PARA 37m² DE REDE

FD = 36556 N

W& = FD .U ∞ m W& = 36556 N .3 s W& ≅ 110kW

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[ 42 ] Uma ciclista de 80 kg está andando com sua bicicleta de 15 kg descendo em uma estrada com inclinação de 12° sem pedalar nem brecar. A ciclista tem uma área frontal de 0,45 m² e um coeficiente de arrasto de 1,1 com o corpo na posição vertical, e uma área frontal de 0,4 m² e um coeficiente de arrasto de 0,9 na posição de corrida. Desprezando a resistência de rodagem e o atrito nos rolamento, determine a velocidade terminal da ciclista para ambas as posições. Considere a densidade do as como 1,25 kg/m³.

Av = 0,45m²

Dados:

Ac = 0,4m²

mc = 80kg

C D v = 1,1

mb = 15kg

Determinar:

ρ = 1,25

Wc = 785 N

Wb = 147,15 N

ν agua = 1,02 x10 −6

FD = ρ

U ∞2 AC D = PV AC D 2

PV = ρ

U ∞2 2

Como ReL < ReC regime laminar

1 ρU °° 2 A.C D 2 2 1 kg 193,8 N = 1,25 U ∞ 0,45m².1,1 2 m³ km U ∞ = 90,1 h

xcr = Re xcr

m² s

FD = ?

δ ( x) = ? δ * ( x) = ? θ =?

kg m³ m² ν ar = 1,46 x10 −6 s kg ρ ar = 1,23 m³

FD =

Determinar:

ρ agura = 1000

m s

ρ=1,23 kg/m3 ν=1,46x10-5 m2/s U2 (2,0)2 = 2,46 Pa PV = ρ ∞ = 1,23x 2 2 U∞L 2,0 x1,0 Re L = = = 1,37 x10 5 v 1,46 x10 −5

m s²

FD = WT senα FD = 932,15 Nsen12° FD = 193,8 N

Água ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s

U ∞2 (2,0)2 = 2,0kPa = 1000 x 2 2 U∞L 2,0 x1,0 Re L = = = 1,96 x10 6 v 1,02 x10 −6 PV = ρ

Como ReL > ReC turbulento

1,46 x10 −5 v 1,02 x10 −6 v = 5,0 x10 5 x = 3,65mxcr = Re xcr = 5,0 x10 5 x = 255mm 2,0 U∞ 2,0 U∞

muito maior que L portanto toda a placa esta em como xcr < L: escoamento laminar e turbulento na mesma placa. regime laminar. para 5x105 < Re L < 107

CD =

1,328 Re L 5x

δ ( x) =

1 ρU °° 2 A.C D 2 2 1 kg 193,8 N = 1,25 U ∞ 0,4m².0,9 2 m³ km U ∞ = 105,65 h FD =

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L = 1,0m

m s²

Wb = mb .g Wb = 15kg.9,81

A = 3m.1m = 3m²

kg m³

W = m.g Wc = mc .g Wc = 80kg.9,81

Dados:

U ∞ = 2,0

C DC = 0,9

α = 12°

[ 43 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=3,0m esta imersa paralelamente a uma corrente de velocidade de 2,0m/s. Determine (a) Arrasto sobre um lado da placa (b) Espessuras δ(x), δ*(x) θ(x) no bordo de fuga da placa para: ar com ρ=1,23 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s e água com ρ=1000 kg/m3 e ν=1,02x10-6 m2/s

b = 3,0m

U∞ = ?

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Re x

= =

1,328 1,37 x10 5 5 x1,0 1,37 x10 5

≅ 0,0036 ≅ 13,5mm

δ * ( x) = 0,346δ ( x) = 0,346 x13,5 = 4,67mm 1 7

θ ( x ) = δ ( x) =

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13,5 = 1,93mm 7

CD =

0,455

(1,96 x10 )

6 0, 2

−

1700 = 0,0032 1,96 x10 6

δ ( x) = 0,381 Re −x 1 / 5 x = 0,381(1,96 x10 6 )x

−1 / 5

δ ( x)

x1,0 = 21mm

21 = 2,63mm 8 7 7 θ ( x ) = δ ( x) = x 21 = 2,04mm 72 72

δ * ( x) =

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Escoamentos Viscosos

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[ 44 ] Uma hidrofólio de L=0,37m e largura de b=1,83m esta imersa paralelamente a uma corrente de água a 12,2m/s com ρ=1025 kg/m3 e ν=1,02x10-6 m2/s. (e) Espessura da C.L. no final da placa. (f) Forca de atrito considerando escoamento turbulento parede lisa. (g) Forca de atrito considerando turbulento c/ laminar anterior (h) Força de atrito considerando escoamento turbulento e rugoso (ε=0,12mm) Dados:

ν = 1,02 x10 −6

L = 0,37m b = 1,83m U ∞ = 12,2

m² s

kg m³ ε = 0,12mm

ρ = 1025

m s

)

0, 2

−

1700 = 0,00309 4,4 x10 6

FD T = 2 x76,28 x1000 x0,6771x0,00309 = 319,2 N (d) Força de atrito considerando escoamento turbulento e rugoso (εε=0,12mm)

Determinar:

δ ( x) = ? FD = ?

  L  C D = 1,89 + 1,62 log   ε  

−2 , 65

  370  = 1,89 + 1,62 log   0,12  

−2 , 65

= 0,00644

FD T = 2 x76,28 x1000 x0,6771x0,00644 = 665 N [ 45 ] Determinar a força de arrasto de uma asa de avião (Wright Flyer) com 12,3m de envergadura e 23,7m2 de área plana. Considere ar nas condições padrão com velocidade de 14m/s. ρ=1,225 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s.

(a) Espessura da C.L. no final da placa.

Re L =

(

C D = 0,074 x 4,4 x10 6

Escoamentos Viscosos

U ∞ L 12,2 x0,37 = = 4,4 x10 6 TURBULENTO. v 1,02 x10 −6

Dados:

ν = 1,46 x10−5

L = 1,93m

kg m³ A = 23,7 m²

ρ = 1,225

b = 12,3m

v 1,02 x10 −6 = 5,0 x10 5 x ≅ 42mm xcr = Re xcr U∞ 12,2

m U ∞ = 14 s

δ ( x) = 0,381 Re −x 1 / 5 x = 0,381(4,4 x10 6 )x x0,37 = 6,6mm

m² s

Determinar:

FD = ?

−0 , 2

Re L =

(b) Forca de atrito considerando escoamento turbulento parede lisa

FD = ρ

U ∞2 AC D = PV AC D 2

U∞L 14 x1,93 = = 1,8 x10 6 turbulento. v 1,46 x10 −5

x cr = Re xcr

Tratando-se de um hidrofólio imerso no fluido.

FDT = 2 xFD

v 1,5 x10 −5 = 5,0 x10 5 x ≅ 536mm U∞ 14

Escoamento turbulento com laminar anterior. A=0,37x1,83=0,6771m2 Uoo=12,2m/s.

C D = 0,074 Re −L0, 2 −

12.2 U2 PV = ρ ∞ = 1205 x = 76,28kPa 2 2

C D = 0,074 Re −L0, 2

(

C D = 0,074 1,8 x10 6

para 5x10 5 < Re L < 10 7

C D = 0,074 x 4,4 x10

)

6 0, 2

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−0 , 2

−

para 5x10 5 < Re L < 10 7 1700

(1,8x10 ) = 0,00321 6

FD = ρ

14 U ∞2 AC D = 1,225 x 23,7 x0,00321 = 9,13 N 2 2

Tratando-se de um bi-plano

( c )Forca de atrito considerando turbulento c/ laminar anterior

1700 Re L

)

= 0,0035

FD T = 2 x76,28 x1000 x0,6771x0,0035 = 362,0 N

C D = 0,074 Re −L0, 2 −

1700 Re L

FDT = 4 FD = 4 x9,13 N = 36,53N

para 5x10 5 < Re L < 10 7 Lista de Exercícios 2010

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[ 46 ] Considere uma placa plana de 30cm de comprimento submetida a uma velocidade de 0,3 m/s. Determinar a espessura da camada limite no bordo de fuga para (a) Para o ar ρ=1,23 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s e (b) Para água com ρ=1000 kg/m3 e ν=1,02x10-6 m2/s Ar

Água

U∞L 0,3x 0,3 = = 6164 v 1,46 x10 −5 5L 5 x0,3 δ ( L) = = ≅ 19,1mm Re L 6164

U∞L 0,3x 0,3 = = 8,8 x10 4 v 1,02 x10 −6 5L 5 x0,3 δ ( L) = = ≅ 5,0mm Re L 8,8 x10 4

Re L =

[ 48 ] Numa tubulação de 97 mm de diâmetro escoa água com uma vazão de 18 m3/h ar a 400C. A variação de pressão num trecho de 30 m de comprimento e igual a 1255 Pa. Considerando tubulação lisa determinar: (a) Velocidade na tubulação numa distância media entre a parede e o centro do tubo. (b) A distancia a partir da parede em que a velocidade e igual a velocidade média da tubulação.

Re L =

(c) Considerando os limites das diferentes camadas determine a espessura da subcamada laminar, da camada de transição e da camada turbulenta. Propriedades da água a 400C

ρ = 992kg / m 3 [ 47 ] Uma placa plana fina longa e colocada paralelamente a uma corrente de água de 6,1m/s a 200. A que distancia do bordo de ataque a espessura da camada limite será de 25 mm. Considere a viscosidade cinemática da água ν=1,02x10-6 m2/s

ν = 1,02 x10 −6

T = 20°C U ∞ = 6,1

δ ( x) = 25mm

m s

m² s

µ = 6,51x10 −4 Pa.s T = 40°C kg ρ = 992 m³ µ = 6,51x10− 4 Pa.s P = 1255Pa

Dados:

D = 97mm m³ Q = 18 h L = 30m

1. Considerando escoamento laminar achamos um valor de x muito alto x=150m 2. Considerando escoamento turbulento Dados:

Escoamentos Viscosos

Determinar:

uR = ? 2

y=? δ ( x) = ?

x1 = ?

(a) Velocidade na tubulação numa distância média entre a parede e o centro do tubo.

x2 = ?

Considerando escoamento turbulento, tubulação lisa:

u + = 2,5 ln y + + 5,5 x −4 =

v U∞

 0,381  1,02 x10 −6  0,381   =    = 0,1375 6,1  0,025   δ ( x) 

Onde:

y+ =

1 = 0,1375 x4

 1  x=   0,1375 

yu * v

u+ =

u u*

u* =

τW ρ

A variação de pressão pode ser relacionada com a tensão de cisalhamento na parede por: 1/ 4

= 1,64m

τW = u* =

D 0,077 ∆P = 1255 = 1,0145 N / m 2 4L 4 x30

1,0145 = 0,032m / s 992

Distância média entre a parede e o centro do tubo. y = D / 4 = 97 / 4 = 24,25mm = 0,02425m

ν = 6,56 x10 −7 m 2 / s y+ =

Ru * 0,002425x0,032 = = 1180m v 6,56 x10 −7

u R / 2 = 0,032(2,5 ln (1180) + 5,5) Prof. Jorge Villar Alé

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u R / 2 = 0,032(2,5 x7,073 + 5,5)

y+ =

m = 0,742  s

uR / 2

u+ =

u u*

u* =

τW ρ

u * = 0,032m / s

(b) A distância a partir da parede em que a velocidade e igual a velocidade média da tubulação. Velocidade média

Vmedia =

yu * v

Q (18 / 3600) = 0,677m / s = A  πx0,097 2    4  

y≤

5v 5 x6,56 x10 −7 = = 0,103mm 0,032 u*

y≤

5v 5 x6,56 x10 −7 = = 0,103mm 0,032 u*

Considerando escoamento turbulento, tubulação lisa:

Desta forma a espessura da subcamada viscosa e igual a:

u + = 2,5 ln y + + 5,5

δ scv = 0,103mm

Devemos achar y em que u (r ) = Vmedia

A espessura da Camada de Transição.

u * = 0,032m / s

 yu *   ≤ 30 5 <   v 

u+ =

Vmedia 0,677 = = 21,15 0,032 u*

5< y≤

u + = 2,5 ln y + + 5,5

30v 30 x6,56 x10 −7 = = 0,615mm 0,032 u*

ln y + = u + − 5,5 = 21,15 − 5,5 ln y + =

0,103mm < δ tra ≤ 0,615mm

15,65 = 6,26 2,5

y + = 523,22 y+ =

A espessura na Camada de Turbulenta. A espessura do núcleo turbulento vai desde o limite da camada de transição ate o centro da tubulação.

yu * v

0,615mm < δ tra ≤ 70mm

yv 523,32 x6,56 x10 −7 = = 0,01073m 0,032 u*

y = 10,73mm ou numa posição radial:

r = R − y = 48,5 − 10,73 = 37,8mm A espessura da subcamada laminar.

u + = y + para y + ≤ 5 Prof. Jorge Villar Alé

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