Cap 15 stewart7 by José Edgar Carmona Franco

Integrales múltiples

Losgeologos estudian como se formaron las comineras y hacen estimaciones del trabajo necesario para levantarlas sobre el nivel del mar. En la sección 15.8 se le pide que use integrales triples para calcular el trabajo realizado en la formación del monte Fuji, en

En este c ap ítu lo e x te n d e m o s la idea de integral definida a integrales d o b le s y triples de funciones de d os y tres variables. E stas ideas se usarán para calcu la r v olú m enes, m a s a s y c e ntro ide s d e regiones m ás g e n era le s d e lo q u e p u d im o s h a ce r en los cap ítu los 6 y 8. T a m b ié n u s a m o s in tegrales d o b les para c alcu la r p rob a b ilid ade s c u a n d o se involucran d o s variables aleatorias. V e r e m o s q u e las c o o rd e n a d a s polares son útiles para líi obtención d e integrales d o b les sobre algún tipo d e regiones. De un m o d o sim ilar, in tro d u c irem o s dos n u e vo s sistem as d e c o o rd e n a d a s en tres c o o r d e n a d a s esp a ciale s — cilindric as y e sféric as— q u e simplifican n o tab le m e n te el c álculo d e integrales triples sobre ciertas regiones sólidas c om unes.

973

CAPÍTULO 15

INTEGRALES MÚLTIPLES

Integrales dobles sobre rectángulos C a s i d e la m i s m a m a n e r a q u e e l i n t e n t o d e r e s o l v e r e l p r o b l e m a d e á r e a n o s c o n d u j o a la d efinición de la in teg ral defin id a, ah o ra b u sc a m o s d e te r m in a r el v o lu m e n de un sólido, y e n e l p r o c e s o l l e g a m o s a la d e f i n i c i ó n d e i n t e g r a l d o b l e .

R e v is ió n de la in te g ra l definida P r i m e r o r e c o r d a r e m o s lo s h e c h o s b á s i c o s r e l a c i o n a d o s c o n i n t e g r a l e s d e f i n i d a s d e u n a s o l a v a r i a b l e . Si f ( x ) e s t á d e f i n i d a p a r a a ^ x ^ b, e m p e z a m o s p o r d i v i d i r e l i n t e r v a l o [ci, b] en n s u b i n t e r v a l o s [av-i, x,] d e i g u a l a n c h o A * = (b — a ) / n y e l e g i m o s p u n t o s m u e s t r a x ? e n e s t o s s u b i n t e r v a l o s . E n t o n c e s f o r m a m o s la s u m a d e R i e m a n n

1 f i x f ) A.v

y t o m a m o s e l l ím i te d e las s u m a s c o n f o r m e n —* co p a r a o b t e n e r la i n t e g r a l d e f i n i d a d e / d e

a a b:

E n e l c a s o e s p e c i a l d o n d e / ( * ) ^ 0 , la s u m a d e R i e m a n n se p u e d e i n te r p r e t a r c o m o la s u m a d e las á r e a s d e los r e c t á n g u l o s d e a p r o x i m a c i ó n e n l a f i g u r a 1, y / * / ( * ) d x r e p r e s e n t a e l á r e a b a j o la c u r v a y = f ( x ) d e a a b.

A* r \

/(-V

-V¡- l FIGURA 1

| V o lú m e n e s e in t e g r a le s d o b les D e u n a m a n e r a s i m i l a r c o n s i d e r a m o s u n a f u n c ió n / d e d o s v a r i a b l e s d e f i n i d a s s o b r e un r e c tángulo cerrado

R = [ a , b] X [c , d] = {(.r, y) G R 2 1 a ^ x

b, c

y s u p o n e m o s p r i m e r o q u e / ( ^ r , y ) 5= 0. L a g r á f i c a d e / e s u n a s u p e r f i c i e c o n e c u a c i ó n i = f ( x ; y). S e a S e l s ó l i d o q u e a p a r e c e a r r i b a d e R y d e b a j o d e la g r á f i c a d e f e s d e c i r ,

S = {(*, y, z) S IR5 [ 0 =s z « / ( .v , y ), (x, y) G r } ( V é a s e la fi g u r a 2 .) E l o b j e t i v o e s h a l l a r e l v o l u m e n d e S. E l p r i m e r p a s o e s d i v i d i r e l r e c t á n g u l o R e n s u b r e c t á n g u l o s . E s t o se h a c e d i v i d i e n d o el i n t e r v a l o \a, b] e n m s u b i n t e r v a l o s [av-i, x 7] d e ig u a l a n c h o A x = (b — o ) / m y d i v i d i e n d o [c, d] e n n s u b in te rv a lo s [ y ,-i, yj\ d e ig u a l a n c h o A y = ( d — c ) / n . A l d i b u j a r r e ctas p a r a le la s a lo s e j e s c o o r d e n a d o s p o r los p u n t o s e x t r e m o s d e e s t o s s u b i n t e r v a l o s c o m o en

SECCIÓN 15.1

I NTEGRALES DOBLES SOBRE R E C T Á N G U L O S

975

la fi g u r a 3, se f o r m a n lo s s u b r e c t á n g u l o s

R¡i = [ v f- i , * , ] X

y>] = {(.v, y) | i , - , s

t =s x b y,_, « y « y,}

c a d a u n o c o n u n á r e a A A = A x Ay.

F IG U R A 3

División de R en subrectángulos

Si se e li g e e l p u n to m u e s t r a ( x ¡ f, yjj¡ ) e n c a d a /?,>, e n t o n c e s p o d e m o s a p r o x i m a r la p a r te d e S q u e e s t á a r r i b a d e c a d a Rv m e d i a n t e u n a d e l g a d a c a j a r e c t a n g u l a r (o “ c o l u m n a ” ) c o n b a s e Rij y a l t u r a /(*» *, y tf ) c o m o se m u e s t r a e n l a fi g u r a 4. ( C o m p a r e c o n la fi g u r a 1.) El v o l u m e n d e e s t a c a j a e s l a a l t u r a d e l a c a j a m u l t i p l i c a d a p o r e l á r e a d e la b a s e d e l r e c t á n gulo:

f( x f , y f) A A Si se s i g u e e s t e p r o c e d i m i e n t o p a r a lo s r e c t á n g u l o s y se s u m a n lo s v o l ú m e n e s d e las c a j a s c o r r e s p o n d i e n t e s , se o b t i e n e u n a a p r o x i m a c i ó n d e l v o l u m e n t o ta l d e S :

V - 2 2 / (*,? , y * ) A A <=i ;=i

( V é a s e l a f i g u r a 5.) E s t a d o b l e s u m a s i g n i f i c a q u e p a r a c a d a s u b r e c t á n g u l o se e v a l ú a

/ en e l p u n t o e l e g i d o y se m u l t i p l i c a p o r el á r e a d e l s u b r e c t á n g u l o y l u e g o se s u m a n lo s r e s u lta d o s .

F IG U R A 4

F IG U R A 5

976

CAPÍTULO 15

INTEGRALES MÚLTIPLES

L a i n tu i c ió n n o s i n d i c a q u e l a a p r o x i m a c i ó n d a d a e n [3] e s m e j o r c u a n d o m y n c r e c e n y , p o r ta n t o , se e s p e r a r í a q u e El significado del doble límite en la ecuación 4 es que la doble suma se puede hacer tan cercana como se desee al número V [para cualquier elección de (x f, y,*) en /?*] al tomar

y _

r— i L?J

m n \ \ f / , .* n u «• ¿ í ~ f\' ’

a i

m y /i suficientemente grandes. U s a m o s l a e x p r e s i ó n d e la e c u a c i ó n 4 p a r a d e f i n i r e l v o l u m e n d e l s ó l i d o 5 q u e y a c e d e b a j o d e la g r á fi c a d e / y a r r i b a d e l r e c t á n g u l o R. ( S e p u e d e d e m o s t r a r q u e e s t a d e f i n i c i ó n e s c o n g r u e n t e c o n la f ó r m u l a p a r a e l v o l u m e n d e la s e c c ió n 6 .2 .) L o s l í m i t e s d e l t ip o q u e a p a r e c e e n la e c u a c i ó n 4 o c u r r e n c o n f r e c u e n c i a n o s ó l o p a r a h a l l a r v o l ú m e n e s , s in o t a m b i é n e n d i v e r s a s s i t u a c i o n e s , c o m o se v e r á e n la s e c c i ó n 15.5, i n c l u s o c u a n d o / n o e s u n a f u n c i ó n p o s i t iv a . A s í q u e p l a n t e a m o s la s i g u i e n t e d e f in i c i ó n .

Observe la similitud entre la defiiición 5 y la definición de una integral sinple en

[~5~] Definición

L a in teg ral d o b le d e / s o b r e el re ctán g u lo R es m n

la ecuación 2.

f f / ( * > y ) dA = lím *'* m9

2 2 }_i m

y»?) AA

si e l l ím ite e x is te .

E l s i g n i f i c a d o p r e c i s o d e l l ím i te e n la d e f in i c i ó n 5 e s q u e p a r a t o d o n ú m e r o e > O h a y Aun cuando hemos definido la integral doble al

un e n t e r o N tal q u e

dividir R en subrectángulos de igual tamaño, podríamos haber empleado subrectángulos de tamaño desigual. Pero entonces lubieramos

íí / ( v, y) d A

tenido que asegurar que todas sus dimensiones

y «*) ^ A < e

2 2 ¿=1.7=1

se aproximaran a O en el proceso de establecer límites.

p a r a t o d o s los e n t e r o s m y n m a y o r e s q u e N y p a r a c u a l q u i e r e l e c c i ó n d e p u n t o s m u e s t r a (*i*, y * ) e n Rij. U n a f u n c ió n / s e d e n o m i n a i n t e g r a b l e si e x is te e l l ím i te e n l a d e f i n i c i ó n 5. E n c u r s o s d e c á l c u l o a v a n z a d o se d e m u e s t r a q u e t o d a s las f u n c i o n e s c o n t i n u a s son i n t e g r a b l e s . De h e c h o , la in te g ral d o b le d e / e x i s t e sie m p re q u e j “ no sea tam b ién d is c o n tin u a ” . En p a rt ic u l a r , si / e s t á a c o t a d a [e s t o e s , e x i s t e u n a c o n s t a n t e M tal q u e | f ( x , y) \

M p a ra toda

(*, y ) e n R J, y / e s c o n t i n u a a h í, e x c e p t o e n un n ú m e r o fin ito d e c u r v a s s u a v e s , e n t o n c e s / e s i n t e g r a b l e s o b r e R. S e p u e d e e l e g i r q u e e l p u n t o m u e s t r a (.t,y, y,*. s e a c u a l q u i e r p u n t o e n e l s u b r e c t á n g u io /?,,, p e r o si se e l i g e q u e s e a l a e s q u i n a s u p e r i o r d e r e c h a d e Rr [ a s a b e r , (x ,, y r), v é a s e la fi g u r a 3 ], e n t o n c e s la e x p r e s i ó n p a r a l a i n t e g r a l d o b l e p a r e c e si m p li fi c a rs e :

f f /(■*■» y )

—

lím

1 --1

/ ( *

y?) A 4

A l c o m p a r a r las d e f in i c i o n e s 4 y 5, v e m o s q u e u n v o l u m e n p u e d e e x p r e s a r s e c o m o u n a i n t e g r a l d o b le :

Si f ( x , y) 5= O, e n t o n c e s e l v o l u m e n V d e l s ó lid o q u e e s t á a r r i b a d e l r e c t á n g u l o R y d e b a j o d e la s u p e r f i c i e r = / ( * , y) e s

V=jjf(x,y)dA *R

SECCIÓN 15.1

I NTEGRALES DOBLES SOBRE R E C T Á N G U L O S

977

L a sum a en la defin ició n 5,

2 2 /(**♦y*)aa

»=i j=i

se l l a m a d o b l e s u m a d e R i e m a n n y se e m p l e a c o m o u n a a p r o x i m a c i ó n d e l v a l o r d e l a i n t e g r a l d o b l e . [ O b s e r v e la s i m il i tu d c o n la s u m a d e R i e m a n n e n \T\ p a r a u n a f u n c i ó n d e u n a s o l a v a r i a b l e . ] Si s u c e d e q u e / e s u n a f u n c ió n positiva , e n t o n c e s la d o b l e s u m a d e R i e m a n n r e p r e s e n t a l a s u m a d e v o l ú m e n e s d e c o l u m n a s , c o m o e n la fi g u ra 5, y e s u n a a p r o x i m a c i ó n d e l v o l u m e n b a j o la g r á f i c a d e / yt

(L 2)

(2,2)

E H M H

E s t i m e e l v o l u m e n d e l sólid o q u e e s t á a r r i b a d e l c u a d r a d o R = [0, 2 ] X

[0 , 2 ] y d e b a j o d e l p a r a b o l o i d e e l í p t i c o r = 16 — x 1 — 2y 2. D i v i d a R e n c u a t r o c u a d r a d o s * .2

i g u a l e s y e l i j a e l p u n t o m u e s t r a c o m o la e s q u i n a s u p e r i o r d e r e c h a d e c a d a c u a d r a d o R,j. n

B o s q u e j e e l s ó l i d o y las c a j a s r e c t a n g u l a r e s d e a p r o x i m a c i ó n .

( 1, 1)

SOLUCIÓN L o s c u a d r a d o s se m u e s t r a n e n l a figu ra 6. E l p a r a b o l o i d e e s la g r á fi c a de

*2 .

f ( x , y) = 16 — x 1 — 2 y2 y e l á r e a d e c a d a c u a d r a d o e s A A = 1. A l a p r o x i m a r el v o l u m e n m e d i a n t e la s u m a d e R i e m a n n c o n m = n = 2, se tie n e

FIGURA 6

v**2 2 /(*», y¿)aa i=l 7=1

= / ( ! , 1 ) A A + / ( 1 , 2 ) A A + / ( 2 , 1) A A + / ( 2 , 2 ) A A

13(1) + 7 ( 1 ) + 10(1) 4- 4 ( 1 ) = 3 4

É s t e e s e l v o l u m e n d e las c a j a s r e c t a n g u l a r e s d e a p r o x i m a c i ó n m o s t r a d a s e n la f ig u ra 7.

S e o b t i e n e n m e j o r e s a p r o x i m a c i o n e s p a r a e l v o l u m e n d e l e j e m p l o 1 si se i n c r e m e n t a e l n ú m e r o d e c u a d r a d o s . E n la f ig u ra 8 se m u e s t r a c ó m o las c o l u m n a s c o m i e n z a n a v e r s e m á s c o m o s ó l i d o s r e a l e s y las a p r o x i m a c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s se v u e l v e n m á s e x a c t a s c u a n d o se u s a n 16, 6 4 y 2 5 6 c u a d r a d o s . E n la si g u i e n t e s e c c i ó n se p o d r á d e m o s t r a r q u e e l v o l u m e n e x a c t o e s 48.

FIGURA 8 Las aproxim aciones de la sum a de Riem ann al volumen debajo de se 16 —x~ — 2y 2 vuelven m ás exactas cuando se ncrementan m y n.

b) t)¡ = « = 8. l ' « 44.875

□

E JE M P L O 2

Si R = {(.v, y) I - 1

« .v «

J f V i - .v2 dA 'R

c)ni = n = 16, V 553 46.46875

2}, e v a l ú e la i n te g r a l

978

CAPÍTULO 15

INTEGRALES MÚLTIPLES

SOLUCIÓN S e r í a d i f íc i l e v a l u a r e s t a i n t e g r a l d e m a n e r a d i r e c t a a p a r ti r d e la d e f i n i c i ó n 5 pero, d e b id o a que

1 — A2 3= O, se p u e d e c a l c u l a r la i n t e g r a l i n t e r p r e t á n d o l a c o m o un

v o l u m e n . Si z = yj 1 — A2 , e n t o n c e s x 2 + z 2 = 1 y z > O, a s í q u e la i n t e g r a l d o b l e d a d a r e p r e s e n t a e l v o l u m e n d e l s ó l i d o S q u e y a c e d e b a j o d e l c i l i n d r o c ir c u l a r x 2 + z2 = 1 y a r r i b a d e l r e c t á n g u l o R. ( V é a s e l a fig u ra 9.) E l v o l u m e n d e S e s e l á r e a d e un s e m i c í r c u l o c o n r a d i o 1 m u l t i p l i c a d a p o r l a l o n g it u d d e l c ilin d ro . P o r c o n s i g u i e n t e ,

I[fvT

.v2 d A = T 7 r ( l) 2 X 4 = 2 t t

R egla del punto medio L o s m é t o d o s q u e se e m p l e a r o n p a r a a p r o x i m a r i n te g r a l e s s i m p l e s ( r e g l a d e l p u n t o m e d i o , r e g l a d e l t r a p e c i o , r e g l a d e S i m p s o n ) t ie n e n c o n tr a p a r t e s p a r a i n t e g r a l e s d o b l e s . A q u í se c o n s i d e r a s ó l o la r e g l a d e l p u n t o m e d i o p a r a i n te g r a l e s d o b l e s . E s t o s i g n i f ic a q u e se u s a u n a d o b l e s u m a d e R i e m a n n p a r a a p r o x i m a r la i n t e g r a l d o b l e , d o n d e e l p u n t o m u e s t r a (.Vi;, y,J) e n R,j se e li g e c o m o e l c e n t r o (Á*, yj) d e /&,. E n o t r a s p a l a b r a s , Aí e s e l p u n t o m e d i o d e [a*-i, Xí] y y, e s e l p u n t o m e d i o d e [y>-i, y ¿|.

R e g la d e l p u n to m e d io p a ra in te g r a le s d o b le s í f / ( * * y) d A ** f Í / ( I „ y ; ) A A 1=1 >='

x¡\ y y¿ e s el p u n t o m e d i o d e [ y ,- i , y ,].

d o n d e A, e s e l p u n t o m e d i o d e

U s e ía r e g l a d e l p u n t o m e d i o c o n m = n =

EH uH EH

i n t e g r a l f f R (x -

3 y 2 ) dA, d o n d e R = {(.v, y) | O

p a r a e s t i m a r e l v a l o r d e la

2, 1

2}.

SOLUCIÓN A l u s a r la r e g l a d e l p u n t o m e d i o c o n m = n = 2, se e v a l ú a f ( x , y) = x — 3y e n lo s c e n t r o s d e lo s c u a t r o s u b r e c t á n g u l o s m o s t r a d o s e n la f ig u ra 10. P o r t a n t o , Ai = y»

o 3

Á2 =

(2,2) • #12

♦ R22

•# .l

♦ R2l

, yi =

y >’2 = 4. E l á r e a d e c a d a s u b r e c t á n g u l o e s A A = y- A s í q u e 2

f í (a *

3 y 2 )íiA ^

¿ ¿ /(Á ,-,y ;)A A ' = 1>=l

= / ( Á i , y ,) A A + f ( x u y 2 ) A A + / ( Á 2, y i ) A A + / ( a 2, y 2) A A 0

= f ( \ , | ) A A + / ( I , \) A A + / ( | ) A A + f ( i i) A A

FIGURA 10

= ( - S ) i + ( - « ) * + (-!» * + ( - « ) i

= - f=

P o r t a n t o , se t ie n e

NO TA

- 1 1 .8 7 5

ff ( a -

3 y 2) d A «

-1 1 .8 7 5

E n l a s i g u i e n t e s e c c i ó n se d e s a r r o l l a r á u n m é t o d o e f ic a z p a r a c a l c u l a r i n t e g r a -

les d o b l e s , y l u e g o se v e r á q u e e l v a l o r e x a c t o d e la i n t e g r a l d o b l e d e l e j e m p l o 3 e s — 12. ( R e c u e r d e q u e la i n t e r p r e t a c i ó n d e u n a i n t e g r a l d o b l e c o m o un v o l u m e n e s v á l i d a s ó lo c u a n d o e l in te g r a n d o / e s u n a fu n c ió n positiva. El in te g r a n d o d e l e j e m p l o 3 n o e s u n a fu n c ió n p o s i t i v a , a s í q u e su i n t e g r a l n o e s un v o l u m e n . E n lo s e j e m p l o s 2 y 3 d e l a s e c c i ó n 15.2, se e x p l i c a c ó m o i n te r p r e t a r las i n te g r a le s d e f u n c i o n e s q u e n o s i e m p r e son p o s i t iv a s e n t é r m i n o s d e volúmenes.) Si se s i g u e d i v i d i e n d o c a d a s u b r e c t á n g u l o d e la fi g u r a 10 e n c u a t r o s u b r e c t á n g u l o s m á s p e q u e ñ o s c o n f o r m a s i m il a r , se o b t i e n e n las a p r o x i m a c i o n e s

SECCIÓN 15.1 Núm ero de subrectángulos

Aproximaciones de la regla del punto medio

979

I NTEGRALES DOBLES SOBRE R E C T Á N G U L O S

d e la r e g l a d e l p u n t o m e d i o m o s t r a d a s e n la ta b l a d e l m a r g e n . O b s e r v e c ó m o e s t a s a p r o x i m a c i o n e s t ie n d e n al v a l o r e x a c t o d e la in te g r a l d o b l e , — 12.

V alo r promedio 1

-1 1 .5 0 0 0

-1 1 .8 7 5 0

- I 1.9687

64 256

-1 1 .9 9 2 2 - 11.9980

1024

- 1 1.9995

R e c u e r d e d e la s e c c i ó n 6 .5 q u e e l v a l o r p r o m e d i o d e u n a f u n c i ó n / d e u n a v a r ia b le d e fin í d a s o b r e un i n t e r v a l o [«, b] e s

f 7 (0

D e u n a m a n e r a s i m i l a r se d e f in e e l

— /7 *

v a lo r p r o m e d io

de u n a f u n c i ó n / d e d o s v ariab les d e -

f in id a s s o b r e u n r e c t á n g u l o R c o m o

f ( x , y ) dA

/pn»J»

m d o n d e A(R) e s e l á r e a d e R. Si f ( x , y) 2= 0 , la e c u a c i ó n

in d ic a q u e la c a ja c o n b a s e R y a ltu ra y a c e d e b a j o d e la g r á f i c a d e / F IG U R A 11

/ pr»m

tiene el m is m o v o lu m e n q u e el só lid o q u e

[Si z = f ( x , y ) d e s c r i b e u n a r e g i ó n m o n t a ñ o s a y se c o r -

t a n las c i m a s d e las m o n t a ñ a s a u n a altura/prom, e n t o n c e s se p u e d e n u s a r p a r a l l e n a r los v a l l e s d e m o d o q u e l a r e g i ó n se v u e l v a c o m p l e t a m e n t e p l a n a . V é a s e l a f i g u r a 1 l.J E JE M P L O 4

E l m a p a d e c o n t o r n o d e la figu ra 12 m u e s t r a la n i e v e , e n p u l g a d a s , q u e c a y ó

e n e l e s t a d o d e C o l o r a d o e l 2 0 y 21 d e d i c i e m b r e d e 2 0 0 6 . (E l e s t a d o t ie n e l a f o r m a d e un r e c t á n g u l o q u e m i d e 3 8 8 m i l l a s d e o e s te a e s t e y 2 7 6 m i l l a s d e s u r a n o r t e ) . U s e el m a p a d e c o n t o r n o p a r a e s t i m a r la n i e v e p r o m e d i o p a r a C o l o r a d o e n e s o s d í a s .

F IG U R A 12 SOLUCIÓN C o l o q u e e l o r i g e n e n l a e s q u i n a s u ro e s t e d e l e s t a d o . E n t o n c e s O ^ - t ^ 0

y =s 2 7 6 y f ( x , y) e s la n i e v e , e n p u l g a d a s , e n un l u g a r a x m i l l a s al e s t e y

388,

CAPÍTULO 15

INTEGRALES MÚLTIPLES

y m i l l a s al n o r t e d e l o r i g e n . Si R e s e l r e c t á n g u l o q u e r e p r e s e n t a a C o l o r a d o , e n t o n c e s la n i e v e p r o m e d i o p a r a e l e s t a d o e n t r e e l 2 0 y 21 d e d i c i e m b r e fue

f f /{•*■» }')

fp to m —

d o n d e A(R) = 3 8 8 • 2 7 6 . P a r a e s t i m a r e l v a l o r d e e s t a i n t e g r a l d o b l e , se e m p l e a r á la r e g l a d e l p u n t o m e d i o c o n m = /? = 4. E n o t r a s p a la b r a s , se d i v i d e R e n 16 s u b r e c t á n g u l o s d e i g u a l t a m a ñ o , c o m o e n l a figura 13. E l á r e a d e c a d a s u b r e c t á n g u l o e s

AA = - ¿ < 3 8 8 )( 2 7 6 ) = 6 6 9 3 m i 2

F IG U R A 13

A l u s a r e l m a p a d e c o n t o r n o p a r a e s t i m a r e l v a lo r d e / e n e l c e n t r o d e c a d a subre ctá n g u lo , o b ten e m o s f f f ( x , y) d A ~

¿ f { x u yy) A A

i=l 7=1

^ A A [ 0 + 15 + 8 + 7 +

2 + 25+

18.5 + 11

+ 4 . 5 + 2 8 + 17 + 13.5 + 12 + 1 5 + 17.5 + 13] = (6 6 9 3 ) ( 2 0 7 )

(6 6 9 3 ) ( 2 0 7 ) P o r t a n to ,

/pran

(388)(276)

E n t r e e l 2 0 y 21 d e d i c i e m b r e d e 2 0 0 6 , C o l o r a d o r e c i b i ó un p r o m e d i o d e a p r o x i m a d a m e n t e 13 p u l g a d a s d e n ieve .

SECCIÓN 15.1

981

I NTEGRALES DOBLES SOBRE R E C T Á N G U L O S

P ro p ie d a d e s de l a s in t e g r a le s dobles S e e n l i s t a n a q u í t r e s p r o p i e d a d e s d e i n te g r a l e s d o b l e s q u e se p u e d e n p r o b a r d e l a m i s m a m a n e r a q u e e n la s e c c i ó n 5 .2. S e s u p o n e q u e t o d a s las i n t e g r a l e s e x is te n . L a s p r o p i e d a d e s 7 y 8 se c o n o c e n c o m o lin e a lid a d d e l a in te g ral.

Las integrales dobles se cjmportan de esta manera debido a que las sumas dobles que las originan se comportan de esa forma.

fí

+ 9 ( x * y)]d A = ff /(*. y ) d A + ff s i * * y ) d A R

'Á

ff c f ( x , y) d A = c ff/(Xt y) d A

do n d e e es u n a constante

Si f(Xy y) 3= g(Xy y) p a r a t o d a (x , y) e n R, e n to n c e s

0 15.1

ff f ( X y y) d A > ff g(Xy y) d A

Ejercicios

1. a) Estime el volumen del sólido que yace debajo de la superficie z = xy y arriba del rectángulo

R = { U , y) | O

x ^ 6 ,0 ^ y

b) Estim e la integral doble con ni = n = 4 y elija los puntos muestra más cercanos al origen.

Use una suma de Riem ann con m = 3, n = 2 y tome el punto muestra c om o la esquina superior derecha de cada cuadrado. b) Use la regla del punto medio para estim ar el volumen del

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

-3

-5

-6

-4

-1

—2

-3

-1

1 1

sólido del inciso a). 2. Si R = LO, 4] X [—1, 2J, use una suma de Riem ann con m = 4, n = 2 para estimar el valor de 1 (1 — x y 2) dA . Tom e los puntos muestra que sean a) las esquinas derechas inferiores y b) las esquinas izquierdas superiores de los rectángulos. 3. a) Use una suma de Riem ann con m — n = 2 para estim ar el valor de jjR x e d A , donde R = [0, 2] X LO, 1J. T o m e los

6. Una alberca de 20 pies por 30 pies se llena con agua. La profundidad se mide a intervalos de 5 pies, em pezando en una esquina de la alberca, y se registran los valores en una tabla. Estime el volumen de agua en la alberca.

puntos muestra c om o las esquinas superiores derechas, b) Use la regla del punto medio para estim ar la integral del inciso a). 4. a) Estim e el volumen del sólido que yace debajo de la superficie z = I + x 2 + 3y y arriba del rectángulo R = [ I , 2] X [0, 3]. Use una suma de Riem ann con m — n — 2 y elija c o m o los puntos muestra a las esquinas inferiores derechas, b) Use la regla del punto medio para estim ar el volumen del inciso a).

5. Se da una tabla de valores para una función f ( x , y) definida en

R = LO, 4] X [ 2 , 4J. a) Estime 11^ f ( x , y) d A por medio de la regla del punto medio con ni = n = 2.

1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com

Sea V el volumen del sólido que yace debajo de la gráfica de /(JE, y) = v'52 — X2 — y 2 y arriba del rectángulo dado por 2 < X ^ 4 , 2 ^ y ^ 6. Use las rectas x = 3 y y = 4 para

982

CAPÍTULO 15

INTEGRALES MÚLTIPLES

dividir a R en subrectángulos. Sean L y U las sum as de Riem ann calculadas por medio de las esquinas inferiores izquierdas y las esquinas superiores derechas, respectivamente. Sin calcular los números V, L y U, dispóngalos en orden creciente y explique su razonamiento. 8. E n la figura se muestran las c urvas de nivel de una f u n c i ó n / e n el cuadrado R = [0, 2J X [0, 2J. Use la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar jjR f { x , y) dA. ¿C ó m o podría m ejorar su estimación?

11-13 Evalúe la integral doble identificándola primero c o m o el volumen de un sólido. 11. JJr 3 d A

12.

R = {(.v, y) | - 2 sS .x í

R = {(-x, y) | 0 sí .v

(5 - x ) d A

13. f f R ( 4 - 2y) d A , 9.

Se m uestra un m apa de contorno para una f u n c i ó n / s o b r e el cuadrado R = [0, 4J X [0, 4J. a) Use la regla del punto medio con m = n = 2 para estim ar el valor de jjR f ( x , y) dA. b) Estim e el valor promedio d e /.

2, 1 sS y^ 6}

5, 0

R = [0, 1] X [0, l]

14. La integral j f R y¡9 - y 2 dA, donde

R = LO, 4] X [0, 2J,

representa el volumen de un sólido. Bosqueje el sólido. 15. Use una calculadora program able o co m p utadora (o el com an do s u m e n un SA C ) para estim ar (*(* / I + xe~y d A

'R donde R = [0, 1J X [0, 1J. Use la regla del punto medio con los siguientes números de cuadrados de igual tamaño: 1 ,4 , 16, 64, 256 y I 024. 16. Repita el ejercicio 15 para la integral |'|‘# sen(.v + v y ) dA17. S i / e s una función constante, f ( x , y) = k, y R = [«, b\ X Lc\ d], demuestre que |J k d A = k{b ~ a)(d - c )

*R 18. Utilice el resultado del ejercicio 17 para demostrar que 10.

En el mapa de contorno se muestra la temperatura, en grados Fahre nheit, a las 16:00 del 26 de febrero de 2007, en Colorado. (El estado mide 388 m illas de este a oeste y 276 millas de norte a sur.) Use la regla del punto medio con ni = n = 4 para estim ar la temperatura promedio en Colorado a esa hora.

0 «S | (* sen 77.veos t t y dA < t donde R -

[0 , 7] X [ j , y]

Integrales iteradas R e c u e r d e q u e u s u a l m e n t e e s d i f íc i l e v a l u a r i n te g r a l e s s i m p l e s d i r e c t a m e n t e d e la d e f i n i c i ó n d e u n a i n te g r a l , p e r o e l t e o r e m a f u n d a m e n t a l d e l c á l c u l o p r o v e e un m é t o d o m u c h o m á s fácil. L a e v a l u a c i ó n d e i n t e g r a l e s d o b l e s a p a rtir d e los p r i m e r o s p r i n c i p i o s e s a ú n m á s

SECCIÓN

INTEGRALES ITERADAS

15.2

983

d i f í c i l , p e r o e n e s t a s e c c i ó n se v e c ó m o e x p r e s a r u n a i n t e g r a l d o b l e c o m o u n a i n t e g r a l i te r a d a , q u e se p u e d e e v a l u a r c a l c u l a n d o d o s i n t e g r a l e s s i m p le s . S u p o n g a q u e / e s u n a fu n c ió n d e d o s v a r i a b l e s q u e e s i n t e g r a b l e s o b r e e l r e c t á n g u l o

R = [a, b] X [c, d]. S e u s a la n o t a c i ó n / / / ( * , y) d y p a r a i n d i c a r q u e x se m a n t i e n e fija y f ( x , y) se i n t e g r a r e s p e c t o a y a p a r ti r d e y = c h a s t a y = d. E s te p r o c e d i m i e n t o se l l a m a integración parcial respecto a y. ( O b s e r v e su sim ilitud c o n la d e r iv a c i ó n p a rcial.) A h o r a / / / ( * * ^ d y e s u n n ú m e r o q u e d e p e n d e d e l v a lo r d e x, a s í q u e d e f in e u n a f u n c i ó n d e x. \* f ( x 9 y) d y

A(.v) =

Si a h o r a se i n t e g r a la f u n c i ó n A r e s p e c t o a * a p a r ti r d e x = a h a s t a x = b, se o b t ie n e

f A ( x ) d x - (* >A »ít

□

j V ( v, y) dy

L a i n t e g r a l d e l l a d o d e r e c h o d e la e c u a c i ó n l se l l a m a i n t e g r a l i t e r a d a . P o r lo c o m ú n , se o m i t e n lo s c o r c h e t e s . A s í,

j; PV(*. y»d ydx=£ ^fV(^. y)dyj d x

i n d i c a q u e p r i m e r o se i n t e g r a r e s p e c t o a y a p a r t i r d e c h a s t a d, y l u e g o r e s p e c t o a x d e s d e a h a s t a b. D e m a n e r a s i m il a r , la i n t e g r a l i t e r a d a

/ ( .v , y ) d .v j

s i g n i f i c a q u e p r i m e r o se i n t e g r a r e s p e c t o a x ( m a n t e n i e n d o fija y ) d e s d e x = a a x = b y d e s p u é s se i n t e g r a l a f u n c i ó n r e s u l t a n t e d e y r e s p e c t o a y d e y = c h a s t a y = d. O b s e r v e q u e e n las e c u a c i o n e s 2 y 3 se t r a b a j a d e dentro hacia fuera. B H 5 I3 ID a)

E v a l ú e las i n t e g r a l e s i te r a d a s.

f 3 f~.v2y d y d x Jo J

í " f 3 x 2y d x d y Ji Jo

SOLUCIÓN a)

Si se c o n s i d e r a x c o m o u n a c o n s t a n t e , se o b t ie n e

]_ ^ t) - <(t ) -^ A s í , la f u n c i ó n A e n la e x p l i c a c i ó n a n t e r i o r e s t á d a d a p o r A(.í) = -¡x2 e n e s t e e j e m p l o . A h o r a i n t e g r a m o s e s t a f u n c i ó n d e Arde 0 a 3

=í5^ =t T }o

2 Jo

27 o

984

CAPÍTULO 15

INTEGRALES MÚLTIPLES

A q u í se i n t e g r a p r i m e r o r e s p e c t o a x.

f £v2> ’dx =f [£ =

=£[ T y\

dx] dy

j y

—

O b s e r v e q u e e n e l e j e m p l o 1 se o b t i e n e la m i s m a r e s p u e s t a si se i n t e g r a p r i m e r o r e s p e c t o a y o x. E n g e n e r a l , r e s u l t a ( v é a s e e l t e o r e m a 4 ) q u e las d o s i n t e g r a l e s i t e r a d a s d e las e c u a c i o n e s 2 y 3 s o n s i e m p r e i g u a l e s : e s d e c i r , no i m p o r t a e l o r d e n d e i n t e g r a c i ó n . ( E s t o e s s i m i l a r al t e o r e m a d e C l a i r a u t e n la i g u a l d a d d s las d e r i v a d a s p a r c i a l e s m ix t a s ) . E n e l s i g u i e n t e t e o r e m a se d a u n m é l u d o p r á c t i c o p a r a e v a l u a r u n a in le g i al d o b l e e x p r e s á n d o l a c o m o u n a i n t e g r a l i t e r a d a (en c u a l q u i e r o rden).

El nombre del teorema 4 es en honor al matemático italiano Guido Fubini(1879-1943). quien demostró una versión muygeneral de

[~4~] Teorema de Fubini

S i / e s c o n tin u a en el rectángulo

R = {(.v, y) | a ^ x ^ b, c ^ y =£ d } , e n t o n c e s

este teorema en 1907. Pero casi un siglo antes, el matemático francés Augustin-Louis Cauchy

( j / ( * , y) d A = f * f df ( x , y) d y dx =

tenía conocimiento de la versión para funciones

J J R

[* /(* , Je

y)d x d y

continuas.

E n t é r m i n o s g e n e r a l e s , e s t o e s c i e r t o si se s u p o n e q u e / e s t á a c o t a d a s o b r e R , f e s d i s c o n t i n u a s ó l o e n un n ú m e r o finito d e c u r v a s s u a v e s y las i n t e g r a l e s i t e r a d a s e x is te n .

L a d e m o s t r a c i ó n d e l t e o r e m a d e F u b i n i e s m u y d i f íc il p a r a i n c l u i r l a e n e s t e l ib r o , p e r o al m e n o s se p u e d e d a r u n a i n d i c a c i ó n i n t u i t i v a de p o r q u é se c u m p l e p a r a e l c a s o d o n d e / (x , y ) ^

O. R e c u e r d e q u e si / e s p o s i t i v a , e n t o n c e s se p u e d e i n te r p r e t a r la i n t e g r a l d o b l e

/ Í r / ( * ’ y) d A c o m o e l v o l u m e n

V del

sólido 5 que e stá arrib a d e

d e b a j o d e la s u p e r f i -

c ie r = f ( x , y). P e r o se t ie n e o t r a f ó r m u l a q u e se u s ó p a r a e l v o l u m e n e n e l c a p í t u l o 6, a s a b e r,

Jét

FIGURA 1

A(x)dx

d o n d e A(a:) e s e l á r e a d e u n a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l de S e n e l p l a n o q u e p a s a p o r x y e s p e r -

EE3 Visual 152 ilustra el teorema de Fubini

p e n d i c u l a r al e je x. D e la f i g u r a

mostrando una animación de las figuras 1 y 2.

e c u a c i ó n es z = f ( x , y ), d o n d e x se m a n t i e n e c o n s t a n t e y c

se p u e d e v e r q u e

A ( at )

e s e l á r e a b a j o la c u r v a C c u y a y

d. P o r ta n t o ,

A ( x ) = \ df ( x t y) d y y tenem os

ff f ( x , y) d A =

V = P A(.v) dx = P

fV(.v, y)d y d x

U n a r g u m e n t o s i m il a r , c o n s e c c i o n e s t r a n s v e r s a l e s p e r p e n d i c u l a r e s al e je y c o m o e n la figura 2, m u e s tra que J J / ( .v , y) d A = f* f V ( . v , y) d x d y

SECCIÓN 15.2 Q

|2 ü iílü ¡ H

E v a l ú e la i n t e g r a l d o b l e J j^ (.v — 3 y 2 ) d A , d o n d e

R = {(.v , y ) | O Observe la respuesta negativa del ejemplo 2; no

985

INTEGRALES ITERADAS

2, 1

2}. ( C o m p a r e c o n e l e j e m p l o 3 d e la s e c c i ó n 15.1).

SOLUCIÓN 1 E l t e o r e m a d e F u b i n i d a

hay nada malo con eso. La función/en ese ejemplo no es una fundón positiva, así que su integral no representa un volumen. De la figura 3

se ve que/ es siempre negativa en R, así que

— 3y

c2 C2

= JQ

el volumen de la integral es el negativo del volumen que yace arriba de la gráfica d e / y

í 2 (.v -

debajo de R.

f2í , i >=2 [ .v y — y J >=1

■>

(x ~ t y ) dy dx

H '

7 ) dx

SOLUCIÓN 2 A l a p l i c a r d e n u e v o e l t e o r e m a de F u b i n i , p e r o e s t a v e z i n t e g r a n d o p r i m e r o r e s p e c t o a x , se o b t ie n e

ff (x -

3 y 2)dA

f‘ f" (x -

> i »o

3 y 2) d x d y

FIGURA 3 =

EESEU H

f ' (2 -

ó y2 ) rfy = 2 y -

2 y 3]; = - 1 2

E v a l ú e j j R y sen(.v y) d A , d o n d e R = [ 1 , 2 ] X [O, ir\.

SOLUCIÓN 1 Si se i n t e g r a p r i m e r o r e s p e c t o <xx, se o b t ie n e

y s e n ( .v v ) ú M

J * J ‘ y se n (xy )d x d y = J '[ - c o s ( .n ) ] ” i dy

% K

= | X ( —e o s 2 y +• e o s y ) d y |

14T

= — 2 se n 2 y + sen y j 0 = O SOLUCIÓN 2 Si se i n v i e r t e e l o r d e n d e i n t e g r a c i ó n , se o b t ie n e

|*|* y s e n ( .r y ) d A =

f * y s e n ( .v y ) d y d x

K Para una función/que tone valores positivos y negativos. JJ, f ( x , y) dA es una diferencia de volúmenes: V , - Vx, donde V, es el

P a r a e v a l u a r la i n t e g r a l i n t e r i o r se e m p l e a la i n t e g r a c i ó n p o r p a r te s c o n

volumen arriba de R y abajo de la gráfica d e / y es el volumen debajo de R y arriba de la gráfica. El hecho de que la integral del ejemplo

d v = se n ( x y ) d y

u = v

cos(.v y)

3 sea 0, significa que estos dos volúmenes

du — dy

son iguales. (Véase la figura 4.)

', p o r ta n t o ,

ry sen(.v y) d y = Jo

y c o s ( .w ) I

— ------------1— I

J y -0

1 r* + — | cos(xy) d y x «o

t t c o s t t x Ir w — -------------------- + — [sen ( vy)Jv. I— 1

"77COS 7TX

F IG U R A 4

sen

17A'

---------------------------------- ----------------- i —

■

986

CAPÍTULO 15

INTEGRALES MÚLTIPLES

Si a h o r a se i n t e g r a e l p r i m e r t é r m i n o p o r p a r t e s c o n u = — 1 ¡ x y dv = 7 r c o s t t x d x , se o b t i e n e d u = d x / x 2, u = se n

IT c o s /7 t j c \

O ' (

P o r ta n t o ,

t t x

-arcos

sen

f sen i,

t t x

se n 1

se n i r * \

t t x

(,- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

En el ejemplo 2, las soluciones 1 y 2 son igualmente directas, pero en el ejemplo 3, la primera solución es mucho más fácil que la

c 2 c~ Ji Jo y

y e n to n c es

r sen '^■■*■1 I — -— I

s e n \x y > d y d x ~

segunda. Por tanto, cuando se evalúan integrales dobles, es sabio elegir el orden de integración que da integrales más simples.

sen 2 7r 2

+ sen 77 = O

| E H 5 B C E H E n cu e n tre el v o lu m e n d el sólido S a c o ta d o p o r el p a rab o lo id e elíptico x 2 + 2 y 2 + z = 16, los p l a n o s x = 2 y y = 2 y los tre s p l a n o s c o o r d e n a d o s . SOLUCIÓN P r i m e r o se o b s e r v a q u e S e s e l s ó l i d o q u e y a c e d e b a j o d e l a s u p e r f i c i e z = 1 6 — x2 — 2 y 2 y a r r i b a d e l c u a d r a d o R = [O, 2 ] X [ 0 , 2 J . ( V é a s e la f i g u r a 5.) E s t e s ó l i d o se c o n s i d e r ó e n e l e j e m p l o 1 d e la s e c c i ó n 15.1, p e r c a h o r a se e s t á e n p o s i c i ó n d e e v a l u a r la i n t e g r a l d o b l e p o r m e d i o d e l t e o r e m a d e F u b i n i . Por t a n to ,

f f (1 6 JJ

2 y 2) d A =

.v2 -

f 2 f 2 (16 Jo Jo

*2 -

2 y 2) d x d y

fo2

[l6 .v

f 2

(

} .r 3

2 y 2x \ ~ ^ d y

FIGURA 5 VO

)

[ f y

j y 3 ]ó

4 8

E n e l c a s o e s p e c i a l d o n d e / ( a ; y ) se p u e d e f a c t o r iz a r c o m o e l p r o d u c t o d e u n a f u n c ió n d e x y u n a f u n c i ó n d e y, la i n t e g r a l d o b l e d e / se p u e d e e s c r i b i r e n u n a f o r m a p a r t i c u l a r m e n t e s i m p le . P a r a s e r e s p e c í f i c o s , s u p o n g a q u e f ( x , y ) = g ( x ) h ( y ) y R = [«, b] X [c, d]. E n to n c e s el te o re m a de Fubini d a

f f

f ( x , y) d A =

f rf

f% (.v )/z íy )

J e Ja

dx dy =

f *

\ b g{x)h{y) d x |^ * 'a

dy !

E n la i n te g r a l i n te r io r , y e s u n a c o n s t a n t e , a s í q u e h ( y ) e s u n a c o n s t a n t e y se p u e d e e s c r i b i r

dy=f*

jd y=¡*9(x)dxj*h(y)dy

p u e s t o q u e j* g{x) d x e s u n a c o n s t a n t e . E n c o n s e c u e n c i a , e n e s t e c a s o , la i n t e g r a l d o b l e de / s e p u e d e e s c r i b i r c o m o e l p r o d u c t o d e d o s i n t e g r a l e s s im p le s :

|~5~|

f f g{x)h{y) d A = f b g(x) d x f ¿ /l(y) d y %R

d o n d e R = [a, b] X [c, d]

SECCIÓN

15.2

INTEGRALES ITERADAS

Si R = [O, i r / 2 ] X [O, 7 r / 2 ], e n t o n c e s , m e d i a n t e la e c u a c i ó n 5,

E JE M P L O 5

f f se n x e o s y d A =

JJ H

f ^ sen x d x f ^ e o s y d y

= [ —e o s

[sen y ]o ^ =

•

I * I =

La función/ ( a , y) = sen x eos y en el ejemplo 5 es positiva sobre R. así que la integral representa el volumen del sólido que está arriba de R y abajo de la gráfica rostrada en la figura 6.

xjn

FIGURA 6

Ejercicios 1-2 Determ ine J05/ U y) d x y / „ '/ ( * . y) dy. 1. / ( x , y) = 12x2y 3

18. f f 1 + \ l + y

2. / ( x , y ) = y + A**

19.

R = {(.x,y) | O ^ .x ^

dA,

se n (.v + y ) d A ,

1,0 < y ^

R = [O , 7 r/b ] X [O,

tt/3 ]

3-14 Calcule la integral iterada. 3.

f* £ 2 ( 6 x 2y -

2.x) d y d x

4. f j f 2 (4.x3 - 9.x2y 2) d y d x

5. f 2 í * y 3e 2xd y d x Jo Jo

7. f I*( y + y 2 eos .x) d x d y J-3 Jo

11.

f* f ( - + - ) d y d x

J i Ji \ y f

Jo Jo

x )

v(u + v2)* du dv

f V2 f 5 e o s y d x d y Jn/6 J—1

ff JJ I + xy

R = [O, 1] X [O, l l

dA,

21. f f ye~*>dA,

R = [ 0 , 2 ] X [ 0 ,3 ]

22. f f

dA,

| f— — d y d x Ji Ji xy '

1 + .x + y

R = [1 ,3 ] X [1,2]

10. f ‘ V e x+* d x d y Jo Jo 12.

f .xyv x 2 + y 2 dy

Jo Jo

14. í ' f ' J s + t ds d t Ja J a

13. | í r s e n 2Q íi6 d r Jo Jo

20.

23-24 Bosqueje el sólido cuyo volum en está dado por la integral iterada. 23. f f (4 - a - 2y) d x d y Jo Jo 24. ( ' f ' ( 2 J a

-2 -

y 2) d y d x

15-22 Calcule la integral doble. 15. | f sen(.v — y) dA , R = {(.v, y) | O «3 v <£ ” / 2 , O <S¡ y *£> ~ / 2 }

16.

17.

ff ( y +

.xy'2) dA ,

f f —P-— d A , J* x + 1

R = {(a, y) | O ^ .x ^ 2,

y ^ 2}

R = {(.x, y) | O ^ .x ^ I, - 3 í y $ 3}

S e r e q u ie r e c a lc u la d o r a g r a f ic a d o r a o c o m p u t a d o r a

25. Encuentre el volumen del sólido que está debajo del plano 4.v + 6y — 2: + 15 = 0 y arriba del rectángulo R = {(a,y) | - 1 sí x «3 2, —i s = y s = l}. 26. Determ ine el volumen del sólido que está debajo del paraboloide hiperbólico z = 3y2 — x 2 + 2 arriba del rectángulo R = [ —1, 1J X LL 2].

|SA C jS e r e q u ie re s is t e m a a lg e b r a ic o c o m p u t a r i z a d o

1 . T a r e a s s u g e r i d a s d i s p o n i b le s e n s te w a r tc a lc u lu s .c o m

987

988

CAPÍTULO 15

INTEGRALES MÚLTIPLES

27. Encuentre el volumen del sólido que está debajo del paraboloide elíptico a t /4 + y 2/ 9 + z = I y arriba del rectángulo R = [ —1, 1] X [ —2, 2J.

35-36 Encuentre el valer promedio de / s o b r e el rectángulo dado.

28. Encuentre el volumen del sólido encerrado por la superficie z = 1 + ex sen y y los planos x = ± I, y = 0, y = 77

36. f ( x , y) = e \ / 7 T 7 y ,

35. f ( x , y) = x y , R tiene vértices ( —1 ,0 ), ( —1, 5), (1, 5), ( 1 , 0 ) R = [ 0 , 4 ] X [0 , l]

y - = 0. 37-38 Utilice la simetría para e v alu ar la integral doble. 29. Determ ine el volumen del sólido encerrado por la superficie z = x sec2y y los planos r = 0 , a = 0 , x = 2, y = 0 y y

37.

7 7 /4 .

30. Encuentre el volumen del sólido en el primer octante limitado por el cilindro z — 16 — x 2 y el plano y = 5. 31. Encuentre el volumen del sólido encerrado por el paraboloide z = 2 + x 2 + (y — 2)2 y los planos z — l , x = 1, x — — 1, y = 0 y y = 4.

A> A d A , V

R = { ( x , y) | - I s S x s S 1 ,0

38. l( (l + a 2sen y + y 2s e n x ) d A , R

f i ' - "— '— d y d x Jo Jo (x + y)3

los planos x = 0, x = 2, y = 0 y y = 4. A continuación encuentre su volumen.

el sólido cuyo volumen está dado por la integral.

[ —77, 77]

\ 39. Use un SAC para calcular las integrales iteradas

Kri 32. Grafique el sólido que se encuentra entre la superficie r = 2 x y / ( x 1 + 1) y el plano z = x + 2y y está acotado por

|S¿r| 33. Use un sistema algebraico com putarizado para h a lla re ! valor exacto de la integral jfR Xsy 3e * yd A , donde R = LO, 1J X [0, 1J. D espués use el SA C para dibujar

K— [ —77, 77]

f P - ~— ^-7 d x d y Jo Jo (X + y)3

¿L a s respuestas contradicen al teorema de Fubini? Explique lo que sucede. 40.

a) ¿En qué form a los teoremas de Fubini y Clairaut son similares? b) Si f { x , y ) es continua en L«, b] X Le, d] y

34. Grafique el sólido que yace entre las superficies

g{.\, y) = f x P f( s , t) dtds

r = e~* c o s ( a 2 + y 2) y : = 2 - x 2 - y 2 para | A' | ^ 1, | y | < 1. Use un sistema algebraico com putarizado para aproxim ar el volumen de este sólido a cuatro decimales.

•'« Je

para a < x < b , c < y < d, demuestre que gv = gyx = f ( x , y).

Integrales dobles sobre regiones generales P a r a i n t e g r a l e s s i m p l e s , la r e g i ó n s o b r e la q u e se i n t e g r a e s s i e m p r e u n i n te r v a l o . P e r o p a r a i n t e g r a l e s d o b l e s , se d e s e a p o d e r i n t e g r a r u n a f u n c i ó n / n o s ó l o s o b r e r e c t á n g u l o s , s i n o t n m h i é n s o b r e r e g i o n e s D d e f o r m a m á s g e n e r a l, c o m o la q u e se ilu s tr a e n la fi g u r a I S u p o n e m o s q u e D e s u n a r e g i ó n a c o t a d a , lo q u e s i g n i f i c a q u e D p u e d e s e r e n c e r r a d a en u n a r e g i ó n r e c t a n g u l a r R c o m o e n la f i g u r a 2. E n t o n c e s se d e f i n e u n a n u e v a f u n c i ó n F c o n d o m in io R m ed ia n te

si ( a ; y ) e s t á e n D

F IG U R A 1

( a ;

y ) está en R p e ro n o en D

F IG U R A 2

SECCIÓN 15.3

IN T E G R A .E S D O BLES SO BRE R EG IO N ES G E N E R A LE S

989

Si F e s i n t e g r a b l e s o b r e R y e n t o n c e s se d e f in e la i n t e g r a l d o b l e d e / s o b r e D m e d i a n t e

ff /(.v, y) d A = [f F{xy y) d A

d o n d e F e s t á d a d a p o r la e c u a c i ó n

L a d e f i n i c i ó n 2 t ie n e s e n t i d o p o r q u e R es u n r e c t á n g u l o y , p o r ta n t o , ffR F (x9 y) d A h a s i d o d e f i n i d a p r e v i a m e n t e e n la s e c c i ó n 15.1. E l p r o c e d i m i e n t o q u e se u s ó e s r a z o n a b l e FIGURA 3

p o r q u e lo s v a l o r e s d e F (x , y) s o n 0 c u a n d o (x, y) e s t á f u e r a d e D y , p o r c o n s i g u i e n t e , n o c o n t r i b u y e n a la i n te g r a l. E s t o s i g n i f i c a q u e n o i m p o r t a q u é r e c t á n g u l o R se u s e , s i e m p r e y c u a n d o c o n t e n g a a D. E n e l c a s o q u e f { x , y) > 0 , a ú n se p u e d e i n t e r p r e t a r a jjD f { x , y) d A c o m o e l v o l u m e n d e l s ó l i d o q u e e s t á a r r i b a d e D y d e b a j o d e la s u p e r f i c i e z = / ( * , y) ( la g r á f i c a d e / ) . S e p u e d e v e r q u e e s t o e s r a z o n a b l e si se c o m p a r a n las g r á f i c a s d e f y F e n las f i g u r a s 3 y 4 y se r e c u e r d a q u e JJ^ F(x, y) d A e s e l v o l u m e n d e b a j o d e l a g r á f i c a d e F. E n la f i g u r a 4 se m u e s t r a t a m b i é n q u e e s p r o b a b l e q u e F t e n g a d i s c o n t i n u i d a d e s e n los p u n t o s l ím i te d e D. S in e m b a r g o , si f e s c o n t i n u a s o b r e D y la c u r v a f r o n t e r a d e D t ie n e un “ b u e n c o m p o r t a m i e n t o ” (en un s e n t i d o fu e ra d e l a l c a n c e d e e s t e lib ro ), e n t o n c e s se p u e d e d e m o s t r a r q u e JJ^ F ( .r , y) d A e x i s t e y , p o r tan to , j j D f ( x , y) d A e x is te . E n p a r t i c u l a r , e s t e e s e l c a s o p a r a los s i g u i e n t e s tip o s d e r e g io n e s . S e d i c e q u e u n a r e g i ó n p l a n a D e s t i p o I s. y a c e e n t r e las g r á f i c a s d e d o s f u n c i o n e s c o n -

FIGURA 4

t i n u a s d e x, e s d e c i r ,

{(.v, y) |

b y gi(x )

=sy ^ 92Í.V)}

d o n d e g\ y gi son c o n t i n u a s s o b r e [« , b J. A l g u n o s e j e m p l o s d e r e g i o n e s t i p o I se m u e s t r a n e n l a f i g u r a 5.

FIGURA 5 Algunas regiones tipo I A fin d e e v a l u a r j f D / (.v , y) d A c u a n d o D es u n a r e g i ó n d e t ip o I, se e l i g e un r e c t á n g u l o R = [a, b ] X [c, d] q u e c o n t i e n e a D , c o m o e n la f i g u r a 6, y s e a F la f u n c i ó n d a d a p o r la e c u a c i ó n 1: e s d e c i r , F c o n c u e r d a c o n / so b re D y F e s 0 f u e r a d e D. E n t o n c e s , p o r e l t e o re m a d e Fubini,

J J f { x , y) d A = J J F(x, y ) d A = f J ' F(x, y) d y d x O b s e r v e q u e F ( x , y ) = 0 si y < gi(x) o y > gi{x) p o r q u e e n t o n c e s (*, y ) e s t á f u e r a d e D. P o r ta n t o , i * F ix, y) d y =

F IG U R A 6

p o r q u e F (x , y ) = f ( x , y) c u a n d o ^i(.r)

F{x,

y) d y

Jg>U)

y) d y

y =s g2(x). A s í , se t ie n e l a s i g u i e n t e f ó r m u l a q u e

p e r m i t e e v a l u a r la i n t e g r a l d o b l e c o m o u n a in te g r a l i te r a d a .

990

CAPÍTULO 15

INTEGRALES MÚLTIPLES

|~3~|

Si / e s c o n t i n u a s o b r e u n a r e g i ó n

D = {(.v, y) | a

t ip o I tal q u e

b, gi(x) ^ y ^ g2(.v)}

ff /(*> y ) d A = f* \'""'f(x, y) dy dx

e n to n c es

JJ D

J a Jg,(x)

-x

hx( y )

x = h2(y)

L a i n t e g r a l d e l l a d o d e r e c h o d e [T| e s u n a in te g r a l i t e r a d a q u e e s s i m i l a r a las c o n s i d e r a d a s e n la s e c c i ó n a n te r io r , e x c e p t o q u e e n la in te g r a l i n t e r i o r se c o n s i d e r a x c o m o u n a c o n s t a n t e n o s ó l o e n f ( x , y ) , s i n o t a m b i é n e n lo s l ím ite s d e i n t e g r a c i ó n , <7i(x) y gi{x). S e c o n s i d e r a n t a m b i é n las r e g i o n e s p l a n a s t i p o I I , q u e se p u e d e n e x p r e s a r c o m o

D={(*»y) | c

A,(y) .v^/i2(y)}

d o n d e h\ y /?2 s o n c o n t i n u a s . E n l a f i g u r a 7 se ilu s tra n d o s r e g i o n e s d e e s t e tip o. Si se u s a n lo s m i s m o s m é t o d o s q u e se e m p l e a r o n p a r a e s t a b l e c e r [3 ], se p u e d e d e m o stra r que

F IG U R A 7

ff f (x , y) dA = f r ’7(,, y) dx dy

Algunas regiones tipo

donde

D es

E f f l M

Je Jft.(y)

u n a r e g i ó n t ip o II d a d a p o r la e c u a c i ó n 4.

E valúe

jjD (.v

4- 2 y )

dA,

donde

D es

la r e g i ó n a c o t a d a p o r las p a r á b o l a s

y = 2 a t y y = 1 4- x 1. SOLUCIÓN L a s p a r á b o l a s se c o r t a n c u a n d o 2 ; r = 1 4- j t , e s d e c i r , x 1 = 1: p o r t a n to , x = ± 1. S e n o t a q u e la r e g i ó n D , b o s q u e j a d a e n la f i g u r a 8, e s u n a r e g i ó n t i p o I, p e r o n o u n a r e g i ó n t i p o II, y se p u e d e e s c r i b i r

D =

{(*»

\ -

P u e s t o q u e la f r o n t e r a i n f e r i o r e s y =

=5 1 ,

2 x 2 =£

.v2}

y la f r o n t e r a s u p e r i o r e s y =

1: + nr, la

ecuación 3 da

JJ D

(.v

4 -2 y )

P Í‘+T (x+ 2 y)d y d x

J —1 J lx 2

= [xy+y2]%^dx =

P [.V( 1 4- X 2) 4- (1 4- .v2)2 » —I

x ( 2 x 2) -

( —3.v4 - x 3 + 2:c2 + .v + 1)

X5 V4 = - 3 ----------5 4

( 2 x 2)2] d x

X3 X2 4 - 2 -4- ------+ X \ 3 2 J_ T

32 15

SECCIÓN

N O TA

15 . 3

I N T E G R A . E S DOBLES SOBRE R EGI ONES G EN ERAL ES

991

C u a n d o se p l a n t e a u n a i n t e g r a l d c b l e c o r n o e n e l e j e m p l o 1, e s e s e n c i a l d i b u j a r

un d i a g r a m a . A m e n u d o e s ú til d i b u j a r u n a f l e c h a v e r t i c a l c o m o e n la f i g u r a 8. E n t o n c e s lo s l í m i te s d e i n t e g r a c i ó n d e la i n t e g r a l interna se le e n d e l d i a g r a m a c o m o sig u e : la f l e c h a c o m i e n z a e n e l l í m i t e i n f e r i o r y = gi(x), q u e d a e l l í m i t e i n f e r i o r e n l a i n t e g r a l , y la f l e c h a t e r m i n a e n e l l ím i te s u p e r i o r y = 02C*)» q u e d a e l l ím i te s u p e r i o r d e i n t e g r a c i ó n . P a r a u n a r e g i ó n t ip o I I , la f l e c h a se t r a z a h o r i z o n t a l m e n t e d e l l ím i te i z q u i e r d o al d e r e c h o .

E JE M P L O 2

E n c u e n t r e e l v o l u m e n d e l s ó lid o q u e y a c e d e b a j o d e l p a r a b o l o i d e

z = x 1 + y 2 y a r r i b a d e la r e g i ó n D e n e l p l a n o x y a c o t a d o p o r la r e c t a y = 2 x y la p a r á b o l a y = x 1. SOLUCIÓN 1 E n l a f i g u r a 9 se v e q u e D e s u n a r e g i ó n t ip o I y

D = {(.v, y) | O

2 , .v2

2.v}

Por tanto, el v o lu m e n d e b a jo de : = x 1 + y 2y arrib a de D es

F IG U R A 9

V = (\ ( x 2 + y 2 ) d A =

D e s u n a r e g i ó n t ip o I

.y7 F IG U R A 10

.y5

i T - T

7t 4T + -

[

x (x2 + y 2) d y d x

J x 2

216

0- ! F -

D c o m o u n a r e g i ó n tip o 11

SOLUCIÓN 2 D e la f i g u r a 10 se v e q u e D p u e d e e s c r i b i r s e t a m b i é n c o m o u n a r e g i ó n En la figura 11 se muestra el sólido cuyo volumen se calcula en el ejemplo 2. Está

t ip o I I :

arriba del plano xy, debajo del paraboloide

z = jt2 + / y entre el plano y = 2 * y el cilindro parabólico y = x2.

D = {(.v, y) | O s y =s 4 , j y s * =s J y }

Por tanto, otra e x p resió n p a ra V es -A

V = ( j ( x 2 + y 2) d A = £ f ' J ( x 2 + y 2) d x d y b

F IG U R A 11

i . v 5/2 , 2 7 / 2 _ 13 4j 4 _ 216 + y 96y jo —

— y

992

CAPÍTULO 15

INTEGRALES MÚLTIPLES

Q EfflJEH

E v a l ú e j j D x y dA, d o n d e D e s la r e g ió n a c o t a d a p o r la r e c t a y

— 1y

la p a r á b o l a y 2 = 2 x + 6. SOLUCIÓN L a r e g i ó n D se m u e s t r a e n la f i g u r a 12. D e n u e v o D e s t i p o I y t ip o II, p e r o la d e s c r i p c i ó n d e D c o m o u n a r e g i ó n t i p o I e s m á s c o m p l i c a d a p o r q u e e l l ím i te i n f e r i o r c o n s t a d e d o s p a r te s . P o r ta n t o , se p r e fi e r e e x p r e s a r a D c o m o u n a r e g i ó n t ip o II:

D como una región tipo I

F IG U R A 12

b) D como una región tipo II

E n t o n c e s [T\ d a

ff*

= í Í S b

c( i[

1 + O2

1 -

(Jy 2

+ 4y3 +

[ t yL - , -

3 ) 2] r f y

2y2 - 8 y j

- + y4 + 2 — 3

Si se h u b i e r a e x p r e s a d o a D c o m o u n a r e g i ó n tip o I p o r m e d i o d e la f i g u r a 12a), e n t o n c e s se h a b r í a o b t e n i d o

j j xydA = J - ‘

xydydx + £

j^xyd yd x

p e r o e s t o h a b r í a r e q u e r i d o m á s t r a b a j o q u e e l o tro m é t o d o . E JE M P L O 4

E n c u e n t r e e l v o l u m e n d e l t e t r a e d r o a c o t a d o p o r lo s p l a n o s x + 2y + z = 2,

x = 2y, x = 0 y z = 0. y

SOLUCIÓN E n u n a p r e g u n t a c o m o é s t a , e s a c o n s e j a b l e d i b u j a r d o s d i a g r a m a s : u n a d e l

.v + 2 y = 2

s ó l i d o t r i d i m e n s i o n a l y o t r a d e la r e g i ó n p l a n a D so b re la c u a l y a c e . E n la f i g u r a 13 se

(o y = 1 —

m u e s t r a e l t e t r a e d r o T a c o t a d o p o r los p l a n o s c o o r d e n a d o s x = 0 , z = 0 , e l p l a n o v e r ti c a l

x ¡2 )

x = 2 y y e l p l a n o x + 2 y + z = 2. P u e s t o q u e e l p l a n o x + 2y + z = 2 c o r t a al p l a n o xy ( c u y a e c u a c i ó n e s r = 0 ) e n la r e c t a x + 2 y = 2 , se v e q u e T e s t á a r r i b a d e la r e g ió n t r i a n g u l a r D e n e l p l a n o xy a c o t a d o p o r las r e c t a s x = 2y, x + 2y = 2 y x = 0. ( V é a s e la

D ^

F IG U R A 14

> (1 .4 ) =

x /

f i g u r a 14).

2 i 1

E l p l a n o x + 2 y 4* z = 2 se p u e d e e s c r i b i r c o m o z = 2 — x — 2 y , a s í q u e e l v o l u m e n r e q u e r i d o se l o c a l i z a d e b a j o d e la g r á f i c a d e l a fu n c ió n z = 2 — x — 2 y y a r r i b a d e { (.V ,

y) I 0 ss x «s 1, x/2 í y í

l - x/2¡

SECCIÓN

I N T E G R A . E S DOBLES SOBRE R EGI ONES G EN ERAL ES

15 . 3

993

Por c o n siguiente,

V = f f (2 - x - 2y) d A /•I f l - x / 2

f Jo

í, Jx/2

\y) d y dx

□

EJEM PLO

( .V 2

2 x + 1) d x

, ]' ---------- .V 2 + x I 3

E v a l ú e la i n t e g r a l i t e r a d a /q

1 — 3

J()

J sen ( y ~ ) d y d :

SOLUCIÓN Si se in te n ta e v a l u a r la inte gral c o m o ésta, se e n fre n t a la tarea d e e v a l u a r p rim e ro J se n ( y 2) ¿/y. P e r o e s i m p o s i b l e h a c e r l o e n t é r m i n o s fi n it o s , p u e s t o q u e J sen ( y 2) d y n o e s u n a f u n c i ó n e l e m e n t a l . ( V é a s e e l fin d e la s e c c i ó n 7 .5 .) A s í q u e se d e b e c a m b i a r e l o r d e n d e i n t e g r a c i ó n . E s t o se l l e v a a c a b o al e x p r e s a r p r i m e r o la i n t e g r a l i t e r a d a d a d a c o m o u n a i n t e g r a l d o b l e . Si se u s a [T] h a c i a a tr á s , se tiene

f sen ( y 2) d y d x = 11 sen ( y 2 ) dA D

F IG U R A 15

D = {(.v , y) | 0 «s .r

donde

D c o m o una región tipo I S e b o s q u e j a e s t a r e g i ó n D e n la f i g u r a 15. D e s p u é s , d e la f i g u r a 16 se v e q u e u n a d e s c r i p c i ó n a l t e r n a t i v a d e D es

D = { ( * , y ) | 0 ^ y «s 1 , O « * «s y } E s t o p e r m i t e u s a r [ 5 ] p a r a e x p r e s a r la in te g r a l d o b l e c o m o u n a i n t e g r a l i t e r a d a en el o rd en inverso:

f sen ( y 2) d y d x = | | sen ( y 2) JA o =

F IG U R A 16

C í Vs e n ( y 2) í / j c í / y = + i) » U

[ j c s e n ( y 2) ] ^ d y

D c o m o una región tipo II =

y s e n ( y 2) d y =

— í c o s ( y 2)]ó = t { 1

eos l)

P r o p ie d a d e s de l a s in t e g r a le s dobles S u p o n e m o s q u e t o d a s las s i g u i e n t e s i n te g r a l e s e x is te n . L a s tr e s p r i m e r a s p r o p i e d a d e s d e las i n t e g r a l e s d o b l e s s o b r e u n a r e g i ó n D se d e d u c e n d e i n m e d i a t o d e la d e f i n i c i ó n 2 y las p r o p i e d a d e s 7 , 8 y 9 e n la s e c c i ó n 15.1.

ff D

[/(* .

y) g(X, y)] d A = f f f ( x , y ) d A + f f g (\\ y ) dA +

f f c f { x , y ) d A = c f f / ( .v , y ) d A

994

CAPÍTULO 15

INTEGRALES MÚLTIPLES

Si /(.r, y) > g(x, y) p a r a t o d a ( x , y ) e n D , e n t o n c e s

ff /(*»y)dA> JJ 0U. y)

L a s i g u i e n t e p r o p i e d a d d e las i n t e g r a l e s d o b l e s e s s i m i l a r a la p r o p i e d a d d e las i n t e g r a les s i m p l e s d a d a p o r l a e c u a c i ó n J *f(x) Si

Dz,

donde Di y

dx = J *f(x) dx + j*f(x) dx.

n o se t r a s la p a n , e x c e p t o q u i z á s e n s u s l í m i te s ( v é a s e

la f i g u r a 17), e n t o n c e s

0 L a p r o p i e d a d 9 se p u e d e u s a r p a r a e v a l u a r las i n t e g r a l e s d o b l e s e n las r e g i o n e s D q u e n o s o n ni t ip o I ni II, p e r o p u e d e n e x p r e s a r s e c o m o u n a u n i ó n d e r e g i o n e s t ip o I o t ip o II. E n l a f i g u r a 18 se i l u s t r a e s t e p r o c e d i m i e n t o . ( V é a n s e los e j e r c i c i o s 5 5 y 56 .)

FIGURA 18

a) D no es tipo I ni tipo II

D = D x U D 2, D x es tipo I, y D 2 es tipo II.

L a s i g u i e n t e p r o p i e d a d d e las i n t e g r a l e s e s t a b l e c e q u e si se i n t e g r a la f u n c i ó n c o n s t a n t e

f ( x , y) = 1 s o b r e u n a r e g i ó n D , se o b t i e n e e l á r e a d e D:

E n la f i g u r a 19 se i l u s t r a p o r q u é e s c i e r t a l a e c u a c i ó n 10: u n c i l i n d r o s ó l i d o c u y a b a s e e s D y c u y a a l t u r a e s 1 t ie n e u n v o l u m e n puede escribir tam bién c o m o

A(D) •

1 =

A(D),

p e r o se s a b e q u e su v o l u m e n se

dA.

P o r ú l t i m o , se p u e d e n c o m b i n a r las p r o p i e d a d e s 7 , 8 y 10 p a r a p r o b a r la s i g u i e n t e p r o p i e d a d . ( V é a s e e l e j e r c i c i o 6 1.)

[iT]

FIGURA 19 Cilindro con base D y altura 1

Si m ^ f ( x , y )

M p a r a t o d a (x , y) e n D , e n t o n c e s m A \D ) =£

ff f ( x , y) dA

M AiD )

SECCION 15.3 E JE M P L O 6

995

I N T E G R A . E S DOBLES SOBRE R EGI ONES G EN ERAL ES

U s e la p r o p i e d a d 11 p a r a e s t i m a r la i n t e g r a l

e x * xCOSyd A , d o n d e D e s el

d i s c o c o n c e n t r o e n e l o r i g e n y r a d i o 2. SOLUCIÓN D a d o q u e — 1 ^ se n x ^

1 y —1 ^ cos y

1, se t ie n e — 1 =s sen x c o s y ^

y , p o r t a n to , e

-1

.* 1 1 v C C K y

<5 e

. 1

= e

A s í , u s a n d o m = e ~ l = \ ¡ e , M = e y A \ D ) = 7 r (2 ) 2 e n la p r o p i e d a d 11, se o b t ie n e

4 9T

«S f f c xnica iyd A < 4 w e

Ejercicios 1-6 Evalúe la integral iterada.

14.

2-í l í {x~y)dydx

'• r . c > ( > ! d i d >'

3. Jo' J ‘ (l + 2 y ) d y d x

4. f J f " x y d x d y Ja Jy

6. I f

f ' f f c o s ( r *) d t ds

Jn Ja

D está encerrada por las curvas y = x 1, y = 3x

xy dA,

15-16 Plantee integrales iteradas para am bos ó rdenes de integración. D e s p j é s evalúe la integral doble usando el orden m ás fácil y explique p o r q u é es m ás fácil.

d 1 + e v dw dv 15.

y dA,

D está acotada por y = x — 2, x = y 2

*z> 7-10 Evalúe la integral doble. 7.

16. y 2 dA,

D — {(.v,

y )

| —1 < y < I, - y - 2

a- < y}

D está acotada por y = x, y = 4, x = 0

y 2e*y d A .

8. J J y + | d A ,

D = {(.v, y) | 0 < . v < l , 0 < y < -v2)

17-22 Evalúe la integral doble.

xdA,

D « {(.v. y ) | O

v í i r . O Í y <£ sen.v}

17.

o | f x 3 ¿/A,

10.

D ™ {(.v, y) | I í .v í e, O <5 v «S ln .v}

D esta acotada por y = 0, y = x 2, x = 1

X cos y dA,

18.

(x 2 + 2>) dA,

D está acotada por y = x, y = x 3, x

19.

> 2 rfA.

D e s la región triangular con vértices (0, I), (1, 2) y (4, 1)

11. E sboce un ejemplo de una región que es a) tipo 1 pero nc tipo II b) tipo II pero no tipo I

20.

x y 1 dA ,

D está encerrada por x = 0 y .v = \ I — y 2

12. Dibuje un ejemplo de una región que es a) de tipo I y tipo II b) ni tipo I ni tipo II

21. | J (2.1 - y) dA, *j> D está acotada por la circunferencia con centro en el origen y radio 2

13-14 Exprese D como una región tipo I y también com o una región tipo II. Después evalúe en las d o s m aneras la integral 22.

doble.

2* y d A ,

D es la región triangular con vértices (0, 0), (1, 2)

y (0, 3) 13. | f .í¿7A,

D está encerrada por las rectas y = x, y = 0, ( 1 ,2 ) y (0 ,3 )

x = 1

S e r e q u ie r e c a lc u la d o r a g r a f ic a d o r a o c o m p u t a d o r a

|S£C| S e

r e q u ie re s is te m a a lg e b r a ic o c o m p u t a r i z a d o

1. T a r e a s s u g e r i d a s

d i s p o n i b le s e n s te w a r tc a lc u lu s .c o m

996

CAPÍTULO 15

INTEGRALES MÚLTIPLES

23-32 Encuentre el volumen del sólido dado.

40.

Entre los paraboloides z = 2a~ +

y 2 y : = 8 — x 2 —2y 2 y

dentro del cilindro x2 + y 2 = 1

23. Bajo el plano x — 2y + z = 1 y arriba de la región acotada por x + y — 1 y xr + y = 1

41.

Encerrado por z =

l — x2 — y 2 y z = 0

24. Bajo la superficie 2 = 1 + x*y2 y arriba de la región acotada

42.

Encerrado por : =

r + y 2 y : = 2y

por x = y 2 y x = 4 25. Bajo de la superficie z = xy y arriba del triángulo con vértices (1, 1), (4, 1) y (1, 2)

43-48 Bosqueje la región de integración y cam bie el orden de integración.

26. E ncerrado por el paraboloide z = x2 + 3y2 y los planos x = 0, y = 1, y = x , z = 0

43.

| '\ y f ( x , y) d x d y

27. Acotado por los plano; c oordenados y el plano 3

44. | ‘

Jo Jo

w/2 f e o * x

28. Acotado por los plano; z = x , y = x , a + y = 2 y : = 0

47.

f { x , y) d y d x Jx *

/ (.x ,y ) d y d x

f ‘ f 'm* f ( x , y ) d y d x

f , A —>J

46. |

f í x , y) d x d y

48. I ' f * 4 f ( x , y) d y d x

J I JO

JO « a r c t a a x

29. Acotado por los cilindros z = x2, y == a 2 y los planos z = 0, y = 4 30. Acotado por el cilindro y 2 + z2 = 4 y los planos a = 0, - = 0 en el primer octante

= 2y,

31. Acotado por el cilindro x 2 + y 2 = 1 y los planos

= z.

49. f í e x d x d y JO

= 0, - = 0 en el primer octante

49-54 Evalúe la integral inviniendo el orden de integración. 50.

Jjy

51. f í~ —p!------d y d x Jo ¡yfx y 3 +

52.

c o s ( x 2) V '

dx d y

I V e 1^ d y d x

jo J.t

32. Acotado por los cilindros a 2 + y 2 = r2 y y 2 + z2 = r2 53. f

|*^

Krl

33.

Use una calculadora graficadora o com p utad ora para estim ar las coo rdenadas a de los puntos de intersección de las curvas

eos x y 11 +

c o s 2a

dxdy

J a R aen y

54. f8 \ ' _ e x*d x d y Jo

J;7

y — a 4 y y = 3* — x 2. Si D es la región acotada por estas curvas, estime 11^ .v dA. £ 3

34.

Encuentre el volumen aproxim ado del sólido en el primer ociante que está acotado por los planos y = x, z = 0 y z = a y el cilindro y = e o s x (Use un dispositivo de graficación para estim ar los puntos de intersección.)

55-56 Exprese a D como una unión de regiones tipo I o tipo II y evalúe la integral. 55.

f|V ¿ A

56. f f y

% D

í>

35-36 Encuentre el volumen del sólido restando dos volúmenes. 35.

El sólido encerrado por los cilindros parabólicos y = 1 — x 2, y = x 2 — 1 y los planos x + y + r = 2, 2 a + 2y - z + 10 = 0

36.

El sólido encerrado por el cilindro parabólico y = x2 y los planos z = 3y , z = 2 + y

37-38 Trace un sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada. 37.

|SAC |

' f

Jo Jo

57-58 Use la propiedad 1 1 para estim ar el valor de la integral.

*(1

—

JC —

dy d x

38.

f '

I*'

Jo Jo

* (1

— x) dy dx

39-42 Use un sistema algebraico com putarizado para hallar el volum en exacto del sólido.

57.

e {j,J+y,v dA , Q e s el cuarto de circunferencia con centro Q en el origen y radio 3 en el primer cuadrante

58. f( sen*(.v + y) dA ,

T es el triángulo encerrado por las rectas

39. Bajo la superficie z = AJy4 + x y 2 y arriba de la región acotada por las c urvas y = x 3 — x y y = x2 + x para x ^ 0.

= 0, y = 2 a y x = 1

SECCIÓN

59-60 Encuentre el valor promedio d e / s o b r e la región D. 59. f { x , y) = xy,

15 .4

I N T E G R A L E S D O B L E S EN C O O R D E N A D A S P O L A R E S

64. ff s / R 2 - x 2 - y 2 dA,

L es el triángulo con vértices (O, 0), (1, 0)

D e s el disco con centro el origen

y d ,3 ) 60. f ( x , y ) = x sen y, y = x2y x = I

997

D está encerrado por las curvas y = 0,

65.

radio R.

(2.x + 3y) dA..

*i> D e s el rectángulo 0 < .x < a, 0 < y < b

61. Dem uestre la propiedad 11.

66. ff (2 + .r2y 3 — y 2 sen .v) dA ,

62. Al evaluar una ir.tegral doble sobre una región D, se obtuvo una suma de integrales iteradas com o sigue: ff / ( * , y) d A = £ D

y) d x d y + J* £

67.

yf ( x , y) d x d y

(a.x3 + by'J + y / a 2 - x 2 ) d A ,

D = [-< 2, a] X \ - b , b ]

Bosqueje la región D y exprese la integral doble c om o una integral iterada con orden inverso de integración.

68. Dibuje el sólido acotado por el plano x + y + z = 1 y el paraboloide z = 4 — x 1 — y 2 y encuentre su volumen exacto. (Use su SA C para construir la gráfica, hallar las ecuaciones

63-67 Utilice geometría o simetría, o ambas, para evaluar la integral doble. 63. JT (.x + 2) d A ,

£-{fr.y>|M + M*si}

de las curvas límite de la región de integración y e valuar la integral doble.)

D = {(.x, y) | 0 ^ y < v '9 - .x2}

Integrales dobles en coordenadas polares S u p o n g a m o s q u e se d e s e a e v a l u a r u n a in te g r a l d o b l e J

f ( x , y) d A , d o n d e R e s u n a d e las

r e g i o n e s m o s t r a d a s e n la f i g u r a 1. E n c u a l q u i e r c a s o , la d e s c r i p c i ó n d e R e n t é r m i n o s de c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s e s b a s t a n t e c o m p l i c a d a , p e r o R se d e s c r i b e f á c i l m e n t e p o r m e d i o d e c o o r d e n a d a s p o la r e s.

FIGURA 1

R e c u e r d e d e la f i g u r a 2 q u e las c o o r d e n a d a s p o l a r e s ( r , 9 ) d e u n p u n t o se r e l a c i o n a n c o n las c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s (x, y ) m e d i a n t e las e c u a c i o n e s ?(/-, 0) = P {x,y) r 2 = .v2 + y 2

.v = r e o s 0

y = r se n 6

( V é a s e l a s e c c i ó n 10.3.) L a s r e g i o n e s d e la f i g u r a 1 son c a s o s e s p e c i a l e s d e u n r e c t á n g u l o p o l a r

F IG U R A 2

R = {(/*, 0) | a

r =£ b, a ^ 6«

/8}

998

CAPÍTULO 15

INTEGRALES MÚLTIPLES

q u e se m u e s t r a e n la f i g u r a 3. A fin d e c a l c u l a r l a i n t e g r a l d o b l e

/(.V, y) dA, d o n d e R e s

un r e c t á n g u l o p o l a r , se d i v i d e e l i n t e r v a l o [ í 7, b] e n ni s u b i n t e r v a l o s

[ r< - i , r ¿ ] d e i g u a l

a n c h o I r = [b — a ) /m y se d i v i d e e l i n t e r v a l o [cr, /3] e n n s u b i n t e r v a l o s [fy-1, fy] d e i g u a l a n c h o A 0 = (¡3 — Ot)/n. E n t o n c e s l a s c . r c u n f e r e n c i a s r = /y y l o s r a y o s 6 = 9j d i v id e n al re c t á n g u l o p o l a r R e n los p e q u e ñ o s re ctán g u lo s p o la r e s R,j m o s t r a d o s e n la figu ra 4.

FIGURA 3 Rectángulo polar

FIGURA 4 División de R en subrectángulos

El “ c e n tro ” del sub re ctá n g u lo polar

Rij = {(r, 9) I r¡-i ^ r =s r f, fy-\ ^ 9 ^ fy] t ie n e c o o r d e n a d a s p o l a r e s

9 f = i 1fy-1 + fy)

r ? = j U 'i - i + t'í)

S e c a l c u l a e l á r e a d e R# u s a n d o e l h e c h o d e q u e e l á r e a d e un s e c t o r d e u n c í r c u l o c o n r a d io r y á n g u l o c e n t r a l 6 e s y r~9. A l r e s t a r las á r e a s de d o s s e c t o r e s d e e s t a c l a s e , c a d a u n o de lo s c u a l e s t ie n e á n g u l o c e n t r a l 1 9 = 9j — 9j-\ , se e n c u e n t r a q u e e l á r e a d e R,; e s

A A = j r f A 9 - \ r ? - i A 9 = i ( r } - r j * - ,) A 9

= í(r, +

- /•»_,) A 9 = r? I r A 6

A u n q u e se h a d e f i n i d o la i n t e g r a l d o b l e JJR /(.y , y) d A e n t é r m i n o s d e r e c t á n g u l o s o r d i n a r i o s , se p u e d e d e m o s t r a r q u e , p a r a f u n c i o n e s c o n t i n u a s / , se o b t i e n e s i e m p r e la m i s m a r e s p u e s t a p o r m e d i o d e r e c t á n g u l o s p o l a r e s . L a s c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s d e l c e n t r o d e Rv s o n {r* e o s 0 * , r * se n 0 * ) , d e m o d o q u e u n a s u m a d e R i e m a n n r e p r e s e n t a t i v a e s

f/ i

□

r/i

2 / ( '• * e o s 0 * . r * se n

2 /W

c o s #*> r f se n 0 ? )

Si se e s c r i b e g(r ,. 0) = / / ( r e o s 6, r sen 0), e n to n c e s la s u m a d e R i e m a n n e n la e c u a c i ó n 1 se p u e d e e s c r i b i r c o m o

i ¿ g(r?, # / ) A r 1 6

i= 1;=l

SECCIÓN

15.4

I N T E G R A L E S D O B L E S EN C O O R D E N A D A S P O L A R E S

999

q u e es u n a s u m a d e R iem a n n p a ra la in teg ral d o b le

f * i bg(r, 0) dr d 6

J a Ja

P o r ta n t o , se t ie n e "

A»

11 f ( x >>’) ^

lím

iV .

f (r * c o s 0 ? » r * se n o?)

sto** 0 * ) A r A 0 = |

a a

f ’ «70% 0 ) d r d 0

í / V e o s 0 , r se n 0 ) r <ir dO

|~2~| C a m b io a c o o rd e n a d a s p o la re s en una in te g ra l d oble

r e c t á n g u l o p o l a r /? d a d o p o r

S i / e s c o n t i n u a e n un

¡3, d o n d e

ft — o í

2 7 T,

e n to n c es

fí /(*» >')dA — |

/{ re o s

0 , r s e n 0) r d r d O

L a f ó r m u l a e n [T| i n d i c a q u e se c o n v i e r t e de c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s a p o l a r e s e n u n a i n t e g r a l d o b l e si se e s c r i b e x = r c o s 0 y y = r sen 0, u s a n d o lo s l í m i te s d e i n t e g r a c i ó n a p r o p i a d o s p a r a r y 0, y r e m p l a z a r ¿¿4 p o r rdrdO . T e n g a c u i d a d o d e n o olv i d a r e l f a c t o r a d ic i o n a l r e n e l l a d o d e r e c h o d e la f ó r m u l a 2. U n m é t o d o c l á s i c o p a r a r e c o r d a r e s t o se m u e s t r a e n la f i g u r a 5, d o n d e e l r e c t á n g u l o p o l a r “ i n f i n i t e s i m a l ” se p u e d e c o n s i d e r a r c o m o u n r e c t á n g u l o

.dA

d6^ X ' X K dr

rdO

o r d i n a r i o c o n d i m e n s i o n e s rdO y d r y , p o r tan to , t ie n e “ á r e a ” dA = r d r dd.

Q 3 5 B ÍD

E valúe

(3.V + 4 y 2 1dA, d o n d e R e s la r e g i ó n e n e l s e m i p l a n o s u p e r i o r

a c o t a d o p o r las c i r c u n f e r e n c i a s j r + y 1 = 1 y x 1 + y 2 = 4. SOLUCIÓN L a r e g i ó n R se p u e d e d e s c r i b i r c o m o

R={(*>y) I y>o, i « *2+y ^4} 2

F IG U R A 5

E s la m it a d 1 =s r

d e a n il l o m o s t r a d a e n la f i g u r a Ib), y e n c o o r d e n a d a s p o l a r e s e s t á d a d a p o r

2, O ^

77. P o r ta n t o , p o r la f ó r m u l a 2 ,

{3.v + 4 y 2) d A =

( 3 r c o s 0 + 4 r 2 s e n 20 ) r d r d O

H ( 3 r 2 c o s 0 + 4/*3 s e n 20 ) d r d 9

= I f/,3c o s 0 4- r 4 se n 20]"™7 dO = | .'0

Aquí usamos la identidad trigonométrica

sen2i9 = t ( 1 —cos 2 0) Véase la sección 7.2 para sugerencias sobre la integración trigonométrea.

( 7 c o s 0 + 1 5 s e n 20 ) ¿ / 0

[7 COS 0 + - y ( l — e o s 2 0 ) ] do

150 15 = 7 sen 0 H--------------------- s e n 2 0 2 4

15^77

1000

CAPÍTULO 15

INTEGRALES MÚLTIPLES

E U Z H IH

p a rab o lo id e

E n cu e n tre el v o lu m e n d el sólido acotado p o r el p lan o

O y el

z = 1 — x1 — yr.

SOLUCIÓN Si z = O e n l a e c u a c i ó n d e l p a r a b o l o i d e , se o b t i e n e xr + y2 = 1. E s t o s i g n i f i c a q u e e l p l a n o c o r t a al p a r a b o l o i d e e n la c i r c u n f e r e n c i a x 1 + y2 =

1, a s í q u e e l s ó l i d o

e s t á b a j o e l p a r a b o l o i d e y a r r i b a d e l d i s c o c i r c u l a r D d a d o p o r x 1 + y2 =s I [ v é a n s e las f i g u r a s 6 y la ) ] . E n c o o r d e n a d a s p o l a r e s D e s t á d a d a p o r 0 ^ 7 ’ ^

1, 0

0 ^ 27r.

P u e s t o q u e 1 — xr — y 2 = 1 — r 2, e l v o l u m e n e s

V = ff (1 - x~ - y 2) d A = P ' I'1 (1 - r - ) r d r d d JJ

[_ 2

J ()

Si se h u b i e r a n e m p l e a d o c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s , e n l u g a r d e c o o r d e n a d a s p o l a r e s , e n t o n c e s se h a b r í a o b t e n i d o

V = ff (1 - .v2 - y 2)dA = i* f N,J _ ( l - x 2 - y 2) d y d x J - i J-v i -x2

JJ D

q u e n o e s fá cil e v a l u a r p o r q u e se r e q u i e r e h a l l a r la i n t e g r a l J’ fl — X2 )2^2 dx.

■

L o q u e h e m o s h e c h o h a s t a a q u í se p u e d e e x t e n d e r al t ip o d e r e g i ó n m á s c o m p l i c a d a de la f i g u r a 7. E s s i m i l a r a las r e g i o n e s r e c t a n g u l a r e s t ip o II c o n s i d e r a d a s e n la s e c c i ó n 15.3. D e h e c h o , al c o m b i n a r la f ó r m u l a 2 d e e s t a s e c c ió n c o n la f ó r m u l a 1 5 .3 .5 , se o b t i e n e la s i g u i e n t e f ó r m u la .

Si / e s c o n t i n u a s o b r e u n a r e g i ó n p o l a r de la f o r m a

D = {(7% 0) | Oí =5 o =s /3, hi(O) =ss 7• =£ h2(0)}

en to n ces F IG U R A 7

D = {(;•, B) | a

6 ^ /3,/7,(Í)=s

[ [ / ( .* , y ) dA = | f ^ / { r e o s 0, r s e n 6) r d r d d JJ va ./;,{-)}

hz(6)} I, h\{B) = O y h2($) = h{Q) e n e s t a f ó r m u l a , se ve

E n p a r t i c u l a r , si se t o m a / ( * , y) =

q u e e l á r e a d e la r e g i ó n D a c o t a d a p o r 9 = oc, 6 = (3 y l' = h{ 9 1 e s

A{D) =

f f

dA =

• M í) f

J« Jo

r d rd O

y e s t o c o n c u e r d a c o n l a f ó r m u l a 10.4.3. Q

Q E 5Q H 1

U s e la i n t e g r a l d o b l e p a r a h a l l a r el á r e a e n c e r r a d a p o r un p é t a l o d e la

r o s a d e c u a t r o h o j a s r = e o s 26. SOLUCIÓN D e l b o s q u e j o d e l a c u r v a e n l a f i g u r a 8, se v e q u e e l p é t a l o e s t á d a d o p o r la r e g ió n

D = {(7*, 9) [

-7t/4 í

7 t / 4, O

í / ' 5 eos

29}

SECCIÓN 15.4

I N T E G R A L E S D O B L E S EN C O O R D E N A D A S P O L A R E S

1001

A s í q u e e l á r e a es

A(D) = f f dA = f ’ 4 r JJ

f ® /4 . —n 4

= 5 | ^

E JE M P L O 4

2' r d r d 6

J - w i 4 JO

vicos 2 #

Ijr-Jo

1 f » /4

¿0 = t

J —tt/4

cos-

2 OdO

(I + e o s 4 0 ) dO = ^ [0 + 5 s e n 4 0 ] l { ^ 4 =

E n c u e n t r e e l v o l u m e n d e l s ó lid o q u e y a c e d e b a j o d e l p a r a b o l o i d e

z = a 2 + y 2, a r r i b a d e l p l a n o Ay y d e n t r o d e l c i l i n d r o a 2 + y 2 = 2 a . SOLUCION E l s ó l i d o e s t á a r r i b a d e l d i s c o D c u y a c i r c u n f e r e n c i a f r o n t e r a t ie n e la e c u a c i ó n

a 2 + y 2 = 2 a o b i e n , d e s p u é s d e c o m p l e t a r el c u a d r a d o .

( X - i)2 + y 2 = 1 ( V é a n s e las f i g u r a s 9 y 10.)

( a - 1) + y

— 1

(o r — 2 eos 0)

F IG U R A 10

F IG U R A 9

E n c o o r d e n a d a s p o l a r e s se t ie n e

A2 +

y2 =

r y A

= r e o s 0 , p o r ta n t o , la

c i r c u n f e r e n c i a f r o n t e r a se c o n v i e r t e e n r 2 = 2 r e o s 0 o b i e n r = 2 e o s 0. A s í , e l d i s c o D e sta dado por D = { ( r , 6 ) | - 77-/2 «

7r/2, O

r =£ 2 e o s 0}

y , p o r la f ó r m u l a 3, se tie n e

r - p ^ - ja r ^ - Ü T r * = 4 £ , c o s « 0 < i 0 = 8 J / 2 c o s A6 d 0 = 8

= 2

[ l + 2 eos 2 9 + j ( l + e os 40)] d 9

= 2 [ \ B + sen 2 6 + |s e n

1002

CAPÍTULO 15

15.4

INTEGRALES MÚLTIPLES

Ejercicios

1-4 Se muestra una región R. Decida si em plea coordenadas polares o rectangulares y exprese \fR f ( x , y) d A c o m o una integral iterada, donde / e s una función continua arbitraria sobre R.

»■ a » * dA , donde D es la región en el primer cuadrante localizada entre las circunferencias x 2 + y 2 = 4 y xr + y 2 = 2x

15-18 Use una integral doble para hallar el área de la región. 15. Un pétalo de la rosa r = eos 39. 16. La región encerrada por las cardioid es r = l + eos 9 y r = 1 — eos 9 17. La región dentro de las circunferencias

(.X

—

l)2 +

y2 =

.x2 + y 2 = I 18. La región dentro del cardioide r = 1 + eos 9 y fuera de la circunferencia r = 3 eos 9

1 9 -27 Use coo rdenadas polares para hallar el volumen del sólido. 19. Bajo el cono - = y /x 2 + y 2 20. Bajo el paraboloide

arriba del disco .x2 + y 2 ^ 4

= 18 — I x 2 — l y 2 y arriba del plano xy

21. Encerrada por el hiperboloide —x 2 — y 2 + : 2 = 1 y el plano r = 2

5-6 Bosqueje la región cuya área está d ad a por la integral y evalúe la integral. 5.

f 3"1* f ' r d r d O Jn-i J I

\ 2an* r d r d 0

J - / 2 Jo

7 -1 4 Evalúe la integral dada c am biando a coordenad as polares. 7 . ¡jD X 2y dA, donde D es la mitad superior del disco con centro en el origen y radio 5 8. ¡fR (2x — y) dA, donde R es la región en el primer cuadrante

encerrada por la circunferencia x 2 + y 2 = 4 y las rectas x = 0 y y= x 9. jjR s e n (.v2 -I- y 2) dA, donde R es la región en el primer

22. Dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 16 y fuera del cilindro J I J A x r -I- y - = 4 23. U na esfera de radio o 24. Acotado por el paraboloide r = I + I x 2 + z = 7 e n el primer octante 25. Arriba del cono z =

27. Dentro del cilindro .X2 + y 2 = 4 y el elipsoide 4.x- + 4 y - + z “ = 64

28. a) Se usa una broca cilindrica c o n radio r\ para hacer una perforación por el centro de una esfera de radio n . E ncuentre el volumen del sólido en form a de anillo que queda. b)

ÍÍr y 2 . ,.2 d A ' d ° nde R es la región que está entre las X~ + y circunfere ncias x 2 + y 1 = a 2 y x 2 + y 2 = b 2 con 0 < a < b

dA, donde D e s la región acotada por la semicircunferencia X = y 4 — >'2 y el eje y

12-

13.

J L eos y¡X2 + y 2 dA, donde D es el disco con centro en el origen y radio 2

jjR are tañí y/x) d A donde R = {(.x, y) | 1 ^ je2 + y 2 ^ 4, 0 ^ y ^ .x}

1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com

+ y 2 y bajo la esfera

26. Acotado por los paraboloides r = 3.x2 + 3 y 2 y z = 4 - .x2 - y 2

y 2

ii.

el plano

x2 + y 2 + z 2 = 1

cuadrante entre las circunferencias con centro en el origen y radios 1 y 3 10-

\/.X 2

2y2y

Exprese el volumen del inciso a) en térm inos de la altura h del anillo. Observe que el volumen depende sólo de h, no de r¡ o r2.

29-32 Evalúe la integral iterada convirtiendo a coordenadas polares. 29. | I' J—3 J o

31.

f (' Jo Jy

s e n ( x 2 + y 2\ d y d x - / -

y (.x + y) d x d y

30. ) | J0

32. | f Jo Jo

x 2y d x d y

y/x2 + y 2 d y dx

SECCIÓN 15.5 33-34 Exprese la doble integral en términos de una sola integral respecto a r. Después utilice su calculadora para e v alu ar la integral con una aproximación de cuatro decimales.

40.

A P L I C A C I O N E S DE L A S I N T E G R A L E S D O B L E S

a) Se define la integral impropia (sobre todo el plano IR2)

33. l \ De (x‘+y’y d A , donde D es el disco con centro en el origen y

radio 1

j j ' e - (*1+yl)d A = R*

™ lím

JI\D x ) ' d 1 +

v2 + y 2 dA , donde D es la porción del disco 4 + y 2 ^ 1 que está en el primer cuadrante

e - {xt+yi)d y d x

) dA

[ "

se incrementa en form a lineal desde 2 pies en el extrem o sur hasta 7 pies en el extremo norte. Determ ine el volumen del

f "

, - ^ + y 1}

36. Un aspersor agrícola distribuye agua en un patrón circular de radio 100 pies. Suministra agua a una profundidad de e~r pies por hora a una distancia de r pies desde el aspersor.

e - '^ d A

U n a definición equivalente de la integral impropia del inciso a) es

a g u a e n la alberca.

¿a =

i,'m

f f

donde Sltes el cuadrado con vértices (±ci, ± a ) . Use esto para demostrar que

a) Si 0 < R ^ :00, ¿cuál e s la cantidad total de agua suministrada por hora a la región dentro del círculo de radio R centrado en el rociador?

b) Determ ine ur.a expresión para la cantidad promedio de agua por hora por pie cuadra do suministrada a la región dentro del círculo de radio R.

e ' dx

e y dy

D e d uzc a que e~x*d x = v 7r

f J —co

37. Encuentre el valor promedio de la función f ( x , y) = 1/ \ / x 2 + y 2 sobre la región anular

Haciendo el cam bio de variable t =

.x2 + y 2 ^ b 2, d onde 0 < a < b.

V 2 -X,

demuestre que

e-**/2 d x = y f l / i r

J —cm

3 8 . Sea D el disco con centro en el origen y radio a. ¿Cuál e s la distancia promedio de los puntos en D al origen?

(Este es un resultado fundamental para probabilidad y estadística.)

3 9 . Utilice coordenadas polares para c o m b inar la suma

ihid*xyaydx+/.v;r**dydx+w

f ” f_"

donde D a es el disco con radio a y centro en el origen. Demuestre que

35. U n a alberca es circular con un diám etro de 40 pies. La profundidad es constante a lo largo de las líneas este-oeste y

1003

41.

¿ yd x

dentro de una integral doble. D e sp ué s evalúe la doble integral.

Use el resultado del ejercicio 40 inciso c) para evaluar las siguientes integrales *«« , 2 X 6~x dx b) y fxe-* d x

(

Aplicaciones de las integrales dobles Y a h e m o s v i s t o u n a a p lic a c ió n d e las integrales d o b les : c á l c u l o d e v o l ú m e n e s . O t r a a p li c a c ió n g e o m é t r i c a e s h a l l a r á r e a s d e s u p e r f i c i e s y e s to se h a r á e n l a s i g u i e n t e s e c c i ó n . E n e s t a s e c c i ó n se e x p l o r a n a p l i c a c i o n e s f í s i c a s c o m o c a l c u l a r la m a s a , c a r g a e l é c t r i c a , c e n t r o d e m a s a y m o m e n t o d e inerc ia . Se v e r á q u e e s t a s id eas son im p o r t a n t e s t a m b i é n c u a n d o se a p lic a n a f u n c i o n e s d e d e n s i d a d d e p r o b a b i l i d a d d e d o s v a r i a b l e s a le a t o r i a s .

D e n sid a d y m asa E n la s e c c i ó n 8 .3 fu e p o s i b l e u s a r las i n te g r a l e s s i m p l e s p a r a c a l c u l a r m o m e n t o s y e l c e n tro d e m a s a d e u n a d e l g a d a p l a c a o l á m i n a c o n d e n s i d a d c o n s t a n t e . P e r o a h o r a , e q u i p a d o s c o n la i n te g ra l d o b l e , p o d e m o s c o n s i d e r a r u n a ' á m i n a c o n d e n s i d a d v a ria b le . S u p o n g a m o s q u e la l á m i n a o c u p a u n a r e g i ó n D d e l p l a n o x y y su d e n s id a d (en u n i d a d e s d e m a s a p o r u n i d a d d e área) e n un p u n t o (x, y ) e n D e s t á d a d a p o r p(x, y), d o n d e p e s u n a fu n c ió n c o n t i n u a so b re D . E sto sig n ific a q u e

p( V. y)

= lím

1004

CAPÍTULO 15

INTEGRALES MÚLTIPLES

d o n d e A m y A A son la m a s a y e l á r e a d e un r e c t á n g u l o p e q u e ñ o q u e c o n t i e n e a ( x , y) el l ím i te se t o m a c u a n d o las d i m e n s i o n e s d e l r e c t á n g u l o se a p r o x i m a n a O. ( V é a s e la f i g u r a 1.) P a r a h a l l a r la m a s a to ta l m d e la l á m i n a , se d i v id e u n r e c t á n g u l o R q u e c o n t i e n e a D en s u b r e c t á n g u l o s R¡j d e l m i s m o t a m a ñ o ( c o m o e n la f i g u r a 2 ) y se c o n s i d e r a q u e p ( x , y) e s O f u e r a d e D. Si se e l i g e un p u n t o (xjf, y,J) e n Ry, e n t o n c e s la m a s a d e l a p a r t e d e l a l á m i n a q u e o c u p a Rij e s a p r o x i m a d a m e n t e p { x ¡ , y,J) A A, d o n d e A A e s e l á r e a d e R,j. Si se s u m a n t o d a s las m a s a s , se o b t ie n e u n a a p r o x i m a c i ó n d e la m a s a total: 7.

p (.r } ,y jf) A A '= i; = i Si a h o r a se i n c r e m e n t a e l n ú m e r o d e s u b r e c t á n g u l o s , se o b t i e n e la m a s a to ta l m d e la l á m i n a c o m o e l v a l o r l ím i te d e las a p r o x i m a c i o n e s : •

-1*

□

L o s f í s i c o s c o n s i d e r a n t a m b i é n o t r o s t i p o s d e d e n s i d a d q u e se p u e d e n t r a t a r d e la m i s m a m a n e r a . P o r e j e m p l o , si se d i s t r i b u y e u n a c a r g a e l é c t r i c a s o b r e u n a r e g i ó n D y la d e n s i d a d F IG U R A 2

d e c a r g a (en u n i d a d e s d e c a r g a p o r á r e a u n i ta r i a ) e s t á d a d a p o r tr(x , y ) e n un p u n t o ( x , y) en

D y e n t o n c e s la c a r g a t o ta l Q e s t á d a d a p o r

E JE M P L O 1

L a c a r g a e s t á d i s t r i b u i d a s o b r e la r e g ió n t r i a n g u l a r D e n l a f i g u r a 3 d e

m o d o q u e la d e n s i d a d d e c a r g a e n ( x, y) e s <r{Xy y) = x y , m e d i d a e n c o u l o m b s p o r m e t r o c u a d r a d o ( C / m 2). D e t e r m i n e la c a r g a total. SOLUCIÓN D e la e c u a c i ó n 2 y l a f i g u r a 3 se tie n e

Q = f f < rix ,y )d A = ( ' f ‘

*0 JI~I

xy d y d x

ly-l I

íl--[

F IG U R A 3

I ( ' (2x2

- (1 - x )2]d.v

x 3) dx

2£ 3

T --L J„ 2 4

A s í , la c a r g a t o ta l e s 55 C.

M om ento s y c e n tr o s de m asa E n la s e c c i ó n 8 .3 e n c o n t r a m o s e l c e n t r o d e m a s a d e u n a l á m i n a c o n d e n s i d a d c o n s t a n t e : a q u í se c o n s i d e r a u n a l á m i n a c o n d e n s i d a d v a r ia b le . S u p o n g a q u e la l á m i n a o c u p a u n a r e g i ó n D y t ie n e la f u n c ió n d e d e n s i d a d p (x t y). R e c u e r d e d e l c a p í t u l o 8 q u e e l m o m e n t o de u n a p a r t í c u l a se d e f i n e r e s p e c t o a un e j e c o m o e l p r o d u c t o d e su m a s a y su d i s t a n c i a d i r i g i d a d e s d e e l e je . Se d i v i d e a D e n r e c t á n g u l o s p e q u e ñ o s c o m o e n la f i g u r a 2. E n t o n c e s la m a s a d e Rij es a p r o x i m a d a m e n t e p(.v$, y * ) A A, a sí q u e e l m o m e n t o d e Rij r e s p e c t o al e j e x se p u e d e a p r o x i m a r m e d i a n t e

!>(*,?, y | ) á A ]y ? Si a h o r a se s u m a n e s t a s c a n t i d a d e s y se t o m a e l lím ite c u a n d o e l n ú m e r o d e s u b r e c t á n g u l o s se v u e l v e

SECCIÓN 15.5

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES

1005

g r a n d e , se o b t i e n e e l m o m e n t o d e t o d a la l á m i n a r e s p e c t o a l e j e x:

, =

Km 2 2 y* p (av>y í ) ¿ A

ff yp(*> y ) d A

D e m a n e r a sim ilar, el m o m e n t o r e s p e c t o a l e j e y es

|~4~|

M y

= lím 2 2 ví

3$) A/* = ff A7>(v>.v) d A

C o m o a n te s , se d e f i n e e l c e n t r o d e m a s a (T, y ) d e m o d o q u e m x = M y y m y = M x. E l s i g n i f i c a d o f ís ic o e s q u e la l á m i n a se c o m p o r t a c o m o si t o d a su m a s a se c o n c e n t r a r a e n su c e n tro d e m a s a . A s í , la l á m i n a se e q u i l i b r a h o r i z o n t a l m e n t e c u a n d o se a p o y a e n su c e n t r o de m a s a ( v é a s e la f i g u r a 4).

|~5~|

L a s c o o r d e n a d a s ( .v, y ) d e l c e n t r o d e m a s a d e u n a l á m i n a q u e o c u p a la r e g ió n

D y q u e t ie n e f u n c i ó n d e d e n s i d a d p(x, y) son -

x = —

\ rr = — v p l .v, y) d A m JJ

Mx y = — = — \\yp(x,y)dA m m «*’

d o n d e la m a s a m e s t á d a d a p o r

m = f f p(x ,y) dA %J

]

E n c u e n t r e la m a s a y e l c e n t r o d e m a s a d e u n a l á m i n a t r i a n g u l a r c o n

v é r t i c e s (O, 0 ) , (1, O) y (O, 2 ) si la f u n c i ó n d e d e n s i d a d e s p(x, y) = 1 + 3 x + y. SOLUCIÓN E l t r i á n g u l o se m u e s t r a e n la f i g u r a 5. ( N o t e q u e la e c u a c i ó n d e la c o t a superior es y

(0,2)

2 — 2.v.) L a m a s a d e la l á m i n a e s

\ v = 2 - 2x

»'»'

( 1, 0 )

Ji JO

ü] 8 ’ 16

F IG U R A 5

f‘

m = f f p{x, p( x, y) ddA A = Jf ‘ r~ ~x (1 + 3.v + y) d y dx U

í [”++ 4

f 1 (1

E n t o n c e s las f ó r m u l a s e n | 3 ] d a n

x 2)dx

1006

CAPÍTULO 15

INTEGRALES MÚLTIPLES

y = —

ff y p ( í , y ) dA = i 'D

= — f 1\— SJoL 2 i r = — 7.v 4 [_

[“

( y + 3 .ry + y 2) d y d x

+ 3x — + — ] 2

d x = ¿ f * (7 - 9.v - 3.v2 + 5 x 3) d x

3 J y=o 3

v4 ] 1

x3 + 5 —

4 j 0

ii = — 16

E l c e n t r o d e m a s a e s t á e n e l p u n t o ( | , j¿). Q

E H JH JH

L a densidad en cu alq u ier p unto sabré u n a lá m in a se m ic ircu lar es

p r o p o r c i o n a l a la d i s t a n c i a d e s d e e l c e n t r o d e l c írc u lo . E n c u e n t r e e l c e n t r o d e m a s a d e la l á m in a . SOLUCIÓN C o l o q u e la l á m i n a c o m o la m i t a d s u p e r i o r d e la c i r c u n f e r e n c i a xr + y2 = a2 ( v é a s e la f i g u r a 6). E n t o n c e s l a d i s t a n c i a d e u n p u n t o ( x, y) al c e n t r o d e la c i r c u n f e r e n c i a (el o r i g e n ) e s

>/x2 4-

y 2 . P o r t a n t o , la f u n c ió n d e d e n s i d a d e s

píx, y) = K \ fx'- + y 2 d o n d e K e s a l g u n a c o n s t a n t e . T a n t o la f u n c i ó n d e d e n s i d a d c o m o l a f o r m a d e la l á m i n a s u g i e r e n q u e se c o n v i e r t a a c o o r d e n a d a s p o l a r e s . E n t o n c e s >/.v2 + y 2 = r y la r e g i ó n D F IG U R A 6

está dad a por O í r í

a , O í

7r. A s í , la m a s a d e la l á m i n a e s

m = f f p(x, y) d A = f f X \ / . v 2 + y 2 dA D

f '' {* (Kr) r dr dO = K f wd d f ‘ r 2d r Jo Jo Jo Jo

= K ,r L T

K ira

3 Jo T a n t o l a l á m i n a c o m o la f u n c i ó n d e d e n s i d a d son s i m é t r i c a s r e s p e c t o a l e j e y , a s í q u e e l c e n t r o d e m a s a d e b e e s t a r s o b r e e l e j e y, e s d e c i r , T = O. L a c o o r d e n a d a y e s t á d a d a por

y = — f| y p (.v , y) dA = — 1— j f * f

m JJ

K m r ¿o Jo

r se n 0 ( K i ) r d r d O '

Compare la ubicación del centro de masa del ejemplo 3 con el ejemplo 4 de la sección 8.3, donde se encontró que el centro de masa de una lámina con la misma forma, jero

f # s e n 0 ¿ / 0 f r 3d r Jo Jo Jo

, [ —e o s a I t ) — 1 w a3 L L 4 J

densidad uniforme se localiza en el punto ( 0 ,4 a / ( 3 » ) ) .

ira

3a 2 ir

P o r ta n t o , e l c e n t r o d e m a s a se l o c a l i z a e n e l p u n to (O, 3 a / ( 2 w ) ) .

■ ■

M om ento de in e r c ia El m o m e n t o d e in e r c ia (c o n o c id o tam b ién c o m o s e g u n d o m o m e n t o ) d e u n a p a rtícu la d e m a s a m r e s p e c t o a u n e je se d e f i n e c o m o /wr2, d o n d e r e s la d i s t a n c i a d e s d e la p a r t í c u l a al e je . A fin d e a m p l i a r e s t e c o n c e p t o a u n a l á m i n a q u e t i e n e f u n c i ó n d e d e n s i d a d

P(x *y) y o c u p a u n a r e g i ó n D se p r o c e d e c o m o se h i z o p a r a m o m e n t o s o r d i n a r i o s . S e d i v i d e a D e n r e c t á n g u l o s p e q u e ñ o s , se a p r o x i m a d m o m e n t o d e i n e r c i a d e c a d a s u b r e c t á n g u l o r e s p e c t o al e je x y se t o m a e l l í m i t e d e la s u m a c o n f o r m e e l n ú m e r o d e s u b r e c t á n -

SECCION 15.5

A P L I C A C I O N E S DE L A S I N T E G R A L E S D O B L E S

1007

g u lo s se h a c e g r a n d e . E l r e su lta d o e s e l m o m e n t o d e in e r c ia d e la lá m in a r e s p e c t o a l e je x

D e m a n era sim ila r , e l m o m e n t o d e in e r c ia r e s p e c to a l e je y e s

T a m b ién e s d e in terés c o n sid era r e l m o m e n to d e in e r c ia r e s p e c to a l o r ig e n , c o n o c id o ta m b ién c o m o m o m e n t o p o la r d e in e r c ia :

N o te q u e 7o = I x + 7V

E J J J U U J E ncuentre lo s m o m e n to s d e in e rc ia 7t , Iy e 70 de un d is c o h o m o g é n e o D

c o n d en sid a d p(x, y) = p , cen tro en e l origen y radio a. SOLUCIÓN E l lím ite d e D e s la c ir cu n fe re n c ia .V2 + y 2 = a 2 y en co o rd en a d a s p o la r es D se d e sc r ib e m ed ia n te O í

70 =

27T, O ^ r ^ fl. P rim ero se c a lcu la rá 70:

f f

JJ D

(.v2 + y 2) p d Á = p f ‘ * f * r 2r d r d 6 Jo Jo

En lugar d e c a lc u la r 7.t e Iy d e m anera d irecta, se usan lo s h e c h o s de q u e Ix + Iy = 7o e I* = Iy (de la sim etría d e l p ro b lem a ). A s í,

I x = Iy

irpa4

En e l e je m p lo 4 o b ser v e q u e la m a sa d e l d isc o e s

m = d en sid a d X área = p('ira)2 d e m o d o q u e e l m o m e n to d e in e rc ia d e l d is c o r e sp e c to al o rig en (c o m o una rueda r esp e cto a su e je ) se p u ed e e sc rib ir c o m o irpo. | i . ■> i 7o = — - — = i ( p i r a ) a = 2 ^na~ A s í, si se in c re m en ta la m a sa o e l radio d e l d isc o , a u m en ta e l m o m e n to d e in ercia. En g e n e ral, e l m o m e n to d e in e rc ia ju e g a e l m ism o pap el en e l m o v im ie n to rotatorio q u e la m a sa

1008

CAPÍTULO 15

INTEGRALES MÚLTIPLES

j u e g a e n el m o v i m i e n t o lineal. El m o m e n t o d e in erc ia d e u n a r u e d a e s l o q u e h a c e d ifíc il e m p e z a r o d e t e n e r la ro t a c ió n d e la r u e d a , d e l m i s m o m o d o q u e la m a s a d e un a u t o m ó v i l d i f ic u l ta i n ic ia r o d e t e n e r e l m o v i m i e n t o d e un a u to m ó v i l. E l r a d i o d e g i r o d e u n a l á m i n a r e s p e c t o a u n e j e e s e l n ú m e r o R tal q u e

mRr = I

[§]

d o n d e m e s la m a s a d e l a l á m i n a , e / e s e l m o m e n t o d e i n e r c i a r e s p e c t o al e je d a d o . L a e c u a c i ó n 9 d i c e q u e si la m a s a d e la l á m i n a se c o n c e n t r a r a a u n a d i s t a n c i a R d e l e je , e n t o n c e s e l m o m e n t o d e i n e r c i a d e e s t a “ m a s a p u n t u a l ” s e r í a la m i s m a q u e e l m o m e n t o de i n e r c i a d e la l á m i n a . E n p a r t i c u l a r , e l r a d i o d e g ir o y r e s p e c t o al eje x y e l r a d i o d e g ir o x r e s p e c t o al e j e y e s t á n d a d o s p o r las e c u a c i o n e s

[To|

my 2 = Ix

m f 2 = Iy

A s í ( X , y ) e s e l p u n t o e n q u e la m a s a d e la l á m i n a se p u e d e c o n c e n t r a r sin c a m b i a r los m o m e n t o s d e i n e r c i a r e s p e c t o a lo s e j e s c o o r d e n a d o s . ( N o t e l a a n a l o g í a c o n e l c e n t r o de m asa.) E JE M P L O 5

E n c u e n t r e e l r a d i o d e g i r o r e s p e c : o al e je a ; d e l d i s c o d e l e j e m p l o 4.

SOLUCIÓN C o m o se o b s e r v ó , la m a s a d e l d i s c o e s m = p ira 2, a s í q u e d e las e c u a c i o n e s 10 se tie n e 1 4 4 T ip a

p ira 1 P o r ta n t o , e l r a d i o d e g iro r e s p e c t o a Ares y = ^a, q u e e s la m it a d d e l r a d i o d e l d i s c o .

P ro b a b ilid a d E n la s e c c ió n 8 .5 se c o n s i d e r a m o s la función de densidad de probabilidad f d e u n a v a r ia b le c o n t i n u a a l e a t o r i a X. E s t o s i g n i f i c a q u e f { x ) ^ 0 p a r a t o d a a; J T ^ / U )

dx = 1, y la p r o b a -

b i l i d a d d e q u e X e s t é e n t r e a y b se e n c u e n t r a al i n t e g r a r / d e a a b:

P(a *s X « b) = \ ”f ( x ) d x »a

A h o r a c o n s i d e r a m o s u n p a r d e v a r i a b l e s a le a t o r i a s c o n t i n u a s X y Y, ta l e s c o m o los t i e m p o s d e v i d a d e d o s c o m p o n e n t e s d e u n a m á q u i n a o la a l t u r a y p e s o d e u n a m u j e r a d u l t a e l e g i d a al a za r. L a f u n c i ó n d e d e n s i d a d c o n j u n t a de X y Y e s u n a f u n c i ó n / d e d o s v a r i a b l e s tal q u e la p r o b a b i l i d a d d e q u e (X, Y) e s t é e n u n a r e g ió n D e s

P({X, Y) G D) = f j / ( . r , y) d A 'D E n p a r t i c u l a r , si la r e g i ó n e s u n r e c t á n g u l o , la p r o b a b i l i d a d d e q u e X e s t é e n t r e a y b y q u e

Y esté en tre c y d es P{a ^ X =s b, c ( V é a s e la f i g u r a 7 .)

d) =

íV ( . v , y)d y d x

Ja Je

SECCIÓN 15.5

A P L I C A C I O N E S DE L A S I N T E G R A L E S D O B L E S

1009

F IG U R A 7

La probabilidad de que X esté entre a y b, y que Y esté entre c y d es el volumen localizado arriba del rectángulo D = [a, b\ X [c, d] y debajo de la función de densidad conjunta.

D e b i d o a q u e las p r o b a b i l i d a d e s n o son n e g a t i v a s y se m i d e n e n u n a e s c a l a d e O a 1, la f u n c i ó n d e d e n s i d a d c o n j u n t a t ie n e las s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s :

ff f ( x , y) dA =

/ ( * , y) » O

C o m o e n e l e j e r c i c i o 4 0 d e la s e c c i ó n 1 5 .4, la i n te g r a l d o b l e s o b r e R 2 e s u n a i n t e g r a l i m p r o p i a d e f i n i d a c o m o e l l ím i te d e i n t e g r a l e s d o b l e s s o b r e c í r c u l o s o c u a d r a d o s q u e se e x p a n d e n y se p u e d e e s c r i b i r

f f /(.*, y) dA = f " f " / ( * , y) dx dy = 1

J —co J —co

\R:

U U H E O

Si la f u n c i ó n d e d e n s i d a d c o n j u n t a p a r a X y Y e s t á , d a d a p o r

fc(.v +2 y ) /(v .

r'-v ) - \ o

si 0 * . v <

10, O <£ y

en o t r a p a r te

e n c u e n t r e e l v a l o r d e la c o n s t a n t e C . D e s p u é s d e t e r m i n e P ( X

SOLUCIÓNS e e n c u e n t r a e l v a l o r d e

al a s e g u r a r q u e

7, Y ^

2).

la i n t e g r a l d o b l e d e / e s i g u a l a 1

D e b i d o a q u e f ( x , y ) = 0 f u e r a d e l r e c t á n g u l o [0 , 10] X [0, 10], se t ie n e

r P

J-co J-M

f10

/(*» y ) dy dx = JO f 10JO c (-v + 2y) dy dx = C JO [xy + y

Por tanto, 1 5 0 0 C =

rio Jo

(10.V 4 1001 ¿í.v =

1 y, e n c o n s e c u e n c i a ,

2]jI¿Vr 1

1500C

-j¿q.

A h o r a se p u e d e c a l c u l a r l a p r o b a b i l i d a d de q u e X s e a a lo s u m o 7 y Y s e a p o r lo m e n o s 2:

P(X s 7, Y » 2) = f J

f ” /(.v, y) dy dx = f

co J 2

[ ‘"■¡¿¡(.v + 2y) d y d x

JO J 2

i I5«) fo [xy 4 y 2]y li0á.v = T¿ó f j (8.v 4 96) dx

0 .5 7 8 7

1010

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

S u p o n g a qu e X e s una v aria b le aleatoria c o n fu n ción d e d en sid a d d e p r o b a b ilid a d /i(* ) y

Y e s u n a v a ria b le a lea to r ia c o n fu n c ió n d e d en sid a d fi(y). E n to n c e s X y y se lla m a n v a r ia b le s a le a to r ia s in d e p e n d ie n te s si su fu n ció n de d en sid a d c o n ju n ta e s e l prod u cto d e sus fu n c io n e s d e d en sid a d in d iv id u a les:

/U, y) = f M f 2(y) En la s e c c ió n 8 .5 , se m o d ela ro n tie m p o s d e esp era por m e d io d e fu n c io n e s de d en sid ad e x p o n e n c ia le s

/ ( ')

si / < O si t > O

d o n d e /x e s e l tiem p o de esp era p rom ed io. En e l e jem p lo sig u ie n te se c o n sid era una situ ación c o n d o s tie m p o s d e esp e r a in d ep en d ien tes. EJEMPLO 7

El a d m in istrad or d e un c in e d eterm in a q u e e l tie m p o p r o m e d io q u e lo s

a siste n te s esp era n en la fila para com p rar un b o le to para la p e líc u la d e e s ta se m a n a e s 10 m in u to s y e l tie m p o p r o m e d io qu e esp era n para com p rar p a lo m ita s e s 5 m in u to s. Si se su p o n e q u e lo s tie m p o s d e e sp e r a so n in d ep en d ien tes, en cu en tre la p ro b ab ilid ad d e que u n a p e r so n a e sp e r e un total d e m e n o s d e 2 0 m in u to s an tes d e tom ar su lugar. SOLUCIÓN S i se su p o n e qu e tanto e l tie m p o d e esp era

X para la c o m p r a d e l b o le to

c o m o e l tie m p o d e esp e r a Y en la fila para com prar g o lo sin a s se m o d e la n m ed ian te fu n c io n e s de d en sid a d d e prob ab ilid ad e x p o n e n c ia le s , se p u ed en e sc rib ir ca d a u n a de las fu n c io n e s de d e n sid a d c o m o r° i _ l -,/io ^ 1 0 **

si , v < o n

SI A >

si y < 0

f Á y ) “ j i ,-yf5

P u esto q u e X y Y son in d e p e n d ie n te s, la fu n ció n de d en sid a d c o n ju n ta e s e l producto:

50e - ' /l0e-y/5 /(■V, v) = / . ( ')/:(> •)

Si p e d im o s la p ro b a b ilid a d d e q u e I

P (X

d e lo con trario

-{ í + 7 <

si jc > 0 , y > 0

20;

< 20) =

P{(X, Y )

D )

d o n d e D e s la reg ión trian gular m o stra d a en la figura 8. A s í que

P (X + Y < 20) =

N , jr+y=20

/(.v, y) d A =

jj°

= ¿ f ° k ' /l0 ( - 5 ^ I T

' d x

20 x

FIGURA 8

Tj f 2°

%»0

£-l/l0( I -

^ -2 0 )/5 ) d v

, r-o ( ( í " " 10 - e~4e ’/m ) d x *'0

- 2e~2 ~ 0 .7 4 7 6 E sto s ig n ific a q u e c e r c a d e 75% d e lo s a siste n te s al c in e esp eran m e n o s d e 2 0 m in u to s an tes d e tom ar su s lu ga res.

■

SECCIÓN 15.5

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES

1011

Valores esperados R ecu erde de la se c c ió n 8 .5 qu e si Y e s una variable aleatoria co n fu n ción d e den sid ad d e p rob a b ilid a d /, e n to n c e s su media e s

= f " xf(x) dx J —«o

A h o r a si X y Y son v a r ia b le s a lea to r ia s c o n fu n ció n d e d e n sid a d c o n ju n ta / , se d e fin e la

m e d ia d e .Y y la m e d ia de Y> d e n o m in a d o s tam bién v a lo r e s e sp e r a d o s d e X y Y, c o m o

[ñ ]

/Al = f f .v / (.v , y)

p 2

= ff

yf(x,

y) d A

O b se r v e cu án p a recid a s son las e x p r e s io n e s p ara/xi y p i en |JT] c o n las d e lo s m o m e n to s M x y My d e u n a lá m in a c o n fu n ció n d e d en sid a d p e n las e c u a c io n e s 3 y 4 . D e h e c h o , se puede considerar qu e la probabilidad e s c o m o una m asa distribuida de m anera continua. S e c a lc u la la probab ilidad d e la m anera c o m o se c a lc u la la m asa: in teg ra n d o u n a fu n ció n d e d en sid a d .

Y d e b id o

a q u e la " m a sa d e prob ab ilid ad total” e s 1, la s e x p r e s io n e s para J y

y en [3] m u e s -

tran q u e lo s v a lo r e s e sp e r a d o s d e X y Y, p \ y p 2y p u ed en ser c o n sid e r a d a s c o m o las c o o r d e n a d a s d e l " cen tro d e m a sa ” de la d istrib u ció n d e probab ilidad . En e l sig u ie n te e je m p lo se trata co n d istrib u cio n es n orm ales. C o m o en la se c ció n 8 .5 , una s o la v ariab le a lea to ria tien e u n a distribución normal si su fu n ció n d e d en sid a d d e p ro b a b ilidad e s d e la fo rm a

/(* ) =

( T y jllT

d o n d e p e s la m e d ia y cr e s la d e s v ia c ió n estándar.

EJEMPLO 8

U n a fáb rica p ro d u ce ro d a m ien to s (de fo rm a c ilin d r ic a ) c u y a s d im e n sio n e s

so n 4 .0 c m d e d iá m etro y ó.O cm d e largo. D e h e c h o , lo s d iá m e tro s X tien en una d istr ib u ció n norm al c o n m e d ia de 4 .0 c m y d e sv ia c ió n están d ar 0.01 c m , m ien tras que la s lo n g itu d e s Y tien en u n a d istrib u ció n norm al c o n m e d ia ó.O cm y d e s v ia c ió n estánd ar O.Ol c m . Si se su p o n e q u e X y Y son in d ep en d ien tes, e sc r ib a la fu n ció n d e d en sid a d c o n ju n ta y g rafíq u ela . E n cu en tre la probab ilidad de q u e un c o jin e te e le g id o al azar d e la lín e a d e p r o d u cc ió n te n g a lo n g itu d o diá m etro q u e d ifier e d e la m e d ia en m ás de 0 .0 2 c m . SOLUCIÓN S e sabe q u e X y Y tien en u n a d istrib u ció n n orm al c o n p \ = 4 .0 y p 2 = 6 .0 y <T| = a 2 = 0 .0 1 . A s í, c a d a una d e la s fu n cio n e s d e d en sid a d para X y Y son

. ¿ - ( A —4 ) 7 0 .0 0 0 2

H y)

0 .0 1 Y^TT

£-<>•-6)70.0002 0.0 1 V 2 TT

D a d o q u e X y Y son in d e p e n d ie n te s, la fu n ción d e d e n sid a d c o n ju n ta e s e l producto:

/(■*>y) = /i(v)/-(.v) 6 0 5

4 0 5

-(.1—4^/5.0002(y—6)7*3.0002

F IG U R A 9

0 . 0002*

G ráfica de la función de densidad con ju n ta norm al del ejem plo 8

5000

5 0 fO [< A -4 )+ < v -6 )]

En la fig u ra 9 se m u estra una g rá fica de e sta fu n ció n .

1012

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

S e c a lc u la r á prim ero la prob ab ilid ad d e qu e X y Y difieran d e su s m e d ia s en m e n o s de 0 .0 2 cm . Si se e m p le a u n a c a lc u la d o r a o co m p u ta d o ra para e stim a r la in tegra l, se tien e f 4 .0 2

r ().0 2

P ( 3 .9 8 < X < 4 .0 2 , 5 .9 8 < Y < 6 .0 2 ) =

f( x , y) d y d x * '3 .9 8

J 5 .< X

•

5 0 0 0 M 02 /*6.02^/vvir/ ¿v’ --------- 1 í í.-'— TT

*'3.98

dy d x

*'5.98

« 0.91

E n to n c e s la prob ab ilid ad d e q u e X o Y d ifiera n de su m e d ia en m ás d e 0 .0 2 c m es ap ro x im a d a m en te i -

15.5

o .9 i = 0 .0 9

Ejercicios

1. La carga eléctrica está distrib u id a sobre el rectángulo 0 x =S 5, 2 =S y =¡S 5 así q u e la densidad d e carg a en (x, y) e s <r(x, y) = 2 x 4- 4 y (m edida en c ou lo m b s p o r m etro cuadrado). D eterm ine la densidad de carga en el rectángulo. 2. La carg a eléctrica se distribuye sobre el d isco x 2 4- y 2 d e m odo q u e la densidad de carga en (x ,y ) es crí.x, y) = -Jx2 4- y 2 (m edida en c o u lom b s p or m etro cuadrado). C alcule la carga total sobre el disco.

3-10 E ncuentre la m asa y el centro de m asa d e la lám ina que ocupa la región D y tiene '.a función de densidad dada p. 3. D = { (x ,y ) | 1

a- ^ 3 , 1

4. D = {(.x, y) | 0 ss x

y ^ 4}: p ( x ,y ) = * y 2

a, 0 =£ y «s b}: p ( x , y) = 1 4- x 2 4- y 2

5. D e s la región triangular con v értices (0, 0 ), (2 , 1), (0, 3): p ( x ,y ) = x + y

13. L a frontera de una lám ina está fo rm ad a por las sem icircunferencias y = v' l — X 2 y y = v 4 ~ * 2 ju n to con las porciones del eje x q u e las une. E ncuentre el centro de m asa de la lám ina si la densidad en c u alq u ier punto es proporcional a su d istan cia desde el origen. 14. E ncuentre el centro de m asa de la lám ina del ejercicio 13 si la densidad en cualqu ier punto e s inversam ente proporcional a su distancia desde el origen. 15. Halle el centro de n a s a de una lám ina en la form a de un triángulo rectángulo isósceles con lad os iguales de longitud a si la densidad en cualquier punto es proporcional al cuadrado de la d istan cia desde el vértice op u esto a la hipotenusa. 16. U na lám ina ocupa la región dentro de la circun ferencia x2 + y 2 = 2y, pero fuera de la circu n feren cia x 2 + y 2 = l . E ncuentre el centro de m asa si la d ensidad en c u alq u ier punto es inversam ente proporcional a su distancia desde el origen.

6. D e s la región triangular con vértices e ncerrad a p or las rectas x = O, y = x y 2 x + y = 6: p{x, y ) = x 2

17. E ncuentre lo s m om entos de inercia I x, I y, lo para la lám ina del ejercicio 7.

7. D esta acotada p or y = 1 — x 2 y y = 0: p (x , y ) = ky

18. C alcule los m om entos de inercia h , I y, lo para la lám ina del ejercicio 12.

8. D e stá acotada p o r y = x \ y y = x + 2: p (x , y ) = k x 9. D — {(.v, y ) | 0 «S y «5 sen(7T x/¿), 0 ^ v «í /.}; p (x , y ) = y

19. O btenga los m om entos de inercia /*, I y, lo para la lám ina del ejercicio 15. 20. C onsidere un aspa cuadrada con lad os de longitud 2 y la esqu in a inferior izquierda c o lo cada en el origen. Si la densidad del aspa es p (x , y) = 1 + 0.1 X, ¿ es m ás difícil g irar el aspa

10. D e stá acotada p or las p aráb olas y = x 2 y x = y 2: P U y ) = y/x

respecto al eje x o el eje y? 11. U na lám ina ocupa la parte d el d isco x 2 + y 2 1 en el p rim er cuadrante. Encuentre su centro de m asa si la densidad en cualquier punto es prop orcion al a su d istancia d esd e el eje x. 12. E ncuentre el c en tro de m asa de la lám ina del ejercicio 11 si la densidad en cualquier p unto e s prop orcio nal al cu adrado d e su d istancia d esde el origen.

[sÁcjSe requiere sistem a algebraico com putarizado

21-24 U na lám ina con densidad constante p(x, y) = p o cup a la región dada. E ncuentre los m om entos de inercia I x e I y y los radios de giro x y y. 21. El rectángulo 0 ^ x < b, 0 ^ y < h 22. El triángulo c o n vértices ( 0 ,0 ) , (b, 0) y (0 , h\

1. T areas su g erid as d isp o n ib le s e n stew artcalculus.com

SECCIÓN 15.6

23. L a parte del disco x 2 + y 2 < o 2 en el p rim er cuadrante 24. L a región bajo la curva y = sen x de x = 0 a a- = 7r

2 5 -2 6 Use un sistem a algebraico co m p u tarizad o para hallar la m asa, el centro de m asa y el m om ento de inercia de la lám ina que

ocup a la región D y la función de densidad dada. 25. D está e ncerrada p o r el pétalo derecho de una rosa de cuatro p étalos T = eo s 20:

p ( x , y) = .x2 + y 2

26. D = {(.x, y) I 0 ^ y ^ x e ~ \ 0 < .x ^ 2}:

p ( x , y) = ,x2y 2

ÁREA DE SUPERFICIE

1013

b) O tra lám para tiene sólo una bom billa del m ism o tipo que en el inciso a). Si se q uem a una b om billa y se reem plaza por una del m ism o tipo, encuentre la probabilidad de que las d o s bom billas fallen en un total de 1000 horas. 31. S uponga que X y y son variables aleatorias independientes, donde X tiene una d istrib ució n norm al con m edia 45 y desviación estándar 0.5 y Y tiene una d istrib u ció n norm al con m edia 20 y desviación están d ar 0 . 1. a) E ncuentre P (40 ^ X ^ 50, 20 ^ Y < 25). b) D eterm ine P ( 4 ( X - 45)2 + 100(7 - 20)2 < 2). 32. X avier y Y olanda tienen clases que term inan a m edio d ía y

27. L a función de densidad co n ju n ta para un par de variables aleatorias X y3 ‘y es r(l + y)

- {r

s i 0 < j r < l , 0 < y < 2 de lo contrario

a) E ncuentre el valor de la co nstan te C. b) D eterm ine P [X ^ I, Y ^ 1).

si v 3* 0

- t

c ) D eterm ine P[X + Y ^ 1).

í*4.yy ~ jo

’

si 0 < . r < l , 0 < y < l de le lo contrario

es una función de densidad conjunta, b) Si X y L son variables aleatorias cuya función de densidad conjunta es la f u n c ió n /d e l inciso a), encuentre c)

si x < 0

i) p (x > \ ) ü) p ( x > j) D eterm ine los valores esp erad o s de X y Y.

29. S uponga que X y y son variables aleatorias con función de densidad conjunta. l e -Q**o¿a /{•

de lo contrario

si ,v5*>0, y > 0

llega alrededor de las 12:10 p.m . y tiene m ás p robabilidades de llegar tarde que a tiem po). D esp u és que llega Y olanda, espera a X avier hasta m edia hora, pero él nunca la espera. C alcule las probabilidades de su encuentro. 33. Al estudiar la disem inación de una epidem ia, se supone que la probabilidad de que un individuo infectado contagie la enferm edad a un individuo no infectado, es una función de la distancia entre ellos. C onsidere una ciudad circular de radio 10 m illas en la que la población está distribuida uniform em ente. Para un individuo infectado en un punto fijo A(xb, yo), suponga que la función de probabilidad está dada por m

E n c u e n tre

- { f

de lo contrario

a) C om pruebe q u e / e s en realidad una función de densidad conjunta. b )

si 0 ^ y h(y)

(X avier llega un poco d esp u és de m edio día y tiene m ás probabilidades de llegar puntual que tarde. Y olanda siem pre

28. a) C om pruebe que f(x

acuerdan reunirse todos los d ías desp u és de clase. L legan a la cafetería de m anera independiente. El tiem po de llegada de X avier e s X y el tiem po de llegada de Y olanda es Y, donde X y y se m iden en m inutos desp u és del m edio día. L as fun cion es de densidad individuales son

la s

s ig u ie n te s

p ro b a b ilid a d e s

i)P (Y ~ * \) ii) P ( X ^ 2, Y ^ 4) Halle los valores esp erado s de X y y.

30. a) U na lám para tiene d o s b om b illas de un tipo con una duración prom edio de 1000 horas. Si se supone que la probabilidad de falla de estas bom billas se puede m odelar m ediante una función de densidad exponencial c o n m edia ¡x = 1000, encuentre la probabilidad de que am bas b om b illas fallen en el lapso de 1000 horas.

= ¿ [ 2 0 - d[P. A)]

donde d(P, A) denota la distancia entre P y A. a) S uponga que la exposición de una persona a la enferm edad e s la sum a de las p ro b a b ilid ad e s de a d q u irir la en ferm ed ad de todos lo s m iem b ros de la población. S uponga que las personas in fectadas están d istribuidas de m anera uniform e por toda la ciudad, con k individuos infectados p or m illa cuadrada. E ncu en tre una integral doble que represente la exposición de una persona que reside en A. b) E valúe la integral para el caso en el que A es el centro de la ciudad y para el caso en el que A se localiza en el borde de la ciudad. ¿D ónde preferiría vivir?

Area de superficie En la secció n 16.6 tra tarem o s con á re a s d e su p erficies m ás g e n e ra le s llam a d as sup erficies p a ram étricas y, por ta n to , no n e c e sita m o s q u e s e ab o rd e en e s ta sección .

E n e s ta s e c c ió n a p lic a m o s las in te g r a le s d c b le s al p r o b le m a d e c a lc u la r e l á r e a d e u n a s u p e r f ic ie . E n la s e c c ió n 8 .2 e n c o n t r a m o s el á r e a d e u n tip o m u y e s p e c i a l d e s u p e r f ic ie — u n a s u p e rf ic ie d e r e v o lu c ió n — p o r m e d io d e l c á lc u lo d e u n a s o la v a ria b le . A q u í c a l c u la m o s e l á r e a d e u n a s u p e rf ic ie c o n e c u a c ió n r = f ( x , y ), la g r á fic a d e u n a fu n c ió n d e d o s v a ria b le s . S e a S u n a s u p e r f ic ie c o n e c u a c ió n r = / ( * , y ), d o n d e / t i e n e d e r iv a d a s p a r c ia le s c o n t i n u a s. P o r s im p lic id a d , al d e r iv a r la fó r m u la p a ra e l á r e a d e u n a s u p e rf ic ie , s u p o n e m o s q u e

1014

CAPÍTULO 15

IN TEG R ALES M Ú LT IP LE S

/ ( * , y) ^ O y e l d o m in io D d e / e s un r ectá n g u lo . D iv id im o s D en p e q u e ñ o s r e c tá n g u lo s Rg c o n área A A = A.v A y. S i (.vt, y7) e s tá en la e sq u in a d e R¡j c e r c a d e l o r ig e n , se a Pg(x¡, y7, /(**» yy)) e l p u nto sobre S d ir ec ta m en te e n c im a d e é ste (fig u ra 1). El p la n o ta n g en te a S en Pij e s una a p r o x im a ció n a S c e r c a d e Pg. A s í q u e el área AT,7 d e la parte de e ste p la n o ta n g en te (un p a r a lelo g r a m o ) q u e e stá d ir ec ta m en te e n c im a de Rg e s u n a a p r o x im a ció n al área AS,7 d e la parte d e S q u e e stá d ir ec ta m en te e n c im a d e Rg. A s í, la su m a 2 2 AT,j e s u n a a p rox im a c ió n al área total d e S, y e s ta a p ro x im a ció n parece m ejorar c o n fo r m e e l n ú m ero d e r e c tá n g u lo s se in crem en ta. Por tanto, d e fin im o s e l á r e a d e u n a s u p e r f ic ie d e S c o m o

m Para en con trar u n a fó rm u la qu e e s m ás c o n v e n ie n te q u e la e c u a c ió n 1 para p r o p ó sito s d e c á lc u lo , sean a y b lo s v e c to r e s q u e e m p iez a n en Pij y están a lo largo d e lo s la d o s d e un p a r a lelo g r a m o c o n área A Tg. (V é a s e la figu ra 2 ). E n to n ces A 7* = | a X b |. R ecu erd e de la s e c c ió n 1 4 .3 q u e /*(*,, yj) y f y(xt, yj) son la s p en d ien tes d e las rectas ta n g e n te s qu e pasan por por Pij en las d ir e c c io n e s d e a y b a = A.v i

f x( x ü y7) A.v k

b = A y j + fyiXi y7 ) A y k

a X b =

F IG U R A 2

A.v

f^ X i, yj) A.v

Ate,»)Ay

, y7) A.v A y i -

~ f x ( X

f y(

v,-, y7) A.v A y j + A.v A y k

[ - /* ( * » , yj) i — fy(Xi* y>)j + k ] A A A Tg —

A s í,

a X b

— v [/x(.v¿, y7) ] 2 + [/y(.Vi, )5f)]2 + 1 A A

D e la d e fin ic ió n 1 te n e m o s

.4 (5 ) =

lím

2 2

- ! 1—1

A'/',

m 7

lím

2 i—l

V;)] + [/v(j5?. yj)]2 + 1 A A

y por la d e fin ic ió n d e u n a d o b le in tegral o b te n e m o s la sig u ie n te fórm u la.

|~2~1

El área d e la su p e rfic ie c o n e c u a c ió n r = f ( x , y ), (* , y ) G D , d o n d e f x y f y son

c o n tin u a s , e s

A (S )=

f f v t / v í- v , y ) ] 2 + ;/ y (.v , y ) ] 2 +

SECCIÓN 15.6

ÁREA DE SUPERFICIE

1015

En la s e c c ió n 16 .6 v e r ific a r e m o s q u e esta fó rm u la e s c o n siste n te c o n n u estra fó rm u la p r e v ia para e l área d e una su p e r fic ie d e rev o lu c ió n . Si u sa m o s la n o ta c ió n a ltern a tiva para d e r iv a d a s p a r c ia le s, p o d e m o s rescrib ir la fó rm u la 2 c o m o sig u e

N o te la sim ilitu d e n tr e la fó r m u la para el área d e la su p e r fic ie d e la e c u a c ió n 3 y la fó r m u la para la lon g itu d d e arco d e la se c ció n 8.1:

EJEMPLO 1

E ncu en tre e l área d e la su p e rfic ie d e la parte d e la su p e r fic ie z = xr + 2 y qu e reg ió n triangular T en e l

e s tá sob re

SOLUCIÓN

L a reg ió n T se m u estra en

{ ( .t .y ) | O s

p lan o ;ty c o n v é r tic e s (O, 0 ) , (1 , O)y (1 , 1). la figura 3 y e stá d e sc r ita por v s

1, O s

x ]

U sa n d o la fó rm u la 2 c o n f ( x , y ) = xr + 2y , o b te n e m o s

A = f f n/(2.v)2 + (2 )2 + 1 d A = f ( ' yj4x2 + 5 d y d x JJ JO JO T

= f V \ 4.V: + 5 d x = ¡ ■ j ( 4 .t 2 + 5 )3 -],> = -¡r(2 V - 5 \ / 5 ) JO

L a fig u ra 4 m u estra la p o rció n d e la su p e rfic ie c u y a área h e m o s c a lc u la d o .

EJEMPLO 2

E ncu en tre e l área d e la parte de', p a ra b o lo id e r = x2 + y 1 q u e e stá b ajo el

p lan o z = 9. F IG U R A 4

SOLUCIÓN El p la n o in tercep ta e l p a ra b o lo id e en la c ir c u n fe r e n c ia j c + y 2 = 9, z = 9. Por tanto la su p e rfic ie d a d a e s tá sob re e l d is c o D c o n cen tro en e l o rig en y radio 3 (v é a se la fig u ra 5). U sa n d o la fó rm u la 3 , te n e m o s

1 + Í2 .t)2 + (2 y )2 d A |

V I + ( « J " ( » )

f f V 1 + 4 (.r 2 + y 2 ) d A D

C o n v ir tien d o a c o o rd en a d a s p o la r es, o b te n e m o s

A =

F IG U R A 5

f ' * f V 1 + 4 r 2 r d r d O = f ” dO f ¿ > /l + 4 r 2 (8 r ) dr Jo Jo Jo

2 i r ( |) f < l + 4 r 2 )3/2]o = — (3 7 V /3 7 -

1016

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

Ejercicios 1-12 E ncuentre el área de a superficie.

16.

1. L a parte del plano 2 = 2 4 3* + 4y que está p o r encim a del rectángulo [O, 5] X [1, 4J

z =

2. L a parte del plano 2 x 4 5y 4 2 = 10 que está dentro del cilindro r 4 y 2 = 9 3. L a parte del plano 3 * 4 2y 4 : = 6 que está en el p rim er octante 4.

L a parte de la superficie z — 1 4 i x 4 2y2 que está por encim a del triángulo can v értices (0, 0 ), (0, 1) y (2, 1)

L a parte del cilind ro y 1 4 r 2 = 9 que está por encim a del rectángulo con vértice? (0, 0 ), (4, 0 ), (0, 2) y (4, 2)

a) Use la regla del punto m edio para integrales d o b les con m = n = 2 para estim ar el área de la superficie x y

4 a-2 4 y 2, 0 $ ,i í

x~ — y~ que esta por

m o 17.

E ncuentre el área exacta de la superficie 2 = I 4

4 3y 4 4 y \ I ^

^ 4, 0

y ^ 1.

|s~c| 18 . E ncuentre el área exacta de la superficie •2 í

.t í

- l í y S

Ilustre g raficando la superficie. 19.

E ncu en tre, c o n una aproxim ación de cuatro decim ales, el área de la parte de la superficie 2 = 1 4 x y 2 que está por en cim a del disco r 4 y 2 í 1.

L a parte del paraboloide hiperbólico z = y 2 — x 2 que está entre los cilin d ro s r 4 y 2 = 1 y r 4 y 2 = 4

8. L a superficie

del inciso a). C om pare con la respuesta al inciso a).

r = 1 4 .t 4 y 4 .v2

6. L a parte del paraboloide r encim a del plano xy

2, 0 $ y í

U tilice un sistem a algebraico co m putarizado para aproxim ar con cuatro d ecim ales el área de la superficie

2< vV2 ( x * 2 4 y 3/2) , 0

.v ^ 1, 0 <

20.

^ 1

9. L a parte de la superficie z = xy que está d e n tro del cilindro 2 4i y-1 = i1 x~

E n cuen tre, con una aproxim ación de cuatro decim ales, el área de la parte de la superficie 2 = ( I 4 A 2 ) / { 1 4 y 2) que está por en cim a del cuadrado | A | 4 |y | ^ 1. Ilustre graficando esta parte de la superficie.

21.

D em uestre que el área de la parte del plano 2 = a x 4 by 4 c que se pro y ecta sobre una región D en el plano xy con área A ( D ) es J a 2 4 b 2 4 1 A(Z>).

10. L a parte de la esfera x2 4 y 2 4 z 2 = 4 que está p or encim a del plano 2 = 1 11. L a parte de la esfera

x24 y 24

: 2 = a2que está dentro

22.

del cilindro x2 4 y 2 = a x y p o r encim a del plano xy 12. L a parte de la esfera

x~4 y 24

D e hecho, el integrando tiene una disco ntinu idad infinita en todo punto de la circunferencia x 2 4 y 2 = cr. Sin em b arg o, la integral puede calcularse com o el lím ite de la integral

z 2 = Azque está en elinterior

del p araboloide 2 = x 2 4 y 2

13-14 E ncuentre el área de la superficie con una aproxim ación de cuatro decim ales, expresando el área en térm inos de una sola integral y utilizando su calculadora para estim ar la integral. 13.

14.

15.

sobre el disco o2 4 y 2 í t2 conform e t —>a~. Use este m étodo para dem ostrar que el área de una esfera de radio a es Aircr. 23.

L a parte de la superficie 2 = e~* -> que está p or encim a del disco r 4 y2 í 4 L a parte de la superficie 2 del cilin dro x2 + y 2 = 1

c o s(a t

4 y 2) que está en el interior

Si intentam os usar la fórm u la 2 para en co n trar el área de la m itad superior de la esfera x 2 4 y 2 4 z 2 = a 2, tendrem os un pequeño problem a porque la integral doble es im propia.

E ncuentre el área de la parte finita del paraboloide y = x 2 4 22 cortadc p o r el plano y = 25. proyecte la superficie sobre el plano *zj.

24.

L a figura m uestra la superficie cread a cuando el cilindro y 2 4 ; 2 = 1 intercepta al cilindro x 2 4 z 2 = 1. E ncuentre el área de esta superficie.

a) Use la regla del punto m edio para las integ rales dob les (véase la sección 15.1) con cuatro c u ad rad o s para estim ar el área de la superficie de la porción del paraboloide 2 = x 2 4 y 2 que está p o r encim a del cuadrado [0, 1J X LO, 1J. b) U tilice un sistem a algebraico co m putarizado para aproxim ar con cuatro d ecim ales el área de la superficie en el inciso a). C om pare con la respuesta del inciso a).

|S¿C| Se requiere sistem a algebraico com putarizado

1. T areas su g erid as d isp o n ib le s e n stew artcalculus.com

SECCIÓN 15.7

IN TEGRALES TR IPLES

1017

Integrales triples A s í c o m o se defin en las integrales sim p les para fu n cio n es d e una variable y las integrales d ob les para fu n cio n e s de d o s va ria b les, se d efin en las in tegrales triples para fu n cio n e s d e tres variab les. S e tratará prim ero co n e l c a so m á s sim ple d o n d e / s e d e fin e sobre una ca ja rectangular:

m E l prim er p a so e s d iv id ir B en su b caja s. E sto se h a c e d iv id ie n d o e l in te rv a lo [a , b] en / .v ,] d e ig u a l a n c h o A *, d iv id ie n d o [c , d ] en m su b in te rv a lo s c o n a n ch o

su b in te rv a lo s

A y y d iv id ie n d o [r, s] en n su b in te rv a lo s d e a n c h o A z. L o s p la n o s q u e pasan por lo s p u n to s fin a le s d e e s to s su b in te rv a lo s p a ra lelo s a lo s p la n o s c o o r d e n a d o s d iv id e n a la ca ja B en

I m n su b cajas

Bijk =

X [y7- i , y>] X

qu e se m uestran en la fig u ra 1. C ad a su b cajz tien e v o lu m e n A V = A .v A y A z. E n to n ce s se fo rm a la tr ip le s u m a d e R ie n ia n n

2 2 Ifixfc.yftt.-ü iA V

i=l j= l 1=1

d o n d e e l p u n to m u estra (*$*, y,^-, z $ t) e stá en B íjj ¡. Por a n a lo g ía c o n la d e fin ic ió n d e una in tegral d o b le ( 1 5 .1 .5 ) , se d e fin e la in teg ra l triple c o m o e l lím ite de las trip les su m as de R iem a n n en [T|.

|~3~| Definición

L a in t e g r a l tr ip le d e / s o b r e la ca ja B e s m

fff f( x ,y ,z ) d V -

FIGURA 1

lím

2 2

V,* , - * . ) A ' '

si e ste lím ite e x is te .

D e n u e v o , la in teg ra l triple e x is te siem p re q u e / s e a c o n tin u a . S e p u ed e e le g ir q u e el punto m uestra sea cualqu ier punto en la subcaja, pero si se e lig e qu e sea el punto (.v„ y,-, z*), se o b tie n e u n a e x p r e sió n d e a sp e c to m á s sim p le para la in teg ral triple: / /( .v , y , z) d V =

1ím

m 2

n 2 f (* »

A l ig u a l q u e para las in te g ra les d o b le s, el m é to d o p rá ctico para e v a lu a r in te g ra les trip le s e s e x p r esa rla s c o m o in te g ra les iteradas de la sig u ie n te m anera.

|~4~| Teorem a de Fubini para in te g ra le s trip les

[a,

b] X

[c ,

d] X

fff

[ r , 5] ,

Si / e s co n tin u a sobre la caja rectangular

e n to n c e s

/( .v , y , z) d V = £

fá \j(x ,

y , z) d x d y dz

£ L a in tegral iterad a en e l la d o d e r e c h o d e l teorem a d e Fubini s ig n ific a q u e se in tegra prim ero r esp e cto a x (m a n te n ie n d o a y y z c o n sta n tes), lu e g o se in teg ra r e sp e c to a y (m a n te n ie n d o a z c o n sta n te ) y , por ú ltim o , se integra r esp e cto a z. H ay otros c in c o p o s ib le s

1018

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

ó r d e n e s en lo s q u e se p u ed e integrar, lo s c u a le s dan e l m ism o valor. Por e je m p lo , si se in te gra r esp e cto a y , d e sp u é s z y lu e g o x , se tien e

f ( x t y, z ) d V = f

r í / ( .v, y , z) d y dz d x

Ja J r Je

□

EJEMPLO 1

E v a lú e la in tegral trip le j j j B x y z 1 dV, d o n d e B e s la ca ja rectangu lar dad a

por

B = {(.v, y , z) | O

1, - 1 ^ y ^ 2 , O ^ z ^ 3}

SOLUCIÓN S e p od ría usar cu a lq u ie ra de lo s s e is órd en es p o s ib le s d e in te g ra c ió n . Si se e lig e integrar r esp e cto a x, lu e g o y y d e sp u é s z, se o b tien e

x y z 2 d V =

3o f

x y z 2 d x d y d z =

ri yz-

Jo J-

•3 3z-

‘ ,

[

r f y í i r

d y dz

dz I

A h ora se d efin e en gran m ed id a la in te g r a l tr ip le so b r e u n a r e g ió n a c o ta d a g e n e r a l

en e l e sp a c io trid im en sion al (un só lid o ) por e l m ism o p ro ced im ien to qu e se e m p le ó para in te g ra les d o b le s (1 5 .3 .2 ). S e en cierra E en u n a caja B d e l tip o d a d o por la e c u a c ió n I . D e s p u és se d e fin e una fu n ció n F d e m o d o qu e c o n c u e rd a c o n / s o b r e E , p ero e s c e r o para p u n to s en B q u e está n fuera de E. Por d e fin ic ió n ,

( f f f ( x , y,

z) d V ■=

f f f F(x, y, z) d V

E sta in tegral e x is te s i / e s c o n tin u a y la frontera de E e s “ r a zo n a b lem e n te s u a v e ”. L a triple in tegral tien e en e s e n c ia la s m ism a s p r o p ie d a d es q u e la d o b le in tegral (p r o p ie d a d e s 6 a 9 en la s e c c ió n 1 5.3 ). S e restrin ge la a te n c ió n a fu n c io n e s c o n tin u a s f y a c ie r t o s tip o s d e r e g io n e s sim p le s. S e d ic e q u e una reg ió n só lid a E e s

t ip o

si e stá entre las g r á fic a s d e d o s fu n c io n e s c o n tin u a s

d e x y y , e s d e c ir , {(.v, y , z) | (.r, y) G Z>, w ,(x, y ) =s z

u 2{xy y)}

F IG U R A 2

d o n d e D e s la p r o y e c c ió n d e E sob re e l p lan o xy c o m o se m u estra en la figu ra 2 . O b serv e

U na región sólida tipo 1

q u e e l lím ite su p erio r d e l s ó lid o E e s la su p e rfic ie c o n e c u a c ió n z = uz(x, y ), m ien tra s qu e e l lím ite in ferio r e s la su p e rfic ie z = ui(x , y). Por la m ism a c la s e d e arg u m en to q u e c o n d u je a la fó rm u la ( 1 5 .3 .3 ) , se p u ed e d e m o s trar q u e si E e s u n a reg ión tip o 1 d a d a por la e cu a c ió n 5, e n to n c e s

0 E l s ig n ific a d o d e la in teg ra l interior en e l lad o d erech o d e la e c u a c ió n 6 e s q u e x y y se m a n tien en fija s y , por tan to, u\(x , y ) y ui(x, y ) son c o n sid e r a d a s c o m o c o n sta n te s , m ien tras q u e f(Xy y , z) se in tegra r e sp e c to a z.

SECCIÓN 15.7

IN TEGRALES TR IPLES

1019

En p a rticu la r, si la p r o y e c c ió n D d e E sob re e l p la n o x y e s u n a r e g ió n p la n a tip o I (c o m o en la figura 3 ), e n to n c e s

E = {(.v, y, z) | a ^ x

b , gif.v) =s y

g2(x), w,(.v, y )

w2(.v, y )}

y la e c u a c ió n 6 se c o n v ie r te en

y,Z)

f f f /(*> JJJ

dV =

f " f 1' ' 1

{x , y , z ) d z d y d x

«a Jfl.íj) JvAx,y)

FIGURA 3 U na región sólida tipD I, donde la proyección D es una región plana tipo 1

S i, por otro la d o , D e s una reg ión p lan a tipo II (c o m o en la figura 4 ) , e n to n c e s

E = {(.v, y ,

z = U2(xt V)

z) | c =£ y

d, h i{y)

h 2( y ) , Wi(.v, y )

m2(.v, y)}

y la e c u a c ió n 6 se tran sform a en

H x = h2(y) FIGURA 4 O tra región sólida tipo 1, c o n una proyección tipo II

EJEMPLO 2

fff / U , JJJ

z) d V =

f 4 f “'y> Je

y , z) dz d x d y

E v a lú e JJJ£ z d V , d o n d e E e s e l tetraedro só lid o a co ta d o por lo s cuatro

p la n o s x = O, y = O, z = O y x + y + z =

SOLUCIÓN C u a n d o se e sta b le c e u n a in tegra l triple e s a c o n se ja b le dib ujar dos diagram as: u n o d e la reg ión só lid a E (v é a se la fig u ra 5) y una d e su p r o y e c c ió n D sob re e l p la n o xy (v é a s e la fig u ra 6 ). L a c o ta in ferio r d e l tetraedro e s e l p la n o z = 0 y la c o ta su p erio r e s el plan o x + y + z = 1 (o z = 1 — x — y ), a sí que se u sa u\(x , y ) = O y U2(x> y) = 1 — x — y

(0,0,1)

en la fó rm u la 7. O b serv e q u e lo s p la n o s x + y + z = 1 y z = 0 se cortan en la recta

x + y = 1 (o y = 1 — x) en e l p la n o xy. Por c o n sig u ie n te , la p r o y e c c ió n d e E e s la regió n trian gular m o strad a en la fig u ra 6, y se tien e

[9 ]

E = {(.v, y , z) I O ss x ss 1, O =s y

1 —

E sta d e sc r ip c ió n d e E c o m o u n a región tip o 1 p erm ite

i — r — y}

e v a lu a r la in tegral c o m o sigue: =l - . x - y

dy dx =o y=\-x -

y= 0

U ' £ " '< ■

■-

y > ' d y d ‘

~ \ ~ yl ] y=0

! [ ' [ - "

1 - í j > 24

FIG U R A 6

U n a regió n só lid a E e s tip o 2 si e s d e la form a

= {(.v, y, z) | (y , z) E

w ,(y,

)

2 (

y, z)}

1020

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

d o n d e , e sta v e z , D e s la p r o y e c c ió n d e E sob re e l p lan o yz (v é a se la fig u ra 7 ). L a su p e r fic ie p osterio r e s x = u\{y , z), la su p e rfic ie d e l frente e s x = u2(y , z ), y se tien e

í í f f ( x ' y- z) d v = í f [ C £

/ u > y> z ) dx]

Por ú ltim o , u n a región t i p o 3 e s d e la form a

E = {(.v, y, z) | (.v, z) E D, w, .v, z)

F IG U R A 7

y =s u2(x, z)}

U na región tipo 2 d o n d e D e s la p r o y e c c ió n d e E sob re e l p la n o xz, y = wi(x, y ) e s la su p e rfic ie izq u ierd a y y = U2(x, z) e s la su p e rfic ie d e r ec h a (v é a se la figura 8 ). Para e ste tip o d e región se tien e

dA £

En ca d a u n a de las e c u a c io n e s 10 y 11 p u ed e haber d o s e x p r e s io n e s p o s ib le s para la in tegral, d e p e n d ie n d o de si D e s una región p lan a tipo I o tip o II (y en c o rr e s p o n d e n c ia c o n la s e c u a c io n e s 7 y 8). Q F IG U R A 8

U na región tipo 3

■ g H i ' i U m i E v a lú e JJf£ N/.v 2 + z 2 dV, d o n d e E e s la reg ió n a co tad a por e l p arab o-

lo id e y = x 2 + z2 y e l p lan o y = 4. SOLUCIÓN E l só lid o E se m uestra en la figura 9. Si se le c o n sid era c o m o una región tipo I, e n to n c e s se n e c e s ita c o n sid e r a r su p r o y e c c ió n D i so b re e l p la n o xy, q u e e s la r eg ió n p arabólica en la figura 10. (L a traza de y = x2 + z2 en e l plan o z = 0 e s la parábola y = x2.)

l i U

V isual 15.7 ilustra cóm o b s reg io n es

s ó lid a s lin d u s o la d e la figura 9) se proyectan so b re p lanos coo rdenados.

F IG U R A 9

F IG U R A 1 0

R egión de integración

Proyección en el plano xy

D e y = .v2 + z 2 se o b tie n e z = ± y ) J — .v2 , d e m o d o q u e la su p e rfic ie lím ite in ferio r de E es z =

—y/y — .V2 y la su p e rfic ie su perior e s z = v

—

• P ° r tanto, la

d e sc r ip c ió n d e E c o m o u n a reg ió n tip o I e s {(.v, y , z) I - 2 ^ .v ^ 2 , r « y í y se o b tien e

4, - \ / y - x 2 ^ z

s/ y - x 2 }

SECCIÓN 15.7

IN TEGRALES TR IPLES

1021

A u n q u e e sta e x p r e sió n e s co rrecta , e s m uy d ifíc il e va lu arla. A s í q u e , en c a m b io , c o n sid e r a re m o s a E c o m o una regió n tip o 3. D e e ste m o d o , su p r o y e c c ió n D 3 sob re e l p lan o

xz e s e l d is c o x 1 + z2

4 m ostrad a en la figura 1 1.

E n to n c e s, la frontera izq u ierd a de E e s e l p a ra b o lo id e y = j c + z2 y la frontera d e r ec h a e s e l p la n o y = 4 , d e m anera q u e si se to m a u\(x> z) = <r + z2 y ui(x, z) = 4 en la e c u a c ió n 11, se tien e

(4 -

V-c2 + z 2 d V D, L

x 2 - z 2) s / x 2 +

F IG U R A 11

Proyección sobre el plano x z @

A u n q u e e sta integr al se pod ría e sc rib ir c o m o

El paso m ás difícil para ev alu ar una

Id le g ió n d e ii i l e y i a u ú n ( u

j iiiu

f ' 3Ü l ( 4 - ,v2 - z 2)V .v 2 + z 2 d : d x

integral triple e s esta b lece r una expresión para

J —2 J —v '4 - J 1

Id e c u d c iú n 9

d e l ejem plo 2). R ecuerde que los lím ites de

e s m á s fá c il c o n v ertir a c o o rd en a d a s p o la r es en e l p la n o xz: x = r e o s 9, z = r sen 9.

integración en la integral interna c o n tien en a lo

E sto d a

su m o d o s variab les, los lín ite s d e integración

/ í 2 + r2 d V =

en la integral d e en m edio c o n tien en a lo sum o

f f (4 - x 2 -

z2) y / x 2 + z 2 d A

u n a variable y los lím ites de integración en la integral externa d eb e n s e r co n s ta n te s .

y¡

í~ (4 - r 2)r r dr d 9 =

f""' d 9 f~ (4 r 2 - r 4) dr

1 1287T

EJEMPLO 4

E x p rese la in teg ral iterada J(¡ J0TJJ /(.v , y, z) dz d y d x c o m o una in tegral

triple y d e sp u é s ree sc ríb a la c o m o una integral iterada en un orden d ife re n te , in tegran d o prim ero r e sp e c to a x, d e sp u é s z y d e sp u é s y. SOLUCIÓN P o d e m o s e sc rib ir

í ' i " P 7 ( * . ^ z) dz d y d x =

Jo Jo Jo

ff f JJJ

/ ( .v ,

y , z) d V

d o n d e E = {(.v, y, z) \ O ^ x ^

l , 0 ^ y ^ r 2, 0 í

z ^ y } , E sta d e sc r ip c ió n d e E n o s

p o s ib ilita e sc rib ir las p r o y e c c io n e s so b re lo s tres p la n o s c o o r d e n a d o s c o m o sigue: so b re e l

p lan o xy:

D\ =

{(.í, >') | O =s x

= {(.V. y) I O «

F IG U R A 1 2

1, O =s y ^ x 2}

y s I , y/y «

so b re e l

p la n o yz:

D2 =

{(.v, >') | O

sob re e l

p la n o xz:

D3 =

{(.v, y) | O

x ^ 1, O

.Í s

I . O ^ z í y} z

x 2}

L as proyecciones de £ D e l resu lta d o de e sb o z a r las p r o y e c c io n e s en la figu ra 12, trazam o s e l s ó lid o E d e la figu ra 13. V e m o s q u e e s un s ó lid o encerrad o por lo s p la n o s z = O, x = 1, y = z y el c ilin d r o p a r a b ó lico y = X 2 (o X = \/y^). Si in te g ra m o s prim ero r esp e cto a x, lu e g a z y d e sp u é s y , u sa m o s una d e sc r ip c ió n a ltern ativ a d e E:

E = {(.v, y , z ) | O

x =s l , 0 ^ z s y ) N/ y € , t í

A s í, F IG U R A 1 3

El sólido £

/ ( .v , y , z)

d V = f ' f } f /(-v , y , z ) d x dz d y Jo Jo JJy

1022

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

A p lic a c io n e s de las integrales triples R ecu erd e q u e si f ( x ) 3= O, e n to n c e s la in teg ral sim p le J* / ( * ) d x rep resen ta e l área b a jo la c u r v a y = j \ x ) d e c ¡ a b , y si f ( x , y) ^ O, e n to n c e s la in teg ra l d o b le jjD / ( . í , y) d A rep resen ta e l v o lu m e n b a jo la su p e r fic ie z = f ( x , y ) y arriba d e D. L a in terp retación c o rr esp o n d ien te d e u n a in te g r a l tr ip le JJ'J£ f ( x , y , z) dV , d o n d e f ( x , y, z) > O, n o e s m u y ú til p o rq u e será e l " h ip e r v o lu m e n ” d e un o b jeto tetra d im en sio n al y , por su p u e sto , e s m u y d ifíc il representar. (R e cu er d e q u e E e s s ó lo e l dominio de la f u n c i ó n / , la g rá fica d e / s e lo c a liz a en e l e s p a c io te tr a d im e n sio n a l). N o o b sta n te, la in tegral triple JjJ£ / ( * , y , z) d V se pu ed e interpretar d e va rias m an eras en d ife r e n te s situ a c io n e s fís ic a s , lo qu e d e p e n d e d e la s in terp r e ta cio n e s físic a s d e x, y , z y f ( x , y , z). S e c o m e n z a r á c o n e l c a s o e s p e c ia l d o n d e f ( x , y , z ) =

1 para to d o s lo s p u n tos en E.

E n to n c e s la in teg ral triple rep resen ta e l v o lu m e n de E.

V{E) = IT!" d V

Por e je m p lo , se pu ed e ver qu e é ste e s e l c a so d e una región tip o I si se e s c r i b e /( a ; y , z) = 1 en la fó rm u la 6:

[cH

y) - Ui(A-, y )] dA

y d e la s e c c ió n 1 5 .3 se sab e q u e e s to rep resen ta e l v o lu m e n lo c a liz a d o en tre la s su p e r fic ie s z = ui(x, y) y z = ui(x , y ). EJEMPLO 5

U s e una in teg ral triple para hallar e l v o lu m e n d e l tetraedro T a c o ta d o por lo s

p la n o s x + 2y + z = 2 , x = 2 y , x = O y : = O. SOLUCIÓN E l tetraedro T y su p r o y e c c ió n D sob re e l p la n o x y , se m uestran en las figuras 14 y 1 5. L a frontera in ferio r d e T e s e l plan o z = O y la frontera su p erio r e s el p lan o x + 2 y 4- z = 2 , e s d e c ir , z = 2 — x — 2y.

Vj 1-

.v + 2y = 2 (o y = 1 — xf2)

» > (^ ) y y y —x/2 0

1 1

F IG U R A 1 5

Por ta n to , se tien e

^ )= i ~

dv=ííTr~*dzdydx Í

[2 -

x -

2 y ]d y d x = ^

por e l m ism o c á lc u lo d e l e je m p lo 4 d e la s e c c ió n 1 5 .3 .

SECCIÓN 15.7

IN TEGRALES TR IPLES

1023

(O b se r v e m o s q u e n o e s n e c e sa r io usar in teg ra les trip les para c a lc u la r v o lú m e n e s. S im p le m e n te dan otro m é to d o para e sta b le ce r e l c á lc u lo .) T o d a s las a p lic a c io n e s d e las in te g ra les d o b le s d e la s e c c ió n 1 5 .5 se p u ed en e x ten d e r de in m e d ia to a las in te g ra les trip les. Por e je m p lo , si la fu n ció n d e d e n sid a d d e un o b jeto s ó lid o q u e o c u p a la reg ió n E e s p (x , y , z), en u n id a d es d e m a sa por unidad d e v o lu m e n , en c u a lq u ie r p u nto d a d o (x, y , z ), e n to n c e s su m a s a e s

\Ü\

m = JJJ p(x, y , z) d V *£*

y su s m o m e n t o s r esp e cto a lo s tres p la n o s co o rd en a d o s son

\Ü\

M y;

l— l

fff

JJ*t

x p ( x , y , z) d V

(ff

M xz =

y p (.v , y , z) d V

Mxy=

fff

zp (x,y,z)d V

El c e n tr o d e m a s a se lo c a liz a en e l p u nto ( i , y, z ) , d o n d e ,----1

Myz

M xz

1— 1

M xy

S i la d e n sid a d e s c o n sta n te , e l cen tro d e m asa d e l só lid o se lla m a c e n t r o id e d e E. L o s m o m e n t o s d e in e r c ia r e sp e c to a lo s tres ejes c o o r d e n a d o s son

Ix =

fff (y 2 +

JJJ

Z2)p (x , y , z) d V

Iy =

fff

vvJ

(.v2 + z 2 ) p ú , y , z) d V

/-=

fff

(.r2 + y 2)p (.v , y , z) d V

C o m o en la s e c c ió n 1 5 .5 , la c a r g a e lé c tr ic a total sob re un o b jeto só lid o q u e o c u p a una región E y q u e tien e d en sid a d de ca rg a <r(x, y , z) e s

o ( x , y , z) d V

S i se tien en tres v a r ia b le s a lea to rias c o n tin u a s X , Y y Z, su f u n c ió n d e d e n s id a d c o n j u n t a e s una fu n ció n d e tres v a r ia b le s tal que la prob ab ilid ad d e q u e (X, Y, Z) e sté en E e s

P((X, Y, Z ) G E ) =

f f f /( .v , y , z) d V

JJJ £

En particular,

P (a

X =s b, c ^ Y =s d y r =s Z =s s) = f & f rf f V ( j c , y» - )

Ja Je J r

L a fu n ció n d e d en sid a d c o n ju n ta sa tisfa c e

/( .v , y , z) 5= 0

f“ (“ f“

/( .v , y , z) rfz ¿íy d x =

1024

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

E U Z H IU

E ncuentre e l cen tro de m a sa d e un só lid o d e d e n sid a d c o n sta n te q u e e stá

a c o ta d o por e l c ilin d r o p a r a b ó lico x = y 2 y lo s p lan o s x = zt z = O y x =

SOLUCIÓN E l só lid o E y su p r o y e c c ió n sob re e l plan o xy se m uestran en la fig u ra 16. L as su p e r fic ie s in ferio r y su p erio r d e E son lo s p la n o s z = O y - = x, a s í qu e d e sc r ib im o s E c o m o u n a reg ión tip o I:

E = {(.v, y , z) | - l « y «

l , y U ^ i , o ^ z « . í }

E n to n c e s, si la d en sid a d e s p(x, y , z) = p , la m asa es

m = (jy p d V =

f‘ £

p i - , Z xdxd>

«'“

f (1

p dz d x dy

y4)dy = p

í (1

y 4)d y

D e b id o a la sim etría d e E y p r esp e cto al p la n o x:y se p u ed e d e c ir d e in m e d ia to qu e Mxz = 0 y , por tanto, y = O. L o s otros m o m e n to s son

xp d V =

f ,

\'f\p d z d x d y

p £ , j ; , ^ d y = p £ i

[ / ]

zpdV =

P f ‘ (1 -

[ \ [ xzpdzdxdy

■i , y , ' o

1L 1

y6)dy

3 Jo

Por tanto, e l cen tro d e m a sa e s

(x ,y ,l)

m /

SECCIÓN 15.7

IN TEGRALES TR IPLES

1025

Ejercicios 1. E valúe la integral del ejem plo 1, integrando prim ero respecto a y, después r, y luego x.

19-22 Use una integral triple para h a lla re ! volum en del sólido dado.

2. E valúe la integral f f f £ ( x y + r 2) dV, donde

19. El tetraedro encerrado por los p lan o s coord en ad os y el plano 2x+ y + z = 4

E = {(.v,y ,z] | 0 í = . T S á 2 , 0 s S y s á I , 0 s = z < 3 }

20. El sólido encerrado por los paraboloides 2 y = x^_2 +i z 2y y = 8 o— j r22

usando tres órdenes d iferen tes de integración. 21. El sólido encerrado por el cilind ro y = x2 y lo s planos - = 0 yy + ; = 1

3-8 E valúe la integral iterada. 3. | I f> ‘ Í2.x - y) d x d y dz Jo Jo Jo 5.

P f"

[nxx e ~ y d y1 d x dz

J I Jo Jo

4. I ' ( y 2 x y z dz d y d x JoJx Jo 6.

f f f

Jo Jo Jo

— — d x dz d y y + 1

23. a) E xprese el volum en de la cuñ a en el p rim er octante que

es co rtad a p o r el cilin dro y 2 + z 2 = 1 p or lo s planos y = x y x = I com o una integral triple,

f f > f cosí.x + y + z) d z d x dy Jo Jo Jo |

22. El sólido encerrado por el cilin d ro x 2 + z 2 = 4 y los planos y = —I y y + : = 4

b) Use la tabla de integrales (en las páginas de referencia al final del libro) o un sistem a algebraico co m p u tarizad o para hallar el valor ex acto de la integral triple del inciso a).

( [ a 2 sen y d y d z d x

24. a) En la reg la d el p u n to m ed io p a r a in te g r a le s tr ip le s se

usa una triple sum a de R iem ann para aproxim ar una

9-18 E valúe la integral triple. 9. Jff£ y dV, donde

E = { ( x , y , z) | 0 ^ x ^ 3 , O ^ y ^ x , x — y ^ z ^ x + y ) 10 .

cubo definido p or 0 í i í 4 ,

JJL e z,ydV, donde E

= {(.x, y , z ) | 0 =£ y ^

0 í y í 4 ,

0 í z í 4 .

D ivida a B en ocho cub o s de igual tam año, b) Use un sistem a algebraico co m putarizado para aproxim ar con cuatro d ecim ales la integral del inciso a). C om pare con

1, y ^ .x < 1 ,0 < r < .xy}

-y-j-— r d V , donde

la respuesta del inciso a).

£ = {(.x, y, z) | | < y < 4 , y < : < 4 , 0 < i í z} 12.

integral triple sobre una c aja B, donde f ( x , y , r ) se evalúa en el centro (!x,-, y¿, 7*) de la c aja £;*. Use la regla del punto m edio para estim ar JJJ£ V .X2 + y 2 + z 2 dV, donde B es el

JJJf sen y d V , donde E está por debajo del plano : = .vy por encim a de la región triang u lar con vértices (0, 0 , 0 ), (7r, 0 , 0) y (0, 77, 0)

13. 111£ 6.xy dV, donde E yace bajo el plano r = 1 + x + y y arriba

25-26 Use la regla del punto m edio para in teg rales triples (ejercicio 24) para estim ar el valo r de la integral. D ivida a £ en ocho subcajas de igual tam año. 25. f fja tu s ( x y z ) dV, donde

B = {(.x, y, z) | 0 =£ .x < 1, 0

1, 0 ^ r ^

de la región en el plano xy acotado por las cu rv as y = V-X»

y= 0yx = 1

26. f¡¡£ y f x e xy: dV, donde

14.

111£ .xy dV, donde £ está acotada p o r los cilind ro s parabólicos y = x 2 y x = y 2 y los p lano s z = 0 y z = x+ y

15.

11 |T.X2 dV, donde T es el tetraedro sólido (V, 0 , 0 ) , (0, I ,0 ; y ( 0 ,0 , 1)

con

27-28 B osqueje el sólido cuyo volum en está dado por la integral v értices (0, 0 , 0), iterada.

16. 11 |r .xyr dV, donde 7 es el tetraedro sólido con vértices ( 0 ,0 , 0 ) , ( 1 ,0 , 0 ;,( 1 , 1, 0 ) y ( 1 ,0 , 1) 17. 11 |£ .VdV, donde E está acotada p or el paraboloide x = 4y 1 + 4z 2 y el plano x = 4

27. /■ r Jo Jo

28. f 2 f 2 y i* y¡d x dz dy Jo Jo Jo

29-32 E xprese en seis fo rm as d istin tas la integral j f f E f { X, y, z) d V

18. 11 |£ r dV, donde £ está acotada p or el cilin d ro y 2 + : 2 = 9 y los planos x = 0, y = 3 x y z = 0 en el p rim er octante

|SAC| Se requiere sistem a algebraico com putarizado

B = {(.x, y, z) I 0 ^ .x < 4, 0 ^ y ^ 1 ,0 < • < 2}

com o una integral iterada, donde £ e s el sólido acotado por las superficies dadas. 29. y = 4 - .x2 - 4 z \

y = 0

1. T areas su g erid as d isp o n ib le s e n stew artcalculus.com

1026

CAPÍTULO 15

30. y 2 + r 2 = 9 , 31. y = x \ 32. x = 2,

INTEGRALES M ÚLTIPLES

x = -2,

z = O,

y = 2,

= 2

38. Jffa ( z 3 + sen y + 3) dV, don de B es la bola unitaria x2 + y 2 + z2 ^

y + 2z = 4 z = O,

* +

- 2z -

2 39-42 E ncuentre la m asa y el cen tro de m asa del sólido E con la función de d ensidad p dada.

33. L a figura m uestra la región de integración para la integral

f •0

f'_ T yf ( x , y y z) d z d y d x

39. E es el sólido del ejercicio 13: p(x, y , z) = 2 40.

«O

R eescriba en los o tros cinco ó rd en es e sta integral com o una integral iterada equivalente.

E está acotada por el cilin d ro parabólico z = 1 — y 2 y los p lan o s a + z = 1, x = 0 y z = 0: p{x, y , z) = 4

41.

E es el cubo dado por 0 ^ A ^ p ( x , y , z) = a 2 + y 2 + z 2

42. E es el tetraedro acotado por lo s planos a- — O, y — 0, z = 0 , A + y + z = 1: p(x, y , z) = y

43-46 S uponga que el sólido tiene densidad constante k. 43. E ncuentre los m om entos de inercia para un cubo c o n longitud de lado L si un vértice está situado en el origen y tres aristas están a lo largo de los ejes de coordenadas. 44. D eterm ine los m om entos de inercia para un ladrillo rectangular

34.

L a figura m uestra la región de integración para la integral f f * f ‘ *f{x , y, z) dy dz dx Jo Jo Jo R eescriba en los otro s cinco ó rd en es e sta integral com o una integral iterada equivalente.

con d im en siones a , b y c y m asa M , si el centro del ladrillo está situado en el origer. y las aristas son paralelas a los ejes de coordenadas. 45. Halle el m om ento de inercia alrededor del eje z del cilind ro sólido A'2 + y 2 < a 2, 0

z ^ h.

46. C alcule el m om ento de inercia alrededor del eje z del cono sólido v”A2 + y 2 ^ z h.

47-48 Plantee, pero no evalúe, exp resion es in teg rales para a) la m asa, b) el centro de m asa y c) el m om ento de inercia respecto al eje z. 47. El sólido del ejercicio 2 1 :

pÍA, y, z) = n/ a 2 + y 2

48. El hem isferio A2 + y 2 + z 2 ^

1, z > 0:

p ÍA .y .z ) = t / a 2 + y 2 + z 2

35-36 E scrib a o tras cinco integrales iteradas que son iguales a la integral iterada dada.

36.

f' f' JO J y

f(x,y,z)d xd :d y

de densidad p(x, y , z) = I + x + y + z. Use un sistem a algebraico com putarizado para hallar los valores exactos de las siguientes cantidades para E. a) L a m asa b) El centro de masa c ) El m om ento de inercia respecto al eje z

•0

37-38 E valúe la triple integral usando sólo interpretación geom étrica y sim etría. 37.

49. Sea E el sólido en el p rim er octante acotado p o r el cilindro x 2 + y 2 = 1 y lo s planos y = z, z = 0 y z = 0 con la función

J / j c (4 + 5A2y z 2) d V , donde C es la región cilindrica x 2 + y 2 ^ 4, - 2 ^ z ^ 2

[SAC] 50. Si E e s el sólido del ejercicio 18 c o n función de densidad p (a, y , z) = x 2 + y2, encuentre las siguientes can tid ad es, con una aproxim ación de tres decim ales. a) L a m asa b) El centro de masa c ) El m om ento de inercia respecto al eje z

SECCIÓN 15.8

51. L a función de densidad con ju n ta para v ariab les aleatorias X, Y y Z e s f ( x , y, z) = Cxyz s i O ^ A < 2 , 0 ^ y « 2 , 0 « z « 2 y f ( x , y , z) = O en c ualq uier otro caso. a) E ncuentre el valor de la constan te C. b) c)

donde V(E) es el volum en de E. P o r ejem p lo , si p es una función

53.

E ncuentre el valor prom edio de la función f ( x , y , z) = xyz sobre el cubo con longitud lateral L que yace en el prim er octante con un vértice en el origen y aristas paralelas a los ejes coordenados.

54.

z > 0 y f ( x , y , z) = 0 en c ualq uier otro caso. a) E ncu entre el valor de la con stan te C. b) D eterm ine P ( X < 1, Y ^ 1 ). c ) O btenga P ( X < 1, Y ^ 1, Z ^ l).

E ncuentre el valor prom edio de la función f ( x , y , z) = x ~ + y 2z sobre la región encerrad a por el paraboloide z = 1 — x 1 — y 1 y el plano z = 0.

55.

a) D eterm ine la región E para la cual la integral triple J j J 11 - ,v3 - 2 r - 3 z !) d V "£

53-54 El v a lo r p ro m e d io de una fu n c ió n /(x , y , z) sobre una región sólida E se define com o

= W

¡ J I f / ^t ’ ■ v' " ) <IV

PROYECTO PARA UN DES CUBRI MI ENTO

1027

d en sid ad, entonces p fR,m es la d ensidad prom edio de E.

D eterm ine P ( X ^ 1, F ^ 1, Z ^ I ) . C alcule P {X + Y + Z == l).

52. S uponga que X, Y y Z son v ariab les aleatorias con función de densidad conjunta / ( a , y, z) = C,^-<°-5jt+0-2>+0 s¡ x > o, y > 0,

IN TEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS

es un m áxim o. b) U tilice un sistem a algebraico co m putarizado para calcu lar el v alo r m áxim o ex acto de la integral triple del inciso a).

V O L Ú M E N E S D E H IP E R E S F E R A S En este proyecto e nco ntram o s fórm ulas para el volum en encerrado por una hiperesfera en el espacio /i-dim ensional. 1. U tilice una integral doble y sustitución trigonom étrica, ju n to con la fórm ula 64 de la tabla de integrales, para encontrar el área de un círculo con radio r. 2.

U se una integral triple y sustitución trigonom étrica para en con trar el volum en de una esfera con radio r.

E m plee una integral cuádruple para encontrar el hipervolum en encerrad o por la hiperesfera x2 + y 2 + z 2 + tir = r en IR4. (U tilice sólo sustitución trigo n o m étrica y las fórm ulas de reducción | s e W x d x o | c o snAúfA.)

U tilice una /i-tuple integral para en co n trar el volum en en cerrad o p o r una hiperesfera de radio r e n el espacio /?-dim ensional IR". [Sugerencia: las fórm ulas son d iferen tes para n par y n impar.J

Integrales triples en coordenadas cilindricas E n la g e o m e tría p la n a e l s is te m a d e c o o r d e n a d a s p o la re s e s u tiliz a d o p a r a d a r u n a c o n v e n ie n te d e s c r ip c ió n d e c ie r ta s c u r v a s y re g io n e s . (V é a s e la s e c c ió n 1 0 .3 .) L a f ig u r a 1 n o s a y u d a a r e c o r d a r la r e la c ió n e n tre la s c o o r d e n a d a s p o la re s y c a r te s ia n a s . S i e l p u n to P tie n e c o o r d e n a d a s c a r te s ia n a s (at, y ) y c o o r d e n a d a s p o la re s (r , 0), e n to n c e s , d e la fig u ra ,

xr 0 =

eos

x- + y

r se n 0

tan 0

E n tr e s d i m e n s i o n e s h a y u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s lla m a d o c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s , q u e e s s i m il a r al d e la s c o o r d e n a d a s p o la r e s y d a u n a c o n v e n i e n t e d e s c r i p c ió n d e a lg u n a s s u p e r f ic ie s y s ó lid o s c o m u n e s . C c m o v e r e m o s , a lg u n a s in te g r a le s trip le s son m u c h o m á s f á c ile s d e e v a l u a r e n c o o r d e n a d a s c il i n d r ic a s .

1028

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

] Coordenadas c ilin d ric a s En e l siste m a d e c o o r d e n a d a s c ilin d r ic a s , un punto P en e l e s p a c io d e tres d im e n s io n e s e stá rep resen tad o por la tern a (r, 0, z), d o n d e r y 0 so n co o rd en a d a s p o la res d e la p r o y e c c ió n de P sobre e l p la n o x y y r e s la d ista n cia d ir ig id a d e l p la n o x y a P. (V é a se la fig u ra 2 .) Para c o n v e rtir d e c o o rd en a d a s c ilin d r ic a s a rectan gu lares, u s a m o s las e c u a c io n e s

x = ;* c o s

r sen 0

F IG U R A 2

C oord enadas cilin d ricas de un punto

m ien tras q u e para c o n v e rtir d e rectan g u la res a c ilin d r ica s, u sa m o s

EJEMPLO 1 a) G rafiqu e e l p u nto c o n co o rd en a d a s c ilin d r ic a s (2 , 2 /7t / 3, 1) y en cu en tre su s c o o rd en a d a s rectan gu lares. b ) E ncu en tre las co o rd en a d a s c ilin d r ica s d e l puir.o c o n c o o rd en a d a s recta n gu la res (3 , - 3 , - 7 ) . SOLUCIÓN

a) El p u nto c o n c o o rd en a d a s c ilin d r ic a s (2 , 2 t t / 3, 1) se m u estra en la fig u ra 3. D e las e c u a c io n e s 1, su s c o o rd en a d a s recta n g u la res son

27r 3

2 7 7

F IG U R A 3

A s í, e l p u nto e s ( — 1, \ / 3 , l ) e n c o o rd en a d a s rectangu lares, b ) D e las e c u a c io n e s 2 , te n e m o s

r = V 3 2 + ( —3 )2 = 3 \ 2 tan 0

por en d e

lir

4- 2 nir

Por tanto, un c o n ju n to d e c o o rd en a d a s c ilin d r ic a s e s (3 \¡2 , 7 7 t /4 , —7 ). O tro e s (3v/2~, —7 t /4 , —7 ). C o m o c o n las c o o rd en a d a s p o lares, hay un in fin ito d e e le c c io n e s .

L as co o rd en a d a s c ilin d r ic a s son ú tiles en p rob lem a s q u e in v o lu cra n sim e tría r e sp e c to a un e je , y e l e je z se e lig e d e m an era q u e c o in c id a con e l eje d e sim etría. Por e je m p lo , e l eje d e l c ilin d r o circu lar c o n c o o rd en a d a s c a rtesia n a s x 1 + y 2 = c2 e s e l eje z. En co o rd en a d a s FIG U R A 4

c ilin d r ic a s e ste c ilin d r o tien e u n a e c u a c ió n m u y sim p le, r = c . (V é a s e la fig u ra 4 ). E sta e s

r = c, u n c ilin d ro

la razón d e l nom b re co o rd en a d a s " c ilin d ric a s” .

SECCIÓN 15.8

□

EJEMPLO 2

IN TEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS

1029

D e sc r ib a la su p e rfic ie c u y a e cu a c ió n e s c o o rd en a d a s c ilin d r ic a s e s z

SOLUCIÓN L a e c u a c ió n in d ic a q u e e l va lo r z, o altura, d e c a d a p u nto sob re la su p e rfic ie e s r , la d ista n cia d e l p u nto al eje z. D a d o que 6 no a p a rece, pu ed e variar. A s í que cualqu ier traza horizon tal en e l plano z = k (k > 0 ) e s una circu n feren cia de radio k. E stas trazas su g ieren q u e la su p e r fic ie e s un c o n o . E sta p r e d icc ió n p u ed e c o n firm a rse c o n v ir tie n d o la e c u a c ió n en c o o rd en a d a s rectangu lares. D e la prim era e c u a c ió n en [2~| te n e m o s

z 2 = i2 = ¿ + y 2 F IG U R A 5

z — r, un cono

A la e c u a c ió n z 2 = x 1 + y 1 se le r ec o n o c e (por c o m p a r a ció n c o n la tab la 1 d e la s e c c ió n 1 2 .6 ) c o m o un c o n o circu lar c u y o e je e s z. (V é a se la fig u ra 5 .)

Evaluación de integrales trip les con coordenadas c ilin d ric a s S u p o n g a q u e E e s una región de tip o 1 c u y a p r o y e cc ió n D sob re e l p la n o xy e s c o n v e n ie n tem e n te d e sc r ita en c o o rd en a d a s p o la res (v é a se la fig u ra 6). En particular, su p o n g a m o s qu e

f e s c o n tin u a y

{(.v , y , z) | ( x , y ) E D , m ( x t y ) ^

z ^ u 2{ x , y )}

d o n d e D e stá d a d a en c o o rd en a d a s p o la r es por

D = {(r , 9) | a

r ^ h 2{ $ ) }

0 «s 0 , h x{ 0 )

u2(xf y)

F IG U R A 6

Por la e c u a c ió n 1 5 .7 .6 sa b e m o s que

jjj f(x ,y,z)dv=jj [jj;:;;;7(.v, y. *>&] d A

Pero tam b ién sa b e m o s c ó m o e v a lu a r in teg ra les d o b le s en c o o rd en a d a s p ola res. D e h e c h o , c o m b in a n d o la e c u a c ió n 3 c o n la e c u a c ió n 1 5 .4 .3 , o b te n e m o s

f f f f i x*y » -") dV = %( tt Jfi > m »I , U* A r sen <5) / ( /

JJJ

e o s $. r sen

B. z ) r dz d r d$

1030

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

L a e x p r e s ió n en 4 e s la f ó r m u la p a r a la tr ip le in te g r a c ió n e n c o o r d e n a d a s c ilin d r ic a s . In d ica q u e c o n v e r tim o s una in teg ral triple d e c o o rd en a d a s recta n g u la res a cilin d r ic a s e s c r ib ie n d o x = r e o s 0, y = r sen 0 , d e ja n d o a z c o m o e stá , u sa n d o lo s lím ite s d e in teg ra ció n a p rop ia d os para z, r y 0 , y rem p la za n d o d V por r d z d r d O . (L a figu ra 7 m u estra c o m o reco rdar e s to .) V a le la p en a u tiliza r e s ta fó rm u la cu a n d o E e s u n a regió n só lid a fá c ilm en te d e s crita en co o rd en a d a s c ilin d r ic a s y e sp e c ia lm e n te cu a n d o la fu n ció n f(x> y , z) in v o lu c ra la e x p r e s ió n FIGURA 7 Elem ento de volumen en coordenadas cilindricas : dV — r dz dr dB

a t

y 2.

Í I I 2 3 S H H 1 Un só lid o E se encu en tra dentro de un cilin d ro

a t

4- y 2 = 1, por d eb ajo d e l

p lan o z = 4 , y por e n c im a d e l p a ra b o lo id e z = 1 - at — y 2. (V é a se la figu ra 8). L a d e n s idad en c u a lq u ie r p u n to e s p ro p o rcio n a l a la d ista n cia d e l eje d e l c ilin d ro . E ncu en tre la m a sa de E. SOLUCIÓN En co o rd en a d a s c ilin d r ic a s , e l c ilin d r o r =

1 — r,

1 y e l p arab o lo id e e s z =

a s í qu e p o d e m o s escrib ir

E = {(r, f t z ) | 0 « D a d o q u e la d en sid a d en

(a ; y ,

N 2 tr ,

z) e s p ro p o rcio n a l a la d ista n c ia d e l e je

la fu n ción d e n -

sidad e s /( .v , y , z) = K y / x 2 + y 2 = Kr donde

K es

la c o n sta n te d e p r op orcion a lid ad . Por tan to, de la fó r m u la 15 .7 .13 , la m a sa

de E es

m =

fff

JJJ

K Jx2+

= P ' f' Jo Jo

f 4(Kr) r d z dr dO

d V =P " f JO Jo Jl-T1

K r 2[4 -

(1-

r 2) ] d r d d = K P '< ¿ 0 f ( 3 r 2 + r 4 )dr Jo

J r 5 1' 127 t K = 2irK \ r 3 + — = -------------

EJEMPLO 4

E v a lú e

f"_ _ _ _ _ _ _ f"_ _ _ (.v2 +

J—2 J-y/4=P Jjx2+y2

■

y 2) d z d y d x .

SOLUCIÓN E sta in tegra l iterada e s u n a in tegra l triple sobre la región só lid a

E = {(.v, y, z) | - 2 í

x í

s/4 - r 2 , / v 2 + y 2

2 , - v"4 - .v2 =s y

y la p r o y e c c ió n d e E sob re e l p lan o xy e s e l d is c o x 2 + y 2

z =s 2 }

4 . L a su p e rfic ie in fe rio r de

E e s e l c o n o z = y / x 2 + y 2 y la su p erficie superior e s e l plan o z = 2. (V é a se la figura 9.) E sta región tien e u n a d e sc r ip c ió n m u c h o m ás sim p le en c o o rd en a d a s cilin d rica s:

E = {(r, 0, z) | O =s 9

27t, O

2 , r =ss z ^ 2 }

Por tanto, te n e m o s

!-2 J —v'4—.i1Jv ’F + p

(x2 + y 2) d z d y dx = JJJ (ar + y £)dV *£

= P 'P C rrdzdrde Jo

Jo Jr

= f ' d 0 f V ( 2 - r )d r Jo

= 27r [ V

y r 5] ó =

x7i

SECCIÓN 15.8

IN TEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS

1031

Ejercicios 1-2 G rafique los puntos cu yas coorden adas c ilin dricas están dadas. D esp ués encuentre las co orden adas rectangulares del punto. 1. a) (4, t t / 3 , - 2 )

b) (2, —7t / 2, i)

2. a) ( n/T , 3 t t / 4 , 2)

b) (1, 1, 1)

18. E valúe JT/£ r dV, donde E está encerrad a por el paraboloide z = x 2 + y 2 y el plano z = 4. 19. E valúe j j f £ (x + ): + ~) dV, donde E es el sólido en el prim er octante que está bajo el paraboloide z = A — x 2 — y 2.

3-4 C am b ie de coord enadas rectan gu lares a cilindricas. 3. a) ( - 1 , 1, 1)

b) ( - 2 , 2 v /T , 3 )

4. a) ( 2 y/3, 2,— i)

b) (4, - 3 , 2 )

20.

E valúe fj j £ X dV, donde E está e n cerrad a por los planos z = 0 y z = x 4 y 4 5 y los cilindros x 2 4 y 2 = 4 y x 2 4 y 2 = 9.

21.

E valúe j j j £ X 2dV, donde E es el sólido que está dentro del cilindro x2 4 y2 = 1, por encim a del plano z = 0 y por debajo del cono z2 = Ax2 4 4 y 2.

22.

E ncuentre x2 4 y 2 =

23.

E ncuentre el volum en del sólido que está encerrado z = J x 2 + y 2 y la e sfera x 2 + y 2 + z2 = 2.

24.

E ncuentre el volum en del sólido que está entre el paraboloide z = x 2 + y 2 y la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2.

25.

a) E ncuentre el volum en de la región E acotada p or los paraboloides z = x2 + y 2 y z = 36 — 3 x 2 — 3y 2,

5-6 D escriba en palabras la superficie c u y a ecuación está dada. 5.

$ = 7 r/4

r = 5

el volum en del sólido que está dentro del 1 y la esfera x 2 4 y 2 4 z2 = 4.

cilindro

7-8 Identifique la superficie cuy a ecuación está dada. 7. z = 4 - r 2

8. 2 r 2 + r 2 = 1

9-10 E xprese la ecuación en coorden adas cilindricas. 9.

a) x 2 - x + y 2 + z 2 = I

10.

a) 3x 4 2 y + z = 6

z =x

2 -

y 2

b) - x

b) E ncuentre el cen tro id e de E (el centro de m asa en el caso donde la densidad e s constante).

11-12 T race el sólido descrito p o r las siguientes desigualdades.

11. 0

r < 2,

12. O í N

13.

i r / 2,

- i r / 2 ^ 6 ^ tt/2 , r

0 < z ^

1 26.

U n proyectil cilindrico tiene 2 0cm de longitud, con radio interior de 6cm y radio exterior de 7 c m . E scriba desigualdades que describan al proyectil en un sistem a de coo rdenadas apropiado. E xplique cóm o tiene que posicionar el sistem a de co ordenadas respecto al proyectil. U tilice un dispositivo de g raficació n para d ib u ja re ! sólido encerrado por los p arab oloides z = r + f y z = 5 — x2 — y 2.

15-16 T race el sólido cuyo volum en está d ado p or la integral y evalúela. 15.

[ *" \ ~ \ r r dz á r d Q

J - n /2 Jo JO

16.

JO JO

p o r elcono

a) E ncuentre el volum en del sólido que el cilindro r = a cos 6 co rta de k esfera de radio a centrad a en el origen, b) Ilustre el sólido del inciso a) g raficand o la esfera y el cilind ro en la m ism a pantalla.

27. E ncuentre la m asa y el centro de m asa del sólido S acotado por el paraboloide z = 4.x2 + 4y2 y el plano z = a(a > 0 ) si S tiene densidad constante K.

28.

E ncuentre la m asa de una pelota B dada p o r x 2 + y 2 + z2 ^ a 2 si la densidad en c u alq uier punto es proporcional a su distancia con el eje z.

29-30 E valúe la integral cam biando a coo rd en adas cilindricas.

\ r r dz d$dr

29. f ‘ J -2

> f‘

xz dz dx dy

J - v 4 -y ’ J v V+>-

17-28 Use coordenadas c ilind ricas 17. E valúe f j f £ y jx 2 4 y 2 dV, donde E es la región que está en el interior del cilindro x 2 + y 2 = 16 y entre los planos z 5 y z = 4.

Se requiere c a lcu la d o ra g ra fic a d o ra o c o m p u ta d o ra

30. f ’ f

>J v'.x2 4 y 2 d z d y d x

1. T a re a s sug erid as d is p o n ib le s en slew artcalculus.com

1032

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

31. Al estu d iar form aciones de cadenas m ontañosas, los geó lo g o s estim an la ccntidad de trabajo necesario para levantar una m ontaña desde el nivel del m ar. C onsidere una m on tañ a que tiene esencialm ente form a de un cono c ircu lar recto. S up ongam os que la d ensidad de peso del m aterial en la cercan ía de un punto P e s g(P) y la altura e s h(P). a) Plantee una integral d efin id a que represente el trabajo total realizado para fo rm ar la m ontaña. b) S uponga que el monte Fuji de Japón tiene form a de un cono c ircular recto con radio de 6 2 0 0 0 pies, altura de 12 400 pies y su densidad es una constante de 200 Ib /p ie 3. ¿C uánto trabajo se realizó para form ar el m onte Fuji si el suelo estab a inicialm ente al nivel del mar?

PROYECTO DE LABORATORI O

IN T E R S E C C IÓ N

DE T R E S

C IL IN D R O S

E n la figura se m uestra el sólido encerrado por tres cilindros circu lares con el m ism o diám etro que se cortan en ángulos rectos. E n este proyecto se calcula el volum en y se d eterm ina cóm o cam bia su form a si los cilin d ro s tienen diám etro s diferentes.

1. B osqueje con cuidado el sólido encerrado por los tres cilind ro s x 2 + y 1 = 1, x 2 + z 2 = 1 y y 2 + : 2 = 1. Indique las po sicion es de los ejes coorden ad os y m arque las c ara s con las e cu acio n es de lo s cilind ros correspondientes. 2. E ncuentre el volum en del sólido del problem a I. j 3. U se un sistem a algebraico com p utarizad o para trazar las aristas del sólido. 4. ¿Q ué sucede con el sólido del prob lem a 1 si el radio del p rim er cilin dro es diferente de 1? Ilustre con una gráfica hecha a m ano o con una com putadora. 5. Si el p rim er cilin dro es x 2 + y 2 = a 2, donde a < 1, plantee, pero no resuelva, una integral doble para el volum en del sólido. ¿Q ué pasa si a > 1?

|SAC| Se requiere sistem a algebraico com putarizado

SECCIÓN 15.9

INTEGRALES TR IPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS

1033

Integrales triples en coordenadas esféricas O tro útil u so de lo s siste m a s d e c o o rd en a d a s en tres d im e n s io n e s e stá en e l siste m a de c o o rd en a d a s e sfé r ic a s . É ste sim p lific a la e v a lu a c ió n d e la triple in tegra l sob re r e g io n e s a co tad a s por e sfe r a s o c o n o s.

Coordenadas e s fé ric a s L as c o o r d e n a d a s e s f é r ic a s (p , G, <}>) d e un punto P en e l e s p a c io se ilustran en la fig u ra 1, d o n d e p = \ OP | e s la d ista n c ia d e l o rigen a P , 6 e s e l m ism o á n g u lo en c o o rd en a d a s c ilin d rica s, y <t>e s e l á n g u lo en tre e l eje r p o s itiv o y e l se g m e n to de recta OP. N ó te se qu e

El siste m a de c o o rd en a d a s e s fé r ic a s e s e sp e c ia lm e n te ú til en p r o b le m a s d o n d e hay sim etría r e sp e c to a un p u n to, y e l o rigen se c o lo c a en e ste pu nto. Por e je m p lo , la e sfe r a c o n cen tro FIGURA 1

en e l origen y radio c tien e la m u y se n c illa e cu a ció n p = c (v é a se la figura 2): é sta e s la razón

Coordenadas esférices de un punto

d e l nom b re d e c o o rd en a d a s “ e s fé r ic a s ”. L a gráfica d e la e c u a c ió n 6 = c e s un p lan o v e r tic a l (v é a s e la figu ra 3 ), y la e c u a c ió n d> = c rep resenta un se m ic o n o c o n e l e je z en su eje (v é a s e la fig u ra 4 ).

0 < c < 7t/2 FIGURA 2 p = c , una esfera

FIGURA 3

9 = C, un semiplano

FIGURA 4

= c, un sem icono

L a rela ció n entre c o o rd en a d a s rectan g u la res y e s fé r ic a s se p u ed e ver d e la fig u ra 5. D e lo s triá n g u lo s O P Q y O P P ' te n e m o s

z = p e o s <£,

r = p sen <f)

P ero x = r e o s 6 y y = r sen 0, d e m o d o q u e para c o n v ertir d e co o rd en a d a s e s fé r ic a s a r e c ta n g u la res, u sa m o s las e c u a c io n e s

x = p sen ó e o s G

y = p sen ó sen G

p e o s (f>

T a m b ié n , la fó r m u la d e d ista n c ia m u estra que

■> ■> ■> i p - = x - + y~ + z

U se e sta e c u a c ió n para c o n v e rtir c o o rd en a d a s d e recta n g u la res a e sfér ica s.

1034

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

E l p u n to (2 , 7 r /4 , 7t / 3) e s t á d a d o e n c o o r d e n a d a s e s f é r ic a s . L o c a lic e el

p u n to y e n c u e n tr e su s c o o r d e n a d a s re c ta n g u la re s . SOLUCIÓN L o c a liz a m o s e l p u n to e n la fig u ra 6. D e las e c u a c io n e s 1 te n e m o s TT

p sen A e o s 6 — 2 sen — e o s —

y = p sen <p s e n 0 = 2 sen

z = p e o s <p = 2 e o s

F IG U R A 6

= 2 (j) = 1

E n to n ce s e l p u nto (2 , 7 r /4 , 7t / 3 ) e s (> /3 /2 , -v /3 /2 , l ) en co o rd en a d a s rectan gu lares.

U 2 J U E B I Eí punto (O, 2

—2) e stá d a d o en co o rd en a d a s rectangulares. E ncuentre

c o o rd en a d a s e s fé r ic a s para e ste punto. SOLUCIÓN D e la e c u a c ió n 2 te n e m o s p = y/x2 + y 2 + z2 = [§ ]

A D V E R T E N C IA No hay acuerdo

V 0 + 12 + 4 = 4

y e n to n c e s la s e c u a c io n e s 1 dan

universal so b re la notación p ara co o rd en ad as esféric as. Casi to d o s los libros de física

c o sé = ± = Z l = _ 1 C° S p 4 2

invierten los sig n ificad o s d e 9 y ó y usan r e n lugar d e p.

eos 9

<¿>= — 3 TT

p sen <¡>

U x f l E n M odule 15.8 s e m ueslran fam ilias d e

(O b se r v e q u e 0 ^ 2>t t / 2 porqu e y = 2 N/ 3 > O.) Por tan to , las co o rd en a d a s e sfé r ic a s

sup erficies en co o rd en a d as cilindricas y esféricas.

d e l p u nto d a d o son (4 , 7 t /2 , 2 7 t/3 ).

Evalu ación de integrales trip les con coordenadas e s fé ric a s

En e l siste m a de c o o rd en a d a s e s fé r ic a s , la contraparte d e u n a ca ja rectan gu lar e s u n a cu ñ a

e sfé r ic a E = { ( p , 9, <f>) | a

c*z(f> ^d}

d o n d e a ^ O y / 3 — <2 ^ 2-77 y d — c ^ ir. A u n q u e se d e fin e n in te g ra les trip les d iv id ie n d o só lid o s en c a ja s p e q u eñ a s, se p u ed e d em ostra r qu e d iv id ir un só lid o en p e q u eñ a s cu ñ a s e s fé r ic a s d a siem p re e l m ism o resu ltad o. A s í, d iv id im o s E en c u ñ a s e sfé r ic a s m á s p e q u e ñas E ijk por m e d io d e e sfe r a s ig u a lm e n te e sp a c ia d a s p = p„ se m ip la n o s 6 = 9 j y s e m ic o n o s ó = <f>t. En la fig u ra 7 se m u estra q u e E ijk es a p ro x im a d a m en te u n a ca ja rectangu lar c o n d im e n sio n e s A p , p , A <t> (arco d e u n a c ir cu n fe re n c ia c o n radio p „ á n g u lo A <¡f>), y /, ± 6 = Pí sen<f>k A# FIG U R A 7

p , sen <¡í>¿ A 9 (a rco d e u n a c ir c u n fe r e n c ia c o n radio p , sen <f>t, á n g u lo A 9 ) . A s í q u e u n a a p ro x im a c ió n al v o lu m e n d e Eijk e s tá d ad a por

&V<jk ** {A p )(p . A<f>)(p, sen <f> AB) = f ¿ sen tp ApABA<f> D e h e c h o , se pu ed e d em ostra r, c o n la ay u d a d e l teo rem a d e l v a lo r m e d io (e je r c ic io 4 7 ) , qu e e l v o lu m e n d e E,* e stá d a d o e x a c ta m e n te por A Vijt = pr sen $ A p A O A t p

SECCIÓN 15.9

INTEGRALES TR IPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS

d o n d e ( p „ Bj, <f>k) e s a lg ú n p u n to e n

E ij k .

S e a n (*$ *» y

1035

- $ * ) la s c o o r d e n a d a s r e c ta n g u la r e s

d e e s te p u n to . E n to n c e s ,

etc III f{x , y, z) d V ” * ni

lím

1 2 2

lím

" 2

y,%

4 ) A V „,

2 2 2

f ( p . sen

e o s 0> p , sen

se n 0.-, p , e o s # 0

sen

A p A 0 A<£

P e ro e s t a s u m a e s u n a s u m a d e R ie m a n n p a ra la fu n c ió n

F(p.

- / { p sen <jk e o s

0, p

sen <¡& se n 0,

p e o s 4>)p: se n

<f>

F.n c o n s e c u e n c ia , se h a lle g a d o a la s ig u ie n te f ó r m u l a p a r a la t r i p l e i n t e g r a c i ó n e n c o o r d e n a d a s e s fé ric a s .

|T j

JJJ

f(x,y, z)dV

* f 7 ( p sen a .

eos

0. p

sen

0, p

eos

<£) p: sen <p d p d $ d < p

d o n d e E e s u n a c u ñ a e s fé r ic a d a d a por

E = {(p , 0, </>) | a

p =s b,

c^< f> ^d}

L a fó rm u la 3 in d ic a q u e se c o n v ie r te una in tegral triple d e c o o rd en a d a s recta n g u la res a e s fé r ic a s al e sc rib ir

x = p sen <f>e o s 6

y = p sen <¡f> sen 0

z = p e o s <f>

c o n lo s lím ite s d e in te g ra c ió n a p ro p ia d o s y el r ee m p la zo d e d V por p 2 sen <f> dp dd d é . E sto se ilu stra en la figu ra 8.

F IG U R A 8

E lem ento de volum en en co orden ad as esféricas: dV = p 1 sen <f>dpdOd<b

E sta fó rm u la se p u ed e am p liar para incluir r e g io n e s e s fé r ic a s m á s g e n e ra les c o m o

E = {(p , 9, (f>\ \ a ^ 0 ^ ¡3, c ^

^ d, gx{6, <¡» ^ p ^ g2(0, 4>)}

En e s te c a s o la fó r m u la e s la m ism a q u e en [J ], e x c e p t o q u e lo s lím ite s d e in te g ra c ió n para p so n gi( 6, <f>) y gi( 6, </>)■ Por lo c o m ú n , la s c o o r d e n a d a s e s f é r ic a s se u sa n en in te g r a le s tr ip le s c u a n d o s u p e r fic ie s c o m o c o n o s y e sfe r a s form an e l lím ite de la regió n d e in teg ra ció n .

1036

CAPÍTULO 15

IN TE G R A LE S M Ú LT IP LE S

□

EJEMPLO 3

E v a lú e J j \£ e

(j’+y’+r2)*1

d V , d o n d e B e s la b o la unitaria.

B = {(.v, y, : ) | x 2 + y 2 + z 2 «

SOLUCIÓN P u e sto q u e e l lim ite d e B e s u n a esfera , se usan c o o rd en a d a s esfér ica s:

B = {(p, 6, <f>) | O =£ p

2-7T, O =s (¡) =ss tt}

1, O

A d e m á s , la s co o rd en a d a s e s fé r ic a s son apropiadas porqu e >

•»

■ * +y ~ + z~= p~ A s í, [T | da

f f f e^x ** +; ^ ¿/V = |

( é*

f f sen <f* d p d B d t f t

= I sen <6 ció | d $ i ( f e * ' d o Jo Jo Jo r r -

[ - e o s ¿ ] '( 2 * r ) [ j e * % = J 7 r ( e -

N O T A H abría sid o ex tre m a d a m e n te d ifíc il evalu ar la in teg ra l d e l e je m p lo 3 sin c o o r d e nad as e sfé r ic a s . En c o o rd en a d a s recta n gu la res la integral iterada habría sid o

f , f vl f v ," J y e W + ^ ' d z d y d x J -i J -y r = p J -v r = p = p 7 Q

| 2 H 5 H E n U s e c o o rd en a d a s e s fé r ic a s para hallar e l v o lu m e n d e l só lid o q u e y a c e

arriba d e l c o n o r = y / x 2 + y 2 y d e b a jo d e la esfera j c + y2 + z2 = z. (V é a se la fig u ra 9.)

F IG U R A 9 La figura 10 m uestra otro a s p e c t) (e s ta vez

SOLUCIÓN O b serv e q u e la e sfe r a p a sa por e l origen y tien e cen tro (o , O, 7 ). S e e sc rib e la

trazado p or M a p le )d e l sólido d el ejem plo 4.

e c u a c ió n de la e sfe r a en c o o rd en a d a s e s fé r ic a s c c m o

p 2 = p e o s <t>

p = e o s (f)

L a e c u a c ió n d e l c o n o se p u ed e e sc rib ir c o m o peos

= y pr s e n c o s : 0 + p- s e n 2<¿> s e n 20 = p s e n

E sto d a sen d> = e o s ó , o (f)

7 t/4 .

Por ta n to, la d e sc r ip c ió n d e l só lid o E en

c o o rd en a d a s e sfé r ic a s e s

FIG U R A 10

E = {(p, 6, <f>) | O ^

27T, O

(f) 5 =

tt/4 ,

eos

(f)}

SECCIÓN 15.9

INTEGRALES TR IPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS

1037

E n la f ig u r a 11 se m u e s tr a c ó m o E e s b a r rid a si se in te g r a p r im e r o r e s p e c to a p , lu e g o y d e s p u é s 9. E l v o lu m e n d e E e s V ( E ) = fJJ d V =

£ " /4 J ” * p - sen t

d p

d t d8

2 “I n—C(Xi *

[

y j

En V isual 15.8 s e m uestra una

anim ación d e la figura 11.

p varía de O a eos <t>, m ientras que <f>y 6 son constantes.

FIGURA 11

t t

r —}4

dé

2tt f

se n <f>e o s d) a ó =

*'°

c o s 4é T ^

<6 varía de O a 7t/4, mientras que 6 es constante.

Ejercicios 1-2 L ocalice el punto c u y as co o rd en ad as e sféricas se dan. A co ntinuación encuentre las co o rd en ad as rectangu lares del punto. 1 .a ) 2.

(6, 7t / 3 , t t / ó .i

a) (2,

tt/2

, t t /2 )

b) (3 ,

tt/2 ,

3 t t /4 )

9-10 E scrib a la ecuación en co o rd en ad as esféricas. 9. a) 10. a)

z 2= .x2 + y 2

b) .x2 +

.x2— 2.x +■ y 2 + r 2 = 0

b) .x + 2y

-2 = 9 + 3z = 1

b) ( 4 , - 7 t / 4 , 7t/3) 11-14 T race el sólido descrito por las desig uald ad es dadas.

3-4 C am bie de coord enadas rectangu lares a esféricas. 3. a) (O ,- 2 , 0 )

b) ( - 1 , 1 , - v 'T )

4 . a ) ( 1 ,0 , , / ? )

b) ( N/ T , - 1 , 2 V T )

11. 2 ^ p ^ 4 ,

0 ^

12. I < p ^ 2,

0 < 4> ^

13. p =5 1, 14. p ^

5-6 D escrib a verbalm ente la superficie cuya e cu ación se da. 5. <£> = 7r/ 3

6. p = 3

3 t t/ 4 ^

tt/3 , O ^ S ^ t t

t t /2,

t t /2

^ 6 < 3 t t/ 2

2, p ^ esc

15. U n sólido se encu entra sobre el cono r = y f x 2 + y 2 y bajo la esfera x 1 + y 2 + z 2 = z. E scrib a una descripción del sólido en térm inos de desigualdades que involucren coordenadas esféricas. 16. a) E ncuentre desigu ald ades que describan una esfera hueca

7-8 Identifique la superficie cuy a ecuación se da. 7. p

= sen B sen <f>

8. p 2(sen2 ó sen2 6 + eo s2 <f>= 9

Se requiere calculadora graficadora o com putadora

con diám etro de 3 0 cm y g ro so r de 0 .5 cm . E xplique en qué form a ha posicionado el sistem a de co o rd en ad as que ha seleccionado.

|SAC | Se requiere sistem a algebraico computarizado

1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com

1038

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

S uponga que la bola se co rta a la m itad. E scriba desigualdad es que describan una de las m itades.

32. Sea H un hem isferio sólido de radio a cuy a densidad en c u alq u ier punto e s proporcional a su d istan cia desde el centro de la base.

17-18 B osqueje el sólido cuyo volum en está dado p or la integral y

a) E ncuentre la m asa de H. b) C alcule el centro de m asa de H. c) Halle el m om ento de inercia de H respecto a su eje.

evalúela. 17.

18.

T ' I a 2 sen A d p d O d ó Jo Jo r

| W(**" | p : sen »0 J 2 » I

dpdtfr ¡6

19-20 Plantee la integral triple de una función co n tin u a arbitraria f ( x , y, z) en co o rd en ad as cilindricas o e sféricas sobre el sólido m ostrado.

33. a) E ncuentre el centroide de un hem isferio sólido hom ogéneo sólido de radio a. b) D eterm ine el m om ento de inercia del sólido del inciso a) respecto a un diám etro de su base. 34. D eterm ine la m asa y el centro de m asa de un hem isferio sólido de radio a si la densidad en c u alq uier punto es proporcional a su d istan cia desde la base.

35-38 Use coorden adas c ilind ricas o esféricas, lo que parezca m ás apropiado. 35. E ncuentre el volum en y el centro id e del sólido E que está arriba del cono r = y¡X2 + y 2 y debajo de la esfera x-.2 +i y-2 +i z¿ = i1. 36. E ncuentre la cuña más pequeña co rtad a de una esfera de radio a por dos planos que se cortan a lo largo de un diám etro a un ángulo de 77/ 6 . 21-34 U se coorden adas esféricas. 21. E valúe |fj£ ( * 2 + >'2 +

z 2)2dV, donde B e s la bola con centro

|SAC| 37. E valúe |JJ£ - dV, dcnde E se localiza arriba del paraboloide z = x 2 + y 2 y debajo del plano r = 2y. Use la tabla de in tegrales (en las páginas de referencias 6 - 10 ) o un sistem a algebraico com puterizado para ev alu ar la integral.

en el o rig en y radio 5. 22. E valúe jjjB (9 — .X2 — y 2)dV, donde H e s la sem iesfera sólida .x2 + y 2 + z 2 < 9 , z Z 0.

|s¿C| 38. a) E ncuentre el volum en en cerrado por el toro p = sen ó . b) U se una com putadora para d ib u jar el toro.

23.

E valúe IÍJ£ ( * 2 + >’2) dV, donde E está entre las esferas x 2 + y 2 + z2 = 4 y x 2 + y 2 + z2 = 9.

39-41 E valúe la integral cam b iando a coo rden adas esféricas.

24.

E valúe \\jEy 2dV, donde E es el hem isferio sólido j r + y 2 ’-i- z2 ^ 9 , y 2* 0.

39. f Jo Jo

25.

\ ' ^ y tyd zd yd x J vCF+7 J J

E valúe ¡jfExe* +> +r dV’ donde E es la porción de la esfera dz d x d y

unitaria x 2 + y 2 + z2 ^ 1 que está en el p rim er octante. 26.

E valúe 11\£ x y z d V . donde E está entre las esferas p = 2 y p = 4 y arriba del cono (f> = 7t/3.

27.

E ncuentre el volum en de la parte de la esfera p ^ a que está entre los conos £ =

28.

29.

7 r/ó

y <f>= 7t/3.

E ncuentre la distancia prom edio de un punto en una esfera de radio a a su centro. a) C alcule el volum en del sólido que se encuen tra arriba del cono <f>= t t ¡ 3 y cebajo de la esfera p = 4 cos <f>. b) E ncuentre el centroide del sólido del inciso a).

í 2 r * 2 l f 2* ' 4- ^ ’ ( . , 2 + y 2 + z 2) 3/2 dz d y d x J -2 J - v 4 ^ F j 2- vW - y 7 7

42. U n m odelo para la densidad ó de la atm ósfera terrestre cerca de la superficie es 8 = 619.09 - 0 .00 0 09 7p donde p (la distancia del centro de la T ierra) es m edid a en m etros y 6 e s m edida en k ilogram os p o r m etro cúbico. Si tom am o s la superficie de la T ierra com o una esfera con radio 6 370 km , entonces este m odelo es razonable para

30. Halle el volum en del sólido que está dentro de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4. p or encim a del plano xy y por abajo del cono z — v-X2 + y 2. 31.

a) E ncuentre el centroide del sólido del ejem plo 4. b) D eterm ine el m om ento de inercia respecto al eje z para este sólido.

6.370 X 106 < p < 6.375 X 106. Use este m odelo para estim ar la m asa de la atm ósfera entre el suelo y una altitud de 5 km. ffij 43. Use un dispositivo de graficación para d ib u jar un silo form ado p o r un cilindro con radio 3 y altura 10 rem atado por un hem isferio.

PROYECTO DE APLICACIÓN 44.

L a latitud y longitud de un punto P del hem isferio norte están relacionadas a los coordenadas esféricas p, 9, <f>, com o sigue. T o m am o s el o rigen con el centro de la

46.

CARRERA DE O BJETOS CIRCULARES

D em uestre que ( " ( " ( ” J x 2 + >•- + _-2 e - ^ ’^

T ierra y el eje positivo de la r que pase p or el polo norte. El eje x positivo pasa p o r el punto donde el m eridiano prim o (el m eridiano que pasa por G reenw ich, Inglaterra) corta

de la esferc se increm enta de m anera indefinida.) 47.

a) Use coord enad as cilin d ricas para d em o strar que el volum en del sólido acotado p or arriba por la esfera r2 + z 2 = a 2 y que está debajo del cono z = r co t ^>(, (o <{>= <f>o), donde 0 < <f>0 < 7 t/2 , es

1 18.25° O) a M ontreal (lat. 4 5 .50 ° N , long. 73.60° O). T om e el radio de la T ierra com o de 3 9 6 0 m illas. (U na gran circunferencia es la circu nferencia de intersección de una

lira J

esfera y un plano que pasa p or el centro de la esfera.) L as superficies p = com o m odelos para d isp a reja ” con m = com putarizado para

d x d y dz = 2 t t

(L a integral triple im propia se define com o el lim ite de una integral triple sobre una esfera sólida a m edida que el radio

el ecuador. E ntonces la latitud de P es a = 90° — d>° y la longitud es /3 = 360° — 9o. E ncuentre la distancia de la gran circunferencia de L o s A n geles (lat. 34.06° N , long.

45.

1039

1 + j s e n m d sen n<f> se han em pleado tum ores. Se m uestra la “esfera 6 y n = 5. Use un sistem a algebraico hallar el volum en que encierra.

D eduzca el volum en de la cuñ a esférica dado por p i ^ p < p i , 0i < 0 < d i. <f>i ^ (f> ^ Pi

(eos <f>\

c ) Use el teorem a del valor m edio para d em o strar que el volum en del inciso b) se puede e scrib ir com o AV ™ p 2 sen

Ap Afl A ó

donde p se localiza entre p\ y p i. <f>eslá entre é i y ^>i y A p = p 2 - P i, A 0 = 02 “ 0i y A £ = ¿>2 - <t>i-

tm m ■ * i t

PROYECTO DE APLICACIÓN

■w

i f c y

C A R R E R A DE O B J E T O S C IR C U L A R E S S uponga que una bola sólida (una can ica), una bola hueca (una pelota de squash), un cilindro sólido (una barra de acero) y un cilind ro hueco (un tubo de plom o) ruedan p or una pendiente. ¿C uál de esto s ob jeto s llega prim ero al fondo? (H aga una inferencia antes de proceder.) Para co n testar e sta pregunta se con sidera una bola o cilindro con m asa m, radio r y m om ento de in eicia I (ie:*peclo al eje de lolaciún ). Si la caída veilical es h, ento n ces la e n eig ía potencial en la parte superior es mgh. Suponga que el objeto llega al fondo con velocidad V y velocidad angular a>, de m odo que v = wr. L a en erg ía cinética en el fondo consiste en d o s partes: \ m v 2 de la traslación (al bajar la pendiente) y j l o r de la rotación. Si se supone que la pérdida de energía de la fricción de rodam iento es insignificante, en to n ces la conservación de energ ía da 1 2 I -_mv + 7* /Ta r1

mgh 1.

D em uestre que 2gh

d o n d e I* =

1 + I2.

Si y(f) es la d istan cia vertical recorrida en el tiem po /, en ton ces con el m ism o razonam iento usado en el problem a I se m uestra que v 2 = 2g y/(l + /* ) en c u alq u ier tiem po t. Use este resultado para dem o strar que y satisface la ecuación diferencial

/ ------------l 2g i s< a)vy

A l \

+ / *

donde a es el ángulo de inclinación del plar.o.

1040

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

R esuelva la ecuación diferencial del problem a 2 y dem uestre que el tiem po de viaje total es =

12/i(l + /*) y

g sen2**

E sto dem uestra que el objeto c o n el valo r m as pequeño de /* gana la carrera. 4. D em uestre que I* = 4 para un cilind ro sólido e I* = I para un cilindro hueco. 5. C alcule /* para una bola parcialm ente hueca con radio interno a y radio externo r. E xprese su respuesta en térm inos de b = a / r . ¿Q ué sucede cuando a —* 0 y a m edida que a —■* r? 6. D em u estre que /* = f para una b o la sólida e I* = j para una b o la hueca. A sí, los o b jeto s term in an en el siguiente orden: b o la sólida, cilin d ro só lido , b ola h u e ca y cilin d ro hueco.

Cambio de variables en integrales múltiples E n c á lc u lo d e u n a d im e n s ió n se e m p le a c o n fre c u e n c ia un c a m b io d e v a ria b le ( u n a s u s titu c ió n ) p a r a s im p lif ic a r u n a in te g r a l. Si se in v ie rte n lo s p a p e le s d e x y w, se p u e d e e s c rib ir la r e g la d e s u s titu c ió n (5 .5 .6 ) c o m o

IT]

fbf ( x ) d x =

\df { g { u ) ) g ’(u) du

d o n d e x = g ( u ) y a = g ( c ), b = g(d). O tra fo rm a d e e s c rib ir la fó r m u la 1 e s c o m o sig u e :

Cb Cd dx [ f ( x ) dx = f ( X M ) 1 — du

i— i [2 ]

U n c a m b io d e v a r ia b le s p u e d e s e r ú til ta m b ié n e n las in te g r a le s un e je m p lo d e e sto : c o n v e r s ió n a c o o r d e n a d a s p o la re s. L a s n u e v a s

d o b le s . Y a v a r ia b le s r

c io n a n c o n las v a r ia b le s im p a r e s x y y m e d ia n te las e c u a c io n e s .v = r c o s 6

y = r se n 6

y la fó r m u la d e c a m b io d e v a r ia b le s (1 5 .4 .2 ) se p u e d e e s c r i b i r c o m o

f f /(-*'» v ) d A =

|f / ( r e o s 6 , r sen 6) r d r dO

d o n d e S e s la re g ió n e n e l p la n o rG q u e c o rre s p o n d e a la re g ió n R e n e l p la n o xy. D e m a n e r a m á s g e n e ra l, se c o n s i d e r a u n c a m b io d e v a r ia b le s q u e e s t á d a d o p o r u n a t r a n s f o r m a c i ó n T d e l p la n o u v al p la n o xy: T ( u , v) = (x, y ) d o n d e x y y se re la c io n a n c o n u y v m e d ia n te las e c u a c io n e s |~3~1

* = g ( u , y)

y = li(u , u)

o , c o m o a lg u n a s v e c e s se e s c rib e , * = x ( u , v)

y = y(M, y)

P o r lo c o m ú n , se s u p o n e q u e T e s u n a t r a n s f o r m a c i ó n C 1, lo q u e s ig n if ic a q u e g y /? tie n e n d e r iv a d a s p a rc ia le s c o n tin u a s d e p r im e r o rd e n .

se h a v is to y

9 se r e la -

SECCIÓN 15.10

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES M ÚLTIPLES

1041

U n a tran sform ació n T e s en realidad una fu n ció n c u y o d o m in io y rango son su b c o n ju n to s de IR2. S i T(u\y v\) =

(jq, y i) , e n to n c e s e l p u nto (jci. y i) se lla m a im a g e n d e l

p u nto (wi, i>i). Si no hay d o s p u n to s q u e tengan la m ism a im a g e n , T se lla m a u n o a u n o . En la fig u ra 1 se m u estra e l e f e c t o d e una tran sfo rm a ción T en u n a reg ió n S en el p la n o uv. T tran sform a a S en u n a regió n R en e l p la n o x y lla m a d a im a g e n d e S , que c o n s is te en las im á g e n e s de lo s p u n to s en S.

Si T e s u n a tran sfo rm ación u n o a u n o , e n to n c e s tien e u n a t r a n s f o r m a c ió n in v e r s a T ~ l d e l p lan o xy al p la n o uv y sería p o s ib le reso lv er las e c u a c io n e s 3 para u y v en té rm in o s d e x y y:

u = G(x, y)

□

EJEMPLO 1

v = H(x, y)

U n a tran sform a ció n se d e fin e por la s e c u a c io n e s

x = u2 — v2

y = 2 uv

E ncu en tre la im a g en d e l cu ad rad o S = {(u, v) | 0

v =s 1}.

1, O

SOLUCIÓN L a tr a n sfo r m a c ió n h a c e c o r r e s p o n d e r e l lím ite d e S c o n e l lím ite d e la im a g e n . A s í q u e se c o m ie n z a por hallar las im á g en es d e lo s la d o s de S. E l prim er la d o , (0,1)

S i, e stá d a d o por v = 0 (0

w =£ 1). (V é a s e la fig u ra 2 .) D e las e c u a c io n e s d a d as se

tien e x = u2, *4

y = 0 y , por ta n to , O S, (1,0)

v =s 1. A s í, Si se h ace co rr esp o n d e r con e l se g m e n to d e recta d e

(O, 0 ) a (1 , 0 ) en e l p la n o xy. El se g u n d o la d c, S 2, e s u = 1 (0

1) y , si 1/ = 1 en las

e c u a c io n e s d ad a s, se o b tien e

2v A l e lim in a r v se o b tien e

qu e e s la parte d e una parábola. D e m anera sim ilar, S 3 e stá d a d a por v =

1 (0

u ^ 1),

c u y a im a g en e s e l arco p a ra b ó lico

Por ú ltim o , S 4 e s tá d a d o por u = 0 ( 0 =s v ^ 1 ) c u y a im a g en e s A '= — y 2, y = 0 , e s d e c ir , — 1

x ^ 0 . (O b se r v e q u e c u a n d o se v a alred ed or d e l cu ad ra d o h a c ia la

izq u ier d a , tam b ién se recorre la reg ión p ara b ó lica en d ir e c c ió n con traria a las m a n e c illa s d e l reloj). L a im a g en d e S e s la reg ió n R (m o strad a en la fig u ra 2 ) a co ta d a por e l e je x y la s pa ráb olas d ad as por la s e c u a c io n e s 4 y 5.

1042

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

A h ora se verá c ó m o un c a m b io d e v a r ia b le s a fecta a la in teg ra l d o b le . S e e m p ie z a co n un rec tá n g u lo p e q u eñ o S en e l p lan o uv c u y a e sq u in a in ferio r izq u ierd a e s e l p u n to (no, yo) y c u y a s d im e n s io n e s so n A u y Ay. (V é a s e la figura 3 .)

(h 0, u 0)

r iC U R A 3

L a im agen de S e s una región R en e l plano xy, uno de cu y o s lím ites e s (a&, yo) = T(uo, yo). E l v ecto r r (u, y) = giu, v) i 4- h{u, v) j e s e l v e c to r d e p o s ic ió n d e la im a g e n d e l p u n to ( u , v). L a e c u a c ió n d e l la d o in fe rio r d e

S e s y = yo, c u y a c u r v a im a g en e stá d a d a por la fu n ció n v e c to r ia l r(w, y0). E l v e cto r ta n g en te en (Ao, yo) a e s ta c u r v a im a g en e s

r„ = g¿U(), y0 )i + hv{Uo, y0) j =

dx du

dy i + — j

D e m a n era sim ila r, e l v e c to r ta n g en te en (xq, yo) a la cu rv a im a g en d e l lad o izq u ier d o d e S (a sab er, u

h 0)

r <m„,i>„+ Au)

dx dy r v = qj.uo, y o )i + h„{Uo, yo j = — i + — j dv dv S e p u ed e ap roxim ar la regió n im a g en R = T(S ) por e l p a r a lelo g r a m o d e te rm in a d o por lo s v e c to r e s se c a n tes a = r(uo + A u, yo) -

F IG U R A 4

r(Uo, yo)

r {Uo, vo +

A y) -

r(Wo, yo)

m o stra d o s en la figu ra 4. Pero

r„ — lím A»—o

r(w0 + A « , to) “

r(n 0, yo)

Aí

A u r„

y , por tanto,

r(Mo + Am, y0 ) — rÍMo, y0 )

D e m an era sim ilar,

r{Ui), vo + A y i - r(w(:, y0 ) » A y r „

FIG U R A 5

E sto s ig n ific a q u e se p u ed e aproxim ar R m ed ian te un p a ra lelo g ra m o d e te rm in a d o por lo s v e c to r e s A u r „ y A y r„. (V é a s e la figura 5.) Per tanto, se p u ed e a p roxim ar e l área d e R m ed ia n te e l área d e e ste p a r a lelo g r a m o , e l c u a l, de la s e c c ió n 1 2 .4 , e s

| (Aw i> ) X (A y r j | = | r* X r u | Aw A y

SECCIÓN 15.10

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES M ÚLTIPLES

1043

A l c a lc u la r e l p r o d u c to c r u z , se o b tie n e i

a.v

dy_

a.v ay dv

d x_

a.v a.v

— K —

du dy_

ay 0y

E l d e te r m in a n te q u e su rg e e n e s te c á lc u lo se lla m a j a c o b i a n o d e la tra n s f o rm a c ió n y se le d a u n a n o ta c ió n e s p e c ia l.

R ecibe el nom bre d e ja c o tia n o en honor al

[Y ] D efinición y =

m atem ático alem án Cari G ustav J a c o b J a c o b i

E l j a c o b i a n o d e la tr a n s fo rm a c ió n T d a d o p o r x = g ( u , v ) y

/i(m, y) e s

(1804-1851). A unque el m atem ático

a.v a.v aw 0y ay ay

fran cé s Cauchy fu e el primero q u e usó

a(.v, y)

e s to s d e te rm in a n te s esp eciale s relacio nado s con d eriv ad as p arciales, Jaco b i desarro lló con

a(w , y)

ello s un m étodo p ara e v a lja r in teg rales

múltiples.

dx dy

a.v ay

d u dv

dv d u

C o n e s t a n o ta c ió n se p u e d e u s a r la e c u a c ió n 6 p a r a d a r u n a a p ro x im a c ió n d e l á r e a AA d e R.

e(x,y)

A m Ay

d(w, i»)

d o n d e e l j a c o b ia n o se e v a l ú a e n ( mo , yo). A c o n tin u a c ió n se d iv id e u n a re g ió n S e n el p la n o u v e n r e c tá n g u lo s S g y a las im á g e n e s e n e l p la n o x y se le s lla m a Rij. (V é a s e la fig u ra 6 .)

i - Mi

y («,»Vj)

FIG U R A 6

A l a p lic a r la a p r o x im a c ió n [8] a c a d a Rij, a p r o x im a m o s la in te g r a l d o b le d e / s o b r e R c o m o sig u e :

f f /( .v ,

¿ ¿ /(* » '. %) A A »=i ;= i

2 f(g (U ü

1=1 7=1

h(Ui, Vj))

0U y) Aw Ay d ( u , y)

1044

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

d o n d e e l j a c o b ia n o se e v a lú a e n (w„ V j) . O b se r v e q u e e s ta d o b le su m a e s u n a su m a d e R iem a n n para la in tegral

f f f(g{u,

H x, y )

v), h (u ,v ))

d u dv

Hu, v )

E l a r g u m e n to a n terior h a c e p e n sa r q u e e l sig u ie n te te o r e m a e s c ie r to . (E n lib r o s d e c á lc u lo a v a n z a d o se d a una d e m o str a ció n c o m p leta .)

|~9~|

S u p o n g a q u e T e s u n a tran sform ación

C a m b io d e v a r i a b l e s e n u n a i n t e g r a l d o b l e

C o c u y o ja c o b ia n o e s no n u lo y q u e rela cio n a una reg ió n S en e l p la n o uv c o n una regió n R en e l p la n o xy. S u p o n g a q u e f e s c o n tin u a sob re R, y qu e R y S son r eg io n e s p lan as tipo I o tipo II. S u p o n g a tam bién qu e T e s u n o a u n o, e x c e p to q u izá s en e l lím ite d e S. E n to n ce s

fí/ (,

dA =

ff f ( x ( u ,

v ), y u ,

y))

d(x, y) diu, v)

d u dv

E l te o re m a 9 señ a la qu e se c a m b ia de u n a integral en x y y a u n a in teg ral en « y ti al ex p resa r a x y y en té rm in o s d e u y v y e sc rib ir

d(x, y ) diu, v)

d u dv

O b se r v e la sim ilitu d en tre e l te o r e m a 9 y la fó r m u la u n id im e n s io n a l en la e c u a c ió n 2 . En lu g a r d e la d e r iv a d a d x / d u , se tie n e e l v a lo r a b s o lu to d e l j a c o b ia n o , e s d e c ir , |

d(x, y)/d(u, v ) |. C o m o u n a prim era ilu stración d e l te o re m a 9, se m u estra q u e la fó rm u la para in te g ra -

c ió n en c o o rd en a d a s p o la r es e s s ó lo un c a so e sp e c ia l. A q u í la tran sform ació n T d e l plan o

r 0 al p la n o xy e stá d a d a por

0=P r= a

x = g(r, 0) = r c o s 0

r —b

y la rep resen ta ció n g e o m é tr ic a d e la tran sform ación se m u estra en la fig u ra 7 . T e sta b le c e

e=a 0

y = h(r, 0 ) = r sen 0

u n a c o r r e sp o n d e n c ia en tre un rec tá n g u lo ordinaria en e l p la n o rO y e l rec tá n g u lo polar en

e l p la n o xy. El ja c o b ia n o d e T e s

a.v

¿ (y . y )

cos 0

—r sen 0

5(/-. (?)

a.v

sen 0

reos 0

= / c o s 20 + r sen 20 = /• > O

A s í, e l teo rem a 9 da

f { x , y ) d x d y = f f / { r e o s 0, r sen 0)

F IG U R A 7

La transform ación de coordenadas polares

=| * f q u e e s lo m ism o qu e la fó rm u la 1 5.4 .2 .

/ ( r e o s 0L

/• s e n

3(.v, y )

d(r, $)

dr d$

0) r d r d 0

SECCIÓN 15.10

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES M ÚLTIPLES

1045

U se e l c a m b io d e v a r ia b le s v = u 2 — v2, y = 2uv para e v a lu a r la in tegral y dA, d o n d e R e s la regió n aco ta d a por e l eje x y la s paráb olas y 2 = 4 — 4.V

E JE M P L O 2

JJ^

y y 2 = 4 + 4.v, y 5= 0. SOLUCIÓN L a región R se ilu stra en la fig u ra 2 (p á g in a 1 0 4 1 ). En e l e je m p lo 1 se d e sc u b r ió qu e T(S ) = R , d o n d e S e s e l cuadrado [0 , 1J X [0 , 1J. D e h e c h o , la razón para h acer e l c a m b io d e v a ria b les para ev a lu ar la in teg ral e s q u e S e s una región m u c h o m á s sim p le q u e R. P rim ero se n e c esita e v a lu a r e l ja co b ia n o :

d(xt y) d(u , v)

—2v

dy_

Por tanto, por e l te o re m a 9.

y dA =

2 uv

d(x, y) 3(m, v )

f ' f ' (2uv)4{if + y 2) d u d v

Jo Jo

f j f ' ( i f v + u v 3) d u d v = 8 f(> [ \ u 4v +

í ' (2o + 4 y J l dv

[v2 + y4](‘

N O T A E l e je m p lo 2 n o fue un p ro b lem a m u y d ifíc il d e r e so lv e r porqu e se ten ía un c a m b io d e v a ria b les a d e c u a d o . Si n o se tuviera u n a tra n sfo rm a ció n , e n to n c e s e l prim er p a so e s c o n sid e r a r un c a m b io d e v a ria b les apropiado. S i / ( * , y ) e s d ifíc il de integrar, e n to n c e s la fo rm a d e f ( x , y ) p u ed e h a cer pen sar en una tra n sfo rm a ció n . Si la reg ió n d e in te g ra c ió n R e s d ifíc il, e n to n c e s la tran sfo rm ació n d e b e ser e le g id a d e m o d o q u e la región c o rr esp o n d ien te en 5 en e l p la n o uv te n g a una d e sc r ip c ió n c o n v e n ie n te .

E JE M P L O 3

E v a lú e la in tegra l JJ/?£ <T+>) <A y)d A d o n d e R e s la reg ió n tra p ezo id a l co n

v é r tic e s ( 1 , 0 ) , (2 , O), (O, - 2 ) y (O, - 1 ) . SOLUCIÓN P u esto q u e n o e s fá c il integrar e^x^

{x~y\ se h a c e un c a m b io de v a ria b les

su g er id o por la form a d e e s ta fun ción:

u= x + y

11 0 1

v= x —y

E sta s e c u a c io n e s d e fin e n u n a tr a n sfo r m a ció n T ~ l d e l p la n o x y al p la n o uv. El te o r e m a 9 h a b la a c er ca d e una tran sform ación T d e l p la n o uv al p la n o xy. S e o b tie n e al d esp eja r x y y d e las e c u a c io n e s 10:

[T il

-v = í ( w + »)

y = í(« -

El ja c o b ia n o d e T e s

d(xt y)

d(u , v)

1 2 1 2

i 2 1 2

1046

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

Para h a llar la región S en e l p lan o uv co rresp o n d ien te a

, se n ota q u e lo s la d o s d e

u =v

y = O

x - y = 2

x = O

x - y =

a II 1

( - 2 , 2)

está n sobre la s rectas

(2,2)

0=2

(i,i) 0= 1

(-U 1 ) 0

y , d e las e c u a c io n e s 1 0 u 1 1 , las rectas im a g en en e l p la n o uv so n u

u = v

v = 2

u = -v

v =

A s í, la región S e s la reg ión tra p ezo id a l c o n v é rtice s (1 , 1), (2 , 2 ) , ( —2 , 2 ) y ( — 1, 1) m o stra d a en la fig u ra 8 . P u esto qu e S = {(w, v) | 1 ss v ^ 2, - v

u ^ y}

E l te o re m a 9 da

d(x , y) f f e v/°

0(w,

d u dv

í ' e"'’^ ) d u d v = i f ; JI

J i J —v F IG U R A 8

(e — e~l )vdv = \{e — e ~ l )

7 (*

Integrales triples H ay una fó rm u la sim ila r d e c a m b io d e v a ria b les para in te g ra les trip les. S e a T u n a transfo rm a ció n q u e m a p ea u n a región S en e l e s p a c io uvw sob re u n a regió n R en e l e s p a c io xy: por m e d io d e las e c u a c io n e s .v = g(u , v, w)

y = hiu, v, u»)

r = k(u, y, w)

El ja c o b ia n o d e T e s e l sig u ie n te d eterm in an te de 3 X 3:

dtv

af.v, y, z)

dy_

d(u , y, w i

dtv

B a jo h ip ó te sis sim ila r e s a las d e l teo rem a 9 , se tiene la sig u ie n te fó rm u la para in te g ra les triples:

[ñ ]

l— l

( f f /( .v , y , . ) d V = f f f f ( x ( u , y, h>), y(w, y, w \ z(u , y, w))

JJJ R

JJJ S

d(x, y, z )

d u dv dw

clíw, y, o»)

Q H ü Q I i D U s e la fó r m u la 13 para d e d u cir la fó rm u la para triple in te g ra c ió n en

c o o rd en a d a s e sfér ica s. SOLUCIÓN A q u í e l c a m b io d e v a ria b les e s tá d a d o por

.v “ p sen

eos 0

y -

p sen

sen 6

z ™ p eos

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MÚLTIPLES

S E C C IÓ N 1 5 .1 0

1047

S e c a lc u la e l j a c o b ia n o c o m o sig u e :

3 ( .v ,

y, r )

30». & <f>)

se n <p e o s 6

- p se n </> sen 9

p CDS <p e o s 0

sen ^ sen $

p sen <f> e o s $

p e o s <p sen $

e o s tp

—psen<¿>

— p sen <p sen 9

p e o s <p e o s 0

p se n <p e o s $

p e o s tp sen 0

— p sen <p

sen <p e o s 0

—p se n

se n <p sen 0

sen 0

p sen (p e o s 0

= e o s ip ( —p 2 sen tp e o s $ sen20 — p 2 sen <p e o s tp c o s 20 ) — p s e n tp ( p sen“< £ c o s20 + p sen2^> se n 20 )

= —p2se n

e o s 2<p —

P u e s to q u e O =s <p

p2se n

<p sen 2<p = —fir se n <p

ir, te n e m o s q u e sen <p 2= 0. P o r ta n to , 3 (.v , y , .-)

3 (P . a t ) y la fó r m u la 13 d a

I í f /{•*» y» r ) ^

“

I I I / ( p sen <p e o s 0, p

se n ip sen

p eos

4 ) p 2 se n ^

d p d B d tp

q u e e s e q u iv a le n te a la fó r m u la 1 5 .8 .3 .

Ejercicios 11-14 U na región R en el plano xy está dada. E ncuentre ecuaciones

1-6 E ncuentre el jacob iano de la transform ación. 1. X = 2.

.v = t t y ,

y =

.v = e*1*,

5. X =

u /v ,

U +

11. R esta acotada por y = 2 x — 1, y = 2 x + 1, y = 1 — X,

u/v

3. x = e~r sen 9, 4.

y =

51/ — y,

para un transform ación T que m apea una región rectangular 5 en el plano tty sobre R, donde los lados de S son paralelos a los ejes u y v.

y = 3 - .x

y = e rc o s 0

12. R es el paralelogram o con v értices (0 ,0 ),

= eT* y =

vfiv,

z =

(4 ,

3), (2, 4 ), ( —2, l)

13. R está entre les circu nferen cias x 2 + y 2 = l y x 2 + y 2 = 2 en el

w /u

p rim er cuadrante 6.

.v = v + w 2,

y =

i v + t t 2,

z =

u +

14. R esta acotada por las h ipérbolas y = 1/ x , y = 4/.X y las rectas y = x, y = 4 a en el p rim er cuadrante

7-10 E ncuentre la imagen del conjunto S bajo la transform ación dada. 7. S =

{(tt, v) | 0 < tt ^ 3, 0 ^ v

15-20 U tilice las transform aciones dadas para ev alu ar la integral.

< 2}:

15. Ilflí-X — 3y) dA, donde R es la región trian gu lar con vértices ( 0 ,0 ) , (2, 1) y (1, 2): x = 2tt + y, y = tt + 2y

x = 2;t + 3y, y = tt - v 8. 5 e s el cuadrado acotado por las v — 1: x — v, y = tt( 1 + y 2)

rectas tt= 0, tt= 1, v = O,

9. 5 e s la región triangular con v értices (O, 0 ), (1, 1), (0, x = u2, }' = y 10.

S e s el disco dado p or t t 2 + v 2 ^

.v = au, y = bv

1):

16. ||j,(4.x + S y ) dA, donde R es el p aralelogram o con vértices ( - 1 , 3 ) , (1, - 3 ) , (3, - 1 ) y (1 ,5 ): .X = |( t í + y), y = j(y - 3it) 17. fl^ .x ^ A , donde R e s la región acotada por la elipse 9a'2 + 4 y 2 = 36:

Iffi Se requ iere c a lcu la d o ra g ra fic a d o ra o c o m p u ta d o ra

.x = 2tt, y = 3y

1 . T a re a s su g erid as d isp o n ib le s e n slew artcalculus.com

1048

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

18. f j > 2 — x y + y 2) dA. donde R es la región acotada por la elipse x 2 — xy + y 2 = 2: X =

y /llt -

y fljlv ,

y =

y jlu +

donde R es la región en el p rim er cuadrante acotada p or las rectas y = x y y = 3.x y las hipérbolas .xy = 1, .xy = 3: .x = u / v , y = v

20. JJ* y 2¿A , donde R e s la región acotada por las curv as .xy = 1, .xy = 2, .xy2 = I, .xy2 = 2 : u = .xy, v = .xy2. Ilustre m ediante una calculadora o com p u tado ra para trazar R.

23.

com o resultado un aplastam iento de los polos. A sí, la form a se puede aproxim ar m ediante un elipsoide con a = b = 6 3 7 8 km y c = 6 356 km. Use el inciso a) para estim ar el volum en de la T ierra. c) Si el sólido del inciso a) tiene densidad constante k, encu entre su m om ento de inercia respecto al eje r.

' dA , donde R es el paralelogram o encerrado II —------- — ** 3.x - y R

p o r las rectas x — 2>' = 0 , .x — 2y =

4 ,

3.x — y = 1 y

3.x - y = 8

a) E valúe j j¡ £ dV, donde E es el sólido encerrado p o r el elipsoide x 2/ a 2 + y 2/ b 2 + z 2/ c 2 = 1. Use la transform ación x = u n , y = b v , r = cw. b) L a T ierra no e s una esfera perfecta: la rotación ha dado

22.

apropiado.

JlJT V

19- JJ* .xy dA,

21.

23-27 E valúe la integral m ediante un cam b io de variables

25.

JJ^(.X + y)e* v dA, donde R es el rectángulo en cerrad o por las rectas x - y = 0 , .x — y = 2, .x + y = 0 y .x + y = 3

J J eos f

dA, donde R es la región trapezoidal

)

con v értices (1, 0 ), ( 2 ,0 ) , (0, 2) y (0, 1)

26.

l’J^ sen(9.v2 + 4 y 2)i/A , donde R es la región en el prim er cuadrante acotada por la elipse 9 a t + 4 y2 = 1

27.

))R e*+ydA , donde R está dad a p o r la desigualdad

Ul + | y |

U n im portante problem a en term odinám ica es e n co n trar el trabajo realizado p or un m o to r ideal de C arnot. U n ciclo consiste en expansiones y co m p resio nes alternativas de un gas en un pistón. El trabajo realizado por el m o to re s igual al área de la región R encerrada p or d o s curv as iso térm icas x y = a, x y = b y d o s c u rv as adiabáticas .xy14 = C , .xy14 = d , donde 0 < ¿Z < b y 0 < C < d . C alcule el trabajo realizado determ inando el área de R.

28.

S e a /c o n tin u a sobre LO» U y sea R la región triang u lar con vértices (0, 0 ), (1, 0) y (0, 1). D em uestre que

ff / * + y) d A = f j u f { u ) du 'R

CAPÍTULO 15

REPASO

1049

Repaso Verificación de conceptos 1. S uponga que f e s una función co ntin ua defin id a sobre un rectángulo R = [r/, b\ X [c,d], a) E scrib a una expresión para una doble sum a de R iem ann de f ( x , y) > 0: ¿qué representa la sum a? b) E scrib a la definición de f { x y y) d A com o un lím ite. c ) ¿C uál e s la interpretación geom étrica de jj^ f ( x , >!) d A si

h) ¿Q ué propiedades p o s e e /? c) ¿C u áles son los valores esp erado s de X y Y ? 6. E scrib a una expresión para el área de una superficie con ecuación r = f { x , y), (.x, y) E D. 7. a) E scriba la definició n de la integral triple de / sobre una caja

f { x , y ) > 0? ¿Q ué pasa s i / t o m a valores p o sitiv os y negativos? d) ¿C óm o evalúa Jj^ / ( * , y) dA?

rectangular B. b) ¿C óm o evalúa

e ) ¿Q ué indica la regla del punto m edio para integrales dobles? f) E scrib a una expresión para el valor prom edio d e /.

j j j E f ( x , y, z) d V si E e s una región de este tipo? e) ¿Q ué es una región sólida tipo 2? ¿C óm o ev alú a j j j E f ( x , y, z) d V si E e s una región de este tipo?

2. a) ¿C óm o define a 1 / ( . V , y) d A si D es una región acotada que no es un rectángulo? b) ¿Q ué es una región tipo I? ¿C óm o evalúa | f { x , y) d A

si D es una región tipo 1? c ) ¿Q ué es una región tipo II? ¿C óm o ev alúa \\D f { x , y) dA si D es una región tipo II?

¿Q ué es una región sólida tipo 3? ¿C óm o evalúa j j j E f ( x , y, i ) d V si E e s una región de este tipo?

8. Suponga que un o bjeto sólido o cup a la región E y tiene función de d ensidad p{x, y, z). E scriba exp resion es para cad a uno de los siguientes incisos. a) L a m asa

d) ¿Q ué propiedades tienen las integ rales dobles? 3. ¿C óm o cam b ia de coo rdenadas rectangu lares a coord enad as polares en una integral doble? ¿ P o r qué q u erría hacer eso? 4. Si una lám ina ocupa una región plana D y tiene una función de densidad p(x, y ), e scrib a exp resion es para cad a uno de los siguientes incisos en térm inos de

>’, z) dV?

c ) ¿C óm o define j j j £ f ( x , y, z) d V si E es una región sólida acotada que no es una caja? d ) ¿Q ué es una región sólida tipo 1? ¿C óm o evalúa

b) L os m om entos respecto a los p lan os c oo rden ad o s c) L as coordenadas del centro de m asa d ) L os m om entos de inercia respecto a lo s ejes 9. a) ¿C óm o cam bia de co o rd en ad as rectan gulares a coo rd enadas

integrales dobles. a) L a m asa b) L os m om entos respecto a los ejes

cilindricas en una integral triple? b) En una integral triple, ¿có m o c am b ia de co o rd enadas rectangulares a co o rd en ad as esféricas?

c ) El centro de masa d) L os m om entos de inercia respecto a los ejes y el origen

c) ¿E n qué situaciones cam b iaría a co o rd en ad as cilin d ricas o esféricas?

5. S e a / una función de densidad con ju n ta de un par de variables aleatorias continuas X y Y. a) E scrib a una integral doble para la probabilidad de que X esté entre c y b, y Y esté entre c y d.

10.

a) Si una transform ación T está dada por .V = g(u, t>), y = h (u y t), ¿cuál es el jacob ian o de T? b ) ¿ C ó m o c a m b ia la s v a r ia b le s e n u n a in t e g r a l d o b le ? c) ¿C óm o cam bia las variab les en una integral triple?

Examen rápido Verdadero-Falso Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué. Si es falso explique por qué o de un ejemplo que desapruebe el enunciado. 1.

Jo Jo

sen ( a

d x dy =

a -2

sen ( a — y ) d y d x

v A + y 2 d y d x — | | v -v + Jo Jo

dxdy

j" A '2

— y )

6. f í J i Jo

(a -2

+ \ / y ) s e n (.v 2y 2 ) í / A ¿ /y < 9

7. Si D e s el disco dado p o r

+ y 2 < 4, enton ces

ff y/4 — X2 — y 2 d A = "y7T

L a integral j ¡ £ k r i dz d r d $ representa el m om ento de inercia respecto al eje r de un sólido E con d ensidad constante k.

4. í f e x +y sen y d x d y = 0 j - i Jo

L a integral

5. S i / e s co n tin u a sobre LO, 1], en ton ces

f T JO •’()

f(x)f(y)dydx=

f(x)dx

representa el volum en encerrado por el cono r = -JX- + y 2 y el plano z = 2.

1050

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

Ejercicios 1. Se m u estra un m apa de contorno para una fu n c ió n /s o b re el cuadrado R = [0, 3] X LO. 3]. U se una sum a de R iem ann con nueve térm inos para estim ar el valor de ||s / ( . í , y) dA. T om e

12.

D escriba el sólido cuyo volum en está dado p o r la integral

í . P2sen¿ d?

los puntos de m uestra com o las esq uin as superiores derechas de los cuadrados.

y evalúe la integral. 13-14 C alcule la integral iterada invirtiendo prim ero el orden de integración. 13.

I*' f 1 c o s ( y 2)¿ fy d x

Jo Jx

14.

f f' -r-d xd y Jo J j j x

w Ó

15-28 C alcule el v alo r de la integral m últiple. 15. l ^ y e ^ d A ,

16.

donde R = {(*,y) | 0 ^ .v ^ 2, 0 ^ y ^ 3}

¡ ¡ ^ x y d A , donde D = {(.x,y) | 0 < y ^

1, y 2 ^ x ^ y + 2}

3 -v

” ■ííd 7 T F"2.

donde D está acotada por y = -Jx, y = 0 , x = 1

Use la regla del punto m edio para estim ar la integral del ejercicio 1. 18.

3-8 C alcule la integral iterada.

JJ D

1 —d A y donde D es la región triang ular con I + .V

v értices (0, 0 ), (1, 1) y (0, 1) 3.

r f 2 (y + 2 x e y) d x d v J | Jo

f f

c o s ( x 2) d y d x

sen x d _ (¡ d x

Jo Jo

f f

| «• i*i p 1" ^ Jo

ye** d x dy 19.

Jj^ y dA , donde D es la región en el p rim er cuadrante acotado p o r las parábolas x = y 2 y x = 8 — y 2

20.

IJ^ y d A , donde D es la región en el p rim er cuadrante que yace arriba de la hipérbcla xy = 1 y la recta y = x y debajo de la

3x y 1 d y dx

[ 1 p j*1 6x y z dz d x d y Jo

recta y = 2

21. J J p í* 2 + y 2) 3/2d A , donde D e s la región en el prim er cuadrante acotada por las rectas y = 0 y y = y¿3x y la

9-10 E scrib a 1 / ( . V , y) dA com o una integral iterada, donde R es

circu nferen cia x 2 + y 2 = 9

la región m ostrada y / e s una función con tinu a arbitraria sobre R. 22.

IJ^A dA , donde D donde D es la región en el p rim er cuadrante que está entre las c.rcun ferencias x 2 + y 2 = 1 y x 2 + y 2 = 2.

23.

j j f £ xyd V y donde E = {(Xy y , z ) | 0 =$ x ^ 3, 0 < y ^ x, 0 < z ^ x + y}

24. 11.

D escrib a la región cuya área está dada por la integral l'*'2 r ' 2,r d , d 0

Se requ iere c a lc u la d o ra g ra fic a d o ra o c o m p u ta d o ra

| | / r x y dV, donde

es el tetraedro sólido con vértices

( 0 ,0 , 0 ) , ( i 0 ,0 ) , (0, 1 ,0 ) y ( 0 ,0 , 1)

25.

\jjE y 2z 2dVy donde E está acotada p o r el paraboloide x = 1 — y 2 — z 2 y el plano x = 0

|SAC| Se requiere sistem a algebraico com putarizado

CAPÍTULO 15

26. 111£ r dV, donde E está acotada por los planos y = 0 , r = 0,

|S £ C | 4 0 .

x + y = 2 y el cilindro c ircular y 2 + z2 = 1 en el prim er octante 27. 111£ yz dV, donde E está arriba del plano r = 0, debajo del

REPASO

1051

G rafique la superficie z = .v se n > \ —3 í x ^ 3 , — i r ^ y < y encu entre su área de la superficie con un aproxim ación de

t t

cuatro decim ales. 41.

Use coorden adas polares para ev alu ar

plano z = y y dentro del cilindro x 2 + y 2 = 4 n 28.

está arriba del plano xy y tiene centro en el origen y radio 1

42.

30.

D ebajo del paraboloide r = x 2 + 4 y2 y arriba del rectángulo R = [O, 2] X [1,4J

43.

D ebajo de la superficie r = ¿ry y arriba del triángulo en el

El tetraedro sólido c o n v értices (0, 0 , 0 ), (0, 0 , 1), (0, 2, 0) y (2, 2, 0 )

32.

A cotado p or el cilindro x 2 + y 2 = 4 y los p lano s z = 0 y y + r = 3

33.

U na de las cu ñas co rtad as del cilindro x2 + 9y 2 = a 2 por los p lan os : = 0 y ; = m x

34.

45 .

L a función de densidad co n ju n ta para v ariab les aleatorias X y Y es . . f C(.v + ( v- y ) = 10 \ n

46.

, . de lo contrario

Halle P ( X + Y

1).

U na lám p a ra tiene tres b o m b illas, cad a una de un tipo con d u ra c ió n p ro m ed io de 800 h o ras. Si se m o d ela la p ro b a b ilid ad de falla de las b o m b illas m ed ian te una función de d e n sid ad exp o n en cial con m ed ia 80 0 , e n cu e n tre la p ro b a b ilid ad de que las tres b o m b illas fallen en un total de 1000 horas.

47. R e e s r r i h a la in te gr a l

U na lám ina ocupa la parte del d isco A'2 + y 2 < a 2 que yace en

el p rim er cuadrante. a) E ncuentre el centroide de la lám ina. b) C alcule el centro de m asa de la lám ina si la función de densidad e s p(x, y ) = x y 2. 37.

y) si 0 «S x *£ 3 , 0

a) E ncuentre el v alo r de la con stan te C. b ) D eterm ine P ( X ^ 2, Y ^ 1)

cuad rante con función de densidad p ( x , y ) = y. a) E ncuentre la m asa de la lám ina. b) Halle el centro de m asa.

36.

y V - í 2 + >- + ; > * d x d y

Si D e s la región acotada por las cu rv as y = 1 — x 2 y y = e*, encuentre el valor aproxim ado de la integral J J ^ y 2dA. (Use un dispositivo de graficación para estim ar los puntos de

c ) D eterm ine los m om entos de inercia y los radios de giro respecto a los ejes x y y.

J - ^ A - x — y>

ISACl 4 4 . E ncuentre el centro de m asa del tetraedro sólido con vértices (0, 0 , 0 ), (1, 0, 0 ), (0, 2, 0 ), (0, 0 , 3 ) y función de densidad p (x , y, r) = . r + y 2 + z 2.

A rriba del paraboloide - = x 2 + y 2 y debajo del sem icono

C onsidere una lám ina que ocup a la región D acotada por la parábola x = 1 - y 2 y los ejes c oo rden ados en el prim er

+ xy^dydx

intersección de las cu rvas.)

Z = v'.vJ + y 2

35.

J - 2 JO

plano xy con vértices ( 1 ,0 ) , (2, 1) y (4, 0) 31.

l t '

Use coord en adas esféricas para evaluar

29-34 E ncuentre el volum en del sólido dado. 29.

f l f ^ r 3^ /^ 2 + y 2 + z 2 dV, donde H es el hem isferio sólido que

com o una integral iterada en el orden d x d y dz 48.

t í;

a) E ncuentre el centroide de un cono circ u la r recto con altura h y radio de base a. (C oloque el cono de m odo que su base esté en el plano xy con centro en el o rigen y su eje a lo largo del eje positivo r.) b) E ncuentre el m om ento de inercia del cono respecto a su eje

49 .

E ncuentre el árec de la parte del cono z 2 = a 2(X2 + y 2) entre los planos z — 1 y z — 2.

39.

D eterm ine el área de la parte de la superficie r = x 2 + y que está p or encim a del triángulo c o n vértices ( 0 ,0 ) , ( 1 ,0 ) y (0, 2).

\lf^ .y ---)d z d x d y

Use la transform ación l li — = Xx -— yy, v = X + y para ev alu ar X ~ y dA JJ x + y

(el eje r). 38.

Dé o tras cinco integrales iteradas que sean iguales a

donde R es el cuad rad o con vértices (0, 2), (1, 1), (2, 2) y (1 ,3 ). 50 .

Use la transform ación X = ll2, y = v 2, z = w 2 para hallar el volum en de la región acotada por la superficie V A + \/y + v r = 1 y los planos coordenados.

1052

CAPÍTULO 15

INTEGRALES M ÚLTIPLES

ejercicio 52) para dem ostrar que

51. Use la fórm ula de cam bio de v ariab les y una transform ación apropiada para evaluar dA , donde R es el cu ad rad o con v értices ( 0 ,0 ) , (1, I), (2 ,0 ) y ( 1 , - 1 ) .

lím —i- r f f /{.v, y) dA — f ( a , b)

r —0 f lv * J J

52. El te o re m a d e l v a lo r m edio p a r a in te g ra le s d o b le s establece que si f e s una función co ntinua en una región plana D que es tipo 1 o II. entonces existe un punto (x¡o, yo) en D tal que f f f ( x , y) d A = f ( x o, y0) A ( D ) D

Use el teorem a del valor extrem o (14.7.8) y la propiedad 15.3.11 de las integrales para dem o strar este teorem a. (Use la dem ostración de la versión de una sola variable de la sección 6.5 com o guía.)

54.

a) E valúe | f — ;---- ;—— d A , don de n es un entero y D es (* -i- y ) la región acotada p or las circun ferencias con cen tro en el o rig en y radios r y R y 0 < r < R. b) ¿P ara qué valores de n la integral del inciso a) tiene límite cuando r —* 0 +? c ) E ncuentre f f f — ; n , dV, donde E e s la región «WJ [x + y + z r a cotad a p o r la s e s fe ra s c o n ce n tro en el o r ig e n y ra d io s r

53. S uponga que / es continua en un disco que contiene el punto (a, b). Sea Dr el disco cerrado con centro (a, b) y radio r. Use el teorem a del valo r nedio para integrales d ob les (véase el

y R, 0 < T < R. d ) Para qué valores de n la integral del inciso c) tiene un lím ite a m edida que r —* 0 +?

Problemas adicionales 1. Si l * | d enota el m ayor entero en x., evalúe k integral

f f l ' + >1 d A R donde R = {(*, y ) | 1 ^ 2.

^ 3 , 2 < y < 5}.

E valúe la integral i ' I*1e

dy d x

Jo Jo

donde m áx{*2, y 2} representa el m ayor de los nú m eros de a 2 y y 2. 3. E ncu en tre el valor prom edio de la función f ( x ) = JJ e o s{t2) d t sobre el intervalo [0, 1J. 4. Si a . b . y c son vectores constan tes, r es el vector de posición X i + y j + : k y E está dada p or las d esig u aldades O ^ a ’ r ^ a , 0 < b ' r < / 3 , O ^ c ' r ^ Y , d em uestre que

fíf (a * r)(b • r)(c • r) d V

^ 8 | a • (b X c) |

5. L a integral doble f

í ----------- d x d y es una integral im propia y se podría d efin ir com o el

Jo Jo

l— xy

lím ite de integ rales d o b les sobre el rectángulo [0, t\ X [0, /J conform e r —» l - . Pero si se expande el integrando com o una serie geom étrica, se puede ex p resa r la integral com o la sum a de una serie infinita. D em uestre que

/•i e\

I f

Jo Jo I -

dx d y = 2 — x y

6. L eonhard E u ler pudo hallar la sum a exacta de la serie del problem a 5. En 1736 dem ostró que

¿I n2 ~

ir 6

En este p roblem a, se pide d em o strar este hecho ev alu and o la integral doble en el prob lem a 5. E m piece por h acer el cam b io de variables

a + v

u - v X~

y/2

y ~

y/2

E sto da una rotación respecto al origen p o r el ángulo 7 r/4 . Será necesario bosq uejar la región co rresp on d ien te en el plano Uv. [Sugerencia: si, al evalu ar la integral, encuentra cu alq uiera de las expresiones (1 — sen 0 ) /c o s B o (eos B ) /( 1 + sen 0), e s posible que desee usar la identidad e o s B = sen ((7 r/2 ) — é?) y la identidad correspondiente para sen B], 7.

D em uestre que

Jo Jo Jo

¿Jjj

1 - xyz

n-1

(N adie ha sido capaz de hallar el valor exacto de la sum a de esta serie.) b)

D em uestre que

Jo Jo Jo i + x y z

„_i

U se esta e cu ación para ev alu ar la integral triple co rrecta hasta d o s decim ales.

1053

8. D e m u e s tr e q u e

arctan t t X — arctan J. Jo

ir d x = — ln 7r 2

evaluan do prim ero la integral com o una integral iterada. 9.

D em uestre que cuando la ecuación de Laplace

dhi

dht

dx2

dy~

dz2

r + — T = 0

se escribe en co o rd en ad as cilin dricas, se convierte en

dhi 1 du l d2:/ dht r H------------- 1----- i— 7r + — ~ = 0 dr2 r dr r 2 00d r2 b)

D em uestre que cuando la ecuación de Laplace se escribe en coo rdenad as esféricas, se convierte en d2u 2 du cot ó du 1 d2u 1 0 2i/ r "I + ----- ;----------- b —;------ r H----- ;------;-------- - = 0 dp~ p dp P~ d<b p~ d<f>~ p~ sen~<f> d&'

10.

U na lám ina tiene densidad constante p y toma la form a de un disco con centro en el origen y radio R. Use la ley de N ew ton de la gravitación (véase la sección 13.4) para d em ostrar que la m agnitud de la fuerza de atracción que ejerce la lám ina sobre un cuerpo con m asa m localizada e n el punto ( 0 ,0 , d ) sobre el eje positivo r es

2T iG m p d (^ - ^

j =

)

[Sugerencia: d iv ida el disco com o en la figura 4 de la sección 15.4 y calcule prim ero la com p on ente vertical de la fuerza ejercida por el subrectángulo p olar /?,y.] D em uestre que la m agnitud de la fuerza de atracción de una lám ina con d ensidad p que ocup a un plano com p leto sobre un objeto con m asa m localizado a una distancia d del plano es F = 27~Gn:p O bserve que esta exp resión no depende de d.

11.

Si / es continu a, d em uestre que í ; í : c /<'» d >d -

12.

E valúe l í m / i - 2 2 2 — = •'—* i - l ; - l V " 2 + ,lÍ + J

13.

El plano

— + -r + — = l

a b e

= í í ; u - a 2m

> o,

b > o, c > 0

corta al elipsoide x2 — + a~

c‘

< 1

en dos piezas. E ncu en tre el volum en de la pieza más pequeña.