TRIGONOMETRÍA
LOS CENTROS DEL TRIÁNGULO LAS ALTURAS Y EL ORTOCENTRO
En Geometría, la figura más simple imaginable es el triángulo. Y como tal, es sin duda el rey de los polígonos. Casi todo es reducible a triángulos, de modo que es una de las herramientas más poderosas de la Geometría y, por tanto, conocerlos ha sido y sigue siendo muy interesante. Gracias a los triángulos pudimos medir la Tierra, calculamos la distancia a Marte o sencillamente, articulamos una grúa.
por Lolita Brain
LAS MEDIATRICES Y EL CIRCUNCENTRO
EL TRIÁNGULO ÓRTICO Si unimos los puntos RPQ, en los que las alturas cortan a cada uno de los lados, obtenemos otro triángulo. El triángulo órtico. Este polígono tiene una propiedad muy importante: es el menor camino para ir desde uno de los lados a los otros dos. Por ello, si el triángulo fuera especular, un rayo emitido desde R se reflejaría continuamente por el camino RPQ-RPQ-RPQ...
Las mediatrices pasan por el punto medio (T ) de cada lado (AB) y además son perpendiculares a él. Todos los puntos de una mediatriz están a la misma distancia de los vértices del lado correspondiente. Estas rectas se cortan en el circuncentro (O). Como O dista lo mismo de A que de B (está en la mediatriz de AB) y está a la misma distancia de A que de C (está en la mediatriz de AC) es el centro de la circunferencia circunscrita, que pasa por A, B y C, y contiene al triángulo.
Si trazamos una recta perpendicular a un lado de un triángulo (AB) que pase por el vértice opuesto (C), tenemos una altura. Mide la distancia que separa a un vértice del lado opuesto y será fundamental para calcular el área del triángulo. Trazadas las tres alturas de un triángulo, éstas se cortan en un punto denominado ortocentro, que no siempre está en su interior.
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LAS MEDIANAS Y EL BARICENTRO
AULA
DE EL
MUNDO
Si trazamos rectas que unan cada vértice (A) con el PUNTO MEDIO de cada lado opuesto (X), obtenemos las medianas. Observa que si el triángulo es equilátero, sus tres medianas son sus ejes de simetría. Las tres medianas se cortan en un punto muy importante llamado baricentro o centroide (G).
EL BARICENTRO COMO CENTRO DE MASAS Cuando se trazan las medianas, el triángulo original queda dividido en cuatro triángulos menores y semejantes. El triángulo central se llama auxiliar. Sus medianas son las mismas que las del inicial. Este proceso se puede repetir infinitamente para crear una colección de triángulos semejantes encajados unos en otros. Todos tienen un único punto en común: el baricentro del primer triángulo.
El baricentro es el centro del triángulo. También se denomina centro de masas y tiene importancia en dinámica. Por ejemplo, un triángulo soportado sobre su baricentro permanece estable. Es su centro de equilibrio.
La razón es que una mediana divide en dos partes iguales a todas las rectas paralelas al lado correspondiente. Así, cada mediana es como una hoja de afeitar que diseccionara al triángulo. De este modo, el baricentro debe ser el punto de equilibrio.
LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS En todo triángulo está definida una circunferencia muy especial. Pasa nada menos que por nueve puntos particulares:
LA RECTA DE EULER Algunas veces lo más sencillo permanece oculto durante siglos. Si bien el triángulo y sus centros se estudian desde que existe la matemática, fue el genial Leonard Euler (1713 -1789) el primero en darse cuenta de que el ortocentro, el baricentro y el circuncentro están en la misma recta: la recta de Euler.
Los tres vértices del triángulo auxiliar XYZ. Los tres vértices del triángulo órtico PQR. Los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro y los vértices (HA, HB y HC). Su centro N es el circuncentro del triángulo órtico. www.lolitabrain.com
TRIÁNGULOS CON INGENIO
La geometría elemental unida al ingenio constituye una herramienta muy útil, especialmente para poder tomar medidas. En los orígenes de la filosofía griega, Tales de Mileto ingenió un procedimiento sencillísimo para determinar la distancia de un barco a la costa sirviéndose de una escuadra, Eratóstenes de Cirene calculó el radio de la Tierra con poco más que un bastón y Euclides de Alejandría averiguaba la altura de las torres con un espejo. Es una cuestión de economía de medios e inteligencia.
por Lolita Brain
EUPALINOS, UN INGENIERO INTELIGENTE
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acia el año 550 a.C. el tirano Polícrates, regidor de la ciudad de Samos, encargó al ingeniero Eupalinos la construcción de un túnel que atravesara el monte Kastron, a cuyos pies se desplegaba la ciudad. El túnel conectaría con un manantial, asegurando así el suministro de agua. Para acelerar su construcción, Polícrates obligó a realizar la obra comenzando por las dos bocas simultáneamente, lo que suponía un serio reto. Eupalinos construyó un túnel de 1.036 metros de longitud. Las dos ramas que debían juntarse en el centro se desviaron menos del 1%. Asombroso.
LA SOLUCIÓN DE EUPALINOS
H
erón, famoso matemático del siglo I, sugirió el siguiente procedimiento como el seguido por Eupalinos. El problema de geometría consistía en, una vez fijados los puntos de las bocas A y B, determinar la dirección en la que excavar, que viene definida por la trayectoria de la recta que los une.
LA DISTANCIA DE UN BARCO A LA ORILLA
Eupalinos unió los puntos A y B con una línea poligonal exterior (APQRB) trazada de modo que los ángulos en P, Q y R fueran rectos. Imaginó asimismo las paralelas desde A y B a los lados PQ y RQ para obtener el punto T.
T
AULA PMUNDO
DE EL
TALES SE COLOCABA EN UNA TORRE Y APUNTABA CON LA ESCUADRA A LA PROA DEL BARCO.
A B C Los triángulos ABC y AQP son semejantes, lo que permite calcular la longitud del lado QP, que es la distancia buscada.
ALTURA A LA LÍNEA DE TIERRA
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ales de Mileto (hacia 640-560 a.C.) es considerado uno de los primeros filósofos y matemáticos de Occidente. Su famoso ‘Teorema de Tales’ fue siempre una herramienta prodigiosa. Con sólo una escuadra de madera y algunas medidas sencillas, Tales era capaz de determinar la distancia a la que se encontraba un barco en la lejanía.
Por último, prolongando el segmento AB hasta que corte a las rectas PQ y RQ, obtuvo los puntos A1 y B1. Utilizando la semejanza de triángulos y midiendo los lados del perímetro externo dibujado, es muy fácil calcular las distancias X e Y. Y conociéndolas, situar sobre el terreno los puntos A1 y B1 es tarea sencilla. Problema resuelto.
C
LA LÍNEA VISUAL DETERMINA EL TRIÁNGULO DE VÉRTICES ABC SOBRE LA ESCUADRA.
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EUCLIDES, LOS ESPEJOS Y LAS ALTURAS Euclides de Alejandría ingenió un sencillo procedimiento para medir la altura de un objeto, como una torre, cuyo pie es visible.
LÍNEA DE TIERRA
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1. Se coloca un espejo entre la torre y el observador. 2. Euclides se movía hasta ver la cúspide de la torre en el espejo.
3. Como el rayo reflejado y el incidente forman el mismo ángulo, los triángulos OCD y OAB son semejantes. 4. La altura de la torre se calcula multiplicando la altura de los ojos (AB) por la distancia desde el pie de la torre hasta el reflejo de la cruz en el espejo (OC). Después se divide entre la distancia del reflejo al pie de Euclides (OB).
El cálculo final de Tales para hallar la distancia de la costa al barco es:
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SU MAJESTAD EL TRIANGULO
P
IERRE FERMAT (1601-1665), de quién te hemos hablado en varias ocasiones, discurrió el siguiente problema. Comenzando con un triángulo, dibuja un punto cualquiera P, en su interior. Desde él puedes trazar un segmento que lo una a cada vértice del triángulo (a, b, c). Y podemos sumar las longitudes de esos tres segmentos (a+b+c). Fermat se preguntó ¿Cuál será el punto que debemos escoger para que la suma esos tres segmentos sea la menor posible? Fermat demostró que ese punto, llamado PUNTO DE FERMAT, se obtiene del siguiente modo: levanta un triángulo equilátero sobre cada lado del triángulo inicial. Une cada vértice externo de estos triángulos, con el vértice opuesto del triángulo incial. El punto en el que se cortan esos tres segmentos, es el Punto de Fermat, y es áquel en el que la suma a+b+c es mínima.
Es, en esencia, la figura plana más sencilla que existe. El triángulo pasa por ser el origen de casi todo lo plano y, por extensión, de lo espacial. Por eso, si hay una figura que haya sido estudiada hasta la saciedad, ésa es el triángulo. Teoremas referidos a ellos se cuentan a cientos, y es que es raro no toparse con uno de frente. Por ser famosos los triángulos, hasta un sector de los números decidió formar el grupo de los autollamados números triangulares. Son tan diferentes unos de otros, y simultaneamente tan parecidos, que se afanan por encontrar su propia identidad. Así los triángulos rectángulos se ufanan de ser los únicos triángulos pitagóricos, y aunque las excelencias de la belleza se hayan ido para los equiláteros, los obtusángulos no dejan de reivindicar su personalidad.
por Lolita Brain ¿PUEDE CONSTRUIRSE
E L
T E O R E M A
D E
N A P O L E Ó N
SIEMPRE UN TRIÁNGULO?
Una de las cuestiones más simples sobre el mundo de los triángulos, aunque suele pasar desapercibida, es la siguiente: Con tres segmentos cualesquiera, ¿se puede construir siempre un triángulo ? La geometría nos da la respuesta precisa a esta cuestión, enunciando que: Tres segmentos pueden formar un triángulo si se cumplen las dos condiciones siguientes: 1.- La suma de la longitud de dos lados ha de ser mayor que la longitud del tercero. 2.- La diferencia de la longitud de dos lados ha de ser menor que la longitud del tercero. Si tres segmentos cumplen estas dos propiedades, se podrá construir un triángulo con ellos. Si no, no será posible.
apoleón Bonaparte es proNbablemente muy conocido para ti. Pero es casi seguro que no tienes ni idea de que es –aunque este extremo no está debidamente confirmado– autor de nada menos que de un teorema sobre... triángulos: el TEOREMA DE NAPOLEÓN, que te contamos a continuación.
Partimos de un triángulo cualquiera. Puedes dibujar tres puntos y unirlos por segmentos.
Une l o s tres BA-
Encuentra el
RICENTROS en-
BARICENTRO de cada
contrados. Napoleón afirma que este triángulo es equilátero aunque el de partida no lo sea.
triángulo uniendo cada vértice con la mitad del lado opuesto.
L A
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S o b r e cada lado, levanta un triángulo equilátero (con los tres lados iguales). Cada lado medirá lo mismo que el correspondiente lado de partida.
F Ó R M U L A
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H E R Ó N
ERÓN DE ALEJANDRÍA (sobre 10 - sobre 75) , también
conocido por Hero, fue un brillante geómetra que vivió en Alejandría, Egipto. Además de obtener importantes resultados sobre Geometría e Hidrodinámica, es muy famoso por haber proporcionado una fórmula sencilla para calcular la superficie de un triángulo conociendo la longitud de sus lados.
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l TRIÁNGULO DE SIERPINSKI, un WACLACK SIERPINSKI matemático polaco, es un con(1882-1969) junto geométrico que se basa en el triángulo y que es un fractal de los llamados determinisnueve. Se continúa el proceso tas. Se puede construir de la sitantas veces como se desee. guiente forma. El conjunto de Sierpinski Comienza con un triángulo son los puntos que esequilátero. Encuentra el tán en todos los punto medio de cada triángulos así lado. Borra el triánguformados. lo que queda en el centro. Con cada uno de los tres triángulos que has obtenido, repite el proceso para borrar otros tres triángulos, y lolitabrain@hotmail.com crear
T
odos conocemos la fórmula para calcular el área de un triángulo que afirma que ésta es igual a la mitad de la base por la altura. Sin embargo, en la práctica, muchas veces los datos de los que se dispone son las longitudes de los lados y no la altura del triángulo, que se ha de calcular con el Teorema de Pitágoras, por ejemplo.
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AULA
DE EL
MUNDO
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con sólo sus lados. Para ello calculamos el PERÍMETRO del triángulo sumando las longitudes de los tres lados. Su mitad es lo que se llama el SEMIPERÍ10 Cm METRO (S). Ahora, resta8 Cm mos al semiperímetro cada uno de los lados (Sa, S-b y S-c). Multiplicamos los cuatro números obtenidos (S, S-a, S12 Cm 15 - 8 = 7 b. S-c). El área S= 8+10+12=15 15 - 10 = 5 del triángulo 15 - 12 = 3 es la raíz cua2 drada de este 15 X 7 X 3 X 5 =1575 resultado. ¡No lo olvides! erón encontró y demostró, su fórmula que permite conocer al área de un triángulo
AREA =
1575 = 39,6 Cm
COMPROBAR SIN FORMULAR
Uno de los procesos más importantes de las matemáticas es probar la verdad de los teoremas que enuncia. Demostrar se convierte así en la principal tarea de los matemáticos. De hecho, el reconocimiento de los grandes matemáticos se debe, a menudo, a sus pruebas de los teoremas que se han resistido incluso siglos enteros. Pero con frecuencia es posible confirmar la evidencia de grandes principios sin necesidad de un aparato formal importante. Se suele decir entonces que se ha comprobado una verdad, pero no que se ha demostrado. Para muchos, estas comprobaciones son más que suficientes.
por Lolita Brain
¿QUÉ DICE EL TEOREMA?
EL TEOREMA DE PITÁGORAS
hipotenusa l teorema se aplica sólo a unas figuras muy particulares del plano: los triángulos rectángulos, que son aquellos que tienen un ángulo recto, es decir, dos lados perpendiculares llamados catetos. El tercero de los lados se denomina hipotenusa y es el cateto mayor de los tres. Estos tres segmentos encierran una prodigiosa relación que ya era conocida antes de Pitágoras por egipcios, babilonios y chinos, aunque en casos particulares. Fue el griego el primero que observó la generalidad entre todos los triángulos rectángulos.
S
E
PITÁGORAS DE SAMOS (S. VI A.C.)
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e este teorema existen más de un millar de demostraciones distintas. Algunas sencillas y otras harto complicadas. Pero hay una colección de ellas que utilizan lo que podemos llamar la técnica de las tijeras y el papel. Se trata de partir los cuadrados construidos sobre los catetos y comprobar que con los trozos obtenidos podemos completar el cuadrado construido sobre la hipotenusa. Es por tanto un asunto de resolver un puzle.
EL PUZLE DE OZANAM
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EN ESTE EJEMPLO ES MUY SENCILLO DE
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¿CÓMO PROBARLO?
zanam, matemático del siglo XIX y gran divulgador de esta ciencia, obtuvo un sencillo puzle con el que demostrar el Teorema de Pitágoras. Se trata de construir el esquema del teorema y trazar el simétrico del cuadrado sobre la hipotenusa respecto de esta mis-
cateto
in duda alguna, el Teorema de Pitágoras es probablemente el más conocido por todos. Lo aprendemos en la escuela y lo recordamos a lo largo de toda la vida. Aunque olvidemos muchas nociones de matemáticas pertenece a nuestro acervo cultural. Y es que es un teorema que por elemental no deja de ser importante. Todo lo contrario: su universalidad y su gran valor utilitario lo convierte en un resultado imprescindible. Recordemos en primer lugar lo que nos dice el teorema y luego juguemos a ser matemáticos comprobando su veracidad.
ma, obteniendo las particiones numeradas del 1 al 5 en los cuadrados menores. Comprobar la veracidad del teorema de Pitágoras es sólo cuestión de recortar las cinco piezas numeradas y conseguir cubrir con ellas todo el cuadrado superior.
Frédéric Ozanam (1813 - 1853)
l teorema se explica sencillamente con la imagen adjunta. Si construimos tres cuadrados, uno sobre cada lado de cualquier triángulo rectángulo, se verifica que el área del cuadrado grande, construido sobre la hipotenusa, es idéntica a la suma de las áreas de los otros dos cuadrados pequeños levantados sobre los catetos. Esto tan simple nos permite, entre otras cosas, calcular la longitud de un segmento inclinado si podemos medir los dos lados perpendiculares.
COMPROBAR YA QUE LOS RESPECTIVOS CUADRADOS TIENEN 9, 16 Y 25 CUADRADITOS PEQUEÑOS Y POR TANTO ES FÁCIL VER QUE:
25 = 16 +9. PERO ¿Y EN OTRAS SITUACIONES?
EL CUADRADO MAYOR ES IGUAL QUE LA SUMA DE LOS CUADRADOS MÁS PEQUEÑOS.
EL PUZLE DE PERIGAL
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erigal diseñó otra demostración del teorema que nos ocupa aún más sencilla que la de Ozanam. Su idea consiste en trazar, por el centro del cuadrado sobre el mayor de los catetos, una recta perpendicular y otra paralela a la hipotenusa. Eso divide el cuadrado en los cuatro trapezoides numerados 2, 3, 4 y 5. Con ellos más el cuadrado levantado sobre el menor de los catetos -el 1 en la figura- se puede componer el cuadrado construido sobre la hipotenusa. Es decir, la suma de los cuadrados levantados sobre los catetos equivale al de la hipotenusa.
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SOLUCIÓN DEL PUZLE DE PERIGAL SOLUCIÓN AL PUZLE DE OZANAM
Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com
MAPAS I
La representación de la Tierra sobre un plano implica ciertos defectos que aumentan cuanto mayor es la superficie que se quiere dibujar. Pero aun así, los mapas, trazados según proyecciones diferentes, nos sirven para situarnos dentro de una red de paralelos y meridianos, nos indican, mediante la escala, las dimensiones de nuestro planeta, y nos muestran, con diversos elementos, los detalles que configuran la realidad que nos rodea.
60
45 30 15 0
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30
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ECUADOR
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DISTINTAS PROYECCIONES Ángulo terrestre
Longitud
Latitud
REPRESENTACIÓN CÓNICA Con este tipo de proyección, los mapas resultan exactos en cuanto a la proporción de las superficies, lo que facilita la representación de los continentes. La red de líneas imaginarias se traza sobre un cono secante o tangente a la esfera, que refleja con total exactitud las dimensiones del paralelo con el que toca. 15 m 10 5 0
Los mapas representan la realidad terrestre de maneras diferentes. En las proyecciones cilíndricas (en la imagen) y de Mercator, los ángulos se reflejan con exactitud, por lo que resultan apropiadas, respectivamente, para los mapamundis y la navegación marítima o aérea.
Ángulo terrestre
LAS CARRETERAS En estas representaciones predominan indicaciones para orientar al conductor: trazado y número de la carretera, distancias, poblaciones y puntos de interés.
POLÍTICO
CURVAS DE NIVEL
Para este tipo de imágenes se señalan las fronteras describiendo la situación en un determinado momento o a lo largo de una evolución histórica.
Estas líneas marcan los puntos del terreno con igual altitud y el ángulo de inclinación.
COLOREADO Si las curvas de nivel se colorean, se aprecia la distribución de las tierras altas y bajas.
PENDIENTE
LAS CIUDADES Los planos urbanos indican, según los casos, los límites de las propiedades o la información turística (red de calles y edificios y monumentos más importantes).
El terreno más abrupto se traza con unas líneas más gruesas y juntas unas de otras.
LA ESCALA La escala de un mapa establece la proporción entre la realidad y la imagen cartografiada, permitiendo efectuar mediciones. Además, determina el nivel de detalle con el que se reflejan los distintos elementos a representar. Infografía: Juan Emilio Serrano Textos: Manuel Irusta / EL MUNDO
METEOROLÓGICO Estos mapas muestran la situación en un momento concreto: líneas con la presión atmosférica, cifras con las temperaturas y signos para los vientos y las zonas de lluvia.
MAPAS Y II
Existen diferentes representaciones cartográficas de nuestro planeta, que varían sus contenidos en función de lo que se quiere reflejar. Sin embargo, los mapas tienen en común que tratan de mostrar las dimensiones correctas de la realidad, de manera que las personas puedan orientarse en cualquier lugar. Para ello se aplican una serie de técnicas, como la fotografía aérea o la triangulación, que logran las mediciones exactas del terreno.
DEMOGRÁFICO Un mapa de este tipo indica la cantidad de población que habita en cada área geográfica. Cada punto representa un determinado número de personas y una mayor concentración de ellos refleja cuáles son las zonas más pobladas del territorio.
ECONÓMICO Estas representaciones se utilizan para la planificación social y para la compra y el cambio de terrenos. Dentro de ellas se muestran las edificaciones, el terreno cultivado y los límites de las distintas propiedades.
IMAGEN TRIDIMENSIONAL Utilizando dos fotografías aéreas se logra una visión como la de una persona y, mediante un estereoscopio, se determina la altura y el trazado de las curvas de nivel para obtener una imagen tridimensional.
FOTOGRAFÍA AÉREA Los cartógrafos modernos sacan fotografías desde un avión a una altura que varía en función de la escala a la que se va a representar el mapa. Cada imagen cubre parcialmente a la anterior en un 60%, con lo que cada parte del terreno se fotografía dos veces. Luego se obtiene una representación tridimensional ajustada a unos puntos de ubicación conocida.
TRIANGULACIÓN Empleando esta operación se unen, por medio de triángulos, ciertos puntos (A, B, P y Q) de la superficie terrestre de los que se conoce la longitud, la latitud y la altura. Se mide la distancia entre ellos, se determinan los puntos restantes y se establece el área que forman para trazar una red sobre la que componer el mapa.
ORIENTACIÓN EN EL MAR Los navegantes se orientan mediante la brújula y la ayuda de los mapas marinos con la proyección de Mercator, que nos indican el rumbo como una línea recta, atendiendo al contorno de la costa, a la presencia de las islas y a la diferente profundidad de las aguas.
60% de recubrimiento
ORIENTACIÓN EN TIERRA Y AIRE Los mapas nos proporcionan una variada información (topografía, vegetación, edificios, líneas de comunicación...) que nos permite compararla con la realidad y orientarnos sobre el terreno. En el aire, los aviones se guían por los radiofaros terrestres y los mapas de vuelo indican la situación, las frecuencias de onda, las señales de identificación de las estaciones terrestres de radio, las aerovías y las zonas terminales.
Infografía: Juan Emilio Serrano Textos: Manuel Irusta / EL MUNDO