Diseño de Sistemas de Control en Tiempo Discreto by joseimonteroc

UNIVERSIDAD FERMIN TORO VICE RECTORADO ACADEMICO FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA

Diseño de Sistemas de Control en Tiempo Discreto INTEGRANTES

C.I.:

JOSE MONTERO V-24.340.872 SECCION: SAIA “A” PROF, INGENIERA MARIENNY ARRIECHE

Contenido 1. Estabilidad en los sistemas de control en Tiempo Discreto. 1.1 Criterio de Jury 1.2 Transformaciรณn Bilineal 1.3 Criterio de Routh 2. Anรกlisis de error en estado permanente para los sistemas de control en Tiempo Discreto. 3. Tiempo de levantamiento. 4. Sobrepaso mรกximo. 5. Diferencia que existe entre el calculo y dibujo de las trazas del Diagrama de Bode en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto. 6. Ejercicios prรกcticos.

¿ Qué es estabilidad en los Sistemas de Control en Tiempo Discreto? » La estabilidad de entrada acotada, salida acotada (BIBO) implica que a cada entrada debe corresponder una salida acotada.

Siendo D(Z) la FT del controlador , HG(Z) la FT del sistema. » En donde la estabilidad se puede determinar a partir de la localización de los polos de lazo cerrado en el plano Z o por las raíces de la ecuación característica.

¿ Qué es estabilidad en los Sistemas de Control en Tiempo Discreto?

De la siguiente manera: 1 » el sistema será estable, si los polos de lazo cerrado, las raíces de la ecuación característica quedan localizados dentro del circulo unitario en el plano Z. 2 » Si un polo simple se encuentra ubicado en Z=1 o en Z= -1, el sistema es marginalmente estable, lo mismo sucede si un par de polos conjugados complejos esta sobre el circulo unitario. También puede ocurrir que polos múltiples se encuentren localizados sobre el circulo unitario dando como resultado un sistema inestable. 3 » Los ceros de lazo cerrado no afectan la estabilidad del sistema y pueden estar ubicados en cualquier parte del plano Z.

Âż QuĂŠ es estabilidad en los Sistemas de Control en Tiempo Discreto?

Criterios para la Estabilidad

1.1

Criterio de Jury Es un método sencillo que se encarga de determinar si algunas de las raíces de la ecuación característica están sobre o fuera del circulo unitario, sin la necesidad de encontrar las raíces de Q(z). Para aplicar este criterio, se toma en cuenta la siguiente ecuación característica:

Donde todos los coeficientes son reales y Quedando así la tabla conformada de Jury: (Representa en la siguiente pagina, para una mayor visualización).

Criterio de Jury Tabla de Jury:

Criterio de Jury Donde:

Âť Para que Q(z) = 0 , no tenga raĂces fuera o sobre el circulo unitario en el plano Z se requiere el cumplimiento de las siguientes condiciones:

Criterio de Jury Para su procedimiento de prueba se tiene: » Paso 1: Determinar si se cumplen las condiciones 1 y 2. Si no se cumplen el sistema es inestable. Si se cumplen se efectúa el paso 2. » Paso 2: Determinar el máximo valor de J1, así:

Si Jmax=0, no se continua el procedimiento por que la información del paso 1 es suficiente para determinar la estabilidad del sistema. » Paso 3: El máximo numero de filas que ha de tener el arreglo esta dado por:

» Paso 4: Se completa el arreglo. A cada fila se le aplica la restricción. Si esta no se cumple, no se continua, dado que el sistema ya es inestable.

1.2

Transformación Bilineal La mayoría de las técnicas de análisis de la estabilidad de sistemas de tiempo continuo se basan en que el límite de la región de estabilidad en el plano s corresponde al eje imaginario jω. Estas técnicas no pueden ser aplicadas a sistemas de tiempo discreto, ya que el límite de la región de estabilidad en el plano z corresponde al círculo unitario. Sin embargo, si se emplea la transformación bilineal definida por :

» la circunferencia de radio unitario en z se transforma en el eje imaginario en el nuevo plano w. En efecto, sobre el círculo unitario se cumple que z=e jωT y reemplazando esta expresión en la ecuación anterior se obtiene:

Transformación Bilineal » Al recorrer el círculo de radio unitario en el plano z, el ángulo ωT varía de –π a π y su recorrido equivalente en el plano w corresponde a todo el eje imaginario desde -j∞ a +j∞. Si nos ubicamos en el plano w en un punto sobre el eje imaginario, (w = jωw) la expresión permite vincular las frecuencias entre los planos s y w:

» El agregado del término 2/T en la definición de la transformación bilineal tiene por objeto que en el rango de frecuencias para las cuales ωT/2 es pequeño, las frecuencias en los planos s y w coincidan. En efecto, si se cumple que ωT/2<<1 resultara:

» Sin embargo, cuando la frecuencia ω en el plano s se acerca a la mitad de la frecuencia de muestreo (2/T), la frecuencia en el plano w (ωw), tiende a infinito. Esto significa que a la semibanda ubicada en el semiplano izquierdo del plano s comprendida entre –j2/T y +j2/T le corresponde todo el semiplano izquierdo en el plano w.

1.3

Criterio de Routh Es un método, que se basa en un procedimiento algebraico para determinar si un polinomio tiene algún cero en el semiplano derecho, lo que implicaría la inestabilidad del sistema. Por lo menos considerando un sistema con función de transferencia:

1 » El polinomio denominador de G(s) se escribe de la siguiente forma:

2 » La condición necesaria pero no suficiente para estabilidad, es que todos los coeficientes de la ecuación a(s) estén presentes, y que todos tengan signo positivo.

Criterio de Routh Si se cumple la condiciรณn necesaria, entonces, se realiza el siguiente esquema:

Criterio de Routh Los coeficientes b1, b2, b3, etc.. Se evalúan de la siguiente forma:

Así sucesivamente…

Criterio de Routh 3 » La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de a(s) queden en el semiplano izquierdo del plano s, es que todos los coeficientes de a(s) sean positivos y que todos los términos de la primera columna del conjunto sean positivos.

» Este criterio de Routh, establece que el numero de raíces de a(s) con parte real positiva es igual al numero de cambios de signo de los coeficientes en la primera columna del arreglo.

Análisis de error en estado permanente 1 » Para los sistemas que vengan dado por una función de transferencia G(z) cuya entrada es R(z) y la salida Y(z), el error vendrá dado por la siguiente ecuación:

2 » Por lo que se necesita para hallar el error en estado permanente, se le aplica el th. del valor final, quedando:

Siendo uno de los casos de mayor frecuencia el de la entrada escalón unitario, expresándose: ;

Análisis de error en estado permanente Como por ejemplo, si:

Siendo entonces.

Considerando también, que un sistema de primer orden tiene erp ante escalón nulo si (a + b) = 1. 3 » El error en estado permanente de un sistema con función de transferencia en G(s) en lazo cerrado, se encuentra expresado:

Análisis de error en estado permanente 4 » Por lo que el error en estado permanente será:

4.1 » Teniendo en cuenta que si R(z) es un escalón unitario, se tendrá:

Donde

, es la ganancia estática de bucle abierto de

la planta. 4.1.1 » Para que el error sea cero Kp debe ser infinita $ polo en z = 1, sistema de tipo 1.

Análisis de error en estado permanente 4.2 » En el caso de que la entrada ahora sea una rampa, se da la siguiente expresión:

Donde:

Tomando en cuenta:

Análisis de error en estado permanente 4.3 » Si se presenta el caso en el que R(z) es una parábola, se tiene:

4.3.1 » Los sistemas serán de tipo 0 y 1 tiene Ka=0, por lo que el error es infinito. Los de tipo 2 tienen Ka finita y error finito, y los de tipo 3 y superior tiene Ka infinita y error cero. En resumen:

Tiempo de Levantamiento Cuando hablamos del tiempo de levantamiento (Tr), estamos hablando sobre una de las especificaciones, de la respuesta transitoria. » El cual se puede definir como el tiempo que requiere la respuesta para pasar de un 10% hasta un 90%, de 5% a 95%, o de 0% a 100% de su valor final, según la situación que se presente. Para los sistemas de segundo orden subamortiguados, por lo regular se utilizan en el tiempo de levantamiento de 0 a 100%. » Para sistemas sobreamortiguados y sistemas con atraso de transporte, comúnmente se utiliza el tiempo de levantamiento de 10% a 90%.

Sobrepaso Máximo Cuando hablamos del sobrepaso máximo (Mp), nos encontramos hablando nuevamente sobre una de las especificaciones, de la respuesta transitoria. » Este se puede considerar como el valor máximo de la curva de respuesta medido a partir de la unidad. » Si el valor final en el estado permanente de la respuesta difiere de la unidad, entonces es común utilizar el sobrepaso porcentual máximo. Quedando definido por la relación: » La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica en forma directa la estabilidad relativa del sistema.

Sobrepaso Máximo En continuación a lo expresado, podemos encontrar también como especificaciones a la respuesta transitoria: »Tiempo pico (Tp): Que es el tiempo necesario para que la respuesta llegue a la primera cresta de sobrepaso. »Tiempo de retardo (Td): Que es el tiempo necesario para que la respuesta llegue a la mitad del valor final la primera vez.

»Tiempo de asentamiento (Ts): Es el tiempo requerido para que una curva de respuesta llegue y se quede dentro de un rango alrededor del valor final de un tamaño especificado, en función de un porcentaje absoluto de valor final. Por lo general 2% el tiempo de asentamiento esta relacionado con la constante de tiempo de mayor valor en el sistema de control.

Diferencia que existe entre el calculo y dibujo del Diagrama de Bode en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto. Entre las diferencias podemos apreciar: » Como es periódica, de periodo ωs de acuerdo a los efectos de las bandas repetidas en el plano S que se generan en el sistema muestreado. Es así, como la respuesta frecuencia no se evalúa, en el plano Z, debido a que se ejercen múltiples vueltas sobre el circulo de radio unidad en el plano Z a medida que suba la frecuencia de la señal de entrada. » Las respuestas frecuenciales se pueden obtener de una manera aproximada, en cambio en los sistemas de tiempo discreto, pueden obtenerse en base a su márgenes, tanto el de fase como el de ganancia (MF, MG), que se encuentran definidos a raíz de la respuesta en frecuencia en lazo abierto.

Diferencia que existe entre el calculo y dibujo del Diagrama de Bode en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto. » Se deben considerar la relación no lineal existente entre la frecuencia bilineal y la frecuencia real de la señal. » Se pueden trazar por medio de métodos asintóticos estos diagramas, para así ofrecer el aporte de la respuesta frecuencial en la primera banda . Cuando el numero de muestras por ciclo sea aumentada, el sistema en tiempo continuo equivalente tendrá un diagrama de Bode parecido, sin problemas de distorsión, al sistema en tiempo discreto. Aunque, a medida que la frecuencia sube, el numero de muestras que se ven en el ciclo disminuyen, observándose diferencias entre ellos, por medio de la transformación bilineal.

Diferencia que existe entre el calculo y dibujo del Diagrama de Bode en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto. » Se puede apreciar que en el margen de fase y margen de ganancia en el plano transformado bilineal (W), análogamente como ocurría en los sistemas de tiempo continuo. Si se garantiza frecuencialmente una buena estabilidad relativa, el sistema discreto responderá de manera adecuada, con independencia del numero de muestras/ciclo y del numero de muestras/cte. de tiempo.

» En estos diagramas, pueden trazarse el diagrama polar de un sistema discreto, y de este modo es posible aplicar el criterio de estabilidad de Nyquist. Debe observarse que la distorsión sufrida por la transformación de frecuencias no es relevante en el diagrama polar, determinándose la estabilidad absoluta y relativa del sistema discreto sin ninguna consideración adicional, es decir, sin necesidad de conocer el número de muestras por ciclo de la señal de salida a diferencia del otro sistema.

Ejercicios Prácticos 1 » Considere la siguiente ecuación característica:

Determine el valor de K y examine su estabilidad a través del Criterio de Jury. Solución:

» Para aplicar el criterio de Jury, necesitamos tener la ecuación característica en forma de polinomio, por lo que se quitara el denominador de la fracción. Se resuelve la suma:

Ejercicios Prácticos Se resuelve la ecuación:

Resolviendo sumas y factor común z:

Al encontrarse colocada en forma de polinomio se aplica el criterio de Jury. La matriz del criterio tendrá un número de filas 2n-3, siendo n el grado de la ecuación característica. En este caso 2n-3=(2*2)-3=1. Con n=2 se requieren entonces de dos condiciones: Condición A: P(1)>0 ; Se sustituye en z=1

Ejercicios Prácticos Condición B: P(-1)>0 Se sustituye en z=-1

Así que por el criterio de Jury se obtiene, el rango de valores de K para la estabilidad los cuales son: 0 < K < 4.1939 ; Donde K

Ejercicios Prácticos 2 » Dado el siguiente sistema de lazo cerrado. Determine su estabilidad a través del método de Transformación Bilineal y el Criterio de Estabilidad Routh.

La transformación bilineal se define por:

Por lo que se sustituye en la ecuación característica

Se multiplica la ecuación característica por Resolviendo la multiplicación y dividiendo, nos queda:

Ejercicios Prácticos Resolviendo los productos notables y distribuyendo:

Quedando así, luego de resolver las sumas:

Dividiendo la ecuación entre 64 para reducir su expresión y simplificar :

Ejercicios Prรกcticos Aplicando el criterio de Routh a la ecuaciรณn:

0.75

1.5

0.125

0.75

1.5

0.125

0.667

0.125

Como todos los elementos de la primera columna son positivos, el sistema es estable.

Ejercicios Prácticos 3 » Dado el sistema de lazo cerrado, encuentre la expresión del error así como la constante de error de aceleración estática, Ka.

Se sustituye ecuación 2 en la 1:

Ejercicios Prácticos Así se tiene la expresión del error:

El error en estado estacionario:

Para el error de aceleración:

Sustituyendo:

Ejercicios Prรกcticos

Por lo que se tiene:

Bibliografía »http://slideplayer.es/slide/1661850/ »http://es.slideshare.net/ingangelp/estabilidad-de-sistemas-discretos »http://www.frlr.utn.edu.ar/archivos/alumnos/electronica/catedras/38-sistemasde-control-aplicado/Notas_de_C%C3%A1tedra/04_SCA_Cap_3_V4.pdf »http://www.controlclass.com/Tema_5/Slides/Tema_5_Analisis_Sistemas_Muestreados.pdf »http://catedra.ing.unlp.edu.ar/electrotecnia/controlm/electricista/archivos/apu ntes/cap4.pdf »Sistema de Control en Tiempo Discreto, Katsuhiko Ogata, Segunda edición. »Sistema de Control Automático, Benjamin C. Kuo, Séptima edición.