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J-05141821-2
N°001
HIPOCATETO ∆ ENTÉRATE DE: La historia
Como agregas la trigonometría
Conoce la tabla de razones as Trigonométric
En tu vida cotidiana la ¿Te gusta ía? tr e trigonom
Sabrás donde se aplica y utiliza
FAMOSOS
SUS FUNCIO NE
Hiparco de Nicea El más importante de su época
Bsf. 20,00
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CON TE NIDO ¿Qué es? 03
a i r o t His
Su 04 Farándula 09
Su aplicación 22 Su Utilidad 25 En la vida cotidiana 2
Directora: Prof. Mariely Mogollón. Jefa de Redacción: Gina del Bianco Redacción: Sabrina Riera Daniela Petit
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Tabla de razones 31 Entreten imie
Editora Gráfica: Josnery Diaz Diseño Arte: Laura Malvic
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LA TRIGONO METRIA La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio
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Historia de la Trigonometría Babilonia es un antiguo reino localizado en la región de Mesopotamia, en torno al actual Iraq, fundada aproximadament e en el año 2500 a.C .y que tuvo su final alrededor del año 550 a.C.
Antiguo Egipto, el periodo comienza aproximadame nte sobre el año 2700 a.C. hasta el 2200 a.C.
SIGLO X a.C.
Hace más de 3.000 años, ya se comenzó a usar la trigonometría en la civilizaciones egipcia y babilónica. En Babilonia se usaba para realizar medidas en la agricultura, y en el Antiguo Egipto se utilizó además en la construcción de las pirámides. También fue aplicada a los primeros estudios de astronomía, en la realización de calendarios y el cálculo del tiempo, y en la navegación. Los egipcios fueron los que establecieron el sistema sexagesimal, midiendo los ángulos en grados, minutos y segundos. En el Antiguo Egipto se alcanza un notable desarrollo en la aritmética y la geometría, por la necesidad de calcular correctamente la superficie de los campos tras la inundación anual. También sabían calcular volúmenes, como el de la pirámide y el tronco de pirámide. La construcción de los monumentos de esta época implica amplios conocimientos de estas ciencias
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Siglo II a.C.
Los conocimientos de los pueblos anteriores pasaron a Grecia, donde continuó su desarrollo. Allí, el matemático y astrónomo Hiparco de Nicea que vivió aproximadamente entre los años 190 y 120 a.C. fue el padre de la trigonometría. Hiparco construyó una tabla de cuerdas, que equivale a la moderna tabla de senos. Con la ayuda de dicha tabla, pudo fácilmente relacionar los lados y los ángulos de todo triángulo plano.
Siglo II
Pasan casi 300 años, para que otro matemático y astrónomo griego continuara el trabajo de Hiparco, Claudio Ptolomeo (85165 d.C.). Aunque de origen griego Ptolomeo vivió y trabajó en Alejandría y en Egipto. Creó una nueva tabla de cuerdas con un error menor que 1/3600, utilizando para ello una circunferencia de radio 60. Junto con la tabla explicaba cómo obtenerla e incluso da ejemplos sobre cómo usarla para resolver triángulos rectángulos. También aplicó sus teorías trigonométricas a la construcción de relojes de sol y de astrolabios. En la India, paralelamente a los avances de la matemática griega, desarrollan un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de en cuerdas, la función seno no era concebida como una proporción tal y como la definimos ahora, sino como la longitud del cateto opuesto a un ángulo de un triángulo rectángulo. Así construyeron diversas tablas para la función seno.
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Siglo X
No podía faltar en el desarrollo de la trigonometría la civilización árabe. A partir del siglo VIII los matemáticos árabes continúan los trabajos de las civilizaciones griega e india. Adoptando el concepto de la función seno. Tal fueron sus avances que en el siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco razones trigonométricas: coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente. A ellos se debe también el tomar como radio r=1 en la circunferencia goniometría para obtener las razones trigonométricas. Destacan también por la exactitud de sus cálculos, por ejemplo, la tabla con los valores del seno de un ángulo, obtenidas para grados y minutos tienen un error menor a 1.5 · 10-8.
¿S.
. . . e u q abías
La etimología de la trigonometría proviene de las palabras griegas "trigonon" (triángulo) y "metron" (medida).
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Siglo XV
La trigonometría llega a occidente a partir del siglo XII y a través de la cultura árabe. Pero no es hasta el siglo XV cuando se realiza el primer trabajo importante sobre este tema. Fue el matemático alemán Johann Müller (14361476), conocido como Regiomontano, el que escribe las primeras obras sobre trigonometría, tan importantes que es considerado como un fundador de esta parte de las matemáticas. Su obra “De Triangulis Omnimodis”, está compuesta de cinco libros, en el primero da las definiciones básicas: cantidad, ratio, igualdad, círculos, arcos, cuerdas, y la función seno. Proporciona algunos axiomas que proporcionarán el sustento de los 56 teoremas que enunciará. En el segundo de los libros establece la Ley del seno y la emplea en la resolución de algunos problemas con triángulos. Determina el área de un triángulo mediante el conocimiento de dos lados y el ángulo que los sustenta. Los libros III, IV y V tratan de trigonometría esférica centrando el tema para las posteriores obras de astronomía. Posteriormente calcula dos tablas de senos, en la primera emplea una división sexagesimal y en la segunda calcula los senos de un ángulo empleando una división decimal.
Siglo XVI
Georges Joachim, conocido como Rético (1514-1576), introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. En esa misma época, el matemático francés François Viète (1540-1603), introduce la trigonometría esférica.
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Siglo XVII
A principios de este siglo se produce una gran avance de los cálculos trigonométricos gracias al matemático escocés John Napier (1550-1617), inventor de los logaritmos que simplificaron notablemente el cálculo y que planteó diversos métodos para la resolución de triángulos esféricos.
Siglo XVIII
Sir Isaac Newton (1643-1727), inventó el cálculo diferencial e integral, que permitió representar muchas funciones matemáticas, entre ellas las trigonométricas mediante potencias. Con la invención del Cálculo, la trigonometría pasa a formar parte del Análisis Matemático, donde hoy juega un papel fundamental. Leonhard Euler (1707-1783), matemático suizo, fundó la trigonometría moderna, introdujo la notación actual de las funciones trigonométricas, popularizó el uso de la letra griega π, introdujo el uso de la función exponencial y descubrió su relación con las funciones trigonométricas, demostrando de una manera muy simple las propiedades básicas de la trigonometría.
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Farándula
FAMOSOS
Pitágoras Filósofo y matemático griego Nació el 570 a.C. en la isla de Samos, junto a Mileto, siendo hijo de Menesarco, tal vez un rico comerciante de Samos. Probablemente viajó a Egipto, Fenicia y Babilonia. Volvió a Samos durante la dictadura de Policrates (538-522). Hacia 529 viajó al sur de Italia y fundó en Crotona la fraternidad pitagórica Instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos genios como Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Hacia el 530 a.C. se radica en Crotona, colonia griega al sur de Italia, allí funda un movimiento con propósitos políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo.
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Farándula
Pitágoras Filósofo y matemático griego
La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos. Los pitagóricos aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia, la sencillez en el vestir y el autoanálisis. El primer vegetariano moderno prominente fue Pitágoras. La dieta pitagórica vino a significar el evitar la carne de animales masacrados. La ética pitagórica se convirtió primero en una moral filosófica entre 490-430 a.C. con el deseo de crear una ley universal y absoluta incluyendo una orden de no matar ''criaturas vivas'', abstenerse de la ''desagradable matanza estridente'', en particular sacrificios de animales, y ''nunca comer carne'' - de ''El Festín de los herejes''. Creían en la inmortalidad y en la transmigración del alma. Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya.
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Farándula
Pitágoras Filósofo y matemático griego
Entre las investigaciones matemáticas de los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares, de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas.
En geometría descubrieron el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. En astrónomos pitagóricos significaron un avance en el pensamiento científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva. Pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas y mantenían que el movimiento de las esferas da origen a un sonido musical, la llamada armonía de las esferas.
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Farándula
Pitágoras Filósofo y matemático griego
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Teorema de Pitágoras El teorema lleva el nombre de su creador, Pitágoras, un matemático y filósofo griego. Una leyenda sugiere que después de descubrir el teorema, el filósofo estaba tan frenético, que sacrificó a su buey como una ofrenda a los dioses. El teorema original fue formulado organizando tres formas cuadradas para formar un triángulo rectángulo. Las ternas pitagóricas son longitudes de los lados que, cuando se aplican a la ecuación, (a2 + b2 = c2), resultan todos en números enteros.
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Farándula
Pitágoras Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Pitágoras de Samos Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes la medida de la hipotenusa es, se establece que:
y ,y
De la ecuación se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema
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Farándula
Tales de Mileto
Filósofo y científico griego
Nació Tales en la ciudad de Mileto, aproximadamente en el 624 a.C., y murió en el 546 a.C. Tradicionalmente se ha considerado a Tales uno de los siete sabios de Grecia, siendo, junto con Solón, de los más citados en las diversas listas en que se los agrupaba. Las referencias acerca de su vida son confusas y contradictorias. Respecto a su propio origen, por ejemplo, unos le consideran de origen fenicio, habiendo sido posteriormente hecho ciudadano de Mileto, y otros le hacen natural de Mileto y de sangre noble. También afirman unos que estuvo casado y que tuvo un hijo, mientras otros afirman que fue soltero y adoptó un hijo de su hermano. La misma incertidumbre rodea los demás aspectos de su vida. Se dice que viajó por Egipto, donde aprendió geometría, y donde midió la altura de las pirámides a partir de su sombra; en todo caso se le ha tenido siempre por astrónomo y geómetra práctico, atribuyéndosele algunos descubrimientos matemáticos como el teorema que lleva su nombre. Quizá la referencia más exacta de su vida sea la predicción del eclipse que tuvo lugar el año 585 antes de Cristo, lo que le valió gran renombre y fama.
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Farándula
Tales de Mileto
Filósofo y científico griego
APORTES MATEMÁTICOS
Se atribuyen a Tales varios descubrimientos matemáticos registrados en los Elementos de Euclides: la definición I. 17 y las proposiciones I. 5, I. 15, I. 26 y III. 31. Asimismo es muy conocida la leyenda acerca de un método de comparación de sombras que Tales habría utilizado para medir la altura de las pirámides egipcias, aplicándolo luego a otros fines prácticos de la navegación. Se supone además que Tales conocía ya muchas de las bases de la geometría, como el hecho de que cualquier diámetro de un círculo lo dividiría en partes idénticas, que un triángulo isósceles tiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o las propiedades relacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línea recta perpendicular.
Semicírculo que ilustra un teorema de Tales.
Los egipcios habían aplicado algunos de estos conocimientos para la división y parcelación de sus terrenos. Mas, según los pocos datos con los que se cuenta, Tales se habría dedicado en Grecia mucho menos al espacio (a las superficies) y mucho más a las líneas y a las curvas, alcanzando así su geometría un mayor grado de complejidad y abstracción.
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Farándula
Tales de Mileto
Filósofo y científico griego
Con todo esto, se puede entender claramente por qué se considera a Tales de Mileto como el primer filósofo de occidente, y es que, como ya hemos dicho, fue el primer hombre occidental (del que se sabe) que trató de conocer la verdad del mundo mediante explicaciones racionales y no fantásticas o místicas, como hasta entonces se hacía en la Antigua Grecia por medio de los Mitos. Y por lo tanto, Tales es verdaderamente importante para la Historia de la filosofía occidental. Fue el iniciador de la misma y con ello, creó un legado de búsqueda y amor a la sabiduría, que continuará inmediatamente con Anaximandro y Anaxímenes, y que llegará a su esplendor, en la Antigua Grecia; más de un siglo después con Sócrates, Platón y Aristóteles: tres filósofos que se han convertido en los pilares del pensamiento que hoy conocemos bajo el nombre de Filosofía Occidental.
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Farándula
Hiparco de Astrónomo, geógrafo y matemático griego Nicea Y quién era ese… Hiparco de Nicea (Nicea, c. 190 a. C. -c. 120 a. C.). Entre sus aportaciones cabe destacar: el primer catálogo de estrellas; la división del día en 24 horas de igual duración (hasta la invención del reloj mecánico en el siglo XIV las divisiones del día variaban con las estaciones); el descubrimiento de la precesión de los equinoccios; la distinción entre año sidéreo y año trópico, mayor precisión en la medida de la distancia Tierra-Luna y de la oblicuidad de la eclíptica, invención de la trigonometría y de los conceptos de longitud y latitud geográficas. Elaboración del primer catálogo de estrellas que contenía la posición en coordenadas eclípticas de 1080 estrellas. Influyó en Hiparco la aparición de una estrella nova, Nova Scorpii en el año 134 a. C. y el pretender fijar la posición del equinoccio de primavera sobre el fondo de estrellas. Con el propósito de elaborar dicho catálogo, Hiparco inventó instrumentos, especialmente un teodolito, para indicar posiciones y magnitudes, de forma que fuese fácil descubrir sí las estrellas morían o nacían, si se movían o si aumentaban o disminuían de brillo. Además clasificó las estrellas según su intensidad, clasificándolas en magnitudes, según su grado de brillo.
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Farándula
Hiparco de Astrónomo, geógrafo y matemático griego Nicea
Con el propósito de elaborar dicho catálogo, Hiparco inventó instrumentos, especialmente un teodolito, para indicar posiciones y magnitudes, de forma que fuese fácil descubrir sí las estrellas morían o nacían, si se movían o si aumentaban o disminuían de brillo. Además clasificó las estrellas según su intensidad, clasificándolas en magnitudes, según su grado de brillo
Invención de la trigonometría Por otra parte, Hiparco es el inventor de la trigonometría, para cuyo objeto consiste en relacionar las medidas angulares con las lineales. Las necesidades de ese tipo de cálculos es muy frecuente en Astronomía. Hiparco construyó una tabla de cuerdas, que equivalía a una moderna tabla de senos. Con la ayuda de dicha tabla, pudo fácilmente relacionar los lados y los ángulos de todo triángulo plano. Ahora bien, los triángulos dibujados sobre la superficie de la esfera celeste no son planos sino esféricos constituyendo la trigonometría esférica.
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Farándula
Menelao Matemático y astrónomo griego
Menelao de Alejandría (c. 70 d.C. – 140 d.C.). Fue el primero en reconocer a las geodésicas en una superficie curva como análogas naturales de las líneas rectas y en concebir y definir el triángulo esférico. Su nombre ha quedado ligado al teorema de geometría plana o esférica relativo a un triángulo cortado por una recta o un gran círculo, conocido como el teorema de Menelao, un teorema de una gran importancia en la trigonometría antigua. También fue un defensor entusiasta de la geometría clásica. Aunque se sabe poco sobre la vida de Menelao, se supone que vivió en Roma tras haber pasado su juventud en Alejandría.
Tanto Pappus de Alejandría como Proclo lo llaman Menelao de Alejandría y Plutarco recoge una conversación suya con Lucius en Roma. Ptolomeo también menciona en su trabajo Almagesto (VII.3) dos observaciones astronómicas realizadas por Menelao en Roma en enero del año 98. Dichas observaciones fueron sendas ocultaciones de las estrellas Spica y Acrab (Beta Scorpii) por la luna en el intervalo de unas pocas noches. Ptolomeo usó dichas observaciones para confirmar la precesión de los equinoccios, un fenómeno que ya había sido descubierto por Hiparco de Nicea en el siglo II a. C.
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Farándula
Menelao Matemático y astrónomo griego
Sphaerica es la única obra de Menelao que ha sobrevivido, en forma de traducción árabe. Está compuesta de tres libros y trata de la geometría de la esfera y de su aplicación a mediciones y cálculo astronómicos. El libro introduce el concepto de triángulo esférico (figuras formadas por arcos de tres círculos máximos) y prueba el teorema de Menelao (una extensión a triángulos esféricos de un resultado previo ya conocido). El libro fue traducido en el siglo XVII por el astrónomo y matemático Francesco Maurolico. • • • •
De otros libros se han conservado únicamente los títulos: Sobre el cálculo de los arcos en un círculo, compuesto de seis libros. Elementos de geometría, compuesto de tres libros y editado posteriormente por Thabit ibn Qurrá. Sobre el conocimiento de los pesos y las distribuciones de diferentes cuerpos También puede que escribiera un catálogo de estrellas.
Sphaerica
para s e s a l as b o a l e n e h ac e M e e u c q e l l ah í tab oa e s g y e o u l l o á c d n n ta ei sa Libro I ro I de ese tra gulo esférico los planos. S ue dice que n q gu ib En el L io de los triá ara los trián Euclides, el sus ángulos en n ud Ip un est en su Libro ne analogía ntes si tiene s e ie Euclide ma que no t s son congru re co un teo gulos esféri án dos tri os a dos. sd iguale
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Farándula
Menelao Matemático y astrónomo griego
Libro II
El Libro II trata de las aplicaciones de la geometría esférica a los fenómenos astronómicos.
Libro III
El Libro III tr ata sobre el famoso teor el caso plano e m a de M e n afirma que s elao, que pa i c o rtamos los la triángulo AB ra dos AB, BC, C C por una re cta transver A de u n respectivam s a l e n lo s ente, entonc puntos D, E, F es se cumple la relación AD·BE·CF=BD ·CE·AF.
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A p lic a c io ne s d e la trigonome t rí a En la ingeniería civil: En el trazo y levantamiento en terrenos, en la construcción de estructuras exactas como armaduras principalmente, en calcular empuje hidrostático, pendientes para cuencas de agua y para el modulo de elasticidad de los materiales, con ayuda de trigonometría se obtiene el circulo de Mohr, este circulito te indica los esfuerzos y deformaciones maximizas y mínimas en una estructura, en proyección de fuerzas en cualquier DCL, en diseño, personalmente pienso que para calcular estructuras la trigonometría y los triángulos semejantes son lo mejor que te puede pasar, quien ha tenido esas horribles estructuras hiperestáticas con miles de cargas inclinadas, En la ingeniería química: Se utiliza en los gradientes transversales de velocidades en líquidos newtonianos para determinar la viscosidad de un fluido en mecánica de fluidos.
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nciones u f n a z li i ies y de t r u e s e S e : d a o c t i tamien lectrón r e o a p í r m e i o c n l e onocer e En la ing c a r a p s a tric trigonomé señales.
¿Sabías qué… Los egipcios f ueron las prim eras persona civilizaciones s en usar la trig onometría al construir pirá mides En la físi ca: Una de podemo s encont las aplicaciones rar en la d Newton física. En e la trigonomet al encon ría la la p tra planos in clinados r fuerzas resulta arte de leyes de nt es un eje física. mplo de es cuando tene mos la trigon ometría en la
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etría le m o n o ig tr a L : mía de la En la astrono io d ra l e r a tr n o c eo en permitió a Tolom así mismo , te s o p n u a b cta tierra que proye luna y a l a ia c n ta is d inar la permitió determ mediante su s a n a rc e c s lla a algunas estre ángulo.
En las telecom u : De tal m nicaciones an ésta se p era que en uede da ra conocer las distin tas circunfer encia dé radio, entendie ndo así la Gran longitud de seña l que se puede e xpandir en las telecomu nicacion es.
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↓ ↓ ↓ d a d i l i Ut r a de u lt a la ir d idad de me
e una la facil d a d n s ió o c a n n ía li r et inc La trigonom nocer las medidas de de las figuras a s, co ngulos á s tricas lo é r las parede la m u o e lc g a c s a s odemo sas figur r e iv d e d vida escalera. P s e la n n io e c r c a u r iz t il cons cios a ut a p s e utilizar en y s ente es a s lm e a e m r , s ía la r t il s h o si rigonome c t e a tales como h L . e a D n . o a s ada per s y la físic a r ie aun. n e n g ía diaria de c in ir t s is la x s e qu e no en toda e e t s n ir a t id r c o e p d ctores y e ía v im r n d o o c p o jo t a os es el trab il o en iv c no tuviéram ía simplifica mucho a r ie n e et r s en ing es y e n La trigonom s cálculos de torque ld o m a r a ra lo cánica p e m n e , ángulos pa a uímic ánico con c q e la m a r is s a li p á tuberías lquier an a u c a r a p iliza física se ut fuerzas. Tambi én trigono muchas vec es m utilizam étricos y no hacemos u so n o comod s de maner os damos cu de concepto aa en id s arquite ad y lógicam plicada ,pra ta que esto , términos, t eorem ct se deb e c as e a qu egipcio tura lo ven d nte que los q ica intuitiva e o e man u s supie e p o estud r un er r sea lo aplicar on encontra a mas cientí ian ingenie a mayor r f r la uti on origen lidad e ica pero los a civil o y utilid a la realida griego n la ag d de su ad de que tie s y los r i m l a v ne par e i t d r n a i s g u c o o r n a, a ti o import ancia q nosotros el q metría te da diana si inve la agricultur st rí a ue ue las trigono civiliza as cuenta de igaras sobre o metría tiene para cio no el ,q la la vida practic uizás en po sotros el qu nes antigua importanci a sl ca e a pero es mu s palabras t hoy conoce e dieran la cho qu m e e desp podría deci os por ués de r investi para que sir v gar so bre to e en do est o.
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a d i v a l En a n a i d i cot
Aunque no s eas un físico , astrónomo muchísimas , o ingeniero cosas de las , que te rodea matemática n se modela mente y la t n rigonometrí ramas de la a es una de matemática las más utilizad tendemos a a porque simplificar lo s modelos m casos de geo atemáticos a métricos sim ples en los c la trigonome uales se util tría para el c iza alculo de cie rtas variable s. ontón de Permite resolver un m a clásica, es útil ic án ec m e d as m le prob nadas polares. de or co de je sa s pa el o en ju e g s o vida cotidiana, l n E La física se aplica a la os específicos, pero si quieras ejempl de un árbol ra tu al la ir ed m n: tá acá es e d n base a su sombra. cció en u r t s o n o as En la c ara consol lo que o sp juego adoras, tod ut comp senta re en se rep ricamente zando ét utili e c geom a h se , para a a í l l r t a t e pan onom aturales g i r t licación de p a a n n h a r c g s a un las mu roceso pool tiene partículas, l p e E : d r a e s u e a q l M o en el ch ortantes l simu p Juegos de a r e im n y e u g m n on tría. E os e choque s d trigonome s o físic lo u g n á y los sterior. s po direccione ovimiento m l e r a in m para deter
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E É T ? U ¿Q ECE PAR
A L N E G O E G Í F A R A
El calculo de dis tancias en un m apa, donde estamos hablando de pa ralelos y meridianos q ue no son ni m as ni menos que líne as en una circunferencia nos puede ayu dar el calculo de su lo ngitud.
D EN CA Y DIBU
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¿Sabías qué…
El triángulo más común que se utiliz la trigonom a en etría es el tri ángulo rectángulo, que es la ba se del famoso teorema de Pitágoras
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S E N O I C FUN Hay seis funcione s trigonométricas: seno, coseno, tangente y sus fu nciones recíproca s, secante, cosecante y cotan gente. Estas funci ones se encuentran por m edio de las relacio nes de los lados de un triángulo. P or ejemplo, en lo s triángulos rectángulos, el se no es igual al lado opuesto al ángulo dividido e ntre el lado adya cente al ángulo. La secante de una función es 1 divid ido entre el seno, o la hipoten usa dividida por e l lado opuesto.
Func
1 . o n e ió n S
En trigonom etría el seno de un ángulo en un triáng ulo rectáng ulo se defin como la raz e ón entre el cateto opue y la hipoten sto usa: O tamb ié n ordenada c como la orrespondie nte a un pu que pertene nto ce a una cir cunferencia unitaria cen trada en el origen
oseno c l e , a í o nometr o g i r n ángul t u n e E d ) s do co (abrevia un triángulo Función Cos n omo la c e n i agudo e f e d e no . 2 e t e n lo s ace u y g d n a á t o c t e re e el cat ipotenusa: r t n e n razó o y la h l u g nde del e n p e á d o n o ro h e c m i ú ad ales, este n del Teorema de T á bien
En virtud or lo tanto, est p , y o id g o sc e lo u triángulo rectáng gulo \alpha. n á l e d n ió c n fu a e un construido y defin
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↓ ↓ ↓
↓ ↓ ↓
Función Tangente. 3
La tangente (abreviado tan) de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente
O también como la relación entre el seno y el coseno:
Func ió n
El Secante, (ab reviado como sec razón trigono métrica recipro ), es la ca del coseno, o también su in verso multiplicativo :
Secan te . 4
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te. n a c e s o C Función
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La función cosecante (abreviado como csc o cosec) es la ra zón trigonométrica inversa del seno, o ta mbién su inverso multiplicativo:
Funció nC
otang
e nt e . 6
como cot, La cotangente, abreviado nométrica cta, o cotg, es la razón trigo mbién su inversa de la tangente, o ta inverso multiplicativo:
¿Sabías qué…
s en el e t r o p a s o zado much sí como li a a , e r io r a o h t a ía il etr osc La trigonom fenómenos de onda y e relaciona con las los o, el cual s ic d estudio de tricas. ió r é e m p o o n t o n ig ie r t am funciones s el comport la e d s a es analític propiedad
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TABLA DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS tricas é m o n o ig r t s funcione s pueden Las tablas de le a u c s lo e d rado cuenta con g as aquí m o * 5 1 3 a t as ir desde 0* h de ello s lo p m je e s tenemos do
En las cuales podemos definir seno , coseno y tangente .
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Para tu entre tenim ie *CATETOS *COSENO ENTE G N A T O C * ES *FUNCION USA *HIPOTEN AS *PITAGOR *SENO TE *TANGEN METRIA O N O G I R T *
nto
Arma el teorema de Pitรกgoras
Ayuda a Hiparco a cruzar
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