CALCULO DE BOMBAS CON EJEMPLOS RECOPILACIÓN
ING. JOSE LUCIANO SAUCEDO SILVA
PÉRDIDA DE CARGA EN CONDUCCIONES Régimen permanente y uniforme a) conducción forzada
p1 p2 H r z1 z 2
b) conducción abierta En tramos rectos de pendiente y sección constantes, un flujo permanente tiende a hacerse uniforme cuando el tramo tiene longitud suficiente; en tal caso, p1 = p2:
H r z1 z 2
Ecuación general de pérdidas de carga Interviene la viscosidad (número de Reynolds): Re
Velocidad característica (u): V Longitud característica (l)
l u
a) tuberías circulares: el diámetro D (ReD = D·V/)
D
b) en general: el radio hidráulico Rh (ReRh = Rh·V/):
Re
l u
Longitud característica (l)
S sección del flujo Rh Pm perímetro mojado Para tuberías circulares, S D2 4 D Rh Pm D 4
Resistencia de superficie u2 u2 Fr C f A C f ( L Pm ) 2 2
Potencia Pr consumida por rozamiento
V3 Pr Fr V C f ( L Pm ) 2
Cf se ajustará en base a utilizar la velocidad media V. Por otra parte, Pr g Q H r g V S H r Igualamos ambas: 2 V Cf L g ( S Pm ) H r 2 L V2 Hr C f Rh 2 g
Ecuación pérdidas de carga tuberías circulares (ecuación de Darcy-Weissbach) L V2 Hr 4C f D 2g
L V2 Hr f D 2g
f 4C f coeficiente de fricción en tuberías.
En función del caudal: L (Q S ) L 1 4Q Hr f f 2 D 2g D 2g D 2
8 Q2 Q2 Hr f L 5 L 5 2 g D D
2
sería otro coeficiente de fricción, aunque dimensional:
8 f 2 g y en unidades del S.I.,
0,0827 f s 2 m podría adoptar la forma,
Q2 H r 0,0827 f L 5 D
D
vmáx
p1 1
x 2
Fr o
COEFICIENTE DEV FRICCIÓN EN TUBERÍAS Análisis conceptual subcapa laminar
subcapa laminar
subcapa laminar
(a)
(b)
(c)
En general,
coeficiente de fricción f
0,1
0,01
Re D
k 2 f f Re D , fórmula de Nikuradse D (ec. 6.18) 1
D V
4Q recta de ajuste D
k/D = rugosidad relativa 0,001 10 -5
1
3
SLL
10 -4
10 -3 0,002
rugosidad relativa k / D
h
0,01
0,03
0,1
3m
COEFICIENTE DE FRICCIÓN EN TUBERÍAS Análisis conceptual 1. Régimen laminar
f f1 (Re D ) 2. Régimen turbulento
f f 2 (Re D )
0,99 ·u
0,99 ·u
v
v
v v
v v
y
y
tubería lisa perfil de velocidades laminar
perfil de velocidades turbulento
(dv dy ) y 0 es bastante mayor que en el régimen laminar (f2 > f1).
o
V
subcapa laminar
subcapa laminar
subcapa laminar
(a)
(b)
(c)
2. Régimen turbulento 0,1
a) Tubería hidráulicamente lisa fórmula de Nikuradse coeficiente de fricción f
(ec. 6.18)
2
f 1f 2 (Re D )
SLL
0,01
b) Tubería hidráulicamente rugosa 1 recta de ajuste 3 k f f Re D , 0,001 D 10 10 10 0,002 0,01 0,03 c) Con dominio de relativa la rugosidad rugosidad k /D -5
-4
-3
k f f D
h
0,1
3
Número crítico de Reynolds Re D 2300 por debajo el régimen es laminar y por encima turbulento. Lo estableció Reynolds en su clásico experimento (1883). Re D 2300
A
V
Aunque sea 2300 el número que adoptemos, lo cierto es que, entre 2000 y 4000 la situación es bastante imprecisa.
Análisis matemático f
1) Régimen laminar
64 Re D
2) Régimen turbulento a) Tubería hidráulicamente lisa 1 2,51 2 log f Re D f c) Con dominio de la rugosidad
1 k D 2 log f 3,7
(Karman-Prandtl) (1930)
(Karman-Nikuradse) (1930)
b) Con influencia de k/D y de Reynolds
k / D 1 2,51 (Colebrook) 2 log (1939) f 3,7 Re D f
Para obtener f, se fija en el segundo miembro un valor aproximado: fo = 0,015; y hallamos un valor f1 más próximo: k / D 1 2,51 2 log f1 3,7 Re D 0,015
Con f1 calculamos un nuevo valor (f2): k / D 1 2,51 2 log f2 3,7 Re D f1
Así, hasta encontrar dos valores consecutivos cuya diferencia sea inferior al error fijado (podría ser la diez milésima).
EJERCICIO Para un caudal de agua de 30 l/s, un diámetro de 0,2 m y una rugosidad de 0,025 mm, determínese f, mediante Colebrook, con un error inferior a 10-4. Solución Rugosidad relativa k 0,025 1,25 10 4 D 200
Número de Reynolds D V
4Q Re D D 4 0,03 5 1 , 59 10 0,2 1,2 10 6
Coeficiente de fricción k /D 1 2,51 2 log f1 3,7 Re D 0,015 1,25 10 4 2,51 2 log 5 1,59 10 0,015 3,7 f1 0,01742
1,25 10 4 1 2,51 2 log 5 f2 1,59 10 0,01742 3,7 f 2 0,01718 1,25 10 4 1 2,51 2 log 5 f3 1,59 10 0,01718 3,7 f 3 0,01721
Tomaremos, f = 0,0172.
Determinación de la rugosidad Ensayamos un trozo de tubería, despejamos f de Darcy-Weissbach,
Q2 H r 0,0827 f L 5 D y lo sustituimos en Colebrook:
k / D 1 2,51 2 log f 3,7 Re D f k/D 2,51 10 1 ( 2 f ) 3,7 Re D f 1 ( 2 k 3,7 10 D
f)
2,51 Re D f
Valores de rugosidad absoluta k material
k mm
vidrio liso cobre o latón estirado 0,0015 latón industrial 0,025 acero laminado nuevo 0,05 acero laminado oxidado 0,15 a 0,25 acero laminado con incrustaciones 1,5 a 3 acero asfaltado 0,015 acero soldado nuevo 0,03 a 0,1 acero soldado oxidado 0,4 hierro galvanizado 0,15 a 0,2 fundición corriente nueva 0,25 fundición corriente oxidada 1 a 1,5 fundición asfaltada 0,12 fundición dúctil nueva 0,025 fundición dúctil usado 0,1 fibrocemento 0,025 PVC 0,007 cemento alisado 0,3 a 0,8 cemento bruto hasta 3
EJERCICIO La pérdida de carga y el caudal medidos en un tramo de tubería instalada de 500 m y 200 mm de diámetro son: Hr = 4 m y Q = 30 l/s. La rugosidad con tubería nueva era k = 0,025 mm. Verifíquese la rugosidad y/o el diámetro actuales.
Solución Coeficiente de fricción Q2 H r 0,0827 f L 5 D 0,032 4 0,0827 f 500 0,25
f 0,0344
Número de Reynolds D V
4Q D 4 0,03 5 1 , 59 10 0,2 1,2 10 6
Re D
Rugosidad
1 ( 2 k 3,7 D 10
f)
2,51 Re D
f
1 ( 2 0, 0344) 2,51 3,7 200 10 5 1,59 10 0,0344 1,432 mm
57,3 veces mayor que la inicial. Si se ha reducido el diámetro a D = 180 mm, f = 0,02033; k = 0,141 mm lo que parece físicamente más razonable.
Diagrama de Moody
EJERCICIO Aire a 6 m/s por un conducto rectangular de 0,15 x 0,30 m2. Mediante el diagrama de Moody, ver la caída de presión en 100 m de longitud, si k = 0,04 mm. ( = 1,2 kg/m3 y = 0,1510-4 m2/s).
Solución Radio hidráulico S 0,15 0,30 Rh 0,050 m 50 mm Pm 2 (0,15 0,30)
Rugosidad relativa k k 0,04 0,0002 D 4 Rh 4 50
Número de Reynolds Re D
D V
4 Rh V
4 0,05 6 4 8 10 0,15 10 4
Coeficiente de fricción: f = 0,020
Caída de presión L V2 L V2 Hr f f D 2g 4 Rh 2 g 100 6 2 0,02 18,35 m 4 0,05 2 g
p H r g H r 1,2 9,8118,35 216 Pa
EJERCICIO
L V2 Fórmula de Darcy-Weissbach: H r f D 2g Comprobar que el exponente de la velocidad V está entre 1 y 2.
Solución
2 64 L V 32 L V a) Régimen laminar H r V D D 2g g D2 H r K V 1
b) Con dominio de la rugosidad H r K V 2
c) Cuando, f = f(ReD, k/D), H r K V n
(1,8 < n < 2)
Diagrama de Moody
Fórmula de Darcy-Colebrook Darcy-Weissbach Hr 1 V2 J f L D 2g
Colebrook
1 V f 2 g D J
k / D 1 2,51 2 log f 3,7 Re D f
Darcy-Colebrook k /D V 2,51 V 2 log 2 g D J 3,7 D V 2 g D J
k/D 2,51 V 2 2 g D J log 3,7 D 2 g D J
Sin necesidad de calcular previamente f.
PROBLEMAS BÁSICOS EN TUBERÍAS 1. Cálculo de Hr, conocidos L, Q, D, , k 2. Cálculo de Q, conocidos L, Hr, D, , k 3. Cálculo de D, conocidos L, Hr, Q, , k
1. Cálculo de Hr, conocidos L, Q, D, , k a) Se determinan: - rugosidad relativa, k D - número de Reynolds, 4Q Re D D b) Se valora f mediente Colebrook o por el diagrama de Moody. c) Se calcula la pérdida de carga:
Q2 H r 0,0827 f L 5 D Puede también resolverse el problema con tablas o ábacos.
2. Cálculo de Q, conocidos L, Hr, D, , k Puede resolverse calculando previamente f, aunque más rápido mediante Darcy-Colebrook:
k /D 2,51 V 2 2 g D J log 3,7 D 2 g D J Se obtiene directamente V y con ello el caudal Q:
Q V S Puede también resolverse mediante tablas o ábacos.
3. Cálculo de D, conocidos L, Hr, Q, , k a) Con fo = 0,015, se calcula un diámetro aproximado Do: Q2 H r 0,0827 0,015 L 5 Do b) Se determinan: - rugosidad relativa, k Do - número de Reynolds, 4Q Re D Do c) Se valora f, por Colebrook o Moody, y con él el diámetro D definitivo. Puede también resolverse el problema mediante tablas o ábacos.
Habrá que escoger un diámetro comercial, por exceso o por defecto, y calcular a continuación la pérdida de carga correspondiente. Se podría instalar un tramo L1 de tubería con D1 por exceso y el resto L2 con D2 por defecto, para que resulte la pérdida de carga dada:
Q2 Q2 Q2 0,0827 f L 5 0,0827 f L1 5 0,0827 f L2 5 D D1 D2 L L1 L2 5 5 5 D D1 D2 También mediante tablas: H r J 1 L1 J 2 L2
EJERCICIO Datos: L = 4000 m, Q = 200 l/s, D = 0,5 m, = 1,2410-6 m2/s (agua), k = 0,025 mm. Calcúlese Hr.
Solución Rugosidad relativa
k 0,025 0,00005 D 500
Número de Reynolds 4Q 4 0,2 5 Re D 4 , 11 10 D 0,5 1,24 10 6
Coeficiente de fricción - Por Moody: - Por Colebrook:
f = 0,0142 f = 0,01418
Pérdida de carga Q2 0,2 2 H r 0,0827 f L 0,0827 0,0142 4000 5 6 m D5 0,5 Mediante la tabla 9:
J 1,5 m km
H r L J 4 1,5 6 m
EJERCICIO Datos: L = 4000 m, Hr = 6 m, D = 500 mm, = 1,24106 m2/s (agua), k = 0,025 mm. Calcúlese el caudal Q.
Solución Fórmula de Darcy-Colebrook k / D 2,51 V 2 2 g D J log 3,7 D 2 g D J 0,025 / 500 2,51 1,24 10 6 2 2 g 0,5 6 4000 log 3,7 0,5 2 g 0,5 6 4000 1,016 m s
Caudal Q V
D2 4
1,016
0,52 4
0,1995 m3 s
EJERCICIO Se quieren trasvasar 200 l/s de agua desde un depósito a otro 5 m más bajo y distantes 4000 m. Calcúlese el diámetro, si k = 0,025 mm.
Solución Diámetro aproximado (fo = 0,015): 0,2 2 H r 0,0827 0,015 4000 5 Do Do 0,525 m - Rugosidad relativa k 0,025 4,76 10 5 Do 525 - Número de Reynolds
4Q 4 0,2 5 Re D 3 , 91 10 Do 0,525 1,24 106
Coeficiente de fricción - Por Moody:
f 0,0142
- Por Colebrook: f 0,01427
Diámetro definitivo 0,2 2 H r 0,0827 0,01427 4000 5 D D 0,519 m
Resolución con dos diámetros L L1 L2 4000 L1 4000 L1 5 5; 5 5 5 D D1 D2 0,519 0,6 0,55
L1 1138 m L2 2862 m
FLUJO UNIFORME EN CANALES En Darcy-Weissbach 2
1 V J f D 2g
p1 · S V
z1- z2 z1
L Fr
Gx Fp
sustituimos z2
p2 · S G
plano de referencia D 4 Rh J s tg pendiente del canal :
x
f V2 s 4 Rh 2 g Podemos resolver con mucha aproximación como si de una tubería circular se tratara, sustituyendo el diámetro por cuatro veces el radio hidráulico.
Para calcular la velocidad aplicaríamos Darcy-Colebrook
k/D 2,51 V 2 2 g D s log 3,7 D 2 g D s Q V S Hay fórmulas específicas para canales. Por ejemplo, la de Chézy-Manning: Rh1 6 V C s Rh s Rh n Rh2 3 s1 2 V n
C sería el coeficiente de Chézy n sería el coeficiente de Manning
Valores experimentales n de Manning material
n
k mm
Canales artificiales: vidrio 0,010 ± 0,002 latón 0,011 ± 0,002 acero liso 0,012 ± 0,002 acero pintado 0,014 ± 0,003 acero ribeteado 0,015 ± 0,002 hierro fundido 0,013 ± 0,003 cemento pulido 0,012 ± 0,00 cemento no pulida 0,014 ± 0,002 madera cepillada 0,012 ± 0,002 teja de arcilla 0,014 ± 0,003 enladrillado 0,015 ± 0,002 asfáltico 0,016 ± 0,003 metal ondulado 0,022 ± 0,005 mampostería cascotes 0,025 ± 0,005 Canales excavados en tierra: limpio 0,022 ± 0,004 con guijarros 0,025 ± 0,005 con maleza 0,030 ± 0,005 cantos rodados 0,035 ± 0,010 Canales naturales: limpios y rectos 0,030 ± 0,005 grandes ríos 0,035 ± 0,010
0,3 0,6 1,0 2,4 3,7 1,6 1,0 2,4 1,0 2,4 3,7 5,4 37 80 37 80 240 500 240 500
EJERCICIO Calcúlese el caudal en un canal cuya sección trapecial es la mitad de un exágono de 2 m de lado. La pared es de hormigón sin pulir, s = 0,0015 y. Resolverlo por: B a a) Manning, SLL b) Colebrook.
Solución cc Profundidad h h 2 sen 60o 1,632 m Sección del canal cb (c 2 a ) c S h 1,5 1,632 2,448 m 2 2 Radio hidráulico S 2,448 Rh 0,445 m Pm 6
h
a) Fórmula de Manning Velocidad
Rh2 3 s1 2 0,4452 3 0,00151 2 V 1,612 m s n 0,014 Caudal
Q V S 1,612 2,448 3,946 m3 s
b) Fórmula de Darcy-Colebrook Velocidad
D 4 Rh 4 0,445 1,780 m
k /D 2,51 V 2 2 g D s log 3,7 D 2 g D s 2 2 g 1,780 0,0015 2,4 / 1780 2,51 1,24 10 6 log 1,780 2 g 1,780 0,0015 3,7 V 1,570 m s
Q V S 1,570 2,448 3,843 m3 s El segundo término del paréntesis, apenas interviene pues en canales la situación suele ser independiente de Reynodsl (régimen con dominio de la rugosidad).
RESISTENCIA DE FORMA EN CONDUCIONES • PÉRDIDAS DE CARGA LOCALES
1. Ensanchamiento brusco de sección 2. Salida de tubería, o entrada en depósito 3. Ensanchamiento gradual de sección 4. Estrechamientos brusco y gradual 5. Entrada en tubería, o salida de depósito 6. Otros accesorios • MÉTODO DE COEFICIENTE DE PÉRDIDA • MÉTODO DE LONGITUD EQUIVALENTE
MÉTODO DEL COEFICIENTE DE PÉRDIDA El coeficiente de pérdida K es un adimensional que multiplicado por la altura cinética, V2/2g, da la pérdida Hra que origina el accesorio: 2
H ra
V K 2g
Pérdida de carga total L V2 V2 Hr f ( K 1 K 2 K 3 ...) D 2g 2g
Hr f
2 L V K D 2g
Valores de K para diversos accesorios Válvula esférica, totalmente abierta K = 10 Válvula de ángulo, totalmente abierta K = 5 Válvula de retención de clapeta K 2,5 Válvula de pié con colador K = 0,8 Válvula de compuerta abierta K = 0,19 Codo de retroceso K = 2,2 Empalme en T normal K = 1,8 Codo de 90o normal K = 0,9 Codo de 90o de radio medio K = 0,75 Codo de 90o de radio grande K = 0,60 Codo de 45o K = 0,42
MÉTODO DE LONGITUD EQUIVALENTE
medidor
L Le V Hr f D 2g 2
válvula de cierre 3/4 cerrada 1/2 " 1/4 " abierta
válvula angular
2000 1500 1000 500 48 42 36
té 100 codo
codo redondeado
té de reducción a 1/2
d
10
D
ensanchamiento d / D = 1/4 = 1/2 = 3/4
2 entrada común
curva brusca
té de reducción a 1/4
5 4 3
D
d
estrechamiento d / D = 1/4 = 1/2 = 3/4
1 0,5
0,2
diámetro interior en pulgadas
válvula codo de retención 180º
24
50
boca "Borda" té
30
longitud equivalente en metros
válvula de pie con colador
20 18 16 14 12 10 9 8 7 6
1000 900 800 700 600 500 400 300
200
5 4 3
100 90 80 70 60
2
50
11/2
40 30
curva suave
0,1
té
1
curva 45º 3/4
20
1/2
10
diámetro interior en milímetros
válvula globo