Introducción a funciones y Funcion lineal

Introducción: En esta unidad se desarrolla el concepto de función lineal y para ello se comienza por definir y ejemplificar los conceptos de función y relación de manera gráfica y analítica, para luego abordar los tópicos de una de las funciones más útiles y utilizadas en matemáticas, la función lineal. Esta función tiene varias características las cuales se tratan en el presente trabajo y entre ellas está: su gráfica la cual siempre va a ser una línea, su pendiente o inclinación por tratarse de una línea, sus diferentes interacciones geométricas como son paralelismo, perpendicularidad, intersecciones o cortes; adicionalmente se desarrollan varios ejemplos de cada uno de estas propiedades geométricas.

Al ser una de las funciones más aplicadas en matemáticas, se desarrollan ejemplos de la manera como se modela una situación a través de esta función; así también se presenta la solución de situaciones con el enfoque de resolución de problemas, lo cual implica las etapas de: comprensión de la situación problemica planteada, el planteo de estrategias de resolución, seguir o ejecutar la(s) estrategia(s) planteadas y análisis de los resultados.

Problematización: Desde los primeros años de la edad escolar se enseña a solucionar problemas que implican relaciones matemáticas, algunos de los problemas que se enseña a solucionar y en algunas ocasiones sobre los que más se hace énfasis es aquel tipo de problema que se soluciona con regla de tres, estas reglas de tres las presentan en dos tipos a saber: la regla de tres simple directa y la regla de tres simple inversa; ahora bien, una regla de tres no es más que una parte de la función lineal con la cual se logra realizar una proyección de un resultado o un valor, el problema radica en que de ahí en adelante el estudiante quiere aplicar regla de tres para solucionar todos los problemas y en muchos casos falla y surge de esto el cuestionamiento para el ¿Cuándo se puede aplicar la regla de tres para solucionar problemas?

El saber que no todos los problemas se pueden solucionar con regla de tres es una primera aproximación valiosa al conocimiento y el conocer otros tipos de relaciones matemáticas tales como las relaciones cuadráticas, cubicas, exponenciales, logarítmicas,

etc., le permiten al estudiante tener más herramientas para lograr la solución de un problema o una situación y es por lo anterior que se hace necesario el estudio de todo tipo de funciones las cuales permiten abordar un sin número de relaciones matemáticas.

Con el desarrollo de la presente unidad se pretende que el estudiante comprenda las relaciones directamente proporcionales y posea herramientas que le permitan tener un criterio matemático rigurosa para establecer que situaciones cotidianas relacionadas con la matemática pueden ser abordadas utilizando el algoritmo de la función lineal, además le permite realizar el modelamiento matemático de situaciones, competencia necesario que le permite acceder al abordaje de otros tipos de relaciones matemáticas diferentes de las relaciones directamente proporcionales.

Competencias: Al desarrollar esta unidad se espera que el estudiante: • Comprenda y manipule la información presentada en distintos formatos.

• Reconozca y obtenga piezas de información a partir de diferentes representaciones.

• Compare distintas formas de representar una misma información.

• Relacione los datos disponibles con su sentido o significado dentro de la información.

• Plantee procesos y estrategias adecuados para enfrentarse a una situación.

• Seleccione la información relevante y establecer relaciones entre variables para la solución (el análisis) de un problema.

• Diseñe planes, estrategias y alternativas para la solución de problemas.

• Utilice herramientas cuantitativas para solucionar problemas.

• Resuelva situaciones presentadas, ejecutando planes de acción definidos.

• Proponga soluciones pertinentes a las condiciones presentadas en la información • Compare diferentes alternativas para la solución de una situación o problema.

2

• Justifique la selección de procedimientos o estrategias matemáticas utilizadas para dar solución a problemas.

• Utilice argumentos sustentados en propiedades o conceptos matemáticos para validar o rechazar planes de solución propuestos.

• Identifique fortalezas y debilidades de un proceso propuesto para resolver un problema.

3

Contenido

1. APROXIMACIÓN A FUNCIONES: ........................................................................... 5 1.1 DEFINICIONES:........................................................................................................ 5 1.2 RELACIONES QUE NO SON FUNCIONES ........................................................... 7 2. FUNCIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO .......................................................... 10 2.1 GRAFICA DE UNA FUNCION LINEAL .............................................................. 10 2.2 PENDIENTE DE LA RECTA EN UNA FUNCIÓN LINEAL ............................... 12 2.3 ECUACIÓN DE UNA RECTA DADOS DOS PUNTOS ....................................... 14 2.4 ECUACIÓN DE UNA RECTA DADA SU PENDIENTE Y UN PUNTO ............ 16 2.5 ECUACIÓN DE RECTAS PARALELAS. .............................................................. 17 2.6 ECUACIÓN DE RECTAS PERPENDICULARES................................................. 19 2.7 INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON LOS EJES COORDENADOS O CEROS DE LA FUNCION LINEAL. ......................................................................................... 21 2.8 INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS. ..................................................................... 24 2.9 APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LINEAL ...................................................... 26 2.9.1 EN FISICA: ........................................................................................................... 26 2.9.2 EN ADMINISTRACION: ..................................................................................... 30 2.10 PROYECTO DE FUNCIÓN LINEAL................................................................... 32

4

1. APROXIMACIÓN A FUNCIONES: Objetivo de aprendizaje: Diferenciar gráfica y analíticamente los conceptos de función y relación: Las funciones son usadas diariamente por nosotros sin darnos cuenta, estos son algunos pocos ejemplos de esto.

A cada residencia se le asigna una dirección El valor a cancelar cuando se hace uso de un servicio de taxi depende del número de unidades marcadas El cargo a pagar por cualquier servicio público (agua, luz, gas) depende del consumo de este servicio El valor de una llamada por celular depende del tiempo de duración de esta El tiempo necesario en llegar a un destino depende de la velocidad a la cual nos movilizamos.

El salario percibido por un trabajador depende del número de días laborados o hasta de la cantidad de horas laboradas

1.1 DEFINICIONES: Una función es una relación entre los elementos de dos conjuntos, en donde cada elemento del conjunto de salida A esta relacionado con un único elemento en el conjunto de llegada B. Estas relaciones se pueden representar de diferentes formas a saber: a) Mediante diagramas de Venn, Ejemplo: A

. .

-2 -1 0 1 2 3 4 . . x

1 2 3 4 5 6

a b c

7

d A

B

c

2 B

2

c a) d

F(x) = 2x +1 b) .

2 3 4 5

5

x

. .

-3 -1 1 3 5 7 9 . .

F(x)

A

B

f(x) = x2

. .

-2 -1 0 1 2 . . . . x

. .

-2 -1 0 1 2 3 4 . .

F(x)

A

B

. .

-2 -1 0 1 2 . . . . x

. .

-2 -1 0 1 2 . . . . f(x) .

.

.

x c)

x

d)

En las grĂĄficas anteriores puede observarse las siguientes caracterĂ­sticas 0 ďƒź En todas las funciones existe un conjunto de salida (A) y un conjunto de llegada (B), al conjunto de salida se le llama dominio de la funciĂłn y al 1 conjunto de llegada se le llama codominio de la funciĂłn. ďƒź Todos los elementos del conjunto4de salida (Dominio) estĂĄn relacionados con un Ăşnico elemento en el conjunto de llegada (Co-dominio) ďƒź No todos los elementos del conjunto . de llegada (Co-dominio) estĂĄn relacionados con elementos del conjunto de salida (Dominio) ďƒź Existen elementos en el conjunto .de llegada (Co-dominio) los cuales estĂĄn relacionados con varios elementos del conjunto de salida (Dominio) 2 Todas las anteriores caracterĂ­sticas sonđ?‘Ś propias de las diferentes clases de funciones.

Los ejemplos anteriores constituyen una forma grĂĄfica de representar funciones sin embargo, esta no es la forma mĂĄs usada, la manera mĂĄs convencional y Ăştil de representar una funciĂłn es a travĂŠs de una grĂĄfica en el plano cartesiano, b) RepresentaciĂłn de funciones mediante plano cartesiano: en estas graficas el conjunto A se coloca el eje horizontal (eje de las abscisas y comĂşnmente asignado como eje de 6

x

equis) y el conjunto B se coloca en el eje vertical (eje de las ordenadas y comĂşnmente asignado como el eje ye); obsĂŠrvese en siguientes graficas las representaciones de los diagramas b), c), d) de esta manera:

b)

c)

d)

1.2 RELACIONES QUE NO SON FUNCIONES Existen algunas relaciones entre dos conjuntos que no son funciones debido a que uno o varios elementos del conjunto de salida tienen mĂĄs de una relaciĂłn en el conjunto de llegada, un ejemplo de lo anterior lo constituye la relaciĂłn: đ??ť(đ?‘Ľ) = √đ?‘Ľ . Al realizar una tabulaciĂłn para para construir la grĂĄfica de la relaciĂłn se obtiene lo siguiente: Si; x = 0; đ??ť(0) = √0 đ??ť(0) = 0 Si; x = 1; đ??ť(1) = √1 đ??ť (1) = Âą1 Si; x = 0; đ??ť(2) = √2 đ??ť (2) = Âą1,4142 ‌ ‌ ..

Si; x = 0; đ??ť(3) = √3 đ??ť (3) = Âą1,73205 ‌ ..

Si; x = 0; đ??ť(4) = √4 đ??ť (4) = Âą2 Si; x = −1; đ??ť (0) = −1 đ??ť(−1) = đ?‘›đ?‘œ đ?‘’đ?‘Ľđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’

2

x

H(x)

H(x)

0

0

1

+1

-1

2

+1,4142‌.

-1,4142‌..

3

+1,73201

-1,73201

4

+2

-2

-1

No existe

No existe

Nota: recuĂŠrdese que √4 es 2 y tambiĂŠn -2, esto ya que 2x2=4, asĂ­ como tambiĂŠn -2 x-2=4

7

En la anterior tabla es posible observar que para algunos valores de equis (Conjunto de salida) existen dos valores relacionados en el conjunto de llegada, eso quiere decir que H(x) no cumple con definición de función la cual se repite nuevamente a continuación: “Una función es una relación entre los elementos de dos conjuntos, en donde cada elemento del conjunto de salida A esta relacionado con un único elemento en el conjunto de llegada B.” A continuación se mostrará una forma gráfica para determinar si una relación es función; consiste en trazar rectas verticales en la gráfica de la relación y si esta gráfica es cortada en dos o más puntos por la recta vertical entonces se dice que la relación no es función y si en toda parte de gráfica, la recta corta en un solo punto entonces se trata de una función.

a)

c)

b)

d) 8

En las anteriores figuras, observese que las rectas verticales trazadas cortan en un solo punto a las grĂĄficas de las figuras b), c), d), en tanto que la figura a) es cortada la curva dos veces, por tanto se concluye que đ??ť(đ?‘Ľ) = √đ?‘Ľ es la unica que es una relacion mas no es una funciĂłn.

Lo anterior puede verse tambien en el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=Uzk6XTz_bIw

1. Utilize un sofware graficador ( geogebra, derive, matlab, etc ), realice la grĂĄfica de la funciĂłn dada y aplique el criterio de la recta vertical para decidir si la la ecuaciĂłn dada es una funciĂłn o es una relaciĂłn.

2đ?‘Ľ+3

i) đ?‘“(đ?‘Ľ ) = 3đ?‘Ľ2 +2

a) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = Âąâˆš3đ?‘Ľ − 2

e) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = 3|2đ?‘Ľ + 5|

b) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 2 + 8đ?‘Ľ + 16

f)

c) đ?‘“(đ?‘Ľ ) = ln(đ?‘Ľ + 3)

g) đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −đ?‘Ľâˆš(đ?‘Ľ 2 − 4)

k) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = |√đ?‘Ľ − 4|

d) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = log(đ?‘Ľ 2 − 4)

h) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?’†đ?&#x;?đ?’™

l) √đ?‘Ľ 3 − 9đ?‘Ľ 2 + 27đ?‘Ľ − 27

đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ |đ?‘Ľ 2 + 16|

j) 3√(đ?‘Ľ 3 − 8)

3

2. Dadas las siguientes tablas de valores, analizalas y de acuerdo con la definiciĂłn de funciĂłn diga cuales son funciones y cuales no.

9

3. Construye tablas de valores para las siguientes funciones: đ?‘Ľ đ??š (đ?‘Ľ ) = 2đ?‘Ľ 2 + 5đ?‘Ľ − 3 đ?‘Ľ đ??š (đ?‘Ľ ) = Âąâˆšđ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ − 4 đ?‘Ľ đ??š (đ?‘Ľ ) = |log √đ?‘Ľ|

2. FUNCIĂ“N LINEAL O DE PRIMER GRADO Objetivo de aprendizaje: Describir grĂĄfica y analiticamente las partes de la funcion lineal y aplicar el concepto en la resolucion de problemas de las diferentes ciencias del conocimiento FunciĂłn lineal: son todas aquellas de la forma đ??š (đ?‘Ľ ) = đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘?; donde đ?‘š, đ?‘? son 5

nĂşmeros reales. Ejemplos: đ??š (đ?‘Ľ ) = 3đ?‘Ľ + 2;

đ??š (đ?‘Ľ ) = 4 đ?‘Ľ − 4;

đ??š (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ;

2

đ??š (đ?‘Ľ ) = √3 đ?‘Ľ + 5.

La grĂĄfica de una funciĂłn lineal siempre va a ser una lĂ­nea recta. En la ecuaciĂłn el valor de “đ?‘šâ€? es el valor de la pendiente o inclinaciĂłn de la recta y que el valor de “đ?‘?â€? es la intersecciĂłn o el punto donde la recta corta al eje vertical (eje de las ordenadas).

2.1 GRAFICA DE UNA FUNCION LINEAL Ejemplo 2.1: Graficar đ??š (đ?‘Ľ ) = 3đ?‘Ľ + 2.

SOLUCIĂ“N: para graficar una recta solo se necesita de 2 puntos en el plano cartesiano; sin embargo, se recomienda trabajar con tres puntos para evitar cometer errores, para lo anterior se debe tabular

(elaborar una tabla de valores); como đ?‘Ľ es variable

independiente entonces a esta se le da los valores que se quieran, para los valores de đ?‘Ś se debe remplazar en la funciĂłn, en este caso đ??š (đ?‘Ľ ) = 3đ?‘Ľ + 2 de la siguiente manera: 10

1. Tomar para đ?‘Ľ los valores que se quieran, en este caso −2, 0, 2, al calcular los de đ?‘Ś se tiene: Si đ?‘Ľ = −2 entonces đ??š(−2) = 3(−2) + 2 đ??š(−2) = −4 Si đ?‘Ľ = 0 entonces đ??š(0) = 3(0) + 2 đ??š(0) = 2

2. Se registran estos valores en una tabla. đ?‘Ľ đ?‘Ś = đ??š(đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ + 2

-2 -4

0 2

2 8

Si đ?‘Ľ = 2 entonces đ??š(2) = 3(2) + 2 đ??š(2) = 8

3. Se procede a graficar los puntos en un plano cartesiano

Figura 2.1 4. Finalmente se procede a unir los puntos

Figura 2.2 En la grĂĄfica puede observarse que el valor de b corresponde a 2. Para la pendiente existen varias maneras de calcularla, a continuaciĂłn se muestran dos de ellas.

11

1. Para las siguientes funciones lineales, realice la respectiva grĂĄfica sin tabular

(tenga encuenta las partes de la funcion lineal) a) đ?‘“(đ?‘Ľ ) = 3đ?‘Ľ − 2

b) đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −2đ?‘Ľ + 4

3

c) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = 4 đ?‘Ľ + 1 d) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) =

−2 5

đ?‘Ľ+3

2. realice las grĂĄficas de las siguientes funciones lineales (se debe tabular con tres valores cada una) y saque conclusiones de las relaciones que encuentre entre ellas.

1

a) đ?‘“(đ?‘Ľ ) = 2đ?‘Ľ − 3

1

b) đ?‘“(đ?‘Ľ ) = − 2 đ?‘Ľ + 4 c) đ?‘“(đ?‘Ľ ) = 2đ?‘Ľ + 2 d) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = 2 đ?‘Ľ + 5

2.2 PENDIENTE DE LA RECTA EN UNA FUNCIĂ“N LINEAL Objetivo de aprendizaje: Hallar la pendiente de una recta e interpretarla como la constante de una relaciĂłn lineal Para calcular la pendiente de una recta se procede a utilizar el concepto.

RecuÊrdese que la pendiente es el valor de la inclinación y que esta se obtiene como el cociente (división) entre lo que se elevó (+) o bajo (-), sobre lo que se avanzó, esto es: Δ�

đ?‘Ś2 −đ?‘Ś1

i) Ecuación: � = Δ� =

đ?‘Ľ2− đ?‘Ľ1

(ecuaciĂłn 2.1)

La anterior ecuaciĂłn tambiĂŠn aparece al expresar la funciĂłn lineal en la forma “punto pendienteâ€? esto es đ?‘Ś − đ?‘Ś1 = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 ) y despejar el valor de m Para calcular la pendiente por la ecuaciĂłn se deben seleccionar dos puntos del plano cartesiano por donde pase la recta y a continuaciĂłn a uno de los puntos se le asigna (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ) y al otro punto (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ).

Ejemplo 2.2: Encontrar el valor de la pendiente de la recta de la grĂĄfica anterior Procedimiento: se van a escoger en la grĂĄfica los puntos p y q y se van a relacionar con las variables de la ecuaciĂłn

q ( 2,

8)

(đ?’™đ?&#x;? , đ?’šđ?&#x;? )

p (-2, (đ?’™đ?&#x;? ,

-4) đ?’šđ?&#x;? )

(Al contrario el resultado es el mismo) 12

Seguidamente se procede a reemplazar en la ecuaciĂłn 2.1, y de esto se tiene: −4−(8)

đ?‘š = −2−(2) =

−12 −4

=3;

luego: m = 3

ii) Por el triĂĄngulo Se forma un triĂĄngulo rectĂĄngulo entre dos puntos de la recta como el mostrado en la grĂĄfica 2.1; ahora la pendiente se calcula como: đ?‘š = đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘›(đ?œƒ ) (ecuaciĂłn 2.2); el signo de đ?‘š se toma de la direcciĂłn de la recta

Pendiente positiva cuando ye crece

Pendiente negativa cuando ye decrece

Ejemplo 2.3: Calcular la pendiente de la recta anterior utilizando el triĂĄngulo de la figura 2.2.

Procedimiento: 1. Se calculan las longitudes de los catetos del triĂĄngulo y se procede a reemplazar en la ecuaciĂłn 2.2 đ?‘š = tan(đ?œƒ ) =

đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘œđ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ 12 = =3 đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Śđ?‘Žđ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ 4

2. Se le asigna el signo al resultado: como la recta lleva la direcciĂłn positiva, entonces đ?‘š = +3

1. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados: a) P y Q

P (−3, −2);

b) R y S

R (− 4 , 5)

Q (−6, −8)

3 2

S ( 5 , 3)

−2

8

5

M ( 5 , 6)

−2

c) T y M T (3, − 7)

2. De acuerdo a las siguientes tablas de valores, determine cuales de estas corresponden a rectas, se debe realizar a travĂŠs del cĂĄlculo de la pendiente x F(x)

-2 -1

0 3

2 7

x F(x)

13

-1 -2

2 10

4 28

x F(x)

0 3

1 5/2

-2 4

x F(x)

-2 4

0 0

2 4

3. Hallé la pendiente de la recta que está representada en cada una de las gráficas

2.3 ECUACIÓN DE UNA RECTA DADOS DOS PUNTOS Objetivo de aprendizaje: Construir la ecuación de una recta dados dos puntos dentro de está Siempre es posible construir la ecuación de una función lineal (𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏) dados dos puntos que pertenezcan a ella: Ejemplo: 2.4 Encontrar la ecuación de la función (recta) que pasa por los puntos: P (-12, 4) y Q (16,-2) Procedimiento: 1. El primer paso es a partir de los puntos encontrar la pendiente de la recta, es decir, el valor de m para ser reemplazado en la ecuación de la función; para esto se procede como en el ejemplo 2.2.

14

P ( -12 , 4 )

Q ( 16 , -2 )

( đ?’™ đ?&#x;? , đ?’šđ?&#x;? )

( đ?’™đ?&#x;? ,

đ?’šđ?&#x;? )

Seguidamente se procede a reemplazar en la ecuaciĂłn 2.1, y de esto se tiene: −2−(4)

đ?‘š = 16−(−12) =

−6 28

=

−3

3

Luego: đ?‘š = − 14

; 14

2. Ahora se procede a calcular el valor de b, es decir el punto de intersecciĂłn con la ordenada (punto donde la recta se corta con el eje vertical); para esto se utiliza cualquiera de los dos puntos y el valor de la pendiente que se encontrĂł de la siguiente manera: 3

Q ( 16 , -2 ) y đ?‘š = − 14; al reemplazar en la ecuaciĂłn general de la

Se escoge

đ?‘Ś

recta: −3

−2 = ( 14 ) −2 =

−24

−2 +

24

7 7

=đ?‘š

đ?‘Ľ + đ?‘?;

se obtiene: −3

(16) + đ?‘?; al realizar el producto ( ) ∗ (16) se obtiene: 14

−24 7

, luego

+ đ?‘?; trasponiendo el resultado al lado izquierdo para poder despejar b 10

= đ?‘?; al realizar la suma se obtiene đ?‘? =

7

3. Se procede a reemplazar los valores encontrados en la ecuaciĂłn de todas las rectas: đ?‘Œ = đ?‘šđ?‘‹ + đ?‘? ; đ?‘Œ = −

3 14

đ?‘‹+

10 7

o đ?‘“(đ?‘Ľ) = −

3 14

đ?‘‹+

10 7

Otra forma de expresar la ecuaciĂłn de una recta es en su forma general đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś = đ?‘?

3

Para esto se toma la ecuaciĂłn đ?‘Œ = − 14 đ?‘‹ +

10 7

y se multiplica cada termino por 14 a

ambos lados de la igualdad, para luego simplificar :

đ?‘Œ(14) = −

3 (14) 14

đ?‘‹+

10 (14) 7

;

obteniĂŠndose: 14đ?‘Ś = −3đ?‘Ľ + 20 ; al dejarla en la forma general resulta: 14đ?‘Ś + 3đ?‘Ľ = 20

1- Halla la ecuaciĂłn de la recta que pasa por los puntos: a) P y Q

P (2, −2);

b) R y S

R (− 4 , 3)

5 4

Q (4, −8) −3

8

S ( 4 , 3)

15

5

−3

c) T y M T (4, − 4)

M ( 4 , −1)

2- Escribe la ecuaciĂłn de las siguientes rectas en forma general: 4

7

a) đ?‘Ś = 3 đ?‘Ľ − 3

b)

2đ?‘Ľ+5 3đ?‘Ś

8

=4

7

c) 5 đ?‘Ľ − 10 = 2đ?‘Ś

3

d) 4 + 2đ?‘Ś − đ?‘Ľ = 0

3- Dadas las siguientes ecuaciones de recta; exprĂŠselas en la forma đ?‘Ś = đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘? y diga cuĂĄl es la pendiente de la recta y el intersecto de esta con el eje de las ordenadas (y) a) đ?‘Ś − 2 đ?‘Ľ = −7

b)

2đ?‘Ś+5

=4

3đ?‘Ľ

8

7

c) 5 đ?‘Ś − 10 = 2đ?‘Ľ

3

d) 4 + 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 0

2.4 ECUACIĂ“N DE UNA RECTA DADA SU PENDIENTE Y UN PUNTO Objetivo de aprendizaje: Construir la ecuaciĂłn de una recta a travĂŠs de un punto y su pendiente Para calcular la ecuaciĂłn de una recta dada su pendiente y un punto, se procede con los pasos 2 y 3 del ejemplo anterior.

Ejemplo: 2.5 Hallar la ecuaciĂłn para la recta que pasa por el punto P (-3,4), con una inclinaciĂłn del 20% y dirigida en forma creciente de izquierda a derecha Procedimiento: 1. Se escribe la pendiente en forma de entero, fracciĂłn o radical, en este caso en forma 20

1

de fracciĂłn: 20% = 100 = 5 y se deja positiva ya que es creciente 2. Se reemplaza los valores (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) del punto P y la pendiente en la ecuaciĂłn general de đ?‘Ś= đ?‘š

todas las rectas, esto es:

đ?‘Ľ+đ?‘?

1

4 = 5 ∗ −3 + đ?‘?

1

3. Se realiza el producto 5 ∗ −3 = 4 = đ?‘?=

−3 5 23 5

−3 5

; al reemplazar el resultado se obtiene: 3

+ đ?‘?; Ahora se despeja b obteniendo 4 + 5 = đ?‘?; al sumar, se obtiene que ; Ahora ya se puede escribir la ecuaciĂłn y la funciĂłn al reemplazar m y b por 3

los valores numĂŠricos: đ?‘Ś = 5 đ?‘Ľ +

23 5

3

o đ?‘“(đ?‘Ľ) = 5 đ?‘Ľ + 16

23 5

1- Hallar las ecuaciones de la rectas, dadas su pendiente y un punto 4

a) Pendiente -3 P (0,0)

b) Pendiente

c) Pendiente -5; corta al eje đ?‘Ľ = 2

d) pendiente 30% creciente P(−2,6)

3

; corta al eje y en -4

2.5 ECUACIĂ“N DE RECTAS PARALELAS.

Objetivo de aprendizaje: Construir la ecuaciĂłn de una recta a travĂŠs de una recta paralela a estĂĄ Dos rectas son paralĂŠlelas si tienen la misma pendiente, es decir, si se tienen la rectas đ?‘Ś1 = đ?‘š1 đ?‘Ľ + đ?‘?1 y la recta đ?‘Ś2 = đ?‘š2 đ?‘Ľ + đ?‘?2 ; Estas rectas son paralelas si: đ?‘š1 = đ?‘š1 . Un ejemplo de esto puede verse en la siguiente figura: Las rectas: đ?‘Ś1 = −5đ?‘Ľ + 2;

2

đ?‘Ś2 = −5đ?‘Ľ − 3. Son paralelas ya que ambas tienen

pendiente −5; lo anterior se puede ver al graficar las dos rectas en el mismo plano cartesiano.

Figura 2.3 Ejemplo: 2.6 Hallar la ecuaciĂłn de una recta, que sea paralela a la recta que tiene por ecuaciĂłn đ?’š = −đ?&#x;‘đ?’™ − đ?&#x;? y que pase por el punto đ?‘ˇ( đ?&#x;’, đ?&#x;?)

Procedimiento: 17

1. Como se mencionĂł anteriormente, dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y de esto se concluye que la segunda recta debe tener pendiente −3 puesto que esta es la pendiente de la recta đ?’š = −đ?&#x;‘đ?’™ − đ?&#x;?

2. Como se conoce la pendiente y el punto por donde debe pasar la recta entonces se procede como en el ejemplo inmediatamente anterior: Se reemplaza los valores (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) del punto P y la pendiente en la ecuaciĂłn general de todas las rectas, esto es:

đ?‘Ś= đ?‘š

đ?‘Ľ+đ?‘?

4 = −3 ∗ 2 + đ?‘?

Se realiza el producto −3 ∗ 2 = −6; al reemplazar el resultado se obtiene: 4 = −6 + đ?‘? , se despeja b obteniendo 4 + 6 = đ?‘?, al sumar se obtiene que đ?‘? = 10; ahora ya se puede escribir la ecuaciĂłn y la funciĂłn al reemplazar m y b por los valores numĂŠricos: đ?‘Ś = −3đ?‘Ľ + 10, se puede comprobar grĂĄficamente que es paralela a la recta dada

đ?’š = −đ?&#x;‘đ?’™ − đ?&#x;?

1- Hallar las ecuaciones de la rectas segĂşn la condiciĂłn expuesta a) Pasa đ?‘ƒ (0,0) y es paralela a la recta 2đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 8 b) Paralela al eje đ?‘Ľ y pasa por el punto P (4,-2) 3đ?‘Śâˆ’2

c) Paralela a la recta 5đ?‘Ľ+4 = 2 y pasa por el punto (-1,1) 2- Halla las ecuaciones para las rectas paralelas presentadas en las siguientes grĂĄficas:

18

Figura 2.4

2.6 ECUACIĂ“N DE RECTAS PERPENDICULARES. Objetivo de aprendizaje: Construir la ecuaciĂłn de una recta la cual sea perpendicular a una recta dada Dos rectas son perpendiculares si cumplen la condiciĂłn que: đ?‘š1 ∗ đ?‘š2 = −1; es decir, si el producto de sus pendientes da −1. Ejemplo: 5

2

Las rectas đ?‘Ś1 = − 2 đ?‘Ľ + 2 y đ?‘Ś2 = 5 đ?‘Ľ + 4; son perpendiculares puesto que al realizar 5

2

el producto de sus pendientes se obtiene: − 2 ∗ 5 =

−10 10

= −1

Al realizar la grĂĄfica de las funciones en el mismo plano cartesiano se tiene:

Figura 2.4

19

Ejemplo: 2.7

Encontrar la ecuaciĂłn de una recta que cumpla las siguientes 3

condiciones: ser perpendicular a la recta đ?‘Ś = − 2 đ?‘Ľ + 3; y pasar por el punto P de coordenadas đ?‘ƒ(−4,2) Procedimiento: 1. Se ha de tener en cuenta que: “dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1â€? luego como primer paso se calcula la pendiente, esto es: 3

− 2 ∗ đ?‘š = −1 Luego al despejar m se obtiene đ?‘š =

−1 1 −3 2

; al realizar el producto de 2

extremos y dividir entre el producto de medios, se obtiene đ?‘š = 3 2. Ahora que se conoce la pendiente de la recta y un punto de esta, entonces se procede como en el ejemplo 2.6 Se reemplaza los valores (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) del punto P y la pendiente en la ecuaciĂłn general de đ?‘Ś= đ?‘š

todas las rectas, esto es:

đ?‘Ľ+đ?‘?

2

2 = 3 ∗ (−4) + đ?‘?

2

Se realiza el producto 3 ∗ (−4) =

−8 3

al reemplazar el resultado se obtiene:

8

8

3

3

2 = − + đ?‘? , se despeja b obteniendo 2 +

= đ?‘?, al sumar se obtiene que đ?‘? =

14 3

;

ahora ya se puede escribir la ecuaciĂłn y la funciĂłn al reemplazar m y b por los valores 2

numĂŠricos: đ?‘Ś = 3 đ?‘Ľ +

14 3

. Ahora se puede comprobar grĂĄficamente que esta recta es 3

perpendicular a la recta dada đ?‘Ś = − 2 đ?‘Ľ + 3

Figura:2.5 20

1- Dadas las siguientes ecuaciones de rectas, asocia las que sean perpendiculares a travĂŠs de una recta. đ?‘Ž) đ?‘Ś =

2 đ?‘Ľâˆ’3 5

đ?‘‘) 2đ?‘Ś + 5đ?‘Ľ = 2 đ?‘’) đ?‘Ś =

−2 đ?‘?) đ?‘Ś = đ?‘Ľâˆ’1 3

−2 đ?‘Ľâˆ’1 3

đ?‘“) 6đ?‘Ś + 2đ?‘Ľ − 12 = 0

đ?‘?) đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ − 3

2- Encuentra la recta pedida segĂşn la condiciĂłn puesta en el problema: a) Una recta perpendicular a la recta đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ − 2 y que pase por el punto (−3,2) 2đ?‘Ľâˆ’1

b) Una recta perpendicular a la recta 3đ?‘Ś+2 = 4 y que pase por el punto (-2,-2) c) una recta perpendicular a la recta que pasa por los puntos P(4,-2) Q(-2,1) y que corte a la eje đ?‘Ľ el punto 3 d) Una recta perpendicular al eje đ?‘Ś, y que pase por punto (5,7) e) Una recta que pase por los puntos P(4,-2) Q(-2,1) y corte al eje de las ordenadas en el punto -2

2.7 INTERSECCIĂ“N DE UNA RECTA CON LOS EJES COORDENADOS O CEROS DE LA FUNCION LINEAL. Objetivo de aprendizaje: calcular los puntos de intersecciĂłn de una recta con los ejes coordenados (x,y) Toda recta en el plano cartesiano corta a cada uno de los ejes coordenados (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) en un punto; el punto donde la recta corta al eje đ?‘Ľ siempre va tener una coordenada (đ?‘?, 0), en tanto que el punto donde la recta corta al eje đ?‘Ś va a tener una coordenada (0, đ?‘?), vĂŠase en el siguiente grĂĄfico:

21

Figura 2.6 Para hallar el punto de intersecciĂłn de la recta con el eje đ?‘Ś se toma la ecuaciĂłn de la respectiva recta y se reemplaza đ?‘Ľ por el valor de cero, y luego se soluciona en la ecuaciĂłn el valor de đ?‘Ś; de manera semejante para hallar el punto de intersecciĂłn de la recta con el eje đ?‘Ľ se toma la ecuaciĂłn de la respectiva recta y se reemplaza đ?‘Ś por el valor de cero, y luego se soluciona en la ecuaciĂłn el valor de đ?‘Ľ, vĂŠase en el siguiente ejemplo: Ejemplo: 2.8 Hallar el punto de intersecciĂłn de la recta: đ?‘“(đ?‘Ľ ) =

−2 5

đ?‘Ľ + 4 con cada uno de los ejes

coordenados (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) Procedimiento: 1. Para hallar el punto de intersecciĂłn de la recta con el eje đ?‘Ľ, se reemplaza el valor de đ?‘Ś Ăłsea (đ?‘“(đ?‘Ľ)) por cero dentro de la ecuaciĂłn dada, esto es −2

đ?‘“ (đ?‘Ľ ) =

5

đ?‘Ľ + 4; luego se tiene 0 =

−2 5

đ?‘Ľ+4

2. Se despeja đ?‘Ľ de la ecuacion obtenida, observese cada paso -4 =

−2 5

đ?‘Ľ ; luego:

−4 1 −2 5

=đ?‘Ľ

al realizar el producto de extremos dividido entre el producto de medios se obtiene đ?‘Ľ=

−20 −2

; al dividir el numerador entre el denominador y multiplicar los signos se

encuentra đ?‘Ľ = 10 3. Luego el punto donde la recta corta al eje đ?‘Ľ tiene las coordenadas (10,0) 22

4. Para hallar el punto de intersecciĂłn de la recta con el eje đ?‘Ś, se reemplaza el valor de đ?‘Ľ por cero dentro de la ecuaciĂłn dada, esto es đ?‘“ (đ?‘Ľ ) =

−2 5

đ?‘Ľ + 4; luego se tiene

đ?‘Ś=

−2 5

(0) + 4: al realizar el producto se obtiene

đ?‘Ś=4 5. Luego las coordenadas de corte de la recta con el eje đ?‘Ś son: (0, 4) 6. ObservesĂŠ todo lo anterior coorroborado en la siguiente grĂĄfica:

Figura 2.7

1- Encuentre los cortes de las siguientes rectas con los ejes coordenados đ?‘Ž) đ?‘Ś − 3đ?‘Ľ − 3

đ?‘?) 2đ?‘Ś − 4đ?‘Ľ = 8

đ?‘?)

3đ?‘Ľâˆ’2 đ?‘Śâˆ’1

=

2 5

đ?‘Ž) 2đ?‘Ś − 6đ?‘Ľ − 4 = 0

2- A partir de la grĂĄfica, encuentre los cortes de las rectas con los ejes coordenados: a)

23

b)

2.8 INTERSECCIĂ“N DE DOS RECTAS. Objetivo de aprendizaje: encontrar el punto (đ?’™, đ?’š) de intersecciĂłn entre dos rectas en el plano cartesiano Si dos rectas no son paralelas entonces se intersectan y el punto donde lo hacen es un punto comĂşn a ambas rectas; para hallar este punto se procede a igualar las ecuaciones ya sea por el lado de la variable đ?‘Ś o por el lado de la variable đ?‘Ľ. Ejemplo: Hallar el punto de corte de las rectas de la grĂĄfica anterior.

5

2

Como las ecuaciones de las rectas son: đ?‘Ś1 = − 2 đ?‘Ľ + 2 y đ?‘Ś2 = 5 đ?‘Ľ + 4 y en ambas ecuaciones ya estĂĄ despejada la variable đ?‘Ś, entonces se iguala a esta, ya que đ?‘Ś tiene el mismo valor para ambas rectas en la intersecciĂłn. đ?‘Ś1 = đ?‘Ś2 5 2 − đ?‘Ľ+2= đ?‘Ľ+4 2 5 Al transponer los tĂŠrminos con đ?‘Ľ al lado derecho y los independientes al lado izquierdo

se −4 + 2 =

2 5 đ?‘Ľ+ đ?‘Ľ 5 2 24

tiene:

Reduciendo tĂŠrminos semejantes y despejando đ?‘Ľ se tiene −2 =

(2)2 (5)5 đ?‘Ľ+ đ?‘Ľ (2)5 (5)2

−2 =

4 25 đ?‘Ľ+ đ?‘Ľ 10 10

−2 =

29 đ?‘Ľ 10

20

De donde: đ?‘Ľ = − 29 ≈ −0,689 ; puede observarse en la grĂĄfica anterior.

La coordenada đ?‘Ś donde se intersectan las rectas se encuentra reemplazando el valor de đ?‘Ľ en cualquiera de las ecuaciones.

Tomando la primera ecuaciĂłn se tiene: 5

đ?‘Ś = − 2 đ?‘Ľ + 2;

5

20

đ?‘Ś = − 2 (− 29) + 2;

đ?‘Ś=

100 58

+ 2; De donde đ?‘Ś =

3,724 puede observarse en la grĂĄfica.

20 108

Luego el punto de corte de las rectas es: (− 29 ,

29

)

A continuaciĂłn puede observarse los resultados grĂĄficamente

Figura 2.8

1- En los siguientes ejercicios encuentre el punto de corte de las rectas dadas đ?‘Ž) 2đ?‘Ś − 3đ?‘Ľ = 5 đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?‘Ś = 4đ?‘Ľ − 2

đ?‘?)

25

2đ?‘Śâˆ’1 đ?‘Ľâˆ’2

= 5 đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?‘Ľ = đ?‘Ś + 3

108 29

≈

2. Encuentre el punto de intersecciĂłn para las rectas presentadas en la figura:

a)

b)

2.9 APLICACIONES DE LA FUNCIĂ“N LINEAL Objetivo de aprendizaje: comprender las aplicaciones de la funciĂłn lineal en las distintas ciencias del conocimiento 2.9.1 EN FISICA: La funciĂłn lineal se encuentra dentro de muchas leyes fĂ­sicas, en el siguiente cuadro se mencionan algunos ejemplos: EcuaciĂłn đ?’™= đ?’—∗đ?’• đ?’— = đ?’—đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?’• đ?’‡= đ?’Žâˆ—đ?’‚ đ?‘ť= đ?’‡âˆ—đ?’… đ?‘°=đ?’‡âˆ—đ?’•

Ley fĂ­sica EcuaciĂłn del movimiento rectilĂ­neo uniforme EcuaciĂłn del movimiento rectilĂ­neo con aceleraciĂłn constante Segunda ley de Newton Torque o momento de una fuerza EcuaciĂłn del impulso 26

đ?‘ˇ=đ?’Žâˆ—đ?’— đ?‘ˇ = đ?’‘đ?&#x;Ž + đ??† ∗ đ?’ˆ ∗đ?’‰ đ?’‡ = −đ?’Œ ∗ đ?’™ Figura 2.7

EcuaciĂłn del momentum o cantidad de movimiento PresiĂłn absoluto para un cuerpo sumergido en un fluido Ley de Hooke o ecuaciĂłn de los resortes

A continuaciĂłn se presenta un ejercicio donde se aplican los anteriores conceptos: Ejemplo: 2.8 a) Dos mĂłviles se encuentran ubicados en dos ciudades A y B, separadas una distancia de 480 Km en lĂ­nea recta. De la ciudad A parte uno de los mĂłviles viajando a un promedio de velocidad de 80 Km/h y rumbo hacia la ciudad B, una hora mĂĄs tarde, el otro mĂłvil sale de la ciudad B rumbo hacia la ciudad A viajando a un promedio de velocidad de 100 Km/h. ÂżA que distancia de la ciudad A se cruzaran los dos mĂłviles y cuĂĄnto tiempo despuĂŠs de haber partido el primer mĂłvil?

SoluciĂłn: Para este tipo de ejercicios lo primero es plantear las ecuaciones de movimiento de cada uno de los mĂłviles (ecuaciones lineales del movimiento uniforme ya que se trata de velocidad constante) tomando como referencia la distancia desde la ciudad A y tomando el đ?‘Ą como el tiempo de movimiento de A, se tiene: EcuaciĂłn de movimiento para el mĂłvil que sale de la ciudad A đ?‘Ľđ??´ = 80 ∗ đ?‘Ą EcuaciĂłn de movimiento para el mĂłvil que sale de la ciudad B y rumbo hacia la ciudad A:

đ?‘Ľđ??ľ = 480 − 100 ∗ (đ?‘Ą − 1)

Como puede observarse se trata de ecuaciones de primer grado ya que las variables đ?‘Ľ y đ?‘Ą estĂĄn con exponente 1 (exponente implĂ­cito, no se escribe); el punto donde se cruzan los mĂłviles se obtiene al hallar el punto de intersecciĂłn de las rectas.

27

(h) Figura 2.9 Ahora recuĂŠrdese que para hallar el punto de intersecciĂłn de dos rectas se procede a igualar una de las variables, en este caso puede ser la posiciĂłn o el tiempo; aquĂ­ se va a igualar las posiciones, lo anterior debido a que fĂ­sicamente cuando los mĂłviles se cruzan entonces sus posiciones son las mismas respecto al observador situado en la ciudad A, ademĂĄs las ecuaciones estĂĄn despejadas respecto a la posiciĂłn (igualadas a posiciĂłn) Procedimiento: đ?‘Ľđ??´ = đ?‘Ľđ??ľ 80 ∗ đ?‘Ą = 480 − 100 ∗ (đ?‘Ą − 1) Al realizar el producto de 100 por (đ?‘Ą − 1) 80 ∗ đ?‘Ą = 480 − 100đ?‘Ą + 100 Reduciendo tĂŠrminos semejantes: 80 ∗ đ?‘Ą = 580 − 100đ?‘Ą Transponiendo los tĂŠrminos en t al lado izquierdo: 80 ∗ đ?‘Ą + 100đ?‘Ą = 580 Sumando los valores de đ?‘Ą se tiene: 180đ?‘Ą = 580 Pasando a dividir a 180 y simplificando, queda despejado el tiempo: 580 29 đ?‘Ą= = ≅ 3.22 ‌ â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ 180 9 Al reemplazar este valor de đ?‘Ą en cualquiera de las dos ecuaciones se encuentra la posiciĂłn: đ?‘Ľđ??´ = 80 ∗ đ?‘Ą; đ?‘Ľđ??´ =

đ?‘Ľđ??´ = 80 ∗

29 9

; Luego:

đ??ˇđ?‘–đ?‘ đ?‘?đ?‘˘đ?‘ đ?‘–đ?‘œđ?‘› đ?‘‘đ?‘’ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘˘đ?‘™đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘ : 







2320 ≅ 257.7 ‌ đ??žđ?‘š 9

28

Los resultados anteriores se pueden observar en la grĂĄfica de la figura 2.8 y corresponden a los valores de la coordenada de intersecciĂłn de las dos rectas.

ObsĂŠrvese que la ecuaciĂłn de la posiciĂłn del mĂłvil que sale de la ciudad B empieza en đ?‘Ą = 0 h a 580 Km esto es el equivalente a salir una hora mĂĄs tarde (dar 100Km de ventaja); ahora si se reemplaza t como 1h en esta misma ecuaciĂłn se obtiene x=480 Km (esta es la exigencia del problema).

ObsĂŠrvese que aunque el mĂłvil que sale de la ciudad B va mĂĄs rĂĄpido (100km/h), en la grĂĄfica decrece su posiciĂłn (se acerca a cero) ya que se acerca al observador situado en la ciudad A. Todas las unidades se encuentran medidas en kilĂłmetros (Km) y en horas (h), luego dimensionalmente no existe problema.

Ejemplo: 2.8 b) Un reloj de arena contiene un volumen de 160 cm3 de esta, si se conoce que la velocidad de caĂ­da de la arena de un bulbo a otro es de 2 cm 3/s ÂżCuĂĄnto tiempo debe transcurrir desde que voltea el reloj para que el contenido en los dos bulbos sea el mismo?

SoluciĂłn: Lo primero que se debe realizar es el planteo de la ecuaciĂłn de llenado y desagĂźe de un bulbo a otro de la arena.

Llenado: este ocurre en el bulbo inferior y comienza con un volumen de cero cm 3 y va aumentando a razĂłn de 2 cm3/s luego el volumen de arena (đ?‘‰đ?‘™đ?‘™ ) en el tiempo (t) se determina mediante la ecuaciĂłn: đ?‘‰đ?‘™đ?‘™ = 2 (cm3 /s) ∗ đ?‘Ą Vaciado o desagĂźe: este ocurre en el bulbo superior y comienza con un volumen de 160 cm3 el cual va decreciendo a razĂłn de 2 cm3/s luego el volumen de arena (V) en el tiempo (t) se determina mediante la ecuaciĂłn: đ?‘‰đ?‘Ł = 160cm3 − 2 (cm3 /s) ∗ đ?‘Ą Al graficar las anteriores ecuaciones, se puede visualizar grĂĄficamente el punto de corte de las dos rectas; de ahĂ­ se determina el instante de tiempo necesario para que los dos bulbos contengan igual volumen; ( 40s ,80cm3 ).

Figura 2.10

29

AnalĂ­ticamente se procede a igualar los volĂşmenes ya que el requisito es que en los dos bulbos haya el mismo volumen de arena: đ??ˇđ?‘–đ?‘ đ?‘?đ?‘˘đ?‘ đ?‘–đ?‘œđ?‘› đ?‘‘đ?‘’ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘˘đ?‘™đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘ :

Procedimiento:

��� = ��



2 (cm3 /s) ∗ đ?‘Ą = 160cm3 − 2 (cm3 /s) ∗ đ?‘Ą ; Transponiendo al lado izquierdo los ;tĂŠrminos con t se tiene: 2 (cm3 /s) ∗ đ?‘Ą + 2 (cm3 /s) ∗ đ?‘Ą = 160cm3 ; Al sumar se tiene: 4 (cm3 /s) ∗ đ?‘Ą = 160cm3 ;



Al despejar t se obtiene: 160cm3

đ?‘Ą = 4 (cm3 /s); de donde đ?‘Ą = 40đ?‘



ObsĂŠrvese que tambiĂŠn se hubiera podido dividir el valor del volumen total (160cm3 ) entre dos, esto ya que cada parte debe tener el mismo volumen, y asĂ­ se obtendrĂ­a 80cm3 , luego se deberĂĄ reemplazar este valor en cualquiera de las dos ecuaciones y despejar đ?‘Ą; el resultado que se obtiene es el mismo pero de una manera mĂĄs sencilla, lo anterior por tratarse de nĂşmeros enteros.

En cuanto a las unidades es dimensionalmente correcto, ya que el resultado es un tiempo y este se mide en segundos.

De la grĂĄfica tambiĂŠn se deduce que a los 80s el contenido en un bulbo es 160cm3 y el del otro bulbo es cero, lo anterior ya que el volumen pasa de un bulbo al otro.

2.9.2 EN ADMINISTRACION: Ejemplo: 2.9 Una empresa de sombreros tiene costos fijos por aĂąo, estos son: arriendos, mantenimiento, personal, seguros etc., que debe pagar independiente de cuanto produzca la empresa; producir una referencia de sombrero le cuesta a la empresa un monto de dinero por materia prima, mano de obra, alquiler de equipos, etc., estos costos concernientes al costo de producir los sombreros, se les denomina costos variables; los costos totales son los costos fijos mĂĄs los costos variables y se calculan mediante la ecuaciĂłn đ??śđ?‘‡ = đ??śđ?‘“ + đ??śđ?‘Ł ∗ đ?‘Ľ, donde x representa el nĂşmero de sombreros a producir.

La empresa recibe ingresos por la venta de sombreros y la ecuaciĂłn de ingresos es: đ??ź = đ?‘ƒđ?‘Ł ∗ đ?‘Ľ; donde x es la cantidad de sombreros vendidos al aĂąo y Pv es el precio de venta de cada sombrero.

Calcular el punto de equilibrio de la empresa sabiendo que sus costos fijos son $10´000.000 al aùo, que el costo de producir un sombrero es de $40000, el precio de venta de cada sombrero es 70.000 y que el punto de equilibrio representa la situación 30

en la cual la empresa debe vender una cantidad de sombreros con la cual cubre todos sus gatos y no tiene ganancia ni perdida.

SoluciĂłn: Para encontrar el nĂşmero de sombreros a producir se empieza por reemplazar los valores conocidos dentro de las ecuaciones e igualar los costos del total de producir sombreros (CT) con los ingresos por la venta de sombreros (I).

đ??ˇđ?‘–đ?‘ đ?‘?đ?‘˘đ?‘ đ?‘–đ?‘œđ?‘› đ?‘‘đ?‘’ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘˘đ?‘™đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘ :

Procedimiento:

đ??śđ?‘‡ = đ??śđ?‘“ + đ??śđ?‘Ł ∗ đ?‘Ľ;

reemplazando se



obtiene: đ??śđ?‘‡ = 10´000.000 + 40000đ?‘Ľ đ??ź = đ?‘ƒđ?‘Ł ∗ đ?‘Ľ; al reemplazar se obtiene: đ??ź = 70.000đ?‘Ľ Luego al igualar se obtiene: đ??śđ?‘‡ = đ??ź 10´000.000 + 40000đ?‘Ľ = 70000đ?‘Ľ 10´000.000 = 70000đ?‘Ľ − 40000đ?‘Ľ



Al reducir tÊrminos semejantes se tiene: 10´000.000 = 30.000� Despejando x se obtiene: 10´000.000 �= = 333.3..

30000 đ?‘Ľ ≅ 334 đ?‘ đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ Al vender los 334 sombreros se tendrĂĄ unos ingresos de: đ??ź = đ?‘ƒđ?‘Ł ∗ đ?‘Ľ: Esto es: đ??ź = 70000 ∗ 334 Luego đ??ź = $23´380.000 y unos costos totales de producciĂłn de: đ??śđ?‘‡ = đ??śđ?‘“ + đ??śđ?‘Ł ∗ đ?‘Ľ

NĂłtese en primer lugar que el valor de los ingresos no coincide exactamente con el valor de los costos totales; esto debido a que el nĂşmero de sombreros a producir arroja un valor decimal el cual debe ser aproximado al entero mĂĄs cercano, puesto que los sombreros son unidades enteras.

Gråficamente la solución puede verse en el punto donde la ecuación de costos totales se cruza con la ecuación de ingresos.  Puede analizarse tambiÊn a partir de los valores que la eficiencia de una empresa radica en tener unos gastos fijos pequeùos, unos costos de producción por unidad pequeùos, unos altos números de unidades producidas, así como tambiÊn unos grandes valores de venta de cada producto; sin embargo el número de unidades a producir va ligada a la oferta y demanda, pues todas las personas no utilizan sombreros.

đ??śđ?‘‡ = 10´000000 + 40000 ∗ 334 đ??śđ?‘‡ = $23´360000 Al graficar las ecuaciones de ingresos y Costos totales en la misma grĂĄfica, se corrobora la soluciĂłn.

31

Figura 2.11

2.10 PROYECTO DE FUNCIÓN LINEAL Objetivo de aprendizaje: Aplicar los conceptos de función lineal en la resolución de problemas contextualizados Desarrollar habilidades de trabajo colaborativo y manejo de tics La empresa de productos lácteos San Ángel está conformada por los siguientes departamentos: recursos humanos, contabilidad, producción, diseño, almacén, gerencia, mantenimiento. En cada uno de los departamentos se han presentado distintos problemas, se pide al estudiante presentar alternativas de solución a las problemáticas y realizar una evaluación de las propuestas.

1. El departamento de recursos humanos cuenta con un historial del listado de personal organizado por años en el cual se registran el número de empleados de los diferentes tipos de contratos a saber: empleados con contrato a término indefinido, empleados de planta con contrato a término fijo, empleados pasantes con contrato a término fijo, y empleados por prestación de servicios. Véase la siguiente tabla:

Tipo de contrato

Año 2012 2013 2014 2015 2016

№ de empleados con contrato a término indefinido

42

50

58

36

32

20

25

30

30

28

12

15

18

20

20

15

15

20

25

30

№ de empleados de planta con contrato a término fijo № de empleados pasantes con contrato a término fijo № de empleados con contrato de prestación de servicios

32

De acuerdo a la informaciĂłn contenida en la tabla realice las siguientes actividades: a) Realice una grĂĄfica en un plano cartesiano donde se describa la informaciĂłn de la tabla. b) Ubique los intervalos de tiempo entre dos aĂąos consecutivos donde se haya presentado las mayores y menores variaciones de personal c) Como se relaciona la anterior informaciĂłn con la pendiente de una recta? d) En quĂŠ tipo de contracto de personal se presentĂł la mayor variaciĂłn y cual fue?

2. El departamento de contabilidad ha realizado un seguimiento del rendimiento econĂłmico de la empresa en los Ăşltimos cinco aĂąos, vĂŠase la informaciĂłn obtenida consolidada en la siguiente tabla:

ITEM

AĂąo

Egresos por planta de personal

2012 2013 2014 2015 -5

Egresos por gastos de funcionamiento Egresos por inversiones

−34/5

−17 12 -18

Ingresos por servicios

85

−3 4 125

2016 FunciĂłn de predicciĂłn −49 12

Ingresos por regalĂ­as

a )

2 đ??š(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ + 1 3

Si se sabe que cada uno de las filas de informaciĂłn responde a una relaciĂłn lineal, y que la informaciĂłn faltante en la tabla ha se ha perdido, entonces se pide reconstruir la informaciĂłn faltante en la tabla y hallar la funciĂłn que proporcionas la informaciĂłn.

3- La gerencia de mercadeo tiene estudios de oferta y demanda respecto al bien producido por la empresa que en este caso es leche y sus derivados.

DEMANDA: se define como la voluntad y capacidad (ambas simultaneas) que posee una persona natural o jurĂ­dica o tambiĂŠn llamado consumidor para conseguir un producto o servicio en un determinado periodo de tiempo.

CANTIDAD DEMANDADA: es la cantidad de un bien o servicio que el consumidor estĂĄ dispuesto a comprar a un determinado precio y durante un determinado tiempo.

LEY DE LA DEMANDA: Al aumentar el precio de un bien su cantidad demandada disminuye si todas las demĂĄs variables permanecen constantes (necesidad del bien por 33

epidemias, catástrofes, etc...,) y por tanto la demanda siempre es un una función decreciente, ejemplo: En la siguiente tabla se muestran las cantidades demandadas o necesitadas de litros de yogurt en bolsa y lo que estan dispuestos a pagar un grupo de consumidores de lácteos de acuerdo al costo de cada bolsa Precio($)/unidad Unidades/semana

10000 12000 14000 16000 18000 10 8 6 4 2

Figura: 2.12 La anterior grafica muestra que el precio más alto que un consumidor está dispuesto a pagar por la ultima unidad de leche comprada es $9000, pero además se analiza que si se tiene existencias grandes de bolsas de yogurt entonces el valor de estas baja, y viceversa si solo existen unas pocas unidades disponibles entonces su precio sube.

DETERMINANTES DE LA DEMANDA: existen variables que hacen que la función de demanda cambie, entre ellos se encuentran: Las rentas o ingresos ( a mayor cantidad de ingresos de la población mayor cantidad de bienes se compran); los gustos ( a mayor gusto por un artículo mayor es su demanda), precios de los sustitutos y complementarios (una abrupta subida en el precio de la leche genera una alza en sus productos derivados como el yogurt, Kumis, etc); las expectativas (una expectativa por

34

mejores ingresos hace que se aumente la demanda); la población (a mayor cantidad de población mayor demanda), etc.

Los determinantes en el precio de la demanda hacen que se presenten variaciones continuas en esta función, así por ejemplo un crecimiento en la población hace que la función se desplace hacia la derecha, mientras un decrecimiento en la población hace que la función se desplace hace hacia la izquierda, véase en el siguiente gráfico.

Figura 2.13 De acuerdo a la anterior explicación la empresa de servicios lácteos surte a dos poblaciones A y B en las cuales la función de demanda corresponde a la presentada en figura 2.11; si por razones de seguridad una población está migrando de la ciudad A hacia la ciudad B y se ha notado que la gráfica de demanda se ha desplazado de tal manera que para 10 unidades/semana el precio corresponde a $12000 en la ciudad A, en tanto que para 10 unidades/semana el precio en la ciudad B ha bajado a $9000.

Si la función de demanda en ambos casos mantiene la misma proporcionalidad a) Cuáles son las funciones matemáticas de demanda para las ciudades A y B? b) Cual ha de ser es costo proyectado para una bolsa de yogurt en la ciudad A para un consumo de 6 unidades por semana. c) Cual ha de ser es costo proyectado para una bolsa de yogurt en la ciudad B para un consumo de 6 unidades por semana.

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OFERTA: Se define como la cantidad de un bien que los productores están dispuestos a vender a un determinado precio y en un determinado tiempo.

CANTIDAD OFERTADA: Es la cantidad de un bien o servicio que una empresa está dispuesto a producir a un determinado precio y durante un determinado tiempo.

LEY DE LA OFERTA: Cuanto mayor sea el precio de un bien mayor será la cantidad ofrecida de esta, teniendo todo lo demás constante.

En la siguiente tabla se muestran la de unidades ofertadas de yogurt a distintos precios cuando se mantienen constantes todas las demás variables que afecta la oferta.

Precio($)/unidad Unidades/semana

11000 22000 33000 44000 55000 5 10 15 20 25

Figura 2.14 DETERMINANTES DE LA OFERTA: existen variables que hacen que la función de oferta cambie, entre ellos se encuentran: La tecnología (los costos de producción y por tanto la cantidad de artículos a ofrecer así como el costo cambia cuando aparece un desarrollo tecnológico que disminuye los tiempos y los procesos productivos utilizados); los precios de los factores (Al aumentar los salarios a los trabajadores aumentan los costos de producción y la función de oferta se desplaza hacia la izquierda); número de oferentes (si aumenta el número de empresas que ofrecen determinado producto, entonces aumenta la cantidad de producto ofertado); expectativas (si se tiene expectativa de mejores precios futuros, entonces se ofertan bajas cantidades en el presente). Etc.

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Los determinantes en la cantidad ofertada hacen que se presenten variaciones continuas en esta función, así por ejemplo el clima influye en la oferta de los productos lácteos, en una temporada de sequía la función de oferta se desplaza hacia la izquierda, consecuentemente en una temporada de lluvias crecen los pastos y la oferta de lácteos aumenta desplazándose la curva a la derecha, véase la siguiente gráfica:

Grafica 2.15 De acuerdo a la anterior explicación la empresa de servicios lácteos paso durante el primer semestre del año por escases de pastos necesarios para el alimento de sus vacunos, en tanto que en el segundo semestre sucedió una situación totalmente opuesta.

Si la función de oferta en ambos casos mantiene la misma proporcionalidad a) ¿Cuáles son las funciones matemáticas de oferta para cada semestre del año? b) ¿Cuál ha de ser es costo proyectado para una bolsa de leche durante el primer semestre para un consumo de 6 unidades por semana. c) ¿Cuál ha de ser es costo proyectado para una bolsa de leche durante el segundo semestre para un consumo de 6 unidades por semana

PUNTO DE EQUILIBRIO: Cuando se tienen determinadas las curvas de oferta y demanda se busca enseguida un punto donde la cantidad y el precio del bien satisfacen tanto a los productores como a los consumidores “satisface = están de acuerdo; el productor siempre querrá ganar más y el consumidor siempre buscara pagar el menor precio por cada artículo” la anterior situación corresponde al punto donde las curvas de oferta y demanda se cruzan.

Para las situaciones presentadas anteriormente de oferta y demanda y representada en las figuras 2.13 y 2.11 se calcula a continuación el punto de equilibrio por el método gráfico y analítico: 37

Calculo del punto de equilibrio por el mĂŠtodo grĂĄfico: para encontrar el punto de equilibrio por este mĂŠtodo se procede a graficar los puntos de oferta y demanda en un solo grĂĄfico y luego se busca la intersecciĂłn de las lĂ­neas que unen cada conjunto de puntos, siendo esta intersecciĂłn el punto de equilibrio.

Grafica 2.16 Para hallar este valor analĂ­ticamente, se procede a hallar la funciĂłn matemĂĄtica de oferta y la respectiva funciĂłn de demanda, como en este caso se trata de lĂ­neas rectas la funciĂłn de demanda es: đ?‘ƒđ?‘‘ (đ?‘Ľ ) = −1000đ?‘Ľ + 20000 donde đ?‘ƒ es el precio por unidad en pesos y đ?‘Ľ es el nĂşmero de unidades; de manera similar la funciĂłn de oferta es đ?‘ƒđ?‘œ (đ?‘Ľ ) = 2200đ?‘Ľ. A continuaciĂłn se iguala el precio por oferta con el precio por demanda y se encuentra que: −1000đ?‘Ľ + 20000 = 2200đ?‘Ľ y para despejar x se trasponen tĂŠrminos (a un lado de la ecuaciĂłn todos los tĂŠrminos que tienes x y al otro lado todos los tĂŠrminos independientes), luego de reducir tĂŠrminos independientes se obtiene: đ?‘Ľ = 6,25 y al reemplazar este resultado en cualquiera de ecuaciones anteriores se obtiene đ?‘ƒ = $17750 es decir el nĂşmero de litros consumidos por semana por familia es 6 Âź y el costo de cada litro es de đ??ś =

17750 6,25

; đ??ś = $2840 por litro.

Si la empresa de productos lĂĄcteos San Ă ngel ha aumentado su eficiencia debido a la adquisiciĂłn de equipos de alta tecnologĂ­a y la funciĂłn de oferta se ha desplazado de tal manera que 5 unidades de yogurt las puede producir por $10000 ÂżCuĂĄl es el nuevo punto de equilibrio con la misma funciĂłn de demanda?

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RESUMEN: La presente unidad didáctica fue desarrollada para el estudio de los conceptos de función y función lineal, las funciones constituyen los elementos de trabajo del área del cálculo diferencial e integral y por tanto es importante conocer la diferencia de función y relación ya que aunque ambas se pueden trabajar mediante fórmulas solo las función son utilizadas para el trabajo conocido como el álgebra de funciones.

Dentro de las funciones se encuentra la función lineal cuya forma general es 𝑓 (𝑥 ) = 𝑚𝑥 ± 𝑏, sus aplicaciones son innumerables en las diferentes ciencias del conocimiento; se caracterizan por tener una constante de proporcionalidad la cual muestra que el crecimiento o decrecimiento de una variable es siempre fijo o constante y esta constante se le conoce como la constante de la proporcionalidad y es la pendiente de la función.

Geométricamente la función lineal se representa mediante una recta la cual siempre va a cortar a los ejes coordenados, los puntos de corte de la función con los ejes son de especial interés ya que contienen información útil en una situación, así por ejemplo, en física en la gráfica v-t al tratarse de una relación lineal, el corte de la recta con el eje vertical indica el valor de la velocidad cuando el tiempo es cero. Pero además en muchos fenómenos se pueden dar relaciones de dos variables las cuales se representan con dos rectas diferentes y la posición o punto de corte de las rectas siempre va a tener un significado tal como el punto de equilibrio en una situación de oferta y demanda o el punto donde dos móviles se cruzan en una situación física, etc.

Es por todo lo anterior que resulta fundamental en matemáticas saber la interacción entre dos rectas en el plano cartesiano y establecer cuando estas son perpendiculares, es decir cunado el producto de sus pendientes es -1 o cuando dos rectas son paralelas es decir cuando tiene la misma pendiente, así como también determinar a partir de la igualación de la variables el punto de intersección de dos rectas.

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RECURSOS RECOMENDADOS:

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AnĂĄlisis de regresiĂłn lineal, el procedimiento regresiĂłn lineal: http://pendientedemigracion.ucm.es/info/socivmyt/paginas/D_departamento/mat eriales/analisis_datosyMultivariable/18reglin_SPSS.pdf

-

La funciĂłn lineal y sus aplicaciones econĂłmicas: http://monografias.umcc.cu/monos/2012/Facultad%20de%20Ingenierias/mo12106.pdf.

-

El concepto de funciĂłn y sus aplicaciones en situaciones relacionadas con fenĂłmenos fĂ­sicos, que conducen a un modelo cuadrĂĄtico: http://www.bdigital.unal.edu.co/7276/1/01186564.2012.pdf

-

EcuaciĂłn explicita de recta, simulador: http://www.ematematicas.net/ecrectaplano.php?a=6&pot=6 applications of the linear function http://pblpathways.com/fm/C1_2.pdf

-

What is an example of a linear function's real life situation? https://www.quora.com/Whatis-an-example-of-a-linear-functions-real-life-situation

GLOSARIO: Abscisa: Distancia horizontal que hay, en un plano, entre un punto y un eje vertical (y), corresponde al primero de los dos valores de las coordenadas que definen un punto en un plano cartesiano, y la abscisa es la coordenada horizontal en un plano.

Ordenada: Distancia vertical que hay, en un plano, entre un punto y un eje horizontal (x), corresponde al segundo de los valores de las coordenadas que definen un punto en el plano cartesiano Dominio: es el conjunto de donde se toman los valores de la variable independiente (en la mayorĂ­a de los casos x), es decir, los valores para los cuales la funciĂłn estĂĄ definida (al reemplazar en la fĂłrmula de la funciĂłn, no se evidencian indeterminaciones matemĂĄticas

đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;

đ?‘?

√đ?‘›đ?‘’đ?‘”đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘œ ; đ?‘‘đ?‘–đ?‘Łđ?‘–đ?‘ đ?‘–đ?‘œđ?‘› đ?‘’đ?‘› đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ 0 ; log đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘›đ?‘’đ?‘”đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘Ž) Es el

conjunto de todos los valores a reemplazar en la funciĂłn.

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Co-dominio: Conjunto de valores que se conforman al transformar los valores de la variable independiente en la funciĂłn, tambiĂŠn conocido como conjunto de llegada, conjunto final o recorrido (comĂşnmente conjunto de valores de y).

Tabla de valores: Tabla de dos filas o dos columnas donde se registra la relaciĂłn entre los valores de la variable independiente con los valores de la variable dependiente (comĂşnmente la relaciĂłn x,y).

Forma general de una ecuaciĂłn: Hace referencia a expresar una ecuaciĂłn de tal manera que las variables queden al lado izquierdo y en el lado derecho de la ecuaciĂłn quede cero o una constante (un valor) Perpendicular: situaciĂłn geomĂŠtrica en la cual dos rectas o segmentos de recta forman un ĂĄngulo de 90 grados entre ellas.

IntersecciĂłn: lugar geomĂŠtrico donde confluyen dos rectas, dos segmentos de recta, dos curvas o dos segmentos de curva.

Ejes coordenados: Rectas graduadas que forman 90 grados entre si y que definen un conjunto de valores compuesto de dos coordenadas. (ComĂşnmente (x,y)).

ImplĂ­cito: Valor que no se escribe y que comĂşnmente es 1, por ejemplo en la ecuaciĂłn đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 0; el coeficiente (nĂşmero que acompaĂąa a la variable) de x es 1.

Referencias: Acosta. Joya, A. (2013). IngenierĂ­a didĂĄctica para la enseĂąanza de la funciĂłn lineal: anĂĄlisis preliminar, tomado de: http://astrolabio.phipages.com/storage/.instance_30026/ASTROLABIO_12-2_art.8.pdf Cole, J. A. (2011). Ă lgebra y trigonometrĂ­a con geometrĂ­a analĂ­tica. Cengage Learning Editores.

Flores Samaniego, Ă . H., & GĂłmez Reyes, A. (2009). Aprender MatemĂĄtica, Haciendo MatemĂĄtica: la evaluaciĂłn en el aula. EducaciĂłn matemĂĄtica, 21(2), 117-142.

ICFES, (2015). MĂłdulo de pensamiento cientĂ­fico matemĂĄticas y estadĂ­stica, Saber PRO 20152. Tomado de: http://www.icfes.gov.co/index.php/docman/estudiantes-y-padres-defamilia/saber-pro-estudiantes-y-padres/estructura-general-del-examen/modulos-saber-pro2015-2/modulos-segunda-sesion-competencias-especificas-3/853-guia-de-orientacion-modulode-pensamiento-cientifico-matematicas-y-estadistica-saber-pro-2015-2/file?force-download=1

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Jaramillo Vallejo, F. (2004). Matemáticas financieras básicas aplicadas. Alfaomega.

Muñiz, T. J. R. (2006). PISA y la evaluación de las matemáticas. Revista de educación, (1), 263-273.

Peters, M., & Schaaf, W. L. (1972). Álgebra y trigonometría. Reverté.

Rossetti, J. P., Rojas, M., & Ordoñez, M. (1994). Introducción a la Economía(Vol. 7). Harla.

Swokowski, E. W., & Cole, J. A. (1996). Algebra y trigonometría con geometría analítica

PERFIL DEL EXPORTO: Originario de Bogotá, Colombia, José Néstor Bolívar Gamboa realizó estudios profesionales de licenciatura en Matemáticas y Física, Especialización en Gerencia Educacional en la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, de Ingeniería Mecánica en la Universidad Antonio Nariño y de Maestría en Educación en el Instituto Tecnológico de Monterrey (México D. F.). La investigación titulada Estrategias de Resolución de Problemas Contextualizados fue su trabajo de grado.

Su experiencia de trabajo ha girado, principalmente alrededor del campo de la enseñanza de las Matemáticas, especialmente en el área de Física, Trigonometría y Cálculo desde hace 22 años. Ha participado en iniciativas de elaboración de textos de matemáticas, creación de cursos de enseñanza virtual, creación de canales de Youtube, y blogs educativos.

Actualmente, José Néstor Bolívar Gamboa funge en la planta de la Universidad ECCI en Bogotá Colombia como docente de Ciencias básicas e Ingeniería mecánica; está encargado de desarrollar las cátedras de matemáticas básicas, Estática y Diseño de máquinas en primero, cuarto y noveno semestre, respectivamente. Debido al éxito de la publicación del texto Matemáticas Básicas, ha decido realizar la segunda edición física del texto; así mismo, continua fortaleciendo su canal en Youtube “Profe JN el canal del ingeniero” con el objetivo de volverlo el mejor canal educativo para estudiantes de ingeniería.

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