MATEMÁTICAS 9 PENSAMIENTO ESPACIAL En ésta unidad el estudiante conocerá los diferentes métodos de demostración, como son: la intuición, la inducción y la deducción. Además, aprenderá sobre las circunferencias, los círculos y los poliedros regulares. Clara Mueses 14/05/2012
CONTENIDO MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN ............................................................................................ 2 Intuición, inducción y deducción ...................................................................................... 2 CIRCUNFERENCIAS Y CIRCULOS ............................................................................................ 4 Posiciones relativas de un punto y una circunferencia ...................................................... 5 Cuerdas ............................................................................................................................ 5 POLIEDROS REGULARES ....................................................................................................... 7 Desarrollos planos y construcción de poliedros regulares ............................................... 11 Relaciones entre aristas, caras y vértices de un poliedro regular .................................... 11
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MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN Intuición, inducción y deducción Tracemos un rectángulo con sus correspondientes diagonales: A
B
D
C
Responde 1. ¿Es posible concluir que dichas diagonales son iguales? 2. ¿Qué razones argumentarían dicha conclusión? 3. ¿Podría generalizarse esta propiedad para cualquier rectángulo? ¿Por qué? Con seguridad, una primera mirada al problema nos haría contestar que las diagonales sí son iguales. Posiblemente, la Única razón que justificaría esta afirmación sería de tipo intuitivo, es decir como resultado de nuestra percepción sobre la representación del problema. Entre tanto, podríamos experimentar con varios rectangulos de diferentes tamaños, midiendo y comparando sus diagonales, y concluir así que esta propiedad se cumple en los demás casos. Este sería un ejemplo de lo que llamaríamos razonamiento inductivo, que consiste, precisamente, en realizar generalizaciones a partir de casos particulares. Tanto la intuición como la inducción son herramientas clave en el descubrimiento de leyes y propiedades matemáticas y científicas. Sin embargo, la necesidad de realizar comprobaciones de leyes, sin recurrir a argumentos intuitivos o experimentales, llevaron al ser humano a la necesidad de utilizar otro tipo de razonamiento, llamado deductivo, que consiste en formular ciertas afirmaciones o teoremas acerca de los conceptos (por ejemplo, de la geometría) que están bajo su estudio, a través de ciertos principios lógicos. En este proceso de razonamiento es necesario partir de:
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1. Un conjunto de términos o conceptos indefinibles, necesarios para poder definir otros, evitando así una regresión infinita, en búsqueda de conceptos cada vez más simples. 2. Unos conceptos básicos definidos con anterioridad. 3. Un cuerpo de axiomas y postulados, los cuales son proposiciones que han sido elegidas de tal manera que puedan ser aceptadas por cualquier persona, dada su clara e inmediata confirmación empírica. Los axiomas son afirmaciones generales aceptadas en las diferentes ramas del saber y los postulados son más específicos a una determinada área. En la geometría euclidiana, por ejemplo, se aceptan los siguientes postulados a partir de los cuales se construye toda su estructura axiomática y deductiva. 1. Es posible trazar una línea recta que vaya de un punto dado a otro, también dado. 2. Todo segmento de recta siempre se puede extender. 3. Se puede trazar una circunferencia con cualquier centro y cualquier radio. 4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. 5. Si l es una recta y P cualquier punto que no está en l, existe exactamente una recta m que pasa por P y que nunca corta a l. Pero antes es necesario listar un Conjunto de términos indefinibles (punto, conjunto, etc.) y de nociones básicas (línea, plano, ángulo, etc.). Se introducen, además, las siguientes proposiciones con el nombre de nociones comunes o axiomas: 1. 2. 3. 4. 5.
Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. Si a iguales sumamos lo mismo, obtendremos iguales. Si a iguales restamos lo mismo, obtendremos iguales. Cosas que coinciden con otras son iguales entre sí. El todo es mayor que cualquiera de sus partes.
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CIRCUNFERENCIAS Y CIRCULOS A través de la historia, los arquitectos y las arquitectas han concebido obras en las que se destacan el uso de curvas, muchas de ellas verdaderos monumentos arquitectónicos que admiramos por su belleza. Bagdad, Rusia, India, Roma, entre otros, se caracterizaron por emplear arcos y figuras circulares en sus construcciones, muchas de las cuales aún se conservan como testimonio histórico. Pero el uso de los círculos y arcos tiene además de razones estéticas razones funcionales. Las ruedas de carruseles y ferias, por ejemplo, deben ser circulares, lo mismo que las estructuras de los domos que obedecen a la necesidad de abarcar grandes espacios. La gente y los vehículos dan vueltas en curvas, no en ángulos rectos, y estas vueltas determinan los muros arquitectónicos de formas circulares. La circunferencia es la más simple de las curvas y la más fácil de dibujar en un papel o en el piso. Antes de estudiar las propiedades más importantes de las circunferencias y los círculos, definamos algunos términos básicos: Circunferencia: Conjunto de puntos en el plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Círculo: Porción de plano limitado por una circunferencia. Radio: Segmento cuyos extremos son el centro de la circunferencia y uno de sus puntos. Diámetro: Segmento cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia y además contiene el centro de la misma. En la figura, la curva trazada es una circunferencia de centro O. Los segmentos iguales , , , ... son radios de Ia circunferencia y el segmento es un diámetro. Observa que la longitud del diámetro es el doble de la del radio. P
R
O
Q
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Posiciones relativas de un punto y una circunferencia Al trazar un punto cualquiera y una circunferencia en un mismo plano, ¿cuántas posiciones puede ocupar el punto con respecto a la circunferencia? Caso 1
Caso 2
P
Caso 3 P
P O
r
r
r O
O
En la figura anterior, se observa que el punto P puede tener una de las siguientes posiciones respecto a la circunferencia cuyo radio mide r: 1. Que Sea exterior a ella, es decir, > r. 2. Que Sea interior a ella, es decir, < r. 3. Que Sea un punto de la circunferencia, o sea,
= r.
Cuerdas Otros segmentos importantes son los que unen dos puntos cualquiera de la circunferencia. A estos se les llama cuerdas. Las cuerdas que pasan por el centro y son cuerdas, además de la circunferencia son los mismos diámetros. , es un diámetro. S M
P
O
T N
Q Los extremos de una cuerda determinan dos porciones de la circunferencia o arcos subtendidos por la cuerda. Para poder referirnos a ellos, situamos puntos auxiliares en cada arco. Por ejemplo, en la circunferencia de la figura, la cuerda y AQB, los cuales denotamos así: y .
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determina los arcos APB
P
B
A
Q A cada uno de los dos arcos subtendidos por uno de los diámetros se les llama semicircunferencia. Cada diámetro divide al círculo en dos partes llamadas semicírculos.
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POLIEDROS REGULARES Uno de los grandes logros de los matemáticos de la antigüedad, fue el descubrimiento de que existen exactamente cinco formas convexas tridimensionales cuyas superficies se componen de polígonos regulares, con el mismo número de polígonos que se cortan en cada vértice. Estas formas, conocidas como, poliedros regulares, se ilustran en la siguiente figura:
Tetraedro
Octoedro
Hexaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Este descubrimiento motivó a tal punto la imaginación de los antiguos griegos, que Platón hizo referencia a estos cinco cuerpos geométricos regulares y a su supuesta relación con elementos de la naturaleza: el cubo se adapta a la tierra, el octoedro al aire, el tetraedro al fuego y el icosaedro al agua, en tanto que el Creador empleó el quinto, el dodecaedro, para el propio Universo. Pero, ¿por qué solamente pueden existir cinco poliedros regulares? Intentemos resolver este interrogante de una manera muy sencilla. En primer lugar, un ángulo, poliedro se define como la figura formada por tres o más planos que concurren en un punto llamado vértice. Las intersecciones de cada par de planos se llaman aristas, y cada porción de plano limitado por dos aristas se llama cara.
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Vértice
Cara Arista
Un ángulo poliedro puede ser convexo o cóncavo, según si la sección determinada por un plano que corta todas las aristas es un polígono convexo o cóncavo.
Ángulo poliedro convexo
Ángulo poliedro cóncavo
Se trata de construir un poliedro regular, es decir, una figura tridimensional de ángulos convexos iguales. Las caras de esta figura son polígonos regulares congruentes, de tal manera que debemos partir del hecho de que para formar uno de los ángulos es necesario tener por lo menos tres caras. Además, al poner estás caras en un plano y alrededor de un punto, de tal forma que al doblarlas se pueda formar un vértice del poliedro, los ángulos interiores alrededor del punto deben sumar menos de 360°.
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A
No se puede formar ángulo poliedro
Se puede formar ángulo poliedro
Empecemos entonces a formar el poliedro con el polígono regular más sencillo: el triángulo equilátero. AI poner varios triángulos equiláteros congruentes alrededor de un punto, de tal manera que la suma de los ángulos sea menor a 360°, se obtienen las siguientes posibilidades:
A
60° x 3 = 180° • • •
A
60° x 4 = 240°
A
60° x 5 = 300°
Con la primera se puede Construir el tetraedro, que tiene en total cuatro caras y cuatro vértices, cada uno de ellos formado por tres triángulos. Con la segunda se puede Construir el octaedro, que tiene en total ocho caras y seis vértices, cada uno de ellos formado por cuatro triángulos. Con la tercera y última se puede Construir el icosaedro, que tiene veinte caras y doce vértices, cada uno de ellos formado por cinco triángulos.
Los polígonos regulares de la siguiente figura son cuadrados. Observa que solamente se pueden ubicar tres cuadrados alrededor de un punto A en el plano, ya que cuatro completarían un ángulo de 360° y sería imposible formar un ángulo tridimensional.
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A
90° x 3 = 270° De esta forma se puede construir el hexaedro o cubo, que tiene seis caras y ocho vértices. Como los ángulos interiores de un pentágono regular miden 108°, entonces es posible poner tres pentágonos congruentes alrededor de un punto en el plano, como se representa en la figura.
A
108° x 3 = 324° Así, se puede construir el dodecaedro que tiene doce caras y veinte vértices. No se pueden poner más de tres pentágonos, pues la suma de los ángulos sería mayor a 360°. Tampoco es posible formar un ángulo poliedro con hexágonos regulares congruentes, pues al colocar tres, la suma sería exactamente 36O°, ya que cada ángulo interno es de 120°. De esta manera queda explicado por qué no es posible construir sino cinco poliedros regulares.
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Desarrollos planos y construcción de poliedros regulares Para construir un poliedro regular es necesario realizar primero su desarrollo plano, es decir la superficie que queda al desbaratar el poliedro sin que queden caras separadas. A continuación se muestran los desarrollos planos de los cinco poliedros, los cuales pueden reproducirse a escala y ser construidos.
Relaciones entre aristas, caras y vértices de un poliedro regular Sea A el número de aristas, V el número de vértices, C el número de caras y n el número de aristas por cara de un poliedro regular. Como cada arista es la arista de dos caras consecutivas se tiene la siguiente relación: •
= 2 ,
11
=
2