El mundo de los Vectores by Jose Urias

Primera edici贸n

Algebra Lineal

El mundo de los vectores

Vectores

El vector es un concepto que proviene de la física, en la que se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Mientras que la magnitud escalar se expresa con un número, en la vectorial se necesita además la dirección y el sentido. Por ejemplo, cuando nos referimos a un movimiento, no basta con indicar el desplazamiento, sino también la dirección y el sentido del movimiento.

Sección 1

Geometria y algebra de vectores Capitulo 1 Los vectores se introducen formalmente tanto desde un punto de vista algebraico como de uno geométrico. Las operaciones de suma y multiplicación escalar y sus propiedades se desarrollan primero en los escenarios concretos de R 2 y R 3 antes de generalizarse a R n. También se introducen la aritmética modular y el álgebra lineal finita. La sección 1.2 define el producto punto de vectores y las nociones relacionadas de longitud, ángulo y ortogonalidad. El concepto muy importante de proyección (ortogonal) se desarrolla aquí Es una introducción básica, aunque amplia, a las líneas y los planos en R 2 y R 3. El capítulo concluye con la aplicación vectores código. La mayoría de los alumnos disfrutarán la aplicación al Universal Product Code (UPC) y al International Standard Book Number (ISBN). 2

Vectores en el plano Comience por considerar el plano cartesiano con los familiares ejes x y y. Un vector es un segmento de recta dirigido que corresponde a un desplazamiento desde un punto A hasta otro punto B

Componentes de un vector Son la coordenadas de un vector. Existen 2 formas de expresarlas: vectores columna y vectores renglón

Desigualdad de Cauchy-Schwarz Se define como ∣ A • B ∣ ≤∥ X ∥ • ∥ Y ∥

Producto Cruz El producto vectorial es un vector entre sí mismo, se denota con AxB y el resultante es perpendicular tanto para A como para B

Producto Punto Para realizarlo los dos vectores a operar tienen que tener mismo numero de componentes , el producto de esta operación será un escalar no un vector. se realiza operando de la siguiente manera .

W = [w1,w2,w3] A = [a1,a2,a3]

Desigualdad del triángulo

W • A = (w1a1) + (w2a2) + (w3a3)

Dice que en todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante.

Teorema de Pitágoras

Diferencia de Vectores

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Es la suma de un vector con el negativo del otro.

a2 + b2 = c2

Igualdad de Vectores Dice que 2 vectores son iguales si tienen la misma dirección y magnitud. 3

Sección 2

Longitud y Angulo : el producto punto Es muy sencillo reformular los conceptos geométricos familiares de longitud, distancia y ángulo en términos de vectores. Hacerlo permitirá usar estas importantes y poderosas ideas en escenarios más generales que R 2 y R 3. En capítulos posteriores, estas simples herramientas geométricas se usarán para resolver una gran variedad de problemas que sur- gen en aplicaciones, ¡aun cuando aparentemente no haya ninguna geometría!

Ángulo entre dos vectores cos(θ ) =

(U1 • V 1) + (U 2 • V 2) 2

U12 + U 22 •

V 12 + V 22

Distancia entre dos Vectores Es el vector de menor magnitud entre dos vectores

Longitud de Vector Bidimensional A = longitud a,b componentes ∣A∣=

a2 + b2

Longitud de vector tridimensional a=<a,b,c>

∣A∣=

a2 + b2 + c2

Sección 3

Rectas y planos

Todos están familiarizados con la ecuación de una recta en el plano cartesiano. Ahora se considerarán rectas en R 2 desde un punto de vista vectorial. La comprensión que se obtenga a partir de este planteamiento permitirá generalizar a rectas en R 3 y luego a planos en R 3. Mucha del álgebra lineal que se considerará en capítulos posteriores tiene sus orí- genes en la geometría simple de rectas y planos; la habilidad para visualizarlos y pensar geométricamente en torno a un problema le servirá bastante.

Rectas en R2

Rectas en R3

Forma General

Forma Normal Forma Normal Forma Vectorial Forma Vectorial Ecuaciones Paramétricas Ecuaciones Paramétricas

Planos Forma Vectorial

Forma Normal

Forma General

Ecuaciones ParamĂŠtricas

Sección 4

Vectores código

A lo largo de la historia, la gente ha transmitido información usando códigos. En ocasiones la intención es disfrazar el mensaje a enviar, como cuando cada letra en una palabra se sustituye con otra diferente de acuerdo con una regla de sustitución. Aunque fascinantes, dichos códigos secretos, o cifrados, no se tratarán aquí; pues son el objetivo del campo de la criptografía. En vez de ello, el texto se concentrará en los códigos que se usan cuando deben transmitirse datos de manera electrónica.

ISBN

Binario:

Es el Número Internacional del Libro. Es el código de barras de los libros de texto y cuadernos. Pueden estar ubicados en los módulos Z11 o Z14 dependiendo de la cantidad de dígitos del mismo. Para verificar la autenticidad del mismo se debe realizar el producto punto del Vector y su Vector de Verificación.

Aquellos vectores cuyos únicos componentes son 0 y 1. Están ubicados en el módulo Z2.

UPC

z2 :

Es el Código Personal de Producto. Son más conocidos como código de barras en la vida diaria. Está ubicado en el módulo Z10.Para verificar la autenticidad del mismo se debe realizar el producto punto de éste y el vector de verificación. El Vector C siempre debe terminar en “1”. y debe estar escrito de la manera C=[...3,1,3...1]Para efectuar el producto punto de éste se debe sustituir el último dígito del vector V, y si el resultado es el mismo número el vector es legítimo.

Conjunto de número con suma y multiplicación de hasta el número anterior al más alto (n-1).  Por ejemplo el módulo Z3:

Un ejemplo de éste tipo de vector es:  # V=[0,1]

V=[0,1,2]

Secci贸n 5

Repaso y entretenimiento

R EPASO 1.1 Vectores Pregunta 1 de 3 Es un segmento de recta dirigido que corresponde a un desplazamiento desde un punto A hasta otro punto B

En esta secci贸n encontraran un repaso que les ayudara a saber si nivel de aprendizaje.

A. Vector B. Escalar C. Angulo

Comprobar respuesta

I MAGEN INTERACTIVA 1.1 Crucigrama 1

I MAGEN INTERACTIVA 1.2 Crucigrama 1

I MAGEN INTERACTIVA 1.3 Crucigrama 1

I MAGEN INTERACTIVA 1.4 Crucigrama 1

Desarrolladores

Alfredo Yuman Reckholder

Jonnathan Estuardo Rodriguez Castañeda

Interés:

Estudio en la universidad del valle de Guatemala la carrera de Ingeniería en mecatronica ya que lo que mas me gusta conocer el funcionamiento de las maquinas y crear maquinas a mi forma de pensar o buscar soluciones alternativas creando nuevas maquinas. Desde pequeño tengo ese interés ya que siempre desarmaba los juguetes para ver como funcionan y luego mi reto era armarlo y que funcionara .

Estudio ingeniería Mecatronica en la Universidad del Valle de Guatemala, elegí esta carrera porque uno de mis sueños más grandes es poder armar yo mis propios juguetes, Para mi la carrera es un hobbie, en ella encuentro los principios básicos que necesito para disfrutar al máximo mi pasión que es “crear”. Básicamente lo que yo algún día creare serán distintos juguetes motorizados manejables a distancia que es en sí lo que a mi me gusta poder manipular mis propios inventos de la forma que yo quiera.

xiv

Jose Armando Urias Carias

Maria Jose Chinchilla Godoy

Interés:

Estudio Ingeniería Civil en la universidad del Valle de Guatemala. Deseo dedicarme al diseño y construcción de puentes y estructuras sismo-resistentes ya que vivimos en un país altamente sísmico y además siempre he pensado que no hay nada más gratificante que construir.

Crear automatizar y conocer maquinas ya que le interesa el funcionamiento de las mismas , también me gustaría poder ayudar al ser humano descubriendo las diferentes características y diferentes beneficios de las maquinas.

Mario Alejandro Alvarez Vidal

Interés: Estudio ingeniería Mecatronica en la Universidad del Valle de Guatemala, elegí esta carrera porque uno de mis sueños más grandes es poder armar yo mis propios juguetes, Para mi la carrera es un hobbie, en ella encuentro los principios básicos que necesito para disfrutar al máximo mi pasión que es “crear”. Básicamente lo que yo algún día creare serán distintos juguetes motorizados manejables a distancia que es en sí lo que a mi me gusta poder manipular mis propios inventos de la forma que yo quiera.

xvi

Ángulo entre dos vectores cos(θ) =

(U1 • V1) + (U 2 • V 2) 2

U12 + U 22 •

V12 + V 22

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Componentes de un vector Son la coordenadas de un vector. Existen 2 formas de expresarlas: vectores columna y vectores renglón

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Desigualdad de Cauchy-Schwarz Se define como ∣ A • B ∣ ≤∥ X ∥ • ∥ Y ∥

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Desigualdad del triángulo Dice que en todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante.

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Diferencia de vectores Es la suma de un vector con el negativo del otro.

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Distancia entre dos vectores Es el vector de menor magnitud entre dos vectores

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Escalares Números reales

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Igualdad de vectores Dice que 2 vectores son iguales si tienen la misma dirección y magnitud.

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

ISBN Es el Número Internacional del Libro. Es el código de barras de los libros de texto y cuadernos. Pueden estar ubicados en los módulos Z11 o Z14 dependiendo de la cantidad de dígitos del mismo. Para verificar la autenticidad del mismo se debe realizar el producto punto del Vector y su Vector de Verificación.

Términos del glosario relacionados Vectores código

Índice

Buscar término

Longitud de un vector bidimensional A = longitud a,b componentes ∣A∣=

a2 + b2

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Longitud de un vector tridimensional a=<a,b,c>

∣A∣=

a2 + b2 + c2

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Magnitud o norma de un vector: Es quien determina la longitud de un vector

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Normalización de un vector Es obtener un nuevo vector unitario con la misma dirección y sentido.

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Posición estándar Cuando el punto inicial de un vector parte del origen.

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Producto cruz o producto vectorial El producto vectorial es un vector entre sí mismo, se denota con AxB y el resultante es perpendicular tanto para A como para B

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Producto de un escalar por un vector El escalar afecta a todas las componentes del vector y se multiplican por estas.

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

W = [w1,w2,w3] A = [a1,a2,a3] W • A = (w1a1) + (w2a2) + (w3a3)

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Producto punto o producto escalar Es la suma de la multiplicación de 2 vectores separados por sus componentes (x,y) o (x,y,z) ambos con la misma cantidad de componentes, que al final siempre dará un escalar.

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Propiedades del producto punto Son todas aquellas que hacen verdadera la función (Conmutativa, Asociativa,Distributiva)

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Punto Inicial u origen Es el nombre que se la da al punto donde inicia el vector

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Punto Terminal o punta Es el nombre que se le da al punto donde termina el vector

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

R^2 Nombre que recibe el plano cartesiano ya que esta compuesto por números reales en x y en y

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 + b2 = c2

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

UPC Es el Código Personal de Producto. Son más conocidos como código de barras en la vida diaria. Está ubicado en el módulo Z10.Para verificar la autenticidad del mismo se debe realizar el producto punto de éste y el vector de verificación. El Vector C siempre debe terminar en “1”. y debe estar escrito de la manera C=[...3,1,3...1]Para efectuar el producto punto de éste se debe sustituir el último dígito del vector V, y si el resultado es el mismo número el vector es legítimo.

Términos del glosario relacionados Vectores código

Índice

Buscar término

Vector Es un segmento de recta dirigido que corresponde a un desplazamiento desde un punto A hasta otro punto B. El término vector es utilizado para indicar una cantidad (como velocidad o fuerza) que tiene magnitud y dirección.

Términos del glosario relacionados Vector cero o vector nulo, Vector Columna, Vector en posición estándar, Vector Renglón, Vectores en R^n, Vectores paralelos

Índice

Buscar término

Vector Bidimensional Es un par ordenado de números reales. <a1,a2>

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Vector cero o vector nulo Es el vector que tiene como coordenadas [0,0] y se denota 0

Términos del glosario relacionados Vector

Índice

Buscar término

Vector Columna Es una matriz de dimensiones

Términos del glosario relacionados Vector

Índice

Buscar término

m x1

Vector en posición estándar Un vector en posición estándar es cuando el vector está ubicado en el origen.

Términos del glosario relacionados Vector

Índice

Buscar término

Vector Renglón Es una matriz de dimensiones 1xN

Términos del glosario relacionados Vector

Índice

Buscar término

Vector Tridimensional Es una triada ordenada de números reales. <a1,a2,a3>

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Vector unitario Es un vector cuya longitud es 1

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Vectores código Los vectores de código son utilizados en la vida diaria para realizar compras o corroborar la autenticidad de un producto.

Términos del glosario relacionados ISBN, UPC

Índice

Buscar término

Vectores en R^n Los vectores pueden utilizarse en cualquier dimensión(d)

Términos del glosario relacionados Vector

Índice

Buscar término

Vectores ortogonales Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.

Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí

Índice

Buscar término

Vectores paralelos 2 o más vectores son paralelos cuando un vector es múltiplo escalar del otro (es decir, uno depende linealmente del otro).

Términos del glosario relacionados Vector

Índice

Buscar término