Calculo stewart cap16 ed by José Edgar Carmona Franco

Cálculo vectorial

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Las su p erficies param étricas, q u e s erán e stu d ia d a s en la sección 16.6, son u s a d a s frecu e n tem en te por los prog ram adores creadores d e películas an im ad as. En e s ta im agen, una superficie p aram étrica re p re se n ta 3 la burbuja y a u n a fam ilia d e superficies s e m e ja n te s q u e m odelan s u movimiento.

En este c a p ítu lo e stu d ia m o s e l c álcu lo d e c am p o s v ectoriales. (É stas son fu n cio n es q u e asignan v ecto res a p u n to s en el e sp a c io .) En p a rticu la r d efin im o s las in teg rales d e línea (que serán u sad as p ara c a lc u la r el trab ajo realizado p or un c am p o de fuerzas al m o v er un cuerpo a lo largo de una curva). D espués d efinim o s in te g ra le s d e su p e rfic ie (q u e p u e d en u sa rse p a ra h a lla r la ra p id e z d e un flu id o p o r u n a su p e rfic ie ). La co n ex ió n e n tre e sto s n u ev o s tip o s d e in te g rale s sim p les, d ob les y trip le s q u e ya h e m o s v isto están d ad as p o r las v e rsio n es d e d im e n sio n e s m ás altas d el teo re m a fu n dam ental d e l cálculo : el teo re m a d e G re en , el teo re m a d e S to k es y el teo re m a d e la div erg en cia.

1055

1056

16.1

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

Campos vectoriales L a s fle c h a s d e la fig u ra 1 so n v e c to r e s v e lo c id a d q u e in d ic a n la ra p id e z y d ir e c c ió n d e l v ie n to e n lo s p u n to s q u e e s tá n 10 m p o r a r r ib a d e la s u p e rfic ie e n e l á r e a d e la b a h ía d e S an F ra n c isc o . A p rim e ra v ista, se o b s e rv a q u e las fle c h a s m á s la rg a s e n el in c iso a) in d ic a n q u e la m a y o r ra p id e z d e l v ie n to e n e s te tie m p o o c u rrió c u a n d o to d o s lo s v ie n to s a tr a v e s a ro n la b a h ía p o r e l G o ld e n G a te B rid g e . E l in c is o b ) m u e s tr a lo s m u y d if e r e n te s p a tr o n e s d e v ie n to 12 h o r a s a n te s. Im a g in e u n v e c to r v e lo c id a d d e l v ie n to a s o c ia d o c o n c a d a p u n to e n e l a ire . É s te e s u n e je m p lo d e u n c a m p o v e c t o r i a l d e v e l o c i d a d .

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6:00 p.m., 1 de m arzo de 2010

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b) 6:00 a.m., I de marzo de 2010

FIGURA 1 C am p o s vectoriales de velocidad que m uestran los p atrones de viento en la bahía de San Francisco.

O lio s e je m p lo s d e c a m p o s v e c to r ia le s d e v e lo c id a d se ilu s tra n e n la fig u ra 2: c o r r ie n te s o c e á n ic a s y e l flu jo q u e se e n c u e n tr a e n u n a u to m ó v il.

Corrientes oceánicas fuera de la costa de Nueva Escocia

b) Flujo que se encuentra en un automóvil

FIGURA 2 C am p o s vectoriales de velocidad O tro tip o d e c a m p o v e c to ria l, lla m a d o c a m p o d e f u e r z a , a s o c ia u n v e c to r fu e rz a c o n c a d a p u n to d e u n a re g ió n . U n e je m p lo e s e l c a m p o d e fu e rz a g ra v ita c io n a l q u e se e x a m in a e n el e je m p lo 4

SECCIÓN 16.1

CAMPOS VECTORIALES

1057

En g e n era l, un c a m p o v e c to r ia l e s u n a fu n ción c u y o d o m in io e s un c o n ju n to de p u n tos en IR2 (o IR3) y c u y o rango e s un c o n ju n to d e v e c to r e s en V2 o (V j).

| T | Definición

S e a D un con ju n to en IR2 (una región plana). Un c a m p o v ectorial

so b r e IR2 e s u n a fu n c ió n F q u e a s ig n a a c a d a p u n to ( a , y ) en D un v e c to r b id im e n sio n a l F( a , y).

L a m ejor m anera d e rep resentar un c a m p o v e c to r ia l e s dib ujar la fle c h a q u e rep resen ta al v e cto r F ( a , y) q u e in ic ie en e l p u nto ( x , y). N a tu ra lm en te, e s im p o sib le h a c e rlo para to d o s lo s p u n tos (a , y), p ero p o d e m o s c o n se g u ir u n a rep resen ta ció n ra zo n a b le de F traz a n d o la fle c h a para a lg u n o s p u n to s rep resen ta tiv o s en D c o m o en la fig u ra 3. P u esto qu e F (a , y ) e s un v e c to r b id im e n s io n a l, p o d em o s e x p r esa rlo en té rm in o s d e sus fu n c io n e s

c o m p o n e n te s P y Q c o m o sigue: F ( .v , y ) =

P (x , y ) i + Q { .v, y ) j = ( P ( x y y ) , Q (x y y ) } F = P\ + Qj

o b ie n , sim p lific a n d o ,

FI GURA 3

C am po vectorial sobre RO b serv e q u e P y Q son fu n c io n e s e sc a la r e s de d o s v a r ia b le s y , a lg u n a s v e c e s , se le s lla m a

c a m p o s e sc a la r e s para d istin g u ir lo s d e lo s c a m p o s v e cto r ia le s.

|~2~] Definición

S e a E un subconjunto de R 3. Un c a m p o v e c to r ia l so b r e IR3 e s una

función F que a sign a a ca d a punto (a , y , z) en E un vector tridim ensional F( a , y, z).

U n c a m p o v e c to r ia l F sobre IR3 se rep resenta en la fig u ra 4 . P o d e m o s exp resa r en térm in o s de su s fu n c io n e s c o n stitu y e n te s P y Q y R c o m o F (x , y,

z) = P ( x y y , z) i + Q ( x , y , z) j + R ( x y y , z) k

A l ig u a l q u e c o n la s fu n c io n e s v e c to r ia le s de la s e c c ió n 1 3 .1 , e s p o s ib le d e fin ir la c o n tinuidad d e lo s c a m p o s v e c to r ia le s y d em ostrar q u e F e s c o n tin u a si y s ó lo si su s fu n cio n e s c o n s titu y e n te s P y Q y R so n c o n tin u a s . A lg u n a s v e c e s id e n tific a m o s un p u n to ( a , y , z) c o n su v e cto r d e p o s ic ió n x = ( a , y , z) y FI GURA 4

e sc r ib im o s F (x ) en lugar d e F (a , y , z). E n to n ces F se c o n v ie r te en una fu n ció n q u e a sig n a

C am po vectorial sobre R 3

un v e c to r F (x ) a un v e c to r x.

c a m p o v e cto r ia l sobre IR2 e stá d e fin id o por F ( a , y ) =

y i + Aj.

D e sc r ib a F trazan do a lg u n o s d e sus v e c to r e s F ( a , y ) c o m o en la fig u ra 3.

SOLUCIÓN P u e sto q u e F( 1, 0 ) = j, d ib u ja m c s e l v e c to r j = (0 , 1) in ic ia n d o en e l p u nto (1, 0 ) en la fig u r a 5. C o m o F (0 , 1) = —i, d ib u ja m o s e l v e c to r ( —1 , 0 ) c o n in ic io en e l p u n to (0 , 1). A l c o n tin u a r d e e s te m o d o , c a lc u la m o s v a r io s v a lo r e s r e p r e se n ta tiv o s de

F ( a , y ) en la ta b la y d ib u ja m o s lo s v e c to r e s c o r r e s p o n d ie n te s para r ep resen ta r e l c a m p o v e c to r ia l en la fig u r a 5.

(A, y)

FIG U R A 5 F

ía

. y) = - y i +

(a , y)

F ía , y)

(1,0)

( 0 ,1 )

( - 1, 0)

( 0 ,- 1 )

(2,2) (3,0)

( - 2 ,2 ) ( 0 ,3 )

(-2 , -2 ) ( - 3 ,0 )

(2 , - 2 ) (0 , - 3 )

(0, 1)

( - 1, 0)

( o .- i)

( 1 ,0 )

( - 2 ,2 )

( - 2 , -2 ) ( - 3 ,0 )

(2, - 2 )

( 2 ,2 ) ( 3 ,0 )

(0,3) a

F(.x, y)

(0, - 3 )

1058

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

A l parecer, seg ú n la figu ra 5 , c a d a fle c h a e s tangente a la c ir c u n fe r e n c ia c o n cen tro en e l o rig en . Para c o n firm a r lo , c a lc u le m o s e l p rodu cto p u nto d e l v e cto r d e p o s ic ió n x = x i + y j c o n e l v e cto r F (x ) = F(at, y):

x • F ( x ) = (.v i + y j ) • ( - y i + .v j) = -

E sto d e m u e str a q u e F (* , y) e s p erp en d icu lar al v ecto r de

x y + y.v = O p o s ic ió n (x, y) y ,

tan g en te a la c ir c u n fe r e n c ia c o n cen tro en e l origen y rad io | x | =

por tanto, e s

v/.v2 4-

y 2 . O b serv e

q u e tam bién

i F ( .t, y ) | =

V (-y )2 +

x 2 =

V .v 2 +

y 2 =

d e m o d o qu e la m agn itu d d e l v e c to r F(A, y ) e s igu al al radio d e la cir cu n fe re n c ia . A lg u n o s sistem as a lg eb ra ico s c o m p u ta riza d o s son c a p a c es d e dibujar ca m p o s v ecto r ia le s en d o s o tres d im e n sio n e s. P rop o rcion an u n a m ejor rep resen ta ció n d e l c a m p o v e cto r ia l d e lo q u e e s p o s ib le a m a n o , porque la co m p u ta d o ra p u ed e trazar una gran cantidad d e v ecto res representativos. L a figura 6 m uestra una gráfica por com p u tad ora d e l c a m p o v e c to rial d e l e je m p lo 1. L as figu ras 7 y 8 m uestran otros d o s c a m p o s v e c to r ia le s. O b serv e qu e las co m p u ta d o ra s dan una e s c a la a la s lo n g itu d es d e lo s v e c to r e s d e m o d o q u e n o sean d e m a sia d o g ran d es, pero q u e sean p r o p o r c io n a le s a su s lo n g itu d e s verd aderas. 5

r/ J J i i -5

S S ^ *rJ ^ 1 J ' * ' S \ \ i i >' • 1 \ M M i » ‘ • * t M

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FI GURA 6

FI GURA 7

FIGURAS

F(.v, y) = ( — v, x )

F u , y) = (y , sen .v>

F (a , y) = <ln(l + y 2), ln(l + a 2)>

| U J23E H

D ib u je e l c a m p o v e c to r ia l sob re R 3 d a d o por F i.v, y , z ) = r k

SOLUCIÓN L a g rá fica se m u estra en la figu ra 9. O bserve qu e to d o s lo s v e c to r e s son

v e r tic a le s y apuntan h a c ia arriba por e n c im a d e l plano x y o h a c ia abajo d e é ste . L a m agn itu d se in c re m en ta c o n la d ista n c ia a partir del p la n o xy.

FIG U R A 9 F ( a , v, : ) = : k

P o d e m o s dibujar e l c a m p o v e c to r ia l d e l e jem p lo 2 a m a n o porqu e tien e u n a fó rm u la m u y se n c illa . Sin e m b a r g o , la m a y o ría d e lo s c a m p o s v e c to r ia le s tr id im e n sio n a le s son

SECCIÓN 16.1

CAMPOS VECTORIALES

1059

v irtu a lm en te im p o sib le s de dib ujar a m a n o , por lo q u e n e c e s ita recurrir a un siste m a a lg e b raico c o m p u ta r iza d o . S e ilustran e je m p lo s en las fig u ra s 10, 11 y 12. O b serv e q u e lo s c a m p o s v e c to r ia le s d e las figuras 1 0 y 1 1 tienen fórm u las sim ila res, pero to d o s lo s v ecto res d e la fig u ra 1 1 apuntan en la d ir e c c ió n gen eral d e l eje y n e g a tiv o porq u e su s c o m p o n e n tes y son —2. Si e l c a m p o v e c to r ia l en la figura 12 rep resen ta un c a m p o de v e lo c id a d , e n to n c e s u n a partícu la pod ría ser d e sp la z a d a h a c ia arriba y giraría en e sp ir a l alred ed or d e l e je z en e l se n tid o d e las m a n e c illa s d e l reloj si se ve d e sd e arriba.

F I GUR A 10

F I G U R A 11

F(.v, v, z ) « y i + r j + A-k

F(.v, y, z) =

En V isual 16.1 p o cem o s g ira r lo s ca m p o s

v ec to riales d e las figuras 10 a 12. a s í com o los ca m p o s adicio nales.

E JE M P L O 3

F I GURA 12 v

F(.v,y,z) = 7 1 —T J + 4 k

Im a g in e un flu id o q u e corre en form a e sta b le por u n a tub ería, y sea

V (x, y , z) e l v e c to r v e lo c id a d en un p u n to (*, y, z). E n to n c e s V a sig n a un v e c to r a c a d a p u n to ( x , y , z) en un d e te r m in a d o d o m in io E (e l in te rio r d e la tu b ería ), d e m o d o q u e V e s un c a m p o v ectoria l sobre R 3 lla m a d o c a m p o d e v e lo c id a d e s . Un c a m p o de v e lo c id a d e s p o s ib le se ilu str a en la fig u ra 13. L a rap id ez en c u a lq u ie r p u n to d a d o se in d ic a por la lo n g itu d d e la flec h a . L o s c a m p o s de v e lo c id a d e s tam bién se presentan en otras áreas d e la física. Por e je m p lo , e l c a m p o v e c to r ia l d e l e je m p lo 1 se p od ría usar c o m o c a m p o d e v e lo c id a d e s para d e sc r ib ir la r o tació n d e una rueda en e l se n tid o con trario al d e las m a n e c illa s d e l reloj. En la s fig u ra s I y 2 se v en otros e je m p lo s d e c a m p o s d e v e lo c id a d .

F I GURA 13

C am po de velocidades

E JE M P L O 4

L a ley d e la gra v ita ció n d e N ew to n e sta b le c e q u e la m agn itu d d e la fu erza

g r a v ita c io n a l en tre d o s o b je to s c o n m a sa s m y M e s

mMG |F|

d o n d e r e s la d ista n c ia entre lo s o b je to s y G e s la c o n sta n te g ra v ita cio n a l. (É ste e s un e je m p lo de la le y d e lo s cu a d ra d o s in v e r so s.) S u p o n g a m o s qu e e l o b jeto d e m a sa M e stá en e l o rigen en R 3. (P or e je m p lo , M pod ría ser la m a sa d e la T ierra y e l o rigen pod ría ser su c en tro .) S e a x = (x, y , z ) e l v e c to r d e p o sic ió n d e l o b jeto c o n m a sa m. E n to n ce s,

r = | x |, a s í qu e r 2 = | x |2. L a fu erza g r a v itacio n a l e je r c id a en e ste se g u n d o o b je to actúa h a c ia e l o r ig e n , y e l v e cto r un itario en e sta d ir ec ció n e s x

,r>T Por lo tanto, la fu erza g r a v ita c io n a l q u e actúa sobre e l o b jeto en x =

(x, y, z ) es

mMG F (x )

[L o s fís ic o s u tilizan la n o ta c ió n r en lugar de x para e l v e c to r d e p o s ic ió n , d e m o d o qu e p o d e m o s e n c o n tr a r la fó r m u la 3 e s c r ita en la fo r m a F =

— { m M G /r 2 )r.] L a fu n c ió n

1060

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

dad a por la e cu a ció n 3 e s un e jem p lo de un ca m p o vectorial, llam ad o c a m p o g r a v ita c io n a l, porqu e a s o c ia un v e c to r [la fu erza F (x)J c o n to d o p u nto x en e l e sp a c io . L a fó rm u la 3 e s u n a form a c o m p a c ta d e exp resa r e l c a m p o g ra v ita c io n a l, pero tam b ién p o d e m o s e sc rib irla en té rm in o s e l h e c h o d e qu e x= x i +

-m M G x F U ’ y ’ Z) =

(? + r

d e sus fu n c io n e s c o n stitu y e n te s u san d o

+ z k y | x | = \/.v 2 + y 2 + z 2 :

-m M G y

+ z 2 )3/2 '' + (x 2 + y 2 + z 2)3/2 j +

-m M G z ( .V" + y 2 + 7 f ~ 2 k

E l c a m p o g r a v ita c io n a l F se rep resen ta en la figura 14.

E JE M P L O 5

S u p o n g a q u e u n a ca rg a e lé c tr ic a Q se lo c a liz a en e l o rig en . D e acu erd o co n

F I G U R A 14

la ley d e C o u lo m b , la fu erza e lé c tr ic a F ( x ) q u e ejerce e s ta ca rg a sob re la carg a q situada

C am po de fuerza grav i tac ional

en e l p u nto (x , y , z) c o n v e c to r d e p o s ic ió n x =

(.r, y , z ) e s

FW =

d o n d e e e s u n a co n sta n te (q u e d e p e n d e d e las u n id ad es q u e se u tiliz a n ). En e l c a s o de ca rg a s sim ila r e s, cjQ > O y la fu erza e s d e repulsión: si la s ca rg a s son d e sig n o co n tra rio, e n to n c e s qQ < O y la fu erza e s d e atra cció n . O b serve la sim ilitu d en tre las fó rm u la s 3 y 4. A m b o s c a m p o s v e c to r ia le s son e je m p lo s d e c a m p o s d e fu e r z a . En lugar de c o n sid e r a r la fu erza e lé c tr ic a F , les fís ic o s tom an en c u e n ta a m e n u d o la fu erza por unidad d e carga: 1 sQ E (x ) = — Fí x ) = -¡— r r x q |x|5 E n to n c e s E e s un c a m p o v e c to r ia l sob re IR3, lla m a d o c a m p o e lé c t r ic o d e Q.

■ ■

W M Campos gradiente S i / e s u n a fu n ción e sc a la r d e d o s v a r ia b le s, d e acuerdo c o n la s e c c ió n 1 4 .6 su gradien te V / ( o g r a d / ) , se d e fin e c o m o V / ( .r , y )

f x( x ,

f y{x ,

Por ta n to , V / e s r e a lm e n te un c a m p o v e c to r ia l so b re R 2 y se lla m a c a m p o v e c t o r ia l g r a d ie n te . D e l m ism o m o d o , s i / e s una fu n ció n e sc a la r d e tres v a r ia b le s, su grad ien te e s un c a m p o v e c to r ia l sob re IR3 d a d o por

V / ( .í , y , z)

= f x(x,

z ) i+ / y( i , y , z ) j+

f x( x ,

y , z )k

E H JH JU

v e c to r ia l gradiente d e f ( x , y) = .v2y — y 3. D ib u je el

E ncu en tre e l c a m p o

c a m p o v e c to r ia l grad ien te ju n to c o n un m a p a d e co n to rn o d e f ¿C uál e s su rela ción ? SOLUCIÓN El c a m p o v e cto r ia l grad ien te e stá d a d o por

V / ( .v ,y ) = t ^ í +

~ ~ j = 2 x y i + (.v2 - 3 y 2) j dy

En la fig u ra 15 se m u estra un m a p a d e c o n to r n o de / c o n e l c a m p o v e c to r ia l gradiente. - 4

FIG U R A 15

O b serv e q u e lo s v e c to r e s gradien te son p erp en d icu lares a las c u r v a s d e n iv e l, c o m o era d e esp erarse d e a cu erd o c o n la s e c c ió n 14.6.

SECCIÓN 16.1

CAMPOS VECTORIALES

1061

N o te tam b ién qu e lo s v e c to r e s grad ien te son la rg o s d o n d e las c u rv a s de n iv e l están c er ca n a s entre sí, y c o r to s d o n d e las c u rv a s se separan. L a razón e s q u e la lon gitu d d e l v e c to r gradien te e s e l va lor d e la d e r iv a d a d ir e c c io n a l de f y las c u r v a s d e n iv e l c erca n a s in d ica n u n a g rá fica d e fuerte p en d ien te. U n c a m p o v e c to r ia l F se d e n o m in a c a m p o v e c to r ia l c o n se r v a tiv o si e s e l grad ien te de a lg u n a fu n ció n e sc a la r , e s d e c ir , si e x is te una fu n ción / tal qu e F = V / En e s ta situ a c ió n , / recib e e l nom b re d e fu n c ió n de p o te n c ia l para F. N o to d o s lo s c a m p o s v e c to r ia le s son c o n se r v a tiv o s , p ero ta les c a m p o s su rgen c o n fr e c u e n c ia en la física . Por e je m p lo , e l c a m p o g r a vitacio n a l F d e l e je m p lo 4 e s c o n se r v a tiv o porqu e si d e fin im o s

mMG

f(x,y,z)

+ y2 + z2

V -V 2

e n to n c e s v / o , y (Z ) = f i

+ f

j + f

- mMGx

- mMGy

- mMGz

( x ! + y 2 + z 2)3' 2 J + (.V2 + y 2 + z 2)2' 2 "

( X2 + y 2 + z 2) 3/2 = F u .y .z )

En la s s e c c io n e s 16.3 y 1 6 .5 a p ren d erem o s la m anera d e afirm ar si un c a m p o v e cto r ia l d a d o e s c o n se r v a tiv o o n o lo e s.

Ejercicios 1-10 T race el cam po vectorial F en un diag ram a com o la figura 5 o la figura 9. 1. F (.í, y) = 0.3 i - 0.4 j 3. F U 5.

y) = “ I* + (y “ * ) j

f u y) f u y)

13.

f u y)

<y,y + 2>

14.

f u y)

( c c s ú + y), .x>

2. F U y) = i-vi + y j FU

y) = y i + (x + y) j

y / / / / / / ; / . / T t T t T t ) r t ? r i i i t 1 \ \ i \ \ . \. \. V

y ¡ + xj v ^ + y 1 y i - vj

V V . \ K « w

l \ \ * ' ' l [¡ 1 1 N -3 i i i * - / / ' ' ‘ ' \ l ¿ ' ' \ \ J ' " *

- 3

\ \ 1 \ \ \ \ / M \ ' M \ > / ; f

(V \ x \ \ \ \ 1 i i i

10. F U y , r ) - j - i

11-14 H aga corresponder los cam pos vectoriales F con las gráficas I a IV. Dé razones para sus elecciones.

3 IV

III

y, r ) = * k

\ \ \ V» s, 'm -* — J \ \ ^\ \ \ ^ s y \ \ > l . > > r t J ' ' ' t í y ’■ ' \ \ \ k

-l S

v V \ \ \

V \ \ \ \ \ \ \ \ \ v

12. f u y) = (y>* - y)

|SAC | Se req u iere sistem a alg eb raico c o m p u ta riz a d o

V V > / - - V t t J\

* / / / - W /

8. F ( x ,y ,r ) = - y k

11. F U y) = U -y )

/ / / / ; r ; r t t r t t t 1 f 1 1 1 t t i < 1

« w^

7. f u y, z) = k

9. F U

/ r t t 1 i

1. T a re a s su g erid as d isp o n ib le s en stew i.rtcalculus.com

7 ~ 7 ~ m

i V S. \ S J |

S S / i i l \ s. S .S * S S S / i l \i s. s ^ L—— — H- 4% . S. s t V. V V *s. \ V \ \ \ \ \

l > • s p %r t r t f 1 í 3

V .* /

V* V, -» —■“*■ .4 -4 _-*• / p*

/ / S S t ; / A

1062

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

15-18 R elacione los cam pos vectoriales F sobre g ráficas I a IV. De razones para sus elecciones. 15. F ( x , y , z ) = 17.

i + 2j + 3k

F(jc, y, z) - x i

y, z )

1 8 . F ( .x ,

29-32 R elacione las fu n cio n es/ con las gráficas de los cam pos

con las

vectoriales gradiente I a IV. Dé las razones de su elección.

16. F ( * , y , z ) =

i +

29. f ( x , y ) =

+ y j + 3k

X2 +

I ^

^ \

{

U J " ¡ s s s

l '^ .'^ 4 V. k

* ' V

/ '

n f

•

1* s «.

1 \

■ S . 7 /

■

t *

‘

— 4“ .+— *■•

4 r -

> A

x ( .x +

f ( x , y) — sen v '.v: + y 2

32.

4 í\ X ‘ x

30. /( .x , y) =

(jx + y)2

31. f ( x , y) =

■’

. . . .

■

7 7 / / s / / / f / s /

■*

■

•

/ /

. . . »

j / j /

^ /

■

-4

1 IV

III ( \ \

t / . / / / S S s»

4 ' /

■ » .

•

• .

•

■

’

.» ^

iS ' S

■i \

y r' y* y

33.

[s*c| 19. Si tiene un SAC que trace cam p o s v ectoriales (el com ando es f i e l d p l o t en M apJe y P l o t V e c t o r F i e l d e n M athem atica), uti ícelo para trazar

34.

35.

2 /)x , donde x = < A ,y ) y r = |x |. M ediante un SAC grafique este cam po vectorial en varios dom inios hasta que pueda ver lo que sucede. D escriba la ap ariencia de la gráfica y exp líq u ela d eterm inando los puntos donde F(x) = 0.

36. x 2 -

26.

/( .x ,y ) =

y/x2 +

/ ( * , y) = ln( 1 + x 2 + 2 y 2)

28. f ( x , y) =

D ibuje el cam po vectorial F(.X, y) = ¡ + .Xj y luego

dibuje algunas líneas de flujo. ¿Q ué form a parecen tener estas líneas de flujo? Si las ecuaciones param étricas de las líneas de flujo

son x = x(t), y = y(t), ¿qué ecu aciones diferenciales satisfacen estas funciones? D ed uzca que d y f d x = x. Si una partícula parte del origen en el cam po de

|SAC|27-28 D ibuje el cam po vectorial gradiente d e / j u n t o con un m apa de contorno d e / . E xplique cuál es la relación que guardan entre sí. 27.

Si las ecuaciones param étricas de una línea de flujo son .X = .x(f), >' = y (/), explique por qué estas funciones

de flujo que pasa por el punto (1, 1).

25-26 D eterm ine el cam po vectorial grad ien te V /d e / y dibújelo. =

Use un diagram a del cam p o vectorial F(jC, y) = .Xi — y j para d ib u jar algunas líneas de

cu m p len con las ecu acion es d iferen ciales d x / d t = X y d y f d t = - y . L uego resuelva las ecuacionesdiferenciales para en co n trar una ecuación de la línea

y ,z ) = .x ln (y — 2z)

f ( x , y )

10)

flujo. A partir de lo s diag ram as, ¿p o d ría ad iv in ar las ecu acio n es de las líneas de flujo?

22. /(.x , y) = tan(3.x - 4y) b)

25.

los vectores en un cam po vectorial son tangentes a las líneas de flujo.

2 3 ./( j c ,y ,z ) = N/.x2 + y 2 + z 2 f ( x ,

L as lín e a s d e flujo (o lín e a s de c o rrie n te ) de un cam po vectorial son las trayectorias que sigue una partícula cuyo cam po de velocidades es el cam p o vectorial dado. P o r tanto,

21-24 D eterm ine el cam po vectorial grad iente d e /.

24.

encuentre su posición aproxim ada en el tiem po t = 1.05.

|sÁc] 20. Sea F (x ) = (r* -

x e *>

Fí.x, y) = ( x y - 2, y 2 -

E xplique la apariencia al d eterm inar el conjunto de puntos (x, y) tales que F (x , y) = 0.

y) =

U na partícula se e ncuen tra en la posición (1, 3) en = 1. Si se m ueve en un cam po de velocidad

F U , y) = ( y 2 - 2.xy) i + (3.xy - 6.x 2)j

f ( x ,

U na partícula se m ueve en un cam po de velocidad V(.x, y) = ( .x2, x + y 2). Si su p o s ic io n e s (2, l ) e n un tiem po t = 3, estim e su posición en el tiem po t = 3 .0 1.

21.

e o s .x - 2 sen y

velo cidad es dado p o r F , determ ine una ecuación de la trayectoria que sigue.

un tiem po

SECCIÓN 16.2

INTEGRALES DE LÍNEA

1063

Integrales de línea En e s ta s e c c ió n se d e fin e u n a in tegra l q u e es sim ila r a la in tegral sim p le , e x c e p to q u e en lugar d e integrar sob re un in te rv a lo [« , b ], in teg ra m o s sob re u n a c u r v a C. E stas in teg ra les se llam an integrales de línea , aunque un m ejor n om b re e s e l d e “ in te g ra les c u r v ilín e a s” . F ueron in v en ta d a s a p r in c ip io s d e l sig lo x ix para r e so lv e r p r o b le m a s r e la c io n a d o s c o n el flu jo d e flu id o s , fu erza s, e le ctr icid a d y m a g r e tism o . In ic ia m o s c o n una c u r v a plan a C d ad a por las e c u a c io n e s param étricas

|T |

= x{t)

y = y(t)

a ^ t^ b

o, en fo rm a e q u iv a le n te , por la e c u a c ió n v ecto ria l r(7) = x ( /) i + y (í) j , y su p o n g a m o s qu e C e s u n a c u r v a su a v e. [E sto s ig n ific a qu e r' e s c o n tin u a y qu e r'(¿) ^ 0. V é a se la se c c ió n 13.3.J Si d iv id im o s e l in te rv a lo d e l parám etro [« , b J en n su b in te rv a lo s [Íí-i, a n ch o y h a c e m o s Xi =

xit¡)

ti]

d e igu al

y y* = y (/f), e n to n c e s lo s p u n tos c o rr e sp o n d ie n te s Pí {Xí , y»)

d iv id e n a C en n su b a rco s d e lo n g itu d e s A s i, A $ 2 , . . . , A s n (v é a s e la fig u ra 1). E le g im o s c u a lq u ie r p u n to

P*(x*, y?)

en e l 7 -é sim o su b a rco. (E sto c o r r e s p o n d e a un p u n to

[/»•-!. fe]). A h o ra , s i / e s una fu n ció n d e d o s v ariab les c u y o d o m in io in c lu y e a la c u r v a C , e v a l u a m o s / e n e l p u n to

( x f %y * ),

m u ltip lic a m o s por la lo n g itu d A s , d e l su b arco , y fo r m a -

m o s la su m a

2 /(*?, y,*) As,

i= i FI GURA 1

qu e e s sim ila r a la su m a d e R iem an n . L u e g c to m a m o s e l lím ite d e e sta s su m a s y e s ta b le c e m o s la sig u ie n te d e fin ic ió n por a n a lo g ía con la in tegra l sim p le.

|~2~| Definición

Si / se d e fin e sob re una cu rva C su a v e d ad a por las e c u a c io n e s 1,

e n to n c e s la in te g r a l d e lín e a de/a lo la r g o d e C e s H | f ( x , y ) ds =

lím J

/ ( x f , y*)

si e ste lím ite e x is te .

En la s e c c ió n 10.2 e n c o n tr a m o s q u e la longitud d e C es

w: VdFW * U n ra zo n a m ie n to sim ila r se p u ed e p lan tear para d em ostrar q u e si / e s u n a fu n ció n c o n tinu a, e n to n c e s e l lím ite d e la d e fin ic ió n 2 siem p re e x is te y la fó rm u la sig u ie n te se puede usar para e v a lu a r la in teg ral de línea:

j> r, >"* = ]> •« . y(0) y¡(wf +(w)

El v a lo r d e la in teg ra l d e lín ea n o d e p e n d e de la p aram etriza ció n d e la c u rv a , siem p re qu e é s ta se recorra e x a c ta m e n te u n a v e z c u a n d o

t se

in c re m en ta d e sd e a h a sta

1064

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

La función s d e la longitud d e arco s e tra ta en la

Si s(í) e s la lon gitu d d e C en tre r(¿r) y r(7), e n to n c e s,

secció n 13.3.

ds dt L a m a n era d e recordar la fó rm u la 3 e s ex p resa r tod o en térm in o s d e l parám etro /: u sa m o s las e c u a c io n e s param étricas para ex p resa r x y y en té rm in o s de t y e sc r ib im o s d s c o m o

- VdLW * En e l c a s o e s p e c ia l d o n d e C e s e l se g m e n to r ec tilín e o q u e une (a, O) c o n ( b , O), al usar x c o m o p aram en o , p o d e m o s e sc rib ir la s e c u a c io n e s pa ra m étricas d e C c o m o sig u e; x — x, y = O, a ^ x ^ b. L a fó rm u la 3 se transform a en

f f ( x , y) ds = Í V ( * , 0 ) d x J c

y en e ste c a s o la in teg ra l d e lín e a se red u ce a una in tegra l sim p le ordinaria. J u sto para u n a in teg ral sim p le ordinaria se interpreta la in teg ral d e lín e a d e una fu n ció n

positiva c o m o un área. D e h e c h o , si f ( x , y) ^ O, e n to n c e s Jc f ( x , y) d s rep resen ta e l área d e un la d o d e la “c e r c a ” o d e la " co rtin a ” d e la figura 2 , c u y a b a se e s C y altura por arriba d e l p u nto (at, y) e s f ( x , y).

FI GURA 2

E S U M S t E v a lú e J c (2 4- x 2y) ds, d o n d e C e s la m itad su perior d e la c ir c u n fe r e n c ia unitaria x 2 + y 2 = 1. y, SOLUCIÓN C on o b jeto d e a p licar la fó rm u la 3 n e c e sita m o s prim ero e c u a c io n e s X- + y - =

param étricas q u e rep resen ten a C. R ecu erd e q u e la c ir c u n fe r e n c ia unitaria se pu ed e

O’ > 0 )

param etrizar por m e d io d e la s e c u a c io n e s

x = cos t

y = sen t

y la m itad su perior d e la c ir c u n fe r e n c ia se d escrib e por e l in te rv a lo d e l parám etro O ^ t ^ 't t . (V é a s e la fig u ra 3). Por tanto, la fórm u la 3 da

Jc(2 +A':-v) d s~ =

+( í )

+ c“ : ' sen

| * (2 + e o s 2 t sen i) y/sen2 t + c o s 2t dt

f-r > -> v T co s3 f l * (2 + cos" t sen t) d t = \ 2 t --------------- l

3 i

= 2 ir +

S u p o n g a m o s q u e C e s u n a c u r v a s u a v e p o r tr a m o s; e s d e c ir , C e s u n a u n ión d e una can tid ad fin ita d e c u rv a s su a v e s C |, C 2 , . . . , C „, d o n d e , d e acu erd o c o n la figu ra 4 , e l punto in ic ia l d e CI+i e s e l p u n to fin a l d e C,. E n to n c e s, d e fin im o s la in te g ra l d e / a lo la rg o d e O

FI GURA 4

Una curva suave por tramos

C c o m o la su m a d e la s in te g ra les d e / a lo largo de c a d a una d e la s partes su a v e s d e C:

f f ( x , y) ds = (

»C

» C|

f ( x , y ) d s + f f ( x , y) ds + • • • + f •> C»

/( .* , y) ds

SECCION 16.2 E JE M P L O 2

INTEGRALES DE LINEA

1065

E v a lú e f c 2 x d s , d o n d e C c o n siste d e l arco C¡ d e la p a r á b o la )’ = x2 d e sd e

(O, 0 ) h asta ( 1 , 1 ) se g u id o por e l se g m e n to r ec tilín e o C \ d e sd e ( 1 , 1 ) h a sta (1 , 2). SOLUCIÓN L a c u r v a C se m u estra en la figura 5. Cj e s la g rá fica d e u n a fu n ció n d e x, de

y i

m o d o q u e e le g im o s a x c o m o e l parám etro y las e c u a c io n e s d e C\ se v u e lv en ( 1 ,2 ) C 2 j ( 1 ,1 )

( 0 ,0 )

Por tanto,

-V

2xds

1 ' 2x y

J { i t ) 2 +

{ %

FI GURA 5

= I ' 2*

\/l + 4 x2 dx

5 v"5

(I + 4 x 1) ^

C - C, U C,

)

S o b re Ci e le g im o s a y c o m o e l parám etro, de m o d o q u e las e c u a c io n e s d e C 2 son

x = \

y = y

i =£y=s=2

Je, 2 x d s =

Por tanto,

r Je

dy =

2xd s =

Je,

2xds +

2 dy = 2

c 5yfs - 1 2x d s = 1-2 Je, 6

C u a lq u ier in terp retación físic a d e u n a integral d e lín e a j c f ( x , y) ds d e p e n d e d e la in terpretació n fís ic a de la fu n ció n f

S u p o n g a que p(x, y) rep resen ta la d en sid a d lin ea l en un

p u nto ( x , y) d e un alam bre d e lg a d o c o n form a d e la c u r v a C. E n to n c e s la m a sa d e la parte d e l alam bre d e sd e Pi-i h a sta P„ d e la fig u ra l , e s ap ro x im a d a m en te p{xT , y * ) A 5, y , a sí, la m a sa total d e l alam bre e s ap ro x im a d a m en te - p { x * ,y ? ) A s,. A l tom ar m á s y m á s p u n tos sob re la cu rv a o b te n e m o s la m a s a m d e l alam bre c o m o e l va lo r lím ite de e sta s a p r o x im a cio n es:

lím 2

p í- t f , y*) A s , =

| p(x, y ) ds

[P o r e j e m p lo , si f ( x , y) = 2 + x2y r e p re se n ta la d e n s id a d d e un alam b re se m ic ir c u la r , e n to n c e s la in teg ra l d e l e je m p lo 1 rep resentaría la m a sa d e l alam b re.] El c e n t r o d e n ia s a d e l alam bre c o n fu n ció n d e d e n sid a d p se sitúa en e l p u nto {x, y ), d on d e

[T I

X = — í x p { x , y) d s

m Je

y = — í y p ( x , y) ds m Je

Otra interpretación físic a d e las in tegrales de lín ea se e stu d ia m ás adelante en e ste cap ítu lo.

E JE M P L O 3

Un alam bre to m a la fo rm a de u n a se m ic ir c u n fe r e n c ia xr + yr = 1, y > 0 ,

y e s m á s g ru eso c e r c a d e su b a se q u e d e la parte superior. C a lc u le e l cen tro d e m a sa d e l alam bre si la d en sid a d lin ea l en c u a lq u ie r punto e s p ro p o rcio n a l a su d ista n c ia d e sd e la recta y = 1. SOLUCIÓN C o m o en e l e je m p lo 1, u sa m o s la p ara m etrizació n x = e o s í, y = sen t, 0 ^ t ^ 't t : y e n c o n tr a m o s q u e d s = dt. L a den sid ad lin ea l e s p ( x , y ) = k( 1 - y)

1066

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

d o n d e k e s u n a c o n s ta n te , p o r lo q u e la m a s a d e l a la m b re e s rn =

| k (l — y )ds =

— se n t ) d t = k [ t + e o s /]() = k ( i r — 2 )

S e g ú n las e c u a c io n e s 4 te n e m o s

y = - L

TT -

y p <x ' y ) d s = k ( n ~ 2 )

~ y)ds

(se n / — s e n 21) elt

[ —e o s t — i t + * sen 2 ?

2 Jo

1T- 2

4 — 7T 2 ( ^ - 2 ) P o r s im e tr ía v e m o s q u e x = O, d e m o d o q u e e l c e n tro d e m a s a e s

( 0* ~ ( 0 ,0 . 3 8 ) \ 2 (t t — 2 ) / FI GURA 6

(V é a s e la fig u ra 6 .) L a s o tra s d o s in te g r a le s d e lín e a se o b tie n e n r e e m p la z a n d o A s, p o r A

a :,

X i — X j- u

p o r A y, = y, — y ,- i e n la d e f in ic ió n 2. S e les lla m a i n t e g r a l e s d e lín e a d e / a lo l a r g o d e C r e s p e c t o a * y y: n í f{x , y ) d x = lím 2 / ( * * , y ? ) A.v,

" ,-1

f ( x , y) d y = lím ¿ / ( * ? . V*) A y,

C u a n d o q u e r e m o s d is tin g u ir la in te g r a l d e lín e a o rig in a l j c f{x> y) d s d e la s e c u a c io n e s 5 y 6 , se d e n o m in a i n t e g r a l d e l ín e a r e s p e c t o a la lo n g itu d d e a r c o . L a s f ó r m u la s s i g u i e n t e s e s t a b l e c e n q u e la s i n t e g r a l e s d e l ín e a r e s p e c t o a x y y se p u e d e n ta m b ié n e v a lu a r e x p re s a n d o to d o en té rm in o s d e t. x = x(t). y = y(t). d x = x 'it ) dt.

d y = y \ t ) dt.

f(x ,y )d x =

\"f{x (> ).y (t))A t)d , Ja

f i x , y) d y =

f ( x { t ) ,y ( t) ) y '( t) d t

A m e n u d o su c e d e q u e la s in te g r a le s d e lín e a re s p e c to a a : y y se p r e s e n ta n ju n ta s . C u a n d o e s to s u c e d e , se a c o s tu m b r a a b r e v ia r la s e s c rib ie n d o

f( P{ x y ) d x +

Q( a ; y ) d y =

f P ( x , y) d x 4- Q {x , y) d y

A lg u n a s v e c e s , al p la n te a r u n a in te g r a l d e lín e a lo m á s d if íc il e s p e n s a r e n u n a r e p r e s e n ta c ió n p a r a m é t r i c a d e u n a c u r v a c u y a d e s c rip c ió n g e o m é t r i c a se c o n o c e . E n p a r t i c u la r , c o n fr e c u e n c ia n e c e s ita m o s p a r a m e tr iz a r un s e g m e n to re c tilín e o , d e m o d o q u e e s ú til

SECCIÓN 16.2

INTEGRALES DE LÍNEA

1067

record ar q u e una rep resen ta ció n v e c to r ia l del se g m e n to r e c tilín e o qu e in ic ia en ro y term in a en n e stá d a d o por

r(f) = (1 - í)ro + fn

(V é a se la e c u a c ió n 1 2 .5 .4 ) E 2 2 H S ¡ n E v a lú e j c y 2d x + x d y , d on d e a) C = C\ e s e l se g m e n to r e c tilín e o d e sd e

( — 5, —3 ) h asta (O, 2 ) y b ) C = Ci e s e l arco de la p aráb ola x = 4 — y2 d e sd e ( — 5, —3) h asta (O, 2 ). (V é a s e la figu ra 7 .) SOLUCION

U n a r e p re s e n ta c ió n p a r a m é tr ic a d e l s e g m e n to re c tilín e o e s

x = 5t — 5

y = 5t — 3

O í

í í

(U s e la e c u a c ió n 8 c o n r 0 = ( — 5, —3 ) y n = <0, 2 ) .) E n to n c e s d x = 5 dt, d y = 5 dt, y c o n la fó rm u la 7 se tien e FI GURA 7

Je,

y 2 d x + x d y = f Í5 í - 3}2(5 dt) + ( 5 / — 5 )(5 dt) Jo = 5 (' (2 5 12 - 2 51 + 4 ) d t Jo = 5

r 2 5 /3 ---------

25r

L 3

1‘

+ 4 t\

= - ~

P u esto qu e la p aráb ola e stá d e fin id a c o m o una fu n ció n d e y, to m a m o s a y c o m o e l

parám etro y e sc r ib im o s Ci c o m o

x = 4 —y2

y = y

- 3 Í }> Í 2

E n to n ce s d x = —2y d y y d e a cu erd o c o n la fórm u la 7 te n e m o s

f y 1d x + x d y Je, =

f 2 y 7( - 2 y ) c / y + (4 - y ’>) d y J-3 f

( - 2 y 3 — y 2 + 4) dy

O b se r v e m o s q u e la s r esp u e sta s de lo s in c is o s a) y b) d e l e je m p lo 4 so n d ife re n te s aun c u a n d o las d o s c u rv a s tien en lo s m ism o s p u n to s e x tre m o s. Por tan to, e l v a lo r de una in tegra l d e lín ea d e p e n d e , en g e n era l, n o s ó lo d e lo s p u n tos e x tr e m o s d e la c u rv a , sin o ta m b ién d e la trayectoria. (V é a s e en la s e c c ió n 1 5.3 las c o n d ic io n e s en las c u a le s la in teg ra l e s in d ep en d ien te d e la tra yectoria.) O b se r v e m o s tam b ién q u e las resp u esta s del e je m p lo 4 d e p e n d en d e la d ir e c c ió n u o r ie n tació n d e la curva. Si —C\ d e n o ta e l se g m e n to r e c tilín e o d e sd e (0 , 2 ) h a sta ( — 5, —3 ), e s p o s ib le v erifica r, m ed ia n te la p aram etrización

x= -5 1

que

y = 2 - 5t

O í í í

| y 2d x 4- x d y = í J-c,

1068

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

En g e n era l, u n a p a ra m etriza ción d ad a x = x(t)y y = y(f), a

b , d e te rm in a una

o r ie n t a c ió n d e u n a cu rv a C , c u y a d ir e c c ió n p o s itiv a c o rr esp o n d e a lo s v a lo re s c r e c ie n te s

d e l p a rám etro t. ( V é a s e la fig u r a 8 , en d o n d e e l p u n to in ic ia l A c o r r e s p o n d e al v a lo r d e l p arám etro a y e l p u nto term in al B c o rr esp o n d e a t = b.) Si — C d e n o ta la c u r v a q u e c o n s is te d e lo s m ism o s p u n to s qu e C , p ero c o n la o rien tac ió n o p u e sta e s d e c ir , d e l p u n to in ic ia l B al punto term in a l A d e la fig u r a 8 , e n to n c e s te n e m o s

J —C

f ( x , y) d x = — f f U y ) d x J

f ( x , y) d y = - f / ( * y ) d y

f C

v —C

Pero si in te g ra m o s r e sp e c to a la lo n gitu d d e arco, e l v a lo r d e la in tegral d e lín e a no c a m b ia cu a n d o se in v ier te la o rien ta ció n d e la curva: F IG U R A 8

J-c

/ ( x, y) d s = f / U y ) ds

L a razón e s qu e A s, siem p re e s p o s itiv a , m ien tras q u e A a , y A y, ca m b ia n d e sig n o cu a n d o se in v ierte la o rien ta ció n d e C.

In t e g ra le s de lín e a en el e s p a c io A h ora su p o n g a m o s qu e C e s una cu rv a su a v e en el e s p a c io , d a d o por las e c u a c io n e s param étricas * = x(t)

y = y(t)

z = z(t)

/ =s b

o la e c u a c ió n v e c to r ia l r(t) = x(t) i + y(t) j + z(i) k . Si f e s u n a fu n ció n d e tres v a riab les q u e e s c o n tin u a en a lg u n a región q u e c o n tie n e a C, e n to n c e s d e fin im o s la in t e g r a l d e lín e a d e / a lo la rg o de

C (r esp e c to a la lo n g itu d d e arco), d e m anera sim ila r a la de las c u rv a s

planas:

f /( .y , y , z) ds — lím J e

>t— *»

f(x * , y,*, z*) Aj,|

E v a lu a m o s u sa n d o u n a fó rm u la sim ila r a la fórm u la 3:

£ /U

y , z) d s = \ j ( x < A y ( A ; W )

+ ( $ )

+ ( j i )

O b se r v e m o s q u e las in te g ra les en las fó rm u la s 3 y 9 se p u ed en e sc rib ir en la fo rm a v e c t o rial m ás c o m p a c ta

f * / ( r ( t ) ) |r '( 0 \d t Ja

En e l c a s o e s p e c ia l d e f ( x , y , z) =

1, o b te n e m o s

í ds= J e

f* | r ' ( í ) | í * := L Jt

d o n d e L e s la lon g itu d d e la cu rv a C (v é a se la fó rm u la 1 3 .3 .3 ).

SECCIÓN 16.2

INTEGRALES DE LÍNEA

1069

L as in te g ra les d e lín e a a lo larg o d e C r esp ecto a x, y y z tam b ién se p u ed en d efin ir. Por e je m p lo ,

n f

/(.v, y, z ) d z =

lím

2 / ( -Y?, V?, 2 ? ) A--,

“ ÍV W '). >’{'). - ( ' ) ) dt Por tanto, c o m o su c e d e c o n la s in te g ra les d e lín e a en e l p la n o , e v a lu a m o s la s in te g ra les de la fo rm a

\ P i x , y , z ) d x + Q (x ,y ,z )d y + R (x ,y ,z )d z

Qñ]

e x p r e sa n d o to d o ( x , y , z , dx, dy, dz) en térm in os d e l parám etro t.

|5 3 5 I 2 $ B

E v a lú e Jc y sen z ds, d o n d e C e s la h é lic e c ircu la r d a d a por las

e c u a c io n e s x = c o s t, y = sen t, z = t, O

t =s 27 r (v é a s e la figu ra 9).

SOLUCIÓN El resu ltad o c o n la fó rm u la 9 e s

L -v s e n -■*

= r

sen' V

ln .'O

s/2 o

EJEM PLO

( $ ) + ( í ) + p

sen2/ \ s e n 2/ + eos2/ + 1 dt —

t(1 —

cos 2 1) dt

[t — \ sen 2t]~* = y¡2 ir

E v a lú e ¡c y d x + z d y + x d z , d o n d e C c o n s is te d e l se g m e n to r e c tilín e o

Cj d e sd e (2 , O, 0 ) h a sta (3 , 4 , 5) se g u id o por el se g m e n to v e rtica l C 2 d e sd e (3 , 4 , 5 ) h a sta F IG U R A 9

(3 , 4 , O). SOLUCIÓN L a c u r v a C se ilu stra en la fig u ra .0 . U tiliz a n d o la e c u a c ió n 8, e x p r e s a m o s a C 1 com o r (f) = (1 -

/ ) ( 2 , 0 , 0 ) + í < 3 , 4 , 5 ) = (2 + t, 4t, 5t)

o b ie n , en fo rm a para m étrica , c o m o x= 2 + t

y = 4t

z = 5t

O í K 1

Por tanto, f

Jc,

y d x + z d y + x d z = f Í 4 1) dt + (5 /)4 dt + (2 + t ) 5 dt Jo

f 1 (1 0 + 2 9 t ) d t =

2 4 .5

1 0 1 + 29

D e m anera sim ila r , C 2 se p u ed e ex p resa r en la form a r (/) = (1 o b ie n ,

x = 3

f)(3 , 4, 5 ) + t ( 3 , 4 ,0 ) =

y = 4

5 - 5 /

< 3 ,4 ,5 -

5 /)

1070

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

E n to n c e s d x = O = dy, d e m o d o qu e

Je ,

y d x + z d y + x dz = f 3 ( —5 ) d t = — 15 -o

A l su m ar lo s v a lo re s d e e sta s in te g ra les

[ y d x + z d y + x d z = 2 4 .5 — 15 = 9 .5

Integrales de línea de campos vecto riales D e a cu erd o c o n la s e c c ió n 6 .4 , e l trabajo realiza d o por u n a fu erza v ariab le f ( x ) q u e m u e v e a u n a pa rtícu la d e sd e a h a sta b a lo largo d e l eje * e s W = j * f ( x ) dx. E n to n c e s, en la s e c c ió n 1 2 .3 , e n c o n tr a m o s qu e e l trabajo q u e e fe c tú a una fu erza c o n sta n te F al i n o \ e i un o b je to d e sd e e l p u nto P h a sta otro p u n to Q en e l e sp a c io e s W = F • D, d o n d e D = PQ e s e l v e c to r d e sp la z a m ie n to . A h o ra su p o n g a m o s q u e F = P i + Q j + R k es un c a m p o de fu erza s c o n tin u o sobre R 3, tal c o m o e l c a m p o g r a v ita c io n a l d e l e je m p lo 4 d e la s e c c ió n 16.1 o e l c a m p o d e fu erz a s e lé c tr ic a s d e l e je m p lo 5 d e la m ism a s e c c ió n . (U n c a m p o d e fu erza s sobre IR2 se p u ed e con sid era r c o m o un c a s o e sp e c ia l d o n d e R = 0 y P y Q d e p e n d en só lo d e x y d e y .) D e s e a m o s c a lc u la r e l trabajo qu e r ea lizó e s ta fu erza al m o v e r la partícu la a lo largo de la cu rv a su av e C. D iv id im o s C en su b a r co s P j-iP jde lo n g itu d e s A s, d iv id ie n d o e l in te rv a lo d e l parám etro [ia , b] en su b in te rv a lo s d e ig u a l a n ch o . (V é a s e en la figura 1 e l c a so b id im e n s io n a l o en la figu ra 11 e l c a so tr id im e n sio n a l.) E le g im o s un p u n to P * { x ? ,y ? , z?) sob re e l í-é s im o su b arco q u e c o rr esp o n d e al va lor d e l parám etro t*. Si As, e s p e q u eñ o , e n to n c e s c u a n d o la p a rtícu la se m u e v e d e P,-\ h a sta P\ a lo la rg o d e la c u r v a , p r o sig u e a p r o x im a d a m e n te en la d ir e c c ió n d e T Ú * ) , e l v e cto r un itario tan g en te a P * . Por tanto, e l trabajo qu e e fe c tú a la fu erza F al m o v e r la pa rtícu la d e sd e P,-\ h a sta P ,e s a p r o x im a d a m e n te de

F IG U R A 11

y e l trabajo total rea liza d o al m o v e r la p a rtícu la a lo largo de C e s a p ro x im a d a m en te

d o n d e T(at, y , z) e s e l v e c to r un itario ta n g en te en el p u n to (x , y , z) sob re C. In tu itiv am en te e s p o s ib le v er q u e e sta s a p r o x im a c io n e s d e b e n lleg ar a ser m ejo r e s a m e d id a q u e n se in crem en ta. Por tanto, d e fin im o s e l tra b a jo W rea liza d o por e l c a m p o d e fu erza F c o m o e l lím ite d e las su m a s d e R iem ann en |TT|, a saber,

L a e c u a c ió n 12 e sta b le c e q u e trabajo es la integral d e línea respecto a la longitud d e arco de la componente tangencial de la fuerza. Si la cu rv a C e s tá d a d a por la e c u a c ió n v ecto ria l r (i) = x(t) i 4- y(t) j + z(t) k, e n to n c e s T ( í) =

r'(f)/| r'(/)

|, d e m o d o q u e al usar la e c u a c ió n 9 p o d e m o s v o lv e r a ex p r esa r la

e c u a c ió n 12 en la form a

SECCIÓN 16.2

INTEGRALES DE LÍNEA

1071

E sta integr al se a b rev ia a m e n u d o c o m o |c F • d r y se e n cu en tra tam b ién en otras e s p e c ia lid a d e s d e la física . Por tanto, h a c e m o s la sig u ie n te d e fin ic ió n para la in teg ral d e lín ea de

cualquier c a m p o v e c to r ia l c o n tin u o .

[Í3~| Definición

S e a F un c a m p o v ecto ria l c o n tin u o d e fin id o sob re u n a c u r v a su a v e

C d a d a por u n a fu n ció n v e c to r ia l r(í), a ^ / =s b. E n to n c e s la integ ral de línea de

F a lo largo de C es f F • dr =

í" F (r (f) ) • r '(/) d t = f F • T ds

A l u tiliza r la d e fin ic ió n

y(f),

13, recuerd e q u e F (r(?)) e s s ó lo una fo rm a de abreviar F (* (f),

r(f))> d e m o d o q u e e v a lu a m o s F (r (r ))

z = z(t) en la e x p r e sió n para F (x , m en te d r = r ' ( t ) dt. La figura 12 muestra el campo de fuerza y la curva del ejemplo 7. El trabajo hecho es negativo porque el campo obstruye el movimiento a lo largo de b curva.

J e

E 22H E H

y, z).

h a c ie n d o s im p le m e n te x = x(t), y = y(t) y

O b serve tam b ién q u e p o d e m o s escrib ir fo r m a l-

D e ter m in e e l trabajo e fe c tu a d o por e l c a m p o d e fu erza F(;y,

cu a n d o m u e v e una partícula a lo largo d e l cuarto d e circu n feren cia

r(f) =

y) = x 1 i — xy j i + sen t j,

eos t

O =£ t =£ 77-/ 2 . SO LU C IÓ N

P u esto q u e x = e o s t

yy =

sen t

F (r (/)) = e o s 2 t i — e o s t sen t j

r'(í)

—sen t

+ eos t j

Por tanto, e l trabajo ra liza d o e s

f K • dr =

| ' /; F { r ( /) ) * r ’(i) d i =

^ c o s 3 í"j*lí!

~ 2~

( - 2

e o s 2t sen l) dt

“ “7

NOTA A u n c u a n d o Jc F • d r = Jc F • T ds y la s in te g ra les r esp e cto a la lo n g itu d de arco p erm an ecen sin c a m b io c u a n d o se invierte la d ir e c c ió n , se sig u e c u m p lie n d o qu e En la figura 13 se ilustra la cúbica torcida C del ejemplo 8 y algunos vectores representativos

que actúan en tres puntos sobre C.

F • d r = —J F • d r

porqu e e l v e c to r un itario tan g en te T e s reem p la za d o por su n e g a tiv o c u a n d o C e s r e e m p la z a d o por —C.

I2 E I3 S U

E v a lú e ¡c F • d r , d o n d e F (x , y , z) = xy i + y z j + z x k y C e s la c ú b ic a

to rcid a d ad a por

x = t

y = r

SOLUCIÓN T e n e m o s

r(t) = t i + r j + t 3 k r '( 0 = i + 2 / j + 3 r k FIG U R A 13

F(r(/)) = t 3i + t5j +

/4k

1072

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

f F • d r = í ' F (r (f) ) • r \ t ) dt

Por tanto.

3 6 /4 5 f7 T í 3 + 5 / 6 ) ¿ / = — + -----4 7 J,

Para finalizar, h a c e m o s notar la relación entre las integrales d e lín ea de lo s c a m p o s v e c to riales y las integrales d e lín ea d e lo s c a m p o s escalares. S u p o n g a m o s qu e e l ca m p o vectorial F sobre IR3 e stá d a d o en la form a de co m p o n e n te s m ediante la e cu a ció n F = / ? i + £ j - » - / ? k . U liliz a m o s la d e fin ició n 13 para calcular su integral d e lín ea a lo largo de C.

f F • dr =

f* F (r (/)) • r \ t ) dt

= p í / M + G J + r t k ) ■ ( A t ) i + y'.t) j + z '( t) k ) d t Vtf

f " [ / > W í ) , y ( í ) , z ( í ) ) y ( f ) + Q ( x ( t ) , y ( t ) ,z ( t ) ) / ( t ) + R(x(t), y(i), z ( t ) ) z \ f ) \ d t

Pero e s ta ú ltim a in teg ra l e s p r e cisa m e n te la integral d e lín ea d e Qo]. Por tanto, te n e m o s

Por e je m p lo , la in teg ral J"c y d x + z d y + x d z d e l e je m p lo 6 se p o d ría ex p resa r c o m o Jc F • d r d o n d e F U y , z) = y i + z j + * k

Ejercicios 1-16 E v a l ú e la in t e g r a l d e lí n e a , d o n d e C e s la c u r v a d a d a . 1. Jc y

' d s ,

C :

r\ y =

r, o *5

jc xy:ds,

C -

10. Jc

2. J c x y ds,

C: x =

3. J c x y i ds,

x2 + y 2 =

t 2, y = 2 t , O < t <

e s la m it a d d e r e c h a d e la c i r c u n f e r e n c i a

11. J*c

4. |c x sen y ds,

e s e l s e g m e n t o d e r e c t a d e (O , 3 ) a ( 4 , 6 )

“

e s e l a r c o d e la c u r v a

y ¡x

d e (1 , 1) a (4 , 2 )

e s e l a r c o d e la c u r v a * =

7 . Jc U + 2 y ) d x + x 2 dy,

y 3 d e ( — 1, — 1 ) a ( 1 , 1)

15.

ro s

0 €

x e y : d s ,

J( . x

C :

e s e l s e g m e n to de re c ta d e (0 , 0 , 0 ) a (1 , 2 , 3 )

y 2

z 2) a s ,

c o s 21 ,

y e y : d y ,

14. j"c y

6. j c e x dx,

t, y

x y ~ 2 d s ,

12. /C U 2

13.

«cen

e s e l s e g m e n to de re c ta d e ( — l , 5 , 0 ) a (1 , 6 , 4 )

C :

5- J c í^ V

—

d x

|c r 2 d

C :

d y

\f t ,

x 2 d y

sen

2 t ,

t 2,

t ^

t 3,

2 t t

0 ^

x d z , t,

t 2,

2 d z ,

1 <

e s e l s e g m e n to d e re c ta d e

c o n s is t e e n l o s s e g m e n t o s d e r e c ta ( 1 , 0 , 0 ) a (4 , 1 ,2 )

d e s d e (O , 0 ) h a s ta ( 2 , I ) y d e s d e ( 2 , 1 ) h a s ta ( 3 , 0 )

16. 8.

x 2 d x + y 2 dy , C c o n s is t e d e l a r c o x 2 + y 2 = 1 d e s d e ( 2 , 0 ) h a s ta ( 0 , 2 ) r e c t a d e s d e ( 0 , 2 ) h a s ta

(4 ,

d e c ir c u n fe r e n c ia s e g u id o d e l s e g m e n to d e

Jc ( y +

d x

( x

z )

d y

s e g m e n to s d e re c ta d e s d e

(x +

(0, 0, 0)

d z ,

h a s ta

c o n s is t e d e lo s

( 1 ,0 , 1) y

(1, 0 , 1)

a(0 , 1,2)

S e r e q u ie re c a lc u l a d o r a g ia f ic a d o r a o c o m p u t a d o r a

|SAC| S e r e q u ie re s is te m a a lg e b r a ic o c o m p u t a r i z a d o

1 . T a rc a s s u g e r i d a s d i s p o n i b le s e n s te w a r tc a lc u lu s .c o m

SECCIÓN 16.2 17.

S e a F el cam p o v e c to ria l que se ilu s tra en la fig u ra . a)

INTEGRALES DE LÍNEA

1073

24. |c F • d r , donde F(at, y , z) = y sen : ¡ + : sen x j + x sen y k ,

S i C i e s e l segm ento de re cta v e rt ic a l d esde ( —3 , —3 )

y r (/) = e o s / i + sen / j + sen 5/ k , 0 ^ t ^ i t

h asta ( —3 , 3 ), d e te rm in e si j c F • d r e s p o s itiv a , 25. f

n e g a tiv a o cero. b)

al de la s m a n e c illa s d e l re lo j c o n rad io 3 y ce n tro en el

Na \

i : 2\

' o

W \ \

N ^ V ^ -

' '

'-* • -

V i 2í

i '

t \

0 ^

r , z

e " ,

|s.-c|27-28 C o n u na g rá fic a del ca m p o v e c to ria l F y la c u rv a C in tu y a si

; / s ** ■? - ^ ^ \ \ / / / ' ” '* - ^ Ve \ \ f f / * *■ ■ ^ \ \ V l

t \ z

26. | c ze~xy ds, donde C tiene e c u a c io n e s p a ra m é tric a s x = t,

o rig e n , d e te rm in e si j c F • d r e s p o s it iv a , n e g a tiv a o ce ro .

x sen (y + : ) , d o nd e C tiene e c u a c io n e s p a ra m é tric a s x = t 2,

y =

S i Ci e s la c irc u n fe re n c ia o rie n ta d a en e l se n tid o c o n tra rio

la in te g ra l de lín e a de F sobre C e s p o s it iv a , n e g a tiv a o c e ro . L u e g o e v a lú e la in te g ra l de lín e a . 27. F U , y ) = (x - y) ¡ + A y j , C e s e l a rc o da c irc u n fe re n c ia x2 + y 2 = 4 re c o rrid o en e l

i x J J

sen tid o c o n tra rio al de la s m a n e c illa s del re lo j d esde ( 2 , 0 ) h asta ( 0 , —2 ).

/ /

28. F U , y )

¡ / i /

i +

v /F T

X -

C e s la pa ráb o la y = 1 +

29. a )

18. L a fig u ra m u estra u n c a m p o v e c to ria l F y d o s c u r v a s C i y Ci.

a 2 d esde

( — 1, 2 ) h asta ( 1 , 2 ).

E v a lú e la in te g ra l de lín e a J C F • d r , donde F ( a t ,y ) = e x~ l i + Ary j y C e stá d ad a p o r

¿ L a s in te g ra le s de lín e a de F sobre C i y C 2 son p o s it iv a s ,

r(/) =

n e g a tiv a s o c e r o ' E x p liq u e .

r ¡ +

/ 3j

Ilu stre e l in c iso a ) m e d ian te u na c a lc u la d o ra o u na co m p u ta d o ra c o n la g rá fic a de C y lo s v e c to re s d e l c a m p o v e c to ria l que c o rre sp o n d e a / = 0 , 1/ y¡2 y 1 (co m o en la fig u ra 13)

30. a )

E v a lú e la in te g ra l de lín e a JCF • d r , donde F (a t, y , z) = a tí — r j + y k y C e stá d ad a por r (/ ) = 2 / i + 3 / j -

t 2k , - 1 s í / <

Ilu stre e l in c iso a ) m e d ian te una co m p u ta d o ra que trace C y lo s v e c to re s d e l c a m p o v e c to ria l c o rre sp o n d ie n te a

t = ± 1 y ± I (c o m o en la fig u ra 13). ¡ED 31. E n c u e n tre e l v a lo r e x a c to de Jc x iy 2z d s , donde C e s la c u rv a co n e c u a c io n e s p a ra m é tric a s x = e~l eos 4 t, y = e~‘ sen 4 1, z = e " , 0 ==:,*< 2 tt. 32. a ) 19-22 E v a lú e la in te g ral de lín e a J r F • d r , d ond e C e stá d e fin id a

F(a t, y ) = x 2 i — Ay j sobre u na p a rtíc u la que se m u e ve

p o r la fu n c ió n v e c to ria l r ( / ) . 19.

u na ve z alre d e d o r de la c irc u n fe re n c ia x 2 + y 2 = 4 o rie n ta d a en e l se n tid o c o n tra rio al de la s m a n e c illa s

F U , y ) = A -yi + 3 y 2j , r (/) =

/4 i

0 Si

t’ j,

C a lc u le e l tra b a jo h e ch o p o r e l c a m p o de fu e rz a

t ^

del re lo j.

b ) M e d ia n te un siste m a a lg e b ra ic o c o m p u ta riz a d o , d ib u je el

20 . F U , y , r ) = U + y) i + (y “ z ) j + -'2 k , r (/) =

/2i +

/ 3j +

2 1 . F ( a -, y , r ) = sen r (/) =

/2 k ,

0 =S

x i + e o s y j + xz k ,

r j + /k.

0 ^ /<

c a m p o de fu e rz a y la c irc u n fe re n c ia en la m is m a p a n ta lla .

/= £

C o n la g rá fic a e x p liq u e su re sp u e sta d e l in c is o a ). 33. U n a lam b re d elg ado e stá d o b lad o en fo rm a de una s e m ic irc u n fe re n c ia x 2 + y 2 = 4 , x > 0 . S i la d e n sid a d lin e a l es la co n stan te k. c a lc u le la m a sa y e l c e n tro de m asa d e l a la m b re .

22. F U ,y , . r ( /) = eos

x i + y j + Ay k , t i + sen t j + / k ,

0 ^ / ^ 7 r

34. U n a lam b re d elg ado tiene la fo rm a de la parte de la c irc u n fe re n c ií. d e l p rim e r cu ad ran te c o n c e n tro en e l o rig e n y rad io a. S i la fu n c ió n de d e n sid a d e s p ( x , y ) = kxy, e n cu e n tre la

23-26 U se c a lc u la d o ra o un siste m a a lg e b ra ic o c o m p u ta riz a d o p ara e v a lu a r la in te g ra l de lín e a c o n u n a a p ro x im a c ió n de cu atro lu g a re s d e c im a le s . 23.

35. a )

E s c r ib a las fó rm u la s s im ila re s a la s e c u a c io n e s 4 p ara el c e n tro de m asa (3 c ,y , z ) de un a lam b re d e lg ad o c u y a

IC F • d r , d ond e F(at, y ) = x y i + sen y j y r ( / ) = e ‘ i + e " ’j ,

m asa y e l ce n tro de m a sa d e l ala m b re .

/ ^

fu n c ió n de d e n sid a d e s p(x, y, r ) en la fo rm a de u na c u rv a

C en e l e sp a cio .

1074

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

E n c u e n tr e e l c e n t r o d e m a s a d e un a la m b r e e n f o r m a d e la h é lic e x =

2 sen t , y

2 e o s t, z =

la d e n s id a d e s u n a c o n s t a n t e

3 f, 0 <

45. U n h o m b r e q u e p e s a 160 Ib s u b e u n b o t e d e p in t u r a d e

2 t t , si

2 5 lib r a s p o r u n a e s c a le r a h e l i c o i d a l q u e r o d e a a un s ilo c o n r a d io d e 2 0 p ie s . S i e l s i l o e s d e 9 0 p i e s d e a lt o y el

k .

h o m b r e d a t re s r e v o l u c i o n e s c o m p l e t a s h a s ta la p a r te a lta ,

3 6 . C a l c u l e la m a s a y e l c e n t r o d e m a s a d e u n a la m b r e e n f o r m a d e la h é l i c e x

e o s t, z =

s e n t, 0 <

t ^

2ir,

¿ c u á n t o t r a b a jo e f e c t ú a c o n t r a la f u e r z a d e g r a v e d a d ?

si la d e n s id a d

e n c u a l q u i e r p u n to e s ig u a l a l c u a d r a d o d e la d i s t a n c i a d e s d e

46.

S u p o n g a q u e h a y un a g u je r o e n e l b o te d e p in tu ra d e l e j e r c i c i o 4 5 y q u e se p ie r d e n e n fo r m a c o n s ta n t e 9 lib r a s

e l o r ig e n .

d e p in tu r a m ie n t r a s e l h o m b r e s u b e p o r la e s c a le r a . ¿ C u á n t o

3 7 . S i un a la m b r e c o n d e n s id a d lin e a l p ( x , y ) s ig u e la c u r v a C , su s m o m e n t o s d e in e r c i a r e s p e c t o a l o s e j e s x y y e s tá n

t r a b a jo e fe c t ú a ?

47.

d e fin id o s c o m o

D e m u e s t r e q u e un c a m p o d e fu e r z a s c o n s ta n t e h a c e t r a b a jo c e r o s o b re u n a p a r t íc u la q u e se m u e v e u n a v e z

/, =

j c y 2p ( x , y ) d s

Iy =

d e m a n e r a u n if o r m e a l r e d e d o r d e la c i r c u n f e r e n c i a

\c x 2p ( x , y ) d s

x~1 +i y -1 = ñ 1. b)

¿ E s to ta m b ié n e s v á lid o p a ra u n c a m p o d e f u e r z a s

F ( x ) = k x , donde k e s u n a co n stan te y x = ( x , y ) ?

E n c u e n tr e lo s m o m e n t o s d e in e r c ia p a ra e l a la m b r e d e l e j e m p l o 3.

3 8 . S i un a la m b r e c o n d e n s id a d lin e a l p ( x , y , z ) s ig u e u n a c u r v a en

48.

L a b a s e d e u n a c e r c a c i r c u l a r d e r a d io 10 m e s t á d a d a c o n

e l e s p a c i o C , su s m o m e n t o s d e i n e r c i a r e s p e c t o a l o s e j e s x , y

x =

y z se d e f i n e n c o m o

( * , y ) e s t á d a d a p o r la f u n c i ó n /»(x

10 e o s

t, y

10 s e n

L a a ltu r a d e la c e r c a e n la p o s i c i ó n ,

y) =

4 +

0 .0 1 ( x 2 — y 2) , d e

m o d o q u e la a ltu r a v a r í a d e s d e 3 m h a s ta 5 m . S u p o n g a q u e

lx =

(^ ( y

2 + z 2) p ( x , y , z )

1 l i t r o d e p in t u r a c u b r e 1 0 0 m 2. D i b u j e la c e r c a y d e t e r m in e

c u á n t a p in t u r a n e c e s it a r á si p in ta a m b o s la d o s d e la c e r c a .

Iy =

\ ( x

49.

2 + z 2) p ( x , y , z ) d s

Si a

/.- = j c ( x 2 + y 2)p (x ,y ,z ) d s

e s u na c u r v a su ave d a d a p o r u na fu n c ió n v e c to r ia l t ^

b ,

r(/),

y v e s un v e c t o r c o n s t a n t e , d e m u e s t r e q u e

v • dr =

v • [r(¿?) — r ( í í ) l

Je D e t e r m i n e l o s m o m e n t o s d e i n e r c ia p a ra e l a la m b r e d e l

50. S i C e s u n a c u r v a s u a v e d a d a p o r u n a f u n c i ó n v e c t o r i a l r ( f ) >

e je r c ic io 35.

a ^

^ b, d e m u e s t r e q u e

3 9 . E n c u e n t r e e l t r a b a jo q u e r e a l i z a e l c a m p o d e fu e r z a s F (x , y ) =

x i + ( y + 2 ) j al m o v e r un o b j e t o a l o la r g o

d e un a r c o d e la c i c l o i d e r (t )

0 <

—

sen t) i +

r •dr =

í [ |r

(¿?)|2 -

| r ( « ) | 2]

(1 — e o s /) j ,

t ^ 2 tt 51. U n o b j e t o se d e s p la z a a l o l a r g o d e la c u r v a C q u e se

4 0 . C a l c u l e e l tr a b a jo q u e e f e c t ú a e l c a m p o d e fu e r z a s F ( x , y ) = x 2 1 4-

y e *

m u e s tr a e n la fig u r a , d e ( I , 2 ) a ( 9 , 8 ). L a s lo n g it u d e s d e

j s o b r e u n a p a r t íc u la q u e se m u e v e a l o l a r g o d e la

p a r á b o la y

l o s v e c t o r e s e n e l c a m p o d e fu e r z a F s e m id e n e n n e w t o n s

x 2 d e s d e ( 1 , 0 ) h a s ta ( 2 , 1).

s e g ú n la s e s c a la s en l o s e je s . E s t im e e l t r a b a jo q u e r e a liz a F s o b re e l o b je to .

4 1 . D e t e r m i n e e l t r a b a jo q u e h a c e e l c a m p o d e fu e r z a s F (x , y , z) =

—

y 2, y

—

z 2, z

—

x 2) s o b r e u n a p a r t íc u la

q u e se d e s p l a z a p o r e l s e g m e n t o r e c t i l í n e o d e s d e ( 0 , 0 , 1) h a s ta ( 2 , 1, 0 ) .

4 2 . L a fu e r z a q u e e j e r c e una c a r g a e l é c t r i c a e n e l o r i g e n s o b r e u n a p a r t íc u la c a r g a d a e n e l p u n to ( x , y , z ) c o n v e c t o r d e p o s i c i ó n

r =

( x , y , z ) e s F ( r ) = K r ¡ \ r | \ d o n d e K e s u n a c o n s ta n t e .

( V é a s e e l e j e m p l o 5 d e la s e c c i ó n

1 6 .1 .) E n c u e n t r e e l tr a b a jo

■- *

r e a l i z a d o c u a n d o la p a r t íc u la se m u e v e a l o l a r g o d e u n a r e c t a

d e s d e ( 2 , 0 , 0 ) h a s ta ( 2 , 1, 5 ).

4 3 . L a p o s i c i ó n d e un o b j e t o c o n m a s a r(f) = í i r ¡ +

b t 2} , 0 ^

en e l tie m p o r e s (m e tr o s )

¿ C u á l e s la f u e r z a q u e a c tú a s o b r e e l o b j e t o e n e l t i e m p o r?

¿ C u á l e s e l t r a b a jo r e a l i z a d o p o r la fu e r z a d u ra n te e l i n t e r v a l o d e t ie m p o 0 <

52.

L o s e x p e r i m e n t o s d e m u e s t r a n q u e u n a c o r r i e n t e e s t a b le e n un a la m b r e la r g o p r o d u c e un c a m p o m a g n é t i c o B q u e

4 4. U n o b je t o c o n m a sa +

se m u e v e d e a c u e r d o c o n r (/ ) =

b eos / j + c t k, 0 < t <

sen / i

'7 t/2 . E n c u e n t r e e l t r a b a jo r e a l i z a d o

s o b r e e l o b j e t o d u ra n te e s t e p e r io d o .

e s ta n g e n t e a c u a lq u ie r c i r c u n f e r e n c i a q u e q u e d e e n e l p la n o p e r p e n d ic u la r al a la m b r e y c u y o c e n t r o e s e l e j e d e l a la m b r e ( c o m o se v e e n la f i g u r a ) . L a l e y d e A m p e r e

S E C C IÓ N

1 6 .3

TEOREMA FUNCAMENTAL DE LAS IN TEGRALES DE LÍNEA

1075

r e l a c i o n a la c o r r i e n t e e l é c t r i c a c o n su s e f e c t o s m a g n é t i c o s y e s ta b le c e cu e

I B • d r = /A»/

donde

e s la c o r r i e n t e n e ta q u e p a s a p o r c u a l q u i e r s u p e r fic ie

a c o t a d a p o r una c u r v a c e r r a d a C y

e s u n a c o n s ta n t e

q u e r e c i b e e l n o m b r e d e p e r m e a b i l i d a d d e e s p a c i o lib r e . C o n s i d e r e q u e C e s ig u a l a u n a c i r c u n f e r e n c i a d e r a d io r , y d e m u e s t r e q u e la m a g n it u d

| B |d e l c a m p o m a g n é tic o

a u n a d is t a n c ia / d e l c e n t r o d e l a la m b r e e s

lir r

Teorema fundamental de las integrales de línea D e a cu erd o c o n la s e c c ió n 5 .3 , la parte 2 del te o re m a fu n d am en ta l d e l c á lc u lo se pu ed e ex p r esa r c o m o

V F ’( x ) d x = F(b) - F(a)

J tt

d o n d e F' e s c o n tin u a sob re [« , b]. A la e cu a c ió n 1 tam b ién se le c o n o c e c o n e l nom b re de T e o r e m a d e l c a m b io neto: la in teg ral d e la razón d e c a m b io e s e l c a m b io neto. S i p e n sa m o s en e l v e c to r grad ien te V / d e una f u n c i ó n / d e d o s o tres v a r ia b le s c o m o un tip o d e d e r iv a d a d e / , e n to n c e s p o d e m o s con sid erar e l te o re m a sig u ie n te c o m o una v ersió n d e l te o re m a fu n d am en ta l de las in te g ra les de lín ea.

|~2~| Teorem a

S e a C u n a cu rv a su a v e d e fin id a por la fu n ció n v e c to r ia l r ( / ) ,

a ^ t

b. S e a / l a fu n ció n d e r iv a b le d e d o s o tres v a r ia b le s c u y o v e cto r gradien te V / e s c o n tin u o sob re C. E n to n ce s

f V / - < / r = /■ > (* )) - f ( r ( a ) )

N O T A El te o re m a 2 e sta b le c e qu e se puede e v a lu a r la in teg ra l d e lín e a d e un c a m p o v e c to r ia l c o n se r v a tiv o (el c a m p o v e c to r ia l del grad ien te d e la fu n ció n d e l p o te n c ia l/ ) s im p le m e n te si se c o n o c e e l v a lo r d e / e n lo s p u n to s e x tr e m o s d e C . D e h e c h o , e l te o r e m a 2 e sta b le c e qu e la in tegral d e lín e a d e V / e s el c a m b io n eto en / Si / e s u n a fu n ció n d e d o s v a r ia b le s y C e s u n a cu rv a p la n a c u y o punto in ic ia l e s A(xi, y \) y e l term in al e s B (x2, >>2 ), c o m o en la fig u ra 1, e n to n c e s e l te o re m a 2 se tran sform a en

£ V / - d r = f ( x 2yy 2) - / ( * i , y i )

Si / e s u n a fu n ció n d e tres v a ria b les y C e s una c u r v a en e l e s p a c io q u e un e e l p u nto A(x\, y u £ 1) c o n e l p u nto B (x 2, y 2 , ¿2), e n to n c e s te n e m o s

f V / - d r = f ( x 2 , y2, z 2) - f [ x 1, y ,, z x) J r

F IG U R A 1

Dem ostrarem os el teorema 2 para este caso.

1076

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 2

U tiliz a n d o la d e fin ic ió n 1 6 .2 .1 3 te n e m o s

f V f - d r = f* V /(r (í)) • r \t) dt

i:( fh d =

s ¿ ^ _ + s¿^y_+ s ¿ ^ ± \ df d x dt

dy dt

f\T \t\)d t

dz d t )

(por la regla de la cadena)

/(ría))

= f(r(b)) -

E l ú ltim o p a so se in fier e d e l te o re m a fundam enta', d e l c á lc u lo (e c u a c ió n 1).

■ ■

A u n q u e se ha d e m o str a d o e l te o re m a 2 para e l ca so d e c u rv a s su a v e s , tam b ién e s v á lid o para c u rv a s su a v e s por tram os. E sto se p u ed e ver al su b d iv id ir C en un n ú m ero fin ito d e c u rv a s su a v e s y sum ar la s in te g ra les resu ltan tes. E JE M P L O 1

C a lc u le e l trabajo q u e r ea liza e l ca m p o g ra v ita cio n a l

mM G F (x ) =

- —— ¡ y x

al m o v e r u n a partícu la d e m a sa m d e sd e e l p u n to (3 , 4 , 12 ) h asta e l p u n to (2 , 2 , 0 ) a lo larg o d e la c u r v a C su a v e por tram os (v é a se e l e je m p lo 4 d e la s e c c ió n 16.1). SOLUCIÓN D e acu erd o c o n la s e c c ió n 1 6 .1 , sa b em o s q u e F e s un c a m p o v e cto r ia l c o n se r v a tiv o y , d e h e c h o , F = V /, d o n d e

mM G

, z)

v ^

+ r +

Por tan to, segú n e l teo rem a 2 , e l trabajo realiza d o e s

W = j F • dr =

í V /- dr

= / ( 2 , 2 , 0 ) - / ( 3 , 4 , 12) mMG

mMG m g

V;2 2 + 2 2

v "32 + 4 2 +

( —^ = - — \ \ 2 v ’2 13/

In d e p e n d e n c ia de la t r a y e c to ria S u p o n g a m o s q u e C i y C 2 son d o s c u rv a s su a v e s por tram os (d e n o m in a d a s t r a y e c to r ia s ) q u e tien en e l m ism o p u nto in ic ia l A y e l p u nto term inal B. S a b e m o s por e l e je m p lo 4 d e la s e c c ió n 16.2 q u e , en gen era l, JC( F • d r # JCi F • dr. Pero u n a im p lic a c ió n d e l teo rem a 2 es que

JC,

V /- dr = [ ? / • dr

JC1

c u a n d o V / e s c o n tin u o . En otras p alab ras, la integral de lín e a d e un c a m p o v e c to r ia l con-

serx’ativo d e p e n d e só lo d e l p u nto in ic ia l y d e l punto term in al d e la curva. En g e n era l, si F e s un c a m p o v e c to r ia l c o n tin u o c u y o d o m in io e s D , la in tegra l d e lín ea Jc F • d r e s in d e p e n d ie n t e d e la t r a y e c t o r ia si fc. F • d r = j c F • d r para c u a le sq u ie r a d o s tr a y e c to r ia s C\ y Ci en D q u e tie n e n lo s m ism o s p u n to s in ic ia le s y te r m in a le s. C on e s ta te r m in o lo g ía p o d e m o s d e c ir q u e las integrales de línea de campos vectoriales conser-

vativos son independientes de la trayectoria.

S E C C IÓ N

1 6 .3

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS IN TEGRALES DE LÍNEA

1077

S e d ic e q u e u n a cu rv a e s c e r r a d a si su punto fin a l c o in c id e c o n su p u n to term in al, e s d e c ir , r (b) = r (a) (v é a s e la figu ra 2 ). Si Jc F • elr e s in d ep en d ien te de la tra yecto ria en D

y C e s c u a lq u ie r tra yectoria cerrad a en D , p o d e m o s e s c o g e r d o s p u n tos c u a le s q u ie r a A y B so b re la c u r v a C y c o n s id e r a r q u e C e s tá c o m p u e s ta d e la tr a y e c to r ia C i d e s d e A h a sta B se g u id a por la tra y ectoria C 2 d e sd e B hasta A (v é a s e la figura 3). L u e g o F IG U R A 2 C u rv a cerra d a

f F • dr = | JC

F • elr + [

• C|

F • dr = f

F • dr — í

JCi

JC j

elr = O

J~C2

p u esto q u e C\ y —C 2 p o see n lo s m ism o s pu ntos in ic ia l y term inal. In v er sa m e n te , si e s c ie rto q u e Jc F • elr = O c u a n d o C e s u n a tra yectoria cerrad a en D y e n to n c e s se d e m u e str a la in d e p e n d e n c ia d e la tra y ectoria c o m o sig u e . T o m a m o s d o s tray e c to r ia s c u a le s q u ie r a C 1 y C 2 d e sd e A h asta B en D y d e fin im o s C c o m o la c u r v a qu e c o n s is te d e C\ se g u id a de — C 2 . E n to n ce s

F • elr

F • dr +

F • elr

elr

F • elr. Por tanto, h e m o s d e m o str a d o e l te o re m a sig u ie n te .

y d e e ste m o d o JC( F • elr

|~3~] Teorema

r • dr =

f J -C 2

Jc F • elr e s in d e p e n d ie n te d e la tr a y e c to r ia en D si y s ó lo si

Jc F • elr = O para to d a tra yecto ria cerrada C en D .

P u esto q u e sa b e m o s qu e la in teg ral d e lín ea d e c u a lq u ie r c a m p o v e c to r ia l c o n se r v a tiv o F e s in d ep en d ien te d e la trayectoria, se infiere qu e j c F • elr = O para cu a lq u ier trayectoria cerrada. L a interpretación física e s qu e e l trabajo h ech o por un c a m p o d e fuerzas c o n se r v a tiv o (c o m o e l c a m p o g r a v ita c io n a l o e lé c tr ic o estu d ia d o en la s e c c ió n 1 6 .1 ), c u a n d o se d e sp la z a un o b jeto alred ed or d e u n a tray ectoria cerrada e s O. El teo rem a sigu ien te e sta b le ce q u e lo s únicos c a m p o s v ecto r ia le s qu e son in d ep en d ien tes d e la tra yecto ria son c o n se r v a tiv o s . E stá e sta b le c id o y d e m o str a d o para c u rv a s p la n a s, pero h a y u n a v e rsió n sim ila r para las c u rv a s en el e sp a c io . S i su p o n e m o s q u e D e s a b ie r t a , lo q u e s ig n if ic a q u e para to d o p u n to P en D hay un d is c o c o n c en tr o P q u e e s tá to ta lm e n te en D. (D e e s ta m a n e r a , D n o c o n t ie n e n in g u n o d e su fro n tera ). A d e m á s , s u p o n g a m o s q u e D e stá c o n e x a . E sto q u iere d e c ir q u e d o s p u n tos c u a le s q u ie r a en D se p u ed en unir m ed ia n te una tra y ecto ria qu e e stá en D.

[~4~] Teorema

S u p o n g a m o s q u e F e s un c a m p o v e cto r ia l q u e e s c o n tin u o sob re una

regió n c o n e x a abierta D. Si |c. F • d r e s in d ep en d ien te de la tra y ecto ria en D , e n to n c e s F e s un c a m p o v e c to r ia l c o n se r v a tiv o sob re D y e s d e c ir , e x is te una f u n c i ó n / t a l qu e V / = F .

DEMOSTRACIÓN

S e a A (a , b) un p u nto fijo en D. C o n str u im o s la fu n ció n d e p o t e n c i a l /

d e se a d a d e fin ie n d o / u

y) =

r v ¿ r

Jy*,b)

para c u a lq u ie r p u nto (x; y) en D. P u esto q u e [c F • d r e s in d ep en d ien te d e la tra yectoria , n o im p o r ta q u é tr a y e c to r ia C d e s d e (« , b) h asta (*, y) se recorra para e v a lu a r f ( x y y). C o m o D e s a b ie rto , e x is te un d is c o q u e e s tá c o n te n id o en D c u y o c e n tr o e s ( x y y). E lija m o s c u a lq u ie r p u n to (x ¡, y ) en e l d is c o c o n x\ < x y y se a C q u e c o n s is te de c u a lq u ie r trayectoria C\ d e sd e (ay b) h a sta { x y y) se g u id o por e l se g m e n to r ec tilín e o h o r iz o n ta l C 2 d e s d e ( * 1, y) h a sta (xy y) (v é a s e la fig u r a 4 ). E n to n c e s,

f ( x yy) = f

F • dr + í

J C ,

F • d r = f Uy> F • d r +

J c 2

J <•*, b )

F • dr

J c 2

O b se r v e m o s q u e la prim era d e e sta s in teg ra les no d e p e n d e d e xy d e m o d o qu e f(x,y ) = O + - L dx

(

•

1078

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

Si e sc r ib im o s F = P i + Q j , e n to n c e s

( F • dr = f P ¿x + Q dy c2 *' Ci

S o b re C 2 , y e s c o n sta n te , d e m o d o q u e dy = 0. U sa n d o t c o m o e l parám etro, d o n d e

x\ =5 /

x, te n e m o s

f ( x , y ) = —— f

dx Jc*

P d x + Q d y = —

f ' P(t, y ) d i = P ( x , y)

d e a cu erd o c o n la parte 1 d e l te o re m a fu n d am en tal d e l c á lc u lo (v é a s e la s e c c ió n 5 .3 ). A l u tiliza r un se g m e n to v e rtica l (v é a s e la fig u ra 5 ), un ra zo n a m ie n to sim ila r d e m u e str a qu e

f(x,y)

—

dyv Jc* d

P d x + Q d y = — (y Q ( x , t ) d t = Q ( x , y ) dv Jy>

F = P i + Qj

Por tan to,

a /,

~dxr x + dy

lo c u a l e sta b le c e qu e F e s c o n se r v a tiv a . L a p regu n ta p erm an ece: ¿ C ó m o e s p o s ib le d eterm inar si un c a m p o v e c to r ia l F e s c o n ser v a tiv o ? S u p o n g a m o s q u e y a se sabe q u e F = P i + Q j e s c o n se r v a tiv o , d o n d e P y Q tie n e n d e r iv a d a s p a r c ia le s c o n tin u a s d e p rim er ord en . E n to n c e s , h a y u n a f u n c i ó n / t a l q u e F = V /, e s d e c ir ,

s im p le ,

n o s im p le ,

n o c e r ra d a

no c e rra d a

Por tanto, seg ú n e l teo rem a d e C lairaut,

s im p le ,

no s im p le ,

c e r ra d a

c erra d a

| 5 | Teorema

d2f

a2/

dQ_

dydx

dxdy

Si F(.v, y) = P(x, y) i I Q(x , y) j e s un c a m p o v e cto r ia l c o n se r v a tiv o ,

F IG U R A 6

d o n d e P y Q tien en d e r iv a d a s p a rcia les c o n tin u a s d e prim er orden sobre

T ip o s d e cu rv as

un d o m in io D , e n to n c e s en la totalid ad de D ten em o s

dQ_

E l in v e r s o d e l te o re m a 5 e s v á lid o s ó lo para un tip o e s p e c ia l de reg ió n . Para e x p lic a r lo n e c e s ita m o s prim ero e l c o n c e p to d e una c u r v a s im p le , la c u a l e s u n a c u r v a qu e n o se co rta a s í m ism a en n in g u n a parte entre sus p u n tos e x tre m o s. [V é a se la fig u ra 6: r(a) = r (b) para u n a cu rv a cerrad a sim p le , p ero r ( /i) ^ r(Í 2) cu a n d o a < t\ < ti < b.] r e g ió n s im p le m e n t e c o n e x a

En e l teo rem a 4 n e c e s ita m o s u n a reg ión c o n e x a abierta. En e l c a so d e l te o re m a s ig u ie n te requerim os una c o n d ic ió n m ás rigurosa. U n a r e g ió n s im p le m e n te c o n e x a en el plano e s u n a regió n c o n e x a D tal q u e to d a c u r v a sim p le cerrada en D abarca s ó lo p u n to s q u e están en D. O b serv e q u e , seg ú n la fig u ra 7 , in tu itiv a m en te h a b la n d o , una región sim p le m en te c o n e x a n o c o n tie n e a gu jeros y n o p u ed e c o n sistir d e d o s partes separadas. En té rm in o s d e r e g io n e s sim p le m e n te c o n e x a s , p o d e m o s ahora e n u n cia r un in v e rso par-

r e g io n e s q u e n o son s im p le m e n te c o n e x a s

c ia l d e l te o re m a 5 q u e p r o p o r c io n a un m é to d o c o n v e n ie n te para co m p ro b a r q u e e l c a m p o v e c to r ia l so b re R 2 e s c o n s e r v a tiv o . L a d e m o str a c ió n se d e lin e a en la s e c c ió n s ig u ie n te

F IG U R A 7

c o m o u n a c o n s e c u e n c ia d e l teo rem a d e G reen.

SECCIÓN 16.3

[~6~] Teorema

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA

1079

S e a F = P i + Q j un c a m p o v e c to r ia l sob re una reg ión

sim p le m e n te c o n e x a D. S u p o n g a m o s q u e P y Q tien en d eriv a d a s c o n tin u a s d e prim er orden y

*P = -----dQ

-i a la i reg ión n en to d D

E n to n ce s F e s c o n se r v a tiv o .

□

E JE M P L O 2

D e ter m in e si e l c a m p o v ectoria l

F (* y )= (* —y)i + (* —2)j 10

e s c o n se r v a tiv o o n o lo e s. SOLUCIÓN S e a P (x , y) = x — y y Q(x, y) = x — 2. E n to n ces

F IG U R A 8

En las figuras 8 y 9 se muestran los campos

dQ_

C o m o dP/ d y ^

d Q / dx , F n o e s c o n se r v a tiv o seg ú n e l te o re m a 5.

□

D e ter m in e si e l sig u ie n te c a m p o v e cto r ia l

vectoriales de los ejemplos 2 y 3, respectivamente. Los vectores de la figura 8 que inician en la curva cerrada C parecen

E JE M P L O 3

apuntar aproximadamente en la misma dirección que C. De este modo se ve como si • d r > O entonces F no es conservativo.

¥ ( x , y ) = (3 + 2xy) i +

jc F

El cálculo del ejemplo 2 confirma esta impresión. Algunos de los vectores csrcanos a las curvas C , y C , de la figura 9 apuntan casi en la misma

(a t

— 3 /) j

e s c o n se r v a tiv o o no. SOLUCIÓN S e a P(x, y) = 3 4- 2 xy y Q(x , y) = x 1 —

E n to n ces

dirección que las curvas, nientrasque otros señalan la dirección opuesta. Entonces parece posible que las integralesde línea alrededor

de todas las trayectorias cerradas son 0 . En el

ejemplo 3 se demuestra que, en efecto, F es uuiiservdlivu.

= 2*= —

A s im is m o , e l d o m in io d e F e s to d o e l p la n o (D = IR2), e l c u a l e s ab ierto y sim p le m en te c o n e x o . Por tan to , p o d e m o s aplicar e l teo rem a 6 y c o n c lu ir q u e F e s c o n se r v a tiv o .

W '

i J

í 1 \

En e l e je m p lo 3 , e l te o re m a 6 se ñ a la q u e F e s c o n s e r v a tiv o , p ero n o d ic e c ó m o d e te r m inar la f u n c ió n /( p o t e n c ia l) tal qu e F = V / L a d e m o str a ció n d e l te o re m a 4 d a u n a p ista para e n c o n tr a r /

r { - ' y A~- - .* —«-

- < v *• ^ sX s

\ . *

^ \ \ > ■V"f J i ' I n \ \ \ V U J 4 /}

U tiliz a m o s la “ in te g ra c ió n parcial”, c o m o en e l e je m p lo sig u ie n te .

E JE M P L O 4

a) Si F (* , y) = (3 4- 2 xy) i + (at —

j , d eterm in e u n a fu n ció n / tal q u e F = V /

b ) E v a lú e la in tegra l d e lín e a J*c F • d r, d on d e C e s la cu rv a d e fin id a por

FIG U R A 9

r ( / ) = d sen t i + e' eos / j

t ^ 7T

SOLUCIÓN a)

D e acu erd o c o n e l e je m p lo 3 sa b e m o s que F e s c o n se r v a tiv o y , por tanto, e x is te una

fu n ció n / c o n V / = F , e s d ecir,

m s

f l x , y) = 3 + 2xy

fy (x , y ) = x 2 -

3 /

1080

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

A l integrar |T ] r e sp e c to a x, o b te n e m o s

f t x , y) = 3 x + ¿ y + g(y)

[9 ]

O b se r v e q u e la c o n sta n te de in te g ra c ió n e s u n a con stan te r esp e cto a x , e s d ecir, u n a fu n ció n d e y, la c u a l se lla m a g(y). L u e g o d e r iv a m o s a m b o s m iem b ro s de [ 9 ] r esp e cto a y:

fy(x>y) = x1 + g'{y)

C om p a ran d o QT] y [To], v e m o s que

g '( y ) = - 3 y 2 Si in te g ra m o s r e sp e c to a y , te n e m o s

g(y) = - y 3 + K d o n d e K e s u n a c o n sta n te. A l su stituir en [ 9 ] ten em o s

f ( x , y) = 3x + x 1y - y 3 + K c o m o la fu n ció n p o te n c ia l d e se a d a . b)

Para u tilizar e l te o re m a 2 , to d o lo q u e te n e m o s q u e sab er e s c u á le s son lo s p u n tos

in ic ia l y term in a l d e C , a sab er, r (0 ) = (O, 1) y rí^r) = (O, —ev). En la e x p r e sió n para

f ( x , y) d e l in c iso a), cualqu ier valor de la constan te K servirá, de m o d o que se lec cio n a m o s K = O. L u e g o te n e m o s f F • d r = f V / - d r = / ( O , - e " ) 8 - / ( 0 , 1) = e 3w - ( - 1 ) = e 3" + I Je vc E ste m é to d o e s m u c h o m á s c o rto q u e e l m é to d o d irecto para e v a lu a r las in te g ra les de lín e a q u e se tratan en la s e c c ió n 16.2. E n la s e c c ió n 1 6 .5 se d a un c r ite r io para d eterm in a r si e l c a m p o v e c to r ia l F sob re IR3 e s c o n s e r v a tiv o o n o. M ien tra s ta n to , e l e je m p lo s ig u ie n te m u e str a q u e la té c n ic a para h alla r la fu n c ió n p o te n c ia l e s en gran m e d id a la m is m a q u e para lo s c a m p o s v e c to r ia le s so b re R 2. S i F ( x ,y , z) = y 2 i + (2 x y + e 3*') j + 3 y e 3**k, d e te rm in e u n a f u n c i ó n / t a l

Q que

V /=

SOLUCIÓN Si hay tal f u n c ió n /, e n to n c e s [ñ ]

f y x , y , z ) = yr

[Í2]

fy(x, y, z) = 2xy + e3-

M x ,y ,z) = 3 y ^

A l integrar [TT] r e sp e c to a x o b te n e m o s Q5

/(* > ^ z ) = x f + g{y , z)

d o n d e g ( y , z) e s una c o n sta n te r e sp e c to a x. L u e g o , al derivar \\4\ r e sp e c to a y , te n e m o s f y( x , y , z) = 2 x y + gy( y , z)

S E C C IÓ N

1 6 .3

T E O R E M A F U N D A M E N T A L DE L A S I N T E G R A L E S DE L Í N E A

1081

y la co m p a r a ció n con [Í2 |d a

9y(y> z) = Por tanto, g(y , z ) = ye*z + h(z ) y ree sc rib im o s Q 4 ]c o m o / ( * y , z ) = xy- + y * 3*' + h(z) Para term inar, al derivar r esp ecto a z y com parar c o n [Í3t o b te n e m o s /i'(z ) = O y , por tanto, li(z) = K, u n a c o n sta n te. L a fu n ció n d e se a d a es

f U y, z ) = x r + y e 3' + K S e co m p r u e b a c o n fa cilid a d q u e V / = F.

■ ■

] C o n s e rv a c ió n de la e ne rgía A p lic a r e m o s la s id e a s d e e s te c a p ítu lo a un c a m p o d e fu e r z a s c o n t in u o F q u e h a c e q u e se d e s p la c e un o b je to a lo la rg o d e u n a tr a y ec to ria C d e f in id a por r ( /) , a

£ , donde

r (a) = A e s e l p u n to in ic ia l y r (b) = B es e l p u n to term in al d e C. D e acu erd o c o n la se g u n d a ley d e N e w to n d e l m o v im ie n to (v é a se la s e c c ió n 1 3 .4 ), la fu erza F (r (f)) en un p u nto sob re C se r ela c io n a c o n la aceleración a ( /) = r"(f) m ed ia n te la e c u a c ió n

F (r(0 ) = mr'Xt) D e m o d o q u e e l trabajo q u e e fe c tú a la fuerza sob re e l o b jeto e s

W = í F • d r = f" F (r (f) ) • r'(t) d t = [ ’ mr"{t) ■ r '(í) d t J e

= —

J a

rb d _

—-—[ r /(r) • r'{t)]d t 2 Ja d t

(teorema 13.2.3,fórmula4)

mrbd , tn r, ,,i/, = — I ----- \r'\t)\~ d t = [Ir'írll-J ., 2 *'■» d t 2

(teorema fundamental de cálculo)

= ^ ( | r U ) | 3 - Ir'W l3) Por tanto,

W =

| \ { b ) |2 — | m \ \ ( a ) |2

d o n d e v = r' e s la v e lo c id a d . L a ca n tid ad j m | v (f) |“, e s d e c ir , la m itad de la m a sa por e l cu a d ra d o d e la v e lo c id a d , se lla m a e n e r g ía c in é t ic a d e l ob jeto. Por tanto, p o d e m o s v o lv e r a e sc rib ir la e c u a c ió n 15 com o

[Ñs]

W = K(B) - KtA)

la c u a l e sta b le c e q u e e l trabajo h e c h o por e l c a m p o d e fu erzas a lo la rg o de C e s ig u a l al c a m b io d e la e n e r g ía c in é tic a en lo s p u n tos e x tre m o s d e C. S u p o n g a m o s a d e m á s q u e F e s un ca m p o d e fu erzas c o n se r v a tiv o , e s d e c ir , p o d e m o s e sc rib ir F = V / En físic a , la e n e r g ía p o te n c ia l d e un o b jeto en e l p u nto (*, y , z) se d e fin e c o m o P(x, y , r) = —f ( x , y , z ), d e m o d o q u e te n e m o s F = —V F . E n to n c e s , se g ú n e l t e o rem a 2 , te n e m o s

W = ( f • d r = - \ y p ■ d r = ~[P (r(b)) - P(r(a))\ = P(A) - P \B \

1082

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

C o m p a r a n d o e s ta e c u a c ió n c o n la e c u a c ió n 1 6 , e n c o n tr a m o s q u e P(A) + K( A) = P(B) + K ( B ) l a c u a l e s t a b l e c e q u e si u n o b j e t o s e m u e v e d e s d e u n p u n t o

h a c ia un p u n to

b a jo la in -

f l u e n c i a d e u n c a m p o d e f u e r z a s c o n s e r v a t i v o , e n t o n c e s l a s u m a d e su e n e r g í a p o t e n c i a l y d e su e n e r g í a c i n é t i c a p e r m a n e c e c o n s t a n t e . E s t e e n u n c i a d o r e c i b e e l n o m b r e d e

c o n s e r v a c ió n d e la e n e r g ía ,

y e s la r a z ó n d e q u e e l c a m p o v e c t o r i a l se lla m e

le y d e la

c o n s e r v a t iv o .

Ejercicios 1.

E n la f i g u r a se m u e s tr a u n a c u r v a C y un m a p a d e c o n t o r n o d e

10.

y )

(ln

+ 2x

y 3)

i + (3 * V +

x /y )

u n a f u n c i ó n / c u y o g r a d ie n t e e s c o n t in u o . E n c u e n t r e Jc V / • d r . cosh +

( x y

sen h

x y )

i + (at

eos

x y )

y )

L a f i g u r a m u e s tr a un c a m p o v e c t o r i a l F U

11.

( 2x

y ,

a t)

t r e s c u r v a s q u e in ic ia n e n ( 1 , 2 ) y t e r m in a n e n ( 3 , 2 ). a)

E x p l i q u e p o r q u é |C F • d r t ie n e e l m i s m o v a l o r p a ra la s

¿ C u á l e s e s te v a lo r co m ú n ?

tre s c u rv a s .

S e d a u n a ta b la d e v a l o r e s d e u n a fu n c i ó n / c o n g r a d ie n t e c o n t in u o . D e t e r m i n e f - V / * d r , d o n d e C t ie n e la s e c u a c i o n e s p a r a m é t r ic a s

r + 1 \

ts +

t ^

. y

■V

1 2 -1 8

3 -1 0

D e t e r m i n e si F e s un c a m p o v e c t o r i a l c o n s e r v a t i v o o n o l o e s .

S i e s a s í, e n c u e n t r e u n a f u n c i ó n / ta l q u e F =

a ) D e t e r m i n e u n a f u n c i ó n / ta l q u e F =

a ) p a r a e v a l u a r JC F •

3 y) i + ( - 3 a : + 4 y -

4. F U y ) =

e x sen y i + e* e o s y j

5. F U y ) =

e * e o s y i + e*

6. F U y ) =

(3a t -

7 . F ( at , y ) = 8. F U

(yex +

2 y 2) i + sen

sen

8) j

13.

F (.v ,y )- .v y 2i + C:

r (f) «

C :

y) j

y) = (2 xy + y " 2: i + ( x 2 - 2 x y ’ 3) j ,

|SAC|Se requiere sistema algebraico computarizado

r (t )

eos

15. F ( x, y , z) = y

> 0

x 2y

2a t

d e ( — l , 2 ) a (2 , 8 )

s e r v ir / -

14. F U y) = (1 +

(4xy + 3 ) j eos

y 2j ,

C e s e l a r c o d e la p a r á b o la

y) i + (e* + x

V / y b ) u s e e l i n c is o

a l o l a r g o d e la c u r v a d a d a C.

V/.

12. F U y) = x 2 i + 3. F ( jc ,y ) = ( 2x -

d r

eos y

0 <

xy)exy i + x 2e xy j, i

2 sen /j

0 ^

^ 7r/2

yz i + xz j + (xy + 2 z) k,

C e s e l s e g m e n to r e c tilín e o d e ( 1 , 0 , — 2 ) a (4 , 6 , 3 )

1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com

SECCIÓN 16.3 16. F U , y , z ) = ( y 2 - + 2 x : 2 ) i + 2 x y z j + (x y 2 + 2 x 2z) k, C: x = v"7, y = t + I, r = t \ O 1 17.

28.

F (x ,

, z) =

C : r(t) =

sen

i + (x

cos

/ i + / j + 2t k,

sen

cos

j —y

z )

O< í ^

2 x e 'y d x

sen

—

y ) . E n c u e n tr e c u r v a s

•

d r

F •

d r

J c

D e m u e s t r e q u e si e l c a m p o v e c t o r i a l F = P i + 0 j

P ,

P k e s

t ie n e n d e r i v a d a s p a r c i a l e s c o n t in u a s

d e p r im e r o rd e n , e n to n c e s

ir / 2

30.

d P

d Q _

d y

d x

d P

d x

x d y

d R

d x

29,

P o r m e d io c e l e je r c ic io j c y

(2 y - x V y)

f F

c o n s e r v a tiv o y

z k,

sen

t r a y e c t o r i a y e v a lú e la in t e g r a l. j c

f ( x , y )

J c .

19-20 D e m u e s t r e q u e la in t e g r a l d e l ín e a e s i n d e p e n d ie n t e d e la

19.

donde

q u e n o s o n c e r r a d a s y s a t is fa c e n la e c u a c ió n .

C 2

29. 18.

V/.

S ea F = C, y a)

y , z ) = y z e x : i + e x : j + xyí?*r k, C: r(f) = í / 2 + 1) i + (f2 - 1) j + ( r - 2t) k.

1083

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS IN TEGRALES DE LÍNEA

x y z

d y

d e m u e s t r e q u e la in t e g r a l d e lín e a

n o e s in d e p e n d ie n t e d e la t r a y e c t o r ia .

d z

d y ,

31-34 D e t e r m i n e si e l c o n j u n t o d a d o e s o n o a ) a b ie r t o ,

C e s c u a l q u i e r t r a y e c t o r i a d e s d e ( 1 , 0 ) h a s t a ( 2 , 1)

b ) c o n e x o y c ) s im p le m e n t e c o n e x o . 20-

sen y

C es

21.

d x

(.v c o s y — s e n y )

d y ,

31. {( x, y)

| 0

33. { U , y )

32. {(x,y)

< 3}

< 2}

|x|

c u a lq u ie r t r a y e c t o r i a d e s d e ( 2 , 0 ) h a s ta ( 1 , i r )

S u p o n g a q u e se le p id e d e t e r m in a r la c u r v a q u e r e q u ie r e e l

y 2

^ 4 , y 5*

34. {(x, y) | (x,y) * (2 ,3 )}

t r a b a jo m í n i m o p a ra q u e u n c a m p o d e fu e r z a F m u e v a u n a p a r t íc u la d e un p u n to a o t r o . U s t e d d e c i d e p r i m e r o v e r i f i c a r x ~

r e s p o n d e r a e s te r e q u e r i m i e n t o ?

22.

35. Sea F U y) = ^

si F e s c o n s e r v a t i v o y r e s u lta q u e l o e s . ¿ C ó m o p o d r ía

y ~

D em u e stre q u e

D e m u e s t r e q u e |¿. F •

S u p o n g a q u e un e x p e r i m e n t o d e t e r m i n a q u e la c a n t id a d d e

d P /d y

d Q

d r

[Sugerencia:

t r a y e c t o r ia . t r a b a jo r e q u e r id o p a ra q u e un c a m p o d e fu e r z a F m u e v a u n a

f d x .

n o e s in d e p e n d ie n t e d e la c a lc u le

F •

j c

y fc F •

d r

d r ,

d o n d e C 1 y C 2 s o n la s m it a d e s s u p e r io r e i n f e r i o r d e la p a r t íc u la d e un p u n to ( 1 , 2 ) al p u n to ( 5 , — 3 ) a l o l a r g o d e la c ir c u n fe r e n c i a

x 2

y 2 =

1 d e s d e ( 1 , 0 ) h a s ta ( — 1, 0 ).J

c u r v a C i e s d e 1.2 J , y e l t r a b a jo r e a l i z a d o p o r F p a ra m o v e r

z lo

l a p a r t íc u la

¿ C o n t r a d i c e e s t o a l t e o r e m a 6? l a r g o d e o t r a c u r v a C 2 e n t r e l o s m is m o s d o s

p u n to s e s 1.4 J. ¿ Q u é p o d r í a d e c i r e n r e l a c i ó n c o n F ?

36.

¿ P o r qu é?

S u p o n g a q u e F e s un c a m p o d e fu e r z a d a d o p o r u n a r e l a c i ó n c u a d r á t ic a i n v e r s a , e s d e c i r ,

23-24 C a l c u l e e l t r a b a jo q u e r e a l i z a e l c a m p o d e fu e r z a F al d e s p la z a r un o b je to d e s d e

23.

F U ,y ) =

2 y 3/2i +

F (r)

a 0.

3 x y '7 j :

P {

l),

p a r a u n e c o n s ta n t e

0 (2 ,4 )

donde

+ y

:k .

D e t e r m i n e e l t r a b a jo q u e r e a l i z a F al m o v e r un o b j e t o

P (0, 1), 0 ( 2 ,0 )

24. F U , y)

d e s d e un p u n to e l p u n to

a l o l a r g o d e u n a t r a y e c t o r i a h a s ta

P \

2 e n t é r m in o s d e la s d is t a n c ia s

d i

desde

e s t o s p u n to s al o r i g e n . 25-26 ¿ E s c o n s e r v a t i v o e l c a m p o v e c t o r i a l q u e se m u e s tr a e n la

U n e j e n - p l o d e un c a m p o c u a d r á t ic o i n v e r s o e s e l c a m p o g r a v it a c io n a l F =

ra ? E x p l i q u e

—(

G ) r /\

|3 a n a liz a d o e n e l e j e m p l o

4 d e la s e c c ió n 16.1. M e d i a n t e e l i n c is o a ) c a l c u l e e l V

25. 1 / i l

/ y

■'-i

-—i .- * —

3— •«-—

''Sí.

—

> /

— 4-— «■

V \

■

\ *

\ \ \ ■

M S

t r a b a jo r e a l i z a d o p o r e l c a m p o g r a v i t a c i o n a l c u a n d o la

26. —

, /

T i e r r a se m u e v e d e s d e e l a f e l i o ( a u n a d is t a n c ia m á x im a

t t

d is t a n c ia m í n i m a d e 1.47 X

v a lo r e s

v V .v

d e 1 .5 2 X

\ l i y

t t /

t t

108 k m d e s d e e l S o l ) a l p e r i h e l i o ( a una

5 .9 7 X

6 .6 7 X

1024 k g ,

108 k m ) . ( U t i l i c e l o s M

1 .9 9 X

1 0 30 k g y

1 0 - " N - m 2/ k g 2.)

O t r o e j e m p l o d e un c a m p o c u a d r á t ic o i n v e r s o e s e l c a m p o e lé c tr ic o F =

e< / 0 r/ |

|3 a n a liz a d o e n e l e j e m p l o

5 d e la s e c c ió n 16.1. S u p o n g a q u e un e l e c t r ó n c o n c a r g a d e — 1.6 X

1 0 “ 19 C e s t á e n e l o r i g e n . U n a c a r g a u n it a r ia

p o s i t i v a se l o c a l i z a a u n a d is t a n c ia d e 1 0 -12 m a p a r t ir d e l e l e c t r ó n y se d e s p l a z a a u n a p o s i c i ó n a la m it a d d e e s a 27. S i F ( x , y ) =

sen y i +

(1 +

c o s y ) j , u s e un t r a z o p a ra in tu ir

d is t a n c ia d e s d e e l e l e c t r ó n . C o n e l i n c is o a ) d e t e r m in e el

si F e s c o n s e r v a t i v o . A c o n t in u a c ió n d e t e r m in e si su

t r a b a jo q u e e f e c t ú a e l c a m p o e l é c t r i c o . ( U s e e l v a l o r

c o n je t u r a e s c o r r e c t a .

8 .9 8 5 X

1 0 9.)

1084

CAPITULO 16

CALCULO VECTORIAL

Teorema de Green E l te o re m a d e G reen e s ta b le c e la rela ció n entre u n a in tegra l d e lín ea a lred ed o r de una c u r v a sim p le cerrad a C y u n a in teg ra l d o b le sobre la reg ió n plan a D a co tad a por C (v é a se la fig u ra 1. S u p o n g a m o s q u e D c o n s is te d e to d o s lo s p u n tos d en tro d e C , a s í c o m o d e to d o s lo s p u n to s sob re C.) En e l p la n te a m ien to d e l teorem a d e G reen se u sa la c o n v e n c ió n d e qu e la o r ie n t a c ió n p o s it iv a d e u n a c u r v a sim p le cerrada C se refiere a un recorrido s e n c illo d e C en el sentido contrano a l d e las manecillas d e l reloj. Por tan to , si C e stá d e fin id a por la fu n ció n v e c to r ia l

r(/), a

t =s b, e n to n c e s la región D e stá siem p re a la izq u ier d a cu a n d o

e l p u nto r (f) recorre C (v é a se la fig u ra 2).

FIGURA 2

Teorema de Green

S e a C una cu rv a sim p le cerrada, su ave por tram os co n o rientación

p o s itiv a en e l p la n o , y se a D la reg ió n q u e d e lim ita C. S i P y Q tien en d eriv a d a s p a rcia les c o n tin u a s sob re u n a regió n abierta que c o n tie n e a D , e n to n c e s Recuerde que el primer miembro de esta ecuación es otra forma de escribir jc F • dr,

dondeF = P ¡ + Q j

' ^

í K

r . f )

N O T A A lg u n a s v e c e s , la n otació n <í P d x + Q d y

o b ie n ,

P dx + Q dy

se u sa para señ ala r q u e la in tegra l d e lín ea se c a lc u la u sa n d o la o r ie n ta c ió n p o s itiv a d e la c u r v a c er r a d a C . O tra n o ta c ió n para la c u r v a c o ta o fro n tera c o n o r ie n ta c ió n p o s it iv a d e

D e s dD , d e m o d o qu e la e c u a c ió n en e l te o re m a de G reen se p u ed e e sc rib ir c o m o

¡ ¡ { f - ^ ) dA=l

Pdx+Qdy

E l te o re m a d e G reen se d e b e c o n sid e r a r c o m o e l e q u iv a le n te d e l te o re m a fu n d a m en tal d e l c á lc u lo para las in te g ra les d o b le s. C om p a re la e c u a c ió n 1 c o n e l e n u n c ia d o d e l te o r e m a fu n d am en ta l d e l c á lc u lo , parte 2 , en la e cu a c ió n sig u ien te:

|'b F ' ( x ) d x = F(b) - F(a) En a m b o s c a s o s hay u n a in teg ra l qu e in v o lu c ra las d eriv a d a s ( F \ d Q / d x , y dP /dy) en el prim er m iem b ro d e la e c u a c ió n . A d e m á s, en am b o s c a s o s e l se g u n d o m iem b ro co m p r en d e lo s v a lo r e s d e la s fu n c io n e s o r ig in a le s (F , Q y P \ s ó lo en la frontera d e l d o m in io . (E n el c a so u n id im en sio n a l, e l d o m in io e s un in tervalo \a, b ] c u y a frontera c o n siste en ú n ica m en te d o s p u n to s, a y b).

SECCIÓN 16.4

T E O R E M A DE G R E E N

1085

El teo rem a d e G reen no e s fá c il de dem ostrar en g e n era l, p ero e s p o s ib le dar u n a d e m o s tración d e l c a so e sp e c ia l d o n d e la región e s tanto d e l tip o I c o m o d e l tipo II (v é a se la se c c ió n 1 5 .3 ). L la m a re m o s a d ic h a s r e g io n e s r e g io n e s s im p le s . G eo rg e G reen El teorema de Green recibe este nombre en

D E M O S T R A C IO N D E L T E O R E M A DE G R E E N P A R A E L C A SO EN E L QUE D ES U N A R EG IO N S IM P L E

O b serv e q u e e l te o re m a d e G reen estará d em o stra d o si p o d e m o s d em ostra r qu e

honor del científico inglés autodidacta George Green (1793-1841). Trabaji de tiempo completo

en la panadería de su padre desde que tenía

Pdx = -

dP f f — dA JJ dy

9 años, y aprendió matemáticas en forma autodidacta en libros de la biblioteca. En 1828 publicó en forma privada An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity andMagnetism, pero sólo

se imprimieron 100 ejemplares, y la mayoría de ellos fueron para sus amigos. Este librito contenía un teorema que es equivalente al que se conoce como teorema de Green, pero

Qdy =

D com o

D e m o str a re m o s la e c u a c ió n 2 e x p r e sa n d o

no se conoció ampliamente en ese tiempo. Por fin, cuando Green tenía 40 años, ingresó a la

D =

{(.v,

| a =s

ff - ' p - d A

JJ Qx

una reg ió n d e l tip o I:

by gi{x)

g2(x)}

Universidad de Cambridge, pero murió cuatro años después de su graduación. En 1846. William Thomson, Lord Kelvin, encontró un

donde

ejemplar del trabajo de Gieen, se dio cuenta de

d e l se g u n d o m iem b ro d e la e c u a c ió n 2 c o m o sigue:

son fu n c io n e s c o n tin u a s. E sto r o s perm ite c a lc u la r la in tegra l d o b le

su importancia y lo hizo reimprimir. Green fue la primera persona en intentar formular una teoría matemática de la electricidad y el magnetismo. Su trabajo es la base de las teorías posteriores de Thomson, Stokes, Rayleigh y Maxwell.

1— 1

ff - —

dA =

f* f ' l(°

J9,(x) dy

(.v,

y) d y d x =

f &[P(x,

•«

g2(x)) - P(x, 0 i(.r))] dx

d o n d e d e l ú ltim o p a so se in fier e d e l te o re m a fu n d am en tal d e l c á lc u lo . A h o ra c a lc u la m o s e l prim er m iem b ro d e la e c u a c ió n 2 d e s c o m p o n ie n d o C c o m o la un ión d e cu a tro c u r v a s

Ch C2y C2 y

C 4 m ostradas en la fig u ra 3. S o b re C | to m a m o s x c o m o

e l parám etro y e sc r ib im o s las e c u a c io n e s param étricas c u a n d o X = x, y = #i(.v),

a =s x ^ b. Por tanto.

.f P{xy y) dx = jaf :bP ( .í , gi(x)) dx c .

o O b serv e q u e C 3 v a d e d e r ec h a a izq u ier d a , pero —C 3 v a d e izq u ier d a a d e r ec h a , de F IG U R A 3

m o d o q u e e sc r ib im o s la s e c u a c io n e s param étricas d e —C 3 c o m o x = x, y = g2(x)t

a =s x ^ b. Por tanto.

Jr.

S o b re

C2 o

P(.v, y) dx = - f

J —c .

P(.v, y) dx = - f :*P{x, g2(xj) dx

C 4 (cu a lq u iera de las c u a le s se podría red u cir a s ó lo un p u n to ), Ares c o n sta n te ,

de m odo que d x = O y f

P{x, y) dx = O =

Jc2

Jc,

P{ xt y) dx

D e aq u í qu e

f P (x ,y )d x =

% »C

« C|

P(Xy y) d x + f P { x , y ) d x + f P ( x y y) d x + f P(x, y) dx % -C;

= f &P(.v, g{{x)) d x -

% *Cj

f &?(Xy g2(x)) d x

« C4

1086

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

A l c o m p a r a r esta e x p re s ió n c o n la de la e c u a c ió n 4, v e m o s q u e

P (x,y)dx =

dP -

dy L a e c u a c ió n 3 se p u ed e d em ostra r c a si d e la m ism a m an era al ex p r esa r a D c o m o una regió n d e l tip o II (v é a s e e l e je r c ic io 3 0 ). A c o n tin u a c ió n , al su m ar las e c u a c io n e s 2 y 3, o b te n e m o s e l te o re m a d e G reen . E JE M P L O 1

■

E v a lú e \ c X * d x + x y d y , d o n d e C e s la c u r v a trian gular q u e c o n s is te d e lo s

s e g m e n to s r e c tilín e o s d e (0 , 0 ) a (1 , 0 ), d e (1 , 0 ) a (0 , 1) y d e (0 , 1) a (0 , 0 ). Vi

SOLUCIÓN A u n q u e la in teg ral d e lín e a d ad a se podría e v a lu a r c o m o se acostu m b ra v = 1- X

(0 ,1 )

m ed ia n te lo s m é to d o s d e la s e c c ió n 1 6 .2 , e s o sig n ifica r ía plan tear tres in teg ra les sep arad as a lo largo d e lo s tres la d o s d e l tria n g u le, d e m o d o q u e en lugar de e s o

a p lica r e m o s e l te o re m a d e G reen . O b serv e q u e la regió n D en cerra d a por C e s sim p le y

V D

C sig u e una o rientación p o sitiv a (v é a se la figura 4). Si h a c e m o s P(x, y) = x4 y Q(x, y) = xy, e n to n c e s te n e m o s

(0 ,0 )

(1 ,0 )

~ ^ ) d A = £

J V d v + * y dy = J j

F IG U R A 4

y = l-x

Í V 1

y= 0

i f\ io

(y - 0) dy

xfd x

;(1 - X) 3] E v a lú e j>c (3 y — ^sc,v) d x + (7.v + J y 4 + I ) dy, d o n d e C e s la

c ir c u n fe r e n c ia a:2 + y 2 = 9. SOLUCIÓN L a reg ión D aco ta d a por C e s e l d is c o jr + y 2 ^ 9 , d e m o d o q u e c a m b ie m o s a c o o rd en a d a s p o la res d e sp u é s d e aplicar e l teo rem a d e Green: (3 y -

e xn x) d x + (7x + y/y* + 1) d y

En lugar de utilizarcoordenadas polares,

r a

podríamos usar simplemente el hecho de que D es un disco de radio 3 y escribimos

íf 4 dA

- s

i l x + \ j y 4 + 1 ) ---------- (3 y }

dy W

3 6 TT

= I

I (7 — 3 ) r d r d $ = 4 f d 0 | r d r = 3 6 ir Jo Jo Jo

En lo s e je m p lo s 1 y 2 p arece q u e e s m á s fá c il e v a lu a r la in tegral d o b le q u e la in tegral d e lín ea . (¡T rate de plan tear la in teg ra l d e lín ea del e je m p lo 2 , y pronto se c o n v e n c e r á !) Pero a lg u n a s v e c e s e s m á s fá c il e v a lu a r la integr al d e lín ea , y u tiliza r e l te o re m a d e G reen en la d ir e c c ió n in v ersa . Por e je m p lo , si sa b e m o s que P(x, y ) = Q(x, y) = 0 sob re la cu rv a C , e n to n c e s e l teo rem a d e G reen d a

n o im p o rta q u é v a lo re s to m en P y Q en la reg ió n D. O tra a p lica c ió n d e la d ir e c c ió n in v e rsa d e l teorem a d e G reen e s para c a lc u la r áreas. C o m o e l área d e D e s j j D 1 dA, s e le c c io n a m o s P y Q ta les qu e

SECCIÓN 16.4

T E O R E M A DE G R E E N

1087

H ay va rias p o sib ilid a d es:

P(x, y) = O

P(x, y) = - y

P(x, y) = - j y

Q(x, y) = x

Q (x, y) = 0

Q(x, y) = j.v

E n to n ce s e l teo rem a d e G reen d a las fórm u las sig u ie n te s para e l área d e D:

E JE M P L O 3

. .

«.

x a~

y~ b~

D e t e r m i n e e l á r e a d e l i m i t a d a p e r l a e l i p s e — — -I------ — _

SOLUCIÓN L as e c u a c io n e s pa ra m étricas de la e lip s e son x = a e o s / y y = b sen t, d o n d e O ^ t =s 27r. A l aplicar la tercera fó rm u la de la e c u a c ió n 5 , te n e m o s

A = j |* x d y — y d x j (*

(a e o s t)(b e o s t ) d t — (b sen /){—a sen /) dt

ab 2

j * 2 x-

________

dt — 7TClb

L a fó rm u la 5 se pu ed e u tiliza r para e x p lic a r c ó m o fu n cio n a n lo s p la n ím etro s. U n p l a -

R u eda 3 r a z o p o la r

n ím e t r o e s un in stru m en to m e c á n ic o q u e se e m p le a para m ed ir e l área de u n a reg ió n al trazar su cu rv a frontera. E sto s aparatos so n ú tile s en to d a s las c ie n c ia s: en b io lo g ía para

P iv o t e

m ed ir e l área d e h o ja s o a la s, en m e d ic in a para m ed ir e l tam añ o d e s e c c io n e s tra n sv ersa les d e órganos o tum ores, en b o sq u es para estim ar e l tam año de r eg io n es p ob ladas de árboles a partir d e fo to g ra fía s. L a figu ra 5 m u estra la o p era ció n d e un p lan ím etro polar: e l p o lo se fija y , c u a n d o e l tra-

B r a z o tra za d o r

za d o r se m u e v e a lo largo d e la cu rv a frontera d e la r e g ió n , la rueda se d e s liz a p arcia lm en te y rueda tam b ién p arcialm en te en fo rm a perpen d icu lar al bra zo trazador. E l p la n ím etro m id e la d ista n c ia q u e la rueda gira y é sta e s p ro p orcion a l al área en cerrad a. L a e x p lic a c ió n c o m o u n a c o n s e c u e n c ia d e la fó r m u la 5 se puede hallar en lo s s ig u ie n te s artículos:

T razad or

■ R. W . G atterm an, "T he p la n im e ter as an e x a m p le o f G r e e n ’s T h e o r e m ”, Amer.

Math. M onthly , v o l. 88 (1 9 8 1 ), pp. 7 0 1 -7 0 4 . F IG U R A 5 P la n ím e tr o p o la r K e i f f e l & E s s e r

■ T a n y a L e is e , " A s the p la n im e ter w h e e l turns” , College Math, Journal , v o l. 38. (2 0 0 7 ), pp. 2 4 -3 1 .

V e r s io n e s e x t e n d id a s del teorem a de Green A u n q u e h e m o s d e m o str a d o e l te o re m a d e G reen s ó lo para e l c a s o d o n d e D e s sim p le , y a p o d e m o s g e n e ra liza r lo al c a s o d o n d e D e s una u n ión fin ita d e r e g io n e s sim p le s. Por e j e m p lo , si D e s la regió n m o stra d a en la fig u ra 6 , e n to n c e s p o d e m o s e sc rib ir D = D\ U D i , d o n d e D i y D i tam b ién son sim p le s. L a frontera de D i e s Ci U C 3 y la frontera d e D i e s

Ci U ( —C 3), por lo q u e, al aplicar e l teorem a de G reen para D \ y D i por separado, o b te n e m o s

í Pdx+Qdy Jc,uc,

J c iU ( - C i)

Pdx + Qdy

K JJ j j D

(\ dx

dA ,

ay.

1088

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

Si su m a m o s e sta s d o s e c u a c io n e s , las in te g ra les de lin e a a lo larg o d e C 3 y — C 3 se c a n c e la n , de m o d o qu e

Pdx + Q d y = { ¡ ( É Q _ É L ) dA '

J C iU C i

a .v

q u e e s e l te o re m a d e G reen para D = D 1 U D 2 , p u esto q u e su frontera e s C = C | U Cj. E l m ism o tip o d e r a zo n a m ien to perm ite e sta b le ce r e l te o re m a d e G reen para cu a lq u ier u n ión fin ita d e r e g io n e s sim p le s q u e no se traslapan (v é a se la figura 7). Q

E 2JJ3JH

E v a lú e cfc y 2 d x + 3.vy d y , d o n d e C e s la frontera d e la reg ión sem ian u la r

D en tre las c ir c u n fe r e n c ia s

+ y2= 1 y

+ y 2 = 4 en e l se m ip la n o superior.

SOLUCIÓN O b serv e q u e aunque D n o e s sim p le , el e je y la d iv id e en d o s r e g io n e s sim p le s (v é a s e la figu ra 8). En co o rd en a d a s p o la r es pod ernos escrib ir

{ ír ,

| 1

s s 2, O ^

ss 7 1 }

Por tan to, e l te o re m a d e G reen d a

y-dx + 3xydy = f f 1 - ^ ( 3 ^ ) - ±

( y 2) J dA

= f f y dA = f * sen 0 d 0

(

(/s e n

0) r d r d O

r 1d r — [ —c o s

E l teo rem a d e G reen se p u ed e gen era liza r para ap licarlo a r e g io n e s c o n a g u jero s, e s d e c ir , r e g io n e s q u e n o son sim p le m e n te c o n e x a s. O b se r v e q u e la frontera C d e la región

D d e la fig u ra 9 c o n s is te en d o s c u rv a s sim p le s cerradas C i y Ci. S u p o n g a m o s q u e e sta s c u rv a s frontera están o rien ta d a s d e tal m o d o qu e la reg ión D siem p re e s tá a la izq u ierd a c u a n d o se recorre la c u r v a C. Por tan to, la d ir ec ció n p o s itiv a e s con traria a la d e las m a n e c illa s d e l reloj en e l c a s o de la c u r v a e x te r io r C i, p ero en e l se n tid o d e las m a n e c illa s d e l reloj en e l c a s o de la c u r v a interior C 2 . Si d iv id im o s D en d o s r e g io n e s D ' y D " por m e d io d e las lín e a s m ostrad a s en la fig u ra 10 y lu e g o a p lica m o s e l te o re m a d e G reen a D ' y D", o b te n e m o s

í í ( dx

dA D'

Jan'

P dx + Q dy + f

Jan-

Pdx + Qdy

C o m o las in te g ra les d e lín e a a lo largo d e las rectas frontera c o m u n e s sig u e n d ir e c c io n e s o p u esta s, se c a n c e la n y e n to n c e s

íí ( i r - H

) d A = L P d x + Q d y + L P d x + Q d y = L P d x + Qd y

lo c u a l e s e l te o re m a d e G reen para la regió n D. Q

IS E H E H

S i F (.v,

y )

= ( —y i +

.vj)/(.r2

- I-

y 2 ),

d e m u e str e q u e J*C F • d r = 2-7rpara

tod a tray ecto ria sim p le , cerrad a, o rien ta d a p o sitiv a m e n te y qu e e n cierra e l origen. SOLUCIÓN C o m o C e s u n a tra y ecto ria cerrad a arbitraria q u e e n cierra e l o r ig e n , e s d ifíc il c a lc u la r en form a d irecta la in tegra l dada. D e m o d o q u e c o n s id e r e m o s u n a c ir c u n fe r e n c ia

SECCIÓN 16.4

TEOREM A DE GREEN

1089

C' orien tad a en e l se n tid o con tra rio al d e la s m a n e c illa s d e l reloj c o n cen tro en e l o rig en y radio a, d o n d e a se e s c o g e d e tal m anera qu e se a tan p e q u eñ o q u e C' q u ed e d entro d e C (v é a se la figu ra 11). S e a D la regió n aco ta d a por C y C \ E n to n ce s su frontera orientad a p o s itiv a m e n te e s C U ( —C") y d e e ste m o d o la v e rsió n g en era l d e l teo rem a d e G reen da

¡c P d x + Q d y + j_ c P d , + Q d y = [ f ( f - -

- ( ( r

f Pdx + Qdy = f

Por tanto,

f F • dr = f

e s d ecir,

\r f

.Ir

y2 -

h-v2

r ) 2

y2 -

v2 1 d A = O

( .v2 + y 2 ) 2 J

P dx + Qdy

F • dr

A h o ra c a lc u la m o s c o n fa cilid a d e sta ú ltim a integral u sa n d o la p aram etrizació n d e fin id a por r (f) = a e o s t i + a sen t j , O =s t ^ 2 i r. Por tanto, f F • dr Jc

f F ♦ dr - f F Jc* Jo

(r(t)) * r Xt) dt

f 2 <r ( —a sen /)(—a sen /) + (a e o s M a c o s t) I i m " ■> dt J o a ~ c o s ~ t + a ' se n " /

eiw |

- ít

E sta s e c c ió n fin a liz a c o n la a p lica c ió n d e. te o re m a d e G reen para an alizar un resu ltad o al q u e se lle g ó en la s e c c ió n anterior. E S B O Z O DE LA D E M O S T R A C IÓ N D E L T E O R E M A 16.3.6

Supongam os que F = P i + £ j e s

un c a m p o v e c to r ia l sob re u n a reg ió n D abierta sim p le m e n te c o n e x a , q u e P y Q tien en d e r iv a d a s p a r c ia le s c o n tin u a s d e prim er orden y qu e

dP _ dQ dy

en to d a reg ión D

S i C e s c u a lq u ie r trayectoria sim p le cerrad a en D y R e s la reg ión q u e e n cierra C , e n to n c e s e l te o re m a d e G reen da F • dr

U n a cu rv a q u e no e s sim p le se c r u z a a s í m ism a en u n o o m á s p u n tos y se pu ed e d e sc o m p o n e r en v a ria s c u r v a s sim p le s. Y a d e m o str a m o s q u e las in te g ra les d e lín e a d e F alred ed or d e e sta s c u rv a s sim p le s son O y , al su m ar las in te g ra les, o b se r v a m o s qu e Jc F • d r = O para c u a lq u ie r c u r v a cerrad a C. Por tanto, ¡c F • d r e s in d ep en d ien te d e la tra y ecto ria en D seg ú n e l te o re m a 16.3.3. S e in fiere qu e F e s un c a m p o v e cto r ia l c o n se r v a tiv o .

Ejercicios 1-4 E v a l ú e la in te g r a l d e l ín e a m e d ia n t e d o s m é t o d o s : a)

d ir e c t a m e n t e y b ) u t iliz a n d o e l t e o r e m a d e G r e e n .

1. <fc u C

e s e l r e c t á n g u lo c o n v é r t i c e s (O , 0 ) , ( 3 , 0 ) , ( 3 , 1 ) y ( 0 , 1).

3. j c x y d x + x 2y* dy,

y) dx + (x + y) dy,

e s l a c ir c u n fe r e n c i a c o n c e n t r o e n e l o r i g e n y r a d io 2

S e req u iere ca lcu la d o ra g raficad o ra o c o m p u ta d o ra

2. <fc x y d x + x 2d y ,

e s e l t r iá n g u lo c o n v é r t i c e s ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) y ( 1 , 2 )

| Se req uiere s is te m a a lg eb raic o c o m p u ta riz a d o

1. T areas su g erid a s d isp o n ib le s en stew artcalcu lus.i

1090

CAPÍTULO 16

< jc y

X 2y 2 d x

x -

x y

CÁLCULO VECTORIAL

d y ,

19.

c o n s is t e d e l a r c o d e la p a r á b o la

C o n u n a d e la s fó r m u la s d e [T | d e t e r m in e e l á re a b a jo un a r c o d e l c ic lo id e

d e (O , 0 ) a ( 1 , I ) y l o s s e g m e n t o s d e r e c t a d e ( 1 , 1)

a (O , 1 ) y d e (O , 1 ) a ( 0 , O )

sen

t ,y

1 — eos

KM 20. S i u n a c ir c u n fe r e n c i a C d e r a d io 1 g i r a p o r e l e x t e r i o r d e la c ir c u n f e r e n c i a

U t i l i c e e l t e o r e m a d e G r e e n p a ra e v a l u a r la in t e g r a l d e l ín e a a

5 -1 0

l o l a r g o d e la c u r v a d a d a c o n o r i e n t a c i ó n p o s it iv a .

+ y2=

x 2

16, un p u n to f i j o

s o b r e C d ib u ja

u n a c u r v a lla m a d a

e p ic ic lo id e

c u y a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r ic a s

son

eos 5 t

5 sen

5 eos

—

, y =

sen 5/. T r a c e el

t —

e p i c i c l o i d e y c o n |T| c a l c u l e e l á re a q u e e n c ie r r a . 5.

j c x y 2 d x

2 x 2y

d y ,

21. a)

e s e l t r iá n g u lo c o n v é r t i c e s ( 0 , 0 ) , ( 2 , 2 ) y ( 2 , 4 ) .

e s e l s e g m e n t o r e c t i l í n e o q u e u n e e l p u n to ( x i , y ( ) c o n

e l p u n to 6.

|c e o s

.r 2 s e n y

d x

( X 2 ,y i) ,

Jc ( y +

(c x d y - y d x =

+ (2 a + eos y 2) ¿ y ,

e ' r* ) d x

d em u estre qu e

d y ,

e s e l r e c t á n g u lo c o n v é r t i c e s ( 0 , 0 ) , ( 5 , 0 ) , ( 5 , 2 ) , y ( 0 , 2 )

x 2y x

x ,y 2 -

S i lo s v é r t i c e s d e u n p o l í g o n o , e n e l s e n t id o c o n t r a r io al

e s la f r o n t e r a d e la r e g ió n e n c e r r a d a p o r la s p a r á b o la s

d e la s m a n e c illa s d e l r e l o j , s o n ( X i . y i ) . ( x ? . y ? ) .......... ( x - . y » ) y

x 2 y

y 2

, d e m u e s t r e q u e e l á re a d e l p o l í g o n o e s 8.

Jc y 4

I c y

d x

2 x y 3 d y ,

—

X 3 d y ,

e s la e l i p s e

x 2 +

2 y 2 =

10.

( I — y 3)

j c

d x

( x 3

e s la c ir c u n f e r e n c i a +

e y ) d y ,

e n t r e la s c i r c u n fe r e n c i a s

x 2 +

y 2

x 2 +

e s la

y 2

fr o n t e r a

4 y x 2+

y 2

í [ Ú l > ’2 -

- * 2 y i) +

(* 2 > ’ 3 -

*3 > ’2 ) +

+ (xn_ ,y n - x„yn_ ,) +

d e la r e g i ó n

■■ *

- x ,>'„)]

(x „ y ,

C a l c u l e e l á re a d e l p e n t á g o n o c u y o s v é r t i c e s s o n ( 0 , 0 ) , ( 2 , 1 ), ( 1 , 3 ) , ( 0 , 2 ) y ( - 1 , 1).

9 2 2 . Sea

11-14 U t i l i c e e l t e o r e m a d e G r e e n p a ra e v a l u a r

= 4

j c F • dr

una r e g ió n a c o ta d a p o r una t r a y e c t o r ia C s im p le c e r r a d a en

e l p la n o

x y .

M e d ia n t e e l t e o r e m a d e G r e e n , d e m u e s t r e q u e la s

(x, y)

c o o r d e n a d a s d e l c e n t r o id e

( C o m p r u e b e la o r i e n t a c i ó n d e la c u r v a a n te s d e a p l ic a r el

so n

te o re m a .)

11. F(x, y ) C

es el

= (y eos x — xy

x = —— | x 2d y

x, xy + x e o s x ),

sen

cu rva y =

( e ~ x

13. F (x, y ) =

+ y 2, e ~ y +

x desde

eos

r e c t ilín e o d e s d e

t r iá n g u lo d e ( 0 , 0 ) a ( 0 , 4 ) a ( 2 , 0 ) a ( 0 , 0 ) donde

12. F (x ,

y = — — <£ y 2dx

? c

(y -

X 2) ,

(7 t/2 ,

( — t t / 2, 0 ) h a s ta

( tt/2.

0 ) h a s ta ( — t t /2 , 0 )

eos y ,

e s la c ir c u n f e r e n c i a

0 ) y e ls e g m e n to

—

D .

2 3 . U s e e l e j e r c i c i o 2 2 p a r a h a lla r e l c e n t r o i d e d e u n a r e g i ó n d e a .

2 4 . U s e e l e j e r c i c i o 2 2 p a ra h a lla r e l c e n t r o i d e d e l t r iá n g u lo c o n

3 )2 +

(y +

4 )2 =

v é r tic e s (0 , 0 )

4 o r ie n t a d a

e n e l s e n t id o d e la s m a n e c illa s d e l r e lo j

14. F (x ,y ) =

e s e l área de

c u a r t o d e c í r c u l o d e r a d io

sen y ) ,

C c o n s is t e e n e l a r c o d e la

{y/x2 + F, ta n -1 x),

0) y

(o ,

(a , b

), d o n d e

2 5 . U n a lá m in a p la n a c e d e n s id a d c o n s ta n t e u n a r e g i ó n e n e l p la n o

C e s e l t r iá n g u lo d e ( 0 , 0 )

x y

0 y

p ( x ,y )

ocu pa

a c o ta d a p o r u n a tr a y e c to r ia C

s im p le c e r r a d a . D e m u e s t r e q u e su s m o m e n t o s d e in e r c ia

a ( I , 1) a (0 , 1) a ( 0 , 0 )

r e s p e c t o a l o s e j e s son

]s - C 115-16 V e r i f i q u e e l t e o r e m a d e G r e e n u s a n d o un s is t e m a

I‘ ~ ~ f í y’ dx

a l g e b r a i c o c o m p u t a r i z a d o p a r a e v a l u a r la in t e g r a l d e lín e a

I’ ~ 7 Í x’ dy

y la in t e g r a l d o b l e . 2 6 . P o r m e d i o d e l e j e r c i c i o 2 5 , d e t e r m in e e l m o m e n t o d e i n e r c ia d e

15. P ( x , y ) = y V , C

Q ix .y ) =

p o r e l a r c o d e la p a r á b o la

16. P ( x , y ) = 2x C

un d i s c o c i r c u l a r d e r a d io

c o n s is t e d e l s e g m e n t o d e r e c t a d e ( — 1, 1 ) a ( 1 , 1 ) s e g u id o

e s la e l i p s e

x 3y s,

A x 2

— A r d e ( 1 , I ) a ( — 1, 1)

c o n d e n s id a d c o n s ta n t e

s e c c i ó n 1 5 .5 .)

Q (x , y) = x sy*,

y 2=

r e s p e c t o al d iá m e t r o . ( C o m p a r e c o n e l e j e m p l o 4 d e la

2 7 . U t i l i c e e l m é t o d o d e l e j e m p l o 5 p a ra c a l c u l a r JC F •

d r ,

donde

17. U t i l i c e e l t e o r e m a d e G r e e n p a ra e n c o n t r a r e l t r a b a jo q u e r e a l i z a la fu e r z a

F (x , y) = x (x + y) i + x y 2j

u n a p a r t íc u la d e s d e e l o r i g e n a l o l a r g o d e l e j e

al d e s p l a z a r x

h a s ta ( 1 , 0 ) ,

l u e g o a l o l a r g o d e l s e g m e n t o r e c t i l í n e o h a s ta ( 0 , 1 ) y d e s p u é s r e g re s a al o r ig e n p o r e l e je y .

e s c u a l q u i e r c u r v a c e r r a d a p o s i t i v a m e n t e o r ie n t a d a q u e

e n c ie r r a al o r ig e n . 28. D e t e r m i n e JC F • C

d r ,

don d e F (x , y) =

(x 2 +

y , 3 x — y 2) y

e s la c u r v a c e r r a d a p o s it iv a m e n t e o r ie n t a d a d e u n a r e g i ó n

18. U n a p a r t íc u la q u e p a rte d e l p u n to ( — 2 , 0 ) se m u e v e p o r e l q u e t ie n e á re a 6. e je

h a s ta ( 2 , 0 ) y lu e g o p o r la s e m ic ir c u n fe r e n c ia y =

v ''4 —

h a s ta e l p u n to d e in ic io . U t i l i c e e l t e o r e m a d e G r e e n p a ra

x 2

29. S i F e s e l c a m p o v e c t o r i a l d e l e j e m p l o 5 , d e m u e s t r e

c a l c u l a r e l t r a b a jo s o b re e s t a p a r t íc u la q u e h a c e e l c a m p o

q u e |C F •

d e fu e r z a

n o p a s e p o r e l o r i g e n o q u e l o e n c ie r r e .

F ( x , y )

(x , x 3

I x y 2) .

d r

0 p a ra t o d a t r a y e c t o r i a s im p le c e r r a d a q u e

SECCIÓN 16.5 30.

31.

T e r m i n e la d e m o s t r a c ió n d e l c a s o e s p e c i a l d e l t e o r e m a d e

A q u í,

G r e e n m e d ia n t e la d e m o s t r a c i ó n d e la e c u a c i ó n 3.

r e g i ó n 5 en e l p la n o « t » e n la t r a n s fo r m a c ió n d a d a p o r x =

U s e e l t e o r e m a d e G r e e n p a ra d e m o s t r a r la f ó r m u l a d e l

ff dx dy

g ( u

e s la r e g i ó n e n e l p la n o

, y ),

h ( u , v

[ S u g e r e n c ia :

c a m b i o d e v a r ia b le s p a ra una in te g r a l d o b le ( f ó r m u la 1 5 .1 0 .9 ) p a ra e l c a s o d o n d e / ( . * , y ) =

1091

ROTA CIO NAL Y DIVERGENCIA q u e c o r r e s p o n d e a la

x y

o b s e r v e q u e e l p r im e r m ie m b r o e s

A ( R )

a p liq u e la p r im e r a p a rte d e la e c u a c i ó n 5. C o n v i e r t a la

'd(.x.y)

in t e g r a l d e l í n e a s o b r e

du dv

a u n a in t e g r a l d e l ín e a s o b r e

d R

y a p liq u e e l t e o r e m a d e G r e e n e n e l p la n o

d S

u v .]

d (u , v)

Rotacional y divergencia En e sta se c ció n se d efin en d o s o p e r a cio n e s que se pu ed en ejecutar sobre lo s c a m p o s v e c to riales y qu e d esem p eñ a n un pap el fundam ental en las a p lica c io n e s d e l c á lc u lo v ectorial al flujo d e flu id o s y a la electricid a d y m ag n etism o. C ada o peración e s sim ilar a la d eriv a ció n , pero una genera un c a m p o v ecto rial m ientras q u e la otra p ro p o rcion a un c a m p o escalar.

R o ta c io n a l S i F = P i + £ 2 j + . R k e s u n c a m p o v ecto ria l sob re R 3 y e x is te n las d e r iv a d a s p a rciales d e P , Q y R, e n to n c e s e l r o t a c io n a l d e F e s el c a m p o v e c to r ia l sobre R 3 d e fin id o por

rot F

\ dy

dz }

dx}

\ a:

\ dx

dy /

C o m o un au x ilia r n e m o té c n ic o , e sc r ib im o s la e c u a c ió n 1 u sa n d o la n o ta c ió n d e l o p e rador. In tro d u cim o s e l o p erador d ife r e n c ia l v ecto ria l V ("n abla” ) c o m o a a a i — + j— + k —

V =

T ie n e s ig n ific a d o

cu a n d o op era sob re

V/ = i

d fd f

u n a fu n ción e sc a la r para p rodu cir e l gradien te

d f

1- j

d f

h k —

= ------1 H

d f

i H

d f

de f

S i p e n s a m o s q u e V e s un v e cto r c o n c o m p o n e n te s d/dx, d / d y y 0 /0 r , tam b ién p o d e m o s c o n sid e r a r e l pro d u cto cruz form al d e V y e l c a m p o v e c to r ia l F c o m o sigue:

V X F =

= ((ObrL_ _- B Q \ 3v

¡ + ÍIL -

3: / 1

\ 3--

■+ 9.v ) J

\ ftv

dy )

= rot F Por tanto, la m a n era m á s s e n c illa d e record a: la d e fin ic ió n 1 e s por m e d io d e la e x p r e sió n sim b ó lic a

rot F = V X F

1092

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

E JE M P L O 1

Si F (.í, y , r) = Xz i + x y z } — y 2 k , d eterm in e e l ro ta cio n a l d e F.

SOLUCIÓN U tiliz a n d o la e c u a c ió n 2 i rot F = V X F =

[s a c I La mayoría de lossistemasalgebraicos computarizados tienen comandos que calculan el rotacional y la divergencia de los campos vectoriales. Si tiene acceso a uno de ellos, use los comandos para comprobar las respuestas de los ejemplos y de los ejercicios de esta sección.

j _d_

a .v

xyz

- y

+ [ ¿ « - í r w = ( —2 y — .xy) i -

] k

x ) j + (yz -

(o -

O) k

y(2 + v )i + .v j + y z k R ecu erd e qu e e l gradien te d e una fu n ció n / d e tres v ariab les e s un c a m p o v e c to r ia l sobre IR3 y por e s o e s p o s ib le c a lc u la r su ro ta cion al. E l te o re m a sig u ie n te e sta b le c e q u e e l rotac io n a l d e un c a m p o v e c to r ia l gradien te e s 0.

|~3~| Teorema

Si / e s una fu n ció n d e tres variab les q u e tien e d eriv a d a s p a rcia les

c o n tin u a s d e se g u n d o ord en , e n to n c e s rot ( Y /) = O

D E M O S T R A C IO N

T enem os

Observe la similitud con lo que se trató en la sección 12.4: a X a = O para todo vector tridimensional a.

rot ( 7 Í ) - V X ( V / ) --

3-v

*[_

a.v

dz d y /

i f í

Bz a.v

O i+ O j + O k — O

d e acu erd o c o n e l te o re m a d e C lairaut.

P u esto qu e un c a m p o v e c to r ia l c o n se r v a tiv o es u n o para e l c u a l F = V /, e l te o re m a 3 se p u ed e v o lv e r a e n u n cia r c o m o sigue: Compare esto con el ejercicio 29 de

Si F e s c o n se r v a tiv o , e n to n c e s rot F = 0.

la sección 16.3.

E sto p r o p o r c io n a una form a d e v e rific a r q u e un ca m p o v e c to r ia l n o e s c o n se r v a tiv o .

SECCIÓN 16.5

ROTA CI ONAL Y DIVERGENCIA

1093

Q Q ü Q ü Q D e m u e str e qu e e l c a m p o v ecto ria l F(.v, y , z) = xz i + x y z j — y 2 k no e s

c o n se r v a tiv o . SOLUCIÓN En e l e je m p lo 1 d e m o str a m o s que rot F = —y (2 4- x) i + x j 4- yz k E sto dem u estra qu e rot F ^ O y e n to n c e s según el teorem a 3 , F e s no c on serv ativ o.

El in v e r s o d e l teo rem a 3 no e s c ie rto en g en eral, pero e l sig u ie n te te o re m a e sta b le c e qu e e l in v e r s o e s v á lid o si F e s tá d e fin id o don d eq u iera. (M á s g e n e ra lm en te, e s c ie r to si e l d o m in io e s sim p le m e n te c o n e x o , e s d ecir, **no h a y a g u je r o s” .) E l te o re m a 4 e s la v e rsió n tr id im e n sio n a l d e l te o re m a 1 6 .3 .6 . Su d e m o str a ció n req uiere d e l teo rem a de S to k e s y se e s b o z a al fin al d e la s e c c ió n 16.8.

f~4~| Teorema

Si F e s un c a m p o v e c to r ia l d e fin id o en to d o R 3 c u y a s fu n c io n e s

c o m p o n e n te s tien en d e r iv a d a s p a rcia les c o n tin u a s y rot F = O, e n to n c e s F e s un c a m p o v e c to r ia l c o n se r v a tiv o .

□

E JE M P L O 3

D e m u e str e qu e F(.v, y, z) = y V i + 2 .v y z 3 j + 3 . r y V k

e s un c a m p o v e cto r ia l c o n se r v a tiv o , b)

E ncu en tre u n a f u n c i ó n / t a l qu e F = V /

SOLUCIÓN a)

C a lc u la m o s e l r o ta cio n a l d e F:

rot F = V X F =

_d_

d.v

2 xyz3 3xy2

y V

rr,

1 M rl

).ryr2) = 0

P u esto q u e rot F = O y e l d o m in io d e F e s IR3, F e s un c a m p o v e c to r ia l c o n se r v a tiv o de acu erd o c o n e l te o re m a 4. b)

L a té c n ic a para d eterm in ar / se trata en la s e c c ió n 1 6 .3 . T e n e m o s

f s(x, y , z) = y V

[6 ]

f y(x, y , z) = 2 .r y z 3

/ :( . v , y , z ) = 3 . v y V

A l integrar [5] r e sp e c to a * o b te n e m o s 0

/ ( v . y . z ) = x y 1: 3 + g \y , z)

1094

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

A l d eriv ar 0

r esp e cto a y , o b te n e m o s f y(x , y, z) = 2 xyz3 4- gy(y, z), d e m o d o q u e al

com p arar c o n 0

d a gy(y , z) = 0. Por ta n to , g(y , r) = h(z) y f o x . y, z ) = ? > x f ¿ + h ' ( z )

E n to n c e s |T ] d a h'(z) = O. Por tanto,

f ( x , y , z ) = Ay2: 3 + K L a razón d e l n om b re e s q u e e l v e c to r rotacio n a l se r ela c io n a c o n ro ta cio n e s. U n a r e la rot F ( a \ y, _)

c ió n se e x p lic a en e l ejer cic io 37. H ay otra cu a n d o F representa e l ca m p o d e v e lo c id a d e s en e l flujo d e flu id os (v éa se el ejem p lo 3 d e la sección 16.1). L as partículas cercanas a (x, y, z) en el fluido tienden a girar alrededor d e l eje qu e señala la d irecció n d e l rotacional F(a; y , _), y la lo n g itu d d e e ste v e c to r ro ta cio n a l e s una m edida d e q u é tan rápido se d e sp la z a n las p a rtícu las a lred ed o r d e l e je (v é a s e la fig u ra 1). Si rot F = 0 en un p u nto P, e n to n c e s el flu id o e s lib re d e r o ta cio n e s en P y F se lla m a ir r o ta c io n a l en P. En otras p alab ras, no hay

F IG U R A 1

r e m o lin o s en P. Si e l rot F = 0 , e n to n c e s u n a p e q u eñ ísim a rueda d e p aleta s se m o v e r ía con e l flu id o , p ero no giraría r e sp e c to a su e je. Si e l r o ta cio n a l F ^ 0 , la rueda de p a leta s gira alred ed or d e su e je. H ay una e x p lic a c ió n m ás am plia en la s e c c ió n 16.8 c o m o c o n s e c u e n c ia d e l teo rem a d e S to k es.

D iv e r g e n c ia Si F = P i -I- Q j -I- R k e s un c a m p o v e c to r ia l sobre R 3 y e x is te n dP/dx, dQ'/dy y d R /d z e n to n c e s la d iv e r g e n c ia d e F e s la fu n ció n d e tres v a ria b les d e fin id a por

O b se r v e q u e e l rot F e s un c a m p o v e c to r ia l, p e r o d iv F e s un c a m p o esc a la r . En térm in o s d e l op erador grad ien te V = {d/dx) i + (d/dy) j -

(d/dz) k , la d iv e r g e n c ia d e F se p u ed e

ex p resa r sim b ó lic a m e n te c o m o e l p rod u cto p u nto de V y F:

d iv F = V • F

E JE M P L O 4

Si F (a , y , z) — xz i + xyz j — y 2 k , en cu en tre d iv F.

SOLUCIÓN D e acu erd o c o n la d e fin ic ió n d e d iv e r g e n c ia (e c u a c ió n 9 o 10) te n e m o s

d iv F = V • F =

d dx

(xz) +

d dy

d (xyz) + — ( - y 2) = z + xz dz

Si F e s un c a m p o v e c to r ia l sob re R 3, e n to n c e s rot F e s tam b ién un c a m p o v e cto r ia l sob re R 3. Si e s a sí, p o d e m o s c a lc u la r su d iv e rg e n c ia . E l te o re m a sig u ie n te d e m u e str a qu e e l resu lta d o e s 0.

[íí~| Teorema

Si F = P i + Q j -I- R k e s un c a m p o v e c to r ia l sob re R 3 y P , Q y R

tien en d eriv a d a s p a r c ia le s d e se g u n d o ord en , e n to n c e s d iv rot F = 0

SECCIÓN 16.5

DEMOSTRACIÓN Observe la analogía con e producto triple

1095

ROTA CI ONAL Y DIVERGENCIA

U tiliz a n d o la s d e fin ic io n e s de d iv e r g e n c ia y ro ta cio n a l, te n e m o s

d iv rot F = V • (V X F )

escalar a • (a X b) = O

“

d x \ dy

dz ) + d y \ d z

drR

d2Q

dxdy

dxdz

d x ) + dz \ d x

drP

d2R

dy dz

dydx

d2Q

d2P

dzdx

dz dy

dy )

+ ------------------------

= O porqu e lo s té rm in o s se anulan en pares según e l teo rem a d e C lairaut.

D e m u e str e q u e e l c a m p o v ecto ria l F(at, y , z)

xz i

■

xyz j —

y r k

no se

p u ed e ex p resa r c o m o e l r o ta cio n a l d e otro c a m p o v e c to r ia l, e s d e c ir , F ^ rot G . SOLUCIÓN En e l e je m p lo 4 , d e m o str a m o s que d iv F = z + xz y , por tanto, d iv F ^ 0 . S i

fuera c ie rto qu e F = rot G , e n to n c e s e l te o re m a 11 daría d iv F = d iv rot G = O

lo c u a l c o n tr a d ice d iv F ^ 0. Por tanto, F no e s e l r o ta cio n a l de otro c a m p o v e cto r ia l.

La razón de esta interpretación de d iv F s e

O tra v e z , la razón d e l nom b re de divergencia se p u ed e en te n d e r en e l c o n te x to d e l flujo

explica al final de la sección 16.9 como una

d e flu id o s. Si F(x, y\ r) e s la v e lo c id a d de un flu id o (o g a s), e n to n c e s d iv F(at, y , z) rep re-

consecuencia del teorema de la divergencia.

sen ta la razón d e c a m b io n eta (r esp e c to al tiem p o ) d e la m a sa d e l flu id o (o g a s) q u e flu y e d e sd e e l p u nto (a; y , z) por unidad d e v o lu m e n . En otras p alab ras, d iv F(a;, y , z) m id e la te n d e n c ia d e l flu id o a d iv e rg ir d e l p u nto (a; y, z). Si d iv F = O, e n to n c e s se d ic e q u e F e s in c o m p r e s ib le . O tro operador d ife r e n c ia l se p resen ta cu a n d o c a lc u la m o s la d iv e r g e n c ia d e un c a m p o v e c to r ia l grad ien te Vf. S i / e s u n a fu n ción de tres v a ria b les te n e m o s

d iv V /

d2f

= V • (V f ) = - 4

d2f

+ - 4

dx~

d2f

+ - 4

dy~

dz-

y e sta e x p r e s ió n se p resen ta c o n tanta fr ec u e n c ia q u e se a b rev ia c o m o V 2f

El op erador

V2 = V • V se lla m a o p e r a d o r d e L a p la c e d e b id o a su relación c o n la e c u a c ió n d e L a p la c e

, d2f V / = — — -i

d2f d2f —H —= 0 dy~ dz-

T a m b ién p o d e m o s aplicar e l o p erador d e L ap lace V 2 a un c a m p o v e cto r ia l F = P i + £ j + tfk en térm in o s d e su s co m p o n e n te s:

V 2F =

V 2P i + V 2Q j + V 2R k

1096

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

Fo rm a s v e c t o r ia le s del te ore m a de Green L o s operadores rotacional y d iv e r g e n c ia perm iten v o lv er a exp resar el teorem a de G reen en v e r s io n e s qu e serán ú tiles en trabajos p o steriores. S u p o n g a m o s qu e la región p la n a D , su c u r v a frontera C y la s fu n c io n e s P y Q sa tisfa cen las h ip ó te sis d e l te o re m a d e G reen. E n to n c e s c o n s id e r e m o s e l c a m p o v e c to r ia l F = P i + Q j . Su in teg ra l d e lín e a e s <f F • d r =

P dx + Q dy

y , en c u a n to a F c o m o un c a m p o v e c to r ia l sob re R 3 c o n la tercera c o m p o n e n te ig u a l a O, te n e m o s

rot F = p

J_ dx

( í - f ) k

( * y)

Por tanto,

(rot F ) • k -

f SQ dP\ QQ dP ( - f - - — ) k • k- - f - - — \ ax B y) d.v ay

y se p u ed e v o lv e r a ex p resa r la e c u a c ió n d e l teorem a d e G reen

F • dr =

en la form a v e cto r ia l

| | (rot F ) * k dA

L a e c u a c ió n 12 e x p r e sa la in tegral d e lín e a d e la c o m p o n e n te ta n g e n c ia l de F a lo largo d e C c o m o la in tegral d o b le d e la c o m p o n e n te vertica l d e rot F sob re la reg ió n D en cerra d a por C. En s e g u id a d e d u c im o s u n a fó r m u la sim ila r q u e in v o lu c r a la c o m p o n e n te norm al d e F. Si C e stá d a d a por la e c u a c ió n v e cto r ia l

r(í) = *(/) i +

y(t)

e n to n c e s e l v e c to r ta n g en te un itario (v é a se la se c ció n 1 3 .2 ) es

A t)

| r'lí) |

y\t)

+ | r ’(í) |

P o d e m o s v e rific a r q u e e l v e cto r n orm a l un itario ex ter io r a C e s tá d a d o por y V i

(V é a s e la figu ra 2 .) E n to n c e s, seg ú n la e c u a c ió n 1 6 .2 .3

| JC

F • n ds=

P ( F • n )(t)\ r'(t)\ d t

(■" [ P {x ( t ) ,y U ) ) y ’(t) J.. L k'W I = f" P (x (t), y ( t ) ) y ’(t) d t [c P d y - Q d x = j j

g U (».y«))y(f)1 |r'(/)| J

- Q {x (t), y (t)) A D d t

+ f~) M

r’(t) | dt

SECCIÓN 16.5

ROTA CI ONAL Y DIVERGENCIA

1097

d e a cu erd o c o n e l te o re m a d e G reen . Pero e l ntegra n d o en e sta in tegral d o b le e s ju s ta m e n te la d iv e r g e n c ia d e F. E n to n c e s u n a seg u n d a form a v e c to r ia l d e l te o re m a d e G reen:

E sta v e rsió n e sta b le c e q u e la in teg ral d e lín ea d e la c o m p o n e n te n o rm al d e F a lo largo de C e s ig u a l a la in teg ral d o b le d e la d iv e r g e n c ia d e F sob re la regió n D en cerra d a por C.

Ejercicios 1-8 D e t e r m i n e a ) e l t o t a c io n a l y b ) la d i v e r g e n c i a d e l c a m p o

12.

v e c to r ia l. 1.

S e a / un c a m p o e s c a l a r y F un c a m p o v e c t o r i a l . D i g a si c a d a u n a d e la s e x p r e s i o n e s t ie n e s i g n i f i c a d o . S i n o e s a s í, e x p l i q u e

F (a , y , - ) =

( v +

y . ') i +

x z )

la r a z ó n . S i t ie n e n s i g n i f i c a d o , d i g a si e s un c a m p o e s c a la r o un

x y )

c a m p o v e c t o r ia l. 2.

F (.v , y ,

F { .y , y , r ) —

x y e :

F (a ,

senyr i +

y ,

z )

r)=

v y V

i +

r 3y - 2 j

i +

y z e x

v 2y 3- k

sen rx j +

sen A y k

1 ( t i + y j

z )

—

7. F ( a , y , r ) =

l>’ sen

(¿e x

sen y ,

+ y ta n - l (.v / r ) k e y

sen r ,

e :

rot /

d iv F

grad F

g ra d (d iv F )

d iv (g r a d / )

grad (d iv / )

r o t(r o t F )

d iv (d iv F )

(g r a d / ) X (d iv F )

1) d i v ( r o t ( g r a d / ) )

grad / r o t(g r a d

1 3 -1 8

sen a )

D e t e r m i n e si e l c a m p o v e c t o r i a l e s o n o c o n s e r v a t i v o . S i lo

e s , d e t e r m i n e u n a fu n c ió n / t a l q u e F = 8.

f )

:k )

y ’ + ; :

v/.v- + 6. F ( . v , y ,

a) c)

V/.

F (v ,y ,_ )

13. F ( . v , y ,

9-11

E l c a m p o v e c t o r i a l F se m u e s tr a e n e l p la n o

x y

y 2- 3 i +

2 x y r 3j

3 . v y 2r 2 k

14. F ( . v , y , r ) -

x yr2i +

.r2y r 2 j

.r2y 2- k

15. F ( . v , y , r ) -

3 .r y 2r 2 i +

2 x 2y z * j

16. F ( . v , y , : ) ■

i +

z )

y p a rece e l

m i s m o e n t o d o s l o s c t r o s p la n o s h o r iz o n t a le s . ( E n o t r a s p a la b r a s , F

3 .r 2y 2r 2 k

e s i n d e p e n d ie n t e d e 2 y su c o m p o n e n t e r e s 0 . ) a ) ¿ L a d i v F e s p o s it iv a , n e g a t i v a o c e r o ? E x p l i q u e . b ) D e t e r m i n e si r o t F =

sen r j

y eos r k

0 . S i n o e s a s í, ¿ e n q u é d i r e c c i ó n a p u n ta

ro t F*>

17. F { . v , y ,

—

i +

,\z e y :

x y e * 1

10. 18. F ( . v , y , r ) ™ e x s e n

/ /

y z

i +

re n co s y z j

19. ¿ H a y un c a m p o v e c t o r i a l G s o b r e IR3 ta l q u e

rot G

( x

sen y , e o s y , r — x y ) ? E x p l i q u e .

20. ¿ H a y un c a m p o v e c t o r i a l G rot G

21.

( x y z ,

—

D e m u e s t r e q u e c u a l q u i e r c a m p o v e c t o r i a l d e la fo r m a

d o n d e /,

22.

g , h

z )

/ (a ) i +

g (y )

j +

h (z )

son f u n c i o n e s d e r i v a b l e s , e s i r r o t a c io n a l.

D e m u e s t r e q u e c u a l q u i e r c a m p o v e c t o r i a l d e la f o r m a

F (a , y,

z )

e s i n c o m p r e s ib le .

Tareas sugeridasdisponiblesen stewartcalculus.com

s o b r e IR3 ta l q u e

y 2r , y z 2) ? E x p l i q u e .

F ía , y ,

+ ye lcosyr k

/ (y ,

z )

g (x , z )

j +

/i(a , y ) k

1098

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

23-29 D e m u e s t r e la id e n t id a d , s u p o n ie n d o q u e e x i s t e n la s d e r i v a d a s p a r c i a l e s y q u e so n c o n t in u a s . S i

f e s

la m i s m a h ip ó t e s is d e l e j e r c i c i o

un c a m p o e s c a la r

a r m ó n ic a s o b r e

, en to n c e s y c

y F , G s o n c a m p o s v e c t o r i a l e s , e n t o n c e s / F , F • G y F X G e s tá n

36.

(/ F )U y ,i)

f ( x

t y f z )

• G )U ,y .

z )

F U , y, r)

G ) U ,y .z ) =

•

G ) -

F ( x ,y ,z )

JJ D

f ( x ,

y) =

V / |2 d

0 s o b r e la fr o n t e r a d e la

0 . ( S u p o n g a la m i s m a h i p ó -

33.)

G U y ,:) E s t e e j e r c i c i o d e m u e s t r a la r e l a c i ó n e n t r e e l v e c t o r r o t a c io n a l y la s r o t a c io n e s . S e a

d iv F + d iv G

un c u e r p o r í g i d o q u e g i r a a l r e d e d o r d e l

e j e r. L a r o t a c ió n se p u e d e d e s c r ib ir m e d ia n t e e l v e c t o r w = 24. r o t { F

ro t F

G ) =

25. d i v ( / F ) = / 26. r o t ( / F ) " /

27. d i v ( F

28.

d iv

29.

rot (r o t

G ) =

F ) -

r =

- ro t F

e s la v e l o c i d a d a n g u la r d e

F - rot G

oí

, e s d e c i r , la v e l o c i d a d d i v i d i d o p o r la d is t a n c ia

a p a r t ir d e l e j e d e r o t a c ió n . S e a r =

p o s ic ió n d e

t a n g e n c ia l d e c u a lq u ie r p u n to d

(a t, y ,

: )

e l v e c to r de

C o n s i d e r e e l á n g u lo

d e la fi g u r a , y d e m u e s t r e q u e e l

c a m p o d e v e lo c id a d e s d e

g r a d (d iv F ) -

donde

F * V/

(V/)

rot F +

( V / X V fl)

30-32 S e a

+ ro t G

d iv F +

33.

d e fin id a en e l e je r c ic io

, y si

cu rv a C , en to n c e s

G U ,y , -)

37.

0 . D o n d e £)„<? e s la

U t i l i c e la p r i m e r a id e n t id a d d e G r e e n p a ra d e m o s t r a r q u e s i / e s

t e s is d e l e j e r c i c i o (F

d e m o s t r a r q u e si

F ( x , y , z )

a r m ó n ic a s o b r e

23. d i v ( F

d e r iv a d a n o rm a l d e

d e fin id o s p o r

33) p a r a D ng d s =

D em u e stre qu e v =

— (a y

está d a d o p o r v = -I-

X r.

o ) x \.

V ‘F

y j + : k y r =

| r| .

30. V e r i f i q u e c a d a u n a d e la s id e n t id a d e s .

V •

V 2r 3 =

V • (r r ) =

I2 r

31. V e r i f i q u e c a d a u n a d e la s id e n t id a d e s . a)

V r =

r/ r

V (\f

32. S i F =

r )

r / r r , d e t e r m in e d i v

d iv F =

33.

—r/ r3

V X

r =

V ln

r/ r2

¿H ay

un v a l o r d e

p a ra e l c u a l

U s e e l t e o r e m a d e G r e e n e n la f o r m a d e la e c u a c i ó n 13, p a ra d e m o s t r a r la

p rim era identidad de G reen :

f V V dA = <f_/( V</) • n ds

f í

—

JJ V

/ '

V g

38.

L a s e c u a c i o n e s d e M a x w e l l le l a c i u n a n l o s c a m p o s e l é c t r i c o s E y e l c a m p o m a g n é t i c o H . c u a n d o v a r ía n c o n e l t i e m p o en

u n a r e g i ó n q u e n o c o n t ie n e ni c a r g a ni c o r r i e n t e se p u e d e n

donde

y C s a t is fa c e n la h i p ó t e s i s d e l t e o r e m a d e G r e e n , y la s

a p r o p ia d a s d e r i v a d a s p a r c ia le s d e / y ( L a c a n t id a d V gf •

D„ g

g e x is te n

f o r m u l a r d e la m a n e r a s ig u ie n t e :

y s o n c o n t in u a s .

d iv E ™ 0

1 dH

E s t a e s la d e r i v a d a d i r e c c i o n a l e n la d i r e c c i ó n d e l v e c t o r

n orm al

34.

y se l la m a

derivad a n orm al

i f V 2g

rot E

segunda identidad de G reen :

- gV2f ) dA = j c ( / V g - g \ f ) ■ n ds

donde

d t

V X (V X

r d r

35. D e la s e c c i ó n 14.3 s a b e m o s q u e u n a fu n c i ó n g se lla m a

arm ón ica

so b re

e s . Y 2# =

0 so b re

si s a t is fa c e la e c u a c i ó n d e L a p l a c e , e s t o

•

e x i s t e n y s o n c o n t in u a s .

U t i l i c e la p r im e r a id e n t id a d d e G r e e n ( c o n

— c

d 2H

H) = - — — ■ — c

s a t is fa c e n la h i p ó t e s i s d e l t e o r e m a d e G r e e n , y la s

d i

i a 2s

E) =

D y C

-------c

e s la v e l o c i d a d d e la lu z . C o n e s t a s e c u a c i o n e s ,

b) V X (V X donde

ro tH =

d e m u e s t r e l o s ig u ie n te :

d e r i v a d a s a p r o p ia d a s p a r c ia le s d e / y

I 5H

---------------------

g .)

U t i l i c e la p r im e r a id e n t id a d d e G r e e n ( v é a s e e l e j e r c i c i o 3 3 ) p a ra d e m o s t r a r la

d iv H — 0

se p r e s e n t a e n la in t e g r a l d e lín e a .

a 2E — d t '

[ S u g e r e n c ia :

u t i l i c e e l e j e r c i c i o 29.J

S E C C I Ó N 16. 6 39.

H e m o s v i s t o q u e t o d o s l o s c a m p o s v e c t o r i a l e s d e la fo r m a F =

V <7 s a t is fa c e n la e c u a c i ó n r o t F =

c a m p o s v e c t o r i a l e s d e la f o r m a F =

0 y q u e t o d o s lo s

r o t G s a t is fa c e n la

e c u a c i ó n d i v F = 0 ( s i se s u p o n e q u e la s d e r i v a d a s

SU P E R F I C I E S P A R A M É T R I C A S Y S U S Á R E A S

t o d a s la s fu n c io n e s d e la f o r m a / =

1099

d i v G ? D e m u e s t r e q u e la

re s p u e s t a a e s ta p r e g u n t a e s “ N o " m e d ia n t e la d e m o s t r a c i ó n d e que

to d a

fu n c ió n c o n t i n u a / s o b r e R 3 e s la d i v e r g e n c i a d e a lg ú n

c a m p o v e c to r ia l.

p a r c i a l e s a p r o p ia d a s s o n c o n t in u a s ). E s t o l l e v a a p la n te a r la p r e g u n ta : ¿ h a y a lg u n a s e c u a c i o n e s q u e d e b e n s a t is fa c e r

[ S u g e r e n c ia : g (x , y , z )

S e a G (a \

/ ( /, y , - )

y , z )

, r ), 0, 0 ), donde

d t .J

Superficies paramétricas y sus áreas H asta ahora se han c o n sid e r a d o tip o s e s p e c ia le s d e su p e rfic ie s: c ilin d r o s, su p e r fic ie s c u á d rica s, g ráficas d e fu n c io n e s d e d o s v aria b les y su p e r fic ie s de n iv e l d e fu n c io n e s d e tres varia b les. A q u í se usan fu n c io n e s v e c to r ia le s para d e sc r ib ir su p e r fic ie s m á s g e n e ra les, lla m a d a s superficies param étricas , y se ca lcu la n su s áreas. A c o n tin u a c ió n to m a m o s la fó rm u la g en era l d e l área su p e rfic ia l y v e m o s c ó m o se a p lica a su p e r fic ie s e s p e c ia le s .

S u p e r f i c i e s p a r a m é t r ic a s C asi d e la m ism a m a n era c o m o se d e sc r ib ió ana c u r v a en e l e s p a c io m ed ia n te u n a fu n ción v e c to r ia l r (f) d e un s o lo parám etro U p o d em o s d e sc r ib ir una su p e rfic ie m ed ia n te u n a fu n c ió n v e c to r ia l r(w, v) d e d o s parám etros u y t. S u p o n e m o s qu e r(M, v) = x{u , v) i -I- y(w , v) j + z(w, y) k e s una fu n ción c o n v a lo r v ecto ria l d e fin id a sobre una región D en e l p lan o uv. D e e ste m o d o , x , y y z > las fu n cio n e s c o m p o n e n te s d e r , son fu n cio n es d e d o s variab les u y v c o n d o m in io /) . El c o n ju n to d e to d o s lo s p u n to s (*, y , z) en K3 tal qu e

x = x(u, v)

y = y(w, v)

z(u, v)

y (w, v) v a ria en to d o e l d o m in io D , se lla m a s u p e r f ic ie p a r a m é t r ic a S y las e c u a c io n e s 2 se llam an e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s d e S. C ada e le c c ió n d e u y v d a un p u nto sob re S: lu e g o d e e fec tu a r to d a s la s e le c c io n e s , o b te n e m o s tod o S. En otras p alab ras, la su p e rfic ie 5 e s traz a d a por la p u nta d e l v e cto r d e p o s ic ió n r(w , v) cu a n d o (« , v) se d e sp la z a por to d a la reg ión

D (v é a s e la figu ra 1).

F IG U R A 1 S u p e r f i c i e p a r a m é t r ic a

Id en tifiq u e y trace la su p e r fic ie c o n e c u a c ió n v e cto r ia l r(M, v) = 2 e o s « i + v j + 2 sen u k SOLUCIÓN L as e c u a c io n e s param étricas d e e sta su p e rfic ie son x = 2 eos u

y = v

2 sen u

1100

C A P Í T U L O 16

CÁLCULO VECTORIAL

A s í, para c u a lq u ie r p u n to ( x , y , z) sob re la su p erficie (O, a 2 )

x 1 + z2 = 4 e o s 2 u + 4 se n 2 u = 4 E sto s ig n ific a q u e las s e c c io n e s tra n sv ersa les v e rtica le s p a ralelas al p lan o xy (e s d ecir, c o n y c o n sta n te ) son to d a s las c ir c u n fe r e n c ia s d e radio 2. P u esto q u e y = v y n o hay restricción sob re y, la su p e rfic ie e s un c ilin d r o circu lar d e radio 2 y su e je e s e l eje d e las y (v é a s e la fig u ra 2 ). En e l e je m p lo 1 n o h u b o r e str ic c io n e s sob re les parám etros u y y, y por e s o o b tu v im o s to d o e l c ilin d ro . Por e je m p lo , si r estr in g im o s u y o e x p r e sa n d o e l d o m in io d e l parám etro com o O e n to n c e s x > O,

> O, O í y ^

7 t /2

3 , y o b te n e m o s el cu a rto d e c ilin d r o c u y o la rg o e s 3 y qu e

se ilu stra en la fig u ra 3. S i una su p e r fic ie p a ram étrica S e s tá d a d a por una fu n ció n v e c to r ia l r (« , y ), e n to n c e s hay d o s fa m ilia s ú tiles d e c u r v a s q u e está n sobre S: u n a fa m ilia c o n u c o n sta n te y la otra c o n y c o n sta n te . E sta s fa m ilia s c o rr e s p o n d e n a las rec ta s v e r tic a l y h o r iz o n ta l en e l p lan o

uv. S i m a n te n e m o s u c o n sta n te al h a cer u = wo, e n to n c e s r(wo, v ) se v u e lv e u n a fu n ció n v e c to r ia l d e l parám etro y y d e fin e una cu rv a C i que q u e d a sob re S (v é a s e la fig u ra 4). F IG U R A 3

D U

Visual 16.6 muestra versiones animadas

de las figuras 4 y 5. con curvas reticuladas que se mueven, para varias superficies para métricas.

F IG U R A 4

En form a sim ilar, si m a n te n e m o s c o n sta n te a v h a c ien d o y = yo, o b te n e m o s u n a cu rv a C 2 dad a por r (« , yo) que q u ed a sobre S. E stas cu rv a s se d en o m in a n c u r v a s r e tic u la r e s . (En el e jem p lo 1, las curvas reticulares obtenidas al hacer « co n sta n te son rectas h orizon tales, en tanto q u e la s c u r v a s r e tic u la r e s c u a n d o y e s c o n s ta n te son c ir c u n fe r e n c ia s .) D e h e c h o , c u a n d o u n a c o m p u ta d o ra g rá fica u n a su p e r fic ie param étr.ca, por lo regu lar d e lin e a u n a su p e rfic ie trazan do e sta s c u rv a s r eticu la res, c o m o v e m o s en e l e je m p lo sig u ie n te . _____________ U tilic e un siste m a a lg eb ra ic o c o m p u ta riza d o para gra fica r la su p e rfic ie E JE M P L O 2 r(w, y) =

( ( 2 + sen y) e o s w, (2 ■+ sen y) sen w, u + e o s y )

¿Q u é c u rv a s tien en a u c o m o c o n sta n te? ¿ C u á le s tien en a v c o m o c o n sta n te? SOLUCIÓN G ra fica m o s la p o rció n d e la su p e rfic ie c o n e l d o m in io d e l parám etro O^ u

4-7T, O ^ y =s 2 7 r d e la fig u ra 5. T ie n e e l a sp e c to de un tu b o en esp ira l. Para

iden tificar las curvas reticu lares, e sc r ib im o s las e c u a cio n e s param étricas corresp on d ien tes:

x = (2 4- sen y)

y = (2 4- sen y) sen u

z = u 4- e o s y

Si y e s c o n sta n te , e n to n c e s sen y y e o s y son c o n sta n tes, por lo q u e las e c u a c io n e s param étricas son sim ila r e s a la de la h é lic e d e l e je m p lo 4 d e la s e c c ió n 13.1. A s í, las c u rv a s reticu lares c o n y c o n sta n te son la s cu rvas d e la esp ir a l de la fig u ra 5. S e FIG U R A 5

in fiere q u e las c u rv a s reticu lares c o n u c o n sta n te d eb en ser la s c u r v a s qu e se v en c o m o

SECCIÓN 16.6

SUPERFICIES P A R A M É T R I C A S Y SUS Á R E A S

1101

c ir c u n fe r e n c ia s en la figura. M ás e v id e n c ia s para e sta a firm a ció n e s q u e si u se m a n tien e c o n sta n te , u = uo, e n to n c e s la e c u a c ió n r = uo + e o s v d e m u e str a q u e lo s v a lo r e s z varían d e «o -

1 a mo + 1.

■ ■

En lo s e je m p lo s 1 y 2 se dab a una e cu ació n v ecto rial y se p e d ía dibujar la su p erficie param é tr ica c o rr esp o n d ien te. En lo s e je m p lo s sig u ie n te s se p la n tea m ás d ifíc il e l p ro b lem a de hallar u n a fu n ció n v e c to r ia l qu e rep resen te una su p e rfic ie dada. En lo q u e resta d e l c a p ítu lo , a m e n u d o se n e c e s ita h a cer e x a c ta m e n te e so .

E JE M P L O 3

F o rm u le una fu n ció n v e c to r ia l que rep resen te e l p lan o qu e p asa por e l p u nto

P0 y c u y o v e cto r de p o s ic ió n e s r o y c o n tie n e d o s v e c to r e s n o p a ra lelo s a y b. SOLUCIÓN S i P e s c u a lq u ie r p u n to en e l p lan o, p o d e m o s pasar de P0 a P d e sp la z á n d o se una c ie rta d ista n cia en la direc c i ó n d e a y otra d ista n c ia en la d ir e c c ió n d e b. A s í qu e hay e sc a la r e s u y v ta les qu e P^P = u a + vb. (E n la fig u ra 6 se ilu stra c ó m o fu n cio n a e s to m ed ia n te la le y d e l p a r a lelo g r a m o en e l c a s o d o n d e u y v son p o sitiv a s. V é a se tam b ién e l e je r c ic io 4 6 d e la s e c c ió n 1 2 .2 .) Si r e s e l v e c to r d e p o s ic ió n de P, e n to n c e s

r = OP q + P{)P = ro + u a + vb F IG U R A 6

E n to n c e s, la e c u a c ió n v e c to r ia l d e l p la n o se pu ed e ex p resa r c o m o

r(w, v) = r<i + ua + vb d o n d e u y v son n ú m ero s reales. Si e sc r ib im o s r =

( x , y , z ) , r 0 = (xo, y 0, r0 >, a = ( a i, a2, a3) y b = ( b \ , b 2, b 3),

e n to n c e s p o d e m o s ex p resa r la s e c u a c io n e s param étricas d e l p la n o q u e p asa por e l p u nto

(ao, yo, Zo) c o m o sigue: xú + ua\ + vb i

□

E JE M P L O 4

y = yo + ucu + vbi

zo 4-

uü3

+ vb3

D e ter m in e u n a rep resen ta ció n p a ra m étrica d e la e sfe r a

■> .

a- + y

■ ">

+ r — cr

SOLUCIÓN L a e sfe r a tien e una rep resen tación sim p le p = ci en co o rd en a d a s e sfé r ic a s , a sí qu e e s c o g e m o s lo s á n g u lo s

y 9 e n c o o rd en a d a s e s fé r ic a s c o m o lo s parám etros (v é a se

la s e c c ió n 1 5 .9 ). L u e g o , al h a c e r p = a en las e c u a c io n e s para la c o n v e r s ió n d e c o o r d e nad as e s fé r ic a s a recta n g u la res (e c u a c io n e s : 5 .9 .1 ) o b te n e m o s

x = a sen ^ e o s 0

y = c sen tft sen $

z = a e o s <f>

c o m o las e c u a c io n e s param étricas d e la esfera . L a e c u a c ió n v e c to r ia l co rr esp o n d ien te e s r{<f>, tí) = a sen <j>e o s 9 i + a sen d> sen 6 j - f a e o s (j) k T enem os 0 ^ < f ) ^ 7 r y 0 ^ 9 ^

2ir, d e m o d o q u e e l d o m in io d e l parám etro e s el

rec tá n g u lo D = [O, 7r] X [O, 2 t t \. L as curvas reticu lares c o n <f>c o n sta n te son las c ir c u n fe r e n c ia s d e latitud c o n sta n te (sin olvid ar e l e cu a d o r ). L as c u rv a s reticu lares c o n 9 co n sta n te so n lo s m e rid ia n o s (se m ic ir c u n fe r e n c ia s), lo s c u a le s c o n e c ta n lo s p o lo s norte y sur. (V er la fig u ra 7 ).

4>= c N O T A V im o s en e l e je m p lo 4 q u e la s cu rv as reticu la res para una e sfe r a son c u rv a s de latitud y lon gitu d c o n sta n tes. Para u n a su p erficie p aram étrica g e n era l, r ea lm en te e sta m o s

1= k

h a c ie n d o un m a p a y las c u r v a s reticu la res son sim ila r e s a las lín ea s d e lo n g itu d y la titud. D e sc r ib im o s un punto sobre una su p erficie param étrica (c o m o la de la figura 5) dan do

FIG U R A 7

v a lo re s e s p e c ífic o s de u y v, c o m o si se dieran la latitud y la lo n gitu d d e un punto.

1102

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

Uno de los usos de las superficies paramétricas es en la graficación mediante conputadora. En la figura 8 se muestra el resultado de los intentos de graficar la esfera x* f- f + r = I despejando r y trazando por separado los hemisferios superior e inferior. Parece que falta parte de la esfera a causa del sistema reticular rectangular que usa la computadora. La imagen de mejor calidad de la figura 9 fie generada mediante computadora usando las ecuaciones paramétricas del ejemplo 4.

FIGURA 8

EJEM PLO

FIGURA 9

E ncu en tre la rep resen ta ció n param étrica d e l c ilin d r o

x2 + y 2 =

SOLUCIÓN El c ilin d r o tien e u n a r ep resen ta ció n sim p le r = 2 e n c o o rd en a d a s c ilin d r ic a s, d e m o d o qu e e le g im o s c o m o parám etros a 0 y z en co o rd en a d a s c ilin d r ica s. E n to n c e s las e c u a c io n e s param étricas d e l c ilin d r o son .v — 2 e o s 0

2 sen 0

donde O ^ N

2 ir y O í

E ncu en tre una fu n ció n v e c to r ia l que rep resen ta e l p a ra b o lo id e e líp tic o

U E H E O

z í

z = x2 + 2 y . SOLUCIÓN Si c o n sid e r a m o s a x y y c o m o parám etros, e n to n c e s las e c u a c io n e s param étricas son sim p le m e n te

x2 + 2y2 y la e c u a c ió n v e cto r ia l e s r (* , y) = x i + y j + (xr + 2 f ) k f t U l En Module 16.6 podemos observar tamilrasde superficies parametrcas.

En gen eral, si se da u n a su p e r fic ie c o m o la gráfica d e u n a fu n ció n d e x y d e y , e s d ecir, c o n una e c u a c ió n d e la fo rm a r = f ( x y y ), siem p re se le pu ed e c o n sid e r a r c o m o u n a su p e r fic ie p aram étrica to m a n d o a a-y y c o m o parám etros y e x p r e sa n d o las e c u a c io n e s p a ra m étricas c o m o y = y L a s r e p r e se n ta c io n e s p a ra m étrica s (ta m b ié n c o n o c id a s c o m o p a r a m e tr iz a c io n e s) d e su p e r fic ie s n o so n ú n ica s. El e je m p lo sig u ie n te m u estra d o s m an eras de param etrizar un cono.

EJEM PLO

E ncuentre u n a rep resen ta ción param étrica para la su p e rfic ie z = 2>]x2 + y 2 ,

e s d e c ir , la m itad su perior d e l c o n o z2 = 4 X 2 + 4 y 2. SOLUCIÓN 1 U n a p o s ib le r e p r e se n ta c ió n se c o n s ig u e e s c o g ie n d o a x y y c o m o p arám etros:

x = x

y —y

z — 2 \/x2 + y 2

D e m o d o qu e la e c u a c ió n v e c to r ia l e s

rU,y) =

xi +

yj +

2 V*2 -I-

y2 k

SOLUCIÓN 2 O tra rep resen ta ció n resu lta d e e sc o g e r c o m o parám etros a las co o rd en a d a s p o la res r y 6. Un p u nto ( x , y , z) d e l c o n o sa tisfa c e x = r e o s 0 , y = r sen 0 , y

SECCIÓN 16.6 Rara algunos propósitos, las representaciones

SUPERFICIES PARAM ÉTRICAS Y SUS ÁREAS

1103

z = 2 y f x 2 + y 2 = 2 r. D e m o d o q u e una e c u a c ió n v e cto r ia l para e l c o n o e s

paramétricas de las soluciones 1 y 2 son igualmente buenas, pero la solución 2 es

r (r , 0 ) = /• c o s 0 i + r sen 0 j + 2 r k

preferible en ciertas situaciones. Si interesara sólo la parte del cono que queda abajo del plano z — 1, por ejemplo, todo lo que

donde

debemos hacer en la solución 2 es cambiar el

H i

O y O ^ 0 ^ 2 ir.

S u p e r f i c i e s de r e v o lu c ió n

dominio del parámetro a O

0 sá 2v

L a s s u p e r fic ie s d e r e v o lu c ió n se p u ed en rep resen tar en fo rm a p a r a m é tr ica y , p o r tanto, se p u ed en g r a fic a r m e d ia n te u n a c o m p u ta d o ra . Por e je m p lo , c o n s id e r e m o s la su p e r fic ie

S q u e se o b tie n e al h a c e r girar la c u r v a y = / ( a ) , a x ^ b, a lre d e d o r d e l e je x, d o n d e f ( x ) > 0. S e a 0 e l á n g u lo d e rotación c o m o se m u estra en la fig u ra 10. Si ( a , y, z) e s un p u nto sob re S , e n to n c e s y = f ( x ) cos $

z = f ( x ) sen 0

P or ta n to , t o m a m o s x y 9 c o m o p a r á m e tr o s y c o n s id e r a m o s la s e c u a c io n e s 3 c o m o e c u a c io n e s p a r a m é tr ic a s d e S. E l d o m in io d e l p a r á m e tr o e s t á d a d o p o r a ^ x O^ 0 ^

2 ir.

E JE M P L O 8

D e ter m in e las e c u a c io n e s param étricas d e la su p e rfic ie g en erad a al hacer

girar la c u r v a y

sen

, O

27T ,

alrededor d e l e je x. C on e sta s e c u a c io n e s , grafiq ue

la su p e rfic ie d e r ev o lu c ió n . SOLUCIÓN S e g ú n las e c u a c io n e s 3, la s e c u a c io n e s pa ram étrica s so n a* = x

y = sen x c o s $

y e l d o m in io d e l parám etro e s 0 =s x ^ 27T, 0

z = sen x sen 0 0

2tt. U tiliz a n d o u n a co m p u ta d o ra

para graficar e sta s e c u a c io n e s y g ira n d o la im a g en , o b te n e m o s la g rá fica d e la figu ra 11.

P o d e m o s adaptar las e c u a c io n e s 3 para representar u n a su p e r fic ie o b te n id a a partir d e la r e v o lu c ió n alred ed or d e l e je y o d e l eje z (v é a se e l e je r c ic io 30 ). F IG U R A 11

P la n o s ta n g e n te s A h o ra en c o n tr a re m o s e l p la n o ta n g en te a una su p e r fic ie p aram étrica S trazada por u n a fu n c ió n v e cto r ia l r(M,

v) = x(u y v) i -I- y(w, v) j + z(w, v) k

en un punto P o con vector de p osición r(uo, vo). Si m antenem os a u constante haciendo u = «o» e n to n c e s r(«o, v ) se tran sform a en u n a fu n ció n v e cto r ia l d e l parám etro ú n ico y, y d e fin e una c u r v a reticu lar C\ q u e q u e d a sob re S (v é a se '.a fig u ra 12). El v e cto r tan gen te a C\ en P () se o b tien e d eterm in a n d o la d e r iv a d a parcial de r r esp e cto a v:

dx dv

FIG U R A

dy I mo,

i + —

' “ o, v0 )j + —

(no, v0 ) k

1104

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

D e m a n era sim ilar, si m a n te n e m o s a v co n sta n te h a c ie n d o y = yo, o b te n e m o s una c u r v a reticu lar C 2 d a d a por r(u, yo) qu e q u ed a sob re S, y su v e cto r ta n g en te en P o e s

rw = —— (Wo, y o ) i H— 7— (Wo, yo) j H— 7— (Wo, y o) k

Si r„ X r v n o e s O, e n to n c e s la su p e rfic ie S se llam a s u a v e (n o tien e “e sq u in a s” ). En e l c a so d e una su p e rfic ie su a v e, e l p la n o ta n g e n te e s e l plan o q u e c o n tie n e lo s v e c to r e s ta n g en tes r u y r„, y e l v e c to r n o rm a l r„ X r„, e s un v e cto r norm al al p la n o tan g en te. La figura 13 muestra la superfidedel

ejemplo 9 que se corta a sí misma y su plano tangente en 1 1 ,1 ,3 ) .

param étricas so n x = w2, y = y2, z = u + 2v en e l p u nto (1 , 1 ,3 ).

B H a jJ H

E ncu en tre e l p lan o tan g en te a la su p erficie c u y a s e c u a c io n e s

¡0 LUCIÓN P rim ero c a lc u la r n o s lo s v e c to r e s tangentes:

—

du dx

—

dy .

i + —

k = 2ui + k

j + —

yj + 2 k

Por ta n to, un v e cto r norm al al p la n o ta n g en te es 1

F IG U R A 13

rwX rp

,v i -

4 u j 4- 4 u v k

O b serv e q u e e l p u nto (1 , 1 , 3 ) c o rr esp o n d e a lo s v a lo re s d e l parám etro u = 1 y y =

a s í q u e e l v e cto r n o rm a l e s —2

— 4

Por ta n to, una e c u a c ió n d e l p la n o ta n gen te en (1 , 1, 3) e s

—2(x

4 ( y

x I 2y

o tam b ién

4 (z 2:

—

3 )

I 3 = 0

Á re a de una s u p e r f ic ie A h o ra d e fin im o s e l área de u n a su p e rfic ie param étrica g en era l d a d a por la e c u a c ió n 1. Para sim p lific a r e l trabajo, prim ero c o n sid e r a m o s u n a su p e rfic ie c u y o d o m in io D d e l parám etro e s un rec tá n g u lo , y se su b d iv id e en m ás r ectá n g u lo s Rg. E sc o g e m o s (w f, vf) c o m o e l v é r tice in fe rio r izq u ier d o d e R$ (v é a se la fig u ra 14).

i V t F IG U R A 14

La imagen del subrectángulo Rfie s e l parche St-j.

A1Í

}Au

SECCIÓN 16.6

SUPERFICIES P A R A M É T R I C A S Y SUS Á R E A S

1105

L a parte Sg de la su p e r fic ie 5 q u e co rresp o n d e a Rg se d e n o m in a p arch e y e l p u nto Pv c u y o v e cto r d e p o s ic ió n e s r (w * , v*), e s u n o de su s v é r tic e s. Sean r * = r B(w ?, v?)

r * = r ¿ u f , v?)

lo s v e c to r e s tan g en te en Py c o m o lo d e fin e n las e c u a c io n e s 5 y 4. L a figu ra 15a) m u estra la m anera c o m o las d o s o rilla s d e l parche q u e se en cu en tra n en

Pij se p u ed en a p roxim ar m ed ia n te v e cto r es. A su v e z , e s to s v e c to r e s se p u ed en aproxim ar por m e d io d e lo s v e c to r e s A u r ? y A y r * porque las d e r iv a d a s p a rcia les se p u ed en a p r o x im ar por c o c ie n t e s d e d ife r e n c ia s. D e e ste m o d o , a p r o x im a m o s 5,y, por m e d io d e l p a r a lelo gra m o d e fin id o por lo s v e c to r e s A u

y A y r * . E ste p a r a lelo g r a m o se ilu stra en la figura

15b ) y se u b ica en e l p la n o ta n gen te a S en Py. El área d e e ste p a ra lelo g ra m o e s | (Aw r f ) X (A y r ? ) | =

rtf X r$ | Aw A y

y d e e ste m o d o u n a a p r o x im a ció n d e l área de S e s w n 2 2 Ir * x r * | Aw A y í=i j=i L a in tu ic ió n d ic e q u e e s ta a p r o x im a c ió n e s m ejo r c u a n d o in c r e m e n ta m o s e l n ú m ero de su b r ec tá n g u lo s, e id e n tific a m o s la d o b le su m a c o m o u n a su m a d e R iem a n n para la in tegral d o b le J’Jjj | r w X r„ | d u dv. E sto d a lugar a la d e fin ic ió n sig u ie n te .

|~6~] Definición

F IG U R A 1 5

r (u, y) = x(u, y) i -I- y(u , y) j + z(u , v) k

A p r o x im a c ió n de un parche m e d ian te un p a rale lo g ram o

S i u n a su p e rfic ie param étrica su a v e S e stá d a d a por la e cu a c ió n (w, y) E D

y S e s c u b ierta s ó lo una v e z cu a n d o (w, v) v a ría en to d o e l d o m in io d e l parám etro D , e n to n c e s e l á r e a d e la s u p e r f ic ie d e S e s f f |r„ X r p| d A

A (S ) =

donde

E J E M P L O 10

r« =

i H

dy du

j -I

dz du

r„ =

dx dv

i + -------j -I- —

D e ter m in e e l área d e la su p erficie d e u n a e s fe r a d e rad io a.

SOLUCIÓN En e l e je m p lo 4 , e n c o n tr a m o s que la rep resen ta ció n param étrica

x ™ a sen tft e o s 0

y — a sen

sen $

z — a eos

d o n d e e l d o m in io d e l parám etro e s

D = {(<£, 0) | O =s l£

7T, O =5? 0 =S 277-}

P rim ero c a lc u la m o s e l p ro d u cto cruz d e lo s v e c to r e s ta ngentes:

r^ X r j -

d<f>

d<j>

a eos ^ eos 0

a eos

a sen <p sen 0

a sen (j> e o s 0

sen 0

= a 2 se n 2 <f> e o s 0 i 4* í / 2 s e n 2 e£ s e n 0 j 4- a 2 s e n tf> e o s tf>k

—a sen <f> O

1106

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

Por c o n sig u ie n te , | X

\ / a 4sen4<f> e o s 2 6 + a 4sen4{p s e n 2 # + a 4sen2ip c o s 2 <£

r j| -

— V ^ s e n 4 ^ + í / 4 s e n 2^ c o s 2 q& — a 2y/sen2$

— a 2 sen ^

t t . Por tanto, seg ú n la d e fin ic ió n 6 , e l área d e la

P u esto q u e sen <f>3= O para O =s (p e sfe r a e s

A =

11 | r ¿ X r # | dA = | W| <r¿í2 sen <p d fy d B D

= a 2 \Q* d $ | * sen <p dtp = rt2(2?r)2 =

4 ?jr/2

A re a de la s u p e r f i c ie de la g rá fic a de una fu n ció n Para e l c a s o e s p e c ia l d e una su p e rfic ie S c u y a e c u a c ió n e s z = / ( * , y ), d o n d e ( x , y) e stá en D y / tien e deri v a d a s p a r c ia le s c o n tin u a s, to m a m o s a a y y c o m o p arám etros. L as e c u a c io n es param étricas son

x = x

y = y

z =

/ (.V ,

i +

d e m o d o que

r* X rv

•

k dx

df_ dy

Por ta n to, te n e m o s qu e

i= v ( í )

+ ( í )

+ 1= V ' + ( é )

+ ( f )

y la fó rm u la d e l área su p e rfic ia l d e la d e fin ic ió n 6 se tran sform a en Observe que hay similitud entre la fórmula de la ecuación 9 para el área de una superficie y la fórmula de la longitud de arco

de la sección 8.1.

E J32H JJH

E ncu en tre e l área d e la parte d e l p a ra b o lo id e r = a 2 + y 2 qu e se u b ica

b a jo e l p lan o z = 9. SOLUCIÓN El p la n o co rta e l p a r a b o lo id e y fo rm a la c ir c u n fe r e n c ia x- + y 2 = 9 , z = 9. Por ta n to, la su p e r fic ie d a d a e s tá arriba d e l d is c o D c o n cen tro en e l o rig en y radio 3.

SECCIÓN 16.6

SUPERFICIES PARAMÉTRICAS Y SUS ÁREAS

1107

(V é a s e figu ra 1 6 .) A l a p lica r la fó rm u la 9 , ten em o s

■íí

i =

*(f)’*{ » )

+ (2x)2 + (2y)2 dA

ff y/\

D ff V i +

4(x2 + y 2) dA

T ra n sfo rm a n d o a co o rd en a d a s p o la res F IG U R A 16

f Jo

f V I 4- 4;*2 r d r dO = f Jo Jo

dQ [ r j ] Jo

-+- 4 r 2 d r

= 2 i r ( í ) | ( l + 4 r 2)3/2]o = - ^ ( 3 7 V37 - l )

L a p r e g u n ta q u e resta e s si n u estra d e fin ic ió n d e área d e u n a su p e r fic ie [ó ] v a d e acu erd o c o n la fó rm u la d e l área d e u n a su p e rfic ie a partir d e l c á lc u lo d e una s o la v aria b le (8 .2 .4 ). C o n sid era m o s la su p erficie S qu e se obtiene al hacer girar la cu rv a >’ = alrededor d e l eje d e las x, d o n d e f ( x ) > O y f

f (x)t a

¿>,

e s con tin u a. D e acuerdo co n las e c u a c io n e s

3 sa b e m o s q u e las e c u a c io n e s param étricas de 5 son

x “ x

y — / ( a ) cos

a < x < b

— / ( . v ) sen 0

0 <

2ir

Para c a lc u la r e l área d e la su p e rfic ie d e S , n e c e sita m o s lo s v e c to r e s ta n g en tes r , ™* i + f*(x) e o s 0 j + f*{x) sen 0 k r fl

—

—/ (

)

sen 0 j

/( .v ) c o s 0 k

Por tanto,

rvX r# =

f \ x ) cos 0

f \ x ) sen 0

—/ ( at )

sen 0

f(x ) cos

“ / ( * ) / ' ( * ) • - f U ) c o s 0 j - f ( x ) sen 0 k y e n to n c e s, | r . X r , | = V [ / ( v ) P [ / ’W P f [ / ( , ) P c o s ^ + [ / ( . v ) ] 2 s e n 2 *

v I / ( v ) ] ; [ l + [ / ' ( - v ) ] 2] — / ( v ) \ l

+ [ /'( v ) ]

porqu e /(.* ) 3= O. Por tanto, e l área d e 5 e s A =

ff | r t X rt\d A D

f ' f/(x )v T T T 7 W " dxde Jo Ja 2 t t f / W V i + [ / ' ( * ) ? ¿V É sta e s p r e cisa m e n te la fó rm u la qu e se u tiliz ó para d e fin ir e l área d e una su p e rfic ie de r e v o lu c ió n en e l c á lc u lo d e una so la variab le (8 .2 .4 ).

1108

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

Ejercicios 1-2 D e t e r m i n e si lo s p u n to s 1. r ( l f ,

P(7 ,

v )

( 2 u

1 0 ,4 ),

2. r(z/ , y ) =

v , u

3y, I +

e s tá n s o b r e la s u p e r fi c i e d a d a . y,

v )

Q(5 , 2 2 , 5 )

<« +

y , m2 —

v 2)

P(3 , - 1 , 5 ) , 0 ( - l , 3 , 4 )

3 -6

Id e n t i fi q u e la s u p e r fic ie c o n la e c u a c i ó n v e c t o r i a l d a d a .

3. r(t/ ,

y) =

(?< +

y) i +

4. r ( y .

y) =

2 sen

5. r ( 5 ,

™

r ( 5 , /) =

t 2

i +

(3 — y ) j + 3 e o s ir j

(l + y k.

0 <

+ 5y) k y <

— j 2)

s e n 2 f,

eos 2 /}

s 2, s

7-12 U t i l i c e u n a c o m p u t a d o r a p a r a g r a f i c a r la s u p e r fic ie p a r a m é t r ic a . I m p r im a la g r á f i c a y s o b r e e l l a in d iq u e e n c u á le s c u r v a s r e t ic u la r e s rr e s c o n s ta n t e y e n c u á le s y e s c o n s ta n t e .

7. r{ir, y ) -

( i / 2, y 2, » + y ) ,

- l « m « 1, - 1 í y í l r(y ,

y) =

{ir , y \ — y ).

- 2 <6 » < 2, - 2 9.

r {ir , y ) - I

10.

r ( ii,

( »

.v =

y «

2 ir

y ) ™ { i r , sen { y +

— V < ir 11.

e o s y, ir sen y, u s ) , l, 0 «

flT,

s e n y,

y ) , sen y ) .

y < ir

y =

e o s r sen 4 y ,

s e n 2ir sen 4 y ,

0 < ir < 2 ir, — V ¡ 2 «S y ^ ir / 2 12.

-V = sen ir, y = e o s ir sen O «É a «C 2 tr, O •< t> < 2 w

z = s e n y,

19-26 E n c u e n t r e u n a r e p r e s e n t a c i ó n p a r a m é t r i c a d e l a s u p e r f i c i e . 19. E l p la n o q u e p a s a p o r e l o r i g e n y c o n t ie n e l o s v e c t o r e s i — j y

j -

13-18

20. E l p la n o q u e p a s a p o r e l p u n to ( 0 , — 1, 5 ) y c o n t ie n e lo s

V I y e x p o n g a la s r a z o n e s de su re s p u e s ta . D e t e r m in e e n q u é fa m ilia s

v e c t o r e s ( 2 , 1, 4 ) y ( — 3 , 2 , 5 )

d e c u r v a s r e t ic u la r e s ir e s c o n s t a n t e y e n c u á le s y e s c o n s ta n t e . ir e o s y i +

r (ir , y ) ™

13.

R e l a c i o n e la s e c u a c i o n e s c o n la g r á f i c a c o r r e s p o n d ie n t e I a

ir sen y j

21. L a p a r te d e l h i p e r b o l o i d e

e n fr e n t e d e l p la n o

14.

r (ir , y ) —

15.

r{» ,

™

sen y

16.

v -

rr )(3 +

y - ( l r =

- r r )(3

3ir +

eos y

ir s e n

ccs

s e n irk . —

sen 2 y j

y r

sen irs e n

2 v

e o s 3 ir e o s 3y,

18.

—

y =

i z q u i e r d a d e l p la n o

cono z =

e o s y ) sen 4 flrir,

i r

22. L a p a r te d e l e l i p s o i d e

J x

s e n 3ir e o s 3y ,

x 2

2y2 +

—

— | i i | )s e n

S e requiere ca lc u la d o ra g n ificad o ia o c o m p u ta d o ra

—

4 q u e se e n c u e n tr a

3c2 =

1 q u e e s t á a la

x 1

y2 +

z2=

4 q u e se s itú a a r r ib a d e l

—2 y z =

x 2

y 2

z2=

16 q u e e s t á e n t r e l o s

s e n 3y

25. L a p a r te d e l c i l i n d r o y 2 + z 2 = — | u | )c o s y ,

y 2

24. L a p a r te d e la e s f e r a p la n o s z =

—

X z

23. L a p a r te d e la e s f e r a

e o s y ) e o s 4 u n r,

— y ) sen y

17.

ir <

A x 2

z = ir

0 y

|SAC| Se req uiere sistem a a lg eb raic o co m p u te riz a d o

16 q u e e s t á e n t r e l o s p la n o s

1. Tareas su g erid a s d isp o n ib le s en stew artcalc u lu s.co m

SECCIÓN 16.6

26. L a p a rte d e l p la n o z = c ilin d r o x 2 + y 2 =

x + 3 q u e se s itú a e n e l i n t e r i o r d e l

38. t ( u , v ) =

SUPERFICIES PARAM ÉTRICAS Y SUS ÁREAS U 2 — v 2) i — v j —

(1 -

( — 1, — 1, — 1)

1109

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------39-50 E n c u e n t r e el á re a d e la s u p e r fic ie .

|SAC127-28 U t i l i c e un s is te m a a l g e b r a i c o c o m p u t a r i z a d o p a r a g e n e r a r u n a

L a p a r te d e l p la n o 3 a +

39.

g r á f i c a q u e se p a r e z c a a la q u e se p r o p o r c io n a .

2y +

z =

6 q u e es tá en e l p r im e r

o c ta n te . 40.

L a p a r te d e l p la n o c o n r(z / ,

) =

(ll +

0 ^

zz ^

2, - 1

41.

v , 2

x 2

43.

44.

2y +

s/ x 2

y e l c ilin d r o y =

—

q u eestá d a d a

v )

por

3z =

q u e es tá d e n tr o d e l

y 2 =

42. L a p a r te d e l c o n o z = y =

v < I

L a p a r te d e l p la n o c ilin d r o

e c u a c ió n v e c to r ia l 3ll, 1 +

—

y 2 q u e e s t á e n t r e e l p la n o

x 2

s u p e r fi c i e z =

p a r te d e la s u p e r fi c i e z = 1 +

j ( x

3 /2

y 3/2) , 0 ^

3a +

1, 0

y <

2 y 2 q u e e s t á a r r ib a d e l

t r iá n g u lo c o n v é r t i c e s ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) y ( 2 , 1) K fe 29. D e t e r m i n e la s e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s d e la s u p e r fic ie q u e se o b t i e n e al h a c e r g i r a r la c u r v a y = a lr e d e d o r d e l m

e je d e la s

O <

e ~ * ,

45. L a p a r te d e la s u p e r fi c i e z =

* +I

y c o n e l l a s d i b u j e la s u p e r fic ie .

x -

30. D e t e r m i n e la s e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s d e la s u p e r fic ie 46. L a p a r te d e l p a r a b o lo id e q u e se o b t i e n e al h a c e r g i r a r la c u r v a

—2 <

y <

47.

p o r sen

sen i/ p o r e o s w?

z 2 =

y 2 +

q u e es tá d e n tr o d e l

z 2

ponem os eos

e s c r ib im o s sen 2 u

p a r te d e la s u p e r fi c i e y = 4 p la n o s

2 it

z 2 q u e se e n c u e n t r a e n tre

1,z = 0 y z =

48. E l h e l i c o i d e ( o r a m p a e n e s p i r a l ) c u y a e c u a c i ó n v e c t o r i a l r (iz ,

¿ Q u é o c u r r e si e n l u g a r d e e o s lu g a r d e sen

La lo s

¿ Q u é s u c e d e c o n e l t u b o e n e s p ir a l d e l e j e m p l o 2 ( v é a s e la f ig u r a 5 ) si r e e m p l a z a m o s e o s

2 , a lr e d e d o r d e l e j e d e la s y y u t i l í c e l a s p a ra

d i b u j a r la s u p e r fic ie . 31.

4 } ' 2 — y 4, c ilin d r o y 2

eos

i +

sen v j +

vk, 0 < z z <

1, 0

t t

y en 49. L a s u p e r fi c i e c u y a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r ic a s s o n X

y = ffi

A y q u e e s tá d e n tr o d e l c ilin d r o

y -

u v , z

V , 0 ^

zz ^

1 ,0 ^

i r ,

32. L a s u p e r fi c i e c o n e c u a c i o n e s p a r a m é t r ic a s 50. L a p a r te d e la e s f e r a a 2 eos

e o s (0 / 2 )

y == 2 s e n

e o s (0 / 2 )

c ilin d r o

r sen ( $ / 2 )

- “

y 2 =

y 2 +

a 2, d o n d e 0

z 2 = <

b 2 <

q u e es tá d e n tr o d e l

51. S i la e c u a c ió n d e u n a s u p e r fi c i e 5 e s z = / ( x 2 +

donde

x 2 +

r, se d e n o m i n a b a n d a d e

2 i

M o b i u s . G r a fi q u e e s t a s u p e r fi c i e d e s d e v a r i a s p e r s p e c t iv a s . ¿ Q u é e s l o p o c o c o m ú n c o n e lla ?

y 2

R 2

y sabem os que

\ f x \

1 y |f y

, y ), donde

1, ¿ q u é

p o d e m o s d e c ir a c e r c a d e 4 ( 5 ) ?

52-53 E n c u e n t r e el á re a d e la s u p e r fi c i e c o n u n a a p r o x i m a c i ó n d e c u a t r o c i f r a s d e c i m a l e s , e x p r e s a n d o e l á re a e n t é r m in o s d e

33-36 E n c u e n t r e u n a e c u a c ió n d e l p la n o t a n g e n t e a la s u p e r fic ie

u n a in t e g r a l s e n c illa y u t ilic e u n a c a l c u l a d o r a p a ra e s t i m a r la in t e g r a l.

p a r a m é t r ic a d a d a e n e l p u n to e s p e c i f i c a d o .

33. x =

u + v,

y = 3 u 2,

34.

35.

r (ir ,

r (u ,

sen

7T/ 6 ,

36.

U 2 +

y =

eos

¡i =

t/3 +

z =

u sen v j +

i -I- e o s t t

52. L a p a r te d e la s u p e r fi c i e z =

z = u - v, ( 2 ,3 ,0 )

sen

t/ k :

c ilin d r o

(5 ,2 ,3 )

sen

y 2 =

2 +

e o s ( a 2 + y 2) q u e e s t á d e n t r o d e l

53. L a p a r te d e la s u p e r fi c i e z = a

x 2 +

e ~ x ~ y

q u e e s t á a r r ib a d e l d i s c o

t v ¡2 >

k; 54. E n c u e n tr e c o n c u a t r o c i f r a s d e a p r o x i m a c i ó n e l á r e a d e la

p a rte d e la s u p e r fic ie z = d el cu a d ra d o

\ +

(1 +

|y| ^

.X2) / ( l +

y 2) q u e q u e d a a r r ib a

1. Ilu s t r e g r a f i c a n d o e s t a p a rte d e

la s u p e r fic ie . |SAC| 37-38 E n c u e n t r e la e c u a c ió n d e l p la n o t a n g e n t e a la s u p e r fic ie p a r a m é t r ic a d a d a e n e l p u n to e s p e c i f i c a d o . G r a f i q u e la s u p e r fic ie

55. a )

U t i l i c e la r e g la d e l p u n to m e d i o p a r a la s i n t e g r a l e s d o b l e s ( v é a s e la s e c c ió n 1 5 .1 ) c o n s e is c u a d r a d o s p a ra

y e l p la n o t a n g e n t e .

e s t i m a r e l á re a d e la s u p e r fi c i e z = 37.

r (u , v) =

w 2 i -I-

2 u

s e n t/j +

eos v k ;

0 <

A ^

6, 0 <

y <

1/(1 +

.X2 +

y 2) ,

CAPITULO 16

1110

CALCULO VECTORIAL

61.

U t i l i c e u n s is t e m a a l g e b r a i c o c o m p u t a r i z a d o p a ra

c u a t r o c i f r a s d e c i m a l e s . C o m p a r e c o n la re s p u e s t a d e l

62.

i n c is o a ).

56.

r(i/,

) =

(e o s 3

e o s 3 v , sen 3

eos3

sen 3

v ,

v ),

0 ^

x 2 +

y 2

z 1

x 2

y 2.

A z

L a f i g u r a m u e s tr a la s u p e r fi c i e c r e a d a c u a n d o e l c i l i n d r o y 2

z 2 =

1 in te r s e c a a l c i l i n d r o

x 2

1. C a l c u l e e l á re a

z 2 =

d e e s t a s u p e r fic ie .

C a l c u l e e l á r e a d e la s u p e r fi c i e c u y a e c u a c i ó n v e c t o r i a l e s

0 <

E n c u e n t r e e l á re a d e la p a r te d e la e s f e r a

q u e se e n c u e n tr a d e n t r o d e la p a r a b o l o i d e r =

a p r o x i m a r e l á rea d e la s u p e r fi c i e d e l i n c i s o a ) c o n

7r,

2-7T D é su r e s p u e s t a c o n u n a a p r o x i m a c i ó n d e

c u a t r o c i f r a s d e c im a le s . |s

a c

57.

C a l c u l e e l á re a e x a c t a d e la s u p e r fic ie

1 + 2x

r =

58.

3y +

1^ x

4 y 2,

4 ,0

P la n t e e u n a in te g r a l d o b l e , sin e v a l u a r l a , p a r a e l á re a d e la s u p e r fic ie c u y a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r ic a s son X

0 ^ b)

e o s y, y =

a u v

sen

b u

v , z

u 1,

0 <

2, 63. C a l c u l e e l á r e a c e la p a r te d e la e s t e r a

SS 2 tt.

q u e se e n c u e n tr a d e n t r o d e l c i l i n d r o

E l i m i n e l o s p a r á m e t r o s p a ra d e m o s t r a r q u e la s u p e r fic ie

x 2

x 2 +

y 2 +

y 2 =

z 2 =

a 2

a x .

e s un p a r a b o lo id e e l í p t i c o , y p r o p o r c i o n e o tr a in t e g r a l

64.

d o b l e p a r a e l á rea d e la s u p e r fic ie .

2 y

c ir c u n fe r e n c i a q u e se e n c u e n t r a e n e l p la n o x r y c u y o

3 g r a f i q u e la s u p e r fic ie .

P a ra e l c a s o d e

2 y

ce n tro es

3 , u t ilic e un s is te m a a lg e b r a ic o

m =

sen

eos

v , y

0 ^ b)

y <

s e n ir s e n

u , z

u ,

b .

[ S u g e r e n c ia : 8

U t i l i c e la s e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s d e t e r m in a d a s e n e l

U t i l i c e la s e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s d e l i n c is o a ) p a ra a

in c is o a ) pa ra g r a f i c a r e l t o r o p a ra v a r i o s v a l o r e s d e eos

27r, r e p r e s e n t a n un e l i p s o i d e .

g r a f i c a r e l e l i p s o i d e p a ra e l c a s o c)

D e m u e s t r e q u e la s e c u a c i o n e s p a r a m é t r ic a s x

0 , 0 ) y r a d io

m o s t r a d o s en la f i g u r a . ]

u n a a p r o x im a c ió n d e c u a tro c i fr a s d e c im a le s . a)

(b ,

c o n s i d e r e m o s c o m o p a r á m e t r o s l o s á n g u lo s

c o m p u t a r iz a d o pa ra d e t e r m in a r e l á rea d e la s u p e r fic ie c o n

59.

D e t e r m i n e una r e p r e s e n t a c ió n p a r a m é t r ic a d e l t o r o q u e se o b t ie n e al h a c e r g i r a r a l r e d e d o r d e l e j e r a l a

M e d i a n t e la s e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s d e l i n c i s o a ) c o n

l ,

b .

M e d i a n t e la r e p r e s e n t a c ió n p a r a m é t r ic a d e l i n c i s o a ) d e t e r m in e e l á re a d e la s u p e r fic ie d e l to r o .

P la n t e e p e r o no e v a l ú e u n a in t e g r a l d o b l e p a r a e l á re a d e la s u p e r fi c i e d e l e l i p s o i d e d e l i n c i s o b ).

60.

D e m u e s t r e q u e la s e c u a c i o n e s p a r a m é t r ic a s x

cosh

eos

v , y

cosh

sen

v ,z

sen h

u ,

r e p r e s e n t a n ur. h i p e r b o l o i d e d e u n a h o ja .

U t i l i c e la s e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s d e l i n c is o a ) p a ra d ib u ja r e l h i p e r b o l o i d e p a ra e l c a s o

2, c =

P la n t e e p e r o n o e v a l ú e u n a in t e g r a l d o b l e p a ra e l á re a s u p e r fi c i a l d e la p a r te d e l h i p e r b o l o i d e d e l i n c i s o b ) q u e se u b ic a e n t r e l o s p la n o s r =

—3 y r =

Integrales de superficie L a rela ció n q u e e x is te entre las in te g ra les d e su p e rfic ie y e l área d e una su p e r fic ie e s la m ism a que la relación entre integrales de lín ea y longitud de arco. S u p o n g a m o s q u e / e s una fu n ció n d e tres v a r ia b le s en c u y o d o m in io se en cu en tra la su p e rfic ie S. D e fin ir e m o s la in te gral d e su p e r fic ie d e / s o b r e S en tal form a q u e , en e l c a s o d o n d e /(x :, y, z) = 1, e l v a lo r d e la in teg ral de su p e rfic ie e s ig u a l al área su p erficia l d e 5. C o m e n z a m o s c o n su p e rfic ie s pa ram étricas y lu e g o trab ajam os c o n e l c a so e sp e c ia l d o n d e 5 e s la g rá fica d e una fu n ción d e d o s va ria b les.

I S u p e r f i c i e s p a r a m é t r ic a s S u p o n g a m o s qu e u n a su p e rfic ie 5 tien e una e cu a ció n v e cto r ia l r (u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + "(w, v ) k

(u, v)

P rim ero su p o n g a m o s q u e e l d o m in io D d e l parám etro e s un rec tá n g u lo y lo d iv id im o s en su b rectán gu los R7jóe d im e n sio n e s A u y Ay. E n ton ces la su p erficie S se d iv id e en lo s parches

SECCIÓN 16.7

INTEGRALES DE SUPERFICIE

1111

c o rr e sp o n d ie n te s 5 $ c o m o en la figu ra 1. E v a lu a m o s /e n un p u nto P¡f en c a d a p a rch e, m u l/ —L

tip lic a m o s por e l área A 5 ^ d e l parch e, y fo rm a m o s la su m a d e R iem an n .

Xh 2

f{p¿)

a s

*= 1 j= l

A c o n tin u a c ió n to m a m o s e l lim ite c o m o e l nú m ero d e in c re m en to s d e parch es y d e fin im o s la in t e g r a l d e s u p e r f ic ie d e / s o b r e la s u p e r f ic ie 5 c o m o

r/#

f f /(■*. y» - ) d S = III,lím 2 2 f i pS ) JJ II ■» ; = | ,= |

O b serv e la a n a lo g ía c o n la d e fin ic ió n d e una in tegra l d e lín e a (1 6 .2 .2 ) y tam b ién la a n a lo g ía c o n la d e fin ic ió n d e una in teg ral d o b le (1 5 .1 .5 ). Para e v a lu a r la in teg ral d e su p e rfic ie en la e c u a c ió n 1, a p r o x im a m o s e l área d e parche A Sij por e l área d e un p a r a lelo g r a m o q u e se a p ro xim a en e l p la n o tan g en te. En e l a n á lisis d e l área de u n a su p e rfic ie d e la s e c c ió n 1 6 .6 h a c e m o s la a p ro x im a ció n

A Sij **

r* X r„| AwAt>

FIGURA 1

donde

i + —

i +

dz du

dx dy dz — i + — j + — k dv dv dv

son lo s v e c to r e s tan g en te en e l v é r tic e d e S?. Si las c o m p o n e n te s son c o n tin u a s y r„ y r„ n o son c e r o y no so n p a ralela s en e l interior de Z), se p u ed e d em o strar por la d e fin ic ió n 1, in c lu so c u a n d o D n o e s un rec tá n g u lo , qu e Supongamos que la superficie se cubre una sola vez cuando (w, v\ abarca todo D. El valor de la integral de superficie nc depende de la parametrízación que se aplique.

D e b e m o s com p arar c o n la fó rm u la para u n a in teg ra l d e línea:

f f ( x , y, z) ds = f V ( r ( 0 ) I r '( í ) | dt J C

O b serv e qu e ff I d S =

f f | r , X r , | d A = A(S)

L a fó rm u la 2 perm ite e v a lu a r una integral d e su p e r fic ie c o n v ir tié n d o la en un in tegral d o b le sob re e l d o m in io D d e l parám etro. A l usar e sta fó rm u la, recuerd e q u e / ( r ( « , t>)) se e v a lú a e sc r ib ie n d o x = x(u, v), y = y(w, v) y : = z(w, v) en la fó rm u la para / ( a , y , z). E JE M P L O 1

C a lc u le la in tegra l d e su p e rfic ie J’J^X2 dS, d o n d e S e s e sfe r a unitaria

a2 -I- y 2 + z2 = 1. SOLUCIÓN C o m o en e l e je m p lo 4 d e la se c ció n 1 6 .6 , u sa m o s la rep resen ta ció n param étrica

—

sen <f> c o s 0

y — sen 4» sen 8

—

c o s tff

tft ^

«S

1112

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

r ( < M ) — s e n e o s Oí + ser tfr sen 0 j + e o s <£k

e s d e c ir ,

A l ig u a l q u e en e l e je m p lo 10 d e la s e c c ió n 1 6 .6 , se c a lc u la qu e 11

r $\ = sen <f>

Por ta n to, de acu erd o c o n la fó r m u la 2 ,

í f x 2d S = 11

= I

Aquí se usan las identidades eos20 sen ’

™i

<t> =

(1 + eo s

20 )

— |

(sen <p e o s 0 ): |

X r *\dA

sen 2 ó e o s 2 0 sen ó d ó d $ = |e o s 2$ d $ Jo Jo

l ( l + e o s 2 0)clB ( ' (sen <t> — sen ift c

sen 5A d ó Jo

d</>

1 — e o s 2 <?

En lugar de esto, podríamos usar las fórmulas

= j[$ +

64 y 67 de la tabla de integrales.

3 sen 2 fl]o^[—e o s ^ + y c o s 3^ ] * =

L as in te g ra les d e su p e rfic ie tien en a p lic a c io n e s p a recid a s a la s d e la s in te g ra les q u e y a tratam os. Por e je m p lo , si una h o ja d e lg a d a d e a lu m in io tien e la form a d e u n a su p e r fic ie S y la d e n sid a d , m a sa por unidad d e área, en e l punto (*, y , z) e s p (x , y , r), e n to n c e s la m a sa total d e la lá m in a e s m =

f f p ( x , y, z) d S

y e l c e n t r o d e m a s a e s ( !v, y , r ) , d o n d e

y = — f í y p ( v, y , z) dS m JJ

x = — f f x p ( x , y , z) dS m JJ

z = — f f z p (.r , y , z) dS m JJ

L o s m o m e n t o s d e in e r c ia ta m b ié n se p u e d e n d e f in ir c o m o a n te s (v é a s e

e je r c ic io 4 1 ).

G ráfica s C u alq u ier su p e rfic ie S c o n e c u a c ió n z = g(x, y) se p u ed e c o n sid e r a r c o m o u n a su p e rfic ie param étrica c o n e c u a c io n e s param étricas * = v

y a si te n e m o s

r ,=

i +

y = y

r = g(x, y)

dg ' dx

Por tanto,

+ i

SECCIÓN 16.7

INTEGRALES DE SUPERFICIE

1113

Por tanto, en e ste c a s o , la fó r m u la 2 se c o n v ier te en

S e aplican fó rm u la s sim ila r e s c u a n d o e s m ás c o n v e n ie n te p royecta r S en e l p la n o yz o en e l xz. Por e je m p lo , si S e s u n a su p e rfic ie c u y a e c u a c ió n e s y = h(x, z) y D e s su p roy e c c ió n sob re e l p la n o xz, e n to n c e s

J J /(* • y . *)

E JE M P L O 2

E v a lú e

+ 1 dA

= f f / ( * . * ( * , z ). z ) y j

Jjs y dS , d o n d e

S e s la su p e rfic ie z = x + y 2, 0 =s x ^

1, 0

(V é a se la fig u ra 2 ). SOLUCION C o m o

dz_

la fó rm u la 4 da

FIGURA 2

f" y V l + 1 + 4 y 2 d y d x

Jo Jo

f ' d x s f l f~ y V l + 2 y 2 d y Jo

+ 2 y 2 )3/2]o

13 y/2

S i S e s una su p e rfic ie su a v e por tram os, es d e c ir , una u n ió n fin ita d e su p e r fic ie s su a v es S i, Si, ■. ■, Sn q u e co rta s ó lo a lo largo d e sus fron teras, e n to n c e s la in tegral d e su p e rfic ie d e / sob re S se d e fin e m ed ian te

f f f(x,

y ,

z) dS = f f f ( x ,

s Q

1 2 2 3 3 1 0

y ,

z) d S + • • • + f f f ( x ,

z) dS

í,

E v a lú e

z d S , d o n d e S e s la su p e rfic ie c u y o s la d o s S i lo s d e fin e

e l c ilin d r o x 1 + y 2 = 1 , c u y o fo n d o Si e s e l d isc o x 1 + y 2

1 en e l p la n o z = O, y c u y a

tapa S 3 e s la parte d e l p la n o z = 1 + x q u e q u ed a arriba d e S 2 . SOLUCIÓN L a su p e rfic ie S se ilu stra en la figura 3. (C a m b ie m o s la p o s ic ió n u su al d e lo s ejes para tener m ejor v isió n en S). Para Si u sam os 9 y z c o m o parám etros (v éa se e l e jem p lo 5 d e la s e c c ió n 1 6 .6 ) y e x p r e s a m o s las e c u a c io n e s param étricas c o m o

x = eos 6

sen 9

donde O

#= 5 2-

0 ^ : 5

1 + .v =

1 + eos 6

1114

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

Por tanto, i sen

r , X r; =

eos 6

C = eos

11> X r_. | = V e o s 2 6 +■ sen 2 0 =

+ sen

Por c o n s ig u ie n te , la in teg ral d e su p e rfic ie sob re St e s

(( z dS =

| [ z \ r $ X r : \dA

I +CQ S

9 z dz cl$ = \ Wt (\ + e o s 0)2d$ Jo

= | *| Jo Jo

= í- | " * [l + 2 e o s 0 + j ( l + e o s 2$)] d $ 3tt =

+ i sen 2 0 ] , * =

P u esto q u e S 2 q u ed a en e l p lan o z = 0 , te n e m o s

f f z d S = f f O dS = O

L a su p e rfic ie d e la parte su p erio r S 3 e stá sob re e l d is c o un itario D y e s parte d e l p la n o z = 1 + x. D e e ste m o d o , si to m a m o s g(x, y) =

1 + x d e la fó rm u la 4 y la c o n v e r tim o s

a c o o rd en a d a s p o la res, te n e m o s

f)'

= Jof Jo f (1 + reos 6 )Vi + 1 + 0 rdrdO =

\ Í2

= \Í 2 ("*

f ^

Jo Jo

( 7 + J e o s 0)

sen 0

\l [ 2

(r + /-2 c o s

d rd O

Por tanto,

f f zdS = f f zdS + f f zdS + f f zdS

377

+ O + v 'T t T = ( 7 + y f l ) l T

SECCIÓN 16.7

I N T E G R A L E S DE S U P E R F I C I E

1115

] S u p e r f i c i e s o rie n ta d a s Para d e fin ir in te g ra les d e su p e rfic ie d e c a m p o s v e c to r ia le s, n e c e s ita m o s regu lar las su p erfic ie s q u e n o se p u ed en orientar c o m o la banda de M ó b iu s, q u e se m u estra en la fig u ra 4. S e le d io e s e n o m b re en h o n o r al g e ó m etr a a lem á n A u g u st M o b iu s (1 7 9 0 - 1 8 6 8 ). U sted m ism o p u ed e co n str u ir la to m a n d o u n a larga tira d e p a p el, darle m e d ia v u e lta y p eg a r lo s e x tr e m o s c o m o se in d ic a en la fig u ra 5. Si una h o r m ig a c a m in ara por la b a n d a d e M ó b iu s F IG U R A 4

e m p e z a n d o en e l p u nto P, fin a liz a r ía su recorrido en e l otro lado de la tira (e s d e c ir , c o n

B and a d e M ó b iu s

su lad o su perior ap u n tan d o en la d ir e c c ió n o p u esta). E n to n ce s si la h o r m ig a c o n tin ú a su r eco rrid o e n la m is m a d ir e c c ió n , term in aría d e n u e v o en e l p u n to P , p ero arriba d e é l , sin h ab er b rin ca d o al otro lad o. (S i usted y a t.en e su b a n d a d e M ó b iu s, d ib u je una lín e a por to d o e l cen tro de la c in ta .) E n to n c e s, una banda d e M ó b iu s tien e s ó lo un lado. P o d e m o s dibujar la b a n d a d e M ó b iu s m ed ia n te las e c u a c io n e s para m étricas d e l e je r c ic io 3 2 d e la s e c c ió n 16.6.

l ü

l En Visual 16.7 se muestra una banda de

Mobius con un vector perpendicular que puede moverse a lo largo de la superficie. F IG U R A 5 C o n s t r u c c ió n d e u n a b a n d a d e M o b iu s

D e a q u í en a d ela n te, s ó lo se co n sid e r a n su p e r fic ie s su sc e p tib le s de ser orien tad as, e s d e c ir , q u e tengan d o s la d o s. In ic ia m o s c o n una su p e rfic ie S qu e tien e un p la n o ta n g en te en c a d a p u nto (x, y , z) sob re 5 (e x c e p to en cu a lq u ier p u n to d e la frontera). H ay d o s v e c to r e s u n itarios n o r m a les n i y 112 = —n i en (*, y , z) (v é a s e la figu ra 6). Si e s p o s ib le e le g ir un v e cto r un itario norm al n en to d o s lo s p u n to s (x , y , z) d e m o d o qu e n varíe c o n tin u a m e n te sob re S , e n to n c e s se d ic e q u e S e s u n a s u p e r f ic ie o r ie n t a d a y la e le c c ió n d ad a d e n p r o p o r c io n a a S u n a o r ie n ta c ió n

H ay d o s o r ie n ta c io n e s p o s ib le s

para c u a lq u ie r su p e r fic ie o rien tab le (v é a s e la fig u ra 7).

F IG U R A 6 F IG U R A 7 L a s d o s o r ie n ta c io n e s d e u n a s u p e r fi c i e o r i e n t a b l e

En e l c a s o de una su p e rfic ie z = g(x, y ) dad a c o m o g rá fica d e g, u sa m o s la e c u a c ió n 3 para a so cia r c o n la su p e rfic ie u n a orien ta ció n natural d a d a por e l v e c to r n orm al un itario

$ 9

f y

GD 1 + P u esto qu e la c o m p o n e n te k e s p o s itiv a , e sto p r o p o r c io n a u n a o r ie n ta c ió n hacia arriba d e la su p e rfic ie . S i S e s u n a su p e rfic ie su a v e y o rien ta b le dada en la fo rm a p aram étrica por m e d io d e una fu n ció n v e c to r ia l r(m, V), e n to n c e s a u to m á tica m en te adq uiere la o rien ta ció n d e l v e c to r u n itario norm al r„ X r„ r„ X r v y la o r ie n t a c ió n o p u e s ta se c o n s ig u e c o n

—n

P o r e j e m p l o , e n e l e j e m p l o 4 d e 1a s e c c i ó n

16 6

1116

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

d e te rm in a m o s la rep resen ta ció n param étrica = a sen <f>e o s $ i + a sen <f> sen 0 j + a e o s <f>k para la e s fe r a x 1+ y2

+ z2 = a2. L u e g o , en e l e je m p lo 10 d e la s e c c ió n 1 6 .6 , se d e te r -

m in ó qu e X r j = a 2sen2<f>e o s 6 i + « 2 sen 2^ sen 0 j + a 2 sen y

eos

<£k

X r 6 | = a 1 sen <ft

D e m o d o q u e la o rien ta ció n in d u c id a por r ( ó , d\ se d e fin e por m e d io d e l v e c to r norm al unitario

n —

r X r* r — sen | i > X r fl|

1 e o s 0 i + sen <f> sen 0 j + e o s <¿> k — — r (<¿, 6 )

O b se r v e q u e n apu nta en la m ism a d ir e c c ió n q u e el v e c to r de p o s ic ió n , e s d e c ir , h a c ia fuera d e la e sfe r a (v é a se la figura 8). La orien ta ción opuesta (e s d ecir, h a cia adentro), se obtendría si in v ertim o s e l orden d e lo s parám etros (v é a se la figura 9) porque r* X r<¿ =

O r i e n t a c i ó n p o s it iv a

—r<¿ X i >

O r ie n t a c ió n n e g a t i v a

En e l c a so d e u n a s u p e r f ic ie c e r r a d a , e s decir, u n a su p e r fic ie qu e e s la frontera d e una reg ión só lid a E , la c o n v e n c ió n e s qu e la o r ie n ta c ió n p o s it iv a e s a q u ella para la c u a l lo s v e c to r e s n o r m a les señ alan hacia afuera de £ , y los n o r m a les q u e señ alan h a c ia e l interior dan la o r ie n ta c ió n n e g a tiv a (v é a n se las figuras 8 y 9).

In t e g ra le s de s u p e r f i c ie de c a m p o s v e c t o r ia le s S u p o n g a qu e S e s u n a su p e rfic ie o rien tad a c o n un v e c to r un itario n o rm al n , e im a g in e qu e hay un flu id o d e d en sid a d p (x , y, z) y c a m p o d e v e lo c id a d v (* , y, z) q u e c ir c u la a tra vés d e

S. (P ie n s e q u e S e s u n a su p e rfic ie im a g in a ria que no im p id e e l flu jo d e flu id o s , tal c o m o u n a red para p esca r atravesa d a en un a rroyo.) E n to n ce s, e l c a u d a l (m a sa por unidad d e tie m p o ) por un idad d e área e s p \ . Si d iv id im o s S en p e q u e ñ o s p arch es S,* c o m o en la figura 10 (co m p a re c o n la figu ra 1), e n to n c e s 5,y e s c a si p lan a y p o d e m o s ap roxim ar la m a sa d e l flu id o q u e a traviesa en la d ir e c c ió n d e la norm al n por unidad d e tie m p o m ed ia n te la c a n tidad

( p \ • n)A(S,y) d o n d e p , v y n se ev a lú a n en algún p u n to sob re S-j. (R e cu er d e qu e la c o m p o n e n te d e l v e c tor p \ en la d ir e c c ió n d e l v e cto r un itario n e s p \ • n .) S e g ú n la d e fin ic ió n 1, lu e g o d e s u m ar e sta s c a n tid a d e s y o b ten er e l lím ite , e l resu ltad o e s la in teg ra l d e su p e r fic ie d e la fu n ció n p y • n sob re S:

ff py • n dS =

f f p { x , y , z) v U , y , z) • n l> , y , z) d S

y la in terp retación fís ic a e s e l c a u d a l q u e atraviesa S.

S E C C IÓ N

S i e sc r ib im o s

1 6 .7

INTEGRALES DE SUPERFICIE

1117

F = p \ , e n to n c e s F e s tam bién un c a m p o v e c to r ia l sob re R 3 y la in tegral

d e la e c u a c ió n 7 se v uelv e

ff F • n dS

S U n a in teg ral de su p e r fic ie d e e sta fo rm a se presenta c o n fr e c u e n c ia en físic a , aun cu a n d o

F no e s p v , y se le lla m a integral de superficie (o integral d e flujo) d e F sob re S.

|~8~| Definición Si F e s un c a m p o v ecto ria l c o n tin u o d e fin id o sob re u n a su p e rfic ie orientad a S c o n un v ec to r un itario norm al n , e n to n c e s la in t e g r a l d e s u p e r f ic ie d e F so b re 5 es ff F • d S = ff F • n d S

E sta in tegra l tam b ién se d e n o m in a flu j o de F a través de S.

En len g u a je c o m ú n , la d e fin ic ió n 8 e sta b le c e q u e la in tegra l de su p e rfic ie d e un c a m p o v e c to r ia l en S e s ig u a l a la in teg ral d e su p erficie d e su c o m p o n e n te norm al en S (c o m o se d e fin ió antes). Si S e stá d e fin id a por u n a fu n ció n v ecto ria l r(w, v ), e n to n c e s n e stá d ad a por la e c u a c ió n 6 , y d e a cu erd o c o n la d e fin ic ió n 8 y la e c u a c ió n 2 , te n e m o s

jj F

í/S = Jff F •-T— — ——r d S J v .. I

ÍJ

r- xr"UA

d o n d e D e s e l d o m in io d e l parám etro. Por tanto, Compare la ecuación 9 con la expresión similar para evaluar las integrales de línea de campos vectoriales de ladefiniciói 16.2.13:

F •

d r

F ír (f)) • r ' { t ) d

E JE M P L O 4 La figura 11 muestra el campo vectorial F del ejemplo 4 en puntos sobre la esfera unitaria.

D e ter m in e e l flu jo d e l c a m p o v ecto ria l F (a , y , z) = z i + y j + A k a través

d e la e s fe r a un itaria xr + y2 + z2 = 1. SOLUCIÓN C o m o en e l e je m p lo 1, u tiliz a m o s la rep resen ta ció n param étrica r ( ¿ 9 ) — sen ^ c o s $ i + sen

sen

F ( r ( ¿ . $)) — c o s

E n to n ce s

+ cos^ »k

i + sen

sen

O «£

«£ ir

+ sen $ c o s

y , d e a cu erd o c o n e l e je m p lo 10 d e la se c c ió n 1 6.6,

r^Xr9

sen 2^ c o s $ i

sei r t p sen 0 j

+- sen <p c o s <¿>k

Por tanto,

F IG U R A 11 F ( r { ¿

0) )

( i >

r 9) — c o s

<¡í»

sen 2

cos S

se n 3^ se n 20

se n : <£ c o s

cos 8

1118

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL y , se g ú n la f ó r m u la 9 , e l

f lu jo es

ff F * d S = ff F S

• (i>

X r g)d A

— |

= 2 f

(2 sen~

sen : <¿ e o s t b d ó

— 0 + |

e o s <ft e o s $ + sen'1

eos 0 d 0 +

sen ~0d&

se n 3

sen 2 e ) d $ d e

f" sen 3Ad¿> i * s e n 2$ d 0

^ yaque f * c o s OdQ — 0^

41T 3

d e a cu erd o c o n e l m ism o c á lc u lo d e l e je m p lo l.

Por e je m p lo , si e l c a m p o v e c to r ia l d e l e je m p lo 4 e s un c a m p o d e v e lo c id a d e s q u e d e s crib e e l flu jo d e un flu id o c u y a d en sid a d e s l , e n to n c e s la resp u e sta , 4 /t t / 3 , rep resen ta el ca u d a l a trav és d e la e sfe r a un itaria en u n id a d e s de m a sa por unidad d e tiem p o. En e l c a s o d e una su p e r fic ie S d a d a por u n a gráfica r = g(x, y), p o d e m o s c o n sid e r a r a

x y

y c o m o parám etros y u sa m o s la e c u a c ió n

F - (r , X

3 para e sc rib ir

!■,.)= {Pi + Q ¡ + f i k l -

-4 ^ j + M \

)

E n to n c e s la fó r m u la 9 se c o n v ie r te en

Ü£l

E sta fó rm u la to m a la o r ie n ta c ió n h a c ia arriba d e S\ para u n a o rien ta ció n h a c ia abajo m u ltip lic a m o s por — l . E s p o s ib le r e so lv e r fó rm u la s sim ila res si S e stá d a d a por y = h(x , z) o

x = k(y , z). (V é a n s e lo s e je r c ic io s 3 7 y 3 8 .) Q

E v a lú e JJs

F•

d S , donde

F(jc, y, z)

= y

i+ xj

z k y S es

la frontera d e

la reg ió n só lid a E en cerra d a por e l p arab o loid e z = l — j c — y 2 y e l p la n o z = 0. SOLUCIÓN L a su p e r fic ie S c o n s is te en u n a su p erficie S i p a r a b ó lica en la parte su perior y u n a su p e rfic ie S 2 circu lar en e l fo n d o (v é a se la figura 12). C o m o S e s una su p e rfic ie cerrada, u s a m o s la c o n v e n c ió n d e la o rien ta ció n p o sitiv a (h a c ia afuera). E sto s ig n ific a q u e Si e s tá orientad a h a c ia arriba y q u e p o d e m o s usar la e c u a c ió n 10 en d o n d e D e s la p r o y e c c ió n d e Si sob re e l p la n o x y , a sab er, e l d isc o x 1 + yr

P (x , y , z ) = y

Q(x , y y z) = x

FIG U R A 12

sob re Si y-------------------------------- ----- =

—2 x

1. P u esto que

R(xy y , z) = z = \ - x2 - y

—

—2 y

SECCIÓN 16.7

INTEGRALES DE SUPERFICIE

1119

te n e m o s

ff F ♦ d S = s,

íí D

v(—2 y ) + \

f f [ —v ( - 2 .v ) -

- x 2 - y 2] d A

11 (l + 4 x y — x 2 - y 2)d A

= | # | (l + 4 r 2c o s 0 sen 0 — r 2) r d r d $ Jo

— I Jo

I (;• — r 3 +■ 4 r 3 c o s O sen 0 ) d r d O Jo

| "(i +

e o s 0 sen 0 ) d& = y (2 77)

O = — 2

El d is c o S 2 e stá o r ien tad o h a c ia a b ajo, de m o d o q u e su v e c to r n o rm al un itario e s n =

—k y te n e m o s

F •d S = f f F

J J

• ( —k ) d S = f f ( - z ) dA

J J

= f f O dA

= O

p u esto q u e r = O sob re S 2 .F in a lm e n te , c a lc u la m o s por d e fin ic ió n

J fs F • d S c o m o la

su m a d e las in te g ra les d e su p e r fic ie d e F sobre las p ie z a s Si y Si:

JJ S

F • ds =

JJ F • d s + JJ F • d s y t Y S,

+ o = q.

■

A u n q u e in tr o d u c im o s la in tegra l d e su p erficie d e un c a m p o v e c to r ia l u sa n d o e l e j e m p lo d e flu jo d e flu id o s , e ste c o n c e p t o su rge ta m b ié n en otra s s itu a c io n e s fís ic a s . Por e je m p lo , si E e s un c a m p o e lé c tr ic o (v é a se e e m p lo 5 de la s e c c ió n 1 6 .1 ), e n to n c e s la in te gral d e su p e rfic ie

E • dS

s r e c ib e e l n o m b re d e f lu j o e l é c t r i c o d e E a tr a v és d e la su p e r fic ie S . U n a d e la s le y e s im p o rta n tes d e la e le c tr o stá tic a e s la le y d e G a u s s , la cu a l e s ta b le c e q u e la ca rg a n eta e n c e rrada por m e d io d e una su p e r fic ie cerrad a 5 es

Q Í]

Q = e0 f f E • d S S

d o n d e e 0 e s una c o n sta n te (q u e se d e n o m in a perm itivid ad d e l e s p a c io lib re), y q u e d ep en d e d e las u n id a d e s q u e se u tilic e n . (En e l S I, e.)

8 .8 5 4 2 X 1 0 -12 C 2/ N * m 2) Por tanto, si

e l c a m p o v e c to r ia l F d e l e je m p lo 4 rep resenta un c a m p o e lé c tr ic o , p o d e m o s c o n c lu ir que la ca rg a en cerrad a por S e s Q = y7T£o. O tra a p lica c ió n d e las in te g ra les d e su p erficie se en c u e n tr a en e l e stu d io d e l flu jo d e c a lor. S u p o n g a m o s q u e la tem p eratura en un punto (a, y, z) d e un cu e rp o e s u(x , y , z). E n to n c e s e l flu j o d e c a lo r se d e fin e c o m o e l ca m p o v e cto r ia l

F = -K V u

1120

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

d o n d e K e s u n a c o n sta n te d eterm in a d a en fo rm a ex p e rim en ta l q u e se lla m a c o n d u c tiv id a d de la su sta n cia . El flu jo d e c a lo r a tra v és d e la su p erficie S en e l cu e rp o lo d e fin e e n to n c e s la in tegral d e su p e rfic ie

ff F • d S = —K ff Vm • d S

I2 E I2S ÍQ

L a tem p eratura w d e u n a b o la d e m etal e s p r o p o rcio n a l al cu a d rad o d e la

d ista n c ia d e sd e e l cen tro d e la m ism a . D e ter m in e e l flu jo d e c a lo r a trav és d e una e sfe r a

S d e radio a c o n cen tro en e l cen tro d e la b ola. SOLUCIÓN T o m a n d o e l cen tro d e la b o la c o m o e l o r ig e n , te n e m o s

u(x, y , z) = C (a t + y + z2) d o n d e C e s la c o n sta n te d e p r o p o rcio n a lid a d . L u e g o , e l flu jo d e c a lo r e s

F ( x ,y ,z ) = - K V u = - K C ( 2 x i

2yj

2z k)

d o n d e K e s la c o n d u c tiv id a d d e l m eta l. En lu gar de usar la p ara m etrización d e la esfer a c o m o en e l e je m p lo 4 , o b se r v a m o s q u e la norm al un itaria h a c ia afu era d e la e sfe r a

x 1 + y 2 + zr = a 2 en e l p u n to (x, y , z) e s

n = — :x i + y j + : k

2 KC

F•n

y e n to n c e s

(x2 + y 2 + z2

Pero sob re S te n e m o s x 1 4- y 2 + z2 = a 2, d e m o d o q u e

• n =

— 2 aKC.

Por ta n to , e l

flu jo d e c a lo r a trav és d e 5 es

F • d S = f f F • n dS = - 2 aKC ff dS

= —2 aK C A (S) =

—2aKC[47ra2 1 = —8 K C ira 3

Ejercicios 1. S e a 5 la s u p e r fi c i e d e fr o n t e r a d e la c a j a e n c e r r a d a p o r l o s p la n o s JJS e

~ °M x+y* z )d S

d e fin ic ió n

4, : =

O, y : =

6. A p r o x i m e

u s a n d o u n a s u m a d e R i e m a n n c o m o e n la

1, t o m a n d o l o s p a r c h e s

S ¡j>

P ¡J

— 1 ^

z <

c o n s is t e e n e l c i l i n d r o a t +

x 2 +

y 2

r2=

50, r >

9 y / ( —3, —4, 5 ) =

p a rc h e s e s tim e e l v a lo r d e

0, y suponga q u e /

7 ,/ (3 , —4, 5 ) =

12. D i v i d i e n d o

4 . Suponga que f ( x , y, z) = g ( \/x 2 + y 2 + z 2 ) , d o n d e g función de una variable tal que g(2) = — 5. E v a l ú e JJS/ U , y, z) dS, donde 5 es la esfera x2 + y 2 + z 2 = ¿

y 2 =

p a r te in f e r i o r . S u p o n g a q u e / e s u n a fu n c i ó n c o n t in u a c o n 2,

E s tim e e l v a lo r d e

/ (O , ± 1 , 0 ) = \\s f ( x , y t z ) d S

R ie m a n n : to m e lo s p a rc h e s

S -j

/ (0 ,0 , ± 1 ) =

m e d ia n t e u n a s u m a d e

c o m o lo s c u a tro c u a rto s

d e c i l i n d r o y l o s d i s c o s d e la ta p a y e l fo n d o .

requiere sistema algebraico computarizado

e n c u a tro

¡¡H f ( x , y , z ) d S .

1, ju n t o c o n su s d i s c o s d e la p a r te s u p e r io r y d e la

/ ( ± 1, O , O ) =

|SAC | Se

e l h e m is fe r io

c o m o lo s c e n tr o s

d e l o s r e c t á n g u lo s . 2. U n a s u p e r fi c i e

/ ( —3, 4, 5 ) =

c o m o l o s r e c t á n g u lo s

q u e s o n la s c a r a s d e la c a j a S y l o s p u n to s

S ea

e s u n a fu n c i ó n c o n t in u a c o n / ( 3 , 4 , 5 ) =

5-20 Evalúe la integral de superficie. 4

j"Js ( x + y + z) d S , 5 es el paralelogramo con ecuaciones paramétricas

x = u + v, y = u - v, 0 <

v ^

1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com

= 1 + 2u + v, 0 < u ^ 2,

e s una

SECCIÓN 16.7 22. F ú , y , z ) = z i + y j +

IhxyzdS,

e s e l c o n o c o n e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s

sen

v , z

u ,0

1 ,0 ^

t t

eos

V ,

¡ 2

v )

( u

e o s

sen

v ) , 0

1 , 0 ^

0 ^ a <

1, 0 ^ y ^

24. F ( a , y , z ) =

9- Sísx2yzdS>

25. F ( a , y , z ) =

e s la p a rte d e l p la n o z =

1 +

2 x

jj' X

z =

y í;

0 ^ a ^

I y : =

x2 + y 2que

+ a j +

1, y =

5 e s la s u p e r f ic ie z =

A <?y ,

1, c o n o r ie n t a c ió n h a c ia a r r ib a

j + 5 k,

a í + y

5 e s la f r o n t e r a

e n c e r r a d a p o r e l c il in d r o a 2 + z 2 =

e s la s u p e r fi c i e

2 z 2,

0 ^

y ^

1 ,0 ^

z ^

31. F ( a , y , z ) = a t í + y 2j + z 2 k ,

x2 +

d e la r e g ió n

1 y lo s p la n o s

y = 0 y a + y = 2

e s la p a r te d e l p a r a b o lo id e

x2 +

4A ~j + yz k ,

1, 0 ^ y ^

30. F ( a , y , z ) =

s ó lid o 0 ^ z ^ v 1 -

z 2 q u e es tá d e n tr o d e l

z2 = 4

e s la f r o n t e r a d e l s e m ic ilin d r o

y 2, 0 < a ^

32. F ( a , y , z ) = y ¡ + (z — y ) j +

a k,

5 e s la s u p e r fic ie d e l te t r a e d r o c o n v é r t ic e s ( 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) ,

16. JJs y 2 rfS.

x2 + y 2 + z2 = 4 a r r ib a d e l p la n o xy

5 e s la p a rte d e la e s f e r a

x2 + y 2 =

1 y

e s la s e m ie s fe r a

( 0 , 1 ,0 ) y ( 0 , 0 , 1)

q u e está d en tro d e l

|SAC 1 33. E v a l ú e |JS ( a 2 +

17. ¡¡s ( x 2z + y 2z)dS,

a i + 2y j + 3 z k , S e s e l c u b o c o n v é r t ic e s ( ± 1 , ± 1 , ± 1 )

e s t á e n t r e l o s p la n o s

14. JJS - dS,

c ilin d r o

e l p r im e r o c t a n t e ,

29. F ( a , y , z ) =

e s la p a rte d e l c o n o z 2

c ilin d r o

z j + y k,

28. F ( a , y , z ) = x y i + 1 ,0

13. JJS x 2z 1dSy

j j s y d S

y e l d is c o x 2 + z 2 ^

S e s la s u p e rfic ie r = j ( x 3^2 + y 3^2) , O $ í í

- z k, S c o n s is t e e n el p a r a b o lo id e y = x 2 + z 2, 0 < y <

12. j f s y d S ,

15.

27. F ( a , y , z ) = y j

(0 ,0 ,4 ).

= v / a 2 + y 2 e n tr e lo s p la n o s

d ir e c c ió n d e l e je y p o s it iv o

e s la r e g i ó n t r ia n g u la r c o n v é r t i c e s ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , — 2 , 0 ) y

z =

+ z ?k.

5 e s e l h e m is f e r io a 1 + y 1 + z 1 = 2 5 , y > 0 , o r ie n t a d o e n la

4 q u e se e n c u e n t r a e n e l

11. l¡s x c lS y

y j

1 y z = 3 c o n o r ie n t a c ió n h a c ia a b a jo

26. F ( a , y , z ) = a :

a i

c o n o r ie n t a c ió n h a c ia e l o r ig e n

p r im e r o c ta n te .

1, y t ie n e o r ie n t a c ió n h a c ia a r r ib a

5 e s la p a rte de la e s f e r a x 2 + y 2 + z 2 = 4 e n

3 y q u e e s t á s itu a d a

z d S ,

e s la p a rte d e l p la n o

+ z a k . S e s la p a rte d e l p a ra b o lo id e

S e s la p a rte d e l c o n o z

e n c i m a d e l r e c t á n g u lo [ 0 , 3 ] X LO, 2J. 10.

z = 4 — x 2 — y 2 q u e e s tá s it u a d o a r r ib a d e l c u a d r a d o

8. JJ s ( a 2 + y 2) d S , S e s la s u p e r fi c i e c o n e c u a c i ó n v e c t o r i a l r ( u , v ) = (2iiv, u 2 — v2, u 2 + v 2) , u 2 + v 1 ^ 1

1121

e s e l h e lic o id e d e l e j e r c ic io 7 c o n o r ie n t a c ió n h a c ia a r r ib a

23. F ( a , y , z ) = A y i + y z j

7. H s y d S , S e s la h e l i c o i d a l c o n e c u a c i ó n v e c t o r i a l r (i/ ,

INTEGRALES DE SUPERFICIE

x2 + y2 +

4, z >

z 2 =

y 2

z 2)

d S

c o n una a p r o x im a c ió n d e c u a tro

d e c i m a l e s , d o n d e 5 e s la s u p e r fi c i e z =

0 SS y ^

0 ^

x e y,

18. JJS x z dS,

|SAC|

e s la fr o n t e r a d e la r e g i ó n e n c e r r a d a p o r e l c i l i n d r o

y2 +

z2 =

9 y lo s p la n o s A' =

0 y ,v +

x2 +

z 2 =

1 ,0 ^

y <

z =

3 en e l p r im e r o c ta n te

d S

, donde

j j s x 2 y 2z 2 d S S

c o n u n a a p r o x im a c ió n d e e s la p a r te d e l p a r a b o l o i d e

3 — 2 a 2 - y 2 q u e q u e d a p o r a r r ib a d e l p la n o Ay.

e s la p a r te d e l c i l i n d r o

y2=

9 e n t r e l o s p la n o s z =

0 y

F { .v ,y , z ) — sen (A y z ) i +

2 , ju n t o c o n su s d i s c o s d e a r r ib a y d e a b a jo

A 2y j

a t r a v é s d e la p a rte d e l c i l i n d r o 4 y 2 +

v e c t o r i a l d a d o F y la s u p e r fi c i e

a r r ib a d e l p la n o

S p a ra e l c a m p o

o r ie n t a d a . E n o t r a s p a la b r a s ,

z<?*y i -

3 z e x yj

x y

e s e l p a r a l e l o g i a m o d e l e j e r c i c i o 5 c o n o r i e n t a c i ó n h a c ia

a rr ib a

e n t r e l o s p la n o s

z2 = x

z 2e x ^

4 q u e se l o c a l i z a — 2

con

v e c t o r i a l e n la m is m a p a n t a lla m e d ia n t e un s is t e m a a l g e b r a i c o c o m p u t a r iz a d o .

c e r r a d a s , u se la o r i e n t a c i ó n p o s i t i v a ( h a c i a a fu e r a ). F (x ,y , z) =

x y

o r i e n t a c i ó n h a c ia a rr ib a . D i b u j e e l c i l i n d r o y e l c a m p o

c a l c u l e e l f l u j o d e F a t r a v é s d e 5. E n e l c a s o d e s u p e r f i c i e s

e s la s u p e r fic ie

|SAC| 36. E n c u e n t r e e l f l u j o d e

21-32 E v a l ú e la in te g r a l d e s u p e r fi c i e JJV F •

21.

c u a tro c ifr a s d e c im a le s , d o n d e

1 q u e e s t á e n t r e l o s p la n o s

20. JJS ( x 2 + y 2 + z : ) dS,

z =

A y,

|SAC 1 35. C a l c u l e e l v a l o r d e

e s la p a rte d e l c i l i n d r o

Ar=0yA: =

C a l c u l e e l v a l o r e x a c t o d e f j s A 2y z z =

19. JJS ( z + x 2y ) d S .

34.

37.

P la n t e e u n a f o r m u la p a r a ||s. F p a ra e l c a s o d o n d e

•

S s i m i l a r a la f ó r m u l a 10

está d a d a p o r y =

u n it a r ia q u e a p u n ta h a c ia la iz q u ie r d a .

h (x ,

z ) y n e s la n o r m a l

1122 38.

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

E n c u e n t r e u n a fó r m u la

/JS F • d S

s im i l a r a la f ó r m u l a 10

p a ra e l c a s o d o n d e 5 e s tá d a d a p o r

k (y , z )

44.

y n e s la

i +

k g /m 3 y

j, donde

x , y

e n m e tr o s

e l e s p e c t a d o r c u a n d o lo s e j e s se d ib u ja n e n la m a n e r a

E n c u e n t r e e l g a s t o h a c ia fu e r a p o r la s e m i e s fe r a

u s u a l).

a2 +

x 1

y 2

45.

^ 0 , si t ie n e d e n s id a d c o n s ta n t e .

a 2, z

y /x 2

p (A ,y ,z ) = a)

y 2 ,

1 <

10 -

z <

y 2 +

y z 2

9, 2 >

x 2 +

y 2 +

z2 <

í i 2, z >

0 , si e l c a m p o

i +

j + 2z k

M e d i a n t e la l e y d e G a u s s , c a l c u l e la c a r g a e n c e r r a d a e n e l c u b o d e v é r t i c e s ( ± 1, ± 1 , ± 1 ) s i e l c a m p o e l é c t r i c o e s

r e s p e c t o al e j e z d e u n a l á m in a d e l g a d a e n la f o r m a d e

E (a , y , 2 ) =

46.

si la fu n c i ó n d e d e n s id a d e s

m id e n

A p l i q u e la l e y d e G a u s s p a r a c a l c u l a r la c a r g a c o n t e n i d a e n e l

4 , si su fu n c i ó n d e d e n s id a d e s

e lé c tr ic o es

P la n t e e u n a in te g r a l p a r a e l m o m e n t o d e i n e r c ia /

u n a s u p e r fi c i e

f l u y e c o n un z

la s c o m p o n e n t e s d e v e n m e t r o s p o r s e g u n d o .

h e m is fe r io s ó lid o

D e t e r m i n e la m a s a d e un e m b u d o d e l g a d o c o n f o r m a d e c o n o z

41.

n o r m a l u n it a r ia q u e a p u n ta h a c ia a d e la n te ( e s d e c i r , h a c ia

39. D e t e r m i n e e l c e n t r o d e m a s a d e l h e m i s f e r i o

40.

E l a g u a d e m a r tier.e d e n s id a d d e 1 0 2 5 c a m p o d e v e lo c id a d v =

E (a , y , z ) =

i + y j +

z k

p .

C a l c u l e e l m o m e n t o d e i n e r c ia r e s p e c t o al e j e

47. L a te m p e r a t u r a e n el p u n to ( a , y , z ) e n u n a s u s ta n c ia c o n

del

c o n d u c tiv id a d

e m b u d o d e l e je r c ic io 40 .

6 .5 e s m (a, y , z ) =

2y2 +

2 z 2. C a l c u l e e l

f l u j o d e c a l o r h a c ia a d e n t r o a t r a v é s d e la s u p e r fic i e c i l i n d r i c a

42.

S e a 5 la p a rte d e la e s f e r a x r + d e l p la n o z = a)

4. S i

y 2

y 2 +

2 5 q u e e s t á a r r ib a

z 2 =

t ie n e d e n s id a d c o n s ta n t e

k ,

e n c u e n tr e

48.

e l c e n tr o d e m a sa y b ) e l m o m e n to d e in e r c ia a lr e d e d o r

6 ,0 <

S= 4.

L a te m p e r a t u r a e n un p u n to d e u n a b o l a c u y a c o n d u c t i v i d a d

e s i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l a la d is t a n c ia d e s d e e l c e n t r o d e

d e l e j e z.

43.

z2 =

la b o la . C a l c u l e e l f l u j o d e c a l o r a t r a v é s d e u n a e s f e r a r a d io

c o n c e n t r o en e l c e n t r o d e la b o la .

U n f l u i d o tie n e d e n s id a d d e 8 7 0 k g / m 3 y f l u y e c o n v e lo c id a d v =

z i +

y :j +

x 2

k, donde

x , y

49.

y z se m id e n

S ea

un c a m p o c u a d r a d o i n v e r s o , e s d e c i r ,

e n m e t r o s y la s c o m p o n e n t e s d e v e n m e t r o s p o r s e g u n d o .

p a ra a lg u n a c o n s ta n t e c , d o n d e r =

E n c u e n t r e e l g a s t o h a c ia a fu e r a a t r a v é s d e l c i l i n d r o

q u e e l flu jo d e

a 2 + y 2 = 4 , 0 < z ^ 1.

i n d e p e n d ie n t e d e l ra d io d e

p o r una e s fe r a

F(r) = c r f \ r |3

a i + y j +

z k . D em u e stre

c o n c e n tro en e l o r ig e n es

Teorema de Stokes P o d e m o s c o n sid e r a r q u e e l teo rem a d e S to k e s e s u n a v e r sió n para varias d im e n s io n e s d e l te o re m a d e G reen . M ientras e l te o re m a d e G reen rela cio n a una in tegral d o b le sob re una r e g ió n D p la n a c o n u n a in te g r a l d e lín e a a lred ed o r d e su c u r v a fro n tera p la n a , e l t e o rem a d e S to k e s r ela c io n a una in teg ral d e su p erficie so b re u n a su p e r fic ie S c o n u n a in tegral d e lín e a a lred ed o r d e la c u r v a frontera d e S (qu e e s u n a cu rv a en e l e sp a c io ). En la fig u ra 1 se m u estra u n a su p e rfic ie o r ien tad a c o n v ecto r norm al unitario n. L a o rien ta ció n d e S in d u c e la o r ie n t a c ió n p o s it iv a de la c u r v a f r o n t e r a C ilu strad a en la figura. E sto s ig n ific a q u e si usted c a m in a en la d ir e c c ió n p o s itiv a alred ed or d e C c o n su c a b e z a señ a la n d o en la d ir e c c ió n d e n , e n to n c e s la su p e r fic ie siem pre q u ed ará a su izq uierda.

Teorema de Stokes

S e a S una su p e rfic ie su a v e por tram os y orien ta d a q u e e stá

aco ta d a por u n a c u r v a C su a v e por tram o s, sim p le y cerrad a c o n o rien ta ció n p o sitiv a . S e a

F un c a m p o v e cto r ia l c u y a s c o m p o n e n te s tien en d e r iv a d a s p a rcia les

c o n tin u a s en u n a reg ió n abierta en IR3 q u e c o n tie n e a S. E n to n ce s,

f F • d r = ff rot F • d S s

P u esto qu e

f F • d r — f F • T ds

ff rot F • d S — ff rot F ♦ n dS

SECCIÓN 16.8 G e o rg e S to k e s El teorema de Stokes lleva este nombre en honor al fisicomatemático irlandés sir George Stokes (1819-1903). Stokes era maestro en la Universidad de Cambridge (de hecho, tuvo el mismo puesto que Newton, profesor lucasiano de matemática; fue notable su trabajo sobre flujo de fluidos y sobre la luz. Lo que ahora se conoce como teorema de Stokes fue descubierto

TEOREMA DE STOKES

1123

El teo rem a de S to k e s e sta b le c e q u e la integr al d e lín e a alred ed or d e la c u r v a frontera d e S d e la c o m p o n e n te ta n g e n c ia l d e F e s ig u a l a la in tegra l d e su p e rfic ie d e la c o m p o n e n te n orm al d e l r o ta cio n a l d e F. L a c u r v a aco ta d a o rien ta d a en form a p o sitiv a d e la su p e r fic ie o rien ta d a S se e sc r ib e a m e n u d o c o m o dS , de m o d o q u e e l te o re m a de S to k e s se p u ed e ex p resa r c o m o

en realidad por el físico exocés sir William Thomson (1824-1907, conocido mejor como Lord

rot F * d S “

F •d r

Kelvin). Stokes supo de este teorema por una carta de Thomson de 185C, y pidió a sus alumnos que lo demostraran en un examen en la Universidad de Cambridge en 1854. No se sabe si alguno de los estudiantes fue capaz de hacerlo.

H ay una a n a lo g ía entre e l teorem a d e S to k es, e l teorem a de G reen y e l teorem a fu n d a m e n tal d e l c á lc u lo . C o m o a n tes, h a y una integral c o n d eriv a d a s en e l prim er m iem b ro d e la e cu a ció n 1 (recuerde qu e rot F e s una c la se d e derivad a de F ) y e l segu n d o m iem b ro c o n tien e lo s v a lo re s d e F s ó lo sobre la frontera d e S. D e h e c h o , en e l c a so e s p e c ia l d o n d e la su p erficie S e s p lan a y q u ed a en e l p la n o xy c o n o rien ta ció n h a c ia arriba, la norm al unitaria es k , la in tegral de su p e rfic ie se v u e lv e u n a in tegral d o b le , y e l te o re m a d e S to k e s se transform a en

f F *d

r =

ff rot F * dS

f[ (rot F ) * k

d A

E sto e s p r e c isa m e n te la fo r m a v e c to r ia l d e l te o r e m a d e G reen d a d o en la e c u a c ió n 1 6 .5 .1 2 . Por ta n to , e l te o r e m a d e G reen e s r e a lm e n te un c a s o e s p e c ia l d e l te o r e m a de S to k e s . A u n q u e e s m u y d ifíc il d em o strar to talm en te e l teo rem a de S to k e s , p o d e m o s dar una d e m o str a ció n cu a n d o S e s u n a g rá fica y F , S y C se co m p ortan m u y bien .

D E M O S T R A C IÓ N DE UN CA SO E S P E C IA L D EL T E O R E M A DE S T O K E S

S u p o n g a q u e la e cu a c ió n

d e 5 e s - = g(x , y ), (x, y) E D, d o n d e g tien e d e r iv a d a s p a rcia les c o n tin u a s d e se g u n d o orden y D e s una región sim p le d e l p la n o c u y a c u r v a frontera C i c o rr esp o n d e a C. S i la o r ie n ta c ió n d e S e s h a c ia arriba, e n to n c e s la o rien ta ció n p o s itiv a d e C co rresp o n d e a la o rien ta ció n p o s itiv a d e C i (v é a se la figura 2 ). S a b e m o s q u e F = P i + Q j + R k , d o n d e las d e r iv a d a s p a r c ia le s d e Py Q y R son c o n tin u a s. P u esto q u e S e s u n a g rá fica d e una fu n ció n , p o d e m o s aplicar la fó rm u la 1 6 .7 .1 0 en d o n d e F e stá ree m p la za d o por rot F. El resultado e s F IG U R A 2

|~2~]

f f rot F • d S JJ 5

\ dy

dy '

d o n d e la s d e r iv a d a s p a r c ia le s d e P, Q y R se ev a lú a n en ( x , y , g(x, y )). Si

x = x( t)

y = y(t)

t «S b

e s u n a rep resen ta ció n p aram étrica d e C i, e n to n c e s una rep resen ta ció n param étrica d e C e s

x = x{t)

y = y(t)

z = g(x{t)f y(t))

a =S t ^ b

1124

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

C on ay u d a de la r eg la d e la c a d e n a , p o d e m o s evalu ar la in tegra l d e lín e a c o m o sigue:

<•

F • dr=

Cb (

dx dt

Cb f =

dy dz \ + Q — + R — ]dt * dt d t)

P —

¡a \

( dz

) a Y dt

\ dx

\ P - - + Q - ^ + R \ ---- -

dz dy \ 1 + --------- 7 - ) \ d t dy d t ) J

- r [ ( ' * * £ ) í ♦ ( « ♦ * £ ) * ] -

-JJ[£(«* «i)-*('♦*£)]« D

d o n d e a p lic a m o s e l te o re m a d e G reen en e l ú ltim o p a so . L u e g o , u tiliz a n d o otra v e z la r eg la d e la c a d e n a y al record ar q u e P , Q y R son fu n c io n e s d e x, y y z y q u e la m ism a z e s una fu n ció n d e x y y , o b te n e m o s

+ JJ y \ d x

to +

dz d x

i L + M a L aL + J l _ * _ \

d x dy

dz d x dy

dxdy)

- ( í L + — — + dR dz i dR dz dz i px d2= ^ 1 dA \ dy dz dy dy dx dz dy d x dydx)

C uatro d e lo s té rm in o s en e s ta in tegral d o b le se can celan y lo s restan tes se is té rm in o s se p u ed en a co m o d a r para q u e c o in c id a e l se g u n d o m iem b ro d e la e c u a c ió n 2. Por tanto,

| F * d r = |*[ rot F ■ d S

[TI

E v a lú e Jc F • d r, d o n d e F (* , y, z) = —y2 i + x j + zr k y C e s la c u r v a d e

+ y2 = 1. (L a

in te r se c c ió n d e l p la n o y + z = 2 y e l c ilin d r o xr

o rien ta ció n d e C e s en el

se n tid o co n trario al d e las m a n e c illa s d e l reloj cu a n d o se le v e d e sd e arriba). SOLUCIÓN L a c u r v a C (u n a e lip s e ) se ilu stra en la fig u ra 3. A u n q u e j c ¥ • d r se pu ed e C ^ -y + z= 2

e v a lu a r en form a d irecta, e s m ás fá c il a p lica r e l teo rem a d e S to k e s. P rim ero c a lc u la m o s

rot F

±_

■>

-y "

(1 + 2 y ) k

•>

v A u n q u e hay m u c h a s su p e r fic ie s c u y a frontera e s C , la e le c c ió n m á s c o n v e n ie n te e s la FIG U R A 3

regió n e líp tic a S en e l p la n o y + z = 2 q u e e stá acotad a por C. Si o r ie n ta m o s a S h a c ia arriba, e n to n c e s C tien e la o r ie n ta c ió n p o s itiv a ind ucid a. L a p r o y e c c ió n D d e S sobre

SECCIÓN 16.8

e l p la n o xy e s e l d is c o x 1 + y 1

TEOREMA DE STOKES

1125

1, por lo que al aplicar la e c u a c ió n 1 6 .7 .1 0 con

z = g(x, y) = 2 — y te n e m o s f F *dr =

f f rot F • d S = f f ( l + 2 y ) dA

JJ S

f 'f 'O

+ 2 r sen 8 ) r d r d H

+ 2 — se n flj d $ =

JO Jo

fo * ( ? + I sen fl) dO

= í(2 ir ) + o = v Q

M ed ia n te e l teo rem a d e S tc k e s, c a lc u le la in teg ra l |JS rot F * d S , d o n d e

Q H 2 B IH

F( x, y , z) = * z

4- y z

+ xy

k y S e s la

parte d e

la e sfe r a x 1 + y 2+ z2 = 4 q u e e stá

situ ad a en e l in terio r d e l c ilin d r o x2 + y2 = I y e n c im a d e l p la n o x y (v é a se la fig u ra 4 ). SOLUCIÓN Para d eterm in a r la c u r v a frontera C r e s o lv e m o s las e c u a c io n e s

x 2 + y 2 + z 2 = 4 y xr + y 2 = 1. A l efectu a r u n a d ife r e n c ia , o b te n e m o s z 2 = 3 y e n to n c e s z = J T (porqu e z > 0 ). Por tanto, C e s e l c ic lo d a d o por las e c u a c io n e s x 1 + y 2 = 1, z = y/T. U n a e c u a c ió n v e cto r ia l d e C e s r ( /) = c o s t i + sen t j +■ >/3 k

F IG U R A 4

d e e ste m o d o

r '{/) =

t < 2 ir

—sen t i + c o s t j

A d e m á s , te n e m o s F ( r ( 0 ) = y J T c o s / i + s/T sen / j + e o s t sen t k Por tanto, d e acu erd o c o n e l teo rem a d e S to k es, f f rot F • d S = f F * d r = f F ( r ( / ) ) ♦ r '(/) dt

= J3

( —\/3 ~ c o s t sen / + \ / T sen i c o s /) dt

¡ 2* 0 d ! = 0

O b serv e qu e en e l e je m p lo 2 c a lc u la m o s una in teg ra l d e su p e rfic ie sim p le m e n te c o n el c o n o c im ie n to de lo s v a lo r e s d e F sob re la cu rv a frontera C. E sto s ig n ific a q u e si te n e m o s otra su p e r fic ie o rien ta d a c o n la m ism a cu r v a frontera C , e n to n c e s ¡o b te n e m o s e x a cta m e n te e l m ism o v a lo r para la in tegral d e su p erficie! En general, si S | y Si son su p erficies orientadas c o n la m ism a cu rva frontera orientada C , y a m b as sa tisfa c en la s h ip ó te sis d e l teo rem a d e S to k e s , e n to n c e s

í f rot F • d S — ( F ♦ d r — f f rot F • d S

Jv s,

JJ Si

E ste h e c h o e s ú til c u a n d o e s d ifíc il integrar sobre u n a su p e r fic ie , pero fá c il integrar en la otra. E n s e g u id a u sa re m o s e l te o re m a d e S to k es para d ilu c id a r e l s ig n ific a d o d e l v e cto r rotac io n a l. S u p o n g a q u e C e s una c u r v a cerrad a orien tad a y v rep resen ta e l c a m p o d e v e lo c idad en un flu jo de flu id o s. C o n sid e r e m o s la in tegra l d e lín ea I v • d r = f v • T ds Jc Jc

1126

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

y record em o s q u e v • T e s la c o m p o n en te de v en la d irecció n d e l v ecto r tangente unitario T . E sto s ig n ific a q u e , a m e d id a q u e e s m ás cer ca n a la d ir ec ció n d e v a la d ir ec ció n d e T , e s m ás grande e l valor de v • T . Por lo tanto, |c v • dr e s una m ed id a de la ten d en cia d e l fluido a m o v e r se a lred ed or d e C y se lla m a c ir c u la c ió n d e v alred ed or d e C (v é a s e la figura 5).

F IG U R A 5

A h o ra , se a

Po(xo, yo, zo)

un p u nto en e l flu id o y se a S* un d is c o p e q u eñ o c o n radio a y

cen tro Po. E n to n c e s (rot F )(P ) =* (rot F )(P o) para to d o s lo s p u n to s P en S„ porq u e rot F e s c o n tin u a . P or lo tan to, d e a c u e rd o c o n e l teo rem a d e S t o k e s , o b te n e m o s la sig u ie n te a p r o x im a ció n a la c ir c u la c ió n a lo largo d e la c ir cu n fe re n c ia frontera C*: | v * d r = |*[ rot v ■ d S = | f rot v * n dS *Q “ ”

( [ r o t v (P 0) 4 n(P 0) d S = rot v (P 0) 4 n (P „ )ir c /2 X,

Imagine una pequeñísima rueda de paletas en el fluido en un punto P, como en la figura 6;

E sta a p r o x im a ció n e s m ejor cu a n d o f l - » O y e n to n c e s

la rueda gira más rápido cuando su eje es paralelo a rot v.

|~4~|

rot v (P o ) 4 n (P o ) = l í m •»—•()

— I v *dr J Ca

L a e cu a ció n 4 d a la relación entre e l rotacional y la c ircu la ció n . Se d em u estra qu e rot v • n e s una m e d id a d e l e f e c to d e giro d e l flu id o r esp ecto al eje n . El e f e c to d e r otación e s m a yor r esp e cto al e je p a ra lelo a rot v. Por ú ltim o, el teorem a d e S to k es se puede usar para dem ostrar e l teorem a 1 6 .5 .4 (que e s ta b le ce q u e si rot F = 0 sob re la totalid ad d e IR3, e n to n c e s F e s c o n se r v a tiv o ). A partir d e l trabajo anterior (teorem as 1 6 .3 .3 y 16 .3.4 ) sab em cs qu e F e s c o n se r v a tiv o si Jc F • d r = 0 para tod a tray ecto ria cerrad a C. D a d a C , su p o n g a m o s q u e p o d e m o s d eterm in a r u n a su p e r FIG U R A 6

fic ie orien ta b le S c u y a frontera e s C. (E sto se puede h acer, p ero la d e m o str a ció n req uiere té c n ic a s a v a n z a d a s.) E n to n c e s, e l teo rem a d e S to k es d a c o m o resu ltad o f F • d r = f f rot F • d S — f f 0 4 d S = 0 JC

U n a c u r v a q u e n o e s sim p le se p u ed e d e sc o m p o n e r en una ca n tid ad d e c u rv a s sim p le s, y la s in te g ra les alred ed or d e e sta s c u rv a s sim p le s son to d a s ig u a le s a 0. A l su m ar las in te grales o b te n e m o s f c F • d r = 0 para c u a lq u ie r cu rv a cerrad a C.

SECCIÓN 16.8

TEOREMA DE STOKES

1127

Ejercicios Se muestran un hemisferio H y una porción P de un paraboloide. Supongamos que F es un campo vectorial sobre R 3 cuyas

y , z ) = xy i + 2z j + 3y k . C e s la curva de intersección del plano x + z = 5 y el cilindro x2 + y 2 = 9

10. F ( a ,

componentes tienen derivadas parciales continuas. Explique por qué 11. a) Utilice el teorema de Stokes para evaluar |CF • d r , donde ff rot F ' d S = ff rot F * d S r

F í a , y , z) = a 2z í + * y 2j + z 2 k

y C e s la curva de la intersección entre el plano a + y + z = l y e l cilindro x 2 + y 2 = 9 con orientación en el sentido contrario al de las manecillas del reloj com o si se viera desde arriba, b) Grafique tanto el plano c o m o el cilindro con dominios elegidos de tal m odo que pueda ver la curva C y la superficie que usó en el inciso a). c) Plantee ecuaciones param étricas para C, y con ellas

1 Wmm

grafique C. 12.

a) Mediante el teorema de Stokes evalúe |CF • d r, donde F ( a , y, z) = x 2y i + - j a 3 j + A y k y C e s la curva de la intersección entre el paraboloide hiperbólico z = y 2 — x2 y el cilindro x 2 + y 2 = 1 con orientación en el sentido contrario al de las m anecillas del reloj c om o si se viera

2-6 Utilice el teorema de Stokes para evaluar JJS rot F * d S .

desde arriba. b) Grafique tanto el paraboloide hiperbólico com o el cilindro con dom inio s elegidos de tal m odo que pueda

F ( a , y , z) ™ 2y eos z i + <?*sen z j + x e y k , 5 e s la semiesfera x 2 + y 2 + z2 = 9, z > 0, orientada hacia arriba

F U y . z ) = a 2 z 2 i + y 2z 2j + x y z k , S e s la parte del paraboloide z = x 2 + y 2 que está dentro del cilindro a 2 + y 2 = 4, orientada hacia arriba

4. F (A ,y ,z) S e s el cono

t a n ~ ‘ ( A 2 y z 2) i + a

dirección del eje

y /y 2 + a

z 2,

A 2y j

0 ^

a 2z 2 k ,

ver la curva C y la superficie que usó en el inciso a). Plantee ecuaciones param étricas para C, y con ellas dibuje C.

13-15 Verifique que se cumple el teorema de Stokes en el caso del cam p o vectorial dado F y la superficie 5. 13. F ( a , y, z) = 5 es el cono

^ 2, orientada en la

positivo

y i +

A j

2 = a 2 + y 2, 0 =5 .

4, con orientación hacia

abajo 5. F ( a , y, z) = A y z i + A y j + A 2y z k, 5 consiste en la parte superior o tapa y los cuatro lados (pero no el fondo) del cubo, c o n vértices ( ± 1, ± 1, ± l ), orientado hacia afuera 6. F ( a , y , z) = e xy i + e** } + x 2z k, S e s la mitad del elipsoide 4a2 + y 2 + 4z2 = 4, que está a la derecha del plano a z , orientado en la dirección del eje y

14. F ( a , y, z) = - 2 y z i + y j + 3 a k , ó la parte del paraboloide z = 5 — a 2 — y 2 que se encuentra por arriba del plano z = 1 con orientación hacia arriba 15. F ( a , y , z) = y i + z j + A k , 5 es el hemisferio x 2 + y 2 + z2 dirección del eje positivo y

1, y > 0, orientado en la

positivo. 7-10 Utilice el teorema de Stokes para evaluar Jc F • d r. E n cada

16. Sea C una curva suave, cerrada y sencilla que está en el plano a + y + z = I. Demuestre que la integral de línea

caso, C está orientada e n el sentido contrario al de las manecillas del reloj c o m o si se viera desde arriba.

¡c z d x - 2 a d y + 3y d z depende sólo del área de la región encerrada por C y no de la form a de C o su ubicación en el plano.

7. F ( a , y , z) = ( a + y 2) i + (y + z 2) j + (z + a 2) k, C es el triángulo con vértices ( 1 , 0 , 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) 8.

F ( a , y , z) = i + a + yz) j + (x y - y / 7 ) k. C es la frontera ce la parte del plano 3 a + 2y + z = 1en el

primer octante 9.

z) = y z i -I- 2 a z j + e xy k , C es la circunferencia x 2 + y 2 = 16, z = 5 F (a , y ,

KH Se requiere c a lcu la d o ra g ra fic a d o ra o c o m p u ta d o ra

17.

U na partícula se mueve a lo largo de segm entos de recta desde el origen hasta los puntos (1, 0, 0), (1, 2, 1), (0, 2, 1), y regresa al origen bajo la influencia del cam p o de fuerza F( a , y, z) = z 2 i + 2 x y Encuentre el trabajo realizado.

1. T a re a s su g erid as d isp o n ib le s e n slew artcalculus.com

+ 4y2k

1128

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

20. Suponga que S y C satisfacen las hipótesis del teorema de

18. Evalúe

Stokes y / , g tienen derivadas parciales continuas de segundo orden. Mediante los ejercicios 24 y 26 de la sección 16.5, demuestre lo siguiente.

Je (>' + sen x) d x + ( r 2 4- e o s y) d y + x 3dz donde C es la curva r(T) = (sen t, eos t, sen 2 t), 0 < t ^ 27r.

¡0 JC(/V9T) ' dr = J'js ( V / X V j) ■dS

[Sugerencias: observe que C q u eda en la superficie r = 2xy\

t» Jf ( / V / ) - d r = 0

19. Si S e s una esfera y F satisface la hipótesis del teorema de Stokes, demuestre que JJS rot F * d S — 0-

REDACCION DE PROYECTO

+ ffV /) ■ </r — 0

T R E S H O M B R E S Y DOS T E O R E M A S D o s de los teoremas m ás importantes del cálculo vectorial llevan el nom bre de George Green y George Stokes, pero hubo un tercer hom bre, William T h om son, conocido c om o Lord Keivin, que de sem peñó un gran papel en la form ulación, difusión y aplicación de am bos teoremas. L o s tres

En la fotografía se muestra una ventana de vidrio coloreado de la Cambridge UniversitY en honora George Green.

hom bres estuvieron interesados en c ó m o los d o s teoremas podrían ayudar a explicar y predecir el fenómeno físico de la electricidad y el magnetismo y el flujo de fluidos. L os hechos básicos de la historia se proporcionan en las notas al margen de las páginas 1085 y 1 123. Escriba un reporte sobre los orígenes históricos del teorema de Green y el teorema de Stokes. Explique las similitudes y correspondencias entre los teoremas. Analice el papel que Green, T h om son y Stokes de se m p e ñaron en el descubrimiento de estos teoremas y en la amplia difusión de ellos. Muestre la m anera en que a m b os teoremas surgieron de la investigación sobre la electricidad y el m agnetismo, y c óm o fueron usados posteriormente c om o un medio para estudiar gran variedad de problem as físicos. El diccionario que com piló Gillispie [2J e s una buena fuente tanto de información biográfica com o científica. El libro de Hutchinson L5J proporciona un recuento de la vida de Stokes, y el libro de T h o m p son [8] es una biografía de Lord Keivin. L os artículos de Grattan-Guinness [3] y Gray [4] y el libro de Cannell [ 1J dan el panoram a de la extraordinaria vida y ob ras de Green. M ás información histórica y matemática se encuentra en los libros de Katz [6] y Kline [7J.

Cortesa de M asías and Felknvs of Gunvilt- and C a ü s Cbllege. CaiTÉir dge U iM rsity of hgbtHra.

1. D. M. Cannell, G eorge G reen, M athem atician an d P h ysic ist 1 7 9 3 — 1841: The B aekg ro un d to His U fe a n d W ork (Philadelphia: Society for Industrial and Applied M athem atics, 2001). 2. C. C. Gillispie, ed., D ictionary o f Scientific B iography (Nueva York: Scribner’s, 1974). Véase el artículo sobre Green que preparó P. J. W allis en el volumen X V , los artículos sobre T h om son que elaboró Jed Buchwald, y acerca de Stokes que escribió E. M. Parkinson en el volumen XIII. 3. Grattan-Guinness, “ Why did George Green write his essay o f 1828 on electricity and m ag n e tis m ?*’, A m er. M ath. M onthly, vol. 102 (19 9f), pp. 387-396. 4. J. Gray, “T here was a jolly miller", en The N ew Scientist, Vol. 139 (1993), pp. 24-27. 5. G. E. Hutchinson, The E n ch a n ted Voyage a n d O ther Stndies (Westport, Conn.: G reenw ood Press, 1978). 6. Victor Katz, A H istory o f M athem atics: A n Introduction (Nueva York: HarperCollins, 1993), pp. 678-680. 7. M orris Kline, M ath em a tica l T h o u g h tfro m A n cien t to M odern Tim es (Nueva York: Oxford University Press, 1972), pp. 683-685. 8. Sylvanus P. T h o m p s o n , The Life o f L o rd K eivin (Nueva York: Chelsea, 1976).

El teorema de la divergencia En la s e c c ió n 1 6 .5 e stá e x p r e s a d o e l teo rem a d e G reen en la v e rsió n v e c to r ia l c o m o

|* F • n ds = [f d iv F(*, y) dA

JJ D

d o n d e C e s la c u r v a frontera o rien ta d a en la d ir ec ció n p o s itiv a d e la reg ió n D d e l p la n o . Si

SECCIÓN 16.9

EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

1129

e stu v ié r a m o s tratando de g en era liza r e ste teorem a a lo s c a m p o s v e c to r ia le s sob re R 3, p o d ría m o s p lan tear la c o n je tu ra d e que

If F * n d S = | | *s

d iv

F ( x, y , z) d V

*£*

d o n d e S e s la su p e rfic ie frontera de la reg ión só lid a E. R e su lta q u e la e c u a c ió n 1 e s cierta, co n las h ip ó tesis adecuadas, y se llam a teorem a d e la d iv ergen cia. O bserve su sim ilitud con e l te o re m a d e G reen y e l te o re m a d e S to k es: este te o re m a r ela c io n a la in tegra l d e una d e r i-

F en e ste c a s o ) sobre una reg ió n c o n la in tegral de la fu n ció n o r iF en la frontera d e la regió n .

va d a d e u n a fu n ció n (d iv gin a l

En e s ta e ta p a usted p od ría qu erer rev isar '.os d istin to s tip o s d e r e g io n e s en las c u a le s e s c a p a z d e e v a l u a r i n t e g r a l e s tr ip l e s d e la s e c c ió n 15.7. P l a n te e y d e m u e s t r e e l t e o r e m a de d iv e r g e n c ia para r e g io n e s E q u e son sim u ltá n ea m en te d e lo s tip o s 1, 2 y 3 lla m a d a s r e g io n e s s ó lid a s s im p le s . (P o r e j e m p lo , la s r e g io n e s a c o ta d a s p or e lip s o id e s o c a ja s r e c ta n -

g u la res son d e e ste tip o .) L a frontera d e E es una su p e rfic ie cerrada, y u se la c o n v e n c ió n d e la s e c c ió n 1 6 .7 , seg ú n la c u a l la orien tación p o s itiv a e s h a c ia afuera, e s d e c ir , e l v ecto r n o rm al un itario n se d ir ig e h a c ia afuera d e se e E.

S e a E u n a región só lid a sim p le y S la su p e rfic ie frontera

El teorema de la divergencia se llama a veces

Teorema de la divergencia

teorema de Gauss en honor al matemático

d e E , d ad a c o n o rien ta ció n p o s itiv a (h a cia afuera). S e a

alemán Karl Friedrich Gauss 11777-1855), quien descubrió este teorema dirante su investigación

fu n c io n e s c o m p o n e n te s tien en d eriv a d a s p arcia les c o n tin u a s en u n a reg ió n abierta

sobre electrostática. En Eiropa del Este, el

F un c a m p o v e c to r ia l cu y a s

q u e c o n tie n e E. E n to n ce s,

teorema de la divergencia se conoce con el nombre de teorema de Oslrogradsky, en honor

[[ F • d S = ffl* d iv F d V

al matemático ruso Mikhail Ostrogradsky

(1801-1862). quien publicó este resultado en 1826.

Por c o n s ig u ie n te , e l te o re m a d e la d iv e r g e n c ia p la n tea q u e b ajo las c o n d ic io n e s d ad as, e l flu jo d e

F en e l lím ite de la su p e r fic ie e s igu al a la triple in tegra l d e la d iv e r g e n c ia d e F

sob re E.

S e a F = P i + Q j + R k . E n to n ces

DEMOSTRACIÓN

d iv

(ff d iv F ¿ V =

de m odo que

Jw E

fff —

JJJ E

dV +

fff

^-d V +

------ 1----------- 1--------

fff —

JJJ

S i n e s e l norm al un itario h a c ia afuera d e S, e n to n c e s la in tegra l d e su p e rfic ie en e l lado izq u ier d o o d e l te o re m a d e la d iv e r g e n c ia e s

ff F • d S

ff F ■ n d S =

(P i + Q j + R k) • n d S

ff P i ■ n d S + ff Q j • n dS + ff R k • n dS

P o r ta n to , p a ra d e m o s tra r e l te o re m a d e la d iv e r g e n c ia , e s s u fic ie n t e d e m o s tra r

1130

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL la s tre s e c u a c io n e s s ig u ie n te s :

f f f 3/*

' n d S = lif - J 7 d v

íí s

■ n d S = (Tí — d V JJJ 8y

t i

■ndS =

fff ™ -dV • U

Para d em ostrar la e c u a c ió n 4 , recu rrim os al h e c h o d e qu e E e s u n a reg ió n tip o l :

E = {(* , y, z) | ( x, y) G D , iijU , y) í z ^ u 2(x, y )} d o n d e D e s la p r o y e c c ió n d e E sobre e l p la n o xy. D e a cu erd o c o n la e c u a c ió n 1 5 .7 .6 te n e m o s

rr 1” fui(x,y) cR

fff K

| _ . L , 7 T u ’ y ’ r ) ‘/r J

y , por tanto, seg ú n e l te o re m a fu n d a m en tal d e l c á lc u lo ,

[~5~1

d /? fff — d V =

f f [/ ?(*,y , u 2( x , y ¡ ) -

/? (*, y , w ,U , y ))] dA

L a su p erficie frontera S co n siste en tres partes: la su p erficie d e l fo n d o S i, la su p erficie de la tapa S 2 y p o sib lem en te una su p erficie vertical S 3, la cu a l se u b ica e n c im a d e la cu rv a frontera de D (v é a se la figura 1. P odría ocurrir qu e S 3 no aparezca, c o m o en e l c a so de una esfera). O b serve que en S 3 ten em o s k • n = O, porque k e s vertical y n e s horizon tal, y a sí

R k • n dS = | | 0 ¿ / S = 0 s,

F IG U R A 1

Por e s to , sin q u e im p orte si hay u n a su p e rfic ie v ertica l, p o d e m o s escrib ir

[T ]

f f R k ■n d S = ( f R k

• ndS

+ (( «

k • ndS

L a e c u a c ió n d e S 2 e s z = u 2(x, y ), (x , y ) G D , y la n o rm al n h a c ia afu era apu nta h a c ia arriba, d e m o d o q u e d e la e c u a c ió n 1 6 .7 .1 0 (en la q u e R k r ee m p la za a F ), te n e m o s || R k • n dS = Sx

| | R ( x . y , uiix, y )) dA *D

S ob re Si te n e m o s z = u\(x, y ), p ero en e ste c a s o la n orm a l n h a c ia afuera apu nta h a c ia a b ajo, d e m o d o q u e m u ltip lic a m o s por — 1 : f f R k • n d S = - f f /?(*, y , u x{x, y ) ) dA S,

Por tanto, la e c u a c ió n 6 da ff R k • n dS =

| f [/?(*, y , u2( x , y ) ) - R ( x , y , M |U , y ))] dA

SECCIÓN 16.9

EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

1131

L a c o m p a ra c ió n c o n la e c u a c ió n 5 d e m u e stra que

f f R k ■ n d S = JJJ S

H- J V

Observe que este método de demostración del teorema de la divergencia es muy parecido

L a s e c u a c io n e s 2 y 3 se d e m u e str a n e n fo rm a s im ila r u sa n d o las e x p r e s io n e s para E

al del teorema de Green.

c o m o una reg ió n tip o 2 o 3, resp ectiv a m en te.

Q E2 2I2JH

D e ter m in e e l flu jo d e l ca m p o v e c to r ia l F (* , y , z) = z

i +y j + x k

sobre

la e sfe r a un itaria x 1 + y 1 + z 2 = 1. SO LU C IÓ N

P rim ero c a lc u la m o s la d iv e r g e n c ia d e F:

d iv F = —

(z) + — (y) + — (x) =

La e s fe r a un itaria S e s la frontera d e la b o la unitaria B d e fin id a por x + y 2 + z 2 ^

1. En

e s to s té rm in o s, e l te o re m a d e la d iv e r g e n c ia d a e l flu jo c o m o La solución del ejemplo 1 se debe comparar con la solución del ejemplo 4 de la

ff F •d S = fff%>»div F d V = fff I d V = • »».

sección 16.7.

JJ S

E n aJE O

V(B) =

jtt(1)3= —3

E v a lú e JJS F • í /S , d o n d e

= xy i +

F(.v, y , z )

(y2 +

+ se n (.v y )

y S e s la su p e r fic ie d e la reg ió n E aco ta d a por e l c ilin d r o p a r a b ó lico z = 1 — x 1 y lo s p la n o s : = O, y = O y y + : = 2 (v é a s e la figura 2). SO LU C IÓ N

S e r ía d ifíc il en e x tr e m o e v a lu a r en fo rm a d irecta la in teg ra l d e su p erficie.

(T en d ría m o s q u e e v a lu a r cu atro in te g ra les de su p e rfic ie c o rr e sp o n d ie n te s a la s cuatro partes d e S.) A d e m á s , la d iv e r g e n c ia d e F e s m u c h o m e n o s c o m p lic a d a q u e la m ism a F: F IG U R A 2

d iv F = - ^ - ( x y ) + -7 - ( y 2 + e " 2) + dx dv

(sen x y ) =

T 2 y = 3y

Por tanto, u sa m o s e l te o re m a d e la d iv e r g e n c ia para transform ar la in teg ral de su p e rfic ie d ad a en u n a in teg ral triple. L a m anera m á s fá c il d e e v a lu a r la in tegral triple, e s ex p resa r E c o m o una reg ió n tip o 3:

E = { ( * , y , z) | - 1 «s * ss 1, O í z í

1 -

* 2, 0 =£ y =ss 2 -

E n to n ce s te n e m o s d iv F d V

J J F • ds

3y d V

f' f *

J - 1 JO

. r

‘ y d y c t dx = 3 \ '

= tJ -, =

—

t' Jo

n - x 2 (2 — z )2

dzdx

J - l JO

d x = - * £ ■ [(* 2 + 1)3 - 8 ] d x *

+ 3x

A+

n—

3 a "

7) d x —

184

-----------

1132

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

H e m o s d e m o str a d o e l te o re m a de la d iv e r g e n c ia s ó lo para r e g io n e s só lid a s sim p le s, pero se p u ed e d em ostra r tam b ién para r e g io n e s que son u n io n e s fin itas d e r e g io n e s só lid a s sim p le s. (E l p r o c e d im ie n to e s sim ila r al u sa d o er. la s e c c ió n 1 6 .4 para g e n e ra liza r e l te o rem a de G reen .) Por e je m p lo , c o n sid e r e m o s la regió n E q u e se u b ica entre las su p e rfic ie s cerradas S i y S 2 , d o n d e Si q u ed a en e l interior de S 2. Sean n i y n> las n o rm a les h a c ia afuera d e Si y S 2 . Por tanto, la su p e rfic ie frontera d e E e s S = Si U S: y su norm al n e stá d a d a por n =

—m

sobre Si y n = n 2 sobre S 2 (v é a s e la figura 3). A l aplicar e l teo rem a d e la d iv e r g e n c ia a S o b te n e m o s FIGURA 3

m s

ííF

• clS =

•

ndS

s •

( — n l ) d S + ff F •

- f f F • d S + ff F • d S V,

E JE M P L O 3

En e l e je m p lo 5 d e la s e c c ió n 16.1 c o n sid e r a m o s al c a m p o e lé ctr ico :

E(x) d o n d e la carg a e lé c tr ic a Q e s tá lo c a liz a d a en e l origen y x = ( x , y , z ) e s un v e c to r de p o s ic ió n . U s a m o s e l te o re m a d e la d iv e r g e n c ia para d em o strar q u e e l flu jo e lé c tr ic o d e E a través d e c u a lq u ie r su p e r fic ie cerrad a S 2 que e n cierra e l origen es

ff E • d S

t t b

S2 SOLUCIÓN L a d ificu lta d e s q u e n o te n e m o s una e cu a ció n e x p líc ita para $2 porq u e e s

cualquier su p e r fic ie q u e e n c ie rr a e l o rig en . L a m ás sim p le su p e r fic ie c o m o é sta e s la e sfe r a , a s í q u e se a sj una p e q u eñ a e sfe r a con radio a y cen tro en e l o rig en . P o d e m o s v e rific a r q u e d iv E = 0 (v é a se e l e je r c ic io 2 3 ). Por tanto, la e c u a c ió n 7 d a c o m o resu ltad o

ff E • d S = ff E • d S + fff d iv E d V = ff E • d S = ff E • n d S

L o im p ortan te de e ste c á lc u lo e s q u e p o d e m o s eva lu ar la in tegral d e su p e r fic ie sob re Si porqu e Si e s u n a esfera . E l v e cto r n o rm al unitario en x e s x / | x |. Por tanto, e

E' " - j

- ^ r x ' x = ^ F

= u

y a q u e la e c u a c ió n d e S i e s | x | = a. D e b id o a e so te n e m o s

ff E • d S = ff E • n d S =

JJ Si

ff d S = -^-A(S,) = ^ - 4 i r a 2 = 4t t e

a~ JJ Si

E sto d e m u e str a q u e e l flu jo e lé c tr ic o d e E e s 4 7 reQ a tra vés d e cualquier su p e rfic ie cerrad a S 2 q u e c o n tie n e e l o rig en . [E s un c a s o e sp e c ia l d e la ley d e G a u ss (e cu a ció n 1

6 . 7 . 1 1 ) para una ca rg a se n c illa . L a rela ció n entre

y £0 e s

1 / ( 4 7 T £ o ) . ]

SECCIÓN 16.9

EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

1133

O t r o c a m p o e n e l q u e se p u e d e a p l i c a r el t e o r e m a d e la d i v e r g e n c i a e s e n e l f lujo de flu id o s . S e a v ( a ; y , z ) e l c a m p o d e v e l o c i d a d d e un f l u id o c o n d e n s i d a d c o n s t a n t e p . P o r ta n t o , F = p y e s e l c a u d a l p o r u n i d a d d e área. Si Po ( a g , yo, ro) e s un p u n t o e n e l f l u id o y B t, e s u n a b o l a c o n c e n t r o P o y r a d io m u y p e q u e ñ o a , e n t o n c e s d i v F ( P ) =* d i v F (P o ) p a r a t o d o s lo s p u n t o s e n P a p o r q u e d i v F e s c o n ti n u a . E l v a l o r d e l flu jo s o b r e la e s f e r a S a f r o n t e r a se a p r o x i m a c o m o sigue:

ff F • d S

d i v F d V ** f ía

| | d iv F (P 0 ) d V = d i v F ( P 0 ) V ( P J f ía

E s t a a p r o x i m a c i ó n e s m e j o r c u a n d o a —* 0 y h a c e p e n s a r q u e

B t \ t r /

? s

div F(/>0) = l í m J J jr . í / S

L a e c u a c i ó n 8 e s t a b l e c e q u e d i v F ( P o ) e s e l flujo n e t o q u e sa le p o r u n i d a d d e v o l u m e n en Po. ( É s t a e s la r a z ó n d e l n o m b r e d iv e r g e n c ia ) . Si d i v F ( P ) > 0 , e l f lu jo n e to c e r c a d e P e s h a c i a a f u e r a y se d i c e e n t o n c e s q u e P e s u n a Fuente. Si div F ( P ) < 0, e l f lujo n e to e s h a c i a a d e n t r o e n l a v e c i n d a d d e P y se d i c e q u e é ste e s un s u m i d e r o . A l p a r e c e r , e n e l c a s o d e l c a m p o v e c t o r i a l d e la f i g u r a 4 los v e c t o r e s q u e t e r m i n a n en las c e r c a n í a s d e P i s o n m á s c o r t o s q u e lo s v e c t o r e s q u e e m p i e z a n c e r c a d e P i . P o r e s t o , el f lu jo n e t o e s h a c i a a f u e r a e n la v e c i n d a d d e P i , d e m o d o q u e d i v F ( P i ) > 0 , p o r lo q u e P i e s u n a f u e n te . P o r lo c o n t r a r i o , las f l e c h a s q u e e n t r a n c e r c a d e Pi so n m á s l a r g a s q u e las

S s*

t í / / /

f l e c h a s q u e sa len . E n e s t e c a s o , e l f l u jo n e t o e s h a c i a a d e n t r o , d e m o d o q u e d i v ¥(Pi) < 0 y Pi e s u n s u m i d e r o . P u e d e u t i l i z a r la f ó r m u l a p a r a F c o n e l fin se c o n f i r m a r e s t a i m p r e sió n . P u e s t o q u e F =

a 2

i + y 2 j , d i v F = 2 x + 2y, la c u a l e s p o s i t i v a c u a n d o y > —x. P o r

FIGURA 4

e s o lo s p u n t o s p o r a r r i b a d e la r e c t a y = —x son f u e n t e s , y lo s q u e se e n c u e n t r a n a b a j o s o n

El cam p o vectorial F = x 2 i + y 2 j

sum ideros.

16.9

Ejercicios

1-4 C om p rueb e que el teore ma de la divergencia es válido para el cam p o vectorial F de la región E. 1.

y, z) = 3 a i + xy j + 2xz k , E es el cubo limitado por los planos x = 0, y = ~ 1, : = U y : = 1

7. F (a , y,

S e s la

3 A y2 i +

= l,y =

0 ,

ac' j + z3 k,

s u p e r f ic ie d e l s ó lid o a c o t a d o p o r e l c il i n d r o y 2 + z2 = 1

y lo s p la n o s a — 1 y

F (a ,

8. F ( a , y , z) =

( a 3 + y 3) i +

(y 3 +

z 3) j

(z 3 +

a 3) k .

ó e s la e s t e r a c o n c e n t r o e n e l o r ig e n y r a d io 2

F ( a , y, z ) = a 2 ! + xy j + z k . E es el sólido limitado por el paraboloide z = 4 — a 2 — y 2

y el plano Ay

F(a , y ,

z) =

a 2 sen y i + a e o s y j — x z sen y k ,

5 e s la “ e s fe ra g o rd a ” ¿

+ y8 +

z8 = 8

10. F ( a , y , z ) = z i + y j + a z k ,

3 . F( x , y , z ) = < z . y . A >, E es la bola sólida x 2 + y 2 + z2 < 16 4. F ( a , y, z) =

z) =

( a 2,

5 e s l a s u p e r f i c i e d e l t e t r a e d r o l i m i t a d o p o r l o s p la n o s c o o r d e n a d o s y e l p la n o

- y , z ),

— + — +

E es el cilindro sólido y 2 + z 2 ^ 9, 0 < x ^ 2

— = 1

d o n d e a , b y c s o n n ú m e r o s p o s it iv o s

5-15 Mediante el teorema de la divergencia, calcule la integral de superficie | | s. F • ciS: e s decir, calcule el flujo de F a través de 5.

11.

z) =

s u p e r f ic ie d e l s ó lid o a c o ta d o p o r e l p a r a b o lo id e

z =

5. F ( a , y , z) = x y e : i + x y 2- 3} — y e : k. S e s la superficie de la caja delim itada por los planos c oordenados y los planos a = 3 , y = 2, y : = I 6.

F(a, y , S e s la

y, z) = ¿ y z i + x y 2z j + x y z2 k , S e s la superficie de la caja encerrada por los planos x = 0, x = a , y = 0, y = b , z = 0 y z = c, donde a , b , y c son

12.

(e o s z +

Ay2)¡ + x e ~ z j + ( s e n

y +

A2z ) k ,

a 2 + y 2 y e l p la n o z = 4

F(a , y ,

z) =

5 e s la

s u p e r f ic ie d e l s ó lid o a c o ta d o p o r e l c il i n d r o a 2 + y 2 = l

a* i -

y lo s p la n o s z =

x 3z 2 j

4 A y " k.

a + 2 y z = 0

F (a ,

núm eros positivos

|SAC| Se requiere sistem a alg eb raico co m p u tarizado

13.

| r |

donde r = A ¡

+ y j

z k ,

S e s tá fo rm a d o p o r la s e m ie s fe r a z = a 2 + y 2 ^

1 e n e l p la n o Ay

1. T a re a s su g erid as d isp o n ib le s e n stew artcalculus.com

v ' 1 — a 2 — y 2 y e l d is c o

1134

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

14. F = | r |2r, donde r = .x ¡ + y j + : k.

23.

C o m p r u e b e que div E = 0 para el c a m p o elé ctrico

S e s la esfera con radio R y centro en el origen 15. F(.v, y, r ) = e y tan z i + y \ / 3 — x 2 j + x sen y k, 5 e s la superficie del sólido que se sitúa por arriba del plano Ay y abajo de la superficie : = 2 — x* — y4, — 1 í í í 1, - 1 y 1

24. Mediante el teorema de la divergencia evalúe

(2 x +

2 y

z 2) d S

s 16.

C on ayuda de un sistema algebraico com putarizado, dibuje el cam p o vectorial F (x, y , z) = sen A c o s2y i + sen3y cos^r j + sen5z eos6 a k en el cubo cortado en el primer octante por los planos X = 7 r / 2, >' = 7t/2 y z = tt¡ 2 . L uego calcule el flujo que pasa a través de la superficie del cubo.

17.

Mediante el teorema de la divergencia, evalúe J | j F ■ d S , donde F ( . t , y , z) = z 2X i + ( y y 3 + tan r ) j + ( x 2z + y 2) k

donde S e s la esfera x 2 + y 2 + z2 = 1. 25-30 Dem uestre cada una de las identidades, suponiendo que S

y E cumplen con las condiciones del teorema de la divergencia y que las funciones escalares y las c om p one n tes de los cam p os vectoriales tienen derivadas parciales continuas de segundo orden. 25.

{Sugerencia: observe que S no es una superficie cerrada. Primero determine las integrales sobre Si y S 2, donde Si

ff a ♦ n ctS =

donde a es un ve ctor constante

y 5 e s la mitad superior de la esfera x 2 + y 2 + z 1 = 1.

26. V ( E

) = 7 ff F ■d

S , donde

F (a ,

y, r) = .v i +

y j

+ :k

es el disco X 2 + y 2 ^ 1, c o n orientación hacia abajo, y S2 =

S U Si.J

27.

18. Sea F ( a , y , : ) = z tan _ , (y2) i + z*I n U 2 + l ) j + : k Determ ine el flujo de F que pasa a través del paraboloide a t + y2 + r = 2 que se sitúa encim a del plano 2 = 1 y está

ff rot F ■ d S = 0

28.

|f D n f d S = |f| V \ f d V S

29- If ( / V í ? ) ■ n d S = ¡f| ( / V 2<? + V / * V?) d V s

orientado hacia arriba. 19.

Se m uestra un cam p o vectorial F. Utilice la interpretación de

30. ff ( / V i ? — <?V/) - n d S = fff ( / V 2i? — q V \ f ) d V S

divergencia d educida en esta sección para dete rm inar si div F es positiva o negativa en P \ y P 2. 31.

Suponga que S y E satisfacen las condic iones del teorema de la divergencia y / e s t n a función escalar c uyas deriv adas parciales son continuas. Demuestre que

JJ / n d S = fff \ f d V S

E sta superficie y las integrales triples de funciones vectoriales son vectores definidos por la integración de c ad a una de las funciones componentes. [Sugerencia: inicie aplicando el teore ma de la divergencia a F = f e , donde c es un vector c o n s tante arbitrario.]

o 20.

a) ¿ Son fuentes o sumideros los puntos P\ y P 2 para el cam p o vectorial F mostrado e n la figura? Proporcione una explicación con base sólo en la figura, b) D ado que F(a , y) = (x , y 2), aplique la definición de divergencia para com probar su respuesta al inciso a).

32.

Un sólido ocu p a ur.a región E, su superficie e s 5 y está inmerso en un liquido de densidad constante p. Preponga un sistema de coordenad as de modo que el plano xy coincida con la superficie del líquido y los valores positivos de r se midan hacia abajo dentro del líquido. L uego, la presión a la profundidad z e s p = pgz, donde g es la aceleración de la gra vedad (véase la sección 8.3). L a fuerza de flotación total sobre el sólido debido a la distribución de la presión se define con la integral de superficie F = -

ff p n dS 's

donde n es la normal unitaria exterior. Use el resultado del 21-22 Trace el cam p o vectorial y conjeture dónde div F > 0 y dónde div F < 0. A continuación calcule div F para verificar su conjetura. 21.

F U , y)

( x y, . x + y -’ )

22.

F ( .i,

( x \ y 2)

ejercicio 31 para demostrar que F = —IFk, donde W es el peso del líquido que desplaza el sólido. (Observe que F se dirige hacia arriba porque r se dirige hacia abajo.) El resultado es el principio de Arquímedes: la fuerza de flotación sobre un objeto es igual al peso del líquido desplazado.

SECCIÓN 16.10

RESUMEN

1135

Resumen L o s r e s u l t a d o s p r i n c i p a l e s d e e s t e c a p í t u l o son t o d a s las v e r s i o n e s p a r a d i m e n s i o n e s de orden su p erior del te o re m a fun d a m e n ta l de. cálculo. Para q u e p u e d a recordar, aparecen r e u n i d a s a q u í (sin las h i p ó t e s i s ) d e m o d o q u e p u e d e v e r c o n m á s f a c i li d a d su e s e n c i a l s i m i litud. O b s e r v e q u e e n c a d a c a s o h a y u n a in te g r a l d e u n a “ d e r i v a d a ” s o b r e u n a r e g i ó n e n el l a d o i z q u i e r d o , y e l l a d o d e r e c h o c o n t i e n e los v a l o r e s d e la f u n c i ó n o r i g i n a l s ó l o e n \a f r o n te r a d e la r e g ió n .

T e o re m a fundam ental del c álculo

[bF '{x )d x = F{b) - Fia )i

r(¿» T e o r e m a f u n d a m e n t a l p a r a las i n t e g r a l e s d e l ín e a r(fl)

T e o r e m a de Green

T e o r e m a de Stokes s

T e o r e m a d e la d i v e r g e n c i a £

1136

CAPÍTULO 16

CÁLCULO VECTORIAL

Repaso R e visió n de conceptos c)

1. ¿Qué es un cam p o vectorial? Proporcione tres eje m p los que contengan significado físico. 2. a) ¿Qué e s un cam p o vectorial conservativo? b) ¿Qué e s una función de potencial? 3. a) Escriba la definición de la integral de línea de una función e s c a la r/ a lo largo de una curva suave C respecto a la longitud de arco. b) ¿C ó m o evalúa dicha integral de línea? c) Escriba expresiones para la m asa y el centro de m asa de un alambre fino que tiene form a de una c urv a C si la función de densidad lineal del alambre e s p (x, y). d) Escriba la definiciones de las integrales de línea a lo largo de C de una función e s c a la r / respecto a y y z. e) ¿C ó m o evaluaría estas integrales de línea?

10. Si F = P ¡ + 0

1 1 . a ) ¿Q ué es una superficie paramétrica? ¿Q ué son sus curvas reticulares? b) Escriba una expresión para el área de una superficie paramétrica. c) ¿C uál es el área de una superficie definida por una ecuación z = gix, y)? 12. a) Escriba la definición de la integral de superficie de una b)

largo de una curva C suave definida por una función vectorial r (t). b) Si F es un cam p o de fuerza, ¿qué representa esta integral de

c om ponentes P , Q y /?? 5.

función e s c a l a r / s o b r e una superficie S. ¿ C ó m o evaluaría dicha integral si S es una superficie paramétrica dada por una función vectorial r(« , V)1

c) ¿Q ué sucede si S está definida por la ecuación z = g(x, y)? d) Si una lám ina delgada tiene la forma de una superficie S, y la densidad en ix, y, z) es p (x , y , z ), escriba expresionespara la m asa y el centro de m asa de la lámina. 13. a) ¿Q u é es una superficie orientada? Proporcione un ejemplo de una superficie no orientable. b) Defina la integral de superficie, o flujo, de un cam po vectorial F sobre una superficie orientada S con vector

Enuncie el teorema fundamental de las integrales de línea.

6. a) ¿Qué significa decir que |CF • d r es independiente de la

normal unitario n.

trayectoria? b) Si usted sabe que C F ' d r es independiente de la trayectoria, ¿qué puede decir respecto a F? 7.

j, ¿qué prueba utilizaría para determinar si F

es conservativo? ¿Qué sucede si F es un campo vectorial sobre IR3?

4. a) Defina la integral de línea de un cam p o vectorial F a lo

línea? c) Si F = (P , Q , R ), ¿cuál es la relación entre la integral de línea de F y las integrales de línea de las funciones de las

Si F es un campo de velocidad en flujo de fluidos, ¿cuáles son las interpretaciones físicas de rot F y div F?

c) ¿ C ó m o evaluaría tal integral si S es una superficie paramétrica dada por una función vectorial r(n , V)1 d)

¿Qué sucede si S está definida por una ecuación z = g(x, y)?

Enuncie el teorema de Green. 14. Enuncie el teorema de Stokes.

8. Escriba expresiones para el área de lim itada por la curva C en términos de las intégreles de línea alrededor de C.

15. Enuncie el teorema de la divergencia.

9. Suponga que K es un campo vectorial sobre IR3, a) Defina rot F. b) Defina div F.

16. ¿En qué se parecen el teorema fundamental de las integrales de línea, el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia?

Exam en rápido Verdadero-Falso Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué; si es falso explique las razones o proporcione un ejemplo que contradiga

8. El trabajo realizado por un cam p o de fuerza conservativo al m ov er una partícula alrededor de una trayectoria cerrada es cero.

el enunciado. 1. Si

F es un cam po vectorial, entonces div F es un cam po vectorial.

F es un cam po vectorial, entonces rot F es un cam po vectorial.

3. Si las derivadas parciales d e / d e todos los órdenes son continuas sobre R 3, entonces div (rot V / ) = 0.

9. Si F y G son cam p os vectoriales, entonces rot ;F + G ) = rot F + rot G 10.

4. Si las derivadas parciales d e / s o n continuas sobre R 3 y C es cualquier circunferencia, ento nces Jc V / ‘ d r = 0. 5.

F = P i + Q j y Py = Q x, en una región abierta D , entonces

rot (F • G ) = rot F • rot G 11.

F e s conservativo. 6. J'_c /(a-, y) ds = - f c f ( x , y) ds 7.

F y G son campos vectoriales y div F = div G , entonces F = G.

Si F y G son cam po vectoriales, entonces

12.

Si S e s una esfera ) F e s un cam p o vectorial constante, ento nces JJ^F • d S = 0. Hay un cam p o vectorial F tal que rot F = x i + y j + z k

CAPÍTULO 16

REPASO

1137

E je rc ic io s 1. Se muestran un cam po vectorial F , una curva C y un punto P.

12. F(.v, y, r ) ™ sen y i + .r e o s y j — sen r k

a) ¿ E s f c F ' d r positivo, negativo o cero? Explique. b) ¿ E s div F (P) positivo, negativo o cero? Explique. 13-14 Dem uestre que F es conservativo, y con base en este hecho evalúe |CF • d r a lo largo de la curva dada. 13.

F{.v,y ) = ( 4 x Jy 2 - 2 x y 3) i + (2 x * y - 3.v2y 2 4 y ') j. C: r(/) ™ {/ + sen «■/) i + ( 2 / + e o s u v ) j . ( ) < / < ! +

14. F U , y, r) = e v i + ( x e y + e z) j + y e z k, C es el segmento rectilíneo desde (0, 2, 0) hasta (4, 0, 3)

15.

Com pruebe que el teorema de Green es válido para la integral de línea j c x y l d x — X2y d y , donde C consiste en la parábola y = x 2 desde (—1, 1) hasta ( I , 1) y el segm ento rectilíneo desde (1, 1) hasta ( - 1 , 1).

2-9 Evalúe la integral de línea.

16. Mediante el teorema de Green evalúe

2. ¡c x d s , C es el arco de la parábola y = xr desde (0, 0) hasta ( 1 , 1 ) 3. j‘c y r c o s . r d r , C: X = t, y = 3 eos t , z = 3 sen /, 0 ^ t < 7r

f V 1 + x 3 dx + 2xydy Jc donde C e s el triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 3).

4. Jc y d x + (.* + )'2) d y , C e s la elipse 4.x2 + 9y 2 = 36 con orientación en el sentido contrario al de las manecillas del reloj

17. Utilice el teorema de Green para evaluar Jf .v2y d x — x y 2 d y , donde C e s la circunferencia x 2 + y 2 = 4 y orientación en el sentido contrario al de las m anecillas del reloj. 18. Determ ine rot F y div F si

5. |c y 3 d x + X 2 d y , (0, - l ) a ( 0 , 1)

C es el arco de la parábola x = 1 — y 2 de F(.v, y , r) = e~x sen y i + e~y sen r j + e~z sen x k

6. j‘c \íx y d x + e y d y + x z dz, C está definida por r(/) = t* i + t 2j + t i k, 0 ^ t ^

19. Dem uestre que no hay cam p o vectorial G tal que 1 rot G = 2 a - i + 3 y r j — A"2k

7. f c x y d x + y 2 dx + y z dz, C es el segmento de recta de (1, 0, — 1) a (3, 4, 2)

20. Dem uestre en qué condiciones se establecerán los cam p os vectoriales F y G.

8. JCF • d r , donde Fíat, y) = xy i + x 2 j y C está definida por r(f) = sen t i + { 1 + /) j , 0 < t ^ ir 9. Jc F • d r , donde F(x, y , z) = é i + xz j + (x + y ) k y C está definida por r(f) = /2 ¡ + r 3 j — / k , 0 < f < 1

rot (F X G ) = F div G - G div F + (G • V ) F - (F • V ) G 21. Si C es una curva plana, cerrada, simple y suave por segm entos y / y g son funciones derivables, demuestre que

S c f U ) dx + g(y) dy = 10.

22. Si / y g son funciones d o s veces derivables, demuestre que

Determine el trabajo que efectúa el cam p o de fuerza

F(*, y, z) = z i + x j + y k

V 2( / 9 ) = / V 2g + <)V2/ +

al m ov er una partícula desde el punto (3, 0, 0) al punto (0, 77/ 2 , 3) por

2\ f - \ g

23. Si f e s una función armónica, es decir, V 2/ = 0, demuestre que la integral de línea J f y d x — f* d y es independiente de la trayectoria en cualquier región simple D.

a) una recta b) la hélice x = 3 eos t, y = t, z = 3 sen t

24. a) T race la curva C c uy as e cuaciones param étricas son 11-12 Dem uestre que

F es un c am p o vectorial conservativo. Luego

de termine una f u n c i ó n / t a l que F = V/. 11.

FU, y)

= (1 + x y t e ^ i + íey + x 2e xy) j

Se requiere c a lcu la d o ra g ra fic a d o ra o c o m p u ta d o ra

x ™ eos t

y ™ sen t

z ™ sen t

0 «S r ^ 2 w

b) Calcule j’c 2 x e lyd x + ( 2 x 2e 2y + 2 y c o t z) d y - y 2c s c 2z d z .

|S ¿ € | Se requiere sistem a algebraico com putarizado

1138

C A P I T U L O 16

CALCULO VECTORIAL

25. Calcule el área de la parte de la superficie z = x 2 + 2y que se ubica por arriba del triángulo c uyos vértices son (0, 0), ( 1 . 0 ) y ( 1 ,2 ) . 26. a) Encuentre la ecuación del plano tangente, en el punto (4, —2, 1), a la superficie paramétrica 5 definida por

Uv j + u k

r ( « , v)

37. Sea F(.x,y, z) = U.x'yz - 3y) ¡ + (.x3z - 3.x) j + (.x3y + 2z) k Evalúe JCF • d r, donde C es la curva cuyo punto inicial (0, 0, 2) y el pur.to final (0, 3, 0) se ilustran en la figura

O Í H Í 3 ,- 3 $ » í 3

b) Dibuje con la ayuda de una com p u tado ra la superficie 5 y el plano tangente que determinó en el inciso a). c) Plantee sin evaluar una integral para el área de la superficie de S. d) Si i y X y 7k F U , y ,z ) i + 1 + X' 1 + y T Í + 1 + z*

|§AC|

determine JJ^F • d S con una aproxim ación de cuatro cifras decimales.

2 7 -3 0 Evalúe la integral de superficie. 27. \\s z d S , d onde S es la parte del paraboloide z = x 2 + y 2 que queda abajo del plano z = 4.

38. Sea

Fí.x, y)

(2.x3 + 2.xy2 - 2 y) i + ( 2 y 3 + 2.x2y + 2.x) j .x2 + y 2

Evalúe j>c F • d r, donde C se muestra en la figura.

28. |f5 (.t2r + y 2z)d S . donde S e s la parte del plano r = 4 + x + y que se ubica dentro del cilindro x 2 + y 2 = 4. 29. J ¿ F • d S , d onde Fí.x, y, z) = x z i - 2 y j + 3.x k y S e s la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 con orientación hacia afuera. 30.

F • d S , donde F(.X, y, z) - .x2 i + .xy j + z k y S e s la parte del paraboloide z = x 2 + y 2 abajo del plano z = 1 con orientación hacia arriba.

31. Com pruebe que el teorema de Stokes es válido para el cam p o vectorial F(x, y , z) = x 2 i + y 2 j + z2 k donde S es la parte del paraboloide z = 1 — x 2 — y 2 que se encuentra arriba del plano xy y S tiene orientación hacia arriba. 32. Aplique el teorema de Stokes para evaluar JJ^ rot F ■ d S ,

39. Calcule | ^ F • n d S , d onde Fí.x, y, z) = X i + y j + z k y S es la superficie orientada hacia afuera que se muestra en la figura (la superficie frontera de un cubo al que se la ha retirado un cubo unitario de un vértice).

donde F(;í, y , -) = X 2y= i 4- y r 2j 4- Z 3e x y k , S es la parte de la esfera x 2 + y 2 4 z 2 = 5 que queda arriba del plano z = I, y S está orientada hacia arriba. 33. Utilice el teorema de Stokes para e valuar |CF • d r , donde F(.x, y, z) = .xy i 4 yz j + r.x k, y C e s el triángulo de vértices ( 1 , 0 , 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), orientado en el sentido contrario al de las m anecillas del reloj com o si se viera desde arriba 34. Aplique el teorema de la divergencia para calcular la integral de superficie j j s F • d S , donde FÍ.X, y, z) = X i + y j + z k y S e s la superficie del sólido acotado por el cilindro x 2 + y 2 = 1 y los planos z = 0 y z = 2. 35. Com pruebe que el teorema de la divergencia e s válido para el cam p o vectorial F(.x, y, z) = .x i + y j + r k, donde E es una bola unitaria .X2 + y 2 + z 2 ^ I.

40. Si las com ponentes de F tienen segundas derivadas parciales continuas y S e s la superficie frontera de una región sólida simple, demuestre que JJS rot F * d S ™ 0 . 41. Si a es un vector constante, r =

36. Calcule el flujo de F U , y, z)

x i + yj + z k

i + y j + z k , y S es una

superficie orientada y suave para una curva C de frontera sencilla, cerrada y positivamente orientada, demuestre que

(.x2 + y 2 + z 2) 3/2 f f 2a • d S = f (a X r) • d r

que sale a través del elipsoide Ax2 + 9y 2 + 6z2 = 36.

Problemas adicionales 1.

Sea 5 una superficie paramétrica uniforme, y sea P un punto tal que cada una de las rectas que inician en P cortan a 5 más de una vez. El á n g u lo sólido Í1(S) que subtiende S en P es el conjunto de rectas que inician en P y pasan por 5. Sea S(a) la intersección de Í1(S) con la superficie de la esfera con centro P y radio a. Entonces, la m edida del ángulo sólido (en e s te reo rra dian es) se define com o . ^i área d e S (« ) | O t s ) | - ------Mediante el teorema de la divergencia aplicado a la parte de fí(S) entre 5(rr) y 5 demuestre que

|n ( S ) |-|J

^-jr-d s

donde r es el ve ctor del radio desde P a cualquier punto sobre S, r = | r |, y el vector normal unitario n se aleja de P. Esto dem uestra que la definición de la medida de un ángulo sólido es independiente del radio a de la esfera. Así, la m edida del ángulo sólido es igual al área subtendida sobre una esfera unitaria. Observe la analogía con la definición de la m edida en radianes. El ángulo sólido total subtendido por una esfera en su centro es ento nces 477 estereorradianes.

Determine la curva integral de línea

cerrada simple orientada positivamente para la cual el valor de la

f ( y 5 - y) d x - 2 x sd y

e s un máximo. 3.

Sea C una curva simple, c errada, suave por segmentos, en el espacio que se sitúa en un plano con un vector normal unitario n = (a , b , c ) su orientación es positiva respecto a n. Dem uestre que el área del plano delim itada por C es

|*c

(bz - cy d x + (ex - a-) d y )

(ay - bx) dz

4 . Investigue la forma de la superficie c o n ecuaciones param étricas y = sen u, y = sen V,

z = sen(?/ + y). Empiece por graficar la superficie desde varios puntos de vista. Explique el aspecto de las gráficas al dete rm inar los trazos en los planos horizontales : = 0 , : = ± 1 y

Dem uestre la siguiente identidad:

V(F * G ) - ( F ♦ V )G + ( G * V)F + F X rot G + G X rot F

Se req u iere c a lc u la d o ra g ra fic a d o ra o co m p u tad o ra

1139

E n la figura se ilustra la sucesión de eventos en cada cilindro de un m oto r de combustión interna de cuatro cilindros. C a d a uno de los ém bclos se de splaza hacia arriba y hacia abajo, y está conectado mediante un brazo con pivotes a un cigüeñal giratorio. Sea P (t) y V(t) la presión y el volumen dentro de un cilindro en el tiempo t, donde a ^ t < b proporciona el tiempo necesario para un ciclo c ompleto. L a gráfica muestra c óm o P y V varían en todo el ciclo de un m oto r de cuatro tiempos.

Agua

'Cigüeñal IVolante

®111X3conectara

D urante la carrera de admisión (de GD a O ) una mezcla de aire y gasolina a la presión atmosférica, e s forzada a entrar a un cilindro a través de la válvula de admisión c u an do el ém bolo se d esplaza hacia abajo. D e sp u é s el émbolo co m p rim e rápidamente la m ezcla con las válvulas cerradas en la carrera de c om presión (de © a <3)) durante la cual la presión aumenta y el volumen disminuye. En 0) la bujía de encendido provoca la ignición del com bustible, se elevan la temperatura y la presión a casi volumen constante de ®. Después, con las válvulas cerradas, la expansió n rápida fuerza al ém bolo hacia abajo durante la carrera de potencia (de ® a ©). La válvula de descarga se abre, la temperatura y la presión caen, y la energía m ecánica alm acenada en el volante giratorio empuja al ém bolo hacia arriba, forzando a los productos de desecho a salir de la válvula en la carrera de descarga. La válvula de descarga se cierra y la válvula de admisión se abre. E stá de nuevo en 1 y el ciclo inicia una vez más. a)

Dem uestre que el trabajo hecho sobre el émbolo durante un ciclo de un m oto r de cuatro tiempos e s l V = j c P dV , donde C es la curva en el plano P V mostrado en la figura. [Sugerencia: sea x(t) la distancia desde el émbolo a la parte superior del cilindro y observe que la fuerza sobre el é m b olo e s F = A P (t) i, donde A es el área de la parte superior del émbolo. L uego, W = fc F • d r , donde C t está definido mediante r(f) = x(t) i, a t b. Otro enfoque optativo es trabajar en form a directa con sumas de

Riemann.J Use las fórm ulas 16.4.5 para dem ostrar que el trabajo e s la diferencia de las áreas delimitadas por los dos ciclos de C.