UNIVERSIDAD FERMIN TORO VICE-RECTORADO ACADEMICO FACULTAD EN INGENERIA ESCUELA DE TELECOMUNICACION CABUDARE-LARA
REVISTA SOBRE INTEGRALES DE FUNCIONES TRANSCENDENTALES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
AUTOR: JUAN C. HERNANDEZ 24.680.592 MATEMATICA II
CABUDARE, 18 de Enero de 2013
Funciones trascendente
En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Funciones algebraica y trascendente El logaritmo y la función exponencial son ejemplos de funciones trascendentes. El término función trascendente a menudo es utilizado para describir a las funciones trigonométricas, o sea, seno, coseno, tangente, cotangente, secante, y cosecante. Una función que no es trascendente se dice que es algebraica. Ejemplos de funciones algebraicas son las funciones racionales y la función raíz cuadrada. La operación de calcular la función primitiva (o integral indefinida) de una función algebraica es una fuente de funciones trascendentes. Por ejemplo, la función logaritmo surgió a partir de la función recíproca en un intento para calcular el área de un sector hiperbólico. Por lo tanto el ángulo hiperbólico y las funciones hiperbólicas senh, cosh, y tanh son todas funciones trascendentes. Función trigonométrica En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones que se definen a fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
El logaritmo natural Suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano, aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo neperiano. En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es 2,7182807066232140698591273860753. El logaritmo natural se suele denominar como ln(x) o a veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de que el logaritmo vale 1. El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... Es 2, ya que e2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e1=e.
Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquier número real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta definición es la que justifica la denominación de «natural» para el
logaritmo con esta base concreta.2 Esta definición puede extenderse a los números complejos.
El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los números reales positivos:
y corresponde a la función inversa de la función exponencial:
Funciones Trigonométricas Inversas. Las tres funciones trigonométricas inversas usadas de manera común son: 1) Arcoseno: es la función inversa del seno del ángulo. 2) Arcocoseno: es la función inversa del coseno del ángulo. 3) Arcotangente: es la función inversa de la tangente del ángulo.
Potencias de las funciones trigonométricas En este apartado aprenderemos a integrar funciones que presentan potencias trigonométricas, es decir, funciones con alguna de las siguientes formas: MathType 5.0 Ecuación
Funciones trigonomĂŠtrica con algĂşn exponente impar y positivo
Funciones trigonomĂŠtrica con los dos exponentes pares positivos
FUNCIONES HIPERBOLICAS Definiciones e Identidades Las combinaciones Cosh u = ½ (e ^u + e ^-u) (coseno hiperbólico de u) Senh u = ½ (e ^u - e ^-u) (seno hiperbólico de u) Se presentan con tanta frecuencia en las aplicaciones que ha creído conveniente darles un nombre especial. De momento puede que no esté clara la ecuación de los nombres introducidos, que resultaran obvios más adelante. Estas funciones se relacionan entre sí mediante reglas muy parecidas a las reglas que relacionan a las funciones cos u y sen u. Así como cos u y sen u pueden identificarse con el punto (x, y) en el círculo unitario x² + y² = 1, así también las funciones cosh u y senh u pueden identificarse con las coordenadas de un punto (x, y) sobre la hipérbola unitaria x² - y² =1. A propósito suele pronunciarse cosh u como “cosh u” y senh u como “senh u”. Para comprobar que el punto de coordenadas x = cosh u e y = senh u esta sobre la hipérbola unitaria, sustituimos las relaciones que las definen en la ecuación de la hipérbola: X² - y² =1 cosh² u - senh² u = 1 ¼ (e ^ 2u + 2 + e ^ -2u) - ¼ (e ^ 2u - 2 + e ^ -2u) = 1 ¼ (e ^ 2u + 2 + e ^ -2u - e ^ -2u + 2 - e ^ -2u) = 1 ¼ (4) = 1
En realidad, si hacemos x = cosh u = ½ (e ^ u + e ^ -u). y = senh u = ½ (e ^ u - e ^ -u). Entonces, cuando u varia de - oo a + oo, el punto P (x, y) describe la rama derecha de la hipérbola x² - y² = 1. El primer elemento de la trigonometría hiperbólica que acabamos de establecer es la identidad básica cosh² u - senh ² u = 1. Esta expresión es análoga, pero no igual, a la identidad trigonométrica ordinaria cos² u + sen² u = 1. Las funciones hiperbólicas restantes se definen en términos de senh u y cosh u como sigue: Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
Dividiendo la identidad por cosh² u, resulta 1 - tanh² u = sech² u Si dividimos por senh² u, obtenemos coth² u - 1 = csch² u Se deduce que Cosh u + senh u = e ^ u Cosh u - senh u = e ^ -u Es, pues, evidente que cualquier combinación de las exponenciales e ^ u y e ^ -u puede sustituirse por una combinación de senh u y cosh u, y viceversa. Como e ^ -u es positivo, se muestra que cosh u siempre es mayor que senh u. Pero para valores grandes de u, e ^ -u es pequeño y cosh u = senh u. En x = 0, cosh x = 1 y senh x = 0, de modo que todas las funciones hiperbólicas tienen en x = 0 los mismos valores que las funciones trigonométricas correspondientes. El coseno hiperbólico es una función par, esto es, Cosh (-x) = cosh x, y el seno hiperbólico es una función impar, es decir, Senh (-x) = - senh x; De manera que la primera curva es simétrica respecto al eje x y la segunda lo es respecto al origen. Las funciones hiperbólicas se comportan también en esto como las funciones trigonométricas ordinarias (o circulares). GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS SENO HIPERBÓLICO: COSENO HIPERBÓLICO
TANGENTE HIPERBÓLICA
COTANGENTE HIPERBÓLICA
SECANTE HIPERBÓLICA
COSECANTE HIPERBÓLICA
DOMINIOS Y RANGOS SENO HIPERBÓLICO DOMINIO: Reales RANGO: Reales COSENO HIPERBÓLICO DOMINIO: Reales RANGO: (1, oo) TANGENTE HIPERBÓLICA DOMINIO: Reales RANGO: (-1, 1) COTANGENTE HIPERBÓLICA DOMINIO: (-oo, 0) (0, oo) RANGO: (-oo, -1) (1, oo)
SECANTE HIPERBÓLICA DOMINIO: Reales RANGO: (0, 1) COSECANTE HIPERBÓLICA DOMINIO: (-oo, 0) (0, oo) RANGO: (-oo, 0) (0, oo) IDENTIDADES Mediante las definiciones y algo de álgebra se obtienen las identidades Senh (x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y Cosh (x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y Las cuales, haciendo y = x, Senh 2x = 2 senh x cosh x Cosh 2x = cosh² x + senh² x La segunda de estas expresiones permite obtener formulas del “ángulo medio” sin más que combinar la identidad 1 = cosh² x - senh² x. Sumando resulta Cosh 2x + 1 = 2 cosh² x Mientras que si restamos se tiene Cosh 2x - 1 = 2 senh² x Sustituyendo x = u / 2 y extrayendo raíces cuadradas, obtenemos las formulas Cosh u /2 =* cosh u + 1 / 2 Senh u /2 = ± *cosh u -1 /2 La fórmula no tiene (±) en el segundo miembro porque el coseno hiperbólico es siempre positivo. El signo de senh (u /2) es (+) cuando u > 0, y (-) cuando u < 0. Como el cosh u nuca es menor que 1, las formulas valen para todos los valores de u.
FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS Usamos las inversas de las seis funciones hiperbólicas en la integración. Dado que d (senh x) / dx = cosh x > 0, el seno hiperbólico es una función creciente de x. La notación de su inversa es y = senh ^ -1 x Para cada valor de x en el intervalo - oo < x < oo, el valor de y = senh ^ -1 x es el número cuyo seno hiperbólico es x. La función y = cosh x no es inyectada, en cambio, la función restringida y = cosh x, x > 0, si lo es y, por tanto, tiene una inversa cuya notación es y = cosh ^ x Para cada valor de x > 1, y = cosh ^ -1 x es el número, dentro del intervalo 0 < y < oo, cuyo coseno hiperbólico es x. Igual que y = cosh, la función y = senh x = 1 / cosh x no es inyectada, paro tiene inversa si se restringe a valores no negativos de x, y su notación es y = senh ^ -1 x. Para cada valor de x en el intervalo ( 0,1 ), y = senh ^ -1 x es el número no negativo cuya secante hiperbólica es x. La tangente, la cotangente y la cosecante hiperbólicas son inyectabas en sus dominios y por lo tanto, tienen inversas cuya notación es y = tan^ -1 x, y = catch^ -1 x, y = cosh ^ -1 x.
GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS SENO HIPERBÓLICO INVERSO
COSENO HIPERBÓLICO INVERSO
TANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA
SECANTE HIPERBÓLICA INVERSA
COSECANTE HIPERBÓLICA INVERSA
COTANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA DOMINIOS Y RANGOS SENO HIPERBÓLICO INVERSO DOMINIO: Reales RANGO: Reales COSENO HIPERBÓLICO INVERSO DOMINIO: (1, oo) RANGO: Reales TANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA DOMINIO: (-1, 1) RANGO: Reales COTANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA DOMINIO: (-oo, -1) (1, oo)
RANGO: (-oo, 0) (0, oo) SECANTE HIPERBÓLICA INVERSA DOMINIO: (O, 1) RANGO: Reales COSECANTE HIPERBÓLICA INVERSA DOMINIO: (-oo, 0) (0, oo) RANGO: (-oo, 0) (0, oo) CATENARIAS La curva catenaria: Vamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compañías eléctricas para llevar la corriente de alta tensión entre las centrales eléctricas y los centros de consumo. La catenaria como la Cicloide son dos curvas importantes en la Física y en las Matemáticas. La curva que describe un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido a otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. La catenaria se confundió al principio con la parábola, hasta que el problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Huygens. Formulación discreta: Sea una cadena de esferas metálicas como las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos. Supondremos que hay N esferas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable.
Cada esfera estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha. La condición de equilibrio para la bolita i de masa m se expresa
Todas las componentes horizontales de la tensión del hilo son iguales, y la denominaremos Tx. Tx=Tcosð0= Tcosði= Tcosði+1 =TcosðN+1 Formulación continúa: Consideremos un cable de longitud L sujeto por sus dos extremos que están situados a la misma altura y que distan a uno del otro. Sea ρ la densidad del cable (masa por unidad de longitud).
Integrando de nuevo, con la condici贸n de que para x=a/2, y=-h.
Como la catenaria es sim茅trica para x=a, y=0, por lo que la flecha h vale.
La ecuaci贸n de la catenaria es, finalmente
La longitud de la catenaria es
Mรกquina de Cadenas Colgantes, Catenaria y Parรกbola.
1) Breve descripción del Modelo: Se trata de tablas verticales sobre las que se hacen pender cadenas de densidad de masa proporcional a la longitud de arco (cadena común) y otras de densidad de masa proporcional a la coordenada horizontal (cadena que se ensancha y adelgaza). Toda cadena común colgante entre puntos cualesquiera de la tabla, describe una curva catenaria. La cadena colgante de densidad de masa constante horizontal describe una parábola. 2) Conceptos Matemáticos en juego: Catenaria longitud de arco parábola densidad lineal de masa 3) Guía de Uso Específica del Modelo: Qué y Cómo hay que mover o realizar. En las parábolas sólo se observa. En las catenarias se prueban las coincidencias con las funciones trazadas. Qué hay que observar. Las funciones trazadas y sus coincidencias. Qué precauciones se deben tener. No tirar de las cadenas de las funciones parábolas. 4) Breves referencias teórico-técnicas: En el caso de la catenaria por longitud de arco de cadena hay la misma cantidad de masa, pues la cadena es uniforme. Cada tramo horizontal en la parábola tiene la misma masa. Por lo que la cadena debe ensancharse o angostarse, ya que hay más o menos longitud de arco (de cadena) por tramo horizontal.
CATENARIAS PASANTES POR 0,0 Y 4,4
PARﾃ。OLAS PASANTES POR 0,0 Y 4,4