El error como fuente de conocimiento del examen ENLACE del nivel medio superior by Jorge Sáenz Zamarrón

EL ERROR COMO FUENTE DE COMPRENSIÓN. ANÁLISIS DEL EXAMEN ENLACE DEL NIVEL MEDIO SUPERIOR

Dr. JORGE SAENZ ZAMARRON Lic. Hugo Gómez González 07/03/2011

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2 ÍNDICE

1.PRESENTACIÓN ......................................................................................... 3 2.PLANTEAMIENTO ...................................................................................... 5 3.METODOLOGÍA ......................................................................................... 5 4. RESULTADOS DE LA CONSTRUCCIÓN DEL MARCO TEÓRICO .................... 6 5. RESULTADOS DEL ESTUDIO EXPLORATORIO ........................................... 12 6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................. 20 A. Respecto al modelo teórico. ..................................................................... 20 B. Respecto a los resultados de la aplicación a la población de estudio .. .............. 21 C. Respecto a la Gestión estratégica. ............................................................. 22 7.FUENTES CONSULTADAS ......................................................................... 23 8.ANEXOS: ................................................................................................. 24

Jorge Sáenz Zamarrón ∞ Hugo Gómez González

ANÁLISIS DE ERRORES EN EL EXAMEN ENLACE DEL NMS DR. JORGE SÁENZ ZAMARRÓN1 Lic. Hugo Gómez González2 Resumen: Los errores son fuente de conocimiento. Desde un enfoque constructivista se analizaron las respuestas de los reactivos del examen de la Evaluación Nacional del Logro Educativo (ENLACE) en el nivel medio superior, en su versión 2009 con el fin de elaborar un criterio ordinal para las respuestas erróneas que diera cuenta del estado, dentro del proceso de aprendizaje, en el que se encuentran los respondientes del mismo; asimismo y una vez construida la teoría base, se analizaron las respuestas al examen para valorar los tipos de error cometidos por los sustentantes. Los resultados del estudio arrojan una teoría que explica el estado del proceso en la adquisición y desarrollo de habilidades matemáticas en el nivel medio superior, así como los resultados de la aplicación del examen ENLACE a la población del CBTa 90 de Cd. Cuauhtémoc, Chihuahua. 1. PRESENTACIÓN Se sabe que los errores son producciones de la mayoría de los alumnos y que constituyen un elemento estable en los procesos de enseñanza y aprendizaje en todos los niveles educativos. Si se tiene en cuenta que el aprendizaje de las matemáticas está presente en todo el currículum de los niveles educativos, es claro que las respuestas erróneas a las cuestiones planteadas en un examen, como el de la Evaluación Nacional de Logro Académico (ENLACE), sean tomadas en serio como señales de serias deficiencias, o inclusive como señales de fracaso escolar en el logro de los objetivos educativos.

Doctor en Ciencias de la Educación por la Universidad Autónoma de Coahuila; profesor – investigador del Centro de Bachillerato Tecnológico Agropecuario No 90, docente del área de matemáticas y física; Asesor Técnico del Programa Nacional Actualización Permanente de maestros de Educación Básica; asesor externo de la Maestría en Educación del Centro de Investigación y Docencia (CID); asesor externo de la maestría en ciencias del Centro Interdisciplinario de Investigación y Docencia en Educación Técnica (CIIDET). 2 Licenciado en educación; profesor – investigador del Centro de Bachillerato Tecnológico Agropecuario No 90; docente del área de matemáticas.

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4 Si bien el error puede tener diferentes significados, como el fracaso del estudiante o del docente, o el reflejo de una situación indeseable; también es considerado como un estadio más o menos estable de un proceso de aprendizaje; bajo esta perspectiva se consideran como un reflejo del nivel de concepción que se tiene acerca de un producto cultural, como lo es el conocimiento matemático. Los errores no aparecen al azar sino que surgen de un marco conceptual consistente basado en conocimientos previos no correctos del todo (Pochulu, 2005); asimismo representan preconcepciones, que son imágenes de las ideas que ya han construido previamente a la influencia escolar o inclusive posterior a ella, pero que son diferentes a las que el currículum plantea. “Las preconcepciones son llamadas también concepciones espontáneas de constructos previos que el aprendiente tiene sobre un tema antes de escuchar las explicaciones del profesor. Surgen en la mente del estudiante en su interacción con el medio, sin ninguna influencia especial de la enseñanza. Son personales y pueden incluso ser inducidas, a través por ejemplo de la influencia de la lengua. Es habitual que los individuos pertenecientes a un grupo compartan algunas de las concepciones o preconcepciones, sean éstas erróneas o no, ya que dependen del contexto en el que surgen. La influencia del contexto y de la lengua es manifiesta en estas preconcepciones. Estas preconcepciones, a pesar de que a menudo son científicamente incorrectas, suelen ser predictoras y eficaces. Suelen tener un nivel de abstracción limitado y se limitan a lo que es perceptible. Son intuitivas y se desvían a menudo de las concepciones científicas. Suelen tener aislados. Hace falta cambiar la estructura de la teoría implícita. Muchas de la preconcepciones de los alumnos reproducen conceptos de la Historia del Conocimiento Científico. Utilizan un tipo de razonamiento lineal y cumplen una función de adaptación práctica, permitiendo al individuo enfrentarse al mundo a través de un filtro de expectativas. Son estructuras teóricas mínimas que nos dan una sensación de control sobre los cambios que se dan en el medio. Funcionan como mecanismos de resistencia ante los cambios sorpresivos.” (Aramburu Oyarbide, 2004)

La investigación reciente ha mostrado que las preconcepciones, tienen el potencial de transitar hacia conocimientos convencionales de carácter científico; de esta manera se considera que existen tres estadios generales:  Nivel de preconcepción en su sentido de referir experiencias de la vida cotidiana, situaciones del medio natural expresado en términos coloquiales  Transición de preconcepciones a cambio conceptual. En un primer momento son ideas relacionadas con la ciencia, apoyadas en la experiencia. En un segundo momento las ideas se apoyan en conocimientos ya adquiridos y llamados por nombres formales.  Cambio conceptual. Corresponde a un conocimiento más formal y acompañado de términos más elaborados o técnicos, que va dando un nivel de abstracción conceptual más elevado. En este estudio se consideran los tres estadios o niveles como situaciones en que los estudiantes evaluados se encuentran de manera consistente; sin embargo, por las Jorge Sáenz Zamarrón ∞ Hugo Gómez González

5 características del examen aplicado se hace énfasis en los dos primeros niveles por ser críticos para comprender las características de los aprendizajes que se han logrado por los alumnos. La investigación consta de dos partes principales: una orientada a definir una taxonomía de los errores matemáticos que resultara acorde con las opciones de respuesta del examen ENLACE de habilidad matemática; la revisión de los procedimientos de los exámenes sustentados por los estudiantes fue el parámetro para definir el tipo de error cometido al seleccionar una respuesta determinada; por otro lado, se destaca la otra parte de la investigación que consistió en analizar las respuestas a los reactivos de diversas temáticas de matemáticas, especialmente las respuestas que contienen error; el análisis se orientó hacia el estudio de la incidencia y tipología. 2. PLANTEAMIENTO El dominio de los contenidos básicos del bachillerato presenta un continuo que va desde un nivel preconceptual hasta la concepción científica del contenido matemático; los conocimientos previos que determinan el nivel preconceptual son el foco de atención de esta investigación. Con el fin de diagnosticar el estado del proceso del logro de los contenidos matemáticos se plantearon las siguientes cuestiones que definen al estudio:  ¿Se pueden identificar errores no debidos a distracciones, sino a situaciones sistemáticas que representan modelos explicativos?  ¿Existe alguna variable subyacente que explique la configuración de correlaciones significativas en las respuestas erróneas del cuestionario de matemáticas ENLACE 2009?  ¿Existen algunos temas en los que la incidencia del mismo tipo de error se presente?  ¿Qué resultados se obtuvieron por grupo y área de estudio?  ¿Cuáles son las temáticas en las que los estudiantes tienen dominio? De acuerdo con una postura constructivista, los errores son una fuente de información para el profesor acerca de lo que han aprendido los estudiantes y de la manera como lo han aprendido, son un indicador del producto de una experiencia previa no desarrollada hasta la formalidad de de un modelo científico. Desde esta perspectiva el análisis de los errores puede revelar la existencia de obstáculos didácticos o de modelos relacionados con malentendidos o mal consolidados por los estudiantes. 3. METODOLOGÍA La investigación se dividió en dos partes, una centrada en definir un marco teórico que satisficiera las condiciones del examen ENLACE 2009, a saber, que explicara tres Jorge Sáenz Zamarrón ∞ Hugo Gómez González

6 alternativas de error que se suponen ordinales, es decir que forman parte de un continuo sobre el que se pueden ordenar los valores y establecerse relaciones de mayor que, menor que o igual que, entre los elementos, por lo que las operaciones matemáticas posibles son: contabilizar los elementos, igualdad y desigualdad, además de ser mayor o menor que. Además el nivel de medición de la escala resultante se potencia al agregar dos valores extremos que permiten explorar los datos resultantes al considerarla como intervalar o racional; el valor que da cuenta de la respuesta correcta en cada ítem marca el extremo superior, mientras que el valor cero marca el inferior y refiere la ausencia de respuesta. En cuanto al estudio de la población estudiantil que respondería el examen, se consideró que fuera de carácter exploratorio, por lo que no se pretendió generalizar los resultados a otros contextos fuera del de la aplicación de éste; se hizo con 363 estudiantes del quinto semestre del Centro de Bachillerato Tecnológico Agropecuario no. 90 de Cd. Cuauhtémoc, Chihuahua en el año 2009. Los estudiantes resolvieron el examen nacional ENLACE versión 2009 consistente en 92 ejercicios de temas de matemáticas que incluyeron aritmética, álgebra, geometría, trigonometría, geometría analítica y cálculo con distinta presencia en la prueba cada una. Se hizo un análisis de cada ítem para determinar el nivel de error de cada opción en los distractores por cuestionamiento. Se codificó cada nivel en una escala ordinal con valores de cero a cuatro, quedando integrada la escala con los siguientes referentes y su significación  0 es la ausencia de respuesta  1 representa el nivel de error de generalización  2 contiene el nivel de error de extrapolación  3 refiere el nivel de error de centramiento  4 representa la respuesta correcta, la ausencia de error Con las aportaciones de la taxonomía analizada (Gómez Alfonso, 2009), del análisis de ítems y de la experiencia de los investigadores3 en el campo de la matemática, se definieron los cuestionamientos que se ajustaron al modelo taxonómico quedando excluidas solo los reactivos numerados en el propio examen como no. 34, 72 a 74, 83, 87, 93, 112 a 115, 118, 120 a 124, 126 a 131, 136 y 137; de tal manera que el cuestionario analizado quedó integrado por 92 variables presentadas al estudiante, menos 25 variables excluidas por no ajustarse al modelo, dando un total de 67 variables analizadas con áreas de estudio que incluyen a la geometría, aritmética, álgebra, geometría analítica, probabilidad y estadística y cálculo; por otro lado quedaron excluidas variables que tienen que ver con temáticas de geometría y con la identificación de figuras tridimensionales principalmente. 4. RESULTADOS DE LA CONSTRUCCIÓN DEL MARCO TEÓRICO

Ambos investigadores son docentes en el área de las matemáticas, entre otras.

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7 MODELO TEÓRICO DE LAS ALTERNATIVAS DE ERROR DEL EXAMEN ENLACE El estado del arte cuenta con una amplia variedad de explicaciones acerca de los errores cometidos por los alumnos en matemáticas que se resumen en el diagrama siguiente:

(Gómez Alfonso, 2009). El mismo autor propone una taxonomía de los errores centrada en la forma en que se aprenden las reglas principalmente, aunque los errores mecánicos están presentes en cierta medida en alguno de los tipos: 3. Centramientos. Son métodos que sufren una interferencia por algún hecho que centra la atención del resolutor provocando que algún paso o resultado intermedio se desvíe de su aplicación correcta. 2. Extrapolaciones. Inserciones improcedentes de alguna parte o de algunos de los pasos, pero no de todos, de las reglas aprendidas, que los estudiantes extraen y llevan a otra regla o método que están aplicando en una situación nueva en la que no funcionan. 1. Generalizaciones. Extensiones de métodos completos, o reglas, que los alumnos aplican tal cual las conocen o han aprendido, a situaciones nuevas en las que no funcionan. (Gómez Alfonso, 2009) Se suponen condiciones iniciales del examen ENLACE 2009 consistentes en una respuesta correcta, libre de error, y tres incorrectas, pero con errores estables en el cuerpo del examen con nivel creciente desde la opción menos apegada a la respuesta correcta, hasta el error menos grave y más cercano a dicha respuesta; en la elaboración del examen se da cuenta de un nivel de complejidad creciente en los distractores (CENEVAL, 2007), por lo que se infiere una taxonomía subyacente en los distractores, que de acuerdo con un modelo constructivista encierra un potencial explicativo del proceso de aprendizaje en la cuestión planteada en el reactivo, que a decir de CENEVAL son “…la formulación de una proposición o problema para que sea contestado por el sujeto, con el fin de conocer los resultados de su aprendizaje en algún aspecto, tema o contenido específico. Constituye un estímulo que pretende evocar una reacción en el individuo” (CENEVAL, 2007). De esta manera se identificó a la taxonomía subyacente en los distractores siguiendo la propuesta de Gómez Alfonso.

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8 ANÁLISIS DE ÍTEM DEL EXAMEN DE ENLACE 20094. Enseguida se exponen algunos ejemplos escogidos de cada uno de ellos en donde se describen transcribiendo las anotaciones que los estudiantes hicieron en las hojas del examen ENLACE 2009, habilidades matemáticas; así como una reflexión referida a la taxonomía mencionada. En el área de PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA aparece el problema no. 75: “La gráfica muestra la matrícula de ingreso de estudiantes en una universidad. Si al año siguiente se da de baja el 13% de los estudiantes de cada carrera, ¿cuántos estudiantes de ingeniería permanecerán en la carrera en el segundo año escolar?” Matrícula de estudiantes de primer grado

N ú m e r o d e

e s t u d i a n t e s

600000 500000 400000 300000 200000 100000 0

544000

256000

240000 160000

320000

80000

A) 33,200 B) 208,000 C) 222,720 D) 255,987 ANÁLISIS: La opción correcta es la marcada con el inciso C) 222,720 y resulta de operar las siguientes cantidades: e

256000 ×(1−.13) 222720

El distractor D) 255,987 contiene un error de Centramiento. El método resolutor sufrió una interferencia por un hecho que centró la atención del estudiante provocando que algún paso o resultado intermedio se desvíe de su aplicación 256000 ×(1−.13%) , 255667

correcta; en este caso la operación ejecutada fue aproximada, el error consistió en operar .13% en vez de 13%

la cual es

La codificación del examen completo, por su extensión, se anexa en archivo adjunto

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9 El distractor A) 33,280 contiene un error de extrapolación. Se hizo una Inserción improcedente de alguna parte o de algunos de los pasos, pero no de todos, de las reglas aprendidas, que los estudiantes extraen y llevan a otra regla o método que están aplicando en una situación nueva en la que no funcionan. La operación 256000 ×.13 , 33,280

realizada fue e

se aplicó la regla para obtener porcentajes de manera

correcta pero aplicada en una situación donde no funciona. La opción B) 208,000 representa un error de generalización. Se hizo una extensión de dos métodos completos, o reglas, que los alumnos aplicaron tal cual las conocen o han aprendido, a situaciones nuevas en las que no funcionan; la operación efectuada presenta dos métodos incorrectos: se sumaron todas las cantidades y se multiplicaron por 13% En el área de ARITMÉTICA se presenta el problema no. 20 7 “Una fracción equivalente a 4 es:” 7

4 49

16 56

32 49

ANÁLISIS: 56 La opción correcta es el inciso C) 32 La opción D)

49 4

presenta un error de centramiento, multiplicó el numerador por siete,

pero el denominador lo dejó intacto:

7×7 4

49 4

La opción B) 16 contiene un error de extrapolación de una parte del método, pero no de todo al multiplicar el numerador por sí mismo y 7×7

al denominador por sí mismo,

perdiendo equivalencia: 4×4 = 16 La opción A):

4 7

presenta un error de generalización, al invertir la fracción aplica un

método que no aplica en la situación planteada

En el área de ALGEBRA se presenta el ítem no. 88 Jorge Sáenz Zamarrón ∞ Hugo Gómez González

10 Un comerciante tiene $50.00 y desea adquirir 20 artículos de papelería entre cuadernos (c) y bolígrafos (b), si el costo de cada cuaderno es de $7.00 y de cada bolígrafo de $3.00; el sistema de ecuaciones que representa dicho problema es: A)

c  b  20 3c  7b  50

c  b  20 7c  3b  50

c  b  50 7c  3b  20

c  b  50 3c  7b  20

ANÁLISIS: La opción correcta es el inciso B) La opción C)

c  b  50 presenta 7c  3b  20

c  b  20 7c  3b  50

un error de centramiento, pues invierte los términos

independientes en las dos ecuaciones que han sido planteadas correctamente en sus incógnitas. La opción A)

c  b  20 presenta un error de extrapolación en tanto plantea 3c  7b  50

correctamente la primera ecuación, pero en la segunda invierte los coeficientes de las incógnitas, este pasos es improcedente, no funciona en este ítem. La opción D)

c  b  50 presenta 3c  7b  20

un error de generalización, los dos pasos que darían

cuenta de una ecuación cada uno, no funcionan para construir el sistema: en la primera ecuación equivocan el término independiente y en la segunda equivocan también el mismo término, además de fallar en los coeficientes de las incógnitas.

En el área de GEOMETRÍA se presenta la cuestión no 111 Observe la siguiente figura. 15cm

7.5cm

Jorge Sáenz Zamarrón ∞ Hugo Gómez González 5cm

¿Cuál es el volumen, en centímetros cúbicos, del prisma mostrado? A) 160.67 B) 187.50 C) 281.25 D) 562.50 ANÁLISIS: La opción correcta es el inciso C) 281.25 La opción D) presenta un error de centramiento: la operación efectuada fue  5 (7.5)(15) , es decir que el estudiante obtuvo el área de la base de un prisma rectangular, lo que equivale a una desviación de la aplicación correcta de un paso intermedio, en este caso, pasar por alto que la base es un triángulo. La opción B) 187.50 tiene un error de extrapolación, la operación efectuada es  5 (5)(7.5) , es decir que el estudiante obtuvo el área de la base elevando al cuadrado uno de los lados, que pensó era de un cuadrado, y enseguida la multiplicó por la altura de la misma base, confundiéndola con la del prisma; el procedimiento refiere una aplicación de una regla no pertinente para el caso al pretender obtener el área como si fuera un cuadrado, y aplica otro procedimiento, correcto al significar altura, pero incorrecto de origen. La opción A) 160.67 presenta un error de generalización, se observaron operaciones como 15 (7.5)  2 3 que, aunque no arroja el resultado del distractor, se aproxima y es seleccionado por proximidad; en el procedimiento se observan métodos completos que no funcionan en el ítem: se intenta obtener un área de una cara del prisma que se toma por base, quizá por ser más fácil obtener el área de un rectángulo; y en seguida se multiplica por un número no presente en el problema.

En el área de GEOMETRÍA ANALÍTICA se presenta el cuestionamiento no. 132

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12 ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el punto C (-5,4) y pasa por el punto A (-2,0)? A)  x  52   y  42  25 B)  x  42   y  52  25 C)  x  52   y  42  25 D)  x  42   y  52  25 ANÁLISIS: La opción correcta es la del inciso A)  x  52   y  42  25 La opción del inciso C)  x  52   y  42  25 tiene un error de centramiento, el procedimiento es correcto, pero la distracción ocurre al cambiar el signo de x de la coordenada del centro. La opción B)  x  42   y  52  25 tiene un error de extrapolación, pues se confunde el orden de las coordenadas del centro al invertirlas, pero no su signo; es decir, de las dos reglas para la aplicación correcta del ítem, una no funciona. La opción D)  x  42   y  52  25 tiene un error de generalización, el estudiante confunde el orden de las coordenadas del centro, invierte x por y y viceversa y además invierte los signos de las coordenadas; es decir, las dos reglas utilizadas no funcionan

5. RESULTADOS DEL ESTUDIO EXPLORATORIO Por la naturaleza propia de un estudio con múltiples variables y por el alcance de las preguntas y objetivos de la investigación, se analizaron los datos con las técnicas Análisis de Cluster, en un primer momento, y con el Análisis Factorial, en un segundo momento; ambas técnicas permiten investigar la presencia de subestructuras, cluster o factores que ayudan a comprender mejor la mayor cantidad de datos. Con la técnica de cluster se pretende “…simplificar la información de una matriz de correlaciones, verificando cómo tienden a agruparse las variables. Se trata por lo tanto de reducir la información para facilitar la interpretación. Si las distintas variables se pueden agrupar en unos pocos conjuntos en los que podemos ver un significado común a un nivel más genérico, resulta más fácil la interpretación, sobre todo cuando hay muchos ítems.

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13 Al final del proceso vamos a agrupar los ítems que tienden a tener correlaciones más altas entre sí que con los demás, dándonos una idea de la estructura subyacente. Hay varios procedimientos para hacer este cluster analysis, algunos más complicados que el expuesto aquí, pero éste es sencillo y con frecuencia suficientemente orientador. Ya a otro nivel tenemos el análisis factorial, que podemos hacer con programas de ordenador, pero el cluster analysis que explicamos aquí puede dar una buena idea sobre la estructura de una serie de variables a partir de la matriz de intercorrelaciones.” (Morales Vallejo, 2007) Una simplificación muy conveniente es la representación gráfica llamada dendrograma o árbol jerárquico de los resultados encontrados en el análisis cluster en donde aparecen las distancias de unión y los casos unidos en cada cluster; Como se puede observar en la ilustración 1, las marcas se ven unidas a diferentes niveles, de acuerdo a la similitud contestada en el examen por los estudiantes representada por una medida de distancia. A mayor similitud entre las marcas, menor es la distancia entre ellas.

Ilustración 1. Dendrograma

Considerando la distancia menor de una medida r de Pearson como indicador de mayor semejanza, se perciben siete agrupaciones diferentes que dan cuenta de la similitud de la respuesta en los ítems agrupados con el nombre de ARITM, entre otros, por lo que estas variables son consideradas por los alumnos como conceptos cercanos. Sin embargo, dicho mapa perceptual no muestra de manera directa los atributos bajo los cuales se percibe la imagen de las variables. Es necesario un esfuerzo extra para analizar las evaluaciones hechas, y de esa manera saber cuáles son las características que diferencian unas variables de otras.

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Ilustración 2. Detalle de agrupamientos

Al cortar el dendrograma de la ilustración 2 a una distancia de 1 r de Pearson se observan los cluster motivo de este estudio: Aritmética, con las variables nombradas como ARITM y PARITM que refieren contenidos de Aritmética en contextos solo numéricos, o en la resolución de problemas respectivamente; geometría analítica, con las variables nombradas con GA; Probabilidad y estadística, representada por las variables PROB; trigonometría, a través de las variables TRIG; como los cluster más notables. Para iniciar el análisis de los cluster se hizo una estadística básica para cada uno basada en la media de cada variable en los distintos grupos:

Cluster Aritmética 3.4 2.9 3.1 3.1 3 2.6 2.1 1.9 3 3.1 3.3 2.5 2.7 2.4 2.6 2.7 3.2 2.8 3.2 3.3 20 25 30

21 26 31

22 27 32

23 28 33

Ilustración 3. Cluster Aritmética

Se observa en este cluster que la media gira en torno al valor tres, cuyo significado es que el error que caracteriza al agrupamiento es de CENTRAMIENTO. Aquí el método de solución sufre una interferencia por algún Jorge Sáenz Zamarrón ∞ Hugo Gómez González

24 29 34

15 hecho que centra la atención del resolutor provocando que algún paso o resultado intermedio se desvíe de su aplicación correcta. Del análisis realizado a cada ítem se percibe errores como poca habilidad para realizar operaciones aritméticas básicas sin el uso de la calculadora, o centrar la atención en un valor presente en el texto del planteamiento sin que medie el contexto del mismo. En un segundo momento se hizo un Análisis de Factores para determinar si por medio de esta técnica se presentaban las mismas agrupaciones lo que daría consistencia a lo planteado en el análisis de cluster. Se encontró que efectivamente coincidían los agrupamientos, por lo que el análisis y resultados se robustecen a partir del análisis de las cargas factoriales de cada factor. El Análisis arrojó una explicación de la variabilidad de 59% en las respuestas de los estudiantes. Eigenvalues (enlace matematicas 2009 cbta90.sta) Extraction: Principal factors (MINRES) % total Cumul. Eigenval Variance Eigenval 1 25.2196461 34.5474605 25.2196461 2 9.48734909 12.9963686 34.7069952 3 4.37767911 5.9968207 39.0846743 4 1.71445958 2.34857477 40.7991339 5 1.29852377 1.77879969 42.0976577 6 0.91134776 1.24842159 43.0090055

Cumul. % 34.5474605 47.5438291 53.5406498 55.8892246 57.6680242 58.9164458

Ilustración 4. Análisis de Factores. Valores Eigen

En la ilustración 4 se observa que se detectaron 6 factores significativos que explican los agrupamientos entre las variables del estudio. El primer factor corresponde con el cluster Aritmética como se observa en la ilustración 5 en el Anexo; en ella se observa que los tres primeros factores tienen más poder explicativo que el resto, por lo que se continuará el análisis integrando los resultados de ambos Análisis, de cluster y factores, para dar mayor sustento a las conclusiones. Se nombrarán ARITMÉTICA, de igual manera que el cluster ya revisado al primer factor, solo mencionando si es cluster o factor para referir el origen de la observación. Respecto al factor ARITMÉTICA se muestra en la siguiente tabla el comportamiento de la respuesta a los cuestionamientos del mismo: Descriptive Statistics (enlace matematicas 2009 cbta90.sta) freq-cy mean

mode

of mode

minimum

maximum

std.dev.

% de frec de moda

PARITM40

3.4

300

1.3

82.6

PARITM34

2.7

293

1.0

80.7

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16 PARITM29

3.3

288

1.4

79.3

PARITM41

3.2

261

1.4

71.9

PARITM31

3.0

258

1.5

71.1

PARITM30

3.2

247

1.4

68.0

PARITM38

3.2

247

1.3

68.0

ARITM23

3.2

246

1.3

67.8

ARITM21

3.2

242

1.4

66.7

PARITM35

3.1

239

1.4

65.8

PARITM39

2.9

235

1.5

64.7

PARITM36

3.2

230

1.3

63.4

TRIG45

2.9

219

1.5

60.3

ARITM20

3.3

218

1.2

60.1

PARITM27

2.7

195

1.5

53.7

ARITM24

2.7

193

1.5

53.2

ARITM22

2.8

178

1.4

49.0

PARITM42

2.6

172

1.4

47.4

Ilustración 5 Descriptivos del Factor ARITMÉTICA

Se muestra que en todos los casos la respuesta más frecuente fue correcta, en ellas se observa una fortaleza en tanto que la mayoría de los estudiantes la contestaron acertadamente, más del 50% y en algunos casos hasta de 82%. Sin embargo hubo estudiantes que dejaron de contestar el reactivo por falta de tiempo, entre otras causas, a decir de los aplicadores del examen; por otro lado, se infiere que las relaciones de cardinalidad para obtener razones en contextos de problema (ítem 40), calcular cantidades con base en una razón determinada (ítem 34), representar cantidades en la recta numérica (ítem 29), utilizar distintas representaciones de números para resolver problemas (ítem 41) y calcular una raíz cuadrada exacta para resolver problemas (ítem 31), son una fortaleza en este Factor. No así resolver una multiplicación de fracciones (ítem 22), ni resolver problemas que implican realizar operaciones con proporciones recursivas (ítem 42); menos de la mitad de los estudiantes la contestaron bien y la media gira en torno a problemas de Centramiento como causa de error. Los resultados de este factor por grupo se observan en la ilustración 5:

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17 ANOVA DEL FACTOR 1 POR GRUPO PARITM27ARITM20 ARITM21 Mean Mean Mean 5A AGROP 2 3 5A INF 3 4 5A AGROIND 2 2 5B AGROP 3 4 5B INF 3 3 5B AGROIND 2 3 5C AGROP 3 3 5C INF 3 4 5D AGROP 3 4 5D INF 3 4

ARITM22ARITM23ARITM24 Mean Mean Mean 3 2 3 2 4 4 4 3 2 2 2 1 4 4 4 3 4 3 4 3 3 2 3 2 3 3 3 2 4 3 4 3 3 3 3 3 3 3 4 3

ANOVA DEL FACTOR 1 POR GRUPO PARITM29PARITM30PARITM31 PARITM34 PARITM35 PARITM36PARITM38PARITM39PARITM40 PARITM41 PARITM42 Mean Mean Mean Mean Mean Mean Mean Mean Mean Mean Mean 5A AGROP 4 3 3 3 3 3 3 3 4 3 5A INF 4 4 4 3 4 4 3 3 4 4 5A AGROIND 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5B AGROP 4 4 4 3 3 4 4 3 4 4 5B INF 4 3 3 3 3 4 3 3 4 3 5B AGROIND 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 5C AGROP 4 3 3 3 3 3 4 3 4 4 5C INF 4 4 3 3 3 4 3 3 4 4 5D AGROP 4 4 3 3 3 3 3 3 4 3 5D INF 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3

TRIG45 Mean 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3

GA48 Mean 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3

3 3 2 3 3 2 3 3 2 3

Ilustración 6 Factor ARITMÉTICA. Promedios por grupo

Aunque el factor se considera una fortaleza, no se puede afirmar que lo sea en toda la población, cuando se analiza por grupo, se observa que en algunos grupos se presentan resultados contrarios, es decir, son una debilidad, como se muestra en la ilustración 5, donde los promedios por grupo dan cuenta de una proximidad al acierto (valor 4) de solo una unidad en la mayoría de los grupos por ítem, sin embargo, el error es de centramiento, por lo que la posibilidad de enmendarlo es más cercana que en los otros dos tipos de error. De acuerdo con la Ilustración 2, se observa un conglomerado, que tiene su correlato con el Factor 2 y tiene una referencia con temáticas centradas en la Geometría analítica principalmente, y con la Trigonometría en menor medida; sin embargo este conglomerado no es susceptible de ser analizado sin incurrir en error de interpretación; la aplicación del examen se vio interferida en cuanto a su confiabilidad en las temáticas mencionadas, algunos grupos no fueron aplicados en esta parte del examen, por lo que se describirán solo algunos estadígrafos para los grupos que sí fueron aplicados.

Jorge Sáenz Zamarrón ∞ Hugo Gómez González

18 ANOVA DEL FACTOR 2 POR GRUPO GA125 TRIG131 GA132 Mean Mean Mean 5A AGROP 0 0 5A INF 3 1 5A AGROIND 1 1 5B AGROP 1 1 5B INF 0 0 5B AGROIND 0 0 5C AGROP 1 0 5C INF 1 0 5D AGROP 0 0 5D INF 1 1

GA133 GA134 GA135 Mean Mean Mean 0 0 0 2 2 3 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1

TRIG136 TRIG137 TRIG138GA139 GA140 Mean Mean Mean Mean Mean 0 0 0 0 0 2 1 1 2 2 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 0 0 0 0 1

Ilustración 7. Factor 2 por grupo

En la tabla 2 se observa que este factor está fuertemente cargado, en primer lugar, de error de generalización, es decir que los estudiantes extienden o aplican métodos completos, o reglas tal cual las conocen o han aprendido, a situaciones nuevas en las que no funcionan; en segundo lugar se percibe que grupos enteros no respondieron a esta parte del examen, por lo que no fueron evaluados pertinentemente; aun así el error detectado refiere una situación que implica una debilidad importante, como se puede observar en la tabla 3 a continuación:

Descriptive Statistics (enlace matematicas 2009 cbta90.sta) freq-cy GA125 TRIG131 GA132 GA133 GA134 GA135 TRIG136 TRIG137 TRIG138 GA139 GA140

mean

median

mode

of mode

minimum

maximum

std.dev.

variance

0.88 0.53 0.64 0.73 0.77 0.64 0.47 0.45 0.62 0.56 0.48

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

259 275 281 279 280 285 284 287 287 288 291

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

1.52 1.12 1.31 1.43 1.49 1.35 1.03 0.97 1.30 1.22 1.07

2.31 1.26 1.72 2.04 2.21 1.82 1.06 0.94 1.69 1.49 1.13

% de frec de moda

71.35 75.76 77.41 76.86 77.13 78.51 78.24 79.06 79.06 79.34 80.17

Ilustración 8. Factor 2 Descriptivos

En esta tabla no. 3 se muestra que desde un 71% hasta un 80% no contestaron el ítem en cuestión, pero quienes sí lo hicieron, no tuvieron el acierto en la misma y cometieron el error de generalización en la mayoría de los casos. Jorge Sáenz Zamarrón ∞ Hugo Gómez González

19 Respecto al agrupamiento cuya referencia se relaciona con los contenidos de ÁLGEBRA, (ver ilustración no. 2) y con el factor no. 3 (ver ilustración no.4) se observa, de acuerdo con la tabla siguiente: ANOVA DEL FACTOR 3 POR GRUPO q81 q82 Mean Mean 5A AGROP 3 5A INF 3 5A AGROIND 2 5B AGROP 3 5B INF 2 5B AGROIND 1 5C AGROP 2 5C INF 4 5D AGROP 2 5D INF 3 Ilustración 9. Factor 3. Álgebra

q83 q84 q85 Mean Mean Mean 2 2 2 4 3 2 2 1 1 3 3 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 1 1 3 3 2

q86 Mean 2 3 2 3 1 1 1 3 1 2

q88 Mean 1 2 1 3 1 1 1 3 1 3

q89 q90 q91 q92 q93 Mean Mean Mean Mean Mean 2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 2 3 1 2 1 1 1 1 3 3 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 0 0 0 0 0 3 3 3 2 2 2

En cuanto a los resultados en promedio, por grupo, muestran, de acuerdo con la tabla 4, una amplia variedad de resultados, destacando el error no.1 de generalización de reglas o métodos a situación donde no funcionan; los grupos agropecuarios destacan por concentrar este tipo de error, junto con 5B INF. De esta manera, la representación algebraica de sucesiones numéricas, a partir de la relación entre elementos (ítem 85 y 86); así como la representación algebraica de un sistema de ecuaciones de la forma ax+by=c (ítem 88); resolver problemas donde se requiere la aplicación del teorema de Thales (ítem 89), o de Pitágoras (ítem 90); o calcular el valor de un ángulo utilizando una función inversa (ítem 91); o identificar una función trigonométrica a partir de la observación de una gráfica que muestra puntos notables (ítem 92); o calcular el valor de un ángulo utilizando la ley de los senos (ítem 93); son las debilidades más notables del factor ÁLGEBRA.

Descriptive Statistics (enlace matematicas 2009 cbta90.sta) ALG82 ALG81 TRIG89 ALG85 TRIG90 ALG83 ALG88

mean

valid N

median

mode

of mode

2.36 2.42 2.05 2.02 1.82 2.07 1.84

363 363 363 363 363 363 363

4 3 2 1 2 2 2

4 4 4 4 0 4 0

186 172 154 150 137 135 134

minimum

0 0 0 0 0 0 0

maximum

std.dev.

variance

4 4 4 4 4 4 4

1.81 1.73 1.81 1.81 1.69 1.69 1.64

3.26 2.98 3.27 3.26 2.85 2.84 2.67

Jorge Sáenz Zamarrón ∞ Hugo Gómez González

% de frec de moda

51.24 47.38 42.42 41.32 37.74 37.19 36.91

20 ALG84 ALG86 TRIG91 TRIG92 TRIG93

1.86 1.72 1.60 1.47 1.52

363 363 363 363 363

2 1 1 1 1

2 0 0 0 0

129 126 142 149 154

0 0 0 0 0

4 4 4 4 4

1.55 1.69 1.66 1.56 1.57

2.39 2.87 2.75 2.44 2.45

freq-cy IlustraciĂłn 10. Factor 3 Ă lgebra, Descriptivos

Como se puede observar en la tabla 5, mĂĄs de la mitad de la poblaciĂłn es capaz de resolver una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica de la forma đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? = 0 (Ătem 82), lo que representa una fortaleza, por otro lado, contenidos como la identificaciĂłn de una funciĂłn lineal a partir de una tabla o de una grĂĄfica (Ătem 81), muestra una tendencia a ser contestada con error de centramiento con una moda inferior al 50% de acierto y una fuerte dispersiĂłn (s=1.73), por lo que esta no se considera como fortaleza. El resto de las variables del factor Ă LGEBRA, aunque haya algunas modas de valor 4 (sin error), muestran, ademĂĄs del error 1 de generalizaciĂłn, que algunos grupos de estudiantes se equivocan en estas temĂĄticas con errores de centramientos, es decir que solo se equivocan en algĂşn paso intermedio, pero que no implica un error de reglas o mĂŠtodos; aunque es necesario agregar que solo cuatro de los grupos estĂĄn en esta condiciĂłn (ver tabla 5), mientras que seis de ellos estĂĄn en la condiciĂłn de cometer error tipo 1 de generalizaciĂłn, ya comentado. COMPARACIĂ&#x201C;N INTERFACTORIAL

Jorge SĂĄenz ZamarrĂłn â&#x2C6;&#x17E; Hugo GĂłmez GonzĂĄlez

35.54 34.71 39.12 41.05 42.42

21 Factor Loadings, Factor 1 vs. Factor 3 Rotation: Varimax normalized Extraction: Principal factors (MINRES) 0.28 ARITM22 0.24

Factor 3 ÁLGEBRA. Carhas factoriales

TRIG37 PARITM28 ARITM25 PARITM33 ALG43

0.20

PARITM27

ARITM23 PARITM29 ARITM20

PARITM31ARITM21 ARITM24

0.16 PARITM32

PARITM42

PARITM34 PARITM30 PARITM41

ARITM26

0.12

PARITM35 PARITM40

PARITM39

0.08

PARITM36

TRIG45

PARITM38

0.04

0.00 0.35

0.45

0.55

0.65

0.75

0.85

0.95

Factor 1 ARITMÉTICA. Cargas factoriales

Ilustración 11 Correlación entre los factores ÁLGEBRA vs ARITMÉTICA

En otro orden de ideas, cuando se comparan los factores ARITMÉTICA y ÁLGEBRA, se observa que algunos ítem tienen una importante presencia en los dos factores simultáneamente; de esta manera se advierte, de mayor a menor importancias, que resolver operaciones combinadas (ítem 23), ser capaz de representar cantidades en la recta numérica (ítem 29), sumar y restar fracciones (ítem 21), resolver problemas utilizando el cálculo de raíces cuadradas (ítem 31), ser capaz de dividir fracciones (ítem 24) y realizar operaciones de proporciones recursivas (ítem 42); son contenidos que están correlacionados de manera lineal en los dos factores. 6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES A. Respecto al modelo teórico. El modelo seguido para analizar los resultados de la prueba ENLACE tiene consistencia con los contenidos de Aritmética, Álgebra, Trigonometría y Geometría analítica (ver Anexo 2) por lo que se recomienda adoptarlo como indicador del nivel de logro académico. Sin embargo, se sugiere replicar el estudio con otros estudiantes para que se incremente la base teórica. Se recomienda continuar con la exploración de ítems de las siguiente y anteriores versiones del examen ENLACE del nivel medio superior, para ampliar la base teórica y empírica que sustenta este estudio.

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22 Asimismo, es recomendable ampliar el análisis multivariado con la técnica de Análisis de discriminante para buscar afiliaciones entre los sujetos de estudio y las variables latentes detectadas Se propone analizar univariadamente algunos reactivos de interés particular con base en la taxonomía aquí utilizada B. Respecto a los resultados de la aplicación a la población de estudio. En general se advierte un débil reconocimiento de las reglas y métodos que rigen la operatoria y una ausencia de estimación y comprobación de los resultados en muchos de los reactivos analizados y en muchos de los grupos de alumnos respondientes. Se detectaron tres tipos de errores, de acuerdo con la teoría consultada, que se muestran como consistentes y sistemáticos en la respuesta al examen ENLACE 2009, de habilidad matemática. Se encontró que hay variables latentes presentes en el conglomerado general de reactivos que coinciden significativamente con las temáticas abordadas por el currículum escolar, como lo son ARITMÉTICA, ÁLGEBRA, GEOMETRÍA ANALÍTICA, entre otras. Se muestra que la variable más fuerte es ARITMÉTICA, pero que hay grupos en los que el error más típico es de centramiento, por lo que la recomendación es:  ejercitar con estos contenidos, sin hacer uso de la calculadora para favorecer tanto la operatoria de relacionar las variables del problema, como la operatoria numérica del mismo. Cuando se presenta el error de extrapolación o de generalización, es recomendable seguir una secuencia didáctica que incluya:  la resolución de problemas contextuados o numéricos  la formalización de los métodos de solución de los mismos con lenguaje algebraico  el “diálogo de resoluciones”, es decir, la verbalización de los distintos métodos usados por los estudiantes sobre un mismo ejercicio puesto en la pizarra para ser resuelto libremente y discusión de su campo de validez, ventajas e inconvenientes, de lo que tienen en común y diferente, de las leyes que los rigen y de los principios directores o estrategias que los sustentan. (Gómez Alfonso, 2009)  Una organización de los métodos en forma de esquema estructurado que los sintetiza y compendia, a partir de sus características unificadoras y globalizadoras, para evitar una presentación exhaustiva, que no estaría justificada por el papel preponderante que le daría al cálculo mental, ni, por otra Jorge Sáenz Zamarrón ∞ Hugo Gómez González

23 parte, sería posible debido al escaso tiempo escolar disponible. (Gómez Alfonso, 2009) Respecto a ÁLGEBRA se observó una fractura importante en la respuesta, casi al nivel de 50 y 50% en la clase de error que se comete, mientras una mitad comete errores de centramiento, la otra los comete al nivel de generalización, es decir que unos se equivocan en partes pequeñas del proceso, lo que implica más cercanía a la respuesta correcta, y otros tienen problemas fuertes de comprensión de las reglas y los métodos que rigen la operatoria. Se puede recomendar en este aspecto, siguiendo a (Gómez Alfonso, 2009), Una organización de los métodos en forma de esquema estructurado que los sintetiza y compendia, así como la secuencia:  1. ARTIFICIOS  2. DESCOMPOSICIONES. Es el uso de cantidades más pequeñas que las dadas.  3. COMPENSACIONES. Es el uso de cantidades mayores y menores que las dadas. Propuesta por el mismo autor C. Respecto a la Gestión estratégica Las acciones que se tomen para mejorar el desempeño de los estudiantes debe de ser con el tiempo suficiente para rectificar o afirmar el rumbo tomado, por lo que comenzar desde el cuarto semestre sería una acción pertinente para incrementar el nivel de logro académico; además de que en este semestre es cuando se han concluido, o se están por concluir los estudios de las asignaturas de matemáticas que principalmente se evalúan en la prueba ENLACE.

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24 7. FUENTES CONSULTADAS Aramburu Oyarbide, M. (2004). Relaciones entre el desarrollo operatorio, las preconcepciones y el estilo cognitivo. Revista Iberoamericana de Educación , ISSN: 16815653. CENEVAL. (julio de 2007). Manual para la elaboración de reactivos. Cd. de México, Distrito Federal, México: Dirección General Adjunta de Programas Especiales. Dirección de Programas para la Administración Pública. Gómez Alfonso, B. (julio de 2009). PÁGINA PERSONAL DE BERNARDO GÓMEZ ALFONSO. Recuperado el 1 de diciembre de 2010, de http://www.uv.es/gomezb/ Morales Vallejo, P. (30 de octubre de 2007). http://www.upcomillas.es/personal/peter/estadisticabasica/Correlacion.pdf. Recuperado el 9 de noviembre de 2010, de Universidad Pontificia Comillas: http://www.upcomillas.es/personal/peter/estadisticabasica/Correlacion.pdf Pochulu, M. D. (2005). Análisis y categorización de errores en el aprendizaje de la matemática en alumnos que ingresan a la universidad. Revista Iberoamericana de Educación , ISSN: 1631-5653.

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25 8. ANEXOS: 1. Cargas factoriales del Análisis de Factores Factor Loadi ngs (V ari max normal i ze d) Ex tracti on: Pri nci pal factors (MINRES) (Marke d l oadi ngs are > .700000) Factor Factor Factor Factor Factor Factor 1 2 3 4 5 6 ARITM20 0.847 0.106 0.172 0.200 0.014 0.009 PARITM40 0.826 0.064 0.084 0.230 -0.008 0.069 PARITM34 0.787 0.075 0.118 0.248 0.034 0.121 PARITM41 0.762 0.034 0.109 0.177 0.026 0.094 PARITM29 0.758 0.065 0.184 0.133 0.005 -0.047 ARITM23 0.753 0.067 0.198 0.143 -0.014 -0.119 PARITM30 0.738 0.120 0.112 0.167 0.031 -0.120 PARITM36 0.726 -0.022 0.050 0.309 0.076 0.075 ARITM21 0.724 0.018 0.168 0.160 0.019 -0.113 PARITM35 0.720 0.094 0.095 0.191 0.051 0.060 PARITM38 0.716 0.103 0.033 0.207 0.036 0.063 PARITM31 0.691 0.102 0.168 0.082 0.009 -0.041 ARITM22 0.691 0.080 0.247 0.131 0.000 -0.163 PARITM42 0.660 -0.024 0.123 0.077 0.046 -0.021 ARITM24 0.647 -0.014 0.158 0.101 0.096 -0.197 PARITM39 0.626 0.012 0.076 0.143 0.076 0.035 TRIG45 0.618 0.053 0.043 0.146 -0.057 0.081 PARITM27 0.612 0.080 0.199 0.031 0.012 -0.011 GA48 0.605 0.101 0.188 0.206 -0.101 0.238 GA49 0.576 0.053 0.202 0.257 -0.103 0.274 ARITM25 0.561 0.095 0.191 0.048 0.026 -0.164 PARITM33 0.543 0.082 0.188 0.102 0.166 -0.192 TRIG37 0.533 0.098 0.212 0.216 0.054 0.209 ALG64 0.524 0.050 0.240 0.542 0.042 -0.035 ALG65 0.520 0.073 0.253 0.501 0.046 -0.082 ARITM26 0.518 0.025 0.111 0.105 0.000 0.023 PARITM28 0.505 -0.021 0.195 0.126 0.041 0.007 GA46 0.481 -0.038 0.075 0.218 -0.060 0.176 ALG43 0.479 -0.021 0.184 0.098 -0.029 0.026 PROB72 0.427 0.187 0.335 0.479 0.040 -0.011 GA74 0.425 0.070 0.394 0.605 -0.011 -0.078 ARITM73 0.422 0.126 0.325 0.631 0.053 -0.078 GA67 0.422 0.032 0.214 0.523 0.090 -0.032 CALC66 0.415 -0.002 0.216 0.503 0.131 0.058 GA47 0.415 0.036 0.166 0.326 -0.073 0.284 PARITM32 0.393 0.016 0.129 0.195 0.206 0.010 ALG71 0.380 0.070 0.312 0.583 0.077 0.105 PROB75 0.368 0.058 0.345 0.483 -0.053 -0.139 GA69 0.363 0.037 0.129 0.555 0.107 0.145 CALC68 0.360 0.057 0.232 0.506 0.087 0.183 PROB77 0.332 0.130 0.543 0.420 0.030 -0.210 PROB76 0.311 0.054 0.438 0.458 -0.098 -0.180 GA70 0.297 0.082 0.295 0.529 -0.016 0.151 PROB78 0.280 0.100 0.478 0.483 -0.053 -0.202 ALG83 0.249 0.167 0.679 0.233 -0.065 -0.119 ALG82 0.232 0.203 0.689 0.241 -0.012 -0.011 ALG81 0.222 0.100 0.689 0.337 -0.063 -0.040 TRIG89 0.221 0.183 0.804 0.090 0.135 0.122 ALG85 0.220 0.201 0.735 0.168 -0.003 0.006 ALG84 0.219 0.078 0.726 0.220 -0.020 -0.032 AL80 0.211 0.269 0.450 0.358 0.071 0.038 PROB79 0.209 0.188 0.513 0.361 0.074 -0.110 ALG86 0.192 0.123 0.667 0.132 0.075 -0.071 TRIG90 0.182 0.143 0.784 0.094 0.200 0.011 ALG88 0.160 0.124 0.761 0.140 0.025 0.055 TRIG91 0.147 0.242 0.654 0.072 0.156 0.025 TRIG92 0.143 0.208 0.626 0.110 0.171 0.178 TRIG93 0.125 0.231 0.652 0.116 0.182 0.209 GEO111 0.100 0.539 0.417 0.109 0.564 -0.090 GEO116 0.093 0.509 0.309 0.101 0.583 -0.065 GEO117 0.074 0.530 0.258 0.107 0.588 0.006 GA134 0.069 0.929 0.154 0.056 0.017 0.022 GA125 0.066 0.714 0.226 0.079 0.347 0.028 GA119 0.064 0.579 0.280 0.078 0.502 0.078 TRIG138 0.063 0.895 0.111 0.033 0.000 -0.053 GA132 0.063 0.837 0.165 0.027 0.040 0.079 GA133 0.059 0.870 0.141 0.081 0.032 -0.001 GA140 0.057 0.869 0.125 0.018 -0.038 -0.014 GA139 0.055 0.889 0.131 0.011 -0.077 0.021 TRIG131 0.055 0.752 0.151 0.041 0.120 0.027 TRIG137 0.043 0.880 0.116 0.042 -0.035 -0.045 GA135 0.042 0.881 0.131 0.064 0.068 -0.019 TRIG136 0.028 0.820 0.104 0.072 0.067 -0.020 Ex pl .V ar 15.198 9.855 9.486 5.751 1.796 0.923 Prp.Totl 0.208 0.135 0.130 0.079 0.025 0.013

Ilustración 12. Cargas factoriales

2. Pruebas de confiabilidad factoriales Análisis de Confiabilidad Factores Aritmética Geometría Analítica Álgebra

Alfa de Cronbach

N of Items 0.957 19 0.968 11 0.946 12

Ilustración 13. Pruebas de confiabilidad

Jorge Sáenz Zamarrón ∞ Hugo Gómez González