Actividad 4 Expresiones Algebraicas G. Edgar Mata Ortiz
Expresiones algebraicas, operaciones fundamentales y lenguaje algebraico.
Expresiones algebraicas.
El álgebra es un lenguaje, específicamente es el lenguaje en el que está escrita la ciencia. Cualquier libro de física, química o cualquier otra ciencia, contiene leyes que describen y predicen el comportamiento de la naturaleza, estas leyes se sintetizan en forma de expresiones que contienen signos, constantes, variables y las operaciones aritméticas que las relacionan, es decir, expresiones algebraicas. En el presente material se aborda el tema de las expresiones algebraicas, las operaciones básicas entre ellas y la forma en la que el lenguaje natural es expresado algebraicamente.
Contenido Introducción. ............................................................................................................................................................3 Conceptos fundamentales del álgebra. ....................................................................................................................4 Término Algebraico. .............................................................................................................................................5 Lenguaje algebraico ..............................................................................................................................................6 Operaciones algebraicas...........................................................................................................................................9 Modelos matemáticos. ...................................................................................................................................... 10 Importancia de las operaciones algebraicas en la resolución de problemas. ................................................... 10 Reducción de términos semejantes. ................................................................................................................. 11 Suma y resta de polinomios. ............................................................................................................................. 11 Multiplicación de polinomios. ........................................................................................................................... 13 División de polinomio entre monomio .............................................................................................................. 13 División de polinomio entre polinomio. ............................................................................................................ 15 El uso de Excel en la comprensión y resolución de problemas del álgebra. ......................................................... 17
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El Lenguaje de la ciencia. La matemática en general, y el álgebra en particular, son importantes porque es la forma en la que se expresa la ciencia. Los libros de cualquier disciplina científica están llenos de ecuaciones y otras expresiones algebraicas. Si entendemos la matemática como un lenguaje, entonces una buena parte del trabajo de aprenderla debe estar centrada en las reglas de dicho lenguaje; la sintaxis algebraica. Pero otro aspecto que también es muy importante tiene que ver con la traducción entre el lenguaje natural y el algebraico. La mayor parte de los problemas que deberemos resolver contienen expresiones como; “el doble”, “la mitad”, “el producto”, “el cociente”, “la semisuma” entre otras. Lo que debemos aprender es a escribir dichas expresiones en forma de símbolos algebraicos, sin perder de vista su significado y la relación que tiene con la situación original.
Introducción. El álgebra, como cualquier lenguaje, fue desarrollándose a lo largo del tiempo. Desde los matemáticos babilónicos, egipcios y chinos, quienes eran capaces de resolver ecuaciones y despejar incógnitas fue evidente la necesidad de una forma de notación que simplificara la representación de estos procesos; la notación algebraica. En el siglo IX, los matemáticos árabes lograron grandes avances al aplicar las propiedades de la igualdad como estrategia para la resolución de ecuaciones, aunque con una notación todavía no desarrollada por completo. Uno de los mayores adelantos en el estudio del álgebra ocurrió en el siglo XVI: el uso de símbolos para representar las variables, incógnitas, y operaciones algebraicas. La mayor parte de la notación algebraica moderna, proviene de esta época. En el siguiente enlace se encuentra una línea del tiempo señalando las etapas más importantes del desarrollo del álgebra: http://timemapper.okfnlabs.org/hanakham/historyofalgebra#0 Elabora un ensayo de 600 palabras acerca de una de las etapas del desarrollo del álgebra. No olvides agregar, al menos, tres fuentes bibliográficas y tres referencias en línea.
Fotografía del papiro Rhind. Es un rollo que, al extenderlo, mide 30 cm x 2 metros, fue encontrado en una tumba en la ciudad de Tebas y es la fuente de información más valiosa de la que disponemos acerca de la matemática egipcia. Este papiro fue comprado en un mercado en la ciudad de Luxor por un joven escocés de 25 años, Henry Rhind, que fue a Egipto por razones de salud y se interesó por la arqueología. Imagen tomada de: http://www.daviddarling.info/encyclopedia/R/Rhind_papyrus.html
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Conceptos fundamentales del álgebra. Al estudiar una disciplina científica es necesario definir sus conceptos fundamentales, con la finalidad de comprenderla y aplicarla adecuadamente en la resolución de problemas. Sin embargo, estas definiciones deben ser comprendidas y no simplemente memorizadas. A continuación, vamos a realizar un ejercicio de análisis y comprensión de la información. Investiga al menos tres definiciones de cada uno de los conceptos siguientes en fuentes bibliográficas, no páginas de internet, anótalas en tu cuaderno y, a partir de esta información, construye su definición y escríbela en las siguientes líneas. No olvides anotar la bibliografía. Álgebra.
___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Teorema fundamental del álgebra.
___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Expresión algebraica.
___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Término algebraico.
___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Monomio
___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Binomio
___________________________________________________________________________________________ Trinomio
___________________________________________________________________________________________ Polinomio
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Bibliografía.
___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________
Término Algebraico. Tomando como base la información contenida en la presentación: “Término Algebraico” que se encuentra en la siguiente dirección: http://licmata-math.blogspot.mx/2015/10/algebraic-language-part-1.html Completa la información indicada en la siguiente imagen:
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Clasifica como monomio, binomio, trinomio o polinomio las siguientes expresiones algebraicas y determina su grado.
ExpresiĂłn algebraica
ClasificaciĂłn
Grado
7z 4 2 x5 ď€ 6 x 4  7 x 2 ď€ 1
ď€ 8 y 4  5 y3  9 y ď€ 3w 4 x ď€ 4 w 2 x 2
8 xy4 z ď€ 2 x 2 y 3 z  yz Lenguaje algebraico Como se mencionĂł anteriormente, el ĂĄlgebra es una forma de comunicaciĂłn, y como cualquier otro lenguaje, es necesario aprender: vocabulario, gramĂĄtica, pronunciaciĂłn, convenciones, abreviaturas, y, sobre todo, semĂĄntica. Es un lenguaje simbĂłlico, no instintivo, convencional, sintĂŠtico y preciso; caracterĂsticas que no facilitan su aprendizaje. Por ejemplo: Si escribimos un par de nĂşmeros separados por comas y entre parĂŠntesis, tienen diferentes significados, dependiendo del contexto. (5, 6) Pueden ser las coordenadas de un punto en el plano cartesiano, pero tambiĂŠn pueden interpretarse como un intervalo abierto. ÂżY si los parĂŠntesis son rectangulares? [5, 6], Âżo llaves? {5, 6} Es evidente que, para aprender matemĂĄticas, es necesario leer cuidadosamente los conceptos teĂłricos, de otra forma, el aprendizaje carece de sentido y solamente se memoriza para resolver exĂĄmenes. Es muy comĂşn que, cuando estudiamos ĂĄlgebra, pasamos por alto todos estos conceptos bĂĄsicos. Muchos estudiantes jamĂĄs leen un libro, por lo que dependen casi por completo, de lo que explica el profesor en el pizarrĂłn. Una actividad fundamental es practicar la lectura de expresiones matemĂĄticas y su “traducciĂłn al lenguaje naturalâ€? y viceversa. La ley de Boyle - Mariotte puede expresarse como: “La presiĂłn de un gas, en un recipiente cerrado, es inversamente proporcional al volumen del recipiente, cuando la temperatura permanece constante.â€? Si la decimos asĂ, verbalmente, es probable que no resulte muy clara, en cambio, si la representamos con sĂmbolos matemĂĄticos obtenemos:
�=
đ?’Œ đ?‘˝
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Completa la tabla siguiente tomando como base los ejemplos que se encuentran en la misma.
Lenguaje Expresión inversa o relacionada algebraico con la original
Lenguaje común 1
El doble cualquiera
de
un
número
2
2x
La mitad cualquiera
de
un
número
Lenguaje algebraico
1 x x ó 2 2
3x
3
Un número aumentado en tres unidades
4
Juan es 15 cm más alto que Luis
5
y=x+5
6
La suma de dos números es igual a 150
7
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°
8
La suma de dos ángulos suplementarios es igual a 180°
9
La semisuma de dos números es igual a 18
El área de un triángulo es igual al 10 semi producto de la base por la altura 11
El semi perímetro triángulo es igual a 24
12
El área de un cuadrado es igual a 25
13
El volumen de un cubo es igual a 8
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de
un
7
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(Continuación) Lenguaje común El 6 % de los alumnos de la 14 Universidad tienen automóvil propio 15
El libro cuesta un 50% más que el juego de escuadras
16
La inflación este año ha sido un 12 % menor que el año pasado
Lenguaje algebraico
Expresión inversa o relacionada con la original
Lenguaje algebraico
0.06x
El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primero, más el doble 17 producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
18
El cubo de la suma de dos números es igual a:
La diferencia de los cuadrados de dos números es igual al 19 producto de:
La diferencia de los cubos de dos números es igual a: 20
No siempre es posible encontrar una expresión que sea exactamente lo contrario de la que se indica, escribe alguna expresión que se relacione con ella de alguna forma, sólo se trata de practicar la traducción entre lenguaje natural y algebraico. En el reverso de esta hoja o en hoja aparte, indica qué representan las incógnitas en cada ejercicio. Algunas de las expresiones algebraicas escritas en el ejercicio 2 contienen el signo de igual; reciben el nombre de ecuaciones, las que no lo contienen son solamente monomios, binomios, trinomios o polinomios. http://licmata-math.blogspot.mx/
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Operaciones algebraicas. Al obtener una expresión algebraica a partir de un problema, puede ser que dicha expresión resulte poco clara y sea necesario simplificarla para una mejor comprensión y facilitar la resolución del problema, para ello, es necesario efectuar operaciones; suma, resta, multiplicación y división. Ejemplo: El ingeniero Rodríguez es dueño de una fundición cuyos costos fijos son de $25,000 mensuales. Está fabricando piezas cuyo costo unitario es de $60, incluyendo materia prima y mano de obra. Escribe una expresión algebraica para el costo total de operación de la fundición, por mes. Solución: El costo fijo debe pagarse mensualmente, seguramente corresponde a renta y pago de servicios como electricidad, agua, teléfono, entre otros. Costo fijo = $25,000 El costo de fabricación no es constante, depende del número de piezas fabricadas por mes, pero esta cantidad varía cada mes, de modo que la identificaremos como una variable: x. Este costo recibe el nombre de costo variable y se obtiene multiplicando el costo unitario de fabricación por el número de piezas fabricadas. Costo variable = Costo unitario × número de piezas fabricadas en el mes. CV = $60 × x Para evitar confusiones, no escribimos el signo de multiplicación, es una convención que al poner juntas dos variables, o una constante y una variable, indica una multiplicación. CV = $60x Entonces el costo mensual es la suma de los costos fijos y los costos variables. Costo Total = Costo fijo + Costo variable
CT = 25000 + 60x Desde el punto de vista del álgebra, es preferible usar las últimas letras del alfabeto como variables, por lo que se representará el costo total como y.
y = 25000 + 60x Los términos 25000 y 60x no se pueden sumar porque no son términos semejantes, solamente se ordenan colocando primero el que tenga la variable con mayor exponente.
y = 60x + 25000 Esta expresión algebraica es una ecuación que permite calcular los costos totales de operación de la fundición y puede ser empleada para determinar los costos de un mes cualquiera (y), tomando como dato la cantidad de piezas producidas durante ese mes (x). Por ejemplo: Si en el mes de enero se fabrican 560 piezas, determina el costo total de producción. http://licmata-math.blogspot.mx/
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Solución: La expresión algebraica que desarrollamos para el costo total es:
y = 60x + 25000 El valor que nos proporcionan en los datos es: x = 560 piezas.
y = 60(560) + 25000 Efectuando operaciones:
y = 33600 + 25000 →
y = 58600
El resultado obtenido es:
El costo total al fabricar 560 piezas es de $58600 ¿Qué ocurre si un mes no se fabrica ninguna pieza? ¿El costo es igual a cero? Al sustituir cero en la ecuación obtenemos:
y = 60(0) + 25000 →
y = 0 + 25000
→
y = 25000
Como podemos observar, a pesar de que no se fabrica ninguna pieza, el costo no es igual a cero; los costos fijos deben pagarse, independientemente del número de piezas fabricadas.
Modelos matemáticos. Esta forma de resolver problemas utilizando herramientas matemáticas recibe el nombre de modelado matemático. Consiste en abstraer la complejidad del mundo real y representarlo simbólicamente, en forma más simple para resolver alguna situación problemática. Cuando se usa un modelo matemático debemos estar, constantemente, interpretando la información matemática que se produce al efectuar operaciones algebraicas. Es un constante ir y venir entre la teoría matemática y la aplicación práctica que se está modelando: los valores de variables, resultados numéricos y operaciones algebraicas que pertenecen al modelo matemático, tienen un significado en la realidad.
Importancia de las operaciones algebraicas en la resolución de problemas. Al representar matemáticamente la realidad en un modelo, podemos estudiar el comportamiento de la situación real sin afectarla, cambiando valores de variables o parámetros en el modelo y observando su comportamiento. Para ello, es necesario efectuar operaciones algebraicas. A continuación, estudiaremos los procedimientos para efectuar operaciones algebraicas. http://licmata-math.blogspot.mx/
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ReducciĂłn de tĂŠrminos semejantes. Las reglas para la reducciĂłn de tĂŠrminos semejantes son sencillas; solamente se pueden sumar o restar aquellos tĂŠrminos que contengan las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. El resultado final se ordena comenzando por las variables con mayor exponente hasta las de menor exponente. Siguiendo estas reglas, simplifica las siguientes expresiones algebraicas:
1. 2đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ − 6 − 5đ?‘Ľ − 7đ?‘Ľ 2 + 8đ?‘Ľ − 1 = 2. −5đ?‘Ś 3 + 4đ?‘Ś 2 + 6đ?‘Ś − 9 + 7đ?‘Ś 3 + 5đ?‘Ś + 13 = 3. 2đ?‘Žđ?‘? + 3đ?‘?đ?‘? − 5đ?‘Žđ?‘? + 7đ?‘?đ?‘? − 9đ?‘Žđ?‘? + 8đ?‘?đ?‘Ž = 4. −9đ?‘Ľđ?‘Ś + 8đ?‘Śđ?‘§ − 5đ?‘Ľđ?‘§ + 6đ?‘Śđ?‘Ľ − 9đ?‘§đ?‘Ś + 12đ?‘Ľđ?‘§ = 5. 2đ?œ‹đ?‘&#x; 2 − 4đ?œ‹đ?‘&#x; + đ?œ‹đ?‘&#x; 2 + 9đ?‘&#x; + 8 = 6. 4đ?œ‹đ?‘&#x; 3 − 3đ?œ‹đ?‘&#x; 2 + 2đ?œ‹ − 6đ?‘&#x; 2 + đ?œ‹đ?‘&#x; 3 − 9đ?‘&#x; + 4 = 7. −6đ?‘Ľđ?‘Ś + 7đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś − 8đ?‘Ľđ?‘Ś 2 + 9đ?‘Ľ − 4đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś + 6đ?‘Ś 2 đ?‘Ľ − 7đ?‘Ś + 4đ?‘Ľ = 8. đ?‘Ž2 đ?‘? − 3đ?‘Žđ?‘? + 2đ?‘Žđ?‘? 2 + 5đ?‘Ž2 đ?‘? 2 + 2đ?‘Žđ?‘? − 9đ?‘?đ?‘Ž2 + 7đ?‘?đ?‘Ž2 = 9.
1 2
2
5
3
6
đ?‘Ľ + đ?‘Ś − đ?‘Ś + 4đ?‘Ľ − + đ?‘Ś − 2 = 7
3
1
8
4
5
10.2đ?‘Ž − đ?‘? + 5 − đ?‘Ž + đ?‘? − = Suma y resta de polinomios. Estas operaciones se resuelven siguiendo las mismas reglas, por lo que se le da el nombre de suma algebraica y suele contener tanto sumas como restas en la misma operaciĂłn. El procedimiento para resolver estas operaciones se explica en la presentaciĂłn que se encuentra en el siguiente enlace: http://licmata-math.blogspot.mx/2015/10/algebraic-operations-polynomial-addition.html http://licmata-math.blogspot.mx/
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Siguiendo las instrucciones que ahí se describen, resuelve las siguientes operaciones:
1. (−2𝑥 2 + 4𝑥 − 8) − (5𝑥 − 4𝑥 2 ) + (3𝑥 2 − 8𝑥 − 1) =
2. −(5𝑦 3 + 4𝑦 2 + 6𝑦 − 9) + (7𝑦 3 + 6𝑦 + 13) =
3. (2𝑎𝑏 + 3𝑏𝑐 − 5𝑎𝑐) − (7𝑏𝑐 − 9𝑎𝑏 + 8𝑐𝑎) + (5𝑎𝑏 − 6𝑐𝑏 + 7𝑐𝑎) =
4. (−9𝑥𝑦 + 8𝑦𝑧 − 5𝑥𝑧) − (6𝑦𝑥 − 9𝑧𝑦 + 12𝑥𝑧) + (2𝑧𝑦 − 5𝑧𝑥) =
5. −(2𝜋𝑟 2 − 4𝜋𝑟) + (𝜋𝑟 2 + 9𝑟 + 8) − (7 + 𝜋𝑟) =
6. −(4𝜋𝑟 3 − 2𝜋𝑟 2 + 3𝜋) − (3𝑟 2 + 𝜋𝑟 3 ) + (𝜋𝑟 2 − 9𝑟 + 5) =
7. −(3𝑥𝑦 + 5𝑥 2 𝑦 − 6𝑥𝑦 2 + 8𝑥) − (2𝑥 2 𝑦 − 5𝑦 2 𝑥 − 9𝑦 + 4𝑥) =
8. (𝑎2 𝑏 − 3𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏 2 + 5𝑎2 𝑏 2 ) − (2𝑏2 𝑎2 + 2𝑎𝑏 − 9𝑏𝑎2 + 7𝑏𝑎2 ) =
1
2
5
9. ( 𝑥 + 3𝑦 − 4) − ( 𝑦 + 7𝑥) − ( + 𝑦 − 2) = 2 3 6
7
3
1
1
10.(2𝑎 − 𝑏 + 5) − ( 𝑎 + 𝑏 − ) + ( 𝑎 − 2𝑏 + 6) = 8 4 5 8
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MultiplicaciĂłn de polinomios. El procedimiento para efectuar esta operaciĂłn se explica en la presentaciĂłn que se encuentra en el siguiente enlace: http://licmata-math.blogspot.mx/2015/10/algebraic-operations-polynomial.html Siguiendo las instrucciones que ahĂ se describen, resuelve las siguientes operaciones:
1. (3đ?‘Ľ − 6)(5đ?‘Ľ + 3) = 2. (−5đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ − 6)(−7đ?‘Ľ 2 + 8đ?‘Ľ) = 3. (3đ?‘Ś 3 + 2đ?‘Ś 2 − 5đ?‘Ś − 1)(+7đ?‘Ś 3 + 5đ?‘Ś + 13) = 4. (2đ?‘Ž + 3đ?‘? − 5đ?‘?)(−5đ?‘Ž + 6đ?‘? − 4đ?‘?) = 5. (2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś − 5đ?‘§)(4đ?‘Ľ − 9đ?‘Ś + đ?‘§) = 6. (2đ?œ‹đ?‘&#x; 2 − 4đ?œ‹đ?‘&#x; + 2)(+đ?œ‹đ?‘&#x; 2 + 9đ?‘&#x;) = 7. (4đ?œ‹đ?‘&#x; 3 − 3đ?œ‹đ?‘&#x; 2 + 2đ?œ‹đ?‘&#x;)(−6đ?œ‹đ?‘&#x; 2 + đ?œ‹đ?‘&#x; 3 − 9đ?œ‹ + 4) = 8. (7đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś − 8đ?‘Ľđ?‘Ś 2 + 9đ?‘Ľ − 4đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś)(−7đ?‘Ś + 4đ?‘Ľ + 2) = 9. (đ?‘Ž2 đ?‘? − 3đ?‘Žđ?‘? + 2đ?‘Žđ?‘? 2 )(2đ?‘Ž + 3đ?‘? − 5) = 1
2
5
2
3
6
10.( đ?‘Ľ + đ?‘Ś) (− đ?‘Ś + 4đ?‘Ľ) (− + đ?‘Ś − 2) = DivisiĂłn de polinomio entre monomio Esta operaciĂłn, y la divisiĂłn de monomio entre monomio, se emplean bajo diferentes circunstancias, una de ellas es la conversiĂłn de unidades. Por ejemplo: El hombre mĂĄs rĂĄpido del mundo puede recorrer una distancia de 100 metros en poco menos de 10 segundos, su velocidad es de aproximadamente 10 metros por segundo.
đ?’—=
đ?’… đ?’•
=
đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?’Ž đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?’”
= đ?&#x;?đ?&#x;Ž
đ?’Ž đ?’”
ÂżCuĂĄl es su velocidad en kilĂłmetros por hora?
đ?’— = đ?&#x;?đ?&#x;Ž
đ?’Ž đ?&#x;? đ?’Œđ?’Ž đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?’” đ?&#x;?đ?&#x;Ž Ă— đ?&#x;? Ă— đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?’Ž đ?‘˛đ?’Ž đ?’” đ?‘˛đ?’Ž Ă— Ă— = = đ?&#x;‘đ?&#x;” đ?’” đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?’Ž đ?&#x;?đ?’‰ đ?&#x;? Ă— đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž Ă— đ?&#x;? đ?’” đ?’Ž đ?’‰ đ?’‰
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Expresiones algebraicas.
Consulta el procedimiento empleado para resolver la divisiĂłn de monomio entre monomio y la de polinomio entre monomio y resuelve las siguientes operaciones.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
6đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3 đ?‘§ −2đ?‘Ľđ?‘Ś 2 đ?‘§
=
−9đ?‘Ž4 đ?‘? 3 đ?‘?đ?‘‘2 3đ?‘Žđ?‘? 2 đ?‘?đ?‘‘
=
−9đ?‘Ľ 3 đ?‘Ś 3 đ?‘§ 3 +12đ?‘¤ 2 đ?‘Ľđ?‘Ś 2 +15đ?‘¤ 3 đ?‘Ľ 4 đ?‘§ 3đ?‘¤đ?‘Ľđ?‘Ś 2 đ?‘§
4đ?‘Ž2 đ?‘? 3 đ?‘‘5 +16đ?‘? 2 đ?‘?đ?‘‘3 −8đ?‘Ž3 đ?‘? 4 đ?‘‘ −4đ?‘Žđ?‘? 3 đ?‘? 2 đ?‘‘4
=
=
3đ?‘š3 đ?‘›4 đ?‘?đ?‘ž+12đ?‘›2 đ?‘?đ?‘ž 4 −18đ?‘š3 đ?‘›4 đ?‘ž+6đ?‘›3 đ?‘?đ?‘ž 4 −6đ?‘šđ?‘›2 đ?‘?3 đ?‘ž 2
10đ?‘?3 đ?‘ž 2 đ?‘&#x;−15đ?‘ž 2 đ?‘&#x;đ?‘ 3 −5đ?‘?4 đ?‘ž 3 đ?‘ +20đ?‘?3 đ?‘&#x;đ?‘ 2 10đ?‘?3 đ?‘ž 2 đ?‘&#x;đ?‘ 2
=
3đ?‘¤ 3 đ?‘Ś 2 đ?‘§+18đ?‘Ľ 2 đ?‘Śđ?‘§ 4 −12đ?‘¤ 4 đ?‘Ľ 4 đ?‘Śđ?‘§+24đ?‘¤ 5 đ?‘Ľđ?‘§ 3 12đ?‘¤ 2 đ?‘Ľ 3 đ?‘Ś 2 đ?‘§
=
=
−14đ?‘›3 đ?‘?2 đ?‘ž+7đ?‘š2 đ?‘?đ?‘ž 3 −21đ?‘š3 đ?‘›3 đ?‘ž+28đ?‘šđ?‘›3 đ?‘?đ?‘ž 2 −14đ?‘šđ?‘›2 đ?‘?2 đ?‘ž 4
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=
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Expresiones algebraicas.
DivisiĂłn de polinomio entre polinomio. La operaciĂłn algebraica bĂĄsica que, probablemente, resulta mĂĄs laboriosa, es la divisiĂłn de polinomio entre polinomio. El procedimiento que se sigue para resolverla es muy parecido al de la divisiĂłn en aritmĂŠtica elemental. En el siguiente ejemplo, ve anotando, del lado derecho, la explicaciĂłn del procedimiento que se sigue para efectuar la operaciĂłn indicada. Ejemplo: Dividir (đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ 2 − 7đ?‘Ľ − 1) entre (đ?‘Ľ − 2) Primer paso: Identifica dividendo, divisor, cociente y residuo. Explica brevemente cada uno de estos conceptos.
Segundo paso: Divide el primer tĂŠrmino del dividendo entre el primer tĂŠrmino del divisor. En el recuadro de la izquierda, efectĂşa la divisiĂłn de monomio entre monomio y escribe el resultado. El resultado de esta divisiĂłn se escribe en el cociente, de forma tal, que quede alineado con el tĂŠrmino del mismo grado que se encuentra en el dividendo. Tercer paso: Multiplica el resultado de la divisiĂłn efectuada en el paso 2, por el divisor; al resultado se le cambian los signos porque se resta del dividendo. Anota los resultados en los dos lugares correspondientes (recuadros rojos). Cuarto paso: EfectĂşa la suma algebraica de đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ 2 que se encuentra en el dividendo, y el resultado del tercer paso. Escribe la respuesta en el Ăłvalo color azul de la derecha. Quinto paso: “Se bajaâ€? el – 7x del dividendo y se coloca junto al resultado de la suma algebraica del cuarto paso y el procedimiento se repite hasta terminar de “bajarâ€? todos los tĂŠrminos del dividendo. Ăšltimo paso: Termina de efectuar la divisiĂłn y elabora una presentaciĂłn en la que expliques, paso a paso, el procedimiento para dividir polinomio entre polinomio. http://licmata-math.blogspot.mx/
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Expresiones algebraicas.
Efect煤a las siguientes divisiones y anota las explicaciones, en los recuadros de la derecha, acerca del procedimiento que se sigui贸.
1.
2.
3.
4.
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Expresiones algebraicas.
El uso de Excel en la comprensión y resolución de problemas del álgebra. Una excelente herramienta para entender y aprender álgebra es la hoja de cálculo. Debido a que es una herramienta que puede efectuar operaciones fácilmente y en la es posible utilizar fórmulas, es sencillo registrar la información general de un problema como una colección de fórmulas y, posteriormente, introducir diferentes valores y observar el comportamiento general del modelo. Ejemplo: Con referencia al problema de la fundición: El costo fijo es de $25000 El costo variable es de $60 por pieza El costo total se obtiene sumando costos fijos y variables. Podemos elaborar una hoja de cálculo con la información que se muestra a la derecha. Los datos sencillamente se introducen en cada celda. Para calcular el costo total se escribe, en la celda C8 la fórmula: =C4*C6+C3 Al escribir la fórmula y presionar la tecla <Intro>, se calculan los resultados y obtenemos la imagen que se muestra en seguida. La ventaja del uso de Excel es que podemos modificar cualquiera de los valores de las celdas y, automáticamente, Excel nos muestra el resultado de la fórmula; el costo total. Incluso es posible plantear escenarios con diferentes valores para el número de piezas y luego trazar una gráfica que muestre el comportamiento del costo según diferentes niveles de producción.
Lecturas recomendadas.
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