RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 4º ESO ECUACIONES POLINÓMICAS Ecuación de primer grado
+ = 0 Este tipo de ecuaciones se resuelven sin más que despejar la x de la ecuación =
Ejemplo:
3 − 6 = 0 → =
6 = 2 → = 2 3
EJERCICIOS
Ecuación de segundo grado
+ + = 0 Este tipo de ecuaciones se resuelven mediante la fórmula de resolución de ecuaciones de segundo grado =
±√
Ejemplo:
=
3 − 5 + 2 = 0
−(−5) ± (−5) − 4 ∙ 3 ∙ 2 5 ± √1 = = x" = 1# x = 2$3% 2∙3 6
EJERCICIOS
Ecuaciones de segundo grado incompletas Las ecuaciones de segundo grado incompletas (b = 0 ó c = 0) pueden resolverse de manera más sencilla, sin necesidad de usar la fórmula. b = 0 → Se despeja x
+ = 0 Ejemplo:
3 − 48 = 0 48 3 − 48 = 0 → 3 = 48 → = = 16 → = ±√16 3 → x" = 4| x = −4
c = 0 → Se extrae x como factor común
+ = 0 Ejemplo:
− 3 = 0 − 3 = 0 → ( − 3) = 0 → x" = 0| x = 3
EJERCICIOS
Ecuación de grado mayor que dos
( + ⋯ + + + * = 0 Para resolver este tipo de ecuaciones hay que factorizar el polinomio que contiene atendiendo a los siguientes pasos siempre que sean posibles: • Extraer factor común • Identidades notables • Resolver ecuaciones de segundo grado • Buscar raíces enteras (Ruffini)
Ejemplo:
− 4 + − 20 + 48 = 0 1.
Se extrae factor común si es posible
( + − 4 − 20 + 48) = 0
2.
A continuación se buscan las raíces enteras del polinomio x + − 4x − 20x + 48 , por ser de grado mayor que dos, entre los divisores de su término independiente, 3. Una de las raíces va a ser 1 ya que el polinomio toma valor 0 cuando x = 1.
( − 2)( − 2 − 24) = 0 3.
Una vez que obtenido un polinomio de 2º grado, se resuelve mediante la fórmula para ecuaciones de 2º grado, x =
,±√, -. -
−2 ± (−2) − 4 ∙ 1 ∙ (−24) −2 ± √100 = = = x" = 4| x = −6 2∙1 2 Así la ecuación factorizada es la siguiente:
( − 2)( − 4)( + 6) = 0 Las soluciones de la ecuación son:
" = 0 = 2 + = 4 = −6 EJERCICIOS
Ecuación bicuadrada
+ + = 0 Es una ecuación de 4º grado que no contiene potencias impares y se resuelven con el método del cambio de variable o incógnita reduciéndola así a una ecuación de segundo grado y finalmente deshaciendo el cambio. Ejemplo:
1.
− 7 − 18 = 0
Se realiza el cambio de incógnita = 0, de manera que la ecuación queda reducida a una de 2º grado
0 − 70 − 18 = 0
2.
Resolvemos la ecuación de 2º grado mediante la fórmula de ecuaciones de 2º grado, x=
,±√, -. -
−(−7) ± (−7) − 4 ∙ 1 ∙ (−18) 7 ± √121 7 ± 11 = = = 2∙1 2 2 = z" = 9| z = −2 3.
Para terminar se deshace el cambio de la incógnita: = 0 → = ±√0 → 3x1 = ± 9 = ±34 x2 = ± −2, no es real=
EJERCICIOS
ECUACIONES RACIONALES Una ecuación racional es la que contiene fracciones algebraicas, es decir, aquella en la que aparecen polinomios en los denominadores. Ejemplo: 3 4 + 6 +5 = +2 1.
En primer lugar se reducen todas las fracciones a común denominador y se eliminan los denominadores. 3 4 + 6 3( + 2) 5 ( + 2) (4 + 6) +5= = + = +2 ( + 2) ( + 2) ( + 2) → 3( + 2) + 5 ( + 2) = (4 + 6)
2.
A continuación se resuelve la ecuación polinómica obtenida: 3( + 2) + 5 ( + 2) = (4 + 6) → + 7 + 6 = 0
→ x1 = −1| x2 = −6 3.
Por último se comprueba si alguna de las soluciones obtenidas anula el denominador. Como ninguna de ellas anula el denominador, ambas soluciones son válidas. Ninguna de ellas lo anula así que ambas son soluciones válidas.
x" = −1| x = −6 EJERCICIOS
ECUACIONES RADICALES Una ecuación con radicales es aquella en la que la incógnita aparece en el radicando de una raíz. Ejemplo:
1.
− √ + 3 = 2 + 1
En primer lugar se aísla la raíz en un miembro: − √ + 3 = 2 + 1 → −√ + 3 = + 1
2.
A continuación se elevan al cuadrado ambos miembros:
>−√ + 3? = ( + 1) → + 3 = + 2 + 1 3.
Se simplifica y resuelve: + 3 = + 2 + 1 → + − 2 = 0 → x1 = −2| x2 = 1
4.
Finalmente se comprueban las soluciones obtenidas en la ecuación original: @ A = −B → −2— √−2 + 3 = 2 ∙ (−2) + 1 → −2 − 1 = −2 − 1 → −3 = −3 → @ A = −B DEFGHIóK LáFINO @ B = A → 1— √1 + 3 = 2 ∙ 1 + 1 → 1 − 2 = 2 + 1 → −1 ≠ 3 → @ B = A DEFGHIóK KE LáFINO
Luego la única solución válida es x1 = -2
x = −2
EJERCICIOS
ECUACIONES LOGARITMICAS Son ecuaciones en las que la incógnita aparece formando parte de un logaritmo. Para resolverlas hay que aplicar las propiedades de los logaritmos hasta llegar a una expresión del tipo QRS T = QRS U y poder así aplicar la propiedad de unicidad de los logaritmos: Si FEX Y Z = FEX Y [, \]^R] \_ Z = [ Hay que comprobar las soluciones y descartar aquellas que hagan negativo o nulo el argumento de un logaritmo. Ejemplo: 2 ∙ log − log( + 4) = log 2
1.
Se aplican las propiedades de los logaritmos.
2 ∙ log − log( + 4) = log 2 → log − log( + 4) = log 2 → log 2.
Se aplica la unicidad de los logaritmos. log
3.
= log 2 ( + 4)
= log 2 → =2 ( + 4) ( + 4)
Se simplifica y se resuelve la ecuación. = 2 → − 2 − 8 = 0 → x1 = 4| x2 = −2 ( + 4)
4.
Se comprueba finalmente si las soluciones son válidas en la ecuación original. @ A = a → 2 ∙ log 4 − log(4 + 4) = log 2 → @ A = a DEFGHIóK LáFINO @ B = −B → 2 ∙ log(−2) − log(−2 + 4) = log 2 → @ B = −B DEFGHIóK KE LáFINO
Luego la única solución válida es x1 = 4
x = 4 EJERCICIOS
ECUACIONES EXPONENCIALES Son ecuaciones en las que la incógnita aparece en el exponente. Para resolverlas es conveniente aplicar alguna de estas técnicas: 1.
Expresar, si se puede, todas las potencias de la ecuación como potencias de la misma base. Normalmente se elegirá la base menor y siempre es preferible dejar la incógnita sola en el exponente.
2.
Realizar un cambio de incógnita. Normalmente se cambiará ax por la incógnita z. Al final hay que deshacer el cambio para hallar x.
3.
Tomar logaritmos cuando ya no se pueden aplicar las técnicas anteriores. Así los exponentes se convierten en factores.
Ejemplos: 4b − 3 ∙ 2bc" − 16 = 0 Se expresan las potencias en base 2. 4b − 3 ∙ 2bc" − 16 = 0 → (2 )b − 3 ∙ 2 ∙ 2b − 16 = 0 → (2b ) − 6 ∙ 2b − 16 = 0 Con el cambio de incógnita 2x = z, la ecuación pasa a ser de 2º grado. Se resuelve la ecuación. (2b ) − 6 ∙ 2b − 16 = 0 → 0 − 60 − 16 = 0 → z1 = 8| z2 = −2 Se deshace el cambio y se calcula x. 2b = 0 → 2bd = 8 → x" = 3| 2b = −2 → No tiene solución Soluciones de la ecuación:
x = 3 Ejemplo:
2 bci = 2011 Se toman logaritmos.
2 bci = 2011 → log 2 bci = log 2011 → (2 + 5)log 2 log 2011 = log 2011 → 2 + 5 = → 2 + 5 = 10,97 → log 2 2 = 5,97 → = 2,99 EJERCICIOS
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO RESOLUCIÓN ANALÍTICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la expresión + k = lm j , donde x e y son las incógnitas. La solución de un sistema es un par de + *k = l números x1, y1, tales que reemplazando x por x1 e y por y1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones. Según el número de soluciones de un sistema, se clasifica en:
Sistema compatible determinado: j
3 − 4k = −6m 2 + 4k = 16
3 −4 ≠ → no_^\p Rpl ^o Q\ *\^\qpo] *R 4 2
El sistema tiene una sola solución. Solución:
j
= 2m k=3
Gráficamente la solución es el punto de corte de las dos rectas (rectas que son secantes)
Sistema compatible indeterminado: j
+k =1 −2 − 2k = −2m →j 2 + 2k = 2 2 + 2k = 2 0 = 0
1 1 1 = = → no_^\p Rpl ^o Q\ o]*\^\qpo] *R 2 2 2
El sistema tiene infinitas soluciones. Solución:
r]so]o^ _
Gráficamente se obtienen dos rectas coincidentes. Cualquiera de los infinitos puntos de la recta son solución del sistema.
Sistema indeterminado: j
+k =3 −2 − 2k = −6m →j 2 + 2k = 2 2 + 2k = 2 0 ≠ −4 1 1 3 = ≠ → no_^\p o] Rpl ^o Q\ 2 2 2
El sistema no tiene solución. Solución:
UR ^o\]\ _RQt oó]
Gráficamente se obtienen dos rectas paralelas que nunca llegarán a cortarse por lo que el sistema no tiene solución.
RESOLUCIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES La representación gráfica sobre ejes cartesianos de una ecuación del tipo + k = l (donde x e y son variables) es una recta. Un sistema de ecuaciones lineales puede interpretarse como un par de rectas, y su solución, si existe, vendrá dada por las coordenadas del punto de intersección.
EJERCICIOS Sin resolverlo, estudia si el siguiente sistema tiene una, ninguna o infinitas soluciones.
Resuelve gráficamente los siguientes sistemas.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DE 2º GRADO YuB + vwB = xm Sistemas del tipo j yu + zw = { 1. Se despeja la x o la y en la segunda ecuación y se sustituye en la primera. 2. Se reduce y se resuelve la ecuación que queda. 3. Por último se sustituyen los valores hallados en la ecuación despejada para calcular la otra incógnita.
Ejemplo:
j
+ k = 90m + k = 12
Se despeja y de la 2ª ecuación y sustituimos en la 1ª. + k = 90 j → + (12 − ) = 90m k = 12 − Se reduce y se resuelve la ecuación resultante. + (12 − ) = 90 → + 144 − 24 + = 90 → 2 − 24 + 54 = 0 = 9 → k = 3m → − 12 + 27 = 0 → j =3→k=9 EJERCICIOS
YuB + vwB = xm Sistemas del tipo j yuw = { Ejemplo:
j
+ k = 34m 2 k = 30
Se cambian las ecuaciones por la suma y la resta de las mismas (Ec1 → Ec1 + Ec2, Ec2 → Ec1 - Ec2) ( + k) = 64m | 1 m + k = 34 | 1 + | 2 m + k + 2 k = 64 3 →j →3 →j → j 2 k = 30 | 2 | 1 − | 2 + k − 2 k = 4 ( − k) = 4 Este sistema equivale a cuatro sistemas lineales. ( + k) = 64m + k = ±√64m + k = ±8m →} →j → − k = ±2 ( − k) = 4 − k = ±√4 +k =8 +k =8 + k = −8m + k = −8m j , j , j ,j −k =2 − k = −2 −k =2 − k = −2 j
Las soluciones son j
=3 =5 = −5m = −3m , j , j ,j k=5 k=3 k = −3 k = −5
EJERCICIOS
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Estos sistemas suelen resolverse mediante un adecuado cambio de incógnita. Ejemplo:
2b − 3~ " = 23 m 3 bc" − 3~c" = −17 2
Se dejan los exponentes con sólo una incógnita. 2b − 3~ " = 23 →m 3 bc" 2 − 3~c" = −17
1 ~ ∙ 3 = 23 m 3 2 ∙ 2b − 3 ∙ 3~ = −17 2b −
Se realizan los cambios de incógnita, 2x = s y 3y = t. 1 1 2b − ∙ 3~ = 23 m → _ − ^ = 23 → 3 3_ − ^ = 69 m 3 3 2_ − 3^ = −17 2_ − 3^ = −17 2 ∙ 2b − 3 ∙ 3~ = −17
Se resuelve el sistema lineal obtenido, la solución es: 3_ − ^ = 69 m _ = 32m 3 →3 2_ − 3^ = −17 ^ = 27 Se deshacen los cambios de incógnita. 3
= 5m _ = 32 = 2b m ~ → jk = 3 ^ = 27 = 3
= 5m La solución del sistema es j k=3 EJERCICIOS
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Estos sistemas suelen resolverse mediante un adecuado cambio de incógnita. Ejemplo:
log + + log k = 9m j log k = 4
Se aplican las propiedades de los logaritmos para conseguir que en los argumentos de estos solo haya incógnitas. j
3 log + 2log k = 9m log + + log k = 9m →j log + log k = 4 log k = 4
Se realizan los cambios de incógnita s = log x y t = log y. j
3 log + 2log k = 9m 3_ + 2^ = 9m →3 log + log k = 4 _+^ =4
Se resuelve el sistema lineal obtenido, la solución es: 3_ + 2^ = 9m _ = 1m 3 →3 _+^ =4 ^=3
Se deshacen los cambios de incﾃｳgnita. j
_ = 1 = QRS m = 10 m 竊男 k = 1000 ^ = 3 = QRSk
= 10 m La soluciﾃｳn del sistema es j k = 1000 EJERCICIOS