Edición Matemáticas III
2021 Calculo Vectorial
ECUACIONES PARAMETRICAS EN EL ESPACIO El álgebra lineal es una de las ramas de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales. En este apartado nos centraremos en artículos que nos expliquen como el álgebra vectorial utiliza ecuaciones paramétricas para representar una curva o superficie en el espacio. También estudiaremos el plano cartesiano y como encontrar la longitud del arco de una curva.
Juan Serrano IUPSM BARCELONA 19-10-2021
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Ecuaciones Paramétricas en el espacio
Tabla de contenido Sobre esta revista ...................................................................... 2 Generalidades del algebra vectorial ......................................... 3 Ecuaciones Paramétricas ........................................................... 4 Ejemplos de paramétricas ...................................................... 5 ¿Por qué y para qué? ......................................................... 6 Ecuaciones Paramétricas a Cartesianas en el espacio.............. 7 Longitud de Arco........................................................................ 8 Ejemplos ................................................................................ 9
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Ecuaciones Paramétricas en el espacio
SOBRE ESTA REVISTA En este formato presentaremos una breve pero didáctica explicación sobre las ecuaciones paramétricas, sintetizando información de manera que sea de fácil asimilación para el lector, a través de ejemplos prácticos . Una muestra de avance y la universalización del conocimiento, se ha recopilado la información de las fuentes con mayor credibilidad en el internet y el mundo, dejándonos con una edición útil y con información actual, revisada y comprobada, más allá de ser una revista estudiantil, nos permite instruirnos de la mano de las mentes más brillantes del momento.
Juan Andrés Serrano 26.256.073 Barcelona
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Ecuaciones Paramétricas en el espacio
Podemos empezar por el principio para ir preparando el terreno para lo que viene más adelante y eso nos lleva a ¿Qué es el álgebra vectorial? Pues el álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Se relaciona con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones, gráficas computacionales, entre otras.
utiliza para el estudio de funciones y la resolución de problemas en las que se busca la representación numérica y grafica de una función. Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro. 𝑢 ⃗ = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3)
¿Qué tiene que ver el álgebra vectorial con las paramétricas? ¿Qué son las ecuaciones paramétricas? En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. Geométricamente: Los vectores son representados por rectas que tienen una orientación, y las operaciones como suma, resta y multiplicación por números reales son definidas a través de métodos geométricos. Analíticamente: La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números, llamados componentes. Este tipo de descripción es resultado de una representación geométrica porque se utiliza un sistema de coordenadas. Axiomáticamente: Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica. Un Vector es un segmento de línea que, con dirección y sentido, representa una magnitud física, forma parte fundamental de la Geometría, su representación gráfica consiste en una flecha, cuya punta va dirigida en dirección a la magnitud del estudio. En estudios matemáticos avanzados, el vector tiene gran importancia, ya que se
El álgebra vectorial nos permite entender y estudiar las características y comportamiento de cuerpos en el espacio a través de vectores.
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En algunos casos, ayuda a simplificar la derivación y la integración, en vez del caso 𝒚 = 𝒇(𝒙) o de 𝒛 = 𝑭(𝒙, 𝒚). Un caso paradigmático, la representación de la cicloide por ecuaciones paramétricas.
En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo (t) para determinar la posición y la velocidad de un móvil. En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de esta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera (x,y) equivale a la expresión (x,f(x)). Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de x en y, es decir que todos los valores x tengan un solo valor y (y solamente uno) correspondiente en y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto x como y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como «parámetro».
Ejemplo Rápido
Sea 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 – 𝟓 = 𝟎 la ecuación general de una recta, entonces caben las ecuaciones paramétricas: X = 2t + 5 , t ∈R Y = 3t + 5
Dada la ecuación 𝒚 = 𝒙𝟐 una parametrización tendrá la forma 𝒙 = 𝒖(𝒕) , t ∈R 𝒚 = 𝒗(𝒕)
Una parametrización posible sería
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𝒙=𝒕 , t ∈R 𝒚 = 𝒕𝟐
Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una en donde x e y equivaliesen a 𝟐𝑼 y 𝟒𝑼𝟐 con 𝑼 ∈ 𝑹, respectivamente, sería igualmente válida. La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva aparecería en la primera parametrización cuando t = 2, y en el segundo cuando U = 1.
y son las coordenadas del punto conocido p or el cual pasa la recta. y son las coordenadas de un vector director, que nos indica la dirección de la recta
,
es un número real que nos permitirá conocer cualquier coordenada de la recta según el valor que se le asigne.
Observa la siguiente figura:
Uno de los conceptos básicos del algebra es la ecuación de una recta de la forma:
En este punto ya debimos haber pasado por ella y conocerla pero un pequeño repaso de la ecuación nos indica qué: : es la pendiente o inclinación de la recta : es el cruce con el eje ' ' Pero, una recta puede representarse también mediante un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:
Cada ecuación contiene los valores de todos los puntos de la recta para e , respectivamente.
Como puedes observar, la recta ' ' pasa por el punto y las coordenadas del vector director son El vector director siempre será paralelo a la recta ' 'La ecuación de la recta ' ' puede escribirse como:
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Otro Ejemplo para afianzar conceptos
Una recta pasa por el punto director paramétricas.
. Escribir sus ecuaciones
Sabemos que
además
por lo que:
Y su gráfica sería:
y tiene un vector
y
y
Los vectores son utilizados para resolver sistemas de ecuaciones. Cualquier problema medianamente complejo de ingeniería puede convertirse a un sistema de ecuaciones, que mediante cálculo matricial (relacionado con el cálculo vectorial) puede resolverse. Por ejemplo, dentro de la ingeniería mecánica, el cálculo vectorial se usa mucho en problemas de dinámica y cinemática de mecanismos, es decir, para analizar el movimiento (velocidades, aceleraciones, etc.) de cada uno de los elementos que forman cualquier
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mecanismo (desde la suspensión de un automóvil hasta el brazo de un robot). Esto se justifica a que los mecanismos son conjuntos de cuerpos o piezas móviles interconectadas entre sí, y sus movimientos y fuerzas, representadas mediante vectores, deben relacionarse entre sí mediante operaciones relacionadas con el cálculo vectorial. También es muy utilizado en el cálculo de estructuras de edificios (y de máquinas). El cálculo vectorial es fundamental para la ingeniería en todas sus ramas.
x= 1 + λ + μ z= 2 + 5μ Rescatando la segunda ecuación, la primera quedaría 𝐲 − 𝐱 = 𝟐 − 𝟏 + 𝛌 − 𝛌 + 𝟐𝛍 − 𝛍 Amplificamos por -5 para eliminar μ
El sistema se reduce a: 𝒚−𝒙= 𝟏+𝛍 𝒛 = 𝟐 + 𝟓𝝁 𝟓𝒙 − 𝟓𝒚 = −𝟓 − 𝛍 𝒛 = 𝟐 + 𝟓𝝁 𝟓𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝒛 = −𝟑
Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está escrita en ecuación paramétrica:
Por lo tanto, la ecuación cartesiana del plano es: 𝟓𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝒛 = −𝟑
Se igualan las coordenadas Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente Se eliminan los parámetos para encontrar una única ecuación lineal en variables x, y, z
Ejemplo: Dado el plano de ecuación vectorial (x, y, z) = (1, 2, 2) + λ(1, 1, 0) + μ(1, 2, 5), determina su ecuación cartesiana. 1. Escribir la representación paramétrica del plano (x, y, z) = (1 + λ + μ, 2 + λ + 2μ, 2 + 5μ) 2.Igualamos las coordenadas que satisfacen la ecuación x= 1 + λ + μ y= 2 + λ + 2μ z= 2 + 5μ 3. Eliminar parámetos para determinar la relación entre x, y, z y= 2 + λ + 2μ
Gráfica de una ecuación paramétrica en el espacio tridimensional.
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𝑏
𝑠 = ∫ √ 1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑎
En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como 𝑥 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑡), la longitud del arco desde el punto (f(a),g(a)) hasta el punto (f(b),g(b)) se calcula mediante: 𝑠 𝑏
= ∫ √ [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑎
+ [𝑔′ (𝑡)]2 𝑑𝑡 Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante𝒓 = 𝒇(𝜽) , la longitud del arco comprendido en el intervalo [𝜶, 𝜷], toma la forma: 𝑠 𝛽
= ∫ √ [𝑓 ′ (𝜃)]2 𝛼
+ [𝑓 ′ (𝜃)]2𝑑𝜃
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Al considerar una curva definida por una función f(x) y su respectiva derivada f’(x) que son continuas en un intervalo [a,b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segunda especie. Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo,
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la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.
Ejercitando se asimila mejor
Un caso un poco más general que el último, es el caso de coordenadas curvilíneas generales (e incluso el de espacios no euclídeos) caracterizadas por un tensor métrico gik donde la longitud de una curva 𝐶: [𝑎, 𝑏] → 𝑀 viene dada por: 𝑏
𝑠 = ∫ √ ∑ 𝑔𝑖𝑘 𝑎
𝑖,𝑘
Hallar la longitud del arco de la función intervalo
en el .
𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑘 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
Por ejemplo, el caso de coordenadas polares se obtiene de este haciendo 𝑥 1 = 𝑟, 𝑥 2 = 𝜃; 𝑔11 = 1, 𝑔22 = 𝑟 2 , 𝑔12 = 𝑔21 = 0; 𝑟 = 𝑓(𝜃), 𝑡 = 𝜃
Derivamos la función
Sustituimos en la fórmula de longitud de arco
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Resolvemos la integral
Completamos la integral
Hacemos
,
luego su derivada es
. Resolvemos la integral de la función potencia
Así, la longitud de arco es: