Examenes E.Diferenciales (1er parcial) by erick conde

CALIFTCACION

üSCIIETA $IIPERI0R POI'ITECI{IcA BET I'I.T0RAT

TEMA I

INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMATICAS ECUACIONES DIFERENCIALES PRIMERA EVALUACION Julio 10 de2A09

Faralelo:

TEMA

TOTAL EXAMEN DEBERES Y LECCIONES

TOTAL

Determinar Ia solución general de las siguientes ecuacione's diferencia les de primer orden:

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(10 pantos)

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Determinar la soluciĂłn general de la slgulente ecuaclon diferencial . / ,\r

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I .!

segundo orden: (18 puntos)

es una soiución de la ecuación diferenciai lineal homogénea J i.x'¡: , / ' *1);'"i.t) .\ -Zxy'(")+Zy(x) =0, entonces determine la solución general de la siguiente {.ecuacióa dilbrencial lineai no homogé,r.u (tt + f );r "(") - Zxy'(x)+2y(x) = O(rt + 1)t

3) Si

(l{} a1 '-: l-

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puntos)

4) Determinar

la solución general de la siguiente ecuación diferencial lineal

dov+'¿---:^d3v+5---+: -d'v x* ¿+edxu dx' dx' ' p

no homogénea:

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(10 puntos)

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5) fn

Determinar mediante desarrollo en series de potencias de X la solución de la siguiente ecuación diferencial. (Reconozca dos soluciones linealmente independientes de un con¡unto fundamental

de spluciones). (*' +l)1"(x) -4ry'(x)+6y(x) = Q *? : f*i

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6) lJna taza de café es preparada, con agua hirviendo, en una cocina que se mantiene a una temperatura de 30'C: En la cocina, durante 5 minutos, se deja enfriar Iataza de eafé, alcatuando ,rnu:t"*p"ratura de 90"C; y los 8 minutos ,la taza de café es llevada al comedor. El ambiente en el comedor permanece a una temperatura constante de 18"C; después de dos minutos se olrserva que la temperafura de la raza de café es 65"C. ¿A los cuántos minutos de estar lataza de cafe en el comedor, liuede ser ingerido el café si la tempeiatura óptima para tomarlo es de 45"C? *íf,t " L ¿ 5"'. '' qr ''"'

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CALIFICACION

E$€tlEIiA $tlP'$RI0R P0LffI0NICA DEt rNsTrruro oe cIENCIAS MATen¿Áucas ECUACTONES

DIFERE@-

TERCERA

Nombre:.¡ Firma:......i

TEMA

TOTAL EXAMNN

Determinar

la solución

general de

v' + 2v = :2x'y2 :

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TEMA2

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la solución de la ecuación diferencial

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TEMA

(10 puntos)

b) Delermina la

Transformada

(

(s) = lnl

)

-----

\ {.s +

"+l z)(s -t) )

inversa

de Laplace de la funci贸n F definida por

4 (20 puntos) Mediante desarrollo r^11 s*ries de poten;ias de

TEMA

diferencial (.xt ii., soluci oni:i i ¡ :¡,:a i¡:'i;¡: i;

"+ 4t-'."''' j.r.

Ü.

.r, determine ]a solución general de la ecuación

Especifique las funciones a las que convergen las dos

i :,, -i* í,¡:-ld i gntes.

1 T

TEMA 5 (15 puntas) a)Alafunción "f(x)=senx,

A<x<r expresarla medianteundesarrollodeseriedecosenos. b)Utilizando la serie obtenida en el literal a) y aplicando el teorema de convergencia de las series de Fourier determine la suma de la serie numérica

,=, (2n)2

-7

,Á,

)

TEMA 6 (15 puntos) Un circuito LC con una intensidad de corriente'nula al inicio, con un condensador de capacitancia O.O+ áradios y un inductor con una induc_tancia de I henrio, es conectado en el tiempo t:0 a una fuente de voltaje que proporciona un voltaje definido por la función

o<t<4 "-" . ' Vft\=|'"' '\-/ lzst t>4 ltoo \'

,donde L' estáenvoltiosy

ensegundos.

Determine la corriente que atraviesa el circuito V¡ > 0 Calcule la intensidad de corriente en el circuito en los tiempos:

t:2

seg y

5seg.

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SI]PIRIOR POLITTCI{ICA

TEMA I

DIL LITORAL

I\ISTITT]TODECIE,NICIASMATEMATICAS . u:r.rr^rrnNn..s DIFRRENCIALES

TEMA

oo9

PRIME'

r')

Nombr,

Firma:

TOTAL EXAMEN

Paralg¡o;

lYlatI.rrura'

DEBERES Y LECCIONES

TOTAL

Determinar

sPlución general

diferencial:

de la siguiente écuac ton

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(10

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Considere la ecuación dif-erencial dc scgundo orden:

.r,'

'(x)

(l .\dv, , , - i + 6xj i* * 8.t-y - Í' ,x > 0 üx \n

{}0 puntos)

Utiliz-ando el carnbio de variable x = Vz , demuestre que la ecuación anterior se transform¿1 cn la ecuación ciiíerencial de coeficientes constantes: t1

L!"

,r,

(iy 7

*t-t**/'7'-b) A pe..r'1ir dr: ii-r anterior.

resuel..,a la ccuación

daci¿1.

l,l

l /l

,Y,1,

tv \_-4

3) Determine Ia solución general de d=y r 1v .dv y

x--+ -(1+ x)--:--* 'dx - x'e-', f ) dx'

siguiente ecuación

co,.,ociendo que

una rjc las soluciones de su correspondiente ecuación

la función

honrogénea.

dif-erencial

lQ)=_ e' (.10

purttos'\

,/-\

Determinar mediante desarrollo en series de potencias de

ecuaci贸ndil'crencial:

.r la soluci贸n general de la sigr-ricnte

(t-1)1"'(t) -xy'(,x)+y(x)-S

elementales a las que convergen ias soluciclnes linealrnente

e identifrqr-re las dos

independientcs.

funciones

(15 punros)

:i:

'f)

,( Eirunciar y dcmostrar el teorema de ABEL

ra"-

ยก{". i''

t.u

ยกttl ยกr*ttros)

cultivo de algodón que abarca 15000 En una hacienda de la provincia del Guayas se tiene un un insecto que se come la planta hectáreas. Se ha detecüdo ya la presencia de "la mariquita", de este insecto es del algodón. Se conoce que la tasa a la cual se propaga la presencia Al momento de la proporcionuf ur¡.gqd.tfo- deJ i1Ury-tefo-dg le-ct-aieel qge=lg !C.-!fdg- l¡tbstad¿i y, al dia siguiente, se tenía 1500 detección de "lá-ftffiitfyáiáui"r1.o-oo¡.-iteleeqeigqt"-dae que "la mariquita" alcance el 25vo de la hectáreas infectadas. Se sabe que se dá6é ávitat cuántos días se cuenta antes de plantación, caso contrafio, se habia perdido todo el cultivo' ¿Con (líPuntos) d

queesoocurra: *. * .L i¡x i*'\*"*"o

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CALIFICACION

E$€USffi S:tilPER{ t, Pl&tT{gNffi D#ti t'I#0rux, INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMATICAS ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNM _sentiembre 4 de ?00g

TEMA

TEMA 4

TEMA

Nombre:

TOTAL EXAMEN

Paralelo:,

DEBERES Y LECCIONES

TOTAL

) Utilizando series de poiencias en.r determine 2 soluciones lfuealmente independientes de la siguiente ecuación diferencial . Determine a que función ccnverge la solución en serie obtenida con el índice de singularidad menor y luego haile la seguqda solución:

Zxay"+x)r'+ {r + l)}: ü

4lll + t111} 7 **3 lt' + 2x2 y.,

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a 2) con

respecto

rl \. a la fi¡nción f definida por f(xJ

determinar:

x¿, x € [0, ZnJ

y f{x) - f{x + Zu); e4

La serie de Fourier de J

puntots)

La suma de la serie numérica

t2=1 *. ft'

urilizando ta serie

anterior. I |

?b^cor(+\ L +?cr's*(YJ ¡l::t r r rT .| r t{ttl dt.Jfi r.Jf

J-fl -'n

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r,rt= ltx):| fl' itt+,n1 I

?-1 1I rr f- u7'\

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Jur=co+ ' " v'" 'l\ ' tJtr (-tc :

l' /

Tr=

=2 V

l=T

3) Aplicando las propiedades de la Transformada de Laplace, determinar: -^*zs ---$ a) t*rqs), si F{s} b) La solución del siguieni. pioUté*u de valor inicial:

(14

puntos)

: ffi;¡

c' I f'Jitrrqzu: ü i lffi*i

ty'u*t3¡'*y:3;y{*}*?,;¡ou{$}s"-l ,

::''it-'.¿1r

-l l'

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e: t rrflau'*) OlI W ut .\ - ,, r ¡rü's;5 ,¡s+q)'+(4) 'rl ;¿5f t \ +fí-Fs t { * }| ,d -Y 'Y -^+ .p ^ü r {(r*s\'+= i é'{uJ 7(5'4) tGmt¡ a 1 -sL.q'';t) ;€rts'\ I i ^-|L--*.'t\ r\)l ¡ 3 1 € e'tts1 L¿ -""\ 5w : ¡ w + ,-& t nu-su¡[stl ) --3 -¿-"\ e -.,I Jf ü l(:+sY*urrrffi t,*-cl ;o -f . -5 4 1 -sit_rr

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4) Detenninar la salueién d*i siguiente pwntosj

prcblerna de valor inicial:

ir *; ?\ /r\ },(üi I = "H'(¡] {*: -z = {o i \? *2 Jt !rtr}: '.r/ .i.i l¡

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En el extremo de un resorte espiral que esta sujeto al techo se coloca un cuerpo de masa igual a I kg. El resorte se ha alargado 2 m hasta quedar en reposo en su posición de equilibrio. En F0 el cuerpo es desplazado 50 crñ por debajo de la posición de equilibrio y lanzado con una

velocidad inicial de lm/seg. dirigida hacia arriba. El sistema consta también de urJ amortiguador cuyo coeficiente de amortiguamiento es de 2.5 N.seg/m. Desde t=0, una fuerza externa es aplicada al cuerpo, la misma que está dada por f(t):sen(lrtl2). En t:10 seg. y en F20 seg. el cuerpo es golp€ado hacia abajo proporcionando una f¿erza de 5N y de 10 N, respectivamente.(use g: 10 m/s') Determinar: a) La ecuación del movimiento del cuerpo. b) La posición del cuerpo a los 5 seg. c) La posición del cuerpo a log 15 seg. d) La posición del cuerpo a los 30 seg. ¿ 1"^

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CALIFTCACiON

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TEMA I TEMA2 TEMA3

PRIMER

1008

TEMA4

Nombre:

TEMA5

Paralelo:

TEMA6 TEMAT

Determinar la solucién general de la siguiente ecuación diferencial:

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TOTAL EXAMEN DEBERES Y LECCIONES

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2. Resuelva el siguiente problema de valor inicial:

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3. La ley de enfliamientoicalentamiento

cie Newton afirma que ia rapidez con ia que varía ia temperatura es proporcional a la diferencia entre la temperatura de cuerpo en cualquier instante y la temperatura ambiente (entorno alredédor del objgto). Ante-una llamada anónima, usted junto con unos detectives llegan a la escena de un crimen en un departamento del centro de la ciudad y encuentran en la sala el cuerpo inerte de un joven con heridas de bala. Determinan que siendo las 2h30latemperatura en la sala es de 21oC y la temperatura del cuerpo deljoven en ese instante es de 30"C. Noventa minutos después, antes del levantamiento del cadáver, determinan que la

temperatura del cuerpo es de 24'C. Si en el momento en que el joven fue asesinado su (10 puntos) temperatura corporal era de 37oC, determinar la hora del asesinato.

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a. Demostrar que la ecuación

diferencial de Euler de tercer orden se transfbrma en una ecuación

diferencial de coeficientes constante

b. Aplicando el resultado del

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= €' literal a) transforme la ecuación diferencial sen(ln(x)), x > 0 en una ecuación diferencial no a,l

r;tilizar la sustitució n X

homogénea de coeficientes constantes y resuélvala. , lll

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7. Resuelva la ecuación diferencial y"+Xy'+Y =A potencias alrededor del punto ordinario soluciones linealmente independientes.

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una expresión general para las dos (t0 puntos)

Z ú *'x^ fl=

expresando la solucióngeneral en serie de

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