Numeros y sus propiedades basicas efrain soto apolinar by Juan Guillermo Nunez Osuna

´ meros Los Nu ´ sicas y sus Propiedades Ba Efra´ın Soto Apolinar.

´rminos de uso Te

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Soto Apolinar, Efra´ın. Los N´ umeros y sus Propiedades B´ asicas. Primera edici´ on. Incluye ´ındice. 1. Ense˜ nanza de las ciencias, 2. Matem´ aticas b´asicas, 3. Divulgaci´on de las ciencias.

Versi´ on Electr´ onica de distribuci´ on gratuita. Estrictamente prohibido el uso comercial de este material.

Academia Gauss

Cr´editos: Efra´ın Soto Apolinar

Matem´aticas Educativas y de Divulgaci´on

Chetumal, Quintana Roo, M´ exico. 2005

´Indice

1 Introducci´ on 1.1

Teor´ıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 N´ umeros naturales

1 5

2.1

Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

Ley distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4

Pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5

M´ ultiplos y divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6

Cerradura de pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7

Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8

Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9

Primos y compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10 Descomposici´ on en factores primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.11 M´ aximo Com´ un Divisor y M´ınimo Com´ un M´ ultiplo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.12 ¿Cu´ antos N´ umeros Primos Hay? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 N´ umeros enteros

3.1

Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Propiedades de la suma y la multiplicaci´ on

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

Recta num´erica y valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´ meros... Los Nu

3.4

Leyes de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5

1ra demostraci´ on: − · − = + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6

2da demostraci´ on: − · − = + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7

3ra demostraci´ on: − · − = + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8

Nueva criba de Erat´ ostenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8.1

La nueva criba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8.2

Construcci´ on de la nueva criba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8.3

Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 N´ umeros racionales

4.1

Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2

Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3

Fracciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4

Suma de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5

Divisi´ on por cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6

Orden de los racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7

N´ umeros decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.8

Operaciones con decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.9

Periodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.10 Periodos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.11 Conversi´ on de decimal peri´ odico a fracci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.12 10/11 y 11/12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 N´ umeros irracionales

5.1

Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6

Dilema de Pit´ agoras . . . . . . . . √ Irracionalidad del n´ umero 2 . . . √ Irracionalidad del n´ umero 3 . . . √ Irracionalidad del n´ umero 6 . . . √ √ Irracionalidad del n´ umero 2 + 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7

Aproximaci´ on a n´ umeros irracionales por medio de n´ umeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.8

Noci´ on de l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 5.4 5.5

´ meros... Los Nu

6 N´ umeros complejos

6.1

Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2

Operaciones b´ asicas con n´ umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3

Ejemplos de aplicaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Leyes de los exponentes

7.1

Definiciones b´ asicas y notaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2

Enunciaci´ on de las leyes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3

Problemas de aplicaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Logaritmos

8.1

Definiciones b´ asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2

Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3

Problemas de aplicaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Sistemas de numeraci´ on posicional

9.1

Sistema de numeraci´ on en base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2

Sistema de numeraci´ on en base 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

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Uno Introducci´ on

1.1

Teor´ıa de conjuntos

Casi todos estamos familiarizados con el uso de los n´ umeros naturales, enteros, racionales, irracionales y finalmente, los n´ umeros reales, tal vez sin conocer sus nombres como conjuntos de n´ umeros. Todos ellos surgieron, estrictamente hablando, por la necesidad del hombre mismo de resolver problemas aritméticos (que tiene que ver con los n´ umeros), que bien pueden verse como problemas algebraicos. Para comenzar a ver que la necesidad llevó al hombre a construir formas de contar (sistemas numéricos, en términos más formales), imaginemos a una persona que empieza a recolectar frutas para su familia. Sabe que su familia está formada por su pareja y su cr´ıa (hijo, en palabras más civilizadas). Entonces, el colector de frutas hace una correspondencia entre las frutas y los miembros de su familia, es decir, piensa que a cada miembro de su familia (incluyéndose él) le corresponderá una fruta. De esta forma reconoce que debe cortar tres frutas, una para cada uno de ellos. Nótese que no fue el colector de frutas quien dijo “tres”, puesto que él todav´ıa no conoc´ıa lo que significa esa palabra. (Muy probablemente para su tiempo, todav´ıa el lenguaje estaba basado en se˜ nas). Lo importante que se quiere hacer notar es que ya hab´ıa, probablemente de manera innata, la noción de cantidad en el ser humano. Seguramente este hecho le sugirió a nuestro personaje que, cuando tuviera necesidad de contar, digamos conejos, hiciera una correspondencia entre conejos y alg´ un otro objeto, por ejemplo piedras, una piedra por cada conejo. Sin embargo, si imaginamos que los conejos se van reproduciendo con el paso del tiempo, vemos que en unos meses tendrá que coleccionar una buena cantidad de piedras por la cantidad de conejos que poseerá. De aqu´ı surge la necesidad de crear otra forma de contar que sea más cómoda. A alguien se le ocurrió hacer nudos a un mecate, a otra persona se le ocurrió contar con los dedos de las manos y los pies. A alguien más se le ocurrió contar las divisiones que tenemos en los dedos me˜ nique, anular, medio e ´ındice (tres en cada dedo, lo que hace un total de doce divisiones, encontrándonos con las docenas y, que si vemos en la otra mano cinco dedos, vemos 1

´ meros... Los Nu

Introducci´ on

que podemos contar as´ı hasta sesenta, que es igual a cinco docenas) y as´ı, poco a poco el hombre fue creando formas cada vez más cómodas de contar. Los Griegos usaron un sistema de numeración decimal (Al decir decimal nos referimos al hecho de que se cuenta de diez en diez). Para cada n´ umero asignaron un s´ımbolo. El n´ umero uno estaba representado por I, el dos por II , el tres por III, el cuatro por IV, el cinco por V, el seis por VI, el siete por VII, el ocho por VIII, el nueve por IX y el diez por X. También asignaron s´ımbolos al cincuenta L, al cien C, al quinientos D y al mil M. Con estos s´ımbolos pod´ıan formar n´ umeros bastante grandes, para lo cual establecieron ciertas reglas. Los mayas, a diferencia de los griegos, usaron un sistema vigesimal. En otras palabras, ellos contaban de veinte en veinte. Esto se atribuye al hecho de que en nuestro cuerpo tenemos veinte dedos (diez en las manos y otros diez en los pies). Un hecho interesante es que, entre los aztecas, el n´ umero veinte se dec´ıa Tzontle (en Náhuatl). También, de manera descriptiva a un buen comerciante le llamaban Tzontle, queriendo indicar que usaba sus veinte dedos para hacer cálculos. Nótese que si tratamos de hacer una suma en alguno de estos sistemas de numeración es más dif´ıcil que en el sistema de numeración que usamos actualmente. Evidentemente la multiplicación es a´ un más dif´ıcil. Esto se debe a que estos sistemas no toman en cuenta la posición que tiene cada s´ımbolo para asignarles alg´ un valor, es decir no son posicionales. En el cap´ıtulo 7 nos encargaremos de estudiar cómo formar n´ umeros en distintos sistemas de numeración y de averiguar la forma de realizar operaciones con estos n´ umeros. Además de contar, con el paso del tiempo aparecieron otras necesidades numéricas. Por ejemplo, supongamos que un filósofo griego le pregunta a su disc´ıpulo: “¿Cuánto es cinco menos cinco?”. Si consideramos que para entonces ellos todav´ıa no conoc´ıan el cero, entonces el disc´ıpulo debió haber respondido “... pues cinco menos cinco no es nada”. Para esa misma época, consideremos a un matemático maya haciendo la misma pregunta a otro. Ellos, que entonces ya conoc´ıan el cero pueden responder: “Cinco menos cinco es cero.” Parece que no hay diferencia, pero en realidad, poder conceptualizar resultados (es decir, dar interpretaciones con s´ımbolos a los fenómenos que vemos), es el gran paso que se dio en la invención del cero, pues de esta forma surgieron otras preguntas como “¿Qué n´ umero debo sumar a 5 para obtener cero?”, lo cual dio origen a los n´ umeros negativos. De una forma similar surgieron seguramente también los n´ umeros racionales, por ejemplo, imaginemos que alguien se preguntó: “¿Por qué n´ umero debo multiplicar al n´ umero dos para obtener como resultado el n´ umero uno?”. Evidentemente, el n´ umero buscado no es ni natural, ni entero, 1 sino racional (El n´ umero buscado es ). En el Capitulo 3 se da un peque˜ no estudio de estos 2 n´ umeros. Se otorga a los filósofos griegos, en particular a la escuela pitagórica, con mayor frecuencia la idea de resolver el siguiente problema: encontrar la longitud del cuadrado que tiene la longitud de sus lados igual a uno. Se sabe que el resultado (es decir, la longitud de la diagonal del cuadrado), no es un n´ umero racional, sino que da origen a una nueva familia de n´ umeros que se denominan como irracionales, los cuales estudiaremos en el Cap´ıtulo 4. ´ meros... Los Nu

1.1 Teor´ıa de conjuntos

Para terminar esta introducción, se da una peque˜ na noción de la teor´ıa de conjuntos. Decimos que un conjunto es una colección de objetos. No es necesario que esos objetos sean todos definidos de manera individual. Algunas veces bastará con mencionar alg´ un patrón que satisfacen los objetos que pertenecen al conjunto considerado. Otras veces la cantidad de objetos que existe es tan peque˜ na que es posible listarlos uno a uno. No obstante, la mayor´ıa de las veces que se presentarán a lo largo del libro, usaremos conjuntos con un n´ umero infinito de objetos. A los objetos que pertenecen a esos conjuntos los llamaremos elementos (del conjunto). En general, los objetos con los que trabajaremos en este libro serán n´ umeros. Usaremos letras min´ usculas cursivas para denotar n´ umeros. Los conjuntos se denotarán por medio de letras may´ usculas. As´ı, podremos escribir a para denotar alg´ un n´ umero cualquiera. Si alg´ un elemento x (x representa alg´ un objeto) se encuentra en un conjunto A, entonces, escribiremos x ∈ A para indicarlo. Para leerlo diremos: “El elemento x está en el conjunto A”, o también, “x es un elemento del conjunto A”, o más concisamente “x está en A”. Cuando el elemento x no se encuentre en el conjunto A se escribirá x 6∈ A. De manera similar esto se leerá “El elemento x no está en el conjunto A”, o también, “x no es un elemento del conjunto A”, o más concisamente “x no está en A”. Para indicar de una manera expl´ıcita la condición que deben satisfacer los elementos de un conjunto, escribiremos lo siguiente: A = {x|x cumple con tal propiedad} Esto se lee: “el conjunto A está formado por todos los valores (de) x tales que x cumpla con tal propiedad”. Por ejemplo, para denotar a los n´ umeros pares escribimos: P = {x|x es un n´ umero par} y lo leemos “El conjunto P es el formado por todos los valores de x tales que x sea un n´ umero par”. Cuando se tengan dos conjuntos A y B, y se cumpla que todos los elementos del conjunto A sean también elementos del conjunto B, diremos que el conjunto A está incluido en el conjunto B. Esto se denotará por A ⊂ B Si no está incluido el conjunto A en el conjunto B, escribiremos A 6⊂ B. Existe un conjunto que no contiene ning´ un elemento, al cual se denomina conjunto vac´ıo y se denota por ∅. Algunas de las operaciones que se definen entre dos conjuntos son la unión y la intersección. La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto C que contiene a todos los elementos del conjunto A como del conjunto B. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto C que contiene u ńicamente a los elementos que pertenecen simultáneamente tanto al conjunto A como al conjunto B. En las figuras 1 y 2 pueden verse gráficamente estas operaciones. 3

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Introducci´ on

Además a estas operaciones se definen otras, que en este texto no se consideran por no haber necesidad de trabajar con ellas. Solamente se hace mención de las que se consideran necesarias para la compresión del material expuesto en el texto. A

A∩B

´ n de conjuntos. Fig. 1. Unio

´ n de conjuntos Fig. 2. Interseccio

Finalmente se hace mención que a lo largo del texto aparecerán algunas demostraciones. La mayor´ıa de ellas no son muy dif´ıciles de entender, sin embargo al leer cada una de ellas se debe tener en cuenta que, para entender la demostración en s´ı, es requisito indispensable que se entiendan todos y cada uno de los argumentos y pasos que se siguen en la demostración. El autor del presente texto está plenamente convencido de que las matemáticas se aprenden mejor por medio de la práctica. Por eso se sugiere que la lectura de este libro incluya la resolución de los ejercicios que van apareciendo a lo largo del mismo. Resolver problemas ayuda a entender mejor los conceptos estudiados y solamente as´ı empiezan a tener sentido muchas de los conceptos que se tratan.

´ meros... Los Nu

Dos N´ umeros naturales

Podemos empezar diciendo que los n´ umeros naturales tienen su nombre gracias al hecho de que el hombre, de manera intuitiva tuvo desde el principio de su historia, la noción de cantidad. De hecho, en la introducción se trató de justificar esto por medio de ejemplos que, si bien pueden no ser ciertos, deben estar muy cercanos a la realidad. Nota: En este y el siguiente cap´ıtulo trabajaremos con n´ umeros naturales y enteros respectivamente, a menos que se indique otra cosa.

2.1

Definici´ on

Se define al conjunto de los n´ umeros naturales como todos aquellos n´ umeros que usamos para contar. De manera natural, el hombre los acogió para poder tener control sobre las cosas que pose´ıa. Nótese que el cero queda excluido de este conjunto, puesto que cuando un hombre no posee ning´ un objeto, no siente la necesidad de contar. Por tanto, los n´ umeros naturales son: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... donde los puntos suspensivos indican que la lista sigue infinitamente. En lo que sigue, denotaremos a los n´ umeros naturales por el s´ımbolo N. Entonces, en notación de conjuntos podemos escribir: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, · · · } Basándonos en este hecho, cuando digamos que x es un elemento del conjunto de los n´ umeros naturales entenderemos que es alguno de los n´ umeros que aparecen en la lista dada entre llaves para N. En notación de conjuntos esto se escribe: x ∈ N y se lee “x pertenece al conjunto de los n´ umeros naturales”, o “x es un n´ umero natural”. 5

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N´ umeros naturales

2.2

Relaciones de equivalencia

Todos los n´ umeros, cumplen ciertas propiedades con respecto a la igualdad. Las mencionamos enseguida, que a pesar de no ser indispensables, sirven de muestra que hemos aprendido matemáticas a´ un antes de haber ido a la escuela. Reflexiva: a = a Sim´ etrica: Si a = b, entonces b = a Transitiva: Si a = b y también b = c, entonces a = c En palabras, la primera nos dice que un n´ umero siempre es igual a s´ı mismo. Imag´ınese a Aarón, él siempre tendrá su propia edad. La segunda está diciendo que si un n´ umero es igual a otro, entonces el segundo debe ser igual al primero. En otros términos dir´ıamos que, si Aarón tiene la misma edad que Benjam´ın, entonces Benjam´ın debe tener la misma edad que Aarón. La tercera dice que si tenemos tres n´ umeros tales que el primero es igual al segundo, y además, el segundo es igual a otro tercero, entonces el primero y el tercero son iguales. En términos de edades nos dicen que, si Aarón y Benjam´ın tienen la misma edad y, además Benjam´ın y Carlos tienen también la misma edad, entonces necesariamente Aarón y Carlos deben tener la misma edad (es decir, todos tienen la misma edad). Ahora veámoslo desde otro punto de vista: Supongamos que (solamente para este apartado) a, b y c ya no son n´ umeros, sino l´ıneas rectas, y que el s´ımbolo “=” no indica la igualdad, sino el paralelismo entre l´ıneas rectas. Entonces, las tres condiciones que imponen estos argumentos también se cumplen. Es decir, una recta siempre es paralela a s´ı misma. También se cumple que si la recta a es paralela a la recta b, entonces la segunda recta b debe ser paralela a la primer recta a. Y finalmente, si las rectas a y b son paralelas y también se cumple que las rectas b y c son paralelas, entonces, las rectas a y c son paralelas. Nótese que para el caso de perpendicularidad, en lugar de paralelismo las condiciones no se cumplen. Ahora, si nos volvemos a cambiar de l´ıneas rectas a n´ umeros naturales otra vez, y aplicamos estas condiciones, ahora usando el s´ımbolo “=” como criterio de divisibilidad, veremos que también se cumplen, haciendo una peque˜ na modificación a la segunda condición. Más adelante se estudian algunas propiedades de la divisibilidad. Ahora, vámonos a la teor´ıa de conjuntos, junto con estas condiciones. Si consideramos ahora el s´ımbolo “=” como inclusión de conjuntos, podemos notar que se cumplen las tres condiciones haciendo una peque˜ na modificación a la segunda condición, en la cual es necesario que los conjuntos a y b sean iguales. Lo que se quiere hacer notar aqu´ı es que un solo conjunto de condiciones (o, mejor dicho, axiomas) se pueden aplicar no solamente a una rama espec´ıfica de la matemática, sino a varias. Y eso es lo maravilloso de las matemáticas, que usando solo la cantidad de propiedades necesaria (no más) que deben satisfacer los objetos con los que se trabaja, se puede llegar a encontrar conclusiones que no parece tener conexión por ning´ un lado, que ahorramos conceptos al máximo y creamos conocimientos basándonos solamente en las condiciones impuestas por los objetos y las operaciones con ellos (en otras palabras no realizamos operaciones que a´ un no se hayan especificado como permitidas). ´ meros... Los Nu

2.3 Ley distributiva

Las propiedades que se han mencionado que cumplen los n´ umeros con respecto a la igualdad no son las u ńicas. Como muestra de que existen más, mencionamos las dos siguientes: • Si a = b, entonces a c = b c. • Si a = b, y también c = d, entonces a + c = b + d. La primera nos dice que si dos n´ umeros son iguales, la igualdad se sigue cumpliendo si ambos n´ umeros son multiplicados por otro n´ umero cualquiera. En términos de edades dir´ıamos que si Benjam´ın y Aarón tienen la misma edad, entonces, si multiplicamos la edad de cada uno de ellos por el mismo n´ umero, los resultados de esas multiplicaciones deben ser iguales. La segunda dice en palabras que si conocemos cuatro n´ umeros que son iguales dos a dos, y que si los sumamos por pares (como se indica), entonces, las sumas resultan siempre ser iguales. En términos de edades dir´ıamos que si Aarón y Benjam´ın tienen la misma edad y además, Carlos y Daniel tienen también la misma edad (no necesariamente iguales a las edades de Aarón y Benjam´ın), entonces, si sumamos las edades de Aarón y de Carlos y, por separado las edades de Benjam´ın y de Daniel, los resultados deben ser iguales. Las propiedades de los n´ umeros son tan importantes en el estudio de la matemática porque a partir de ellas se deducen todo tipo de leyes y teoremas que nos ayudan a entender y resolver problemas que a primera vista parecen dif´ıciles, y que de otra forma ser´ıan casi imposibles de resolver.

2.3

Ley distributiva

Existe un conjunto de propiedades que todos los n´ umeros naturales satisfacen. Por ejemplo, al sumar dos n´ umeros naturales el resultado es siempre otro n´ umero natural, independientemente de los n´ umeros naturales que hayamos elegido como sumandos. Igualmente pasa con la multiplicación. Otra propiedad que cumplen es que si se van a sumar dos n´ umeros, no importa por quien empezamos a sumar, siempre obtendremos el mismo resultado. Igualmente pasa con la multiplicación. Para poder hacer más claro el material de los siguientes art´ıculos se hace necesaria la indicación de la ley distributiva de los n´ umeros. Esta ley está dada por la siguiente 1 expresión : a (b + c) = a b + a c Para hacer evidente esta ley se muestra el siguiente argumento por medio del cálculo del a´rea de un rectángulo: 1 Recu´ erdese que las letras min´ usculas cursivas representan n´ umeros naturales en este cap´ıtulo. Adem´ as, se usar´ an par´ entesis para indicar la multiplicaci´ on de n´ umeros. No se utiliza el s´ımbolo ”×” para evitar confusi´ on, pues aqu´ı las letras que representan n´ umeros. Omitiremos el par´ entesis en los casos que no se preste a confusi´ on y se sobreentender´ a que se indica multiplicaci´ on. As´ı, a (b + c) indica la multiplicaci´ on del n´ umero a por el n´ umero b + c, y ab indica la multiplicaci´ on de los n´ umeros a y b.

´ meros... Los Nu

N´ umeros naturales

b+c

De la figura se observa que el rectángulo original (el más grande) se ha dividido en dos rectángulos, uno mediano, a la izquierda, cuya base mide b unidades y altura mide a unidades, y el otro más peque˜ no, a la derecha, cuya base mide c unidades y tiene a unidades de altura. De tal forma que la base del rectángulo original mide (b + c) unidades y su altura mide a unidades. Entonces, de la figura se deduce que el área del rectángulo es a (b + c) unidades cuadradas2 . También podemos hacer el cálculo de la siguiente manera: calculamos el área del rectángulo azul y el a´rea del rectángulo amarillo por separado. Sumamos ambas áreas y el resultado es el a´rea del rectángulo original. Sabemos que el a´rea del rectángulo azul es a b, y el a´rea del rectángulo amarillo es a c. La suma de estas dos áreas es a b + a c. Y como ambos métodos son correctos, debimos haber tenido el mismo resultado. En términos matemáticos: a (b + c) = a b + a c que es en s´ı la ley distributiva para los n´ umeros. Esta ley nos permitirá llegar a conclusiones bastante productivas en el resto de la lectura. Un ejemplo de su aplicación diaria es en el de las multiplicaciones. Por ejemplo, encontremos el resultado de multiplicar 7 por 12 usando la ley distributiva para los n´ umeros. Gracias a la ley distributiva podemos escribir3 : (7)(12) = (7)(10 + 2) = (7)(10) + (7)(2) = 70 + 14 = 84. Los cálculos se simplifican bastante y, en caso de no tener calculadora pueden hacerse mentalmente de una manera rápida. Otra forma de justificar esta ley, ahora por medio de la aritmética, es considerar que la multiplicación no es sino una forma de hacer sumas de una manera rápida y compacta. Por ejemplo, la multiplicación (7)(12) es la forma compacta de escribir 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12, o también 7 + 7 + · · · + 7 + 7 (doce veces). Nótese que multiplicar 7 por 10 es la forma compacta de sumar 7 veces 10, y que multiplicar 7 por 2 es igual a sumar el n´ umero 7 dos veces. Si sumamos los resultados as´ı obtenidos, estamos encontrando el equivalente a sumar, primero diez veces el n´ umero 7 y luego otras dos veces. Es decir, en total sumamos el n´ umero 7 doce veces. Es claro 2 El 3 En

´ area de un rect´ angulo se calcula multiplicando la longitud de la base por su altura. este caso en particular a = 7, b = 10 y c = 2

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2.4 Pares e impares

que esto es igual a multiplicar 7 por 12. Si se observa, se realizaron las mismas operaciones que las indicadas en la ley distributiva de los n´ umeros y se llegó, necesariamente a la misma conclusión, ahora desde el punto de vista aritmético.

2.4

Pares e impares

Existe una familia de n´ umeros que es bastante conocida por todas las personas, los cuales son de uso frecuente. En particular, los n´ umeros pares y los n´ umeros impares. Podemos definir los n´ umeros pares como aquellos que terminan (a la derecha) en alguno de los siguientes d´ıgitos: 0, 2, 4, 6 y 8. De manera semejante diremos que los n´ umeros impares son aquellos que terminan en los d´ıgitos 1, 3, 5, 7 y 9, en otras palabras, todos los que no son pares. Aqu´ı podemos mencionar algunas de las propiedades de estos n´ umeros. En primer lugar, con respecto a la suma, si se eligen dos n´ umeros pares y se suman, el resultado es otro n´ umero par. Debido a esto vamos a decir que los n´ umeros pares son cerrados bajo la suma. Lo mismo ocurre cuando se multiplican dos n´ umeros pares. Es decir, si elegimos dos n´ umeros pares, y se multiplican, el resultado es otro n´ umero par. Entonces, los n´ umeros pares tambi´en son cerrados bajo la multiplicaci´on. Consideremos los siguientes ejemplos. 2 + 12 = 14 (4)(8) = 32

Par + Par = Par (Par)(Par) = Par

Esto que hemos mostrado no es más que evidencia de que lo que hemos dicho parece ser verdad. La demostración de estos dos hechos se llevará a cabo en el más adelante, cuando tengamos más herramientas para convencernos de este hecho. Ahora volvamos la mirada a los n´ umeros impares y averig¨ uemos si en ellos ocurre lo mismo. Ahora iremos en sentido opuesto y consideraremos primero dos ejemplos: 3+5=8 (5)(7) = 35

Impar + Impar = Par (Impar)(Impar) = Impar

Parece que los n´ umeros impares no son cerrados bajo la suma, pero s´ı lo son bajo la multiplicaci´on. Consideremos otro par de casos. 13 + 21 = 34 51 + 75 = 126 (3)(21) = 63 (19)(19) = 361

Impar + Impar = Par Impar + Impar = Par (Impar)(Impar) = Impar (Impar)(Impar) = Impar

Hasta aqu´ı hemos visto cierta evidencia que muestra que los n´ umeros impares no son cerrados bajo la suma, puesto que cuando sumamos dos n´ umeros impares el resultado no es un n´ umero 9

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N´ umeros naturales

impar, sino par. Por otra parte, la multiplicación parece ser cerrada para los n´ umeros impares. Sin embargo, no podemos todav´ıa dar una regla general (o ley) que indique que eso es cierto, puesto que solamente hemos visto que eso ocurre as´ı en los casos estudiados; pero nadie puede asegurar, hasta aqu´ı, que los casos que hemos tomado sean (o no sean) en cierto aspecto especiales, de tal forma que si tomamos otro caso que no tenga esa caracter´ıstica especial, el resultado sea tal que nos sugiera otra conclusión. Para eliminar cualquier duda, los matemáticos recurren a la demostración de la conjetura usando solamente argumentos y operaciones que son válidos para los objetos con los que están trabajando.

2.5

M´ ultiplo y divisor de un n´ umero

Definimos como m´ ultiplo de un n´ umero dado x, a todos aquellos que resultan de multiplicar el n´ umero x considerado por alg´ un otro n´ umero natural cualquiera4 . Para entender mejor la definición, se dan algunos ejemplos: M´ ultiplos del n´ umero 2: M2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, · · · } M´ ultiplos del n´ umero 3: M3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, · · · } M´ ultiplos del n´ umero 11: M11 = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, · · · } Se ve inmediatamente que para saber si un n´ umero dado y es m´ ultiplo de otro x entonces es necesario encontrar un n´ umero a tal que y = ax. En palabras, esta igualdad nos dice que el n´ umero y es el resultado de multiplicar al n´ umero x por alg´ un otro n´ umero a, lo que coincide con la definición de m´ ultiplo que acabamos de dar. La definición de divisor de un n´ umero viene dada de una forma parecida. Si nos apoyamos en la igualdad que escribimos en el u ´ltimo párrafo, decir que un n´ umero q divide a otro p, es equivalente a decir que existe un n´ umero r tal que el n´ umero q sea igual al producto de p por r. Matemáticamente esto se puede escribir: p = qr Entonces, basándonos en la definición de m´ ultiplo de un n´ umero, podemos decir que el n´ umero q divide a otro n´ umero p, siempre que el n´ umero p resulte ser m´ ultiplo del n´ umero q. Tomando en cuenta los ejemplos que dimos para la definición de m´ ultiplo de un n´ umero, podemos ver que el n´ umero 2 es divisor de todos sus m´ ultiplos, es decir, el 2 es divisor de los elementos del siguiente conjunto: M2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, · · · } 4 Aqu´ ı es bastante conveniente evadir cierta falta de claridad en las definiciones y conclusiones que obtenemos con ellas. Para esto, en el caso de los n´ umeros enteros excluiremos al cero de entre los posibles valores que podemos dar al n´ umero a multiplicar por x, con el fin de que no digamos que el cero es m´ ultiplo de todos los n´ umeros (esto es evidente del hecho de que el resultado de multiplicar cualquier n´ umero por cero es igual a cero)

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2.6 Cerradura de pares e impares

De manera similar, todos los m´ ultiplos del n´ umero 3 tienen al n´ umero 3 por divisor: M3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, · · · } Espec´ıficamente podemos ver lo que significa que un n´ umero q divide a otro p con varios ejemplos: 27 =9 3 Aqu´ı se puede ver que el n´ umero 3 divide al n´ umero 27, porque el resultado de esa operación es un n´ umero entero (el nueve). En este caso en particular tenemos p = 27, q = 3 y r = 9 (p = qr se aplica como 27 = (3)(9)). Otro ejemplo es: 14 =7 2 Aqu´ı tenemos p = 14, q = 2 y r = 7. Algo importante de mencionar: los m´ ultiplos de un n´ umero nunca serán menores que el n´ umero considerado. Por ejemplo, el n´ umero 3 tiene muchos m´ ultiplos. De todos ellos, el menor es el n´ umero 3 mismo. Todos los demás n´ umeros son mayores que él. Ninguno es menor que el 3. De hecho, el 3 no es menor que el 3, es igual al 3, pero no menor. Otro punto importante similar, pero en este caso para los divisores de un n´ umero consiste en que ninguno de los divisores de un n´ umero será mayor que el n´ umero considerado. Por ejemplo, consideremos el caso del n´ umero 8. Sus divisores son: 1, 2, 4 y 8. Se ve inmediatamente que ninguno de ellos es mayor que el 8. El mayor de todos es el 8 mismo y éste no es mayor que 8; es igual a 8, pero no mayor que él. Esta información nos ayuda a encontrar resultados que no tienen sentido cuando tratamos de encontrar un m´ ultiplo de un n´ umero y vemos que el resultado es menor que el n´ umero mismo, o cuando necesitamos los divisores de otro n´ umero y el resultado es mayor que el n´ umero mismo.

2.6

Cerradura de los n´ umeros pares y los n´ umeros impares

Entonces, podemos escribir de una forma muy compacta la familia de n´ umeros que resultan ser m´ ultiplos de otro: mq = q r Por ejemplo, tomemos el caso del n´ umero 2. Sus m´ ultiplos ser´an de la forma: m2 = 2 r 11

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N´ umeros naturales

En esta igualdad, r puede tomar valores desde 1, 2, 3, · · · hasta el infinito (es decir, n´ umeros naturales), que en t´erminos de notaci´on de conjuntos se escribe: r ∈ N. Entonces, vemos que todos los n´ umeros pares tienen la forma p = 2 r, donde r ∈ N. Ahora, supongamos que tenemos dos n´ umeros pares distintos:p1 = 2 s y s, t ∈ N. Si sumamos estos dos n´ umeros obtenemos el siguiente resultado5 :

p2 = 2 t, donde

p1 + p2 = 2 s + 2 t = 2 (s + t) que también resulta ser par. Este resultado se puede generalizar de la manera siguiente: considere todos los m´ ultiplos del n´ umero q, éstos tienen la siguiente forma: p = q r. Tomemos dos de esos n´ umeros, digamos p1 = (q)(r1 ) y p2 = (q)(r2 ). La suma de estos dos n´ umeros es p1 + p2 = (q)(r1 ) + (q)(r2 ) = (q)(r1 + r2 ). De aqu´ı se ve inmediatamente que la suma de dos n´ umeros que sean m´ ultiplos de q, es otro n´ umero que también es m´ ultiplo del n´ umero q. En el caso de los impares, un n´ umero impar tiene la forma: 2 k +1, es decir, a un par le sumamos el n´ umero 1 y obtenemos un n´ umero impar. ¿De acuerdo? Entonces continuamos. Si sumamos dos n´ umeros impares q1 = 2 s + 1 y q2 = 2 t + 1 tenemos: q1 + q2 = (2 s + 1) + (2 t + 1) = 2 s + 2 t + 2 = 2 (s + t + 1) resultando ser un n´ umero par, puesto que tiene la forma6 p = 2 r. Sin embargo, si consideramos el producto de dos n´ umeros impares vemos que7 : (q1 )(q2 ) = (2 s + 1)(2 t + 1) = (2 t)(2 s + 1) + 1 (2 s + 1) = = 4 st + 2 s + 2 t + 1 = [4 st + 2 s + 2 t] + 1 = = 2 (2 st + s + t) + 1 que en palabras nos dice que el resultado de multiplicar dos n´ umeros impares es otro n´ umero impar, puesto que al n´ umero par 2 (2 st + s + t) le sumamos el n´ umero 1, lo cual nos resulta ser impar.

2.7

Criterios de divisibilidad

Se han encontrado criterios de divisibilidad que nos ayudan a saber de una manera rápida cuándo un n´ umero dado q es o no es divisor de alg´ un otro n´ umero p. Cada uno tiene su justificación. Mencionamos solamente las justificaciones de los más sencillos. 5 Aqu´ ı

se ha recurrido a la ley distributiva de los n´ umeros. r = s + t + 1, y es un entero, porque es la suma de tres n´ umeros enteros. 7 En este caso, hemos usado la ley distributiva dos veces: (a + b)(c + d) = (a + b)(c) + (a + b)(d) = a c + a b + b c + b d. 6 Aqu´ ı

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2.7 Criterios de divisibilidad

Criterio de Divisibilidad para el 2: Si el n´ umero termina en n´ umero par (0, 2, 4, 6, 8), entonces es divisible por 2. Es bastante evidente de las definiciones de n´ umero par y divisor de un n´ umero. Criterio de Divisibilidad para el 3: Si la suma de los d´ıgitos que forman el n´ umero es m´ ultiplo de tres, entonces el n´ umero es divisible por 3. Este no es para nada evidente. Mostramos un argumento que justifica el criterio para n´ umeros de tres cifras y que puede fácilmente generalizarse a n´ umeros más grandes. Considere el n´ umero formado por tres cifras abc. Por ejemplo, si el n´ umero es 237, entonces a = 2, b = 3 y c = 7. Este n´ umero puede escribirse como sigue: 100 a + 10 b + c = (99a + a) + (9b + b) + c = = (99 a + 9 b) + (a + b + c) = = 3(33 a + 3 b) + (a + b + c) (Para el ejemplo anterior 100 a + 10 b + c = (100)(2) + (10)(3) + (7) = 237) Ya se hab´ıa mencionado que cuando sumamos dos m´ ultiplos de un n´ umero dado k, el resultado también es un m´ ultiplo de k. Esto es, para que el n´ umero formado por las cifras abc sea un m´ ultiplo de 3, es necesario que (a + b + c) sea m´ ultiplo de 3, puesto que 3(33 a + 3 b) ya es m´ ultiplo de 3. Criterio de Divisibilidad para el 4: Si el n´ umero formado por las dos u ´ltimas cifras de la derecha del n´ umero dado es m´ ultiplo de 4, entonces el n´ umero dado se divide entre 4. Sabemos que la suma de dos m´ ultiplos de 4 es también un m´ ultiplo de 4. Basándonos en este hecho, podemos buscar cuál de los n´ umeros 10, 100, 1000, 10000, etc., es m´ ultiplo de 4, pues, si 1000 es el menor (por ejemplo), entonces, 10,000 también lo será, puesto que resulta ser igual a sumar el n´ umero 1000 diez veces, o dicho de otra forma, multiplicar 1000 por 10, y as´ı sucesivamente el 100,000 también será m´ ultiplo de 4 por ser igual a la multiplicación del n´ umero 10,000 por 10, etc. ¿Porqué buscamos este tipo de n´ umeros? Pues sencillamente porque, como en el caso del criterio de divisibilidad del n´ umero tres, podemos expresar cualquier n´ umero como sumas en la forma ya expuesta. Por ejemplo, el n´ umero 5812, puede expresarse como: (5)(1000) + (8)(100) + (1)(10) + 2. Entonces, basándonos en el hecho de que si sumamos m´ ultiplos del n´ umero 4, el resultado es otro m´ ultiplo de 4, entonces habrá unos términos que ya son m´ ultiplos de 4, sin embargo, probablemente no todos sean y as´ı sabremos cuántos n´ umeros se necesita verificar que sean m´ ultiplos de 4 (similarmente al caso del n´ umero 3). Podemos verificar que el 1000 es m´ ultiplo de 4, puesto que (4)(250) = 1000. El 100 también es m´ ultiplo de 4, puesto que (4)(25) = 100. Ahora surge la pregunta: ¿Es el 100 el n´ umero más peque˜ no? La respuesta es s´ı, puesto que no hay ning´ un n´ umero natural x que haga 4 x = 10. Entonces, si el n´ umero 100 es m´ ultiplo de 4, también lo serán sus m´ ultiplos, y no hay necesidad de verificar si el 500, por ejemplo, es un m´ ultiplo de 4. ¡Por supuesto que lo es!, dado que el 100 es un m´ ultiplo de 4 y el 500 es igual a (5)(100). ¿De acuerdo? Entonces, las centenas, unidades de millar, etc., ya son m´ ultiplos de 4. Lo que hace falta es ver si el n´ umero formado por las dos cifras de la derecha (es decir, las decenas y unidades) 13

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N´ umeros naturales

forman un m´ ultiplo de 4 porque de ser as´ı, entonces todo el n´ umero será un m´ ultiplo de 4, pues estaremos sumando dos m´ ultiplos de 4 y el resultado también lo será. En cambio, si el n´ umero formado por las dos u ´ltimas cifras de la derecha no es un m´ ultiplo de 4, entonces el n´ umero original no será m´ ultiplo de 4, porque estaremos sumando a un n´ umero que ya es m´ ultiplo de 4 otro que no es, y por tanto la suma no será m´ ultiplo de 4. Criterio de Divisibilidad para el 5: Si el n´ umero termina a la derecha en 0 o´ en 5, entonces se puede dividir entre 5. Bastante evidente, puesto que los m´ ultiplos de 5 solamente terminan en la cifra de las unidades (por la derecha), o en cero, o en cinco. Criterio de Divisibilidad para el 6: Si el n´ umero es divisible simultáneamente tanto por el dos como por el tres, entonces es divisible por el n´ umero seis. Esto se puede justificar usando la definición de divisor de un n´ umero. La definición de divisor de un n´ umero dice que si un n´ umero q divide a otro p, entonces se puede escribir: p = qr. Supongamos que el n´ umero p se divide entre 6. Entonces, por ser divisible por 6 podemos escribir: p = 6 r = (2)(3)r, lo que nos indica que el n´ umero p es m´ ultiplo de dos y tres simultáneamente, y por tanto p es divisible tanto por dos como por tres. Criterio de Divisibilidad para el 7: Se explica el algoritmo que se desarrolla cuando se desea verificar si un n´ umero dado es m´ ultiplo de 7 sin dar su justificación. Se toma la cifra de la derecha (unidades) del n´ umero dado. A esta cifra la multiplicamos por dos. El resultado de la multiplicación se resta del n´ umero que queda al quitarle (al n´ umero dado) la cifra de las unidades (que es precisamente el n´ umero que multiplicamos por dos). Al resultado se aplica el mismo método de separar la cifra de la derecha, multiplicar esta cifra por dos, etc. hasta que tengamos un n´ umero de dos o una cifra. Si el n´ umero resultante es m´ ultiplo de 7 o es el n´ umero cero, entonces el n´ umero dado (al principio) es m´ ultiplo de siete. De lo contrario, el n´ umero dado no es m´ ultiplo de 7. La justificación no se da por requerir de conceptos que no se estudian aqu´ı8 . Criterio de Divisibilidad para el 8: Si el n´ umero formado por las tres u ´ltimas cifras de la derecha del n´ umero dado es m´ ultiplo de 8, entonces el n´ umero dado es divisible por 8. La justificación es similar a la del criterio de divisibilidad del n´ umero 4. Nótese que el n´ umero 100 no es m´ ultiplo de 8, pero el n´ umero 1000 s´ı lo es, pues 1000 = (8)(125), y por tanto es necesario verificar si las tres cifras de la derecha forman un m´ ultiplo de 8. Criterio de Divisibilidad para el 9: Si la suma de los d´ıgitos que forman el n´ umero es m´ ultiplo de nueve, entonces el n´ umero es divisible por 9. Este criterio es similar al dado para el n´ umero 3. Nótese que el n´ umero formado por las tres cifras abc puede escribirse como sigue: 100 a + 10 b + c = (99a + a) + (9b + b) + c = = (99 a + 9 b) + (a + b + c) = = 9 (11 a + b) + (a + b + c) 8 M´ as

adelante se muestran ejemplos para un mejor entendimiento de los criterios de divisibilidad.

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2.8 Divisibilidad

Ya se hab´ıa mencionado que cuando sumamos dos m´ ultiplos de un n´ umero dado k, el resultado tambi´en es m´ ultiplo de k. Entonces, para que el n´ umero formado por las cifras abc sea un m´ ultiplo de 9, es necesario que (a+b+c) sea m´ ultiplo de 9, puesto que 9 (11 a+b) ya es m´ ultiplo de 9. Criterio de Divisibilidad para el 10: Si el n´ umero termina a la derecha en 0, entonces se puede dividir entre 10. Este criterio es evidente por el hecho de que al multiplicar un n´ umero por diez, el resultado es el mismo n´ umero agregando un cero a la derecha. Entonces, si el n´ umero dado tiene al menos un cero a la derecha, podemos imaginar que lo hab´ıamos multiplicado por diez, siendo entonces m´ ultiplo de diez y, por tanto, divisible entre diez. Existen todav´ıa m´as criterios de divisibilidad, pero por el momento estos son suficientes.

2.8

Propiedades de la divisibilidad

Aqu´ı se muestran las propiedades más importantes de la divisibilidad entre n´ umeros naturales. Se enlistan en orden de dificultad. Todas son relativamente fáciles de entender. Esperamos que se tenga una buena noción de las consecuencias que de ellas se deducen. En este apartado usaremos la siguiente notación: para indicar que un n´ umero a divide a otro n´ umero b escribiremos a|b, y lo leeremos el n´ umero a divide al n´ umero b. Recuérdese que esto implica que el n´ umero b es m´ ultiplo del n´ umero a, es decir, b = a r. • a|a

⇒

Propiedad sim´etrica.

⇒ ⇒

Propiedad reflexiva. Propiedad transitiva.

Para ver que las tres propiedades se cumplen se puede razonar como sigue: la primera condición es bastante evidente de la definición de divisor de un n´ umero. Sabemos que a = (1)(a), de donde se nota que es verdadera esta condición. Nótese que el n´ umero 1 es divisor de todos los n´ umeros naturales, pues el n´ umero a es arbitrario. Antes de justificar la segunda propiedad indicamos otra propiedad que cumple la divisibilidad: • Si a|b, entonces b ≥ a. Esta propiedad se sigue del hecho de que si a|b, entonces b = a r. Si r es mayor a 1, entonces el producto a r debe ser mayor que el n´ umero a. Es claro que la igualdad de la condición b ≥ a se cumple solamente cuando r = 1. Esta conclusión es evidente del hecho de que ning´ un m´ ultiplo del n´ umero a es menor que el n´ umero a, y el menor m´ ultiplo del n´ umero a es precisamente el n´ umero a. 15

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N´ umeros naturales

Con el argumento anterior podemos probar la segunda condición: si a|b, entonces b = a m, también si b|a, entonces a = b r. Entonces se cumple simultáneamente b ≥ a, porque a|b, y a ≥ b porque b|a. Sin embargo, para que ambas condiciones se cumplan es necesario que a = b, pues de otra forma la simultaneidad de ambas condiciones no tendr´ıa sentido. Para ver que la tercera es verdadera podemos proceder como sigue: dado que a|b, b = a m. También c = b r porque b|c. Pero como ya dijimos que b = a m, esto nos permite escribir c = b r = (a m) r = a (m r). De aqu´ı es claro que a|c. Todav´ıa hay más propiedades que se pueden fácilmente probar y que, de hecho hemos usado algunas ya sin recurrir a este apartado. Aqu´ı damos otro acercamiento a los mismos resultados. • Si a|b, entonces a|(b k) Esto es claro de la definición de divisor de un n´ umero. En palabras esta condición dice: Si a divide al n´ umero b, entonces el n´ umero a también debe dividir a cualquier m´ ultiplo del n´ umero b. Esto se sigue del hecho de que si a|b, entonces el n´ umero b es m´ ultiplo de a. Además, ya sabemos que un m´ ultiplo de a multiplicado por cualquier n´ umero resulta ser también m´ ultiplo de a. Luego, cuando multiplicamos el n´ umero b (que es m´ ultiplo de a) debemos obtener otro m´ ultiplo de a, de donde se puede asegurar que a divide ese n´ umero. • Si a|b, y también a|c, entonces a|(b + c) También podemos ver que esto es cierto basándonos en la ley distributiva y en la definición de divisor de un n´ umero. Puesto que a|b, se tiene que: b = am. También, puesto que a|c, se sigue que: c = an. Por otra parte tenemos b + c = am + an = a (m + n). Esto nos indica que el n´ umero a divide al n´ umero b + c. Combinando las dos u ´ltimas propiedades podemos encontrar que: • Si a|b, y también a|c, entonces a|(b m + c n) La demostración de esta propiedad se deja como ejercicio.

2.9

N´ umeros Primos y N´ umeros Compuestos

Primero damos las definiciones de n´ umero primo y de n´ umero compuesto. Después se explica un método para enlistar los n´ umeros primos. Un n´ umero primo es aquel que tiene exactamente dos divisores9 , los cuales son el n´ umero 1 y él mismo. Un n´ umero es compuesto si tiene al menos tres divisores. 9 Recu´ erdese que aqu´ı estamos trabajando solamente con n´ umeros naturales. Si estuvi´ eramos trabajando con n´ umeros enteros, entonces la definici´ on de n´ umero primo cambiar´ıa, pues tendr´ıa cada n´ umero primo p, cuatro divisores, 1, −1, p y −p.

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2.9 Primos y compuestos

Las definiciones de n´ umero primo como de n´ umero compuesto se dieron de forma tal que el n´ umero 1 quedara excluido de ambos conjuntos. En primer lugar se debe notar que el n´ umero 1 solamente tiene un divisor: él mismo. La razón de excluir al n´ umero 1 es por razones practicas que más adelante se justificarán. Los primeros diez n´ umeros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Evidentemente existen más n´ umeros primos. De hecho, más adelante probaremos que la lista de los n´ umeros primos es infinita. Con respecto a este tipo de n´ umeros se han hecho un sinn´ umero de conjeturas. Por ejemplo se ha tratado de encontrar una fórmula que encuentre los n´ umeros primos, uno tras otro. Tal fórmula todav´ıa no se ha encontrado y probablemente nunca se encuentre. Es lo que hace más fascinante las matemáticas: conoces objetos y quieres encontrar la fórmula que los enlista uno tras otro en orden. El esp´ıritu cient´ıfico de los matemáticos les dice que existe una, sin embargo, nuestras mentes no han tenido la suerte de encontrar la solución (que no necesariamente debe ser u ńica o quizás no exista). Ahora se da el método para enlistar, “a pie” los primeros n´ umeros primos. Existió en Alejandr´ıa un hombre que se llamó Eratóstenes (275 - 195). A él se le atribuye la primera medición del per´ımetro de la tierra. Sin embargo aqu´ı nos ocuparemos de otra de sus contribuciones, la cual llamaremos Criba de Eratóstenes. La Criba de Eratóstenes consiste en hacer la lista del n´ umero 1 hasta el que queramos. Aqu´ı consideraremos hasta el n´ umero 200. La forma de encontrar los n´ umeros primos que ideó Eratóstenes es como sigue: Eratóstenes sab´ıa que los n´ umeros compuestos tienen al menos tres divisores. De hecho, todos los n´ umeros tienen al menos dos divisores, el n´ umero 1 y ellos mismos. Entonces, si un n´ umero es m´ ultiplo de dos n´ umeros (no necesariamente distintos y excluyendo al n´ umero 1) no puede ser primo, puesto que se puede dividir por 1 y por esos dos n´ umeros. Por ejemplo, consideremos el n´ umero 6. Sabemos que 6 = (2)(3). Entonces, sus divisores son 1, 2, 3 y 6. Consideramos ahora el n´ umero 4. Sabemos que 4 = (2)(2). Vemos que el n´ umero 4 tiene tres divisores: 1, 2 y 4 y, por tanto, no es primo, sino compuesto. Entonces, Eratóstenes, basándose en esto sugirió escribir la lista de los n´ umeros del 1 hasta el n´ umero deseado (nosotros usaremos hasta el 200), empezar a tachar los m´ ultiplos del n´ umero 2, excepto el dos mismo, dado que él tiene el privilegio de ser primero de la lista de los m´ ultiplos de 2 (de la palabra Primero viene el adjetivo Primo de los n´ umeros primos). Se procede de igual manera con los m´ ultiplos de 3, 5, etc. Como sugerencia se propone empezar, si se están tachando los m´ ultiplos del n´ umero m, del n´ umero (m)(m). Esto es porque no hay necesidad de tachar el n´ umero 2 m; ya se tachó cuando eliminamos los m´ ultiplos del n´ umero 2. Igualmente no hay necesidad de tachar el n´ umero 3 m, pues se tachó cuando tachamos los m´ ultiplos del n´ umero 3. Y as´ı sucesivamente hasta el n´ umero primo que se encuentre antes del n´ umero m. Otra sugerencia bastante u ´til, que de hecho, por la metodolog´ıa dada, se utiliza, es observar que cuando tachamos los m´ ultiplos de 2, también tachamos los m´ ultiplos del n´ umero cuatro (4, 8, 12, 16, etc.). Esto se debe a que los m´ ultiplos de 4 también son m´ ultiplos de 2. Para ver que esto es as´ı, simplemente escribimos un m´ ultiplo de 4; éste tiene la forma m4 = 4 k = (2)(2) k. De aqu´ı vemos que ciertamente, también es m´ ultiplo de 2. Para ver que los m´ ultiplos de 6 17

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N´ umeros naturales

también son m´ ultiplos de 2 procedemos de manera semejante: Los m´ ultiplos de 6, tienen la forma m6 = 6 k = (2)(3) k. Ciertamente, también es m´ ultiplo de 2. Evidentemente con los m´ ultiplos de 3 (6, 9, 12, 15, etc.) ocurre lo mismo. La criba de Eratóstenes se deja como ejercicio.

2.10

Descomposici´ on de un N´ umero Compuesto en sus Factores Primos

Ahora que conocemos a los n´ umeros primos menores que 200, podemos expresar a los n´ umeros compuestos como producto de n´ umeros primos solamente. Por ejemplo el n´ umero 54 puede escribirse: 54 = (2)(27) = (2)(9)(3) = (2)(3)(3)(3), el n´ umero 120 se puede expresar como 120 = (2)(60) = (2)(2)(30) = (2)(2)(2)(15) = (2)(2)(2)(3)(5). El procedimiento consiste en verificar si el n´ umero se puede dividir por 2, luego por 3, luego por 5, después por 7, y as´ı sucesivamente. Nótese que no hay necesidad de verificar si el n´ umero se puede dividir por 4, puesto que si se divide por 4 necesariamente se debe dividir entre 2, lo cual se verificó antes (porque, si un n´ umero es m´ ultiplo de 4 necesariamente debe ser m´ ultiplo de 2, como ya se indicó). Igual pasa con el 6, pues si el n´ umero dado se divide entre seis se debió haber dividido entre 2 primero y después entre 3. Consideremos ahora el n´ umero 1210. Para empezar tiene mitad, 1210 = (2)(605). Ahora, el n´ umero 2 ya no se puede descomponer en factores puesto que él es un n´ umero primo, pero el n´ umero 605 seguramente s´ı (al menos sabemos que es divisible por 5 porque termina en 5 a la derecha). Verifiquemos si se puede dividir por tres. Para esto, sumamos las cifras de las cuales está formado: 6 + 0 + 5 = 11. El n´ umero 11 no es m´ ultiplo de 3, entonces el n´ umero 605 no es divisible por 3 (verif´ıquese por medio de la división). Recuerde que no hay necesidad de verificar si es divisible por 4, puesto que no es divisible entre 2. Ahora pasamos al 5 (que es el siguiente n´ umero primo después de 3). 605 = (5)(121). Entonces: 1210 = (2)(605) = (2)(5)(121). Ahora, ni el n´ umero 2 ni el n´ umero 5 pueden descomponerse en factores puesto que éstos son primos, veamos si el n´ umero 121 se puede descomponer en factores primos: ¿Es divisible por 2? No, pues no termina en cifra par. ¿Es divisible por 3? Para verificarlo sumamos sus cifras: 1 + 2 + 1 = 4, el cual no es m´ ultiplo de 3, lo que indica que 121 tampoco es divisible por 310 . ¿Es divisible por 5? No, pues no termina ni en cero ni en cinco. ¿Es divisible por 7? Veámoslo: Tomamos la u ´ltima cifra de la derecha (1) y la multiplicamos por 2. Este resultado (2) se lo restamos al n´ umero que se forma quitando el 1 de la derecha al n´ umero 121. 10 si

este n´ umero se dividiera por 3, tambi´ en deb´ıa dividirse el n´ umero 605, pues 605 es m´ ultiplo de 121.

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2.10 Descomposici´ on en factores primos

12 − 2 = 10. Ya no hay necesidad de ir más lejos. Es evidente que el n´ umero 10 no es m´ ultiplo de 7, y por tanto el n´ umero 121 no se divide entre 7. Ahora veamos si se puede dividir por 11, que es el siguiente primo: en efecto, se puede dividir, puesto que (11)(11) = 121. Entonces, 1210 = (2)(5)(121) = (2)(5)(11)(11) es la descomposición del n´ umero 1210 en sus factores primos. Como sugerencia, se recalca que no hay necesidad de verificar la divisibilidad de un n´ umero más 11 allá de su ra´ız cuadrada para saber si es un n´ umero primo . En otras palabras, si queremos saber si un n´ umero dado p es primo o no lo es, no hay necesidad de verificar si se divide por cada n´ umero primo hasta uno antes a él. Para ver que esto es as´ı, supongamos que queremos averiguar si p es un n´ umero compuesto y √ que ya hemos verificado hasta el n´ umero p (o, en caso de no ser natural, el inmediato superior a él), y que no se puede dividir por ninguno de ellos. Entonces el n´ umero p debe ser primo. Porque si fuera compuesto, deber´ıa existir una descomposición en factores p = mn, donde al menos uno de m o´ n debe ser primo. Evidentemente al menos uno de m o n, debe ser menor √ al n´ umero p (o, en caso de no ser natural, el inmediato superior a él). Porque si no es as´ı, si √ tanto m como n son mayores a p, entonces el producto no puede ser igual a p, sino que debe √ √ ser mayor a él. Esto es evidente por el hecho de que p p = p, y que mientras mayores sean los factores mayor será el producto. La descomposición de n´ umeros primos es bastante u ´til para resolver varios tipos de problemas e inclusive para realizar operaciones. Por ejemplo, considere la multiplicación de 25 por 54. Para realizarla de manera más rápida y sencilla descomponemos el 54 como 54 = (2)(27), entonces, multiplicar 25 por 54 es igual a multiplicar (2)(27) por 25, pero (2)(25) = 50, entonces (2)(27)(25) = (50)(27). Ahora aplicamos la ley distributiva. (50)(27) = (50)(20 + 7) = (50)(20) + (50)(7) = 1000 + 350 = 1350. Al primer vistazo este cálculo parece involucrar mucha “talacha”. Sin embargo, si se pone en práctica, al poco tiempo su uso se hace natural y se incrementa bastante la agilidad para realizar cálculos mentalmente. Como ejercicio se sugiere que elija varios n´ umeros y los vaya descomponiendo en sus factores primos para que se vaya familiarizando con este procedimiento que será u ´til en el siguiente art´ıculo. El teorema fundamental de la aritmética establece que todo n´ umero compuesto puede expresarse como producto de los factores primos del n´ umero de una sola forma, salvo el orden de los factores. Aqu´ı es donde se justifica la excepción del n´ umero 1 de entre la lista de los n´ umeros primos. Pues si el n´ umero 1 estuviera en esa lista, entonces tendr´ıamos más de una forma de descomponer a cada n´ umero compuesto, por ejemplo el n´ umero 54 se descompondr´ıa 54 = (2)(27), en su primera forma, y para otra segunda tendr´ıamos: 54 = (1)(2)(27). Pero gracias a que el n´ umero 11 La

ra´ız cuadrada de un n´ umero u es otro n´ umero a tal que (a)(a) = u.

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N´ umeros naturales

1 no está entre los n´ umeros primos solamente tenemos una descomposición de cada n´ umero en sus factores primos. En este texto se omite la demostración del teorema fundamental de la aritmética. Para aquellos “filomatemáticos” se sugiere que recurran a la lectura de un libro de a´lgebra superior para revisarla. En realidad no es muy dif´ıcil de entender y, de hecho parece evidente.

2.11

M´ aximo Com´ un Divisor y M´ınimo Com´ un M´ ultiplo

Ahora volvemos la mirada a dos conceptos bastante sencillos y de gran aplicación en la vida diaria. Ya hemos definido tanto divisor como m´ ultiplo de n´ umeros. Para poder definir divisores comunes y m´ ultiplos comunes es necesario contar con al menos dos n´ umeros distintos, para que los divisores o m´ ultiplos sean comunes a ambos n´ umeros. Primero damos un ejemplo de introducción para despertar el interés por el concepto de máximo com´ un divisor, y después daremos la definición junto con una metodolog´ıa más sencilla a la dada en el ejemplo. Considere a los n´ umeros 12 y 40. Los divisores del 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Por su parte los divisores del 40 son 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40. Los divisores que son comunes tanto a 12 como a 40 son 1, 2, y 4. Aqu´ı la palabra “com´ un” indica que aparecen en la lista de divisores de ambos n´ umeros. El mayor de todos los divisores que son comunes tanto a 12 como a 40 es el 4. Entonces, el 4 es el máximo com´ un divisor de los n´ umeros 12 y 40. Esto se denotará como m.c.d (12, 40) = 4. Entonces, el máximo com´ un divisor de dos n´ umeros cualesquiera es el mayor n´ umero que divide a ambos n´ umeros, o en otras palabras, el mayor de todos los divisores comunes a ambos n´ umeros. Un método más fácil y práctico de encontrar el máximo com´ un divisor de dos n´ umeros es como sigue: descompónganse los n´ umeros en sus factores primos. Ahora, dado que queremos que el n´ umero que buscamos divida a ambos n´ umeros y sea el mayor de todos sus divisores, seleccionamos los factores que aparecen en las descomposiciones de ambos n´ umeros, porque precisamente esos factores dividen a ambos n´ umeros simultáneamente. Por ejemplo tomemos los n´ umeros 60 y 100. Sus descomposiciones en factores primos son 60 = (2)(2)(3)(5) y 100 = (2)(2)(5)(5). Los factores que son comunes a ambas descomposiciones son el n´ umero 2 dos veces y el n´ umero 5 solamente una vez. Entonces el m.c.d.(60, 100) = (2)(2)(5) = 20. Nótese que no tomamos al n´ umero 3 como factor del m.c.d.(60, 100), puesto que el 3 solamente divide al 60, pero no al 100. Igualmente, el n´ umero 5 solamente se tomó una vez como factor porque as´ı divide a ambos n´ umeros. Si se hubiera tomado dos veces, entonces tendr´ıamos que el m.c.d.(60, 100) ser´ıa un m´ ultiplo de 25. Luego ser´ıa necesario que tanto el 60 como el 100 se dividieran por 25. Evidentemente eso no es cierto (el 100 s´ı es divisible por 25, pero el 60 no). Nótese también que es más fácil listar los divisores de un n´ umero una vez que conocemos su descomposición en factores primos. Por ejemplo, los divisores del 60 son, además del 1, el 2, ´ meros... Los Nu

2.11 M´ aximo Com´ un Divisor y M´ınimo Com´ un M´ ultiplo

4 = (2)(2), 5, 6 = (2)(3), 10 = (2)(5), 12 = (2)(2)(3), 15 = (3)(5), 20 = (2)(2)(5), 30 = (2)(3)(5) y el 60. Como ejercicio encuentre todos los divisores del n´ umero 100 del mismo modo12 . El m´ınimo com´ un m´ ultiplo también se puede encontrar enlistando, primero los m´ ultiplos de ambos n´ umeros, localizando los m´ ultiplos que son comunes a ambos n´ umeros y, finalmente escogiendo el menor de todos ellos. Para el ejemplo tomamos los n´ umeros 12 y 20. Los m´ ultiplos del 12 son: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120,... Por su parte, los m´ ultiplos del 20 son: 20, 40, 60, 80, 100, 120,... Tenemos, hasta donde formamos la lista, dos m´ ultiplos comunes a 12 y 20, los cuales son 60 y 120. Evidentemente el menor de ellos es el 60. Esto lo denotaremos como m.c.m. (12, 20) = 60 Ahora, podemos definir el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de dos n´ umeros como el menor n´ umero natural que es m´ ultiplo de ambos n´ umeros a la vez. Otro método que podemos usar para encontrar el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de dos n´ umeros por medio de la descomposición de los n´ umeros en sus factores primos es como sigue: una vez hecha la descomposición de los n´ umeros en sus factores primos elegimos los factores de los n´ umeros de tal forma que no nos falte ning´ un factor de ambas listas. Por ejemplo, retomando el ejemplo anterior, tenemos: • 12 = (2)(2)(3) • 20 = (2)(2)(5) Vemos que el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de 12 y 20 debe ser m´ ultiplo de 3, 4 y 5 a la vez. El menor n´ umero que es m´ ultiplo de esos n´ umeros es el 60 = (2)(2)(3)(5). Aqu´ı se muestra que el 60 es m´ ultiplo com´ un tanto a 12 como a 20: dado que podemos expresar al n´ umero 20 como 20 = (2)(2)(5) y al n´ umero 60 = (3)[(2)(2)(5)], es evidente que los factores encerrados entre corchetes son en realidad el n´ umero 20. Luego 60 es m´ ultiplo de 20. Similarmente, el n´ umero 12 = (2)(2)(3), y el n´ umero 60 = [(3)(2)(2)](5). Se encerraron entre corchetes la descomposición del n´ umero 12 en sus factores primos. Esto indica que el n´ umero 60 es, también m´ ultiplo del n´ umero 12. Para convencernos de que es el “m´ınimo” com´ un m´ ultiplo simplemente basta mencionar que no se tomaron más n´ umeros como factores de los que son necesarios. Pues mientras más pongamos, mayor producto obtendremos. 12 Si

necesitas saber cu´ antos divisores tiene un n´ umero, primero descomp´ on el n´ umero en sus factores primos. Si es un n´ umero primo, ya sabes que tiene dos divisores, pero si es compuesto, entonces debes tomar los exponentes de las bases de sus factores. A los exponentes s´ umales uno, y finalmente multipl´ıcalos. ¿Porqu´ e? Pues sencillamente porque, si un factor tiene exponente uno, tenemos dos opciones de utilizarlo para formar divisores del n´ umero considerado: lo elegimos o no lo elegimos. En caso de que el exponente sea dos, tenemos tres opciones de usarlo: lo elegimos dos veces (esto es, elevado al cuadrado), lo elegimos una vez (elevado a la potencia 1), o bien no lo elegimos. Y as´ı sucesivamente. Entonces, si el n´ umero k = ax · by · cz , y queremos calcular el n´ umero de divisores que tiene k, resulta ser sencillo: sumamos 1 a cada exponente y multiplicamos los n´ umeros que resultan. El n´ umero de divisores es, entonces: (x + 1)(y + 1)(z + 1).

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N´ umeros naturales

2.12

¿Cu´ antos N´ umeros Primos Hay?

Aqu´ı se da la demostración de que la lista de los n´ umeros primos en infinita. Para empezar supongamos que la lista de los n´ umeros primos es finita, es decir, que existe un n´ umero primo p que es el mayor de todos (los n´ umeros primos). Ahora formemos el n´ umero n = (2)(3)(5)(7)(11)...(p) + 1, que es igual al producto de todos los 13 n´ umeros primos , y a ese n´ umero le hemos sumado el n´ umero 1. Es evidente que el n´ umero n no se divide por alguno de los n´ umeros primos, puesto que al hacer la división siempre queda de residuo 1. Entonces, este n´ umero no tiene más divisores que el n´ umero 1 y él mismo, de donde se deduce que n es primo. Pero inicialmente supusimos que la lista era finita, teniendo al n´ umero p como el mayor de todos los n´ umeros primos, y ahora vemos que el n´ umero n es mayor que p, y también es primo. Como hemos llegado a una contradicción, la suposición inicial es falsa. En otras palabras, no es verdad que exista un n´ umero primo que sea el mayor de todos. Por tanto, si hacemos la lista de los n´ umeros primos hasta alguno en particular y queremos formar otro n´ umero primo mayor a todos los de la lista, simplemente usamos la fórmula dada para el n´ umero n. En otras palabras, la lista de los n´ umeros primos no es finita, sino infinita.

13 Recuerda,

aqu´ı suponemos que la lista de los n´ umeros primos es finita y el mayor de ellos es el n´ umero p.

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Tres N´ umeros enteros

Desde la introducción se trató de dar una forma intuitiva de crear los n´ umeros naturales. Por ejemplo, considere ahora la pregunta: ¿Qué n´ umero debemos sumar al n´ umero 7 para obtener 2? Evidentemente la respuesta a esta pregunta no es un n´ umero natural, porque cuando sumamos dos n´ umeros naturales la suma es siempre mayor a cualquiera de los sumandos. En este cap´ıtulo se hace mención de algunas propiedades de los n´ umeros enteros.

3.1

Definici´ on

Los n´ umeros enteros se definen compuestos de los n´ umeros naturales, el cero y los n´ umeros naturales provistos del signo negativo. Denotaremos al conjunto de los n´ umeros enteros por el s´ımbolo Z Z = {· · · − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · } ¿De dónde vino el signo negativo? Al parecer fue de la necesidad de resolver preguntas como la mencionada en la introducción de este cap´ıtulo. Parece ser más claro el concepto colocamos los n´ umeros enteros sobre una l´ınea recta, a la cual llamaremos recta numérica. Dispongamos un punto sobre esta recta, a la cual llamaremos origen, o cero de nuestra recta. Ahora tomemos una unidad de medida que elijamos a nuestro gusto e indiquemos a la derecha del origen un punto a esa distancia. A partir del origen tomaremos medidas de la misma longitud, una detrás de la otra y asignaremos a cada punto as´ı encontrado uno de los n´ umeros naturales, dejando el cero en el origen. El mismo procedimiento se lleva a cabo ahora en la dirección contraria (hacia la izquierda). Pero ahora asignaremos n´ umeros negativos a cada punto. A continuación se muestra el ejemplo de una recta numérica. 23

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N´ umeros enteros

Origen

x −3

−2

−1

La lista de los n´ umeros enteros es infinita tanto a la derecha como a la izquierda del origen. De aqu´ı se deduce que el conjunto de los n´ umeros naturales está incluido en el conjunto de los n´ umeros enteros. En notación de conjuntos esto se denota como: N ⊂ Z. En palabras, podemos decir que todos los n´ umeros naturales son también n´ umeros enteros. Sin embargo lo opuesto no es cierto. Es decir, no todos los n´ umeros enteros son n´ umeros naturales. Por ejemplo, el n´ umero -2 es un n´ umero entero, pero no es n´ umero natural. Esto es similar a decir que todos los gatos son animales, pero no todos los animales son gatos. ¿Tiene sentido?

3.2

Propiedades de la suma y la multiplicaci´ on

Las propiedades de los n´ umeros enteros respecto a la suma y a la multiplicación son, prácticamente las mismas que se mencionaron en el caso de los n´ umeros naturales. Además se mencionan otras propiedades que aparecen en los enteros por el hecho de tener n´ umeros negativos y el cero. Primero es interesante (y muy conocido por todos) que existe un n´ umero entero que tiene la propiedad de que siempre que se suma a otro n´ umero, el resultado es igual al segundo n´ umero. Estamos hablando del n´ umero cero. Matemáticamente, el párrafo anterior se expresa como sigue: a+0=a También este mismo n´ umero cumple con la condición de que cuando se multiplica por cualquier n´ umero a el resultado siempre es igual a cero. En términos matemáticos esto se escribe como sigue: (a)(0) = 0 Podemos mencionar que el cero es el u ńico n´ umero que cumple con estas condiciones. Debido a la primera propiedad se dice que el cero es el elemento neutro con respecto a la suma. Esto significa que cuando se suma el n´ umero cero a cualquier n´ umero entero, el n´ umero no se modifica o cambia, de aqu´ı viene el nombre “neutro aditivo”. Con respecto a la multiplicación también existe un elemento neutro, es decir, un n´ umero que tiene la propiedad que, cuando lo multiplicamos por otro, el resultado es igual al segundo n´ umero. En particular, estamos hablando del n´ umero 1. Matemáticamente lo anterior se expresa como: (a)(1) = a ´ meros... Los Nu

3.2 Propiedades de la suma y la multiplicaci´ on

La propiedad anterior evidentemente también se cumple en los n´ umeros naturales. Sin embargo, la siguiente es caracter´ıstica de los n´ umeros enteros. Para cada n´ umero entero a existe otro n´ umero entero con la caracter´ıstica que cuando se suman ambos, el resultado es igual a cero. El otro n´ umero es −a. Matemáticamente esto se expresa de la siguiente manera: a + (−a) = 0 En palabras esto dice: “si a un n´ umero entero sumamos el mismo n´ umero, pero con signo negativo, el resultado es cero”. En la recta numérica esto significa que, partiendo del origen, primero nos hemos movido a unidades hacia la derecha y después ese mismo n´ umero de unidades hacia la izquierda1 . Evidentemente, al final estaremos en el origen, pues nos movimos primero en una dirección y después la misma distancia en sentido contrario, trayéndonos de regreso a nuestro punto de partida. Aqu´ı es importante hacer mención de otras propiedades que se cumplen tanto para los n´ umeros naturales como para los enteros. Primero, ya se hab´ıa mencionado que si sumamos dos n´ umeros naturales, el resultado siempre es igual, independientemente del orden que se le dé a los sumandos. Podemos imaginar a Aarón y a Carlos. Cada uno de ellos tiene una cantidad de manzanas que van a colocar en el canasto de la casa. En realidad no importa quién coloque primero las manzanas, al final habrá el mismo montón, supuesto que ninguno de ellos se come ninguna manzana. Otra propiedad parecida que se cumple tanto para los n´ umeros naturales como para los n´ umeros enteros es la siguiente: Si se van a multiplicar dos n´ umeros, entonces el resultado de la multiplicación es independiente del orden de los factores. Aqu´ı usaremos el argumento de la multiplicación usado en el primer cap´ıtulo. Se sabe que multiplicar, por ejemplo, siete por doce es igual a sumar el n´ umero siete, doce veces. También es el equivalente a sumar siete veces el n´ umero doce. Pues si en el primer caso, tomamos (7)(12) esto lo podemos imaginar como siete filas de doce cajas cada una. También podemos verlo en el otro orden, (12)(7) nos indica siete filas de siete cajas cada una. Con las cajas formar´ıamos un rectángulo de doce cajas de base y 12 cajas de altura para el primer caso, y siete cajas de base por doce de altura en el segundo caso. Evidentemente, ambos rectángulos guardan la misma cantidad de cajas. Por tanto (7)(12) = (12)(7). En ambos casos podemos representar las multiplicaciones con arreglos rectangulares como los que se han explicado. Para cada caso el arreglo rectangular es idéntico en forma, salvo por la forma como se acomoda, en uno parece que está “acostado” y en el otro parece que está “parado”, esto es, en el primero la base es más larga que la altura del rectángulo y en el segundo, la base es más corta que la altura. Aqu´ı se muestra el arreglo de las cajas de acuerdo a la primera multiplicación. 1 Aqu´ ı

hemos supuesto que el n´ umero a es mayor que cero.

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N´ umeros enteros

7 × 12 Enseguida se muestra el rect´angulo que se forma debido al segundo arreglo de las cajas, o mejor dicho, a la segunda multiplicaci´on.

12 × 7 Algo que debemos agregar aqu´ı es el hecho de que la primera propiedad de las enlistadas para la divisibilidad debe recibir una peque˜ na modificaci´on cuando estemos trabajando con los n´ umeros enteros. Si a ahora representa un n´ umero entero, entonces, • a|a Siempre que a 6= 0

Propiedad sim´etrica.

La justificación de esta nueva condición se dará en el siguiente cap´ıtulo.

3.3

Recta num´ erica y valor absoluto de un n´ umero

Cuando colocamos los n´ umeros enteros en la recta numérica, nosotros a nuestro antojo, decidimos dar la dirección “positiva” a la derecha y la “negativa” hacia la izquierda. Sin embargo es bien sabido que las distancias negativas no tienen ning´ un significado, puesto que siempre que nos movemos en alguna dirección espec´ıfica medimos la distancia a partir del punto en que nos movemos y empezamos a contar “hacia arriba”, es decir, en el sentido positivo, nunca asignamos un n´ umero negativo a una distancia. ´ meros... Los Nu

3.4 Leyes de los signos

Si queremos medir la distancia (con unidad de medida igual a la distancia entre el origen y el n´ umero uno) que hay desde el origen hasta alg´ un n´ umero arbitrario, digamos el 12, simplemente le asignamos como distancia ese n´ umero (el 12). Es bastante evidente de la observación de la recta numérica que si medimos la distancia desde el n´ umero −12 hasta el origen la distancia es igual a la que hay entre el origen y el n´ umero 12. Sin embargo, un n´ umero está a la derecha (el 12 positivo) y el otro está a la izquierda (el 12 negativo). Vamos a dar un nuevo concepto para indicar esta distancia, al cual llamaremos valor absoluto del n´ umero. Entonces el valor absoluto del n´ umero a será la distancia (con unidad de medida igual a la distancia entre el punto que corresponde al origen y el punto que corresponde al n´ umero uno) que existe desde el origen hasta ese n´ umero. El valor absoluto de un n´ umero se denota por |a|. Nótese que el valor absoluto de un n´ umero es siempre un n´ umero no negativo (es decir, puede ser cero o cualquier n´ umero positivo), pues representa una distancia. Entonces, el valor absoluto del n´ umero -12 es igual a 12, y se representa como | − 12| = 12. De igual manera, | − 145| = 145, y |457| = 457.

3.4

Leyes de los signos

En matemáticas cada ley tiene un porqué. En otras palabras, si existe una ley matemática, ésta está plenamente justificada. Esto quiere decir que no es arbitraria, sino que se dedujo de las propiedades más básicas que cumplen los objetos con los que ésta ley tiene relación. Ahora hablaremos de las leyes de los signos. Estas leyes se aplican a la multiplicación2 . La forma de exponer las leyes de los signos serán primero de una forma informal, luego lo haremos de una forma medianamente formal para no espantar a aquellos que le temen a la simbolog´ıa matemática. Hay 4 leyes de los signos. La primera dice que cuando multiplicamos dos n´ umeros positivos, el resultado es también un n´ umero positivo. La justificación de esta ley se dio desde el primer cap´ıtulo, cuando mencionamos la cerradura de los n´ umeros naturales bajo la multiplicación. Es claro que cuando se multiplican dos n´ umeros naturales el resultado es siempre otro n´ umero natural. Y como los n´ umeros naturales son todos mayores que cero (es decir, positivos todos), el resultado de multiplicar dos n´ umeros naturales (que también son necesariamente positivos) es siempre otro n´ umero natural (que es, como ya dijimos, positivo). Vamos a resumir la primera ley de los signos diciendo: “más por más es igual a más”. La segunda ley dice que cuando multiplicamos un n´ umero positivo por un n´ umero negativo el resultado es negativo. La justificación podemos verla de la manera siguiente. Recuérdese que multiplicar es una forma rápida y compacta de hacer sumas. Si nos basamos en la recta numérica, debemos recordar que los n´ umeros negativos están a la izquierda del origen. Entonces, multiplicar un n´ umero positivo a por un n´ umero negativo −b puede verse como sumar a veces el n´ umero −b. Pero cuando a un n´ umero negativo le sumamos otro n´ umero negativo, el resultado 2 Las leyes de la multiplicaci´ on se aplican tambi´ en a la divisi´ on, pero nosotros todav´ıa no hablaremos de ello, sino hasta el siguiente cap´ıtulo.

´ meros... Los Nu

N´ umeros enteros

es indiscutiblemente negativo, puesto que cada vez nos alejamos más del origen de la recta numérica viajando hacia la izquierda. Pero sumar a veces el n´ umero −b es lo mismo que multiplicar (a)(−b), y el resultado es, como ya vimos un n´ umero negativo. Es decir, el resultado de multiplicar un n´ umero positivo por un n´ umero negativo es siempre negativo. Vamos a resumir la segunda ley de los signos diciendo: “más por menos es igual a menos”. La tercera ley de los signos se justifica exactamente igual que la segunda, solamente que ahora debemos tomar en cuenta que cuando multiplicamos dos n´ umeros enteros, digamos (a)(b), el resultado es el mismo que si multiplicamos los mismos n´ umeros en orden inverso. Es decir, (a)(b) = (b)(a). Entonces, el resultado de multiplicar un n´ umero negativo (−b) por un n´ umero positivo (a) debe ser igual al resultado de multiplicar un n´ umero positivo (a) por un n´ umero negativo (−b). En términos matemáticos esto se escribe: (a)(−b) = (−b)(a). Entonces la tercera ley, es semejante a la segunda pero con los factores en orden inverso, la cual puede resumirse en: “menos por más es igual a menos”. La cuarta ley es la menos obvia de todas. Se trata ahora de multiplicar dos n´ umeros negativos y encontrar su resultado. Pudiéramos decir que como “más por más es igual a más”, entonces “menos por menos debe ser igual a menos”, pero eso ser´ıa establecer una ley sin haber tomado en cuenta las propiedades de los n´ umeros. De hecho, aunque parezca no tener sentido, en realidad la cuarta ley de los signos dice que cuando multiplicamos dos n´ umeros negativos el resultado es positivo! Es decir, “menos por menos es igual a más”. Ahora vamos a dar una justificación basándonos en el estudio de una secuencia de n´ umeros y conforme avancemos en el estudio de otros tipos de n´ umeros daremos cada vez argumentos más fuertes, hasta que al final quedemos convencidos de que “menos por menos es igual a más”. Para la justificación considere los m´ ultiplos del n´ umero 5. M5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, · · · } Con este conjunto haremos un juego. El juego consiste en encontrar una “regla” que nos diga el n´ umero (elemento del conjunto) que sigue si se conoce el anterior. Existen dos respuestas a esta pregunta. La primera es que a cada n´ umero le sumamos el n´ umero 5 y obtenemos el siguiente. Sin embargo, otra respuesta más u ´til para nuestra tarea, ser´ıa considerar que cada n´ umero de la lista es m´ ultiplo de 5, en forma consecutiva. “En forma consecutiva” se refiere a que entre dos términos consecutivos de la lista, la diferencia siempre es cinco. Entonces, para encontrar el n´ umero siguiente (aunque es un poquito más laborioso, nos ayudará más), expresamos el n´ umero como un m´ ultiplo del n´ umero cinco. Entonces, el n´ umero aparecerá como sigue: m = 5k Al n´ umero k le sumamos el n´ umero uno, y después lo multiplicamos por cinco. As´ı obtenemos el siguiente n´ umero de la lista. Ahora, veamos la misma lista pero en sentido opuesto: ´ meros... Los Nu

3.4 Leyes de los signos

M5 = · · · , 45, 40, 35, 30, 25, 20, 15, 10, 5 Si aplicamos el mismo juego, la regla (más laboriosa) de obtener el siguiente término de la lista ser´ıa ahora, tomar el u ´ltimo término, expresarlo como m´ ultiplo del n´ umero cinco, y al segundo factor (k) restarle el n´ umero uno y, finalmente, a este nuevo n´ umero (k − 1) multiplicarlo por cinco. Con esta regla podemos hacer una nueva lista de n´ umeros, considerando los términos de la lista, pero ahora dotados todos y cada uno de ellos de signo negativo. · · · , −45, −40, −35, −30, −25, −20, −15, −10, −5, · · · Aplicando la segunda ley de los signos, que dice que cuando multiplicamos un n´ umero positivo por otro negativo, el resultado es siempre negativo, encontrar´ıamos que ahora, en lugar de multiplicar por el n´ umero 5 como en la primera y segunda lista, debemos multiplicar por el n´ umero −5, si es que queremos obtener esta nueva lista (con todos los n´ umeros negativos). Entonces, la regla que buscamos ser´ıa como sigue: expresamos el n´ umero de la lista como un m´ ultiplo del n´ umero (−5). Al segundo factor (k) le restamos 1. A este nuevo n´ umero (k − 1) lo multiplicamos por el n´ umero (−5). As´ı obtenemos el siguiente n´ umero. Entonces, usando la regla que nos dice cuál n´ umero sigue en la u ´ltima lista de n´ umeros, encontramos que, cuando llegamos a cero pasa lo siguiente: −15 −10 −5 0

= = = = =

(−5)(3) Le (−5)(2) Le (−5)(1) Le (−5)(0) Le (−5)(−1)

restamos restamos restamos restamos

1 1 1 1

al al al al

tres y obtenemos 2. dos y obtenemos 1. uno obtenemos 0. cero y obtenemos −1

Aqu´ı dejamos un espacio en blanco para el n´ umero que sigue en la lista. Si nos regresamos a la primera regla que encontramos inicialmente (en la primera lista, es decir, usamos la regla donde sumábamos 5) vemos que, también funciona. Pues si sumamos 5 al n´ umero (−15) obtenemos el siguiente, que es (−10); Después sumamos de nuevo 5 al n´ umero −10 y obtenemos −5, y as´ı sucesivamente. Pero esto nos está diciendo que el n´ umero de la lista que sigue después del cero debe ser cinco. En otras palabras, en la u ´ltima igualdad debe leerse: 5 = (−5)(−1) lo cual nos está diciendo que un n´ umero negativo multiplicado por otro n´ umero negativo nos da como resultado un n´ umero positivo. Diciéndonos que la cuarta ley de los signos debe decir “menos por menos es más”. 29

´ meros... Los Nu

N´ umeros enteros

Si continuamos con la lista veremos que la cuarta ley de los signos se sigue cumpliendo. 0 5 10 15

= = = =

(−5)(0) ⇒ Le restamos 1 al cero y obtenemos −1 (−5)(−1) ⇒ Le restamos 1 al (−1) y obtenemos (−2). (−5)(−2) ⇒ Le restamos 1 al (−2) y obtenemos (−3). (−5)(−3) ⇒ Le restamos 1 al (−3) y obtenemos (−4), etc.

En todos los casos tenemos “menos por menos es más”. Si consideramos ahora los m´ ultiplos de alg´ un n´ umero arbitrario, digamos el 3, y realizamos el mismo “juego” encontraremos el mismo resultado. Obteniendo cada vez mayor confianza en la evidencia que estamos encontrando. Hasta ahora, lo que hemos mostrado es evidencia, nada más. La demostración de la cuarta ley no es muy complicada y de hecho, aqu´ı presentamos tres que, gracias a las herramientas con las que contamos, resultan ser bastante sencillas.

3.5

Primera demostraci´ on de que − · − = +

Considere la suma: ab + a(−b) + (−a)(−b) Usando la ley distributiva podemos escribirla de la siguiente forma: a[b + (−b)] + (−a)(−b) dentro del corchete vemos la suma de dos n´ umeros iguales, pero de signo opuesto, es decir, uno es positivo y el otro es negativo. Entonces, la suma dentro del corchete debe ser cero. De aqu´ı que: a(0) + (−a)(−b) = 0 + (−a)(−b) = (−a)(−b) Ahora, expresemos la misma suma: ab + a(−b) + (−a)(−b), de la siguiente forma: ab + [a + (−a)](−b) Aqu´ı tambi´en, dentro de los corchetes la suma es igual a cero. Entonces, tenemos el siguiente resultado de esa misma suma: ab + (0)(−b) = ab + (0) = ab Pero, inicialmente dijimos que esta suma era igual a (−a)(−b). Entonces, (−a)(−b) = ab = ab + a(−b) + (−a)(−b). ¿Convencido? Aqu´ı tenemos una segunda forma de demostrarlo. ´ meros... Los Nu

3.6 2da demostraci´ on: − · − = +

3.6

Segunda demostraci´ on de que − · − = +

Ya hab´ıamos dicho que cuando sumamos dos n´ umeros iguales de signo contrario el resultado es cero. Entonces, empezamos desde ah´ı: a + (−a) = 0 Ahora, multiplicamos ambos lados de la igualdad por el n´ umero (-b). (−b)[a + (−a)] = (−b)(0) Pero cualquier n´ umero multiplicado por cero es cero. Entonces, el lado derecho de la igualdad es igual a cero. Del lado izquierdo haremos otra cosa: usaremos la ley distributiva de los n´ umeros: (−b)a + (−b)(−a) = 0 Ahora, vamos a sumar en ambos lados de la igualdad el n´ umero ab. Lo que nos resulta: ab + (−b)a + (−b)(−a) = ab + 0 y esto, todav´ıa lo podemos expresar as´ı: [ab + (−b)a] + (−b)(−a) = ab + 0 De nuevo, la suma entre los corchetes es igual a cero3 . Entonces, el resultado de la expresi´on es: 0 + (−b)(−a) = ab + 0 (−b)(−a) = ab

Finalizando as´ı la demostraci´on.

3.7

Tercera demostraci´ on de que − · − = +

De acuerdo con lo antes dicho, tenemos: a + (−a) = 0 3 Recu´ erdese

que (a)(−b) = (−b)(a) y tambi´ en que x + (−x) = 0.

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N´ umeros enteros

¿Qué nos dice esto? Traducido a palabras dice: Considera alg´ un n´ umero arbitrario. Pues si a ese n´ umero le sumamos el mismo n´ umero, pero con signo negativo, el resultado de esa suma es igual a cero. Ahora, considere el n´ umero (−a). Para este n´ umero existe su negativo, −(−a), y éste u ´ltimo tiene la propiedad que cuando se le suma al n´ umero (−a) el resultado de esa suma es cero. Ahora, sabemos también que si vamos a sumar dos n´ umeros, no importa quién sumemos primero, el resultado de la operación es el mismo, independientemente del orden. Entonces, con esto en mente, escribiremos: − (−a) + (−a) = 0 (3.1) Pero ya hab´ıamos dicho que a + (−a) = 0

(3.2)

Por tanto, − (−a) + (−a) = a + (−a) Sumando el n´ umero a en ambos lados de la igualdad, obtenemos el resultado deseado: −(−a) + [(−a) + a] = [a + (−a)] + a −(−a) = a Otra forma de argumentarlo consiste en observar las igualdades 5.1 y 5.2, podremos deducir que, para que ambas sumas resulten ser iguales, teniendo repetido uno de los n´ umeros que estamos sumando, (el n´ umero (−a)), el otro sumando debe ser igual en ambas igualdades. Es decir: − (−a) = a Esto nos dice que menos por menos es igual a más. Ahora ya no hay necesidad de mostrar mayor evidencia de que esto es as´ı. Usando la cuarta ley de los signos podemos justificar el hecho de que en geometr´ıa se midan los ańgulos en dirección contraria a las manecillas del reloj. No se preocupen, no se hará tal justificación, solamente la mencionamos para que se den cuenta que las ramas de la matemática están entrelazadas entre s´ı de una forma que no hay contradicciones entre las conclusiones encontradas en cada una de ellas. Entonces, geométricamente, el signo negativo nos indica que hay que cambiar de dirección cuando nos movemos en la recta numérica, es decir, si necesitamos especificar en la recta numérica el n´ umero −a, y el n´ umero a es menor que cero, entonces, en lugar de movernos hacia la izquierda (debido a que el n´ umero a es menor que cero) tendr´ıamos que movernos hacia la derecha, porque el n´ umero −a resultar´ıa positivo (recuérdese que los n´ umeros menores que cero tienen signo negativo, y por tanto tendr´ıamos que aplicar aqu´ı la cuarta ley de los signos). En cap´ıtulos posteriores se mostrará mayor evidencia de que “menos por menos es más”, a pesar de no ser necesario, esperando que esta ley parezca más “natural”. Aqu´ı se hace una llamada de atención. Es indispensable que sea honesto con usted mismo y conteste con la verdad. Si no se entendió al menos una de las demostraciones antes dadas, eso ´ meros... Los Nu

3.8 Nueva criba de Erat´ ostenes

significa que no ha entendido el material que se ha le´ıdo. Por tanto, para que se pueda continuar con la lectura es conveniente que vuelva a iniciar la lectura del libro desde la introducción. Entienda bien que nadie puede subir al u ´ltimo piso de la Torre Latinoamericana de un solo salto desde el suelo. Sin embargo, cualquier persona, a´ un usando muletas, puede llegar hasta la azotea si sube por una escalera, escalón por escalón. De igual manera, si no se entienden los conceptos básicos de las matemáticas, no se puede lograr entender las conclusiones que son “más fuertes”, y que requieren de esos conceptos iniciales. As´ı que, si no se ha entendido el material lea cada párrafo del libro asegurándose de que entiende cada parte que se ha explicado. Sirve explicar el concepto o principio entendido con palabras propias. El autor tiene la fuerte creencia de que se aprende mejor por medio de la práctica. As´ı que se sugiere el uso de lápiz y papel en todos los ejercicios explicados. En otras palabras, usted también realice los ejemplos dados en el libro, explicando cada paso. As´ı se asegura que entiende cada concepto nuevo y no tendrá problema con el material nuevo. Suerte.

3.8

Nueva criba de Erat´ ostenes

En esta sección se muestra una forma más eficiente de obtener la lista de los n´ umeros primos. Para esto primero se define el concepto de congruencia de módulos, notación inventanda por Carl F. Gauss. Recordamos primero unos conceptos que se estudiaron en el cap´ıtulo anterior.

Definici´ on 3.8.1. Cerradura Sea A un conjunto no vac´ıo, y sea ◦ una operaci´on binaria definida para cualesquiera dos elementos α, β ∈ A. Si α ◦ β ∈ A para cualesquiera α, β ∈ A, entonces, decimos que el conjunto A es cerrado bajo la operaci´on ◦.

Definici´ on 3.8.2. ´ mero primo. Nu sores (naturales).

Un n´ umero natural es primo si tiene exactamente dos divi-

Ejemplo 3.8.1. Los primeros n´ umeros naturales que son n´ umeros primos son: 33

´ meros... Los Nu

N´ umeros enteros

2 13 31 53 79

3 17 37 59 83

5 19 41 61 89

7 23 43 67 97

11 29 47 73 101

Nota 3.8.1. El n´ umero 1 no es un n´ umero primo, porque no tiene exactamente dos divisores. Definici´ on 3.8.3. ´ Numero compuesto. divisores.

Un n´ umero natural es compuesto si tiene 3 o m´as

Ejemplo 3.8.2. Los primeros n´ umeros naturales que son n´ umeros compuestos son: 4 12 20 26 33

6 14 21 27 34

8 15 22 28 35

9 10 16 18 24 25 30 32 36 38

Definici´ on 3.8.4. Divisibilidad. Sean a, b, m n´ umeros naturales. Decimos que el n´ umero b divide al n´ umero a, o de forma equivalente, que el n´ umero a es divisible por el n´ umero b, si existe un n´ umero natural m tal que a = b · m, y se denota por: b|a.

Ahora mostramos un ejemplo para aclarar la definici´on anterior. Ejemplo 3.8.3.

3 12 es divisible por 3, porque 12 = 3 × 4. 3 21 es divisible por 3, porque 21 = 3 × 7. 3 20 es divisible por 5, porque 20 = 5 × 4. 3 100 es divisible por 25, porque 100 = 25 × 4. 3 500 es divisible por 5, porque 500 = 5 × 100. ´ meros... Los Nu

3.8 Nueva criba de Erat´ ostenes

La siguiente definición es una notación inventanda por Carl F. Gauss que nos ayudará a simplificar cálculos y nos facilitará la construcción de la nueva criba de Eratóstenes. 35

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N´ umeros enteros

Definici´ on 3.8.5. Congruencias. Si a = b · m + r, se entiende que b|(a − r), y escribimos: a ≡ r mod b para indicarlo y se lee “a es congruente con r m´odulo b”.

Teorema 3.8.2. Sean a, b, c, r, s n´ umeros naturales. Las congruencias tienen las siguientes propiedades: i. Si a ≡ r mod b, y 0 ≤ r ≤ b, entonces r es el residuo de dividir a entre b ii. a ≡ r mod b

⇔

b|(a − r)

⇔

a=b·m+r

iii. a ≡ a mod b iv. Si a ≡ r mod b, entonces r ≡ a mod b v. Si a ≡ r mod b, y r ≡ s mod b, entonces a ≡ s mod b vi. Si a ≡ r mod b, y c ≡ s mod b, entonces a + c ≡ (r + s) mod b vii. Si a ≡ r mod b, y c ≡ s mod b, entonces a − c ≡ (r − s) mod b viii. Si a ≡ r mod b, y c ≡ s mod b, entonces a · c ≡ (r · s) mod b ix. Si a ≡ r mod b, entonces as ≡ rs mod b Ejemplo 3.8.5.

• 13 ≡ 1 mod 12, porque cuando dividimos 13 entre 12 el residuo es 1. • 13 ≡ 2 mod 11, porque cuando dividimos 13 entre 11 el residuo es 2. • 13 ≡ 3 mod 10, porque cuando dividimos 13 entre 10 el residuo es 3. • 13 ≡ 4 mod 9, porque cuando dividimos 13 entre 9 el residuo es 4. • 13 ≡ 5 mod 8, porque cuando dividimos 13 entre 8 el residuo es 5.

Reto: Sustituye valores para las literales del teorema anterior (donde se enuncian las propiedades de las congruencias) y verifica que cada una de ellas se cumple.

Definici´ on 3.8.6. ´ Numeros primos gemelos. diferencia entre ellos es 2.

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Dos n´ umeros primos son primos gemelos si la

3.8 Nueva criba de Erat´ ostenes

Ejemplo 3.8.6. 3 Los n´ umeros 3 y 5 son primos gemelos porque 5 − 3 = 2. 3 Los n´ umeros 5 y 7 son primos gemelos porque 7 − 5 = 2. 3 Los n´ umeros 41 y 43 son primos gemelos porque 43 − 41 = 2. 3 Los n´ umeros 101 y 103 son primos gemelos porque 103 − 101 = 2.

Teorema 3.8.3. Sea p ≥ 5 un n´ umero primo. Entonces, bien p ≡ 1 mod 6, bien p ≡ 5 mod 6. Demostraci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un n´ umero natural q cualquiera puede estar en alguna de las siguientes clases de congruencia: • q ≡ 0 mod 6, con lo que ser´ıa un divisible por 6. • q ≡ 1 mod 6, con lo que podr´ıa ser primo. • q ≡ 2 mod 6, con lo que resultar´ıa ser divisible por 2. • q ≡ 3 mod 6, con lo que resultar´ıa ser divisible por 3. • q ≡ 4 mod 6, con lo que resultar´ıa ser divisible por 2. • q ≡ 5 mod 6, con lo que podr´ıa ser primo. .............................................................................................. Nota 3.8.2. No todos los n´ umeros naturales p que cumplen con p ≡ 1 mod 6, o bien, p ≡ 5 mod 6 son primos, pero todos los primos mayores o iguales a 5, tienen esa forma. Teorema 3.8.4. Sea P el conjunto de todos los n´ umeros naturales p ≥ 5 (no necesariamente primos) de la forma: p ≡ 1 mod 6, o´ p ≡ 5 mod 6; o bien P = {p | p ≡ 1 mod 6, o´ p ≡ 5 mod 6; p ∈ N, p ≥ 5}. Entonces, el conjunto P es cerrado bajo la multiplicaci´on. Demostraci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sea a ≡ 1 mod 6, y b ≡ 5 mod 6. Es evidente que a, b ∈ P. Por las propiedades i, iv y viii de las congruencias de m´odulos tenemos: • a · a ≡ 1 mod 6 • a · b ≡ 5 mod 6 • b · b ≡ 25 mod 6 ≡ 1 mod 6, porque al dividir 25 entre 6 obtenemos de residuo 1. con lo que queda establecido el teorema. .............................................................................................. 37

´ meros... Los Nu

N´ umeros enteros

3.8.1

La nueva criba

En los estudios de nivel elemental o medio superior se ense˜ na la criba de Eratóstenes como un método para encontrar todos los n´ umeros primos hasta un n´ umero natural finito. Con los teoremas enlistados tenemos una segunda forma (más eficiente) de encontrar la lista de los n´ umeros primos. Para este fin empezamos enlistando a los u ńicos dos n´ umeros primos que no pertenecen al conjunto P = {p | p ≡ 1 mod 6, o´ p ≡ 5 mod 6; p ∈ N, p ≥ 5}; esos dos n´ umeros primos son 2 y 3. Inmediatamente después podemos hacer una tabla donde enlistemos los n´ umeros en columnas, de acuerdo a la clase de congruencia a la que pertenezcan: 5 mod 6 5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 .. .

0 mod 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 .. .

1 mod 6 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 .. .

Tabla 1. Clases 5, 0 y 1 de módulo 6. En la tabla 1 tenemos 3 columnas. La columna del centro contiene n´ umeros que son divisibles por 6, solamente para que nos sirva de gu´ıa para encontrar las otras dos columnas. Las columnas de la izquierda y de la derecha son las que tienen a los elementos del conjunto P. En la lista podemos ver algunos n´ umeros que no son primos, e.g., 25. El teorema 1.4 explica por qué tenemos n´ umeros compuestos en P. La siguiente cuestión consiste en eliminar los n´ umeros que son compuestos. Para lograr esta meta haremos uso del teorema 1.4 y de la definición de n´ umero compuesto. Es obvio que todo n´ umero natural n (a excepción del n´ umero 1) tiene al menos dos divisores: el n´ umero 1 y el n´ umero n (i.e., él mismo). Entonces, si aparece un divisor más, se entiende que ya es compuesto. Por el teorema 1.4 sabemos que algunos de los elementos de P tienen más de dos divisores, por lo que no son n´ umeros primos, sino compuestos. ´ meros... Los Nu

3.8 Nueva criba de Erat´ ostenes

3.8.2

Construcci´ on de la nueva criba

La tarea ahora parece muy sencilla: tomamos el menor de todos los elementos del conjunto P (esto es posible gracias al principio del buen ordenamiento, que dice que un conjunto no vac´ıo de n´ umeros naturales tiene un elemento que es menor o igual a cualquier otro elemento del conjunto considerado) y lo multiplicamos por todos los elementos del conjunto P. As´ı encontraremos los n´ umeros p ∈ P que no son primos. Después de haber multiplicado el primer n´ umero primo 5 ∈ P por todos los elementos del conjunto P (incluido el 5 mismo), debemos continuar con el siguiente primo, en este caso el n´ umero 7. Ahora debemos multiplicar a este n´ umero primo por todos los demás elementos del conjunto P que todav´ıa no han sido eliminados (en caso de no ser primos). Es claro que no se requiere multiplicar 7 × 5, dado que esta multiplicación se realizó cuando empezamos multiplicando el n´ umero 5 por todos los elementos del conjunto P. Entonces, debemos empezar desde 7 × 7. Y as´ı sucesivamente, hasta que hayamos terminado con la lista que deseamos obtener. Enseguida se muestra el proceso elaborado hasta el n´ umero primo 61. 5 mod 6 5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 .. .

1 mod 6 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 .. .

Tabla 2. Nueva criba de Eratóstenes. 5 × 5 eliminó al n´ umero 25, 5 × 7 eliminó al n´ umero 35, 5 × 11 eliminó al n´ umero 55, etc., 7 × 7 eliminó al n´ umero 49, 7 × 11 elimina al n´ umero 77, etc., 11 × 11 elimina al n´ umero 121, etc., y as´ı sucesivamente.

3.8.3

Conclusiones

Se debe recordar que esta nueva criba no considera a los primeros dos n´ umeros naturales primos: el 2 y el 3. Por tanto, cuando se haga la lista de los n´ umeros primos utilizando la nueva criba de Erat´ostenes deben incluirse estos dos n´ umeros primos. 39

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N´ umeros enteros

Este mismo procedimiento puede usarse para generar un algoritmo muy eficiente para verificar si un n´ umero natural dado n es o no un n´ umero primo. En este caso se debe iniciar comparando el n´ umero dado n con los dos u ńicos n´ umeros primos que no están en P. En caso de que no sea as´ı, se debe encontrar el residuo de dividir el n´ umero n entre 6. Si este residuo es distinto a 1 o´ 5, entonces, con certeza sabemos que el n´ umero es compuesto. Por otra parte, si el residuo de dividir n entre 6 es, bien 1, bien 5, entonces debemos verificar si se divide por alguno de los n´ umeros p ∈ P. No requerimos checar todos los n´ umeros p ∈ P hasta √ uno antes de n, como ya sabemos, basta verificar hasta el n´ umero natural mayor o igual a n. Durante mucho tiempo ha existido la pregunta (sin responder hasta el d´ıa de hoy) si existe un n´ umero infinito de parejas de n´ umeros primos gemelos. El teorema 1.3 muestra por qué aparecen los n´ umeros primos gemelos. Muchos matemáticos creen que la lista de los n´ umeros primos gemelos es infinita, pero esto requiere demostración.

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Cuatro NÂ´ umeros racionales

Los nÂ´ umeros racionales surgieron, como todos los demÂás tipos de nÂ´ umeros de la necesidad de los hombres de responder a preguntas de tipo aritmÂético-algebraico y resolver problemas conforme iban surgiendo. La primer idea que se viene a la mente sobre el origen de estos problemas es la reparticiÂón de un terreno entre varias personas. Un problema mÂás formal serÂ´Äąa el de encontrar un nÂ´ umero tal que al ser multiplicado por un nÂ´ umero entero (digamos, el nÂ´ umero 2) resulte el nÂ´ umero 1. La respuesta a esta incÂógnita se obtuvo gracias a la creaciÂón de otro tipo de nÂ´ umeros que, en este capÂ´Äątulo vamos a estudiar.

4.1

DefiniciÂ´ on

Los nÂ´ umeros racionales son todos aquellos nÂ´ umeros que se pueden expresar como el cociente de dos nÂ´ umeros enteros. Denotaremos al conjunto de los nÂ´ umeros racionales por el sÂ´Äąmbolo Q AquÂ´Äą es importante reconocer que es necesario conocer cada una de las palabras involucradas en la definiciÂón para poder entenderlas. Cociente es el resultado que se obtiene al hacer una divisiÂón. Entonces, los nÂ´ umeros enteros son aquellos que se pueden poner como una fracciÂón. En notaciÂón de conjuntos, la definiciÂón se escribe como sigue1 : p Q = x|x = ; p, q â&#x2C6;&#x2C6; Z, q 6= 0 q Al nÂ´ umero p lo llamaremos numerador y al nÂ´ umero q denominador2 . Si observa, encontrarÂá una diferencia entre la definiciÂón dada en palabras y la definiciÂón que se dio en notaciÂón de conjuntos. La diferencia es que en la segunda definiciÂón no se permite al denominador de la fracciÂón ser igual a cero. La justificaciÂón de este hecho se da mÂás adelante. 1 AquÂ´ Äą,

el sÂ´Äąmbolo â&#x20AC;&#x153;/â&#x20AC;? indica la operaciÂ´ on divisiÂ´ on. Entonces la divisiÂ´ on del nÂ´ umero a entre el nÂ´ umero b se denotarÂ´ a por â&#x20AC;&#x153;a/bâ&#x20AC;?. una fracciÂ´ on, el denominador, que viene siendo el nÂ´ umero q, en la segunda definiciÂ´ on, es el nÂ´ umero que indica en cuÂ´ antas partes se dividiÂ´ o un entero, mientras que el numerador, que corresponde al nÂ´ umero p en la definiciÂ´ on, indica cuÂ´ antas de esas partes se deben tomar. 2 En

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N´ umeros racionales

Algo importante que no se debe pasar sin mencionar es que los n´ umeros enteros, por poder ser expresados en forma de una fracción, donde tanto el numerador como el denominador sean n´ umeros enteros, quedan incluidos en los n´ umeros racionales. As´ı, el n´ umero entero 1, por ejemplo, puede expresarse como 1/1, el n´ umero 2 como 4/2, etc. √ 2 Evidentemente el n´ umero 1 también se puede expresar como √ . Sin embargo, esto no nos 2 es permitido por la definici´ o n que hemos dado, puesto que como ya hemos mencionado anteri√ umero entero (En otras palabras, no existe ning´ un n´ umero ormente, el n´ umero 2 no es un n´ entero k tal que al multiplicarse por s´ı mismo, el resultado de esa multiplicación sea igual a 2). Nótese también que, como en el caso de los n´ umeros naturales con respecto a los n´ umeros enteros, los n´ umeros enteros, son todos n´ umeros racionales, pero no todos los n´ umeros racionales resultan ser n´ umeros enteros. Por ejemplo, el n´ umero 1/5, no es un n´ umero entero. En notación de conjuntos esto se puede escribir como sigue: N⊂Z⊂Q lo cual, de acuerdo con la propiedad transitiva (véase el art´ıculo Relaciones de Equivalencia del cap´ıtulo 1), indica que todos los n´ umeros naturales son también racionales. Esto es evidente del hecho de que todos los n´ umeros naturales pertenecen (es decir, son elementos) del conjunto de los n´ umeros enteros. Con operaciones de conjuntos diremos: Si x ∈ N, entonces, necesariamente x ∈ Z, pero, como toda x ∈ Z, necesariamente debe estar en Q , entonces, toda x ∈ N, necesariamente estará en Q. Todo esto se especifica con el fin de que se tenga en cuenta el hecho de que los n´ umeros, conforme fueron surgiendo, cada vez, el conjunto con el que ya se contaba resultaba ser insuficiente para resolver preguntas (o problemas), para lo cual fue necesario ampliar cada vez más el conjunto con el que se contaba. As´ı, de los n´ umeros naturales se pasó a los n´ umeros enteros, después los n´ umeros enteros resultaron insuficientes para un nuevo problema, con lo que surgió la necesidad de crear un nuevo conjunto de n´ umeros de tal forma que los enteros estuviera incluido en este nuevo conjunto, que precisamente es el de los n´ umeros racionales (Q). Más adelante veremos que este conjunto resulta insuficiente para expresar ciertas cantidades, i.e., existen otros tipos de n´ umeros.

4.2

Operaciones con n´ umeros racionales vistos desde la geometr´ıa

Aqu´ı trataremos de estudiar las operaciones de suma y multiplicaci´on de n´ umeros racionales (fracciones). Para que el desarrollo parezca m´as natural, trabajaremos de la manera como se puede imaginar que surgieron las operaciones con estos n´ umeros. ´ meros... Los Nu

4.2 Operaciones con fracciones

´ Imaginemos un rectángulo. Este puede ser dividido en dos, tres, etc., partes iguales. Si dividimos el rectángulo en dos partes iguales tendremos dos mitades. Entonces dos medios deben ser igual a un entero. Igualmente, si el rectángulo se dividió entres partes iguales, cada una de ellas se llama tercio y, como en el primer caso, tres tercios forman un entero, y as´ı sucesivamente. Supongamos que dividimos un rectángulo en 15 partes iguales (cada una se llama quinceavo), y que tomamos tres de esas partes. Entonces habremos tomado tres quinceavos. Representaremos el n´ umero tres quinceavos de la siguiente manera: 3 15 Evidentemente, tres quinceavos es igual a multiplicar un quinceavo por tres, puesto que tres quinceavos es tres veces más grande que un quinceavo. Pero ya hab´ıamos mencionado que el n´ umero tres puede ser representado como 3/1. Entonces, podemos definir la multiplicación del n´ umero 3 por un quinceavo de la siguiente manera3 : 1 3 3 · = 15 1 15 donde se multiplicó el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y ese resultado funcionó como numerador del producto de las fracciones. Por su parte el denominador se obtuvo como el resultado de multiplicar los denominadores de las fracciones. Ahora veamos otro caso. Supongamos que tenemos la mitad del rectángulo que estamos considerando y que queremos obtener su mitad. Esto es igual a multiplicar el n´ umero (1/2) por s´ı mismo. Evidentemente tomar la mitad de la mitad del rectángulo es igual a obtener una cuarta parte del rectángulo original.

1 4

1 2

Si expresamos la operación como en el primer caso veremos que el método usado aqu´ı también funciona. 1 1 1 · = 2 2 4 Antes de ver el método de hacer sumas pasaremos al siguiente art´ıculo. 3 Aqu´ ı,

el punto indica multiplicaci´ on.

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N´ umeros racionales

4.3

Fracciones equivalentes y reducci´ on de fracciones a su m´ınima expresi´ on

Entonces, ya que conocemos lo que es un n´ umero racional, ahora podemos definir lo que es una fracción equivalente. Vamos a llamar, por conveniencia (didáctica) a los n´ umeros racionales como fracciones. Nuestra tarea ahora consistirá en encontrar un método para encontrar un n´ umero en varias presentaciones distintas. De antemano sabemos que cuando multiplicamos un n´ umero cualquiera a por el n´ umero 1, el resultado siempre es igual al n´ umero a. También hemos mencionado que el n´ umero 1 puede expresarse como fracción de la siguiente forma: 1=

k k

donde k es un n´ umero entero distinto de cero (por la definición de n´ umero racional). Aqu´ı estamos diciendo otra vez que el n´ umero entero 1 es también un n´ umero racional. De hecho, de acuerdo a la definición de divisibilidad, para cualquier n´ umero natural k, k = (1)(k). p Entonces, si vamos a expresar una fracción, r = , en otra de sus formas, simplemente multipliq camos esa fracción por el n´ umero 1, as´ı nos aseguramos que no estamos cambiando “el tama˜ no” que el n´ umero representa (es decir, las dos formas del n´ umero son equivalentes). Entonces, el p pk n´ umero r = es equivalente al n´ umero r = , y esto es evidente, puesto que si observamos q qk bien, podemos separar esta u ´ltima expresión de la siguiente forma: r=

p k p p · = ·1= =r q k q q

viendo que las fracciones son dos formas distintas de escribir el mismo n´ umero. Esto puede verse desde otra perspectiva. Dado que ya conocemos a los n´ umeros racionales, ahora podremos multiplicar por un n´ umero racional a un n´ umero entero. Ahora si este n´ umero entero que estamos multiplicando por un n´ umero racional es el numerador de una fracción, y no quiero que esa fracción “cambie de tama˜ no”, tendré necesariamente que multiplicar al denominador por el mismo n´ umero racional. Esto puede verse como una división com´ un cuando el numerador del n´ umero racional que multiplica al numerador como al denominador de mi fracción es el n´ umero 1. Entonces, podemos decir que para encontrar fracciones equivalentes con sus términos (numerador y denominador) cada vez más peque˜ nos podemos simplemente dividir tanto el numerador y el denominador por el mismo n´ umero, de tal forma que todav´ıa nos sigan resultando ambos términos n´ umeros enteros. Esto es u ´til en la realización de operaciones con fracciones, como se indica en el siguiente art´ıculo. ´ meros... Los Nu

4.4 Suma de fracciones

4.4

Suma de n´ umeros racionales

Ahora s´ı, podemos averiguar la forma de hacer sumas con las fracciones. Consideremos las suma de los dos n´ umeros 1/3 y 1/4 (dos fracciones). Lo primero que sugiere la discusión anterior es convertir estos dos n´ umeros en fracciones que tengan el mismo denominador. Eso se consigue de manera muy sencilla: multiplicamos la primer fracción por el n´ umero 1 de la forma 4/4, mientras que la segunda fracción se puede multiplicar por el n´ umero 1 de la forma 3/3. Enseguida se indican los cálculos: 1 4 (1)(4) 4 · = = 3 4 (3)(4) 12 mientras que la segunda fracción será: 1 3 (1)(3) 3 · = = 4 3 (3)(3) 12 Ahora sumar las fracciones parece más sencillo, puesto que estamos sumando fracciones que tienen el mismo denominador, es decir, son fracciones que se partieron en partes del mismo tama˜ no. Entonces, volviendo a la suma, tendremos: 1 1 3 4 7 + = + = 3 4 12 12 12 De manera semejante se puede proceder con cualquier fracción para realizar sumas. Para hacer una resta se procede de la misma manera, pero en lugar de hacer la suma, hacemos la resta de las fracciones.

4.5

¿Por qu´ e no podemos dividir por cero?

Este tema me parece bastante instructor. La mayor´ıa de los estudiantes de bachillerato no saben qué responder cuando se les hace la pregunta “¿Cuánto es diez entre cero?”. Las respuestas más comunes var´ıan, algunos dicen cero, otros dicen diez, otros pocos mejor guardan silencio y todav´ıa menos reconocen que definitivamente no lo saben. Aqu´ı se presenta una justificación a este hecho. Para poder entender porqué no podemos dividir por cero empecemos por recordar la forma en la que hacemos com´ unmente la división. Tomemos por ejemplo el caso de la pregunta: “¿Cuánto es diez entre cinco?” 10 = 5 45

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N´ umeros racionales

Para poder responder a esta pregunta, necesitamos encontrar un n´ umero tal que al ser multiplicado por el n´ umero 5 nos resulte el n´ umero diez. El u ńico n´ umero que satisface esa condición es el n´ umero 2. Ahora consideremos la pregunta que nos preocupa, “¿cuánto es diez entre cero?”. 10 = 0 Para responder a esta pregunta necesitamos encontrar un n´ umero que multiplicado por cero nos resulta el n´ umero diez. Pero todos sabemos que cuando multiplico un n´ umero (cualquiera que éste sea) por cero, el resultado de esa multiplicación siempre es igual a cero!!! Entonces, nunca vamos a encontrar un n´ umero que satisfaga la condición impuesta por la pregunta que hemos hecho. En otras palabras, no podemos dividir diez entre cero. Ahora consideremos otro caso. Todos sabemos también que cuando divido a un n´ umero por s´ı mismo, el resultado es igual a 1. Ahora surge la pregunta: “¿Es esto válido también para el cero?” Para descubrir la veracidad o falsedad de esto hagamos el mismo estudio que acabamos de hacer en el caso anterior. 0 = 0 La nueva pregunta es: “¿por qué n´ umero debo multiplicar al n´ umero cero para obtener cero?”. La respuesta a esta pregunta ya la hemos dado. Cualquier n´ umero multiplicado por cero da como resultado cero. Entonces, aqu´ı no solamente tenemos una solución, sino un n´ umero infinito de soluciones. Es importante hacer notar que no es que la solución sea infinito. Recuérdese la propiedad de cerradura de los n´ umeros. Cuando realizo una operación con dos n´ umeros (en este caso, división), el resultado de esa operación es otro n´ umero. Infinito no es un n´ umero, sino una expresión que indica que hay algo que no tiene fin. Cuando dividimos cero entre cero resulta que hay una infinidad de n´ umeros distintos que satisfacen la pregunta inicial, y en general, cuando dividimos un n´ umero por otro (distinto de cero, obviamente) el resultado es u ńico. Por esto que se acaba de explicar, decimos que la división por cero no está definida.

4.6

Orden de los n´ umeros racionales

Decir que los n´ umeros racionales son ordenados es equivalente a decir que para dos n´ umeros racionales dados a y b, se cumple solamente una de las siguientes tres condiciones: i. a > b ii. a = b iii. a < b ´ meros... Los Nu

4.6 Orden de los racionales

Si nos vamos a la recta numérica, podemos enunciar estas mismas condiciones en términos de puntos sobre la recta numérica. Si tomamos dos puntos sobre la recta puede ocurrir una de las siguientes tres cosas: i. El primer punto está a la derecha del segundo punto. ii. El primer punto y el segundo están en el mismo sitio, es decir son el mismo punto, y iii. El primer punto está a la izquierda del segundo punto. Traduciendo esto al lenguaje algebraico (es decir, en s´ımbolos matemáticos), el resultado que obtendremos son exactamente las tres condiciones que indican el orden de los n´ umeros racionales. La primer condición indica: el punto (n´ umero) a está a la derecha del punto (n´ umero) b (a > b). La segunda condición nos dice: el punto a es el mismo que el punto b(a = b). La tercera condición por su parte nos dice que el punto a está a la izquierda del punto b(a < b). Aqu´ı se muestra la primera condición. (a > b)

La segunda condici´on es: (a = b) a 0

La tercera condici´on queda como sigue: (a < b)

Cuando tenemos una desigualdad entre dos n´ umeros, por ejemplo, a > b, y esta desigualdad se multiplica por alg´ un n´ umero negativo, el sentido de la desigualdad se cambia, esto es, resulta a k < b k, k < 0. Esto se hace evidente cuando consideramos la multiplicaci´on de los n´ umeros a y b por el n´ umero −1 y representamos esos n´ umeros (a, b, −a y − b) en la recta num´erica.

−b

−a

0 47

x b ´ meros... Los Nu

N´ umeros racionales

4.7

N´ umeros decimales

Desde el cap´ıtulo dos correspondiente a los n´ umeros enteros, particularmente cuando se estudió la divisibilidad entre n´ umeros vimos que no siempre es posible dividir un n´ umero dado entre otro y obtener siempre un n´ umero entero. Si realizamos la división de un n´ umero por otro (distinto de cero, claro está), en general obtendremos un cociente (resultado de esa división), y éste no será siempre un n´ umero entero, sino que (algunas veces) tendrá una parte decimal (el cociente se obtiene por medio del algoritmo de la división que aprendimos en la primaria). Entonces surge la necesidad de estudiar estos n´ umeros para poder aplicarlos a la solución de problemas puesto que su aparición es bastante com´ un en la vida diaria.

4.8

Operaciones con n´ umeros decimales

Ahora consideraremos el caso de las operaciones que se han estudiado con los anteriores n´ umeros, pero ahora tendremos oportunidad de ver otras operaciones que, por la naturaleza de los n´ umeros decimales, es posible definir en ellos. La suma de dos n´ umeros enteros (es decir, sus decimales son solamente ceros) se realiza de la forma “ordinaria”. Para que la suma siga siendo parecida cuando los n´ umeros a sumar (los sumandos) tienen como parte decimal distinta de cero, ordenaremos los dos n´ umeros como se realiza en los n´ umeros enteros, es decir, se van tomando las unidades y se suman, luego las decenas y as´ı sucesivamente. Entonces, para el caso de los n´ umeros decimales usaremos además las partes decimales ordenadas para realizar la suma. En otras palabras, ordenaremos las partes decimales y se llevará a cabo la suma: décimos con décimos, centésimos con centésimos, etc. Aqu´ı se muestra un ejemplo: para sumar los n´ umeros 123.89 y 13.57 los ordenamos como sigue: 123.89 + 13.57 137.46 El producto se realiza de forma similar. Ahora entraremos a una operación que nos dará una idea de la abreviación en matemáticas con respecto a los n´ umeros. Nos estamos refiriendo al redondeo de los n´ umeros decimales. Aqu´ı se hace mención al redondeo como una abreviación porque en realidad eso es: cuando nosotros no queremos saber exactamente el valor de un n´ umero, simplemente lo aproximamos al décimo, centésimo, etc., más cercano para darnos una idea de qué tan grande es. Por ejemplo, si queremos redondear el n´ umero que estudiamos en la geometr´ıa 3.141592654... al diezmilésimo más cercano, podemos escribirlo como 3.1416. De hecho, en la primaria generalmente lo aprendemos en esta u ´ltima forma. Lo que nos dice el redondeo es que el n´ umero π está más cerca de 3.1416 que del n´ umero 3.1415. Sin embargo, ocurre un problema: cuando el n´ umero es, por ejemplo el n´ umero 7.5 está a la ´ meros... Los Nu

4.9 Periodicidad

misma distancia (en la recta numérica) del n´ umero 6 que del n´ umero 7. Por convención se redondea en estos casos al siguiente próximo. En este caso se redondea a 7. Otra historia es la truncación. En esta operación lo que se hace es ignorar los decimales a partir de un d´ıgito establecido. Por ejemplo, si queremos truncar el n´ umero π hasta milésimos obtendremos: 3.141. A la truncación no le interesa para nada si el siguiente d´ıgito hace que el n´ umero π se encuentra más cerca del n´ umero 0 o´ del n´ umero 2. Simplemente le importan los primeros tres d´ıgitos después del punto decimal. Esto en algunos casos representa una desventaja: si queremos hacer aproximaciones, la truncación arrojará en general un error más grande que el que generar´ıa la operación redondeo. Aqu´ı la decisión (de usar truncamiento o redondeo) depende del uso que vayamos a dar a nuestro resultado y, por tanto, decir “qué tanto es tantito” resulta bastante vago por ahora.

4.9

Periodicidad

Hasta aqu´ı hemos tenido oportunidad de trabajar con n´ umeros racionales (es decir, fracciones donde tanto el numerador como el denominador son n´ umeros enteros) y por otra parte trabajar con n´ umeros decimales. Ahora veremos que entre ellos existe una relación bastante interesante. Considere el siguiente experimento: se tienen 51 ratones en la casa de Do˜ na Mar´ıa y se sabe además que en la casa hay solamente 50 huecos donde los ratones se meten. Un feliz d´ıa, Do˜ na Mar´ıa se da cuenta que todos los ratones están en alg´ un hueco. ¿Qué se puede concluir de esto? Claro está: en al menos un hueco hay dos ratoncitos. Bueno, ahora vamos a estudiar la división: Supongamos que vamos a dividir alg´ un n´ umero a entre 7. ¿cuáles son los posibles residuos que podemos obtener de la división? La respuesta a esta pregunta es: los posibles residuos que podemos obtener de la división de alg´ un n´ umero arbitrario a por 7 son 0 (caso de la división exacta), 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Aqu´ı ya no es posible obtener 7 como residuo, porque si este fuera el caso ,entonces el cociente se deber´ıa aumentar en 1 (o como dicen los ni˜ nos en la primaria, cabe una vez más el n´ umero 7 en el n´ umero a) y el residuo que obtendr´ıamos deber´ıa ser entonces cero. Ahora, si vamos a expresar un n´ umero racional (fracción) como n´ umero decimal, suponiendo que existan decimales distintos de cero, cuando realicemos la división, irán apareciendo los residuos. Ahora, estos residuos no pueden ser sino los que hemos mencionado (para el caso del 7, tenemos que los residuos son 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6). Entonces en alg´ un punto de la división el residuo se repetirá y con esto el cociente también lo hará el d´ıgito del cociente que le corresponde(estamos suponiendo que ya estamos en la parte decimal del denominador) Por ejemplo, si realizamos la división 1/7 obtenemos: 49

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N´ umeros racionales

es decir,

0.142857142857 · · · 1.000000000000 · · · 30 20 60 40 50 10 30 20 40 50 1 .. .

1 = 0.142857142857142857 · · · 7

Vemos que la cadena de n´ umeros 142857 se repite una y otra vez. Diremos que el n´ umero 1/7 tiene una expresión decimal periódica infinita porque se va repitiendo la cadena de n´ umeros 142857 una y otra vez. A esta cadena de n´ umeros que se va repitiendo lo llamaremos periodo. La longitud del periodo es el n´ umero de d´ıgitos que la cadena contiene. Este caso la longitud del periodo es de 6 d´ıgitos. Aqu´ı es conveniente notar que la longitud del periodo puede ser 1, 2, 3, 4, 5 ó 6, pero nunca será igual a 7, puesto que si aparece el cero como residuo, la división deber´ıa detenerse entonces. Por ejemplo consideremos el siguiente caso: 1 = 0.5 2 Aqu´ı, si realizamos la división, veremos que como nos resultó cero en el residuo no fue necesario seguir realizando la división. Entonces, el n´ umero 1/2 no tiene expresión decimal infinita, sino finita. Ahora, se ve inmediatamente que 1/2 no tiene periodo (o si se quiere ver desde otra perspectiva, su periodo tiene una longitud igual a uno y la cadena consta de un d´ıgito solamente: el cero, en cuyo caso ser´ıa un n´ umero con expresión decimal infinita). Entonces, es natural hacer la siguiente pregunta: ¿cómo podemos saber si un n´ umero tiene expresión decimal finita (como el caso de 1/2) o si tiene expresión final infinita (como el caso de 1/7)? La respuesta a esta pregunta se da en el siguiente art´ıculo. ´ meros... Los Nu

4.10 Periodos finitos e infinitos

4.10

N´ umeros decimales peri´ odicos finitos e infinitos

Ahora consideraremos el problema de determinar cuales de todos los n´ umeros racionales tienen expresión decimal finita y cuales tienen expresión decimal infinita. Primero mencionaremos la respuesta a esta pregunta, y finalmente justificaremos este hecho. La respuesta es como sigue: los n´ umeros racionales tienen expresión decimal finita, si y solamente si, su expresión como n´ umero racional en su expresión m´ınima (es decir, si se ha simplificado la fracción al máximo posible) tiene en el denominador una descomposición en factores primos con potencias del 2 y del 5 solamente. Para justificar este hecho simplemente debemos notar que, en caso de que esto sea cierto, entonces podemos escribir el n´ umero racional r de la siguiente forma4 :

p p = m n q 2 ·5

Ahora, suponiendo que m > n, podemos multiplicar la u ´ltima fracci´on por el n´ umero 5m−n , lo que nos dar´a:

p 5m−n · p 5m−n · p 5m−n · p = = = 2m · 5n 2m · 5m−n · 5n 2m · 5m 10m

Ahora, es bastante evidente que cuando dividimos un n´ umero por diez, el resultado es el mismo n´ umero inicial, pero con el punto decimal corrido hacia la izquierda m posiciones, indicando que el n´ umero racional tiene una expresi´on decimal peri´odica finita. Por ejemplo, consideremos el n´ umero r = En este caso, r =

1 4

1 1 1 · 52 52 25 = 2 = 2 2 = 2 = = 0.25 4 2 2 ·5 10 100

¿Podremos justificar que en cualquier otro caso el n´ umero racional tendrá expresión decimal infinita? Para ver que esto es as´ı, simplemente debemos considerar lo mencionado en el art´ıculo de la periodicidad. Vemos que en cualquier otro caso, la división por un n´ umero distinto de diez implica la repetición de la cadena de n´ umeros a la cual hemos llamado periodo. Ahora podemos preguntarnos, dado un n´ umero decimal periódico, ¿es siempre posible expresarlo en forma de un n´ umero racional? 4 Aqu´ ı

se hace uso de las leyes de los exponentes que se estudian en el cap´ıtulo 5.

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N´ umeros racionales

4.11

Conversi´ on de n´ umero decimal peri´ odico a fracci´ on

Para poder responder la pregunta apenas hecha, podemos considerar un par de ejemplos: r = 0.13131313 · · · multiplicamos este n´ umero r por 100. 100 r = 13.13131313 · · · Es claro que si restamos al n´ umero 100 r el n´ umero r obtenemos como resultado el n´ umero 99 r, entonces, 99 r = 13.00000000 · · · Ahora simplemente dividimos por 99 ambos lados de la igualdad, resultando: r=

13 99

Aqu´ı, el “truco” consistió en multiplicar por un n´ umero que tuviera dos ceros (el cien), porque de esta forma podemos hacer ceros las partes decimales de los n´ umeros al hacer la resta. Continuamos con un segundo ejemplo: r = 0.33333333 · · · Multiplicando por 10 la u ´ltima expresión obtenemos: 10 r = 3.33333333 · · · Restando la primera expresión de la segunda obtenemos: 9 r = 3.00000000 · · · o, de forma equivalente, al dividir por 9 ambos lados de la igualdad obtenemos: r= ´ meros... Los Nu

3 1 = 9 3 52

4.12 10/11 y 11/12

4.12

¿Qu´ e N´ umero es Mayor,

11 10 u ? 11 12

Aqu´ı se tienen muchas formas de resolver este problema. Usaremos el método de las preguntas gu´ıa: 1. ¿Cuántos onceavos tiene un entero? 2. ¿Cuántos doceavos tiene un entero? 3. ¿Qué es más grande un onceavo o un doceavo? 4. ¿Cuántos onceavos le faltan a diez onceavos para llegar a un entero? 5. ¿Cuántos doceavos le faltan a once doceavos para llegar a un entero? 6. ¿Qué n´ umero es mayor, diez onceavos u once doceavos? Espero que puedas encontrar la respuesta correcta. Otra forma de atacar este problema es convertir ambos n´ umeros racionales a otros n´ umeros racionales equivalentes con denominador com´ un. Para esto, multiplicamos por doce doceavos (es decir, por uno) al n´ umero diez onceavos y, por otra parte, multiplicamos por once onceavos al n´ umero once doceavos. 10 12 120 · = 11 12 132 Aqu´ı ya es bastante evidente:

121 11 11 · = 12 11 132

121 120 11 10 es mayor que , lo que nos indica que > . 132 132 12 11

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NÂ´ umeros racionales

Â´ meros... Los Nu

Cinco NÂ´ umeros irracionales

5.1

DefiniciÂ´ on y ejemplos

Ya se ha dado la definiciÂón de los nÂ´ umeros racionales. De manera similar se da la definiciÂón de los nÂ´ umeros irracionales. Los nÂ´ umeros irracionales son todos aquellos nÂ´ umeros que no pueden expresarse como el cociente de dos nÂ´ umeros enteros. Los nÂ´ umeros irracionales se denotan con el sÂ´Äąmbolo Q0 En notaciÂón de conjuntos esto lo escribiremos de la siguiente manera: p Q = x|x 6= ; p, q â&#x2C6;&#x2C6; Z, q 6= 0 q 0

y se lee: el conjunto de los nÂ´ umeros irracionales estÂá formado por todos aquellos nÂ´ umeros que NO puedan ser expresados como el cociente de dos nÂ´ umeros enteros, y ademÂás, el denominador de ese cociente debe ser distinto de cero. â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; Ejemplos clÂásicos de este tipo de nÂ´ umeros son, 2 y el nÂ´ umero Ď&#x20AC;. Eso significa que 2 no puede escribirse como una fracciÂón (siendo el numerador y el denominador nÂ´ umeros enteros y el denominador distinto de cero). Enseguida veremos el porquÂé.

5.2

Dilema de PitÂ´ agoras

Este problema es bastante interesante y se da crÂ´edito a la escuela pitagÂ´orica el hecho de haber probado que la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 no se puede expresar por un nÂ´ umero racional (es decir, como cociente de dos nÂ´ umeros enteros), dando origen a los nÂ´ umeros irracionales. 55

Â´ meros... Los Nu

N´ umeros irracionales

Se ten´ıa la idea por esta escuela que todos los segmentos de recta pod´ıan servir como unidad de medida, de tal forma que siempre era posible expresar cualquier otro segmento como un m´ ultiplo, o subm´ ultiplo del primero. Sin embargo, cuando se dieron cuenta de que la diagonal del cuadrado no puede expresarse como un m´ ultiplo o un subm´ ultiplo de la longitud de uno de los lados del mismo, encontraron nuevos segmentos, a los cuales les llamaron inconmensurables, a los que hoy llamamos los n´ umeros irracionales. Consideremos un cuadrado de lado 1. Dibujemos una de sus diagonales.

1 Por el teorema de Pit´agoras se sigue que 12 + 12 = x2 , donde x representa la longitud de la diagonal. Si resolvemos esta ecuaci´on obtendremos umero tal que al elevarlo al √ que x es un n´ cuadrado nos resulte el n´ umero 2. Esto es, x = 2.

5.3

Irracionalidad del n´ umero

√

√ Ahora pasaremos demostrar que el n´ umero 2 no es un n´ umero racional. √ Antes que nada supongamos que el n´ umero 2 s´ı es un n´ umero racional, es decir, que s´ı se puede expresar como cociente de dos n´ umeros enteros (con denominador distinto de cero, claro est´a). Tambi´en podemos suponer que a este n´ umero ya lo hemos simplificado hasta donde es posible. Esto significa que el numerador y el denominador no tienen factores comunes. Entonces, de acuerdo con estas suposiciones podemos escribir: √

p 2= ; q

p, q ∈ Z, q 6= 0

Multiplicando ambos lados de la igualdad anterior por el n´ umero q obtenemos la siguiente: q

√

2=p

Ahora elevamos ambos lados de la desigualdad al cuadrado 2 q 2 = p2 ´ meros... Los Nu

(5.1)

5.4 Irracionalidad del n´ umero

√

Detengámonos un momento a meditar lo que esta igualdad nos dice: “el n´ umero p2 es un 2 n´ umero par”. Ahora, si el n´ umero p es par, entonces p mismo debe ser par también, porque de otra forma al elevarlo al cuadrado no obtendr´ıamos un n´ umero par. Para ver que esto es as´ı, simplemente basta considerar la descomposición en factores primos del n´ umero p. Pues si en ella no aparece ninguna vez el n´ umero 2, entonces será imposible que aparezca en la descomposición en factores primos del n´ umero p2 . Mientras que, si p contiene al n´ umero 2 en su descomposición en factores primos, entonces, necesariamente aparecerá en el n´ umero p2 , esto se debe a que elevar al cuadrado significa multiplicar el n´ umero p por s´ı mismo dos veces. Esto indica que 2 el n´ umero p se divide por 2 el doble de veces que se divide por 2 el n´ umero p. Se deja como ejercicio demostrar que si p es de la forma p = 2 k + 1 (es decir, un n´ umero impar), entonces p2 debe ser impar también, y que si p es par, igualmente será p2 . Entonces, si p es un n´ umero par, podemos expresarlo como p = 2 m. De donde podemos ver que p2 = 4 m2 . Sustituyendo este resultado en 5.1 obtenemos: 2 q 2 = 4 m2 Dividiendo ambos lados de la igualdad por 2, obtenemos finalmente: q 2 = 2 m2 Ahora, detengámonos a meditar lo que esto implica. Hab´ıamos dicho que el n´ umero p deb´ıa ser necesariamente un m´ ultiplo del n´ umero 2. Ahora estamos viendo que la u ´ltima igualdad nos sugiere que el n´ umero q 2 (y por tanto q) debe ser también m´ ultiplo del n´ umero 2. Pero de inicio hab´ıamos supuesto que los n´ umeros p y q no ten´ıan factores comunes, por lo que hemos llegado a una contradicción: ambos n´ umeros p y q tienen al n´ umero 2 como factor (com´ un). Entonces, √ lo u ńico que nos queda por concluir es que el n´ umero 2 no puede ser expresado como cociente de dos n´ umeros enteros, lo que implica que este n´ umero debe ser un n´ umero irracional, por definición.

5.4

Irracionalidad del n´ umero

√

√ Con exactamente el mismo procedimiento usado para √ demostrar que el n´ umero 2 es un n´ umero irracional, podemos ahora demostrar que el n´ umero 3 es tambi´en irracional. √ Para ver que esto es as´ı, iniciemos con las mismas suposiciones: que el n´ umero 3 s´ı se puede expresar como cociente de dos n´ umeros enteros. Tambi´en podemos suponer que el numerador no tiene factores comunes con el denominador. Entonces, de acuerdo con estas suposiciones podemos escribir: √ p 3= ; q

p, q ∈ Z, q 6= 0 57

´ meros... Los Nu

N´ umeros irracionales

Ahora elevamos ambos lados de la igualdad al cuadrado: 3 q 2 = p2

(5.2)

Detengámonos un momento a entender lo que esta igualdad nos dice: “el n´ umero p2 es un 2 n´ umero m´ ultiplo de tres”. Ahora, si el n´ umero p es m´ ultiplo de tres, entonces p mismo debe ser m´ ultiplo de tres también, porque de otra forma al elevarlo al cuadrado no obtendr´ıamos un n´ umero m´ ultiplo de tres. El mismo argumento usado en el caso anterior evidencia este hecho. Se deja como ejercicio argumentar este u ´ltimo resultado de la misma manera que se argumento en el caso anterior. También se deja como ejercicio demostrar que si p es de la forma p = 3 k + 1, o´ p = 3 k + 2, entonces p2 debe no es m´ ultiplo de tres tampoco, y que si p es m´ ultiplo de 3, es decir, de la forma p = 3 k, entonces igualmente será p2 . Entonces, si p es un m´ ultiplo de 3, podemos expresarlo como p = 3 m. De donde podemos ver que p2 = 9 m2 . Sustituyendo este resultado en 5.2 obtenemos: 3 q 2 = 9 m2 Dividiendo ambos lados de la igualdad por 3, obtenemos: q 2 = 3 m2 Ahora, igual que en el caso anterior, estamos viendo que la u ´ltima igualdad nos sugiere que el 2 n´ umero q (y por tanto q) debe ser también m´ ultiplo del n´ umero 3. Pero de inicio hab´ıamos supuesto que los n´ umeros p y q no ten´ıan factores comunes, por lo que hemos llegado a una contradicción: ambos n´ umeros p y q tienen al √ n´ umero 3 como factor com´ un. Entonces, lo u ńico que nos queda por concluir es que el n´ umero 3 no puede ser expresado como cociente de dos n´ umeros√enteros, lo que implica que este n´ umero debe ser un n´ umero irracional, al igual que el n´ umero 2.

5.5

Irracionalidad del n´ umero

√

√ Aqu´ı podemos suponer que el método para demostrar que el n´ umero 6 es un n´ umero irracional, es exactamente igual (palabra a palabra, excepto en los casos de m´ ultiplo de 2 o´ 3, debe decirse, evidentemente m´ ultiplo de 6) que en los dos casos anteriores. Lo que debemos mencionar es que en este caso, podemos elegir a 2 ó 3 como el n´ umero que usaremos en la demostración, dado que podemos ver al n´ umero 6 como m´ ultiplo bien del n´ umero 2, bien del n´ umero 3. Se dará la demostración tomando al n´ umero 6 como m´ ultiplo de 2. Se deja como ejercicio demostrar el mismo resultado tomando al n´ umero 6 como m´ ultiplo de 3. √ umero racional, esto es, que s´ı se puede Antes que nada supongamos que el n´ umero 6 s´ı es un n´ expresar como cociente de dos n´ umeros enteros (con denominador distinto de cero, claro está). ´ meros... Los Nu

5.6 Irracionalidad del n´ umero

√

Tambi´en podemos suponer que a este n´ umero ya lo hemos simplificado hasta donde es posible. Esto significa que el numerador no tiene factores comunes con el denominador. Entonces, de acuerdo con estas suposiciones podemos escribir: √ p 6= ; q

p, q ∈ Z, q 6= 0

Multiplicando ambos lados de la igualdad por el n´ umero q y elevar al cuadrado, obtenemos la siguiente: 6 q 2 = p2 (5.3) Lo cual puede ser escrito como: 2 · 3 q 2 = p2 Detengámonos un momento a meditar lo que esta igualdad nos dice: “el n´ umero p2 es un n´ umero 2 par”. Ya sabemos que si el n´ umero p es par, entonces p mismo debe ser par. Entonces, si p es un n´ umero par, podemos expresarlo como p = 2 m. De donde podemos ver que p2 = 4 m2 . Sustituyendo este resultado en 5.3 obtenemos: 2 · 3 q 2 = 4 m2 Dividiendo ambos lados de la igualdad por 2, obtenemos finalmente: 3 q 2 = 2 m2 Ya hab´ıamos dicho que el n´ umero p deb´ıa ser necesariamente un m´ ultiplo del n´ umero 2. Ahora 2 estamos viendo que la u ´ltima igualdad nos sugiere que el n´ umero 3 q (y por tanto q) debe ser n´ umero par. Pero de inicio hab´ıamos supuesto que los n´ umeros p y q no ten´ıan factores comunes, por lo que hemos llegado a una contradicción: ambos n´ umeros p y q tienen al n´ umero 2 como factor com´ un. Entonces, lo u ńico que nos queda por concluir es que el n´ umero no √ puede ser expresado como cociente de dos n´ umeros enteros, lo que implica que este n´ umero 6 debe ser un n´ umero irracional.

5.6

Irracionalidad del n´ umero

√

√ √ Aqu´ı aparece un nuevo n´ umero. Tratemos de averiguar si el n´ umero 2 + 3 es o no √ un n´ √umero racional. Supongamos primeramente que s´ı es, de tal forma que podamos escribir 2 + 3 = r donde r es un n´ umero racional. Elevando al cuadrado ambos lados de la u ´ltima igualdad obtenemos: r2 = 2 + 2

√ √ 6+3=5+2 6 59

´ meros... Los Nu

N´ umeros irracionales

Pero, podemos restar 5 a ambos lados de la igualdad y después dividir por 5, con lo que obtendremos: r2 − 5 √ = 6 2 Ya no hace falta ir más lejos. Puesto que ya sabemos que los n´ umeros racionales son cerrados bajo la suma, la resta, la multiplicación y la división, podemos entender que el lado izquierdo de la u ´ltima igualdad es un n´ umero racional (dado que hemos supuesto que el n´ umero r lo es, entonces, estamos sumado n´ umeros racionales y el resultado debe serlo tambi´ e n). Pero acabamos √ de demostrar que el n´ umero 6 no es un n´ umero racional. Entonces, la u ´ltima √ igualdad √ no puede ser cierta, por lo que tenemos una contradicción. Esto indica que el n´ umero 2 + 3 no puede ser expresado como cociente de dos n´ umeros enteros, lo que implica que este n´ umero sea irracional.

5.7

Aproximaci´ on a n´ umeros irracionales por medio de n´ umeros racionales

Los estudiantes de las distintas carreras de ingenier´ıa pudieran quejarse diciendo: “Si en realidad, cuando hacemos mediciones de velocidades, corrientes, voltajes, etc., nunca encontramos un valor exacto, sino una mera aproximación debida a los errores de los aparatos de medición que usamos, entonces, ¿qué caso tiene trabajar con n´ umeros irracionales, si a final de cuentas, no queremos usar todos sus decimales?” La justificación a esta cuestión consiste en que algunas personas no están conformes y quieren hacer que sus ideas sean completamente claras, de tal forma que no haya huecos en la teor´ıa que manejan y de esta forma puedan resolver un mayor n´ umero de problemas de manera exacta, aunque en la vida real nunca se puedan hacer mediciones exactas. Ahora, para aproximar un valor irracional podemos empezar con √ un ejemplo bastante sencillo, digamos que queremos encontrar una aproximación del valor 2 expresada como un n´ umero racional (a pesar de que ya sabemos √ que este valor no es el exacto). Empezaremos haciendo notar que el valor correspondiente a 2 debe ser mayor que 1 y menor a 2, debido a que si 2 2 2 a < b < c, entonces √ se cumple que a < b < c , y de antemano sabemos que 1 < 2 < 4, luego se sigue que 1 < 2 < 2. √ Ok. Entonces, podemos suponer que (1 + a) es igual a 2. Y si esto es cierto, podemos ver que (1 + a)2 = 2, pero (1 + a)2 = 1 + 2 a + a2 . Ahora, sabemos que a debe ser menor que 1, de aqu´ı se deduce que a2 debe ser menor que a. Tomando esto en consideración, podemos ignorar el valor de a2 y encontrar el valor de a, el cual contiene un peque˜ no error, que podemos por el momento despreciar. Entonces, debemos tener: 1 + 2 a = 2, esto implica que a = ´ meros... Los Nu

1 Ahora, podemos ver que (1 + a) 2

5.8 Noci´ on de l´ımite

3 es igual a . Pero 2

2 3 9 un. = = 2.25, entonces nuestra aproximaci´on es bastante pobre a´ 2 4

√ 3 Podemos aproximarnos todav´ıa más si suponemos ahora que + b = 2. Al elevar ambos 2 9 2 + 3 b + b = 2. Ahora, igual que en el caso lados de la igualdad al cuadrado obtenemos: 4 anterior, podemos ignorar momentáneamente al término cuadrático y resolver para b, y estaremos seguros que la aproximación será a´ un mejor. Entonces, realizando las operaciones podemos 9 1 encontrar: + 3 b = 2, lo que implica b = − . Ahora la nueva aproximación es: 4 12 3 3 1 18 − 1 17 +b= − = = 2 2 12 12 12 √ 3 17 es mejor aproximación que del n´ umero 2, podemos calcular su 12 2 2 3 9 cuadrado, y éste debe estar más cerca que = = 2.25 de 2. Para esto podemos ver que 2 4 2 289 17 = = 2.006844 aprox. 12 144 Ahora, para ver que

Hasta aqu´ı llegaremos. El lector fácilmente puede continuar con este proceso y calcular mejores aproximaciones por este procedimiento. Sin embargo debe recordarse que este procedimiento √ solamente nos ayuda a aproximar el valor de 2, nunca encontraremos el valor exacto... ¿Por qué? Pues por la definición de n´ umero irracional: no podemos expresar un √ n´ umero irracional como el cociente de dos n´ umeros enteros, y ya se demostró que el n´ umero 2 es un n´ umero irracional. √ √ √ √ √ Se deja como ejercicio encontrar aproximaciones de los n´ umeros 3, 5, 6, 2 + 3 por este procedimiento.

5.8

Noci´ on de l´ımite

En el art´ıculo anterior cada vez que encontrábamos el valor de la parte literal de la igualdad el resultado de sumar esa parte a la aproximación anterior hac´ıa que el nuevo valor encontrado estuviera cada vez más cerca del valor que se está aproximando. Aqu´ı se trata de dar la noción de l´ımite con varios ejemplos de la vida real. Considere un hilo de un metro de largo. Primero definiremos una operación sobre este objeto, ”cortar”, la cual consiste en dividir el hilo en dos partes iguales, y una de esas partes separarla y quedarnos con la otra mitad. Empezamos: hacemos un ”corte”, cada uno de los nuevos hilos medirá medio metro. Dejamos uno de ellos en un lado y nos quedamos con el otro. Ahora hacemos otro ”corte”. Esta vez, cada uno de las partes mide 1/4 de metro. Otra vez dejamos 61

´ meros... Los Nu

N´ umeros irracionales

una de esas partes a un lado y con el nuevo hilo hacemos otro corte. Esta vez cada parte medirá 1/8 parte de metro. Hacemos a un lado una de esas partes y continuamos con el proceso. Es evidente que mientras más cortes hagamos al hilo la longitud del hilo que nos queda en la mano se acerca cada vez más a cero. Por otra parte, la suma de las longitudes de los hilos que hemos hecho a un lado se debe estar acercando cada vez más a uno. Algebraicamente tendremos el siguiente esquema: N´ umero de cortes 1 2 3 4 .. . n

Longitud de cada hilo 1 2 1 4 1 8 1 16 .. . 1 2n

Suma de las longitudes 1 2 3 4 7 8 15 16 .. . 1−

1 2n

De aqu´ı vemos que conforme el n´ umero n crece, la longitud de cada hilo se acerca mucho a cero, mientras que la suma de las longitudes de los hilos que hemos dejado a un lado se acerca cada vez más a 1. Otro ejemplo lo tomamos del caso de la división por cero. Hacemos la pregunta: “¿qué valor x2 − 1 adquiere el cociente conforme el n´ umero x se acerca más al n´ umero 1”. x−1 No debemos apresurarnos a dar una respuesta. Aqu´ı alguien podr´ıa aventurarse a sugerir: “el x2 − 1 12 − 1 cociente se acerca mucho a 1, por el hecho de que si x = 1, entonces tendremos = x−1 1−1 y puesto que cuando dividimos un n´ umero por s´ı mismo, el resultado siempre es 1, podemos ver que en efecto, el resultado es 1”. Pero, cuidado, debes recordar que no tiene sentido dividir por cero. Alguien más pudiera sugerir: simplemente demos valores a x que se vayan acercando cada vez más a 1 y veamos qué sucede. ´ es un buen inicio. Enseguida se muestra una tabla con los resultados1 : Ese 1 Aqu´ ı

el lector debe verificar que los resultados dados en verdad son los correctos.

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5.8 Noci´ on de l´ımite

1.1

x2 − 1 x−1 2.1

1.01 1.001 1.0001

2.01 2.001 2.0001

Sin embargo, debemos aceptar que este método es muy tardado y por tanto poco práctico (además de aburrido), por lo que sugerimos una revisión del a´lgebra. NOTA: Si no entiendes el siguiente material, no te preocupes, más adelante lo revisarás en la parte de a´lgebra. No en este libro, sino en cursos más avanzados. Si tenemos suerte, podremos recordar los productos notables. Entre ellos se enlista el siguiente: (a + b)(a − b) = a2 − b2 Ahora, solamente falta notar que el numerador del cociente es en s´ı una diferencia de cuadrados, al igual que el lado derecho de la igualdad de nuestro producto notable. Usando esto como una herramienta podemos escribir el cociente de la siguiente manera: (x + 1)(x − 1) x2 − 1 = =x+1 x−1 x−1

x 6= 1

Ahora, supuesto que x sea distinto de 1, este resultado es correcto (porque no podemos dividir por cero), luego, conforme x se aproxima a 1, el valor de x + 1 se debe aproximar a 2. Con un poco m´as de suerte puede ocurrir que alguien conozca la siguiente f´ormula2 :. 1 − rk+1 rk+1 − 1 = = 1 + r + r2 + r3 + · · · + rk 1−r r−1

r 6= 1

En este caso estamos tratando con el caso k = 1 (porque k + 1 = 2). Sustituyendo este valor, obtenemos el mismo resultado que encontramos con el uso del producto notable (a + b)(a − b) = a2 − b 2 . Espero que hasta aqu´ı tengas una noción de lo que significa un l´ımite: si una sucesión de términos se acerca cada vez más a un n´ umero determinado conforme realizamos pasos en su dirección, entonces podemos decir que tenemos un l´ımite. ¿Para qué sirven los l´ımites? Bueno, actualmente cualquier ingeniero estudia el Cálculo Infinitesimal, una rama de las matemáticas que Sir. Isaac Newton desarrolló. Con esta herramienta poderos´ısima podemos hacer modelos que predicen con bastante exactitud fenómenos de diversas formas: desde la velocidad de un paracaidista tomando en cuenta la resistencia del aire, la trayectoria de part´ıculas cargadas 2 Esta

f´ ormula se deduce en el estudio de las progresiones geom´ etricas. M´ as adelante las encontrar´ as, de nuevo, no en este texto.

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N´ umeros irracionales

en campos electromagnéticos, el crecimiento de poblaciones, el comportamiento de circuitos eléctricos, la oscilación de resortes, etc. En realidad el uso del cálculo es ilimitado. La u ńica limitación que tiene es la incapacidad del usuario de apreciar su amplitud y las ventajas que representa conocer sus técnicas.

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Seis N´ umeros complejos

Ya se mencionó que los n´ umeros reales están formados por todos los n´ umeros racionales y todos los n´ umeros irracionales. Sin embargo, si tratamos de encontrar un n´ umero (real) tal que al elevarlo al cuadrado nos resulte un n´ umero negativo, digamos, x2 = −1, jamás encontraremos alguno. Gerónimo Cardano fue el primero que consideró que la solución a esta expresión está dada por objetos matemáticos que ahora llamamos n´ umeros complejos, que aqu´ı se discute brevemente.

6.1

Definici´ on

Un n´ umero complejo es un n´ umero que tiene la forma: z = a + ib Donde a y b son n´ umeros reales y, adem´as, i tiene la siguiente propiedad: i2 = −1 Hasta aqu´ı pareciera que no tiene sentido asignar esta propiedad al numero i, sin embargo, esta es la u ´nica forma posible en que se pueden solucionar todas las expresiones del tipo x2 = −k; (k > 0).

6.2

Operaciones b´ asicas con n´ umeros complejos

En este apartado mencionaremos solamente las operaciones de los n´ umeros complejos en su forma rectangular, es decir, en la misma forma en que se han definido. Aqu´ı se hace menci´on de que los n´ umeros complejos pueden expresarse de distintas formas, pero no se estudian aqu´ı. 65

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N´ umeros complejos

Antes de definir las operaciones, veamos un poco más de cerca de estos objetos para poder conocerlos un poco mejor. Es evidente que el conjunto de los n´ umeros reales están incluidos dentro del conjunto de los n´ umeros complejos. Puesto que si hacemos b = 0 en z = a + i b, entonces, la parte que está multiplicada por el objeto i se hace cero, quedándonos solamente un n´ umero real. De aqu´ı, diremos que la parte real de un n´ umero complejo z = a + i b es el n´ umero real a. Denotaremos lo anterior de la siguiente manera: Re(z) = a. Para no dejar a la otra parte del n´ umero complejo sin nombre diremos que la parte imaginaria del n´ umero complejo z = a + i b es el n´ umero real b. Esto se escribirá: Im(z) = b. La suma de dos n´ umeros complejos z1 = a1 + i b1 y z2 = a2 + i b2 , se define como sigue: z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i (b1 + b2 ) Entonces, la parte real de la suma de dos n´ umeros complejos es igual a la suma de las partes reales de cada n´ umero complejo, y la parte imaginaria de la suma de dos n´ umeros complejos es igual a la suma de las partes imaginarias de los dos n´ umeros complejos. Esto es: Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ),

Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 )

Definiremos el producto de dos n´ umeros complejos de acuerdo a la ley distributiva, con el fin de 1 que parezca algo natural . Entonces, si z1 = a1 + i b1 y z2 = a2 + i b2 son dos n´ umeros complejos, tendremos: (z1 )(z2 ) = (a1 + i b1 )(a2 + i b2 ) = = (a1 )(a2 ) + (a1 )(i b2 ) + (i b1 )(a2 ) + (i b1 )(i b2 ) = = (a1 )(a2 ) + (a1 )(i b2 ) + (i b1 )(a2 ) + i2 (b1 )(b2 ) Pero, tomando en cuenta que i2 = −1, tenemos: = [(a1 )(a2 ) − (b1 )(b2 )] + i [(a1 )(b2 ) + (b1 )(a2 )] De aqu´ı, vemos que: Re((z1 )(z2 )) = (a1 )(a2 ) − (b1 )(b2 ) y que: Im((z1 )(z2 )) = (a1 )(b2 ) + (b1 )(a2 ). 1 En

el sentido de que cumple con las propiedades de los n´ umeros reales.

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6.2 Operaciones b´ asicas con n´ umeros complejos

Ahora, de acuerdo a la multiplicación, podemos definir el negativo de un n´ umero complejo. Para esto, tomamos a uno de los factores igual a −1. Entonces, de acuerdo con la definición de n´ umero complejo, el n´ umero −1 puede escribirse como: z = a + i b = −1 + i 0 = −1 y usando la regla de multiplicación de los n´ umeros complejos obtenemos: (z1 )(z2 ) = [(a1 )(a2 ) − (b1 )(b2 )] + i [(a1 )(b2 ) + (b1 )(a2 )] −z2 = (−1)(z2 ) = (−1 + i 0)(a2 + i b2 ) = = [(−1)(a2 ) − (b1 )(0)] + i [(−1)(b2 ) + (0)(a2 )] = −a2 + (−b2 ) = −a2 − b2 En palabras, este resultado nos indica que el negativo de un n´ umero complejo es igual a cambiar el signo de las partes real e imaginaria del n´ umero complejo considerado. La división de los n´ umeros complejos no es tan fácil de definir, de hecho, es necesario resolver un sistema de ecuaciones lineales2 para poder encontrar el cociente de dos n´ umeros. Primero definiremos la división como se espera sea definida (para que esté de acuerdo con lo expuesto para los n´ umeros reales) y después verificaremos que esta definición es correcta. Para esto consideremos los n´ umeros complejos z1 = a1 +i b1 y z2 = a2 +i b2 , entonces, definiremos el cociente de estos n´ umeros complejos como sigue: z1 a1 · a2 + b1 · b2 b 1 · a2 − a1 · b 2 = −i 2 2 z2 a2 + b 2 a22 + b22 Como ya mencionamos que no es posible dividir por cero, es evidente que z2 necesariamente debe ser distinto de cero para que la división tenga sentido. Nota: Aqu´ı debemos tener cuidado porque no todas las propiedades que poseen los n´ umeros reales se les pueden asignar a los n´ umeros complejos, aunque lo más obvio es que, por estar incluido el conjunto de los n´ umeros reales en el conjunto de los n´ umeros complejos, también este u ´ltimo posea esas propiedades. Para muestra, dejamos como ejemplo el caso del orden. Para el caso de los n´ umeros racionales, sabemos que éstos son ordenados, en el sentido de que para dos n´ umeros racionales dados a y b, se cumple solamente una de las siguientes tres condiciones: i. a > b ii. a = b 2 Esto

lo puede resolver cualquier estudiante de tercer a˜ no de secundaria.

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N´ umeros complejos

iii. a < b Esto no tiene sentido en los n´ umeros complejos. Es claro3 que i 6= 0. Ahora, si suponemos que i > 0, entonces (i)(i) > 0. Pero (i)(i) = i2 = −1, y como todos sabemos, es falso que −1 > 0. Por otro lado, supongamos que i < 0, entonces (−1)(i) > 0. Pero (−1)(i) = (−i), luego, debe ser que −i > 0, o lo que es equivalente (−i)(−i) > 0. Sin embargo, podemos ver claramente que (−i)(−i) = i2 = −1, y llegando a la misma conclusi´on que en el primer caso: es falso que −1 > 0. Esto indica que no podemos definir las desigualdades entre los n´ umeros complejos.

6.3

Ejemplos de aplicaci´ on

Encuentre las soluciones de la siguiente ecuación: x2 + 12 = 0 ´ n: Solucio Primero debemos notar que esta ecuación puede escribirse as´ı: x2 = −12. Ahora debemos reconocer que no hay ning´ un n´ umero real tal que al elevarlo al cuadrado nos resulte un n´ umero negativo (esto se debe a la cuarta ley de los signos, porque menos por menos es más). Entonces, nos damos cuenta de que las soluciones de esta ecuación no son n´ umeros reales, sino complejos. p √ √ √ √ Si x2 = −12, entonces, x = −12 = (−1)(12) = −1 12 = i 12 √ Pero también debes notar que si x = −i 12, entonces, este n´ umero también sirve de solución de la ecuación4 . De hecho, si sustituimos este u ´ltimo valor de x en la ecuación, obtenemos: −i

√ 2 √ 2 12 + 12 = (−i)2 12 + 12 = (−1)(12) + 12 = −12 + 12 = 0

Aqu´ı lo importante es la traducción en palabras de la ecuación que inició este problema: “Pensé un n´ umero, lo elevé al cuadrado, al resultado le sumé doce y finalmente obtuve cero”. Pues si lo elevaste al cuadrado, tienes dos opciones de solución: el n´ umero que elevaste al cuadrado en realidad, y la otra opción es el mismo n´ umero pero con signo cambiado, porque ambos darán el mismo resultado cuando lo eleves al cuadrado.

3 Esto se debe a que i2 = −1, mientras 02 = 0. Tambi´ en se tiene que recordar que cuando multiplicamos una desigualdad por un n´ umero negativo, el sentido de la desigualdad cambia. 4 Esto se debe a la cuarta ley de los signos.

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Siete Leyes de los exponentes

En este apartado se hará la deducción de las propiedades de los n´ umeros cuando se multiplican varias veces, o bien se dividen varias veces por un mismo n´ umero. Aqu´ı estamos en la frontera entre la aritmética y el a´lgebra. Con un poco de buena gana se puede ense˜ nar este tema a los ni˜ nos de primaria de quinto o sexto a˜ no.

7.1

Definiciones b´ asicas y notaci´ on

Diremos que un n´ umero p es una potencia siempre que resulte de multiplicar un n´ umero por s´ı mismo varias veces. Por ejemplo, si multiplicamos el n´ umero a por s´ı mismo cuatro veces, es decir (a)(a)(a)(a), entonces, el resultado de esa multiplicación se llama potencia. El n´ umero a se llama base y el n´ umero de veces que se multiplicó la base se conoce como exponente. Para facilitar las cosas, ahorrar trabajo, tiempo y tinta se acostumbra escribir la multiplicación de la siguiente manera: a4 = p Entonces, el n´ umero a se llama base, el n´ umero 4 es el exponente (indica cuántas veces vamos a multiplicar por s´ı misma a la base) y el resultado p es la potencia. Si tratamos de generalizar podemos escribir: an = p donde hemos reemplazado al n´ umero 4 por el n´ umero n. Entonces, el n´ umero n nos indicará cuántas veces debemos multiplicar al n´ umero a por s´ı mismo. En otras palabras, el exponente nos indica cuántas veces debemos tomar como factor a la base. 69

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Leyes de los exponentes

7.2

Enunciaci´ on de las leyes

Es fácil notar la siguiente propiedad: (am )(an ) = am+n y esto es evidente del hecho de que la expresión am nos indica que debemos multiplicar al n´ umero n a por s´ı mismo m veces, mientras que la expresión a nos indica que debemos multiplicar al mismo n´ umero n veces. También vemos que los resultados se están multiplicando, de donde deducimos que en total estamos multiplicando, primero m veces y luego n veces, es decir, en total multiplicamos m + n veces al n´ umero a. Lo cual se denota como am+n . Otra propiedad que es fácil de deducir es la siguiente: am = am−n n a Para justificarla simplemente debemos notar que am nos indica que debemos multiplicar al n´ umero a por s´ı mismo m veces, mientras que la expresión an nos indica que debemos multiplicar al mismo n´ umero n veces; pero en este caso, los resultados no se van a multiplicar, sino se dividirá el primero por el segundo. Ahora, ya sabemos que si a 6= 0 nos es permitido dividir. Más a´ un, como en el numerador aparece el mismo factor varias veces (no necesariamente igual) que en el denominador, al ir haciendo la división varios de los que están en el numerador “desaparecerán” cuando hagamos las divisiones correspondientes. Resulta claro que si m > n debemos tener m − n > 0, esto indica dos cosas: primero, que am la potencia que resulte de n = am−n tendrá un exponente positivo. Segundo, la potencia a permanecerá en el numerador, porque tenemos mayor cantidad de factores en el numerador que en el denominador. Por otra parte si se tiene que m < n, entonces el exponente que tendrá el cociente de las potencias será negativo. Otra forma de interpretar esto es dejar la potencia resultante en el denominador con el exponente positivo. En términos matemáticos esto es: 1 = a−k ak Ahora supongamos que m = n. Entonces, m − n = 0. Si consideramos que estamos dividiendo un n´ umero multiplicado por s´ı mismo m veces y esta potencia dividida por s´ı misma, debemos entender que el resultado de esa división será 1, supuesto que a 6= 0. En términos matemáticos esto se denota: a0 = 1 Una tercera propiedad también fácil de deducir es considerar ahora la siguiente expresión: ´ meros... Los Nu

7.3 Problemas de aplicaci´ on

(am )n = am·n Es claro que el n´ umero n nos indica que debemos multiplicar el n´ umero que aparece entre par´entesis por s´ı mismo n veces. Pero por la primera propiedad, que nos dice que cuando se est´an multiplicando potencias con la misma base los exponentes se suman, el exponente resultante debe ser el producto de m por n. Esto es: m m·n (am )n = |am · am {z· · · a } = a n veces

Todav´ıa podemos encontrar más propiedades bastante u ´tiles a la hora de hacer cálculos o simplificar expresiones algebraicas. Por ejemplo, si consideramos el caso: a m b podemos ver que el n´ umero m nos indica que multipliquemos el n´ umero que aparece entre paréntesis m veces. El resultado de esta operación tendrá en el numerador al n´ umero a multiplicado por s´ı mismo m veces, por la misma razón que el denominador tendrá al n´ umero b multiplicado por s´ı mismo m veces. Para ver que esto es as´ı simplemente debemos recordar cómo se realizan las multiplicaciones de los n´ umeros racionales. Entonces, el resultado debe leerse como: a m b

am a a a = · ··· = m |b b{z b} b m veces

De manera semejante podemos deducir el resultado de la siguiente operaci´on: (a · b)m = (a · b) · (a · b) · · · (a · b) = am · bm {z } | m veces Se deja como ejercicio encontrar argumentos que te convenzan de que: • (a · b · c)m = am · bm · cm • am · an · ap = am+n+p

7.3

Problemas de aplicaci´ on

Aqu´ı se darán algunos ejemplos de aplicación de todas esas fórmulas para que no se empiece a formar la idea de que las matemáticas son una teor´ıa que se explica a s´ı misma en s´ı misma y que no tiene el m´ınimo uso práctico. 71

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Leyes de los exponentes

Supongamos que queremos calcular la siguiente multiplicación: (25)(16). Sabemos de antemano que 52 = 25 y que 42 = 16. Entonces, de acuerdo con la propiedad de los exponentes que dice (a · b)m = am · bm , podemos expresar la anterior multiplicación de la siguiente manera: (25)(16) = (52 )(42 ) = ((5)(4))2 = (20)2 . Evidentemente es mucho más fácil realizar esta u ´ltima 2 multiplicación. (20) = 400, entonces, (25)(16) = 400. Otro ejemplo podemos tomarlo del siguiente cálculo. 81 27 Podemos expresar al 81 de la siguiente forma: 81 = 92 , pero 9 = 32 , luego podemos escribir: 2 81 = (9)2 = ((3)2 ) . Por otra parte podemos expresar al n´ umero 27 como 27 = (3)(9) = (3)(3)2 , 3 la cual es igual a 27 = (3) . Entonces, podemos escribir el cociente como sigue: 34 81 = 3 27 3 el cual puede ser simplificado con la segunda propiedad de los exponentes: 34 81 = 3 = 34−3 = 31 = 3 27 3 Otro ejemplo podemos verlo en el siguiente caso: 125 100 el cual puede expresarse como sigue: 53 5 · 52 5 · 52 5 · 52 5 125 = 2 = = = = = 1.25 100 10 (2 · 5)2 22 · 52 4 22 · 52 Se recomienda que se verifique cuáles propiedades se usaron en cada paso de la simplificación de la fracción.

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Ocho Logaritmos

Para motivar el estudio de los logaritmos estudiaremos el siguiente problema: ¿cu´antas veces debemos multiplicar el n´ umero 2 por s´ı mismo para obtener el n´ umero 8 como resultado? Seguramente se encuentra la soluci´on sin necesidad de meditar tanto. Evidentemente el resultado es 3, es decir 23 = 8. De problemas de esta ´ındole surge la necesidad de definir el logaritmo de los n´ umeros.

8.1

Definiciones b´ asicas

El logaritmo del n´ umero k en la base a es x si ax = k. Compare esta definición con el problema que se dio en la introducción. Ahora podemos decir que el logaritmo del n´ umero k en la base a es el exponente al cual debemos elevar la base (a) para obtener el n´ umero k. Podemos retomar el ejemplo que se dio en la introducción de este cap´ıtulo. Por la definición que acabamos de dar podemos decir que 3 es el logaritmo del n´ umero 8 en la base 2, puesto que 23 = 8, es decir, el exponente al cual debemos elevar la base (en este caso el n´ umero 2) para obtener el n´ umero 8 es 3. En términos matemáticos esto se denota: log2 (8) = 3 En el siguiente art´ıculo se exponen las propiedades más básicas de los logaritmos.

8.2

Propiedades de los logaritmos

1. loga (u · v) = loga (u) + loga (v) Para verificar que esta propiedad se cumple podemos proceder como sigue: primero supongamos que u = ar , y que v = as . De aqu´ı se sigue que: 73

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Logaritmos

loga (u) = r

loga (v) = s.

Ahora podemos considerar el n´ umero u · v = ar · as = ar+s , lo cual indica: loga (u · v) = r + s, Pero ya hab´ıamos dicho que loga (u) = r y loga (v) = s, por tanto: loga (uv) = loga (u) + loga (v) u = loga (u) − loga (v) 2. loga v De manera similar a la anterior, podemos verificar que esta propiedad es verdadera suponiendo que u = ar , y que v = as . Entonces, loga (u) = r

loga (v) = s.

Ahora consideramos el n´ umero: ar u = s = ar−s , v a lo cual indica que: loga

u v

=r−s

pero ya sabemos que loga (u) = r y también que loga (v) = s, por tanto: u loga = loga (u) − loga (v) v 3. loga (uc ) = c loga (u) Aqu´ı podemos definir u = ar , de donde se sigue que uc = (ar )c = ar·c = ac·r . Por otra parte sabemos que loga (u) = r de donde, sustituyendo obtenemos: loga (uc ) = loga (ac·r ) = c loga (u) Esta tercera propiedad de los logaritmos puede razonarse también de la siguiente manera: observe bien la primera propiedad que hemos mencionado de los logaritmos: loga (u · v) = loga (u) + loga (v) Si tenemos buena vista y nuestro cerebro está bien amueblado, podremos ver que si escribimos una sola letra en lugar de dos, digamos, escribimos solamente la letra u, entonces tendremos: loga (u · u) = loga (u2 ) = loga (u) + loga (u) = 2 loga (u) Ahora consideremos el caso: ´ meros... Los Nu

8.3 Problemas de aplicaci´ on

loga (u3 ) = loga (u2 · u) = loga (u2 ) + loga (u) = 3 loga (u) Y en general, ! loga (uc ) = loga u | · u{z· · · u} c veces

= loga (u) + loga (u) + · · · + loga (u) = c loga (u) {z } | c veces

Quedando as´ı demostradas nuestras tres principales propiedades.

8.3

Problemas de aplicaci´ on

Do˜ na Juana tiene en su casa un tanque de agua. Cuando se vac´ıa la primera mitad del agua tarda 15 minutos. Del resto, toma otros 15 minutos que se vac´ıe la mitad de lo que queda. De lo que resta toma de nuevo otros 15 minutos vaciarse la mitad, y as´ı sucesivamente. ¿Cuánto tardará en quedar solamente un sesenta y cuatroavo del tanque? En este problema lo que requerimos encontrar el tiempo necesario para que queden en el tanque un sesenta y cuatroavo de la capacidad. Ahora, podemos encontrar la fórmula que nos da lo que resta. Primero podemos notar que cada 15 minutos se vac´ıa la mitad de lo que resta. Entonces, para encontrar lo que resta simplemente multiplicamos el resto por un medio cada 15 minutos. Entonces, n 1 R= C 2 donde R es el resto de agua en el tanque, C es la capacidad del tanque y n es el n´ umero de periodos de 15 minutos que han pasado desde que se empezó a vaciar el tanque. Ahora, nuestro problema requiere que encontremos n, para esto hacemos uso de las propiedades de los logaritmos. Recordamos algo básico de las igualdades: si realizo una operación válida en ambos lados de la igualdad, ésta no se pierde. Entonces, podemos obtener el logaritmo en base un medio de ambos lados de la igualdad, de lo que se obtiene: n 1 log1/2 (R) = log1/2 C 2 o bien, n 1 log1/2 (R) = log1/2 + log1/2 (C) 2 1 log1/2 (R) = n log1/2 + log1/2 (C) 2 75

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Logaritmos

1 pero, log1/2 = 1, por tanto, al sustituir este resultado en la igualdad anterior, obtenemos: 2 log1/2 (R) = n + log1/2 (C) es decir, n = log1/2 (R) â&#x2C6;&#x2019; log1/2 (C) o bien, R n = log1/2 C Ahora, nuestro problema se ha reducido a sustituir los valores que nos han dado. Es decir, 1 sustituir R = y C = 1. Entonces obtenemos: 64 n = log1/2

1 64

es decir, se requieren 6 periodos de 15 minutos, que es igual a una hora y media (puesto que 6 periodos de 15 minutos cada uno hacen un total de 90 minutos).

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Nueve Sistemas de numeraci´ on posicional

En este apartado se explicará la importancia del sistema de numeración que usamos com´ unmente que es un sistema decimal posicional. Para empezar debe hacerse notar que un sistema de numeración posicional tiene enormes ventajas sobre los sistemas de numeración no posicionales. Para ver que esto es cierto basta considerar el sistema de numeración que usaban los romanos. Es bien sabido que este sistema de numeración es decimal, sin embargo no es posicional, es decir, el valor de cada s´ımbolo usado para formar n´ umeros no depende de la posición donde se encuentre. Ahora, si tratamos de multiplicar 45 por 12, en el sistema de numeración decimal posicional, esto es una tarea que un ni˜ no de tercero de primaria realiza fácilmente, sin embargo, en el sistema de numeración griego, esta tarea se convierte en un problema dif´ıcil a´ un para estudiantes universitarios. Desde luego, conforme empecemos a considerar n´ umeros cada vez más grandes, la dificultad crece también. Resulta claro que nuestro sistema de numeración decimal posicional tiene ciertas ventajas que nos han permitido avanzar en el conocimiento de todas las ciencias.

9.1

Sistema de numeraci´ on en base 10

Cuando nosotros debemos escribir un n´ umero, generalmente lo hacemos sin vacilar porque ya sabemos exactamente qué significa decir, por ejemplo 1674, y en general tenemos una idea ”del tama˜ no del n´ umero” que estamos considerando. Cuando escribimos 1674, nosotros estamos queriendo decir 1000 + 600 + 70 + 4, que es el equivalente a decir que estamos sumando mil más seis cientos más siete decenas más cuatro unidades. También es fácil notar que este n´ umero puede escribirse de la siguiente forma: 1674 = 1000 + 600 + 70 + 4 = (1)(103 ) + (6)(10)2 + (7)(10) + 4 77

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Sistemas de numeraci´ on posicional

Ahora, ya mencionamos que podemos cambiar la base del sistema de numeración que usamos, es decir, el 10 podemos cambiarlo por el n´ umero que deseemos. En este caso, podremos escribir: 3 2 x +6x +7x+4. Aqu´ı se hace evidente que el estudio de los polinomios es una generalización de los sistemas de numeración posicionales. Puesto que se ha generalizado la base 10 del n´ umero 1674 a alguna arbitraria x. Es un problema interesante preguntarse, si los seres humanos hubiéramos tenido 8 dedos (4 en cada mano), en lugar de diez (cinco en cada mano), muy probablemente, en lugar al de usar el n´ umero diez como base para nuestro sistema de numeración, usar´ıamos al n´ umero 8. En otras palabras, el hecho de que usemos al n´ umero diez como base de nuestro sistema de numeración es (en opinión del autor) un accidente anatómico del que la naturaleza (Dios, la Suerte, el destino o lo que el lector crea más conveniente) nos dotó. En el siguiente art´ıculo se estudia el problema de convertir un n´ umero de base diez a la base 8.

9.2

Sistema de numeraci´ on en base 8

Para empezar con la conversión de un n´ umero en base diez a la base 8 tomaremos un ejemplo bastante sencillo. Problema: Convertir el n´ umero 1210 a la base 8. Solución Si consideramos la forma usual para escribir los n´ umeros en nuestro sistema de numeración (decimal) podemos ver que si enumeramos los d´ıgitos que forman ese n´ umero de izquierda a derecha, por ejemplo el n´ umero 327, el n´ umero 7 lo multiplicamos por 1 = 100 , el n´ umero 2 lo 1 multiplicamos por 10 y al n´ umero 3 lo multiplicamos por 102 . Procediendo de igual manera, podemos imaginarnos que el n´ umero 1210 , para convertirlo a la base 8 debemos encontrar los d´ıgitos que debemos ir multiplicando de manera ordenada (de izquierda a derecha, como en el caso de la base 10) por 80 , 81 , 82 , etc., respectivamente. Entonces, para empezar haremos una lista de las potencias del 8: 80 = 1, 81 = 8, 82 = 64, 83 = 512, etc. Por lo pronto solamente habrá necesidad de trabajar con estos. Entonces, buscamos los d´ıgitos a, b y c, que debemos colocar en el nuevo n´ umero de forma que a 82 + b 81 + c 80 = 10 + 2 = 12. Inmediatamente nos damos cuenta de que a debe ser cero, porque si a fuera 1, entonces deber´ıamos sumar 64 al n´ umero, lo cual es mayor a 12, el n´ umero que queremos expresar en base 8. Por otra parte b debe ser igual a 1, porque as´ı ya tendremos 8 unidades, faltándonos solamente 4 unidades, lo cual ser´ıa igual a c. Es decir, 1210 = 148 . Puede observarse que 710 = 78 y que 810 = 108 (justificar porqué esto es as´ı). Esto nos indica que al expresar un n´ umero en base 8 jamás podrá aparecer el 8 mismo como un coeficiente, de la misma forma que el diez no aparece como coeficiente de los n´ umeros en ´ meros... Los Nu

9.2 Sistema de numeraci´ on en base 8

la base diez. As´ı, podemos esperar que cuando expresemos un n´ umero en alguna base dada, los coeficientes del n´ umero siempre serán menor que el valor de la base, pero nunca mayor o igual al valor de éste. Es decir, los n´ umeros que escribamos en la base 8 tendrán por posibles coeficientes los n´ umeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Aqu´ı resulta pertinente hacer una observación: el n´ umero 1210 s´ı puede leerse“doce base diez” (que es una abreviación del n´ umero doce expresado en la base diez), pero el n´ umero 148 no puede leerse como “catorce en la base ocho”. Esto se debe a que nosotros conocemos que catorce unidades no son (y nunca serán igual a doce). Si nosotros tenemos, por ejemplo el n´ umero 16348 , no podremos leerlo “mil seiscientos treinta y cuatro”. Esto es claro porque el tercer coeficiente (de izquierda a derecha) ya no está multiplicado por el n´ umero 100 = 102 , puesto que la base en la que estamos trabajando no es la base diez, sino la base 8. Entonces, ¿cómo vamos a leer tales n´ umeros? El n´ umero 16348 se leerá “uno - seis - tres - cuatro en la base ocho”. Otra forma de leerlo (más correcta, pero mucho más larga) será: “una octena de octenas de octenas, seis octenas de octenas, tres octenas y cuatro unidades”. Esta forma de lectura de los n´ umeros es el equivalente al que aprendimos en la primaria: 185610 es “una unidad de millar, ocho centenas, 5 decenas y seis unidades”, o lo que es igual, “una decena de decenas de decenas, ocho decenas de decenas, cinco decenas y seis unidades”.

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Indice alfab´ etico

Relaci´on de equivalencia, 6

Cerradura Impares Generalizaci´on, 12 Pares Generalizaci´on, 11

Igualdad Propiedades, 6, 7 Leyes Signos Demostraci´on, cuarta ley, 30, 31 Signos, cuarta, 28 Signos, primera, 27 Signos, segunda, 27 Signos, tercera, 28

Desigualdad Propiedades, 47 División Por cero, 46 Divisibilidad Criterio del 10, 15 Criterio del 2, 13 Criterio del 3, 13 Criterio del 4, 13 Criterio del 5, 14 Criterio del 6, 14 Criterio del 7, 14 Criterio del 8, 14 Criterio del 9, 14 Criterio primo, 19 Propiedades, 15 Divisor Definición, 10 Ejemplos, 11 Máximo com´ un, 20 Método, 20

M´ ultiplo M´ınimo com´ un Método, 21 M´ ultiplos Definición, 10 Ejemplos, 10 N´ umero Compuesto Definición, 16 Decimal Adición, 48 Conversión a racional, 52 Redondeo, 48 Truncado, 49 Entero Definición, 23 Propiedades, 24 Primo

Erat´ostenes, 17 Criba, 17 Estructura ´ meros... Los Nu

´ INDICE ALFABETICO

Definición, 16 Descomposición en factores, 18 Descomposición en factores, Aplicación de, 19 Ejemplos, 17 Lista infinita, 22 Racional Adición, 45 Definición, 41 Equivalencias, 45 Equivalente, 44 Multiplicación, 43 Notación, 43 Orden, comparación, 53 Periodo, 50 Representación geométrica, 43 Simplificación, 44 N´ umeros Naturales, 5 Principio De las casillas, 49 Propiedad Cero, 24 Cerradura, 9 Impares, 9 Pares, 9 Conmutativa, 25 Distributiva, 7 Aplicación, 8 Interpretación geométrica, 8 Inverso Aditivo, 25 Neutro Aditivo, 24 Multiplicativo, 24 Simétrica, 26 Teorema Fundamental de la aritmética, 19 Tricotom´ıa, 46 Interpretación geométrica, 47 Valor absoluto Definición, 27 81

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