Apunte de Fluidostática

Taller de Enseñanza de Física Año 2009

Apuntes de Estática de Fluidos Ideales Presentación y Análisis del Principio de Pascal y del Teorema General de la Fluidostática Estas líneas pretenden ayudar a comprender Fluidostática. Introducirán primero los modelos a utilizar: fluido ideal y elemento de volumen, luego el Teorema General de la Fluidostática y por último el Principio de Pascal. Aclaración: los vectores están escritos en negrita.

Los Modelos: Fluido Ideal y Elemento de Volumen En este momento del curso vamos a estudiar cómo es la dinámica de algunos objetos donde la modelización como partícula tiene algunos problemas. Empezaremos trabajando con los fluidos, es decir a los líquidos y a los gases. Cotidianamente tenemos muchas experiencia con fluidos. Cuando nos sumergimos en una pileta nos sentimos más livianos que fuera de ella.

Hay “algo” que hace que mientras más profundo nos sumerjamos más nos duelen los oídos. ¿Cuál es el origen de estas “fuerzas”? ¿Por qué conviene acostarse en una colchoneta inflable en vez de pararse sobre ella, si el peso que tiene que aguantar es el mismo? Si quisiéramos tratar estos problemas desde las leyes de Newton con las modelizaciones de fuerzas que conocemos nos encontraríamos con un problema fundamental, ¡El modelo! Si modeláramos al fluido como partícula no podríamos responder todas estas preguntas. ¿Cómo analizaríamos “físicamente” la sensación de que somos más livianos mientras que nos aprietan los tímpanos desde los costados?

La respuesta la encontraremos a partir de pensar un nuevo modelo al que llamaremos “elemento de volumen”, éste se obtiene tomando una porción de volumen del fluido, tan pequeña como se quiera. Es decir, nos imaginamos a la pileta como un montón de bloquecitos o con otra forma (elementos de volumen) de agua pegados unos a otros, interactuando entre sí y con su entorno. Algo muy importante e interesante es que este “elemento de volumen” es tan pequeño que podemos seguir pensándolo como partícula con masa que ¡sigue Z cumpliendo las leyes de Newton!, pero le v estamos agregando el volumen como v variable a tener en cuenta. Esto significa que X Y todas las herramientas metodológicas vistas hasta ahora siguen valiendo.

En un “elemento de volumen”, vamos a poder identificar el volumen, la masa, la posición, la velocidad y la aceleración; y v podremos calcular la energía cinética, la cantidad de movimiento, etc. Todas estos parámetros podrán ser obtenidos independientemente del tamaño del Esquema de la circulación de un fluido ideal. elemento de volumen. De las cantidades Elementos de volumen y Líneas de Corriente. antes mencionadas, podemos clasificarlas en las que dependen de la cantidad de materia

que se tenga (el valor total es la suma de las partes) y las llamamos variables extensivas; y las que no dependen de la cantidad de materia las llamaremos variables intensivas. Ejemplos de variables extensivas son la masa y el volumen, y de variables intensivas la densidad y la presión.

Pero tendremos que hacer otra modelización. Vamos a estudiar la aplicación de la Dinámica para un tipo especial de fluido al que llamaremos “Fluido ideal”. Luego veremos cuán diferente es el fluido ideal de los fluidos que nosotros conocemos. Los fluidos ideales tienen las siguientes características:     

No viscoso: se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido.

Homogéneo: la densidad del fluido es la misma en todas las partes del fluido.

Estacionario: la velocidad del fluido en un punto es constante en el tiempo.

Incompresible: la densidad del fluido permanece constante en el tiempo.

Irrotacional: los elementos de volumen solo se traslada, no giran.

Con estas propiedades, podremos representar gráficamente a los fluidos utilizando las líneas de corriente. Estas líneas de corriente representan las trayectorias que describen los diferentes elementos de volumen. En un fluido ideal un elemento de volumen que Y se encuentra en un instante en una línea de corriente seguirá su trayecto sin cambiar de línea. Asimismo si en una X Z determinada posición r1(x1,y1,z1) del fluido un elemento de volumen posee Elemento de Volumen 2 una determinada velocidad v1, todos los elementos de volumen que en un Elemento de determinado instante se encuentren en Elemento de Volumen 6 la posición r1 tendrán en ese instante la Volumen 4 velocidad v1 (esto es la condición de fluido estacionario).

Tenemos definidas, entonces, todas las herramientas metodológicas que necesitamos. Veamos ahora algunas cuestiones conceptuales.

Elemento de Volumen 3

Elemento de Volumen 1

Elemento de Volumen 5

Presión Hemos realizado un cambio de modelo para trabajar en fluidos que ahora justicaremos. Como planteamos, ahora debemos considerar el volumen de nuestro objeto de estudio cuando modelamos las acciones de los fluidos.

Este cambio de modelo implica también un cambio en la función de estado que utilizaremos. Vamos a definir una función

F1A

F5A

F3A

F6A

F4A F2A

Volumen N

Esquema de las acciones del fluido sobre un elemento de volumen. Diagrama que representa las fuerzas de los elementos de volumen sobre el Volumen N modelizado como partícula

de estado escalar para caracterizar a los fluidos que llamaremos presiĂłn p(r,v) y es funciĂłn de la posiciĂłn y de la velocidad. Utilizaremos a esta funciĂłn de estado para modelizar la fuerza que realizan los fluidos. ÂżCĂłmo es que se vinculan las acciones del fluido con la necesidad de considerar el volumen de mi objeto de estudio? El punto es que si el objeto de estudio tiene volumen V tambiĂŠn tiene ĂĄrea A. Y debemos considerar el ĂĄrea para modelizar la acciĂłn de los fluidos.

Para esto imaginemos un elemento de volumen N en el seno de un fluido al cual seleccionaremos como objeto de estudio. Consideremos ademĂĄs un Marco de Referencia Inercial y un sistema de Coordenadas asociado. Éste elemento de volumen estĂĄ interactuando con los elementos de volumen i = 1, 2, 3, 4, 5 y 6. La acciĂłn de estos elementos de fluido sobre el elemento N la modelizaremos como una fuerza repulsiva de mĂłdulo igual a presiĂłn ∙ Ă rea y direcciĂłn perpendicular al ĂĄrea del elemento N en contacto con el elemento i. Es decir: đ??šđ?‘–−đ?‘ = đ?‘? đ??´ đ?’?

Donde p representa la presiĂłn, A el ĂĄrea y đ?’? al vector de mĂłdulo unidad que apunta en la direcciĂłn perpendicular a la superficie.

Esto NO implica que p=F/A (presiĂłn=Fuerza/Ă rea), y entre otras razones lo vemos porque la presiĂłn y el ĂĄrea son escalares y la Fuerza un vector. La unidad de presiĂłn es el Pascal (simbolizado como Pa) con escala 1Pa = 1 N/m2. Al valor de la presiĂłn atmosfĂŠrica al nivel del mar se le llama una atmĂłsfera de presiĂłn y equivale a 101300 Pa (1013 hPa).

Y Con estas consideraciones ahora sĂ­ y2 podemos modelizar al elemento de volumen y1 como partĂ­cula y trabajar con las leyes de X Newton como las conocemos.

Z Elemento de Volumen 2

Teorema General de la FluidostĂĄtica En esta secciĂłn vamos a estudiar cĂłmo varĂ­a la presiĂłn dentro de un fluido.

Supongamos un elemento de volumen N inmerso en un fluido ideal quĂŠ se encuentra estĂĄtico. Este elemento de volumen serĂĄ nuestro objeto de estudio. Establecemos un Marco de Referencia Inercial (podrĂ­a ser la base del recipiente que contiene el fluido) y un sistema de Coordenadas asociado con el eje Y en la direcciĂłn de la vertical del lugar.

El elemento de volumen N interacciona con dos objetos: la Tierra y el resto del fluido. Como el fluido se encuentra en reposo permanentemente, el estado dinĂĄmico del elemento de volumen es de equilibrio. Modelizando a nuestro objeto de estudio como partĂ­cula, planteamos la segunda ley de Newton sobre el elemento de volumen:

đ??š=

đ?‘‘đ?‘? = 0 = đ??šđ??šđ?‘™đ?‘˘đ?‘–đ?‘‘đ?‘œ −đ?‘ + đ??šđ?‘‡đ?‘–đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Ž −đ?‘ đ?‘‘đ?‘Ą

Y en componentes

Elemento de Volumen 3

Elemento de Volumen 4

Elemento de Volumen 1

F1A

FFluido- N Volumen N FTierra- N

Volumen N F2A

Esquema de las acciones del fluido sobre un elemento de volumen. Diagrama que representa las fuerzas sobre el elemento de volumen N de un fluido en reposo (izq). Diagrama que representa las contribuciones de las acciones de los elementos de volumen 1 y 2 para obtener la acciĂłn definitiva FFluido N (der).

đ??šđ?‘Œ = đ??šđ??šđ?‘™đ?‘˘đ?‘–đ?‘‘đ?‘œ −đ?‘ đ?‘Œ − đ??šđ?‘‡đ?‘–đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Ž −đ?‘ = 0 (1) Donde es evidente que la acciĂłn neta del fluido es en la direcciĂłn vertical y compensa a la fuerza peso.

Teniendo en cuenta lo visto en la secciĂłn anterior, vemos que la acciĂłn del fluido sobre el elemento N puede ser pensada como la contribuciĂłn de la acciĂłn de los elementos de fluido que se encuentran por encima y por debajo del elemento N (los elementos 1 y 2). Entonces podemos plantear

đ??šđ??šđ?‘™đ?‘˘đ?‘–đ?‘‘đ?‘œ −đ?‘

đ?‘Œ

= đ??š1−đ?‘ − đ??š2−đ?‘ = đ?‘?1 đ??´ − đ?‘?2 đ??´

Por otro lado tenemos queđ??šđ?‘‡đ?‘–đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Ž −đ?‘ = đ?‘šđ?‘ đ?‘” = đ?œŒđ?‘ đ?‘‰đ?‘”. Donde hemos escrito la masa mN en tĂŠrminos de su densidad Ď N y su volumen V. Pero ademĂĄs sabemos que :  como el elemento N es tambiĂŠn parte del fluido, Ď N es la densidad del fluido  podemos escribir al volumen V en tĂŠrminos del ĂĄrea de la base A y la altura h mediante la expresiĂłn V = A∙h.  a su vez en tĂŠrminos de las medidas del sistema de coordenadas h = y2 - y1 En definitiva nos queda

đ??šđ?‘‡đ?‘–đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Ž −đ?‘ = đ?œŒđ??š đ??´ (đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 ) đ?‘”

Reemplazando las expresiones trabajadas de FTierra - N y FFluido - N en la ecuaciĂłn (1) tenemos

đ?‘?1 đ??´ − đ?‘?2 đ??´ − đ?œŒđ??š đ??´ (đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 ) đ?‘” = 0 Y eliminando el tĂŠrmino comĂşn A reordenamos los tĂŠrminos para establecer đ?‘?1 = đ?‘?2 + đ?œŒđ??š (đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 ) đ?‘” Este resultado se conoce como Teorema General de la FluidostĂĄtica.

Este resultado fue obtenido para un elemento de volumen de dimensiones arbitrarias, por lo que podemos en definitiva vincular dos puntos 1 y 2 cualquiera del fluido mediante un elemento de volumen y tendremos entonces la relaciĂłn entre las presiones en esos puntos.

Principio de Pascal Consideremos nuevamente un fluido ideal en reposo y en ĂŠl un elemento de volumen que por simplicidad supondremos cĂşbico. Si aplicamos una fuerza sobre una de las caras de un elemento de volumen, esta fuerza intentarĂĄ generar un cambio de presiĂłn en ĂŠl, es decir un cambio de estado en nuestro elemento de volumen. Como el fluido es ideal, su caracterĂ­stica de incompresible implica que el fluido no puede cambiar su volumen (sĂ­ puede deformarse) y en definitiva ese cambio de presiĂłn se transmite a las otra caras del elemento de volumen.

Como el elemento de volumen estĂĄ en contacto con otros elementos de volumen, ĂŠste cambio de presiĂłn se transmite de elemento de volumen a elemento de volumen por todas las caras. ÂżY quĂŠ sucede cuando este cambio de presiĂłn llega a las paredes del recipiente que contiene al fluido? Podemos pensar este cambio en la presiĂłn como un aumento en el mĂłdulo de la fuerza que el elemento de volumen aplica sobre la pared, de manera que si las paredes del recipiente son indeformables estĂĄs deberĂĄn tolerar el aumento de la fuerza. Si las paredes no son capaces de soportar esa fuerza se rompen. Una tercera posibilidad es que las paredes puedan desplazarse y es lo que permite el funcionamiento de las prensas hidrĂĄulicas, el cricket del auto y otros.

Este comportamiento de los fluidos incompresibles fue planteado por Blas Pascal como:

“La presiĂłn aplicada en un punto de un fluido ideal en reposo contenido en un recipiente se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo.â€?

Y se conoce como el Principio de Pascal.