Señales y Sistemas - Roberts - Cap10 by Juan José Nova

C A P I T U L O

lü

Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas 10.1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS En este capítulo se e x p l o r a n diversas aplicaciones de la transformada de Laplace al análisis de sistemas, pues es u n a h e r r a m i e n t a m u y p o d e r o s a p a r a el análisis y el diseño de los m i s m o s ; p e r m i t e al ingeniero n o sólo d e t e r m i n a r la r e s p u e s t a total a u n a excitación arbitraria sino generalizarla d e s d e la función de transferencia del s i s t e m a hasta su estabilidad y su respuesta a diversos tipos de señales. D e s p u é s de h a b e r s e familiarizado c o n los m é t o d o s del análisis de L a p l a c e . se aplicarán a sistemas m á s c o m p l i c a d o s con entradas y salidas múltiples. OB.TF.TIVOS DEI. C A P Í T U L O

1. Ilustrar la aplicación de la transformada de Laplace y las técnicas de análisis basadas en ella para el diseño y análisis de sistemas por medio de ejemplos. 2. Evaluar la estabilidad de un sistema directamente a partir de su función de transferencia. 3. Ver cómo las respuestas de los sistemas a señales estándar revelan características de los mismos. 4. Formular métodos de análisis para sistemas de entradas y salidas múltiples utilizando la transformada de Laplace.

10.2 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA A PARTIR DE DIAGRAMAS CIRCUITO Y DE SISTEMAS G r a n parte del análisis de señales y sistemas lo efectúan los ingenieros sin referirse de m a n e r a directa a u n a cantidad en el d o m i n i o del t i e m p o . Las funciones de transferencia en el d o m i n i o Í se escrib e n de m a n e r a directa a partir de los d i a g r a m a s del sistema. U n a b u e n a cantidad del diseño de sistemas se lleva a c a b o utilizando sólo c o n c e p t o s en el d o m i n i o de la frecuencia, respuesta en frecuencia y anc h o d e b a n d a . E l análisis de los filtros en T C es un ejemplo del análisis de señales y sistemas en el d o m i n i o d e la frecuencia. Para los ingenieros eléctricos el análisis de sistemas m á s c o m ú n es el análisis de circuitos. É s t e p u e d e efectuarse en el d o m i n i o del t i e m p o , a u n q u e suele realizarse en el de la frecuencia d e b i d o al p o der del álgebra lineal de expresar interrelaciones del sistema en t é r m i n o s de e c u a c i o n e s algebraicas (en v e z de diferenciales). L o s circuitos son i n t e r c o n e x i o n e s de e l e m e n t o s de circuito c o m o resistores, capacitores, inductores, transistores, diodos, t r a n s f o r m a d o r e s , fuentes de voltaje y fuentes de corriente. D a d o q u e es p o s i b l e caracterizar estos e l e m e n t o s m e d i a n t e relaciones lineales en el d o m i n i o de la frecuencia, es factible analizar el circuito p o r m e d i o de técnicas en d i c h o d o m i n i o . L o s e l e m e n t o s n o lineales c o m o los transistores, d i o d o s y transformadores se m o d e l a n de m a n e r a a p r o x i m a d a p a r a intervalos de señal p e q u e ñ o s c o m o dispositivos lineales. Estos m o d e l o s constan de resistores, c a p a c i t o res e inductores lineales m á s fuentes de voltaje y corriente d e p e n d i e n t e s , la totalidad de los cuales se caracteriza p o r m e d i o d e funciones de transferencia de sistemas LIT.

C o m o u n e j e m p l o del análisis d e circuitos e n el d o m i n i o d e la frecuencia utiliz a n d o m é t o d o s d e L a p l a c e considere el circuito d e la figura 1 0 . 1 . Esta ilustra el circuito e n el d o m i n i o del t i e m p o , el cual se describe m e d i a n t e d o s e c u a c i o n e s integrodiferenciales a c o p l a d a s , RMt) F I G U R A 10.1 Diagrama de circuito en el dominio del tiempo de un circuito RLC.

d —(ii(0) dt

+ L

1 d ' —(ii(0) + - j dt

d — (Í2(?)) dt

d —(Í2(0) dt

(10.1)

= v,(í)

Í2(X) d\ + v , ( 0 - ) + Rjhit)

(10.2)

= 0.

Si se aplica la transformada d e L a p l a c e a a m b a s e c u a c i o n e s , se obtiene Rxliis) L[sh{s)

+ L[sh{s)

- i i ( 0 + ) - shis)

- Í2(0+) - 5 l i ( 5 ) + i i ( 0 + ) ] + -^h{s) sC

(10.3)

+ Í2(0+)] ^ V „ ( í ) +

^-^^ s

+ Rihis)

= 0.

(10.4)

Si en u n principio n o h a y energía a l m a c e n a d a e n el circuito, estas e c u a c i o n e s se simplifican en Rihis)

+ L[sh{s)

L [sh{s)

- sh{s)]

+ ^h{s) sC

(10.5)

= V,(í) + R2US)

= 0.

(10.6)

E s c o m ú n reescribir las e c u a c i o n e s en la forma R\h{s) sLhis)

+ sLhis)

- sLliis)

- Zds)h(s)

+ Zc(s)l2(s)

(10.7)

Yg{s)

+ — l 2 ( í ) + Rihis) sC

Z « , ( í ) I i ( 5 ) + Zds)h(s) ZL(s)h{s)

(10.8)

= O

= y

gis)

+ ZR,(s)h(s)

(10.9) (10.10)

= O,

donde ZR,{S)

ZR,{S)

= R2

Zds)

= sL

Zcis)

(10.11)

Las e c u a c i o n e s se escriben de esta m a n e r a para subrayar el c o n c e p t o d e i m p e d a n c i a en el análisis d e circuitos en el d o m i n i o d e la frecuencia. L o s coeficientes sL y lIsC son, r e s p e c t i v a m e n t e , las i m p e dancias del inductor y del capacitor L a impedancia es u n a generalización del concepto de resistencia, c o n base en este concepto, las ecuaciones en el dominio d e la frecuencia se escriben de m a n e r a directa a partir d e los d i a g r a m a s de circuito m e d i a n t e relaciones similares a la ley d e O h m para resistores, YR{S)

= ZRIÍS)

«1

= Rl(s)

V ¿ ( í ) = ZLI(S)

Veis)

= ZcKs)

= -^l{s). sC

(10.12)

A h o r a es posible concebir el circuito de la figura 10.1 en el d o m i n i o d e la frec u e n c i a c o m o el d e la figura 10.2. L a s e c u a c i o n e s de circuito se p u e d e n escribir a partir de la figura 10.2 c o m o d o s e c u a c i o n e s d e malla e n el d o m i n i o d e la frecuencia c o m p l e j a sin escribir n u n c a las e c u a c i o n e s e n el d o m i n i o del t i e m p o . Rihis) sLhis)

F I G U R A 10.2 Diagrama de circuito en el dominio de la frecuencia de un circuito RLC.

= sLl(s)

+ sLh(s) - sLhis)

- sLh(s) + -^his) sC

= YJs) + Rihis)

(10.13) = O

(10.14)

Estas e c u a c i o n e s d e circuito p u e d e n ser interpretadas desde el p u n t o d e vista d e sist e m a c o m o integración, diferenciación y/o multiplicación por u n a constante y suma d e señales, en este caso, / ¡ ( í ) e I2ÍS).

Rihis)

sLhis)

sLh(s)

=Ygis)

10.2 Fundones oe transferencia a partir

multiplicación diferenciación y diferenciación y por una constante multiplicación multiplicación . por una constante por una constante, -

diferenciación y multiplicación por una constante

íLIi(í)

de diagramas y de sistemas

suma sLhis)

561

(10.15)

(10.16)

diferenciación y multiplicación por una constante

integración y mulüplicación por una constante

multiplicación por una constante

U n d i a g r a m a de b l o q u e s p o d r í a dibujarse p a r a este s i s t e m a u t i l i z a n d o i n t e g r a d o r e s , b l o q u e s de g a n a n cia y s u m a d o r e s . (Se e x p l o r a r á n a l g u n a s técnicas para h a c e r l o en la sección sobre m é t o d o s de e s p a c i o de estados.) Otros tipos de sistemas en t i e m p o c o n t i n u o t a m b i é n se m o d e l a n m e d i a n t e las i n t e r c o n e x i o n e s de integradores, b l o q u e s de g a n a n c i a y s u m a d o r e s . E s t o s e l e m e n t o s p u e d e n representar diversos s i s t e m a s físicos q u e tienen la m i s m a relación m a t e m á t i c a entre u n a excitación y u n a respuesta. C o m o un ejemplo m u y s i m p l e , s u p o n g a u n a m a s a m sobre la q u e a c t ú a u n a fuerza (una excitación) f(f), la cual r e s p o n d e m e d i a n t e m o v i m i e n t o . L a r e s p u e s t a p o d r í a ser la p o s i c i ó n p(r) de la m a s a e n algún s i s t e m a de c o o r d e n a d a s a p r o p i a d o . D e a c u e r d o con la m e c á n i c a n e w t o n i a n a clásica, la aceleración de u n c u e r p o en c u a l q u i e r d i r e c c i ó n de c o o r d e n a d a s es p r o p o r c i o n a l a la fuerza q u e se le aplica e n dicha dirección dividida p o r la m a s a del m i s m o . £ —(p(r)) = dt-

f(f) ^ . m

(10.17)

L o anterior se e x p r e s a de m a n e r a directa e n el d o m i n i o de L a p l a c e c o m o ( a s u m i e n d o q u e la p o s i c i ó n y la v e l o c i d a d iniciales son cero) F(^)

(10.18)

D e m o d o q u e este s i s t e m a m u y simple p o d r í a m o d e l a r s e m e d i a n t e u n a m u l t i p l i c a c i ó n por u n a c o n s tante y d o s i n t e g r a d o r e s (figura 10.3). T a m b i é n es factible representar c o m o d i a g r a m a s de b l o q u e s a sistemas m á s c o m p l i c a d o s , c o m o el de la figura 10.4. L a s p o s i c i o n e s .VJ y

son las distancias d e s d e las p o s i c i o n e s en r e p o s o de las m a -

sas wij y ffij, r e s p e c t i v a m e n t e . L a s u m a de fuerzas sobre la m a s a ?«¡ es f(í) -

/Trfx'iír) - Ks\ [ x i ( í ) - X2(f)] = wix'j'(/').

(10.19)

L a s u m a de fuerzas sobre la m a s a NIJ es ^.1 [xi(í) - X3(f)] - K,,X2{t)

= «2X2(0.

(10.20)

Al aplicar la t r a n s f o r m a d a de L a p l a c e a a m b a s e c u a c i o n e s . F(í) -

K,sXi(s) K,i [Xiis)

- K,,

[Xiis)

- X2ÍS)]

Sistema en reposo

MIS^Xiis)

~ X2(.0] - -^.2X2(í) = m 2 í - X 2 ( í ) '

(10.21)

P u e d e m o d e l a r s e el s i s t e m a m e c á n i c o c o n u n d i a g r a m a de b l o q u e s (figura 10.5).

f(í)-

F(i)-

-P(í) 1

• P(s)

F I G U R A 10.3 Diagrama de bloques de -¿;(p(;)) = Sil y

f(f)F I G U R A 10.4 Un sistema mecánico.

Sistema en movimiento

circuito

-X|(i)

f(/) CWñULOlO •ansformada de Laplace de señales y sistemas

'"1

1 '«1

«si

(t)

• X2(/)

5' I

F I G U R A 10.5 Diagrama de bloques en los dominios del tiempo y de la frecuencia del sistema mecánico de la figura 10.4.

10.3 ESTABILIDAD DEL SISTEMA U n a consideración m u y importante en el análisis de sistemas es la estabilidad d e los mismos. C o m o se d e mostró en el capítulo 3, un sistema en T C es estable si su respuesta al impulso es absolutamente integrable. L a respuesta al i m p u l s o d e u n sistema causal es absolutamente integrable si decae d e m a n e r a e x p o n e n cial c u a n d o incrementa el tiempo. L a transformada de Laplace de la respuesta al impulso es la función de transferencia. Para sistemas q u e p u e d e n describirse mediante ecuaciones diferenciales de la forma

(10.22)

^ a , —(y(r)) = ^ f e , —(x(í)), k=0

d o n d e a^=

" '

dt''

k=0

l, sin p é r d i d a de generalidad, la función de transferencia es d e la forma

H(í)

Y(s)

S < : =^ 0 ' ^

bNs"+

bN-is'f-'

X(5)

J2 z a^í*

bis

+ ao

aiS

(10.23)

k=0

El d e n o m i n a d o r s i e m p r e p u e d e factorizarse (al m e n o s e n p r i n c i p i o ) , p o r lo q u e la función d e transfer e n c i a t a m b i é n se escribe en la forma. H(5) =

Y(s)

bi^s^

X(s)

+ bN^is'"-^

pi){s

+ -

pi)

• • • + bis

• • • (s

(10.24)

pd)

Si h a y c u a l e s q u i e r a p a r e s de p o l o - c e r o , q u e se e n c u e n t r a n e x a c t a m e n t e en la m i s m a u b i c a c i ó n e n el p l a n o s , se c a n c e l a n en la función d e transferencia p e r o d e b e n e l i m i n a r s e antes d e e x a m i n a r l a p o r cuestiones de estabilidad. Si A' < D y n i n g u n o de los p o l o s se repite, e n t o n c e s la función d e transfer e n c i a p u e d e e x p r e s a r s e e n forma d e fracciones parciales c o m o

H(í)

= s -

S -

+ ••• +

(10.25) Pd

y la r e s p u e s t a al i m p u l s o es e n t o n c e s de la forma h ( r ) = Kie""

+ KieP-'

+•••

RoeP"',

(10.26)

d o n d e las p son los polos d e la función de transferencia. P a r a q u e h(f) sea a b s o l u t a m e n t e integrable, la parte real de c a d a u n o de los p debe ser negativa; p o r lo tanto, todos los p o l o s d e la función d e t r a n s ferencia deben estar en el semiplano izquierdo abierto (SPI). El término

semiplano

izquierdo

abierto

sig-

nifica q u e n o incluye al eje co. Si hay polos simples en el eje Cú y ninguno de ellos está en el semiplano d e r e c h o ( S P D ) , se dice q u e el s i s t e m a es

marginalmente

estable p o r q u e , a u n c u a n d o la r e s p u e s t a al

TABLA 10.1 Condiciones para la estabilidad, la estabilidad marginal y la inestabilidad del sistema. Estabilidad

Estabilidad m a r g i n a l

Inestabilidad

Uno 0 más polos simples sobre

Todos los polos en el SPI

Uno 0 más polos en el SPD abierto o uno o más polos mtiltiples sobre el eje w

el eje oo pero ningiín polo miíltiple sobre el eje co y ningtrn polo en el SPD abierto i m p u l s o n o d e c a e c o n el t i e m p o , t a m p o c o crece. L a estabilidad m a r g i n a l es un c a s o especial de inestabilidad. Si h a y p o l o s mtilti-

Equilibrio estable

Equilibrio inestable

Equilibrio marginalmente estable

ples sobre el eje co o algiin(os) polo(s) e n el s e m i p l a n o d e r e c h o , el s i s t e m a es inestable. Estas c o n d i c i o n e s se r e s u m e n e n la tabla 10.1. U n a a n a l o g í a q u e a l g u n a s veces es útil al r e c o r d a r las diferentes d e s c r i p c i o n e s de la estabilidad o i n e s t a b i h d a d del sistema, consiste e n c o n s i d e r a r u n a esfera u b i c a d a en diferentes tipos de superficies (figura 10.6). Si se excita el s i s t e m a e n la figura

IO.ÓA)

F I G U R A 10.6 Ilustraciones de tres tipos de estabilidad.

a p l i c a n d o u n i m p u l s o de fuerza horizontal a la esfera, ésta r e s p o n de m e d i a n t e el m o v i m i e n t o r o d a n d o d e s p u é s h a c i a adelante y atrás. Si hay i n c l u s o u n a p e q u e ñ í s i m a fricción de r o d a m i e n t o (p c u a l q u i e r otro m e c a n i s m o de p é r d i d a c o m o la resistencia del aire), la esfera v u e l v e a la larga a su p o s i c i ó n de equilibrio inicial. El anterior es u n e j e m p l o de un s i s t e m a estable. Si n o h a y fricción (o c u a l q u i e r otro m e c a n i s m o de p é r d i d a ) , la esfera oscilará h a c i a u n o y otro l a d o s i e m p r e p e r o p e r m a n e c e r á confinada c e r c a del p u n t o bajo de la superficie. Su r e s p u e s t a n o c r e c e r á c o n el t i e m p o , pero t a m p o c o decaerá. E n este c a s o el s i s t e m a es m a r g i n a l m e n t e estable. Si se excita la esfera en la figura lO.ófc) incluso en u n a c a n t i d a d m í n i m a , r u e d a y d e s c i e n d e p o r la p e n d i e n t e y n u n c a v u e l v e . Si la p e n d i e n t e es infinitamente alta, la velocidad de la esfera t e n d e r á a infinito: u n a r e s p u e s t a n o a c o t a d a p a r a u n a e x c i t a c i ó n acotada. Este es u n s i s t e m a inestable. E n la figura 10.6c) si se excita la esfera c o n u n i m p u l s o de fuerza horizontal, r e s p o n d e r o d a n d o . Si h a y c u a l q u i e r m e c a n i s m o de p é r d i d a , la esfera a la larga llegará al r e p o s o , p e r o n o e n su p u n t o original. Ésta es u n a r e s p u e s t a a c o t a d a a u n a excitación acotada, y el s i s t e m a es estable. Si n o h a y m e c a n i s m o de p é r d i d a , la esfera r o d a r á p o r s i e m p r e , lo q u e c o r r e s p o n d e de n u e v o a u n a e s t a b i h d a d marginal.

10.4 CONEXIONES EN PARALELO, EN CASCADA Y DE RETRO ALIMENTACIÓN A n t e s se e n c o n t r a r o n las r e s p u e s t a s al i m p u l s o y e n la frec u e n c i a de c o n e x i o n e s de s i s t e m a s e n c a s c a d a y e n p a r a l e l o . L o s resultados p a r a estos tipos de s i s t e m a s son los m i s m o s

X(.v) -

X(í)H,(.í) -

Y ( 5 ) = X(s)Hi(s)H2(í)

H2(5)

c u a n d o las funciones de transferencia se e x p r e s a n en t é r m i n o s d e las t r a n s f o r m a d a s de L a p l a c e q u e de las de Fourier

X(i) •

(figuras 10.7 y 10.8). Otro tipo de conexión que es muy importante en el análisis de sistemas, es la conexión de retroalimentación (figura 10.9).

H,(í)H2(j)

Y(s)

F I G U R A 10.7 Conexión de sistemas en cascada.

X(5)H,(5)

Y(.v) = X(s)U.{s)

X(i)H H,(5)

+ X{s)U-,(s) = X(.v)[Hi(i) + Hnis)] X(í)-

X(5)H,(í)

X(s) F I G U R A 10.8 Conexión de sistemas en paralelo.

Hi(i) -r Hits)

Y(í)

E{5)

Y(i) H,(.v)

F I G U R A 10.9 Conexión de sistemas retroalimentada.

L a función de transferencia H^{s) C A P Í T U L O 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

es la trayectoria

directa,

T/jí^), es la trayectoria

retroalimentada.

E n la literatura técnica de s i s t e m a s de control es c o m ú n l l a m a r a la función de transferencia H^{s) de la trayectoria directa la planta,

p o r q u e suele ser u n s i s t e m a d i s e ñ a d o p a r a p r o d u c i r algo, y a la función

de transferencia / / j í ^ ) d e la trayectoria r e t r o a l i m e n t a d a el

p o r q u e suele ser u n s i s t e m a a g r e g a -

sensor,

d o a la p l a n t a p a r a a y u d a r a controlarla o a estabilizarla m e d i a n t e el registro de la r e s p u e s t a de la m i s m a y a l i m e n t á n d o l a de r e g r e s o al p u n t o de s u m a a la e n t r a d a de la planta. L a señal de e n t r a d a de la trayectoria directa (planta) recibe el n o m b r e de señal de E(í) = X(í) L a señal d e salida de

y está dada por

error

H2(5)Y(í).

(10.27)

H^{s), (10.28)

Y(5) = H i ( í ) E ( í ) ,

es la señal de e n t r a d a de la trayectoria r e t r o a l i m e n t a d a H ^ í í ) . C o m b i n a n d o las e c u a c i o n e s y resolviend o para la función d e transferencia total. Y(í)

Hi(í)

X(5)

l + Hi(í)H2(í)

(10.29)

E n el d i a g r a m a de b l o q u e s q u e ilustra la r e t r o a l i m e n t a c i ó n e n la figura 10.9 la señal d e retroalim e n t a c i ó n se resta de la señal de entrada. É s t a es u n a c o n v e n c i ó n m u y c o m ú n e n el análisis d e sistem a s r e t r o a l i m e n t a d o s y surge de la historia de la r e t r o a l i m e n t a c i ó n utilizada c o m o r e t r o a l i m e n t a c i ó n n e g a t i v a p a r a estabilizar u n sistema. E s c o m ú n dar al p r o d u c t o de las funciones de transferencia d e la trayectoria directa y r e t r o a l i m e n t a d a u n n o m b r e especial, función lis)

transferencia

= Hi(5)H2(í),

lazo.

(10.30)

p o r q u e se p r e s e n t a m u c h o e n el análisis de sistemas r e t r o a l i m e n t a d o s . E n el d i s e ñ o del amplificador r e t r o a l i m e n t a d o e l e c t r ó n i c o a veces se d e n o m i n a

transmisión

lazo.

Recibe ambos nombres porque

r e p r e s e n t a lo q u e le ocurre a u n a señal c u a n d o v a d e s d e c u a l q u i e r p u n t o en el l a z o , a l r e d e d o r de este e x a c t a m e n t e e n u n t i e m p o y r e g r e s a al p u n t o de p a i t i d a (salvo p o r el efecto del signo m e n o s en el sum a d o r ) . D e e s e m o d o la g a n a n c i a del s i s t e m a r e t r o a l i m e n t a d o es la g a n a n c i a de trayectoria directa H j ( 5 ) d i v i d i d a entre u n o , m á s la función de transferencia de lazo. Hi(^)

H(5)

(10.31)

1+T(í)'

O b s e r v e q u e c u a n d o 1^2(5) tiende a cero (lo q u e significa q u e n o h a y r e t r o a l i m e n t a c i ó n ) , T ( Í ) t a m b i é n lo h a c e y la g a n a n c i a del s i s t e m a H ( 5 ) se v u e l v e igual q u e la g a n a n c i a H j ( Í ) de la trayectoria directa. A la a l i m e n t a c i ó n de la señal de salida de la trayectoria directa p o r atrás p a r a alterar su p r o p i a señal de e n t r a d a se le d e n o m i n a a m e n u d o

cierre

t r o a l i m e n t a d a , se d i c e q u e el s i s t e m a o p e r a en

lazo

p o r r a z o n e s o b v i a s . Si n o h a y trayectoria re-

abierto.

L o s políticos, ejecutivos de n e g o c i o s y

otros instigadores y a g i t a d o r e s de nuestra s o c i e d a d desean estar " e n el l a z o " . E s p r o b a b l e q u e esta term i n o l o g í a p r o v e n g a de c o n c e p t o s de lazo r e t r o a l i m e n t a d o p o r q u e si alguien está en el lazo, tiene la o p o r t u n i d a d de afectar el d e s e m p e ñ o del s i s t e m a y, p o r lo tanto, el p o d e r e n el s i s t e m a político, e c o n ó m i c o o social en el c u a l opera. L a caja de h e r r a m i e n t a del sistema de control de M A T L A B c o n t i e n e m u c h o s c o m a n d o s útiles p a r a el análisis de s i s t e m a s . Éstos se b a s a n en la idea de u n

objeto

del

sistema,

u n tipo especial de va-

riable e n M A T L A B p a r a la d e s c r i p c i ó n de s i s t e m a s . U n a m a n e r a de crear u n a descripción del s i s t e m a e n M A T L A B es a través del uso del c o m a n d o t f (función de transferencia). L a sintaxis p a r a crear u n objeto del sistema c o n t f es

sys

= tf(num,den).

E s t e c o m a n d o crea un objeto del s i s t e m a s y s a partir de d o s vectores n u m y d e n . L o s d o s vectores son los coeficientes de s , en orden decreciente, e n el n u m e r a d o r y el d e n o m i n a d o r de la función de transferencia. Por e j e m p l o , c o n s i d e r e q u e la función de transferencia es

Hi(.r) =

^- + 4 j^As^

+ ls^

+ \5s-

+ ?,ls +

15'

(10.32)

E n M A T L A B se p u e d e formar H , ( Í ) c o n »nuin

[10

565 10.4 Conexiones en paraleio, en cascada y de retroalimentación

4] ;

»den = [1 4 7 15 31 75] ; »H1 = tf(nuin,den) ; »H1 Transfer

function: s''2 + 4

s^5

+ 4 s'^4 + 7 s'^S + 15

+ 31 s + 75

D e m o d o alternativo es posible formar u n a descripción del sistema especificando los ceros, los p o l o s y la g a n a n c i a i n d e p e n d i e n t e d e la frecuencia d e u n s i s t e m a utilizando el c o m a n d o z p k . La sintaxis es sys =

zpk{z,p,k),

d o n d e z = vector de ceros del sistema p = vector de p o l o s del sistema k = g a n a n c i a i n d e p e n d i e n t e de la frecuencia P o r e j e m p l o , s u p o n g a q u e se sabe q u e el sistema tiene u n a función de transferencia s + 4 }Í2Ís)

20-

(s +

3Ks+\0)

(10.33)

E s p o s i b l e formar la descripción del sistema c o n »z = »p =

[-4] ; [-3 -10] ;

»k = 2 0 ; »H2 = zpk(z,p,k) ; »H2 Zero/pole/gain: 20 {s+4) (s+3)

(s+10)

Se p u e d e convertir un tipo de descripción del sistema e n otro tipo. »tf(H2) Transfer function: 20 s + 80 s'"2 + 13 s + 30 »zpk(Hl) Zero/pole/gain: (3-^2 + 4) (s + 3.081)

(s"-2 + 2.901S + 5.45)

(s^2 - 1.982s + 4.467)

E s p o s i b l e obtener información acerca de sistemas a partir d e sus descripciones utilizando los c o m a n dos t f data y zpkdata. P o r ejemplo, »[num,den] »nura

= tfdata(H2,'v')

num = O »den

;

den =

566 C A P Í T U L O 10 A-a.;s¡s de la transformada de Laplace de señales y sistemas

»[z,p,k] »z

= zpkdata(Hl,'V'

z = O

+ 2 . OOOOi

0-2.00001

P = -3.0807 -1.4505 + 1.82911 -1.4505 - 1.82911 0.9909 + 1.86691 0.9909 - 1.86691 »k k = 1 El a r g u m e n t o ' V en estos c o m a n d o s i n d i c a q u e las respuestas d e b e n p r o d u c i r s e en f o r m a d e vector. E s t e último resultado indica q u e la función d e transferencia H^(s) tiene ceros e n ±j2 y p o l o s e n - 3 . 0 8 0 7 , - 1 . 4 5 0 5 ± j 1.829, y 0.9909 ± j 1.8669 (y e s , p o r lo tanto, inestable). El p o d e r real del j u e g o d e h e r r a m i e n t a s del s i s t e m a d e control está en los sistemas interconectad o s . S u p o n g a q u e se d e s e a la función d e transferencia c o m p l e t a H{s) = H^{s)H2Ís) d e estos d o s sistem a s e n u n a c o n e x i ó n en cascada. E n M A T L A B , »Hc = H1*H2 ; »Hc Zero/pole/gain: 20 (s + 3.081)

(s + 3)

(s + 10)

(s+4)

{s^2 + 4)

(s'"2 + 2.901s + 5.45)

( 3 ^ - 2 - 1.982s + 4.467)

»tf(He) Transfer

function: 20 s"3 + 80 s'-2 + 80 s + 320

s"7 + 17

s'^5 + 226 s"4 + 436 s"3 + 928 s'^2 + 1905 s + 225(

Si se desea c o n o c e r cuál es la función de transferencia de estos d o s sistemas en paralelo, sería »Hp = Hl + H2 ; »Hp Zero/pole/gain: 20 (s + 4.023) (s + 3.077) (s+3.081)

( 5 + 3)

(s + 10)

(s'^2 + 2

íls + 5.486)

(s"2 + 2.901S + 5.451

(3-^2- 1.982S

+ 4.505)

(s^2 - 1.982s + 4.467)

»tf(Hp) Transfer function: 20 s''6 + 160 s-"5 + 461 s"4 + 873 s'-S + 1854 s'"2 + 4032 s + 6120 s'"7 + 17 3-^6 + 89 s-^S + 226 s-"4 + 436 s-"3 + 928 3-^2 + 1905 s + 2250

U n a vez q u e se h a descrito el sistema, es posible graficar su r e s p u e s t a al escalón c o n s t e p , su respuesta al i m p u l s o i m p u l s e y un d i a g r a m a de B o d e de su respuesta en frecuencia c o n b o d e . T a m b i é n se p u e d e graficar su d i a g r a m a de polos ceros utilizando el c o m a n d o de M A T L A B p z m a p . M A T L A B c u e n t a c o n u n a función l l a m a d a f r e q r e s p q u e realiza gráficas de la respuesta en frecuencia. L a sintaxis es

10.5 Análisis de sistemas retroalimentados

H = freqresp{sys,w), d o n d e s y s = descripción M A T L A B del sistema w = vector de frecuencias en radianes (en) H = respuesta en frecuencia del sistema a esas frecuencias en radianes H a y m u c h o s otros c o m a n d o s útiles en la caja de h e r r a m i e n t a s del sistema de control q u e p u e d e n examinarse tecleando h e I p c o n t r o l .

10.5 ANÁLISIS DE SISTEMAS RETROALIMENTADOS EFECTOS BENÉFICOS DE LA RETROALIMENTACIÓN L a retroalimentación se usa p a r a m u c h o s propósitos. U n o de sus efectos interesantes p u e d e v e r s e en la figura 10.10. E n este sistema r e t r o a l i m e n t a d o la g a n a n c i a de la trayectoria directa es s i m p l e m e n t e u n a g a n a n c i a K i n d e p e n d i e n t e de la frecuencia. L a función de transferencia c o m p l e t a es en ese caso His)

1 +

(10.34)

KU2ÍS)

Si K es suficientemente grande, e n t o n c e s , al m e n o s para algunos valores de s, ^ ^ 2 ( 5 ) ^ 1 y H ( 5 ) = 1/H2(í). E n palabras, si K es suficientemente grande, la función de transferencia c o m p l e t a del sistem a r e t r o a l i m e n t a d o efectúa la inversa a p r o x i m a d a de la operación de la trayectoria retroalimentada. E s t o q u i e r e decir q u e si se fuera a conectar en c a s c a d a un sistema con función de transferencia H 2 ( Í ) a su sistema retroalimentado, la función total de transferencia del sistema sería a p r o x i m a d a m e n t e u n o (figura 10.11). Es natural p r e g u n t a r en este punto qué se ha logrado d e b i d o a q u e el sist e m a de la figura 10.11 p a r e c e no tener ningún efecto. H a y situaciones reales en las q u e la señal se h a c a m b i a d o p o r algún tipo de efecto inevitable del sistema y se desea recuperar la señal original. E s t o es m u y c o m ú n en los sist e m a s de c o m u n i c a c i o n e s en los que se envía una señal p o r un canal que i d e a l m e n t e n o la cambiaría, p e r o que en realidad lo h a c e p o r razones q u e e v a d e n el control del diseñador. Es posible utilizar un filtro de c o m p e n s a ción para restaurar la señal original. Éste se diseña para, en el m a y o r g r a d o posible, tener el inverso del efecto del canal sobre la señal. A l g u n o s sistem a s diseñados para m e d i r f e n ó m e n o s físicos utilizan sensores que tienen funciones de transferencia i n h e r e n t e m e n t e pasabajas, d e b i d o a cierta inercia m e c á n i c a o t é r m i c a inevitable. P u e d e hacerse q u e el sistema de m e d i c i ó n r e s p o n d a con m a y o r rapidez c o n e c t a n d o en c a s c a d a el sensor con u n sistem a de p r o c e s a m i e n t o de señales electrónico c u y a función de transferencia sea la inversa a p r o x i m a d a de la función de transferencia del sensor.

r H2W

F I G U R A 10.10 Sistema retroalimentado.

Vo(^) 1 -

¡>1

X{s)-

F I G U R A 10.11 Sistema en cascada con otro sistema designado para ser su inverso aproximado.

Otro uso importante de la retroalimentación es reducir la sensibilidad de un sistema a los cambios de parámetros. U n ejemplo m u y c o m ú n de este beneficio es el uso de la retroalimentación en un amplificador operacional configurado c o m o en la figura 10.12. U n a e x p r e s i ó n a p r o x i m a d a para la g a n a n c i a de un amplificador operacional con la entrada n o inversora c o n e c t a d a a tierra [ H J ( Í ) en el d i a g r a m a de b l o q u e s de retroalimentación] es

H,(5)

• Y(.s)

X(s)-

V,(i)

(10.35) {s/p)

d o n d e AQ es la m a g n i t u d de la ganancia de voltaje del amplificador operacional a bajas frecuencias y /? es un solo polo sobre el eje real negativo del plano Í . L a función de

F I G U R A 10.12 Un amplificador de voltaje inversor que utiliza un amplificador operacional con retroalimentación.

transferencia total se e n c u e n t r a utilizando técnicas estándar d e análisis d e circuito. S i n e m b a r g o , t a m C A P Í T U L O 10

^^^"^

Análisis de la

función d e Y¡(s) y V^(5). P u e s t o q u e la i m p e d a n c i a d e entrada del amplificador operacional e s p o r lo

transformada de Laplace

c o m ú n m u y grande c o m p a r a d a c o n las d o s i m p e d a n c i a s e x t e m a s Z¡(s) y Vy.(í), el voltaje d e error es

i a c í M e ñeterm'maña utñ'izanáo c o n c e p t o s d e retroalimentación. E l voltaje de e r r o r e s u n a

2S señales y sistemas Veis)

= y OÍS) + [ V i ( s ) -

V,(5) = V„(.)

Ziis) Ziis)

Zfis)

V„(S)]

Zf(s)

(10.36)

Zfis)

+ V,.(í)

Z¡is)+Zfis)

A s í q u e es posible m o d e l a r el sistema utilizando el d i a g r a m a d e b l o q u e s d e la figura 10.13. D e a c u e r d o c o n la función de transferencia general del sistema r e t r o a l i m e n t a d o q u e se o b t u v o en (10.29), H(í) =

Y{s)

Hi(í)

(10.37)

l+Hi(5)H2(í)

Xis)

la función d e transferencia del amplificador d e b e ser Veis)

-iAo/il-is/p))

V i ( 5 ) ( Z ; ( s ) / ( Z , ( s ) + Zj{s]))

1+ [-(Ao/(l - (s/p)))][-(Z,(x)/(Zi(5) +

Zf{s)))]

(10.38)

[ O b s e r v e q u e el s i g n o d e l a función d e transferencia d e r e t r o a l i m e n t a c i ó n se invirtió d e b i d o a q u e e n la figura 10.13 la po l ar i d ad de la r e t r o a l i m e n t a c i ó n fue positiva, la cual es o p u e s t a a la q u e se s u p u s o e n la r e d u c c i ó n d e (10.29) y ( 1 0 . 3 7 ) ] . A l simplificar y formar el c o c i e n t e entre V^(5) a y¡{s) c o m o l a función de transferencia c o m p l e t a q u e se desea. -AoZf(s) V,-(í)

(l-is/p)

+ Ao)Zi{s)

+ i\

-{s/p))Zf{s)'

(10.39)

Si la m a g n i t u d de la g a n a n c i a de baja frecuencia A Q es m u y g r a n d e ( c o m o suele suceder), e n t o n c e s es p o s i b l e a p r o x i m a r esta función de transferencia a bajas frecuencias p o r V.(5)

(10.40)

'Z.is)'

V,(5)

É s t a es l a bien c o n o c i d a fórmula del amplificador o p e r a c i o n a l ideal p a r a la g a n a n c i a d e u n amplificador de voltaje inversor. E n este caso el t é r m i n o grande significa q u e A Q e s lo suficientemente g r a n d e p a r a q u e el d e n o m i n a d o r de la función de transferencia sea d e m a n e r a a p r o x i m a d a A Q Z . ( Í ) , lo q u e significa q u e |Aol

s 1 P

|Aol» 1

Zfis)

Z,is)

(10.41)

El valor e x a c t o de A Q n o es i m p o r t a n t e en tanto sea m u y g r a n d e ; este h e c h o r e p r e s e n t a la r e d u c c i ó n en la sensibilidad del sistema ante los c a m b i o s d e los valores d e los p a r á m e t r o s en (al m e n o s a l g u n o de) sus c o m p o n e n t e s .

Zfis) v,-(í) •

Ziis) + Zfis)

Para ilustrar el efecto de la r e t r o a l i m e n t a c i ó n e n el d e s e m p e ñ o d e l amplificador c o n s i d e r e q u e

1 -

• V„(J)

Ziis) Ziis) + Zfis)

F I G U R A 10.13 Diagrama de bloques de un amplificador de voltaje inversor que utiliza retroalimentación sobre un amplificador operacional.

Ao = 1 0 '

p = -100.

(10.42)

A d e m á s , sea Zfis) u n resistor de 10 k í í y sea Z¡is) u n resistor d e 1 k í l . Idealmente éste es u n amplificador inversor de voltaje. E n tonces la función de transferencia completa del sistema es -10« Viis)

ll(l +

(.s/100))-M07'

(10.43)

El valor n u m é r i c o de la función de transferencia a u n a frecuencia en radianes real de co = 100 (una frecuencia cíclica d e / = 100/217 s 15.9 H z ) es -10*^ Yiis)

= -9.999989+J0.000011.

11 + j l l + l O '

(10.44)

10.5 Análisis de sistemas retroalimentados

A h o r a c o n s i d e r e q u e la g a n a n c i a a baja frecuencia del amplificador o p e r a c i o n a l se r e d u c e p o r u n fac0^. C Cuc tor de 10 hasta A Q = 10^. u a n d o se recalcula la función de transferencia a 15.9 H z , se o b t i e n e -10'

V.(í) Yiis)

11 + j l l + lO^

= - 9 . 9 9 9 8 9 + jO.OOOll,

(10.45)

u n c a m b i o de casi 0.001 p o r ciento en la m a g n i t u d de la función de transferencia. D e m o d o que u n c a m b i o en la función de transferencia de trayectoria directa de u n factor de 10 produjo u n a variación en la m a g n i t u d de la función de transferencia del sistema c o m p l e t o de casi 0.001 p o r ciento. L a c o n e x i ó n de r e t r o a l i m e n t a c i ó n h a c e q u e la función de transferencia total sea m u y insensible a c a m b i o s en la g a n a n c i a del amplificador o p e r a c i o n a l , incluso c a m b i o s m u y g r a n d e s . E n el diseño del amplificador, el anterior es u n resultado m u y a d e c u a d o p o r q u e los resistores, en especial los cocientes de resistores, p u e d e n h a c e r s e m u y insensibles a los factores ambientales y es factible q u e m a n t e n g a n casi c o n s t a n t e la función de transferencia del sistema, incluso si los c o m p o n e n t e s en el amplificador o p e racional c a m b i a n en g r a n d e s porcentajes a partir de sus valores n o m i n a l e s . O t r a c o n s e c u e n c i a de la insensibilidad relativa de la función de transferencia del sistema a la ganancia A Q del amplificador operacional, es q u e si A Q es u n a función del nivel de la señal, h a c i e n d o n o lineal la g a n a n c i a del amplificador o p e r a c i o n a l — s i e m p r e y c u a n d o A Q sea g r a n d e — , la función de transferencia del s i s t e m a sigue siendo m u y exacta (figura 10.14). Otro efecto benéfico de la r e t r o a l i m e n t a c i ó n p u e d e o b s e r v a r s e al calcular el a n c h o de b a n d a del amplificador operacional y c o m p a r a r l o con el a n c h o de b a n d a del amplificador inversor con retroalim e n t a c i ó n . L a frecuencia de corte del amplificador o p e r a c i o n a l en este e j e m p l o es 15.9 H z . L a frec u e n c i a de corte del amplificador inversor c o n r e t r o a l i m e n t a c i ó n es aquella a la cual las partes real e i m a g i n a r i a del d e n o m i n a d o r d e la función de transferencia total son iguales en m a g n i t u d , lo cual ocurre a u n a frecuencia cíclica real d e / = 14.5 M H z . E s t e es u n i n c r e m e n t o en el a n c h o de b a n d a p o r u n factor de casi 9 1 0 0 0 0 . R e s u l t a difícil n o resaltar la i m p o r t a n c i a de los principios de la retroalimentación en el m e j o r a m i e n t o en m u c h a s formas del d e s e m p e ñ o de sistemas. L a función de transferencia del amplificador operacional es un n ú m e r o m u y g r a n d e a bajas frecuencias, p o r ello tiene u n a g r a n g a n a n c i a de voltaje. L a g a n a n c i a de voltaje del amplificador retroal i m e n t a d o es p o r lo c o m ú n m u c h o m á s p e q u e ñ a . Así, al utilizar retroalimentación, se h a p e r d i d o g a n a n c i a de voltaje p e r o se o b t i e n e estabilidad de g a n a n c i a y a n c h o d e b a n d a (entre otras c o s a s ) . E n efecto, se ha i n t e r c a m b i a d o g a n a n c i a p o r mejoras en otras características del amplificador. L a retroalimentación p u e d e utilizarse p a r a estabilizar un sistema en otro c a s o inestable. El avión de c o m b a t e F-117 Stealth Fighter es p o r naturaleza inestable en el aspecto a e r o d i n á m i c o . Sólo p u e d e volar bajo el control del piloto con la a y u d a de u n sistema de retroalimentación controlado por c o m p u tadora q u e registra la posición, velocidad y altura del avión y las c o m p e n s a en forma constante c u a n d o empieza a volverse inestable. U n ejemplo m u y simple de estabilización de u n sistema retroalimentado es aquel c u y a función de transferencia de trayectoria directa es 1 s -

p > 0.

(10.46)

E v i d e n t e m e n t e , c o n u n p o l o en el s e m i p l a n o d e r e c h o este sistema es inestable. Si se u s a u n a función de transferencia de trayectoria de r e t r o a l i m e n t a c i ó n q u e es u n a ganancia K i n d e p e n d i e n t e de la frecuencia, se obtiene la función de transferencia total del sistema

H(í)

l/(s

1 + iK/is-p))

Para c u a l q u i e r valor de K q u e satisfaga, K > p,e\

s - p

+ K

sistema es estable.

(10.47) F I G U R A 10.14 Ganancia de amplificador operacional lineal y no lineal.

570

INESTABILIDAD CAUSADA POR LA RETROALIMENTACIÓN

C A P I T U L O 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

A u n q u e la retroalimentación p u e d e tener m u c h o s efectos benéficos, h a y u n o q u e es m u y importante y p u e d e ser un p r o b l e m a m á s que u n a ventaja. L a adición de retroalimentación a un sistema estable quizá cause q u e se v u e l v a inestable. L a g a n a n c i a del sistema r e t r o a l i m e n t a d o total es

H(s)

P(í) 1 + -1 + P(0

Y(5)

X(s)

Hi(í) l+Hi(í)H2(í)

(10.48)

A u n c u a n d o tal vez todos los polos de R^is) y H J Í Í ) se u b i q u e n en el s e m i p l a n o i z q u i e r d o abierto, y q u i z á no ocurra eso c o n los p o l o s de R{s). Casi t o d o el m u n d o ha e x p e r i m e n t a d o un sistema q u e se hace inestable por la retroalimentación. M u c h a s veces c u a n d o g r a n d e s multitudes se r e ú n e n para oír hablar a alguien, se u s a u n sistema de altavoces. E l orador h a b l a al m i c r ó f o n o y su voz se amplifica y alimenta a u n a o m á s b o c i n a s p a r a que todas las p e r s o n a s en la audiencia tengan la posibilidad de e s c u c h a r su voz. D e s d e l u e g o , el sonido q u e e m a n a de los altavoces t a m b i é n es detectado y amplificado p o r el m i c r ó f o n o y el amplificador. Éste es un e j e m p l o de retroalimentación p o r q u e la señal de salida del s i s t e m a de altavoces se alimenta d e n u e v o c o m o u n a señal de entrada (sonido en el m i c r ó f o n o ) . C u a l q u i e r a q u e h a y a e s c u c h a d o alg u n a vez el sonido del sistema de altavoces c u a n d o se v u e l v e inestable n u n c a lo olvidará p o r q u e es un t o n o m u y r u i d o s o . Y es p r o b a b l e q u e se c o n o z c a la solución usual: reducir la g a n a n c i a del amplificador. Este t o n o p u e d e ocurrir aun c u a n d o nadie esté h a b l a n d o al m i c r ó f o n o . ¿Por q u é el sistema se vuelve inestable sin n i n g u n a señal de entrada aparente y p o r q u é al reducir la g a n a n c i a del amplificador no sólo se r e d u c e el v o l u m e n del tono, sino q u e se e l i m i n a p o r c o m p l e t o ? Albert Einstein fue f a m o s o p o r el Gedankenversuch ( e x p e r i m e n t o p e n s a d o ) . Es posible c o m p r e n der el f e n ó m e n o de la retroalimentación m e d i a n t e un e x p e r i m e n t o p e n s a d o . I m a g i n e q u e tiene un micrófono, un amplificador y un altavoz en m e d i o del desierto sin nadie en los alrededores ni viento o alguna otra perturbación acústica y que la g a n a n c i a del amplificador se r e d u c e en un principio hasta cero. Si se golpea el m i c r ó f o n o , sólo se e s c u c h a el sonido directo del golpe y n a d a de los altavoces p o r q u e la g a n a n c i a del amplificador es cero. L u e g o se a u m e n t a u n p o c o la g a n a n c i a del amplificador. A h o r a al golpear el m i c r ó f o n o se e s c u c h a el golpe de m a n e r a directa p e r o t a m b i é n algo de s o n i d o de los altavoces, ligeramente retrasado d e b i d o a la distancia q u e el sonido tiene q u e viajar desde éstos hasta sus oídos. C u a n d o se a u m e n t a m á s y m á s la ganancia, el sonido del golpe p r o v e n i e n t e de los altavoces a u m e n t a en \ o l u m e n (figura 10.15). [En la figura, p(r) es presión acústica c o m o función del tiempo.] C o n f o r m e se i n c r e m e n t a la g a n a n c i a de recorrido c o m p l e t o , c u a n d o se g o l p e a el m i c r ó f o n o , se o b s e r v a de m a n e r a gradual un c a m b i o , no sólo en el v o l u m e n , sino t a m b i é n en la naturaleza del s o n i d o p r o v e n i e n t e de los alta\'Oces. (Ganancia de recorrido completo es la m a g n i t u d del c o c i e n t e entre u n a señal en algún p u n t o en el sistema de retroalimentación Ganancia de recorrido completo = 0.3 y la señal en el m i s m o p u n t o en el recorrido c o m p l e t o p r e v i o a lo largo del sistema.) Se e s c u c h a n o sólo el golpe, sino lo q u e c o m ú n m e n t e recibe el n o m b r e de reverberación: e c o s múltiples del golpe. Éstos son c a u s a d o s p o r el s o n i d o del g o l p e p r o veniente del altavoz hasta el m i c r ó f o n o , q u e se amplifica y va 0.5 de n u e v o al altavoz, y regresa al m i c r ó f o n o múltiples v e c e s . Ganancia de recorrido completo = 0.6 C o n f o r m e se i n c r e m e n t a la ganancia, el f e n ó m e n o se v u e l v e m á s evidente y, en cierto nivel, un t o n o ruidoso e m p i e z a y continúa, sin n i n g ú n golpe o cualquier otra entrada acústica al micrófono, hasta q u e se vuelve a reducir la ganancia. ¿ P o r q u é ? 0.5

-p(í)

Ganancia de recorrido completo = 0.9

^|^<..

^^<.—

-1 + Ecos

0.6 _J

F I G U R A 10.15 Sonido del golpe sobre el micrófono de un sistema de altavoces para tres diferentes ganancias de recorrido completo del sistema.

E n cierto nivel de ganancia, cualquier señal del micrófon o , n o i m p o r t a q u é tan débil, se amplifica, a l i m e n t a al altavoz, r e g r e s a al m i c r ó f o n o y p r o v o c a u n a n u e v a señal en éste q u e es d e la m i s m a intensidad q u e la señal original. E n este nivel d e g a n a n c i a la señal n u n c a se extingue; sólo se m a n t i e n e en circulación. Si la g a n a n c i a se h a c e u n p o c o m á s alta, la señal crece c a d a vez que efectúa un recorrido c o m p l e t o d e s d e el micrófono hasta el altavoz y de regreso. Si el sistema de altavoces fuera en verdad lineal, la señal se i n c r e m e n t a r í a sin línúte. Sin e m b a r g o , dicho sistema no es en v e r d a d lineal y en cierto nivel de v o l u m e n el amplificador a c c i o n a al altavoz lo mejor q u e p u e d e y el nivel de sonido ya no se i n c r e m e n t a m á s .

E s natural p r e g u n t a r c ó m o e m p i e z a este p r o c e s o sin n i n g u n a e n t r a d a aciística al m i c r ó f o n o . P r i m e r o , en la práctica es i m p o s i b l e arreglárselas p a r a n o tener en lo a b s o l u t o n i n g ú n g o l p e o s o n i d o e n el m i c r ó f o n o . S e g u n d o , a u n c u a n d o eso fuera p o s i b l e , el amplificador tiene p r o c e s o s inherentes de r u i d o aleatorio q u e p r o d u c e n u n a señal acústica en el altavoz, y eso es suficiente p a ra iniciar el p r o c e s o d e r e t r o a l i m e n t a c i ó n . A c o n t i n u a c i ó n lleve u n p o c o m á s allá el e x p e r i m e n t o . C o n la g a n a n c i a del amplificador suficientemente alta p a r a c a u s a r el t o n o , se aleja el altavoz del m i c r ó f o n o . A m e d i d a q u e esto o c u r r e , la altura del t o n o r u i d o s o c a m b i a y a cierta distancia se i n t e r r u m p e . El t o n o c a m b i a d e b i d o a q u e su frecuencia d e p e n d e del t i e m p o q u e el s o n i d o t a r d a en p r o p a g a r s e d e s d e el a l t a v o z h a s t a el m i c r ó f o n o . El t o n o r u i d o s o se detiene a cierta distancia d e b i d o a q u e la intensidad del sonido d e s d e el altavoz se r e d u c e a m e d i d a q u e éste se aleja y la señal de retorno d e b i d a a la r e t r o a l i m e n t a c i ó n es m e n o r q u e la señal original y se e x t i n g u e en vez de i n c r e m e n t a r s e e n potencia.

F I G U R A 10.16 Un sistema de altavoces.

A h o r a se m o d e l a r á m a t e m á t i c a m e n t e el s i s t e m a de altavoces c o n las h e r r a m i e n t a s q u e h a n a p r e n d i d o y verá de m a n e r a e x a c t a c ó m o o c u r r e la inestabilidad p o r la r e t r o a l i m e n t a c i ó n (figura 10.16). P a r a m a n t e n e r simple el m o d e l o , p e r o ilustrativo, se c o n s i d e r a r á q u e las funciones de transferencia del m i c r ó f o n o , el amplificador y el altavoz son las c o n s tantes K^^,

y K^. E n t o n c e s se m o d e l a la p r o p a g a c i ó n del sonido d e s d e el a l t a v o z h a s t a el m i c r ó f o -

n o c o m o un retraso s i m p l e c o n u n a g a n a n c i a q u e es i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l al c u a d r a d o de la distancia d d e s d e el altavoz h a s t a el m i c r ó f o n o

s„,(f) =

s,(f -

(d/v))

(10.49)

d o n d e s^(f) = s o n i d o del altavoz Sjjj(f) = s o n i d o q u e llega al m i c r ó f o n o V = v e l o c i d a d del sonido en el aire K = una constante Al aplicar la t r a n s f o r m a d a de L a p l a c e en a m b o s lados de (10.49), S,„(s)

= ~S,(s)í'-W'')^ d-

(10.50)

E n t o n c e s es p o s i b l e m o d e l a r el s i s t e m a de altavoces c o m o u n o r e t r o a l i m e n t a d o c o n u n a función de transferencia de trayectoria directa (10.51) y u n a función de transferencia de trayectoria de r e t r o a l i m e n t a c i ó n (10.52) (figura 10.17). L a función de transferencia total es e n t o n c e s H(5)

(10.53)

\-{K„,KAK,K/d^)e-^''l-^^'

[El signo en el d e n o m i n a d o r es m e n o s p o r q u e la polaridad de la retroalimentación es la o p u e s t a de la polaridad supuesta e n el resultado de la función de transferencia del sistema r e t r o a l i m e n t a d o general (10.29).] L o s p o l o s p de esta función de transferencia del sistema se u b i c a n en los ceros de 1 -

(K^K^K^K/d-)

e-w/^')?. Al resolver, (10.54)

d'-

-(d/v)p

s„,(í)

d^ Km KA Kg K

n n íí'»

F I G U R A 10.17 Diagrama de bloques de un sistema de altavoces.

C A P I T U L O 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

= In

P =

n es u n e n t e r o

d'-

-•

d L

(10.56)

(10.57)

\K,„KAKSK

(figura 10.18). E s t e s i s t e m a es u n p o c o diferente de los q u e se h a n e s t a d o a n a l i z a n d o p o r q u e tiene u n a c a n t i d a d infinita de p o l o s , u n o p a r a c a d a e n t e r o n. Sin e m b a r g o , esto n o es u n p r o b l e m a e n el análisis d e b i d o a q u e sólo se intenta establecer las condiciones para las cuales el sistema es estable. C o m o ya se h a visto, la estabilidad requiere q u e todos los polos se u b i q u e n en el semiplano izquierdo abierto. E s o significa, e n este c a s o , q u e

< O

\k,„KAKSK

> o

K,„KAKSK

K,„ KA K¡ K

(10.58)

(10.59)

< 1.

(10.60)

E n p a l a b r a s , el p r o d u c t o d e t o d a s las m a g n i t u d e s d e la función d e t r a n s f e r e n c i a a l r e d e d o r del lazo d e r e t r o a l i m e n t a c i ó n d e b e ser m e n o r q u e u n o . E s t o tiene s e n t i d o p o r q u e si el p r o d u c t o d e t o d a s las m a g n i t u d e s d e la función de transferencia a l r e d e d o r del lazo es m a y o r q u e u n o , q u i e r e decir q u e c u a n d o u n a señal realiza u n r e c o r r i d o c o m p l e t o a t r a v é s del lazo d e r e t r o a l i m e n t a c i ó n , es m á s g r a n d e c u a n d o r e g r e s a q u e c u a n d o sale y eso c a u s a q u e c r e z c a sin límite. D e m o d o q u e c u a n d o se r e d u c e la gan a n c i a del a m p l i f i c a d o r h a s t a d e t e n e r el t o n o r u i d o s o c a u s a d o p o r la r e t r o a l i m e n t a c i ó n , se satisface (10.60). S u p o n g a que se a u m e n t a la ganancia de lazo K^^^K^K^K/d-

al incrementar la ganancia

del a m -

plificador. L o s polos se m u e v e n hacia la derecha, paralelos al eje a , y en cierto valor de ganancia alcanz a n el eje co. S u p o n g a ahora q u e e n vez d e eso se i n c r e m e n t a la g a n a n c i a del lazo al acercar el micrófono y el altavoz. E s t o m u e v e los polos hacia la derecha pero t a m b i é n los aleja del ejeCTp o r lo q u e c u a n d o se alcanza la estabilidad marginal todos los polos están a frecuencias en radianes m á s altas. C u a n d o el s i s t e m a está e x a c t a m e n t e e n la estabilidad m a r g i n a l , las frecuencias d e oscilación se d e t e r m i n a n m e d i a n t e las u b i c a c i o n e s d e los p o l o s sobre el eje oo. D i c h a s u b i c a c i o n e s son =

2«'!T. d

(10.61)

E s t o i n d i c a q u e las frecuencias de oscilación se d e t e r m i n a n p o r m e d i o d e la v e l o c i d a d del s o n i d o e n el aire y la distancia entre el altavoz y el m i c r ó f o n o . S e a n igual a u n o . E n t o n ces (10.61) señala s i m p l e m e n t e q u e el s i s t e m a oscila d e m a n e r a tal q u e el t i e m p o d e p r o p a g a c i ó n d e s d e el altavoz h a s t a el m i c r ó f o n o es de m a n e r a e x a c t a u n p e r i o d o f u n d a m e n t a l de esa frecuencia. Si eso es cierto, c u a n d o el s o n i d o del altavoz llega al m i c r ó f o n o , arrib a d e m a n e r a p r e c i s a e n fase (en realidad 2-77 rad fuera de fase, q u e e q u i v a l e a estar en fase) c o n u n s o n i d o de esa frecuencia y lo refuerza. Para valores enteros superiores d e n se ¿

o b t i e n e n frecuencias q u e l l e g a n c o n mtíltiplos m á s altos d e ITÍ rad d e d e s p l a z a m i e n t o d e fase y, p o r lo tanto, t a m b i é n refuerzan. D e m o d o q u e el d i a g r a m a d e p o l o - c e r o indica q u e

F I G U R A 10.18 Diagrama de polos y ceros del sistema de altavoces.

el s i s t e m a oscilará si la m a g n i t u d de la g a n a n c i a del amplificador es suficientemente g r a n d e y lo h a r á a frecuencias p a r a las cuales la señal d e r e t r o a l i m e n t a c i ó n está en fase c o n la señal original.

E l sistema q u e o b e d e c e este s i m p l e m o d e l o p u e d e oscilar s i m u l t á n e a m e n t e a . E(^) K ) * miíltiples frecuencias. E n realidad e s o es i m p r o b a b l e . U n sistema real q u e i n c l u y e r a X ( í ) — m i c r ó f o n o , amplificador y altavoz tendría funciones de transferencia q u e d e p e n d e r á n H2(s) d e la frecuencia y, p o r lo tanto, c a m b i a r í a las u b i c a c i o n e s de los polos de m o d o q u e sólo u n p a r de ellos se ubicaría sobre el eje co en la estabilidad marginal. Si la g a n a n cia a u m e n t a p o r e n c i m a de la g a n a n c i a relativa a la estabilidad marginal, el s i s t e m a F I G U R A 10.19 es i m p u l s a d o hacia un m o d o de operación no lineal y los m é t o d o s de análisis d e sis- Sistema de retroalimentación prototipo. t e m a s lineales fallan en la p r e d i c c i ó n exacta de su f o r m a de oscilar. Sin e m b a r g o , los m é t o d o s de sistemas lineales p r e d i c e n c o n exactitud que oscilará y eso es m u y i m p o r t a n t e . H,(5)

OSCILACIÓN ESTABLE UTILIZANDO RETROALIMENTACIÓN

H2(i)

L a oscilación del sistema de altavoces en la ú l t i m a sección fue u n a r e s p u e s t a indeseable del m i s m o . Sin e m b a r g o , a l g u n o s sistemas se diseñan p a r a oscilar. E j e m p l o s son los g e n e r a d o r e s de fun- F I G U R A 10.20 ciones de los laboratorios, los relojes de c o m p u t a d o r a , los osciladores locales e n los receptores de Sistema de radio, los cristales de c u a r z o en los relojes de pulsera y un péndulo en un reloj de caja. A l g u n o s sis- retroalimentación del temas se diseñan para oscilar de un m o d o no lineal en el q u e s i m p l e m e n t e se alternan entre dos o oscilador. m á s estados inestables y sus señales de r e s p u e s t a no son n e c e s a r i a m e n t e senoidales. Los relojes de c o m p u t a d o r a q u e m a r c h a n l i b r e m e n t e constituyen u n b u e n e j e m p l o de lo anterior. N o obstante, algun o s sistemas se d i s e ñ a n p a r a operar c o m o un sistema L I T en m o d o estable marginal con u n a oscilación senoidal verdadera. P u e s t o q u e la estabilidad marginal requiere q u e el sistema tenga polos sobre el eje co del plano s, este m o d o de operación es m u y exacto. El m o v i m i e n t o m á s ligero de los polos del sistema d e b i d o a cualquier variación de p a r á m e t r o s o c a s i o n a r á q u e la oscilación crezca o d e c a i g a c o n el t i e m p o . D e m o d o q u e los sistemas q u e operan en este m o d o d e b e n tener algún m e c a n i s m o para m a n t e n e r los p o l o s sobre el eje co. E l d i a g r a m a de retroalimentación prototipo (figura 10.19) tiene u n a excitación y u n a respuesta. U n s i s t e m a i d e a d o p a r a oscilar n o tiene u n a excitación (manifiesta); esto es X{s) = O (figura 10.20). ( O b s e r v e q u e en este d i a g r a m a la señal de salida de la trayectoria de r e t r o a l i m e n t a c i ó n es la señal de entrada de la trayectoria directa, sin señal de entrada e x t e m a a g r e g a d a y sin c a m b i o d e signo.) ¿ C ó m o es p o s i b l e tener u n a r e s p u e s t a si no se tiene excitación? L a r e s p u e s t a i n m e d i a t a es q u e n o es p o s i ble, sin e m b a r g o , es i m p o r t a n t e r e c o n o c e r q u e c a d a sistema está siendo excitado, c o n s t a n t e m e n t e sea o no ésa la intención. C a d a sistema tiene p r o c e s o s de ruido aleatorio q u e o c a s i o n a n fluctuaciones d e la señal. El sistema r e s p o n d e a estas fluctuaciones de r u i d o j u s t o c o m o lo haría ante u n a excitación intencional. L a clave p a r a q u e se p r e s e n t e u n a oscilación estable es tener u n a función de transferencia con p o los sobre el eje co de la forma H{s)

(10.62)

E n t o n c e s la g a n a n c i a del s i s t e m a a la frecuencia en radianes reales COQ (5 = ± J'COQ) es infinita, lo q u e i m p l i c a q u e la r e s p u e s t a es infinitamente m a y o r q u e la excitación. E s o p o d r í a significar q u e u n a excitación finita p r o d u c e u n a r e s p u e s t a infinita o q u e u n a excitación cero p r o d u c e u n a r e s p u e s t a finita. E n cualquier caso el cociente entre la r e s p u e s t a y la excitación es infinito. P o r lo tanto, u n sistema c o n polos sobre el eje co p u e d e p r o d u c i r u n a respuesta distinta de cero estable sin excitación. U n e j e m p l o m u y interesante e i m p o r t a n t e de un sistema d i s e ñ a d o p a r a oscilar en un m o d o estable m a r g i n a l m e n t e es u n láser. E l a c r ó n i m o L Á S E R significa light amplification by stimulated emission ofradiation (amplificación de luz m e d i a n t e la e m i s i ó n e s t i m u l a d a de radiación). U n láser n o es en realidad u n amplificador de luz (aunque, i n t e r n a m e n t e , la amplificación sí ocurre), sino un oscilad o r de luz, a u n q u e el a c r ó n i m o p a r a light oscillation b y stimulated emission of radiation (oscilación d e luz m e d i a n t e e m i s i ó n e s t i m u l a d a de radiación), L O S E R (perdedor), se describe p o r sí solo y nunca se v o l v i ó popular. Bombeo Láser Medio A u n c u a n d o el láser es u n oscilador, la amplificación de luz es u n p r o c e s o inherente en su operación. U n láser se llena con u n m e d i o q u e se h a b o m b e a d o m e d i a n t e u n a fuente de p o tencia e x t e m a de m a n e r a tal q u e la luz de la longitud de o n d a correcta q u e se p r o p a g a a través del m e d i o b o m b e a d o experim e n t a u n i n c r e m e n t o en la p o t e n c i a mientras lo h a c e (figura

F I G U R A 10.21

10.21). E l dispositivo q u e se ilustra en esta figura es u n ampli-

Un amplificador de onda viajera luminosa de un paso.

Luz incidente .

ficador de o n d a viajera l u m i n o s a de u n p a s o , n o un láser. L a oscilación de la luz en u n láser se p r o d u ce al introducir en u n amplificador de o n d a viajera l u m i n o s a de un p a s o , espejos en c a d a e x t r e m o q u e C A P Í T U L O 10 reflejan una parte o t o d a la luz q u e incide en ellos. E n c a d a espejo t o d a la luz o u n a fracción d e ella Aralisls de la se r e t r o a l i m e n t a en el m e d i o láser b o m b e a d o para u n a amplificación adicional (figura 10.22). transformada de Laplace de señales y sistemas E n principio, sería posible introducir luz en u n e x t r e m o de este dispositivo a través de u n espejo parcial y amplificarla. U n dispositivo de este tipo recibe el n o m b r e de amplificador regenerativo de onda luminosa viajera. Sin e m b a r g o , es m u c h o m á s comiín construir en u n e x t r e m o u n espejo lo m á s reflectivo p o s i b l e , que refleje toda la luz q u e incide sobre él, y construir u n espejo parcial en el otro e x t r e m o , que refleje parte de la luz q u e incide sobre él y q u e t r a n s m i t a el resto. U n láser o p e r a sin n i n g u n a fuente e x t e m a de luz. L a luz q u e e m i t e e m p i e z a en el Espejo Espejo p r o p i o m e d i o láser b o m b e a d o . U n f e n ó m e n o d e n o m i n a d o emisión espontánea provoca I Bombeo Láser Medio q u e la luz se g e n e r e en t i e m p o s y en direcciones aleatorios en el m e d i o b o m b e a d o . C u a l quier luz de este tipo q u e se p r o p a g a de m a n e r a directa hacia un espejo se amplifica en su c a m i n o hacia éste, y l u e g o se refleja y amplifica atín m á s c u a n d o rebota entre los e s pejos. C u a n t o m á s p e r p e n d i c u l a r es la p r o p a g a c i ó n en los espejos, tanto m á s largos resultan los rebotes del h a z y tanto m á s se amplifican m e d i a n t e los p a s o s múltiples a F I G U R A 10.22 través del m e d i o láser. E n la o p e r a c i ó n de estado estable la luz q u e es n o r m a l a los e s Un láser pejos tiene la p o t e n c i a m á s alta de t o d a la p r o p a g a c i ó n l u m i n o s a dentro d e la c a v i d a d del láser porque posee la ventaja de ganancia m á s alta. U r espejo siempre es u n espejo parcial, de m o d o que cierta luz se transmite en c a d a rebote fuera de él. Esta luz constituye el h a z l u m i n o s o d e sah d a del láser (figura 10.23). Para que la oscilación luminosa se mantenga, Espejo a 100 Espejo Espejo a 100 Espejo la función de transferencia del lazo del sistema por ciento parcial por ciento parcial debe ser el n ú m e r o real - 1 bajo el signo de retroalimentación negativo supuesto en el sistema retroalimentado prototipo de la figura 10.19 o d e be ser el n ú m e r o real -I-1 dada la suposición del Espejo a 100 Espejo Espejo a 100 Espejo sistema oscilador de la figura 10.20. Bajo cualpor ciento parcial por ciento parcial quier suposición, en la oscilación estable, la luz, conforme viaja desde u n p u n t o de inicio hacia un espejo, regresa al otro espejo y luego vuelve de n u e v o al p u n t o de partida, debe experimentar u n a magnitud de ganancia completa de uno y un desEspejo a 100 Espejo Espejo a 100 Espejo plazamiento de fase de un múltiplo entero de 2 t t por ciento parcial por ciento parcial rad. Esto sigiúfica que la longitud de o n d a de la luz debe ser tal q u e q u e p a en la cavidad láser con exactamente un n ú m e r o entero de ondas en u n a trayectoria de recorrido completo. F I G U R A 10.23 E s i m p o r t a n t e o b s e r v a r q u e la longitud de la Reflexiones múltiples de luz a diferentes ángulos iniciales. luz en los láseres se e n c u e n t r a p o r lo c o m ú n en el intervalo de 100 n m hasta m u c h o s m i c r o n e s (ultravioleta hasta infrarrojo lejano) y las longitudes de las c a v i d a d e s de los láser están p o r lo c o m ú n en el intervalo de u n o s c u a n t o s c e n tímetros hasta m á s de u n m e t r o en algunos casos. Por lo tanto, a m e d i d a q u e la luz se p r o p a g a entre los espejos p u e d e e x p e r i m e n t a r m á s de u n millón de radianes de d e s p l a z a m i e n t o de fase, e i n c l u s o en las c a v i d a d e s m á s cortas d i c h o d e s p l a z a m i e n t o es un m ú l t i p l o g r a n d e de Itt rad. D e m a n e r a que en u n láser la longitud de o n d a e x a c t a de la oscilación se d e t e r m i n a a partir de la longitud de o n d a óptica que encaja en la trayectoria de recorrido c o m p l e t o con u n núm e r o entero exacto de o n d a s . H a y u n a c a n t i d a d infinita de longitudes de o n d a q u e satisfacen este criterio, la o n d a que entra en el recorrido c o m p l e t o e x a c t a m e n t e una vez, m á s todas sus a r m ó n i c a s (figura 10.24). A u n q u e todas esas longitudes de o n d a de la luz p o d r í a n oscilar en teoría, e x i s t e n otros m e c a n i s m o s ( r e s o n a n c i a s a t ó m i c a s o m o l e c u l a r e s , espejos s e l e c t i v o s de longitud de onda, etc.) que limitan la oscilación real a u n n ú m e r o p e q u e ñ o d e longitudes de onda que e x p e r i m e n t a n la g a n a n c i a suficiente p a r a oscilar.

F I G U R A 10.24 Ilustraciones de longitudes de onda que caben en la cavidad láser un número entero de veces.

E s p o s i b l e m o d e l a r u n láser m e d i a n t e u n d i a g r a m a de b l o q u e s con u n a trayectoria directa y u n a trayectoria r e t r o a l i m e n t a d a (figura 10.25). Las constantes Kp y Kj^ r e p r e s e n t a n la m a g n i t u d de la g a n a n c i a e x p e r i m e n t a d a p o r el c a m p o eléctrico de la luz c o n f o r m e ésta se prop a g a de u n espejo al otro a lo largo d e las trayectorias directa e inversa, r e s p e c t i v a m e n t e . L o s factores é'"(^/')* explican el d e s p l a z a m i e n t o de fase d e b i d o al t i e m p o de p r o p a g a c i ó n , d o n d e

L es la distancia entre los espejos y c es la velocidad de la luz en la cavidad del láser. La constante K^^ es el coeficiente de transmisión del c a m p o eléctrico para la luz que sale de la cavidad del láser a través del espejo parcial de salida y la constante K^^^ e s el coeficiente de reflexión del c a m p o eléctrico para la luz reflejada en el espejo parcial de salida de vuelta a la cavidad del láser L a constante es el coeficiente de reflexión del c a m p o eléctrico para la luz reflejada en el espejo de 100 p o r ciento de regreso a la cavidad del láser. K^^^, K^.^ y K^. son, en general, complejas, lo que indica que hay un desplazamiento de fase del c a m p o eléctrico durante la reflexión y la F I G U R A 10.25 transmisión. L a función de transferencia del lazo es (utilizando la definición formu- Diagrama de bloques de láser. lada con base en la convención de signos en la figura 10.19) T{s)

-KfK,oKKK,.e

-(2L/C)i

(10.63)

(10.64)

Su valor es — 1 c u a n d o \KFK,-OKRKA -(2L/c)s

=_ 1

(10.65)

o, en forma equivalente, 5 =

—jl'ñn

n es un entero 2L

(10.66)

d o n d e la cantidad c/2L es el t i e m p o de recorrido c o m p l e t o para la o n d a l u m i n o s a que se p r o p a g a . É s tos son valores de s sobre el eje co a a r m ó n i c a s de la frecuencia fundamental en radianes 2ii{c/2L). Puesto q u e ésta es la frecuencia fundamental, es t a m b i é n el e s p a c i a m i e n t o entre frecuencias que de m a n e r a c o n v e n c i o n a l recibe el n o m b r e de espaciamiento en modo axial Aoo^^. C u a n d o un láser se activa p o r p r i m e r a vez, el m e d i o es b o m b e a d o y se p r o d u c e un haz l u m i n o s o a e x p e n s a s de la e m i s i ó n e s p o n t á n e a . Éste crece en intensidad p o r q u e , al principio, la m a g n i t u d de la ganancia de recorrido c o m p l e t o es m a y o r que uno (\KpKj.^K¡^Kj[> 1). Sin e m b a r g o , a m e d i d a que crece, extrae energía del m e d i o b o m b e a d o y eso r e d u c e las ganancias y ÍT^. Se alcanza un equilibrio c u a n d o la intensidad del haz es e x a c t a m e n t e de la m a g n i t u d correcta para m a n t e n e r la g a n a n c i a de recorrido c o m p l e t o , \KpK^^KnK^\ en e x a c t a m e n t e u n o . Los m e c a n i s m o s de b o m b e o y de amplificación l u m i n o s a en el láser forman en conjunto un p r o c e s o autolimitado que se estabiliza en u n a m a g n i t u d de la ganancia de recorrido completo de u n o . D e ese m o d o , siempre y c u a n d o haya bastante potencia de b o m b e o y los e s p e j o s s e a n lo s u f i c i e n t e m e n t e r e f l e x i v o s p a r a a l c a n z a r u n a m a g n i t u d de la g a n a n cia d e r e c o r r i d o c o m p l e t o de u n o a cierta p o t e n c i a de s a l i d a m u y baja, el láser o s c i l a r á de m a n e r a estable. Si se a u m e n t a la potencia de b o m b e o , la potencia de salida crecerá para extraer m á s p o t e n c i a del m e d i o b o m b e a d o y reducir la m a g n i t u d de la g a n a n c i a de recorrido c o m p l e t o de vuelta a u n o . Si se reduce la potencia de b o m b e o , la potencia de salida disminuirá extrayendo m e n o s potencia del m e d i o b o m b e a d o e i n c r e m e n t a r á la g a n a n c i a de recorrido c o m p l e t o de n u e v o a u n o . Sin e m b a r g o , si la p o tencia de b o m b e o se r e d u c e d e m a s i a d o , d e b i d o a los otros m e c a n i s m o s de p é r d i d a presentes en la cavidad, no inyectará la potencia suficiente hacia el m e d i o b o m b e a d o para sostener la oscilación, incluso c o n un h a z l u m i n o s o de p o t e n c i a de salida cero, y el láser dejará de oscilar. E l anterior es u n e j e m p l o de un sistema que es autolimitado en u n a forma q u e m a n t i e n e u n a oscilación senoidal estable sin ning u n a no linealidad del sistema.

LA PRUEBA DE ESTABILIDAD D E ROUTH-HURWITZ Ya se ha visto que el requerimiento para la estabiUdad del sistema es que todos los polos se ubiquen en el semiplano izquierdo abierto. Es posible determinar las ubicaciones de los polos factorizando el denominador de la función de transferencia, lo cual p u e d e hacerse siempre, al m e n o s de m a n e r a numérica, utilizando u n a herramienta matemática c o m o M A T L A B . Sin e m b a r g o , la factorización no es necesaria para determinar la estabilidad. H a y una técnica de análisis d e n o m i n a d a prueba de Routh-Hunvitz que tiene la posibilidad de determinar si un sistema es estable sin tener que factorizar el d e n o m i n a d o r A d e m á s , proporciona cierta información con respecto a las características del sistema y es útil j u n t o con otras técnicas c o m o el m é t o d o del lugar geométrico de las raíces que se estudiará en la siguiente sección. L a deducción de las reglas utilizadas en la prueba de R o u t h - H u r w i t z rebasa los objetivos de este libro, aunq u e existe la posibilidad de investigar su uso y ganar cierta comprensión intuitiva de su validez.

Eiíi

576

C A P Í T U L O 10

D - 1

Análisis de la

D - 2

hD-4

/'d-6

transformada de Laplace

D - 3

Cd-5

Cd-v

de señales y sistemas

2 1 0

0 0 D par

0 0 0

«0

D - 1

0 0

D - 2

«£>-2

" 0 - 4

«1 «0

0 0

bD-4

D - 3

0 0

0 'ío 0 0 0 0 D impar

0 0 0

F I G U R A 10.26 El arreglo de Routh.

C o n s i d e r e q u e la forma de la función de transferencia es H(^)

(10.67)

D(í)

y deje q u e el d e n o m i n a d o r D ( 5 ) sea de la forma D(5) =

+ ais

aos'

üQ,

(10.68)

donde es distinto d e c e r o . E l p r i m e r p a s o en la p r u e b a de R o u t h - H u r w i t z consiste en construir el arreglo de R o u t h (figura 10.26). El arreglo

de Routh es u n a d i s p o s i c i ó n de n ú m e r o s que tiene D + l r e n g l o n e s y (Z)/2) + 1 c o l u m -

nas p a r a D p a r y {D + l ) / 2 c o l u m n a s p a r a D impar. L o s p r i m e r o s dos r e n g l o n e s c o n t i e n e n los coeficientes del p o l i n o m i o del d e n o m i n a d o r . Las entradas en el siguiente r e n g l ó n se d e t e r m i n a n m e d i a n t e las fórmulas ao-i

aD-4

ID-} bo-i

(10.69)

t>D~4 = —

ao-i

etc. L a s e n t r a d a s de los r e n g l o n e s sucesivos se calculan m e d i a n t e el m i s m o p r o c e s o con b a s e en las e n t r a d a s de r e n g l o n e s p r e v i a s . Si el valor de u n a e n t r a d a es cero, sustituyalo p o r u n a e (un n ú m e r o real arbitrario y p e q u e ñ o , positivo o n e g a t i v o ) y c o n t i n ú e . E n el p r o c e s o de calcular las e n t r a d a s de renglones sucesivos, e l i m i n e c u a l e s q u i e r a p o t e n c i a s m á s altas de £ p a r a simpHficar los c á l c u l o s . El p r o c e s o c o n t i n ú a hasta q u e se alcanza el renglón cero. Si hay ceros o c a m b i o s de signo en la c o l u m n a a^, el sistema es inestable. El n ú m e r o de c a m b i o s de signo en la c o l u m n a a¡^ es el n ú m e r o de p o l o s en el s e m i p l a n o d e r e c h o . Si se u s a u n a e, se le c o n s i d e r a positiva o negativa. El n ú m e r o de c a m b i o s de sign o será el m i s m o de c u a l q u i e r m a n e r a . Si n o hay ceros o c a m b i o s de signo en la p r i m e r a c o l u m n a , el s i s t e m a es estable. Si se p r e s e n t a u n renglón q u e tiene entradas q u e son todas cero antes de q u e el renglón t e n g a índice cero, el s i s t e m a tiene al m e n o s d o s p o l o s de igual orden q u e se u b i c a n en lugares en el p l a n o c o m p l e j o q u e son r a d i a l m e n t e o p u e s t o s entre sí y equidistantes a partir del origen. E s o significa q u e hay u n p o l o en el s e m i p l a n o d e r e c h o o dos p o l o s en el eje O). E n tal caso el sistema n o p u e d e ser e s t r i c t a m e n t e estable, sino q u e lo es en f o r m a m a r g i n a l .

E j e m p l o

10.1

Utilizando la prueba de estabilidad de Routh-Hurwitz determine si los sistemas cuyas funciones de transferencia son 2s-

+ A s - 3

" • ^ - ^ = .^ + 2.3 + 8.^ + 3 . + 4

^''-''^

y H2(í) = son estables.

-h .? + 10 6s^ +

-I-

2í-

-I-

(10.71)

•

Solución

El arreglo de Routh para H¡(i) es 1

10.5 Análisis de sistemas retroalimentados

íf 4

O O 0 0

y el sistema es estable. Lo anterior se confirma al factorizar el denominador para determinar los polos. Éstos son - 0 . 8 5 4 7 + 72.4890

-0.8547 - ;2.4890

- 0 . 1 4 5 3 + 70.7460

- 0 . 1 4 5 3 - 70.7460

los cuales se encuentran en el semiplano izquierdo abierto. El arreglo de Routh para HjCí) es 6

-22

1 O

O O

y el sistema es inestable con dos polos en el semiplano derecho como se indica por medio de los dos cambios de signo en la primera columna. Los polos en este caso son 0.3865 + 70.8474

0.3865 - 70.8474

-0.6390

-0.3007

y dos se ubican en el semiplano derecho como se indica mediante el arreglo de Routh.

E j e m p l o

10.2

Recurra a la prueba de estabilidad de Routh-Hurwitz para determinar el criterio para la estabilidad de un sistema de segundo orden general cuya función de transferencia es de la forma ais)

•

Nis)

(10.72)

Solución

El arreglo de Routh es 1

FLO

Este resultado indica simplemente que sistema es estable.

(10.73)

a¡

son ambas positivas, no hay polos en el semiplano derecho y el

sia^y

EL MÉTODO D E LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES U n a situación m u y c o m ú n e n el análisis d e s i s t e m a s r e t r o a l i m e n t a d o s es u n s i s t e m a d e la f o r m a q u e se ilustra e n la figura 10.27. H a y un p a r á m e t r o d e g a n a n c i a ajustable K (que se t o m a d e m a n e r a c o n v e n c i o n a l c o m o n o n e g a t i v o sin p é r d i d a d e g e n e r a l i d a d ) y la e l e c c i ó n de su v a l o r tiene u n fuerte efecto sobre la d i n á m i c a del sistema. L a función de transferencia c o m p l e t a del s i s t e m a es

H(í)

KHiis)

1 +

(10.74)

Yis)

H2(s)

y la función d e transferencia del lazo c o r r e s p o n d e a Tis)

X(5) -

KUi{s)H2Ís)

KHi{s)H2{s).

(10,75)

F I G U R A 10.27 Tipo común de sistema retroalimentado.

578

L o s polos d e H ( Í ) son los ceros de 1 + T ( Í ) . L a función de transferencia d e lazo p u e d e e s c r i b i r s e en

C A P Í T U L O 10

1^ f o r m a de K v e c e s u n n u m e r a d o r d i v i d i d o entre u n d e n o m i n a d o r ,

Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

T(í) = K

(10.76)

Qis)

de m o d o que los p o l o s de H(.y) ocurren d o n d e P(í) 1 + K—= O, Q(í)

(10.77)

q u e p u e d e expresarse en las dos formas alternativas Qis)

Kns) =

Q(s)

P(s)

= 0.

(10.78)

(10.79)

D e (10.76) se ve q u e si T(s) es p r o p i a [Q(s) es de o r d e n m á s alto que F{s)], los ceros finitos de Q{s) c o n s t i t u y e n t o d o s los p o l o s de T{s) y los ceros de P(s) son todos los ceros finitos de T(s), a u n q u e , d e b i d o a que el orden de P{s) es m e n o r q u e el de Q ( 5 ) , t a m b i é n hay u n o o m á s ceros de T{s) en infinito. El intervalo c o m p l e t o de ajuste posible de K es de c e r o a infinito. C o n s i d e r e p r i m e r o q u e K tiend e a cero. E n ese límite, de a c u e r d o con (10.78), los ceros de 1 + T(s), los cuales son los polos de ¥í(s), son los ceros de Qis)

= O,

(10.80)

y los p o l o s de His) son, en c o n s e c u e n c i a , los p o l o s de T{s) p o r q u e T{s) = K{I'(s)/Q(s)).

Considere

a h o r a el c a s o o p u e s t o , d o n d e A ' t i e n d e a infinito. E n ese límite, de a c u e r d o c o n ( 1 0 . 7 9 ) , los c e r o s de 1 + T(s) son los ceros de (10.81)

P{s) = O

y los polos de H ( Í ) son los ceros de T{s) (incluidos todos los ceros en infinito). Por lo tanto, los polos y ceros de la función transferencia de lazo son m u y importantes en el análisis del sistema de lazo cerrado. C u a n d o el factor de g a n a n c i a K se m u e v e d e s d e cero hasta infinito, los p o l o s del sistema de lazo c e r r a d o se m u e v e n d e s d e los p o l o s de la función de transferencia de l a z o hasta los ceros d e esta m i s m a función (algunos de los cuales q u i z á se e n c u e n t r e n en infinito). U n a gráfica del lugar geométrico de las raíces c o r r e s p o n d e a las u b i c a c i o n e s de los p o l o s de lazo c e r r a d o c u a n d o el factor de g a n a n c i a K varía d e s d e c e r o hasta infinito. E l n o m b r e lugar g e o m é t r i c o de las raíces p r o v i e n e de la u b i c a c i ó n (lugar g e o m é t r i c o ) de u n a raíz de 1 -I- T(s) c u a n d o varía el factor de g a n a n c i a K. Se e x a m i n a r á n p r i m e r o dos e j e m p l o s simples del m é t o d o del lugar g e o m é t r i c o de las raíces y d e s p u é s se establecerán sus reglas generales válidas para cualquier sistema. C o n s i d e r e p r i m e r o u n sistem a c u y a g a n a n c i a de trayectoria directa es

ÜÁs)

K {s+

l)(.s + 2)

(10.82)

y c u y a g a n a n c i a de trayectoria de r e t r o a l i m e n t a c i ó n es

ms) -2

-1

Entonces

lis) F I G U R A 10.28 Lugar geométrico de las raíces de l + T ( í ) = l + (7TTfciy

(10.83)

= 1.

K (s + l){s

+ 2)

(10.84)

y la gráfica del lugar g e o m é t r i c o de las raíces e m p i e z a en 5 = — 1 y s = —2, los p o l o s de T ( í ) . Todos los ceros de T(j-) están en infinito y son a los q u e se a p r o x i m a el lugar g e o m é trico de las raíces c u a n d o se i n c r e m e n t a el factor de K (figura 10.28).

L a s raíces de 1 + T{s) son las de (s + l)(s

2) + K =

s--3s

+ 2+

K = 0

(10.85)

y, m e d i a n t e la fórmula cuadrática, las raíces están en ( — 3 ± V l — 4K)/2. P a r a K = O se obtienen raíces en s = — 1 y j = —2. los polos de T(s). P a r a K = ^ se obtiene u n a doble raíz en P a r a K > ^ se obtienen d o s raíces conjugadas c o m p l e j a s c u y a s partes i m a g i narias v a n a m á s y m e n o s infinito c u a n d o K a u m e n t a , p e r o c u y a s partes reales p e r m a n e c e n -3-2 Vi en — | . P u e s t o q u e este lugar geográfico de las raíces se extiende hasta infinito en la d i m e n sión imaginaria c o n una parte real que siempre ubica las raíces en el s e m i p l a n o izquierdo, este sistema es estable para cualquier valor de K. A h o r a se agrega un p o l o a la función de transferencia de trayectoria directa convirtiéndola en ^ F I G U R A 10.29 Hi(s) = . (10.86) Lugar geométrico de las raíces de (s + l)(s

+ 2){s + 3)

El n u e v o lugar g e o m é t r i c o de las raíces es el de las soluciones de la e c u a c i ó n

(10.87) + 6s^ + lis + 6 + K ^ O (figura 10.29). Este sistema es inestable en o p o r arriba del valor de K para el cual dos r a m a s del lugar g e o m é t r i c o d e las raíces cruzan el eje co. P o r tanto, en este caso, un sistema q u e es estable d e lazo abierto p u e d e h a c e r s e inestable utilizando retroalimentación. Es posible d e t e r m i n a r el valor de K en el cual los polos c r u z a n h a c i a el s e m i p l a n o d e r e c h o utilizando la p r u e b a de R o u t h - H u r w i t z . L a función d e transferencia del sistema es His)

lls

60-

D -

D - 4

6 + K K

6 + K

O O

6 O

F I G U R A 10.30

K s^ + 6s^+

- 1

D - 2

I 6

D D

+ 6+

(10.88)

El arreglo de Routh para H(.) = -

y el arreglo de R o u t h se ilustra en la figura 10.30. D e m o d o que el valor crítico del p a r á m e t r o de la g a n a n c i a K es 60. Si éste es el caso, la expresión de la g a n a n c i a es His)

s^ + 6s^ + lis + 66

(s + 6)is + j-/Tl)is

(10.89)

jVTl)

y se v e q u e hay dos polos s = ±j V T T en el eje co del p l a n o s. L a figura 10.31 ilustra algunas gráficas de lugares g e o m é t r i c o s de las raíces p a r a diferentes núm e r o s y u b i c a c i o n e s de los polos y ceros de 1 + Tis). Las reglas para graficar los lugares g e o m é t r i cos de las raíces son 1. C a d a r a m a del lugar g e o m é t r i c o de las raíces e m p i e z a en u n p o l o de T(s) y t e r m i n a en un cero de Tis). 2. C u a l q u i e r p o r c i ó n del eje real p a r a el cual la s u m a del n ú m e r o de polos reales y/o ceros reales a su d e r e c h a es i m p a r es u n a parte del lugar g e o m é t r i c o de las raíces. 3 . El lugar g e o m é t r i c o de las raíces es simétrico c o n r e s p e c t o al eje real.

F I G U R A 10.31 Ejemplo de gráficas de lugares geométricos de las raíces.

C A P I T U L O 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

Si el n ú m e r o d e polos de 1{s) e x c e d e al n ú m e r o d e ceros de T ( 5 ) p o r u n entero m, e n t o n c e s m ram a s del lugar g e o m é t r i c o de las raíces t e r m i n a n en ceros de T ( Í ) q u e se ubican en infinito. C a d a u n a de estas r a m a s se a p r o x i m a a u n a asíntota de línea recta, y los ángulos de dichas asíntotas son hit/m, k = 1, 3, 5 , . . . , c o n respecto al eje real positivo e interceptan al eje real en la u b i c a c i ó n

CT = — (^2

polos finitos — ^

ceros finitos^.

(10.90)

L a caja de h e r r a m i e n t a s de control de M A T L A B incluye u n c o m a n d o p a r a graficar el lugar g e o m é t r i c o de las raíces de una función de transferencia del sistema. L a sintaxis es r l o c u s { s y s ) , donde s y s es un objeto de descripción d e sistema M A T L A B .

ANÁLISIS DEL M A R G E N D E GANANCIA Y DEL M A R G E N D E FASE DE LA ESTABILIDAD DEL SISTEMA E n el diseño práctico de sistemas r e t r o a l i m e n t a d o s , en virtud de la i n c e r t i d u m b r e en el c o n o c i m i e n t o de a l g u n o s p a r á m e t r o s , p o r lo c o m ú n se c o n s i d e r a un m a r g e n de error, de m a n e r a q u e si las e s t i m a c i o n e s de algunos p a r á m e t r o s son un p o c o inexactas es p o s i b l e tener u n a garantía r a z o n a b l e de q u e el s i s t e m a sea estable. El análisis de los m á r g e n e s de g a n a n c i a y de fase constituyen dos m é t o d o s para e x a m i n a r qué m a r g e n de error se tiene. L o s a n á ü s i s se efectúan m e d i a n t e la inspección de d i a g r a m a s de B o d e de la m a g n i t u d y fase de la función de transferencia de lazo de un sistema r e t r o a l i m e n t a d o . U n a m a n e r a de apreciar los resultados del análisis del m a r g e n de g a n a n c i a o el de fase es i m a g i nar q u e el sistema r e t r o a l i m e n t a d o c o m ú n con u n a g a n a n c i a de trayectoria directa de H j ( Í ) y u n a ganancia de trayectoria r e t r o a l i m e n t a d a de H 2 ( Í ) tiene dos b l o q u e s adicionales en el lazo, u n o de g a n a n c i a y u n o de fase (figura 10.32). El p r i m e r o representa el factor m e d i a n t e el cual la g a n a n c i a del sistema podría ser errónea, y el s e g u n d o representa el á n g u l o m e d i a n t e el cual la fase del sistema p o dría ser incorrecta. Por lo c o m ú n n o es difícil h a c e r los arreglos p a r a insertar en un sistema u n a ganancia arbitraria y d e p e n d i e n t e de la frecuencia que c o m p e n s e el error de g a n a n c i a r e p r e s e n t a d o p o r el b l o q u e K en la figura 10.32. Sin e m b a r g o , es u n a proposición m u y diferente insertar en un sistema un desplazamiento de fase independiente de la frecuencia para compensar errores de fase. Por lo c o m ú n el d e s p l a z a m i e n t o de fase de cualquier c o m p o n e n t e de un sistema es u n a función de la frecuencia, n o u n a fase fija i n d e p e n d i e n t e de la frecuencia. Se sabe q u e si un s i s t e m a va a ser inestable, los ceros de 1 + T(s) en la gráfica del lugar g e o m é trico de las raíces d e b e n cruzar al eje (ú del p l a n o 5 . O t r a m a n e r a de decir lo m i s m o es q u e la inestabilidad del sistema ocurrirá si, para cualquier valor real de (£>, (10.91)

T(;(tí) = - 1 .

El n ú m e r o - 1 tiene u n a m a g n i t u d de u n o y u n a fase de - T T rad. P o r lo tanto, si, para cualquier frec u e n c i a real co, la m a g n i t u d de la función de la transferencia de lazo es u n o y la fase es — TT, el sistem a es inestable p o r q u e p u e d e oscilar a esa frecuencia. S u p o n g a q u e un sistema r e t r o a l i m e n t a d o tiene la m i s m a función de transferencia de lazo de tres polos Tis)

K s^+6s^+

lis+

(10.92)

Utilizada en la discusión de los m é t o d o s del l u g a r g e o m é t r i c o de las raíces p e r o con u n valor de parám e t r o de g a n a n c i a específico de K= 10. Su d i a g r a m a de B o d e se ilustra en la figura 10.33. E l m a r g e n de g a n a n c i a es el factor p o r el cual la ganancia tendría q u e multiplicarse para hacer q u e la m a g n i t u d d e la función de t r a n s f e r e n c i a del l a z o sea u n o a la frecuencia a la cual la fase es — TT. A l o b s e r v a r la figura, el m a r g e n de g a n a n c i a en este e j e m p l o es de casi 15.6 d B , Y(i) q u e es equivalente a un factor de casi seis. (Se sabe del e j e m p l o del lugar g e o m é t r i c o de las raíces q u e el factor es e x a c t a m e n t e seis.) El m a r g e n d e fase es la diferencia entre la fase d o n d e la H,(í) m a g n i t u d de la transferencia de lazo es u n o y u n a fase de — TT. P o r lo tanto, es positivo para sistemas estables y n e g a t i v o p a r a sisteF I G U R A 10.32 m a s inestables. El m a r g e n de fase en este e j e m p l o es casi -1-1.5 r a d Sistema retroahmentado con un bloque de ganancias adicional o alrededor de -^86°. y un bloque de fase adicional.

Margen de ganancia

581 10.5 Análisis de sistemas retroalimentados

-1 3 -2 -3 -4 -5

Margen de f ise F I G U R A 10.33 Márgenes de ganancia y fase

-6 10»

10'

para T{s} =

ERRORES DE SEGUIMIENTO DE ESTADO ESTABLE EN SISTEMAS RETROALIMENTADOS D E GANANCIA UNITARIA U n tipo m u y comtín de sistema r e t r o a l i m e n t a d o es aquel c u y o p r o p ó s i t o es h a c e r q u e la señal de salida siga a la de entrada utilizando r e t r o a l i m e n t a c i ó n de g a n a n c i a unitaria [ H J C Í ) = 1] (figura 10.34). E s te tipo de sistema se d e n o m i n a de ganancia unitaria p o r q u e la señal de salida se c o m p a r a s i e m p r e de m a n e r a directa c o n la señal de entrada y, si existe c u a l q u i e r diferencia (señal de error), ésta se a m p l i ficará m e d i a n t e la g a n a n c i a de trayectoria directa del s i s t e m a en un intento p o r corregir la señal de salida. Si la g a n a n c i a d e trayectoria directa del s i s t e m a es g r a n d e , eso fuerza a q u e la señal de error sea pequeña, h a c i e n d o q u e las señales de salida y entrada sean m á s p r ó x i m a s u n a a la otra. El q u e la señal de error p u e d a forzarse o no a cero d e p e n d e de la función de transferencia de trayectoria directa H | ( j ' ) y del tipo de excitación. Es natural p r e g u n t a r s e en este p u n t o cuál es el p r o p ó s i t o de un sistema c u y a señal de salida sea igual a su señal de entrada. ¿ Q u é es lo q u e se g a n a ? Si el sistema es un amplificador electrónico y las señales son voltajes, se tiene u n a g a n a n c i a de voltaje de u n o , p e r o la i m p e d a n c i a de entrada p o d r í a ser m u y alta y el voltaje de r e s p u e s t a p o d r í a ocasionar u n a i m p e d a n c i a m u y baja de m o d o q u e la p o t e n cia real, en watts, e n t r e g a d a p o r la señal de salida sería m u c h o m a y o r q u e la p o t e n c i a real a l i m e n t a d a por la señal de entrada. E n otros sistemas la señal de entrada p o d r í a ser u n voltaje ajustado m e d i a n t e un amplificador de baja p o t e n c i a o un p o t e n c i ó m e t r o y la señal de salida p o d r í a c o r r e s p o n d e r a la p o sición de algiín gran dispositivo m e c á n i c o c o m o u n a grúa, u n a p i e z a de artillería o un telescopio ast r o n ó m i c o . E n este caso la función de transferencia de trayectoria r e t r o a l i m e n t a d a p u e d e tener u n a m a g n i t u d de u n o , a u n q u e eso p o d r í a significar 1 V para u n a posición de 1 m o alguna otra c o m b i n a ción d e u n i d a d e s . Es esta disimilitud de las u n i d a d e s lo q u e p e r m i t e u n a g a n a n c i a d e potencia real. A c o n t i n u a c i ó n se d e t e r m i n a r á m a t e m á t i c a m e n t e la n a m r a l e z a del error d e estado estable. El térm i n o estado estable se refiere en t é r m i n o s m a t e m á t i c o s al c o m p o r t a m i e n t o c u a n d o el t i e m p o tiende a infinito. L a señal de error es E ( í ) = X ( í ) - Y{s)

= X(s)

(10.93)

Hi(í)E(í).

Al despejar E ( í ) , Bis)

X{s)

(10.94)

1 +Hi(í)

Es posible determinar el valor de estado estable de la señal de error mediante el teorem a del valor final. lím e ( í ) — límsE(s)

— líms

X{s)

(10 95)

X(í)-

Hi(.v)

F I G U R A 10.34 "^^ sistema retroalimentado de ganancia unitaria.

Sistema tipo 1

S i s i e m a tipo O

Si l a señal d e e n t r a d a es u n e s c a l ó n d e l a forma x(t) =

h-l(f) *

Au(í), e n t o n c e s X{s) = 7 y x(í)

A lím e ( í ) = l í m

/ y(í)

y(í)

(10.96)

y h a y u n error de estado estable cero si límj^^o es c e r o . Si Hj(s) está en la f o r m a familiar d e u n cociente d e p o l i n o m i o s en

F I G U R A 10.35 Respuestas del sistema tipo O y tipo 1 a un escalón.

BNS" üiis)

bN-is''^'

+ •••

+ b2S^

biS

+ fcp

(10.97)

entonces «O

lím e(f) = lím 1 +

b^,s^

+ b^^is^-^

+ D-l

••• +

b2S-

+ bis

+ bo

a2S^

+ ais

+ üQ

y, si O Q = O y ¿>Q 7 ^ O, el error d e estado estable es cero. Si en l a f o r m a bNs" Hi(5)

+ bN-is"^-^

+ •••

(10.98)

üq +

= O, e n t o n c e s H j ( s ) p u e d e e x p r e s a r s e

+ b2S-

+ biS

flij

+ bQ

(10.99)

a\)

y es d e i n m e d i a t o claro q u e H J ( Í ) tiene u n p o l o en cero. A s í q u e es p o s i b l e r e s u m i r a f i r m a n d o q u e si u n sistema r e t r o a l i m e n t a d o d e g a n a n c i a unitaria estable tiene u n a función d e transferencia d e trayectoria directa c o n un p o l o en cero, el error d e estado estable p a r a u n a excitación d e e s c a l ó n es cero. Si n o h a y p o l o e n cero, el error de estado estable es aj ( Q Q + b^) y c u a n t o m á s g r a n d e es en compar a c i ó n c o n GQ, tanto m á s p e q u e ñ o es el error d e estado estable. L o anterior tiene sentido d e s d e otro p u n t o d e vista p o r q u e si la g a n a n c i a d e trayectoria directa es d e la forma (10.97), la g a n a n c i a a baja frecuencia y lazo c e r r a d o es bj(GQ -I- ¿ Q ) , la cual se a p r o x i m a a u n o p a r a b^ ^ AQ, lo q u e i n d i c a q u e las señales d e entrada y salida se a p r o x i m a n al m i s m o valor. U n sistema retroalimentado d e ganancia unitaria con u n a función de transferencia de trayectoria directa H j ( 5 ) que n o tiene polos e n cero recibe el n o m b r e de sistema de tipo 0. Si tiene u n p o l o en cero, el sistema es d e tipo 1. E n general, cualquier sistema retroahmentado d e ganancia unitaria es de tipo n, donde n es el niímero d e polos e n cero en H^is). E n resumen, mediante el u s o de la n u e v a terminología, 1. U n sistema estable d e tipo O tiene u n error de estado estable finito p a r a la excitación d e escalón. 2. U n sistema estable d e tipo n, ?í > 1, tiene u n error d e estado estable cero p a r a la excitación d e e s calón. L a figura 10.35 ilustra respuestas típicas de estado estable a excitaciones de e s c a l ó n p a r a sistemas d e tipo O y tipo 1. A c o n t i n u a c i ó n se c o n s i d e r a r á u n a excitación d e r a m p a x(í) = Atu{t)

cuya transformada de La-

p l a c e es X(s) = A/s~. E l error d e estado estable es lím e ( r ) — l í m

t^oc

D e n u e v o , si li^{s)

s^Os[l

A +Hi(í)]

(10.100)

es u n cociente de p o l i n o m i o s en s ,

lím e(f) = lím í^c» s^o

1 r^—,

1 77

¿AÍI'^-h

¿ Y V - I S

a ¿ 3 í ^ -I- üD-is^

' -I- • • • -f a2S^

lím e ( r ) = l í m -o

^ \-bjs^

siaos'^ +

+ bNS^

ao-is"^-^ + bN-iS^-^

a2S

• • + a2S + •••

(10.101) + biS

+ ais

üq

+ ais + üiS

+ b2S^

+ +

+ biS

ao ao +

bo]

Sistema tipo O

Sistema tipo 1

h_2(í)

Sistema tipo 2

583

h-2(')

10.6 Reducción de diagramas de bloques y el teorema de Masón

F I G U R A 10.36 Respuestas de sistemas de tipo O, 1 y 2 a una rampa.

Este límite d e p e n d e de los valores de las a y b. Si = Oy

O, el error de e s t a d o estable es infinito. Si

7^ O, el límite es a ¡ / ¿ Q lo c u a l indica q u e el error de e s t a d o estable es u n a c o n s t a n t e distinta

d e cero. Si

= O,

= O y ¿JQ

O, el error de e s t a d o estable es c e r o . L a c o n d i c i ó n

= O y

a, ^ O significa q u e h a y u n d o b l e p o l o e n c e r o en la función de transferencia de trayectoria directa. A s í q u e p a r a un s i s t e m a de tipo 2, el error de e s t a d o estable p a r a la excitación de r a m p a es cero. E n resumen, 1. U n s i s t e m a estable de tipo O tiene u n error de e s t a d o estable infinito para la excitación de r a m p a . 2 . U n s i s t e m a estable de tipo 1 tiene u n error de e s t a d o estable finito p a r a la e x c i t a c i ó n de r a m p a . 3 . U n sistema estable de tipo n, n s 2, tiene u n error de estado estable cero para la excitación de r a m p a . L a figura 10.36 ilustra r e s p u e s t a s de e s t a d o estable c o m u n e s a la excitación de r a m p a p a r a s i s t e m a s de e s t a d o estable tipo O, tipo 1 y tipo 2. E s t o s resultados p u e d e n e x t r a p o l a r s e a e x c i t a c i o n e s de orden superior, [Afiu{t),

Aí^u(r), etc.].

C u a n d o la p o t e n c i a m á s alta de 5 en el d e n o m i n a d o r de la t r a n s f o r m a d a de la e x c i t a c i ó n es igual o inferior q u e el n ú m e r o de tipo (O, 1, 2, etc.) del sistema, el error de e s t a d o estable es cero. E s t e resultad o se ilustró c o n la función de transferencia de trayectoria directa en la f o r m a de u n cociente de p o l i n o m i o s , a u n q u e p u e d e d e m o s t r a r s e q u e el r e s u l t a d o es v á l i d o p a r a c u a l q u i e r f o r m a de f u n c i ó n de transferencia c o n b a s e sólo en el n ú m e r o de p o l o s e n c e r o .

10.6 REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUES Y EL TEOREMA DE MASÓN A l g u n o s d i a g r a m a s de b l o q u e s del s i s t e m a son g r a n d e s y c o m p l i c a d o s , c o n m u c h o s c o m p o n e n t e s e int e r c o n e x i o n e s . M u c h a s veces resulta d e s e a b l e e n c o n t r a r u n a relación m a t e m á t i c a entre u n a e x c i t a c i ó n y u n a r e s p u e s t a a partir del d i a g r a m a de b l o q u e s . U n a m a n e r a de h a c e r l o es escribir t o d a s las e c u a c i o nes q u e r e l a c i o n a n las e x c i t a c i o n e s y r e s p u e s t a s de los c o m p o n e n t e s y resolverlas d e s p u é s con r e s p e c to al cociente de la respuesta c o m p l e t a del sistema y su excitación. Sin e m b a r g o , h a y otras d o s m a n e r a s q u e son m u y útiles en algunas situaciones y q u e p r o p o r c i o n a n información sobre la operación del sistem a : la r e d u c c i ó n del d i a g r a m a de b l o q u e s y el t e o r e m a de M a s ó n . Ya se h a n visto e j e m p l o s de la r e d u c c i ó n de d i a g r a m a s de b l o q u e s c u a n d o se e n c o n t r ó la función de transferencia e q u i v a l e n t e p a r a d o s s i s t e m a s c o n e c t a d o s e n c o n f i g u r a c i o n e s e n c a s c a d a , en p a r a l e l o o r e t r o a l i m e n t a d a s . H a y otras tres o p e r a c i o n e s útiles q u e a y u d a n a r e d u c i r los d i a g r a m a s de b l o q u e s : d e s p l a z a r el p u n t o de d e s p r e n d i m i e n t o , d e s p l a z a r u n s u m a d o r y c o m b i n a r s u m a d o r e s . L a figura 10.37 ilustra c ó m o m o v e r u n p u n t o de d e s p r e n d i m i e n t o sin c a m b i a r n i n g u n a de las s e ñ a l e s , la figura 10.38 m u e s t r a c ó m o m o v e r u n s u m a d o r sin c a m b i a r n i n g u n a de las señales y la figura 10.39 ilustra c ó m o c o m b i n a r dos s u m a d o r e s . C o m o u n e j e m p l o del u s o de la r e d u c c i ó n de d i a g r a m a s de b l o q u e s c o n s i d e r e el s i s t e m a de la figura 10.40. P r i m e r o se m u e v e el p u n t o de d e s p r e n d i m i e n t o q u e se halla m á s a la izquierda, h a c i a la d e r e c h a del 10 (figura 10.41). L u e g o se d e s p l a z a el p r i m e r s u m a d o r h a c i a la d e r e c h a del b l o q u e 1/s (figura 10.42). D e s p u é s es p o s i b l e c o m b i n a r los d o s s u m a d o r e s en un s u m a d o r (figura 10.43). E s factible c o m b i n a r los d o s b l o q u e s en p a r a l e l o \/s 1 5 ^

y 1 / 1 0 ( Í -I- 3) en un b l o q u e .

lis

1 0 ( 5 + 3)

I0s(s

+ 30 + 3)

X(í)

H(í)

- Y(s)

Xis)

Yis)

Bis)

C A P Í T U L O 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

Xis)

Xis)-

His)

Xis)

Hh->(.)

Yis)

Xis)-

Yis)

His)

Yis)

Uis)

Y(í)

F I G U R A 10.37 Movimiento del punto de desprendimiento.

)

H(4)

Yis)

H(s) "

Yis)

H(i)

Xis) -

-^Zis)

Xis)

Y(s)

K +

• lis)

Bis)

B-\s)

Yis)

F I G U R A 10.38 Movimiento de un sumador. Zis)

Z(í)

s +

X(.v) •

W(í) =

Xis)

>-W(i) Xis) •

Yis)

EH±H3—W~

Yis)

F I G U R A 10.39 Combinación de dos sumadores.

s + 3

F I G U R A 10.40 Un sistema que se va a reducir mediante técnicas de reducción del diagrama de bloques.

s +

Xis) •

Y(.)

sis + : H

Xis)-

Yis)

)

1 lOí.v + 3)

Yis)

1 10(.s + 3)

F I G U R A 10.41 Primer paso de la reducción del diagrama de bloques.

F I G U R A 10.42 Segundo paso de la reducción del diagrama de bloques.

sis + 8)

XW-

Yis)

s 1

10(j + 3) F I G U R A 10.43 Tercer paso de la reducción del diagrama de bloques.

sis +

Xis)

1lí + 30 lOsis + 3)

tí

F I G U R A 10.44 Cuarto paso de la reducción del diagrama de bloques.

Yis)

l U + 30 s(s + 3)

Us + 30 s(s + 3)

X(s) -

s(s + 8)

Y(5)

+ 8s + 3

F I G U R A 10.46 Sexto paso de la reducción del diagrama de bloques.

Y(i)

F I G U R A 10.45 Quinto paso de la reducción del diagrama de bloques.

(11.S

X(5)-

+ 30)(í + 8)

(s + 3)(í- + 8í + 3)

Y(í)

F I G U R A 10.47 Séptimo paso de la reducción del diagrama de bloques.

(figura 10.44). L u e g o se p u e d e n c o m b i n a r los dos b l o q u e s c o n e c t a d o s en c a s c a d a 10 y (lis

+ 30)/

10s(s + 3) en u n b l o q u e (figura 10.45). L u e g o se r e d u c e el lazo de r e t r o a l i m e n t a c i ó n , m e d i a n t e la r e lación general d e d u c i d a en la s e c c i ó n 10.4 Hi(í)

(10.102)

1 +Hi(5)H2(í) d o n d e , e n este c a s o , H j ( Í ) = 1 y ii~,{s) = 3/s{s

. L a función de transferencia e q u i v a l e n t e p a r a el

lazo r e t r o a l i m e n t a d o es e n t o n c e s

H(.)

sjs + 8)

(10.103)

'2 + 8 í -F 3

(figura 10.46). P o r ú l t i m o , es p o s i b l e c o m b i n a r estos dos s i s t e m a s en c a s c a d a en u n a función de t r a n s ferencia c o m p l e t a (figura 10.47). U n a m a n e r a alternativa de d e t e r m i n a r la g a n a n c i a c o m p l e t a de u n s i s t e m a es por m e d i o del teor e m a d e M a s ó n , q u e utiliza las funciones de transferencia de todas las trayectorias d e s d e la e n t r a d a del s i s t e m a h a s t a la salida del m i s m o y las funciones de transferencia de l a z o de los lazos de r e t r o a l i m e n tación en el sistema. C o n s i d e r e q u e el n ú m e r o de trayectorias d e s d e la e n t r a d a h a s t a la salida es A^^ y q u e el n ú m e r o de lazos r e t r o a l i m e n t a d o s c o r r e s p o n d e a A'^. C o n s i d e r e q u e P ¿ ( Í ) es la función de transferencia de la i-ésima trayectoria d e s d e la e n t r a d a h a s t a la salida y q u e T¡{s) es la función de transfer e n c i a de lazo del / - é s i m o l a z o r e t r o a l i m e n t a d o . [La función d e transferencia d e lazo se define c o m o e n (10.30) d a d a la s u p o s i c i ó n de p o l a r i d a d de r e t r o a l i m e n t a c i ó n n e g a t i v a . Si la p o l a r i d a d es positiva, se c a m b i a el signo de la t r a n s m i s i ó n del lazo.] D e f i n a u n d e t e r m i n a n t e A{s) p o r 'Vi

A{s)

= 1

J2 T,(í)T,(í)+ J2 T,(5)Ty(í)T,(í) + el lazq ¡'-ésimo y los lazos ¡-ésimo, el lazo j-ésimo no 7-ésimo y Á:-ésimo no comparten una señal comparten una señal

(10.104)

El t e o r e m a de M a s ó n establece q u e la función de transferencia total del sistema es

E P,(í) A,(í) H(.)

;= 1

(10.105)

Ais)

d o n d e A.¡{s) es igual q u e A{s) salvo p o r q u e se e x c l u y e n t o d o s los lazos de r e t r o a l i m e n t a c i ó n q u e c o m p a r t e n u n a señal c o n la trayectoria /-ésima, P.(j). E s p o s i b l e aplicar el t e o r e m a de M a s ó n al s i s t e m a d e la figura 10.40. H a y d o s trayectorias d e s d e la e n t r a d a hasta la salida c o n funciones de transferencia

Pi(í) =

10 — s

P2(S)

1 =

s + 3

(10.106)

10.6 Reducción de diagramas de bloques y el teorema de Masón

586

y h a y un lazo de r e t r o a l i m e n t a c i ó n . P o r c o n s i g u i e n t e , N^^

C A P Í T U L O 10

2y Nj^=

1 3

A.-.£ 5 s 06 ,a hansíomiada de Lapiace de señales y sistemas

Ais)

1. E n t o n c e s

= 1+

= 1+ Í Í + 8

(10.107)

Í ( 5 + 8)

Puesto que el lazo de retroalimentación comparte u n a señal con a m b a s trayectorias, A^(s) = ¿^2'^s) = 1 y

H(.) = h

= Ais)

+ l+{3/isis

+ +

(10.108) m

o, d e s p u é s de la simplificación, ^

ins

+ 30)/sis

+ 3)

(í2 + 8í + 3 ) / í ( í + 8)

(^ + 8 ) ( l l . + 3 0 ) is + 3)is'+

Ss + 3)

q u e es el m i s m o r e s u l t a d o o b t e n i d o c o n el p r o c e s o d e r e d u c c i ó n del d i a g r a m a de b l o q u e s . L a r e d u c c i ó n del d i a g r a m a de b l o q u e s t a m b i é n p u e d e realizarse u t i l i z a n d o l a caja de h e r r a m i e n tas de control de M A T L A B . C u a n d o d o s sistemas se c o n e c t a n en cascada, sus funciones de transfer e n c i a se m u l t i p l i c a n y eso se realiza c o n el o p e r a d o r d e s o b r e c a r g a * o el c o m a n d o s e r i e s . C u a n d o d o s s i s t e m a s se c o n e c t a n en p a r a l e l o , se s u m a n sus funciones de transferencia y eso se lleva a c a b o c o n el o p e r a d o r de s o b r e c a r g a -1- o el c o m a n d o p a r a l l e l . C u a n d o dos sistemas se c o n e c t a n en u n arreglo de r e t r o a l i m e n t a c i ó n (con la s u p o s i c i ó n de r e t r o a l i m e n t a c i ó n n e g a t i v a q u e se usa e n este libro), sus funciones de transferencia p u e d e n c o m b i n a r s e c o n el c o m a n d o f e e d b a c k . L a sintaxis del c o m a n d o f e e d b a c k es

sys

= feedback(sysl,sys2)

d o n d e s y s l es la d e s c r i p c i ó n del s i s t e m a de la trayectoria directa y s y s 2 es la d e s c r i p c i ó n del sistem a de la trayectoria r e t r o a l i m e n t a d a . Por e j e m p l o ,

»H1 = tf([1 0],[1 3 2]) ; »H2 = tf(1,[1 0]) ; »H = feedback(H1,H2) ; »H1 Transfer function: s 3-^2 + 3 s + 2

»H2 Transfer function: 1 3

»H Transfer function: s'^2 s^3 + 3 s'^2 + 3 s Observe que la descripción del último sistema, aunque correcta, no es la mejor forma porque el numerador y el d e n o m i n a d o r p o d r í a n dividirse a m b o s entre 5 para simplificar la expresión. El c o m a n d o m i n r e a l (realización m í n i m a ) en la caja de h e r r a m i e n t a s de control de M A T L A B lleva a c a b o dicha operación.

»minreal(H) Transfer function: 3

s'^2 + 3

+ 3

587

ElEMPl O 1 0 . 3

10.6 Reducción de diagramas de bloques y el teorema de Masón

Encuentre la función de transferencia del sistema de la figura 10.48 mediante la reducción del diagrama de bloques y el teorema de Masón. •

Solución

Reducción del diagrama de bloques: es posible mover el punto de desprendimiento correspondiente al bloque s/{s + 1) hacia la derecha, más allá del segundo bloque 1/5 (figura 10.49). Después puede reducirse el lazo de retroalimentación interior que incluye a 6 / ( i -I- 2) en un solo bloque (figura 10.50). Es viable combinar algunos bloques en cascada (figura 10.51) y luego reducir el lazo de retroalimentación restante en un solo bloque (figura 10.52). Por tíltimo, se combinan los dos bloques en paralelo en un solo bloque (figura 10.53). Teorema de Masan: hay dos trayectorias desde la entrada hasta la salida. P,(í)=10

(10.110)

P,(5)=4s-

Se tienen dos lazos de retroalimentación con funciones de transferencia de lazo 1

Ti(í) =

s + 1

T2(í) =

(10.111)

sis + 2)

Estos dos lazos de retroalimentación comparten una señal comirn. Entonces, de acuerdo con el teoreina de Masón,

A(s)

1 6 = 1 + s + \r + sis + 2)

(10.112)

6 i + 2

.V +

Yis)

Xis)-

2 Yis)

Xis)-

s + 1

F I G U R A 10.48 Un sistema.

F I G U R A 10.49 Primer paso de la reducción del diagrama de bloques.

10 .; + 2

Xis)-

Yis)

s^ + 2í + 6

l ^ s + 2

Xis)-

.s + 1 F I G U R A 10.50 Segundo paso de la reducción del diagrama de bloques.

Yis)

i +1

F I G U R A 10.51 Tercer paso de la reducción del diagrama de bloques.

Xis)-

is + l)(i + 2) sis^ + 4s- + 10.S + 6)

-Yis)

F I G U R A 10.52 Cuarto paso de la reducción del diagrama de bloques.

Xis)-

(.V +

sis^ +

+ 2) + lOi -I- 6)

1)(5

4.V-

Yis)

F I G U R A 10.53 IJltimo paso de la reducción del diagrama de bloques.

A,(í) = A(i)

C A P I T U L O 10 Análisis de la

A2(í)=l.

(10.113)

transformada de Laplace Entonces la función de transferencia es de señales y sistemas

^ 10[1 + ( l / ( ^ + D) + {6/s{s + 2 ) ) ] + l + ( l / ( í + l ) ) + (6A(í + 2 ) )

a/s^)

= 10 +

l + ( l / ( í + l)) + ( 6 A ( í + 2 ) )

(10.114)

o, después de la simplificación, (^ + l ) ( ^ + 2)

H(s) = 10-

+ lOí + 6 ) '

4^2

(10.115)

10.7 RESPUESTAS DEL SISTEMA A SEÑALES ESTÁNDAR Se h a visto en el análisis p r e v i o de señales y sistemas q u e un s i s t e m a L I T está c o m p l e t a m e n t e caracterizado p o r su r e s p u e s t a al i m p u l s o . A u n q u e eso resulta cierto, es útil, para propósitos p e d a g ó g i c o s , analizar la respuesta a algunas otras señales estándar, sobre t o d o al escalón unitario y a la s e n o i d e aplic a d a de m a n e r a repentina.

RESPUESTA AL ESCALÓN UNITARIO S e a la función de transferencia de un sistema L I T de la forma U(s)

N(J)

(10.116)

D(5)'

d o n d e N{s) es de un g r a d o m e n o r en s que D ( í ) . E n ese caso la transformada de L a p l a c e de la r e s p u e s ta Y{s) a u n a excitación c u y a transformada de L a p l a c e es X{s) es (10.117) S e a la excitación u n escalón unitario. E n t o n c e s la transformada de L a p l a c e de la r e s p u e s t a es Y(.) = H _ i ( í )

N(í)

(10.118)

Si se utiliza la técnica de expansión en fracciones parciales, la ecuación p u e d e dividirse en dos términos Y(s) =

D{s)

+ —, s

d o n d e K = H ( 0 ) . Si el sistema es estable, todas las raíces de D(s) están en el s e m i p l a n o abierto y la transformada de L a p l a c e inversa de N j ( 5 ' ) / D ( í ) recibe el n o m b r e de respuesta p o r q u e decae hasta cero c u a n d o el t i e m p o t tiende a infinito. D e m o d o que la r e s p u e s t a d e table del sistema a u n a excitación de escalón unitario es la transformada de L a p l a c e inversa q u e es H(0)u(f). L a expresión Y ( . ) = ^ Dis)

^ s

(10.119) izquierdo transitoria e s t a d o esde H ( 0 ) / 5

(10.120)

tiene dos términos. E l p r i m e r t é r m i n o tiene p o l o s que son idénticos a los del sistema, y el s e g u n d o tien e u n p o l o en la m i s m a p o s i c i ó n q u e la transformada de L a p l a c e de la excitación de e s c a l ó n unitario. E s posible generalizar este resultado p a r a u n a excitación arbitraria. Si la t r a n s f o r m a d a d e Laplace de la excitación es X(s)

N,-(5)

(10.121)

entonces la t r a n s f o r m a d a de L a p l a c e d e la respuesta del sistema es

D{s) DAs)

D(5)

589 (10.122)

Dis)

Dv(5)

estándar

mismos polos mismos polos que el que la sistema excitación A c o n t i n u a c i ó n se e x a m i n a r á la r e s p u e s t a al escalón unitario de algunos sistemas simples. El m á s simple es el de p r i m e r o r d e n c u y a función de transferencia es de la f o r m a E(s)

(10.123)

l-is/p)

d o n d e A es la g a n a n c i a a baja frecuencia del sistema y p es la u b i c a c i ó n del p o l o en el p l a n o s. L a transformada de L a p l a c e de la r e s p u e s t a al e s c a l ó n es

Y(5) = H _ i ( í )

A/p {l-(s/p))s

l-is/p)

s -

(10.124)

Si se aplica la t r a n s f o r m a d a de L a p l a c e inversa, (10.125)

y(í) = A(l - e ' " ) u ( r ) .

Si p es positiva, el sistema es inestable y la m a g i ü t u d de la respuesta al escalón unitario crece de m a nera e x p o n e n c i a l con el t i e m p o (figura 10.54). L a velocidad del i n c r e m e n t o e x p o n e n c i a l d e p e n d e de la m a g n i t u d de p, y es m a y o r p a r a u n a m a g nitud de p m á s g r a n d e . Si p es negativa, el sistema es estable y la respuesta tiende a u n a constante A con el t i e m p o . L a velocidad de la a p r o x i m a c i ó n a A d e p e n d e d e la m a g n i t u d de p, y es m á s g r a n d e para u n a m a g n i t u d m a y o r de p. E l r e c í p r o c o n e g a t i v o de p se l l a m a constante de tiempo T del sistema. 1

(10.126)

P' y, para u n sistema estable, la respuesta a u n escalón unitario se m u e v e 63.2 p o r ciento de la distancia hasta el valor final en u n t i e m p o igual a u n a constante de t i e m p o . C o n s i d e r e a h o r a u n sistema de s e g u n d o o r d e n c u y a función de transferencia es de la f o r m a H(í)

Aíúl S^ +

lliüQS

CÜQ

Sistemas inestables

(10.127)

Sistemas estables y(í) = h^i(f)

y(0 = h,i(í)

[^1

-4

++ -2

12 3 4

I -3

-1

10.7 Respuestas del sistema a señales

I I I I > o 12 3 4

F I G U R A 10.54 Respuestas de un sistema de primer orden a una excitación de escalón unitario y los correspondientes diagramas de ceros y polos.

590

E s t a f o r m a d e u n a función de transferencia de s i s t e m a de s e g u n d o o r d e n tiene tres p a r á m e t r o s , la ga-

C A P Í T U L O 10

n a n c i a de baja frecuencia A, el factor de a m o r t i g u a m i e n t o C y la frecuencia r e s o n a n t e en radianes sub-

A-áiisis de la a m o r t i g u a d a COQ. L a f o r m a de la respuesta al e s c a l ó n unitario d e p e n d e de los valores de estos :ransformada de Laplace p a r á m e t r o s . L a r e s p u e s t a de e s c a l ó n unitario del sistema es de señales y sistemas Acü5 Y(5) = H_,(í) = + 2l,tí>os + (10.128)

L o anterior p u e d e e x p a n d i r s e en fracciones parciales (si

Yis)

'l_ ^

1 / 2 ( ^ 2 - 1 + ^ 7 ^ ^ )

± 1) c o m o ^

\ / 2 { e - \ - l ^ í ^ y

(10.129)

L a r e s p u e s t a en el d o m i n i o del t i e m p o es e n t o n c e s -»„(í+v^)'

y(0 = A 2 { V - - í

'íVV^)

u(í).

+ 1

(10.130)

2 { V - - \ - í V í ^ ^

P a r a el c a s o especial de ^ = ± 1 , la r e s p u e s t a al e s c a l ó n unitario del sistema es Yis)

= H_i(í)

(10.131)

(5 ± coo)^^'

los dos polos son idénticos, la e x p a n s i ó n en fracciones parciales es

Yis)

±Wo A

(j-±

cúo)'

(10.132)

Í Í M O J '

y la r e s p u e s t a en el d o m i n i o del t i e m p o c o r r e s p o n d e a

y ( 0 = A [ l - ( 1 ± (ooí)e^""']u(í) -

1 - (1 + ü ) o r ) e - ™ ' "

Au(r)

l-(l-tóof)e+"°'

(10.133)

E s difícil, al sólo e x a m i n a r la forma funcional m a t e m á t i c a de la respuesta al e s c a l ó n unitario, d e t e r m i n a r de i n m e d i a t o c ó m o se verá la r e s p u e s t a a la función escalón unitario p a r a u n a elección arbitraria de los p a r á m e t r o s . P a r a explorar el efecto de los p a r á m e t r o s se fijarán p r i m e r o A y Wq c o m o constantes y se e x a m i n a r á el efecto del factor de a m o r t i g u a m i e n t o ^. S e a A = 1 y Wg = 1. E n e s e caso la respuesta al escalón unitario y los c o r r e s p o n d i e n t e s d i a g r a m a s de p o l o s - c e r o s se ilustran en la fig u r a 10.55 p a r a seis elecciones de l,. P u e d e verse p o r q u é o c u r r e n estos diferentes tipos de c o m p o r t a m i e n t o si se e x a m i n a la r e s p u e s t a al e s c a l ó n unitario

y(í) = h_i(r) = A

^-wo(t+V£--')'

+ 1

u(í),

(10.134)

e n particular los e x p o n e n t e s de -^oil i v % ^ - T ) í . L o s signos de las partes reales de estos e x p o nentes d e t e r m i n a n si la respuesta crece o d i s m i n u y e con el t i e m p o t > 0. P a r a t i e m p o s , í < O la resp u e s t a es c e r o d e b i d o al escalón unitario u(f). Caso 1 ^ < 0. Si ^ < O, e n t o n c e s el e x p o n e n t e de e en a m b o s t é r m i n o s de (10.134) tiene u n a parte real positiva p a r a t i e m p o positivo y la respuesta al e s c a l ó n crece en c o n s e c u e n c i a con el t i e m p o y el sistema es inestable. L a f o r m a e x a c t a de la r e s p u e s t a al escalón unitario d e p e n d e del valor de i. E s to es u n a s i m p l e e x p o n e n c i a l creciente p a r a ^ < — 1 y u n a senoide q u e crece e x p o n e n c i a l m e n t e p a r a — 1 < ^ < 0. Sin e m b a r g o , en c u a l q u i e r f o r m a el sistema es inestable.

y(r) = h^,(r)

y(0 = h_i(í)

F I G U R A 10.55 Respuestas de un sistema de segundo orden a un escalón unitario y los diagramas de polos y ceros correspondientes.

Caso 2 ^ > 0. Si t > O, e n t o n c e s el e x p o n e n t e de e en a m b o s t é r m i n o s de (10.134) tiene u n a parte real n e g a t i v a p a r a t i e m p o positivo y la respuesta al escalón, en c o n s e c u e n c i a , d i s m i n u y e c o n el t i e m p o y el sistema es estable. Caso 2a. L > 1. Si C > U e n t o n c e s C" - 1 > O y los coeficientes de r en (10.134), - ü ) o ( £ ± ^1} - l)f, son a m b o s n ú m e r o s reales n e g a t i v o s y la respuesta al escalón unitario está en la forma de u n a constante m á s la s u m a de dos e x p o n e n c i a l e s que d i s m i n u y e n . Este c a s o ^ > 1, recibe el n o m b r e de c a s o sobreamortigiiado. Caso 2b. O < ^ < 1. Si < t < 1- entonces - 1 < O y los coeficientes de t en ( 1 0 . 1 3 4 ) , —coo(^ ± ^fi^^^^)t, son a m b o s n ú m e r o s c o m p l e j o s en un p a r c o n j u g a d o c o m p l e j o con partes reales negativas, y la r e s p u e s t a al e s c a l ó n unitario está en la f o r m a de u n a constante m á s la s u m a de dos senoides multiplicada p o r u n a e x p o n e n c i a l decreciente. A u n c u a n d o la respuesta " o s c i l a " o se sobredispara, sigue fijando u n valor c o n s t a n t e y e s , en c o n s e c u e n c i a , la respuesta de u n sist e m a estable. E s t e caso, O < ^ < 1, se d e n o m i n a c a s o subamortiguado. Caso 2c. ^ = 1. L a línea divisoria entre los casos s o b r e a m o r t i g u a d o y s u b a m o r t i g u a d o es el caso ^ = 1. E s t a c o n d i c i ó n recibe el n o m b r e de amortiguamiento crítico. A c o n t i n u a c i ó n se e x a m i n a r á el efecto de c a m b i a r WQ mientras se m a n t i e n e n constantes los d e m á s p a r á m e t r o s . Sea A = 1 y £ = 0.5. L a r e s p u e s t a al e s c a l ó n se ilustra en la figura 10.56 para tres valores de COQ. P u e s t o q u e WQ es la frecuencia r e s o n a n t e en r a d i a n e s n o a m o r t i g u a d a , es lógico que ésta afectaría la rapidez de oscilación de la respuesta al escalón. L a respuesta de c u a l q u i e r sistema a u n a excitación de escalón p u e d e d e t e r m i n a r s e utilizando el c o m a n d o s t e p de la caja de h e r r a m i e n t a s d e control d e M A T L A B .

y(f) = h_i(r) 1 «o = 0-5

CÜQ =

(Oo = 0.2 F I G U R A 10.56 Respuesta de un sistema de segundo orden para tres valores diferentes de coq y los diagramas de polos y ceros correspondientes.

RESPUESTA A U N A SENOIDE APLICADA D E MANERA REPENTINA

592

A continuación se e x a m i n a la respuesta de u n sistema a otro tipo estándar d e excitación: una senoide ajaleada de m a n e r a repentina. D e nuevo considere q u e la función d e transferencia del sistema es de la f o n n a H(s) = Entonces la respuesta a un coseno

COS(C0Q0 U ( Í )

Yis)

N(^)

(10.135.

d e amplitud unitaria aplicado d e m a n e r a repentina sería

Nis) Dis)s^

(10.136.

+ oi¡'

É s t e p u e d e separarse en fracciones parciales d e la f o r m a Y(s)=

Ni(^) ^ lH(-7ü3o) Dis)

^ Yis)

Ni(í)

^ 1 H ( j a ) o ) ^ Nijs)

j'wo

jwo

^ 1 H*(703o)

Dis)

D(j-)

1 H * ( ; c o o ) ( í - icüo) + H ( ; c o o ) ( 5 + jcúo) Y ~ ~ 2 2 5^ -H cü5

Ni(s)

—— +

, '

J H ( j c ü o ) + H'(jcüo)] +

Ni(í)

5 + R e ( H ( j ( o o ) ) ^^ D(5) 5^ + Wñ

Y(í) =

JCOQ

^ 1 H Q Q ) 2S

(10.137.

JMQ

J H ( j c o o ) - H*(jü)o)] [

(10.138i

tón Im(H(7«o))^^

L a transformada de L a p l a c e inversa del t é r m i n o R e ( H ( J C O Q ) ) 5 / ( Í 2 + w o ) es u n c o s e n o e n COQ con una amplitud d e Re(H(;cüQ)), y la transformada d e L a p l a c e inversa del t é r m i n o I m ( H ( J ( O Q ) ) C O Q / ( Í ^ -f 0 0 5 ) . es u n seno en WQ c o n u n a amplitud de Im(H(jWQ)). E s t o es,

y ( 0 = JO - 1

Ni(^) D(5)

+ [ R e ( H ( j w o ) ) cos(woO - I m ( H ( j W Q ) ) sen(woO] u ( í )

o, m e d i a n t e R e ( A ) c o s ( w o r ) - I m ( A ) sen((üoí) =

yit)

c-I

Ni(£) D(s)

|A|COS(CL)O?

|H(jwo)|cos(wof +

(10.139)

+ ¿ A ) ,

ZH(jcüo))u(0.

(10.140)

Si el sistema es estable, las raíces de Dis) están todas e n el s e m i p l a n o izquierdo abierto y la transform a d a d e L a p l a c e inversa de N^{s)/(Dis), la r e s p u e s t a transitoria, d i s m i n u y e hasta cero c u a n d o el tiemp o t tiende a infinito. P o r lo tanto, la r e s p u e s t a d e estado estable q u e persiste d e s p u é s d e q u e la r e s p u e s t a transistoria se h a e x t i n g u i d o es u n a senoide d e la m i s m a frecuencia q u e la excitación y c o n u n a amplitud y fase d e t e r m i n a d a s por la función d e transferencia e v a l u a d a en Í = J ' C O Q . L a respuesta de e s t a d o estable es e x a c t a m e n t e la m i s m a q u e se o b t o v o m e d i a n t e los m é t o d o s d e Fourier p u e s esto s u p o n e q u e la excitación es u n a v e r d a d e r a senoide, n o u n a s e n o i d e aplicada de manera repentina, y, p o r c o n s i g u i e n t e , n o h a y r e s p u e s t a transitoria en la solución.

E,JE.\IPLO

10.4

Determine la respuesta total de un sistema caracterizado por la función de transferencia H(í) =

10 j + 10

a un coseno de amplitud unitaria aplicado de manera repentina a una frecuencia de 2 Hz.

(10.141)

•

SOLUCIÓN

La frecuencia en radianes WQ de la excitación es 4TT. Por lo tanto, la transformada de Laplace de la respuesta es Y(j) =

Y(s)

5 -h 10 í2 + (4TT)2 -0.388 s + 10

+ Re(H(j4^))

i í2 + (4TT)2

cüo

- Im(H(y4^)) —

FIGURA 10.57 (10 142)

Excitación y respuesta de un sistema de primer orden excitado mediante un coseno aplicado de manera repentina.

y la respuesta en el dominio del tíempo corresponde a y(í) =

y(0 =

/-0.388

+ | / / ( J 4 T T ) | COS(4TTÍ + ¿H{J4TI))

W + 10

-0.388í'""" +

J4TT +

(10.143)

U(Í)

cos(4Trí - ¿(j4-n + 10)) U ( Í )

y(í) = [ - 0 . 3 8 8 * - - " " + 0.623 COS(4TTÍ - 0.899)]u(í). Esta respuesta se ilustra en la figura 10.57. Al observar la gráfica se ve que la respuesta parece alcanzar el estado estable en menos de Is. Esto resulta razonable dado que la respuesta transitoria tiene una constante de tiempo de una décima de segundo. Después de que la respuesta alcanza el estado estable, su amplitud es casi 62 por ciento de la amplitud de excitación y su fase se recorre de manera que está retrasada con respecto a la excitación en casi un desplazamiento de fase de 52° que es equivalente a un retraso en el tiempo de 72 ms. Si se resuelve con respecto a la respuesta del sistema utilizando métodos de Fourier, se escribe la función de transferencia como

H(» =

(10.144)

jcü -I- 10

Si se hace que la excitación del sistema sea un coseno (no un coseno aplicado repentinamente), ésta es (10.145)

x(f) = COS(4TTÍ)

> su TFTC es X(

jCü)

-77 [8(CÜ

4-17)

8(CÜ

(10.146)

4-77)] .

Entonces la respuesta del sistema es igual a Y( jco) = 77 [8((Ü - 4-17) -I- 8(CO -i- 4-IT)]

Y(7üj) = 10-77

10 [8(w

4 - 7 7 ) -I- 8(cü

jü)

-I- 4-17)1 +

= lO-rr

8(CO - 4T7)

lj4-ñ+\0

74-77 [8(OJ +

16-77- -I-

4-77) -

8(CÜ -

8((j) + 4T7)

(10.147)

-J4T7+10J

4-77)]

100

Al aplicar la transformada de Fourier inversa, y(r) = 0.388 cos(4-i7r) + 0.487 sen(4T7r)

(10.148)

Re(A) cos(cúoí) - Im(A) sen(wor) = |-4| cos((joo?

(10.149)

. utilizando

y{t)

= 0.623 cos(4T7f - 0.899).

(10.150)

Ésta es exactamente igual que la parte de la respuesta de estado estable de la solución anterior, la cual se determinó utilizando transformadas de Laplace, después de que se había extinguido la respuesta transitoria. _

10.8 DIAGRAMAS DE POLOS-CEROS Y CÁLCULO GRÁFICO DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

594

Sea g(í) una función en el d o m i n i o del t i e m p o c u y a transformada de Laplace tiene todos sus polos en el semiplano izquierdo abierto. C o n s i d e r e q u e la transformada d e L a p l a c e d e g(r) es G(í). E n t o n c e s la transformada de Fourier d e g(f) es G(joii). L a transformada de Laplace de la respuesta al i m p u l s o h(f) d e u n sistema L I T es la función de transferencia de frecuencia compleja His) y la transformada de Fourier es la función de transferencia de frecuencia real H ( j ü ) ) . L a variación de H ( j w) con la frecuencia en radianes cü t a m b i é n recibe el n o m b r e de respuesta en frecuencia del sistema. Por lo tanto, la respuesta e n frecuencia de un sistema estable p u e d e obtenerse directamente de la función de transferencia en el d o m i n i o de Laplace dejando que s sea j(x>. Si se prefiere la forma de la frecuencia cíclica, s i m p l e m e n t e es Hfif)

Hijlirf).

(10.151)

[El s u b í n d i c e / a p a r e c e p o r q u e H ^ y H son d o s funciones diferentes, esto es, H ^ ( / )

H(/).]

E n la práctica, el tipo m á s c o m ú n de función de transferencia es aquel q u e p u e d e e x p r e s a r s e c o m o un c o c i e n t e de p o l i n o m i o s en s. His)

N(5)

(10.152)

D{s)'

E s t e tipo d e función de transferencia s i e m p r e p u e d e factorizarse en la f o n n a

His)

= A

iS-Zl)iS-Z2)---iS-ZN) is - pi)is

- pi)

•• - is -

(10.153)

Pd)

P a r a graficar la r e s p u e s t a en frecuencia, c o n s i d e r e q u e 5 está restringida a j w, d o n d e w es real. L o anterior p u e d e c o n c e b i r s e g r á f i c a m e n t e i m a g i n a n d o q u e s varía sólo a lo largo del eje i m a g i n a r i o del p l a n o Í . E n ese caso la r e s p u e s t a en frecuencia del s i s t e m a es

Hijw)

s = o s = -3

= A

ij<^ - Zl)ijOi

- Zl)---

(jco - p i ) ( ; w - pi)

(JM -

• • • ijíú

ZN)

(10.154)

Pd)

P a r a ilustrar u n a interpretación gráfica de este r e s u l t a d o c o n u n e j e m p l o c o n s i d e r e q u e la función de transferencia es His)

F I G U R A 10.58 Diagrama de polos y ceros para H(í) = jfj.

(10.1551 s + 3

E s t a función d e transferencia tiene u n cero en j = O y un p o l o e n Í = —3 (figura 10.58». A l c o n v e r t i r la función de transferencia e n u n a r e s p u e s t a e n frecuencia. H(jco) =

3 JCÜ

(10.1561

L a respuesta en frecuencia es tres veces el cociente d e jcü entre jcü-I-3. El numaador y el d e n o m i n a d o r se conciben c o m o vectores en el plano s c o m o se ilustra en b figura

10.59 para u n a elección arbitraria de co.

C u a n d o se c a m b i a la frecuencia cü, t a m b i é n c a m b i a n los v e c t o r e s . L a magn i t u d d e la r e s p u e s t a en frecuencia a c u a l q u i e r frecuencia particular e s tres vece» la m a g n i m d del v e c t o r n u m e r a d o r dividida entre la m a g n i t u d del \'ector denoainador.

| H ( » |

IjcoI

(II

ljw + 3|

L a fase de la r e s p u e s t a e n frecuencia a c u a l q u i e r frecuencia particular es b l d e la c o n s t a n t e + 3 (que e v i d e n t e m e n t e es c e r o ) , m á s la fase de niuneíadarj F I G U R A 10.59 Diagrama que muestra los vectores jco y

(una c o n s t a n t e tt/2 + 3.

rad p a r a frecuencias p o s i t i v a s y u n a c o n s t a n t e — — 2»i

p a r a frecuencias n e g a t i v a s ) m e n o s la fase del d e n o m i n a d o r ju) -

ZH(jw) =

Z3 +¿JM

¿ijia

3).

10.8 Diagramas

A frecuencias q u e t i e n d e n a cero d e s d e el l a d o p o s i t i v o , la l o n g i t u d del v e c t o r n u m e r a d o r t i e n d e a cero y la longitud del v e c t o r d e n o m i n a d o r se a p r o x i m a a u n valor m í n i m o d e tres, lo q u e hace q u e la m a g n i t u d d e la r e s p u e s t a en frecuencia c o m p l e t a t i e n d a a c e r o . E n e s e m i s m o límite, la fase d e es TT/2 rad y la fase d e jco + 3 t i e n d e n a c e r o , p o r lo q u e la fase de la r e s p u e s t a en frecuencia total se a p r o x i m a a 1 7 / 2 rad, lím | H ( 7 w ) | =

lím 3

lím Z H ( / a ) ) =

l í m Z/oa -

= O

. ' ^ " ^ L

(10.159)

l í m Z ( / C Ü + 3) =

O = —.

(10.160)

A frecuencias q u e t i e n d e n a c e r o d e s d e el lado n e g a t i v o , la longitud del v e c t o r n u m e r a d o r tiende a cero y la longitud del v e c t o r d e n o m i n a d o r se a p r o x i m a a un valor m í n i m o d e tres, lo q u e h a c e q u e la m a g n i t u d d e la r e s p u e s t a en frecuencia total t i e n d a a cero, c o m o antes. E n ese m i s m o límite, las fases d e j'cü es - ( T T / 2 ) rad y d e joa + 3 t i e n d e n a cero, p o r lo q u e la fase d e la r e s p u e s t a en frecuencia total t i e n d e a - (TT/2) rad. lím | H ( ; w ) | = m^O-

lím 3 co^O-

(10.161)

= O |7CÜ-|-3|

l í m Z H ( ; c ü ) = lím ¿JM - lím Z ( j w - | - 3 ) = m->oM^oü)-»0"

0 =

(10.162)

A frecuencias q u e v i e n e n del infinito positivo, las dos longitudes d e los vectores se a p r o x i m a n al m i s m o valor y la m a g n i t u d de la respuesta en frecuencia total tiende a tres. E n ese m i s m o límite, las fases d e 7 ü) es TT/2 rad y d e j w + 3 tienden a TT/2 rad, d e m a n e r a q u e la fase d e la respuesta en frecuencia total t i e n d e a c e r o . lím

|H(jco)| =

m-^+oc

lím

lím 0¡^+0C

ZH(jcú) =

lím

^ 3 \ju> +

Zj'co -

(10.163)

lím

¿(jcú + 3)

(10.164)

A frecuencias q u e se a p r o x i m a n d e s d e infinito n e g a t i v o , las l o n g i t u d e s de los dos v e c t o r e s se a p r o x i m a n al m i s m o v a l o r y la m a g n i t u d d e la r e s p u e s t a en frecuencia total se a p r o x i m a a tres, c o m o antes. E n e s e m i s m o límite, las fases d e j ' w es - ( T T / 2 ) rad y de j w -I- 3 t i e n d e n a - ( T T / 2 ) rad, p o r lo q u e la fase d e la r e s p u e s t a en frecuencia total tiende a c e r o . lím | H ( j c o ) i = lím 3 = 3 M^-OO M^-DO IJCÜ -I- 3 |

lím

ZH(jco) =

lím

Z;CÚ-

lím

595

(10.158)

(10.165)

Z ( y ü ) - h 3) = - — - ( - — ) =

(10.166)

Estos atributos de la respuesta en frecuencia inferidos a partir de la gráfica de polos-ceros se confirman m e d i a n t e la gráfica d e la r e s p u e s t a e n frecuencia de la m a g n i t u d y la fase (figura 10.60).

Encuentre la magnitud y la fase de la respuesta en frecuencia de un sistema cuya función de transferencia es s- + 2s +

s'- + 4s + 104

(10.167)

poios-ceros

y cálculo

gráfico de la respuesta en frecuencia

|H(7(o)| CMPfnJLOlO Anáfesisdeia transformada de Laplace de señales y sistemas

Fase de H(;io) TT

2 -

F I G U R A 10.60 Respuestas en frecuencia de la magnitud y la fase de un sistema cuya función de transferencia es H{s) = j ^ . • p,

- 10

(10.168)

jlQ)

j:, = - 1 - ; 4

p^ = -2 + jl0

•

(10.169)

= _2-jl0

(10.170)

como se ilustra en la figura 10.61. Al convertir la función de transferencia a una respuesta en frecuencia,

- -6 Pl

+ 2+

-4

(i + 1 - j 4 ) ( í + 1 + j4) is + 2-jlO)is

j, = -1 + j4

1 ' 2 - -2 o- -

de modo que los polos y los ceros de esta función de transferencia son

- 2

H(í) =

o -- 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 4 -2 -10 - 8

1 >

-20

Solución

i5 - 6

Esta expresión se puede factorizar como

- Q

H(j(ü) =

Q 6

-10

(j(ú + 1 - j 4 ) 0

ijw + 2-

0 ) 0

+ 1 + j4) + 2 -f ; 1 0 ) '

(10.171)

La magnitud de la respuesta en frecuencia a cualquier frecuencia particular es el producto de las magnitudes del vector numerador divididas entre el producto de las magnitudes del vector denominador.

F I G U R A 10, 61 Diagrama de polos y ceros de

1 H ( » |

H(5) =

IjM + 1 - j4\ \ju) + 2 - j\0\

+ 1 + j4[ |j(o + 2-h ;10r

(10.172)

La fase de la respuesta en frecuencia a cualquier frecuencia particular es la suma de los ángulos del vector del numerador menos la suma de los ángulos del vector del denominador, ZH(;(ü) = ¿ijiü + 1 - j4) + ¿ijw

|H(»| 2.2536 -

•'I

!•

-10 - 4

4 10

1—^

HO) Fase de -40 1" -40

——— - 110 - 41^ - I T

1 1 4 10

1 * 40

F I G U R A 10.62 Respuesta en frecuencia de la magnitud y la fase de un sistema cuya función de transferencia es H(5) = J+^+m-

+ 1 -f- j4) - [¿(jco + 2-

j\0)

+ ¿(jco + 2 + j\0)].

(10.173)

Esta función de transferencia no tiene polos o ceros sobre el eje w. Por consiguiente, su respuesta en frecuencia no es ni cero ni infinita a ninguna frecuencia real. Sin embargo, los polos y ceros están cerca del eje w y, debido a esa proximidad, influyen fuertemente en la respuesta en frecuencia de las frecuencias reales cercanas a esos polos y ceros. Para una frecuencia real oj cerca del polo P j . el factor denominador jm + 2 — jlO se vuelve muy pequeño y eso hace que la magnitud total de la respuesta en frecuencia se vuelva muy grande. De manera inversa, para una frecuencia real tü, cerca del cero Zj, el factor del numerador J C Ü + 1 — j 4 se vuelve muy pequeño y también la magnitud total de la respuesta en frecuencia. De tal modo, no sólo la magnitud de la respuesta en frecuencia va a cero en los ceros y a infinito en los polos, sino que se vuelve pequeña cerca de los ceros así como grande cerca de los polos. La magnitud y la fase de la respuesta en frecuencia se ilustra en la figura 10.62. La respuesta en frecuencia puede granearse utilizando el comando b o d e , de la caja de herramientas de control de MATLAB, y los diagramas de polos-ceros pueden graficarse utilizando el comando pzinap. ^ Al usar este concepto gráfico para interpretar las gráficas de polosceros es posible, con la práctica, percibir de m a n e r a aproximada c ó m o se ve la respuesta en frecuencia. H a y un aspecto de la función de transferencia que n o es evidente en la gráfica de polos-ceros. L a ganancia A independiente de la frecuencia no tiene efecto sobre la gráfica de polos-ceros

y, en consecuencia, n o p u e d e determinarse con sólo observarla. Sin embargo, todo el comportamiento din á m i c o del sistema es determinable a partir de la gráfica de polos-ceros, hasta u n a constante de ganancia. O t r a f o r m a de ver la relación entre las localizaciones de p o l o s y ceros y la r e s p u e s t a en frecuencia consiste en graficar la m a g n i t u d de la función de transferencia c o m o u n a superficie sobre el p l a n o s c o m p l e j o . P o r ejemplo, la función de transferencia s^ + 2s + 17

10.9 Filtros Butterwortt)

(10.174)

s^ + 4s + 104

en el e j e m p l o 10.5 tendría la gráfica de la figura 10.63. L o s p o l o s y ceros y su influencia sobre la m a g nitud de la respuesta en frecuencia se o b s e r v a n c l a r a m e n t e en esta figura. (Las gráficas están i n c o m pletas c e r c a de los p o l o s y ceros p o r q u e la m a g n i t u d de la función de transferencia en decibeles tiende a m á s o m e n o s infinito en esas posiciones.)

10.9 FILTROS BUTTERWORTH E n el capítulo 8 se e x p l o r ó la r e s p u e s t a en frecuencia de filtros ideales y prácticos de varios típos. U n tipo m u y p o p u l a r es el filtro B u t t e r w o r t h . U n filtro B u t t e r w o r t h pasabajas de o r d e n e n é s i m o tiene u n a función de transferencia c u y a m a g n i t u d al c u a d r a d o es de la f o r m a IHO)!^

(10.175)

1 + (cü/w,)2«'

El filtro B u t t e r w o r t h pasabajas se diseña p a r a ser m á x i m a m e n t e p l a n o en frecuencias dentro de su b a n da de p a s o , w < w^, lo q u e significa q u e su variación c o n la frecuencia en la b a n d a de p a s o es m o n o t ó n i c a y tiende a u n a d e r i v a d a c e r o c u a n d o la frecuencia se a p r o x i m a a cero. L a figura 10.64 ilustra la respuesta en frecuencia de u n filtro B u t t e r w o r t h pasabajas con u n a frecuencia de corte de = 1 para cuatro ó r d e n e s diferentes n. E l filtro Butterworth pasabajas es interesante en el esmdio de las transformadas de L a p l a c e p o r q u e sus polos se ubican sobre u n semicírculo en el semiplano izquierdo abierto c u y o radio es w^,, c o m o se ilustra en la figura 10.65. El n ú m e r o de polos es w y el espaciamiento angular entre polos es siempre TT/n. Si n es impar, hay u n polo sobre el eje real negativo y todos los d e m á s polos ocurren en pares conjugados complejos. Si n es par, todos los polos ocurren en pares conjugados complejos. C o n base en estas propiedades, siempre es posible determinar la función de transferencia de un filtro Butterworth. L a caja de h e r r a m i e n t a s de señales de M A T L A B tiene funciones para diseñar filtros B u t t e r w o r t h en T C . L a función de M A T L A B l l a m a d a [z,p,k]

buttap(N)

;

devuelve los ceros finitos en el vector z, los polos finitos en el vector p y la ganancia en el escalar k para el filtro pasabajas Butterworth de ganancia unitaria y orden n con u n a frecuencia de corte = 1. ÍH(»|

-5 -20 " F I G U R A 10.63 Gráfica de superficie de la magnitud de H ( Í ) =

. en decibeles.

-4

-3

-2

-1

F I G U R A 10.64 Respuestas en frecuencia de la magnitud del filtro Butterworth pasabajas para una frecuencia de esquina co^ = 1 y cuatro órdenes diferentes.

( D e s d e luego, c o m o y a se vio, n o h a y c e ros finitos en u n a función d e transferencia C A P Í T U L O 10 d e filtro Butterworth, p o r lo q u e z siemAnálisis de la pre es u n vector vacío y, p u e s t o q u e el filtransformada de Laplace tro es d e g a n a n c i a unitaiia, k s i e m p r e es de señales y sistemas 1. L o s ceros y la g a n a n c i a se i n c l u y e n en los datos q u e se p r o d u c e n d e b i d o a q u e esta f o r m a d e datos p r o d u c i d o s se u s a para m á s q u e sólo filtros B u t t e r w o r t h . Para otro tipos d e filtro quizá h a y a ceros finitos y la g a n a n c i a no sea uno.)

= 1

n =2

-90°

60' 60'

\ \

F I G U R A 10.65 Localización de los polos del filtro Butterworth pasabajas.

E s natural p r e g u n t a r en este p u n t o c ó m o utilizar la i n f o r m a c i ó n q u e p r o d u c e M A T L A B p a r a diseñar u n filtro c u y a frecuencia d e c o r t e n o sea = 1 o c ó m o diseñar filtros Butterw o r t h p a s a b a n d a , pasaaltas o s u p r e s o r e s d e b a n d a . U n a vez q u e se h a d i s e ñ a d o u n filtro B u t t e r w o r t h pasabajas d e d e t e r m i n a d o o r d e n c o n u n a frecuencia d e corte w^, = 1, la c o n v e r s i ó n d e e s e filtro a otra f o r m a es s i m p l e m e n t e c u e s t i ó n de u n a t r a n s f o r m a c i ó n d e la variable d e frecuencia, lo c u a l es el t e m a d e la sección 10.10.

10.10 TRANSFORMACIONES EN FRECUENCIA U n a t é c n i c a d e d i s e ñ o m u y c o m i í n y útil c o r r e s p o n d e a d i s e ñ a r u n a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a s o bre una base normalizada y luego desnormalizarla para cumplir requerimientos específicos. Esto se h a c e p o r q u e el d i s e ñ o d e filtros n o r m a l i z a d o s es n u m é r i c a m e n t e m á s s i m p l e q u e el d e filtros g e n e r a l e s y la d e s n o r m a l i z a c i ó n es u n p r o c e s o d i r e c t o u n a v e z q u e se c o m p l e t a el d i s e ñ o n o r m a l i z a d o . L o s filtros B u t t e r w o r t h d e la s e c c i ó n 10.9 c o n s t i t u y e n u n b u e n e j e m p l o d e e s t e t i p o d e d i s e ñ o . M A T L A B (y m u c h o s l i b r o s s o b r e d i s e ñ o d e filtros) p e r m i t e n d i s e ñ a r c o n r a p i d e z y f a c i lidad u n filtro B u t t e r w o r t h pasabajas de o r d e n n c o n g a n a n c i a unitaria y frecuencia d e corte w^. = 1. D e s n o r m a l i z a r la g a n a n c i a h a c i a u n a de c a r á c t e r n o u n i t a r i o es t r i v i a l p u e s t o q u e i m p l i c a s i m p l e m e n t e el c a m b i o d e c o e f i c i e n t e d e la g a n a n c i a . E ! c a m b i o d e la f r e c u e n c i a d e c o r t e o del t i p o d e filtro es u n p o c o m á s c o m p l e j o . Para c a m b i a r de u n a frecuencia d e corte en radianes unitaria neral

= 1 a u n a frecuencia de corte ge-

# 1, se realiza la transformación d e la variable independiente Í — > s/u>^.. Por ejemplo, u n filtro

Butterworth n o r m a l i z a d o de ganancia unitaria y de primer orden tiene una función d e transferencia

H(5)

Si se desea m o v e r la frecuencia d e corte a

H,o(s) =

(10.176)

= 10, la n u e v a función de transferencia es 1

U(s)

l + (s/W)

10 s +

(10.177)

E s t a es la función de transferencia d e u n filtro pasabajas de g a n a n c i a unitaria c o n u n a frecuencia d e c o r t e e n r a d i a n e s w^, = 10. El p o d e r real del p r o c e s o de t r a n s f o r m a c i ó n se o b s e r v a al c o n v e r t i r un filtro pasabajas e n u n o pasaaltas. Si se efectúa la t r a n s f o r m a c i ó n s

HHP(5) =

l/s,

entonces 1

H(5)|,_

\+il/s)

s + 1

(10.178)

d o n d e Hj^p(í) es la función de transferencia d e u n filtro B u t t e r w o r t h pasaaltas d e g a n a n c i a unitaria de p r i m e r o r d e n c o n u n a frecuencia de corte

= 1. T a m b i é n es p o s i b l e efectuar a m b a s t r a n s f o r m a c i o -

n e s e n f o r m a s i m u l t á n e a al t r a n s f o r m a r s —>• w ^ / s . A d e m á s , se p u e d e t r a n s f o r m a r u n filtro pasabajas e n u n o p a s a b a n d a e f e c t u a n d o el c a m b i o

(10.179)

donde

es la frecuencia d e corte positiva inferior del filtro p a s a b a n d a y

es la frecuencia d e corte

599 Transformaáones

positiva superior. P o r e j e m p l o , c o n s i d e r e q u e se v a a diseñar un filtro p a s a b a n d a d e g a n a n c i a u n i t a r i a

.|o_.|q

d e p r i m e r o r d e n c o n u n a b a n d a d e p a s o d e s d e w = 100 a 2 0 0 (figura 10.66).

en frecuencia

HBP(5) =

H(í)l.-

1 »(S2+A);.Ü)H)/S(MH-M¿)

, 9

{S^ + (Í>L(X,H)/S{(JÍH

Si se simplifica y se insertan valores n u m é r i c o s , HBP(Í)

lOOí 100^ + 20 000

WL) +

lOOí

( 5 + 50 + ; 1 3 2 . 2 ) ( 5 +

50-J132.2)

(10.180)

(10.181)

Por último, es posible transformar u n filtro pasabajas en u n o supresor de b a n d a c o n la transformación S((£>H -

Wi)

(10.182)

M A T L A B tiene c o m a n d o s p a r a la t r a n s f o r m a c i ó n en frecuencia de filtros n o r m a l i z a d o s . É s t o s s o n lp2bp

T r a n s f o r m a c i ó n d e filtro a n a l ó g i c o pasabajas a p a s a b a n d a .

Ip2bs

T r a n s f o r m a c i ó n d e filtro a n a l ó g i c o pasabajas a supresor d e b a n d a .

Ip2hp

T r a n s f o r m a c i ó n d e filtro a n a l ó g i c o pasabajas a p a s a a l t a s .

lp2lp

T r a n s f o r m a c i ó n d e filtro a n a l ó g i c o pasabajas a pasabajas.

L a sintaxis p a r a l p 2 b p es [numt,dent]

donde n u m t , d e n t

lp2bp(num,den,wO,bw) = vectores d e coeficientes d e s en el n u m e r a d o r y el d e n o m i n a d o r , r e s p e c t i v a m e n t e , d e la función d e transferencia n o r m a l i z a d a del filtro pasabajas

wO = frecuencia central d e la frecuencia en r a d i a n e s del filtro p a s a b a n d a bw = a n c h o d e b a n d a d e frecuencia en r a d i a n e s del filtro p a s a b a n d a n u m , d e n = vectores d e coeficientes de 5 en el n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r , r e s p e c t i v a m e n t e , d e la función de transferencia del filtro p a s a b a n d a L a sintaxis d e c a d a u n o de los d e m á s c o m a n d o s es similar. C o m o e j e m p l o , es p o s i b l e d i s e ñ a r u n filtro B u t t e r w o r t h pasabajas n o r m a h z a d o c o n b u t t a p .

»[z,p,k] = buttap(3) ; »z z =

»p p = -0.5000 -1.0000 -0.5000

O . 8660Í 0.8660Í

»k

k = E s t e r e s u l t a d o i n d i c a q u e u n filtro B u t t e r w o r t h p a s a b a j a s n o r m a l i z a d o d e tercer o r d e n tiene la función d e t r a n s f e r e n c i a 1 HLP(5)

(s + l ) ( í + 0.5 + ; 0 . 8 6 6 ) ( 5 + 0.5 -

;0.866) (10.183)

E s p o s i b l e c o n v e r t i r e s t o en u n c o c i e n t e d e p o l i n o m i o s u t i l i z a n d o los c o m a n d o s d e o b j e t o del s i s t e m a d e M A T L A B .

- 1 000 F I G U R A 10.66 Respuesta en frecuencia de la magnitud de un filtro Butterworth pasabanda de primer orden y ganancia unitaria.

»[num,den] = tfdata(zpk{z,p,k),'v') ; »num

C A P Í T U L O 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

num

= 0

»den den = 1.0000

2.0000 + O.OOOOi

1.0000 + O.OOOOi

El resultado indica que la función de transferencia pasabajas normalizada también p u e d e escribirse c o m o 1 HLP(5) =

í3 +

(10.184)

+ 2í + 1

C o n b a s e en este r e s u l t a d o es factible t r a n s f o r m a r este filtro pasabajas n o r m a l i z a d o e n u n filtro p a s a banda desnormalizado.

»[numt,dent] = lp2bp(num,den,8,2) ; »numt numt = Columns 1 through 4 O

0.0000 ~ O.OOOOi

0.0000 - O.OOOOi

8.0000 -O.OOOOi

Columns 5 through 7 0.0000 - O.OOOOi

0.0000 - O.OOOOi

»dent dent = l.Oe+05 * Columns 1 through 4 0.0000

0.0000 + O.OOOOi

0.0020 + O.OOOOi

0.0052 + O.OOOOi

Columns 5 through 7 0.1280 + O.OOOOi

0.1638 + O.OOOOi

2.6214 - O.OOOOi

»bpf = tf(numt,dent) ; »bpf Transfer function: 1.542e-14 s-'B + 2.32e-13 s"4 + 8 s-^B + 3 . 644e-ll s'^2 + 9.789e-ll s +

9 . 952e-10

s-"6 + 4 s"5 + 200 s^4 + 520 s'^B + 1.28e04 s^2 + 1.638e04 s + 2.621e05 E s t e r e s u l t a d o indica q u e la función de transferencia del filtro p a s a b a n d a p u e d e escribirse c o m o o H R P ( Í )

3 :

(10.185.

+ 4^5 + 200^4 + 5 2 0 s 3 + 12 800^2 + 16 3 8 0 í + 26 2 1 0 0 (Los coeficientes distintos de cero e x t r e m a d a m e n t e p e q u e ñ o s e n el n u m e r a d o r de la función de transferencia p r e s e n t a d a p o r M A T L A B son el r e s u l t a d o de errores de r e d o n d e o en los cálculos de e s t e mism o p r o g r a m a y se h a n i g n o r a d o . O b s e r v e q u e n o a p a r e c e n en numt.)

10.11 DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS CON MATLAB

601

A c a b a de verse c ó m o es p o s i b l e utilizar el c o m a n d o b u t t a p de M A T L A B p a r a diseñar u n filtro B u t terworth n o r m a l i z a d o y c ó m o d e s n o r m a l i z a r l o en otros filtros B u t t e r w o r t h . H a y varios c o m a n d o s m á s de M A T L A B q u e son útiles en el diseño d e filtros a n a l ó g i c o s . E n total son otros cuatro c o m a n d o s : " . . . a p " , c h e b l a p , c h e b 2 a p , e l l i p a p y b e s s e l a p , los q u e diseñan filtros analógicos n o r m a l i zados de tipos ó p t i m o s a d e m á s del filtro B u t t e r w o r t h . L o s otros tipos de filtros analógicos ó p t i m o s son el C h e b y s h e v , el filtro elíptico y el filtro Bessel. C a d a u n o d e ellos m e j o r a el d e s e m p e ñ o de acuerd o con u n criterio diferente. El filtro C h e b y s h e v es similar al Butterworth, pero tiene un grado de libertad adicional en el diseño. El B u t t e r w o r t h se d e n o m i n a máximamente plano p o r q u e es m o n o t ó n i c o en la b a n d a d e p a s o y en la b a n d a de supresión y se a p r o x i m a a la respuesta p l a n a en la b a n d a d e p a s o c u a n d o a u m e n t a el orden. H a y dos tipos de filtro de Chebyshev, el tipo u n o tiene u n a respuesta en frecuencia q u e n o es m o n o t ó nica en la b a n d a de p a s o , a u n q u e sí lo es en la b a n d a de supresión. Su respuesta en frecuencia h a c e rizo en la b a n d a de p a s o . L a presencia del rizo en la b a n d a de paso suele n o ser deseable, p e r o permite la transición de la b a n d a de p a s o a la b a n d a de supresión de m a n e r a m á s rápida q u e en el c a s o de u n filtro B u t t e r w o r t h del m i s m o orden. E n otras palabras, se intercambia la c a r a c t e n s t i c a plana de la banda de p a s o por u n a b a n d a de transición m á s estrecha. C u a n t o m á s rizo se p e r m i t e en la b a n d a de paso, es posible tener u n a b a n d a de transición m á s estrecha. El filtro de C h e b y s h e v tipo dos es e x a c t a m e n t e el opuesto. Tiene u n a b a n d a de paso monotónica y rizo en la b a n d a de supresión y, para el m i s m o orden de filtro, t a m b i é n p e r m i t e u n a b a n d a de transición m á s estrecha que u n filtro Butterworth.

10.11 Diseño de filtros analógicos con MATLAB

El filtro elíptico tiene rizo tanto en la b a n d a de p a s o c o m o en la de supresión y, p a r a el m i s m o orden de filtro, tiene i n c l u s o u n a b a n d a de transición m á s estrecha que c u a l q u i e r a de los dos tipos de filtros C h e b y c h e v . E l filtro B e s s e l se m e j o r a en u n a f o r m a diferente, se efectúa p a r a la l i n e a l i d a d de la fase en la b a n d a de p a s o m á s q u e p a r a la respuesta de m a g n i m d plana en la b a n d a de p a s o y/o en la b a n d a de supresión o p a r a u n a b a n d a de transición estrecha. L a sintaxis correspondiente a estos diseños de futro analógico normalizado se indica a continuación. [z,p,k] [z,p,k]

= cheblap(N,Rp) = cheb2ap(N,Rs)

; ;

[z,p,k] [z,p,k]

= ellipap(N,Rp,Rs) = besselap{N) ;

;

d o n d e N = o r d e n del filtro Rp = rizo p e r m i s i b l e en la b a n d a de p a s o , d B R s = rizo p e r m i s i b l e en la b a n d a de supresión, d B U n a v e z q u e se h a d i s e ñ a d o el filtro, es posible e n c o n t r a r su respuesta en frecuencia u t i l i z a n d o y a sea b o d e , q u e se p r e s e n t ó antes, o f r e q s . L a función f r e q s tiene la sintaxis H = freqs(num,den,w)

;

d o n d e H es un vector de respuestas en los p u n t o s de frecuencia en radianes reales en el vector w, y n u m y d e n son vectores que c o n t i e n e n los coeficientes de s en el n u m e r a d o r y el d e n o m i n a d o r , respectivam e n t e , de la función de transferencia del filtro.

E,iE.\íPL<) 10.6 Utilice MATLAB para diseñar un filtro Butterworth pasabajas normalizado de cuarto orden, transfórmelo en un filtro supresor de banda desnormalizado con frecuencias de corte de 55 y 65 Hz y luego compare su respuesta en frecuencia con un filtro supresor de banda Chebychev de tipo 1 del mismo orden y frecuencias de corte y con rizo permisible en la banda de paso de 0.3 dB. •

Solución

% Diseño Butterworth % Se d i s e ñ a u n f i l t r o p a s a b a j a s B u t t e r w o r t h % se a s i g n a n l o s c e r o s , p o l o s y l a g a n a n c i a [zb,pb,kb]

= buttap(4)

% Se u s a n % cientes

las del

de c u a r t o o r d e n n o r m a l i z a d o en zb, pb y k b .

;

h e r r a m i e n t a s d e MATLAB p a r a o b t e n e r l o s v e c t o r e s n u m e r a d o r y d e l d e n o m i n a d o r , numb y d e n b .

coefi-

|H(j2T7/)|

[ n u t n b , d e n b ] = t f d a t a ( z p k ( z b . p b , kb) , ' v ' ) ; % Se f i j a l a f r e c u e n c i a c e n t r a l c í c l i c a y e l a r . c h : % de banda y luego l a f r e c u e n c i a c e n t r a l en radiar.es % y e l ancho de banda c o r r e s p o n d i e n t e s . fO = 60 ; fbw = 10 ; wO = 2 * p i * f 0 ; wbw = 2*pi*fbv.- ; % S e d e s n o r m a l i z a e l f i l t r o B u t t e r w o r t h p a s a b a j a s a:z % un B u t t e r w o r t h % s u p r e s o r de banda con una s u p r e s i ó n de banda e n r r e % 55 y 65 H z . [numbsb,denbsb] = lp2bs(numb,denb,wO,wbw) ; % Se c r e a u n v e c t o r de f r e c u e n c i a s c í c l i c a s p a r a % u t i l i z a r s e en l a % g r a f i c a c i ó n de l a r e s p u e s t a en f r e c u e n c i a d e l % f i l t r o . Luego se c r e a un % v e c t o r de f r e c u e n c i a en r a d i a n e s c o r r e s p o n d i e n t e y % se c a l c u l a l a r e s p u e s t a % en f r e c u e n c i a . w b s b = 2 * p i * [ 4 0 : O . 2 : 8 0 ] ' ; Hbsb = freqs(numbsb,denbsb,wbsb) ;

Chebyshev

F I G U R A 10.67 Comparación de las respuestas en frecuencia de la magnitud Butterworth y Chebyshev.

% Diseño Chebyshev % Se d i s e ñ a u n f i l t r o p a s a b a j a s C h e b y s h e v d e t i p o u n o d e c u a r t o o r d e n y % n o r m a l i z a d o y se a s i g n a n l o s c e r o s , p o l o s y g a n a n c i a s en zc, pe y k c . [ z c , p c , k c ] = c h e b l a p ( 4 , O . 3) ; wc = wb ,% S e u s a n l a s h e r r a m i e n t a s d e l s i s t e m a d e MATLAB p a r a o b t e n e r l o s v e c t o r e í % d e c o e f i c i e n t e s d e l n u m e r a d o r y e l d e n o m i n a d o r , numc y d e n c . [ n u m c , d e n c ] = t f d a t a ( z p k ( z c , p c , k c , ' v ' ,% Se d e s n o r m a l i z a e l f i l t r o C h e b y s h e v p a s a b a j a s e n % uno C h e b y s h e v s u p r e s o r de b a n d a con u n a s u p r e s i ó n % d e b a n d a e n t r e 5 5 y 65 H z . [numbsc,denbsc] = lp2bs(numc,denc,wO,wbw) ; % Se u s a e l mismo v e c t o r de f r e c u e n c i a en r a d i a n e s % que se empleó en e l d i s e ñ o B u t t e r w o r t h y se % c a l c u l a r e s p u e s t a en f r e c u e n c i a d e l f i l t r o s u p r e s o r % de banda Chebyshev. wbs = wbsb ; H b s c = f r e q s ( n u m b s c , d e n b s c , w b s c ) ; La magnitud de las respuestas en frecuencia se comparan en la figura 10.67. Observe que el filtro Butterworth es monotónico en las bandas de paso mientras que el de Chebyshev no lo es, aunque este último tiene ur.¿ pendiente más pronunciada en la transición entre la banda de paso y las bandas de supresión, así como una atenuación supresora de banda un poco mejor _

10.12 REALIZACIONES ESTÁNDAR DE SISTEMAS El p r o c e s o del diseño de sistemas, en oposición al análisis de sistemas, consiste en formular u n a función de transferencia d e s e a d a p a r a u n a clase de excitaciones que p r o d u c e u n a respuesta o respuestas d e s e a d a s . U n a vez que se ha e n c o n t r a d o la función de transferencia d e s e a d a el siguiente p a s o lógico es construir en realidad, o q u i z á simular, el sistema. El p r i m e r p a s o en la construcción o simulación del sistema c o r r e s p o n d e a formar u n d i a g r a m a de b l o q u e s q u e describa la interacción entre todas las señales. E s t e p a s o se d e n o m i n a realización y surge del c o n c e p t o de hacer un sistema real en vez de sólo u n conjunto de e c u a c i o n e s que d e s c r i b a n su c o m p o r t a m i e n t o . H a y varios tipos estándar de realizaciones de sistemas. A q u í se investigarán tres de ellos. L a p r i m e r a realización d e sistemas estándar se d e n o m i n a c o m ú n m e n t e la f o r m a canónica o directa. E s p o s i b l e llevarla a c a b o de m a n e r a directa a partir de la forma general de u n a función de transferencia c o m o el cociente de dos p o l i n o m i o s . N

H(í)

Yjs) X(í)

bMS^ N

+ bN-is'^-^

5 ' ^ + a,\i-]S'^^^

+ +

---

+ bis

• • • + a[S

+ +

bo ao

ÜN

(10.1861

k=0

p a r a u n s i s t e m a d e s c r i t o p o r m e d i o de u n a e c u a c i ó n diferencial de o r d e n A^-ésimo. A q u í los órdenes n o m i n a l e s del n u m e r a d o r y el d e n o m i n a d o r se s u p o n e n i g u a l e s a A'. (Si el o r d e n del n u m e r a d o r es

X.0-

Y As) •

Hjis)

''/V-IÍ'^"'

bfS + bo 10.12 Realizaciones estándar de sistemas

F I G U R A 10.68 Un sistema concebido como dos sistemas en cascada.

m e n o r q u e N, e n t o n c e s a l g u n o de los coeficientes b d e o r d e n superior será cero.) L a función d e transferencia p u e d e c o n s i d e r a r s e c o m o el p r o d u c t o d e dos funciones d e transferencia,

H,(5)

Yi(^)

X{s)

(10.187)

• a]S + ao

Y(s) H2(s) = - Y z

= bNs''

+ bN-is"-'

+ --- +

(figura 1 0 . 6 8 ) , d o n d e la r e s p u e s t a del p r i m e r s i s t e m a Y^(s)

(10.188)

biS+bo

es la e x c i t a c i ó n del s e g u n d o sistema.

E s p o s i b l e dibujar un d i a g r a m a d e b l o q u e s d e H j ( 5 ) si se r e e s c r i b e n ( 1 0 . 1 8 7 ) c o m o X(s)

X(s)

= [s''

= s"Yiis)

s"Yi(s)

+ aN-iS^-^Yiis)

= X(s)

aiS

üN-is''-^

+ ••• + a,sY,{s)

[aN-is^-'Yds)

(10.189)

ao]Yi(s)

(10.190)

aoYiis)

+ ••• + a^sYiis)

aoYds)]

(figura 1 0 . 6 9 ) . A h o r a es factible sintetizar d e i n m e d i a t o la r e s p u e s t a total Yis)

(10.191)

como una combinación

lineal d e las distintas p o t e n c i a s d e s q u e multiplican a Y j ( í ) (figura 1 0 . 7 0 ) . L a s e g u n d a r e a l i z a c i ó n d e s i s t e m a s e s t á n d a r es la f o r m a en cascada.

E l n u m e r a d o r y el d e n o m i -

n a d o r d e la f o r m a d e la función d e transferencia g e n e r a l N

His)

Y(s) = r (•?) _ k=0 X(5)

^s^ 5« +

bN-is^-^

bis

a B _ , í ^ - i + • • • + a\s

+bo

+ ao

« o = 1,

(10.192)

d o n d e N ^ D, se factoriza y p r o d u c e u n a e x p r e s i ó n de la función d e transferencia d e la f o r m a Uis)

S — Z\ S — Z2

A-

s -

S — Zj\ s -

+^s^Y,(s)

1 s -

s^Yiis)

"V~l

«2

F I G U R A 10.69 Reaüzación de Hj(i).

pn+1

1 S -

pn+2

sYiis)

1 S -

Yiis)

(10.193)

eo4 CAPmJLO 10 Análisis de la transfonnada de Laplace de señales y sistemas

tí

Y(í)

Y,(s)

X(s)-

• O .

F I G U R A 10.70 Realización completa del sistema canónico.

C u a l q u i e r a de las fracciones c o m p o n e n t e s Y^(s)/X^(í) = (S - 2 ^ / ( 5 - pj^) o Y^(í)/X^(5) = l/{s - p^) r e p r e s e n t a u n s u b s i s t e m a que p u e d e realizarse e s c r i b i e n d o la relación c o m o Hi.(í) =

(10.194)

í - Pk

s - Pk

Hi2(s)

y r e a l i z á n d o l o c o m o u n sistema c a n ó n i c o (figura 10.71). L u e g o el sistema original c o m p l e t o p u e d e realizarse e n f o r m a de c a s c a d a (figura 10.72). E n o c a s i o n e s surge u n p r o b l e m a con este tipo de r e a l i z a c i ó n e n c a s c a d a . A v e c e s los s u b s i s t e m a s de p r i m e r o r d e n tienen p o l o s c o m p l e j o s . É s t o s necesitan multiplicarse p o r ntimeros c o m p l e j o s y eso m u c h a s v e c e s n o p u e d e efectuarse e n u n a s i m u l a c i ó n de sistema. E n tales c a s o s es n e c e s a r i o c o m b i nar dos s u b s i s t e m a s c o n dos p o l o s c o n j u g a d o s c o m p l e j o s en u n s u b s i s t e m a de s e g u n d o o r d e n de la forma Ukis)

s + bo

= s-

ais

(10.195) ao

q u e p u e d e realizarse c o n coeficientes reales (figura 10.73).

- Ykis)

Xi.(s) -

r -pk

F I G U R A 10.71 Realización canónica de un solo subsistema en la realización en cascada.

-P2

-PD-1

-PD

F I G U R A 10.72 Realización del sistema en cascada completo.

+ )

X(5)

^ Y(í)

F I G U R A 10.73 Subsistema de segundo orden en forma estándar.

L a última realización estándar es en paralelo.

P u e d e llevarse

a c a b o e x p a n d i e n d o la forma de la función de transferencia estándar (10.95) en fracciones parciales de la forma H(5)

S — p\ (figura

K2 S — P2

••• +

s -

(10.196) X{s)-

10.74).

C u a n d o los sistemas se s i m u l a n m e d i a n t e m é t o d o s c o m p u tacionales, la forma de la realización del sistema tiene u n efecto en la precisión, y a veces en la estabilidad, d e la realización. H a b l a n d o en t é r m i n o s generales, las realizaciones en c a s c a d a y en paralelo son m e n o s sensibles a errores de r e d o n d e o en los cálculos efectuados e n la s i m u l a c i ó n q u e en la realización c a n ó n i c a . E s to se d e b e b á s i c a m e n t e a q u e los cálculos en las realizaciones en c a s c a d a y en paralelo se e n c u e n t r a n m á s localizados, p o r lo q u e hay m e n o s p r o b a b i l i d a d de q u e u n error n u m é r i c o en u n a ubicación se p r o p a g u e a múltiples lugares adicionales.

-P2

• Y(í)

-PD

F I G U R A 10.74 Realización completa del sistema en paralelo.

10.13 ANÁLISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS EN EL ESPACIO DE ESTADOS L a m a y o r parte de los análisis hasta a h o r a h a n sido de sistemas r e l a t i v a m e n t e simples, c o n u n a entrada y u n a salida. A s í d e b e ser p o r q u e el e n t e n d i m i e n t o del análisis de señales y sistemas d e b e construirse a partir de conceptos simples hasta otros m á s c o m p l i c a d o s . A h o r a se cuenta con las h e r r a m i e n t a s necesarias para abordar sistemas en T C m á s grandes. ( D e s p u é s de q u e se investigue la transformada z en el capítulo 11, se c o n t a r á c o n las h e r r a m i e n t a s p a r a a b o r d a r sistemas en T D m á s grandes.) El análisis de sistemas grandes p u e d e volverse con rapidez m u y t e d i o s o y p r o p e n s o a errores d e b i d o al tam a ñ o del sistema de e c u a c i o n e s q u e se necesita p a r a describirlo y al n ú m e r o de m a n i p u l a c i o n e s algebraicas r e q u e r i d o p a r a e n c o n t r a r u n a solución a dichas e c u a c i o n e s . Por lo tanto, es n e c e s a r i o form u l a r a l g u n o s p r o c e d i m i e n t o s sistemáticos que p e r m i t a n resolver grandes sistemas y e n c o n t r a r soluciones sin errores y sin dedicarles cantidades extraordinarias de t i e m p o . U n m é t o d o m u y p o p u l a r p a r a analizar grandes sistemas es a través del análisis de variables de estado. U n conjunto de variables d e estado es u n g r u p o de señales en u n sistema que j u n t o c o n la excitación del sistema d e t e r m i n a p o r c o m p l e t o el estado de este m i s m o en cualquier t i e m p o futuro. C o n s i d e r e el caso del filtro pasabajas RC. Se necesita c o n o c e r el voltaje inicial del capacitor p a r a resolver c o n r e s p e c t o a la constante arbitraria y obtener una solución exacta para el voltaje de respuesta futuro. E n el circuito RLC es necesario tanto

606

el voltaje inicial del capacitor c o m o la corriente inicial del inductor. El voltaje del capacitor y la c o -

C A P Í T U L O 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

rriente del inductor son ejemplos simples de variables de estado. Sus valores definen p o r c o m p l e t o el e s t a d o (o condiciones) del sistema en cualquier t i e m p o . U n a vez q u e se conocen, j u n t o con la d i n á m i c a del sistema y las excitaciones, es posible calcular cualquier c o s a que interese c o n o c e r en cualquier t i e m p o futuro. Todo sistema tiene un orden. El orden de un sistema es igual q u e el n ú m e r o de variables de estado necesarias para establecer de m a n e r a ú n i c a su estado. Si el sistema se describe m e d i a n t e u n a e c u a ción diferencial o en diferencias, su o r d e n es el m i s m o q u e el de la ecuación. Si el sistema se describe m e d i a n t e múltiples e c u a c i o n e s i n d e p e n d i e n t e s , su o r d e n es la s u m a de los órdenes de las e c u a c i o n e s . E l n ú m e r o de variables de estado q u e requiere u n sistema fija el t a m a ñ o del vector de estado y, en c o n secuencia, el n ú m e r o de d i m e n s i o n e s en el espacio de estados que es j u s t o un ejemplo específico de un espacio vectorial. Entonces el estado del sistema p u e d e conceptualizarse c o m o u n a posición en el espacio de e s t a d o s . L a t e r m i n o l o g í a c o m ú n es q u e en t a n t o el s i s t e m a r e s p o n d a a sus e x c i t a c i o n e s , el e s t a d o del sistema sigue una trayectoria a través de e s e espacio. Las variables de estado de los sistemas no son únicas. U n a persona podría elegir un conjunto y otra elegiría otro y ambos podrían ser correctos y completos. Sin embargo, en muchos casos existe un conjunto de variables de estado que es m á s conveniente que cualquier otro para algunos propósitos de análisis. E l análisis de las variables de estado tiene las siguientes características deseables: 1. 2. 3. 4. 5.

R e d u c e la p r o b a b i l i d a d de errores de análisis al h a c e r sistemático el p r o c e s o . D e s c r i b e todas las señales importantes del sistema, tanto internas c o m o externas. Ofrece información sobre la d i n á m i c a del sistema y p u e d e a y u d a r a mejorar el diseño del m i s m o . Es posible formularlo a través de m é t o d o s matriciales y, c u a n d o eso se hace, el estado del sistem a y las respuestas del m i s m o p u e d e n describirse m e d i a n t e dos e c u a c i o n e s matriciales. C u a n d o se c o m b i n a n las técnicas de análisis de variables de estado con las de transformación, se obtiene u n a hen-amienta m á s p o d e r o s a para el análisis de sistemas c o m p l i c a d o s .

P a r a introducir las técnicas del análisis del espacio de estados se e m p e z a r á aplicándolas a un sist e m a m u y simple: un circuito RLC en paralelo (figura 10.75). C o n s i d e r e q u e la excitación se d e s i g n a c o m o la corriente en el puerto de entrada i^^it) y q u e las respuestas se designan c o m o el voltaje en el p u e r t o de salida y^J.t) y la corriente a través del resistor i^(í). Al s u m a r las corrientes q u e salen y entran del n o d o superior, se obtiene

Gv,,i(í) +

^ j

Vsai(X) d\ + Cv;,,(0 = ie„(r)

(10.197)

D o n d e G = líR. L a anterior es u n a e c u a c i ó n integrodiferencial. P o d r í a diferenciarse c o n r e s p e c t o al t i e m p o y formar u n a e c u a c i ó n diferencial de s e g u n d o orden. P o r lo tanto, se trata de un sistema de seg u n d o orden. E n vez de tratar de resolver de i n m e d i a t o la e c u a c i ó n del sistema en su f o r m a presente se reform u l a r á la i n f o r m a c i ó n q u e contiene. Se identifica el voltaje del capacitor V(-.(í) y la corriente del inductor ij(t) c o m o variables de estado. L a descripción de variables de estado estándar d e u n sistema tíene dos conjuntos de e c u a c i o n e s : las del s i s t e m a y las de salida. Las e c u a c i o n e s del sistema se escrib e n en forma estándar. C a d a u n a tiene la d e r i v a d a de u n a variable de estado en el lado i z q u i e r d o y alg u n a c o m b i n a c i ó n lineal de las variables de estado y las excitaciones en el lado d e r e c h o . C o n b a s e en la ley de O h m , las leyes de Kirchhoff y las ecuaciones de definición para inductores y capacitores es posible escribir las e c u a c i o n e s del sistema i¿(f) =

(10.198)

|vc(f)

ie„(í)

Vsal(0

F I G U R A 10.75 Circuito RLC en paralelo.

1 c

(10.199)

L a s e c u a c i o n e s de salida expresan las respuestas c o m o c o m b i n a c i o n e s lineales de las variables de estado. E n este c a s o serían Vsal(í) = V c ( f )

(10.200)

n o 2011

ÍR{t) = G v c ( í ) . L a s e c u a c i o n e s del sistema p u e d e n reformularse en u n a forma de matriz estándar c o m o

1/L -(G/C)

-d/C)

.vc(f).

" ÍL(0 " _l_

[ien(í)] :

.Vc(í).

(10.202)

y las e c u a c i o n e s de salida se escriben en u n a f o r m a de matriz estándar c o m o

Vsal(0

i«(0

1 G

vc(í)

(10.203)

[Íen(0] .

L a s variables de e s t a d o se a s e m e j a n b a s t a n t e a respuestas. L a distinción entre variables d e estado y respuestas p r o v i e n e sólo de la f o r m a en q u e se usan. Las variables de estado son un conjunto de señales del s i s t e m a q u e describe p o r c o m p l e t o el e s t a d o del m i s m o . Las respuestas de un sistema son las señales q u e se d e s i g n a n de m a n e r a arbitraria c o m o respuestas para cualquier propósito de diseño del sistema q u e p u e d a tenerse e n cualquier análisis d e sistemas particular. U n a variable de estado también puede ser u n a respuesta. Sin embargo, incluso si ima variable de estado y una respuesta son iguales en el análisis de un sistema particular, en las formas de ecuaciones de espacio de estado estándar se les han dado nombres independientes, sólo para ser sistemáticos. E s o q u i z á p a r e z c a un desperdicio de t i e m p o , p e ro en el análisis de g r a n d e s sistemas es u n a b u e n a idea y p u e d e evitar errores de análisis. L a formulación de las variables d e estado de las e c u a c i o n e s del sistema h a c e el p r o c e s o de dibuj a r u n a realización del d i a g r a m a de b l o q u e s d e u n sistema m u y fácil y sistemático. E n este e j e m p l o el d i a g r a m a de b l o q u e s del sistema p u e d e dibujarse de m a n e r a directa a partir de las e c u a c i o n e s del m i s m o c o m o se ilustra en la figura 10.76. Se h a r á referencia al vector de las variables d e estado c o m o q(í), el vector de excitación c o m o x(t) y el vector de respuestas c o m o y(t). L a matriz q u e multiplica a q(í) en las e c u a c i o n e s del sistema (10.202) recibe en forma c o n v e n c i o n a l el n o m b r e A, y la matriz que multiplica a x(?) en la e c u a c i ó n del sistema se d e n o m i n a B. L a matriz q u e multiplica a q(r) en la e c u a c i ó n de salida (10.203) se d e n o m i n a C, y la matriz q u e multiplica a x(f) en la e c u a c i ó n de salida se d e n o m i n a D. M e d i a n t e la notación es posible escribir la e c u a c i ó n del s i s t e m a matricial c o m o

(10.204)

q'(í) = A q ( 0 + B x ( r ) d o n d e , en este c a s o .

q(r) =

íl(0 i¿(r)

vc(0

A =

O -d/C)

B =

O 1/C

1/L -(G/C) 1 c Ve (O

X(í) = [ien(0]

ient(í) •

-ír(0

y se p u e d e escribir la e c u a c i ó n para las respuestas c o m o

y(í) = Cq(í) + Dx(í)

(10.205)

• Vsal(0

F I G U R A 10.76 Diagrama de bloques del sistema de variables de estado ¿el circuito RLC en paralelo.

Análisis de señales y sistemas en el espacio de estados

608

d o n d e , en este c a s o .

C A P Í T U L O 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

y(0 =

VsalCO

vector de respuestas

1 G

D = (La ecuación p a r a la respuesta recibe el n o m b r e de e c u a c i ó n de salida.) Sin importar q u é tan c o m p l i c a d o p u e d a ser el sistema, con la asignación a d e c u a d a de los vectores y matrices de variable de estado, el sistema y las e c u a c i o n e s d e salida de los sistemas L I T s i e m p r e p u e d e n escribirse c o m o estas dos e c u a c i o n e s matriciales. E n este e j e m p l o m á s o m e n o s simple el p o d e r de la formulación quizá n o sea evidente d e b i d o a q u e la solución de un sistema tan simple no es difícil si se utilizan las técnicas clásicas. Sin e m b a r g o , c u a n d o el sistema se vuelve m á s grande, esta técnica se c o m p a r a de m a n e r a m u y favorable c o n técnicas m e n o s sistemáticas. Algunos autores usan el símbolo x para representar el vector de las variables de estado en lugar del símbolo q. Esto podna resultar confuso pues, en todo el material previo, se ha usado de manera consistente (como lo hacen otros autores) x(f) para representar una excitación. Algunos autores prefieren u para representar el vector de excitaciones en vez de x. Además, en el material anterior se utilizó (igual que muchos autores) u(/) para representar la función escalón unitario. De tal modo, aun cuando u está en negritas y u(r) no, debe ser menos confuso utilizar x como la excitación en vez de u, especialmente porque x(r) se ha utilizado hasta ahora para representar una excitación en un sistema de una entrada. Hasta ahora sólo se ha descrito el s i s t e m a p e r o no se h a n resuelto las e c u a c i o n e s . U n o de los verd a d e r o s aspectos p o d e r o s o s de la formulación del e s p a c i o de estados del análisis de sistema es la form a directa y sistemática en la q u e p u e d e n resolverse las e c u a c i o n e s de estado, q u e son q ' ( í ) = A q ( í ) + Bx(r)

y ( 0 = C q ( 0 + Dx(r)

^''-'''^

Es obvio q u e si se p u e d e e n c o n t r a r el vector solución q(t) para la e c u a c i ó n del sistema, de inmediato es posible calcular el vector d e respuesta y(í) p o r q u e se c o n o c e el vector de excitación x{t). D e tal m o do, el p r o c e s o de solución consiste en encontrar p r i m e r o la solución de la e c u a c i ó n del sistema. Es factible e n c o n t r a r u n a solución en el d o m i n i o del t i e m p o d i r e c t a m e n t e a partir de estas e c u a c i o n e s m a triciales, p e r o resulta m á s sencillo recurrir a la transformada de L a p l a c e c o m o auxilio para determinar la solución. A l aplicar la t r a n s f o r m a d a de L a p l a c e a la e c u a c i ó n del sistema, se obtiene sQis)

- qiO-)

= AQ(í) +

(10.207)

BX(s)

[íl-A]Q(í) =BX(5)-^q(0-).

(10.208»

Es posible resolver Q{s) de esta ecuación multiplicando a m b o s lados por [ Í I - A ] " ^ lo q u e produce Q{s)

= [si - A ] ^ ' [ B X ( 5 ) + q ( 0 - ) ] .

(10.209»

L a matriz [si — A ] " ' se designa c o n v e n c i o n a l m e n t e por m e d i o del s í m b o l o ^(s). ción (10.209) se v u e l v e Q(s)

= * ( 5 ) [ B X ( í ) + q ( 0 - ) ] = «I>(5)BX(s) + $ ( í ) q ( 0 - ) respuesta de estado cero

M e d i a n t e esa nota-

(10.210)

respuesta de entrada cero

y el vector de estado se observa c o m p u e s t o de dos partes, una respuesta de estado cero y una respuesta de entrada cero. A h o r a es posible encontrar la solución en el d o m i n i o del t i e m p o aplicando la transf o r m a d a inversa de L a p l a c e (10.210), q(r) = (b(f) * Bx(r) + Mt)q{0~) respuesta de estado cero

respuesta de entrada cero

(10.2U>

d o n d e <^{t)

^ • ( i ) y c|>(í) recibe el n o m b r e de matriz de transición

de estado,

q u e tiene su ori-

gen en el h e c h o de q u e u n a vez que se c o n o c e n el estado y las excitaciones iniciales, ^{t) es lo q u e perm i t e calcular el estado en cualquier t i e m p o futuro. E n otras palabras, ¡^(t) p e r m i t e calcular la f o r m a en q u e el sistema realiza u n a transición d e un e s t a d o a otro. Se aplicará ahora este m é t o d o al ejemplo. L a s matrices en la e c u a c i ó n de estado son

q(f)-

" k(t)' _Vc(0.

1/L -(G/C)

A =

-(1/C)

O 1/C

B =

X(í) = [ien(0] • (10.212)

P a r a hacer concreto el p r o b l e m a c o n s i d e r e q u e la corriente de excitación es (10.213)

i(f) = A u ( í ) , sea la c o n d i c i ó n inicial

q(O-)

"o" _1_

" ÍL(O-) " .vc(O-).

(10.214)

y los valores de los c o m p o n e n t e s iguales a 7? = ^ , C = 1 y L = 1. En ese caso

$ ( í ) = (si

s 1/C

- A)"' =

-(1/L) s + iG/C) -iT

s + iG/C) 1/L

-(1/C) í

s^ + iG/C)s

+ (1/LC)

-1-1

s + (G/C) -d/C) s'- + iG/C)s

1/L 5 + (1/LC)

(10.215)

y la solución p a r a las variables de e s t a d o en el d o m i n i o de L a p l a c e es Qis)

= $(í)[BX(5) + q(0-)] ' S

+ iG/C) -d/C)

+ {G/C)s S

+ iG/C) -(1/C)

1/C -i

s^ + iG/C)s

"1"

+ (1/LC) . 1 / C .

i2 + iG/C)s

l/sLC Qis)

l/L s

_s _

1/L i

(10.216)

+ (1/LC)

1/L 5

il/LC) 1

sLC{s^

+ {G/C)s

+ il/LC))

^ L{s^ + iG/C)s

1 Cis^

+ {G/C)s

+ (1/LC)) (10.217)

5 + (1/LC))

+ s^

+ iG/C)s

+ (1/LC)

S u s t i t u y e n d o los valores n u m é r i c o s de los c o m p o n e n t e s , se obtiene 1 sis^- + 3s +\)^

Q(5) =

1 s^- + 3s + 1

1 s ^2 + 3^ + 1 + ^2 _^ 3^. _^ 1

(10.218) J

609 .|o_.|3 análisis de señales y sistemas en e/ espacio de estados

610

O en la f o r m a d e fracciones p a r c i a l e s ,

CAPÍTULO 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

0.17

í + 2.62 0.447 " í + 2.62

1.17 í +

0.447 í +

0.277 Q{s)

0.382

0.447 s + 2.62

0.447 5+0.382

1.17

0.17

5 + 2.62

5 +0.382

(10.219)

0.723

5 + 2.62 ' 5 + 0 . 3 8 2

(10.220)

0.277

0.723

5 + 2.62 • '+5 + 0.382 A p l i c a n d o la t r a n s f o r m a d a de L a p l a c e inversa, 1 - 0.277e-2.62r _ o.723e-0-^**2,

q(0

0.723e-«-3«2, + o . 2 7 7 e - 2 « '

u(r).

(10.221)

A h o r a es p o s i b l e d e t e r m i n a r las r e s p u e s t a s de i n m e d i a t o utilizando la e c u a c i ó n d e salida y(í) = Cq(í) + Dx(í)

y(t)

y(í)

'o 0

1 ' G

q +

"o"

_0_ X =

"o 0

0.723e-0-3'^2, ^ o.277e-2.62r 2.169^-0-^^2/ ^ 0 ^ 8 3 1 g-2.62,

1 - 0.277e-2-62r_ 0.723 0 . 7 2 3 e - 0 - 3 8 2 ' + 0 . 2 7 7 e-2.62r

u(í)

u(f).

(10.222)

(10.223)

E s factible recurrir a la t é c n i c a del análisis del e s p a c i o de e s t a d o s para d e t e r m i n a r la función de transferencia matricial del sistema. L a función d e transferencia se define sólo p a r a la r e s p u e s t a d e est a d o cero. E m p e z a n d o c o n 5Q(5) - q ( O - ) = AQ(5) + B X ( 5 ) ,

(10.224)

y r e q u i r i e n d o q u e el e s t a d o inicial q(O-) sea cero, p u e d e resolverse c o n r e s p e c t o a Q{s) c o m o Q(5) = [si - A ] - ' B X ( 5 ) = cI>(5)BX(5). E n t o n c e s la r e s p u e s t a Y{s) Y(5)

(10.225)

= CQ(5) + D X ( 5 ) = C O ( 5 ) B X ( 5 ) + D X ( 5 ) = [ C O ( 5 ) B + D ] X{s).

(10.226)

P o r c o n s i g u i e n t e , p u e s t o q u e la r e s p u e s t a del s i s t e m a es el p r o d u c t o d e la función d e transferencia del m i s m o y su excitación, la función d e transferencia matricial es H(5)

= C$(5)B + D .

(10.227)

E s t a función d e transferencia relaciona t o d a s las e x c i t a c i o n e s del sistema c o n t o d a s las respuestas del m i s m o por medio de = H(5)X(5).

(10.228)

= C[5l-A]-'B + D.

(10.2291

Y(5) P u e s t o q u e 4>(5) = [5I - A ]

' H(5)

E x a m i n e [5I — A ] ^ . C o m o es la i n v e r s a d e [5I — A ] , es la adjunta d e [5I — A ] , d i v i d i d a entre el d e terminante 5I - A . D e m o d o que cada e l e m e n t o en [5I - A ] - ' tiene u n d e n o m i n a d o r q u e es [5I - A ] (a m e n o s q u e a l g u n o s factores en la t r a s p u e s t a d e la m a t r i z d e los cofactores d e 5I — A c a n c e l e algun o s factores en 5I — A ). P r e m u l t i p l i c a n d o p o r C y p o s m u l t i p l i c a n d o p o r B n o c a m b i a el h e c h o porque C y B son m a t r i c e s d e c o n s t a n t e s . L a adición d e la m a t r i z D n o c a m b i a t a m p o c o los d e n o m i n a d o r e s de los elementos de His) porque es también u n a matriz d e constantes. E n consecuencia, el d e n o m i n a d o r

d e c a d a e l e m e n t o d e ll(s)

es Í I - A (a m e n o s q u e o c u r r a a l g u n a c a n c e l a c i ó n d e p o l o s y ceros). T o -

dos los e l e m e n t o s d e H(5), y c o n s e c u e n t e m e n t e t o d a s las funciones d e transferencia d e las e x c i t a c i o n e s p a r a t o d a s las r e s p u e s t a s , tienen los m i s m o s p o l o s . E s t o c o n d u c e a u n a idea i m p o r t a n t e . A u n c u a n d o la función d e transferencia se define c o m o el c o c i e n t e entre u n a r e s p u e s t a y u n a excitación, los p o l o s d e c u a l q u i e r función d e transferencia del s i s t e m a están d e t e r m i n a d o s p o r el s i s t e m a m i s m o , n o p o r las e x c i t a c i o n e s o las r e s p u e s t a s . E s o s p o l o s son los ceros de 5 I — A ( e x c e p t o para cualquier c a n c e l a c i ó n d e p o l o s y ceros) y los c e r o s d e s i — A s o n los v a l o r e s p r o p i o s d e A . El p r o b l e m a del e j e m p l o anterior p o d r í a h a b e r s e resuelto u t i l i z a n d o u n c o n j u n t o diferente d e variables d e e s t a d o . P o r e j e m p l o , la corriente d e resistor i^(r) y la corriente d e i n d u c t o r i¿(f) p o d r í a n hab e r s e e l e g i d o c o m o las variables de e s t a d o . E n ese caso la e c u a c i ó n del sistema sería -(G/C)

-(G/C)

1/LG

G/C

[Íen(0]

(10.230)

y la e c u a c i ó n de salida c o r r e s p o n d e r í a a Vsal(0

1/G

i«(í)

(10.231)

[len(r)] .

A l r e s o l v e r p a r a las variables d e e s t a d o se e n c u e n t r a q u e

s 4>{s) = [ s í - A ] - '

.?-|-(G/C)

G/C

-(1/LG)

-i-i

Ll/LG

-(G/C) s +

s- + (G/C)s

{G/C)j +

{l/LC)'

(10.232)

E s i m p o r t a n t e notar a q u í q u e el d e t e r m i n a n t e s i — A es e x a c t a m e n t e igual q u e el c o r r e s p o n d i e n t e al p r i m e r conjunto d e variables d e e s t a d o . Es p o s i b l e d e m o s t r a r q u e lo anterior es p o r lo g e n e r a l cierto. E s t o es, el d e t e r m i n a n t e s í - A es i n d e p e n d i e n t e de la e l e c c i ó n d e las variables d e e s t a d o . L a m a t r i z A c a m b i a p e r o el d e t e r m i n a n t e s i — A | n o . P o r lo tanto, el d e t e r m i n a n t e s i — A está i n d i c a n d o algo f u n d a m e n t a l acerca del s i s t e m a m i s m o y n o c u a l q u i e r e l e c c i ó n particular d e la f o r m a en q u e se analiza el sistema. R e c u e r d e q u e al resolver sistemas de e c u a c i o n e s diferenciales, el d e t e r m i n a n t e Al — A fue l l a m a d o la ecuación

característica,

p o r q u e caracteriza al s i s t e m a d e e c u a c i o n e s diferenciales y es

i n d e p e n d i e n t e del m é t o d o e l e g i d o p a r a resolverlas. L a s e c u a c i o n e s de e s t a d o son sistemas de e c u a c i o nes diferenciales q u e d e s c r i b e n s i s t e m a s . P o r lo tanto, la i n v a r i a n c i a de s i — A en la s o l u c i ó n de las e c u a c i o n e s de e s t a d o d e b e e s p e r a r s e a partir d e la i n v a r i a n c i a de Al — A en la solución d e sistemas d e e c u a c i o n e s diferenciales. E s p o s i b l e t r a n s f o r m a r c u a l q u i e r c o n j u n t o d e variables de estado en otro m e d i a n t e u n a transform a c i ó n lineal. S u p ó n g a s e q u e se está u t i l i z a n d o u n v e c t o r de variable d e e s t a d o q,(í) y se d e c i d e usar otro qnit), el cual se r e l a c i o n a c o n qj(f) por m e d i o de q2(í) = Tq,(r),

(10.233)

d o n d e T es la matriz de transformación q u e relaciona los dos vectores de variables de estado. E n t o n c e s q;(r) = T q ; ( 0 = T ( A i q i ( 0 + B i x ( r ) ) = T A i q i ( r ) + T B , x ( r ) .

(10.234)

D e a c u e r d o c o n q^{t) = T ~ ' q 2 ( 0 ; p o r lo tanto, q2(f) = T A , T - ' q 2 ( í ) + T B i x ( / ) = A2q2(r) + B 2 x ( í ) , donde A j = T A j T " ' y

(10.235)

= T B j . E n la e c u a c i ó n d e s a h d a se o b t i e n e

y(r) = C i q i ( f ) + D i x ( ? ) = C i T - ' q 2 ( 0 + D i x ( í ) = C2q2(f) -f- D 2 x ( f ) ,

(10.236)

d o n d e C2 = C j T ~ ' y D 2 = D , . L o s valores propios de A ¡ se determinan mediante el sistema. C u a n d o se elige un conjunto diferente d e variables de e s t a d o t r a n s f o r m a n d o u n c o n j u n t o en otro m e d i a n t e la matriz d e t r a n s f o r m a c i ó n T, n o se c a m b i a el sistema, sólo la f o r m a d e analizarlo. E n c o n s e c u e n c i a , los valores propios de Aj y A j = T A ^ T " ' d e b e n ser los m i s m o s . Esto se demuestra m e d i a n t e el siguiente a r g u m e n t o . C o n s i d e r e el p r o d u c t o . (10.237)

10.13 Análisis de señales y sistemas en el espacio de estados

Al t o m a r el d e t e r m i n a n t e e n a m b o s lados d e ( 1 0 . 2 3 7 ) , CAPITULO 10

|T[5l-A,]T-i|

Análisis de la

fransfonnada

(10.238)

|5l-A2I.

de^ Laplace D e s p u é s es p o s i b l e utilizar dos p r o p i e d a d e s d e los d e t e r m i n a n t e s d e a c u e r d o c o n el a p é n d i c e J. El d e -

de señales y sistemas

t e r m i n a n t e d e u n p r o d u c t o d e d o s matrices es el p r o d u c t o d e sus d e t e r m i n a n t e s , y el d e t e r m i n a n t e d e la i n v e r s a de u n a matriz es el r e c í p r o c o del d e t e r m i n a n t e d e la m a t r i z . Al aplicar esas p r o p i e d a d e s a ( 1 0 . 2 3 8 ) , se o b t i e n e |T||[sI-Ai]||T-'| =

A2I.

(10.239)

L o s d e t e r m i n a n t e s s o n e s c a l a r e s ; p o r lo tanto, la m u l t i p l i c a c i ó n d e d e t e r m i n a n t e s es c o n m u t a t i v a y asociativa y |T||T"'| l í l - A i l

A2I

(10.240)

y, p o r ú l t i m o . UI-A,|

(10.241)

kl-A2I.

P u e s t o q u e los d e t e r m i n a n t e s son iguales, sus raíces t a m b i é n lo son, lo q u e d e m u e s t r a q u e los valores p r o p i o s d e un s i s t e m a son invariantes ante las e l e c c i o n e s d e las variables d e e s t a d o y las r e s p u e s t a s . S i e m p r e es p o s i b l e elegir las variables d e e s t a d o d e m a n e r a tal q u e la matriz del s i s t e m a A sea d i a g o n a l . Si A es d i a g o n a l , e n t o n c e s es d e la f o r m a O

a-)-}

• « 1 1

(10.242)

A = Lo

• • • fl,v,v J

d o n d e N es el o r d e n del sistema. E n t o n c e s el d e t e r m i n a n t e I Í I — A es \sl - A\ = (s - an)(s

- aii)

• • • (s -

ÜNN)-

(10.243)

P u e s t o q u e ésta es u n a f o r m a factorizada, las raíces s o n e x a c t a m e n t e « j j , ^ 2 2 ' • • • > ^ww ^° tanto, si la matriz del s i s t e m a A es d i a g o n a l , los e l e m e n t o s d e la diagonal son los valores p r o p i o s del sistem a y la m a t r i z p u e d e e x p r e s a r s e en la f o r m a

o o

O 0 A = A =

(10.244)

XVJ

(donde A es u n a X m a y ú s c u l a ) . S u p o n g a a h o r a q u e se tiene u n a m a t r i z A del s i s t e m a q u e n o es d i a g o nal y se d e s e a d e t e r m i n a r u n a t r a n s f o r m a c i ó n T q u e la h a g a serlo. E n ese c a s o A = TAT

- 1

(10.245)

P o s m u l t i p l i c a n d o a m b o s lados p o r T, A T = TA.

(10.246)

P u e s t o q u e A y A se c o n o c e n , p u e d e despejarse T de esta e c u a c i ó n . O b s e r v e q u e si se fuera a e n c o n trar u n a solución T de (10.246) y se m u l t i p l i c a d i c h a T p o r u n a escalar K p a r a crear otra matriz de t r a n s f o r m a c i ó n T^ = KT. p o d r í a decirse q u e AT2^hKT

= KAT

(10.247)

= T2A

(10.248)

y d e s p u é s , si se e m p l e a ( 1 0 . 2 4 7 ) , se o b t i e n e A T 2 = KTA

o simplemente AT2

T2A

(10.249)

la cual, salvo p o r el n o m b r e d e la matriz d e transformación, es la m i s m a q u e ( 1 0 . 2 4 6 ) lo q u e p r u e b a q u e la s o l u c i ó n T n o es única. U n a v e z q u e se h a e n c o n t r a d o u n a t r a n s f o r m a c i ó n q u e v u e l v e d i a g o n a l la matriz del sistema, se tiene e n t o n c e s u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d e la f o r m a

qÁt)

qiit)

_q'N(t)_

+ Bx(í)

(10.250)

L<?w(í)J

P u e s t o q u e B y x(í) se c o n o c e n , esta e c u a c i ó n matricial es e q u i v a l e n t e a u n conjunto d e A'' e c u a c i o n e s diferenciales d e s a c o p l a d a s e n

i n c ó g n i t a s , q^,

• • • , q¡^,. C a d a e c u a c i ó n p u e d e r e s o l v e r s e sin refe-

rirse a las d e m á s . D e tal m o d o , c o n v e r t i r en d i a g o n a l la matriz del s i s t e m a t r a n s f o r m a la s o l u c i ó n d e N e c u a c i o n e s diferenciales s i m u l t á n e a s d e p r i m e r o r d e n a c o p l a d a s en

s o l u c i o n e s de e c u a c i o n e s di-

ferenciales d e p r i m e r o r d e n i n d e p e n d i e n t e s . El c o n c e p t o d e objeto del s i s t e m a d e M A T L A B i n c l u y e m o d e l o s d e sistemas e n el e s p a c i o d e est a d o s en T C . L a función f u n d a m e n t a l es s s y su sintaxis es

sys = ss(A,B,C,D) ; d o n d e A , B , C y D son las m a t r i c e s d e la r e p r e s e n t a c i ó n del e s p a c i o de e s t a d o s del m i s m o n o m b r e . L a función s s d a t a e x t r a e m a t r i c e s del e s p a c i o d e estado a partir de u n a d e s c r i p c i ó n del s i s t e m a d e u n a m a n e r a a n á l o g a a z p k d a t a y t f d a t a . L a función s s 2 s s t r a n s f o r m a u n m o d e l o del e s p a c i o d e e s t a d o s e n otro. L a sintaxis es

sys = ss2ss(sys,T) ; d o n d e T es la matriz d e t r a n s f o r m a c i ó n .

10.14 RESUMEN DE PUNTOS IMPORTANTES 1. U n sistema estable tiene u n a función d e transferencia con todos sus polos en el semiplano izquierdo abierto del p l a n o s. 2. L a s técnicas d e r e t r o a l i m e n t a c i ó n son a m e n u d o m u y i m p o r t a n t e s e n el m e j o r a m i e n t o del d e s e m peño de sistemas. 3. L a r e t r o a l i m e n t a c i ó n p u e d e estabilizar un sistema inestable, pero t a m b i é n es p o s i b l e q u e desestabilice a u n s i s t e m a estable. 4. E s p o s i b l e utilizar la r e t r o a l i m e n t a c i ó n p a r a crear u n s i s t e m a oscilante estable m a r g i n a l m e n t e . 5. L a s técnicas d e análisis d e R o u t h - H u r w i t z , el l u g a r g e o m é t r i c o de las raíces y el m a r g e n d e gan a n c i a y fase c o n s t i t u y e n h e r r a m i e n t a s valiosas p a r a valorar la estabilidad y el d e s e m p e ñ o del sistema. 6. Diferentes tipos d e sistemas de r e t r o a l i m e n t a c i ó n de g a n a n c i a unitaria t i e n e n diferentes errores d e s e g u i m i e n t o en la r e s p u e s t a a señales estándar. 7. L o s d i a g r a m a s d e b l o q u e s p u e d e n r e d u c i r s e g r á f i c a m e n t e d e m a n e r a directa m e d i a n t e el t e o r e m a de M a s ó n o M A T L A B . 8. L a r e s p u e s t a de los s i s t e m a s a señales e s t á n d a r c o m o el e s c a l ó n u n i t a r i o y la s e n o i d e son útiles p a r a revelar sus características. 9. L a respuesta en frecuencia de un sistema se deduce a partir del diagrama de polos y ceros del mismo. 10. Hay varios m é t o d o s estándar d e realización de sistemas a partir de las funciones de transferencia. 11. E n el análisis sistemático d e sistemas d e e n t r a d a m ú l t i p l e y salida m ú l t i p l e , las técnicas d e análisis del e s p a c i o d e e s t a d o s resultan m u y útiles y r e d u c e n d e m a n e r a significativa la p r o b a b i l i d a d d e c o m e t e r errores d e análisis y p r o m u e v e n el e n t e n d i m i e n t o de la d i n á m i c a d e los s i s t e m a s .

EJERCICIOS CON RESPUESTAS 1.

P a r a c a d a circuito escriba la función de transferencia entre la e x c i t a c i ó n y la r e s p u e s t a indicadas. E x p r e s e c a d a función d e transferencia en la f o r m a estándar. H(s) =

A-

bN-is'

• • • -I-

bis-

bis

+ ao

Ejercicios con respuestas

614

a) E x c i t a c i ó n : v^(í)

R e s p u e s t a : v (f) R^

C A P Í T U L O 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

• «2

b) E x c i t a c i ó n : i^(f)

V„(í)

Respuesta: v (í)

-AAAr-AAA--

c) E x c i t a c i ó n : v^(0

-0 +

R e s p u e s t a : i¡(r)

-AAV ' iiíí)

Respuestas: .2 + , -

1 1

s^ + s l -—-

+ ——

,R2C2

R2C1

+ ——

R1R2C1C2

RiCiJ

RiLC

R-. + R1

R2\

RiC

L J

RiLC 1

R1C1C2

1 R\CJ

R1R2C1C2

P a r a c a d a d i a g r a m a d e b l o q u e s escriba la función de transferencia entre la excitación x(í) y la r e s p u e s t a y(f). ' x(r)

1 \R2C2

s- + s

x(í)-

tay

r - 1

• y(í)

-y(f)

- 1

- 1 0

Respuestas: 1 «3 + 8^2 + 2s'

~ s 3 + 4 s 2 + 105

E v a l ú e la estabilidad d e los sistemas con c a d a u n a de estas funciones de transferencia. 100

H(5)

H(5) =

200

5 +

6 1)

5(5 +

5 3

52 + 45

+ 29

H(5)

H(5) = y

- 4

155 52 + 45 + 4 52 + 4

52 - 4 5

+ 29

H(5)

+ 64

53 + 452 + 295

Respuestas:

Tres son estables, cuatro son inestables i n c l u y e n d o dos q u e son m a r g i n a l m e n t e estables 4. D e t e r m i n e las funciones de transferencia totales de los siguientes sistemas en la f o r m a de un cociente simple de p o l i n o m i o s en s. a)

x(0-

s- + 3i- + 2

y(f)

3.Í + 2

s +1 + n

s- + 2s

x(í)-

• yit) 1

s + 10

x(f)

s / +s +

yit)

r d)

20í

x(í)-

-^y(r)

+ 200.S + 290 000 1

s +

400

Respuestas:

52 + 4005

52+^5 +

s-"* + 6 0 0 s 2 + 3 7 0 OOO5 + 1.16 X 1 0 ^ '

5 ^ + 12s2 + 3 3 5 + 1 3 0 '

.2 105.

'4 + 653 + 1352 + 125 + 4 '

52 + 25 +

E n el sistema r e t r o a l i m e n t a d o de la figura E 5 , d e t e r m i n e la función de transferencia total del sist e m a para los siguientes valores de la g a n a n c i a K de trayectoria directa. a)

K = 10^

K = 1

K = -1

K =

X(5)

+ / ^

O.I

-10

Yis)

F I G U R A E5

Respuestas: 5,

CAPITULO 10 A.nal»sis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

-1.111,

-00,

0.909,

10,

E n el sistema r e t r o a l i m e n t a d o q u e se p r e s e n t a en la figura E 6 , grafique la respuesta del sistema a u n escalón unitario, en el intervalo de t i e m p o O < ? < 10, y escriba d e s p u é s la e x p r e s i ó n para la función de transferencia total del sistema y dibuje un d i a g r a m a p o l o s y ceros, p a r a los siguientes valores de K. a)

K = 20

K = 10

K = l

K =

-1

K = -10

K =

-2i

Respuestas: h_,(f)

h_|(í) Stt-

- X

-3

—l-^r 10

-1

-8-77-

-|->-í 1 ' 3

-3 - 3 2 000

-Sirf

h_,(r)

h_|(f) Stt-Í-

8 000-t \

1 *

-3 :

-1

-3

- 8 000

t0 8tt-

1 í -8tt-

-100

-3

h.,(í)

\ y.

-3

8tt

-1

1 1 1 * ^

-H-T -1

-8iT +

-2 +

¿ P a r a qué intervalo de valores de K es estable el sistema d a d o en la figura E 7 ? Grafique las respuestas al escalón para K=0,K = AyK='&.

Respuesta: K<A, K=0 h_,(/) 3 000-í-1

h-,(') -+---0.5

0.25

X(í)-

Yis) X{.v) -

Retraso de tiempo de un segundo

FIGURA E 6

1 - 4s -I- 4 Ks

FIGURA E 7

100

X(5)-

Yis)

+ 2s + 26

10 20

F I G U R A E8 8.

Grafique la respuesta al i m p u l s o y el d i a g r a m a de p o l o s y ceros para la trayectoria directa y el sistema c o m p l e t o de la figura E8.

Respuestas: Trayectoria directa h,(0

+ 5

20Í. -1

-0.5 -20 +

:+-5 Sistema completo

h(/)

-22.12 <-o—

30Í

WWWWWl

-I-0.5 -30 +

H(s)

8.29

-0.0612

-20

-t

-8.29 +

M e d i a n t e el m é t o d o d e R o u t h - H u r w i t z , evalúe la estabilidad del sistema c u y a función de transferencia es s^ s^ +

2^4

+ 3s

+ 10

+ 10^3 +

20 •

4s2 + 8s

Respuesta: Inestable 10. M e d i a n t e la p r u e b a de estabilidad de R o u t h - H u r w i t z , evalúe la estabilidad del s i s t e m a c u y a función de transferencia es de la f o r m a general

Uis)

¿ C u á l e s son las r e l a c i o n e s entre

Nis) s^ + ajs-

+ a\s + ao

^\ y % q u e aseguran la estabilidad?

Respuesta:

«2 > O, aia2 > ao, OQ > 0. 11.

Grafique el lugar g e o m é t r i c o de las raíces de c a d a u n o de los sistemas que tienen las siguientes funciones d e transferencia de l a z o e identifique las funciones de transferencia q u e son estables p a r a todos los valores reales positivos de K.

Tis)

= (s +

3)(5-f8)

Ks T(5)

T(s)

Tis)

3)is

Ks(5 + 3)(s

K (s +

l)(s2

+ 4s +

-8-3

-3

12.

-1

Utilice el d i a g r a m a de b l o q u e s de u n amplificador inversor e m p l e a n d o u n amplificador operacional d a d o en la figura E 1 2 , c o n Aq = 10'^, p = -2 OOOTT, = 1 0 k í l y Z¿ = 1 k í l p a r a d e terminar los m á r g e n e s de g a n a n c i a y fase del amplificador.

Respuestas: 9 0 ° , infinito 13. Grafique las respuestas al escalón unitario y a la rampa de sistemas retroalimentados de ganancia unitaria con las siguientes funciones de transferencia de trayectoria directa.

Hi(s)

Hi(5) =

100

s(s +

- 10

100

s'-{s +

Hi(í)

d) 10)

Zf{s) Z,(s) + Zfis)

10)

{s + 2){s + 6)

yM) I 1

V„(s) ' 1

Z¡(s) Z¡(s) + Z/s)

F I G U R A E12 Respuestas: Respuesta a la rampa unitaria

Respuesta al escalón unitario

h_,(f)

h_,(r)

Respuesta a la rampa unitaria

h_|(t)

0.4

-+^t Respuesta a la rampa unitaria

-40 +

Respuesta a la rampa unitaria

Respuesta al escalón unitario

h_,(r)

Respuesta al e.scalón unitario

li-,(f)

14.

R e d u z c a los siguientes d i a g r a m a s de b l o q u e s a u n o solo. Verifique la r e s p u e s t a m e d i a n t e el teor e m a de M a s ó n . Y{s)

X(s)-

-2

s + 3

s + 20

Y(s)

X(s)-

s + 1

s + 20

-20J

(.? + 3) 15.

Y(í)

+ 20s + 10)

X(i)-

+ 20s - 5) 5)

D e t e r m i n e las respuestas de los sistemas c o n las siguientes funciones calón unitario y a u n c o s e n o de 1 H z de a m p l i t u d unitaria aplicado de m i n e t a m b i é n las respuestas a u n c o s e n o real de 1 H z de a m p l i t u d m a n e r a repentina) m e d i a n t e la T F T C y c o m p a r e con la parte de e s t a d o tal q u e se e n c o n t r ó con la t r a n s f o r m a d a de L a p l a c e .

H(s) =

H(s)

s^ + 2s + 4 0

H(5)

H(s)

Respuestas: (Respuestas al escalón) [ 1 -j- 2 í 4- 20t^]u{t), 16.

s"(5-

(s + 1) ( r + 20J

• Y(í)

de transferencia a u n esm a n e r a repentina. Deterunitaria (no a p l i c a d o de estable de la solución t o -

s+l .r + 2s

ramp(í),

•40

seni ^39

39r)

u(t),

e-'uit)

Para cada diagrama de polos y ceros dibuje la m a g n i m d de la respuesta en frecuencia aproximada. a)

- 2

-4

-3

e) 10 +

-10 + Respuestas: |H(/)| 0.5r

-20

620

|H(/)|

C A P Í T U L O 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

0.05-

1 1

]

—1

17.

Utilice sólo u n a c a l c u l a d o r a p a r a d e t e r m i n a r la función de transferencia d e u n filtro B u t t e r w o r t h pasabajas de tercer o r d e n {n = 3) c o n frecuencia de corte

= 1 y g a n a n c i a unitaria a frecuen-

cia cero. Respuesta: 1 s3 + 2^2 + 2s -t- 1 18.

Utilice M A T L A B p a r a determinar la función de transferencia de u n filtro Butterworth pasabajas de o c t a v o orden c o n frecuencia de corte

= 1 y ganancia unitaria a frecuencia cero.

Respuesta: 1 + 5.1265^ + 13.1371S6 + 21.8462^5 + 25.6884s4 + 21.8462s3 + 13.1371^2 + 5.126s + 1 19.

E n c u e n t r e las funciones de transferencia de los siguientes filtros B u t t e r w o r t h . á)

Pasaaltas de s e g u n d o orden c o n u n a frecuencia de corte de 2 0 k H z y u n a g a n a n c i a p a s a b a n da de 5.

P a s a b a n d a de t e r c e r o r d e n c o n u n a f r e c u e n c i a c e n t r a l de 5 k H z , u n a n c h o de b a n d a de

U n s u p r e s o r de b a n d a de cuarto o r d e n c o n u n a frecuencia central de 10 M H z , un a n c h o de

— 3 d B de 500 H z y u n a g a n a n c i a p a s a b a n d a de 1. b a n d a de - 3 d B de 50 k H z y u n a g a n a n c i a p a s a b a n d a de 1. Respuestas:

3.1

s6 + 6283^5 + 2.97 x l O V + 1 . 2 4 x W's^'

1 010,3 '"í

+ 2 . 9 3 x m^^s'-

+ 6.09 x lO^^s + 9 . 5 4 2 x

1026'

+ 1.57 X l O ' V + 9.243 x 10"s^ + 2.418 x + 2.37,3 x 10^^ [i8 + 8.205 X lO^s^ + 1.57 x m^(-s^+ 9M5 x IO-'í-' +9.24 x lO^'í-*-|-3.729 x 1037^3+2.419 x 10^'.!-4-5.256 x 105^^-1-2.373 x K 5s2 j2 + 1.777 X lOh

20.

+ 1.579

10'»

Dibuje d i a g r a m a s de sistemas c a n ó n i c o s de los sistemas c o n estas funciones de transferencia. a)

H(5)

1 =

H(5) =

s + 3 s + 10

Respuestas:

X{s)

Xis)-

Y(s)

21.

D i b u j e d i a g r a m a s d e s i s t e m a s e n c a s c a d a d e los s i s t e m a s c o n las s i g u i e n t e s f u n c i o n e s de transferencia. a)

H{s)

H(í)

s + 1

H(s)

s+4 ( í + 2 ) ( í + 12)

20 s{s^ + 5s + 10)

Respuestas:

Y(s) X(.sO •

X(j) •

- Y(í)

Yi(s)

X(.s)

22.

Y(5)

Dibuje d i a g r a m a s de sistemas en paralelo de los sistemas con las siguientes funciones de transferencia. a)

H(s)

ms)

-12 s^ + ?,s + 10 2s^

Respuestas:

-3:

X(í)-

• Y(í)

X(í) -

23.

E s c r i b a las e c u a c i o n e s de estado y d e salida p a r a el circuito de la figura E 2 3 con la corriente de inductor i¿(f) y el voltaje de capacitor V p ( í ) c o m o las variables de estado, el voltaje a la entrada v¿(f) c o m o la excitación, y el voltaje a la salida v¿(í) c o m o la respuesta.

C=lKiF

R=IQÜ +

W r —

° + Vc(f)

v,-(f)

F I G U R A E23 Circuito RLC.

L = 1 mH

Vi(0

-i:

Y(.5)

C A P Í T U L O 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

"v'cW"

1/C -{R/L)

-(1/L) vl(í)-[-1

24.

vc(0 Íl(í)

-R

'YCÍO'

0 . i / ¿ . v,(í).

_l_

.kit). + v/(r)

E s c r i b a las e c u a c i o n e s d e estado y d e salida p a r a el circuito d e la figura E 2 4 c o n la c c n «ente d e i n d u c t o r i^(r) y el voltaje d e capacitor v^(f) c o m o las variables d e estado, la corriente i, la e n trada i-(r) c o m o la excitación, y el voltaje e n la salida v ^ ( í ) c o m o la respuesta.

Respuesta:

•vc(0"

'vc(r)"

JDT)

v„(r) = [0

25.

1 _i_

c i/(0, R - L -

vc(0 Íl(0

-R]

D e a c u e r d o c o n la función d e transferencia del sistema s{s

-r

escriba u n conjunto d e ecuaciones d e estado y de salida c o n u n ntímero m í n i m o d e estados. Respuesta:

"sQi(s)"

26.

0 X{s), + 3s _

1 " ' Q i ( í ) " _1_ _|_ -2_

-9

_SQ2(S)_

= [l

Y(5)

Qi(^)

Escriba las e c u a c i o n e s d e estado y d e salida para el sistema c u y o d i a g r a m a de b l o q u e s es el d e la figura E 2 6 , utilice las respuestas d e integradores c o m o las variables d e estado.

Respuesta:

q'i(0 q2(0 q3(0 27.

-2

-8

qi(í) q2(0 q3(f)

x(0,

y(0 = [ i

q2(0 _q3(0

U n sistema se excita m e d i a n t e la señal x(f) = 3u(f) y la respuesta es y(í) = 0.961e~'-^' sen(3.122f) u(r). E s c r i b a u n conjunto de ecuaciones de estado y de salida c o n u n ntímero m í n i m o d e estados. x(í)-

ií(f)

/? = 100 O

Z. = 1 mH í

vc(t)

y(f)

F I G U R A E24 Circuito RLC.

F I G U R A E26 Un sistema.

Respuesta: 5Q,(S)

-12

1 -3

Qid) Q2(í)

Xis),

Y{s)

= [l

Qi(s) Qiis),

28.

U n sistema se describe m e d i a n t e la e c u a c i ó n diferencial y " ( ? ) + 4 y ' ( / ) + 7 y ( í ) = 10

COS(200ITÍ)

Ejercicios con respuestas

u(f)-

E s c r i b a un conjunto de e c u a c i o n e s de estado y de salida para este sistema. Respuesta:

q'i(0 Lq2(0j y(0 = [i 29.

1 -4

-7 0]

qiW

Lq2(0J

10COS(200TTÍ)U(Í),

qi(0 Lq2Wj

U n sistema se describe m e d i a n t e las e c u a c i o n e s de e s t a d o y las e c u a c i o n e s de salida

"q',(0" .qóíO.

"-2 3

r "q!(0" 0_ . q i ( o .

"yiW"

3 _-2

5" "qi(0" 4_ . q 2 ( 0 .

.y2(0.

con excitación

"xi(r)'

"-8(0"

.X2(0.

. u(0

D e t e r m i n e el vector

yi(0 Ly2(0j

1 -2

2 O

x,(0 X2(í)

y c o n d i c i o n e s iniciales,

"qi{0-)"

"o"

.q2(0').

_3_

de respuesta del sistema.

Respuesta: 5e-^' + 27e' - 10 15e--^' + I5e' - 8 30.

u(í)

U n sistema se describe m e d i a n t e la e c u a c i ó n de estado vectorial y la e c u a c i ó n de salida q'(0 =

Aq(r)+Bx(r)

y(í) = Cq(í) + Dx(r),

donde A =

-1 2

-3 -7

, B =

, c =

2 O

-3 4

D =

1 O

O O

Defina dos nuevos estados, en términos de los anteriores, para los cuales la matriz A es diagonal y reescriba las e c u a c i o n e s de estado. Respuestas:

q2(0 = 31.

0.8446 -0.3893

-0.5354 0.9211

q'i(í),

-2.2679 O

O -5.7321

q2(0 -

0.8446 -0.3893

-0.5354 0.9211

x(f)

P a r a las e c u a c i o n e s de e s t a d o y d e salida originales del ejercicio 30 escriba u n a descripción de e c u a c i ó n diferencial del sistema.

Respuesta: y\{t)

= - 4 y i ( r ) + - y 2 ( í ) + 6 x i ( í ) - 3x2(?) +

y'iit)

= 4 y i ( 0 - 4y2(í) - 4 x , ( 0 - 4 x 2 ( í )

x\{t),

EJERCICIOS SIN RESPUESTAS C A P Í T U L O 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

32.

Determine las funciones de trasferencia en el dominio s para los circuitos indicados y dibuje después los d i a g r a m a s d e b l o q u e p a r a los m i s m o s c o m o sistemas c o n excitación V - C Í ) y r e s p u e s t a y gis). L = 5 mH

l O k . Q

C = 1 |xF

R = 10 kO W V

-o +

v,-(í) v,(í)

L =

v„(í)

C = 1 ^F::^v„(f)

5raHsi

a) R = 10

í. = 5mH

R = 10 k P . -^VvV—

v,(/)

(íF 4 ^

v„(f)

0 -

v,-(í)

—WV— C = 1 (jlF

C = 1 |J.F

i ;

v„(í)

c) 33.

R = lOkn

k n

—

D e t e r m i n e si los sistemas c o n las siguientes funciones d e transferencia son estables, m a r g i n a l m e n t e estables o inestables.

34.

ms)

s(s + 2) s- + ?>

s- + 4.V

s{s - 2) \ _ s-

ms) =

ms) = -

s- - As +

D e t e r m i n e la e x p r e s i ó n p a r a la función de transferencia total del s i s t e m a q u e se i n d i c a en la figura E 3 4 . D e t e r m i n e el valor de K p a r a el cual el s i s t e m a es estable en c a d a u n a d e las siguientes s i t u a c i o n e s : a) c)

(3=1 |3 =

(3 =

-l

X(í)-

K s ^ 10

. Y(í)

X(.v) -

K {s + 1) (s

F I G U R A E35

F I G U R A E34

X(í) -

F I G U R A E36

is + 1

+ 2)(s + 3)

- Y(í)

-I-

35.

E n c u e n t r e la e x p r e s i ó n p a r a la función de transferencia total del sistema d a d o en la figura E 3 5 . ¿ P a r a q u é valores positivos de K el sistema es estable?

36.

E n c u e n t r e la expresión p a r a la función de transferencia total del sistema q u e se presenta en la figura E 3 6 . Utilice M A T L A B p a r a graficar las trayectorias de los p o l o s de la función de transferencia total del sistema en función de K. ¿ P a r a qué valores positivos de K el sistema es estable? L o s t e r m o p a r e s se utilizan p a r a m e d i r la t e m p e r a t u r a en m u c h o s p r o c e s o s industriales. U n term o p a r suele m o n t a r s e m e c á n i c a m e n t e d e n t r o de un t e r m o p o z o , u n r e v e s t i m i e n t o m e t á l i c o que lo protege de daños por vibración, esfuerzos, flexión u otras fuerzas. U n efecto del t e r m o p o z o es que su m a s a térmica reduce la respuesta de tiempo efectivo de la combinación termopar-termopozo c o m p a r a d a con la respuesta de t i e m p o inherente del t e r m o p a r solo. C o n s i d e r e que la t e m p e ratura real en la superficie exterior del t e r m o p o z o en Kelvin es Tp) y que el voltaje q u e se g e n e r a m e d i a n t e el t e r m o p a r en r e s p u e s t a a la t e m p e r a t u r a c o r r e s p o n d e a v^it). L a r e s p u e s t a del t e r m o p a r a u n c a m b i o de escalón de 1 K en la t e m p e r a t u r a de la superficie exterior del t e r m o p o z o de r¡ a -f 1 es

37.

v , ( í ) = K\T,

38.

{ \ - e

-(r/0.2)

) u(r)

d o n d e K es la c o n s t a n t e de c o n v e r s i ó n temperatura-voltaje del termopar. a) C o n s i d e r e q u e la c o n s t a n t e de c o n v e r s i ó n esK= 40 p . V / K . D i s e ñ e u n filtro activo q u e p r o c e s e el voltaje del t e r m o p a r y c o m p e n s e su retraso de t i e m p o h a c i e n d o q u e el sistema c o m pleto t e n g a u n a r e s p u e s t a a u n c a m b i o de t e m p e r a t u r a de la superficie del t e r m o p o z o de u n e s c a l ó n de 1 K q u e es u n escalón de voltaje de 1 mV. b) S u p o n g a q u e el t e r m o p a r t a m b i é n está sujeto a u n a interferencia e l e c t r o m a g n é t i c a ( l E M ) de u n e q u i p o eléctrico de alta p o t e n c i a cercana. S u p o n g a q u e la l E M se m o d e l a c o m o una sen o i d e c o n u n a a m p l i t u d de 2 0 |jlV en las terminales del termopar. C a l c u l e la r e s p u e s t a de la c o m b i n a c i ó n termopar-filtro a las frecuencias l E M de 1. 10 y 6 0 Hz. ¿ Q u é tan g r a n d e es la fluctuación de t e m p e r a t u r a aparente o c a s i o n a d a por la l E M en c a d a c a s o ? U n láser opera con base en el principio fundamental de que el m e d i o de b o m b e o amplifica un haz de luz viajera q u e se p r o p a g a a través del m e d i o . Sin espejos, u n láser se convierte en u n a m p h ficador de o n d a viajera d e u n solo p a s o (figura E 3 8 a ) . Éste es u n sistema sin r e t r o a l i m e n t a c i ó n . Si se c o l o c a n a h o r a espejos en c a d a e x t r e m o del m e d i o de b o m b e o , se introduce r e t r o a l i m e n t a ción en el sistema. C u a n d o la g a n a n c i a del m e d i o se vuelve suficientemente g r a n d e , el sistema oscila c r e a n d o u n h a z de luz de salida c o h e r e n t e . A s í o p e r a el láser. Si la g a n a n c i a del m e d i o es m e n o r q u e la r e q u e r i d a p a r a sostener la oscilación, el sistema se c o n o c e c o m o u n amplificador de o n d a viajera r e g e n e r a t i v o ( A O V R ) .

Bombeo

L .ser

' — ¡ ^ — i i Luz incidente '

Espejo

Medio

Bombeo

L ser

Medio

Espejo i

Luz que sale

— — — ^

a) p,

Erefl(^)

^ C)

F I G U R A E38 a) Un amplificador de ondas luminosas viajeras de un paso, b) un amplificador de onda viajera regeneratíva y c) diagrama de bloques de un AOVR. C o n s i d e r e un c a m p o eléctrico de u n h a z l u m i n o s o incidente en el A O V R p r o v e n i e n t e de la izquierda c o m o la excitación del sistema E-^^^(s), y sean los c a m p o s eléctricos de la luz reflejada E (s) y de la luz transmitida E ^..^j^j, (s) las respuestas del sistema (figura E 3 8 c ) .

Ejercicios sin respuestas

C o n s i d e r e q u e los p a r á m e t r o s del sistema son los siguientes:

626 C A P Í T U L O 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

Reflectividad del c a m p o eléctrico del espejo de entrada r, = 0 . 9 9 T r a n s m i s i v i d a d del c a m p o eléctrico del espejo de e n t r a d a í; = v 1 Reflectividad del c a m p o eléctrico del espejo de salida r,, = 0 . 9 8 T r a n s m i s i v i d a d del c a m p o eléctrico del espejo d e salida tg = ^\

—

Ganancias de c a m p o eléctrico de la trayectoria directa e inversa gfp(í) =

LOlg-'"

D e t e r m i n e u n a e x p r e s i ó n p a r a la r e s p u e s t a e n frecuencia ^y^^^^f)l^\^.^ti.f) d e este amplificad o r óptico y grafique su m a g n i t u d p a r a el intervalo de frecuencia 3 X lO''^ ± 5 X 10^ H z . 39.

U n e j e m p l o clásico del u s o de r e t r o a l i m e n t a c i ó n es el l a z o de fase s i n c r o n i z a d a utilizado para d e m o d u l a r s e ñ a l e s m o d u l a d a s en f r e c u e n c i a (figura E 3 9 ) . L a señal d e e n t r a d a x(f) es u n a sen o i d e m o d u l a d a en frecuencia. El detector de fase e n c u e n t r a la diferencia de fase entre la señal de e n t r a d a y la q u e p r o d u c e el o s c i l a d o r c o n t r o l a d o p o r voltaje. L a r e s p u e s t a del d e t e c t o r de fase es u n a señal de voltaje p r o p o r c i o n a l a la d i f e r e n c i a de fase. El filtro de l a z o filtra d e s p u é s d i c h a señal y l u e g o c o n t r o l a la f r e c u e n c i a del o s c i l a d o r c o n t r o l a d o p o r voltaje. C u a n d o la señal de e n t r a d a es u n a f r e c u e n c i a c o n s t a n t e y se s i n c r o n i z a el l a z o , la d i f e r e n c i a d e fase entre las d o s señales del d e t e c t o r de fase es c e r o . ( E n un d e t e c t o r de fase real la d i f e r e n c i a de fase es 90° e n la s i n c r o n i z a c i ó n . Sin e m b a r g o , este v a l o r n o es significarivo e n el análisis p u e s t o q u e sólo o c a s i o n a u n d e s p l a z a m i e n t o de fase d e 90° y n o t i e n e i m p a c t o s o b r e el d e s e m p e ñ o o e s t a b i l i d a d del s i s t e m a . ) C u a n d o v a r í a la f r e c u e n c i a de la señal de e n t r a d a x(r), el l a z o d e t e c ta la v a r i a c i ó n de fase a s o c i a d a y la si g u e. L a s e ñ a l de s a l i d a c o m p l e t a y(í) es p r o p o r c i o n a l a la f r e c u e n c i a de la señal de e n t r a d a .

x(f)-

Detector

Filtro de

de f a s e

la/.o Hlp(.v)

Oscilador

yvcoW

controlado por voltaje

FIGURA E 3 9 U n lazo d e fase cerrada.

L a excitación real, en un sentido sistemático, de este sistema n o es x(í), sino m á s b i e n la fase de x(r), c))^.(r): d e b i d o a q u e el detector de fase distingue diferencias de fase, n o de voltaje. Sea la frecuencia de x(í), í^it). L a relación entre la fase y la frecuencia p u e d e advertirse e x a m i n a n d o u n a senoide. Sea x(f) = A c o s ( 2 7 T / Q r ) . L a fase de este c o s e n o es 2 T T / Q Í y, p a r a u n a senoide simple de (/Q constante), se i n c r e m e n t a l i n e a l m e n t e c o n el t i e m p o . L a frecuencia C S / Q , la derivada de la fase. E n c o n s e c u e n c i a , la relación entre fase y frecuencia p a r a una señal m o d u l a d a en frec u e n c i a es f.(0 = - ^ ^ ( c t ) . v ( 0 ) . 2 1 7 dt C o n s i d e r e que la frecuencia de la señal de entrada es igual a 100 M H z y q u e la función de transferencia del oscilador c o n t r o l a d o por voltaje sea 10^ H z / V . Se c o n s i d e r a r á q u e la función de transferencia del filtro del lazo es 1 Hlf(í)

í -F

1.2

105'

Sea la función de transferencia del detector de fase igual a 1 V/rad. Si la frecuencia de la señal de excitación c a m b i a d e m a n e r a r e p e n t i n a a 100.001 M H z , grafique el c a m b i o en la señal de salida Ay(r). Grafique el lugar g e o m é t r i c o de las raíces de los sistemas q u e tienen las siguientes funciones de transferencia d e lazo e identifique, entre éstas, las q u e son estables p a r a todos los valores reales positivos de K.

-AA/\r

+ o-

R„

Salida

-^AA/

+ R, S v,.(í)

í,- =

Vv(í)

Mfi, fi, =

kfi, C, =

jxF, R„ =

n , Ao = lO*

F I G U R A E41 Modelo simple de un amplificador operacional. Ro

-AAAr-

Salida

-^Wv

V.vW

- A A V

1 MH,

, =

ka,

C, =

8 |JLF, R „ =

Cl. Aq

1 0 * . /?,• =

kO..

k.O

F I G U R A E42 Amplificador operacional conectado como un amplificador no inversor.

41.

T{s)

T(s)

T ( 5 ) -

T(s) =

+ 10)

K(s-+10)

(s + l ) ( í 2 + 4s + 8) K + 31

+ 332s + 8 0 0

(s + \)(s'd) T(s)

Kis

+ 4s

- 4)

s + 4

Kis-4) (s + 4)2 Kis+

(s + 5 ) ( s + 9)(s2 + 4s + 12)

El circuito d e la figura E 4 1 es u n m o d e l o a p r o x i m a d o simple de un amplificador o p e r a c i o n a l de e n t r a d a invertida c o n c o n e x i ó n a tierra. a)

42.

K{s

Defina la excitación del circuito c o m o la corriente de una fuente de corriente aplicada a la e n t r a d a n o inversora, y defina la respuesta c o m o el voltaje que se g e n e r a entre la entrada n o i n v e r s o r a y la c o n e x i ó n a tierra. D e t e r m i n e la función de transferencia y grafique su resp u e s t a en frecuencia. E s t a función de transferencia es la i m p e d a n c i a de entrada. Defina la e x c i t a c i ó n del circuito c o m o la corriente de u n a fuente de corriente aplicada a la salida, y defina la respuesta c o m o el voltaje g e n e r a d o entre la salida y la c o n e x i ó n a tierra con la e n t r a d a n o inversora c o n e c t a d a a tierra. D e t e r m i n e la función de transferencia y grafique su respuesta en frecuencia. E s t a función de transferencia es la i m p e d a n c i a d e salida. Defina la excitación del circuito c o m o el voltaje de u n a fuente de voltaje aplicada a la entrada n o inversora, y defina la r e s p u e s t a c o m o el voltaje g e n e r a d o entre la salida y la c o n e xión a tierra. D e t e r m i n e la función de transferencia y grafique su r e s p u e s t a en frecuencia. E s t a función de transferencia es la g a n a n c i a de voltaje.

C a m b i e el circuito de la figura E 4 1 p o r el de la E 4 2 . É s t e es un circuito r e t r o a l i m e n t a d o q u e e s tablece u n a g a n a n c i a de voltaje d e lazo c e r r a d o positiva del amplificador c o m p l e t o . R e p i t a los

Q B

p a s o s a), b) y c) del ejercicio 4 1 para el circuito r e t r o a l i m e n t a d o y c o m p a r e los r e s u l t a d o s . ¿ C u á -

^^^^p^l^Q yy„3jigig

les son los efectos i m p o r t a n t e s de la r e t r o a l i m e n t a c i ó n en este circuito? |3

43.

transfofmada de Laplace

G r a f i q u e las r e s p u e s t a s al e s c a l ó n unitario y a la r a m p a d e los sistemas r e t r o a l i m e n t a d o s d e gan a n c i a unitaria c o n las siguientes funciones d e transferencia d e trayectoria directa.

de señales y sistemas

44.

45.

Hi(5) =

Hi(í) =

fe)Hi(í) "

5(.5+2)(5+6) 100 -

s'- +\0s

d) H i ( 5 )

+ 34

s-{s

+ 2)(s

s(s-

+ ms

+ 6)

100 =

+ 34)

100

s-{s-

+ lOí + 34)

Dibuje los d i a g r a m a s d e polos y ceros d e las siguientes funciones d e transferencia.

m )

H(5)

His)

(s + 3 ) ( í sis

+ T)is

+ 6)

s s- + s + \ sis 5^

+ 10)

+ l l í + 10 1

is + \)is-

+ 1.618 + l)(.y2 + 0 . 6 1 8 +

U n s i s t e m a de s e g u n d o o r d e n se excita m e d i a n t e un e s c a l ó n unitario y la r e s p u e s t a es la q u e se ilustra en la figura E 4 5 . E s c r i b a u n a e x p r e s i ó n p a r a la función d e transferencia del sistema.

46.

Para c a d a u n a de las gráficas de p o l o s y ceros d e t e r m i n e si la r e s p u e s t a en frecuencia es la de u n filtro práctico p a s a b a j a s , p a s a b a n d a , pasaaltas o s u p r e s o r d e b a n d a .

Respuesta al escal n

30 Tiempo (s)

FIGURA E 4 5 Respuesta al escalón de un sistema de segundo orden.

629

c) {A

47.

U n sistema tiene u n a función de transferencia

H(s)

Sea cüq = 1. E n t o n c e s considere que ^ varía de m a n e r a continua desde 0.1 hasta 10 y grafique en el plano s las trayectorias que siguen los dos polos mientras L, varía entre esos límites.

E n c u e n t r e la f o r m a f u n c i o n a l d e v a l o r e s r e a l e s de la r e s p u e s t a al i m p u l s o p a r a el c a s o

c) d) e)

tóp = 1 y C = 0.5. Dibuje la respuesta en frecuencia de la fase para el caso W Q = 1 y ^ = 0 . 1 . D e t e r m i n e el a n c h o de b a n d a d e — 3 d B p a r a el c a s o W q = 1 y ^ = 0 . 1 . L a Q de un sistema es u n a m e d i d a de qué tan cerca está su respuesta en frecuencia de u n a resonancia. É s t a se define c o m o 1 Q

2Í

Para sistemas de Q m u y alta, ¿cuál es la relación entre Q, W Q y el a n c h o de b a n d a de - 3 d B ? Dibuje d i a g r a m a s de sistemas c a n ó n i c o s c o n las siguientes funciones de transferencia.

48.

49.

H(s)

= 10-

ms) =

— — — + 3s'- + Is + 22 s + 20

Dibuje d i a g r a m a s de sistemas en c a s c a d a con estas funciones de transferencia.

n(s)

H(s) =

-50

, , „ , s3 + 8 í 2 +

13í-|-40

s3 + I8s- + 92s + 120 C,

vri(í) + o

Cl = 1 (xF + ° v¡(í)

/?, = 10 kü

T^b

- tr

vc,(f)

/?,

10 k n

VC2(0 i=¡^ C , =

Q -

1 jílF

F I G U R A E51 Circuito RC de segundo orden.

v,(r)

V;(0 -

v_RI(f)

w v -

6.8 kO, Ro

= 12

kfí, Cl = 6.8 nF, C2 = 6.8 nF

F I G U R A E52 Un filtro pasabajas de constante K.

K = 3

630

50.

Dibuje d i a g r a m a s de sistemas en paralelo c o n las siguientes funciones de transferencia.

C A P Í T U L O 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

51.

52.

His)

H(í) =

10-

+ 4 ^ 2 + 95 + 3 5

6^-^ + 7 7 ^ 2 + 2 2 8 í + 189

E s c r i b a las e c u a c i o n e s de estado y las de salida para el circuito de la figura E 5 1 c o n los d o s voltajes de capacitor Y^^{t) y ^^4^) c o m o las variables de estado, el voltaje a la entrada v^{t) c o m o la excitación, y el voltaje v^j(?) c o m o la respuesta. D e s p u é s , s u p o n i e n d o q u e al principio los capacitores están d e s c a r g a d o s , d e t e r m i n e la respuesta al escalón unitario del circuito. Escriba las ecuaciones de estado y de salida para el circuito de la figura E 5 2 c o n los dos voltajes de capacitor V(-.j(f) y v^-jCO c o m o las variables de estado, el voltaje a la entrada v.(f) c o m o la excitación y el voltaje a la salida v^(r) c o m o la respuesta. D e s p u é s , encuentre y grafique el voltaje de respuesta para u n a excitación de escalón unitario suponiendo q u e las condiciones iniciales son

"vci(O)" .VC2(0).

2 -1 _